SCHOLIA IN EUCLIDEM :: Scholia in Euclidis data (scholia vetera)

TLG 5022 002 :: *SCHOLIA IN EUCLIDEM* :: Scholia in Euclidis data (scholia vetera) SCHOLIA IN EUCLIDEM Schol. (Varia) Cf. et PROCLUS Phil. (4036 011) Scholia in Euclidis data (scholia vetera) Source: Menge, H. (ed.), Euclidis opera omnia, vol. 6. Leipzig: Teubner, 1896: 261–319, 323–336. Scholia: pp. 261–319 Appendix scholiorum: pp. 323–336 Cf. et 5022 007 Citation: Section — scholion — (line)

sch 1-4t	Ad definitiones
sch 1	Τῶν δεδομένων τὰ μὲν θέσει ἐστὶ δεδομένα, τὰ δὲ μεγέθει, τὰ δὲ καὶ θέσει καὶ μεγέθει.
sch 2	Τὸ δεδομένον λέγεται τετραχῶς· ἢ γὰρ μεγέθει ἢ εἴδει ἢ λόγῳ ἢ θέσει δεδόσθαι λέγεται. καὶ τί μὲν τούτων ἕκαστον σημαίνει, αὐτὸς σαφῶς διδάσκει. κοι‐ νῶς δὲ λέγεται δεδομένον, ᾧ δυνατόν ἐστιν ἴσον
5	εὑρεῖν τε καὶ πορίσασθαι.
sch 3	Τὴν τῶν δεδομένων πραγματείαν ἐν ἑνὶ ἐπι‐ πέδῳ κειμένων ὑποθετέον, ὥσπερ καὶ τὰ πρῶτα ἓξ τῆς
sch 3	στοιχειώσεως βιβλία.	261
sch 4	Δεδομένα ἐστὶ τὰ ὡρισμένα, τουτέστιν ὧν τὰ πέρατα δέδοται εἴτε διανοίᾳ εἴτε αἰσθήσει· τούτοις γὰρ δυνάμεθα ἴσα πορίσασθαι ὁμοίως εἴτε διανοίᾳ εἴτε αἰσθήσει. δύναται δὲ καὶ ῥητὸν καὶ ἄλογον δεδο‐
5	μένον εἶναι, ὡς λέγει Πάππος ἐν ἀρχῇ τοῦ εἰς τὸ ιʹ Εὐκλείδου· τὸ μὲν γὰρ ῥητὸν καὶ δεδομένον ἐστίν, οὐ πάντως δὲ καὶ τὸ δεδομένον ῥητόν ἐστιν.
sch 5t	Ad def. 5.
sch 5	Ἵνα ᾖ ὡρισμένος τῷ μεγέθει.
sch 6t	Ad def. 6.
sch 6	Ἵνα καὶ τῷ τόπῳ καὶ τῷ μεγέθει ὡρισμένος ᾖ.
sch 7t	Ad def. 8.
sch 7	Ταῦτα ὡς ἐπὶ ἑνὸς ἐπιπέδου ἀκουστέον.
sch 8t	Ad def. 9.
sch 8	Τῷ γὰρ ἀφαιρεθέντι τὸ τὴν ἀφαίρεσιν ὑπο‐ μεῖναν μεῖζόν ἐστιν.
sch 9t	Ad def. 10.
sch 9	Τὸ μὲν πρὸ αὐτοῦ ἀπὸ τοῦ μείζονος, ἐνταῦθα
sch 9	δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάττονος.	262
sch 10t	Ad deff. 9—10.
sch 10	Τὰ ϛ τῶν δ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν· τοῖς γὰρ δύο· καὶ τὰ δ τῶν ϛ δοθέντι ἔλαττόν ἐστιν· τοῖς γὰρ δύο πάλιν δεδομένοις.
sch 11t	Ad def. 11.
sch 11	Τὸ ἢ ἐν λόγῳ ἀντὶ τοῦ παρ’ ὃ ἐν λόγῳ. ἔχει δὲ τὴν ἀναφορὰν πρὸς τὸ μεῖζον· παρὰ τοσοῦτον γὰρ οὐκ ἔχουσι λόγον δοθέντα τὰ δύο μεγέθη, παρ’ ὅσον ὑπερέχει τὸ ἓν τοῦ ἑτέρου δοθέντι τινὶ μεγέθει, οὗ
5	ἀφαιρεθέντος εὑρίσκεται καὶ ὁ δεδομένος λόγος τῶν δύο μεγεθῶν. εἰ μὲν γὰρ λείπει τὸ ἢ ἐν λόγῳ, ἀφ‐ αιρεθέντος τοῦ ὑπερέχοντος ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ λοι‐ πὸν πρὸς τὸ ἕτερον ἴσον ἐστίν. εἰ δὲ πρόσκειται τὸ ἢ ἐν λόγῳ, ἀφαιρεθέντος τοῦ ὑπερέχοντος οὐκέτι τὸ
10	λοιπὸν πρὸς τὸ ἕτερον ἴσον, ἀλλ’ ἔχει τινὰ λόγον. μεῖζον οὖν ἐστι τὸ ἓν μέγεθος τοῦ ἑτέρου ἢ ὥστε ποιῆσαι λόγον. ἐὰν οὖν ἡ ὑπεροχὴ δεδομένη ᾖ, καὶ ὁ λόγος δεδομένος ἐστίν.
sch 12t	Ad def. 12.
sch 12	Ἀπὸν γὰρ τὸ προστεθὲν ἐλυμαίνετο τὴν σχέσιν
sch 12	τοῦ δεδομένου λόγου.	263
sch 13t	Ad deff. 13—15.
sch 13	Τούτους Ἀπολλωνίου φασὶν εἶναι τοὺς τρεῖς ὅρους.
sch 14t	Ad def. 13.
sch 14	Τουτέστιν ἀκίνητον, ἵνα ὁμολογουμένη μοι ᾖ ὁποία ἐστὶν ἡ γωνία.
sch 15-18t	Ad prop. 1
sch 15	Εἰδέναι δεῖ, ὡς, ἔνθα ὁ φιλόσοφος λέγει ἀπο‐ λελυμένως δεδομένα μεγέθη, μεγέθει δεδόσθαι ση‐ μαίνει.
sch 16	Ὁ λόγος τοῦ πόσου διακόλουθος, ἡ θέσις δὲ οὐ διὰ τοῦ πόσου, ἀλλὰ τοῦ κεῖσθαι.
sch 17	P. 6, 2] δέδοται καὶ τὸ Γ διὰ τὸ ἀντιστρό‐ φιον τοῦ ὅρου. (l. 4) ὁμοίως καὶ τὸ Δ· ὁ αὐτὸς γὰρ αὐτῷ πεπόρισται ἐν δεδομένοις μεγέθεσι τοῖς Γ καὶ Δ.
sch 18	Ὁ αὐτὸς γάρ p. 6, 8] διὰ τοὺς ὅρους· λόγος δεδόσθαι λέγεται, ᾧ δυνάμεθα τὸν αὐτὸν πορίσασθαι.
sch 19-23t	Ad prop. 2
sch 19	Τῶν μὲν δεδομένων μεγεθῶν καὶ ὁ λόγος ὁ
sch 19	πρὸς ἄλληλα δέδοται· οὐκέτι δέ, εἰ τῶν μεγεθῶν ὁ πρὸς ἄλληλα λόγος δέδοται, καὶ ταῦτα πάντως δέδοται τὰ μεγέθη. πολλάκις γὰρ ὁ μὲν λόγος αὐτῶν δέδοται,	264
5	αὐτὰ δὲ οὐ δέδοται.
sch 20	Τοῦτο ἀντίστροφόν ἐστί πως τοῦ πρὸ αὐτοῦ. οὐ γὰρ δὴ καθόλου ῥητέον αὐτὸ ἀντίστροφον. ἦν γὰρ ἂν τὸ ἀντίστροφον τὸ καθόλου ὄν· ἐὰν μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον, δέδοται τῷ μεγέθει. τινὲς
5	δὲ τὸ θεώρημα ψευδογραφοῦντες ἐπείγονται δεικνύειν ἀντίστροφον αὐτὸ τοῦ πρὸ αὐτοῦ καί τί φασιν ὡς· ἐὰν μεγέθη τινὰ λόγον ἔχῃ πρὸς ἄλληλα δεδομένον, δέδοται τῷ μεγέθει.
sch 21	Καὶ ἔστω ὁ τοῦ Γ p. 6, 20] δέδοται καὶ ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ Δ λόγος διὰ τὸ ἀντίστροφον τοῦ ὅρου. δέδοται δὲ τοῦ Α πρὸς τὸ Γ λόγος διὰ τοῦ αʹ. δέ‐ δοται δὲ καὶ τοῦ Β πρὸς τὸ Δ λόγος διὰ τὸ ἀντι‐
5	στρόφιον τοῦ ὅρου. ἴσον γὰρ αὐτῷ τῷ Β τὸ Δ πεπόρισται ἐν δεδομένῳ λόγῳ.
sch 22	Ἴσον ἄρα p. 6, 23] διὰ τοῦ θʹ τοῦ εʹ. χρὴ δὲ γινώσκειν, ὅτι τὰ ἴσα καὶ τὸ αὐτὸ λέγειν ἕν ἐστιν. ὃ γάρ ἐστιν ἴσον τινί, καὶ τὸ αὐτό ἐστιν ἐκείνῳ κατὰ τὴν ἰσότητα. οὐκ ἀντιστρέφει δέ· οὐ γὰρ ὅπερ ἐστὶ
5	τὸ αὐτό τινι, καὶ ἴσον ἐστὶν ἐκείνῳ· δύναται γὰρ καὶ
5	κατὰ ποιότητα τυχὸν τὸ αὐτὸ εἶναι.	265
sch 23	Ἐὰν λέγῃ ὅτι δέδοται ἄρα, δῆλον, ὅτι τῷ με‐ γέθει αὐτῷ δεδόσθαι λέγει. ἐὰν δεδομένον ᾖ τῷ εἴδει, λέγει ὅτι δέδοται ἄρα τῷ εἴδει. ἐὰν δεδομένον ᾖ τῇ θέσει, λέγει ὅτι δέδοται ἄρα τῇ θέσει. σπανίως πάνυ,
5	ἐὰν ᾖ δεδομένον τῷ μεγέθει, λέγει ὅτι δέδοται ἄρα τῷ μεγέθει.
sch 24t	Ad prop. 3
sch 24	Ὅλον ἄρα p. 8, 11] ἐὰν γὰρ ἴσα ἴσοις προσ‐ τεθῇ, τὰ πάντα ἐστὶν ἴσα.
sch 25-26t	Ad prop. 4
sch 25	Καὶ τοῦτο ἀντιστρόφιόν ἐστί πως τοῦ πρὸ αὐτοῦ· τὸ γὰρ κυρίως ἀντιστρόφιον ἦν· ἐὰν δεδομένον μέγεθος εἰς ὁποσαοῦν διαιρεθῇ, καὶ ἕκαστον τῶν, εἰς ἃ διῄρηται, δεδομένον ἐστίν.
sch 26	Λοιπὸν ἄρα p. 8, 24] ἐὰν γὰρ ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ λοιπά ἐστιν ἴσα.
sch 27-32t	Ad prop. 5
sch 27	Οἷον ὁ ιε πρὸς ἑαυτοῦ μέρος τὸν ι λόγον ἔχει τὸν ἡμιόλιον, καὶ πρὸς τὸν λοιπὸν τὸν ε λόγον ἔχει τὸν τριπλασίονα.
sch 28	Τοῦτο ἔοικε τῷ καὶ ἀντιστρέψαντι λόγον ἔχειν
sch 28	δεδομένον.	266
sch 29	Ὁ αὐτὸς αὐτῷ πεπορίσθω p. 10, 10] δυνατὸν γὰρ τριῶν δοθέντων μεγεθῶν τέταρτον ἀνάλογον εὑρεῖν.
sch 30	Λόγος ἄρα τοῦ ΔΖ p. 10, 14] τῶν γὰρ δεδο‐ μένων μεγεθῶν ὁ λόγος πρὸς ἄλληλα δέδοται.
sch 31	Ἀναστρέψαντι ἄρα p. 10, 16] διὰ τοῦ ὅρου τοῦ εου ἀναστροφὴ λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὴν ὑπεροχήν, ᾗ ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου.
sch 32	Λόγος ἄρα καί p. 10, 19] ἴσον γὰρ αὐτῷ ἐπορίσαμεν τὸν τοῦ ΔΖ πρὸς ΖΕ.
sch 33-34t	Ad prop. 6
sch 33	Ὁ ἄρα τοῦ ΔΕ πρὸς ΕΖ p. 12, 5] ὁ γὰρ αὐτὸς αὐτῷ ἐστιν ὁ τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΒ.
sch 34	Λόγος ἄρα τοῦ ΔΖ πρὸς ἑκάτερον p. 12, 8—9] ὁ γὰρ αὐτὸς αὐτῷ πεπόρισται ὁ τοῦ ΔΖ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΕ, ΕΖ.
sch 35-36t	Ad prop. 7
sch 35	Λόγος ἄρα καί p. 12, 24] διὰ τοῦ ϛʹ τῶν Δεδομένων.
sch 36	Δοθὲν ἄρα καὶ ἑκάτερον p. 14, 1] διὰ τοῦ βʹ τῶν αὐτῶν. ἐπεὶ γὰρ μέγεθός τι τὸ ΑΒ δοθὲν λόγον ἔχει πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΓΒ ὡς πρὸς ἄλλα τινὰ
sch 36	ἄρα καὶ ἑκάτερον ἐκείνων ὡς ἄλλο τι δέδοται.	267
sch 37-39t	Ad prop. 8
sch 37	Οἱ τῷ αὐτῷ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί.
sch 38	Πάλιν, ἐπεί p. 14, 12] ἐπεὶ γὰρ δέδοται ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ Β λόγος, δέδοται ἄρα καὶ ὁ τοῦ Β πρὸς τὸ Γ λόγος.
sch 39	Δι’ ἴσου ἄρα p. 14, 18] δι’ ἴσου λόγος ἐστίν:~ ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ πλειόνων ὄντων καὶ ἄλλων ἴσων τὸ πλῆθος, ὅταν ὡς τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν, οὕτως τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον
5	ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν.
sch 40t	Ad prop. 9
sch 40	Ὡς ἐκ περιουσίας ἔχων τὸ αὐτὸ δεικνύμενον, ἢν ὁ λόγος ὁ τῶν προτεθέντων πρὸς τὰ τυχόντα με‐ γέθη ὁ αὐτὸς ᾖ, ὅτι καὶ τὰ τυχόντα λόγον ἕξει δεδο‐ μένον, παρῆκεν ἐπὶ τούτου γυμνάσαι τὸ πρόβλημα.
sch 41-52t	Ad prop. 10
sch 41	P. 16, 18 Ἐνταῦθα συνεπεράνθη τὸ πρῶτον μέρος τῆς προτάσεως.
sch 42	Ἐνταῦθα ἄρχεται τὸ δεύτερον μέρος τῆς προ‐ τάσεως. τὸ δεύτερον μέρος τῆς προτάσεως πάλιν ὑπο‐ διαιρεῖται. τὸ οὖν πρῶτον μέρος τῆς ὑποδιαιρέσεως
sch 42	συνεπεράνθη ἐνταῦθα.	268
sch 43	Καὶ τὸ συναμφότερον p. 16, 24] τουτέστι καὶ συνθέντι δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
sch 44	Ἔστω μέγεθος τὸ ι καὶ ἕτερον κγ, δοθέντα δὲ ἔστω τὰ γ καὶ συναμφότερα τὰ λγ τὴν ι τοῖς δοθεῖσι [Omitted graphic marker] γδ ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ. ἀφαιρείσθω ἴσους
5	τῶν δοθέντων τῶν γα τὰ ι πρὸς τὰ κ δοθέντα, οἷον ὡς νῦν τῶν β λό‐ γων, ὡς καὶ ἐν τοῖς ὅροις εἴρηται.
sch 45	Τοῦτο τὸ σχόλιόν ἐστι τοῦ ι θεωρήματος, ὅπου σημεῖον τόδε ϝ. οἷον μέγεθος τὸ ΑΒ καθ’ ὑπόθεσιν κγ μεγέθους τοῦ ΒΓ ὄντος καθ’ ὑπόθεσιν ι δοθέντι μεῖζον ἔστω
5	ἢ ἐν λόγῳ. καὶ ἔστω δοθὲν τὸ ΑΔ ὂν γ. ἐὰν οὖν ἀπὸ τοῦ ΑΒ τοῦ κγ ἀφέλω τὸ δοθὲν τὸ ΑΔ τὰ γ, τὸ λοιπὸν τὸ ΔΒ τὰ κ πρὸς τὸ ΒΓ τὰ ι λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις εἰρημένον· τῷ γὰρ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ. τοῦτο δηλοῖ καὶ δείκνυσι
10	λοιπόν, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ δο‐ θέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
10	ἀλλὰ δὴ συναμφότερον τὸ ΑΓ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ. τὸ δὴ δοθὲν ἤτοι ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒ ἢ ἔλαττον ἢ μεῖζον. ἐὰν μὲν οὖν	269
15	τὸ δοθὲν ἴσον ᾖ τῷ ΑΒ, ὄντος καθ’ ὑπόθεσιν τοῦ ΑΓ οἷον η, τοῦ δὲ αὐτοῦ τοῦ ΒΓ ὄντος δ, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΓ τοῦ η ἀφέλω τὸ δοθὲν τὸ ΑΒ οἷον δ, τὸ λοιπὸν τὸ ΒΓ τὰ δ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ τὰ δ λόγον [Start of a diagram]ὅλη ἡ ΑΓ μονάδων κ.
20	ὅλη ἡ μὲν ΑΓ μονάδων ἐστὶ(ν) ιη, ἡ δὲ ΒΓ η, ἡ δὲ ΑΔ δύο.[End of a diagram] ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις εἰρημένον. ὁμοίως καὶ δείκνυσι, καὶ ὅτι λοιπὸν τὸ ΑΒ. ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ ΑΓ ἀφέλω τὸ ΒΓ, τὸ λοιπόν ἐστι τὸ ΑΒ. δείκ‐
25	νυσιν οὖν, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ. μετὰ γὰρ τὸ
25	ἀφαιρεθῆναι καὶ αὐτοῦ τὸ ΑΔ δοθέν, τὸ λοιπὸν τὸ ΔΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δεδομένον. πάλιν συν‐ αμφότερον τὸ ΑΓ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖζον	270
30	ἔστω ἢ ἐν λόγῳ, καὶ ἔστω τὸ δοθὲν ἔλασσον τοῦ ΑΒ τὸ ΑΔ καὶ ἔστω τὸ β. ἐὰν οὖν ὄντος καθ’ ὑπόθεσιν τοῦ ΑΓ οἷον ιη, τοῦ δὲ ΒΓ ὄντος η, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΓ τῶν ιη ἀφέλω τὸ ΑΔ τὰ β, τὸ λοιπὸν τὸ ΔΓ τὰ ιϛ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ τὰ η λόγον ἔχει δεδομένον
35	διὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις εἰρημένον. ὁμοίως καὶ δείκνυσι λοιπόν, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒ τὰ ι πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ τὰ η λόγον ἔχει δεδομένον. καὶ διὰ τοῦτο καὶ τὸ λοιπὸν τὸ ΑΒ τὰ ι τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΒΓ τῶν η δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ· ἐὰν γὰρ ἀφέλω καὶ ἀπὸ τοῦ
40	ΑΒ τῶν ι τὸ ΑΔ δοθὲν τὰ β, τὸ λοιπὸν τὸ ΔΒ τὰ η πρὸς τὸ ΒΓ τὰ η λόγον ἔχει δοθέντα· τὸν γὰρ ἴσον. πάλιν συναμφότερον τὸ ΑΓ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ· καὶ ἔστω τὸ δοθὲν μεῖζον τοῦ ΑΒ τὸ ΑΕ καὶ ἔστω ιδ. ἐὰν οὖν ὄντος καθ’ ὑπόθεσιν τοῦ ΑΓ
