SCHOLIA IN EUCLIDEM :: Scholia in opticorum recensionem Theonis (scholia vetera)

TLG 5022 004 :: *SCHOLIA IN EUCLIDEM* :: Scholia in opticorum recensionem Theonis (scholia vetera) SCHOLIA IN EUCLIDEM Schol. (Varia) Cf. et PROCLUS Phil. (4036 011) Scholia in opticorum recensionem Theonis (scholia vetera) Source: Heiberg, J.L. (ed.), Euclidis opera omnia, vol. 7. Leipzig: Teubner, 1895: 251–284. Citation: Scholion — (line)

1-3t	Ad praefationem.
1	Τουτέστι κατὰ συνέχειαν p. 148, 18—19] οὐ τοῦτο ἔοικε λέγειν τὸ κατὰ συνέχειαν ἤγουν συνεχῶς καὶ ἐχομένως ἀεί· εἴη γὰρ ἂν ἐναντίον τῷ ἐν διαστήματι φέρεσθαι καὶ ἐκ διαστημάτων ταύτας ὑπάρχειν· λέγει
5	δὲ κατὰ συνέχειαν τὸ ἐφεξῆς μεταπίπτειν καὶ μὴ πε‐ πλανημένως, ἀλλὰ κατὰ μετάβασιν προϊούσας καὶ μεθ‐ ισταμένας.
2	Ἔφερεν αἰτίας p. 148, 22] ἤγουν αἰτιάματα ὡς μὴ κατὰ λόγον λεγόμενον αἰτιώμενος αὐτό.
3	Οἷον γωνίαι p. 154, 2] κἀντεῦθεν ὅρα τὸ ἐν διαστήμασι τὰς ὄψεις φέρεσθαι, νόει δὲ ταῦτα τὰ διαστήματα βραχύτατα ὅσον οἷόν τέ ἐστι μάλιστα, ὅσον ταῖς πρὸς τῷ ὄμματι γωνίαις ἐγγίζει ....... πορρώτερον
5	τοῦ ὄμματος ἀεὶ μείζω γίνεται .... κέντρου γὰρ τοῦ ὄμματος νοουμένου ἀνάγκη τὰς ὄψεις κωνοειδῶς φέρε‐ σθαι καὶ προϊούσας μᾶλλον ἀλλήλων σχίζεσθαι, ὃ καὶ δῆλον αἴτιον γίνεσθαι τοῦ πᾶν μέγεθος ἔχειν τι διά‐ στημα, ἀφ’ οὗ οὐχ ὁρᾶται. μέχρι μὲν γὰρ ἔγγιον ὂν
10	μεῖζον ᾖ τοῦ τῶν ὄψεων διαστήματος, ὁρᾶται, ἐπειδὰν δὲ πορρώτερον γενόμενον μείζονι ἑαυτοῦ διαστήματι τῶν ὄψεων ἐντύχῃ, ἤδη μηδαμῶς αὐτοῦ τῶν ὄψεων ἐφαπτομένων διὰ τὸ παρεμπεπτωκέναι τῷ διαστήματι αὐτῶν οὐχ ὁρᾶται.	251
4-6t	Ad definitiones.
4	Τὰ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαί‐ νεται οὐχ ἑαυτῶν, ἀλλὰ μείζονα δηλονότι, ἢ εἰ ἑωρᾶτο ὑπὸ ὀξείας γωνίας· οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστωσαν δύο τρίγωνα ἴσα τὰ ΒΓΔ, ΒΚΛ, μείζων δὲ ἔστω ἡ
5	τοῦ ΒΓΔ τριγώνου πρὸς τῷ Β γωνία, παρ’ ὃ ἡ τοῦ ΒΚΛ πρὸς τῷ αὐτῷ σημείῳ. λέγω, ὅτι τὸ ΒΓΔ τρί‐ γωνον ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενον, παρ’ ὃ τὸ ΚΒΛ, μεῖζον φαίνεται τοῦ ΚΒΛ διὰ τὸ τὴν ὑπὸ ΓΒΔ γω‐ νίαν εἶναι μείζονα τῆς ὑπὸ ΚΒΛ. ἢ τὸ μείζονα ἐν‐
10	ταῦθα τὸ συγκριτικὸν ἀντὶ ἁπλοῦ κεῖται ὡς εἶναι τὸ μείζονα φαίνεσθαι ἀντὶ τοῦ μεγάλα φαίνεσθαι, ὥσπερ τὸ ἐναντίον τὰ ὑπὸ ἐλάσσονος γωνίας θεωρούμενα μικρὰ φαίνεται καὶ τὰ ὑπὸ ἴσης ἴσα.
5	Μετεώρους μὲν ἁπλῶς [Omitted graphic marker] ἀκτῖνας τὰς μακρὰς ὀνομάζει καὶ ὑψηλάς, μετεωροτέρας δὲ τούτων αὐτῶν πάλιν τὰς μακροτέρας τε
5	καὶ ὑψηλοτέρας· οἷον ὡς ἐν ὑπο‐ δείγματι ἔστωσαν τρία μεγέθη ἀλλήλων ἀπέχοντα ἱκανὸν διά‐
5	στημα τὰ ΒΓ, ΔΖ, ΚΛ, καὶ προσπιπτέτωσαν ἐπ’ αὐτὰ ὄψεις αἱ ΒΝ, ΔΝ, ΚΝ. λέγω, ὅτι ἴσων	252
10	μεγεθῶν τούτων ὑποκειμένων καὶ ἀπὸ τοῦ Ν σημείου, καθ’ ὅ ἐστι τὸ ὄμμα, τῶν ἀκτίνων προσπιπτουσῶν μετεωροτέρα ἐστὶν ἡ μὲν ΒΝ ἀκτὶς τῆς ΔΝ, ἡ δὲ ΔΝ τῆς ΚΝ, καὶ ὁμοίως ἂν τοῦτο ὑπῆρχεν, εἰ καὶ ἕτεραι πλείους αὐτῶν ἦσαν.
6	Τουτέστιν ὅταν τὸ αὐτὸ διὰ πλειόνων γωνιῶν ὁρᾶται· τότε γὰρ ἐκ τῶν ὄψεων ἀκτῖνες αὐταῖς ἐρει‐ δόμεναι διὰ πλειόνων ἂν λέγοιντο ὁρᾶν τὸ ὁρώμενον.
7t	Ad prop. 1
7	Δεῖ γὰρ τὸ ὁρώμενον ἀπόστασίν τινα ἔχειν πρὸς τὸ ὄμμα· οὕτω γὰρ καὶ ὁραθήσεται, ὡς, εἴ γε μηδεμίαν ἀπόστασιν ἔχει, οὐχ ὁραθήσεται.
8-12t	Ad prop. 2
8	Οὐ γὰρ ἂν εἴποιμεν p. 156, 17] εἰ γὰρ ἐλεύ‐ σονται διὰ τῶν Γ, Δ, γίνεται τρίγωνον ἔχον δύο ὑπο‐ τεινούσας, ὧν ἡ ἐκτὸς ὑποτείνουσα μείζων γίνεται τῆς ἐντός, ὑπετέθη δὲ ἴση.
9	Μὴ θορυβείτω γὰρ ἡμᾶς τοῦτο, ὅπως τὸ μὲν ΒΓΔ τρίγωνον ἐπὶ πλέον ἠνέῳκται κατὰ πλάτος, τὸ δὲ ΒΚΛ στενώτερόν ἐστι. πρῶτον μὲν γὰρ τοῦ στοι‐ χειωτοῦ ζητοῦντος ἴσα καὶ παράλληλα νοεῖν τὰ φαι‐
5	νόμενα, εἴπερ τὸ ΒΚΛ τρίγωνον κατὰ πάντα ἐφήρμοζε τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ, οὐκ ἂν ἦσαν δύο, ἀλλ’ ὡς ἓν
5	ἐφαίνοντο, ἀλλ’ οὐδὲ παράλληλα· νῦν δ’ οὕτως, ὡς ἔχει, τεθέντων συμβαίνει τὴν ἔκθεσιν ἐφαρμόζειν αὐτοῖς· καὶ γὰρ παράλληλά τέ εἰσι τὰ τρίγωνα, καὶ τὸ ΒΚΛ	253
10	τρίγωνον πλεονεκτεῖ τῷ μήκει τῶν ΒΚ, ΒΛ γραμμῶν, καί ἐστι διὰ ταῦτα ἴσον τὸ ἕτερ.....
10	Ἐπειδή, ὅσαι ἂν ἀκτῖνες ἐπὶ τὸ ΓΔ προσ‐ πέσωσιν, ἐξώτεραι ἔσονται τοῦ ΚΛ μὴ προσπίπτουσαι αὐτῷ· ὥστε ὑπὸ πλειόνων ὁρᾶται τὸ ΓΔ.
11	Ἀλλὰ δηλονότι μέχρι τῶν Κ, Λ περάτων ἐλ‐ θοῦσαι στήσονται καὶ ἐφ’ ἑαυτὰς ἀνακλασθήσονται .... στηρίζουσιν, ἀλλ’ ὡς θ..τι ἐπεὶ ἐγγύτερόν ἐστι τὸ ΒΓΔ τρίγωνον, καὶ πλείονες ὄψεις τούτῳ προσπεσοῦνται,
5	καὶ ἀκολούθως ἀκριβέστερον ὁραθήσεται, τουτέστι μᾶλ‐ λον ἢ τὸ ἕτερον ὁραθήσεται.
12	Πλειόνων ὄψεων p. 156, 23] εἰ δὲ ὑπὸ πλει‐ όνων ὄψεων, καὶ ὑπὸ πλειόνων γωνιῶν.
13-14t	Ad prop 3
13	Ἴσως εἴποι τις ἄν, ὡς, ἐπειδὴ οὐ μόναι αἱ ΒΓ, ΒΔ προσπίπτουσιν ἀκτῖνες πρὸς τὸ ΓΔ μέγεθος, ἀλλὰ καὶ ἄλλαι πλεῖσται μεταξὺ τῶν Γ, Δ, ὅτε ἀφιστα‐ μένου τοῦ ΓΔ μεγέθους οὐ πίπτουσιν αἱ ΒΓ, ΒΔ
5	ἀκτῖνες, προσπεσοῦνται αἱ μεταξὺ τοῦ μέσου προσπεσοῦ‐ σαι ἀκτῖνες. λέγομεν οὖν πρὸς τὸν οὕτω ἀπορήσαντα, ὅτι, εἰ καὶ πρὸς μικρὸν ἀφεστηκότος τοῦ ΓΔ μεγέθους οὐ προσβαλοῦσιν αἱ ΒΓ, ΒΔ ἀκτῖνες, ἀλλ’ αἱ μεταξὺ τοῦ μέσου, καὶ ἐπὶ πλεῖστον ἀφεστηκότος τοῦ τοιούτου μεγέ‐
10	θους οὐδ’ αἱ μεταξὺ τοῦ μέσου προσπεσοῦνται διὰ τὸ
10	πλατύνεσθαι τὸ μεταξὺ τῶν τοιούτων ὄψεων διάστημα ἀφισταμένου τοῦ μεγέθους ὄντος ὡρισμένου παντὸς μεγέθους.	254
14	Τῶν γὰρ διαστημάτων ἢ μᾶλλον ἀποστάσεων προχωρουσῶν ἔσται μεταξὺ διάστημα, οὗ αἱ ἀποστάσεις διὰ τὸ ἀπ’ ἀλλήλων ἀποσχισθῆναι οὐχ ἅψονται.
15-17t	Ad prop 4
15	Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΚΒΖ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β, ἴσαι δὲ ἔστωσαν αἱ ΒΓ, ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΚ, ΔΚ. φημὶ δή, ὅτι ἡ Μ [Omitted graphic marker] τῆς Ν μείζων ἐστίν, ἡ δὲ Ν
