TLG 4088 005 :: ANTHEMIUS :: Fragmentum mathematicum Bobiense

ANTHEMIUS Math. Mech., Frater Alexandri Tralliani
(Trallianus: A.D. 5–6)

Fragmentum mathematicum Bobiense

Source: Huxley, G.L. (ed.), Anthemius of Tralles. A study in later Greek geometry [Greek, Roman and Byzantine monographs 1] Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1959: 53–58.

Citation: Page — (line)

4tfragmentum Bobiense
5〈ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆσ〉 | ΕΗ, τετραπλασίων δὲ ἡ ΓΑ τῆς ΑΒ, τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν[Omitted graphic marker] ΒΑΗ, τουτέστι τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΑΔ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΕ, τουτέστι τῷ τετράκις ἀπὸ
10τῆς ΑΖ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΖ· 〈ὀρθὴ ἄρα ἡ πρὸσ〉 τῷ Ζ γωνία. καί ἐστιν ἴση ἡ ΔΖ τῇ ΖΕ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΕ.
15δεδειγμένου δὲ τούτου ἔστω κώνου τομὴ πάλιν παραβολή, ἧς διάμετρος μὲν ἡ ΑΒ, παρ’ ἣν δὲ δύνανται ἡ ΑΓ, καὶ τῆς ΑΓ τέταρτον ἔστω ἡ ΑΒ, καὶ ἀπὸ τυχόντος σημείου τῶν ἐπὶ τῆς τομῆς τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω
20ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΒ.[Omitted graphic marker] δεικτέον, ὅτι ἡ ΖΕ πρὸς ἴσην γωνίαν ἀνακέκλασται πρὸς τῇ τομῇ. ἤχθω γὰρ ἐφαπτομένη ἡ ΔΕΗ. διὰ δὴ τὸ προδειχθὲν ἴση ἐστὶν ἡ
25ΔΒ τῇ ΒΕ· ὥστε καὶ αἱ πρὸς τοῖς Δ, Ε σημείοις γωνίαι ἴσαι. καὶ αἱ ὑπὸ τῶν ΔΕΑ, ΗΕΘ ἴσαι. λαμβανέ‐
σθωσαν γωνίαι διάφοροι· λοιπαὶ ἄρα53

54

αἱ ὑπὸ τῶν ΒΕΑ, ΘΕΖ γωνίαι ἴσαι. ὁμοίως δὲ δείξομεν, ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ τῇ ΑΒ παράλληλοι ἀγόμεναι πρὸς ἴσας γωνίας ἀνακλασθήσονται πρὸς τὸ Β σημεῖον. καὶ τὰ μὲν πρὸς ἐμβολεῖς τῆς ὀρθογωνίου κώνου τομῆς
5κατασκευαζόμενα πυρία 〈κατὰ〉 τὸν προυποδεδειγμένον τρόπον ῥᾳδίως ἂν ἐξάπτοιτο πρὸς τῷ δεδομένῳ· τὰ δὲ περὶ τὰς τοῦ κύκλου περιφερείας πάλιν ὑποδεικτέον πηλίκῃ τε περιφερείᾳ καὶ ποῦ τὴν ἔξαψιν 〈ποι〉ή〈σε〉ται. οἱ μὲν οὖν παλαιοὶ δ〈ιέ〉λαβον τὴν ἔξαψιν ποιεῖσθαι περὶ τὸ κέντρον τοῦ κατόπτρου, τοῦτο
10δὲ ψεῦδος Ἀπολλώνιος μάλα δεόν〈τωσ〉 ....... πρὸς τοὺς κατ‐ οπτρ〈ικ〉οὺς ἔδειξε〈ν〉, καὶ περὶ τίνα δὲ τόπον ἡ ἐκπύρωσις ἔσται, διασεσάφηκεν ἐν τῷ περὶ τοῦ πυρίου. ὃν δὲ τρόπον ἀποδεικ‐ νύουσιν οὐ δια...............δε, ὃ καὶ δυσέργως καὶ διὰ μακροτέρων συνίστησιν. οὐ μὴν ἀλλὰ | τὰς μὲν ὑπ’ αὐτοῦ
15κομιζομένας ἀποδείξεις παρῶμεν, ἃς δ’ αὐτοὶ προσφέρομεν, ἐκθέσθαι πειραθῶμεν, οὐχ ὡς ἀντιπαρατιθέντες ἐκείναις ταῖς ἀποδείξεσιν· τοῦτο γὰρ ὡς ἀληθῶς κύκνοις χελιδόν〈α〉 εἰς ἴσον ἐλθεῖν· ἀλλ’ ὡς αὐτοὶ δεδυνημένοι προσυποθέσθαι τοῖς χρηστομαθοῦσιν ἐν μαθήμασιν εἰρημένοις.
20ἐκκείσθω κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΒΓ, ἐν ᾗ ἡ ΑΓ ἔστω[Omitted graphic marker] τετραγώνου πλευρά, κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ Δ, καὶ ἡ ΔΕΒ ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΓ, καὶ δίχα ἡ ΒΔ τῷ Θ, καὶ ἀπὸ τυχόντος σημείου τῇ ΔΒ παράλληλος
25ἤχθω ἡ ΖΗ. λέγω, ὅτι ἡ ΖΗ ἀνακλασθήσεται πρὸς ἴσην γωνίαν μεταξὺ τῶν Ε, Θ.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΔΗ, ΗΘ, ΗΕ.54

