TLG 5022 001 :: SCHOLIA IN EUCLIDEM :: Scholia in Euclidis elementa (scholia vetera et recentiora)

SCHOLIA IN EUCLIDEM Schol.
(Varia)

Cf. et PROCLUS Phil. (4036 011)

Scholia in Euclidis elementa (scholia vetera et recentiora)

Source: Stamatis, E.S. (post J.L. Heiberg) (ed.), Euclidis opera omnia, vols. 5.1–5.2, 2nd edn. Leipzig: Teubner, 1977: 5.1:39–243; 5.2:1–350.

  • Scholia in libros 1–5: vol. 5.1, pp. 39–243
  • Scholia in libros 6–13: vol. 5.2, pp. 1–309
  • Appendix scholiorum 1 (in libros 14–15): vol. 5.2, pp. 311–324
  • Appendix scholiorum 2 (in libros 14–15): vol. 5.2, pp. 325–336
  • Appendix scholiorum 3 (in libros 14–15): vol. 5.2, pp. 337–350

Citation: Book — scholion — (line)

t

1

SCHOLIA IN ELEMENTA

1

t

In librum 1

1

.

1

[Τὴν γεωμετρίαν διαιροῦσ]ιν εἴς τε τὴν ἐπίπεδον καὶ τὴν στερεομετρίαν, καὶ ὑπὸ ταύτας ἀνάγουσι πάσας τὰς ὕλῃ χρωμένας, οἷον ἀστρονομίαν, γεωδεσίαν καὶ τὰς ἄλλας, ὅσαι ὑπὸ μηχανικὴν τελοῦσι. ὑπὸ δὲ ἀριθμητικὴν ἄγουσι
5μουσικήν, λογιστικήν. ἐπεὶ οὖν περὶ τὸ συνεχὲς ἔχει γεω‐ μετρία, δῆλον, ὅτι γνῶσιν αὐτὴν δεῖ λέγειν. γνώσεων δὲ οὐσῶν αἰσθήσεως, φαντασίας, πείρας, ἐμπειρίας, τέχνης, ἐπιστήμης, καὶ τῆς μὲν αἰσθήσεως τὰ ἐκτὸς ὁρώσης αἰσθη‐ τά, φαντασίας δὲ τὰ ἐντός, αἰσθητὰ μέντοι, λοιπὸν δὲ τῆς
10πείρας ἐπὶ τῶν πρακτῶν γινωσκούσης τὸ πρᾶγμα, οἷον ἐπὶ ἰατρικῆς ὅταν προσαγαγὼν τόδε τὸ φάρμακον γνῷ, ὅτι ὠφελήσει τόδε τὸ πάθος καὶ πάλιν τόδε τὸ κολλύριον, ἕκαστον μέντοι κατὰ μίαν χρῆσιν, εἶτα ἐκ πολλῶν πειρῶν λαμβάνει λόγον τινὰ καθ’ ὅλου, ὅτι, ἐπειδὴ καὶ τόδε τὸ
15πάθος ὠφέλησεν τόδε τὸ φάρμακον, ἔοικεν καθ’ ὅλου πρὸς τόδε τὸ πάθος ἐπιτήδειον εἶναι, καὶ οὕτως καθ’ ὅλου γινώσκει καὶ ἔχειν λέγεται ἐμπειρίαν, ἀλλ’ ὁρᾷς, ὅτι αἰτίαν οὐκ ἔχει, δι’ ἣν προσαγόμενον τῷδε τῷ πάθει ὠφελεῖ. ἐὰν δὲ ζητήσας εὕρῃ, ὅτι τόδε μὲν τὸ πάθος, εἰ τύχοι, ἐστὶν
20ὑγρόν, τόδε δὲ τὸ φάρμακον ξηρόν, τὰ δὲ ἐναντία τῶν ἐναν‐ τίων ἰάματα, ἔχει καὶ τὴν αἰτίαν, καί ἐστι τὸ τοιοῦτον
τέχνη καὶ διαφέρει τῆς ἐμπειρίας τῷ λόγον καὶ αἰτίαν λα‐ βεῖν. ἐπειδὴ δὲ τῶν γνώσεων τούτων τῶν ἐχουσῶν λόγον αἱ μὲν οὕτως ἔχουσιν, ὡς καὶ τὴν ὑποκειμένην ὕλην φθαρ‐
25τὴν ἔχειν, αἱ δὲ ὡς ἀείδιον, τὴν μὲν περὶ ἀείδιον ὕλην ἔχουσαν ἐπιστήμην ὀνομάζουσιν, τὴν δὲ περὶ φθαρτὴν τέχνην. τὰ δὴ μαθήματα οὔτε αἴσθησις γιγνώσκει· μερι‐ κῶν γὰρ γνωστική· οὔτε φαντασία· καὶ γὰρ αὕτη μερικῶν ἐστι γνωστική, εἰ καὶ ἐντὸς ὁρᾷ· ἀλλ’ οὔτε πεῖρα· λόγον
30γὰρ καὶ αἰτίαν οὐκ ἔχει πρὸς τῷ μηδὲ τὸ καθ’ ὅλου γινώ‐ σκειν· οὔτε ἐμπειρία δὲ οὔτε τέχνη· ὕλη γὰρ τῶν μαθη‐ μάτων ἀείδιος καὶ ἑστῶσα. λείπεται ἄρα ἐπιστημονικὴν εἶναι τὴν γνῶσιν αὐτῶν. ὥστε γεωμετρία ἐστὶ ἡ γνῶσις. καὶ ἐπειδὴ οὔτε ἔξωθέν ἐστι γνωστική, οὔτε μερικῶν πραγ‐
35μάτων οὔτε ὁλικῶν μέν, ἄνευ δὲ αἰτίας, ἢ ὁλικῶν μὲν καὶ μετ’ αἰτίας, περὶ φθαρτὰ δέ, ποιεῖται τὴν γνῶσιν (περὶ γὰρ ἀείδια), εἰκότως γνῶσιν αὐτὴν δεῖ λέγειν ἐπιστημονι‐ κήν, ἵνα χωρίσωμεν αἰσθήσεως, φαντασίας, πείρας, ἐμ‐ πειρίας, τέχνης, περὶ σχήματα ἔχουσαν. ἐπειδὴ δὲ οὐ μό‐
40νον περὶ σχήματα ἔχει, ἀλλὰ καὶ περὶ διαιρέσεις αὐτῶν καὶ συνθέσεις, εἰκότως λεκτέον περὶ σχήματα καὶ τὰ τούτων πάθη, λόγους τε καὶ συνθέσεις καὶ διαιρέσεις. καὶ οὗτος μὲν ὅρος τῆς γεωμετρίας, τὴν δὲ γενομένην αὐτῆς ἐπίδοσιν ἰστέον, ὡς ἔφαμεν, ἐν τῇ καθ’ ἡμᾶς περιόδῳ γεγενῆσθαι,
45μάλιστα δὲ ἐν τοῖς κατὰ Πλάτωνα χρόνοις· ὁ δὲ Εὐκλείδης γέγονεν μὲν κατὰ τὸν πρῶτον Πτολεμαῖον, τὰ δὲ σποράδην ὑπὸ τῶν παλαιοτέρων θεωρηθέντα συνήγαγεν αὐτὸς εἰς στοιχείωσιν, τάξιν αὐτοῖς καὶ ἀποδείξεις ἀκριβεστέρας ἐπιθεὶς ὡς πρὸς στοιχείωσιν. οὐ γὰρ ὅσον λέγειν δυνατόν,

1

.

1

(50)

γράφει ταῦτα, ἀλλ’ ὅσα στοιχειοῦν πέφυκεν, καὶ δι’ ὧν καὶ τὰ μὴ γραφόμενα ἔστιν εὑρίσκειν· εὑρήσεις δὲ τοὺς συλ‐ λογισμοὺς καὶ ἀπὸ αἰτιῶν καὶ ἀπὸ τεκμηρίων, πάντας δὲ ἀνελέγκτους καὶ ἐπιστημονικούς· πάσας τε ὁρᾶν ἔξεστι τὰς τῆς διαλεκτικῆς μεθόδους διαιρετικήν, ὁριστικήν, ἀπο‐
55δεικτικήν, ἀναλυτικήν. ὁ δὲ σκοπὸς τῆς πραγματείας ἐστὶν διπλοῦς κατά τε τὴν τῶν πραγμάτων φύσιν καὶ πρὸς τὴν τῶν ἐντυγχανόντων ὠφέλειαν. πρὸς μὲν γὰρ αὐτὰ τὰ πράγ‐ ματα βλέποντές φαμεν περὶ τῶν κοσμικῶν σχημάτων εἶναι τὴν πρόθεσιν· πέρας γὰρ ἡ τῶν πέντε σχημάτων
60διδασκαλία, ἃ καὶ Πλάτων εἰς τὴν τῶν στοιχείων σύστα‐ σιν παραλαμβάνει. πρὸς δὲ τὴν τῶν ἐντυγχανόντων ὠφέ‐ λειάν φαμεν στοιχείωσιν γράφειν· ἀπὸ γὰρ τούτων ὁρμώ‐ μενοι καὶ τὰ ἄλλα δυνησόμεθα γινώσκειν, χωρὶς δὲ τούτων οὐδέν· διὸ καὶ στοιχείωσις ὀνομάζεται. τῶν δὲ θεωρημά‐
65των καλουμένων τῶν μὲν στοιχείων, τῶν δὲ στοιχειωδῶν, τῶν μὲν στοιχείων ὀνομαζομένων ἡ θεωρία διικνεῖται πρὸς τὴν τῶν ἄλλων ἐπιστήμην, καὶ ἀφ’ ὧν ἐν τοῖς λοιποῖς ἀπό‐ ροις παραγίνεται λύσις, στοιχειωδῶν δὲ ὅσα διατείνει μὲν ἐπὶ πλέον, οὐ μέντοι ἐπὶ πάντα, οἷον τὸ ἐν τοῖς τριγώνοις
70τὰς ἀπὸ τῶν γωνιῶν καθέτους ἐπὶ τὰς πλευρὰς κα[θ’ ἓν ση]μεῖον συμπίπτειν. πάλιν τῶν στοιχείων δίχα λεγομέ‐ νων (καὶ γὰρ τὸ κατασκευάζον τοῦ κατασκευαζομένου, ὡς τὸ πρῶτον θεώρημα τοῦ δευτέρου, καὶ τὸ εἰς ἁπλούστερον διαιρεῖται τὸ σύνθετον, ὡς τὰ αἰτήματα στοιχεῖα τῶν θεω‐
75ρημάτων), κατὰ δὴ τὸ σημαινόμενον τοῦτο καὶ τὰ παρ’ Εὐκλείδῃ λέγεται στοιχεῖα, τὰ μὲν περὶ τὰ ἐπίπεδα, τὰ δὲ περὶ τὰ στερεὰ τὴν πραγματείαν ἔχοντα. ἐπεὶ οὖν ἡ γεω‐ μετρία ἐπιστήμη, διττὴ δὲ αὕτη, ἡ μὲν ἐξ ὑποθέσεως, ἡ δὲ ἀνυπόθετος, αὕτη [δὲ] ἐξ ὑποθέσεως, ἀνάγκη τὸν τὴν γεωμε‐
80τρίαν συντάττοντα χωρὶς μὲν παραδοῦναι τὰς ἀρχάς, χωρὶς δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ἀρχῶν, καὶ τῶν μὲν ἀρχῶν, εἰ καὶ τῷ τε‐ λείῳ φιλοσόφῳ εἰσὶν ἀποδεικταί, μὴ διδόναι λόγον, τῶν δὲ μετὰ τὰς ἀρχάς, ὃ καὶ Εὐκλείδης καθ’ ἕκαστον ὡς εἰ‐ πεῖν ποιεῖται βιβλίον. τὰς δὴ κοινὰς ταύτας ἀρχὰς διαιρεῖ
85εἴς τε τὰς ὑποθέσεις καὶ τὰ αἰτήματα καὶ ἀξιώματα· δια‐ φέρει γὰρ ταῦτα ἀλλήλων. ὅταν μὲν γὰρ γνώριμον ᾖ καὶ καθ’ αὑτὸ πιστὸν τὸ παραλαμβανόμενον, ἀξίωμα λέγεται,
ὅταν δὲ μὴ ἔχῃ μὲν ἔννοιαν ὁ ἀκούων αὐτόπιστον, τίθεται δὲ ὅμως καὶ συγχωρεῖ τὸ λαμβανόμενον, ὑπόθεσίς ἐστιν·
90οἷον τὸ τὸν κύκλον εἶναι σχῆμα τοιόνδε τὸ τρίγωνον, ὃ αὐ‐ τόθεν μὲν οὐκ ἔχει, συγχωρούμενον δὲ ὅμως· ὅταν δὲ καὶ ἄγνωστον ᾖ τὸ λεγόμενον καὶ μὴ συγχωροῦντος τοῦ μαν‐ θάνοντος ὅμως λαμβάνηται, αἴτημα τοῦτο καλοῦμεν, ὡς τὸ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας εἶναι. καὶ οὕτως μὲν
95Ἀριστοτέλης ταῦτα διορίζεται· τινὲς δὲ πάντα ὑποθέσεις προσεῖπον, ἄλλοι δὲ ἀξιώματα. πάλιν δὲ αὖ τὰ ἀπὸ τῶν ἀρχῶν εἰς προβλήματα διαιρεῖται καὶ θεωρήματα, τὰ μὲν τὰς γενέσεις περιέχοντα τῶν σχημάτων, τὰ δὲ τὰ καθ’ αὑτὰ συμβεβηκότα ἑκάστοις δεικνύοντα. καί φασιν πᾶν

1

.

1

(100)

πρόβλημα ἐπιδέχεσθαι τῶν κατηγορουμένων τῆς ἐν αὐτῷ ὕλης αὐτό τε ἕκαστον καὶ τὸ ἀντικείμενον. λέγω δὲ ὕλην μὲν αὐτὸ τὸ γένος, περὶ οὗ ἡ ζήτησις, οἷον τρίγωνον ἢ τετράγωνον, σύμπτωμα δὲ τὸ καθ’ αὑτὸ συμβεβηκός, ἴσον ἄνισον τομὴν θέσιν ἢ ἄλλο τι τοιοῦτον. ὅταν μὲν οὖν
105προτείνῃ τις ποιῆσαι, πρόβλημα λέγεται· ὅταν δὲ τὸ ὂν θεωρῆσαι, θεώρημα· καὶ ὅλως τὰ μὲν θεωρήματα καθ‐ όλου ἐστί, τὰ δὲ προβλήματα οὐκ ἔστι. Τοσαῦτα καὶ περὶ τούτων. τοῦ δὲ πρώτου βιβλίου ὁ σκοπός ἐστι τὰς ἀρχὰς παραδοῦναι τῆς τῶν εὐθυγράμμων
110θεωρίας. εἰ γὰρ καὶ φύσει τελειότερος ὁ κύκλος, ἀλλ’ ἡμῖν τοῖς ἀτελεστέροις μᾶλλον ἡ περὶ τούτων ἁρμόσει θεωρία· τοῖς αἰσθητοῖς οἰκεῖα τὰ εὐθύγραμμα, τοῖς δὲ νοητοῖς ὁ κύκλος, καὶ ἀπὸ τῶν εὐθυγράμμων ἡ γένεσις κατὰ Πλάτωνα τοῖς τέτρασι στοιχείοις. διαιρεῖται δὲ τὸ
115βιβλίον τριχῆ· τὸ μὲν γὰρ πρῶτον τὴν τῶν τριγώνων ἰδιότητα ἐμφανίζει, τὸ δεύτερον τῶν παραλληλογράμμων, τὸ τρίτον τὴν κοινωνίαν αὐτῶν. Σημεῖόν ἐστι οὗ μέρος οὐθέν. Ἀπὸ τῶν συνθέτων ἐπὶ τὸ ἁπλούστερον ἀναδεδράμηκεν,
120ἀπὸ μὲν τοῦ τριχῆ διαστατοῦ ἐπὶ τὸ διχῆ, ἀπὸ δὲ τούτου ἐπὶ τὸ ἐφ’ ἕν, ἀφ’ οὗ εἰς τὸ πάσης διαιρέσεως καθαρεῦον ἀναδραμὼν τὴν ἀρχὴν ποιεῖται· ἐπειδὴ δὲ τὰ πέρατα ταῦτα πολλαχοῦ διὰ τὴν ἁπλότητα τῆς τῶν συνθέτων ὑποστά‐ σεως δοκεῖ τιμιώτερα εἶναι, πολλαχοῦ δὲ συμβεβηκόσιν
125ἔ[οι]κεν, λέγω μὲν, ὅτι τὰ ἄυλα καὶ ἐν χωριστοῖς ὑφεστῶτα λόγοις ἀεὶ τὴν ἀρχικωτέραν ὑπόστασιν ἐκληρώσατο τῶν συνθέτων, οἷον ἐν νῷ καὶ ψυχαῖς· ἐκεῖ γὰρ τὰ ἁπλούστερα τῶν συνθέτων ἐστὶν ὑποστατικά. τὰ δὲ ὕλης δεόμενα καὶ ἐν ἄλλοις ἑδραζόμενα κατὰ τὸ σύνθετον μᾶλλον ἔχει τὴν
130ὑπόστασιν, καί εἰσιν οὐσιώδεις μᾶλλον οἱ τοιοῦτοι λόγοι. διὰ τοῦτο ἐν φαντασίᾳ καὶ τοῖς αἰσθητοῖς προηγουμένως μᾶλλόν εἰσιν οἱ τῶν περατουμένων λόγοι, ἑπόμενοι δὲ οἱ τῶν περατούντων. ἵνα γὰρ τὸ σῶμα μὴ εἰς ἀπειρίαν ἐκ‐ πέσῃ, ἡ τῆς ἐπιφανείας γέγονεν φύσις, καὶ ἵνα μὴ αὕτη,
135ἡ τῆς γραμμῆς, καὶ τὸ σημεῖον ἕνεκα τῆς γραμμῆς. τρα‐ νέστερον γὰρ ἡ ὕλη τοὺς συνθετωτέρους ἤπερ τοὺς ἁπλου‐ στέρους ὑπεδέξατο. πῶς οὖν ἐν νῷ καὶ ψυχῇ πάντων ὄντων ἀμερῶν ἐν ὕλῃ τὰ μὲν προηγουμένως ἐμερίσθη, τὰ δ’ ἔμει‐ νεν ἀμερῆ; ἢ καὶ ἐν τούτοις τάξις ἐστίν; τὰ μὲν γὰρ ἑνο‐
140ειδέστερα τῶν εἰδῶν ἐστι, τὰ δὲ συνθετώτερα, καὶ τὰ μὲν πέρατι σύστοιχα, τὰ δὲ ἀπειρίᾳ. καὶ τὸ σημεῖον ἀμερὲς ὃν ἐκεῖ πάντη κατὰ τὸ πέρας ὑφέστηκεν, ἔχει δὲ τὴν ἄπειρον δύναμιν κρυφίως, καθ’ ἣν ἀπογεννᾷ πάντα. ὁ δὲ τοῦ σώμα‐ τος λόγος τῆς τοῦ ἀπείρου μετέχει μᾶλλον δυνάμεως· διὸ
145καὶ ἐπ’ ἄπειρον τέμνεται. τὰ δὲ μεταξὺ τούτων τὰ μὲν πρὸς τῷ πέρατι, τὰ δὲ πρὸς τῷ ἀπείρῳ ἐστί. πέρας οὖν καὶ τὸ σημεῖον ὑπάρχον ἐν τῇ μεθέξει τὴν οἰκείαν φυλάττει δύνα‐ μιν, ἔχον δὲ τὴν ἀπειρίαν κρυφίως ἀπειραχῶς ἐμφαίνεται ἐν τοῖς ὑπ’ αὐτοῦ περατουμένοις. καὶ ἐπεὶ δύναμις ἦν ἐκεῖ

1

.

1

(150)

πάντα τίκτουσα, δυνάμει καὶ τοῦτο προῆλθεν φυλάττον μὲν τὴν ἀμερίαν, δεύτερον δὲ κατ’ οὐσίαν ὑπάρχον τῶν συνθέτων· μᾶλλον γὰρ ἡ ὕλη μετέσχεν τῶν σωμάτων ἢ τῆς ἐπιφανείας καὶ ταύτης μᾶλλον ἢ τῆς γραμμῆς καὶ ταύτης
ἢ τοῦ σημείου· ὁ γὰρ τοῦ σημείου λόγος πάσης ἐξηγεῖται
155τῆς σειρᾶς. διὸ καὶ ἄλλα μὲν ἄλλων πέρατα, τὸ δὲ σημεῖον πάντων. ὅτι δὲ οὐ κατ’ ἐπίνοιάν ἐστι μόνον, ὡς οἱ ἀπὸ τῆς στοᾶς φασιν, ἀποβλέψασιν εἰς τὰς περιφορὰς καὶ τὰ κέντρα τούτων καὶ τοὺς πόλους γίνεται δῆλον· τά τε γὰρ κέντρα κατ’ οὐσίαν ὑφέστηκεν συνεκτικὰ τῶν σφαιρῶν ὄντα καὶ
160οἱ ἄξονες καὶ οἱ πόλοι. οὕτως καὶ ἐπὶ τοῖς κέντροις καὶ τοῖς πόλοις οἱ Πυθαγόρειοι τάττουσιν δύναμιν, Ῥέας μὲν σφραγίδα τοὺς πόλους ὀνομάζοντες, Ζανὸς δὲ πύργον τὸ τοῦ παντὸς κέντρον, ἰυγγικὰς δὲ καὶ φρουρητικὰς αὐτοῖς δυνάμεις ἀποδιδόασιν οἱ βάρβαροι. ἆρ’ οὖν τὸ σημεῖον μό‐
165νον ἀμερὲς ἢ καὶ τὸ νῦν ἐν χρόνῳ καὶ ἡ μονὰς ἐν ἀριθμῷ καὶ τὸ κίνημα ἐν κινήσει; περὶ πάντων μὲν οὖν ὁ πρῶτος διαλέξεται φιλόσοφος, περὶ δὲ τῶν καθ’ ἕκαστα ὁ κατὰ τὴν οἰκείαν ἐπιστήμην· μόνον γὰρ οὐχὶ λέγει σαφῶς ὁ γεω‐ μέτρης, ὅτι τὸ κατ’ ἐμὲ ἀμερὲς σημεῖόν ἐστιν. ἐπειδὴ δὲ οἱ
170ἀποφατικοὶ λόγοι, ὥς φησιν ὁ Παρμενίδης, προσήκουσιν ταῖς ἀρχαῖς καὶ τοῖς πέρασι (πᾶσα γὰρ ἀρχὴ τῶν ἀπ’ αὐτῆς προϊόντων καθ’ ἑτέραν οὐσίαν ὑφέστηκεν, καὶ αἱ τού‐ των ἀποφάσεις τὴν ἐκείνων δηλοῦσιν ἡμῖν ὑπόστασιν), διὰ τοῦτο καὶ Εὐκλείδης τοῖς ἀποφατικοῖς ἐχρήσατο λόγοις
175ἐπὶ τῆς κατ’ αὐτὸν ἀρχῆς. οἱ δὲ Πυθαγόρειοι τὸ σημεῖον ὁρίζονται μονάδα θέσιν ἔχουσαν· οἱ γὰρ ἀριθμοὶ καὶ σχη‐ μάτων καὶ φαντασίας καθαρεύουσιν. τὸ δὲ σημεῖον ἐν φαν‐ τασίᾳ προτείνεται. πῶς οὖν οὐ μορφωτικῶς ὁρᾶται; ὅτι τῆς φανταστικῆς κινήσεως τὸ εἶδος οὔτε μεριστόν ἐστιν
180μόνως οὔτε ἀμερές· οὔτε γὰρ ἂν τοὺς πολλοὺς τύπους ὑπεδέχετο τοὺς δευτέρους τῶν πρώτων ἀμυδρῶν ὄντων. διττὴν οὖν ἔχουσα δύναμιν τὸ σημεῖον ἐν τῷ ἀμερεῖ αὐτῆς ὑποδέχεται. Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές.
185Δευτέραν ἔχει τάξιν ἡ γραμμή, καθ’ ὅσον τὸ πρῶτον ἔχει διάστημα καὶ ἁπλούστατον, ὅπερ ὁ γεωμέτρης μῆκος ἐκάλεσεν προσθεὶς τὸ ἀπλατές, ἐπειδὴ καὶ γραμμὴ πρὸς
τὴν ἐπιφάνειαν ἀρχῆς ἐπέχει λόγον· διὸ τὸ μὲν σημεῖον ἀποφατικῶς μόνως ἐδίδαξεν, τὴν δὲ γραμμὴν καὶ ἀποφα‐
190τικῶς καὶ καταφατικῶς. ἀπλατὴς δὲ ὡς τῶν ἄλλων καθα‐ ρεύουσα διαστημάτων· πᾶν γὰρ τὸ ἀπλατὲς καὶ ἀβαθές ἐστιν· διόπερ οὐ προσέθηκεν, ὅτι καὶ ἀβαθές. ἀλλ’ οὗτος μὲν ὁ ὅρος τέλειος, ὁ δὲ ῥύσιν εἰπὼν σημείου τὴν γραμμὴν ἔοικεν ἀπὸ τῆς γενικῆς αἰτίας αὐτὴν παράγειν καὶ οὐ πᾶ‐
195σαν γραμμήν, ἀλλὰ τὴν ἄυλον· ταύτην γὰρ ὑφίστησι τὸ σημεῖον ἀμερὲς ὄν. ἀλλὰ ταῦτα μὲν οὕτως, οἱ δὲ Πυθαγό‐ ρειοι τὸ μὲν σημεῖον ἀνάλογον ἐλάμβανον μονάδι, δυάδι δὲ τὴν γραμμὴν καὶ τριάδι τὸ ἐπίπεδον, τετράδι δὲ τὸ σῶμα. καίτοι Ἀριστοτέλης τριαδικῶς προσεληλυθέναι φησὶ τὸ

1

.

1

(200)

σῶμα ὡς διάστημα πρῶτον λαμβάνων τὴν γραμμήν. Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα. Πᾶν τὸ σύνθετον ἀπὸ τοῦ ἁπλοῦ, καὶ πᾶν τὸ μεριστὸν ἀπὸ τοῦ ἀμερίστου καταδέχεται τὸν ὅρον, καὶ τούτων εἰκόνες ταῖς ἀρχαῖς προτείνονται τῶν μαθημάτων. ὅταν
205γὰρ τὴν γραμμὴν ὑπὸ τῶν σημείων περατοῦσθαι λέγει, δῆλός ἐστιν αὐτὴν καθ’ αὑτὴν ἄπειρον ποιῶν. ὥσπερ οὖν ἡ δυὰς ὑπὸ τῆς μονάδος ὁρίζεται, οὕτως καὶ ἡ γραμμὴ ὑπὸ σημείου. ἀλλ’ ἐν μὲν φαντασίᾳ καὶ τοῖς αἰσθητοῖς αὐτὰ τὰ σημεῖα περατοῖ, ἐν δὲ τοῖς ἄλλοις εἴδεσι προϋφέστηκεν ὁ
210ἀμέριστος τοῦ σημείου λόγος, προιὼν δ’ ἐκεῖθεν οὗτος ὁ πρῶτος ἐπ’ ἄπειρον ἑαυτὸν διαστήσας καὶ κινούμενος ἐπ’ ἄπειρον καὶ ῥέων κρατεῖται μὲν ὑπὸ τῆς οἰκείας ἀρχῆς, ἑνίζεται δὲ ὑπ’ αὐτῆς καὶ περιλαμβάνεται. ἐκεῖ μὲν οὖν, ὅπερ ἔφην, τὸ πέρας ἐξῄρηται, ἐνταῦθα δὲ τὸ ἐν αὐτῷ
215ὑφεστός, καὶ τοῦτο φέροι ἂν ἔνδειξιν θαυμαστὴν τοῦ τὰ εἴδη μένοντα μὲν ἐφ’ ἑαυτῶν κατ’ αἰτίαν προηγεῖσθαι τῶν μετεχόντων, ἐπιδόντα δὲ ἐκείνοις ἑαυτὰ κατὰ τὴν ἐκείνων ἰδιότητα τὴν ὑπόστασιν λαμβάνειν συμπληθυνόμενα τοῖς ὑποκειμένοις καὶ ἀποπίπτοντα τῆς οἰκείας φύσεως. καὶ
220μὴν καὶ τοῦτο χρὴ εἰδέναι, ὅτι τριχῶς τῇ γραμμῇ κέχρηται ὁ γεωμέτρης· καὶ γὰρ ὡς ἐφ’ ἑκάτερα πεπερασμένῃ, ὡς
ἐπὶ τοῦ πρώτου θεωρήματος, καὶ ἐφ’ ἑκάτερα ἀπείρᾳ, ὡς ὅταν λέγῃ ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον, καὶ ὡς πε‐ περασμένῃ μὲν κατὰ τὸ ἕτερον, ἀπείρῳ δὲ κατὰ τὸ ἕτερον,
225ὡς ἐπ’ ἐκείνου τοῦ προβλήματος· ἐκ τριῶν εὐθειῶν, αἵ εἰσιν ἴσαι ταῖς δοθείσαις εὐθείαις, τρίγωνον συστήσασθαι. πρὸς δὲ τούτοις κἀκείνῳ ἐπιστήσωμεν, ὅτι γραμμῆς πέ‐ ρατά φησι σημεῖα οὔτε τῆς ἀπείρου οὔτε πάσης τῆς πεπε‐ ρασμένης· ἔστι γάρ τις γραμμὴ καὶ πεπερασμένη καὶ οὐκ
230ἔχουσα πέρατα σημεῖα, οἵα ἡ κυκλικὴ καὶ εἴ τις τοιαύτη. μήποτε οὖν γραμμὴν ὁρᾶν δεῖ, καθ’ ὅσον ἐστὶ γραμμή. Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ’ ἑαυτῆς ση‐ μείοις κεῖται. Πλάτων μὲν δύο τὰ ἁπλούστατα γραμμῆς εἴδη θέμενος
235εὐθεῖαν καὶ περιφερῆ τἄλλα πάντα ἐκ τούτων ὑφίστησι κατὰ μίξιν, ὅσα τε ἑλικοειδῆ καὶ ὅσα κατὰ τὰς τομὰς ὑφίσταται εἴδη καμπύλων γραμμῶν. καὶ ἔοικεν τὸ μὲν ση‐ μεῖον εἰκόνα φέρειν τοῦ ἑνός· ἀμερὲς γὰρ καὶ τοῦτο. καὶ ἐπειδὴ μετὰ τὸ ἓν ὑπέστη τὸ πέρας, τὸ ἄπειρον, τὸ μικτόν,
240καὶ αἱ τῶν γραμμῶν ἰδιότητες ἀπεικονίζονται τὰ τρία ἐκεῖνα, καὶ τῷ μὲν πέρατι ἀνάλογον ἡ περιφέρεια, τῷ δ’ ἀπείρῳ τὸ εὐθύ· ἐπ’ ἄπειρον γὰρ ἐκβαλλόμενον οὐ παύεται· τῷ δὲ μικτῷ τὸ ἐκ τούτων μικτόν. καὶ μέντοι καὶ Ἀριστο‐ τέλης περὶ τῶν γραμμῶν τὴν αὐτὴν ἔχει τῷ Πλάτωνι
245διάνοιαν. ἀμφισβητοῦσι δέ τινες πρὸς τὴν διαίρεσιν ταύτην καί φασιν μὴ δύο μόνας εἶναι τὰς ἁπλᾶς, ἀλλὰ καὶ τρίτην ἄλλην τὴν περὶ κύλινδρον ἕλικα γραφομένην· καὶ αὕτη γάρ, φασίν, ὁμοιομερὴς ὥσπερ αἱ ἄλλαι αἱ ἁπλαῖ ἥ τε περι‐ φερής· ἐφαρμόζει γὰρ καὶ ταύτης τὰ μόρια ἑαυτοῖς, τῶν

1

.

1

(250)

ἄλλων μικτῶν οὐκ ἐχουσῶν τοῦτο τὸ ἰδίωμα. οὔτε γὰρ ἡ περὶ κῶνον οὔτ’ ἡ περὶ σφαῖραν οὔτ’ ἡ περὶ ἄλλο σχῆμα ὁμοιομερής. μήποτε οὖν, φασί, τρεῖς αἱ ἁπλούσταται γραμ‐ μαί; λέξομεν δὴ πρὸς αὐτούς, ὅτι ὁμοιομερὴς μὲν ἡ τοιαύτη γραμμή, καὶ δέδειχεν Ἀπολλώνιος τοῦτο ἐν τῷ περὶ ἑλίκων,
255ἁπλῆ δὲ οὐδαμῶς ἐστιν· οὐ γὰρ ταὐτὸν ὁμοιομερὲς καὶ ἁπλοῦν· ὁμοιομερὴς μὲν γὰρ καὶ χρυσὸς καὶ ἄργυρος, ἀλλ’ οὐχ ἁπλοῦν. οὐδὲ ἡ τῆς κυλινδρικῆς ἕλικος γένεσις ἁπλῆ· γεννᾶται γὰρ τῆς μὲν εὐθείας κύκλῳ κινουμένης περὶ τὸν ἄξονα, τοῦ δὲ σημείου ἐπὶ τῆς εὐθείας. δύο τοίνυν αἱ κινή‐
260σεις αἱ ἀπογεννῶσαι καὶ τὴν τοιαύτην ἕλικα· οὐκ ἄρα τὸ ἁπλοῦν ἀποδώσομεν αὐτῇ, καὶ ὀρθῶς ὁ Γεμῖνος ἐκ πλειόνων μὲν κινήσεων ὑφίστασθαι καί τινα τῶν ἁπλῶν γραμμῶν· οὐ μέντοι πᾶσαν εἶναι τὴν τοιαύτην μικτήν, ἀλλὰ τὴν ἐξ ἀν‐ ομοίων. καὶ γὰρ εἰ τετράγωνον νοήσειας καὶ δύο κινήσεις
265ἰσοταχεῖς τὴν μὲν κατὰ τὸ μῆκος, τὴν δὲ κατὰ τὸ πλάτος, ὑποστήσεται ἡ διαγώνιος εὐθεῖα οὖσα καὶ οὐ διὰ τοῦτο μικτή. δόξειε δ’ ἂν ἀμφοτέρων οὐσῶν ἁπλῶν προηγεῖσθαι τῆς περιφεροῦς γραμμῆς ἡ εὐθεῖα· ἐπὶ ταύτης μὲν γὰρ οὐδὲ κατ’ ἐπίνοιάν ἐστιν ἀνομοιότης, ἐπὶ δὲ τοῦ περιφε‐
270ροῦς τὸ κοῖλον ὁρᾶται καὶ κυρτὸν διαφέροντα, καὶ ἡ εὐθεῖα οὐ συνεισάγει τὴν περιφέρειαν, συνεισάγεται δέ· καὶ γὰρ εἰ μὴ κατὰ γένεσιν, κατά γε τὴν πρὸς τὸ κέντρον σχέσιν. τί οὖν, εἰ λέγοι τις καὶ τὴν περιφέρειαν δεῖσθαι τῆς εὐθείας κατὰ τὴν γένεσιν; ὁ γὰρ κύκλος μενούσης τῆς εὐθείας κατὰ
275τὸ ἓν πέρας, κατὰ δὲ τὸ ἕτερον κινουμένης γίνεται. ἢ τὸ γράφον τὸν κύκλον τὸ σημεῖόν ἐστιν περὶ τὸν κύκλον φερόμενον; τὴν γὰρ ἀπόστασιν μόνον αὕτη ἀφορίζει. ἀλλὰ ταῦτα μὲν οὕτως, καὶ ἁπλαῖ μόνον αἱ δύο, καὶ διὰ ταύτην τὴν αἰτίαν καὶ ἡ ψυχὴ ἐκ τῶν δύο, περιφεροῦς καὶ εὐθείας,
280ὑπέστη ἐκ πέρατος καὶ ἀπείρου, ἵνα τὰ ἄλλα πάντα κατευ‐ θύνῃ, διὰ μὲν τοῦ πέρατος τὴν τοῦ πέρατος συστοιχίαν, διὰ δὲ τοῦ ἀπείρου τὴν ἑτέραν· τῷ μὲν εὐθεῖ τὴν πρόοδον ὑφίσταται, τῷ δὲ περιφερεῖ τὴν ἐπιστροφήν. καὶ μὴν καὶ ὁ τῇ ψυχῇ ταύτας τὰς δυνάμεις παραδοὺς ἀμφοτέρων ἔχει τὰς
285πρωτουργοὺς αἰτίας· καὶ γὰρ πρὸς ἑαυτὸν ἐπέστραπται μένων, ὥς φησιν Πλάτων, ἐν τῷ ἑαυτοῦ κατὰ τρόπον ἤθει, καὶ ἐπὶ πάντα πρόεισιν ταῖς δημιουργικαῖς προνοίαις.
Καὶ τοσαῦτα μὲν ἄν τις λέγοι καὶ περὶ τῆς πρὸς τὰ ὄντα τῶν εἰδῶν ὁμοιότητος· τὸν δὲ ὅρον τῆς εὐθείας τοῦτον
290ἀποδέδωκεν τὸν τρόπον καὶ δηλοῖ διὰ τούτων τὸ μόνην τὴν εὐθεῖαν ἴσον κατέχειν διάστημα τῷ μεταξὺ τῶν ἐπ’ αὐτῆς σημείων· ὅσον γὰρ ἀπέχει θάτερον ἀπὸ θατέρου σημεῖον, τοσοῦτον ἔχει καὶ ἡ μεταξὺ τούτων εὐθεῖα τὸ διάστημα, ὅπερ οὔτ’ ἐπὶ τῆς περιφεροῦς οὔτ’ ἐπὶ ἄλλης
295γραμμῆς σημαίνει. διὸ καὶ κατὰ κοινὴν ἔννοιαν τοὺς μὲν ἐπ’ εὐθείας βαδίζοντας τὴν ἀναγκαίαν μόνην ποιεῖσθαι πορείαν φασίν, τοὺς δὲ μὴ ἐπ’ εὐθείας οὐκέτι. ὁ δέ γε Πλά‐ των ἀφορίζεται τὴν εὐθεῖαν γραμμήν, ἧς τὰ μέσα τοῖς ἄκροις ἐπιπροσθεῖ. καὶ γὰρ τοῦτο τὰ μὲν ἐπ’ εὐθείας κεί‐

1

.

1

(300)

μενα πάσχειν ἀναγκαῖον, τὰ δ’ ἐπὶ ἑτέρας οἱασοῦν γραμμῆς οὐκέτι ἀναγκαῖον, ὅθεν καὶ τὸν ἥλιον ἐκλείπειν τότε φασίν, ὅτε ἐπὶ μιᾶς εὐθείας γένηται αὐτός τε καὶ ἡ σελήνη καὶ τὸ ἡμέτερον ὄμμα. ἴσως δ’ ἂν ἔνδειξιν φέροι τὸ πάθος τοῦτο τῆς εὐθείας τοῦ καὶ ἐν τοῖς οὖσι κατὰ τὰς προόδους τὰς ἀπὸ
305τῶν αἰτιῶν τὰ μέσα διαιρετικὰ γίνεσθαι τῆς τῶν ἄκρων ὑποστάσεως. ὁ δ’ αὖ Ἀρχιμήδης τὴν εὐθεῖαν γραμμὴν ἐλαχίστην τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν· καὶ μὴν καὶ οἱ ἄλλοι πάντες ὁρισμοὶ εἰς τὰς αὐτὰς ἐννοίας ἐμπίπτουσιν. διαιρεῖται δὲ ἡ γραμμὴ διαφόρως μὲν κατὰ Γεμῖνον καὶ
310ἄλλους τινὰς τῶν καὶ τὰς μικτὰς λαμβανόντων γραμμὰς εἰς τὴν διαίρεσιν. ὁ δὲ γεωμέτρης τὰς ἀρχοειδεστάτας παραδιδοὺς ἐνταῦθα μὲν τὸν τῆς εὐθείας ἀποδέδωκεν λό‐ γον, ἐν δὲ τῷ περὶ τοῦ κύκλου τῆς περιφεροῦς, μικτῆς δὲ οὐδαμοῦ μέμνηται· καίτοι γωνίας οἶδεν μικτὰς τὴν τῶν
315ἡμικυκλίων, τὴν κερατοειδῆ, καὶ σχήματα ἐπίπεδα μικτὰ τοὺς τομέας καὶ στερεὰ τοὺς κώνους καὶ κυλίνδρους, τῶν δὲ γραμμῶν διαλεγόμενος τούτων μόνον ἐμνημόνευσεν ἡγού‐ μενος δεῖν τοῖς περὶ τῶν ἁπλῶν τὰ ἁπλᾶ παραλαμβάνειν. Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει.
320Ἡ ἐπιφάνεια διχῆ διαστᾶσα καὶ ταύτῃ ὑποβᾶσα τήν τε
γραμμὴν καὶ τὸ σημεῖον ἀβαθὴς μείνασα τοῦ τριχῆ δια‐ στάντος ἁπλουστέραν ἔλαχεν φύσιν· διὸ καὶ ὁ γεωμέτρης τὸ μόνον προσέθηκεν ἐπὶ τοῖς δύο διαστήμασιν, ἵνα κἀν‐ ταῦθα τὴν μὲν ὑπεροχὴν τῆς ἐπιφανείας τὴν κατὰ τὴν
325ἁπλότητα τὴν πρὸς τὸ στερεὸν σημαίνῃ διὰ τῆς ἀποφάσεως ἢ τῆς ἰσοδυναμούσης τῇ ἀποφάσει προσθήκης, τὴν δὲ ὕφ‐ εσιν τὴν πρὸς τὰ πρὸ αὐτῆς διὰ τῶν καταφάσεων. ἄλλοι δὲ πέρας αὐτὴν ὡρίσαντο σώματος· τὸ γὰρ περατοῦν τοῦ περατουμένου μιᾷ λείπεται διαστάσει, ὡς ἐπιφάνεια σώμα‐
330τος, ἐπιφανείας δὲ γραμμή, γραμμῆς δὲ σημεῖον. Ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί. Καὶ ἀπὸ τούτων ὡς εἰκόνων ληπτέον, ὅτι πᾶν τὸ προσ‐ εχῶς ἑκάστου τῶν ὄντων ἁπλούστερον τὸν ὅρον ἐπάγει καὶ τὸ πέρας. καὶ γὰρ ἡ ψυχῆς τὴν φύσιν μετρεῖ καὶ τὰς ἐνερ‐
335γείας αὐτῆς καὶ νοῦς τὰς ψυχῆς περιόδους καὶ αὐτοῦ τοῦ νοῦ τὴν ζωὴν τὸ ἕν· πάντων γὰρ ἐκεῖνο μέτρον, ὥσπερ καὶ σημεῖον γραμμῆς καὶ ἐπιφανείας καὶ σώματος. εἰ δέ τις ἐπιζητοίη, πῶς πάσης ἐπιφανείας πέρατα γραμμαί (μὴ γὰρ τῆς πεπερασμένης πάσης· οὐδὲ γὰρ τῆς σφαίρας ἐπι‐
340φάνεια ὑπὸ τῶν γραμμῶν περιέχεται), ἐροῦμεν, ὅτι τὴν ἐπιφάνειαν, καθ’ ὅσον ἐστὶ διχῆ διαστατή, λαμβάνομεν κατά τε μῆκος καὶ πλάτος. εἰ δὲ τὴν σφαιρικὴν θεωροῖμεν, ἐσχηματισμένην αὐτὴν καὶ προσλαβοῦσαν ἄλλην ποιότητα λαμβάνομεν καὶ πέρας ἀρχῇ συνάψασαν καὶ ἐκ τῶν δύο
345περάτων ἓν ποιήσασαν, καὶ τοῦτο δυνάμει μόνον καὶ οὐ κατ’ ἐνέργειαν. Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ’ ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται. Τοῖς μὲν παλαιοτέροις τῶν φιλοσόφων οὐκ ἐδόκει τῆς

1

.

1

(350)

ἐπιφανείας εἶδος τίθεσθαι τὸ ἐπίπεδον, ἀλλ’ ὡς ταὐτὸν ἑκάτερον παραλαμβάνειν εἰς παράστασιν τοῦ διχῆ διαστάν‐ τος· οὕτω γὰρ καὶ ὁ θεῖος Πλάτων τὴν γεωμετρίαν τῶν
ἐπιπέδων ἔφατο θεωρητικήν, πρὸς τὴν στερεομετρίαν ταύ‐ την ἀντιδιαιρῶν ὡς ἂν τῆς αὐτῆς οὔσης τῷ ἐπιπέδῳ τῆς
355ἐπιφανείας. ὁ δ’ Εὐκλείδης γένος μὲν ποιεῖ τὴν ἐπιφάνειαν, εἶδος δὲ τὸ ἐπίπεδον, ὡς τῆς γραμμῆς τὴν εὐθεῖαν. διὸ καὶ τὸ ἐπίπεδον χωρὶς ἀφορίζεται τῆς ἐπιφανείας κατὰ τὸ ἀνά‐ λογον τῇ εὐθείᾳ· πάντας γὰρ τοὺς τῆς εὐθείας ὅρους εἰς τὸ ἐπίπεδον μετάγουσι τὸ γένος μόνον μεταλλάττοντες,
360καὶ ὁ γεωμέτρης ταύτην ὡρίσατο καὶ ἐπὶ ταύτης ὑπο‐ κειμένης θεωρεῖ τά τε σχήματα καὶ πάθη. εὐπορώτερος γὰρ ὁ λόγος ἐπὶ ταύτης ἢ ἐπ’ ἄλλης ἐπιφανείας. καὶ γὰρ εὐθεῖαν καὶ κύκλον καὶ πάντα σχήματα καὶ τὰ τούτων πάθη δυνατὸν θεωρῆσαι· ἐπὶ γὰρ τῶν ἄλλων, οἷον σφαιρι‐
365κῆς, πῶς ἂν εὐθεῖαν λάβοις; Ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπ’ εὐθείας κειμένων ἡ πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις. Τὴν γωνίαν οἱ μὲν τῶν παλαιῶν ἐν τῇ τοῦ πρός τι τάτ‐
370τουσι κατηγορίᾳ καὶ λέγουσιν κλίσιν αὐτὴν εἶναι γραμμῶν ἢ ἐπιπέδων πρὸς ἄλληλα κεκλιμένων· οἱ δέ τινες ποιότητά φασιν, ὡς τὸ εὐθὺ καὶ καμπύλον πάθος τοιόνδε λέγουσιν ἐπιφανείας ἢ στερεοῦ· οἱ δὲ εἰς ποσότητα ἀναφέροντες ἐπιφάνειαν ἢ στερεὸν αὐτὴν εἶναι συγχωροῦσι· διαιρεῖται
375γάρ, φασίν, ἡ μὲν ἐν ταῖς ἐπιφανείαις ὑπὸ γραμμῆς, ἡ δ’ ἐν τοῖς στερεοῖς ὑπὸ ἐπιπέδου, τὰ δὲ ὑπὸ τούτων διαιρού‐ μενα οὐκ ἄλλο τί ἐστιν ἢ μέγεθος, καὶ τοῦτο οὐ γραμμή· αὕτη γὰρ ὑπὸ σημείου διαιρεῖται· λείπεται οὖν αὐτὴν ἐπι‐ φάνειαν ἢ στερεὸν εἶναι. καὶ οὕτως ἕκαστος, εἰς ὃ βούλεται,
380τὴν γωνίαν ἕλκων ἄγει ὑπὸ κατηγορίαν οἱ μὲν ὑπὸ τὸ πρός τι, οἱ δὲ ὑπὸ ποιότητα, οἱ δὲ ὑπὸ ποσότητα. καὶ ἀντιπί‐ πτουσι πρῶτον μὲν πρὸς τοὺς μέγεθος λέγοντας τὴν γωνίαν λόγοι τοιοῦτοι· εἰ μέγεθος ἡ γωνία, τὰ δὲ ὁμογενῆ μεγέθη πεπερασμένα ὄντα λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα, καὶ αἱ γωνίαι
385αἱ ὁμογενεῖς, οἷον αἱ ἐν ἐπιφανείᾳ, λόγον ἕξουσι πρὸς ἄλλη‐ λα· ὥστε καὶ ἡ κερατοειδὴς πρὸς τὴν εὐθύγραμμον λόγον
ἕξει. τὰ δὲ λόγον ἔχοντα πρὸς ἄλληλα δύναται πολλαπλα‐ σιαζόμενα ὑπερέχειν ἀλλήλων· καὶ κερατοειδὴς ἄρα πολλα‐ πλασιαζομένη ὑπερέξει ποτὲ τῆς εὐθυγράμμου ἡ πάσης
390ὀξείας εὐθυγράμμου ἐλάττων δειχθεῖσα. οὐκ ἄρα μέγεθος ἡ γωνία. καὶ μὴν καὶ εἰ ποιότης μόνον ἐστίν, ὡς ἡ θερμό‐ της καὶ ψυχρότης, πῶς εἰς ἴσα διαιρετή ἐστιν; τῆς γὰρ ποιότητος τὸ ἴσον καὶ ἄνισον οὐκ ἔστιν, ἀλλὰ τὸ μᾶλλον καὶ ἧττον, ὥσπερ τῆς ποσότητος τὸ ἴσον καὶ ἄνισον. οὐ
395λεκτέον τοίνυν ἴσον καὶ ἄνισον, ἀλλὰ μᾶλλον γωνίαν καὶ ἧττον γωνίαν· καίτοι γωνίας γωνία οὐ διαφέρει· τὸν γὰρ αὐτὸν ἐπιδέχεται πᾶσα γωνία λόγον. τὸ δὴ τρίτον, εἰ κλίσις ἐστὶν ἡ γωνία καὶ ὅλως τῶν πρός τι, συμβήσεται μιᾶς οὔσης κλίσεως μίαν εἶναι καὶ γωνίαν, ἀλλ’ οὐ πλείους· εἰ

1

.

1

(400)

γὰρ μηδέν ἐστιν ἄλλο παρὰ τὴν σχέσιν γωνία, τίς μηχανὴ μίαν μὲν εἶναι σχέσιν, πλείους δὲ τὰς γωνίας; εἰ τοίνυν νοήσειας κῶνον τῷ διὰ τῆς κορυφῆς ἄχρι τῆς βάσεως τεμ‐ νόμενον τριγώνῳ, μίαν μὲν θεωρήσεις κλίσιν τῶν γραμ‐ μῶν τῶν πλευρῶν τοῦ τριγώνου, δύο δὲ γωνίας, τήν τε τοῦ
405τριγώνου τὴν περιεχομένην ὑπὸ τῶν πλευρῶν, ἑτέραν δὲ τὴν ἐπὶ τῆς μικτῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου, περιεχομένην δ’ ἑκατέραν ὑπὸ τῶν δυεῖν γραμμῶν. οὐκ ἄρα ἡ τούτων σχέσις ἐποίει τὴν γωνίαν. ἀλλὰ μὴν ἀναγκαῖον ποιότητα λέγειν αὐτὴν ἢ ποσὸν ἢ πρός τι· πάντα γὰρ τὰ τῆς γεωμετρίας
410ὑποκείμενα ὑπὸ μίαν τούτων ἀνάγεται· τὰ μὲν γὰρ μεγέθη ποσότητός ἐστι, τὰ δὲ σχήματα ποιότητος, οἱ δὲ λόγοι πρὸς ἄλληλα τούτων τῶν πρός τι. ὥστε καὶ τὴν γωνίαν ὑφ’ ἓν τούτων ἀνάξομεν. τοιούτων δὲ τῶν ἀπόρων ὄντων τὴν γω‐ νίαν αὐτὴν μὲν καθ’ ἑαυτὴν μηδὲν εἶναι τῶν εἰρημένων, διὰ
415δὲ τῆς πάντων τούτων συνδρομῆς ἔχειν τὴν ὑπόστασιν. ἔστι δὲ οὐχ ἡ γωνία μόνον τοιοῦτον, ἀλλὰ καὶ τὸ τρίγωνον, καὶ ἴσον λέγεται τρίγωνον καὶ ἄνισον, ὡς ποσόν, ἀλλὰ μὴν ἔχει καὶ τὴν κατὰ τὸ σχῆμα ποιότητα, ἔχει δὲ καὶ τὴν τῶν γραμμῶν πρὸς ἄλληλα κλίσιν. καὶ ἡ γωνία τοίνυν δεῖται
420καὶ ποιότητος, καθ’ ἣν οἷον μορφὴν οἰκείαν ἔχει καὶ χαρακ‐ τῆρα τῆς ὑπάρξεως· δεῖται καὶ τῆς σχέσεως τῶν ἀφορι‐ ζουσῶν αὐτὴν γραμμῶν, καὶ διαιρετὴ μέντοι ἐστὶν καὶ ἰσότητος καὶ ἀνισότητος δεκτική, οὐκ ἀναγκάζεται δὲ τὸν λόγον ἐπιδέχεσθαι τῶν ὁμογενῶν μεγεθῶν διὰ τὸ καὶ ποι‐
425ότητα ἰδιάζουσαν ἔχειν, καθ’ ἣν ἀσύμβλητοί εἰσιν πολλάκις γωνίαι ἄλλαι ἄλλαις. εἰ δὴ πρὸς τούτους ἀποβλέποιμεν τοὺς προσδιορισμούς, καὶ τὰ ἄπορα διαλύσομεν καὶ τὴν ἰδιότητα τῆς γωνίας εὑρήσομεν. ἀλλὰ ταῦτα μὲν οὕτως· τῶν δὲ γωνιῶν τὰς μὲν ἐν ἐπιφανείᾳ συνίστασθαι λεκτέον,
430τὰς δ’ ἐν στερεοῖς, καὶ τῶν ἐν ἐπιφανείαις τὰς μὲν ἐν ἁπλαῖς, τὰς δ’ ἐν μικταῖς· καὶ γὰρ ἐν τῇ κυλινδρικῇ ἐπι‐ φανείᾳ γένοιτ’ ἂν καὶ ἐν τῇ κωνικῇ· τῶν δ’ ἐν ταῖς ἁπλαῖς αἱ μὲν ἐν ταῖς σφαίραις, αἱ δὲ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἔχουσι τὴν σύστασιν. τῶν δ’ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις αἱ μὲν ὑπὸ ἁπλῶν περι‐
435έχονται γραμμῶν, αἱ δὲ ὑπὸ μικτῶν, αἱ δὲ ὑπ’ ἀμφοτέρων· ἐν γὰρ τῷ θυρεῷ περιέχεται γωνία τις ὑπὸ τοῦ ἄξονος καὶ τῆς τοῦ θυρεοῦ γραμμῆς, καὶ τούτων ἡ μέν ἐστιν ἁπλῆ, ἡ δὲ μικτή, καὶ ὅλως πολλαὶ τοιαῦται διαφοραὶ τοῖς φιλο‐ μαθοῦσιν ὀφθήσονται. ταύτας τοίνυν ἁπάσας τὰς ἐν ἐπι‐
440πέδοις συνισταμένας ὁ γεωμέτρης ἐν τούτοις ἀφορίζεται, κοινὸν ὄνομα θέμενος αὐταῖς τὸ τῆς ἐπιπέδου γωνίας, τὸ μὲν γένος αὐτῶν κλίσιν εἰπών, τὸν δὲ τόπον ἐπίπεδον. καὶ γὰρ δύο περιφέρειαι ἐφαπτόμεναι ἢ τέμνουσαι ἀλλήλας ποι‐ οῦσι γωνίας, καὶ αὖ τρεῖς· ἢ γὰρ ἀμφικύρτους, ὅταν ἐκτὸς
445ᾖ τὰ κυρτά, ἢ ἀμφικοίλους, ὅταν ἀμφότερα τὰ κοῖλα ἐκτὸς ὑπάρχῃ, ἃς καλοῦσι ξυστροειδεῖς, ἢ μικτὰς ἀπὸ κυρτῆς καὶ κοίλης, ὡς τὰς τῶν μηνίσκων, ἢ ἐξ εὐθείας καὶ περι‐ φερείας, ὡς τὰς τῶν ἡμικυκλίων καὶ τὰς κερατοειδεῖς· πᾶσαι γὰρ αἱ τοιαῦται ὑπὸ τοῦτον ἐνεχθήσονται τὸν ὅρον.

1

.

1

(450)

ἀλλὰ τὸ μὲν γένος αὐτῶν οὕτως ἀφωρίσατο, τὴν δὲ γένε‐ σιν, ὅτι δύο εἶναι χρὴ γραμμὰς καὶ οὐ τρεῖς τοὐλάχιστον,
ὥσπερ ἐπὶ τῆς στερεᾶς γωνίας, καὶ ταύτας ὁμιλεῖν ἀλλή‐ λαις καὶ ὁμιλούσας μὴ κεῖσθαι ἐπ’ εὐθείας· ἔκτασις γὰρ οὕτως, ἀλλ’ οὐ κλάσις καὶ περιοχὴ γίνεται τῶν γραμμῶν,
455ἀλλὰ μὴ ἔκτασις μόνον καθ’ ἓν διάστημα. δοκεῖ δὲ ὁ λόγος οὗτος πρῶτον μὲν ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς οὐ συγχωρεῖν ἀπο‐ τελεῖσθαι γωνίαν· καίτοι γε ἡ κισσοειδὴς καὶ ἱπποπέδη ποιεῖ μία οὖσα ἑκατέρα. ἔπειτα κλίσιν ἀφοριζόμενος τὴν γωνίαν πλὴν τρίτον παρέλκει τὸ ἐπί τινων γωνιῶν τὸ καὶ
460μὴ ἐπ’ εὐθείας κεῖσθαι· ἐπὶ γὰρ τῶν περιφερογράμμων καὶ ἄνευ τούτου τέλειος ὁ ὁρισμός· οὐδὲ γὰρ ἐπ’ εὐθείας κεῖσθαι τὰς περιφερείας δυνατόν. Ἀπολλώνιος δὲ καθ’ ὅλου γωνίαν ὁριζόμενός φησι συναγωγὴν ἐπιφανείας ἢ στερεοῦ πρὸς ἑνὶ σημείῳ ὑπὸ κεκλασμένῃ γραμμῇ ἢ ἐπι‐
465φανείᾳ· περιλαμβάνει γὰρ οὗτος καὶ τὴν τοῦ κώνου. κυριώ‐ τερον δ’ ἂν ἀποδοίη τις συναγωγὴν μεγέθους ἢ μεγεθῶν πρὸς ἑνὶ σημείῳ. Ὅταν δὲ αἱ τὴν γωνίαν περιέχουσαι γραμμαὶ εὐθεῖαι ὦσιν, εὐθύγραμμος ἡ γωνία καλεῖται.
470Τὴν γωνίαν σύμβολον εἶναί φαμεν καὶ εἰκόνα τῆς συν‐ οχῆς τῆς ἐν τοῖς θείοις γένεσιν καὶ τῆς συναγωγοῦ τάξεως τῶν διῃρημένων εἰς ἕν· δεσμὸς γὰρ γίνεται καὶ αὕτη τῶν πολλῶν γραμμῶν καὶ ἐπιπέδων καὶ συναγωγὸς τοῦ μεγέ‐ θους εἰς τὸ ἀμερὲς σημεῖον. διὸ καὶ τὸ λόγιον συνοχηίδας
475ἀποκαλεῖ τὰς γωνίας, ὡς εἰκόνα φερούσας τῶν συνοχικῶν ἑνώσεων. αἱ μὲν οὖν ἐν ταῖς ἐπιφανείαις γωνίαι τὰς ἀυλοτέ‐ ρας καὶ ἁπλουστέρας καὶ τελειοτέρας ἀποτυποῦνται, αἱ δὲ ἐν τοῖς στερεοῖς τὰς προϊούσας μέχρι τῶν ἐσχάτων καὶ τοῖς πάντη μεριστοῖς ὁμοφυῆ σύνταξιν. τῶν δὲ ἐν ταῖς
480ἐπιφανείαις αἱ μὲν τὰς πρώτας καὶ ἀμίκτους, αἱ δὲ τὰς τῆς ἀπειρίας συνεκτικὰς τῶν ἐν αὐτοῖς προόδων ἀπεικονίζον‐
ται· καὶ αἱ μὲν τὰς τῶν νοερῶν εἰδῶν ἑνοποιοῦσιν, αἱ δὲ τὰς τῶν αἰσθητῶν λόγων, αἱ δὲ τὰς τῶν μεταξὺ τούτων. αἱ μὲν οὖν περιφερόγραμμοι τὰς συνελισσούσας αἰτίας
485ἀπομιμοῦνται, αἱ δὲ εὐθύγραμμοι τὰς τῶν αἰσθητῶν, αἱ δὲ μικταὶ τὰς τὴν κοινωνίαν τῶν νοερῶν εἰδῶν καὶ αἰσθη‐ τῶν κατὰ μίαν ἕνωσιν ἀσάλευτον φυλαττούσας. Ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστι,
490καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα γραμμὴ κάθετος καλεῖται, ἐφ’ ἣν ἐφέστη‐ κεν· ἀμβλεῖα δὲ ἡ μείζων ὀρθῆς, ὀξεῖα δὲ ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς. Δι’ ἣν αἰτίαν τὸ τριπλοῦν τῶν γωνιῶν εἶδος ὑπέστη, γεω‐ μέτραι μὲν οὐκ ἂν φαῖεν, οἱ δὲ Πυθαγόρειοι καὶ τούτων ἐπὶ τὰς ἀρχὰς ἀναφέροντες τὰς αἰτίας οὐκ ἀποροῦσι περὶ
495τῆς ὑποστάσεως αὐτῶν. ἐπειδὴ γὰρ τῶν ἀρχῶν ἡ μὲν κατὰ τὸ πέρας ὑφέστηκεν, ἡ δὲ κατὰ τὸ ἄπειρον, καί ἐστιν ἡ μὲν ὅρου καὶ ἰσότητος τοῖς ἀποτελέσμασιν αἰτία, ἡ δὲ προόδου καὶ αὐξήσεως καὶ μειώσεως καὶ παντοίας ἑτερότητος, καὶ τῶν εὐθυγράμμων γωνιῶν κατ’ ἐκείνας ἱσταμένων, τὴν

1

.

1

(500)

μὲν ὀρθὴν ὁ ἀπὸ τοῦ πέρατος ἥκων λόγος ἀπετέλεσεν ἰσό‐ τητι κρατουμένην καὶ ὁμοιότητι καὶ ὡρισμένην αἰεὶ καὶ τὴν αὐτὴν ἑστῶσαν, ὁ δὲ ἀπὸ τῆς ἀπειρίας δεύτερος ὢν καὶ δυαδικὸς καὶ γωνίας ἀνέφηνεν δυαδικὰς ἀνισότητι διῃρημένας κατὰ τὸ μεῖζον καὶ ἔλαττον καὶ ὅμοιον καὶ
505ἀνόμοιον. διὰ ταῦτα καὶ τὰς μὲν ὀρθὰς εἰς τοὺς ἀχράντους ἀναπέμπουσι καὶ ἀκλίτους διακόσμους, τὰς δὲ ὀξείας καὶ ἀμβλείας τοῖς τῆς προόδου καὶ κινήσεως καὶ ποικιλίας τῶν γινομένων δυνάμεων χορηγοῖς. τὸ γὰρ ἀμβλὺ τῆς ἐπὶ πᾶν ἁπλουμένης τῶν εἰδῶν ἐκτάσεως εἰκών, καὶ τὸ ὀξὺ τῆς
510διαιρετικῆς καὶ κινητικῆς τῶν ὅλων αἰτίας ἀφομοίωσιν ἔλαχεν. διὸ καὶ τῇ ψυχῇ ὀρθῶς παραινοῦσιν εἰς γένεσιν ἰούσῃ κατὰ τὸ ἀκλινὲς καὶ ἀρρεπὲς χωρεῖν καὶ ὅλως τὸ τῆς ὀρθῆς εἶδος. σύμβολον γὰρ καὶ ἡ κάθετός ἐστιν ἀρρεψίας καὶ ἀχράν‐ του καθαρότητος καὶ μέτρου θείου καὶ νοεροῦ. καὶ γὰρ ἐν τοῖς
515φαινομένοις τὰ ὑψηλότατα διὰ ταύτης ὁρῶμεν τῆς εὐθείας καὶ τῇ πρὸς τὴν ὀρθὴν ἀναφορᾷ τὰς ἄλλας εὐθυγράμμους γωνίας ὁρίζομεν αὐτὰς οὔσας ἀφ’ ἑαυτῶν ἀορίστους· ἐν ὑπερβολῇ γὰρ καὶ ἐλλείψει θεωροῦμεν αὐτάς. τοσαῦτα καὶ περὶ τούτων· δεῖ δὲ τοῖς ὁρισμοῖς τῆς τε ἀμβλείας καὶ
520ὀξείας προστιθέναι τὸ γένος εὐθύγραμμος γωνία, ἀλλ’ οὐχ ἁπλῶς γωνία· καὶ γὰρ ἡ κερατοειδὴς πάσης ὀρθῆς ἐστιν ἐλάσσων, ὅπου καὶ ὀξείας πάσης, καὶ ἡ τοῦ ἡμι‐ κυκλίου πάσης ὀρθῆς ἐλάσσων, ἀλλ’ οὐκ ὀξείας. τὸ δ’ αἴτιον, ὅτι μικταί εἰσιν καὶ οὐκ εὐθύγραμμοι. τοῦτό τε οὖν
525ἐπισημαντέον, καὶ ὅτι τὴν μὲν ὀρθὴν ἀπὸ τῶν ἐφεξῆς ἴσων οὐσῶν ὡρίσατο, τὴν δὲ ἀμβλεῖαν καὶ ὀξεῖαν οὐκέτι, ὅτι ἄπειροι αἱ ἐγκλίσεις ἐπὶ τὸ μεῖζον καὶ ἔλαττον, καὶ οὐκ ἐνῆν ἀπὸ τῆς κλίσεως ὁρίσαι τῆς εὐθείας. ὀρθῶς ἄρα πρὸς τὴν ὀρθὴν ἀναφέρων τὸν λόγον ἀποδέδωκεν τῶν λοιπῶν
530γωνιῶν. Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας. Τὸν ὅρον οὐ πρὸς ἅπαντα ἀναφέρειν δεῖ τὰ μεγέθη (καὶ γὰρ γραμμῆς ὅρος ἐστὶ καὶ πέρας), ἀλλὰ πρὸς τὰ χωρία τὰ ἐν ἐπιφανείαις καὶ τὰ στερεά. νῦν γὰρ ὅρον καλεῖ τὴν
535περιοχὴν τὴν ἀφορίζουσαν ἕκαστον χωρίον καὶ πέρας ἀφ‐ ορίζεται τοῦτον τὸν ὅρον, οὐχ ὡς τὸ σημεῖον λέγεται πέρας γραμμῆς, ἀλλ’ ὡς τὸ περικλεῖον καὶ περιεῖργον ἀπὸ τῶν περικειμένων. ὥστε πᾶς μὲν ὅρος καὶ πέρας, οὐ μὴν εἴ τι πέρας, καὶ ὅρος.
540Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον. Τοῦ σχήματος πολλαί τινές εἰσι διαφοραί, καὶ δεῖ ταύτας ἐπελθόντα καὶ τὸ προκείμενον ἡμῖν θεωρῆσαι, ὑπὸ ποίαν τῶν διαφορῶν ἀνάγεται. ἔστι μὲν οὖν σχῆμα καὶ κατὰ τρο‐ πὴν ὑφιστάμενον καὶ ἀπὸ πάθους πληττομένων ἢ διαιρου‐
545μένων ἢ ἀφαιρουμένων ἢ προστιθεμένων τινῶν. σχῆμά ἐστιν καὶ τὸ κατὰ τέχνην γινόμενον καὶ τὸν ἐν αὐτῇ λόγον, τῆς χαλκευτικῆς, εἰ τύχοι, ἢ ἑτέρας τινός. ἔτι δὲ σεμνότε‐
ρον τούτων ἐστὶ τὰ ὑπὸ τῆς φύσεως γενόμενα· ὧν τὰ μὲν ὑπὸ σελήνην ἔχει τὸν πολυειδῆ σχηματισμόν, τὰ δ’ ἐν

1

.

1

(550)

οὐρανῷ· διαφοραὶ γὰρ καὶ ἐν τοῖς θείοις εἰσὶ σώμασι, καθ’ ἃς εὐρύθμως κινούμενα τὴν νοερὰν καὶ ἄχραντον ἀπομιμοῦν‐ ται γνῶσιν, ταῖς περιφοραῖς καὶ τοῖς τοιοῖσδε σχηματισ‐ μοῖς καταγράφοντες τὴν ἀσώματον τῶν θεῶν βούλησιν. ἔστι δὲ αὖ καὶ τούτων ἐπέκεινα κάλλει καὶ καθαριότητι
555προὔχοντα τῶν ψυχῶν σχήματα αὐτοκίνητα πρὸς τῶν ἑτερο‐ κινήτων καὶ ἀδιάστατα πρὸ τῶν διαστατῶν ὑφεστῶτα, ζωῆς πλήρη καὶ γνώσεως ὑπάρχοντα. περὶ τούτου καὶ ὁ Τίμαιος ἡμᾶς ἀνεδίδαξεν· πρὸ δὲ τούτων ἐστὶ τὰ νοερὰ πάντη μὲν ὑπερέχοντα τῶν αἰσθητῶν, γόνιμα δὲ καὶ τε‐
560λεσιουργὰ καὶ δραστήρια καὶ πᾶσιν ἐξ ἴσου παρόντα καὶ τοῖς μὲν ψυχικοῖς τὴν ἕνωσιν ἐπάγοντα, τὴν δ’ ἐν τοῖς σώμα‐ σιν παράλλαξιν ἀνακαλούμενα ἐπὶ τὸν οἰκεῖον ὅρον. ἔστι δὲ ἄρα καὶ τὰ τούτων ἐξῃρημένα, καὶ πολὺ θειότερα τὰ ἐν αὐτοῖς ὑφεστῶτα τοῖς θεοῖς, ἐποχούμενα μὲν τοῖς νοεροῖς
565σχήμασιν, πέρας δὲ καὶ ὅρον πᾶσιν ἐπάγοντα κατὰ ταὐτά, καὶ ἡ θεουργία τὰς ἰδιότητας ἀποτυπουμένη τῶν θεῶν ἀγάλμασιν ἄλλα ἄλλοις περιβάλλει σχήματα καὶ χαρακτῆρ‐ σιν αὐτὰ τοιῶσδε μορφοῦσα ἑστῶτα ἢ καθήμενα ἢ ἄλλως πως ἀπεικονιζόμενα, τὰ δὲ ἐν αὐτοῖς προϋπάρχοντα τοῖς
570θεοῖς. ἄνωθεν ἄρα τὸ σχῆμα διατείνει μέχρι τῶν ἐσχάτων· δεῖ γὰρ πρὸ τῶν ἀτελῶν ὑφεστάναι τὰ τέλεια καὶ τῶν ἐν ἄλλοις ὄντων τὰ ἐφ’ ἑαυτῶν καὶ τὰ ἡνωμένα τῶν διῃρημέ‐ νων. τὰ μὲν οὖν ὑπὸ τὴν σελήνην ἀναπέπλησται τῆς ὑλικῆς ἀσχημοσύνης, τὰ δὲ οὐράνια μεριστά ἐστι καὶ ἐν ἄλλοις
575ὑφέστηκεν. τὰ δὲ ψυχικὰ διαιρέσεως καὶ ποικιλίας μετ‐ είληφεν, τὰ δὲ νοερὰ μετὰ τῆς ἑνώσεως καὶ πλῆθος ἔχει, αὐτὰ δὲ τὰ τῶν θεῶν ἑνοειδῆ καὶ ἁπλᾶ πρὸ τῶν ἄλλων ὑφέστηκεν τὴν τελειότητα πᾶσιν ἀφ’ ἑαυτῶν προτείνοντα· τελεσιουργὸν γὰρ καὶ ἀρχηγικὴν ἔχουσι τὴν αἰτίαν. οὐκ
580ἄρα τὰ μὲν ἔνυλα σχήματα ὑφέστηκεν, τὰ δὲ ἄυλα καὶ
καθαρώτερον ἔχοντα τὴν οὐσίαν οὐχ ὑφέστηκεν. ἀλλὰ ταῦτα μὲν κατὰ τὸ Πυθαγόρειον ἀρέσκον· ὁ δὲ γεωμέτρης τὸ ἐν τῇ φαντασίᾳ σχῆμα θεωρῶν καὶ τοῦτο πρώτως οὕτως ὁριζόμενος, εἰ καὶ τοῖς αἰσθητοῖς λόγοις ἐφαρμόττει, δευ‐
585τέρως τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενόν φησιν εἶναι τὸ σχῆμα· σὺν ὕλῃ γὰρ ἤδη λαβὼν αὐτὸ καὶ ὡς διαστατὸν φανταζόμενος εἰκότως τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχό‐ μενόν φησιν εἶναι τὸ σχῆμα. πᾶν γὰρ τὸ ὕλην ἔχον νοητὴν ἢ αἰσθητὴν ἀλλαχόθεν ἔχει τὸν ὅρον, καὶ οὐκ αὐτὸ πέρας
590ἐστίν, ἀλλὰ πεπερασμένον ἐστίν, οὐδ’ αὐτὸ ὅρος, ἀλλ’ ἄλλο μὲν ἐν αὐτῷ τὸ ὁρίζον, ἄλλο δὲ τὸ ὁριζόμενον, οὐδ’ ἐν αὑτῷ ἐστιν, ἀλλ’ ὑπ’ ἄλλου περιέχεται. τῷ γὰρ ποσῷ συμφύεται καὶ μετ’ ἐκείνου συνυφίσταται, καὶ γίνεται αὐτῷ ὑποκείμενον τὸ ποσόν. εἰ δέ τις ἐπιτιμῴη τῷ ὅρῳ ὡς ἀπὸ
595τῶν εἰδῶν τὸ γένος ἀφοριζόμενον (τὸ γὰρ ὑφ’ ἑνὸς ὅρου περιεχόμενον καὶ τὸ ὑπὸ πλειόνων εἴδη τοῦ σχήματος), γιγνωσκέτω, ὅτι καὶ τὰ γένη τὰς δυνάμεις προείληφεν τῶν εἰδῶν ἐν ἑαυτοῖς, καὶ ὅταν ἀπὸ τῶν δυνάμεων τῶν ἐν τοῖς γένεσιν ἐθέλωσιν αὐτὰ σαφῆ ποιεῖν οἱ παλαιοί, δοκοῦσι

1

.

1

(600)

μὲν ἀπὸ τῶν εἰδῶν ἐπιχειρεῖν, τῷ δ’ ἀληθεῖ αὐτὰ ἀφ’ ἑαυτῶν ἅμα διδάσκουσι καὶ τῶν ἐν αὐτοῖς δυνάμεων. ἀλλὰ πόθεν πρόεισιν ὁ τοῦ σχήματος λόγος; ἀπὸ τοῦ πέρατος καὶ ἀπείρου καὶ μικτοῦ. τὰ μὲν γὰρ περιφερῆ αὐτῶν ἀπὸ τοῦ πέρατος ἧκεν, τὰ δ’ εὐθύγραμμα ἀπὸ τοῦ ἀπείρου, τὰ
605δὲ μικτὰ ἀπὸ τοῦ μικτοῦ. Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περι‐ εχόμενον, πρὸς ἣν ἀφ’ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχή‐ ματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλ‐ λήλαις εἰσίν. κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται.
610Τὸ πρῶτον καὶ ἁπλούστατον τῶν σχημάτων καὶ τελειό‐ τατος ὁ κύκλος ἐστί· τῶν μὲν γὰρ στερεῶν ὑπερφέρει τῷ ἐν ἁπλουστέρᾳ τάξει κεῖσθαι, τῶν δ’ ἐπιπέδων τῇ ὁμοιό‐
τητι καὶ ταυτότητι. καί ἐστιν ἀνάλογον τῇ ἀμείνονι συ‐ στοιχίᾳ· εἰ μὲν γὰρ εἰς οὐρανὸν καὶ γένεσιν διαιροῖς τὸ
615πᾶν, τῷ μὲν οὐρανῷ τὸ κυκλικὸν εἶδος ἀποδώσεις, τῇ δὲ γενέσει τὸ εὐθύ· καὶ γὰρ ὅσον ἐν τοῖς γενητοῖς ἐστι κυκλι‐ κόν, ἄνωθεν ἀπὸ τῶν οὐρανίων ἐφήκει· διὰ γὰρ τὴν ἐκεί‐ νων κυκλοφορίαν ἡ γένεσις ἀνακυκλεῖται πρὸς ἑαυτήν. εἴς γε μὴν ψυχὴν καὶ νοῦν διαιρῶν τὰ ἀσώματα τῷ μὲν νῷ
620τὸ κυκλικὸν ἀποδώσεις, τὸ δὲ εὐθὺ τῇ ψυχῇ. καὶ γὰρ τὴν ψυχὴν κατὰ κύκλον ἐπιστρέφειν πρὸς νοῦν φαμεν. καὶ ὅλως, ὅπερ ἡ γένεσις πρὸς οὐρανόν, τοῦτο ψυχὴ πρὸς νοῦν. καὶ γὰρ εἰκὼν νοῦ μὲν οὐρανός, γένεσις δὲ ψυχῆς. ὥστε πάντων τῶν θειοτέρων εἰκὼν ὁ κύκλος· θεοῖς μὲν γὰρ ἐπι‐
625στροφὴν καὶ ἕνωσιν καὶ μονὴν παρέχεται, τὰς μὲν ἄκρας αὐτῶν δυνάμεις καὶ ἐφετὰς σταθερῶς ὡς κέντρῳ καθ‐ ιδρύων, τὰ δὲ πλήθη τῶν δυνάμεων τὸ περὶ αὐτὰς ἐνεργεῖν παρέχων, ταῖς δὲ νοεραῖς οὐσίαις τὸ διαιωνίως ἐνεργεῖν καὶ πρὸς ἑαυτὰς ἐπιστρέφειν καὶ παρ’ ἑαυτῶν πληροῦσθαι τῆς
630γνώσεως. ταῖς δὲ ψυχαῖς ἐπιλάμπει τὸ αὐτόζωον, τὸ αὐτοκίνητον, τὸ πρὸς νοῦν ἐπιστρέφεσθαι, τὸ τὰς οἰκείας περιόδους ἀνελίσσειν, τοῖς δὲ οὐρανίοις σώμασι τὴν πρὸς τὸν νοῦν ἀφομοίωσιν, τοῖς δ’ ὑπὸ σελήνην τὴν ἐν ταῖς μεταβολαῖς πρόοδον καὶ τὸ ἐν τοῖς γενητοῖς ἀγέννητον καὶ
635τὴν ἀείδιον παλιγγενεσίαν καὶ τὴν πρὸς τὸν οὐρανὸν ἀφ‐ ομοίωσιν, τοῖς δέ γε παρὰ φύσιν λεγομένοις ὅρον καὶ τάξιν ἐπιτίθησι. οὐ γὰρ εὐφορίαι μόνον, ἀλλὰ καὶ ἀφορίαι κατὰ περιτροπὰς συνίστανται, ὥς φησιν ὁ ἐν Πολιτείᾳ τῶν μου‐ σῶν λόγος. καὶ πάντα δὲ τὰ κακά, εἰ καὶ ἀπέρριπται πόρρω
640που ἀπὸ θεῶν εἰς τὸν θνητὸν καὶ ἀεὶ μεταβαλλόμενον τό‐ πον, ἀλλ’ οὖν περιπολεῖ, φησὶν ὁ Σωκράτης. οὐδὲν ἄμοιρον ἄρα λέλειπται τῆς κυκλικῆς ὁμοιότητος· διὸ καὶ τὰ μέσα κέντρα συνέχει τῆς προόδου τῶν ἀριθμῶν τῆς ἀπὸ μονάδος ἄχρι δεκάδος· ἡ γὰρ πεμπὰς καὶ ἑξὰς ἐκ πάντων τὴν
645κυκλικὴν ἐπιδείκνυται δύναμιν· πολλαπλασιαζόμενοι γὰρ εἰς ἑαυτοὺς καταλήγουσιν. προόδου μὲν οὖν ὁ πολλαπλα‐ σιασμὸς αἴτιος, ἡ δὲ εἰς αὑτὸν κατάληξις ἐπιστροφῆς, τὸ δὲ συναμφότερον ἡ κυκλικὴ παρέχεται δύναμις. ἀλλὰ ταῦτα μὲν ὧδε· θεωρήσωμεν δέ, ὅπως εἰς πᾶσαν ἀκρίβειαν ὁ τοῦ

1

.

1

(650)

κύκλου ὅρος ἀποδέδοται. σχῆμα μὲν γὰρ εἴρηται ὡς πέρας ἔχον καὶ περιεχόμενον ὑφ’ ἑνὸς ὅρου, ἐπίπεδον δέ, καθ’ ὅσον τῶν ἐπιπέδων ἐστί, πρὸς δὲ τὴν γραμμὴν ἴσας ἔχοντα τὰς ἀφ’ ἑνὸς τῶν ἐντὸς σημείων. καὶ γὰρ εἰ ἔλλειψις ὑπὸ μιᾶς περιέχεται γραμμῆς, ἀλλ’ οὐκ εἰσὶν αἱ ἀφ’ ἑνὸς τῶν
655ἐντὸς ἴσαι πᾶσαι· δύο γὰρ μόναι ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως ἴσαι γίνονται εὐθεῖαι. καὶ μὴν καὶ αἱ ἀπὸ τοῦ πόλου πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν προσπίπτουσαι εὐθεῖαι πᾶσαί εἰσιν ἴσαι, ἀλλ’ οὐκ ἐντός ἐστι τὸ σημεῖον, ἀλλ’ ἐκτός. διώρισται οὖν ἐνταῦθα, τί μὲν ὁ κύκλος, τί δὲ τὸ κέντρον,
660καὶ ἐν τῷ κύκλῳ τί μὲν ἡ περιφέρεια, τί δὲ τὸ ὅλον σχῆμα. λάβοις δ’ ἂν ἐκ τούτων ἀναδραμὼν ἐπὶ τὰ παραδείγματα τὸ μὲν κέντρον ἑκασταχοῦ τὴν ἑνιαίαν καὶ ἀμέριστον καὶ μόνιμον ὑπεροχήν, τὰς δ’ ἀπὸ τοῦ κέντρου διαστάσεις τὰς ἀπὸ τοῦ ἑνὸς προόδους εἰς πλῆθος ἄπειρον, τὴν δὲ περι‐
665φέρειαν κατὰ τὴν ἐπιστροφὴν τῶν προελθόντων θεωρήσεις· ὥσπερ δὲ ἐν τῷ κύκλῳ ὁμοῦ πάντα, τὸ κέντρον, αἱ δια‐ στάσεις, ἡ περιφέρεια, οὕτω καὶ ἐν ἐκείνοις, πλὴν ὅτι ἀλλαχοῦ μὲν τὸ κέντρον ἐνταῦθα, ἀλλαχοῦ δὲ ἡ διάστασις καὶ ἡ περιφέρεια ὁμοίως ἀλλαχοῦ, ἐκεῖ δὲ ἐν ἑνὶ πάντα,
670κἂν τὸ κέντρον λάβοις, ἐνταῦθα πάντα, κἂν τὴν διάστασιν, ἐπὶ ταύτης τὸ κέντρον καὶ τὴν περιφέρειαν ὁμοίως. Διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέν‐ τρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν
675κύκλον. Ἔστι καὶ τετραγώνων διάμετρος καὶ ὅλως παραλληλο‐
γράμμων, ἔστι καὶ ἐπὶ στερεῶν σωμάτων, ὡς τῆς σφαίρας, ἀλλ’ ἐπὶ μὲν τῶν γεγωνιωμένων καὶ διαγώνιος ἡ αὐτὴ προσαγορεύεται, ἐπὶ δὲ τῆς σφαίρας καὶ ἄξων, ὥσπερ δὴ
680καὶ ἐπὶ ἐλλείψεως, ἐπὶ δὲ κύκλου διάμετρος ἰδίως. ἀπείρων δὲ ἀγομένων εὐθειῶν ἐντὸς τοῦ κύκλου μόνη ἡ διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ διάμετρος, ἥτις καὶ περατοῦται ὑπὸ τῆς περιφερείας. ἀλλὰ ταῦτα μὲν γένεσιν ἐμφαίνει τῆς δια‐ μέτρου, τὸ δ’ ἑξῆς τὸ δίχα τέμνειν τὸν κύκλον τὴν ἰδίαν
685αὐτῆς ἐνέργειαν. αἴτιον δὲ τῆς ἰσότητος ἡ διὰ τοῦ κέντρου ἀπαρέγκλιτος φορὰ τῆς διαμέτρου. καὶ μαθηματικῶς δ’ ἀποδείξεις λέγων οὕτως· ἠγμένης τῆς διαμέτρου νόησον τὸ ἕτερον ἡμικύκλιον ἐπὶ τὸ ἕτερον ἐφαρμοζόμενον. λέγω, ὅτι ἴσον ἐστίν. εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἐντὸς πεσεῖται τὸ ἕτερον
690ἢ ἐκτός· ὅπως δ’ ἂν ἡ πτῶσις ᾖ, συμβήσεται ἄτοπον· ἡ γὰρ μείζων εὐθεῖα τῇ ἐλάσσονι ἴση εὑρεθήσεται· πᾶσαι γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου πρὸς τὴν περιφέρειαν ἴσαι εἰσίν. ἀλλὰ εἰ μιᾶς οὔσης διαμέτρου δύο ἡμικύκλια γίνεται, ἄπει‐ ροι δὲ αἱ διάμετροι, συμβήσεται τῶν ἀπείρων διπλάσιον
695εὑρεθῆναι κατ’ ἀριθμόν· ταυτὶ γὰρ ἀποροῦσί τινες. ἡμεῖς δὲ λέγομεν, ὅτι τέμνεται μὲν ἐπ’ ἄπειρον, οὐκ εἰς ἄπειρα δέ. τοῦτο μὲν γὰρ ἐνεργείᾳ ποιεῖ τὸ ἄπειρον, ἐκεῖνο δὲ δυνά‐ μει, καὶ τὸ μὲν οὐσίαν τῷ ἀπείρῳ δίδωσιν, τὸ δὲ γένεσιν μόνον. καὶ αἱ διάμετροι οὖν ἄπειροι μὲν οὐ ληφθήσονται,

1

.

1

(700)

ἐπ’ ἄπειρον δέ. Ἡμικύκλιον δέ ἐστι σχῆμα τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς διαμέτρου καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ’ αὐτῆς περιφε‐ ρείας, κέντρον δὲ τοῦ ἡμικυκλίου τὸ αὐτό, ὃ καὶ τοῦ κύκλου ἐστίν.
705Ἀπὸ μὲν τοῦ ὁρισμοῦ τοῦ κύκλου τὴν τοῦ κέντρου φύσιν ἀνηυρίσκομεν, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τὴν διάμετρον· ἀπὸ δὲ τῆς διαμέτρου τὸ ἡμικύκλιον, ὅ τι ποτέ ἐστιν, ἀναδιδάσκει, ὅτι ὑπὸ δύο περιέχεται ὅρων, εὐθείας, καὶ ταύτης οὐ τῆς
τυχούσης, ἀλλὰ τῆς διαμέτρου, καὶ περιφερείας τῆς ἀπο‐
710λαμβανομένης ὑπὸ τῆς εὐθείας, καὶ μὲν δὴ καὶ ὅτι τὸ αὐτὸ τοῦ ἡμικυκλίου κέντρον καὶ τοῦ κύκλου. καὶ ἐπιση‐ μαντέον, ὅτι μόνον τοῦτο τῶν ἐπιπέδων σχημάτων ἐπὶ τῆς περιμέτρου τὸ κέντρον ἔχει· τριχῆ γὰρ τὸ κέντρον θεω‐ ρήσομεν, ἢ ἐντός, ὡς ἐπὶ τοῦ κύκλου, ἢ ἐκτός, ὡς ἐπὶ τῶν
715κωνικῶν γραμμῶν, ἢ ἐπὶ τῆς περιμέτρου, ὡς ἐπὶ τοῦ ἡμικυκλίου. Εὐθύγραμμα σχήματά ἐστιν τὰ ὑπὸ εὐθειῶν γραμμῶν περιεχόμενα, τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων, πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ
720τεσσάρων πλευρῶν περιεχόμενα. Μετὰ τὸ μοναδικὸν σχῆμα καὶ τὸ δυοειδὲς τὸ ἡμικύκλιον ἡ τῶν ἀριθμῶν ἐπ’ ἄπειρον πρόοδος παραδίδοται τῶν εὐθυγράμμων σχημάτων. διὰ γὰρ τοῦτο καὶ ἡ τοῦ ἡμι‐ κυκλίου γέγονεν μνήμη, ὅτι κατὰ τοὺς ὅρους πὴ μὲν τῷ
725κύκλῳ γειτνιάζει, πὴ δὲ τοῖς εὐθυγράμμοις· πρόεισι δὲ τὰ εὐθύγραμμα εὐτάκτως κατὰ τὸν ἀπὸ τριάδος ἀριθμόν. τριπλεύρων δὲ καὶ τετραπλεύρων ἐποιήσατο μνήμην, ἐπει‐ δὴ προσεχῶς περὶ τούτων ἐν τῷ πρώτῳ διαλεχθήσεται. ὅτι δὲ τὸ εὐθὺ προόδου σύμβολόν ἐστι καὶ κινήσεως καὶ ἀπει‐
730ρίας, καὶ ὅτι ταῖς γεννητικαῖς τάξεσιν ᾠκείωται τῶν θεῶν, εἴρηται πρότερον. Τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ δύο μόνον ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους
735ἔχον πλευράς. ἔτι δὲ τῶν τριπλεύρων σχημάτων ὀρθογώ‐ νιον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ μίαν ἔχον ὀρθὴν γωνίαν, ἀμ‐ βλυγώνιον δὲ τὸ μίαν ἔχον ἀμβλεῖαν, ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας. Ἡ τῶν τριγώνων διαίρεσις τοτὲ μὲν ἀπὸ τῶν πλευρῶν ἔχει
740τὴν διαίρεσιν, τοτὲ δὲ ἀπὸ τῶν γωνιῶν, ἡγεῖται δὲ ἡ ἀπὸ
τῶν πλευρῶν, ὡς γνώριμος, ἕπεται δὲ ἡ ἀπὸ τῶν γωνιῶν, ὡς ἰδιάζουσα, ἐπειδὴ καὶ αἱ τρεῖς αὗται γωνίαι τοῖς εὐθυ‐ γράμμοις μόνοις προσήκουσι σχήμασι, ἰσότης δὲ καὶ ἀν‐ ισότης τῶν πλευρῶν ἔστι δήπου καὶ ἐν τοῖς μὴ εὐθυγράμ‐
745μοις. δοκεῖ δέ μοι καὶ πρὸς ἐκεῖνο ἀπιδὼν ὁ στοιχειωτὴς χω‐ ρὶς ἀπὸ τῶν γωνιῶν ποιήσασθαι τὴν διαίρεσιν, χωρὶς δὲ ἀπὸ τῶν πλευρῶν, ὅτι μὴ πᾶν τρίγωνον καὶ τρίπλευρον. ἔστι γὰρ τρίγωνα τὰ καλούμενα παρ’ αὐτοῖς ἀκιδοειδῆ, ἃ τετράπλευρά ἐστιν, οἷον εἴ τις ἐπὶ μιᾶς τοῦ τριγώνου

1

.

1

(750)

πλευρᾶς ἀπὸ τῶν περάτων ἐντὸς συστήσηται δύο πλευ‐ ρὰς ἐντός· τὰ τοιαῦτα γὰρ τετράπλευρα μέν ἐστι, τρίγωνα δέ· οὕτω δ’ ἂν εὕροις καὶ τετράγωνα πλείονας ἔχοντα πλευράς. ἀλλὰ ταῦτα μὲν οὕτως· οἱ δὲ Πυθαγόρειοι τὸ μὲν τρίγωνον ἁπλῶς ἀρχὴν εἶναι γενέσεώς φασι· καὶ γὰρ
755τριχῆ διίστανται καὶ συναγωγοὶ τῶν πάντη μεριστῶν εἰσιν· καὶ ὁ Φιλόλαος τὴν τοῦ τριγώνου γωνίαν τέτταρσιν ἀνῆκεν θεοῖς, Κρόνῳ, Ἄρει, Ἅιδῃ, Διονύσῳ, τὴν ἄνωθεν ἀπὸ τοῦ οὐρανοῦ καθήκουσαν εἴτ’ ἀπὸ τῶν κέντρων εἴτ’ ἀπὸ τῶν τεττάρων τοῦ ζωδιακοῦ τμημάτων ἐν τούτοις περιλαβών·
760ὁ μὲν γὰρ Κρόνος πᾶσαν ὑφίστησι τὴν ὑγρὰν καὶ ψυχρὰν οὐσίαν, ὁ δὲ Ἄρης πᾶσαν τὴν ἔμπυρον φύσιν, ὁ δὲ Ἅιδης τὴν χθονίαν ὅλην συνέχει ζωήν, ὁ δὲ Διόνυσος τὴν θερμὴν ἅμα καὶ ὑγράν, ὅθεν καὶ ὁ οἶνος ταύτην ἔχων τὴν φύσιν ἀνεῖ‐ ται τῷ τὴν γένεσιν ἐπιτροπεύοντι θεῷ. πάντες δὲ οὗτοι κατὰ
765μὲν τὰς εἰς τὰ δεύτερα ποιήσεις διεστήκασιν, ἥνωνται δὲ ἀλλήλοις, διὸ καὶ κατὰ μίαν αὐτῶν γωνίαν συνάγει τὴν ἕνωσιν ὁ Φιλόλαος. εἰ δὲ καὶ τῶν τριγώνων διαφοραὶ συνερ‐ γοῦσι πρὸς τὴν γένεσιν, εἰκότως ἂν ὁμολογοῖτο τὸ τρίγωνον ἀρχηγὸν εἶναι τῆς τῶν ὑπὸ σελήνην συστάσεως· ἡ μὲν γὰρ
770ὀρθὴ γωνία τὴν οὐσίαν αὐτοῖς παρέχεται καὶ τὸ μέτρον ἀφορίζει τοῦ εἶναι, καὶ ὁ τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου λόγος οὐσιοποιός ἐστι τῶν γενητῶν στοιχείων, ἡ δὲ ἀμβλεῖα τὴν ἐπὶ πᾶν διάστασιν αὐτοῖς ἐνδίδωσι, καὶ ὁ τοῦ ἀμβλυγω‐
νίου λόγος εἰς μέγεθος αὔξει καὶ παντοίαν ἔκτασιν τὰ εἴδη
775τὰ ἔνυλα, ἡ δὲ ὀξεῖα γωνία διαιρετὴν αὐτὴν ἀποτελεῖ τὴν φύσιν, καὶ ὁ τοῦ ὀξυγωνίου λόγος ἐπ’ ἄπειρον αὐτοῖς τὰς διαιρέσεις παρασκευάζει γενέσθαι· ἁπλῶς δὲ ὁ τριγωνικὸς λόγος οὐσίαν διαστατὴν καὶ πάντη μεριστὴν ὑφίστησι τὴν τῶν ἐνύλων σωμάτων. τοσαῦτα μὲν περὶ τριγώνων εἴχομεν
780θεωρεῖν, ἐκ δὲ τούτων λάβοις ἂν τῶν διαιρέσεων, καὶ ὅτι τὰ εἴδη πάντα τῶν τριγώνων ἑπτά ἐστι καὶ οὔτε πλείω οὔτε ἐλάττω. τὸ μὲν ἰσόπλευρον ἕν ἐστι μόνον ὀξυγώνιον ὑπάρχον, τῶν δὲ λοιπῶν ἑκάτερον τριπλοῦν· καὶ γὰρ ἰσο‐ σκελὲς ἢ ὀρθογώνιόν ἐστιν ἢ ἀμβλυγώνιον ἢ ὀξυγώνιον,
785καὶ τὸ σκαληνὸν ὡσαύτως τὴν τρισσὴν ἔχει ταύτην διαφο‐ ράν. εἰ οὖν ταῦτα μὲν τριχῶς, τὰ δὲ ἰσόπλευρα μοναχῶς, ἑπτὰ τὰ πάντα τῶν τριγώνων εἴδη λεγέσθω. λάβοις δ’ ἂν καὶ κατὰ τὴν τῶν πλευρῶν διαίρεσιν τὴν τῶν τριγώνων πρὸς τὰ ὄντα ἀναλογίαν· τὸ μὲν γὰρ ἰσόπλευρον κατὰ πάντα
790ἰσότητι καὶ ἁπλότητι κρατούμενον συγγενές ἐστι ταῖς θείαις ψυχαῖς (μέτρον γάρ ἐστι καὶ τῶν ἀνίσων ἡ ἰσότης, ὥσπερ καὶ τὸ θεῖον πάντων τῶν δευτέρων), τὸ δὲ ἰσοσκελὲς τοῖς κρείττοσι γένεσι τοῖς κατευθύνουσι τὴν ἔνυλον φύσιν, ὧν τὸ μὲν πλέον κεκράτηται τῷ μέτρῳ, τὰ δὲ τελευταῖα
795τῆς ἀνισότητος ἐφάπτεται καὶ τῆς ἀμετρίας τῆς ὑλικῆς (καὶ γὰρ τῶν ἰσοσκελῶν αἱ μὲν δύο ἴσαι, ἡ δὲ βάσις ἄνισος), τὸ δὲ σκαληνὸν ταῖς μερισταῖς ζωαῖς, αἳ πανταχόθεν χω‐ λεύουσιν καὶ σκάζουσιν, εἰς τὴν γένεσιν φερόμεναι καὶ ἀναπιμπλάμεναι τῆς ὕλης.

1

.

1

(800)

Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃ ὀρθογώνιον μέν, οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόμβος δὲ τὸ ἰσόπλευ‐ ρον μέν, οὐκ ὀρθογώνιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναν‐ τίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον, οὔτε δὲ
805ἰσόπλευρον οὔτε ὀρθογώνιον, τὰ δὲ παρὰ ταῦτα τετράπλευ‐ ρα τραπέζια καλείσθω.
Τὴν τῶν τετραπλεύρων διαίρεσιν εἰς δύο ποιεῖσθαι χρὴ τὴν πρώτην καὶ τὰ μὲν αὐτῶν παραλληλόγραμμα λέγειν, τὰ δ’ οὐ παραλληλόγραμμα, τῶν δὲ παραλληλογράμμων
810τὰ μὲν καὶ ὀρθογώνια καὶ ἰσόπλευρα, ὡς τὰ τετράγωνα, τὰ δὲ οὐδέτερα τούτων, ὡς τὰ ῥομβοειδῆ, τὰ δὲ ὀρθογώνια μέν, οὐκ ἰσόπλευρα δέ, ὡς τὰ ἑτερομήκη, τὰ δὲ ἔμπαλιν ἰσόπλευρα μέν, οὐκ ὀρθογώνια δέ, ὡς τοὺς ῥόμβους. ἢ γὰρ ἀμφότερα ἔχειν ἀναγκαῖον, τὴν ἰσότητα τῶν πλευρῶν καὶ
815τὴν ὀρθότητα τῶν γωνιῶν, ἢ οὐδέτερον ἢ τὸ ἕτερον, καὶ τοῦτο διχῶς, ὡς τετραχῶς ὑφίσταται τὸ παραλληλόγραμ‐ μον. τῶν δὲ μὴ παραλληλογράμμων τὰ μὲν δύο μόνον ἔχει παραλλήλους, οὐκέτι δὲ καὶ τὰς λοιπάς, τὰ δ’ οὐδ’ ὅλως ἔχει τῶν πλευρῶν τινας παραλλήλους· καὶ τὰ μὲν καλεῖται
820τραπέζια, τὰ δὲ τραπεζοειδῆ. τῶν δὲ τραπεζίων τὰ μὲν ἴσας ἔχει τὰς συναπτούσας παραλλήλους ταύτας, τὰ δὲ ἀνίσους, καὶ καλεῖται τὰ μὲν ἰσοσκελῆ τραπέζια, τὰ δὲ σκαληνὰ τραπέζια. τὸ ἄρα τετράπλευρον ἑπταχῶς ἡμῖν ὑποστήσεται· τὸ μὲν γάρ ἐστι τετράγωνον, τὸ δὲ ἑτερόμη‐
825κες, τὸ δὲ ῥόμβος, τὸ δὲ ῥομβοειδές, τὸ δὲ τραπέζιον ἰσο‐ σκελές, τὸ δὲ σκαληνὸν τραπέζιον, τὸ δὲ τραπεζοειδές. ἀλλ’ ὁ μὲν Ποσειδώνιος τελείαν εἰς ταῦτα πεποίηται τὴν τῶν τετραπλεύρων εὐθυγράμμων τομὴν ἑπτὰ καὶ τούτων τὰ εἴδη θέμενος, ὥσπερ δὴ καὶ τῶν τριγώνων. ὁ δὲ Εὐκλεί‐
830δης εἰς μὲν παραλληλόγραμμα καὶ μὴ παραλληλόγραμμα διαιρεῖν οὐκ ἠδύνατο μήτε περὶ τῶν παραλλήλων εἰπὼν μήτε περὶ αὐτοῦ τοῦ παραλληλογράμμου διδάξας ἡμᾶς. τὰ δὲ τραπέζια πάντα καὶ τὰ τραπεζοειδῆ κοινῷ προσείρηκεν ὀνόματι τραπέζια περιγράφων αὐτὰ τῶν τεττάρων ἐκείνων,
835οἷς ἐπαληθεύει τὸ τῶν παραλληλογράμμων ἴδιον. τοῦτο δ’ ἐστὶ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἔχειν· καὶ γὰρ τὸ τετράγωνον καὶ τὸ ἑτερόμηκες καὶ ὁ ῥόμβος ἔχει τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας. αὐτὸς δὲ ἐπὶ τοῦ ῥομβοειδοῦς μόνον τοῦτο προσέθηκεν,
840ἵνα μὴ διὰ ψιλῶν αὐτὸ παραστήσῃ τῶν ἀποφάσεων οὔτε ἰσόπλευρον οὔτε ὀρθογώνιον εἰπών. ἐφ’ ὧν γὰρ ἰδιαζόντων ἀποροῦμεν λόγων, χρήσασθαι τοῖς κοινοῖς ἀναγκαῖον· ὅτι δὲ πάντων ἐστὶ τοῦτο κοινὸν τῶν παραλληλογράμμων, αὐτοῦ δεικνύντος ἀκουσόμεθα. ἔοικεν δὲ καὶ ὁ ῥόμβος
845σαλευθὲν εἶναι τετράγωνον καὶ τὸ ῥομβοειδὲς κεκινημένον ἑτερόμηκες· διὸ κατὰ τὰς πλευρὰς οὐ διέστηκεν ταῦτα ἐκεί‐ νων, κατὰ δὲ τὰς τῶν γωνιῶν ἀμβλύτητας καὶ ὀξύτητας ἐκείνων ὀρθογωνίων ὄντων. ἐὰν γὰρ νοήσῃς τὸ τετράγωνον ἢ τὸ ἑτερόμηκες κατὰ τὰς ἀπεναντίας γωνίας διελκόμενον,

1

.

1

(850)

εὑρήσεις ταύτας μὲν συναγομένας καὶ ὀξείας γινομένας, τὰς δὲ λοιπὰς διισταμένας καὶ ἀμβλείας ἀναφαινομένας. καὶ ἔοικεν καὶ τὸ ὄνομα τῷ ῥόμβῳ κεῖσθαι ἀπὸ τῆς κινή‐ σεως· καὶ γὰρ τὸ τετράγωνον εἰ νοήσειας ῥομβούμενον, φανεῖταί σοι κατὰ τὰς γωνίας παρενηνεγμένον, ὥσπερ δὴ
855καὶ ὁ κύκλος ῥομβούμενος ἔλλειψις φαίνεται. περὶ δὲ αὐτοῦ τοῦ τετραγώνου ζητήσειας ἄν, διὰ τί ταύτην ἔσχεν τὴν προσηγορίαν, καὶ οὐχ ὥσπερ τὸ τρίγωνον κοινόν ἐστι πᾶσι καὶ τοῖς μὴ ἰσογωνίοις μηδὲ ἰσοπλεύροις καὶ τὸ πεντάγω‐ νον ὡσαύτως, οὕτω καὶ τὸ τετράγωνον λέγεσθαι δύναται
860καὶ κατὰ τῶν ἄλλων τετραπλεύρων. αὐτὸς γοῦν ὁ γεω‐ μέτρης ἐπ’ ἐκείνων προστίθησι τρίγωνον ἰσόπλευρον ἢ πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον, ὡς δυνα‐ μένων τούτων καὶ μὴ τοιούτων εἶναι. τὸ δὲ τετράγωνον ῥηθὲν εὐθὺς τὸ ἰσόπλευρον αὐτῷ δηλοῖ καὶ ὀρθογώνιον.
865λόγος δὲ τούτου ὅδε· μόνον τὸ τετράγωνον χωρίον καὶ κατὰ τὰς πλευρὰς ἔχει τὸ ἄριστον καὶ κατὰ τὰς γωνίας· ἑκάστη γὰρ αὐτῶν ὀρθή ἐστιν τὸ μέτρον ἀπολαβοῦσα τῶν γωνιῶν τὸ μήτε ἐπίτασιν μήτε ἄνεσιν ἐπιδεχόμενον. κατ’ ἀμφό‐ τερα οὖν πλεονεκτούσης εἰκότως ἔσχεν τὴν κοινὴν ἐπ‐
870ωνυμίαν. τὸ δὲ τρίγωνον κἂν ἴσας ἔχῃ τὰς γωνίας, ἀλλὰ ὀξείας πάσας, καὶ τὸ πεντάγωνον ἀμβλείας πάσας. εἰκότως
ἄρα τὸ τετράγωνον ἰσότητι πλευρῶν καὶ ὀρθότητι γωνιῶν συμπεπληρωμένον μόνον ἐκ πάντων τετραπλεύρων ταύτης τῆς προσηγορίας ἔτυχεν· τοῖς γὰρ ὑπερέχουσι τῶν εἰδῶν
875τὸ τοῦ ὅλου πολλάκις ἐπιφημίζομεν ὄνομα. δοκεῖ δὲ καὶ τοῖς Πυθαγορείοις τοῦτο διαφερόντως τῶν τετραπλεύρων εἰκόνα φέρειν τῆς θείας οὐσίας· τήν τε γὰρ ἄχραντον τάξιν διὰ τούτου μάλιστα σημαίνουσιν· ἥ τε γὰρ ὀρθότης τὸ ἄκλι‐ τον καὶ ἡ ἰσότης τὴν μόνιμον δύναμιν ἀπομιμεῖται· κίνησις
880γὰρ ἀνισότητος ἔκγονος, στάσις δὲ ἰσότητος. οἱ τοίνυν τῆς σταθερᾶς ἱδρύσεως αἴτιοι τοῖς ὅλοις καὶ τῆς ἀχράντου καὶ ἀκλίτου δυνάμεως εἰκότως διὰ τοῦ τετραγωνικοῦ σχήμα‐ τος ὡς ἀπ’ εἰκόνος ἐμφαίνονται. καὶ πρὸς τούτοις ὁ Φιλό‐ λαος κατ’ ἄλλην ἐπιβολὴν τὴν τοῦ τετραγώνου γωνίαν
885Ῥέας καὶ Δήμητρος καὶ Ἑστίας ἀποκαλεῖ. διότι γὰρ τὴν γῆν τὸ τετράγωνον ὑφίστησιν, καὶ στοιχεῖόν ἐστιν αὐτῆς προσεχές, ὡς παρὰ τοῦ Τιμαίου μεμαθήκαμεν, ἀπὸ δὲ πασῶν τούτων τῶν θεαινῶν ἀπορροίας ἡ γῆ δέχεται καὶ γονίμους δυνάμεις, εἰκότως τὴν τοῦ τετραγώνου γωνίαν
890ἀνῆκεν ταύταις ταῖς ζωογόνοις θεαῖς. καὶ γὰρ Ἑστίαν καλοῦσι τὴν γῆν καὶ Δήμητρά τινες καὶ τῆς ὅλης Ῥέας αὐτὴν μετέχειν φασίν, καὶ πάντα ἐστὶν ἐν αὐτῇ τὰ γεννη‐ τικὰ αἴτια χθονίως. τὴν τοίνυν μίαν ἕνωσιν τῶν θείων τού‐ των γενῶν τὴν τετραγωνικήν φησι γωνίαν περιέχειν. ἀπεικά‐
895ζουσι δὲ καὶ πρὸς τὴν σύμπασαν ἀρετὴν τὸ τετράγωνον ὡς ἔχον τέτταρας ὀρθὰς τελείαν ἑκάστην, ᾗπερ δὴ καὶ τὰς ἀρετὰς λέγομεν ἑκάστην τελείαν καὶ αὐτάρκη καὶ ἄμετρον καὶ ὅρον τῆς ζωῆς καὶ πάσας μεσότητας ἀμβλείας καὶ ὀξείας. δεῖ δὲ μὴ λανθάνειν, ὅπως τὴν μὲν τριγωνικὴν γω‐

1

.

1

(900)

νίαν ὁ Φιλόλαος τέτταρσιν ἀνῆκεν θεοῖς, τὴν δὲ τετραγω‐ νικὴν τρισίν, ἐνδεικνύμενος αὐτῶν τὴν δι’ ἀλλήλων χώ‐ ρησιν καὶ τὴν ἐν πᾶσιν πάντων κοινωνίαν τῶν τε περισσῶν ἐν τοῖς ἀρτίοις καὶ τῶν ἀρτίων ἐν τοῖς περισσοῖς. τριὰς οὖν
τετραδικὴ καὶ τετρὰς τριαδικὴ τῶν τε γονίμων μετέχουσαι
905καὶ ποιητικῶν ἀγαθῶν τὴν ὅλην συνέχουσι τῶν γενητῶν διακόσμησιν· ἀφ’ ὧν ἡ δυωδεκὰς εἰς μίαν μονάδα τὴν τοῦ Διὸς ἀρχὴν ἀνατείνεται· τὴν γὰρ τοῦ δωδεκαγώνου γωνίαν Διὸς εἶναί φησιν ὁ Φιλόλαος, ὡς κατὰ μίαν ἕνωσιν τοῦ Διὸς ὅλον συνέχοντος τὸν τῆς δυωδεκάδος ἀριθμόν· ἡγεῖ‐
910ται γὰρ καὶ παρὰ τῷ Πλάτωνι δυωδεκάδος ὁ Ζεὺς καὶ ἀπολύτως ἐπιτροπεύει τὸ πᾶν. τοσαῦτα καὶ περὶ τῶν τετρα‐ πλεύρων εἴχομεν λέγειν τήν τε τοῦ στοιχειωτοῦ διάνοιαν ἐμφανίζοντες καὶ πρὸς τὰς θεωρητικωτέρας ἐπιβολὰς ἀφορμὰς διδόντες τοῖς τῶν νοητῶν καὶ ἀφανῶν οὐσιῶν
915τῆς γνώσεως ἐφιεμένοις. Παράλληλοι εὐθεῖαί εἰσιν, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις. Τίνα μὲν στοιχεῖα τῶν παραλλήλων καὶ τίσι γνωρίζονται
920συμπτώμασιν, ἐν τοῖς μετὰ ταῦτα μαθησόμεθα, τίνες δέ εἰσιν αἱ παράλληλοι εὐθεῖαι, διὰ τούτων ἀφορίζεται τῶν ῥημάτων. δεῖ τοίνυν αὐτάς, φησίν, ἔν τε ἑνὶ ἐπιπέδῳ εἶναι καὶ ἐκβαλλομένας ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη μὴ συμπίπτειν ἀλλήλαις. ἐκβάλλεσθαι εἰς ἄπειρον· καὶ γὰρ αἱ μὴ παράλ‐
925ληλοι μέχρι τινὸς ἐκβαλλόμεναι μείναιεν ἂν ἀσύμπτωτοι, τὸ δ’ εἰς ἄπειρον ἐκβαλλομένας μὴ συμπίπτειν χαρακτηρί‐ ζει τὰς παραλλήλους, καὶ οὐδὲ τοῦτο ἁπλῶς, ἀλλὰ τὸ ἐφ’ ἑκάτερα ἐκβάλλεσθαι ἐπ’ ἄπειρον καὶ μὴ συμπίπτειν. καὶ τῶν μὴ παραλλήλων δυνατὸν κατὰ θάτερα μὲν τὴν ἐκβολὴν
930ἐπ’ ἄπειρον γενέσθαι, κατὰ τὰ λοιπὰ δὲ οὔ. συννεύουσαι γὰρ ἐπὶ τάδε τὰ μέρη πλέον ἀφίστανται ἀλλήλων κατὰ τὰ ἕτερα. τὸ δὲ αἴτιον, ὅτι δύο εὐθεῖαι περιέχειν οὐ δύνανταί τι χωρίον· εἰ δὲ κατὰ ἀμφότερα συννεύσαιεν, τοῦτο συμ‐ βήσεται. καὶ μέντοι καὶ τὸ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ εἶναι τὰς
935εὐθείας ὀρθῶς προσείληπται· εἰ γὰρ ἡ μὲν εἴη ἐν τῷ ὑποκειμένῳ, ἡ δὲ ἐν μετεώρῳ, κατὰ πᾶσαν θέσιν ἀσύμ‐ πτωτοί εἰσιν ἀλλήλαις καὶ οὐ διὰ τοῦτο παράλληλοί εἰσιν. ἓν οὖν ἔστω τὸ ἐπίπεδον, καὶ ἐκβαλλέσθωσαν ἐπ’ ἄπειρον κατὰ ἀμφότερα καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ μη‐
940δέτερα· τούτων γὰρ ὑπαρχόντων ἔσονται παράλληλοι εὐθεῖαι. καὶ ὁ μὲν Εὐκλείδης τοῦτον ὁρίζεται τὸν τρόπον τὰς παραλλήλους εὐθείας, ὁ δὲ Ποσειδώνιος· παράλληλοι, φησίν, εἰσιν αἱ μήτε συννεύουσαι μήτε ἀπονεύουσαι ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ, ἀλλ’ ἴσας ἔχουσαι πάσας τὰς καθέτους τὰς ἀγο‐
945μένας ἀπὸ τῶν τῆς ἑτέρας σημείων ἐπὶ τὴν λοιπήν· ὅσαι δ’ ἂν ἐλάττους ἀεὶ ποιῶσι τὰς καθέτους, συννεύουσιν ἀλλήλαις· ἡ γὰρ κάθετος τά τε ὕψη τῶν χωρίων καὶ τὰ διαστήματα τῶν γραμμῶν ὁρίζειν δύναται. διόπερ ἴσων μὲν τῶν καθέτων οὐσῶν ἴσα τὰ διαστήματα τῶν εὐθειῶν,

1

.

1

(950)

μειζόνων καὶ ἐλαττόνων γιγνομένων καὶ ἡ ἀπόστασις ἐλασσοῦται, καὶ συννεύουσιν ἀλλήλαις, ἐφ’ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ κάθετοι ἐλάσσονες. δεῖ δὲ εἰδέναι, ὅτι τὸ ἀσύμπτωτον οὐ πάντως παραλλήλους ποιεῖ τὰς γραμμάς· καὶ γὰρ τῶν ὁμοκέντρων κύκλων αἱ περιφέρειαι οὐ συμπίπτουσιν·
955ἀλλὰ δεῖ καὶ ἐπ’ ἄπειρον αὐτὰς ἐκβάλλεσθαι. τοῦτο δὲ οὐ μόναις ὑπάρχει ταῖς εὐθείαις, ἀλλὰ καὶ ἄλλαις γραμμαῖς· δυνατὸν γὰρ νοῆσαι τεταγμένας ἕλικας περὶ εὐθείας γρα‐ φομένας, αἵτινες συνεκβαλλόμεναι ταῖς εὐθείαις εἰς ἄπει‐ ρον οὐδὲ τότε συμπίπτουσιν. ταῦτα μὲν οὖν παρὰ τούτων
960ὀρθῶς Γεμῖνος διεῖλεν ἐξ ἀρχῆς, ὅτι τῶν γραμμῶν αἱ μέν εἰσιν ὡρισμέναι καὶ σχῆμα περιέχουσιν, ὡς ὁ κύκλος καὶ ἡ τῆς ἐλλείψεως γραμμὴ καὶ ἡ κισσοειδὴς καὶ ἄλλαι παμ‐ πληθεῖς, αἱ δὲ ἀόριστοι καὶ εἰς ἄπειρον ἐκβαλλόμεναι, ὡς ἡ εὐθεῖα καὶ ἡ τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομὴ καὶ ἡ τοῦ ἀμ‐
965βλυγωνίου καὶ ἡ κογχοειδής. πάλιν δὲ αὐτῶν εἰς ἄπειρον ἐκβαλλομένων αἱ μὲν οὐδὲν σχῆμα περιλαμβάνουσιν, ὡς ἡ
εὐθεῖα καὶ αἱ κωνικαὶ τομαὶ αἱ εἰρημέναι, αἱ δὲ συν‐ ελθοῦσαί τε καὶ ποιήσασαι σχῆμα ἐπ’ ἄπειρον τὸ λοιπὸν ἐκφέρονται· τούτων δὲ αἱ μέν εἰσιν ἀσύμπτωτοι, αἱ, ὅπως
970ποτ’ ἂν ἐκβληθῶσιν, μὴ συμπίπτουσαι, συμπτωταὶ δὲ αἵ ποτε συμπεσούμεναι. τῶν δὲ ἀσυμπτώτων αἱ μὲν ἐν ἑνί εἰσιν ἀλλήλαις ἐπιπέδῳ, αἱ δὲ οὔ. τῶν δὲ ἀσυμπτώτων καὶ ἐν ἑνὶ οὐσῶν ἐπιπέδῳ αἱ μὲν ἴσον αἰεὶ διάστημα ἀφεστήκα‐ σιν ἀλλήλων, αἱ δὲ μειοῦσιν ἀεὶ τὸ διάστημα, ὡς ἡ ὑπερ‐
975βολὴ πρὸς τὴν εὐθεῖαν καὶ ἡ κογχοειδὴς πρὸς τὴν εὐθεῖαν· αὗται γὰρ ἀεὶ ἐλασσουμένου τοῦ διαστήματος ἀεὶ ἀσύμ‐ πτωτοί εἰσι καὶ συννεύουσι μὲν ἀλλήλαις, οὐδέποτε δὲ συννεύουσιν παντελῶς, ὃ καὶ παραδοξότατόν ἐστιν ἐν γεω‐ μετρίᾳ θεώρημα δεικνῦον σύννευσίν τινων γραμμῶν ἀσύν‐
980νευστον. τῶν δὲ ἴσον ἀεὶ ἀπεχουσῶν διάστημα αἵ εἰσιν εὐθεῖαι μηδέποτε ἔλασσον ποιοῦσαι τὸ μεταξὺ αὐτῶν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ, παράλληλοί εἰσιν. τοσαῦτα καὶ ἀπὸ τῆς Γεμίνου φιλοκαλίας εἰς τὴν τῶν προκειμένων ἐξήγησιν ἀνελεξάμεθα.

1

.

2

Ἔν τισιν ἀντιγράφοις πρόσκειται ἐν τῇ ἐπιγραφῇ τὸ ἐκ τῆς Θέωνος ἐκδόσεως.

1

3-8t

Ad definitiones

1

.

3

• σημεῖόν ἐστιν, ὅ τινες καλοῦσι στιγμήν. — εὐθεῖα γραμμή. ~ γραμμὴ οὐκ εὐθεῖα. Δ ἐπίπεδος ἐπιφάνεια ἡ ὑπ’ εὐθειῶν περιεχομένη. Ο ἐπίπεδος ἐπιφάνεια ἡ ὑπὸ γραμμῆς περιεχομένη. 𐅵 ἐπίπεδος γωνία ἡ ὑπὸ εὐθειῶν
5περιεχομένη. ⟀ στερεὰ γωνία ἡ ὑπὸ τριῶν εὐθειῶν περι‐ εχομένη. ⟘ ὀρθή ἐστι γωνία διχοτόμημα εὐθείας ἐπ’ εὐ‐ θεῖαν ἑστώσης οὐ κατὰ παρέγκλισιν τῆς ἐφεστώσης. ἡ μὲν μείζων ἀπο....... ἀμβλεῖα κληθήσεται, ἡ δὲ ἐλάσσων
ὀξεῖα.

1

.

4

Διὰ τί μὴ καὶ τὸ τρίπλευρον καὶ τετράπλευρον πολύ‐ πλευρα ὠνόμασε; πολλὰ γὰρ τὰ τρία καὶ τέτταρα. ἔστιν οὖν εἰπεῖν, ὅτι ὥσπερ ἐπὶ τοῦ ἀριθμοῦ τὸ μὲν ἓν ἓν ὀνο‐ μάζομεν, τὰ δὲ β δύο, τὰ δὲ γ καὶ δ καὶ ἑξῆς πολλὰ καλεῖν
5καὶ πληθυντικῶς ἐκφέρειν εἰώθαμεν, οὕτω καὶ ἐπὶ τῶν εὐθυγράμμων σχημάτων τὸ μὲν ἔχον τρεῖς πλευρὰς τρί‐ πλευρον λέγομεν, τὸ δὲ δ τετράπλευρον, τὸ δὲ πλείους πολύπλευρον. ὃ γάρ ἐστιν ἐν ἀριθμῷ ἡ μονάς, τοῦτο ἐν εὐθυγράμμοις τὸ τρίπλευρον, καὶ τῇ δυάδι πάλιν ἀναλογεῖ
10τὸ τετράπλευρον· πρῶτον γὰρ τῶν εὐθυγράμμων τὸ τρί‐ πλευρον καὶ δεύτερον τὸ τετράπλευρον. εἰκότως ἄρα καὶ ταῦτα προσηγορίαις ἰδιαιτάταις προσηγορεύθησαν, τὰ δὲ μετὰ ταῦτα πολύπλευρα κατωνόμασται.

1

.

5

Τρεῖς εἰσι διαφοραὶ τῶν σχημάτων· τὰ μὲν γὰρ ὑπὸ γραμμῶν οἷον ὁ κύκλος, τὰ δὲ ὑπ’ εὐθειῶν καὶ γραμμῶν οἷον τὸ ἡμικύκλιον, τομεὺς καὶ τὰ ἄλλα, ἕτερα δὲ ὑπὸ εὐθειῶν, οἷον τρίγωνον καὶ τετράγωνον.
5Τῶν μὲν ὑπὸ γραμμῶν καὶ σχημάτων περιεχομένων προηγεῖται ὁ κύκλος, εἶτα τὸ ἡμικύκλιον, τῶν δὲ ὑπὸ [Start of a diagram][Start of a diagram section]ἰσόπλευρον τοῦτο ἕν ἐστι μόνον ὀξυγώνιον ὑπάρχον. τῶν λοιπῶν ἑκάτερον τριχῶς[End of a diagram section]
10[Start of a diagram section]ἰσοσκελές ἢ ὀρθογώνιον ἢ ἀμβλυγώνιον ἢ ὀξυγώνιον[End of a diagram section] [Start of a diagram section]σκαληνόν
15ἢ ὀρθογώνιον ἢ ἀμβλυγώνιον
ἢ ὀξυγώνιον[End of a diagram section][End of a diagram] εὐθειῶν τὸ τρίγωνον, εἶτα τετράγωνον. τὸ δὲ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων ἐστὶ περιεχόμενον ......

1

.

6

Ἀρχιμήδης οὕτως ὁρίζει τὴν εὐθεῖαν γραμμήν· εὐθεῖα γραμμή ἐστιν ἡ ἐλαχίστη τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν γραμμῶν.

1

.

7

Ὅτι ἑπτὰ εἴδη τῶν τριγώνων εἰσὶ καὶ οὔτε πλείω οὔτε ἐλάττω (sequitur divisio, v. p. 70).

1

.

8

Εἰ νοήσειας τὸ ἰσόπλευρον ῥομβούμενον, φαίνεται κατὰ τὰς γωνίας παρενηνεγμένον, ὥσπερ καὶ ὁ κύκλος ῥομβούμενος ἔλλειψις φαίνεται.

1

9-12t

Ad postulata et communes conceptiones

1

.

9

Κοινόν ἐστιν αἰτήμασι καὶ ἀξιώμασι τὸ μὴ προσδεῖ‐ σθαί τινος ἀποδείξεως μηδὲ γεωμετρικῶν πίστεων, ἀλλ’ ὡς γνώριμα λαμβάνεσθαι καὶ ἀρχὰς ταῦτα γίνεσθαι τῶν ἐφεξῆς, διέστηκε δὲ ἀλλήλων, ᾗ καὶ τὰ θεωρήματα τῶν
5προβλημάτων διώρισται. ὥσπερ γὰρ ἐν τοῖς θεωρήμασιν τὸ ἀκόλουθον ἰδεῖν καὶ γνῶναι τοῖς ὑποκειμένοις προτι‐ θέμεθα, ἐν δὲ τοῖς προβλήμασι πορίσασθαι καὶ ποιῆσαί τι προσταττόμεθα, οὕτω δὴ καὶ ἐν μὲν τοῖς ἀξιώμασι ταῦτα λαμβάνεται, ὅσα καὶ αὐτόθεν εἰς γνῶσίν ἐστι καταφανῆ
10καὶ πρόχειρα ταῖς ἀδιδάκτοις ἡμῶν διανοίαις, ἐν δὲ τοῖς αἰτήμασι ταῦτα λαβεῖν ζητοῦμεν, ὅσα ἐστὶν εὐπόριστα καὶ εὐμήχανα, τῆς διανοίας οὐ καμνούσης περὶ τὴν λῆψιν αὐτῶν, οὐδὲ ποικιλίας δεόμενα. γνῶσις ἄρα ἐναργὴς καὶ ἀναπόδεικτος καὶ λῆψις ἀκατάσκευος διορίζουσι τὰ αἰτή‐
15ματα καὶ τὰ ἀξιώματα, ὥσπερ καὶ γνῶσις ἀποδεικτικὴ καὶ λῆψις τῶν ζητουμένων μετὰ παρασκευῆς τὰ θεωρήματα τῶν προβλημάτων διέκρινεν. ἄμφω μὲν οὖν τὸ ἀξίωμα καὶ τὸ αἴτημα τὸ ἁπλοῦν ἔχειν δεῖ καὶ εὔληπτον καὶ ἀναπόδει‐
κτον, ἀλλὰ τὸ μὲν αἴτημα ὡς εὐπόριστον λαμβάνεται καὶ
20δίδωσιν ἡμῖν μηχανήσασθαι καὶ πορίσασθαί τινα ὕλην εἰς συμπτώματος ἀπόδοσιν ἁπλῆν ἔχουσαν καὶ εὐπετῆ τὴν λῆψιν, τὸ δὲ ἀξίωμα ὡς εὔγνωστον ὡμολόγηται καὶ οὐκέτι περὶ τὴν ὕλην, ὥσπερ τὰ αἰτήματα, ἀλλὰ περὶ τὰ συμ‐ βεβηκότα ἀναστρέφεται καὶ αὐτό ἐστι γνώριμον τοῖς
25ἀκούουσι.

1

.

10

Αἱ γεωμετρικαὶ ἀρχαὶ τριχῆ διαιροῦνται εἴς τε ὑποθέσεις καὶ αἰτήματα καὶ ἀξιώματα. διαφέρουσι δὲ τὰ αἰτήματα τῶν ἀξιωμάτων, ὅτι τὰ μὲν ἀξιώματα αὐτόπιστα καὶ οὐδεμιᾶς δεόμενα ἀποδείξεως κατὰ τὰς ἀδιδάκτους
5ἡμῶν ἐννοίας, τὰ δὲ αἰτήματα καὶ αὐτὰ μὲν ὡς ἀληθῆ λαμ‐ βάνονται, δέονται δὲ ἀποδείξεως, ὅθεν καὶ αἰτήματα κα‐ λοῦνται ὡς αἰτούμενα καὶ χρῄζοντα ἀποδείξεως.

1

.

11

Τὰ αὐτὰ ἀξιώματα καλοῦνται καὶ κοιναὶ ἔννοιαι, κοιναὶ μὲν ἔννοιαι, καθὸ κοινὰ ἅπαντες, ὡς ἔχουσι πρὸς τὰ πράγματα οἱ τοιοῦτοι λόγοι, οὕτως καὶ αὐτοὶ περὶ αὐτῶν διανοοῦνται, ἀξιώματα δέ, καθότι ἀναποδείκτως
5λαμβανόμενα ὑπὸ πάντων οὕτως ἔχειν ἀξιοῦνται, καὶ δι‐ αμφισβητεῖ πρὸς ταῦτα οὐδείς.

1

.

12

Τὸ πρῶτον τῶν αἰτημάτων ἑπόμενόν ἐστι τῷ ῥύσιν εἶναι τοῦ σημείου τὴν γραμμὴν καὶ τὴν εὐθεῖαν καὶ ἀπαρ‐ έγκλιτον ῥύσιν. νοήσαντες οὖν τὸ σημεῖον κινούμενον τὴν ὁμαλὴν καὶ ἐλαχίστην κίνησιν ἐπὶ θάτερον σημεῖον κατ‐
5αντήσομεν, καὶ τὸ πρῶτον αἴτημα γέγονεν οὐδὲν ποικίλον ἡμῶν ἐπινενοηκότων. εἰ δὲ δεῖ τῆς εὐθείας σημείῳ περα‐ τουμένης, ὡσαύτως νοήσαιμεν τὸ πέρας αὐτῆς κινούμενον τὴν ἐλαχίστην καὶ ὁμαλὴν κίνησιν. ἔσται τὸ δεύτερον αἴτη‐ μα πορισθὲν ἀπὸ εὐμηχάνου καὶ ἁπλῆς ἐπιβολῆς. εἰ δ’
10αὖ μένουσαν μὲν τὴν πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ θάτερον, κινουμένην δὲ περὶ τὸ μένον, κατὰ τὸ λοιπὸν τὸ τρίτον ἂν
εἴη γεγονός· κέντρον μὲν γὰρ ἔσται τὸ μένον σημεῖον, διάστημα δὲ ἡ εὐθεῖα. ὅση γὰρ ἂν αὕτη τυγχάνῃ, τοσοῦτον ἔσται τὸ ἀπόστημα τοῦ κέντρου πρὸς πάντα τὰ μέρη τῆς
15περιφερείας.

1

13t

Ad postulatum 4

1

.

13

Πᾶσαι μὲν αἱ ὀρθαὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, οὐ μὴν ἡ τῇ ὀρθῇ ἴση πάντως καὶ αὐτὴ ὀρθή ἐστιν, ἀλλ’ εἰ μὲν εὐθύγραμμος εἴη, πάντως ὀρθὴ ἔσται, δύνασθαι δέ φη‐ σιν ὁ Πάππος καὶ περιφερόγραμμον γωνίαν ἴσην ὀρθῇ
5δειχθῆναι, καὶ δῆλον, ὡς οὐκέτι τὴν τοιαύτην ὀρθὴν εἶναι δύνασθαι προσαγορεύσομεν.

1

14-15t

Ad postulatum 5

1

.

14

Τοῦτο ὁ Πρόκλος θεώρημα εἶναι τίθεται μᾶλλον πολλῶν παραμυθιῶν δεόμενον.

1

.

15

Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας καὶ τὰ ἑξῆς· ὁ Πρόκλος οὐ φησὶν τοῦτο αἴτημα εἶναι, ἀλλὰ θεώρημα πολλὰς ἀπορίας ἐπιδεχόμενον καὶ πολλῶν εἰς ἀπόδειξιν δεόμενον καὶ ὅρων καὶ θεωρημάτων, καὶ τό γε ἀντιστρέφον, φησίν, ὡς θεώ‐
5ρημα δείκνυσιν ὁ Εὐκλείδης. τὸ γὰρ ἠλαττωμένων τῶν ὀρθῶν συννεύειν τὰς εὐθείας ἀληθὲς καὶ ἀναγκαῖον, τὸ δὲ συννευούσας ἐπὶ πλέον ἐν τῷ ἐκβάλλεσθαι συμπεσεῖσθαί ποτε πιθανόν, ἀλλ’ οὐκ ἀναγκαῖον. Ταῦτά ἐστι τὰ κατὰ πάντας ἀναπόδεικτα καλούμενα
10ἀξιώματα, καθ’ ὅσον ὑπὸ πάντων οὕτως ἔχειν ἀξιοῦται, καὶ διαμφισβητεῖ πρὸς ταῦτα οὐδείς. πολλάκις μὲν γὰρ καὶ τὰς προτάσεις ἁπλῶς ἀξιώματα καλοῦσιν, ὁποῖαί ποτ’ ἂν ὦσιν εἴτε ἄμεσοι κυρίως εἴτε καὶ δεόμεναί τινος ὑπο‐ μνήσεως. τινὲς δὲ ἀπὸ τῶν ἄλλων προτάσεων διακρίνοντες
15τὸ ἀξίωμα τὴν ἄμεσον καὶ αὐτόπιστον δι’ ἐνέργειαν πρό‐ τασιν οὕτως ὀνομάζουσιν, ὥσπερ καὶ ὁ Ἀριστοτέλης καὶ
οἱ γεωμέτραι λέγουσιν· ταὐτὸν γάρ ἐστι κατὰ τούτους ἀξίωμα καὶ ἔννοια κοινή. ὁ γοῦν Ἀπολλώνιος καὶ τῶν ἀξιωμάτων ἀποδείξεις γέγραφεν ἀπεναντίως Εὐκλείδῃ
20φερόμενος. ὁ μὲν γὰρ καὶ τὸ ἀποδεικτὸν ἐν τοῖς αἰτήμασιν κατηρίθμησεν, ὁ δὲ καὶ τῶν ἀναποδείκτων ἐπεχείρησεν ἀποδείξεις εὑρίσκειν.

1

16-23t

Ad prop. 1

1

.

16

Πρόβλημά ἐστι μέρος λόγου εἰς ἑτέρου ἀπόδειξιν προβαλλόμενον, ὡς ὅταν λέγωμέν τινι· δεῖξον, εἰ ἡ ψυχὴ ἀθάνατός ἐστιν, καὶ τοῦτο πρόβλημά ἐστιν.

1

.

17

Πεπερασμένης εἶπεν οὐχ ὡς ἀπείρου οὔσης τῆς γραμ‐ μῆς, ἀλλ’ ὡς λαμβανομένης καὶ διὰ τοῦτο πεπερασμένης.

1

.

18

Ἰστέον, ὅτι τὸ μὲν ὅπερ ἔδει ποιῆσαι λαμβάνει ὁ Εὐκλείδης ἐν πράγματι τῷ τότε δημιουργηθέντι, τὸ δὲ ὅπερ ἔδει δεῖξαι, οὗ τὰ ἐπιδημιουργημένα εἴη ἡ ἀπόδειξις, οἷον ὅτι τὸ τρίγωνον τρία σημεῖα ἔχει.

1

.

19

Πρῶτον πρότασις, β ἔκθεσις, γ προδιορισμός, δ κατασκευή.

1

.

20

Τί ἐστι δεδομένον καὶ τί ζητούμενον; τὸ δεδομένον ἐστὶν ἐπὶ δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης, ζητεῖ δὲ τὸ τρίγωνον.

1

.

21

Ἰστέον, οὐ ταὐτὸν εἶναι πρόβλημα καὶ θεώρημα. ὅ τι μὲν κινεῖται εἰς ζήτησιν, πρόβλημα, ὅ τι δὲ σημαίνει τόδε ὧδε εἶναι, θεώρημα. ζητεῖται δὲ ἐπὶ παντὶ προβλήματι πέντε ταῦτα· λῆμμα, πτῶσις, πόρισμα, ἔνστασις καὶ ἀπ‐
5αγωγή· καὶ λῆμμα μέν ἐστιν, ὅταν ζητῶμεν, εἰ ἔστι τι τὸ κατασκευάζον τὸ πρόβλημα, ὅπερ ὁ διδάσκαλος εἰς κατα‐ σκευὴν δίδωσι, πτῶσις δὲ αὐτὴ ἡ τῆς κατασκευῆς ἀφορμή·
ἔστι δὲ ὅτε καὶ προβλήματα εὑρίσκονται ἄπτωτα, δηλον‐ ότι μὴ ἀφορμῆς εἰς κατασκευὴν δεόμενα. πόρισμα, ὅταν
10ζητῶμεν, εἴπερ ἐπὶ τοῦ προφανῶς ἐν τῷ προβλήματι φαινο‐ μένου ἔστι καὶ ἕτερόν τι ἀνακύψαι. ἔνστασις, ὅτε ζητῶμεν, εἴπερ ἐστὶ δεκτικὸν ἀνατροπῆς τοῦτο, καὶ ἀπαγωγή, ὅτε ζητῶμεν, εἰ ἔστιν ἀπαγαγεῖν τὸ τοιοῦτον πρόβλημα εἰς κατασκευὴν ἄλλου προβλήματος.

1

.

22

Πρόβλημα καὶ θεώρημα διαφέρει, ὅτι τὸ μὲν πρό‐ βλημα καὶ ποιεῖ καὶ προστάσσει καὶ τὴν δεῖξιν ἐπάγει τοῦ ποιηθέντος· τὸ δὲ θεώρημα τὰ παρὰ τὸ ὑποκείμενον σχῆμα συμπτώματα ἀποδείκνυσιν.

1

.

23

Πᾶσα πρότασις γεωμετρικὴ ἤτοι πρόβλημα ἢ θεώ‐ ρημά ἐστιν, καὶ πρόβλημά ἐστιν, ὅταν προβληθῇ τὰ μὴ ὄντα πω πορίσασθαι καὶ εἰς ἐμφανὲς παραγαγεῖν καὶ προσμηχανήσασθαι, θεώρημα δέ, ἐν οἷς τὸ ὑπάρχον ἢ μὴ
5ὑπάρχον ἰδεῖν καὶ γνῶναι καὶ ἀποδεῖξαι προαιρεῖται. πᾶν δὲ πρόβλημα καὶ πᾶν θεώρημα βούλεται ταῦτα πάντα ἔχειν ἐν ἑαυτῷ· πρότασιν, ἔκθεσιν, διορισμόν, κατασκευήν, ἀπόδειξιν, συμπέρασμα. τούτων δὲ ἡ μὲν πρότασις λέγει, τίνος δεδομένου τί τὸ ζητούμενόν ἐστιν· ἡ γὰρ τελεία πρό‐
10τασις ἐξ ἀμφοτέρων ἐστίν. ἡ δὲ ἔκθεσις αὐτὸ καθ’ αὑτὸ τὸ δεδομένον ἀποδιαλαβοῦσα προευτρεπίζει τῇ ζητήσει. ὁ δὲ διορισμὸς χωρὶς τὸ ζητούμενον, ὅ τι ποτέ ἐστιν, διασαφεῖ. ἡ δὲ κατασκευὴ τὰ ἐλλείποντα τῷ δεδομένῳ πρὸς τὴν τοῦ ζητουμένου θήραν προστίθησιν. ἡ δὲ ἀπόδειξις ἐπιστη‐
15μονικῶς ἀπὸ τῶν ὁμολογηθέντων συνάγει τὸ προκείμενον. τὸ δὲ συμπέρασμα πάλιν ἐπὶ τὴν πρότασιν ἀναστρέφει βεβαιοῦν τὸ δεδειγμένον. καὶ τὰ μὲν σύμπαντα μέρη τῶν τε προβλημάτων καὶ τῶν θεωρημάτων ἐστὶ τοσαῦτα· τὰ δὲ ἀναγκαιότατα καὶ ἐν πᾶσιν ὑπάρχοντα πρότασις καὶ ἀπό‐
20δειξις καὶ συμπέρασμα, τὰ δὲ λοιπὰ πολλαχοῦ μὲν παρα‐ λαμβάνεται, πολλαχοῦ δὲ καὶ ὡς οὐδεμίαν παρέχοντα χρεί‐
αν παραλείπεται. ὅταν μὲν οὖν ἡ πρότασις ἀμφότερα σχῇ τό τε δεδομένον καὶ τὸ ζητούμενον ὡς ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην τρίγωνον συστήσασθαι, τότε καὶ ὁ
25διορισμὸς εὑρίσκεται καὶ ἔκθεσις, ὅταν δὲ ἐκλείπῃ τὸ δεδο‐ μένον, ἐκλιμπάνει καὶ ταῦτα· ἡ γὰρ ἔκθεσις τοῦ δεδομένου ἐστὶ καὶ ὁ διορισμός. ἔσται γὰρ ὁ αὐτὸς τῇ προτάσει. τί γὰρ ἄλλο ἂν εἴποι ὁ διοριζόμενος ἐπὶ τοῦ προρηθέντος προβλήματος, εἰ μὴ τὸ ὅμοιον τῇ προτάσει, ἐὰν μὴ ᾖ τὸ
30δεδομένον. Ἐπὶ τούτου τοῦ πρώτου θεωρήματος, ὅτι μὲν πρόβλημά ἐστιν, δῆλον, ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τρί‐ γωνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι. τοῦ γὰρ τριγώνου τὴν γέ‐ νεσιν ζητῶν ἐπιτάττει τό τε δεδομένον καὶ τὸ ζητούμενον.
35δέδοται γὰρ εὐθεῖα, ζητεῖται δέ, πῶς ἂν ἐπ’ αὐτῆς συσταίη τὸ ἰσόπλευρον τρίγωνον, καὶ ἡγεῖται τὸ δεδομένον, ἕπεται δὲ τὸ ζητούμενον· οὔτε μὲν γὰρ εὐθείας δίχα συσταθήσε‐ ται σχῆμα, οὔτε δὲ ἄνευ πεπερασμένης· οὐ γὰρ δυνατόν. μετὰ δὲ τὴν πρότασιν εὐθὺς ἡ ἔκθεσις καὶ ἀπὸ ταύτης ὁ
40διορισμός· προσεχείας γὰρ αἴτιος ὁ διορισμός. μετὰ δὲ τὸν διορισμὸν ἡ κατασκευή, καὶ ὁρᾷς, ὅτι ἐπὶ τῆς κατασκευῆς χρῶμαι τοῖς αἰτήμασιν τῷ ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν καὶ τῷ κέντρῳ καὶ δια‐ στήματι κύκλον γράψαι· τὰ μὲν γὰρ αἰτήματα ἁρμόζει
45ταῖς κατασκευαῖς, τὰ δὲ ἀξιώματα ταῖς ἀποδείξεσιν. ἐφεξῆς οὖν ἡ ἀπόδειξις, καί φησι· τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλή‐ λοις ἐστὶν ἴσα, ὡς ὅτι ἐκ τοῦ κέντρου πᾶσαι αἱ εὐθεῖαι ἴσαι. τὸ δὲ συμπέρασμα ἀκολουθεῖ τῇ προτάσει καὶ ἐπάγει τὸ ὅπερ ἔδει δεῖξαι ἢ ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

1

.

23

(50)

Τί δὲ λῆμμα καὶ τί πτῶσις, τί δὲ πόρισμα καὶ τί ἔνστασις καὶ τί ἀπαγωγή; τὸ μὲν οὖν λῆμμα κατὰ πάσης προτάσεως μὴ λαμβάνεσθαι, κατὰ δέ τινων τὴν ἀπόδειξιν σαφεστέραν ποιεῖν, ἡ δὲ πτῶσις διαφόρους τῆς κατασκευῆς τρόπους ἐπαγγέλλεται καὶ θέσεων ἐξαλλαγάς· ἐπὶ γὰρ τῆς κατα‐
55γραφῆς ἡ ποικίλη θεωρία αὐτῆς ἐστιν, διὸ καὶ πτῶσις καλεῖται μετάθεσις οὖσα τῆς κατασκευῆς. τὸ δὲ πόρισμα λέγεται μὲν καὶ ἐπὶ προβλημάτων, οἷον τὰ ἐν Εὐκλείδῃ γεγραμμένα πορίσματα, λέγεται δὲ καὶ ἰδίως, ὅταν ἐκ τῶν ἀποδεδειγμένων ἄλλο τι συναναφανῇ θεώρημα μὴ προ‐
60θεμένων ἡμῶν. ἡ δὲ ἔνστασις κωλύει τὴν ὅλην ἀταρπὸν τοῦ λόγου ἢ πρὸς τὴν κατασκευὴν ἢ πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ἀπαντῶσα. ἡ δὲ ἀπαγωγὴ μετάβασίς ἐστιν ἀπ’ ἄλλου προ‐ βλήματος ἢ θεωρήματος ἐπ’ ἄλλο οὐ γνωσθέντος ἢ πο‐ ρισθέντος, οἷον καὶ τὸν διπλασιασμὸν τοῦ κύβου εἰς τὰς
65τῶν εὐθειῶν ἀναλογίας μετέθεσαν.

1

24t

Ad prop. 2

1

.

24

Τῶν προβλημάτων τὰ μὲν ἄπτωτά ἐστιν, τὰ δὲ πολύπτωτα. ἔστιν οὖν τὸ βʹ πρόβλημα πολύπτωτον. δέδο‐ ται ἐν αὐτῷ τὸ μὲν σημεῖον τῇ θέσει, καὶ δίδοται ἡ εὐθεῖα, ζητεῖται δὲ ταύτῃ τῇ εὐθείᾳ ἴσην θέσθαι πρὸς τῷ σημείῳ,
5ὅπου ποτ’ ἂν ᾖ τοῦτο κείμενον. πρόδηλον δέ, ὅτι πάντως ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ τὸ σημεῖόν ἐστιν, ἐν ᾧ καὶ ἡ εὐθεῖα, καὶ οὐκ ἐν μετεωροτέρῳ· πᾶσιν γὰρ τοῖς τῆς ἐπιπέδου προβλήμασι καὶ θεωρήμασιν εἰς ἐπίπεδον ὑπο‐ κεῖσθαι χρὴ νομίζειν. εἰ δέ τις ἀποροίη, πῶς τῇ δοθείσῃ
10εὐθείᾳ ἴσην παρακελεύεται· τί γάρ, εἰ ἄπειρος δέδοται; τὸ γὰρ δοθὲν τοῦτο καὶ ἐπὶ τὴν πεπερασμένην φέρει καὶ ἐπὶ τὴν ἄπειρον· σημαίνει γὰρ τὸ ἐκκείμενον πᾶν καὶ ὑπο‐ βεβλημένον ἡμῖν εἰς τὴν ζήτησιν. δηλοῖ δὲ καὶ αὐτὸς ὁτὲ μὲν λέγων ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης συστή‐
15σασθαι τρίγωνον ἰσόπλευρον, ὁτὲ δὲ ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον κάθετον ἀγαγεῖν· εἴ τις οὖν τοιαῦτα ἀπο‐ ροίη, λεκτέον, ὅτι ἴσην τῇ δοθείσῃ πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ θέσθαι. πάντως γὰρ ὅτι ἡ πρὸς τῷ σημείῳ τεθησομένη πεπέρασται κατ’ αὐτὸ τὸ σημεῖον. ὥστε πολλῷ πρότερον
20ἐκείνη πεπέρασται, ἥ ἐστιν ἴση τῇ τιθεμένῃ· ἅμα τε οὖν εἶπεν πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ καὶ ἀμφοτέρας περατοῖ τὰς εὐθείας καὶ τὴν δοθεῖσαν, καὶ ἣν ἐκείνῃ τίθησιν ἴσην. ὅτι δὲ αἱ πτώσεις τούτου τοῦ προβλήματος γίνονται παρὰ τὴν τοῦ σημείου διάφορον θέσιν, δῆλον· ἢ γὰρ ἔξω κεῖται
25τὸ δοθὲν σημεῖον τῆς δοθείσης εὐθείας ἢ ἐπ’ αὐτῆς, καὶ εἰ ἐπ’ αὐτῆς, ἢ τῶν περάτων αὐτῆς ἔσται θάτερον ἢ ἐν τῷ μεταξὺ κείσεται τῶν ἄκρων, καὶ εἰ ἔξω αὐτῆς, ἢ ἐκ πλα‐ γίου, ὥστε τὴν ἀπ’ αὐτοῦ πρὸς τὸ πέρας τῆς εὐθείας ἐπι‐ ζευγνυμένην γωνίαν ποιεῖν, ἢ ἐπ’ εὐθείας τῇ δεδομένῃ,
30ὥστε ἐκβαλλομένην αὐτὴν ἐπὶ τὸ σημεῖον πίπτειν.

1

25-26t

Ad prop. 3

1

.

25

Πῶς δὲ γίνεται πρὸς τῷ Α σημείῳ εὐθεῖα ἴση τῇ Γ εὐθείᾳ, ἐμάθομεν ἐν τῷ δευτέρῳ σχήματι.

1

.

26

Τρίτον πρόβλημα τοῦτο δεδομένας μὲν ἔχον δύο εὐθείας κατὰ τὸ μέγεθος ἀνίσους, προστάττον δὲ ἀφελεῖν ἀπὸ τῆς μείζονος ἴσην τῇ ἐλάσσονι. ἔστι δὲ καὶ τοῦτο πολύ‐ πτωτον· αἱ γὰρ δοθεῖσαι ἄνισοι εὐθεῖαι ἢ διεστᾶσιν ἀπ’
5ἀλλήλων ὡς παρὰ τῷ στοιχειωτῇ ἢ καθ’ ἓν πέρας συνάπ‐ τονται ἢ τέμνουσιν ἀλλήλας ἢ ἡ ἑτέρα κατὰ τὸ πέρας ἑαυ‐ τῆς τέμνει τὴν ἑτέραν καὶ τοῦτο διχῶς· ἢ γὰρ ἡ μείζων τὴν ἐλάσσω ἢ ἡ ἐλάσσων τὴν μείζονα. ἀλλ’ εἰ μὲν καθ’ ἓν συνάπτοιντο πέρας, δήλη ἡ ἀπόδειξις· τῷ γὰρ κοινῷ
10πέρατι κέντρῳ χρησάμενος, διαστήματι δὲ τῇ ἐλάσσονι τῶν εὐθειῶν γράψεις κύκλον καὶ τὴν μείζονα τεμεῖς καὶ ἀφαιρήσεις ἴσην τῇ ἐλάσσονι. ὅσον γὰρ τῆς μείζονος ὁ κύκλος ἐντὸς ἀποτέμνεται, τοσοῦτον ἴσον ἔσται τῇ ἐλάσ‐ σονι. εἰ δὲ ἡ ἑτέρα τέμνοι τὴν ἑτέραν κατὰ τὸ ἑαυτῆς πέρας,
15ἤτοι ἡ μείζων τὴν ἐλάσσονα τεμεῖ ἢ ἀνάπαλιν, καὶ εἰ
ἀλλήλας τέμνοιεν, ἢ εἰς ἴσα τέμνονται ὑπ’ ἀλλήλων ἢ εἰς ἄνισα ἢ ἡ μὲν εἰς ἴσα, ἡ δὲ εἰς ἄνισα, καὶ τοῦτο διχῶς. ταῦτα γὰρ πάντα ποικιλίαν ἡμῖν καὶ θαυμαστὴν παρέχεται γυμνασίαν.

1

27-35t

Ad prop. 4

1

.

27

Ἐνταῦθα δύο μέν εἰσι τὰ δεδομένα, τρία δὲ τὰ ζητού‐ μενα. δέδοται μὲν δύο πλευρῶν ἰσότης καὶ γωνίας πρὸς γωνίαν ἰσότης, ζητεῖται δὲ ἡ τῆς βάσεως πρὸς τὴν βάσιν ἰσότης, ἡ τοῦ τριγώνου πρὸς τὸ τρίγωνον, ἡ τῶν λοιπῶν
5γωνιῶν πρὸς τὰς λοιπάς.

1

.

28

Ὅτι πρότερόν ἐστι τὸ τῶν προβλημάτων γένος τοῦ τῶν θεωρημάτων, διότι διὰ τῶν προβλημάτων ἀνευρίσκον‐ ται τὰ ζητούμενα περὶ τὰ συμπτώματα ὑποκείμενα, καὶ ἄλλως ὅτι τοῦ μὲν προβλήματος ἡ πρότασις ἁπλῆ ἐστι καὶ
5πάσης ἐντέχνου συνέσεως ἀπροσδεής, τοῦ δὲ θεωρήματος ἐργώδης καὶ πολλῆς δεομένη ἀκριβείας.

1

.

29

Ὃ λέγει, τοιοῦτόν ἐστιν· εἰ γὰρ τὰ πέρατα ἐφαρμόσει τῶν βάσεων ἀλλήλοις, ἐφαρμόσουσι καὶ αἱ βάσεις, εἰ δὲ μή, δύο εὐθεῖαι χωρίον περιέξουσιν· ὅπερ ἀδύνατον.

1

.

30

Τοῦτο πρῶτον θεώρημα παρειλήφαμεν, τὰ δὲ πρὸ τούτου προβληματικὰ ἦν, τὸ μὲν πρῶτον περὶ τὴν τῶν τριγώνων γένεσιν πραγματευόμενον, τὸ δὲ δεύτερον καὶ τρίτον ἴσην εὐθεῖαν ἄλλην ἄλλῃ πορίσασθαι προτιθέμενα.
5ἐπὶ τούτου δὲ ἀνέλαβεν πλευρὰς ἴσας πλευραῖς καὶ εὐθείας ἴσας εὐθείαις καὶ τοῦτο διαπραγματευσάμενος δείκνυσιν ἴσα τὰ τρίγωνα καὶ τὰς γωνίας καὶ τὰ ἐμβαδὰ καὶ τὰ περίμετρα. συμβαίνει δὲ τῶν ἐμβαδῶν ἴσων ὄντων τὰ περίμετρα ἄνισα καὶ τῶν περιμέτρων ἴσων οὐσῶν ἄνισα τὰ ἐμβαδά. δύο
10γὰρ ἰσοσκελῶν τριγώνων ἑκάτερον ἔχει τὰς ἴσας πλευρὰς ἀπὸ πέντε μονάδων, τῶν δὲ βάσεων τὸ μὲν ὀκτώ, τὸ δὲ ἕξ. ὁ μὲν ἄπειρος γεωμετρίας εἴποι ἂν μεῖζον εἶναι τὸ ἔχον
ὀκτωκαίδεκα, ὁ δ’ αὖ γεωμέτρης εἴποι ἄν, ὅτι ἑκατέρων τὸ ἐμβαδόν ἐστι δώδεκα, καὶ ταῦτα ἀποδείξει κάθετον
15ἀγαγὼν ἑκατέρων τῶν τριγώνων, καὶ τούτου γινομένου ἰσάζει καὶ τὰ περίμετρα καὶ τὰ ἐμβαδὰ αὐτῶν. ὑποτείνουσα δὲ πλευρὰ τῇ γωνίᾳ λέγεται ἡ καταντικρὺ κειμένη· πᾶσα γὰρ τριγωνικὴ γωνία περιέχεται μὲν ὑπὸ δύο εὐθειῶν, ὑποτείνεται δὲ ὑπὸ τῆς λοιπῆς. διὸ τὰς γωνίας ἴσας εἶναι,
20ὑφ’ ἃς ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. δύο δὲ εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσιν· τοῦτο ὡς ὁμολογούμενον ὁ γεωμέτρης ἔλα‐ βεν. εἰ γὰρ τὰ πέρατα, φησίν, ἐφαρμόσει τῶν βάσεων ἀλ‐ λήλοις, ἐφαρμόσουσι καὶ αἱ βάσεις, εἰ δὲ μή, δύο εὐθεῖαι χωρίον περιέξουσιν. δύο γάρ ἐστι ταῦτα ἀξιώματα συν‐
25εκτικὰ τῆς ὅλης μεθόδου τοῦ προκειμένου θεωρήματος, ἓν μέν, ὅτι τὰ ἐφαρμόζοντα ἴσα ἀλλήλοις· τοῦτο ἁπλῶς ἀληθὲς καὶ οὐδενὸς προσδιορισμοῦ δεόμενον, ᾧ χρῆται ὁ στοιχειωτὴς ἐπί τε τῆς βάσεως καὶ τοῦ ἐμβαδοῦ καὶ τῶν λοιπῶν γωνιῶν· ταῦτα γάρ, φησίν, διότι ἐφαρμόζει, ἴσα
30ἐστίν. ἕτερον δέ, ὅτι τὰ ἴσα ἐφαρμόζει ἀλλήλοις· τοῦτο δὲ οὐκ ἐπὶ πάντων ἀληθές, ἀλλ’ ἐπὶ τῶν ὁμοειδῶν. ὁμοειδῆ δὲ λέγω οἷον εὐθεῖαν εὐθείᾳ καὶ περιφέρειαν περιφερείᾳ τοῦ αὐτοῦ κύκλου καὶ γωνίαν γωνίᾳ ὑπὸ ὁμοίων ὁμοίως κειμένων περιεχομένῃ. τούτων δέ, ὅτι τὰ δεδομένα ἴσα
35ἀλλήλοις ἐφαρμόζει ὥστε εἶναι συνελόντι φάναι τὴν πᾶσαν ἀπόδειξιν ἐν τῷ θεωρήματι. καί, φησίν, τῶν θεωρημάτων τὰ ὑποκείμενα περὶ τὰ συμπτώματα ζητεῖται διὰ τῶν προ‐ βλημάτων εὑρίσκεσθαι. καὶ τοῦ μὲν προβλήματος τὴν πρότασιν ἁπλῆν εἶναι καὶ πάσης ἐντέχνου συνέσεως ἀπροσ‐
40δεῆ, τοῦ δὲ θεωρήματος ἐργώδη καὶ πολλῆς δεομένην ἀκριβείας καὶ ἐπιστημονικῆς κρίσεως, ἵνα μήτε πλεονά‐ ζουσα εἴη μήτε ἐλλείπουσα τῆς ἀληθείας, οἷον δὴ καὶ τοῦτο πρώτιστον ὂν τῶν θεωρημάτων. ἐπὶ τούτου τοῦ θεωρήμα‐ τος καὶ ταῖς κοιναῖς ἐννοίαις ἐχρήσατο καὶ τρόπον τινὰ τὸ
45αὐτὸ τρίγωνον ἐν διαφόροις λαμβάνει τόποις κείμενον. καὶ
γὰρ ἡ ἐφαρμογὴ καὶ ἡ ἀπὸ ταύτης ἰσότης δεικνυμένη παντάπασιν ἔχεται τῆς αἰσθητῆς καὶ ἐναργοῦς ὑπολήψεως. ἀλλ’ ὅμως καὶ τοιαύτης οὔσης τῆς τοῦ πρώτου θεωρήματος ἀποδείξεως εἰκότως προηγήσατο τὰ προβλήματα, διότι

1

.

30

(50)

καθόλου τὴν προηγουμένην ἐκεῖνα τάξιν ἔλαχεν. καὶ ἴσως τῇ μὲν τάξει τὰ προβλήματα πρὸ τῶν θεωρημάτων ἐστὶ καὶ μάλιστα τοῖς ἀπὸ τῶν περὶ τὰ αἰσθητὰ στρεφομένων τεχνῶν ἀνάγουσιν ἐπὶ θεωρίαν, τῇ δὲ ἀξίᾳ τὰ θεωρήματα προυπάρχει τῶν προβλημάτων. καὶ ἔοικεν ἡ ὅλη γεω‐
55μετρία, καθ’ ὃ μὲν συνάπτει ταῖς πολλαῖς τέχναις, ἐνερ‐ γεῖν προβληματικῶς, καθ’ ὃ δὲ τῇ πρώτῃ ἐπιστήμῃ γειτνιᾷ, θεωρηματικῶς ἀνάγεσθαι ἀπὸ τῶν προβλημάτων ἐπὶ τὰ θεωρήματα ὡς ἀπὸ δευτέρων ἐπὶ πρῶτα. πρῶτον δέ ἐστιν ἐν τοῖς προβλήμασιν τὸ ἰσόπλευρον τρίγωνον, ἐν οἷς τῶν
60τριγώνων τὰς γενέσεις καὶ τῆς ἰσότητος τὴν εὕρεσιν ἐμά‐ θομεν. προκείσθω δὲ νῦν καί, ὅτι ὡς μὲν ἐν θεωρήμασιν ἁπλούστατόν ἐστι τοῦτο καὶ ἀρχοειδέστατον· ἀπ’ αὐτῶν γὰρ ὡς εἰπεῖν μόνων αὐτοφυῶς δείκνυται τῶν πρώτων ἐννοιῶν· σύμπτωμα δέ τι περὶ τὰ τρίγωνα φαινόμενον
65ἔχοντα τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δύο πλευραῖς ἴσας καὶ τὰς ὑπ’ αὐτῶν περιεχομένας γωνίας ἀποδεικνῦον εἰκότως μετὰ τὰ προβλήματα τέτακται, δι’ ὧν τὰ ὑποκείμενα τῷ συμ‐ πτώματι τούτῳ καὶ ὅλως τὰ δεδομένα κατεσκεύαζεν.

1

.

31

ὑποτείνουσιν p. 10, 16] οὐ μάτην αἱ δύο ὑπόκεινται, ἀλλ’ ἐμφαίνεται τῷ στοιχειωτῇ διὰ τούτων, ὡς αἱ ὑποτείνου‐ σαι πλευραὶ τὰς ἴσας γωνίας ὑπὸ πλευρὰς πάλιν ἑτέρας εἰσίν.

1

.

32

τὴν ὑπὸ ΒΑΓ p. 10, 21] τὴν πρὸς τῷ Α γωνίαν δηλον[ότι]· ἔθος γὰρ τῷ στοιχειωτῇ, [ἡ]νίκα ΑΒΓ ἢ ΒΑΓ [λέγει γω]νίαν, τὴν πρὸς τῷ μέσῳ στοιχείῳ οὖσαν γωνίαν σημ[αίνειν].

1

.

33

Ἰστέον, ὅτι, ὁπηνίκα ΒΑΓ λέγει γωνίαν ἢ ΒΓΑ, ὃ στοιχεῖον παραλαμβάνει μέσον, ἐκείνου τὴν γωνίαν ση‐
μαίνει.

1

.

34

εἰ γάρ p. 11, 13] ἐντεῦθεν διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς δεικνύειν ἄρχεται τὸ θεώρημα.

1

.

35

δύο εὐθεῖαι χωρίον περιέξουσιν p. 11, 15] δηλονότι τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι· τοῦτο γὰρ προσυπακουστέον, ὡς καὶ ἐν τοῖς ὅροις.

1

36-37t

Ad prop. 5

1

.

36

ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΖ p. 13, 1] τὰς ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίας λέγει τοῦ ἐξ ἀρχῆς τεθέντος τριγώνου τοῦ ΑΒΓ, ἃς καὶ ἴσας βούλεται δεῖξαι· τοῦτο γὰρ ἐξ ἀρχῆς προὔθηκεν.

1

.

37

Τῶν θεωρημάτων τὰ μέν ἐστιν ἁπλᾶ, τὰ δὲ σύν‐ θετα. λέγω δὲ ἁπλᾶ, ὅσα καὶ κατὰ τὰς ὑποθέσεις καὶ κατὰ τὰ συμπεράσματα ἀδιαίρετά ἐστιν ἓν ἔχοντα τὸ δεδομένον καὶ τὸ ζητούμενον, οἷον εἰ οὕτως ἔλεγεν ὁ στοιχειωτής·
5πᾶν τρίγωνον ἰσοσκελὲς ἴσας ἔχει τὰς πρὸς τῇ βάσει γω‐ νίας. τούτων τὰ μέν ἐστι συμπεπλεγμένα, τὰ δὲ ἀσύμ‐ πλεκτα. ἔστι δὲ ἀσύμπλεκτα μέν, ὅσα σύνθετα ὄντα μὴ δυνάμενα διαιρεῖσθαι εἰς ἁπλᾶ θεωρήματα, συμπεπλεγ‐ μένα δέ, ὅσα διαιρεῖται εἰς ἁπλᾶ, οἷον ἐκεῖνο τὸ θεώρημα· τὰ
10τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα καὶ ἑξῆς· ὁμοίως δὲ πάντων τῶν συνθέτων τὰ μὲν κατὰ τὸ συμπέρασμα συντίθεται ἀπὸ τῆς αὐτῆς ὑποθέσεως ὁρμη‐ θέντα, τὰ δὲ κατὰ τὰς ὑποθέσεις ἔχει τὴν σύνθεσιν καὶ τὸ αὐτὸ πάσαις ἐπάγει συμπέρασμα, τὰ δὲ κατὰ τὸ συμπέρα‐
15σμα καὶ τὰς ὑποθέσεις σύνθετά ἐστι. κατὰ μὲν οὖν τὸ συμπέρασμα σύνθεσίς ἐστιν γὰρ ἐπὶ τούτου τοῦ θεω‐ ρήματος τρία τὰ συναγόμενα, ὅτι αἱ βάσεις ἴσαι, ὅτι τὰ τρίγωνα ἴσα, ὅτι αἱ λοιπαὶ γωνίαι ἴσαι, ὑφ’ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. κατὰ δὲ τὰς ὑποθέσεις ἐπὶ τοῦ κοι‐
20νοῦ τῶν τριγώνων καὶ παραλληλογράμμων θεωρήματος τῶν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντων. κατ’ ἀμφότερα δὲ ὡς ἐπ’
ἐκείνου· αἱ διάμετροι τῶν κύκλων καὶ τῶν ἐλλείψεων τά τε χωρία δίχα διαιροῦσι καὶ τὰς περιεχούσας τὰ χωρία γραμ‐ μάς. τῶν δὲ συμπεπλεγμένων τὰ μέν ἐστι καθολικά, τὰ δὲ
25ἐκ τῶν ἐπὶ μέρους συνάγει τὸ καθόλου. τούτων δὴ προτε‐ θεωρημένων τὸ πέμπτον θεώρημα σύνθετον πάντως ῥητέον καὶ κατ’ ἀμφότερα σύνθετον κατά τε τὸ δεδομένον καὶ κατὰ τὸ ζητούμενον. ἐπὶ δὲ τοῦ ἑβδόμου καὶ τοῦ ἐνάτου θεωρήματος τὰς φερομένας ἐνστάσεις ἀπὸ τούτου διαλύ‐
30σομεν. ἐκ δὴ τούτου φανερόν, καὶ δι’ ἣν αἰτίαν οὐκ ἀντέ‐ στρεψεν καὶ ἀπὸ τούτου τὸ ἕκτον ὡς οὐδὲ τούτου προηγου‐ μένην ἔχοντος χρείαν, ἀλλὰ κατὰ συμβεβηκὸς ἡμῖν πρὸς τὴν ὅλην ἐπιστήμην συντελοῦντος. εὕρεμα δέ ἐστι τὸ θεώ‐ ρημα τοῦτο Θαλοῦ.

1

38-39t

Ad prop. 6

1

.

38

Τὸ κατηγορούμενον ἐν τῷ ε θεωρήματι, ἐν τῷ ϛ ὑποκείμενον γέγονεν, καὶ τὸ ὑποκείμενον ἐν τῷ ε ἐν τῷ ϛ κατηγορούμενον γέγονεν.

1

.

39

Ἐν τούτῳ τῷ ϛʹ θεωρήματι δύο ταῦτα ἐπεδείξατο, τήν τε ἀντιστροφὴν τοῦ πρὸ αὐτοῦ θεωρήματος καὶ διά τε τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς δείξεως· δεῖ δὲ περὶ ἀμ‐ φοτέρων εἰπεῖν, ὅσα πρὸς τὴν παροῦσάν ἐστι πραγματείαν
5οἰκεῖα. λέγεται τοίνυν ἀντιστροφὴ παρὰ γεωμέτραις προ‐ ηγουμένως καὶ κυρίως, ὅταν τὰ συμπεράσματα καὶ τὰς ὑποθέσεις ἀλλήλων ἀντιμεταλαμβάνει τὰ θεωρήματα, καὶ τὸ μὲν τοῦ προτέρου συμπέρασμα ὑπόθεσις ἐν τῷ δευτέρῳ γίνεται, ἡ δὲ ὑπόθεσις ὡς συμπέρασμα ἐπάγεται, συμ‐
10πέρασμα δὲ τὴν ἰσότητα τῶν πλευρῶν τῶν ὑποτεινουσῶν τὰς ἴσας ἐκείνας γωνίας. δύναται δὲ καὶ τῷ δʹ θεωρήματι τὸ ὄγδοον ἀντιστρέψαι. δεῖ δὲ εἰδέναι, ὅτι πολλαὶ ἀντι‐ στροφαὶ γίνονται ψευδεῖς καὶ οὐκ εἰσὶ κυρίως ἀντιστρο‐ φαί· οἷον πᾶς ἑξάγωνος ἀριθμὸς τρίγωνός ἐστιν, ἀλλ’
15οὐκέτι ἐπαληθές, ὅτι πᾶς τρίγωνος ἑξάγωνός ἐστιν. τὸ μὲν γὰρ αὐτῶν κοινότερον, τὸ δὲ μερικώτερον. τὰ μὲν αὐτῶν καλοῦσι προηγούμενα, τὰ δὲ ἀντίστροφα· αἱ δὲ εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγαὶ εἰς ἀδύνατον τελευτῶσιν ἐναργές, καὶ οὗ τὸ ἀντικείμενον ὡμολόγηται, συμβαίνει δὲ αὐτὸ ἐπὶ
20τὰ μαχόμενα ταῖς κοιναῖς ἐννοίαις ἤτοι αἰτήμασιν ἢ ταῖς ὑποθέσεσι τελευτᾶν. καὶ ἐν τῷ θεωρήματι τούτῳ τὸ συμ‐ βαῖνον ἀδύνατον δείκνυσιν διὰ τὸ κοινὴν ἔννοιαν ἀνατρέπειν τὴν τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον λέγουσαν, τὸ δὲ ὄγδοον οὐ κοινῆς ἐννοίας ἀνατρεπτικόν, ἀλλὰ τοῦ δεδειγμένου διὰ τοῦ
25ἑβδόμου θεωρήματος· ὃ γὰρ ἀπέφησεν τὸ ἕβδομον, τοῦτο ἐκεῖνο δείκνυσι καταφασκόμενον τοῖς μὴ συγχωροῦσι τὸ ζητούμενον.

1

40-42t

Ad prop. 7

1

.

40

Τῶν γεωμετρικῶν καὶ ἀριθμητικῶν θεωρημάτων τὰς προτάσεις καταφατικὰς ἐχόντων τὸ ζʹ θεώρημα ἀποφατικῶς τῇ προτάσει κέχρηται. φησὶ δὲ καὶ ὁ Ἀριστο‐ τέλης, ὅτι τὸ καθόλου τὸ καταφατικὸν ταῖς ἐπιστήμαις
5ἐστὶ μάλιστα προσῆκον ὡς αὐταρκέστατον καὶ μηδὲν τῆς ἀποφάσεως δεόμενον· τὸ γὰρ ἀποφατικὸν δεῖται καὶ τῆς καταφάσεως, εἰ μέλλει δείκνυσθαι. ἄνευ γὰρ καταφάσεως οὔτε ἀπόδειξίς ἐστιν οὔτε συλλογισμὸς οὐδείς, καὶ διὰ τοῦτο αἱ ἀποδεικτικαὶ τῶν ἐπιστημῶν τὰ πλεῖστα κατα‐
10φατικοῖς συμπεραίνουσιν. ἔλαβε δὲ τὸ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας, ἵνα μὴ ἐπὶ ἄλλης καὶ ἄλλης εὐθείας δύο δυσὶν ἴσας δείκνυ‐ μεν καὶ παραλογιζόμεθα τοὺς τῇ προτάσει χρωμένους. οὐχ ἁπλῶς δὲ οὐ φησὶν συσταθήσεσθαι δύο δυσὶν ἴσας ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας, ἀλλ’ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ ἀδύνατον. οὐδὲν
15γὰρ θαυμαστὸν ἀμφοτέρας ἀμφοτέραις ἴσας λαβεῖν τῶν
ἐπισυνισταμένων τὴν μὲν ἐκτείναντα, τὴν δὲ συστείλαντα. τρίτον προστίθησι τὸ πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ· δυνα‐ τὸν γὰρ προυφεστώσαις δύο εὐθείαις ἐπάνω αὐτῶν ποιῆσαι ἄλλας δύο ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ σημείου καὶ ἐφαρμόσαι ἑκατέραν
20ἑκατέρᾳ. τέταρτον ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη φησίν, ἵνα μὴ τὴν μίαν εὐθεῖαν κοινὴν βάσιν ποιήσωμεν τριγώνων δυεῖν τὰς κορυφὰς ἀντικειμένας ἐχόντων, τὴν μὲν ἐπὶ τὸ ἕτερον μέρος ἐχόντων, τὴν δὲ ἐπὶ τὸ ἕτερον. πέμπτον τὸ τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθείαις· δυνατὸν γὰρ δύο δυσὶν
25ἴσας συστήσασθαι οὐ τὰ αὐτὰ πέρατα, ἀλλ’ ἕτερα ἐχούσαις, οἷον ἐπὶ τοῦ τετραγώνου, εἰ ποιήσομεν δύο διαμέτρους, ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν ἔσονται δύο δυσὶν ἴσαι, πλευρὰ καὶ διάμετρος τῇ παραλλήλῳ πλευρᾷ καὶ τῇ ἑτέρᾳ διαμέτρῳ, ἀλλ’ οὐχὶ καὶ τὰ αὐτὰ πέρατα ἕξουσιν· οὔτε γὰρ αἱ παράλ‐
30ληλοι οὔτε αἱ διάμετροι τὰ αὐτὰ πέρατα ἕξουσιν ἀλλήλαις. τούτων οὖν πάντων τῶν διορισμῶν φυλαττομένων ἥ τε πρότασις ἀληθής, καὶ ὁ συλλογισμὸς ἀναμφισβήτητος δείκνυται. δέδεικται δὲ τὸ θεώρημα τοῦτο παρὰ τῷ στοι‐ χειωτῇ διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς, μάχεται δὲ τὸ
35ἀδύνατον πρὸς κοινὴν ἔννοιαν τὴν λέγουσαν τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον, καὶ τὸ αὐτὸ μεῖζον καὶ ἴσον εἶναι ἀδύνατον. ἔοικε δὲ εἶναι τοῦτο τὸ θεώρημα λῆμμα προλαμβανόμενον τοῦ ὀγδόου θεωρήματος· εἰς γὰρ τὴν ἀπόδειξιν ἐκείνου συν‐ τελεῖ καὶ οὔτε στοιχεῖόν ἐστιν ἁπλῶς οὔτε στοιχειῶδες· οὐ
40γὰρ ἐπὶ πολλὰ διατείνει τὴν ἑαυτοῦ χρείαν.

1

.

41

Χρήσιμον τὸ θεώρημα τοῦ ἑβδόμου ἐστὶν εἰς ἀστρο‐ νομίαν καὶ εἰς τὴν δεινότητα τῶν ἐκλείψεων τόπον. τούτῳ γάρ φασι χρώμενοι δεικνύναι, ὅτι τρεῖς ἐφεξῆς ἐκλείψεις ἴσον ἀπέχουσαι ἀλλήλων οὐκ ἂν γένοιντο, λέγω δέ, ὥστε
5τοσούτῳ χρόνῳ τὴν δευτέραν διεστάναι τῆς πρώτης, ὅσον τὴν τρίτην τῆς δευτέρας, οἷον εἰ μετὰ τὴν αʹ ἡ δευτέρα γέ‐
γονεν ἓξ μηνῶν παρελθόντων καὶ κ ἡμερῶν, οὐκ ἂν γενέ‐ σθαι τὴν τρίτην ὕστερον τοσούτῳ χρόνῳ τῆς δευτέρας, ἀλλ’ ἤτοι πλέον ἢ ἔλασσον· τοῦτο οὕτως ἔχον ἀποδείκνυ‐
10σθαι διὰ τοῦ ζʹ θεωρήματος. ἔστι μὲν τοῦτο τὸ θεώρημά τι πεπονθὸς σπάνιον καὶ οὐ πάνυ ταῖς ἐπιστημονικαῖς προτά‐ σεσιν εἰωθός. τὸ γὰρ ἀποφατικῶς σχηματίζεσθαι καὶ μὴ καταφατικῶς οὐ σφόδρα αὐταῖς οἰκεῖον. μᾶλλον μὲν οὖν πολλαὶ καταφάσεις εἰσὶ ἐν ταῖς προτάσεσι τῶν γεωμετρι‐
15κῶν καὶ τῶν ἀριθμητικῶν θεωρημάτων. αἴτιον δέ, ὥς φησιν Ἀριστοτέλης, ὅτι τὸ καθόλου καταφατικὸν ταῖς ἐπιστή‐ μαις ἐστί. ἄνευ γὰρ καταφάσεως οὔτε ἀπόδειξίς ἐστιν οὔτε συλλογισμός, καὶ διὰ τοῦτο αἱ ἀποδεικτικαὶ τῶν ἐπιστη‐ μῶν τὰ μὲν πλεῖστα καταφατικὰ δεικνύουσι, σπανίως δὲ
20χρῶνται καὶ τοῖς ἀποφατικοῖς συμπεράσμασι. θαυμαστῆς δὲ ἀκριβείας ἐστὶν ἡ πρότασις τοῦ θεωρήματος πλήρης καὶ πάσαις ἠσφάλισται ταῖς προσθήκαις, δι’ ὧν ἀνέλεγκτος ἀποτελεῖται καὶ ἀναμφισβήτητος τοῖς συκοφαντεῖν ἐπι‐ χειροῦσι. ἔοικε δὲ εἶναι τοῦτο τὸ θεώρημα λῆμμα προλαμ‐
25βανόμενον τοῦ ὀγδόου θεωρήματος· εἰς γὰρ τὴν ἀπόδειξιν ἐκείνου συντελεῖ καὶ οὔτε στοιχεῖόν ἐστιν ἁπλῶς οὔτε στοιχειῶδες· οὐ γὰρ ἐπὶ πολλὰ διατείνει τὴν ἑαυτοῦ χρείαν.

1

.

42

Ὅρα, πῶς ἀποδεικνύει τὸ ἀδύνατον. εἰ γὰρ ἡ ΑΓ πλευρὰ τῇ ΑΔ ἴσῃ ἴση καὶ ἡ ΑΓΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΔΓ· τοῦτο γὰρ ἐν τῷ εʹ σχήματι ἀποδέδεικται. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνία ἀμβλεῖα οὖσα μέσην εὐθεῖαν ἔχει τὴν ΓΒ
5τέμνουσαν ἑαυτὴν εἰς γωνίας β τήν τε ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τὴν ὑπὸ ΔΓΒ, μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΓ τῆς ὑπὸ ΔΓΒ ἴση ἀποδειχθεῖσα τῇ ΑΓΔ, ἧς ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΔΓΒ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΔΒ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΒ γω‐ νία τῇ ὑπὸ ΔΓΒ. ταύτης δὲ ἐδείχθη ἡμίσεια γωνία τις ἡ
10ὑπὸ ΓΔΑ διπλασίων· τῇ γὰρ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐδείχθη, ἧς ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΑΓΒ. πολλῷ ἄρα μείζων ἡ ΓΔΒ τῆς ὑπὸ
ΒΓΔ. τετραπλασίων γάρ.

1

43-45t

Ad prop. 8

1

.

43

Ὅπερ ἔχει κατηγορούμενον τὸ δʹ θεώρημα, ἔχει τὸ ηʹ ὑποκείμενον, καὶ ὅπερ τὸ δʹ ὑποκείμενον, τὸ ηʹ κατη‐ γορούμενον.

1

.

44

Τὸ ὄγδοον θεώρημα ἀντίστροφον μέν ἐστι τοῦ τετάρτου, οὐ κατὰ τὴν προηγουμένην ἀντιστροφὴν ληφθέν· οὐ γὰρ ὅλην τὴν ὑπόθεσιν ἐκείνου ποιεῖται συμπέρασμα καὶ ὅλον τὸ συμπέρασμα ὑπόθεσιν· ἀλλὰ τὸ μὲν τῆς ὑποθέ‐
5σεως τοῦ τετάρτου, τὸ δὲ τῶν ἐκείνῳ ζητουμένων συμπλέ‐ κον δείκνυσιν ἕν τι τῶν ἐκεῖ δεδομένων. τὸ μὲν γὰρ τὰς δύο πλευρὰς ἴσας εἶναι ταῖς δύο πλευραῖς ὑπόθεσίς ἐστιν ἐν ἀμφοτέραις, τὸ δὲ τὴν βάσιν ἴσην τῇ βάσει ἐν ἐκείνῳ μὲν τῶν ζητουμένων ἦν, ἐν δὲ τούτῳ δέδοται. τὸ δὲ τὴν
10γωνίαν ἴσην τῇ γωνίᾳ δεδομένον μὲν ἐν ἐκείνῳ, ζητούμε‐ νον δὲ ἐν τούτῳ. μόνον δὲ ἡ ἐναλλαγὴ τῶν δεδομένων καὶ ζητουμένων ποιεῖ τὴν ἀντιστροφήν. δι’ ἣν δὲ αἰτίαν ὄγδοον τέτακται καὶ οὐ μετὰ τὸ τέταρτον εὐθὺς ὡς ἀντίστροφον, καθάπερ δὴ μετὰ τὸ πέμπτον τὸ ἕκτον ἀντίστροφον ὂν τοῦ
15πέμπτου (καὶ γὰρ τὰ πλεῖστα τῶν ἀντιστρεφόντων ἕπεται τοῖς προηγουμένοις καὶ ἐπ’ αὐτοῖς ἀμέσως δείκνυται), λεκτέον, ὅτι τοῦ μὲν ἑβδόμου τὸ ὄγδοον ἐδεῖτο· δείκνυται γὰρ διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς· τοῦτο δ’ αὖ πάλιν εἰς τὴν ἀπόδειξιν ἐδεῖτο τοῦ πέμπτου. προείληπται τοίνυν
20ἀναγκαίως καὶ τὸ εʹ καὶ τὸ ϛʹ καὶ τὸ ζʹ τοῦ δεικνυμένου νυνὶ θεωρήματος. περὶ δὲ τὰ τρίγωνα ἔστι καὶ ἄλλα θεωρῆσαι· τῆς μὲν γὰρ βάσεως ἐλαττουμένης ἐλαττοῦται ἡ γωνία, ἣν ὑποτείνει, αὐξομένης δὲ αὔξεται καὶ ἡ γωνία. τῶν δὲ πλευρῶν ἐλαττουμένων αὔξει ἡ γωνία, αὐξανομέ‐
25νων δὲ τῶν πλευρῶν μειοῦται.

1

.

45

Ἰστέον, ὅτι τὸ ηʹ θεώρημα τοιοῦτον ἔχει σκοπόν, ἵνα β τρίγωνα τεθειμένα ἐπ’ ἄλληλα ἴσας ἔχῃ τὰς ἐν ταῖς κορυφαῖς γωνίας. ἔοικε δὲ τοῦτο ποιεῖν ἥ τε τῶν περιεχου‐ σῶν πλευρῶν τὰς γωνίας καὶ ἡ τῶν βάσεων ἰσότης. τῶν
5τε γὰρ βάσεων ἀνίσων οὐσῶν τῆς μὲν ἐλαττουμένης συνελαττοῦται καὶ ἡ γωνία, τῆς δὲ αὐξανομένης συναύξε‐ ται, οὔτε δὲ τῶν βάσεων τῶν αὐτῶν μενουσῶν, τῶν δὲ πλευρῶν ἀνισαζομένων ἴσαι εὑρεθήσονται αἱ γωνίαι, ἀλλὰ τῶν μὲν ἐλασσουμένων πλευρῶν αὔξεται ἡ γωνία, τῶν δὲ
10αὐξομένων ἐλαττοῦται. ἀσφαλὲς οὖν τὸ λεγόμενον τὴν βάσιν καὶ τὰς πλευρὰς ἴσας ὑπαρχούσας τὴν ἰσότητα τῆς γωνίας ἀφορίζειν. τοῦτο δὲ τὸ θεώρημα ἀντίστροφόν ἐστι τῷ δʹ. τὸ μὲν γὰρ τὰς β πλευρὰς ἴσας εἶναι ταῖς β πλευραῖς ὑπόθεσίς ἐστιν ἐν ἀμφοτέροις, τὸ δὲ τὴν βάσιν ἴσην τῇ
15βάσει ἐν ἐκείνῳ μὲν τῶν ζητουμένων ἦν, ἐν δὲ τούτῳ δέ‐ δοται, τὸ δὲ τὴν γωνίαν ἴσην τῇ γωνίᾳ δεδομένον μὲν ἦν ἐν ἐκείνῳ, ζητούμενον δὲ ἐν τούτῳ. μόνη τοίνυν ἡ ἐναλλαγὴ τῶν δεδομένων καὶ τῶν ζητουμένων ποιεῖ τὴν ἀντιστροφήν. δεῖται δὲ τοῦ ζʹ πρὸς τὴν ἀπόδειξιν· κἀκεῖνο γὰρ καὶ
20τοῦτο διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς δείκνυνται, ἀλλὰ τὸ μὲν ζʹ ἀπὸ τῶν κοινῶν ἐννοιῶν ἐλέγχει τὸ ἀδύνατον, τὸ δὲ ηʹ ἀπὸ τοῦ ζʹ. τὸ δὲ ζʹ πάλιν ἐδεῖτο τοῦ εʹ θεωρήματος· διὸ καὶ προετάγησαν εὐλόγως ἀμφότερα τοῦ ηʹ. ἰστέον δέ, ὅτι τῶν ἐν ταῖς κορυφαῖς γωνιῶν τῶν τριγώνων οὐσῶν
25ἴσων ἕπεται καὶ τὰς λοιπὰς γωνίας ἴσας εἶναι. διὰ τοῦτο οὐ προσέθηκεν ὥσπερ ἐπὶ τοῦ δʹ τὸ καὶ τὰς λοιπὰς γω‐ νίας.

1

46-47t

Ad prop. 9

1

.

46

Τὸ θʹ τοῦτο πρόβλημά ἐστιν. ἀναμίγνυσι γὰρ ὁ
στοιχειωτὴς τοῖς προβλήμασι τὰ θεωρήματα καὶ τοῖς θεω‐ ρήμασι συμπλέκει τὰ προβλήματα καὶ δι’ ἀμφοτέρων τὴν ὅλην συμπεραίνει στοιχείωσιν τοτὲ μὲν τὰ ὑποκείμενα
5ποριζόμενος, τοτὲ δὲ τὰ περὶ αὐτὰ συμπτώματα θεωρῶν. δείξας τοίνυν διὰ τῶν πρόσθεν καὶ περὶ ἓν τρίγωνον τῇ ἰσότητι τῶν πλευρῶν ἑπομένην τὴν ἰσότητα τῶν γωνιῶν καὶ ἀνάπαλιν καὶ περὶ δύο τρίγωνα ὡσαύτως, πλὴν ὅτι τῆς ἀντιστροφῆς ὁ τρόπος διαφέρων ἦν ἐπί τε τοῦ ἑνὸς τριγώ‐
10νου καὶ τοῖν δυοῖν, μέτεισιν ἐπὶ τὰ προβλήματα καὶ ἐπι‐ τάττει ἐν τούτῳ τῷ προβλήματι τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν. ἐπεὶ δὲ ἡ γωνία δύναται δίδο‐ σθαι πολλαχῶς· καὶ γὰρ καὶ θέσει δίδοται, ὡς ὅταν λέγω‐ μεν πρὸς τῇδε τῇ εὐθείᾳ καὶ τῷδε τῷ σημείῳ κεῖσθαι τὴν
15γωνίαν καὶ εἶναι διδομένην αὐτὴν οὕτως· δίδοται καὶ εἴδει, οἷον ὅταν ὀρθὴν λέγωμεν ἢ ὀξεῖαν ἢ ἀμβλεῖαν ἢ ὅλως εὐθύ‐ γραμμον ἢ μικτήν· δίδοται καὶ λόγῳ ἤγουν ἀναλόγως, ὅταν διπλασίαν τῆσδε λέγωμεν καὶ τριπλασίαν ἢ ὅλως μείζονα καὶ ἐλάττονα· δίδοται καὶ μεγέθει, ὡς ὅταν τρίτον
20ὀρθῆς λέγωμεν. ἡ δὲ νῦν δοθεῖσα κατὰ εἶδος δέδοται μό‐ νον. Χρῆται δὲ ἐν τῷ προβλήματι τούτῳ πρὸς μὲν τὴν κατα‐ σκευὴν αὐτοῦ αἰτήματι ἑνὶ καὶ τῷ πρώτῳ καὶ τῷ γʹ προ‐ βλήματι, πρὸς δὲ τὴν ἀπόδειξιν τῷ ηʹ μόνῳ θεωρήματι·
25δεῖται γὰρ πάντως ἀποδείξεως καὶ τὰ προβλήματα, ὥσπερ καὶ τὰ θεωρήματα, ἐπειδὴ καὶ τὸ ἐπιστημονικὸν ἀπὸ τῆς ἀποδείξεως ἔχει.

1

.

47

Τὰ προβλήματα τοῖς θεωρήμασιν συμπλέκει καὶ τὰ θεωρήματα τοῖς προβλήμασι. τοῦτο δὲ τὸ θεώρημα προ‐ βληματικόν ἐστιν καί ἐστιν εὑρεῖν εὐθύγραμμον γωνίαν ὀρθὴν καὶ τρίχα τεμεῖν ἀδυνατήσει ἄν τις κερατοειδῆ γω‐
5νίαν τεμεῖν. τὸ δὲ νῦν πρόβλημά ἐστι τὴν δοθεῖσαν εὐθύ‐ γραμμον γωνίαν δίχα τεμεῖν. χρῆται γὰρ ἐν τούτῳ πρὸς μὲν
τῇ κατασκευῇ ἓν αἴτημα καὶ πρῶτον καὶ τὸ τρίτον θεώ‐ ρημα, πρὸς δὲ τὴν ἀπόδειξιν τὸ ὄγδοον μόνον θεώρημα. τετραχῶς δὲ δύναται δίδοσθαι ἡ γωνία· καὶ γὰρ θέσει, ὡς
10ὅταν λέγωμεν πρὸς τῇδε τῇ εὐθείᾳ καὶ τῷ σημείῳ κεῖσθαι τὴν γωνίαν καὶ εἶναι δεδομένην αὐτὴν οὕτως· καὶ εἴδει, οἷον ὅταν ὀρθὴν λέγωμεν ἢ ὀξεῖαν ἢ ἀμβλεῖαν ἢ ὅλως εὐθύγραμμον ἢ μικτήν· καὶ λόγῳ, ὅταν διπλασίαν λέγω‐ μεν τῆσδε καὶ τριπλασίαν ἢ ὅλως μείζονα καὶ ἐλάσσονα·
15καὶ μεγέθει, ὥσπερ ὅταν τρίτου ὀρθῆς λέγωμεν. ἡ δὲ νῦν κατὰ τὸ εἶδος δίδοται μόνον.

1

48-50t

Ad prop. 10

1

.

48

Προβληματικὸν καὶ τοῦτο τὸ θεώρημα πεπερα‐ σμένην μὲν εὐθεῖαν ὑποτιθέμενον, ἐπειδὴ κατ’ ἄμφω ἄπει‐ ρον οὐδαμῶς ἔστιν ὁρίσαι, τῆς δὲ ἀπείρου ἐφ’ ἑκάτερα μέρη ὑπονοήσειας σημεῖα εἰς ἄνισα ἡ τομὴ γίνεται ἡ ἐφ’
5ἃ ἄπειρος τῆς λοιπῆς πεπερασμένης. λείπεται οὖν ἐπ’ ἄμ‐ φω πεπερασμένην λαμβάνειν τὴν δίχα τέμνεσθαι μέλλου‐ σαν. ἴσως δ’ ἄν τις ἐκ τούτου κινούμενος τοῦ προβλήματος ὑπονοήσειεν, ὅτι προείληπται παρὰ τοῖς γεωμέτραις τὸ μὴ εἶναι τὴν γραμμὴν ἐξ ἀμερῶν ἢ ἐκ περιττῶν. ἀλλ’ εἰ καὶ
10ἐκ περιττῶν ἐστιν, ἔοικε καὶ τὸ ἀμερὲς τέμνεσθαι δίχα τῆς εὐθείας τεμνομένης ἐπὶ θάτερον μέρος δίχα. κατὰ γάρ τι‐ νας εἰς ἄπειρον διαιρεῖται τὸ πηλίκον καὶ ὡς ἀδύνατον παρ’ ἐκείνοις τὸ περιττὸν δίχα τμηθῆναι. κατά γε τὸν Γεμῖνον, ὅτι τὸ μὲν διαιρετὸν ἐπὶ τὸ συνεχὲς κατὰ κοινὴν ἔννοιαν
15καὶ τοῦτο θεώρημα εἶναι συνεχὲς τὸ ἐκ μερῶν συνημμένον ὑφεστός, πάντως δὲ τὸ καὶ διαιρεῖσθαι δυνατόν. ὅτι δὲ καὶ ἐπ’ ἄπειρον διαιρεῖται, ἀποδεικνύουσιν τὸ ἀσύμμετρον ἐν τοῖς μεγέθεσι καὶ οὐ πάντα σύμμετρα ἀλλήλοις, τί ἄλλο
δεικνύουσιν, ἢ ὅτι πᾶν μέγεθος ἀεὶ διαιρεῖται καὶ οὐδέ‐
20ποτε λήξει εἴς τι ἀμερές, ὅ ἐστι κοινὸν μέτρον. τοῦτο ἀποδεικτόν· ἐκεῖνο ἀξίωμα, ὅτι πᾶν συνεχὲς διαιρετόν. τέμνων δὲ ὁ στοιχειωτὴς τὴν εὐθεῖαν εἰς μὲν τὴν κατα‐ σκευὴν τῷ πρώτῳ καὶ τῷ ἐνάτῳ χρώμενος, εἰς δὲ τὴν ἀπό‐ δειξιν τῷ τετάρτῳ μόνῳ· διὰ γὰρ τὴν γωνίαν δείκνυσιν
25ἴσας τὰς βάσεις.

1

.

49

Καὶ τὸ δέκατον πρόβλημά ἐστι πεπερασμένην μὲν εὐθεῖαν ὑποτιθέμενον μέσον τέμνεσθαι, ἐπειδὴ κατ’ ἀμφό‐ τερα τὰ μέρη ἄπειρον εὐθεῖαν οὐδαμῶς ἔστιν ὁρίσασθαι, ἀλλὰ καὶ τῆς κατὰ ἕτερον μέρος μόνον ἀπείρου, ὅπουπερ
5ἂν ληφθῇ σημεῖον, εἰς ἄνισα ἡ τομὴ γίνεται· μείζων γὰρ ἡ ἐπ’ ἄπειρον μέρος ἐξ ἀνάγκης τῆς λοιπῆς οὔσης πεπε‐ ρασμένης. λείπεται οὖν ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη πεπερα‐ σμένην εὐθεῖαν λαμβάνειν τὴν μέλλουσαν δίχα τέμνεσθαι. τέμνων δὲ δίχα τὴν πεπερασμένην εὐθεῖαν ὁ γεωμέτρης
10εἰς μὲν τὴν κατασκευὴν χρῆται τῷ πρώτῳ καὶ ἐννάτῳ, εἰς δὲ τὴν ἀπόδειξιν τῷ δʹ μόνῳ· διὰ γὰρ τῶν γωνιῶν δείκνυ‐ σιν ἴσας τὰς βάσεις.

1

.

50

Δείκνυται ἐκ τούτου, ὅτι ἄτομοι γραμμαὶ οὐκ εἰσίν, εἴπερ πλευρὰν τὴν ἐκκειμένην δυνατὸν διχοτομεῖν.

1

51-52t

Ad prop. 11

1

.

51

Καὶ τὸ ἑνδέκατον πρόβλημά ἐστιν· ποιεῖ γὰρ ἐφεξῆς ὀρθὰς γωνίας ἐν αὐτῷ ὁ γεωμέτρης εὐθεῖαν ἐπ’ εὐθεῖαν στήσας. εἴτε δὲ πεπερασμένην κατ’ ἀμφοτέρας τὰς ἄκρας τὴν εὐθεῖαν λάβωμεν εἴτε κατ’ ἄμφω ἄπειρον εἴτε ὡδὶ μὲν
5ἄπειρον, ὡδὶ δὲ πεπερασμένην καὶ τὸ σημεῖον ἐπ’ αὐτῆς, συσταθήσεται τοῦ προκειμένου προβλήματος ἡ κατασκευή. κἂν γὰρ ἐπ’ ἄκρας τῆς εὐθείας ᾖ τὸ δοθὲν σημεῖον, προσ‐ εκβάλλοντες τὴν εὐθεῖαν τὰ αὐτὰ ποιήσομεν. δῆλον δέ,
ὅτι τὸ μὲν σημεῖον ἐνταῦθα τῇ θέσει δέδοται ἐπὶ τῆς εὐθείας
10κείμενον μοναχῶς κατὰ τὴν θέσιν, ἡ δὲ εὐθεῖα κατὰ τὸ εἶδος δέδοται· μέγεθος γὰρ αὐτῆς ἢ λόγος ἢ θέσις οὐκ ἀφώρισται. δείκνυσι δὲ ὁ στοιχειωτὴς τὸ προκείμενον χρησάμενος τῷ πρώτῳ προβλήματι καὶ τῷ γʹ καὶ ἑνὶ τῶν αἰτημάτων καὶ πρὸς τούτοις τῷ ηʹ θεωρήματι καὶ τῷ ὅρῳ
15τῆς πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθείας. εἰ δὲ καὶ θεωρίαν δοίημεν τῷ προβλήματι τούτῳ, ἔοικεν ἡ μὲν ὀρθὴ γωνία σύμβολον εἶναι ζωῆς κατ’ ἀρετὴν ἀνιούσης καὶ εἰς ὕψος αἰρομένης καὶ μενούσης ἀκλίτου πρὸς τὰ χείρονα· καὶ γὰρ ἡ ὀρθὴ γωνία ἀκλινής ἐστι καὶ τῇ ἰσότητι καὶ τῷ ὅρῳ καὶ τῷ πέ‐
20ρατι συνεχομένη, ἡ δὲ κάθετος εἰκών ἐστι ζωῆς ἐπὶ τὰ κάτω κατιούσης καὶ τῆς κατὰ γένεσιν ἀοριστίας οὐκ ἀνα‐ πιμπλαμένης.