5	τῆς Ξ. ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΔΚ παράλληλος ἡ ΓΛ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΔΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΒ. ἴση δὲ ἡ ΔΓ τῇ
10	ΓΒ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΚΛ τῇ ΛΒ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Β, μείζων ἡ ΓΛ τῆς ΛΒ, τουτέστι τῆς ΛΚ· ὥστε καὶ γωνία ἡ Μ μείζων
15	ἐστὶ τῆς Ο. ἀλλὰ ἡ Ο ἴση ἐστὶ τῇ Ν· ἐναλλὰξ γάρ εἰσιν· καὶ ἡ Ν ἄρα τῆς Μ ἐλάσσων ἐστίν. πάλιν ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΖΚ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΠ· φανερὸν δή, ὅτι ἡ Ρ μείζων ἐστὶν ὀρθῆς. ὥστε πάλιν ὁμοίως δείξομεν, ὅτι
15	ἡ ΠΔ μείζων ἐστὶ τῆς ΠΚ· ὥστε καὶ γωνία ἡ Ν	255
20	τῆς Σ. ἀλλ’ ἡ Σ τῇ Ξ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ Ν ἄρα τῆς Ξ μείζων ἐστίν.
16	Ἔστω ἴσα διαστήματα ἐπὶ μιᾶς εὐθείας τὰ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, καὶ ἀνήχθω τῇ ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΕ, ἐφ’ ἧς κείσθω ὄμμα τὸ Ε. λέγω, ὅτι μεῖζον φανήσεται τὸ μὲν ΑΒ τοῦ ΒΓ, τὸ δὲ ΒΓ τοῦ ΓΔ. προσπιπτέ‐
5	τωσαν γὰρ ἀκτῖνες αἱ ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Β σημείου τῇ ΓΕ εὐθείᾳ παράλληλος ἡ ΒΖ διὰ τὸ δεύτερον τοῦ ἕκτου. λοιπὸν ἔσται ἴση ἡ ΑΖ τῇ ΖΕ. μείζων δὲ ἡ ΒΖ τῆς ΖΑ διὰ τὸ μείζονα γωνίαν ὑποτείνειν· μείζων ἄρα καὶ τῆς ΖΕ. μείζων ἄρα καὶ
10	ἡ Θ γωνία τῆς Κ. ἀλλὰ τῇ Κ ἴση ἡ Λ διὰ τὸ εἶναι ἐναλλάξ· μείζων ἄρα ἡ Θ καὶ τῆς Λ. μεῖζον ἄρα ὀφθήσεται τὸ ΑΒ τοῦ ΒΓ. ὁμοίως διὰ τοῦ Γ ἀχθεί‐ σης παραλλήλου τῇ ΔΕ τῆς ΓΗ δειχθήσεται τὸ ΒΓ, ὅτι μεῖζον φανήσεται τοῦ ΓΔ.
17	Διὰ τὸ τὴν ΛΓ ὑποτείνειν καὶ τὴν Μ μείζονα οὖσαν καὶ τῆς ΛΚ τῆς ὑποτεινούσης τὴν Ο, ἡ δὲ μείζων πλευρὰ τὴν μείζονα γωνίαν ὑποτείνει. ἡ δὲ εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας ἐμπίπτουσα τὰς
5	ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ.
18-19t	Ad prop. 6
18	Κάθετος ἄρα ἐστίν p. 162, 3—4] πῶς ἡ ΚΜ
18	κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΜΛ, δείξομεν οὕτως· ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἦκται ἡ ΚΑ, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας	256
5	καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ ΚΑ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἐπεὶ οὖν ἐπὶ τὴν ΖΛ κάθετος ἦκται ἡ ΑΜ, καὶ πρὸς τὴν ΑΜ ἡ ΚΑ ὀρθὴν ποιήσει γω‐ νίαν. ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Α καὶ ἐπὶ τὸ Λ ἡ ΑΛ· καὶ πρὸς ἄρα τὴν ΑΛ ἡ ΑΚ ὀρθὴν ποιήσει γωνίαν. ἐπεὶ
10	οὖν τρίγωνόν ἐστιν ὀρθογώνιον τὸ ΚΑΛ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΚΑΛ γωνίαν, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΛ ὑπο‐ τεινούσης τὴν ὀρθὴν γωνίαν ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΑ, ΑΛ. πάλιν ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστιν ὀρθογώνιον τὸ ΑΜΛ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΜΛ γωνίαν, τὸ ἄρα ἀπὸ
15	τῆς ΑΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΜ, ΜΛ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΑ, ΑΜ, ΜΛ. ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΑ, ΑΜ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΜ· τρίγωνον γάρ ἐστιν ὀρθογώνιον τὸ ΚΑΜ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΚΑΜ γωνίαν. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΛ
20	ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΜ, ΜΛ, καὶ διὰ τὸ μηʹ τοῦ πρώτου τῶν Στοιχείων ἡ ὑπὸ ΚΜΛ γωνία ὀρθή ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
19	Μείζων ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΜΚΛ κτλ. p. 162, 9] ὅτι δὲ ἡ ὑπὸ ΜΚΛ τῆς ὑπὸ ΞΚΝ μείζων ἐστίν, δείξομεν τοῦτον τὸν τρόπον· ἐπεὶ ὀρθογώνιόν ἐστι τρίγωνον τὸ ΚΑΜ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΚΑΜ
5	γωνίαν, ὀξεῖά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΚΜΑ· ὥστε ἀμβλεῖα ἡ ὑπὸ
5	ΚΜΞ. ἀμβλυγωνίου οὖν τριγώνου τοῦ ΚΞΜ ἡ ΚΞ ὑποτείνει τὴν πρὸς τῷ Μ ἀμβλεῖαν γωνίαν· μείζων ἄρα ἡ ΚΞ τῆς ΚΜ. ἐπεὶ οὖν τρίγωνά εἰσιν ὀρθο‐ γώνια τὰ ΚΞΝ, ΚΜΛ ὀρθὰς ἔχοντα τὰς πρὸς τοῖς	257
10	Ξ, Μ γωνίας, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΝ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΞ, ΞΝ, ὁμοίως καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΜ, ΜΛ. καί ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΚΞ, ΞΝ μείζονα τῶν ἀπὸ τῶν ΚΜ, ΜΛ· ἡ γὰρ ΞΝ τῇ ΜΛ ἴση ἐστὶν ὡς παραλληλογράμμου τοῦ ΜΝ οὖσα ἀπ‐
15	εναντίον, ἡ δὲ ΚΞ τῆς ΚΜ μείζων. καὶ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΝ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΛ μεῖζον· ὥστε καὶ ἡ ΚΝ τῆς ΚΛ μείζων. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΚΞ τῆς ΚΜ μεί‐ ζων· ἴση δὲ ἡ ΞΝ τῇ ΜΛ· ἐὰν ἄρα τὴν ΜΛ ἐπὶ τὴν ΞΝ ἐφαρμόσωμεν, ἐντὸς πεσεῖται τὸ ΚΜΛ τρίγωνον
20	τοῦ ΚΞΝ τριγώνου, καὶ διὰ τὸ καʹ τοῦ αʹ τῶν Στοι‐ χείων μείζων ἔσται ἡ ὑπὸ ΜΚΛ τῆς ὑπὸ ΞΚΝ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
20-21t	Ad prop. 7
20	Γεγράφθω γὰρ περὶ τὸ τρίγωνον κύκλος, καὶ [Omitted graphic marker] ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΚΔ, ΚΓ ἐπ’ εὐθείας ἐπὶ τὰ Ν, Ξ. καὶ ἐπεὶ ἀμβλεῖα δείκνυται ἡ ὑπὸ ΖΔΝ
5	ὡς ἐκτὸς οὖσα, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΖΔ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη ἔσται ὡς ἡ ΔΛ. πάλιν ἐπεὶ ἀμ‐