45	οἷον ιη, τοῦ δὲ ΒΓ οἷον η, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΓ τοῦ ιη ἀφέλω τὸ ΑΕ τὰ ιδ, τὸ λοιπὸν τὸ ΕΓ τὰ δ πρὸς τὸ
45	αὐτὸ τὸ ΓΒ τὰ η λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις εἰρημένον. ὁμοίως καὶ διὰ τούτου δείκνυσιν, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒ μετὰ τοῦ ΒΕ· τὸ γὰρ ΒΕ ἐστιν,	271
sch 45 (50)	πρὸς ὃ τὸ ἕτερον τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δεδομένον· δοθέν ἐστιν· ὅλον γὰρ τὸ ΑΕ δοθέν ἐστιν.
sch 46	Λοιποῦ ἄρα τοῦ ΔΒ p. 18, 4—5] τοῦτο τὸ σχό‐ λιον τοῦ ιʹ θεωρήματος, ὅπου σημεῖον τόδε Ρ. πῶς λέγει· λοιποῦ τοῦ ΔΒ πρὸς ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς; ἐπεὶ γὰρ τοῦ ΔΓ πρὸς τὸ ΓΒ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔσται τοῦ
5	ΔΓ καὶ πρὸς τὸ ΔΒ λόγος δοθεὶς διὰ τὸ εʹ, ὥστε καὶ ἑκατέρου τῶν ΔΒ, ΒΓ πρὸς τὸ ΔΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ διὰ τὸ ηʹ καὶ τοῦ ΔΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς.
sch 47	Τὸ ΓΑ ἄρα τοῦ ΓΒ p. 18, 7] ἐπεὶ γὰρ τοῦ ΓΔ λόγος ἀπεδείχθη δοθεὶς πρὸς τὸ ΓΒ, προσκείσθω πάλιν τὸ ἀπ’ ἀρχῆς δοθὲν τὸ ΑΔ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΑ δοθέντι μεῖζόν ἐστι τοῦ ΓΒ ἢ ἐν λόγῳ.
sch 48	Τὸ δὴ δοθέν p. 18, 15] ἐὰν γὰρ ἴσον ὑπάρχῃ τὸ δοθὲν τῷ ΑΒ, τὸ λοιπὸν τὸ ΒΓ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ πάλιν λόγον ἔχει δεδομένον. δύναμαι γὰρ αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι τῷ ἴσῳ λόγῳ, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.
sch 49	Λόγος ἄρα λοιποῦ p. 18, 22] δέδοται γὰρ τὸ
sch 49	ΕΓ διὰ τὸ δʹ θεώρημα. καὶ ἐπεὶ δέδοται ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΑΕ, καὶ ὁ πρὸς ἄλληλα λόγος αὐτῶν δέδοται διὰ τὸ αʹ· ὥστε καὶ τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΕ· ἀλλὰ τοῦ ΑΓ	272
5	πρὸς ΓΒ· καὶ τοῦ ΒΓ ἄρα πρὸς ΓΕ.
sch 50	Μετὰ τοῦ ἑξῆς p. 20, 2] τουτέστι μετὰ τοῦ ΒΕ, πρὸς ὃ τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δοθέντα.
sch 51	Πρὸς ὃ τὸ ΒΓ, τουτέστι πρὸς τὸ ΒΕ.
sch 52	Τὸ γὰρ ΒΓ πρὸς τὸ ΒΕ λόγον ἔχει δοθέντα· τὸ οὖν ΑΒ μετὰ τοῦ ΒΕ δοθέν ἐστιν, ὅλον τὸ ΑΕ.
sch 53-58t	Ad prop. 11
sch 53	Ἔστι δὲ καὶ ὅλου τοῦ ΑΓ p. 20, 20] διὰ τὸ ιβʹ τοῦ εʹ· ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα. ἡγούμενα γάρ εἰσι τό τε ΓΔ καὶ τὸ ΑΔ, ἑπόμενα δὲ
5	τό τε ΔΒ καὶ τὸ ΔΕ. ὡς γοῦν τὸ ΑΔ πρὸς τὸ ΔΕ, οὕτως ὅλον τὸ ΑΓ πρὸς ὅλον τὸ ΕΒ. ὅλον γὰρ τὸ ΑΓ τὰ δύο εἰσὶν ἡγούμενα τό τε ΔΑ καὶ τὸ ΓΔ, καὶ ὅλον τὸ ΕΒ τὰ δύο εἰσὶν ἑπόμενα τότε ΕΔ καὶ τὸ ΔΒ.
sch 54	Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΑΔ πρὸς ΔΕ, οὕτως ὁ ΓΔ πρὸς ΔΒ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ΑΔ πρὸς ΔΓ, οὕτως ΕΔ πρὸς ΔΒ, καὶ συνθέντι ὡς ΑΓ πρὸς ΓΔ, οὕτως ΕΒ πρὸς ΔΒ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ΑΓ πρὸς ΕΒ, οὕτως
5	ΓΔ πρὸς ΔΒ, δέδοται δὲ ὁ τοῦ ΓΔ πρὸς ΔΒ λόγος, δέδοται ἄρα καὶ ὁ τοῦ ΑΓ πρὸς ΕΒ λόγος. μᾶλλον
5	συντομώτερόν ἐστιν οὕτως εἰπεῖν· ὡς ἓν τῶν ἡγουμέ‐ νων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΒ, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπό‐	273
10	μενα, ἡ ΑΓ πρὸς ΕΒ.
sch 55	Τοῦτο τὸ σχόλιον τοῦ ιαʹ θεωρήματος, ὅπου σημεῖόν ἐστι τόδε ☉. ὥσπερ λέγομεν τὰ θ τῶν δ μείζονα ἢ διπλάσια μονάδι, οὕτω λέγομεν καὶ τὸ μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ δοθέντι· οἷον τοῦ ΔΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγον
5	ἔχοντος δεδομένον, ἐὰν ᾖ τὸ ΑΔ δεδομένον, τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ· τοῦ γὰρ ΔΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχοντος δεδομένον καὶ τοῦ ΑΔ δεδομένου ὑπάρχοντος, δεδομένον καὶ ῥητὸν ὂν καὶ ἄλογον, οὐκ ἄρα καὶ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγον
10	ἔχει· ὅτι γὰρ ἄλογόν ἐστι τὸ ΑΔ, οὐ δύναται τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχειν. διὸ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ ΔΒ τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸ ΒΓ δεδομένον τῷ ΑΔ δεδομένῳ. ὁμοίως δὲ καὶ ὡς τὰ ζ τῶν δ ἐλάσσονα λέγομεν ἢ διπλάσια μονάδι, οὕτω λέγομεν καὶ τὸ ἔλασ‐
15	σον ἢ ἐν λόγῳ δοθέντι.
sch 56	Ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω p. 22, 6—7] σχόλιον εἰς
sch 56	τὸ ιαʹ θεώρημα ̅. ἐν τῷ ιαʹ θεωρήματι λαβὼν τὸ ΑΒ μέγεθος συναμφοτέρου τοῦ ΑΓ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ καὶ ἀφελὼν τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΑΕ καὶ	274
5	βουλόμενος δεῖξαι, ὅτι τὸ αὐτὸ τὸ ΑΒ καὶ τοῦ ΒΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγω, λέγει· γεγονέτω γὰρ [Omitted graphic marker] ὡς τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΑΔ πρὸς τὸ ΔΕ. ἐὰν οὖν βουλώμεθα ποιῆσαι ὡς τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΑΔ πρὸς τὸ ΔΕ, κατασκευάσαντες ποιήσο‐
10	μεν οὕτως· ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΑΕ ἴση ἡ ΓΖ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ἴση τῇ ΖΓ, τουτέστιν ἡ ΑΕ, πρὸς τὴν ΕΔ· δῆλον γάρ, ὅτι ποιοῦντες ὡς τὴν ΖΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὴν ΑΕ πρὸς ἄλλην τινά, πρὸς
15	ἐλάσσονα τῆς ΒΕ ποιήσομεν· γεγονέτω οὖν πρὸς τὴν ΕΔ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΔ, συνθέντι ἐστίν, ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΕ. ἴση δὲ ἡ ΖΕ τῇ ΑΓ διὰ τὸ τῇ ΑΕ ἴσην εἶναι τὴν ΓΖ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ
20	πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΕ.
sch 57	Σχόλιον. ὡς συναμφότερον τὸ ΑΕ, ΒΓ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ ΑΕ πρὸς ΑΔ. καὶ ἀνάπαλιν καὶ ὡς τὸ ΑΓ πρὸς συναμφότερον ΑΕ, ΒΓ, οὕτως τὸ ΔΑ πρὸς ΑΕ καὶ ἀναστρέψαντι ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΕΒ,
5	οὕτως τὸ ΑΔ πρὸς ΔΕ δοθείς.	275
sch 58	Ἔσται δὴ καὶ λοιποῦ τοῦ ΓΔ p. 22, 13] ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΔ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ΔΕ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΓΔ πρὸς λοιπὸν τὸ ΔΒ ἐστιν ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΕΒ· δοθεὶς
5	δὲ ὁ τοῦ ΑΓ πρὸς ΕΒ λόγος· δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ τοῦ ΓΔ πρὸς ΔΒ.
sch 59-61t	Ad prop. 12
sch 59	Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη p. 22, 19] κἂν ᾖ δεδομένα κἂν μή.
sch 60	Καὶ λοιπὸν τὸ ΑΕ p. 24, 11] ἐὰν γὰρ ἀπὸ δεδομένου δεδομένον μέγεθος ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν δεδομένον ἔσται.
sch 61	Ἐὰν δὲ μεῖζον ᾖ τὸ ΒΔ τοῦ ΑΓ, θέντες τῷ ΑΓ ἴσον ἀπὸ τοῦ ΒΔ καὶ τὰ αὐτὰ ποιήσαντες δείξο‐ μεν τὸ ΓΔ τοῦ ΑΒ δοθέντι μεῖζον. τοῦτο γὰρ δηλοῖ τὸ ἐν τῇ προτάσει· ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι
5	μεῖζόν ἐστιν.
sch 62-63t	Ad prop. 13
sch 62	Λοιποῦ ἄρα τοῦ ΔΖ p. 24, 25—26, 1] ὡς ἐν τοῖς ὅροις· σύγκειται γὰρ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ.
sch 63	Καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΒ p. 26, 5] ἐὰν γὰρ ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρεθέν,
sch 63	καὶ λοιπὸν πρὸς λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον.	276
sch 64-67t	Ad prop. 14
sch 64	P. 26, 17] κἄν τε ἴσα ᾖ τὰ ΑΕ, ΓΖ κἄν τε ἄνισα.
sch 65	Λόγος ἄρα τοῦ ΕΑ p. 26, 21—22] τῶν γὰρ δεδομένων μεγεθῶν ὁ λόγος πρὸς ἄλληλα δέδοται.
sch 66	Λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΗΒ p. 28, 6—7] διὰ τὸ ιβʹ τοῦ εʹ καὶ διὰ τὸ ἀντιστρόφιον τοῦ ὅρου. ἐπεὶ δέδοται ὁ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΔ λόγος καί ἐστιν ὁ αὐτὸς ὁ τοῦ ΗΑ πρὸς ΖΓ, δέδοται καὶ οὕτως ὁ τοῦ ΗΒ πρὸς ΖΔ.
sch 67	Ἐὰν δὲ ποιήσωμεν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ Γ ὡς ἐπὶ τὸ Ζ, εὑρε‐ θήσεται τὸ ΖΔ τοῦ ΕΒ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ.
sch 68t	Ad prop. 15
sch 68	Τοῦτο ἀντιστρόφιόν πως τοῦ πρὸ αὐτοῦ. δείξας γάρ, ὅτι ἐὰν προστεθῇ δεδομένα μεγέθη τοῖς δεδο‐ μένον ἔχουσι λόγον, νῦν καὶ ἀφαιρῶν τὰ αὐτὰ τῶν αὐτῶν δείκνυσι τὸ αὐτό.
sch 69t	Ad prop. 16
sch 69	Καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΒ p. 30, 23—24] καὶ δῆλον, ὅτι καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΕΔ λόγος
sch 69	ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ ιθʹ τοῦ εʹ τῶν στοιχείων.	277
sch 70-71t	Ad prop. 20
sch 70	Ἀντιστρόφιον τοῦ ιεʹ.
sch 71	Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΕ p. 38, 21] ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ΑΕ πρὸς ΓΖ, οὕτως ΑΗ πρὸς ΓΔ, δῆλον, ὅτι καὶ λοιποῦ τοῦ ΕΗ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ ιθʹ τοῦ εʹ τῶν στοιχείων, καὶ ἐν
5	ἅπασι τοῖς τοιούτοις διὰ τὸ σχόλιον μάλιστα τοῦ ιʹ θεωρήματος, ὅπου σημεῖον τόδε Ρ.
sch 72-76t	Ad prop. 23
sch 72	Ἔσται καὶ λοιποῦ τοῦ ΕΒ p. 42, 21] ἐὰν ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρε‐ θέν, καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον.
sch 73	P. 44, 5] διὰ μὲν τὸ εʹ τούτου τοῦ ΓΔ καὶ πρὸς τὸ ΓΖ λόγος ἐστὶ δοθείς.
sch 74	P. 44, 6] συμπέρασμα· ὥστε τοῦ ΓΔ πρὸς ἕκαστον τῶν ΓΖ, ΖΔ λόγος δοθείς· ἔστι δὲ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΖ λόγος δοθείς· καὶ τοῦ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ ΓΖ λόγος ἐστὶ δοθεὶς καὶ πρὸς τὸ ΖΔ.
sch 75	Ὥστε πάντων πρὸς πάντα p. 44, 8] ὥστε
sch 75	καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς ΑΕ καὶ ΕΒ μέρη αὐτοῦ λόγος δοθείς, καὶ πάλιν τοῦ ΑΕ πρὸς πάντα καί ἐστι τοῦ ΕΒ πρὸς πάντα.	278
sch 76	Ἐπεὶ οὖν συνήχθη ὁ τοῦ ΓΖ πρὸς ΖΔ λόγος δοθείς, κεῖται δὲ καὶ τοῦ ΕΒ πρὸς ΖΔ λόγος δοθείς, καὶ τοῦ ΓΖ ἄρα πρὸς ΕΒ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ ηʹ. πάλιν ἐπεὶ ὁ τοῦ ΑΕ πρὸς ΕΒ λόγος ἐστὶ δοθείς, ὡς
5	ἐδείχθη, κεῖται δὲ καὶ ὁ τοῦ ΕΒ πρὸς ΖΔ λόγος δο‐ θείς, καὶ ὁ τοῦ ΑΕ ἄρα πρὸς ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ ηʹ. καὶ ἐπεὶ τὰ ΑΕ, ΕΒ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον, καὶ τὸ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΕ, ΕΒ λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ϛʹ. ὁμοίως
10	δὲ καὶ τὸ ΓΔ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΓΖ, ΖΔ λόγον ἔχει δεδομένον. καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ λόγον ἔχει δεδομένον, ἔχει δὲ καὶ τὸ ΓΔ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΓΖ, ΖΔ λόγον δεδομένον, καὶ τὸ ΑΒ ἄρα πρὸς ἑκά‐ τερον τῶν ΓΖ, ΖΔ λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ηʹ.
15	ὁμοίως δὲ καὶ τὸ ΓΔ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΕ, ΕΒ λόγον ἔχει δεδομένον· ὥστε πάντα πρὸς πάντα λόγους ἔχει δεδομένους.
sch 77-80t	Ad prop. 24
sch 77	Εἰλήφθω τῶν Δ, Ζ p. 44, 20] δύο δοθεισῶν εὐθειῶν μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν.
sch 78	Δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ζ p. 44, 22]
sch 78	ἐπεὶ γὰρ ἐμάθομεν ἐν τοῖς ὅροις, ὅτι εὐθύγραμμα σχήματα τῷ εἴδει δεδόσθαι λέγεται, ὧν αἵ τε γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ κατὰ μίαν καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν	279
5	πρὸς ἀλλήλας δεδομένοι, ἐὰν ποιήσωμεν ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ ἔχον ἴσην τῇ μὲν Δ τὴν ΑΒ, τῇ δὲ Ζ ἴσην τὴν ΒΓ, ἔχομεν τῶν μὲν γω‐ νιῶν ἑκάστην δεδομένην διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι· πᾶσα γὰρ ὀρθὴ δέδοται· ὀρθὴ γὰρ ὀρθῆς οὐ διαφέρει. καὶ δῆλον,