1

.

52

Ἰστέον, ὅτι, ἐὰν δοθῇ τὸ σημεῖον ἐπὶ τοῦ πέρατος τῆς εὐθείας, ἐκβαλοῦμεν τὸ σημεῖον καὶ τὰ ἑξῆς ποιήσο‐ μεν, μᾶλλον δὲ τῇ εὐθείᾳ προσεκβαλεῖν καὶ τὰ ἑξῆς ποιῆσαι.

1

53-56t

Ad prop. 12

1

.

53

Ἄπειρον εὐθεῖαν εἶπεν, ἵνα μὴ πεπερασμένης οὔσης δοθῇ τὸ σημεῖον ἐν ἄλλῳ τόπῳ καὶ ἢ ἀμβλεῖα ἐξ ἀνάγκης γένηται ἡ γωνία, ἢ ἐπ’ εὐθείας πέσῃ ἡ ἀγομένη τῇ ἐξ ἀρχῆς, ἢ ἕτερόν τι συμβῇ. εἰ δ’ ὑποθώμεθα αὐτὴν ἄπειρον,
5οὐδὲν τοιοῦτον συμβήσεται.

1

.

54

Τοῦτο τὸ πρόβλημα Οἰνοπίδης ἐζήτησεν χρήσιμον αὐτὸ πρὸς ἀστρολογίαν οἰόμενος, ὀνομάζει δὲ τὴν κάθετον ἀρχαϊκῶς γνώμονα, διότι καὶ ὁ γνώμων πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ ὁρίζοντι. τῇ δὲ πρὸς ὀρθὰς ἡ κάθετός ἐστιν αὑτὴ δια‐
5φέρουσα τῇ σχέσει μόνον κατὰ τὸ ὑποκείμενον ἀδιάφορος οὖσα, ὥσπερ φασὶ καὶ ἡ κάθοδος. διττὴ δ’ αὖ κάθετος· ἡ
μὲν γὰρ ἐπίπεδος, ἡ δὲ στερεά. καὶ ὅταν μὲν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ᾖ τὸ σημεῖον, ἀφ’ οὗ ἡ κάθετος, καὶ εὐθεῖα, ἐπίπεδος λέγεται κάθετος, ὅταν μετέωρον τὸ σημεῖον καὶ
10ἔξω τοῦ ὑποκειμένου ἐπιπέδου, στερεά. καὶ ἡ μὲν ἐπίπεδος πρὸς εὐθεῖαν ἄγεται, ἡ δὲ στερεὰ πρὸς ἐπίπεδον. διὸ καὶ ἀναγκαῖον ἐκείνην οὐ πρὸς μίαν εὐθεῖαν ποιεῖν ὀρθάς, ἀλλὰ πρὸς πάσας τὰς ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ. εἰς δὲ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον ἐχρήσατο ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη σημείοις
15κατὰ τὸ δοθὲν σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ κύκλου σαφηνίσας ἀπέδειξεν ἡμῖν οὐκ ἐπὶ τοῦ ἀπείρου, ἀλλ’ ἐπὶ τοῦ πεπερα‐ σμένου.

1

.

55

Ἐν τῷ ιβʹ προβλήματι ὀρθὴν εὐθεῖαν ἐπ’ εὐθείας βουλόμενος στῆσαι ὁ στοιχειωτὴς κάθετον ὀνομάζει τὴν ὀρθὴν ἀρχαϊκῶς κατὰ γνώμονα, διότι καὶ ὁ γνώμων πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ ὁρίζοντι· τῆς γὰρ ὀρθῆς ἡ κάθετος τῇ σχέσει
5μόνον διαφέρει κατὰ τὸ ὑποκείμενον ἀδιάφορος οὖσα ὥσπερ καὶ ἡ κάθετος. διττὴ δὲ ἡ κάθετός ἐστιν, ἡ μὲν ἐπίπεδος, ἡ δὲ στερεά, καὶ ἡ μὲν ἐπίπεδος πρὸς εὐθεῖαν ἄγεται, ἡ δὲ στερεὰ πρὸς ἐπίπεδον· διὸ καὶ ἀναγκαῖον ἐκείνην οὐ πρὸς μίαν εὐθεῖαν ποιεῖν γωνίας ὀρθάς, ἀλλὰ
10πρὸς ἐπίπεδον ἡμμένη ἡ κάθετος πρὸς πάντα τὰ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ μέρη τὰς γωνίας ποιεῖ. ἐν δὲ τῷ προβλή‐ ματι τούτῳ κάθετον ἐπίπεδον προτίθεται ἀγαγεῖν ὁ στοι‐ χειωτής· πρός τε γὰρ εὐθεῖάν ἐστιν ἡ ἀγωγή, ἣν προτίθε‐ ται ἀγαγεῖν, καὶ ὡς ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ πάντων ὑποκειμένων
15ὁ λόγος πρόεισιν. ἐπὶ μὲν οὖν τοῦ ιαʹ προβλήματος ἐπὶ τῆς εὐθείας τῆς πρὸς ὀρθὰς γωνίας, ἐπειδὴ τὸ σημεῖον ἐπ’ αὐτῆς εἴληπτο τῆς εὐθείας, οὐδὲν ἐδεήθη τῆς ἀπειρίας, ἐνταῦθα δὲ ἐπὶ τῆς καθέτου τὴν δοθεῖσαν ἄπειρον ὑπο‐ τίθεται, ἐπειδὴ τὸ σημεῖον, ἀφ’ οὗ ἡ κάθετος ἀχθήσεται,
20ἔξω που κεῖται τῆς εὐθείας. καὶ εἰ μὴ ἦν ἄπειρος, ἐξῆν
οὕτως τὸ σημεῖον λαβεῖν, ὥστε ἔξω μὲν εἶναι τῆς δοθείσης εὐθείας, ἐπ’ εὐθείας δὲ ταύτῃ κεῖσθαι, ὥστε ἐκβαλλο‐ μένην τὴν εὐθεῖαν ἐπ’ αὐτὸ πίπτειν, καὶ οὐ προεχώρει τὸ πρόβλημα. διὰ τοῦτο ἄπειρον ἔθετο τὴν εὐθεῖαν. ἐπειδὴ
25δὲ εὐθείας ἀπείρου οὔσης ἀνάγκη καὶ ἐπίπεδον ἄπειρον εἶναι, ἐφ’ οὗ ἡ εὐθεῖα ἀχθήσεται, ἐν δὲ τοῖς αἰσθητοῖς οὐδέν ἐστι μέγεθος ἄπειρον κατ’ οὐδεμίαν διάστασιν, ὥσπερ ὁ δαιμόνιος Ἀριστοτέλης καὶ οἱ ἀπ’ αὐτοῦ τὴν φιλοσοφίαν δεξάμενοι δεικνύουσιν· οὔτε γὰρ τὸ κύκλῳ
30κινούμενον ἄπειρον εἶναι ἐνδέχεται οὔτε τῶν ἄλλων σωμά‐ των τῶν ἁπλῶν οὐδέν· ἔστι γὰρ ἑκατέρου τόπος ὡρισμέ‐ νος· λείπεται οὖν ἐν τῇ φαντασίᾳ τὸ ἄπειρον ὑφίστασθαι οὐ νοούσης αὐτό· ἅμα γὰρ τῷ νοῆσαι καὶ μορφὴν ἐπάγει τῷ νοουμένῳ καὶ πέρας καὶ τῇ νοήσει τὴν τοῦ φαντάσματος
35ἵστησι διέξοδον καὶ διέξεισιν αὐτὸ καὶ περιλαμβάνει, ὁ νοῦς δέ ἐστι τὸ ἄπειρον, μὴ νοούσης τοίνυν τῆς φαντασίας τὸ νοούμενον, ἀλλὰ ἀορισταινούσης μᾶλλον καί, ὅσον ἀκατα‐ μέτρητον καὶ ἀπερίληπτον νοήσει, τοῦτο ἄπειρον λεγού‐ σης· ὥσπερ γὰρ τὸ σκότος τῷ μὴ ὁρᾶν ἡ ὄψις γινώσκει,
40οὕτως ἡ φαντασία τῷ μὴ νοεῖν τὸ ἄπειρον ὁρίζει. ὃ γὰρ ὡς ἀδιεξίτητον ἀφῆκε, τοῦτο ἄπειρον λέγει· διὸ τὴν δοθεῖσαν ἄπειρον γραμμὴν ἐν τῇ φαντασίᾳ θέμενοι, ὥσπερ καὶ τὰ ἄλλα εἴδη τῆς γεωμετρίας, τὰ τρίγωνα, τοὺς κύκλους, τὰς γωνίας, τὰς γραμμάς, οὐ θαυμασόμεθα, πῶς κατ’ ἐνέρ‐
45γειαν ἔστιν ἄπειρος γραμμή.

1

.

56

Θεωρία δὲ τοῦ προβλήματος τούτου· ἔστω ὁ μὲν κύκλος ἡ θεία οὐσία διὰ τῆς καθέτου ἀπὸ τοῦ ... ἤγουν τῆς οἰκείας ἀρχῆς καὶ δυνάμεως ἀρρεπῆ πρόοδον παρέχουσα τῇ ἡμετέρᾳ ζωῇ· ὥσπερ γὰρ ἡ ἄπειρος γραμμή, οὕτως καὶ
5ἡ καθ’ ἡμᾶς ζωὴ καθ’ ἑαυτὴν μὲν οὖσα ἅτε κίνησις ὑπάρ‐ χουσα ἀόριστός ἐστιν, ὁρίζεται δὲ ὑπὸ τῆς ἀύλου καὶ θείας οὐσίας κυκλικῶς τὰ πάντα περιεχούσης ἐκεῖθέν τε πλη‐ ροῦται νοῦ καὶ δυνάμεως.

1

57-58t

Ad prop. 13

1

.

57

Τὸ ιγʹ θεώρημά ἐστιν· οὐ γὰρ κατασκευάζει, πῶς δεῖ ποιεῖν ὀρθὰς γωνίας ἢ ἀμβλείας ἢ ὀξείας, ὅπερ ἴδιον προβλήματος, ἀλλὰ λαβὼν ἐν τούτῳ ὁ γεωμέτρης δύο γωνίας ὀξεῖαν καὶ ἀμβλεῖαν δείκνυσιν αὐτὰς δύο ὀρθαῖς
5ἴσας· ἑπόμενος γὰρ τοῖς διὰ τῶν προβλημάτων δεδειγμέ‐ νοις μεταβέβηκεν ἐπὶ τὰ θεωρήματα. ἐπεὶ γὰρ ἦκται κάθετος ἐπὶ εὐθεῖαν καὶ πρὸς ὀρθάς, ἑπόμενον ἦν ζητῆσαι, εἰ μὴ κάθετος εἴη, τίνας ποιήσει γωνίας καὶ πῶς ἐχούσας πρὸς τῇ εὐθείᾳ ἡ ἐπ’ αὐτῆς σταθεῖσα. δείκνυσιν οὖν τοῦτο
10καθόλου, ὅτι πᾶσα εὐθεῖα ἐπ’ εὐθείας σταθεῖσα καὶ ποιοῦσα γωνίας, ἐὰν ἀπαρέγκλιτος αὐτῆς ἡ στάσις ᾖ καὶ ἀρρεπὴς ἐφ’ ἑκάτερα, δύο ὀρθὰς ποιεῖ, εἰ δὲ τῇ μὲν ἐπι‐ κλίνοιτο, τῇ δὲ πλέον ἀφεστήκοι τῆς ὑποκειμένης εὐθείας, δύο ὀρθαῖς ἴσας. ὅσον γὰρ ἀφαιρεῖ τῆς μιᾶς ὀρθῆς κατὰ
15τὴν ἐπὶ θάτερα κλίσιν, τοσοῦτον προστίθησι τῇ λοιπῇ κατὰ τὴν ἀπόστασιν. Οὐκ εἶπε δὲ ἁπλῶς δύο ὀρθὰς ποιεῖ ἢ δύο ὀρθαῖς ἴσας, ἀλλ’ ἐὰν γωνίας ποιῇ· ἡ γὰρ ἐπ’ ἄκρας σταθεῖσα τῆς εὐθείας μίαν ποιεῖ γωνίαν, καὶ ἀδύνατον ταύτην δύο ὀρθαῖς
20ἴσην εἶναι· πᾶσα γὰρ εὐθύγραμμος γωνία δύο ὀρθῶν ἐλάσ‐ σων ἐστί, ὥσπερ πᾶσα στερεὰ τεττάρων ἐστὶν ἐλάσσων. ἐὰν τὴν ἀμβλυτάτην γὰρ δοκοῦσαν εἶναι λάβῃς, αὐξήσεις καὶ ταύτην ὡς οὔπω τὸ μέτρον ἀπολαβοῦσαν τῶν δύο ὀρθῶν. δεῖ τοίνυν οὕτως ἐφεστάναι τὴν εὐθεῖαν, ὥστε
25γωνίας ποιεῖν. Ἰστέον, ὅτι ἑκατέρα ἥ τε ἀμβλεῖα καὶ ἡ ὀξεῖα ἰδίᾳ καὶ
χωρὶς ἀφίστανται τῆς πρὸς τὴν ὀρθὴν ὁμοιότητος, ἀμφότεραι δὲ κατὰ μίαν ἕνωσιν γινόμεναι ἐπανάγονται πρὸς τὸν ὅρον τὸν ἐκείνης. ἐπειδὴ δὲ πρὸς τὴν ἁπλότητα τῆς ὀρθῆς ἀδυνα‐
30τοῦσιν ἐξισοῦσθαι, διπλασιαζομένης αὐτῆς τὴν ἰσότητα δέχονται. φέρει δὲ εἰκόνα προθεωρίαν τὸ θεώρημα τοῦτο τῶν πρωτουργῶν αἰτίων καθ’ ἕνα ὅρον ἑστώτων ἀεὶ καὶ ὡσαύτως περὶ τὴν ἀπειρίαν τῆς γενέσεως καὶ προόδου.

1

.

58

Πάλιν ἐπὶ τὰ θεωρήματα μετέβη ἑπόμενος τοῖς διὰ τῶν προβλημάτων δεδειγμένοις. ἐπεὶ γὰρ ἦκται κάθετος ἐπ’ εὐθεῖαν καὶ πρὸς ὀρθάς, ἑπόμενον ἦν ζητῆσαι, εἴ ἐστι κάθετος. εὐθεῖα δὲ ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιεῖ
5ἐπήγαγεν, ἵνα μὴ εἴη ἐπ’ ἄκρας εὐθείας σταθεῖσα, καὶ γίνεται μία γωνία, καὶ ἀδύνατον τὴν μίαν γωνίαν εἶναι δύο ὀρθαῖς ἴσην· πᾶσα γὰρ εὐθύγραμμος γωνία δύο ὀρθῶν ἐλάσσων ἐστίν, ὥσπερ πᾶσα στερεὰ τεττάρων ὀρθῶν ἐλάσ‐ σων.

1

59-60t

Ad prop. 14

1

.

59

Τὸ ιδʹ θεώρημα τοῦ ιγʹ ἐστὶν ἀντίστροφον· ἕπεται γὰρ ἀεὶ τὰ ἀντίστροφα τοῖς προηγουμένοις θεωρήμασιν. ἐκείνου γὰρ συστήσαντος εὐθεῖαν ἐπ’ εὐθείας καὶ δείξαν‐ τος, ὅτι τὰς ἐφεξῆς ἢ δύο ὀρθὰς ποιεῖ ἢ δύο ὀρθαῖς ἴσας,
5τοῦτο λαμβάνει μὲν πρὸς εὐθείᾳ τινὶ δύο γινομένας ὀρθάς, δείκνυσι δέ, ὅτι μία ἐστὶν εὐθεῖα ἡ ταῦτα ποιοῦσα πρὸς τῇ εἰρημένῃ εὐθείᾳ. τὸ τοίνυν ἐν ἐκείνῳ δεδομένον ἐν τούτῳ ζητεῖται, καὶ δείκνυται διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς· διὰ ταύτης γὰρ φιλεῖ δείκνυσθαι τὰ ἀντίστροφα τῶν
10θεωρημάτων καὶ οὕτω φέρεσθαι. ἐν δέ γε τοῖς προβλή‐ μασι καὶ προηγουμένας δέχεται κατασκευάς. ἄξιον δὲ θαυμάσαι τὴν ἐπιστημονικὴν ἀκρίβειαν· εἰπὼν γὰρ ἐὰν πρός τινι εὐθείᾳ προσέθηκε τὸ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ, ἵνα ἐφ’ ἑνὸς σημείου ὦσιν αἱ εὐθεῖαι. εἰ γὰρ ἐκ τῶν δύο
15περάτων τῆς δεδομένης εὐθείας ἀχθῶσιν, οὐκ ἐπ’ εὐθείας ἔσονται ἀλλήλαις. εἶτα προσέθηκε τὸ ἐφεξῆς, ὧν μηδέν ἐστιν ὅμοιον μεταξύ· καὶ κίονας λέγομεν ἐφεξῆς ἐκείνας, ὧν μή ἐστιν ἄλλη κίων μέσον, καίτοι γε ἀήρ ἐστι πάντως μέσος, ἀλλ’ οὐδὲν ὁμογενὲς μεταξύ. εἶτα προστίθησι τὸ
20μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη, ἀποφατικῶς διδοὺς ἡμῖν ἐννοεῖν, ὅτι ἐφ’ ἑκάτερα ληπτέον τὰς ἐφεξῆς τῇ θέσει· αὗται γὰρ δυνήσονται καὶ τὰς ἐφεξῆς γωνίας δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιεῖν καὶ ἐπ’ εὐθείας ἀλλήλαις δείκνυσθαι. εἰ γὰρ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείσονται, τὸ ἐπ’ εὐθείας οὐκ ἔχουσιν, εἰ καὶ δύο
25ποιοῦσιν ὀρθαῖς ἴσας. τοσαῦτα περὶ τῆς προτάσεως· ἐν δὲ τῇ κατασκευῇ χρῆται ἑνὶ αἰτήματι τῷ δευτέρῳ τῷ πᾶσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην ἐπ’ εὐθείας ἐκβάλλειν αἰτουμένῳ, καθάπερ ἐν τῇ ἀποδείξει τοῦ πρὸ τούτου θεωρήματος, καὶ δυσὶν ἀξιώμασι τῷ βʹ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα
30ἐστὶν ἴσα, καὶ τῷ γʹ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ λοιπά ἐστιν ἴσα, πρὸς δὲ τὴν τοῦ ἀδυνάτου συναγωγὴν τῷ θʹ, ὅτι τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζόν ἐστιν· ἦν δὲ καὶ ἴσον· ὅπερ ἀδύνατον. δεῖ τοίνυν ἐφ’ ἑκάτερα τῆς εὐθείας κεῖσθαι μέρη τὰς ποιούσας πρὸς αὐτὴν εὐθείας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας γωνίας
35ἀφ’ ἑνὸς ὡρμημένας σημείου δηλονότι, φερομένας δὲ τὴν μὲν ἐπὶ τάδε, τὴν δὲ ἐπ’ ἐκεῖνα τῆς εὐθείας τὰ μέρη.

1

.

60

Τοῦτο τὸ θεώρημα τοῦ πρὸ αὐτοῦ ἀποδειχθέντος ἐστὶν ἀντιστρόφιον· ἕπεται γὰρ ἀεὶ τὰ ἀντιστρόφια τοῖς προηγουμένοις θεωρήμασιν. ἐκείνου τοίνυν συστήσαντος εὐθεῖαν ἐπ’ εὐθείας καὶ δείξαντος, ὅτι τὰς ἐφεξῆς ἢ δύο
5ὀρθὰς ποιεῖ ἢ δύο ὀρθαῖς ἴσας, τοῦτο λαμβάνει πρὸς εὐ‐ θεῖάν τινα δύο γιγνομένας, δείκνυσι δέ, ὅτι μία ἐστὶν εὐθεῖα ἡ ταῦτα ποιοῦσα πρὸς τῇ εἰρημένῃ εὐθείᾳ. τὸ τοίνυν ἐν ἐκείνῳ δεδομένον ἐν τούτῳ ζητοῦμεν, καὶ δείκνυται διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς. οὕτω γὰρ φιλεῖ τὰ ἀντίστροφα
10δείκνυσθαι τῶν θεωρημάτων. τοσαῦτα περὶ τῆς προτάσεως.
χρῆται δὲ ἐν τῇ κατασκευῇ ἑνὶ αἰτήματι τῷ δευτέρῳ τῷ πᾶσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην ἐπ’ εὐθεῖαν ἐκβαλεῖν αἰτου‐ μένῳ, καθάπερ ἐν τῇ ἀποδείξει τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι, καὶ δυσὶν ἀξιώμασι τῷ τε τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα ἀλλήλοις ἴσα καὶ
15τῷ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ λοιπὰ εἶναι ἴσα, πρὸς δὲ τὴν τοῦ ἀδυνάτου συναγωγήν, ὅτι τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζόν ἐστιν· ἦν δὲ καὶ ἴσον μιᾶς τῆς κοινῆς γωνίας κινή‐ σεως γωνίας ἀφῃρημένης· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.

1

61-64t

Ad prop. 15

1

.

61

Ἰστέον, ὅτι τὸ ιεʹ θεώρημα δείκνυσιν, ὅτι δύο εὐ‐ θειῶν ἀλλήλας τεμνουσῶν αἱ κατὰ κορυφὴν γωνίαι ἴσαι εἰσί, διαφέρουσι δὲ αἱ κατὰ κορυφὴν γωνίαι τῶν ἐφεξῆς γωνιῶν, ὅτι τῶν μὲν ἐφεξῆς ἡ γένεσις περὶ μίαν εὐθεῖαν
5ἐγίνετο διαιρουμένην ὑφ’ ἑτέρας μόνον, τῶν δὲ κατὰ κορυ‐ φὴν κατὰ τὴν τομὴν γίνεται τῶν δύο εὐθειῶν. ἐὰν μὲν γὰρ ᾖ εὐθεῖα ἄτμητος, τέμνῃ δὲ τῷ ἑαυτῆς πέρατι ἑτέραν εὐθεῖαν, κατὰ δὲ τὴν τομὴν ἐκείνην δύο ποιῇ γωνίας, ταύ‐ τας καλοῦμεν ἐφεξῆς, ἐὰν δὲ ὑπ’ ἀλλήλων τμηθῶσι δύο
10εὐθεῖαι, αἱ κατὰ τὰς τομὰς ἀποτελούμεναι γωνίαι κατὰ κορυφὴν λέγονται, καλοῦνται δὲ οὕτως, ὅτι τὰς κορυφὰς εἰς τὸ αὐτὸ συμβαλλούσας ἔχουσι σημεῖον. κορυφαὶ γὰρ αὐτῶν τὸ σημεῖον, καθ’ ὃ συναγόμεναι ἐν ἐπιπέδῳ τὰς γωνίας ποιοῦσιν.
15Οὐκ ἔχει πάντα τὰ κεφάλαια τὸ θεώρημα τοῦτο· ἡ μὲν γὰρ κατασκευὴ λείπει, ἡ δὲ ἀπόδειξις ἤρτηται τοῦ ιγʹ θεωρήματος, χρῆται δὲ ἀξιώμασι δυσὶ τῷ δʹ τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ τῷ γʹ ἐὰν δὲ ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ. τὸ δὲ ἐπὶ τέλει τοῦ θεωρήματος ἐκ δὴ τούτου φανερὸν πόρισμά
20ἐστιν. τὸ δὲ πόρισμα ἕν τι τῶν γεωμετρικῶν ὀνομάτων
ἐστίν, σημαίνει δὲ διάφορα· καλοῦσι γὰρ πορίσματα καὶ ὅσα θεωρήματα συγκατασκευάζονται πρὸς ἄλλων ἀπό‐ δειξιν, οἷον ἕρμαια καὶ κέρδη τῶν ζητούντων ὑπάρχοντα, καὶ ὅσα ζητεῖται μέν, εὑρέσεως δὲ χρῄζει καὶ οὔτε γενέ‐
25σεως μόνης οὔτε θεωρίας ἁπλῆς. ἐπὶ μὲν γὰρ τῶν θεωρη‐ μάτων ὑπαρχόντων ἤδη τῶν πραγμάτων θεωρῆσαι μό‐ νον δεῖ, ἐπὶ δὲ τῶν προβλημάτων ποίησιν ἀπαιτεῖ τὸ προ‐ κείμενον ἢ τὴν γωνίαν δίχα τεμεῖν ἢ τρίγωνον συστήσασθαι ἢ ἀφελεῖν ἢ θέσθαι, τοῦ δὲ δοθέντος κύκλου τὸ κέντρον
30εὑρεῖν ἢ δύο δοθέντων συμμέτρων μεγεθῶν τὸ μέγιστον καὶ κοινὸν μέτρον εὑρεῖν καὶ ὅσα τοιαῦτα μεταξύ πώς ἐστι προβλημάτων καὶ θεωρημάτων· οὔτε γὰρ γενέσεις εἰσὶν ἐν τούτοις τῶν ζητουμένων, ἀλλ’ εὑρέσεις, οὔτε θεωρία ψιλή. ἀλλὰ περὶ μὲν τῶν τοιούτων πορισμάτων ἴδια συν‐
35έγραψεν ὁ Εὐκλείδης βιβλία. τὰ δὲ ἐν τῇ στοιχειώσει πορίσματα συναναφαίνονται μὲν ταῖς ἄλλων ἀποδείξεσιν, αὐτὰ δὲ προηγουμένης οὐ τυγχάνει ζητήσεως, οἷον δὴ καὶ τὸ νῦν προκείμενον· ἐζητεῖτο μὲν γάρ, εἰ δύο εὐθειῶν τεμ‐ νουσῶν ἀλλήλας αἱ κατὰ κορυφὴν γωνίαι ἴσαι εἰσί· τούτου
40δὲ δεικνυμένου συναποδείκνυται τὸ καὶ τὰς τέσσαρας γω‐ νίας εἶναι τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας. ἔστιν οὖν τὸ πόρισμα θεώ‐ ρημα διὰ τῆς ἄλλου προβλήματος ἢ θεωρήματος ἀπο‐ δείξεως ἀπραγματεύτως ἀναφαινόμενον. οἷον γὰρ κατὰ τύχην περιπίπτειν ἐοίκαμεν τοῖς πορίσμασιν· οὐ γὰρ
45προθεμένοις οὐδὲ ζητήσασιν ἀπαντᾷ, ἀλλ’ ὁ ἐν ἡμῖν πόρος αὐτὰ ἀπογεννᾷ, καὶ ἡ γόνιμος δύναμις τῆς ἐπιστήμης προσβάλλει ταῖς προηγουμέναις ζητήσεσιν εὐπορίας ἀφθό‐ νους θεωρημάτων ἀναφαίνουσα, ἃ καὶ ἀληθῆ τοῦ θεοῦ δῶρα, καὶ οὐχ οἷα τὰ χαμερπῆ καὶ περὶ ἃ οἱ πολλοὶ ἐπτό‐

1

.

61

(50)

ηνται κέρδη, ὅθεν αὐτὰ καὶ τοῖς ἑρμαίοις εἰκάσαμεν. διαι‐ ροῦνται δὲ τὰ πορίσματα κατὰ τὰς ἐπιστήμας· τὰ μὲν γὰρ αὐτῶν εἰσι γεωργικά, τὰ δὲ ἀριθμητικά, τὰ δὲ γεωμετρικά.
τὸ μὲν γὰρ προκείμενον γεωμετρικόν ἐστιν, τὸ δὲ ἐπὶ τέλει τοῦ βʹ θεωρήματος τοῦ ζʹ βιβλίου τῶν ἀριθμητικῶν ἐστιν.
55ἕπονται δὲ τὰ πορίσματα καὶ θεωρήμασιν, ὥσπερ τοῦτο, καὶ προβλήμασιν, ὥσπερ τὸ ἐν τῷ βʹ βιβλίῳ κείμενον· ἔτι συγκατασκευάζονται ταῖς κατ’ εὐθεῖαν δεικτικαῖς ἐφόδοις, ὥσπερ τὸ νῦν προκείμενον τῇ ἐπ’ εὐθείας δείξει ἐστί, τὰ δὲ ταῖς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγαῖς, ὥσπερ τὸ ἐν
60τῷ τρίτῳ τοῦ γʹ βιβλίου συναποδεδειγμένον τῇ εἰς ἀδύ‐ νατον ἀπαγωγῇ συνανεφάνη. τὸ δὲ νῦν προκείμενον πόρι‐ σμα διδάσκει ἡμᾶς, ὅτι περὶ ἓν σημεῖον τόπος εἰς τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας γωνίας διανέμεται.

1

.

62

Τὰς ἐφεξῆς γωνίας τῶν κατὰ κορυφὴν διαφέρειν φαμέν· τῶν μὲν γὰρ ἡ γένεσις κατὰ τὴν τομὴν γίνεται τῶν δύο εὐθειῶν, τῶν δὲ τῆς ἑτέρας μόνον περὶ τὴν ἑτέραν διαιρουμένης. ἐὰν γὰρ ᾖ εὐθεῖα αὐτὴ μὲν ἄτμητος, τέμ‐
5νουσα δὲ τῷ ἑαυτῆς πέρατι ἐκείνην, δύο ποιεῖ γωνίας, ἃς καλοῦμεν ἐφεξῆς, ἐὰν δὲ ὑπ’ ἀλλήλων τμηθῶσι δύο εὐθεῖαι, κατὰ κορυφὴν ἀποτελοῦνται γωνίαι· καλοῦνται δὲ οὕτως, ὅτι τὰς κορυφὰς εἰς ταὐτὸ συμβαλούσας ἔχουσι σημεῖον· κορυφαὶ δὲ αὐτῶν τὰ σημεῖα, πρὸς ἃ συναγόμενα τὰ ἐπί‐
10πεδα τὰς γωνίας ποιεῖ. τοῦτο τὸ θεώρημα δείκνυσιν, ὅτι δύο εὐθειῶν ἀλλήλας τεμνουσῶν αἱ κατὰ κορυφὴν γωνίαι ἴσαι εἰσίν, ηὑρημένον μέν, ὥς φησιν Εὔδημος, ὑπὸ Θαλοῦ πρώτου, τῆς δὲ ἐπιστημονικῆς ἀποδείξεως. ἀντιστρέφει δὲ τῷ ιεʹ θεωρήματι ἄλλο τοιοῦτον· ἐὰν πρός τινι εὐθείᾳ
15μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ληφθεῖσαι ποιῶσι τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας ἴσας, ἐπ’ εὐθείας ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι. Ἕν τι τῶν γεωμετρικῶν ἐστιν ὀνομάτων τὸ πόρισμα. καλοῦσι δὲ πορίσματα καὶ ὅσα συγκατασκευάζεται θεω‐ ρήματα ταῖς ἄλλων ἀποδείξεσιν, οἷον ἕρμαια καὶ κέρδη
20τῶν ζητούντων ὑπάρχοντα, καὶ ὅσα ζητεῖται ἐπὶ εὑρέσεως
καὶ οὔτε ἐπὶ γενέσεως μόνης οὔτε ἐπὶ θεωρίας ἁπλῆς. γέγραφεν ὁ στοιχειωτὴς περὶ πορισμάτων βιβλία, ἀλλ’ ἐκεῖνα παρείσθω λέγειν, τὰ δὲ νῦν πορίσματα συναναφαί‐ νεται μὲν ταῖς ἄλλων ἀποδείξεσιν, αὐτὰ δὲ προηγουμένης
25οὐ τυγχάνει ζητήσεως, οἷον καὶ τὸ νῦν προκείμενον. ἐζη‐ τεῖτο μὲν γάρ, εἰ δύο εὐθειῶν τεμνουσῶν ἀλλήλας αἱ κατὰ κορυφὴν γωνίαι ἴσαι εἰσί, τούτῳ δὲ δεικνυμένῳ συναποδέ‐ δεικται τὸ καὶ τὰς τέτταρας γωνίας εἶναι τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας. ἔστιν οὖν τὸ πόρισμα θεώρημα διὰ ἄλλου προβλή‐
30ματος ἢ θεωρήματος ἀποδείξεως ἀπραγματεύτως ἀνα‐ φαινόμενον. τῶν δὲ πορισμάτων τὰ μέν ἐστι γεωμετρικά, τὰ δὲ ἀριθμητικά. τὸ μὲν γὰρ προκείμενον θεώρημα γεω‐ μετρικόν ἐστι, τὸ δὲ ἐπὶ τέλει τοῦ δευτέρου θεωρήματος τοῦ ζʹ βιβλίου τῶν ἀριθμητικῶν. ἔπειτα δὲ κατὰ τὰ
35προηγούμενα ζητήματα· τὰ μὲν γὰρ προβλήμασιν ἕπεται, τὰ δὲ θεωρήμασι. τοῦτο δὲ θεωρήματός ἐστι, τὸ δὲ ἐν τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ κείμενον προβλήματος. τρίτον δ’ αὖ τὰς δείξεις· τὰ μὲν γὰρ ταῖς δεικτικαῖς ἐφόδοις, τὰ δὲ ταῖς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγαῖς συγκατασκευάζεται, τὸ μὲν προκεί‐
40μενον τῇ ἐπ’ εὐθείᾳ δείξει, τὸ δὲ τῷ πρώτῳ τοῦ τρίτου βιβλίου συναποδεδειγμένον τῇ εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῇ συν‐ ανεφάνη. πολλαχῶς δὲ καὶ ἄλλως τὰ πορίσματα διαιρεῖν δυνατόν· ἀλλ’ ἡμῖν γε ἀρκέσει καὶ ταῦτα πρὸς τὸ παρόν. ἐν τούτῳ δὲ τῷ πορίσματι κἂν πληθυνθῶσιν ἐν τῷ ἑνὶ
45σημείῳ αἱ εὐθεῖαι τῶν δυεῖν καὶ δι’ ἑνὸς σημείου τέμνωσιν ἀλλήλας ἢ τρεῖς ἢ τέτταρες ἢ ὁποσαιοῦν, αἱ γενόμεναι γωνίαι πᾶσαι τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσαι δείκνυνται. μερίζεται γὰρ τὸ τῶν τεσσάρων γωνιῶν εἰς τὰ εἴδη τῶν σχημάτων, καὶ δύο μὲν εὐθειῶν τεμνουσῶν ἀλλήλας ἔσονται αἱ γωνίαι

1

.

62

(50)

τέτρασιν, τουτέστι τετραγώνου, τριῶν δὲ εὐθειῶν τεμνου‐ σῶν ἔσονται αἱ γωνίαι ἕξ, τεσσάρων δὲ ὀκτώ, καὶ ἐπ’ ἄπειρον ὁμοίως. ἀεὶ γὰρ διπλασιάζεται τὸ πλῆθος τῶν
εὐθειῶν, αἱ δὲ γωνίαι κατὰ μὲν τὸ πλῆθος αὔξονται, κατὰ δὲ τὸ μέγεθος ἐλασσοῦνται, διότι τὸ διαιρούμενον ἀεὶ
55ταὐτόν ἐστιν αἱ δ ὀρθαί. καί ἐστι τὸ θεώρημα τοῦτο Πυθα‐ γόρειον.

1

.

63

Πόρισμά ἐστι τὸ ἐκ τῶν ἀποδεδειγμένων ἕτερον μὴ ζητηθὲν συναναφανὲν θεώρημα.

1

.

64

Τί ἐστι πόρισμα; πόρισμά ἐστι κατὰ συμβεβηκὸς ἑτέρου δεικνυμένου, ὅτε καὶ ἕτερόν τι συναποδείκνυται. τί ἐστιν ἔνστασις; ἔνστασίς ἐστι ζήτησις ἐν τῷ δεικνυμένῳ, ἧς ἄνευ προβῆναι οὐχ οἷόν τε μὴ λυθείσης τῆς ἀντιλογίας.

1

65-69t

Ad prop. 16

1

.

65

Τὸ ιϛʹ θεώρημα προτείνεται ἡμῖν, ὅτι παντὸς τριγώ‐ νου ἐὰν μίαν τινὰ τῶν πλευρῶν προσεκβάλλῃς, τὴν ἐκτὸς αὐτοῦ συνισταμένην γωνίαν εὑρήσεις μείζονα τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἑκατέρας. ἀναγκαίως δὲ πρὸς τὰς ἀπεναντίον
5αὐτὴν συνέκρινε καὶ οὐ πρὸς τὴν ἐφεξῆς, ἥτις ἐστὶν ἡ πλη‐ σίον αὐτῆς ἐντὸς κειμένη· αὕτη μὲν γὰρ καὶ ἴση δύναται εἶναι καὶ ἐλάττων τῆς ἐκτός. ἡ δὲ ἐκτὸς ἑκατέρας μείζων ἐκ παντὸς τῶν ἀπεναντίον αὐτῇ κειμένων. ἐὰν γὰρ ὀρθο‐ γώνιον ᾖ τὸ τρίγωνον, καὶ προσεκβάλωμεν μίαν τῶν περὶ
10τὴν ὀρθήν, ἡ ἐκτὸς ἴση ἔσται τῇ ἐφεξῆς, ἐὰν δὲ ἀμβλυγώνιον ᾖ, ἔσται δυνατὸν τὴν ἐντὸς μείζονα τῆς ἐκτός. καλῶς οὖν εἶπε πρὸς τὰς ἀπεναντίον· τῶν γὰρ ἐντὸς τοῦ τριγώνου μία μέν ἐστιν ἡ ἐφεξῆς τῆς ἐκτός, δύο δὲ αἱ ἀπεναντίον. τούτων οὖν ἑκατέρας ἀνάγκη μείζονα εἶναι τὴν ἐκτός, ἀλλ’
15οὐ τῆς ἐφεξῆς αὐτῇ κειμένης. Τινὲς δὲ συνάπτοντες τοῦτο τὸ θεώρημα καὶ τὸ ἑξῆς μετὰ τοῦτο ἀποδεικνύμενον οὕτω προφέρονται τὴν πρότα‐ σιν· παντὸς τριγώνου πλευρᾶς μιᾶς προσεκβληθείσης ἡ
ἐκτὸς τοῦ τριγώνου γωνία ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναν‐
20τίον μείζων ἐστίν, καὶ δύο ὁποιαιοῦν τῶν ἐντὸς γωνιῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν. ἔχουσι δὲ ἀφορμὴν τῆς συμπλοκῆς τῶν θεωρημάτων, ἐπειδὴ καὶ αὐτὸς ὁ γεωμέτρης ἑξῆς ἐπὶ τῶν ἴσων οὕτως ἐποίησε· παντὸς τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία δύο ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση, καὶ αἱ τρεῖς τοῦ τριγώ‐
25νου γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι. ἔχομεν οὖν ἐκ τούτων μέθοδον συλλογίζεσθαι, πῶς αἱ γενέσεις τῶν πραγμάτων ἐπ’ ὄψιν ἡμῖν τὰς ἀληθινὰς ἄγουσι τῶν ζητουμένων αἰτίας.

1

.

66

Τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον εἶπεν πρὸς ἀντιδιαστολὴν τῆς ἐντὸς καὶ ἐφεξῆς κειμένης, ἧς οὐ πάντως μείζων ἐστὶν ἡ ἐκτός· ποτὲ γὰρ καὶ ἐλάττων, ποτὲ δὲ καὶ ἴση, ποτὲ δὲ καὶ μείζων.

1

.

67

Φησὶν ἡ πρότασις, ὅτι παντὸς τριγώνου εἰ μίαν τινὰ τῶν πλευρῶν προσεκβάλοις, τὴν ἐκτὸς αὐτοῦ συνισταμέ‐ νην γωνίαν εὑρήσεις μείζονα τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἑκατέρας· ἀμφοτέραις μὲν γὰρ ἴση δειχθήσεται μικρὸν
5ὕστερον, ἑκατέρας δὲ μείζων ἐκ τούτου δείκνυται. καὶ ἀναγκαίως πρὸς τὰς ἀπεναντίον αὐτὴν συνέκρινεν, ἀλλ’ οὐ πρὸς τὴν ἐφεξῆς· αὕτη μὲν γὰρ καὶ ἴση δύναται εἶναι καὶ ἐλάσσων καὶ μείζων, ἐκείνων δὲ ἑκατέρας αὐτὴ μείζων. ἐὰν οὖν ὀρθογώνιον ᾖ τὸ τρίγωνον, καὶ ἐκβληθῇ πρὸς τὴν
10ὀρθήν, ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντὸς ἔσται ἴση, εἰ δὲ ἀμβλυγώνιον, καὶ προσεκβληθῇ πρὸς τὴν ἀμβλεῖαν, ἔσται μείζων ἡ ἐντὸς τῆς ἐκτός. ἀλλὰ πρὸς τὰς ἀπεναντίον τοῦτο γίνεται τὸ εἶναι τὴν ἐκτὸς ἴσην. ἤδη δέ τινες συνάπτουσιν τὰ δύο θεω‐ ρήματα τοῦτό τε καὶ τὸ ἑξῆς ἀποδεικνύμενον ἓν οὕτω προ‐
15φέρονται τὴν πρότασιν· παντὸς τριγώνου μιᾶς πλευρᾶς προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς τοῦ τριγώνου γωνία ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον μείζων ἐστί, καὶ δύο ὁποιαιοῦν τῶν ἐντὸς γωνιῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν. διὰ δὲ τού‐
του τοῦ ιϛʹ θεωρήματος κἀκεῖνο ἀποδείξομεν, ὅτι, ἐὰν εἰς
20δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὴν ἐκτὸς γωνίαν ἴσην ποιῇ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον, οὐ ποιήσουσι τρίγωνον αἱ εὐθεῖαι οὐδὲ συμπεσοῦνται, ἐπεὶ ἔσται αὑτὴ καὶ ἴση καὶ μείζων· ὅπερ ἀδύνατον. λάβοιμεν δ’ ἂν ἀπὸ τοῦ προκειμένου θεωρήματος τοῦτο, ὅτι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τρεῖς εὐθεῖαι
25ἴσαι ἐπὶ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν προσπίπτειν ἀδύνατον.

1

.

68

Σαφεστέρα ἡ παροῦσα πρότασις ἐν τῷ Σαρακηνικῷ ἀντιγράφῳ· ἔχει γὰρ οὕτως· παντὸς τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία μείζων ἐστὶ ἑκα‐ τέρας τῶν ἐντός, τουτέστι τῶν ἐπὶ τῆς πλευρᾶς τῆς
5ὑποτεινούσης τὴν γωνίαν τὴν ἐφεξῆς τῇ αὐτῇ ἐκτὸς γωνίᾳ.

1

.

69

μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῆς ὑπὸ ΒΑΕ p. 25, 19—20] ἡ γὰρ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση ἐδείχθη τῇ ὑπὸ ΕΓΖ, ἧς μείζων ἡ ὑπὸ ΕΓΔ ἀποδέδεικται.

1

70-72t

Ad prop. 17

1

.

70

Ἐν τῷ ιζʹ θεωρήματι ἀορίστως δείκνυνται ὁποιαιοῦν δύο γωνίαι τοῦ τριγώνου δύο ὀρθῶν ἐλάττονες, ἐν δὲ τοῖς ἐφεξῆς καὶ ἀφορισθήσεται, πόσῳ ἐλάττους, ὅτι τῇ λοιπῇ τοῦ τριγώνου γωνίᾳ· αἱ γὰρ τρεῖς δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
5ὥστε αἱ δύο τῇ λοιπῇ ἐλαττοῦνται τῶν δύο ὀρθῶν. φανε‐ ρὸν δέ, ὅτι χρῆται ὁ στοιχειωτὴς τῷ πρὸς τούτου θεωρήματι πρὸς τὴν τοῦ προκειμένου δεῖξιν. σκοπήσωμεν δὲ καὶ ἡμεῖς τὴν τοῦ τριγώνου γένεσιν, καὶ τὴν αἰτίαν εὐχερῶς εὑρήσομεν τοῦ συμπτώματος, πῶς ἐλαττοῦνται δύο ὀρθῶν.
10ἔστωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ ἐπὶ βάσιν ἱστάμεναι τὴν ΒΔ πρὸς ὀρθὰς γωνίας. εἰ οὖν μέλλει γενέσθαι τρί‐ γωνον, δεῖ συννεῦσαι πρὸς ἀλλήλας τὰς ΑΒ, ΓΔ, ἡ δὲ σύν‐ νευσις ἐλαττοῖ τὰς ἐντὸς γωνίας· ὥστε τὰς πρὸ τῆς συν‐ νεύσεως ὀρθὰς ἀνάγκη μετὰ τὴν σύννευσιν ἐλάττους γίνε‐
15σθαι δύο ὀρθῶν. τοῦτο οὖν τὸ αἴτιον, καὶ οὐχὶ τὸ μείζονα
εἶναι τὴν ἐκτὸς ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γω‐ νιῶν. ἐκβεβλῆσθαι μὲν γὰρ τὴν πλευρὰν οὐκ ἀνάγκη οὐδὲ ἔξω τινὰ συνεστάναι γωνίαν, τῶν δὲ ἐντὸς γωνιῶν δύο ὁποιασοῦν εἶναι ἐλάττους δύο ὀρθῶν ἀναγκαῖον, τὸ δὲ
20μὴ ἀναγκαῖον πῶς ἂν εἴη αἴτιον τοῦ ἀναγκαίου;

1

.

71

Διὰ τούτου δὲ τοῦ θεωρήματος δυνατὸν κἀκεῖνο δεικνύναι, ὅτι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου ἐπὶ μίαν εὐθεῖαν δύο κάθετοι οὐκ ἀχθήσονται. ἔστωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου [Omitted graphic marker] ἐπὶ τὴν ΒΓ δύο κάθετοι αἱ ΑΒ,
5ΑΓ. ὀρθαὶ ἄρα εἰσὶν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ γωνίαι. ἀλλ’ ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστι τὸ ΑΒΓ, δύο ὁποιαιοῦν γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν. αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ καὶ γωνίαι δύο δύο
10ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν. ἀλλὰ καὶ ἴσαι δυσὶν ὀρθαῖς διὰ τὰς καθέτους· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου δύο κάθετοι ἀχθήσονται ἐπὶ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

1

.

72

Τὴν αἰτίαν τοῦ προκειμένου θεωρήματος δυνατὸν ἰδεῖν, εἴπερ εἰς τὴν γένεσιν ἀπίδοιμεν τῶν τριγώνων. εἰ γὰρ εὐθείᾳ τινὶ δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθὰς ἀνασταθῶσιν, εἰ δεῖ γενέσθαι τρίγωνον, δεῖ συννεῦσαι τὰς εὐθείας, εἰ δὲ
5συννεύσωσι, πάντως ἐλαττώσουσι τὰς δύο ὀρθάς. Διὰ τούτου τοῦ θεωρήματος δείκνυται, ὅτι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ δύο κάθετοι ἀχθῆναι οὐ δύνανται.

1

73-75t

Ad prop. 18

1

.

73

Διὰ μὲν οὖν τοῦ εʹ καὶ τοῦ ϛʹ θεωρήματος μεμαθή‐ καμεν, ὡς ἡ τῶν πλευρῶν ἰσότης ἐφ’ ἑκάστου τῶν τριγώ‐ νων ἴσας ἀποτελεῖ τὰς ὑπὸ τούτων ὑποτεινομένας γωνίας, καὶ ἡ τῶν γωνιῶν ἰσότης ὡσαύτως τὰς ὑποτεινούσας
5αὐτὰς πλευρὰς ἴσας ἀποφαίνει. ὅτι δὲ καὶ ταῖς ἀνισότησι τῶν πλευρῶν ἡ τῶν ὑποτεινομένων γωνιῶν ἀνισότης ἀκο‐ λουθεῖ καὶ ἀνάπαλιν, διὰ τοῦ ιηʹ καὶ ιθʹ θεωρήματος διδα‐ σκόμεθα. τοῦτο μὲν γὰρ δείκνυσι τὴν μείζονα πλευρὰν ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν, τὸ δὲ ιθʹ ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν τὴν
10μείζονα πλευράν, ἀντιστρόφως μὲν ἀλλήλοις, ἐπὶ δὲ τῶν ἐναντίων πραγμάτων τὰ αὐτὰ θεωροῦντα συμπτώματα τῷ τε εʹ καὶ τῷ ϛʹ θεωρήματι. ἰστέον δέ, ὅτι τὰ μὲν τῆς ἰσότη‐ τος τῶν γωνιῶν ἢ πλευρῶν δεικτικὰ τοῖς ἰσοπλεύροις καὶ ἰσοσκελέσιν ἐφήρμοσται, τὰ δὲ τῆς ἀνισότητος τοῖς σκαλη‐
15νοῖς καὶ ἰσοσκελέσιν. ἀλλ’ ἐπὶ μὲν τῶν σκαληνῶν διαιροῦ‐ μεν τὴν μεγίστην πλευρὰν καὶ μέσην καὶ ἐλαχίστην καὶ τὰς γωνίας ὡσαύτως, ἐπὶ δὲ τῶν ἰσοσκελῶν ἀρκεῖ τὸ μεῖζον ἁπλῶς καὶ ἔλαττον· τὰ μὲν γὰρ τῶν τριγώνων ἰσό‐ τητός ἐστι μόνης ἔκγονα, τὰ δὲ ἀνισότητος μόνης, τὰ δὲ
20ἀμφοτέρων, ὡδὶ μὲν διὰ τῆς ἰσότητος, ὡδὶ δὲ διὰ τῆς ἀνισότητος ἐφιστάμενα.

1

.

74

Ὅτι μὲν ἡ τῶν πλευρῶν ἰσότης ἐφ’ ἑκάστου τῶν τριγώνων ἴσας ἀποτελεῖ τὰς ὑπὸ τούτων ὑποτεινομένας γωνίας, ἡ δὲ τῶν γωνιῶν ἰσότης ὡσαύτως τὰς ὑποτεινού‐ σας αὐτὰς πλευρὰς ἴσας ἀποφαίνει, μεμαθήκαμεν διά τε
5τοῦ θʹ καὶ ϛʹ θεωρήματος, ὅτι δὲ καὶ ταῖς ἀνισότησιν τῶν πλευρῶν ἡ τῶν ὑποτεινομένων γωνιῶν ἀνισότης ἀκολουθεῖ καὶ ἀνάπαλιν, διὰ τούτων διδασκόμεθα τῶν θεωρημάτων, τοῦ τε ὀκτωκαιδεκάτου λέγω καὶ τοῦ ιθʹ. τὸ μὲν γὰρ δείκνυσι τὴν μείζονα πλευρὰν ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν, τὸ
10δὲ ὑπὸ μείζονα γωνίαν τὴν μείζονα πλευράν, ἀντιστρέφοντα μὲν ἀλλήλοις, ἐπὶ δὲ τῶν ἐναντίων πραγμάτων τὸ αὐτὸ θεωροῦντα συμπτώματα τῷ εʹ καὶ ϛʹ θεωρήματι. φανερὸν δέ, ὅτι τὴν μείζονα καὶ τὴν ἐλάσσονα πλευρὰν ἀνάλογον ληψόμεθα καὶ διαιρήσομεν τὴν μεγίστην καὶ μέσην καὶ
15ἐλαχίστην καὶ τὰς γωνίας ὡσαύτως ἐπὶ τῶν σκαληνῶν τριγώνων, ἐπὶ δὲ τῶν ἰσοπλεύρων ἀρκέσει τὸ μεῖζον καὶ τὸ ἔλασσον· μία γάρ ἐστι ταῖς δυσὶν ἄνισος. ἢ τὸ μεῖζον ἢ τὸ ἔλαττον ὡς ἐπὶ τῶν ἰσοπλεύρων.

1

.

75

πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΑΓΒ p. 27, 9—10] [ἐπεὶ] γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΔΒ μείζων ἐδείχθη τῆς ὑπὸ ΒΓΔ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΔ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ, τῆς δὲ ὑπὸ ΑΒΔ μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, πολλῷ ἄρα μείζων
5ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῆς ὑπὸ ΒΓΑ.

1

76-77t

Ad prop. 19

1

.

76

Τὸ ιθʹ θεώρημα ἀντίστροφόν ἐστι τῷ ιηʹ θεωρήματι. ἔστι γὰρ ἁπλοῦν ἐν ἑκατέρῳ καὶ τὸ διδόμενον καὶ τὸ ζητούμενον, καὶ τὸ μὲν ἐκεῖ συμπέρασμα ὑπόθεσίς ἐστιν ἐνταῦθα, ἡ δὲ ἐκεῖ ὑπόθεσις τούτου ἐστὶ συμπέρασμα. προ‐
5τέτακται δὲ ἐκεῖνο, διότι δεδομένην ἔχει τὴν ἀνισότητα τῶν πλευρῶν, ἕπεται δὲ τοῦτο τὰς γωνίας ἀνίσους ὑπο‐ θέμενον· δοκοῦσι γὰρ αἱ μὲν πλευραὶ τὰ εὐθύγραμμα περι‐ έχειν, αἱ δὲ γωνίαι περιέχεσθαι, καὶ ὁ τρόπος δὲ τῆς ἀπο‐ δείξεως ἐπ’ ἐκείνου μὲν δεικτικός, ἐπὶ δὲ τούτου διὰ τῆς
10εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς. ἐκ διαιρέσεως δὲ τὸ ἀδύνατον συλλογίζεται ὁ γεωμέτρης· τῶν μὲν γὰρ γωνιῶν οὐσῶν ἀνίσων λέγω, φησίν, ὅτι καὶ αἱ ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἄν‐ ισοι, καὶ ἡ μείζων ὑποτείνει τὴν δεδομένην μείζονα γω‐ νίαν. εἰ γὰρ μή ἐστιν ἡ τὴν μείζονα γωνίαν μείζων, ἴση
15ἐστὶν ἢ ἐλάττων. ἀλλ’ εἰ μὲν ἴση, καὶ αἱ γωνίαι, ἃς ὑπο‐ τείνουσιν, ἴσαι διὰ τὸ εʹ. εἰ δὲ ἐλάσσων, καὶ ἡ γωνία, ἣν ὑποτείνει, ἐλάσσων διὰ τὸ πρὸ τούτου· δέδεικται γὰρ ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνουσα καὶ ὑπὸ τὴν ἐλάσσω ἡ ἐλάσσων. ἔχουσι δὲ ἀνάπαλιν αἱ γωνίαι·
20μείζων ἄρα ἡ πλευρὰ τῆς πλευρᾶς. ἐχρήσατο δὲ τῇ ἐκ
διαιρέσεως εἰς τὸ ἀδύνατον ἀγούσῃ δείξει βουλόμενος τὸ ἀντίστροφον ποιῆσαι τῷ προηγουμένῳ μηδενὸς μεταξὺ παρεμπίπτοντος, ἐπεὶ καὶ τὸ ηʹ ἀντιστρέφον πρὸς τὸ δʹ πολλὴν ἐνεποίησε ταραχὴν δυσεπίγνωστον ποιῆσαν τὴν
25ἀντιστροφήν· διὸ δὴ τὰ ἀντίστροφα πάντα δι’ ἀδυνάτου δείκνυσι σχεδὸν μετὰ τοῦ τὴν συνέχειαν φυλάττειν.

1

.

77

Τοῦτό ἐστι τὸ ἀντίστροφον τῷ εἰρημένῳ θεωρήματι, καί ἐστιν ἁπλοῦν ἐν ἑκατέρῳ τὸ δεδομένον καὶ τὸ ζητούμε‐ νον, καὶ τὸ μὲν ἐκεῖ συμπέρασμα ὑπόθεσίς ἐστιν ἐνταῦθα, ἡ δὲ ἐκεῖ ὑπόθεσις τούτου συμπέρασμα. προτέτακται δὲ
5ἐκεῖνο, διότι δεδομένην ἔχει τὴν ἀνισότητα τῶν πλευρῶν, ἕπεται δὲ τοῦτο, ὅτι τὰς γωνίας ἀνίσους ὑποτίθεται· δο‐ κοῦσι γὰρ αἱ μὲν πλευραὶ τὰ εὐθύγραμμα περιέχειν, αἱ δὲ γωνίαι περιέχεσθαι. καὶ ὁ τρόπος δὲ τῆς ἀποδείξεως ἐπ’ ἐκείνου μὲν δεικτικῶς, ἐπὶ δὲ τούτου διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον
10ἀπαγωγῆς.

1

78-80t

Ad prop. 20

1

.

78

Τὸ κʹ θεώρημα διασύρειν εἰώθασιν οἱ Ἐπικούρειοι καὶ ὄνῳ λέγοντες αὐτὸ δῆλον εἶναι καὶ μηδεμιᾶς δεῖσθαι κατασκευῆς. κατασκευάζουσι δὲ τὸ καὶ ὄνῳ γνώριμον εἶναι ἐκ τοῦ, τεθέντος χόρτου κατὰ τὸ ἕτερον πέρας τῶν
5πλευρῶν, τὸν ὄνον τὴν μίαν ὁδεύειν πλευράν, ἀλλὰ μὴ τὰς δύο, τροφῆς ὀρεγόμενον. λέγομεν οὖν, ὅτι σαφὲς μὲν κατὰ τὴν αἴσθησιν ἔστω τὸ θεώρημα, οὔπω δὲ σαφὲς κατὰ τὸν ἐπιστημονικὸν λόγον· οἷον τὸ πῦρ θερμαίνει, καὶ τοῦτο τῇ αἰσθήσει καταφανές· ἀλλὰ πῶς θερμαίνει, ἀσωμάτῳ δυνά‐
10μει ἢ σωματικαῖς τομαῖς, σφαιρικοῖς μορίοις ἢ πυραμοει‐ δέσι, τῆς ἐπιστήμης μόνης ἔργον ἐστὶ παραστῆσαι. ἔστω τοίνυν καὶ τοῦ τριγώνου τὸ εἶναι τὰς βʹ μείζους τῆς μιᾶς τῇ αἰσθήσει δῆλον, ἀλλὰ πῶς τοῦτο γίνεται, ἡ ἐπιστήμη
ὑποδείκνυσιν.

1

.

79

Τοῦτο τὸ θεώρημα διασύρειν εἰώθασιν οἱ Ἐπικού‐ ρειοι ὄνον αὐτὸ καλέσαντες διὰ τὸ μηδεμιᾶς δεῖσθαι κατασκευῆς. ὅτι μὲν τὸ προκείμενον θεώρημα σαφὲς μὲν κατὰ τὴν αἴσθησιν, οὔπω δὲ σαφὲς κατὰ τὸ ἐπιστημονι‐
5κόν· πάντως μὲν γὰρ αἱ δύο μείζους τῆς λοιπῆς. τριῶν γὰρ ἴσων δύο ὁποιαοῦν διπλάσια τοῦ ἑνός. εἰ δὲ ἰσοσκελὲς ἢ τὸ ἔλασσον ἔχει τῶν ἴσων ἑκατέρᾳ τὴν βάσιν καὶ γίνεται μεί‐ ζων.

1

.

80

Αἱ γὰρ ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ αἱ τρεῖς ἤτοι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν ἢ οὐ. εἰ μὲν ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί, φανερόν, ὅτι δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανό‐ μεναι. εἰ δὲ οὐ, ἔστι τις ἐν αὐταῖς μεγίστη. ἔστω ἡ ΒΓ.
5ὅτι μὲν οὖν αἱ ΑΒ, ΒΓ τῆς ΑΓ μείζονές εἰσι, φανερόν· καὶ πάλιν ὅτι αἱ ΑΓ, ΓΒ τῆς ΑΒ, καὶ τοῦτο δῆλον. δεικτέον δή, ὅτι καὶ αἱ ΒΑ, ΑΓ τῆς ΒΓ μείζονές εἰσιν. ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον.

1

81-84t

Ad prop. 21

1

.

81

Τὸ καʹ θεώρημα δύο θεωρημάτων εἴρηται τοῦ τε κʹ καὶ τοῦ ιϛʹ. πρὸς μὲν γὰρ τὸ δεῖξαι τὰς συσταθείσας ἐντὸς πλευρὰς ἐλάσσονας τῶν ἐκτὸς ἐκείνου δεῖται τοῦ θεωρήμα‐ τος· παντὸς τριγώνου αἱ δύο μείζονές εἰσι τῆς λοιπῆς·
5πρὸς δὲ τὸ τὴν ὑπ’ αὐτῶν περιεχομένην γωνίαν ἀποφῆναι μείζονα τῆς ὑπὸ τῶν ἐκτὸς περιεχομένης πλευρῶν ἐκεῖνο συντελεῖ τὸ παντὸς τριγώνου τὴν ἐκτὸς γωνίαν μείζονα εἶναι τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον. ἀναγκαίως δὲ ὁ στοιχειω‐ τὴς προσέθηκε τὸ ἀπὸ τῶν περάτων ἄρχεσθαι δεῖν τῆς
10κοινῆς βάσεως τὰς ἐντὸς συνισταμένας πλευρὰς καὶ τὸ ἐπὶ
μιᾶς ὅλης συνίστασθαι, ἀλλ’ οὐκ ἐκ μέρους τῆς ὅλης· αἱ γὰρ ἐπὶ μέρους τῆς βάσεως συνιστάμεναι καὶ μείζους δείκνυνταί ποτε τῶν ἐκτὸς καὶ ἐλάττονα γωνίαν περι‐ έχουσαι. ἀπὸ δὲ τῶν περάτων αὐτῆς συνισταμένων ἀνα‐
15φαίνεται καὶ τὸ εἶδος τὸ καλούμενον ἀκιδοειδῶν τριγώνων, ἓν ὂν καὶ τοῦτο τῶν ἐν γεωμετρίᾳ παραδόξων, τρίγωνον τετράπλευρον, οἷόν ἐστι καὶ τὸ προκείμενον σχῆμα· περι‐ έχεται μὲν γὰρ ὑπὸ δ πλευρῶν τῆς ΑΒ, ΒΔ, ΔΓ, ΓΑ, τρεῖς δὲ γωνίας ἔχει τὴν πρὸς τῷ Α καὶ τῷ Β καὶ τῷ Γ.

1

.

82

Ἐκ δύο θεωρημάτων δέδεικται τοῦ τε πρὸ τούτου δειχθέντος καὶ τοῦ ἑκκαιδεκάτου. πρὸς μὲν γὰρ τὸ δεῖξαι τὰς συσταθείσας ἐντὸς ἐλάσσονας τῶν ἐκτὸς ἐκείνου δεῖται τοῦ θεωρήματος· παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς
5μείζους εἰσίν· πρὸς δὲ τὸ τὴν ὑπ’ αὐτῶν περιεχομένην γω‐ νίαν ἀποφῆναι μείζονα τῆς ὑπὸ τῶν ἐκτὸς περιεχομένης ἐκεῖνο αὐτῷ συντελεῖ τὸ παντὸς τριγώνου τὴν ἐκτὸς γωνίαν μείζονα εἶναι τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον. λάβοις δ’ ἂν ἅμα τῆς γεωμετρικῆς ἀκριβείας πίστιν καὶ τῶν ἐν τοῖς μαθή‐
10μασι παραδόξων ὑπόμνησιν, εἰ δείξαιμεν, ὅτι δυνατὸν ἐντὸς τριγώνου τινὸς ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν οὐχ ὅλης, ἀλλὰ μέ‐ ρους αὐτῆς συστῆναι δύο εὐθείας μείζους τῶν ἐκτὸς καὶ πάλιν ἄλλας μείζονα γωνίαν περιεχούσας τῆς ὑπὸ τῶν ἐκ‐ τὸς περιεχομένης. τούτου γὰρ δειχθέντος ἅμα μὲν δῆλον,
15ὅτι ἀναγκαίως ὁ στοιχειωτὴς προσέθηκεν τὸ ἀπὸ τῶν περάτων ἄρχεσθαι δεῖν τῆς κοινῆς βάσεως τὰς ἐντὸς συνισταμένας καὶ τὸ ἐπὶ μιᾶς ὅλης συνίστασθαι, ἀλλὰ οὐκ ἐπὶ μέρους τῆς ὅλης. ἅμα δὲ καί, ὅπερ εἴπομεν, ἕν τι τῶν ἐν γεωμετρίᾳ παραδόξων ἀναφανήσεται. πῶς γὰρ οὐ παρά‐
20δοξον, εἰ αἱ μὲν ἐπὶ τῆς ὅλης συνιστάμεναι τῶν ἐκτὸς ἐλάσ‐ σους εἰσίν, αἱ δὲ ἐπὶ μέρους μείζονες; ἀναγκαῖον δὲ τὰς συνισ‐ ταμένας εὐθείας ἀπὸ τῶν περάτων ἄρχεσθαι τῆς βάσεως· αἱ γὰρ ἐπὶ μέρους αὐτῆς συνιστάμεναι καὶ μείζους δείκνυνταί
ποτε τῶν ἐκτὸς καὶ ἐλάσσονα περιέχουσαι γωνίαν. οὕτω
25δὲ καὶ συνισταμένων ἀπὸ τῶν περάτων ἀναφαίνεται καὶ τὸ εἶδος τῶν καλουμένων ἀκιδοειδῶν τριγώνων, ἓν καὶ τοῦτο τῶν ἐν γεωμετρίᾳ παραδόξων.

1

.

83

Καὶ ἐκ τούτου τοῦ θεωρήματος δείκνυται, ὅτι ἐλά‐ χιστον μέγεθος οὐκ ἔστιν, εἴπερ παντὸς τριγώνου δυνατὸν ἔλασσον λαβεῖν, ὅπερ ἐνταῦθα διδάσκει.

1

.

84

Ἀπὸ τῶν περάτων φησίν, ἐπειδὴ ἐὰν μὴ ὦσιν ἀμφό‐ τεραι ἀπὸ τῶν περάτων .... δύνανται αἱ ἐντὸς [πλευραὶ [Omitted graphic marker] τῶν] ἐκτὸς μείζονες εἶναι, ὡς δείξο‐ μεν. ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν
5ἔχον τὴν Γ γωνίαν. εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΒΓ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἐπ‐ εζεύχθω ἡ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ τριγώνου [τοῦ ΑΓΔ] ὀρθή ἐστιν ἡ Γ γωνία, μείζων ἡ ΑΔ τῆς [ΑΓ. ἀφῃ]ρήσθω ἀπὸ τῆς
10ΑΔ τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΔΕ, [καὶ τετμή]‐ σθω ἡ ΕΑ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπ‐ εζεύχθω ἡ ΖΒ. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ Ζ[ΑΒ δύο αἱ] ΑΖ, ΒΖ τῆς ΑΒ μεί‐ ζονές [εἰσιν, ἴση δὲ ὑπέκειτο] ἡ [ΑΖ τῇ ΖΕ, ἡ δὲ ΔΕ τῇ
15ΓΑ, αἱ ΔΖ, ΖΒ] τῶν ΑΒ, ΑΓ μ[είζονές εἰσιν]· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. [ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν] ἀμβλυγωνίων ....

1

85-87t

Ad prop. 22

1

.

85

Τοῦτο τὸ κβʹ πρόβλημά ἐστιν· πάλιν γὰρ ἀπὸ τῶν θεωρημάτων ἐπὶ τὰ προβλήματα μετεληλύθαμεν· καὶ παρακελεύεται ἐκ τριῶν εὐθειῶν τρίγωνον συστήσασθαι. πρῶτον δὲ δίδωσι τρεῖς εὐθείας καὶ οὐκ ἐξ αὐτῶν συνιστᾷ
5τὸ τρίγωνον, ἀλλ’ ἐξ ἑτέρων ἴσων αὐταῖς ταῖς δεδομέναις. δεῖ δέ, φησί, τὰς εὐθείας τὰς συμπληροῦν μελλούσας τὸ τρίγωνον τὰς δύο τῆς λοιπῆς μείζους εἶναι πάντῃ μεταλαμ‐ βανομένας. παντὸς γὰρ τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ μείζους
εἰσὶ τῆς λοιπῆς, ὡς δέδεικται, κατὰ πᾶσαν μετάληψιν, καὶ
10διὰ τοῦτο καὶ αὐτῷ τοῦτο προσέθηκεν· εἰ γὰρ μή εἰσιν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζους, οὐκ ἔσται τρίγωνον ἐκ τῶν ἴσων αὐταῖς εὐθειῶν. ἔστι δὲ τὸ πρόβλημα τοῦτο τῶν διωρι‐ σμένων, ἀλλ’ οὐ τῶν ἀδιορίστων. ὥσπερ γὰρ τῶν θεωρη‐ μάτων τὰ μέν ἐστι διωρισμένα, τὰ δὲ ἀδιόριστα, οὕτω καὶ
15ἐπὶ τῶν προβλημάτων. ἐὰν μὲν γὰρ εἴπωμεν ἁπλῶς οὕτως· ἐκ τριῶν εὐθειῶν ἴσων ταῖς δοθείσαις εὐθείαις συστήσα‐ σθαι τρίγωνον, ἀδιόριστον καὶ ἀδύνατόν ἐστιν· ἐὰν δὲ προσθῶμεν· ὧν αἱ δύο μείζους εἰσὶ τῆς λοιπῆς πάντῃ μετα‐ λαμβανόμεναι, διωρισμένον τε καὶ δυνατὸν γίνεται· καὶ
20πρὸς τὴν κατασκευὴν δὲ τοῦ προβλήματος τούτου τὰς φερομένας ἐνστάσεις διαλύει ἡ προσθήκη αὕτη τὸ τὰς δύο μείζους εἶναι τῆς λοιπῆς πάντῃ μεταλαμβανομένας, ἤγουν ὁποίας ἂν λάβῃς ἐκ τῶν τριῶν δύο, τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν· τοῦτο γὰρ δηλοῖ ἡ πανταχόθεν μετάληψις. εἰ γὰρ μή
25εἰσι μείζονες, ἢ ἴσαι εἰσὶν ἐξ ἀνάγκης ἢ ἐλάττονες. καὶ εἰ μὲν ἴσαι εἰσί, τρίγωνον οὐ συνιστῶσιν· τηνικαῦτα γὰρ οἱ κύκλοι οὐ τέμνουσιν ἀλλήλους, ἀλλὰ μόνον ἐφάπτονται, ὥσπερ ἐπὶ τῶν ἐκτεθειμένων κύκλων ἡ μὲν ΔΖ ἴση ἐστὶ τῇ ΖΕ, ἡ δὲ ΗΘ ἴση τῇ ΗΕ. ὥστε δύο αἱ ΔΖ, ΗΘ μιᾷ τῇ
30ΖΗ ἴσαι εἰσί· διὰ δὲ τὸ μὴ τέμνειν ἀλλήλους τοὺς κύκλους οὐδὲ τρίγωνον συνέστη. πάλιν ἐὰν ὦσιν αἱ δύο εὐθεῖαι ἐλάσσονες τῆς μιᾶς, διίστανται ἀπ’ ἀλλήλων οἱ κύκλοι, καὶ οὐδ’ οὕτως συνίσταται τὸ τρίγωνον, οἷον ἐπὶ τῶν ὑπο‐ κειμένων κύκλων ἡ μὲν ΔΖ εὐθεῖα ἴση ἐστὶν τῇ ΖΕ, ἡ δὲ
35ΗΘ ἴση τῇ ΗΚ. ὥστε μείζων ἡ ΖΗ τῶν ΖΕ, ΗΘ τῇ ΕΚ. λοιπὸν ἄρα κατὰ τὴν ἔκθεσιν τοῦ στοιχειωτοῦ ἔστω‐ σαν αἱ δύο μείζονες τῆς λοιπῆς, ἵνα ἐξ ἀνάγκης καὶ οἱ κύ‐ κλοι τέμνωσιν ἀλλήλους καὶ τὸ τρίγωνον συσταθῇ. μεῖζον δὲ ὀφείλει γράφεσθαι τὸ ΖΗ διάστημα τοῦ ΔΖ, τὸ δὲ
40ΗΘ τοῦ ΖΗ καὶ ὁ ΚΛΘ κύκλος μείζων τοῦ ΚΛΔ.

1

.

86

Ἐπὶ τὰ προβλήματα πάλιν μετελήλυθεν ὁ στοιχειω‐ τής, ἔστι δὲ τὸ πρόβλημα τῶν διωρισμένων, ἀλλ’ οὐ τῶν ἀδιορίστων. καὶ γὰρ καὶ ἐπὶ τούτων τὰ μέν ἐστι διωρι‐ σμένα, τὰ δὲ ἀδιόριστα.

1

.

87

Ἐὰν γὰρ μὴ ὦσιν αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονες πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, ἄστατον ἔσται· οὐ γὰρ συστα‐ θήσεται τὸ τρίγωνον ἐξ εὐθειῶν διδομένων πέντε καὶ πέντε καὶ δέκα πήχεων.

1

88-90t

Ad prop. 23

1

.

88

Ἐὰν τῇ πρὸ ταύτης χρησώμεθα κατασκευῇ ἀπαρα‐ φυλάκτως, εὑρεθήσεται μὲν ἴση γωνία, οὐ πρὸς τῷ δοθέντι δὲ σημείῳ, ἀλλ’ ἤτοι πρὸς τῷ ἑτέρῳ πέρατι ἢ πρὸς τῇ κοινῇ τῶν κύκλων τομῇ. ἵν’ οὖν μὴ τοῦτο πάθω‐
5μεν, αἰεὶ τὴν ἐκκειμένην εὐθεῖαν μίαν τῶν περιεχουσῶν ποιητέον, τὴν δ’ ἑτέραν τῶν περιεχουσῶν, πρὸς οἷς μέρεσι κεῖται τὸ δοθὲν σημεῖον. ὁ Εὔδημος δὲ καὶ τοῦτο ἱστορεῖ εὕρημα εἶναι Οἰνοπίδου, τὸ δὲ κϛʹ Θαλοῦ εὕρημα ὁ αὐτὸς ἱστορεῖ.

1

.

89

Διὰ τί δὴ οὖν οὐχ, ὥσπερ ἐπὶ τοῦ δʹ θεωρήματος προσαπέδειξεν, ὅτι καὶ τὰ ἐμβαδὰ τῶν τριγώνων ἴσα ἐστίν, οὕτω καὶ ἐν τούτῳ προσέθηκεν, ὅτι πρὸς τῇ ἀνισότητι τῶν βάσεων καὶ τὰ ἐμβαδά; πρὸς δὲ ταύτην τὴν ἀπορίαν λεγέ‐
5σθω, ὅτι οὐχὶ ὁ αὐτὸς λόγος ἐπί τε τῶν ἴσων γωνιῶν καὶ βάσεων καὶ τῶν ἀνίσων· ἴσαις μὲν γὰρ οὔσαις ταῖς γω‐ νίαις καὶ ταῖς βάσεσιν ἕπεται ἡ τῶν τριγώνων ἰσότης, ἀνίσοις δὲ ἄρα οὔσαις οὐκ ἀνάγκη τὴν ἀνισότητα τῶν ἐμ‐ βαδῶν ἀκολουθεῖν, ἀλλὰ γὰρ δύναται καὶ ἴσα εἶναι τὰ τρί‐
10γωνα καὶ ἄνισα καὶ μεῖζον τὸ ἔχον τὴν μείζονα γωνίαν
καὶ αὖ ἔλασσον. διὰ τοῦτο οὖν ὁ στοιχειωτὴς παρέλειπεν τὴν τῶν τριγώνων σύγκρισιν, ἅμα δὲ καί, ὅτι ἡ περὶ τού‐ των θεωρία τῆς τῶν παραλλήλων δεῖται πραγματείας.

1

.

90

Οἰνοπίδου. Καὶ τὸ κγʹ πρόβλημά ἐστι σύστασιν ἀπαιτοῦν γωνίας ἴσης ἄλλῃ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ δοθέντι σημείῳ.
5Ἔστω ὁ συλλογισμὸς τοῦ κγʹ προβλήματος ἐν τῷ δʹ τρόπῳ τῶν ὑποθετικῶν ὁ τῇ θέσει τοῦ ἡγουμένου δεικνὺς τὸ ἑπόμενον, οἷον εἰ αἱ ΔΓ, ΓΕ πλευραὶ ἴσαι εἰσί, καὶ αἱ γωνίαι ἄρα ἴσαι εἰσίν.

1

91-94t

Ad prop. 24

1

.

91

Τὸ κδʹ θεώρημά ἐστιν· μεταβέβηκε γὰρ πάλιν ἐπὶ τὰ θεωρήματα ὁ στοιχειωτής, καὶ δείκνυσιν ἀνισότητας τριγώνων, ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῆς ἰσότητος ἐποίει. δύο γὰρ ὑποθέμενος τρίγωνα δύο πλευρὰς ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν
5ἑκατέρᾳ τὴν πρὸς τῇ κορυφῇ γωνίαν ὁτὲ μὲν ἴσην ἐν ἀμ‐ φοτέροις τίθεται, ὁτὲ δὲ ἄνισον, καὶ τῇ μὲν ἰσότητι ταύτης ἑπομένην ἔδειξε τὴν ἰσότητα τῶν βάσεων. ὡσαύτως καὶ τῇ τῶν βάσεων ἰσότητι δείκνυσιν ἀκολουθοῦσαν τὴν τῶν ἐν ταῖς κορυφαῖς γωνιῶν ἰσότητα καὶ τῇ ἀνισότητι τὴν
10ἀνισότητα. τοῦτο δὲ τὸ θεώρημα ἀντίστροφόν ἐστι τοῦ δʹ· ἐκεῖνο μὲν γὰρ ἴσας ὑπέθετο τὰς πρὸς ταῖς κορυφαῖς τῶν τριγώνων γωνίας, τοῦτο δὲ ἀνίσους, κἀκεῖνο μὲν ἴσας ἀπεδείκνυ τὰς βάσεις, τοῦτο δὲ ὁμοίως ταῖς γωνίαις ἀν‐ ίσους. προηγεῖται δὲ τοῦ ἐφεξῆς θεωρήματος. ἐκεῖνο μὲν
15γὰρ ἀπὸ τῶν βάσεων ἐπὶ τὰς γωνίας, καθ’ ἃς ὑποτείνου‐ σιν αἱ βάσεις, μετάγει τὸν τῆς ἀνισότητος λόγον, τοῦτο δὲ ἀνάπαλιν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰς βάσεις τὰς ὑπ’ αὐτάς, ὥσπερ αὖ τὸ ἐφεξῆς ἀντίστροφον μέν ἐστι πρὸς τοῦτο κατὰ τὸν εἰρημένον τρόπον, ἀντικείμενον δὲ τῷ ηʹ θεω‐
20ρήματι. τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ τῆς ἰσότητος τῶν βάσεων ἴσας ἀποδείκνυσι τὰς πρὸς ταῖς κορυφαῖς γωνίας, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἀνισότητος τῶν βάσεων καὶ τὰς κορυφὰς ἀνίσους ἀπο‐ φαίνει. κοινὸν δὲ τοῖς τέσσαρσιν, ὅτι τούτων τὰ μὲν δύο περὶ τὸ ἴσον στρέφονται, τὸ τέταρτον καὶ τὸ ηʹ, τὰ δὲ δύο
25περὶ τὸ ἄνισον, τοῦτό τε καὶ τὸ κεʹ, καὶ δύο μὲν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἄρχονται, τὸ τέταρτον καὶ τὸ νῦν προκείμενον, δύο δὲ ἀπὸ τῶν βάσεων, τό τε ηʹ καὶ τὸ κεʹ. δεῖ οὖν τούτοις τοῖς τέσσαρσι τῷ δʹ καὶ ηʹ καὶ κδʹ καὶ κεʹ πᾶσι τὸ τὰς δύο πλευρὰς ἴσας ἔχειν ταῖς δύο πλευραῖς ἑκατέραν ἑκα‐
30τέρᾳ· τούτων γὰρ ἀνίσων οὐσῶν περιττὴ πᾶσα ζήτησις καὶ ἀπάτης οὐκ ἀπηλλαγμένη.

1

.

92

Τοῦτο θεώρημά ἐστι καὶ ἀντικείμενον τῷ δʹ. ἐκεῖνο μὲν γὰρ ἴσας ὑπέθετο τὰς πρὸς ταῖς κορυφαῖς τῶν τριγώ‐ νων γωνίας, τοῦτο δὲ ἀνίσους, κἀκεῖνο μὲν ἴσας αὐτῶν ἀπεδείκνυ τὰς βάσεις, τοῦτο δὲ ὡσαύτως ταῖς γωνίαις
5ἀνίσους. προηγεῖται δὲ τοῦ ἐφεξῆς θεωρήματος· ἐκεῖνο μὲν γὰρ ἀπὸ τῶν βάσεων ἐπὶ τὰς γωνίας, ἃς ὑποτείνουσιν αἱ βάσεις, μετάγει τὸν τῆς ἀνισότητος λόγον, τοῦτο δὲ ἀνάπαλιν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰς βάσεις τὰς ὑπ’ αὐτάς, ὥσπερ αὖ τὸ ἐφεξῆς ἀντιστρόφιον μέν ἐστι πρὸς τοῦτο
10κατὰ τὸν εἰρημένον τρόπον, ἀντικείμενον δὲ τῷ ὀγδόῳ θεωρήματι. τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ τῆς ἰσότητος τῶν βάσεων ἴσας ἀποδείκνυσι τὰς πρὸς ταῖς κορυφαῖς γωνίας, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἀνισότητος τῶν βάσεων κἀκείνας ἀνίσας ἀποφαίνει. κοινὸν δὲ τοῖς τέτρασιν, ὧν δύο μὲν περὶ τὸ ἴσον στρέφεται, τὸ δʹ
15καὶ τὸ ηʹ, δύο δὲ περὶ τὸ ἄνισον, τοῦτό τε καὶ τὸ ἑξῆς, καὶ δύο μὲν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἄρχεται, τὸ τέταρτον καὶ τὸ νυνί, δύο δὲ ἀπὸ τῶν βάσεων, τό τε ὄγδοον καὶ τὸ ἐφεξῆς τεταγμέ‐ νον· δεῖ οὖν τούτοις ἅπασι τὸ τὰς δύο πλευρὰς ἴσας ἔχειν ταῖς δύο πλευραῖς ἑκατέραν ἑκατέρᾳ. τούτων γὰρ ἀνίσων
20οὐσῶν περιττὴ πᾶσα ζήτησις καὶ ἀπάτης οὐκ ἀπ‐ ηλλαγμένη. τοσαῦτα καθόλου περὶ τῶν προκειμένων
εἰρήσθω.

1

.

93

Μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΖΗ τῆς ὑπὸ ΕΗΖ διὰ τὸ μέσον τῆς γωνίας τῆς ὑπὸ ΔΗΖ τῆς οὔσης ἴσης τῇ ὑπὸ ΔΖΗ διῆχθαι τὴν ΕΗ εὐθεῖαν, ὑφ’ ἧς ἡ ὑπὸ ΕΗΖ γω‐ νία γίνεται. πολλῷ δὲ μείζων ἡ ὑπὸ ΕΖΗ τῆς ὑπὸ ΕΗΖ
5διὰ τὸ τῆς ὅλης ὑπὸ ΕΖΗ γωνίας ἡμίσειαν εἶναι τὴν ὑπὸ ΔΖΗ, ἥτις μείζων ἐδείχθη τῆς ὑπὸ ΕΗΖ. καὶ ἐπεὶ ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει, εἰσὶ δὲ τοῦ ΕΗΖ τριγώνου πλευραὶ ἡ ΕΖ καὶ ἡ ΕΗ, πάνυ ἀληθῶς καὶ ἀναντιρρήτως ἀποδέδεικται μείζων οὖσα ἡ ΕΗ τῆς ΕΖ.

1

.

94

Ὅτι τὰ τρίγωνα πῆ μὲν ἴσα ἐστί, πῆ δὲ ἄνισα, ῥᾳδίως ἐκ τῶν μετὰ ταῦτα δείκνυται. κείσθω γὰρ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τρίγωνα καὶ κείσθω ὥστε ἐπ’ εὐθείας εἶναι τὴν ΑΒ τῇ [Omitted graphic marker] ΔΕ, καὶ διὰ τοῦ Ζ τῇ ΑΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ἐπὶ τὸ Ζ,
5Η. καὶ εἰ μὲν ἐπὶ τὸ Ζ ἥξει καὶ διὰ τοῦ Γ σημείου, ἔστιν ἴσα τὰ ΕΒΖ, ΒΑΓ τρίγωνα διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΒΑ τῇ ΒΕ· εἰ δὲ μὴ ἥξει διὰ τοῦ Γ σημείου, ἐντὸς αὐτοῦ πεσεῖται ἢ ἐκτός. πιπτέτω πρότερον ἐντός, ὡς ἡ ΖΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΒ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΘΒ τρίγωνον τῷ
10ΒΕΖ τριγώνῳ. μεῖζον δὲ τὸ ΓΑΒ τρίγωνον τοῦ ΘΑΒ τριγώνου· μεῖζον ἄρα ἐστὶ καὶ τοῦ ΖΒΕ. εἰ δὲ ἐκτὸς πί‐ πτει ἡ παράλληλος ὡς ἡ ΖΚ, προσεκβαλλομένης τῆς ΒΓ ἐπὶ τὸ Κ καὶ ἐπιζευγνυμένης τῆς ΚΑ δειχθήσεται ὁμοίως τοῖς εἰρημένοις ἔλαττον τὸ ΓΑΒ τρίγωνον τοῦ ΖΕΓ τρι‐
15γώνου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

1

95t

Ad prop. 25

1

.

95

Τὸ κεʹ θεώρημα ἀντίστροφόν ἐστι τῷ κδʹ θεωρήματι, ἀντίκειται δὲ τῷ ηʹ· κατὰ συζυγίαν γὰρ ὁ στοιχειωτὴς προήγαγεν τά τε ἐπὶ τῆς ἰσότητος τῶν γωνιῶν καὶ τῶν βάσεων καὶ τὰ ἐπὶ τῆς ἀνισότητος θεωρήματα, καθ’ ἑκα‐
5τέραν τῶν συζυγιῶν τὰ μὲν προηγούμενα, τὰ δὲ ἀντίστρο‐ φα λαμβάνων καὶ ἐπὶ μὲν τῶν προηγουμένων ταῖς ἐπ’ εὐθείας δείξεσι χρώμενος, ἐπὶ δὲ τῶν ἀντιστρόφων ταῖς εἰς ἀδύνατον ἀγωγαῖς. οὕτω δὲ καὶ ἐφ’ ἑνὸς ἑκάστου τρι‐ γώνου πεποίηκε· τοτὲ μὲν τῇ ἰσότητι τῶν ἐν αὐτῷ πλευ‐
10ρῶν δείκνυσι τὴν ἰσότητα τῶν ὑποτεινομένων γωνιῶν ἀκολουθοῦσαν, τοτὲ δὲ τῇ ἀνισότητι, καὶ αὖ πάλιν ἀντι‐ στρόφως τῇ μὲν ἰσότητι τῶν γωνιῶν τὴν ἰσότητα τῶν ὑποτεινουσῶν πλευρῶν, τῇ δὲ ἀνισότητι τὴν ἀνισότητα ἀποφαίνων ἑπομένην.
15Βουλόμενος δεῖξαι ὁ γεωμέτρης, ὅτι ἡ γωνία τοῦ ἑνὸς τριγώνου μείζων ἐστὶ τῆς τοῦ ἑτέρου γωνίας, κέχρηται τῷ δι’ ἀδυνάτου συλλογισμῷ οὕτως· ἡ ΒΑΓ γωνία, φησί, τῇ ΕΔΖ ἢ ἴση ἐστὶν ἢ ἐλάσσων. ἀλλὰ μὴν οὔτε ἴση ἐστὶν οὔτε ἐλάσσων· μείζων ἄρα. ἔστι δὲ εʹ τρόπος οὗτος τῶν
20ὑποθετικῶν. πόθεν οὖν δῆλον, ὅτι οὔτε ἴση ἐστὶν οὔτε ἐλάσσων; κατασκευάζει τοῦτο διὰ τοῦ βʹ τρόπου τῶν ὑπο‐ θετικῶν, ὅτι, εἴ ἐστιν ἡ ΒΑΓ γωνία ἴση ἢ ἐλάσσων τῇ ΕΔΖ, ἴση ἂν ἦν καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΔ ἢ ἐλάσσων. οὐκ ἔστι δέ. οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν ἢ ἐλάσσων ἡ ΒΑΓ γωνία
25τῇ ΕΔΖ. μείζων ἄρα.

1

96-99t

Ad prop. 26

1

.

96

Θαλοῦ εὕρεμα. Τὸ κϛʹ θεώρημα τέλος ἐστὶ τοῦ πρώτου τμήματος, ὅ ἐστι περὶ γενέσεως καὶ ἰσότητος καὶ ἀνισότητος τῶν τριγώ‐ νων. λαμβάνει δὲ ὁ στοιχειωτὴς ἐν τούτῳ τῷ θεωρήματι
5δύο τρίγωνα ἴσας ἔχοντα τὰς γωνίας ταῖς γωνίαις καὶ τὰς πλευρὰς ταῖς πλευραῖς καὶ ἀποδείκνυσι πάντα ἴσα διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς, ὧν καὶ τοὺς συλλογισμοὺς ἐν πρώτῳ σχήματι καὶ τῇ εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῇ ἡμεῖς ἐξε‐ θέμεθα. μέχρις οὖν τούτου ὁ στοιχειωτὴς τάς τε συστάσεις
10τῶν τριγώνων καὶ τὰς συγκρίσεις ἐξέθετο κατὰ τὸ ἴσον καὶ ἄνισον, καὶ διὰ μὲν τῆς συστάσεως τὴν οὐσίαν αὐτῶν παραδέδωκε, διὰ δὲ τῆς ἰσότητος τὴν ἑτερότητα· δύο γὰρ ταῦτα περὶ τὴν ὕπαρξιν τὸ ταὐτὸν καὶ τὸ ἕτερον καὶ ἐν ποσοῖς καὶ ἐν ποιοῖς κατὰ τὴν ἰδιότητα τῶν ὑποκειμένων.
15δείκνυται οὖν ἐκ τούτων ὡς εἰκόνων πάντα, ὅτι καὶ ἕκα‐ στον ἑαυτῷ ταὐτόν ἐστι καὶ ἑαυτοῦ ἕτερον διὰ τὸ ἐν αὐτῷ πλῆθος, καὶ πάντα ταὐτὰ ἀλλήλοις καὶ ἕτερα ἀλλήλων· καὶ γὰρ ἐφ’ ἑνὸς ἑκάστου τῶν τριγώνων εὕρηται τὸ ἴσον καὶ ἄνισον καὶ ἐπὶ πλειόνων ἑνός.

1

.

97

Τοῦτο Θαλοῦ εὕρημα, ὥς φησιν Εὔδημος. Τὸν τὰ τρίγωνα κατὰ τὰς πλευρὰς καὶ τὰς γωνίας καὶ τὰ ἐμβαδὰ συγκρίνειν βουλόμενον ἀναγκαῖον ἢ μόνας τὰς πλευρὰς λαβόντα ἴσας ζητεῖν τὴν ἰσότητα τῶν γωνιῶν ἢ
5μόνας τὰς γωνίας ἴσας ζητεῖν τὴν ἰσότητα τῶν πλευρῶν ἢ μίξαντα γωνίας καὶ πλευράς. μόνας μὲν οὖν γωνίας ἴσας λαβὼν οὐκ ἠδύνατο δεικνύναι καὶ τὰς πλευρὰς τῶν τριγώνων ἴσας. ἔστιν γὰρ ἰσογώνια τρίγωνα καὶ τὰ σμι‐ κρότατα τοῖς μεγίστοις καὶ ταῖς πλευραῖς καὶ τοῖς περιεχο‐
10μένοις χωρίοις λειπόμενα τῶν ἑτέρων, τὰς δὲ γωνίας ἴσας
ἔχοντα ἐκείνοις κατὰ μίαν. μόνας δὲ τὰς πλευρὰς ἴσας ὑποθέμενος πάντα ἔδειξεν ἴσα κατὰ τὸ ὄγδοον θεώρημα, ἐν ᾧ δύο τρίγωνά ἐστιν ἔχοντα δύο πλευρὰς ἴσας δυσὶν ἑκατέρας καὶ τὴν βάσιν ἴσην τῇ βάσει. καὶ δείκνυται ἰσο‐
15γώνια ταῦτα καὶ ἴσων περιληπτικὰ χωρίων. καὶ ὁ στοι‐ χειωτὴς τὴν προσθήκην ταύτην ἀφεῖλεν ὡς ἑπομένην ἐξ ἀνάγκης καὶ ἀποδείξεως οὐ δεομένην, καθάπερ διὰ τὸ τέταρτον. πλευρὰς δὲ καὶ γωνίας λαμβάνων ἢ μίαν πλευρὰν ὤφειλεν λαβεῖν μιᾷ ἴσην καὶ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἢ μίαν
20πλευρὰν καὶ τὰς δύο γωνίας τῶν τριγώνων ἴσας ἢ ἀνάπαλιν μίαν γωνίαν καὶ δύο πλευρὰς ἢ μίαν γωνίαν καὶ τρεῖς πλευ‐ ρὰς ἢ μίαν πλευρὰν καὶ τὰς τρεῖς γωνίας ἢ καὶ πλείους μιᾶς πλευρᾶς λαμβάνειν καὶ πλείους μιᾶς γωνίας. ἀλλὰ μίαν γωνίαν καὶ μίαν πλευρὰν λαβὼν οὐκ ἐδείκνυ τὸ προκείμε‐
25νον τῶν ἄλλων τὴν ἰσότητα. δυνατὸν γοῦν δύο τρίγωνα κατὰ μίαν μόνην πλευρὰν ἴσα ὄντα καὶ μίαν γωνίαν πᾶσιν ἄνισα τοῖς λοιποῖς ὑπάρχειν. ἔστω γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΒ ἑστῶσα ὀρθὴ ἐπὶ τὴν ΓΔ εὐθεῖαν, μείζων δὲ τῆς ΒΓ ἡ ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΑΔ. οὐκοῦν τοῖς τριγώνοις
30τούτοις μία μὲν κοινὴ πλευρὰ καὶ μία γωνία μιᾷ ἴσῃ, τὰ δὲ ἄλλα ἄνισα. μίαν δὲ πλευρὰν καὶ δύο γωνίας λαβεῖν ἐξῆν καὶ δεῖξαι τὰ λοιπὰ ἴσα, καὶ τοῦτο ποιεῖ διὰ τοῦδε τοῦ θεωρήματος. μίαν δὲ πλευρὰν καὶ τρεῖς γωνίας ἴσας ἔτι ὑποτίθεσθαι περιττόν, εἴπερ καὶ δύο μόνων ἴσων οὐσῶν
35δέδεικται ἡ τῶν λοιπῶν ἰσότης. πάλιν μίαν γωνίαν καὶ δύο πλευρὰς λαβὼν ἔδειξεν τἄλλα ἴσα ἐν τῷ τετάρτῳ θεωρή‐ ματι. μίαν δὲ γωνίαν καὶ τρεῖς πλευρὰς ἴσας λαβεῖν περί‐ εργον ἦν· καὶ γὰρ αἱ δύο μόνον ἴσαι ληφθεῖσαι συνῆγον τὴν ἰσότητα τῶν ἄλλων. καὶ μὴν καὶ τὸ δύο πλευρὰς καὶ
40δύο γωνίας ἴσας λαμβάνειν ἢ δύο πλευρὰς καὶ τρεῖς γωνίας ἴσας ἢ δύο γωνίας καὶ τρεῖς πλευρὰς πάντα ταῦτα περιττά. τὰ γὰρ ταῖς ἐλάττοσιν ὑποθέσεσιν ἑπόμενα πάντως ἀκο‐ λουθεῖ καὶ ταῖς πλείοσι, μόνον μετὰ τῶν δεόντων προσ‐ διορισμὸν λαμβανομένων τῶν ὑποθέσεων. τρεῖς οὖν ἡμῖν
45ἀνεφάνησαν ὑποθέσεις ἀποδείξεως δεόμεναι, ἥ τε μόνας λαμβάνουσα τὰς τρεῖς πλευρὰς καὶ τὴν μίαν γωνίαν καὶ ἡ ἀντίθετος πρὸς ταύτην ἡ τὴν μίαν πλευρὰν καὶ τὰς δύο γωνίας, ἣν νῦν ὁ γεωμέτρης προστίθησιν. καὶ διὰ τοῦτο ταῦτα τρία μόνα θεωρήματα περὶ τῆς ἰσότητος τῶν τριγώ‐

1

.

97

(50)

νων ἔχομεν τῆς ἐν ταῖς πλευραῖς καὶ ταῖς γωνίαις, τῶν ἄλλων πασῶν ὑποθέσεων ἢ ἀδυνάτων οὐσῶν δεῖξαι τὸ ζητούμενον ἢ δυνατῶν μὲν ἀλλὰ περιττῶν τῷ δι’ ἐλαττό‐ νων ὑποθέσεων τὰ αὐτὰ πέφηνεν. ὥσπερ οὖν, ὅτε δύο πλευ‐ ρὰς ἐλάμβανεν ἴσας δυσὶν καὶ γωνίᾳ μιᾷ μίαν ἴσην, οὐ τὴν
55τυχοῦσαν ἐλάμβανεν γωνίαν, ἀλλ’, ὡς αὐτοῦ προσετίθει, τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, οὕτω καὶ δύο γωνίας δυσὶ λαμβάνων ἴσας καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ οὐ τὴν τυχοῦσαν λαμβάνει, ἀλλ’ ἤτοι τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις ἢ τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν. οὔτε γὰρ
60γωνίαν ἐπὶ τοῦ τετάρτου ληφθεῖσαν ἴσην τὴν τυχοῦσαν οὔτε πλευρὰν ἐπὶ τοῦδε τοῦ θεωρήματος οἵαν ποτὲ δει‐ κνύναι τὰ λοιπὰ ἴσα δυνατόν. Τέλος τοῦ αʹ τμήματος.

1

.

98

Μέχρι τούτου τοῦ θεωρήματος ἱκανῶς διδάξας ὁ Εὐκλείδης περὶ τῆς γενέσεως τῶν τριγώνων σχημάτων καὶ περὶ τῆς ἰσότητος αὐτῶν καὶ ἀνισότητος, ὅσα δυνατὸν ἐν στοιχειώσει λέγειν, ἐντεῦθεν περὶ τῶν τετραπλεύρων δι‐
5δάσκει, προηγουμένως μὲν περὶ τῶν παραλληλογράμμων, τῇ δὲ τούτων θεωρίᾳ συνεισφέρει καὶ τὴν περὶ τῶν τραπε‐ ζίων διδασκαλίαν· διῄρηται γὰρ τὸ τετράπλευρον εἴς τε τὸ παραλληλόγραμμον καὶ εἰς τὸ τραπέζιον, καὶ ταῦτα ἑκά‐ τερα εἰς ἕτερα εἴδη. διὰ δὲ τὴν τῆς ἰσότητος μετουσίαν, ἣν
10ἔχει ἀεὶ τὸ παραλληλόγραμμον, εἰκότως τέτακται προ‐ ηγουμένως, τὸ δὲ τραπέζιον ἀνισότητι περιπίπτον ἐκ τῆς τῶν παραλληλογράμμων τομῆς τὴν γένεσιν ἕξει, ὡς ἔσται προιοῦσιν ἡμῖν δῆλον. ἐπεὶ δὲ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ὑπὸ παραλλήλων γραμμῶν εὐθειῶν ἀπεναντίον κειμένων
15ἀλλήλαις περιγραφόμενον σχῆμα, ἀναγκαίως ἀπὸ τῶν παρ‐
αλλήλων ποιεῖται τὴν ἀρχὴν τῆς διδασκαλίας, καὶ κατὰ βραχὺ προιὼν ἐκ τούτων εἰς τὴν τῶν παραλληλογράμμων εἰσβάλλει θεωρίαν ἑνὶ μέσῳ χρησάμενος θεωρήματι τῆς τε τούτων καὶ τῆς ἐκείνων στοιχειώσεως, ὃ δοκεῖ μὲν σύμ‐
20πτωμά τι θεωρεῖν ταῖς παραλλήλοις ὑπάρχον, παραδίδωσι δὲ γένεσιν πρώτην παραλληλογράμμων. τοιοῦτον γάρ ἐστι τὸ λέγον· αἱ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευγνύουσαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν. ἐν γὰρ τούτῳ θεωρεῖται μέν τι ταῖς ἴσαις καὶ παραλλήλοις
25συμβεβηκός, ἐκ δὲ τῆς ἐπιζεύξεως ἀναφαίνεται τὸ παραλ‐ ληλόγραμμον τὸ ἴσας ἔχον καὶ παραλλήλους τὰς ἀπεναν‐ τίον κειμένας πλευράς. τρία δέ εἰσι χαρακτηριστικὰ τῶν παραλλήλων καὶ ἀντιστρέφοντα πρὸς αὐτάς, οὐ μόνον τὰ γ ἅμα, ἀλλὰ καὶ ἕκαστον ἀποληφθὲν τῶν λοιπῶν, ὧν τὸ
30μέν ἐστιν εὐθείας τεμνούσης τὰς παραλλήλους ἴσας εἶναι τὰς ἐναλλάξ, τὸ δὲ ἕτερον εὐθείας τεμνούσης τὰς παραλ‐ λήλους ἴσας εἶναι τὰς ἐντὸς δύο ὀρθαῖς, τὸ δὲ λοιπὸν εὐθείας τεμνούσης τὰς παραλλήλους ἴσην εἶναι τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον· ἕκαστον γὰρ τῶν συμπτωμάτων τούτων
35ἱκανὸν ἀποδειχθὲν παραλλήλους ἀποφῆναι τὰς εὐθείας. δεῖ δὲ πάντα τὰ σχήματα καταγραφόμενα καὶ νοούμενα ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ εἶναι· εἰ γὰρ μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πάντα νοοῦμεν, οὐδὲν κωλύει ἄλλο κατασκευάζοντας ἄλλο εὑρέ‐ σθαι ἀποδεικνύμενον.
40Τέλος τοῦ πρώτου τμήματος, ὅ ἐστι περὶ γενέσεως καὶ ἰσότητος καὶ ἀνισότητος τῶν τριγώνων. ἀρχὴ τοῦ βʹ τμή‐ ματος, ὅτι ἐστι περὶ τετραγώνων σχημάτων.

1

.

99

Ἰστέον, ὅτι τὸ πρῶτον τμῆμα τοῦ βιβλίου ἐνταῦθά ἐστιν.

1

100-104t

Ad prop. 27

1

.

100

Ἐντεῦθεν ἄρχεται περὶ τῶν παραλλήλων διδάσκειν.

1

.

101

Ἐπειδὴ διὰ τῶν παραλλήλων γραμμῶν συνίστανται
τετράγωνα, πρῶτον περὶ αὐτῶν τῶν παραλλήλων γραμ‐ μῶν διδάσκει ἐν τῷ κζʹ θεωρήματι, καὶ ὅπως, δῆλον. αὐτὸ δὲ τὸ ἐναλλὰξ ἰστέον ὅτι διχῶς ὁ γεωμέτρης παραλαμ‐
5βάνει, ποτὲ μὲν κατὰ τὴν τοιάνδε θέσιν, ποτὲ δὲ κατὰ τὴν τοιάνδε τῶν λόγων ἀκολουθίαν. κατὰ μὲν τοῦτο τὸ ση‐ μαινόμενον ἐν τῷ εʹ καὶ ἐν τοῖς ἀριθμητικοῖς χρῆται τῷ ἐναλλάξ, κατὰ δὲ τὸ ἕτερον ἔν τε τούτῳ καὶ ἐν τοῖς ἄλλοις πᾶσι βιβλίοις ἐπὶ τῶν παραλλήλων εὐθειῶν καὶ τῆς εἰς
10ταύτας ἐμπιπτούσης· τὰς γὰρ γωνίας τὰς μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ γι‐ νομένας, ἀλλὰ διειργομένας μὲν ἀπὸ τῆς ἐμπιπτούσης, ἐντὸς δὲ ἄμφω τῶν παραλλήλων, διαφερούσας μὲν τῷ τὴν μὲν ἄνω κεῖσθαι, τὴν δὲ κάτω, καὶ τῆς μὲν ἐντὸς τῆς ἐμπιπτού‐ σης εὐθείας εἰς τὰς παραλλήλους οὔσης, τῆς δὲ ἐκτός,
15ἀμφοτέρας δὲ ἐντὸς τῶν παραλλήλων, ταύτας ἐναλλὰξ γω‐ νίας καλεῖ· οἷον εὐθειῶν οὐσῶν τῶν ΑΒ, ΓΔ, ἐμπιπτούσης δὲ εἰς αὐτὰς τῆς ΕΖ εὐθείας ἐναλλὰξ εἶναί φησι τὰς ὑπὸ ΑΕΖ καὶ ΔΖΕ καὶ πάλιν τὰς ὑπὸ ΓΖΕ καὶ ΒΕΖ. οὕτως δὲ καλεῖ αὐτὰς ὡς ἐνηλλαγμένως ἐχούσας κατὰ τὴν θέσιν,
20τὴν μὲν ἄνω, τὴν δὲ κάτω καὶ τὴν μὲν ἐπὶ τὸ ἕτερον μέρος τῆς ἐμπιπτούσης εὐθείας, τὴν δὲ ἐπὶ τὸ ἕτερον· εἰ γὰρ ἡ ἄνω ἐντός, ἡ κάτω ἐκτὸς καὶ ἀνάπαλιν. τοιαύτης δὲ οὔσης τῆς θέσεως τῶν εὐθειῶν ἐκ διαιρέσεως ἓξ τὰ πάντα συμ‐ πτώματα, ὧν τρία μόνα ὁ γεωμέτρης ἔλαβε, τρία δὲ
25παρῆκεν.

1

.

102

Μετὰ τὸ περὶ τῶν τριγώνων ὡς ἐν στοιχειώσει διαλεχθῆναι μεταβαίνει πάλιν ἐπὶ τὴν τῶν παραλληλο‐ γράμμων ἐπίσκεψιν. καὶ ἐπείπερ ἀδύνατον ἦν εἰπεῖν τι περὶ αὐτῶν χωρὶς τῶν παραλλήλων, διὰ τοῦτο τὰ συμβαίνοντα
5πρότερον περὶ τὰς τοιαύτας εὐθείας θεωρεῖ. ἰστέον δέ, ὅτι τὰς εὐθείας ὡς ἐν ἑνὶ λαμβάνει ἐπιπέδῳ, ἐπεὶ καὶ πάντα τὰ θεωρήματα, ἓξ δὲ συμπτωμάτων γινομένων τῶν πάν‐
των περὶ τὰς παραλλήλους τὰς τρεῖς μόνας ἐκτίθεται ὡς ἂν ἐκ τούτων καὶ τῶν λοιπῶν τριῶν εὐσυνόπτων οὐσῶν.
10ληψόμεθα δὲ ἢ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰς γωνίας ἢ οὐκ ἐπὶ τὰ αὐτά, καὶ εἰ ἐπὶ τὰ αὐτά, ἢ ἀμφοτέρας ἐντὸς τῶν εὐθειῶν, ἃς ἀποδείκνυσιν ὁ λόγος παραλλήλους, ἢ ἄμφω ἐκτὸς ἢ τὴν μὲν ἐντός, τὴν δὲ ἐκτός, καὶ εἰ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτά, πάλιν ὡσαύτως. ἑξαχῶς οὖν λαμβανομένων τῶν συμπτωμάτων
15τρία ἐπελέξατο, ἓν μὲν ἐκ τῶν μὴ ἐπὶ τὰ αὐτά, δύο δὲ ἐκ τῶν ἐπὶ τὰ αὐτά, ἐκ μὲν τῶν μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν ἐντὸς ληφθεισῶν μόνον, ἃς ἐκάλεσεν ἐναλλάξ, ἐκ δὲ τῶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν τε ἐντὸς ἀμφοτέρων, ἃς εἶναι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴσην
20ὀφείλουσαν εἶναι. ἡμεῖς οὖν φαμεν, ὅτι καὶ ταῖς ὑπολειφ‐ θείσαις τρισὶν ὑποθέσεσι τὰ αὐτὰ ἕπεται. ἔστωσαν γὰρ [Omitted graphic marker] ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἄμφω ἐκτὸς ἡ ΘΕΒ, ΔΖΚ. λέγω, ὅτι αὗται δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. εἰ γὰρ ἡ ὑπὸ ΔΖΚ
25ἴση τῇ ὑπὸ ΖΕΒ, αἱ δὲ ὑπὸ ΖΕΒ, ΘΕΒ δύο ὀρθαῖς ἴσαι, καὶ αἱ ὑπὸ ΔΖΚ, ΘΕΒ δύο ὀρθαῖς ἴσαι. ὁμοίως δὲ δείξομεν, καὶ ἐὰν μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ὦσιν, καί ἐστιν ἡ μὲν ἐντός, ἡ δὲ ἐκτός, ὅτι δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, καὶ
30ἔτι δείξομεν τὴν τρίτην ὑπόθεσιν, ἐὰν καὶ ἄμφω ἐκτὸς καὶ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη, ὅτι ἴσαι εἰσίν. καὶ γὰρ αὗται ταῖς κατὰ κορυφὴν αὐτῶν ἴσαι εἰσὶν διὰ τὸ ιεʹ, αἱ δὲ κατὰ κορυφὴν
αὐτῶν εἰσιν ἐναλλάξ· ὀρθαὶ ἄρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

1

.

103

Ἡ γὰρ ὑπὸ ΑΕΘ ἴση τῇ ὑπὸ ΒΕΖ, αἱ δὲ ὑπὸ ΒΕΖ, ΕΖΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι. καὶ αἱ ὑπὸ ΑΕΘ, ΕΖΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι. πάλιν ἔστωσαν μὴ ἐπὶ τὰ αὐτά, ἄμφω δὲ ἐκτὸς τῶν εὐθειῶν. λέγω, ὅτι αὗται ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ἐπεὶ καὶ αἱ
5κατὰ κορυφὴν αὐτῶν εἰσιν ἐναλλάξ. ἕπεται ἄρα ταῖς ὑπο‐ θέσεσιν ἐκείναις καὶ τὰ λειπόμενα. τοῦτο δὲ προσεθέμεθα, ὅτι τὰ ἐναλλάξ, ἐὰν μὴ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, κωλύον‐ ται τοῦ μὴ εἶναι παραλλήλους οἷον χιαστὶ τῶν εὐθειῶν κειμένων τῆς μὲν ἐν ἄλλῳ, τῆς δὲ ἐν ἄλλῳ ἐπιπέδῳ,
10τὰς δὲ εἰς αὐτὰς ἐμπιπτούσας εὐθείας ποιεῖ γωνίας ἐν‐ αλλὰξ ἴσας, ἀλλ’ οὐ παράλληλοι αἱ οὕτως κείμεναι. προ‐ είληπται οὖν, ὅτι πάντα, ὅσα καταγράφομεν ἐν τῇ ἐπι‐ πέδῳ πραγματείᾳ, περὶ ἓν καὶ τὸ αὐτὸ ἐπίπεδον φαντα‐ ζόμεθα.

1

.

104

[Start of a diagram]συμπίπτουσιν ἐν τῷ αὐτῷ οὖσαι ἐπιπέδῳ οὐ παράλληλοι αἱ αβ βγ[End of a diagram]
5Ἰστέον ἐν ταῖς τῶν συλλογισμῶν τουτωνὶ ἀναλύσεσιν ἐπὶ μὲν τοῦ ἐσχάτου ὅρου ἐκτίθεται τὰ ὑποκείμενα, περὶ ὧν ὁ λόγος, ταῦτα δὲ ἢ ἁπλᾶ ἢ συμπεπλεγμένα, ἁπλᾶ μέν, ὅταν ᾖ δι’ ἓν ἁπλοῦν συναχθῆναι συμπέρασμα, συμπεπλεγ‐ μένα δέ, ὅταν συγκριτικόν· ἐκτίθενται γὰρ τότε ἐπὶ τοῦ
10ἐσχάτου ὅρου ἄμφω τὰ συγκρινόμενα ἢ κατὰ τὸ ἴσον ἢ κατὰ τὸ μεῖζον καὶ ἔλαττον. ἐπὶ δὲ τοῦ πρώτου ὅρου ἐκ‐ τίθεται τὸ δεικνύμενον, ὃ τοῖς ὑποκειμένοις δείκνυται ἐξ ἀνάγκης ἑπόμενον, ἐπὶ δὲ τοῦ μέσου ἡ αἰτία, δι’ ἣν καθ’ αὑτὸ καὶ οὐ κατὰ συμβεβηκὸς τὸ πρῶτον τῷ ἐσχάτῳ ἕπε‐
15σθαι δείκνυται.

1

105-106t

Ad prop. 28

1

.

105

Τὸ μὲν κζʹ θεώρημα τὰς μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη λαμ‐ βάνον γωνίας, ἐντὸς δὲ τῶν εὐθειῶν κειμένας ἴσας ἀλλή‐ λαις ἐδείκνυ παραλλήλους οὔσας τὰς εὐθείας· τὸ δὲ κηʹ θεώρημα τὰς λοιπὰς β ὑποθέσεις προστίθησιν, ὧν ἡ μὲν
5τὰς γωνίας μερίζει κατὰ τὸ ἐντὸς καὶ ἐκτός, ἡ δὲ ἀμφο‐ τέρας ἐντὸς ὑποτίθεται καὶ δείκνυσι τὸ αὐτὸ συμπέρασμα. καὶ ὅπως μὲν ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι ὁ γεωμέτρης τὰς ἐναλλὰξ ἴσας ὑπέθετο τὰς μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη παρα‐ λαμβάνων (τοιαῦται γὰρ αἱ ἐναλλάξ), ὅπως δὲ ἐν τούτῳ
10τὴν ἐντὸς καὶ τὴν ἐκτὸς ἴσην λαμβάνων καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δύο ὀρθαῖς ἴσας δείκνυσιν, ὅτι δύο ὀρθαῖς ἴσων οὐσῶν τῶν ἐντὸς γωνιῶν αἱ εὐθεῖαι παράλληλοί εἰσι, δῆλον ἀπὸ τῶν καταγραφῶν.

1

.

106

Τὸ μὲν πρὸ τούτου θεώρημα τὰς μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας λαμβάνον, ἐντὸς δὲ τῶν εὐθειῶν κειμένας ἴσας ἀλλήλαις ἐδείκνυ παραλλήλους οὔσας τὰς εὐθείας, τοῦτο δὲ τὰς λοιπὰς δύο ὑποθέσεις προστίθησιν, ὧν ἡ μὲν
5τὰς γωνίας μερίζει κατὰ τὸ ἐντὸς καὶ ἐκτός, ἡ δὲ ἀμφο‐ τέρας ἐντὸς ὑποτίθεται καὶ δείκνυσι τὸ αὐτὸ συμπέρασμα. δόξειεν δ’ ἂν πάλιν νυνὶ ἐν ἑνὶ θεωρήματι τὰς ἐναλλὰξ ἴσας ὑποτίθεσθαι, ἐν ἑνὶ μὲν τῇ ἐκτὸς καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δύο ὀρθὰς ἴσας.

1

107-108t

Ad prop. 29

1

.

107

Τὸ κθʹ θεώρημα ἀμφοτέροις ἀντιστρέφει τοῖς πρὸ αὐτοῦ τῷ κηʹ καὶ τῷ κζʹ· τὸ γὰρ ἐν ἑκατέρῳ ζητούμενον ὑπόθεσιν ποιεῖται, τὰ ἐν ἐκείνοις δεδομένα δείκνυται. ἐλέγομεν δὲ καὶ πρότερον, ὅτι διαφέρουσι τὰ ἀντιστρέφοντα
5τῷ ἓν ἑνὶ μάχεσθαι ὥσπερ τὸ εʹ καὶ τὸ ϛʹ ἢ τῷ πλείοσιν ἓν ὡς τὸ νυνὶ προκείμενον τοῖς πρὸ αὐτοῦ. ἰστέον δέ, ὅτι ἐν τούτῳ τῷ θεωρήματι πρῶτον ἐχρήσατο ὁ στοιχειωτὴς τῷ αἰτήματι τούτῳ τῷ· ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσο‐
10νας ποιῇ, συμπίπτειν εὐθείας ἐκβαλλομένας, ἐφ’ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν β ὀρθῶν ἐλάσσονες.

1

.

108

Ἡ εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ ἴσας ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναν‐ τίον ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δύο ὀρθαῖς ἴσας. τοῦτο τὸ θεώρημα ἀμφοτέροις ἀντιστρέφει τοῖς
5προειρημένοις θεωρήμασι· τὸ γὰρ ἐν ἑκατέρῳ ζητούμενον ὑπόθεσιν ποιεῖται, τὰ ἐν ἐκείνοις δεδομένα δεικνύναι προ‐ τίθεται. καὶ δεῖ μεμνῆσθαι καὶ τῆς τοιαύτης τῶν ἀντι‐ στροφῶν διαφορᾶς, ὅτι πᾶν τὸ ἀντίστροφον ἢ ἓν ἑνὶ ἀντι‐ στρέφει, ὡς τῷ πέμπτῳ τὸ ἕκτον, ἢ πλείοσιν ἕν, ὡς τὸ
10νυνὶ προκείμενον τοῖς πρὸ αὐτοῦ. ἐν δὲ τούτῳ τῷ θεω‐ ρήματι πρῶτον ὁ στοιχειωτὴς ἐχρήσατο τῷ τῶν αἰτη‐ μάτων τῷ· ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, συμπίπτειν τὰς εὐθείας ἐκβαλλομένας, ἐφ’ ἃ μέρη
15εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες· ὥσπερ ἐξηγούμενοι τὰ πρὸ τῶν θεωρημάτων ἐλέγομεν, οὐ παρὰ πάντων τοῦτο συγκεχώρηται εἶναι ἀναποδείκτως ὁμολογούμενον. καὶ πῶς γὰρ ἂν εἴη τοιοῦτον; τὸ ἀντίστροφον ὡς ἀποδεικτὸν ἐν τοῖς θεωρήμασιν ἀναγέγραπται. λέγω δή, ὅτι, ἐὰν εἰς
20δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, συμπεσοῦνται αἱ εὐθεῖαι ἐκβαλλόμεναι, ἐφ’ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσο‐ νες. πολλῷ δὲ μᾶλλον ἀσύμπτωτοι ἐπὶ τὸ ἕτερον μέρος, ἐφ’ ἃ μέρη αἱ γωνίαι δύο ὀρθῶν μείζονες. ὥστε ἐφ’ ἑκάτε‐
25ρα ἐάν εἰσιν ἀσύμπτωτοι, παράλληλοι ἔσονται. Ἀντιστρέφει μέρος πρὸς ὅλον ἕκαστον τῶν πρὸ αὐτοῦ τριῶν. Τῷ τῶν παραλλήλων καὶ ὁ Ἀριστοτέλης ἐχρήσατο κατα‐ σκευάζων πεπερασμένον εἶναι τὸν κόσμον. ἀφ’ ἑνὸς ση‐
30μείου δύο ἐκβάλωνται εὐθεῖαι γωνίαν ποιοῦσαι ἐπ’ ἄπει‐ ρον· πᾶν πεπερασμένον μέγεθος ὑπερβάλλει ἡ διάστασις αὐτῶν εἰς ἄπειρον ἐκβαλλομένων. ἔδειξεν γοῦν ἐκεῖνος, ὅτι ἀπείρων οὐσῶν ἐν τῷ ἀπὸ τοῦ κέντρου πρὸς τὴν περιφέ‐ ρειαν ἐκβεβλημένων ἄπειρον τὸ μεταξύ. πεπερασμένου γὰρ
35ὄντος αὐξῆσαι τὴν διάστασιν ἀδύνατον, ὥστε οὐκ ἄπειροι αἱ εὐθεῖαι. παντὸς οὖν τοῦ ληφθέντος πεπερασμένου με‐ γέθους μεῖζον ἀλλήλων διαστήσονται ἐκβαλλόμεναι ἐπ’ ἄπειρον αἱ εὐθεῖαι. τούτου δὴ προυποτεθέντος λέγω, ὅτι, ἐὰν παραλλήλων εὐθειῶν τὴν ἑτέραν τέμῃ τις εὐθεῖα, τέμ‐
40νει καὶ τὴν λοιπήν.

1

109t

Ad prop. 30

1

.

109

Εἴωθεν ὁ γεωμέτρης ἐν τοῖς τῶν σχέσεων λόγοις δεικνύναι τὴν ταυτότητα διήκουσαν ἐν ἅπασι τοῖς πρὸς τὸ αὐτὸ τὴν αὐτὴν ἔχουσι σχέσιν· οὕτω γὰρ καὶ ἐν τοῖς ἀξιώ‐ μασιν ἔλεγεν· τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα, καὶ
5ἐν τοῖς ἑξῆς ἐρεῖ· τὰ τῷ αὐτῷ ὅμοια καὶ ἀλλήλοις ὅμοιά ἐστιν, καὶ οἱ τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί. κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον καὶ τὸ λʹ ἀποδείκνυσι θεώρημα, ὅτι αἱ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι. συμβέβηκε δὲ οὐκ ἐπὶ πασῶν τῶν σχέ‐
10σεων εἶναι τοῦτο ἀληθές· οὐ γὰρ τὰ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια
καὶ ἀλλήλων διπλάσιά ἐστιν, οὐδὲ τὰ τοῦ αὐτοῦ ἡμιόλια καὶ ἀλλήλων ἐστὶν ἡμιόλια· ἀλλ’ ἔοικεν ἐπ’ ἐκείνοις μόνον χώραν ἔχειν, ὅσα ἀντιστρέφουσι συνωνύμως, ἐπὶ τῆς ἰσότητος, ἐπὶ τῆς ὁμοιότητος, ἐπὶ τῆς ταυτότητος, ἐπὶ τῆς
15παραλλήλου θέσεως· ἡ γὰρ παράλληλος παραλλήλῳ ἐστὶ παράλληλος, ὡς τὸ ἴσον ἴσῳ ἐστὶν ἴσον καὶ τὸ ὅμοιον ὁμοίῳ ὅμοιον. καὶ γὰρ ἔστιν ὁμοιότης θέσεως ἡ παραλληλότης, εἰ δυνατὸν εἰπεῖν. λέγει οὖν καὶ δείκνυσιν ἐν τούτῳ τῷ θεω‐ ρήματι, ὅτι αἱ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι πάντως οὕτως
20ἔχουσιν, ὥστε καὶ ἀλλήλαις εἶναι παράλληλοι. λαμβάνει γὰρ δύο μὲν εὐθείας ἐν ταῖς ἄκραις κειμένας, μέσην δὲ μίαν, πρὸς ἣν αἱ ἑκατέρωθεν κείμεναι τὴν ὁμοίαν ἔχουσι σχέσιν.

1

110-111t

Ad prop. 31

1

.

110

Ἐν μὲν τοῖς προλαβοῦσι θεωρήμασι τὰ καθ’ αὑτὰ ὑπάρχοντα ταῖς παραλλήλοις εὐθείαις ἐδίδαξεν ἡμᾶς ὁ στοιχειωτής, ἐν δὲ τῷ λαʹ προβλήματι ὄντι αὐτὴν τὴν γέ‐ νεσιν τῶν παραλλήλων διδάσκει διὰ τῶν γεωμετρικῶν
5μεθόδων καὶ δείκνυσι, πῶς γίνεται ἄλλη εὐθεῖα παράλλη‐ λος ἄλλῃ. τοῦτο δὲ ποιεῖ, ἐπειδὴ πολλαχοῦ αἱ γενέσεις τρανεστέραν ἡμῖν ποιοῦσι τῶν ὑποκειμένων τὴν οὐσίαν. σημεῖον γὰρ λαβὼν καὶ εὐθεῖαν ἄγει διὰ τοῦ σημείου τῇ εὐθείᾳ παράλληλον. δεῖ δὲ προειληφέναι ἡμᾶς, ὅτι τὸ ση‐
10μεῖον ἐκτὸς πάντως κεῖσθαι τῆς εὐθείας ἀναγκαῖον. οὐ γὰρ ἐπειδὴ εἴρηται διὰ δοθέντος σημείου, καὶ ἐπ’ αὐτῆς αὐτίκα τῆς εὐθείας δώσομεν· οὐ γὰρ ἔσται τις ἄλλη παρὰ τὴν εὐθεῖαν ἡ δι’ αὐτοῦ φερομένη παράλληλος. μερίσας οὖν τὴν εὐθεῖαν καὶ τὸ σημεῖον ἐδήλωσεν, ὅτι τὸ σημεῖον
15ἐκτὸς λαμβάνειν χρὴ τῆς εὐθείας, ὅπερ καὶ ἐπὶ τῆς καθέτου διὰ τῆς προσθήκης σαφὲς ἐποίησε λέγων· ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου, ὃ μή ἐστιν ἐπ’ αὐτῆς, κάθετον ἀγαγεῖν. τοῦτο μὲν οὖν κοινὸν ἀμφοτέροις τούτοις τοῖς προβλήμασιν, ἕτερον δέ, ὅτι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ
20σημείου δύο κάθετοι οὐκ ἄγονται ἐπὶ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν, καὶ διὰ τοῦ αὐτοῦ σημείου δύο παράλληλοι οὐκ ἄγονται τῇ αὐτῇ. διὸ καὶ ὁ στοιχειωτὴς ἑνικῶς εἶπεν εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν ἐκεῖ μὲν κάθετον, ἐνταῦθα δὲ παράλληλον, ἀλλ’ ἐκεῖνο μὲν δέδεικται, τοῦτο δὲ φανερὸν ἐκ τοῦ προαπο‐
25δειχθέντος. εἰ γὰρ διὰ τοῦ αὐτοῦ σημείου τῇ αὐτῇ δύο παράλληλοι ἀχθεῖεν, καὶ ἀλλήλαις ἔσονται παράλληλοι, συμπίπτουσαι κατὰ τὸ δοθὲν σημεῖον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνα‐ τον. διαφέρουσι δὲ καὶ αἱ προτάσεις αὐτῶν τῇ ἀπὸ καὶ τῇ διὰ προθέσει. ὅπου μὲν γὰρ τὸ σημεῖον ἀρχή ἐστι τῆς
30ἀγομένης εὐθείας, ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου γέγραπται, καὶ διὰ τοῦτο ἀπ’ αὐτοῦ ἡ ἀγωγή, ὅπου δὲ ἐπ’ αὐτῆς ἐστι τῆς ἀγομένης εὐθείας, διὰ τοῦ δοθέντος σημείου γέγρα‐ πται, καὶ διὰ τοῦτο ἡ ἀγωγὴ δι’ αὐτοῦ· οὐ γὰρ ὡς τεμνού‐ σης εὐθείας τὸ δοθὲν σημεῖον εἴρηται τὸ δι’ αὐτοῦ, ἀλλ’
35ὡς συμπιπτούσης αὐτῷ καὶ ὁριζούσης τὸ ἑαυτῆς ἀπόστη‐ μα. τοσοῦτον καὶ ἡ παράλληλος ἔχει τὸ μεταξὺ ἑαυτῆς τε καὶ ἐκείνης.

1

.

111

Ἔοικε τὸ θεώρημα τοῦτο γένεσιν τῶν παραλλήλων παραδιδόναι. προσεκτέον δὲ τῇ διαφορᾷ τῶν προθέσεων· ἡ μὲν γὰρ κάθετον ἀπὸ τοῦ σημείου, ἡ δὲ διὰ τοῦ δοθέντος παράλληλον. καὶ ὥσπερ οὐκ ἐξῆν δύο καθέτους ἀπὸ τοῦ
5αὐτοῦ σημείου, οὕτως οὐδὲ δύο παραλλήλους. δειχθήσεται δὲ διὰ τοῦ πρὸ αὐτοῦ· ἔσονται γὰρ παράλληλοι συμπίπτου‐
σαι ἀλλήλαις· ὅπερ ἄτοπον.

1

112-114t

Ad prop. 32

1

.

112

Εἴωθεν ἡ γνῶσις ἡ ἡμετέρα ἐκ τοῦ ἀτελοῦς μετα‐ βαίνειν ἐπὶ τὸ τέλειον. διὸ καὶ ἡ ἐπιστήμη ὁμοίως προ‐ ιοῦσα ἐκ τῶν ἀορίστων ἐπιβολῶν ἐπὶ τοὺς ὁριζομένους καὶ ἀνελέγκτους λόγους μεταβαίνει. ὅσα γὰρ ἐνέλιπεν ἐν τῷ
5ιϛʹ καὶ ιζʹ θεωρήματι, τοσοῦτον προστίθησιν ἐν τούτῳ· οὐ γὰρ μόνον, ὅτι ἡ ἐκτὸς τούτου τοῦ τριγώνου ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον μείζων, διὰ τούτου μανθάνομεν, ἀλλὰ καὶ ὅσῳ μείζων. ἴση γὰρ ἀμφοτέραις οὖσα μείζων ἐστὶν ἑκατέρας τῇ λοιπῇ. οὐδὲ ὅτι δύο τοῦ τριγώνου ὁποι‐
10αιοῦν ἐλάττονές εἰσι δυοῖν ὀρθαῖν, ἐκ τούτου γινώσκομεν, ἀλλὰ καὶ πόσῳ ἐλάττους· τῇ γὰρ λοιπῇ τῶν τριῶν. ἐκεῖνα μὲν οὖν ἀοριστότερά πως ἦν τὰ θεωρήματα, τοῦτο δὲ τὸν τῆς ἐπιστήμης ὅρον ἀμφοτέροις ἐπήγαγε, καὶ διὰ τοῦτο οὐ περιττὰ ἂν εἴποιμεν ἐκεῖνα. ἔστι δὲ διπλοῦν τὸ θεώρημα
15τοῦτο κατά τε τὸ ζητούμενον καὶ τὸ δεδομένον. ἕτερον μὲν γάρ ἐστι τὸ τὴν ἐκτὸς ἴσην εἶναι τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον· δείκνυσι γὰρ τοῦτο ἐκβεβλημένην πλευρὰν ἐπ’ εὐθείας μιᾷ τῶν τοῦ τριγώνου πλευρῶν. ἕτερον δέ ἐστι τὸ τὰς ἐντὸς τοῦ τριγώνου δύο ὀρθαῖς ἴσας εἶναι· δείκνυσι γάρ, ὅτι τὸ σχῆμα
20τρίγωνόν ἐστιν. ἐπεὶ δὲ ἔχομεν, ὅτι παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, οἷον τετραγώνου καὶ τῶν ἑξῆς ἁπάντων πολυπλεύρων, χρὴ εἰδέναι, ὅτι πᾶν σχῆμα εὐθύγραμμον εἰς τρίγωνον ἀναλύεται. ἔοικε δὲ καὶ κατὰ τὰς κοινὰς ἐννοίας προσπίπτειν ἡμῖν ἡ τοῦ θεωρήμα‐
25τος ἀλήθεια ἀποδεικνύουσιν τὴν τοῦ τριγώνου γένεσιν. ἐὰν γὰρ νοήσωμεν εὐθεῖαν καὶ ἐπὶ τῶν περάτων αὐτῆς ἑστώ‐ σας πρὸς ὀρθάς, εἶτα συννευούσας εἰς τριγώνου γένεσιν, ὁρῶμεν, ὅτι, καθ’ ὅσον συννεύουσι, κατὰ τοσοῦτον ἐλαττοῦ‐
σι τὰς ὀρθάς, ἃς ἐποίουν κατ’ ἀρχὴν σταθεῖσαι, ὥστε ὅσον
30ἐκείνων ἀφαιροῦσι, τοσοῦτον πρὸς τῇ κορυφῇ συνεισφέ‐ ρουσαι τὴν τρίτην γωνίαν ἀποτελοῦσι τῇ συννεύσει καὶ ἐξ ἀνάγκης ποιοῦσι τὰς ἐντὸς τρεῖς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ταῖς πρώην.

1

.

113

Τῷ ιϛʹ καὶ ιζʹ τοσοῦτον προστίθησιν ἐνταῦθα· οὐ γὰρ μόνον, ὅτι ἡ ἐκτὸς τοῦ τριγώνου ἑκατέρας τῶν ἐντὸς μείζων, ἀλλὰ τίνι μείζων, ὅτι τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀπεναντίον· καὶ οὐ μόνον δύο ὀρθῶν ἐλάττονες δύο ὁποιαιοῦν, ἀλλ’
5ὅτι τῇ λειπομένῃ τῶν ἐντός· αἱ γὰρ τρεῖς δύο ὀρθαῖς ἴσαι. δυνατὸν δὲ τὴν παράλληλον διὰ τοῦ Γ οὕτως ἀγαγεῖν, ὡς τέμνειν τὴν ΒΔ, καὶ δεῖξαι πᾶσαν τὴν πρότασιν.

1

.

114

Ἐπειδὴ ἔχομεν, ὅτι παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, δεῖ μέθοδον λαβεῖν, καθ’ ἣν καὶ τῶν ἄλλων πάντων πολυγώνων εὐθυγράμμων τὰς γωνίας εὑρή‐ σομεν, ὁπόσαις ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, οἷον τετραγώνου, πεν‐
5ταγώνου καὶ τῶν ἑξῆς ἁπάντων πολυπλεύρων. χρὴ τοίνυν εἰδέναι πρῶτον, ὅτι πᾶν σχῆμα εὐθύγραμμον εἰς τρίγωνα ἀναλύεται· πάντων γὰρ ἀρχὴ τῆς συστάσεως τρίγωνον, ὃ καὶ ὁ Πλάτων ἔφη διδάσκων, ὅτι ἡ ὀρθὴ τῆς ἐπιπέδου βάσεως ἐκ τριγώνων συνέστηκεν. ἕκαστον δὲ ἀναλύεται
10εἰς δυάδι ἐλάσσονα τρίγωνα τῶν οἰκείων πλευρῶν, εἰ τετράπλευρόν ἐστιν, εἰς δύο, εἰ πεντάπλευρον, εἰς τρία, εἰ ἑξάπλευρον, εἰς τέσσαρα. δύο γὰρ τρίγωνα συντεθέντα τετράπλευρον ἐποίησε εὐθύς, ᾧ δὲ τῶν συνθέτων τριγώ‐ νων ἀριθμῷ τὸ πρῶτον συστὰν διήνεγκεν τῶν ἑαυτοῦ
15πλευρῶν, τούτῳ καὶ τὰ ἑξῆς πάντα διαφέρει. δυάδι ἄρα πᾶν πολύπλευρον πλείους ἔχει πλευρὰς τῶν τριγώνων, εἰς ἃ διαλύεται. ἀλλά γε μὴν ἅπαν τρίγωνον δέδεικται δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ἔχον τὰς γωνίας. διπλάσιος ἄρα ὁ τῶν γωνιῶν ἀριθμὸς αὐτῶν τῶν συντεθέντων τριγώνων γενόμενος
20παρέξεται τὸ πλῆθος τῶν ὀρθῶν, ὅσαις ἕκαστον πολύγω‐
νον ἴσας ἔχει γωνίας. διὸ πᾶν μὲν τετράπλευρον τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας ἔχει γωνίας (ἐκ δυεῖν γὰρ συνέκειτο τριγώνων), πᾶν δὲ πεντάπλευρον ἓξ καὶ τοῦτο ἑξῆς ὁμοίως. ἓν μὲν οὖν τοῦτο ληπτέον ἐκ τοῦ θεωρήματος τούτου περὶ πάντων
25τῶν πολυγώνων ἅμα καὶ εὐθυγράμμων, ἕτερον δὲ ἑπόμε‐ νον τούτῳ συνέλωμεν, ὅτι πᾶν σχῆμα εὐθύγραμμον ἑκά‐ στης τῶν πλευρῶν ἅπαξ ἐκβληθείσης τὰς ἐκτὸς συνιστα‐ μένας γωνίας ἴσας ἔχει τέτρασιν ὀρθαῖς. διπλασίας μὲν γὰρ εἶναι δεῖ τὰς ἐφ’ ἑκάτερα γωνίας ὀρθὰς τοῦ πλήθους
30τῶν πλευρῶν, ἐπειδὴ πρὸς ἑκάστῃ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι συν‐ ίστανται. ἀφαιρουμένων δὲ τῶν ἴσων ταῖς ἐντὸς ὀρθῶν αἱ λοιπαὶ γίνονται αἱ ἐκτὸς τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσαι. οἷον εἰ τὸ σχῆμα τρίγωνον, ἑκάστης αὐτοῦ πλευρᾶς ἅπαξ ἐκβαλλο‐ μένης ἓξ ὀρθαῖς ἴσαι συνίστανται γωνίαι αἵ τε ἐντὸς καὶ
35ἐκτός, ὧν αἱ ἐντὸς ἴσαι δυσίν· αἱ λοιπαὶ ἄρα αἱ ἐκτὸς τέτρασιν. εἰ δὲ τετράπλευρον, ὀκτὼ αἱ πᾶσαι· διπλάσιαι γὰρ τῶν πλευρῶν. ὧν ἐντὸς τέτρασιν· καὶ ἐκτὸς ἄρα ἄλλαις τοσαύταις ἴσαι. εἰ δὲ πεντάπλευρον, δέκα μὲν αἱ πᾶσαι, ἓξ δὲ αἱ ἐντός, τέτρασι δὲ αἱ λοιπαὶ ἐκτός. καὶ ἐπ’ ἄπειρον
40ὁμοίως ἡ αὐτὴ μέθοδος. ἐπὶ δὴ τούτοις κἀκεῖνα συνάγω‐ μεν, ὅτι διὰ τοῦτο τὸ θεώρημα τὸ μὲν ἰσόπλευρον τρίγω‐ νον ἑκάστην ἔχει γωνίαν διμοίρου ὀρθῆς· εἰ γὰρ αἱ τρεῖς δυεῖν ὀρθαῖς ἴσαι καὶ ἀλλήλαις ὑπάρχουσιν ἴσαι, ἐπειδὴ ὑπὸ τὰς ἴσας πλευρὰς ἴσαι γωνίαι συνεστᾶσιν. τὸ δὲ ἰσοσκελές,
45ὅταν ἔχῃ τὴν πρὸς τὴν κορυφὴν ὀρθήν, τὰς λοιπὰς ἡμισείας ὀρθῆς ἔχει, οἷον τὸ ἡμιτετράγωνον· τὸ δὲ σκαληνὸν τὸ ἡμιτρίγωνον, ὃ γίνεται ἐν ἰσοπλεύρῳ τριγώνῳ καθέτου ἀχθείσης ἀφ’ οἵας τινὸς γωνίας ὑπὸ τὴν ὑποτείνουσαν αὐτὴν πλευράν, τὴν μὲν ἔχει ὀρθήν, τὴν δὲ διμοίρου, ἥτις

1

.

114

(50)

ἦν καὶ τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου, τὴν δὲ λοιπὴν ἄρα τρίτου. δεῖ γὰρ εἶναι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας τὰς τρεῖς. ταῦτα οὐ παρ‐ έργως ἐπισημαίνομαι, ἀλλ’ ὡς προπαρασκευάζοντα ἡμᾶς
πρὸς τοῦ Τιμαίου διδασκαλίαν.

1

115-117t

Ad prop. 33

1

.

115

Τὸ λγʹ θεώρημα σύμπτωμα λέγον τῶν δεδομένων παραλλήλων εὐθειῶν γένεσιν παραλληλογράμμου σχή‐ ματος λεληθυῖαν παραδίδωσι· γίνεται γὰρ παραλληλόγραμ‐ μον ἔκ τε τῶν ἐξ ἀρχῆς ἴσων καὶ ἐκ τῶν ταύτας ἐπιζευ‐
5γνυουσῶν καὶ δεικνυμένων ὡσαύτως ἴσων τε καὶ παραλ‐ λήλων. διὸ καὶ τὸ μετὰ τοῦτο εὐθὺς ὡς ἂν ὑποστάντος ἤδη τοῦ παραλληλογράμμου τὰ καθ’ αὑτὰ ὑπάρχοντα τοῖς τοιούτοις θεωρεῖ. οὐκ ἠρκέσθη δὲ ὁ στοιχειωτὴς εἰπὼν ἐν τῇ προτάσει ἴσας εἶναι τὰς ἐπιζευγνυμένας, ἀλλὰ καὶ
10παραλλήλους, διότι οὐ πάντως αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς ἴσας [Omitted graphic marker] ἴσαι εἰσίν, ὥσπερ ἐπὶ τοῦ τριγώνου οὐκ ἔστιν ἴση τῇ βάσει ἡ ἐπιζεύξασα μέσον. δεῖ οὖν καὶ παραλλήλους εἶναι τὰς δεδομένας, ἵνα καὶ αἱ ἐπιζευγνύουσαι ὁμοίως ἴσαι τε καὶ παράλ‐
15ληλοι ἔσονται. δεῖ γὰρ πρὸς μὲν τὴν ἰσότητα τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τῆς τῶν ἐπιζευγνυμένων παραλλήλου θέσεως, πρὸς δὲ τὴν τῶν παραλλήλων θέσιν τῆς ἐκείνων ἰσότητος. διὰ τοῦτο καὶ ὁ στοιχειωτὴς ἄμφω παρέλαβεν ἐπὶ τῶν ἐπιζευγνυμένων τό τε ἴσας εἶναι καὶ παραλλήλους,
20ἵνα δείξῃ, ὅτι ἄμφω δεῖ εἶναι καὶ περὶ τὰς ἐπιζευγνυούσας εὐθείας. εἰ γὰρ μὴ ἀμφότερα αἱ δεδομέναι εὐθεῖαι ἕξουσιν, οὐδὲ αἱ ζευγνύουσαι αὐτάς. εἰκότως δὲ ἀξιοῖ ὁ στοιχειω‐ τής, τὰς ἐπιζευγνυούσας τὰς ἴσας καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ποιεῖσθαι τὴν ἐπίζευξιν, ἵνα τῶν ἴσων καὶ παρ‐
25αλλήλων ἐπιζευγνυμένων καὶ αὐταὶ ἴσαι καὶ παράλληλοι ὦσιν. εἰ γὰρ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη, οὔτε ἴσαι γίνονται οὔτε παράλληλοι.

1

.

116

Τοῦτο τὸ θεώρημα γένεσιν παραλληλογράμμων
λεληθότως παραδίδωσιν· γίνεται γὰρ παραλληλόγραμμα ἔκ τε τῶν παραλλήλων καὶ ἐκ τῶν ταύτας ἐπιζευγνυουσῶν. προσεκτέον δὲ τῷ ἀκριβεῖ τῆς προτάσεως.

1

.

117

Μέρη φησὶ τῶν παραλλήλων τὰ δύο ἄκρα καὶ τὸ μέσον. λέγει οὖν ὁ στοιχειωτὴς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη εἶναι τὰς ἐπιζευγνυούσας, εἴπερ ἔσονται ἴσαι καὶ παράλληλοι. εἰ γὰρ ἡ μὲν ἐπιζεύξαι τὰς δεδομένας παραλλήλους κατὰ τὸ
5μέσον, ἡ δὲ κατὰ τὸ ἄκρον, οὔτε ἴσαι οὔτε παράλληλοι ἔσονται.

1

118-120t

Ad prop. 34

1

.

118

Τὸ λδʹ θεώρημα ὥσπερ ὑπόστασιν ἤδη λαβὸν τοῦ παραλληλογράμμου ἐκ τοῦ προειρημένου θεωρήματος τὰ χαρακτηριστικὰ τῆς ἰδίας συστάσεως τοῦ παραλληλογράμ‐ μου θεωρεῖ, ἅ ἐστι ταῦτα, τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευρὰς ἴσας
5εἶναι καὶ τὰς γωνίας τὰς ἀπεναντίον ἴσας καὶ τὸ δίχα τέ‐ μνεσθαι ὑπὸ τῆς διαμέτρου τὰ χωρία. περὶ γὰρ τούτων εἴρηται τὸ καὶ ἡ διάμετρος αὐτὰ δίχα τέμνει, ὡς εἶναι τὸ ἐμβαδὸν τὸ διχοτομούμενον ὅλον, ἀλλὰ μὴ τὰς γωνίας, δι’ ὧν ἡ διάμετρος ἔρχεται. δ δὲ ὄντων παραλληλογράμμων,
10ἃ καὶ ἐν ταῖς ὑποθέσεσιν ὡρίσατο, τοῦ τετραγώνου, τοῦ ἑτερομήκους, τοῦ ῥόμβου, τοῦ ῥομβοειδοῦς, εἰ μὲν κατὰ τὰ ὀρθογώνια γίνεται ἡ διαίρεσις, ἐξ ἀνάγκης καὶ τὰ χωρία διχοτομοῦσιν αἱ διάμετροι καὶ αὐταὶ ἴσαι εἰσίν, ἐπὶ δὲ τῶν μὴ τοιούτων ἄνισοι. πάλιν ἐπὶ τῶν ἰσοπλεύρων καὶ τὰ
15χωρία δίχα τέμνουσιν αἱ διάμετροι καὶ τὰς γωνίας, δι’ ὧν αὗται φέρονται, οἷον ἐπὶ τοῦ τετραγώνου καὶ τοῦ ῥόμβου, ἐπὶ δὲ τοῦ ἑτερομήκους καὶ τοῦ ῥομβοειδοῦς τὰ χωρία μό‐ νον. καὶ ὅλως ἔνθα μὲν ἰσότης πλευρῶν, ἐκεῖ καὶ αἱ διά‐ μετροι ἴσαι, καὶ αἱ γωνίαι δίχα τέμνονται, καὶ τὸ ἐμβαδὸν
20εἰς ἴσα διαιρεῖται διὰ τὴν ἰσότητα τῶν πλευρῶν καὶ τὴν
ὀρθότητα τῶν γωνιῶν. ἐπὶ δὲ τοῦ ἑτερομήκους αἱ μὲν διάμετροι ἴσαι καὶ τὰ ἐμβαδά, αἱ δὲ γωνίαι οὐ τέμνονται εἰς ἴσα ὑπὸ τῶν διαμέτρων, ἐπὶ δὲ τοῦ ῥόμβου ἄνισοι μὲν αἱ διάμετροι, διχοτομοῦνται δὲ ὑπ’ αὐτῶν τά τε χωρία καὶ
25αἱ γωνίαι, ἐπὶ δὲ τοῦ ῥομβοειδοῦς καὶ αἱ διάμετροι ἄνισοι, καὶ αἱ γωνίαι εἰς ἄνισα τέμνονται ὑπὸ τούτων. ἐπεὶ δὲ τὰ μὲν καθόλου ἐστὶ τῶν θεωρημάτων, οἷον πᾶν τρίγωνον τὰς τρεῖς γωνίας δύο ὀρθαῖς ἴσας ἔχει (πάντα γὰρ περιέλαβε), τὰ δὲ οὐ καθόλου, τοῦτο τὸ θεώρημά φαμεν τὸ μὲν τῶν
30ζητουμένων ἔχειν καθόλου, τὸ δὲ οὔ. τὸ μὲν γὰρ τὰς ἀπ‐ εναντίον πλευρὰς ἢ γωνίας ἴσας ἔχον καθολικόν ἐστι· μόνον γὰρ ὑπάρχει τοῖς παραλληλογράμμοις. τὸ δὲ τὴν διάμετρον δίχα τὸ χωρίον τεμεῖν οὐ καθόλου, διότι μὴ πάντα περιείλη‐ φεν, ἐφ’ ὅσων θεωρεῖται τὸ σύμπτωμα. ἔοικε δὲ καὶ αὐτὸ
35τὸ ὄνομα τῶν παραλληλογράμμων ὁ στοιχειωτὴς συν‐ θεῖναι τὴν ἀφορμὴν λαβὼν ἀπὸ τοῦ προειρημένου θεωρή‐ ματος. ἐπειδὴ γὰρ ἔδειξεν, ὅτι αἱ τὰς ἴσας τε καὶ παραλ‐ λήλους ἐπιζευγνύουσαι εὐθεῖαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ αὐταὶ ἴσαι καὶ παράλληλοί εἰσιν, δῆλον, ὅτι τὰς ἀπεναντίον ἀπ‐
40έφηνε παραλλήλους καὶ τὰς ἐπιζευγνυούσας καὶ τὰς ἐπι‐ ζευγνυμένας. τὸ δὲ ὑπὸ παραλλήλων περιεχόμενον γραμ‐ μῶν εἰκότως παραλληλόγραμμον ἐκάλεσεν, ὡς καὶ τὸ ὑπὸ εὐθειῶν γραμμῶν περιεχόμενον εὐθύγραμμον προσείρηκεν. δῆλον δέ, ὅτι τὸ παραλληλόγραμμον τοῦτο ὁ στοιχειωτὴς
45ἐν τετραπλεύροις ἐξέθετο· ταῦτα γὰρ μόνα τὰ τετράπλευρα τὴν ἀκρίβειαν τῶν παραλλήλων τῆς θέσεως δεικνύουσιν, ὡς ὁ ἐπιστημονικὸς ἀπαιτεῖ λόγος κατὰ πάντα, τὰ δὲ λοιπὰ οὐ πάντα ἔχουσιν, ὡς εἴρηται.

1

.

119

Ἰστέον καὶ τοῦτο ἐπὶ τῶν τετραπλεύρων, ὅτι ἐπὶ μὲν τοῦ τετραγώνου καὶ αἱ διάμετροι ἴσαι διὰ τὴν ὀρθό‐
τητα τῶν γωνιῶν, καὶ αἱ γωνίαι δίχα τέμνονται ὑπὸ τῶν διαμέτρων διὰ τὴν ἰσότητα τῶν πλευρῶν, καὶ τὸ ἐμβαδὸν
5εἰς ἴσα διαιρεῖται κατὰ τὴν διαγώνιον διὰ τὴν κοινὴν ἰδιότητα τῶν παραλληλογράμμων. ἐπὶ δὲ τοῦ ἑτερομήκους αἱ μὲν διάμετροι ἴσαι, αἱ δὲ γωνίαι οὐ τέμνονται δίχα ὑπὸ τῶν διαμέτρων, ἡ δὲ τῶν χωρίων εἰς ἴσα διαίρεσις ὑπάρχει καὶ τούτῳ, καθόσον ἐστὶ παραλληλόγραμμον. ἐπὶ δὲ τοῦ
10ῥόμβου ἄνισοι μὲν αἱ διάμετροι, διχοτομοῦνται δὲ ὑπὸ τούτων οὐ μόνον τὰ χωρία, διότι παραλληλόγραμμον, ἀλλὰ καὶ αἱ γωνίαι, διότι ἰσόπλευρον. ἐπὶ δὲ τοῦ ῥομβοειδοῦς καὶ αἱ διάμετροι ἄνισοι ὡς μὴ ὀρθογωνίου, καὶ αἱ γωνίαι εἰς ἄνισα τέμνονται ὑπὸ τούτων ὡς μὴ ἰσοπλεύρου, μόνα δὲ τὰ
15χωρία ἴσα γίνεται τὰ ἐφ’ ἑκάτερα τῶν διαγωνίων ὡς παραλ‐ ληλογράμμου. ταῦτα μὲν οὖν εἴρηται τὴν ἐν ταῖς διαιρέ‐ σεσι τῶν παραλληλογράμμων τεττάρων ὄντων ὑποδεικνύ‐ ονται διαφοραὶ θεωριῶν. κἀκείνας ἄξιον μὴ παρελθεῖν, ὅτι τῶν αὐτῶν θεωρημάτων τὰ μέν ἐστι καθόλου, τὰ δὲ
20οὐ καθόλου. ὁ στοιχειωτὴς ἐδήλωσεν τὸ παραλληλόγραμ‐ μον ἐν τετραπλεύροις τιθέμενος. ἐπιστῆσαι δὲ ἄξιον, μήπο‐ τε καὶ πᾶν εὐθύγραμμον ἀρτιόπλευρον, ὅταν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ὑπάρχῃ, παραλληλόγραμμον ῥητέον. ἔχει γὰρ καὶ τοῦτο τὰς ἀπεναντίον πλευρὰς ἴσας τε καὶ παρ‐
25αλλήλους καὶ τὰς ἀπεναντίον γωνίας, οἷον τὸ ἑξάγωνον καὶ τὸ ὀκτάγωνον καὶ τὸ δεκάγωνον.

1

.

120

Ἀντιστρόφια· καὶ ὧν τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ἢ πάλιν ὧν τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ἐκεῖνα τὰ τετρά‐ πλευρα παραλληλόγραμμά ἐστιν, καὶ ἔτι ὧν τετραπλεύρων
5αἱ ἐπιζευγνύμεναι διαγώνιοι ἀμφότεραι δίχα τέμνουσιν τὰ
τετράπλευρα, ἐκεῖνα παραλληλόγραμμά ἐστιν.

1

121-123t

Ad prop. 35

1

.

121

Ὥσπερ εἰσὶ τῶν θεωρημάτων τὰ μὲν ἁπλᾶ, τὰ δὲ σύνθετα, καὶ τὰ μὲν καθολικά, τὰ δὲ ἐπὶ μέρους, οὕτως καὶ τὰ μέν εἰσι τοπικά, τὰ δὲ οὔ. τοπικὰ δὲ λέγονται, ὅσοις ταὐτὸν σύμπτωμα πρὸς ὅλῳ τινὶ τόπῳ συμβέβηκε, τόπος
5δὲ γραμμῆς ἢ ἐπιφανείας θέσις τίς ἐστι ποιοῦσα ἓν καὶ ταὐτὸν σύμπτωμα. τῶν δὲ τοπικῶν τὰ μὲν πρὸς γραμμαῖς συνίστανται, τὰ δὲ πρὸς ἐπιφανείαις, τούτων δὲ αἱ μέν εἰσιν ἐπίπεδοι, ὧν ἐν ἐπιπέδῳ ἁπλῆ ἡ νόησις, αἱ δὲ στε‐ ρεαί, ὧν ἡ γένεσις ἔκ τινος τομῆς ἀναφαίνεται στερεοῦ
10σχήματος, ὡς τῆς κυλινδρικῆς ἕλικος καὶ τῶν κωνικῶν γραμμῶν. λέγομεν, ὅτι καὶ τῶν πρὸς γραμμαῖς τοπικῶν τὰ μὲν ἐπίπεδον ἔχει τόπον, τὰ δὲ στερεόν. τὸ τοίνυν λεʹ θεώρημα τοπικόν ἐστιν καὶ τῶν πρὸς γραμμαῖς τοπικῶν καὶ ἐπίπεδον. τὸ γὰρ μεταξὺ πᾶν τῶν παραλλήλων τόπος
15ἐστὶ τῶν συνισταμένων ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως παραλληλο‐ γράμμων, ἃ δὴ δείκνυσιν ὁ στοιχειωτὴς ἴσα ἀλλήλοις. ἔστω δὲ παράδειγμα τῶν στερεῶν λεγομένων τοπικῶν θεωρη‐ μάτων τὸ τοιοῦτον· τὰ εἰς τὰς ἀσυμπτώτους καὶ τὴν ὑπερ‐ βολὴν ἐγγραφόμενα παραλληλόγραμμα ἴσα ἐστίν. ἡ γὰρ
20ὑπερβολὴ στερεὰ γραμμή ἐστιν· κώνου γάρ ἐστι γραμμή. τοπικὸν οὖν πρῶτον θεώρημα ὁ στοιχειωτὴς ἀνέγραψε τὸ προκείμενον. ἔστι δὲ τοῦτο καὶ τὸ περὶ τῶν τριγώνων ἑξῆς τῶν παραδόξων ἐν τοῖς μαθήμασι καλουμένων θεω‐ ρημάτων· καταπλήττει γὰρ τοὺς πολλοὺς εὐθύς, εἰ τὸ
25μῆκος πολλαπλασιαζόμενον οὐκ ἀναιρεῖ τὴν ἰσότητα τῶν χωρίων τῆς αὐτῆς βάσεως οὔσης. ἰστέον γάρ, ὅτι, ὅσῳ ἀν‐ ίσους ποιοῦμεν τὰς γωνίας, τοσούτῳ μᾶλλον ἐλαττοῦμεν τὰ χωρία. ἐνταῦθα μὲν οὖν ἐπειδὴ περὶ εὐθυγράμμων ὁ λόγος, τοπικὰ παραδίδωσιν ἐπίπεδα πρὸς εὐθείαις. ἐν δὲ τῷ γʹ
30βιβλίῳ τὰ περὶ κύκλων καὶ τῶν ἐν τούτοις συμπτωμάτων πραγματευόμενος τὰ πρὸς περιφερείαις ἡμᾶς ἀναδιδάξει τοπικά. τοιοῦτον γὰρ ἐν ἐκείνοις τό· αἱ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις, καὶ τό· αἱ ἐν ἡμικυκλίῳ ὀρθαί. ἀπεί‐ ρων γὰρ συνισταμένων πρὸς τῇ περιφερείᾳ γωνιῶν τῆς
35αὐτῆς βάσεως οὔσης πᾶσαι δείκνυνται ἴσαι, καί εἰσιν ἀνάλογα ἐκεῖνα τοῖς τριγώνοις καὶ παραλληλογράμμοις τοῖς ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως. ἰστέον, ὅτι ἡ τῶν γωνιῶν ὀρθότης καὶ ἡ τῶν πλευρῶν ἰσότης τὸ πᾶν δύναται πρὸς τὴν τῶν χωρίων αὔξησιν· ὀρθογωνίων γὰρ ὄντων τῶν παρ‐
40αλληλογράμμων τὸ τετράγωνον μεῖζον τοῦ ἑτερομήκους χωρίον περιέχει, ἰσοπλεύρων δὲ ὄντων ἀμφοτέρων τὸ ὀρθο‐ γώνιον δείκνυται τοῦ μὴ ὀρθογωνίου μεῖζον· διὸ καὶ τὸ τετράγωνον πάντων ἀναφαίνεται μεῖζον χωρίον περιέχον, τὸ δὲ ῥομβοειδὲς πάντων ἔλαττον. πρῶτον δὲ ἐνταῦθα τῶν
45τραπεζίων ἐμνημόνευσε. περὶ τούτων δὲ ἐν ταῖς ὑποθέσε‐ σιν ἐδίδαξεν, ὅτι τετράπλευρα μέν εἰσι τῷ γένει, οὐ παραλ‐ ληλόγραμμα δέ. τὸ γὰρ μὴ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον ἐκβέβηκε καὶ τῆς τάξεως τῶν παραλληλογράμμων. δύο δὲ εἰδῶν ὄντων τῶν τραπεζίων

1

.

121

(50)

(τῶν μὲν γὰρ οὐδετέρα ἐστὶ πλευρὰ παράλληλος ἑτέρᾳ, τῶν δὲ μίαν ἐχόντων ἴσην μιᾷ) ἐπὶ τῆς παρούσης κατα‐ γραφῆς τὸ ἕτερον εἶδός ἐστιν· ἡ γὰρ ΓΕ ἴση ἐστὶ τῇ ΔΒ. τέμνουσαν ἔλαβεν ὁ στοιχειωτὴς τὴν ΓΔ τὴν ΒΕ, καὶ τὸ διάγραμμα τετράγωνον.

1

.

122

Ἐν τούτῳ τῷ λεʹ παραδόξῳ θεωρήματι δείκνυται τὸ ποσὸν τῶν παραλληλογράμμων. ὀρθογωνίων μὲν συν‐ αμφοτέρων ὄντων τῶν παραλληλογράμμων δείκνυται τὸ τετράγωνον τοῦ ἑτερομήκους μεῖζον, ἰσοπλεύρων δὲ ἀμφο‐
5τέρων ὄντων τὸ ὀρθογώνιον δείκνυται τοῦ μὴ ὀρθογωνίου μεῖζον· καὶ γὰρ ἡ τῶν γωνιῶν ὀρθότης καὶ ἡ τῶν πλευρῶν
ἰσότης τὸ πᾶν δύναται πρὸς τὴν τῶν χωρίων αὔξησιν. ὅθεν δὴ τὸ μὲν τετράγωνον ἀναφαίνεται τῶν ἴσων περι‐ μέτρων μεῖζον, τὸ δὲ ῥομβοειδὲς ἁπάντων ἔλασσον. καὶ
10ἰστέον, ὅτι παραλληλόγραμμα λέγων ἴσα τὰ χωρία λέγει καὶ οὐ τὰς πλευράς (τούτων γὰρ νῦν ὁ λόγος καὶ τῶν ἐμ‐ βαδῶν), καὶ ὅτι ἐν τῇ δείξει ταύτῃ μνήμην ποιεῖται τῶν τραπεζίων.

1

.

123

Τῶν παραδόξων λεγομένων ἐστὶ καὶ τοῦτο τὸ θεώρημα· καταπλήττει γοῦν τοὺς πολλούς, εἰ τὸ μῆκος πολλαπλασιαζόμενον οὐκ ἀναιρεῖ τὴν ἰσότητα τῆς αὐτῆς οὔσης βάσεως. ἐφ’ ὅσον γὰρ αἱ παράλληλοι ἐκβάλλονται,
5ἐπὶ τοσοῦτον αὔξεται τὸ ἕτερον τῶν παραλληλογράμμων. ὅμως ἰστέον, ὅτι μέγιστον ἡ τῶν γωνιῶν ἰσότης δύναται καὶ ἀνισότης. ὅσῳ γὰρ ἀνίσους ποιῶμεν τὰς γωνίας, το‐ σούτῳ μᾶλλον ἐλασσοῦμεν τὸ χωρίον, εἰ μένοι τὸ αὐτὸ πλάτος.

1

124-125t

Ad prop. 36

1

.

124

Τὸ μὲν πρὸ τούτου θεώρημα τὰς βάσεις τὰς αὐτὰς ἐλάμβανε, τοῦτο δὲ τὸ λϛʹ ἴσας μέν, διαφερούσας δὲ ἀλλή‐ λων. κοινὸν δὲ ἀμφοτέροις τὸ ἐν ταῖς αὐταῖς ὑποτίθεσθαι παραλλήλοις τὰ παραλληλόγραμμα. δεῖ δὴ οὖν αὐτὰ μήτε
5ἐνδοτέρω πίπτειν τῶν ὑποκειμένων παραλλήλων εὐθειῶν μήτε ἐξωτέρω. παραλληλόγραμμα γὰρ ἐν ταῖς αὐταῖς εἶναι λέγεται παραλλήλοις, ὅταν αἵ τε βάσεις αὐτῶν καὶ αἱ ταύταις ἀπεναντίον κείμεναι ταῖς αὐταῖς ἐφαρμόζωνται παραλλήλοις. ἔδειξε δὲ ὁ στοιχειωτὴς τὸ θεώρημα τὰς
10βάσεις πάντῃ κεχωρισμένας λαβών.

1

.

125

Εἴτε διεστήκασιν αἱ βάσεις εἴτε κοινωνοῦσι κατὰ μέρος εἴτε συνάπτουσιν ὡς τὴν μίαν πλευρὰν κοινὴν εἶναι τῶν δύο, δείκνυται τὸ αὐτό. ἰστέον δέ, ὅτι ἐπὶ τῶν πολυγώ‐
νων παραλληλογράμμων οὐ συμβαίνει τὸ τοιοῦτον, διότι οὐ
5πάντως ἰσόπλευρά ἐστιν. εἰ δὲ ἰσόπλευρα, πάντως ἀκο‐ λουθήσει τὸ τὰ ἐπὶ τῶν ἴσων βάσεων ὄντα συγκρίνεσθαι, καὶ εἰ μὲν αἱ ἡμίσεις τοῦ ἑτέρου πλευραὶ ταῖς ὁμολόγοις τοῦ ἑτέρου παραλληλογράμμου ἴσαι, ἴσα ἔσονται, ἄνισα δέ, εἰ μὴ οὕτως.

1

126-129t

Ad prop. 37

1

.

126

Καὶ τὸ λζʹ θεώρημα τοπικόν ἐστιν ἀνάλογον τοῖς παραλληλογράμμοις καὶ τὴν τῶν τριγώνων θέσιν ἐπὶ τῶν βάσεων ὑποτιθέμενον. δοκεῖ δέ μοι τῶν τεσσάρων θεωρη‐ μάτων, ὧν δύο μέν ἐστιν ἐπὶ τῶν παραλληλογράμμων δε‐
5δειγμένα, δύο δὲ ἐπὶ τῶν τριγώνων, καὶ τὸ μὲν τῆς αὐτῆς οὔσης βάσεως, τὸ δὲ ἴσων ὑπαρχουσῶν τῶν βάσεων, μίαν ἀπόδειξιν παρέχεσθαι τὸν στοιχειωτὴν ἐν τῷ ϛʹ βιβλίῳ ἐν τῷ αʹ θεωρήματι. ὅταν γὰρ τοῦτο δεικνύῃ τὰ τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἔχοντα
10πρὸς ἄλληλα τὸν λόγον, ὃν ἔχουσιν αἱ βάσεις, οὐδὲν ἄλλο ἢ ταῦτα πάντα καθολικώτερον ἀποδείκνυσιν ἐκ τῆς ἀνα‐ λογίας. τὸ γὰρ αὐτὸ ὕψος οὐδὲν διαφέρει ἢ ἐν ταῖς αὐταῖς εἶναι παραλλήλοις. πάντα γὰρ τὰ ἐν ταῖς αὐταῖς ὄντα παρ‐ αλλήλοις ὑπὸ τὸ αὐτό ἐστιν ὕψος καὶ ἀνάπαλιν. ὕψος γάρ
15ἐστιν ἡ ἀπὸ τῆς ἑτέρας παραλλήλου κάθετος ἐπὶ τὴν λοι‐ πήν. ἐκεῖ μὲν οὖν δι’ ἀναλογίας δέδεικται, ὅτι οὕτως ἔχει τὰ τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, τουτέστιν τὰ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις κείμενα, ὡς αἱ βάσεις, καὶ ἴσων τῶν βάσεων οὐσῶν ἴσα τὰ χωρία, καὶ
20διπλασίων οὐσῶν καὶ ἄλλον λόγον ἐχουσῶν τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καὶ τὰ χωρία πρὸς ἄλληλα· ἐνταῦθα δέ (οὐ γὰρ ἦν ἀναλογίᾳ χρῆσθαι μηδέπω διδάξαντα περὶ αὐτῆς)
ἀρκεῖται τῇ ἰσότητι μόνῃ καὶ ἐκ τῆς ἰσότητος τὴν ταυτότη‐ τα τῶν βάσεων συλλογίζεται. ἐν ἑνὶ οὖν ἐκείνῳ τὰ δ ταῦτα
25περιέχεται θεωρήματα, οὐ μόνον ὅτι διὰ μιᾶς ἀποδείξεως δείκνυσιν, ὅσα ἐν τοῖς τέσσαρσι περιέχεται τούτοις, ἀλλ’ ὅτι καὶ πλέον τι προστίθησιν τὴν ταυτότητα τῶν λόγων, κἂν ἄνισοι αἱ βάσεις ὦσιν. ὅτι δὲ καὶ τοῦτο πολύπτωτόν ἐστι τὸ θεώρημα καὶ δυνατὸν τὰς βάσεις τὰς τῶν τριγώνων
30ἢ ταὐτὸν μέρος ἐχούσας λαμβάνειν ὡς ἐπὶ τῶν παραλληλο‐ γράμμων ἢ μηδενὶ μὲν κοινῷ μέρει χρωμένας, καθ’ ἓν δὲ σημεῖον ἀλλήλαις συναπτούσας ἢ καὶ πάντη κεχωρισμένας, ὥστε μεταξὺ γραμμὴν εἶναι, δῆλόν ἐστι τοῖς καὶ μικρὰ συνεῖναι δυναμένοις, καὶ ὅτι κατὰ πάσας τὰς πτώσεις,
35ὅπως ἂν ἔχῃ τὰς βάσεις κειμένας ἢ τὰς κορυφάς, ἡ αὐτὴ μέθοδος, ἄγειν παραλλήλους ταῖς πλευραῖς καὶ ποιεῖν ἑκά‐ τερον τῶν τριγώνων, ἰσότητα κατασκευάζει.

1

.

127

Τοπικὸν καὶ τοῦτο τὸ θεώρημα, καὶ ὁρᾷς, ὅτι οὐ παραλληλογράμμοις μόνον ὑπάρχει, ἀλλὰ καὶ τριγώνοις, καὶ κύκλοις δὲ ἐφαρμόσει καὶ κώνοις καὶ κυλίνδροις καὶ ὁμοίοις στερεοῖς, ὅσα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα ἴσας ἔχει τὰς
5βάσεις. καθολικώτερον δὲ τὸ πρῶτον τοῦ ϛʹ βιβλίου. ἀντι‐ στρέφει δὲ δύο πρὸς τὸ προκείμενον, μετ’ αὐτὸ μὲν προσ‐ εχῶς τὸ τὰ ἴσα τρίγωνα καὶ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα, μετ’ ἐκεῖνο δὲ τὸ τὰ ἴσα καὶ ἐν παραλλήλοις ὄντα ἤτοι ἐπὶ τῆς αὐτῆς ἢ ἐπὶ ἴσων βάσεων εἶναι.

1

.

128

Πολύπτωτον δὲ καὶ τοῦτο τὸ θεώρημα, καὶ δυνα‐ τὸν τὰς βάσεις τὰς τῶν τριγώνων ἢ ταὐτὸν μέρος ἐχούσας λαμβάνειν ὡς ἐπὶ τῶν παραλληλογράμμων ἢ μηδενὶ μὲν κοινῷ μέρει χρωμένας, καθ’ ἓν δὲ σημεῖον ἀλλήλαις συν‐
5απτούσας ἢ καὶ πάντη κεχωρισμένας, ὥστε εἶναι μεταξὺ γραμμήν. δῆλόν ἐστι τοῖς καὶ μικρὰ συνεῖναι δυναμένοις,
καὶ ὅτι κατὰ πάσας τὰς πτώσεις, ὅπως ἂν ἔχῃ τὰς βάσεις κειμένας ἢ τὰς κορυφάς, ἡ αὐτὴ μέθοδος, ἄγειν παραλλή‐ λους ταῖς πλευραῖς καὶ ποιεῖν ἑκάτερον τῶν τριγώνων,
10ἰσότητα κατασκευάζει.

1

.

129

Εὑρεῖν αὐτὸ τὸ ἐμβαδόν. τὴν πλευρὰν ἐφ’ ἑαυτήν· γίνεται ρ. τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως ἐφ’ ἑαυτήν· γίνεται λϛ. [Omitted graphic marker] ἄφελε· λοιπὸν ξδ, ὧν πλευρὰ τετρά‐ γωνος η. ἔσται ἡ κάθετος. πολλα‐
5πλασίασον τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν κάθ‐ ετον· γίνεται ϙϛ. τούτων τὸ ἥμισυ μη. ἔστιν ἄρα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἰσο‐ σκελοῦς τριγώνου μονάδων μη. Ἔστωσαν δύο τρίγωνα ἡ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ἑκάστη δὲ πλευρὰ
10μονάδων κε. καί εἰσιν αἱ δύο πλευραὶ ταῖς δυσὶν ἴσαι, ἡ δὲ ΒΓ τῇ ΕΖ βάσει ἔστω μείζων. ἔστω ἡ μὲν ΒΓ μονάδων μη, ἡ δὲ ΕΖ μονάδων ιδ. [Omitted graphic marker]

1

130-131t

Ad prop. 38

1

.

130

Εἰκότως ὁ στοιχειωτὴς προσέθηκε τὸ καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη. δυνατὸν γὰρ λαβεῖν μιᾶς βάσεως ἴσα τρίγωνα τὸ μὲν ἐπὶ τάδε τὰ μέρη, τὸ δὲ ἐπὶ θάτερα, ἀλλ’ οὐ πάντως ἐν ταῖς αὐταῖς ἐστι ταῦτα παραλλήλοις· οὐδὲ γὰρ ὑπὸ τὸ
5αὐτὸ ὕψος εἰσὶν ἄμφω. ἰστέον δέ, ὅτι τριττῆς οὔσης τῆς τῶν θεωρημάτων ἀντιστροφῆς· ἢ γὰρ ὅλον ἀντιστρέφει
πρὸς ὅλον, ὡς τὸ ιηʹ καὶ ιθʹ εἴπομεν, ἢ ὅλον πρὸς μέρος ὡς τὸ ϛʹ καὶ τὸ πέμπτον, ἢ μέρος πρὸς μέρος ὡς τὸ ηʹ καὶ τὸ δʹ· οὐ γὰρ ὅλον τὸ δεδειγμένον ἐν θατέρῳ ζητούμενόν ἐστιν
10ἐν θατέρῳ, οὐδὲ τὸ ζητούμενον δεδομένον, ἀλλὰ μέρος. ἔοικε δὲ καὶ ταῦτα τὰ θεωρήματα τοιαῦτα εἶναι ἐπὶ τῶν τριγώνων. ἦν γὰρ τὸ ζητούμενον ἐν τοῖς πρὸ τούτων τὸ εἶναι ἴσα τὰ τρίγωνα, τοῦτο δὲ οὐκ ἔστι μόνον δεδομένον ἐν τούτοις, ἀλλὰ μέρος προσλαβὸν τῆς ἐν ἐκείνοις ὑπο‐
15θέσεως. τὸ γὰρ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εἶναι βάσεως ἢ ἐπὶ ἴσων καὶ ἐπὶ τούτων δέδοται καὶ ἐπ’ ἐκείνων, πλὴν ὅτι προσέθηκεν ἐν ταῖς ὑποθέσεσι ταύταις, ὃ ἐν ἐκείνοις μήτε ζητούμενόν ἐστιν μήτε δεδομένον· τὸ γὰρ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἔξωθεν προσείληπται.

1

.

131

Ὅτε μὲν τὴν ἰσότητα δεικνύναι πρόκειται, τότε τέτταρα θεωρήματα τὸν ἀριθμὸν ἐποιοῦμεν, δύο μὲν ἐπὶ τῶν παραλληλογράμμων, δύο δὲ ἐπὶ τῶν τριγώνων λαμ‐ βάνοντες ἢ ἐπὶ τῶν αὐτῶν ἢ ἐπὶ ἴσων κείμενα βάσεων. νυνὶ
5δὲ ἀντιστρέφοντες τὰ μὲν ἐπὶ τῶν παραλληλογράμμων ἀντιστρέφοντα παρήκαμεν, τὰ δὲ ἐπὶ τῶν τριγώνων μνή‐ μης ἠξιώσαμεν. αἴτιον δέ, ὅτι τρόπος μὲν τῆς ἀποδείξεως ὁ αὐτὸς καὶ ἐπ’ ἐκείνων ἀπαραλλάκτως διὰ τῆς εἰς ἀδύνα‐ τον ἀπαγωγῆς καὶ τῆς ὁμοίας κατασκευῆς, ἀρκούμεθα δὲ
10ἐπὶ τῶν ἁπλουστέρων, λέγω δὴ τῶν τριγώνων, ὑποδείξαν‐ τες τὴν μέθοδον καταλείπειν τοῖς ἀγχινουστέροις καὶ ἐπὶ τῶν ὑπολοίπων τὰ αὐτὰ συλλογίζεσθαι, ἐπεί, ὅτι γε ἡ αὐτὴ καὶ ἐπὶ τούτων μέθοδος, ῥᾴδιον συνιδεῖν. λαβόντες γὰρ παραλληλόγραμμα ἴσα ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ἢ καὶ
15ἐπὶ τῶν ἴσων ἐροῦμεν, ὅτι καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν. εἰ γὰρ μή, ἐντὸς πεσεῖται θάτερον τῶν ἐν τῷ ἑτέρῳ παραλλήλων ἐκβαλλομένων ἢ ἐκτός. ὅπως δὲ ἂν πίπτῃ, λαβόντες ἐκεῖνο καὶ τὰς ἐν αὐτῷ παραλλήλους δείξομεν, ἃ
καὶ ἐπὶ τῶν τριγώνων, ὅτι τὸ ὅλον ἴσον ἔσται τῷ ἑαυτοῦ
20μέρει. τοῦτο δὲ ἀδύνατον. ὅτι δὲ εἰκότως ὁ στοιχειωτὴς προσέθηκεν τὸ καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη, δῆλον· ἐπὶ μιᾶς γὰρ βάσεως ἴσα τρίγωνα λαβεῖν δυνατὸν τὸ μὲν ἐπὶ τάδε τὰ μέρη, τὸ δὲ ἐπὶ θάτερα, ἀλλὰ πάντως ἐν ταῖς αὐταῖς ἐστι παραλλήλοις· οὐδὲ γὰρ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἐστί. τοῦτο
25μὲν οὖν διὰ τοῦτο προσέθηκεν. ἄξιον καὶ τὸ μὲν ἐπιση‐ μάνασθαι, ὅτι τριῶν οὐσῶν τῆς τῶν θεωρημάτων ἀντιστρο‐ φῆς· ἢ γὰρ ὅλον ἀντιστρέφει πρὸς ὅλον, ὡς τὸ ὀκτωκαι‐ δέκατον καὶ ἐννεακαιδέκατον εἴπομεν, ἢ ὅλον πρὸς μέ‐ ρος ὡς τὸ ἕκτον καὶ πέμπτον, ἢ μέρος πρὸς ὅλον ὡς
30τὸ ὄγδοον καὶ τέταρτον. τοιαῦτα γὰρ καὶ ταῦτα τὰ θεω‐ ρήματα.

1

132t

Ad prop. 39

1

.

132

Καὶ ἐπὶ τούτου τοῦ μʹ θεωρήματος ὁ αὐτὸς τρόπος τῆς ἀντιστροφῆς, καὶ ἡ ἀπόδειξις ἀπαράλλακτος, ὥσπερ καὶ ἐπὶ τοῦ λθʹ ἐλέγομεν, καὶ τὸ παραλελειμμένον τῷ στοιχειωτῇ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς ὡσαύτως ἀπο‐
5δείκνυται καὶ οὐδὲν δεῖ τὰ αὐτὰ ἀνακυκλεῖν. Ἰστέον δέ, ὅτι τριῶν ὄντων τούτων ἐν ταῖς εἰρημέναις προτάσεσι, τοῦ ἐπὶ ἴσων εἶναι βάσεων, τοῦ ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἶναι βάσεων καὶ τοῦ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις, δύο συμ‐ πλέκοντες ἀεί, τὸ δὲ ἓν καταλιπόντες ποικίλως ἀντιστρέ‐
10φομεν. ἢ γὰρ τὰς βάσεις ὑποθησόμεθα τὰς αὐτὰς ἢ ἴσας καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις τὰ τρίγωνα καὶ τὰ παρ‐ αλληλόγραμμα καὶ ποιήσομεν τέσσαρα θεωρήματα, ἢ ἴσα ληψόμεθα αὐτὰ καὶ τὰς βάσεις τὰς αὐτὰς καὶ ποιή‐ σομεν ἄλλα δ, ὧν τὰ μὲν δύο παρῆκεν ὁ στοιχειωτὴς τὰ
15ἐπὶ τῶν παραλληλογράμμων, τὰ δὲ δύο ἔδειξε τὰ ἐπὶ τῶν
τριγώνων.

1

133-134t

Ad prop. 40

1

.

133

Καὶ τὸ μαʹ θεώρημα τοπικόν ἐστιν. δείξας δὲ ὁ στοιχειωτὴς χωρὶς μὲν τὰ παραλληλόγραμμα, χωρὶς δὲ τὰ τρίγωνα ἐνταῦθα μίγνυσι τῶν τριγώνων καὶ παραλλη‐ λογράμμων συστάσεις ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος κειμένων. λαβὼν
5γὰρ ἅμα ἀμφότερα μίγνυσι καὶ θεωρεῖ, ὅπως ἔχουσι πρὸς ἄλληλα. ἀλλὰ χωρὶς μὲν ὄντων τῶν παραλληλογράμμων καὶ χωρὶς τῶν τριγώνων ὁ τῆς ἰσότητος ἀνεφαίνετο λόγος· πάντα γὰρ ἴσα ἀλλήλοις τὰ ἐπὶ τῶν αὐτῶν βάσεων καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς ὄντα παραλλήλοις εἴτε τρίγωνα εἴτε παραλλη‐
10λόγραμμα. ἐνταῦθα δὲ ὁ πρῶτος τρόπος ἐστὶ τῶν ἀνίσων ὁ διπλάσιος· τὸ γὰρ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου διπλάσιον ἀποδείκνυσι τῆς αὐτῆς οὔσης βάσεως καὶ ὕψους τοῦ αὐτοῦ. ἰστέον, ὅτι δύο πτώσεων οὐσῶν ἐν τῷ θεωρή‐ ματι, οἷον τῆς αὐτῆς βάσεως οὔσης ἀμφοῖν τῷ τε παραλ‐
15ληλογράμμῳ καὶ τῷ τριγώνῳ ἀνάγκη τὴν κορυφὴν ἔχειν τὸ τρίγωνον ἢ ἐντὸς τοῦ παραλληλογράμμου ἢ ἐκτός, ὁ στοιχειωτὴς τῇ ἑτέρᾳ πτώσει ἐχρήσατο· τὴν γὰρ τοῦ τριγώνου κορυφὴν ἐκτὸς ὑποθέμενος τοῦ παραλληλογράμ‐ μου τὸ προκείμενον ἔδειξε. δύο δὲ οὐσῶν παραλλήλων
20εὐθειῶν ἀνάγκη τὴν μὲν μείζονα εἶναι, τὴν δὲ ἐλάττονα, ἵνα ἐπιζευγνυμένων συσταίη καὶ τρίγωνον, ἐπεὶ ἴσων οὐ‐ σῶν τῶν παραλλήλων καὶ αἱ ἐπιζευγνύουσαι αὐτὰς παράλ‐ ληλοι ἔσονται.

1

.

134

Ἔστι μὲν δὴ καὶ τὸ θεώρημα τοῦτο τοπικόν, μίγνυ‐ σι δὲ τριγώνων καὶ παραλληλογράμμων συστάσεις ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος κειμένων. ὥσπερ οὖν τὰ παραλληλόγραμμα χωρὶς ἐθεασάμεθα καὶ αὖ πάλιν τὰ τρίγωνα, οὕτω καὶ ἅμα
5ἀμφότερα λαβόντες ταὐτὸν ἐκείνοις πεπονθότα τὸν λόγον, ὃν ἔχει πρὸς ἄλληλα, θεωρήσωμεν. ἐπ’ ἐκείνων μὲν οὖν ὁ τῆς ἰσότητος ἀναφαίνεται λόγος· πάντα γὰρ ἦν ἴσα ἀλλή‐
λοις τὰ ἐπὶ τῶν αὐτῶν βάσεων εἴτε τρίγωνα εἴτε παραλλη‐ λόγραμμα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς ὄντα παραλλήλοις. ἐπὶ δὲ
10τούτων ὁ πρώτιστος δείκνυται τῶν ἀνίσων ὁ διπλάσιος. τὸ γὰρ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου διπλάσιον ἀπο‐ δείκνυσι τῆς αὐτῆς οὔσης βάσεως καὶ ὕψους τοῦ αὐτοῦ. ἀλλ’ ὁ μὲν στοιχειωτὴς τὴν τοῦ τριγώνου κορυφὴν ἐκτὸς ὑποθέμενος τοῦ παραλληλογράμμου τὸ προκείμενον ἔδει‐
15ξεν, ἡμεῖς δὲ ἐπὶ τῆς ἑτέρας αὐτὴν λαβόντες τοῦ παραλλη‐ λογράμμου πλευρᾶς τῆς παραλλήλου τῇ κοινῇ αὐτῶν βάσει τὸ αὐτὸ ἀποδείξομεν. δύο γὰρ αὗται τοῦ θεωρήματός εἰσι πτώσεις σκοπός, ἐπειδὴ τῆς αὐτῆς βάσεως οὔσης ἀμφοῖν ἢ ἐντὸς τοῦ παραλληλογράμμου κορυφὴν ἔχειν ἀνάγκη τὸ
20τρίγωνον ἢ ἐκτός.

1

135-137t

Ad prop. 41

1

.

135

Νῦν πρῶτον ἐμνήσθη τοῦ παραπληρώματος ἐν τῷ μγʹ θεωρήματι, τὸ δὲ ὄνομα τῶν παραπληρωμάτων ἀπ’ αὐτοῦ τοῦ πράγματος ἔλαβεν ὁ στοιχειωτὴς ὡς καὶ τούτων μετὰ τῶν δύο παραλληλογράμμων συμπληρούντων ὅλον τὸ
5περιέχον ἀμφότερα παραλληλόγραμμον. ἃ μὲν γὰρ ἡ διά‐ μετρος διαιρεῖ, παραλληλόγραμμά εἰσι, τὰ δὲ ἔξω τῆς δια‐ μέτρου παραπληρώματα, ὥστε τὸ περιέχον ἀμφότερα παραλληλόγραμμον ὑπὸ τῶν δύο παραλληλογράμμων τῶν ἐντὸς καὶ τῶν δύο παραπληρωμάτων συνέστηκε, διόπερ
10αὐτὸ καθ’ αὑτὸ μνήμης ἐν τοῖς ὅροις οὐκ ἠξίωται. ποικι‐ λίας γὰρ ἔδει πρὸς τὴν σαφήνειαν, ἵνα γνῶμεν, τί παραλ‐ ληλόγραμμον καὶ τίνα τὰ περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρον παραλ‐ ληλόγραμμα ἐντὸς τοῦ ὅλου. τούτων γὰρ σαφηνισθέντων ἐγένετο ἂν καὶ τὸ παραπλήρωμα γνώριμον. διὸ ταμιευ‐
15σάμενος αὐτὰ νῦν, ὅτε ἐδεῖτο παραπληρωμάτων πρὸς τὸ συστῆσαι τὸ παραλληλόγραμμον τὸ περιέχον αὐτά, καὶ τὸν περὶ τούτων λόγον ἐμφαίνει.

1

.

136

Ἔφαμεν, ὅτι τὰ παραλληλόγραμμα τρεῖς πτώσεις ἔχουσιν μόνας καὶ οὔτε πλείους οὔτε ἐλάσσους· τὰ γὰρ αὐτὰ παραλληλόγραμμα τὰ περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρον ἢ τεμεῖ ἄλληλα ἢ κατὰ σημεῖον ἅψεται ἀλλήλων ἢ διεστῶτα
5ἔσται μέρει τινὶ τῆς διαμέτρου. τὸ δὲ ὄνομα τῶν παραπλη‐ ρωμάτων ἀπ’ αὐτοῦ τοῦ πράγματος ἔλαβεν ὁ στοιχειωτὴς ὡς καὶ τούτων παρὰ τὰ δύο παραλληλόγραμμα συμπλη‐ ρούντων τὸ ὅλον. διόπερ αὐτὸ καθ’ αὑτὸ μνήμης ἐν τοῖς ὅροις οὐκ ἠξίωται. ποικιλίας γὰρ ἔδει πρὸς τὴν σαφήνειαν,
10ἵνα γνῶμεν παραλληλόγραμμον καὶ τίνα τὰ περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρον τῷ ὅλῳ. τούτων σαφηνισθέντων καὶ τὸ παρα‐ πλήρωμα μόνον ὡς ἂν ἐγένετο γνώριμον. ἔστιν δὲ ἐκεῖνα τῶν παραλληλογράμμων περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρον, ὅσα μέρος τῆς ὅλης διαμέτρου καὶ αὑτῶν ἔχει διάμετρον, ὅσα
15δὲ μή, οὔ. ὅταν γὰρ ἡ τοῦ ὅλου διάμετρος τῶν πλευρῶν τινα τέμνῃ τοῦ ἐντὸς παραλληλογράμμου, τότε οὐκ ἔστιν τῷ ὅλῳ τοῦτο τὸ παραλληλόγραμμον περὶ διάμετρον τὴν [Omitted graphic marker] αὐτήν. οἷον ὡς ἐν τῷ ΑΒ παραλληλογράμμῳ ἡ ΓΔ
20τέμνει τοῦ ΓΕ παραλλη‐ λογράμμου τὴν ΕΘ πλευ‐ ράν. τὸ οὖν ΕΓ τῷ ΓΔ περὶ τὴν αὐτὴν οὐκ ἔστιν διά‐ μετρον.

1

.

137

Εἴτε τὰ παραλληλόγραμμα ἐφάπτεται μόνον, ὡς ἔδειξεν ὁ στοιχειωτής, εἴτε καὶ διέστηκεν ἀπ’ ἀλλήλων, εἴτε καὶ τέμνει ἄλληλα, τὸ αὐτὸ δείκνυται. τὸ δὲ ὄνομα τῶν παραπληρωμάτων ἀπ’ αὐτοῦ τοῦ πράγματος ἔλαβεν ὁ
5στοιχειωτὴς ὡς καὶ τούτων παρὰ τὰ δύο παραλληλόγραμ‐
μα συμπληρούντων τὸ ὅλον.

1

138-140t

Ad prop. 44

1

.

138

Ὑπὸ τῶν παλαιῶν εὑρόντες οἱ νεώτεροι τὴν παρα‐ βολὴν καὶ τὴν ἔλλειψιν ἐκτεθειμένας ἀπὸ τούτων τὰ ὀνό‐ ματα μετήγαγον ἐπὶ τὰς κωνικὰς λεγομένας γραμμὰς καὶ τὴν μὲν παραβολήν, τὴν δὲ ὑπερβολήν, τὴν δὲ ἔλλειψιν
5ἐκάλεσαν. ὅταν γὰρ εὐθείας ἐκκειμένης τὸ δοθὲν χωρίον πάσῃ τῇ εὐθείᾳ συμπαρατείνηται, τότε παραβάλλειν ἐκεῖνο τὸ χωρίον φαμέν, ὅτε δὲ μεῖζον γίνηται τοῦ χωρίου τὸ μῆκος αὐτῆς τῆς εὐθείας, τότε ὑπερβάλλειν, ὅτε δὲ ἔλασ‐ σόν ἐστι τὸ γραφὲν χωρίον αὐτῆς τῆς εὐθείας, ὡς εἶναι τὸ
10μὲν χωρίον ἐντός, τὴν δὲ εὐθεῖαν περιττεύειν ἐκτός, ἐλ‐ λείπειν. τῶν μὲν οὖν λοιπῶν δύο ὁ Εὐκλείδης ἐν τῷ ϛʹ βιβλίῳ μνημονεύει, ἐνταῦθα δὲ τῆς παραβολῆς ἐδεήθη τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον ἐθέλων παραβαλεῖν παρὰ τὴν δοθεῖ‐ σαν εὐθεῖαν. ἔστι δὲ τοιοῦτον τὸ παραβάλλειν, οἷον τρι‐
15γώνου δοθέντος τὸ ἐμβαδὸν ἔχοντος ιβ ποδῶν, εὐθείας δὲ ἐκκειμένης, ἧς τὸ μῆκος τεττάρων ἐστὶ ποδῶν, τὸ ἴσον τῷ τριγώνῳ παρὰ τὴν εὐθεῖαν παραβάλλειν, εἰ λαβόντες τὸ μῆκος ὅλον τῶν δ ποδῶν διὰ τοῦ μήκους εὕρομεν καὶ τὸ πλάτος, ὅσων εἶναι δεῖ ποδῶν, ἵνα τῷ τριγώνῳ τὸ παρ‐
20αλληλόγραμμον ἴσον γένηται· οἷον εἰ τύχοι ὂν τὸ πλάτος γ ποδῶν, ποιήσομεν τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος, ὀρθῆς δὲ γενομένης τῆς γωνίας ἕξομεν τὸ χωρίον. τρία δὲ τὰ δεδο‐ μένα ἐν τῷ προβλήματι τούτῳ ἐστίν, εὐθεῖα, παρ’ ἣν δεῖ παραβαλεῖν ὡς ὅλην αὐτοῦ τοῦ χωρίου γίνεσθαι πλευράν,
25καὶ τρίγωνον, ᾧ ἴσον εἶναι δεῖ τὸ παραβαλλόμενον, καὶ γω‐ νία, ᾗ ἴσην εἶναι δεῖ τὴν τοῦ χωρίου γωνίαν. δῆλον δέ, ὅτι ὀρθῆς μὲν οὔσης τῆς γωνίας τὸ παραβαλλόμενον ἢ τετρά‐ γωνον ἢ ἑτερόμηκες ἔσται, ὀξείας δὲ ἢ ἀμβλείας τὸ χωρίον ἢ ῥόμβος ἔσται ἢ ῥομβοειδές. εἰπὼν δέ, ὅτι παρὰ τὴν
30δοθεῖσαν εὐθεῖαν παραβαλεῖν, ἔδειξεν, ὅτι ἀνάγκη τὴν εὐθεῖαν πεπερασμένην εἶναι. ἔλαβε δὲ εἰς τὴν κατασκευὴν τοῦ προβλήματος τούτου τὴν σύστασιν τοῦ παραλληλο‐ γράμμου τοῦ ἴσου τῷ δοθέντι τριγώνῳ, διαφέρει δὲ ἡ σύ‐ στασις τῆς παραβολῆς, ὅτι ἡ μὲν παραβάλλει μόνον, ἡ δὲ
35σύστασις ὅλον ὑφίστησι τὸ χωρίον καὶ τὰς πλευρὰς αὐτοῦ· μιᾷ γὰρ πλευρᾷ χρωμένη τῇ δεδομένῃ εὐθείᾳ περιεχούσῃ τὸ ἐμβαδὸν τὰς λοιπὰς εἰσάγουσα πλευρὰς οὔτε ἐλλειπού‐ σας κατὰ τὴν ἔκτασιν οὔτε περιττευούσας τὸ χωρίον ὑφίστησιν. ἰστέον δέ, ὅτι, ὅτε μὲν τρίγωνα τριγώνοις
40ἐδείκνυεν ἴσα, θεωρήμασιν ἐχρῆτο, ἐπειδὴ ὁμοειδῶν ὄντων τῶν τριγώνων αὐτοφυὴς ἦν καὶ ἡ ἰσότης ἐν αὐτοῖς καὶ μόνης ἐπιβλέψεως ἔδει, ὅπερ ἔργον τοῦ θεωρήματος, ἐν‐ ταῦθα δέ, ἐπειδὴ τρίγωνα καὶ παραλληλόγραμμα τὰ δεικνύμενα, καί ἐστιν εἰδῶν ἐξαλλαγή, ἡ ἰσότης γενέσεως
45δεῖται καὶ μηχανῆς ὡς καθ’ ἑαυτὴν οὖσα δυσεύρετος· ἔργον δὲ προβλήματι τὸ τὰς γενέσεις τῶν πραγμάτων ποιεῖν.

1

.

139

Ἐνταῦθα δὲ τῆς παραβολῆς ἐδεήθη τῷ δοθέντι τρι‐ γώνῳ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἴσον θέλων παραβαλεῖν, ἵνα μὴ μόνον σύστασιν ἔχωμεν παραλληλογράμμου τῷ δο‐ θέντι τριγώνῳ ἴσου, ἀλλὰ καὶ παρ’ εὐθεῖαν ὡρισμένην
5παραβολήν. οἷον τριγώνου δοθέντος τὸ ἐμβαδὸν ἔχοντος δώδεκα ποδῶν, εὐθείας δὲ ἐκκειμένης, ἧς τὸ μῆκός ἐστι τεσσάρων ποδῶν, τὸ ἴσον τριγώνῳ παρὰ τὴν εὐθεῖαν παρα‐ βάλλομεν, εἰ λαβόντες τὸ μῆκος τῶν τεττάρων ποδῶν εὕρομεν, πόσων εἶναι δεῖ ποδῶν τὸ πλάτος, ἵνα τῷ τρι‐
10γώνῳ παραλληλόγραμμον ἴσον γένηται. εὑρόντες οὖν, εἰ τύχοι, πλάτος τριῶν ποδῶν καὶ ποιήσαντες τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος, τοῦτο δὲ ὀρθῆς οὔσης τῆς ἐκκειμένης γωνίας, ἕξομεν τὸ χωρίον. τοιοῦτον μὲν δή τι τὸ παραβαλεῖν ἐστιν ὑπὸ τῶν Πυθαγορείων παραδεδομένον. τρία δέ ἐστι τῷ
15προβλήματι τούτῳ τὰ δεδομένα· εὐθεῖα, παρ’ ἣν δεῖ παρα‐ βαλεῖν ὡς ὅλην αὐτοῦ τοῦ χωρίου γενέσθαι πλευράν, καὶ τρίγωνον, ᾧ ἴσον εἶναι δεῖ τὸ παραβαλλόμενον, καὶ γωνία, ᾗ ἴσην εἶναι τὴν τοῦ χωρίου γωνίαν. καὶ δῆλον πά‐ λιν, ὡς ὀρθῆς μὲν οὔσης τῆς γωνίας τὸ παραβαλλόμενον
20ἢ τετράγωνον ἢ ἑτερόμηκες ἔσται, ὀξείας δὲ ἢ ἀμβλείας ἢ ῥόμβος τὸ χωρίον ἢ ῥομβοειδές. ὅτι γε μὴν καὶ τὴν εὐθεῖαν εἶναι δεῖ πεπερασμένην, φανερόν· οὐ γὰρ δύναται παρὰ τὴν ἄπειρον. ἅμα οὖν τῷ φάναι παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν παραβαλεῖν ἐδήλωσεν, ὅτι καὶ πεπεράνθαι ἀνάγκη τὴν
25εὐθεῖαν. χρῆται δὲ εἰς τὴν κατασκευὴν τοῦ προβλήματος τούτου τῇ συστάσει τοῦ παραλληλογράμμου τοῦ ἴσου τῷ δοθέντι τριγώνῳ· οὐ γὰρ ταὐτὸν παραβολὴ καὶ σύστασις, καὶ ὅτι ὅλον ὑφίστησι τὸ χωρίον καὶ τοῦτο καὶ τὰς πλευρὰς ἁπάσας δὲ μίαν ἔχουσα πλευρὰν δεδομένην παρὰ ταύτην
30ὑφίστησι τὸ χωρίον οὔτε ἐλλείπουσα κατὰ τὴν ἔκτασιν οὔτε ὑπερβάλλουσα, ἀλλὰ μιᾷ πλευρᾷ ταύτῃ χρωμένη περιεχούσῃ τὸ ἐμβαδόν. διὰ τί οὖν, φαίης ἄν, ὅτε μὲν τρί‐ γωνα τριγώνοις ἴσα ἐδείκνυ, θεωρήμασιν ἐχρῆτο, ὅτε δὲ τρίγωνα παραλληλογράμμοις, προβλήμασιν; ὅτι, φήσο‐
35μεν, ἡ ἰσότης ὁμοειδῶν ὄντων αὐτοφυής ἐστι καὶ ἐπι‐ βλέψεως δεομένη μόνης, τῶν δὲ διὰ τὴν κατ’ εἶδος ἐξαλ‐ λαγὴν ἡ ἰσότης γενέσεως δεῖται καὶ μηχανῆς ὡς καθ’ ἑαυτὴν οὖσα δυσεύρετος.