5	βλεῖα δείκνυται ἡ Γ ὡς ἐκτὸς οὖσα, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Γ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη ἔσται ὡς	258
10	ἡ ΓΜ. τούτων δὲ οὕτως ἐχόντων δειχθήσεται ἡ ΖΛΝ περιφέρεια μείζων τῆς ΞΒ περιφερείας ἐκ τοῦ παρα‐ κειμένου λήμματος τοῦ ἐν τῷ δʹ θεωρήματι τοῦ γʹ βιβλίου τῶν Σφαιρικῶν· ἴσας γὰρ περιφερείας ἀφαιροῦ‐ σιν αἱ κάθετοι. ὥστε καὶ γωνία ἡ Σ μείζων ἐστὶ
15	τῆς Φ. ὥστε καὶ ἡ ΖΔ μείζων φανήσεται τῆς ΓΒ.
21	Τὸ αὐτὸ θεώρημα ἔν τισι τῶν ἀντιγράφων εὕρηται οὕτως· τὰ ἴσα μεγέθη ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντα καὶ μὴ ἐφεξῆς ἀλλήλοις κείμενα ἄνισον διεστη‐ κότα τοῦ ὄμματος ἄνισα φαίνεται.
5	ἔστωσαν δύο μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΔ μὴ ἐφεξῆς ἀλλήλοις ὄντα καὶ ἄνισον διεστηκότα ἀπὸ τοῦ ὄμματος τοῦ Ε, καὶ προσπιπτέτω‐ σαν ἀκτῖνες αἱ ΕΑ, ΕΔ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΕΑ τῆς ΕΔ, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΕΔΑ. λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ τῆς ΑΒ
10	μείζων φανήσεται. προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΒ, ΕΓ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΕΔ κύκλος ὁ ΑΕΔ, καὶ προσεκβεβλήσθωσαν αἱ ΕΒ, ΕΓ εὐθεῖαι ἐπὶ τὰ Ζ, Η, καὶ ἀνεστάτωσαν ἀπὸ τῶν Β, Γ σημείων ταῖς ΑΒ, ΓΔ πρὸς ὀρθὰς γωνίας αἱ ΒΘ, ΓΚ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΒ, ΓΔ
15	ἴσαι εἰσίν, ἀλλὰ καὶ αἱ ΒΘ, ΓΚ, ὡς δείξομεν, καὶ
15	γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΓΚ ἐστιν ἴση, καὶ βάσις ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Θ τῇ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Κ ἴση ἐστίν· ὥστε καὶ περιφέρεια ἡ ΑΖΘ περιφερείᾳ τῇ ΚΔ ἐστιν ἴση. ἡ ΚΔ ἄρα περιφέρεια	259
20	τῆς ΑΖ μείζων ἐστίν. πολλῷ ἄρα μείζων τῆς ΑΖ ἡ ΗΚΔ. ἀλλ’ ἐπὶ μὲν τῆς ΑΖ βέβηκεν ἡ ὑπὸ ΑΕΖ γωνία, ἐπὶ δὲ τῆς ΗΚΔ περιφερείας βέβηκεν ἡ ὑπὸ ΗΕΔ γωνία· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΕΔ τῆς ὑπὸ ΑΕΖ μείζων ἐστίν. ἀλλ’ ὑπὸ μὲν τῆς ὑπὸ ΑΕΖ ἡ ΑΒ
25	εὐθεῖα ὁρᾶται, ὑπὸ δὲ τῆς ὑπὸ ΗΕΔ ἡ ΓΔ· μείζων ἄρα ὁρᾶται ἡ ΓΔ τῆς ΑΒ. ὅτι δὲ ἡ ΒΘ ἴση ἐστὶ τῇ ΓΚ, δείξομεν οὕτως· ἐπεὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ ἴση ἐστί, καὶ κάθετοι ἐπὶ τὴν ΑΔ αἱ ΘΒ, ΓΚ, παράλληλοί εἰσιν αἱ ΒΘ, ΓΚ εὐθεῖαι·
30	προσεκβληθεῖσαι παράλληλοι ἔσονται. προσεκβεβλήσθω‐ σαν καὶ ἔστωσαν αἱ ΘΟ, ΚΠ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Ρ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ρ ἐπὶ μὲν τὰς ΘΟ, ΚΠ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΡΝ, ΡΞ, ἐπὶ μὲν τὴν ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΡΣ. ἡ ΡΣ ἄρα δίχα τὴν ΑΔ
35	κατὰ τὸ Σ τεμεῖ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ ὑπόκειται ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΣ τῇ ΣΓ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ
35	καὶ ἡ ΒΣ τῇ ΝΡ ἴση ἐστίν, καὶ ἡ ΣΓ τῇ ΡΞ ἴση ἐστίν. καί εἰσι πρὸς ὀρθὰς ταῖς ΘΟ, ΚΠ· αἱ ΘΟ, ΚΠ ἄρα ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ Ρ, καὶ διὰ τοῦτο καί	260
40	εἰσιν ἴσαι. ὥστε καὶ αἱ ἡμίσειαι αὐτῶν αἱ ΘΝ, ΚΞ ἴσαι εἰσίν, ὧν αἱ ΒΝ, ΓΞ ἴσαι· καὶ λοιπαὶ ἄρα αἱ ΘΒ, ΚΓ ἴσαι εἰσίν.
22-26t	Ad prop. 8
22	Ἐν τῷ ιαʹ θεωρήματι τοῦ γʹ βιβλίου τῶν Σφαι‐ ρικῶν εὑρήσεις ἔξωθεν σχόλιον, ὃ συμβαλεῖταί σοι εἰς τὴν παροῦσαν δεῖξιν.
23	Ἴση δὲ ἡ ΔΖ τῇ ΒΓ· ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΘΖ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΔΚΖ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΚΓ γωνίαν. ὡς δὲ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΘΖ, οὕτως ἡ ΚΓ πρὸς ΚΖ διὰ τὸ τριγώνου τοῦ ΚΒΓ παρὰ μίαν τῶν
5	πλευρῶν ἦχθαι τὴν ΘΖ καὶ ἰσογώνια εἶναι τὰ τρίγωνα.
24	Ὑπερπεσεῖται τὴν ΚΖ p. 164, 12] ὡς ἀπὸ μείζονος διαστήματος γραφόμενος, ὅπερ ἐστὶν ἡ ΘΚ· μείζων γὰρ αὕτη τῆς ΚΖ· ὥστε ὑπερπεσεῖται τὴν ΚΖ ὡς ἐλάσσονα τῆς ΚΘ.
25	Οὕτως ἡ ΓΚ p. 164, 25] διὰ τὸ ἰσογώνιον εἶναι τὸ ΒΓΚ τῷ ΘΖΚ καὶ ἔχειν ἀνάλογον τὰς πλευ‐
25	ράς, ὡς τὴν ΒΓ πρὸς τὴν ΓΚ, τὴν ΘΖ πρὸς τὴν ΖΚ. ὥστε καὶ ἐναλλάξ, ὡς τὴν ΒΓ πρὸς τὴν ΘΖ, τὴν ΓΚ	261
5	πρὸς τὴν ΖΚ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΘΖ, καὶ ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΘΖ· ἴση γὰρ ἡ ΔΖ τῇ ΒΓ. ὡς ἄρα ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΘΖ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΖ.
26	Ὡς γὰρ αἱ γωνίαι, δι’ ὧν ὁρῶνται τὰ ὁρώμενα, ἔχουσι πρὸς ἀλλήλας, οὕτως καὶ τὰ ὁρώμενα διὰ τῶν γωνιῶν πρὸς ἄλληλα ἔχειν φαίνονται. ὡς ἄρα λοιπὸν ἡ ΣΡ γωνία ἔχει πρὸς τὴν Ρ γωνίαν, οὕτως ἔχειν
5	φαίνεται καὶ τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΒΓ. ἡ δὲ γωνία ἡ ΣΡ πρὸς τὴν Ρ γωνίαν ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπό‐ στημα τὸ ΚΓ πρὸς τὸ ΚΖ. καὶ τὸ ΔΖ ἄρα πρὸς τὸ ΒΓ μικρότερον φαίνεται παρὰ τὸ ΚΓ πρὸς τὸ ΚΖ.
27-28t	Ad prop. 10
27	Ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Η σημείου τῇ ΒΚ παρ‐ άλληλος ἡ ΗΕ. ἐπεὶ οὖν αἱ ὄψεις πρότερον πρὸς τὴν ΗΕ προσπίπτουσιν κατὰ τὰ Η, Λ, Μ σημεῖα ἤπερ πρὸς τὴν ΚΓ, καί ἐστι μετεωρότερον τὸ Η τοῦ Λ, τὸ
5	δὲ Λ τοῦ Μ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Η σημείου ἡ ΒΗΓ φέρεται ἀκτίς, διὰ δὲ τοῦ Λ ἡ ΒΛΖ, διὰ δὲ τοῦ Μ ἡ ΒΜΔ, μετεωροτέρα ἡ μὲν ΒΓ τῆς ΒΖ, ἡ δὲ ΒΖ τῆς ΒΔ.
28	Τὸ ιʹ ἐν ἄλλῳ οὕτως· ἔστω γὰρ ὄμμα τὸ Β ἄνω τοῦ ΓΚ ἐπιπέδου κείμενον, ἀφ’ οὗ ὄμματος προσ‐ πιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΓ, ΒΔ, ΒΖ, ΒΚ, ὧν ἡ ΒΚ κάθετος ἔστω ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. λέγω, ὅτι