10	ὅτι καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν δεδομένοι εἰσίν· ὁ γὰρ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΓ λόγος δέδοται, ἐπεὶ καὶ ὁ τῆς Δ πρὸς Ζ λόγος δέδοται. καὶ διὰ τοῦτο δέδοται τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ζ.
sch 79	Δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ Ε p. 44, 24] εἰ γὰρ δέδοταί μοι τὸ τετράγωνον, ἐπεὶ καὶ τὸ ἴσον αὐτῷ παραλληλόγραμμον τὸ ΑΓ, δέδοται καὶ ἡ εὐθεῖα ἡ ποιοῦσα αὐτό. καὶ ἄλλως· ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ δ πλευραὶ
5	τοῦ τετραγώνου, δῆλον, ὅτι δέδοται ἡ ποιοῦσα αὐτὸ εὐθεῖα· ἴσαι γὰρ αὐταὶ ἐπορίσθησαν· ὥστε δέδοται ἡ Ε.
sch 80	Καὶ τὸ ἀντιστρόφιον αὐτοῦ ἀληθές.
sch 81t	Ad prop. 25
sch 81	Λέγω, ὅτι—σημεῖον p. 46, 17—18] δῆλον,
sch 81	ὅτι τῇ θέσει· μόνον γὰρ τῇ θέσει δέδοται τὰ σημεῖα.	280
sch 82t	Ad prop. 26
sch 82	Τὰ Α, Β δέδοται τῇ θέσει· μόνον γὰρ τῇ θέσει δέδοται τὰ σημεῖα.
sch 83t	Ad prop. 27
sch 83	Εἰ μὲν γὰρ τὸ Β σημεῖον ἢ ἐντὸς ἢ ἐκτὸς μεταπεσεῖται, οὐκ ἔσται τῷ μεγέθει δεδομένη ἡ εὐθεῖα· εἰ δὲ μεταπεσεῖται ἢ ἄνω ἢ κάτω, οὐκ ἔσται τῇ θέσει δεδομένη.
sch 84t	Ad prop. 30
sch 84	Παντὸς γὰρ τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση ἐστίν.
sch 85-87t	Ad prop. 31
sch 85	Ἐὰν εὐθεῖα τῇ θέσει δοθῇ, δέδοται καὶ τῷ μεγέθει· ἐὰν τῷ μεγέθει, οὔπω καὶ τῇ θέσει· δύναται γὰρ μεταπίπτειν.
sch 86	Θέσει ἄρα p. 52, 23] διὰ τοὺς ὅρους. κύκλος γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδόσθαι λέγεται, οὗ δέδοται τὸ μὲν κέντρον τῇ θέσει, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τῷ μεγέθει.
sch 87	Τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει κύκλος δεδόσθαι
sch 87	λέγεται, οὗ δέδοται κτλ., ὡς ἐν τοῖς ὅροις.	281
sch 88t	Ad prop. 33
sch 88	Ἀντιστρόφιον τοῦ λβʹ.
sch 89t	Ad prop. 37
sch 89	Ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ p. 64, 9] κἄν τε οὖν αἱ ΖΕ, ΛΝ παράλληλοι ὦσι κἄν τε μὴ ὦσι παρ‐ άλληλοι, ἐὰν ἐπιζεύξωμεν [Omitted graphic marker] τὴν ΕΝ, ἔσται ὡς ἡ ΖΗ
5	πρὸς ΗΕ, οὕτως ἡ ΝΞ πρὸς ΞΕ, ὡς δὲ ἡ ΝΞ πρὸς ΞΕ, οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ, ὥστε ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ, οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ.
sch 90t	Ad prop. 39
sch 90	Δέδοται ἄρα p. 68, 19] ἐπεὶ οὖν δεδομέναι εἰσὶν αἱ ΚΕ, ΕΖ, ὁ πρὸς ἀλλήλας λόγος αὐτῶν δέδοται διὰ τὸ αʹ. ὁμοίως δὲ καὶ τῶν ΕΖ, ΖΚ λόγος δέδοται· καὶ ἔτι ὁ τῶν ΖΚ, ΚΕ λόγος δέδοται.
5	πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΚΕ, ΕΖ δεδομέναι εἰσὶ τῇ θέσει, τὸν αὐτὸν ἄρα ἀεὶ τόπον ἐπέχουσιν. καὶ διὰ τοῦτο δέδοται ἡ ὑπὸ ΚΕΖ τῷ μεγέθει. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΖΚ δέδοται τῷ μεγέθει· καὶ ἔτι ἡ ὑπὸ ΖΚΕ
5	δέδοται τῷ μεγέθει.	282
sch 91-92t	Ad prop. 40
sch 91	Δέδοται ἄρα τὸ ΔΖΕ τρίγωνον p. 70, 21] ἐπεὶ οὖν δέδοται ἑκατέρα τῶν ΔΕ, ΕΖ, δέδοται καὶ ὁ πρὸς ἀλλήλας αὐτῶν λόγος διὰ τὸ αʹ. ὁμοίως καὶ ὁ τῶν ΕΖ, ΖΔ δέδοται λόγος· καὶ ἔτι ὁ τῶν ΖΔ, ΔΕ δέ‐
5	δοται λόγος. ἔστι δὲ καὶ ἑκάστη τῶν Δ, Ε, Ζ γωνιῶν δεδομένη τῷ μεγέθει. δέδοται ἄρα τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ εἴδει, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.
sch 92	Δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ p. 70, 23] ἐπεὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τρίγωνα ἀνάλογον ἔχοντα τὰς πλευρὰς ἐδείχθη, τῶν δὲ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πλευρῶν ὁ λόγος ὁ πρὸς ἀλλήλας δέδοται, δέδονται δὲ αὐτοῦ αἱ γωνίαι·
5	ἴσαι γάρ εἰσι ταῖς τοῦ ΔΕΖ τριγώνου· δέδοται ἄρα τῷ εἴδει, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.
sch 93t	Ad prop. 43
sch 93	Θέσει ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΗΕ ἡμικύκλιον p. 76, 23] ἐπεὶ γὰρ κεῖται ἡ ΔΕ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδο‐ μένη, δῆλον, ὅτι, ἐὰν τμηθῇ δίχα ὁ κύκλος, ἔστι κέν‐
sch 93	τρον τοῦ κύκλου ἡ ἡμίσεια, τουτέστιν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου	283
5	δέδοται τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει, ὥστε καὶ ὁ κύκλος διὰ τὸν ὅρον.
sch 94-95t	Ad prop. 44
sch 94	Μὴ ἔστω δή p. 80, 6] εἰ γὰρ ὑποτεθείη ὀρθή, εὐθὺς δέδοται τῷ εἴδει διὰ τὸ πρὸ αὐτοῦ.
sch 95	Λόγος ἄρα τῆς ΒΑ p. 80, 11] διὰ τὸ ἀντί‐ στροφον τοῦ ὅρου τῶν Δεδομένων διὰ τὸ μʹ. ἐπεὶ γάρ, ὧν αἱ γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν πρὸς ἀλλήλας, ἐκεῖνα δεδομένα εἰσίν, καὶ τῶν
5	δεδομένων ἄρα τῷ εἴδει δεδομέναι εἰσὶ καὶ αἱ γωνίαι καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν πρὸς ἀλλήλας.
sch 96-97t	Ad prop. 45
sch 96	Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ p. 82, 21] ὡς ἐν τῷ ϛʹ τῶν στοιχείων (VI, 3): ἐὰν τριγώνου ἡ γωνία δίχα τμηθῇ, ἡ δὲ τέμνουσα αὐτὴν ἐπὶ τὴν βάσιν ἀχθῇ, τὰ τῆς βάσεως καὶ τὰ ἑξῆς. εἰ δίχα τέτμηται ἡ ὑπὸ ΒΑΓ,
5	ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, ἡ ΓΔ πρὸς ΔΒ· καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ἡ ΓΑ, ΑΒ πρὸς ΑΒ, ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ· καὶ ἐναλλὰξ ὡς συναμφότερος ἡ ΓΑ, ΑΒ πρὸς
5	ΓΒ, ἡ ΑΒ πρὸς ΒΔ.	284
sch 97	Καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ p. 82, 23] ὡς γὰρ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα.
sch 98t	Ad prop. 46
sch 98	Ἐὰν γὰρ τριγώνου γωνία δίχα τμηθῇ, τὰ τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ταῖς τοῦ τρι‐ γώνου πλευραῖς.
sch 99-100t	Ad prop. 50
sch 99	Ὥστε καὶ τῆς ΑΒ p. 92, 6] ἐπεὶ γὰρ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔστι δὲ καὶ ὁ τῆς ΓΔ πρὸς τὴν Η λόγος δοθείς, δῆλον ἄρα, ὡς καὶ ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν δύο δοθέντων λόγων δοθείς
5	ἐστι λόγος· ἢ καὶ διὰ τὸ ηʹ, ὃ καὶ βέλτιον.
sch 100	Ὡς δὲ ἡ ΑΒ p. 92, 7] ὡς γὰρ ἡ αʹ πρὸς τὴν γʹ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς αʹ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς βʹ τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένον.
sch 101t	Ad prop. 52
sch 101	Δέδοται ἄρα τὸ ΑΖ p. 94, 14] πᾶν γὰρ
sch 101	τετράγωνον δοθέν ἐστι τῷ εἴδει διὰ τὸ καὶ τὰς γωνίας αὐτοῦ δεδόσθαι· πᾶσαι γάρ εἰσιν ὀρθαί· καὶ τοὺς λόγους δὲ τῶν πλευρῶν· πᾶσαι γάρ εἰσιν ἴσαι· καὶ	285
5	γὰρ οὐ τῶν ἀνίσων μόνων ἐστὶ λόγος, ἀλλὰ καὶ τῶν ἴσων. καὶ ἐπεὶ ἔκκειται τὸ τετράγωνον· ἀναγέγραπται γάρ· δύναμαι αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι· καὶ διὰ τοῦτο δέδοται καὶ τῷ μεγέθει καὶ αὐτὸ τὸ τετράγωνον καὶ ἑκάστη αὐτοῦ πλευρά.
sch 102-103t	Ad prop. 53
sch 102	P. 96, 1] δεδομένα τῷ εἴδει καθ’ ἑαυτὰ ἕκαστον.
sch 103	Τῆς δὲ ΔΒ p. 96, 8] ὑπόκειται γὰρ ἐν τοῖς ὅροις· δεδομένα γάρ ἐστι τῷ εἴδει.
sch 104-107t	Ad prop. 54
sch 104	Ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ σχολίῳ τῷ ἐν τοῖς πρώ‐ τοις σχολίοις τοῦ πρό, ὅπου σημεῖόν ἐστι τόδε Ρ, ὅτι, ἐὰν αʹ πρὸς βʹ λόγον ἔχῃ δεδομένον, ᾖ δὲ καὶ τὸ γʹ δεδομένον, καὶ γένηται ὡς τὸ αʹ πρὸς τὸ βʹ, οὕτως τὸ γʹ
5	πρὸς ἄλλο τι τὸ δʹ, οὐκέτι καὶ ἐναλλὰξ λόγον ἕξουσι δεδομένον, διόπερ καὶ ἐνταῦθα οὐκ ἐκ τοῦ ἐναλλὰξ εὗρε τὸν λόγον αὐτῶν δεδομένον, ἀλλὰ ἄλλως, ὡς νῦν λέγει.
sch 105	Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΔ p. 96, 24] ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ὡς ἡ αʹ πρὸς τὴν γʹ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ
sch 105	ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένον.	286
sch 106	Καὶ τῆς ΓΔ ἄρα p. 98, 1] σχόλιον. ἐδείχθη γάρ, ὅτι, ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἡ δὲ αʹ πρὸς τὴν τρίτην λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ πρὸς τὴν δευτέραν λόγον ἕξει δεδομένον, ἐν τῷ κδʹ. ἢ καὶ οὕτως·
5	ἐπεὶ ὁ συγκείμενος λόγος δέδοται, καὶ ἑκάτερος τῶν τιθέντων αὐτὸν λόγων δέδοται· ἑκάτερος γὰρ ὁ αὐτός.
sch 107	Καί ἐστιν ὅμοιον τὸ Α τῷ Β p. 98, 2] ἀντὶ τοῦ· καί εἰσι δεδομένα τῷ εἴδει τὰ Α, Β· καὶ γὰρ ὅμοια σχήματα εὐθύγραμμά ἐστιν, ὅσα τάς τε γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχει κατὰ μίαν καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας
5	γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον· ὥστε δεδομένα εἰσὶ τῷ εἴδει τὰ ὅμοια· τὰ οὖν ὅμοια καὶ τῷ εἴδει εἰσὶ δεδομένα, τὰ δὲ τῷ εἴδει δεδομένα οὐ πάντως ὅμοια.
sch 108-109t	Ad prop. 57
sch 108	Ὥστε καὶ τῆς ΕΑ p. 102, 23] ἐπεὶ γὰρ δύο εἴδη τὰ ΕΒ, ΒΔ δεδομένα τῷ εἴδει πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον, καὶ αἱ πλευραὶ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας λόγον ἕξουσι δεδομένον.
sch 109	Καί ἐστι τὸ πλάτος τοῦ παραβλήματος p. 104, 8—9] τὸ μὲν ἀληθῶς πλάτος τοῦ ΑΓΗΒ παραλληλο‐ γράμμου ἐστὶν ἡ ΑΘ πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῇ ΑΒ· αὐτοῦ δὲ
sch 109	τούτου τοῦ ΑΓΗΒ παραβλήματος ὡς ἐπὶ τούτων τῶν	287
5	τεσσάρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΗ, ΗΓ, ΓΑ μήκους ὄντος τοῦ ΑΒ, πλάτος ἔσται τὸ ΑΓ· ἐπὶ γὰρ τῶν προκειμένων τεσσάρων εὐθειῶν τὸ πλάτος ζητεῖ, οὐ τὸ ἀληθῶς τοῦ χωρίου πλάτος· ἄλλη γάρ ἐστι παρὰ τὰς τέσσαρας ὡς ἡ ΑΘ.
sch 110-113t	Ad prop. 58
sch 110	Δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ p. 104, 17—18] ἡμί‐ σεια γάρ ἐστι τῆς ΑΔ δοθείσης ἡ ΕΔ.
sch 111	Δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΕΖ p. 104, 20] ὅμοιον γάρ ἐστι τῷ ΔΓ δεδομένῳ.
sch 112	Καί ἐστιν ἴσον τοῖς ΑΓ, ΚΘ p. 104, 23] ἐπεὶ γὰρ τὸ ΕΓ τῷ ΓΖ ἐστιν ἴσον, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΔ· ὅλον ἄρα τὸ ΚΔ τῷ ὅλῳ τῷ ΒΖ ἐστιν ἴσον. ἀλλὰ τὸ ΚΔ τῷ ΑΚ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΕ τῇ
5	ΕΔ ἴση· δίχα γὰρ τέτμηται. καὶ τὸ ΑΚ ἄρα τῷ ΒΖ ἐστιν ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΚΒ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ τῷ γνώμονί ἐστιν ἴσον, τουτέστι τῷ ΒΚ καὶ ΒΖ. ἔτι κοινὸν προσκείσθω τὸ ΚΘ· τὰ ΑΓ, ΚΘ ἄρα ἴσα ἐστὶ τῷ ΕΖ.
sch 113	Ἔστι δὲ καὶ ἡ ΕΔ δοθεῖσα p. 106, 5] ἡμίσεια
sch 113	γάρ ἐστιν ἡ ΕΔ τῆς ΑΔ δεδομένης.	288
sch 114-116t	Ad prop. 59
sch 114	Περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρον p. 106, 17] ἐδείχθη γὰρ ἐν τοῖς στοιχείοις, ὡς τὰ ὅμοια παραλληλό‐ γραμμα περὶ τὴν αὐτήν εἰσι διάμετρον.
sch 115	Καί ἐστιν ἴσα τῷ ΚΛ p. 106, 24] καὶ ὁμοίως τῷ σχολίῳ τῷ αὐτῷ πρὸ αὐτοῦ θεωρήματος.
sch 116	Ἔστι δὲ καὶ τῷ εἴδει p. 108, 1] τῷ εἴδει γὰρ δεδομένον ὑπόκειται τὸ ΓΒ.
sch 117t	Ad prop. 60
sch 117	Ὅμοιον γάρ ἐστι τῷ ΑΒ p. 108, 17] ὅτι δὲ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒ τῷ ΑΗ, δῆλον· παντὸς γὰρ παρ‐ αλληλογράμμου εἷς μόνος ἐστὶ γνώμων. καὶ γὰρ γνώ‐ μων ἐστὶν ἓν ὁποιονοῦν τῶν περὶ τὴν διάμετρον
5	παραλληλογράμμων σὺν τοῖς δυσὶ παραπληρώμασιν, ὃς προστιθέμενος ὅμοιον ποιεῖ, ᾧ προσετέθη παρ‐ αλληλογράμμῳ, τὸ γενόμενον ὑπὸ τοῦ ἐξ ἀρχῆς παρ‐ αλληλογράμμου καὶ τοῦ γνώμονος. ὁμοίως δέ, κἂν ἀφαιρεθῇ γνώμων παραλληλογράμμου· περὶ τὴν αὐτὴν
10	γάρ ἐστι διάμετρον, ὡς ἐν τῷ ϛʹ βιβλίῳ τῶν στοιχείων.	289
sch 118-121t	Ad prop. 61
sch 118	Ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΓΒ γωνία p. 110, 22] δεδομένον γὰρ τῷ εἴδει ὑπόκειται τὸ ΑΖΓΒ.