1

.

140

Ὅταν μὲν εὐθείας ἐκκειμένης τὸ δοθὲν χωρίον πάσῃ τῇ εὐθείᾳ συμπαρατείνῃς, τότε παραβάλλειν ἐκεῖνο τὸ χωρίον φασίν, ὅταν δὲ μεῖζον ποιήσῃς τὸ μῆκος τοῦ χωρίου τῆς εὐθείας, ὑπερβάλλειν, ὅταν δὲ ἔλαττον, ἐλλεί‐
5πειν, καὶ τῶν τελευταίων τούτων ἐν τῷ ϛʹ μνημονεύει βι‐ βλίῳ, ὑπερβολῆς καὶ ἐλλείψεως. Πυθαγορείων δὲ ταῦτα
ἐφευρήματα.

1

141-143t

Ad prop. 45

1

.

141

Τὸ μεʹ πρόβλημα καθολικώτερόν ἐστι τῶν δύο προβλημάτων, ἐν οἷς εὑρίσκομεν τὴν σύστασιν καὶ τὴν παραβολὴν τῶν ἴσων τῷ δοθέντι τριγώνῳ παραλληλο‐ γράμμων. εἴτε γὰρ τρίγωνον εἴτε τετράγωνον ἢ ὅλως
5τετράπλευρον εἴτε ἄλλο τι πολύπλευρον εἴη δεδομένον, διὰ τούτου τοῦ προβλήματος ἴσον αὐτῷ παραλληλόγραμμον συστήσομεν. πᾶν γὰρ εὐθύγραμμον καθ’ αὑτὸ εἰς τρίγωνα διαλύεται. ἀναλύσαντες οὖν τὸ δοθὲν εὐθύγραμμον εἰς τρί‐ γωνα καὶ ἑνὶ μὲν αὐτῶν ἴσον παραλληλόγραμμον συστή‐
10σαντες, τοῖς δὲ λοιποῖς παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἴσα παραλληλόγραμμα λαμβάνοντες, παρ’ ἣν καὶ τὴν παρα‐ βολὴν ἐποιήσαμεν, ἕξομεν τὸ ἐκ τούτων παραλληλόγραμ‐ μον ἴσον τῷ ἐξ ἐκείνων τῶν τριγώνων τῶν εὐθυγράμμων. κἂν δεκάπλευρον ᾖ τὸ εὐθύγραμμον, εἰς ὀκτὼ τρίγωνα
15αὐτὸ ἀναλύσομεν, ἑνὶ δὲ τούτων ἴσον συστήσομεν παραλλη‐ λόγραμμον, καὶ ἑπτὰ παραβάλλοντες ἴσα τοῖς λοιποῖς ἕξο‐ μεν τὸ ζητούμενον. ἔοικε δὲ ἐκ τοῦ προβλήματος τούτου κινηθέντας τοὺς παλαιοὺς καὶ τοῦ κύκλου τετραγωνισμὸν ζητῆσαι. εἰ δὲ παραλληλόγραμμον ἴσον εὑρίσκεται παντὶ
20εὐθυγράμμῳ, ζητήσεως ἄξιον, μὴ καὶ τὰ εὐθύγραμμα ἴσα δεικνύναι δυνατὸν τοῖς περιφερογράμμοις, ὡς καὶ ὁ Ἀρχι‐ μήδης ἔδειξεν, ὅτι πᾶς κύκλος ἴσος ἐστὶ τριγώνῳ ὀρθογω‐ νίῳ, οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ μιᾷ τῶν περὶ τὴν ὀρ‐ θήν, ἡ δὲ περίμετρος τῇ βάσει. ἀλλὰ ταῦτα ἐν ἄλλοις ζητή‐
25σομεν.

1

.

142

Ἐάν τε γὰρ τετράγωνον ἢ ὅλως τετράπλευρον εἴτε ἄλλο τι πολύπλευρον εἴη δεδομένον, διὰ τούτου τοῦ προ‐ βλήματος ἴσον αὐτῷ παραλληλόγραμμον συστήσομεν. πᾶν γὰρ εὐθύγραμμον, ὡς καὶ πρότερον εἴπαμεν, εἰς τρίγωνα
5ἀναλύεται· ἑνὶ δὲ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστή‐ σαντες, τοῖς δὲ λοιποῖς παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἴσα παραλληλόγραμμα λαμβάνοντες ἐκείνην, παρ’ ἣν ἐποιήσα‐ μεν τὴν πρώτην, κἂν δεκάπλευρον ᾖ τὸ εὐθύγραμμον, εἰς ὀκτὼ τρίγωνα διαλύσομεν, ἑνὶ δὲ ἴσον συστήσομεν παραλ‐
10ληλόγραμμον καὶ ἑπτάκις παραβάλλοντες ἴσα τοῖς λοιποῖς ἕξομεν τὸ ζητούμενον. ἐκ τούτου δέ, οἶμαι, τοῦ προβλή‐ ματος οἱ παλαιοὶ καὶ τὸν τετραγωνισμὸν τοῦ κύκλου ἐζή‐ τησαν. εἰ γὰρ παραλληλόγραμμον ἴσον εὑρίσκεται παντὶ εὐθυγράμμῳ, ζητήσεως ἄξιον, μὴ καὶ τὰ εὐθύγραμμα
15τοῖς περιφερογράμμοις ἴσα δεικνύναι δυνατόν. καὶ ὁ Ἀρχι‐ μήδης ἔδειξεν, ὅτι πᾶς κύκλος ἴσος ἐστὶ τριγώνῳ ὀρθογω‐ νίῳ, οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶν μιᾷ τῶν περὶ τὴν ὀρθήν, ἡ δὲ περίμετρος τῇ βάσει. ἀλλὰ ταῦτα μὲν ἐν ἄλλοις.

1

.

143

Τοῦτο καθολικώτερον τῶν πρὸ αὐτοῦ· διὸ καὶ ὡς λήμμασιν ἐκείνοις χρῆται. παντὶ γὰρ πολυγώνῳ ἴσον ὑπισχνεῖται πλάττειν παραλληλόγραμμον. διαλύει δὲ τὰ πολύγωνα εἰς τρίγωνα καὶ τοῖς τριγώνοις ἴσα συνίστησιν
5ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ ἀεὶ παρὰ τὴν τοῦ συσταθέντος πλευ‐ ρὰν τοῖς τριγώνοις ἴσα παραβάλλων παραλληλόγραμμα. ἐκ τούτου δέ φασι καὶ εἰς ζήτησιν τοῦ τὸν κύκλον τετρα‐ γωνίζεσθαι προελθεῖν. ὑπέλαβον γάρ, ὡς εἴη καὶ τοῖς μὴ εὐθυγράμμοις ἴσα παραλληλόγραμμα· ὅθεν ὁ Ἀρχιμή‐
10δης σχεδὸν ἀπέδειξεν τοῦτο, ἀλλ’ ὅμως γε παρελογίσατο.

1

144-147t

Ad prop. 46

1

.

144

Δεῖ μὲν ἡμῖν τοῦ μϛʹ προβλήματος εἰς τὴν κατα‐ σκευὴν τοῦ μζʹ. ἰστέον δέ, ὅτι τῶν ἀρίστων εὐθυγράμμων δύο τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου καὶ ἰσοπλεύρου τετραγώνου γενέσεις παραδέδωκεν ὁ στοιχειωτὴς ἐν τοῖς πρὸ τούτων
5καὶ ἐν τούτοις, διότι καὶ πρὸς τὴν σύστασιν τῶν κοσμικῶν
σχημάτων τῶν δ καὶ τούτων μάλιστα χρεία τῶν εὐθυγράμ‐ μων· τὸ μὲν γὰρ εἰκοσάεδρον καὶ τὸ ὀκτάεδρον καὶ ἡ πυραμὶς ἐκ τῶν ἰσοπλεύρων σύγκειται τριγώνων, ὁ δὲ κύβος ἐκ τῶν τετραγώνων. πρεπόντως δὲ καὶ τὸ μὲν συστή‐
10σασθαι λέγει (ὡς γὰρ ἐκ πολλῶν συγκροτούμενον συστά‐ σεως δεῖται), τὸ δὲ ἀναγράψαι ἔφη ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀρχῆς ἀπο‐ γεννώμενον καὶ ἀναγραφῆς δεόμενον μόνης.

1

.

145

Δεῖται μὲν τοῦ προβλήματος τούτου διαφερόντως εἰς τὴν τοῦ ἐφεξῆς θεωρήματος κατασκευήν, ἔοικεν δὲ τῶν δύο γενέσεις ἐθελῆσαι παραδοῦναι τῶν ἐν εὐθυγράμμῳ ἀρίστων ἰσοπλεύρου τριγώνου καὶ τετραγώνου, διότι δὴ
5καὶ πρὸς τὴν σύστασιν τῶν κοσμικῶν σχημάτων καὶ μά‐ λιστα τῶν τεττάρων, ὧν καὶ γένεσίς ἐστι καὶ ἀνάλυσις, τούτων χρεία τῶν εὐθυγράμμων. τὸ μὲν γὰρ εἰκοσάεδρον καὶ τὸ ὀκτάεδρον καὶ ἡ πυραμὶς ἐκ τῶν ἰσοπλεύρων σύγκει‐ ται τριγώνων, ὁ δὲ κύβος ἐκ τῶν τετραγώνων. διό μοι δοκεῖ
10προηγουμένως τὸ μὲν συστήσασθαι, τὸ δὲ ἀναγράψαι· πρέποντα γὰρ δὴ ταῦτα τὰ ὀνόματα ἀνεῦρεν τοῖσδε τοῖς σχήμασι. τὸ μὲν γὰρ ὡς ἐκ πολλῶν συγκροτούμενον συστά‐ σεως δεῖται, τὸ δὲ ὡς ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς ἀπογεννώμενον ἀναγραφῆς. οὐ γάρ, ὥσπερ τὸ τετράγωνον ἔχομεν πολ‐
15λαπλασιάσαντες τὸν τῆς δοθείσης εὐθείας ἀριθμὸν ἐφ’ ἑαυτόν, οὑτωσὶ καὶ τὸ τρίγωνον, ἀλλαχόθεν ἐπιζεύξαντες ἐπὶ τὰ πέρατα τῆς εὐθείας συγκροτοῦμεν ἐκ τούτων ἓν ἰσόπλευρον τρίγωνον, καὶ ἡ τῶν κύκλων καταγραφὴ συν‐ τελεῖ πρὸς τὸ ἀνευρεῖν ἐκεῖνο τὸ σημεῖον, ἀφ’ οὗ δεῖ τὰς
20εὐθείας εἰς τὰ πέρατα τῆς ἐκκειμένης εὐθείας ἐπιζεῦξαι. ταῦτα μὲν οὖν δῆλα· δεικτέον ἀντὶ τῶν εὐθειῶν ἴσων, ἀφ’ ὧν ἀναγράφεται τὰ τετράγωνα, καὶ αὐτὰ ἴσα ἐστίν.

1

.

146

Ὁμοίως καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων εὐθειῶν τετράγωνα ἀναγραφῶσιν, ἴσα ἔσονται. ἔστωσαν γὰρ ἴσαι αἱ ΑΒ, ΓΔ,
καὶ ἀπὸ μὲν τῆς ΑΒ ἀναγεγράφθω τὸ ΑΕ, ἀπὸ δὲ τῆς ΓΔ τὸ ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΒ, ΘΔ. ἐπεὶ οὖν αἱ
5ΑΒ, ΓΔ ἴσαι καὶ αἱ ΑΗ, ΓΘ, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσι, καὶ ἡ ΗΒ τῇ ΘΔ ἴση καὶ τὸ ΗΑΒ τρίγωνον τῷ ΘΓΔ τριγώνῳ. καὶ τὰ διπλάσια αὐτῶν· τὸ ἄρα ΑΕ τῷ ΓΖ ἴσον. ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ ἀντίστροφον ἀληθές. εἰ γὰρ τὰ τετράγωνα ἴσα, καὶ αἱ εὐθεῖαι αἱ ἀφ’ ὧν ἀναγέγραπται ἴσαι ἔσονται.
10ἔστω γὰρ τετράγωνα ἴσα τὰ ΑΖ, ΗΓ, καὶ κείσθω ὥστε [Omitted graphic marker] ἐπ’ εὐθείας εἶναι τὴν ΑΒ τῇ ΒΓ. ὀρθῶν ἄρα οὐσῶν τῶν γωνιῶν ἐπ’ εὐθείας καὶ ἡ ΖΒ τῇ ΒΗ ἔσται. ἐπεζεύχθωσαν
15αἱ ΖΓ, ΑΗ. ἐπεὶ οὖν ἴσον τὸ ΑΖ τετράγωνον τῷ ΓΗ, καὶ τὸ ΑΖΒ τρίγωνον ἴσον τῷ ΓΒΗ τριγώνῳ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΒΓΖ. ὅλον ἄρα τὸ ΑΓΖ ἴσον
20τῷ ΓΖΗ. παράλληλος ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΓΖ διὰ τὸ λθʹ. πάλιν ἐπεὶ ἡμίσεια ὀρθῆς ἥ τε ὑπὸ ΑΖΒ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΒ, παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ· ἐναλλὰξ γάρ εἰσιν. οὐκοῦν ἴση ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ· παρ‐ αλληλογράμμου γάρ εἰσιν ἀπεναντίον. ἐπεὶ δὴ δύο τρίγωνά
25ἐστι τὰ ΑΒΖ, ΒΓΗ τὰς ἐναλλὰξ ἔχοντα γωνίας ἴσας καὶ μίαν πλευρὰν τὴν ΑΖ τῇ ΓΗ, ἴση ἔσται καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ καὶ ἡ ΖΒ τῇ ΒΗ, ἐξ ὧν ἀνεγράφθη τὰ τετράγωνα.

1

.

147

ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ p. 62, 17] διότι ἴση ἐστὶ τῇ ΑΔΕ καὶ οὔτε μείζων οὔτε ἐλάσσων, ὅπερ ὤφειλεν ἔχειν, εἰ κυρίως δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἦσαν ἀμφότεραι.

1

148-156t

Ad prop. 47

1

.

148

Ἐν τῷ σχήματι τοῦ μζʹ θεωρήματος μέσον μέν ἐστι τρίγωνον, ὑπὸ τὴν βάσιν δὲ τοῦ τριγώνου ἐστὶ τετρά‐
γωνον, ἐπάνω δὲ τοῦ τριγώνου ἐφ’ ἑκατέρας πλευρᾶς τε‐ τράγωνα, ὡς εἶναι τὸ ὅλον σχῆμα ἐκ τριγώνου ἑνὸς καὶ
5τριῶν τετραγώνων. φησὶν οὖν ὁ στοιχειωτὴς ἐν τῇ προ‐ τάσει τοῦ προκειμένου θεωρήματος, ὅτι τὸ ὑποκάτω τοῦ τριγώνου τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς δυσὶ τετραγώνοις τοῖς ἐπάνω τοῦ τριγώνου. ὑποτείνουσαν γὰρ πλευρὰν τὸ τρίγω‐ νον τὴν βάσιν λέγει, περιεχούσας δὲ πλευρὰς τὰς ἐπὶ τῆς
10βάσεως ἱσταμένας ἑκατέρωθεν. ἡμεῖς δὲ τὰς ἐν μέσῳ τοῦ διαγράμματος εὐθείας κατελίπομεν, πρὸς μόνην τὴν πρό‐ τασιν τοῦτο διαγράψαντες. οὐκ ἐπὶ πάντων δὲ τῶν τριγώ‐ νων τοῦτο δύναται γίνεσθαι· οὔτε γὰρ ἐπὶ τῶν ὀξυγωνίων οὔτε ἐπὶ τῶν ἀμβλυγωνίων, ἀλλ’ ἐπὶ μόνων τῶν ὀρθο‐
15γωνίων. ἐπεὶ δὲ τὰ ὀρθογώνια ἢ ἰσοσκελῆ εἰσιν ἢ σκαληνά, ἀδύνατον τοῦτο γίνεσθαι ἐπὶ τῶν ἰσοσκελῶν διὰ τὸ τὴν βάσιν ἐλάττονα ἔχειν τῶν πλευρῶν, τοῦτο δὲ τὸ ἀνάπαλιν ζητεῖν τὴν βάσιν μείζονα εἶναι ἑκατέρου τῶν σκελῶν. ἀνάγ‐ κη οὖν τὸ τοιοῦτον σχῆμα ἐπὶ μόνων τῶν σκαληνῶν συν‐
20ίστασθαι. καθολικώτερον δὲ περὶ τούτου τοῦ σχήματος ἐν τῷ ϛʹ βιβλίῳ διαλαμβάνει, ὡς ἐκεῖσε γενόμενοι εἰσό‐ μεθα.

1

.

149

Οἱ ἀρχαῖοι τὸ θεώρημα τοῦτο εἰς Πυθαγόραν ἀναπέμπουσιν, καὶ θαυμαστή ἐστιν ἡ θεωρία τοῦ θεωρή‐ ματος τούτου. ὁ δὲ στοιχειωτὴς ἐν τούτῳ ἀπὸ τῆς τῶν παραλληλογράμμων κοινῆς θεωρίας τὸ ζητούμενον δεί‐
5κνυσιν. διττῶν δὲ ὄντων τῶν ὀρθογωνίων τριγώνων, τῶν μὲν ἰσοσκελῶν, τῶν δὲ σκαληνῶν, ἐν μὲν τοῖς ἰσοσκελέσιν οὐκ ἄν ποτε εὕροιμεν ἀριθμοὺς ἐφαρμόσαι ταῖς πλευραῖς· οὐ γάρ ἐστι τετράγωνος ἀριθμὸς τετραγώνου διπλάσιος, εἰ μὴ λέγοι τις τὸν σύνεγγυς. ὁ γὰρ ἀπὸ τοῦ ζ τοῦ ἀπὸ τοῦ
10ε διπλάσιός ἐστιν α δέοντος. ἐν δὲ τοῖς σκαληνοῖς δυνατὸν λαβεῖν ἐναργῶς ἡμῖν δείκνυται τὸ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τὴν ὀρθὴν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθήν. τοιοῦτον
γάρ ἐστι τὸ ἐν Πολιτείᾳ τρίγωνον, οὗ τὴν ὀρθὴν περιέχου‐ σιν ὅ τε τρία καὶ ὁ τέσσαρα, ὑποτείνει δὲ αὐτὴν ὁ ε. τὸ γοῦν
15ἀπὸ τοῦ ε τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπ’ ἐκείνων. τοῦτο μὲν γάρ ἐστιν εἴκοσι πέντε, τὰ ἀπ’ ἐκείνων δὲ τὸ μὲν ἀπὸ τοῦ γ θ, τὸ δὲ ἀπὸ τοῦ δ ἑκκαίδεκα. σαφὲς οὖν τὸ λεγό‐ μενον ἐπὶ τῶν ἀριθμῶν, παραδέδονται δὲ καὶ μέθοδοί τινες τῆς εὑρέσεως τῶν τοιούτων τριγώνων. τὴν μὲν εἰς Πλάτω‐
20να ἀναπέμπουσι, τὴν δὲ εἰς Πυθαγόραν· ἀπὸ τῶν περιττῶν ἐστιν ἀριθμῶν. τίθησι γὰρ τὸν δοθέντα περιττὸν ὡς ἐλάσ‐ σονα τῶν περὶ τὴν ὀρθήν, καὶ λαβοῦσα τὸν ἀπ’ αὐτοῦ τετρά‐ γωνον καὶ τούτου μονάδα ἀφελοῦσα τοῦ λοιποῦ τὸ ἥμισυ τίθησι τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν τὸν μείζονα. προσθεῖσα δὲ καὶ
25τούτῳ μονάδα τὴν λοιπὴν ποιεῖ τὴν ὑποτείνουσαν. οἷον τὸν τρία λαβοῦσα καὶ τετραγωνίσασα καὶ ἀφελοῦσα τοῦ ἐννέα μονάδα τοῦ η λαμβάνει τὸ ἥμισυ τὸν δ καὶ τούτῳ προστί‐ θησι πάλιν μονάδα καὶ ποιεῖ τὸν ε· καὶ ηὕρηται τρίγωνον ὀρθογώνιον ἔχον τὴν μὲν τριῶν, τὴν δὲ τεσσάρων, τὴν δὲ
30πέντε. ἡ δὲ Πλατωνικὴ ἀπὸ τῶν ἀρτίων ἐπιχειρεῖ· λαβοῦσα γὰρ τὸν δοθέντα ἄρτιον τίθησιν αὐτὸν ὡς μίαν πλευρὰν τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν καὶ τοῦτον διελοῦσα δίχα καὶ τετραγωνίσας τὸ ἥμισυ μονάδα μὲν τῷ τετραγώνῳ προσθεῖσα ποιεῖ τὴν ὑποτείνουσαν, μονάδα δὲ ἀφελὼν τοῦ τετραγώνου ποιεῖ
35τὴν ἑτέραν τῶν περὶ τὴν ὀρθήν. οἷον τὸν τέσσαρα λαβοῦσα καὶ τούτου τὸ ἥμισυ β τετραγωνίσας καὶ ποιήσας αὐτὸν δ, ἀφελοῦσα μὲν μονάδα ποιεῖ τὸν γ, προσθεῖσα δὲ ποιεῖ τὸν ε· καὶ ἔχει τὸ αὐτὸ γενόμενον τρίγωνον, ὃ καὶ ἐκ τῆς ἑτέρας ἀπετελεῖτο μεθόδου· τὸ γὰρ ἀπὸ τούτου ἴσον τῷ ἀπὸ τοῦ
40γ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ δ συντεθεῖσιν. ταῦτα μὲν οὖν ἔξωθεν προσιστορήσθω· τῆς δὲ τοῦ στοιχειωτοῦ ἀποδείξεως οὔσης φανερᾶς οὐδὲν ἡγοῦμαι δεῖν προσθεῖναι περιττόν, ἀλλὰ ἀρκεῖσθαι τοῖς γεγραμμένοις, ἐπεὶ καὶ ὅσοι προσέθεσάν
τι πλέον, ὡς οἱ περὶ Ἥρωνα καὶ Πάππον, ἠναγκάσθησαν
45προσλαβεῖν τι τῶν ἐν τῷ ἕκτῳ δεδειγμένων οὐδενὸς ἕνεκα πραγματειώδους.

1

.

150

Ἔστω ἡ βάσις τοῦ τριγώνου ε, τῶν δύο πλευρῶν ἡ μὲν γ, ἡ δ’ ἑτέρα δ, τὸ ἀπὸ τῶν ε τετράγωνον κε, τὸ ἀπὸ τῆς γ θ, τὸ ἀπὸ τῆς δ ιϛ, ιϛ δὲ καὶ θ κε, ἅπερ ὅλον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ε τετράγωνον.

1

.

151

Ἔστω ἡ ΒΓ ἡ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ μονάδων ε, τὸ δὲ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον μονά‐ δων κε. πάλιν ἔστω ἡ ΒΑ εὐθεῖα μονάδων δ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον μονάδων ιϛ, ἡ δὲ ΓΑ μονάδων γ καὶ
5τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον μονάδων θ. τὸ οὖν θ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετράγωνον καὶ τὰ ιϛ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσα εἰσὶ τοῖς κε τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ· θ γὰρ καὶ ιϛ κε.

1

.

152

Ἐπὶ τῇ εὑρέσει τούτου τοῦ θεωρήματος βουθυτῆ‐ σαι λέγεται ὁ Πυθαγόρας, ὥς φησι Πρόκλος ἐξηγούμενος αὐτό.

1

.

153

Ἰστέον, ὅτι, ὅταν ᾖ σκαληνὸν τὸ ὀρθογώνιον, δυνάμεθα ἀεὶ δι’ ἀριθμῶν ἀποδιδόναι τὸ ἀπὸ τῆς ὑποτει‐ νούσης τετράγωνον ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν πλευρῶν τετραγώ‐ νοις. εἰ γάρ ἐστιν ἡ κάθετος περισσὸς ἀριθμὸς ἀπὸ τοῦ
5τρία πάντως ἀρχόμενος, πολυπλασιάζω τὸν τοιοῦτον ἀριθ‐ μὸν καθ’ ἑαυτόν· εἶτα ἀφαιρῶ μονάδα καὶ τὸ ἥμισυ τοῦ μείναντος ἀριθμοῦ ποιῶ βάσιν· εἶτα προστίθημι μονάδα καὶ ποιῶ τὴν ὑποτείνουσαν. οἷον ἐπὶ ὑποδείγματος ἔστω ἡ κάθετος ε. πολλαπλασιάζω ταῦτα. γίνονται κε. ἀφαιρῶ
10μονάδα. μένουσιν κδ. τὰ ἡμίση τούτων ἤγουν τὰ ιβ ποιῶ βάσιν. προστίθημι μονάδα καὶ ποιῶ τὴν ὑποτείνουσαν. τῶν γὰρ ιγ ἡ δύναμις, ὅ ἐστι τὸ ἀπὸ τούτων τετράγωνον, ἔστι ρξθ, ἀλλὰ καὶ τὰ συναμφότερα τετράγωνα τό τε ἀπὸ τῆς καθέτου ἤτοι τὰ κε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς βάσεως ἤτοι τὰ ρμδ
15τὸν ρξθ συμπληροῦσιν ἀριθμόν· καί ἐστιν ἡ μέθοδος αὕτη Πυθαγόρου, ὥς φησιν Ἥρων καὶ Πρόκλος ὁ Πλατωνικὸς διάδοχος. ἐὰν δὲ ᾖ ἡ κάθετος ἄρτιος ἀριθμός, ἡ μὲν μέθ‐ οδός ἐστι Πλατωνικὴ κατὰ τοὺς εἰρημένους Ἥρωνά τε καὶ Πρόκλον, πρόεισι δὲ οὕτως· λαμβάνω τὸ ἥμισυ τῆς καθ‐
20έτου· πολυπλασιάζω αὐτό. ἀφαιρῶ τοῦ πολυπλασιασμοῦ μονάδα· τὸ μεῖναν ποιῶ βάσιν· προστίθημι τῇ βάσει δυάδα καὶ ποιῶ τὴν ὑποτείνουσαν. οἷον ἐπὶ ὑποδείγματος ἔστω ἡ κάθετος η. τὰ ἡμίση τούτων πολυπλασιάζω· γί‐ νονται ιϛ· ἀφαιρῶ μονάδα, καὶ γίνεται ἡ βάσις ιε. προστί‐
25θημι δυάδα καὶ ποιῶ τὴν ὑποτείνουσαν ιζ. ἔστιν οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τετράγωνον σπθ. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς καθέτου μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς βάσεως τὸν αὐτὸν συμπληροῦ‐ σιν ἀριθμόν. τῶν γὰρ η τὸ τετράγωνον ξδ καὶ τῶν ιε σκε· ὁμοῦ σπθ.

1

.

154

Ἡ μὲν ὑπὸ ΒΑΓ γωνία προαπεδόθη ὀρθή, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΗ διὰ τὸ μϛʹ. τῇ γὰρ εὐθείᾳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ σημείου πρὸς ὀρθὰς ἤχθη ἡ ἑτέρα εὐθεῖα, καὶ ἀπεδεί‐ χθησαν πᾶσαι αἱ γωνίαι τοῦ τετραγώνου ὀρθαί. καὶ ἐνταῦθα
5τοίνυν ἀπὸ τῆς Β[Α] πλευρᾶς τὸ ΗΒ συνέστη τετράγω‐ νον, καὶ ὀθραί εἰσιν αἱ πᾶσαι γωνίαι.

1

.

155

Ἰστέον, ὅτι τότε δυνάμεθα εὑρίσκειν μήκει ῥητὴν τὴν ὑποτείνουσαν εὐθεῖαν τὴν ὀρθὴν γωνίαν τὴν τοῦ ὀρθο‐ γωνίου τριγώνου, ὅτε καὶ σκαληνὸν εἴη καὶ τὰς τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχούσας πλευρὰς ῥητὰς ἔχῃ, ὅτε δὲ μὴ τοιοῦτόν
5ἐστιν, ἀλλ’ ἰσοσκελές, μήκει μὲν οὐδαμῶς, δυνάμει δέ, καθὼς καὶ τὸ εἰς τὴν προκειμένην καταγραφὴν τετράγωνον ἔχει. τούτου γὰρ ἡ ὑποτείνουσα πλευρὰ τὴν ὀρθὴν γωνίαν διὰ τὸ μὴ σκαληνὸν ὑποκεῖσθαι οὐκ ἔστι μήκει ῥητή, ἀλλὰ δυνάμει· καὶ γὰρ αὕτη μονάδων ἐστὶ ζ δʹ ιεʹʹ νʹʹʹ λʹʹʹʹ καὶ
10μήκει οὐκ ἔστι ῥητή, ἀλλὰ δυνάμει.

1

.

156

Δείκνυται τοῦτο τὸ τῆς νύμφης θεώρημα καὶ ἀριθ‐ μητικῶς οὕτως· Πλάτων τῶν ἀνισοσκελῶν ὡς δῆλον μό‐ νον ταῦτα καὶ ῥητὴν ἔχουσι τὴν πλευράν, καί ἐστιν ἐπὶ τῶν ἀρτίων ἀριθμῶν δεικνύμενον οὕτως· λαμβάνει τὸ ἥμισυ
5τοῦ προκειμένου αὐτῷ ἀριθμοῦ καὶ πολυπλασιάζει πρῶτον ἐφ’ ἑαυτό· εἶτα ἀφαιρεῖται τούτου τὸ ἓν καὶ τὸν λοιπὸν ἀριθμὸν τὴν ἑτέραν εἶναι λέγει πλευράν. εἶτα πάλιν προσ‐ τίθησι τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ μονάδα καὶ ταύ‐ την εἶναι τὴν ὑποτείνουσαν. ἔστω γὰρ ὡς ἐν ὑποδείγματι
10τρίγωνον ἰσοσκελὲς ὀρθογώνιον τὴν μίαν ἔχον πλευρὰν δ [Omitted graphic marker] εἴτε σπιθαμῶν εἴτε ποδῶν, εἴτε ὁπωσδήποτέ τις αὐτὴν ὑποθῆται. ζητεῖται οὖν ἡ λοιπὴ πλευρὰ καὶ ἡ ὑποτείνουσα, καὶ
15λέγομεν οὕτως· δὶς δύο τέσσα‐ ρες· τοῦτο γὰρ ἦν τὸ ἥμισυ τοῦ προκειμένου ἡμῖν ἀριθμοῦ. εἶτα ἀφαιροῦμεν τούτου τὸ ἕν, καὶ τοῦτό ἐστιν ἡ πλευρὰ ἤγουν
20ὁ τρία. προστίθεμεν δὲ καὶ εἰς τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετράγωνον μονάδα, ὅπερ ἦν ὁ δ, καί ἐστιν ἡ ὑποτείνουσα ε. δείκνυται οὖν τὸ θεώρημα οὕτως ὡς ἐν τῷ διαγράμματι. Πυθαγόρας ἀπὸ τῶν πε‐ ρισσῶν οὕτως πολυπλασιάζει πρῶτον ὅλον τὸν προκεί‐
25μενον ἀριθμόν, καὶ ἀφαιρεῖται τούτου μονάδα, καὶ τὸ τοῦ ἀριθμοῦ τούτου ἥμισύ ἐστιν ἡ ἑτέρα πλευρά. εἶτα προστίθησι τῷ ἡμίσει μονάδα, καί ἐστιν ἡ ὑποτείνουσα. ἔστω γὰρ τρίγωνον ἀνισοσκελὲς ἔχον τὴν μίαν τῶν πλευ‐ ρῶν γ. ζητεῖται οὖν ἡ ἑτέρα πλευρὰ καὶ ἡ ὑποτείνουσα, καὶ
30εὑρίσκει αὐτὴν οὕτως· πολυπλασιάζει τὸν ἀριθμὸν ὅλον ἐφ’ ἑαυτὸν οὕτως· τρὶς τὰ τρία θ. εἶτα ἀφαιρεθείσης μο‐
νάδος ἐναπελείφθη ὁ ὀκτὼ ἀριθμός, καὶ τούτου τὸ ἥμισύ ἐστιν ἡ ἑτέρα πλευρά. προστίθησι δὲ καὶ τῷ ἡμίσει τούτῳ μονάδα, καὶ τοῦτό ἐστιν ἡ ὑποτείνουσα ἤτοι ε. δείκνυται τὸ
35θεώρημα οὕτως ὡς ἐν τῷ διαγράμματι.

1

157-159t

Ad prop. 48

1

.

157

Τὸ μηʹ θεώρημα ἀντιστρέφει τῷ πρὸ αὐτοῦ ὅλον πρὸς ὅλον. εἰ γὰρ ὀρθογώνιόν ἐστι τὸ τρίγωνον, τὸ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον γινόμενον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν πλευρῶν γινομένοις τετραγώνοις
5τοῖς δυσὶ τὸ ἕν, καὶ εἰ τὸ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης πλευρᾶς γινόμενον τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν δύο πλευρῶν γινομένοις δυσὶ τετραγώνοις, ὀρθογώνιόν ἐστι τὸ τρίγωνον ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ τῶν λοιπῶν περιεχομένην. ἄχρι δὲ τούτου τὸ πρῶτον βιβλίον ὁ στοιχειωτὴς συνεπλή‐
10ρωσε πολλὰ εἴδη ἀντιστροφῶν παραδοὺς ἡμῖν (ἀντέστρεψε γὰρ καὶ ὅλα πρὸς ὅλα καὶ ὅλα πρὸς μέρη καὶ μέρη πρὸς μέρη θεωρημάτων) πολλήν τε ποικιλίαν προβλημάτων ἐπι‐ νοήσας (καὶ γὰρ εὐθειῶν τομὰς καὶ γωνιῶν καὶ θέσεις καὶ στάσεις καὶ παραβολὰς παραδέδωκε), ἐφαψάμενος καὶ τοῦ
15παραδόξου τόπου τῶν θεωρημάτων καὶ τῶν τοπικῶν αὐτῶν θεωρημάτων ἱκανῶς ἡμᾶς ἀναμνήσας, τῶν τε καθ‐ ολικῶν καὶ τῶν ἐπὶ μέρους τὴν στοιχείωσιν ἐκφῆναι δυνα‐ μένων καὶ τῶν ἀδιορίστων καὶ διωρισμένων προβλημά‐ των τὴν διαφορὰν ἐνδειξάμενος ὅλον τὸ αʹ βιβλίον εἰς ἕνα
20σκοπὸν ἀνήνεγκε τὴν στοιχείωσιν τῆς περὶ τῶν ἁπλουστά‐ των εὐθυγράμμων θεωρίας, τάς τε συστάσεις αὐτῶν ἐξευ‐ ρὼν καὶ τὰ καθ’ αὑτὰ ὑπάρχοντα αὐτοῖς ἀνασκεψάμενος.

1

.

158

ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΑΓ p. 66, 5. 6] ἀπὸ γὰρ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΓ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθη ἡ ΑΔ.

1

.

159

Ἀντιστρέφει μὲν τοῦτο τῷ πρὸ αὐτοῦ θεωρήματι καὶ ὅλον πρὸς ὅλον ἀντιστρέφει. εἰ γὰρ ὀρθογώνιον, τὸ ἀπὸ
τῆς ὑποτεινούσης ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν, καὶ εἰ τὸ ἀπὸ ταύτης ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν, ὀρθογώνιόν ἐστι τὸ τρί‐
5γωνον ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ τῶν λοιπῶν περιεχομένην. καὶ ἡ μὲν ἀπόδειξις τοῦ στοιχειωτοῦ φανερά. Τὸ μὲν οὖν πρῶτον βιβλίον ἄχρι τούτων ὁ στοιχειωτὴς συνεπλήρωσεν πολλὰ μὲν ἀντιστροφῶν εἴδη παραδούς (καὶ γὰρ ὅλα πολλάκις ἀντέστρεψεν πρὸς ὅλα καὶ ὅλα πρὸς
10μέρη καὶ μέρη πρὸς μέρη θεωρημάτων), πολλὴν δὲ ποικι‐ λίαν προβλημάτων ἐπινοήσας (καὶ γὰρ εὐθειῶν τομὰς καὶ γωνιῶν καὶ θέσεις καὶ συστάσεις καὶ παραβολὰς παρα‐ δέδωκεν), ἐφαψάμενος δὲ καὶ τοῦ παραδόξου λεγομένου τόπου τῶν μαθημάτων καὶ τῶν τοπικῶν αὐτῶν θεωρημά‐
15των ἱκανῶς ἡμᾶς ἀναμνήσας τῶν τε καθολικῶν καὶ τῶν ἐπὶ μέρους τὴν στοιχείωσιν ἐκφήνας καὶ τῶν ἀδιορίστων καὶ διωρισμένων προβλημάτων τὴν διαφορὰν ἐνδειξάμενος, ἃ δὴ πάντα καὶ ἡμεῖς αὐτῷ συνεπόμενοι διηρθρώσαμεν, ὅλον δὲ τὸ βιβλίον εἰς ἕνα σκοπὸν ἀνενεγκὼν τὴν στοιχείω‐
20σιν τῆς περὶ τῶν ἁπλουστάτων εὐθυγράμμων θεωρίας καὶ τάς τε συστάσεις αὐτῶν ἐξευρὼν καὶ τὰ καθ’ αὑτὰ ὑπάρ‐ χοντα αὐτοῖς ἀνασκεψάμενος. ἡμεῖς δέ, εἰ μὲν δυνηθείημεν καὶ τοῖς λοιποῖς τὸν αὐτὸν τρόπον ἐξελθεῖν, τοῖς θεοῖς ἂν χάριν ὁμολογήσαιμεν, εἰ δὲ ἄλλαι φροντίδες ἡμᾶς περι‐
25σπάσαιεν, τοὺς φιλοθεάμονας τῆς θεωρίας ταύτης ἀξιοῦμεν κατὰ τὴν αὐτὴν μέθοδον καὶ τῶν ἑξῆς ποιήσασθαι βιβλίων τὴν ἐξήγησιν, τὸ πραγματειῶδες πανταχοῦ καὶ εὐδιαίρετον μεταδιώκοντας, ὡς τά γε φερόμενα νῦν ὑπομνήματα πολ‐ λὴν καὶ παντοδαπὴν ἔχει τὴν σύγχυσιν αἰτίας ἀπόδοσιν
30οὐδεμίαν συνεισφέροντα οὐδὲ κρίσιν διαλεκτικὴν οὐδὲ θεω‐
ρίαν φιλόσοφον.

2

t

In librum 2

2

.

1

Τὸ βιβλίον τοῦτο χρήσιμον εἰς πολλά. καὶ γὰρ πρὸς στερεωμετρίαν καὶ τὴν τῶν ἐπιπέδων συμβάλλεται θεω‐ ρίαν, λύεται δὲ πολλὰ δι’ αὐτοῦ τῶν προβλημάτων, εἴς τε μὴν ἀστρονομίαν οὐκ ὀλίγα συμβάλλεται· σκοπὸν δὲ ἔχει
5εὐθειῶν ἀναγραφὰς καὶ τῶν μερῶν παραδοῦναι, ἀφ’ ὧν ἄλογοι τομαὶ φανήσονται εὐθειῶν. εὑρίσκει δὲ καὶ τὰς δύο μεσότητας ἀριθμητικὴν καὶ γεωμετρικήν· οὐ δεῖται δὲ λήμματος οὐδὲ ἔχει πρὸς δεῖξιν ἔνστασιν.

2

2-10t

Ad def. 1

2

.

2

Ἀπορήσειέ τις, διὰ τί πᾶν παραλληλόγραμμον ὀρθογώ‐ νιον περιέχεσθαι λέγεται ὑπὸ δύο τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν καὶ οὐχὶ πᾶν παραλληλόγραμμον ἁπλῶς, ἐπείπερ ἔδοξε λέγεσθαι περιέχειν τὰς δύο πλευρὰς
5τοιόνδε τι παραλληλόγραμμον. λέγομεν οὖν πρὸς τὸν οὕτω ἀπορήσαντα αἰτίαν εἶναι τούτου τὴν τῆς γωνίας ὀρθότητα. τρόπον γάρ τινα οἶδα, ἐὰν ἡ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν ἐστιν ὀρθή, καὶ ποῦ τεθήσονται αἱ μετὰ τῶν τοιούτων δύο πλευρῶν τὸ ὀρθογώνιον σχῆμα περιέχουσαι
10ἕτεραι πλευραὶ δύο. περιεχέτωσαν γὰρ σαφηνείας χάριν
τὴν ὀρθὴν γωνίαν αἱ ΒΑ, ΑΓ. ἐὰν διὰ τοῦ Β σημείου, καθ’ ὃ περατοῦται ἡ μία τῶν γραμμῶν, παράλληλον τῇ ΑΓ ἀγάγωμεν τὴν ΒΔ, ἔσονται αἱ πρὸς τοῖς Α, Β δύο γω‐ νίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι. ἔστι δὲ ἡ πρὸς τῷ Α ὀρθή· ὀρθὴ
15ἄρα ἔσται καὶ ἡ πρὸς τῷ Β. ὀρθῆς οὖν ἀναγκαίως ὀφειλού‐ σης εἶναι τῆς πρὸς τῷ Β, εἰ παραλληλόγραμμον μέλλει [Omitted graphic marker] γενέσθαι, οἶδα τρόπον τινὰ καὶ πρὸ τοῦ διαθεῖναι τὴν ΒΔ τὴν θέσιν αὐτῆς. ἐπεὶ γὰρ μία ἐστὶν ἡ θέσις τῆς εὐθείας τῆς μεθ’ ἑτέρας πλευρᾶς ὀρθὴν ποιούσης γωνίαν καὶ οὐχὶ
20πλέονες ὡς τῆς μεθ’ ἑτέρας εὐθείας γραμμῆς ὀξεῖαν ἢ ἀμβλεῖαν γωνίαν ποιούσης διὰ τὸ εἰ ὀξεῖαν ὀξείας μείζονα καὶ ἀμβλεῖαν ἀμβλείας οἶσθα πως ..... διὰ τὰ αὐτὰ δὲ οἶδα καὶ τὴν τῆς ἑτέρας πλευρᾶς θέσιν παντελῶς. λοιπὸν ἄρα καὶ ἀσφαλῶς τὸ παραλληλόγραμμον περιάγε‐
25σθαι μετὰ τῶν ὑπὸ δύο τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχου‐ σῶν εὐθειῶν.

2

.

3

Πᾶν παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον περιέχεσθαι λέ‐ γεται ὑπὸ δύο τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν] διὰ τί τεσσάρων οὐσῶν εὐθειῶν τῶν περιεχουσῶν τὸ παρ‐ αλληλόγραμμον δύο μόνας ὠνόμασεν; αἱ γὰρ τὴν ὀρθὴν
5γωνίαν περιέχουσαι δύο μόναι εἰσίν· ἔδει οὖν ἢ ὑπὸ τῶν τὰς ὀρθὰς εἰπεῖν καὶ ἐδήλου πάσας, ἢ φανερῶς εἰπεῖν ὑπὸ τεσσάρων εὐθειῶν. καλῶς καὶ στοιχειωδῶς εἴρηται· τὸ γὰρ μέλλον λέγεσθαι ἐν τοῖς θεωρήμασι προδιδάσκει ἡμᾶς, ὡς εἴωθεν ἐν τοῖς ὅροις ἀεὶ ποιεῖν, ἵνα μὴ ἐν τοῖς τό‐
10ποις ταραττώμεθα παρ’ ὑπόληψιν ἀκούοντές τινα ῥήματα.
λέγεται γὰρ ἐν τῷ στοιχείῳ τούτῳ πρῶτον καὶ οὐδέπω ῥηθέν· ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχε, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑκατέ‐ ρου τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ [II 2]· καὶ
15τί μέν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τετράγωνον, ἤδη ἔγνωμεν πρὸς τῷ τέλει τοῦ αʹ στοιχείου [I 46], καὶ νῦν δὲ δῆλον· ἀεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ τετραγώνου ἀναγραφὴν δη‐ λοῖ. τὸ μέντοι ὑπὸ οὐδέπω οὐδαμοῦ ἐγνώσθη τοιοῦτόν τι ὄν· ἀεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῆσδε καὶ τῆσδε περιεχόμενον παραλ‐
20ληλόγραμμον δηλοῖ. κἂν μὲν ἴσαι ὦσιν αἱ δύο εὐθεῖαι, συμβαίνει τὸ παραλληλόγραμμον καὶ τετράγωνον εἶναι, ἂν δὲ ἄνισοι, παραλληλόγραμμον ἑτερόμηκες. πλὴν ἀλλὰ κἂν τετράγωνον αὐτὸ συμβῇ γενέσθαι, οὐχ ὡς τετράγωνον διδάσκεται οὕτως, ἀλλ’ ὡς παραλληλόγραμμον. εὐθέως
25γοῦν τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑκατέρου τῶν τμημάτων οὐδέ‐ ποτ’ ἂν γένοιτο τετράγωνον ἀνίσων τούτων ὄντων.

2

.

4

Οὐχ ὡς ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν περιεχομένου τοῦ ὀρ‐ θογωνίου· ὑπὸ δ γὰρ περιέχεται· ἀλλ’ ὡς προειλημμένου ὑπὸ τοῦ ὅρου τοῦ αʹ τοῦ δευτέρου τῶν στοιχείων. ἐν τῷ αʹ γὰρ τοῖς ὅροις εἶπεν, ὅτι δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχου‐
5σιν· καὶ μηδ’ ἐνταῦθα γοῦν ὑπολάβῃς, ὅτι τοῦτο τὸ ὀρθο‐ γώνιον δύο εὐθεῖαι περιέχουσιν. εἶπε δὲ δύο διὰ τὸ καὶ τὰς λοιπὰς δύο ἴσας εἶναι ταύταις ἑκατέραν τῇ αὑτῇ ἀπεναν‐ τίον.

2

.

5

Τὸ ὀρθογώνιον προσέθηκεν, ἵνα διορίσηται τὰ μὴ ὀρθογώνια παραλληλόγραμμα, ὡς δηλοῖ τὸ μαʹ θεώρημα τοῦ αʹ βιβλίου καὶ τὸ ληʹ. περιεχουσῶν δὲ εἶπε καὶ οὐχ ὑποτιθεισῶν, ἵνα μὴ λάβῃς τὰς ἀπεναντίας.

2

.

6

Τὸ ὀρθογώνιον προσέθηκεν, ἵνα διορίσῃ τὰ παραλλη‐
λόγραμμα μέν, μὴ ὀρθογώνια δέ, οἷά εἰσι τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ἀλλήλοις συναναγραφόμενα καὶ τά, ἐφ’ ὧν παραλλήλους εὐθείας ἄγοντες ταῖς τῶν τριγώνων πλευραῖς
5παραλληλόγραμμον ἐποιοῦμεν· ἐπὶ τούτων γὰρ οὐ λέγεται τὸ ὑπὸ τῶνδε.

2

.

7

Τὸ μὲν ὀρθογώνιον προσέθηκεν, ἵνα διορίσῃ τὰ παρ‐ αλληλόγραμμα μέν, μὴ ὀρθογώνια δέ· ἐπὶ γὰρ τῶν τοιού‐ των οὐ λέγεται τὸ ὑπὸ τῶνδε. τίνα δέ ἐστι τὰ παραλληλό‐ γραμμα τὰ μὴ ὀρθογώνια, ἔγνωμεν ἤδη ἐν τῷ πρὸ τούτου
5στοιχείῳ ..... τε τοῖς προαναγεγραμμένοις παραλληλο‐ γράμμοις τε καὶ ὀρθογωνίοις ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως συν‐ αναγραφομένοις .... ὧν ... εὐθείας ἄγοντες ταῖς τῶν τριγώνων πλευραῖς παραλληλόγραμμον ἐποιοῦμεν, ὡς δῆ‐ λον ἐν πολλοῖς μὲν καὶ ἄλλοις, φανερώτερον δὲ ἐν μαʹ
10θεωρήματι .....

2

.

8

Τῶν τὴν ὀρθὴν περιεχουσῶν εἶπεν· οὐ γὰρ δὴ ὑπὸ τῶν τυχουσῶν δύο εὐθειῶν, ἀλλ’ ὑπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γω‐ νίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν, ἵνα μὴ λάβῃς .....εναντίας. αὗται .....περιεχ... γωνίαν ου... παραλληλό‐
5γραμμον ὀρθογώνιον περιέχειν δύνανται. κἂν μὴν ἐκεῖναι ληφθῶσιν ...............

2

.

9

Εἰδέναι δὲ δεῖ, ὅτι τὸ παραλληλόγραμμον εἶδος μέν ἐστι τοῦ εὐθυγράμμου, γένος δὲ τῶν παραλληλογράμμων. εἴδη δὲ αὐτῶν τέσσαρα· τετράγωνον, ἑτερόμηκες, ῥόμβος, ῥομβοειδές.

2

.

10

Τῶν τετραπλεύρων σχημάτων τὰ μὲν παραλληλό‐ γραμμα, τὰ δὲ τραπέζια· τῶν δὲ τριπλεύρων καὶ τετρα‐ πλεύρων καὶ πολυπλεύρων γένος ἐστὶ τὸ εὐθύγραμμον, ὥστε προσεχὲς γένος τῶν παραλληλογράμμων οὐ τὸ εὐθύ‐
5γραμμον, ἀλλὰ τὸ τετράπλευρον.

2

11-14t

Ad def. 2

2

.

11

Τὸν γνώμονα ἰστέον συντομίας ἕνεκεν ηὑρῆσθαι τοῖς γεωμέτραις, τὸ δὲ ὄνομα ἐκ τοῦ συμβεβηκότος· ἀπ’ αὐτοῦ γὰρ τὸ ὅλον γνωρίζεται ἢ τοῦ ὅλου χωρίου ἢ τοῦ λοιποῦ, ὅταν ἢ περιτίθηται ἢ ἀφαιρῆται. καὶ ἐν τοῖς ὡροσκοπίοις
5δὲ ἔργον ἔχει τοῦτο μόνον τὸ τὰς ἐνεστώσας ὥρας ποιεῖν γνωρίμους.

2

.

12

Παραπληρώματα δὲ λέγεται οὐχ ὡς μὴ ὄντα καὶ αὐτὰ παραλληλόγραμμα, ἀλλ’ ὡς μὴ ὅμοια τῷ ὅλῳ, παρα‐ πληροῦντα δὲ τὴν τοῦ ὅλου πρὸς αὐτὰ ὁμοιότητα.

2

.

13

Ἰστέον, ὅτι γνώμονες κυρίως λέγονται οἱ περιττοὶ ἀριθμοί, διότι τετραγώνοις ἀριθμοῖς περιτιθέμενοι τετρά‐ γωνον πάλιν ἀποτελοῦσιν· οἷον πρῶτος ἀριθμός ἐστι τετράγωνος ἡ μονάς. ταύτῃ γοῦν ὁ πρῶτος περιττὸς ὁ
5τρία περιτιθέμενος τὸν τέτταρα τετράγωνον ἀποτελεῖ, καὶ τούτῳ τῷ τέσσαρα τετραγώνῳ πάλιν ὁ πέντε περιττὸς περιτιθέμενος τὸν ἐννέα τετράγωνον ποιεῖ καὶ τῷ ἐννέα ὁ ἑπτὰ τετραγώνῳ περιττὸς περιτιθέμενος τὸν δεκαὲξ τετράγωνον ἐκτελεῖ, καὶ ἐφεξῆς οὕτω προβαίνων εὑρήσεις
10τοὺς περιττοὺς οἷόν τινας κανόνας τὸ τῶν τετραγώνων σχῆμα ἀπεριθραύστως διαφυλάττοντας. ταῦτ’ ἄρα καὶ γνώμονες κέκληνται ὡς ὄντες οἷόν τινες κανόνες τε καὶ εὐθύτητες. οὐ μὴν τοῦτο κἀπὶ τῶν ἀρτίων οὕτως ἴδοις γι‐ νόμενον. τῷ γὰρ πρώτῳ τετραγώνῳ τῇ μονάδι ὁ δύο πρῶ‐
15τος ἄρτιος προστεθεὶς τὸν τρία ποιεῖ περιττὸν ὄντα καὶ οὐ τετράγωνον, καὶ τῷ τέσσαρα πάλιν τετραγώνῳ ὁ τέσσαρα ἄρτιος περιτεθεὶς τὸν ὀκτὼ ἄρτιον ὄντα καὶ οὐ τετράγωνον
ἐκτελεῖ, καὶ ἐφεξῆς προβαίνων τις ἀνίσους εὑρήσει τοὺς ἐκ τῆς συμπλοκῆς τῶν τε ἀρτίων καὶ τῶν τετραγώνων ἀπο‐
20τελουμένους ἀριθμούς. ἀλλ’ οἱ μὲν περιττοί, δι’ ἣν ἀνωτέ‐ ρω ἔφαμεν αἰτίαν, καλοῦνται γνώμονες, ἀπὸ μεταφορᾶς δὲ τούτων καὶ ὁ γεωμετρικὸς λέγεται γνώμων, διότι καὶ αὐτὸς τῷ τετραγώνῳ περιτιθέμενος αὔξει καὶ οὐκ ἀλλοιοῖ τὸ τετράγωνον. τετράγωνος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ ἐξ ἑτέρου
25τινὸς ἀριθμοῦ εἰς ἑαυτὸν πολυπλασιασθέντος ἀποτελε‐ σθείς, ὡς ὁ τέσσαρα· ἐκ γὰρ τοῦ δὶς δύο· καὶ ὁ ἐννέα ἐκ τοῦ τρὶς τρεῖς καὶ ὁ δεκαὲξ ἐκ τοῦ τετράκις τέσσαρα καὶ ὁ κε ἐκ τοῦ πεντάκις πέντε καὶ ὁ λϛ ἐκ τοῦ ἑξάκις ἓξ καὶ ὁ μθ ἐκ τοῦ ἑπτάκις ἑπτὰ καὶ ἑξῆς.

2

.

14

Ἀλλ’ ἰστέον καὶ τοῦτο, ὅτι παντὶ τετραγώνῳ γνώ‐ μων προστεθεὶς αὔξει μὲν τὸ σχῆμα, τὸ δὲ εἶδος οὐκ ἀλ‐ λοιοῖ.

2

15-18t

Ad prop. 1

2

.

15

Ἡ ὅλη ΒΓ μονάδων ι, ἡ ΒΗ ἤτοι ἡ Α μονάδων γ, ἡ ΒΔ μονάδων δ, ἡ ΔΕ μονάδων γ καὶ ἡ ΕΓ μονάδων γ. [Omitted graphic marker]

2

.

16

Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἄτμητος ἡ Α μονάδων ζ, ἡ δὲ τμηθεῖσα ἐννέα, ἀφ’ ὧν τὸ ὅλον ὀρθογώνιον ἕξει ξγ. τῆς τμηθείσης τὸ μεῖζον τμῆμα μονάδων δ, τὸ μέσον μο‐ νάδων γ, τὸ ἔλαττον μονάδων β· ἀφ’ ὧν καὶ τῆς ἀτμήτου
5ἕξουσι τὰ ἐμπεριεχόμενα ὀρθογώνια κη κα ιδ μονάδας· ὁμοῦ ξγ. ἴσον δὴ καὶ διὰ τῆς τῶν ἀριθμῶν ἀποδείξεως τὸ ὑπὸ τῶν Α, ΒΓ τοῖς ὑπὸ τῶν Α, ΒΔ καὶ Α, ΔΕ καὶ Α,
ΕΓ περιεχομένοις ὀρθογωνίοις.

2

.

17

Ἔστω ἡ μὲν ἄτμητος εὐθεῖα ἡ Α μονάδων ε, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ι. τετμήσθω ἡ ΒΓ εἰς μονάδας δ καὶ β καὶ δ ὡς εἶναι τὴν ΒΔ δ, τὴν ΔΕ β, τὴν ΕΓ δ. καὶ γίνονται τὰ ε πρὸς τὰ ι ἤτοι ἡ Α πρὸς τὴν ΒΓ χωρίον τὸ ΒΘ μονάδων
5ν. ἡ δὲ Α πρὸς τὴν ΒΔ τὰ ε πρὸς τὰ δ χωρίον ποιεῖ μονά‐ δων κ τὸ ΒΚ· ἡ δὲ Α πρὸς τὴν ΔΕ ε καὶ δύο ποιεῖ χωρίον τὸ ΔΛ μονάδων ι, ἡ δὲ Α πρὸς τὴν ΕΓ τὰ δ ποιεῖ χωρίον τὸ ΕΘ κ. τὰ δὲ κ καὶ ι καὶ κ εἰσι μονάδες ν.

2

.

18

Ἔστω ἡ μὲν ἄτμητος εὐθεῖα ἡ Α μονάδων ε, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ι. τετμήσθω ἡ ΒΓ εἰς μονάδας τε δ καὶ β καὶ δ. πολυπλασιάζω τὰ ε ἐπὶ τὰ ι· γίνονται ν. καὶ πάλιν τὰ αὐ‐ τὰ ε ἐπὶ τὰ δ· γίνονται κ. καὶ αὖθις τὰ αὐτὰ ε ἐπὶ τὰ β.
5γίνονται ι. καὶ τὰ αὐτὰ ε ἐπὶ δ· γίνονται κ. ὁμοῦ ν. καί ἐστιν ἴσον τὸ ὑπὸ τῆς Α καὶ τῆς ΒΓ τοῖς ὑπό τε τῆς Α καὶ τῆς ΒΔ καὶ τῆς ΔΕ καὶ τῆς ΕΓ ὀρθογωνίοις.

2

19-22t

Ad prop. 2

2

.

19

Ἔστω ἡ ὅλη εὐθεῖα μονάδων ι· τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, εἰς ϛ καὶ δ. τὸ οὖν ὑπὸ τῆς ὅλης ἤγουν τῶν ι καὶ τοῦ ἑνὸς τῶν τμημάτων τῶν ϛ πολυπλασιαζόμενον γίνονται ξ, καὶ τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τμήματος ἤγουν τῶν δ μ·
5ὁμοῦ ρ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον ρ· τὰ
γὰρ ι πολυπλασιαζόμενα ἐφ’ ἑαυτὰ ποιοῦσι τὸν ρ.

2

.

20

πρότερον εἰς ἴσα δύο ὡς ἑκάτερον τῶν τμημά‐ των ἀνὰ μονάδων η· οὐκοῦν τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τμή‐ ματος γίνεται ρκη. ὁ ..... γενόμενος ἐπὶ τὸν η τουτ..... καὶ τοῦ ἑτέρου τμήματος ἄλλων ὁμοίως ρκη, ὥστε γενέ‐
5σθαι πάντα τὸν ἐκ τῶν β ὀρθογωνίων ἀριθμὸν σνβ. τοσοῦ‐ τον δὲ φεν..... καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον· ἑκ‐ καί.... ἀλλὰ δὴ καὶ εἰς ἄνισα τετμήσθω ὡς εἶναι τὴν μὲν ϛ, τὴν δὲ ι. πάλιν τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τῆς τὸν ἐλάσσονα ἐχούσης ἀριθμὸν γίνεται ϙϛ· καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ
10τ....... σνϛ·

2

.

21

Ἔστω ἡ ὅλη ἡ ΑΒ μονάδων ι· τετμήσθω εἰς ϛ τὴν ΑΓ καὶ δ τὴν ΓΒ. τὸ γοῦν ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑνὸς τῶν τμημάτων τοῦ ϛ πολυπλασιαζόμενον γίνεται τὸ ΑΖ χω‐ ρίον ξ, καὶ τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων
5ἤγουν τοῦ δ γίνεται τὸ ΓΕ χωρίον μ· ὁμοῦ τὸ ΑΖ χωρίον καὶ τὸ ΓΕ ρ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης εὐθείας χωρίον ρ.

2

.

22

Ἡ ὅλη μονάδων ϛ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον λϛ· τὸ μεῖζον τμῆμα δ καὶ τὸ ὑπ’ αὐτοῦ καὶ τῆς ὅλης κδ· τὸ ἔλασσον τμῆμα β καὶ τὸ ὑπ’ αὐτοῦ καὶ τῆς ὅλης ιβ· κδ καὶ ιβ λϛ· καί ἐστι καὶ διὰ τῶν ἀριθμῶν τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετρά‐
5γωνον ἴσον τοῖς ὑπό τε τῆς ὅλης καὶ τοῦ μείζονος τμήματος καὶ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἐλάττονος τμήματος περιεχομένοις ὀρθογωνίοις.

2

23-27t

Ad prop. 3

2

.

23

Ἔστω ἡ ΑΒ μονάδων ιβ. τετμήσθω εἰς δ τὴν ΑΓ
καὶ η τὴν ΓΒ. πεπολυπλασιάσθω ἡ ὅλη ἤγουν τὰ ιβ εἰς τὰ η· καὶ γίνονται ϙϛ. πεπολυπλασιάσθω καὶ τὸ ἕτερον τμῆμα εἰς τὸ ἕτερον τμῆμα τουτέστι τὰ η εἰς τὰ δ· καὶ γίνονται
5λβ. καὶ τὸ ἀπὸ τῶν η τετράγωνον γίνεται ξδ. ὁμοῦ τὰ ξδ καὶ τὰ λβ ϙϛ.

2

.

24

Καὶ τοῦτο δείξομεν διὰ τοῦ αʹ θεωρήματος οὕτως χωρὶς ἀναγραφῆς. ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Γ. δεῖ δὴ δεῖξαι, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΓ,
5[ΓΒ] καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ· κείσθω τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΔΕ· ἄτμητος μὲν ἡ ΔΕ, τετμημένη δὲ ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Γ. τὸ ἄρα περιεχόμενον ὀρθογώνιον ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΑΒ εὐθει‐ ῶν, ὅ ἐστι τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων ..... ὑπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῆς ἀτμήτου τῆς ΔΕ καὶ
10ἑκατέρου τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ἀτμήτου τετραγώνου [II 1]. συντεθήσεται δὲ οὕτως· ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ [τῶν ΔΕ, ΑΓ καὶ] τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΒΓ, ἴση δὲ ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ
15καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΔΕ. τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ [καὶ τῷ] ἀπὸ τῆς ΓΒ. ἔστω ὁ μὲν ὅλος μονάδων κ καὶ διῃρήσθω εἰς ἀνίσους εἴς τε τὸν ιγ καὶ τὸν ζ. λέγω, ὅτι ὁ ὑπὸ τοῦ κ καὶ τοῦ ζ περιεχόμενος
20ἴσος ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν ιγ καὶ τῶν ζ περιεχομένῳ ὀρθο‐ γωνίῳ [καὶ] ἔτι τῷ ἀπὸ τοῦ ζ τετραγώνῳ. πεπολλαπλα‐ σιάσθω ὁ κ ἐπὶ τὸν ζ. γίνονται ρμ μονάδες. ἔτι πεπολλαπλα‐ σιάσθω ὁ ζ ἐφ’ ἑαυτόν· γίνονται μονάδες μθ. συγκείσθω‐
σαν ὅ τε ὑπὸ τῶν ιγ καὶ ζ περιεχόμεν[ος ἤγουν] ὁ ϙ[α] καὶ ὁ
25ἀπὸ τοῦ ζ, ὅς ἐστι μθ· γίνονται ὁμοῦ ρμ. ἦν δὲ καὶ ὁ ὑπὸ τοῦ κ καὶ τοῦ ζ περιεχόμενος ἴσος τῷ ὑπὸ τῶν ιγ καὶ ζ καὶ ἔτι τῷ ἀπὸ τοῦ ζ τετραγώνῳ.

2

.

25

Τοῦτο λέγει ἡ πρότασις, ὅτι τμηθείσης τινὸς εὐθείας, ὡς ἔτυχεν, εἰς δύο τμήματα τὰ ταύτης τμήματα ποιήσου‐ σιν ἢ τετράγωνα ἢ ὀρθογώνια, τετράγωνα μὲν ἑκάτερον ἰδίᾳ αὐξόμενον, ὀρθογώνια δὲ συμπλεκόμενα ἀλλήλοις.
5συμπλεκέσθω γοῦν καὶ ποιείτωσαν τὰ δύο τμήματα ὀρθο‐ γώνιον ἕν, καὶ ληπτέον πάλιν αὐτῶν θάτερον καὶ ποιείτω τετράγωνον. ληφθήτω καὶ ὅλη ἡ εὐθεῖα καὶ ἓν τμῆμα τὸ ποιῆσαν τὸ τετράγωνον, καὶ ποιείτωσαν ὀρθογώνιον. ἔσται γοῦν, φησί, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ τμήματος γεγονὸς
10ὀρθογώνιον ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν δύο τμημάτων γεγονότι ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ τετραγώνῳ τῷ ἀπὸ τοῦ ληφθέντος γε‐ γονότι τμήματος μετὰ τῆς ὅλης.

2

.

26

Ἔστω ἡ εὐθεῖα μονάδων ιβ. τετμήσθω εἰς η καὶ δ. πεπολυπλασιάσθω ἡ ὅλη ἤγουν τὰ ιβ ἐπὶ τὸ ἓν μέρος ἤγουν τὰ δ. γίνονται μη. πεπολυπλασιάσθω καὶ τὸ ἓν τμῆμα ἐπὶ τὸ ἕτερον τμῆμα, τουτέστι τὰ η ἐπὶ τὰ δ· γίνονται λβ. καὶ
5τὸ ἀπὸ τοῦ δ τετράγωνον ιϛ· ὁμοῦ μη.

2

.

27

Ἡ ὅλη ὀκτώ, τὸ μεῖζον τμῆμα ϛ καὶ τὸ ἔλαττον β. οἱ ἀπὸ τούτων πολυπλασιασμοὶ οὗτοι· ὁ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ μείζονος τμήματος μη, ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος τμήματος λϛ, ὁ ὑπὸ τοῦ ἐλάσσονος καὶ τοῦ μείζονος ιβ· ὁμοῦ μη.

2

28-33

Ad prop. 4

2

.

28

Ἔστω γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΒ μονάδων κ καὶ τετμήσθω εἰς ιε καὶ ε. τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον ἤγουν τοῦ κ γίνεται
μονάδων υ. τὸ δὲ ἀπὸ τῶν ιε τετράγωνον σκε· τὸ δὲ ἀπὸ τῶν ε κε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ιε καὶ τῶν ε οε καὶ πάλιν τὸ ὑπὸ
5τῶν ιε καὶ ε οε· ὁμοῦ υ.

2

.

29

Διὰ τούτου δειχθήσεται τοῦ θεωρήματος τὸ εἶναι τὰ μήκει διπλάσια δυνάμει τετραπλάσια. ἐὰν γὰρ τμηθῇ δίχα ἡ εὐθεῖα, ὅλη μὲν διπλασία ἐστὶ τῆς ἡμισείας, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον τετραπλάσιον ἔσται τοῦ ἀπὸ τῆς
5ἡμισείας.

2

.

30

Ἔστω ἡ ΑΒ μονάδων ζ. τετμήσθω εἰς δ καὶ γ. τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον ἤγουν τῶν ζ γίνεται μονάδων μθ. τὸ δὲ ἀπὸ τῶν δ γίνεται ιϛ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν δ καὶ γ γίνεται ιβ, καὶ πάλιν θ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν δ καὶ γ ιβ· ὁμοῦ μθ.

2

.

31

Ἐτμήθη ἡ εὐθεῖα γραμμή, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Γ. ἔστι δὲ ἡ ὅλη μονάδων η, τὰ δὲ τμήματα, ἐπεὶ ἄνισά εἰσι, μονάδων πέντε καὶ τριῶν. ἡ ὅλη οὖν ἐστιν ὀκτάκις ὀκτὼ ξδ, ἥτις ἰσάζει τοῖς ἀπὸ τῶν τμημάτων τετραγώνοις καὶ
5τῷ δίς, οἷον πεντάκις πέντε εἰκοσιπέντε καὶ τρισσάκις τρεῖς θ· ὁμοῦ λδ. καὶ αὖθις σὺν τούτοις σύναψον τὸ δὶς ὑπὸ τῶν τμημάτων, οἷον πεντάκις τρεῖς ιε καὶ πεντάκις τρεῖς ιε· ὁμοῦ λ. καὶ λοιπὸν γίνονται ξδ, ὅσας εἶχε καὶ ἡ ὅλη.

2

.

32

Ἐτμήθη ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ὡς ἔτυχε, κατὰ τὸ Γ σημεῖον. ἔστι δὲ ἡ ὅλη ἤγουν ἡ ΑΒ μονάδων ιγ, τὰ δὲ τμήματα ταύτης, ἐπεὶ ἄνισά ἐστιν· ἐκ περισσοῦ γὰρ καὶ ἀρτίου ἤγουν ζ καὶ ϛ, οἳ καὶ εἰς ἑαυτοὺς πολλαπλασιαζό‐
5μενοι ἑκάτερος τούτων καὶ εἰς ἀλλήλους παραβαλλόμενοι
καὶ ἕτερος θάτερον πολλαπλασιάζων ποιοῦσι τὸ ὅλον ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου ἤγουν τοῦ ΑΔΕΒ μονάδων ρξθ. αἱ οὖν ιγ μονάδες εἰς ἑαυτὰς πολλαπλασιαζόμεναι ἤγουν τρὶς καὶ δεκάκις ιγ ποιοῦσιν, ὡς εἴρηται, τὸν ρξθ ἀριθμόν,
10ὃς ἐξισάζει τοῖς ἀπὸ τῶν τμημάτων τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς οἷον ἑπτάκις ζ μθ καὶ ἑξάκις τὰ ϛ λϛ·

2

.

33

Ληπτέον δὲ τὴν γωνίαν οὕτως· ἡ μὲν πρὸς τῷ Β τοῦ ΓΗΒ τριγώνου ἴση τῇ πρὸς τῷ Η τοῦ ΔΘΗ τριγώνου, ἡ δὲ πρὸς τῷ Β τῇ πρὸς τῷ Δ· καὶ ἡ πρὸς τῷ Η ἄρα τῇ πρὸς τῷ Δ λαμβανομένων τῶν παραλλήλων τῶν ΓΖ, ΒΕ, ἐὰν
5ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη βουλώμεθα δεῖξαι τὴν γωνίαν, ὅπερ ἐστὶ τὸ αὐτὸ λαμβανομένων τῶν ΑΒ, ΘΚ παραλλήλων.

2

34-39t

Ad prop. 5

2

.

34

Ἔστω ἡ ΑΒ μονάδων ι καὶ τετμήσθω κατὰ μὲν τὸ Γ εἰς ἴσα ὡς εἶναι τὴν ΑΓ μονάδων ε, ὁμοίως δὲ καὶ τὴν ΓΒ μονάδων ε. κατὰ δὲ τὸ Δ τετμήσθω ἡ ΑΒ εἰς ἄνισα, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΔ μονάδων η, ἡ δὲ ΔΒ μονάδων β. τὸ ἄρα
5ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν η καὶ β, ὅπερ ἐστὶ ιϛ, μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ ἤτοι θ· τριῶν γάρ ἐστι μονάδων ἡ ΓΔ· τὰ ἄρα ιϛ καὶ θ, ἅπερ ἐστὶν κε, ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ· τὰ γὰρ πεντάκις πέντε εἰκοσιπέντε.

2

.

35

(Ἑτέρα δι’ ἀριθμῶν ἔκθεσις.) Ἔστω ἡ ΑΒ εὐθεῖα μονάδων ι, καὶ τετμήσθω εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ ε καὶ ε, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ ζ καὶ γ. ὁ οὖν ζ ἐπὶ τὰ γ πολυπλασιαζόμενος ποιεῖ τὸν κα. τὸ δὲ ἀπὸ τοῦ
5ε μέχρι τοῦ ζ ἐστι β, ὅστις πολυπλασιασθεὶς ποιεῖ τὸν δ τετράγωνον· ὁμοῦ κε, ὅπερ ἐστὶν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ· πεντάκις γὰρ ε κε.

2

.

36

Ἐκ τούτου δειχθήσεται, ὅτι τὸ τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ ἰσοπεριμέτρου ἑτερομήκους ὀρθογωνίου· τὸ γὰρ ἀπὸ τῆς ἡμισείας μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων ὀρθογωνίου τῷ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν
5τετραγώνῳ, εἴπερ ἀμφοτέροις ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ἡμι‐ σείας· ὅτι δὲ τοῦτο ἰσοπερίμετρόν ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν ἀνίσων τμημάτων ὀρθογωνίῳ. ὀκτάκις ὀκτὼ ἑξήκοντα τέσσαρα τὸ ὅλον τετράγωνον, ὅπερ ἐστὶν ἴσον τοῖς τρισὶ τοῖς ἔχουσι τὰ δεκαέξ, τὰ δώδεκα καὶ τὰ λϛ.

2

.

37

Ἔστω ἡ ὅλη εὐθεῖα τυχὸν ιϛ καὶ τετμήσθω εἰς ἴσα μὲν η καὶ η, εἰς ἄνισα δὲ θ καὶ ζ, καὶ ἔστω ἡ μεταξὺ τῶν τομῶν α. ἴσον δή ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημά‐ των περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ
5τῶν τομῶν τετραγώνου τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ. τὸ γὰρ ὑπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ξγ· ἐννάκις γὰρ ζ ξγ. ἔστι δὲ καὶ τὸ τετρά‐ γωνον τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν α· τὸ γὰρ α ἀπὸ τῶν ζ λείπει· ὁ δὲ α ἀριθμὸς πολλαπλασιαζόμενος α ἐστιν.
10οὗτος οὖν ὁ ξγ καὶ ὁ α ξδ. ξδ οὖν τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς με‐ ταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου, καί ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ· ὀκτάκις γὰρ η ξδ.

2

.

38

Τὸ ὑπὸ τῶν ἀνίσων ἐστὶ ...... ἐπὶ τὴν ... ἤτοι θ ἐπὶ γ, ὅπερ ἐστὶν κζ. τὸ δὲ ..... μεταξὺ τῶν τομῶν τετρά‐
γωνον ... ΓΔ ἤτοι γ γ θ. θ οὖν καὶ κζ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ἀνίσων καὶ τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετράγωνον,
5ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ, τουτέστι λϛ.

2

.

39

Ἡ ὅλη ιβ, τὰ ἴσα τμήματα ϛ ϛ, τὰ ἄνισα θ καὶ γ, ἡ μεταξὺ τῶν τομῶν γ· τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ εἰκοσιεπτά, τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν θ· ὁμοῦ λϛ· καὶ πάλιν τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετράγωνον λϛ· ἑξάκις γὰρ τὰ ϛ λϛ· καὶ εὑρί‐
5σκεται καὶ δι’ ἀριθμῶν ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετράγωνον τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τῆς ΓΔ τετραγώνῳ.

2

40-48t

Ad prop. 6

2

.

40

Ἐν τούτῳ δείκνυται ἡ ἀριθμητικὴ ἀναλογία· ᾧ γὰρ ὑπερέχει ἡ ΑΔ τῆς ΓΔ· τῇ γὰρ ΓΒ· τούτῳ καὶ ἡ ΓΔ τῆς ΒΔ.

2

.

41

Δι’ ἀριθμῶν δὲ σαφέστερον γνωσθήσεται, ὅτι ὁ μέσος ἐν ἴσῳ ἀεὶ ὑπερέχεται καὶ ὑπερέχει. τὸ δὲ θεώρημα, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου.

2

.

42

Ἡ συναγωγὴ δὲ τοῦ θεωρήματος αὕτη· ὅτι ἐν ἀριθμη‐ τικῇ ἀναλογίᾳ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ὑπερ‐ οχῆς ἴσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου. ἐν δὲ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ, ἥτις ἐμφαίνεται ἐν τῷ ιαʹ θεωρήματι τούτου τοῦ βιβλίου,
5τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων μόνον ἴσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου. ἄλογα δὲ ἡ τομὴ ἐνταῦθα ποιεῖ τὰ τμήματα τῆς εὐθείας.

2

.

43

Ἔστω ἡ ΑΒ μονάδων η, ἡ δὲ προστεθεῖσα αὐτῇ ΒΔ
μονάδων β. ἡ ὅλη ἄρα ἡ ΑΔ ἐστι μονάδων ι. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ι καὶ β, ὅπερ ἐστὶ κ, μετὰ τοῦ ἀπὸ τῶν δ ἤτοι μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ, ὅπερ ἐστὶν ιϛ; τὰ ἄρα ιϛ καὶ κ ἴσα εἰσὶ τῷ
5ἀπὸ τῶν ϛ ἤτοι ἀπὸ τῆς ΓΔ. ἔστω οὖν, ὡς εἴρηται, ἡ μὲν ΑΓ μονάδων δ, ἀλλὰ καὶ ἡ ΓΒ ὁμοίως δ, ἡ δὲ ΔΒ μονά‐ δων β· ἡ ἄρα ΓΔ ἐστι μονάδων ϛ.

2

.

44

Ἔστω ἡ ΑΒ εὐθεῖα μονάδων ι καὶ τετμήσθω εἰς ε καὶ ε, καὶ προστεθήτω αὐτῇ ἡ ΒΔ εὐθεῖα μονάδων οὖσα δ. τὸ οὖν ὑπὸ τῆς ὅλης ἤγουν τῶν ιδ καὶ τῆς προστεθείσης, τουτέστι τῶν δ, γίνονται μονάδων νϛ· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς
5ἡμισείας τῶν ι ἤγουν τῶν ε τετράγωνον κε· ὁμοῦ πα. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προστεθείσης ἤγουν τῶν θ μονάδων τετράγωνον ὡσαύτως μονάδων πα.

2

.

45

Ἔστω ὅλη ἡ εὐθεῖα ι καὶ τμηθήτω δίχα εἰς ε καὶ ε· τοῦτο γάρ ἐστι τὸ δίχα αὐτοῦ εἰς ἴσα· ἔστω δὲ καὶ ἡ προσ‐ κειμένη δ. τὸ οὖν ὑπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ ὑπὸ τῆς προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ
5ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τετραγώνῳ τῷ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκει‐ μένης· τὸ γὰρ ὑπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθογώνιον νϛ ἐστίν· τετράκις γὰρ ι μ καὶ τετράκις δ ιϛ· ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ
10τῶν τομῶν κε· πεντάκις γὰρ ε κε. κε οὖν καὶ νϛ ποιοῦσιν πα. πα οὖν τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου· καί ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς συγκει‐ μένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης τετραγώ‐
15νῳ. συμμίγνυνται γὰρ τὰ δ καὶ τὰ ε ὁμοῦ· καὶ γίνονται θ. καὶ καθ’ ἑαυτὸν ὁ θ ἀριθμὸς πολλαπλασιαζόμενος πα ποιεῖ· ἐννάκις γὰρ θ πα.

2

.

46

Τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον, τουτέστι με, μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου, τουτέστι λϛ· γίνονται πα· ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒΔ τετραγώνῳ.

2

.

47

Ἡ ὅλη ὀκτώ, ἡ προσκειμένη τέσσαρα, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς προσκειμένης μη, τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ὅλης ιϛ· ὁμοῦ ξδ, ἅπερ εἰσὶν ἴσα τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης τετραγώνῳ.

2

.

48

τὸ ΛΗ, ὅ ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ p. 76, 9. 10] εἰ γὰρ ἡ ΛΘ ἴση ἐστὶ τῇ ΓΒ, τὸ ΛΗ οὐδὲν ἄλλο ἐστὶν ἢ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ.

2

49-55t

Ad prop. 7

2

.

49

Ἡ ΑΒ μονάδων ιβ· ἐτμήθη εἰς η καὶ δ. τῆς ὅλης τὸ τετράγωνον ρμδ καὶ τοῦ τμήματος ιϛ· ὁμοῦ ρξ. τὸ δὶς ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ τμήματος ιβ ἐπὶ δ γίνονται μη, καὶ δ ἐπὶ ιβ γίνονται μη· ὁμοῦ ϙϛ. καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμή‐
5ματος τετράγωνον, τουτέστι τῶν η, γίνονται ξδ. ὁμοῦ ρξ· ὅπερ ἐστὶν ἴσον.

2

.

50

Ἔστω ὅλη ι καὶ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, εἰς η καὶ β. τὸ οὖν ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τὸ ἀφ’ ἑνὸς τῶν τμημάτων τὰ συναμφότερα τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ
5τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ. τὸ γὰρ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνόν ἐστιν ρ· δεκάκις γὰρ ι ρ. καὶ τὸ ἀφ’ ἑνὸς τῶν τμημάτων δ· δὶς γὰρ β δ. τὸ οὖν ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τὸ ἀφ’ ἑνὸς τῶν τμημάτων τὰ συναμφότερα τετράγωνα ρδ. τούτοις δέ ἐστιν ἴσα τό τε δὶς ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ
10εἰρημένου τμήματος περιεχόμενον ὀρθογώνιον καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετράγωνον. ἔστι γὰρ τὸ δὶς ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος μ· ἅπαξ γὰρ δὶς ι κ ἐστιν, δὶς δὲ κ μ· τὸ δὲ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος ξδ· ὀκτάκις γὰρ η ξδ. ὁμοῦ ξδ καὶ μ ρδ. καί εἰσι τῷ ἀπὸ τῆς
15ὅλης καὶ τῷ ἀφ’ ἑνὸς τῶν τμημάτων τετραγώνῳ ἴσα. ὁμοίως δὲ καὶ ἐκ τοῦ ἑτέρου τμήματος δείκνυται.

2

.

51

Ἐπεὶ γὰρ τὸ ΑΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐστιν, ἴση δὲ ἡ ΓΒ τῇ ΒΖ (τετραγώνου γάρ εἰσι πλευραὶ τοῦ ΓΖ), δῆλον, ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. εἰ οὖν, ὡς εἴρηται, τὰ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ ΑΒ, ΒΖ
5ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν, ἔστι δὲ τὸ ΑΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ ἔτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ διπλά‐ σιά ἐστι τοῦ ΑΖ. ὥστε καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσα ὄντα τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ ΑΒ, ΒΖ διπλάσιά εἰσι τοῦ ΑΖ. ἔστι δὲ τοῦ ΑΖ διπλάσια καὶ τὰ ΑΖ, ΓΕ μετὰ τοῦ
10ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου. καὶ τὸ συμπέρασμα δῆλον.

2

.

52

Ἔστω ἡ ΑΒ μονάδων ι· ἐτμήθη εἰς ϛ καὶ δ. τῆς ὅλης τετράγωνον ρ· τοῦ τμήματος ιϛ, καί εἰσιν ριϛ ὁμοῦ. καὶ πάλιν ι ἐπὶ δ μ καὶ δ ἐπὶ ι μ· ὁμοῦ π. καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ λοι‐ ποῦ τμήματος τετράγωνον ἤγουν τῶν ϛ γίνονται λϛ· καὶ
5ὁμοῦ τὰ π καὶ λϛ γίνονται ριϛ·

2

.

53

Τοῦτό ἐστι τὸ ζητούμενον, ὅτι εὐθεῖά τις τμηθεῖσα,
ὡς ἔτυχεν, ἡ μη εἰς πλείους τομὰς ἢ μίαν ἕξει πάντως τμήματα δύο. λέγω γοῦν, ὅτι τὰ δύο τμήματα ἐκεῖνα ποιήσουσι πάντως βουλομένῳ σοι τετράγωνα δύο ἀναγρα‐
5φέντα ἀφ’ ἑνὸς ἑκάστου τῶν τμημάτων, ποιήσουσι δὲ πάν‐ τως ὀρθογώνιον ἓν ἔχον τὴν μίαν πλευρὰν τὸ ἓν τμῆμα τῆς εὐθείας καὶ τὴν ἑτέραν θάτερον. λέγει γοῦν, ὅτι τὰ δύο τετράγωνα, ἃ ποιήσουσιν ἡ ὅλη εὐθεῖα καὶ τὸ ταύτης ὁπιονοῦν τμῆμα, ἴσα ἔσονται δυσί τισιν ὀρθογωνίοις
10ἀναγραφεῖσιν ἀπὸ τῆς ὅλης εὐθείας καὶ τοῦ ἑνὸς αὐτῆς τμήματος τοῦ πεποιηκότος τὸ ἓν τετράγωνον καὶ τῷ τετραγώνῳ τῷ γινομένῳ παρὰ τοῦ λοιποῦ τμήματος τῆς εὐθείας.

2

.

54

Ἡ ὅλη ι, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης ρ, τῶν τμημάτων τὸ μεῖζον ϛ; τὸ ἔλαττον δ, τὸ ἀπὸ τοῦ μείζονος τμήματος λϛ; τὸ ἀπὸ τοῦ ἐλάττονος ιϛ; τὸ δὶς ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἐλάτ‐ τονος τμήματος π· ἑκάτερον γὰρ μ. τὸ τοίνυν δὶς ὑπὸ τῆς
5ὅλης καὶ τοῦ ἐλάττονος τμήματος μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ ἥττο‐ νος· ἑκατὸν γὰρ ιϛ ἐν ἑκατέροις τὸ τοῦ ἀριθμοῦ συγκεφα‐ λαίωμα.

2

.

55

Ἔστω ἡ ΑΒ μονάδων ιβ. ἐτμήθη εἰς η καὶ δ. τῆς ὅλης τὸ τετράγωνον ρμδ καὶ τοῦ τμήματος ιϛ· δωδεκάκις γὰρ τὰ ιβ ρμδ καὶ τετράκις τὰ δ ιϛ· καί εἰσιν ὁμοῦ τῆς ὅλης καὶ τοῦ τμήματος ρξ. καὶ πάλιν ιβ ἐπὶ δ γίνονται μη,
5ἅπερ εἰσὶν ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ τμήματος· καὶ ιβ ἐπὶ δ μη· ὁμοῦ ϙϛ· καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετράγω‐ νον, τουτέστι τοῦ η, γίνονται ξδ· καὶ τὰ ϙϛ ρξ ἴσα τοῖς πρὸ
αὐτοῦ.

2

56-62t

Ad prop. 8

2

.

56

Ἡ αὐτὴ πρότασίς ἐστι τοῦ πρὸ αὐτοῦ ἀντεστραμ‐ μένη, διπλῆ μέντοι. ὥσπερ γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τὸ ἀπὸ ἑνὸς τῶν τμημάτων τὰ δύο τετράγωνα, οὕτως ἐνταῦθα τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων ὡς ἀπὸ μιᾶς
5τετράγωνον· καὶ ὥσπερ ἐκεῖ ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ προειρημένου, οὕτως ἐνταῦθα ἴσον τῷ τετράκις ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ προειρημένου καὶ τοῦ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνου. διὸ καὶ τὰ δύο ὅμοια, ὥσπερ καὶ ἡ πρὸ αὐτῶν δυὰς ὁμοία.

2

.

57

Ἡ ΑΒ μονάδων ιβ. ἐτμήθη εἰς η καὶ δ. τὸ τετρά‐ κις ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων, τουτέστι ιβ, ἐπὶ δ γίνονται μη. ταῦτα τετράκις γίνονται ρϙβ. μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνου, τουτέστιν η ἐπὶ η,
5γίνονται ξδ· ὁμοῦ σνϛ· ἴσον ἄρα τῷ ἀπὸ τῆς ὅλης, τουτέστι τοῦ ιβ, καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος, τουτέστι τοῦ δ, ὁμοῦ ιϛ; ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ, τουτέστι ιϛ ἐπὶ ιϛ· γίνονται σνϛ· ὅπερ ἐστὶν ἴσον.

2

.

58

Ἔστω ὅλη ι καὶ τμηθήτω εἰς ϛ καὶ δ. λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθο‐ γώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπό τε τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος
5τετραγώνῳ ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι. ἔστι γὰρ τὸ τετρά‐
κις ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετρα‐ γώνου ρϙϛ· τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης γὰρ καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων ρξ· ἅπαξ γὰρ δεκάκι δ μ· τετράκις οὖν μ ρξ. τὸ δὲ ἀπὸ τοῦ
10λοιποῦ τμήματος τετράγωνον λϛ· ἑξάκις γὰρ ϛ λϛ γίνεται. λϛ οὖν καὶ ρξ ὁμοῦ γίνεται ρϙϛ· ἴσα δὲ ταῦτά ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀνα‐ γραφέντι τετραγώνῳ· τεσσαρεσκαιδεκάκι γὰρ ιδ ρϙϛ ποι‐ οῦσι· δεκάκι γὰρ ι ρ καὶ τετράκι ι μ, δεκάκι δὲ δ μ καὶ τε‐
15τράκι δ ιϛ· ρ δὲ καὶ μ καὶ μ καὶ ιϛ ὁμοῦ γίνονται ρϙϛ.

2

.

59

Ἔστω εὐθεῖα γραμμὴ ὅλη ἓξ καὶ τετμήσθω εἰς δ καὶ β. ἔστιν οὖν τὸ τετράκις ὑπὸ τῆς ὅλης τῆς ϛ καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων τοῦ β μη· δὶς γὰρ ἓξ ιβ, καὶ τετράκις τὰ ιβ μη. τὸ δὲ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετράγωνον τοῦ δ ἐστι τὰ
5ιϛ· ἔστιν οὖν τὰ ἀμφότερα ξδ, ἅτινά εἰσιν ἴσα τῷ ἀναγρα‐ φέντι τετραγώνῳ ἀπό τε τῆς ὅλης, ἥτις ἦν ϛ, καὶ τοῦ εἰρη‐ μένου τμήματος τοῦ δύο. ϛ γὰρ καὶ β η, καὶ ὀκτάκις η ξδ.

2

.

60

Ἡ ὅλη μονάδων ι, τὸ μεῖζον τμῆμα ϛ, τὸ ἔλαττον δ, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἥττονος τμήματος ὀρθογώνιον μ, καὶ τετράκις τοῦτο ρξ. τὸ ἀπὸ τοῦ μείζονος τμήματος λϛ· ὁμοῦ ρϙϛ, ἅπερ ἐστὶν ἴσα τῷ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ
5ἥττονος τμήματος ἀναγραφέντι τετραγώνῳ. τεσσαρεσκαι‐ δεκάκις γὰρ τὰ ιδ ρϙϛ.

2

.

61

ἡ μὲν ΒΔ τῇ ΒΚ, τουτέστι τῇ ΓΗ p. 79, 16] ὅτι ἐν τοῖς τετραγώνοις χωρίοις τὰ περὶ τὴν διάμετρον χωρία
τετράγωνά εἰσιν.

2

.

62

καὶ καταγεγράφθω διπλοῦν τὸ σχῆμα· ἐπεὶ οὖν p. 79, 3—5] διπλοῦν εἶπε τὸ σχῆμα συγκρίνων αὐτὸ πρὸς τὴν καταγραφὴν τοῦ ὄπισθεν σχήματος ἤγουν τοῦ ζʹ.

2

63-65t

Ad prop. 9

2

.

63

Εὐθεῖα μονάδων ιβ ἐτμήθη εἰς ἴσα ϛ καὶ ϛ καὶ εἰς ἄνισα θ καὶ γ. τὸ ἀπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τετράγωνον, τουτέστι θ ἐπὶ θ, γίνονται πα, καὶ γ ἐπὶ γ γίνονται θ· ὁμοῦ ϙ διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας, τουτέστιν
5ϛ ἐπὶ ϛ, λϛ, καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν γ ἐπὶ γ θ· ὁμοῦ με· ὅπερ ἐστὶν ἥμισυ.

2

.

64

Ἡ ὅλη η· τέμνεται εἰς ἴσα τὸν δ καὶ δ, εἰς δὲ ἄνισα τὸν ϛ καὶ β. τὰ οὖν ἀπὸ τῶν ἀνίσων τμημάτων τετράγωνά εἰσι τὰ λϛ καὶ τὰ δ. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἔσται τὸ ιϛ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τὸ δ.

2

.

65

Ἔστω ἡ εὐθεῖα μονάδων ιβ καὶ τετμήσθω εἰς ἴσα μὲν ϛ καὶ ϛ, εἰς ἄνισα δὲ αὖθις τετμήσθω τὰ ϛ, ἤτοι εἰς δ καὶ β. καὶ ἰδοὺ ἐτμήθησαν αἱ δέκα μονάδες εἰς ἓξ καὶ τέσσαρα καὶ δύο. ποίησον οὖν τὰ ἓξ καὶ τὰ τέσσαρα μίαν
5εὐθεῖαν, καὶ γίνονται ι. τετραγώνισον αὐτὴν καὶ γίνεται ἑκατόν. τετραγώνισον καὶ τὸ μικρὸν τμῆμα τὰ δύο· καὶ γίνεται τέσσαρα. καὶ λοιπὸν τὰ ἀπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τετράγωνά εἰσιν ρδ, ἅτινά εἰσι διπλάσια τοῦ ἀπὸ τῆς
ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου.
10τὸ γὰρ τετράγωνον τῆς ἡμισείας ἤτοι τῶν ἕξ ἐστι λϛ, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ ἤτοι τῶν τεσσάρων ἐστὶ ιϛ, ἅτινα σὺν τοῖς λϛ γίνονται νβ, ὅ ἐστιν ἥμισυ τῶν ρδ

2

66-69t

Ad prop. 10

2

.

66

Ἡ ΑΒ εὐθεῖα μονάδων ιβ· ἐτμήθη κατὰ τὸ Γ, τουτέστιν ϛ καὶ ϛ. προσκείσθω δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ’ εὐθείας ἡ ΒΔ, τουτέστι γ. λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα, τουτέστι ιε, γίνονται σκε καὶ τρὶς γ θ, ὁμοῦ
5σλδ, διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ, τουτέστιν ϛ ἐπὶ ϛ· γίνονται λϛ· καὶ θ ἐπὶ θ· γίνονται πα· τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας τουτέστι τοῦ ϛ, καὶ γ· γίνονται θ ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ προσκειμένου ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντα τετράγωνα β λϛ καὶ πα ὁμοῦ ριζ· ὅπερ ἐστὶν ἥμισυ.

2

.

67

Ἡ ΑΒ εὐθεῖα μονάδων ιβ· τετμήσθω κατὰ τὸ Γ, τουτέστι εἰς ϛ καὶ ϛ. προσκείσθω δὲ αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ’ εὐ‐ θείας ἡ ΒΔ, τουτέστι γ. λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα, τουτέστι τὰ ιε ἐπὶ τὰ ιε ὡς γίνεσθαι σκε καὶ
5γ ἐπὶ γ ὡς γίνεσθαι θ καὶ ὁμοῦ τὰ σκε καὶ θ γίνεσθαι σλδ, διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ, τουτέστι τῶν λϛ, ἃ γίνονται τῶν ϛ ἐπὶ ϛ πολλαπλασιαζομένων· γίνονται γὰρ ὁμοῦ τὰ λϛ καὶ τὰ πα ριζ, ἅπερ ἐστὶν ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ ἔτι τῆς ἑτέρας ἡμισείας σὺν τῇ προσκειμένῃ ὡς μιᾶς,
10ἅ εἰσιν ἡμίση τῶν σλδ.

2

.

68

Τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ καὶ ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά εἰσι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ καὶ ΓΔ τετραγώνων. ἔστω γὰρ ἡ μὲν ΑΔ μονάδων ι. δεκάκις δὲ τὰ ι ἑκατόν. ἡ δὲ ΔΒ δ· δὶς γὰρ τὰ β τέσσαρα. γίνονται οὖν τῶν δύο τετραγώνων αἱ μο‐
5νάδες. ρδ ἡ δὲ ΑΓ ιϛ· τετράκις γὰρ δ ιϛ. ἡ δὲ ΓΔ ἕξ. ἑξάκις δὲ τὰ ϛ λϛ. μιγνύμενα οὖν τὰ ιϛ μετὰ τῶν λϛ γίνον‐ ται νβ, τὰ δὲ νβ ἡμίση εἰσὶ τῶν ρδ.

2

.

69

Ἡ ὅλη ΓΖ μονάδων δέκα, αἵτινες δέκα μονάδες μερίζονται εἰς τὰ γ τμήματα τῆς αὐτῆς γραμμῆς οὕτως· ἡ ΖΑ μονάδων β, τὰ δὲ λοιπὰ τμήματα, ἤγουν τὸ ΑΕ καὶ ΕΓ, ἀνὰ μονάδων δ. λοιπὸν οὖν ἡ ΓΖ ὅλη, ἤγουν αἱ δέκα
5μονάδες, πολλαπλασιαζόμεναι ὑπὸ τῆς ΖΑ, ἥτις ἐστὶ μο‐ νάδων β, γίνονται εἴκοσι· δὶς γὰρ δέκα εἴκοσι. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΕ τετράγωνον γίνεται μονάδων ιϛ· τετράκις γὰρ τὰ τέσσαρα ιϛ. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον μονάδων οὔσης ἓξ γίνεται μονάδων λϛ· ἑξάκις γὰρ τὰ ϛ λϛ. ἔστι δὲ
10καὶ τὸ εἰρημένον τετράγωνον τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ ἀνα‐ γραφόμενον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ τετραγώνου μονάδων λϛ· εἴκοσι γὰρ καὶ ιϛ λϛ.

2

70-77t

Ad prop. 11

2

.

70

Ὅτι γεωμετρική ἐστιν ἀναλογία, ἐντεῦθεν δῆλον· ἐπεὶ γὰρ τέτμηται ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Θ, καὶ ηὕρηται τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΒΘ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΘΑ, τοῦτο δὲ μόνῃ τῇ γεωμετρικῇ παρακολουθεῖ μεσότητι, ταύτην δὲ ἐν τοῖς ἑξῆς ἄκρον καὶ
5μέσον λέγει τέμνεσθαι, νῦν δὲ διὰ τὸ μὴ εἰδέναι ἡμᾶς τι περὶ λόγου οὐκ εἶπεν αὐτὴν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμνε‐
σθαι. οὐκ ἀναλύεται δὲ διὰ τὸ μὴ ὡρίσθαι τὴν τομήν.

2

.

71

Ὅτι οὐ δυνατὸν δι’ ἀριθμῶν δειχθῆναι τὸ πρόβλημα· εἰ γὰρ δυνατόν, ὁ ΑΒ ἀριθμὸς διῃρήσθω εἰς τοὺς ΑΓΒ ὥστε τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ ΓΑ. ὁ ἄρα τετράκις ὑπὸ ΑΒΓ τετραπλάσιος τοῦ ἀπὸ ΓΑ. ὥστε τὸ τετράκις
5ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΑ πενταπλάσιον ἔσται τοῦ ἀπὸ ΓΑ. ἀλλ’ ὁ τετράκις ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ τετρα‐ γώνου τετράγωνός ἐστιν, ὡς ἐδείχθη ἐν τῷ ηʹ [II 8]. τετράγωνος δὲ καὶ ὁ ἀπὸ ΑΓ. δύο ἄρα τετράγωνοι λόγον ἔχουσιν, ὅνπερ πέντε πρὸς ἕν· ὅπερ ἀδύνατον.

2

.

72

Ἐν τῷ βʹ βιβλίῳ ιδ ὄντων θεωρημάτων τοῦτο μό‐ νον τὸ ιαʹ καὶ τὸ ιδʹ προβλήματά εἰσι καὶ οὐ δείκνυται διὰ ψήφων, διὰ τί δὲ ἐν τοῖς ἐπάνω βιβλίοις μαθησόμεθα.

2

.

73

Τετμήσθω ἡ ὅλη εὐθεῖα ἡ ΑΒ εἰς ὀκτὼ καὶ ὄγδοον. λαβὼν οὖν τὸν ὑπὸ τῆς ὅλης ἀριθμὸν τὸν ε καὶ γ καὶ ἑνώ‐ σας πολλαπλασίασον αὐτὸν ἐπὶ τὸν τρία. καὶ γίνονται κδ· τρὶς γὰρ η κδ. λαβὼν καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων τοῦ
5ΒΘ ἤγουν τὸ ὄγδοον τοῦ ὀκτώ, ὅπερ ἐστὶν ἕν, καὶ προσ‐ τιθεὶς τοῖς κδ, γίνεται τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑνὸς τῶν τμημάτων κε. πολλαπλασιάσεις ὡσαύτως καὶ τὸν τοῦ ἑτέρου τμήματος τῆς ΑΘ ἀριθμὸν πρὸς ἑαυτόν, ἤγουν τὸν ε. ποιεῖ τὸν κε· πεντάκις γὰρ ε κε. ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης
10τῆς ΑΘ καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων τῆς ΒΘ περιεχό‐ μενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τοῦ ΑΘ ἀναγραφομένῳ τετραγώνῳ.

2

.

74

Ἀπορ[εῖται], ὅτι πόθεν δῆλον, ὅτι οὐκ ἔρχεται ..... τη... ἡ ΕΒ καὶ οὐκ ἔστι ........ εἰ γὰρ δυνατόν, ἐρ‐
χέσθω. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΒ τῇ ΕΑ, ἀλλὰ ἡ ΑΒ τῆς ΑΕ ἐλάττων, καὶ ἡ ΒΕ ἄρα τῆς .. ἐλάττων. ἔστι δὲ καὶ
5μείζων· ὅπερ ἀδύνατον. ὑπερπίπτει ἄρα τὸ Α σημεῖον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

2

.

75

Πάλιν πόθεν, ὅτι τὸ ἀναγραφόμενον τετράγωνον ἀπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας οὐκ ἔρχεται διὰ τοῦ Β; εἰ δυνατόν, ἐρχέσθω. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ [ΖΑ] τῇ ΑΒ (τετράγωνον γὰρ τὸ ΑΖΗΒ), κοινὴ προσκείσθω ἡ ΑΕ· ὅλη ἄρα ἡ ΖΕ
5δυσὶ ταῖς ΕΑ, ΑΒ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΒ τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν. ὥστε καὶ ἡ ΕΒ ταῖς ΕΑ, ΑΒ ἐστιν ἴση, τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῇ λοιπῇ ἴσαι. οὐκ ἄρα ἔρχεται διὰ τοῦ Β σημείου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

2

.

76

Πόθεν, ὅτι οὐ τέμνει δίχα ἡ ΕΒ τὴν ΘΚ; καὶ λέγο‐ μεν, ὅτι, εἰ δυνατόν, τεμνέτω δίχα. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΘ τῇ ΕΚʹ [I 33], καὶ εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἐμπέπτω‐ κεν [ἡ ΗΚ], ἡ ὑπὸ ΕΚʹΚ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον καὶ
5ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΘΚ [ἴση ἐστίν· ἡ δὲ ὑπὸ ΑΘΚ] ὀρθή ἐστιν. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΕΚʹΚ ὀρθή ἐστιν. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΚʹ[Κ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ] ΘΚʹΒ· κατὰ κορυ‐ φὴν γάρ. ὥστε καὶ ἡ ΘΚʹΒ ὀρθή. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΘΒ ὀρθή· τριγώνου ἄρα αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι· ὅπερ
10ἀδύνατον. οὐκ ἄρα δίχα τεμεῖ αὐτήν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

2

.

77

Ἴσθι, ὡς ὁ στοιχειωτής φησιν ἐν τοῖς ὅροις τοῦ ἕκ‐ του τῶν στοιχείων, ὡς ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τε‐ τμῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα, οὕ‐ τω τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττον. παραδίδωσιν οὖν ἐνταῦθα
5τὸ πῶς δεῖ τέμνειν αὐτήν· ὅταν γὰρ τμηθῇ εὐθεῖα οὕτως, ὡς εἶναι τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμή‐
ματος τετραγώνῳ, τότε τὸ μεῖζον τμῆμα πρὸς τὸ ἔλαττον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον. ἴσθι καὶ
10τοῦτο, ὡς δι’ ἀριθμῶν οὐ δείκνυται· ἄλογος γάρ ἐστιν ἡ τοιαύτη εὐθεῖα καὶ ἀριθμοῖς οὐχ ὑποπίπτει.

2

78-83t

Ad prop. 12

2

.

78

Πόθεν, ὅτι ἡ ΒΔ κάθετος οὐ πίπτει ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου; καὶ λέγομεν, ὅτι οὐ δυνατόν. εἰ γὰρ δυ‐ νατόν, ἐρχέσθω ὡς ἡ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ [Omitted graphic marker] ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΕΑ γωνία, καὶ
5ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἀμβλεῖά ἐστι, τριγώνου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν μείζονες· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἐντός· ἐκτὸς ἄρα πίπτει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

2

.

79

Ἡ ΒΓ ιε· τὸ ἀπὸ ταύτης σκε. ἡ ΒΑ ιγ· τὸ ἀπὸ ταύτης ρξθ. ἡ ΑΓ δ· τὸ ἀπὸ ταύτης ιϛ. ἡ ΔΑ ε· τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΑ, ΑΓ μ. ἡ ΒΔ ιβ· τὸ ἀπὸ ταύτης ρμδ.

2

.

80

Ποιοῦσι δὲ τὰ αὐτὰ πάντες οἱ ἰσάκις αὐτῶν πολλα‐ πλάσιοι.

2

.

81

Ἔστω ἡ ΒΓ μονάδων ιε καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγω‐ νον μονάδων σκε· πεντεκαιδεκάκις γὰρ τὰ ιε σκε. ἡ δὲ ΒΑ μονάδων ιγ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον μονάδων ρξθ. ἡ δὲ ΑΓ μονάδων δ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον ιϛ. τὰ
5οὖν συναμφότερα τετράγωνα τὰ ἀπὸ τῆς ΒΑ καὶ ΑΓ ἤτοι τὰ ρξθ καὶ ιϛ γίνονται ρπε. ἔστω δὲ ἡ ΑΔ μονάδων ε·
ὥστε τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ γίνεται μ· τετράκις γὰρ πέντε καὶ αὖθις τετράκις ε μ. ὑπερέχει οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ὂν μονάδων σκε τῶν ἀπὸ τῶν ΓΑ, ΑΒ τετρα‐
10γώνων ὄντων ρπε μονάσι μ. εἰ γὰρ προσθήσεις μ τοῖς ρπε, γίνονται σκε. καὶ ταῦτα μὲν τὰ τοῦ ἀμβλυγωνίου.

2

.

82

Τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τῆς ὑποτεινούσης τὴν ἀμβλεῖαν γω‐ νίαν ἀναγραφόμενον τετράγωνον μονάδων σκε· ιε γὰρ ἡ πλευρὰ ἦν μονάδων· πεντεκαιδεκάκις γὰρ τὰ ιε σκε. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΑ δ μονάδων οὐσῶν ἀναγραφόμενον τετράγωνον
5μονάδων ιϛ· τετράκις γὰρ τὰ δ ιϛ. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΑ ἀνα‐ γραφόμενον τετράγωνον μονάδων οὐσῶν ιγ μονάδων ρξθ· τρισκαιδεκάκις γὰρ τὰ ιγ ρξθ. μιγνύμεναι οὖν αἱ ιϛ μο‐ νάδες καὶ ρξθ τῶν β πλευρῶν τῶν περιεχουσῶν τὴν ἀμ‐ βλεῖαν γωνίαν ἀναβιβάζονται εἰς μονάδας ρπε. εἰ γοῦν
10προσθήσεις ταύτας τὰς μονάδας πρὸς τὰς γινομένας ὑπὸ τοῦ δὶς λαμβανομένου ὀρθογωνίου ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ, γί‐ νονται σκε. ὥστε μὴ προστιθεμένων τούτων τῶν μονάδων μεῖζόν ἐστι τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΑ καὶ ΑΒ τετραγώνων τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ ἤγουν
15ταῖς μ μονάσιν.

2

.

83

Διότι τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΓΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΔ, ΔΒ, ἀλλὰ τὰ ΓΔ, ΔΒ ἴσα ἦσαν τοῖς ΒΔ, ΓΑ, ΑΔ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ, ἀντὶ γοῦν τοῦ λέγειν τὸ ΓΒ ἴσον τοῖς ΓΔ, ΔΒ λέγε, οἷς ἐστιν ἴσα τὰ ΓΔ, ΔΒ. καὶ
5ποῖα ταῦτα; τὰ ΓΑ, ΑΔ, ΔΒ καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ. ἀλλὰ πάλιν ἀντὶ τοῦ λέγειν ΑΔ, ΔΒ εἰπὲ τὴν ἴσον δυναμένην τὴν ΑΒ. τοῦτο δὲ πάντως ποιήσεις, ἵνα ἐν τῷ
ἀμβλυγωνίῳ διὰ τῆς μεταμείψεως ἡ δεῖξις προβῇ.

2

84-91t

Ad prop. 13

2

.

84

Ἐπειδὴ ἐν τοῖς ὅροις ὀξυγώνιόν φησι τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας, ἰστέον, ὅτι οὐχ οὕτως καὶ ἐνταῦθα λέγει, ἀλλὰ πάντα ὀνομάζει τὰ τρίγωνα ὀξυγώνια διὰ τὸ πάντα ἔχειν ὀξεῖαν γωνίαν, εἰ καὶ μὴ πάσας, μίαν γοῦν. ἡ
5οὖν πρότασις τοιαύτη ἐστί· παντὸς τριγώνου ἡ τὴν ὀξεῖαν γωνίαν ὑποτείνουσα πλευρὰ ἔλασσον δύναται τῶν τὴν ὀξεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τῷ περιεχομένῳ καὶ [Omitted graphic marker] τὰ ἑξῆς. ἐὰν μὲν οὖν ὀρθογώνιον ᾖ, λαμβάνεις τῶν περὶ τὴν ὀξεῖαν δύο τὴν
10ὑποτείνουσαν τὴν ὀρθήν, ἵνα ἐπ’ αὐτῆς ἡ κάθετος πέσῃ· ὁμοίως καὶ ἐὰν ᾖ ἀμβλυγώνιον. τὸ δὲ ἀντιστρόφιον τοῦ θεωρήματός ἐστι τοῦτο· ἔστω τὸ ἀπὸ ΑΒ τῶν ἀπὸ ΒΓ, ΓΑ ἔλαττον τῷ δὶς ὑπὸ καὶ τὰ ἑξῆς, καὶ
15ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΓΑ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΔ καὶ ἴση τῇ ΓΒ. τὰ ἀπὸ ΓΒ, ΓΑ ἄρα ἴσα τοῖς ἀπὸ ΔΓ, ΓΑ. ἀλλὰ τῶν ἀπὸ ΒΓ, ΓΑ ἔλαττον τὸ ἀπὸ ΑΒ· καὶ τῶν ἀπὸ ΔΓ, ΓΑ ἄρα ἔλαττον. ἴσον δὲ τοῖς ἀπὸ ΔΓ, ΓΑ τὸ ἀπὸ ΔΑ. τὸ ἄρα ἀπὸ ΔΑ τοῦ ἀπὸ ΑΒ μεῖζον· ὥστε καὶ ἡ ΔΑ τῆς ΑΒ.
20ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΔΓ, ΓΑ δύο ταῖς ΒΓ, ΓΑ ἴσαι εἰσίν, ἀλλὰ καὶ βάσις ἡ ΔΑ βάσεως τῆς ΑΒ μείζων, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΓΑ τῆς ὑπὸ ΑΓΒ μείζων. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΓΑ. ὀξεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

2

.

85

Ἔστω ἡ ΑΓ ιε· τὸ ἀπὸ ταύτης σκε· ἡ δὲ ΓΒ ιδ· τὸ
ἀπὸ ταύτης ρϙϛ· ἡ δὲ ΒΑ ιγ καὶ τὸ ἀπὸ ταύτης ρξθ· ἡ δὲ ΑΔ ιβ· τὸ ἀπὸ ταύτης ρμδ· ἡ ΒΔ ε καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς κε· ἡ ΔΓ θ· τὸ ἀπ’ αὐτῆς πα.

2

.

86

Τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ καὶ ΒΓ υκα· τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ ρκϛ καὶ τὸ δὶς σνβ· ὅπερ ἐστὶν ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετραγώνων πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον.

2

.

87

Τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῆς ὑποτεινούσης τὴν ὀξεῖαν γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Β ρξθ. τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῆς μιᾶς τῶν περι‐ εχουσῶν τὴν ὀξεῖαν γωνίαν σκε, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς λοιπῆς τῶν περιεχουσῶν τὴν ὀξεῖαν γωνίαν, ἥτις ἐστὶν ἡ ΒΓ,
5ρϙϛ. καὶ τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ ρκϛ, τὸ δὲ δὶς σνβ. ἐλλεῖπον οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον, ὅπερ ἐστὶν ὁ ρξθ ἀριθμός, τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ καὶ ΒΓ τετραγώνων, ἅτινά εἰσιν ὁμοῦ υκα, τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ ἤγουν τῷ σνβ.

2

.

88

Τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον μονάδων σκε· ιε τὰ ιε σκε. τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ ἑτερόμηκες ο· πεντάκις γὰρ τὰ ιδ ο. ἀπ’ αὐτῆς δὲ ὡς πλευρᾶς τετραγώνου τετράγωνον μονάδων ρϙϛ· τεσσαρεσκαιδεκάκις γὰρ τὰ ιδ ρϙϛ. ἐπεὶ δὲ
5ἡ αὐτὴν γραμμὴ τέμνεται εἰς β κατὰ τὸ Δ, τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον μονάδων πα· θ γὰρ τὰ θ πα. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΔΒ τετράγωνον μονάδων κε· ε γὰρ τὰ ε κε. τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τετράγωνον μονάδων ρμδ· καὶ γὰρ ιβκις τὰ ιβ ρμδ. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ μονάδων ρξθ· ιγκις γὰρ τὰ ιγ ρξθ.

2

.

89

Ἔστω τοῦ ὀξυγωνίου τριγώνου ἡ ὑποτείνουσα τὴν πρὸς τῷ Β ὀξεῖαν γωνίαν ἡ ΑΓ μονάδων ιε καὶ τὸ ἀπὸ τῶν δέκα καὶ πέντε μονάδων τετράγωνον μονάδων σκε, ἡ δὲ ΓΒ μονάδων ιδ καὶ τὸ ἀπὸ ταύτης τετράγωνον ρϙϛ, ἡ δὲ
5ΒΑ μονάδων ιγ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον ρξθ, ἡ δὲ ΑΔ μονάδων ιβ καὶ τὸ τετράγωνον αὐτῆς ρμδ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΓ μονάδων ἦν ιδ, ἐτμήθη δὲ κατὰ τὸ Δ, ἔστω ἡ μὲν ΒΔ μονάδων ε, ἡ δὲ ΔΓ θ· ὥστε τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ ὀρθογώνιόν ἐστιν ρμ· πεντάκις γὰρ ιδ ο, καὶ πάλιν πεν‐
10τάκις ιδ ο, δὶς δὲ ο ρμ. πάλιν ἐπεὶ ἡ ΒΔ μονάδων ἐστὶ ε, τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνόν ἐστιν κε. τούτων οὖν οὕτως ἐχόντων ἐπεί ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ ρϙϛ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΑ ρξθ, τὰ συναμφότερα γίνονται τξε. ὥστε τὸ σκε τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῆς ὑποτεινούσης τὴν ὀξεῖαν γωνίαν ἔλαττόν
15ἐστι τῶν δύο τετραγώνων τῶν τξε τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ, ὅπερ ἐστὶν ρμ. εἰ γὰρ τοῖς σκε προσθήσεις ρμ, γενή‐ σονται τξε. ἐπεὶ οὖν τοῖς δυσὶ τετραγώνοις τοῖς ἀναγραφο‐ μένοις ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ τῶν περιεχουσῶν τὴν πρὸς τῷ Β ὀξεῖαν γωνίαν ἴσον ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περι‐
20εχόμενον ὀρθογώνιον καὶ τὰ β τετράγωνα τὰ ἀπὸ τῶν ΓΔ, ΔΑ, ἐπεὶ οὖν, ὡς εἴρηται, τὰ ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ ἴσα ἐστὶ τῷ ὀρθογωνίῳ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΔ, ΔΑ τετραγώνοις, ἔστι δὲ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΔ, ΔΑ τε‐ τραγώνοις ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΓΑ ἔλατ‐
25τόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ τῶν περιεχόντων τὴν ὀξεῖαν τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ. ἐπεὶ γὰρ τὰ β τετράγωνα τὰ ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ ἴσα ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ ὀρθογωνίῳ καὶ τοῖς δυσὶ τετραγώνοις τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΔ, ΔΑ, οἷς ἀπὸ τῶν ΓΔ, ΔΑ ἴσον τὸ ἀπὸ
30τῆς ΓΑ, λείπεται ἤτοι ἐλαττοῦται τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ τῷ ὀρθογωνίῳ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ.

2

.

90

Ποιοῦσι δὲ τὰ αὐτὰ καὶ οἱ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσιοι.

2

.

91

Τὸ γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ ὑπὸ τῆς ΓΒ καὶ τῆς ΔΒ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΑ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον
5ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ· καὶ περιτ‐ τεύει τὸ ὀρθογώνιον τὸ ὑπὸ τῆς ΓΒ καὶ τῆς ΔΒ δὶς περιεχόμενον.

2

92-94t

Ad prop. 14

2

.

92

τῶν ΘΕ, ΗΕ τετράγωνα p. 92, 9] ὑποτείνει γὰρ ἡ ΘΗ τοῦ ΘΕΗ τριγώνου.

2

.

93

Πόθεν, ὅτι ὁ γραφόμενος κύκλος οὐκ ἔρχεται διὰ τοῦ Δ σημείου; καὶ λέγομεν, ὅτι, εἰ δυνατόν, ἐρχέσθω, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Η[Δ]. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΗ τῇ ΔΗ, ἀλλ’ ἡ ΘΗ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα τῇ ΖΗ ἐστιν ἴση.
5ἀλλὰ ἡ ΔΕ τῇ [ΕΖ] ἐστιν ἴση· κοινὴ προσκείσθω ἡ ΗΕ. ὅλη ἄρα ἡ ΗΖ δυσὶ ταῖς ΕΗ, ΕΔ ἐστιν ἴση. ἀλλὰ ἡ ΗΔ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση· καὶ αἱ ΗΕ, ΕΔ ἄρα τῇ ΗΔ εἰσιν ἴσαι, τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῇ λοιπῇ ἴσαι· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα διὰ τοῦ Δ σημείου ἔρχεται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

2

.

94

Πάλιν πόθεν, ὅτι οὐκ ἔρχεται διὰ τοῦ Γ σημείου; καὶ λέγομεν, ὅτι καὶ οὕτως ἀδύνατόν ἐστιν. εἰ γὰρ δυνα‐ τόν, ἐρχέσθω καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΓ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΓ τῇ [ΒΗ], καὶ ἡ [ὑπὸ] ΗΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ [Β]ΓΗ
5ἐστιν ἴση. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΓΒΗ γωνία ὀρθή ἐστιν. καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ γωνία ὀρθή ἐστιν, καί εἰσι τριγώνου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι· ὅπερ ἀδύνατον. [οὐκ ἄρα] ἔρχεται διὰ τοῦ Γ σημείου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἐντός, ἐπεὶ πολὺ
τὸ ἀτοπώτερον· ἐκτὸς ἄρα ἔρχεται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

3

t

In librum 3

3

.

1

Σκοπός ἐστι περὶ τῶν πρὸς εὐθείας καὶ γωνίας κυκλι‐ κῶν συμπτωμάτων διαλαβεῖν.

3

2t

Ad def. 2

3

.

2

Διαφέρει τὸ ἅπτεσθαι τοῦ ἐφάπτεσθαι· τὸ μὲν γὰρ ἐφάπτεσθαι εἴρηται τῷ γεωμέτρῃ ὡς δεῖ ἐκδέχεσθαι, τὸ [Omitted graphic marker] δὲ ἅπτεσθαι, ἵνα προσπεσοῦσα ἡ εὐθεῖα τῷ κύκλῳ, εἰ μὲν οὐκ
5ἐξεβάλλετο, τὸν τοῦ ἅπτεσθαι ὅρον ἐπιδέχεται, ἐκβληθεῖσα δὲ τὸν τοῦ τέμνειν, οἷον τοῦ ΑΓ κύκλου ἡ μὲν ΔΕ ἐφάπτε‐ ται, ἡ δὲ ΖΗ ἅπτεται, ἡ δὲ
10ΘΚ τέμνει τὸν κύκλον.

3

3t

Ad def. 6

3

.

3

(τμῆμα) Ὃ καὶ μηνίσκος λέγεται, διότι ἔοικε τῇ σελήνῃ διχοτόμῳ οὔσῃ.

3

4t

Ad def. 8

3

.

4

Πλὴν τούτῳ διοίσει, ὅτι, εἰ μὲν ἐν ἡμικυκλίῳ γένηται ἡ γωνία, ὀρθὴ ἔσται, εἰ δὲ ἐν μείζονι, ὀξεῖα, εἰ δὲ ἐν ἐλάτ‐
τονι, ἀμέλει οὔ.

3

5-6t

Ad def. 10

3

.

5

(τομεύς) Ἐκ μεταφορᾶς τοῦ σκυτοτομικοῦ τομέως.

3

.

6

Δύο διαφοραί εἰσι τῶν τομέων· οἱ μὲν γὰρ πρὸς τοῖς κέντροις τὰς κορυφὰς ἔχουσι τῶν γωνιῶν, οἱ δὲ πρὸς ταῖς περιφερείαις· οἱ δὲ μήτε πρὸς ταῖς περιφερείαις μήτε πρὸς τοῖς κέντροις, ἀλλὰ πρὸς ἄλλοις τισὶν σημείοις, διὰ τόδε
5οὐ τομεῖς, ἀλλὰ τομοειδῆ σχήματα λέγονται.

3

7-8t

Ad def. 11

3

.

7

Τὰς ἐν τμήματι δηλονότι, οὐ τὰς τοῦ τμήματος. καὶ ζήτει κεφάλαιον κγʹ τούτου τοῦ βιβλίου καὶ εἰκοστὸν ἕκτον καὶ εἰκοστὸν ἕβδομον, ἐξ ὧν κεφαλαίων παρίσταται καὶ τὸ ἴσον ὁποῖόν ἐστιν· οὐ μόνον γὰρ τὸ κατ’ εἶδος ἴσον φησί,
5οἷον τὸ καθὸ ἀμβλεῖαι ἢ ὀξεῖαι, ἀλλὰ καὶ τὸ κατὰ τὸ πρὸς ἀλλήλας μέγεθος, ὡς μὴ εἶναι ἑτέραν ἑτέρας ἀμβλυτέραν ἢ ὀξυτέραν. ταῦτα κατὰ τὸ ἐμοὶ παριστάμενον.

3

.

8

γωνίας ἴσας p. 94, 11. 12] ἤτοι τὰς ἐν τοῖς τμή‐ μασι. ἐν οἷς αἱ γωνίαι p. 94, 12] ἤγουν αἱ τῶν τμημάτων. ἰστέον δέ, ὡς, ἐὰν ἔν τισι τμήμασιν αἱ γωνίαι ἴσαι ὦσι, καὶ
5αἱ τῶν αὐτῶν τμημάτων γωνίαι ἴσαι ἔσονται.

3

9-11t

Ad prop. 1

3

.

9

Ὥσπερ ἐν τῷ αʹ τῶν στοιχειωδῶν σχημάτων, τῶν τριγώνων λέγω, στοιχειωδέστατον τὸ ἰσόπλευρον εἰς ποίη‐ σιν ἐν ἀρχῇ προετείνετο διὰ τὰς τῶν ἑξῆς ἀποδείξεων κατασκευάς, οὕτως καὶ ἐνταῦθα τὸ κέντρον εὑρεῖν προβάλλε‐
5ται· τοῦτο γὰρ τῆς κυκλικῆς γενέσεως αἴτιον.

3

.

10

Πᾶς μὲν κύκλος ἔχει τὸ οἰκεῖον κέντρον ὡρισμένον
τῇ αὑτοῦ φύσει, πρὸς ἡμᾶς δὲ οὐ πᾶς, ἀλλ’ οὗ τὴν γένεσιν ὁρῶμεν. ἐπὶ μὲν οὖν τῶν προτέρων θεωρημάτων ἅτε γινο‐ μένων τῶν κύκλων καὶ τὰ κέντρα φανερά. ἐπὶ τούτων δὲ
5τῆς οὐσίας ζητουμένης καὶ τὸ κέντρον ζητεῖται· συμπλη‐ ρωτικὸν γὰρ τῆς ὑπάρξεως τοῦ κύκλου. τοῦτο δὲ πρῶτόν φησι μέσον προβλημάτων καὶ θεωρημάτων· καθὸ μὲν γὰρ ζητῆσαι προτείνει, ποιῆσαί πως προβάλλει, καθὸ δὲ οὐκ εἰς ποίησιν, ἀλλ’ εἰς εὕρεσιν, κατὰ τοῦτο θεωρῆσαι
10προτείνει. δοκεῖ δέ μοι ἐσχηματισμένην ἔχον τὴν πρότασιν θεώρημα εἶναι, ὡς ἂν εἰ καὶ περὶ τοῦ τετάρτου τις εἶπεν· δύο τριγώνων, ὧν δύο πλευραὶ ἴσαι καὶ γωνίαι, εὑρεῖν, εἰ αἱ βάσεις ἴσαι· ὥσπερ γὰρ ἐκεῖ ἤδη τῇ φύσει τῶν τριγώνων ἐμπεριεχόμενον ζητεῖ σύμπτωμα, οὕτω καὶ ἐνταῦθα τῇ
15τοῦ κύκλου, ἄλλως τε καὶ εἰ τοῦ προβλήματος ἴδιον καὶ τοὐναντίον τῆς προτάσεως ἐπιδέχεσθαι, πολλῷ μειζόνως τὸ προκείμενον ἐκφεύξεται τὴν τοῦ προβλήματος ἐπωνυ‐ μίαν.

3

.

11

Μέσον ἐστὶ τοῦτο τῶν προβλημάτων καὶ τῶν θεω‐ ρημάτων· καθὸ μὲν γὰρ ζητῆσαι προβάλλεται, ποιῆσαί πως προτείνει, καθὸ δὲ οὐκ εἰς ποίησιν, ἀλλ’ εἰς εὕρεσιν, κατὰ τοῦτο θεώρημα προτείνει.

3

12t

Ad prop. 2

3

.

12

Εἰ λάβοιμεν τὴν ΑΔ τῇ ΔΒ ἐπ’ εὐθείας, ἐπεὶ ἐκ τοῦ κέντρου, διάμετρος ἔσται τοῦ κύκλου. εἰ δὲ καὶ τὴν ΔΖ λάβοιμεν πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ, ἴσον τμῆμα ἔσται τοῦ κύκλου καὶ ὅμοιον τὸ ΑΖ τῷ ΖΒ· ἐν δὲ τοῖς ὁμοίοις τμήμασι τοῦ
5κύκλου αἱ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· εἰ γὰρ ὅμοια τμή‐ ματα κύκλου εἰσὶ τὰ δεχόμενα γωνίας ἴσας, καὶ ἀντιστρό‐
φως γωνίας ἴσας δέχονται τὰ τῶν κύκλων ὅμοια τμήματα. εἰ δὲ μὴ λάβοιμεν ἐπ’ εὐθείας τὴν ΑΔ τῇ ΔΒ, τρίγωνον ἔσται τὸ ΔΑΕΒ ἰσοσκελές· ἡ μὲν γὰρ ΔΑ καὶ ἡ ΔΒ ἴσαι
10ἀλλήλαις· ἐκ τοῦ κέντρου γάρ. ἡ δὲ ΑΕΒ ὡς εὐθεῖα ὑπό‐ κειται καί ἐστι βάσις τοῦ ὅλου ΔΑΕΒ τριγώνου· αἱ πρὸς τῇ βάσει ἄρα γωνίαι, ἤγουν ἡ πρὸς τῷ Α καὶ ἡ πρὸς τῷ Β, ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

3

13-14t

Ad prop. 3

3

.

13

Ἐκ τούτου τοῦ θεωρήματος δείκνυται τὸ ἀντιστρό‐ φιον τοῦ ὅρου τοῦ κύκλου. ἐὰν γὰρ σχήματος τῇ περι‐ μέτρῳ προσπίπτωσιν ἀπό τινος σημείου τῶν ἐντὸς κειμέ‐ νων πᾶσαι ἴσαι, κύκλος ἐστίν. μὴ γάρ, ἀλλ’ ἔστω εὐθύ‐
5γραμμον, καί τις αὐτοῦ πλευρά, ἐφ’ ἣν δύο προσέπεσον ἀφορίζουσαι αὐτήν. ἰσοσκελὲς ἄρα τὸ τρίγωνον, καὶ δίχα τετμημένης τῆς βάσεως ἡ ἐπιζευχθεῖσα ὀρθὰς ποιήσει γωνίας καὶ ἐλάσσων ἔσται ἑκατέρου σκέλους· ὅπερ ἄτοπον. ὑπόκεινται γὰρ πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι ἴσαι.

3

.

14

Μετὰ τοῦ ἀντιστρόφου· ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ κέντρου, οὐ πάντως πρὸς ὀρθὰς τέμνει.

3

15t

Ad prop. 4

3

.

15

Διὰ τοῦ κέντρου οὐσῶν οὐκ ἦν ζητήσεως ἄξιον, εἰ δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας· τὸ γὰρ κέντρον αὐτῶν ἡ διχοτο‐ μία. ὁμοίως καὶ εἰ τῆς ἑτέρας διὰ τοῦ κέντρου οὔσης ἡ ἑτέρα μὴ διὰ τοῦ κέντρου εἴη, ὅτι οὐ δίχα τέμνεται ἡ διὰ
5τοῦ κέντρου.

3

16t

Ad prop. 6

3

.

16

Τινὲς προστιθέασι τὸ ἐντός, ὡς τοῦτο φαντάζον. ἐὰν γὰρ ἐκτὸς ἐφάπτωνται, τὸν ὅρον ἐκφεύγει τοῦ κύκλου, εἴ τις τῶν δύο τὸ αὐτὸ κέντρον λήψεται· ἐκτὸς γὰρ πάντως τῆς περιφερείας τοῦ ἑνὸς εὑρεθήσεται.

3

17t

Ad prop. 7

3

.

17

Ἀντιστρόφιον· ἐὰν κύκλου ληφθῇ σημεῖον ἐντός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπέσωσιν ὁσαι‐ δήποτε εὐθεῖαι, ὧν μία μὲν μεγίστη, μία δὲ ἐλαχίστη, τῶν δὲ λοιπῶν αἱ μὲν ἴσαι, αἱ δὲ ἄνισοι, ἡ μὲν μεγίστη διὰ τοῦ
5κέντρου ἔσται, ἡ δὲ ἐλαχίστη λοιπὴ τῆς διαμέτρου, τῶν δὲ ἄλλων αἱ μὲν μείζους ἔγγιόν εἰσι τοῦ κέντρου, αἱ δὲ ἴσαι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπ’ αὐτοῦ. διὰ γὰρ τοῦ Ε, ὅ ἐστιν ἐν‐ τὸς τοῦ κύκλου, μεγίστη μὲν [Omitted graphic marker] ἔστω ἡ ΕΓ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΕΔ,
10ἡ δὲ ΖΕ τῆς ΕΒ μείζων. λέγω, ὅτι ἡ μὲν ΓΕ διὰ τοῦ κέντρου ἐστίν, ἡ δὲ ΔΕ ἐπ’ εὐθείας αὐτῇ, ἡ δὲ ΕΖ ἔγγιον τοῦ κέν‐ τρου ἤπερ ἡ ΕΒ. εἰ γὰρ μή
15ἐστιν ἡ ΓΕ διὰ τοῦ κέντρου, ἀλλά τις ἄλλη ἀπὸ τοῦ Ε προσ‐ πεσοῦσα, ἐκείνη ἔσται μεγίστη διὰ τὸ ζʹ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΕΓ· ὅπερ ἀδύνατον. διάμετρος ἄρα ἡ ΓΕ καὶ ἐπ’ εὐθείας
αὐτῇ ἡ ΕΔ. λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΕΖ ἔγγιον τοῦ Θ ἤπερ ἡ ΕΒ.
20ἤτοι γὰρ ἀπώτερον ἢ ἴσον ἀφέστηκεν. εἰ μὲν οὖν ἀπώτερον, μείζων ἡ ΒΕ τῆς ΕΖ· ὅπερ ἀδύνατον· οὐχ ὑπόκειται. εἰ δὲ ἴσον ἀφεστήκασιν, ἴσαι εἰσὶν διὰ τὸ ζʹ. οὐδὲ τοῦτο δὲ ὑπόκειται. ἔγγιον ἄρα ἡ ΖΕ τοῦ Θ ἤπερ ἡ ΕΒ. ἡ δὲ ΗΕ τῇ ΕΒ ἴση ἔστω. ἴσον ἄρα ἀφεστᾶσι τοῦ Θ· ἴσον γὰρ μὴ
25ἀφεστῶσαι ἄνισοί εἰσι διὰ τὸ ζʹ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

3

18-19t

Ad prop. 8

3

.

18

κυρτὴν p. 103, 18] Κυρτὴ περιφέρεια λέγεται τὸ ἐκτὸς τοῦ κύκλου.

3

.

19

Ἢ καὶ οὕτως· μεγίστη μέν ἐστι ἡ διὰ τοῦ κέντρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπω‐ τέρω μείζων ἐστί, τῶν δὲ πρὸς τὴν κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστι ἡ μεταξὺ τοῦ
5τε σημείου καὶ τῆς διαμέτρου, ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς ἐλαχί‐ στης τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάττων, δύο δὲ μόναι καὶ ἐφ‐ εξῆς· καὶ κρείττων αὕτη ἡ γραφή.

3

20t

Ad prop. 9

3

.

20

Εἰ γὰρ μὴ εἰς τὸ Δ σημεῖον, ὅπερ ἐστὶ κοινὸς τόπος τῆς ΗΚ καὶ ΘΛ, ἐστι τὸ κέντρον, δύο κέντρα ἔσονται τοῦ ἑνὸς κύκλου· εἴρηται γάρ, ὅτι καὶ ἐν τῇ ΗΚ καὶ ἐν τῇ ΘΛ ἐστι τὸ κέντρον. εἰ γὰρ μὴ ἐν τῷ Δ σημείῳ, ἀλλ’ ἐν
5ἄλλῳ τόπῳ τῆς ΗΚ, δηλαδὴ καὶ ἐν ἄλλῳ τῆς ΘΛ, καὶ ἔσονται δύο κέντρα· ὅπερ ἀδύνατον.

3

21t

Ad prop. 10

3

.

21

Κύκλος κύκλον οὐ τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο. εἰ γὰρ δυνατόν, δύο κύκλοι οἱ ὑποκείμενοι τεμνέτωσαν
ἀλλήλους κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο τὰ Α, Β, Γ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΑΓ .... δὲ δίχα τομῶν (?) πρὸς
5ὀρθὰς αὐτ..... λέγει τις, ὅτι ἔστω ὡς ἡ Δ· καὶ .... αὐτόθεν ἀδύνατον τὴν τῶν πρὸς ὀρθὰς πτῶσιν. ἐπεὶ δὲ [Omitted graphic marker] οὐδὲ τριγώνου αἱ πρὸς τοῖς Δ, Ε γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ γὰρ
10ἀδύνατον. οὐχ οὕτως ἄρα πρὸς ὀρθὰς ἥξουσιν. εἰ δὲ λέγοι τις τὰς πρὸς ὀρ‐ θὰς πίπτειν ὡς ὑπογέ‐ γραπται διὰ ... μὲν οὕ‐
15τως τὴν πτῶσιν τῶν εὐ‐ θειῶν. ἐπεὶ γὰρ τῷ ἐφ’ ἑκάτερα κύκλῳ εὐθεῖά τις ἡ ΖΗ τὴν ΑΔ δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, ἐπὶ τῆς ΖΗ τὸ κέντρον ἄρα ἐστὶν ἑκατέρων τῶν κύκλων. ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῆς ΗΘ τὸ κέντρον ἐστὶν ἑκατέρων τῶν κύκλων· ὅπερ
20ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα πεσοῦνται πρὸς ὀρθάς.

3

22t

Ad prop. 13

3

.

22

πλείονα σημεῖα p. 112, 5] διὰ μὲν τῶν προλαβόν‐ των δύο θεωρημάτων ὡς ὁμολογούμενον λαμβάνων ὁ στοιχειωτὴς τὸ καθ’ ἓν σημεῖον ἐφάπτεσθαι τοὺς κύκλους ἀλλήλων διὰ μὲν τὸ ἐὰν ἐντός, ἰδίᾳ δὲ τὸ ἐὰν ἐκτός, ἄλλο τι
5τούτοις ἐφεπόμενον ἐθεώρει· νῦν δὲ κατὰ ταὐτὰ μίξας ἅμα δείκνυσιν ἑνὶ καὶ τῷ αὐτῷ προβλήματι.

3

23t

Ad prop. 16

3

.

23

ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου p. 117, 3] ἤγουν τῆς κυρτῆς περιφερείας, οὐ τῆς κοίλης. in mg. τῆς μὲν ἐκτὸς περιφερείας οὔσης καὶ λεγομένης κυρτῆς, τῆς δὲ ἐντὸς
κοίλης.

3

24t

Ad prop. 19

3

.

24

Ἀντιστρόφιον· ἐὰν κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἐκτὸς ἀχθῇ τοῦ κύκλου, ἐκβαλλομένη, ἐφ’ ἃ μέρη ἐστὶν ὁ κύκλος, ἐπὶ τὸ κέντρον πεσεῖται τοῦ κύκλου.

3

25t

Ad prop. 20

3

.

25

ὁμοίως δὴ δείξομεν p. 123, 14. 15] σκόπει, μή σε παρέλθῃ τὸ νόημα.

3

26t

Ad prop. 23

3

.

26

Ἅμα γὰρ ἐφ’ ἑκάτερα μέρη δύνανται συσταθῆναι, τὸ μὲν ἓν ἐπὶ τοῦ ἑνὸς μέρους, τὸ δὲ ἕτερον ἐπὶ τοῦ ἑτέρου.

3

27t

Ad prop. 24

3

.

27

Ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο τμήματα κύκλων ὅμοια καὶ ἄνισα συσταθήσονται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη· ὅπερ ἀδύνα‐ τον. ἢ καὶ ἄλλως· εἰ γὰρ ἡ ΑΒ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΓΔ ἐφαρ‐ μόσει καὶ τὰ λοιπά, κύκλος κύκλον κατὰ πλείονα ἢ δύο
5σημεῖα τεμεῖ· οὐ τέμνει δέ.

3

28t

Ad prop. 25

3

.

28

Τὸ Δ κέντρον ἔσται τοῦ προσαναπεπληρωμένου κύ‐ κλου διὰ τὸ θʹ θεώρημα τῆς γʹ βίβλου τὸ λέγον, ὅτι, ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐντός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι, τὸ
5ληφθὲν σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ κύκλου. ἀπὸ γὰρ τοῦ Δ σημείου πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι προσέπεσον πρὸς τοῦ ἀναγεγραμμένου κύκλου τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν αἱ ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ. τὸ δὲ ΑΒΓ ἡμικύκλιόν ἐστι διὰ τὸ τὴν ΑΓ εὐ‐ θεῖαν διὰ τοῦ κέντρου ἦχθαι καὶ διάμετρον οὖσαν τὸν
10προσαναγεγραμμένον κύκλον δίχα τέμνειν.

3

29t

Ad prop. 26

3

.

29

Ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι p. 129, 14] ἴσοι φανήσονται ἀπὸ τοῦ ἴσα τμήματα ἀλλήλοις διὰ τὸ κδʹ γενέσθαι καὶ ὁλοκλήρως προσαναγραφῆναι τοὺς κύκλους διὰ τοῦ ἐφ‐ εξῆς κεʹ.

3

30t

Ad prop. 28

3

.

30

Τοῦτο καὶ τὸ ἑξῆς καὶ τὸ τρίτον ἀντιστρέφουσιν· ἐὰν ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας καὶ ὁμοίας περιφερείας ὑποτείνωσιν, ἴσοι εἰσὶν οἱ κύκλοι, ὧν αἱ περιφέρειαι. εἰ γὰρ ἄνισοι, ἐπὶ τοῦ ἐλάσσονος τῷ μείζονι ἴσου γραφέντος περὶ τὸ αὐτὸ
5κέντρον καὶ γωνιῶν ἐπὶ τῶν ἴσων περιφερειῶν συσταθει‐ σῶν ἡ μὲν ἔσται τῶν γωνιῶν ἐλάσσων, ἡ δὲ μείζων. ἐὰν οὖν ἀπὸ τῆς μείζονος γωνίας τῇ ἐλάσσονι ἴσην ἀφέλῃς, ἔσονται οὐκέτι αἱ ἐξ ἀρχῆς περιφέρειαι ὅμοιαι. ὑπέκειντο δέ· οὐκ ἄρα ἄνισοι οἱ κύκλοι, ὧν αἱ ὅμοιαι περιφέρειαι.
10ἕπεται δὲ τοῖς τρισὶ τούτοις ἄλλα τρία τό τε ἐν τοῖς ἀνίσοις κύκλοις τὰς ἴσας εὐθείας ἀνίσους καὶ ἀνομοίας ὑποτείνειν περιφερείας καὶ τὰ δύο ἀντίστροφα. καὶ τὸ μὲν πρῶτον οὕτω πως· ὅτι μὲν ἀνόμοιαι αἱ περιφέρειαι, φανερόν, εἰ περὶ τὸ αὐτὸ τεθεῖεν κέντρον ἴσων οὐσῶν τῶν εὐθειῶν.
15ἄνισοι γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ μέσου τῶν εὐθειῶν ἀποστάσεις· ὥστε καὶ αἱ γωνίαι· ὥστε καὶ αἱ περιφέρειαι. λέγω, ὅτι καὶ οἱ κύκλοι διὰ τὸ τρίτον τῶν πρὸ αὐτοῦ ἀντιστρόφιον. τὸ δὲ δεύτερον· ἐν τοῖς ἀνίσοις κύκλοις ὑπὸ τὰς ὁμοίας περιφερείας ἄνισοι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν. εἰ γὰρ ἴσαι, ἴσαι
20δὲ καὶ αἱ γωνίαι, καὶ τὰ τρίγωνα ἴσα ἂν εἴη, καὶ αἱ πλευραὶ καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων καὶ οἱ κύκλοι. τὸ τρίτον· ἐὰν ὅμοιαι καὶ ἄνισοι ὦσιν αἱ περιφέρειαι· δῆλον γάρ, ὅτι ὑπὸ ἀνίσων εὐθειῶν ὑποτείνονται· ὅτι ἄνισοι οἱ κύκλοι. εἰ γὰρ ἴσοι, ἄνισοι δὲ αἱ εὐθεῖαι, ἀνόμοιαι ἄρα αἱ περιφέρειαι.

3

31-32t

Ad prop. 31

3

.

31

Εἰ τὰ ἡμικύκλια πάντα διὰ τὴν ὁμοιότητα ἴσας δέχεται γωνίας (ὀρθὰς γάρ), τὰ δὲ μείζονα τμήματα ἐλάτ‐ τους ὀρθῶν, δῆλον, ὅτι καὶ αὐτά, εἰ ὅμοια εἴη, ἴσας δέχεται γωνίας· ὅσῳ γὰρ μείζονά ἐστιν ἡμικυκλίων, τοσούτῳ τὴν
5ὀρθὴν ἐλαττοῖ. ὁμοίως καὶ τὰ ἐλάττω τῶν ἡμικυκλίων τὴν ὀρθὴν ἀνάλογον αὔξει. ὥστε τὰ ὅμοια τμήματα ἴσας δέχε‐ ται γωνίας. αἱ δὲ τῶν τμημάτων γωνίαι ἑτερογενεῖς οὖσαι παρὰ τὰς εὐθυγράμμους (μικταὶ γάρ) οὐ παραβέβληνται ἐκείναις ὡρισμένῳ μεγέθει, εἰ μὴ μόνον μειζονότητι καὶ
10ἐλαττονότητι. διὰ δὴ τοῦτο συμβαίνει τοῦ μείζονος τμή‐ ματος ἐπὶ ἔλαττον προιόντος διὰ μέσου τοῦ ἡμικυκλίου τὴν γωνίαν αὐτοῦ μείζονα οὖσαν ἁπλῶς ὀρθῆς ἐπὶ ἐλάττονα προιέναι μὴ διὰ τῆς ὀρθῆς· αὕτη γὰρ ὡρισμένον ποσόν. δόξει δὲ παράδοξον εἶναι· τὰ γὰρ εἰς τοὐναντίον μετα‐
15βάλλοντα διὰ τῶν μέσων χωρεῖν πέφυκεν. ἔστι δὲ καὶ ἐν ἄλλοις ἄμεσα εὑρεῖν τὰ οὕτως ἀντικείμενα. καὶ γὰρ ἡ τὸν κύκλον περιέχουσα γραμμή, κυρτὴ ἄρα καὶ κοίλη οὖσα, οὐκ ἔστι καὶ εὐθεῖα.

3

.

32

Ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἐστὶν ἡ περιεχομένη ὑπό τε τῆς περιφερείας καὶ τῆς διαμέτρου, ἡ δὲ ἐν ἡμικυ‐ κλίῳ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ δύο εὐθειῶν τῶν ἐξ ἄκρων
τῆς διαμέτρου ἀγομένων πρὸς τὴν περιφέρειαν.

3

33t

Ad prop. 32

3

.

33

Ἐναλλὰξ γωνίαι ἐν τμήμασι κύκλου λέγονται οὐ πρὸς τὰς εὐθείας, ἀλλὰ πρὸς τὰ τμήματα τοῦ κύκλου, τὸ μεῖζον λέγω καὶ τὸ ἔλαττον, θεωρούμεναι.

3

34t

Ad prop. 33

3

.

34

Σημείωσαι, ὡς, εἰ ὀρθογώνιόν ἐστι τὸ τρίγωνον, ἡ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα πλευρὰ ἴση ἐστὶ ταῖς ἑτέραις δύο πλευραῖς τῶν β ἀνὰ ἡμίσειαν ὀρθῆς ὑποτεινουσῶν, ὡς εἶναι τὰς ὑπὸ τῶν β πλευρῶν ὑποτεινομένας β γωνίας
5ἡμισείας ὀρθὰς μίαν ὀρθήν. εἰ δὲ ἀμβλυγώνιόν ἐστι τὸ τρί‐ γωνον, ἡ μία πλευρὰ ἡ τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν ὑποτείνουσα μείζων ἐστὶ τῶν β πλευρῶν, εἰ δὲ ὀξυγώνιόν ἐστι τὸ τρίγω‐ νον, ἡ ὑποτείνουσα τὴν ὀξεῖαν γωνίαν ἐλάττων ἐστὶ τῶν δύο.

3

35t

Ad prop. 35

3

.

35

τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ cet., p. 145, 23] τῷ αὐτῷ γὰρ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ καὶ ἄμφω ἴσα ἐδείχθη διὰ τὸν ὅρον· τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα. ποῖα ταῦτα; τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ.

3

36t

Ad prop. 36

3

.

36

Τὸ ἀντιστρόφιον κεῖται παρ’ αὐτῷ [III 37]. πτῶσις δὲ μία θεωρεῖται. ἐνδέχεται γὰρ τὴν τέμνουσαν διὰ τοῦ κέντρου φέρεσθαι, ἀκατασκευοτέρα δὲ οὕτως ἡ δεῖξις. ἔστω γὰρ ἡ ΓΖΘ. φανερόν, ὅτι τὸ ὑπὸ ΓΚΘ ἴσον τῷ ἀπὸ
5ΑΓ· τέτμηται γὰρ ἡ ΘΚ τῷ Ζ δίχα, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΚΓ. κοινοῦ ἀφαιρουμένου τοῦ ἀπὸ ΖΑ δῆλον τὸ συμ‐
πέρασμα.

4

t

In librum 4

4

.

1

Ποικιλωτέραν οὖσαν τὴν τῶν περιγραφῶν καὶ ἐγγρα‐ φῶν θεωρίαν οὐκ ἄχρι πολλοῦ προάγει, ἐλθὼν δὲ ἄχρι τοῦ ἑξαγώνου καὶ ἐπὶ τέλει παραδοὺς τὰ περὶ τοῦ πεντεκαιδε‐ καγώνου εἰς ἀστρονομικὴν θεωρίαν συμβαλλόμενα παύεται.
5τὸ δὲ πρῶτον θεώρημα λῆμμά ἐστι λήμματος τῆς τοῦ πενταγώνου συστάσεως, καὶ ὅσα γε ἐπὶ τῇ τοιαύτῃ τάξει ἔδει ἐκείνῳ συντετάχθαι· ἀλλ’ ἐπεὶ ἁπλουστέραν ἔχει κατασκευὴν τῆς τοῦ τριπλεύρου συστάσεως, προτέτακται τῶν ἄλλων θεωρημάτων. ἰστέον δέ, ὅτι, εἰ μὲν ἴση ᾖ τῇ
10διαμέτρῳ ἡ δοθεῖσα, μοναχῶς ἢ ἀπειραχῶς γένοιτο ἂν τὸ πρόβλημα, εἰ δὲ ἐλάσσων, διχῶς· ἀπὸ γὰρ τοῦ αὐτοῦ σημείου, οἷον τοῦ Ζ, αἱ ἐπὶ τὰ Β, Γ ἐπιζευγνύμεναι ἴσαι εἰσίν.

4

.

2

Ἐν τούτῳ τῷ βιβλίῳ δείκνυται, ὅτι οὐκ ἔστιν ἡ περί‐ μετρος τοῦ κύκλου τῆς διαμέτρου αὐτοῦ τριπλασίων, ὡς πολλοὶ νομίζουσιν, ἀλλὰ μείζων τῆς τριπλασίονος, ὡσαύ‐ τως δὲ ὡς οὐδὲ ὁ κύκλος τοῦ περὶ αὐτὸν περιγραφομένου
5τριγώνου τρία τέταρτα. εὕρημα δὲ τοῦτο τὸ βιβλίον τῶν Πυθαγορείων.

4

.

3

Ἰστέον, ὅτι τὸ τέταρτον βιβλίον ὅλον προβληματικόν
ἐστιν.

4

.

4

Ἐν τῷ τρίτῳ βιβλίῳ διαλαβὼν ὁ στοιχειωτὴς περὶ τῶν ἐν κύκλοις ἢ περὶ κύκλους γραφομένων εὐθειῶν, τίνων εἰσὶν ἀποτελεστικαί τε καὶ ἀποδοτικαί, ἐν τῷ παρόντι στοιχείῳ δʹ ὄντι περὶ σχημάτων αὖθις τῶν ἐγγραφομένων
5ἢ περιγραφομένων κύκλοις καὶ ἀνάπαλιν διδάσκει ἀπὸ τῶν ἀτελεστέρων προβαίνων ἑξῆς· πᾶν γὰρ σχῆμα ἐξ εὐθειῶν. τὰ ὅλα δὲ θεωρήματα τοῦ προκειμένου βιβλίου ιζ ὄντα Πυθαγορείων εὑρήματα. ἐξέδοτο δὲ ταῦτα ὡς καὶ τὴν ὅλην γεωμετρίαν χρόνῳ παραρρυεῖσαν ὁ Θέων, ὅθεν καὶ γρά‐
10φεται ἐπ’ ἐνίων· Εὐκλείδου στοιχ. αʹ ἢ βʹ φέρε εἰπεῖν ἐκ τῆς Θέωνος ἐκδόσεως. ἑπτὰ δέ εἰσιν οἱ ὅλοι ὅροι τοῦ προκει‐ μένου βιβλίου, οἱ μὲν δύο οἱ πρῶτοι, τί ἐστι τὸ σχῆμα ἐν σχήματι εὐθύγραμμον εὐθυγράμμῳ ἐγγράφεσθαι ἢ περι‐ γράφεσθαι, διεξιόντες, οἱ δ’ ἐφεξῆς δύο, τί τὸ εὐθύγραμ‐
15μον ἐγγράφεσθαι ἢ περιγράφεσθαι κύκλῳ, οἱ δὲ μετὰ τού‐ τους δύο, τί τὸ κύκλον εὐθυγράμμῳ ἐγγράφεσθαι ἢ περι‐ γράφεσθαι, ὁ δ’ ἕβδομος καὶ τελευταῖος, τί τὸ εὐθεῖαν ἐναρμόζεσθαι κύκλῳ. ἠπόρηται δέ, ὅτι, εἰ ἐφ’ ἑκάστου τῶν στοιχείων καὶ τῶν ὅρων ἕκαστος χρήσιμός ἐστί τινι
20τῶν ἐν τῷ βιβλίῳ θεωρημάτων, ἐν δὲ τῷ παρόντι στοιχείῳ ἐγγραφῆς ἢ περιγραφῆς εὐθυγράμμου εἰς εὐθύγραμμον ἐπί τινι τῶν ἐν αὐτῷ θεωρημάτων ὅλως οὐ μνημονεύει, τίνος ἕνεκα τοὺς δύο πρώτους ὅρους ὅλως ἐπῆξε; καί φα‐ μεν, ὡς οὐκ ἀεὶ οἱ πάντες ὅροι τοῦ προκειμένου βιβλίου
25μόνου χάριν παραλαμβάνονται, ἀλλ’ ἔνιοί εἰσι καὶ καθ‐ όλου, ὡς οἱ ἐν τῷ αʹ στοιχείῳ· καὶ ἐν ἄλλοις γὰρ πολλοῖς τῶν ἐν τοῖς πρόσω στοιχείοις θεωρημάτων παραλαμβά‐ νονται, ὥσπερ καὶ οἱ ῥηθέντες· ἢ ὅλως διὰ τὸ καθόλου καὶ πλῆρες τῆς διαιρέσεως ἐπήγαγε τούτους· ἐγγραφὴν γὰρ
30καὶ περιγραφὴν διδάξαι προθέμενος ἁπλῶς ἐπάναγκες
εἶχε τούτων πρότερον μνημονεύειν.

4

5-6t

Ad definitiones

4

.

5

Τὰ μὲν ἔσωθεν λέγονται ἐγγράφεσθαι, τὰ δὲ ἔξωθεν περιγράφεσθαι.

4

.

6

Ἐπεὶ πᾶν εὐθύγραμμον ἀτελέστερον καὶ πρότερον κύκλου, διὰ τοῦτο πρότερον ἐγγραφῆς καὶ περιγραφῆς εὐθυγράμμων μνημονεύει. ἄ[λλο δέ ἐστι] τὸ εἶναι ἁπλῶς σχῆμα ἐν σχήματι καὶ ἄλλο τὸ ἐγγράφεσθαι· τὸ μὲν γὰρ
5λέγεται ἐπὶ τῶν μὴ ἐφαπτομένων ἀλλήλων ὡς ἐπὶ τοῦδε ⟁· τὸ δὲ ὅταν τῶν τοῦ ἐκτὸς πλευρῶν ἢ περιφερειῶν ὡς ἐπὶ τοῦ κύκλου αἱ τοῦ ἐντὸς γωνίαι ἐφάπτωνται. περι‐ γραφὴ δέ ἐστιν, ὅταν τῶν τοῦ δοθέν[τος] σχήματος γω‐ νιῶν ἢ περιφερειῶν, δηλαδὴ τοῦ ἐντός, ἐφάπτωνται τοῦ
10ἐκτὸς αἱ π[λευραί].

4

7t

Ad def. 7

4

.

7

ἐναρμόζεσθαι] ὅταν ἄμφω τὰ πέρατα ἐφάπτηται τῆς περιφερείας.

4

8t

Ad prop. 1

4

.

8

Ἐπεὶ παντὸς σχήματος ἁπλουστέρα ἐστὶν ἡ γραμμὴ διὰ τὸ ἐξ αὐτῆς ἢ αὐτῶν πᾶν εἶναι σχῆμα, διὰ τοῦτο πρό‐ τερον περὶ τοῦ πῶς ἐναρμοσθήσεται εὐθεῖα ἐν κύκλῳ διαλαμβάνει ἐν τῷ προτέρῳ προβλήματι. διὰ τοῦτο γὰρ καὶ
5τὸν εἰς τοῦτο συμβαλλόμενον ὅρον τελευταῖον τετήρηκεν. εἶθ’ οὕτω προβαίνων ὁδῷ καὶ περὶ τοῦ πῶς σχῆμα εὐθύ‐ γραμμον ἐγγραφήσεται ἢ περιγραφήσεται κύκλῳ ἢ ἔμ‐ παλιν κύκλος εὐθυγράμμῳ διδάξει, πρῶτον μὲν περὶ τοῦ πῶς τρίγωνον, εἶτα τετράγωνον καὶ ἐφεξῆς πεντά‐
10γωνον καὶ μετὰ ταῦτα ἑξάγωνον.

4

9-12t

Ad prop. 2

4

.

9

Ἐδείχθη ἐν ἑνὶ θεωρήματι τοῦ αʹ στοιχείου [I 13], ὅτι, ἐὰν εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα εἴτε μίαν εἴτε πλείους ἐφεξῆς ποιῇ γωνίας, δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας αὐτὰς ποιοῦσιν, ἔστι δ’ ἀποδεδειγμένον, καὶ ὅτι παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς
5γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσί. τῶν οὖν δύο ἐνταῦθα ταῖς δυσὶν ἴσων γιγνομένων τῆς μὲν ὑπὸ ΘΑΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, τῆς δὲ ὑπὸ ΗΑΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ λείπεται εἶναι καὶ τὰς δύο γωνίας τὰς λειπούσας εἰς τὰς τῶν δύο ὀρθῶν συζυγίας ἴσας ἀλλήλαις, λέγω δὴ τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ.
10ἐὰν γὰρ ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφέλῃς, τὰ καταλειπόμενα ἴσα ἀλλή‐ λοις εἰσίν. κατὰ μὲν τοίνυν τὸν αὐτὸν λόγον ἕπεται εἶναι ἐξ ἀνάγκης καὶ ὅλον τὸ ἐν τῷ κύκλῳ γεγονὸς τρίγωνον ἰσογώνιον ὅλῳ τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ ΔΕΖ.

4

.

10

Εἰ γὰρ παντὸς τριγώνου αἱ γ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ὡς ἐν τῷ λβʹ θεωρήματι τοῦ αʹ βιβλίου εἴρηκεν, ἐμάθομεν δὲ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι, ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς β γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις ἴσας
5ἔχῃ, ἀνάγκη καὶ τὴν ἄλλην γωνίαν τῇ ἑτέρᾳ γωνίᾳ ἴσην εἶναι, ἵν’ ἐπ’ ἀμφοτέρων τῶν τριγώνων συστῇ τὸ τὰς γ γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι.

4

.

11

Δυνατὸν δὲ καὶ εἰς τὸ δοθὲν τμῆμα κύκλου ἰσόπλευ‐ ρον μέντοι ἐντεῖναι, οὐκέτι δὲ τετράγωνον ἢ ἄλλο τι τῶν πολυγώνων. ἔστω γὰρ τὸ ΑΒΓ καὶ ἐπὶ τῆς ΑΒ ἐκτὸς τοῦ τμήματος ἰσόπλευρον συνεστάτω τὸ ΑΒΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ
5κάθετος ἀχθεῖσα ἡ ΔΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Γ. ἡ ΓΕ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ κύκλου· δίχα γὰρ καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει τὴν ΑΒ. ἤχθω διὰ τοῦ Ε παρὰ μὲν τὴν ΔΑ ἡ ΕΖ, παρὰ δὲ [Omitted graphic marker] τὴν ΔΒ ἡ ΕΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ. ὅτι τὸ ΕΖΗ ἰσόπλευρόν
10ἐστιν. ἡ μὲν γὰρ ὑπὸ ΖΕΗ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ ἴση· διμοίρου γάρ εἰσιν· παράλληλοι γὰρ αἱ εὐ‐ θεῖαι. ἴση δὲ ἡ ΖΕ τῇ ΕΗ· ἰσοσκελὲς ἄρα τὸ τρίγωνον, καὶ
15αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι. διμοίρου δὲ ἡ πρὸς τῷ Ε· δι‐ μοίρου ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν πρὸς τοῖς Ζ, Η· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
20Περιγράψομεν δὲ περὶ τὸ τμῆμα τὸ τρίγωνον ἐντὸς συστησάμενοι τὸ τρίγωνον, ὡς τὸ ΑΘΒ, καὶ ἐκβάλλομεν τὰς ΑΘΚ, ΑΘΛ, καὶ ἐκ τῶν διχοτομιῶν αὐτῶν πρὸς ὀρθὰς ἀναστῶμεν τὰς ΜΞ, ΚΟ καὶ διὰ τῶν Ξ, Ο παραλλήλους ἀγαγόντες τὰς ΑΘΒ,
25ΡΠΣ. δῆλον δέ, ὅτι τὸ ΡΠΣ ἰσόπλευρόν ἐστι καὶ περὶ τὸ
αὐτὸ τμῆμα γέγραπται. [Omitted graphic marker]

4

.

12

Ἰστέον, ὡς τὸ θεώρημα τοῦτο ἐπὶ μὲν τῶν ἰσοσκε‐ λῶν καὶ ἰσοπλεύρων τριγώνων σῴζει τὸ οἰκεῖον, ἐπὶ δὲ τῶν λοιπῶν οὔ. καὶ δῆλον ἀπὸ τοῦ προκειμένου ὀρθογω‐ νίου.

4

13-14t

Ad prop. 3

4

.

13

ἐπειδήπερ καὶ εἰς δύο τρίγωνα διαιρεῖται p. 154, 23] ἑνὸς δὲ ἑκάστου τῶν δύο τριγώνων αἱ τρεῖς γωνίαι ἴσαι δυσὶν ὀρθαῖς εἰσι διὰ τὸν λβʹ τοῦ αʹ, τῶν δύο ἄρα, εἰς ἃ διαιρεῖται τὸ τετράπλευρον, τέτρασιν.

4

.

14

ὧν ἡ ὑπὸ ΑΚΒ p. 155, 5] ὑπόκειται γὰρ καὶ συν‐ εστάθη διὰ τὸν κγʹ τοῦ αʹ.

4

15t

Ad prop. 4

4

.

15

Ἐν τοῖς ἀνωτέρω δυσὶ προβληματικοῖς θεωρήμασι τὸν κύκλον ἐδίδου, ἐζήτει δὲ τὴν ἐν αὐτῷ ἐγγραφὴν καὶ περιγραφὴν τοῦ τριγώνου. ἐνταῦθα δὲ καὶ εἰς τὸ μετὰ τοῦτο τὸ τρίγωνον ἔμπαλιν δίδοται, ζητεῖται δὲ ἡ εἰς αὐτὸ
5ἐγγραφὴ καὶ περιγραφὴ τοῦ κύκλου.

4

16t

Ad prop. 5 coroll.

4

.

16

Ἐνταῦθα συμπληροῖ τὸ λαʹ τοῦ γʹ βιβλίου.

4

17t

Ad prop. 8

4

.

17

Οὐ ταὐτόν ἐστιν εἰς τὸ τετράγωνον κύκλον ἐγγράψαι καὶ περὶ τὸν κύκλον τετράγωνον περιγράψαι· ὅπου μὲν γὰρ κύκλου γένεσιν, ὅπου δὲ τετραγώνου προτείνεται. δῆλα
δὲ ταῦτα.

4

18t

Ad prop. 10

4

.

18

Τοῦτο τὸ θεώρημα οἷόν τις πρόληψίς ἐστιν εἰς ἐγγραφὴν καὶ περιγραφὴν πενταγώνων καὶ ἐν πενταγώνοις τῷ στοιχειωτῇ συμβαλλόμενον.

4

19t

Ad prop. 12

4

.

19

ἐδείχθη τῆς μὲν ὑπὸ ΖΚΓ διπλῆ p. 171, 9] καὶ μὴν οὐκ ἐδείχθη τοῦτο· ἀλλ’ ὅτε ἔλεγε τὴν ὑπὸ ΒΚΓ δι‐ πλῆν εἶναι τῆς ὑπὸ ΖΚΓ, τοῦτο ἔλεγεν· ἀδιάφορον γὰρ τοῖς προσέχουσι, κἂν ὑπὸ ΒΚΓ εἴπῃς κἂν ὑπὸ ΘΚΛ. ἡ
5γὰρ γωνία ἡ πρὸς τῷ Κ ἡ αὐτὴ φυλάττεται ἀδίσχαστος καὶ ἀδιάτμητος τῶν ἄκρων μόνων ἀλλαττομένων, ἐξ ὧν
οὐδεμία τῶν γωνιῶν διαφορά.

5

t

In librum 5

5

.

1

Σκοπὸς τῷ πέμπτῳ βιβλίῳ περὶ ἀναλογιῶν διαλαβεῖν· κοινὸν γὰρ τοῦτο τὸ βιβλίον γεωμετρίας τε καὶ ἀριθμητι‐ κῆς καὶ μουσικῆς καὶ πάσης ἁπλῶς τῆς μαθηματικῆς ἐπιστήμης. τὰ γὰρ ἐν αὐτῷ ἀποδεικνύμενα οὐ μόνον γεω‐
5μετρικοῖς ἁρμόζει θεωρήμασιν, ἀλλὰ καὶ πᾶσι τοῖς ὑπὸ μαθηματικὴν τεταγμένοις, ὡς προείρηται, ἐπιστήμην. ὁ μὲν οὖν σκοπὸς οὗτος, τὸ δὲ βιβλίον Εὐδόξου τινὲς εὕρεσιν εἶναι λέγουσι τοῦ Πλάτωνος διδασκάλου. ἐπεὶ οὖν ὁ σκο‐ πὸς περὶ ἀναλογιῶν, ἡ δὲ ἀναλογία λόγων τινῶν σχέσις,
10ἀναγκαῖον γνῶναι πρότερον, τίνες οἱ τοιοῦτοι λόγοι. δεῖ γὰρ τὰ ἁπλᾶ πρότερον γνῶναι τῶν συνθέτων. ἐὰν τοίνυν τινὰ συγκρίνηται πρὸς ἄλληλα, φέρε εἰπεῖν δύο μεγέθη, αὐτὰ μὲν ὅροι καλοῦνται, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ ἑτέρου ἐπὶ τὸ ἕτε‐ ρον μετάστασις διάστημα, ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου πρὸς τὸ ἕτερον
15σύγκρισις σχέσις, ἣν ἐκάλεσαν οἱ παλαιοὶ λόγον, τὴν δὲ τούτου τοῦ λόγου πρὸς ἄλλον λόγον καθ’ ὁμοιότητα σύγ‐ κρισιν ἤτοι σχέσιν ἀναλογίαν προσηγόρευσαν, ἵνα μὴ ὡς τόδε τὸ μέγεθος συγκρίνηται, ἀλλ’ ὡς ὅδε ὁ λόγος πρὸς τόνδε τὸν λόγον. αὕτη δὲ ἡ σύγκρισις λόγος λέγεται λόγου,
20οἷον ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι, ὧν ἡ ἑτέρα πρὸς τὴν λοιπὴν δι‐
πλασίονα λόγον ἔχει, τὸ ἀπὸ τῆς τὸν διπλασίονα λόγον ἐχούσης τετράγωνον τετραπλασίονα λόγον ἕξει πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς λοιπῆς τετράγωνον ἤπερ ἡ μείζων εὐθεῖα πρὸς τὴν εὐθεῖαν· τὰ γὰρ μήκει διπλάσια δυνάμει τετραπλάσια.
25ὁ τοίνυν λόγος τῶν τετραγώνων τετραπλάσιος ὢν διπλα‐ σίου ὄντος τοῦ λόγου τῶν εὐθειῶν διπλάσιός ἐστιν. κα‐ λεῖται δὲ οὗτος λόγου λόγος. ἀλλ’ εἴη ἂν οὗτος ὑπὸ τὸ πο‐ σόν· διττὸς γὰρ ὁ λόγος ὁ μὲν ἐν ἀξίᾳ, ὁ δὲ ἐν ποσῷ. καὶ τοῦ μὲν ἐν ἀξίᾳ οὐδέν ἐστιν εἶδος πρὸς τὴν παροῦσαν χρείαν.
30τοῦ δὲ κατὰ τὸ ποσὸν εἴδη ἐστὶ πέντε· ὁ μὲν γάρ ἐστι πολ‐ λαπλάσιος, ὡς τοῦ τρία ὁ ἕξ, ὁ δὲ ἐπιμόριος, ὡς τοῦ τρία ὁ τέσσαρα, ὁ δὲ ἐπιμερής, ὡς τοῦ τρία ὁ πέντε. καὶ οὗτοι μὲν ἁπλοῖ, τούτων δὲ ἔτι ἁπλούστερος ὁ πολλαπλάσιος. ἕτεροι δὲ ἐκ τῆς τούτων συνθέσεως γίνονται δύο ὅ τε πολλαπλα‐
35σιεπιμόριος, ὡς τοῦ τρία ὁ ἑπτά, καὶ ὁ πολλαπλασιεπιμε‐ ρής, ὡς τοῦ τρία ὁ ὀκτώ. ὑπόλογοι δέ εἰσιν οἱ ἐλάσσονες τῶν μειζόνων, ὑποπολλαπλάσιος, ὑπεπιμόριος καὶ ἑξῆς ὁμοίως. ἰστέον δέ, ὡς τὸ βιβλίον διχῇ διῄρηται καὶ περιέχει τὰ μὲν πρῶτα τὴν τῶν ἁπλουστέρων διδασκαλίαν, τουτ‐
40έστι τὴν τῶν πολλαπλασίων, τὰ δὲ δεύτερα καθολικώτερον περὶ πάντων τῶν λόγων. δεῖ γὰρ ἐπὶ παντός, ὡς εἴρηται, πράγματος τὴν τῶν ἁπλῶν ἡγεῖσθαι διδασκαλίαν. τῷ δὲ τῆς τοῦ βιβλίου διαιρέσεως τρόπῳ καὶ ἡ τῶν ὅρων γεγένη‐ ται διαίρεσις· οἱ μὲν γὰρ πρότεροι περὶ μερῶν καὶ πολ‐
45λαπλασίων, οἱ δὲ ἑξῆς καθολικώτεροι περὶ πάντων τῶν λόγων.

5

.

2

Ἰστέον, ὅτι τὸ εʹ βιβλίον ὅλον θεωρηματικόν ἐστιν.

5

.

3

Τοῦτο τὸ βιβλίον Εὐδόξου τοῦ Κνιδίου τοῦ μαθημα‐ τικοῦ τοῦ κατὰ τοὺς Πλάτωνος χρόνους γεγονότος εἶναι λέγεται, ἐπιγέγραπται δὲ ὅμως Εὐκλείδου, ἀλλ’ οὐ κατά τινα ψευδῆ ἐπιγραφήν· εὑρέσεως μὲν γὰρ ἕνεκα ἄλλου
5τινὸς οὐδὲν κωλύει εἶναι, τῆς μέντοι κατὰ στοιχεῖον αὐτῶν συντάξεως χάριν καὶ τῆς πρὸς ἄλλα τῶν οὕτω ταχθέντων ἀκολουθίας ὡμολόγηται παρὰ πᾶσιν Εὐκλείδου εἶναι. σκο‐ πὸς δὲ τούτου τοῦ βιβλίου περὶ τῶν καθόλου μεγεθῶν ἐστι, ἐν ἄλλοις διδάσκοντος περί τινος μεγέθους τοῦ Εὐκλείδου.
10ἐπεὶ γὰρ τοῦ μεγέθους τρία εἴδη εἰσίν, γραμμή, ἐπιφάνεια, στερεόν· καὶ περὶ ἀναλογιῶν· κοινὸν γάρ ἐστι τοῦτο γεω‐ μετρίας καὶ ἀριθμητικῆς καὶ ἁπλῶς πάσης μαθηματικῆς.

5

.

4

Μέγεθός ἐστι τὸ αὐξανόμενον καὶ τεμνόμενον εἰς ἄπειρον, εἴδη δὲ αὐτῶν τρία, γραμμή, ἐπιφάνεια, στερεόν.

5

.

5

Ἰστέον, ὡς τὰ μεγέθη τριχῶς· ἢ γὰρ ἐν γραμμῇ ἢ ἐν ἐπιφανείᾳ ἢ ἐν σώματι. ἐν γοῦν τῷ πέμπτῳ τὰ μεγέθη ἐν γραμμαῖς θεωρεῖ, ἐν δὲ τῷ ἕκτῳ ἐν ἐπιφανείαις, ἐν δὲ τῷ ιαʹ καὶ τοῖς ἑξῆς ἐν σώμασιν.

5

6-10t

Ad def. 1

5

.

6

Μέρος ἐστὶ μέγεθος μεγέθους τὸ ἔλαττον τοῦ μείζο‐ νος, ὅταν καταμετρῇ τὸ μεῖζον] κατὰ μὲν τοὺς πολλοὺς μέρος ἐστὶ τὸ τοῦ ὁμοειδοῦς ἔλαττον, οἷον ὁ γ τοῦ ε, κατὰ δὲ τὸν γεωμέτρην τὸ μετρητικὸν τοῦ μείζονος, ὅταν τὸ
5καταλειπόμενον ἴσον ᾖ τῷ μετροῦντι, ὅταν δὲ μὴ ᾖ ἴσον,
οὐκ ἔστι μέρος, οἷον ὁ γ ἀριθμὸς τῶν ε καταλιμπάνει δύο, ἅπερ οὐκ ἔστιν ἴσα τοῖς τρισίν· διὸ τὰ γ οὐκ ἔστι μέρος τοῦ ε, ἀλλὰ μέρη· τρία γὰρ πέμπτα.

5

.

7

καταμετρῇ] ἀπαρτιζόντως δηλαδή, ὡς εἰ τὸ μὲν εἴη τῶν μεγεθῶν τριῶν φέρε πηχῶν, τὸ δὲ θ· τοῦ γὰρ ι οὐκ ἂν εἴη μέρος ὁ γ, ἀλλ’ εἰ ἄρα, μέρη· τρία γὰρ δέκατα.

5

.

8

ὅταν καταμετρῇ τὸ μεῖζον] ὅταν ἀπαρτίζῃ μετρῶν, ὡς ὁ γ τὸν ιε· ἐπὶ μεγεθῶν ὁμοιογενῶν καταμετρούντων ἀεὶ τὰ ὅλα, ὡς εἴπομεν, ὅταν ἀπαρτιζόντως μεμετρήκασί τινα, ὡς ὁ γ τὸ ιε ἢ ἡ μονὰς τὴν τριάδα ἤ τινα ἄλλον, τότε
5μέρος ἐστί, εἰ δὲ πρὸς τούτοις καὶ ἔτι μέρος προσῇ, τὸ τοιοῦτον οὐκ ἔστι μέρος τούτου μὴ ἀπαρτιζόντως τῆς μετρήσεως γινομένης. τὸ δὲ μέρος τῶν πρός τί ἐστιν.

5

.

9

Ἰστέον, ὅτι διαφέρει τὸ μετρεῖν τοῦ καταμετρεῖν, ᾗ διαφέρει τὸ γένος τοῦ εἴδους· εἴ τι μὲν γὰρ καταμετρεῖται, τοῦτο μετρεῖ, εἰ δέ τι μετρεῖ, οὐ πάντως καὶ καταμετρεῖ· τὸ γὰρ μετροῦν οὐ πάντως ἀπαρτίζει. τοῦ ἄρα μετροῦντος
5εἴδη δύο τό τε μετροῦν καὶ τὸ καταμετροῦν.

5

.

10

Καλῶς πρόσκειται τό· ὅταν καταμετρῇ τὸ μεῖζον· οὐ γὰρ ἀεὶ τὸ ἔλαττον τοῦ μείζονος μέρος. εἰ γὰρ τυχόν ἐστι τὸ μεῖζον ε, τὸ δὲ ἔλαττον τρία, οὐκ ἔστιν ὁ γ τοῦ ε μέρος· οὔτε γὰρ δὶς οὔτε τρὶς οὐδ’ ἄλλως οὐδοπωσοῦν
5μετρήσει ὁ γ τὸν ε· ἀλλ’ ὅταν ὁ ἐλάττων ἢ δὶς ἢ τρὶς ἢ καὶ ἐπέκεινα πολλαπλασιασθεὶς δύνηται τὸν μείζονα, τουτέστι συμπληρῶται τὴν ποσότητα, ἣν ἔχει ὁ μείζων.

5

11-12t

Ad def. 2

5

.

11

Πάλιν καλῶς προσέθηκεν τό· ὅταν καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάττονος· οὐ γὰρ ἀεὶ τὸ μεῖζον πολλαπλάσιον τοῦ ἐλάττονος· οὐδὲ γὰρ ὁ ε τοῦ γ πολλαπλάσιος· ἀλλ’ ὅταν τὸ μεῖζον ὑπὸ τοῦ ἐλάττονος ἢ δὶς ἢ τρὶς κατα‐
5μετρῆται, οἷον ὁ ϛ πολλαπλάσιος τοῦ γ· καταμετρεῖται
γὰρ ὑπ’ αὐτοῦ δίς.

5

.

12

Δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων καταμετρεῖν λέ‐ γεται ἓν ὁποιονοῦν τὸ ἕτερον, ὅταν ἓν τῶν ἐκκειμένων ἐξ ἴσων τῷ ἑτέρῳ ἢ τοῖς ἐξ ἑνὸς καὶ πλείοσιν ὧν σύγκειται. ὅταν οὖν δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων τὸ ἔλασσον μέ‐
5γεθος τὸ μεῖζον καταμετρῇ, τὸ μὲν ἔλαττον τοῦ μείζονος μέρος καλεῖται, τὸ δὲ μεῖζον τοῦ ἐλάττονος πολλαπλάσιον.

5

13-19t

Ad def. 3

5

.

13

Λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν ἡ κατὰ πηλικό‐ τητα ποιὰ σχέσις] τὸ μὲν λόγος, ἵνα σημάνῃ τὴν σχέσιν, τὸ δὲ δύο μεγεθῶν, ἵνα χωρίσῃ τῶν ἄλλων εἰδῶν τοῦ πο‐ σοῦ, τὸ δὲ ὁμογενῶν, ἵνα μὴ γραμμὴν πρὸς ἐπιφάνειαν
5συγκρίνῃ τις· ταῦτα γὰρ ἄλογα πρὸς ἄλληλα. τὸ δὲ κατὰ πηλικότητα, ἵνα χωρίσῃ τῶν ἀπείρων μεγεθῶν· πηλικό‐ της γὰρ πέρας τοῦ ἀπείρου συνεχοῦς καὶ ποσότης τοῦ διωρισμένου· ἀλλὰ τὸ διωρισμένον οὐ μέγεθος· πλῆθος γάρ. τὸ δὲ ποιὰ σχέσις, ὅτι πέντε τῶν σχέσεων, ὡς προ‐
10είρηται, τὰ εἴδη.

5

.

14

Ἐπὶ μὲν τῶν ἀριθμῶν πᾶς λόγος ῥητὴν ἔχει ποσό‐ τητα, ἐπὶ δὲ τῶν μεγεθῶν ἐστί τις λόγος, ὃς οὐ δύναται ῥηθῆναι ἀριθμῷ. ἔστι γάρ τινα, ὧν μόνη μὲν γιγνώσκεται ἡ πρὸς τὸ ἕτερον ὑπεροχή, ἡ δὲ ποσότης τῆς ὑπεροχῆς
5ἄγνωστός ἐστιν. ταῦτα τοίνυν λόγον ἔχειν λέγεται τὸν τῆς ὑπεροχῆς, οὐκέτι δὲ ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, τουτέστι ῥητόν. καὶ διὰ τοῦτο προσέθηκεν ἐν τῷ ὁρισμῷ τοῦ λό‐
γου τῶν μεγεθῶν τὸ κατὰ πηλικότητα. ὁ μὲν γὰρ ῥητὸς καὶ κατὰ πηλικότητά ἐστι καὶ κατὰ ποσότητα, οὐ πάντως δὲ
10ὁ κατὰ πηλικότητα καὶ ῥητός. καθολικώτερον οὖν ὁριζό‐ μενος τὰ τῶν λόγων, τίνα ἐστίν, ἐπήγαγεν· ἃ δύναται πολ‐ λαπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχειν· ἐφαρμόζει γὰρ καὶ τοῖς ῥητοῖς καὶ τοῖς μὴ ῥητοῖς, οἷον ἡ τοῦ τετραγώνου διαγώνιος ὡς μὲν ἐν ῥητοῖς λόγοις πρὸς τὴν πλευρὰν ἄλο‐
15γος, ὡς δὲ ἐν ὑπεροχῇ λόγον ἔχει, ὃν μεῖζον πρὸς τὸ ἔλατ‐ τον, καὶ δύναται ἡ πλευρὰ πολλαπλασιαζομένη ποτὲ τῆς διαγωνίου ὑπερέχειν.

5

.

15

Ὁμογενῆ εἶπεν, ὅτι τὰ μὴ ὁμογενῆ οὐ δύναται ἔχειν πρὸς ἄλληλα. οὔτε γὰρ γραμμὴ πρὸς ἐπιφάνειαν οὔτε ἐπίπεδα πρὸς στερεόν, ἀλλὰ πρὸς γραμμὴν γραμμὴ καὶ πρὸς ἐπιφάνειαν ἐπιφάνεια καὶ ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον.
5τὸ δὲ μεγεθῶν πρόσκειται ἐκ διορίσεως τῶν σχέσιν ἐχόν‐ των πρὸς ἄλληλα, οὐ μὴν τὴν κατὰ μεγέθη σχέσιν, οἷον πατρὸς καὶ υἱοῦ καὶ δεξιοῦ καὶ ἀριστεροῦ. καὶ ἄλλη σχέσις λέγεται κατὰ τὸ περιέχειν καὶ ἐλλείπειν.

5

.

16

Τουτέστι μὴ ἐπὶ μεγεθῶν καὶ ἀριθμῶν· ταῦτα γὰρ ἑτερογενῆ· ἀλλ’ ἤτοι ἐπὶ μεγεθῶν μόνον ἢ ἀριθμῶν μόνον.

5

.

17

Προβαίνει ἤδη πρὸς τελεώτερα· ἐκ μεγεθῶν μὲν γὰρ καὶ ὅρων οἱ λόγοι, ἐκ δὲ λόγων αἱ ἀναλογίαι. τὸ δὲ ὁμογενῶν εἶπε δηλῶν, ὡς οὐδεμία σύγκρισις ἑτερογενῶν, οἷον ἀριθμοῦ καὶ μεγέθους. τὸ δὲ ποιὰ ἀντὶ τοῦ διπλασίων
5ἢ τριπλασίων ἢ ἡμιόλιος.

5

.

18

Οὐ γὰρ τὰ ὁμοειδῆ μόνα πρὸς ἄλληλα παραβάλλε‐ ται, οἷον κύλινδρος πρὸς κύλινδρον καὶ σφαῖρα πρὸς σφαῖραν, ἀλλὰ καὶ κύλινδρος πρὸς σφαῖραν καὶ κύβον.

5

.

19

Τινὲς τὸ ὁμογενῶν ἀντὶ τοῦ ὁμοειδῶν λέγουσιν, ἐπεὶ τὸ πεπερασμένον καὶ τὸ ἄπειρον ὁμογενῆ μέν (μεγέθη γάρ), ἀλλ’ οὐκ ἔχουσιν οὐδεμίαν σχέσιν. ἐμοὶ δὲ δοκεῖ τὸ μὲν ὁμογενῶν ἀντὶ τοῦ ὁμοειδῶν εἰλῆφθαι. καὶ γὰρ ὁ Ἀρι‐
5στοτέλης ἐν ταῖς κατηγορίαις ἕτερα γένη φησὶ ποιότητος ἀντὶ εἴδη, ὅταν λέγῃ· ἕτερον δὲ γένος ποιότητος σχῆμα καὶ μορφή· γένος γὰρ ἐκεῖ τὸ ὑπάλληλον εἶδός φησιν. οὐκέτι δὲ διὰ τὸ πεπερασμένον καὶ ἄπειρον πρόσκειται τὸ ὁμογενῶν, ἀλλὰ μᾶλλον διὰ τὸ εὐθὺ καὶ κεκλασμένον·
10ἕτερον γὰρ εἶδος τὸ εὐθὺ καὶ ἕτερον τὸ κεκλασμένον, εἴτ’ οὖν περιφερὲς ἢ τοιουτότροπον ᾖ· καὶ γὰρ δύο μεγέθη, ὧν τὸ μέν ἐστι εὐθύ, τὸ δὲ περιφερές, οὐδένα λόγον πρὸς ἄλλη‐ λα ἔχουσιν, ἀλλὰ δεῖ εἶναι καὶ ἄμφω ἢ εὐθέα ἢ περιφερῆ, ἢ ἵνα καὶ ἄμφω τυχὸν ὦσι γραμμαὶ ἢ ἄμφω ἐπιφάνειαι ἢ
15ἄμφω στερεά.

5

20-24t

Ad def. 4

5

.

20

Ὡς ὁ β φέρε πρὸς τὸν η· πενταπλασιασθεὶς γὰρ ὑπερέξοι ἂν τοῦ η. γραμμὴ δὲ πρὸς ἐπιφάνειαν ἢ ἐπιφά‐ νεια πρὸς σῶμα οὐδένα λόγον ἔχει· μυριάκις γὰρ ἡ γραμμὴ πολλαπλασιασθεῖσα γραμμὴ πάλιν μένει καὶ οὐδέποτε
5ποιήσει ἐπιφάνειαν. πολλῷ δὲ μᾶλλον οὐδ’ ὑπερέξει. καὶ ἐπὶ ἐπιφανείας καὶ σώματος ὡσαύτως.

5

.

21

Οὔτε γὰρ ἀπείρου πρὸς ἄπειρον λόγος τίς ἐστι οὔτε πεπερασμένου πρὸς ἄπειρον, δύναται δὲ πάντα τὰ πεπε‐ ρασμένα πολλαπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχειν. Δύναται γὰρ καὶ ὁ ὑπόλογος μείζων γενέσθαι τοῦ προ‐
5λόγου πολλαπλασιασθείς.

5

.

22

Τοῦτό φησιν, ἵνα περὶ τῶν ἀσυμμέτρων μεγεθῶν διαλάβῃ· ὁ πρῶτος γὰρ τοῦ λόγου ὁρισμὸς περὶ τῶν συμ‐ μέτρων διελάμβανεν· ἐπεὶ δὲ εὑρίσκονται καὶ ἀσύμμετρα μεγέθη, καθότι τὸ μέγεθος ἐπ’ ἄπειρόν ἐστι διαιρετόν, ὡς
5ἡ διάμετρος τῇ πλευρᾷ ἀσύμμετρός ἐστι, φησίν, ὅτι καὶ ταῦτα τὰ ἀσύμμετρα λόγον ἔχουσι πρὸς ἄλληλα, εἰ καὶ ἄρρητον, διότι αἱ δυνάμεις αὐτῶν λόγον ἔχουσι ῥητόν. οὗτος δὲ ὁ ὁρισμὸς συλληπτικός ἐστι καὶ τῶν συμμέτρων καὶ τῶν ἀσυμμέτρων.

5

.

23

ἃ δύναται πολλαπλασιαζόμενα] οἷον τὰ ὁμογενῆ καὶ ὁμοειδῆ, οἷον εὐθεῖα μὲν πρὸς εὐθεῖαν, ἐπίπεδον ἐπιφά‐ νεια πρὸς ἐπιφάνειαν καὶ σφαῖρα πρὸς σφαῖραν.

5

.

24

Ὅταν ὦσι τὰ μεγέθη καὶ μήκει καὶ δυνάμει σύμ‐ μετρα, ἔστι τό· λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν, ὅταν δὲ μήκει μὲν οὐκ ὦσι σύμμετροι, δυνάμει δέ, ὡς ἡ διάμετρος τῇ πλευρᾷ, τότε τό· λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα ἁρμόδιον.

5

25-27t

Ad def. 5

5

.

25

Ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγέθη λέγεται εἶναι] ὑπὲρ τοῦ σαφηνίσασθαι τὸν ὅρον ἐκκείσθω πρότερον ἑξῆς τέσσαρα μεγέθη, καὶ παρ’ ἑκάτερον μέρος αὐτοῖς παρατιθέσθω τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια αὐτῶν καταλλήλως, καὶ ἔστω πρῶτον
5μὲν τὸ α μέγεθος, δεύτερον δὲ τὸ β, τρίτον δὲ τὸ γ, τέταρ‐ τον δὲ τὸ δ. καὶ τὸ μὲν πρῶτον καὶ τρίτον κείσθωσαν ἀριθμῶν ἀνὰ η, τὸ δὲ δεύτερον καὶ τέταρτον ἀνὰ ϛ, καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια ἄλλα ἔξωθεν μεγέθη τό τε ε ἀριθμῶν ὂν ιϛ καὶ τὸ ζ ὁμοίως
10καὶ αὐτὸ ἀριθμῶν ὂν ιϛ· καὶ πάλιν τοῦ β καὶ τοῦ τετάρτου
ἔξωθεν ἄλλα εἰλήφθω μεγέθη ἰσάκις πολλαπλάσια τό τε η καὶ τὸ θ, ὥστε εἶναι καταλλήλως τὸ μὲν ε μέγεθος τοῦ α πολλαπλάσιον, τὸ δὲ ζ τοῦ γ, καὶ τὸ μὲν η τοῦ β, τὸ δὲ θ τοῦ δ. καὶ ἐν τούτῳ μὲν τῷ ὑποδείγματί ἐστι τοῦ πρώτου
15καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια ὑπερέχοντα ἅμα τῶν τοῦ βʹ καὶ τετάρτου ἰσάκις πολλαπλασίων, ὡς ὑπόκειται, ἐν δὲ τοῖς ἑξῆς τύποις τά τε ἅμα ἐλλείποντα καὶ τὰ ἅμα ἴσα ὄντα.

5

.

26

Ἰστέον, ὅτι οὐ δεῖ καὶ τὰ δ μεγέθη ἐξ ἀνάγκης ἰσάκις πολυπλασιάζεσθαι· τοῦτο γὰρ ἐνέφηνεν εἰπὼν καθ’ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμόν· ἀλλὰ μόνον τὸ πρῶτον καὶ τρίτον ἰσάκις καὶ πάλιν τὸ βʹ καὶ τὸ δʹ ἰσάκις· ὥστε εἰ τὸ
5μὲν αʹ καὶ γʹ φέρε εἰπεῖν διπλασιασθῶσι, τὸ δὲ βʹ καὶ δʹ τριπλασιασθῶσιν, οὐδὲν γίνεται ἄτοπον· ἐκ γὰρ τοῦ δια‐ φόρως ἔχειν, ἃ δεῖ ἅμα πολυπλασιάζειν, τό τε αʹ ὁμοῦ καὶ τὸ γʹ καὶ τὸ βʹ καὶ δʹ, συμβαίνει καὶ τὸ ἅμα τοὺς πολλα‐ πλασιασμοὺς τοῦ αʹ καὶ γʹ πρὸς τοὺς πολλαπλασιασμοὺς ἅμα
10τοῦ βʹ καὶ δʹ ἢ ὑπεροχὴν ἔχειν ἢ ἰσότητα ἢ ἔλλειψιν. τοῦτο δὲ δῆλον καὶ ἀπὸ τοῦ μετὰ τοῦτον ὅρου τοῦ λέγοντος· ὅταν δὲ τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων.

5

.

27

τὰ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια] τοὺς πολλαπλασιασμοὺς τῶν τεσσάρων μὴ νόμισον ἰσάκις λέ‐ γειν τὸν στοιχειωτὴν πολλαπλασιασθῆναι, ἀλλὰ τὰ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις καθ’ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασ‐
5μὸν καὶ τὰ τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου πάλιν ἰσάκις καθ’ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμόν.

5

28t

Ad def. 7

5

.

28

Εἰ βούλει μαθεῖν, πότε τὰ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου πολλαπλάσια ὑπερέχουσι τῶν πολλαπλασίων τοῦ βʹ καὶ τετάρτου, καὶ πότε ἐλάσσονα, τὸ παρὸν ἀνάγνωθι σχόλιον· ἰστέον, ὅτι, ὅταν τὰ τέσσαρα μεγέθη ἐν τῷ τῆς ἰσότητος
5θεωρεῖται λόγῳ, τότε τὰ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια τῶν τοῦ βʹ καὶ τετάρτου ἰσάκις πολλαπλα‐ σίων ἅμα ἴσα ἐστίν. ὅταν δὲ ἐν πολλαπλασίονι, εἰ μὲν προ‐ τάττονται οἱ πρόλογοι, ὑπερέχουσι τὰ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια τῶν τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου,
10εἰ δὲ οἱ ὑπόλογοι προτάττονται, ὑπερέχουσι τὰ τοῦ δευ‐ τέρου καὶ τετάρτου ἰσάκις πολλαπλάσια τῶν τοῦ αʹ καὶ γʹ ἰσάκις πολλαπλασίων.

5

29-33t

Ad def. 9

5

.

29

Ὅταν τρία μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τρίτον διπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ πρὸς τὸ δεύ‐ τερον] οὐ λέγει, ὅτι οἱ δύο λόγοι τοῦ ἑνὸς διπλασίους εἰσίν (καὶ τοῦτο μὲν γάρ), ἀλλ’ ὅτι ὁ λόγος ὁ ἐκ τῶν δύο διπλάσιός
5ἐστιν, ὡς η δ β καὶ πάλιν θ γ α. ὁ μὲν οὖν λόγος διπλάσιος, τὸ δὲ μέγεθος ἐπὶ μὲν διπλασίων τοῦ μεγέθους τετραπλά‐ σιον, ἐπὶ δὲ τριπλασίων ἐνναπλάσιον, ἐπὶ δὲ τετραπλασίων ἑξκαιδεκαπλάσιον· δείκνυται γὰρ ἐν τοῖς ἑξῆς, ὅτι τὰ μήκει διπλάσια δυνάμει τετραπλάσια καὶ τὰ τριπλάσια
10μήκει ἐνναπλάσια δυνάμει. ὁ οὖν λόγος τῶν τετραγώνων τετραπλάσιος ὢν τοῦ ἀπὸ τῶν πλευρῶν διπλασίου ὄντος διπλάσιός ἐστιν· τοῦ γὰρ διπλασίου ὁ τετραπλάσιος δι‐ πλάσιος.

5

.

30

Ἐὰν ἀριθμὸς δὶς ληφθεὶς γεννᾷ τινα, ὁ γεννηθεὶς διπλάσιός ἐστι τοῦ γεννήσαντος, οἷον ὁ δ δὶς ληφθεὶς γεν‐ νήσει τὸν η, ὅς ἐστι τούτου διπλάσιος. ἐὰν οὖν ὦσι τρία μεγέθη ἀνάλογον, καὶ ὁ λόγος, ὃν ἔχει ὁ πρῶτος πρὸς τὸν
5δεύτερον, δὶς ληφθῇ, τουτέστιν αὐτὸς μεθ’ ἑαυτοῦ, ἀπο‐
γεννᾷ τὸν λόγον, ὃν ἔχει ὁ πρῶτος πρὸς τὸν ἄκρον, καὶ λέγεται ὁ τῶν ἄκρων λόγος πρὸς τὸν τοῦ αʹ καὶ μέσου λόγον διπλάσιος. οἷον ἐπὶ ὑποδείγματος ἔστωσαν τρία μεγέθη ἀνάλογον τὰ θ γ α ἐν τριπλασίονι λόγῳ. ὁ λόγος,
10ὃν ἔχει ὁ ἐννέα πρὸς τὸν τρία, δὶς ληφθεὶς ἤγουν πρὸς ἑαυτὸν πολυπλασιασθείς (τοῦτο γὰρ καλοῦμεν διακατα‐ χρηστικώτερον) ἀπογεννήσει τὸν τῶν ἄκρων λόγον. ὁ γὰρ τριπλάσιος τριπλασιόνως ἐννεαπλάσιος, καὶ οὕτως λέγεται ὁ ἐννεαπλάσιος τοῦ τριπλασίου διπλάσιος, ὅτι τὸ τρὶς τρεῖς
15δίς ἐστιν, ἀφ’ οὗ ὁ διπλάσιος, ὥσπερ τὸ τρὶς τρία τρὶς τρίς ἐστιν, ἀφ’ οὗ ὁ τριπλάσιος. καλῶς δὲ εἶπεν, ὅτι λέγεται· εἰ γὰρ κατὰ ἀλήθειαν, τὰ θ τῶν γ οὐ διπλάσιος, ἀλλὰ τριπλάσιος· ἀλλ’ ὅμως τῇ εἰρημένῃ ἐφόδῳ ὁ ἐννεαπλάσιος διπλάσιος τοῦ τριπλασίου· τὸ γὰρ τρὶς τρεῖς γεννᾷ μὲν τὸν
20θ, δὶς δὲ εἴρηται, ἀφ’ οὗ ὁ διπλάσιος. ἔστω δὲ καὶ ἐπὶ δι‐ πλασίων ὑπόδειγμα. ἔστωσαν γὰρ μεγέθη γ ὁ η ὁ δ ὁ β. ὁ γοῦν λόγος τοῦ η πρὸς τὸν δ, ὅς ἐστι διπλάσιος, διαληφ‐ θεὶς ἤτοι μεθ’ ἑαυτοῦ τὸν τῶν ἄκρων ἀπογεννήσει λόγον τὸν τετραπλασίονα, καὶ ἔσται ὁ τῶν ἄκρων λόγος διπλά‐
25σιος πρὸς τὸν τοῦ αʹ πρὸς τὸν μέσον.

5

.