5	τὸ ΓΔ τοῦ ΔΖ μετεωρότερον φαίνεται, τὸ δὲ ΔΖ τοῦ ΖΚ. εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΖΚ τυχὸν σημεῖον τὸ Ε, καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς τῇ ΖΚ ἡ ΕΗ. καὶ ἐπεὶ αἱ ὄψεις πρότερον πρὸς τὴν ΗΕ προσπίπτουσιν ἤπερ πρὸς τὴν ΕΓ, προσπιπτέτω τῇ ΗΕ ἡ μὲν ΒΖ κατὰ	262
10	τὸ Η σημεῖον, ἡ δὲ ΒΔ κατὰ τὸ Λ, ἡ δὲ ΒΖ κατὰ τὸ Μ. ἐπεὶ οὖν τὸ Η τοῦ Λ μετεωρότερόν ἐστι, τὸ δὲ Λ τοῦ Μ, ἀλλ’ ἐν ᾧ ἐστι τὸ Η, ἐν τούτῳ τὸ Γ, ἐν ᾧ δὲ τὸ Λ, ἐν τούτῳ τὸ Δ, ἐν ᾧ δὲ τὸ Μ, ἐν τούτῳ τὸ Ζ, διὰ δὲ τῶν ΒΓ, ΒΔ ἡ ΔΓ φαίνεται, διὰ
15	δὲ τῶν ΒΔ, ΒΖ ἡ ΖΔ, διὰ δὲ τῶν ΒΖ, ΒΚ ἡ ΚΖ, οὐκοῦν ἡ μὲν ΓΔ τῆς ΔΖ μετεωροτέρα φαίνεται, ἡ δὲ ΔΖ τῆς ΖΚ· τὰ γὰρ ὑπὸ μετεωροτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα μετεωρότερα φαίνεται. τῶν ἄρα κάτω τοῦ ὄμματος κειμένων καὶ τὰ ἑξῆς.
29t	Ad prop. 11
29	Πάλιν ἐὰν ἀγάγῃς παράλληλον εὐθεῖαν διὰ τοῦ Γ, φανερὸν ἔσται ἀπὸ τῶν σημείων.
30t	Ad prop. 12
30	Τοῦτο ὡς ἀπὸ τοῦ ϛʹ φανερώτερον γίνεται.
31t	Ad prop. 14
31	Ἀντίστροφον· ἐκεῖ μὲν γὰρ ὑπὸ τοῦ ὄμματος ἐτέθη τὰ μεγέθη, νῦν δὲ ἄνω τοῦ ὄμματος.
32t	Ad prop. 16
32	Ἀντίστροφον, ὡς εἰ νοηθείη τὸ σχῆμα μετα‐
32	τιθέμενον ἄνω κάτω.	263
33-35t	Ad prop. 19
33	Ἐπὶ τὸ Β πέρας p. 176, 16] μετακινουμένου δηλονότι ἢ τοῦ ἐνόπτρου ἢ τοῦ ὁρῶντος· οὐ γὰρ κατὰ πρώτην τυχὸν ἐπιβολὴν τῆς ὄψεως κατ’ ἔμφασιν ὁρα‐ θήσεται παρὰ τῆς ὄψεως ἐν τῷ κατόπτρῳ τὸ ἄκρον
5	τοῦ ὕψους.
34	Οὕτως γὰρ ἐνορῶμεν τῷ ἐσόπτρῳ, ἕως οὗ τὸ ἄκρον ἐν αὐτῷ τοῦ δοθέντος μεγέθους ἴδωμεν.
35	Ἐν τοῖς Κατοπτρικοῖς p. 176, 18] φησὶ γὰρ ἐκεῖσε ὁ Εὐκλείδης οὕτως· ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων καὶ κυρτῶν καὶ κοίλων αἱ ὄψεις ἐν ἴσαις γωνίαις ἀνα‐ κλῶνται.
5	ἁρμόζει δὲ αὐτῷ καὶ τὸ ἐν τοῖς ὅροις τῶν Κατ‐ οπτρικῶν εἰρημένον· ἐνόπτρου τεθέντος ἐν ἐπιπέδῳ καὶ τὰ ἑξῆς.
36t	Ad prop. 21
36	Ἐναρμόζω γὰρ ἐν τῷ μέσῳ διαστήματι τῶν ἀκτίνων μέγεθος ἀεὶ ἐναρμόζων, ἕως οὗ διὰ τῶν ἄκρων αὐτοῦ ἴδω τὰ ἄκρα τοῦ δοθέντος μεγέθους.
37-38t	Ad prop. 22
37	Οὐδὲ γὰρ ἅμα βλέπει ὅλον, ἵνα συναίσθηται
37	ὡς περιφεροῦς τοῦ ὁρωμένου.	264
38	Ἐὰν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἐν ᾧ καὶ τὸ ὄμμα, κύκλου περιφέρεια τεθῇ, ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια εὐθεῖα γραμμὴ φαίνεται. ἔστω κύκλου περιφέρεια ἡ ΓΒ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ
5	κειμένη, ἐν ᾧ καὶ τὸ ὄμμα τὸ Α, ἀφ’ οὗ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΑΒ, ΑΔ, ΑΕ, ΑΖ, ΑΗ, ΑΘ, ΑΓ. λέγω, ὅτι ἡ ΒΓ κύκλου περιφέρεια εὐθεῖα φαίνεται. κείσθω τῆς περιφερείας τὸ κέντρον καὶ ἔστω [Omitted graphic marker] τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΚΒ, ΚΔ, ΚΕ,
10	ΚΖ, ΚΗ, ΚΘ, ΚΓ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΚΒ εὐθεῖα ὑπὸ τῆς ὑπὸ ΚΑΒ γωνίας ὁρᾶται, ἡ δὲ ΚΔ ὑπὸ τῆς ὑπὸ ΚΑΔ, ἡ δὲ ΚΕ ὑπὸ τῆς ὑπὸ ΚΑΕ, μείζων ἄρα φα‐ νήσεται ἡ μὲν ΚΒ τῆς ΚΔ, ἡ δὲ ΚΔ τῆς ΚΕ. ὁμοίως καὶ ἐκ τοῦ ἑτέρου μέρους ἡ μὲν ΚΓ μείζων φανήσεται
15	τῆς ΚΘ, ἡ δὲ ΚΘ τῆς ΚΗ. ἐπεὶ οὖν τὸ αὐτὸ συμ‐ βαίνει, ὅπερ ἂν καί, εἰ εὐθεῖα ὑπέκειτο ἡ περιφέρεια
15	ἡ ΒΓ, συνέβαινε, τὸ τὰς ἴσας δηλαδὴ ἀνίσους φαί‐ νεσθαι καὶ μείζονα τὴν πορρωτέρω εὐθεῖαν παρὰ τὴν ἐφεξῆς, εὐθεῖα διὰ τοῦτο ἡ ΒΖΓ φαντάζεται περι‐	265
20	φέρεια. δυνατὸν δὲ τοῦτο δείκνυσθαι καὶ ἐπὶ τῆς κοίλης περιφερείας. εἰ γὰρ τὸ Κ ὑποτεθείη τὸ ὄμμα καὶ σημεῖον τυχὸν τὸ Α ἐκτὸς τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, εἶτα ἀπὸ τοῦ Α πρὸς τὴν κυρτὴν περιφέρειαν τοῦ
25	κύκλου εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΑΔ, ΑΕ, ΑΖ, ΑΗ, ΑΘ, ΑΓ καὶ ἀκτῖνες ἀπὸ τοῦ Κ ὄμματος ἐπὶ τὰ Β, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, Γ σημεῖα, τῶν πρὸς τὴν κυρτὴν οὖν περι‐ φέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη καὶ κατὰ φαντασίαν ὡς καὶ κατὰ ἀλήθειαν ἡ μεταξὺ τοῦ τε
30	σημείου καὶ τῆς διαμέτρου ὁραθήσεται, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ἐλαχίστης τῆς ἀπώτερον ἐλάττων ὁρᾶται, ὃ δὴ συμβαῖνον ὁρᾶται, καὶ εἴπερ ἡ ΒΖΓ περιφέρεια εὐθεῖα ὑποτεθείη καὶ κάθετος ἐπ’ αὐτὴν ἡ ΑΖ· ὅθεν διὰ τοῦτο καὶ φαντασίαν εὐθείας ἀπο‐
35	στελεῖ ἡ περιφέρεια, καὶ μάλιστα εἰ ἀπὸ πλείονος φαί‐ νοιτο διαστήματος, ὥστε μὴ συναισθάνεσθαι ἡμᾶς τῆς κυρτότητος. διὰ τοῦτο καὶ οἱ μὴ πάντως ἀποτεταμένοι κάλοι ἐκ πλαγίου μὲν ὁρώμενοι ἀσχάλασμα ἔχειν δοκοῦσιν,
40	ὑποκάτωθεν δὲ εὐθεῖς εἶναι, καὶ αἱ σκιαὶ δὲ τῶν κρί‐ κων ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κειμένων, ἐν ᾧ καὶ τὸ ὄμμα,
40	εὐθεῖαι φαίνονται.	266
39-43t	Ad prop. 23
39	Ποιήσει δή p. 180, 22] διὰ τὸ πρῶτον τῶν Σφαιρικῶν.
40	Ἐφάψονται αἱ ΒΛ, ΒΖ p. 182, 2] ἔσχαται οὖσαι αἱ ἀκτῖνες τῶν ὁρώντων τὴν σφαῖραν.
41	Καὶ ἐπεὶ ἑκάστη κτλ. p. 182, 5] ἑκάστην τῶν πρὸς τῷ Θ γωνιῶν ὀρθὴν συνάξουσιν εἶναι ἄλλοι μὲν ἴσως ἄλλως, ἐγὼ δὲ τοῦτον τὸν τρόπον. ἐπεὶ ἕκαστον τῶν ΚΖΒ, ΚΛΒ ἡμικύκλιόν ἐστιν, ἡ ΚΖΒ περιφέρεια
5	ἴση ἐστὶ τῇ ΚΛΒ περιφερείᾳ, ὧν ἡ ΚΖ ἴση τῇ ΚΛ· ἴσαι γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΚΖ, ΚΛ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσαι τοῦ ΖΓΔ κύκλου ὑποτείνουσιν αὐτάς· λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΒ περιφέρεια τῇ ΛΒ περιφερείᾳ ἴση ἐστίν. ὥστε καὶ εὐθεῖα ἡ ΖΒ τῇ ΒΛ ἴση ἐστίν. ἐπεὶ οὖν δύο
10	τρίγωνά ἐστι τὰ ΚΖΒ, ΚΛΒ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΖΚ, ΚΒ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΛΚ, ΚΒ ἴσας ἔχοντα καὶ τὴν βάσιν τὴν ΖΒ τῇ βάσει τῇ ΛΒ ἴσην, καὶ τὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΖΚΒ τῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΚΒ ἴσην ἕξει. πάλιν ἐπεὶ δύο τρίγωνα τὰ ΖΚΘ, ΛΚΘ τὰς