sch 119	Δοθὲν ἄρα τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον p. 110, 23] ὅτι δέδοται τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον, δῆλον. ἐπεὶ γὰρ δέδοται ἡ ΖΓΒ γωνία, δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΓΖΒ γωνία· εἰς γὰρ παραλλήλους τὰς ΖΒ, ΓΒ εὐθεῖα ἐμ‐
5	πέπτωκεν ἡ ΓΖ ποιοῦσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας, ὧν ἡ ὑπὸ ΖΓΒ δέδοται· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΖΗ δέδοται· ὥστε καὶ αἱ λοιπαὶ δύο δεδομέναι εἰσίν. καὶ ἐπεὶ δέδοται ὁ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΓΒ λόγος, ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΓ τῇ ΗΒ, ἡ δὲ ΓΒ
10	τῇ ΖΗ, καὶ ὁ λόγος τῶν πλευρῶν δέδοται.
sch 120	Τοῦ δὲ ΖΒ πρὸς τὸ ΓΔ λόγος ἐστὶ δοθείς p. 112, 3—4] ἐπεὶ γὰρ τοῦ ΖΒ παραλληλογράμμου πρὸς τὸ ΑΖΒΓ εἶδος λόγος ἐστὶ δοθείς, τοῦ δὲ ΑΖΒΓ εἴδους πρὸς τὸ ΓΔ λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ δι’ ἴσου
5	τοῦ ΖΒ πρὸς τὸ ΓΔ λόγος ἐστὶ δοθείς.
sch 121	Ἴση γὰρ τῇ ὑπὸ ΚΓΒ p. 112, 14] ἐπεὶ γὰρ παράλληλος ἡ ΓΒ τῇ ΛΘ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν
sch 121	εὐθεῖα ἡ ΓΚ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.	290
sch 122t	Ad prop. 63
sch 122	Δεῖ τοῦτο προσεπιθεωρεῖν, ὅτι καὶ τὰ τετρά‐ γωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον· τούτῳ γὰρ ἑξῆς προσχρήσεται. ὅτι δὲ ἀληθές ἐστιν, δῆλον. εἰ γὰρ ἑκάτερον τῶν ΕΒ, ΖΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ λόγον ἔχει
5	δεδομένον, δῆλον, ὅτι καὶ τὰ ΕΒ, ΖΓ πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον.
sch 123-126t	Ad prop. 64
sch 123	Τὸ ἐν τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ δωδέκατον θεώρημα συμβάλλεται εἰς τὸ παρὸν θεώρημα· ἀλλὰ καὶ τὸ ιγʹ πάλιν εἰς τὸ μετὰ τοῦτο ἤτοι τὸ ξεʹ, καὶ ζήτει αὐτὰ ἐκεῖ.
sch 124	Πόθεν ἐστίν, ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΓ; ἐκ‐ κείσθω τις εὐθεῖα ἡ αβ, καὶ [Omitted graphic marker] κείσθω τῇ μὲν ΑΔ ἴση ἡ αδ,
5	τῇ δὲ ΔΒ ἴση ἡ δβ, καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ δζ, καὶ κείσθω τῇ ΒΓ ἴση ἡ δζ· καὶ συμ‐ πεπληρώσθω τὸ σχῆμα τὸ αθ παραλληλόγραμμον. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ αδ πρὸς
10	δβ, οὕτως τὸ αζ πρὸς τὸ δθ, καί ἐστι τὸ μὲν αζ τὸ ὑπὸ τῶν αδ, δζ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΒΓ· ἴση γὰρ ἡ ΒΓ τῇ δζ, ἡ δὲ αδ τῇ ΑΔ· τὸ δὲ δθ τὸ ὑπὸ τῶν δζ, δβ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΓ· ἴση γὰρ ἡ μὲν ζδ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ δβ τῇ ΔΒ· ἔστιν ἄρα	291
15	ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΔ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΓ.
sch 125	Ἀλλὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΔΑ, ΒΓ p. 118, 13] ἀν‐ ήχθω πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ τοῦ Β σημείου τῇ ΑΔ ἴση καὶ παράλληλος ἡ ΒΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΔΓ [Omitted graphic marker] διήχθω ἴση καὶ παράλληλος ἡ
5	ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ. καὶ ἐπεὶ τὸ ΒΕ παραλληλό‐ γραμμον τοῦ τριγώνου διπλά‐ σιόν ἐστιν· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι καὶ ἐν ταῖς
10	αὐταῖς παραλλήλοις· καὶ περι‐ έχεται τὸ παραλληλόγραμμον ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΓ, ἴση δὲ ἡ ΕΓ τῇ ΑΔ, ἡ δὲ ΖΕ τῇ ΒΓ, διὰ τοῦτο λόγον ἔχει τὸ
10	παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ τρίγωνον, ὥστε καὶ διπλα‐ σίονα τὸ παραλληλόγραμμον λόγον ἔχει πρὸς τὸ τρί‐	292
15	γωνον, ὅπερ ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΒΓ λόγον ἔχει δοθέντα πρὸς τὸ τρίγωνον τετραπλασίονα. τὸ γὰρ ΔΓ τοῦ ὑπὸ ΓΒ μεῖζόν ἐστιν, ὡς ἐν τῷ βʹ τῶν στοιχείων.
sch 126	Καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΓ p. 118, 16] ἐν τῷ ιβʹ θεωρήματι τοῦ βʹ τῶν στοιχείων ἐν τοῖς ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις.
sch 127-129t	Ad prop. 65
sch 127	Ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ p. 120, 13] καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς ΔΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ, ΔΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒ, ΑΔ.
sch 128	Πόθεν, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς ΔΑ, οὕτως καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ; [Omitted graphic marker] ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ εζ καὶ ἀφῃρήσθω ἀπ’ αὐτῆς τῇ μὲν
5	ΒΔ ἴση ἡ εδ, τῇ δὲ ΔΑ ἴση ἡ δζ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ηδ ἴση οὖσα τῇ ΒΓ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ εδ πρὸς δζ, οὕτως τὸ εη πρὸς ηζ, καί ἐστι τὸ μὲν εη
10	τὸ ὑπὸ τῶν εδ, δη, τουτέστι
10	τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΒΓ, τὸ δὲ ηζ τὸ ὑπὸ τῶν ζδ, δη, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΔΑ· ἴση γὰρ ἡ μὲν δη τῇ ΒΓ, ἡ δὲ δζ τῇ ΔΑ· λόγος ἄρα ἐστὶ καὶ τὰ ἑξῆς.	293
sch 129	Καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ p. 120, 17—18] ὡς ἐν τῷ βʹ τῶν στοιχείων ἐν τῷ ιγʹ θεωρήματι ἐν τοῖς ὀξυγωνίοις τριγώνοις.
sch 130-132t	Ad prop. 66
sch 130	Ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς ΒΔ p. 122, 9] πάλιν καὶ ἐνταῦθα, ἐὰν τῇ μὲν ΑΒ ἴσην εὐθεῖαν λάβωμεν τὴν εη, [Omitted graphic marker] τῇ δὲ ΒΔ τὴν ηζ καὶ πρὸς ὀρθὰς τὴν ηθ ἴσην οὖσαν
5	τῇ ΑΓ· καὶ συμπεπληρώ‐ σθω τὸ σχῆμα· ἔσται ὡς ἡ εη πρὸς ηζ, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως τὸ εθ πρὸς θζ, τουτέστι τὸ ὑπὸ
10	τῶν θηε, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, πρὸς τὸ θζ, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν θη, ηζ, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΒΔ· ἴση γὰρ ἡ μὲν εη τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ηθ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ηζ τῇ ΒΔ.
sch 131	Τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΒΔ p. 122, 12] ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΓ παράλληλον ἀγάγωμεν καὶ
sch 131	ποιήσωμεν παραλληλόγραμμον, ἔσται τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΑΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος δοθείς· διπλά‐	294
5	σιον γάρ.
sch 132	Τὸ θεώρημα ὡς ὀξείας οὔσης τῆς ὑπὸ ΒΑΓ καταγέγραπται. ἐὰν δὲ ὀρθὴ ᾖ, αὐτόθεν τὸ ὑπὸ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον· δι‐ πλάσιον γὰρ αὐτοῦ ἐστιν. ἐὰν δὲ ἀμβλεῖα ᾖ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, [Omitted graphic marker]
5	ἤχθω κάθετος ἐκβληθείσης τῆς ΓΑ ἡ ΒΕ. δέδοται οὖν ἡ Ε· ὀρθὴ γάρ· ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ, ἐπειδὴ καὶ ἡ ἐφεξῆς αὐτῆς ὑπό‐ κειται· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒΑ
10	δέδοται. δέδοται ἄρα τὸ τρίγωνον τὸ ΕΒΑ τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΕΒ πρὸς ΒΑ δοθείς. ἀλλ’ ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΑ, τῆς ΑΓ μέσης λαμβανομένης οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΒ, ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΑ, ΑΓ· λόγος ἄρα τοῦ ὑπὸ ΕΒ, ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΑ, ΑΓ δοθείς. τοῦ
15	δὲ ὑπὸ ΕΒ, ΑΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος δοθείς· διπλάσιον γάρ· ἐὰν γὰρ διὰ τῶν Α, Γ τῇ ΕΒ παρ‐ αλλήλους ἀγάγωμεν καὶ ἔτι διὰ τοῦ Β τῇ ΕΓ, δῆλον γίνεται· καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἄρα πρὸς τὸ ΒΑΓ
15	τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς.	295
sch 133-135t	Ad prop. 67
sch 133	Ἐὰν ἰσοσκελοῦς τριγώνου ἀχθῇ τις εὐθεῖα, ὡς ἔτυχεν, ἐπὶ τὴν βάσιν, τὸ ἀπὸ τῆς καταχθείσης μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς βάσεως ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ μίας τῶν ἴσων πλευρῶν.
5	ἔστω δὴ ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ ΑΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθω τις εὐθεῖα, ὡς ἔτυχεν, ἡ ΑΔ. λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ. ἡ ΑΔ ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤτοι κάθετός ἐστιν ἢ οὔ.
10	ἔστω πρότερον κάθετος. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις ἡ ΒΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Δ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΔΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ
15	τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ. ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω κάθετος ἡ ΑΔ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΕ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Ε, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ
20	τὸ Δ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ
20	τῆς ΑΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΔΒ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕΔ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΕΒ. καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΕΔ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν [Omitted graphic marker]	296
25	ΓΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΔ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ. καί ἐστι τοῖς ἀπὸ ΑΕ, ΕΒ τὸ ἀπὸ ΑΒ ἴσον. τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΔ
30	ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΒ.
sch 134	Ἰσογώνια γάρ ἐστι τὰ ΔΑΓ, ΔΒΕ τρίγωνα.
sch 135	Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ p. 124, 18] παρ‐ άλληλος γάρ ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΒΕ.
sch 136t	Ad prop. 68
sch 136	Ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον p. 128, 3—4] ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῇ Ζ, ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῇ Θ, καὶ ἡ Θ ἄρα τῇ Ζ ἐστιν ἴση· ὁμοίως καὶ αἱ λοιπαί.
sch 137-138t	Ad prop. 69
sch 137	Ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΔΑΓ, ΑΚΔ p. 130, 2] ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΒ τῇ ΑΓ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐνέπεσεν εὐθεῖα ἡ ΑΔ, αἱ ἐντὸς
sch 137	γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΑΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.	297
5	δέδοται δὲ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ· καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ λεί‐ πουσα εἰς τὰς ὀρθὰς δέδοται. δέδοται δὲ καὶ ὑπὸ ΑΚΔ ἴση οὖσα τῇ ὑπὸ ΚΔΒ ἐναλλὰξ οὔσῃ.
sch 138	Καθόλου γάρ, ἐὰν παραλληλογράμμου μία γωνία δοθῇ, καὶ αἱ λοιπαὶ δεδομέναι εἰσίν. μιᾶς γὰρ δοθείσης ἐξ ἀνάγκης καὶ ἡ ἐφεξῆς δοθήσεται, ὥστε καὶ τῶν δοθεισῶν αἱ ἀπεναντίον δοθήσονται.
sch 139-145t	Ad prop. 70
sch 139	Ἀντιστρόφιον δύο πρὸς αὐτοῦ θεωρήμασιν.
sch 140	Ἀντιστρόφιον τοῖς δύο ὁμοῦ τῷ τε ἑξηκόστῳ ὀγδόῳ καὶ τῷ ξθʹ θεωρήματι.
sch 141	P. 132, 4] ἐπ’ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΜ. ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΝ τῇ ΔΜ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΒΓ, ΒΓΝ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. πάλιν ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΜΒ τῇ ΑΓ, αἱ ὑπὸ ΜΒΓ,