31

Ἔστω ὁ ιϛ ὁ η καὶ δ, ἤγουν ιϛ τὸν η δὶς περιέχει, τὸν δὲ δ τετράκις. δὶς οὖν διπλασίων ὁ ιϛ τοῦ δ ἤπερ τοῦ η· ἅπαξ γὰρ τοῦ η· ἔχει γὰρ ὁ ιϛ τὰ δ δὶς καὶ πάλιν δίς.

5

.

32

Οἷον ὁ ιϛ οὐχὶ τριπλασίων ἐστὶ πρὸς τὸν δύο· ὀκτα‐ πλασίων γάρ· ἀλλ’ ἔχει πρὸς αὐτὸν τρισάκις τὸν διπλα‐ σίονα λόγον διὰ μέσου τοῦ ὀκτὼ καὶ τοῦ τέσσαρα. δὶς γὰρ δύο τέσσαρα· ἰδοὺ ὁ δὶς λόγος. ἅπαξ δὶς τέσσαρα ὀκτώ·
5ἰδοὺ ὁ δὶς λόγος δίς. δὶς ὀκτὼ ιϛ· ἰδοὺ ὁ δὶς λόγος τρισάκις
καὶ ἑξῆς.

5

.

33

Οἷον ἐὰν ἔχῃ τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον διπλα‐ σίονα λόγον, τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τέταρτον ἕξει τρὶς τὸν αὐτὸν λόγον τοῦ ὃν ἔχει τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον, οἷον δὶς δύο δίς· τρὶς γὰρ ἔχει τὸν λόγον τοῦ πρώτου πρὸς
5τὸ δεύτερον. ἐὰν δὲ ἔχῃ τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον τρι‐ πλασίονα λόγον, τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τέταρτον τρὶς τὸν αὐτὸν ἔχει τοῦ ὃν ἔχει τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον, οἷον τρὶς τρεῖς τρίς· τρὶς γὰρ ἔχει τὸν λόγον τοῦ ὃν ἔχει τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον. οἷον ἐπὶ ἀριθμῶν ὡς ὁ ιϛ πρὸς
10τὸν η, ὁ η πρὸς τὸν δ, ὁ δ πρὸς τὸν β ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ [ἰδοὺ γὰρ ὁ ιϛ πρὸς μὲν τὸν η ἐστι διπλάσιος, πρὸς δὲ τὸν β ὀκταπλάσιος, δὶς δὲ β δὶς η ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ], ἐν δὲ τῇ τριπλασίονι ἀναλογίᾳ ὡς ὁ πα πρὸς τὸν κζ, ὁ κζ πρὸς τὸν θ, ὁ θ πρὸς τὸν γ [καὶ ὁ γ πρὸς τὸν α·
15ἔστι δὲ ὁ κζ πρὸς μὲν τὸν θ τριπλάσιος, πρὸς δὲ τὸν α εἰκοσιεπταπλάσιος· τρὶς γὰρ τρεῖς τρὶς κζ].

5

34-36t

Ad def. 11

5

.

34

Οὐ τοῦτό φησιν, ὅτι, ὅταν ὁ ἡγούμενος πρὸς τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος πρὸς τὸν ἑπόμενον συγκρίνη‐ ται, ὁμόλογα τηνικαῦτά εἰσι τὰ μεγέθη· καὶ γὰρ οὐχ ὁμό‐
λογα τότε, ἀλλ’ ἐναλλάξ. ἀλλὰ τοῦτο νοεῖ τὸ λεγόμενον,
5ὅταν ἀμφότεροι οἱ ἡγούμενοι προτάττωνται ἀμφοτέρων τῶν ἑπομένων· πολλάκις γάρ, ὡς ἐν τῇ ἀνάπαλιν ἀναλογίᾳ, προτάττονται οἱ ἑπόμενοι. ἰστέον δέ, ὅτι ἡγούμενοι μὲν λέγονται οἱ μείζονες ὅροι, ἑπόμενοι δὲ οἱ ἐλάττονες, οἷον ὡς ἔχει ὁ ιβ πρὸς τὸν δ, ἔχει καὶ ὁ θ πρὸς τὸν γ· ἡγούμενοι
10μέν εἰσιν ὁ ιβ καὶ ὁ θ, ἑπόμενοι δὲ ὁ δ καὶ ὁ γ. τότε οὖν ὁμόλογά εἰσι τὰ μεγέθη, ὅτε, ὡς ἔχει ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἡγούμενος πρὸς ἑπόμενον, οὕτως ἐν τοῖς δευτέ‐ ροις ἡγούμενος πρὸς ἑπόμενον. εἶπε δὲ οὕτως· οἱ ἡγού‐ μενοι τοῖς ἡγουμένοις καὶ οἱ ἑπόμενοι τοῖς ἑπομένοις,
15τουτέστιν ἵνα προτάττωνται οἱ ἡγούμενοι καὶ ἕπωνται οἱ ἑπόμενοι καὶ ἐν ἀμφοτέροις.

5

.

35

Ἡγούμενα γίνωσκε ἐν τῇ γεωμετρίᾳ καὶ ἐν ἄλλοις εἶναι τὰ μείζονα, τὰ δὲ ἐλάττω ἑπόμενα. λέγει γοῦν ὁμό‐ λογα τὰ ἡγούμενα τοῖς ἡγουμένοις, ὡς ἐπὶ τῆς ὑποτει‐ νούσης καὶ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου ἰσοσκελοῦς ἔστι
5τοῦτο καταμαθεῖν. ὅταν γὰρ ὦσι δύο τρίγωνα ὅμοια ὀρθογώνια, ὡς ἔχει τοῦ ἑνὸς ἡ ὑποτείνουσα πρὸς τοῦ ἄλλου τὴν ὑποτείνουσαν (ἴσα γάρ), καὶ τοῦ ἑτέρου ἡ ἑτέρα πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἑτέρου πλευράν· τὸν ἴσον γὰρ καὶ ἐκεῖναι πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχουσι. κἂν δὲ καὶ μὴ ἴσα ὦσι πάλιν
10εἴησαν αἱ πλευραὶ ἀνα.....

5

.

36

Σύνθεσις λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου μετὰ τοῦ ἑπομένου ὡς ἑνὸς πρὸς αὐτὸ τὸ ἑπόμενον] οἱ νεώτεροι τοῦ‐ τον προσέθεσαν τὸν ὅρον· οὐδὲ γὰρ σύνθεσις μεγεθῶν ταὐτόν ἐστι τῇ τοῦ λόγου συνθέσει. ἐνταῦθα δὲ τὸ ἡγού‐
5μενον μετὰ τοῦ ἑπομένου συντιθέμενον μέγεθος μεγέθει τὸ ὅλον μέγεθος ποιεῖ συγκείμενον ἐκ μεγεθῶν, ἥ ἐστι
σύνθεσις μεγέθους· ἡ γὰρ τῶν λόγων σύνθεσις ἄλλον ποιεῖ λόγον, ὡς αὐτὸς ἐν τοῖς ἑξῆς ἐρεῖ· λόγος γάρ, φησίν, ἐκ λόγων συγκεῖσθαι λέγεται καὶ τὰ ἑξῆς. αὐτὸς δέ, ὡς
10ἐν παλαιοτέροις εὑρήσεις βιβλίοις, τὴν σύνθεσιν ταύτην συνθέντι λέγει· καὶ γὰρ ἐν τοῖς ῥητοῖς οὐκ ἄλλως λέγει ἢ συνθέντι. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ διαίρεσις· εἰς γὰρ λόγους διαι‐ ρεῖται, ἡ δὲ ἐνταῦθα διαίρεσις μεγεθῶν ἐστιν· ἡ γὰρ ὑπεροχὴ τῶν ἡγουμένων μερίζεται. ἀπὸ τοῦ ἡγουμένου
15δὲ εἶπον· καὶ ἐπὶ τούτου λέγει διελόντι, καὶ ἀναστρέψαντι δὲ ὡσαύτως· ἀναστρέφει γὰρ ἐπὶ τῶν ἑπομένων.

5

37t

Ad def. 17

5

.

37

Ἰστέον, ὡς τὸ δι’ ἴσου ἐπὶ συνεχῶν καὶ μόνον ἀναλογιῶν ἐστιν.

5

38-39t

Ad prop. 1

5

.

38

Ἔστωσαν δύο μεγέθη δύο μεγεθῶν ἰσάκις πολλα‐ πλάσια, ἤγουν ὀκτὼ καὶ ἓξ πρὸς τέσσαρα καὶ τρία· λέγω, ὅτι, ὁσαπλάσιόν ἐστι τὰ ὀκτὼ πρὸς τὰ τέσσαρα ἢ τὰ ἓξ πρὸς τὰ τρία (εἰσὶ δὲ διπλάσια), τοσαυταπλάσιά ἐστι καὶ
5τὰ συναμφότερα συναμφοτέρων. η γὰρ καὶ ϛ ιδ, δ καὶ τρία ζ· διπλάσια· ὅσα γάρ εἰσι μεγέθη ἐν τῷ η ἴσα τῷ τέσσαρα· εἰσὶ δὲ δύο· τοσαῦτά εἰσι μεγέθη καὶ ἐν τῷ ϛ ἴσα τῷ τρία.

5

.

39

Διὰ τὴν κοινὴν ἔννοιαν· ἐὰν ἴσα ἴσοις. τὸ γὰρ ΑΗ ἴσον ὂν τῷ Ε προσετέθη τῷ ΓΘ ἴσῳ ὄντι τῷ Ζ, καί ἐστι τὰ ὅλα ἴσα. ὁμοῦ ἄρα τὸ ΑΗ, ΓΘ ὁμοῦ τοῖς Ε, Ζ ἴσα εἰσίν. ὡσαύτως καὶ τὰ ΗΒ, ΘΔ ἴσα τοῖς Ε, Ζ. ὅσα ἄρα
5ἐστὶν ἐν μόνῳ τῷ ΑΒ ἴσα τῷ Ε, τοσαῦτα καὶ ἐν ἀμφοτέροις τοῖς ΑΒ, ΓΔ ἴσα τοῖς Ε, Ζ. ὁσαπλάσιον οὖν τὸ ἓν τοῦ ἑνός, καὶ πάντα πάντων. δῆλον δὲ καὶ ἐκ τῆς ἐναργείας
αὐτῆς.

5

40-41t

Ad prop. 2

5

.

40

Ἔστω πρῶτον τὰ ἓξ καὶ δεύτερον τὰ β, τρίτον τὰ θ καὶ τέταρτον τὰ γ. τὸ οὖν πρῶτον καὶ τὸ τρίτον ἰσάκις πολλαπλάσιά εἰσι τοῦ βʹ καὶ τοῦ τετάρτου· τριπλάσια γὰρ ἀμφότερα ἀμφοτέρων. ἔστω καὶ πέμπτον τὰ ιβ ἑξα‐
5πλάσια τοῦ δευτέρου, ἤγουν τῶν β, καὶ ἕκτον τὰ ιη ὁμοίως ἑξαπλάσια τοῦ τετάρτου, τουτέστι τῶν γ. καὶ μιγέντα ἄρα τὸ μὲν πέμπτον τῷ πρώτῳ, τὸ δὲ ἕκτον τῷ τρίτῳ ἰσάκις εἰσὶ πολλαπλάσια τοῦ τε δευτέρου καὶ τοῦ τετάρτου· ϛ γὰρ καὶ ιβ ιη καὶ θ καὶ ιη κζ. καί εἰσι καὶ τὰ ιη ὡς πρὸς
10τὰ β ἐννεαπλάσια καὶ τὰ κζ ὡς πρὸς τὰ τρία ὁμοίως ἐννεα‐ πλάσια.

5

.

41

Διὰ τοῦ πρὸ αὐτοῦ θεωρήματος· μεγέθη γὰρ τὰ ΑΒ, ΒΗ μεγεθῶν τῶν Γ καὶ Γ· τὸ γὰρ ἓν Γ δὶς λαμβάνε‐ ται πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΒΗ συγκρινόμενον· ἰσάκις εἰσὶ πολλαπλάσια. ὡσαύτως καὶ μεγέθη τὰ ΔΕ, ΕΘ μεγέ‐
5θους τοῦ Ζ δὶς καὶ τούτου λαμβανομένου ἰσάκις εἰσὶ πολ‐ λαπλάσια ἕκαστον ἑκάστου, ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ καὶ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ Ζ, οὕτως καὶ τὰ ΑΗ, ΔΘ πρὸς τὰ Γ, Ζ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

5

42t

Ad prop. 3

5

.

42

Ἔστω γὰρ πρῶτον τὰ ϛ καὶ δεύτερον τὰ γ, τρίτον τὰ ὀκτὼ καὶ δʹ τὰ δ. διπλάσιά εἰσι τὸ αʹ καὶ τὸ γʹ τοῦ βʹ καὶ τοῦ δʹ. ἐὰν οὖν ληφθῇ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἤγουν ιη καὶ κδ (τριπλάσιον γὰρ τὸ μὲν τοῦ αʹ,
5τὸ δὲ τοῦ γʹ), καὶ δι’ ἴσου τῶν ληφθέντων ἑκάτερον ἑκα‐ τέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον τὸ μὲν τοῦ δευτέρου, τὸ δὲ τοῦ δʹ. ἑξαπλάσια γὰρ ὁμοίως καὶ τὰ ιη τῶν γ καὶ τὰ
κδ τῶν δ.

5

43-49t

Ad prop. 4

5

.

43

Τοῦτο τὸ θεώρημα τῆς τοῦ ὅρου ἐστὶν ἀποδείξεως τῶν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγεθῶν, ὅς ἐστιν· ὅταν τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου, τουτέστι τῶν ἡγουμένων, τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων τῶν ἑπομένων ἢ
5ἅμα ὑπερέχῃ ἢ ἅμα ἐλλείπῃ ἢ ἅμα ἴσα ᾖ. ὅτι καὶ αὐτὰ τὸν αὐτὸν αὐτοῖς ἔχουσι λόγον, ἐντεῦθεν δείκνυται, ἀπεσιώ‐ πησεν δὲ τοῦτο ἐν τῇ ἀρχῇ· οὐ γὰρ ἠδύνατο λέγειν ἐκεῖνα εἶ‐ ναι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ὧν τὰ πολλαπλάσια ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἐστίν, αὐτὸ τοῦτο ἡμῶν ζητούντων, τί ποτέ ἐστιν ἐν τῷ
10αὐτῷ λόγῳ. εἰπὼν οὖν αὐτὰ ἐν τῇ ἀρχῇ ἅμα ὑπερέχοντα ἢ ἰσάζοντα ἢ ἐλλείποντα δείκνυσιν ἐνταῦθα, ὅτι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ πρὸς ἄλληλά εἰσιν· ὥστε ἀναφαίνεσθαι τὸν ὅρον τὸν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τοιοῦτον· ὅταν τὰ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια πρὸς τὰ τοῦ δευ‐
15τέρου καὶ τετάρτου ἰσάκις πολλαπλάσια τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον. δείκνυσι δὲ αὐτὰ ἐν τῷ λόγῳ διὰ τούτου καὶ τῆς ἀντιστροφῆς αὐτοῦ.

5

.

44

Ἔστω γὰρ πρῶτον τὰ θ καὶ δεύτερον τὰ ϛ, γʹ τὰ ιε καὶ δʹ τὰ ι. τὸν αὐτὸν οὖν λόγον ἔχουσι τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον καὶ τὸ τρίτον πρὸς τὸ τέταρτον· ἡμιόλιοι γὰρ ἀμφότεροι ἀμφοτέρων. καὶ τὰ ἰσάκις τοίνυν πολλαπλάσια
5τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου πρὸς τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου καθ’ ὁποιονοῦν τινα πολλαπλασιασ‐ μὸν τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ληφθέντα κατάλληλα. ἔστω γὰρ
τοῦ θ τὰ ιη καὶ τοῦ ιε τὰ λ ἰσάκις πολλαπλάσια· ἀμφότερα γὰρ διπλάσια ἀμφοτέρων. τῶν δὲ ϛ ἔστωσαν τὰ κδ καὶ τῶν
10ι τὰ μ ἰσάκις πολλαπλάσια· τετραπλάσια γὰρ ἀμφότερα ἀμφοτέρων. τὸν αὐτὸν οὖν λόγον ἕξουσι τὰ ιη πρὸς τὰ κδ καὶ τὰ λ πρὸς τὰ μ· ὑπεπίτριτος γὰρ καὶ ὁ ιη τοῦ κδ καὶ ὁ λ τοῦ μ.

5

.

45

Διὰ τὸ ἀντίστροφον τοῦ λέγοντος ὅρου· ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγέθη λέγεται εἶναι καὶ τὰ ἑξῆς. ἐπεὶ ἐν μὲν τῷ ὅρῳ ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς ἢ ἰσότητος ἢ ἐλλείψεως τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων ἐδείκνυε τὰ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον, ἐν‐
5ταῦθα δὲ ἀνάπαλιν· φησὶ γάρ· εἰσὶν ὁμόλογα τὰ Α, Β καὶ Γ, Δ, καὶ ἐδείχθη τούτων ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, Μ, Ν· εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Κ τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Λ τοῦ Ν. εἶτα ἀνακάμπτει καὶ εἰς τὸν ὅρον αὐτὸν καί φησιν, ὡς, ἐπεὶ πάλιν ὑπόκειται τὰ Κ, Λ τῶν Ε, Ζ ἰσάκις πολλα‐
10πλάσια καὶ τὰ Μ, Ν τῶν Η, Θ, καὶ ἔχουσι ταῦτα τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια, τουτέστι τὰ Κ, Λ, Μ, Ν, ἢ ὑπεροχὴν ἢ ἰσότητα ἢ ἔλλειψιν, ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἄρα ἔσονται τὸ Ε πρὸς τὸ Η καὶ τὸ Ζ πρὸς τὸ Θ. τοῦτο δ’ ἦν τὸ ζητούμενον.

5

.

46

Διὰ τὸν προειρημένον ὅρον, ἀλλ’ οὐκ ἀντιστρόφως· ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγέθη λέγεται εἶναι πρῶτον πρὸς δεύ‐ τερον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον.

5

.

47

Τοῦτο τὸ θεώρημα ἕτερον τοῦ ἀντιστρόφου τοῦ ὅρου τοῦ λέγοντος· ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγέθη λέγονται εἶναι πρῶτον πρὸς δεύτερον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, ὅταν τόδε καὶ τόδε. ἐν ἐκείνῳ γάρ ἐστιν, ὅτι, ἐὰν τὸ πρῶ‐
5τον πρὸς τὸ δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς
τέταρτον, καὶ τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ πρώτου καὶ τρίτου τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων τοῦ δευτέρου καὶ τε‐ τάρτου ἢ ἅμα ὑπερέχουσιν ἢ ἅμα ἐλλείπουσιν ἢ ἅμα ἴσα εἰσίν. οὐκ ἤδη δέ, ἐὰν τὰ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου πολλα‐
10πλάσια τῶν πολλαπλασίων τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου ἅμα ὑπερέχουσιν ἢ ἅμα τόδε καὶ τόδε, εἰσὶν καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον καὶ τὸ τρίτον πρὸς τὸ τέταρτον, ὅπερ φησὶν ἐνταῦθα.

5

.

48

Ἰστέον, ὅτι, ὅταν ἀριθμός τις ὑποπολλαπλάσιος ὢν ἤγουν ὑπόλογος ἀριθμοῦ τινος μετὰ τῆς ἑαυτοῦ δυνάμεως, ἀφ’ ἧς παρωνόμασται, τὸν αὑτοῦ πολλαπλάσιον ἀποτελεῖ, ὁσάκις ἂν ληφθῇ πρὸς τὸ ἐκεῖνον ἀποτελέσαι, τοσαυτάκις
5πολλαπλάσιος λέγεται. οἷον ἐπὶ ὑποδείγματος ὁ δύο τοῦ ιϛ ὑποοκταπλάσιος ὢν ὑποοκταπλάσιος λέγεται μόνον ἢ ὀκταπλάσιος, διότι δὶς μετὰ τῆς οἰκείας δυνάμεως συμ‐ παραληφθεὶς ἤγουν τῶν η, ἀφ’ ἧς ὑποοκταπλάσιος ὠνομά‐ σθη, τὸν ιϛ ἀπετέλεσε. ὡσαύτως καὶ ὁ ιϛ μᾶλλον διπλάσιος
10λέγεται τοῦ β ἢ τοῦ η, διότι δὶς τὸν δύο μετὰ τῆς ἑαυτοῦ δυνάμεως συμπεριλαμβάνει ἤγουν μετὰ τοῦ η.

5

.

49

Καί ἐστιν ὡς τὸ Ζ πρὸς τὸ Ε, οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ Ζ, πρῶτον τὸ Η καὶ δεύτερον τὸ Ε καὶ τρίτον τὸ Θ πρὸς τέ‐ ταρτον τὸ Ζ.

5

50-53t

Ad prop. 5

5

.

50

Ὁ λβ πρὸς τὸν ιϛ διπλάσιος. ἐὰν οὖν ἀφέλῃς ἀφ’ ἑκατέρου τὰ τέταρτα ἤγουν ὀκτὼ μὲν τοῦ λβ, τέσσαρα δὲ τοῦ δεκαέξ, καταλιμπάνονται κδ καὶ ιβ, καὶ σῴζεται αὖθις ὁ τοῦ διπλασίου λόγος κατὰ τὸ πρότερον.

5

.

51

Τοῦτο λέγει ἡ πρότασις, ὅτι, ἐάν τι μέγεθος ἰσάκις
ᾖ πολλαπλάσιον μεγέθους τινός, καὶ ἀφαιρεθὲν ἀφαιρε‐ θέντος ἰσάκις πολλαπλάσιον· τὸ γὰρ ἰσάκις πολλαπλάσιον οὐκ εἰς τὰ δύο μεγέθη μόνα φανεῖται, ἀλλὰ καὶ εἰς ἄλλα
5δύο τὰ ἀφαιρεθέντα ἐκ τῶν πρώτων μεγεθῶν· τὰ γὰρ δύο μεγέθη ἕνα λόγον ἔχουσι, τὸ δὲ ἰσάκις, ἐπεὶ πρός τι, οὐκ ἐν ἑνὶ λόγῳ, ἀλλὰ τὸ ἐλάχιστον ἐν δυσίν.

5

.

52

Ἔστω γὰρ μέγεθος τὰ ιβ μεγέθους τῶν ϛ διπλάσιον καὶ ἀφῃρήσθω ἐξ ἀμφοτέρων τῶν μεγεθῶν τοῦ μὲν ιβ δ, τοῦ δὲ ϛ β· ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσια τὰ ιβ τῶν ϛ καὶ τὰ δ τῶν β· ἄμφω γὰρ ἀμφοτέρων διπλάσια. λέγω, ὅτι
5καὶ τὸ καταλειφθὲν τῶν ιβ τοῦ καταλειφθέντος τῶν ϛ, ἤγουν τὰ η τῶν δ, ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστι τὰ ιβ τῶν ϛ· ἄμφω γὰρ ἀμφοτέρων διπλάσια.

5

.

53

ἴσον ἄρα τὸ ΗΖ τῷ ΓΔ p. 10, 1. 2] ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ ἑκατέρου τῶν ΗΖ, ΓΔ, οἷον μέρος ἐστὶ τὸ ΗΖ τοῦ ΑΒ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ τὸ ΓΔ τοῦ ΑΒ. ἴσον ἄρα τὸ ΗΖ τῷ ΓΔ διὰ τὴν κοινὴν ἔννοιαν·
5τὰ γὰρ τοῦ αὐτοῦ ἡμίση καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ τρίτα καὶ ἐφεξῆς καὶ ἀλλήλοις ἴσα ἐστίν.

5

54-59t

Ad prop. 6

5

.

54

Οὐ πρόκειται δεῖξαι, ὅτι, ἐὰν ἀπὸ πολλαπλασίου πολλαπλάσιον, τὸ λοιπὸν ἤτοι ἴσον ἐστὶν ἢ πολλαπλάσιον (τοῦτο γὰρ δῆλον), ἀλλ’ ὅτι δύο μεγεθῶν πρὸς δύο μεγέθη οὕτως ἐχόντων, ὡς εἴρηται, εἰ τὸ λοιπὸν τοῦ προτέρου
5πολλαπλάσιον, καὶ τὸ τοῦ ἑτέρου πολλαπλάσιον ἔσται, εἰ δὲ ἴσον, καὶ τὸ λοιπόν· οἷον τετραπλασίου ὄντος εἰ τριπλά‐ σιον ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν ἴσον ἔσται, καὶ ἐπὶ τοῦ ἑτέρου
ὡσαύτως.

5

.

55

Δύο γὰρ μεγέθη τὰ ιβ καὶ τὰ θ δύο μεγεθῶν τῶν δ καὶ τῶν γ ἰσάκις πολλαπλάσια· τριπλάσια γὰρ ἄμφω ἀμφοτέρων. ἐὰν ἄρα ἀφαιρεθέντα τινὰ τῶν ιβ καὶ τῶν θ ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια τῶν δ καὶ τῶν γ, καὶ τὰ καταλει‐
5φθέντα τῶν αὐτῶν ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσια ἢ ἴσα. ἀφ‐ ῃρήσθωσαν τῶν μὲν ιβ η, τῶν δὲ θ ϛ, ἅπερ εἰσὶν ἰσάκις πολ‐ λαπλάσια τῶν δ καὶ τῶν γ· διπλάσια γὰρ ἄμφω ἀμφοτέ‐ ρων· καὶ τὰ καταλειφθέντα τῶν ιβ καὶ τῶν θ, ἤγουν τὰ δ καὶ τὰ γ, ἴσα εἰσὶ τοῖς δ καὶ τοῖς γ. ὁμοίως δὴ δείξομεν,
10ὅτι ἐν ἄλλοις μεγέθεσιν ἰσάκις εἰσὶ πολλαπλάσια τῶν ἐξ ἀρχῆς ὑποκειμένων μεγεθῶν.

5

.

56

Θὲς τὸν ξδ καὶ τὸν λβ τὸν μὲν πρὸς τὸν λβ, τὸν δὲ πρὸς τὸν ιϛ διπλασίονα λόγον ἔχοντα. ἐὰν οὖν ἀφέλῃς ἀπὸ μὲν τοῦ ξδ ἥμισυ, οἷον τὸν λβ, ἀπὸ δὲ τοῦ λβ ἥμισυ, οἷον τὸν ιϛ, ὡσαύτως τὸν πολλαπλάσιον λόγον εὑρήσεις ἔχοντα
5τὸν λβ πρὸς τὸν ιϛ, ὃν καὶ ὁ ξδ πρὸς τὸν λβ. ἐπὶ τῆς τομῆς οὖν ταύτης καὶ τὰ λοιπὰ λβ πρὸς τὰ λοιπὰ ιϛ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. εἰ δὲ τέμῃς τοῦ ξδ τὸ δʹ, καταλιμπάνεται ὁ μη· καὶ τοῦ λβ τὸ δʹ, καταλιμπάνεται ὁ κδ. τότε οὖν οὐ τὸν ἴσον λόγον ἔχει ὁ μη πρὸς τὸν λβ καὶ ὁ κδ πρὸς τὸν ιϛ, ἀλλὰ
10τὸν ἐλάττονα, πλὴν τὸν αὐτόν.

5

.

57

Ἰστέον, ὅτι ἐν ταύτῃ τῇ προτάσει ἔνεστι μικρά τις ἀσάφεια διὰ τὸ ἀπὸ κοινοῦ λαμβάνειν τὸν ἐὰν σύνδεσμον. σὺ οὖν, εἰ θέλεις σαφῆ σοι γενέσθαι ταύτην, ἀναγινώσκων ὑπόστιξον εἰς τὸ καὶ ἀφαιρεθέντα τινά, καὶ ὑποθετικῶς
5τὸ λοιπὸν ῥητὸν τῆς προτάσεως ἀνάγνωθι ἐκτὸς ὡς ἀπὸ κοινοῦ τὸν ἐὰν δεξάμενος σύνδεσμον, καὶ οὕτως πάνυ σοι
ἔσται σαφής.

5

.

58

Σχόλιον τοῦ ϛʹ θεωρήματος. ἰστέον, ὅτι οὐκ οἶδε, τί λέγει ἐνταῦθα ὁ σχολιαστής, ἀλλὰ τοιοῦτόν τι λέγει ὁ Εὐκλείδης, ὅτι, ἐὰν δύο μεγέθη, ὑπόθου σπιθαμὰς ἑκά‐ τερον κ, δύο μεγεθῶν, ὑπόθου σπιθαμῶν ὄντων ε ἑκατέ‐
5ρου, ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια· τετραπλάσιον γὰρ ἑκάτερον ἑκατέρου· καὶ ἀφαιρεθέντα τινὰ ἀπ’ αὐτῶν, δηλονότι τῶν πολλαπλασίων, ὦσι πάλιν ἰσάκις τῶν προυποτεθειμένων μεγεθῶν πολλαπλάσια, οἷον ἀφαιρεθέντα τὰ δέκα ἐξ ἑκα‐ τέρου τῶν πολλαπλασίων ἰσάκις ὄντα πολλαπλάσια τῶν ε
10σπιθαμῶν ὄντων μεγεθῶν ἢ ἀφαιρεθέντα τὰ ιε, τὰ λοιπά, ἅπερ εἰσὶν ἢ τὰ δέκα ἢ τὰ πέντε, τῶν αὐτῶν, ἤγουν τῶν ε, ἢ ἴσα εἰσίν, ἂν ἀφῃρέθησαν ιε, ἢ ἰσάκις αὐτῶν πολλα‐ πλάσια, ἂν ἀφῃρέθησαν δέκα.

5

.

59

ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΚΘ τοῦ Ζ p. 11, 3. 4] εἰ μὲν καὶ δι’ ἄλλο, οὐκ οἶδα, ἴσως δ’ οὖν καὶ διὰ τὸ βʹ τοῦ παρόντος βιβλίου. ἂν γὰρ οὕτως εἴπωμεν, ὅτι, ἐὰν πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον
5καὶ τρίτον τετάρτου, ᾖ δὲ καὶ πέμπτον δευτέρῳ ἴσον καὶ ἕκτον τετάρτῳ, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον δευτέ‐ ρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τετάρ‐ του, προβήσεται ἡ δεῖξις, ὡς ὅτε καὶ τὸ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις ἦν πολλαπλάσιον καὶ τὸ ἕκτον τετάρτου.

5

60t

Ad prop. 7

5

.

60

Δεῖ γινώσκειν, ὅτι ἐν μὲν τῇ ἀποδείξει ἑνοῦν δεῖ τὸ Γ καὶ Ζ, ἐν δὲ τῇ κατασκευῇ διαιρεῖν εἰς δύο.

5

61-65t

Ad prop. 8

5

.

61

Τὸ μὲν ΑΒ ἔστω ἀριθμῶν δ, τὸ δὲ Γ τριῶν, ἄλλο δὲ ὃ ἔτυχε τὸ Δ ἔστω ἀριθμῶν β. τὸ οὖν ΑΒ πρὸς τὸ Δ
μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ· τὰ γὰρ δ τῶν β διπλάσιον, τὰ δὲ τρία τῶν β ἡμιόλιον. καὶ τὸ Δ πρὸς τὸ Γ
5μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ ΑΒ· τοῦ μὲν γὰρ ὑφ‐ ημιόλιον, τοῦ δὲ ὑποδιπλάσιον. ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ, κείσθω τῷ Γ ἴσον τὸ ΒΕ, ἤγουν τὰ δ γενέσθωσαν εἰς γ καὶ εἰς α, καὶ ἔστω τὰ γ ΒΕ, τὸ δὲ ἓν ΑΕ. τὸ δὴ ἔλασσον τῶν ΑΕ, ΕΒ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ
10τοῦ Δ μεῖζον. πεπολλαπλασιάσθω τὸ ΑΕ ἤγουν τὸ ἕν, ἕως οὗ τὸ γενόμενον μεῖζον γένηται τοῦ Δ, τουτέστι τῶν β, καὶ ἔστω τοῦ ΑΕ τριπλάσιον τὸ ΖΗ ἀριθμῶν τυγχά‐ νον τριῶν μεῖζον ὂν τοῦ Δ, καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ (ἔστι δὲ τριπλάσιον), τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ
15τὸ μὲν ΗΘ ἀριθμῶν τυγχάνον θ τοῦ ΕΒ δηλαδὴ τῶν τριῶν, τὸ δὲ Κ ὁμοίως ἀριθμῶν τυγχάνον θ τοῦ Γ τριῶν ὄντος ἀριθμῶν, καὶ εἰλήφθω τοῦ Δ ἤτοι τῶν β διπλάσιον τὸ Λ ἀριθμῶν ὂν δ, τριπλάσιον δὲ τὸ Μ ἀριθμῶν ὂν ϛ, τετραπλά‐ σιον δὲ τὸ Ν ἀριθμῶν ὂν η, πενταπλάσιον δὲ τὸ Ξ ἀριθμῶν
20ὂν δέκα· καὶ ἰδοὺ τὸ Ξ πολλαπλάσιον μὲν ἐγένετο τοῦ Δ, πρώτως δὲ μεῖζον τοῦ Κ ἤτοι τῶν θ. ἐπεὶ οὖν τὸ Κ τοῦ Ξ πρώτως ἐστὶν ἔλαττον, τὸ Κ ἄρα τοῦ Ν οὐκ ἔστιν ἔλαττον· τὰ γὰρ θ τῶν η πλείω. καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ (ἄμφω γὰρ ἀμφοτέρων
25τριπλάσια), ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΖΘ τοῦ ΑΒ. τὸ μὲν γὰρ ΑΕ ἀριθμοῦ ἐστιν ἑνός, τὸ δὲ ΖΗ τριῶν, τὸ δὲ ΑΒ ἀριθμῶν ἐστι δ, τὸ δὲ ΖΘ ιβ. ἰσάκις δέ ἐστι πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ, ἤτοι τὰ γ τοῦ ἑνὸς καὶ τὰ θ τῶν γ· ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολ‐
30λαπλάσιον τὸ ΖΘ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ, τουτέστι τὰ ιβ τῶν δ καὶ τὰ θ τῶν τριῶν. τὰ ΖΘ, Κ ἄρα τῶν ΑΒ, Γ
ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια. πάλιν ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλα‐ πλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ, ἴσον δὲ τὸ ΕΒ τῷ Γ, ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΗΘ τῷ Κ· θ γὰρ ἀριθμῶν τὸ
35ΗΘ καὶ θ τὸ Κ. τὸ δὲ Κ διὰ τὴν κοινὴν ἔννοιαν τοῦ Ν οὐκ ἔστιν ἔλαττον. οὐδ’ ἄρα τὸ ΗΘ τοῦ Ν ἔλαττόν ἐστιν. μεῖζον δὲ τὸ ΗΘ τοῦ Δ· τὸ μὲν γὰρ ἀριθμῶν θ, τὸ δὲ β. ὅλον ἄρα τὸ ΖΘ ἤτοι τὰ ιβ συναμφοτέρων τῶν Δ, Ν ἤγουν τῶν β καὶ τῶν η μεῖζόν ἐστιν. ἀλλὰ συναμφότερα τὰ Δ,
40Ν τῷ Ξ ἐστιν ἴσα· δέκα γὰρ ὑπόκειται ἀριθμῶν, ἐπειδὴ τὸ Ν τοῦ Δ τετραπλάσιόν ἐστιν, συναμφότερα δὲ τὰ Ν, Δ τοῦ Δ ἐστι πενταπλάσια, ἔστι δὲ καὶ τὸ Ξ τοῦ Δ πενταπλά‐ σιον. συναμφότερα ἄρα τὰ Ν, Δ τῷ Ξ ἐστιν ἴσα. ἀλλὰ τὸ ΖΘ τῶν Ν, Δ μεῖζόν ἐστιν, τὰ ιβ τῶν ι. τὸ ΖΘ ἄρα τοῦ
45Ξ ὑπερέχει. τὸ δὲ Κ τοῦ Ξ οὐχ ὑπερέχει. καί ἐστι τὰ μὲν ΖΘ, Κ ἤγουν τὰ ιβ καὶ τὰ θ τῶν ΑΒ, Γ, τουτέστι τῶν δ καὶ τῶν γ, ἰσάκις πολλαπλάσια, τὸ δὲ Ξ τοῦ Δ ἄλλο, ὃ ἔτυχεν, πολλαπλάσιον. τὸ ΑΒ ἄρα ἤτοι τὰ δ πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ [V def. 7]. λέγω

5

.

61

(50)

δή, ὅτι καὶ τὸ Δ πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ ΑΒ.

5

.

62

Θὲς τὸν ιβ καὶ τὸν η ἢ ἄλλους, οὕστινας βούλεται ἀνίσους ἀριθμούς, ὑπόθες δὲ ἔξωθεν τὸν ϛ ἀριθμόν. ἐπεὶ οὖν μείζων ὁ ιβ τοῦ η, καὶ μείζονα λόγον ἔχει πρὸς τὸν ϛ, ἢ ὃν ἔχει ὁ ὀκτὼ πρὸς αὐτόν· ὁ μὲν γὰρ ιβ τοῦ ἓξ διπλά‐
5σιος, ὁ δὲ η ἐπίτριτος· ἔχει γὰρ τὸν ἓξ καὶ τρίτον αὐτοῦ· μείζων δὲ ὁ διπλάσιος λόγος τοῦ ἐπιτρίτου. καὶ ὁ ϛ πρὸς τὸν αὐτὸν η μείζονα λόγον ἔχει ἢ πρὸς τὸν ιβ· τοῦ μὲν γὰρ η ὁ ϛ ἐστιν ὑπεπίτριτος, τοῦ δὲ δώδεκα ὑποδιπλάσιος, μείζων δὲ ὁ ὑπεπίτριτος λόγος τοῦ ἡμίσεως.

5

.

63

τὸ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ p. 14, 20. 21] τέσσαρά εἰσι μεγέθη, πρῶτον μὲν τὸ ΑΒ, δεύτερον δὲ τὸ Δ, τρίτον δὲ τὸ Γ καὶ τέταρτον τὸ Δ· δὶς γὰρ λαμβάνεται τὸ Δ καὶ ὡς δεύτερον καὶ ὡς
5τέταρτον. καί ἐστι τοῦ μὲν πρώτου τοῦ ΑΒ πολλαπλάσιον τὸ ΖΘ, τοῦ δὲ δευτέρου τοῦ Δ πολλαπλάσιον τὸ Ν, τοῦ δὲ τρίτου τοῦ Γ τὸ Κ. καί ἐστι τὸ ΖΘ τὸ πολλαπλάσιον τοῦ πρώτου τοῦ ΑΒ. ἔστιν οὖν τὸ ΖΘ μεῖζον τοῦ Ν, ὅπερ Ν πολλαπλάσιόν ἐστι τοῦ δευτέρου τοῦ Δ, τὸ δὲ Κ τὸ πολ‐
10λαπλάσιον τοῦ τρίτου τοῦ Γ ἔλαττόν ἐστι τοῦ Ν, ὅπερ Ν πολλαπλάσιόν ἐστι τοῦ τετάρτου τοῦ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν τοῦ πρώτου πολλαπλάσιον μεῖζόν ἐστι τοῦ πολλαπλασίου τοῦ δευτέρου, τὸ δὲ τοῦ τρίτου οὐκ ἔστι μεῖζον τοῦ πολ‐ λαπλασίου τοῦ τετάρτου, μείζονα ἄρα λόγον ἔχει τὸ ΑΒ
15πρὸς τὸ Δ ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ διὰ τὸν ὅρον τὸν λέγοντα· ὅταν δὲ τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων τὸ μὲν τοῦ πρώτου πολ‐ λαπλάσιον ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ δευτέρου πολλαπλασίου, τὸ δὲ τοῦ τρίτου πολλαπλάσιον μὴ ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ τετάρτου πολλαπλασίου, τότε τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον μείζονα
20λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ τὸ τρίτον πρὸς τὸ τέταρτον.

5

.

64

Ποικίλον τοῦτο τὸ θεώρημα, ὡς ἐξ αὐτῆς τῆς προ‐ τάσεως δῆλον, ἔχει δέ τινα καὶ κατὰ τὴν λέξιν ἀπορίαν.

5

.

65

καὶ εἰλήφθω p. 13, 19—τοῦ Κ p. 13, 24] ἰστέον, ὅτι τὸ παρὸν κομμάτιον ὀβελίζεται παρὰ τοῖς ἀκριβέσιν· εἰ γὰρ κεῖται, οὐκ ἐᾷ τὸν γεωμετρικὸν ὅρον διήκειν εἰς ἅπαν‐ τας ἀριθμούς, οὓς ἂν βούλοιτό τις θεῖναι, εἰ δὲ λείπει, δο‐
5κεῖ ὑγιαίνειν ὁ ὅρος πανταχοῦ, πλὴν εἰ μὴ ἀριθμητικῶς τις
βούλοιτο σκοπεῖν, ἀλλὰ μόνον γραμμικῶς.

5

66-68t

Ad prop. 9

5

.

66

Τοῦτο διὰ τὸ ηʹ τοῦ εʹ δείκνυσιν, οὗ πρῶτον, ὅτι τῶν ἀνίσων μεγεθῶν τὸ μεῖζον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον· ταῦτα γὰρ δῆλα, ὅτι τὰ Α, Β, εἰ μὴ ἴσα ᾖ, ἕτερον ἑτέρου πάντως μεῖζόν ἐστιν· καὶ τὸ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ
5μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ τὸ ἔλαττον· ἀλλὰ καὶ ἴσον ἔχουσι ταῦτα πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον· οὐκ ἄρα ἄνισα.

5

.

67

Τοῦτο τὸ θεώρημα ἀντίστροφόν ἐστι τῷ ζʹ· ἐκεῖνο γὰρ τὰ ἴσα μεγέθη πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον, τοῦτο δὲ τὰ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα παρίστησιν.

5

.

68

Ἐν ὀγδόῳ μεγεθῶν δεδομένων ὁ λόγος ἐζητεῖτο ὁ μείζων, ἐνταῦθα δὲ τοὐναντίον τῶν λόγων δεδομένων, μᾶλλον δὲ τοῦ μείζονος λόγου, ζητεῖται τὸ μεῖζον μέγεθος.

5

69t

Ad prop. 12

5

.

69

Τοῦτο τὸ θεώρημα ὁμοιότητα ἔχει πρὸς τὸ πρῶτον· ὡς γὰρ ἐνταῦθα τὴν αὐτὴν σχέσιν ἐπιδείκνυσιν ἑνὸς τοῦ ἡγουμένου πρὸς ἓν ἑπόμενον καὶ πάντων πρὸς πάντα, οὕτω καὶ ἐπὶ τοῦ πρώτου.

5

70t

Ad prop. 13

5

.

70

Δι’ ἀντίστροφον τοῦ ὅρου· ὅταν δὲ τῶν ἰσάκις πολλα‐ πλασίων.

5

71t

Ad prop. 14

5

.

71

Δοκεῖ μοι μὴ εἶναι καθαρῶς διὰ τὸ ιαʹ, ἀλλὰ διὰ τὸ ἀντίστροφον αὐτοῦ, ὃ οὐκ εἴρηται τῷ Εὐκλείδῃ. οὐδὲν δὲ καινόν· καὶ γὰρ τὰ ἀντίστροφα τῶν ὅρων οὐκ εἴληπται ἐν τοῖς ὅροις, ἀλλὰ δι’ αὐτῶν τῶν ἀντιστρόφων, λέγω, πολ‐
5λὰ κατεσκευάσθησαν θεωρήματα. ἕξει δὲ τὸ ἀντίστροφον τῷ ιαω οὕτω πως· οἱ πρὸς ἀλλήλους οἱ αὐτοὶ λόγοι καὶ τῷ αὐτῷ οἱ αὐτοί, οἷον ὁ Α, Β καὶ Γ, Δ πρὸς ἀλλήλους οἱ αὐτοί. ἆρ’ οὖν καὶ πρὸς ἄλλο τι ὡσαύτως ἕξουσιν; ἔχει δὲ τὸ Α πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. ἆρα
10καὶ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ αὐτὸ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. ὑπόθες γάρ, ὅτι διπλασίονές εἰσιν οἱ λόγοι ὅ τε τοῦ Α πρὸς τὸ Β καὶ ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ Δ, ὁ δὲ τοῦ Γ πρὸς τὸ Β ἡμιόλιος. οἱ γοῦν δύο λόγοι, ἐπεὶ οἱ αὐτοί, εἷς λόγος λογισ‐ θήτωσαν, ὥσπερ ὁ Α, Β. ὁ γοῦν Α πρὸς τὸ Β διὰ τοῦ ηʹ
15μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. ὡσαύτως ἐπεὶ εἷς ἐστιν ὁ λόγος τοῦ Α, Β καὶ τοῦ Γ, Δ ἄρα καὶ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, ὥσπερ ἐὰν ἦν τὸ Α πρὸς τὸ Β, μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. δοκεῖ δὲ καὶ διὰ τὸ ζʹ εἶναι τοῦτο, ἐὰν τὰς τῶν λόγων πηλικότητας ὡς ἴσα μεγέθη δόξῃ,
20ἤτοι ἐκ τοῦ δεδομένου κατασκευασθήσεται τοῦ εἶναι τοὺς λόγους τοὺς αὐτούς, τουτέστιν ἀπὸ τῆς ἐναργείας αὐτῆς.

5

72-77t

Ad prop. 15

5

.

72

Ἐπὶ μόνων ὁμογενῶν.

5

.

73

Οἷον ὁ η πρὸς τὸν δ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ὁ ϛ πρὸς τὸν γ· ἀμφότεροι διπλάσιον ἔχουσι λόγον· μέρη δὲ ὁ δ καὶ ὁ γ, ὁ μὲν τοῦ η, ὁ δὲ τοῦ ϛ, καὶ ὃν λόγον ἔχουσι τὰ ὅλα, οἷον ὁ ὀκτὼ πρὸς τὸν ϛ, τὸν αὐτὸν καὶ τὰ δ πρὸς τὰ γ·
5ἐπίτριτα γὰρ ἄμφω.

5

.

74

Μέρη τὰ ΑΗ καὶ ΔΚ· ἔστιν οὖν λόγος τοῦ ΑΗ πρὸς τὸ ΔΚ, ὃν ἔχει τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ, τουτέστι τοῦ μέρους πρὸς τὸ μέρος, ὁ αὐτός ἐστι καὶ τοῦ ὅλου πρὸς τὸ ὅλον. οὐκοῦν καὶ τὰ ὅλα τοῖς μέρεσι τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον.

5

.

75

Δοκεῖ ἡ ἔκθεσις τοῦ παρόντος ιεʹ θεωρήματος μὴ
συμφωνεῖν τῇ προτάσει· ἡ μὲν γὰρ πρότασίς φησιν, ὅτι ἔχουσι λόγον τὰ μέρη τῶν ὡσαύτως πολλαπλασίων τὸν αὐτὸν ἀλλήλοις ληφθέντα κατάλληλα, τουτέστιν ὁποῖα
5μέρη ὁποίου πολλαπλασίου τεθῶσιν ἡγούμενα λαμβάνε‐ σθαι ἀεὶ ἡγούμενα, τὰ δὲ τοῦ ἑτέρου ἀεὶ ἑπόμενα. ἡ δὲ ἔκθεσίς φησιν, ὅτι λέγω ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ, δοκοῦσα δηλοῦν ὡς ἑπόμενον πρὸς ἑπόμε‐ νον, οὕτως ἡγούμενον πρὸς ἡγούμενον. ὥστε πῶς οὐκ ἂν
10δοκοῖ τῇ προτάσει ἀσύμφωνος ἡ ἔκθεσις; ἀλλ’ ἀσύμφωνος μέν ἐστιν νοουμένη, ὡς εἴρηται, συμφωνεῖ δὲ νοουμένη, ὡς ῥηθήσεται. εἰ γὰρ ἡ πρότασις μὲν λέγει ἔχειν τὰ μέρη τῶν ὡσαύτως πολλαπλασίων τὸν αὐτὸν λόγον ληφθέντα κατάλ‐ ληλα, τὰ δὲ ὡσαύτως πολλαπλάσιά εἰσι τό τε ΑΒ μέγεθος
15καὶ τὸ ΔΕ, μέρη δὲ ἑκατέρου αὐτῶν μὴ μόνον ἐκεῖνα, εἰς ἃ ἑκάτερον τέμνεται, ἀλλὰ καὶ τοῦ μὲν ΑΒ τὸ Γ, τοῦ δὲ ΔΕ τὸ Ζ, πρὸς ἃ δὴ ἑκάτερον καὶ τὸν πολλαπλασιασμὸν πρὸς ἑκάτερον ἔχει, ἡ δὲ ἔκθεσίς φησιν, ὡς ἔχει τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ.

5

.

76

Ἐντεῦθεν ἄρχεται τὰ διελόντι καὶ συνθέντι καὶ ἀναστρέψαντι καὶ ἀνάπαλιν καὶ δι’ ἴσου ἐν τεταγμένῃ καὶ τεταραγμένῃ ἀναλογίᾳ. ἔστι δὲ τοῦτο λῆμμα τοῦ ἐναλλά‐ ξαντι, ὡς τὸ κʹ τοῦ δι’ ἴσου ἐπὶ τεταγμένῃ ἀναλογίᾳ καὶ τὸ
5κβʹ τοῦ κγʹ ἐπὶ τεταραγμένῃ.

5

.

77

Ἐάν, φησί, πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλά‐ σιον καὶ τρίτον τετάρτου, ἔσται καὶ ὡς τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον, οὕτως τὸ τρίτον πρὸς τὸ τέταρτον· οὐ μὴν ἐὰν ὡς τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον καὶ τὸ τρίτον πρὸς τὸ τέ‐
5ταρτον, ἀνάγκη καὶ ἰσάκις εἶναι πολλαπλάσιον τὸ πρῶτον τοῦ δευτέρου καὶ τὸ τρίτον τοῦ δʹ, ἀλλ’ εἰ μὲν ἰσάκις εἰσὶ πολλαπλάσια, ἔσται καὶ ὡς τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον, οὕτως καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπόν, οὐ μὴν εἰ τὸ πρῶτον τοῦ δευτέρου ἡμιόλιόν ἐστιν, εἰ τύχοι, καὶ τὸ γʹ τοῦ δʹ
10ἀνάγκη καὶ ἰσάκις εἶναι πολλαπλάσιον.

5

78t

Ad prop. 16

5

.

78

Ἐναλλαγή ἐστι λόγου λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὸ ἡγούμενον καὶ τοῦ ἑπομένου πρὸς τὸ ἑπόμενον. καὶ ἐνθάδε οὕτως ἐναλλάττονται τὰ μεγέθη, ἐπεὶ τὰ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον.

5

79-81t

Ad prop. 17

5

.

79

Διὰ τὸν προσυλλογισμόν, τουτέστι διὰ τὸ προυπο‐ δεδεῖχθαι.

5

.

80

Λόγισαι τὸ μὲν ΑΒ μέγεθος ιβ καὶ δίελε τὸ μὲν ΑΕ εἰς η, τὸ δὲ ΕΒ εἰς δ, τὸ δὲ ΓΔ λόγισαι θ εἶναι καὶ δίελε τὸ μὲν ΓΖ εἰς ἕξ, τὸ δὲ ΖΔ εἰς γ. ὅλον οὖν τὸ ΑΒ ἤτοι ὁ ιβ πρὸς τὸν δ τριπλάσιος, καὶ ὁ ΓΔ ἤτοι ὁ θ πρὸς
5τὸν ΖΔ ἤτοι τὸν γ τριπλάσιος. διπλάσιος δὲ καὶ ὁ ΑΕ ἤτοι ὁ ὀκτὼ πρὸς τὸν ΕΒ τὸν δ, ὥσπερ καὶ ὁ ΓΖ ἤτοι ὁ ϛ πρὸς τὸν ΖΔ τὸν γ.

5

.

81

Τοῦτο διὰ τὸ ιαʹ τοῦ εʹ τὸ λέγον· οἱ τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί· ἰσάκις γὰρ ἐδείχθη πολλαπλάσιον τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ· ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τὸ
5ΗΘ τοῦ ΑΕ. ὥστε τρεῖς εἰσι λόγοι, ὧν οἱ δύο τῷ αὐτῷ οἱ αὐτοί· ὡς γὰρ τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΑΒ, τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΑΕ, ὡς δὲ τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΑΕ, τὸ ΛΜ πρὸς τὸ ΓΖ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΑΒ, τὸ ΛΜ πρὸς τὸ ΓΖ.

5

82-85t

Ad prop. 19

5

.

82

Οὐκ ἄρα ἀνάγκη ἀεὶ ἐν πολλαπλασίῳ λόγῳ διὰ τὸ εὑρίσκεσθαι τὴν ἀναστροφὴν καὶ ἐν ἐπιμορίοις καὶ ἐν ἐπι‐
μερέσιν ἀναλογίαις.

5

.

83

Ἐάν, φησί, πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ἔσται καὶ ὡς τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον, οὕτως τὸ τρίτον πρὸς τὸ τέταρτον, ἐὰν δὲ ὡς τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον, καὶ τὸ τρίτον πρὸς τὸ τέταρτον,
5οὐκ ἀνάγκη καὶ ἰσάκις εἶναι πολλαπλάσιον τὸ πρῶτον τοῦ βʹ καὶ τὸ τρίτον τοῦ δʹ. ἀλλ’ εἰ μὲν ἰσάκις εἰσὶ πολλαπλά‐ σια, ἔσται καὶ ὡς τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον, οὕτως καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπόν· οὐ μὴν εἰ τὸ πρῶτον τοῦ βʹ ἡμιόλιον, εἰ τύχῃ, καὶ τὸ γʹ τοῦ δʹ ἀνάγκη καὶ ἰσάκις εἶναι
10πολλαπλάσιον. οἷον τὰ γ τῶν β καὶ τὰ ϛ τῶν δ ἐν τῷ αὐτῷ μὲν λόγῳ εἰσίν, ἰσάκις δὲ πολλαπλάσια οὐκ εἰσίν· οὐδὲ γάρ ἐστιν ὁ γ τοῦ β πολλαπλάσιος οὐδὲ ὁ ϛ τοῦ δ, ἀλλ’ ἡμιόλιον ἑκατέρου ἑκάτερος. ὁ δὴ ἡμιόλιος λόγος ἕτερός ἐστι τοῦ ἰσάκις πολλαπλασίου· οἱ μὲν γὰρ λόγοι καὶ αἱ
15ἀναλογίαι τῶν μεγεθῶν, ὡσαύτως δὲ καὶ τῶν ἀριθμῶν ἐπὶ πέντε τούτων εἰδῶν θεωροῦνται· ἐπιμορίου, ἐπιμεροῦς, πολλαπλασίου, πολλαπλασιεπιμορίου, πολλαπλασιοεπι‐ μεροῦς, ὧν ἕκαστον λόγον ἔχειν λέγεται πρὸς ἕκαστον, ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμὸν καὶ μέγεθος πρὸς μέγεθος, τὸ δὲ
20ἰσάκις πολλαπλάσιον ἐπὶ μόνου λέγεται τοῦ πολλαπλασίου λόγου, ὡς ἔστιν εἰπεῖν, ὅτι πᾶν πολλαπλάσιον λόγον ἔχει, πρὸς ἃ πολλαπλάσιον λέγεται, οὐ μὴν δὲ πᾶν τὸ λόγον ἔχον καὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον.

5

.

84

Ταῦτα ἔχουσιν ἀναλογίαν, εἰσὶ δὲ καὶ πολλαπλάσια
ιϛ η δ β. ταῦτα ἀναλογίαν μὲν ἔχουσιν, οὐκ εἰσὶ δὲ πολλαπλάσια
κζ ιη ιβ η.
5τῶν τε πολλαπλασίων καὶ τῶν ἐπιμορίων καὶ τῶν ἐπιμερῶν γενικώτερον γὰρ ἡ ἀναλογία, διότι περιέχει τά τε πολλα‐ πλάσια καὶ τὰ ἐπιμόρια καὶ τὰ ἐπιμερῆ· τὰ δὲ πολλαπλάσια οὐχ ἥκουσιν εἰς ἐπιμόρια καὶ ἐπιμερῆ.

5

.

85

Σχόλιον νέον εἰς τὰ μετὰ τὸ ιθον θεώρημα τοῦ εου στοιχείου μέχρι τοῦ κου εἰρημένα τῷ Εὐκλείδῃ. Ἀποδείξας ὁ γεωμετρικὸς ἐν τῷ παρόντι ιθʹ θεωρήματι, ὅτι, ἐὰν ᾖ ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ, οὕτως ἀφαι‐
5ρεθὲν τὸ ΑΕ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ΓΖ, ἔστι καὶ λοιπὸν τὸ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ, ἔπειτα λαμβάνων αὐτὸ τοῦτο τὸ ἀποδειχθὲν οὕτως, ὡς ἀπεδείχθη, καὶ ἐναλλάξ, ἤτοι ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτω τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ· εἰσὶ γὰρ καὶ ταῦτα ἀνάλογον,
10ὡς ἀπέδειξε τοῦτο ἐν τῷ ιϛω, ὅτι, ἐὰν δ μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογόν ἐστιν· εἰσὶ δὲ καὶ ἐνταῦθα δ μεγέθη ἀνάλογον τό τε ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ καὶ ΕΒ πρὸς τὸ ΖΔ· καὶ φανερόν, ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογόν εἰσιν. εὑρίσκει δὲ καὶ αὐτὸ τὸ ἐναλλὰξ ἐνταῦθα συμπίπτον ἑτέρῳ λόγῳ,
15ὃν ὀνομάζει αὐτὸς συγκείμενα μεγέθη· εἴπερ γὰρ καὶ κατὰ σύνθεσιν ταῦτα τὰ μεγέθη συγκρίνομεν, οὕτως ἂν συγκρί‐ νοιμεν αὐτά, ὥσπερ νῦν διὰ τοῦ ἐναλλὰξ τὴν σύγκρισιν αὐτῶν ποιοῦμεν· λέγομεν γάρ, ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, ἅπερ ἐν μὲν τῷ ἐναλλάξ ἐστιν ἡγούμενον πρὸς ἡγούμενον,
20ἐν δὲ τῇ συνθέσει ἐστὶν ἡγούμενον ἅμα καὶ ἑπόμενον πρὸς ἑπόμενον· τὰ αὐτὰ δὲ ταῦτα καὶ ἐν τοῖς λοιποῖς δυσὶ μεγέ‐ θεσιν γίνονται τῷ τε ΓΔ καὶ τῷ ΔΖ· ταῦτα οὕτως εὑρὼν συμπίπτοντα, ὡς εἴρηται, τῷ λόγῳ, ὃν ὀνομάζει αὐτὸς συγκείμενα μεγέθη, συμπεραίνει τὰ ἐναλλὰξ ὡς συγκείμενα
25καί φησι· συγκείμενα ἄρα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν. εἶτα προιών φησιν· ἐδείχθη δὲ ὡς τὸ ΒΑ πρὸς τὸ ΑΕ, οὕτως τὸ ΔΓ πρὸς τὸ ΓΖ· ἔδειξε δὲ τοῦτό που ἐν τῇ ἀρχῇ πάν‐
τως τῆς ἀποδείξεως τοῦ παρόντος ιθʹ θεωρήματος, ἔνθα φησίν· ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ,
30οὕτως τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΓΖ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ΒΑ πρὸς τὸ ΑΕ, οὕτως τὸ ΔΓ πρὸς τὸ ΓΖ. καί φησιν· ἔστι σοι τοῦτο, ὃ νῦν εἶπον, ἀναστρέψαντι ἀντὶ τοῦ διὰ τοῦ λόγου τῆς ἀνα‐ στροφῆς. λέγει γὰρ ἐν τοῖς ὅροις· ἀναστροφὴ λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὴν ὑπεροχήν, ᾗ ὑπερέχει τὸ
35ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου. ἔστι γὰρ καὶ ἐνταῦθα τὸ ΒΑ ἡγούμενον, ὃ λαμβάνοντες ὁρῶμεν πρὸς τὸ ΑΕ, ὅπερ ἐστὶν ὑπεροχὴ ὁμολογούμενον, ἐν ᾗ ὑπερέχει αὐτὸ τὸ ἡγούμενον τὸ ΒΑ τοῦ ἑπομένου, τουτέστι τοῦ ΕΒ. ταῦτα οὕτως εὑρὼν καὶ ἐκ τῶν συγκειμένων εἰς ἀναστροφὴν αὐτομάτως ἐμ‐
40πίπτων πορίζεται τὸ ἐπαγόμενον καί φησιν· ἐκ δὴ τ[ού‐ του φ]ανερόν, ὅτι, ἐὰν συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἀναστρέψαντι ἀνάλογον ἔσται. εἶτα ἐπάγει· γεγόνασι δὲ οἱ λόγοι καὶ ἐπὶ τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων καὶ ἐπὶ τῶν ἀναλογιῶν. τίνες λόγοι; οὐχὶ τοῦ σύνεγγυς πορίσματος
45πάντως, ἀλλ’ οἱ τοῦ θεωρήματος δηλαδὴ τούτου τοῦ ιθʹ. γεγόνασι, φησίν, καὶ ἐπὶ τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων, ὡς ἐν τῷ εω θεωρήματι τοῦ αὐτοῦ εOU στοιχείου φησίν· ἐὰν μέγεθος μεγέθους ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον, ὅπερ ἀφαι‐ ρεθὲν ἀφαιρεθέντος, καὶ τὸ λοιπὸν τοῦ λοιποῦ ἰσάκις ἐστὶ

5

.

85

(50)

πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ὅλον τοῦ ὅλου. καὶ γε‐ γόνασιν οἱ λόγοι καὶ ἐπὶ τῶν ἀναλογιῶν, ὡς ἐν τῷ παρόντι θεωρήματι δέδεικται, ἀναλογίας λέγων ἐνταῦθα πάσας τὰς σχέσεις, καθ’ ἃς ἔχει μέγεθος πρὸς μέγεθος λόγον ὁποιονδήτινα ἢ ἐπιμόριον ἢ ἐπιμερῆ ἢ ἴσον καὶ ἁπλῶς
55εἰπεῖν ἢ ῥητὸν ἢ ἄρρητον, ὥσπερ καὶ αὐτὸς κατιὼν δηλοῖ λέγων· καθάπερ ἐπὶ τῶν ἡμιολίων ἢ ἐπιτρίτων λόγων ἢ τῶν τοιούτων. προσκολλητέον γὰρ τῷ ἄνω κώλῳ τὸ κάτω κῶλον καὶ ἀναγνωστέον οὕτως· γεγόνασιν δὲ οἱ λόγοι καὶ ἐπὶ τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων καὶ ἐπὶ [τῶν ἀναλογιῶν καὶ]
60ἐπὶ τῶν ἡμιολίων ἢ ἐπιτρίτων λόγων ἢ τοῦ τοιούτου. μέ‐ σον δὲ τούτων προσεπεμβάλλει καὶ τὴν αἰτίαν, δι’ ἣν
[κ]αὶ ἐν τοῖς πολλαπλασίοις καὶ μερικοῖς γεγόνασιν οἱ λό‐ γοι, οἵτινες εὑρίσκονται, καὶ ἐν ταῖς καθόλοις σχέσεσι, καί φησιν· ὅταν εἴπωμεν· ἐὰν πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολ‐
65λαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, δυνάμεθα εἰπεῖν ἐν αὐτοῖς τούτοις καὶ τὸ ὅτι ὡς τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον, οὕτως τὸ τρίτον πρὸς τὸ δʹ. ἔπειτά φη[σιν]· οὐκέτι δὲ καὶ ἀντι‐ στρέφει. οὐδὲ γὰρ εἰπόντες, ὅτι ὡς τὸ αʹ πρὸς τὸ βʹ, οὕτως τὸ γʹ πρὸς τὸ δʹ, δυνάμεθα ἀντιστρέ[ψαι] καὶ εἰπεῖν,
70ὅτι καὶ τὸ μὲν αʹ τοῦ βʹ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον, καὶ τὸ γʹ τοῦ δʹ· ἀδύνατον γὰρ τοῦτο. μὴ προδιορισάμενοι μὲν γὰρ μηδὲ προειπόντες τι ὡρισμένον τῶν πρός τι πολλα‐ πλασίων τυχὸν ἢ ἄλλο τι, ἀλλ’ οὐ τεθέντες τὸ ὡς καὶ τὸ οὕτως καὶ εἰπόντες ὡς τόδε τυχὸν τὸ μέγεθος πρὸς τόδε,
75οὕτως καὶ τόδε πρὸς τόδε, ἐκλαμβάνομεν τὸ ὡς καὶ τὸ οὕτως καθόλου ἐπὶ παντὸς λόγου ὡς ἀδήλως καὶ ἀορίστως κείμενα. προδιορισάμενοι δὲ καὶ προειπόντες, ὅτι ἔστω τόδε τοῦδε πολλαπλάσιον τυχὸν ἰσάκις καὶ τόδε τοῦδε, εἶτα ἐπαγαγόντες, ὅτι καὶ ὡς ἔχει λοιπὸν τόδε πρὸς τόδε,
80οὕτω καὶ τόδε πρὸς τόδε, τὸ ὡς καὶ τὸ οὕτως ἐνταῦθα οὐ καθόλου ἐπὶ παντὸς λόγου, ἀλλ’ ἐπὶ τοῦ προυποτεθειμέ‐ νου καὶ προδιωρισμένου μόνου λόγου δεχόμεθα ταῦτα. ὥστε ἐνταῦθα μὲν μερικὸν τὸ ὡς καὶ τὸ οὕτως, ἐκεῖ δὲ εἰς τὸ πρόσθεν καθόλου λαμβάνεται, ὥσπερ καὶ ὡς ὅταν
85λέγωμεν· πᾶς ἄνθρωπος ζῶον, οὐ τὸ καθόλου ζῶον νοοῦμεν, ἀλλὰ μόνον τὸ ἐν τῷ ἀνθρώπῳ, καὶ διὰ τοῦτο οὐδὲ ἐκεῖ δυνάμεθα ἀντιστρέψαντες εἰπεῖν, ὅτι καὶ πᾶν ζῶον ἄνθρωπος. ὅρα δέ, μὴ συναρπασθήσῃ τῇ ὁμοφωνίᾳ τῶν λέξεων τῆς ἀναστρέψαντι καὶ τῆς ἀντιστρέφει καὶ
90νοήσεις ἓν σημαίνειν ταύτας, ὥς τινες ἠπατήθησαν, ὥστε καὶ σχολιογραφεῖν ἐπὶ τοῦτο· ἀλλ’ ἔστιν ἀναστροφὴ μὲν λόγου, ὡς αὐτὸς παραδέδωκε τοῦτο ἐν τοῖς ὅροις, ἀντι‐ στροφὴ δὲ καὶ ἀντιστρέφον τὸ ἁπλῶς οὕτως τἀναντία τῶν
προτεθέντων λέγον.

5

86t

Ad prop. 21

5

.

86

πρὸς τὸ Ζ μείζονα λόγον ἔχει p. 32, 3] σημείωσαι τὸ λεγόμενον διανοίας οὕτως ἔχον· ἐπεὶ γάρ, φησί, τὸ Α πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ Α πρὸς τὸ Β, τὸν αὐτὸν ἔχει τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, τὸ
5Ε πάντως πρὸς τὸ Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β· ὃν δὲ λόγον εἶχε τὸ Γ πρὸς τὸ Β, ἐλάττονα δὲ δη‐ λονότι ἤπερ τὸ Α πρὸς τὸ Β καὶ τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, τὸν αὐτὸν ἔχει τὸ Ε πρὸς τὸ Δ. λείπεται ἄρα τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ μείζονα λόγον ἔχειν ἤπερ τὸ Ε πρὸς τὸ Δ.

5

87-88t

Ad prop. 25

5

.

87

Ἐπὶ τῶν ὁμογενῶν.

5

.

88

τὰ ἄρα ΑΗ, Ζ ἴσα ἐστί p. 37, 20] φασί τινες, ὅτι διὰ τὸν ὅρον τὸν λέγοντα, ὅτι ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τοῦτο ἀποδείκνυται, οὐκ εἰδότες, ὃ λέγουσιν· οὔτε γὰρ τὸ ΑΗ τῷ Ζ ἴσον οὔτε τὸ ΓΘ τῷ Ε ἴσον. ἀλλ’ ἐπεὶ τὸ μὲν
5ΑΗ ἴσον ἐδόθη τῷ Ε, τὸ δὲ ΓΘ ἴσον ἐδόθη τῷ Ζ, ὅταν λέγῃ, ὅτι τὸ ΑΗ, Ζ τῷ ΓΘ, Ε ἴσον ἐστίν, οὐκ ἄλλο λέγει ἢ ὅτι τὸ Ε, Ζ τῷ Ζ, Ε ἴσον ἐστίν, τουτέστιν αὐτὸ ἑαυτῷ ἴσον ἐστίν· ὥστε αὐτόθεν ἐναργέστατον τὸ λεγόμενον καὶ οὐ διὰ τόν, ὅν φασί τινες, ὅρον. πλὴν ταύτην μόνην τὴν ἐν‐
10αλλαγὴν ἔχει ὁ λόγος, ὅτι οὐ λέγει· ἴσον ἐστὶ τὸ Ε, Ζ τῷ Ε, Ζ πάλιν, ἀλλὰ ἴσον ἐστὶ τὸ Ε, Ζ τῷ Ζ, Ε, παρόμοιον ὥσπερ ὅταν ἀστειευόμενός τις ἐναργέστατα λέγων εἴπῃ, ὅτι τοσοῦτον ἔνι τὸ ἐκεῖθεν ἐνθάδε διάστημα τῆς ὁδοῦ,
ὅσον ἔνι καὶ τὸ ἐντεῦθεν ἐκεῖσε.

6

t

In librum 6

6

1t

Ad def. 1

6

.

1

Εἴτε ἀμβλυγώνια εἴτε ὀξυγώνια εἴτε ὀρθογώνια· τὸ δὲ εὐθύγραμμα εἴρηκε πρὸς ἀντιδιαστολὴν τῶν περιγραμ‐ μῶν.

6

2-11t

Ad def. 5

6

.

2

Ἔστω τὸ Α τοῦ Β διπλάσιον, τὸ δὲ Β τοῦ Γ τριπλά‐ σιον. τὸ ἄρα Α πρὸς τὸ Γ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τοῦ διπλασίου καὶ τριπλασίου, τουτέστιν ἑξαπλάσιον. πά‐ λιν τὸ Α τοῦ Β β, τὸ Β τοῦ Γ ὑπόγ· τὸ ἄρα Α τοῦ Γ [Omitted graphic marker]
5ὑφημιόλιον. τὰ γὰρ δύο ἐπὶ τὸ γʹ γενόμενα ποιοῦσι δύο τρίτα. ὥστε τὸ Α τοῦ Γ ἔσται δύο γʹ γʹ· τὸ Γ ἄρα τοῦ Α ἔσται ἡμιόλιον. πάλιν τὸ Α τοῦ Β ἡμιόλιον, τὸ Β τοῦ
Γ ἐπίτριτον. τὸ Α ἄρα τοῦ Γ διπλάσιον· τὸ γὰρ α 𐅵ʹ ἐπὶ τὸ α γʹ γενόμενον δύο ποιεῖ. πάλιν τὸ Α τοῦ Β ἡμιόλιον,
10τὸ Β τοῦ Γ ὑπεπίτριτον· τὸ Α ἄρα τοῦ Γ ἐπόγδοον· τὸ γὰρ [Omitted graphic marker] α 𐅵ʹ ἐπὶ τὸ 𐅵ʹ δʹ ποιεῖ α ηʹ. πάλιν τὸ Α τοῦ Β ὑπόβ, τὸ Β τοῦ Γ ὑπόγ· τὸ Α ἄρα τοῦ Γ ὑπόϛ. τὸ γὰρ 𐅵ʹ καὶ τὸ γʹ ϛʹ ποιοῦσιν. τοῦτο μέντοι καὶ ἀνάπαλιν γινόμενον τοῖς πολλαπλασίοις συνεμπίπτει, χρὴ μέντοι τὸν βουλόμενον
15ταῦτα ἀκριβοῦν ἁμῶς γέ πως τοῖς Διοφάντου θεωρήμασιν ἀριθμητικοῖς τεταλαιπωρῆσθαι, ἐπεὶ ἀμήχανον ἄνευ ἐκεί‐ νων. ἀπορήσαις δ’ ἂν εἰκότως ἐπὶ τῶν ἀλόγων μεγεθῶν· τὰς γὰρ πηλικότητας αὐτῶν οὐκ ἔχοντες ἐν ῥητοῖς ἀριθμοῖς πῶς ἄρα πολλαπλασιάσομεν τοὺς λόγους; ἢ τὸ πολλαπλά‐
20σιον τοῦτο, κἂν μὴ ἐν λόγοις ῥητοῖς ᾖ, ὅμως τῇ ἑαυτοῦ φύσει ἔχει τὸν λόγον; ἡ γὰρ διάμετρος πρὸς τὴν πλευράν, εἰ καὶ μὴ ἔχῃ λόγον ῥητόν, ἀλλ’ οὖν τῆς πηλικότητος ἔχει, καθ’ ὃν λέγομεν αὐτὴν εἶναι διπλασίαν δυνάμει.

6

.

3

Λόγος ἐκ λόγων συγκεῖσθαι λέγεται· ὅταν, φησίν, πηλικότητές τινων λόγων πολλαπλασιαζόμεναι ποιῶσι λόγον, ἐκεῖνος ὁ λόγος συγκεῖσθαι ἐκ τῶν λόγων ἐκείνων λέγεται, ὧν αἱ πηλικότητες ποιοῦσιν αὐτόν. πηλικότητας
5δὲ λέγει, ἀφ’ ὧν ὀνομάζονται, ὡς ἀπὸ τῶν δύο ὁ διπλάσιος. ἔστω λόγος τοῦ ὀκτὼ πρὸς τὸν δ διπλασίων, καὶ αὖ τοῦ δ πρὸς τὸν β διπλασίων καὶ αὐτός· ὁ τετραπλάσιος οὖν λόγος
τοῦ η πρὸς τὸν β συγκεῖσθαι λέγεται ἐκ τῶν δύο λόγων, τοῦ τε η πρὸς τὸν δ καὶ τοῦ δ πρὸς τὸν β, ὅτι αἱ πηλικό‐
10τητες αὐτῶν ποιοῦσιν αὐτὸν οὕτως. ἐπεὶ ὡς εἴρηται πηλι‐ κότητες οἱ ἀριθμοὶ λέγονται, ἀφ’ ὧν αἱ σχέσεις ὀνομάζον‐ ται, οἷον ἀπὸ τοῦ β καὶ τρία καὶ τέσσαρα ὁ διπλάσιος καὶ τριπλάσιος καὶ τετραπλάσιος λόγος, ὀνομάζεται δὲ καὶ τὸ ἥμισυ ἀπὸ τοῦ ἑνός, ἔστι δὲ ὁ δύο τοῦ τέσσαρα ἥμισυς,
15λαμβάνω τὸ ἥμισυ τῆς μονάδος, ἀφ’ ἧς ὁ δύο τῶν τεσσά‐ ρων ἥμισυς λέγεται, ὂν λεπτῶν πρώτων λ· ὁμοίως λαμ‐ βάνω καὶ ἕτερον ἥμισυ μονάδος, ἀφ’ ἧς πάλιν ὁ δ ἥμισυς λέγεται τοῦ η, καὶ πολλαπλασιάζω τὰ λ πρῶτα λεπτὰ ἐπὶ τὰ λ πρῶτα καὶ αὐτὰ λεπτά· καὶ γίνονται δεύτερα λεπτὰ
20ἐννακόσια. ταῦτα ἀναβιβάζω ἤτοι μοιράζω· γίνονται δέκα καὶ πέντε πρῶτα λεπτά, ἅτινα δεκαπέντε πρῶτα λεπτὰ τέταρτόν εἰσι μονάδος· τετράκις γὰρ ιε ξ. ἀλλὰ δὴ ἔστω ὁ μέσος τοῦ β καὶ η ὁ μ· καὶ ἐπεὶ τὰ δύο τοῦ μ εἰκοστόν ἐστιν, λαμβάνω τὸ εἰκοστὸν τῆς μονάδος ὂν λεπτῶν τριῶν.
25ἐπεὶ πάλιν ὁ μ πενταπλάσιός ἐστι τοῦ η, πολλαπλασιάζω τὸν τρία τὸ εἰκοστὸν τοῦ ξ παρὰ τὸν ε, ἀφ’ οὗ πέμπτον μέρος ὁ η τοῦ μ λέγεται, καὶ γίνονται ιε λεπτά, ἅπερ ἐστὶ τέταρτον μονάδος. καὶ οὕτως πάλιν ὁ β τοῦ η τέταρτόν ἐστιν. ἔστω πάλιν μεταξὺ τῶν δ καὶ ιβ ὁ η. ἐπεὶ ὁ δ ἥμισυς
30ἐστὶ τοῦ η, ὁ δὲ η ὑφημιόλιος τοῦ ιβ, λαμβάνω τὰ λ λεπτὰ
τὸ ἥμισυ τῆς μονάδος καὶ τὰ μ λεπτὰ τὸ ὑφημιόλιον τῆς μονάδος, καὶ ποιῶ τὰ λ παρὰ μ, καὶ γίνονται ͵ας δεύτερα λεπτά. ἀναβιβάζω ταῦτα· γίνονται πρῶτα λεπτὰ κ. τὰ κ τρίτον εἰσὶ μονάδος, καὶ ὁ δ οὖν τρίτον ἐστὶ τοῦ ιβ. πάλιν
35ἔστω μεταξὺ τοῦ β καὶ ιβ ὁ δ. καὶ ἐπεὶ ὁ β τοῦ δ ἥμισύ ἔστιν, ὁ δὲ δ τοῦ ιβ ὑποτριπλάσιος, λαμβάνω τὰ λ λεπτὰ τὸ τῆς μονάδος ἥμισυ καὶ τὰ κ τὸ τρίτον αὐτῆς· ἀπὸ γὰρ τοῦ τρία ὁ ὑποτριπλάσιος παρωνόμασται. καὶ ποιῶ τὰ λ ἐπὶ τὰ κ· γίνονται ἑξακόσια δεύτερα λεπτά· ταῦτα ἀνα‐
40βιβάζω, καὶ γίνονται δέκα πρῶτα. τὰ δέκα ἕκτον μονάδος, καὶ ὁ β ἕκτον τοῦ ιβ. πάλιν ἔστω μεταξὺ τοῦ δ καὶ ε ὁ κ. καὶ ἐπεὶ ὁ δ ὑποπενταπλάσιός ἐστι τοῦ κ, ὁ δὲ κ τετρα‐ πλάσιος τοῦ ε, λαμβάνω τὸ τῆς μονάδος πέμπτον τὰ ιβ καὶ τὸν δ, ἀφ’ οὗ ὁ ε τέταρτον λέγεται τοῦ κ, καὶ ποιῶ τὸν δ
45παρὰ τὸν ιβ· γίνονται μη· ἔστι δὲ ὁ μη ὑποεπιτέταρτος τῆς μονάδος, καὶ ὁ δ τοῦ ε ὑποεπιτέταρτός ἐστιν. ἔστω πάλιν μεταξὺ τοῦ β καὶ δ ὁ γ. καὶ ἐπεὶ ὁ δ τοῦ γ ἐπίτριτός ἐστι καὶ ἔχει αὐτὸν καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ, ὅ ἐστι μονάς, λαμβάνω τὴν μονάδα, ἥτις ἐστὶ λεπτῶν ξ, ἀφ’ ἧς μονάδος τρίτου

6

.

3

(50)

οὔσης τοῦ τρία ὁ δ ἐπίτριτος αὐτοῦ λέγεται. λαμβάνω καὶ τὸν λ τὸ τῆς μονάδος ἥμισυ, διὰ τὸ τὸν τρία ἡμιόλιον εἶναι τοῦ β, ὀνομάζεσθαι δὲ τὸ ἡμιόλιον ἀπὸ τοῦ ἡμίσεως. καὶ ποιῶ τὸν λ παρὰ τὴν μονάδα, ἤτοι τὰ ξ λεπτά, καὶ γίνονται ͵αω δεύτερα λεπτά. ταῦτα ἀναβιβάζω· καὶ γίνονται λ πρῶ‐
55τα λεπτά· ταῦτα ἥμισυ μονάδος, καὶ ὁ β τοῦ δ ἥμισύς
ἐστιν.

6

.

4

Λόγος ἐκ δύο λόγων ἢ καὶ πλειόνων συγκεῖσθαι λέ‐ γεται, ὅταν αἱ τῶν λόγων πηλικότητες πολλαπλασιασθεῖ‐ σαι ποιῶσί τινα πηλικότητα λόγου. ἐχέτω γὰρ τὸ αβ πρὸς τὸ γδ λόγον δεδομένον, οἷον διπλάσιον ἢ τριπλάσιον ἤ τινα
5ἄλλον, καὶ τὸ γδ πρὸς τὸ εζ καὶ αὐτὸ δεδομένον. λέγω, ὅτι ὁ τοῦ αβ πρὸς τὸ εζ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ αβ πρὸς τὸ γδ καὶ τοῦ γδ πρὸς τὸ εζ, ἤτοι ὅτι, ἐὰν ἡ τοῦ αβ πρὸς τὸ γδ λόγου πηλικότης πολλαπλασιασθῇ ἐπὶ τὴν τοῦ γδ πρὸς τὸ εζ λόγου πηλικότητα, ποιεῖ τὴν τοῦ αβ πρὸς εζ. ἔστω
10γὰρ πρότερον τὸ μὲν αβ τοῦ γδ μεῖζον καὶ τὸ γδ τοῦ εζ. καὶ ἔστω τὸ μὲν αβ τοῦ γδ διπλάσιον, τὸ δὲ γδ τοῦ εζ τρι‐ πλάσιον. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν γδ τοῦ εζ τριπλάσιόν ἐστι, τοῦ δὲ γδ διπλάσιον τὸ αβ, τὸ ἄρα αβ τοῦ εζ ἐστιν ἑξαπλάσιον, ἐπειδὴ ἐὰν τὸ τριπλάσιόν τινος διπλασιάσωμεν, γίνεται
15αὐτοῦ ἑξαπλάσιον. τοῦτο γάρ ἐστι κυρίως σύνθεσις. ἢ οὕτως· ἐπεὶ τὸ αβ τοῦ γδ ἐστι διπλάσιον, διῃρήσθω τὸ αβ εἰς τὰ τῷ γδ ἴσα, καὶ ἔστω ταῦτα τὰ αη ηβ· καὶ ἐπεὶ τὸ γδ τοῦ εζ ἐστι τριπλάσιον, ἴσον δὲ τὸ αη τῷ γδ, καὶ τὸ αη ἄρα τοῦ εζ ἐστι τριπλάσιον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ηβ τοῦ εζ
20ἐστι τριπλάσιον· ὅλον ἄρα τὸ αβ τοῦ εζ ἐστιν ἑξαπλάσιον. ὁ ἄρα τοῦ αβ πρὸς τὸ εζ λόγος συνῆκται διὰ τοῦ γδ μέσου ὅρου συγκείμενος ἔκ τε τοῦ αβ πρὸς γδ καὶ τοῦ γδ πρὸς
εζ λόγου. ὁμοίως δὲ κἂν ἔλαττον ᾖ τὸ γδ ἑκατέρου τῶν αβ εζ, τὸ αὐτὸ συναχθήσεται. ἔστω γὰρ πάλιν τὸ μὲν αβ τοῦ
25γδ τριπλάσιον, τὸ δὲ γδ ἥμισυ τοῦ εζ. καὶ ἐπεὶ τὸ γδ ἥμισύ ἐστι τοῦ εζ, τοῦ δὲ γδ τριπλάσιον τὸ αβ, τὸ αβ ἄρα ἡμιό‐ λιόν ἐστι τοῦ εζ. ἐὰν γὰρ τὸ ἥμισύ τινος τριπλασιάσωμεν, ἕξει αὐτὸ ἅπαξ καὶ ἡμισάκις. καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν αβ τοῦ γδ ἐστι τριπλάσιον, τὸ δὲ γδ τοῦ εζ ἐστιν ἥμισυ, οἵων ἐστὶ τὸ αβ ἴσων
30τῷ γδ τριῶν, τοιούτων ἐστὶ τὸ εζ δύο, ὥστε ἡμιόλιόν ἐστι τὸ αβ τοῦ εζ. ὁ ἄρα τοῦ αβ πρὸς τὸ εζ λόγος συνῆκται διὰ τοῦ γδ μέσου ὅρου συγκείμενος ἔκ τε τοῦ αβ πρὸς γδ καὶ τοῦ γδ πρὸς εζ λόγου. ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστω τὸ γδ ἑκατέρου τῶν αβ εζ μεῖζον. καὶ ἔστω τὸ μὲν αβ τοῦ γδ ἥμισυ μέρος, τὸ δὲ
35γδ τοῦ εζ ἐπίτριτον. ἐπεὶ οὖν, οἵων ἐστὶ τὸ αβ δύο, τοιούτων ἐστὶ τὸ γδ τεσσάρων, οἵων δὲ τὸ γδ τεσσάρων, τοιούτων τὸ εζ τριῶν, καὶ οἵων ἄρα τὸ αβ δύο, τοιούτων τὸ εζ τριῶν, συνῆκται ἄρα πάλιν ὁ τοῦ αβ πρὸς εζ λόγος διὰ τοῦ γδ μέσου ὅρου ὁ τῶν δύο πρὸς τρία. ὁμοίως δὴ καὶ ἐπὶ πλειό‐
40νων καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν πτώσεων. καὶ δῆλον, ὅτι, ἐὰν ἀπὸ τοῦ συγκειμένου λόγου εἷς ὁποιοσοῦν τῶν συντεθέντων ἀφαιρεθῇ, ἑνὸς τῶν ἄκρων ἀφανισθέντος ὁ λοιπὸς τῶν συντιθέντων καταλειφθήσεται.

6

.

5

Σχόλιον εἰς τὸ λόγος ἐκ λόγων. οἷον ἐξ ἐπιτρίτου καὶ ἡμιολίου, ὡς οἶδας, ὁ διπλάσιος ἀπαρτίζεται λόγος. οἱ γὰρ ἄκροι τούτων τὸν διπλάσιον ἀπαρτίζουσιν, ὡς ἔχει καὶ τὸ ὑπόδειγμα, οἷον φέρε εἰπεῖν ἐπὶ τοῦ β καὶ γ καὶ δ ὁ β πρὸς
5τὸν γ ὑφημιόλιος καὶ πρὸς τὸν δ ὑπεπίτριτος ὁ γ, ὁ δὲ β
πρὸς τὸν δ διπλάσιος. θὲς οὖν τὰς πηλικότητας κατὰ τὴν παροῦσαν καταγραφὴν ὥστε ποιῆσαι ἐξ ἡμιολίου καὶ ἐπι‐ τρίτου λόγον τινά, καὶ ποίησον οὕτως τὴν ἔκθεσιν· ἓν 𐅵ʹ καὶ ἓν γʹ. ἄρξαι οὖν λέγειν ἔχων ὡρισμένως τὴν μονάδα ὡς
10ἑξήκοντα οὖσαν λεπτῶν· ἅπαξ ἅπαξ μία· ἰδοὺ λεπτὰ ἑξή‐ κοντα. καὶ πάλιν εἰπέ· ἅπαξ ἥμισυ· ἰδοὺ ἐνενήκοντα· ἑξήκον‐ τα γὰρ καὶ τριάκοντα, ὅ ἐστι τὸ ἥμισυ μονάδος, ἐνενήκοντα. καὶ πάλιν πολυπλασίασον τὸ /𐅵ʹ πρὸς τὸ γʹ καὶ εἰπὲ οὕτως· ἅπαξ τὸ γʹ γʹ· τρίτον δὲ μονάδος τὰ κ. γίνεται οὖν
15μετὰ τῶν ἐνενήκοντα ρι. καὶ πάλιν εἰπὲ πολυπλασιάζων καὶ τὸ ἥμισυ πρὸς τὸ γʹ, ὥσπερ ἐπολυπλασίασας καὶ τὸ ἅπαξ, καὶ εἰπὲ οὕτως· ἡμισάκις τὸ γʹ εἰς τὸν α ἐστι ι. καὶ πρόσθες ταῦτα τοῖς ρι καὶ γίνεται ρκ· ὥσπερ γὰρ τρίτον τῶν ξ τὰ κ, οὕτως τρίτου ἥμισυ ἤτοι ἕκτον τὰ ι. καὶ γίνε‐
20ται ρκ, ἅ ἐστι διπλάσια τοῦ ξ. εἰ δὲ ἀναβιβάσεις τὰ ρκ, καὶ δύο ταῦτα ποιήσεις, δι’ οὗ ὁ διπλάσιος λόγος ἐμφαίνε‐ ται.

6

.

6

Τοῦ σοφωτάτου Μαξίμου τοῦ Πλανούδη εἰς τὸν ὅρον τοῦ ϛʹ τὸν λόγος ἐκ λόγων. τουτέστιν ὅτι πᾶς λόγος καὶ ὑπὸ δύο καὶ τριῶν καὶ πλειόνων λόγων συντεθῆναι δύναται, οἷον ὁ διπλάσιος ὁ ιβ τοῦ ϛ σύγκειται ἐκ δύο λόγων ἐξ ἐπι‐
5τρίτου καὶ ἡμιολίου τοῦ τε η πρὸς τὸν ϛ καὶ τοῦ ιβ πρὸς η, σύγκειται δὲ καὶ ἐκ τριῶν ἐξ ἐπιτρίτου τοῦ η πρὸς τὸν ϛ καὶ ἐπιτετάρτου τοῦ ι πρὸς τὸν η καὶ ἐπιπέμπτου τοῦ ιβ πρὸς τὸν ι. ὡσαύτως δὲ καὶ ἐκ πλειόνων. λαμβανομέ‐
νων οὖν τῶν παρωνύμων τοῖς συντιθεμένοις λόγοις καὶ
10πολλαπλασιαζομένων πρὸς ἀλλήλους γίνεται ἀριθμὸς παρ‐ ώνυμος τῷ συγκειμένῳ λόγῳ· οἷον ἐπεί, ὡς εἴρηται, σύγ‐ κειται ὁ διπλάσιος ἐξ ἐπιτρίτου καὶ ἡμιολίου, ἔχει δὲ ὁ ἐπίτριτος ἅπαξ ὅλον καὶ τὸ τρίτον τοῦ ὑπ’ αὐτόν, λαμβάνω ἀντὶ μὲν τοῦ ἅπαξ μονάδα μίαν, ἀντὶ δὲ τοῦ τρίτου γʹ.
15πάλιν ἐπεὶ ὁ ἡμιόλιος ἔχει ἅπαξ ὅλον καὶ τὸ ἥμισυ τοῦ ὑπ’ αὐτόν, λαμβάνω ἀντὶ μὲν τοῦ ἅπαξ ὡσαύτως μονάδα μίαν, ἀντὶ δὲ τοῦ 𐅵ʹ 𐅵ʹ. πολλαπλασιάζω οὖν τούτους τοὺς ἀριθμούς, τὴν μίαν δηλαδὴ μονάδα καὶ τὸ τρίτον, ἐπὶ τὴν ἑτέραν μίαν μονάδα καὶ τὸ ἥμισυ, καὶ γίνονται μονάδες δύο,
20αἵ εἰσι παρώνυμοι τῷ διπλασίῳ. πολλαπλασιάζεται δὲ οὕτως· ἅπαξ τὸ ἓν ἕν· ἰδοὺ μονὰς μία. ἅπαξ τὸ ἥμισυ ἥμισυ. καὶ αὖθις τριτάκις ἡ μονάς, τουτέστι τὸ τρίτον τῆς μονάδος, τρίτον, καὶ τριτάκις τὸ ἥμισυ ἤτοι τὸ τρίτον τοῦ ἡμίσεος ἕκτον. ἥμισυ δὲ καὶ τρίτον καὶ ἕκτον μονὰς
25μία, ἣ συντιθεμένη τῇ πρὸ αὐτῆς γίνονται δύο. Οὕτω καὶ ἐκ διπλασίου καὶ τριπλασίου γίνεται ἑξαπλά‐ σιος· λαμβάνω γὰρ ἀντὶ διπλασίου μονάδας δύο, ἀντὶ δὲ τοῦ τριπλασίου τρεῖς, καὶ πολλαπλασιάζω ταύτας ἐπ’ ἀλλήλας, καὶ γίνονται ἕξ.
30Ἐὰν δὲ ἐκ τριῶν ᾖ συγκείμενος ὁ διπλάσιος, ὡς προδέ‐ δεικται, ἐξ ἐπιτρίτου καὶ ἐπιτετάρτου καὶ ἐπιπέμπτου, λαμβάνω πάλιν ἀντὶ μὲν ἐπιτρίτου μονάδα μίαν καὶ τρίτον, ἀντὶ δὲ ἐπιτετάρτου μονάδα καὶ τέταρτον, ἀντὶ δὲ ἐπι‐ πέμπτου μονάδα καὶ πέμπτον, καὶ πολλαπλασιάζω ταῦτα
35ἐπ’ ἄλληλα, καὶ γίνονται δύο μονάδες. πολλαπλασιάζεται δὲ οὕτως· πρότερον ἡ μονὰς καὶ τὸ γʹ ἐπὶ τὴν μονάδα καὶ τὸ δʹ· ἅπαξ δὲ τὸ ἓν ἕν, ἅπαξ τὸ δʹ δʹ, τριτάκις τὸ ἓν ἤτοι τὸ τρίτον τοῦ ἑνὸς τρίτον, τριτάκις τὸ δʹ ἤτοι τὸ γʹ τοῦ δʹ ιβʹ, καὶ ἰδοὺ μονὰς καὶ δʹ καὶ γʹ καὶ ιβʹ. εἶτα πολλα‐
40πλασιάζω τὴν μονάδα καὶ τὸ εʹ ἐπὶ τὴν μονάδα δʹ γʹ ιβʹ, καὶ λέγω· ἅπαξ τὸ ἓν ἕν, ἅπαξ τὸ τέταρτον τέταρτον, ἅπαξ τὸ τρίτον τρίτον, ἅπαξ τὸ δωδέκατον δωδέκατον. πάλιν πεμπτάκις τὸ ἓν ἤτοι τὸ πέμπτον τῆς μονάδος πέμπτον, τὸ πέμπτον τοῦ τετάρτου εἰκοστόν, τὸ πέμπτον
45τοῦ τρίτου ιεʹ, τὸ πέμπτον τοῦ δωδεκάτου ἑξηκοστόν. ταῦτα πάντα τὰ μέρη γίνεται μονὰς μία, ἥτις συναφθεῖσα τῇ πρὸ αὐτῆς γίνεται δύο. ὅτι δὲ τὰ μέρη ταῦτα μονὰς γί‐ νεται, γνώσῃ οὕτως· εὑρεῖν χρὴ τὸν ἔχοντα πρώτως ἀπὸ μονάδος τὰ μέρη ταῦτα ἀριθμόν, ὃς λαμβανέσθω ὡς μία

6

.

6

(50)

μονάς, ἔστι δὲ ὁ ἑξήκοντα. τούτου τοίνυν τέταρτον τὰ δε‐ καπέντε, τρίτον τὰ εἴκοσιν, δωδέκατον τὰ πέντε, πέμ‐ πτον τὰ δώδεκα, εἰκοστὸν τὰ τρία, πεντεκαιδέκατον τὰ τέσσαρα, ἑξηκοστὸν τὸ ἕν· δεκαπέντε δὲ καὶ εἴκοσιν καὶ πέντε καὶ δώδεκα καὶ τρία καὶ τέσσαρα καὶ ἓν ἑξήκοντα.
55οὕτω δὲ καὶ ἐκ διπλασίου καὶ τριπλασίου καὶ τετραπλα‐ σίου γίνεται ὁ τετρακαιεικοσαπλάσιος, οἷον β δ ιβ μη. λαμβάνω ἀντὶ μὲν τοῦ διπλασίου δύο, ἀντὶ δὲ τοῦ τριπλα‐ σίου τρία, ἀντὶ δὲ τοῦ τετραπλασίου τέσσαρα, καὶ πολλα‐ πλασιάζω τὰ δύο ἐπὶ τὰ τρία, καὶ γίνεται ἕξ· εἶτα τὰ τέσ‐
60σαρα ἐπὶ τὰ ἕξ, καὶ γίνονται εἰκοσιτέσσαρα, ὅς ἐστι παρώ‐ νυμος τοῦ τεσσαρακαιεικοσαπλασίου.

6

.

7

Ἐκ δὲ πολλαπλασίων πολυπλάσιος συγκείμενος εὑρί‐ σκεται οὕτως· οἷον ὁ ιβ τοῦ ϛ διπλάσιος, ὁ δὲ ϛ τοῦ β τρι‐ πλάσιος· αἱ γοῦν πηλικότητες αὐτῶν ὁ διπλάσιος καὶ ὁ τριπλάσιος ὡς ἀριθμοὶ πολυπλασιασθέντες γίνονται ἑξα‐
5πλάσιοι. δὶς γὰρ τὰ γ ἕξ, ὅθεν ὁ ἑξαπλάσιος παρονομάζε‐ ται. οἱ δὲ καὶ ὡς ἐπιμόριοι πολυπλασιασθέντες πάλιν οὕτως συντίθενται· δωδεκάκις γὰρ τὰ ἓξ ἑβδομήκοντα δύο καὶ ἑξάκις τὰ δύο δώδεκα, ὧν ἑξαπλάσια τὰ οβ, ἃ συνέθετο ὅ τε διπλάσιος ιβ πρὸς ἓξ καὶ ὁ τριπλάσιος ϛ πρὸς β.

6

.

8

Σύγκειται ὁ τριπλάσιος λόγος ἐκ διπλασιεπιτετάρτου καὶ ἐπιτρίτου, οἷον ὁ δεκαοκτὼ καὶ ὁ ἓξ διὰ μέσου τῶν ὀκτώ· ἔχει τοίνυν ὁ δεκαοκτὼ πρὸς τὸν ὀκτὼ δύο καὶ τέταρτον, ὁ ὀκτὼ δὲ πρὸς τὸν ἓξ ἓν καὶ τρίτον. ἡ κατα‐
5γραφὴ αὕτη ͜ιη βδʹ η͜ ͜βγʹ δ͜.

6

.

9

Σημείωσαι τὸ λόγος ἐκ λόγων· ἐν τῷ πέμπτῳ τοῦ ὀγδόου ἡ σύνθεσις εὕρηται καὶ ἡ διαίρεσις ἐν τῇ ἀρχῇ τοῦ θʹ.

6

.

10

Πηλικότητες λέγονται, ἀφ’ οὗ παρωνόμασται ὁ λόγος, οἷον ὁ ϛ τοῦ δ ἡμιόλιος, ἡ δὲ πηλικότης αὐτοῦ ἐστι, τουτέστιν ἀφ’ οὗ παρωνόμασται, ὁ εἷς ἥμισυ, ἐπειδὴ ἔχει ὁ ϛ τὸν δ καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ.

6

.

11

Ἤτοι πρὸς ἀλλήλας ἤτοι μοῖρα πρὸς μοῖραν καὶ μοῖρα πρὸς λεπτὸν καὶ ἕτερον λεπτὸν πρὸς μοῖραν ἑτέραν καὶ λεπτὸν πρὸς λεπτόν. καὶ οἱ μὲν ἐπιμόριοι οἷον ὁ ἡμι‐ όλιος ἓν ὢν καὶ ἥμισυ καὶ ὁ ἐπίτριτος ἓν ὢν καὶ τρίτον
5πολυπλασιάζονται οὕτως· ἅπαξ τὸ ἓν ἓν οἷον τυχὸν ἑξάς, καὶ ἅπαξ τὸ τρίτον τρίτον οἷον τὰ δύο τῆς ἑξάδος, καὶ ἅπαξ τὸ ἥμισυ ἥμισυ οἷον τὰ τρία τῆς ἑξάδος· ἰδοὺ ε· καὶ ἡμι‐ σάκις τὸ γʹ ἕκτον, ὃ τοῖς ε προστεθὲν ἀνεπλήρωσε τὴν ἑξάδα, καὶ ἰδοὺ δύο ἑξάδες διπλάσιαι τῆς μιᾶς. ὁ γοῦν
10ἡμιόλιος καὶ ἐπίτριτος ποιοῦσι τὸν διπλάσιον· τοῦ γὰρ τέσσαρα πρὸς τὸν γ ἐπιτρίτου ὄντος καὶ τοῦ γ πρὸς τὸν β ἡμιολίου ἐκ τῶν ἄκρων, τουτέστι τοῦ τέσσαρα καὶ τοῦ β, συνάγεται ὁ διπλάσιος, ὃς εὑρίσκεται καὶ ἀριθμητικῶς· οἷον τοῦ ἐπιτρίτου ὁ δ πρόλογος πολυπλασιασθεὶς μετὰ
15τοῦ γ ὑπολόγου γίνεται ιβ, καὶ αὖθις ὁ τοῦ ἡμιολίου πρό‐ λογος τρία πολυπλασιασθεὶς μετὰ τοῦ δύο ὑπολόγου γί‐ νεται ἕξ, ὧν διπλάσιός ἐστιν ὁ ιβ πρῶτος πολυπλασιασ‐ μός.

6

12t

Ad prop. 2

6

.

12

ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετον p. 43, 11. 12] οὐ λέγει τὴν ΕΔ, ἀλλὰ ἄλλην τινὰ τὴν δυναμένην οὕτως ἐπὶ τὴν ΑΒ
πεσεῖν.

6

13-15t

Ad prop. 3

6

.

13

διαχθεῖσα ἡ ΒΑ συμπιπτέτω αὐτῇ p. 45, 5] πόθεν δῆλον, ὅτι ἡ ΒΑ ἐκβαλλομένη συμπίπτει τῇ ΓΕ εὐθείᾳ; καὶ λέγομεν οὕτως· ὅτι, ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΓΕ, καὶ εἰς μὲν τὴν ΑΔ εὐθεῖαν ἐμπέπτωκεν ἡ ΑΓ, καὶ
5εἰς τὴν ΓΕ, εἰς δὲ τὴν ΓΕ ἡ ΒΕ, καὶ εἰς τὴν ΑΔ ἐμπίπτει· εἰ γὰρ δυνατόν, μὴ συμπιπτέτω, ἀλλ’ ἔστω αὐτῇ παράλ‐ ληλος. καὶ ἐπεὶ τῇ ΓΕ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΔ καὶ ἡ ΒΑ, αἱ δὲ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλ‐ ληλοι· ὥστε καὶ ἡ ΒΕ τῇ ΑΔ ἐστι παράλληλος. συνέπεσε
10δέ· οὐκ ἄρα παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΕ τῇ ΓΕ. ἐκβαλλομένη ἄρα συμπιπτέτω.

6

.

14

Αἱ ὑπὸ ΕΑΓ, ΑΓΕ δύο ὀρθῶν ἐλάττους· εὐθεῖα γὰρ ἡ ΓΑ ἐπὶ τὴν ΕΒ ἐφεστάτω. αἱ οὖν ὑπὸ ΕΑΓ, ΓΑΒ δύο ὀρθαί, ἐλάττους δὲ δύο ὀρθῶν αἱ ὑπὸ ΕΑΓ καὶ ὑπὸ ΓΑΔ, ὧν ἡ ὑπὸ ΓΑΔ ἴση τῇ ὑπὸ ΑΓΕ διὰ τὸ ἐμπεσεῖν
5εἰς παραλλήλους τὰς ΑΔ, ΕΓ τὴν ΑΓ.

6

.

15

ἴση ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΑΕ p. 46, 6] τὰ γὰρ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ἐπεὶ οὖν ἑκα‐ τέρα τῶν ΑΓ, ΑΕ εὐθειῶν πρὸς τὴν ΒΑ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, εἰκότως ἴσαι εἰσίν.

6

16-17t

Ad prop. 4

6

.

16

Ἔστω συμπεπλεγμένα τρίγωνα ὡς τὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ τὰ αὐτὰ ἐροῦμεν. καὶ φανερόν ἐστιν, ὅτι τὸ ΗΘΑ, ΘΑΔ παραλληλόγραμμόν ἐστιν. ἴση ἄρα ἡ μὲν ΑΗ τῇ
ΘΔ, ἡ δὲ ΗΔ τῇ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΗΒΖ παρὰ
5μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΗΖ ἦκται εὐθεῖα ἡ ΑΓ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ. ἴση δέ ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως [Omitted graphic marker] ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς ΕΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ
10ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΔ. —ἔστω δὴ πάλιν ἰσογώνια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ κατεσκευά‐ σθω τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΑΓ ἦκται ἡ ΗΖ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΗΑ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΓ. ἔστι δὲ
15ἴση ἡ ΑΗ τῇ ΔΘ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΗ πρὸς ΔΘ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ΖΓ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΗΒ πρὸς ΒΖ, οὕτως ἡ ΘΔ πρὸς ΖΓ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΗΒ πρὸς ΖΒ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, ὡς δὲ ἡ ΔΘ πρὸς ΖΓ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς ΕΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως
20ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΖΕ. δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ.

6

.

17

Δύο ζητήματα τῆς προτάσεως τοῦ παρόντος τε‐ τάρτου ζητήματος προβαλλομένης, πρῶτον μὲν τὸ ἀνάλο‐
γον εἶναι τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς τῶν ἰσογωνίων τριγώνων, δεύτερον δὲ τὸ ὁμολόγους εἶναι τὰς ὑπὸ τὰς
5ἴσας γωνίας ὑποτεινούσας, τὸ μὲν πρῶτον ζήτημα ἰδίᾳ καὶ καθ’ αὑτὸ ἀπεδείχθη, τὸ δὲ δεύτερον οὐκ ἰδίᾳ, ἀλλὰ τῷ πρώτῳ συναπεδείχθη. προσσχὼν γὰρ ταῖς ὑποτεινούσαις τὰς ἀλλήλαις ἴσας γωνίας εὑρήσεις αὐτὰς ἢ ἡγουμένας ἄμφω ἢ ἑπομένας· εἴρηται γὰρ ἐν τοῖς ὅροις τοῦ εʹ στοιχείου,
10ὅτι ὁμόλογα μεγέθη λέγεται τὰ μὲν ἡγούμενα τοῖς ἡγου‐ μένοις, τὰ δὲ ἑπόμενα τοῖς ἑπομένοις.

6

18t

Ad prop. 5

6

.

18

λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Α p. 49, 9. 10] ἐπεὶ γὰρ παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ὡς διὰ τοῦ λβʹ τοῦ αʹ ἀποδέδεικται, αἱ τρεῖς ὁμοῦ γωνίαι τοῦ ἑνὸς τριγώνου ταῖς τρισὶν ὁμοῦ τοῦ ἑτέρου τριγώνου
5ἴσαι εἰσί· τὰ γὰρ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἴσα ἐστίν. ἀφῃρέθησαν δὲ τοῦ ἑνὸς αἱ δύο γωνίαι καὶ τοῦ ἑτέρου αἱ δύο ἴσαι οὖσαι ἄμφω ἀμφοῖν. καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα γωνία τοῦ ἑνὸς τριγώνου τῇ λοιπῇ τοῦ ἑτέρου ἴση ἐστὶν ὁμολογου‐ μένως· ἐὰν γὰρ ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενα
10ἴσα ἐστίν.

6

19t

Ad prop. 7

6

.

19

ἑκατέραν ἅμα p. 52, 11] ὅρα, μὴ συνάψῃς μήτε κατὰ τὴν ἔννοιαν μήτε κατὰ τὴν ἀνάγνωσιν τὸ ἑκατέραν μετὰ τοῦ ἅμα ἐν τῷ ὅρῳ τοῦ παρόντος ζʹ στοιχείου· ἀλλ’ εἰπὼν τῶν λοιπῶν ἑκατέραν καὶ ὑποστίξας ἐντεῦθεν ἔπαγε
5ἅμα ἤτοι ἐλάσσονα ἢ μὴ ἐλάσσονα ὀρθῆς. οὔτε γὰρ κατὰ γραμματικοὺς κοινωνίαν ἔχει τὸ ἑκάτερον μετὰ τοῦ ἅμα, ἀλλ’ εἰ ἑκάτερον, οὐχ ἅμα, καὶ εἰ ἅμα, οὐχ ἑκάτερον, οὔτε
κατὰ τὸν τοῦ θεωρήματος σκοπόν· τοῦτο γὰρ βούλεται δηλοῦν, ὅτι, ὅταν ἡ μία τῶν λοιπῶν δύο γωνιῶν ταχθῇ
10ἐλάσσων ὀρθῆς, τότε καὶ ἡ ἑτέρα τοιαύτη ταττέσθω, ὅταν δὲ ἡ μία οὐκ ἐλάσσων ὀρθῆς, τότε καὶ ἡ ἑτέρα τοιαύτη ταττέσθω.

6

20-21t

Ad prop. 8

6

.

20

Εἰς τὸ ὄγδοον θεώρημα. τὸ ὀρθογώνιον τρίγωνον ἢ ἰσοσκελές ἐστιν ἤγουν ἡμιτετράγωνον ἢ σκαληνὸν ἤτοι ἥμισυ ἑτερομήκους. εἰ μὲν οὖν ἰσοσκελές ἐστιν ἤτοι ἡμι‐ τετράγωνον, ἐὰν αἱ περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ῥηταὶ μήκει, ἡ
5ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν γωνίαν μήκει ἀσύμμετρος τῇ πλευ‐ ρᾷ· τετραγώνου γὰρ διάμετρός ἐστιν. ἀλλὰ καὶ ἡ κάθετος· ἡμίσεια γὰρ διαμέτρου ἐν τετραγώνῳ ἐστίν. ὡσαύτως καὶ τὰ τῆς βάσεως τμήματα ἀσύμμετρα μήκει ταῖς πλευραῖς. εἰ δὲ ἥμισυ ἑτερομήκους ἤτοι σκαληνόν, ποτὲ μὲν ἡ ὑπο‐
10τείνουσα τὴν ὀρθὴν γωνίαν, ἥτις ἐστὶ διάμετρος τοῦ ἑτε‐ ρομήκους, μήκει σύμμετρος ἔσται ταῖς πλευραῖς, ποτὲ δ’ οὔ. ἐὰν γὰρ ἡ μία πλευρὰ ᾖ ἑνός, ἡ δὲ ἑτέρα δύο, ἡ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν γωνίαν, ἥτις ἐστὶ διάμετρος τοῦ ἑτερομήκους τοῦ περιεχομένου ὑπό τε τῆς οὔσης μονάδος
15μιᾶς καὶ τῆς οὔσης μονάδων β, πλευρὰ ἔσται μονάδων πέντε· τότε οὔτε τὰ τμήματα μήκει σύμμετρα ἔσται οὔτε ἡ κάθετος. εἰ δὲ ἡ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν γωνίαν μήκει σύμμετρος ταῖς πλευραῖς, τότε καὶ τὰ τμήματα σύμ‐ μετρα καὶ ἡ κάθετος. οἷον ὡς ἐπὶ παραδείγματος ἔστω
20τρίγωνον σκαληνὸν ἤτοι ἥμισυ ἑτερομήκους ἔχον τῶν περὶ
τὴν ὀρθὴν γωνίαν πλευρῶν τὴν μίαν τριῶν, τὴν δὲ ἑτέραν δ· ἔσται ἡ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν γωνίαν πέντε. ἐπεὶ γὰρ ὀρθογώνιον τὸ τρίγωνον, τὸ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν περιεχουσῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν πλευρῶν
25τετραγώνοις. ἐὰν γοῦν κάθετος ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν ἀχθῇ, τεμεῖ τὴν βάσιν εἴς τε ἓν ὁλόκληρον καὶ δʹ πέμπτα καὶ εἰς τρία ὁλόκληρα καὶ ἓν πέμπτον, καὶ ἡ κάθ‐ ετος ἔσται πέμπτων δώδεκα· οὕτω γὰρ κατὰ τὸ πόρισμα εὑρεθήσεται μὲν ἡ πρὸς τῷ τμήματι πλευρὰ μέση ἀνάλο‐
30γον καὶ ἡ κάθετος μέση ἀνάλογον τῶν δύο τμημάτων. ἐὰν γὰρ ἀναλύσῃς τὴν ὑποτείνουσαν τὴν ὀρθὴν γωνίαν ἤτοι τὰ ε εἰς πέμπτα, γίνεται κε πέμπτα. ὡσαύτως καὶ τὰς περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν πλευράς· γίνεται ἡ μὲν ιε πέμπτων, ἡ δὲ εἴκοσι πέμπτων. ἔσται οὖν ἡ μὲν ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν
35γωνίαν εἰκοσιπέντε πέμπτων οὖσα πρὸς μὲν τὴν ἑτέραν τῶν πλευρῶν ιε πέμπτων οὖσαν ἐπιδίτριτος, καὶ αὕτη πρὸς τὸ τμῆμα τὸ πρὸς αὐτῇ πέμπτων θ ὂν ὡσαύτως ἐπιδίτρι‐ τος, πρὸς μέντοι τὴν ἑτέραν πλευρὰν εἴκοσι πέμπτων οὖσαν ἡ ὑποτείνουσα ἔσται ἐπιτέταρτος, καὶ αὕτη πρὸς τὸ
40πρὸς αὐτῇ τμῆμα ιϛ πέμπτων ὂν τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον. ἔσται δὲ οὕτως καὶ ἡ κάθετος ιβ πέμπτων οὖσα μέσῃ ἀνά‐ λογον τῶν δύο τμημάτων· ὃν γὰρ λόγον ἔχει τὰ ιϛ πρὸς τὰ ιβ, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει καὶ τὰ ιβ πρὸς τὰ θ. ὡσαύτως δὲ καὶ ἂν διπλασιασθήσονται τοῦ εἰρημένου ὀρθογωνίου
45τριγώνου αἱ πλευραί, εὑρεθήσονται καὶ τὰ τμήματα δι‐ πλάσια τῶν προειρημένων, ὡσαύτως δὲ καὶ ἡ κάθετος· ἔσται γὰρ τὸ μὲν ἓν τῶν τμημάτων θ πέμπτων ὂν ιη πέμ‐ πτων, τὸ δὲ ἕτερον ιϛ ὂν πέμπτων λβ, ἡ δὲ κάθετος ιβ πέμπτων οὖσα κδ, καὶ γενήσεται πάλιν κατὰ τὸ πόρισμα.

6

.

20

(50)

ὡσαύτως δὲ καί, ἐὰν τριπλασιασθήσονται αἱ πλευραὶ τοῦ τοιούτου τριγώνου, τριπλασιασθήσεται καὶ τὰ τμήματα
καὶ ἡ κάθετος, καὶ ἐὰν τετραπλασιασθήσονται αἱ πλευραί, τετραπλασιασθήσονται καὶ τὰ τμήματα καὶ ἡ κάθετος, καὶ φυλαχθήσεται ὁ αὐτὸς λόγος καὶ ἐφεξῆς ὡσαύτως.
55ὡσαύτως δὲ καὶ ἂν ὑποδιπλασιασθῶσιν ἢ ὑποτριπλασια‐ σθῶσιν ἢ ὑποτετραπλασιασθῶσιν αἱ πλευραὶ τοῦ ῥηθέντος τριγώνου, τρίγωνα πάλιν ἀποτελέσουσιν ὀρθογώνια, οἷον ὡς ἐπὶ παραδείγματος, ἐὰν τριγώνου ἔχοντος τὴν μὲν μίαν πλευρὰν γ, τὴν δὲ ἑτέραν δ καὶ τὴν ὑποτείνουσαν ε
60ἡμισευθῶσιν αἱ πλευραί, ἔσονται πάλιν ὀρθογώνιον τρίγω‐ νον ἔχον τὴν μὲν μίαν τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν α 𐅵ʹ, τὴν δὲ λοιπὴν β καὶ τὴν ὑποτείνουσαν β 𐅵ʹ, καὶ ἡ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος τεμεῖ ταύτην εἰς θ δέκατα καὶ ιϛ δέκατα, ἔσται δὲ καὶ ἡ κάθετος δώδεκα δε‐
65κάτων, καὶ φυλαχθήσεται τὰ τοῦ πορίσματος.

6

.

21

Ὅσας μὲν τῶν ἀποριῶν ἡμεῖς ἠδυνήθημεν, ἐπελυσά‐ μεθα, ταύτην δὲ καὶ ἑτέρας, ἃς προιὼν εὑρήσεις δεδηλω‐ μένας, μὴ δυνηθέντες τοῖς ἐντυγχάνουσι κατελίπομεν ἀξιοῦντες τὸ ἐλλεῖπον ἡμῖν αὐτοὺς ἀναπληρῶσαι ὡς χάριν
5καὶ παρ’ ἡμῶν οὐ τὴν τυχοῦσαν ἕξοντας. πῶς γὰρ οὐκ ἄπορον τοῦτο, ὅτι καὶ ἐν τοῖς πρὸ τούτου ηʹ θεωρήματος καὶ ἐν τοῖς μετὰ τοῦτο τριγώνοις ποιῶν ἀναλογίαν ὁ Εὐ‐ κλείδης συγκρίνει ἑκατέρου τριγώνου πλευρὰν μετὰ τῆς ἑτέρας τοῦ αὐτοῦ τριγώνου, ἐνταῦθα δὲ οὐχ οὕτως ποιεῖ,
10ἀλλὰ συγκρίνει τὴν τοῦ ἑνὸς πλευρὰν πρὸς τὴν τοῦ ἑτέρου, ὅπερ εἰς τὰ ἀντιπεπονθότα σχήματα, ἀλλ’ οὐκ εἰς τὰς ἀναλογίας πλὴν ἐν ταύτῃ τῇ καταγραφῇ ποιεῖ.

6

22t

Ad prop. 9

6

.

22

Ἄλλως τὸ θʹ θεώρημα. Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ. δεῖ δὴ τῆς ΑΒ τὸ
προσταχθὲν μέρος ἀφελεῖν. προστετάχθω τὸ γʹ. καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α, Β σημείων τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρ‐
5θὰς γωνίας εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΔ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΓ τυχὸν σημεῖον τὸ Ε, καὶ κείσθω τῆς ΑΕ διπλῆ ἡ ΒΔ, καὶ [Omitted graphic marker] ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΖΕ τρίγωνον τῷ ΖΒΔ τριγώνῳ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΖ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΖ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ
10πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΖΑ. διπλῆ δέ ἐστιν ἡ ΔΒ τῆς ΕΑ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΖΒ τῆς ΖΑ. ὥστε τριπλῆ ἡ ΒΑ τῆς ΑΖ. ἀφῄρηται ἄρα ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τὸ προσταχθὲν μέρος· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

6

23-25t

Ad prop. 14

6

.

23

Ἔστω τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον ἀριθμῶν μη, ἤγουν ἡ μία πλευρὰ ἀριθμῶν η, ἡ δὲ ἑτέρα ϛ. τὸ γοῦν ὑπὸ τῶν ϛ καὶ η μη γίνεται. ἔστω τὸ ΒΓ ἀριθμῶν τοσούτων, ἤγουν
μη καὶ αὐτό. ἀντιπεπόνθασιν οὖν αἱ τῶν ἀμφοτέρων
5πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἤγουν ὡς μία πλευρὰ τοῦ ΑΒ πρὸς μίαν πλευρὰν τοῦ ΒΓ, οὕτως ἡ ἑτέρα πλευρὰ τοῦ ΒΓ πρὸς ἑτέραν πλευρὰν τοῦ ΑΒ. ἔστω γὰρ ἡ μία πλευρὰ τοῦ ΒΓ ἀριθμῶν ιβ, ἡ δὲ ἑτέρα δ· τετράκις γοῦν τὰ ιβ μη. ἦν δὲ καὶ τοῦ ΑΒ ἡ μία μὲν πλευρὰ η, ἡ δὲ ἑτέρα
10ϛ. ὡς γοῦν τὰ ϛ πρὸς τὰ δ, οὕτως τὰ ιβ πρὸς τὰ η· ἡμιόλιον γὰρ ἄμφω. καὶ ἄλλως ὡς τὰ η πρὸς τὰ δ, οὕτως τὰ ιβ πρὸς τὰ ϛ· διπλάσιον γὰρ ἄμφω.

6

.

24

Ὧν μὲν ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί, πάντως ἀντι‐ πεπόνθασιν, οὐκ ἔμπαλιν δέ. ἀνάλογον δέ εἰσι τῶν ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων αἱ πλευραί· διὸ καὶ ἀντιπεπόνθασιν.

6

.

25

Τοῖς μὲν ἰσογωνίοις μόνοις τριγώνοις συμβέβηκεν τὸ ἀνάλογον ἔχειν τὰς πλευράς, οὐ μὴν καὶ ἀντιπεπονθέναι τῷ λόγῳ, τοῖς δὲ ἴσοις ἅμα καὶ ἰσογωνίοις καὶ τὸ ἀντιπε‐ πονθέναι· ἴσαι γάρ εἰσι καὶ αἱ πλευραί. ὁ δὲ τῆς ἰσότητος
5λόγος ἀναστρέφει πρὸς ἑαυτόν, τουτέστιν ἔκ τε τοῦ ἡγου‐ μένου λαμβανομένου καὶ τοῦ ἑπομένου ὁ αὐτός ἐστι καὶ ἀδιάφορος. τοῖς δὲ ἴσοις μὲν καὶ μίαν γωνίαν ἴσην ἔχουσιν, μὴ ἴσοις δὲ τὸ ἀντιπεπονθέναι μόνον τὰς πλευρὰς καὶ οὐ πάσας, ἀλλὰ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας. ὥστε τὰ μὲν μόνως
10ἀνάλογον ἔχει τὰς πλευράς, τὰ δὲ μόνως ἀντιπεπονθυίας, τὰ δὲ ἀνάλογον καὶ ἀντιπεπονθυίας, καί ἐστι τὰ μὲν πρῶ‐
τα ἰσογώνια μέν, οὐκ ἴσα δέ, τὰ δὲ δεύτερα ἴσα μὲν καὶ μίαν γωνίαν ἴσην ἔχοντα, οὐκ ἰσογώνια δέ, τὰ δὲ λοιπὰ καὶ ἴσα καὶ ἰσογώνια. ὅτι δὲ ἔστιν ἴσα καὶ μίαν γωνίαν ἔχοντα,
15οὐ μέντοι καὶ ἰσογώνια, δῆλον ἐντεῦθεν· ἔστω ἰσογώνια καὶ ἴσα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ὁμολόγους ἔχοντα τὰς γωνίας τὰς Α, Δ, καὶ ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΓ.

6

26-29t

Ad prop. 16

6

.

26

Ἔστω ἡ μὲν ΑΒ ἀριθμῶν ιβ, ἡ δὲ ΓΔ η, καὶ πάλιν ἡ μὲν Ε ἀριθμῶν ϛ, ἡ δὲ Ζ ἀριθμῶν δ, ὡς τὰ ιβ πρὸς τὰ η, οὕτως τὰ ϛ πρὸς τὰ δ. καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ιβ καὶ δ περιεχόμε‐ νον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν η καὶ ϛ περιεχομέ‐
5νῳ ὀρθογωνίῳ.

6

.

27

Οἷον ἔστωσαν ἐπὶ ἀριθμοῦ ὡς ὁ θ πρὸς τὸν γ, οὕτως ὁ γ πρὸς τὴν μονάδα. πολυπλασίασον τὸν θ πρὸς τὴν μο‐ νάδα καὶ τὸν γ πρὸς τὸν γ, καὶ εὑρήσεις τὸν ἀριθμὸν ἴσον· ἅπαξ γὰρ ἐννέα θ καὶ γ γ θ. καὶ ἄλλως ὡς ὁ ϛ πρὸς τὸν δ,
5οὕτως ὁ γ πρὸς τὸν β. πολυπλασίασον τὸν ϛ πρὸς τὸν β καὶ τὸν δ πρὸς τὸν γ, καὶ εὑρήσεις καὶ οὕτως τὸν ἀριθμὸν ἴσον. δεῖ δὲ γινώσκειν καὶ τοῦτο, ὡς πάντοτε ἐπὶ τῶν ὀρθογωνίων πλευρὰ πρὸς πλευρὰν πολυπλασιάζεται, ἐπὶ δὲ τῶν μὴ ὀρθογωνίων οὐχ οὕτως.

6

.

28

γωνίας. ὧν δὲ ἰσογωνίων p. 66, 11] διὰ τὸ ιδʹ τοῦ αὐτοῦ στοιχείου· οὐ φησὶ δὲ ἐν ἐκείνῳ τῶν ἰσογωνίων παραλληλογράμμων, ὡς ἐνταῦθα, ἀλλὰ τῶν μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων· ἰσογώνια δὲ λέγονται, ὅταν ἔχωσι πάσας πάσαις
5ἴσας. εἰ δὲ τῶν μίαν μιᾷ ἐχόντων ἴσην ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ ἐκείνας, πάντως δῆλον, ὅτι καὶ τῶν πά‐ σας πάσαις ἴσας ἐχόντων ἀντιπεπόνθασιν αἱ περὶ τὰς ἴσας. πῶς δὲ ἰσογώνια τὰ ὀρθογώνια; διότι ὁρίζεται οὗτος τὸ ἐν τετραπλεύροις ὀρθογώνιον λέγων τὸ τὰς γωνίας ἔχον ὀρθὰς
10δηλονότι καὶ τὰς τέσσαρας, ὡς ἀληθῶς καὶ ὀρθογώνιον ὀφείλει λέγεσθαι τὸ ἔχον τὰς ἐν αὐτῷ πάσας γωνίας ὀρθάς. λέγει μὲν γὰρ καὶ ἐν τριπλεύροις ὀρθογώνιον, ἀλλὰ τὸ ἔχον μίαν ὀρθήν, διότι οὐ δυνατὸν καὶ δευτέραν ὀρθὴν δέξασθαι τὸ τρίγωνον. πῶς γὰρ τὰς τρεῖς ἔχον δύο ὀρθαῖς ἴσας, ὡς
15ἀποδέδεικται τῷ τεχνικῴ; ὥστε ὀρθογώνιον κυρίως μὲν λέγοιτ’ ἂν τὸ πάσας δυνάμενον ὀρθὰς ἔχειν, καταχρηστι‐ κῶς δὲ καὶ τὸ ἐξ ἀνάγκης ἐλάττους, ὡς τὸ ἐν τριπλεύροις ὀρθογώνιον τρίγωνον. ἐπεὶ οὖν ὀρθογώνια ἐν τετραπλεύ‐ ροις τὰ καὶ τὰς δ ὀρθὰς ἕκαστον ἔχοντά φαμεν, ὁσαδηποτ‐
20οῦν ἄρα εὑρεθῶσιν ὀρθογώνια τετράπλευρα, ἐξ ἀνάγκης καὶ ἰσογώνιά εἰσιν.

6

.

29

Οὕτως λεγόμενος ὁ λόγος ὀρθότερος· τῶν γὰρ αὐ‐ τῶν κατασκευασθέντων ἐπεί εἰσι τὰ ΒΗ, ΔΘ ἴσα καὶ ἰσογώνια, τῶν δὲ ἴσων καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασι καὶ τὰ ἑξῆς.

6

30t

Ad prop. 17

6

.

30

Ἔστω ἡ μὲν Α ἀριθμῶν θ, ἡ δὲ Β ἀριθμῶν ϛ, ἡ δὲ Γ ἀριθμῶν δ, ὡς τὰ θ πρὸς τὰ ϛ, οὕτως τὰ ϛ πρὸς τὰ δ. τὸ γοῦν ὑπὸ τῶν θ καὶ δ ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῶν
ϛ τετραγώνῳ· τετράκις γὰρ θ λϛ, καὶ ἑξάκις ἓξ λϛ.

6

31-32t

Ad prop. 19

6

.

31

Οὕτω δὴ τοῦτο σαφῶς κατελάβομεν· ὅμοια τρίγωνά εἰσιν, ὅσα τάς τε γωνίας ἴσας ἔχει κατὰ μίαν καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον. ἔστω ὅμοια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ. ἔστω ἡ ΑΒ πλευρὰ ἀριθμῶν ιβ, ἡ δὲ
5ΒΓ η. ἡμιόλιον ἄρα λόγον ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. ἔστω καὶ ἡ ΔΕ τοῦ ἄλλου τριγώνου πλευρὰ ἀριθμῶν ϛ, ἡ δὲ ΕΖ ἀριθμῶν δ. ἀνάλογον ἔχουσι τὰ β τρίγωνα τὰς πλευ‐ ράς, αἱ δὲ ὁμόλογοι πλευραὶ αἱ ΑΒ καὶ ΔΕ καὶ αἱ ΒΓ καὶ ΕΖ. ὃν οὖν λόγον ἔχει ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμό‐
10λογον, διπλασίονα λόγον ἔχει τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρίγω‐ νον, ἤγουν ἐπεὶ ἡ ΒΓ τῆς ΕΖ διπλασίων· τὰ η γὰρ τῶν δ διπλάσια· τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΔΕΖ τριγώνου τετρα‐ πλάσιον. πῶς δὲ τοῦτο ἔσται φανερόν; ἐπεὶ γὰρ τὰ ὅμοια καὶ ἰσογώνιά εἰσι, ἔστωσαν αἱ πρὸς τῷ Β καὶ Δ γωνίαι
15ὀρθαί, καὶ ἀναγεγράφθω τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ΑΒ ὑπόκειται ἀριθμῶν ιβ, ἡ δὲ ΒΓ ἀριθμῶν η, ὀκτάκις ιβ ϙϛ. ἐὰν δὲ παραλληλόγραμμον τριγώνῳ βάσιν τε ἔχῃ τὴν αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις, διπλά‐ σιον ἔσται τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου διὰ τὸ μαʹ
20τοῦ πρώτου στοιχείου. τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον μη ἔσται ἀριθμῶν. πάλιν ἐπεὶ ἡ ΔΕ ὑπόκειται ἀριθμῶν ϛ, ἡ δὲ ΕΖ δ, παραλληλογράμμου γινομένου καὶ κδ εὑρισκομένου ἀριθ‐ μῶν (τετράκις γὰρ ϛ κδ) τὸ ΔΕΖ τρίγωνον ιβ ἔσται ἀριθμῶν. εἰσὶ δὲ τὰ μη τῶν ιβ τετραπλάσια.

6

.

32

Οὕτω γνωστέον τὸν ὅρον τοῦ παρόντος ιθʹ θεωρή‐ ματος δι’ ἐπαγωγῆς· ἔστω ἡ μὲν ΑΒ πλευρὰ ἀριθμῶν ιβ τυχόν, ἡ δὲ ΒΓ ἀριθμῶν η, τοῦ δὲ ἑτέρου τριγώνου ἡ μὲν ΔΕ ἔστω ἀριθμῶν ϛ, ἡ δὲ ΕΖ ἀριθμῶν δ. ἀνάλογον οὖν
5ἔχουσιν αἱ πλευραὶ αὗται καθ’ ἡμιόλιον λόγον, ἡ δὲ ΑΒ
καὶ ἡ ΔΕ εἰσιν ὁμόλογοι. ὡσαύτως δὲ ὁμόλογοι καὶ ἥ τε ΒΓ καὶ ἡ ΕΖ, καὶ ἔχουσι καὶ αὗται πρὸς ἀλλήλας διπλασίονα λόγον· τὰ γὰρ ιβ τῶν ϛ διπλάσια, καὶ τὰ η τῶν δ διπλάσια. λέγει οὖν, ὅτι ἐστὶν τὰ ὅμοια τρίγωνα ἐν
10διπλασίονι λόγῳ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν· ἤγουν εἰ αἱ ὁμό‐ λογοι πλευραὶ ὑπάρχουσιν ἐν διπλασίονι λόγῳ, τὰ τρίγωνα εὑρεθήσονται ἐν τετραπλασίονι, εἰ δὲ ἐκεῖναι ἐν τριπλα‐ σίονι, ταῦτα ἐν ἑξαπλασίονι καὶ καθεξῆς ὁμοίως.

6

33-37t

Ad prop. 20

6

.

33

Ἀντιστρέφει γὰρ ὁ ὅρος· ὅσα εὐθύγραμμα σχήματα τάς τε γωνίας ἴσας ἔχει κατὰ μίαν καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον, ὅμοια λέγεται, καὶ ὅσα ὅμοια σχήματά ἐστι, τάς τε γωνίας ἴσας ἔχει καὶ τὰς περὶ τὰς
5ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον.

6

.

34

Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων ἡ πρὸς τῷ Γ τῇ πρὸς τῷ Θ ἴση καὶ αἱ περὶ αὐτὰς πλευραὶ ἀνάλο‐ γον, ὅμοια τρίγωνά εἰσι τὸ ΒΓΔ καὶ τὸ ΗΘΚ. ἀλλὰ δὴ καὶ τὸ ΒΓΞ καὶ τὸ ΗΘΟ ὅμοια· ἰσογώνια γάρ, τῶν δὲ
5ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογον αἱ πλευραί· ὥστε διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ ὅρου καὶ ὅμοια. ἰσογώνια δὲ οὕτως· ἡ πρὸς τῷ Β ἴση τῇ πρὸς τῷ Η καὶ ἡ πρὸς τῷ Γ ἴση τῇ πρὸς τῷ Θ· προεδείχθη γὰρ τὸ ΕΒΓ τρίγωνον ὅμοιον τῷ ΛΗΘ. ὥστε ἡ λοιπὴ ἡ πρὸς τῷ Ξ ἴση τῇ πρὸς τῷ Ο. ἀλλὰ
10δὴ καὶ τὸ ΓΞΔ ὅμοιον τῷ ΘΟΚ· ἰσογώνια γὰρ διὰ τὸ τὴν πρὸς τῷ Δ ἴσην δειχθῆναι τῇ πρὸς τῷ Κ, προδειχθῆναι δὲ καὶ τὴν πρὸς τῷ Γ ἴσην τῇ πρὸς τῷ Θ, ὅτε τὸ ΕΓΔ ἐδείκνυτο ὅμοιον τῷ ΛΘΚ. ὡς ἄρα ἡ ΒΞ πρὸς ΞΓ,
οὕτως ἡ ΗΟ πρὸς ΟΘ, καὶ ὡς ΓΞ πρὸς ΞΔ, οὕτως ἡ ΘΟ
15πρὸς ΟΚ. δι’ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΒΞ πρὸς ΞΔ, οὕτως ἡ ΗΟ πρὸς ΟΚ. ὡς δὲ αἱ βάσεις, οὕτω καὶ τὰ τρίγωνα τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος καὶ τἄλλα τοῖς προδειχθεῖσιν ἀκόλουθα.

6

.

35

Τὸ ϛ τοῦ δ ἅπαξ ἡμιόλιον, τὰ δὲ ιη τοῦ η δίς· τὰ ιη γὰρ τῶν ιβ ἡμιόλια, τὰ δὲ ιβ πρὸς η τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. τὰ ιη ἄρα τοῦ η δὶς ἡμιόλια.

6

.

36

Τουτέστι τὰ μήκει διπλάσια δυνάμει τετραπλάσιά εἰσιν. ἐὰν γὰρ ἔχωσιν αἱ πλευραὶ διπλασίονα λόγον πρὸς ἀλλήλας τῶν οἵων δή τινων εὐθυγράμμων, ἕπεται ἐξ ἀνάγ‐ κης ἔχειν τὰ ἀπ’ αὐτῶν γινόμενα εὐθύγραμμα σχήματα
5δὶς διπλασίονα λόγον πρὸς ἄλληλα, τουτέστι τετραπλάσιον. καὶ ἑξῆς ὁμοίως κἀπὶ τῶν ἄλλων λόγων, τουτέστι τὰ μή‐ κει τριπλάσια δυνάμει ἐννεαπλάσιά εἰσιν· ἔχουσι γὰρ τρὶς τριπλάσιον λόγον αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας τῶν ἐξ ἐκείνων εὐθυγράμμων. ὁμοίως καὶ τὰ μήκει τετραπλάσια δυνάμει
10ἑκκαιδεκαπλάσιά εἰσιν· ἔχουσι γὰρ τετράκις τὸν τετρα‐ πλάσιον λόγον.

6

.

37

ΕΜΓ· πρὸς ἄλληλα γάρ p. 75, 11] ἑτέραν ζητητέον ἐνταῦθα αἰτίαν· ταύτην γὰρ οὐκ οἶμαι ἁρμόζειν. οὐδὲ γὰρ ἐπὶ τὸ αὐτό ἐστιν ὕψος, ἃ λέγει· οὐδὲ γὰρ κάθετός ἐστιν ἡ ΑΜ ἢ ἡ ΕΜ τῇ ΓΑ. ἔνθα δὲ κάθετος, ἐκεῖ ὕψος τὸ αὐτό,
5ἔνθα δὲ ὕψος τὸ αὐτό, ἐκεῖ πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις. ἐνταῦθα δὲ μὴ ὄντων αὐτῶν οὐδὲ πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις. ἐκ τούτου δὲ πάντως φανερόν, ὅτι ἀλλοτρία ἐστὶν αὕτη ἡ προσθήκη καὶ οὐ τοῦ τεχνικοῦ.

6

38t

Ad prop. 22

6

.

38

Τὸ ΚΑΒ τρίγωνον οβ· τὸ γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετρά‐ γωνον, ιβ οὔσης τῆς ΑΒ, ἔστιν ρμδ, οὗ ἥμισυ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου οβ ὄν· καὶ ἐπεὶ ὀρθογώνιον ὑπετέθη τὸ τρί‐
γωνον, καὶ ἡ ΑΒ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν γωνίαν, τῷ ἀπὸ
5τῆς ΑΒ τετραγώνῳ τῷ ἑκατὸν τεσσαράκοντα τέσσαρα ἴσα ἐξ ἀνάγκης εἰσὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΚΑ, ΚΒ τετράγωνα. καί ἐστι τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΚΒ τετράγωνον πα καὶ ἡ πλευρὰ αὐτοῦ θ, τὸ δὲ ΚΑ ξγ καὶ ἡ πλευρὰ αὐτοῦ ζ μοῖραι καὶ νϛ πρῶτα λεπτὰ καὶ ιδ δεύτερα.

6

39t

Ad prop. 24

6

.

39

Ἡ ΑΒ ιβ ἡ ΑΕ δ ἡ ΕΒ η ἡ ΒΘ β ἡ ΘΓ δ ἡ ΒΓ ϛ ἡ ΔΓ ιβ ἡ ΔΚ δ ἡ ΚΓ η ἡ ΔΑ ϛ ἡ ΑΗ β ἡ ΗΔ δ ἡ ΕΖ β καὶ ἡ ΖΚ δ.

6

40t

Ad prop. 26

6

.

40

Ζητῶ καὶ ἐνταῦθα καταλληλίαν· ἀκατάλληλος γάρ μοι δοκεῖ ὁ τοῦ ἐναντίου λόγος πρὸς τὸ ζήτημα. εἰ μὲν γὰρ ἔλεγεν ὁ τεχνικός, ὅτι ἐστὶ τῶν δύο παραλληλογράμ‐ μων διάμετρος ἡ ΑΖΓ καὶ οὐκ ἄλλη, εἶχεν ἂν λέγειν ὁ
5ἀντίθετος· οὐχ αὕτη, ἀλλ’ ἑτέρα ἡ ΑΘΓ. ἐπεὶ δὲ λέγει, ὅτι περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν εἰσι, ταῦτα ὤφειλεν εἰπεῖν ὁ ἀντίθετος καταλλήλως, ὅτι· μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ἔστω τοῦ μὲν ἑνὸς διάμετρος ἡ ΑΖΓ, τοῦ δὲ ἑτέρου ἡ ΑΘΓ. οὕτως γὰρ ἂν οὐκ ἦν τῶν δύο ἡ αὐτή, ἀλλὰ ἄλλη καὶ
10ἄλλη· ὅπερ ἐστὶν ἐναντίον ὡς ἀληθῶς καὶ καταλλήλως.

6

41-46t

Ad prop. 27

6

.

41

Πάντων τῶν παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν παραβαλλο‐ μένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι παραλ‐ ληλογράμμοις οὐκ ἔστιν ἐξ ἀνάγκης μέγιστον τὸ ἀπὸ τῆς
ἡμισείας παραβαλλόμενον, ἀλλ’ ἢ ἴσον ἢ μεῖζον ἢ ἔλαττον.
5πάντων δὲ τῶν παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι παραλληλο‐ γράμμοις ὁμοίοις τε ἀλλήλοις καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένῳ μέγιστόν ἐστιν ἐξ ἀνάγ‐ κης τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας παραβαλλόμενον ὅμοιον ὂν τῷ
10ἐλλείμματι ἐξ ἀνάγκης.

6

.

42

Παραβολὴ παρὰ τοῖς μαθηματικοῖς λέγεται ὁ με‐ ρισμός· παραβαλεῖν γὰρ ἀριθμὸν παρὰ ἀριθμόν ἐστι τὸ μερίσαι τὸν μείζονα εἰς τὸν ἐλάττονα ἤτοι δεῖξαι, ποσάκις ὁ ἐλάττων περιέχεται ὑπὸ τοῦ μείζονος.

6

.

43

Δι’ ἀριθμῶν ἔκθεσις καὶ ἀπόδειξις τοῦ θεωρήμα‐ τος· παρὰ γὰρ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν πηχῶν τυχὸν οὖσαν η καὶ δίχα τμηθεῖσαν εἰς δ καὶ δ παραβεβλήσθωσαν πλείω παραλληλόγραμμα καὶ πρῶτον τὸ ΑΔ ἀπὸ τῆς ἡμισείας
5ὂν τῆς ΑΓ τεσσάρων οὔσης πηχῶν ὡς εἶναι αὐτὸ ιϛ. ἐλλειπέτω δὲ εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΔΒ ὁμοίῳ ἢ μᾶλλον τῷ αὐτῷ ὄντι τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ εὐθείας ἤτοι τῆς ΓΒ τεσσάρων οὔσης καὶ αὐτῆς πηχῶν ὡς εἶναι καὶ τὸ ἔλλειμμα ιϛ· ἐὰν γὰρ τετράγωνον τὸν ιϛ παρὰ τὸν η
10παραβάλλω, ἵν’ ᾖ τὸ αὐτὸ πλάτος τοῦ τε ἐλλείμματος καὶ τοῦ παραβαλλομένου, ἐπεὶ τὰ η τετράκις γίνονται λβ, φανερόν, ὅτι ἐλλείπει ὁ ιϛ πρὸς τὴν παραβολὴν τῷ ιϛ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένῳ. τὸν δὴ ιϛ πρόκειται δεῖ‐ ξαι μείζονα πάντων τῶν παρὰ τὸν η παραβαλλομένων καὶ
15ἐλλειπόντων εἴδεσι τετραγώνοις, ἵν’ ᾖ καὶ ὅμοιος τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας. πάλιν οὖν παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΒ, ἥτις ἦν πηχῶν η, τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐλλει‐ πέτω τὸ ΑΖ πρὸς τὴν παραβολὴν εἴδει ὁμοίῳ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἤτοι τετραγώνῳ. τὸ δὴ τοιοῦτον εἶδος ἢ μεῖζον
20ἔσται τοῦ ιϛ ἢ ἔλαττον. οὐ γὰρ ἴσον, ἵνα μὴ λάθωμεν πάλιν
τὸν ιϛ παραβάλλοντες. ἔστω ἔλαττον· προσεχῶς δὴ τοῦ ιϛ ἐλάττων τετράγωνος ἀριθμός ἐστιν ὁ θ. ἔστω οὖν τὸ ἔλλειμ‐ μα θ· τούτου δὴ τῆς πλευρᾶς τοῦ γ ὄντος καὶ τοσαυτάκις τοῦ ΑΖ παραβαλλομένου παρὰ τὸν η, ἵνα τὸ αὐτὸ πλάτος
25ᾖ τοῦ τε παραβαλλομένου καὶ τοῦ ἐλλείμματος, πόστος ἂν ἄλλος ἀριθμὸς ἁρμόσῃ τῷ ΑΖ ἢ ὁ ιε; οὗτος γὰρ τρὶς παρὰ τὸν η παραβαλλόμενος ἐλλείπει πρὸς τὴν παραβολὴν τῷ θ· τρὶς γὰρ τὰ η κδ γίνονται. ἀλλ’ ἔστω τὸ ἔλλειμμα μεῖζον, ὡς ἐπὶ τῆς ἑτέρας καταγραφῆς, ὅπερ ὁ γεωμέτρης διὰ
30συντομὴν παρέλειπεν. πάλιν οὖν τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων, ἐπεὶ προσεχῶς μείζων τοῦ ιϛ τετράγωνος ἀριθμὸς ὁ κε ἐστι, ἔστω τὸ ἔλλειμμα κε. τούτου δὴ πλευρᾶς τοῦ ε ὄντος πεντάκις παρὰ τὸν η τὸ ΑΖ παραβαλλέσθω, ὅπερ ἐλλεί‐ πειν ὀφείλει πρὸς τὴν παραβολὴν τῷ κε, ἐπεὶ πεντάκις τὰ η
35τεσσαράκοντα γίνεται. ὥστε καὶ οὕτως ἔσται ἔλαττον δη‐ λονότι τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένου. εἰ δὲ μὴ τοὺς προσεχεῖς τετραγώνους ἀριθμοὺς τῷ ιϛ ἐπὶ τοῦ ἐλλείμμα‐ τος λάβωμεν, ἔτι μᾶλλον ἔλαττον ἔσται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμι‐ σείας τὸ οὕτως παραβαλλόμενον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

6

.

44

Ἡ ΑΒ ὅλη ιβ ἡ ΑΚ θ ἡ ΚΒ γ ἡ ΓΚ γ ἡ ΑΓ ἓξ τὸ ΑΔ παραλληλόγραμμον λϛ καὶ τὸ ΓΕ παραλληλόγραμ‐ μον λϛ τὸ ΓΖ θ.

6

.

45

τῷ ΔΒ p. 88, 21] ΔΒ ὅλον λέγει τὸ ΔΕΒΓ, ὥσπερ ΑΔ τὸ ΑΓΔ.

6

.

46

Ἰστέον, ὅτι οὐ καλῶς ἔχει τοῦ παρόντος θεωρήμα‐ τος οὔτε ἡ πρότασις οὔτε ἡ ἀπόδειξις· καὶ ἀμφότεραι γὰρ νοσοῦσι μηδὲν ὅλως ὑγιὲς φέρουσαι. καὶ τῷ μὲν στοιχειωτῇ οὐ περιάπτω τὸ ἁμάρτημα, τῷ γραφεῖ δέ· ἐν γὰρ τῷ σαρα‐
5κηνικῷ ἀντιγράφῳ οὕτως εὕρηται καὶ ἡ πρότασις καὶ ἡ
ἀπόδειξις. εὐθείας δοθείσης ἐὰν παραβληθῇ παρὰ τὴν ἡμίσειαν αὐτῆς χωρίον παραλληλόγραμμον, παραβληθῶσι δὲ παρ’ ὅλην καὶ ἕτερα χωρία παραλληλόγραμμα ἐλλείπον‐ τα πρὸς συμπλήρωσιν αὐτῆς εἴδει ὁμοίῳ τῷ παραλληλο‐
10γράμμῳ τῷ παραβληθέντι παρὰ τὴν ἑτέραν ἡμίσειαν τῆς δοθείσης εὐθείας, ᾖ δὲ τὸ ἔλλειμμα περὶ τὴν διάμετρον τοῦ παραβληθέντος παραλληλογράμμου παρὰ τὴν αὐτὴν ἑτέραν ἡμίσειαν τῆς δοθείσης εὐθείας, μέγιστον ἔσται τῶν ἄλλων παραλληλογράμμων τὸ παραβληθὲν παρὰ τὴν πρό‐
15τερον ἡμίσειαν τῆς δοθείσης εὐθείας. ἔστω γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ συνεστάτω ἐπ’ αὐτῆς χωρίον ὀρθογώνιον παρ‐ αλληλόγραμμον τὸ ΑΖ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ εἰς ἴσα κατὰ τὸ Γ, καὶ ἤχθω παράλληλος τῇ ΒΖ ἡ ΓΗ. καὶ ἐπεὶ τὰ ΑΗ, ΗΒ παραλληλόγραμμα ἐπὶ βάσεων τῶν αὐτῶν εἰσι
20καὶ ἐν δυσὶ παραλλήλοις, ἴσα ἄρα εἰσὶν ἀλλήλοις. ἤχθω δὲ διάμετρος ἡ ΗΒ, καὶ εἰλήφθω σημεῖον τὸ Λ, ὡς ἔτυχε, καὶ ἤχθω παράλληλος τῇ ΒΖ ἡ ΛΕ, καὶ διὰ τοῦ Κ σημείου παράλληλος ἡ ΝΧ τῇ ΑΒ. ἔστι δὲ τὸ ΚΒ παραλληλόγραμ‐ μον περὶ τὴν διάμετρον τοῦ ΓΖ ὀρθογωνίου χωρίου καὶ
25ὁμοιοῦται τούτῳ. καὶ τὸ ΑΗ χωρίον παραλληλόγραμμον παρὰ τὴν ἡμίσειαν τῆς ΑΒ εὐθείας παραβέβληται, τὸ δὲ ΑΚ παρ’ ὅλην τὴν ΑΒ ἐλλεῖπον πρὸς συμπλήρωσιν αὐτῆς εἴδει τῷ ΚΒ ὁμοίῳ ὄντι τῷ ΒΗ παραλληλογράμμῳ. λέγω, ὅτι τὸ ΑΗ ὀρθογώνιον μέγιστόν ἐστι τοῦ ΑΚ ὀρθογω‐
30νίου. ἡ γὰρ ΑΓ ἴση ἐστὶ τῇ ΓΒ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΕΒ· ἀπεναν‐ τίον γάρ ἐστι· ἡ δὲ ΓΒ τῇ ΗΖ. ἡ ΕΒ ἄρα καὶ ἡ ΗΖ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. τὰ ἄρα ΕΤ, ΤΖ ὀρθογώνια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. ἀλλὰ τὸ ΕΤ μεῖζόν ἐστι τοῦ ΚΖ, καὶ τὸ ΚΖ παρα‐ πλήρωμα ἴσον ἐστὶ τῷ ΚΓ παραπληρώματι. τὸ ΕΤ ἄρα
35μεῖζόν ἐστι τοῦ ΚΓ. ἔστω δὲ κοινὸν τὸ ΑΤ. τὸ ΑΗ ἄρα μεῖζόν ἐστι τοῦ ΑΓ. ἐντεῦθεν οὖν δείκνυται, ὅτι τὸ ΑΗ τὸ παραβληθὲν παρὰ τὴν ἡμίσειαν τῆς δοθείσης εὐθείας
μεῖζόν ἐστι παντὸς ὀρθογωνίου χωρίου παραβαλλομένου παρὰ τὴν ὅλην τὴν ΑΒ ἐλλείποντος πρὸς συμπλήρωσιν
40αὐτῆς εἴδει ὁμοίῳ τῷ ΒΗ τῷ παραβληθέντι παρὰ τὴν ἑτέ‐ ραν ἡμίσειαν τῆς ΑΒ, καὶ ἑξῆς τὸ θεώρημα.

6

47-50t

Ad prop. 28

6

.

47

τὸ Γ μὴ μεῖζον p. 90, 11. 12] εἶπε γάρ, ὅτι δεῖ δή, ᾧ δεῖ ἴσον παραβαλεῖν, μὴ μεῖζον εἶναι τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας· ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΗ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἐστίν, οὐκ ἔσται αὐτοῦ μεῖζον τὸ Γ, ἀλλ’ ἤτοι ἴσον ἢ ἔλαττον. ὥστε τὸ ΑΗ τοῦ Γ
5ἤτοι ἴσον ἐστὶν ἢ μεῖζον.

6

.

48

ταύτῃ τῇ ὑπεροχῇ ἴσον, τῷ δὲ Δ ὅμοιον p. 91, 15. 16] ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΘΕ τοῦ Γ, ἀνάγκη ὑπεροχῇ τινι μεῖζον εἶναι· οἷον λόγου χάριν ἔστω τὸ ΘΕ μονάδων ιη, τὸ δὲ Γ ἔστω μονάδων ι. ἔστιν οὖν ἡ τοῦ ιη πρὸς τὸν ι
5ὑπεροχὴ μονάδων η. συνεστάτω οὖν τὸ ΚΛΜΝ ἴσον ὂν τῷ η τῇ ὑπεροχῇ τοῦ ιη, τουτέστι τοῦ ΗΒ, πρὸς τὸν ι ἤτοι τὸ Γ. δεῖ δὲ οὕτως ἀναγινώσκειν τὴν λέξιν ἀκατάλλη‐ λόν τι ἔχουσαν· ταύτῃ τῇ ὑπεροχῇ, ἐν ᾗ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΒ τοῦ Γ, συνεστάτω ἴσον τὸ ΚΛΜΝ, ὅμοιον δὲ τῷ Δ, ἵνα ᾖ
10τὸ ΚΛΜΝ ἴσον μὲν τῇ ὑπεροχῇ τοῦ ΗΒ πρὸς τὸ Γ, ὅμοιον δὲ τῷ Δ.

6

.

49

Οἱ ἐντεῦθεν καθεξῆς ἐπικείμενοι τοῖς σχήμασιν ἀριθμοὶ ἐτέθησαν ὑπ’ ἐμοῦ Θεοδώρου τοῦ Ἀντιοχείτου.

6

.

50

Ἡ ΑΒ ὅλη ιβ ἡ ΑΓ ϛ ἡ ΓΒ ϛ ἡ ΑΔ γ ἡ ΔΒ θ ἡ ΑΘ θ ἡ ΑΚ ϛ ἡ ΚΘ γ ἡ ΘΕ γ τὸ ΑΛ λϛ τὸ ΛΒ λϛ τὸ ΔΘ κζ τὸ ΕΒ πα τὸ ΑΕ κζ ἡ ΗΖ ϛ ἡ ΗΛ γ τὸ ΛΖ ιη.

6

.

51

Τὸ ΘΕ λϛ τὸ ΗΒ λϛ τὸ ΗΠ δ ὁ ΥΦΧ γνώμων λβ.

6

52-55t

Ad prop. 29

6

.

52

Ἔστω ἡ ΑΒ εὐθεῖα, ὡς τὸ σχόλιον ἔχει, μονάδων ιη. ἐπεὶ οὖν δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Ε, ἔστιν ἄρα ἡ ΑΕ μονά‐ δων θ, ὁμοίως καὶ ἡ ΕΒ θ. ἔστιν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ ἤτοι τὸ ΕΛ δυνάμεων πα· ἐννάκις γὰρ τὰ θ πα. ἐπεὶ δὲ
5πάλιν ὑπόκειται τὸ Γ δυνάμεων ρμδ, τὸ δὲ ΗΘ δυνάμεων σκε, ἔστι δὲ καὶ τὸ ΖΒ δυνάμεων πα, συναμφότερα τὰ ΖΒ, Γ ἴσα εἰσὶ τῷ ΗΘ· τὰ γὰρ ρμδ, ἅπερ εἰσὶ τὸ Γ εὐθύγραμ‐ μον, μετὰ τῶν πα, ἅπερ εἰσὶ τὸ ΖΒ, τὰ οὖν ρμδ μετὰ τῶν πα γίνεται σκε. ἐπεὶ δὲ τοῦ ΗΘ ἡ πλευρὰ ἡ ΚΗ μονάδων
10ἐστὶ ιε, ἴση δὲ ἡ ΖΝ τῇ ΚΗ, καὶ ἡ ΖΝ ἄρα μονάδων ἐστὶ ιε. ἐπεὶ δὲ τὸ ΕΛ τετράγωνόν ἐστι, καί ἐστιν ἡ ΖΕ μονά‐ δων θ· ἴση γὰρ τῇ ΕΒ· ἡ ΕΝ ἄρα μονάδων ἐστὶν ϛ. ὁμοίως καὶ ἡ ΒΠ μονάδων ϛ· τῶν γὰρ παραλληλογράμμων χω‐ ρίων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι τε καὶ πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις
15εἰσίν. ὥστε τὸ ΑΝ χωρίον δυνάμεών ἐστι νδ· περιέχεται γὰρ ὑπὸ τῆς ΑΕ οὔσης μονάδων θ καὶ τῆς ΕΝ οὔσης μο‐ νάδων ϛ, ἑξάκις δὲ θ νδ. ὁμοίως δὲ καὶ τὸ ΕΠ δυνάμεων νδ· περιέχεται γὰρ ὑπὸ τῶν ΕΒ, ΒΠ οὔσης τῆς ΕΒ θ, τῆς δὲ ΒΠ ϛ· ὥστε τὸ ΑΠ χωρίον ἐστὶ δυνάμεων ρη. ἐπεὶ
20δὲ τὸ Γ δυνάμεών ἐστιν ρμδ, ἴσον δὲ τὸ Γ τῷ ΑΞ, καὶ τὸ ΑΞ ἐστι δυνάμεων ρμδ. ἦν δὲ τὸ ΑΠ δυνάμεων ρη. λείπε‐
ται τὸ ΒΞ δυνάμεων εἶναι λϛ· τὰ γὰρ ρη μετὰ τῶν λϛ ἐστι ρμδ. καὶ δεῖ γινώσκειν, ὅτι τὰ ὅμοια εὐθύγραμμα οὐκ ἀνάγ‐ κη καὶ ἴσα εἶναι· τὸ γὰρ ΖΒ ὅμοιον ὂν τῷ ΠΟ οὐκ ἴσον
25αὐτῷ ἐστιν, εἴπερ τὸ μέν ἐστιν πα δυνάμεων, τὸ δὲ λϛ, ἀλλ’ ἐνδέχεται καὶ ἴσα εἶναι τὰ ὅμοια καὶ ἄνισα.

6

.

53

Ἐρωτᾷ τις· οὐκ οἶδ’ ὅθεν, ὅτι ὁμόλογος· καὶ εἴποιμι, ὅτι ἐπεὶ τὸ ΗΘ τῷ Δ ὅμοιον συνέσταται, τῷ αὐτῷ δὲ καὶ τὸ ΒΖ ἦν ὅμοιον. ὥστε ἑκάτερον τῶν ΗΘ, ΖΒ τῷ Δ ἐστιν ὅμοιον. καὶ ἀλλήλοις ἄρα. εἰ δὲ ὅμοια, ἀνάγκη καὶ
5τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχειν καὶ τῶν ἀντιστρόφων τῶν περὶ τῶν ὁμοίων σχημάτων.

6

.

54

Τὸ ΑΠ ἐστι τὸ παραβληθὲν παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν, τὸ δὲ ΑΞ ἐστι μέν, ὡς δέδεικται, ἴσον τῷ Γ, ὑπερβάλλει δὲ τοῦ ΑΠ τῷ ΒΞ, ὥστε παρεβλήθη παρὰ τὴν ΑΒ τὸ ΑΞ ὑπερβάλλον τοῦ ΑΠ τῷ ΒΞ.

6

.

55

Ἔστω ἡ ΑΒ εὐθεῖα μονάδων ιη, τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ δυνάμεων πα, τὸ δὲ Γ εὐθύγραμμον δυνάμεων ρμδ, τὸ δὲ συναμφότερον ΖΒ, Γ, τουτέστι τὸ ΗΘ, δυνάμεων σκε. ἡ πλευρὰ ἡ ΚΗ μήκει μονάδων ιε. ὥστε καὶ ἡ ΕΝ πλευρὰ
5μήκει μονάδων ϛ, τὸ ΝΒ χωρίον δυνάμεων νδ, τὸ δὲ ΒΞ δυνάμεων λϛ.

6

56-60t

Ad prop. 30

6

.

56

τὸ ΓΔ ὑπερβάλλον p. 95, 16] οὐχ ὑπερβάλλειν λέ‐ γει τὸ ΒΓ τετράγωνον τοῦ ΓΔ παραλληλογράμμου. ἴσα γὰρ ὄντα τό τε ΒΓ τετράγωνον καὶ τὸ ΓΔ παραλληλό‐
γραμμον πῶς δύναται ὑπερβάλλειν; ἀλλ’ ὑπερβάλλειν
5λέγει τοῦ ΓΕ· ἔστι γὰρ τὸ λεγόμενον, ὅτι· παραβεβλή‐ σθω παρὰ τὴν ΑΓ τῷ ΒΓ τετραγώνῳ ἴσον παραλληλό‐ γραμμον τὸ ΓΔ ὑπερβάλλον τὸ ΒΓ τετράγωνον τοῦ παραλ‐ ληλογράμμου, οὐχὶ τοῦ ΓΔ, ἀλλὰ τοῦ παραλληλογράμμου τοῦ ἀναγραφομένου ἀπὸ τῆς ΑΓ, ὅπερ ἀναγραφόμενον
10παραλληλόγραμμον ἀπὸ τῆς ΑΓ ἐστι τὸ ΓΕ. ὑπερβάλλει γάρ, ὡς δειχθήσεται, τὸ ΓΒ τετράγωνον τοῦ ΓΕ παραλ‐ ληλογράμμου τῷ ΑΔ. ἐλλιπὴς οὖν οὖσα ἡ τοῦ προβλήμα‐ τος ἔκθεσις ἀσάφειαν πεποίηκεν.

6

.

57

Ἐν τῷ ιαʹ θεωρήματι τοῦ βʹ στοιχείου οὐκ ἔδειξεν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τὴν εὐθεῖαν τμηθεῖσαν, ἐνταῦθα δὲ θέλων δεῖξαι, τί ἐστιν ἄκρον καὶ μέσον εὐθεῖαν τμηθῆ‐ ναι, τούτου χάριν ἔδειξε καὶ οὐ μάτην.

6

.

58

Τινὲς ἀποροῦσι λέγοντες, ὅτι ἐν τῷ ιαʹ θεωρήματι τοῦ βʹ βιβλίου ἔδειξε τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄκρον καὶ μέ‐ σον λόγον τμηθῆναι δυναμένην καὶ ἐνταῦθα πάλιν τὸ αὐτὸ δεικνύει. καὶ λέγομεν, ὅτι ἐκεῖ οὐκ ἔδειξεν ἄκρον καὶ
5μέσον λόγον τμηθεῖσαν τὴν εὐθεῖαν, ἐνταῦθα δὲ θέλων δεῖξαι, τί ἐστιν ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖαν τμηθῆναι, τούτου χάριν ἔδειξεν αὐτό. οὐ μάτην οὖν τοῦτο πεποίηκεν.

6

.

59

Τετμήσθω γὰρ p. 232, 1] οὕτως ἔδει εἰπεῖν, εἴπερ ἐβούλετο δηλῶσαι φανερῶς τάς τε ἄκρας εὐθείας καὶ τὴν μέσην, ὅτι· τετμήσθω ἡ ΑΒ εἴς τε τὴν ΑΓ καὶ εἰς τὴν ΓΒ.

6

.

60

ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ κτλ. p. 232, 3. 4] τοῦτο διὰ τὸ ιζʹ τὸ λέγον, ὅτι καὶ ἐὰν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ, αἱ τρεῖς
εὐθεῖαι ἀνάλογον.

6

61-62t

Ad prop. 31

6

.

61

Ἐπεὶ δὲ διὰ τὸ πόρισμα τοῦ δʹ τοῦ εʹ βιβλίου, ἐὰν δύο μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἀνάπαλιν ἀνάλογον ἔσται, καὶ ὡς ἡ ΒΔ πρὸς ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ· διὰ δὲ τὸ αὐτὸ πόρισμα καὶ ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΓΒ,
5οὕτω καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ. ἔστω οὖν πρῶτον μὲν μέγεθος ἡ ΒΔ, δεύτερον ἡ ΓΒ, τρίτον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, τέταρτον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ, πέμπτον ἡ ΓΔ, ἕκτον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, καὶ διὰ τὸ κδʹ τοῦ εʹ βιβλίου συντεθὲν πρῶτον ἡ ΒΔ καὶ πέμπτον ἡ ΓΔ πρὸς δεύτερον τὴν ΒΓ
10τὸν αὐτὸν λόγον ἕξει καὶ τρίτον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ καὶ ἕκτον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τέταρτον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ.

6

.

62

Διὰ τὸ ἀνάπαλιν καὶ διὰ τὸ καʹ τοῦ εʹ γίνεται ὡς ἡ ΒΔ πρὸς ΒΓ, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ, καὶ ὡς ἡ ΔΓ πρὸς ΒΓ, τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ. καὶ διὰ τὸ κδʹ τοῦ εʹ καὶ ἀνάπαλιν καὶ συντεθὲν καὶ
5διὰ τὸ θʹ τοῦ εʹ.

6

63t

Ad prop. 32

6

.

63

Ἀπορῶ καὶ ἐνταῦθα, τίνι τρόπῳ λέγεται σύνθετα τὰ οὕτω καταγραφέντα τρίγωνα. οὔτε γὰρ ὡρίσατο ὁ τεχνι‐ κὸς τοιαύτην σύνθεσιν τριγώνων, μᾶλλον δ’ οὐδ’ ὁποίαν δή τινα σχημάτων ὅλως, οὔτε συντεθειμένα λέγειν ἔχω τὰ
5ἐνθάδε τρίγωνα, ἀλλὰ μᾶλλον ἁπτόμενα ἀλλήλων. μὴ γάρ μοί τις ἀναγινώσκων συναπτέτω τὸ συντεθῇ μετὰ τοῦ κατὰ μίαν, ἀλλ’ εἰπών· ἐὰν δύο τρίγωνα συντεθῇ, καὶ ὑποστείλας τὴν φωνὴν μικρὸν διὰ τὴν μετὰ ταῦτα τελείαν
ἀπόδοσιν ἐπαγαγέτω κατὰ μίαν γωνίαν καὶ τὰ ἑξῆς συν‐
10απτῶς. τοῦτο δ’ ὅτι οὕτως ἀναγινώσκεσθαι χρή, τὰ ἐπαγό‐ μενα μαρτυρεῖ.

6

64-66t

Ad prop. 33

6

.

64

Ἐάν ἐστιν ἡ ΒΓ περιφέρεια ὑπὸ τριγώνου ἰσοπλεύ‐ ρου τοῦ εἰς τὸν κύκλον ἐγγεγραμμένου πλευρᾶς ὑποτει‐ νομένη, καὶ ληφθῇ τῆς ΒΓ περιφερείας ἰσάκις πολλαπλά‐ σια καὶ τῆς ὑπὸ ΒΗΓ γωνίας ἐν τριπλασίονι λόγῳ, γενή‐
5σεται ὅλος ὁ κύκλος τῆς ΒΓ περιφερείας ἰσάκις πολλα‐ πλάσιος καὶ ἡ πρὸς τὸ ὅλον κέντρον τοῦ κύκλου συνιστα‐ μένη γωνία ἤγουν ἡ ὑποτεινομένη ὑπὸ ὅλου τοῦ κύκλου γω‐ νία τῆς ὑπὸ ΒΗΓ γωνίας. ἐὰν δὲ ἐν ἑξαπλασίονι λόγῳ ληφθῇ ὁ ἰσάκις πολλαπλασιασμὸς τῆς τε ΒΓ περιφε‐
10ρείας καὶ τῆς ὑπὸ ΒΗΓ γωνίας, πάλιν δὶς ὁ κύκλος καὶ ἡ πρὸς ὅλον τὸ κέντρον δὶς ὑποτεινομένη ὑπὸ ὅλου τοῦ κύκλου γωνία ἰσάκις ἔσονται πολλαπλάσια τῆς τε ΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ὑπὸ ΒΗΓ γωνίας. ὁμοίως καὶ ἐπὶ ἑπταπλασίου καὶ ὀκταπλασίου, καὶ εἰς ἄπειρον οὕτως δεῖ
15νοεῖν ἐπὶ τοῦ κύκλου τοὺς ἰσάκις πολλαπλασιασμοὺς καὶ ἐπὶ τῶν γωνιῶν αὐτοῦ τῶν ἐν τῷ κέντρῳ τοῦ κύκλου συνισταμένων.

6

.

65

Ἀπορήσειεν ἄν τις οὐκ ἀφυῶς, διὰ τί μέλλων ὁ γεω‐ μέτρης δεῖξαι, ὡς ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν λόγον ἔχουσι ταῖς περιφερείαις, ἐφ’ ὧν βεβήκασιν, ἐχρή‐ σατο εἰς τὴν τούτου δεῖξιν, ὅτι αἱ ἐπὶ μειζόνων περιφε‐
5ρειῶν ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις μείζους εἰσίν, αἱ δὲ ἐπ’ ἐλασσό‐
νων ἐλάσσους καὶ αἱ ἐπὶ ἴσων ἴσαι, ὃ ταὐτόν ἐστι τῷ ἐὰν ἡ περιφέρεια πρὸς τὴν περιφέρειαν ἔχῃ τὸν τοῦ μείζονος λό‐ γον, καὶ ἡ γωνία ἡ ἐπὶ τῆς μείζονος περιφερείας βεβηκυῖα τῆς ἐπ’ ἐλάσσονος περιφερείας βεβηκυίας τὸν τοῦ μείζο‐
10νος λόγον ἕξει, καὶ ἐὰν ἡ περιφέρεια πρὸς τὴν περιφέρειαν τὸν τοῦ ἐλάττονος λόγον ἔχῃ, καὶ ἡ γωνία ἡ ἐπὶ τῆς ἐλάτ‐ τονος περιφερείας βεβηκυῖα πρὸς τὴν ἐπὶ τῆς μείζονος τὸν τοῦ ἐλάττονος λόγον ἕξει, καὶ ἐὰν ἴσαι αἱ περιφέρειαι, αἱ γωνίαι τὸν τῆς ἰσότητος, ὅπερ ἦν τὸ ἐν τῇ προτάσει τοῦ
15παρόντος ζητούμενον θεωρήματος, ὅμοιον ὁ γεωμέτρης ποιῶν τῷ ἀπολογησαμένῳ ἐρωτηθέντι, διὰ τί ὁ ἄνθρωπος ζῷον, ὅτι ἄνθρωπος ζῷον, ὅπερ οὐ μόνον ἐπὶ τῆς ἀπο‐ δείξεως γελοῖόν ἐστι, ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τῆς διαλεκτικῆς, εἴ τις τοιουτοτρόπως ἀποφαίνηται, καταγέλαστος δόξειε. φαμὲν
20οὖν, ὡς οὐκ ἤδη, ἐὰν ἡ περιφέρεια πρὸς τὴν περιφέρειαν ἔχῃ τὸν τοῦ μείζονος λόγον, καὶ ἡ γωνία ἡ ἐπὶ τῆς μείζονος περιφερείας πρὸς τὴν γωνίαν τὴν ἐπὶ τῆς ἐλάσσονος βεβη‐ κυῖαν ἔχῃ τὸν τοῦ μείζονος λόγον, ἤδη καὶ ὃν λόγον ἔχει ἡ περιφέρεια πρὸς τὴν περιφέρειαν, ἔχει καὶ ἡ γωνία πρὸς
25τὴν γωνίαν. εἰκὸς γὰρ τὸν μὲν τοῦ μείζονος ἔχειν λόγον τὴν περιφέρειαν πρὸς τὴν περιφέρειαν καὶ τὴν γωνίαν πρὸς τὴν γωνίαν, ἕτερον δὲ καὶ ἕτερον.

6

.

66

Ἀπορήσειεν ἄν τις, πόθεν δῆλον, ὡς, ἐὰν ἡ περιφέ‐ ρεια τῇ περιφερείᾳ ἴση, καὶ ὁ τομεὺς τῷ τομεῖ, καὶ εἰ μείζων, μείζων, καὶ εἰ ἐλάττων, ἐλάττων. ὅτι μέν, ἐὰν ἡ περιφέρεια ἴση τῇ περιφερείᾳ, καὶ ὁ τομεὺς τῷ τομεῖ ἴσος,
5δέδεικται οὕτω· κείσθω τῇ ΒΛ περιφερείᾳ ἴση ἡ ΕΝ, καὶ ἤχθω εὐθεῖα ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Λ καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ν. καὶ ἐπεὶ οἱ κύκλοι ἴσοι, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ΒΗ, ΗΛ ταῖς ΕΘ, ΘΝ. ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΘΝ ἴση
διὰ τὸ κζʹ τοῦ γʹ· καὶ ἡ βάσις ἄρα τῇ βάσει ἴση, ἤγουν ἡ
10ΒΛ τῇ ΕΝ, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἴσον. δυνατὸν δὲ καὶ ἀπὸ τῆς ἰσότητος τῶν βάσεων δεῖξαι καὶ τὰς γωνίας ἴσας. ἐπεὶ γὰρ ἴσαι αἱ περιφέρειαι, καὶ αἱ ὑποτείνουσαι ταύτας ἴσαι διὰ τὸ κθʹ τοῦ γʹ. ἀλλὰ μὴν καὶ τὰ τμήματα τῶν κύκλων τὰ ΒΓΛ, ΕΖΝ ὅμοια· αἱ γὰρ ἐν αὐτοῖς γω‐
15νίαι ἴσαι· ἐπὶ ἴσων γὰρ περιφερειῶν βεβήκασιν. ἀλλὰ δὴ καὶ ἴσα διὰ τὸ κδʹ τοῦ γʹ. ἐὰν δὲ τοῖς ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα. δέδεικται ἄρα, ὡς, ἐὰν ἡ περιφέρεια τῇ περιφερείᾳ ἴση, καὶ ὁ τομεὺς τῷ τομεῖ ἴσος. λέγω δή, ὅτι καί, ἐὰν μείζων ἡ περιφέρεια τῆς περιφερείας, καὶ ὁ
20τομεὺς τοῦ τομέως μείζων ἔσται. εἰ γὰρ μή, ἔσται ἢ ἴσος ἢ ἐλάττων. ἔστω πρῶτον ἴσος. καὶ ἐπεὶ ὑπόκειται ἡ ΒΛ περιφέρεια μείζων τῆς ΕΝ, ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος περιφερείας τῇ ἐλάττονι ἴση (δυνατὸν γάρ) ἡ ΒΚ. καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη, ὡς, ἐὰν αἱ περιφέρειαι ἴσαι ὦσι, καὶ οἱ τομεῖς ἴσοι
25ἔσονται, ἴσος ἄρα ὁ ΒΗΚ τομεὺς τῷ ΕΘΝ τομεῖ. ἀλλὰ ὁ ΕΘΝ ἴσος ὑπετέθη τῷ ΒΗΛ τομεῖ. ὥστε καὶ ὁ ΒΗΛ τομεὺς ἴσος τῷ ΒΗΚ, ὁ μείζων τῷ ἐλάττονι. ὡσαύτως δὲ
δειχθήσεται, ὅτι οὐδὲ ἐλάττων· μείζων ἄρα.

7

t

In librum 7

7

.

1

[Start of a diagram]πᾶς ἀριθμός

7

1col 1-3

[Start of a diagram section]ἄρτιος

7

1col 1

ἀρτιάκις ἄρ‐ τιος ὁ μέχρι μονάδος εἰς ἴσα διαιρού‐
5μενος ὡς ὁ ξδ· μέχρι γὰρ μονάδος
διαιρεῖται.Column end

7

1col 2

ἀρτιάκις πε‐ ριττὸς ὁ μίαν τομὴν εἰς ἴσα δεχόμε‐
5νος, οὐκέτι δὲ ἄλλην ἰσάκις διαί‐ ρεσιν δυνά‐ μενος ὡς ὁ
10τριάκοντα.Column end

7

1col 3

περισσάκις ἄρτιος ὁ πολ‐ λάκις μὲν ἰσάκις διαι‐
5ρούμενος μὴ μέντοι καὶ μέχρι μονά‐ δος ὥσπερ ὁ
κδ ἀριθμός.[End of a diagram section]Column end

7

1col 4-6

[Start of a diagram section]ἔτι ὁ ἄρτιος

7

1col 4

τέλειος ὡς ὁ ϛ, ὃς ἐκ τῶν ἑαυτοῦ με‐ ρῶν συνάγε‐
5ται· τούτου γὰρ τὸ μὲν ἥμισυ γ, τὸ
γʹ β, τὸ ϛʹ α.Column end

7

1col 5

ὑπερτελὴς ὡς ὁ ιβ, ὃς ἐκ τῶν ἑαυτοῦ μερῶν πλείω
5ἑαυτοῦ συν‐ άγει· τούτου γὰρ τὸ μὲν 𐅵ʹ ϛ, τὸ γʹ δ, τὸ δʹ γ, τὸ ϛʹ β,
10τὸ ιβʹ μία, ἀφ’ ὧν ιϛ συν‐
άγεται.Column end

7

1col 6

ἀτελὴς ὡς ὁ η· οὗτος γὰρ ἐλάττω ἑαυτοῦ ἐκ
5τῶν ἑαυτοῦ συνάγει με‐ ρῶν· τούτου γὰρ τὸ μὲν 𐅵ʹ δ, τὸ δὲ
10δʹ β, τὸ δὲ ηʹ α, ἀφ’ ὧν
ζ συνάγεται.[End of a diagram section]Column end

7

1col 7-8

[Start of a diagram section]περιττός

7

1col 7

σύνθετος ὁ δεύτερος λε‐ γόμενος, οἷον ὁ θ· οὐ
5γὰρ μόνον ἅπαξ θ θ, ἀλλὰ καὶ συν‐ θέτως λέγε‐ ται· τρὶς γὰρ
10γ θ.Column end

7

1col 8

ἀσύνθετος ὁ πρῶτος λεγό‐ μενος, οἷον ὁ ε, ὁ γ, ὁ ζ·
5οὗτοι γὰρ ἐξ οὐδενὸς ἀριθμοῦ πο‐ λυπλασιαζο‐ μένου γίνον‐
10ται· ἡ γὰρ μονὰς οὐκ
ἀριθμός.[End of a diagram section][End of a diagram]

7

.

2

Ἡ δυὰς κατά τι μὲν ἀριθμός, κατά τι δὲ οὔ· καθὸ μὲν γὰρ τῶν ἐφ’ ἑκάτερα αὐτῆς συντιθεμένων ἀριθμῶν τὸ ἥμισυ ἔχει, ἀριθμός ἐστιν, καθὸ δὲ καὶ συντιθεμένη καὶ πολυπλασιαζομένη τὸ αὐτὸ πλῆθος ἀπογεννᾷ, οὐκ ἔστιν
5ἀριθμός, τῶν ἀριθμῶν πεφυκότων πολλαπλασιαζομένων πλέον συνάγειν ἢ συντιθεμένων· τρὶς μὲν γὰρ τρεῖς θ, τρεῖς δὲ καὶ τρεῖς ϛ; δὶς δὲ δύο δ καὶ β καὶ β δ.

7

3t

Ad def. 1

7

.

3

Μονὰς λέγεται καὶ ἐν τοῖς θεοῖς, λέγεται καὶ ἐν τοῖς φυσικοῖς, λέγεται καὶ ἐν τοῖς μαθηματικοῖς. καὶ ἐπὶ μὲν τῶν θεῶν μονάδα λέγομεν τὸν ἑκάστης σειρᾶς ἄρχοντα, οὐχ ὅτι ἔστι μονάς, ἀλλ’ ὅτι ὃν τρόπον ἡ μαθηματικὴ ἀρχὴ
5τοῦ ἀριθμοῦ ἐστιν, τὸν αὐτὸν τρόπον καὶ αὐτὸς ἐξάρχει τῆς σειρᾶς. ἡ δὲ φυσικὴ μονάς ἐστιν ἡ μετέχουσα τῆς μαθημα‐ τικῆς μονάδος, οἷον ὁ εἷς ἵππος μονάς ἐστι φυσική, ὅτι τῆς μαθηματικῆς μετασχὼν μονάδος ἓν λέγεται. μονὰς οὖν λέγεται, καθ’ ἣν μετέχοντα τὰ φυσικὰ λέγεται ἕν. τῆς μο‐
10νάδος τῆς μαθηματικῆς νῦν μέμνηται· ταύτης γὰρ καὶ μετ‐ έχοντα τὰ φυσικὰ λέγεται ἕν, καὶ ἀριθμὸς δὲ ὁμοίως ἐστὶ μαθηματικὸς ὁ μετεχόμενος καὶ αὐτός.

7

4t

Ad def. 3

7

.

4

Μέρος ἐστὶν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ· ὁ ἀπαρτιζόντως ἀριθ‐ μὸς μετρῶν ἀριθμόν τινα εἴτε εἰς ἑαυτὸν γενόμενος εἴτε
ἄλλον πολλαπλασιάσας μέρος ἐστὶ τοῦ γεγονότος, οἷον ὁ γ μέρος ἐστὶ καὶ τοῦ θ καὶ τοῦ ιβ, ἀλλὰ τοῦ μὲν θ ὡς εἰς ἑαυ‐
5τὸν γεγονώς· τρὶς γὰρ τρεῖς θ· τοῦ δὲ ιβ ὡς τὸν δ πολλα‐ πλασιάσας. οὕτω καὶ ὁ δ τοῦ ιβ μέρος ἐστίν, λέγω δὴ ὡς τὸν γ πολλαπλασιάσας.

7

5-6t

Ad def. 4

7

.

5

Ὁ β τοῦ ε μέρη ἐστὶν ἤτοι δύο πέμπτα, καὶ ὁ ε τοῦ ια μέρη· πέντε γὰρ ἑνδέκατα· καὶ ὁ θ τοῦ ιγ μέρη· ἐννέα γὰρ τρισκαιδέκατα. ὁ δὲ θ τοῦ ιη μέρος· ἥμισυ γάρ· μετρεῖ γὰρ ὁ θ τὸν ιη ἀπαρτιζόντως ἐπὶ τὸν δύο γενόμενος. καὶ ὁ
5β τοῦ ιη μέρος· ἔνατον γάρ.

7

.

6

Μέρος λέγεται ἀριθμὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάττων τοῦ μείζονος, ὅταν καταμετρῇ αὐτὸν ἀπαρτιζόντως, οἷον ὁ γ τοῦ θ· τρὶς γὰρ τρεῖς θ. εἰ δὲ μὴ καταμετρῇ αὐτὸν ἀπαρτιζόντως, οὐ λέγεται μέρος ἐκεῖνο, ἀλλὰ μέρη, οἷον
5ὁ γ τοῦ ι οὐ λέγεται μέρος, ἀλλὰ μέρη. ὁμοίως ὁ γ τοῦ ϛ μέρος λέγεται· δὶς γὰρ συντεθεὶς ἀπαρτιζόντως μετρεῖ τὸν ϛ· ὁ δὲ δύο τοῦ ε ἢ ὁ γ τοῦ ε ἢ τοῦ ζ οὐ λέγονται ἕκαστος ἑκάστου μέρος. ὡσαύτως καὶ ὁ δύο τοῦ ϛ μέρος λέγεται· τρὶς γὰρ ὁ δύο συντεθεὶς ἀπαρτιζόντως μετρεῖ
10τὸν ϛ. ὁ δὲ δύο τοῦ ε ἢ ὁ γ τοῦ ε ἢ τοῦ ζ οὐ λέγεται ἕκαστος ἑκάστου μέρος, ἀλλὰ μέρη. καὶ ὁ μὲν β τοῦ ϛ λέγεται μέρος καὶ καταμετρῶν αὐτόν, ὁ δὲ ϛ τοῦ δύο πολλαπλάσιος· ἔστι γὰρ αὐτοῦ τριπλάσιος ὡς καταμε‐
τρούμενος ὑπὸ τοῦ δύο.

7

7-9t

Ad deff. 6 sq.

7

.

7

Οἱ Πυθαγόρειοι τὸν ἀριθμὸν διῄρουν εἴς τε ἄρτιον καὶ περισσὸν καὶ τὸν ἄρτιον εἴς τε ἀρτιάκις ἄρτιον καὶ εἰς ἀρτιοπερισσὸν καὶ εἰς περισσάρτιον, καὶ τὸν μὲν ἀρτιάκις ἄρτιον ἔλεγον τὸν ἄχρι μονάδος δίχα διαιρούμενον, τὸν δὲ
5ἀρτιοπερισσὸν τὸν εὐθέως μετὰ τὴν πρώτην διχοτομίαν ἀδιαίρετον ὄντα, οἷον τὸν δέκα εἰς ε καὶ ε. περισσάρτιον δὲ τὸν πλείους τομὰς ἐπιδεχόμενον ὡς τὸν ιβ. πάλιν τοῦ πε‐ ριττοῦ τὸν μὲν πρῶτον τὸν ὑπὸ μονάδος μόνον μετρούμενον ὡς τὸν τρία, τὸν ζ, τὸν δὲ σύνθετον ὡς τὸν θ, τὸν ιε. ἔλεγον
10οὖν τοῖς μὲν ἄρρεσι θεοῖς τοὺς περιττοὺς ἀνακεῖσθαι ἀριθ‐ μοὺς διὰ τὸ ἀδιαίρετον καὶ τὴν εἰς ἑαυτοὺς στροφὴν καὶ μονὴν καὶ τοῦ περιττοῦ τοὺς πρώτους ἀριθμοὺς τοῖς μο‐ ναδικωτέροις καὶ εἰς ἑαυτοὺς στρεφομένοις, τοὺς δὲ συν‐ θέτους τοῖς γονιμωτέροις καὶ ἀφεστῶσι τοῦ αʹ μᾶλλον καὶ
15προοδικωτέροις. πάλιν τὸν ἄρτιον ἀριθμὸν ταῖς θηλείαις τῶν θεῶν διὰ τὴν διαίρεσιν καὶ τὴν πρόοδον, τούτου δὲ τὸν μὲν ἀρτιοπερισσὸν ταῖς ἀρρενοποιοῖς θεαῖς, ὡς, εἰ τύχοι, τῇ δεσποίνῃ τῇ Ἀθηνᾷ ἢ τῇ δεσποίνῃ Ἑκάτῃ ἢ Ἀρτέμιδι· παρθένοι γὰρ αὗται καὶ οὐκ ἐπὶ πολὺ τὴν πρόοδον ἔχουσαι.
20τὸν δὲ περισσάρτιον ταῖς πλέον γονιμωτέραις, μὴ μέντοι ἐπὶ πολὺ τὴν πρόοδον ἐχούσαις, ἀλλὰ ἐπ’ ἴσης τό τε ἀρρενω‐ πὸν καὶ τὸ θῆλυ σωζούσαις καὶ μεταξὺ οὔσαις τῶν τε ἀρ‐ ρενωπῶν θεαινῶν καὶ τῶν τεθηλυσμένων, οἵαν θεὸν ἐτί‐ μων Ἀθηναῖοι τὴν Ἀνησιδώραν· θηλυπρεπὲς μὲν γὰρ τὸ
25ὅλον ἄγαλμα, γένειον δὲ προσετίθεσαν αἰνιττόμενοι τό τε θῆλυ καὶ τὸ ἄρρεν. πάλιν τὸν ἀρτιάκις ἄρτιον ταῖς διὰ παν‐ τὸς προιούσαις θεαῖς, οἷον ταῖς ζωογόνοις Δήμητρι καὶ
Ῥέᾳ· αὗται ἐπὶ πολὺ προίασιν καὶ ἐπὶ πάντα. Διαιρεῖται τὰ ἀριθμητικὰ εἴς τε πρώτους καὶ συνθέτους
30καὶ τὸ βʹ εἰς τοὺς ἐπιδεκτικοὺς καὶ τὸ γʹ εἰς τοὺς στερεούς, οὗ τὸ τελευταῖον θεώρημα λήγει εἰς τέλειον ἀριθμόν.

7

.

8

Ἀρτιάκις ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν· ἐὰν τούτῳ τῷ ὅρῳ προσθῶμεν τὸ μόνως ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρεῖσθαι κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν, ποιοῦμεν τὸν τῶν Πυθαγορείων ἀρτιάκις
5ἄρτιον τὸν ἄχρι μονάδος δίχα διαιρούμενον, οἷον ὁ η ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρεῖται κατὰ ἄρτιον μόνως, ὁ δὲ ιβ κατὰ τοῦτο ἀρτιάκις ἄρτιος, καθὸ μετρεῖται μὲν καὶ ὑπὸ ἀρτίου κατ’ ἄρτιον· δὶς ϛ γάρ· ἀλλὰ καὶ ὑπὸ περιττοῦ κατὰ ἄρτιον· τρὶς γὰρ δ. ἀρτιάκις δὲ περισσὸν λέγει τὸν ὑπὸ ἀρτίου κατὰ
10περισσὸν μετρούμενον ὡς τὸν ι ὑπὸ τοῦ β κατὰ τὸν ε. περισσάρτιος δὲ ὁ ιβ· ὑπὸ γὰρ τοῦ γ μετρεῖται κατὰ τὸν δ. καὶ ἁπλῶς ὃ τέλειόν ἐστιν ὄνομα ἐν τῇ συνθέσει, κατ’ ἐκεῖνο λέγομεν μετρεῖσθαι τὸν ἀριθμόν. ἰστέον δέ, ὅτι τὸν περισσάρτιον τὸν ὑπὸ τῶν Πυθαγορείων οὕτως καλούμε‐
15νον τὸν πλείονας διαιρέσεις δεχόμενον τῆς εἰς δίχα, μὴ μέντοι ἄχρι τῆς μονάδος προιόντα κατὰ τὴν διαίρεσιν, οἶδεν καὶ αὐτὸς καὶ μέμνηται αὐτοῦ ἐν τῷ θʹ βιβλίῳ καλῶν αὐτὸν μήτε ἀρτιάκις ἄρτιον μήτε ἀρτιοπερισσόν, τῇ ἀπο‐ φάσει τῶν δύο ἄκρων αὐτὸν σημαίνων, ὥσπερ ἐπὶ τῶν
20ἐμμέσων ἐναντίων, οἷς μὴ κεῖται ὄνομα, τὴν σημασίαν εὑρίσκομεν τῇ ἀποφάσει λέγοντες τῶν ἄκρων. ἐν ᾧ δὲ
τούτου μέμνηται, ἔστι τὸ λδʹ.

7

.

9

Ὁ μὲν ἀρτιάκις ἄρτιος ἀεὶ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ με‐ τρεῖται κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν, οἷον ὁ ξδ· δὶς γὰρ λβ ξδ, τετράκις ιϛ ξδ, ὀκτάκις η ξδ. κατὰ μὲν οὖν τὴν πρώτην τομὴν ἡ μὲν δύναμις πολλή, τὰ δὲ μέρη β, καὶ κατὰ τὴν
5δευτέραν τομὴν τὰ μὲν μέρη ὀλίγα· δ γάρ· ἡ δὲ δύναμις πολλή· ιϛ γάρ· κατὰ δὲ τὴν τρίτην ἄμφω ἴσα, κατὰ τὴν τετάρτην ἀντέστραπται, καὶ οὐ δεῖ ζητεῖν ἐν τῷ ἀρτιάκις ἀρτίῳ, εἴτε ἡ δύναμις πολλὴ εἴτε τὰ μέρη ὀλίγα, ἀλλ’ ἓν μόνον ἐξ ἀνάγκης δεῖ ζητεῖν τὸ εἶναι τάς τε δυνάμεις καὶ
10τὰ μέρη κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν. ὁ δὲ ἀρτιοπερισσὸς ἀεὶ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρεῖται κατὰ περισσὸν ἀριθμόν, πλὴν ἀεὶ ὁ μὲν ἄρτιος ἐλάττων, ὁ δὲ περισσὸς μείζων. εὐθὺς ὁ πρῶτος ὁ ἓξ οὕτω μετρεῖται· δὶς γὰρ τρεῖς λέγομεν. ὁμοίως καὶ ὁ δεύτερος ὁ ι· δὶς γὰρ ε ι· καὶ ὁ τρίτος ὡσαύτως· δὶς
15γὰρ ζ ιδ· καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ἡ αὐτὴ ἀκολουθία. ὁ δὲ πε‐ ρισσάρτιος ἀεὶ μὲν ὑπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ μετρεῖται κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν, οὐκ ἀεὶ δὲ ὁ μὲν περισσὸς ἐλάττων, ὁ δὲ ἄρτιος μείζων, ἀλλ’ ὡς ἐπὶ τὸ πλεῖστον μὲν ὁ περισσὸς ἐλάττων, ὁ δὲ ἄρτιος μείζων, οἷον τρὶς η κδ καὶ τρὶς ιϛ μη,
20σπανίως δὲ ὁ μὲν περισσὸς μείζων, ὁ δὲ ἄρτιος ἐλάττων, οἷον ὁ κ· πεντάκις γὰρ δ κ· καὶ τοῦτο εἰκός ἐστι· μῖγμα γὰρ ὢν ἀμφοτέρων κατά τι μὲν ἔοικε, κατά τι δὲ διαφέρει.

7

10t

Ad def. 12

7

.

10

Λέγομεν γὰρ ἅπαξ γ γ, ἅπαξ ε ε, ἅπαξ ζ ζ.

7

11t

Ad def. 13

7

.

11

Οἷον ὁ γ ὁ ε ὁ ζ· κοινὸν γὰρ μέτρον ἔχουσι τὴν μο‐ νάδα· φαμὲν γὰρ ἅπαξ τρεῖς τρεῖς, ἅπαξ ε ε, καὶ ἄλλως οὐ μετροῦνται οἱ λεγόμενοι πρῶτοι, οἵτινές εἰσιν ἀσύνθετοι.

7

12t

Ad def. 14

7

.

12

Ὁ δεύτερος λεγόμενος ὁ θ· οὐ μόνον γὰρ τῷ ἅπαξ θ μετρεῖται, ἀλλὰ καὶ συνθέτως λέγεται· τρὶς γὰρ τρεῖς θ· καὶ ἰδοὺ ὁ αὐτὸς θ καὶ σύνθετός ἐστι καὶ ἀσύνθετος.

7

13t

Ad def. 16

7

.

13

Ἀριθμὸς ἀριθμὸν πολλαπλασιάζειν λέγεται· οἷον ὁ θ καὶ ὁ γ· ὅσαι γάρ εἰσι μονάδες ἐν τῷ γ, τοσαῦται τριάδες ἐν τῷ θ.

7

14t

Ad def. 17

7

.

14

Οἷον ὁ δ καὶ ὁ γ. συντεθήτω ὁ γ εἰς τὸν δ καὶ πεπολ‐ λαπλασιάσθω ὁ δ· γίνεται ιβ. τρὶς γὰρ δ ιβ. καὶ ὁμοίως πάλιν ὁ δ εἰς τὸν γ, καὶ πεπολλαπλασιάσθω· τετράκις
τρεῖς ιβ.

7

15t

Ad def. 18

7

.

15

Οἷον τρεῖς ϛ ιβ. πολλαπλασίασον τάδε οὕτως· τρὶς ἓξ ιη· ὀκτωκαιδεκάκις τὰ ιβ σιϛ· γίνωσκε, ὅτι, ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἴσοι πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, οἱ ἀριθμοὶ ἐκεῖνοι ἢ ἴσοι ἔσονται ἢ ἄνισοι πρὸς ἀλλήλους, καὶ
5εἰ μὲν ἴσοι, ποιοῦσι κύβον, εἰ δὲ ἄνισοι, ἁπλῶς στερεόν.

7

16t

Ad prop. 1

7

.

16

Ἐνταῦθα περὶ πρώτων πρὸς ἀλλήλους διαλέγεται ἀριθμῶν.

7

17-20t

Ad prop. 2

7

.

17

Ἔστω ὁ κε καὶ ὁ ι. δεῖ δὴ τῶνδε τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν. ἀφῃρήσθω τοῦ κε ὁ ι δίς. λοιπὸν ὁ ε ἀπὸ τοῦ ι· λείπεται ὁ ε. οὗτος δὴ μετρεῖ τὸν πρὸ αὐτοῦ, καὶ μείζων τούτου τὸν ι καὶ κε ἄλλος οὐ μετρήσει.

7

.

18

Ἔστω ὁ ΑΒ μονάδων κε, ὁ δὲ ΓΔ ι. ἀφῃρήσθω τοῦ κε ὁ ι δίς. λείπεται ὁ ΑΕ μονάδων ε. οὗτος μετρεῖ τὸν πρὸ αὐτοῦ τὸν ι, καὶ μείζων τούτου τὸν κε καὶ ι ἄλλος οὐ μετρή‐ σει.

7

.

19

Ἐὰν γὰρ ἀριθμὸς ἀριθμοῦ τὸ μέρος μετρῇ, μετρήσει καὶ τὸν ὅλον, καὶ ἐὰν τὸν ὅλον, καὶ τὸ μέρος.

7

.

20

Ὥσπερ γὰρ ὁ ε δὶς εἰς ἑαυτὸν γενόμενος μετρεῖ τὸν ι, οὕτως ὁ αὐτὸς οὗτος ε ἅπαξ εἰς ἑαυτὸν μετρήσει ἑαυτόν·
ἅπαξ γὰρ ε ε.

7

21-22t

Ad prop. 3

7

.

21

Ἔστωσαν τρεῖς ὁ ι καὶ ὁ κ καὶ ὁ λε, καὶ εἰλήφθω τοῦ ι καὶ κ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ ε. οὗτος δὴ μετρεῖ τὸν λε καί ἐστι μέγιστον μέτρον τῶν γ ἀριθμῶν. εἰ δὲ μὴ ἐμέτρει ὁ ε τὸν λε, ἐλάμβανον κοινὸν μέγιστον μέτρον τοῦ
5τε ληφθέντος κοινοῦ μέτρου τῶν δύο τῶν πρώτων καὶ τοῦ λε καὶ εἶχον τῶν γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον.

7

.

22

Καθολικὴ μέθοδος, ὅτι τριῶν ἀριθμῶν ἐκκειμένων τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν. ἐκκείσθωσαν οἱ δοθέντες ἀριθμοὶ οἱ ὑποκείμενοι. δεῖ δὴ τῶν ὑποκειμένων τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν. ἔστωσαν οἱ ὑποκείμενοι
5ἀριθμοὶ ὁ λϛ, ὁ μη καὶ ὁ νδ, καὶ εἰλήφθω διὰ τὸ πρὸ αὐτοῦ θεώρημα τῶν λϛ καὶ μη κοινὸν μέγιστον μέτρον ὁ ιβ ἀριθ‐ μός. καὶ πάλιν εἰλήφθω τῶν ιβ καὶ νδ κοινὸν μέτρον ὁ ϛ ἀριθμός. ὁ ϛ ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶ τῶν λϛ, μη, νδ ἀριθμῶν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

7

23-25t

Ad prop. 4

7

.