15	δύο πλευρὰς τὰς ΖΚ, ΚΘ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΛΚ, ΚΘ ἴσας ἔχοντα καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ, καὶ τὴν βάσιν τὴν ΖΘ βάσει τῇ ΘΛ ἴσην ἕξει. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΚΒ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΖΛ δίχα τέμνει, καὶ πρὸς ὀρθὰς
20	αὐτὴν τεμεῖ.	267
42	Διὰ τὸ παράλληλον p. 182, 6] παράλληλος διὰ τοῦ κηʹ τοῦ αʹ τῶν Στοιχείων.
43	Ἅπερ ἐξ ἀνάγκης φυσικῆς ἐπὶ τῶν ὁρωμένων γίνεται, ταῦτα καὶ δι’ ἀποδείξεων πιστώσασθαι βου‐ λόμενος ὁ γεωμέτρης τῶν θεωρημάτων παραμυθίας ἀπὸ τῶν γραμμῶν κομίζει κύκλους ἀναγράφων ἐν ταῖς ἀπὸ
5	τῶν ὀμμάτων ἀποπεμπομέναις ἀκτῖσιν καὶ ἐπίπεδα διὰ τῶν ὄψεων ἐκβάλλων καὶ ἕτερα τοιαῦτα ποιῶν, οὐχ ὅτι, ταῦτα μὲν ἐὰν γένηται, ἔσται ἀληθὴς ἡ τοιάδε αὐτοῦ πρότασις, καὶ καθ’ ὃν αὐτός φησι τρόπον θεω‐ ρήσουσι τὸ τοιόνδε σχῆμα αἱ ὄψεις, ἐὰν δὲ μὴ γένηται,
10	ψευδής· ἦ γὰρ ἄν, εἰ τοῦτο οὕτως εἶχεν, ἐν τῇ πιθα‐ νότητι τῶν ἀποδείξεων ἔκειτο ἂν ἡ τούτων εὕρεσις μόνον, ἀλλ’ οὐκ ἐν τῇ φύσει τῶν ὁρωμένων, καὶ γρα‐ φομένων μὲν τῶν κύκλων ἢ τῶν ἐπιπέδων ἐκβαλλο‐ μένων ἑωρᾶτο ἂν τὸ ὁρώμενον, ὡς ὁ Εὐκλείδης φησίν,
15	μὴ γινομένων δὲ τούτων οὐκ ἂν ἐθεωρεῖτο τοιοῦτον, ὡς εἶναι μᾶλλον αὐτὸ διὰ τὴν ἀπόδειξιν οὕτως ἔχον ἢ διὰ τὴν φύσιν. τὸ δὲ οὐχ οὕτως ἔχει, ἀλλὰ ὅπερ ἐξ ἀνάγκης φυσικῆς συμβαίνει πάσχειν ταῖς ὄψεσι προσ‐ βαλλούσαις τῷ τοιῷδε σχήματι οἷον κυλινδροειδεῖ ἢ
20	κωνοειδεῖ ἢ σφαιροειδεῖ ἐπὶ πλέον ἀφισταμέναις ἢ προσεγγιζούσαις αὐτῷ, τοῦτο δὴ βουλόμενος ἀπο‐
20	δεικνύειν ὁ γεωμέτρης παραμυθεῖται τὴν ἀπόδειξιν διὰ ἐπιπέδων τε καὶ κύκλων καὶ τοιούτων τινῶν, ἵνα κατὰ πάντα σύμφωνον αὐτὴν ποιήσῃ τοῖς ἐν τῇ γεωμετρίᾳ	268
25	στοιχείοις καὶ παρασκευάσῃ τὸν ἀκροατὴν μετὰ πολλῆς ὅτι μάλιστα ἡδονῆς ἐγκύπτειν τοῖς θεωρήμασιν, ὥσπερ ἀμέλει καὶ ἐπὶ τῆς ἀριθμητικῆς ἔστιν ἰδεῖν αὐτὸν ποι‐ οῦντα καὶ γεωμετρίας καὶ τῶν ἄλλων μαθημάτων. ὅτι μὲν γὰρ δύο τετραγώνων ἀριθμῶν εἷς μέσον ἀνάλογόν
30	ἐστιν ἀριθμός, τοῦτο ἀληθές ἐστιν, ἀλλ’ οὐ δεῖ τοῦτο μόνον ἀπ’ αὐτῆς εἰδέναι τῆς αἰσθήσεως, ἵν’ οὕτως εἴπω, ἀλλὰ καὶ δι’ ἀποδείξεως ἀσφαλεστέραν ἔχειν τὴν περὶ αὐτοῦ γνῶσιν. ὁμοίως δὲ καὶ τοῦτο ἀληθές ἐστιν, ὅτι, ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὰς κατὰ κορυ‐
35	φὴν γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιήσουσιν, καὶ φανερὸν ἀπὸ τῆς αἰσθήσεως, ἀλλ’ οὐκ ἀπόχρη πρὸς ἐπιστήμην τὸ οὕτως εἰδέναι μόνον, ἀλλ’ ἔχειν τοῦτο ὁμολογού‐ μενον ἔκ τινων προτέρων καὶ γνωριμωτέρων· τοῦτο δέ ἐστιν ἡ ἀπόδειξις. ὁ αὐτὸς τοίνυν λόγος ἐστὶ καὶ
40	ἐπὶ τούτων, ὅτι φυσικῶς ἔχει ἡ ὅρασις οὕτως ὁρᾶν τὰ ὁρώμενα, ὡς ὁ Εὐκλείδης φησίν, ἵνα δὲ καὶ ἐπιστήμην αὐτῶν ἔχωμεν, πρὸς κατάληψιν ἀκριβεστέραν παρα‐ λαμβάνονται ἐν ταῖς ἀποδείξεσιν αὐτῶν κύκλοι καὶ ἐπίπεδα καὶ ἄλλα τοιαῦτα.
45	χρὴ δὲ εἰδέναι, ὡς τοὺς κύκλους καὶ τὰ ἐπίπεδα, ὅταν μὲν ὁρῶμεν αὐτὰ τὰ σώματα οἷον σφαῖραν ἢ κύλινδρον, νοητῶς δεῖ ἀναγράφειν ἢ ἐκβάλλειν, ὅταν
45	δὲ ἐν ἐπιπέδῳ, αἰσθητῶς ὡς ἐνταῦθα.	269
44t	Ad prop. 24
44	Αἱ ΡΖ, ΡΣ καθ’ ἓν ἐφάπτονται p. 184, 5] ἐφάπτονται ἄρα διὰ τὸ ἐν τῷ ιϛʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων πόρισμα.
45-48t	Ad prop. 26
45	Ὀμμάτων διάστημα τὸ ΒΓ p. 186, 7] χρὴ δὲ νοεῖν, ὅτι ἡ διάστασις τῶν ὀμμάτων παράλληλός ἐστι τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου.
46	Τουτέστιν ἐπιζευχθεισῶν ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὰ Β, Γ σημεῖα εὐθειῶν.
47	Ἔλασσον ἂν εἴη p. 186, 16] εἰ γὰρ τεθείη τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Θ, διὰ τὸ κγʹ τῶν Ὀπτικῶν ἔλαττον ἡμι‐ σφαιρίου ὀφθήσεται ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος.
48	Τὸ ΖΝΔ p. 186, 16] τουτέστιν τὸ ὑπὸ τοῦ κύκλου διοριζόμενον τοῦ περὶ τὴν ΔΝΖ.
49t	Ad prop. 28
49	Ὃν τρόπον ἐπὶ τοῦ κγʹ καὶ κδʹ ἔδειξεν, οὕτως καὶ ἐπὶ τῶν δύο τούτων τοῦ κηʹ καὶ κθʹ, πλὴν ἐκεῖ μὲν ἐπὶ σφαίρας, ὧδε δὲ ἐπὶ κυλίνδρου.
50-51t	Ad prop. 30
50	Κύκλον ἔχοντος τὴν βάσιν p. 192, 2] οὐχί, διότι ἔστι τις κῶνος μὴ ἔχων κύκλον τὴν βάσιν, τοῦτό φησιν, ἀλλὰ τὴν φύσιν τοῦ κώνου παραστῆσαι βου‐
50	λόμενος.	270
51	Καὶ ἐπὶ τούτου καὶ τοῦ μετὰ τοῦτο ὁμοία ἡ δεῖξις πλὴν ἐπὶ κώνου.
52-53t	Ad prop. 32
52	Τῷ προϋποκειμένῳ ἐπιπέδῳ p. 194, 19] τουτ‐ έστι τῇ βάσει τοῦ κώνου.
53	Οὐκοῦν συμπεσεῖται p. 196, 2] ἐπειδὴ κατὰ τὸ αὐτὸ ἄκρον ἄνω μὲν κατὰ τὸ Β, κάτω δὲ κατὰ τὸ Κ συνάπτονται.
54-56t	Ad prop. 33
54	Ἔλασσον φαίνεται p. 196, 22] γρ. μεῖζον μὲν ἔσται τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον, ἔλαττον δὲ φαίνεται, ταπεινοτέρου δὲ ἔλασσον μὲν ἔσται, δόξει δὲ μεῖζον φαίνεσθαι.
55	Τουτέστιν ἵνα ἐπί τινος εὐθείας τὸ ὄμμα ᾖ, ἥτις παράλληλός ἐστι τῇ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου πρὸς τὴν περιφέρειαν αὐτοῦ ἀγομένῃ εὐθείᾳ.
56	Ἴσον δὲ τὸ μὲν πρὸς τῷ Ν κτλ. p. 198, 9] ἐὰν γάρ, καθὼς εἴρηται ἐν τῷ λαʹ θεωρήματι, ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος προσπέσωσιν ἀκτῖνες πρὸς τὴν τοῦ κώνου περιφέρειαν ὡς αἱ ΝΤ, ΝΦ, καὶ ἀπὸ τῶν Τ, Φ
5	ἐπὶ τὴν κορυφὴν τὴν Δ ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι ὡς αἱ ΤΔ, ΦΔ, τὸ διὰ τῶν ΝΤ, ΤΔ ἐπίπεδον καὶ τὸ διὰ τῶν ΝΦ, ΦΔ κοινὴν τομὴν ἕξει τὴν ΔΝ, ἐφ’ ἧς ἐὰν
5	τεθῇ τὸ ὄμμα ὡς κατὰ τὸ Ν καὶ τὸ Θ, ἴσον ἀεὶ τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται διὰ τὸ λαʹ θεώρημα·	271
10	ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῆς ΛΣ.
57-60t	Ad prop. 35