5	ΑΓΒ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΒ, ΒΓΝ ταῖς ὑπὸ ΔΒΓ, ΓΒΜ ἴσαι εἰσίν. ὀρθαὶ δὲ αἱ ὑπὸ
5	ΑΓΒ, ΒΓΝ· ὀρθαὶ ἄρα καὶ αἱ ὑπὸ ΔΒΓ, ΓΒΜ. ἐὰν δὲ πρός τινι εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ καὶ τὰ ἑξῆς, ὡς ἐν τῷ αʹ τῶν στοιχείων (I, 14).	298
sch 142	Ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον p. 132, 6] ἐπεὶ γὰρ ἰσογώνιον κεῖται τὸ ΑΒ τῷ ΕΗ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ πρὸς τῷ Ζ· ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ πρὸς τῷ Ν, ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντός· καὶ ἡ πρὸς τῷ Ν ἄρα τῇ πρὸς τῷ Ζ
5	ἴση. ὁμοίως καὶ αἱ λοιπαί.
sch 143	Ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΓΒ δοθεῖσα p. 132, 20] ἴση γάρ ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Ζ δοθεῖσα.
sch 144	Καθόλου γὰρ πάλιν, ἐὰν δύο τετραγώνων δύο γωνίαι ἴσαι ὦσιν, ἰσογώνια ἔσται τὰ παραλληλό‐ γραμμα.
sch 145	Λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΘ δοθείς p. 134, 6] μᾶλλον ἀληθῶς διὰ τοῦτο· ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΓΒ τῇ Ζ καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ λόγον ἔχουσι δεδομένον, διὰ τὸ νῦν πρῶτον
5	δειχθὲν τοῦ οʹ θεωρήματος λόγος ἐστὶ τοῦ ΓΛ πρὸς
5	ΖΘ δοθείς.	299
sch 146t	Ad prop. 72
sch 146	Αἱ ἐπ’ αὐτὰς ἠγμέναι p. 136, 9] κατὰ κοινοῦ τὸ ἐν δεδομένῳ λόγῳ ὦσιν.
sch 147-153t	Ad prop. 73
sch 147	Ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον p. 140, 4] ὅτι δέ, ἐὰν παραλληλογράμμου δύο πλευραὶ ἐκβληθῶσι, καὶ συμπληρωθῇ παραλληλόγραμμον, ἰσογώνια ἔσονται τὰ παραλληλόγραμμα. ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒ,
5	καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΑΓ, ΔΒ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον· λέγω, ὅτι ἰσογώνιά ἐστιν τὰ ΑΒ, ΓΘ παραλληλόγραμμα. ἐπεὶ γὰρ παράλληλοί εἰσιν αἱ ΑΔ, ΓΒ, ΚΘ, ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΓΚΘ, ἡ δὲ ὑπὸ ΚΓΒ τῇ ὑπὸ ΓΑΔ, ὥστε ἰσο‐
10	γώνιά εἰσιν.
sch 148	Πρὸς ἣν ἡ ΑΓ p. 140, 8] ἡ ΑΓ λόγου χάριν πρὸς τὴν Δ ἢ πρὸς οἷον δή ποτέ τινα λόγον ἐχέτω δεδο‐ μένον. ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΚ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον, τουτέστι β πρὸς τὴν ΓΚ.
sch 149	P. 140, 8—9] πόθεν, ὅτι ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΚ λόγον ἔχει δεδομένον; δείξομεν οὕτως· ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ καὶ
sch 149	ἰσογώνιον τὸ ΕΗ τῷ ΓΘ, ἔστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, ἡ ΖΕ πρὸς ΓΚ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΓ πρὸς ΓΚ λόγον	300
5	ἔχει δεδομένον. μὴ γάρ, ἀλλ’, εἰ δύνατον, ἡ ΑΓ πρὸς ἄλλην τινὰ τὴν Δ λόγον ἐχέτω δεδομένον. καὶ ἐπεὶ ὑπόκειται ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, ἡ ΖΕ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον, ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν Δ· ἔστι δὲ καί, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ,
10	ἡ ΖΕ πρὸς ΓΚ· ἴση ἄρα ἡ Δ τῇ ΓΚ. ἔχει δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν Δ λόγον δεδομένον· καὶ πρὸς τὴν ΓΚ ἄρα ἴσην αὐτῇ οὖσαν λόγον ἔχει δεδομένον.
sch 150	Ἐπεὶ συνήχθη ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον, οἷον πρὸς τὴν Δ, πρὸς ἃ δὲ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν, ἴση ἄρα ἡ ΓΚ τῇ Δ. ἡ δὲ ΑΓ πρὸς
5	τὴν Δ λόγον ἔχει δεδομένον· ὥστε ἡ ΑΓ καὶ πρὸς τὴν ΓΚ λόγον ἔχει δεδομένον.
sch 151	Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ p. 140, 22] δεικτέον δὲ οὕτως. ἐπεὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς Δ, πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δο‐ θέντα, ἔσται καὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ
5	πρὸς Δ, πρὸς ἣν ἡ ΓΛ λόγον ἔχει δοθέντα. καὶ ἁρ‐ μόσει ἡ προτέρα κατασκευή· καὶ τὸ ἑξῆς δὲ οὕτως
5	δεικτέον.	301
sch 152	Λόγος ἄρα τοῦ ΓΜ παραλληλογράμμου p. 142, 1—2] ἐπεὶ γὰρ τῶν ΓΜ, ΕΗ περὶ ἴσας γωνίας τὰς πρὸς τοῖς Γ, Ζ αἱ πλευραὶ οὕτως ἔχουσιν, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς
5	ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον, ὡς πρὸς τὴν ΛΓ, διὰ τὸ νῦν ἄρα δειχθὲν τοῦ ογʹ τὸ πρῶτον λόγος τοῦ ΓΜ πρὸς τὸ ΕΗ δοθείς.
sch 153	Μὴ ἀντιστρέψῃς· οὐ γὰρ ἀληθές.
sch 154-157t	Ad prop. 74
sch 154	Ἀντιστρόφιον τῷ πρὸ αὐτοῦ.
sch 155	Τὸ οδʹ θεώρημα καθολικώτερον τοῦ νϛʹ.
sch 156	Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ p. 144, 14] διὰ τὸ νῦν πρῶτον δειχθὲν τοῦ οδʹ.
sch 157	Ὅτι δέ ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ πάλιν λόγον ἔχει δεδομένον, ἀντὶ τοῦ πρὸς τὴν ἴσην ἑαυτῇ, δείξομεν οὕτως. παρα‐ βεβλήσθω γὰρ ὁμοίως τῷ ἐπάνω παρὰ τὴν ΓΒ τῷ
5	ΕΗ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΞ καὶ κείσθω, ὥστε ἐπ’ εὐθείας εἶναι τὴν ΓΝ τῇ ΛΓ· ἐπ’ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΒ τῇ ΒΞ. καὶ ἐπεὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ
5	ΕΗ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὑπόκειται γάρ· ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΓΜ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ ΕΗ τῷ ΓΞ, καὶ τοῦ	302
10	ΓΜ ἄρα πρὸς ΓΞ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΓΛ πρὸς ΓΝ λόγος ἐστὶ δοθείς· τῆς δὲ ΓΑ πρὸς ΓΛ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ δεδόσθαι τὸ ΑΓΛ τρίγωνον· καὶ τῆς ΑΓ ἄρα πρὸς ΓΝ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΞ τῷ ΕΗ, ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον,
15	ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΓΝ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΛΓ λόγον ἔχει δεδομένον, τουτέστι πρὸς τὴν ΑΓ, διὰ τὸ νῦν πρῶτον δειχθὲν τοῦ οδʹ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἑκατέραν τῶν
20	ΑΓ, ΓΝ· ἴση ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΓΝ.
sch 158t	Ad prop. 76
sch 158	Τῆς δὲ ΑΒ p. 148, 4] δέδοται γὰρ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.
sch 159-160t	Ad prop. 77
sch 159	Καὶ τοῦ ΒΗ ἄρα p. 148, 22] ἐπεὶ γὰρ τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΔΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔστι δὲ καὶ τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΒΗ λόγος δοθείς, καὶ τοῦ ΒΗ ἄρα πρὸς τὸ ΔΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. πάλιν ἐπεὶ τοῦ
5	ΒΗ πρὸς τὸ ΔΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔστι δὲ καὶ τοῦ ΕΘ πρὸς τὸ ΔΕΖ λόγος δοθείς, καὶ τοῦ ΒΗ ἄρα πρὸς τὸ ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθείς.	303
sch 160	Καὶ δῆλον, ὅτι καί, ἐὰν μὴ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον ἀναγράψωμεν, ἀλλὰ ἀπὸ ἄλλης τινός, οἷον τῆς ΖΞ, καὶ πρὸς ἐκείνην, οἷον τὴν ΖΞ, λόγον ἔχει δεδομένον ἡ ΒΓ.
sch 161-162t	Ad prop. 78
sch 161	P. 150, 18—20] ἴσον δὲ τὸ ΖΗ τῷ ΕΚ· λόγος ἄρα τοῦ ΓΔ πρὸς τὸ ΕΚ δοθείς, ὥστε διὰ τοῦτο καὶ τῆς ΓΕ πρὸς ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ ἀντιστρόφιον τοῦ αʹ τοῦ ϛʹ βιβλίου Εὐκλείδου.
sch 162	P. 152, 5—6] ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ δοθεὶς τῆς ΕΘ πρὸς ΖΛ, ἀλλὰ τῆς ΕΘ πρὸς ΓΕ λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ τῆς ΓΕ ἄρα πρὸς ΖΛ λόγος δοθείς. ἴση δέ ἐστιν ἡ ΖΛ τῇ ΒΖ· τετράγωνον γάρ· καὶ τῆς ΓΕ ἄρα πρὸς ΖΒ
5	λόγος δοθείς. ἀλλὰ τῆς ΖΒ πρὸς ΕΔ λόγος δοθείς· ὑπόκειται γάρ· καὶ τῆς ΓΕ ἄρα πρὸς ΕΔ λόγος δοθείς. καί ἐστιν ἴση ἡ ΕΔ τῇ ΓΜ· ἀπεναντίον γάρ· καὶ τῆς ΓΜ ἄρα πρὸς ΓΕ λόγος δοθείς. ὁμοίως δὴ καὶ αἱ λοιπαὶ πλευραί. καὶ ἐπεὶ δέδοται ἡ Ε· ὀρθὴ γάρ·
10	ὥστε καὶ ἡ λοιπὴ εἰς β ὀρθὰς ἡ Γ, καὶ αἱ ἀπεναντίον·
10	δέδοται ἄρα τῷ εἴδει τὸ ΓΔ.	304
sch 163-166t	Ad prop. 79
sch 163	Τὸ ἀντιστρόφιον τούτου ἀληθέστατον, καὶ ἐχρήσατο αὐτῷ κατιών.
sch 164	Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ p. 154, 8] ὅτι καθόλου ἐπὶ ὁμοίου τριγώνου τοῦτο συμβαίνει. ἔστω τρίγωνον τὸ ΒΑΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἤχθω [Omitted graphic marker] ἡ ΒΔ, καὶ διὰ τοῦ Θ τῇ ΑΓ
5	παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΕ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, ἡ ΘΕ πρὸς ΕΒ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΘΕ, ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ
10	ΓΒ πρὸς ΒΕ, ἡ ΔΒ πρὸς ΒΜ, καὶ δι’ ἴσου ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΘΕ, ἡ ΔΒ πρὸς ΒΜ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΔΒ, ἡ ΘΕ πρὸς ΜΒ.
sch 165	Οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς ΜΛ [p. 154, 8]. ἰσογώνια γὰρ τὰ τρίγωνα, καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας πλευραί. ὁμόλογος δέ ἐστιν ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΘΗ· ἴσας γὰρ γωνίας ὑποτείνουσι τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΘΛΗ· ἡ δὲ
5	ΒΔ ἴση τῇ ΛΜ· ὁμόλογοι γὰρ καὶ αὗται ἴσας γωνίας ὑποτείνουσιν.
sch 166	Ὅπως ἡ ΖΚ τῇ ΛΜ ἐστιν ἴση; ἐπεὶ ὑπό‐
sch 166	κειται ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΒΔ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς ΖΚ, ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς ΔΒ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς ΜΛ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΗ πρὸς ΜΛ, οὕτως αὐτὴ ἡ ΘΗ πρὸς ΖΚ.	305
5	τὰ δὲ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα ἀλλή‐ λοις ἐστίν· ἴση ἄρα ἡ ΛΜ τῇ ΚΖ.
sch 167-175t	Ad prop. 80
sch 167	Δέδοται ἄρα τὸ ΑΔΒ p. 156, 7] ἐπεὶ τρι‐ γώνου τοῦ ΑΒΔ αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ὧν ἡ ὑπὸ ΑΔΒ ὀρθή ἐστιν, λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΔΑΒ, ΑΒΔ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν. ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ
5	οὖσα ἡ ὑπὸ ΑΔΒ δέδοται, καὶ αἱ ὑπὸ ΔΑΒ, ΑΒΔ μιᾷ ὀρθῇ οὖσαι ἴσαι δέδονται, ὧν ἡ ὑπὸ ΔΑΒ δέδοται, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ δέδοται. ἐὰν γὰρ ἀπὸ δεδομένου δεδομένον ἀφαιρεθῇ, καὶ τὸ ὑπολειπόμενον δέδοται.
sch 168	Πῶς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου; ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΔΑΖ, διὰ δὲ τῶν Β, Γ τῇ ΑΕ παράλληλοι ἡ ΔΒ, ΖΓ· τὸ ΔΓ ἄρα παραλληλόγραμμον περιέχεται ὑπὸ τῶν
5	ΓΒ, ΒΔ· ἴση δὲ ἡ ΒΔ τῇ ΑΕ· τὸ ἄρα ΔΓ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ περιεχόμενον ὀρθογώνιον καί ἐστι
5	διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἐὰν γὰρ παραλληλό‐ γραμμον τριγώνῳ βάσιν ἔχῃ τὴν αὐτὴν καὶ ᾖ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις, διπλάσιον ἔσται τὸ παραλληλόγραμ‐	306
10	μον τοῦ τριγώνου· διπλάσιον ἄρα τὸ ΑΓ παραλληλό‐ γραμμον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΒΔ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τρι‐ γώνου· τὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΒΔ.
sch 169	Καὶ τῆς ΒΓ πρὸς ΑΕ p. 156, 6] ὡς γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ, τουτ‐ έστι τὸ ΓΟ πρὸς τὸ ΓΡ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΑΕ· δέδοται δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ·
5	οὕτως γὰρ ἐδείχθη πρὸ μικροῦ· δέδοται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΒΓ πρὸς ΑΕ λόγος.