23

Εἰ μὲν οὖν καταμετρεῖ ὁ ΒΓ τὸν Α, μέρος ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α, καὶ οὐκ εἰσὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους· ἔχουσι γὰρ κοινὸν μέτρον τὸν ἀριθμὸν ἐκεῖνον, μεθ’ οὗ καταμετρεῖ ὁ ΒΓ τὸν Α, οἷον, εἰ εἴη ὁ Α ι, ὁ δὲ ΒΓ ε, καταμετρεῖ ὁ ε
5τὸν ι μετὰ τοῦ β· πεντάκις γὰρ δύο ι· καί ἐστιν αὐτῶν κοινὸν μέτρον ὁ β· ὥστε οὐκ εἰσὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους. εἰ δὲ οὐ καταμετρεῖ ὁ ΒΓ τὸν Α, μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α, καὶ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ὡς ὁ ζ καὶ ια, ἢ οὔ, ὡς ὁ ιβ καὶ θ. καὶ εἰ μέν εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, ἑκάστη
10μονὰς τοῦ ἐλάσσονος μέρος ἐστὶ τοῦ μείζονος, καὶ τὸ μὲν πλῆθος λαμβάνομεν ἐκ τοῦ ἐλάττονος ἀριθμοῦ, τὸ δὲ εἶδος ἐκ τοῦ μείζονος, οἷον ἐπὶ τοῦ ζ καὶ ια αἱ μὲν ζ μονά‐ δες πλῆθος οὖσαι τὸ ζ λέγεσθαι λαμβάνουσιν ἀπὸ τοῦ ζ, τὸ δὲ εἶδος ἀπὸ τοῦ ια, οἷον ἑπτὰ ἑνδέκατα, τὸ μὲν ἑπτὰ
15πλῆθος, τὸ δὲ ια εἶδος. εἰ δὲ οὐκ εἰσὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλή‐ λους καὶ οὐ καταμετρεῖ ὁ ἐλάττων τὸν μείζονα ὡς ἐπὶ τοῦ ιη καὶ ιβ, τὸ μὲν πλῆθος τῶν μερῶν λαμβάνομεν ἐκ τοῦ μερισμοῦ τοῦ ἐλάττονος ἀριθμοῦ καὶ ἐκ τοῦ μεγίστου κοι‐ νοῦ μέτρου, ὅσους σώζει ὁ ἐλάττων ἴσους τῷ κοινῷ με‐
20γίστῳ μέτρῳ· οἷον, ἐπεὶ ὁ ϛ κοινὸν μέγιστόν ἐστι μέτρον τοῦ ιη καὶ ιβ, ζητῶ, τί μέρος ἐστὶν ὁ ϛ τοῦ ιη, καὶ ἐπεὶ ὁ ιβ εἰς β διαιρεῖται ἑξάδας, εὑρίσκω τὸ μὲν πλῆθος ἤτοι τὸ δύο ἀπὸ τοῦ μερισμοῦ τοῦ ιβ λεγόμενον, τὸ δὲ εἶδος, οἷον τὸ ϛʹ,
ἀπὸ τοῦ μεγίστου κοινοῦ μέτρου τοῦ ϛ· τὸ γὰρ ϛʹ ἀπὸ τοῦ ϛ,
25ὅστις ἐστὶ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον τοῦ ιη καὶ ϛ. ὥστε, ὡς εἴρηται, εἰ μέν εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, τὸ μὲν πλῆ‐ θος λαμβάνεται ἀπ’ αὐτοῦ τοῦ ἐλάττονος, τὸ δὲ εἶδος ἀπὸ τοῦ μείζονος. εἰ δὲ οὐκ εἰσὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οὐδὲ καταμετρεῖ ὁ ἐλάττων τὸν μείζονα, τὸ μὲν πλῆθος λαμ‐
30βάνεται οὐκ ἀπὸ τοῦ ἐλάττονος, ἀλλ’ ἀπὸ τοῦ μερισμοῦ τοῦ ἐλάττονος ἀριθμοῦ, τὸ δὲ εἶδος ἀπὸ τοῦ κοινοῦ μεγί‐ στου τῶν δύο ἀριθμῶν τοῦ τε ἐλάττονος καὶ τοῦ μείζονος.

7

.

24

ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α. p. 110, 13] οἷον εἴ ἐστιν ὁ Α μονάδων ια, ὁ δὲ ΒΓ ζ, ὁ ζ τοῦ ια ἑπτά ἐστι ἑνδέκατα. ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ζ τοῦ ια, ἀλλ’ οὐ μέρος. καὶ ἁπλῶς τῶν πρώτων ἀριθμῶν οἱ ἐλάσσονες μέρη εἰσὶ τῶν
5μειζόνων, ἀλλ’ οὐ μέρος.

7

.

25

ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α. p. 111, 4] τρία δηλον‐ ότι πέμπτα. ἔστω γὰρ ὁ Α κε, ὁ δὲ ΒΓ ιε, κοινὸν δὲ μέ‐ γιστον αὐτῶν μέτρον ὁ ε.

7

26-27t

Ad prop. 5

7

.

26

ἔστω ὁ Α γ, ὁ δὲ ΒΓ θ, ὁ δὲ Δ ϛ, ὁ δὲ ΕΖ ιη. τὰ δὴ γ τοῦ θ γʹ εἰσὶ μέρος καὶ τὰ ϛ τοῦ ιη, καὶ συναμφότερα ὁ ϛ καὶ γ ἤτοι ὁ θ συναμφοτέρων τοῦ ιη καὶ θ ἤτοι τοῦ κζ γʹ εἰσίν.

7

.

27

ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος p. 111, 21. 22] διότι ἰσάκις εἰσὶν οἱ ΒΓ, ΕΖ τῶν Α, Β πολλαπλάσιοι.

7

28-30t

Ad prop. 6

7

.

28

Ἔστω ὁ ΑΒ μονάδων δ, ὁ δὲ Γ ϛ. ὁ δ ἄρα τοῦ ϛ μέρη ἐστί, δύο τρίτα. οὐ γὰρ καταμετρεῖ ὁ δ τὸν ϛ οὔτε μεθ’ ἑαυτοῦ ἤτοι εἰς ἑαυτὸν γενόμενος, ὥσπερ ὁ β τὸν δ καὶ
ὁ γ τὸν θ, οὔτε μετ’ ἄλλου τινὸς πολλαπλασιασθείς.

7

.

29

Μέρη λέγω τοὺς ὑπολόγους, ὑποεπιτρίτους, ὑποεπι‐ τετάρτους.

7

.

30

Σημειωτέον, ὅτι, ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ καὶ ἕτερος ἑτέρου τὰ αὐτὰ ἤτοι τοιαῦτα, καὶ ὅσα μέρη ἐστὶν ὁ πρῶτος τοῦ δευτέρου, τοσαῦτα καὶ ὁ τρίτος τοῦ τετάρ‐ του τὰ αὐτά.

7

31t

Ad prop. 7

7

.

31

ὃ ἄρα μέρος ἐστίν p. 114, 4] δυνατὸν καὶ τοῦτο διὰ τὸ θʹ τοῦ εʹ τὴν πίστιν λαβεῖν. εἰσὶ γὰρ οἱ ἐν τούτῳ λόγοι καθολικοί τε καὶ πᾶσιν ἁρμόζοντες, οὐ μόνον μεγέθεσιν, ἀλλὰ καὶ ἀριθμοῖς.

7

32-34t

Ad prop. 8

7

.

32

Ἔστω ὁ ΑΒ μονάδων η, ὁ δὲ ΓΔ ιβ. ἔστιν ἄρα ὁ η τοῦ ιβ δύο τρίτα μέρη. οὐ γὰρ καταμετρεῖ οὐδ’ ὅλως ὁ η τὸν ιβ. εἰ δὲ βούλει, ἔστω ὁ ΑΒ ιβ, ὁ δὲ ΓΔ ιη. ἔστιν οὖν ὁ ιβ τοῦ ιη δύο τρίτα. καὶ διαιρεθήτω ὁ ΓΔ εἰς ιβ καὶ ϛ, ὁ
5δὲ ΑΒ εἰς η καὶ δ. ἔστιν ἄρα ὁ ΑΕ ὁ η τοῦ ΓΖ τοῦ ιβ δύο τρίτα, ὥσπερ καὶ ὁ ὅλος ὁ ΑΒ ὁ ιβ ὅλου τοῦ ΓΔ τοῦ ιη δύο τρίτα. καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΕΒ ὁ δ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τοῦ ϛ ἐστι δύο τρίτα.

7

.

33

εἰς τὰ τοῦ ΓΔ μέρη p. 114, 19. 20] τουτέστιν εἰς
μέρη ὡς εἶναι τὸ μὲν ΗΚ μέρος τοῦ ΓΖ, τὸ δὲ ΚΘ τοῦ ΖΔ. ὃ ἄρα ἐστὶν ὁ ΗΚ ὁ η τοῦ ΓΖ τοῦ ιβ, τοῦτό ἐστι καὶ ὁ ΚΘ ὁ δ τοῦ ΖΔ τοῦ ϛ· δύο γὰρ τρίτα καὶ ὁ η τοῦ ιβ καὶ
5ὁ δ τοῦ ϛ· ὡσαύτως, φησί, καὶ ὁ ΑΕ διῃρήσθω εἰς μέρη δυνάμενα εἶναι τῶν μερῶν τοῦ ΓΖ.

7

.

34

καὶ συναμφότερος ἄρα ὁ ΜΚ, ΝΘ p. 115, 13] διὰ τὸ κδʹ τοῦ εʹ. ἐὰν γὰρ πρῶτος ληφθῇ ὁ ΜΚ, δεύτερος ὁ ΖΔ, τρίτος ὁ ΗΚ, τέταρτος ὁ ΓΔ, πέμπτος ὁ ΝΘ, ἕκτος ὁ ΚΘ, καὶ συντεθῇ πρῶτος ὁ ΜΚ καὶ πέμπτος ὁ ΝΘ, πρὸς
5δεύτερον τὸν ΖΔ τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται καὶ τρίτος ὁ ΗΚ καὶ ἕκτος ὁ ΚΘ τετάρτου τοῦ ΓΔ. ἴσος δὲ συναμφότερος ὁ ΜΚ, ΝΘ τῷ ΒΕ. ἐπεὶ γὰρ ὁ ΗΘ ἴσος ὑπετέθη τῷ ΑΒ, οἱ δὲ ΗΜ, ΚΝ ἴσοι ἐδείχθησαν τοῖς ΑΛ, ΛΕ, καὶ λοιποὶ ἄρα οἱ ΜΚ, ΝΘ λοιπῷ τῷ ΕΒ ἴσοι εἰσίν. ἐὰν γὰρ ἀπὸ τῶν
10ἴσων ἴσα ἀφέλῃς, τὰ καταλειπόμενα ἴσα ἀλλήλοις εἰσί. καὶ τὰ λοιπὰ δῆλα.

7

35t

Ad prop. 9

7

.

35

ὥστε καὶ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΒΗ τοῦ ΕΘ ἢ μέρη p. 116, 20. 21] ὅτι δὲ ὁ ΒΗ ἐλάττων ἐστὶ τοῦ ΕΘ, δῆλον ἐκ τοῦ ιδʹ τοῦ εʹ· ἐὰν γὰρ τὸν Α πρῶτον θήσομεν, δεύτερον τὸν ΒΗ, τρίτον τὸν Δ, τέταρτον τὸν ΕΘ, ἐπεὶ ἐν τῷ αὐτῷ
5λόγῳ εἰσίν, ἔστι δὲ ὁ πρῶτος τοῦ τρίτου ἐλάσσων· ὑπ‐ ετέθη γάρ· καὶ ὁ δεύτερος ὁ ΒΗ δηλαδὴ τετάρτου τοῦ ΕΘ ἐλάσσων ἔσται. πᾶς δὲ ἀριθμὸς παντὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάττων
τοῦ μείζονος ἢ μέρος ἐστὶν ἢ μέρη διὰ τὸ δʹ τοῦ ζʹ.

7

36-37t

Ad prop. 10

7

.

36

Νοοῦμεν τὰ αὐτὰ μέρη τὸ μὲν πλῆθος τοῦ ποσοῦ τῶν μερῶν ἴσον, τὴν δὲ ποιότητα τῶν μερῶν ἀφ’ ἑκατέρου μέρους τῶν ἐλασσόνων ἀριθμῶν ἑνὸς μέρους πρὸς ἓν ἐξ ἀνάγκης τὴν αὐτὴν εἶναι, ἐνδέχεται δὲ ἐν πλείοσι μέρεσι
5τῶν ἐλασσόνων ἀριθμῶν τὴν ποιότητα καὶ τὴν αὐτὴν εἶναι καὶ οὐ τὴν αὐτήν, ὅτε εἰσὶ μέρη οἱ ἐλάσσονες ἀριθμοὶ τῶν μειζόνων.

7

.

37

Ὀρθῶς πρόσκειται τὸ μέρος ἢ μέρη· δυνατὸν γὰρ τὸν μὲν πρῶτον τοῦ δευτέρου μέρη εἶναι καὶ τὸν τρίτον τοῦ τετάρτου, μὴ μέντοι τὸν πρῶτον τοῦ τρίτου μέρη, ἀλλὰ μέρος, ὡσαύτως δὲ τούτῳ καὶ τὸν δεύτερον τοῦ τετάρτου,
5οἷον ὡς ὁ β καὶ ϛ καὶ ὁ γ καὶ θ καὶ πάλιν ὁ γ τοῦ ε καὶ ὁ ϛ τοῦ ι.

7

38-39t

Ad prop. 11

7

.

38

Τοῦτο τοῦ ζʹ καθολικώτερον. λέγω, ὅτι καὶ τῶν ἔμπροσθεν θεωρημάτων θεμέλιον· περὶ γὰρ ἀναλογιῶν ἐπὶ τούτοις διαλέξεται, ἐν δὲ τοῖς προλαβοῦσι περὶ λόγων ἁπλῶς.

7

.

39

Τούτῳ τῷ θεωρήματι ἐμπεριέχεται τό τε ἕβδομον καὶ ὄγδοον· καθολικώτερον γάρ.

7

40t

Ad prop. 12

7

.

40

Τοῦτο τοῦ εʹ καὶ ϛʹ καθολικώτερον· ἃ γὰρ ἐκεῖ διῃρημένως ἐπὶ μέρους ἢ μερῶν ἐδείκνυτο, ταῦτα ἐν τού‐
τῳ συνῃρημένως.

7

41t

Ad prop. 13

7

.

41

Καθολικώτερον δὲ τοῦτο τοῦ θʹ καὶ ιʹ θεωρήματος.

7

42-43t

Ad prop. 14

7

.

42

Τῶν ἀναλογιῶν ἡ μέν ἐστι συνεχής, ἡ δὲ διεχής, καὶ συνεχὴς μέν, ὡς ὅταν ἐστὶν ὡς ὁ α πρὸς τὸν β, οὕτως ὁ β πρὸς τὸν γ καὶ ὁ γ πρὸς τὸν δ καὶ ἑξῆς ὁμοίως, διεχὴς δέ, ὡς ὅταν ὡς ὁ α πρὸς τὸν β, οὕτως ὁ γ πρὸς τὸν δ καὶ ὁ ε
5πρὸς τὸν ϛ καὶ ἐφεξῆς. ἰστέον οὖν, ὅτι ὁ δι’ ἴσου λόγος ἐν τῇ συνεχεῖ μόνῃ ἀναλογίᾳ θεωρεῖται, οὐ μέντοι καὶ ἐν τῇ διεχεῖ, οἷον ἔστωσαν ἀριθμοὶ τρεῖς, ὁ α, ὁ β καὶ ὁ δ, καὶ ἄλλοι αὐτοῖς ἴσοι τὸ πλῆθος, ὁ γ, ὁ ϛ καὶ ὁ ιβ. οὗτοι τὴν συνεχῆ φυλάττουσιν ἀναλογίαν, καὶ λαμβανόντων ἡμῶν
10τὰ ἄκρα ὁ αὐτὸς ἐν ἀμφοτέροις ἐστὶ λόγος· ὡς γὰρ ἔχει ἡ μονὰς πρὸς τὸν δ, οὕτως ὁ γ πρὸς τὸν ιβ, καὶ τὸ δι’ ἴσου τετήρηται. ἐν δὲ τῇ διεχεῖ ἀναλογίᾳ ἥκιστα τὸ τοιοῦτόν ἐστι γινόμενον. οἷον ἐν διεχεῖ ἀναλογίᾳ ἔστωσαν ἀριθμοὶ δ ὁ α ὁ β ὁ γ ὁ ϛ καὶ ἄλλοι αὐτοῖς ἴσοι τὸ πλῆθος σύνδυο λαμ‐
15βανόμενοι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὁ δ ὁ η ὁ ε ὁ ι. ἐν τούτοις εἰ καὶ δι’ ἴσου εἰπόντες τὰ ἄκρα λάβοιμεν, οὐδὲν εὑρήσο‐ μεν ὅμοιον· ἡ γὰρ μονὰς τοῦ ϛ μέρος ἐστὶ καί ἐστιν αὐτοῦ ἕκτον α· ὁ δὲ δ τοῦ ι μέρη ἐστί· δέκατα γὰρ αὐτοῦ ἔχει δ. ὥστε ὁ μὲν ϛ τῆς μονάδος ἑξαπλάσιος ὢν πολλαπλάσιός
20ἐστιν ἁπλῶς, ὁ δὲ ι τοῦ δ διπλασιεφήμισυς ὢν ἐπιδιμερής
ἐστιν αὐτοῦ, τὸ δὲ ἐπιδιμερὲς τοῦ ἐπιμεροῦς εἶδός ἐστιν, ἐπὶ πολλαπλασίου δὲ λόγου καὶ εἴδους ἐπιμεροῦς οὐδὲν ἂν διαμάρτοι ὁ τὸ Ὁμήρειον ἐκεῖνο λέγων ἔπος τὸ ἦ μάλα πολλὰ μεταξὺ
25οὔρεά τε σκιόεντα θάλασσά τε ἠχήεσσα.

7

.

43

Ἡ τοῦ ιδʹ θεωρήματος δεῖξις διὰ τοῦ πρὸ αὐτοῦ ἐστιν. κατὰ τὸ κβʹ τοῦ εʹ.

7

44-45t

Ad prop. 15

7

.

44

Τοῦτο τῷ θʹ ἐμπεριέχεται.

7

.

45

Διὰ τὸ ιβʹ τοῦ αὐτοῦ. σημειωτέον δέ, ὡς ὁ στοιχειω‐ τὴς καὶ τὴν μονάδα ἀριθμὸν ὀνομάζει.

7

46t

Ad prop. 16

7

.

46

Διὰ τὸν ὅρον τὸν λέγοντα· ἀριθμὸς ἀριθμὸν πολλα‐ πλασιάζειν λέγεται, ὅταν, ὅσαι εἰσὶν ἐν αὐτῷ μονάδες, τοσαυτάκις συντεθῇ ὁ πολλαπλασιαζόμενος καὶ γένηταί τις.

7

47t

Ad prop. 17

7

.

47

ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ Ζ μονάς p. 124, 5] εἰ γὰρ ἰσάκις ἡ Ζ μονὰς καὶ ὁ Β ἀριθμὸς τοὺς Α, Δ μετροῦσι, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ Ζ μονὰς τοῦ Α ἀριθμοῦ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Β τοῦ Δ.

7

48-49t

Ad prop. 18

7

.

48

Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ ὁ μὲν Α δ, ὁ δὲ Β β, ὁ δὲ Γ γ, καὶ πολλαπλασιάσαντες ὁ δ καὶ ὁ β τὸν γ ποιείτωσαν τὸν ιβ
καὶ ϛ.

7

.

49

Τὸ ιηʹ θεώρημα τῷ πρὸ αὐτοῦ ἀντιστρέφει· εἷς μὲν γὰρ δύο πολλαπλασιάζει ἐκεῖ, δύο δὲ ἕνα ἐνταῦθα.

7

50t

Ad prop. 19

7

.

50

ὡς δὲ ὁ Η πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β p. 126, 12] εἴ τις ἀποροίη λέγων· πόθεν δῆλον, ὅτι ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β; φήσομεν, ὅτι ἀναγκαίως τοῦτο ἔχει. ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β τὸν Γ πολλαπλασιάσαντες
5τοὺς Η, Ζ πεποιήκασιν, ἐδείχθη δέ, ὅτι, εἰ δύο ἀριθμοὶ ἕνα πολλαπλασιάσαντες ποιήσουσί τινας, οἱ γενόμενοι τὸν αὐτὸν αὐτοῖς λόγον ἕξουσιν, εἰκότως ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, καὶ τὰς λαβὰς διεφύγομεν.

7

51-55t

Ad prop. 20

7

.

51

Ἐλάχιστοι κατὰ ὄγκον, κατὰ δὲ ἀριθμὸν ἴσοι, ὡς ὁ κ πρὸς τὸν λ, οὕτως ὁ β πρὸς τὸν γ, ἀριθμοὶ ἴσοι δύο καὶ δύο, πλῆθος ἐλάχιστον β καὶ γ, μεῖζον κ καὶ λ.

7

.

52

Διὰ τὸν ἐναλλὰξ λόγον καὶ τὸν ὅρον τοῦ ζʹ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν ΕΖ· καὶ ἐπεὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ἢ τὸ αὐτὸ μέρος ἢ τὰ αὐτὰ μέρη εἰσὶν ὁ βʹ καὶ ὁ δʹ.

7

.

53

Ἐπεὶ γὰρ ὡς ὁ Α πρὸς Β, οὕτως ὁ ΓΔ πρὸς ΕΖ, ἐναλλὰξ ὡς ὁ Α πρὸς ΓΔ, οὕτως ὁ Β πρὸς ΕΖ. ἐὰν ἄρα μέρη ᾖ ὁ ΓΔ τοῦ Α, καὶ ὁ ΕΖ μέρη ἔσται τοῦ Β, καὶ τόσα, ὅσα καὶ ὁ ΓΔ τοῦ Α καὶ οἷα· οἷον εἰ δύο τρίτα, κἀκεῖνα δύο
5τρίτα, καὶ εἰ δύο 𐅵ʹʹ ὡσαύτως, καὶ ἐφεξῆς.

7

.

54

Καὶ ἐπεί ἐστιν ὁ ΓΗ μέρος τοῦ Α καὶ ὁ ΕΘ μέρος τοῦ Β, τὸ αὐτὸ μέρος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάττων τοῦ μείζονος, ὅταν καταμετρῇ τὸν μείζονα, ὁσαπλάσιός ἐστιν ὁ Α τοῦ ΓΗ, τοσαυταπλάσιος καὶ ὁ Β τοῦ ΕΘ,
5ὡσαύτως δὲ καὶ τοῦ ΗΔ ὁ Α καὶ ὁ Β τοῦ ΘΖ.

7

.

55

ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον p. 127, 21] ἀδύνατον πόθεν; ἐπειδὴ ἐλαχίστων δοθέντων τῶν ΓΔ, ΕΖ ἐλάττονες αὐτῶν εὑρέθησαν οἱ ΓΗ, ΕΘ· ὅπερ ἀδύνατον τῶν ἐλαχίστων ἐλαχιστοτέρους εἶναι.

7

56-57t

Ad prop. 22

7

.

56

Τοῦτο ἀντιστρέφει τῷ πρὸ αὐτοῦ.

7

.

57

ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον p. 130, 5] ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β ἐλάχιστοι ὑπετέθησαν τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, μετροῦσι δὲ αὐτοὺς οἱ Δ, Ε, πάντως ἐλάσσονες αὐτῶν εἰσιν· εὑρέθησαν δὲ καὶ τὸν αὐτὸν αὐτοῖς λόγον ἔχοντες, τοῦτο δὲ
5ἀδύνατον ὡς ἐναντίον τῆς ὑποθέσεως.

7

58t

Ad prop. 24

7

.

58

οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι p. 131, 21] πρῶτοί εἰσιν οἱ Α, Ε διὰ τὸ κεʹ τοῦ ζʹ. ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Γ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσί, τὸν δὲ ἕνα αὐτῶν τὸν Γ μετρεῖ ὁ Ε, καλῶς ἄρα πρὸς τὸν λοιπὸν αὐτῶν τὸν Α πρῶτός ἐστιν.

7

59t

Ad prop. 25

7

.

59

Οἷον ὁ ζ καὶ ε πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους. οἷον βούλει,
πολυπλασίασον, καὶ ἔσται ὁ γενόμενος πρὸς τὸν λοιπὸν ὡσαύτως πρῶτος. εἰ δὲ καὶ ἀμφοτέρους πολυπλασιάσεις, οἱ ἐξ ἀμφοτέρων γενόμενοι πάλιν πρὸς ἀλλήλους πρῶτοί
5εἰσιν.

7

60-61t

Ad prop. 26

7

.

60

Ἐάν, φησίν, οἱ Α, Β ἀμφότεροι πρὸς τὸν Γ πρῶτοι ὦσιν, ὁμοίως πάλιν οἱ αὐτοὶ Α, Β καὶ πρὸς τὸν Δ πρῶτοι ὦσιν, ἔστιν, ὃ λέγει· οὐ γὰρ λέγει, ὅτι, ἂν ὁ Α πρὸς τὸν Γ ᾖ πρῶτος καὶ ὁ Β πάλιν πρὸς τὸν Δ, ἀλλὰ ἂν οἱ Α, Β πρὸς
5τὸν Γ ὦσι πρῶτοι καὶ πάλιν οἱ αὐτοὶ Α, Β πρὸς τὸν Δ ὦσι πρῶτοι.

7

.

61

ἑκάτερος ἄρα τῶν Γ, Δ πρὸς τὸν Ε p. 133, 10. 11] διὰ τὸ δοθῆναι τοὺς Α, Β πρὸς ἑκάτερον τῶν Γ, Δ πρώτους εἶναι, δείκνυται δὲ διὰ τοῦ θεωρήματος τοῦ κδʹ, ὅτι, ἐὰν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρός τινα τὸν Δ πρῶτοι ὦσιν, καὶ ὁ
5ἐξ αὐτῶν γενόμενος ὁ Ε πρὸς τὸν Δ πρῶτός ἐστιν. ὁμοίως διὰ τοῦ αὐτοῦ θεωρήματος ἐδείχθη καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε πρῶτος· ἑκάτερος ἄρα τῶν Γ, Δ πρὸς τὸν Ε πρῶτός ἐστιν.

7

62t

Ad prop. 29

7

.

62

Καλῶς εἴρηται τὸ ὃν μὴ μετρεῖ· οὐδὲ γὰρ πρὸς ὃν μετρεῖ πρῶτός ἐστιν. οἷον ὁ γ πρῶτος ὢν καὶ τὸν ιε μετρῶν οὐκ ἔστι πρῶτος πρὸς αὐτόν· μετρεῖ γὰρ ὁ γ καὶ
ἑαυτόν, ὥστε κοινὸν μέτρον ὁ γ ἑαυτοῦ τε καὶ τοῦ ιε ἐστιν.

7

63t

Ad prop. 30

7

.

63

Τὸν γὰρ Α μὴ μετρείτω p. 137, 10] δέδοται ἕνα μετρεῖν, ὡς ὑποκάτω ἐμφαίνει εἰς τό· ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐὰν τὸν Β μὴ μετρῇ.

7

64-65t

Ad prop. 31

7

.

64

ἐπισκέψεως p. 138, 14] ἀντὶ κατανοήσεως.

7

.

65

ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον ἐν ἀριθμοῖς p. 138, 17] ἐν ἀριθμοῖς γὰρ ἀπειρία κατὰ τὸ ἔλαττον οὐκ ἔστι· πεπεράτων‐ ται γὰρ οἱ ἀριθμοὶ κατὰ τὴν μονάδα, ἥτις ἐστὶ κοινὸν πάν‐ των μέτρον καὶ πρῶτον.

7

66-67t

Ad prop. 33

7

.

66

Ὁ ρκη καὶ ὁ ξδ καὶ ὁ λβ τὸν διπλασίονα λόγον ἔχουσι. κοινὸν μέγιστον μέτρον αὐτοῖς ὁ ιϛ· ὀκτάκις γὰρ ιϛ καὶ τετράκις ιϛ καὶ δὶς δεκαὲξ ἀπογεννῶσιν ἐκείνους. καὶ αὐτοὶ οὖν ὁ ὀκτὼ ὁ δ καὶ ὁ β τὸν αὐτὸν ἐκείνοις ἔχουσι λόγον.

7

.

67

οἱ Ε, Ζ, Η ἄρα τοῖς Α, Β, Γ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν p. 140, 6] διὰ ιηʹ τοῦ ζʹ, ὅτι, ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας καὶ τὸ λοιπόν, ὡς οὐκ ἐπὶ δύο πάντως μόνον ἀριθμῶν ἁρμόζοντος, ἀλλὰ καὶ
5ἐπὶ πλειόνων τοῦ αὐτοῦ προχωροῦντος.

7

68-71t

Ad prop. 34

7

.

68

καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Α πολλαπλασιάσας p. 141, 10. 11] διὰ τὸν ὅρον τὸν λέγοντα· ἀριθμὸς ἀριθμὸν πολλαπλασιά‐
ζειν λέγεται, ὅταν, ὅσαι εἰσὶν ἐν αὐτῷ μονάδες. ἤδη δὲ μετρεῖ διὰ ιϛʹ καὶ ὁ Α τὸν Γ κατὰ τὰς ἐν τῷ Β μονάδας·
5ὁμοίως καὶ ὁ Β τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας.

7

.

69

λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον p. 141, 12] ἐλάχιστον λέγει, οὗ ἐλάττονα οὐχ οἷόν τε ὑπὸ τῶν δοθέντων δύο ἀριθμῶν μετρηθῆναι, οἷός ἐστιν ὁ ιε· τούτου γὰρ ἐλάττονα ὑπὸ τοῦ γ καὶ ε οὐχ οἷόν τε μετρηθῆναι.

7

.

70

ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα p. 142, 7] ὑπετέθη γὰρ ἐξ ἀρχῆς ἐλάττων ὁ Δ.

7

.

71

καὶ εἰλήφθωσαν p. 142, 10. 11] διὰ τὸ λεʹ τοῦ ζʹ· οὗτοι γὰρ οὐκ εἰσὶν ἐλάχιστοι· εἰ γὰρ ἐλάχιστοι, καὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.

7

72-73t

Ad prop. 37

7

.

72

Οἷον τὸ γʹ καὶ δʹ καὶ εʹ καὶ ἑξῆς ὁσαδηποτοῦν, εἰ λάβοις ταῦτα, ὁμώνυμα λέγεται τῶν ἀριθμῶν ἐκείνων, ὧν ὁμώνυμά ἐστι τὰ διδόμενα, οἷον τοῦ γ ἀριθμοῦ ὁμώνυ‐ μον μέρος ἐστὶ τὸ γʹ καὶ τοῦ δ τὸ δʹ καὶ τοῦ ε ἀριθμοῦ
5ὁμώνυμον μέρος ἐστὶ τὸ εʹ, καὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως, ὧν ἂν δῷ τις ἀριθμῶν, ἕξει τὰ ὁμώνυμα μέρη.

7

.

73

Τὰ πάντα τῷ ἀριθμῷ, καθ’ ὃν καὶ ταυτίζονται, ὁμώνυμά ἐστιν, οἷον γʹ κατὰ τὸν τρία καὶ δʹ κατὰ τὸν
τέσσαρα.

7

74-75t

Ad prop. 38

7

.

74

Ἔστω ὁ Α μονάδων η, ὁ δὲ Β δ καὶ ὁ Γ β. ὁ β τέταρ‐ τόν ἐστι τοῦ η, ὁμώνυμος δὲ τῷ δ· ἀπὸ γὰρ τοῦ δ ὠνόμα‐ σται ὁ β τέταρτον τοῦ η. ἔστιν οὖν τὸ τρίτον καὶ τέταρτον καὶ πέμπτον ὁμώνυμον τῷ τρία ἀριθμῷ καὶ τῷ δ καὶ τῷ ε.

7

.

75

Τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ὁμώνυμα ταὐτά εἰσι τῷ μέρει ἢ πέμ‐ πτα ἢ ἕκτα ἢ ἕβδομα ἢ ὄγδοα, τὰ δὲ τῷ αὐτῷ μέρει οὐκ ἐξ ἀνάγκης ταὐτὰ τῷ πλήθει, τουτέστι τοῖς μονάσιν.

7

76-81t

Ad prop. 39

7

.

76

Ἔστω τὰ δοθέντα μέρη δέκα, καὶ δέον ἔστω εὑρεῖν τοιοῦτον ἀριθμὸν ἐλάχιστον, ὃς ἔχει τὰ δέκα μέρη. ἔστι δὲ ὁ ξ· τούτου γὰρ οὐκ ἂν εὕροις ἐλάττονα, ὃς ἕξει ταῦτα τὰ μέρη τό τε ἥμισυ καὶ τρίτον καὶ τέταρτον καὶ πέμπτον καὶ
5ἕκτον καὶ δέκατον καὶ δωδέκατον καὶ πεντεκαιδέκατον καὶ εἰκοστὸν καὶ τριακοστὸν [καὶ ἑξηκοστόν]. ἔστι δὲ τὸ μὲν ἥμισυ τῶν ξ ὁ λ ἀριθμός, τὸ δὲ γʹ ὁ κ, τὸ δὲ δʹ ὁ ιε, τὸ δὲ πέμπτον ὁ ιβ, τὸ δὲ ϛʹ ὁ ι, τὸ δὲ ιβʹ ὁ ε, τὸ δέκατον ὁ ϛ, τὸ δὲ πεντεκαιδέκατον ὁ δ, τὸ δὲ κʹ ὁ γ, τὸ δὲ τριακοστὸν ὁ
10β, καὶ τὸ ἑξηκοστὸν δέ ἐστιν ἡ μονάς.

7

.

77

Ὁ ͵βφκ ἐλάχιστος ὢν ἀριθμὸς ἔχει 𐅵ʹʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ἕβδομον, ὄγδοον, θʹ, ιʹ, καὶ ὁ διπλασίων αὐτοῦ ὁ ͵εμ ἔχει
𐅵ʹʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ζʹ ηʹ θʹ ιʹ.

7

.

78

Ὁ ͵βφκ ἐλάσσων ἀριθμὸς ὢν ἔχει καὶ ὁ βπλασίων αὐτοῦ ͵εμ ἔχει 𐅵ʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ζʹ ηʹ θʹ ιʹ. ὁμώνυμοι δὲ τῶν μορίων τούτων ἀριθμοί εἰσι τοῦ μὲν 𐅵ʹ ὁ β, τοῦ δὲ τρίτου ὁ γ, τοῦ δὲ δʹ ὁ τέσσαρα καὶ ἑξῆς.

7

.

79

Τοῦτο καθολικώτερον τοῦ δύο ἀριθμῶν δοθέντων καὶ τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦ‐ σιν. τὰ μέντοι δύο περὶ τῶν ὁμωνύμων θεωρήματα ἔοικε τῆς κατὰ τοῦτο τὸ θεώρημα χρείας ἕνεκα παρειλῆφθαι καὶ
5διὰ μέσου τεθεῖσθαι.

7

.

80

Πολλῶν ἀριθμῶν ὄντων καὶ ἐχόντων τὰ αὐτὰ μέρη, οἷον εἰ τύχοι δίδοσθαι 𐅵ʹ γʹ δʹ εʹ, εὑρεῖν τὸν ἐλάχιστον ἀριθμὸν πάντων τῶν τὰ αὐτὰ μέρη ἐχόντων αὐτοῖς.

7

.

81

ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον p. 148, 19] κατεσκευάσθη γὰρ
ὁ Η ὑπὸ τῶν Δ, Ε, Ζ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμός.

8

t

In librum 8

8

1t

Ad prop. 2

8

.

1

Ἰστέον, ὅτι, ὁπηνίκα λέγομεν ἀριθμοὺς εὑρεῖν φέρε εἰπεῖν δ ἑξῆς ἀνάλογον ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ, τὸ λεγόμενον διὰ τῆς προτάσεως τοιοῦτόν ἐστι· τίνες εἰσὶν οἱ τέσσαρες ἀριθμοί, οἵτινες κατὰ συνέχειαν τὴν αὐτὴν πρὸς ἀλλήλους
5δύνανται σώζειν συνέχειαν, οἵτινες καὶ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, ἐλάχιστοι δέ, οὐχ ὅτι οὐ δύνανται ἐλαχιστότεροι αὐτῶν εὑρεθῆναι τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντες αὐτοῖς (τοῦτο γὰρ ψεῦδός ἐστιν), ἀλλ’ ὅτι ἑξῆς τέσ‐ σαρες ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἐλαχιστότεροι οὐ δύνανται ἄλλοι
10εὑρεθῆναι. οἷον τέσσαρες ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ὁ ὀκτὼ καὶ ὁ ιβ καὶ ὁ ιη καὶ ὁ κζ ἐν ἡμιολίῳ λόγῳ, καὶ τούτων εἰσὶν ἄλλοι ἐλαχιστότεροι ἐν ἡμιολίῳ λόγῳ, τέσσαρες δὲ οὐδα‐ μῶς, ἀλλ’ οἱ εὐθὺς μετ’ αὐτοὺς ἐλάχιστοι κατὰ συνέχειαν ἡμιόλιοι τρεῖς εἰσιν οἷον ὁ δ ὁ ϛ ὁ θ, πάλιν οἱ τῶν δ ϛ θ
15ἐλαχιστότεροι δύο εἰσί, τρεῖς δὲ οὐδαμῶς, οἷον ὁ γ καὶ ὁ β. ἔστιν οὖν τὸ λεγόμενον τὸ ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους δυνάμει τοιοῦτον· δεῖ εὑρεῖν τέσσαρας ἀνάλο‐ γον ἀριθμούς, οἵτινες ἔσονται ἐλάχιστοι, τουτέστιν ὧν ἐλαχιστότεροι κατὰ συνέχειαν τέσσαρες οὐ δύνανται εὑρε‐
20θῆναι. κἂν οὖν ἑπτὰ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους κἂν ι εὑρί‐
σκειν κἂν ἄλλους ὅσους δή τινας παρακελευώμεθα, τοιοῦ‐ τόν τι προσταττόμεθα. εὑρεῖν οὖν δεῖ τέσσαρας ἐλαχίστους, ὧν τεσσάρων ἄλλοι τέσσαρες ἑξῆς ἐλαχιστότεροι οὐ δύναν‐ ται εἶναι, ἢ εὑρεῖν δέκα ἑξῆς ἐλαχίστους, ὧν δέκα ἕτεροι
25δέκα ἑξῆς ἐλαχιστότεροι οὐ δύνανται εἶναι.

8

2t

Ad prop. 2 coroll.

8

.

2

Ἴσμεν, ὅτι, ἐὰν ἀριθμός τις ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γεγονὼς ἐκ τοῦ ἑαυτοῦ πολλαπλασιασμοῦ τετράγωνός ἐστιν, εἰ δὲ τοῦτο, ὁ δὲ Α ἑαυτὸν πολλαπλα‐ σιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Γ τετράγωνός ἐστι. πάλιν ἐπεὶ
5ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, ὁ Ε τετρά‐ γωνός ἐστι. καὶ ἐπεὶ πάλιν ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, τὸν δὲ Γ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ πε‐ ποίηκεν, ὁ Ζ κύβος ἐστί. πάλιν ἐπεὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλα‐ σιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Κ
10πεποίηκεν, ὁ Κ ἄρα κύβος ἐστίν.

8

3-4t

Ad prop. 3

8

.

3

Πυθμενικὸς δὲ πυθμὴν πειράζεται διὰ ληʹ τοῦ ζʹ.

8

.

4

Τὸ πρῶτον καὶ τὸ τρίτον προαποδέδεικται, εἴπερ ἴσμεν, ὅτι οἱ ἐλάχιστοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν καὶ ἔμπαλιν. οὐ μὴν ἀλλὰ ταῦτα καθολικώτερά ἐστιν. λαβὼν γὰρ τοὺς ἄκρους πρώτους οὐκ αὐτοὺς μόνους ἀποδεῖξαι
5ἐλαχίστους βούλεται, ἀλλὰ καὶ τοὺς μέσους αὐτῶν ἀνάλο‐ γον ἐλαχίστους. καὶ ἐν τῷ τρίτῳ δὲ λαβὼν τοὺς ἄκρους ἐλαχίστους οὐ μόνον, ὅτι πρῶτοι, ἀποδείκνυσιν, ἀλλὰ καὶ ὅτι οἱ μέσοι αὐτῶν ἀνάλογον ἐλάχιστοι. ὥστε διὰ μὲν τῶν εἰλημμένων ἐλαχίστων καὶ τοὺς μὴ εἰλημμένους ἐλαχίστους
10δείκνυσι πρώτους, διὰ δὲ τῶν εἰλημμένων πρώτων καὶ τοὺς μέσους εἰλημμένους πρώτους δείκνυσιν ἐλαχίστους. εἰκό‐
τως ἄρα οὐκ ἠρκέσθη ἐκείνοις μόνοις.

8

5-8t

Ad prop. 4

8

.

5

Ὁποσωνοῦν δηλοῖ τὸ διάφορον ἡμιολίου, εἰ τύχοι, καὶ ἐπιτρίτου καὶ ἐπιτετάρτου καὶ ἐπιέκτου καὶ ὁσωνδήποτε. οὗτοι οὖν οἱ λόγοι κεχωρισμένοι. τούτους τοὺς λόγους δια‐ φόρους τε ὄντας καὶ κεχωρισμένους βούλεται συνεχεῖς καὶ
5ἀχωρίστους δεῖξαι ἔχοντας τὸν αὐτὸν λόγον τοῖς δοθεῖσι κεχωρισμένως. οἷον ἐν ἡμιολίῳ μὲν ὁ γ πρὸς τὸν β, ἐν ἐπι‐ τρίτῳ ὁ δ πρὸς τὸν γ, ἐν ἐπιτετάρτῳ ὁ ε πρὸς τὸν δ. τού‐ των οὖν οὕτως ἐχόντων δείκνυσι τοὺς λόγους τούτους συν‐ ημμένους καὶ ἀχωρίστους ὄντας, ὡς ὑπόκεινται, ὁ ξ ὁ μ ὁ λ
10ὁ κδ.

8

.

6

ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η p. 154, 19. 20] ἢ διὰ τὸν ὅρον καὶ ἐναλλὰξ ἢ διὰ τὸν ὅρον καὶ ἀνάπαλιν ἢ διὰ τὸ ιζʹ τοῦ ζʹ, ὁσάκις οἱ Α, Β μετροῦσι τοὺς Η, Θ, τοσαῦται μονάδες εἰσὶν ἐν τῷ Γ.

8

.

7

διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Ξ μετρεῖ p. 155, 11. 12] πῶς διὰ τὰ αὐτά; ἢ ἐπεί ἐστι κατὰ τὴν ὑπόθεσιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ξ πρὸς τὸν Μ. καὶ ἐναλλὰξ ἄρα καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ξ, ὁ Δ πρὸς τὸν Μ. ἀλλὰ μὴν οἱ Γ, Δ ἐλά‐
5χιστοι. μετρεῖ ἄρα ὁ Γ τὸν Ξ.

8

.

8

καὶ ὁ Κ ἄρα τὸν Σ μετρεῖ p. 157, 13] ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ρ πρὸς τὸν Σ, ὡς δὲ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Κ, καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Κ, οὕτως ὁ Ρ πρὸς τὸν Σ. καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ὁ Η πρὸς τὸν
5Ρ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Σ. μετρεῖ δὲ ὁ Η τὸν Ρ· καὶ ὁ Κ ἄρα
τὸν Σ μετρήσει.

8

9-11t

Ad prop. 5

8

.

9

Οἱ ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσι τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· οἷον ἔχουσιν αἱ πλευραὶ τὸν διπλάσιον καὶ τὸν ἡμιόλιον, ἐξ αὐτῶν δὲ ὁ τριπλάσιος σύγκειται. οἱ ἐπίπεδοι ἄρα ἔχουσι λόγον τὸν συγκείμενον
5ἐκ τῶν πλευρῶν.

8

.

10

Μέθοδος, πῶς δεῖ εὑρίσκειν, ὅτι ἐκ διπλασίου καὶ ἡμιολίου σύγκειται ὁ τριπλάσιος λόγος. Αἱ τῶν λόγων πηλικότητες ἀπὸ τῶν πρωτοτύπων ἀριθ‐ μῶν παρονομάζονται, οἷον ὡς ἐνταῦθα ἀπὸ τοῦ δύο ὁ δι‐
5πλάσιος καὶ ἀπὸ τοῦ ἓν καὶ ἥμισυ ὁ ἡμιόλιος. πολυπλα‐ σίασον οὖν τὸν ἓν καὶ ἥμισυ ἐπὶ τὰ β καὶ εἰπὲ οὕτως· ἅπαξ τὰ β β καὶ ἡμισάκις τὰ β α· ὁμοῦ γ. ὥστε τριπλάσιος λόγος ἀποτελεῖται ἐκ τῶν δύο λόγων τοῦ τε διπλασίου καὶ τοῦ ἡμιολίου.

8

.

11

Οἱ δύο ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ ὅ τε μη καὶ ὁ ιβ συγκείμενοι ὁ μὲν μη ὑπὸ δύο πλευρῶν τοῦ τε ιβ καὶ τοῦ δ, ὁ δὲ ιβ ὑπὸ τοῦ β καὶ τοῦ ϛ· ὃν οὖν λόγον ἔχει ὁ μη πρὸς τὸν ιβ, τὸν αὐτὸν δὶς ὁ δ πρὸς τὸν β, τουτέστι τετραπλάσιον. ὡσαύτως
5καὶ ὁ ιβ πρὸς τὸν ϛ·

8

12-13t

Ad prop. 6

8

.

12

Ἔστωσαν ἡμιόλιοι καὶ ἔστω ὁ Α μονάδων λβ, ὁ δὲ Β μονάδων μη καὶ ὁ Γ οβ καὶ ὁ Δ ρη καὶ ὁ Ε ρξβ. δῆλον οὖν, ὅτι ὁ Α τοῦ Β ὑφημιόλιός ἐστι καὶ οὐ μετρεῖ αὐτόν. ὁμοίως καὶ οἱ λοιποὶ οἱ ἐλάσσονες ὑφημιόλιοί εἰσι τῶν μειζόνων,
5καὶ οὐ μετρεῖ οὐδεὶς οὐδένα.

8

.

13

ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ p. 160, 4] καὶ ὁ Θ τοῦ Ζ δὶς
ἐπιτέταρτός ἐστι καὶ ὁ Γ τοῦ Α.

8

14-18t

Ad prop. 8

8

.

14

Ἔστω ὁ Α μονάδων κδ, ὁ δὲ Β γ, ὁ δὲ Η ιϛ καὶ ὁ Λ β, ὁ δὲ Ε μη καὶ ὁ Ζ ϛ· δῆλον δή, ὅτι καὶ Α τοῦ Β ὀκταπλά‐ σιός ἐστι καὶ ὁ Η τοῦ Λ καὶ ὁ Ε τοῦ Ζ.

8

.

15

Οἷον μεταξὺ τοῦ δύο καὶ νδ δύο μόνοι ἀνάλογον κατὰ συνεχῆ ἀναλογίαν ἐμπίπτουσιν ἀριθμοὶ ὅ τε ἓξ καὶ ὁ ιη ἐν λόγῳ τριπλασίονι. ἔστι δὲ καὶ ὁ νδ τοῦ δύο ἑπτα‐ καιεικοσαπλάσιος. εἰ οὖν ἄλλους ἀριθμοὺς ἐκθώμεθα τὸν
5αὐτὸν τοῖς δύο καὶ νδ λόγον ἔχοντας, δύο μόνους μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτοντας εὑρήσομεν. οἷον ἐν λόγῳ ἑπταπλασίονι ἐκκείσθω τὰ τρία καὶ πα. λέγω, ὅτι καὶ τούτων μεταξὺ δύο μόνοι ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται· καὶ γὰρ ὁ θ καὶ ὁ κζ μόνοι ἐμπεσοῦνται καὶ οὐ πλείονες.

8

.

16

ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ p. 161, 17] πυθμενικῶς διὰ τὸ βʹ τοῦ ηʹ, ὃ ἐδείχθη ἐν τῷ βʹ.

8

.

17

οἱ Η, Λ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν p. 161, 19] οὐθεὶς γὰρ ἀριθμὸς τὸν β καὶ ιϛ μετρεῖ, εἰ μὴ μόνη ἡ μο‐ νάς.

8

.

18

οἱ Η, Θ, Κ, Λ ἄρα τοῖς Ε, Μ, Ν, Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λό‐ γῳ εἰσίν· p. 162, 6. 7] διὰ τὸ ιηʹ τοῦ ζʹ τὸ λέγον· ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας καὶ τὰ ἑξῆς, ὡς οὐκ ἐπὶ β μόνον ἁρμόζοντος τούτου, ἀλλὰ καὶ
5ἐπὶ τριῶν καὶ πλειόνων προχωροῦντος. ὅτι δὲ οἱ Η, Θ, Κ, Λ ἕνα τινὰ ἀριθμὸν πολλαπλασιάσαντες τοὺς Ε, Μ, Ν, Ζ πεποιήκασι, φανερόν· ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις αὐτοὺς μετροῦσι, πάντως ἕνα ἀριθμὸν πολλαπλασιάσαντες πεποιήκασιν αὐ‐
τούς, εἰ δὲ τοῦτο, εἰκότως ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν αὐτοῖς.

8

19-20t

Ad prop. 9

8

.

19

Ἔστωσαν πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, ὁ μὲν Α μονάδων κζ, ὁ δὲ Β μονάδων η. καὶ μεταξὺ ἐμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ὁ ιβ καὶ ὁ ιη. τοσοῦτοι καὶ μεταξὺ τῆς μονάδος καὶ τοῦ κζ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦν‐
5ται, δύο δηλονότι. ὡσαύτως καὶ μεταξὺ τῆς μονάδος καὶ τοῦ η β. καί εἰσι μεταξὺ τῆς μονάδος καὶ τοῦ κζ ὁ γ καὶ ὁ θ, μεταξὺ δὲ τῆς μονάδος καὶ τοῦ η ὁ β καὶ ὁ δ.

8

.

20

Τριγωνικοὶ ἀριθμοί, καὶ οἶμαι ἐξ αὐτῶν εὑρίσκεται ἡ σύνθεσις τῶν λόγων ἐκ τοῦ λόγου τοῦ ὄντος μεταξὺ τῶν δύο πρὸς ἀλλήλους δοθέντων πρώτων ἀριθμῶν καὶ τοῦ μεταξὺ τοῦ ἐλάττονος τῶν πρώτων πρὸς ἀλλήλους δοθέν‐
5των καὶ τῆς μονάδος· εὑρίσκεται ἡ σύνθεσις τῶν λόγων τούτων ἐν τῷ μεταξὺ τῆς μονάδος καὶ τοῦ μεγίστου τῶν πρώτων πρὸς ἀλλήλους δοθέντων.

8

21-23t

Ad prop. 10

8

.

21

Τοῦτο ἀντίστροφόν ἐστι τῷ πρὸ αὐτοῦ.

8

.

22

Ἐὰν ὅσοι, φησίν, ἀριθμοὶ μεταξὺ μονάδος καὶ τοῦ Α ἀριθμοῦ ἐμπίπτωσι, τοσοῦτοι καὶ μεταξὺ τοῦ Β καὶ πάλιν αὐτῆς τῆς μονάδος ἐμπίπτωσι, τοσοῦτοι, φησίν, κατὰ τὸ συνεχὲς ἑξῆς ἀνάλογον καὶ μεταξὺ τοῦ Α καὶ Β ἐμπεσοῦν‐
5ται. ἔστω ὁ Α ἀριθμὸς μονάδων κζ καὶ μονὰς ἡ Γ, καὶ με‐ ταξὺ τῆς Γ μονάδος καὶ τοῦ Α ἀριθμοῦ ἔστωσαν ὁ γ καὶ ὁ θ. πάλιν ἔστω ὁ Β ἀριθμὸς μονάδων η καὶ ἡ Γ μονάς, καὶ ἔστωσαν μεταξὺ τῆς μονάδος καὶ τοῦ η ὁ β καὶ ὁ δ.

8

.

23

Ἡ δὲ ἀφαίρεσις τῶν λόγων ἐκ τοῦ ιʹ. λαβόντες τὸν μεταξὺ λόγον τῆς τε μονάδος καὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀριθμοῦ
τῶν δοθέντων δύο ἀριθμῶν καὶ ἀφελόντες ἀπὸ τούτου τοῦ λόγου τὸν μεταξὺ τῆς μονάδος καὶ τοῦ μείζονος ἀριθμοῦ
5τῶν δοθέντων δύο ἀριθμῶν ὁ καταλειφθεὶς ἐκ τῆς ἀφαι‐ ρέσεως λόγος εὑρίσκεται ἐν τῷ μεταξὺ τῶν δοθέντων ἀριθμῶν δηλονότι κατὰ τὸ ἐφεξῆς ἀνάλογον, ὡς οἶμαι.

8

24-27t

Ad prop. 11

8

.

24

Μεταξὺ γὰρ τοῦ θ καὶ τοῦ δ ὁ ϛ, ὃς πρὸς ἀμφοτέρους τὸν ἡμιόλιον σώζει λόγον, καὶ μεταξὺ διέχειαν τοῦ ιϛ καὶ τοῦ δ ἐστιν ὁ η, πλευρὰ δὲ τοῦ μὲν ιϛ δ, τοῦ δὲ δ β, καὶ ὁ μὲν δ τοῦ δύο διπλάσιος, ὁ δὲ δεκαὲξ τοῦ δ τετραπλάσιος.

8

.

25

Τὸ διπλασίονα λόγον ἔχει, ὡς πολλάκις πρόσθεν εἴρηται, ἴσον ἐστὶ τῷ ἐκ δύο λόγων σύγκειται, ἤτοι δύο λόγοι εἰσὶ τοῦ τε Α πρὸς τὸν Ε καὶ τοῦ Ε πρὸς τὸν Β.

8

.

26

Διὰ τὸν ὅρον τοῦ εʹ τὸν λέγοντα· ὅταν δὲ τρία με‐ γέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τρίτον διπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ πρὸς τὸ βʹ.

8

.

27

Διπλασίονα λόγον μᾶλλον ἔχειν ὁ θ πρὸς τὸν δ ἢ ὁ γ πρὸς τὸν β οὐ κατὰ τὴν παραδοθεῖσαν τῶν πηλικοτήτων ἀπαρίθμησιν, ἀλλ’ ὅτι δύο λόγους ἡμιολίους ἔχει ὁ θ πρὸς τὸν δ, οἷον αὐτὸς μὲν ὁ θ πρὸς τὸν ϛ, ὁ δὲ ϛ πρὸς τὸν δ· ὁ
5δὲ γ πρὸς τὸν β ἕνα λόγον ἔχει τὸν ἡμιόλιον. εἰκότως οὖν διπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ὁ θ πρὸς τὸν δ, παρ’ ὃ ὁ γ πρὸς τὸν β· οἱ γὰρ δύο λόγοι διπλάσιοι τοῦ ἑνός.

8

28-29t

Ad prop. 12

8

.

29

Τὸ τριπλασίονα πάλιν ἀντὶ τοῦ· ὁ τοῦ Α πρὸς τὸν Β ἐκ τριῶν λόγων σύγκειται λόγος τοῦ τε Α πρὸς τὸν Θ καὶ
τοῦ Θ πρὸς τὸν Κ καὶ τοῦ Κ πρὸς τὸν Β.

8

.

30

Διὰ τὸν ὅρον τοῦ εʹ τὸν λέγοντα· ἐὰν τέσσαρα μεγέ‐ θη ἀνάλογον ᾖ, τὸ αʹ πρὸς τὸ δʹ τριπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ πρὸς τὸ βʹ. τουτέστιν ὁ ξδ πρὸς τὸν κζ τρι‐ πλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ πρὸς τὸν μη· τοῦ γὰρ
5κζ τὸ γʹ ἐστὶν θ. πρόσθες τῷ κζ· γίνεται λϛ· γίνεται εἷς λό‐ γος. πάλιν τοῦ λϛ τὸ γʹ ἐστὶ ιβ. πρόσθες αὐτὸ τῷ λϛ· γίνεται μη· γίνονται δύο λόγοι. πάλιν τοῦ μη τὸ γʹ ιϛ ἐστι. πρόσ‐ θες αὐτὸ τῷ μη· γίνεται ὁ αὐτὸς ξδ· γίνονται λόγοι τρεῖς.

8

30t

Ad prop. 13

8

.

30

Ἡ ἀπόδειξις τοῦ θεωρήματος τούτου πᾶσα διὰ τοῦ ιζʹ καὶ ιηʹ καὶ ιδʹ τοῦ ζʹ στοιχείου πρόεισι, πλὴν τὴν μὲν διὰ τοῦ ιζʹ καὶ ιηʹ ἀπόδειξιν ὡς σαφῆ καὶ πολλάκις ἐν πολ‐ λοῖς θεωρήμασιν αὐτῇ χρησάμενος παρέλειψε, τὴν δὲ διὰ
5τοῦ ιδʹ ὡς εἰς τὸ συμπέρασμα χρησιμεύουσαν οὐ παρέ‐ λειψεν.

8

31-33t

Ad prop. 18

8

.

31

καὶ ἐπεὶ ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς p. 175, 13. 14] οὕτως γράφεται ὁ ὅρος ἐν τῷ ζʹ.

8

.

32

Ἐπίπεδος ἀριθμός ἐστιν ὁ γεγονὼς ὑπὸ δύο ἀριθμῶν πολλαπλασιασάντων ἀλλήλους, ὅμοιοι δέ, ὧν αἱ πλευραὶ
ἀνάλογον. εἰ δὲ τοῦτο, πολλαπλασιασθήτω ὁ γ ἐπὶ τὸν ϛ καὶ ποιησάτω τὸν ιη· ὁ ιη ἄρα ἐπίπεδός ἐστι. πάλιν ὁ β ἐπὶ τὸν
5δ ποιησάτω τὸν η· ὁ η ἄρα ἐπίπεδός ἐστιν. εἰσὶν οὖν ὁ ιη καὶ ὁ η ἐπίπεδοι, ἀλλὰ καὶ ὅμοιοι. ὡς γὰρ ὁ ϛ ἡ πλευρὰ τοῦ ιη πρὸς τὸν γ τὴν λοιπὴν αὐτοῦ τοῦ ιη πλευράν, οὕτως καὶ ὁ δ ἡ τοῦ η πλευρὰ πρὸς τὸν δύο αὐτὴν τὴν τοῦ η λοιπὴν πλευ‐ ράν.

8

.

33

Διὰ τὸν ὅρον τὸν λέγοντα· ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς. Σχόλιον. ὁμόλογα μεγέθη λέγεται τὰ μὲν ἡγούμενα τοῖς ἡγουμένοις, τὰ δὲ ἑπόμενα τοῖς ἑπομένοις.

8

34-35t

Ad prop. 19

8

.

34

Ὑπόθες δύο στερεοὺς ὁμοίους ἀριθμοὺς τὸν ιβ καὶ τὸν ϙϛ. θὲς γὰρ ἐπὶ μὲν τοῦ ιβ τὸ πλάτος καὶ τὸ μῆκος ἀνὰ δύο, τὸ δὲ βάθος ἢ ὕψος τρία· τετράκις οὖν τρία ιβ. τοῦ δὲ ϙϛ ἀνὰ δ μὲν τὸ μῆκος καὶ τὸ πλάτος, τὸ δὲ ὕψος
5ἀναλόγως ἕξ· ἑξκαιδεκάκις οὖν ἓξ ϙϛ. καὶ μεταξὺ αὐτῶν δύο ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοὶ ὁ κδ καὶ ὁ μη. καὶ ὁ μὲν δ τοῦ β διπλάσιος, ὁ δὲ ϙϛ τοῦ ιβ ὀκταπλάσιος, ὃ ταὐτὸν δύναται τῷ τριπλασίονι.

8

.

35

Διὰ τὸν ὅρον τοῦ εʹ τὸν λέγοντα· ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ αʹ πρὸς τὸ δʹ τριπλασίονα λόγον ἔχειν λέ‐ γεται ἤπερ πρὸς τὸ βʹ, τουτέστι τὰ ͵ερπδ, ͵βφϙβ, ͵ασϙϛ, χμη· τρὶς γὰρ ἔχει τὸν λόγον ὁ ͵ερπδ πρὸς τὸ δʹ χμη ἤπερ
5πρὸς τὸ ͵βφϙβ.

8

36-37t

Ad prop. 20

8

.

36

Ὁ Δ ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ζ μονάδας, καὶ ὁ Ε τὸν Γ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ζ μονάδας ἰσάκις. ἐπεὶ γὰρ μετρεῖ ὁ Δ τὸν Α, καὶ ὁ Ε τὸν Γ.

8

.

37

καὶ ἐναλλὰξ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Η. p. 181, 10] διὰ ιγʹ τοῦ ζʹ ἐναλλὰξ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Η.

8

38t

Ad prop. 24

8

.

38

Ἔστω ὁ Γ μονάδων θ, ὁ δὲ Δ δ, ὁ δὲ Α λϛ, ὁ δὲ Β ιϛ. ὅ τε οὖν Γ τοῦ Δ διπλασιεπιτέταρτός ἐστι καὶ ὁ Α τοῦ Β. ἔχει οὖν ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὃν τετράγωνος ὁ Γ λόγον πρὸς τετράγωνον τὸν Δ. ἰστέον δέ, ὅτι τετράγωνος ἀριθμὸς
5πρὸς τετράγωνον οὐδέποτε διπλασίονα λόγον ἔχει, ἀλλ’ ἁπλῶς ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.

8

39t

Ad prop. 25

8

.

39

Ἔστω ὁ Γ ὁ κύβος μονάδων κζ, ὁ δὲ Δ η. ἔχει οὖν ὁ κζ τὸν η τρὶς καὶ μονάδας τρεῖς, αἳ τρεῖς μονάδες τρία τέταρτά εἰσι τοῦ η. τριπλασιεπιτριτέταρτος ἄρα ἐστὶν ὁ κζ τοῦ η. ὁ δὲ Α ἔστω μονάδων σιϛ, ὁ δὲ Β ξδ. ἔστιν οὖν ὁ σιϛ
5τοῦ ξδ τριπλασιεπιτριτέταρτος· ἔχει γὰρ ὁ σιϛ τρὶς τὸν ξδ καὶ τὸν κδ, ὃς κδ ἐστι τρίτον τοῦ ξδ. ἔχουσιν ἄρα πρὸς ἀλλήλους οἱ Α, Β λόγον, ὃν ὁ κύβος ὁ Γ πρὸς κύβον τὸν Δ. ἔστι δὲ ὁ σιϛ κύβος, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ ὁ ϛ καὶ ὁ λϛ· ἑξάκις
γὰρ ϛ λϛ καὶ ἑξάκις λϛ σιϛ·

8

40t

Ad prop. 26

8

.

40

Τοῦτο λέγει, ὅτι, ὅταν ὦσιν οἱ ἐπίπεδοι πρὸς ἀλλή‐ λους ὥσπερ οἱ τετράγωνοι, καὶ ὅμοιοι ἀλλήλοις εἰσίν. οἷον ὃν λόγον ἔχει ὁ ιϛ πρὸς τὸν δ, τὸν αὐτὸν ὁ κδ πρὸς τὸν ϛ· ἄμφω γὰρ τετραπλάσιοι· καὶ αὐτοὶ καὶ οἱ ἐπίπεδοι ἀπὸ
5ἡμιολίων πλευρῶν σύγκεινται· τρὶς γὰρ δύο καὶ τετράκις ϛ.

9

t

In librum 9

9

1-2t

Ad prop. 1

9

.

1

Ἔστω ὁ Α μονάδων ιη, ὁ δὲ Β ὀκτώ, πολλαπλασιάσαν‐ τες δὲ ἀλλήλους ποιείτωσαν τὸν ρμδ. ὁ μὲν ρμδ τετράγω‐ νός ἐστιν, πλευρὰ δὲ αὐτοῦ ὁ ιβ· δωδεκάκις γὰρ δώδεκα ρμδ. ὅτι καὶ ὁ ιη καὶ η ὅμοιοί εἰσι, δῆλον· εἰσὶ γὰρ πλευραὶ
5τοῦ μὲν ιη ὁ ϛ καὶ ὁ γ, τοῦ δὲ η ὁ δ καὶ ὁ β. καί ἐστιν ὡς ὁ ϛ πρὸς τὸν γ, ὁ δ πρὸς τὸν β.

9

.

2

Ἄλλως τὸ αʹ. Ἐπειδὴ οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοί εἰσιν, τούτων εἷς μέσος ἀνάλογος ἐμπεσεῖται ἀριθμὸς ὁ Γ. καὶ ἐπεὶ ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου, ὁ ὑπὸ τῶν Α, Β
5ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Γ. ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος· καὶ ὁ ὑπὸ τῶν Α, Β ἄρα τετράγωνος· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

9

3-5t

Ad prop. 2

9

.

3

Ἔστω ὁ Α μονάδων ἕξ, ὁ δὲ Β κδ ἀλλήλους πολλα‐ πλασιάσαντες· γινέσθω ὁ Γ ὢν μονάδων ρμδ καὶ τετρά‐ γωνος ἀπὸ πλευρᾶς τῆς ιβ. ὁ δὲ Α ὁ ϛ ἑαυτὸν πολλαπλα‐ σιάσας ποιείτω τὸν Δ ὄντα μονάδων λϛ· ὁ λϛ τετράγωνος.

9

.

4

Ἄλλως τὸ βʹ. Ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους [τετρά‐ γωνον τὸν Γ πεποιήκασι, πλευρὰ τοῦ Γ ἔστω] ὁ Δ, καὶ κείσθω μέσον τῶν Α, Β. λέγω δή, ὅτι οἱ Α, Δ, Β ἑξῆς
5ἀνάλογόν εἰσι. ἐπεὶ γὰρ ὁ Δ πολλαπλασιάσας ἑαυτὸν τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστι δὲ ὁ αὐτὸς οὗτος καὶ ὁ ὑπὸ τῶν Α, Β γινόμενος, ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἄρα ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ μέ‐ σου. ὥστε οἱ τρεῖς ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἔσονται. τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπέπτωκεν ὁ Δ. οἱ Α, Β ἄρα ὅμοιοι
10ἐπίπεδοί εἰσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

9

.

5

Ἀντιστρέφει τῷ αʹ.

9

6t

Ad prop. 4

9

.

6

Ἔστω ὁ Α η, ὁ Β κζ, κύβοι δὲ ἀμφότεροι. καὶ ὁ ἐξ αὐ‐ τῶν ὁ Γ σιϛ· ὁ σιϛ κύβος, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ ὁ ϛ καὶ ὁ λϛ· ὁ γὰρ ϛ εἰς ἑαυτὸν γενόμενος πεποίηκε τὸν λϛ; τὸν δὲ λϛ πολλαπλασιάσας πεποίηκε τὸν σιϛ.

9

7t

Ad prop. 5

9

.

7

Ἀντιστρέφει τῷ δʹ.

9

8-9t

Ad prop. 6

9

.

8

Ἀντιστρέφει τῷ γʹ.

9

.

9

καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς τὸν Γ p. 193, 5. 6] διὰ τὸ ιζʹ τοῦ ἑβδόμου τὸ ἐὰν ἀριθμὸς β ἀριθμοὺς πολ‐ λαπλασιάσας ποιῇ τινας, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἔχουσι τοῖς πολλαπλασιάσασιν. ὁ γὰρ Α ἀριθμὸς
5ἑαυτόν τε καὶ τὸν Β δύο ἀριθμοὺς πολλαπλασιάσας ποιεῖ τόν τε Β αὖ καὶ τὸν Γ. ὥστε οἱ Β, Γ τὸν αὐτὸν λόγον ἕξουσι τοῖς πολλαπλασιάσασι τοῖς Α, Β δηλαδή· ὅπερ
ἔδει δεῖξαι.

9

10t

Ad prop. 7

9

.

10

Ἡ ἀπόδειξις τούτου τοῦ θεωρήματος ἐκ τῶν ἀρχῶν καὶ μόνων ἐστὶν ἤτοι ἐκ τῶν ὅρων τῶν ἀριθμητικῶν.

9

11-13t

Ad prop. 8

9

.

11

Δῆλον ἐκ τῶνδε, διὰ τί ἐν τῇ Ἰνδικῇ ψήφῳ ἐν ταῖς τῶν πλευρῶν τῶν τετραγώνων λήψεσιν ἀνὰ μείζονα τὸ γίνεται, οὐ γίνεται, γίνεται, οὐ γίνεται λέγομεν, διότι ἥ τε μονὰς τετράγωνός ἐστι καὶ ὁ τρίτος ἀπ’ αὐτῆς καὶ ὁ πά‐
5λιν τρίτος μετ’ αὐτὸν καὶ ἑξῆς. ὥστε ὅταν λέγωμεν, ὅτι γίνεται, οὐ γίνεται, γίνεται δυνάμει λέγομεν, ὅτι ἐν τῇ πρώτῃ χώρᾳ γίνεται ἢ καὶ ἔστι τετράγωνος, ἐν δὲ τῇ δευ‐ τέρᾳ τετράγωνος οὐ γίνεται, ἐν δὲ τῇ τρίτῃ γίνεται, καὶ ἑξῆς ἐπὶ τῶν ἄλλων. ἐν δὲ ταῖς τῶν κύβων πλευραῖς ἅπαξ
10μὲν λέγομεν τὸ γίνεται, δὶς δὲ τὸ οὐ γίνεται, οἷον γίνεται, οὐ γίνεται, οὐ γίνεται, γίνεται, οὐ γίνεται, οὐ γίνεται, διότι ἥ τε μονὰς κύβος ἐστί· πᾶς γὰρ ἀριθμὸς ἡ μονάς ἐστι δυ‐ νάμει· καὶ ὁ δʹ ἀπ’ αὐτῆς κύβος καὶ ὁ μετ’ αὐτὸν πάλιν τέταρτος. δῆλον δὴ καί, διότι εἰς τὸν κύβον ἅπαξ τὸ γίνεται
15λέγομεν, δὶς δὲ τὸ οὐ γίνεται.

9

.

12

Σχόλιον. δεῖ γινώσκειν, ὅτι τό· καὶ οἱ ἕνα διαλείπον‐ τες πάντες οὕτως ἐστίν· ὅτι ἀριθμῶν ἐκτεθέντων ἀπὸ μο‐ νάδος κατὰ ἀναλογίαν οἷον διπλάσιος ὡς ἡ μονὰς καὶ ὁ β καὶ ὁ δ καὶ ὁ η καὶ ὁ ιϛ καὶ ὁ λβ καὶ ὁ ξδ καὶ ὁ ρκη ὁ μὲν
5γʹ ἀπὸ τῆς μονάδος ἤγουν ὁ δ ἀριθμὸς τετράγωνός ἐστι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες, τουτέστιν ὁ ιϛ· διαλείπει γὰρ ὁ ιϛ μεταξὺ αὑτοῦ καὶ τοῦ δ κατὰ τὸν διπλάσιον λόγον ἕνα καὶ τὸν η. καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν οὕτως δεῖ νοεῖν ἤγουν τό·
καὶ οἱ δύο διαλείποντες καὶ οἱ πέντε διαλείποντες.

9

.

13

διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ζ τετράγωνός ἐστιν. p. 195, 5. 6] ἐπειδὴ οἱ Δ, Ε, Ζ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ἔστι δὲ ὁ Δ τετράγωνος, καὶ ὁ Ζ ἄρα τετράγωνός ἐστιν.

9

14-15t

Ad prop. 10

9

.

14

οἱ Α, Β ἄρα πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετρά‐ γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· p. 198, 8—10] ἐπεὶ γὰρ τετράγωνοί εἰσιν οἱ Α, Β, ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν, οἱ δὲ ὅμοιοι ἐπίπεδοι πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν
5τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.

9

.

15

ὥστε οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν. p. 198, 10] διὰ τὸ βʹ τοῦ θʹ τὸ λέγον· ἐὰν β ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσι τετράγωνον ἀριθμόν, ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν. ὅτι δὲ οἱ Α, Β πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους τὸν Γ
5πεποιήκασιν, φανερόν. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ἡ δὲ μονὰς τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας, καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας. ὁ Α ἄρα τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.

9

16-19t

Ad prop. 12

9

.

16

Πρόσεχε, τί φησιν· ὅτι ἐὰν ἐκθήσῃς ἀναλόγους ἀριθ‐ μοὺς ἀπὸ μονάδος τετραπλασίους φησὶν ἢ ἑξαπλασίους, σκόπει τὸν ἔσχατον, ὑπὸ πόσων πρώτων ἀριθμῶν μετρεῖ‐ ται, καὶ εὑρήσεις, ὅτι ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ παρὰ τὴν μο‐
5νάδα μετρηθήσεται. οἷον ὡς ἔχει ἐπὶ τῶν τετραπλασίων α δ ιϛ σνϛ· μετρεῖται γὰρ ὁ σνϛ καὶ ὑπὸ ἑτέρων ἀριθμῶν, οὐ μὴν ὑπὸ πρώτων, ὑπὸ πρώτου δὲ μόνου τοῦ β, ὁ δὲ αὐτὸς
μετρεῖ καὶ τὸν δ τὸν παρὰ τὴν μονάδα· δὶς γὰρ δύο δ. ὁμοίως καὶ ἐπὶ ἑξαπλασίων· ὁ γὰρ σιϛ μετρεῖται μὲν καὶ ὑπ’
10ἄλλων, ἀλλ’ οὐ πρώτων, πρώτου δὲ τοῦ β καὶ τοῦ γ· δὶς γὰρ ρη καὶ τρὶς οβ. οἱ δὲ αὐτοί, ὁ β φημὶ καὶ ὁ τρεῖς, με‐ τροῦσι καὶ τὸν ἕξ· δὶς γὰρ τρεῖς ϛ.

9

.

17

Ἔστω ὁ Α μονάδων ιε, ὁ δὲ Β σνϛ, ὁ δὲ Γ ͵γτοε, ὁ δὲ Δ πέντε μυριάδων χκε, ὁ δὲ Θ ἔστω μονάδων με, ὁ δὲ Η χοε, ὁ δὲ Ζ μυρίων ρκε, ὁ δὲ Ε μονάδων ε. μετρείτω δὴ ὁ Ε ὁ πέντε τὸν Δ τὸν πεντάκις μύρια χκε κατὰ τὸν Ζ τὸν μύρια
5ἑκατὸν κε, καὶ ἑξῆς οἱ λοιποί, ὥς φησιν ὁ γεωμέτρης.

9

.

18

ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν· p. 201, 11. 12] ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, ἰσάκις ἡ μονὰς τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Β· ἡ δὲ μονὰς τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ
5μονάδας· καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μο‐ νάδας. ὥστε ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν. ἄλλως τε δὲ ἐπεὶ ἑξῆς ἐστιν ἀνάλογον, καὶ ὁ Β τρίτος ἐστὶν ἀπὸ τῆς μονάδος, τετράγωνος ὀφείλει εἶναι ὡς ἐν τῷ ηʹ τοῦ θʹ.

9

.

19

Διότι ἀνάλογόν ἐστιν, ἰσάκις ἡ μονὰς τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Β. μετρεῖ δὲ ἡ μονὰς τὸν Α κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας καὶ ὁ Α τὸν Β κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.

9

20-21t

Ad prop. 14

9

.

20

Ἔστω ὁ Α λ μονάδων, ὁ Β δύο, ὁ Γ τριῶν, ὁ Δ πέντε. δῆλον δή, ὅτι τὸν τριάκοντα πάντες μετροῦσι, ὁ μὲν δύο μετὰ τοῦ ιε, ὁ δὲ γ μετὰ τοῦ δέκα, ὁ δὲ πέντε μετὰ τοῦ ϛ.

9

.

21

Τὸν ρε ἤγουν τὸν Α ἕκαστος τῶν Β, Γ, Δ μετρεῖ οὕτως· ὁ μὲν Δ ἤγουν ὁ ἑπτὰ μετὰ τοῦ ιε· ἑπτάκις γὰρ ιε ρε· ὁ δὲ Γ ἤγουν ὁ πέντε μετὰ κα· πεντάκις γὰρ ὁ εἴκοσι
εἷς ρε· ὁ δὲ Β ἤγουν ὁ γ μετὰ τοῦ λε.

9

22-25t

Ad prop. 15

9

.

22

Συντεθεὶς γὰρ ὁ μὲν δ μετὰ τοῦ ϛ γεννᾶ τὸν ι, ὅς ἐστι πρὸς τὸν λοιπὸν ἤγουν τὸν θ πρῶτος. ὁ δὲ ϛ καὶ ὁ θ συντεθεὶς γεννᾷ τὸν ιε, ὅς ἐστι πρὸς τὸν δ πρῶτος, ὁ δὲ δ καὶ θ γεννᾷ τὸν ιγ, ὅς ἐστι πρῶτος πρὸς τὸν ϛ.

9

.

23

Ὁ ἐκ τῶν ΔΖ, ΔΕ ὁ ιε ἐστιν. ἐπειδὴ γὰρ ὁ ΔΕ μονά‐ δων κεῖται τριῶν, ὁ δὲ ΕΖ δύο, ὁμοῦ ὁ ΔΕ καὶ ΕΖ συν‐ τεθέντες μονάδων εἰσὶ πέντε. καὶ ἐπεὶ ὁ ΔΖ μονάδων ἐστὶ πέντε, ὁ δὲ ΔΕ τριῶν, ὁ ἐκ τῶν ΔΖ, ΔΕ ἄρα μονάδων
5ἐστὶ ιε· καί ἐστιν ὁ ιε ἤγουν οἱ ΔΖ, ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ τὸν δύο πρῶτοι.

9

.

24

φανερὸν δή, ὅτι p. 206, 2. 3] τοῦτο ἐν τῷ βʹ τοῦ ηʹ ἐδείχθη, ἄλλως τε δὲ καὶ διὰ τὸ πόρισμα τοῦ αὐτοῦ.

9

.

25

ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοί p. 206, 9] δέδεικται ἐν τῷ κδʹ τοῦ ζʹ στοιχείου.

9

26-27t

Ad prop. 18

9

.

26

Οἷον ἐδόθησαν ἀριθμοὶ ὁ η καὶ ὁ κζ. σκόπει, ἐὰν ὦσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, ὥσπερ καί εἰσι. καὶ ἐπείπερ εἰσίν, ἕτερος ἀνάλογον οὐχ εὑρίσκεται. ἀλλὰ μὴν ἐδόθη‐ σαν ἀριθμοὶ ὁ η καὶ ὁ ιβ. οὗτοι οὐκ εἰσὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλή‐
5λους· κοινὸν γὰρ αὐτοῖς ἐστι μέτρον ὁ δ. βούλει οὖν μαθεῖν, εἰ ἕξει ὁ ιβ ἕτερον ἀνάλογον; πολλαπλασίασον τὸν ιβ· καὶ ἀναβιβάζεται ρμδ. σκόπει οὖν καί, ἐὰν δύνῃ εὑρεῖν πλευρὰν ἐν αὐτῷ τὸν η. εὑρήσεις καὶ τοῦ ιβ ἀνάλογον. ἔστιν οὖν· ὀκτάκις γὰρ ιη ρμδ.

9

.

27

Πάλιν ἐδόθησαν ἀριθμοὶ ὁ ιη καὶ ὁ κζ. ἐὰν θέλῃς εὑρεῖν, ὡς ἔχει ἢ οὐκ ἔχει ἕτερον ἀνάλογον, ὁ κζ πολλα‐ πλασιαζέτω τὸν κζ· εἰκοσιεπτάκις κζ· καὶ γίνονται ψκθ.
καὶ ἐπεὶ ὁ ιη οὐ μετρεῖ τὸν ψκθ, οὐδὲ ὁ κζ ἀνάλογον ἔχει.

9

28-29t

Ad prop. 19

9

.

28

Οὐδαμῶς δυνατὸν τῶν Α, Γ πρώτων ὄντων γενέσθαι ὡς ὁ Α πρὸς Γ, τὸν Γ πρὸς ἄλλον τινά· τοῦτο δὲ ποιεῖ ὁ λαβὼν ὡς ὁ Β πρὸς Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς ἄλλον τινά.

9

.

29

Ἐπισκεψάμενος εὗρεν, ὅτι, ἐὰν μὲν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ἐὰν μὲν οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶ‐ τοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ἀδύνατον ἡ τοῦ τετάρτου ἀνάλο‐ γον θήρα, ἐὰν δὲ μὴ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ὁ δὲ
5πρῶτος τὸν ἐκ τοῦ δευτέρου καὶ τρίτου μὴ μετρῇ, ἀδύνατος ἡ τοῦ τετάρτου ἀνάλογον εὕρεσις, εἰ δὲ μετρεῖ, δυνατή. καὶ ἐὰν οἱ Α, Β, Γ μὴ ὦσιν ἑξῆς ἀνάλογον, καὶ περὶ τούτων τὰ αὐτὰ ῥητέον. τριῶν οὖν ἀριθμῶν δοθέντων διχῶς μὲν δυνάμεθα τέταρτον ἀνάλογον προσευρίσκειν, τετραχὰ δὲ
10ἀδυνατοῦμεν. καὶ περὶ τετάρτου καὶ πέμπτου καὶ τῶν ἐφ‐ εξῆς τὰ αὐτὰ ῥητέον.

9

30-33t

Ad prop. 20

9

.

30

Ταὐτὸν δ’ ἔστιν εἰπεῖν, ὅτι οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ ἄπειροί
εἰσιν.

9

.

31

Ἐν τούτῳ τῷ θεωρήματι δεῖξαι βούλεται, ὅτι ἄπειροί εἰσιν οἱ πρῶτοι ἀριθμοί· εἰ γὰρ παντὸς τοῦ προτεθέντος ἀριθμοῦ πλείους εἰσὶν οἱ πρῶτοι, δῆλον, ὅτι ἄπειροί εἰσιν οἱ πρῶτοι. εἰ δὲ τοῦτο, δοκεῖ ἐναντιοῦσθαι δόγματι φιλο‐
5σόφων· τὰ γὰρ πρῶτα οὗτοι λέγουσιν ὡρισμένα καὶ τῷ ἀριθμῷ εἶναι ἐλάττονα. τί οὖν λέγομεν; ὅτι οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ οὐκ εἰσὶν ἀρχὴ τῶν ἀριθμῶν, ἀλλ’ εἰ ἄρα, ἡ μονάς· αὕτη δὲ συνεσταλμένη καὶ μόνη ἐστὶ μονάς. ὥστε σώζεται καὶ ἐν τοῖς ἀριθμοῖς τοῦτο τὸ τὴν ἀρχὴν μὴ εἶναι ἄπειρον,
10ἀλλ’ ὡρισμένην.

9

.

32

Ἔστω ὁ Α μονάδων γ, ὁ Β ε, ὁ Γ ζ, ὁ ΔΕ ρε· μετρεῖ δὴ ὁ Α τὸν ρε μετὰ τοῦ λε· τρὶς γὰρ λε ρε, ὁ δ’ αὖ ε μετρεῖ τὸν ρε μετὰ τοῦ κα, καὶ ἔτι ὁ ζ μετρεῖ τὸν ρε μετὰ τοῦ δέκα καὶ πέντε.

9

.

33

Οἱ μετροῦντες τὸν ΔΕ τὸν ρε μετὰ τοῦ γ καὶ ε καὶ ζ εἰσιν ὁ λε, ὁ κα καὶ ὁ ιε.

9

34t

Ad prop. 30

9

.

34

Ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὸν Γ, καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὸν Α. καὶ ἔχει ἑκάτερος τῶν Β, Γ μέρος ἥμισυ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Β, οὕτως τὸ ἥμισυ πρὸς
τὸ ἥμισυ. μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Β κατὰ τὸν Α· ὁ Α ἄρα τὸ
5ἥμισυ τοῦ Γ πολλαπλασιάσας τὸ ἥμισυ τοῦ Β πεποίηκεν. ὁ Α ἄρα τὸ ἥμισυ τοῦ Β κατὰ τὸ ἥμισυ τοῦ Γ.

9

.

35

Ad prop. 31
1Ἐπειδὴ γὰρ ὁ Α περισσός ἐστι, μετρεῖ δὲ αὐτόν, ὡς ἡ ὑπόθεσις, ὁ Δ, μετρεῖ δὲ ὁ Δ καὶ ἑαυτόν, περιττὸς ἄρα ὁ Δ ἐστιν· οἱ γὰρ περιττοὶ ὑπὸ περιττῶν μετροῦνται. ὥστε ὁ Δ, ἐπειδὴ περισσὸν τὸν Α μετρεῖ, περισσός ἐστιν ὁ Δ· ὁ
5γὰρ περισσὸς ὑπὸ περισσοῦ μετρεῖται, οἷον ὁ θ ὑπὸ τοῦ γ, ὁ κε ὑπὸ τοῦ ε, ὁ μθ ὑπὸ τοῦ ζ καὶ αἰεὶ οὕτως. ἔστι δὲ ὁ Γ ἄρτιος, διότι διπλασίων ἐστὶ τοῦ Β, τὸ δέ τινος διπλά‐ σιον ἄρτιόν ἐστιν.

9

36t

Ad prop. 32

9

.

36

Ἄξιον ἐπιστῆσαι ἐνταῦθα, πῶς φησιν ὁ γεωμέτρης, ὅτι ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστι μόνον ὡς δὴ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ ὄντος ἀρτιάκις τε ἀρτίου καὶ μὴ ὄντος. ὡσαύτως δὲ καὶ περὶ τοῦ ἀρτιοπερισσοῦ τε καὶ περισσαρτίου σκέψασθαι
5ἄξιον. τὰ αὐτὰ γὰρ καὶ περὶ ἐκείνων λέγει ὡς δυναμένου τινὸς ἀριθμοῦ ἐν τοῖς ἀρτιοπερισσοῖς τε εἶναι καὶ μὴ καὶ ἐν τοῖς περισσαρτίοις τε καὶ μὴ τοιούτοις. ἔοικε γὰρ ὁ γεω‐ μέτρης πάντα ἀριθμὸν τὸν ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμε‐ νον κατὰ ἄρτιον ἀριθμὸν ἀρτιάκις ἄρτιον ὀνομάζειν, καὶ
10ἡ αἰτία, ὅτι ὑπὸ ἀρτίου κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν. ἤπερ γὰρ ἄλλος καλοῖτο ὁ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ ἄρτιον ὥσπερ τὸν κδ· ὑπὸ γὰρ ἀρτίου κατὰ ἄρτιον ἀριθμὸν μετρεῖται. διότι δὲ δύναται καὶ ὑπὸ περισσοῦ κατὰ ἄρτιον μετρεῖσθαι, ἤγουν τοῦ γ κατὰ τὸν η, κἀντεῦθεν καὶ πε‐
15ρισσάκις ἄρτιος ὀνομάζεται, διὰ τοῦτο οὐκ ἀρτιάκις ἄρτιος μόνον κέκληται· τούτου γὰρ ἔλαχε μόνον τοῦ ὀνόματος ἀριθμὸς ὁ ὑπὸ ἀρτίου μόνον κατὰ ἄρτιον ἀριθμὸν μετρού‐ μενος. τὸν αὐτὸν τρόπον καὶ ἀρτιάκις περιττὸν λέγει μόνον τὸν ἄλλως μὴ δυνάμενον μετρεῖσθαι ἢ ὑπὸ ἀρτίου κατὰ
20περισσὸν ἀριθμόν, ὡς τὸν ιδ, καὶ ἔτι περισσάκις ἄρτιον μόνον τὸν ὑπὸ περισσοῦ μόνον μετρούμενον κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν, οἷον ὁ ιη. καὶ δῆλον, ἐξ ὧν ἀπέδωκεν ὁρισμῶν ἐν τῷ ἑβδόμῳ βιβλίῳ. τινὲς δὲ μὴ ἁψάμενοι τοῦ σκοποῦ τοῦ Εὐκλείδου πειρῶνται καὶ τοὺς ὁρισμοὺς ἐπιδιορθοῦν ὡς
25κακῶς ἀποδεδομένους, κακῶς εἰδότες καὶ μηδὲ ὑπὸ τῶν ἐνταῦθα σαφῶς λεγομένων τὴν λύσιν τούτων πορίσασθαι δυνάμενοι, ἀλλ’ ὅτι μὴ ὁμοίως ἀποδέδονται τοῖς τοῦ Νικομάχου, μεμφόμενοι.

9

37t

Ad prop. 33

9

.

37

Ὁ Α ἄρα ἢ ἀρτιάκις περιττός ἐστιν, ὅσπερ καὶ πε‐ ρισσάκις ἄρτιός ἐστιν, ἢ περισσάκις περισσός· τοῦτο δὲ οὐκ ἔστιν· ἥμισυ γὰρ οὐκ ἔχει· ἢ ἀρτιάκις ἄρτιος· πᾶς δὲ ἀρτιάκις ἄρτιος ἀριθμὸς τὸ ἥμισυ ἔχει ἄρτιον, πάντα δὲ
5ἄρτιον ἀριθμὸν ἐνδέχεται ἢ ὑπὸ μόνου ἀρτίου μετρεῖσθαι ἢ ὑπὸ ἀρτίου καὶ περιττοῦ, τὸν δὲ περιττὸν ἀριθμὸν ἄρτιος οὐ μετρεῖ.

9

38-41t

Ad prop. 34

9

.

38

Ὅτι μὲν οὖν ὁ Α Ἀρτιάκις ἐστὶν ἄρτιος, p. 222, 8] πόθεν δῆλον, ὅτι ὁ Α ἀρτιάκις ἄρτιος; ἐπεὶ ἄρτιός ἐστι, μετρεῖται ὑπὸ τῆς δυάδος· πάντας γὰρ τοὺς ἀρτίους ἡ δυὰς μετρεῖ. ἐπεὶ δὲ καὶ τὸ ἥμισυ τούτου ἄρτιόν ἐστι,
5πάντας δέ, οὓς μετρεῖ ἡ δυάς, κατὰ τὸ ἥμισυ τούτων αὐτοὺς
μετρεῖ, μετρεῖ ἄρα ἡ δυὰς τὸν Α κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν.

9

.

39

ὃς μετρήσει τὸν Α p. 222, 12] πόθεν δῆλον, ὅτι μετρήσει αὐτὸν τὸν Α ἀρτιάκις; εἰ γὰρ μετρήσει αὐτὸν περισσάκις, ἔσται ὁ Α περισσάκις περισσός, πᾶς δὲ πε‐ ρισσάκις περισσὸς ἥμισυ οὐκ ἔχει. ὁ Α ἄρα ἥμισυ οὐκ ἔχει·
5ὑπόκειται δὲ ἔχειν· ὅπερ ἄτοπον.

9

.

40

Πόθεν δῆλον, ὅτι περισσὸς ἀριθμὸς μετρήσει τὸν Α; λέγομεν, ὅτι, ἐπεὶ ἐκεῖνος τὸν διπλάσιον αὑτοῦ μετρεῖ, ἐκεῖνος δὲ τὸν ἐκείνου διπλάσιον, ἐκεῖνός τε τὸν ἐκείνου διπλάσιον, καὶ ἀεὶ τοῦτο, καὶ ὁ περισσὸς τὸν Α μετρήσει.
5ὅτι δὲ καὶ κατὰ ἄρτιον, δῆλον· οὕτω γὰρ ἀποτελέσει τὸν Α ἄρτιον ὄντα διὰ τὸ κηʹ τοῦ αὐτοῦ. εἰ μὴ γὰρ κατὰ ἄρτιον, μετρήσει τοῦτον κατὰ περισσόν· ἐὰν δὲ περισσὸς ἀριθμὸς ἀριθμὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος περισσὸς ἔσται. ὥστε ὁ Α ἔσται καὶ περισσὸς καὶ ἄρτιος.

9

.

41

καταντήσομεν εἰς δυάδα p. 222, 13] εἰς δυάδα πρῶτον καὶ οὕτως εἰς μονάδα, ἀλλὰ πρὸ τῆς δυάδος εἰς τετράδα.

9

42t

Ad prop. 35

9

.

42

Οὐ λέγει, ὅτι, ὃν λόγον ὁ ΕΖ πρὸς τὸν ΛΖ εἶχε καὶ ἔτι ὁ ΛΖ πρὸς τὸν ΖΚ καὶ ὁ ΖΚ πρὸς τὸν ΖΘ, καὶ δι‐ ελόντι τὸν αὐτὸν λόγον ἕξουσιν ὁ ΕΛ πρὸς τὸν ΛΖ καὶ ὁ ΛΚ πρὸς τὸν ΚΖ καὶ ὁ ΚΘ πρὸς τὸν ΖΘ· τοῦτο γὰρ ψεῦ‐
5δός ἐστιν. ὁ μὲν γὰρ τοῦ ΕΖ πρὸς τὸν ΛΖ λόγος ὁμοίως καὶ ὁ τοῦ ΛΖ πρὸς τὸν ΚΘ καὶ ὁ τοῦ ΚΘ πρὸς τὸν ΘΖ τριπλασίονές εἰσιν, τοῦ δὲ ΕΛ πρὸς τὸν ΛΖ καὶ τοῦ ΛΚ πρὸς τὸν ΚΖ καὶ τοῦ ΚΖ πρὸς τὸν ΘΖ διπλασίονες, ἀλλ’ οὐχ ὡς ἐκεῖνοι τριπλάσιοί εἰσιν. ἀλλ’ ὃ λέγει, ἐστίν, ὅτι,
10ὥσπερ ἐπ’ ἐκείνων κατὰ τὸ ἑξῆς ἀνάλογον ἦσαν ἀριθμοὶ
ἡγούμενοι καὶ ἑπόμενοι, καὶ ὡς εἶχεν ὁ ΕΖ πρὸς τὸν ΖΛ, οὕτως καὶ οἱ λοιποὶ πρὸς τοὺς λοιπούς, οὕτως κἂν διέλῃς, γενήσεται, καὶ ὁποῖον ἂν ἔχῃ λόγον ὁ ΕΛ πρὸς τὸν ΛΖ, τὸν αὐτὸν ἕξουσι καὶ ὁ ΛΚ πρὸς τὸν ΖΚ καὶ ὁ ΚΘ πρὸς
15τὸν ΘΖ.

9

43-47t

Ad prop. 36

9

.

43

Ταῦτα ἕως τοῦ λϛʹ εὗρον ἐν ἄλλῳ. Ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἐκτεθῶσιν ἐπὶ διπλασίονι ἀναλογίᾳ, ἕως οὗ ὁ σύμπας συντεθεὶς πρῶτος γένηται, καὶ ὁ σύμπας ἐπὶ τὸν ἔσχατον πολλαπλασιασθεὶς
5ποιεῖ τινα, ὁ γενόμενος τέλειος ἔσται. πρὸς γὰρ μονάδος ἐκκείσθωσαν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἐν τῇ διπλασίονι ἀνα‐ λογία, ἕως ὁ σύμπας συντεθεὶς πρῶτος γένηται, οἱ Α, Β, καὶ τὸ σύμπαντι ἴσος ἔσται ὁ Ε.

9

.

44

Τοῦτο ἐμάθομεν κἀν τῇ τοῦ Νικομάχου ἀριθμητικῇ, ἔνθα παραδίδωσιν ἡμῖν τὴν μέθοδον τῆς εὑρέσεως τῶν τελείων ἀριθμῶν.

9

.

45

Ὁ γὰρ Α ὁ μετὰ τὴν μονάδα δῆλον ὅτι πρῶτός ἐστιν· δυὰς γάρ ἐστι, δυάδα δὲ μονὰς μόνη μετρεῖ.

9

.

46

Τέλειοί εἰσιν ἀριθμοὶ κατ’ Εὐκλείδην οἵδε· ἐν μο‐ νάσι μὲν ὁ ϛ, ἐν δεκάσι δὲ ὁ κη, ἐν ἑκατοντάσι δὲ ὁ υϙϛ, ἐν χιλιάσι δὲ ὁ ͵ηρκη. εὑρίσκονται δὲ ἐν ἁπλαῖς ὅ τε σμθ καὶ ͵ϛκρη.

9

.

47

Τέλειοι ἀριθμοὶ κατὰ Εὐκλείδην· ἐν μονάσιν ὁ ϛ ἐν δεκάσιν ὁ κη ἐν ἑκατοντάσιν ὁ υϙϛ
5 ἐν χιλιάσιν ὁ ͵ηρκη. .... ἀριθμοὶ κατὰ Εὐκλείδην ........
σκ 𐅵ʹ ρι δʹ νε εʹ μδ ιʹ κβ ιαʹ κ κβʹ ι κʹ ια μδʹ ε νεʹ δ ριʹ β σκʹ α σπδ
10𐅵ʹ ρμβ δʹ οα οαʹ δ ρμβʹ β σπδʹ α. [Start of a diagram]
δ
͵ηρκη σμη ρκδ ξβ λα 𐅵ʹ ͵δξδ μμ̊ β δ η ιϛ δʹ ͵βλβ ιϛʹ ηʹ δʹ
15ηʹ ͵αιϛ λαʹ ξβʹ ρκδʹ σμηʹ υϙϛʹ ιϛʹ φη
υϙϛ λβʹ σνδ 𐅵ʹ σμη ξδʹ ρκζ δʹ ρκδ ρκζʹ ξδ ηʹ ξβ
20σνδʹ λβ ιϛʹ λα φηʹ ιϛ λαʹ ιϛ ͵αιϛʹ η ξβʹ η ͵βλβʹ δ ρκδʹ δ ͵δξδʹ β σμηʹ β
25͵ηρκηʹ α υϙϛʹ α.[End of a diagram]

10

t

In librum 10

10

.

1

Ὁ σκοπὸς τοῦ ιʹ βιβλίου τῷ Εὐκλείδῃ διδάξαι περὶ συμμέτρων καὶ ἀσυμμέτρων καὶ περὶ ῥητῶν καὶ ἀλόγων· οὐ γὰρ ταὐτὸν ἀσύμμετρα καὶ ἄλογα, διότι τὰ μὲν φύσει ἔστιν, τὰ δὲ ἄλογα καὶ ῥητὰ θέσει. εἰ γὰρ καὶ τὴν τοῦ τε‐
5τραγώνου διάμετρον φύσις ἀσύμμετρον ποιεῖ πρὸς τὴν πλευ‐ ράν, ἀλλὰ κατὰ τοὺς ἐν ἑαυτῇ ἐκείνου λόγους ποιεῖ καὶ οὐ κατὰ τὸ ἐπιτυχόν· ὥστε οὐδὲν τῶν ἀσυμμέτρων τῇ φύσει εἴη ἄλογον, ἀσύμμετρον δέ. καὶ γὰρ ἡ φύσις αὐτὸ ποιεῖ κατὰ πᾶν μέτρον ἀκοινώνητον τῷδέ τινι. ἐν μὲν οὖν τοῖς
10πρώτοις περὶ συμμέτρων καὶ ἀσυμμέτρων διαλαμβάνει πρὸς τὴν φύσιν αὐτῶν αὐτὰ ἐξετάζων, ἐν δὲ τοῖς ἑξῆς περὶ ῥητῶν καὶ ἀλόγων οὐ πασῶν (τινὲς γὰρ αὐτῷ ὡς ἐνιστά‐ μενοι ἐγκαλοῦσιν), ἀλλὰ τῶν ἁπλουστάτων εἰδῶν, ὧν συντιθεμένων γίνονται ἄπειροι ἄλογοι, ὧν τινας καὶ ὁ
15Ἀπολλώνιος ἀναγράφει. ἐπιστήμης δὲ τὰ αἴτια καὶ ἀρχη‐ γικὰ καὶ ἁπλᾶ ἐπισκέπτεσθαι, οὐ τὰ καθ’ ἕκαστα καὶ ἄπειρα. ἐκτίθεται δ’ οὖν τῶν ἀλόγων ἁπλᾶ εἴδη ιγ εὑρεθέν‐ τα κατὰ τρόπους τρεῖς, παρ’ ἃ οὐχ εὑρεθήσεται ἄλλα ἁπλᾶ. εἰσὶ δὲ οἱ τρόποι ὅ τε κατὰ ἀναλογίαν, δι’ οὗ μίαν εὑρίσκει,
20καὶ ὁ κατὰ σύνθεσιν, δι’ οὗ ἕξ, καὶ ὁ κατὰ διαίρεσιν, δι’ οὗ τὰς λοιπὰς ἕξ. ἦλθον δὲ τὴν ἀρχὴν ἐπὶ τὴν τῆς συμμετρίας
ζήτησιν οἱ Πυθαγόρειοι πρῶτοι αὐτὴν ἐξευρόντες ἐκ τῆς τῶν ἀριθμῶν κατανοήσεως. κοινοῦ γὰρ ἁπάντων ὄντος μέτρου τῆς μονάδος καὶ ἐπὶ τῶν μεγεθῶν κοινὸν μέτρον
25εὑρεῖν οὐκ ἠδυνήθησαν. αἴτιον δὲ τὸ πάντα μὲν καὶ ὁποιον‐ οῦν ἀριθμὸν καθ’ ὁποιασοῦν τομὰς διαιρούμενον μόριόν τι καταλιμπάνειν ἐλάχιστον καὶ τομῆς ἀνεπίδεκτον, πᾶν δὲ μέγεθος ἐπ’ ἄπειρον διαιρούμενον μὴ καταλιμπάνειν μόριον, ὃ διὰ τὸ εἶναι ἐλάχιστον τομὴν οὐκ ἐπιδέξεται,
30ἀλλὰ καὶ ἐκεῖνο ἐπ’ ἄπειρον τεμνόμενον ποιεῖν ἄπειρα μόρια, ὧν ἕκαστον ἐπ’ ἄπειρον τμηθήσεται, καὶ ἁπλῶς τὸ μὲν μέγεθος κατὰ μὲν τὸ μερίζεσθαι μετέχειν τῆς τοῦ ἀπείρου ἀρχῆς, κατὰ δὲ τὴν ὁλότητα τῆς τοῦ πέρατος, τὸν δὲ ἀριθμὸν κατὰ μὲν τὸ μερίζεσθαι τῆς τοῦ πέρατος,
35κατὰ δὲ τὴν ὁλότητα τῆς τοῦ ἀπείρου. ἐπεὶ οὖν τὰ μέτρα τῶν μετρουμένων ἐλάττονα εἶναι προσήκει, μετρεῖται δὲ πᾶς ἀριθμός, ἀνάγκη πάντων ἔλαττόν τι εἶναι τὸ μέτρον. ὥστε καὶ τῶν μεγεθῶν, εἰ πάντα μετρεῖται κοινῷ μέτρῳ, ἀνάγκη εἶναί τι ἐλάχιστον. ἀλλ’ ἐπὶ μὲν τῶν ἀριθμῶν
40ἔστιν· πεπέρασται γάρ, ὡς προείρηται· ἐπὶ δὲ τῶν μεγε‐ θῶν οὐκέτι. οὐκ ἄρα κοινὸν πάντων τι μεγεθῶν μέτρον. τοῦτο οὖν καὶ οἱ Πυθαγόρειοι ἐγνωκότες συμμετρίαν ὡς ἦν τοῖς μεγέθεσι δυνατόν, ἐξεῦρον. πάντα γὰρ τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ μέτρον μεγέθη σύμμετρα ὠνόμασαν, τὰ δὲ οὐχ
45ὑποπίπτοντα τῷ αὐτῷ μέτρῳ ἀσύμμετρα, καὶ τούτων πάλιν, ὅσα μὲν ἄλλῳ τινὶ κοινῷ μετρεῖται μέτρῳ, ἀλλήλοις σύμμετρα, ὅσα δὲ μή, ἀσύμμετρα, ἐκείνοις. καὶ οὕτω θέσει λαμβανομένων τῶν μέτρων πάντα εἰς συμμετρίας ἀνήγαγον
διαφόρους, εἰ δὲ εἰς διαφόρους, καὶ ὡς πρός τινα οὐ πάντα

10

.

1

(50)

σύμμετρα εἶναι δύναται. ῥητὰ δὲ πάντα καὶ πάντα ἄλογα δυνατὸν εἶναι ὡς πρός τι· διὸ τὸ μὲν σύμμετρον φύσει ἂν εἴη αὐτοῖς καὶ τὸ ἀσύμμετρον, τὸ δὲ ῥητὸν καὶ ἄλογον θέσει. εὑρίσκεται δὲ τὰ σύμμετρα καὶ ἀσύμμετρα τριχῶς κατὰ τὰς τρεῖς διαστάσεις· καὶ γὰρ γραμμαὶ καὶ ἐπιφάνειαι
55καὶ στερεά, ὡς ὁ Θέων δείκνυσι καί τινες ἄλλοι. ὅτι δὲ ἐπ’ ἄπειρον τὸ μέγεθος διαιρετόν, τοιούτῳ θεωρήματι κέχρην‐ ται. ἰσόπλευρον λαβόντες τρίγωνον τέμνουσι τὴν βάσιν δίχα καὶ ἑνὶ τῶν τμημάτων ἴσον ἀποθέμενοι ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν ὡς ἐπὶ τὰ πρὸς τῇ βάσει μέρη παράλληλον ἄγουσι
60δι’ ἐκείνου, καὶ ἔσται πάλιν ἰσόπλευρον τὸ ἀπολαμβανό‐ μενον τρίγωνον, οὗ πάλιν τὴν βάσιν κατὰ τὰ αὐτὰ τέ‐ μνοντες ὡσαύτως ποιοῦσι καὶ οὐ‐ δέποτε καταλήγουσι πρὸς τῇ τοῦ [Omitted graphic marker] τριγώνου κορυφῇ. εἰ γὰρ κατα‐
65λήξουσιν, τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως τοῦ τότε ἰσοπλεύρου τριγώνου ἑκατέρᾳ τῶν πλευρῶν ἴσον ἔσται. ὥστε καὶ αἱ δύο τῇ λοιπῇ· ὅπερ ἄτοπον.
70Ὅτι δὲ χρήσιμος ἡ τούτων θεωρία, μὴ καὶ περιττὸν λέ‐ γειν. τῶν γὰρ Πυθαγορείων λόγος τὸν πρῶτον τὴν περὶ τούτων θεωρίαν εἰς τοὐμφανὲς ἐξαγαγόντα ναυαγίῳ περι‐ πεσεῖν, καὶ ἴσως ᾐνίττοντο, ὅτι πᾶν τὸ ἄλογον ἐν τῷ παντὶ καὶ ἄλογον καὶ ἀνείδεον κρύπτεσθαι φιλεῖ, καὶ εἴ τις ἂν
75ψυχὴ ἐπιδράμοι τῷ τοιούτῳ εἴδει τῆς ζωῆς πρόχειρον καὶ φανερὸν τοῦτο ποιήσηται, εἰς τὸν τῆς γενέσεως ὑποφέρε‐ ται πόντον καὶ τοῖς ἀστάτοις ταύτης κλύζεται ῥεύμασιν. τοιοῦτον σέβας καὶ οὗτοι εἶχον οἱ ἄνδρες περὶ τὴν τῶν ἀλό‐ γων θεωρίαν.

10

.

2

Τὰ μὲν μαθήματα φανταστικῶς νοοῦμεν, τοὺς δὲ ἀριθ‐ μοὺς δοξαστικῶς· διὸ καὶ τὰ μὲν εἰς ἄπειρον διαιρεῖται, οἱ δὲ μεριζόμενοι λήγουσιν εἰς πέρας ὡρισμένον τὴν μονάδα· πεπέρασται γὰρ μᾶλλον ἡ δόξα καί ἐστι πρὸς τῷ ἑνί, ἡ δὲ
5φαντασία πλῆθος ἄπειρον ἔχει· διὸ τὰ φανταστὰ ἄπειρα. καὶ τὰ μεγέθη οὖν ὡς φανταστὰ ἄπειρα καὶ ἡ τομὴ αὐτῶν. Εἰ πάντα τὰ μεγέθη τὰ πεπερασμένα δύναται πολλα‐ πλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχειν (τοῦτο δὲ ἦν τὸ λόγον ἔχειν, ὡς ἐν τῷ πέμπτῳ μεμαθήκαμεν), τίς μηχανὴ τὴν
10τῶν ἀλόγων ἐπεισφέρειν διαφοράν; ἢ ὅτι τὸ μέτρον ἐν μὲν τοῖς ἀριθμοῖς ἡ φύσις ὑπέστησεν, θέσει δὲ ἐν τοῖς μεγέθεσι διὰ τὴν ἐπ’ ἄπειρον τομήν; πρὸς γὰρ πῆχυν ἢ σπιθαμὴν ἤ τι τοιοῦτον γνώριμον μέτρον τὸ ῥητὸν καὶ τὸ ἄρρητον γνωρίζομεν. καὶ μὴν τὸ λόγον ἔχειν ἄλλως μὲν ἐπὶ τῶν
15μεγεθῶν λέγεται τῶν πεπερασμένων καὶ ὁμογενῶν, ἄλλως ἐπὶ τῶν συμμέτρων, ἄλλως ἐπὶ τῶν ῥητῶν προσαγορευο‐ μένων. ὅπου μὲν γὰρ ὁ λόγος μόνον καὶ ἡ σχέσις θεωρεῖται τῶν πεπερασμένων μεγεθῶν κατὰ τὸ μεῖζον καὶ ἔλαττον, ὅπου δὲ κατά τινα τῶν ἐν ἀριθμοῖς σχέσεων· διὸ καὶ τὰ
20σύμμετρα μεγέθη λόγον ἔχειν λέγεται, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. ὅπου δὲ πρὸς τὸ ἐγκείμενον μέτρον τὴν τῶν ῥη‐
τῶν ἡμῖν πρὸς τὰ ἄλογα διαφορὰν παρέσχετο.

10

.

3

[Start of a diagram]Τῶν εὐθειῶν

10

3col 1-2

[Start of a diagram section]ῥηταί

10

3col 1

αἱ μὲν μή‐ κει καὶ δυ‐ νάμει σύμ‐ μετροι. τὸ
5ὑπὸ ῥητῶν μήκει συμ‐ μέτρων καὶ δυνάμει περιεχόμε‐
10νον ὀρθο‐ γώνιον χω‐ ρίον ῥητόν ἐστι. καὶ ἐὰν ῥητὸν
15χωρίον παρὰ ῥη‐ τὴν παρα‐ βληθῇ, πλά‐ τος ποιεῖ ῥη‐
20τὸν καὶ σύμμετρον τῇ παρ’ ἣν παράκει‐
ται μήκει.Column end

10

3col 2

αἱ δὲ δυνάμει μόνον, μήκει δὲ ἀσύμμετροι. τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυ‐
5νάμει μόνον συμ‐ μέτρων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρ‐ θογώνιον χωρίον ἄλογόν ἐστι, καὶ
10ἡ δυναμένη αὐ‐ τὸ ἄλογος, κα‐ λεῖται δὲ μέση διὰ τὸ μέσην αὐτὴν ἀνάλογον
15γίνεσθαι τῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐ‐ θειῶν τῶν περι‐ εχουσῶν τὸ ἄλο‐
20γον χωρίον· ἴσον γάρ ἐστι τὸ ἀπ’ αὐτῆς τῷ ὑπ’ αὐτῶν περιεχο‐ μένῳ. τὸ ἀπὸ
25μέσης παρὰ ῥη‐ τὴν παραβαλλό‐ μενον πλάτος ποιεῖ ῥητὸν καὶ ἀσύμμετρον τῇ
30παρ’ ἣν παρά‐
κειται μήκει.[End of a diagram section]Column end

10

3col 3-5

[Start of a diagram section]ἄλογοι

10

3col 3

αἱ μὲν μήκει καὶ δυνάμει εἰσὶ σύμμε‐ τροι καί
5εἰσιν αἱ αὐ‐ ταὶ ἐκείναις, αἷς εἰσι σύμ‐ μετροι. ‖ ἢ τῇ μέσῃ σύμ‐
10μετροι ἢ μή‐ κει καὶ δυ‐ νάμει ἢ δυ‐ νάμει μόνον οὖσαι σύμ‐
15μετροι. τὸ ὑπὸ μέσων μήκει συμ‐ μέτρων εὐ‐ θειῶν περι‐
20εχόμενον ὀρ‐ θογώνιον μέ‐ σον ἐστίν. τὸ ὑπὸ μέσων δυνάμει μό‐
25νον συμμέ‐ τρων περι‐ εχόμενον ὀρ‐ θογώνιον ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον
30ἐστίν. μέσον μέσου ῥητῷ
οὐχ ὑπερέχει.Column end

10

3col 4

αἱ δὲ δυ‐ νάμει μό‐ νον σύμμε‐ τροι, μήκει
5δὲ ἀσύμ‐ μετροι. ἢ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’
10αὐτῶν τετρα‐ γώνων ῥητόν, τὸ δὲ ὑπ’ αὐτῶν μέ‐ σον κατὰ
15σύνθεσιν ποι‐ οῦσαι τὴν μεί‐ ζονα, κατὰ ἀφαίρεσιν τὴν ἐλάττονα† κα‐
20τὰ ἀφαίρεσιν μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποι‐
οῦσαν.Column end

10

3col 5

δυνάμει ἀσύμμετροι μήκει (?) ποι‐ οῦσαι ἢ τὸ
5μὲν συγκεί‐ μενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ
10ὑπ’ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκει‐ μένῳ ἐκ τῶν
15ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων. κατὰ σύν‐ θεσιν τὴν δύο μέσα δυνα‐
20μένην, κατὰ ἀφαίρεσιν με‐ τὰ μέσου μέ‐ σον τὸ ὅλον
ποιοῦσαν.[End of a diagram section][End of a diagram]

10

4col 1a

Γίνονται ἄλογοι εὐθεῖαι ιγ· μέση· ἐκ ταύτης ἄπειροι ἄλογοι γί‐
5νονται. κατὰ σύν‐ θεσιν· ἐκ δύο ὀνομάτων αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ἐκ δύο μέσων βʹ αʹ μείζων
10ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη δύο μέσα δυναμένη. κατὰ ἀφαίρεσιν· ἀποτομὴ αʹ βʹ γʹ
15δʹ εʹ ϛʹ μέση ἀποτομὴ βʹ αʹ μέση ἀποτομὴ ἐλάττων μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα
20μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.

10

4col 1b

ἢ μήκει καὶ δυ‐ νάμει εἰσὶ σύμ‐
μετροι.Column end

10

4col 2a

Αἱ κατὰ σύνθεσιν ἄλογοι πᾶσαι καθ’ ἓν μόνον ση‐ μεῖον διαιροῦνται εἰς τὰ ὀνόματα μόνον ... γὰρ τὰ
5κατὰ ἀφαίρεσιν ἄλογα μιᾷ μόνῃ προσαρμόζει. ※ τὸ χωρίον τὸ ὑπὸ ῥη‐ τῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνο‐ μάτων αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ
10δύναται ἡ ἐκ δύο ὀνο‐ μάτων βʹ αʹ ἡ ἐκ δύο μέσων ἡ μείζων ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἡ δύο μέσα δυναμένη.
15※ παρὰ ῥητὴν παραβαλ‐ λόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο βʹ αʹ ὀνο‐ μάτων ἐκ β μέσων ἐκ δύο
20μέσων τῆς μείζονος τῆς ῥη‐ τὸν καὶ μέσον δυναμένης τῆς δύο μέσα δυναμένης.

10

4col 2b

αἱ εὐθεῖαι
ἢ δυνάμει μόνονColumn end

10

4col 3a

※ τὸ χωρίον τὸ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ δύναται
5ἡ ἀποτομὴ βʹ αʹ μέ‐ σης ἀποτομὴ μέ‐ σης ἀποτομὴ ἐλάτ‐ των μετὰ ῥητοῦ μέσον μετὰ μέσου
10μέσον. ※ τὸ ἀπὸ ἀπο‐ τομῆς παρὰ ῥη‐ τὴν παραβαλλό‐ μενον πλάτος
15ποιεῖ ἀποτομὴν αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς βʹ αʹ ἀπὸ μέσης ἀπο‐ τομῆς ἀπὸ ἐλάτ‐
20τονος μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσης μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσης.

10

4col 3b

ἢ καὶ μήκει καὶ δυ‐
νάμει ἀσύμμετροι.

10

5col 1

Ἀπὸ ῥητοῦ μέσου ἀφαιρουμένου | ἀπὸ μέσου ῥητοῦ ἀφαιρου‐ μένου | ἀπὸ μέσου μέ‐
5σου ἀφαιρουμένου |
ἀσυμμέτρου τῷ ὅλῳColumn end

10

5col 2

ἡ τὸ λοιπὸν χωρίον δυνα‐
μένηColumn end

10

5col 3

ἢ ἀποτομή ἐστιν ἢ ἐλάττων ἢ μέσης ἀπο‐ τομὴ ἢ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα
5ἢ μέσης ἀποτομὴ βʹ μετὰ μέσου μέσον τὸ
ὅλον ποιοῦσα.Column end

10

.

6

Ἄλογοί εἰσι ιγ· μέση· ἐκ ταύτης ἄπειροι ἄλλοι γίνονται

10

6col 1

κατὰ σύνθεσιν. [ἡ] σύμμετρος οὖσα μιᾷ τού‐ των τῶν ἀλό‐
5γων καὶ αὐτὴ ἄλογός ἐστι καὶ τοῦ αὐτοῦ
ὀνόματοςColumn end

10

6col 2

ἐκ δύο ὀνομάτων αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ἐκ δύο μέσων αʹ ἐκ δύο μέσων βʹ
5μείζων ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη δύο μέσα δυνα‐
μένηColumn end

10

6col 3

κατὰ
ἀφαίρεσινColumn end

10

6col 4

ἀποτομὴ αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ μέσης ἀποτομὴ αʹ μέσης ἀποτομὴ βʹ ἐλάτ‐
5των μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα μετὰ μέ‐ σου μέσον τὸ ὅλον
ποιοῦσα.

10

.

7

[Start of a diagram]Τῶν εὐθειῶν

10

7col 1

αἱ μέν εἰσι ῥηταὶ αἱ ὁπωσοῦν τῇ ἐκκειμέ‐ νῃ ῥητῇ σύμμετροι, μήκει σύμμετροι, δυ‐
5νάμει μόνον σύμμε‐ τροι καὶ τῇ ῥητῇ καὶ ἀλλήλοις. τὸ ὑπὸ ῥη‐ τῶν μήκει συμμέ‐ τρων περιεχόμενον
10ῥητὸν καὶ ἡ δυναμέ‐
νη αὐτὸ ῥητή.Column end

10

7col 2

δυνάμει μό‐ νον σύμμετροι
τῇ ῥητῇ.Column end

10

7col 3

αἱ δὲ ἄλογοι παντελῶς, ὅσαι μήτε μήκει μήτε δυνάμει σύμμετροί εἰσι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ
5ἀλλήλαις [Start of a diagram section]σύμμετροι μήκει.
δυνάμει.[End of a diagram section] [Start of a diagram section]ἀσύμμετροιColumn end
10τὸ μὲν ἀπὸ συγκείμενον ῥητὸν τὸ δὲ
ὑπὸ μέσον.[End of a diagram section][End of a diagram]

10

.

8

Μήκει σύμμετροί εἰσιν εὐθεῖαι, ὅταν μεγέθει κατα‐ μετρῶνταί τινι, ἔχωσι δὲ καὶ λόγον, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν· τὰ δὲ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα λόγον ἔχει, ὃν τετρά‐ γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. δυνάμει δὲ
5σύμμετροί εἰσιν, ὅταν μεγέθει μὴ καταμετρῶνταί τινι μηδὲ λόγον ἔχωσιν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, μηδὲ τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἔχει μέντοι τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, καθὼς ἥ τε διάμετρος καὶ ἡ
10πλευρὰ δυνάμει οὖσαι σύμμετροι, οὐ μέντοι μήκει, οὔτε καταμετροῦνται μεγέθει τινὶ οὔτε λόγον ἔχουσιν, ὃν ἀριθ‐ μὸς πρὸς ἀριθμόν, οὔτε τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἔχει μέντοι τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθ‐
15μόν· διπλάσιον γάρ· οἱ δὲ διπλάσιον λόγον ἔχοντες πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοὶ οὐδέποτ’ ἂν εἶεν τετράγωνοι· οὐδένας γὰρ τῶν τετραγώνων εὑρήσει λόγον διπλάσιον ἔχοντας, οἷον ὁ δ ὁ θ ὁ ιϛ ὁ κε ὁ λϛ οἱ ἐφεξῆς ἅπαντες τετράγωνοι. οὐδεὶς γὰρ τούτων πρὸς ἄλλον ὁντιναοῦν συγκρινόμενος
20τετράγωνον εὑρεθήσεται λόγον διπλάσιον ἔχων. τὰ γοῦν ἀπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς πλευρᾶς τετράγωνα λόγον δι‐ πλάσιον ἔχοντα, ὃν οὐκ ἂν σχοίη τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀλλ’ ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, δεί‐ κνυσι τὴν διάμετρον πρὸς τὴν πλευρὰν οὐ μήκει σύμμετρον,
25ἀλλὰ δυνάμει τυγχάνουσαν. αἱ δὲ πρὸς τῷ μήτε καταμετρεῖ‐ σθαι μήκει τινὶ μηδὲ λόγον ἔχειν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθ‐ μόν, μηδὲ ἐν τοῖς ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνοις, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἔτι μηδ’ ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμὸν ἐν τοῖς ἀπ’ αὐτῶν ἔχουσαι τετραγώνοις
30πλευραὶ οὔτε μήκει σύμμετροι οὔτε δυνάμει εἰσί, διὸ καὶ λέγονται ἄλογοι.
Τὸ λόγον ἔχειν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ταὐτόν ἐστι τῷ τὸ ἔλασσον τοῦ μείζονος ἢ μέρος εἶναι ἢ μέρη, καὶ τοῦτό ἐστι τὸ ἴδιον τῶν συμμέτρων τὸ εἶναι τὸ ἔλασσον τοῦ
35μείζονος ἢ μέρος ἢ μέρη.

10

.

9

Τῶν εὐθειῶν αἱ μέν εἰσι καὶ μήκει καὶ δυνάμει σύμ‐ μετροι, αἱ δὲ δυνάμει σύμμετροι, μήκει δὲ ἀσύμμετροι. δυνάμει μὲν οὖν καὶ μήκει σύμμετρος ἡ δωδεκάπους καὶ ἑκκαιδεκάπους· τὰ γὰρ ἀπὸ τοῦ ιβ καὶ ιϛ τετράγωνα τὰ
5ρμδ καὶ σνϛ τῷ αὐτῷ χωρίῳ τῷ τέσσαρα μετροῦνται, ὥσπερ καὶ αὐταί. τοῦ γὰρ ιβ καὶ ιϛ κοινὸν μέτρον ὁ δ, ἀλλὰ καὶ τοῦ ρμδ καὶ σνϛ· ὁ γὰρ δ μετὰ τοῦ λϛ μετρεῖ τὸν ρμδ, μετὰ δὲ τοῦ ξδ τὸν σνϛ· αὗται μὲν ἄρα καὶ μήκει καὶ δυνάμει σύμμετροί εἰσιν, ἡ δὲ πεντάπους καὶ πεντεκαιδε‐
10κάπους δυνάμει σύμμετροί εἰσι μόνον, οὐ μὴν καὶ μήκει. καὶ ὅτι μὲν μήκει οὐκ εἰσὶ σύμμετροι, δῆλον· οὐ γὰρ ἔχουσι κοινὸν μέτρον· ὅτι δὲ ἡ πεντάπους τῇ πεντεκαιδε‐ κάποδι δυνάμει σύμμετρός ἐστι, δῆλον· τὰ γὰρ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα τὰ κε καὶ σκε τῷ αὐτῷ χωρίῳ μετροῦνται. ἔχει
15δὲ καὶ ὁ σκε πρὸς τὸν κε ἐνναπλασίονα λόγον, αὗται δέ, λέγω δὴ αἱ πρὸς ἀλλήλας σύμμετροι, εἴτε δυνάμει καὶ μή‐ κει εἰσὶ σύμμετροι εἴτε δυνάμει μόνον, ῥηταὶ λέγονται. καλείσθω οὖν ἡ προτεθεῖσα εὐθεῖα ῥητή. προ‐ τεθεῖσαν εὐθεῖαν λέγω τὴν δεδομένην ἡμῖν ὡς ἀρχὴν καὶ
20μέτρον καὶ οἱονεὶ κανόνα πρὸς ἐκμέτρησιν μηκῶν. τὴν οὖν ἐξ ὑποθέσεως καί, ὡς αὐτὸς ὁ Εὐκλείδης λέγει, θέσει λαμβανομένην ὡς ἀρχὴν καὶ μέτρον εἰς ἐκμέτρησιν μη‐ κῶν ῥητὴν καλεῖ. οἷον εἴ τις ἐρωτῴη, πόσον ἐστὶ τὸ μεταξὺ διάστημα τῶν ὑποκειμένων σημείων, οὐδὲν ἂν ἔχοιμεν λέ‐
25γειν, εἰ δὲ ἐρωτῴη, πόσων ἐστὶ πηχῶν ἢ ποδῶν, ἀναγκαῖόν ἐστιν ἡμᾶς αἰτεῖν πηλικότητα πήχεως καὶ ποδὸς καὶ τῇ
πηλικότητι τοῦ πήχεως ἢ τοῦ ποδὸς χρωμένους προτεθείσῃ ὡς ῥητῇ καὶ εὐθείᾳ τὸ προτεθὲν διάστημα ἐξετάζειν, καὶ εἰ μὲν ἀπαρτιζόντως καταμετρεῖ τὸ διάστημα, οἷον τετρά‐
30κις ἢ πεντάκις ἢ ὁσαχῶς ἄλλως, ῥητὸν ἂν εἴη τὸ τοιοῦτον διάστημα πεντάπουν ἢ πεντάπηχυ, εἰ τύχοι· εἰ δὲ ὑπερ‐ βαίνει ἢ ἐλλείπει, ἄρρητον ἔσται. σαφηνείας δὲ χάριν τι τὸ ἀπαρτίζον οὕτως μετρεῖν ἐστιν. ἔστω ὁ ἐννέα καὶ ὁ ι καὶ ὁ η ἀριθμός. ὁ μὲν οὖν τρία τὸν θ ἀπαρτιζόντως μετρεῖ· τρὶς
35γὰρ συντεθεὶς αὐτὸν μεμέτρηκεν. ὑπερβαίνει δὲ τὸν η, ἐλ‐ λείπει δὲ πρὸς τὸν ι. νενοήσθω δὴ καὶ ὁ γ καὶ ὁ η καὶ ὁ θ καὶ ὁ ι ὡς γραμμαί, καὶ ἔστω ὁ θ ἡ ΑΒ γραμμή, ὁ δὲ η ἡ ΓΔ, ὁ δὲ ι ἡ ΕΖ, ὁ δὲ γ ἡ ΗΘ. εἰ οὖν ἔροιτό τις, πόσον ἐστὶ τὸ μεταξὺ διάστημα τῶν Α, Β σημείων, οὐκ ἂν ἔχοι‐
40μεν λέγειν, εἰ δ’ ἔροιτο, πόσων ἐστὶ πηχῶν, ἀνάγκη αἰτῆ‐ σαι ἡμᾶς πρὸς τὸν ἐρωτῶντα μέτρον τι ὡρισμένον. ἔστω δή, ὅτι δέδωκεν ἡμῖν τὸν τρία ἀριθμόν, ὃς ὑπόκειται εἶναι ἡ ΗΘ γραμμή. ἔστω οὖν, ὅτι δέδωκεν ἡμῖν τὴν ΗΘ γραμ‐ μὴν ὡς πῆχυν. αὕτη οὖν δηλονότι ῥητή ἐστι· ῥητὴ γάρ
45ἐστιν, ὥς τινες ὁρίζονται, ἡ δι’ ἀριθμῶν γνωρίμη. ἐπεὶ δὲ καὶ ὁ πῆχυς διὰ τῆς μονάδος γνωρίζεται (μονάδι γὰρ ἀνα‐ λογεῖ πρὸς τὸ πεντάπηχυ καὶ δεκάπηχυ καὶ τοῖς ὁμοίοις· ὁσάκις γὰρ ἡ μονὰς τὸν πέντε, τοσαυτάκις καὶ ὁ πῆχυς τὸ πεντάπηχυ μετρεῖ), ἐπεὶ οὖν ῥητή ἐστιν ἡ πηχυαία ἡ ΗΘ,

10

.

9

(50)

ῥητή ἐστι καὶ ἡ ΑΒ ἡ τρίπηχυς καὶ σύμμετρος μήκει τῇ προτεθείσῃ πηχυαίᾳ τῇ ΗΘ· ὁ γὰρ πῆχυς καὶ ἑαυτὸν με‐ τρεῖ καὶ τὸ τρίπηχυ. ἡ μὲν οὖν ΑΒ, ὡς εἴρηται, καὶ ῥητὴ καὶ σύμμετρός ἐστι τῇ ΗΘ, ἡ δὲ ΓΔ, ἥτις εἴληπται ἀντὶ τοῦ η ἀριθμοῦ, ἄλογος. καὶ τοῦτο δῆλον ὧδε· ἐπειδὴ γὰρ
55ὁ τρία ἀριθμὸς ὡς πῆχυς εἴληπται καὶ διὰ τοῦτο καὶ ὁ θ ὡς τρίπηχυ μέγεθος, τοῦ μὲν η αἱ ϛ μονάδες ἔσονται ὡς πήχεις δύο, καταλείπονται δὲ αἱ δύο μονάδες. ὥστε ἐπειδὴ ῥητή ἐστιν, ὡς εἴρηται, ἡ δι’ ἀριθμῶν γνωρίμη, ἡ δὲ ΓΔ
οὔτε δὶς μετρεῖται οὔτε τρίς, ἀλλ’ οὐδ’ ἅπαξ ὑπὸ τοῦ πή‐
60χεως, ὃς πρόκειται ὡς ῥητή τις καὶ κανών, ἄλογός ἐστιν ἡ ΓΔ. ἀλλὰ τί ἐστιν, ὅπερ εἴρηται, ὅτι ἀναγκαῖόν ἐστιν ἡμᾶς αἰτῆσαι πηλικότητα πήχεως; καὶ διὰ τί οὐκ εἴρηται ἀναγκαῖόν ἐστιν αἰτῆσαι πῆχυν, ἀλλὰ πηλικότητα πήχεως; ἢ ἐπειδὴ τὰ μέτρα θέσει ἐξ ἡμῶν αὐτῶν λαμβάνεται καὶ
65οὐ φύσει, καὶ εἰκός ἐστι παρ’ ἡμῖν, εἰ οὕτως ἔτυχε, τὸν πῆχυν δέκα δακτύλων εἶναι, παρ’ ἄλλοις δὲ οἷον Ἰνδοῖς ὀκτὼ δακτύλων καὶ παρ’ ἄλλοις ἄλλων, διὰ τοῦτο πρόσκει‐ ται τὸ δεῖν αἰτῆσαι πηλικότητα πήχεως, ὡς εἰ ἐλέγομεν· δεῖ λαβεῖν τὴν πηλικότητα τοῦ πήχεως ὡρισμένην, ὥσπερ
70κἂν τὸν πῆχυν ἡμᾶς ἔροιτό τις, πόσων ἐστὶ δακτύλων, δεῖ αἰτῆσαι τὸ πηλίκον αὐτοῦ· οὐδὲ γὰρ ὁ δάκτυλος οὐδ’ ὁ ποῦς οὐδ’ ὁ μέδιμνος οὐδ’ ἄλλο οὐδὲν παρὰ πᾶσίν ἐστι τὰ αὐτά, ὡς εἴρηται. οὐ γάρ εἰσι φύσει, ἀλλὰ θέσει, καὶ διὰ τοῦτο τὸ κατὰ τὸν ἡμέτερον πῆχυν τρίπηχυ κατὰ τὸν παρ’
75ἄλλοις ἔθνεσι πῆχυν οὐκ ἔσται τρίπηχυ, ὥστε ἔσται ἡ παρ’ ἐκείνοις τριπηχυαία ἢ τριποδιαία γραμμὴ πρὸς τὴν παρ’ ἡμῖν ἀσύμμετρος, ἀλλὰ καὶ ὁ παρ’ ἡμῖν πῆχυς πρὸς τὸν παρ’ ἐκείνοις πῆχυν ὁμοίως καὶ ἄλογος καὶ ἀσύμμετρος διὰ τὸ μὴ ἀπαρτιζόντως τὸν παρ’ ἐκείνοις πῆχυν μετρεῖσθαι
80πρὸς τοῦ παρ’ ἡμῖν δακτύλου. ἔσονται δὲ τῇ προτεθείσῃ ῥητῇ εὐθείᾳ, εἴτε πηχυαία ἐστὶν εἴτε ποδιαία εἴτε παλαι‐ στιαία ἢ δακτυλιαία, ἄπειροι σύμμετροι μήκει καὶ ῥηταὶ καὶ ὁμοίως ἀσύμμετροι ἄπειροι. ὅσας μὲν γὰρ ἀπαρτι‐ ζόντως μετρεῖ, σύμμετροι· μετρεῖ γὰρ καὶ ἑαυτὴν καὶ
85ἐκείνας καί ἐστι κοινὸν μέτρον αὐτὴ καὶ ἑαυτῆς κἀκείνων, ἃς μετρεῖ. ἐνδέχεται δὲ καί, ἢν μὴ μετρεῖ ἡ πηχυαία, σύμμε‐ τρον εἶναι καὶ ῥητὴν τῇ πηχυαίᾳ, ὅταν μὴ τὸν πῆχυν ἔχω‐ μεν προκείμενον ἡμῖν ὡς μέτρον καὶ κανόνα, ἀλλ’, εἰ τύχοι, τὸν δάκτυλον. ἂν γὰρ ὁ δάκτυλος μετρῇ καὶ τὸν πῆχυν καὶ
90τὸ μέγεθος, ὅπερ ὁ πῆχυς οὐ μετρεῖ, ἔσονται ἀλλήλοις σύμμετρα ὅ τε πῆχυς κἀκεῖνο διὰ τὸ κοινῷ μέτρῳ μετρεῖ‐ σθαι τῷ δακτύλῳ. καὶ ὁρᾶς, ὅτι τὰ ἀσύμμετρα κατὰ τόδε τὸ μέτρον δύνανται κατ’ ἄλλο σύμμετρα εἶναι καὶ ῥητά. τὸ δὲ ῥητὰ ἀντὶ τοῦ ἀριθμῷ τινι δηλοῦσθαι, οἷον τῷ πέντε
95ἢ τῷ ἑπτὰ πενταπήχη ἢ ἑπταπήχη λεγόμενα, καὶ διὰ τοῦτο τοῦ δεκαγώνου πλευρὰ οὖσα μοιρῶν λζ, λεπτῶν πρώτων τεσσάρων, δευτέρων νε ἄλογος λέγεται. εἰ μὲν γὰρ ἦν λζ μόνων μοιρῶν, ἦν ἂν ῥητή, ὡς οὖσα τῷ τριάκοντα ἀριθμῷ γνωρίμη, ἐπεὶ δὲ καὶ λεπτῶν ἐστι πρώτων καὶ δευτέρων,

10

.

9

(100)

οὐκ ἔστι ῥητή. ἔστι δὲ ἴδιον τῶν συμμέτρων τὸ τὸ ἔλασσον τοῦ μείζονος ἤτοι μέρος εἶναι ἢ μέρη, καὶ ἂν ᾖ μέρος, λόγον ἕξει, ὃν μονὰς πρὸς ἀριθμόν, ἐὰν δὲ μέρη, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, οἷον ὁ πέντε σύμμετρος ὢν τῷ κε μέρος ἐστὶν αὐτοῦ καὶ λόγον ἔχει ὁ πέντε πρὸς τὸν εἰκοσικαιπέντε,
105ὃν ἡ μονὰς πρὸς τὸν ε· ἰσάκις γὰρ ἡ μονὰς τὸν πέντε μετρεῖ καὶ ὁ πέντε τὸν κε. εἰ δὲ μέρη ᾖ, λόγον ἕξει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, οἷον ὁ τριάκοντα καὶ ὁ τεσσαράκοντα σύμ‐ μετροι ὄντες οὐκ ἔστιν ὁ λ μέρος τοῦ μ, ἀλλὰ μέρη, οἷον τρία τέταρτα· τέταρτον γὰρ ἡ δεκὰς τοῦ μ, ὥστε ὁ λ τρία μέρη
110ἤτοι τρία τέταρτά ἐστι τοῦ μ. ὥστε καὶ ἐκ τούτου δῆλον, ὅτι ὁ ἐλάσσων μέρος ἐστὶ τοῦ μείζονος συμμέτρων ὄντων τοῦ ἐλάττονος καὶ μείζονος, ὅταν αὐτὸς ὁ ἐλάττων τὸν μείζονα ἀπαρτιζόντως μετρῇ, ὃ ταῦτόν ἐστι τῷ ὅταν ὁ μείζων μέτρον γίνηται καὶ ἑαυτοῦ καὶ τοῦ μείζονος,
115ἤτοι ὅταν καὶ ἑαυτὸν καὶ τὸν μείζονα μετρῇ. ἰστέον δέ, ὅτι πᾶς ἀριθμὸς ἑαυτὸν μετρεῖ· εἰ γὰρ τὸ μέτρον ἐξισάζει τῷ μετρουμένῳ ἢ εὐθὺς ἐκείνῳ προσαρμόζον ἢ διπλούμενον ἢ τριπλούμενον, πᾶς δὲ ἀριθμὸς ἴσος ἐστὶν ἑαυτῷ, πᾶς ἄρα ἀριθμὸς ἑαυτὸν μετρεῖ. ὑποδείγματος χάριν ὁ μὲν
120τρία τὸν τρία μετρεῖ ἅπαξ ἐφαρμόζων αὐτῷ, ἐφαρμόζοντα δέ ἐστι τὰ μήθ’ ὑπερέχοντα μήτε ἐλλείποντα. τὸν δὲ ϛ ὁ γ μετρεῖ δὶς ἐφαρμόζων αὐτῷ. ὁ γ τρία τοίνυν καὶ ὁ θ σύμ‐ μετροί εἰσι, καὶ μέρος ἐστὶ τοῦ θ ὁ γ. ὁ δὲ λ τοῦ μ, ὡς εἴρηται, σύμμετρος μὲν καὶ οὐ μέρος, ἀλλὰ μέρη. καὶ ὅταν
125μὲν ᾖ μέρος, ὑποπολλαπλάσιον ποιεῖ λόγον, ἐὰν δὲ μέρη, ἕνα τῶν λοιπῶν ὑπολόγων, οἷον ὑποτριπλασιεπίτριτον,
ὑφημιόλιον ἢ ἄλλον τοιοῦτόν τινα. καὶ ἐὰν εὐθεῖαι ὦσι, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν ἐπίπεδα καὶ τὰ στερεὰ λόγον ἕξει, ὃν ἀριθ‐ μὸς πρὸς ἀριθμόν, ἐὰν δὲ ἐπίπεδα, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν στε‐
130ρεά, οὐ μέντοι καὶ αἱ εὐθεῖαι, ἂν μὴ ᾖ λόγος τῶν ἀριθμῶν, ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον. Περὶ ῥητῶν καὶ ἀλόγων. Τὸ ῥητὸν καὶ ἄλογον μέγεθος ἑκάτερον οὐκ ἔστι τῶν καθ’ αὑτὰ νοουμένων, ἀλλὰ πρὸς ἕτερον συγκρινομένων.
135ὅσα γὰρ ἀλλήλοις σύμμετρα εἴτε μήκει καὶ δυνάμει εἴτε δυνάμει μόνον, ταῦτα καὶ ῥητὰ πρὸς ἄλληλα λέγεται, ὅσα δὲ ἀλλήλοις ἀσύμμετρα, ταῦτα ἄλογα πρὸς ἄλληλα λέγεται. οἱ μὲν ἀριθμοὶ σύμμετροι τυγχάνουσιν, ἐπείπερ ἕκαστος αὐτῶν ὑπό τινος ἐλαχίστου μέτρου μετρεῖται. ὁμοίως δὲ
140πῆχυς καὶ παλαιστὴ συμμετρίαν ἔχουσι πρὸς ἄλληλα· ἑκάτερος γὰρ ὑπὸ ἐλαχίστου μέτρου καταμετρεῖται ὑπὸ δακτύλου μονάδος θέσιν ἔχοντος. ἀπείρου δὲ τῆς ἐν τοῖς μεγέθεσιν ὑπαρχούσης τομῆς καὶ μηδενὸς ὑφεστηκότος ἐλαχίστου μέτρου δῆλον, ὅτι τοῦ ῥητοῦ μεγέθους οὐχ ἕν τι
145καὶ ὡρισμένον ὡς ὁ δάκτυλος ἐλάχιστον μέτρον, ἀλλ’ ἐφ’ ἡμῖν ἐστιν, ὁπηλίκον ἂν ἐθέλωμεν, ἐλάχιστον ὑποθέσθαι μέτρον γνώριμον ὥσπερ μονάδα. πᾶν γὰρ καθ’ ἑαυτὸ μέ‐ γεθος, ὡς ἐλέχθη, οὔτε ῥητὸν οὔτε ἄλογον, ὅτι καὶ πᾶσα εὐθεῖα καθ’ ἑαυτὴν οὔτε ῥητὴ οὔτε ἄλογός ἐστι, συγκρι‐

10

.

9

(150)

νομένη δὲ πρὸς ὑποτεθεῖσαν θέσει μονάδα ῥητὴ ἢ ἄλογος εὑρίσκεται. οὕτως οὖν τῆς τετραγώνου πλευρᾶς ὑποτε‐ θείσης ῥητῆς ἡ διάμετρος δυνάμει ῥητὴ εὑρίσκεται· μήκει γὰρ ἄλογος εὑρίσκεται· καὶ πάλιν αὖ τῆς διαμέτρου ῥητῆς ὑπαρχούσης ἡ πλευρὰ δυνάμει ῥητὴ ἑκατέρας αὐτῶν καθ’
155ἑαυτὴν οὔτε ῥητῆς οὔσης οὔτε ἀρρήτου ἤτοι ἀλόγου ὑπαρ‐ χούσης. οὕτως οὖν τῶν εὐθειῶν ἐλάχιστόν τι μέτρον ὑποθέμενοι εὐθεῖαν μονάδα οἱ ἀπὸ τῶν μαθημάτων ῥητὴν ὠνόμασαν καὶ τὰς αὐτῇ συμμέτρους ῥητάς· ὁμοίως καὶ τὸ
ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον ῥητὸν καὶ τὰ τούτῳ σύμμετρα χω‐
160ρία ῥητὰ ἐκάλεσαν καὶ ῥητὸν ὁμοίως τὸν ἀπ’ αὐτῆς κύβον καὶ τὰ τούτῳ σύμμετρα στερεά. ἄρρητον δ’ ἀκουστέον ἀντὶ τοῦ ἄλογον στερεὸν μὲν τὸ ἀσύμμετρον τῷ ἀπὸ ῥητῆς κύ‐ βῳ, ἐπίπεδον δὲ τὸ ἀσύμμετρον τῷ ἀπὸ ῥητῆς τετραγώνῳ, μήκει δέ, τουτέστιν εὐθεῖαν, τὸ ῥητῇ ἀσύμμετρον. ἐπὶ δὲ
165τῶν εὐθειῶν διττῆς νοουμένης τῆς ἀσυμμέτρου, μιᾶς μὲν ὅταν αὐταὶ αἱ εὐθεῖαι ἀσύμμετροι ὦσι, τὰ δὲ ἀπ’ αὐτῶν χωρία σύμμετρα ἀλλήλοις, ἑτέρας δὲ ὅταν καὶ [τὰ ἀπ’ αὐτῶν χωρία σύμμετρα ἀλλήλοις ἑτέρας δὲ ὅταν καὶ] τὰ ἀπ’ αὐτῶν χωρία ἀσύμμετρα ἀλλήλοις ᾖ, διττὴ καὶ ἡ πρὸς
170τὴν ῥητὴν διαφορὰ κατὰ τοὺς παλαιοὺς ὑπῆρχε· αἱ μὲν γὰρ λέγονται δυνάμει ῥηταὶ καὶ ἄλογοι, αἱ δὲ μήκει. δυνάμει μὲν οὖν εἰσι ῥηταί, ὡς εἴρηται, ὅσαι εἰσὶν ἀσύμμετροι τῇ ῥητῇ, τὰ δ’ αὐτῶν τετράγωνα σύμμετρα τῷ ἀπὸ ῥητῆς τετραγώνῳ, οἷον εἴ ἐστιν ἡ ΑΒ εὐθεῖα ῥητή, ἡ δὲ ΓΔ ἀσύμ‐
175μετρος αὐτῇ τῇ ΑΒ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον σύμ‐ μετρον εἴη τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, ἡ ΑΒ καὶ ΓΔ δυνάμει εἰσὶ ῥηταί. ἀλλὰ κἂν ἡ ΖΗ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον οὕτως ἕξει πρὸς τὴν ΑΒ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον, ὡς εἶχεν ἡ ΓΔ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον πρὸς τὴν ΑΒ
180καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον, κἂν οὖν ἡ ΖΗ καὶ τὸ τετρά‐ γωνον αὐτῆς οὕτως ἕξουσι πρὸς τὴν ΑΒ καὶ τὸ τετράγω‐ νον αὐτῆς, ἡ ΖΗ καὶ ἡ ΑΒ δυνάμει εἰσὶ ῥηταί. κἂν ἄλλη τις εὑρεθῇ οὕτως ἔχουσα πρὸς τὴν ΑΒ ὡς αἱ εἰρημέναι, δυνάμει ἔσονται πρὸς τὴν ΑΒ ῥηταί. δυνάμει μὲν οὖν ῥηταὶ
185αὗται, μήκει δὲ ῥηταί, ὅταν τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα ἢ ἐν τετραγώνοις ἀριθμοῖς ᾖ ἢ τὰς πλευρὰς ἔχει συμμέτρους τῇ ῥητῇ μήκει. καὶ τάχα τὸ λεγόμενον τοιοῦτόν ἐστιν· ὅταν συγκρίνωμεν δύο εὐθείας, εἴτε δυνάμει εἰσὶ ῥηταὶ εἴτε μήκει, δεῖ ὁρᾶν πρὸς τρίτην εὐθεῖαν ῥητὴν οὖσαν,
190καὶ εἰ μὲν εὕροιμεν αὐτὰς μήκει συμμέτρους τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καὶ αὗται ῥηταὶ ἔσονται μήκει· τὰ γὰρ τῷ αὐτῷ μή‐
κει σύμμετρα καὶ ῥητὰ καὶ ἀλλήλοις μήκει σύμμετρα καὶ ῥητά ἐστι. τοῦτο δὲ δεῖ καὶ ἐπὶ τῶν δυνάμει ῥητῶν ποιεῖν. ἰστέον δέ, ὡς ἀντιστρέφει, καὶ εἴτε εὐθεῖαι σύμμετροί εἰσι
195καὶ διὰ τοῦτο καὶ ῥηταί, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, κἂν τὰ τετράγωνα λόγον ἔχωσιν, ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον, σύμμετροι καὶ ῥηταί εἰσιν αἱ εὐθεῖαι. καθόλου οὖν ἡ τῇ ῥητῇ σύμμετρος καλεῖται ῥητὴ εἴτε μήκει μέση

10

.

9

(200)

εἴτε δυνάμει μόνον :~ μέση λέγεται εὐθεῖα ἡ δυναμένη χωρίον ὀρθογώνιον περιεχόμενον ὑπὸ εὐθειῶν ῥητῶν δυ‐ νάμει μόνον συμμέτρων· καὶ ἄλογόν ἐστι. καλεῖ δὲ τὴν δυναμένην τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τοιούτων εὐθειῶν μέσην διὰ τὸ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον ἴσον εἶναι τῷ περιεχο‐
205μένῳ ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν καὶ μέσην ἀνάλογον αὐτὴν γίνεσθαι τῶν δύο εὐθειῶν. :~ ἐκ δύο ὀνομάτων εὐθεῖα λέγεται, ἥτις καὶ ἄλογός ἐστι, ἡ συγκειμένη ἐκ δύο εὐθειῶν ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων. καλεῖ δὲ ἐκ δύο ὀνο‐ μάτων διὰ τὸ ἐκ δύο ῥητῶν συγκεῖσθαι δυνάμει μόνον, ὡς
210εἴρηται, συμμέτρων, ἔστι δὲ κύριον ὄνομα τὸ ῥητὸν καθὸ ῥητόν.

10

10-14t

Ad def. 1

10

.

10

Οἷον ἐπὶ ὑποδείγματος εἰ εὑρεθῶσι δύο μεγέθη, ἵνα τὸ μὲν ἔχῃ σπιθαμὰς ιε, τὸ δὲ κ, σύμμετρα ἔσται τὰ μεγέθη· ἀμφότερα γὰρ τῷ ε μέτρῳ μετροῦνται.

10

.

11

Οἷον ὑποδείγματος χάριν ἐὰν εὑρεθῶσι δύο μεγέ‐ θη, καὶ τὸ μὲν εἴη σπιθαμῶν δέκα καὶ πέντε, τὸ δὲ εἴκοσι ἤ, εἰ βούλει, εἴκοσι καὶ πέντε, σύμμετρα ἔσονται· μετροῦν‐ ται γὰρ τῷ πέντε ὅ τε ιε καὶ ὁ κ· πεντάκις γὰρ τρεῖς δε‐
5καπέντε καὶ πεντάκις τέσσαρα κ.

10

.

12

Οὗτος ὁ ὁρισμὸς ἐπὶ τῶν δυνάμει συμμέτρων οὐχ ἁρμόζει.

10

.

13

Ἰστέον δέ, ὅτι τὰ μεγέθη τὰ κοινῷ μέτρῳ μετρού‐ μενα οὐ μόνον σύμμετρά εἰσιν, ἀλλὰ καὶ ὁμοειδῆ καὶ λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, καθὼς δέδει‐ κται ἐν τῷ εʹ θεωρήματι τοῦ ιʹ βιβλίου.

10

.

14

Ὡς ἐπὶ τῶν ἑτεροειδῶν κατὰ πᾶσαν διάστασιν, οἷον κατὰ γραμμήν, ἐπιφάνειαν, σῶμα. τούτων γὰρ ἑτεροειδῶν ὄντων οὐδὲν σύμμετρόν τι ἂν γένοιτο· οὐδὲν γάρ ἐστι κοινὸν μέτρον ἐν τούτοις.

10

15t

Ad def. 2

10

.

15

Οἷον ἐπὶ ὑποδείγματος ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἡ μὲν σπιθαμῶν κδ, ἡ δὲ λ, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα φοϛ καὶ ϡ. καὶ μετροῦνται τῷ αὐτῷ χωρίῳ τῷ ϛ· ἑξάκις γὰρ ϙϛ γίνονται φοϛ καὶ ἑξάκις ρν γίνονται ϡ. ὥστε αἱ ἐξ
5ἀρχῆς εὐθεῖαι αἱ κδ καὶ λ δυνάμει σύμμετροί εἰσι. καὶ γὰρ τῷ αὐτῷ χωρίῳ τῷ ϛ μετροῦνται. ἀσύμμετροι δέ, ὅταν τοῖς ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνοις μηδὲν ἐνδέχηται χωρίον κοινὸν
μέτρον γενέσθαι, οἷον ιθ καὶ κθ· τὰ γὰρ ἀπ’ αὐτῶν τετρά‐ γωνα τξα καὶ υμα κατ’ οὐδὲν χωρίον κοινῷ μέτρῳ μετροῦν‐
10ται.

10

16-24t

Ad def. 3

10

.

16

Αἱ μήκει σύμμετροι εὐθεῖαι πάντως καὶ δυνάμει εἰσὶ σύμμετροι, αἱ δὲ δυνάμει σύμμετροι οὐ πάντως καὶ μήκει εἰσὶ σύμμετροι, ἐνδέχεται δ’ οὖν καὶ εἶναί ποτε. αἱ μήκει ἀσύμμετροι εὐθεῖαι οὐ πάντως καὶ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμ‐
5μετροι, ἐνδέχεται δ’ οὖν καὶ εἶναι ἔσθ’ ὅτε. αἱ δυνάμει ἀσύμμετροι εὐθεῖαι πάντως καὶ μήκει εἰσὶν ἀσύμμετροι.

10

.

17

Ἐν τῷ ιʹ θεωρήματι τούτου τοῦ βιβλίου. Τούτων ὑποκειμένων δείκνυται, ὅτι τῇ προτεθείσῃ εὐ‐ θείᾳ, τουτέστιν ἀφ’ ἧς θέσει τὰ μέτρα τό τε πηχυαῖον καὶ τὸ παλαιστιαῖον καὶ τὸ δακτυλιαῖον ἢ τὸ ποδιαῖον λαμ‐
5βάνεται, ὑπάρχουσιν εὐθεῖαι πλήθει ἄπειροι σύμμετροί τε καὶ ἀσύμμετροι, αἱ μὲν μήκει καὶ δυνάμει, αἱ δὲ δυνάμει μόνον.

10

.

18

Ὅτι τῇ προτεθείσῃ εὐθείᾳ, ἀφ’ ἧς θέσει τὰ μέτρα, τουτέστι τὸ πηχυαῖον καὶ τὸ παλαιστιαῖον, τὸ σπιθα‐ μιαῖον ἢ τὸ πηχυαῖον μέτρον ἐστὶ θέσει λαμβανόμενον ἐξ ἡμῶν αὐτῶν, ὡς ἐν τῷ ιʹ θεωρήματι δείκνυται.

10

.

19

Τῷ σπιθαμιαίῳ ἢ πηχυαίῳ λέγει ἤγουν τὸ μέτρον. θέσει γὰρ λαμβάνεται ἐξ ἡμῶν, ὡς ἐν τῷ ιʹ θεωρήματι δείκνυσι.

10

.

20

Ὡς πρὸς ἐκείνην, λέγει, τὴν πηχυαίαν φύσει πᾶσα εὐθεῖα μετρητή, θέσει δὲ ἐξ ἡμῶν μετρεῖται κατὰ συμβεβηκός, ὥσπερ γελαστικὸν φύσει, τὸ δὲ γελᾶν
θέσει.

10

.

21

Προτεθεῖσαν εὐθεῖαν καὶ ῥητὴν ἐνταῦθα λέγει, ἥτις ἀρχὴ μέτρων ἐστὶ καὶ οἱονεὶ κανὼν εἰς μέτρησιν ἡμῖν κατὰ μῆκος ὡς ἐν ὑποθέσει εἴληπται. οἷον εἴ τις προτεί‐ νοιτο, πόσον εἴη τὸ τῆς δοθείσης εὐθείας διάστημα, οὐδὲν
5ἂν ἔχοιμεν λέγειν, εἰ δὲ οὕτως ἐπερωτᾷ, πόσων ἐστὶ ποδῶν ἢ πηχῶν κατὰ πηλικότητα, ἐκτίθεμεν οὖν πόδα ἢ πῆχυν δίκην μονάδος θέσει ἐξ ἡμῶν λαμβανόμενον, ὅπερ προ‐ τιθέμενον καλεῖται ῥητόν, καὶ πρὸς αὐτὸ τὸ προτεθὲν τὸ διάστημα τῆς εὐθείας συγκρίνομεν, εἰ ὅλως ῥητὸν ἤγουν
10σύμμετρον εἴτε μήκει καὶ δυνάμει εἴτε δυνάμει μόνον, καὶ οὕτως τὴν ἀπόφασιν ποιούμεθα.

10

.

22

Ῥητὰς προιὼν ὁ γεωμέτρης καλέσει τὰς τῇ ἐκκει‐ μένῃ ῥητῇ εἴτε μήκει καὶ δυνάμει συμμέτρους οὔσας εἴτε καὶ δυνάμει μόνον. καὶ γὰρ καὶ ἡ μήκει σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ ῥητὴ καλεῖται· ὁμοίως καὶ ἡ δυνάμει σύμ‐
5μετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ καὶ αὐτὴ ῥητὴ λέγεται, ἄλογος δὲ καὶ ἡ μήκει καὶ δυνάμει ἀσύμμετρος.

10

.

23

Ἄλογον καλεῖ ὁ γεωμέτρης τὴν μήκει καὶ δυνάμει ἀσύμμετρον τῇ ῥητῇ. καθόλου γὰρ πᾶσαι αἱ μήκει καὶ δυνάμει ἀσύμμετροι τῇ ῥητῇ ἄλογοι πρὸς αὐτοῦ καλοῦνται.

10

.

24

Κατὰ τὸ συναμφότερον, τουτέστι δυνάμει καὶ διὰ τοῦτο καὶ μήκει.

10

25t

Ad def. 4

10

.

25

Πᾶσα πλευρὰ ἐφ’ ἑαυτὴν πολλαπλασιαζομένη ἢ ἐφ’ ἑτέραν δύναμιν ποιεῖ. φησὶ γοῦν τὰς πλευρὰς δυναμένας
τὰ ἀπ’ αὐτῶν γινόμενα. Καί ἐστι σύμμετρος ἡ διάμετρος τῇ πλευρᾷ δυνάμει
5ἐπὶ τοῦ τετραγώνου, οἷον ἡ πλευρὰ ε, ἡ δὲ διάμετρος ζ δʹ ιεʹʹ νʹʹʹ.

10

26-33t

Ad prop. 1

10

.

26

Ὅτι οὐκ ἔστιν ἐλάχιστον μέγεθος, ὡς οἱ Δημοκρί‐ τειοί φασιν, καὶ διὰ τούτου τοῦ θεωρήματος δείκνυται, εἴ γε παντὸς τοῦ ἐκκειμένου μεγέθους δυνατὸν ἔλαττον λαβεῖν.

10

.

27

μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ p. 2, 7] μεῖζον ἐνταῦθα νοητέον τοῦ ἐξ ἀρχῆς δοθέντος μείζονος μεγέθους τὸ μεῖζον τμῆμα ὡς πρὸς τὸ ἥμισυ συγκρινόμενον τοῦ ἑαυτοῦ καὶ οὐχὶ ὡς πρὸς τὸ ἔλαττον τὸ ἐξ ἀρχῆς ἐκκείμενον μέγεθος. ὁμοίως
5δὲ καὶ τὸ ἥμισυ νοητέον οὕτως.

10

.

28

Διὰ τοῦ αʹ τούτου τοῦ θεωρήματος γίνεται δῆλον, ὅτι ἐν τοῖς μεγέθεσιν ἔστιν ἀσυμμετρία. εἰ γὰρ τοῦ ἐκκει‐ μένου μεγέθους ἔστι λαβεῖν μέγεθός τι ἔλαττον καὶ τούτου ἔλαττον καὶ ἀεὶ ἔλαττον, εἰς ἄπειρον τέμνεται τὰ μεγέθη
5καὶ οὐκ εἰς ὡρισμένον ἐλάχιστον μέτρον, ὥσπερ ἐπὶ τῶν ἀριθμῶν ἡ μονάς. εἰ οὖν οὐκ ἔστιν ὡρισμένον μέγεθος ἐλάχιστον, ἔστι τινὰ μεγέθη ἀσύμμετρα, ἃ οὐχ ὑπό τινος μεγέθους κοινοῦ μετρεῖται διὰ τὸ ἀόριστον.

10

.

29

Διὰ τὸν ὅρον τοῦ εʹ τὸν λέγοντα· πολλαπλάσιον δὲ τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάττονος, ὅταν καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάττονος. τὸ γὰρ μεῖζον καὶ τὸ ἔλαττον ὄνομα λόγος ἐστί, τουτέστι σχέσις μόνη τῶν πεπερασμένων μεγεθῶν.

10

.

30

Ταὐτὸν δ’ ἔστιν εἰπεῖν, ὅτι τὸ μέγεθος εἰς ἄπειρα διαιρεῖται.

10

.

31

καὶ ἀφῄρηται ἀπὸ μὲν τοῦ ΔΕ ἔλασσον τοῦ ἡμίσεως p. 3, 6. 7] τὸ γὰρ ΔΕ εἰς γ διῃρέθη, καὶ τὸ γʹ αὐτοῦ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἡμίσεως αὐτοῦ.

10

.

32

Ἐπειδὴ γὰρ ὅλον τὸ ΔΕ μέγεθος κατεσκευάσθη τοῦ ΑΒ μεγέθους μεῖζον, ἀφῄρηται δὲ ἐκ τοῦ ΔΕ μεγέθους ἔλασσον τοῦ ἑαυτοῦ ἡμίσεως τὸ ΕΗ, ἐκ δὲ τοῦ ΑΒ ἀφῄρη‐ ται τὸ ΒΘ μεῖζον τοῦ ἑαυτοῦ ἡμίσεως, ὥστε τὸ δηλού‐
5μενόν ἐστι τοῦ ΑΘ.

10

.

33

Οὐ λέγει, ὅτι ἀφαιρεθῆναι δεῖ ἀπὸ τοῦ ΑΒ μεῖζον τοῦ ἡμίσεως τοῦ Γ, ἀλλὰ τὸ μεῖζον τοῦ ἡμίσεως αὐτοῦ τοῦ ΑΒ. οἷον εἴ ἐστι τὸ ΑΒ ρ, ἄφελε ἀπὸ τῶν ρ τὰ ξ· λοιπά εἰσι μ. πάλιν ἀπὸ τῶν μ ἄφελε τὰ μείζονα τοῦ ἡμί‐
5σεως οἷον κδ καὶ οὕτως ἐπὶ τοῦ λοιποῦ.

10

34-40t

Ad prop. 2

10

.

34

Ὅτι ἔστι τινὰ μεγέθη μήκει ἀσύμμετρα, διὰ τούτου διδασκόμεθα τοῦ θεωρήματος· τὸ γὰρ εἶναι σύμμετρα πρόδηλον ἦν. τὸ δὲ τῶν συμμέτρων μεγεθῶν τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν οὐ παντός, ἀλλὰ τοῦ ἐπιστήμονος.
5τούτου δὲ τοῦ μεγίστου κοινοῦ μέτρου τῶν συμμέτρων
μεγεθῶν τὴν εὕρεσιν ἐν τῷ ἐφεξῆς θεωρήματι διδάσκει.

10

.

35

Τοῦ πρὸ αὐτοῦ θεωρήματος τὴν αἰτίαν λέγοντος τῆς ἀσυμμετρίας τοῦτο τὸ τεκμήριον τῶν ἀσυμμέτρων λέγει, πότε ἔσται ἀσύμμετρα, ἐν δὲ τῷ ϛʹ θεωρήματι τὸ ἴδιον αὐτῶν, ὥστε καὶ τὴν αἰτίαν ἔχειν καὶ τὸ τεκμήριον καὶ τὸ
5ἴδιον. ἐπὶ δὲ τῶν συμμέτρων τὴν μὲν αἰτίαν ὡς σαφῆ παραλιμπάνει, ἐκτίθεται δὲ τὸ τεκμήριον καὶ τὸ ἴδιον.

10

.

36

Μεγέθη ἁπλῶς λέγει, εἴτε γραμμαί εἰσι τὰ δοθέντα δύο εἴτε ἐπίπεδα εἴτε στερεά.

10

.

37

Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς δείκνυται, ὅτι ἀσύμ‐ μετρά ἐστι τὰ μεγέθη.

10

.

38

Τὸ γὰρ ἐς ἀεὶ διαιρούμενον ἐξ ἀνάγκης ἔσται ποτὲ ἔλασσον αὐτοῦ.

10

.

39

Αἱ μήκει σύμμετροι εὐθεῖαι καὶ δυνάμει εἰσὶ σύμ‐ μετροι, τουτέστι τὰ τετράγωνα αὐτῶν ἐν λόγῳ εἰσίν, οὐ μόνον ὡς ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ἀλλὰ καὶ ὡς τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον. λόγον δέ, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθ‐
5μόν, ἔχειν λέγονται, ὅταν τὸ ἔλασσον μέγεθος τοῦ μείζονος μέρος ᾖ ἢ μέρη. τοῦτο δὲ ταὐτόν ἐστι τῷ, ὅταν ἡ τοῦ μείζονος ὑπεροχὴ πρὸς τὸ ἔλασσον ἐγνωσμένη ᾖ ἤτοι ῥητὴ ἤτοι καὶ κατὰ πηλικότητα καὶ κατὰ ποσότητα. ἔστι γάρ τινα μεγέθη, ὧν μόνη γινώσκεται ἡ πρὸς τὸ ἕτερον
10ὑπεροχή, οἷον ὅτι ὑπερέχει τόδε τὸ μέγεθος τοῦδε τοῦ μεγέθους, ἡ δὲ ποσότης τῆς ὑπεροχῆς ἀγνοεῖται, ὡς ἔχει ἡ πλευρὰ τοῦ κ πρὸς τὴν πλευρὰν τοῦ ζ. ὅτι μὲν γὰρ ὑπερέχει, ἴσμεν, ἄγνωστος δὲ ἡ ποσότης τῆς ὑπεροχῆς. καὶ ἐπὶ μὲν τῶν πλευρῶν τοῦ κ καὶ ζ οὕτως· ἐπ’ αὐτοῦ δὲ τοῦ
15κ καὶ ζ ἡ ὑπεροχὴ τοῦ κ πρὸς τὸν ζ οὐκ ἄδηλος, καὶ διὰ
τοῦτο ἡ τοῦ τετραγώνου διάμετρος πρὸς τὴν πλευρὰν ὡς μὲν ἐν ῥητοῖς ἄλογός ἐστι, ὡς δ’ ἐν ὑπεροχῇ λόγον ἔχει· ἔστι γὰρ μείζων. ἡ μὲν οὖν δεκάπους πρὸς τὴν ἑπτάποδα λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν· ἔστι γὰρ ἡ ὑπεροχὴ
20τῆς μείζονος ποδῶν τριῶν· καὶ σύμμετρος μήκει ἡ ἑπτά‐ πους τῇ δεκάποδι· κοινὸν γὰρ αὐτῶν μέτρον ἡ ποδιαία. εἰ δὲ μήκει, καὶ δυνάμει· τὰ γὰρ μήκει σύμμετρα καὶ δυ‐ νάμει, οὐ μὴν καὶ ἔμπαλιν. καὶ ἡ μὲν δεκάπους καὶ ἑπτά‐ πους σύμμετροι μήκει καὶ λόγον ἔχουσιν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς
25ἀριθμόν, ἤτοι ῥητὴν τὴν ὑπεροχήν. αἱ δὲ πλευραὶ αὐτῶν ἀσύμμετροι· οὐ γάρ ἐστιν ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ἐγνωσμένη κατὰ ποσότητα, πόση τίς ἐστι. δεῖ οὖν εἰδέναι, ὅτι ἐπὶ μὲν τῶν ἀριθμῶν πᾶς λόγος ῥητὴν ἔχει ποσότητα, οἷον διπλάσιον, τριπλάσιον, ἡμιόλιον, διπλασιεπίτριτον, ἐπί‐
30πεμπτον ἤ τινα ἄλλον τοιοῦτον λόγον. ὥστε τὰ μεγέθη τὰ πρὸς ἄλληλά τινα τοιοῦτον ἔχοντα λόγον ῥηθήσεται λό‐ γον ἔχειν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. τούτῳ δὲ ἐξ ἀνάγκης ἕπεται τὸ τὸ ἔλασσον τοῦ μείζονος ἢ μέρος ἢ μέρη εἶναι, τὰ δὲ μέρη ὁτὲ μὲν μονάδες εἰσίν, οἷον ὁ ζ τοῦ ι ἑπτὰ δέ‐
35κατα, ὁτὲ δὲ ἀριθμοί, οἷον ὁ κ τοῦ λ δύο δέκατα. πᾶσαι οὖν αἱ σύμμετροι εὐθεῖαι εἴτε μήκει εἴτε καὶ μήκει καὶ δυνάμει πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχουσιν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμὸν ὁ τυχὼν πρὸς τὸν τυχόντα. αἱ δὲ μήκει σύμμετροι οὐ μόνον τοῦτο, ἀλλὰ καὶ ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς
40τετράγωνον. μὴ ἔχειν δὲ πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοὶ λέγονται, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον, ὅταν μηδεὶς μέ‐ σος ἀνάλογον ἐμπίπτῃ, οἷον ὁ δέκα πρὸς τὸν δ οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον, οὐδὲ ὁ ζ πρὸς τὸν αὐτὸν δ· ὁ δέ γε θ καὶ ὁ ιϛ πρὸς τὸν δ λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος
45ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον· μέσος γὰρ τοῦ μὲν δ καὶ θ ἐμ‐ πίπτει ὁ ϛ ἀνάλογον ὡς ὁ θ πρὸς τὸν ϛ, οὗτος πρὸς τὸν δ, τοῦ δὲ δ καὶ ιϛ ὁ η. ὡς γὰρ ὁ ιϛ πρὸς τὸν η, ὁ η πρὸς τὸν δ. καὶ αἱ μὲν μήκει σύμμετροι ἐξ ἀνάγκης καὶ ῥηταί, ὅτι καὶ δυνάμει σύμμετροι, αἱ δὲ δυνάμει σύμμετροι ῥηταὶ μὲν διὰ

10

.

39

(50)

τὸ τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα σύμμετρα εἶναι, οὐ μὴν καὶ μήκει σύμμετροι. καὶ καθόλου αἱ πᾶσαι σύμμετροι εὐθεῖαι, εἴτε δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν εἴτε καὶ μήκει καὶ δυ‐ νάμει, ῥηταὶ ἐκαλοῦντο πρὸς τῶν παλαιῶν. ἐκ δὲ τούτου δῆλον, ὅτι τὰ μεγέθη τὰ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα, ὃν
55ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, καὶ ῥητά ἐστιν, οὐ μὴν τὰ ῥητὰ καὶ λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. τῆς γὰρ ὀκτάποδος καὶ ἑξάποδος αἱ πλευραὶ ῥηταὶ μέν εἰσιν ὡς δυνάμει σύμμετροι, λόγον δὲ οὐκ ἔχουσιν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ἔστι δὲ τῆς μὲν ὀκτάποδος ἡ πλευρὰ δύο μθ
60μβ, τῆς δὲ ἑξάποδος β κϛ νη.

10

.

40

Ὡς ἐπὶ τοῦ ιδ καὶ θ· ἄφελε γὰρ τὸν ἐλάττονα ἀπὸ τοῦ μείζονος ἤγουν τὸν θ ἀπὸ τοῦ ιδ, καὶ μένουσι ε, οἳ οὔτε τὸν θ οὔτε τὸν ιδ μετροῦσι. ἄφελε τὰ ε ἀπὸ τοῦ θ, καὶ μέ‐ νει δ, ὃς οὐ μετρεῖ τὸν θ. τὰ δ ἀπὸ τοῦ ε, καὶ μένει μονάς,
5ἥτις οὐ μετρεῖ τὸν ε. διὰ ταῦτα καὶ τὰ ιδ καὶ τὰ θ ἀσύμ‐ μετρα.

10

41-43t

Ad prop. 3

10

.

41

Ἐν τῷ γʹ καὶ δʹ παραδίδωσι, τίνα τρόπον ληπτέον τὰ κοινὰ μέτρα τῶν ἁπλῶς ἐν συμμετρίᾳ, ἐν δὲ τῷ θʹ ζητήσει, τίνα ἕπεται οὐκέτι τοῖς ἁπλῶς συμμέτροις, ἀλλὰ τοῖς κατ’ εἶδος, οἷον τοῖς κατὰ μῆκος συμμέτροις ἢ τοῖς κατὰ δύ‐
5ναμιν.

10

.

42

Ὡς ὄντος δήλου, ὅτι ἔστι σύμμετρα μεγέθη, ἐπ‐ έξεισι τούτῳ τῷ θεωρήματι καὶ οὐ προδείκνυσι τοῦτο, ὥσπερ ἐπὶ τῶν ἀσυμμέτρων. φανερὸν γάρ, ὅτι πάντες οἱ πολλαπλάσιοί τινος σύμμετροί εἰσι πρὸς ἐκεῖνον οὗ εἰσι
5πολλαπλάσιοι.

10

.

43

τὸ δὲ ΑΖ τὸ ΓΕ μετρείτω p. 5, 13. 14] εἰ γὰρ οὐ μετρήσει τὸ ΑΖ τὸ ΓΕ, ἀσύμμετρά εἰσι διὰ βʹ τοῦ ιʹ· ἐὰν δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ καταλειπόμενον
5μηδέποτε καταμετρῇ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ, ἀσύμμετρα τὰ μεγέ‐ θη· ἀλλ’ ἐδόθη σύμμετρα.

10

44-46t

Ad prop. 4

10

.

44

Ἐκ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς.

10

.

45

Ἐπειδὴ τοῖς ἀσυμμέτροις ἕπεται τὸ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, καὶ τὸ ἀντίστροφον βούλεται δεῖξαι, ὅτι τοῖς συμμέτροις ἕπεται τὸ λόγον ἔχειν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμὸν καὶ ἀνάπαλιν. δεῖται δὲ εἰς τοῦτο
5λημματίου, ὅπως ἂν τῶν συμμέτρων τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὕρῃ δύο ἢ τριῶν. οὕτως δὲ καὶ ἐν τῷ πρώτῳ τῶν ἀριθμητικῶν ἐποίει μετὰ τὸ δεῖξαι, τίνες οἱ ἀσύμμετροι, οὓς πρώτους ἐκάλει διὰ τὸ μὴ πάντη ἀσυμμέτρους εἶναι ὡς τὰ μεγέθη, βουλόμενος δεῖξαι, ὅτι πᾶς ἀριθμὸς πρὸς
10ἅπαντα λόγον ἔχει ἢ πολλαπλάσιον ἢ πολλαπλασιοεπιμό‐ ριον ἢ ἐπιμερῆ ἢ καθ’ ἕνα τῶν λόγων, οὓς αὐτὸς συνελὼν
ἐκ τοῦ ἐλάσσονος ὠνόμασεν ἢ μέρος ἢ μέρη. τὸ μὲν γὰρ μέρος περιέχει τὸν ὑποπολλαπλάσιον ἢ ὑπεπιμόριον, τὰ δὲ μέρη τόν τε ἐπιμερῆ καὶ ὑποπολλαπλασιεπιμερῆ. τοῦτο
15οὖν βουλόμενος δεῖξαι ἐδεήθη, πῶς ἂν τὸ μέγιστον κοινὸν εὕροι μέτρον τῶν συμμέτρων· ὃ δὴ καὶ ἐνταῦθα ποιεῖ. μεθ’ ἃ δειχθήσεται κατὰ τὸ πέμπτον, ὅτι τῶν συμμέτρων μεγε‐ θῶν, μᾶλλον δὲ πᾶν σύμμετρον μέγεθος παντὸς συμμέ‐ τρου μεγέθους τὸ ἔλασσον τοῦ μείζονος ἤτοι μέρος ἐστὶν
20ἢ μέρη· τοῦτο γάρ ἐστι τὸ λόγον ἔχειν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. καὶ γὰρ αὐτοὶ λόγον ἔχουσι πολλαπλάσιον, ὃν μονὰς πρὸς ἀριθμόν, καὶ αὖ, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, οὐ μέντοι ἀνάπαλιν. ἐπὶ πλέον ἄρα τὸ τοῦ ἀριθμοῦ· διὸ τούτῳ ἐχρήσατο. ἰστέον δέ, ὅτι καὶ αὐταὶ αἱ δείξεις ἐκ τῶν ἀριθ‐
25μητικῶν εἰσιν ἀπαράλλακτοι.

10

.

46

Δείξας, τίνα τὰ ἀσύμμετρα, ἐν τοῖς ἑξῆς δείκνυται, τί αὐτοῖς ἕπεται, καὶ ἔτι τοῖς συμμέτροις ἐν ϛʹ καὶ εʹ. καὶ ἐπεὶ ἐδεῖτο τοῦ κοινοῦ μέτρου τῶν ἐν συμμετρίᾳ, προλαμ‐ βάνει ἐν γʹ καὶ δʹ, τίνα τρόπον τῶν ἐν συμμετρίᾳ ληπτέον
5τὰ κοινὰ μέτρα. τὸ δὲ ζʹ ζητήσει, τίνα ἕπεται οὐκέτι τοῖς συμμέτροις, ἀλλὰ τοῖς κατ’ εἶδος, οἷον τοῖς κατὰ μῆκος ἢ κατὰ δύναμιν. τὰ γὰρ στερεὰ μεθῆκεν ὡς οὐ χρησιμευούσης αὐτῷ ἐν τῇ περὶ ἀλόγων γραφῇ ἐπὶ τοῦτο ἢ τὴν γένεσιν τῶν κατὰ μῆκος καὶ κατὰ δύναμιν συμμετρίαν καὶ ἀσυμ‐
10μετρίαν· δεῖται γὰρ ἐν τῷ θʹ καὶ τοῖς ἑξῆς, ἐν οἷς κατά τε ἀναλογίαν καὶ κατὰ σύνθεσιν καὶ διαίρεσιν ἥ τε συμ‐ μετρία καὶ ἡ ἀσυμμετρία ἐξετασθήσεται ἄχρι ιγʹ θεωρή‐ ματος.

10

47-50t

Ad prop. 5

10

.

47

Τὸ τὰ σύμμετρα μεγέθη ἴσον ἐστὶ τῷ τὰ μεγέθη τὰ κοινῷ μέτρῳ μετρούμενα. τὰ ἔχοντα, φησί, κοινὸν μέτρον μεγέθη, ἃ καὶ διὰ τὸ ἔχειν κοινὸν μέτρον σύμμετρα λέγε‐ ται, ταῦτα τὰ μεγέθη λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν,
5καί ἐστι ταῦτα καὶ ὁμοειδῆ καὶ ῥητά. τὰ γὰρ σύμμετρα πάντα εἴτε μήκει καὶ δυνάμει εἴτε δυνάμει μόνον ῥητὰ καλεῖ ὁ γεωμέτρης.

10

.

48

ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν p. 8, 17] ἤγουν ῥητόν· ἐν γὰρ τοῖς ἀριθμοῖς οὐ τέμνεται ἡ μονάς ..... ἄρρητον τὸν συντεθέντα ἀριθμόν. τὰ δὲ μεγέθη τεμνόμενα ἔχουσι καὶ τὸ ἄρρητον καὶ τὸ ἄλογον. πᾶς δὲ ἀριθμὸς πρὸς πάντα
5ἀριθμὸν ἔχει τινὰ λόγον ῥητὸν ἤγουν ἢ πολλαπλάσιον ἢ ἐπιμόριον ἢ ἐπιμερῆ ἢ πολλαπλασιεπιμόριον ἢ πολλα‐ πλασιεπιμερῆ ἢ ἕνα τινὰ τῶν εἰδικωτέρως ὠνομασμένων, ὡς ἐν τῇ ἀριθμητικῇ τοῦ Νικομάχου ἔκκεινται πάντες ἡπλωμένοι καὶ διηκριβωμένοι· οἷον ὡς ἐπὶ ὑποδείγματος
10ὁ ε ἀριθμὸς πρὸς τὸν δ ἀριθμὸν συγκρινόμενος εὑρίσκεται ἔχων ὁλοκλήρως τὰς δ μονάδας καὶ ἐπέκεινα τούτων μίαν μονάδα, ἥ ἐστιν τῶν δ δʹ, καὶ διὰ τοῦτο ὀνομάζεται ἐπιδʹ λόγον ὁ ε τοῦ δ ἀριθμοῦ. τὸ δὲ πεντάπηχυ πρὸς τὸ τετρά‐ πηχυ θεωρούμενον ἐπιτέταρτον μὲν ἔχει καὶ αὐτὸ λόγον,
15πλὴν ὡς συνεχῶν ποσῶν τμημάτων νοοῦνται καὶ οὐχ ὡς
διῃρημέναι μονάδες.

10

.

49

Τοῦτο ἴδιον τῶν συμμέτρων· τὸ ἔλασσον τοῦ μείζο‐ νος ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη. ἐὰν μὲν οὖν μέρος ᾖ, λόγον ἕξει, ὃν μονὰς πρὸς ἀριθμόν, ἐὰν δὲ μέρη ᾖ, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. τὸ μὲν γὰρ πρότερον ὑποπολλαπλάσιον
5ποιεῖ λόγον, τὰ δὲ μέρη ἕνα τῶν λοιπῶν ὑπολόγων. ἐὰν μὲν οὖν εὐθεῖαι ὦσιν, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν ἐπίπεδα καὶ τὰ στερεὰ λόγον ἕξει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ἐὰν δὲ ἐπί‐ πεδα, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν στερεά, οὐ μέντοι καὶ αἱ εὐθεῖαι, εἰ μὴ ὁ λόγος τῶν ἀριθμῶν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον,
10ἐὰν δὲ τὰ στερεά, οὐ πάντως τὰ πρὸ αὐτῶν, εἰ μὴ ὁ λόγος κύβος πρὸς κύβον ᾖ. ἐὰν δὲ τὰ στερεὰ μὴ ἔχῃ λόγον, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, οὐδὲ τὰ ἐπίπεδα οὐδὲ αἱ εὐθεῖαι· οὐ γάρ εἰσι σύμμετρα. καὶ ἐν μὲν τούτῳ καὶ τῷ ἑξῆς περὶ τῶν ἁπλῶς διαλέγεται συμμέτρων καὶ ἀσυμμέτρων, ἐν δὲ
15τῷ ζʹ περὶ τῶν μήκει συμμέτρων καὶ ἀσυμμέτρων, δυνά‐ μει δὲ συμμέτρων, ἀφ’ οὗ δῆλον καὶ περὶ δυνάμει ἀσυμ‐ μέτρων, ἐν δὲ τῷ ηʹ γένεσιν συμμέτρων καὶ ἀσυμμέτρων μήκει καὶ δυνάμει.

10

.

50

Τὸ τὰ σύμμετρα μεγέθη λόγον ἔχουσιν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ταὐτόν ἐστι τῷ πᾶν σύμμετρον μέγεθος παντὸς συμμέτρου μεγέθους τὸ ἔλασσον τοῦ μείζονος ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη· τοῦτο γάρ ἐστι τὸ λόγον ἔχειν,
5ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. πᾶς δὲ ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα λόγον ἔχει ἢ πολλαπλάσιον ἢ πολλαπλασιεπιμόριον ἢ ἐπι‐ μερῆ ἢ καθ’ ἕνα τινὰ λόγον, οὓς αὐτὸς συνελὼν ἐκ τοῦ ἐλάσσονος ὠνόμασεν ἢ μέρος ἢ μέρη. τὸ μὲν γὰρ μέρος ὑπέκειτο ἢ ὑποπολλαπλάσιον ἢ ὑποεπιμόριον, τὰ δὲ μέρη
10ἐπιμερῆ καὶ ὑποπολλαπλασιεπιμερῆ. τὸ δὲ ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ὡς καὶ πρόσθεν εἴρηται, ταὐτόν ἐστι τῷ ὧν μειζόνων μεγεθῶν αἱ ὑπεροχαὶ ῥηταί εἰσιν ἤτοι ἀριθ‐ μῷ δυνάμεναι ῥηθῆναι ὡς τῆς δεκάποδος πρὸς τὴν ἑπτά‐ ποδα. ἔστι γὰρ ποδῶν ἡ ὑπεροχὴ τριῶν.

10

51-54t

Ad prop. 6

10

.

51

Οὐκοῦν κἂν τετράγωνα ἢ παραλληλόγραμμα ἢ οἱαδήποτε χωρία λόγον ἔχῃ, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, σύμμετρα ἔσται τὰ μεγέθη, ὅταν δὲ ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον, καὶ αὐτὰ σύμμετρα καὶ αἱ δυνάμεναι αὐτὰ
5μήκει. ἢ ὅταν εὐθεῖαι πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσιν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, καὶ αὗται σύμμετροί εἰσι μήκει καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα ἢ τὰ ἴσα τοῖς τετραγώνοις αὐτῶν χωρία λόγον ἔχειν ἀναγκάζεται, ὃν τετράγωνος
ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ἐπὶ πλέον ἄρα αἱ δυ‐
10νάμει σύμμετροι τῶν μήκει συμμέτρων εἰσὶ καὶ περιεκτι‐ κώτεραι, ὡς καὶ ἐκ τῶν ἐφεξῆς θεωρημάτων ἔσται δῆλον.

10

.

52

Μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν λέγεται, ὃν τετρά‐ γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ὅταν μέσον αὐτῶν δύνηται ἐμπεσεῖν μέγεθος ἀνάλογον, ὅταν δὲ μὴ δύ‐ νηται, οὐ λέγεται ἔχειν, ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον,
5οἷον ἡ τετράπους καὶ ἡ ἐννεάπους· αὗται γὰρ πρὸς ἀλλήλας ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον· μεταξὺ γὰρ αὐτῶν ἐμπίπτειν δύναται ἡ ἑξάπους ἀνάλογος· ὡς γὰρ ὁ θ πρὸς τὸν ϛ, ὁ ϛ πρὸς τὸν δ. ὁ δὲ ιη πρὸς τὸν ιβ οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον· οὐδεὶς γὰρ μέσος αὐτῶν
10ἀνάλογος πίπτει. δεῖ δὲ ἀντὶ τοῦ ιη καὶ ιβ τὴν ὀκτωκαιδε‐ κάποδα καὶ δωδεκάποδα λαμβάνειν.

10

.

53

Σημείωσαι, ὅτι τὸ ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι δεδομένον ἐγένετο ἐν τούτῳ ζητούμενον καὶ ἀνάπαλιν.

10

.

54

ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην κτλ. p. 11, 10] διὰ πόρισμα τοῦ κʹ τοῦ ϛʹ τοῦ λέγοντος, ὅτι, ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης τρίγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον
5καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον.

10

55-58t

Ad prop. 7

10

.

55

Ἐκ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς.

10

.

56

Οὐκ, ὡς ἄν τις οἰηθείη, παρέλκον ἐστὶ διὰ τὸ δεί‐ κνυσθαι καὶ τοῦτο τὸ συνημμένον διὰ τοῦ πρὸ αὐτοῦ. δι’ ἐκείνου γὰρ οὐ τοῦτο, ἀλλ’ ὅτι τὰ μὴ λόγον ἔχοντα μεγέθη, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ἀσύμμετρά ἐστιν, ἐδείκνυτο. οὐκ
5ἄρα ἀναιρετικὸν τοῦ κανόνος ἐκείνου τοῦ λέγοντος, ὅτι, εἰ ἡ κατάφασίς τινος τῇ ἄλλου καταφάσει ἕπεται, οὐ τῇ τοῦ
ἡγουμένου ἀποφάσει ἕπεται ἡ τοῦ ἑπομένου, ἀλλ’ ἀνάπα‐ λιν. τοῦτο γὰρ ἀληθές, ἐφ’ ὧν μόνον τὸ κατηγορούμενον ἐπὶ πλέον ἐστίν, ἐφ’ ὧν δὲ ἐπ’ ἴσης ὡς ἐπὶ τούτου ἀδιάφο‐
10ρόν ἐστιν, ὡς ἂν ἐθέλῃ τις ποιεῖν. ἰστέον δέ, ὅτι ἐν τῷ μετὰ τοῦτο δείξει καὶ τὸ ἄλλο, ὅπερ ἔφαμεν διὰ τοῦ πρὸ αὐτοῦ δείκνυσθαι, οὐκ ἐπ’ εὐθείας, ἀλλὰ τῇ εἰς ἀδύνατον ἀπ‐ αγωγῇ. ἔστι γὰρ τοῖς γεωμέτραις σύνηθες κἀκεῖνα δεικνύ‐ ναι τῇ τοιαύτῃ δείξει.

10

.

57

Ὅτι μὲν οὖν οὐκ αἱ γραμμαὶ μόναι εἰσὶ μεγέθη, ἀλλὰ καὶ τὰ ἐπίπεδα καὶ τὰ στερεά, πάντες ἴσασιν. οὐκ ἔχειν οὖν ὅλως δύνανται πρὸς ἄλληλα λόγον, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμὸν τὰ ἑτεροειδῆ, οἷον γραμμὴ καὶ ἐπιφάνεια ἢ ἐπι‐
5φάνεια καὶ στερεόν· ταῦτα γὰρ ἑτεροειδῆ ὄντα οὐκ ἔχει λό‐ γον πρὸς ἄλληλα, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.

10

.

58

Οἷον τὰ ἑτεροειδῆ, ὥσπερ ἡ γραμμὴ καὶ ἡ ἐπιφάνεια καὶ τὸ σῶμα· ταῦτα γὰρ ἑτεροειδῆ ὄντα οὐκ ἔχουσι λόγον πρὸς ἄλληλα ἀσύμμετρα ὄντα, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.

10

59t

Ad prop. 8

10

.

59

Ἐκ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς.

10

60-80t

Ad prop. 9

10

.

60

Ἐκ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς.

10

.

61

Ἐνταῦθα δείκνυσιν, ὅτι τὰ μήκει σύμμετρα καὶ δυ‐ νάμει ἐστὶν σύμμετρα.

10

.

62

Τὸ θεώρημα τοῦτο Θεαιτήτειόν ἐστιν εὕρημα, καὶ μέμνηται αὐτοῦ ὁ Πλάτων ἐν Θεαιτήτῳ, ἀλλ’ ἐκεῖ μὲν μερικώτερον ἔγκειται, ἐνταῦθα δὲ καθόλου· ἐκεῖ γὰρ τὰ τετράγωνα τὰ ὑπὸ τετραγώνων ἀριθμῶν μετρούμενα
5συμμέτρους ἔχειν καὶ τὰς πλευράς φησιν. μερικὴ δὲ αὕτη ἡ πρότασις· οὐ γὰρ πάντα τὰ σύμμετρα χωρία, ὧν καὶ αἱ πλευραί εἰσι σύμμετροι, περιλαμβάνει. τετραγώνων γὰρ χωρίων συμμέτρων τοῦ ιη καὶ τοῦ η αἱ πλευραί, εἰ καὶ μὴ κατὰ τὸ μέτρον τῶν ἀριθμῶν εὑρίσκονται, ἀλλ’ οὖν ἄλλως
10εἰσὶ σύμμετροι· ὅμως ὑπὸ τετραγώνων ἀριθμῶν τὰ χωρία οὐ μεμέτρηται, εἰ καὶ μετρεῖσθαι δύναται. εἰκότως οὖν ἐνταῦθα οὐ τοῦτον τὸν τρόπον ὡρίσατο, ἀλλὰ τὰ λόγον φησὶν ἔχοντα, ὃν ἀριθμὸς τετράγωνος πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. καὶ ἐνταῦθα δὲ οὐ μάτην ἡ τοῦ τετραγώνου
15ἀριθμοῦ γεγένηται μνήμη· εἰ γὰρ ἦν μόνον ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμὸν ὁρισάμενος, ἐπλεόναζεν ὁ ὅρος. τὰ γὰρ διπλασίονα λόγον ἔχοντα τετράγωνα πρὸς ἄλληλα συμμέτρους ἔδει τὰς πλευρὰς ἔχειν. οὐκ ἔχουσι δέ· καὶ γὰρ ἡ τοῦ μείζονος τῆς τοῦ παράλλης διαγώνιός ἐστιν. εἰ τοίνυν διὰ μὲν τοῦ
20φάναι ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμὸν ἐπλεόναζεν ὁ ὅρος περι‐ λαμβάνων καὶ τὰ μὴ συμμέτρους ἔχοντα τὰς πλευράς, διὰ δὲ τοῦ εἰπεῖν ὑπὸ τετραγώνων ἀριθμῶν μετρούμενα ἐλλι‐ πῶς εἶχεν μὴ περιέχων τὰ συμμέτρους ἔχοντα τὰς πλευ‐ ρὰς ὑπὸ τετραγώνων μὲν μὴ μετρηθέντα ἀριθμῶν, λό‐
25γον δὲ τῶν ἀριθμῶν ἐχόντων, ὃν τετράγωνος πρὸς τετρά‐ γωνον ἀριθμόν, εἰκότως πρόσκειται τὸ ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον· περιλήψεται γὰρ πάντα τὰ χωρία, ἅ, εἰ καὶ μὴ ὑπὸ τετραγώνων μετρεῖται, ἀλλ’ οὖν σύμμετρα ὄντα συμμέτρους ἔχει καὶ τὰς πλευράς. τοῦ δ’ οὖν ιη καὶ τοῦ
30η συμμέτρων ὄντων διὰ τὸ καὶ ἐκ πλευρῶν συμμέτρων
ἀναγεγράφθαι εὑρήσεις τὰς πλευράς, διότι λόγον ἔχουσιν, ὃν ἀριθμὸς τετράγωνος πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ὡς γὰρ ὁ θ πρὸς τὸν δ, οὕτως ὁ ιη πρὸς τὸν η. λαβὼν δὲ τὰς πλευ‐ ρὰς τοῦ θ καὶ δ ἰσάκις τέμνω τῶν ἐκκειμένων τετραγώνων
35τὰς πλευρὰς καὶ ἔχω τὴν συμμετρίαν· ὡς γὰρ τὰ τετρά‐ γωνα πρὸς τὰ τετράγωνα, οὕτως αἱ πλευραὶ πρὸς τὰς πλευ‐ ράς.

10

.

63

Τὰ ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον· οὐ μάτην ἡ τοῦ τετραγώνου ἀριθμοῦ γεγέ‐ νηται μνήμη. εἰ γὰρ εἴρηκε μόνως ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθ‐
5μόν, ἐπλεόναζεν ἂν ὁ ὅρος· τὰ γὰρ διπλασίονα λόγον ἔχοντα τετράγωνα πρὸς ἄλληλα συμμέτρους ἔδει τὰς πλευρὰς ἔχειν· οὐκ ἔχουσι δέ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς πλευρᾶς.

10

.

64

Ἰστέον, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά‐ γωνον ἀριθμόν, οὐ μὴν καὶ ἀντιστρέφει, ἵνα, ἐὰν τὰ τετρά‐ γωνα λόγον ἔχῃ, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
5ἀριθμόν, καὶ τὰς δυναμένας εὐθείας τὰ τετράγωνα μήκει συμμέτρους εἶναι. ὁ γὰρ ιη πρὸς τὸν η λόγον ἔχει τετραγω‐ νικὸν διπλασιεπιτέταρτον, ὃν ὁ θ τετράγωνος πρὸς τὸν δ τετράγωνον, καὶ ὅμως ἡ πλευρὰ τοῦ η οὐκ ἔστι σύμ‐ μετρος μήκει τῇ τοῦ ιη πλευρᾷ· ἔστι δὲ τοῦ μὲν ἡ πλευρὰ
10β μθ μβ, τοῦ δὲ ιη δ ιδ λγ.

10

.

65

Οἷον ἐπὶ ὑποδείγματος ἔστωσαν σύμμετροι εὐθεῖαι ἔχουσαι σπιθαμὰς ϛ καὶ δ· καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα τὰ λϛ καὶ τὰ ιϛ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος
ἀριθμὸς ὁ θ πρὸς τετράγωνον τὸν δ· ἔχει γὰρ λόγον ὁ θ
5ἀριθμὸς πρὸς τὸν δ διπλασιεπιτέταρτον, καθὼς καὶ ὁ λϛ πρὸς τὸν ιϛ·

10

.

66

Τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς ἕτερον τετράγωνον ἀριθμὸν λόγον ἔχειν λέγεται, ὅταν αἱ πλευραὶ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας πολλαπλασιαζόμεναι ποιῶσιν ἕτερον ἀριθμὸν μέσον ἀνά‐ λογον, οἷον τοῦ ιϛ καὶ τοῦ λϛ πλευραὶ τετραγωνικαὶ δ καὶ
5ϛ, ὧν πρὸς ἀλλήλας πολλαπλασιαζομένων γίνεται κδ μέ‐ σος ἀνάλογος τοῦ ιϛ καὶ τοῦ λϛ. ὁ γὰρ λϛ πρὸς τὸν κδ ἔχει λόγον ἡμιόλιον, καὶ ὁ κδ πρὸς ιϛ ἔχει λόγον ἡμιόλιον. αἱ μὲν οὖν πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας εἶχον λόγον ἡμιόλιον, ὁ δὲ λϛ καὶ κδ καὶ ιϛ ἔχουσι λόγον β ἡμιόλιον.

10

.

67

Ἔστω ἡ Α τετράπους, ἡ Β ἑξάπους καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα ἡ ἑκκαιδεκάπους καὶ ἡ λϛ ποδῶν. ὅτι μὲν οὖν ἡ τετράπους τῇ ἑξάποδι σύμμετρός ἐστι μήκει, δῆλον· ἀλλὰ καὶ τὰ λϛ ὅτι πρὸς τὰ ιϛ λόγον ἔχει, ὃν ὁ θ ὁ τετράγω‐
5νος πρὸς τὸν δ τὸν τετράγωνον, οὐκ ἄδηλον· διπλασιεπι‐ τέταρτοι γὰρ οἱ λόγοι καὶ οὗτοι κἀκεῖνοι.

10

.

68

Προσυπακουστέον· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β διπλάσιον λόγον ἔχει τοῦ λόγου, ὃν ἔχει ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· οἱ δὲ τῷ αὐτῷ λόγοι οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί.

10

.

69

Διὰ πόρισμα τοῦ κʹ τοῦ ϛʹ καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ Α πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ Β διπλάσιον λόγον ἔχει τοῦ λόγου, ὃν ἔχει ὁ Γ πρὸς τὸ Δ.

10

.