57	Ὀρθὴ ἂν εἴη p. 200, 23] ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΔΒ γωνία τῇ ΚΒΔ, ἡ δὲ ΚΖΒ τῇ ΖΒΚ, δύο ἄρα αἱ ΒΔΚ, ΔΖΒ δύο ταῖς ΖΒΚ, ΚΒΔ ἴσαι εἰσίν. ὥστε αἱ τέσσαρες αἱ ΒΖΚ, ΖΔΒ, ΔΒΚ, ΚΒΖ δύο
5	τῶν ΔΒΚ, ΚΒΖ, τουτέστι τῆς ΔΒΖ, διπλασίονές εἰσιν. ἀλλὰ αἱ τέσσαρες δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ἐν τῷ τριγώνῳ γάρ εἰσι τῷ ΔΖΒ. ὥστε ἡ ΔΒΖ γωνία ὀρθή ἐστιν.
58	Ἐπεὶ γὰρ αἱ τρεῖς ἴσαι εἰσὶν αἱ ΔΚ, ΚΖ, ΚΒ, ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Κ, διαστήματι δὲ τῷ ΚΔ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν Β, Ζ. ὥστε ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΔΒΖ· ἐν ἡμικυκλίῳ γάρ.
59	δ γάρ εἰσιν ὡς τῆς ὑπὸ ΔΒΖ διαιρουμένης· ἐπεὶ ὡς ἐν τριγώνῳ τρεῖς εἰσιν. διὰ τοῦτο καὶ δύο ὀρθαῖς ἴσαι· ὥστε ἡ ὑπὸ ΔΒΖ ὀρθή ἐστι, διότι δ ἐφάνησαν ἐν τῷ τριγώνῳ, καὶ αὕτη ὡς δὶς λαμβανο‐
5	μένη ὀρθή ἐστιν.
60	Αἱ διάμετροι ἴσαι p. 202, 5] δῆλον δέ, ὅτι
60	οὐ πᾶσαι πάσαις αἱ διάμετροι ἴσαι φανήσονται, ἀλλὰ μία μιᾷ, οἷον τῇ ΕΓ ἡ ΔΒ· αὕτη γὰρ μόνη δύναται ἴσας γωνίας περιέχειν μετὰ τῆς ΑΖ ταῖς περιεχομέναις	272
5	ὑπὸ τῆς ΑΖ καὶ ΕΓ· τοῦτο δὲ διὰ τὸ μὴ εἶναι πρὸς ὀρθὰς τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ τὴν ΖΑ.
61-73t	Ad prop. 36
61	Διήχθω γάρ p. 204, 17] μὴ πρὸς ὀρθὰς οὖσα δηλονότι τῇ ΓΑ.
62	Ἡ ΓΖ p. 204, 19] οὖσα δηλονότι τοῦ κύκλου.
63	Λῆμμα. πῶς δὲ χρὴ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγεῖν τῇ κεκλιμένῃ εὐθείᾳ πρὸς τὸ ἐπίπεδον μίαν εὐθεῖαν ἐν τῷ τοῦ κύ‐ κλου ἐπιπέδῳ; οὐ γὰρ καὶ ἑτέραν δυνατόν· ὑποκείσθω [Omitted graphic marker]
5	γὰρ τὸ σχῆμα, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω ἡ ΒΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΛ. φα‐ νερόν, ὅτι ἡ ΑΛ ἐν
10	τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστίν. ἤχθω οὖν ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΛ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΜ· ἥξει δὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἐν ᾧ καὶ ἡ ΑΛ, τουτέστιν ἐν τῷ κύκλῳ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΛ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ κύκλου ἐπί‐
15	πεδον, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΒΛ ἐπίπεδα ὀρθά ἐστι πρὸς τὸν κύκλον. ἓν δὲ τῶν διὰ τῆς ΒΛ ἐπι‐ πέδων ἐστὶ τὸ ΒΑΛ τρίγωνον· καὶ τὸ ΒΛΑ ἄρα τρί‐ γωνον ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον. καὶ τῇ κοινῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΑΜ ἐν	273
20	τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ· ἡ ΑΜ ἄρα πρὸς τὸ ΒΑΛ ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν. καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτο‐ μένας αὐτῆς, οὔσας δὲ ἐν τῷ ΒΑΛ ἐπιπέδῳ, ὀρθή ἐστιν ἡ ΜΑ. ὥστε καὶ πρὸς τὴν ΑΒ ὀρθή ἐστιν.
64	Καὶ αὕτη μὲν ἡ ἀπόδειξις, εἰ μήτε πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΔ τῇ ΓΑ διαχθῇ· τότε γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΔΕ εὐθεῖαν δυνάμεθα κάθετον ἀγαγεῖν τὴν ΓΖ, καὶ οὕτως ἡ ἀπόδειξις προχωρεῖ. εἰ δὲ ἡ ΕΔ κάθετος
5	ἐπὶ τὴν ΓΑ διαχθῇ, δειχθήσεται πάλιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΑΕ ἐλάττων τοῦτον τὸν τρόπον· ἐπεὶ ἡ ΒΓ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ πάντα ἄρα τὰ δι’ αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται. ὥστε καὶ τὸ ΒΓΑ τρίγωνον τῷ
10	ΕΔ κύκλῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται. ἐπεὶ οὖν τὸ ΓΑΒ τρί‐ γωνον τῷ κύκλῳ πρὸς ὀρθάς ἐστι καὶ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ ἡ ΕΑ ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων, ἡ ΕΑ ἄρα καὶ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται· καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑπο‐
15	κειμένῳ ἐπιπέδῳ τῷ ΑΒΓ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἅπ‐ τεται δὲ αὐτῆς καὶ ἡ ΒΑ· καὶ πρὸς ἄρα τὴν ΒΑ
15	ὀρθὴν ποιήσει γωνίαν. ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΕ· ὀξεῖα δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. ἐλάττων ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΕ.	274
65	Ἀνάπαλιν ἄρα p. 206, 26] ἐπειδὴ εἶπεν· ἀνά‐ παλιν ἄρα ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΑΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, οὗ ἔχει ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, ἰστέον τοῦτο, ὅτι ἐπὶ μὲν τῆς ταυτότητος τῶν λόγων πάντα σώζεται καὶ τὸ ἐν‐
5	αλλὰξ καὶ τὸ συνθέντι καὶ τὸ διελόντι καὶ τὸ ἀνα‐ στρέψαντι καὶ τὸ ἀνάπαλιν, οἷον ὡς τόδε πρὸς τόδε, οὕτως τόδε πρὸς τόδε· ἐναλλὰξ ὡς τόδε πρὸς τόδε, οὕτως τόδε πρὸς τόδε· πάλιν ὡς τόδε πρὸς τόδε, οὕτως τόδε πρὸς τόδε· συνθέντι ὡς τόδε πρὸς τόδε, οὕτως
10	τόδε πρὸς τόδε· ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων. ἐπὶ δὲ τῆς ἑτερότητος τῶν λόγων πάντα μὲν τὰ ἄλλα σώζεται, τὸ δὲ ἀναστρέψαντι καὶ τὸ ἀνάπαλιν οὐκέτι, οἷον ἐπεὶ τόδε πρὸς τόδε μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τόδε πρὸς τόδε, ἐναλλὰξ τόδε ἄρα πρὸς τόδε μείζονα λόγον ἔχει
15	ἤπερ τόδε πρὸς τόδε· ὁμοίως καὶ ἐπὶ τοῦ συνθέντι καὶ διελόντι. ἐπὶ δὲ τοῦ ἀντιστρέψαντι καὶ τοῦ ἀνά‐ παλιν οὐκέτι, ἀλλὰ τὸ ἐναντίον γίνεται οὕτως· τόδε πρὸς τόδε μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τόδε πρὸς τόδε· ἀνά‐ παλιν τόδε ἄρα πρὸς τόδε ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ τόδε
20	πρὸς τόδε, ὡς ὧδε εἶπεν· ταῦτα δὲ ὁ Ἥρων διαρθροῖ.
66	Τὸ γὰρ αὐτὸ ἡ ΖΑ πρὸς τὸ ἔλασσον μείζονα
66	λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ μεῖζον τὸ ΑΒ.	275