sch 170	Καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΖΗ p. 156, 19] διὰ τὸ λγʹ τοῦ γʹ βιβλίου Εὐκλείδου.
sch 171	Πρὸς τὴν ΑΕ δοθείς [p. 158, 4]. ἐὰν γὰρ διὰ τῶν Γ, Β τῇ ΕΑ παραλλήλους ἀγάγωμεν, ὁμοίως δὲ καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ΒΓ, ἔσται τὸ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον διὰ τὸ ἴσας γίνεσθαι τὰς γωνίας ἑκάστην
5	τῇ ὑπὸ ΑΕΓ· δοθήσεται ἄρα τὸ παραλληλόγραμμον, καὶ ἔσται λόγος τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΓΜ δοθείς, τουτ‐
5	έστι πρὸς τὴν ΕΑ· ἴση γὰρ ἡ ΓΜ τῇ ΕΑ.	307
sch 172	Ὅτι ἡ διὰ τοῦ Κ παράλληλος τῇ ΖΗ ἀγο‐ μένη ἐφάπτεται τῆς περιφερείας, δῆλον· καὶ γάρ, ἐὰν περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τμῆμα περιγράψωμεν, ὅμοια ἔσται τὰ τμήματα, καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΑ,
5	οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΚ· ἡ δὲ ΕΑ ἐφάπτεται· ὥστε καὶ ἡ διὰ τοῦ Κ.
sch 173	Ἐπεὶ γὰρ δέδοται ἑκάστη τῶν πλευρῶν τοῦ ΖΗΘ τριγώνου, δέδοται ὁ τῆς ΖΘ πρὸς ΘΗ λόγος διὰ τὸ αʹ. πάλιν ἐπεὶ δέδοται ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΔ λόγος, ὡς δέδεικται, δέδοται δὲ καὶ ὁ τῆς ΑΓ πρὸς
5	ΒΔ λόγος· ὡς γὰρ δέδεικται ὁ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΑΕ δοθείς, οὕτως δειχθήσεται καὶ ὁ τῆς ΑΓ πρὸς ΒΔ λόγος δοθείς· καὶ ὁ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΓ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ ηʹ. ἐπεὶ οὖν ἴσαι εἰσὶν αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΖΘΗ γωνίαι, καὶ λόγον ἔχει δεδομένον ἡ μὲν
10	ΒΑ πρὸς ΑΓ, ἡ δὲ ΖΘ πρὸς ΘΗ, δεδομένα ἄρα ἐστὶ τῷ εἴδει.
sch 174	Τούτου τοῦ θεωρήματος ἔνστασις κεῖται ἐν τῇ πρώτῃ ἐξωχιῇ, ὅπου σημεῖον τόδε ※
sch 175	Ἔνστασις εἰς τὸ πʹ θεώρημα ※ φησὶ γὰρ ἐν τῷ πʹ θεωρήματι· ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η σημείου τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα ἡ ΗΚ·
sch 175	καὶ γεγονέτω, φησίν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως	308
5	ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΚ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Κ σημείου τῇ ΖΗ παράλληλος ἡ ΚΘ. λέξει τις, ὅτι ἡ διὰ τοῦ Κ τῇ ΖΗ παράλληλος ἀγομένη οὔτε ἐφάψεται οὔτε τεμεῖ τὸ ΖΘΗ τμῆμα, ἀλλ’ ὑπερπεσεῖται. ὑπερπιπτέτω οὖν, εἰ δύνατον, καὶ ἔστω ἡ ΚΙ, καὶ τετμήσθω ἡ ΖΗ τῇ [Omitted graphic marker]
10	ΒΓ ὁμοίως κατὰ τὸ Λ σημεῖον, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς ΛΗ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Λ σημείου τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα ἡ ΛΘΙ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΙΖ, ΙΗ, ΘΗ, ΘΖ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς ΛΗ,
15	καὶ συνθέντι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς ΛΖ· ἀνάπαλιν ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΛΖ πρὸς ΖΗ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΑ, οὕτω γέγονεν ἡ ΖΗ πρὸς ΛΙ· δι’ ἴσου ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς ΕΑ, οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς ΛΙ. καί ἐστιν ἡ
20	ὑπὸ τῶν ΒΕΑ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΖΛΙ ἴση. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΙΖΛ τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΙΛ γωνίᾳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΑΕ τῇ ὑπὸ ΗΙΛ ἴση ἐστίν· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΙΗ ἐστιν ἴση. ἔστι	309
25	δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΘΗ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση· οὕτως γὰρ ὑπέκειτο διὰ τὸ ἐν ΖΘΗ τμήματι εἶναι τὴν ὑπὸ ΖΘΗ· καὶ ἡ ὑπὸ ΖΘΗ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΙΗ ἐστιν ἴση· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ διὰ τοῦ Κ σημείου ἀγομένη παράλληλος τῇ ΖΗ ὑπερπεσεῖται τῆς ΖΘΗ περιφερείας.
30	ὁμοίως δέ, κἂν ἐντός τις ὑπόθηται.
sch 176t	Ad prop. 81
sch 176	Ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Γ p. 160, 11—12] ἐὰν γὰρ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς μέσης διὰ τὸ ιζʹ τοῦ ϛʹ τῶν στοιχείων.
sch 177-178t	Ad prop. 83
sch 177	Καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν Α, Δ [Omitted graphic marker] πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Ε [p. 164, 15—16]. ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἀφῃρήσθω τῇ μὲν Ε ἴση
5	ἡ ΑΓ, τῇ δὲ Δ ἴση ἡ ΓΒ, καὶ
5	πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ ἡ ΓΕ ἴση οὖσα τῇ Α. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΕ, τουτέστι τὸ ὑπὸ Α, Ε πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓ, ΓΒ, τουτέστι τὸ ὑπὸ	310
10	τῶν Α, Δ, ἔστιν οὖν ὡς ἡ Ε πρὸς τὴν Δ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν Α, Ε πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Δ.
sch 178	Τοῦτό φησιν, ὅτι, ἐὰν ὦσι δ εὐθεῖαι καὶ ἔχωσιν οὕτως πρὸς ἀλλήλας· πῶς δὲ ἔχωσιν; ὥστε λαβεῖν τινα ἐξ αὐτῶν τρεῖς, οἵας ἂν βούλοιτο, προσ‐ λαβεῖν δὲ καὶ τετάρτην ἀνάλογον οὖσαν ταῖς ληφθεί‐
5	σαις τρισί· ἔσται ὡς ἡ τετάρτη ἤτοι ἡ προσληφθεῖσα πρὸς τὴν τρίτην ἤτοι τὴν μετ’ αὐτὴν τρίτην, οὕτως ἡ δευτέρα ἤτοι ἡ μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν δευτέραν, πρὸς ἣν ἡ πρώτη λόγον ἔχει δεδομένον ἤτοι πρὸς τὴν οὖσαν μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν τετάρτην, πρὸς ἣν ἔχει
10	ἡ πρώτη ἤτοι ἡ ἐξ ἀρχῆς εὐθεῖα πρὸς αὐτὴν δευτέραν οὖσαν λόγον δεδομένον. ἔστωσαν εὐθεῖαι αὗται αἱ Α, Β, Γ, Δ, καὶ ἔστω ἡ μὲν Α κδ, ἡ δὲ Β ιβ, ἡ δὲ Γ η, ἡ δὲ Δ ϛ. λαβὲ γοῦν ἐξ αὐτῶν τρεῖς, οἵας βούλει, οἷον τὴν Α καὶ τὴν Β
15	καὶ τὴν Γ· προσλαβοῦ καὶ ἑτέραν ἀνάλογον ταύταις ἤτοι τὴν Ε, καὶ ἔστω δ· ὥστε ἔχει αὐταῖς ἀναλόγως ἤτοι τὸν διπλασίονα λόγον. ἔχει οὖν ἡ τετάρτη ἤτοι ἡ προσληφθεῖσα· τετάρτη γὰρ ἀριθμεῖται μετὰ τὰς τρεῖς τὰς ληφθείσας· πρὸς τὴν τρίτην ἤτοι τὴν Γ τὴν
20	μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν ἀριθμουμένην τρίτην λόγον
20	ὑποδιπλάσιον. θέλει γοῦν ἔχειν οὕτως καὶ ἡ δευ‐ τέρα, πρὸς ἣν ἡ πρώτη λόγον ἔχει δεδομένον· ἡ γὰρ μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν δευτέρα οὖσα ἔχει πρὸς τὴν Β ἤτοι τὴν μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν οὖσαν τετάρτην,	311
25	πρὸς ἣν ἡ ἐξ ἀρχῆς πρώτη ὡς πρὸς δευτέραν λόγον ἔχει δεδομένον· ἔχει γὰρ τὸν αὐτὸν λόγον ἤτοι τὸν ὑποδιπλασίονα. ἡ γὰρ μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν δευ‐ τέρα, ἥτις ἐστὶ ϛ, πρὸς τὴν μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν τετάρτην, δευτέραν δὲ ὡς πρὸς τὴν ἐξ ἀρχῆς πρώτην,
30	ἤτοι τὴν Β ιβ οὖσαν ὑποδιπλάσιόν ἐστιν. κἂν γοῦν ταύτας οὐ λαβῇς τὰς εὐθείας ἀλλ’ ἄλλας τῶν δ, οἵας βούλει, οὕτως εὑρήσεις ταύτας φυλάττειν τὴν παραδοθεῖσαν τάξιν κατὰ τὴν ἐμὴν τέως ἐπιβολήν· ἤ, εἰ βούλει, ἔστωσαν μὲν ὡς ἐν τῷ ἐδαφίῳ τοῦ
35	βιβλίου κείμενα δι’ ἀριθμῶν τοιοῦτον. ἀλλὰ δὴ ἐκ τῶν ἀριθμῶν οὕτως· καὶ ἁπλῶς οἵους βούλει τρεῖς πως τῶν ἐξ ἀρχῆς δ λάμβανε, καὶ εὑρήσεις κατὰ τὴν ἄνωθεν ῥηθεῖσαν ἐξήγησιν ἁρμόζειν τὸ θεώρημα.
sch 179t	Ad prop. 84
sch 179	Λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΒ p. 166, 4] ἡ γὰρ ΒΓ τῆς ΒΑ μείζων ἐστὶ τῇ ΔΓ εὐθείᾳ δοθείσῃ, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.
sch 180-181t	Ad prop. 35
sch 180	Καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία p. 168, 2] ὡς ἂν εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιῇ, ἤτοι
sch 180	δύο ὀρθὰς ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει.	312
sch 181	Καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΓ p. 168, 10] συναμφό‐ τερος ἡ ΑΒ, ΒΓ ὑπόκειται δοθεῖσα, καί ἐστιν ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΔΒ, καί εἰσι δοθεῖσαι· ὥστε καὶ ἡ ΔΒΓ δο‐ θεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα ὅλη ἡ ΔΓ. ἐὰν οὖν ἀπὸ
5	δεδομένης τῆς ΔΓ δεδομένη ἡ ΔΒ ἀφαιρεθῇ, καὶ ἡ ὑπολειπομένη δέδοται.
sch 182-188t	Ad prop. 86
sch 182	Λοιποῦ ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν ΔΓΒ p. 168, 23] τὸ γὰρ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ ἐστίν, ὅταν ἀφαιρε‐ θέντος τοῦ δοθέντος τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἔχει δεδομένον, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.
sch 183	Ὡς δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ p 170, 4] ἐὰν γὰρ τὴν ΒΔ τῇ ΑΒ ἐπ’ εὐθείας ποιήσωμεν, δῆλον· ὡς γὰρ τὰ παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα, οὕτως καὶ αἱ βάσεις.
sch 184	Ἐὰν γὰρ εὐθεῖα ὡς ἡ ΒΓ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Δ, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑκατέρου τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθο‐ γωνίῳ, ὡς ἐν τῷ βʹ θεωρήματι τοῦ βʹ βιβλίου Εὐκλείδου.
sch 185	Καὶ συνθέντι ἄρα p. 170, 18—19] ἐὰν γὰρ συν‐ αμφοτέρου τῆς ΒΓΔ πρὸς τὴν ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς, συνθέντι συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΒΓΔ μετὰ τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς· συναμφότερος δὲ ἡ
5	ΒΓΔ μετὰ τῆς ΒΔ δύο εἰσὶν αἱ ΓΒ.	313
sch 186	Ὡς δὲ ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ p. 170, 21] ἐὰν γὰρ ποιήσωμεν ἐπ’ εὐθείας τὴν ΓΒ τῇ ΒΑ καὶ ἴσην τὴν ΒΔ τῇ ΒΕ, δῆλον, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ, τουτέστι τὸ ΕΓ πρὸς τὸ ΔΕ·
5	ὡς γὰρ αἱ βάσεις, οὕτως τὰ παραλληλόγραμμα.
sch 187	Καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ p. 170, 22] ἐπεὶ γὰρ δέδοται ἑκατέρα τῶν ΓΒ, ΒΔ, καὶ τὸ ὑπ’ αὐτῶν δεδο‐ μένην ἔχει γωνίαν· ὀρθογώνιον γάρ· δέδοται τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ, ὡς ἐν τοῖς ὅροις. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς
5	ΒΔ δοθέν· τετράγωνον γάρ· λόγος ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ ἐστι δοθεὶς διὰ τὸ αʹ.
sch 188	Δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ p. 172, 3] ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τῆς ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ δοθείς, τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΒΑ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ΒΔ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ. ἑκάστη ἄρα τῶν
5	ΑΒ, ΒΓ δοθεῖσα.
sch 189t	Ad prop. 87
sch 189	Ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΓ δοθεῖσα p. 172, 16] διὰ τὸ ἐν ἡμικυκλίῳ· ὑπόκειται γὰρ τὸ ΑΕΓ δεχόμενον γωνίαν δοθεῖσαν κατὰ τὸν ὅρον.
sch 190t	Ad prop. 89
sch 190	Ἐπεὶ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν Β, Δ p. 176, 1] δέδοται ἐξ ἀρχῆς τὸ Β, καὶ τὸ Δ δὲ διὰ τὸ τὸν κύκλον
sch 190	δεδόσθαι τῇ θέσει.	314
sch 191-192t	Ad prop. 90
sch 191	Καί ἐστιν ὀρθή p. 176, 18] διὰ τὸ ιηʹ τοῦ γʹ βιβλίου τῶν στοιχείων.
sch 192	Τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΔΓ p. 176, 19] διὰ τὸ ἀνά‐ παλιν τοῦ ιϛʹ θεωρήματος τοῦ γʹ βιβλίου Εὐκλείδου.
sch 193-194t	Ad prop. 92
sch 193	Δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΑ, ΑΕ p. 180, 10—11] ταῦτα δέδεικται ἐν τῷ σχολίῳ τῷ ἐν τῷ ἐπάνωθεν, ὅπου σημεῖον τόδε ※.
sch 194	Καί ἐστιν ἴσον p. 180, 11] ὡς δέδεικται ἐν τῷ γʹ βιβλίῳ Εὐκλείδου ἐν τῷ λεʹ θεωρήματι.
sch 195-203t	Ad prop. 93