70

ἀλλὰ τοῦ μὲν τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγου p. 13, 16. 17]
ἤγουν τοῦ διπλασίου λόγου, ὃν ἔχει ὁ ιϛ πρὸς τὸν η, διπλά‐ σιός ἐστιν ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς Α τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον. ὁ γὰρ σνϛ πρὸς τὸν ξδ τετραπλάσιός ἐστι καὶ
5ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Β ἤτοι ὁ ιϛ πρὸς τὸν η δίς· δὶς γὰρ τὸ διπλάσιον τετραπλάσιον. ὥστε τοῦ λόγου, ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Β ὁ ιϛ πρὸς τὸν η, διπλάσιος ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς Α τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον ἤτοι διπλάσιος ἤτοι δὶς δίς, ὅπερ ἐδήλωσεν εἰπών· τὰ γὰρ
10ὅμοια σχήματα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν, ὅπερ ἐδείχθη ἐν τῷ ιαʹ θεωρήματι τοῦ ϛʹ βι‐ βλίου.

10

.

71

πρὸς τὴν Β λόγου p. 13, 16. 17] καὶ ὁ ἄρα ἀπὸ τῆς Γ λέγω πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ τετράγωνον λόγος διπλασίων ἐστὶ τοῦ τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγου· τὰ γὰρ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· οἱ γὰρ λόγοι καὶ ταὐτὸν καὶ ἴσοι.

10

.

72

Δύναται τὸ λεγόμενον καὶ τοιοῦτον εἶναι· αἱ δυνάμει σύμμετροι, εἰ μὲν ἔχουσι λόγον, ὃν τετράγωνος πρὸς τετρά‐ γωνον ἀριθμόν, ἔσονται καὶ μήκει σύμμετροι, εἰ δὲ μὴ ἔχουσι, δυνάμει μὲν ἔσονται σύμμετροι, μήκει δὲ οὔ.

10

.

73

Οἷον ὁ ε καὶ ὁ ζ μήκει ὄντες σύμμετροί εἰσι καὶ δυνά‐ μει· τὰ γὰρ κε καὶ μθ οὐ κοινῷ μέτρῳ μετροῦνται.

10

.

74

Οἷον ὁ ιβ καὶ ὁ ιϛ μήκει σύμμετροί εἰσιν, ἀλλὰ καὶ δυνάμει· τὰ γὰρ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα τὰ ρμδ καὶ σνϛ τῷ αὐτῷ χωρίῳ τῷ δ μετροῦνται.

10

.

75

Οἷον ὁ ε καὶ ὁ ιε δυνάμει σύμμετροί εἰσι· τὰ γὰρ ἀπ’
αὐτῶν τετράγωνα τὰ κε καὶ σκε τῷ αὐτῷ χωρίῳ μετρεῖται· μήκει δὲ ἀσύμμετροι ὁ ε καὶ ὁ ιε. οὐ γὰρ ἔχουσι λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. τὰ γὰρ
5ιε τοῦ ε τριπλάσια, καὶ οὐχ εὑρίσκεται τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμὸν τὸν αὐτὸν ἔχων λόγον. οἷον ὁ ιϛ καὶ ὁ λϛ ἀριθμοὶ λόγον ἔχουσιν, ὃν ὁ θ ἀριθμὸς πρὸς τὸν δ ἀριθμὸν τὸν διπλασιεπιτέταρτον.

10

.

76

Οἷον ὁ κε καὶ σκε ἀριθμοὶ οὐκ ἔχουσι λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀλλ’ ἁπλῶς ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. σύμμετροι οὖν εἰσι δυνάμει, οὐκέτι δὲ καὶ μήκει. αἱ γὰρ πλευραὶ αὐτῶν ὁ ε καὶ ὁ ιε οὐκ
5ἔχουσι λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.

10

.

77

Ἄλλως. οἷον ὁ λ καὶ ὁ ξ. ὁ γὰρ ξ πρὸς τὸν λ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθ‐ μόν, σύμμετροι δέ εἰσιν. αἱ δὲ εὐθεῖαι, ἀφ’ ὧν ἀνεγράφησαν, ἀσύμμετροί εἰσιν· τὰ γὰρ τετράγωνα ἄλογά εἰσιν. ὥστε
5οὖν αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει, αἱ δὲ δυνά‐ μει οὐ πάντως καὶ μήκει.

10

.

78

εἰ μὴ καὶ λόγον ἔχοιεν p. 16, 11. 12] τὸ εἰ μὴ καὶ λόγον ἔχοιεν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐ περὶ τῶν πλευρῶν εἴρηται, ἀλλὰ περὶ τῶν τετραγώνων· οὐ γὰρ ἀνάγκη τὰς μήκει συμμέτρους λόγον
5ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον, ἀλλὰ μό‐ νον, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. ἄλλο δὲ τὸ ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμὸν καὶ ἄλλο τὸ ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά‐ γωνον ἀριθμόν· τὰ μὲν γὰρ ἔχοντα λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἐξ ἀνάγκης ἔχει καὶ
10ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, τὰ δὲ λόγον ἔχοντα, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, οὐκ ἀνάγκη καὶ λόγον ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ἐπὶ πλέον γὰρ ὁ ἀριθ‐ μὸς τοῦ τετραγώνου ἀριθμοῦ. ὥστε ἂν τὰ τετράγωνά τι‐ νων εὐθειῶν λόγον ἔχῃ, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά‐
15γωνον, μήκει ἐξ ἀνάγκης ἔσονται σύμμετροι ἐκεῖναι αἱ εὐθεῖαι, οὐ μὴν ἀνάγκη καὶ ἐκείνας λόγον ἔχειν, ὃν τετρά‐ γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον, ἀλλ’ ἐνδέχεται καὶ ἔχειν καὶ μὴ ἔχειν.

10

.

79

Οἷον ε καὶ ζ μήκει οὖσαι ἀσύμμετροι εἰσὶ καὶ δυνά‐ μει· τὰ γὰρ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα τὰ κε καὶ μθ οὐ κοινῷ χωρίῳ μετροῦνται.

10

.

80

Ἰστέον, ὅτι, ὅταν αἱ τῶν τετραγώνων πλευραὶ λόγον ἔχωσι πρὸς ἀλλήλους, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά‐ γωνον ἀριθμόν, τουτέστιν τὸν μήκει διπλασίονα, τότε καὶ ὁ τετράγωνος πρὸς τὸν τετράγωνον τετραπλάσιός ἐστιν,
5ὡς ἐπὶ τοῦ δ καὶ ιϛ καὶ θ καὶ λϛ. πλευρὰ γὰρ τοῦ δ ὁ β, τοῦ δὲ ιϛ ὁ δ καὶ τοῦ θ ὁ γ, τοῦ λϛ ὁ ϛ. εἰσὶν οὖν αἱ τοιαῦται πλευραὶ ἐν διπλασίονι λόγῳ, τουτέστιν ἐν τετραγώνου ἀριθμοῦ πρὸς τετράγωνον ἀριθμὸν λόγῳ, καὶ διὰ τοῦτο τὰ ἀπ’ αὐτῶν γεγονότα τετράγωνα χωρία ἐν τετραπλασίονι
10λόγῳ θεωροῦνται κατὰ τὸ ἀξίωμα τὸ λέγον, ὅτι τὰ μήκει διπλάσια δυνάμει εἰσὶν τετραπλάσια. ἂν δὲ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευρὰν ἔχῃ μέν τινα λόγον, ἡμιόλιον τυχὸν ἢ ἐπίτριτον ἢ ἄλλον τινὰ τῶν ἐπιμορίων ἢ τῶν ἐπιμερῶν, τὰ μὲν ἀπ’ αὐτῶν γεγονότα τετράγωνα λόγον ἔχουσι πρὸς ἄλληλα, ὃν
15τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐ μὴν δὲ τὸν τετραπλασίονα, ὡς ἐπὶ τοῦ θ καὶ τοῦ δ, ὧν αἱ πλευραὶ λόγον μὲν ἔχουσιν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, οὐχ ὃν τετρά‐
γωνος πρὸς τετράγωνον· τὰ γὰρ δύο καὶ τρία, ἅπερ εἰσὶ πλευραὶ τοῦ δ καὶ τοῦ θ, τὸν ἡμιόλιον ἔχουσι λόγον· διὸ
20καὶ οὐ δύναται εἶναι ὁ θ τοῦ δ τετραπλάσιος, ὡς ὁ ιϛ τοῦ δ καὶ ὁ λϛ τοῦ θ.

10

81-83t

Ad lemma prop. 9

10

.

81

Οἷον ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ὁ ν καὶ ὁ ω· ἀνάλογον γὰρ ἔχουσι τὰς πλευράς. ὡς γὰρ ὁ ι πρὸς τὸν ε, οὕτως ὁ μ πρὸς τὸν κ. καὶ ἔχουσι λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς ὁ ξδ πρὸς τετράγωνον ἀριθμὸν τὸν δ· ἑκκαιδεκαπλάσιος γάρ ἐστιν ὁ
5ξδ τοῦ δ καὶ ὁ ω τοῦ ν.

10

.

82

Ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντες τοὺς ἀριθμούς, οἷον ὁ η καὶ ὁ ιη· τοῦ γὰρ η πλευραί εἰσιν ὁ β καὶ ὁ δ, τοῦ δὲ ιη ὁ γ καὶ ὁ ϛ. ὁμόλογοι οὖν εἰσιν αὐτῶν αἱ πλευραί· ἡμιόλιον γὰρ λόγον ἔχουσιν. οὗτοι γὰρ οἱ ἀριθ‐
5μοὶ ὁ η καὶ ὁ ιη λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς ὁ δ πρὸς τετράγωνον ἀριθμὸν τὸν θ διπλασιεπιτέταρτον.

10

.

83

Τοῦτο ἀντίστροφόν ἐστι τοῦ κηʹ τοῦ ηʹ καὶ δείκνυται διὰ τοῦ ιηʹ τοῦ ηʹ καὶ διὰ τοῦ ηʹ τοῦ ηʹ.

10

84-86t

Ad demonstr. alt. III p. 214, 7—9

10

.

84

Εἴ τις λέγοι, πόθεν δῆλον, ὅτι ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β, φήσομεν οὕτως·
κείσθωσαν αἱ Α, Β εὐθεῖαι ὥστε εἶναι ἐπ’ εὐθείας, καὶ ἔστωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΒ τε‐
5τράγωνον τὸ ΑΔ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΖ παραλλη‐ λόγραμμον. καὶ ἐπεὶ τὸ ΒΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐστιν (ἴση γὰρ ἡ ΒΔ τῇ ΑΒ) καί ἐστι [Omitted graphic marker] κοινὸν ὕψος τῶν ΑΔ, ΒΖ ἡ ΒΔ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν
10ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὡς καὶ αὐτὸς διὰ λήμματος ἐν τῷ καʹ δείξει.

10

.

85

Διὰ γὰρ τούτου τοῦ θεωρήματος δείκνυται, ὅτι, ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι, ἔστιν ὡς ἡ ἑτέρα τούτων πρὸς τὴν λοιπήν, οὕτω τὸ ἀπ’ ἐκείνης τετράγωνον πρὸς τὸ ὑπὸ ταύτης καὶ τῆς λοιπῆς ὀρθογώνιον· ἄμφω γὰρ παραλληλόγραμμα καὶ
5ἰσογώνια, καὶ ὁ τῶν πλευρῶν λόγος συντιθέμενος μένει ὁ αὐτὸς τῷ ἐξ ἀρχῆς λόγῳ διὰ τὸ ἐπί τε τοῦ τετραγώνου εἰλῆφθαι τὴν αὐτὴν πλευρὰν δὶς καὶ ἐπὶ τῶν ὀρθογωνίων ἅπαξ τὴν αὐτήν, οἷον ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἡ Α πηχῶν δ καὶ ἡ Β πήχεων β. τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον ἰσογώνιον ὂν
10τῷ ὑπὸ τῶν Α, Β παραλληλογράμμῳ λόγον ἔχει πρὸς ἐκεῖνο τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν. ὁ δὲ συγκείμενος ἐκ τῶν λόγων τῶν δ πρὸς δ καὶ δ πρὸς β λόγος ἐστὶν ὁ ἐξ ἀρχῆς τοῦ δ πρὸς β. Ὅτι τὰ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα λόγον ἔχει τὸν συγ‐
15κείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν κγʹ τοῦ ϛʹ.

10

.

86

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β, οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἀλλ’ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β,
οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν Α,
5Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β. οἱ γὰρ τῷ αὐτῷ λόγοι οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί.

10

87-94t

Ad prop. 10

10

.

87

Προγραφόμενον εἰς τὸ ιʹ θεώρημα. Δύο δοθέντων ἀριθμῶν καὶ εὐθείας ποιῆσαι ὡς τὸν ἀριθμὸν πρὸς τὸν ἀριθμόν, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς εὐθείας τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπ’ ἄλλης εὐθείας τετράγωνον.
5ἔστωσαν οἱ μὲν δοθέντες δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ Γ. δεῖ δὴ προσευρεῖν εὐθεῖαν ἑτέραν, ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς Γ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἑτέρας εὐθείας τετράγωνον λόγον ἔχειν, ὃν ἀριθμὸς ὁ πρῶτος πρὸς ἀριθ‐ μὸν τὸν δεύτερον. ὅσαι γάρ εἰσιν ἐν τῷ Α μονάδες, εἰς
10τοσαύτας ἴσας διῃρήσθω εὐθείας ἡ Γ, καὶ μία αὐτῶν ἔστω ἡ Δ, ὅσαι δέ εἰσιν ἐν τῷ Β μονάδες, ἐκ τοσούτων ἴσων τῇ Δ συγκείσθω ἡ Ε. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, ἡ Δ πρὸς τὴν Γ. ἀνάπαλιν ἄρα, ὡς ὁ Α πρὸς τὴν μονάδα, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Β, ἡ Δ
15πρὸς τὴν Ε. δι’ ἴσου ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ἡ Γ εὐθεῖα πρὸς τὴν Ε. εἰλήφθω οὖν τῶν Γ, Ε εὐθειῶν μέση ἀνάλο‐ γον ἡ Ζ. ἔσται ἄρα ὡς ἡ Γ πρὸς τὴν Ε, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ζ. ὡς γὰρ ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην,
οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας
20τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον. ὡς δὲ ἡ Γ πρὸς τὴν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς Β· καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς Β, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ζ. αἱ ἄρα Γ, Ζ εἰσιν αἱ ζητού‐ μεναι εὐθεῖαι· προσηύρηται γὰρ ἡ Ζ.

10

.

88

Ἄλλο προγραφόμενον εἰς τὸ αὐτό. Εὑρεῖν δύο μὴ ὁμοίους ἀριθμοὺς ἐπιπέδους, τουτέστιν ὅπως πρὸς ἀλλήλους λόγον μὴ ἔχωσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ἐκκείσθωσαν τέσσαρες
5ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὥστε μὴ εἶναι ὡς τὸν Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως τὸν Β πρὸς τὸν Δ, καὶ γεγονέτω ἐκ μὲν τῶν Α, Β ὁ Ε, ἐκ δὲ τῶν Γ, Δ ὁ Ζ. φανερὸν δή, ὅτι οἱ Ε, Ζ ἀριθμοὶ ἐπίπεδοί εἰσιν, ἐπίπεδοι δὲ ἀνόμοιοι, ἐπειδήπερ αἱ πλευραὶ αὐτῶν οὐκ εἰσὶν ἀνάλογον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

10

.

89

Τὸ ἀσύμμετρον διχῶς κατὰ θάτερον, κατ’ ἄμφω καὶ θάτερον, οὐκ ἀφωρισμένως μήκει μόνον. ἀμήχανον γὰρ τὰς δυνάμει ἀσυμμέτρους εὐθείας αὐτάς ποτε φανῆναι συμ‐ μέτρους.

10

.

90

Οἷον ἔστωσαν μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ ὁ ιε καὶ ὁ ε, ἡ δὲ προτεθεῖσα εὐθεῖα ἡ ιη. λέγει δὲ τὸ θεώρημα, ὅτι· γεγονέτω ὡς ὁ ιε πρὸς τὸν ε, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς προτεθεί‐ σης τῆς ιη πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ϛ· ἐμάθομεν γὰρ διὰ τοῦ
5πορίσματος τοῦ ϛʹ τοῦ ιʹ. ἐπεὶ ὁ ιε πρὸς τὸν ε τριπλάσιός ἐστι, καὶ οὕτως θέλομεν ποιῆσαι τὸ ἀπὸ τῆς προτεθείσης τῆς ιη πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ϛ, εἰλήφθω τρίτος ἀνάλογος ἡ Β. καί ἐστιν ὁ μὲν ἀπὸ τῆς ιη τκδ, ὁ δὲ ἀπὸ τῆς ϛ λϛ. καὶ λέγω
ὡς ὁ ιε πρὸς ε, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ ιη πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ϛ· τρὶς
10γὰρ τὸν αὐτὸν ἤγουν τὸν τρόπον τοῦ ὃν ἔχει ἡ προτεθεῖσα εὐθεῖα ἡ ιη πρὸς ϛ, τουτέστιν ἐννεαπλασίων.

10

.

91

Ἔστω ἡ Α μονάδων ϛ, τὸ ἀπὸ ταύτης λϛ. ἔστω ἡ Δ μήκει ἡ πλευρὰ τοῦ κζ ἤτοι ε ια καὶ τὰ λοιπά. τὰ οὖν λϛ, ἅπερ εἰσὶν ἀπὸ τῆς Α ἤτοι τῶν ϛ, σύμμετρά εἰσι τῷ κζ ἀριθμῷ, ἀλλ’ οὐκ ἔχει λόγον ὁ λϛ πρὸς τὸν κζ, ὃν τετράγωνος ἀριθ‐
5μὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ Δ μήκει. τὰ γὰρ ϛ πρὸς τὰ ε ια καὶ τὰ λοιπὰ ἀσύμ‐ μετρά ἐστι. μέση ἐστὶν ἡ Ε, πῶς δὲ γίνεται ἡ μέση; τὴν πλευρὰν τοῦ κζ τὰ ε ια μϛ ν πολλαπλασίασον μετὰ τοῦ ϛ ἤτοι τοῦ μήκους τῆς Α καὶ ἀναβίβασον τὰ ξ λεπτὰ καὶ
10ἀναβίβασον τὸ ἀπὸ τῆς μέσης τετράγωνον ἤτοι λα ι καὶ τὰ ἑξῆς. ταῦτα ἀνάλυσον καὶ ποίησον λεπτὰ καὶ εἰπὲ γίνε‐ ται οὐ γίνεται καὶ ἐκβαλοῦ, καὶ τὸ γινόμενον ἔσται ἡ τού‐ των πλευρὰ ἤτοι ٥ ٣٥ ١ καὶ τὰ ἑξῆς.

10

.

92

τουτέστι μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι p. 18, 3] διὰ τὸ λῆμμα τοῦ θʹ τοῦ ιʹ. οἱ γὰρ ὅμοιοι ἐπίπεδοι πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.

10

.

93

Ὥσπερ αἱ ἓξ μονάδες εἰσὶν ἡ εὐθεῖα ἡ Α, ὁ δὲ λϛ τὸ ἀπὸ τῶν ϛ μονάδων ἤ, εἰ βούλει, τὸ ἀπὸ τῆς Α εὐθείας ἀναγραφόμενον τετράγωνον, οὕτως τὰ ε ια μϛ ἐστιν ἡ Δ εὐθεῖα, ὁ δὲ κζ τὸ ἀπὸ τῆς Δ ἀναγραφόμενον τετράγωνον.
5καί ἐστιν ὁ μὲν λϛ τῷ κζ σύμμετρος· κοινὸν γὰρ αὐτῶν μέτρον ὁ γ· τρὶς γὰρ ιβ λϛ καὶ τρὶς θ κζ. ἡ δὲ Α τῇ Δ ἀσύμμετρος, ὡς μαθησόμεθα ἐφεξῆς. ὅτι δὲ ὡς ἀπὸ πλευ‐ ρᾶς τῆς ε ια μϛ γέγονεν ὁ κζ, μάθοις ἂν οὕτως· τετραγώνι‐
σον τὸν κζ, εἶτα λαβὲ τὴν πλευρὰν τοῦ γεγονότος τετραγώ‐
10νου ἀπὸ τοῦ κζ, εἶτα ἀναβίβασον αὐτὴν καὶ εὑρήσεις οὐδένα ἄλλον ἢ τὸν ε ια μϛ. εἰσὶν οὖν τετράγωνοι ἀριθμοὶ ἢ τετρά‐ γωνα σχήματα ὅ τε λϛ καὶ ὁ κζ, πλευρὰ δὲ τοῦ μὲν λϛ ὁ ϛ, τοῦ δὲ κζ τὰ ε ια μϛ. καὶ ἐπεί, ὡς δέδεικται, τῶν συμ‐ μέτρων μήκει εὐθειῶν ἤ, εἰ βούλει, πλευρῶν τὰ τετράγωνα
15λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ὁ δὲ λϛ πρὸς τὸν κζ οὐκ ἔχει λόγον, ὃν τετράγω‐ νος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ ἡ Α ἡ ϛ σύμ‐ μετρός ἐστι μήκει τῇ Δ εὐθείᾳ τῇ ε ια μϛ. ἀλλὰ πῶς οὐκ ἔχει ὁ λϛ πρὸς τὸν κζ λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς
20τετράγωνον ἀριθμὸν τετραγώνων ἀμφοτέρων ὄντων καὶ τοῦ λϛ καὶ τοῦ κζ; ἢ οὐ ταὐτόν ἐστι τὸ τὰ τετράγωνα λό‐ γον ἔχειν πρὸς ἄλληλα, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, τῷ τετραγώνους ἀμφοτέρους εἶναι; ἀλλὰ τότε λέγονται ἔχειν λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς
25πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ὅταν ἔχῃ ὁ τετράγωνος πρὸς τὸν τετράγωνον ἢ λόγον τετραπλάσιον, ὡς ὁ ιϛ πρὸς τὸν δ, ἢ ἐπιδιπλασιεπιτέταρτον, ὡς ὁ θ πρὸς τὸν δ, ἢ ἑκκαιδεκα‐ πλάσιον, ὡς ὁ ξδ πρὸς τὸν δ. ὁ δὲ λϛ πρὸς τὸν κζ τὸν ἐπί‐ τριτον ἔχει λόγον· ἔχει γὰρ ὁ λϛ τὸν κζ καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ
30τὸν θ. οὐ πᾶς οὖν ἐν ἀριθμοῖς, οἷον ἐν ἐπιτρίτοις ἢ ἡμιο‐ λίοις, λόγος τετραγώνων ἂν ἀριθμῶν γένοιτο λόγος· οὔτε γὰρ ὁ διπλάσιος οὔτε ὁ ἐπίτριτος, ὡς εἴρηται, ἀλλ’ ὁ τετραπλάσιος καὶ οἱ ἄλλοι οἱ εἰρημένοι. καὶ ἡ μὲν Α καὶ Δ οὕτως εἰσὶν ἀσύμμετροι μήκει. ἡ δὲ Ε γίνεται μέση
35οὕτως· τὴν πλευρὰν τοῦ κζ τὰ ε ια μϛ ποίησον μετὰ τοῦ ϛ
ἤτοι τὸ μῆκος τῆς Α. τὰ δὴ οὖν ε ια μϛ πολλαπλασίασον μετὰ τοῦ ϛ, καὶ γίνονται μονάδες λ λεπτὰ πρῶτα ξϛ καὶ δεύτερα σοϛ. καὶ ὅρα ταῦτα, πῶς κεῖνται ٣٠ ٦٦ ٢٧٦ ταῦτα ἀναβίβασον, καὶ γίνονται λα ι λϛ, ἅτινα λα ι λϛ ἐστιν ὁ ἀπὸ
40τῆς μέσης τετράγωνος. τούτων τῶν λα ι λϛ ἤτοι τοῦ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνου λαβὲ τὴν πλευράν, ἥτις ἐστὶ ε λε ι, ἅτινα ε λε ι ἐστιν ἡ μέση, καὶ τετράγωνος ὁ ἀπ’ αὐτῆς ἐστι τὰ εἰρημένα λα ι λϛ. εἰ δὲ βούλει, ἔστω ἡ Α ε ιζ κθ, καὶ ὁ τετράγωνος ὁ ἀπ’ αὐτῆς ὁ κη. εἰ γὰρ τὸν κη ἀναλύσεις εἰς
45λεπτὰ καὶ ἐκβαλεῖς τὴν πλευράν, καθὼς εἴωθεν ἡ ἄλογος λαμβάνεσθαι πλευρά, οὐδεὶς ἄλλος εὑρεθήσεται, εἰ μὴ ὁ ε ιζ κθ. ἔστω οὖν ἡ προτεθεῖσα εὐθεῖα ἡ Α, ἥτις καὶ πλευρά ἐστι τοῦ κη, ἔστω οὖν ἡ Α ε ιζ κθ, ἡ δὲ Β ἔστω μονάδων γ κζ ν, ὁ δὲ ἀπὸ τῶν γ κζ ν τετράγωνος ὁ ιβ. πάλιν γὰρ εἰ

10

.

93

(50)

λάβωμεν τὴν πλευρὰν τοῦ ιβ, ὡς πεφύκασιν αἱ ἄλογοι πλευραὶ λαμβάνεσθαι, ὁ γ κζ ν εὑρεθήσεται. ἔστιν οὖν ἡ Α ἡ ε ιζ κθ ἀσύμμετρος μήκει τῇ Β τῇ οὔσῃ γ κζ ν δυνάμει οὖσαι σύμμετροι. ἃ γὰρ δύνανται τετράγωνα, ὁ κη καὶ ὁ ιβ, σύμμετρά ἐστι. μέση δὲ ἡ Ε ἔστω μονάδων δ ιϛ νε, ὁ δὲ
55ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνος μονάδων ιη ιθ μη, ἥτις Ε ἀσύμ‐ μετρός ἐστι καὶ μήκει καὶ δυνάμει τῇ Α. ἡ δὲ μέθοδός ἐστι τῆς εὑρέσεως, ἥτις ἦν καὶ ἐπὶ τῶν προειρημένων ἀριθμῶν τοῦ ϛ, τοῦ ε ια μϛ καὶ τοῦ ε λε ι· τοῦ δὲ λα ι λϛ, ὅστις ἦν ὁ ἀπὸ τῆς μέσης τετράγωνος, ἡ πλευρὰ εὑρίσκεται ὡς καὶ
60αἱ λοιπαὶ ἄλογοι. θετέον γὰρ αὐτὸν ὡδί· ٣١٠. εἶτα ῥητέον· ἑξάκις γ ἑξάκις α· καὶ γίνονται ταῦτα ١٨٦٠ τούτοις προσ‐ θετέον τὰ ι, καὶ πάλιν ἕτερον οὐδέν· εἶτα ῥητέον ϛʹ α, ἑξάκις η, ἑξάκις ζ· καὶ γίνονται ταῦτα ١١٢٢٠٠. τούτοις προσθετέον τὰ λϛ· καὶ γίνονται ١١٢٢٣٦. τούτων ἐκβλη‐
65τέον τὴν πλευράν. εἶτα ἀναβιβαστέον τὰ λεπτά, καὶ τὰ εὑρεθέντα ἐκ τοῦ ἀναβιβασμοῦ ἐστιν ἡ μέση ε λε. εἰ δὲ λείπει τὰ ι, θαυμαστὸν οὐδέν· μοῖραι γὰρ καὶ πρῶτα λεπτὰ ἀρκοῦσιν. εἰ δὲ ποιήσῃς τοὺς τετραγώνους μὴ εἰς τέταρτα λεπτά, ἀλλ’ εἰς ἕκτα, καὶ λάβῃς τὴν πλευράν, εἶτα ἀνα‐
70βιβάσῃς τὰ λεπτά, εὑρήσεις καὶ δεύτερα λεπτὰ καὶ τρίτα, οἷον εἰ ἀναλυθῇ ὁ κζ μὴ τετράκις εἰς λεπτά, ἀλλ’ ἑξάκις ἢ δεκάκις, εὑρεθήσονται καὶ τέταρτα λεπτά.

10

.

94

Ἰστέον, ὅτι χωρία ῥητά ἐστι τὰ ἀπὸ ἀριθμῶν τινων παρονομαζόμενα εἴτε τετραγώνων εἴτε ἑτερομηκῶν, οἷον τὸ τετράπουν καὶ ἐννεάπουν ῥητὰ ἀπὸ τετραγώνων παρωνο‐ μασμένα τοῦ δ καὶ θ, τὸ δὲ ὀκτάπουν καὶ ὀκτωκαιδεκάπουν
5ῥητὰ ἀπὸ ἑτερομηκῶν τοῦ ι καὶ η καὶ ἀπὸ τοῦ η. ὡσαύτως καὶ εὐθεῖαι ῥηταὶ αἱ ἀπὸ ἀριθμῶν παρονομασθεῖσαι κα‐ λοῦνται εἴτε τετραγώνων εἴτε οἱωνδή τινων, οἷον ἡ τρίπους, ἡ τετράπους, ἡ πεντάπους, ἡ ἑπτάπους ἅπασαι ῥηταί· ἐν ἀριθμῷ γὰρ ἅπαν ῥητόν. ὅσαι δὲ οὐκ ἀπό τινος ἀριθμοῦ
10παρονομάζονται ὡς ἡ πλευρὰ τοῦ ζ, τοῦ η, τοῦ ι ἄρρητοι καὶ ἄλογοι λέγονται, ὁμοίως καὶ χωρία. ῥητὰ δὲ πρὸς ἄλληλα καὶ ῥηταὶ πρὸς ἀλλήλας εὐθεῖαι λέγονται, ὅσα ἢ ὅσαι σύμμετροί εἰσιν.

10

95t

Ad prop. 11

10

.

95

Ἔστιν ἄρα καὶ ἀσυμμέτρων λόγος. ὀρθῶς ἄρα ἐν τῷ
ιεʹ ἐρρέθη, ὅτι πεντεκαιδεκάκις ὁ λόγος. ἐντεῦθεν δὲ καὶ κατ’ ἀναλογίαν συμμετρία καὶ ἀσυμμετρία. —αὐτὸς ἐκτίθεμαι τὰ ἀσύμμετρα οὐκ ἐκ τῶν φύσεων λαβών· ἔχω
5γὰρ τὴν γένεσιν αὐτῶν.

10

96-97t

Ad prop. 12

10

.

96

Τοῦτο ἀπὸ τῆς ταυτότητος, οὐκ ἀντιστρέφει μέντοι· οὐ γὰρ τὰ ἀλλήλοις σύμμετρα καὶ τῷ αὐτῷ, ὥσπερ οὐδὲ τὰ ἀλλήλοις ἴσα, ἀλλ’ ἀνάπαλιν. ἐνδέχεται γὰρ καὶ ἀσύμ‐ μετρα εἶναι τῷ αὐτῷ καὶ σύμμετρα, ὃ δείξει τὸ ἑξῆς καὶ τὸ
5ἀντίστροφον αὐτῷ.

10

.

97

Οἱ Δ, Ε, Ζ, Η ἤτοι ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς ἢ οὔ. καὶ εἰ μὲν ἐλάχιστοί εἰσιν, προσκεχρήμεθα τῷ τετάρτῳ θεωρήματι τοῦ ηʹ βιβλίου· λέγει γάρ, ὅτι· λόγων δοθέντων ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς
5ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἐλαχίστους ἐν τοῖς δοθεῖσι λόγοις. εἰ δὲ μή εἰσιν ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, προσκεχρήμεθα τῷ λδʹ θεωρήματι τοῦ ζʹ βιβλίου, ὅτι· ἀριθμῶν δοθέντων ὁποσωνοῦν εὑρεῖν τοὺς ἐλαχίστους τῶν τοὺς αὐτοὺς λόγους ἐχόντων αὐτοῖς, καὶ οὕτως προβαίνειν
10τῷ θεωρήματι.

10

98-102t

Ad prop. 14

10

.

98

Ἔστω ἡ Α κδ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον φοϛ, ἡ Β η καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς ξδ, ἡ δὲ Ε ιϛ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς σνϛ, ἡ δὲ Γ ϙ καὶ ἓξ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς ἐννακισχίλια σιϛ, ἡ δὲ Δ λβ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον ͵ακδ, ἡ δὲ Ζ ξδ καὶ τὸ ἀπ’
5αὐτῆς τετρακισχίλια ϙϛ.

10

.

99

Δῆλον, ὅτι ὡς ἓν τὸ Α, Β ἀναγραφέν, οἱονεὶ ὡς ἀπὸ μιᾶς τῆς Β, Γ τουτέστι τῆς Β καὶ τῆς Γ ὡς μιᾶς οὔσης καὶ ὡς ἀπὸ μιᾶς, ἀλλ’ οὐχ ὡς ἀπὸ δύο ἀναγραφέντα τὰ ἀπὸ τῶν Α, Β. εἰ γὰρ τὴν ιϛ καὶ τὴν η ὡς μίαν νοήσομεν, ἔσται
5εἴκοσι καὶ δ, τὸ δὲ ἀπὸ ταύτης ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς Α, διότι καὶ ἡ Α κδ κεῖται οὖσα.

10

.

100

Ἐπεὶ ὑπόκειται ἡ Α τῆς Β μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ τῆς Ε, συναμφότερα πάντως τὰ ἀπὸ τῶν Β, Ε ἴσα εἰσὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α.

10

.

101

Διὰ τὴν ὑπόθεσιν δῆλον ὅτι ὡς ἓν τὸ Ε, Β ἀναγρα‐ φέν. τὰ ἄρα ἀπὸ τῆς Β, Ε καὶ τὰ ἀπὸ τῆς Α ἴσα ὄντα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως καὶ τὰ ἀπὸ τῶν
5Β, Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β.

10

.

102

Ἔστω ἡ Α κ ἡ Β ιβ ἡ Γ ι ἡ Δ ϛ. δύναται ἡ Α τὰ υ, ἡ δὲ Β ρμδ, καί ἐστι μείζονα τὰ υ τῶν ρμδ τοῖς σνϛ, ἅτινα γίνονται ἀπὸ τῆς ιϛ πλευρᾶς συμμέτρου οὔσης τῇ κ. ὁμοίως
ὁ ι δύναται τὰ ρ, ὁ δὲ ϛ τὰ λϛ. δύναται γοῦν τὰ ρ μείζω τῶν
5λϛ τῷ ξδ, ὧν πλευρὰ τὰ η σύμμετρα τοῖς ι. ἔστι γοῦν ἡ Ε ιϛ, ἡ δὲ Ζ η. πάλιν ἔστω ἡ Α η, ἡ δὲ Β ϛ, ἡ δὲ Γ δ, ἡ δὲ Δ γ. δύναται γοῦν τὸ ἀπὸ τῆς Α μεῖζον τοῦ ἀπὸ τῆς Β τῷ κη, οὗ πλευρά ἐστιν ε ιζ κθ, ἥτις ἐστὶν ἀσύμμετρος τῇ Α. πάλιν δύναται τὸ ἀπὸ τῆς Γ μεῖζον τοῦ ἀπὸ τῆς Δ
10τῷ ζ, οὗ πλευρά ἐστι β λη μδ, ἥτις ἀσύμμετρός ἐστι τῇ Γ.

10

103t

Ad prop. 15

10

.

103

Ῥᾷον δέ σοι ἔσται καὶ δι’ ἀριθμῶν ῥητῶν, εἰ βούλει, ποιήσασθαι τὴν διδασκαλίαν. οἷον ἔστω ἡ ΑΒ μονάδων ιε, ἡ ΒΓ μονάδων ι· συντεθειμένα ταῦτα ποιήσουσι τὴν ὅλην εὐθεῖαν τὴν ΑΓ κε, μετρήσει δὲ ταύτην τὸ Δ μέγεθος
5ἤτοι τὸ πέντε.

10

104t

Ad prop. 16 lemma

10

.

104

Οἷον εἰ τύχῃ εὐθεῖα ἡ ΑΒ ἔχουσα σπιθαμὰς ι, καὶ παραβληθῇ παρὰ τὴν ζ καὶ τὴν γ παραλληλόγραμμον οἷον τὸ κα ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τῷ θ, τὸ παραβληθὲν οἷον τὸ κα ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ἐκ τῆς παραβολῆς γε‐
5νομένων τμημάτων τῆς εὐθείας τῆς ζ καὶ γ τουτέστι τῷ κα.

10

105-125t

Ad prop. 17

10

.

105

Λῆμμα αʹ. Αἱ μήκει διπλάσιαι δυνάμει τετραπλάσιαί εἰσιν. ἔστω ἡ
ΑΒ τῆς ΒΓ μήκει διπλασίων. λέγω, ὅτι δυνάμει τετρα‐ πλασίων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΓΒ. ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς
5ΑΒ τετράγωνον, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. φανερὸν μὲν οὖν, ὅτι τὰ τέσσαρα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. τὰ τέσσαρα ἄρα τοῦ ἑνὸς τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετρα‐ πλασίονά ἐστιν. καί εἰσι τῷ ἀπὸ τῆς [Omitted graphic marker] ΑΒ ἴσα. τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἄρα τοῦ ἀπὸ
10τῆς ΓΒ τετραπλάσιόν ἐστιν. καί ἐστι μήκει διπλασίων. αἱ μήκει ἄρα διπλά‐ σιαι δυνάμει τετραπλάσιαί εἰσιν.

10

.

106

Λῆμμα βʹ. Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τὸ δὲ τέταρτον τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάττονος παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἢ καὶ ἄλλο ἐλλεῖ‐ πον εἴδει τετραγώνῳ, τὸ παραβαλλόμενον ἴσον ἐστὶ τῷ
5ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς μείζονος. ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΒ, Γ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΑΒ. τὸ δὲ τέταρτον τοῦ ἀπὸ τῆς Γ ἢ ἄλλο ὁποιονοῦν παρὰ τὴν ΑΒ παραβεβλή‐ σθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ. λέγω, ὅτι τὸ παραβαλλόμενον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ. ἀνα‐
10γεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΔΒ τετράγωνον τὸ ΒΕ, καὶ κατα‐
γεγράφθω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ τὸ ΒΕ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ, [Omitted graphic marker] λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΕ παραλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶ τῷ τετάρ‐ τῳ τοῦ ἀπὸ τῆς Γ ἢ ἄλλῳ παραλληλογράμμῳ. καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῆς ΑΔ, ΔΒ. πάντων ἄρα τῶν παρὰ τὴν ΑΒ παρα‐
15βαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδει τετραγώνῳ τὸ γινόμενον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν τμημάτων.

10

.

107

Λῆμμα γʹ. Ἐὰν ὦσιν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τὸ δὲ τέταρτον τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, τὸ παραβαλλόμενον οὐ πεσεῖται ἐπὶ τῆς
5διχοτομίας. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΒ, Γ, τὸ δὲ τέταρτον τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος τῆς Γ παρὰ τὴν μείζονα παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἡμισείας οὔσης τῆς ΑΒ. διὰ δὴ τὸ πρὸ τούτου λῆμμα ἴσον ἐστὶ τὸ παραβαλλόμενον τῷ ὑπὸ τῶν τμη‐
10μάτων τῶν ΑΔ, ΔΒ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ· ἡ γὰρ ΑΒ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ σημεῖον. καὶ τὸ ἄρα τετράκις ἀπὸ τῆς ΔΒ ἴσον ἐστὶ τῷ τετραπλασίῳ τοῦ παραβαλλο‐ μένου. καί ἐστι τὸ μὲν τετράκις ἀπὸ τῆς ΔΒ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ· αἱ γὰρ μήκει διπλάσιαι δυνάμει τετραπλάσιαι. τὸ δὲ
15τετραπλάσιον τοῦ παραβληθέντος τὸ ἀπὸ Γ. καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Γ τὸ ἀπὸ τῆς μείζονος τῷ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὸ ΔΓ ἀπὸ τῆς Γ ἐπὶ τῆς διχοτομίας πεσεῖται.

10

.

108

Λῆμμα δʹ. Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων τὸ τέταρτον τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος παρὰ τὴν μείζονα παραβαλεῖν ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ. ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ
5ΑΒ, ΓΔ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ δέον ἔστω ποιῆσαι τὸ προκείμενον. τετμήσθω ἡ ΓΔ δίχα κατὰ τὸ Ε· φανε‐ ρὸν δή, ὅτι τὸ τέταρτον τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΕ. καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον, καὶ τετμήσθω [Omitted graphic marker] ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς
10ἤχθω ἡ ΖΗ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, μείζων ἄρα καὶ ἡ ἡμίσεια τῆς ΑΒ, τουτέστιν ἡ ΖΒ, τῆς ἡμισείας τῆς ΓΔ, τουτέστι τῆς ΓΕ. κείσθω οὖν τῇ ΓΕ ἴση ἡ ΖΘ, καὶ διὰ τοῦ Θ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΚ, καὶ ἀπὸ
τοῦ Κ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἡ ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ
15ΑΚ, ΚΒ. ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚΒ τρίγωνον, καὶ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΚΛ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΛ, ΛΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΛ. ἐκβεβλήσθω οὖν ἡ ΚΛ, καὶ κείσθω τῇ ΛΒ ἴση ἡ ΛΜ, καὶ συμπεπλη‐ ρώσθω τὸ σχῆμα. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΛ, τουτέστι τὸ ἀπὸ
20τῆς ΖΘ, ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΜ παραλληλογράμμῳ. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΕ, τουτέστι τῷ τετάρ‐ τῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ. παραβέβληται ἄρα παρὰ τὴν ΑΒ τὸ τέταρτον τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ τὸ ΑΜ ἐλλεῖπον εἴδει τετρα‐ γώνῳ τῷ ΜΒ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

10

.

109

Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι ἡ μείζων ιε, ἡ δὲ ἐλάσ‐ σων ιβ, καὶ τὸ δʹ μέρος τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος, τουτέστι τὸ λϛ· ἔστι γὰρ ὅλον τὸ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ρμδ· τῷ τε‐ τάρτῳ οὖν μέρει, τουτέστι τῷ λϛ, παρὰ τὴν μείζονα τὴν [Omitted graphic marker]
5ΒΓ ἴσον ἐκβεβλήσθω τὸ ὑπὸ ΒΔΓ ὡς εἶναι τὴν ΒΔ ιβ, τὴν δὲ ΔΓ γ, ἐλλειπέτω δὲ καὶ εἴδει τετραγώνῳ τῷ ΔΡ θ ὄντι. διαιρείτω δὲ αὐτὴν καὶ εἰς σύμμετρα. ἔστι γὰρ ἡ ΒΔ
ιβ, ἡ δὲ ΔΓ γ· καὶ διὰ τοῦτο ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖ‐ ζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. ἔστι γὰρ τὸ
10ἀπὸ ΒΓ σκε, τὸ ἀπὸ τῆς Α ρμδ, ἡ ὑπεροχὴ πα, ὅστις ἀνα‐ γράφεται ἀπὸ τοῦ θ, ὅς ἐστι σύμμετρος τῷ ιε. ͜ιε πα σκε͜ ͜ιβ πα ρμδ͜ ͜ὑπεροχ πα͜.

10

.

110

Ἔστω ἡ Α, ἥτις καὶ ἐλάττων ὑποτίθεται, ὀκτά‐ πους. δῆλον δή, ὅτι τὸ ἀπ’ αὐτῆς ἐστι ποδῶν ξ καὶ τεσσάρων, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς τετράποδος, ἥτις τετράπους ἡμίσειά ἐστι τῆς ὀκτάποδος, τὸ οὖν ἀπὸ τῆς τετράποδός ἐστι ποδῶν ιϛ.
5τούτων οὕτως ἐχόντων καὶ τοῦ προβλήματος ἀσαφῶς ῥηθέντος ἔσται τὸ πλῆρες τῆς προτάσεως τοιοῦτον· ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετραγώνῳ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ἐλάττονος, ὅπερ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ὂν τῆς ἐλάττονος τέταρτον μέρος ἐστὶ τοῦ ἀπὸ
10τῆς ὅλης τῆς ἐλάττονος τετραγώνου· τὸ γὰρ ιϛ τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τέταρτόν ἐστι τοῦ ξδ τοῦ ἀπὸ τῆς ὅλης· ἐὰν τῷ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ὅλης, γινομένῳ δὲ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἴσον παραβληθῇ καὶ τὰ ἑξῆς τῆς προτάσεως, γενήσεται τὸ λεγόμενον.

10

.

111

Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι μείζων ἡ ΑΒ ι οὖσα, ἐλάσ‐ σων δὲ ἡ Ε η οὖσα, καὶ τῷ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς Ε ἴσον ἐκβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΒ τὸ ὑπὸ ΑΓΒ [ὡς εἶναι] τὴν [Α]Γ η, τὴν δὲ ΓΒ [β]. ἐλλειπ[έτω] δὲ καὶ εἴδει τετραγώ‐
5νῳ τῷ .. δ ὄν[τι] .... οὖν ἡ μείζων ι οὖσα τὰ ρ δύναται, [ἡ δὲ ἐλάσσων η οὖσα] τὰ ξδ, ὑπεροχὴ ..... τὸν ξδ ... λϛ, ὃς ἀναγράφεται [ἀπὸ τοῦ ϛ] .... σύμμετρος καὶ τῷ ..... καὶ διῄρηται ἡ ΑΒ εἰς σύμμετρα κατὰ τὸ Γ.
͜ι πα ρ͜ ͜η πα ξδ͜ ͜υπεροχ λϛ͜.

10

.

112

Τέταρτον μέρος τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος λέγει, ἵνα πρῶτον τετραγωνίσῃς τὸν ἐλάσσονα καὶ εἶθ’ οὕτως λά‐ βῃς τὸ τέταρτον αὐτοῦ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονος ἀριθμοῦ ἀναγεγραμμένον, καὶ παρ’
5αὐτὸ παραβάλῃς παρὰ τὴν μείζονα παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ αὐτῷ χωρίῳ. οἷον ἔστωσαν δύο ἄνισοι ἀριθμοὶ ὁ ι καὶ ὁ η. καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος τῆς η ἤγουν τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς τέσσαρα, ὅπερ ιϛ ἐστιν, ἴσον παραλληλόγραμμον παραβεβλήσθω λέγων δὶς
10ὀκτὼ ιϛ, ὅπερ ἴσον ἐστὶ τῷ δʹ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος κατὰ μῆκος. καὶ τὰ λοιπὰ τὰ ἐκ τῆς μείζονος δύο ἐλλείπουσιν εἴδει τετραγώνῳ· δὶς γὰρ τὰ δύο γίνεται τέσσαρα.

10

.

113

Τετμήσθω γὰρ ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον p. 27, 19] οὐ γάρ ἐστιν ἡ διχοτομία κατὰ τὸ Δ διὰ τὸ μείζονα εἶναι τὴν ΒΓ εὐθεῖαν.

10

.

114

καὶ τὰ τετραπλάσια p. 28, 1] τὰ γὰρ ἴσα τετρα‐ πλασιαζόμενα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν, ὁμοίως καὶ πενταπλα‐ σιαζόμενα καὶ ἐπ’ ἄπειρον.

10

.

115

τῷ δὲ τετραπλασίῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ p. 28, 5 sq.] τὰ γὰρ μήκει διπλάσια δυνάμει τετραπλάσια.

10

.

116

Δέδεικται γάρ, ὅτι τὰ μήκει διπλάσια τῇ δυνά‐ μει τετραπλάσια· οἷον ὡς ἐπὶ παραδείγματος· ἐκκείσθω‐ σαν γὰρ δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΒ, Γ, καὶ ἡ μὲν ΑΒ τῆς Γ διπλασία ἔστω, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων δ, ἡ δὲ Γ μο‐
5νάδων β, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον, καὶ [Omitted graphic marker] ἔστω μονάδων ιϛ, ἀπὸ δὲ τῆς Γ μονάδων δ. φανερὸν ἄρα ἐστίν, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς Γ τετραγώνου. ὥστε αἱ τῷ μήκει διπλάσιαι τῇ δυνάμει τετραπλασίονες.

10

.

117

Ἴσμεν, ὅτι τὰ μήκει διπλάσια δυνάμει τετραπλά‐ σια. ὥστε καὶ ἡ Α ὅλη τῆς ἡμισείας αὐτῆς μήκει οὖσα διπλασία δυνάμει τετραπλασία ἐστί. ἡ γὰρ ὀκτάπους τῆς τετράποδος μήκει οὖσα διπλασία δυνάμει τετραπλασία
5ἐστί. ἔστω οὖν ἡ Α ὀκτάπους. τὸ οὖν ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς τετράποδος, ὅπερ ἐστὶ ιϛ, τέταρτον μέρος ἐστὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ὀκτάποδος, ὅπερ ἐστὶν ξδ.

10

.

118

σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ p. 28, 14 sq.] ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ σύμμετρος (οὕτω γὰρ προυπετέθη), καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΔΓ σύμμετρος μήκει. ἐὰν γὰρ δύο μεγέθη σύμ‐ μετρα συντεθῇ, καὶ τὸ ὅλον ἑκατέρῳ αὐτῶν σύμμετρον
5ἔσται. ἀλλὰ ἡ ΒΔ ταῖς ΓΔ, ΒΖ σύμμετρος· ὥστε καὶ ἡ ΒΓ ταῖς ΓΔ, ΒΖ σύμμετρος. ὥστε καὶ τῇ λοιπῇ τῇ ΖΔ διὰ τὸ κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν σύμμετρον ᾖ, δηλαδὴ τῶν ἐξ ὧν σύγκειται, καὶ ταῦτα σύμμετρα ἀλλήλοις. ἐπεὶ γοῦν ἡ ΒΓ ὅλη συγκειμένη ὡς ἐκ δύο οἷον τῆς ΖΔ καὶ τῆς ΒΖ, ΔΓ
10ὡς μιᾶς σύμμετρος ᾖ τῷ οἷον ἑνὶ ταῖς ΒΖ, ΔΓ, καὶ τὰ ἐξ ὧν σύγκειται, τὰ ΒΖ, ΔΓ, ΖΔ μέρη σύμμετρα ἀλλή‐ λοις. ὥστε ἐπεὶ ἡ ΒΓ σύμμετρός ἐστι ταῖς ΒΖ, ΔΓ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΖΔ ταύτῃ σύμμετρος, καὶ ἀλλήλαις ἡ ΒΓ καὶ ἡ ΖΔ σύμμετροι διὰ τὸ ιβʹ τοῦ ιʹ· τὰ τῷ αὐτῷ μεγέθει
15σύμμετρα καὶ ἀλλήλοις σύμμετρα.

10

.

119

ὥστε καὶ λοιπῇ τῇ ΖΔ σύμμετρός ἐστιν p. 28, 17. 18] ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ σύμμετρος ὑπόκειται. καὶ ἡμίσεια ἄρα τῆς ΒΓ ἡ ΕΓ σύμμετρός ἐστι τῇ ΔΓ. σύμμετρος ἄρα ἡ ΕΓ τῇ ΔΓ. καὶ διελόντι ἄρα σύμμετρός ἐστιν ἡ ΕΔ τῇ
5ΔΓ. καὶ ἡ διπλῆ ἄρα τῆς ΕΔ ἡ ΖΔ τῇ ΔΓ σύμμετρός ἐστιν. τῇ δὲ ΔΓ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ. καὶ ἡ ΒΓ ἄρα τῇ ΖΔ σύμμετρός ἐστιν. ταῖς αὐταῖς δὲ ἐφόδοις χρώμενοι δείξο‐ μεν, ὅτι ἡ ΒΓ τῇ ΖΔ σύμμετρός ἐστιν, δηλονότι εἰς τὸ ιηʹ θεώρημα.

10

.

120

Τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ὑπόκειται τῷ ἀπὸ τοῦ τετάρτου μέρους ἀναγραφομένῳ τετραγώνῳ τῆς Α. ὥστε τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς Α τετραγώνῳ. τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον
5ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α. τοῦτο οὖν εἴρηταί μοι ὡς συντελέσον πρὸς τὰ μέλλοντα συνάγεσθαι.

10

.

121

ὁμοίως δείξομεν p. 29, 1] τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ τετράκις ἀπὸ τῆς ΕΔ ἴσα εἰσὶ τῷ τετρά‐ κις ἀπὸ ΕΓ. ἀλλὰ τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α. ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς Α μετὰ τοῦ τετράκις ἀπὸ
5τῆς ΕΔ ἴσον ἐστὶ τῷ τετράκις ἀπὸ τῆς ΕΓ. τῷ δὲ τετρά‐ κις ἀπὸ τῆς ΕΔ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΔ· διπλασία γάρ ἐστιν ἡ ΖΔ τῆς ΕΔ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς Α μετὰ τοῦ τετράκις ἀπὸ τῆς ΕΔ, τουτέστι μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΔ, ἴσον ἔσται τῷ τετράκις ἀπὸ τῆς ΕΓ. τῷ δὲ τετράκις ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον
10τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν Α καὶ ΖΔ τετραγώνοις. τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἄρα μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς Α τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. συνακτέον δὴ τὸν λόγον καὶ οὕτως· τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ τετράκις ἀπὸ τῆς ΕΓ. τὸ τετράκις ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῆς Α καὶ
15ἀπὸ τῆς ΖΔ τετραγώνοις. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῆς Α καὶ ΖΔ. μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς Α τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ.

10

.

122

ὥστε καὶ λοιπῇ συναμφοτέρῳ p. 29, 4. 5] ἡ ΒΓ σύμμετρος τῇ ΖΔ διὰ τὴν ὑπόθεσιν· ὥστε καὶ συναμφο‐ τέρῳ τῇ ΒΖ, ΔΓ διὰ τὸ κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ τῶν, ἐξ ὧν σύγκει‐
ται, σύμμετρον ᾖ μήκει, τὰ μέρη, ἐξ ὧν σύγκειται, σύμ‐
5μετρα ἔσται. μέρη δὲ τῆς ΒΓ ἡ ΖΔ καὶ συναμφότερος ἡ ΒΖ, ΔΓ.

10

.

123

Ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ ιεʹ, ὅτι, κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν σύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς μεγέθη σύμμετρα ἔσται.

10

.

124

ὥστε καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ p. 29, 7] τὰ γὰρ τῷ αὐτῷ σύμμετρα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶ σύμμετρα.

10

.

125

Λῆμμα. Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι πρός τινα εὐθεῖαν ἡ μὲν σύμμετρος, ἡ δὲ ἀσύμμετρος, καὶ αὐταὶ ἀσύμμετροί εἰσιν. δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ Α, Β πρός τινα εὐθεῖαν τὴν Γ ἡ μὲν Α πρὸς τὴν
5Γ σύμμετρος ἔστω, ἡ δὲ Β πρὸς τὴν Γ ἀσύμμετρος. λέγω, ὅτι καὶ αἱ Α, Β ἀσύμμετροί εἰσιν. εἰ γὰρ σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β, ἔστι δὲ καὶ τῇ Γ σύμμετρος, καὶ ἡ Β τῇ Γ σύμ‐ μετρός ἐστιν. ἀλλὰ μὴν καὶ ἀσύμμετρος· ὅπερ ἐστὶν ἀδύ‐ νατον. οὐκ ἄρα σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β.

10

126-131t

Ad prop. 18

10

.

126

Ἡ ὅλη ΒΓ μονάδων ι, ἡ ἡμίσεια μονάδων ε, ἡ ΔΓ μονάδων μιᾶς καὶ λεπτῶν πρώτων κε, δευτέρων δὲ μϛ. τῶν αὐτῶν ἐστιν ἡ ΒΖ. ἡ ΕΔ μονάδων τριῶν καὶ λεπτῶν πρώτων λδ δευτέρων ιδ. τῶν αὐτῶν ἐστι καὶ ἡ ΖΕ. τὸ δὲ
5ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἐστι μονάδων ιβ καὶ λεπτῶν ιε. Ἡ ὅλη Α μονάδων ζ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς μθ, τὸ δὲ τέταρ‐ τον τοῦ ἀπ’ αὐτῆς μονάδων ιβ καὶ λεπτῶν ιε.

10

.

127

Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, Α, καὶ ἡ μείζων ἡ ΒΓ ιγ, ἡ δὲ ἐλάσσων ἡ Α ιβ καὶ τὸ τέταρτον πάλιν τῆς Α λϛ ..... τὸ ἴσον προσεκβεβλήσθω τῷ ἀπὸ ... ὡς εἶναι τὴν ΒΔ θ τὴν ΔΓ δ τὸ ἔλλειμμα ιϛ. καί ἐστιν ἀσύμμε‐
5τρος .... τῇ ΔΓ. διὰ τοῦτο καὶ ἡ μείζων ἡ ΒΓ τῆς Α [μεῖζον] δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυ[τῇ] μήκει. ἔστι γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ρξθ, τὸ δὲ [ἀπὸ τῆς Α ρ]μδ, ἡ ὑπεροχὴ κε, οὗ μῆκος ὁ [ε] ἀσύμμετρος ὢν τῷ ιγ.

10

.

128

Ὑποκείσθωσαν αἱ εὐθεῖαι ἡ μὲν μείζων ἡ ΒΓ μο‐ νάδων ι, ἡ δὲ ἐλάττων ἡ Α μονάδων ζ. καὶ ἐπεὶ προστάττει ὁ γεωμέτρης τὸ τέταρτον τοῦ ἀπὸ τῆς Α ἤτοι τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας αὐτῆς τῆς Α· ταὐτὸν γάρ ἐστι· τοῦ μὲν γὰρ τε‐
5τραγώνου τοῦ ἀπὸ τοῦ ἑπτάκις ἑπτὰ γινομένου μθ τὸ τέταρτόν ἐστι ιβ μονάδες καὶ ιε λεπτά, ἅπερ εἰσὶ τέταρτον μονάδος, καὶ τὸ ἀπὸ τῶν γ 𐅵ʹ γινόμενον, ἅπερ εἰσὶ τὰ ἡμίση τοῦ ἑπτά, τουτέστι τῆς Α, γίνονται πάλιν μονάδες ιβ καὶ λεπτὰ ιε δʹ. ἔστιν εὑρεῖν, ποῦ τέμνεται ἡ ΒΓ κατὰ
10τὸ Δ ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον εἶναι τοῖς ιβ καὶ ιε λεπτοῖς. εὑρίσκεται οὖν οὕτως· ἐπεὶ ἐμάθομεν εἰς τὸ βʹ βιβλίον θεώρημα εʹ, ὅτι, ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὸ ὑπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν
15τομῶν τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετρα‐ γώνῳ, ἔχομεν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ παραλληλόγραμ‐ μον ὁμολογούμενον· ἴσον γὰρ δεῖ εἶναι τοῦτο τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς Α ἤτοι τῷ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς Α· ἐὰν ἄρα τοῦτο ἀφέλωμεν μονάδων ὂν ιβ καὶ ιε λεπτῶν, ὡς εἴπομεν,
20ἀπὸ τοῦ τετραγώνου τῆς ἡμισείας τῆς ΒΓ, τουτέστι τῶν κε μονάδων (ἡ γὰρ ΕΓ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΑΓ μονάδων ἐστὶ ε, καὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπ’ αὐτῆς κε), ἐὰν τοίνυν ἀφέλωμεν τὰ ιβ καὶ ιε λεπτὰ ἀπὸ τῶν κε, καταλειφθήσον‐ ται ιβ καὶ με λεπτά, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ τετράγωνον,
25μεθ’ οὗ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ἦν τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας. αὕτη ἄρα ἡ ΕΔ μήκει ἐστὶ μονάδων τριῶν καὶ πρώτων
λεπτῶν λδ καὶ δευτέρων ιδ· ταῦτα γάρ ἐστιν ἡ πλευρὰ τῶν ιβ καὶ λεπτῶν με. ταύτην οὖν τὴν πλευρὰν ἐὰν ἀφέλωμεν ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΕΓ οὔσης μονάδων ε, καταλειφθή‐
30σονται μονὰς μία καὶ λεπτὰ κε μϛ. καὶ ἰδοὺ φανερὸν ἐγέ‐ νετο, ποῦ μέλλει τεθῆναι τὸ Δ κατὰ τὴν διαίρεσιν. ἐὰν γὰρ ἀπὸ ὅλης τῆς ΒΓ οὔσης μονάδων ι ἀφέλωμεν μονάδα μίαν καὶ λεπτὰ κε καὶ δεύτερα μϛ, καταλειφθήσεται ἡ ΒΔ μο‐ νάδες η καὶ λεπτὰ λδ καὶ ιδ. γίνεται δὲ οὕτως καὶ τὸ ὑπὸ
35τῶν ΒΔ, ΔΓ περιεχόμενον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΕΓ· τὸ μὲν γὰρ ὑπὸ ΒΔ, ΔΓ ἐστι ιβ καὶ λεπτῶν ιε καὶ δευτέρων δ καὶ τρίτων δ καὶ τετάρτων μδ, ὅσον ἦν καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἀπὸ τῆς Α, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΔ γίνεται μονάδων ιβ καὶ λεπτῶν μδ καὶ δευτέρων με καὶ τρίτων νδ
40καὶ τετάρτων ιϛ, συντιθέμενα δὲ ὁμοῦ γίνεται μονάδες κδ καὶ λεπτὰ να νθ νθ, ἅτινα εἰς ἓν λεπτὸν κεφαλαιούμενα καὶ τῷ κδ προστιθέμενα ποιήσουσι μονάδας κε. ἔστι τοίνυν ἡ μείζων ἡ ΒΓ μονάδων ι, ὡς εἴπομεν, ὧν ὁ τετράγωνος μονάδων ρ· δεκάκις γὰρ δέκα ρ. ἡ δὲ ἐλάττων μονάδων ζ,
45ὧν ὁ τετράγωνος μθ, ἡ δὲ ὑπεροχὴ τοῦ ρ πρὸς τὰ μθ ἐστι να. τὰ γοῦν να πρὸς τὰ ι ἀσύμμετρά εἰσι. δύναται οὖν ἡ μείζων ἤτοι ἡ ΒΓ τῆς ἐλάττονος ἤγουν τῆς Α μεῖζον τῷ να ἀριθμῷ, ἅπερ να ἀσύμμετρά εἰσι πρὸς τὰ ἐξ ἀρχῆς ι.

10

.

129

ὥστε καὶ λοιπῇ συναμφοτέρῳ p. 31, 2. 3] ἐπειδὴ γὰρ ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ ὑπόκειται ἴση, ἡ δὲ ΕΖ τῇ ΖΒ, συναμ‐ φότερος ἄρα ἡ ΒΖ, ΔΓ ἴση ἐστὶ τῇ ΖΔ. ἀσύμμετρος δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΖΔ. ἀσύμμετρος ἄρα καὶ τῇ ἴσῃ τῇ ΖΔ, ἥτις ἴση
5τῇ ΖΔ ἐστιν ἡ συναμφότερος ἡ ΒΖ, ΔΓ. καὶ ἐπεὶ συναμ‐ φότερος ἡ ΒΖ, ΔΓ διπλασία ἐστὶ τῆς ΔΓ, σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ συναμφότερος ἡ ΒΖ, ΔΓ τῇ ΔΓ.

10

.

130

Ὅτι ἡ σύμμετρος μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ καὶ
δυνάμει ἐστὶν αὐτῇ σύμμετρος, καὶ λέγεται καὶ αὐτὴ ῥητή, καὶ τὸ ὅλον τοῦτο· ῥητὴ καὶ μήκει καὶ δυνάμει σύμ‐ μετρος.

10

.

131

Τουτέστιν αἱ μήκει ῥηταὶ πάντως καὶ δυνάμει, αἱ δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει, οὕτως δὲ καὶ αἱ σύμμε‐ τροι. αἱ γὰρ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει, αἱ δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει. ποτὲ μὲν γὰρ σύμμετροι ὡς
5ἐπὶ τοῦ ιϛʹ καὶ τοῦ ξδʹ· τούτων γὰρ τὰ μήκη σύμμετρα· ποτὲ δὲ καὶ ἀσύμμετροι ὡς ἐπὶ τοῦ .. καὶ κεʹ. διὸ τὴν ῥητότητα ἐκ τῆς συμμετρίας κατασκευάζει.

10

132-136t

Ad prop. 19

10

.

132

Ἄχρι τῶν ἐνταῦθα διείλεκται ἡμῖν περὶ συμμέτρων καὶ ἀσυμμέτρων, τὸ δὲ ἐντεῦθεν περὶ ῥητῶν καὶ μέσων.

10

.

133

Δεύτερον κεφάλαιον, ἐν ᾧ περὶ ῥητῶν καὶ μέσων δυνάμει τε συμμέτρων οὐσῶν ἑκατέρων καὶ μήκει διδάσκει καὶ τῶν χωρίων, ἃ περιέχουσιν, καὶ τὴν τῆς μέσης πρὸς τὴν ῥητὴν συγγένειαν καὶ τὴν διαφορὰν ἔλαχε καὶ τὴν
5εὕρεσιν καὶ ὅσα τοιαῦτα.

10

.

134

Εὑρεῖν δύο ῥητὰς μήκει συμμέτρους. ἐκκείσθω τις ῥητὴ ἡ Α καὶ δύο ἀριθμοὶ οἱ Γ, Δ ἤτοι τετράγωνοι ἢ ἁπλῶς λόγον ἔχοντες, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά‐ γωνον ἀριθμόν, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως
5τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε. ἔσονται δὴ διὰ τὰ προ‐ δεδειγμένα αἱ Α, Ε ῥηταὶ μήκει σύμμετροι.

10

.

135

Θαυμάζειν ἄξιον, ὅπως ἡ τῆς τριάδος κρατητικὴ δύναμις καὶ τὴν ἄλογον ἀφορίζει δύναμιν καὶ διήκει μέχρι τῶν ἐσχάτων, ἔπειθ’ ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν τῆς ἀλογίας εἰ‐ δῶν ὑπὸ δή τινος μεσότητος πάντως ἀφορίζεται, τὸ μὲν
5ὑπὸ τῆς γεωμετρικῆς, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς ἀριθμητικῆς, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς μουσικῆς. καὶ ἔοικεν ἡ τῆς ψυχῆς οὐσία προσεχῶς ἐπιβατεύουσα τῇ τῶν μεγεθῶν κατὰ τοὺς ἐν αὑτῇ λόγους καὶ πᾶν τὸ ἐν τοῖς μεγέθεσιν ὁρίζειν ἀόριστον καὶ τὴν τῆς ἀλογίας ἀπειρίαν τοῖς τριττοῖς τούτοις πιέσαι δεσμοῖς.
10Ἐπισημαντέον, ὅτι τὸ κοινὸν ὄνομα τῆς μέσης ἐπὶ μερι‐ κωτέρας ἔθετο φύσεως, ἐπεὶ καὶ τὸ ὑπὸ ῥητῶν μήκει συμμέτρων δυναμένη μέση πάντως ἐστὶ τῶν ῥητῶν ἐκεί‐ νων καὶ ἡ τὸ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀλόγου περιεχόμενον χωρίον, ἀλλ’ οὐδετέραν τούτων προσαγορεύει μέσην, ἀλλὰ τὴν τὸ
15προειρημένον χωρίον δυναμένην· καὶ ὅτι τὰς δυνάμεις πανταχοῦ παρωνύμως ἀπὸ τῶν δυναμένων καλεῖ· ῥητὸν μὲν γὰρ τὸ ἀπὸ ῥητῆς, μέσον δὲ τὸ ἀπὸ μέσης. καὶ ὅτι τὴν περὶ τὰς μέσας θεωρίαν ἐξομοιοῖ ταῖς ῥηταῖς· καὶ γὰρ ταύτας ἢ μήκει συμμέτρους εἶναι ἢ δυνάμει μόνον ὥσπερ
20ἐκείνας φησὶν καὶ τὸ μὲν ὑπὸ μέσων μήκει συμμέτρων περιεχόμενον μέσον εἶναι καθάπερ ἐκεῖ τὸ ὑπὸ ῥητῶν ῥητόν, τὸ δὲ αὖ ὑπὸ μέσων δυνάμει συμμέτρων τότε μὲν γίνεται ῥητόν, τότε δὲ μέσον. ὥστε τριχῶς μὲν τὸ μέσον, διχῶς δὲ τὸ ῥητόν· καὶ ἔοικεν ἡ μὲν τῶν μήκει συμμέτρων μέσων
25ἀνάλογον μεταξὺ ληφθεῖσα καὶ ἡ τῶν δυνάμει συμμέτρων ῥητῶν ἐκ παντὸς εἶναι μέση, ἡ δὲ τῶν ῥητῶν μήκει συμ‐ μέτρων τότε μὲν ῥητή, τότε δὲ μέση. καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ ἀσύμμετρος δύναμις τότε μὲν ῥητή, τότε δὲ μέση. δύο γὰρ εἶναι μέσας δυνάμει συμμέτρους δυνατόν, ὥσπερ καὶ
30δύο ῥηταὶ δυνάμει σύμμετροί ποτε γένοιντο ἄν. αἰτιατέον οὖν τὴν ἀναλογίαν τῆς τῶν περιεχομένων χωρίων διαφο‐ ρᾶς τὴν μεταξὺ τῶν ἄκρων ἢ δύο ῥητῶν μέσην ἢ δύο μέ‐ σων ῥητὴν καὶ ὅλου τότε μὲν ἐξομοιοῦσαν τὸν δεσμὸν τοῖς ἄκροις, τότε δὲ ἀνόμοιον αὐτοῖς παρεμβάλλουσαν.

10

.

136

κατά τινα τῶν προειρημένων τρόπων p. 32, 2] πρόσ‐ κειται τὸ κατά τινα τῶν προειρημένων τρόπων ἀντὶ τοῦ ἢ μήκει καὶ δυνάμει ἢ δυνάμει μόνον. οὗτοι γὰρ ἦσαν οἱ προειρημένοι τρόποι. καθ’ οὗ δὲ ἥ τε μήκει καὶ δυνάμει
5οὖσα ἥ τε δυνάμει μόνον σύμμετρος, ῥητόν ἐστι τὸ ὑπ’ αὐτῶν περιεχόμενον.

10

137-145t

Ad prop. 20

10

.

137

Εἰ γὰρ ῥητὸν τὸ χωρίον, ῥητὸν δὲ καὶ τὸ μῆκος, ἀνάγκη καὶ τὸ πᾶν ῥητὸν εἶναι καὶ σύμμετρον τῷ μήκει· ἡ γὰρ ῥητὴ ῥητὸν ἀναγράφει, ῥητὸν δὲ καὶ τὸ περιεχόμε‐ νον ὡς διὰ τοῦτο καὶ ἄγεσθαι καὶ τὰ μήκη σύμμετρα εἶναι.

10

.

138

Ἐὰν ῥητὸν δηλονότι χωρίον τὸ ΑΓ, ὅπερ ἐτέθη μο‐ νάδων κδ, παρὰ ῥητὴν δηλονότι εὐθεῖαν τὴν ΑΒ, ἥτις ἐτέθη μονάδων δέκα, παραβληθῇ, πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ σύμμετρον. τὸ γενόμενον πλάτος ἐκ τῆς παραβολῆς τῶν
5κδ μονάδων καὶ τῶν δέκα ἐστὶ μοιρῶν β καὶ λεπτῶν κδ, καί εἰσι ταῦτα τὸ ΒΓ ἤτοι τὸ πλάτος. εἰσὶ δὲ καὶ σύμ‐ μετρα ταῦτα ταῖς δέκα μονάσιν ἐκβαλλομένων ἀεὶ τῶν ἐλαττόνων ἀπὸ τῶν μειζόνων.

10

.

139

Τὸ ΒΓ πλάτος β κδ, ἃ παραβαλλομένων τῶν κδ μονάδων τοῦ ΑΓ χωρίου ἐκβάλλονται β μοῖραι καὶ λεπτὰ κδ.

10

.

140

Ἔστω ἡ ΑΒ δωδεκάπους, ἡ δὲ ΒΓ ὀκτάπους σύμ‐ μετροι δηλονότι οὖσαι μήκει· κοινὸν γὰρ αὐτῶν μέτρον ἡ δίπους· δὶς γὰρ τέσσαρα η καὶ δὶς ϛ ιβ. δῆλον δή, ὅτι τὸ ΑΓ ἐστιν ϙϛ· ὀκτάκις γὰρ ιβ ϙϛ· τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῆς
5δωδεκάποδος ρμδ· δωδεκάκις γὰρ τὰ ιβ ρμδ. ῥητὰ ἄρα καὶ τὰ ΑΓ, ΑΔ ἤτοι τὸ ρμδ καὶ τὸ ϙϛ. ῥητὰ οὖν, ὅτι καὶ σύμ‐ μετρα· μετροῦνται γὰρ τῷ αὐτῷ χωρίῳ τῷ ϛ. ὁ γὰρ ϛ μετὰ μὲν τοῦ ιϛ μετρεῖ τὸν ϙϛ, μετὰ δὲ τῶν κδ τὸ ρμδ.

10

.

141

Ῥητόν ἐστιν, ὃ κατά τινα γινώσκομεν ἀριθμὸν πρὸς τὸ τῇ θέσει μέτρον, οἷον εἰ ὡς μέτρον ὑποτεθῇ ἡμῖν ἡ παλαιστή, τὸ ιϛ παλαιστῶν ῥητόν ἐστιν, εἰ δὲ ὁ δάκτυλος ὡς μέτρον κεῖται, τὸ δέκα καὶ ἓξ δακτύλων, εἰ δ’ ὁ πῆχυς
5ἢ ὁ ποῦς, τὸ ιϛ πήχεων ἢ ποδῶν ἐστι ῥητόν.

10

.

142

Ἔστω τὸ ΑΓ ποδῶν κδ, ἡ δὲ ΑΒ ποδῶν ϛ, καὶ παραβληθήτω τὰ κδ ἤτοι μερισθήτω παρὰ τὰ ἕξ. ἔσται ἄρα τὸ ἐκ τῆς παραβολῆς πλάτος ποδῶν δ. ἰστέον δέ, ὅτι πλάτος λέγεται τὸ ἐπιλαχὸν ἑκάστῳ, οἷς ἐμερίσθη τὸ
5μερισθέν, ὡς ἐπὶ τῶν παρόντων· τὰ γὰρ κδ τοῖς ϛ μερι‐ σθέντα ἀνὰ τεσσάρων εἰλήφασιν. ἔστι δὲ τὸ μὲν ΑΓ κδ τὸ δὲ ΑΔ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῆς ἑξάποδος λϛ. δῆλον δή, ὅτι καὶ ῥητὰ καὶ σύμμετρά ἐστι τὰ ΑΔ καὶ ΑΓ. ὅτι δὲ καὶ ὡς τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν
10ΒΓ, δῆλον· ἐν ἡμιολίῳ γάρ εἰσι λόγῳ.

10

.

143

Ἄλλως εἰς τὸ κʹ θεώρημα. Ἔστω τὸ ῥητὸν παραλληλόγραμμον μονάδων μα, καὶ ἡ ῥητὴ πλευρά, παρ’ ἣν ὀφείλει παραβληθῆναι, ἔστω μοῖραι ε μδ μ, ἅπερ εἰσὶ πλευρὰ τοῦ λγ ἀριθμοῦ, πρὸς ἣν πλευρὰν
5παραβαλλόμενα τὰ μα ποιεῖ πλάτος ζ η ιδ, ἅτινά εἰσι ῥητὰ τῇ πλευρᾷ τῇ οὔσῃ ε μδ μ ἐκβαλλομένων τῶν πλειό‐ νων ἀπὸ τῶν ἐλαττόνων.

10

.

144

παρ’ ἣν παράκειται p. 32, 19] τὸ παρ’ ἣν παρά‐ κειται ἀντὶ τοῦ μεθ’ ἧς συμπληροῖ τὸ χωρίον.

10

.

145

ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ p. 33, 6] διὰ τὸν ἀντί‐ στροφον τοῦ ὅρου, ὅτι καὶ τὸ τούτῳ ῥητὸν σύμμετρόν
ἐστιν.

10

146-162t

Ad prop. 21

10

.

146

Ὅτι ἡ μέση μία οὖσα τῶν ἀλόγων ἐν γεωμετρικῇ θεωρεῖται ἀναλογίᾳ, δῆλον ποιεῖ τοῦτο τὸ θεώρημα· μέση γὰρ ἀνάλογόν ἐστι κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν τῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων ῥητῶν ἡ μέση ἐστίν, εἴ γε τὸ
5ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων ἄλογόν ἐστι, καὶ ἡ δυναμένη αὐτό ἐστιν ἡ μέση. εἰ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης, αἱ τρεῖς ἀνάλογόν εἰσιν.

10

.

147

Εὑρεῖν δύο ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους. ἐκκεί‐ σθω ῥητὴ ἡ Α καὶ δύο ἀριθμοὶ οἱ Β, Γ λόγον μὴ ἔχοντες, ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ. ἔσον‐
5ται δὴ διὰ τὰ προαποδεδειγμένα αἱ Α, Δ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.

10

.

148

Ἀναπόδισαι εἰς τὸ ιαʹ θεώρημα καὶ τὰς ἐκεῖσε γρα‐ φείσας εὐθείας καὶ ἀριθμοὺς τῶν εὐθειῶν ἐν τούτῳ τῷ καʹ θεωρήματι μετένεγκε, εἰ βούλει κυρίως εὑρεῖν ἄλογον εὐθεῖαν καὶ κυρίως ἄλογον χωρίον.

10

.

149

Ἰστέον, ὅτι ἡ ἐννεάπους καὶ ἡ τετράπους καὶ ἄλογοί εἰσι καὶ ῥηταί· ᾗ μὲν γὰρ μήκει εἰσὶν ἀσύμμετροι, ἄλογοι, ᾗ δὲ δυνάμει σύμμετροι, ῥηταί.

10

.

150

Δεκατριῶν οὐσῶν ἀλόγων μία νῦν παραδίδοται ἡ καλουμένη μόνη μέση, ἓξ αἱ κατὰ σύνθεσιν ἐν τῷ δευτέρῳ τμήματι καὶ ἓξ αἱ κατὰ ἀφαίρεσιν λόγου ϛ̂ ἐν τῷ γʹ· εἰς τρία γὰρ τμήματα διῄρηται τὸ ιʹ βιβλίον. μέση δὲ λέγεται,
5διότι ἐξ ἀναλογίας λαμβάνεται· μέση γάρ ἐστιν ἀνάλογον τῶν δύο εὐθειῶν τῶν περιεχουσῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν, καὶ ἐὰν ὦσι τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον
ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης. ταύτας δέ φησιν ἀγορεύ[εσθαι] δύο εὐθείας δυνάμει μόνον συμμέτρους δηλαδὴ διὰ τὸ κατὰ
10μῆκος αὐτὰς ἀσυμμέτρους εἶναι ..... γὰρ καὶ ἔχει ἄλογον χωρίον ἀναγράφεσθαι ἀπὸ εὐθειῶν ἀσυμμέτρων κατὰ μῆ‐ κος.

10

.

151

Ἰστέον, ὅτι καθόλου ἡ τῇ ῥητῇ σύμμετρος ῥητὴ καλεῖται εἴτε δυνάμει μόνον εἴτε μήκει.

10

.

152

Αὗται δυνάμει μόνον σύμμετροι ὡς πλευρᾶς μὲν οὔσης τῆς α τετραγώνου τοῦ ἀπὸ μιᾶς τῶν περὶ τὴν ὀρθήν, διαμέτρου δὲ τῆς β δυναμένης τὸ ٤١ χωρίον ἴσον ὂν τοῖς ἀπὸ τῶν ٥ καὶ ٤. [Omitted graphic marker]

10

.

153

Τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον ὅλον ἐστὶ μονάδων τριῶν καὶ λεπτῶν κζ ν ιβ ιη, ὃ γίνεται καὶ ὑπὸ τῶν πλευρῶν τοῦ β καὶ τοῦ ϛ· ἡ δυναμένη οὖν μέση τὸ ΑΓ χωρίον ἐστὶ α να μ. τὸ δὲ ὄνομα τοῦτο τῆς μέσης κεῖται καὶ ἐπὶ ῥητῶν,
5νῦν δὲ εἰδικῶς ἐπὶ ταύτης ἐτέθη.

10

.

154

Ἡ ΑΒ ἐστιν ἡ πλευρὰ τοῦ ϛ ἤτοι β κϛ νη, τὸ δὲ ΒΓ
ἡ πλευρὰ τοῦ β ἤτοι α κδ να.

10

.

155

Τὸ ἀπὸ τῆς μέσης τὸ ἀπὸ τῶν πλευρῶν τοῦ β καὶ τοῦ ϛ ٣ ٢٧ ٥٠ ٧ ١٨ ἡ μέση ἡ δυναμένη τὸ ἀπὸ τῆς μέσης ١ ٥١ ٤٠ ἡ πλευρὰ τοῦ γ ١ ٤٣ ٥١

10

.

156

Ἔστι δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ε, ϛ κδ ια περιεχόμενον ὀρθο‐ γώνιον λβ ο νε, καὶ ἡ δυναμένη αὐτό ἐστιν ἡ ε λθ κγ, ἥτις ἄλογος οὖσα μέση καλεῖται.

10

.

157

Ἐπεὶ τὰς πλευρὰς τὰς περιεχούσας τὸ χωρίον ῥητὰς ὑποτίθεται δυνάμει μόνον, μήκει δὲ ἀσυμμέτρους, ὑπο‐ τιθέμεθα τὴν μὲν μείζονα εἶναι τὴν τοῦ ϛ πλευρὰν οὖσαν β κϛ νη, τὴν δὲ ἐλάττονα τὴν τοῦ δύο οὖσαν μίαν κδ να. καὶ
5γὰρ αἱ πλευραὶ τοῦ ϛ καὶ τοῦ β μήκει μέν εἰσιν ἀσύμ‐ μετροι καὶ ἄλογοι, δυνάμει δὲ καὶ σύμμετροι καὶ ῥηταί. ἐὰν οὖν πολλαπλασιάσωμεν αὐτὰς πρὸς ἀλλήλας, γενή‐ σεται χωρίον ὑπάρχον μονάδων τριῶν καὶ λεπτῶν κζ νζ ιη. τοῦ δὲ χωρίου ἡ τετραγωνικὴ πλευρὰ ἐκβαλλομένη ἔσται
10μονάδος α καὶ λεπτῶν να μ, ἣ καὶ μέση. μέση δὲ καλεῖται εὐθεῖα ἡ δυναμένη τὸ τοιοῦτον χωρίον, διότι καὶ μέση ἀνάλογον εὑρίσκεται ἑκατέρων τῶν πλευρῶν τοῦ ϛ καὶ τοῦ β. τὸ γὰρ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον γίνεται τῷ ἀπὸ τῆς μέσης.

10

.

158

μέση p. 33, 18] τὸ ὄνομα τοῦτο κοινὸν ὂν ἐτέθη ὑπὸ τοῦ γεωμέτρου ἐπὶ μερικωτέρας φύσεως εὐθείας τῆς δυναμένης χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ δύο εὐθειῶν δυνά‐ μει μόνον συμμέτρων.

10

.

159

ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ· p. 34, 8] διὰ τὸ ιαʹ τοῦ ιʹ. τῷ γὰρ ῥητῷ ἀσύμμετρον ἄλογον καλεῖται.

10

.

160

Ἔστω ἡ ΖΕ ποδῶν ϛ, ἡ δὲ ΕΗ δ· ἡμιόλιος ἄρα ὁ λόγος. καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ τὸ λϛ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ, ὅπερ ἐστὶ ποδῶν κδ, ἡμιόλιόν ἐστιν.

10

.

161

Αἴτιον δ’, ὅτι, ἐὰν μέγεθος δύο μεγέθη πολυπλα‐ σιάσαν ποιῇ τινα μεγέθη, τὰ γενόμενα τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον τοῖς πολυπλασιασθεῖσιν. τούτου δὲ αἴτιον τὸ ἐὰν ἀριθμὸς δύο ἀριθμοὺς πολυπλασιάσας ποιῇ τινας, οἱ γενό‐
5μενοι τὸν αὐτὸν τοῖς πολυπλασιασθεῖσιν ἕξουσι λόγον. ἡ οὖν πρώτη εὐθεῖα ἐπὶ δύο εὐθείαις γενομένη ἑαυτήν τε καὶ τὴν βʹ ἐποίησέ τινα χωρία, ὧν τὸ μὲν ἀφ’ ἑαυτῆς τετρά‐ γωνον, τὸ δ’ ἄλλο ὡς ἔτυχεν. ἕξουσιν ἄρα τὰ χωρία τὸν αὐτὸν ταῖς εὐθείαις λόγον.

10

.

162

Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν δευτέραν, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν. ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι, ὧν ἡ μὲν ἐχέτω σπιθαμὰς ϛ, ἡ δὲ δ. ἡ πρώτη οὖν πρὸς τὴν δευτέραν ἐστὶν ἡμιόλιος.
5τὸ δὲ ἀπὸ τῆς πρώτης ἐστὶ σπιθαμῶν λϛ· ἑξάκις γὰρ ἓξ λϛ· τὸ δὲ ὑπὸ τῶν δύο τῆς τε πρώτης καὶ τῆς δευτέρας ἐστὶν κδ· ἑξάκις γὰρ δ κδ. τὰ δὲ λϛ πρὸς τὰ κδ τὸν ἡμιόλιον ἔχουσι λόγον.

10

163-166t

Ad prop. 22

10

.

163

Ἔστω ἡ Α μέση ἡ εἰς τὸ καʹ θεώρημα τεθεῖσα α να μ, τὸ δὲ ἀπὸ ταύτης τὸ γ κζ ν, ᾧ ἴσον παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΓΒ. ἔστω δὲ ἡ ΓΒ ἡ πλευρὰ τοῦ γ ἡ α μγ νε. παρὰ τὴν πλευρὰν γοῦν τοῦ γ παραβαλλομένου τοῦ ἀπὸ τῆς Α πλάτος
5ποιεῖ τὴν ΓΔ τὸν β, ὅστις β ἀσύμμετρός ἐστι τῇ πλευρᾷ
τοῦ γ. καί ἐστι ῥητός· ὥστε ἡ πλευρὰ τοῦ γ μετὰ τοῦ β ἀριθμοῦ δύναται τὸ ἀπὸ τῆς Α, ἤτοι πολλαπλασιαζομένου τοῦ β εἰς τὸ α μγ νε γίνεται τὸ γ κζ ν χωρίον, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς μέσης.

10

.

164

Τὸ ἀπὸ μέσης χωρίον τὸ αὐτὸ θὲς εἶναι, ὅπερ εἴπομεν καὶ εἰς τὸ καʹ θεώρημα μέσην ἄλογον ἤτοι τὰ γ κζ νζ ιη, ὅπερ ὑπ’ ἀμφοτέρων τῶν πλευρῶν ἐγένετο τοῦ ϛ καὶ τοῦ β. τοῦτο οὖν ἐὰν παραβληθῇ παρὰ τὴν πλευρὰν
5τοῦ τρία, ὅπερ ταὐτόν ἐστι τῷ μερισθῇ, εὑρεθήσεται ἐκ τοῦ ἐπιμοιρασμοῦ τὸ πλάτος. τοῦ μὲν οὖν γ ἡ πλευρά ἐστι μία μγ νε, πρὸς ἣν τὰ γ κζ νζ ιη παραβαλλόμενα ἤτοι μεριζόμενα ποιήσει πλάτος αὐτὸν τὸν β, ὅπερ πλάτος ῥητὸν μέν ἐστι, ἐπειδὴ αὐτός ἐστιν ὁ ἀριθμὸς ὁ β, ἀσύμμετρον
10δὲ μήκει εὑρίσκεται τῇ τοῦ τρία πλευρᾷ, πρὸς ἣν καὶ παράκειται, τουτέστι μεθ’ ἧς συμπληροῖ τὸ παραλληλό‐ γραμμον.

10

.

165

Τὸ ἀπὸ μέσης p. 35, 11] τὸ ἀπὸ μέσης ταὐτόν ἐστι τῷ ἐὰν μέσον.

10

.

166

Διὰ τὴν ὑπόθεσιν ῥητή ἐστιν ἡ ΓΒ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς, ῥητὸν δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ δυνάμει κατεσκεύασται.

10

167-177t

Ad prop. 23

10

.

167

Ἡ μέση ἀπὸ τοῦ καʹ θεωρήματός ἐστι μονάδος α να μ, ἡ Β ἡ τῇ μέσῃ σύμμετρος β μζ λ, ἥτις ἔχει τὸν ἡμι‐ όλιον λόγον πρὸς τὴν Α. ἡ γ ἐστι μονάδων τριῶν ῥητή. τὸ γοῦν ἀπὸ τῆς Α, ὅπερ ἐστὶ τὰ γ κζ μθ κϛ μ, παραβληθὲν
5παρὰ τὴν ΓΔ πλάτος ποιεῖ τὴν ΕΔ. ταὐτὸν δέ ἐστι ΓΔ καὶ τὴν γ λέγειν. ἔστι δὲ ἡ ΕΔ α θ ιϛ· ἡ γοῦν ΕΔ πολλα‐ πλασιασθεῖσα τῇ γ ποιεῖ τὸ ΕΓ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α
μέσης. ῥηταὶ οὖν εἰσιν αἱ ΕΔ, ΔΓ δυνάμει μόνον σύμ‐ μετροι. πάλιν τὸ ἀπὸ τῆς Β, ὅπερ ἐστὶ τὸ ζ μζ λϛ ιε οὐδέν,
10πλάτος ποιεῖ τὴν ΔΖ τὴν β λε νβ, αἵτινες ῥηταὶ οὖσαι δυ‐ νάμει σύμμετροι ποιοῦσι τὸ ΖΓ, ὃ δύναται ἡ Β.

10

.

168

Ὅτι ἡ μέση διχῶς, ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυνά‐ μει μόνον συμμέτρων ἢ ἡ τῇ μέσῃ σύμμετρος, μετὰ προσ‐ διορισμοῦ δὲ καὶ ἡ τὸ ὑπὸ μέσων δυναμένη. Δεῖται τούτου τοῦ θεωρήματος εἰς τὸ ἑξῆς· δεῖ γὰρ πρῶ‐
5τον δεῖξαι, ὅτι εἰσί τινες σύμμετροι μέσαι καὶ οὕτως ζητῆ‐ σαι, ποῖον τὸ χωρίον τὸ ὑπὸ τούτων περιεχόμενον.

10

.

169

Μέση καὶ ἐνταῦθα ὑπετέθη ἡ πρὸ μικροῦ εὑρεθεῖσα ἡ μία να μ, σύμμετρα δὲ αὐτῇ τὰ β μζ λ ἡμιόλιον πρὸς αὐτὴν ἀποσώζοντα λόγον. τὸ δὲ ἀπὸ μέσης τῆς Α ἤγουν τὰ γ κζ μθ κϛ μ παρὰ ῥητὴν τὴν οὖσαν τριῶν μονάδων
5ἤτοι τὴν ΓΔ παραβληθὲν πλάτος ποιεῖ τὴν ΕΔ ἤτοι μία θ ιϛ. καὶ ἡ ταύτῃ δὲ σύμμετρος μέση ἤγουν τὰ β μζ λ τετρα‐ γωνισθὲν ποιεῖ μοίρας ἑπτά, λεπτὰ μζ λϛ ιε οὐδέν, ὅπερ τετράγωνον, ἐὰν παρὰ τὴν αὐτὴν ῥητὴν τὸν τρία δηλαδὴ παραβληθῇ, πλάτος ποιεῖ δύο λε μη.

10

170col 1

Τοῦ η ἡ πλευρά ٢ ٤٩ ٤٢
5٢٠
١٥Column end

10

170col 2

τοῦ ι ἡ πλευρά ٣ ٩ ٤٧
5٣٧
١٨

10

.

171

Ἐντεῦθεν δῆλον, ὅτι τὰ ῥητὰ καὶ σύμμετρα, οὐκ ἤδη δέ, ἐὰν ὦσί τινα σύμμετρα, ἤδη καὶ ῥητά, εἰ μὴ καὶ ῥητὸν τὸ ἓν τούτων ἐστίν.

10

.

172

Ἡ Α α να μ, ἡ Β β μζ λ, ἡ ΕΔ α θ ιϛ, ἡ ΔΓ γ, ἡ ΔΖ β λε νβ, τὸ ἀπὸ τῆς Β ζ μϛ λϛ ιε οὐδέν.

10

.

173

ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει. p. 37, 5] δυνάμει δὲ δη‐ λονότι σύμμετρος, ὡς πρότερον εἴρηται.

10

.

174

Σημείωσαι, πῶς ἐν τῇ ἀρχῇ τοῦ θεωρήματος ἁπλῶς σύμμετροι ἐδόθησαν αἱ Α, Β.

10

.

175

Διὰ τοῦ ἀνεπιγράφου ἤτοι τοῦ τοῦ ιθʹ καὶ κʹ με‐ ταξύ.

10

.

176

Εἰ εἴποις τὴν ΓΔ β καὶ παραβάλλοις παρ’ αὐτὴν τὸ ἀπὸ τῆς Α· οὕτως γὰρ ἡ ΕΔ γενήσεται ῥητὴ δυνάμει σύμμετρος τῇ ΔΓ· ἔστι γὰρ πλευρὰ τοῦ γ α μγ νε. πάλιν λαβὲ τὴν Β διπλασίαν τῆς Α ὥστε εἶναι σύμμετρον. ἔσται
5οὖν γ κζ ν. καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Β ιγ να ιζ μϛ μ. ταῦτα παρά‐ βαλλε παρὰ τὸν β καὶ ποιήσεις τὴν ΔΖ ϛ νε λη νγ κ, ἃ καὶ δυνάμει σύμμετροί εἰσι τῇ Β· πλευρὰ γάρ εἰσι τοῦ μη.

10

.

177

Καλῶς οὐκ ἐτέθη τοῦτο ἐν τῷ βιβλίῳ τοῦ Ἐφεσίου· οὐ γὰρ αἱ μέσαι, καθ’ ὃ μέσαι, σύμμετροι, κἂν ἡ τῇ μέσῃ σύμμετρος μέση εἴη, αἱ μέσαι καὶ σύμμετροι, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν μέσων ἅπαντα σύμμετρα, καὶ εἰ τοῦτο, πῶς ἕξει χώραν
5τὸ λεʹ θεώρημα τὸ λέγον· εὑρεῖν δύο εὐθείας δυνάμει ἀσυμμέτρους ποιούσας τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπ’ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετρα‐ γώνων. ἰδοὺ γὰρ καὶ μέσα χωρία καὶ ἀσύμμετρα, εἰ δὲ
10μέσα χωρία ἀσύμμετρα, καὶ αἱ δυνάμεναι αὐτὰ ἀσύμ‐
μετροι. οὐκ ἄρα αἱ μέσαι πᾶσαι ἤδη καὶ σύμμετροι.

10

178-180t

Ad prop. 24

10

.

178

Ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ ῥητῆς ῥητόν, καὶ τὸ ἀπὸ μέσης μέσον· ὡς γὰρ τοῖς ἐπὶ τῶν ῥητῶν καὶ ἐπὶ τῶν μέσων ἐξακολουθεῖ.

10

.

179

Ὡσαύτως γὰρ τοῖς ἐπὶ τῶν ῥητῶν εἰρημένοις καὶ ἐπὶ τῶν μέσων ἐξακολουθεῖ τὸ ἀπὸ μέσης μέσον.

10

.

180

μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ p. 38, 18] ζητητέον, ὅτι πόθεν τὸ ΑΔ τετράγωνον [μέσον]; καὶ λέγομεν οὕτως· ἐπεὶ γὰρ ἡ μέση [δύναται] χωρίον ὑπὸ εὐθειῶν ῥητῶν δυ‐ νάμει μόνον συμμέτρων, ἐδείχθη δὲ .... ὑπὸ ῥητῶν δυ‐
5νάμει μόνον συμμέτρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον, ἡ δὲ δυναμένη αὐτὸ μέση ἐστίν, μέ[σον ἐστὶ τὸ] ΑΔ· ἀπὸ γὰρ μέσης ἀνεγράφη. Ἄλλως. πόθεν, ὅτι τὸ ΑΔ μέσον; οὐδὲ γὰρ ἐπεὶ ἡ ΒΔ μέση, ἤδη καὶ τὸ ΑΔ μέσον ἐστίν, [ἐπεὶ] δύναται ἡ ἄλογος
10καὶ ῥητὸν χωρίον ἀναγράφειν ὥσπερ ἐπὶ τοῦ νʹ. ῥητέον τοίνυν πρὸς τὴν τοιαύτην ἀπορίαν, ὅτι τὸ μὲν ἀπὸ μέσης πάντως ἄλογον, οὐκ ἀνάγκη δὲ τὸ ἀπὸ ἄλλης ἀλόγου ἄλο‐ γον εἶναι, τὸ δὲ ἀπὸ μέσης πάντως ἄλογον, διότι ἡ μέση δύναται χωρίον ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων, τὸ
15δὲ ὑπὸ ῥητῆς δυνάμει μόνον σύμμετρόν ἐστιν, καὶ ἡ δυνα‐ μένη αὐτὸ ἄλογος, καλείσθω δὲ μέση.

10

181-185t

Ad prop. 25

10

.

181

Ἔστω μέση ἡ ΒΓ ἤτοι τὰ β λζ νε γενόμενα ἀπὸ τῶν πλευρῶν τοῦ ϛ καὶ τοῦ η, ταύτῃ δὲ σύμμετρος δυνά‐ μει μόνον ἑτέρα μέση ἡ ΑΒ ἤτοι τὰ γ β κ. τῆς μὲν γὰρ
μέσης τῆς ἐχούσης β λζ νε ἡ δύναμις ἤτοι τὸ τετράγωνόν
5ἐστιν ϛ νε λζ μ κε, τῆς δὲ μέσης τῆς ἑτέρας τῆς ἐχούσης γ β κ ἐστιν ἡ δύναμις θ ιδ ε κϛ μ, ὧν κοινὸν μέτρον εὑρί‐ σκεται τὰ β ιη ἀφαιρουμένων ἀπὸ τῶν πλειόνων τῶν ἐλατ‐ τόνων. τὰ δὲ θ ιδ ε κϛ μ παραβληθέντα παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΗ οὖσαν μονάδων δ ἐποίησε πλάτος τὴν ΖΘ ἤτοι δύο
10ιη λα, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν δύο μέσων τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἤτοι τὰ ζ νθ νγ κη κ, ἅπερ εἰσὶν αὐτὸς ὁ η, παρὰ τὴν ΘΜ τουτέστιν τὴν ΖΗ παραβληθεὶς πλάτος ποιεῖ τὴν ΘΚ ἤτοι α νθ νη, ἅπερ εἰσὶν ὁ β ἀριθμός, τὸ δὲ ἀπὸ μέσης τῆς ΒΓ ἤτοι τὰ ϛ νε λζ μ κε παρὰ τὴν ΚΝ παραβληθεὶς τουτέστι τὴν ΖΗ
15πλάτος ἐποίησε τὴν ΚΛ ἤτοι α μγ νδ. καὶ φανερὸν ἐγένετο ἐκ τῶν ἀριθμῶν, ὅτι τοῦ ὑπὸ τῶν δύο μέσων χωρίου ἤτοι τῶν ζ νθ νγ κη κ παρὰ τὸν δ ἀριθμὸν παραβαλλόμενον καὶ πλάτους ἐκβληθέντος αὐτῶν τοῦ β ἀριθμοῦ ῥητὸν γίνεται τὸ ΘΝ χωρίον, ὃ περιέχεται ὑπὸ δύο ῥητῶν εὐθειῶν μήκει
20συμμέτρων τῆς τε ΘΜ οὔσης μονάδων δ καὶ τῆς ΘΚ οὔσης μονάδων β. εἰ δὲ ἡ ΖΗ οὐχ ὑπετέθη μονάδων τεσσάρων, τουτέστι μήκει ῥητή, ἀλλά τις πλευρὰ ἀλόγου ἀριθμοῦ, τουτέστι δυνάμει μόνον ῥητή, ἦν ἂν τὸ χωρίον τὸ ΘΝ μέ‐ σον διὰ τὸ εἶναι καὶ τὴν ΘΜ ἴσην τῇ ΖΗ καὶ τὴν ΘΚ ἐξ
25ἀνάγκης μὴ εὑρίσκεσθαι ῥητὴν μήκει, ἀλλὰ καὶ δυνάμει. τὸ δὲ ὑπὸ δύο ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων περιεχό‐ μενον μέσον ἐστίν. μέσον ἄρα ἂν εὑρέθη τὸ ΖΝ χωρίον, εἰ μὴ ῥητὴ ὑπετέθη ἡ ΘΜ, τουτέστιν ἡ ΖΗ.

10

.

182

Αἱ μέσαι εἰ μὲν μήκει καὶ μόνον εἰσὶ σύμμετροι, μέσον τὸ περιεχόμενον, ὅπερ ἐν τῷ πρὸ αὐτοῦ ἔδειξε θεω‐ ρήματι. εἰ δὲ δυνάμει μόνον σύμμετροι, δύναται τὸ ἐξ αὐ‐ τῶν περιεχόμενον ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον εἶναι. ὁ δὲ διορισμὸς
5οὗτος· εἰ μὲν γὰρ ἡ ΘΚ ῥητὴ πάντως οὖσα καὶ τὴν δύνα‐
μιν σύμμετρος ᾖ τῇ ΘΜ ἤτοι τῇ ΖΗ, ῥητὸν τὸ περιεχόμε‐ νον, εἰ δὲ ἀσύμμετρος, μέσον. τὸ γὰρ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον μέ‐ σον ἐστίν, τὸ δὲ ἀπὸ ΘΚ δείκνυσι ῥητὸν ἐκ τοῦ καὶ τὸ
10ὑπὸ ΘΖ, ΚΛ ῥητὸν εἶναι, καὶ ἐπειδὴ ῥητόν, φησί, τὸ ἀπὸ ΘΚ, ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΘΚ, ῥητὴ δὲ δηλονότι τῇ δυνάμει· εἰ γὰρ τῷ μήκει ῥητὴ ᾖ, ἐπειδὴ καὶ ἡ ΘΜ ῥητὴ τῷ μήκει, πάντως ῥητόν ἐστι τὸ ὑπὸ ΚΘΜ καὶ οὐκέτι δύναται μέ‐ σον δειχθῆναι· πᾶν γὰρ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον
15περιέχεσθαι λέγεται ὑπὸ δύο τῶν τὴν αὐτὴν γωνίαν περι‐ εχουσῶν εὐθειῶν, εἰ δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν ὀρθὴν γωνίαν ῥηταί εἰσιν, πάντως καὶ τὸ παραλληλόγραμμον ῥητόν. πῶς οὖν δύναται ποτὲ μὲν ῥητόν, ποτὲ δὲ μέσον εἶναι; [διὰ τοῦτο] οὖν ἡ ΘΚ ῥητὴ λέγεται εἶναι τῇ δυνάμει.

10

.

183

[Start of a diagram][Start of a diagram section]ΞΓ ϛ νε λζ μ κε ٦٥٥٣٧ ٤٠٢٥ ΒΓ β λζ νε
5٢٣٧٥٥[End of a diagram section] [Start of a diagram section]ΔΑ θ ιδ ε κϛ μ ٩١٤ ٥٢٤ ٤٠
10ΔΒ ٣ ٢ ٢٠[End of a diagram section] [Start of a diagram section]ΑΓ ζ νθ νγ κη κ ٧٥٩ ٥٣٢٨ ٢٠[End of a diagram section]
15ϛ νε λζ μ κε[End of a diagram]

10

184col 1

Τὸ ὑπὸ τῶν δύο μέσων παραλληλόγραμμον [ἤτοι τῆς ΒΓ καὶ ΒΑ τὸ ΑΓ]. ٧ ٥٩ ٥٣
5٢٨
٢٠Column end

10

184col 2

τὸ ἀπὸ ταύτης [ἤτοι τῆς ΒΓ] τετράγωνον ٦ ٥٥ ٣٧
5٤٠
٩Column end

10

184col 3

τὸ ἀπὸ ταύτης [ἤτοι τῆς ΒΑ] τετράγωνον ٩ ١٤ ٥
5٢٦
٤٠

10

.

185

Ἰστέον, ὅτι τὸ μὲν ῥητὸν δὶς εὑρεῖν ἔστιν, τριχῶς δὲ τὸ ἄλογον· τὸ γὰρ ὑπὸ δύο ῥητῶν εὐθειῶν μήκει συμ‐ μέτρων περιεχόμενον ῥητόν ἐστι, καὶ τὸ ὑπὸ δύο μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων ἔστι μέν ποτε ἄλογον, ἔστι δὲ
5καὶ ῥητόν· ἰδοὺ δὶς τὸ ῥητόν. τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν περιεχόμενον ἄλογόν ἐστι, καὶ τὸ ὑπὸ δύο μέσων μήκει συμμέτρων περιεχόμενον ἄλογον, καί, ὡς εἴρηται, τὸ ὑπὸ δύο μέσων συμμέτρων δυνάμει μόνον συμ‐ μέτρων ἔστι μέν ποτε ῥητόν, ἔστι δὲ καὶ ἄλογον. καὶ ἰδοὺ
10τὸ ἄλογον τριχῶς εὑρίσκεται, καὶ διήκει οὕτως ἡ τῆς τριά‐ δος κρατητικὴ δύναμις καὶ ἐπ’ αὐτῆς τῆς ἀορίστου καὶ ἀλό‐ γου φύσεως συνέχουσα τὸ σκεδαστὸν αὐτῆς καὶ εἰς ὅρον πως τιθεῖσα.

10

186-188t

Ad prop. 26

10

.

186

Οὐδὲ γὰρ δύναται τὸ ἄλογον τοῦ ἀλόγου ῥητῷ ὑπερέχειν. εἰ γὰρ τὸ ὑπερέχον ἄλογον, ἀλλὰ καὶ τὸ ὑπερ‐ εχόμενον, ἀνάγκη πᾶσα καὶ τὴν ὑπεροχὴν ἄλογον εἶναι. εἰ γὰρ ῥητὴ ἡ ὑπεροχή, καὶ δυνηθείημεν πόσου ὑπερέχει,
5ἐσόμεθα διεγνωκότες τὸ ὑπερέχον καὶ τὸ ὑπερεχόμενον· καὶ πῶς ἄλογοι ἀριθμῷ ὑποπίπτουσι; τὸ δὲ ἄτοπον συν‐ άγεται καὶ ἐκ τοῦ ῥητὴν συνάγεσθαι τὴν ΕΘ ἄλογον ὑπο‐ κειμένην· ἀνάγκη γὰρ τὴν μὲν ΕΗ ἀσύμμετρον εἶναι τῇ ΕΖ, διότι μέσον τὸ παραβληθέν, τὴν δὲ ΗΘ σύμμετρον τῇ
10αὐτῇ, διότι ῥητὸν τὸ παραβληθέν, ὡς καὶ διὰ τοῦτο συν‐ άγεσθαι τὴν ΕΗ τῇ ΗΘ ἀσύμμετρον.

10

.

187

ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα· p. 41, 24. 25] τὸ μὲν ἀπὸ τοῦ ΕΗ ῥητόν ἐστιν, ὅτι καὶ ἡ ΕΗ δυνάμει σύμμετρος ἐδείχθη τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ, ῥητὸν δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, ὅτι καὶ αὕτη μήκει σύμμετρος ἐδείχθη τῇ ἐκκει‐
5μένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ.

10

.

188

ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ, p. 42, 4] ἐὰν γὰρ εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν τμημάτων καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.

10

189-195t

Ad prop. 27

10

.

189

Τρίτον κεφάλαιον, ἐν ᾧ παρασκευάζεται πρὸς τὴν τῶν κατὰ σύνθεσιν ἀλόγων εὕρεσιν.

10

.

190

Ἡ Α β μθ μβ, ἡ Β β κϛ νη, ἡ Γ β λζ νε, ἡ Δ β ιϛ με.

10

.

191

Ἔστω ἡ Α δεκάπους, ἡ δὲ Β ἑξάπους, πλευρὰ δὲ τῆς μὲν δεκάποδος γ θ μδ, τῆς δὲ ἑξάποδος β κϛ νδ. ἔστιν οὖν ἡ δεκάπους καὶ ἑξάπους τετράγωνα τῆς Α καὶ Β πλευρᾶς ἤτοι τῆς γ θ μδ καὶ τῆς β κϛ νδ. εἰ οὖν βούλει
5εὑρεῖν μέσην ἀνάλογον τῶν Α καὶ Β ἤτοι τῶν γ θ μδ καὶ τῶν β ϛ νδ, ποίησον τὸν γ θ μδ ἐπὶ τὸν β ϛ νδ καὶ τοῦ ἐξ αὐτῶν γεγονότος ἐκβάλλων τὴν πλευρὰν εἶτα ἀναβίβασον, εἰς ὅσα δύναται ἀναχθῆναι ἡ ἐκβληθεῖσα πλευρά. καὶ τὰ ἐκ τῆς ἀναγωγῆς εὑρεθέντα ὄντα β μϛ νϛ ἐστι μέση ἀνά‐
10λογον ἡ Γ. εἰ δὲ βούλει τῆς Γ πλευρᾶς τῆς οὔσης μοιρῶν ἤ, εἰ βούλει, ποδῶν δύο, λεπτῶν πρώτων μϛ καὶ τρίτων νϛ εὑρεῖν τὸν τετράγωνον, ποίησον τὰ δύο μϛ νϛ ἐφ’ ἑαυτά, εἶτα τῶν γεγονότων μὴ ἐκβάλῃς πλευράν, διότι πᾶς ἀριθ‐ μὸς ἑαυτὸν πολυπλασιάσας τετράγωνον ποιεῖ. οὕτως οὖν
15καὶ ἐπὶ τούτων χρὴ μόνον πολλαπλασιάσαι τὸν β μϛ νϛ εἰς ἑαυτὸν καὶ τὸν γεγονότα ἀναβιβάσαι, καὶ ὁ εὑρεθείς ἐστιν ἀπὸ τῶν δύο μϛ νϛ τετράγωνος. ἔστι δὲ ὁ τοιοῦτος τετρά‐ γωνος ζ μδ κϛ, καί ἐστιν ὡς ὁ ι πρὸς τὸν ζ μδ νϛ, οὕτως ὁ ζ μδ νϛ πρὸς τὸν ϛ, καὶ ὡς ἡ Α ἡ οὖσα γ θ μδ πρὸς τὴν Γ
20τὴν οὖσαν β μϛ νϛ, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Β οὖσαν β κϛ νδ. πάλιν πολλαπλασίασαι τὴν Γ ἐπὶ τὴν Β καὶ τὸν γεγονότα εὐθὺς μὴ ἐκβαλὼν πλευρὰν μέρισον παρὰ τὴν Α καὶ τὰ γε‐ γονότα ἀναβίβασον, καὶ τὸ εὑρεθὲν ἔσται ἡ Δ οὕτως πρὸς τὴν Γ, ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Α, καί ἐστιν ἡ Δ λεπτῶν πρώτων κα
25καὶ ιδ καὶ τρίτων ιθ. χάριν δὲ σαφηνείας ληπτέον ῥητοὺς ἀριθμούς· καὶ ἔστω ἡ Α οβ, ἡ δὲ Β ιη, καὶ δέον εὑρεῖν μέσην ἀνάλογον. ποιητέον τὸν οβ ἐπὶ τὸν ιη, καὶ γίνονται ͵ασϙϛ. ἐκβλητέον τὴν πλευρὰν τῶν ͵ασϙϛ, καί ἐστι λϛ· ἡ λϛ μέση ἀνάλογόν ἐστιν. ὡς γὰρ ὁ οβ πρὸς τὸν λϛ, ὁ λϛ πρὸς
30τὸν ιη. ἔστω ὁ λϛ ἡ Γ πλευρά· ποιητέον τὴν Β πλευρὰν τὰ ιη ἐπὶ τὴν Γ τὰ λϛ, καὶ ἔσται τὸ ἐξ αὐτῶν χμη. μέρισον τὰ χμη ἐπὶ τὰ οβ, καὶ τὸ πλάτος τῆς παραβολῆς, ὅπερ ἐστὶν ὁ θ, ἔσται πρὸς τὸν λϛ, ὡς ὁ ιη πρὸς τὸν οβ.

10

.

192

Τὸ κζʹ θεώρημα τῷ κηʹ παράκειται θεωρήματι. ἐν μὲν γὰρ τῷ εἰκοστῷ ἑβδόμῳ ἐπιτάττει μέσας εὑρεῖν δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας, ἐν δὲ τῷ εἰκοστῷ ὀγδόῳ μέσας μέσον περιεχούσας.

10

.

193

Εὑρίσκομεν τὰς δύο μέσας τὰς δυνάμει μόνον συμ‐ μέτρους, ῥητὸν δὲ περιεχούσας, οὕτως· ἐκθέμενοι δύο ῥη‐ τὰς κατὰ τὸν τεχνικὸν δυνάμει μόνον συμμέτρους τήν τε τοῦ η πλευρὰν καὶ τὴν τοῦ ϛ· τὰ αὐτὰ γὰρ ἔστωσαν εἰς
5παραδείγματα τὰ καὶ ἐν τῷ προλαβόντι κεʹ ληφθέντα θεω‐ ρήματι· πολλαπλασιάζομεν αὐτὰς πρὸς ἀλλήλας καὶ τοῦ ὑπ’ αὐτῶν γινομένου χωρίου τὴν τετραγωνικὴν πλευρὰν ἐκβαλόντες ἔχομεν μέσην τὴν β λζ νε· ἡ γὰρ δυναμένη τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων περιεχόμενον μέση
10ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἡ τοῦ η πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ϛ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει, ποιοῦμεν καὶ τὴν εὑρεθεῖσαν μέσην πρὸς ἄλλην τινὰ τὸν αὐτὸν ἔχουσαν λόγον, ὃν ἡ τοῦ η πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ϛ. λαμβάνομεν οὖν πρώτην μὲν τὴν τοῦ η πλευράν,
δευτέραν δὲ τὴν τοῦ ϛ καὶ τρίτην τὴν εὑρεθεῖσαν μέσην
15καὶ ἐπιζητοῦμεν τὴν λοιπήν, ἥτις ἐστὶ τετάρτη. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῆς πρώτης καὶ τετάρτης ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῆς δευ‐ τέρας καὶ τρίτης, πολλαπλασιάζομεν τὴν τοῦ ϛ πλευρὰν μετὰ τῆς εὑρεθείσης μέσης, καὶ τὸ χωρίον τὸ γινόμενον παραβάλλομεν πρὸς τὴν τοῦ η πλευρὰν καὶ τὸ εὑρισκόμενον
20πλάτος ποιοῦμεν τετάρτην, ἥτις ἐστὶν ἡ ζητουμένη μέση οὖσα β ιϛ με, πρὸς ἣν ἡ εὑρεθεῖσα λόγον τε ἔχει, ὃν ἡ τοῦ η πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ϛ, καὶ ἔτι ἀσύμμετρός ἐστι μήκει· καὶ πρὸς τούτοις καὶ τὸ ὑπ’ αὐτῶν γινόμενον εὑρίσκεται ὑπάρχον ῥητὸν διὰ τὸ ἴσον εἶναι τὸ ὑπὸ τῶν δύο μέσων τῷ
25ἀπὸ τῆς τοῦ ϛ πλευρᾶς γινομένῳ. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς τοῦ ϛ μονάδων ἐστὶν ϛ· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν δύο μέσων ἄρα γινόμενον μονάδων ἐστὶ ϛ.

10

.

194

Δείξας ἁπλῶς ἐν τῷ κεʹ θεωρήματι τὸ περιεχόμε‐ νον ὑπὸ δύο εὐθειῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων ὀρθογώνιον ἢ ῥητὸν ἢ μέσον, νῦν προστίθεται εἰπεῖν, πότε ῥητὸν καὶ πότε μέσον.

10

.

195

ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ p. 43, 8. 9] ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β, σύμμετρόν ἐστιν αὐτῷ· ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Β, καὶ τὰ σύμμετρα τούτῳ πάντως ῥητά, ὡς ὁ ὅρος φησίν.

10

196t

Ad lemma p. 218 (append. 9)

10

.

196

Ἀναγεγράφθω γὰρ ὑπὸ τῶν ΔΓ, ΓΕ p. 219, 1. 2] ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΓΕ οὐκ ἀριθμῶν, ἀλλὰ μεγεθῶν τόσας σπιθαμὰς ἢ πήχεις ἢ ἄλλα τινὰ τῶν μέτρων ἐχόντων, ὅσαι αἱ μονάδες τῶν ΓΔ, ΓΕ ἀριθμῶν. εἰ γὰρ ἔσονται οἱ ΔΓ,
5ΓΕ ἀριθμοὶ καὶ οὐ μεγέθη, πῶς περιέξουσιν ὀρθογώνιον χωρίον; πῶς δὲ ἔσται δυνατὸν γενέσθαι, ὡς ἀριθμὸν πρὸς ἀριθμόν, εὐθεῖαν πρὸς εὐθεῖαν; ἐκ τοῦ πορίσματος τοῦ
ἐν τῷ ι ἕκτου.

10

197t

Ad prop. 28

10

.

197

Τρία ταῦτα προτίθεται ζητῆσαι, ὅτι δυνάμει μόνον συμμέτρους, ὅτι μέσον περιεχούσας, καὶ ὅτι μέσας. ὅτι μὲν οὖν μέσας, δείκνυσι κατασκευάζων τὴν Δ μέσην καὶ ταύτῃ σύμμετρον τὴν Ε. ὅτι δὲ καὶ μέσον περιεχούσας, δείκνυσιν
5ἐκ τοῦ τὰς δ εὐθείας ἀναλόγους ἄγεσθαι τὰς Α, Δ, Ε, Γ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον δείκνυσθαι τῷ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ, διότι ῥηταὶ ὑπόκεινται δυνάμει μόνον σύμμετροι, καί ἐστι τὸ ὑπ’ αὐτῶν μέσον· τὸ γὰρ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων μέσον ἐστίν· μέσον
10ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

10

198-202t

Ad lemma p. 44

10

.

198

Ἔστω ὁ ΑΒ μονάδων ιϛ, ὁ δὲ ΓΒ μονάδων δ. λοι‐ πὸς ἄρα ὁ ΓΑ ἐστι μονάδων ι καὶ β. τμηθέντος δὲ τοῦ ΓΑ δίχα τοῦ ιβ κατὰ τὸ Δ ἔσονται οἱ ΓΔ, ΔΑ ἀνὰ μονά‐ δων ϛ. ἔστι δὲ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ καὶ ΒΓ, τουτέστιν ὁ ἀπὸ τῶν
5ιϛ καὶ δ, ξ καὶ δ· τετράκις γὰρ τὰ ιϛ ξδ. ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ΓΔ τοῦ ϛ τετράγωνός ἐστι λϛ· ἑξάκις γὰρ τὰ ϛ λϛ. τὰ οὖν ἐκ τῶν ΑΒ τῶν ιϛ καὶ ΒΓ τῶν δ, ἅπερ ἐστὶν ξδ, μετὰ τοῦ λϛ, ὅς ἐστιν ὁ ἐκ τῆς ΓΔ τετράγωνος, τὰ οὖν ξδ καὶ λϛ συντεθέντα ἀποτελοῦσι τὸν ρ ἀριθμόν, ὃς ρ τετράγωνός
10ἐστι, πλευρὰ δὲ αὐτοῦ ἐστιν ὁ ι ἀριθμὸς ἤτοι ὁ ΒΔ· ἔστι γὰρ ὁ ΒΓ μονάδων δ, ὁ δὲ ΓΔ μονάδων ϛ. ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἤτοι ὁ ξδ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ ἤτοι τοῦ λϛ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ ἤτοι τῷ τετραγώνῳ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ ὄντι μονάδων ρ. ὅτι δὲ καὶ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὅς ἐστιν
15ὁ ξδ, τετράγωνός ἐστι, δῆλον· ἔστι γὰρ αὐτοῦ πλευρὰ τὰ
η· ὀκτάκις γὰρ τὰ η ξδ.

10

.

199

Οὐκ ἀεὶ τετράγωνοι τετραγώνοις συντιθέμενοι τετραγώνους ποιοῦσιν, ἀλλὰ δύνανται καὶ μὴ ποιεῖν. ὁ μὲν γὰρ θ καὶ ὁ ιϛ συντιθέμενοι τὸν κε ποιοῦσιν τετράγωνον ὄντα, ὁ δὲ κε καὶ ὁ θ ποιοῦσι τὸν λδ μὴ ὄντα τετράγωνον.
5διὸ ὑποθέμενοι δύο ἀριθμοὺς τοὺς ΑΒΓ ἄμφω ἀρτίους ἢ περιττοὺς καὶ ὁμοίους ἐπιπέδους ὥστε τὸν ἐξ αὐτῶν συγκεί‐ μενον πάντως τετράγωνον γίνεσθαι εὑρίσκοντες τὸν ἀπὸ ΒΔ τετράγωνον συγκείμενον ὑπὸ τοῦ ΑΒΓ καὶ τοῦ ἀπὸ ΓΔ· καὶ γὰρ ἑκάτεροι τετράγωνοι, ὁ μὲν ΑΒΓ, ἐπειδὴ
10ἄμφω ὅμοιοί εἰσι τετράγωνοι, ἐὰν δὲ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, ὁ γε‐ νόμενος τετράγωνος ἔσται. ἀλλὰ καὶ ὁ ἀπὸ ΓΔ τετράγω‐ νος. ἴσος δὲ ὁ ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ΓΔ τῷ ἀπὸ ΒΔ· εὐθεῖα γὰρ ἡ ΑΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ πρόσκειται αὐτῇ
15ἐπ’ εὐθείας ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦτο τὸ ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΒΔ.

10

.

200

Εἴρηται πολλάκις, ὅτι αἱ μήκει μὲν ἀσύμμετροι, δυνάμει δὲ σύμμετροι ῥηταὶ καλοῦνται διὰ τὸ τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα σύμμετρα ὑπάρχειν. ἔστωσαν οὖν δύο εὐθεῖαι αἱ Α, Β, ἡ μὲν Α ῥητὴ ποδῶν ἢ πήχεων ἢ ὅ τι βούλει η, τὸ
5δὲ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον ξδ, ἡ δὲ Β τμημάτων ε ιζ κθ, καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς ε ιζ κθ τετράγωνον κη. ἔστιν οὖν μείζων μὲν εὐθεῖα ἡ ὀκτάπους, ἐλάττων δὲ ἡ ε ιζ κθ, καί ἐστι τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ὀκτάποδος τετράγωνον ξδ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ε ιζ κθ κη. καί εἰσι τὰ μὲν τετράγωνα τὰ ξδ κη σύμμετρα·
10ἔχουσι γὰρ κοινὸν μέτρον τὸν δ. αἱ δὲ εὐθεῖαι ἀσύμμετροι μήκει, ῥηταὶ δὲ διὰ τὸ τὰ τετράγωνα τὰ ἀπ’ αὐτῶν σύμ‐ μετρα τυγχάνειν, καὶ δύναται ἡ μείζων ἡ η τῆς ε ιζ κθ τὸ ἀπὸ τῆς ϛ τετράγωνον τὸ λϛ. καί ἐστιν ὁ ϛ τῷ η σύμμετρος
μήκει.

10

.

201

Ἔστω ὁ ΓΔ λϛ, ὁ δὲ ΔΕ ιϛ. ἔστιν ἄρα ἡ ὑπεροχὴ τοῦ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ μονάδων κ. ὁ οὖν κ οὐκ ἔστι τετρά‐ γωνος.

10

.

202

ὁ ἐκ τῶν p. 45, 20] σημείωσαι, ὅτι τὸ ἐκ καὶ τὸ ὑπὸ ἓν ἔχει ὁ τεχνικός.

10

203-208t

Ad prop. 29

10

.

203

Τοῦτο καὶ τὸ ἑξῆς λημμάτια τῶν μετὰ ταῦτα.

10

.

204

Ἐντεῦθεν ἡ τῶν λοιπῶν ἀλόγων ἄρχεται εὕρεσις καὶ πρῶτον τῶν κατὰ συνθήκην, προλαμβάνει δὲ τὰ θεω‐ ρήματα ταῦτα ὡς ἐκ τούτων ἀναφαινομένων τῶν κατὰ συνθήκην ἀλόγων.
5Αὗται δὲ αἱ δύο ῥηταὶ ἄνισοι γενικώτεραι αἱ δυνάμει μόνον σύμμετροι προσεχῶς μὲν τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων εἰσὶ πρόγονοι, καὶ πρό γε ταύτης τῆς μέσης.

10

.

205

Ἔστω ἡ ΑΒ ὀκτάπους· τὸ ἄρα ἀπ’ αὐτῆς τετρά‐ γωνόν ἐστι ποδῶν ξδ. ἔστω δὲ ἡ ΑΖ ε ιζ κθ· τὸ ἄρα ἀπ’ αὐτῆς ἐστι ποδῶν κη. εἰσὶν ἄρα σύμμετροι δυνάμει μόνον καὶ διὰ τοῦτο καὶ ῥηταὶ ἡ ὀκτάπους καὶ ἡ ε ιζ κθ. ἔστι δὲ
5ἡ ὑπεροχὴ τοῦ ξδ πρὸς τὰ κη λϛ, ἅτινα λϛ δύναται ἡ ἑξά‐ πους σύμμετρος οὖσα μήκει τῇ ὀκτάποδι· τὰ γὰρ ἀπ’ αὐ‐ τῶν τετράγωνα τὰ ξδ καὶ λϛ λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, τετραγω‐ νικὸν δὲ λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα λέγεται, ὧν μεταξὺ ἐμ‐
10πίπτει μέσος ἀνάλογον, ὥσπερ καὶ ἐπὶ τούτων· μεταξὺ γὰρ τοῦ ξδ καὶ λϛ ἐστιν ὁ μη, καί ἐστιν ὡς ὁ ξδ πρὸς τὸν μη (ἐπίτριτος γάρ), οὕτως ὁ μη πρὸς τὸν λϛ· ἐπίτριτος γὰρ καὶ οὗτος. ὅτι δὲ τὸ τετράπουν, ὅπερ καὶ τετράγωνόν ἐστι χω‐ ρίον, κοινόν ἐστι μέτρον τοῦ ξδ καὶ τοῦ κη, δῆλον· τετρά‐
15κις γὰρ ιϛ ξδ καὶ τετράκις ζ κη.

10

.

206

Κατ’ ἄλλην γραφὴν ἀριθμοὶ εἰς τὸ κθʹ θεώρημα. Ἔστω ὁ ΓΔ ξδ καὶ ὁ ΔΕ λϛ ὡς εἶναι τὴν ὑπεροχὴν τὴν ΓΕ κη, ἡ δὲ ΑΒ εὐθεῖα ἔστω κ. εὑρίσκεται οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΖΑ ροε, ἧς ἡ πλευρὰ ιγ ιγ μγ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΖΒ τὰ
5λοιπὰ τῶν υ τῶν ἀπὸ τῆς ΑΒ σκε, ἡ δὲ ΒΖ ιε, ἥτις ἐστὶ σύμμετρος τῷ κ μήκει, ἡ δὲ ΑΖ δυνάμει μόνον ἐστὶ σύμ‐ μετρος τῇ ΑΒ.

10

.

207

ἀναστρέψαντι p. 49, 5] ἀναστροφὴ λόγου ἐστίν, ὡς ἐμάθομεν ἐν τοῖς ὅροις τοῦ εʹ βιβλίου, λῆψις τοῦ ἡγου‐ μένου πρὸς τὴν ὑπεροχήν, ᾗ ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου. ἦν δὲ ἐνταῦθα ἡγούμενον μὲν ὁ ΔΓ, ἑπόμενον
5δὲ ὁ ΓΕ, ὥστε ὑπεροχή, ᾗ ὑπερέχει ὁ ΔΓ τοῦ ΓΕ, ὁ ΔΕ ἐστιν. ἐπεὶ δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ὑπερέχει τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ. ὥστε ὅταν λέγωμεν, ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ, τοῦτό φαμεν, ὅτι ὡς
10ὁ ἡγούμενος ὁ ΔΓ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τῶν ΔΕ, οὕτως ὁ ΑΒ ὁ ἡγούμενος πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τῶν ΒΖ· ὑπεροχὴ γάρ ἐστιν, ὡς εἴρηται, καὶ ἡ ΒΖ καὶ ὁ ΔΕ.

10

.

208

τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ· p. 49, 11] διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν ὑπὸ ΑΖΒ γωνίαν· πᾶσαι γὰρ αἱ ἐν ἡμικυκλίῳ γωνίαι ὀρθαὶ ἔσονται· καὶ ἐπεὶ δέδει‐ κται, ὅτι ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν
5ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν, καὶ διὰ τοῦτο τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

10

209-211t

Ad prop. 30

10

.

209

Ἔστω ῥητὴ ἡ ΑΒ μοιρῶν κ καὶ ὁ ΓΔ τετράγωνος μοιρῶν μθ, ὁ δὲ ΔΕ μοιρῶν λϛ, ὥστε τὴν ὑπεροχὴν τὸν ΓΕ εἶναι μοιρῶν ιγ. καὶ γεγονέτω ὡς ὁ μθ πρὸς ιγ, οὕ‐ τως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἤτοι τὸ ἀπὸ τοῦ κ ἤτοι τὸ υ πρὸς τὴν
5ΑΖ. πολυπλασιασθέντος τοῦ ιγ πρὸς τὸν υ καὶ παραβλη‐ θέντος πρὸς τὸν μθ, καὶ γενήσεται τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ μοιρῶν ρϛ ζ κ μη νη, ἡ δὲ πλευρὰ τοῦ ρϛ ζ κ μη νη ἤτοι ἡ ΑΖ ἔσται μοιρῶν ι λεπτῶν ιη ε μ. ἐπεὶ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΖΒ ὀρθή ἐστιν· ἐν ἡμικυκλίῳ· ὑποτείνουσα δέ ἐστιν ἡ ΑΒ, δύναται
10ἄρα ἴσον ταῖς ΑΖ, ΖΒ. ἐκβαλλομένου οὖν τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἀπολειφθήσεται τὸ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ, ὅπερ ἐστὶ μοιρῶν σϙϛ λεπτῶν νβ λθ ια β, καὶ ἡ ΖΒ μοιρῶν ιζ λεπτῶν η λδ ιζ.

10

.

210

Εἰς τὸ λʹ θεώρημα κατ’ ἄλλην γραφήν. Ἔστω ὁ ΓΕ δ ὁ ΕΔ λϛ ὁ ὅλος ΓΔ μδ μὴ τετράγωνος, οὗ ἡ πλευρὰ ἡ ΑΒ ι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ρ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ ι ἡ ΑΖ ἡ πλευρὰ τοῦ ι τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ ϙ ἡ ΖΒ θ κθ ιβ ι ἡ
5πλευρὰ τοῦ ι Α γ θ μδ.

10

.

211

Αὗται μητέρες εἰσὶν κοινῶς μὲν τῆς ἐκ δύο ὀνο‐ μάτων.

10

212-217t

Ad prop. 31

10

.

212

Αὗται αἱ τοιαῦται μέσαι μητέρες εἰσὶ τῆς ἐκ δύο μέσων πρώτης. ζητητέον δέ, διὰ τί οὐ ζητεῖ δύο μέσας
δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμ‐
5μέτρου μήκει.

10

.

213

Τῷ ὑπὸ τῶν Α, Β κεῖται ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς Γ. ὥστε ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, συνάγεται ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β οὕτως· ὡς ἡ Α πρὸς τὴν
5Β, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς Γ, πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β. καὶ ἐπεὶ πάλιν τὸ ἀπὸ τῆς Β ἴσον κεῖται τῷ ὑπὸ τῶν Γ, Δ, ῥητέον οὕτως· ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β ἤτοι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ· ἴσον γάρ, ὡς εἴρηται, κεῖται τὸ ἀπὸ τῆς Β πρὸς τὸ ὑπὸ
10τῶν Γ, Δ. ὥστε ἀντὶ τοῦ λέγειν οὕτως· τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, ῥητέον οὕτως· τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ.

10

.

214

Ἡ Α μονάδων κ ἡ Β μοιρῶν ι λεπτῶν ιη ε μ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β μοιρῶν σϛ λεπτῶν α νγ κ, ὧν πλευρά ἐστιν ἡ Γ οὖσα μοιρῶν ιδ λεπτῶν κα ιγ μ· τὸ γοῦν ἀπὸ Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Α, Β. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἐστι μοιρῶν ρϛ
5λεπτῶν ζ μδ λβ ϛ μ, ᾧ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ, ὡς εἶναι τὸν Δ μοιρῶν ζ λεπτῶν κγ λϛ κ οὐδέν.

10

.

215

Εἰς τὸ λαʹ θεώρημα ἀριθμοὶ κατ’ ἄλλην γραφήν. Ἔστω ἡ Α κ ἡ Β ἡ πλευρὰ τοῦ ροε, ἥτις ἐστὶν ιγ ιγ μγ. τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β ἤτοι τὸ ἀπὸ τῆς Γ σξδ μοιρῶν μδ λεπτῶν
5πρώτων κε δευτέρων, ἡ Γ ιβ μοιρῶν λεπτῶν πρώτων ιε λεπτῶν δευτέρων νβ, ἡ Δ ι με λβ, τὸ ὑπὸ Γ, Δ ροε.

10

.

216

τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου p. 52, 3] εἰς τὸ ἀπὸ ἀσυμ‐
μέτρου ἔστω ἡ Α ι ἡ Β ἡ πλευρὰ τοῦ ι, καθὼς κεῖται ἐν τῷ λʹ, τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β λα λζ κ ἤτοι τὸ ἀπὸ τῆς Γ. ἡ Γ ε λζ κδ, ἡ Δ α μϛ μα, τὸ ἀπὸ τῆς Δ γ θ νδ.

10

.

217

Τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β ἤτοι τὸ ἀπὸ τῆς Γ μοιρῶν ٢٦٤ λεπτῶν πρώτων ٣٤ καὶ δευτέρων ٢, τὸ δὲ Γ, Δ ١٧٥.

10

218-222t

Ad prop. 32

10

.

218

Αἱ τοιαῦται μέσαι μητέρες εἰσὶ τῆς ἐκ δύο μέσων δευτέρας.

10

.

219

Εἰς τὴν εὕρεσιν τῶν δύο μέσων τῶν περιεχουσῶν τὸ μέσον ἐκτίθεμεν τρεῖς ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους τὰς Α, Β, Γ καὶ τὴν μὲν Α ὑποτίθεμεν τοῦ ι τὴν πλευράν, τὴν δὲ Β τοῦ η τὴν πλευράν. ἐπεὶ δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ
5ἀπὸ τῆς Γ ὑποτίθεται ὁ τεχνικὸς μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, ἐκτίθεμεν δύο ἀριθμοὺς ἑτέρους τὸν θ καὶ ε, ὧν ἡ ὑπεροχή ἐστι τετράγωνος ὁ δ, καὶ δύναται ὁ θ τοῦ ε τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῷ. ποιοῦμεν οὖν ὡς τὸν θ πρὸς τὸν ε, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α, ὅπερ ἐστὶ μονάδων ι,
10πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Γ, τουτέστιν ὡς πρῶτον τὸν θ πρὸς δεύ‐ τερον τὸν ε, οὕτως τρίτον τὰ ι πρὸς τέταρτον τὸ Γ. ἐὰν ἄρα τὸ ὑπὸ μέσων πολυπλασιάσωμεν, τουτέστι τὸν δέκα καὶ πέντε, καὶ παραβάλωμεν παρὰ τὸν θ, γενήσεται ἡμῖν τὸ Γ ε λγ κ, οὗ πλευρὰ ἔσται β κα κε ῥητὴ οὖσα δυνάμει καὶ
15σύμμετρος τῇ Α. καὶ ἐπεὶ πάλιν τὰς Α, Β ῥητὰς οὔσας δυνάμει μόνον ὑποτίθεται, τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων μέσον ἐστί, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β γινόμενον η νζ μγ ν κδ μέσον ἐστὶ καὶ αὐτό, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ
μέση ἐστὶν ἤγουν τὰ β νθ κη. πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ
20ἴσον ὑποτίθεται τῷ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, ἐὰν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ πολυπλασιάσωμεν καὶ παρὰ τὸν δ παραβάλωμεν, γενήσεται ἡ Ε οὖσα β ιγ μγ· καὶ τὸ ἀπὸ τούτων τετράγω‐ νον δ νη οὐδὲν η μθ. καὶ ἀποτελοῦνται πάντα τὰ τῆς προ‐ τάσεως· ἥ τε γὰρ Δ τῇ Ε σύμμετρός ἐστι δυνάμει μόνον,
25διότι καὶ ἡ Α τῇ Γ δυνάμει μόνον σύμμετρος, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμ‐ μέτρου ἑαυτῇ, καὶ πάλιν τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε περιεχόμενον μέσον ἐστίν.

10

.

220

Ἔστω ἡ Α ι ἡ Β ἡ πλευρὰ τοῦ ιβ γ κζ ν ἡ Γ ἡ πλευρὰ τοῦ ι, καθὸ ἐλήφθη ἐν τῷ λʹ θεωρήματι, τὸ ὑπὸ Α, Β λδ λη κ ἤτοι τὸ ἀπὸ τοῦ Δ, ἡ Δ ε νγ ζ τὸ ὑπὸ Β, Γ ι νζ ιβ νδ μ ἡ Ε α ν μγ.

10

.

221

Εἰς τὸ λβʹ κατ’ ἄλλην γραφήν. Ἡ Α κ ἡ Β ἡ πλευρὰ τοῦ ς ἤτοι ιδ η λα ἡ Γ ἡ πλευρὰ τοῦ ροε ἤτοι ιγ ιγ μγ, καθὼς κεῖται ἐν τῷ κθʹ, τὸ ὑπὸ Α, Β σπβ ν κ ἡ Δ ιϛ μθ δ τὸ ὑπὸ Β, Γ ρπζ δ μα νβ λγ ἡ Ε ια ζ κε.

10

.

222

τὸ ἀπὸ τῆς Δ p. 52, 19] ἤγουν τῶν Α, Β μέση ἀνάλογον εἰλήφθω ἡ Δ διὰ τὸ ιγʹ τοῦ ϛʹ· τὸ γὰρ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου διὰ τὸ ιζʹ τοῦ ϛʹ.

10

223-225t

Ad lemma p. 53—55

10

.

223

Μαξίμου Πλανούδη Λέγω, ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ. ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τῷ ΑΔΓ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν
5ΔΓ. ἐὰν δὲ τέσσαρες εὐθεῖαι καὶ ἑξῆς. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν
ΑΒ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΓ, ΑΔ. Καὶ ἔτι ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΒΔ. ἔστι γὰρ πάλιν ὅμοιον τὸ ΑΒΓ τῷ ΑΒΔ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν
10ΔΑ. ἐὰν δὲ τέσσαρες εὐθεῖαι καὶ ἑξῆς. τὸ ἄρα καὶ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΒΔ.

10

.

224

Ἔστω ἡ ΒΓ μονάδων κε, ἡ δὲ ΒΔ θ, ἡ δὲ ΔΓ ιϛ καὶ ἔτι ἡ μὲν ΒΑ ιε, ἡ δὲ ΑΓ κ. ἔστιν οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν κε καὶ θ, ὅπερ ἐστὶ σκε, ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΑ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῶν ιε. πάλιν τὸ
5ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΓΔ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν κε καὶ ιϛ, ὂν τετρακοσίων ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἤτοι τῷ ἀπὸ τῶν κ. πάλιν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἤτοι τὸ ὑπὸ τῶν θ καὶ ιϛ ὂν καὶ αὐτὸ ρμδ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ ἤτοι τῷ ἀπὸ τῶν ιβ. καὶ ἔτι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἤγουν τῶν κε καὶ ιβ ὂν τ ἴσον τῷ
10ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ, τουτέστι τῷ ὑπὸ τῶν ιε καὶ κ· τ γὰρ καὶ αὐτό.

10

.

225

Ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΕΒ· τῶν γὰρ παραλληλο‐ γράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευραὶ ἴσαι εἰσὶν ἀλλή‐ λαις.

10

226-236t

Ad prop. 33

10

.

226

Αὗται μητέρες εἰσὶ τῆς μείζονος τετάρτης ἀλόγου.

10

.

227

Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι, ἔσται ὡς ἡ μία πρὸς τὴν ἑτέραν, οὕτως τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου καὶ μιᾶς αὐτῶν πρὸς τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου καὶ ἑτέρας. ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως
5τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΒ. ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἴση τῇ ΑΓ ἡ ΒΔ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΕ παραλληλόγραμμον. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΑΔ πρὸς τὸ ΔΓ, καί ἐστι τὸ μὲν ΑΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΑΒ, τουτέστι τὸ ὑπὸ
10τῶν ΓΑ, ΑΒ· ἴση γὰρ ὑπόκειται ἡ ΒΔ τῇ ΓΑ· τὸ δὲ ΔΓ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΓΒ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

10

.

228

Ὅτι ἐνδέχεται ἐκ μὴ ῥητῶν χωρίων συντιθεμένων τὸ ὅλον γίνεσθαι ῥητόν, ἐντεῦθεν ἂν μάθοις. ἐκκείσθω ῥη‐ τὴ ἡ ΑΒ καὶ δύο ἀριθμοὶ λόγον μὴ ἔχοντες, ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον, οἱ Γ, Δ, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν
5Δ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ. καὶ ἀνα‐ γεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον, καὶ παράλληλος [Omitted graphic marker] ἤχθω διὰ τοῦ Ε. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ
10τῆς ΒΕ, ὁ δὲ Γ πρὸς τὸν Δ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγω‐ νος πρὸς τετράγωνον, ἀσύμ‐ μετρος ἄρα μήκει ἡ ΑΒ τῇ ΒΕ. καὶ λοιπῇ ἄρα τῇ ΑΕ
15ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΑΕ, ΒΕ, οὕτως τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον πρὸς ἑκάτερον τῶν παραλληλογράμμων. ἀσύμμετρον ἄρα τὸ τετράγωνον τοῖς παραλληλογράμμοις. ῥητὸν δὲ τὸ τετρά‐ γωνον· ἄλογα ἄρα τὰ παραλληλόγραμμα μέρη ὄντα τοῦ
20ῥητοῦ καὶ συμπληροῦντα τὸ ὅλον.

10

.

229

Ἡ ΑΒ δ ἡ ΒΓ β ιγ ιζ ἡ ΒΔ α ϛ λγ λ ἡ ΔΓ α ϛ λγ λ ἡ ΑΕ γ λθ να ἡ ΕΒ οὐδὲν κ θ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ ἤτοι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ α ιγ ν ο μβ ιε. ἡ ΑΖ γ μθ μβ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ ιδ λθ κδ, ἡ δὲ δυναμένη αὐτὸ ἡ ΑΖ ἐστι.
5τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ α κ λϛ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἡ ΖΒ α θ λβ. ἐὰν οὖν λάβης τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον, ὅπερ ἐστὶ τὸ α ιγ ν οὐδὲν μβ ιε, καὶ παραβάλῃς αὐτὸ πρὸς τὴν ΑΒ καὶ ἐκβάλῃς ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ ἤτοι τῆς δ, καταλείπεται τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετράγωνον
10δύο μϛ θ νθ ιζ με οὐδέν, οὗ πλευρὰ α λθ να.

10

.

230

ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ. p. 56, 5] τὸ ἀντίστροφον τοῦ ιηʹ τοῦ ιʹ τοῦ λέγοντος, ὅτι, ἐὰν ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ δʹ μέρει τοῦ ἐκ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ μείζονα
5παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς ἀσύμμετρον αὐτὴν διαιρεῖ.

10

.

231

Ἐὰν γὰρ ἀναγράψῃς τὰ παραλληλόγραμμα, ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος γίνονται.

10

.

232

ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ ῥητόν ἐστιν. p. 56, 11. 12] ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΒ ῥητὴ ἐδόθη, καί ἐστι τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον ῥητὸν διὰ τὸν ὅρον, καί ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ διὰ μζʹ
5τοῦ αʹ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Ζ διὰ λαʹ τοῦ γʹ· ὥστε καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΖΒ ῥητά ἐστιν.

10

.

233

Ἴσον γὰρ δύναται ἡ ΑΒ ταῖς ΑΖ, ΖΒ διὰ τὸ μζʹ τοῦ αʹ· ἡ γὰρ πρὸς τῷ Ζ γωνία ὀρθή ἐστιν.

10

.

234

καὶ ἐπεὶ πάλιν p. 56, 13] διὰ πόρισμα τοῦ ηʹ τοῦ ϛʹ γίγνεται μέση ἀνάλογος ἡ ΖΕ τῆς ΑΕ, ΕΒ, καὶ διὰ ιζʹ τοῦ ϛʹ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ ἤτοι τὸ ὑπὸ τῶν
ἄκρων καὶ τὸ ἀπὸ τῆς μέσης τῆς ΖΕ ἐκ κατασκευῆς.

10

.

235

διπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ p. 56, 15] διὰ τὸ τὴν ΒΓ διπλα‐ σίονα εἶναι τῆς ΒΔ, τὴν δὲ ΒΔ ἴσην εἶναι τῇ ΕΖ.

10

.

236

ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ p. 56, 16] ὥστε σύμμετρος ἡ ΒΓ τῇ ΖΕ. καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΕ διὰ τὸ αʹ τοῦ ϛʹ· ὕφος ἡ ΑΒ· σύμμετρος δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΖΕ.

10

237-239t

Ad prop. 34

10

.

237

Αἱ τοιαῦται εὐθεῖαι μητέρες εἰσὶ τῆς ῥητὸν καὶ μέ‐ σον δυναμένης ἀλόγου.

10

.

238

Ἡ ΑΒ β νη μδ, ἡ ΒΓ α λθ θ, τὸ ἥμισυ τῆς ΒΓ οὐδὲν μθ λδ λ, τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΒΓ μ νζ μ ν ιε. τὸ ἥμισυ τῆς ΑΒ α κθ κβ, τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ β ιϛ ϛ κδ δ, ἡ πλευρὰ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν α ιδ κα, τὸ ἀπὸ τῆς
5μεταξὺ τῶν τομῶν α λβ η μγ ιδ. Ἡ ΑΔ β κε ια, ἡ ΔΒ α μδ λ. Τὸ ἀπὸ τοῦ ἡμίσεος τῆς ΒΓ τετράγωνον ἐὰν παραβληθῇ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς ΑΒ, μᾶλλον δὲ ἀπὸ τοῦ τετραγώ‐ νου αὐτῆς τοῦ β ιγ ϛ κδ δ, καταλιμπάνεται τὸ ἀπὸ τῆς
10μεταξὺ τῶν τομῶν, ὅπερ ἐστὶν α λβ η μγ ιδ, ἡ πλευρὰ αὐτοῦ α ιδ κα, ἥπερ τῇ ἡμισείᾳ προστεθεῖσα ποιεῖ τὴν ΑΖ β μγ μγ, καὶ ἡ ΖΒ καταλιμπάνεται οὐδὲν ιε α. καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ. τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΖ παραλληλόγραμμόν ἐστι μοιρῶν ϙ λεπτῶν ὀκτώ, τὸ
15ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ οὐδὲν με ιγ. ἡ ΑΔ μοιρῶν β λεπτῶν να, ἡ ΒΔ οὐδὲν νγ ε, τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐστι μοιρῶν δ λεπτῶν νε κα κδ λϛ, τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ μοιρῶν β λεπ‐ τῶν κζ μβ.

10

.

239

Κατ’ ἄλλην γραφὴν εἰς τὸ λδʹ ἀριθμοί. Ἡ ΑΒ ε λζ κδ, ἡ ΒΓ α δ μϛ; καθὼς καὶ ἐν τῷ τέλει τοῦ λαʹ ἀποδέδεικται, ἡ ΒΕ οὐδὲν νγ κ λ, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ οὐδὲν μζ κε κ οὐδὲν ιε οὐδέν, τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ οὐδὲν α ιε μ μ,
5τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ λ α λϛ ιϛ, τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ οὐδὲν μη μ κϛ μ.

10

240-244t

Ad prop. 35

10

.

240

Αἱ τοιαῦται εὐθεῖαι μητέρες εἰσὶ τῆς δύο μέσα δυναμένης ἀλόγου.

10

.

241

Ἡ ΑΒ β κα κε, ἡ ΒΓ β ιγ μγ, τὸ ἥμισυ τῆς ΒΓ α ϛ να λ, τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΒΓ α ιδ λ μ ιβ ιε, τὸ ἥμισυ τῆς ΑΒ α κθ μδ, τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ β ιδ ιβ δ ιϛ, τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν οὐδὲν νθ μβ με, ἡ πλευρὰ
5οὐδὲν ζ μγ με. Ἡ ΑΖ α νζ κζ λ, ἔνθα μέλλει γενέσθαι ἡ τομὴ α β οὐ‐ δὲν λ𐆊. Ὁ ΑΔ α β κζ, ἡ ΔΒ α μ ιϛ.

10

.

242

Κατ’ ἄλλην γραφὴν ἀριθμοὶ εἰς τὸ λεʹ. Ἡ ΑΒ ε νγ ζ, ἡ ΒΓ α ν μγ, ἡ ΑΖ ε μδ ιβ λ, ἡ ΒΕ οὐδὲν νε κα λ, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ οὐδὲν να δ λβ μβ ιε οὐδέν, ἡ ΑΔ ε μη λζ, ἡ ΔΒ οὐδὲν μϛ δ.

10

.

243

Ἑτέρα τοῦ αὐτοῦ καταγραφή.

10

243col 1

ἡ ΑΒ ٢ ٢١
٣٥Column end

10

243col 2

ἡ ΑΔ ١ ٤٠
٢٧Column end

10

243col 3

τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ٥ ٣٣
5١٨ ٤٠
٢٥Column end

10

243col 4

τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ ١ ١٤
5٣ ٢ ١٢
١٥Column end

10

243col 5

τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ ٢ ٤٧
5٣٤ ٤٣
٣

10

243col 6

ἡ ΔΒ ١ ٤
١٦Column end

10

243col 7

ἡ ΒΕ ١ ٦ ٥١
5٣Column end

10

243col 8

ἡ ΒΓ ٢ ١٣
٤٣Column end

10

243col 9

ἡ ΖΒ ١ ١٠
٢١Column end

10

243col 10

ἡ ΑΖ ١ ١١
١٦Column end

10

243col 11

τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΖ ٢ ٤٨ ١٠
5٤
٤٥Column end

10

.

244

Ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ μήκει, ἀσύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ὡς ἐν
5τῷ λήμματι ἐδείχθη. ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ. αἱ ΑΔ, ΔΒ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροί εἰσιν.

10

245-249t

Ad prop. 36

10

.

245

Ἡ τῶν τοιούτων ῥητῶν μέση ἀνάλογον μέση ἐστίν. οὐδεμία δὲ τούτων οὔτε συναμφότερος μέση, ἡ δὲ συγκει‐ μένη ἐξ αὐτῶν ἐκ δύο ὀνομάτων καλεῖται. ἀμφοτέρων τοί‐ νυν τῶν ἀλόγων εἰσὶ πρόγονοι κατὰ διαφόρους γενέσεως
5τρόπους.

10

.

246

Ἔστω ἡ ΑΒ ἑξάπους, ἡ δὲ ΒΓ πεντάπους. ἔστιν οὖν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ ἐπίπεμπτος. τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐστὶ λ· ἑξάκις γὰρ ε λ. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ κε· πεντάκις γὰρ πέντε κε. καὶ ὁ λ ἄρα τοῦ κε ἐπίπεμπτός ἐστιν, ὡς ἔχει ἡ
5ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. δεῖ δὲ τὰς πλευρὰς λαβεῖν τοῦ ϛ καὶ ε καὶ συνθεῖναι καὶ ὁρᾶν τὴν γεγονυῖαν.

10

.

247

Δεῖ εἰδέναι, ὅτι οἱ ἐκκείμενοι ἀριθμοὶ ὁ ϛ καὶ ὁ ε
οὐκ εἰσὶν αἱ ῥηταὶ πλευραὶ αἱ δυνάμει σύμμετροι, ἀλλὰ χάριν τῆς κατασκευῆς πρὸς τὸ εὐσύνοπτον αὐτὴν γενέσθαι ἐλήφθησαν. δεῖ δὲ λαβεῖν τὴν πλευρὰν τοῦ η ἀντὶ τοῦ ΑΒ,
5τὴν δὲ πλευρὰν τοῦ ϛ ἀντὶ τοῦ ΒΓ· οὕτως γὰρ αἱ μὲν πλευ‐ ραὶ ἔσονται ἀσύμμετροι μήκει ἤτοι μὴ ἔχουσαι κοινὸν μέτρον μηδὲ λόγον, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, μηδὲ τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα ἤτοι ὁ η καὶ ὁ ϛ λόγον ἔχοντα, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ἔστι δὲ
10ἡ μὲν πλευρὰ τοῦ η β μθ μβ, ἡ δὲ τοῦ ϛ β κϛ νη.

10

.

248

Μία μὲν ἡ συγκειμένη ἐκ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων, ἥτις λέγεται ἐκ δύο ὀνομάτων.

10

.

249

Ἐπειδὴ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρόν ἐστιν, εὔδηλον, ὅτι καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τοῦ‐ το δὴ τὸ πᾶν ἀσύμμετρόν ἐστι πρὸς αὐτὸ τὸ ἀπὸ τῶν ΑΒ,
5ΒΓ. εἰ γὰρ χωρὶς τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρόν ἐστι τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, καὶ ὁμοῦ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σὺν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρόν ἐστι πρὸς αὐτὸ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. οἷον εἴ ἐστιν ἀσύμμετρα τὰ ζ καὶ ε, καὶ συνθέντι τὰ ζ καὶ ε ἤτοι τὰ ιβ
10ἀσύμμετρά εἰσι πρὸς τὰ ε.

10

250-255t

Ad prop. 37

10

.

250

Ἡ ΒΓ κ, ἡ ΑΒ ι ιη ε μ, ἡ ὅλη λ ιη ε μ, ἡ ΑΓ λ ιη ε μ. ἡ ΑΒ ἐστι πλευρὰ τοῦ ρϛ, ἔστι δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μοιρῶν σϛ λεπτῶν α νγ κ.

10

.

251

Τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον ὑπόκειται ὁ ζ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ ὁ ε, καὶ συναμφότερά ἐστιν ὁ ιβ. τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐστιν θ μϛ, ἅπερ θ μϛ πρὸς τὰ ιβ ἀσύμμετρά
ἐστιν.

10

.

252

Τὸ χωρίον τὸ ῥητὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητῷ τινι σύμμετρον ὂν λέγεται ῥητόν. ἐὰν δὲ ᾖ δύο μεγέθη σύμ‐ μετρα, τὸ δὲ ἕτερον αὐτῶν μεγέθει τινὶ ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ λοιπὸν τῷ αὐτῷ ἀσύμμετρον ἔσται. ἀσύμμετρον ἄρα τὸ
5ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἄλογον ἄρα διὰ τὸν ὅρον.

10

.

253

Διὰ τὸ κζʹ τοῦ ιʹ δυνατόν ἐστι πορίσασθαι τὸ δεδομένον τῆς προτάσεως.

10

.

254

Ἔστω ἡ ΑΒ ἡ πλευρὰ τοῦ ζ οὖσα μονάδων ἤ, εἰ βούλει, ποδῶν β καὶ λεπτῶν πρώτων λθ, ἡ δὲ ΒΓ ἡ πλευρὰ τοῦ ε οὖσα β καὶ ιδ. ἔστιν ἄρα ἡ ὅλη ποδῶν δ λεπτῶν νγ· ἄλογος ἄρα. τὸ δὲ ἀπὸ τῶν δ νγ τετράγωνόν ἐστιν κγ να.

10

.

255

Ἡ ΑΒ β νη μδ, ἡ ΒΓ α λθ θ, ἡ ὅλη δ λζ νγ.

10

256-260t

Ad prop. 38

10

.

256

Ἐνστάσεως λύσις τοῦ ληʹ θεωρήματος. Τοῦ θεωρήματος κατὰ τὸν στοιχειωτὴν ἀποδεικνυμένου ἔνστασις παρακολουθεῖ. οὐ γὰρ ἔχομεν ἀποδεδειγμένον, ὅτι μέσον μετὰ μέσου συντιθέμενον μέσον τὸ ὅλον ποιεῖ.
5δείξομεν δὲ ἡμεῖς οὕτως· συγκείσθω δύο μέσα χωρία τὰ ΑΔ, ΔΓ. λέγω, ὅτι ὅλον τὸ ΑΖ μέσον ἐστίν. εἰ γὰρ μή ἐστι μέσον τὸ ΑΖ, ἔστω, εἰ δυνατόν, ῥητόν, καὶ ἐκκείσθω τις ῥητὴ ἡ ΗΘ, καὶ παρὰ τὴν ΗΘ παραβεβλήσθω τῷ μὲν
ΑΖ ἴσον τὸ ΗΝ, τῷ δὲ ΑΔ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΗΛ. λοιπὸν [Omitted graphic marker]
10ἄρα τὸ ΚΝ λοιπῷ τῷ ΔΓ ἴσον ἐστίν. καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΔ, ΔΓ, ἴσον δὲ τῷ μὲν ΑΔ τὸ ΗΛ, τῷ δὲ ΔΓ τὸ ΚΝ, μέσον ἄρα ἑκάτερον τῶν ΗΛ, ΚΝ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΗΘ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ΗΚ, ΚΜ. πάλιν ἐπεὶ ῥητὸν ὑπόκειται τὸ ΑΖ, ἴσον δέ ἐστι τῷ
15ΗΝ καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΗΘ παράκειται, ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΜ. καὶ ἐπεὶ ῥητὸν μέν ἐστιν τὸ ΗΝ, μέσον δὲ τὸ ΗΛ, ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΗΝ τῷ ΗΛ. ὡς δὲ τὸ ΗΝ πρὸς τὸ ΗΛ, οὕτως ἡ ΗΜ πρὸς ΗΚ. ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΗΜ τῇ ΗΚ μήκει. ὡς δὲ ἡ ΗΜ πρὸς ΗΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς
20ΗΜ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΜΗ, ΗΚ. σύμμετρον δὲ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΗΜ τοῖς ἀπὸ τῶν ΜΗ, ΗΚ (ῥητὸν γὰρ ἑκά‐ τερον αὐτῶν), τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΜΗ, ΗΚ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΜΗ, ΗΚ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΜΗ, ΗΚ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΜΗ, ΗΚ ἀσύμμετρά ἐστιν. ἐὰν δὲ δύο μεγέθη ἀσύμμετρα συν‐
25τεθῇ, καὶ τὸ ὅλον ἑκατέρῳ αὐτῶν ἀσύμμετρόν ἐστιν, κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς ἀσύμ‐ μετρα ἔσται· ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΜΗ, ΗΚ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΜ ἀσύμμετρά ἐστιν. ῥητὰ δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΜΗ, ΗΚ· ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΚΜ. καὶ αὐτὴ ἄρα ἡ ΚΜ ἄλογός
30ἐστιν· ὅπερ ἄτοπον. ἐδείχθη γὰρ καὶ ῥητή. οὐκ ἄρα τὸ ΑΖ ῥητόν ἐστιν· ἄλογον ἄρα. ἐὰν ἄρα δύο μέσα συντεθῇ, καὶ τὸ ὅλον μέσον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

10

.

257

Ἡ ΑΒ β νθ κη, τὸ ἀπὸ ταύτης η νϛ μη ιζ δ, ἡ ΒΓ β ιγ μγ, τὸ ἀπὸ ταύτης δ νη οὐδὲν η μθ, τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ϛ λθ νζ μα δ, τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ιγ ιθ νε κβ η,
ἡ ΑΓ ὅλη ε ιγ ια, τὸ ἀπὸ ταύτης κζ ιδ μγ μη α. ὥστε ὁμοῦ
5τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσα τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ. ἡ δὲ ῥητὴ δέκα, ἡ ΔΗ β μγ κη κβ μβ, ἡ ΗΘ α ιθ νθ λβ ιβ, ἡ ΔΘ α κγ κη ν λ.

10

.

258

Ἐλήφθησαν αἱ εὐθεῖαι ἀπὸ τοῦ κηʹ θεωρήματος· ἡ ΔΗ α μγ κδ ιε β, τὸ ΕΘ θ ιδ δέκα μα με, τὸ ΘΖ η οὐδὲν μγ κη κ, τὸ ΔΖ ιζ ιδ β λ κ.

10

.

259

٦ ٢٤ ٢٠ ٠
5٥٥ ٢٥ ٤ ١٠

10

.

260

Πόθεν δῆλον, ὅτι τὸ ΕΘ, ΘΖ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν; ἢ ἐπεὶ μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ σύμμετρον τῷ ἐξ αὐτῶν συγκει‐ μένῳ (τοῦτο δὲ ἐδείχθη ἐν τῷ ιϛʹ θεωρήματι), ἀνάγκη καὶ
5τὸ ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν συγκείμενον μέσον εἶναι· τὸ γὰρ τῷ μέσῳ χωρίῳ σύμμετρον μέσον ἐστίν.

10

261-262t

Ad prop. 39

10

.

261

Ἡ ΑΒ γ μθ μβ, ἡ ΒΓ α θ λβ, ἡ ὅλη δ νθ ιδ.

10

.

262

Ἡ ΑΒ κατ’ ἄλλην γραφὴν γ μθ μβ, ἡ ΒΓ α θ λβ.

10

263t

Ad prop. 40

10

.

263

Ἡ ὅλη δ θ μα, ἡ ΑΒ β κε ια, ἡ ΒΓ α μδ λ.

10

264-268t

Ad prop. 41

10

.

264

Ποριζόμεθα τὸ δεδομένον τῆς προτάσεως διὰ τὸ λεʹ τοῦ ιʹ.

10

.

265

Ἡ ΑΒ α μ κζ, ἡ ΒΓ α μ ιϛ, ἡ ὅλη ἡ ΑΓ γ κ μγ, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ β μη ι ιβ θ, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ β μθ λγ κδ ιϛ, ἡ ΔΕ μονάδων δέκα, ἡ ΔΗ τὸ πλάτος οὐδὲν λγ λδ κα λη, τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ β μζ να μζ ιβ, τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ε
5λε μγ λδ κδ, ἡ ΗΚ τὸ πλάτος οὐδὲν λγ λδ κα κϛ.

10

.

266

Ζήτησον τὸ λεʹ· ἐξ ἐκείνου γὰρ ἐλήφθησαν αἱ εὐ‐ θεῖαι. ἡ ΕΔ δ, ἡ ΖΗ δ, ἡ ΘΚ δ, ἡ ΖΘ β μβ νβ νγ ιδ, τὸ ΔΖ λδ λη ζ νη κε, ἡ ΕΖ η λθ λα νθ λϛ, τὸ ΗΘ ι να λα λβ νϛ, τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ β μζ να μζ ιβ, τὸ δὶς ὑπὸ
5τῶν ΑΒ, ΒΓ ε λε μγ λδ κδ. [Omitted graphic marker]

10

.

267

Ἡ ΗΚ οὐδὲν λγ λδ κα ιϛ, ἡ ΔΗ οὐδὲν λγ λδ κα λη, τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ β μζ να μζ ιβ, τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ε λε μγ λδ κδ, τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἤτοι τὸ ΔΖ ε λε μγ λϛ κε, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ β μη ι ιβ θ, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ β μζ
5λγ κδ ιϛ. [Omitted graphic marker]

10

.

268

Ζήτησον τὸ λδʹ [Omitted graphic marker]. ἢ καὶ οὕ‐
τως· ἡ ΑΒ β να, ἡ ΒΓ οὐδὲν νγ ε.

10

269-273t

Ad lemma p. 67. 68

10

.

269

Ἔστω ἴσα τὰ ΑΒ, ΓΔ, μεῖζον δὲ τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ. δεικτέον, ὅτι ἡ τῶν ΑΕ, ΓΖ ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶ τῇ τῶν ΖΔ, ΒΕ ὑπεροχῇ. κείσθω γὰρ τῷ ΓΖ ἴσον τὸ ΑΗ. ἡ ἄρα τῶν ΑΕ, ΓΖ ὑπεροχή ἐστι τὸ ΗΕ. ἐπεὶ οὖν ὅλον τὸ ΑΒ
5ὅλῳ τῷ ΓΔ ἴσον ἐστίν, ὧν τὸ ΑΗ τῷ ΓΖ [Omitted graphic marker] ἴσον, λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΒ λοιπῷ τῷ ΖΔ ἴσον. τὸ δὲ ΗΒ τοῦ ΕΒ ὑπερέχει τῷ ΗΕ. καὶ τὸ ΖΔ ἄρα τοῦ ΕΒ ὑπερέχει τῷ ΗΕ. ἀλλὰ καὶ τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ ὑπερέχει τῷ ΗΕ. ἡ ἄρα τῶν ΑΕ,
10ΓΖ ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶ τῇ τῶν ΖΔ, ΕΒ ὑπερ‐ οχῇ. Ἐπεὶ οὖν τῷ προδεδειγμένῳ δύο ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ, ἀφῄρηται δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἐλάσ‐ σονα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνων. ἐπεὶ οὖν καὶ
15τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μεῖζόν ἐστι· τὸ γὰρ Δ ἔγγιόν ἐστι τῆς διχοτομίας. τοῦτο δὲ τὸ λῆμμα δέδεικται μὲν ἐν τοῖς ἔμπροσθεν, δειχθήσεται δὲ καὶ νῦν τοῦ ἑτοίμου ἕνεκα. τὸ οὖν Δ ἔγγιόν ἐστι τῆς διχο‐ τομίας τῆς ΑΒ εὐθείας ἤπερ τὸ Γ· μείζων γὰρ ὑπόκειται
20ἡ ΑΓ τῆς ΑΔ. ᾧ ἄρα ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετρά‐ γωνα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετραγώνων, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΑ.

10

.

270

Δεῖξαι τὸ λῆμμα, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μείζονά εἰσιν. ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ
ΑΒ διῃρημένη εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Δ, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Γ. λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ
5τῶν ΑΔ, ΔΒ. ἐπεὶ γὰρ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ (τοῦτο γὰρ δέδεικται ἐν θεω‐ ρήματι θʹ τοῦ βʹ στοιχείου), ἔστι δὲ καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ διπλάσια τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ διὰ τὸ τέως δίχα τέμνεσθαι τὴν ΑΒ, τοῦ δὲ ἀπὸ τῆς ΔΓ διπλάσιον τὸ δὶς ἀπὸ τῆς ΔΓ,
10τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσα ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ τῆς ΔΓ. ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῷ δὶς ἀπὸ τῆς ΔΓ. ἀλλὰ δὴ μὴ τετμήσθω δίχα ἡ ΑΒ, ἀλλ’ ὡς ἔτυχεν κατὰ τὰ Γ, Δ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονα
15τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΒ τέτμηται, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Δ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ὧν τὸ δὶς
20ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μεῖζόν ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓΒ, τουτ‐ έστι τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. λοιπὸν ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἐλάσσονά ἐστιν.

10

.

271

Ἡ πρότασις τοῦ λήμματος τοιάδε ἂν εἴη· ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄλλως καὶ ἄλλως τμηθῇ εἰς ἄνισα, καθ’ ἣν τομὴν ὑπερέχει τὸ μεῖζον τμῆμα τοῦ κατὰ τὴν ἑτέραν τομὴν μείζονος τμήματος, τὰ ἀπὸ τῶν κατ’ ἐκείνην γινο‐
5μένων τμημάτων τετράγωνα μείζονά ἐστι τῶν τετραγώ‐ νων τῶν ἀναγραφομένων ἀπὸ τῶν κατὰ τὴν ἑτέραν τομὴν γινομένων τμημάτων.

10

.

272

Ἔστω ὅλη ἡ ΑΒ δεκάπους καὶ τετμήσθω ὡς εἶναι τὴν μὲν ΑΓ ὀκτάπουν, τὴν δὲ ΒΓ δίπουν, καὶ ἔτι τὴν ΑΔ
τετράπουν, ἑξάπουν δὲ τὴν ΔΒ. τὰ οὖν ἀπὸ τῆς ὀκτάποδος καὶ ἀπὸ τῆς δίποδος τετράγωνα μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ
5τῆς ἑξάποδος καὶ τετράποδος τετραγώνων· τὰ γὰρ ὀκτά‐ κις ὀκτὼ καὶ δὶς δύο, ἅπερ ἐστὶν ξη, μείζονά ἐστι τῶν ἑξά‐ κις ϛ καὶ τετράκις δ, ἅπερ ἐστὶ ν.

10

.

273

Ἰστέον, ὅτι ὡς ἕν τι λαμβάνει χωρίον τὸ συγκείμε‐ νον δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καὶ ἀπὸ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνων, ὁμοίως δὴ πάλιν ὡς ἕν τι τὸ συγκείμενον δὶς ὑπὸ τῆς ΑΔ καὶ ΔΒ καὶ ἀπὸ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετρα‐
5γώνων. καὶ ἐπεὶ συναμφότερα τὰ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ παραλληλόγραμμα μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώ‐ νων ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ, ὡσαύτως τὰ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τῶν ἀπὸ τῆς ΑΔ καὶ ΔΒ τετρα‐ γώνων ἴσα ἐστὶ καὶ αὐτὰ τῷ αὐτῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, ἔστι
10δὲ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλαττον τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, λείπεται τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετράγωνα μείζονα εἶναι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετραγώνων. εἰ γάρ, ὥσπερ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλαττόν ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, οὕτως ἦσαν ἐλάττονα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ
15τετράγωνα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετραγώνων, καὶ τὸ ὅλον τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνων ἔλαττον ἂν ἦν τοῦ ὅλου τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ καὶ ἔτι ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετραγώνων συγκειμένου. ἔστι δὲ καὶ ἴσον. ὥστε ἐπειδὴ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ
20τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνων ἴσον ὂν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετραγώνων ἐλαττοῦ‐ ται κατὰ τὸ συγκείμενον παραλληλόγραμμον ὑπὸ τοῦ περι‐ εχομένου δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ἀνάγκη κατὰ τὰ τετρά‐ γωνα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ καὶ ΓΒ ὑπερέχειν. εἰ γὰρ ἦν
25ἐλάττονα καὶ τὰ τετράγωνα ὥσπερ καὶ τὸ παραλληλό‐ γραμμον, καὶ τὸ σύμπαν ἔλαττον ἂν ἦν τοῦ σύμπαντος
ἴσον ὄν.

10

274-279t

Ad prop. 42

10

.

274

Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς.

10

.

275

Εἴ ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ ἡ αὐτή, οὐδέν τι διαφέρουσιν ἐν οὐδενί, ὥσπερ οὐδὲ οἶνος καὶ μέθυ. ὥστε ἔσται ὡσαύτως καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΓΒ ἡ αὐτή, καὶ ἔσται τὸ λέγειν, ὅτι ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, ταὐτὸν τῷ λέγειν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ.
5ὥστε οὐ διῄρηται εἰς ἄλλα καὶ ἄλλα τμήματα ὄντα δύο ῥητά· τοῦτο δὲ οὐχ ὑπόκειται τὸ εἰς τὸ αὐτὸ τμῆμα διαιρεθῆναι, ἀλλ’ εἰς ἄλλο καὶ ἄλλο. χάριν δὲ τοῦ σαφοῦς ἔστω ἡ ΑΒ δεκάπους καὶ διαιρεθήτω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω τὸ μὲν ΑΓ ὄνομα ἑπτάπουν, τὸ δὲ
10ΓΒ τρίπουν. ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΒ κατὰ τὴν ὑπόθεσιν ἡ αὐτή ἐστι τῇ ΑΓ, καὶ ἡ ΔΒ ἑπτάπους ἐστίν. ὥστε καὶ ἡ ΑΔ τρίπους. καὶ ὥσπερ τὸ Γ σημεῖον ἀπ’ ἀλλήλων διέστησε τὴν ἑπτάποδα καὶ τρίποδα, οὕτως καὶ τὸ Δ. τὸ Γ ἄρα ση‐ μεῖον καὶ τὸ Δ ταὐτόν ἐστι, καὶ διῃρέθη ἡ ΑΒ εἰς τὰ ὀνό‐
15ματα οὐ κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο τμῆμα ἤτοι σημεῖον, ὡς ἡ ὑπό‐ θεσις, ἀλλὰ κατὰ τὸ αὐτό. οὐχ ὑπόκειται δὲ κατὰ τὸ αὐτό, ἀλλὰ κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο. ὥστε εἰ μέν εἰσιν αἱ αὐταί, οὐ κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διῄρηνται, ἀλλὰ κατὰ τὸ αὐτό, καὶ γέγονε τοιοῦτόν τι, ὡς ἂν εἰ τὴν ὀκτάποδα διέλοι
20τις εἰς ε καὶ γ καὶ αὖθις εἰς γ καὶ ε· κατὰ γὰρ τὸ αὐτὸ γί‐ νεται ἡ διαίρεσις τῶν ε καὶ γ καὶ γ καὶ ε. ὥστε εἰ διῄρηται εἰς τὰ ὀνόματα κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον, οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ, ἀλλ’ ἑτέρα. εἰ δὲ τοῦτο, οὐχ ἡ αὐτὴ διῄρηται εἰς τὰ ὀνόματα κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον,
25ὅπερ ὑπόκειται, λέγω δὴ τὸ διαιρεθῆναι τὴν αὐτὴν κατ’ ἄλλο εἰς τὰ ὀνόματα. οὔκουν ἡ ΑΒ διῄρηται εἰς τὰ ὀνό‐ ματα κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο, ἀλλ’ ἑτέρα καὶ ἑτέρα. οὐκ ἦν δὲ προκείμενον τὸ ἄλλην καὶ ἄλλην τεμεῖν εἰς τὰ ὀνόματα,
ἀλλὰ τὴν αὐτὴν κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον.

10

.

276

Εἰ ὑποθώμεθα τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων διαιρεῖσθαι εἰς τὰ ὀνόματα καὶ κατ’ ἄλλο σημεῖον, συμβαίνει τὰς δι‐ αιρεθείσας ἐκ τοῦ βʹ σημείου εὐθείας μὴ ὑπάρχειν· ὥστε οὐδὲ τὸ δεύτερον σημεῖον ὑπάρξει. εἰ γὰρ ὑπάρχουσι, τὸ
5μεῖζον ὄνομα τῆς δευτέρας διαιρέσεως κατὰ τὸ μεῖζον ὄνομα τῆς πρώτης διαιρέσεως ἢ ἴσον ἐστὶν ἢ ἄνισον. καὶ εἰ μὲν ἴσον, συμβαίνει τὸ δοθὲν ἕτερον σημεῖον εἶναι τὸ αὐτὸ τῷ ἐξ ἀρχῆς δοθέντι, καὶ οὐκ ἄρα εἰσὶν ἴσαι. εἰ δὲ ἄνισον τὸ μεῖζον ὄνομα τῷ μείζονι, συμβαίνει οὕτως ἄτο‐
10πον· μέσον μέσου ὑπερέχει ῥητῷ. ὥστ’ οὖν τὸ μεῖζον ὄνομα τῆς βʹ διαιρέσεως τῷ μείζονι ὀνόματι τῆς αʹ διαιρέ‐ σεως οὔτε ἴσον οὔτε ἄνισον. οὐκ ἄρα εἰσὶ τὰ ὀνόματα τῆς βʹ διαιρέσεως, τουτέστιν αἱ εὐθεῖαι τῆς βʹ διαιρέσεως, διότι πᾶσα εὐθεῖα πάσῃ εὐθείᾳ ἢ ἴση ἐστὶν ἢ ἄνισος, τὸ
15δὲ μὴ ἔχον τῶν εὐθειῶν ἰσότητα ἢ ἀνισότητα οὐδὲ εὐθεῖά ἐστι δηλονότι, οὐδὲ τὸ διαιροῦν αὐτὰς σημεῖον.

10

.

277

φανερὸν δή, p. 69, 3] ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ καὶ ἡ ΓΒ τῇ ΔΑ, ἡ ΑΒ διαιρεθεῖσα κατὰ τὸ Δ οὐ διῃρέθη κατ’ ἄλλο σημεῖον ἢ κατὰ τὸ Γ. καὶ κατ’ ἄλλο σημεῖον λέγεται, ὅταν τῶν σημείων αἱ μείζονα ὀνόματα
5ἔχουσαι εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσι καὶ αἱ ἐλάττονα ἄνισοι.

10

.

278

κατὰ τὸ αὐτὸ p. 69, 7] καὶ οὐχὶ κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον.

10

.

279

διαφέρει τὰ ἀπὸ p. 69, 11] αἱ ΑΓ, ΔΒ ἄνισοί εἰσι, καὶ διὰ τὸ λῆμμα τοῦ μβʹ καὶ τοῦ πρὸ αὐτοῦ διαφέρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ.

10

280-282t

Ad prop. 43

10

.

280

Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς.

10

.

281

Ἐπεὶ τὸ αὐτὸ συμβήσεται, δυνατόν ἐστι πορίσα‐ σθαι τὸ δεδομένον τῆς προτάσεως διὰ λζʹ τοῦ ιʹ.

10

.

282

Φανερόν, ὅτι ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή, καὶ ὅτι τὰ Γ, Δ σημεῖα οὐκ ἴσα ἀπέχουσι τῆς διχοτομίας, προεδείχθη, καὶ ὅτι διαφέρει τὰ ἐκ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἐκ τῶν ΑΔ, ΔΒ.

10

283-285t

Ad prop. 44

10

.

283

Ἐκ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς.

10

.

284

διαιρεῖται p. 70, 16] προσυπακουστέον τὸ δηλον‐ ότι εἰς τὰ ὀνόματα.

10

.

285

οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή. p. 73, 6] ἐπεὶ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή, ἀλλ’ ἑτέρα, ἄλλη καὶ ἄλλη διῃρέθη εἰς τὰ ὀνόματα καὶ οὐχ ἡ αὐτὴ κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον, οὐκ ἦν δὲ προκείμενον τὸ ἄλλην καὶ ἄλλην διαιρεθῆναι εἰς τὰ ὀνόματα, ἀλλὰ τὴν
5αὐτὴν κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον.

10

286t

Ad prop. 45

10

.

286

Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς.

10

287t

Ad prop. 46

10

.

287

Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς.

10

288-289t

Ad prop. 47

10

.

288

Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς.

10

289col 1

Τὸ ΕΗ ٥ ٣٥ ٤٣
5٣٦ ٢٥
١٠Column end

10

289col 2

τὸ ΘΚ ٥ ٣٥ ٤٣
5٣٤
٢٤Column end

10

289col 3

ἡ ΚΗ οὐδέν ٣٣ ٢٤
5٢١
١٦Column end

10

289col 4

ἡ ΑΓ ١ ٤٠
٢٧Column end

10

289col 5

ἡ ΓΒ ١ ٤٠
١٦

10

290-292t

Ad definitiones alteras p. 76. 77

10

.

290

Πέμπτον κεφάλαιον τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων, ἥτις ἐστὶ πρώτη τῶν κατὰ σύνθεσιν, ἑξαχῶς διαποικιλλομένην ἀνευρίσκον.

10

.

291

τὸ μεῖζον ὄνομα p. 76, 20] μεῖζον ὄνομα αὐτὸ τὸ μεῖζον τμῆμα καλεῖται.

10

.

292

ἡ ὅλη p. 76, 23] ὅλη δηλονότι ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων καὶ διαιρεθεῖσα, ὡς ὑπόκειται.

10

293-301t

Ad prop. 48

10

.

293

Ἔστω ὁ ΕΖ ἀριθμὸς μονάδων ϛ, ὁ δὲ ΖΗ μονάδων δ καὶ λεπτῶν πρώτων μ, ὧν τεσσάρων μονάδων καὶ λε‐ πτῶν πρώτων μ ἔσται δύναμις ἤτοι τετράγωνος ὁ κ ἀριθ‐ μός· τοῦ γὰρ εἴκοσι πλευρά εἰσιν αἱ τέσσαρες μονάδες καὶ
5μ λεπτά. τούτων οὖν ἐχόντων ὡς ὁ θ πρὸς τὸν πέντε· ἔχει γὰρ αὐτὸν καὶ τέσσαρα αὐτοῦ μέρη· οὕτως ὁ λϛ τετρά‐ γωνος ὁ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῆς οὔσης ϛ μονάδων πρὸς τὸν εἴκοσι τετράγωνον τὸν ἀπὸ τῆς ΖΗ οὔσης μονάδων δ καὶ λεπτῶν πρώτων μ. ἔχει τοίνυν ὁ θ τὸν πέντε καὶ τέσσαρα αὐτοῦ
10πέμπτα· καὶ ὁ λϛ οὖν τὸν κ καὶ τέσσαρα αὐτοῦ πέμπτα· ὁ γὰρ ιϛ, ᾧ ὑπερέχει ὁ λϛ τοῦ κ, ὁ οὖν ιϛ τέσσαρα πέμπτα ἐστὶ τοῦ κ.

10

.

294

Ἔστω ὁ ΑΓ ὁ ε, ὁ δὲ ΓΒ ὁ δ. ὁ οὖν ἐξ αὐτῶν ὁ θ πρὸς μὲν τὸν δ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον, πρὸς δὲ τὸν ε οὐκ ἔχει. λόγον δὲ ἔχειν λέγεται ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον, ὅταν με‐
5ταξὺ ἐμπίπτῃ ἀριθμὸς ἀναλογίαν σώζων· διὸ ὁ ιϛ καὶ ὁ θ πρὸς τὸν δ λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον· πίπτει γὰρ μεταξὺ τοῦ θ καὶ δ ὁ ϛ, καί ἐστιν ὡς ὁ θ πρὸς
τὸν ϛ, οὕτως ὁ ϛ πρὸς τὸν δ, μεταξὺ δὲ τοῦ ιϛ καὶ δ ὁ η.

10

.

295

Ἔστω ἡ Δ ἡ πλευρὰ τοῦ ι οὖσα μονάδων γ λεπτῶν λε· ἔστω δὴ καὶ ἡ ΖΗ καὶ αὐτὴ ἡ πλευρὰ τοῦ ι· ἴση ἄρα ἡ Δ τῇ ΖΗ· σύμμετροι ἄρα μήκει. ἡ δὲ ΕΗ οὖσα μονάδων δ λεπτῶν πρώτων ιϛ ἔστω ἡ πλευρὰ τοῦ ιη. ἔστι
5τοίνυν ὡς ὁ ΓΑ ἤτοι ὁ ε πρὸς τὸν ΑΒ (ἔχεται γὰρ αὐτὸς καὶ τέσσαρα αὐτοῦ πέμπτα), οὕτως καὶ ὁ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνος ὁ ι πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον τὸν ιη· ἔχεται γὰρ κἀν τούτοις ὁ ι ὑπὸ τοῦ ι καὶ η καὶ τέσσαρα αὐτοῦ πέμπτα· τὰ γὰρ ὀκτώ, οἷς ὑπερέχει ὁ ιη τοῦ ι, τέσ‐
10σαρά εἰσι τοῦ δέκα πέμπτα.

10

.

296

Κατ’ ἄλλην γραφὴν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ λϛ, τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ κζ, ἡ ΖΗ ἡ πλευρὰ τοῦ κζ, τὸ ἀπὸ τῆς Θ θ.

10

.

297

Ὁ ΑΓ ε, ὁ ΓΒ δ, ἡ ὅλη ΑΒ θ, ἡ Δ ϛ, ἡ ΕΖ δ, τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ὀκτὼ νγ κ, ἡ ΖΗ δύο νη νγ, τὸ ἀπὸ τῆς Θ ζ ϛ μ, ἡ Θ β μ, ἡ ὅλη ΕΗ ϛ νη νγ.

10

.

298

Κατ’ ἄλλην γραφὴν ὁ ΑΓ ιβ, ὁ ΓΒ δ, ὁ ΑΒ ιϛ, ἡ Δ δ, ὁ ΖΗ ϛ, τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ μη, ὁ ΖΕ ϛ νε μα, τὸ ἀπὸ τῆς Θ ιβ, ἡ Θ ἡ πλευρὰ τοῦ ιβ γ κζ να.

10

.

299

τῇ Δ σύμμετρος ἔστω μήκει ἡ ΕΖ. p. 77, 19] δυ‐ νάμεθα τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρον λαβεῖν, ὅταν ἢ ἴσην ἢ διπλασίαν ἢ ἡμίσειαν λάβωμεν, οἷον εἴ ἐστιν ἡ ἐκκειμένη ῥητὴ ἑξάπους, καὶ ληψόμεθα τὴν δωδεκάποδα, σύμμετρος
5ἔσται αὐτῇ μήκει· μετρεῖ γὰρ ἡ ἑξάπους καὶ ἑαυτήν· πᾶς γὰρ ἀριθμὸς ὡς ἑαυτῷ ἐφαρμόζων μετρητική ἐστιν ἑαυτοῦ. ἀλλὰ καὶ τὴν δωδεκάποδα μετρεῖ ἀπαρτιζόντως ἡ ἑξάπους αὐτὴ καὶ ἑαυτῆς καὶ τῆς δωδεκάποδος. ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων τὰ αὐτὰ ῥητέον τῆς τε ἡμισείας τῆς προ‐
10κειμένης ῥητῆς καὶ τῆς ἴσης καὶ τῆς τριπλασίας καὶ ἑξῆς.

10

.

300

Δύναται ἐκτιθέναι εὐθεῖαν καὶ ποιεῖν ἢ διὰ ὅρον
ἴσην ἢ διπλασίαν ἢ ἡμίσειαν διὰ πόρισμα ϛʹ ιʹ καὶ ἑξῆς.

10

.

301

ὥστε σύμμετρόν ἐστι p. 78, 5] τὰ γὰρ τετράγωνα τὰ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, σύμμετρά ἐστιν.

10

302t

Ad prop. 49

10

.

302

Ὁ ΑΓ ε, ὁ ΓΒ δ, ὁ ΑΒ ὅλος θ, ἡ ΖΗ δ, ἡ Δ ϛ, τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ κη μη, ἡ ΕΖ ε κα νθ, τὸ ἀπὸ τῆς Θ ιβ μη, ἡ Θ γ λδ λθ, ἡ ὅλη ΕΗ θ κα νθ.

10

303-304t

Ad prop. 50

10

.

303

Ἡ ΑΓ ε καὶ ἡ ΓΒ δ καὶ ἡ ὅλη ΑΒ θ, ὁ Δ ιβ, ἡ Ε ϛ, τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ κζ, ἡ ΖΗ ἡ πλευρὰ τοῦ κζ ε ια μϛ, τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ ιε, ἡ ΗΘ γ νβ κβ, τὸ ἀπὸ τῆς Κ ιβ, ἡ Κ γ κζ ν, ἡ ὅλη ἡ ΖΘ θ δ η.

10

.

304

Τοῦ νʹ θεωρήματος κατ’ ἄλλην γραφήν· ὁ ΑΓ ιβ, ὁ ΓΒ δ, ὁ ΑΒ ὅλος ιϛ, ἡ Δ η, ἡ Ε ϛ, τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ογ, ἡ ΖΗ η κθ ζ, τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ νδ, ἡ ΘΗ ζ κ νδ, τὸ ἀπὸ τῆς Κ ιη, ἡ Κ δ ιδ λγ.

10

305-306t

Ad prop. 51

10

.

305

Ὁ ΑΓ η, ὁ ΓΒ δ, ἡ Δ ϛ, ἡ ΕΖ θ, τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ νδ, ἡ ΖΗ ζ κ νδ, τὸ ἀπὸ τῆς Θ κζ, ἡ Θ ε ια μϛ, τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πα, ἡ ὅλη ΕΗ ιϛ κ νδ.

10

.

306

Τοῦ ναʹ. ὁ ΑΓ δ, ὁ ΓΒ ζ, ὁ Δ ϛ, ἡ ΕΖ ιβ, ἡ ΖΗ θ μζ νβ, τὸ ἀπὸ ταύτης ϙϛ, ἡ Θ πλευρὰ τοῦ μη, ἥτις
ἐστὶν ϛ νε μα.

10

307t

Ad prop. 52

10

.

307

Ὁ ΑΓ η, ὁ ΓΒ δ, ἡ Δ ϛ, ἡ ΖΗ δ, τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ κδ, ἡ ΕΖ δ νγ νϛ, τὸ ἀπὸ τῆς Θ η, ἡ Θ β μθ μβ. ἡ ΕΗ ὅλη η νγ νϛ. τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ιϛ.

10

308t

Ad prop. 53

10

.

308

Ὁ ΑΓ η, ὁ ΓΒ δ, ἡ Ε ε, τὸ ἀπὸ ταύτης κε, ὁ Δ ε, τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λ, ἡ ΖΗ ε κη λη, τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ κ, ἡ ΗΘ δ κη ιθ, τὸ ἀπὸ τῆς Κ δέκα, ἡ Κ γ θ μδ, ὅλη ἡ ΖΘ θ νε ιζ.

10

309-316t

Ad prop. 54

10

.

309

Ἕκτον κεφάλαιον δεικνύον τὰς κατὰ σύνθεσιν ἓξ ἀλόγους χωρία ποιούσας περιεχόμενα ὑπὸ ῥητῆς καὶ μιᾶς τινος τῶν ἓξ ἐκ δύο ὀνομάτων.

10

.

310

Διὰ τὸ μηʹ καὶ διὰ τὸ λϛʹ δυνατὸν τὰ εἰρημένα πορίσασθαι.

10

.

311

Δεῖ πρῶτον εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτην καὶ οὕτως διαιρεῖν εἰς τὰ ὀνόματα διὰ μβʹ ιʹ.

10

.

312

Τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ β ιγ ιθ μη μβ ιε, τὸ ΑΘ κ, τὸ ΗΚ τέσσαρες, τὸ ΕΛ ὀκτὼ νϛ λθ, τὸ ΖΔ ὁμοίως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΑΔ μα νγ ιη, ἡ ΑΔ ϛ νη νγ.

10

.

313

Κατ’ ἄλλην γραφήν· ὁ ΑΔ ια ια μϛ, ἡ ΑΒ ϛ, ἡ ΑΕ μονάδων ϛ, ἡ ΕΔ ἡ πλευρὰ τοῦ κζ, τὸ ὑπὸ ΑΒ καὶ ΑΔ ξϛ ι λϛ, ἡ ΕΖ β λε νγ, τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ϛ με, ἡ ΑΗ δ λ, ἡ ΗΕ α λ, τὸ ΑΘ κζ, ἡ ΜΝ ε ια μϛ, τὸ ΝΠ θ, ἡ ΝΞ γ,
5ἡ ΜΞ η ια μϛ, τὸ ΕΛ ια λϛ ιη.

10

.

314

(ΑΒ)٦, (ΑΗ)٣ ٢٠, (ΗΕ)٠ ٤٠, (ΕΖ)١ ٢٩ ٢٦ ٣٠, (ΖΔ)١ ٢٩ ٢٦ ٣٠

10

.

315

καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ p. 90, 16] εἰ γὰρ οὐ διαιρεῖται κατὰ τὰ εἰρημένα, οὐκ ἔστιν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτη.

10

.

316

παραβεβλήσθω οὖν p. 91, 8] καὶ ἔστω λοιπὸν εἴδει τετραγώνῳ διὰ λῆμμα τοῦ ιζʹ ιʹ καὶ διὰ ιζʹ ιʹ, διότι καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ μήκει.

10

317-320t

Ad prop. 55

10

.

317

Τὸ ὑπὸ ΑΗ, ΗΒ χωρίον θέλῃς ἐντὸς τοῦ ΑΓ χωρίου ἔγγραψον θέλῃς ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ προβαίνει τὸ θεώρημα τῆς δὲ ΑΒ ἐξ ἑτέρας παραλλήλους διὰ τὸ ΝΕ, ΖΔ σημεῖον.

10

.

318

Ἡ ΑΒ ϛ, ἡ ΑΕ πέντε κα νθ, ἡ ἡμίσεια τῆς ΑΕ β μ νθ λ, τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ζ ια νη ιθ οὐδὲν ιε, ἡ ΕΔ δ, ἡ ΕΖ β, ἡ ΖΔ β, τὸ καταλειπόμενον μετὰ τὴν ἀφαίρε‐ σιν τῆς καταμετρ..... ια νη ιθ ιε, τὸ ΑΓ ὅλον νϛ ια νδ,
5ἡ μὴ προστιθεμένης τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν δ κη ιζ λ, ἡ ΗΕ οὐδὲν νγ μα λ, ἡ προστιθεμένη πλευρὰ τῇ ἑτέρᾳ ἡμι‐ σείᾳ μεταξὺ τῶν τομῶν, τὸ ΑΘ ἤτοι τὸ ΣΝ κϛ μθ με, ἡ αὐτῶν πλευρὰ ε ι μϛ, τὸ ΗΚ ἤτοι τὸ ΝΠ ε κβ θ, ἡ αὐτῶν πλευρὰ β ιθ α, τὸ ΕΛ ιβ, τὸ ΖΓ ιβ, ἡ τὸ ΑΓ δυναμένη ἡ
10ΜΞ ζ κθ μζ.

10

.

319

αἱ ΑΕ, ΕΔ ἄρα p. 93, 19] εἰ γὰρ οὐ διαιρεῖται οὕ‐ τως, οὐκ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα διὰ τὸν ὅρον
τῶν δευτέρων, διὰ μβʹ τοῦ ιʹ.

10

.

320

Καὶ αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα μέσαι p. 95, 5] γέγραπται γάρ, ὅτι ἡ δυναμένη ἄλογον χωρίον ἄλογός ἐστιν.

10

321-322t

Ad prop. 56

10

.

321

Ἡ ΑΔ θ δ η, ἡ ΑΕ ε ια μϛ, τὸ ἀπὸ ταύτης καὶ τῆς ῥητῆς τῆς ΑΒ ϛ μονάδων οὔσης νδ κδ μη, ἡ ΜΞ ἡ πλευρὰ τοῦ ΒΓ ζ κβ λε, τὸ ἥμισυ τῆς ΑΕ β λε νγ, ἡ ΕΔ γ νβ κβ, ἡ ΕΖ α νϛ ια, τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ γ μδ νη λδ α, τὸ
5ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΕ ϛ μδ νθ λϛ μθ, τὸ καταλειφθὲν ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΕ γ οὐδὲν α β μη, ἡ αὐτῶν πλευρὰ α μγ νε, ἡ ΑΗ δ ιθ μη, ἡ ΗΕ οὐδὲν να νη, τὸ ΑΘ ἤτοι τὸ ΣΝ κε νη μη, ἡ πλευρὰ αὐτῶν ἡ ΜΝ ε ε μθ, τὸ ΗΚ ἤτοι τὸ ΝΠ ε ια μη, ἡ πλευρὰ αὐτῶν ἡ ΝΞ β ιϛ μϛ,
10τὸ ΕΛ ια λζ ϛ, τὸ ΖΓ ια λζ ϛ.

10

.

322

Κατ’ ἄλλην γραφὴν εἰς τὸ νϛʹ· ἡ ΑΒ ϛ, ἡ ΑΕ η κθ ζ, ἡ ΕΔ ζ κ νδ, ἡ ΑΔ ιε ν α, τὸ ΑΓ ϙε οὐδὲν ϛ, τὸ ΕΖ γ μ κζ, ἡ ΑΗ ϛ κα μα, ἡ ΗΕ β ζ κε, ἡ πλευρὰ τοῦ ΑΓ θ μδ μη, τὸ ΑΘ λη ι ιβ, ἡ τούτων πλευρὰ ϛ ι μα, τὸ
5ΗΚ ιβ κδ λ, ἡ τούτων πλευρὰ γ λδ ι.

10

323-324t

Ad prop. 57

10

.

323

Ἡ ΑΕ θ, ἡ ΕΔ ζ κ νδ, ἡ ΑΔ ὅλη ιϛ κ νδ, τὸ ΑΓ ϙη ε κδ, ἡ ΑΒ ϛ μονάδων, ἡ ΕΖ γ μ κζ, τὸ ἀπὸ ταύτης ἤγουν τὸ ΕΛ ιγ κθ νη ιβ θ, ἡ ΖΔ ὡσαύτως ἴση τῇ ΕΖ, ὁμοίως καὶ τὸ ΖΓ ἴσον τῷ ΕΛ, τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς
5ΑΕ κ ιε, ἡ ἡμίσεια τῆς ΑΕ δ λ, ἡ ΑΗ ζ ε νγ, ἡ ΗΕ α νδ ζ,
τὸ ΑΘ ἤτοι τὸ ΣΝ μβ λε ιη, ἡ αὐτῶν πλευρὰ ἡ ΜΝ ϛ λα λγ, τὸ ΗΚ ἤτοι τὸ ΝΠ ια κδ μβ, ἡ αὐτῶν πλευρὰ ἡ ΝΞ γ κβ μβ, ἡ ὅλη ΜΞ θ νδ ιδ, τὸ ΕΛ κβ β δ, ὁμοίως καὶ τὸ ΖΓ.

10

.

324

Τοῦ νζʹ. ἡ ΑΒ ϛ, ἡ ΑΕ ιβ, ἡ ΕΔ θ κζ νβ, ἡ ΑΔ κα κζ νβ, τὸ ΑΓ ρλ μζ ιβ, ἡ τούτων πλευρὰ ια κϛ ι ἡ ΕΖ δ νγ νϛ, τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ κδ, ἡ ΑΗ θ κζ ν, ἡ ΗΕ β β ι, τὸ ΑΘ νϛ μζ οὐδέν, ἡ τούτων πλευρὰ ζ λβ λζ, τὸ ΗΚ ιε ιγ οὐδέν, ἡ
5τούτων πλευρὰ γ νδ γ.

10

325t

Ad prop. 58

10

.