67	Πρὸς δὲ τὴν ΑΒ τυχοῦσαν p. 208, 14] καὶ πρὸς αὐτὴν γὰρ ὀρθὰς ποιεῖν οὐ δύναται, ἐπειδή, ἐὰν εὐθεῖα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ, καὶ τῷ δι’ αὐτῶν ἐπι‐
5	πέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν· ὑπόκειται δὲ αὐτῷ μὴ οὖσα πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ λϛʹ.
68	Καὶ πάντα ἄρα κτλ. p. 208, 17] διὰ τὸ δʹ καὶ τὸ ιηʹ τῶν Στερεῶν τοῦ αʹ βιβλίου.
69	Ἐπὶ τὴν κοινὴν ἄρα p. 208, 21] ἔχομεν γὰρ ἐν τοῖς Στερεοῖς θεώρημα· ἐὰν ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὀρθὸν ᾖ, καὶ ἀπό τινος σημείου αὐτῶν ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων ἐπὶ τὸ ἕτερον ἐπίπεδον κάθετος ἀχθῇ, ἐπὶ
5	τῆς κοινῆς τομῆς πεσεῖται τῶν ἐπιπέδων.
70	Ἡ ΝΞ μείζων p. 210, 4] διότι ἴση ὑπετέθη τῇ ΕΖ τῇ ὑποτεθείσῃ μείζονι τῶν ἐκ τοῦ κέντρου, καὶ ἐὰν ἡ ΕΖ μείζων, καὶ αὕτη ὡς ἴση ταύτῃ.
71	Ἡ ΝΟ p. 210, 11] ἡ ΝΟ γὰρ ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ ΛΣΜ τμήματος· ἡ γὰρ ΝΞ τῆς ΝΡ μείζων ἐστίν· ἐπὶ γὰρ τῆς ΝΞ ἐστι τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τοῦ ΛΣ· μείζων γάρ ἐστι τῆς ΛΝ. ἐπεὶ γὰρ ἐν κύκλῳ τῷ
5	ΛΞΜ εὐθεῖά τις ἡ ΝΞ εὐθεῖάν τινα τὴν ΛΜ δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, ἐπὶ τῆς ΝΞ ἄρα ἐστὶ τὸ κέν‐ τρον τοῦ ΛΞΜ κύκλου. ὑπόκειται δὲ ἡ ΝΞ μείζων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἐπειδὴ καὶ ἡ ΕΖ, καὶ ἀεὶ ἡ ἔγγιον
5	τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων.	276
72	Ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΚ p. 210, 14] ἡ γὰρ ὑπὸ τῶν ΕΖΚ ἐδείχθη ἐλάττων πασῶν τῶν διὰ τοῦ Ζ διαγομένων καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΑΒ γωνίας.
73	Μείζων δὲ ἡ Ο p. 212, 1] τριγώνου γὰρ τοῦ ΛΡΠ ἐκτός ἐστι, καὶ ἡ πρὸς τῷ Ο ἄρα μείζων ἐστὶ τῆς πρὸς τῷ Π. καί ἐστι ἡ μὲν πρὸς τῷ Ο ἴση τῇ ὑπὸ ΗΕΘ, ἡ δὲ πρὸς τῷ Π ἴση τῇ ὑπὸ ΑΕΒ.
74-75t	Ad prop. 38
74	Τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου κειμένου.
75	Ὁμοίως δέ, κἂν ἀπὸ τοῦ Γ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἀνασταθῇ εὐθεῖα, ἐπὶ δὲ ταύτης τὸ ὄμμα τεθῇ, καὶ μετακινῆται τὸ ὁρώμενον μέγεθος κατὰ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας παράλληλον ὂν τῇ εὐθείᾳ, ἐφ’ ἧς τὸ ὄμμα,
5	ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται.
76-79t	Ad prop. 40
76	Λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κτλ. p. 220, 2] τουτέστιν· ὅταν ἡ ΔΖ τὴν θέσιν ἐν τῷ κύκλῳ ταύτην σχοίη, ἐλάττων ὀφθήσεται ἤπερ, ὅτε ἦν ἀναστᾶσα μὴ πρὸς
20	ὀρθάς.	277
77	Δῆλον, ὅτι πρότερον δεῖ δεῖξαι p. 220, 12] εἰ γὰρ τοῦτο δειχθῇ, ὅτι ἐλάσσων ἡ ὑπὸ ΒΕΑ γωνία τῆς ὑπὸ ΖΕΔ γωνίας, γνώριμον τὸ ζητούμενον ὡς διὰ τῶν ὅρων.
78	Ἀλλὰ δὴ ἔστω p. 222, 21] ἐπεὶ εἶπεν, ὅτι· ἤτοι δὲ ἡ ΔΖ μείζων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἢ ἴση ἢ ἐλάσσων, ὑπέθετο δὲ αὐτὴν μείζονα καὶ ἔδειξε τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ΔΖ ἔλασσον, νῦν ὑποτίθεται τὴν ΔΖ ἴσην τῇ ἐκ
5	τοῦ κέντρου καὶ δείκνυσι πάλιν τὸ ΑΒ μέγεθος ἔλασσον τοῦ ΔΖ μεγέθους, ἐν δὲ τῷ ἐφεξῆς ὑποτίθεται τὴν ΔΖ ἐλάσσονα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου καὶ πάλιν δείκνυσι τὸ ΑΒ μέγεθος ἔλασσον τοῦ ΔΖ μεγέθους.
79	Ἀπὸ τῆς ΘΝ p. 224, 20] ἐπεὶ γὰρ ἐλάσσων ὑπετέθη τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἡ δὲ ΘΝ ἐκ τοῦ κέντρου, μείζων θέλει εἶναι τῆς ΖΔ τῆς ἐλάσσονος.
80-82t	Ad prop. 41
80	Ὡς ἐπὶ τῶν ἄστρων.
81	Τὸ αὐτὸ δὲ συμβήσεται, καὶ εἰ τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου μένει, τὸ δὲ ὁρώμενον ἐπὶ τῆς περιφερείας μεταβαίνει.
82	Ἔστι τις τόπος, οὗ τοῦ ὄμματος μεθισταμένου,
82	τῶν δὲ ὁρωμένων ἴσων μενόντων καὶ πρὸς ὀρθὰς τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, ποτὲ μὲν ἴσα, ποτὲ δὲ ἄνισα φαίνεται.	278
5	ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ὄντα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ. λέγω, ὅτι ἔστι τις τόπος, οὗ τοῦ ὄμματος μεθισταμένου, τοῦ δὲ ὁρωμένου μένοντος, τὰ ΑΒ, ΓΔ ποτὲ μὲν ἴσα, ποτὲ δὲ ἄνισα φαίνεται. ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΒΔ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἤχθω
10	πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἡ ΕΖ. λέγω, ὅτι, ἐὰν ἐπὶ τῆς ΕΖ τὸ ὄμμα τεθῇ, τὰ ΑΒ, ΓΔ ἴσα φαίνεται. κείσθω γὰρ ἐπὶ τοῦ Ζ, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΖ, ΖΑ, ΖΓ, ΖΔ. ἴση ἄρα ἡ ΒΖ τῇ ΖΔ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ ὑπόκειται ἴση· δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΖ δυσὶ ταῖς
15	ΓΔ, ΔΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν· βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν. ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΔ τῇ ὑπὸ ΔΖΓ ἴση. ὥστε τὰ ΑΒ, ΓΔ ἴσα ὀφθήσεται. μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Η. λέγω, ὅτι ἄνισα ὀφθήσεται. προσπιπτέτωσαν
20	ἀκτῖνες αἱ ΗΒ, ΗΑ, ΗΓ, ΗΔ. μείζων ἄρα ἡ ΒΗ τῆς ΗΔ. ἀφῃρήσθω οὖν ἀπὸ τῆς ΗΒ τῇ ΗΔ ἴση ἡ ΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΘ. ἴση ἄρα γωνία ἡ ὑπὸ ΒΘΑ τῇ ὑπὸ ΓΗΔ. ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΒΘΑ τῆς ὑπὸ ΑΗΘ μείζων· ἐκτὸς γάρ· καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΔ ἄρα τῆς ὑπὸ
25	ΒΗΑ μείζων. ὥστε καὶ ἡ ΓΔ μείζων τῆς ΑΒ φα‐ νήσεται.
83-84t	Ad prop. 43
83	Ἐφάψεται δή p. 228, 24] ἐὰν γὰρ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς μέσης, καὶ διὰ τοῦτο διὰ τὸ λδʹ τοῦ γʹ τῆς Ἐπιπέδου
83	ἐφάπτεται.	279