sch 195	Τῆς κάτω p. 180, 20] τουτέστι τῆς ὑπὸ τὴν ἀχθεῖσαν καὶ ἀπολαμβάνουσαν τὸ τμῆμα τὸ δεχόμενον τὴν δεδομένην γωνίαν.
sch 196	Διὰ τὰ αὐτὰ δή p. 182, 11] ἡ γὰρ ὑπὸ ΒΑΔ ἡμίσεια οὖσα τῆς ὑπὸ ΒΑΓ δοθείσης δοθεῖσά ἐστιν.
sch 197	Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ p. 182, 14] διὰ τὸ γʹ
sch 197	θεώρημα τοῦ ϛʹ βιβλίου τῶν στοιχείων.	315
sch 198	Καὶ ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΒΑΓ p. 182, 16—17] ὡς γὰρ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸ ἅπαντα τὰ ἑπόμενα.
sch 199	Ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ p. 182, 19] ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς περιφερείας τῆς ΑΒ βεβήκασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΒΔΓΑ.
sch 200	Ἔστιν ἄρα ὡς [ἡ ΑΓ p. 182, 22—23] περὶ γὰρ τὰς ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν.
sch 201	Πῶς ἐστιν, ὡς ΑΓ πρὸς ΓΕ, οὕτως συν‐ αμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ; ἐπεὶ τοῦ ΒΑΓ τριγώνου ἡ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δίχα τέτμηται, ἔστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ,
5	ὡς ἐν τῷ ϛʹ τῶν στοιχείων. συνθέντι ὡς συναμφό‐ τερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ· καὶ ἐναλλὰξ ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ.
sch 202	Πῶς, ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ; ἐδείχθη, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν
5	ΒΓ· καὶ ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ· ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ γὰρ τὰ μεγέθη.	316
sch 203	Πῶς ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΒΕΔ τρίγωνον τῷ ΑΕΓ τριγώνῳ; ἴση ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Γ τῇ πρὸς τῷ Δ· ἀλλὰ καὶ κατὰ κορυφὴν αἱ ὑπὸ ΒΕΔ, ΓΕΑ· καὶ λοιπὴν ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΕ τῇ ὑπὸ ΕΑΓ ἴση διὰ τὸ καὶ
5	τὸ ΔΓ τμῆμα ὑποτείνειν αὐτάς.
sch 204-207t	Ad prop. 94
sch 204	Πόθεν, ὅτι ἡ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἀγομένη ὡς ἐπὶ τὸ Ε πίπτει καὶ οὐκ ἐπὶ τὸ Η ἢ ἐνδοτέρω; καὶ σαφέστερον εἰπεῖν· κέντρου ὄντος τοῦ Η καὶ τῇ ΒΗ διαμέτρῳ πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῆς ΝΗΞ, δεικτέον, ὅτι
5	ἡ ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη οὔτε ἐπὶ
5	τὸ Η πίπτει οὔτε ἐνδοτέρω τοῦ Η. ὅτι μὲν ἐκτὸς οὐ πεσεῖται τοῦ κύκλου, δῆλον· εἰ δὲ μή, ἐπ’ εὐθείας ἔσται τῇ ΑΔ· πιπτέτω δὲ ἐντὸς ὁπουδηποτοῦν τοῦ [Omitted graphic marker] ἡμικυκλίου, ὡς ἐπὶ τὸ Κ·	317
10	καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΗ διήχθω ἐπὶ τὸ Θ ἢ ὁπου‐ δηποτοῦν. ἐπεζεύχθω δὲ καὶ ἡ ΑΘ· διάμετρός ἐστιν ἡ ΚΘ, ἡμικύκλιόν ἐστιν
15	ἡ ΚΑΘ· ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΑΘ· ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΑΚ ὀρθή· ἴσαι ἄρα ἀλ‐ λήλαις, ἡ μείζων τῇ ἐλάσ‐ σονι· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ πρὸς ὀρθὰς ἀγο‐
20	μένη τῇ ΑΔ ἐπὶ τὰ ἐντὸς τοῦ κύκλου ὡς ἐπὶ τὰ Κ, Α, Β πεσεῖται· ἐπ’ ἐκεῖνα ἄρα ὡς ἐπὶ τὸ Ε.
sch 205	Ἡ ΘΑ διάμετρος p. 186, 4] πρὸς ὀρθὰς γὰρ ἦκται τῇ ΑΔ ἡ ΑΕ, καὶ παράλληλος ἡ ΕΖ τῇ ΑΔ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΔΑΕ, ΑΕΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὥστε καὶ ἡ πρὸς τῷ Ε ὀρθή ἐστιν· ἐν ἡμικυκλίῳ ἄρα ἐστίν·
5	διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ.
sch 206	P. 186, 7] οὕτως γὰρ κεῖται· καὶ τὸ Δ
sch 206	δοθὲν καὶ ὁ κύκλος τῇ θέσει δεδομένος.	318
sch 207	Ἴση ἄρα, φησίν, ὡς ἡ ΖΗ τῇ ΗΔ, καὶ ἡ ΘΖ τῇ ΑΔ· ἰσογώνια γὰρ τὰ ΑΔΗ, ΗΘΖ τρίγωνα· παραλλήλων γὰρ οὐσῶν τῶν ΑΔ, ΕΘ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΔΗ, ΗΖΘ ἴσαι εἰσίν. εἰσὶ δὲ διὰ
5	τὸν αὐτὸν λόγον καὶ αἱ ὑπὸ ΔΑΘ, ΑΘΖ ἴσαι ἀλλή‐ λαις· καὶ αἱ πρὸς τῷ Η κατὰ κορυφὴν οὖσαι ἴσαι εἰσίν· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΗΘ πρὸς ΗΑ, ἡ ΖΗ πρὸς ΗΔ. ἴση δὲ ἡ ΘΗ τῇ ΗΑ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΗ τῇ ΗΔ. ὁμοίως καὶ ἡ ΘΖ τῇ ΑΔ ἴση ἐστίν.
sch 208	Δοθὲν ἄρα ἐστί p. 186, 15] τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖΘ
sch 208	δοθέν ἐστι διὰ τὸ ϛβʹ.	319
app sch 1t	Ad prop. 30 demonstr. quart.
app sch 1	Δοθεῖσα ἄρα ἐστίν p. 196, 8] ἐπεὶ γὰρ ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΒΓ εὐθειῶν δέδοται τῇ θέσει, δέδοται ἡ ὑπὸ ΑΕΔ γωνία τῷ μεγέθει, ὡς ἐν τοῖς ὅροις· δύ‐ ναμαι γὰρ αὐτῇ ἴσην πορίσασθαι.
app sch 2-6t	Ad prop. 33 demonstr. alt.
app sch 2	P. 198, 1] ὅτι τὸν αὐτὸν ἀεὶ τόπον ἐπέχουσιν. ~ αἳ γὰρ περιέχουσαί εἰσιν εὐθεῖαι, τῇ θέσει δεδομέναι εἰσίν.
app sch 3	Τὸν γὰρ αὐτὸν ἀεὶ τόπον ἐπέχουσιν αἱ ΒΗ, ΗΔ.
app sch 4	Τουτέστι τῇ ΗΒ p. 198, 6] αἱ γὰρ ΗΒ, ΗΔ ἴσαι εἰσίν· ἐκ τοῦ κέντρου γάρ εἰσι τοῦ κύκλου· ἐξ ἀρχῆς δὲ ἐτέθη ἴση τῇ ΕΖ ἡ ΗΔ.
app sch 5	Ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΘΗ p. 198, 7] ἐὰν τριγώνου παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν εὐθεῖα γραμμὴ ἀνάλογον τέμῃ τὰς τοῦ τριγώνου πλευράς, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΖΘ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΘ· ἴση δὲ ἡ ΕΖ
5	τῇ ΒΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΗΘ.	323
app sch 6	Δοθεῖσα δὲ ἡ ὑπὸ ΘΗΖ p. 198, 8—9] ἡ γὰρ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΒΗΔ δοθεῖσά ἐστιν, ὡς ἐδείχθη ἀνωτέρω.
app sch 7t	Ad prop. 34 demonstr. alt.
app sch 7	Ὡς δὲ ἡ ΘΕ πρὸς ΕΚ p. 200, 3] διὰ τὸ δʹ τοῦ ϛʹ· ἰσογώνια γάρ ἐστι τὰ ΚΖΕ, ΕΘΗ τρίγωνα, ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας πλευραὶ ὑποτείνουσαι.
app sch 8-9t	Ad prop. 45 demonstr. alt.
app sch 8	Καί ἐστι δοθεῖσα p. 200, 12] ἐπεὶ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Α γωνία δεδομένη ἐστίν, ἴση δὲ ἡ πρὸς τῷ Α ταῖς Δ, Γ γωνίαις, ἡ ἐκτὸς δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναν‐ τίον ἴση ἐστίν, ἴσαι δέ εἰσι καὶ αἱ Δ, Γ γωνίαι, ὥστε
5	δεδομέναι εἰσὶν αἱ Δ, Γ γωνίαι.
app sch 9	Ἡμίσεια γάρ ἐστι p. 200, 12] ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ ΑΔΓ, ΔΓΑ ἴσαις οὔσαις ἀλλήλαις, ἡ ὑπὸ ΑΔΓ ἄρα ἡμίσειά ἐστι τῆς ὑπὸ ΒΑΓ.
app sch 10t	Ad prop. 46 demonstr. alt.
app sch 10	Καί ἐστιν αὐτῆς διπλῆ p. 202, 5] ἴση γάρ ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Δ γωνία τῇ πρὸς τῷ Γ· ἔστι δὲ ἡ
app sch 10	ὑπὸ ΒΑΓ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση· ὥστε τῆς πρὸς τῷ Δ μόνης διπλάσιόν ἐστιν. ἴσαι δὲ ἀλλή‐	324
5	λαις εἰσὶ κἀκεῖναι διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΑΔ τῇ ΑΓ καὶ ἰσοσκελὲς καθεστάναι τὸ τρίγωνον.
app sch 11-13t	Ad prop. 54 demonstr. alt.
app sch 11	Ἐκκείσθω δοθεῖσα p. 202, 12] τῷ μεγέθει· οὕτω γὰρ ἀεὶ λαμβάνει ἀοριστῶς λέγων.
app sch 12	Ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β p. 202, 21] ἐμά‐ θομεν γάρ, ὅτι, ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ἔσται.
app sch 13	Καὶ αἱ λοιπαὶ ἄρα πλευραί p. 204, 8] ἐπεὶ λόγος τῆς ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ δοθείς, ἔστι δὲ καὶ τὸ Α ὅμοιον τῷ Β, τῶν δὲ ὁμοίων σχημάτων αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, πρὸς ἃς αὗται ἀνάλογόν εἰσιν, κἀκεῖναι
5	δεδομέναι ἔσονται.
app sch 14-15t	Ad prop. 55 demonstr. alt.
app sch 14	Δέδοται ἄρα τῷ εἴδει p. 204, 19] ἐμάθομεν γὰρ ἐν τοῖς ὅροις, ὅτι εὐθύγραμμα σχήματα τῷ εἴδει δε‐ δόσθαι λέγεται, ὧν αἵ τε γωνίαι δεδομέναι εἰσί κτλ.
app sch 15	Διὰ τὰ αὐτὰ δή p. 204, 24] ὡς ἐν τῷ σχολίῳ τοῦ νβʹ· ἀπὸ γὰρ ἑκάστης ἀναγράφοντες τετράγωνον
app sch 15	ὁμοίως δείξομεν.	325
app sch 16-19t	Ad prop. 67 demonstr. alt.
app sch 16	Ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΓΔ p. 206, 13] σχόλιον. ἐκ τῶν λαμβανομένων τῇ ΓΔ τῇ αὐτῇ ἀποδείξει τῇ [Omitted graphic marker] ἐπὶ τοῦ ξδʹ χρησόμεθα. ἐκθέμενοι εὐθέως τὴν αβ
5	καὶ τῇ μὲν ΕΓ ἴσην τὴν αγ, τῇ δὲ ΑΗ τὴν γβ καὶ πρὸς ὀρ‐ θὰς ἀπὸ τοῦ γ τὴν γδ ἴσην οὖσαν τῇ ΓΔ καὶ
10	τὰ ἑξῆς ὡς ἐν τῷ ξδʹ θεωρήματι.
app sch 17	Σχόλιον. ὡς γὰρ ἡ ΕΓ πρὸς ΑΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΓΔ.
app sch 18	Τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΓΔ πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον p. 206, 15] διπλάσιον γάρ, φησίν, ἔστιν [Omitted graphic marker] αὐτοῦ. πῶς; ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ηθ, καὶ κείσθω τῇ μὲν ΓΔ ἴση ἡ
5	ηθ, τῇ δὲ ΑΖ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσα ἡ ηκ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ κθ παρ‐ αλληλόγραμμον, καὶ ἔστω διαγώνιος ἡ θκ ἀντὶ τῆς ΑΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν θη, ηκ ἐστι τὸ κθ, καί ἐστι δι’ αὐτοῦ
10	ἡ θκ· διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τοῦ κηθ τριγώνου· ἐπί τε γὰρ
10	τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστι τῆς ηθ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παρ‐ αλλήλοις ταῖς ηθ, κλ· καί ἐστι τὸ μὲν θκ παραλληλό‐ γραμμον ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΓΔ, τὸ δὲ κηθ ἴσον τῷ ΑΓΔ τριγώνῳ· διπλάσιον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΓΔ	326
15	τοῦ ΑΓΔ τριγώνου.
app sch 19	Πῶς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΓΔ τοῦ ΑΓΔ τριγώνου διπλάσιόν ἐστιν; δείξομεν οὕτως. ἤχθω διὰ τοῦ Α [Omitted graphic marker] τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΑΖ καὶ διὰ τοῦ Η τῇ ΑΖ
5	παράλληλος ἡ ΗΘ. δύο ἄρα παραλληλόγραμμά ἐστι τὰ ΑΘ, ΑΔ (ὑπό‐ κειται γὰρ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ παράλληλος) ἐπὶ τῆς
10	αὐτῆς βάσεως ὄντα τῆς ΑΗ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΗ, ΖΔ· ἴσον ἄρα τὸ ΑΘ παραλληλό‐ γραμμον τῷ ΑΔ παραλληλογράμμῳ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΑΗ ἐστι τὸ ΑΘ, ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ ΓΔ, καὶ
15	τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΓΔ ἐστι τὸ ΑΘ· διπλάσιον δὲ τὸ ΑΘ τοῦ ΑΓΔ τριγώνου, ἐπεὶ καὶ τὸ ΑΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΓΔ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΓΔ
15	τριγώνου.	327
app sch 20-31t	Ad prop. 67 demonstr. tert.
app sch 20	Καί ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ p. 208, 7] διὰ γὰρ τὸ ξϛʹ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον· ὥστε καὶ τὸ δίς.
app sch 21	Τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΑΓ p. 208, 11—12] ἐν τῷ βʹ τῶν στοιχείων ἐδείχθη τῷ ιγʹ θεωρήματι.
app sch 22	Τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΑΓ p. 208, 14] ἐν τῷ βʹ τῶν στοιχείων ἐδείχθη ἐν τῷ δʹ θεωρήματι.
app sch 23	Τουτέστι τῷ δὶς ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑΔ p. 208, 17—18] ἐὰν γὰρ λάβωμεν τὴν βα μίαν εὐθεῖαν [Omitted graphic marker] ὡς ἄτμητον, τὴν δὲ δαγ μίαν μὲν καὶ αὐτήν, τετμη‐
5	μένην δὲ κατὰ τὸ α, γίνεται τὸ ὑπό τε τῆς ἀτμήτου τῆς βα καὶ ἑκάστου τῶν τμημάτων τῶν δα, αγ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς δαγ καὶ τῆς αβ διὰ τὸ αʹ
10	τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν στοιχείων· ὥστε καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν βα, αδ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν βα, αγ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς γαδ καὶ τῆς αβ.