325

Ἡ ΑΔ η νγ νϛ; ἡ ΑΕ δ νγ νϛ, ἡ ΕΔ δ, ἡ ΑΒ ϛ, τὸ ΑΓ ὅλον νγ κγ λϛ, ἡ αὐτῶν πλευρὰ ἡ ΜΞ ζ ιη κε, ἡ ΕΖ β, τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ δ, ἡ ΑΗ γ να μη, ἡ ΗΕ α β η, τὸ ΑΔ κγ ι μη, ἡ αὐτῶν πλευρὰ ἡ ΜΝ δ μη νβ, τὸ ΗΚ ϛ ιβ μη, ἡ αὐ‐
5τῶν πλευρὰ ἡ ΝΞ β κθ λγ, τὸ ΕΛ ιβ, τὸ ΖΓ ιβ.

10

326t

Ad prop. 59

10

.

326

Ἡ ΑΔ ὅλη θ νϛ νζ, ἡ ΑΕ ε κη λη, ἡ ΕΔ δ κη ιθ, τὸ ΑΓ νθ μα μβ, ἡ αὐτῶν πλευρὰ ἡ ΜΞ ζ μγ λδ, ἡ ΕΖ β ιδ θ λ, ἡ ΕΔ ὁμοίως, τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ δ νθ νη κζ λ ιε, ἡ ΑΗ δ ιθ ια, ἡ ΗΕ α θ κζ, τὸ ΑΘ κε νε ϛ, ἡ αὐτῶν πλευρὰ
5ἡ ΜΝ ε ε κζ, τὸ ΗΚ ϛ νϛ μβ, ἡ αὐτῶν πλευρὰ ἡ ΝΞ β
λη ζ, τὸ ΕΛ ιγ κδ νζ, ὁμοίως καὶ τὸ ΖΓ. ἡ ΑΒ ϛ.

10

327-328t

Ad lemma p. 103

10

.

327

Ἔστω ἡ ΑΒ δεκάπους καὶ τετμήσθω εἰς μὲν ἄνισα κατὰ τὸ Γ, εἰς δὲ ἴσα κατὰ τὸ Δ ὡς εἶναι τὴν μὲν ΑΓ ἑξάπουν, τὴν δὲ ΓΒ τετράπουν, τὴν δὲ ΑΔ πεντάπουν, ὁμοίως καὶ τὴν ΔΒ πεντάπουν. τὸ οὖν δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ,
5ΓΒ ὂν ποδῶν μη οὐκ ἔστι διπλάσιον τῆς εἰκοσιπεντάποδος τῆς γεγονυίας ἀπὸ τῆς ΑΔ πεντάποδος, ἀλλ’ ἐλλείπει· τοῦτο γάρ ἐστιν, ὃ εἶπε διὰ τοῦ· τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ ΓΒ ἔλαττον ἢ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΔ. ἐπεὶ τοίνυν τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ οὐκ ἔστι διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ,
10ἀλλ’ ἔλαττον ἢ διπλάσιον, πολλῷ ἄρα οὐκ ἔσται διπλάσιον τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ τετραγώ‐ νων. ὥστε ἐπεὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ διπλάσιά εἰσι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ οὐκ ἔστι διπλάσιον τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ, ἀλλ’ ἔλαττον, τὸ ἄρα δὶς
15ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. οἷον ὑποδείγματος χάριν, εἰ τὰ ιβ τῶν ϛ ἐστι διπλάσια, τὰ δὲ ια οὐκ ἔστι τῶν ϛ διπλάσια, τὰ ιβ τῶν ια μείζονά ἐστιν.

10

.

328

Λῆμμα εἰς τὸ ξβʹ θεώρημα καὶ εἰς τὰ ἑξῆς ὅμοια αὐτῷ. Ὅτι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω, ὡς
5ἔτυχεν, κατὰ τὸ Γ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΒ τετρά‐ γωνον τὸ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ, καὶ παράλληλος ὁπο‐ τέρᾳ τῶν ΑΕ, ΒΔ ἔστω ἡ ΓΖ, ὁμοίως καὶ διὰ τοῦ Η παράλληλος ἡ ΘΗΚ. τετράγωνον ἄρα ἑκάτερον τῶν ΘΖ,
ΚΓ, καί ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τὸ δὲ ΑΗ παραπλή‐
10ρωμα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ἴση γὰρ [Omitted graphic marker] ἡ ΗΓ τῇ ΓΒ. λέγω οὖν, ὅτι τῶν ΕΗ, ΗΒ τετραγώνων μέσον ἀνάλο‐ γόν ἐστι τὸ ΑΗ. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς
15ΗΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΘ πρὸς ΘΕ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς ΗΕ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ΒΗ πρὸς ΗΑ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς ΗΕ. τῶν ΒΗ, ΗΕ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΑΗ. καί ἐστι τὰ μὲν ΒΗ, ΗΕ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τὸ δὲ ΓΘ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.
20τῶν ἄρα ἀπὸ ΑΓ, ΓΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. Ἄλλο λῆμμα εἰς τὸ αὐτὸ θεώρημα καὶ εἰς τὰ ἑξῆς αὐτῷ ὅμοια. Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Γ.
25δεῖξαι, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετράγωνα μείζονά ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ περιεχομένου ὀρθογωνίου. δειχθήσεται δὲ οὕτως· ἐπεὶ ἡ ΑΒ εὐθεῖα τέτμηται εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Γ, μία τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζων ἐστίν. ἔστω ἡ [Omitted graphic marker] ΑΓ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΓ τῇ ἐλάσσονι
30τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΓΔ. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Δ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ τετραγώνῳ. ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ μείζονά ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ τετραγώνῳ. ἴσα δὲ
35τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ (ἴση γὰρ ἐτέθη τῇ ΓΒ ἡ ΓΔ), τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

10

329-332t

Ad prop. 60

10

.

329

Ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτη ἦν, ὅταν τὸ μεῖζον ὄνομα σύμμετρον ἦν μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ.

10

.

330

Ἔστω ἡ ΑΒ ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων ρπ, καὶ διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα ὡς εἶναι τὸ μεῖζον ὄνομα ρνε, τὸ δὲ ἔλατ‐ τον κε. ἔστω δὲ καὶ ἡ ΔΕ ῥητή, ἤτοι καὶ αὐτὴ ρπ, καὶ παραβεβλήσθω ἤτοι μερισθήτω τὸ ἀπὸ τῶν ρπ γινόμενον
5τετράγωνον, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῆς ἐκ δύο ὀνομά‐ των, ἅπερ ὀνόματά ἐστιν, ὡς εἴρηται, ὁ ρνε καὶ ὁ κε, μερι‐ σθήτω τοίνυν τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τετράγωνον ὂν τριῶν μυριάδων καὶ δισχιλίων τετρακοσίων παρὰ τὴν ῥητὴν τὴν ΔΕ οὖσαν ρπ, καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ μερισμοῦ εὑρε‐
10θέν, ὅπερ πλάτος παραβολῆς καλεῖται, ἔσται πάντως αὐτὴ ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων συγκειμένη ἤτοι ἡ ρπ.

10

.

331

Ἡ ΑΒ ϛ νη νγ, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μη μδ κγ ιδ μθ, ἡ ΔΕ δ, τὸ πλάτος τῆς παραβολῆς ἡ ΔΗ ιβ ια ε μη μβ ιε, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἤτοι τὸ ΔΘ ιϛ, ἡ ΔΚ δ, τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ ἤτοι τὸ ΚΛ η νγ ιθ ιδ μθ, ἡ ΚΜ β ιγ ιθ μη μβ ιε, τὸ ἅπαξ
5ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ια νε λβ, ἡ ΜΝ β νη νγ, ὁμοίως καὶ ἡ ΝΗ καὶ τὸ ΝΖ.

10

.

332

ἑκάτερον ἄρα τῶν p. 104, 11] ὃ λέγει, ἐστίν, ὅτι ἕκαστον παραλληλόγραμμον τὸ περιεχόμενον ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ οἷον τὸ ΜΞ ἐστι τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ
καὶ πάλιν τὸ ΝΖ τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἐπεὶ γὰρ
5ὅλον τὸ ΜΖ ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τέτμηται δὲ δίχα ἡ ΜΗ, δῆλον, ὅτι τὸ ΜΞ ἥμισύ ἐστι τοῦ ΜΖ. ὥστε τὸ ἅπαξ ἐστὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.

10

333-334t

Ad prop. 61

10

.

333

Μέση ἦν ἡ δυναμένη χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων, οἷον ἡ εἰκοσιτεσσαρά‐ πους καὶ τριακοντάπους μήκει μέν εἰσιν ἀσύμμετροι, δυ‐ νάμει δὲ σύμμετροι· τὰ γὰρ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα τά τε
5φοϛ καὶ τὸ ἐννακόσιοι κοινῷ χωρίῳ μετροῦνται τῷ ϛ· ἑξάκις γὰρ ϙϛ φοϛ καὶ ἑξάκις ρν ἐννακόσιοι. ὥστε ἡ εἰκοσι‐ τεσσαράπους καὶ ἡ τριακοντάπους μήκει μὲν ἀσύμμε‐ τροι, δυνάμει δὲ σύμμετροί εἰσι, περιέχουσι δὲ χωρίον ποδῶν ἑπτακοσίων εἴκοσι. ἡ οὖν δυναμένη τὸ τοιοῦτον
10χωρίον ἐστὶ μέση. ληπτέον δὴ τὴν τοῦ ψκ πλευρὰν τὴν δυ‐ ναμένην τὸν ψκ, καὶ ἔσται ἡ μέση. ἔστι δὲ ἡ πλευρὰ τοῦ ψκ κϛ μθ λη.

10

.

334

Ἡ ΑΒ δ νζ νγ, ἡ ΔΕ δ, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ κα κϛ νθ η μθ, ἡ ΔΗ ε κα μδ μζ ιβ ιε, ἡ ΑΓ β νη μδ, ἡ ΓΒ α λθ θ, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ η νβ κε λϛ ιϛ; ἡ ΔΚ β ιγ ϛ κδ δ, τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ β μγ ν μγ κα, ἡ ΚΜ οὐδὲν μ νζ μ ν ιε, τὸ ΜΞ δ νε κα
5κδ λϛ; ἡ ΜΝ α ιγ ν κα θ, ὁμοίως καὶ τὸ ΝΖ καὶ ἡ ΝΗ.

10

335t

Ad prop. 62

10

.

335

Ἡ ΑΒ ὅλη ε ιγ ια, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ κζ ιδ μγ μη α, ἡ ΑΓ β νθ κη, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ η νϛ μη ιζ δ, ἡ ΓΒ β ιγ μγ, τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ δ νη οὐδὲν η μθ, ἡ ΔΕ δ, ἡ ΔΗ ϛ μη μ νζ οὐδὲν ιε, ἡ ΔΚ β ιδ ιβ δ ιβ ιϛ, ἡ ΚΜ α ιδ λβ ιβ ιε, τὸ ΜΞ
5ϛ λθ νζ μα δ, τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἤτοι ΜΖ ιγ ιθ νε
κβ η, ἡ ΜΝ α λθ νθ κε ιϛ, ἡ ΜΗ γ ιθ νη ν λβ.

10

336t

Ad prop. 63

10

.

336

Ἡ ΑΒ δ νθ ιδ, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ κδ νβ κ λε ιϛ, ἡ ΑΓ γ μθ μβ, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ιδ λθ κβ ε κδ, ἡ ΓΒ α θ λβ, τὸ ἀπὸ ταύτης α κ λδ νγ μ, ἡ ΔΚ γ λθ ν λα κα, ἡ ΔΕ δ, ἡ ΚΜ οὐδὲν κ η μγ ιϛ, τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ ἤτοι τὸ ΜΞ δ κϛ
5ια μη κδ, τὸ δὶς η νβ κγ λϛ μη, ἡ ΜΗ β ιγ ε νδ ιβ.

10

337t

Ad prop. 64

10

.

337

Ἡ ΑΒ δ θ μα, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ιζ ιθ α μϛ α, ἡ ΑΓ β κε ια, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ε να ιη ιβ α, ἡ ΓΒ α μδ λ, τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ γ β οὐδὲν ιε, ἡ ΔΕ δ, ἡ ΔΗ δ ιθ με κϛ λ ιε, ἡ ΚΜ οὐδὲν με λ γ με, ὁμοίως καὶ ἡ ΜΝ, ἡ ΔΜ β ιγ ιθ λϛ
5με ιε, ἡ ΔΚ α κζ μθ λγ ιε, τὸ ΜΞ δ ιβ να λθ λ, τὸ ΜΖ η κε μγ ιθ, ἡ ΜΗ, ἣν δίχα τμητέον εἰς τὴν ΜΝ καὶ ΝΗ, β ϛ κε μθ με.

10

338t

Ad prop. 65

10

.

338

Ἡ ΑΒ γ κ μγ, τὸ ἀπὸ ταύτης ια ια κζ ι μθ, ἡ ΑΓ α δ κζ, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ β μη ι ιβ θ, ἡ ΓΒ α μ ιϛ, τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ β μζ λγ μδ ιϛ, ἡ ΔΗ β μζ μα μζ μβ ιε, ἡ ΔΕ δ, τὸ ΔΛ ε λε μγ λϛ κε, ἡ ΔΜ α κγ νε νδ ϛ ιε, τὸ ὑπὸ τῶν
5ΑΒ, ΒΓ τὸ ΜΞ δύο μζ να μζ ιβ, ἡ ΜΗ α κγ νε νγ λϛ.

10

339-343t

Ad prop. 66

10

.

339

Ἡ ΑΕ δ, ἡ ΕΒ β νη νγ, ἡ ΑΒ ϛ νη νγ, ἡ ΓΔ δέκα α νϛ, ἡ ΓΖ ε μδ νβ μγ ν κε ιθ, ἡ ΖΔ δ ιζ γ ιϛ θ λδ μα.

10

.

340

Ἕβδομον κεφάλαιον, ἐν ᾧ περὶ τῆς πρὸς τὰς κατὰ σύνθεσιν ϛ ἀλόγους συμμετρίας διαλέγεται δεικνύων, ὅτι ἡ ἑκάστῃ σύμμετρος ὁμοειδής ἐστιν αὐτῇ, καὶ ἔτι τὰς δυνάμεις αὐτῶν παρὰ τὰς ῥητὰς παραβάλλων ἐπισκέπτεται
5τὰ πλάτη τῶν χωρίων ἀντίστροφον ἑτέραν ἑξάδα τῇ ἐν τῷ ϛ κεφαλαίῳ παραδοθείσῃ ταύτην εὑρών.

10

.

341

μήκει p. 113, 20] ἀναγκαίως τὸ μήκει πρόσκειται, ἐπεί, ἐάν εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, προχωρεῖ ἐκ δύο ὀνομάτων εἶναι τὴν τῇ ἐκκειμένῃ ἐκ δύο ὀνομάτων σύμ‐ μετρον δυνάμει μόνον καὶ αὐτὴν εἶναι ἐκ δύο ὀνομάτων, τῇ
5τάξει δὲ μὴ εἶναι τὴν αὐτήν.

10

.

342

γεγονέτω ὡς p. 114, 4] πόθεν δῆλον τοῦτο δυνατὸν εἶναι, ὡς τὴν ΑΒ πρὸς ΓΔ, οὕτως τὴν ΑΕ πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΓΔ; διὰ τῆς ἀδυνάτου. ἔστω ἢ πρὸς αὐτὴν ἢ πρὸς τὴν μείζονα τῆς ΓΔ· ἐλέγχεται διὰ ιδʹ τοῦ εʹ, ὅτι οὔτε πρὸς
5αὐτὴν τὴν ΓΔ οὔτε πρὸς τὴν μείζονα αὐτῆς. λείπεται πρὸς τὴν ἐλάττονα τῆς ΓΔ, τουτέστι τὴν ΓΖ.

10

.

343

καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ p. 114, 18] διὰ τοῦ κθʹ καὶ λʹ τοῦ ιʹ πορίσασθαι ταῦτα δυνατόν.

10

344-345t

Ad prop. 67

10

.

344

Ἡ ΑΒ δ λζ νγ, ἡ ΓΔ ζ μα νζ, ἡ ΑΕ β νη μδ, ἡ ΕΒ α λθ θ, ἡ ΓΖ δ νζ ζ μα, ἡ ΖΔ β μδ λζ ιθ.

10

.

345

Δεῖ πρῶτον εὑρεῖν τὴν ἐκ τῶν δύο μέσων πρώτην καὶ δευτέραν· καὶ αὗται δὲ εὑρίσκονται διὰ κηʹ καὶ διὰ κζʹ·
καὶ οὕτως δίελε εἰς τὰ ὀνόματα, ἔχουσι δὲ αἱ δύο κοινῇ δυνάμει μόνον σύμμετρον. ἄλλο ἐστὶ νόημα τὸ λέγειν
5εὐθεῖα εὐθείᾳ σύμμετρος μήκει καὶ ἄλλο εὐθεῖα εὐθείᾳ σύμμετρος δυνάμει μόνον καὶ ἄλλως εὐθεῖα εὐθείᾳ σύμμετ‐ ρος. τοῦτο γενικώτατον, ταυτίζεται δὲ τὸ λέγειν εὐθεῖα εὐ‐ θείᾳ δυνάμει σύμμετρος τῷ νοήματι τῷ λέγειν ἁπλῶς εὐθεῖα εὐθείᾳ σύμμετρος.

10

346-349t

Ad prop. 68

10

.

346

Ἡ ΑΒ δ νθ ιδ, ἡ ΓΔ η β ιζ, ἡ ΑΕ γ μθ μβ, ἡ ΕΒ α θ λβ, ἡ ΓΖ ϛ ιβ δ, ἡ ΖΔ α ν ιγ.

10

.

347

καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ p. 118, 8] διὰ τὸ κδʹ τοῦ πέμπτου· πρώτου γὰρ ὑποτεθέντος τοῦ ἀπὸ τοῦ ΕΒ, δευτέρου τοῦ ἀπὸ ΑΒ, τρίτου τοῦ ἀπὸ ΔΖ, τετάρτου τοῦ ἀπὸ ΓΔ, πέμπτου τοῦ ἀπὸ ΑΕ, ἕκτου τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ἐὰν
5συντεθῇ πρῶτον καὶ πέμπτον, πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, καὶ τρίτον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον, καὶ ἀνά‐ παλιν τὸ δεύτερον πρὸς πρῶτον καὶ πέμπτον συντεθὲν τὸν αὐτὸν λόγον ἕξει καὶ τὸ τέταρτον πρὸς τρίτον καὶ ἕκτον συντεθέν.

10

.

348

Καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ διὰ λῆμμα ιαʹ εʹ, καὶ συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ συγκειμένη πρὸς τὴν συγκειμένην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΔ. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς
5ΕΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ· σύμμετρον καὶ τὸ συγκείμενον τῷ συγκειμένῳ· ῥητὸν ἐκεῖνο καὶ τοῦτο.

10

.

349

Ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ, καί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τοῦ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΔ, ἐναλλάξ ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ
5ὑπὸ ΓΖΔ. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ. σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΑΕΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ
ΓΖΔ.

10

350t

Ad prop. 69

10

.

350

Ἡ ΑΒ δ θ μα, ἡ ΓΔ ιβ κθ γ, ἡ ΑΕ β κε ια, ἡ ΕΒ α μδ λ, ἡ ΓΖ ζ ιε λγ, ἡ ΖΔ ε ιγ λ.

10

351t

Ad prop. 70

10

.

351

Ἡ ΑΒ γ κ μγ, ἡ ΓΔ ι β θ, ἡ ΑΕ α μ κζ, ἡ ΕΒ α μ ιϛ, ἡ ΓΖ ε α κα, ἡ ΖΔ ε οὐδὲν μη.

10

352-355t

Ad prop. 71

10

.

352

Ἑπτά εἰσιν ἑξάδες ἄχρι τῶν ἐνταῦθα εἰρημέναι, ὧν ἡ μὲν πρώτη ἐδείκνυ τὴν γένεσιν αὐτῶν, ἡ δὲ δευτέρα τὴν διαίρεσιν, ὅτι καθ’ ἓν μόνον σημεῖον διαιροῦνται, ἡ τρίτη ἑξὰς τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων εὕρεσιν πρώτης, βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ,
5ἀφ’ ἧς ἡ τετάρτη ἑξὰς τὴν διαφορὰν ἐπεδείκνυ τῶν ἀλόγων, πῇ διαφέρουσιν· προσχρώμενος γὰρ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων ἀποδείκνυσι τὴν διαφορὰν τῶν ἓξ ἀλόγων. πέμπτην καὶ ἕκτην ἐξέθετο δεικνύων ἐν μὲν τῇ εʹ τὰς παραβολὰς τῶν ἀπὸ τῶν ἀλόγων, ποίας ἀλόγους ποιοῦσι τὰ πλάτη τῶν
10παραβαλλομένων χωρίων, ἐν δὲ τῇ ἕκτῃ, πῶς αἱ σύμμετροι ταῖς ἀλόγοις ὁμοειδεῖς αὐταῖς εἰσιν. Πάλιν ἐν τῇ ἑβδόμῃ σαφῶς τὴν διαφορὰν αὐτῶν ἡμῖν δείκνυσιν. ἀναφαίνεται δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἀλόγων τούτων ἥ τε ἀριθμητικὴ ἀναλογία, καὶ ἡ μέση λαμβανομένη ἀνά‐
15λογον τῶν τμημάτων οἱασδήποτε ἀλόγου κατὰ τὴν ἀριθ‐ μητικὴν ἀναλογίαν καὶ αὐτὴ ὁμοειδής ἐστιν, ὧν ἐστι μέση ἀνάλογον. καὶ πρῶτον, ὅτι ἡ ἀριθμητικὴ μεσότης ἐν τού‐
τοις ἐστίν. κείσθω γὰρ ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων, εἰ τύχοι, ἡ ΑΒ καὶ διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Γ. φανερόν, ὅτι ἡ
20ΑΓ τῆς ΓΒ ἐστι μείζων. ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΑΓ τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ΓΔ κατὰ τὸ Ε. φανερόν, ὅτι ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ ἐστιν ἴση. κείσθω ὁποτέρᾳ αὐτῶν ἴση ἡ ΖΗ. φανερὸν δή, ὅτι, ᾧ διαφέρει ἡ ΑΒ τῆς ΖΗ, τούτῳ διαφέρει καὶ ἡ ΕΒ τῆς ΓΒ· ἡ μὲν γὰρ ΑΓ τῆς ΖΗ τῇ
25ΔΕ, τῷ αὐτῷ δὲ ἡ ΖΗ τῆς ΓΒ, ὅπερ ἐστὶν ἀριθμητικῆς ἀναλογίας. δῆλον δὲ καί, ὅτι ἡ ΖΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΒ· τῇ γὰρ ἡμισείᾳ αὐτῆς ἐστιν ἴση. ὥστε ἐστὶν ἐκ δύο ὀνο‐ μάτων. ὁμοίως δειχθήσεται καὶ ἐκ τῶν ἄλλων. [Omitted graphic marker]

10

.

353

Ὄγδοον κεφάλαιον ἅμα μὲν ἐκ τῆς συνθέσεως τοῦ ῥητοῦ καὶ τοῦ μέσου ἢ τῶν δύο μέσων χωρίων σαφῶς ἐπιδεικνύον, ἣν ἔχουσιν αἱ κατὰ σύνθεσιν ἄλογοι πρὸς ἀλλήλας διάκρισιν, ἅμα δὲ ἐκ τῶν χωρίων, ἃ δύνανται,
5τὴν διαφορὰν αὐτῶν συλλογιζόμενον.

10

.

354

Τέσσαρας ἀλόγους λέγει τήν τε ἐκ δύο ὀνομάτων κατὰ τὸ λϛʹ θεώρημα τοῦ ιʹ βιβλίου τήν τε ἐκ δύο μέσων πρώτην κατὰ τὸ λζʹ θεώρημα τήν τε μείζονα κατὰ τὸ λθʹ καὶ τὴν ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένην κατὰ τὸ μ θεώρημα.

10

.

355

Τὸ ΑΒ ῥητὸν τὸ ιε νδ νϛ νη κη τὸ γινόμενον ἐν συνθέσει δύο τετραγώνων τῶν γινομένων ἐξ εὐθειῶν τῶν κειμένων ἐν τῷ λθʹ θεωρήματι τοῦ παρόντος βιβλίου, ὧν ἡ μὲν μία ἐστὶ γ μθ μβ ποιοῦσα τετράγωνον τὸ ιδ λθ κβ
5ε κδ, ἡ δὲ ἑτέρα ἡ α θ λβ ποιοῦσα τετράγωνον τὸ α κ λδ νγ δ. τὰ μὲν οὖν ἀπὸ τούτων τῶν εὐθειῶν ταῦτα, ὧν τῇ
συνθέσει τὸ ... τὸ ΑΒ γίνεται, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν εὐθειῶν τούτων γινόμενον τὸ ΓΔ τὸ καὶ μέσον δ κϛ ια μη κδ, τὸ δὲ συναμφότερον τὸ ΑΔ κ κϛ η μϛ νβ, καὶ ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη
10δ λα ιδ ἤτοι ἡ ΕΚ. ἡ ΕΘ γ νθ μθ ιδ λζ, ἡ ΘΚ α ϛ λβ νζ ϛ. ἡ ΕΖ τεσσάρων μονάδων. ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη δ λα ϛ.

10

356-357t

Ad prop. 72

10

356col 1

Ἡ ΑΓ ١ ٤٠
٢٧Column end

10

356col 2

ἡ ΒΓ ١ ٤٠
١٦Column end

10

356col 3

τὸ ΑΒ ٢ ٤٨ ١٠
5١٢
٩Column end

10

356col 4

τὸ ΓΔ ٢ ٤٧ ٣٣
5٢٤
١٦Column end

10

356col 5

ἡ ΕΖ
μονάδων τεσσάρωνColumn end

10

356col 6

ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη ٢ ٢١ ٥٥
5٤١Column end

10

356col 7

ἡ ΕΔ οὐδέν ٤٣ ٢ ٣٣
5٢
١٥Column end

10

356col 8

ἡ ΘΚ οὐδέν ٤١ ٥٣ ٢١
5٤Column end

10

356col 9

τὸ ΓΔ ٢ ٤٧ ٣٣
5٢٤
١٦Column end

10

.

357

Τῇ τάξει διαφέρει τὸ αʹ τοῦ δευτέρου καὶ τοῦτο τοῦ γʹ καὶ τοῦτο τοῦ δʹ καὶ ἑξῆς.

10

358-360t

Ad prop. 73

10

.

358

Ἀρχὴ συνθέσεως τῶν κατὰ ἀφαίρεσιν ἑξάδων.

10

.

359

Ἔνατον κεφάλαιον τὰς δι’ ἀφαιρέσεως ϛ ἀλόγους
παραδιδὸν ὁμοίως ταῖς κατὰ σύνθεσιν ϛ, οἷον τῇ μὲν ἐκ δύο ὀνομάτων τὴν ἀποτομήν· δι’ ὧν γὰρ ἐκείνη συνετέθη, διὰ τούτων αὕτη κατ’ ἀφαίρεσιν τῆς ἐλάττονος ἀπὸ τῆς
5μείζονος ἀνεφάνη· τῇ ἐκ δύο μέσων πρώτῃ τὴν μέσης ἀπο‐ τομὴν πρώτην καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὡσαύτως· ἐφ’ οἷς δὴ δείκνυσιν ἑκάστῃ τὴν προσαρμόζουσαν μίαν οὖσαν.

10

.

360

Ἡ ΑΒ λ ιη ε μ, ἡ ΑΓ ι ιη ε δ, ἡ ΓΒ κ: —ἡ ΒΓ κ.

10

361-362t

Ad prop. 74

10

.

361

Ἡ ΑΒ δ λζ νγ, ἡ ΑΓ β νη μδ, ἡ ΓΒ α λθ θ, τὸ ὑπὸ τῆς ΑΒ καὶ ΓΒ ζ νϛ.

10

.

362

Τοῦ οδʹ κατ’ ἄλλην γραφήν. ἡ ΑΒ ١٦ ٤٩ ٤, ἥτις καὶ μέση λέγεται ὡς δυναμένη χωρίον τὸ γινόμενον ἀπὸ τοῦ κ καὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ ς, ὅπερ ἐστὶ σπβ ν κ, μέσον ὡς ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων γινόμενον. ἡ ΓΒ α κε λζ,
5τὸ ἀπ’ αὐτῆς β β ιβ μθ, τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ ιδ κδ, ἡ ΑΓ ιε κγ κζ· τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΒ μέσον ἐστὶ ὡς σύμμετρον τῷ μέσῳ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, καὶ ἡ ΓΒ μέση ὡς μέσον δυνα‐ μένη.

10

363-365t

Ad prop. 75

10

.

363

Ἡ ΑΒ ε ιγ ια, ἡ ΑΓ β νθ κη, ἡ ΒΓ β ιγ μγ, τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ια λζ νζ μθ νγ, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ κζ ιδ μγ μη α, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ δ νη οὐδὲν η μθ. —σύναμα τὸ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ λβ ιβ μγ νϛ ν, ἡ ΔΗ η γ ι νθ ιβ λ, τὸ δὶς ὑπὸ
5τῶν ΑΒ, ΒΓ κγ ιε νε λθ μϛ, ἡ ΔΖ ε μη νη νδ νϛ λ, τὸ
ἀπὸ τῆς ΑΓ η νϛ μη ιη δ. Ἡ δυναμένη ἢ ἡ ΔΚ μονάδων δ.

10

.

364

Τοῦ οεʹ κατ’ ἄλλην γραφήν. ἔστω ἡ ΑΒ μέση ε νγ ζ δυναμένη χωρίον μέσον τὸ ἀπὸ τῆς ι καὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ ιβ, ἡ ΓΒ μέση α να μ δυναμένη σύμμετρον χωρίον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τὸ γ κζ μθ κϛ μ, ἡ ΑΓ δ α κζ, τὸ δὲ ὑπὸ
5τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον χωρίον ι νζ ιβ γινόμενον ἀπὸ τῆς πλευρᾶς τοῦ ιβ καὶ τῆς τοῦ .., τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ λδ λη κ.

10

.

365

Οὐκοῦν ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀπο‐ τομῆς, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστι καὶ μέσης ἀπο‐ τομὴ δευτέρα, καὶ τὸ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομήν· ὅπερ
5ἐστὶν ἀληθές· τρίτην γὰρ ἀποτομὴν ποιεῖ.

10

366-368t

Ad prop. 76

10

366col 1

Ἡ ΑΒ ὅλη ٤ ٥٩
١٤Column end

10

366col 2

ἡ ΑΓ ٣ ٤٩
٤٢Column end

10

366col 3

ἡ ΒΓ ١ ٩
٣٢Column end

10

.

367

Εἰς τὸ οϛʹ κατ’ ἄλλην γραφήν. ἡ ΑΒ ὅλη θ νβ κε, ἡ ΑΓ η ιϛ μθ, ἡ ΓΒ α λε λϛ.

10

.

368

καὶ ἀναστρέψαντι λοιπῷ, p. 131, 13] τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσα ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ. ἐπεὶ οὖν ἀσύμμετρά εἰσι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, καὶ λοιπὸν ἄρα τούτου ἤγουν τῷ
5ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρά ἐστι. τοῦτο δὲ πολλαχῶς δεῖξαι
δυνατόν· δέδεικται γάρ, ὅτι κἂν τὸ ὅλον ᾖ αὐτῷ ἀσύμ‐ μετρον ᾖ, καὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς μέγεθος ἀσύμμετρον ἔσται· εἰ δὲ ταῦτα ἐξ ἀρχῆς ἀσύμμετρα, καὶ τῷ ὅλῳ πάντως ἑκά‐ τερον αὐτῶν ἀσύμμετρον ἔσται. ὥστε τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ
10ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ.

10

369-371t

Ad prop. 77

10

369col 1

Ἡ ΑΒ ὅλη ٤ ٩
٤٩Column end

10

369col 2

ἡ ΑΓ ٢ ٢٥
١١Column end

10

369col 3

ἡ ΒΓ ١ ٤٤
٣٠Column end

10

.

370

Τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἡ ΑΓ ἀπολαβοῦσα ῥητὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ δὶς ποιεῖ, μέσον τὸ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ διὰ ζʹ βʹ.

10

.

371

ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα p. 132, 15. 16] τὸ γὰρ ὅλον χωρίον τὸ προτεθὲν δύναται αὕτη μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ. ο҅Ͻ⸓:~

10

372t

Ad prop. 78

10

372col 1

Ἡ ΑΒ ὅλη ٣ ٢٠
٤٣Column end

10

372col 2

ἡ ΑΓ ١ ٤٠
٢٧Column end

10

372col 3

ἡ ΒΓ ١ ٤٠
١٦Column end

10

372col 4

ἡ ΔΚ τεσ‐ σάρων μο‐
5νάδωνColumn end

10

372col 5

τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ١١٠ ١١٠
5٢٧ ١٠
٤٩

10

372col 6

τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ ٢
5٤٧ ٣٣ ٢٤
١٦Column end

10

372col 7

τὸ σύναμα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ
5٣ ٥٩ οὐδέν ٣٥
٥Column end

10

372col 8

ἡ ΔΗ ἤτοι τὸ πλά‐ τος τοῦ ἀπό
5٣ ٢٩ ٤٥ ٨
٤٥Column end

10

372col 9

τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ
5٥ ٣٥ ٢٥ ١١
٢٨Column end

10

372col 10

τὸ δίς ١١ ١٠ ٥٠
5٢٢
٥٦Column end

10

372col 11

τοῦ ὑπὸ τὸ πλά‐ τος ἡ ΔΖ
5٢ ٤٧ ٤٢ ٣٥
٤٤Column end

10

373-379t

Ad prop. 79

10

.

373

Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς.

10

374col 1

Ἡ ΑΒ
٢٠Column end

10

374col 2

ἡ ΒΓ ١٠ ١٨ ٥
5٤٠Column end

10

.

375

ἐναλλὰξ ἄρα p. 135, 3] διὰ τὸ ιϛʹ τοῦ ϛʹ.

10

.

376

Διὰ τὴν ἐνάργειαν αὐτήν, οὐ διὰ θεώρημα, ὡς ὁ ἡμέτερος διδάσκαλος ἀπέδειξεν· ἀριθμητικὴ γὰρ ἀναλο‐ γία ἐνταῦθα, ἀλλ’ οὐ γεωμετρική.

10

.

377

Διὰ ϛʹ τοῦ εʹ· κοινὸν τὸ θεώρημα γεωμετρικῆς ἀναλογίας καὶ ἀριθμητικῆς.

10

.

378

Ἐν τῷ λόγῳ ἄρα εἰσὶ τῆς ἀριθμητικῆς ἀναλογίας ἢ ὑπεροχῇ, καὶ οὐκ ἐν τῷ λόγῳ τῆς γεωμετρικῆς ἀναλο‐ γίας.

10

.

379

Προσαρμόζουσι κατὰ μῆκος ἄπειροι εὐθεῖαι, ῥητὴ
δὲ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ μία προσαρμόζει.

10

380t

Ad prop. 80

10

.

380

Ἡ ΑΒ ٢ ٥٨ ٤٤ ἡ ΒΓ ١ ٣٩ ٩

10

381-382t

Ad prop. 81

10

.

381

Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς.

10

382col 1

Ἡ ΑΓ ٥ ١٣
١١Column end

10

382col 2

ἡ ΑΒ ٢ ٥٩
٢٨Column end

10

382col 3

ἡ ΒΓ ٢ ١٣
٤٣Column end

10

382col 4

ἡ ΕΖ
δColumn end

10

382col 5

τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ٢٧ ١٤ ٤٣
5٤٨
١Column end

10

382col 6

τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ١٣ ١٩
5٥٥ ٢٣
٨Column end

10

382col 7

τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ٤ ٥٨
5٠ ٨
٤٩Column end

10

382col 8

ἡ ΘΜ ٣ ١٩ ٥٨
5٥٠
٣٢Column end

10

382col 9

τὸ συναμφότερον τῶν ἀπό ٣٢ ١٢
5٤٣ ٥٦
٥٠Column end

10

382col 10

ἡ ΕΜ ٨ ٣ ٤٠
5٥٩ ١٢
٣٠Column end

10

383-385t

Ad prop. 82

10

.

383

Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς.

10

.

384

Ἡ ΒΑ ٣ ٤٩ ٤٢ ἡ ΒΓ ١ ٩ ٣٢

10

.

385

Τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητά εἰσι, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ῥητά εἰσιν ἀμφότερα. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ διὰ ιγʹ ιʹ ὑπερέχει ῥητῷ. πόθεν δῆλον; ἐπεὶ ῥητά ἐστι, σύμμετρά ἐστι· κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν
5σύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς μεγέθη σύμμετρά εἰσι· σύμ‐ μετρον ἄρα τὸ—μ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καὶ ἡ ὑπεροχή· ῥη‐ τόν· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπεροχή. ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ τουτέστι τὴν ὑπεροχήν.

10

386-387t

Ad prop. 83

10

.

386

Ἡ ΑΒ ٢ ٢٥ ١١ ἡ ΒΓ ١ ٤٤ ٣٠ ἡ ΓΔ.

10

.

387

Ἐκ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς.

10

388-389t

Ad prop. 84

10

.

388

Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς.

10

389col 1

Ἡ ΑΓ ١ ٤٠
٢٧Column end

10

389col 2

ἡ ΓΒ ١ ٤٠
١٦Column end

10

389col 3

ἡ ΑΒ ٣ ٢٠
٤٣Column end

10

389col 4

ἡ ΕΖ μο‐ νάδων τεσ‐
5σάρωνColumn end

10

389col 5

τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ١١ ١١
5٢٧ ١٥
٤٩Column end

10

389col 6

τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ٢ ٤٧
5٣٣ ٢٤
١٦

10

389col 7

τὸ σύν‐ αμα ١٣ ٥٩
5٠ ٣٥
٥Column end

10

389col 8

ἡ ΕΜ ἤτοι τὸ πλάτος ٣
5٢٩ ٤٥ ٨
٤٦Column end

10

389col 9

τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ٥
5٣٥ ٢٥ ١١
٢٨Column end

10

389col 10

τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ١١
5١٠ ٥٠ ٢٢
٥٦Column end

10

389col 11

ἡ ΘΜ ἤτοι τὸ πλάτος ٢
5٤٧ ٤٢ ٣٥
٤٤Column end

10

390-392t

Ad prop. 85

10

390col 1

Ἡ ΑΒ
٤Column end

10

390col 2

ἡ ΒΗ
٦Column end

10

390col 3

ἡ ΗΓ ٥ ١١
٤٦Column end

10

390col 4

ἡ ΒΓ οὐδέν ٤٨
١٤Column end

10

390col 5

ἡ Θ
٣Column end

10

390col 6

ὁ ΔΕ
١٦Column end

10

390col 7

ὁ ΔΖ
١٢Column end

10

390col 8

ὁ ΖΕ τὸ ἀπὸ τῆς Θ ἐννέα.
٤Column end

10

.

391

οὐδ’ ἄρα ὁ ΕΔ p. 144, 17] διὰ πόρισμα τοῦ λήμ‐ ματος τοῦ κθʹ τοῦ ιʹ, διὰ ὅρον· εἰ γὰρ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἔσται καὶ ἐκεῖνο τετράγωνον διὰ κδʹ ηʹ· ὅπερ ἀδύνατον.

10

.

392

Ὧι γὰρ μεῖζον p. 145, 12] μείζων δὲ ὁ ΕΔ τοῦ ΔΖ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ διὰ βʹ ιδʹ τοῦ εʹ καὶ διὰ αʹ ϛʹ τοῦ εʹ.

10

393t

Ad prop. 86

10

.

393

Ἡ Α μονάδων τεσσάρων, ἡ ΓΗ δύο, ὁ ΔΕ ιϛ, ὁ
ΕΖ δ, ὁ ΔΖ ιβ, ὁ ΔΕ ιϛ; τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ δ. —τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ, ὅπερ ἐστὶ ε καὶ κ, ἡ ΗΒ β ιη λγ, ἡ ΒΓ οὐδὲν ιη λγ, τὸ ἀπὸ τῆς Θ α κ, ἡ Θ α θ ιϛ.

10

394-395t

Ad prop. 87

10

.

394

Εὑρεῖν β τετραγώνους ἀριθμοὺς τοὺς ΓΒ, ΒΔ ὥστε τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὴν ΔΓ μὴ εἶναι τετράγωνον διὰ πόρισμα τοῦ αʹ λήμματος τοῦ κθʹ τοῦ ιʹ, καὶ ἐκ‐ κείσθω ἕτερος ἀριθμὸς ὁ Ε μὴ τετράγωνος καὶ μὴ ὅμοιος
5τῇ ὑπεροχῇ, τουτέστι τῷ ΔΓ, ἄνευ θεωρήματος. φανερὸν δέ, ὅτι τὸ Ε πρὸς ἑκάτερον τῶν ΓΒ, ΒΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· εἰ γὰρ ἔχει λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά‐ γωνον ἀριθμόν, τετράγωνος ἔσται διὰ κδʹ ηʹ. ὑπόκειται
10δὲ οὐ τετράγωνος· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ὁ Ε πρὸς ἑκά‐ τερον τῶν ΓΒ, ΒΔ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.

10

.

395

Ἡ Α μονάδων δύο, ὁ ΒΓ ιϛ, ὁ ΓΔ ιβ, ὁ ΒΔ δ, ὁ Ε μονάδων ϛ. —τὸ ἀπὸ τῆς Α μονάδων τεσσάρων, τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ δέκα μ. —ἡ ΖΗ γ ιε νζ. —τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ ὀκτώ. — ἡ πλευρὰ τοῦ ὀκτὼ β μθ μβ ἤτοι τοῦ ἀπὸ τῆς ΘΗ. —τὸ
5ἀπὸ τῆς Κ δύο μ, τοῦ ἀπὸ τῆς Κ ἡ πλευρὰ α λζ νη, ἡ ΖΘ οὐδὲν κϛ ιε.

10

396t

Ad prop. 88

10

.

396

Ἡ Α β, ἡ ΒΗ ϛ, ὁ ΔΖ ι, ὁ ΖΕ μονάδων τεσσά‐
ρων, ὁ ΔΕ ιδ, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ λϛ,

10

396col 1

τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ ١٠ ١٧ ٨
5٣٤
١٧Column end

10

396col 2

ἡ ΒΓ ٢ ٤٧
٣٥Column end

10

396col 3

ἡ ΗΓ ٣ ١٢
٢٥Column end

10

396col 4

τὸ ἀπὸ τῆς Θ ٢٥ ٤٢ ٥١
5٢٥ ٤٢
٥٢Column end

10

397-398t

Ad prop. 89

10

.

397

Ἡ Α μονάδων τεσσάρων, ἡ ΓΗ ϛ, ὁ ΔΖ ε, ὁ ΖΕ γ, ὁ ΕΔ η, τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ λϛ, τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ ϙϛ, ἡ ΗΒ ἡ πλευρὰ τοῦ ϙϛ ٣ ٤٧ ٥٢ ἡ ΓΒ ٩ ٤٧ ٥٢ τὰ ἀπὸ τῆς Θ ξ, ἡ Θ ἡ πλευρὰ τοῦ ξ ٧ ٤٤ ٤٥

10

.

398

Τοῦτο ἐδείχθη ἐν τῇ εὑρέσει τῆς τρίτης ἀποτομῆς.

10

399-403t

Ad prop. 90

10

.

399

Ἡ Α μονάδων τεσσάρων, ὁ Ε ὀκτώ, ὁ ΒΓ ι, ὁ ΓΔ τέσσαρα, ὁ ΒΔ ϛ, τὸ ἀπὸ τῆς Α ιϛ, τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ κ, ἡ ΖΗ ἡ πλευρὰ τοῦ κ ٤ ٢٢ ١٩, τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ ὀκτώ, ἡ αὐτοῦ πλευρὰ ἡ Θ ٢ ٤٩ ٤٢, τὸ ἀπὸ τῆς Κ ιβ, ἡ αὐτοῦ πλευρὰ ἡ Κ ٣ ٢٧ ٥
5ἤτοι ἡ ΖΘ· ταὐτὸν γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς Κ τῇ ΖΘ.

10

.

400

Εὑρεῖν β τετραγώνους ἀριθμοὺς τοὺς ΒΔ, ΔΓ ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν μὴ εἶναι τετράγωνον διὰ βʹ λῆμμα τοῦ κδʹ τοῦ ιʹ, καὶ ἐκκείσθω ἕτερος ἀριθμὸς ὁ Ε μὴ τετράγωνος καὶ μὴ ὅμοιος τῷ ΒΓ ἄνευ θεωρήματος.

10

.

401

Τοῦτο δὲ γενήσεται, ὃ ἐπιτάσσει ὁ στοιχειωτής, εἰ εὕρωμεν δύο τετραγώνους ἀριθμοὺς τοὺς ΒΔ, ΔΓ ὥστε τὸν ἐξ αὐτῶν συγκείμενον τὸν ΒΓ μὴ εἶναι τετράγωνον. ἐπεὶ οὖν ὁ ΒΓ οὐκ ἔστι τετράγωνος, οὐκ ἔχει πρὸς τὸν
5ΔΓ τετράγωνον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀλλ’ οὐδὲ πρὸς τὸν ΒΔ. εἰλήφθω δὲ καὶ ὁ Ε ἐπί‐ πεδος ἁπλῶς καὶ μὴ ἔχων πρὸς τὸν ΒΓ λόγον, ὃν τετράγω‐ νος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· εὐχερὲς δὲ τοῦτο· ὥστε ὁ Ε, ἐπεὶ οὐκ ἔστι τετράγωνος, οὐδὲ πρὸς τὸν ΓΔ
10λόγον ἕξει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.

10

.

402

Ἑκάστη ἀποτομὴ ἰδίαν ἔχει τὴν προσαρμόζουσαν αὐτῇ εὐθεῖαν καὶ ὅλην ῥητὴν καὶ οὐχὶ τὴν τυχοῦσαν· τοῦτο ἡμέτερον νόημα ὡς πρός τι καὶ οὐκ ὡς ἔτυχεν.

10

.

403

Αἱ ἄλογοι. Μέση δύο. ἐκ δύο ὀνομάτων γʹ. ἐκ δύο μέσων πρώτη δʹ. ἐκ δύο μέσων δευτέρα εʹ. μείζων ϛʹ. ῥητὸν καὶ μέσον δυνα‐ μένη ζʹ. δύο μέσα δυναμένη ηʹ. ἐκ δύο ὀνομάτων αʹ θʹ. ἐκ
5δύο ὀνομάτων βʹ ιʹ. ἐκ δύο ὀνομάτων γʹ ιαʹ. ἐκ δύο ὀνο‐ μάτων δʹ ιβʹ. ἐκ δύο ὀνομάτων εʹ ιγʹ. ἐκ δύο ὀνομάτων ϛʹ ιδʹ. ἀποτομὴ ιεʹ. μέσης ἀποτομὴ αʹ ιϛʹ. μέσης ἀποτο‐ μὴ βʹ ιζʹ. ἐλάσσων ιηʹ. ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ιθʹ. ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα, ἀποτομὴ πρώτη,
10δευτέρα, τρίτη, τετάρτη, πέμπτη, ἕκτη.

10

404-413t

Ad prop. 91

10

.

404

Ἡ ΑΒ ٤ ἡ ΒΓ ٢ ٥٨ ٥٢

10

.

405

Ἔοικε τὰ τοῦ δεκάτου βιβλίου καὶ ἐπέκεινα ἀδίδα‐ κτα πρὸ πολλῶν γενεῶν μεῖναι δι’ ἀμέλειαν· διὸ καὶ τὰ διαγράμματα αὐτῶν ἐσφαλμένα, καὶ οὐδὲ τὰς παραση‐ μειώσεις ἔχουσι, δι’ ὧν δείκνυνται.

10

.

406

καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ p. 156, 13. 14] πῶς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ τέταρτον μέρος εἴρηκε τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ; ἢ διότι ἡ ΔΗ διπλασία ἐστὶ τῆς ΕΗ· δίχα γὰρ ἐτμήθη ἡ ΔΗ κατὰ τὸ Ε. ἐπεὶ οὖν διπλασία ἐστὶν ἡ ΔΗ τῆς ΕΗ, τὰ
5δὲ μήκει διπλάσια δυνάμει τετραπλάσιά ἐστι, δῆλον, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΔΗ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΗ· οἷον ἔστω ἡ ΔΗ ὀκτάπους, ἡ δὲ ΕΗ τετράπους. ἔστιν οὖν τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ὀκτάποδος ξδ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς τετράποδος ιϛ. τὰ δὲ ιϛ τέταρτόν εἰσι μέρος τοῦ ξδ.

10

.

407

ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ p. 157, 1. 2] πόθεν τοῦτο δῆλον; ἢ ὅτι κεῖται τὰς ΑΗ, ΗΔ ῥητὰς εἶναι δυνά‐ μει μόνον συμμέτρους. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ καὶ ΑΓ σύμμετροί εἰσι μήκει, ἀσύμμετρος δὲ ἡ ΗΔ τῇ ΑΗ, δῆλον, ὅτι
5ἀσύμμετρός ἐστι μήκει καὶ πρὸς τὴν ΑΓ. ἔστιν οὖν ἡ συναγωγὴ τοιαύτη· ἡ ΗΑ καὶ ΑΓ σύμμετροί εἰσι μήκει· ἡ ΗΔ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ΗΑ· δυνάμει γὰρ μόνον εἰσὶ σύμμετροι· καὶ ἡ ΗΔ τῇ ΑΓ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει.

10

.

408

Ταύτην τὴν ῥητὴν ἔκθες, ἣν ἐλάμβανες ἐν τῇ εὑρέ‐ σει τῆς αʹ ἀποτομῆς. δεῖ πρῶτον ἡμᾶς εὑρεῖν τὴν ἀποτο‐
μὴν καὶ οὕτως τὴν ἁρμόζουσαν λαμβάνειν καὶ προστιθέναι.

10

409col 1

Ἡ ΛΝ ٨ ٥٢
٣٩Column end

10

409col 2

ἡ ΑΓ δ ἡ ΑΔ
٢٠Column end

10

409col 3

τὸ ΑΒ χωρίον
٨٠Column end

10

409col 4

ἡ ΔΗ ١٠ ١٨ ٥
5٤٠Column end

10

409col 5

ἡ ἡμίσεια τῆς ΔΗ ἤτοι ἡ ΕΗ ٥ ٩
5٢
٥٠Column end

10

409col 6

τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΔΗ ἤτοι τῆς ΕΗ
5٢٦ ٣١ ٥٠ ١١ ٨
10١
٤٠Column end

10

409col 7

ἡ ἡμί‐ σεια τῆς ΑΗ
5١٥ ٩ ٢
٥٠Column end

10

409col 8

τῆς ΑΗ ٣٠ ١٨ ٥
5٤٠Column end

10

409col 9

τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἡ ΑΗ ٢٢٩
5٣٢ ٤٦ ٥١ ٨ ١
10٤٠Column end

10

409col 10

τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν ٢٠٣
5٩ ٥٦
٤٠Column end

10

409col 11

ἡ ΑΖ ٢٩ ٢٣ ٥٦
5٥٠Column end

10

409col 12

ἡ ΖΗ ٠ ٥٤ ٨
5٥٠Column end

10

409col 13

ἡ πλευρὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν ١٤ ١٤
5٥٤Column end

10

409col 14

ἡ ΔΖ [٩ ٢٣ ٥٦
5٥٠]Column end

10

409col 15

τὸ ΑΙ παραλληλόγραμμον ١١٧ ٣٥ ٤٧
5٢٠Column end

10

409col 16

τὸ ΚΖ ٣ ٣٦ ٣٥
5٢٠Column end

10

409col 17

τὸ ΛΜ ١١٧ ٣٥ ٤٧
5٢٠Column end

10

409col 18

τὸ ΝΞ ٣ ٣٦ ٣٥
5٢٠

10

.

410

ὑπὸ ῥητῆς p. 155, 17] ταύτης δηλονότι ἐκείνης, ᾗ σύμμετρος ἦν ἡ ὅλη ἡ συγκειμένη, φημί, ἐκ τῆς πρώτης ἀποτομῆς καὶ τῆς ταύτῃ προσκειμένης· ὡσαύτως καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων τῶν περιεχομένων ὑπὸ ῥητῶν καὶ ἀποτομῶν
5τῇ τάξει διαφόρων ῥητὰς ὀφείλεται λαμβάνειν ἐκείνας, αἷς ἐστι σύμμετρος ἢ ἡ ὅλη ἢ ἡ προσκειμένη ὁποιᾳδηποτοῦν τῶν ἀποτομῶν ἢ καὶ ἀμφότεραι ἀσύμμετροι ταύταις.

10

.

411

αἱ ΑΗ, ΗΔ ἄρα p. 156, 3] διὰ τὸ ογʹ. ἐπεὶ ἀπο‐ τομή ἐστιν ἡ ΑΔ, ὅλη ἐστὶν ἀποτομὴ καὶ ἐξ ἀνάγκης ἀκό‐ λουθος τῇ ὅλῃ εἶναι καὶ τὴν ἀφαιρεθεῖσαν ἐξ αὐτῶν ῥητὴν δυνάμει μόνον σύμμετρον. εἰ δὲ ὅλη, καὶ ἡ ἀφαιρεθεῖσα
5οὐκ ἔστι ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα, ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεὶ ἀποτομή ἐστι καὶ πρώτη ἡ ΑΔ, ἕξει ἐξ ἀνάγκης τὴν προσαρμόζουσαν αὐτῇ καὶ τὴν ὅλην, καὶ ἡ ὅλη μείζων διὰ ηʹ εʹ ιʹ δύναται τῆς προσαρμοζού‐ σης τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει, καὶ ἡ ἄλλη σύμμε‐
10τρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει. εἰ δὲ ταῦτα οὐχ ἕπον‐ ται, αὕτη οὐδὲ ἀποτομή ἐστι αʹ.

10

.

412

τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ p. 156, 6] ἐπειδὴ γὰρ ἐδόθη πρώτη ἀποτομὴ ἡ ΑΔ, προσαρμόζει δὲ αὐτῇ ἡ ΔΗ· ὥστε ὅλη ἡ ΑΗ διὰ τὴν ἀρχὴν τῶν δʹ ὅρων σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ.

10

.

413

τῷ τετάρτῳ μέρει p. 156, 10] ἐὰν ὦσι β εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, ἡ ἡμίσεια τῆς ἐλάσσονος μείζων ἐστὶ τοῦ ἐλάσσονος τμή‐
5ματος τῆς μείζονος. ἔστωσαν β εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΗ, ΗΔ, καὶ τετμήσθω ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παραβεβλήσθω παρὰ τὴν μείζονα τὴν ΑΗ καὶ ἔστω
τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ. λέγω, ὅτι ἡ ἡμίσεια τῆς ἐλάσσονος ἡ ΕΗ μείζων ἐστὶ τοῦ ἐλάσσονος τμήματος τῆς μείζονος
10τῆς ΑΗ· τὸ γὰρ Ζ ἐπὶ τῆς διχοτομίας οὐ πεσεῖται διὰ λήμ‐ ματος τοῦ ὑποκάτω τοῦ ιϛʹ ιʹ· αἱ ΑΖ, ΖΗ ἄνισοί εἰσιν· μία αὐτῶν μείζων ἐστίν. ἔστω μείζων ἡ ΑΖ. τὸ γὰρ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ διὰ αʹ τοῦ ϛʹ· ὕψος ἡ ΖΗ· ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ.
15μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ διὰ ζʹ τοῦ εʹ. μείζων ἄρα καὶ ἡ ΕΗ τῆς ΖΗ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. δείκνυ‐ ται δὲ ἐὰν μέση ἀνάλογον πέσῃ ἡ ΕΗ τῶν ΑΖ, ΖΗ διὰ τὸ ὑπὸ ο τῷ ἀπὸ διὰ ιζʹ τοῦ ϛʹ· δείκνυται καὶ διὰ λῆμμα τοῦ καʹ τοῦ ιʹ.

10

414-417t

Ad prop. 92

10

.

414

Δυνατὸν πορίσασθαι τὴν δευτέραν ἀποτομὴν διὰ οεʹ τοῦ ιʹ.

10

415col 1

Ἡ ΑΓ
δColumn end

10

415col 2

ἡ ΑΔ οὐδέν ٨
٣٣Column end

10

415col 3

τὸ ΑΒ χωρίον οὐδέν ٣٤
١٢Column end

10

415col 4

ἡ τὸ ΑΒ δυναμένη ἡ ΛΝ οὐδέν ٥ ٥٠
5٥٣Column end

10

415col 5

ἡ ΑΗ ١٠ ٢٣ ٥٦
5٣٣Column end

10

415col 6

ἡ ΔΗ ١٠ ١٨ ٥
5٤٠Column end

10

415col 7

ἡ ἡμίσεια τῆς ΔΗ ἢ καὶ ΕΗ ٥ ٩
5٢
٥٠Column end

10

415col 8

τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ ٢٦ ٣
5٥٠ ١١ ٨ ١
٤٠Column end

10

415col 9

τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν οὐδέν ٣٠
5١٥ ٥٢ ٣٠ ٥٦ ٥٢
10١٥

10

415col 10

ἡ αὐτῆς ἡμίσεια ٥ ١١
5٥⸎ ١٦
٣٠Column end

10

415col 11

τὸ ἀπὸ ταύτης ἤτοι τῆς ἡμι‐ σείας τῆς ΑΗ ٢٧
5٢٦ ٣ ٣٨ ٥٨ ٣٢
10١٥Column end

10

415col 12

ἡ ΑΖ ٥ ١٧ ٢٨
5٢١
١٧Column end

10

415col 13

ἡ ΖΗ ٥ ٦ ٢٨
5١١
٤٣Column end

10

415col 14

ἡ αὐτῶν πλευρὰ ἢ καὶ ΔΖ ٠ ٥
5٣٠ ٤
٤٧Column end

10

.

416

καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ p. 159, 19] ἐὰν γὰρ ἔσται σύμμετρος τῇ ΑΓ, ἔσται καὶ ῥητή· ὑπόκειται δὲ ἄλογος διὰ οεʹ· ἐπειδὴ γὰρ ἐδόθη ἀποτομὴ β. οὐκ ἄρα σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΑΓ μήκει.

10

.

417

Εἰ γὰρ ἔσται σύμμετρος ἡ ΑΗ τῇ ΑΓ, ἔστι δὲ τῇ ΑΓ σύμμετρος καὶ ἡ ΔΗ, ἔσται καὶ ἡ ΑΗ τῇ ΔΗ σύμ‐ μετρος· τὰ γὰρ τῷ αὐτῷ σύμμετρα καὶ ἀλλήλοις σύμμετρα· ἀλλ’ ἔστι καὶ ἀσύμμετρος ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ. οὐκ ἄρα σύμ‐
5μετροί εἰσιν αἱ ΑΓ καὶ ΑΗ.

10

418-421t

Ad prop. 93

10

.

418

Ἀποτομὴ δέ ἐστι γʹ, ὅταν μηδετέρα σύμμετρος ᾖ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, ἡ δὲ ὅλη τῆς συναρμοζούσης μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, κατὰ τοὺς γʹ ὅρους.

10

419col 1

Ἡ ῥητὴ ΑΓ
٤Column end

10

419col 2

ἡ ΑΔ οὐδέν ٢٦
١٥Column end

10

419col 3

ἡ ΑΗ ١٠ ٤٤ ٢٠
5٤٠Column end

10

419col 4

ἡ αὐτῆς ἡμίσεια ٥ ٢٢
5١٠
٢٠

10

419col 5

τὸ ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ΑΔ ١
٤٥Column end

10

419col 6

ἡ ΔΗ ١٠ ١٨ ٥
5٤٠Column end

10

419col 7

ἡ ταύτης ἡμίσεια ٥ ٩
5٢
٥٠Column end

10

419col 8

τὸ ἀπὸ ταύτης ٢٦ ٣١
5٥٠ ١١ ٨ ١
٤٠Column end

10

419col 9

τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν ٢
5١٨ ٤ ٤٥ ١٨
٤٥Column end

10

419col 10

οὗ ἡ πλευρά ١ ٣١ ١
5١٤Column end

10

419col 11

τὸ ἀπὸ ταύτης ٢٨ ٤٩
5٥٤ ٥٦ ٢٦ ٤٦
٤٠Column end

10

419col 12

ἡ τὸ χωρίον δυναμένη τὸ ΑΒ ١
5١٩
٢١Column end

10

419col 13

ἡ ΑΖ ٦ ٥٣ ١١
5٣٤Column end

10

419col 14

ἡ ΖΗ ٣ ٥١ ٩
5٦Column end

10

.

420

Ἠπορήθη τῷ πρὸς τὴν καταγραφὴν ἀποβλεψαμέ‐ νῳ, ὡς, ἐπεὶ παρὰ τὴν ΑΗ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ἐλάττονος, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ, παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῶν ΑΖ, ΖΗ περιεχόμενον ἐλλεῖπον
5εἴδει τετραγώνῳ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΙ, παράλληλος δὲ ἡ ΖΙ τῇ ΑΓ, ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΑΓ· τὸ δὲ ὑπὸ δύο ῥητῶν μήκει συμμέτρων περιεχόμενον ῥητόν ἐστι· ὥστε ῥητόν ἐστι τὸ ΑΙ· ἀλλὰ καὶ μέσον κατὰ τὸν γεωμέτρην· ἡ γὰρ ΑΖ ῥητὴ οὖσα ἀσύμμετρος κατ’ αὐτὸν τῇ ΑΓ ῥητῇ οὔσῃ·
10ὥστε καὶ μέσον τὸ ΑΙ. ἔστι δὲ τοῦτο ψεῦδος. τὸ γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἀναγραφόμενον τετράγωνον ἴσας ἕξει τὰς πλευ‐ ράς, οὐκ ἔστι δὲ ἡ ΑΖ ἴση τῇ ΖΙ· ἦ γὰρ ἂν ἴση ἦν καὶ τῇ ΑΓ· ἀλλὰ τῇ ΖΙ ἐκβεβλημένῃ καὶ τῇ ΑΓ ὡσαύτως ἐκ‐ βεβλημένῃ, ὡς φέρε εἰπεῖν ἐπὶ
15[Omitted graphic marker] τούτου τοῦ σχήματος· τὸ γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἀναγραφόμενον τε‐ τράγωνον τὸ ΖΛ ἐστι καὶ οὐχὶ τὸ ΖΓ. τὸ μὲν γὰρ ΖΛ ῥητόν, ὅτι καὶ ἀπὸ ῥητῆς τῆς ΑΖ, τὸ
20δὲ ΖΓ μέσον ὡς ὑπὸ δύο ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων περι‐ εχόμενον. ὡς οὖν ἡ ΛΞ πρὸς ΞΟ· σύμμετρος δέ· οὕτω τὸ ΑΞ πρὸς ΞΗ· σύμμετρον ἄρα. καὶ ὡς ἡ ΛΞ πρὸς ΞΟ, οὕτω τὸ ΓΞ πρὸς ΞΚ· σύμμετρον ἄρα.
25ἐὰν δὲ ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρε‐ θέν, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΙ, ΙΗ ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον. ἐπεὶ οὖν ἡ αὐτὴ ἀναλογία σώζεται, ἡ δεῖξις προβαίνει ἐπὶ τῆς ΑΓ διὰ τὸ ταύτην προυποτεθῆναι ῥητὴν καὶ μὴ τὴν ΑΛ.

10

.

421

ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ p. 163, 9. 10] ἐπεὶ ἡ ΑΖ τῇ ΗΔ ἐστιν ἀσύμμετρος, ἡ δὲ ΗΔ τῇ ΕΗ σύμ‐ μετρος, ἡ ΑΖ ἄρα τῇ ΕΗ ἀσύμμετρός ἐστιν.

10

422-423t

Ad prop. 94

10

422col 1

Ἡ ΑΔ ٢ ٤٧
٣٥Column end

10

422col 2

ἡ ΑΓ
٤Column end

10

422col 3

ἡ ΑΗ ١٣ ٥ ٤٠
5٤٠Column end

10

422col 4

ἡ αὐτῆς ἡμίσεια ٦ ٣٢
5٥٠
٢٠Column end

10

422col 5

τὸ ἀπὸ ταύτης ٤٢ ٥٢
5٢ ٢٣ ٣٣ ٢٦
٤٠Column end

10

422col 6

ὃ μέλλει πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ παρα‐
5βληθῆναι

10

422col 7

τὸ ΑΒ χωρίον ١١ ١٠
5٢٠Column end

10

422col 8

ἡ αὐτοῦ πλευρὰ ἡ ΑΓ ٣ ٢٠
5٣٢Column end

10

422col 9

ἡ πλευρὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν ٤
5٢ ٣
٤٤Column end

10

422col 10

ἡ ΖΗ ٢ ٣٠ ١٩
5٣٦Column end

10

422col 11

ἡ ΑΖ ١٠ ٣٥ ٢١
5٤Column end

10

.

423

Ταύτην τὴν ῥητὴν λάμβανε, ἣν ἐξέθου ἐν τῇ εὑρέ‐ σει τῆς δʹ ἀποτομῆς.

10

424-425t

Ad prop. 95

10

424col 1

Ἡ ΔΗ ١٠ ١٨ ٥
5٤٠Column end

10

424col 2

ἡ ΑΔ ٣ ٤٧
٥٢Column end

10

424col 3

ἡ ΑΓ
٤Column end

10

424col 4

ἡ ΔΗ ١٠ ١٨ ٥
5٤٠Column end

10

424col 5

ἡ ΑΗ ١٤ ٥ ٥٧
5٤٠Column end

10

424col 6

ἡ αὐτῆς ἡμίσεια ٧ ٢ ٥٨
5٥٠Column end

10

424col 7

τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ٤٩ ٤١
5٥٣ ٢٣ ١ ٢١
٤٠Column end

10

424col 8

τὸ ΑΒ ١٤ ٢٣
٣٦Column end

10

424col 9

ἡ αὐτοῦ πλευρὰ ἡ ΛΝ ٤ ٧
5٣٧

10

424col 10

ἡ πλευρὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν ٤ ٤٨
5٤٨
٣٦Column end

10

424col 11

τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν ٢٣ ١٠
5٣ ١١ ٥٣
٢٠Column end

10

424col 12

ἡ ΑΖ ١١ ٥١ ٤٧
5٢٦Column end

10

424col 13

ἡ ΖΗ ٢ ١٤ ١٠
5١٤Column end

10

.

425

Ἐπεὶ ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ, ἔχει τὴν προσαρμό‐ ζουσαν αὐτῇ, καί ἐστιν ἡ ὅλη καὶ ἡ προσαρμόζουσα δυνά‐ μει μόνον σύμμετρος. εἰ δὲ οὐκ εἰσὶν ἡ ὅλη καὶ ἡ προσ‐ αρμόζουσα ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, οὐδὲ ἀποτομή
5ἐστιν ἡ ΑΒ διὰ ογʹ ιʹ.

10

426t

Ad prop. 96

10

426col 1

Ἡ ΑΔ ٣ ٢٧
٥٠Column end

10

426col 2

ἡ ΑΓ
٤Column end

10

426col 3

ἡ ΔΗ ١٠ ١٨ ٥
5٤٠Column end

10

426col 4

ἡ ΑΗ ١٣ ٤٥ ٥٥
5٤٠Column end

10

426col 5

ἡ ἡμίσεια τῆς ΑΗ ٦ ٥٢
5٥٨
٥٠Column end

10

426col 6

τὸ ἀπὸ ταύτης ٤٧ ٢٢
5١٩ ١٠
٢٤Column end

10

426col 7

τὸ ΑΒ χωρίον ١٣ ٥١
5٢٠Column end

10

426col 8

ἡ ΛΝ ἡ αὐτοῦ πλευρά ٣ ٤٣
5٢٠Column end

10

426col 9

τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν ٢ ٥٠
5٢٨
٥٩Column end

10

426col 10

ἡ αὐτοῦ πλευρά ١ ٤١
5٨Column end

10

426col 11

ἡ ΖΗ ٥ ١١ ٤٩
5٥٠

10

427-429t

Ad prop. 97

10

427col 1

Ἡ ΑΒ ٢٠ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ
5٤٠٠Column end

10

427col 2

ἡ ΓΔ ٤ ἡ ΓΖ
١٠٠Column end

10

427col 3

ἡ ΗΒ ١٠ ١٨ ٥
5٤٠Column end

10

427col 4

ἡ ΑΗ ٣٠ ١٢ ٥
5٤٠Column end

10

427col 5

τὸ πλάτος τὸ ΚΜ ٢٦ ٣١ ٥٠
5١١ ٨ ١
٤٠Column end

10

427col 6

τὸ πλάτος τὸ ΓΚ ٢٢٩ ٣٢ ٤٦
5٥١ ⸎ ١
٤٠Column end

10

427col 7

ἡ ΓΜ ٢٥٦ ٤ ٣٧
5٢ ١٦ ٣
٢٠Column end

10

427col 8

ἡ ΓΖ ἡ ἀπὸ μονάδων ρ.Column end

10

.

428

Τὸ Ν σημεῖον, ὅπερ ἔτεμε τὴν ΖΜ δίχα, οὐ πεσεῖ‐ ται ἐπὶ τῆς διχοτομίας τῆς μείζονος τῆς ΓΜ, ἐπεὶ ἔσται ἡ ΖΜ τῇ ΓΜ ἴση. οὐ μὴν οὐδὲ μεταξὺ τῶν Κ, Μ σημείων πεσεῖται τὸ Ν· εἰ γὰρ πέσῃ, συμβαίνει τὸ μεῖζον τοῦ
5ἐλάττονος ἔλαττον εἶναι· ὅπερ ἄτοπον. τὰ γὰρ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσα ἐστὶ τοῖς ΓΘ, ΚΛ, τὸ δὲ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τῷ ΝΛ. καί ἐστι τὸ ΝΛ μέσον ἀνάλογον τῶν ΓΘ, ΚΛ· τῶν γὰρ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἐδείχθη τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ,
10τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ. μεῖζον δὲ τὸ ΓΘ τοῦ ΝΛ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΝΛ τοῦ ΚΛ· ὅπερ ἄτοπον, τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάσ‐ σονος. οὐκ ἄρα πεσεῖται τὸ Ν μεταξὺ τῶν Κ, Μ σημείων.

10

.

429

λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ p. 172, 24. 25] ἐπεὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ δύο τετράγωνα, ὡς ἐδείχθη, ἴσα εἰσὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΖ, ἢ καὶ ἀνάπαλιν ἐπεὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ
5τετραγώνου ἴσα εἰσὶ τοῖς δυσὶ τετραγώνοις τῷ τε ἀπὸ τῆς ΑΗ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ, ἔστι δὲ τὸ ΓΕ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, λείπεται τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον εἶναι τῷ ΖΛ.

10

430-432t

Ad prop. 98

10

430col 1

Ἡ ΑΒ ٢ ٥⸎
٤٤Column end

10

430col 2

ἡ ΓΔ
٤Column end

10

430col 3

ἡ ΒΗ ١ ٣٩
٩Column end

10

430col 4

ἡ ΓΚ ٥ ٢١ ٤٤
5٤٧
١٢Column end

10

430col 5

ἡ ΚΜ οὐδέν ٤٠ ٥٧
5٤٠
٥٠Column end

10

430col 6

τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ⸎ ٥٢ ٢٥
5٣٦
١٦Column end

10

430col 7

ἡ ΓΖ ٢ ١٣ ٦
5٢٤
٤Column end

10

430col 8

ἡ ΑΗ ٤ ٣٧
٥٣Column end

10

.

431

λοιπὸν ἄρα p. 175, 20] ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΕ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΗ τὸ ΓΘ, καὶ ἔτι τῷ ἀπὸ τῆς ΒΗ ἴσον τὸ ΚΛ, ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσα ἐστὶ τό τε δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ·
5τοῦτο γὰρ δέδεικται ἐν τῷ ζʹ θεωρήματι τοῦ βʹ βιβλίου· ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον τῷ ΓΕ, λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΖΛ.

10

.

432

ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ p. 176, 9] ἐπεὶ ἡ ΖΝ ἴση ἐστὶ τῇ ΝΜ· δίχα γὰρ τέτμηται ἡ ΖΜ κατὰ τὸ Ν· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΝΞ τῇ ΜΛ ἴση· παράλληλοι γάρ εἰσι· καὶ περιέχεται τὸ ΖΞ ὑπὸ τῶν ΖΝ, ΝΞ, τὸ δὲ ΝΛ ὑπὸ τῶν
5ΝΜ, ΜΛ, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΞ τῷ ΝΛ. καὶ ἐπεὶ τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, φανερόν, ὅτι τὸ ΖΞ ἐστι τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. ὁμοίως καὶ τὸ ΝΛ τὸ ἅπαξ ὑπ’ αὐτῶν τῶν ΑΗ, ΗΒ. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τουτέστιν ἕκαστον
10χωρὶς τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· εἰ γὰρ ἓν ἕκαστον ἴσον τῷ ἅπαξ, τὸ ἐκ τῶν δύο συγκείμενον ἴσον τῷ δίς.

10

433t

Ad prop. 99

10

433col 1

Ἡ ΓΔ
٤Column end

10

433col 2

ἡ ΑΒ ٢ ٥٩
٢٨Column end

10

433col 3

ἡ ΓΖ ٢ ١٤ ١٢
5٤
١٢Column end

10

433col 4

ἡ ΒΗ ٢ ١٣
٤٣Column end

10

433col 5

ἡ ΑΗ ٥ ١٣
١١Column end

10

433col 6

ἡ ΓΚ ٢ ٤٨ ٤٠
5٥٧Column end

10

433col 7

ἡ ΚΜ ١ ١٤ ٣٠
5٢
١٢Column end

10

434t

Ad prop. 100

10

.

434

Δυνατόν ἐστι λαβεῖν ἐλάττονα εὐθεῖαν διὰ ογʹ
θεώρημα.

10

434col 1

ἡ ΑΒ ٣ ٤٩
٤٢Column end

10

434col 2

ἡ ΓΔ
٤Column end

10

434col 3

ἡ ΓΖ ٣ ٣٩ ٥٠
5٣١
٢١Column end

10

434col 4

ἡ ΒΗ ١ ٩
٣٢Column end

10

434col 5

ἡ ΑΗ ٤ ٥٩
١٤Column end

10

434col 6

ἡ ΓΚ ٢ ١٣ ٥
5٨
٤٩Column end

10

434col 7

ἡ ΚΜ οὐδέν ٢٠ ٨
5٤٣
١٦Column end

10

434col 8

ἡ ΓΜ ٦ ٣٣ ١٣
5٥٢
٥Column end

10

434col 9

ἡ ΖΜ ٢ ٥٣ ٢٣
5٢٠
٤٤Column end

10

434col 10

ἡ ΖΝ ١ ٢٦ ٤١
5٤٠
٣٢Column end

10

435t

Ad prop. 101

10

435col 1

Τὸ ΓΕ ٥ ٥١ ١٨
5١٢Column end

10

435col 2

ἡ ΒΗ ١ ٤٤
٣٠Column end

10

435col 3

ἡ ΑΒ ٢ ٢٥
١١Column end

10

435col 4

ἡ ΓΔ
٤Column end

10

435col 5

ἡ ΓΖ ١ ٢٧ ٤٩
5٣٣Column end

10

435col 6

ἡ ΒΗ ٤ ٩
٤١Column end

10

435col 7

ἡ ΓΚ ٤ ١٩ ٤٤
5٤٤
٥٠Column end

10

435col 8

ἡ ΚΜ ٠ ٤٥ ٣٠
5٣
٤٥Column end

10

435col 9

ἡ ΚΜ ٥ ٥ ١٤
5٤٨
٣٥

10

436t

Ad prop. 102

10

436col 1

ἡ ΑΒ ١ ٤٠
٢٧Column end

10

436col 2

ἡ ΒΗ ١ ٤٠
١٦Column end

10

436col 3

ἡ ΓΔ
٤Column end

10

436col 4

ἡ ΑΗ ٣ ٢٠
٤٣Column end

10

436col 5

ἡ ΓΖ οὐδέν ٤٢ ٢
5٣٣
٢Column end

10

436col 6

ἡ ΓΚ ٢ ٤٧ ٥١
5٤٧
٤٢Column end

10

436col 7

ἡ ΚΜ οὐδέν ٤١ ٥٣
5٢١
٤Column end

10

437-438t

Ad prop. 103

10

437col 1

Ἡ ΑΒ
٢٠Column end

10

437col 2

ἡ ΓΔ
٢٥Column end

10

437col 3

ἡ ΒΕ ١٠ ١٨ ٥
5٤٠Column end

10

437col 4

ἡ ΑΕ ٣٠ ١٨ ٥
5٤٠Column end

10

437col 5

ἡ ΔΖ ١٢ ٥٢ ٣٧
5٥Column end

10

437col 6

ἡ ΓΖ ٣٧ ٥٢ ٣٧
5٥Column end

10

.

438

καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα p. 188, 4] τὸ δυνάμει οὕτως ἀποδείκνυται· ἐπειδή ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΔΖ διὰ τὸ ἐναλλάξ, ἔστιν ἄρα διὰ τὸ κβʹ τοῦ ϛʹ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ, οὕτως
5τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ. ἀλλὰ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΕ σύμμετρόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ· δυνάμει γάρ εἰσιν αἱ εὐθεῖαι σύμμετροι· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἄρα σύμμετρόν ἐστι τῷ ἀπὸ ΔΖ. ὥστε καὶ αὐταὶ δυνάμει εἰσὶ σύμμετροι καὶ μόνον· ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, ὡς
10δὲ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΔΖ, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ μήκει καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΔΖ. δυνάμει δ’ ἐδείχθη σύμ‐ μετρος· ὥστε δυνάμει μόνον ἐστὶ σύμμετρος ἡ ΓΖ τῇ ΔΖ.

10

439-441t

Ad prop. 104

10

.

439

Εἴτε δυνάμει μόνον λάβῃς τὸ σύμμετρον εἴτε καὶ
μήκει, προβαίνει.

10

.

440

Διὰ τοὺς τριττοὺς ὅρους ἐστὶ πρώτη ἀποτομὴ ἥ τε ΑΒ καὶ ἡ ΓΔ. ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ἑκάστη ἀποτομὴ ἔχει οἰκείαν προσαρμόζουσαν μίαν εὐθεῖαν καὶ ὅλην καὶ ῥητὴν ἐν τῇ ἀποδείξει αὐτῆς. τοῦτο ἡμέτερον
5νόημα.

10

441col 1

Ἡ ΑΒ ٧ ٣٩
٢٤Column end

10

441col 2

ἡ ΓΔ ١ ٩
٣٢Column end

10

441col 3

ἡ ΒΕColumn end

10

441col 4

ἢ ΕΒ ١ ٣٩
٩Column end

10

441col 5

ἡ ΑΕ ٤ ٣٧
٥٣Column end

10

441col 6

ἡ ΔΖ ٣ ١٨
١٨Column end

10

441col 7

ἡ ΓΖ ٩ ١٥
٤٦Column end

10

442-443t

Ad prop. 105

10

442col 1

Ἡ ΑΒ ٣ ٤٩
٤٢Column end

10

442col 2

ἡ ΓΔ ٢ ٥٨
٤٤Column end

10

442col 3

ἡ ΕΒ ٥ ٥٧
٢٨Column end

10

442col 4

ἡ ΑΕ ٤ ٥٩
١٤Column end

10

442col 5

ἡ ΔΖ ٢ ١٩
٤Column end

10

442col 6

ἡ ΓΖ ٩ ٥٨
٢٨Column end

10

443col 1

Ἡ Α ٣ ٤٩
٤٢Column end

10

443col 2

ἡ Β ٧ ٤٩
٢٤Column end

10

443col 3

ἡ ΓΖ ٣ ٣٩ ٥٠
5٣١
٢١Column end

10

443col 4

ἡ ΓΔ
٤Column end

10

443col 5

ἡ ΖΘ ١٤ ٣٩ ٢٢
5٥
١٤Column end

10

444-445t

Ad prop. 106

10

444col 1

Τοῦ ρζʹ.Column end

10

444col 2

ἡ ΑΒ ٢ ٢٥
١١Column end

10

444col 3

ἡ ΒΕ ١ ٤٤
٣Column end

10

444col 4

ἡ ΓΔ ٧ ١٥
٣٣Column end

10

444col 5

ἡ ΔΖ ٥ ١٣
٣٠

10

445col 1

Ἡ ΓΖ ١ ٢٧ ٤٩
5٣٣Column end

10

445col 2

ἡ ΖΘ ١٣ ١٠ ٢٥
5٥٧
٢Column end

10

446t

Ad prop. 107

10

446col 1

Τοῦ ρηʹ.Column end

10

446col 2

ἡ ΑΒ ١ ٤٠
٢٧Column end

10

446col 3

ἡ ΓΔ ٥ ١
٢١Column end

10

446col 4

ἡ ΒΕ ١ ٤٠
١٦Column end

10

446col 5

ἡ ΔΖ ٥ οὐδέν
٤٢Column end

10

447-448t

Ad prop. 108

10

447col 1

Ἡ πλευρὰ τοῦ ΕΓ ٥ ٤٢
١٤Column end

10

447col 2

τὸ ΒΓ
٣٦Column end

10

447col 3

ἡ ΖΗ
٤Column end

10

447col 4

τὸ ΕΓ ٣٢ ٣٢ ٩
5٥٢
٤٢Column end

10

447col 5

τὸ ΒΔ ٣ ٢٧ ٥٠
5٧
١٨Column end

10

447col 6

τὸ ΛΘ ٣٢ ٣٢ ٩
5٥٢
٤٢Column end

10

447col 7

ἡ ΖΘ
٩Column end

10

447col 8

ἡ ΚΘ ٨ ١٤ ١٢
5١٧ ١٢ ٢٥
٣٠Column end

10

447col 9

ἡ ΖΚ οὐδέν ٤٥ ٤٧
5٤٢ ٤٧ ٣٤
٣٠

10

.

448

Δυνατὸν δὲ ἀφαιρεθῆναι μέσον ἀπὸ ῥητοῦ, εἴ γε χωρίον ἐκτεθῇ ῥητὸν τὸ ΑΒΓΔ περιεχόμενον ὑπὸ δύο εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΑΓ ῥητῶν μήκει συμμέτρων, καὶ ληφθῶ‐ σι δύο ἀριθμοὶ μὴ ἔχοντες λόγον πρὸς ἀλλήλους, ὃν τετρά‐
5γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθ‐ μόν, καὶ γένηται ὡς ὁ μείζων ἀριθμὸς [Omitted graphic marker] πρὸς τὸν ἐλάσσονα, οὕτω μία τῶν πλευρῶν ἡ ΑΒ πρὸς μέρος αὐτῆς τὴν ΑΕ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΑΕ
10λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀσύμμετρος ἡ ΑΒ τῇ ΑΕ. ὥστε καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΑΕ ἀσύμμετρος μήκει ἐστί. τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων τῶν ΓΑ, ΑΕ περιεχό‐ μενον μέσον ἐστίν· ὥστε ἀπὸ ῥητοῦ τοῦ ΑΔ ἀφῄρηται
15μέσον τὸ ΓΕ.

10

449-450t

Ad prop. 109

10

449col 1

Ἡ πλευρὰ τοῦ .. ٥ ٢٨
5٣٨Column end

10

449col 2

ἡ πλευρὰ τοῦ ΕΓ ٢ ٥٤
5٥١Column end

10

449col 3

τὸ ΒΓ τὸ καὶ μέσον ٢٤ ٢٩
5٣٧ ٤٨
٢Column end

10

449col 4

τὸ ΕΓ ٨ ٢٩ ٣٧
5٤٨
٢Column end

10

449col 5

ἡ πλευρὰ τοῦ .. ٤ ٢٨
5١٩Column end

10

449col 6

τὸ ΗΚ ١٦ ἡ δυνα‐ μένη
5αὐτό
٤Column end

10

449col 7

ΚΘ ٢ ٧ ٢٤
5٢٤
٧Column end

10

449col 8

ἡ ΖΘ ٦ ٥ ٢٤
5٢٤
٧Column end

10

449col 9

τὸ ΒΔ
١٦Column end

10

449col 10

ἡ ΖΗ
٤Column end

10

449col 11

ΖΚ
٤

10

.

450

Δυνατὸν δὲ ἀπὸ μέσου ῥητὸν ἀφαιρεθῆναι τούτῳ τῷ τρόπῳ· ἐκκείσθω χωρὶς μέσον τὸ ΒΑΓΔ περιεχό‐ μενον ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων τῶν ΒΑ, ΓΔ, καὶ ἔστω ἐλάσσων ἡ ΒΑ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ [Omitted graphic marker]
5Ζ, Η λόγον ἔχοντες πρὸς ἀλλήλους, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ ἔστω μείζων ὁ Ζ, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Ζ
10πρὸς τὸν Η, οὕτως ἡ ἐλάσ‐ σων ἡ ΒΑ πρὸς μέρος τῆς μείζονος τῆς ΑΓ, τουτέστι τὴν ΑΕ. ἡ ΒΑ ἄρα σύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ΑΕ. ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ περιεχόμενον ῥητόν ἐστιν· καὶ ἀφῄρηται ἀπὸ μέσου τοῦ ΒΓ.

10

451t

Ad prop. 110

10

.

451

Δυνατὸν δὲ ἀπὸ μέσου μέσον ἀφελεῖν ἀσύμμετρον τῷ ὅλῳ τρόπῳ τοιούτῳ· ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπ’ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμ‐
5μετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπ’ [Omitted graphic marker] αὐτῶν τὸ ὑπ’ αὐτῶν, καὶ συνεστάτω τῷ ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν συγκειμένῳ ἴσον τὸ ΑΒΓΔ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπ’ αὐ‐ τῶν ἔλασσόν ἐστι τοῦ συγκειμένου
10ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν, ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ μείζονος τοῦ ΑΔ ἴσον τῷ ὑπ’ αὐτῶν τὸ ΔΕ. ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΑΔ μέσον
χωρίον τῷ ΔΕ μέσῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

10

452-457t

Ad prop. 111

10

.

452

Ἐκ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς.

10

453col 1

Ἡ ἀποτομή ἡ ΕΖ ١٠ ١٨
5٥
٤٠Column end

10

453col 2

ἐκ δύο ὀνομάτων ٥ ٦
5٣٢ ١١
٥٠Column end

10

453col 3

ἡ ΑΒ ٢٠ ἡ ΔΓ
٤Column end

10

453col 4

τὸ ΓΕ υ ἡ ΔΕ
ἑκτόνColumn end

10

.

454

καὶ λοιπὴ ἄρα p. 200, 1] καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ καὶ τὰ ἑξῆς, ὁμοίως καὶ ἀπὸ συμμέτρων· συμ‐ μέτρων γὰρ ὄντων τῶν ΔΖ, ΔΗ μήκει, ἐὰν ἀπὸ τῆς ΔΖ τῷ ΔΗ σύμμετρον ἀφαιρεθῇ τὸ ΔΗ, λοιπὸν ἄρα τῷ ΔΖ
5τὸ ΗΖ ἐστι σύμμετρον.

10

.

455

Ὅτι πᾶσαι αἱ ἄλογοι ιγ.

10

.

456

Ἡ μέση ἀποτομὴ πρώτη καὶ ἡ μέση ἀποτομὴ δευτέρα καὶ αἱ μετ’ αὐτὰς ἤτοι ἡ ἐλάσσων, ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα καὶ ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἤγουν ἡ ἐκ δύο μέσων πρώτη, ἡ ἐκ δύο μέσων
5δευτέρα, ἡ μείζων, ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη καὶ ἡ δύο μέσα δυναμένη.

10

.

457

τῇ τάξει τῇ καθ’ αὑτήν p. 201, 13. 14] ἡ μέση ἀποτομὴ πρώτη, μέση ἀποτομὴ δευτέρα, ἐλάττων, μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα, μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.
5Ἀποτομὴν πρώτην, δευτέραν, τρίτην, τετάρτην, πέμπτην,
ἕκτην.

10

458-467t

Ad prop. 112

10

.

458

Ἐκ δύο ὀνομάτων ἦν ἡ ἐκ δύο ῥητῶν δυνάμει μό‐ νον συμμέτρων, ὅταν δὲ ἀπὸ ῥητῆς ἀφαιρεθεῖσα ῥητὴ δυνά‐ μει μόνον σύμμετρος ἦν τῇ ὅλῃ, ἡ λοιπὴ ἄλογος ἦν καὶ ἐκαλεῖτο ἀποτομή.

10

.

459

ἧς τὰ ὀνόματα p. 202, 13. 14] ἤγουν ἡ προσκει‐ μένη καὶ ἡ ὅλη ἡ ἐκ τῆς ἀποτομῆς καὶ τῆς προσκειμένης συγκειμένη.

10

460col 1

Ἡ Α ٦ τὸ ἀπὸ ταύτης
5λϛColumn end

10

460col 2

ἡ ΒΓ ٣٠ ١٨ ٥
5٤٠Column end

10

460col 3

ἡ ΔΓ
٢٠Column end

10

460col 4

ἡ ΒΔ ١٠ ١٨ ٥
5٤٠Column end

10

460col 5

ἡ ΕΖ ١ ١١
١٦Column end

10

460col 6

ἡ Η ٣ ٢٩
٤Column end

10

460col 7

τὸ ὑπὸ ٢٣ ٤٥
٢٠Column end

10

460col 8

τῶν ΓΔ, ΖΕ ᾥτινι ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν
ΔΖ, ΖΘColumn end

10

460col 9

ἡ ΘΖ ٢ ١٨ ٩
5٣٦Column end

10

460col 10

ἡ ΖΚ ٢ ٣٢ ٣٠
5٥٦Column end

10

460col 11

ἡ ΚΕ ١ ١٣ ٣١
5٥٥Column end

10

.

461

γεγονέτω ὡς p. 203, 5] πόθεν δῆλον, ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΖΕ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ; δείξομεν κατὰ ἀνάλυσιν. ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΖΕ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ, κείσθω τῇ ΖΕ ἴση ἡ ΖΛ· μείζων γὰρ ἡ ΘΖ τῆς ΖΕ.
5ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΖΛ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ. διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΛ πρὸς ΛΖ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΚ. κατὰ διαίρεσιν πῶς ποιήσομεν ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΖΕ, οὕτως ἄλλην τινὰ πρὸς τὴν ἐφαρμόζουσαν τῇ ΖΕ κατὰ τὸ Ε; κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΖΛ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΘΛ
10πρὸς ΛΖ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ἄλλην τινὰ τυχοῦσαν τὴν ΕΚ διὰ ιγʹ τοῦ ϛʹ. συνθέντι ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΖΛ, τουτέστι πρὸς ΖΕ (ἴσαι γάρ), οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

10

.

462

γεγονέτω p. 203, 5] ἤγουν προσεκβεβλήσθω ἡ ΖΕ ὥστε τὴν ΖΕ ὅλην μετὰ τῆς προσεκβεβλημένης πρὸς τὴν προσεκβληθεῖσαν εἶναι ἐν λόγῳ τῷ τῆς ΘΖ πρὸς ΖΕ· ὅπερ ποιήσομεν οὕτως· ἐκθήσομεν γὰρ εὐθεῖάν τινα ὡς
5ἐπὶ παραδείγματος τὴν ΛΜ καὶ ποιήσομεν διὰ τὸ ιβʹ τοῦ ϛʹ ὡς τὴν ΘΖ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως τὴν ΛΜ πρὸς μέρος τι ἑαυτῆς τὴν ΜΝ. δῆλον γάρ, ὡς ἡ ΛΜ ἔσται ἡ μείζων ἐπὶ [Omitted graphic marker] ταύτης τῆς ἀναλογίας, ἐπειδὴ καὶ ἡ ΘΖ μείζων τῆς ΖΕ διὰ τὸ τὴν μὲν ΘΖ ἀναλογεῖν τῇ ΓΔ τῷ μείζονι ὀνόματι,
10τὴν δὲ ΖΕ τῇ ΔΒ τῷ ἐλάττονι. καὶ πάλιν διὰ τοῦ αὐτοῦ ποιήσομεν, ὡς τὰ μέρη ἐκεῖνα πρὸς ἄλληλα, τουτέστι τὴν ΛΝ πρὸς τὴν ΝΜ, οὕτως τὴν προκειμένην ΖΕ πρὸς τὴν ΕΚ. καὶ συνθέντι ἄρα διὰ τὸ ιηʹ τοῦ εʹ ὡς ἡ ΛΜ πρὸς τὴν ΜΝ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΕ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΛΜ πρὸς τὴν
15ΜΝ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΕ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΕ. προσεκβέβληται ἄρα καὶ τὰ λοιπά· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

10

.

463

σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ p. 203, 11] αἱ γὰρ ΓΔ, ΔΒ δυνάμει εἰσὶ σύμμετροι· ἡ γὰρ ΒΓ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν.

10

.

464

καί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ p. 203, 13] ἐδείχθη γάρ, ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΒ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ, ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΒ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς ΚΕ. τρεῖς οὖν εὐθεῖαί εἰσιν ἀνάλογον, πρώτη μὲν ἡ ΘΚ, δευτέρα δὲ ἡ ΚΖ, τρίτη
5ἡ ΚΕ. ἔστιν οὖν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας εἶδος, οὕτως ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΘΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς ΚΕ.

10

.

465

ὥστε καὶ ἡ ΘΕ p. 203, 16] ἰστέον, ὅτι πρῶτον μέγεθός ἐστι τὸ ΘΚ, δεύτερον τὸ ΖΚ, τρίτον τὸ ΘΕ καὶ τέταρτον τὸ ΕΚ. ἐδείχθη δὲ ἐν τῷ ιαʹ θεωρήματι τοῦ βιβλίου τούτου, ὅτι, ἂν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ
5δὲ πρῶτον τῷ δευτέρῳ σύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ τρίτον τῷ τετάρτῳ σύμμετρον ἔσται. ὥστε ἡ ΘΕ τὸ τρίτον μέγεθος σύμμετρόν ἐστι τῷ ΕΚ τῷ τετάρτῳ.

10

.

466

ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΚ. p. 204, 8] ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΒ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΕ, ἐναλλὰξ ἄρα, ὡς ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΚΕ πρὸς τὴν ΔΒ. ῥητὴ δὲ ἡ ΚΕ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΔ μήκει· ῥητὴ ἄρα καὶ
5ἡ ΚΖ καὶ σύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.

10

.

467

Ἐπεὶ γὰρ ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΒ, ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΕ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΚΕ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΚΖ, ἡ δὲ ΒΔ τῇ ΚΕ μήκει σύμμετρος, καὶ ἡ ΔΓ ἄρα τῇ ΚΖ μήκει σύμμετρος.

10

468-470t

Ad prop. 113

10

468col 1

Ἡ Α
١Column end

10

468col 2

ἡ ΒΔ
٢٠Column end

10

468col 3

ἡ ΚΘ
٥Column end

10

468col 4

ἡ ΔΓ ١٠ ١٨ ٥
5٤٠Column end

10

468col 5

ἡ ΕΘ ١
٤٢Column end

10

468col 6

ἡ ΒΓ ٣٠ ١٨ ٥
5٤٠Column end

10

468col 7

ἡ ΘΖ ١
٢٠Column end

10

468col 8

ἡ ΚΖ ٣
٤٠Column end

10

468col 9

ἡ Η ٣
١٨Column end

10

468col 10

ἡ ΕΚ ٣
١٨Column end

10

468col 11

ἡ ΖΕ ٠
٢٢

10

.

469

σύμμετρος ἄρα ἐστὶν p. 206, 8] ἐπεὶ γὰρ ἡ Η σύμμετρός ἐστι τῇ ΒΓ, ἴση δὲ κατεσκευάσθη ἡ Η τῇ ΚΕ, καὶ ἡ ΚΕ ἄρα σύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ΒΓ. συλ‐ λογιστέον οὖν ὡδί· ἡ ΚΕ καὶ ἡ Η ἴσαι εἰσίν, ἡ δὲ Η
5σύμμετρος τῇ ΒΓ μήκει· καὶ ἡ ΚΕ ἄρα σύμμετρος τῇ ΒΓ μήκει.

10

.

470

ὥστε ἡ ΚΖ p. 207, 2] διὰ τὸ ιϛʹ τοῦ ιʹ. δέδεικται γὰρ ἐκεῖ, ὅτι, ἐὰν τὸ ὅλον ἑνὶ τῶν μερῶν σύμμετρον ᾖ, καὶ τῷ λοιπῷ σύμμετρον ἔσται.

10

471-472t

Ad prop. 114

10

471col 1-2

Τὸ χωρίον τὸ ὑπὸ ἀπο‐ τομῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνο‐ μάτων
5τὸ ΓΕ ὄνομα ἤτοι ἡ ΓΕ
٢٠Column end

10

471col 2

١٠ ٦ ١ ٥
5٢٣Column end

10

471col 3

τὸ ΕΔ ὄνομα ١٠ ١٨
5٥
٤٠Column end

10

471col 4

τὸ ΓΕ ὄνομα
٢٠Column end

10

471col 5

ἡ Η ٣ ١٠
٤١Column end

10

471col 6

ἡ Θ ١٦ τὸ ἀπὸ τῆς Θ
5σνϛColumn end

10

471col 7

ἡ ΚΛ ٨ ٢٦
٥٤Column end

10

471col 8

ἡ ΖΒ ١٠ ١٨ ٥
5٤٠Column end

10

471col 9

ἡ ΑΖ ٣٠ ١٨ ٥
5٤٠Column end

10

471col 10

ἡ ΑΒ
٢٠Column end

10

471col 11

ἡ ΓΔ ٣٠ ١٨ ٥
5٤٠Column end

10

471col 12

ἡ ΛΜ ١ ١٣
٣١Column end

10

471col 13

ἡ ΚΜ ٩ ٤٠
٢٥

10

.

472

καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ p. 209, 7] ἐπειδὴ δύο παραλ‐ ληλόγραμμα γίνονται, ἅπερ ἡμεῖς κατεγράψαμεν τοῦ σα‐ φοῦς χάριν, ἓν μὲν τὸ ΚΓ, ἄλλο δὲ τὸ ΓΒ, βάσεις μὲν ἔχοντα τήν τε ΚΛ καὶ τὴν ΑΒ, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τὸ ΔΓ,
5διὰ τοῦτό ἐστιν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΛΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΛΚ. ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ αʹ τοῦ ϛʹ βιβλίου, ὅτι τὰ τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμ‐ μα τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα πρὸς ἄλληλά εἰσιν ὡς αἱ βά‐ σεις. ὡς οὖν ἡ βάσις ἡ ΒΑ πρὸς βάσιν τὴν ΛΚ, οὕτως καὶ
10τὸ ΒΓ παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ τῆς ΒΑ καὶ τοῦ ὕψους τῆς ΔΓ περιεχόμενον πρὸς τὸ ΚΓ τὸ ὑπὸ τῆς ΛΚ βά‐ σεως καὶ τοῦ αὐτοῦ ὕψους τῆς ΔΓ περιεχόμενον.

10

473-476t

Ad prop. 115

10

.

473

Ἡ Β ٤ ἡ Α ١ ٥١ ٤٠ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Α ٧ ٢٧ ٤٠

10

.

474

οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή· p. 210, 8. 9] ἡ γὰρ Γ ἄλογός ἐστιν, ἐπεὶ οὐ ῥητή, καὶ οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἀλόγων ἡ αὐτή, τουτέστι τῶν ιγ. οὔτε γὰρ μέση, ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ταύτης παρὰ τὴν Β ῥητὴν παραβληθὲν πλάτος ἂν
5ἐποίησε ῥητήν, οὔτε ἐκ β ὀνομάτων, ἐπεὶ πάλιν τὸ ἀπ’ αὐτῆς παρὰ ῥητὴν παραβληθὲν τὴν Β δηλαδὴ πλάτος ἂν ἐποίησε τὴν ἐκ β ὀνομάτων αʹ, καὶ ἦν ἂν ἡ Α ἐκ β ὀνομά‐ των αʹ, οὔτε ἐκ β μέσων αʹ· ἦν γὰρ ἂν ἡ Α ἐκ β ὀνομάτων βʹ. οὔτε ἐκ β μέσων βʹ· ἦν γὰρ ἂν ἡ Α ἐκ β ὀνομάτων τρίτη.
10οὔτε μείζων ἐστὶν ἡ Γ· ἦν γὰρ ἂν οὕτω ἡ Α ἐκ β ὀνομάτων
δʹ. οὔτε ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη· ἦν γὰρ πάλιν ἡ Α ἐκ β ὀνομάτων εʹ· οὔτε β μέσα δυναμένη· καὶ οὕτω γὰρ ἂν ἦν ἡ Α ἐκ β ὀνομάτων ϛʹ· οὔτε ἀποτομή, ἐπεὶ ἡ Α πρώτη ἂν ἦν ἀποτομή· οὔτε μέση ἀποτομὴ αʹ· ἡ Α γὰρ ἂν ἦν ἀπο‐
15τομὴ βʹ· οὔτε μέση ἀποτομὴ βʹ· καὶ γὰρ ἡ Α ἦν ἂν τρίτη ἀποτομή. οὔτε ἐλάσσων ἐστὶν ἡ λεγομένη, τουτέστιν ἡ Γ, ἐπεὶ ἡ Α τετάρτη ἂν ἦν ἀποτομή. ἀλλ’ οὐδὲ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν ἡ Γ, ἐπεὶ καὶ ἡ Α ἦν ἂν ἀπο‐ τομὴ πέμπτη. ἀλλ’ οὐδὲ πάλιν μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον
20ποιοῦσά ἐστιν ἡ Γ, ἐπεὶ καὶ ἡ Α ἦν ἂν ἕκτη ἀποτομή. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς Γ παρὰ ῥητὴν τὴν Β παραβληθὲν πλάτος τὴν Α πεποίηκεν, ἣ δὴ Α οὐδεμιᾷ τῶν δώδεκα ἀλόγων εὐθειῶν ἐστιν ἡ αὐτή, ἀλλ’ οὐδὲ ῥητή· μέση γὰρ ....· εἰκότως καὶ ἡ Γ οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον θεωρηθέντων
25ιγ ἀλόγων εὐθειῶν ἐστιν ἡ αὐτή· ἑτέρα τοιγαροῦν παρὰ τὰς λοιπὰς ἀλόγους ἡ Γ ἐστιν. εἰ γοῦν ἀπ’ ἄλλης τινὸς ἀνωνύμου εὐθείας χωρίον παρὰ ῥητὴν τὴν Β παραβληθὲν πλάτος ποιήσει τὴν πολλάκις εἰρημένην Γ, ἡ τὸ χωρίον ἐκεῖνο δυναμένη, τουτέστιν ἡ Δ, ἑτέρα ἔσται παρὰ τὰς
30ἀναφανείσας ἁπάσας ἀλόγους εὐθείας, καὶ τούτου γινο‐ μένου, τουτέστιν ἀφ’ ἑτέρων εὐθειῶν ἀλόγων χωρίων παρα‐ βαλλομένων παρὰ τὴν Β ῥητὴν καὶ πλάτη ποιούντων τὰς εὐθείας ἐκείνας, ὧν τὰ ἀπὸ τούτων χωρία παρὰ τὴν Β ῥητὴν προπαραβέβληνται, ἐς ἄπειρον ἄλογοι ἂν εὐθεῖαι
35ἀνώνυμοι ἀναφαίνοιντο, καὶ ἡ περὶ τούτων θεωρία τέλος οὐχ ἕξει ποτέ.

10

475col 1

Ἡ ΑΒ
٤Column end

10

475col 2

ἡ ΑΓ ١ ٥١
٤٠

10

.

476

Εἰ ὑποθώμεθα τὴν ΖΔ τῇ ΔΓ εἶναι τὴν αὐτήν, ἡ δὲ ΓΔ παρὰ τὴν ΑΒ ῥητὴν παραβληθεὶς πλάτος πεποίηκε τὴν ΑΓ μέσην, καὶ ἡ ΔΖ ἄρα παρὰ τὴν ΑΒ παραβληθεῖσα πλάτος ποιήσει τὴν ΑΓ μέσην. ἡ αὐτὴ δὲ ἡ ΔΖ παρὰ τὴν
5ΓΕ ῥητήν, τουτέστι παρὰ τὴν ΑΒ, παραβληθεῖσα πλάτος πεποίηκε τὴν ΓΔ. μέση ἄρα καὶ ἡ ΓΔ. ἐλεγχθήσεται δὲ μὴ εἶναι μέση διὰ κβʹ ιʹ· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ ΔΖ ἡ αὐτή ἐστι τῇ ΓΔ.

10

477-481t

Ad append. nr. 27 p. 231—233

10

.

477

Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς.

10

.

478

Ἔστω τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ. φανερὸν δή, ὅτι ἰσοσκελές ἐστι τὸ ΓΑΔ τρίγωνον ἴσην ἔχον τὴν ΔΑ τῇ ΔΓ· ὁμοίως καὶ τὸ ΒΑΓ τρίγωνον ἰσοσκελές ἐστιν. ἔστω οὖν ἡ ΔΑ μονάδων δ ἢ ποδῶν δ,
5ὡσαύτως καὶ ἡ ΓΔ δ. ὥστε δῆλον, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ ἐστι ιϛ ποδῶν ἢ μονάδων, ὁμοίως καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τοιούτων ιϛ· καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΔΑ, ΓΔ, ὡς δέδεικται ἐν τῷ μζʹ τοῦ αʹ βιβλίου, δῆλον, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΑ. ἔστι δὲ τὸ
10ἀπὸ τῆς ΔΑ ιϛ· τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου ἄρα ἐστὶ λβ ἤτοι διπλάσιον. καὶ ἐπεὶ μήκει σύμμετροι εὐθεῖαί εἰσιν, ὅταν μεγέθει καταμετρῶνταί τινι, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα λόγον ἔχῃ, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθ‐ μόν, ἡ δὲ δυναμένη τὸν λβ καὶ ἡ πλευρὰ οὐ καταμετροῦνται
15μεγέθει τινί, οὐδὲ τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον (οὐδεὶς γὰρ
τετράγωνος τετραγώνου διπλάσιος), ἀσύμμετρός ἐστι μήκει ἡ διάμετρος τῇ πλευρᾷ. ἔστι δὲ ἡ δυναμένη τὸν λβ ἤτοι ἡ πλευρὰ πέντε μονάδων καὶ λεπτῶν πρώτων λθ, ἃ ε λθ καὶ
20τὰ δ οὐδὲν ἔχουσι κοινὸν μέτρον, ὥσπερ οὐδὲ ὁ λβ, ὡς εἴρη‐ ται, πρὸς τὸν ιϛ ἔχει λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.

10

.

479

Ἐκ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς.

10

.

480

ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. p. 234, 19] διὰ τὸν ὅρον τοῦ ζʹ τὸν λέγοντα· πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοί εἰσιν οἱ μονάδι μόνῃ μετρούμενοι.

10

.

481

Ἀδύνατον γάρ ἐστιν ὁ Η ἀριθμὸς τοὺς ΕΖ, Η ἀριθμοὺς πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους μετρεῖν· ἐμάθο‐ μεν γὰρ τὸ ἐν τῷ ὅρῳ τοῦ ζʹ βιβλίου· πρῶτοι πρὸς ἀλλή‐
λους ἀριθμοί εἰσιν οἱ μονάδι μόνῃ μετρούμενοι.

11

t

In librum 11

11

.

1

Οἱ παλαιοὶ τὴν τῶν ἐπιπέδων γνῶσιν ἀπὸ τῆς τῶν στερεῶν ἐπιστήμης διέστελλον· ἐκείνην μὲν γὰρ γεω‐ μετρίαν ἐκάλουν, ὡς καὶ Πλάτων ἐν τῇ Πολιτείᾳ δηλοῖ, ταύτην δὲ στερεομετρίαν. οἱ νεώτεροι δὲ διὰ τὸ ἀμφοῖν
5τοῖν ἐπιστήμαιν κοινὴν εἶναι τὴν περὶ μεγέθη γνῶσιν κοινῷ καὶ ὀνόματι τὴν γεωμετρίαν ἐκάλεσαν συνάψαντες αὐτὰς ὡσανεὶ μίαν πραγματείαν οὖσαν διὰ τὸ περὶ ταὐτό, ὥσπερ εἴρηται, ἔχειν. Ὡς ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἦν τὰ μὲν εὐθύγραμμα, τὰ δὲ κυκλι‐
10κά, τὰ δὲ μικτὰ ὡς οἱ θυραῖοι καὶ αἱ ἕλικες, οὕτω καὶ ἐν τοῖς στερεοῖς τὰ μὲν ἐξ εὐθυγράμμων ἐπιπέδων, τὰ δὲ ἐκ περιφερογράμμων, τὰ δὲ ἐκ μικτῶν ὡς κύλινδρος καὶ κῶνος· ἔστι δὲ πρὸς μὲν τοῦ πέρατος τὰ κυκλικά, πρὸς δὲ τοῦ ἀπείρου τὰ εὐθύγραμμα ἢ ἐξ εὐθυγράμμων, πρὸς δὲ
15τοῦ κρυφίου τὰ μικτά.

11

2t

Ad def. 1

11

.

2

Εἴ τι μὲν σῶμα, τοῦτο καὶ στερέον, οὐκ ἔμπαλιν δέ, ὡς ἐπὶ τῶν προκειμένων· ταῦτα γὰρ φανταστά ἐστι στε‐ ρεὰ καὶ οὐκ ἀντίτυπα.

11

3t

Ad def. 3

11

.

3

Εἰ ἐξῆν αὐτὸ τὸ ἐπίπεδον εἰς εὐθείας ἀναλῦσαι, εἶπεν
ἄν· ὅταν πρὸς πάσας τὰς εὐθείας, ἐξ ὧν τὸ ἐπίπεδον, ὀρθὰς ποιῇ γωνίας, τότε καὶ πρὸς αὐτὸ ὀρθὴ ἔσται· ἐπειδὴ δὲ ἀπειράκις τεμνόμενον ὑπὸ εὐθειῶν οὐκ ἀναλυθήσεται εἰς
5αὐτάς, ἠρκέσθη τῇ τῶν εὐθειῶν ἀπειρίᾳ ἀντὶ ὅλου τοῦ ἐπιπέδου. τὸ δὲ ἁπτομένας πρόσκειται, ἵνα μὴ παράλληλοι ὦσιν.

11

4t

Ad def. 5

11

.

4

Ὁ μὲν Εὐκλείδης ἐν τῇ κλίσει τὴν γωνίαν βούλεται εἶναι, οἱ δὲ Στωικοὶ τὴν κλίσιν γωνίαν· ὀρθῶς δὲ ὁ Εὐκλεί‐ δης· πᾶσα γὰρ γωνία σύννευσίς ἐστι μεγεθῶν πρὸς ἑνὶ σημείῳ.

11

5t

Ad deff. 9—10

11

.

5

Οἷον εἰ στερεὸν σχῆμα περιέχεται φέρε εἰπεῖν ὑπὸ δ τριγώνων καὶ θ τετραγώνων καὶ τριῶν πενταγώνων, ἔτι δὲ καὶ ἕτερον στερεὸν σχῆμα ὁμοίως περιέχεται ὑπὸ δ τριγώνων καὶ θ τετραγώνων καὶ γ πενταγώνων ὁμοίων
5πάντων τοῖς προειρημένοις, ὅμοιά ἐστι τὰ στερεά, εἰ δὲ μὴ μόνον ὑπὸ ὁμοίων ἴσων τὸ πλῆθος περιέχεται ἑκάτερον, ἀλλὰ καὶ ἴσων, ἴσα τε καὶ ὅμοια κληθήσεται.

11

6-8t

Ad def. 11

11

.

6

Οὐ φαῦλος ὁ ὁρισμὸς οὗτος.

11

.

7

Ἐλλιπὴς ὁ ὁρισμὸς οὗτος· ἡ γὰρ τοῦ τεταρτημορίου τῆς σφαίρας γωνία ὑπὸ πλειόνων μὲν ἢ δύο ἐπιφανειῶν
περιέχεται, οὐκ ἐπιπέδων δέ. τὸ γὰρ ἡμικώνιον πρὸς τῇ κορυφῇ οὐ ποιεῖ γωνίαν στερεάν· εἰ γάρ ἐστιν ἐκείνη γωνία,
5καὶ ἡ κορυφὴ τοῦ κώνου γωνία ἐστίν. ὥστε καὶ ὑπὸ δύο ἐπιφανειῶν καὶ ὑπὸ μιᾶς εἶναι στερεὰν γωνίαν· ὅπερ οὐκ ἔστιν ἀληθές. ἄμεινον οὖν ὁρίζεσθαι τὴν στερεὰν γωνίαν σύννευσιν μεγέθους ἢ μεγεθῶν πρὸς ἑνὶ σημείῳ.

11

.

8

Δέον προσθεῖναι ἐπιπέδων εὐθυγράμμων διὰ τὸν κῶνον.

11

9t

Ad def. 12

11

.

9

Οἷον ἐὰν εὐθύγραμμον ἐπίπεδον, ἀπὸ δὲ τῶν περά‐ των τῶν πλευρῶν αὐτοῦ ἀχθῶσι μετέωροι εὐθεῖαι ἐφ’ ἓν σημεῖον συννεύουσαι, τὸ περιληφθὲν σχῆμα πυραμίς ἐστιν, κορυφὴ δὲ πυραμίδος καλεῖται τὸ σημεῖον, ἐφ’ ᾧ αἱ εὐθεῖαι
5συνέπεσον ἀλλήλαις, βάσις δὲ τὸ ἐξ ἀρχῆς ἐπίπεδον.

11

10-11t

Ad def. 14

11

.

10

Τὴν γένεσιν ὡρίσατο τῆς σφαίρας· δεῖται γὰρ τούτου ἐν τοῖς ἑξῆς· ὁ δὲ Θεοδόσιος τὸν ὁρισμὸν αὐτῆς ἀποδίδω‐ σιν.

11

.

11

Ὁρισμὸς σφαίρας οὐκ ἔστι τοῦτο, ἀλλὰ γένεσις, ἐν δὲ τοῖς Θεοδοσίου σφαιρικοῖς εὑρήσεις τὸν ὁρισμόν. τοῦτο δὲ οὕτως πεποίηκεν καὶ τὴν γένεσιν τῆς σφαίρας ὡρίσατο, ἐπειδὴ δεῖται τούτου ἐν τοῖς ἑξῆς.

11

12t

Ad def. 17

11

.

12

Οὐκ εἴ τις ἄρα διάμετρος, αὕτη καὶ ἄξων. ἀπο‐ δέδωκεν γὰρ ἂν αὐτὸ σὺν τῷ ἄξονι ὁ γεωμέτρης· ἀλλ’ εἴ τις ἄξων, οὗτος καὶ διάμετρος. οὐ γὰρ περὶ πᾶσαν διά‐
μετρον κινεῖται σφαῖρα.

11

13-14t

Ad def. 18

11

.

13

Γένεσιν καὶ ἐνταῦθα ὡρίσατο κώνου καὶ οὐ παντός, ἀλλὰ τοῦ ἰσοσκελοῦς, ὁ δὲ Ἀπολλώνιος καλῶς ὡρίσατο ἐπὶ πλέον τὴν γένεσιν. διαιρεῖ δὲ αὐτοὺς εἰς ἰσοσκελεῖς καὶ ἀνισοσκελεῖς, ὁ δὲ Ἀρχιμήδης εἰς ὀρθογωνίους καὶ ὀξυγω‐
5νίους καὶ ἀμβλυγωνίους τὴν πλευρὰν πρὸς τὴν βάσιν συγκρίνων. δῆλον δέ, ὅτι ἐν πάσῃ γωνίᾳ σκαληνοὶ εἶναι δύνανται οἱ κῶνοι, ἐν δὲ μόνῃ τῇ ὀξείᾳ οἱ ἰσοσκελεῖς, ἐπεὶ καὶ τῶν ἰσοσκελῶν ἑκατέρα τῶν πρὸς τῇ βάσει ὀξεῖά ἐστιν.

11

.

14

Δεικτέον, ὅπως ἔσται ὀρθογώνιος, ἤτοι ὅτι ἡ κορυ‐ φὴ αὐτοῦ ὀρθῆς ἐστι γωνίας. κείσθω ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν, ἴσην δὲ τῇ ΑΒ εὐθείᾳ τὴν ΒΓ. λέγω, ὅτι ὀρθὴ ἔσται ἡ πρὸς τῷ Α
5συνισταμένη γωνία. ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΓΒ ἐπὶ τὸ Δ, καὶ κείσθω τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ. ἡμίσεια ἄρα ἑκατέρα αὐτῶν ὀρθῆς διὰ τὸ [Omitted graphic marker] ὀρθὴν ὑποκεῖσθαι τὴν ὑπὸ ΑΒΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ
10ΒΑΔ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία ὀρθή ἐστιν. ὀρθογώνιος ἄρα ὁ περὶ τὸ ΑΒΓ γραφόμενος κῶνος. τῆς γὰρ ΑΒ μενούσης εὐθείας καὶ τῆς ΑΓ
περιφερομένης, ἕως ἂν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέ‐ ρεσθαι, περιφερομένης δὴ τῆς ΑΓ καὶ ΒΓ, μενούσης δὲ
15τῆς ΑΒ ἀνάγκη ἐν τῇ περιφορᾷ ἐφαρμόσαι τὴν ΑΓ τῇ ΑΔ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΓΒ τῇ ΒΔ. ὥστε ὁ γραφόμενος κύκλος ὑπὸ τοῦ Γ σημείου, ὃς κύκλος καὶ βάσις ἔσται τοῦ κώνου τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον γραφομένου, ὁ δὴ γραφόμενος κύκλος διάμετρον ἕξει τὴν ΔΓ βάσιν τοῦ ΔΑΓ
20τριγώνου ὀρθὴν ἔχοντος τὴν ὑπὸ ΔΑΓ γωνίαν. εἰ οὖν διέλῃ τις τὸν κῶνον δίχα εἰς δύο ἀπὸ τῆς κορυφῆς τῆς Α μέχρι τῆς βάσεως, αἱ τῶν τμημάτων ἐπιφάνειαι οὐκ ἄλλο τι ἔσονται ἢ τὸ ΑΔΓ τρίγωνον ὀρθογώνιον ὄν· ὥστε καὶ ἡ τοῦ κώνου κορυφὴ ὀρθογώνιός ἐστιν. εἰ δὲ μείζων ἐστὶν
25ἡ ΒΓ τῆς ΑΒ, μείζων ἡμίσεος ὀρθῆς ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΑΒ· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ μείζων ὀρθῆς ἔσται· ἀμβλεῖα ἄρα. ὥστε καὶ ὁ κῶνος ἀμβλυγώνιος ἤτοι ἡ κορυφὴ αὐτοῦ ἀμβλεῖα γωνία. εἰ δὲ ἐλάσσων ᾖ ἡ ΒΓ τῆς ΑΒ, ἐλάσσων ἡμίσεος ὀρθῆς
30ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ· ὥστε διὰ τὰ προδεδειγμένα καὶ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ ἐλάσσων ἔσται ὀρθῆς· ὀξεῖα ἄρα. ὀξυγώνιος τοίνυν καὶ ὁ κῶνος.

11

15t

Ad def. 26

11

.

15

Ὅτι τὰ Πλάτωνος σχήματα ὁρίζεται, δηλοῖ τὸ ἰσο‐ πλεύρων· δυνατὸν γὰρ καὶ ἐξ ἰσοσκελῶν συστήσασθαι, ἀλλ’ οὐκέτι τὴν ἀπὸ κορυφῆς ἐπὶ κορυφὴν διχοτομίαν τετράγωνον ποιεῖ.

11

16-17t

Ad prop. 1

11

.

16

Πᾶσαν γὰρ εὐθεῖαν δυνατὸν ἐπ’ εὐθείας ἐκβαλεῖν.

11

.

17

Δύο εὐθειῶν οὐκ ἔστι κοινὸν τμῆμα. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω δύο εὐθειῶν τῶν ΑΒΓ, ΑΒΔ κοινὸν τμῆμα τὸ ΑΒ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒΓ εὐθείας κέντρον τὸ Β, διάστημα δὲ τὸ ΒΑ, καὶ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΕΖ. ἐπεὶ οὖν τὸ
5Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΕΖ κύκλου, διὰ δὲ τοῦ Β εὐθεῖά τις ἦκται ἡ ΑΒΓ, τοῦ ΑΕΖ ἄρα κύκλου διάμετρός ἐστιν ἡ ΑΒΓ. ἡ δὲ διάμετρος δίχα τέμνει τὸν κύκλον· ἡμι‐ κύκλιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕΓ. πάλιν ἐπεὶ τὸ Β κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΕΖ κύκλου, διὰ δὲ τοῦ Β εὐθεῖά τις ἦκται ἡ ΑΒΔ, [Omitted graphic marker]
10ἡ ΑΒΔ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΕΖ κύκλου. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΑΒΓ διάμετρος τοῦ αὐ‐ τοῦ ΑΕΖ κύκλου· τὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ κύκλου ἡμικύκλια ἴσα
15ἀλλήλοις ἐστίν· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕΓ ἡμικύκλιον τῷ ΑΕΔ ἡμικυκλίῳ, τὸ ἔλαττον τῷ μεί‐ ζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα δύο εὐθειῶν κοινὸν
20τμῆμά ἐστι· διάφορα ἄρα. καὶ διὰ τοῦτο οὐδὲ δυνατὸν τῇ πεπερασμένῃ εὐθείᾳ εὐθείας κατὰ τὸ συνεχὲς ἐκβα‐ λεῖν, ἀλλ’ εὐθεῖαν, διὰ τὸ δειχθῆναι, ὅτι δύο εὐθειῶν κοινὸν τμῆμα οὐκ ἔστιν.

11

.

18

Ἔν τισι οὐδὲ ὅλως εὕρηται γραφὲν τοῦτο, ἀλλὰ τὸ ἐπειδὴ ἐὰν κέντρῳ τῷ Α καὶ διαστήματι καὶ τὰ ἑξῆς ἄχρι τοῦ συμπεράσματος, ἐν ἄλλοις δὲ τοῦτο μὲν γέγραπται,
λεί...

11

19t

Ad prop. 2

11

.

19

Τὸ προκείμενόν ἐστι δεῖξαι τὰς τεμνούσας ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ, ἐπειδὴ δὲ διὰ τοῦ τριγώνου δείκνυσι τοῦτο, προσέθηκε τὸ πᾶν τρίγωνον.

11

20-21t

Ad prop. 3

11

.

20

Οὐκ ἀληθὲς τὸ ἀντιστρόφιον· ὧν σχημάτων τεμνόν‐ των ἄλληλα ἡ κοινὴ τομὴ εὐθεῖά ἐστιν, ἐπίπεδά ἐστι σχή‐ ματα.

11

.

21

Δῆλον, ὅτι ἐφαρμοζουσῶν τῶν εὐθειῶν ἐφαρμόσουσι καὶ τὰ πέρατα αὐτῶν, εἰ δὲ τοῦτο, δύο εὐθεῖαι τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι χωρίον περιέξουσιν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· δύο γὰρ εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσι τὰ αὐτὰ πέρατα
5ἔχουσαι.

11

22t

Ad prop. 5

11

.

22

Ἀντιστρόφιον· ἐὰν ὦσι τρεῖς εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ, ἡ τῇ μιᾷ πρὸς ὀρθὰς καὶ ταῖς λοιπαῖς εὐθείαις ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. ὁμοίως δὲ καί, εἰ πλείους ὦσιν εὐθεῖαι, δείκνυται, ὅτι, κἂν πρὸς πλείους ἢ δύο εὐ‐
5θείας ἐν ἑνὶ οὔσας ἐπιπέδῳ εὐθεῖά τις ἴσας γωνίας ποιῇ, ὀρθαί τέ εἰσιν αἱ γωνίαι, καὶ πρὸς τὸ δι’ αὐτῶν ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν ἡ ἐφεστηκυῖα.

11

23t

Ad prop. 9

11

.

23

Μὴ οὖσαι ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ εἶπεν, ἵνα δείξει, ὅτι
περὶ στερεῶν λέγει.

11

24t

Ad prop. 10

11

.

24

Ἀντιστρόφιον· ἐὰν ὦσι δύο γωνίαι ἴσαι ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμεναι μὴ οὐσῶν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ᾖ δὲ μία τῶν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ περιεχουσῶν παράλληλος τῇ μιᾷ τῶν τὴν λοιπὴν περιεχουσῶν γωνίαν, καὶ ἡ λοιπὴ τῇ λοιπῇ παρ‐
5άλληλός ἐστιν.

11

25t

Ad prop. 13

11

.

25

Εἶεν γὰρ ἂν καὶ παράλληλοι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς οὖσαι διὰ τὸ ϛʹ αἱ αὐταὶ καὶ συμπίπτουσαι· ὅπερ ἀδύνατον.

11

26t

Ad prop. 14

11

.

26

Ἀντιστρόφιον· ἐὰν ᾖ παράλληλα ἐπίπεδα, ἡ τῷ ἑνὶ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα καὶ τῷ λοιπῷ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.

11

27t

Ad prop. 16

11

.

27

Ἀντιστρόφιον· καὶ ὧν ἐπιπέδων ὑπό τινος ἐπιπέδου τεμνομένων αἱ κοιναὶ τομαὶ παράλληλοί εἰσιν, παράλληλά ἐστι τὰ ἐπίπεδα· ἔστι δὲ ψεῦδος.

11

28t

Ad prop. 17

11

.

28

Ἀντιστρόφιον· καὶ ἐὰν δύο εὐθεῖαι ὑπό τινων ἐπι‐ πέδων τεμνόμεναι εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηθῶσιν, παρ‐
άλληλά ἐστι τὰ τέμνοντα ἐπίπεδα τὰς εὐθείας.

11

29t

Ad prop. 18

11

.

29

Ἀντιστρόφιον· ἐὰν πάντα τὰ διά τινος εὐθείας ἐπί‐ πεδα ἐκβαλλόμενα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, ἡ εὐθεῖα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.

11

30t

Ad prop. 19

11

.

30

Ἀντιστρόφιον· καὶ ὧν ἐπιπέδων τεμνόντων ἄλληλα ἡ κοινὴ τομὴ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἐπιπέδῳ τινί, τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ καὶ τὰ τέμνοντα ἄλληλα ἐπίπεδα πρὸς ὀρθάς ἐστιν.

11

31t

Ad prop. 20

11

.

31

λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΓ p. 29, 7. 8] πόθεν δῆλον, ὅτι ἡ ΔΓ μείζων ἐστὶ τῆς ΓΕ; ἢ ὅτι, ἐπειδὴ αἱ ΒΔ, ΔΓ τῆς ΒΓ μείζονές εἰσιν, εἰ μή ἐστιν ἡ μείζων ἡ ΔΓ τῆς ΓΕ, ἀλλ’ ἴση, ἐπειδή ἐστι καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΕ ἴση, ἔσονται καὶ αἱ δύο
5αἱ ΒΔ, ΔΓ ἴσαι τῇ ΒΓ. εἰ γάρ ἐστιν ἡ ΔΒ, ΒΕ ἴση καὶ ἡ ΔΓ τῇ ΓΕ, ἔσται καὶ ἡ ΒΓ ἴση τῇ ΒΔ, ΔΓ, ἡ μία ταῖς δυσίν. εἰ δὲ μή ἐστιν ἴση ἡ ΕΓ τῇ ΓΔ, ἀλλὰ μείζων ἡ ΕΓ τῆς ΓΔ, ἴση δὲ ἡ ΕΒ τῇ ΒΔ, ἔσται καὶ ἡ ὅλη ἡ ΒΓ μείζων τῶν ΒΔ, ΔΓ. ἐπεὶ οὖν οὔτε ἴση ἐστίν, ὡς δέδεικται, ἡ ΕΓ
10τῇ ΓΔ οὔτε μείζων, ἐλάττων ἄρα. ἢ καὶ οὕτως συντομώ‐ τερον· ἴση κεῖται ἡ ΕΒ τῇ ΒΔ· εἰ οὖν ἐστι καὶ ἡ ΕΓ ἴση τῇ ΓΔ, ἔσονται αἱ δύο αἱ ΕΒ, ΒΔ ἴσαι δυσὶ ταῖς ΕΓ, ΓΔ. ὥστε αἱ ΒΕ, ΕΓ, τουτέστιν ἡ ΒΓ, ἔσται ἴση δυσὶ ταῖς
ΒΔ, ΔΓ· ὅπερ ἄτοπον.

11

32t

Ad prop. 21

11

.

32

λοιπαὶ ἄρα p. 31, 1] διαιρετέον τὰς ἐννέα γωνίας εἰς ἓξ καὶ τρεῖς, τρεῖς μὲν τὰς ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, καὶ εἰς ἓξ τὰς λοιπάς. ἐπεὶ οὖν αἱ ἐννέα ἓξ ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ἔχουσι δὲ τῶν ἓξ ὀρθῶν δύο καὶ ἔτι αἱ ἓξ γωνίαι, λείπεται δὴ τὰς τρεῖς
5γωνίας ἔχειν τὰς λοιπὰς τῶν ἕξ, αἵτινές εἰσιν αἱ λοιπαὶ οὐ τέσσαρες, ἀλλ’ ἥττονες τῶν τεσσάρων. ἂν γὰρ ἀπὸ τῶν ἓξ ἀφῃρέθησαν δύο, αἱ καταλειφθεῖσαι ἦσαν ἂν τέσσαρες, ἐπεὶ δὲ οὐ δύο μόναι ἀπὸ τῶν ἓξ ὀρθῶν ἀφῃρέθησαν, ἀλλὰ δύο καὶ ἔτι, αἱ καταλειφθεῖσαί εἰσι τεττάρων ἥττονες.

11

33t

Ad prop. 22

11

.

33

Ἐὰν ὦσιν ὁσαιδηποτοῦν γωνίαι ἐπίπεδοι, ὧν μιᾶς αἱ λοιπαὶ μείζους εἰσὶ πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, περιέχωσι δὲ αὐτὰς ἴσαι εὐθεῖαι, λέγω, ὅτι καὶ τῶν τὰς γωνίας ὑπο‐ τεινουσῶν εὐθειῶν μιᾶς αἱ λοιπαὶ μείζους εἰσὶ πάντῃ
5μεταλαμβανόμεναι, τουτέστιν δυνατὸν ἐκ τῶν ἐπιζευγνυου‐ σῶν τὰς γωνίας πολύπλευρον συστήσασθαι. ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τέσσαρες γωνίαι αἱ πρὸς τοῖς Α, Η, Δ, Λ σημείοις, ὧν αἱ τρεῖς τῆς λοιπῆς μείζους ἔστωσαν πάντῃ μεταλαμ‐ βανόμεναι, ἴσαι δὲ ἔστωσαν αἱ ΒΑ, ΑΓ, ΕΔ, ΔΖ, ΘΗ,
10ΗΚ, ΜΛ, ΛΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ. λέγω, ὅτι τῶν ΒΓ, ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ αἱ τρεῖς τῆς λοιπῆς
μείζους εἰσὶ πάντῃ μεταλαμβανόμεναι. εἰ μὲν γὰρ ἴσαι εἰσὶν αἱ πρὸς τοῖς Α, Δ, Η, Λ γωνίαι, ἴσαι ἂν ἦσαν καὶ αἱ πλευραὶ αἱ ΒΓ, ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ· καὶ φανερόν, ὅτι αἱ τρεῖς
15τῆς μιᾶς μείζους εἰσὶ πάντῃ μεταλαμβανόμεναι. εἰ δὲ ἄνισοι ὦσιν, μείζων ἡ πρὸς τῷ Α. βάσις ἄρα ἡ ΒΓ ἑκά‐ στης τῶν ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ μείζων ἐστίν, ὧν καὶ μετὰ μιᾶς αὐτῶν τῆς ἑτέρας τῶν λοιπῶν ὁποιασοῦν μείζων ἐστίν. εἰ δὲ τοῦτο, καὶ μετὰ δύο αὐτῶν ὁποιωνοῦν τῆς λοιπῆς πολ‐
20λῷ μείζων ἐστίν. λέγω, ὅτι καὶ αἱ ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ τῆς ΒΓ μείζους εἰσίν. ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία ἑκάστης τῶν Δ, Η, Λ, συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ Α σημείῳ τῇ πρὸς τῷ Δ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΞ, πρὸς δὲ τῇ ΑΞ εὐθείᾳ καὶ τῷ Α σημείῳ τῇ Η γωνίᾳ ἴση γωνία.
25ἤτοι δὴ ἐντὸς τῆς ΑΓ πεσεῖται ἢ ἐπ’ αὐτῆς ἢ ἐκτός. πι‐ πτέτω πρότερον ἐντὸς ὡς ἡ ΑΟ, πρὸς δὲ τῇ ΟΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ Α σημείῳ τῇ πρὸς τῷ Λ γωνίᾳ ἴση ἡ ΟΑΠ· ἐκτὸς γὰρ πεσεῖται τῆς ΑΓ διὰ τὸ τὰς τρεῖς τὰς Δ, Η, Λ γωνίας τῆς λοιπῆς μείζους εἶναι· καὶ ταῖς ΑΒ, ΑΓ ἴσαι [Omitted graphic marker]
30κείσθωσαν αἱ ΑΞ, ΑΟ, ΑΠ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΞ, ΞΟ, ΒΟ, ΟΠ, ΒΠ. ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΒΑΠ, ΒΑΓ ἴσαι εἰσίν, γωνία δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΠ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ μείζων, βάσις
ἄρα ἡ ΒΠ τῆς ΒΓ μείζων. ἀλλὰ τῆς ΒΠ μείζους αἱ ΒΟ, ΟΠ· καὶ τῆς ΒΓ ἄρα πολλῷ μείζους. ἀλλὰ τῆς ΒΟ μεί‐
35ζους αἱ ΒΞ, ΞΟ. αἱ ἄρα ΒΞ, ΞΟ, ΟΠ τῆς ΒΓ πολλῷ μείζους. καί ἐστιν ἡ μὲν ΒΞ τῇ ΕΖ ἴση, ἐπεὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΞ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση, ἡ δὲ ΞΟ τῇ ΘΚ, ἡ δὲ ΟΠ τῇ ΜΝ. αἱ ἄρα ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ τῆς ΒΓ μείζους πολλῷ εἰσιν. ἀλλὰ δὴ ἡ μετὰ τῆς ΑΞ περιέχουσα τὴν ἴσην τῇ πρὸς
40τῷ Η γωνίαν πιπτέτω ἐπὶ τῆς ΑΓ ὡς ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΞ, ΞΓ, ΓΠ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΒΞΓ τῆς ΒΓ μείζους εἰσίν, αἱ ΒΞ, ΞΓ, ΓΠ τῆς ΒΓ πολλῷ μείζους εἰσίν. ἀλλ’ αἱ ΒΞ, ΞΓ, ΓΠ ταῖς ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ ἄρα τῆς ΒΓ
45πολλῷ μείζους εἰσίν. [Omitted graphic marker] Ἀλλὰ δὴ πιπτέτω ἐκτὸς τῆς ΑΓ ἡ μετὰ τῆς ΑΞ περιέχου‐ σα τὴν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Η γωνίαν ὡς ἐπὶ τῆς τρίτης κατα‐ γραφῆς ἡ ΑΟ, καὶ κείσθω ἴση τῇ ΑΠ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΠ καὶ ἡ ΒΟ καὶ ΟΠ καὶ ΒΞ καὶ ΞΟ. ἐπεὶ οὖν δύο αἱ

11

.

33

(50)

ΒΑΠ δύο ταῖς ΒΑΓ ἴσαι εἰσίν, γωνία δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΠ γωνίας τῆς ὑπὸ ΒΑΓ μείζων ἐστίν, καὶ ἡ ΒΠ ἄρα τῆς ΒΓ μείζων ἐστίν. ἐπεὶ οὖν αἱ ΒΟΠ μείζους τῆς ΒΠ, μείζους δὲ τῆς ΒΟ αἱ ΒΞ, ΞΟ, αἱ ἄρα ΒΞ, ΞΟ, ΟΠ τῆς ΒΠ πολ‐
λῷ μείζους εἰσίν. ἀλλὰ ἡ ΒΠ τῆς ΒΓ μείζων· αἱ ἄρα ΒΞ,
55ΞΟ, ΟΠ τῆς ΒΓ πολλῷ μείζους. ἴσαι δὲ αἱ ΒΞ, ΞΟ, ΟΠ ταῖς ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ· αἱ ἄρα ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ τῆς ΒΓ πολλῷ μείζους. καὶ ἐπεὶ αἱ τρεῖς τῆς λοιπῆς μείζους πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, καὶ δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζους πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, ἔσται δυνατὸν ἐκ τριῶν ὁποιων‐
60οῦν τρίγωνον συστήσασθαι καὶ παρὰ τὴν λοιπὴν παρα‐ βάλλειν, ἔστι δὲ καὶ ἐξ αὐτῶν συστήσασθαι τὸ τετράπλευ‐ ρον, εἴπερ αἱ τρεῖς τῆς λοιπῆς μείζους εἰσὶ πάντῃ μετα‐ λαμβανόμεναι.

11

34-41t

Ad prop. 23

11

.

34

Ἐὰν ἔν τινι ἐπιπέδῳ ἀπό τινος μετεώρου σημείου ἴσαι εὐθεῖαι προσπίπτωσι, κατὰ κύκλου ἔσονται περι‐ φερείας, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ εἰρημένου σημείου ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ὀρθὴ ἔσται πρὸς τὸν
5κύκλον. ἀπὸ γὰρ τοῦ Α σημείου τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαι συμβαλλέτωσαν αἱ ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ, ΑΕ κατὰ τὰ [Omitted graphic marker] Β, Γ, Δ, Ε σημεῖα. λέγω, ὅτι τὰ Β, Γ, Δ, Ε σημεῖα ἐπὶ κύκλου εἰσὶ περι‐ φερείας. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ ἐν τῷ
10ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ αἱ ΒΓ, ΓΔ, ΔΒ, καὶ περὶ τὸ ΒΓΔ τρίγωνον περιγεγράφθω κύκλος ὁ ΒΓΔΖ. τὰ Β, Γ, Δ ἄρα σημεῖα ἐν κύκλου περιφερείᾳ ἐστίν. λέγω, ὅτι καὶ τὸ
15Ε. μὴ γάρ, εἰ δυνατόν, ἀλλ’ ἤτοι ἐκτὸς ἢ ἐντὸς πιπτέτω καὶ ἔστω πρότερον ἐκτός· καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Η σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἐπὶ τὰ Β, Γ, Δ, Ε εὐ‐
θεῖαι αἱ ΒΗ, ΗΓ, ΗΔ, ΗΕ, καὶ τεμνέτω ἡ ΗΕ τὸν κύκλον κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ, ἐπεζεύχθω δὲ
20καὶ ἡ ΑΗ. καὶ ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ ἴση ἐστίν, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΗ τῇ ΓΗ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΗ δυσὶ ταῖς ΑΓ, ΓΗ ἴσαι εἰσίν. καὶ βάσις κοινὴ ἡ ΑΗ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΑΓΗ ἐστιν ἴση καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ
25ΑΗΒ τῇ ὑπὸ ΑΗΓ. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ τῇ ὑπὸ ΑΗΔ ἴση ἐστίν. ἡ ΑΗ ἄρα πρὸς πλείους ἢ δύο εὐθείας ἐν τῷ αὐτῷ οὔσας ἐπιπέδῳ ἴσας ποιεῖ γωνίας· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶ πρὸς τὸ δι’ αὐτῶν ἐπίπεδον, ἔστι καὶ πρὸς τὸν κύκλον. ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΔ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση, κοινὴ δὲ καὶ
30πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΑ, βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΑΖ ἴση ἐστίν. ὥστε καὶ ἑκάστῃ τῶν ΑΒ, ΑΓ, ΑΕ. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΖ ὀρθή ἐστιν, ἡ ὑπὸ ΑΖΕ ἄρα μείζων ἐστὶν ὀρθῆς· ἐκτὸς γὰρ τοῦ ΑΗΖ· ὥστε ἡ ὑπὸ ΑΕΖ γωνία ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς. τοῦ ΑΖΕ ἄρα τριγώνου ἡ πρὸς τῷ Ζ γωνία
35μείζων τῆς πρὸς τῷ Ε. ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΑΕ τῆς ΑΖ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἴση· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου τὸ Ε σημεῖον. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἐντός. ἐπιζεύξαντες γὰρ ἐπ’ αὐτὸ εὐθεῖαν καὶ ἐκβαλόντες ἐπὶ τὴν περιφέρειαν καὶ ἐπὶ τὸ γινόμενον σημεῖον ἀπὸ τοῦ
40Α ἐπιζεύξαντες δείξομεν τὴν αὐτὴν καὶ ἴσην καὶ ἐλάττονα· ὅπερ ἄτοπον. εἰ δὲ μήτε ἐντὸς μήτε ἐκτός, ἐπὶ τοῦ κύκλου ἄρα. αἱ ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ, ΑΕ ἄρα κατὰ κύκλου εἰσὶ περι‐ φερείας, καὶ ἡ ΑΗ ὀρθὴ πρὸς κύκλον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Πόρισμα. ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι πάσης στερεᾶς
45γωνίας ὑπὸ ἰσοσκελῶν ἐπιπέδων περιεχομένης τὴν βάσιν
κύκλος περιγράψει.

11

.

35

Ἐξ ἐπιπέδων ὁποσωνοῦν δοθεισῶν γωνιῶν, ὧν μιᾶς αἱ λοιπαὶ μείζους εἰσὶ πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι· δεῖ δὴ τὰς διδομένας τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάττους εἶναι. ἔστωσαν αἱ εἰρημέναι γωνίαι αἱ ὑπὸ
5ΒΑΓ, ΕΔΖ, ΘΗΚ, ΜΛΝ. δεῖ δὴ ἐκ τῶν πρὸς τοῖς Α, Δ, Η, Λ γωνιῶν στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι. ἀπειλήφθω‐ σαν ἴσαι αἱ περιέχουσαι αὐτὰς εὐθεῖαι, καὶ ἐπεζεύχθω‐ σαν αἱ ΒΓ, ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ. ἰσοσκελῆ ἄρα τὰ τρίγωνα ἔχοντα μιᾶς ὁποιασοῦν τὰς λοιπὰς γωνίας μείζους πάντῃ
10μεταλαμβανομένας. καὶ αἱ ΒΓ, ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ ἄρα ποιοῦσι [Omitted graphic marker] τετράπλευρον. γεγενήσθω καὶ ἔστω τὸ ΞΟΠΡ. καὶ ἐπεὶ δεῖ ἐκ τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ, ΘΗΚ, ΜΛΝ ἰσοσκελῶν τριγώνων στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι, πάσης δὲ στε‐ ρεᾶς γωνίας ὑπὸ ἰσοσκελῶν περιεχομένης τὴν βάσιν κύκλος
15περιγράψει, καὶ τῆς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, ΕΔΖ, ΘΗΚ, ΜΛΝ ἄρα περιεχομένης τὴν βάσιν κύκλος περιγράψει. ἡ δὲ τῆς εἰρημένης γωνίας περιέχεται ἐκ τῶν βάσεων τῶν εἰρημέ‐ νων τριγώνων, τουτέστι τοῦ ΞΟΠΡ· τὸ ΞΟΠΡ ἄρα τετράπλευρον κύκλος περιγράψει. καὶ τὰ αὐτὰ δὲ λοιπὸν
20κατασκευάσαντες τοῖς ἐπὶ τῆς ἐκ τριγώνου βάσεως γωνίας
τὸ ἐπιτεταγμένον ποιήσομεν.

11

.

36

ἀλλὰ αἱ τρεῖς αἱ p. 34, 21] ἐν τῷ ιεʹ θεωρήματι τοῦ πρώτου βιβλίου δείξας, ὅτι, ἂν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, αἱ κατὰ κορυφὴν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί, συνήγαγε πόρισμα τοιοῦτον· φανερόν, ὅτι, ἂν ὁσαιδηποτ‐
5οῦν εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὰς πρὸς τῇ τομῇ γω‐ νίας τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσουσιν.

11

.

37

παράλληλος ἄρα p. 35, 9] διὰ τὸ ἀντιστρόφιον τοῦ βʹ τοῦ ϛʹ βιβλίου.

11

.

38

ὥστε καὶ λοιπὴ p. 35, 8] ἐπειδὴ ἡ ΞΛ τῇ ΞΜ ἴση ἐστί· κέντρον γὰρ τὸ Ξ τοῦ κύκλου κεῖται· ἔστι δὲ ἡ ΟΞ τῇ ΞΠ ἴση, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΟΛ λοιπῇ τῇ ΠΜ ἐστιν ἴση.

11

.

39

Ἐπὶ τῆς ΡΞ τὸ μὲν Ρ σημεῖον μετέωρον δεῖ νοεῖν, τὸ δὲ Ξ ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ.

11

.

40

Εἰ γάρ ἐστιν ἡ ΑΒ τῆς ΛΞ ἐλάττων, δύο αἱ ΑΒ, ΒΓ, τουτέστι ΔΕ, ΕΖ, ἐλάττους ἔσονται τῶν ΜΞ, ΞΛ, τουτέστι τῆς ΜΝ· ἀλλ’ ἡ ΜΝ ἴση ὑπόκειται τῇ ΔΖ· καὶ αἱ ΔΕ, ΕΖ ἄρα ἐλάττους ἔσονται τῆς ΔΖ, αἱ δύο τῆς
5μιᾶς· ὅπερ ἀδυνατώτερόν ἐστι, λέγω δή, τὰς δύο τῆς μιᾶς ἐλάττονας εἶναι· δέδεικται γὰρ ἐν τῷ κʹ τοῦ αʹ βιβλίου, ὅτι παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς μιᾶς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.

11

.

41

Ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΜΛ τῇ ΠΟ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΛΞ, ἐὰν δὲ εἰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπέσῃ, τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ
5μέρη ἴσην, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΜΛΞ γωνία τῇ ὑπὸ ΠΟΞ. μείζων δὲ ἡ ὑπὸ ΠΟΞ τῆς ὑπὸ ΣΟΞ· περιέχει γὰρ τὴν ὑπὸ ΣΟΞ ἡ ὑπὸ ΠΟΞ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΜΛΞ τῆς ὑπὸ ΣΟΞ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ μείζων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΝΛΞ τῆς ὑπὸ ΤΟΞ. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΜΛΝ ὅλης τῆς ὑπὸ ΣΟΤ
10μείζων ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

11

42t

Ad prop. 25

11

.

42

Διὰ τοῦ αʹ τοῦ ϛʹ καὶ τοῦ βʹ τοῦ ιαʹ, ὅτι ἐπίπεδά ἐστι τὰ λοιπὰ δύο ἑκάστου στερεοῦ, ἔστι δὲ τὰ αὐτὰ καὶ παράλληλα.

11

43t

Ad prop. 27

11

.

43

Εἰ μὲν οὖν τυγχάνοι ἴση οὖσα μηδεμιᾷ τῶν τοῦ στε‐ ρεοῦ πλευρῶν, οὐδὲ τὸ ἀναγραφόμενον ἴσον ἀναγράψαι δυνατὸν πρὸς τῷ καὶ ὅμοιον. εἰ δὲ εἴη μιᾷ αὐτῶν ἴση, εἰ μὲν μὴ λαμβάνηται ὁμόλογος ἐκείνῃ τῇ πλευρᾷ, οὐδ’ οὕτως
5τὸ ἀναγραφόμενον ἔσται ἴσον· εἰ δὲ λαμβάνηται, ἴσον ἔσται μετὰ τοῦ καὶ ὅμοιον. καὶ ἡ ἀπόδειξις δὲ τούτου ῥᾳδία. δυνατὸν δὲ καὶ μὴ ὂν παραλληλεπίπεδον στερεὸν ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας ἀναγράψαι, περιεχόμενον δὲ ὅμως ὑπὸ ἐπιπέδων, οὐ μόνον δὲ ὅμοιον, ἀλλὰ καί, εἰ τύχοι
10ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα τῶν πλευρῶν αὐτῶν ἴση, καθ’ ὃν εἴπομεν τρόπον, καὶ ἴσον καὶ ὅμοιον. οὐ πᾶν δὲ στερεὸν ὅμοιον ἢ ἴσον καὶ ὅμοιον δυνατὸν καὶ ὁμοίως κεῖσθαι. εἰ γάρ τις πυραμίδα φέρε εἰπεῖν ἐκ τετραγώνου βάσεως ἀνισοσκελῆ μίαν τῶν ἐφεστωσῶν ὀρθὴν ἔχουσαν πρὸς τὴν βάσιν τέμῃ
15ἐκ τῆς κορυφῆς δίχα κατὰ τὴν τοῦ τετραγώνου διαγώνιον τὴν ἀπὸ τῆς ὀρθῆς, ἔσονται δύο στερεαὶ πυραμίδες γὰρ ἴσα
καὶ ὅμοια, ὁμοίως δὲ τεθῆναι οὐδαμῶς δυνάμεναι, ἀλλ’ ἀντιπεπονθότως. ὥστε δυνατὸν ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας ὁμολόγου καὶ ἴσης οὔσης μιᾷ τῶν τοῦ δοθέντος στερεοῦ
20πλευρῶν ἴσον καὶ ὅμοιον στερεὸν ἀναγράψαι, μὴ μέντοι ὁμοίως κείμενον· ἐὰν δὲ τοῦ δεξιοῦ τμήματος τῆς πυραμί‐ δος ἴσον καὶ ὅμοιον καὶ δεξιὸν ἄλλο εὑρεθείη, τοῦτο καὶ ὁμοίως κεῖσθαι δύναται.

11

44t

Ad prop. 31

11

.

44

Ἀντιστρόφιον· τὰ ἴσα παραλληλεπίπεδα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἐστίν.

11

45t

Ad prop. 33 coroll.

11

.

45

Τοῦτό ἐστι τὸ τοῦ Πλάτωνος πρόβλημα, ἡνίκα τὸν ἐν Δήλῳ βωμὸν κύβον ὄντα προέκειτο διπλασιάσαι.

11

46t

Ad prop. 34

11

.

46

Ἐπεὶ γὰρ τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων στερεὰ παραλληλ‐ επίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν, καὶ τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων τοιαῦτα σχήματα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσίν, εἴ γε ἴσα εἰσίν. εἰ γὰρ ἴσα μέν εἰσι καὶ ἐπὶ ἴσων βάσεων,
5ὑπὸ δὲ τὸ αὐτὸ ὕψος οὐκ εἰσίν, αὐξηθέντος τοῦ ὕψους τοῦ παραλληλεπιπέδου τοῦ ἔχοντος τὸ ἔλαττον ὕψος καὶ ἴσου γεγονότος τῷ ὕψει τοῦ ἑτέρου παραλληλεπιπέδου καὶ συμπληρωθέντος τοῦ παραλληλεπιπέδου καὶ γεγονότος μείζονος τοῦ ἔχοντος τὸ ἔλαττον ὕψος ἔσονται τὰ παραλ‐
10ληλεπίπεδα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις. ἀλλ’ ἔστι καὶ τὸ ἔχον ἔλαττον τὸ ὕψος κατὰ μὲν τὴν ὑπόθεσιν ἴσον τῷ προτέρῳ, κατὰ δὲ τὴν κατασκευὴν ἔλαττον τοῦ ἔχοντος τὴν αὐτὴν μὲν αὐτῷ
βάσιν, τὸ δὲ ὕψος μεῖζον· ὅπερ ἄτοπον.

11

47t

Ad prop. 35 coroll.

11

.

47

Ἐδείχθη γὰρ ἡ ΘΚ κάθετος τῇ ΜΝ καθέτῳ ἴση, αἵτινες κάθετοι ἤχθησαν ἀπὸ τῶν ἐπισταθεισῶν μετ‐ εώρων εὐθειῶν τῶν ΑΗ, ΔΜ.

11

48-50t

Ad prop. 36

11

.

48

Τὸ ἀπὸ τῆς μέσης, φησίν, οὐ μόνον ἰσόπλευρόν ἐστιν, ἀλλὰ καὶ ἰσογώνιον τῷ προειρημένῳ ἤτοι τῷ ἐκ τῶν τριῶν εὐθειῶν.

11

.

49

Ἔστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἐν τριπλασίονι λόγῳ ὁ κζ θ γ. τὸ μὲν οὖν ἀπὸ τῆς μέσης στερεὸν παραλ‐ ληλεπίπεδον ἤτοι τοῦ θ πρὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιαζο‐ μένου καὶ ποιοῦντος τὸν πα, εἶτα αὐτοῦ πάλιν τοῦ θ
5πολλαπλασιαζομένου εἰς τὸν πα, ὁ ψκθ ἐστιν ἀριθμός. τὸ δὲ ἐκ τῶν τριῶν ἤγουν τοῦ κζ θ γ γίνεται οὕτως· τρὶς ἐν‐ νέα κζ· οὗτος οὖν ὁ κζ πολλαπλασιαζόμενος εἰς τὸν τρίτον τῶν ἐκκειμένων ὅρων τὸν κζ ἀποτελεῖ πάλιν τὸν ψκθ.

11

.

50

ὥστε τὰ ΛΘ, ΕΚ p. 71, 15] ὕψος γάρ ἐστι πάντων σχημάτων ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀγομένη.

11

51-52t

Ad prop. 37

11

.

51

Τὰ η μετὰ τῶν ιβ ποιεῖ ϙϛ, μετὰ δὲ τῶν β τοῦ ὕψους δηλαδὴ ρϙβ. πάλιν τὰ δ μετὰ τῶν ϛ ποιεῖ κδ, μετὰ
δὲ τῶν α τοῦ ὕψους δηλαδὴ τὰ αὐτά. τὰ ιϛ μετὰ τῶν κδ [Omitted graphic marker] ποιεῖ τπδ καὶ τὰ δ τὸ ὕψος δηλαδὴ μετ’ αὐτῶν ͵αφλϛ. τὰ
5δὲ η μετὰ τῶν ιβ ϙϛ, μετὰ δὲ τῶν β τοῦ ὕψους ρϙβ. ὀκτα‐ πλάσιον δὲ τὸ στερεὸν τὰ ρϙβ τοῦ στερεοῦ τῶν κδ, ὀκτα‐ πλάσιον καὶ τὸ στερεὸν τὰ ͵αφλϛ τῶν ρϙβ.

11

.

52

[Omitted graphic marker] τρία τέταρτα

11

53-54t

Ad prop. 38

11

.

53

Κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΔΥΟ, καὶ γίνονται αἱ τρεῖς ταῖς τρισὶν ἴσαι. αἱ δὲ τρεῖς δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· καὶ αἱ τρεῖς δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι. ἐπ’ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΥ εὐθεῖα.

11

.

54

Ἐν ἄλλῳ οὕτως· ἐὰν κύβου τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέ‐ δων αἱ πλευραὶ καὶ τὰ ἑξῆς.

11

55t

Ad prop. 39

11

.

55

Ἓν πρίσμα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ, ἕτερον δὲ τὸ
ΘΚΛΜΝ.

12

t

In librum 12

12

1-4t

Ad prop. 1

12

.

1

Καὶ τὸ ἀντιστρόφιον τούτου ζητητέον. τοῦτο δὲ καὶ τὸ ἑξῆς λημμάτιά ἐστι τῶν μελλόντων λέγεσθαι, ὁμοίως δὲ καὶ τὸ τρίτον εἰς τὸν περὶ πυραμίδων καὶ κώνων λόγον.

12

.

2

Λῆμμα εἰς τὸ αʹ θεώρημα. Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τῷ δοθέντι εἰς κύκλον πολυ‐ γώνῳ ὅμοιον πολύγωνον ἐγγράψαι. ἔστωσαν δύο κύκλοι, [Omitted graphic marker] ὧν κέντρα τὰ Ζ, Η, καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πολύ‐
5γωνον ἐγγεγράφθω τυχὸν τὸ ΑΒΓΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθω‐ σαν αἱ ΑΖ, ΒΖ, ΓΖ, ΔΖ, ΕΖ, καὶ διήχθω τις εἰς τὸν ἕτερον κύκλον ἀπὸ τοῦ Η κέντρου, ὡς ἔτυχεν, εὐθεῖα ἡ ΗΛ, καὶ τῇ μὲν ὑπὸ ΑΖΒ γωνίᾳ συνεστάτω ἴση ἡ ὑπὸ
ΛΗΚ, τῇ δὲ ὑπὸ ΒΖΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΚΗΘ, τῇ δὲ ὑπὸ
10ΓΖΔ ἴση ἡ ὑπὸ ΘΗΝ, τῇ δὲ ὑπὸ ΔΖΕ ἴση ἡ ὑπὸ ΜΗΝ. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΕ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΛΗΜ. καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἡ ΛΗ πρὸς τὴν ΗΚ. ὅμοια ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΖΒ, ΛΗΚ τρίγωνα, ὡς δέδεικται ἐν τῷ ἕκτῳ θεωρήματι τοῦ ϛʹ στοιχείου. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ἐκ
15τοῦ κέντρου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΚΛ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ πρὸς ἑκάστην τῶν ΚΘ, ΘΝ, ΝΜ, ΜΛ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. καί εἰσιν ἴσαι αἱ γωνίαι τῶν πολυ‐ γώνων, ἐπειδήπερ καὶ αἱ τῶν τριγώνων ἴσαι εἰσίν. τὰ
20ἄρα ΑΒΓΔΕ, ΘΚΛΜΝ πολύγωνα ἴσας ἔχει τὰς γω‐ νίας κατὰ μίαν καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλο‐ γον. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον τῷ ΘΚΛΜΝ πολυγώνῳ. εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον τὸν ΘΚΛΜΝ τῷ ΑΒΓΔΕ ὅμοιον πολύγωνον ἐγγέγραπται· ὅπερ ἔδει
25ποιῆσαι.

12

.

3

ἀλλ’ ἡ μὲν ὑπὸ p. 79, 7] αἱ γὰρ ἐπὶ τῆς αὐτῆς περι‐ φερείας βεβηκυῖαι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν καὶ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι διὰ τὸ καʹ τοῦ γʹ.

12

.

4

ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ p. 79, 10] πᾶσαι γὰρ αἱ ἐν ἡμι‐ κυκλίῳ γωνίαι ὀρθαί εἰσιν.

12

5-16t

Ad prop. 2

12

.

5

Ἔστω χάριν τοῦ σαφοῦς τὸ περιγραφὲν τετράγωνον ὀκτάπουν, ὁ δὲ περιεχόμενος ὑπ’ αὐτοῦ κύκλος ἑξάπους,
τὸ δὲ ἐγγεγραμμένον ἐν τῷ ἑξάποδι κύκλῳ τετράγωνον ἔστω τετράπουν. τὸ δὴ τετράπουν μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ
5τοῦ ἑξάποδος· τρίπουν γὰρ τὸ τοῦ ἑξάποδος ἥμισυ. ὅτι δὲ τὸ περιγεγραμμένον τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἐγ‐ γραφομένου τετραγώνου, δέδεικται ἐν τῷ μαʹ θεωρήματι τοῦ αʹ βιβλίου· τὸ γὰρ ΕΖΘ τρίγωνον, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου, ἥμισυ δείκνυται ἐν ἐκείνοις τοῦ
10ἡμίσεος τοῦ περιγραφομένου τετραγώνου· ὁμοίως καὶ τὸ λοιπὸν τὸ ΖΗΘ τρίγωνον ἥμισυ τοῦ λοιποῦ. ὥστε καὶ τὸ ὅλον ἥμισυ τοῦ ὅλου.

12

.

6

Ἔστω τὸ Σ χωρίον ποδῶν ἢ πήχεων ἢ ἄλλων τινῶν ιη, ὁ δὲ ΑΒΓΔ κύκλος τοιούτων κδ· ὑποεπίτριτος ἄρα ἐστὶν ὁ ιη τοῦ κδ. ἔστω πάλιν ὁ ΕΖΗΘ κύκλος ϛ, οἵων ἦν κδ μὲν ὁ ΑΒΓΔ, ι δὲ καὶ η τὸ Σ χωρίον, ἔστω ὁ μὲν κύκλος
5τοιούτων ϛ, τὸ δὲ Τ χωρίον η. ἔστι δὲ ἡγούμενον μὲν τὸ Σ χωρίον, ἑπόμενον δὲ τῷ Σ χωρίῳ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος· ὁμοίως ἡγούμενον μὲν ὁ ΕΖΗΘ κύκλος, ἑπόμενον δὲ τὸ Τ χωρίον. τούτων οὕτως ἐχόντων δῆλον τὸ συναγόμενον· πλὴν ἐκεῖνο σκεπτέον καὶ ἐπὶ τῶν ἀριθμῶν, ὅπερ γεω‐
10μετρικῶς συνῆκται, ὅτι ὡς τὸ Σ χωρίον τὰ ιη πρὸς τὸν ΑΒΓΔ τὰ κδ, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος τὰ ϛ πρὸς τὸ χωρίον τὸ Τ τὰ η· ὅ τε γὰρ ιη τοῦ κδ ὑπεπίτριτος καὶ ὁ ϛ τοῦ η.

12

.

7

Τὸ τοιοῦτον πολύγωνον καθ’ ἑαυτὸ δεῖ νοεῖν δίχα τῶν περιφερειῶν τῶν ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, ΝΕ, ὀνομάζεται δὲ ἑκάστη εὐθεῖα καὶ περιφέρεια διὰ τῶν αὐτῶν στοιχείων· ΕΚ λέγεται καὶ ἡ εὐθεῖα καὶ
5ἡ περιφέρεια καὶ αἱ λοιπαὶ ὁμοίως.

12

.

8

Λῆμμα εἰς τὸ βʹ θεώρημα. [Omitted graphic marker] Ἐγγεγράφθω, φησίν, εἰς τὸν ΓΔ κύκλον τετράγωνον τὸ ΓΗ ΔΖ. τὸ ἄρα ΓΗΔΖ τετράγω‐
5νον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΓΔ κύκλου. ἔστω κύκλος ὁ ΓΔ καὶ ἐν αὐτῷ τετράγωνον ἐγγε‐ γράφθω τὸ ΗΓΖΔ. δεῖξαι, ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΓΖΔ τετρά‐
10γωνον τοῦ ἡμίσους τοῦ κύκλου, τουτέστι τοῦ ἡμικυ‐ κλίου. περιγεγράφθω γὰρ περὶ τὸν ΓΗΔΖ κύκλον τετράγωνον τὸ ΘΚΛΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΔ. ἐπεὶ οὖν τὸ ΓΖΔ τρίγωνον ἥμισύ ἐστι τοῦ ΘΓΔΜ παραλληλο‐ γράμμου, ἀλλὰ τὸ ΘΔ μεῖζόν ἐστι τοῦ ΓΖΔ ἡμικυ‐
15κλίου (περιέχει γὰρ αὐτό), καὶ τὸ ΓΖΔ ἄρα τρίγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ ΓΖΔ ἡμικυκλίου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ ΓΗΔ τρίγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ ΓΗΔ ἡμικυκλίου. ὥστε καὶ ὅλον τὸ ΖΓΗΔ τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος
20τοῦ κύκλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

12

.

9

Εἰς τὸ αὐτὸ θεώρημα. Ἔστω τμῆμα τὸ ΑΒΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒΓ περιφέρεια δίχα κατὰ τὸ Β σημεῖον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Β τῆς ΑΒΓ περιφερείας ἐφαπτομένη ἡ ΒΔ. δεῖξαι, ὅτι ἡ ΒΔ παρ‐
5άλληλός ἐστι τῇ ΓΑ. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ· καὶ [Omitted graphic marker] ἐπεὶ ἐφάπτεται μὲν ἡ ΒΔ, τέμνει δὲ ἡ ΒΑ, ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΑ. ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἐστιν ἴση διὰ τὴν διχοτομίαν. ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΑ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ. καί εἰσιν ἐναλλάξ·
10παράλληλος ἄρα ἡ ΔΒ τῇ ΓΑ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

12

.

10

Εἰς τὸ αὐτό. Πόθεν, ὅτι ἡ ἐφαπτομένη παράλληλός ἐστι τῇ δια‐ μέτρῳ; καὶ λέγομεν, ὅτι· τετμήσθω ἡ ΖΕΘ περιφέρεια δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ διὰ τοῦ Ε ἤχθω ἐφαπτομένη ἡ ΚΛ, [Omitted graphic marker]
5καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύ‐ κλου καὶ ἔστω τὸ Ο, καὶ ἐπεζεύ‐ χθω ἡ ΟΕ. καὶ ἐπεὶ ἐπὶ τεταρ‐ τημορίου βέβηκεν, ἡ ὑπὸ ΖΟΕ γωνία ὀρθή ἐστιν. πάλιν ἐπεὶ ἀπὸ
10τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπ‐ έζευκται ἡ ΟΕ, ἡ ὑπὸ ΚΕΟ γωνία ὀρθή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΚΛ, ΖΘ εὐ‐ θεῖα ἐμπεσοῦσα ἡ ΟΕ τὰς ἐντὸς
15καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας τὰς ὑπὸ ΚΕΟ, ΖΟΕ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιεῖ, παράλληλός ἐστιν ἡ ΖΘ τῇ ΚΛ. ὁμοίως δὴ καὶ ἐὰν ἀπὸ τῶν Ζ, Η, Θ σημείων ἄγωμεν ἐφαπτομένας τὰς ΚΜ, ΜΝ, ΝΛ, παρ‐ άλληλοί εἰσι τῇ ΖΘ· αἱ δὲ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι
20καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι. παράλληλοι ἄρα εἰσὶν αἱ ΚΜ, ΜΝ, ΝΛ, ΛΚ. καὶ φανερόν, ὅτι καὶ συμπίπτουσιν. ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΕΖ. καὶ ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΚΕΖ, ΕΖΚ ἐλάτ‐ τονές εἰσι δύο ὀρθῶν, ἐκβαλλόμεναι ἄρα συμπεσοῦνται αἱ
ΜΚ, ΛΚ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ ΚΛ, ΛΝ, ΝΜ, ΜΚ
25συμπίπτουσιν ἀλλήλαις. καὶ φανερόν, ὅτι καὶ τετράγωνόν ἐστιν. ἤχθω γὰρ διάμετρος ἡ ΕΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΘ ἑκατέρᾳ τῶν ΚΛ, ΜΝ (ἀπεναντίον γάρ), ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΗ ἑκατέρᾳ τῶν ΚΜ, ΛΝ ἐστιν ἴση, ἀλλὰ ἡ ΕΗ τῇ ΖΘ ἐστιν ἴση, καὶ αἱ ΚΛ, ΛΝ, ΝΜ, ΜΚ ἄρα ἴσαι εἰσὶν ἀλλή‐
30λαις. τετράγωνον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΜΝΛ. διπλάσιον τὸ περι‐ γραφὲν τοῦ ἐγγραφέντος. καὶ πόθεν, ὅτι διπλάσιον τὸ περιγραφὲν τοῦ ἐγγραφέντος; ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμ‐ μον τὸ ΚΘ τοῦ ΖΘΕ τριγώνου (βάσιν τε γὰρ ἔχει τὴν αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις), διπλάσιον ἄρα ἐστὶ
35τὸ ΚΘ παραλληλόγραμμον τοῦ ΖΘΕ τριγώνου. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΖΝ παραλληλόγραμμον τοῦ ΖΘΗ τριγώ‐ νου· ὅλον ἄρα τὸ ΚΝ τετράγωνον ὅλου τοῦ ΕΖΗΘ τετρα‐ γώνου διπλάσιόν ἐστι.

12

.

11

Πόθεν δῆλον, ὅτι αἱ ὑπὸ ΚΕΖ, ΕΖΚ ἐλάττονές εἰσιν ὀρθῆς; ἐπεὶ ἡ ΟΕ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΚΕ ἐφαπτο‐ μένην, ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Ε γωνία. καὶ περιέχει τὴν ὑπὸ ΚΕΖ· ἐλάττων ἄρα αὕτη ὀρθῆς. διὰ τὸ αὐτὸ δὴ καὶ
5ἡ πρὸς τῷ Ζ ὀρθὴ οὖσα περιέχει τὴν ὑπὸ ΕΖΚ· ἐλάττων ἄρα καὶ αὕτη ὀρθῆς ἐστιν. καὶ ἄμφω ἄρα δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν.

12

.

12

Εὐδόξου.

12

.

13

ἤτοι πρὸς ἔλασσον p. 80, 11] τὸ Σ ἄρα ἢ ἴσον ἐστὶν ἢ ἄνισον τῷ κύκλῳ, καὶ εἰ ἄνισον, ἢ μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὲρ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου.

12

.

14

ὥστε τὸ ΕΖΗΘ p. 81, 6. 7] ἐὰν γὰρ τὸ περιγρα‐ φόμενον τετράγωνον μεῖζον τοῦ κύκλου, ἥμισυ δὲ τοῦ
περιγραφομένου τὸ ἐγγραφόμενον, μεῖζον ἄρα τὸ ἐγγρα‐ φόμενον τοῦ ἡμίσεος τοῦ κύκλου, ὅτι καὶ τὸ ἥμισυ τοῦ
5περιγραφομένου ἤτοι τὸ ἐγγραφόμενον μεῖζον τοῦ ἡμί‐ σεος τοῦ κύκλου. ἐὰν γὰρ τὸ ὅλον τοῦ ὅλου μεῖζον, καὶ τὸ ἥμισυ τοῦ ἡμίσεος.

12

.

15

ἀλλὰ τὸ καθ’ ἑαυτὸ τμῆμα p. 81, 18] περιέχεται γὰρ τοῦ κύκλου τὰ τμήματα ὑπὸ τῶν παραλληλογράμμων.

12

.

16

ἀλλ’ ὡς τὸ Σ χωρίον p. 83, 10. 11] τοῦτο εὐθὺς δείξει μετὰ τὸ συμπεράνασθαι τὸ πρόβλημα.

12

17-22t

Ad prop. 3

12

.

17

παράλληλος ἄρα p. 85, 7] δέδεικται ἐν τῷ βʹ τοῦϛʹ βιβλίου θεωρήματι, ὅτι, ἐὰν τριγώνου παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν ἀχθῇ τις εὐθεῖα, ἀνάλογον τεμεῖ τὰς τοῦ τριγώ‐ νου πλευράς, καὶ ἐὰν τοῦ τριγώνου αἱ πλευραὶ ἀνάλογον
5τμηθῶσιν, ἡ ἐπὶ τὰς τομὰς ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παρὰ μίαν ἤτοι παράλληλος ἔσται μιᾷ τῶν τοῦ τριγώνου πλευ‐ ρῶν. ἐπειδὴ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΒΔ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν (ὡς γὰρ ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΔ· τέμνει δὲ αὐτὰς οὕτως ἡ ΕΘ), παράλληλος ἄρα ἐστὶ
10τῇ ΒΔ. πάλιν ἐπεὶ τὸ αὐτὸ τρίγωνον ἡ ΘΚ ἀνάλογον τέμνει, παράλληλός ἐστι τῇ ΑΒ.

12

.

18

Ἐὰν γὰρ τριγώνου αἱ πλευραὶ ἀνάλογον τμηθῶσιν, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παράλληλός ἐστιν.

12

.

19

καὶ γωνία ἡ ὑπὸ p. 85, 13] εἰς γὰρ παραλλήλους εὐθείας τὰς ΑΒ, ΘΚ καὶ εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΑΔ, ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΚΘΔ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΕΑΘ ἴση ἐστίν.

12

.

20

ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΔΒ p. 86, 8] ἐπειδὴ ἐν τῷ δευτέρῳ θεωρήματι τοῦ ϛʹ βιβλίου λέγει· ἐὰν τριγώνου παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν ἀχθῇ τις εὐθεῖα, ἀνάλογον τεμεῖ
τὰς τοῦ τριγώνου πλευράς, ἐν δὲ τῷ εʹ θεωρήματι τοῦ αὐ‐
5τοῦ βιβλίου· ἐάν, φησίν, δύο τρίγωνα τὰς πλευρὰς ἀνάλο‐ γον ἔχῃ, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα.

12

.

21

διπλάσιόν ἐστι τὸ ΕΒΖΗ p. 87, 9] δέδεικται ἐν τῷ μαʹ θεωρήματι τοῦ αʹ βιβλίου, ὅτι, ἐὰν παραλληλό‐ γραμμον χωρίον τριγώνῳ βάσιν τε τὴν αὐτὴν ἔχῃ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ᾖ, διπλάσιον ἔσται τὸ παραλληλό‐
5γραμμον τοῦ τριγώνου. καὶ ἐπεὶ ἔχει τὸ ΕΒΖΗ παραλ‐ ληλόγραμμον βάσιν τὴν ΒΖ, τὸ δὲ ΗΖΓ τρίγωνον τὴν ΖΓ, ἔστι δὲ ἡ ΖΓ ἴση τῇ ΒΖ, καὶ τὸ ΖΗΓ ἄρα τρίγωνον τὴν ΒΖ ἔχει βάσιν. διπλάσιον ἄρα τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου.

12

.

22

Ἐὰν γὰρ τρίγωνον παραλληλογράμμῳ βάσιν ἴσην ἔχῃ, καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις, διπλάσιόν ἐστι τὸ παραλ‐ ληλόγραμμον τοῦ τριγώνου.

12

23-26t

Ad prop. 4

12

.

23

παράλληλος ἄρα ἐστὶν p. 90, 1] ἐὰν γὰρ τριγώνου αἱ πλευραὶ ἀνάλογον τμηθῶσιν, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυ‐ μένη εὐθεῖα παράλληλός ἐστι διὰ τὸ βʹ τοῦ ϛʹ.

12

.

24

ἔστιν ἄρα ὡς p. 90, 9] ἐὰν γὰρ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσι, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογόν εἰσι διὰ τὸ κβʹ τοῦ ϛʹ.

12

.

25

ἀλλ’ ὡς τὸ ΛΞΓ p. 90, 13] τοῦτο γὰρ ἐφεξῆς δεί‐ κνυται.

12

.

26

εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους p. 92, 4] ἐὰν γὰρ δύο εὐθεῖαι ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τέμνωνται, εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηθήσονται διὰ τὸ ιζʹ τοῦ ιαʹ.

12

27-28t

Ad prop. 5

12

.

27

Ἔστω λόγου ἕνεκεν τὸ Χ στερεόν τινων ϛ, ἡ δὲ
ΔΕΖΘ τοιούτων ι καὶ δ, ὥστε ἡ ὑπεροχὴ τῆς πυραμίδος, ᾗ ὑπερέχει τοῦ στερεοῦ, ἔστιν ὀκτὼ τοιούτων, οἵων ἦν τὸ μὲν στερεὸν ϛ, ἡ δὲ πυραμὶς ιδ. ἔστωσαν δὲ αἱ πυρα‐
5μίδες αἱ ἐλάττονες, ἥτις ὑπεροχὴ ἦν ὀκτώ, ἔστωσαν δὴ αἱ δύο ὁμοῦ πυραμίδες ϛ ἐλάττονες τῆς ὑπεροχῆς οὔσης ὀκτώ. ἐπεὶ οὖν ἡ ὅλη πυραμὶς δέκα καὶ τεσσάρων ἦν, ἀφ’ ὧν ιδ ἔλαβον αἱ δύο πυραμίδες τὰ ϛ, λείπεται ἄρα τὰ πρίσματα ἔχειν τὰ λοιπὰ ὀκτὼ μείζονα ὄντα τοῦ Χ στε‐
10ρεοῦ· τὸ γὰρ Χ στερεὸν ϛ ἦν. ῥητέον δὲ περὶ αὐτοῦ καὶ οὕτως· ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς ἴση ἐστὶ τοῖς δυσὶ τῷ τε Χ στερεῷ καὶ τῇ ὑπεροχῇ· εἰ γὰρ προσθήσομεν τὴν ὑπεροχὴν τῷ Χ στερεῷ, ἴσον γενήσεται τὸ ἐξ ἀμφοῖν τῇ ΔΕΖΘ πυ‐ ραμίδι. καὶ ἐπεὶ ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς οὐδὲν ἄλλο ἐστὶν ἢ αἱ
15δύο πυραμίδες καὶ τὰ δύο πρίσματα (εἰς ταῦτα γὰρ διῃρέθη), εἰσὶ δὲ αἱ πυραμίδες ἐλάττους τῆς ὑπεροχῆς, μείζονα ἔσται τὰ πρίσματα τοῦ Χ στερεοῦ. ἐπεὶ γάρ, ὡς εἴρηται, τὸ Χ στερεὸν μετὰ τῆς ὑπεροχῆς ἴσα ἐστὶ τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι, ἀφῃρέθησαν δὲ ἀπ’ αὐτῆς, λέγω δὴ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος,
20αἱ δύο πυραμίδες, εἰ μὲν ἦσαν αἱ ἀφαιρεθεῖσαι αὗται δύο πυραμίδες ἴσαι τῇ ὑπεροχῇ, ἐλείπετο καὶ τὰ δύο πρίσματα ἴσα εἶναι τῷ Χ στερεῷ, ἐπεὶ δὲ ἐλάττους εἰσὶν αἱ πυρα‐ μίδες τῆς ὑπεροχῆς, ἔστι τι τῆς ὑπεροχῆς ἐν τοῖς πρίσμα‐ σιν· τεσσάρων γὰρ ὄντων μεγεθῶν, δύο μὲν τοῦ τε Χ
25στερεοῦ καὶ τῆς ὑπεροχῆς, δύο δὲ τῶν δύο πυραμίδων ὡς ἑνὸς μεγέθους νοουμένων καὶ τῶν δύο πρισμάτων ὡς ἑνὸς καὶ αὐτῶν νοουμένων, καὶ ἴσων ὄντων τοῦ Χ στερεοῦ καὶ τῆς ὑπεροχῆς ταῖς δυσὶ πυραμίσι καὶ τοῖς δυσὶ πρίσμασιν, ἐὰν ἦν ἡ ὑπεροχὴ ἴση ταῖς δυσὶ πυραμίσιν, λοιπὰ ἄρα τὰ
30δύο πρίσματα λοιπῷ τῷ Χ στερεῷ ἦσαν ἂν ἴσα· ἀπὸ γὰρ ἴσων ἴσα ἂν ἀφαιρεθῇ, τὰ λοιπὰ ἴσα ἐστίν. ἐπεὶ δὲ αἱ δύο πυραμίδες ἐλάττους εἰσὶ τῆς ὑπεροχῆς, τὰ δύο πρίσ‐ ματά εἰσι τό τε Χ στερεὸν καὶ τὸ λοιπὸν τῆς ὑπεροχῆς, ὃ
καταλελοίπασιν αἱ πυραμίδες· οὐ γὰρ ἅπασαν, ὡς εἴρηται,
35τὴν ὑπεροχὴν ἔχουσιν ἢ μᾶλλον οὐ πᾶσα ἡ ὑπεροχή εἰσιν, ἀλλά τι τῆς ὑπεροχῆς.

12

.

28

ὡς ἔμπροσθεν ἐδείχθη· p. 94, 28] ἐδείχθη κατὰ τὸ τέλος τοῦ βʹ θεωρήματος διὰ τοῦ λήμματος.

12

29-30t

Ad prop. 6

12

.

29

ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΑΓΔ p. 96, 1. 2] ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος· αἱ δὲ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι πυραμίδες πρὸς ἀλλή‐ λας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.

12

.

30

καὶ δι’ ἴσου ἄρα p. 97, 2] τρία μεγέθη ἐπίπεδα τὰ ΑΒΓΔΕ, ΑΔΕ, ΖΗΘ καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τῷ πλήθει στερεὰ πρίσματα τρία τὰ ΑΒΓΔΕΜ, ΑΔΕΜ, ΖΗΘΝ σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ.

12

31-32t

Ad prop. 7

12

.

31

καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα p. 97, 20] αἱ γὰρ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι πυραμίδες πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις· ἴσαι δὲ αἱ βάσεις· ἴσαι ἄρα καὶ αἱ πυραμίδες.

12

.

32

Καὶ ὡς ἡ ὅλη βάσις πρὸς ἕκαστον τρίγωνον, οὕτως ὅλη ἡ πυραμὶς πρὸς ἑκάστην πυραμίδα καὶ ὅλον τὸ πρίσμα πρὸς ἕκαστον πρίσμα· ὡς γὰρ τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρίγω‐ νον, ἡ πυραμὶς πρὸς τὴν πυραμίδα. καὶ συνθέντι καὶ πάλιν
5συνθέντι ὡς ὅλη ἡ βάσις πρὸς τὸ ἓν τρίγωνον, οὕτως ὅλη ἡ πυραμὶς πρὸς τὴν μίαν πυραμίδα. πάλιν ὡς ἡ τρίγωνον ἔχουσα βάσιν πυραμὶς πρὸς τὴν τρίγωνον βάσιν ἔχουσαν πυραμίδα, οὕτως τὸ πρίσμα πρὸς τὸ πρίσμα διὰ ιεʹ τοῦ εʹ. καὶ συνθέντι καὶ πάλιν συνθέντι καὶ ὡς ὅλη ἡ πυραμὶς πρὸς
10τὴν μίαν πυραμίδα, οὕτως ὅλον τὸ πρίσμα πρὸς ἓν τῶν πρισ‐ μάτων. ἔστι δὲ καὶ ὡς τὸ πολύγωνον ἡ βάσις πρὸς τὸ
τρίγωνον, οὕτως ὅλη ἡ πυραμὶς πρὸς μίαν τῶν πυραμίδων καὶ διὰ ιαʹ τοῦ εʹ καὶ ὅλον τὸ πρίσμα πρὸς ἓν τῶν πρισ‐ μάτων. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἑκάστη τῶν πυραμίδων πρὸς
15ἕκαστον τῶν πρισμάτων ἀνάλογον, διὰ ιβʹ τοῦ εʹ καὶ ὡς ἡ μία πυραμὶς πρὸς ἓν τῶν πρισμάτων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα, τουτέστιν οὕτως ἡ πολύγωνον βάσιν ἔχουσα πυραμὶς πρὸς τὸ πολύγωνον βά‐ σιν ἔχον πρίσμα. τρίτον μέσης καὶ διὰ αʹ τοῦ εʹ. ὁμοίως ἢ
20ὡς ἡ πολύγωνον βάσιν ἔχουσα πυραμὶς πρὸς τὴν πολύ‐ γωνον βάσιν ἔχουσαν πυραμίδα, οὕτως ἡ πολύγωνος βά‐ σις πρὸς τὴν πολύγωνον βάσιν διὰ ϛʹ τοῦ ιβʹ. πολύγωνον δεῖ βάσιν νοεῖν οὐ μόνον τὴν πεντάγωνον, ἀλλὰ καὶ τρίγω‐ νον καὶ τετράγωνον καὶ ἑξῆς.

12

33t

Ad prop. 8

12

.

33

Ἐπειδὴ καὶ αἱ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις πυραμίδες αἱ ἐκ τῶν πολυγώνων πυραμίδων διαιρεθεῖσαι ὅμοιοί εἰσιν ἀλλήλαις, διὰ ιεʹ τοῦ εʹ προβαίνει ἢ διὰ τοῦ εʹ.

12

34-37t

Ad prop. 9

12

.

34

ἀλλ’ ὡς ἡ ΒΜ βάσις p. 103, 3] ἕκαστον ἥμισύ ἐστι τοῦ καθ’ ἑαυτὸ παραλληλογράμμου.

12

.

35

ἀλλὰ τὸ μὲν τοῦ ΕΘΠΟ p. 103, 7] ἰσουψεῖς γάρ εἰσιν.

12

.

36

ἀλλ’ ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις p. 103, 22] ἕκαστον γὰρ δι‐ πλάσιόν ἐστι τοῦ κατ’ αὐτὸ παραλληλογράμμου.

12

.

37

ἀλλὰ τὸ μὲν τῆς ΔΕΖΘ p. 103, 26] πάλιν γὰρ ἰσουψεῖς.

12

38-54t

Ad prop. 10

12

.

38

Εὐδόξου.

12

.

39

Εἰ γὰρ τὸ πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ, μεῖζόν ἐστιν ἢ τρι‐ πλάσιον τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, ὕψος δὲ ἴσον, ἀλλὰ τὸ πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ
5πολύγωνον, ὕψος δὲ ἴσον τῷ κώνῳ, τριπλάσιόν ἐστι πυρα‐ μίδος τῆς τὴν αὐτὴν βάσιν ἐχούσης τῷ πρίσματι· τοῦτο γὰρ δέδεικται ἐν τῷ ζʹ θεωρήματι τοῦ αὐτοῦ βιβλίου· καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ ἴσον τῷ κώνῳ, μεῖζόν ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν
10ἔχοντος τὸν ΑΒΓΔ κύκλον καὶ ὕψος τὸ αὐτό· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· περιέχεται γὰρ ὑπὸ τοῦ κώνου.

12

.

40

Ἐπειδὴ τὸ ἀνασταθὲν πρίσμα ἀπὸ τοῦ περιγραφέντος τετραγώνου περὶ τὸν κύκλον διπλοῦν ἐστι τοῦ πρίσματος τοῦ ἀνασταθέντος ἀπὸ τοῦ ἐγγραφέντος τετραγώνου ἐν τῷ κύκλῳ, ἔστι δὲ ὁ κύλινδρος μεταξὺ τῶν τοιούτων δύο πρισ‐
5μάτων, ἔστι δέ, ὡς εἴρηται, τὸ πρίσμα τὸ ἀνασταθὲν ἀπὸ τοῦ τετραγώνου τοῦ ἐγγραφέντος ἐν τῷ κύκλῳ ἥμισυ τοῦ λοιποῦ πρίσματος, οὐκ ἂν εἴη καὶ τοῦ κυλίνδρου ἥμισυ, ὃς κύλινδρος ἐλάττων ἐστὶ τοῦ πρίσματος ὡς περιεχόμενος. εἰ γάρ ἐστι καὶ τοῦ κυλίνδρου ἥμισυ καὶ τοῦ πρίσματος,
10εἴη ἂν καὶ ὁ κύλινδρος τῷ πρίσματι ἴσος. ἔστωσαν δὲ χάριν τοῦ σαφοῦς δύο πρίσματα, τὸ μὲν ἓν ποδῶν ι καὶ ϛ, τὸ δὲ λοιπὸν η, καὶ μέσον αὐτῶν ὁ κύλινδρος ποδῶν ι καὶ β· δῆλον, ὅτι τὸ ὀκτάπουν πρίσμα μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεος τοῦ κυλίνδρου· τὸ γὰρ ἥμισυ τοῦ κυλίνδρου ἑξάπουν ἐστίν.

12

.

41

Ὥσπερ ἀπὸ τοῦ ἐγγεγραμμένου τετραγώνου πρίσμα ἀνιστᾷ, οὕτως καὶ ἀπὸ τοῦ περιγραφομένου πρίσμα ἀνιστᾷ καὶ οὐκ ἄλλο τι τῶν στερεῶν.

12

.

42

Ἔστω ὁ κύλινδρος ἡ ΑΒ εὐθεῖα καὶ ἔστω ποδῶν
δέκα καὶ τεσσάρων, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Γ ση‐ μεῖον, καὶ ἔστω ἡ ΒΓ ὁ κῶνος, ὁ δὲ κῶνος ἔστω ποδῶν δ. δῆλον δή, ὅτι ὁ τεσσαρεσκαιδεκάπους κύλινδρος τοῦ τετρά‐
5ποδος κώνου μείζων ἐστὶν ἢ τριπλάσιος· ὁ γὰρ τριπλάσιος τοῦ τέσσαρες ὁ δώδεκά ἐστι. τετμήσθω δὴ πάλιν ἡ ΑΒ [Omitted graphic marker] ὁ κύλινδρος δίχα κατὰ τὸ Δ· αἱ ΑΔ, ΔΒ ἄρα ἴσαι οὖσαι ἑπτάποδές εἰσι. πάλιν τετμήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Ε. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΔ τὸ ἥμισυ τοῦ κυλίνδρου ἐστί, μείζων δὲ τῆς
10ΒΔ ἡ ΒΕ, ἡ ἄρα ΒΕ μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κυλίν‐ δρου, τουτέστιν ἡ ΒΕ μείζων ἐστὶ τοῦ ἡμίσεος μέρους τοῦ κυλίνδρου. καὶ ἔστω ἡ ΒΕ ποδῶν ι, ἥτις δεκάπους νενοή‐ σθω τὸ πρίσμα τὸ ἀνασταθὲν ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώ‐ νου. ἔστιν οὖν ἡ ΒΑ ὁ κύλινδρος, ἡ ΒΕ πρίσμα, ἡ δὲ ΓΒ
15ὁ κῶνος ιδ. ι. δ. Πάλιν τετμήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἔστω ἡ ΑΒ εὐθεῖα ἐλάττων τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ κύλινδρος τοῦ τριπλασίου τοῦ κώνου, καὶ ἔστω αὕτη ἡ ΖΑ τὰ ἀποτμή‐ ματα τοῦ κυλίνδρου. καὶ ἐπεὶ ὁ κῶνος ποδῶν ὑπόκειται δ,
20τριπλασία δὲ τῆς τετράποδος ἡ δωδεκάπους ἐστίν, ἔστι δὲ ὁ κύλινδρος τεσσαρεσκαιδεκάπους, δῆλον, ὅτι ἡ ὑπεροχὴ τοῦ κυλίνδρου, ᾗ ὑπερέχει τοῦ τριπλασίου τοῦ κώνου, δί‐ πους ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπεροχὴ δίπους ἐστίν, ἔστω ἡ ἐλάτ‐ των αὐτῆς τῆς ὑπεροχῆς, ἥτις ἐλάττων ἡ ΖΑ ἦν, ἔστω
25ἡ ΖΑ ποδιαία. ἡ ΕΖ ἄρα τρίπους ἐστί· τῆς γὰρ ΒΕ, ἥτις ἦν μείζων τοῦ ἡμίσεος τῆς ΑΒ, τῆς δὴ ΒΕ δεκάποδος οὔσης λείπεται τὴν ΕΑ τετράποδα εἶναι· ὥστε ἐπεὶ ἡ ΖΑ ποδιαία ἐστίν, ἡ ΖΕ ἄρα τρίπους ἐστί. δέκα δὴ ποδῶν οὔσης τῆς ΒΕ, τριῶν δὲ τῆς ΕΖ, ἡ ΒΖ ἄρα τριῶν καὶ δέκα
30ποδῶν ἐστιν, ἥτις τρισκαιδεκάπους τὸ ὅλον πρίσμα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν πρισμάτων τῶν ἀνασταθέντων ἀπό τε τοῦ τετραγώνου τοῦ ΑΒΓΔ καὶ τῶν τριγώνων τῶν ΑΕΒ, ΓΗΔ, ΔΘΑ. ἡ ΒΖ ἄρα ἤτοι τὸ τρισκαιδεκάπουν πρίσμα μεῖζόν ἐστι τοῦ τριπλασίου τοῦ κώνου· δωδεκά‐
35πουν γάρ ἐστι τὸ τριπλάσιον τοῦ κώνου. συνετέλεσε δὲ ἡμῖν τὸ λαμβάνειν τὰ μείζονα τῶν ἡμισέων εἰς τὸ λαβεῖν τὸ ἔλαττον τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερεῖχεν ὁ κύλινδρος τοῦ τρι‐ πλασίου τοῦ κώνου· ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΕ μείζων ἐστὶ τοῦ ἡμί‐ σεος τῆς ΑΒ, πάλιν, ἂν τῆς ΕΑ λάβω μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ,
40φθάσοιμι ἄν ποτε εἴς τι μέρος τῆς ΑΒ, ὁποῖόν ἐστιν ἐν‐ ταῦθα τὸ ΖΑ, ἔλαττον ὂν τῆς εἰρημένης ὑπεροχῆς. καὶ ἐπεὶ τὸ πρίσμα μεῖζόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον τοῦ κώνου, τριπλάσιον δὲ τῆς πυραμίδος, ἡ πυραμὶς μείζων ἐστὶ τοῦ κώνου. ἔστω τὸ πρίσμα δωδεκάπουν, ἡ πυραμὶς τετρά‐
45πους, ὁ κῶνος τρίπους· καί ἐστι τὸ δωδεκάπουν τοῦ μὲν τετράποδος τριπλάσιον, τοῦ δὲ τρίποδος μεῖζον ἢ τρι‐ πλάσιον, καὶ τὸ τετράπουν τοῦ τρίποδος μεῖζον.

12

.

43

Νενοήσθω ἡ ΑΒ εὐθεῖα ὁ κύλινδρος καὶ ἔστω πο‐ δῶν εἴκοσι καὶ τεσσάρων, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ, καὶ νενοήσθω ἡ ΒΓ ὁ κῶνος καὶ ἔστω ποδῶν δέκα. ἡ δεκά‐ πους δὲ μείζων ἐστὶ τῆς ὀκτάποδος, ἥτις ὀκτάπους τρίτον [Omitted graphic marker]
5ἐστὶ τῆς εἴκοσι καὶ τεσσάρων οὔσης ποδῶν. εἴκοσι τεσσά‐ ρων δὴ οὔσης ποδῶν τῆς ΑΒ, δέκα δὲ τῆς ΒΓ, ἥτις ἐστὶν ὁ κῶνος, ὁ κῶνος ἄρα μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κυλίν‐ δρου, ὅς ἐστιν ἡ ΑΒ. τετμήσθω δὴ καὶ ἡ ΒΓ ὁ κῶνος ἡ δεκάπους κατὰ τὸ Δ, καὶ ἔστω ἡ ΒΔ ἑπτάπους μείζων ἢ
10τὸ ἥμισυ τῆς δεκάποδος, ἥτις ἑπτάπους νενοήσθω ἡ
ἀνασταθεῖσα πυραμὶς ἀπὸ τοῦ ἐγγραφέντος ἐν τῷ κύκλῳ τετραγώνου. λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΔ τρίπους ἐστίν· ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΓ δεκάπους ἐστί, κεῖται δὲ ἡ ΒΔ ἑπτάπους, ἡ ΔΓ τρί‐ πους ἐστί. τετμήσθω καὶ ἡ ΔΓ ἡ τρίπους κατὰ τὸ Ε, καὶ
15ἔστω ἡ ΔΕ μείζων ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ΔΓ τρίποδος, καὶ ἔστω ἡ ΔΕ δίπους μείζων τοῦ ἡμίσεος τῆς τρίποδος· ἡ ΕΓ ἄρα ποδός ἐστιν ἑνὸς ἐλάττων οὖσα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ κῶνος τοῦ τρίτου μέρους τοῦ κυλίνδρου· ὑπερ‐ έχει δὲ πόδας δύο. ἡ δὲ ΓΕ οὐδέν ἐστιν ἄλλο ἢ τὰ τοῦ
20κώνου ἀποτμήματα. ὥστε ἐπεὶ ἡ ΓΕ τὰ ἀποτμήματά ἐστι τοῦ κώνου, ἡ ΕΒ ἡ ὅλη ἐστὶ πυραμὶς ἡ ἔχουσα βάσιν τὸ πολύγωνον, ἥτις πυραμίς ἐστιν ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΒΔ τῆς ἀνασταθείσης ἀπὸ τοῦ ἐγγραφέντος ἐν τῷ κύκλῳ τετρα‐ γώνου καὶ ἀπὸ τῶν πυραμίδων τῶν ἀνασταθεισῶν ἀπὸ τῶν
25ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων. ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΓ δεκάπους ἐστίν, ἡ δὲ ΓΕ ποδιαία, ἡ ΒΕ ἡ ὅλη πυραμὶς ἐννεάπους ἐστὶν μείζων οὖσα τῆς ὀκτάποδος τῆς οὔσης τρίτου τῆς εἰκοσιτεσσαράποδος. μᾶλλον δὲ ῥητέον συντό‐ μως οὕτως· ἐπειδὴ ἡ πυραμὶς τοῦ μὲν πρίσματος τρίτον
30ἐστὶ μέρος, τοῦ δὲ κυλίνδρου μείζων ἢ τὸ τρίτον μέρος, τὸ πρίσμα μεῖζόν ἐστι τοῦ κυλίνδρου· εἰ γὰρ τὸ αὐτὸ καὶ ἓν δύο τινῶν τοῦ μὲν ἑνός ἐστι τρίτον μέρος, τοῦ δὲ λοιποῦ οὐ τρίτον, ἀλλὰ μεῖζον τοῦ τρίτου, τὸ ἓν τῶν δύο τὸ ἔχον πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν τριπλασίονα λόγον μεῖζόν ἐστι τοῦ μὴ
35ἔχοντος τριπλασίονα λόγον, ἀλλ’ ἥττονα. ἔστω οὖν ἐπὶ ἀριθμῶν τὸ λεγόμενον δῆλον· ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ ὁ θ καὶ ὁ ϛ καὶ ἄλλος τις ἡ γ. ἡ δὴ γ τοῦ μὲν θ τρίτον ἐστὶ μέ‐ ρος, τοῦ δὲ ϛ μείζων ἢ τρίτον, καί ἐστιν ὁ θ ὁ τὸν τρι‐ πλασίονα λόγον ἔχων πρὸς τὸν γ μείζων τοῦ ϛ, ὃς ἓξ οὐκ
40ἔχει πρὸς τὸν γ τριπλασίονα λόγον, ἀλλ’ ἥττονα. ἔστωσαν πάλιν ὁ ιε, ὁ ιβ καὶ ὁ πέντε. ὁ ε τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ ιε, μείζων δὲ ἢ τὸ τρίτον τοῦ ιβ, καί ἐστιν ὁ ιε μείζων τοῦ ιβ. νενοήσθω δὴ ὁ μὲν ιε τὸ πρίσμα, ὁ δὲ ιβ ὁ κύλινδρος,
ὁ δὲ ε ἡ πυραμίς.

12

.