84	Ἄλλως τὸ νʹ. ἔστω ὁρώμενον μέγεθος τὸ ΚΔ, εὐθεῖα δὲ πλαγία ἔστω ἡ ΒΓ, καὶ προσεκβεβλήσθω ἐπ’ εὐθείας τῇ ΔΚ ἡ ΚΓ καὶ συμβαλλέτω τῇ ΒΓ κατὰ τὸ Γ, καὶ εἰλήφθω
5	τῶν ΔΓ, ΓΚ μέση ἀνάλογον ἡ ΓΖ, καὶ ἔστω τὸ ὄμμα τὸ Ζ, καὶ μετακεκινήσθω τὸ ὄμμα τὸ Ζ καὶ ἔστω ἐπὶ [Omitted graphic marker] τῆς αὐτῆς εὐθείας τὸ Β. λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν Ζ, Β ὁρώμενον ἄνισον
10	φανήσεται. ἐπεζεύχθω‐ σαν εὐθεῖαι αἱ ΚΖ, ΖΔ, ΚΒ, ΒΔ, καὶ γε‐ γράφθω περὶ τὸ ΚΖΔ τρίγωνον τμῆμα κύκλου τὸ ΚΖΔ, καὶ κείσθω τῇ ὑπὸ
15	τῶν ΓΒΔ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΓΚΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΔ. ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὸ τὸ ΔΚΗΒ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἡ ὑπὸ ΚΖΔ τῆς ὑπὸ ΚΗΔ· ἐπιζευχθείσης γὰρ τῆς ΟΚ φανερὸν τοῦτο· ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΚΗΔ τῇ ὑπὸ ΚΒΔ, ἐπειδήπερ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματί ἐστιν, καὶ ἡ
20	ὑπὸ ΚΖΔ ἄρα τῆς ὑπὸ ΚΒΔ μείζων ἐστίν. ἔχομεν γάρ· τῶν ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὥστε καὶ τὸ ἀντίστροφον· ἐὰν τετραπλεύρου αἱ ἀπεναντίον δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ὦσιν, ἐν κύκλῳ ἐστὶ τὸ τετράπλευρον, ὡς
25	δείξομεν. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΓΚΗ ἴση τῇ ὑπὸ ΓΒΔ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΗΚΔ· αἱ ὑπὸ ΓΚΗ ἄρα ΗΚΔ ταῖς ὑπὸ ΗΚΔ, ΗΒΔ ἴσαι. ἀλλ’ αἱ ὑπὸ ΓΚΗ, ΗΚΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· καὶ αἱ ὑπὸ ΗΚΔ, ΗΒΔ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ὥστε καὶ αἱ λοι‐	280
30	παί. ὅτι δέ, ἐὰν τετραπλεύρου αἱ ἀπεναντίον δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ὦσιν, ἐν κύκλῳ ἐστὶ τὸ τετράπλευρον, δέ‐ δεικται ἐν τῷ ὑπομνήματι.
85-86t	Ad prop. 45
85	Τὸ αὐτὸ τῷ νβʹ. ἔστι τις τόπος κοινός, ἐν ᾧ τοῦ ὄμματος τεθέντος τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισα φαίνεται. ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β
5	πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΔ καὶ ἐκβεβλήσθω. λέγω, ὅτι καθ’ ὁποιονοῦν τῆς ΒΔ μέρος τεθῇ τὸ ὄμμα, τὰ ΑΒ, ΒΓ ἴσα φαίνεται. καί ἐστι αὐτόθεν δῆλον. μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Ε. λέγω, ὅτι ἀπὸ τοῦ Ε ἄνισα φαίνεται. προσπιπτέτωσαν γὰρ ἀκτῖνες αἱ ΑΕ,
10	ΕΒ, ΕΓ, καὶ γεγράφθω περὶ τὸ ΑΓΕ τρίγωνον κύκλος, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΒ ἐπὶ τὸ Η. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ, μείζων δὲ ἡ ΓΕ τῆς ΑΕ, μείζων ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῆς ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΓ. μείζων ἄρα φανήσεται ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ. ὡσαύτως δέ,
15	κἂν μὲν ἐπὶ τῆς ΒΖ τεθῇ, ἴσα φαίνεται, ἐὰν δὲ ἐπὶ τῆς ΒΗ, ἄνισα. ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων τοῦ κύκλου μερῶν χωρὶς τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐὰν τεθῇ τὸ ὄμμα,
15	ἄνισα φαίνεται.	281
86	Ὅτι δὲ δυνατὸν τέμνεσθαι τὸ ἡμικύκλιον ὑπὸ τοῦ μείζονος τμήματος καὶ ποῦ, οὕτως ἔσται δῆλον· ἔστωσαν ἴσαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ περιγεγράφθω ἡμικύκλιον περὶ τὸ ΑΒ τὸ ΑΘΒ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΓ [Omitted graphic marker]
5	καὶ τῷ Β σημείῳ γωνία ὀξεῖα ἡ ὑπὸ ΓΒΔ, πρὸς δὲ τῷ Γ ἴση τῇ Β ἡ Γ, καὶ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ ΑΘΒ, ὅ ἐστι τὸ Ε, ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ, καὶ κείσθω τῇ ΒΖ περιφερείᾳ ἴση ἡ ΖΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΘ, ΘΕ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΘΕ
10	τῇ ΕΒ ἴση, κοινὴ δὲ ἡ ΕΔ, καὶ γωνίας ἴσας περι‐ έχουσιν, ἐπεὶ καὶ ἡ ΘΖ περιφέρεια τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση, ἴση ἄρα ἡ ΘΔ τῇ ΔΒ. ἡ δὲ ΔΒ τῇ ΔΓ· ὥστε ὁ κέντρῳ τῷ Δ, διαστήματι δὲ τῷ ΔΘ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὸ ἡμικύκλιον καὶ διὰ τοῦ Β ἐλεύσεται.
87-88t	Ad prop. 49
87	Ἐκ τοῦ θεωρήματος φανερώτερον γίνεται τῷ
87	συμπίπτειν αὐτά.	282
88	Φερομένων ὡς ἵππων τυχὸν ἀπὸ τῶν ἀριστε‐ ρῶν ἐπὶ τὰ δεξιά.
89t	Ad prop. 50
89	Οἷον πλοίων.
90t	Ad prop. 51
90	Ὡς ἐπὶ τοίχων.
91t	Ad prop. 53
91	Τῶν ἴσῳ τάχει φερομένων τὰ πόρρω δοκεῖ βραδύτερον φέρεσθαι. [Omitted graphic marker] φερέσθω γὰρ δύο σημεῖα τὰ Α, Β ἐπὶ παραλλήλων εὐθειῶν τῶν ΑΔ,
5	ΒΕ ὁμαλῶς· τὰς ἴσας ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ διελεύσεται. ἔστωσαν οὖν ἴσαι αἱ ΑΔ, ΒΕ, καὶ προσ‐ πιπτέτωσαν ἀκτῖνες ἀπὸ τοῦ Ζ ὄμματος αἱ ΖΑ, ΖΔ, ΖΕ. ἐπεὶ
10	οὖν ἐλάττων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΖΔ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΖΕ, ἔλαττον ἄρα τὸ ΑΔ διάστημα τοῦ ΒΕ φανήσεται. ὥστε δόξει
10	τὸ Α βραδύτερον φέρεσθαι τοῦ Β.	283
92t	Ad prop. 54
92	Ἔστω ὁρώμενα τὰ Α, Γ ἐπὶ παραλλήλων ὄντα τῶν ΑΒ, ΓΔ εὐθειῶν. λέγω, ὅτι τὸ πόρρω τὸ Α [Omitted graphic marker] καταλείπεσθαι δόξει. ἔστω γὰρ ὄμμα τὸ Ε, ἀφ’ οὗ προσπιπτέτω‐
5	σαν ἀκτῖνες αἱ ΕΓ, ΕΑ, ΕΔ, ΕΒ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΕΔ τῆς ὑπὸ ΑΕΒ, μεῖζον ἄρα καὶ τοῦ ΑΒ τὸ ΓΔ φανή‐ σεται. ὑπολείπεται ἄρα τὸ Α·
10	δοκεῖ γὰρ βραδύτερον φέρεσθαι.	284

1-3t

1

2

3

4-6t

4

5

6

7t

7

8-12t

8

9

10

11

12

13-14t

13

14

15-17t

15

16

17

18-19t

18

19

20-21t

20

21

22-26t

22

23

24

25

26

27-28t

27

28

29t

29

30t

30

31t

31

32t

32

33-35t

33

34

35

36t

36

37-38t

37

38

39-43t

39

40

41

42

43

44t

44

45-48t

45

46

47

48

49t

49

50-51t

50

51

52-53t

52

53

54-56t

54

55

56