app sch 24	Καὶ τοῦ ὑπὸ συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΔΑΓ p. 208, 26] ἐὰν γὰρ ποιήσωμεν ἐπ’ εὐθείας τὴν ΔΑ τῇ ΑΓ ὡς τὴν ΔΑΓ καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ΔΓ πρὸς ὀρθὴν
app sch 24	ἀναστήσωμεν τὴν ΑΒ, δηλαδὴ ἴσης μενούσης τῆς μὲν	328
5	ΔΑ τῇ ΔΑ, τῆς δὲ ΑΓ τῇ ΑΓ, τῆς δὲ ΒΑ τῇ ΒΑ, ἔσται σαφὲς τὸ λεγόμενον· ὡς γὰρ αἱ βάσεις, οὕτω καὶ τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα.
app sch 25	Καὶ τοῦ δὶς ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΑΓ p. 210, 2] ἔστω εὐθεῖα ἡ δε, καὶ κείσθω τῇ μὲν ΔΑ ἴση ἡ δα, τῇ δὲ ΑΓ ἡ αγ, καὶ ἀπὸ τοῦ α τῇ δγ πρὸς [Omitted graphic marker] ὀρθὰς ἀνεστάτω ἡ αβ, καὶ
5	κείσθω ἡ αβ τῇ ΑΒ ἴση. ἐπεὶ οὖν ὁ τῆς δαγ πρὸς γα λόγος ἐστὶ δοθείς, ὡς δὲ ἡ δαγ πρὸς γα, οὕτως τὸ ὑπὸ δαγ, αβ πρὸς τὸ ὑπὸ γα, αβ, καὶ τοῦ
10	ὑπὸ δαγ, αβ πρὸς τὸ ὑπὸ γα, αβ ἄρα λόγος ἐστίν. ἔστι δὲ καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν γα, αβ πρὸς τὸ αβγ τρίγωνον λόγος δοθεὶς διὰ τὸ ξϛʹ θεώ‐ ρημα· καὶ τὸ ὑπὸ δαγ, αβ ἄρα πρὸς τὸ αβγ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ ηʹ θεώρημα.
app sch 26	Καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΓΖ p. 210, 21—22] ἐὰν γὰρ συμπληρώσωμεν τὸ ὑπὸ τῶν βα, αγ παραλληλό‐ γραμμον ὡς τὸ αη, καὶ [Omitted graphic marker] διὰ τοῦ ζ παράλληλον
5	ἀγάγωμεν τῇ αβ, ἔπειτα ἀφέλωμεν τὸ ὑπὸ τῶν βαζ, καταλείπεται τὸ ζη παρ‐ αλληλόγραμμον, ὅ ἐστιν
5	ὑπὸ τῶν βα, ζγ· τῇ γὰρ βα ἴση ἐστὶν ἡ ζκ.	329
app sch 27	Ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ ἀφέλω‐ μεν τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΖ, τὸ καταλειπόμενόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΖΓ.
app sch 28	Ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΓ, ΑΒ p. 212, 6] εἰ γὰρ τὴν ΖΓ ἐπ’ εὐθείας τῆς ΕΓ νοήσωμεν καὶ κοινὸν ὕψος τὴν ΒΑ, ἔσται τὸ λεγόμενον δῆλον· ὡς γὰρ ἡ ΕΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΕΑ
5	παραλληλόγραμμον, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓ, ΒΑ, πρὸς τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΖΓ, ΑΒ.
app sch 29	Τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΓΕ πρὸς τὸ ΑΒΓ p. 212, 7—8] διὰ τὸ τὴν ΓΕ κάθετον εἶναι ἐπὶ τὴν ΒΑ ἐκβαλλομένην καὶ γίνεσθαι διπλάσιον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΕΓ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.
app sch 30	Ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Γ τῇ ΕΒ παράλληλον ἀγάγω‐ μεν καὶ διὰ τῶν Α, Β τῇ ΕΓ παραλλήλους ἀγάγωμεν, ἔσται δῆλον. τὸ γὰρ ὑπὸ ΕΓ, ΑΒ ἐστι τὸ ΑΒ, καὶ τὸ ΑΒ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, καὶ διὰ
5	τοῦτο λόγον ἔχει πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δεδομένον.
app sch 31	Ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Γ τῇ ΕΒ παράλληλον ἀγάγω‐ μεν καὶ διὰ τῶν Α, Β τῇ ΕΓ παραλλήλους ἀγάγωμεν, ἔσται δῆλον· ἡ γὰρ ἀπὸ τοῦ Α ἴση ἐστὶ τῇ ΕΓ, ὡς
app sch 31	ἔχει ἄνω τὸ σχόλιον.	330
app sch 32-35t	Ad prop. 67 demonstr. quart.
app sch 32	Πῶς μὲν τὴν ὑπὸ ΔΕΓ δύναμαι συστήσασθαι ἴσην τῇ ὑπὸ ΑΔΓ χωρὶς τῶν Ἀπολλωνίου; οὕτως. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῇ ὑπὸ ΑΔΓ, μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΔ τῆς ὑπὸ ΑΔΓ. κείσθω οὖν ἴση
5	τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἡ ὑπὸ ΒΔΕ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ. ἔστι δὲ κοινὴ ἡ πρὸς τῷ Β γωνία τοῦ τε ΔΒΓ τρι‐ γώνου καὶ τοῦ ΔΒΕ. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΕΓ ἐστιν ἴση.
app sch 33	Πῶς δὲ δυνατὸν καθόλου ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου ὡς τοῦ α ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ὡς τὴν βγ καταγαγεῖν εὐθεῖαν ἴσην ποιοῦσαν γωνίαν τῇ δο‐ θείσῃ τῇ ὑπὸ δεζ; δείξομεν οὕτως. ἡ γὰρ ὑπὸ δεζ
5	[Start of a diagram]ζ δ θ ε ὀξεῖα[End of a diagram] [Start of a diagram]α β η κ γ[End of a diagram] [Start of a diagram]δ λ ε ζ ἀμβλεῖα[End of a diagram] ἢ ὀρθή ἐστιν ἢ ὀξεῖα ἢ ἀμβλεῖα. εἰ μὲν οὖν ὀρθή, φανερόν· ἄγω γὰρ ἀπὸ τοῦ α κάθετον τὴν αη· καὶ
10	ἔσται ἴση ἡ ε τῇ η. ἀλλὰ δὴ ἔστω ὀξεῖα ἡ ὑπὸ δεζ. καὶ ἤχθω κάθετος ἀπὸ μὲν τοῦ δ ἐπὶ τὴν εζ ἡ δθ,
10	ἀπὸ δὲ τοῦ α ἐπὶ τὴν βγ ἡ αη, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ αη εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ α τῇ ὑπὸ εδθ ἴση ἡ ὑπὸ ηακ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ δεζ ἴση ἐστὶ	331
15	τῇ ὑπὸ ακη. ἀλλὰ δὴ ἔστω ἀμβλεῖα ἡ ὑπὸ δεζ. ἐκ‐ βληθείσης ἄρα τῆς ζε ὀξεῖα ἔσται ἡ ὑπὸ δελ. κάθετος οὖν ἤχθω ἡ δλ, καὶ τῇ ὑπὸ λδε ἴση κείσθω ἡ ὑπὸ ηακ. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ δελ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ακη, ὥστε καὶ ἡ ἐφεξῆς ἡ ὑπὸ δεζ τῇ ἐφεξῆς τῇ ὑπὸ ακγ ἴση ἐστίν.
app sch 34	Τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΒ p. 214, 6—7] ἐὰν γὰρ εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν τμημάτων καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ προ‐
5	ειρημένου τετραγώνῳ.
app sch 35	Ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΔ p. 214, 7—8] ἐὰν γὰρ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον, τὸ ὑπὸ πρώτης καὶ τρίτης ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς δευτέρας.
app sch 36-39t	Ad prop. 68 demonstr. alt.
app sch 36	Πῶς δυνατὸν ποιῆσαι, ὡς τὸ Α παραλληλόγραμ‐ μον πρὸς τὸ Β παραλληλόγραμμον, οὕτως τὴν Κ πρὸς Λ; εἰλήφθω τῶν ΓΔ, ΕΖ τρίτη ἀνάλογον. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης
5	πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀνα‐ γραφόμενον, καὶ λοιπὸν ὡς ἐπὶ εὐθειῶν γεγονέτω, ὡς
5	ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως ἡ Κ πρὸς Λ.	332
app sch 37	Τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β p. 218, 3] ὡς δέδεικται ἐν τῷ ϛʹ βιβλίῳ τοῦ Εὐκλείδου ἐν τῷ κγʹ θεωρήματι.
app sch 38	Ἀλλὰ μὲν καὶ ἡ Κ p. 218, 6] ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ληφθῇ τις μία εὐθεῖα, ἡ μία τῶν πρότε‐ ρον πρὸς τὴν ἑτέραν λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ πρώτη πρὸς τὴν ἔξωθεν, ὡς ἔτυχεν,
5	ληφθεῖσαν καὶ ὃν ἡ ληφθεῖσα πρὸς τὴν ἑτέραν.
app sch 39	Ὁ ἄρα συγκείμενος p. 218, 8] κεῖται δὲ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως ἡ Κ πρὸς Λ· ὥστε καὶ ἡ Κ πρὸς Λ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν, τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ καὶ ἡ ΘΓ πρὸς ΕΗ.
app sch 40t	Ad λῆμμα τοῦ ἐπάνω p. 224.
app sch 40	Πῶς δοθέν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἀμβλείας ὑποκειμένης τῆς Β γωνίας ἢ ὀξείας; τὸ λημμάτιον ἐν τῷ τέλει εὑρήσεις, ὅπου σημεῖον τόδε α※.
app sch 41-43t	Ad prop. 91 demonstr. alt.
app sch 41	Δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΖ p. 226, 9] ἐπεὶ γὰρ δεδομέναι εἰσὶν αἱ ΑΖ, ΖΔ, καὶ ὅλη ἡ ΑΔ δέδοται διὰ τὸ γʹ· ὥστε ἑκατέρα τῶν ΑΔ, ΑΖ δέδοται. καὶ δῆλον, ὅτι τὸ ὑπ’ αὐτῶν περιεχόμενον δέδοται, ὡς
5	ἐν τοῖς ὅροις· ὅ τε γὰρ λόγος τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΔΖ δέδοται, ἐπειδήπερ ἑκατέρα τῶν ΑΔ, ΔΖ δέδοται διὰ
5	τὸ αʹ, καὶ αἱ γωνίαι δεδομέναι εἰσίν· ὀρθαὶ γάρ.	333
app sch 42	P. 226, 10] ἐὰν γὰρ διάμετρον ἀγάγωμεν, τὰ λοιπὰ δῆλα, ὡς ἐν τῷ γʹ τῶν στοιχείων ἐν τῷ λδʹ θεωρήματι· ὅλαι γὰρ αἱ τέμνουσαι εὐθεῖαι τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων ἴσον ἔχουσι τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης.
app sch 43	Ἑκάτερον γὰρ αὐτῶν ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τοῦ κύκλου.
app sch 44-48t	Ad prop. 93 demonstr. alt.
app sch 44	Πῶς ἡ ὑπὸ ΑΓΒ ἑκατέρας τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΒΕ ἐστι διπλῆ; ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι δίχα τέμνει τὴν ὑπὸ ΑΓΒ. ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΓΕΒ ἐκτός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ, ἴση ἐστὶ ταῖς ὑπὸ ΓΕΒ, ΕΒΓ·
5	αἱ δὲ ὑπὸ ΓΕΒ, ΕΒΓ τῆς ὑπὸ ΕΒΓ διπλαῖ εἰσιν· ἴσαι γὰρ ἀλλήλαις εἰσίν, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΕΓ πλευρᾷ τῇ ΒΓ ἴση· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῆς ὑπὸ ΓΒΕ. ἔστι δὲ καὶ τῆς ὑπὸ ΑΓΔ διπλῆ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῇ ὑπὸ ΓΒΕ.
app sch 45	Τουτέστι τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ p. 226, 19] τὸ γὰρ αὐτὸ τμῆμα ὑποτείνει αὐτὰς τὸ ΑΔ.
app sch 46	Καὶ ἐπεὶ ἰσογώνιόν ἐστι p. 228, 1] ἴση γὰρ ἡ ὑπὸ ΓΑΒ τῇ ὑπὸ ΓΔΒ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΔ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ ἴση διὰ τὸ τὴν ὑπὸ ΓΒΕ τῇ ὑπὸ ΓΕΒ
app sch 46	ἴσην, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΓΒ τῇ ΓΕ ἴση, ἴση δὲ ἡ ὑπὸ	334
5	ΓΒΕ τῇ ὑπὸ ΔΒΖ· ὥστε καὶ λοιπὴ ἤτοι ἡ ΕΒΑ τῇ ὑπὸ ΒΖΔ ἐστιν ἴση.
app sch 47	Τῆς γὰρ ὑπὸ ΖΓΒ γωνίας ἴσης οὔσης τῇ ὑπὸ ΓΒΕ συνάγεται ὅλη ἡ ὑπὸ ΖΒΕ ἴση δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΖΒΓ, ΖΓΒ, τουτέστι τῇ ὑπὸ ΔΖΒ.
app sch 48	Ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΑΓΒ p. 228, 4] πάλιν δ μεγέθη γίνεται ἀνάλογον, τὰ ΑΓΒ, ΑΒ, ΒΔ, ΔΖ.
app sch 49-50t	Ad prop. 93 demonstr. tert.
app sch 49	Καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΔ p. 230, 3] ἐπεὶ γὰρ ἐν κύκλῳ ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράπλευρον, αἱ ἄρα ἀπ‐ εναντίον αἱ ὑπὸ ΑΒΔ, ΔΓΑ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ἀλλὰ καὶ αἱ ὑπὸ ΔΓΑ, ΔΓΖ δυσὶν ὀρθαῖς
5	ἴσαι εἰσίν. κοινῆς ἀφαιρουμένης τῆς ΔΓΑ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ τῇ ὑπὸ ΔΓΖ ἐστιν ἴση.
app sch 50	Καὶ ὁμοίως τῷ πρότερον δείξομεν p. 230, 18] ἐπειδὴ γάρ, ὡς εἴρηται ἐν τῇ κατασκευῇ τοῦ ϙγʹ θεω‐ ρήματος, τῆς Α γωνίας δίχα τμηθείσης καὶ τῶν τῆς βάσεως τμημάτων τὸν αὐτὸν ἐχόντων λόγον ταῖς πλευ‐
5	ραῖς συνήγετο, ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως συν‐ αμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς ΒΓ· ἀλλ’ ἐπεὶ ἰσογώνιον τὸ
5	ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΓΕΔ τριγώνῳ, ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ	335
10	πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ. τὸ ἄρα ὑπὸ πρώτης καὶ τετάρτης, τουτέστι τὸ ὑπὸ συν‐ αμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς ΕΔ ἴσον τῷ ὑπὸ δευτέρας καὶ τρίτης, τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΓΔ· δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν
15	ΒΓ, ΓΔ· δοθεῖσα γὰρ ἑκατέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ διὰ τὸ πηʹ· ἡ μὲν γὰρ ΒΔ ἀπολαμβάνει τμῆμα τὸ ΒΑΓΔ ἔχον δεδομένην γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΔ, ἡ δὲ ΓΔ τὸ ΔΒΑΓ τμῆμα ἔχον δοθεῖσαν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΔΑΓ· δοθὲν
15	ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς ΕΔ.	336

sch

1-4t

sch

1

sch

2

sch

3

sch

4

sch

5t

sch

5

sch

6t

sch

6

sch

7t

sch

7

sch

8t

sch

8

sch

9t

sch

9

sch

10t

sch

10

sch

11t

sch

11

sch

12t

sch

12

sch

13t

sch

13

sch

14t

sch

14

sch

15-18t

sch

15

sch

16

sch

17

sch

18

sch

19-23t

sch

19

sch

20

sch

21

sch

22

sch

23

sch

24t

sch

24

sch

25-26t

sch

25