44

τὸ δὴ ΑΒΓΔ p. 105, 3] ἐπειδήπερ, ἐὰν διὰ τῶν Α, Β, Γ, Δ σημείων ἐφαπτομένας εὐθείας τοῦ κύκλου ἀγά‐ γωμεν, τοῦ περιγραφομένου περὶ τὸν κύκλον τετραγώνου ἐλάττων ἐστὶν ὁ κύκλος· ὥστε τὸ ΑΒΓΔ ἐγγεγραμμένον
5τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεος τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.

12

.

45

καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν p. 106, 9] ἐὰν γὰρ τὸ ἀναστα‐ θὲν πρίσμα ἀπὸ τοῦ παραλληλογράμμου παραλληλεπίπε‐ δον τμηθῇ δίχα, διὰ τὸ λβʹ τοῦ ιαʹ ἔσται ὡς ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν, οὕτως τὸ στερεὸν πρὸς τὸ στερεόν. ἴση δὲ ἡ
5βάσις τῇ βάσει, καὶ τὸ στερεὸν τῷ στερεῷ. ἐὰν δὲ ἕκαστον τῶν τμημάτων ἐπιπέδῳ τμηθῇ κατὰ τὰς διαγωνίους, δίχα τμηθήσεται διὰ τὸ κηʹ τοῦ ιαʹ. διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ πρίσμα τὸ ἀφ’ ἑκατέρου τῶν παραλληλογράμμων τμημά‐ των τοῦ πρίσματος τοῦ βάσιν ἔχοντος τὸ ἥμισυ τοῦ παρ‐
10αλληλογράμμου τρίγωνον ὂν καὶ ὕψος ἴσον. ἐὰν δὲ μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, ἔσται ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα καὶ τὰ ἑξῆς· δι‐ πλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τοῦ παραλληλογράμμου ἀνασταθὲν πρίσμα τοῦ ἀπὸ τοῦ τριγώνου, ὅπερ ἥμισύ ἐστι τοῦ παρ‐
15αλληλογράμμου, ἀνασταθέντος πρίσματος.

12

.

46

Ἐπειδὴ ἕκαστον τῶν πρισμάτων τῶν ἀνασταθέντων ἀφ’ ἑκάστου τῶν τριγώνων ἥμισύ ἐστιν ἑκάστου τῶν παρ‐ αλληλογράμμων, μεταξὺ δὲ τῶν στερεῶν παραλληλογράμ‐ μων καὶ τῶν πρισμάτων εἰσὶ τὰ τοῦ κυλίνδρου τμήματα,
5περὶ ὧν τμημάτων λέγει, ἐπειδὴ οὖν μεταξύ εἰσι, καὶ δῆ‐ λον, ὅτι τὰ πρίσματα μείζονά εἰσι τῶν ἡμίσεων τοῦ κυ‐ λίνδρου τμημάτων· εἰ γάρ εἰσι τὰ πρίσματα οὐ μείζονα τῶν ἡμίσεων, ἀλλ’ ἴσα, ἔσται καὶ ἕκαστον τῶν τοῦ κυλίν‐ δρου τμημάτων ἑκάστῳ τῶν στερεῶν παραλληλογράμμων
10ἴσον· ὧν γὰρ ἥμισυ τὸ αὐτό, ἐκεῖνα ἴσα εἰσίν.

12

.

47

καὶ ἔστω τὰ ΑΕ p. 106, 27] ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ οὐ τὰς εὐθείας λέγει, ἀλλὰ τὰς περι‐ φερείας. ἐπεὶ γὰρ βάσις τοῦ κώνου ὁ κύκλος ὑπόκειται, καὶ τῶν ἀποτμημάτων τοῦ κώνου βάσεις αἱ περιφέρειαι
5ἔσονται καὶ οὐχὶ αἱ εὐθεῖαι.

12

.

48

καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, p. 107, 7] ἐπεὶ οὖν τὸ πολύγω‐ νον ἔχον βάσιν πρίσμα πρὸς μὲν τὴν πυραμίδα τὴν ἔχουσαν τὸ αὐτὸ πολύγωνον βάσιν τριπλασίονα λόγον ἔχει, πρὸς δὲ τὸν κῶνον μείζονα ἢ τριπλασίονα, μείζων ἔσται ἡ πυ‐
5ραμὶς τοῦ κώνου διὰ τὸ δέκατον τοῦ πέμπτου.

12

.

49

ἐμπεριέχεται γὰρ p. 107, 10] ἐπειδὴ τὸ εὐθύγραμ‐ μόν ἐστι βάσις τῆς πυραμίδος, ὁ δὲ κύκλος βάσις τοῦ κώ‐ νου, ἐμπεριέχεται καὶ τὸ πολύγωνον ὑπὸ τοῦ κύκλου, δῆ‐ λον, ὅτι καὶ ἡ πυραμὶς ὑπὸ τοῦ κώνου.

12

.

50

ἀνάπαλιν ἄρα p. 107, 16] εἰ γὰρ ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριπλάσιος, ἔσται ἄρα καὶ ὁ κῶνος τοῦ κυλίνδρου μείζων ἢ τριπλάσιον.

12

.

51

καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν p. 108, 20] ἐὰν γὰρ εὐθεῖά τις ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου ἀχθῇ παράλληλος τῇ τοῦ ἐγγρα‐ φομένου τετραγώνου πλευρᾷ τῇ ΑΒ τυχὸν τῇ καὶ ὑπο‐ τεινούσῃ τὴν πρὸς τῷ Ε τοῦ τριγώνου γωνίαν, καὶ ἐπιζευ‐
5χθῶσιν αὗται, γενήσεται παραλληλόγραμμον διπλάσιον τοῦ ΑΕΒ τριγώνου διὰ τὸ μαʹ τοῦ αʹ βιβλίου. ἐὰν δὲ τὸ παραλληλόγραμμον δίχα τμηθῇ διὰ τῆς διαγωνίου, καὶ ἀνασταθῶσιν ἰσουψεῖς τῷ κώνῳ πυραμίδες ἀπὸ τῶν τρι‐ γώνων, ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται διὰ τὸ εʹ τοῦ ιβʹ βιβλίου. αἱ
10δὲ δύο τῆς μιᾶς διπλασίους· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ παραλληλο‐ γράμμου ἀνασταθεῖσα πυραμὶς ἰσουψὴς τῷ κώνῳ διπλα‐ σία τῆς ἀπὸ τοῦ ἡμίσεος αὐτοῦ τριγώνου ἀνασταθείσης ἰσουψοῦς πυραμίδος. ἀλλὰ καὶ τὸ ΑΕΒ τρίγωνον ἥμισύ
ἐστι τοῦ παραλληλογράμμου· ὥστε καὶ τῆς ἀπ’ αὐτοῦ
15ἀνασταθείσης ἰσουψοῦς πυραμίδος διπλασίων ἔσται. ἐπεὶ δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ παραλληλογράμμου ἰσουψὴς τῷ κώνῳ πυρα‐ μὶς μείζων ἐστὶ τοῦ κώνου τμήματος (περιέχει γάρ), καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ τριγώνου ἰσουψὴς τῷ κώνῳ πυραμὶς ἡμίσεια οὖσα ταύτης μείζων ἔσται ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ’ ἑαυτὴν κώ‐
20νου τμήματος· ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων.

12

.

52

τὸ ἄρα πρίσμα p. 109, 8. 9] εἰ γὰρ ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριπλασίων, ἀλλὰ τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ, μεῖζόν ἐστι ἢ τριπλάσιον τοῦ κώνου, καὶ
5τὸ πρίσμα ἄρα, οὗ βάσις τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ ἴσον τῷ κώνῳ, μεῖζόν ἐστι τοῦ κυλίνδρου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, ὕψος δὲ ἴσον τῷ κώνῳ. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπ’ αὐτοῦ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.

12

.

53

Ὡς τὸ τρίτον μέρος τοῦ κυλίνδρου πρὸς τὸν κύλιν‐ δρον, οὕτως ἡ πυραμὶς ἡ τὴν βάσιν ἔχουσα τὴν ΑΕΒΖΓΗΔΘ πρὸς τὸ πρίσμα τὸ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχον τῇ πυραμίδι καὶ ὕψος ἴσον. μεῖζον δὲ ἡ πυραμὶς τοῦ τρίτου
5μέρους τοῦ κυλίνδρου, ὡς ἐδείχθη· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ πρίσ‐ μα τοῦ κυλίνδρου διὰ ιδʹ τοῦ εʹ· ὅπερ ἄτοπον, τὸ ἐμπερι‐ εχόμενον τοῦ περιέχοντος.

12

.

54

Διὰ τὸ δέκατον τοῦ εʹ βιβλίου· τοῦ γὰρ πρίσματος τοῦ τὸ πολύγωνον ἔχοντος βάσιν τριπλασίονα λόγον ἔχον‐ τος πρὸς τὴν πυραμίδα, ἧς τὸ αὐτὸ πολύγωνον βάσις, τοῦ δὲ κυλίνδρου ἐλάττονα διὰ τὸ ταύτην μείζονα δειχθῆναι
5ἢ τὸ τρίτον τοῦ κυλίνδρου, ἀνάγκη πάντως τὸ πρίσμα μεῖζον εἶναι τοῦ κυλίνδρου. τῶν γὰρ πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον
ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον ἔχον ἐκεῖνο μεῖζόν ἐστιν.

12

55-57t

Ad prop. 11

12

.

55

λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, p. 111, 6] εἰ γὰρ τὰ Ξ, Ψ στερεὰ ἴσα ἐστὶ τῷ ΕΝ κώνῳ, ἀλλὰ τὰ ΕΘΟ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΣΘ ἀποτμήματα ἐλάσσονά ἐστι τοῦ Ψ στερεοῦ, λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύ‐
5γωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶ τοῦ Ξ στερεοῦ.

12

.

56

ἀλλὰ καὶ ἔλασσον· p. 112, 16] πῶς ἔλασσον τὸ Ξ στερεὸν τῆς ἐν τῷ ΕΝ κώνῳ πυραμίδος; δείξομεν οὕτως· ἐπεὶ ὁ ΕΝ κῶνος ἴσος ἐστὶ τοῖς Ξ, Ψ στερεοῖς, ἀλλὰ τὰ ἀποτμήματα τοῦ κώνου ἐλάσσονα τοῦ Ψ στερεοῦ, τὸ Ξ
5ἄρα ἔλασσον τῆς ἐν τῷ ΕΝ κώνῳ πυραμίδος.

12

.

57

Τὸ Ξ στερεὸν μεῖζον ὑπόκειται τοῦ ΕΝ κώνου· ὡς δὲ τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὸν ΑΛ κῶνον, οὕτως ὁ ΕΝ κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου δείκνυται καὶ διὰ τοῦ ἀδυνάτου καὶ ἐπ’ εὐθείας, ὡς καὶ εἰς τὰ ἐπάνω διὰ τὸ βʹ
5προαποδείκνυται τοῦ ἐπάνω.

12

58-64t

Ad prop. 12

12

.

58

Τὸ ἐν τριπλασίονι ἀντὶ τοῦ τρὶς τὸν αὐτὸν λόγον ἕξει ὁ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον, ὃν ἔχει ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν· οἷον εἴ ἐστιν ἡ βάσις διπλασίων τῆς βάσεως οἷον ὡς ὁ δ πρὸς τὸν δύο, ἔσται ὁ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον ὡς ὁ
5μη πρὸς τὸν ϛ· τρὶς γὰρ ὁ μη πρὸς τὸν ϛ ἔχει τὸν τοῦ δ πρὸς τὸν β λόγον.

12

.

59

Λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα μεγέθη λέγονται, ἃ δύ‐ ναται πολλαπλασιαζόμενα, καὶ πᾶν μέγεθος πρὸς πᾶν
μέγεθος ὁμογενὲς λόγον ἔχει. ἕξει ἄρα καὶ ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρὸς μέγεθος ὁμογενὲς αὐτῷ τριπλασίονα λόγον
5ἢ πρὸς ἑαυτοῦ μόριον ἢ πρὸς ἕτερον μέγεθος, ἐκεῖνο δὲ ἢ ἴσον ἐστὶν ἢ μεῖζον ἢ ἔλαττον τοῦ ΕΖΗΘΝ κώ‐ νου.

12

.

60

λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, p. 115, 13] εἰ γὰρ ὁ κῶνος τοῦ στερεοῦ μείζων ἐστίν, ἀλλὰ τὰ ἀποτμήματα τοῦ κώνου ἐλάττονά εἰσι τοῦ Ξ στερεοῦ, λείπει ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον.

12

.

61

Ἐὰν ὦσι δύο μεγέθη ἄνισα, καὶ ἀπὸ μείζονος ἀφαι‐ ρεθῇ ἔλασσόν τι τῆς ὑπεροχῆς, μεῖζον διαμένει τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάσσονος. ἐὰν δὲ ὅλη ἡ ὑπεροχὴ ἀφαιρεθῇ ἀπὸ τοῦ μείζονος, τὰ λοιπὰ ἴσα διαμένουσι· καί ἐστι κοινὴ ἔννοια.

12

.

62

καὶ περὶ ἴσας γωνίας p. 116, 4] ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα αὐτῶν.

12

.

63

ὡς ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΤ p. 116, 6] ἐπειδήπερ ἑκάτεραι αὐτῶν ἐκ τοῦ κέντρου εἰσίν.

12

.

64

ἐπειδήπερ, ὃ μέρος p. 116, 8] διὰ λγʹ τοῦ ϛʹ ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὰς δ ὀρθάς, οὕτως καὶ ἑκάστη περιφέρεια τῶν τμημάτων τοῦ κύκλου πρὸς ἕκαστον τμῆμα γωνίας τῶν τεσσάρων ὀρθῶν. ἐναλλὰξ ὡς ἕκαστον τμῆμα
5τοῦ κύκλου πρὸς τὸν κύκλον, οὕτως ἑκάστη ὑποτεινομένη γωνία πρὸς τὰς δ ὀρθάς· ἀλλ’ ὡς ἑκάστη περιφέρεια τοῦ κύκλου πρὸς τὸν κύκλον, οὕτως καὶ ἑκάστη περιφέρεια τοῦ κύκλου πρὸς τὸν κύκλον, οὕτως ἑκάστη περιφέρεια τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, καὶ ὡς ἑκάστη
10ὑποτεινομένη γωνία ὑπὸ ἑκάστης περιφερείας πρὸς τὰς δ ὀρθάς, οὕτως ἑκάστη ὑποτεινομένη γωνία τοῦ ἑτέρου κύκλου πρὸς τὰς δ ὀρθάς. ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ἑκάστη τῶν
γωνιῶν τῶν δ ὀρθῶν, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ἑκάστη γω‐ νία τοῦ ἑτέρου κύκλου τῶν δ ὀρθῶν. ἴση ἄρα ἑκάστη γω‐
15νία τῇ ἑκάστῃ διὰ θʹ τοῦ εʹ, ἢ τὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ ἡμίσεα ἢ τρίτα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.

12

65t

Ad prop. 13

12

.

65

Λῆμμα. Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ τοῖς ἀπ‐ εναντίον αὐτοῦ, ἡ τομὴ κύκλος ἐστίν. κύλινδρος γάρ, οὗ ἕδρα μὲν ὁ ΑΒ, ἐφέδρα δὲ ὁ ΓΔ, ἄξων δὲ ὁ ΗΘ, ἐπιπέδῳ [Omitted graphic marker]
5τινὶ τετμήσθω παραλλήλῳ ταῖς βάσεσιν αὐτοῦ, καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου τὴν ΗΘΚΛ γραμμήν. ὅτι ἡ γραμμὴ κύκλος ἐστίν. καὶ ἐπεὶ παράλληλόν ἐστιν ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΓΔ, συμβαλλέτω
10τῷ ΕΖ ἄξονι τὸ διὰ τῆς ΗΚΘΛ γραμμῆς ἐπίπεδον κατὰ τὸ Μ, καὶ διήχθω διὰ τοῦ ἄξονος ἐπίπεδον· τομὴν δὴ ποιήσει παραλ‐ ληλόγραμμον· δέδεικται γάρ. ποιείτω ἑκά‐ τερον τῶν ΕΓ, ΕΔ, ἐν δὲ τῷ ΗΘΚΛ εὐ‐
15θεῖαν τὴν ΗΜΘ. πάλιν διήχθω διὰ τοῦ ΕΖ ἄξονος ἕτε‐ ρον ἐπίπεδον καὶ ποιείτω ἐν μὲν τῇ κυλινδρικῇ ἐπιφανείᾳ παραλληλόγραμμον ἑκάτερον τῶν ΕΞ, ΖΝ, ἐν δὲ τῷ διὰ τῆς ΗΚΘΛ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν τὴν ΚΜΛ. ἐπεὶ οὖν δύο ἐπί‐ πεδα παράλληλα τό τε ΑΒ καὶ τὸ διὰ τῆς ΚΘΛΗ ἐπιπέ‐
20δῳ τινὶ τέτμηται τῷ ΑΕΗΜ ὄντι διὰ τοῦ ἄξονος, αἱ κοι‐ ναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν. παράλληλος ἄρα ἐστὶν
ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΗΜ, ἡ δὲ ΑΗ τῇ ΕΜ. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΜ. πάλιν ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τό τε ΑΒ καὶ τὸ διὰ τῆς ΗΚΘΛ ἐπιπέδῳ τινὶ τέτμηται παραλ‐
25λήλῳ τῷ ΕΚ ὄντι διὰ τοῦ ἄξονος, αἱ κοιναὶ ἄρα αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΝ τῇ ΚΜ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΝΚ τῇ ΕΜ· παραλληλόγραμμον ἄρα τὸ ΕΚ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΝ τῇ ΚΜ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΕ, ΕΝ, ΕΒ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν (ἐκ γὰρ τοῦ Ε κέντρου), ἀλλ’ ἡ
30μὲν ΑΕ τῇ ΗΜ, ἡ δὲ ΝΕ τῇ ΜΚ, ἡ δὲ ΕΒ τῇ ΜΘ, καὶ αἱ τρεῖς ἄρα ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· κύκλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘΚΛ γραμμή. καὶ φανερόν, ὅτι ὁ ΗΘΚΛ κύκλος τῷ ΑΒ ἴσος ἐστίν· αἱ γὰρ ἐκ τῶν κέντρων ἴσαι εἰσίν.

12

66-67t

Ad prop. 15

12

.

66

Ἀντιπεπονθέναι γὰρ λέγεται, ὅταν ἐν ἑκάστῳ τῶν σχημάτων ἡγούμενοί τε καὶ ἑπόμενοι ὅροι εἰσίν.

12

.

67

Ληπτέον ἄκρους μὲν ὅρους τὰς βάσεις καὶ τὰ ὕψη, μέσον δὲ τοὺς κυλίνδρους καὶ συλλογιστέον ἐν πρώτῳ σχήματι οὕτως· ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον· ἀλλ’
5ὡς ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κύλινδρον, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος. καὶ ὡς ἄρα ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν, τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος. εἶτα πάλιν ληπτέον ἄκρους μὲν τοὺς ΑΞ καὶ ΕΣ κυλίνδρους καὶ τοὺς ΕΟ καὶ ΕΣ καὶ μέσον τὸ ΜΝ καὶ ΠΝ ὕψος, καὶ συλλογιστέον ἐν πρώτῳ
10σχήματι οὕτως· ὡς ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύ‐ λινδρον, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος, ὡς δὲ τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος, οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον. καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν
ΕΣ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς αὐτὸν τὸν ΕΣ
15κύλινδρον. τὰ δὲ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντα ἴσα ἀλλήλοις ἐστί. ἴσος ἄρα ὁ ΑΞ τῷ ΕΟ· ὃν γὰρ λόγον ἔχει ὁ ΑΞ πρὸς τὸν ΕΣ, τὸν αὐτὸν ἔχει καὶ ὁ ΕΟ πρὸς αὐτὸν τὸν ΕΣ.

12

68-97t

Ad prop. 17

12

.

68

Τὰ λαμβανόμενα εἰς τὸ θεώρημα σὺν τοῖς ἐν αὐτῷ ζητουμένοις λήμμασίν ἐστι τὰ ὑποτεταγμένα. Ἐὰν σφαῖρα ἐπιπέδῳ τινὶ τμηθῇ διὰ τοῦ κέντρου, ἡ τομὴ κύκλος ἐστὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ἔχων τῇ σφαίρᾳ. σφαῖρα γὰρ
5ἐπιπέδῳ τινὶ τετμήσθω διὰ τοῦ κέντρου αὐτῆς, καὶ ποιείτω γραμμὴν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ αὐτῆς. αἱ ἄρα ἀπὸ τοῦ κέντρου αὐτῆς προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἐν δὲ τῇ ἐπιφανείᾳ αὐτῆς ἐστιν ἡ εἰρημένη γραμμή· πᾶσαι ἄρα αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν γραμμὴν προσ‐
10πίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ὥστε κύκλου περι‐ φέρειά ἐστιν ἡ γραμμὴ τὸ κέντρον ἔχουσα τὸ αὐτὸ τῇ σφαίρᾳ. ἐὰν ἄρα σφαῖρα ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ κέντρου, ἡ τομὴ κύκλος ἐστὶ κέντρον ἔχων τὸ αὐτὸ τῇ σφαίρᾳ. τοῦτο μὲν οὖν ἐπὶ τὸ παρὸν δέδεικται διὰ τὸ νῦν χρησιμεῦον
15ἡμῖν, ἐν δὲ τοῖς Θεοδοσίου σφαιρικοῖς καθολικώτερον δείκνυται, ὅτι, κἂν μὴ διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ᾖ τὸ τεμνόμενον ἐπίπεδον, ὁμοίως ἡ τομὴ κύκλος ἐστίν.

12

.

69

Τὸ διὰ τῆς ΑΞ καὶ ΒΔ ἐπίπεδον ὀρθὸν χρὴ νοεῖν πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον, ὁμοίως δὲ καὶ τὸ διὰ τῆς ΑΞ καὶ ΚΝ ὀρθὸν καὶ αὐτὸ νοεῖν δεῖ πρὸς τὸ αὐτὸ ἐπίπεδον τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου, διότι καὶ ἡ ΑΞ πρὸς
5ὀρθὰς ἵσταται ἐν τῷ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπιπέδῳ. καὶ δὴ καὶ τὸ ΒΞΔ ἡμικύκλιον καὶ ἔτι τὸ ΚΞΝ πρὸς ὀρθὰς
ἱστάμενα χρὴ νοεῖν ἐν τῷ τοῦ ΒΓΔΕ ἐπιπέδῳ.

12

.

70

καὶ ἐπεὶ ἡ ΞΑ ὀρθή p. 128, 2] ἐπειδήπερ, ἐὰν εὐθεῖα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ πάντα τὰ δι’ αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.

12

.

71

ὅσαι ἄρα εἰσὶν p. 129, 2] ἐὰν τοσαυτάκις διαιρεθῶσι καὶ τὰ ἴσα τῷ ΒΕ δύο τεταρτημόρια δίχα, ἴσα εἰσὶ καὶ τὰ τμήματα διὰ λγʹ τοῦ γʹ καὶ αἱ εὐθεῖαι διὰ κθʹ τοῦ γʹ.

12

.

72

πεσοῦνται δὴ ἐπὶ p. 129, 8] ἐὰν ᾖ ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὀρθόν, καὶ ληφθῇ τυχὸν σημεῖον ἐπὶ ἑνὸς τῶν ἐπιπέδων, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ ληφθέντος σημείου ἐπὶ τὸ ἕτερον ἐπίπεδον κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν κοινὴν τομὴν πίπτει
5τῶν ἐπιπέδων· δειχθήσεται δὲ οὕτως· ἔστω γὰρ τὸ ΑΒΓΔ ἐπίπεδον πρὸς ὀρθὰς τῷ ΒΕΖΔ, καὶ εἰλήφθω ἐν τῷ ΑΒΓΔ ἐπιπέδῳ τυχὸν σημεῖον τὸ Η. λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ ΒΕΖΔ ἐπίπεδον κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν κοι‐ νὴν τομὴν τῶν ἐπιπέδων τὴν
10[Omitted graphic marker] ΒΔ εὐθεῖαν πίπτει. ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΒΔ κάθ‐ ετος ἡ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΔ ἐπίπεδον πρὸς τὸ ΖΒ ἐπίπε‐ δον ὀρθόν ἐστι, καὶ τῇ κοινῇ
15τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρ‐ θὰς γωνίας ἦκται ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΗΘ, ἡ ἄρα ΘΗ τῷ λοιπῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, τουτέστι τῷ ΒΖ. ὥστε ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ ΒΖ ἐπίπεδον κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν
20κοινὴν τομὴν τὴν ΒΔ πίπτει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

12

.

73

Ἐὰν γὰρ ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὀρθὸν ᾖ, καὶ ἀπό τινος σημείου τοῦ ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων ἐπὶ τὸ ἕτερον ἐπί‐ πεδον κάθετος ἀχθῇ, ἐπὶ τῆς κοινῆς πεσεῖται τῶν ἐπιπέ‐ δων τομῆς ἡ ἀγομένη κάθετος διὰ τὸ ληʹ τοῦ ιαʹ.

12

.

74

ἴση ἄρα ἐστὶν p. 129, 14] ἔστω ἴσα τμήματα ἴσων κύκλων τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι περι‐ φέρειαι αἱ ΑΒ, ΔΕ, καὶ κάθετοι ἀπὸ τῶν Β, Ε αἱ ΒΗ, ΕΘ ἐπὶ τὰς ΑΓ, ΔΖ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΗ τῇ
5ΕΘ, ἡ δὲ ΑΗ τῇ ΔΘ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΔΕ. καὶ ἐπεὶ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΑΒ, ΔΕ, καὶ λοιπαὶ ἄρα αἱ ΒΓ, ΕΖ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ὥστε καὶ αἱ ἐπ’ αὐτῶν βεβηκυῖαι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΔΖ. ἀλλὰ καὶ ὀρθαὶ αἱ Η, Θ· [Omitted graphic marker]
10δύο δὴ τρίγωνα τὰ ΑΒΗ, ΔΕΘ τὰς δύο γωνίας ταῖς δύο γωνίαις ἴσας ἔχει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν τὴν ΒΑ μιᾷ πλευρᾷ τῇ ΔΕ ἴσην τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν· πάντα ἄρα πᾶσιν ἴσα ἐστίν. ἴση ἄρα ἡ μὲν ΑΗ τῇ ΔΘ, ἡ δὲ ΒΗ τῇ ΕΘ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

12

.

75

Διὰ τὸ κϛʹ τοῦ αʹ· δύο γὰρ τρίγωνά ἐστι τὰ ΟΒΦ, ΣΚΧ τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΟΒΦ, ΒΦΟ ταῖς δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΣΚΧ, ΚΧΣ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν ΒΟ τῇ ΚΣ· ὥστε καὶ τὰς
5λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ.

12

.

76

Πόθεν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΣΧ τῇ ΟΦ, ἡ δὲ ΒΦ τῇ ΚΧ; καὶ λέγομεν οὕτως· ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΧΣ τῇ ὑπὸ ΟΦΒ (ὀρθαὶ γὰρ ἀμφότεραι), ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΣΚΧ τῇ ὑπὸ ΟΒΦ ἴση, ἐπειδὴ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν
5βεβήκασι τῶν ΣΝ, ΟΔ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΟΒ τῇ ΣΚ ἴση, δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΒΟΦ, ΚΣΧ τὰς δύο γωνίας δυσὶ
γωνίαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γω‐ νιῶν, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἴσον ἔσται· ἴση ἄρα καὶ
10ἡ ΣΧ τῇ ΟΦ, ἡ δὲ ΒΦ τῇ ΚΧ.

12

.

77

παράλληλος ἄρα p. 129, 20] ἐὰν γὰρ δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσι, παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι διὰ τὸ ϛʹ τοῦ ιαʹ.

12

.

78

παράλληλος ἄρα ἐστὶν p. 129, 17. 18] ἡ μὲν ΒΑ καὶ ἡ ΚΑ οὐκ εἰσὶ παράλληλοι· συμπίπτουσι γάρ· ἡ δὲ ΧΦ τῇ ΚΒ παράλληλός ἐστιν.

12

.

79

καὶ αἱ ΧΦ, ΣΟ p. 129, 21] αἱ τὰς ἴσας γὰρ παραλ‐ λήλους ἐπιζευγνύουσαι εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παρ‐ άλληλοί εἰσιν διὰ τὸ λγʹ τοῦ αʹ.

12

.

80

τὸ ΚΒΟΣ ἄρα τετράπλευρον p. 129, 24sq.] τετρά‐ πλευρόν ἐστιν, οὐ μὴν καὶ παραλληλόγραμμον· ὥστε οὐκ ἀνάγκη τὴν ΣΟ ἴσην εἶναι τῇ ΚΒ.

12

.

81

καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ p. 131, 5. 6] ἐκ κέν‐ τρου γὰρ βϊ αʹ μζʹ καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.

12

.

82

ὁμοίως δὴ δείξομεν p. 131, 11] βϊ ϛʹ ηʹ πόρισμα. ὀρθογώνιον τὸ ΔΚΒ τρίγωνον διὰ λαʹ τοῦ γʹ. πῶς; ἐπεζεύ‐ χθωσαν γὰρ αἱ ΑΟ, ΑΣ, ΨΟ, ΨΣ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΟ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΣ (ἐκ κέντρου γάρ), ἴσον δέ ἐστι
5τὸ ἀπὸ τῆς ΑΟ τοῖς ἀπὸ τῶν ΨΟ, ΨΑ (ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Ψ), τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΨΣ, ΨΑ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΣΑ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΨ. λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΨΟ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΨΣ. ἴσον δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΣ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΚ· ἐκ κέντρου γάρ· ὥστε αἱ δ εὐθεῖαι αἱ
10ΒΨ, ΨΚ, ΨΟ, ΨΣ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

12

.

83

Καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν p. 131, 16] εἰ μὴ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΚ τῆς ΧΦ, οὐ συμπεσοῦνται αἱ ΒΦ, ΚΧ· συμ‐ πίπτουσι δὲ κατὰ τὸ Α· οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΚΒ τῇ ΧΦ.

12

.

84

Ἐδείχθη ἡ ΦΧ τῇ ΒΚ παράλληλος, ἀλλ’ οὐκ ἀνάγκη, ἐπειδὴ παράλληλός ἐστι, καὶ ἴσην αὐτῇ εἶναι. εἰ μὲν γὰρ ἦν, καὶ ἡ ΚΧ τῇ ΒΦ παράλληλος ἦν ἄν, καὶ τὸ ΒΚΧΦ χωρίον παραλληλόγραμμον, καὶ ἦν ἂν καὶ ἡ ΦΧ τῇ ΒΚ
5ἴση· τῶν γὰρ παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι τε καὶ πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἐπεὶ δὲ οὐκ ἔστι τὸ χωρίον παραλληλόγραμμον, παράλληλος μέν ἐστιν ἡ ΦΧ, ὡς δέδεικται, τῇ ΒΚ, οὐ μὴν καὶ ἴση. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΚ τὴν πρὸς τῷ Ψ ὑποτείνει γωνίαν ὀρθὴν οὖσαν, ἡ δὲ
10ΦΧ τὴν ὑπὸ ΚΑΒ μὴ οὖσαν ὀρθήν, μείζων ἄρα ἡ ΒΚ τῆς ΦΧ.

12

.

85

τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΒ 131, 22] ἔστω ἐν κύκλῳ τετρά‐ πλευρον τὸ ΜΓΟΥ, καὶ αἱ τρεῖς αἱ ΥΜ, ΜΓ, ΓΟ ἔστω‐ σαν ἴσαι ἀλλήλαις, καὶ ἔστω μεί‐ ζων ἡ ΓΜ τῆς ΥΟ, καὶ εἰλήφθω [Omitted graphic marker]
5τὸ κέντρον τοῦ περὶ τὸ ΜΓΟΥ τετράπλευρον κύκλου. ἔστω τὸ Ψ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΨ. λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΜΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΨ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον.
10ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΟΨ, ΥΨ, ΨΜ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΨ τῇ ΨΥ, καὶ κοινὴ ἡ ΨΟ, δύο δὴ αἱ ΓΨ, ΨΟ δυσὶ ταῖς ΥΨ, ΨΟ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκα‐ τέρᾳ· καὶ βάσις ἡ ΓΟ βάσεως τῆς ΟΥ μείζων ἐστίν· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΨΟ γωνίας τῆς ὑπὸ ΟΨΥ μείζων. καὶ ἐπεὶ ἴση
15ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΨΟ ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΓΨΜ, ΜΨΥ (ἐπὶ γὰρ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασι τῶν ΟΓ, ΓΜ, ΥΜ τῷ τὰς εὐθείας ἴσας εἶναι), καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΓΨΜ, ΜΨΥ τῆς ὑπὸ ΥΨΟ μείζων ἐστίν. αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ὑπὸ ΟΨΥ, ΟΨΓ, ΓΨΜ, ΜΨΥ τέσσαρσιν ὀρθαῖς ἴσαι
20εἰσίν· πρὸς ἑνὶ γὰρ σημείῳ τῷ Ψ· ἀμβλεῖα ἄρα ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΟΨΓ, ΓΨΜ, ΜΨΥ· ἀμβλυγώνιον ἄρα τὸ ΓΨΜ τρίγωνον. ἐν δὲ τοῖς ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετρά‐ γωνον μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν
25περιεχουσῶν εὐθειῶν τετραγώνων. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΓΜ μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΜΨ, ΨΓ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΜΨ, ΨΓ διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΨΓ· ἴση γὰρ ἡ ΜΨ τῇ ΨΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΜΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΨ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

12

.

86

Πόθεν, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον; καὶ δεικτέον οὕτως· ἐπεὶ γὰρ ἐπιζευ‐ γνυμένων τῶν ΨΟ, ΨΣ αἱ ὑπὸ ΚΨΒ, ΚΨΣ, ΣΨΟ, ΟΨΒ γωνίαι τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν (πρὸς γὰρ τῷ
5κέντρῳ τοῦ κύκλου τῷ Ψ), καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΣΚ τῇ ΚΒ,
κοινὴ δὲ ἡ ΚΨ, καὶ βάσις ἡ ΣΨ βάσει τῇ ΨΒ ἐστιν ἴση, καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΣΨΚ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΨΒ ἴση· διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΨΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΟΨΒ ἐστιν [Omitted graphic marker] ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΨ τῇ ΨΣ,
10κοινὴ δὲ ἡ ΨΟ, βάσις δὲ ἡ ΒΟ βά‐ σεως τῆς ΣΟ μείζων ἐστίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΨΟ γωνίας τῆς ὑπὸ ΟΨΣ μείζων ἐστίν. ὥστε αἱ ὑπὸ ΣΨΚ, ΚΨΒ, ΒΨΟ ἀμβλεῖαί εἰσιν.
15καὶ ἐπεὶ ἐν ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ἀμβλεῖαν ὑποτει‐ νούσης πλευρᾶς μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν, μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΚΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΒΨ, ΨΚ. ἴση δὲ ἡ ΒΨ τῇ ΨΚ· ὥστε τὸ ἀπὸ
20τῆς ΒΚ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

12

.

87

Πῶς αἱ ὑπὸ ΟΨΥ, ΟΨΓ, ΓΨΜ, ΜΨΥ τέσσαρ‐ σιν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι, νῦν δείξομεν. ἐπὶ παντὸς τριγώνου αἱ γὰρ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· αἱ ἄρα ὑπὸ ΨΥΜ, ΥΜΨ, ΜΨΥ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ὁμοίως καὶ αἱ
5ὑπὸ ΨΜΓ, ΨΓΜ, ΜΨΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, καὶ αἱ ὑπὸ ΓΨΟ, ΨΟΓ, ΟΓΨ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, καὶ ἔτι αἱ ὑπὸ ΥΨΟ, ΨΟΥ, ΟΥΨ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. αἱ ἄρα ὑπὸ ΨΥΜ, ΥΜΨ, ΜΨΥ, ΨΜΓ, ΜΓΨ, ΓΨΜ, ΓΨΟ, ΨΟΓ ΟΓΨ, ΟΨΥ, ΨΥΟ, ΥΟΨ ἐπὶ τὸ αὐτὸ ὀκτὼ
10ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὧν αἱ ὑπὸ ΟΥΜ, ΥΜΓ, ΜΓΟ, ΓΟΥ τέσ‐ σαρσιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· παντὸς γὰρ τετραπλεύρου αἱ τέσ‐ σαρες γωνίαι τέσσαρσιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. λοιπὸν ἄρα αἱ ὑπὸ ΥΨΜ, ΜΨΓ, ΓΨΟ, ΟΨΥ τέσσαρσιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.

12

.

88

Ἐπεὶ ἐκ τοῦ κέντρου αἱ δ εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί, εἰ ἦσαν καὶ τοῦ τετραπλεύρου αἱ δ πλευραὶ ἴσαι, αἱ δ γω‐
νίαι ὀρθαὶ ἂν ἦσαν, καὶ τὸ ἀπὸ ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ ...

12

.

89

κάθετος ἡ ΚΩ. p. 131, 23] ἡ ἀπὸ τοῦ Κ καὶ ἔτι ἐπὶ τὴν ΒΦ πεσεῖται ἐπὶ τὸ σημεῖον, ἐφ’ ὃ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ο κάθετος, ἐπὶ τὸ Φ· ἡ δὲ ἀπόδειξις ἡ αὐτή.

12

.

90

καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΔ p. 132, 1] εἰ γὰρ ἡ ΒΔ τῆς ΔΑ διπλῆ ἐστιν, μείζων δέ ἐστιν ἡ ΔΦ τῆς ΔΑ, ἡ ἄρα ΒΔ τῆς ΔΦ ἐλάττων ἐστὶν ἢ διπλῆ.

12

.

91

Ἡ γὰρ ΒΔ τῆς ΑΔ ἐστι διπλῆ, μείζων δὲ ἡ ΦΔ τῆς ΑΔ· διὰ τὸ αʹ τοῦ ϛʹ.

12

.

92

καί ἐστι τῆς ΚΔ p. 132, 6] τῆς ΚΔ ἐπιζευγνυμένης γίνεται τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΔΚΒ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΔΚΒ γωνίαν. τὸ ἄρα ἀναγραφόμενον ἀπὸ τῆς ΒΦ τετράγωνον καὶ τὸ συμπληρούμενον ὑπὸ τῆς ΦΔ παρ‐
5αλληλόγραμμον τὸ ΚΔ ἐστιν ὅλον παραλληλόγραμμον περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΚ εὐθειῶν. ἐπέζευξε δὲ τὴν ΚΔ πρὸς παράστασιν τοῦ τὸ ΚΔ παραλληλόγραμμον περιέχεσθαι ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΦ ἤτοι μῆκος μὲν γίνεσθαι τὴν ΚΒ, πλάτος δὲ τὴν ΒΔ. ἐπεὶ γὰρ τὸ ΚΔ παραλληλό‐
10γραμμον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΔΚΒ τριγώνου, ὡς δέδεικται ἐν τῷ λδʹ θεωρήματι τοῦ αʹ βιβλίου· δίχα γὰρ τὸ παραλ‐ ληλόγραμμον τέμνει· εἰ δὲ δίχα, δῆλον, ὅτι ἡ ΚΒ ὕψος τέ ἐστι τοῦ ΚΔ παραλληλογράμμου καὶ βάσις τοῦ ΔΚΒ τριγώ‐ νου· τούτων οὕτως ἐχόντων γίνεται ἡ ΚΒ μέση ἀνάλογον,
15ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΚ, οὕτως ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΒΦ· ἐὰν δὲ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσι, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχό‐ μενον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης.

12

.

93

πολλῷ ἄρα ἡ ΑΨ p. 132, 18] ἐπειδὴ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΨ, ΨΑ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΛ, ἔστι δὲ τὸ
ἀπὸ τῆς ΑΗ, ὡς πρὸ ὀλίγου δέδεικται, μεῖζον τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ, λείπεται τὸ ἀπὸ τῆς ΑΨ μεῖζον εἶναι τοῦ ἀπὸ τῆς
5ΗΛ. ἴση δὲ ἡ ΗΛ τῇ ΗΑ, ὡς δείξω· μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΨ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΗ. ὥστε καὶ ἡ ΑΨ μείζων ἐστὶ τῆς ΑΗ· εἰ γὰρ ἡ ΨΑ μείζων τῆς ΛΗ, ἡ δὲ ΛΗ ἴση τῇ ΑΗ, ἡ ΨΑ ἄρα μείζων ἐστὶ τῆς ΑΗ. δεικτέον δή, ὅτι ἡ ΑΗ ἴση ἐστὶ τῇ ΗΛ, οὕτως· ἐπειδὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΗΛ γωνία
10τοῦ ΑΗΛ τριγώνου ὀρθή ἐστιν, ἑκατέρα ἡ ὑπὸ ΗΑΛ καὶ ΑΛΗ ἡμίσεια ὀρθῆς ἐστιν. ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΑΛ τῇ ὑπὸ ΑΛΗ. αἱ δὲ τὰς ἴσας ὑποτείνουσαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ὑποτείνει δὲ τὴν μὲν ὑπὸ ΗΑΛ γωνίαν ἡ ΗΛ, τὴν δὲ ὑπὸ ΗΛΑ ἡ ΑΗ· ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΗΛ. ἡ δὲ ΗΛ
15ἐλάττων ἐδείχθη τῆς ΑΨ· καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἐλάττων ἐστὶ τῆς ΑΨ.

12

.

94

Ἐν ἄλλοις ἀντιγράφοις οὐκ ἔστιν ΗΛ, ἀλλὰ η͵α, ἤτοι τὸ ἦτα στοιχεῖον καὶ τὸ ἐπίσημον τῶν χίλια.

12

.

95

Πολλῷ ἄρα ἡ ΑΨ τῆς ΑΗ· ἐπεὶ πλέον ἀπέχει τὸ Ψ σημεῖον τοῦ Η ἤπερ τὸ Φ διὰ τὸ καὶ τὴν ΑΨ μείζονα δεδεῖχθαι τῆς ΑΦ, οὐ ψαύσει· εἰ γὰρ ἔψαυεν, ἦν ἂν ἡ ΨΑ τῇ ΗΑ ἴση.

12

.

96

Ἔστω ἡ ΒΔ ιβ, ἡ δὲ ΒΦ δ, ἡ δὲ ΦΔ η. ἡ οὖν ΒΔ ὁ ιβ ἡμιόλιός ἐστι πρὸς τὴν ΦΔ τὸν η· ἀλλὰ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΦ, τουτέστιν ὁ ὑπὸ τοῦ ιβ καὶ τοῦ δ, μη πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΦ, ΦΒ, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τοῦ η καὶ τοῦ δ,
5τὰ λβ, ἡμιόλιόν ἐστιν. ὡς γὰρ τὰ ιβ τῶν η ἡμιόλια, οὕτως τὰ μη τῶν λβ.

12

.

97

Εἰπών, ὅτι ἡ ΑΒ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, σαφη‐ νίζων, ποίας σφαίρας, ἐπήγαγε· τῆς περὶ τὸ κέντρον τὸ Α,
ὡς εἰ ἔλεγε· τῆς σφαίρας, ἧς κέντρον ἐστὶ τὸ Α.

12

98-99t

Ad prop. 18

12

.

98

ἔστιν ἄρα ὡς p. 135, 15] ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν· ἀναλογία ἐστὶν ἡ τῶν λόγων ταυτότης. ἐτανύσθησαν οἱ λό‐ γοι, ὥσπερ ἐπὶ τῶν μεγεθῶν τὰ τοῦ αὐτοῦ τριπλάσια ἴσα ἀλλήλοις εἰσίν, οἱ τοῦ αὐτοῦ λόγου τριπλοῖ ἴσοι ἀλλήλοις
5καὶ ταὐτοί εἰσιν.

12

.

99

ὡς δὲ ἡ ΛΜΝ σφαῖρα p. 136, 7] διὰ τὸ βʹ τοῦ ιβʹ· πληρώσας γὰρ τὴν τοῦ βʹ θεωρήματος ἀπόδειξιν οὕτως
ἔδειξε τὸ προκείμενον.

13

t

In librum 13

13

.

1

Ἐν τούτῳ τῷ βιβλίῳ, τουτέστι τῷ ιγʹ, γράφεται τὰ λεγόμενα Πλάτωνος ε σχήματα, ἃ αὐτοῦ μὲν οὐκ ἔστιν, τρία δὲ τῶν προειρημένων ε σχημάτων τῶν Πυθαγορείων ἐστίν, ὅ τε κύβος καὶ ἡ πυραμὶς καὶ τὸ δωδεκάεδρον,
5Θεαιτήτου δὲ τό τε ὀκτάεδρον καὶ τὸ εἰκοσάεδρον. τὴν δὲ προσωνυμίαν ἔλαβεν Πλάτωνος διὰ τὸ μεμνῆσθαι αὐτὸν ἐν τῷ Τιμαίῳ περὶ αὐτῶν· Εὐκλείδου δὲ ἐπιγράφεται καὶ τοῦτο τὸ βιβλίον διὰ τὸ στοιχειώδη τάξιν ἐπιτεθεικέναι καὶ ἐπὶ τούτου τοῦ στοιχείου.

13

2-8t

Ad prop. 1

13

.

2

Ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα, οὕτως τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττον. αὕτη δέ ἐστιν ἄλογος· οὐχ ὑποπίπτει γὰρ ἀριθ‐ μῷ.

13

.

3

Τοῦτό ἐστι τὸ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῆναι εὐθεῖαν, ὅταν τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμή‐ ματος τετραγώνῳ ὡς ἐπὶ τῆς ἐκκειμένης εὐθείας.

13

.

4

πενταπλάσιον δύναται p. 137, 3. 4] δύναται εἶπεν,
τουτέστιν ὅτι τὸ ἀπὸ τοῦ μείζονος τμήματος μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ὅλης πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας.

13

.

5

καί ἐστι τὸ μὲν p. 137, 17] ἐπειδὴ τὸ ΑΕ τετράγωνον ὑπόκειται, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΕ. περιέχεται δὲ τὸ ΓΕ ὑπὸ τῶν ΕΒ, ΒΓ, δηλονότι ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιέχεται· ἴση γάρ, ὡς εἴρηται, ἡ ΑΒ τῇ ΒΕ.

13

.

6

εἰσὶ δὲ καὶ p. 138, 4] τὰ γὰρ παραπληρώματα ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις διὰ τὸ μγʹ τοῦ αʹ.

13

.

7

τετραπλάσιόν ἐστι p. 138, 8] τὰ γὰρ μήκει διπλάσια δυνάμει τετραπλάσια.

13

.

8

τουτέστι τὸ ΑΕ τοῦ ΔΘ. p. 138, 9] τὰ γὰρ περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρον τετράγωνά εἰσιν.

13

9-15t

Ad prop. 2

13

.

9

Τοῦτο ἀντιστρόφιον τοῦ πρὸ αὐτοῦ.

13

.

10

τετραπλάσιον ἄρα p. 139, 8] τὰ γὰρ μήκει διπλάσια δυνάμει τετραπλάσια.

13

.

11

τουτέστι τὸ ΓΗ τοῦ ΑΘ. p. 139, 9] τετράγωνα γάρ.

13

.

12

διπλάσιον ἄρα καὶ p. 139, 13] ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος.

13

.

13

ἔστιν ἄρα ὡς p. 139, 24] ἐὰν γὰρ ὦσι τρεῖς εὐθεῖαι, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν.

13

.

14

Ἡ διπλῆ τῆς ΓΑ ἢ ἴση ἐστὶ τῇ ΓΒ ἢ ἐλάσσων ἢ μείζων· ἴση δὲ ἢ ἐλάσσων οὐκ ἔστιν, ὡς δεικνύει· μείζων ἄρα ἡ διπλῆ τῆς ΓΑ τῆς ΓΒ· διὰ δʹ τοῦ βʹ βιβλίου.

13

.

15

ὅπερ ἀδύνατον p. 140, 16] τὸ γὰρ ἀπὸ τῆς ΒΑ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΓ, ΓΑ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΓ,
ΓΑ, ὡς δέδεικται ἐν τῷ δʹ θεωρήματι τοῦ βʹ βιβλίου.

13

16-18t

Ad prop. 3

13

.

16

Καὶ τὸ ἀντιστρόφιον· ἐὰν εὐθεῖα τμήματος ἑαυτῆς πενταπλάσιον δύνηται, ἡ τοῦ τμήματος διπλῆ προστεθεῖσα τῷ λοιπῷ τμήματι τὴν ὅλην ποιεῖ εἰς ἄκρον καὶ μέσον λό‐ γον τεμνομένην, καὶ τὸ μεῖζον ὄνομά ἐστιν ἡ προστεθεῖσα
5εὐθεῖα· δύναται δὲ εἶναι καὶ τὸ ἀντιστρόφιον τοῦ πρώτου.

13

.

17

τετραπλάσιον ἄρα p. 141, 7] τὰ γὰρ μήκει διπλάσια δυνάμει τετραπλάσια.

13

.

18

Ἀπεναντίον γάρ. —ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος.

13

19-22t

Ad prop. 4

13

.

19

Ἔστιν οὖν διπλάσιον εὑρεῖν ἐκ τῆς διαγωνίου, τρι‐ πλάσιον ἐκ τούτου τοῦ θεωρήματος, τετραπλάσιον ἐκ τοῦ μήκει διπλασίους εἶναι τὰς πλευράς, πενταπλάσιον ἐκ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου, ἑξαπλάσιον διὰ τοῦ τριπλασίου· ἐκεί‐
5νου γὰρ διπλάσιον ποιήσαντες ἔχομεν ἑξαπλάσιον.

13

.

20

τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν p. 142, 16] ὅταν γὰρ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης.

13

.

21

Ἄκρον γὰρ καὶ μέσον λόγον τμηθείσης τῆς ΑΒ κατὰ τὸ Γ ἁρμόττει ἐπ’ αὐτῆς τὸ ιζʹ θεώρημα τοῦ ϛʹ βι‐ βλίου τὸ λέγον· ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσι, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ
5τῆς μέσης τετραγώνῳ.

13

.

22

καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ p. 142, 21] παραπλήρωμα γάρ·
διὰ τὸ μγʹ τοῦ αʹ.

13

23-24t

Ad prop. 5

13

.

23

Ἐὰν p. 143, 13] ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, ἔσται ὡς συναμφότερος ἡ ὅλη καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα πρὸς τὴν ὅλην, οὕτως ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα.

13

.

24

ἀλλὰ τῷ μὲν ΓΕ p. 144, 3. 4] τῶν γὰρ παραπλη‐ ρωμάτων ἴσων ὄντων καὶ κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΖΕ τὸ ΓΕ τῷ ΘΕ ἴσον ἐστί.

13

25-27t

Ad prop. 8

13

.

25

ἐδείχθη ἴση p. 149, 6] ἡ αὐτὴ δεῖξις τῇ δεικνυούσῃ τὴν ὑπὸ ΕΔΓ γωνίαν ἴσην τῇ ὑπὸ ΑΒΓ ἤτοι τῇ ὑπο‐ τεταγμένῃ.

13

.

26

Ἔδειξε τοῦτο, ἐν οἷς ἄνωθεν ἔλεγεν ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΒΑΓ ἤτοι τὴν ὑπὸ ΒΑΘ τῇ ὑπὸ ΑΒΕ ἤτοι τῇ ὑπὸ ΑΒΘ.

13

.

27

ὁμοίως δὴ δείξομεν p. 149, 16] ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΓ ἴση τῇ ΒΕ, ὧν ἡ ΑΘ τῇ ΘΒ ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΘ λοιπῇ τῇ ΘΕ ἴση ἐστίν. ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΘ, ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΘ, καὶ ὡς ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΒ, ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΘΑ·
5καὶ ἡ ΑΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΘ.

13

28-29t

Ad prop. 9

13

.

28

πενταπλασίων ἄρα p. 150, 8. 9] ὅτι μὲν ἡμικύκλιόν
ἐστι τὸ ΑΓΒ, δῆλον· διάμετρος γάρ ἐστι τοῦ κύκλου ἡ ΒΑ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΓ περιφέρεια δέκατόν ἐστι μέρος τοῦ ὅλου κύκλου· δεκαγώνου γάρ ἐστι πλευρὰ ἡ ΒΓ· ἐπεὶ οὖν,
5ὡς εἴρηται, ἡ ΒΓ δέκατόν ἐστι μέρος τοῦ ὅλου κύκλου, τοῦ ἡμικυκλίου τοῦ ΑΒΓ πέμπτον ἐστίν.

13

.

29

ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΕΓ γωνία p. 150, 14] ἐκτὸς γάρ ἐστι τοῦ ΒΕΓ τριγώνου, παντὸς δὲ τριγώνου ἡ ἐκτὸς δύο ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση ἐστίν· ὥστε τῆς μιᾶς διπλασία ἐστίν.

13

30-32t

Ad prop. 10

13

.

30

ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΛΑΝ p. 153, 23] τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΚΛΑΝΒΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΒΘΝΑ γωνίᾳ ἐστὶν ἴση· ἡ γὰρ ΑΚ περιφέρεια τῇ ΚΒ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση.

13

.

31

Μᾶλλον δὲ καὶ ἡ ΒΚ εὐθεῖα τῇ ΚΑ εὐθείᾳ ἴση ἐστὶ διὰ τὸ καὶ τὰς περιφερείας ἴσας εἶναι.

13

.

32

Τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΝ καὶ ΒΑ, ΑΝ οὐδὲν ἄλλο ἐστὶν ἢ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΝ, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΝ, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΝ
5ἴσον δέδεικται τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΚ, συμπέρασμα, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΚ.

13

33-42t

Ad prop. 11

13

.

33

Ζήτει τὴν ἐλάσσονα ἐν τῷ ϙε τοῦ ιʹ.

13

.

34

ῥητὴ δὲ ἡ ΑΖ· p. 155, 4] ῥητὴ ἡ ΑΖ, ὅτι ἡμίσεια τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου, ἡ δὲ ὑπόκειται ῥητή· τοῦτο δὲ
διὰ τὸ ϛʹ τοῦ ιʹ.

13

.

35

ὧν ἡ ΑΒΓ p. 155, 6. 7] ἀμφότερα γὰρ τὰ τμή‐ ματα ὑπὸ ἴσων δύο πλευρῶν τοῦ πενταγώνου ἀποτέμνον‐ ται.

13

.

36

καὶ διπλῆ ἡ ΓΔ τῆς ΓΛ p. 155, 9] συναχθήσεται οὕτως· ἐὰν ἐπιζευχθῇ ἡ ΑΔ, ἴση ἔσται τῇ ΑΓ· τὰς γὰρ ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν. ἀλλὰ καὶ αἱ πρὸς τῷ Α γωνίαι ἴσαι ἔσονται· ἐπὶ γὰρ ἴσων περιφερειῶν
5τῶν ΓΗ, ΗΔ βεβήκασιν. ἔστι δὲ κοινὴ ἡ ΑΛ. ὥστε δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΓΛ, ΑΛΔ τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὰς ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένας γωνίας ἴσας· καὶ τὴν βάσιν ἄρα τῇ βάσει ἴσην ἕξουσι καὶ τὰς λοιπὰς γωνίας ταῖς λοιπαῖς
10γωνίαις. ὥστε ἴσαι ἔσονται αἱ πρὸς τῷ Λ γωνίαι ἀλλήλαις. ἴσαι δὲ καὶ αἱ ΓΛ, ΛΔ βάσεις· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΓΔ τῆς ΓΛ.

13

.

37

ὡς δὲ ἡ τῆς ΜΖ διπλῆ p. 156, 5] τοῦτο δῆλον· ὡς γὰρ ἡ διπλῆ πρὸς τὴν ὅλην, οὕτως ἡ ἁπλῆ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς ὅλης. ἔστω γὰρ λόγου χάριν ἡ ΜΖ ιβ, ἡ δὲ ΖΑ ϛ· ὡς οὖν τὰ κδ τὰ διπλάσια τῶν ιβ πρὸς τὰ ϛ, οὕτως
5τὰ ιβ πρὸς τὰ γ τὰ ἡμίση τῶν ϛ.

13

.

38

πενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ p. 157, 6. 7] ἔστω ἡ ΖΚ δίπους, ἡ δὲ ΒΖ ὀκτάπους· τετραπλασία ἄρα ἡ ὀκτάπους τῆς δίποδος. καὶ ἐπεὶ ὀκτάπους μέν ἐστιν ἡ ΒΖ, δίπους δὲ ἡ ΖΚ, ὅλη ἄρα ἡ ΒΚ δεκάπους ἐστίν. πενταπλασία ἄρα ἡ
5δεκάπους ἐστὶ τῆς ΖΚ τῆς δίποδος. ἔστι δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τετράγωνον τῆς δεκάποδος ἑκατοντάπουν, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΖΚ τῆς δίποδος τετράπουν, τὸ δὲ ἑκατοντάπουν
εἰκοσιπενταπλάσιόν ἐστι τοῦ τετράποδος. καὶ ἐπεὶ πεντα‐ πλάσιον ἐν τῷ παρόντι θεωρήματι προαποδέδεικται τὸ
10ἀπὸ τῆς ΜΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΚ, ἔστι δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΚ τετράπουν, τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ τὸ πενταπλάσιον αὐτοῦ ἔσται εἰκοσάπουν. ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ ἑκατοντάπουν ὂν πεν‐ ταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΚ εἰκοσάποδος.

13

.

39

Εὐλόγως πενταπλάσιον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΜ. τοῦ γὰρ ΖΚ τὸ ΚΜ πενταπλάσιον, οὗ ΖΚ εἰκοσιπενταπλάσιον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ. λείπεται ἄρα πεν‐ ταπλάσιον εἶναι τοῦ οὗ μέρος γίνεται τὸ εἰκοσιπενταπλά‐
5σιον ἤτοι τὸ ΖΚ ἤτοι τοῦ ΚΜ.

13

.

40

λόγον οὐκ ἔχει p. 157, 8] οὐδὲ γὰρ ἔστιν εὑρεῖν ἀριθμὸν τετράγωνον τετραγώνου πενταπλάσιον.

13

.

41

ἀναστρέψαντι ἄρα p. 157, 22] ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΜ, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ δηλονότι τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΜ τέσσαρσιν ὑπερέχει. εἰ οὖν ἀναστρέψομεν, ἔσται τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ν
5μονάδι ὑπερέχον. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς Ν ὑπερεῖχε τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΜ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΚ. εἰ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πέντε ἐστί, καὶ μονάδι ἔλαττόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς Ν τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΚ, τὸ ἀπὸ τῆς Ν πάντως τέσσαρα ἔσται. ὥστε λόγον ἕξει τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ν, ὃν πέντε πρὸς δ. ἀναστροφὴ
10δὲ λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὴν ὑπεροχήν, ᾗ ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου.

13

.

42

ἰσογώνιον γίνεσθαι p. 158, 11] ἔσται ἰσογώνια οὕτως· εἰ γὰρ ἐπιζεύξομεν τὴν ΑΘ, ὀρθὴ ἔσται ἡ πρὸς τῷ Α γωνία ὡς ἐν ἡμικυκλίῳ οὖσα. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΜΒ γωνία ὀρθή· ἐδείχθη γάρ· καὶ κοινὴ τῶν δύο τρι‐
5γώνων ἡ πρὸς τῷ Β· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΘΒ λοιπῇ
τῇ ὑπὸ ΒΑΜ ἴση ἐστίν.

13

43-45t

Ad prop. 12

13

.

43

Λῆμμα εἰς τὸ ιβʹ θεώρημα πρῶτον τόδε· Ἔστω τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ. λέγω, ὅτι τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλου γραφομένου τὸ κέντρον ἐντός ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ἔστω
5πρότερον ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ [Omitted graphic marker] ΑΔ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ. ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΔ τῇ
10ὑπὸ ΔΑΒ ἴση ἐστίν. ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση· ἰσόπλευρον γὰρ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ἄρα τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ἴση, ἡ μείζων τῇ ἐλάσ‐
15σονι· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα τὸ κέν‐ τρον τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλου ἐστὶν ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν. λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐκτός. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΒΕ. ἐπεὶ οὖν πάλιν τὸ Ε κέντρον ἐστὶ τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλου, ἴση
20ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ. ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΒ τῇ ὑπὸ ΑΒΕ ἐστιν ἴση. καί ἐστι μείζων ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῆς ὑπὸ ΑΒΓ. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ τῆς ὑπὸ ΑΒΓ μείζων ἐστίν. ἀλλὰ τῆς ὑπὸ ΒΑΕ μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ· πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῆς ὑπὸ ΑΒΓ μείζων. ἀλλὰ καὶ ἴση· ἰσό‐
25πλευρον γὰρ ὑπόκειται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. οὐκ ἄρα οὐδὲ ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ κέντρον τοῦ κύκλου. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν. ἐντὸς ἄρα·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

13

.

44

Δεύτερον λῆμμα. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ κάθετος ἡ ΑΔ ἐπὶ τὴν ΒΓ καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΔΑ. λέγω, ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία. ἐπεὶ γὰρ τὸ
5ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΑ τετραγώνῳ, καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ [Omitted graphic marker] ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ἀπὸ τῆς ΔΑ. κοινὰ προσκείσθω τὰ ἀπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ τετράγωνα· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ, ἴσον
10ἐστὶ τῷ τε δὶς ἀπὸ τῆς ΑΔ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ. ἀλλὰ τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσα τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις. ἐὰν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἴσον ᾖ τοῖς ἀπὸ τῶν
15ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις, ὀρθὴ ἔσται ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

13

.

45

Τρίτον λῆμμα. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γω‐ νίαν. λέγω, ὅτι τὸ ἐπὶ τῆς ΒΓ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Α σημείου. τετμήσθω γὰρ ἡ ΒΓ δίχα
5κατὰ τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ, καὶ διὰ τοῦ Δ τῇ ΑΒ
παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΕ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΓ, [Omitted graphic marker] καὶ παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΔΕΓ. ἐπεὶ οὖν
10ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΓ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΔ, βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΔΓ ἐστιν ἴση. ἀλλὰ ἡ ΔΓ τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ΑΔ ἄρα τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση. αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΓΔ, ΔΑ, ΔΒ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν
15τῷ Δ, διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΔΒ, ΔΑ, ΔΓ κύκλος γρα‐ φόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Α σημείου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

13

46-48t

Ad prop. 13

13

.

46

καὶ ἐπεί ἐστιν p. 161, 17] πόθεν φαίνεται, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΓΒ; εἰ γὰρ ἐπι‐ ζεύξομεν τὴν ΔΒ, ἴση ἔσται ἡ ὑπὸ ΑΔΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΓΔ· ὀρθὴ γὰρ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΔΒ ὡς ἐν ἡμικυκλίῳ οὖσα.
5καὶ κοινὴ τῶν β τριγώνων τοῦ τε ΑΓΔ καὶ τοῦ ΑΔΒ ἡ πρὸς τῷ Α γωνία. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ ἐστιν ἴση. εἰ οὖν ἡ ὑπὸ ΑΔΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΔ ἐστιν ἴση, εἰσὶ δὲ καὶ αἱ πρὸς τῷ Γ ἐφεξῆς γωνίαι ὀρθαὶ καὶ διὰ τοῦτο ἴσαι, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Α γω‐
10νία λοιπῇ τῇ τοῦ ΓΔΒ τριγώνου. ἀνάλογον ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΓΒ, ὡς ἐν τῷ δʹ τοῦ ϛʹ δέδεικται.

13

.

47

ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ε p. 162, 2] εἰ γὰρ οὐχ ἥξει διὰ τοῦ Ε, συμβαίνει ἄτοπον· ἡ ἐκτὸς γωνία ἴση γὰρ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τοῦ τριγώνου.

13

.

48

διὰ τὸ ἰσογώνιον γίνεσθαι p. 162, 4] ἰσογώνια γί‐
νονται τὰ τρίγωνα διὰ τὸ ϛʹ τοῦ ϛʹ. πόθεν δὲ δῆλον, ὅτι ὀρθογωνίου γινομένου τοῦ ΚΕΛ τριγώνου τὸ ἐπὶ τῆς ΚΛ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει διὰ τῆς πρὸς τῷ Ε ὀρθῆς
5γωνίας; ἡ μὲν γὰρ ἐν ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθή ἐστιν, ἄδηλον δέ, εἰ καὶ ἀντιστρέφει. φαμὲν οὖν οὕτως· ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν. λέγω, ὅτι τὸ ἐπὶ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευ‐ ρᾶς τῆς ΑΓ γραφόμενον ἡμικύκλιον διὰ τοῦ Β ἐλεύσεται.
10εἰ γὰρ μὴ δι’ αὐτοῦ ἔλθοι, εἴτε ὑπερβαλεῖ πάντως τὸ Β καὶ ὑπεράνω τῆς πρὸς τῷ Β ὀρθῆς γωνίας πεσεῖται εἴτε ἐλλείψει καὶ τεμεῖ τὰς ΑΒ, ΒΓ εὐθείας. ὑπερβαλέτω πρό‐ τερον καὶ πιπτέτω ἐκτὸς τοῦ Β σημείου ὡς τὸ ΑΔΓ ἡμικύκλιον, καὶ ἤχθω ἐπ’ εὐθείας τῇ ΑΒ εὐθεῖα ἡ ΒΔ,
15καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ [Omitted graphic marker] γωνία, ὀρθή ἐστι καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΓ ἐφεξῆς αὐτῇ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΔΓ γωνία ὀρθὴ καὶ ἐν ἡμικυκλίῳ οὖσα. τρι‐ γώνου δὴ τοῦ ΔΒΓ αἱ β γωνίαι δύο ὀρθῶν οὐκ εἰσὶν ἐλάσσονες· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ γρα‐
20φόμενον ἡμικύκλιον ὑπερβαλεῖ τὴν πρὸς τῷ Β ὀρθὴν γω‐ νίαν. ἀλλὰ δὴ ἐλλειπέτω τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ γραφόμενον ἡμι‐ κύκλιον ὡς τὸ ΑΕΖΓ, καὶ τεμνέτω τὰς ΑΒ, ΒΓ εὐθείας κατὰ τὰ Ε, Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία ὀρθή ἐστι· ὑπόκειται γάρ· ἔστι δὲ ὀρθὴ καὶ ἡ ὑπὸ
25ΒΕΓ ἐφεξῆς οὖσα τῇ ὑπὸ ΑΕΓ ὀρθῇ ἐν ἡμικυκλίῳ
οὔσῃ· ὥστε τριγώνου τοῦ ΒΕΓ ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΓ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΕΒΓ· ἀλλὰ καὶ μείζων ἀναγκάζεται εἶναι· ὅπερ ἄτοπον. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ γραφόμενον ἡμικύκλιον οὔτε ὑπὲρ τὸ Β οἷόν τε
30ἐλθεῖν οὔτε ἐλλεῖψαι καὶ τὸ τρίγωνον τεμεῖν, ὥστε διὰ τοῦ Β ἐλεύσεται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

13

49-51t

Ad prop. 14

13

.

49

σφαίρᾳ περιλαβεῖν p. 165, 9] περίληψις συναποδει‐ κνυμένην ἔχουσα τὴν σύγκρισιν τῆς διαμέτρου τοῦ περι‐ λαμβάνοντος πρὸς τὴν πλευρὰν τοῦ περιλαμβανομένου.

13

.

50

τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΜ p. 165, 21] ἰσόπλευρον ἀπ‐ εδείχθη τὸ ΛΕΘ τρίγωνον, τούτου δὲ ὄντος, ἐπειδὴ ἡ ΔΒ ἴση κεῖται τῇ ΕΘ, ἡ δὲ ΕΘ ἴση ἐστὶ τῇ ΛΕ διὰ τὸ τὸ τρίγωνον εἶναι ἰσόπλευρον, καὶ ἡ ΔΒ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ ΛΕ.
5καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἴση ἐστὶ τῇ ΛΜ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΛΕ, ἔστι δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΒ, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΜΛ ἄρα διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΕ. ἔστι δὲ ἡ ΜΛ διάμετρος τῆς σφαίρας, ἡ δὲ ΛΕ πλευρὰ τοῦ ὀκτα‐ έδρου· ἡ διάμετρος ἄρα ἡ ΛΜ δυνάμει διπλασίων ἐστὶ τῆς
10ΛΕ πλευρᾶς.

13

.

51

ὡς δὲ ἡ ΑΒ p. 165, 23] πόθεν, ὅτι ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ; καὶ λέγομεν, ὅτι ἐπιζευγνυμένης τῆς ΑΔ ὀρθογώνιον γίνεται τὸ ΑΔΒ τρίγωνον· καὶ ἀπὸ τῆς πρὸς τῷ Δ γωνίας κάθετος
5ἐπὶ τὴν ΑΒ βάσιν ἦκται ἡ ΔΓ, ὡς γίνεσθαι διὰ τὸ πόρισμα τοῦ ηʹ τοῦ ϛʹ τῆς ΑΒ βάσεως καὶ τοῦ ἑνὸς τῶν τῆς βάσεως τμημάτων τὴν πρὸς τῷ τμήματι πλευρὰν μέσην ἀνάλογον τὴν ΔΒ· ὥστε ἔσται ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ ἤγουν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης τῆς
10ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τῆς ΔΒ ὡς ἐν τῷ πορίσματι
τοῦ κʹ τοῦ ϛʹ φησίν.

13

52-54t

Ad prop. 15

13

.

52

Διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν ὑπὸ ΚΕΗ γωνίαν· ὅτι δὲ ἥξει, ἐν τῷ ιγʹ διὰ σχολίου ἀπεδείχθη.

13

.

53

ὥστε καὶ ἐὰν p. 167, 21] ἐπιζευγνυμένης τῆς ΖΚ ὀρθὴ γίνεται ἡ ὑπὸ ΖΚΗ γωνία· ὀρθὴ δὲ διὰ τὴν ΗΖ ὀρθὴν οὖσαν πρὸς τὸ ΖΚ ἐπίπεδον καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ αὐτῷ ἐπι‐
5πέδῳ ὀρθὰς ποιεῖν γωνίας.

13

.

54

ὡς δὲ ἡ ΑΒ p. 168, 7] τοῦτο ἐν τῷ πρὸ τούτου ἐδεί‐ χθη διὰ σχολίου, ὃ καὶ ἐν τῇ ἀρχῇ τοῦ κατ... κεῖται, ὅτι διὰ τὸ πόρισμα τοῦ ηʹ τοῦ ϛʹ καὶ τοῦ κʹ τοῦ ϛʹ.

13

55-61t

Ad prop. 16

13

.

55

τὸ ΛΜΝΞΟ p. 169, 8] ΛΜΝΞΟ τὰς ΛΜ, ΜΝ, ΝΞ, ΞΟ, ΟΛ λέγει, καί εἰσι τοῦ μὲν προτέρου πενταγώ‐ νου πλευραὶ αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΕ. ἐδήλωσε δὲ τὴν μὲν ΕΖ διὰ τοῦ Ε, τὴν δὲ ΖΗ διὰ τοῦ Ζ, τὴν δὲ ΗΘ διὰ
5τοῦ Η, τὴν δὲ ΘΚ διὰ τοῦ Θ, τὴν δὲ ΚΕ διὰ τοῦ Κ. καὶ τοῦ μὲν προτέρου πενταγώνου αὗται, τοῦ δὲ δευτέρου αἱ ΛΜ, ΜΝ, ΝΞ, ΞΟ, ΟΛ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΟΛ πενταγώνου ἐστὶ πλευρά, ἡμίσεια δὲ αὐτῆς ἡ ΕΟ, ἡ ΟΕ ἄρα δεκαγώνου ἐστὶ πλευρά.

13

.

56

καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου p. 169, 25] ἴση γὰρ ὑπόκειται τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου.

13

.

57

Ἐπεὶ δέδοται ἡ ΠΕ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, ἑξαγώ‐ νου ἄρα ἐστὶ πλευρὰ διὰ πόρισμα τοῦ ιεʹ τοῦ δʹ.

13

.

58

καὶ τὸ μεῖζον p. 171, 19. 20] ἡ γὰρ ΦΧ ἑξαγώνου ἐστὶ πλευρά, ἡ δὲ ΧΩ δεκαγώνου, μείζων δὲ ἡ τοῦ ἑξαγώ‐
νου τῆς τοῦ δεκαγώνου.

13

.

59

ἴση δὲ ἡ μὲν ΩΦ p. 172, 2] ἐπειδὴ ἡ ΩΧ καὶ ἡ ΦΨ ἴσαι εἰσί· δεκαγώνου γάρ εἰσι πλευραὶ τοῦ εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένου· κοινὴ δὲ ἡ ΦΧ, ἡ ΩΦ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ ΧΨ.

13

.

60

Ἀμφότεραι γὰρ δεκαγώνου τοῦ εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένου, κοινὴ δὲ ἡ ΦΧ· ἡ ΩΦ ἄρα τῇ ΧΨ ἐστιν ἴση.

13

.

61

πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ p. 172, 18] ἐπεὶ πεντα‐ πλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΩΑʹ τοῦ ἀπὸ τῆς ΧΑʹ, ἔστι δὲ τῆς ΩΑʹ διπλῆ ἡ ΩΨ, τῆς δὲ ΧΑʹ διπλῆ ἡ ΧΦ, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΩΨ ἄρα πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΧΦ. εἰ
5γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ἁπλῆς πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ἁπλῆς, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς διπλῆς πενταπλάσιον ἔσται τοῦ ἀπὸ τῆς διπλῆς· οἷον εἰ τὰ πέντε πενταπλάσιά ἐστι τοῦ ἑνός, καὶ τὰ δέκα τὰ διπλάσια τῶν πέντε πενταπλάσια ἔσται τῶν δύο τῶν διπλασίων τοῦ ἑνός.

13

62-69t

Ad prop. 17

13

.

62

ἔστι δὲ καὶ ἡ ΦΥ p. 175, 24] παραλληλόγραμμον γάρ ἐστι τὸ ΡΣΦΥ χωρίον, τῶν δὲ παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι τε καὶ πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ ΣΡ τῇ ΦΥ. διπλῆ δὲ ἡ ΣΡ τῆς
5ΟΡ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΦΥ τῆς ΟΡ. ἴση δὲ ὑπόκειται ἡ ΟΡ τῇ ΡΥ· διπλῆ ἄρα ἡ ΦΥ τῆς ΡΥ.

13

.

63

ὁμοίως δὴ δειχθήσεται p. 176, 2] δειχθήσεται δὲ ἑκατέρα τῶν ΒΧ, ΧΓ ἴση ἑκατέρᾳ τῶν ΒΥ, ΥΦ οὕτως· ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τῶν Β, Γ σημείων ἐπὶ τὸ Τ αἱ ΒΤ, ΓΤ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΠΘ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ
5τὸ Τ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστι τὸ ΠΤ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΠΘ, ΘΤ τριπλάσια τοῦ ἀπὸ ΠΤ. ἡ δὲ ΠΘ ἑκατέρᾳ τῶν ΒΘ, ΘΓ ἴση ἐστίν, ἡ δὲ ΠΤ τῇ ΤΧ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΘ, ΘΤ τριπλάσια τοῦ ἀπὸ ΤΧ. ὁμοίως καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΘ, ΘΓ τριπλάσια τοῦ ἀπὸ ΤΧ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΘ,
10ΘΤ ἴσα τῷ ἀπὸ ΒΤ· ὁμοίως καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΘ, ΘΤ ἴσα τῷ ἀπὸ ΓΤ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΤ τριπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΤΧ· ὁμοίως καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΤ τριπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΤΧ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΤ, ΤΧ τετραπλάσια τοῦ ἀπὸ ΤΧ. ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΤ, ΤΧ ἴσον τὸ ἀπὸ ΒΧ· ὡσαύτως καὶ τοῖς
15ἀπὸ τῶν ΓΤ, ΤΧ ἴσον τὸ ἀπὸ ΓΧ. τὸ ἄρα ἀφ’ ἑκατέρας τῶν ΒΧ, ΓΧ τετραπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΤΧ. διπλῆ ἄρα ἑκα‐ τέρα τῶν ΒΧ, ΓΧ τῆς ΧΤ. ἀλλὰ ἡ ΧΤ ἴση τῇ ΥΡ· ἴση ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΧ, ΓΧ ἑκατέρᾳ τῶν ΒΥ, ΥΦ. ὁμοίως δὴ καὶ τὴν ΦΓ δείξομεν ἴσην ταῖς τέτρασιν ἐπι‐
20ζεύξαντες τὴν ΣΓ καὶ λαβόντες εἰς τὴν ἀπόδειξιν τὴν ΞΓ ἴσην τῇ ΟΞ. ἴσαι ἄρα πᾶσαι αἱ τοῦ πενταγώνου πλευραί εἰσι πρὸς ἀλλήλας. ἕξομεν δὲ καὶ τὴν ὑπὸ ΥΦΓ γωνίαν ἴσην τῇ ὑπὸ ΒΧΓ, εἰ λάβοιμεν ἀντὶ τῆς ΝΣ τὴν ΟΞ καὶ ἐπιζεύξαιμεν τὴν ΡΓ, ΥΓ καὶ τοῖς ῥηθεῖσιν ἐπὶ
25τῇ ἀποδείξει τοῦ ἴσας εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Υ, Χ γωνίας καὶ ἡμεῖς χρησαίμεθα.

13

.

64

Ἐπεὶ γὰρ ἑκατέρα τῶν ΥΦ, ΒΓ τῇ ΡΣ ἐστι παράλ‐ ληλος, καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι διὰ τὸ θʹ τοῦ ιαʹ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΨΧ καὶ ἡ ΒΓ τέμνουσιν ἀλλήλας, ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ διὰ τὸ δεύτερον τοῦ ιαʹ· ἐν δὲ τῷ δι’ αὐτῶν ἐπι‐
5πέδῳ τὸ πεντάγωνόν ἐστιν· ἐν ἑνὶ ἄρα ἐστὶν ἐπιπέδῳ τὸ πεντάγωνον.

13

.

65

Σχόλιον. διὰ βʹ τοῦ ιαʹ δεῖ ἐπιζεῦξαι καὶ τὰς ΧΥ, ΥΦ εὐθείας διὰ ιηʹ τοῦ ιαʹ τελέως ἀποδεῖξαι τὸ πεντά‐ γωνον ἐν ἑνὶ ὂν ἐπιπέδῳ ἢ διὰ αʹ τοῦ ιαʹ.

13

.

66

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσι, παράλληλοί εἰσιν αἱ εὐθεῖαι διὰ ϛʹ τοῦ ιαʹ. αἱ ΡΥ, ΣΦ εὐθεῖαι παράλληλοι ἀλλήλαις εἰσίν. εἰσὶ δὲ καὶ ἴσαι .... αὐταῖς τὰς ΡΟ, ΟΣ ἀλλήλαις εἶναι· αὗται δὲ ἴσαι εἰσὶ διὰ
5αʹ τοῦ ιγʹ. καὶ αἱ ΥΦ, ΡΣ ἴσαι καὶ παράλληλοί εἰσι. παράλληλος δὲ ἡ ΡΣ τῇ ΒΓ· καὶ ἡ ΥΦ ἄρα τῇ ΒΓ παρ‐ άλληλός ἐστι διὰ θʹ τοῦ ιαʹ, καὶ αἱ ΒΥ, ΓΦ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ εἰσὶ ταῖς ΥΦ, ΒΓ παραλλήλοις· τὸ ΡΒΓΦ ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.

13

.

67

ἴση δὲ ἡ μὲν ΝΣ p. 178, 23] δείκνυσι τὴν ΨΩ ἴσην τῇ ΝΣ οὕτως· ἐπειδὴ ἡ ΟΩ ἡμίσειά ἐστι τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου, ἔστι δὲ ἡμίσεια τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου καὶ ἡ ΝΟ, αἱ ΝΟ καὶ ΟΩ ἴσαι εἰσίν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΨΟ· ὑπό‐
5κειται γὰρ τοῦτο· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΨΟ τῇ ΟΣ ἴση· τοῖς δὲ ἴσοις ἴσα ἂν προστεθῇ, τὰ ὅλα ἴσα ἐστίν. ἴση ἄρα ἡ ΝΣ τῇ ΨΩ. ἔστιν οὖν, ὡς εἴρηται, ἡ ΝΟ τῇ ΟΩ ἴση, ἡ δὲ ΨΟ τῇ ΟΣ ἴση, καὶ αἱ ΨΟ, ΟΩ ἴσαι εἰσὶ ταῖς ΝΟ, ΟΣ ἤτοι ἡ ΨΩ τῇ ΝΣ.

13

.

68

τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν p. 178, 25] ἐπειδὴ τὰ ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΟ τριπλάσιά εἰσι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ, ἐδείχθη δὲ ἡ ΨΩ τῇ ΝΣ ἴση, ἡ δὲ ΣΟ τῇ ΨΥ ἴση, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΩΨ, ΨΥ τριπλάσιά εἰσι τοῦ ἀπὸ τῆς ΟΝ. ῥητέον οὖν οὕτως·
5τὰ ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΟ, τουτέστι τὰ ἀπὸ τῶν ΩΨ, ΨΥ, τρι‐ πλάσιά εἰσι τοῦ ἀπὸ τῆς ΟΝ.

13

.

69

ἐὰν δὲ ῥητὴ γραμμὴ p. 180, 10] ῥητὴ γὰρ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω μεῖζον τὸ ΑΓ. προσκείσθω δὲ ἡ ΑΔ ἡμίσεια τῆς ΑΒ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιον τὸ ἀπὸ ΓΔ
5τοῦ ἀπὸ ΔΑ, αἱ ΓΔ, ΔΑ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον [Omitted graphic marker] σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἡ ΑΓ. ῥητὴ δὲ ἡ ΑΒ· τὸ δὲ ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀπο‐ τομήν· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΓ, ΓΒ ἀποτομή ἐστιν, προσαρμόζουσα δὲ τῆς μὲν ΑΓ ἡ ΑΔ,
10τῆς δὲ ΓΒ ἡ ΓΔ.

13

70-82t

Ad prop. 18

13

.

70

Ἔστω ἡ ΑΒ ιβ· αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ϛ εἰσι· διπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ τῆς ΓΒ. πάλιν ἔστω ἡ ΑΔ ὀκτώ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΒ δ ἐστι. καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΒ ϛ ἐστι, ἡ δὲ ΔΒ δ, ἡ ΔΓ ἄρα β ἐστι· ἡ ΔΒ ἄρα ἡ δ τῆς ΔΓ τῆς β διπλῆ ἐστι.

13

.

71

ὡς δὲ ἡ ΒΑ p. 181, 8] ἴση γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΖΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΔΖ· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα. καὶ διὰ τὸ εἶναι ἰσογώνια ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΖ, οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΑΔ. καί εἰσι πρώτη μὲν ἡ ΒΑ, δευτέρα ἡ ΑΖ
5καὶ τρίτη ἡ ΑΔ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας.

13

.

72

ἴση δὲ ἡ ΘΓ p. 182, 12] ἄκουσον, διότι ἴση ἡ ΘΓ τῇ ΓΒ. δίχα γὰρ τέτμηται ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Γ σημεῖον· ὥστε τὸ Γ κέντρον ἐστὶ τοῦ ἡμικυκλίου τοῦ ΑΕΒ. αἱ δὲ ἀπὸ τοῦ κέντρου πρὸς τὴν περιφέρειαν ἴσαι· ἴση ἄρα ἡ
5ΓΘ τῇ ΓΑ· ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΓΒ· καὶ ἡ ΓΘ ἄρα τῇ ΓΒ ἴση ἐστί.

13

.

73

λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΔ p. 182, 14] ἔστω ἡ ΑΒ δωδεκά‐ πους· αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ἑξάποδές εἰσι· διπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ τῆς ΓΒ. πάλιν ἔστω ἡ ΑΔ ὀκτάπους· λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΒ τετρά‐ πους ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΓ ἑξάπους ἐστί, ἡ δὲ ΔΒ τετρά‐
5πους, ἡ ΔΓ ἄρα δίπους ἐστίν. ἡ ΒΔ ἄρα ἡ τετράπους τῆς
ΔΓ τῆς δίποδος διπλῆ ἐστιν.

13

.

74

ἡ ΝΒ ἄρα δωδεκαέδρου p. 183, 17] ἡ γὰρ τοῦ κύ‐ βου πλευρὰ δωδεκαέδρου ἦν, ἀλλὰ καὶ ἄκρον καὶ μέσον λόγον ἐτέμνετο.

13

.

75

Ὥστε μεγίστη μὲν ἡ τῆς πυραμίδος πλευρά, ταύτῃ δὲ ἑξῆς ἡ τοῦ ὀκταέδρου καὶ μετ’ αὐτὴν ἡ τοῦ κύβου καὶ μετ’ αὐτὴν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ μετ’ αὐτὴν ἡ τοῦ δωδε‐ καέδρου.

13

.

76

ἡμιολία p. 183, 26] τὰ γὰρ ϛ τοῦ δ ἡμιόλια.

13

.

77

Ἡ μείζων πλευρὰ τὴν μείζονα γωνίαν ὑποτείνει. καὶ ἐπεὶ ἡ ΜΒ τὴν ὑπὸ ΜΛΒ γωνίαν ὑποτείνει, ἡ δὲ ΜΛ τὴν ὑπὸ ΜΒΛ, μείζων δὲ ἡ ὑπὸ ΜΛΒ τῆς ὑπὸ ΜΒΛ, μείζων ἄρα καὶ ἡ ΜΒ τῆς ΜΛ. ἀλλὰ πόθεν δῆλον, ὅτι ἡ
5ὑπὸ ΜΛΒ γωνία μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΜΒΛ; ἢ ἐπειδὴ τοῦ τριγώνου τοῦ ΜΛΒ αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ἔστι δὲ ἡ ὑπὸ ΜΛΒ ὀρθή· ἡ ὑπὸ ΜΒΛ ἄρα ἐλάττων ὀρθῆς ἐστιν.

13

.

78

Ἔστω ἡ ὀρθὴ μοίρας μιᾶς· δῆλον δή, ὅτι λεπτῶν ἐστιν ξ. ἐπεὶ οὖν αἱ τρεῖς τοῦ τριγώνου δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, αἱ δὲ δύο ὀρθαὶ ρκ λεπτῶν εἰσιν, ἑκάστη τῶν τριῶν γω‐ νιῶν ἀνὰ μ ἔσται λεπτῶν. τὰ δὲ μ λεπτὰ δίμοιρόν εἰσι τῶν
5ξ λεπτῶν ἤτοι τῆς μοίρας. ἐπεὶ γὰρ τὰ κ τρίτον εἰσὶ τῶν ξ, τὰ μ δίμοιρόν ἐστι τῶν ξ.

13

.

79

Ἄκρον γὰρ καὶ μέσον λόγον τέτμηται ἡ ΒΖ κατὰ τὸ Ν, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης.

13

.

80

Σφαῖρα ϛ πυραμίς δ ὀκτάεδρον γ κύβος β.

13

.

81

Πυραμίδα τῷ πυρί, ὀκτάεδρον ἀέρι, κύβον τῇ γῇ, εἰκοσάεδρον ὕδατι, δωδεκάεδρον τῷ παντί.

13

.

82

Τί ἐστι τὸ κατὰ ἀνάλυσιν; ὅταν προβλήματος δο‐ θέντος λάβῃ τις τὸ ζητούμενον ὡς εὑρημένον καὶ ἀναλύσῃ ἐπί τι γνώριμον τῶν ἤδη προαποδεδειγμένων, καὶ ὅταν εὕρῃ, λελύσθαι λέγεται τότε τὸ πρόβλημα κατὰ ἀνάλυ‐
5σιν:~ Τί ἐστι τὸ κατὰ σύνθεσιν; ὅταν τις ἀπὸ τῶν γνωρί‐
μων ἀρξάμενος καὶ συνθεὶς εὕρηται τὸ ζητούμενον.

apndx 1,14

t

Appendix scholiorum I In librum 14

apndx 1,14

1

καὶ κείσθω τῇ ΕΖ p. 2, 24] ἡ γὰρ ΔΕ μείζων τῆς ΕΖ. ὅτι δὲ μείζων ἡ ΔΕ τῆς ΕΖ, δῆλον ἐκ τοῦ δύνασθαι τὴν μὲν ΔΓ ἑξαγώνου πλευρὰν οὖσαν τὰ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΓ, τὴν δὲ ΖΓ δεκαγώνου οὖσαν τὰ ἀπὸ τῶν ΖΕ, ΕΓ.
5ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΓ μείζων τῆς ΖΓ, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΓ μείζονά εἰσι τῶν ἀπὸ τῶν ΖΕ, ΕΓ, καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέν‐ τος τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ μεῖζον τὸ ἀπὸ τῆς ΔΕ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ· ὥστε καὶ ἡ ΔΕ τῆς ΕΖ μείζων ἐστίν.

apndx 1,14

2

καὶ ἡ ΑΓΖ ἄρα περιφέρεια p. 3, 5] ὡς τὸ ὅλον πρὸς τὸ ὅλον, οὕτως καὶ τὸ ἥμισυ πρὸς τὸ ἥμισυ.

apndx 1,14

3

ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΖΓ, p. 3, 6. 7] διὰ τὸ λγʹ τοῦ ἕκτου τὸ λέγον· ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν λόγον ἔχουσι ταῖς περιφερείαις, ἐφ’ ὧν βεβήκασι.

apndx 1,14

4

διπλῆ δὲ p. 3, 8] διὰ τὸ εἶναι τὸ ΖΔΓ τρίγωνον ἰσοσκελές· ἐπεὶ δὲ παντὸς τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον, αὗται δὲ ἴσαι αἱ πρὸς τῷ Ζ καὶ Γ, διπλῆ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΔΓ τῆς πρὸς τῷ Ζ γω‐
5νίας.

apndx 1,14

5

διπλῆ ἄρα p. 3, 9] διὰ τὸ τὰ ὑποδιπλάσιά τινος δι‐ πλάσια εἶναι τοῦ ὑποτετραπλασίου ἐκείνου.

apndx 1,14

6

ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΖΓ p. 3, 10] δύο γὰρ τρίγωνα τὰ ΗΓΕ, ΕΓΖ τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχει καὶ τὰς πρὸς τῷ Ε γωνίας ἴσας· ὀρθαὶ γάρ· καὶ τὴν
βάσιν τῇ βάσει ἴσην ἕξει ἤτοι τὴν ΗΓ τῇ ΓΖ καὶ τὰς
5γωνίας τὰς πρὸς τῷ Η καὶ Ζ ἴσας, ὑφ’ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσι.

apndx 1,14

7

ἴση ἄρα καὶ ἡ ΔΗ τῇ ΖΓ. p. 3, 12] τριγώνου γὰρ τοῦ ΗΔΓ ἐκτός ἐστι γωνία ἡ ὑπὸ ΕΗΓ, καί ἐστιν ἴση δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἤτοι ταῖς πρὸς τῷ Δ καὶ Γ. ἔστι δὲ τῆς πρὸς τῷ Δ διπλῆ· καὶ τῆς πρὸς τῷ Γ ἄρα. ἴση
5ἄρα ἡ πρὸς τῷ Δ τῇ πρὸς τῷ Γ· ἴση ἄρα ἡ ΔΗ πλευρὰ τῇ ΗΓ.

apndx 1,14

8

Ἐπεὶ γὰρ κάθετος ὑπόκειται ἡ ΔΖ ἐπὶ τὴν ΒΓ, ἡ ΑΖ ἄρα ἐκβληθεῖσα ἐπὶ τὸ Ε ὀρθὰς ποιήσει καὶ τὰς ὑπὸ [Omitted graphic marker] ΒΖΕ, ΓΖΕ· ἐὰν γὰρ δύο εὐθεῖαι τέ‐ μνωσιν ἀλλήλας, τὰς κατὰ κορυφὴν
5γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιήσουσι. ἔστι δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Δ γωνία ἴση τῇ πρὸς τῷ Ε· ἰσοσκελὲς γὰρ τὸ ΔΒΕ τρίγω‐ νον διὰ τὸ ἑξαγώνου πλευρὰν εἶναι τὴν ΒΕ, ἴσην δὲ εἶναι ταύτῃ τὴν ἐκ
10τοῦ κέντρου τὴν ΔΒ. δύο δὴ τρίγωνα τὰ ΔΒΖ, ΖΒΕ ἰσογώνιά εἰσιν· ἀνάλογον ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς ΔΖ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΖ. ἴσαι δὲ αἱ ΔΒ, ΒΕ· ἴσαι ἄρα καὶ αἱ ΔΖ, ΖΕ. ἡ ΔΕ ἄρα διπλῆ τῆς ΔΖ.

apndx 1,14

9

τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΕ p. 5, 10] ἡμικύκλιον γάρ ἐστι τὸ ΒΑΕ, ἡ δὲ ἐν ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθή ἐστιν, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τὴν ὀρθὴν γωνίαν τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν τετραγώνοις.

apndx 1,14

10

Ἐὰν δὲ κύβου πλευρὰ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρά.

apndx 1,14

11

Ἐν γὰρ τῇ συστάσει τοῦ εἰκοσαέδρου δείκνυται, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ δύναται τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἀφ’ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγράφεται, καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τοῦ εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένου.

apndx 1,14

12

Ἐὰν γὰρ ὑπὸ μίαν ἑκάστην γωνίαν τοῦ πενταγώνου ἰσογωνίου ὄντος ἀγάγωμεν εὐθείας, εὑρίσκονται ε εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις τό τε τετράγωνον δηλαδὴ καὶ τὸ ὕψος τοῦ κύβου.

apndx 1,14

13

Διὰ τὸ ηʹ τοῦ ιγʹ βιβλίου· ἐὰν γὰρ πενταγώνου ἰσο‐ γωνίου καὶ ἰσοπλεύρου τὰς κατὰ τὸ ἑξῆς δύο γωνίας ὑπο‐ τείνωσιν εὐθεῖαι, ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμνουσιν ἀλλή‐ λας, καὶ τὰ μείζονα τμήματα ἴσα εἰσὶ ταῖς τοῦ πενταγώνου
5πλευραῖς.

apndx 1,14

14

Ἐπεί, ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμη‐ θῶσιν, ἐν ἀναλογίᾳ εἰσὶ τῇ ὑποκειμένῃ, τέτμηνται δὲ αἱ ΔΗ, ΜΝ ἄκρον καὶ μέσον λόγον, καί εἰσι μείζονα τμή‐ ματα αἱ ΗΓ, ΜΞ, ὡς ἄρα ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΓ, οὕτως
5ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΜΞ· καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΔΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, οὕτως τρία τὰ ἀπὸ τῆς ΔΗ πρὸς τρία τὰ ἀπὸ τῆς ΗΓ διὰ τὸ ιβʹ τοῦ εʹ. ὁμοίως δὲ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΞ, οὕτως ε τὰ ἀπὸ ΜΝ πρὸς ε τὰ ἀπὸ ΜΞ διὰ τὸ αὐτὸ ιβʹ τοῦ εʹ. καὶ ὡς ἄρα
10τρία τὰ ἀπὸ τῆς ΔΗ πρὸς τρία τὰ ἀπὸ τῆς ΗΓ, οὕτως ε τὰ ἀπὸ ΜΝ πρὸς ε τὰ ἀπὸ ΜΞ. ὅτι δὲ ἡ ΗΓ μεῖζον τμῆμα τῆς ΔΗ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθείσης, ἀπὸ τοῦ ἐν τῷ ιζʹ τοῦ ιγʹ τῶν στοιχείων πορίσματος δῆλον.

apndx 1,14

15

Διὰ τὸ ἐναλλάξ, ὡς τρία τὰ ἀπὸ ΔΗ πρὸς ε τὰ ἀπὸ ΜΝ, οὕτως γ τὰ ἀπὸ ΗΓ πρὸς ε τὰ ἀπὸ ΜΞ· τρία δὲ τὰ ἀπὸ ΔΗ ε τοῖς ἀπὸ τῆς ΜΝ ἴσα. καὶ τρία ἄρα τὰ ἀπὸ τῆς ΗΓ ε τοῖς ἀπὸ τῆς ΜΞ εἰσιν ἴσα. ἀλλὰ ε τὰ ἀπὸ τῆς
5ΜΝ καὶ ε τὰ ἀπὸ τῆς ΜΞ ἴσα ε τοῖς ἀπὸ τῆς [ΚΛ], ἤτοι ε τὰ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἀφ’ οὗ τὸ εἰκο‐ σάεδρον ἀναγράφεται, καὶ ε τὰ ἀπὸ τῆς τοῦ ἐν τῷ αὐτῷ
κύκλῳ ἐγγραφομένου δεκαγώνου πλευρᾶς ἴσα ε τοῖς ἀπὸ τῆς ΚΛ εἰκοσαέδρου πλευρᾶς, ὡς ἐν τῇ συστάσει τοῦ
10εἰκοσαέδρου δείκνυται. καὶ ε ἄρα τὰ ἀπὸ τῆς ΚΛ ἴσα τρισὶ τοῖς ἀπὸ ΔΗ καὶ τρισὶ τοῖς ἀπὸ ΗΓ.

apndx 1,14

16

Ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΗ πλευρᾶς οὔσης τοῦ κύβου (ἔχει δὲ τριπλα‐ σίονα λόγον διὰ τὸ ιηʹ τοῦ ιγʹ βιβλίου), οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς τοῦ ΚΛΘ τριγώνου ἰσοπλεύρου, ἐξ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον
5ἀναγράφεται, πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ ἐκ τοῦ κέντρου οὔσης τοῦ κύκλου, ἐν ᾧ τὸ τοιοῦτον ἐγγράφεται τρίγωνον, διὰ τὸ ιβʹ τοῦ ιγʹ βιβλίου· καὶ ἐναλλάξ· ἀλλὰ τρία τὰ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσα ε τοῖς ἀπὸ ΜΝ. ε ἄρα τὰ ἀπὸ ΚΛ ἴσα τρισὶ τοῖς ἀπὸ ΑΒ. πέντε οὖν τὰ ἀπὸ τῆς ΚΛ ἴσα ἔσονται τρισὶ τοῖς
10ἀπὸ ΔΗ, ΗΓ. ὅπως δὲ πέντε τὰ ἀπὸ ΚΛ ἴσα τρισὶ τοῖς ἀπὸ ΑΒ, δῆλον· ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ πενταπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΝ ἐκ κέντρου οὔσης τοῦ κύκλου, ᾧ ἐγγρά‐ φεται τὸ ἰσόπλευρον τρίγωνον, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς τοῦ τοιούτου τριγώνου τριπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΝ, ἐὰν τὸ
15πενταπλάσιον τριπλασιασθῇ καὶ τὸ τριπλάσιον πεντα‐ πλασιασθῇ, ἰσωθήσονται. ὅτι δὲ καὶ τρία τὰ ἀπὸ τῶν .. ΔΗ καὶ ΗΓ, τῆς ὑποτεινούσης λέγω τὴν τοῦ πενταγώνου γωνίαν καὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ πενταγώνου, ἴσα τρισὶ τοῖς ἀπὸ ΑΒ, δῆλον ἐντεῦθεν· δέδεικται ἐν ιʹ τοῦ ιγʹ βιβλίου,
20ὡς ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τὴν τοῦ ἑξαγώνου καὶ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων. ἐπεὶ οὖν ἐν τῷ προρρηθέντι θεωρήματι ἐδείχθη τὸ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τὴν τοῦ πενταγώνου γωνίαν καὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ πενταγώνου πενταπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου
25τοῦ κύκλου, ᾧ ἐγγράφεται τὸ πεντάγωνον (ἡ γὰρ τοῦ πεν‐ ταγώνου πλευρὰ δύναται τὴν τοῦ ἑξαγώνου καὶ τοῦ δεκα‐ γώνου, ὡς εἴρηται), ἴσον ἔσται τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ καὶ τὰ ἀπὸ
τῶν ΔΗ, ΗΓ· τοῦ γὰρ ἀπὸ τῆς ΜΝ πενταπλάσιον κἀκεῖνο καὶ ταῦτα. ὥστε καὶ τρία τὰ ἀπὸ τῆς ΑΒ τρισὶ τοῖς ἀπὸ
30τῶν ΔΗ, ΗΓ ἴσα. τρισὶ δὲ τοῖς ἀπὸ τῆς ΑΒ πέντε τὰ ἀπὸ τῆς ΚΛ ἴσα· πέντε ἄρα τὰ ἀπὸ τῆς ΚΛ τρισὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΔΗ, ΗΓ ἴσα. καὶ τὰ λοιπὰ δῆλα.

apndx 1,14

17

Τὸ γὰρ παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΗΖ διπλάσιον τοῦ ΓΖΔ τριγώνου· καὶ τὸ πεντάκις ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΗΖ ἴσον τριγώνοις δέκα ἐν δυσὶ γραφομένοις πενταγώνοις. τὰ ὅλα οὖν ἑξάκις τά τε δύο πεντάγωνα καὶ
5τὰ ε παραλληλόγραμμα τὰ ὑπὸ ΓΔ, ΗΖ.

apndx 1,14

18

Ἐπεὶ ὡς τὸ ὑπὸ τῆς ΖΗ καθέτου καὶ τῆς ΓΔ πλευ‐ ρᾶς τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ δωδεκαέδρου, οὕτως τὸ ὑπὸ τῆς ΔΕ καθέτου καὶ τῆς ΒΓ πλευρᾶς τοῦ τριγώνου πρὸς τὴν τοῦ εἰκοσαέδρου ἐπιφάνειαν· ἑκά‐
5τερον γὰρ τῶν παραλληλογράμμων τριακοστὸν τῆς ἐπι‐ φανείας τοῦ πολυέδρου· καὶ ὡς τὸ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ παραλληλόγραμμον, ἡ ἐπιφάνεια πρὸς τὴν ἐπι‐ φάνειαν.

apndx 1,14

19

Ἐπεὶ δύο τρίγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΔΕ, ΒΓ παραλ‐ ληλογράμμῳ, ἐὰν τριπλασιασθῶσιν, γίνονται τὰ μὲν τρίγω‐ να ἕξ, τὰ δὲ παραλληλόγραμμα τρία. ἓξ δὲ τρίγωνα ὡς τὰ ΔΒΓ ἴσα ἐστὶ δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΑΒΓ. καὶ πάντα
5ἑξάκις, ἤτοι τὰ τρία παραλληλόγραμμα τὰ ὑπὸ ΔΕ, ΒΓ καὶ τὰ δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ· γίνεται οὖν τὰ μὲν τριάκοντα, τὰ δὲ εἴκοσι· εἴκοσι δὲ τὰ ΑΒΓ τρίγωνα ἡ ἐπιφάνειά ἐστι τοῦ εἰκοσαέδρου.

apndx 1,14

20

Ἐπεὶ τῆς ΕΒΓ ὡς μιᾶς ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΕΗ διὰ τὸ πρῶτον τοῦ παρόντος βιβλίου, ἔστι δὲ καὶ τῆς ΕΒ ἡμίσεια ἡ ΕΖ διὰ τὸ πόρισμα τοῦ αὐτοῦ πρώτου θεωρήματος, ὡς ἄρα ἡ ΕΒΓ ὅλη πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς ΕΖ· δι‐
5πλῆ γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας. καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΕΒΓ ὅλη πρὸς ΕΒ (τεμνομένη γὰρ ἄκρον καὶ μέσον λόγον μεῖζον
τμῆμα ἔχει τὸ ΕΒ διὰ τὸ θʹ τοῦ ιγʹ βιβλίου), οὕτω καὶ ἡ ΕΗ πρὸς ΕΖ. τεμνομένη ἄρα καὶ ἡ ΕΗ ἄκρον καὶ μέσον λόγον μεῖζον ἕξει τμῆμα τὸ ΕΖ. ἀλλὰ καὶ ἡ Θ ἡ τοῦ κύβου
10πλευρά, εἰ τμηθήσεται ἄκρον καὶ μέσον λόγον, τὸ μεῖζον ἕξει τμῆμα τὴν τοῦ πενταγώνου πλευρὰν διὰ τὸ πόρισμα τοῦ ιζʹ τοῦ ιγʹ βιβλίου. ὡς ἄρα ἡ Θ πρὸς τὴν ΓΑ τὴν τοῦ πενταγώνου πλευράν, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ΕΖ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς Θ καὶ τῆς ΕΖ ἴσον ἔσται τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ καὶ ΗΕ
15διὰ τὸ ιϛʹ τοῦ ϛʹ βιβλίου. τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς Θ καὶ ΕΖ περι‐ εχόμενον παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΑΓ, ΕΖ λόγον ἕξει, ὃν ἡ Θ βάσις πρὸς ΑΓ βάσιν διὰ τὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἔχειν τὴν ΕΖ. καὶ ὡς ἄρα ἡ Θ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΑ, ΗΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΔ, ΖΕ. ἐδείχθη δέ, ὅτι τὸ
20τριακοντάκις ὑπὸ μιᾶς τοῦ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου πενταγώνου καὶ τῆς ἐπὶ ταύτην καθέτου ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἐν ᾧ ἐγγράφεται, ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ δωδε‐ καέδρου ἐπιφανείᾳ. ὡσαύτως καὶ τὸ τριακοντάκις ὑπὸ τῆς τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου καὶ τῆς ἐπὶ ταύτην καθέτου ἀπὸ
25κέντρου τοῦ κύκλου, ἐν ᾧ ἐγγράφεται τὸ τοιοῦτον τρίγωνον, ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ εἰκοσαέδρου ἐπιφανείᾳ. καὶ ὡς ἄρα ἡ Θ πρὸς ΔΓ, οὕτως ἡ τοῦ δωδεκαέδρου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν τοῦ εἰκοσαέδρου.

apndx 1,14

21

ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΑΔ, ΒΗ p. 12, 11] τὸ γὰρ παρ‐ αλληλόγραμμον τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς ΑΔ, ΒΗ διπλά‐ σιόν ἐστι τοῦ ΑΒΔ τριγώνου.

apndx 1,14

22

τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΗΘ διπλοῦν p. 12, 16. 17] ἐὰν γὰρ ὕψος κοινὸν ποιήσωμεν τὴν ΖΑ, ἔσται ὡς ἡ ΗΘ βάσις πρὸς ΘΓ βάσιν, οὕτω τὸ ὑπὸ ΗΘ, ΖΑ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΓ, ΖΑ παραλληλόγραμμον.

apndx 1,14

23

ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ p. 13, 22] ἐπεὶ γὰρ ἡ ΕΖ ἴση οὖσα τῇ ΑΕ (ἐκ κέντρου γάρ) διπλῆ ἐστι τῆς ἐπὶ τὴν βάσιν
τοῦ ΑΔΜ τριγώνου ἀγομένης ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἐν ᾧ ἐγγέγραπται τὸ τρίγωνον, ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ ΑΔΜ
5τρίγωνον.

apndx 1,14

24

τὸ δὲ ὑπὸ ΑΗΔ p. 13, 23. 24] τὸ γὰρ παραλληλό‐ γραμμον τὸ ὑπὸ ΑΗΔ περιεχόμενον διπλοῦν ἐστι τοῦ ΑΔΗ τριγώνου· ἴσον ἄρα τῷ ΑΔΜ.

apndx 1,14

25

ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ p. 13, 24] τὸ ὑπὸ ΑΗ, ΘΒ περιεχόμενον παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ πενταγώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΗΔ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΑΔΜ ἰσο‐ πλεύρῳ τριγώνῳ. ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΗ, ΘΒ παραλληλό‐
5γραμμον πρὸς τὸ πεντάγωνον, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΗΔ παρ‐ αλληλόγραμμον πρὸς τὸ τρίγωνον. ἐναλλὰξ ἄρα.

apndx 1,14

26

καί εἰσι δώδεκα p. 14, 5] ἐπεὶ γὰρ ἡ μὲν ΒΘ πενταπλασίων τῆς ΘΓ, ἡ δὲ ΒΓ τῆς ΘΓ ἑξαπλασίων, ἑξάκις ἡ ΒΘ πεντάκις τῇ ΒΓ ἴση ἔσται, καὶ ἀναλόγως δωδεκάκις ἡ ΒΘ δεκάκις τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση.

apndx 1,14

27

Ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Η πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε, οὕτως [τὸ τετράγωνον] τὸ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΓ, ΓΔ πρὸς τὸ τετρά‐ γωνον τὸ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΓ, ΖΔ.

apndx 1,14

28

ἐν δὲ ταῖς σφαίραις p. 17, 16] ὡς ἐν τοῖς σφαιρικοῖς τοῦ Θεοδοσίου δέδεικται.

apndx 1,14

29

Ὅτι μὲν ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου οἱ ἐν τῇ σφαίρᾳ ἴσοι κύκλοι, δείκνυταί πως διὰ τοῦ ϛʹ τοῦ πρώτου τῶν σφαιρικῶν· ὅτι δὲ καὶ ἐπὶ τὰ κέντρα τῶν κύκλων πίπτουσιν αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα
5κάθετοι ἀγόμεναι, δῆλον ἀπὸ τοῦ πορίσματος τοῦ πρώτου θεωρήματος τοῦ αʹ βιβλίου τῶν σφαιρικῶν.

apndx 1,14

30

ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ p. 20, 4] ἀλλὰ τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ καὶ τοῦ λοιποῦ τμήματος τῆς ΒΓ δηλαδὴ ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ διὰ τὸ ηʹ τοῦ δευτέρου
5βιβλίου.

apndx 1,14

31

ὡς συναμφότερος ἡ ΑΒΓ p. 20, 6] αἱ ΑΒ, ΒΓ μετὰ τῆς ΑΓ δύο εἰσὶν αἱ ΑΒ· ἡ γὰρ ΑΓ προσλαβοῦσα τὴν ΒΓ ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ· ὡσαύτως καὶ ἡ ΔΖ προσλαβοῦσα τὴν ΖΕ ἴση γίνεται τῇ ΔΕ.

apndx 1,14

32

καὶ τὰ ἡμίση p. 20, 9] ἐπεὶ γὰρ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τῆς ΑΓ ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΑΒ, ὡσαύτως δὲ καὶ τῶν ΔΕ, ΕΖ μετὰ τῆς ΔΖ ἡμίσεια ἡ ΔΕ, τὰ μέρη τοῖς ὡσαύ‐ τως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον.

apndx 1,14

33

ἐπεὶ γάρ ἐστιν p. 21, 18] ὡς δὲ ἡ τοῦ δωδεκαέδρου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν τοῦ εἰκοσαέδρου, οὕτως ἡ τοῦ κύβου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ εἰκοσαέδρου πλευράν.

apndx 1,15

t

In librum 15

apndx 1,15

1

Ἀπὸ μὲν τοῦ Κ ἐπὶ τὸ ΕΖΛΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ ΖΗΘΚ, ἀπὸ δὲ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ ΗΕΚΛ.

apndx 1,15

2

Ἔστω βάσις πυραμίδος τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τετμήσθω ἡ μὲν ΑΒ πλευρὰ κατὰ τὸ Ε, ἡ δὲ ΑΓ κατὰ τὸ Η, ἡ δὲ ΒΓ κατὰ τὸ Ζ, ἡ δὲ τοῦ ὕψους πλευρὰ ἡ μὲν ΑΔ κατὰ τὸ Θ, ἡ δὲ ΒΔ κατὰ τὸ Κ, ἡ δὲ ΓΔ κατὰ τὸ Λ.
5ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ πρός τε τὴν ἐν τῷ ὑποκειμένῳ τριγώνῳ τῷ ΑΒΓ παράλληλον ἠγμένην αὐτῇ τὴν ΗΖ καὶ τὴν ἐν τῷ ΑΔΒ ἠγμένην παράλληλον τὴν ΚΘ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, πρὸς ἃ δὲ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἴσα ἀλλήλοις, ἴση ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΗΖ· αἱ γὰρ παράλληλοι τῇ ΑΒ ἡ ΘΚ καὶ
10ἡ ΗΖ ἀνάλογον τέμνουσι τὰς τοῦ τριγώνου πλευράς. εἰσὶ δὲ καὶ παράλληλοι ἡ ΘΚ τῇ ΗΖ· αἱ γὰρ τῇ αὐτῇ παρ‐ άλληλοι καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι. ὁμοίως δὲ καὶ τὰ λοιπὰ δειχθήσεται. ὅτι μὲν οὖν ἰσόπλευρόν τε καὶ παρ‐
αλληλόγραμμον τὸ ΘΚΖΗ τετράπλευρον, δῆλον· ὅτι δὲ
15καὶ ἰσογώνιον, φανερὸν ἀπὸ τοῦ ὅρου τοῦ ιαʹ· ἐπιπέδου γάρ, φησίν, πρὸς ἐπίπεδον κλίσις ἐστὶν ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν πρὸς ὀρθὰς τῇ κοινῇ τομῇ ἀγομένων πρὸς τῷ αὐτῷ σημείῳ ἐν ἑκατέρῳ τῶν ἐπιπέδων. εἰ μὲν οὖν ὀρθὸν εἶναι φήσει τις πρὸς τὸ ὑποκείμενον τρίγωνον τὸ ΘΚΖΕ ἰσό‐
20πλευρον, ἔχομεν τὸ ζητούμενον· εἰ δὲ κεκλιμένον, ὃ δῆτα καὶ ἀληθές, ἀπὸ τοῦ ὅρου δῆλον· ἡ γὰρ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων ἀπὸ τοῦ τοιούτου ἐπιπέδου καὶ τοῦ ὑποκειμένου τριγώνου ὀρθὰς ποιήσει γωνίας μετ’ αὐτῆς.

apndx 1,15

3

φανερόν, ὅτι καὶ ὀρθογώνιον p. 25, 10. 11] αἱ γὰρ ΚΜ, ΛΝ διάμετροι ἴσαι ἀλλήλαις· ἡ γὰρ ΚΜ παράλληλος οὖσα τῇ ΟΠ ἴση ἐστὶν αὐτῇ διὰ τὸ ἴσας ἐπιζευγνύειν καὶ παραλλήλους τὰς ΚΟ, ΠΜ. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΛΝ ἴση
5τῇ ΞΟ. ἴσαι δὲ αἱ ΞΟ, ΟΠ· τετραγώνου γὰρ πλευραί. καὶ αἱ ΚΜ, ΛΝ ἄρα ἴσαι. δύο ἄρα αἱ ΚΛ, ΛΜ ἴσαι εἰσὶ δυσὶ ταῖς ΛΜ, ΜΝ, καὶ βάσις ἡ ΛΝ βάσει τῇ ΚΜ ἴση, καὶ ἡ γωνία τῇ γωνίᾳ, καὶ τὰ λοιπὰ δῆλα.

apndx 1,15

4

Ὅτι δὲ καὶ ἕκαστον τῶν τοῦ ὀκταέδρου τριγώνων ἴσον ἐστί, δῆλον ἐντεῦθεν· περιέχεται γὰρ τὸ ὀκτάεδρον ὑπὸ δ τετραγώνων τῶν ΛΚΕΗ, ΗΘΚΞ, ΖΚΛΕ, ἃ καί εἰσιν ἴσα. ἐὰν οὖν διαχθῶσι διάμετροι ἐπὶ τῶν τετραγώνων
5ὡς γενέσθαι τὴν τοῦ ἑνὸς κάθετον πρὸς τὰς τῶν λοιπῶν δύο, δειχθήσεται, ὡς καὶ παρὰ τοῦ στοιχειωτοῦ ἐδείχθη [ἐν τῇ] τοῦ ὀκταέδρου συστάσει.

apndx 1,15

5

Τὰ κέντρα τῶν περὶ τὰ τρίγωνα κύκλων. ἤχθωσαν ταῖς βάσεσι τῶν τριγώνων παράλληλοι αἱ ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ΛΗ. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘΚΛ τετράπλευ‐ ρον· ἀλλὰ καὶ ἰσόπλευρον· τὸν γὰρ αὐτὸν λόγον ἔχουσιν
5αἱ βάσεις τῶν τριγώνων πρὸς τὰς παραλλήλους διὰ τὴν ἰσότητα. ἀλλὰ καὶ ὀρθογώνιον διὰ τὸ ιʹ τοῦ ιαʹ.

apndx 1,15

6

Ὅτι δὲ ὀρθογώνιον, δῆλον ἐντεῦθεν· ἐπεὶ γὰρ εἰς τὴν ΠΟ εὐθεῖα ἡ ΚΛ ἐφέστηκε, τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ ΠΛΚ, ΚΛΟ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει· ὧν αἱ ὑπὸ ΚΛΟ, ΜΛΠ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι· ἑκατέρα γὰρ ἡμίσεια ὀρθῆς· λοιπὴ
5ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΛΜ ὀρθή ἐστιν. ὡσαύτως καὶ αἱ λοιπαί.

apndx 1,15

7

ἴση ἄρα ἡ ΝΘ τῇ ΜΘ. p. 26, 9. 10] ἐπεὶ τρίγωνον ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ ΒΑΓ, δύο δυσὶν εὐθεῖαι αἱ ΒΑ, ΑΘ, ΓΑ, ΑΘ ἴσαι εἰσί. καὶ βάσις ἡ ΘΒ τῇ ΘΓ ἴση· ἐκ κέν‐ τρου γὰρ τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλου. ἴσαι ἄρα αἱ
5ὑπὸ ΒΑΘ, ΘΑΓ γωνίαι. διὰ τοῦτο δὴ καὶ ἡ βάσις τμηθή‐ σεται δίχα.

apndx 1,15

8

Τὰ κέντρα τῶν ἐφεστώτων τετραγώνων ἤτοι τῶν κύκλων τῶν περὶ ταῦτα γραφομένων ἢ τὰ σημεῖα μᾶλλον τά, δι’ ὧν αἱ διηγμέναι εὐθεῖαι τέμνουσιν ἀλλήλας.

apndx 1,15

9

Ὅπως δὲ καὶ τὸ ὕψος ἴσον ἔσται τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ, δείξομεν οὕτως· ἀναγεγράφθω τετράγωνον ἀπὸ μιᾶς τῶν διηγμένων παρὰ μίαν ἑκάστην τῶν βάσεων τῶν τριγώνων, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ τετράγωνον. ἴσαι ἄρα
5πᾶσαι. αἱ τοίνυν διηγμέναι παρὰ τὴν κοινὴν βάσιν τῶν ἐφ’ ἑκάτερα τριγώνων ἴσαι οὖσαι πρὸς τὴν εἰρημένην κοινὴν βάσιν τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον· τὰ γὰρ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον. ἀλλὰ ὃν λόγον ἔχουσιν αὗται βάσεις οὖσαι τῶν ἐλαττόνων τριγώνων πρὸς τὴν κοινὴν βάσιν
10ἑκατέρου τῶν μειζόνων, οὕτω καὶ αἱ πλευραὶ τῶν ἐλατ‐ τόνων τριγώνων πρὸς τὰς τῶν μειζόνων διὰ τὴν ὁμοιότητα. ἀλλ’ αἱ τῶν μειζόνων τριγώνων πλευραὶ ἴσαι. ὥστε καὶ αἱ τῶν ἐλαττόνων ἴσαι. ὥστε καὶ τὰ ἐγγραφέντα τετράγωνα ἴσον ἀπέχοντα τοῦ τετραγώνου, ἀφ’ οὗ τὸ ὀκτάεδρον
15ἀναγράφεται, ἴσα ἔσται.

apndx 1,15

10

Εἰς δοθὲν εἰκοσάεδρον δωδεκάεδρον ἐγγράψαι. Κέντρον λέγει τῶν κύκλων τῶν περὶ τὰ τρίγωνα γεγραμ‐
μένων τὰ ἀπὸ μιᾶς ἑκάστης τοῦ πενταγώνου πλευρᾶς ἀνα‐ σταθέντα καὶ συγκορυφωθέντα πρὸς τὸ Ζ σημεῖον. ἐπι‐
5ζευχθεισῶν οὖν τῶν ἀπὸ τῶν κέντρων τῶν εἰρημένων τρι‐ γώνων γίνεται πεντάγωνον ἰσόπλευρον. ἐὰν οὖν ἀφ’ ἑκά‐ στης τῶν πλευρῶν τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπιζεύξεως τῶν ἐκ τῶν κέντρων γεγονότος πενταγώνου ἀνασταθῶσι τρίγωνα συγ‐ κορυφωθέντα πρὸς τὸ Ζ, ἑκάστη τῶν πρὸς τῷ Ζ γωνιῶν
10τῶν τοιούτων τριγώνων δίχα τμηθήσεται. ἂν γὰρ καὶ τῶν τοιούτων τριγώνων τὰ κέντρα ληφθῶσι, ἔσονται [αἱ Θ]Ζ, ΖΠ, ΗΖ, ΖΠ ἴσαι· καὶ βάσις ἡ ΘΠ τῇ ΠΗ ἴση· ἐκ κέντρου γὰρ τοῦ περὶ τὸ κέντρον γραφομένου κύκλου [Omitted graphic marker] τὸ Π δηλαδή. καὶ ἡ γωνία ἄρα
15ἡ ὑπὸ ΘΖΠ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΖΠ ἴση. διὰ δὴ τοῦτο καὶ ἡ ΘΗ εἰς ἴσα τμηθήσεται διὰ τὸ γʹ τοῦ ϛʹ, καὶ αἱ λοιπαὶ τοῦ πεντα‐ γώνου πλευραὶ τοῦ ΑΒΓΕΔ
20ἐκβαλλομένων ἀπὸ τοῦ Ζ τῶν τεμνουσῶν ταύτας δίχα ἐπὶ τὰς πλευρὰς τοῦ πενταγώνου τούτου τὰς ΑΒΓΔΕ δηλαδή. ἐπεὶ δὲ δίχα τέτμηνται αἱ τοιαῦται πλευραί, ἐὰν ἐπι‐ ζευχθῶσιν ἀπὸ τῶν διχοτομιῶν εὐθεῖαι, ἴσαι ἀλλήλαις
25ἔσονται. ἐὰν δὲ δύο εὐθεῖαι παρὰ δύο εὐθείας ἁπτόμεναι ἀλλήλων μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὦσι, ἴσας γωνίας περι‐ έξουσι διὰ τὸ ιʹ τοῦ ιαʹ. ἔσται οὖν καὶ ἰσογώνιον τὸ ΗΘΚΛΜ πεντάγωνον. δειχθήσεται δέ, ὅτι καὶ ἐν ἑνὶ ἐπι‐ πέδῳ, οὕτως· ἐπεὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου ἐπὶ τὰς πλευρὰς
30τοῦ μετεώρου πενταγώνου τοῦ ΗΘΚΛΜ τοῦ καὶ παρ‐ αλλήλου τῷ ὑποκειμένῳ πενταγώνῳ τῷ ΑΒΓΔΕ ἀγό‐ μεναι εὐθεῖαι διχοτομοῦσι ταύτας, προσεκβληθεῖσαι διχο‐ τομήσουσι καὶ τὰς τοῦ ΑΒΓΔΕ πενταγώνου πλευράς. ἐκβεβλήσθωσαν καὶ διχοτομείτωσαν τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ
35κατὰ τὰ Ξ, Ν, Ο σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΝ, ΝΟ εὐθεῖαι. ἴσαι ἄρα. ἂν δὴ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓΔΕ πενταγώνου ἐπίπεδον κάθετος ἀχθῇ, ἐπὶ τὸ κέντρον πεσεῖται τοῦ περὶ τὸ πεντάγωνον κύκλου διὰ τὸ θʹ τοῦ αʹ τῶν Θεοδοσίου σφαιρικῶν· ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἀπὸ
40δέ τινος τῶν πόλων αὐτοῦ ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἀχθῇ, ἐπὶ τὸ κέντρον πεσεῖται τοῦ κύκλου. ἐὰν δὴ ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὸ σημεῖον, καθ’ ὃ συμβάλλει ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος, τουτ‐ έστι τὸ κέντρον τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλου, ἀχθῇ τις εὐθεῖα, ὀρθὴν γωνίαν ποιήσει μετὰ τῆς ἀπὸ Ζ
45τοῦ πόλου τοῦ περὶ τὸ ἐκκείμενον πεντάγωνον κύκλου ἀχθείσης καθέτου ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον αὐτοῦ διὰ τὸν ὅρον τοῦ ιαʹ τῶν στοιχείων. ἐὰν δὴ ἀπὸ τοῦ Θ σημείου παρ‐ άλληλον ταύτῃ τῇ ἀπὸ τοῦ Ν ἀχθείσῃ εὐθείᾳ, συμβαλεῖται τῇ ἀπὸ τοῦ Ζ καθέτῳ· ἡ γὰρ αὐτὴ κάθετος πεσεῖται καὶ

apndx 1,15

10

(50)

ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ περὶ τὸ ΗΘΚΛΜ πεντάγωνον κύκλου· ἐν σφαίρᾳ γὰρ παράλληλοί εἰσιν οἱ κύκλοι. καὶ ἐπεὶ εἰς δύο εὐθείας τήν τε ἀπὸ Ν καὶ τὴν ἀπὸ Θ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος, μεθ’ ἑκατέρας αὐτῶν ὀρθὴν ποιήσει γω‐ νίαν, καὶ ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση, τουτέστιν ἡ
55ἀπὸ Θ μετὰ τῆς ἀπὸ Ζ καθέτου τῇ ἀπὸ Ν μετὰ τῆς αὐτῆς καθέτου ἴση ἔσται. πάλιν ἐὰν ἀπὸ τοῦ Μ ἐπὶ τὸ σημεῖον, καθ’ ὃ συμβάλλει ἡ ἀπὸ Θ τῇ ἀπὸ Ζ καθέτῳ, ἀχθῇ εὐθεῖα, ὀρθὴν ποιήσει μετὰ τῆς αὐτῆς καθέτου, καὶ διὰ τὸ ιδʹ τοῦ αʹ τῶν στοιχείων ἐπ’ εὐθείας ἔσονται ἡ ἀπὸ Θ τῇ ἀπὸ Μ.
60μία ἄρα εὐθεῖα ἔσται ἡ ΘΜ. διὰ δὲ τὸ αʹ τοῦ ιαʹ τῶν στοιχείων εὐθείας γραμμῆς μέρος μέν τι οὐκ ἔστιν ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μέρος δέ τι ἐν μετεωροτέρῳ· δέδεικ‐ ται ἄρα, ὅτι καὶ ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ ἐστὶ τὸ ΗΘΚΛΜ πεντά‐ γωνον.

apndx 1,15

11

Ἤτοι τῆς πλευρᾶς τοῦ ἑνὸς τετραγώνου τοῦ κύβου, ἀφ’ οὗ τὸ δωδεκάεδρον ἀναγράφεται.

apndx 1,15

12

ἡ ὑπὸ ΒΖΔ ἄρα γωνία p. 33, 8] εἰ γὰρ ἡ ΒΖ κάθετος τοῦ τριγώνου νοηθείη ἐκβεβλημένη, ἡ τοῦ ἑτέρου τριγώνου κάθετος ἡ ΖΔ μετὰ ταύτης ἐκβεβλημένης ἐπ’ εὐθείας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει, ὧν λείπουσά ἐστιν ὡς
5πρὸς δύο ὀρθὰς ἡ ὑπὸ ΔΖΒ.

apndx 1,15

13

δέδοται καὶ ἡ ΒΔ p. 33, 13] διὰ τὸ μβʹ τῶν Δεδο‐ μένων Εὐκλείδου.

apndx 1,15

14

Εἰ γὰρ καταχθὲν νοηθείη τὸ ὑπὸ ΒΗΔ τρίγωνον, ἐντὸς πεσεῖται τοῦ ὑπὸ ΒΓΔ διὰ τὸ καʹ τοῦ αʹ τῶν στοιχείων. ἐλάττονες δὲ τῶν ΒΓ, ΓΔ αἱ ΒΗ, ΗΔ· τῶν μὲν γὰρ ΒΓ, ΓΔ ἑκατέρᾳ ἴση ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρά.
5αἱ δὲ ΒΗ, ΗΔ κάθετοι, μείζων δὲ ἡ πλευρὰ τοῦ τριγώνου τῆς ἐν αὐτῷ καθέτου ὡς ὑποτείνουσα μείζονα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῆς καθέτου καὶ τῆς ἡμισείας πλευρᾶς τοῦ τριγώ‐ νου περιεχομένην.

apndx 1,15

15

Ἡ γὰρ τοῦ πενταγώνου ὀρθῆς καὶ πέμπτου.

apndx 1,15

16

τῆς ΒΔ δεδομένης p. 35, 8] διὰ τὸ μβʹ τῶν Δεδο‐ μένων Εὐκλείδου.

apndx 1,15

17

ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΚΛΠ p. 35, 24 sq.] ἡ ὑπὸ ΚΘΟ γωνία τρίτου ἐστίν. ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ ΘΚΟ γωνία ἰσοπλεύρου τριγώνου ἐστὶ γωνία, διμοίρου ὀρθῆς ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΟΘ ὀρθή· τρίτου ἄρα ὀρθῆς ἡ πρὸς τῷ Θ. ἡ δὲ
5ὑπὸ ΚΛΜ ἡμίσειά ἐστι πενταγώνου ἤτοι ἡμίσεια ὀρθῆς καὶ δεκάτου. ἐπεὶ οὖν καὶ ἡ ὑπὸ ΡΛΠ τρίτου ὀρθῆς ἐστιν, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΛΠΡ ὀρθή, καὶ ἡ πρὸς τῷ Ρ διμοίρου ὀρθῆς ἔσται. κάθετος ἄρα ἔσται ἡ ΛΠ τριγώνου ἰσο‐ πλεύρου, οὗ πλευρὰ ἡ ΛΡ. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΛΡΠ ὀξεῖα
10γωνία ἐστίν, ἀμβλεῖα ἔσται ἡ ὑπὸ ΚΡΛ. ἐν τριγώνῳ οὖν τῷ ΚΛΡ μείζων ἐστὶν ἡ ΛΚ τῆς ΛΡ· αὕτη δὲ τῆς ΛΠ μείζων. ὥστε καὶ ἡ ΚΛ τῆς ΛΠ μείζων.

apndx 1,15

18

καὶ διὰ τοῦτο ἡ ὑπὸ ΜΚΛ p. 37, 9] ὅτι ἡ ὑπὸ
ΛΚΜ γωνία ἀμβλεῖά ἐστι, δῆλον ἐντεῦθεν· ἐπεὶ γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ τετράγωνον κάθετος ἀγομένη ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἡμισείας τῆς ΜΛ ὡς ἴση τῇ ἡμισείᾳ τῆς πλευρᾶς
5τοῦ πενταγώνου, ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς καθέτου δὶς καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΜΛ δὶς ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΚ, ΚΜ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΛΜ ἴσον ἐστὶ τῷ τετράκις ἀπὸ τῆς ἡμισείας, μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΜ τῶν ἀπὸ τῶν ΛΚ, ΚΜ, ἐπεὶ καὶ ἡ ἡμίσεια τῆς ΛΜ τῆς καθέτου μείζων ἐστίν.
10ἀμβλεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΚΜ γωνία.

apndx 2

t

Appendix scholiorum 2

apndx 2

1

Ἐπίπεδον ἐπιφανείας διαφέρει, ὅτι τὸ μὲν ἐπίπεδον ἐπὶ τοῦ λεῖα καὶ ἴσα τὰ οἰκεῖα μόρια ἔχοντος λέγεται, ἡ δὲ ἐπιφάνεια καὶ ἐπὶ τοῦ ἄνισα.

apndx 2

2

Ἐν ἐπιπέδῳ εἶπεν, ἵνα διακρίνῃ τὴν τοῦ στερεοῦ γω‐ νίαν οὐκ οὖσαν ἐν ἐπιπέδῳ, δύο δὲ γραμμῶν εἶπεν, ἐπειδὴ ἐκ μιᾶς γωνίαν γενέσθαι ἀδύνατον, καὶ διὰ τὴν τοῦ στε‐ ρεοῦ· ἐκεῖ γὰρ οὐκ ἐκ δύο, ἀλλ’ ἐκ πλειόνων. τὸ δὲ ἁπτο‐
5μένων διὰ τὰς ἀπ’ ἀλλήλων κειμένας καὶ γωνίαν ποιῆσαι οὐ δυναμένας διὰ τὸ κεχωρίσθαι.

apndx 2

3

Ὁ κύκλος διχῶς νοεῖται ἤτοι τὸ ὑπὸ τῆς γραμμῆς περιεχόμενον σχῆμα ἢ καὶ αὐτὴ ἡ περιφέρεια. νοητέον οὖν, ἐὰν λέγῃ κύκλος κύκλον τέμνει τὴν περιφέρειαν λέγει, ἐὰν δὲ ἐν κύκλῳ ἡ διάμετρος μεγίστη ἐστί, τῶν δὲ ἄλλων
5καὶ τὰ ἑξῆς, τὸ ὑπὸ τῆς γραμμῆς λέγω ὡρισμένον σχῆμα. καὶ τὰ ἄλλα σχήματα διχῶς νοεῖται, ὁτὲ μὲν μετὰ τῆς ὕλης, ὁτὲ δὲ ἄνευ τῆς ὕλης, τουτέστι ἐπίνοια ψιλή.

apndx 2

4

Πᾶν τρίγωνον ὀξεῖαν ἔχει γωνίαν καὶ οὐ μίαν ταύτην, ἀλλὰ δύο· εἴτε ὀρθογώνιον εἴτε ἀμβλυγώνιόν ἐστι, τὰς λοιπὰς δύο γωνίας ὀξείας ἔχει. τὸ δὲ ἰσόπλευρον οὐ τὰς δύο, ἀλλὰ τὰς τρεῖς ἔχει ὀξείας, καὶ διὰ τοῦτο ὀξυγώνιον
5τοῦτο ἐκάλεσεν μόνον, τῶν δ’ ἄλλων τὸ μὲν ὀρθογώνιον
ἀπὸ τοῦ καλλιστεύοντος εἴδους, τὸ δὲ ἀμβλυγώνιον ἀπὸ τοῦ τῷ μεγέθει καὶ αὐτὸ καλλιστεύοντος ὑπάρχειν· μεῖζον γὰρ αὐτὸ καὶ τῆς ὀρθῆς εἶπεν.

apndx 2

5

Τὸ ἑτερόμηκες τῷ τῶν πλευρῶν ἀνίσῳ μόνον ἀπο‐ λείπεται τετραγώνου· οὐ πάντως ὁμοίως ἔχει τὰς πλευρὰς ἴσας. εἶτά ἐστι ῥόμβος· ἀπὸ γὰρ τοῦ τετραγώνου πιεσθέν‐ τος κατὰ τὰς ἀπεναντίον γωνίας γίνεται ὁ ῥόμβος τετρά‐
5γωνον ἐν διαστροφῇ. τέταρτον δὲ τὸ ῥομβοειδὲς ὡς ἀπὸ τοῦ ἑτερομήκους καθ’ ὁμοιότητα ῥόμβου γεγονὸς καὶ αὐτὸ διαστροφῇ τοῦ ἑτερομήκους· ἑκάτερον γὰρ ἑκα‐ τέρου ἀντικεῖται.

apndx 2

6

Ἐπειδὴ τρεῖς εἰσι τοῦ τριγώνου κατὰ τὰς πλευρὰς διαφοραί, ἰσοπλεύρου, ἰσοσκελοῦς καὶ σκαληνοῦ, ἀνάγκη καὶ τὴν σύστασιν τῶν λοιπῶν δύο ἀποδεῖξαι. συνίσταται οὖν τὸ ἰσοσκελὲς τρίγωνον ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας οὕτως·
5ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ κέντρῳ τῷ Α, διαστή‐ ματι δὲ τῷ ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΔΕ, καὶ κέντρῳ τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΒΑ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΔΖ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ἴση δή ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΒΖ·
ἀλλ’ ἡ ΑΕ τῇ ΑΗ ἴση. καὶ ἡ ΑΗ ἄρα τῇ ΒΖ ἴση. ἀλλ’ ἡ [Omitted graphic marker]
10ΒΖ τῇ ΒΗ ἴση· καὶ ἡ ΒΗ ἄρα τῇ ΑΗ ἴση. ἰσοσκελὲς ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΑΒ τρίγωνον καὶ συνέστη ἐπὶ τῆς ΑΒ. ὅτι δὲ ἡ ΑΒ ἐλάττων τῆς ΑΗ, δῆλον, ὅτι καὶ τῆς ΑΕ ἐλάττων. Ἀλλ’ ἐπεὶ τὸ ΗΑΒ τρίγωνον συνέστη ἐπὶ τῆς ΑΓ εὐ‐ θείας ἐλάττονος τῶν ΗΑ, ΗΒ, ἔστι δυνατὸν συστήσασθαι
15τὸ τοιοῦτον ἰσοσκελὲς τρίγωνον ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας καὶ μείζονα εἶναι τὴν δοθεῖσαν τῶν δύο ἴσων σκελῶν. ἔστω γὰρ ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΓ, ἐφ’ ἧς δεῖ τὸ τοιοῦτον ἰσοσκελὲς τρίγωνον συστήσασθαι, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Γ. εἰ μὲν οὖν ἐπὶ τῆς διχοτομίας ἐστὶ τὸ
20Γ, φανερόν ἐστι τὸ ζητούμενον. ληφθέντος γὰρ τοῦ ση‐ μείου ἐπὶ τῆς ΑΓ καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ Γ καὶ τῷ ληφθέντι σημείῳ κύκλου γραφέντος ἀφεξ‐ αιρηθήσονται ἀπὸ τῶν περάτων τῆς ΑΒ εὐθείας διὰ τοῦ τοιούτου κύκλου ἴσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, ΕΒ, καὶ οὕτως
25ἔσται ῥᾴδιον τὸ ζητούμενον. ἴση γὰρ ἔσται ἡ ΒΔ τῇ ΑΕ. καὶ κέντρῳ τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΒΔ κύκλος γραφή‐ σεται, καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ Α, [Omitted graphic marker] διαστήματι δὲ τῷ ΑΕ κύκλος γραφήσεται. καὶ τμηθήσονται ὑπ’
30ἀλλήλων οἱ κύκλοι, καὶ ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπιζευχθήσονται ἐπὶ τὰ πέ‐ ρατα τῆς ΑΒ εὐθείας εὐθεῖαι, καὶ οὕτως συσταθήσεται τὸ ζητούμε‐ νον τρίγωνον, εἴπερ ἐπὶ τῆς διχοτο‐
35μίας ἐστὶ τὸ Γ σημεῖον. εἰ δὲ μὴ ἐπὶ τῆς διχοτομίας ἐλήφθη τὸ Γ σημεῖον, μία τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζων ἐστίν. ἔστω μείζων ἡ ΓΒ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ ΓΑ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΗΕ, καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ ΓΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΚΒ, καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ Α,
40διαστήματι δὲ τῷ ΑΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΘΖ. ἴση δή ἐστιν ἡ ΓΒ τῇ ΓΔ, ὧν ἡ ΓΑ τῇ ΓΕ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΔ
λοιπῇ τῇ ΕΒ ἴση. ἀλλ’ ἡ ΑΔ τῇ ΑΖ ἴση· καὶ ἡ ΑΖ ἄρα τῇ [Omitted graphic marker] ΕΒ ἴση. κοινὴ προσκείσθω ἡ ΖΕ. ὅλη ἄρα ἡ ΑΕ ὅλῃ τῇ ΒΖ
45ἴση. καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β, δια‐ στήματι δὲ τῷ ΒΖ κύκλος γε‐ γράφθω ὁ ΖΜΛ, καὶ πάλιν κέν‐ τρῳ μὲν τῷ Α, διαστήματι δὲ τῷ ΑΕ κύκλος γεγράφθω ὁ ΝΜΕ,

apndx 2

6

(50)

καὶ ἀπὸ τοῦ Μ σημείου, καθ’ ὃ τέμνουσιν ἀλλήλους οἱ κύκλοι, ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΑ, ΜΒ. φανερὸν δή, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ ἑκατέρας τῶν ΑΜ, ΜΒ. λέγω, ὅτι καὶ ἴσαι ἀλλήλαις. ἐπεὶ γὰρ ἐδείχθη, ὅτι ἴση ἐστὶν
55ἡ ΑΕ τῇ ΒΖ, ἴση δὲ ἡ ΑΕ τῇ ΑΜ, καὶ ἡ ΑΜ ἄρα τῇ ΒΖ ἴση ἐστίν. ἀλλ’ ἡ ΒΖ τῇ ΒΜ ἴση· καὶ ἡ ΑΜ ἄρα τῇ ΜΒ ἴση. ἰσοσκελὲς ἄρα ἐστὶ τὸ ΜΑΒ τρίγωνον, καὶ συν‐ έστη ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ.

apndx 2

7

Τινὲς διὰ τὸ τὸν Εὐκλείδην μετ’ ὀλίγον ἰσοσκελοῦς μεμνῆσθαι τριγώνου ὡς ἐνδέον τῇ αὐτοῦ πραγματείᾳ τῶν τῆς γεωμετρίας στοιχείων συνιστῶσι ἰσοσκελὲς μετὰ τὸ ἰσόπλευρον μηδενὸς ἑτέρου προσδεηθέντες θεωρήματος ἢ
5προβλήματος, ἀλλ’ ἐκ μόνων τῶν ἀρχῶν. τοῦτο δὲ περιττῆς ἐστιν ἀντικρὺς φιλοτιμίας· οὔτε γὰρ ἐνδεῖ ἐν τῷ τόπῳ τῇ πραγματείᾳ, οὔτε ὁ Εὐκλείδης πάντη παρῆκε τὴν τῶν ἄλ‐ λων παρὰ τὸ ἰσόπλευρον τριγώνων κατασκευήν· μετὰ ταῦτα γὰρ πᾶν εἶδος συνίστησι τριγώνου ἐκ τριῶν εὐθειῶν, αἵ
10εἰσιν ἴσαι ταῖς δοθείσαις, καὶ οὐδέ γε λαμβάνει ὁ Εὐκλείδης τὸ ἰσοσκελὲς καὶ τοῦτο μὴ ἰσόπλευρον πρὸς κατασκευὴν καὶ σύστασιν σχήματος ἑτέρου, ἀλλὰ πρὸς δεῖξιν θεωρήματος, λέγων τάδε τινὰ συμβαίνειν τοῖς ἰσοσκελέσι, κἂν ἰσόπλευρα δηλονότι εἴη κἂν μή, μόνον ἂν ὦσιν ἰσοσκελῆ, ὥσπερ λέγει
15καί· ἐὰν τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσι, καίτοι
μήπω διδάξας, πῶς τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται τῆς ἑτέρας μὴ οὔσης ταύταις ἴσης. ἐπὶ πάντων γὰρ τῶν θεωρημάτων τὸ ἐὰν ὦσι λέγομεν τάδε τινά, τάδε συμβαίνειν· ἐν μόνοις γὰρ τοῖς προβλήμασι δεῖ εἶναι προ‐
20συνεσταμένα τε καὶ προδεδειγμένα ἡμῖν τὰ πρὸς τὴν τούτων κατασκευὴν χρησιμεύοντα. εἰ δέ γε χρεία ἦν τῷ στοιχειωτῇ παντὸς εἴδους ἰσοσκελοῦς, ἐν τῷ δʹ θεωρήματι ἦν ἂν αὐτῷ, καὶ ἡμεῖς ἂν δεηθέντες τοῦ βʹ τε καὶ τοῦ τρί‐ του πᾶν εἶδος ἰσοσκελοῦς συνεστήσαμεν παρὰ τὸ ἰσόπλευ‐
25ρον, ἐπεὶ τοῦτο αὐτὸς συνίστησιν ὁ Εὐκλείδης πρὸ τῶν ἄλλων πάντων σχημάτων. καὶ δὴ συσταίη ἂν ἰσοσκελὲς μείζονας ἔχον τὰς δύο τῆς μιᾶς ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας [Omitted graphic marker] οὕτως· ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφ’ ἑκάτερα ἐπὶ τὰ Γ, Δ, καὶ κείσθω ἴση ἡ ΑΔ τῇ ΒΓ, καὶ
30κέντρῳ μὲν τῷ Α, διαστήματι δὲ τῷ ΑΓ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΖΗΓ, κέντρῳ δὲ τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΒΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΘΗΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΒΕ. καὶ συνέσταται ἐπὶ τῆς ΑΒ τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΕΒ ἐπὶ τῆς ΑΒ· ἐπεὶ γὰρ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΖΗΓ κύκλου
35τὸ Α, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΕ. πάλιν ἐπεὶ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΘΗΔ κύκλου τὸ Β, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΔ τῇ ΒΕ. ἴση δὲ ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΒΓ ἴση. ἐλάττων δὲ ἡ ΑΒ
ὁποτέρας τῶν ΔΒ, ΑΓ. ὁμοίως δὲ κἂν ἀφέλῃς ἑκατέρω‐ θεν ἴσας τῆς ΑΒ, κατασκευάσεις ἰσοσκελὲς τὴν βάσιν
40τῶν λοιπῶν πλευρῶν μείζονα ἔχον. Καὶ μηδενὸς δὲ δεηθέντες καὶ ἡμεῖς ἄλλως συστήσομεν τρίγωνον ἰσοσκελὲς ὁμοίως μείζονα ἢ ἐλάττονα ἔχον τὴν βάσιν, εἰ καὶ μὴ ἐπὶ ὡρισμένης τῆς βάσεως, ἀλλ’ ἐπὶ τῆς ἴσης αὐτῇ· καὶ ἐλάττονα μὲν ἕξει τὴν βάσιν οὕτως· ἔστω
45τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ ἐκβεβλήσθω ὁσονδήποτε ἐπὶ τὸ Γ, [Omitted graphic marker] καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ ΑΓ κύκλος γε‐ γράφθω ὁ ΑΔΕΖ, κέντρῳ δὲ τῷ Α, διαστήματι δὲ τῷ ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΖΗΔ· καὶ συνέσταται τὸ ΑΓΔ τρίγωνον ἐπὶ τῆς ἴσης τῇ δοθείσῃ τῇ ΒΑ τῆς ΑΔ ἴσας

apndx 2

7

(50)

μὲν ἔχον τὰς ΑΓ, ΓΔ, τὴν δὲ ΑΔ ἐλάττονα ἴσην οὖσαν τῇ ΑΒ. Μείζονα δὲ ἕξει τὴν βάσιν οὕτως· ἔστω ἡ ΑΒ εὐθεῖα, καὶ εἰλήφθω ἐπ’ αὐτῆς τυχὸν σημεῖον τὸ Γ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΒΑ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΔΕ,
55κέντρῳ δὲ τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ ΓΒ κύκλος γεγράφθω
ὁ ΒΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΔ, ΔΓ· καὶ γέγονε τρί‐ γωνον τὸ ΒΓΔ ἔχον τὰς μὲν ΒΓ, ΓΔ ἴσας, τὴν δὲ ΒΔ μείζονα ἴσην οὖσαν τῇ ΒΑ. καὶ γεγόνασιν ἰσοσκελῆ ἐπὶ τῆς ἴσης τῇ δοθείσῃ βάσεως ἢ ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας
60ἑνὸς τῶν δύο σκελῶν γενομένου, τὴν δὲ βάσιν ἑτέραν ἔχοντα, ὅπ... δὲ γέγονε ..., τὸ ἰσοσκελὲς ἑκατέρως συνέσταται τρίγωνον. [Omitted graphic marker]

apndx 2

8

Τινὰ τῶν ἀντιγράφων ταῦτα μόνα τὰ β σχήματα ἔχει ἐν ὅλῳ τῷ κϛʹ θεωρήματι, καὶ οὐκ ἀπεικότως, ἔνια δὲ διὰ τὸ σαφέστερον ἰδίαν ἔχοντα τὴν Θ πλευρὰν ἕτερα δύο καταγεγραμμένα ἔχουσι σχήματα καὶ τὰ προκείμενα
5τμήματα χωρὶς τῆς Θ. ἐνταῦθα οὖν καὶ ἀμφότερα ἐσχη‐ μάτισται.

apndx 2

9

Νῦν λέγει τὰ παραπληρώματα· περιέχεται γὰρ τὸ
μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ παραπλήρωμα, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΒ ἤτοι [Omitted graphic marker] τῆς ΗΚ· ἴση γὰρ ἡ ΓΒ τῇ ΗΚ. λέγει οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ὅλον τετράγωνον ἴσον εἶναι τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΘΗ, ΔΖ καὶ
5ΓΒ, ΗΚ τετραγώνοις καὶ τοῖς παραπληρώμασιν.

apndx 2

10

Σώζοιεν ἂν οἱ ἀριθμοί, καὶ εἴ τις ἀντὶ τῶν προτεθέν‐ των θείη τὸ μὲν ΑΒ ὅλον ١٢, τεμεῖ δὲ τὴν μὲν ΑΕ εἰς ٣, τὴν δὲ ΕΒ εἰς ٩, καὶ τὴν Γ θείη ὁμοίως ٩, τὴν Δ δὲ ٧, καὶ τὴν μὲν ΖΗ ٩, τὴν δὲ ΗΘ ٢٧, ὅλην δὲ τὴν ΖΘ ٣٦, εἶτα
5κατὰ τὸν στοιχειωτὴν τὴν μὲν Λ διπλασίαν τῆς Δ οὖσαν ١٤, τὴν δὲ Μ τριπλασίαν ٢١, τὴν δὲ Ν ٢٨ καὶ τὴν Κ ٢٧, Κείσθω πάλιν τὸ μὲν ΑΕ٥, τὸ δὲ ΕΒ٧, ἢ τὸ μὲν ΑΕ٩, τὸ δὲ ΕΒ ٣, ἂν ὅλον τὸ ΑΒ τεθείη ١٢. ὁμοίως οὖν καὶ διὰ τῶν αὐτῶν πάλιν τὸ θεώρημα κατασκευασθήσεται.

apndx 2

11

Τῶν πρὸς II p. 16, 19] τῶν ἀνίσων μεγεθῶν δη‐ λονότι. τοῦτο τὸ ιʹ ἐστιν ἀντίστροφον τοῦ ηʹ τὸ τὸν μείζονα λόγον ἔχον, τὸ ἀπὸ τῶν τριῶν μεγεθῶν λέγον τὸ μέγιστον, ἐκεῖνο μεῖζόν ἐστιν, οὐ τοῦ πάνυ σμικροῦ, ἀλλὰ καὶ τοῦ
5μέσου, πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, τὸ σμικρό‐ τατον λέγον μέγεθος πρὸς τὸ μέσον, ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστι, τουτέστι τὸ μέσον, εἰ καὶ μὴ ᾖ ... ἐστιν ἔχει γὰρ τὸ β πρὸς τὸ γ τὸν ἡμιόλιον, τυχὸν δὲ καὶ τὸν διπλασίονα λόγον· ἀλλ’ οὖν πρὸς τὸ τῶν ἄλλων μέγιστον ἤτοι πρὸς τὸ α μέγεθος
10ἔλασσόν ἐστι τὸ μέσον.

apndx 2

12

Ἰστέον, ὅτι τὸ καὶ ἄνισα δύναται συναριθμεῖσθαι ἐν τῷ κειμένῳ καὶ μή· καὶ γὰρ τὸ ἐν διπλασίονι λόγῳ δύναται οὐ μόνον ἐπὶ τῶν ἀνίσων, ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τῶν ἴσων λαμβάνε‐ ται λαμβανομένου τότε τοῦ διπλασίονος οὐ κατὰ τὴν ὑπερ‐
5οχήν, ἀλλὰ κατὰ τὸ θεωρεῖσθαι μόνον τῷ μεταξύ τι ἕτερον ἴσον ἐκείνοις, οἷον ἂν τριῶν μεγεθῶν ἴσων ἀλλήλοις πρὸς ἄλληλα θεωρουμένων φῶμεν τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον
διπλασίονα λόγον ἔχειν, κατὰ τὴν θέσιν μόνον τὸ διπλάσιον λέγομεν. ὁμοίως δὲ κἂν πλείω μεγέθη τὰ θεωρούμενα
10πρὸς ἄλληλα ὦσιν, τὸ τριπλάσιον ἢ τὸ πολλαπλάσιον νοοῦμεν κατὰ μόνην τὴν θέσιν. ὅτε δέ εἰσιν τὰ θεωρούμενα ἄνισα, τότε οὐ μόνον κατὰ τὴν θέσιν, ἀλλὰ καὶ κατὰ τὴν ὑπεροχὴν τὸ διπλάσιον θεωρεῖται. τὰ αὐτὰ δέ φαμεν καὶ ἐπὶ τῶν τριγώνων καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων· ὥστε κατὰ μὲν τὰ
15πρότερον ῥηθέντα ἐπὶ τῶν ἴσων δύναται χωρὶς τοῦ ἄνισα τὸ παρὸν θεώρημα κεῖσθαι, κατὰ δὲ τὸν βʹ λόγον δεῖ προσ‐ κεῖσθαι τὸ καὶ ἄνισα.

apndx 2

13

[Omitted graphic marker] ὅλη ἡ βε ١٦. ὅλη ἡ ηλ ٨ Ἄφες ταῦτα· ὅρα τοὺς ἐν τῷ σχήματι κειμένους ἀριθ‐ μοὺς ἐμοὶ πολλὰ καμόντι ἐφευρεθέντας.

apndx 2

14

Μετὰ τὸ εὑρεῖν τῶν Α καὶ Β καὶ Γ τριῶν ἀριθμῶν τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον τὸ Δ δηλαδὴ καὶ ἀποδεῖξαι τοῦ‐ το ἐξ εὐθείας καὶ διὰ ἀδύνατον λύει τὴν θέσιν ταύτην καὶ ζητεῖ ἐκ περιουσίας εὑρεῖν καὶ τοῦ κοινοῦ καὶ μεγίστου
5μέτρου αὐτοῦ τε καὶ ἐκείνων τῶν τριῶν ἕτερον κοινὸν καὶ μέγιστον μέτρον διὰ τὸ πόρισμα τοῦ πρὸ αὐτοῦ προβλήμα‐ τος καὶ εὑρίσκει τὸν Ε δι’ ἀποδείξεως ὁμοίας τῷ ἀνωτέρω.

apndx 2

15

Ἐπεὶ γὰρ τετράγωνος ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπὸ δύο ἴσων ἀριθμῶν περιεχόμενος, εἰπὲ οὕτως· δωδεκάκις δώδεκα,
καὶ γίνονται ρμδ.

apndx 2

16

Εἰ βούλει εὑρῆσαι τὸν μέσον ἀνάλογον τῶν Α, Β, λαβὲ τὰς πλευρὰς ἀλλήλων, καί εἰσι τοῦ μὲν Α πλευραὶ τὰ γ καὶ ϛ, τοῦ δὲ β τὰ δύο καὶ δ. πολλαπλασίασον τὴν ἐλάττονα πλευρὰν τοῦ Α μετὰ τῆς μείζονος πλευρᾶς τοῦ Β, καὶ
5εὑρήσεις τὸν μέσον ἀνάλογον. εἰπὲ γάρ· τρὶς δ· καὶ γίνεται ιβ· καὶ πάλιν δὶς ϛ· καὶ γίνεται τὰ αὐτά.

apndx 2

17

Πλευραὶ τοῦ κδ τὰ δ καὶ ϛ, τοῦ ϛ τὰ β καὶ γ. εἰπὲ γοῦν δὶς ϛ ιβ καὶ πάλιν τρὶς δ ιβ· καὶ εὑρίσκεται ὁ μέσος ἀνάλογον ἀπὸ τῶν πλευρῶν.

apndx 2

18

Ἔστω κύβος ὁ Α η καὶ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ποιείτω τὸν ξδ· ὁ ξδ κύβος ἐστί, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ ὁ δ καὶ ὁ ιϛ· τετράκις γὰρ τὰ δ ιϛ καὶ τετράκις τὰ ιϛ ξδ.

apndx 2

19

Καὶ ἔχεις τοῦτο διὰ τοῦ πορίσματος τοῦ βʹ βιβλίου τοῦ ηʹ ὅτι· ἐὰν δὲ δ ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἔχωσιν, οἱ ἄκροι αὐτῶν κύβοι· ἡ γὰρ μονὰς δυνάμει ἐστὶ τὰ πάντα.

apndx 2

20

Εἰπὲ οὕτως· τρὶς πέντε ιε καὶ ἑπτάκις ιε ρε· εἰ δὲ βούλει, οὕτως· τρὶς ἑπτὰ κα καὶ πεντάκις κα ρε.

apndx 2

21

Τοῦ δευτέρου ἤτοι τοῦ ΘΚ ξβ ὄντος ἔστιν ἡ ὑπερ‐ οχή, ᾗ ὑπερέχει τοῦ πρώτου ἤτοι τοῦ Ε ἐστι λα, ἔστι γοῦν ὑπεροχὴ τοῦ δευτέρου πρὸς τὸν πρῶτον ἀριθμὸν ἴση· λα γὰρ ὁ Ε, καὶ ἡ ὑπεροχὴ τοῦ δευτέρου ἤτοι ὁ ΝΚ λα· ὥστε
5ἡ ὑπεροχὴ τοῦ δευτέρου πρὸς τὸν πρῶτον ἴση. ὡς γοῦν ἡ τοῦ δευτέρου ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως καὶ ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ ἤτοι τοῦ ΞΗ πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ πάντας. ὑπεροχὴ δὲ τοῦ ἐσχάτου ἐστὶν ὁ ΞΗ, ἥτις ἐστὶ υξε· ἐκ γὰρ τῶν υϙϛ ἀφαιρεθέντος τοῦ λα ἴσου τῷ Ε ἐναπ‐
10ελείφθησαν τὰ υξε, ἅτινα ἔχουσι πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ
οὕτως, ὡς ἡ τοῦ δευτέρου ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον· ὡς γὰρ ἐκεῖ ἴση ἦν ἡ ὑπεροχὴ τοῦ δευτέρου πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως καὶ ὧδε ἡ ὑπεροχὴ τοῦ ἐσχάτου ἤτοι τὰ υξε ἴσα εἰσὶ τοῖς πρὸ αὐτοῦ οἷον τῷ Μ, Λ, ΘΚ καὶ Ε. τὰ γὰρ σμη καὶ
15ρκδ καὶ ξβ καὶ λα ποιοῦσι πάλιν συντεθέντα τὸν υξε. ὥστε ἴσαι αἱ ὑπεροχαί.

apndx 2

22

Αἱ λαμβανόμεναι δύο εὐθεῖαι, ἐξ ὧν αἱ κατὰ σύν‐ θεσιν ἢ ἀφαίρεσιν ἄλογοι γίνονται.

apndx 2

22col 1

ἢ δυνάμει μόνον ἀλλήλαις σύμ‐
μετροιColumn end

apndx 2

22col 2

ἢ καὶ μήκει καὶ δυνάμει
ἀσύμμετροιColumn end

apndx 2

22col 3

μέσαιColumn end

apndx 2

22col 4

ῥηταὶ τὸ μὲν ἀπ’ αὐ‐ τῶν συγ‐ κείμενον
5ῥητόν, τὸ δ’ ὑπ’ αὐτῶν
μέσον.Column end

apndx 2

22col 5

τὸ μὲν ἀπ’ αὐτῶν μέ‐ σον, τὸ δὲ ὑπὸ ῥητὸν
5μέσαι ῥη‐ τὸν περι‐
έχουσαι.Column end

apndx 2

22col 6

τὸ ἀπὸ καὶ τὸ ὑπὸ μέ‐ σον μέσαι μέσον πε‐
5ριέχουσαι.Column end

apndx 2

22col 7

ἢ τὸ μὲν ἀπ’ αὐτῶν συγκείμε‐ νον ῥητόν,
5τὸ δὲ ὑπὸ
μέσον.Column end

apndx 2

22col 8

ἢ τὸ ἀνά‐ παλιν τὸ ἀπὸ μέσον, τὸ
5ὑπὸ
ῥητόν.Column end

apndx 2

22col 9

ἢ ἑκάτε‐ ρον καὶ τὸ ἀπὸ καὶ τὸ
5ὑπὸ
μέσον.Column end

apndx 2

22col 10

Τῶν ἀλόγωνColumn end

apndx 2

22col 11

αἱ μὲν κατὰ γεω‐ μετρικὴν γίνονται με‐
σότητα· αἱ μέσαι.Column end

apndx 2

22col 12

αἱ δὲ κατὰ ἀριθμη‐ τικήν· αἱ κατὰ σύν‐
θεσιν ἄλογοι.Column end

apndx 2

22col 13

αἱ δὲ κατὰ ἁρμονι‐ κήν· αἱ κατὰ ἀφαί‐
ρεσιν ἄλογοι.Column end

apndx 2

23

Ὁ τοῦ εἰκοσιεπτὰ ἀριθμοῦ τετραγωνισμὸς δίδωσι τῇ οἰκείᾳ πλευρᾷ μοίρας πέντε, λεπτὰ πρῶτα ιαʹ, μϛʹʹ ηʹʹʹ νεʹʹʹʹ, καὶ ἀποτελεῖται τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ μοῖραι κϛ λεπτὰ
νθʹ νθʹʹ νθʹʹʹ νεʹʹʹʹ ναʹʹʹʹʹ ληʹʹʹʹʹʹ νγʹʹʹʹʹʹʹ κε ὄγδοα. καὶ
5ἄλλως ἐν τῷ αὐτῷ τετραγωνισμῷ τοῦ εἰκοσιεπτὰ ἀριθμοῦ δίδονται τῇ πλευρᾷ μοῖραι πέντε, λεπτὰ πρῶτα ἕνδεκα, δεύτερα τεσσαράκοντα ἕξ, τρίτα ὀκτώ, πεντήκοντα ἑπτὰ τέταρτα. καὶ οὕτως τῷ τετραγωνισμῷ συνάγονται μονά‐ δες εἰκοσιεπτὰ διὰ τῶν τεσσάρων γνωμόνων ἀπό τε αὐτοῦ
10τοῦ προυποτεθειμένου τετραγώνου τοῦ ἔχοντος μοίρας εἰκοσιπέντε. περιττεύουσι δὲ ἐν τοῖς καταγεγραμμένοις γνώμοσι λεπτὰ τέταρτα ιε πέμπτα β ἕκτα μϛ ἕβδομα ϛ ὄγδοα θ, ἅτινα παρεῶνται ὡς λεπτότατον λίαν πολλο‐ στημόριον τῆς μονάδος, ἃ καὶ ἀνεπαίσθητα τῇ φύσει κα‐
15λοῦσι.

apndx 2

24

Οὐ χρεία σοι ὦ οὗτος ἀριθμῶν καὶ λεπτῶν ὧδε, ἀλλ’ οὐδὲ λεπτῶν ὅλως ἐν ὅλῃ γεωμετρίᾳ· ματαία γὰρ αὕτη φιλοτιμία· ἀλλ’ ὡς ὁ γεωμέτρης δείκνυσι ταῦτα, οὕτω χρὴ κατανοεῖν τὴν τούτων ἀπόδειξιν. ἐν δ’ ἀστρονομίᾳ οἰκεῖος
5ὁ τῶν λεπτῶν ἐπιλογισμός, καθὸ καὶ ὁ Πτολεμαῖος τοῦτο ποιεῖ· ἐκ γὰρ τοῦ συνεγγίζοντος καὶ τοῦ πρὸς αἴσθησιν ἀκριβοῦς αἱ ἀστρονομικαὶ ἀποδείξεις· ἐνταῦθα δὲ ἐκ τοῦ πλήρους, ὅπερ εὑρεῖν οὐ δύναται ὁ ἐκ τῶν λεπτῶν συμ‐ ψηφισμός.

apndx 2

25

Ῥηταὶ παρὰ τῶν παλαιῶν οὐ μόνον αἱ μήκει σύμ‐ μετροι ἐλέγοντο, ἀλλὰ καὶ αἱ δυνάμει σύμμετροι καὶ αὐταὶ
ῥηταὶ ἐλέγοντο.

apndx 3

t

Appendix scholiorum 3

apndx 3

1

αʹ γένος. πολλαπλάσιος ἀριθμός ἐστιν ὁ μετρούμενος ὑπὸ τοῦ, οὗ ἐστι πολλαπλάσιος, καὶ λέγεται κατὰ γένος, κατὰ εἶδος δὲ διπλάσιος, τριπλάσιος καὶ εἰς ἄπειρον. βʹ. κατὰ γένος ἐπιμόριος ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπὸ ἑτέρου
5μετρούμενος ἅπαξ καὶ περισσεύων τινός, ὅπερ τινὸς μετρεῖ τὸν μετρήσαντα, οἷον ὁ θ καὶ ὁ ιβ· μετρεῖ ὁ θ τὸν ιβ καὶ περισσεύει γ, καὶ ὁ γ μετρεῖ τὸν θ. κατὰ εἶδος δὲ ἐπίτριτος, ἐπιτέταρτος, ἐπιέβδομος καὶ εἰς ἄπειρον. γʹ. κατὰ γένος ἐπιμερὴς δὲ ὁ μετρούμενος ὑπὸ ἑτέρου
10ἅπαξ, καὶ περισσεύει τι, ὅπερ οὐ μετρεῖ τὸν μετρήσαντα, οἷον ὁ θ καὶ ὁ ια. κατὰ εἶδος δὲ ἐπιδισμόριος ἢ ἐπιτρισμό‐ ριος καὶ ἔτι κατὰ εἶδος ἐπιδισέννατος καὶ ἐπιτρισέννατος. Ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἡ πρώτη πρὸς τὴν γʹ διπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ πρὸς τὴν βʹ, τουτ‐
15έστιν ἐὰν ἔχῃ ἡ αʹ πρὸς τὴν βʹ λόγον τριπλασίονα, ἡ αʹ πρὸς τὴν γʹ λόγον ἕξει δὶς τὸν αὐτὸν τὸν τριπλασίονα, τουτέστιν ἐννεαπλασίονα· τρὶς γὰρ τὰ τρία θ. τοῦτο γάρ ἐστι καὶ τὸ λεγόμενον ἐν τοῖς ὅροις τοῦ ϛʹ βιβλίου. Λόγος ἐκ λόγων συγκεῖσθαι λέγεται καὶ τὰ ἑξῆς· οἷον
20τρὶς τρὶς θ, ὁ ἐννεαπλοῦς διπλασίων ἐστὶ τοῦ τριπλασίου,
καί ἐστι λόγος ἐκ λόγων συγκείμενος. ὁ δὲ δωδεκαπλάσιος λόγος σύγκειται ἐκ β λόγων τριπλασίου τε καὶ τετραπλα‐ σίου ἢ διπλασίου καὶ ἑξαπλασίου, καὶ ἐπὶ πάντων τὸ αὐτὸ νοείσθω. τὰ ὅμοια τρίγωνα πρὸς ἄλληλα ἐν διπλασίονι [Omitted graphic marker]
25λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν, καί ἐστιν ὁ μὲν τῆς εὐθείας πρὸς τὴν εὐθεῖαν τὴν ὁμόλογον τῆς βγ πρὸς τὴν εζ τριπλάσιος, ὁ δὲ λόγος τοῦ αβγ τριγώνου πρὸς τὸ εδζ τρίγωνον ἐννεαπλάσιος, ὁ δὲ λόγος τοῦ λόγου διπλάσιος. [Omitted graphic marker] [Start of a diagram]ἁπλοῖ ἁπλοῖ ἁπλοῖ
30πολλαπλάσιος ἐπιμόριος ἐπιμερίς διπλοῖ οἱ πολλαπλάσιοι πολλαπλασιεπιμόριος πολλαπλασιεπιμερίς ὑποπολλαπλάσιος ὑποεπιμόριος ὑποεπιμερίς ὑποπολλαπλασιεπιμόριος ὑποπολλαπλασιεπιμερίς[End of a diagram]
35Ἡ πηλικότης τοῦ τριπλασίου ἐστὶν ὁ τρία πρὸς ἕνα, τοῦ τετραπλασίου ὁ τέσσαρα πρὸς ἕνα, τοῦ ἡμιολίου ὁ τρία
πρὸς δύο καὶ τὸ ἑξῆς. [Omitted graphic marker] Ὁ ἐκ διπλασίου καὶ ἡμιολίου ὁ τοῦ ἓξ πρὸς τρία καὶ τρία πρὸς δύο. ὁ ἐξ ἡμιολίου καὶ τριπλασίου λαμβανόμενος ὁ
40τρία καὶ δύο ἡμιόλιος, ὁ δύο καὶ ἕνα διπλάσιος. ὁ ἐξ [Omitted graphic marker] ἐπιτρίτου καὶ τετραπλασίου λαμβανόμενος ἐπίτριτος ὁ ιϛ τοῦ ιβ, καὶ ὁ ιβ τοῦ τρία τετραπλάσιος. ὁ ἐξ ἀφαιρέσεως διπλασίου τριπλάσιος ὁ καταλειπόμενος ὑποημιόλιος. ὁ ἓξ διπλάσιός ἐστι τοῦ γ. ἐὰν ἀπὸ τοῦ ϛ ἀφαιρῇς πρὸς δύο
45ἤγουν τὸ τριπλάσιον, καταλείπεται ὁ δύο πρὸς τρία ὑπο‐
ημιόλιος. Ὁ ἐξ ἀφαιρέσεως τοῦ διπλασίου τριπλάσιος πρὸς τὸν ἐλάσσονα ὁ καταλειπόμενος ὑποημιόλιος. ὁ β πρὸς ἕνα διπλάσιος, ἐὰν ἀφέλωμεν ἀπὸ τοῦ ἑνὸς τὸν τρία πρὸς ἕνα

apndx 3

1

(50)

τριπλάσιον, καταλείπεται δύο πρὸς τρία ὑποημιόλιος. Ὅτε οἱ τρεῖς ὅροι οὐκ εἰσὶν ἐν τῇ ταυτότητι τῶν λόγων τῆς ἀναλογίας, τότε οὐ λέγομεν τὸ πρῶτον καὶ τὸ τρίτον διπλασίονα λόγον ἔχειν ἤπερ πρὸς τὸ δεύτερον. Ἔστωσαν γὰρ ἀριθμοὶ οἱ α, β, γ, καὶ ὁ μὲν ὑπὸ α, β
55ἔστω ὁ δ, ὁ δὲ ὑπὸ β, γ ὁ ε, ὁ δὲ ὑπὸ α, γ ὁ ζ, καὶ ὁ μὲν α τὸν ε πολλαπλασιάσας τὸν η ποιείτω, ὁ δὲ β τὸν ζ πολλαπλα‐ σιάσας τὸν θ ποιείτω, καὶ ἔτι ὁ γ τὸν δ πολλαπλασιάσας [Omitted graphic marker] τὸν κ ποιείτω. λέγω, ὅτι ἴσοι εἰσὶν οἱ η, θ, κ ἀριθμοί. ἐπεὶ γὰρ ὁ α τὸν β πολ‐
60λαπλασιάσας τὸν δ πεποίηκεν, τὸν δὲ γ πολλαπλασιάσας τὸν ζ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα, ὡς ὁ β πρὸς τὸν γ, οὕτως ὁ δ πρὸς τὸν ζ. ὁ ἄρα ὑπὸ β, ζ, τουτέστιν ὁ θ, ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ γ, δ, τουτέστι τῷ κ. πάλιν
65ἐπεὶ ὁ γ τὸν μὲν α πολλαπλασιάσας τὸν ζ πεποίηκεν, τὸν δὲ β πολλαπλασιάσας τὸν ε πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα, ὡς ὁ α πρὸς τὸν β, οὕτως ὁ ζ πρὸς τὸν ε. ὁ ἄρα ὑπὸ α, ε, τουτέστιν ὁ η, ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ β, ζ, τουτέστι τῷ θ. οἱ ἄρα η, θ, κ ἀριθμοὶ ἴσοι
70ἀλλήλοις εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἔστω β μεγέθη τὰ α, γ, καὶ ἐχέτω λόγον τὸ α πρὸς τὸ γ, οὗ πηλικότης ὁ δ, καὶ παρεμπεσέτω μέσον τῶν α, γ μεγε‐ θῶν τυχὸν μέγεθος τὸ β. λέγω, ὅτι ὁ τοῦ α πρὸς τὸ γ λόγος ὁ δ σύγκειται ἐκ τοῦ, ὃν ἔχει τὸ α πρὸς τὸ β, οὗ πηλικότης
75τὸ ζ, καὶ τοῦ β πρὸς τὸ γ, οὗ πηλικότης τὸ ε. ἐπεὶ γὰρ ὁ δ τὸ γ πολλαπλασιάσας τὸ α πεποίηκεν, τὸ α ἄρα τοῦ γ
πολλαπλάσιόν ἐστι κατὰ τὸ δ. πάλιν ἐπεὶ ὁ ε τὸ γ πολλα‐ πλασιάσας τὸ β πεποίηκε, ὁ δὲ ζ τὸ β [Omitted graphic marker] πολλαπλασιάσας τὸ α πεποίηκεν, ὁ ἄρα
80ζ τὸν ἐκ τῶν ε, γ πολλαπλασιάσας τὸ α πεποίηκεν. καὶ ὁ γ ἄρα τὸν ἐκ τῶν ζ, ε πολλαπλασιάσας τὸ α πεποίηκεν διὰ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ λῆμμα. ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν ζ, ε τῷ δ. ὁ δ ἄρα σύγκειται
85ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῶν ζ, ε. Ὑπόμνημα σχόλιον εἰς τὰς τῶν λόγων σύνθεσίν τε καὶ ἀφαίρεσιν Λέοντος. Ἔστωσαν ἀριθμοὶ οἱ α, β, γ, καὶ ὁ μὲν ὑπὸ α, β ἔστω ὁ δ, ὁ δὲ ὑπὸ β, γ ὁ ε, καὶ ἔτι ὁ ὑπὸ α, γ ὁ ζ, καὶ πάλιν ὁ [Omitted graphic marker]
90μὲν ὑπὸ α, ε ἔστω ὁ η, ὁ δὲ ὑπὸ β, ζ ὁ θ, καὶ ἔτι ὁ ὑπὸ γ, δ ὁ κ. λέγω, ὅτι οἱ η, θ, κ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις εἰσίν. ἐπεὶ γὰρ ὁ μὲν ὑπὸ α, β ἐστιν ὁ δ, ὁ δὲ ὑπὸ α, γ ἐστιν ὁ ζ, ἔστιν ἄρα, ὡς ὁ β
95πρὸς τὸν γ, οὕτως ὁ δ πρὸς τὸν ζ. ὁ ἄρα ὑπὸ γ, δ ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ β, ζ, τουτ‐ έστιν ὁ κ ἴσος ἐστὶ τῷ θ. πάλιν ἐπεὶ ὁ μὲν ὑπὸ α, β ἐστιν ὁ δ, ὁ δὲ ὑπὸ β, γ ἐστιν ὁ ε, ἔστιν ἄρα, ὡς ὁ α πρὸς τὸν γ, οὕτως ὁ δ πρὸς

apndx 3

1

(100)

τὸν ε· ὁ ἄρα ὑπὸ γ, δ, τουτέστιν ὁ κ, ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ α, ε, τουτέστι τῷ η. ἀλλ’ ὁ κ τῷ θ ἐστιν ἴσος· οἱ τρεῖς ἄρα οἱ η, θ, κ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις εἰσίν. Λῆμμα βʹ Ἔστω ἀριθμὸς ὁ α τοῦ β πολλαπλάσιος κατὰ τὸν γ. λέγω,
105ὅτι καὶ ὁ β τοῦ α πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸ ὁμώνυμον
μέρος τοῦ γ. ἐπεὶ γὰρ ὁ β τὸν α μετρεῖ κατὰ τὸν γ, ἔστιν ἄρα, ὡς ὁ β πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν γ. ὡς δὲ ἡ μονὰς πρὸς τὸν γ, οὕτως τὸ ὁμώνυμον μόριον τοῦ γ πρὸς μονάδα. καὶ ὡς ἄρα ὁ β πρὸς τὸν α,
110οὕτως τὸ ὁμώνυμον μόριον τοῦ γ πρὸς μονάδα. ὁ ἄρα ὑπὸ τοῦ β καὶ μονάδος, τουτ‐ έστιν αὐτὸς ὁ β, ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ τοῦ α καὶ τοῦ ὁμωνύμου τῷ γ. ια ιβ
115ιγ μ̊ ὁμώνυμον τοῦ γ μόριον τὸ γʹ Ἵνα δὲ καὶ ἀριθμητικῶς σαφηνισθῇ τὰ τοιαῦτα, ἐπὶ μὲν τοῦ αʹ λήμματος λέγομεν, ὅτι ὁ τετράκις πέντε ἑξάκις
120ἴσος ἐστὶ τῷ πεντάκις τε ἓξ τετράκις καὶ τῷ ἑξάκις τέσσαρα πεντάκις, τουτέστι τῷ ρκ. ἐπὶ δὲ τοῦ βʹ λήμματος ὁ ἑκατὸν τοῦ εἴκοσι πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸν ε, καὶ ὁ κ τοῦ ρ πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸν εʹ. Λῆμμα γʹ
125Ἔστω ὁ α τοῦ β ἐπιμόριος κατὰ τὸν γ. λέγω, ὅτι καὶ ὁ β τοῦ α ἐπιμόριός ἐστι κατὰ τὸ ὁμώνυμον μόριον τοῦ γ ἐναλλάξ, τουτέστιν, εἴ ἐστιν ὁ α τοῦ β ἐπίτριτος, τουτέστιν ἔχων αὐτοῦ τρίτα τέσσαρα, καὶ ὁ β τοῦ α ἔσται τέταρτα τρία. ἐπεὶ γὰρ ὁ α πρὸς τὸν β λόγον ἔχει, ὃν τέσσαρα πρὸς
130τρία, καὶ ὁ β ἄρα πρὸς τὸν α λόγον ἕξει, ὃν τρία πρὸς τέσ‐ σαρα, καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς ἐπιμορίων ὡσαύτως. Λῆμμα δʹ Ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τῶν ἐπιμερῶν τὸ αὐτὸ συμβαίνει. εἰ γὰρ ὁ α πρὸς τὸν β λόγον ἔχει, ὃν ὁ ζ πρὸς τὸν ε, καὶ ὁ β πρὸς
135τὸν α λόγον ἕξει, ὃν ὁ ε πρὸς τὸν ζ ἐναλλάξ, τουτέστιν ἀντὶ τοῦ ἑπταπέμπτου τὸν πενταέβδομον, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὡσαύτως. τὰ δ’ αὐτὰ νοεῖν δεῖ καὶ ἐπὶ τῶν συνθέτων λόγων οἷον πολλαπλασιεπιμορίων καὶ πολλαπλασιεπιμερῶν. εἰ γὰρ ἔσται τυχὸν ὁ α τοῦ β διπλασιεπίτριτος, τουτέστι
140λόγον ἔχων πρὸς τὸν β, ὃν ὁ ζ πρὸς τὸν γ, τουτέστιν ἑπτά‐
τριτος αὐτοῦ, ἔσται καὶ ὁ β τοῦ α ὑποδιπλασιεπίτριτος, τουτέστι λόγον ἔχων πρὸς αὐτόν, ὃν ὁ γ πρὸς τὸν ζ, τουτ‐ έστι τριέβδομος. τὸ δ’ αὐτὸ νοητέον καὶ ἐπὶ τῶν πολλα‐ πλασιεπιμερῶν. εἰ γὰρ ὁ α τοῦ β διπλασιεπιτρίπεμπτος εἴη,
145τουτέστι λόγον ἔχων πρὸς αὐτόν, ὃν ὁ ιγ πρὸς τὸν ε, τουτ‐ έστι τρισκαιδεκαπέμπτος, ἔσται καὶ ὁ β τοῦ α πεντατρισ‐ καιδέκατος, καὶ τὰ ἄλλα οὕτως. Τούτων δὲ προθεωρηθέντων ἔστω τὸ α μέγεθος πρὸς τὸ β λόγον ἔχον, οὗ λόγου πηλικότης ἔστω τὸ γ, καὶ

apndx 3

1

(150)

μεταξὺ τῶν α, β ἐμπιπτέτω τυχὸν μέγεθος τὸ δ. λέγω. ὅτι ὁ τοῦ α πρὸς τὸ β λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει τὸ α πρὸς τὸ δ καὶ τὸ δ πρὸς τὸ β. ὅτι μὲν γὰρ τὸ β τὴν γ πηλικότητα τοῦ λόγου πολλαπλασιάσαν τὸ α ἐποίησεν, δῆλον· ἀλλ’ ἐπεὶ πάλιν τὸ β μέγεθος τὴν ζ πηλικότητα
155τοῦ λόγου τῶν δ, β πολλαπλασιάσαν τὸ δ πεποίηκεν, ἀλλὰ καὶ τὸ δ μέγεθος τὴν ε πηλικότητα τοῦ λόγου τῶν α, δ πολλαπλασιάσαν τὸ α πεποίηκεν, διὰ τὸ αʹ ἄρα λῆμμα, [Omitted graphic marker] ἐπειδὴ τὸ ε τὸν ἐκ τῶν β, ζ πολλα‐ πλασιάσαν τὸ α πεποίηκεν, καὶ τὸ β ἄρα
160τὸν ἐκ τῶν ε, ζ πολλαπλασιάσαν τὸ α πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ ὑπὸ β, γ ἐστιν ὁ α, καὶ πάλιν ὁ ὑπὸ β, ζ, ε ἐστιν ὁ α· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ὑπὸ β, γ τῷ ὑπὸ β, ε, ζ. ἡ ἄρα γ πηλικότης τοῦ τῶν α,
165β μεγεθῶν λόγου ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ τῶν ε, ζ πηλικοτήτων γενομένῃ. σύγκειται ἄρα ἡ γ πηλικότης ἐκ τῆς ε ἐπὶ τὴν ζ πολλαπλασιασθεῖσαν. τὰ δ’ αὐτὰ ἐροῦ‐ μεν, καὶ ἐὰν μεταξὺ τῶν α, δ ἐμπέσῃ μέγεθος, καὶ πάλιν ἐὰν μεταξὺ τῶν β, δ ἄλλο ἐμπέσῃ· ἡ γὰρ αὐτὴ ἔφοδός
170ἐστιν. Ὑπόδειγμα Ἔστω ὁ α πρὸς τὸν β λόγον ἔχων, ὃν ὁ ζ πρὸς τὸν ε· ἡ
ἄρα γ πηλικότης οὖσα τοῦ λόγου τῶν α, β ἔσται πεμπτη‐ μορίων ζ. ἐμπιπτέτω δὴ μεταξὺ τῶν α, β μέγεθος τὸ δ
175ἔχον καὶ αὐτὸ μονάδας ια. ἡ ἄρα ζ πηλικότης οὖσα τῶν δ, β τοῦ λόγου ἔσται πεμπτημορίων ια· ἡ ἄρα ε πηλικότης οὖσα τῶν α, δ τοῦ λόγου ἔσται ἑνδεκάτων ζ. Ὅτι δὲ τὸ ὀρθογώνιον τὸ περιεχόμενον ὑπό τε ἑνδεκά‐ των ζ καὶ ὑπὸ πεμπτημορίων ια γίνεται πεμπτημορίων ζ, [Omitted graphic marker]
180φανερόν· τὰ γὰρ ζ ἐπὶ τὰ ια γίνεται οζ, τὸ δὲ ἑνδεκατημό‐ ριον ἐπὶ τὸ πεμπτημόριον πολλαπλασιαζόμενον γίνεται πεντηκοστοπεμπτημόριον· τὰ οὖν οζ πεντηκοστοπεμπτη‐ μόρια γίνεται πεμπτημόρια ζ, τουτέστιν ἡ πηλικότης τοῦ λόγου τῶν α, β. [Omitted graphic marker]
185Ἀλλὰ δὴ νῦν ὑποκείσθω τὸ α πρὸς τὸ β λόγον ἔχον, ὃν ὁ ιζ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ιγ, καὶ δὲ ἐξ αὐτοῦ ἀφελεῖν, ὃν ἔχει λόγον ὁ ιθ πρὸς τὸν ια. ποιῶ οὖν, ὡς ὁ ιθ πρὸς τὸν ια, οὕτως τὸν ιζ πρὸς ρπζ ἐννεακαιδέκατα. λοιπὸς ἄρα λόγος μένει ὁ τῶν ρπζ ιθʹ πρὸς μονάδας ιγ, τουτέστιν ἐὰν ἐννεακαι‐
190δεκάκις τὰ ιγ ποιήσωμεν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς τοῖς τῶν [Omitted graphic marker] ρπζ πρὸς σμζ· ἅπερ προέκειτο δεῖξαι. [Start of a diagram]αἱ ἐπίπεδοι γωνίαι περιέχονται [Start of a diagram section]ἢ ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁμοίων γραμμῶν ἢ εὐθύγραμμοι
195 ἢ ὀξεῖα ἢ ὀρθὴ ἢ ἀμβλεῖα ἢ περιφερόγραμμοι αἱ δύο κυρταί

apndx 3

1

(200)

αἱ δύο κοῖλαι[End of a diagram section] [Start of a diagram section]ἢ ὑπὸ ἀνομοίων ἢ ὑπὸ περιφερειῶν ἀνομοίων ἢ ὑπὸ εὐθείας καὶ περιφερείας
ἢ κυρτῆς ὡς ἡ κερατοειδής
205
ἢ κοίλης ὡς ἡ τῶν τμημάτων[End of a diagram section][End of a diagram] [Start of a diagram]τῶν τριπλεύρων ἰσόπλευρον ἰσοσκελές σκαληνόν[End of a diagram] [Start of a diagram] τῶν τριγώνων
ἀμβλυγώνιον ὀρθογώνιον ὀξυγώνιον[End of a diagram]
210[Start of a diagram]τῶν τετραπλεύρων [Start of a diagram section]παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον
ἰσόπλευρον
ἑτερόμηκες
215 οὐκ ὀρθογώνιον
ἰσόπλευρον ῥόμβος
ῥομβοειδές[End of a diagram section] [Start of a diagram section]τραπέζια τὸ ἀπεναντίον ον τ =
220α εὐθύγραμμος β ἐκ δύο κυρτῶν γ ἐκ δύο κοίλων δ τῶν μηνίσκων ε τῶν τμημάτων
225ϛ κερατοειδής[End of a diagram section][End of a diagram]

apndx 3

2

Ἡ τῶν λόγων σύνθεσις ἐν τρισὶν ὅροις γίγνεται τοῦ μέσου ὅρου ὁτὲ μὲν τοῦ μὲν τῶν ἄκρων ἐλάττονος, τοῦ δὲ μείζονος λαμβανομένου, ὁτὲ δὲ καὶ ἑκατέρου μείζονος, ὁτὲ δὲ καὶ ἑκατέρου ἐλάττονος, καὶ τούτου ἐν τῶν λόγων τῇ
5συνθέσει ὑπεξαιρουμένου· ἡ δὲ λόγου ἀπὸ λόγου ἀφαίρεσις ἐκκειμένων τριῶν ὅρων, ὧν εἷς κοινὸς τοῦ τε ἀφαιρουμέ‐ νου λόγου καὶ ἀφ’ οὗ δεῖ τὸν ἀφαιρούμενον τοῦτον ἀφελεῖν, καὶ ἔπειτα τετάρτου ἀνάλογον προσευρημένου τὸν λοιπὸν ὅρον ἐν τῷ τε κοινῷ τῶν προεκκειμένων καὶ τῷ τετάρτῳ
10τούτῳ προσευρημένῳ καταλείπει μέσῳ ληφθέντι τῶν τὸν λόγον περιεχόντων ὅρων, ἀφ’ οὗ δεῖ τὸν ἀφαιρούμενον ἀφελεῖν, καὶ ἔπειτα θατέρου τῶν ἄκρων ὑπεξῃρημένου. ὁ δὲ τέταρτος ἀνάλογον ὅρος προσευρίσκεται δυοῖν μὲν ὅρων
ἀλλήλους πολλαπλασιασάντων, τοῦ δὲ ἐκ τοῦ πολλαπλα‐
15σιασμοῦ γεγονότος παρὰ τὸν λοιπὸν μεμερισμένου· ὁ γὰρ ἐκ τοῦ τοιούτου μερισμοῦ γεγονὼς ὁ τέταρτος ἀνάλογον ὅρος ἐστίν, ὅς, ἐὰν μὲν τῶν ἐξ ἀρχῆς ὅρων οἱ ἄκροι, τουτ‐ έστιν ὅ τε μέγιστος καὶ ὁ ἐλάχιστος, ἀλλήλους πολλα‐ πλασιάσωσι, παρὰ δὲ τὸν μέσον ὁ μερισμὸς γένηται, μέσος
20ληφθήσεται τοῦ τε ἑτέρου τῶν ἄκρων καὶ τοῦ τῶν ἐξ ἀρχῆς μέσου, ἐὰν δὲ τῶν ἐξ ἀρχῆς ὁ μὲν μέσος τὸν ἕτερον τῶν ἄκρων πολλαπλασιάσῃ, παρὰ δὲ τὸν λοιπὸν ὁ μερισμὸς γένηται, οἱ μὲν ἀλλήλους πολλαπλασιάσαντες μέσοι, παρ’ ὃν δ’ ἂν ὁ μερισμὸς γένηται, καὶ ὁ ἐκ τοῦ μερισμοῦ οὗτος
25γεγονὼς οἱ ἄκροι ἔσονται.

apndx 3

3

Γεωμετρία ἐστὶ γνῶσις ποσοῦ συνεχοῦς ἐν θέσει ἀκινήτῳ· ποσὸν γὰρ συνεχὲς θέσει ἀκίνητόν ἐστιν ἡ γῆ. ἀστρονομία δὲ γνῶσις ποσοῦ διωρισμένου ἐν θέσει ἀκινή‐ τῳ. ἄλλως· γεωμετρία ἐστὶν ἐπιστήμη περὶ ποσὸν κατα‐
5γινομένη συνεχὲς ἀκίνητον συλλογιστικαῖς μεθόδοις δι’ ἀξιωματικῶν ἐννοιῶν μήκους, πλάτους καὶ βάθους μέτρη‐ σιν εὑρίσκουσα.

apndx 3

4

Πρόβλημα μέν ἐστι μέρος λόγου εἰς ἑτέρου δεῖξιν προβαλλόμενον, ὡς ὅταν λέγωμέν τινι· δεῖξον, εἰ ἡ ψυχὴ ἀθάνατός ἐστιν, ἰδοὺ τοῦτο πρόβλημά ἐστι. θεώρημα δέ ἐστι ἐπισκεπτόμενον πρᾶγμα μόνῃ διανοίᾳ καὶ μέχρι
5ταύτης ἱστάμενον.

apndx 3

5

Ὁ Μεγαρικὸς οὗτος Εὐκλείδης ἰσόχρονος ἦν τῷ Ἀλεξάνδρῳ, ὁ δὲ Θέων τῷ Ἁδριανῷ.

apndx 3

6

Ἕτερον. Μαθεῖν νοητῶν εἰ ποθεῖς ὄντων φύσιν ἐκ τῶν ὁρατῶν ὑλικῶν ποιημάτων ἕξει, μέτελθε γράμματα τάδ’ Εὐκλείδου
5γραμμικά τε γνώρισον ὡς δέον λόγοις ἐπίπεδά τε καὶ διπλῆν ἄλλην ὕλην μαθηματικῶν μὴ παραδράμῃς φίλος τοὺς μετρικούς τε συμβαλὼν τούτοις λόγοις καὶ νοῦν ἐν αὐτοῖς ἐργασάμενος μέγαν
10ἧξον πρὸς αἰθέριον ἐν τάχει θέαν τὴν τῶν νοητῶν ἱστορῶν πᾶσαν φύσιν.

apndx 3

7

Τὰ θεωρήματα τῆς γεωμετρίας εἰσὶ ταῦτα· τοῦ αʹ μη τοῦ βʹ ιδ τοῦ γʹ λζʹ τοῦ δʹ ιϛ τοῦ εʹ κε τοῦ ϛʹ λγ τοῦ ζʹ μα τοῦ ηʹ κζ τοῦ θʹ λϛ τοῦ ιʹ ρκγ τοῦ ιαʹ μ τοῦ ιβʹ ιη τοῦ ιγʹ ιζ ὁμοῦ ..

apndx 3

8

Ὅτι δυνατὸν ἑκάστην τῶν ἀλόγων ἐπ’ ἄπειρον λαμ‐ βάνειν. Πτῶσίς ἐστιν διάφορος μετάθεσις σημείου τε καὶ εὐ‐ θείας.
5Ὅτι ἑπτὰ εἴδη τῶν τριγώνων· τὸ ἰσόπλευρον μονοειδῶς, τὸ δὲ ἰσοσκελὲς ἢ ὀρθογώνιόν ἐστιν ἢ ἀμβλυγώνιον ἢ ὀξυγώνιον, καὶ τὸ σκαληνὸν ὡσαύτως. Ὅτι οὐκ ἔστιν εὑρεῖν τετράγωνον ἀριθμὸν τετραγώνου διπλάσιον, ἀλλ’ οὐδὲ ἰσοπλεύρου τριγώνου ὀρθογώνιον τὴν
10ὑποτείνουσαν ἴσον τῶν δύο τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ἔχον. Ῥητὰ μεγέθη λέγεται, ὅσα ἐστὶν ἀλλήλοις σύμμετρα, ὅσα δὲ ἀσύμμετρα, ἄλογά ἐστι μὴ ἔχοντα λόγον πρὸς ἄλληλα.

apndx 3

9

Ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ ση‐ μείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσιν δύο εὐθεῖαι ἐφαπτό‐ μεναι τοῦ κύκλου, ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. Κύκλου γὰρ τοῦ αγβ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ ε, καὶ
5ἀπὸ τοῦ ε πρὸς τὸν αγβ κύκλον προσπιπτέτωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ εα, εβ ἐφαπτόμεναι αὐτοῦ κατὰ τὰ α, β σημεῖα.
λέγω, ὅτι αἱ εα, εβ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. εἰλήφθω τὸ κέντρον [Omitted graphic marker] τοῦ κύκλου καὶ ἔστω τὸ δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ αδ, δβ, βα. καὶ ἐπεὶ αἱ βε, εα εὐθεῖαι ἐφάπτουσι τοῦ κύκλου, ἀπὸ
10δὲ τοῦ δ κέντρου ἐπιζευχθεῖσαί εἰσιν εἰς αὐτὰς εὐθεῖαι αἱ δα, δβ, αἱ ἄρα ὑπὸ δαε, δβε ὀρθαί εἰσιν. δῆλον δέ, ὅτι καὶ γωνίαι αἱ ὑπὸ δαβ, δβα ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ βαε λοιπῇ τῇ ὑπὸ αβε ἴση ἐστίν. ἐὰν δὲ τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας
15ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται. ἴση ἄρα καὶ ἡ αε τῇ εβ. ἐὰν ἄρα κύκλου καὶ τὰ ἑξῆς· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

apndx 3

10

Νικηφόρου τοῦ Γρηγορᾶ πρόβλημα. Ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας τετράπλευρον συστήσασθαι ὥστε εἶναι τὰς μὲν τρεῖς πλευρὰς ἴσας ἀλλήλαις, τὴν δὲ τετάρτην μείζονα ἑκάστης τούτων, καὶ γίνεσθαι τὸ ἀπὸ
5ταύτης τετράγωνον μεῖζον τῶν τριῶν τετραγώνων ὁμοῦ συναγομένων τῶν ἀπὸ τῶν τριῶν πλευρῶν ἰδίᾳ γινομένων τῷ ἀπὸ τῆς μιᾶς πλευρᾶς τῶν τριῶν γινομένῳ τετραγώνῳ. Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ αβ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ ε, καὶ συνεστάτω ἐφ’ ἑκατέρου τῶν τμημάτων ἰσόπλευρα
10τρίγωνα τό τε αγε καὶ τὸ εδβ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ γδ. λέγω, ὅτι τῇ αβ παράλληλός ἐστιν ἡ γδ. ἐπεὶ γὰρ τὰ δύο τρίγωνα τό τε αγε καὶ τὸ εδβ ἴσα ὄντα ἐπὶ ἴσων βάσεων βεβήκασι καὶ ἐπ’ εὐθείας ἔχουσιν αὐτὰς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη εἰσί, καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις εἰσί· παράλληλος ἄρα
15τῇ αβ ἡ γδ. λέγω δή, ὅτι καὶ τῆς γδ μεῖζον δύνα‐ ται ἡ αβ τῷ ἀπὸ ἴσων αὐτῇ τριῶν πλευρῶν. ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν αγδε καὶ βδγε καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς γδ, αβ καὶ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς γδ, ἴσα ἀλλήλοις εἰσίν. ἴση ἄρα ἐστὶν [Omitted graphic marker]
20ἡ αγ τῇ εδ καὶ ἡ βδ τῇ εγ· τῶν γὰρ παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπ‐ εναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἴση ἄρα καὶ ἡ γδ ἑκατέρᾳ τῶν αε, εβ τὸν ὅμοιον τρό‐
25πον. ὅλη ἄρα ἡ αβ διπλασίων ἐστὶ τῆς γδ· τὰ δὲ μήκει διπλάσια δυνάμει τετραπλάσια· τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς αβ τοῦ ἀπὸ τῆς γδ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν τριῶν πλευρῶν τετράγωνα τῆς τε αγ καὶ γδ καὶ δβ ἐλάττονά εἰσι τοῦ ἀπὸ τῆς αβ ἑνὶ τούτων
30τετραγώνῳ. μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς αβ τῶν ἀπὸ τῶν τριῶν πλευρῶν γινομένων τετραγώνων τῷ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς τῶν τριῶν γινομένῳ τετραγώνῳ. ἐπὶ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας τετράπλευρον συνέσταται καὶ τὰ ἑξῆς· ὅπερ
ἔδει δεῖξαι.