55

ἐπεὶ ἡ ΘΒ διὰ τοῦ κέντρου ἐστί, μείζων ἡ ΘΗ τῆς ΘΒ. ἴση δὲ ἡ ΘΒ τῇ ΘΔ· ὑπόκειται γάρ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τῆς ΔΘ. μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΘΔΗ γωνία, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΔΗΖ· ἐν γὰρ παραλλήλοις αἱ ἐναλλάξ· τῆς ὑπὸ ΔΗΘ.
5ἐπεὶ δὲ μείζων ἐστὶν ἡ ΓΕ τῆς ΕΗ· ἀπώτερον μὲν γὰρ ἡ ΕΓ τῆς διὰ τοῦ κέντρου, ἔγγιον δὲ ἡ ΕΗ· ἴση δὲ ἡ ΓΕ τῇ ΕΔ, ὡς δείξομεν, μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ τῆς ΕΗ· μείζων ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ τῶν ΕΗΔ τῆς ὑπὸ ΕΔΗ, τουτέστι τῆς ὑπὸ τῶν ΔΗΖ. ἐλάσσων δὲ ἐδείχθη ἡ ὑπὸ τῶν ΘΗΔ τῆς ὑπὸ ΔΗΖ·
10ἡ ἄρα ὑπὸ τῶν ΔΗΖ τῆς μὲν ὑπὸ τῶν ΘΗΔ ἐστι μείζων, τῆς δὲ ὑπὸ τῶν ΕΗΔ ἐλάσσων. ἡ ἄρα τῇ ὑπὸ τῶν ΔΗΖ ἴση συνισταμένη μεταξὺ τῶν Ε, Θ σημείων πεσεῖται. ἔστω ἡ ὑπὸ τῶν ΚΗΔ ἴση τῇ ὑπὸ τῶν ΔΗΖ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΔΗ〈Β〉 ἴση τῇ ὑπὸ ΔΗΓ· ἡ μὲν γὰρ ΔΗ διὰ τοῦ κέντρου
15οὖσα 〈ὑπόκειται, αἱ〉 δὲ τοῦ ἡμικυκλίου γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῆς ΗΖ εὐθείας καὶ τῆς ΗΓ περιφερείας γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ τῆς ΗΚ εὐθείας καὶ τῆς ΗΒ περι‐ φερείας. ὁμοίως δὲ καὶ αἱ λοιπαὶ τῇ ΒΔ παράλληλοι ἀγόμεναι
20ἀνακλασθήσονται πρὸς ἴσην γωνίαν μεταξὺ τῶν Ε, Θ· καὶ καθ’ ὅλην ἄρα τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν παράλληλοι ἀγόμεναι τῇ ΒΔ ἀνακλασθήσονται πρὸς ἴσην γωνίαν μεταξὺ τῶν Ε, Θ. ἐὰν δὴ μεν〈ού〉σης τῆς ΒΔ τὸ ΑΒΓ τμῆμα περιενεχθὲν εἰς τὸ αὐτὸ ἀ〈πο〉κατασταθῇ, ἔσται σφαιρικὴ ἐπιφάνεια, πρὸς ἣν
25〈αἱ〉 πρὸς 〈τὰσ〉 ἴσας γωνίας κλώμεναι παράλληλοι τῇ ΒΔ55

56

μεταξὺ τῶν Ε, Θ τὴν σύμπτωσιν ποιήσονται. κατασκευασθέν‐ τος 〈οὖν〉 κατόπτρου πρὸς τὸν ΑΒΓ ἐμβολέα καὶ τεθέντος οὕτως, ὥστε τὴν ΒΔ νεύειν ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ ἡλίου, αἱ ἀπὸ τοῦ ἡλίου φερόμεναι ἀκτῖνες παράλληλοι μὲν τῇ ΒΔ ἐνεχθή‐
5σονται, προσπίπτουσαι δὲ τῇ ἐπιφανείᾳ.[Omitted graphic marker] | .....ειργασμένο〈σ〉 ... ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ὁ ΕΓ κίων πρὸς τὸν Α〈Ι〉 κίονα, ὁ ἀπὸ τῆς ΡΓ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΝΙ κύβον, ὡς δὲ ὁ
10ἀπὸ τῆς ΡΓ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΝΙ κύβον, ἡ ΡΓ πρὸς τὴν .., φανερόν, 〈ὅτι〉 ἔσται καί, ὡς ὁ ΕΓ κίων πρὸς τὸν ΑΙ κίονα, ..... πρὸς ..... πρὸς .. τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι ........... 〈τὸν αὐ〉τὸν
15τῷ δοθέντι. ὡς δὲ οἱ ΡΗ, ΑΙ κίονες πρὸς ἀλλήλους ..... καὶ οἱ ΝΑ ..... ................. ἀντιπεπονθότα ὑπάρχει, κατὰ τὴν ἱστορίαν δείκνυνται καὶ παρὰ Ἀρχιμήδει καὶ παρὰ Ἀπολλωνίῳ καθαρῶς, ὥστε οὐκ
20ἀναγκαῖον ἡμᾶς πάλιν δεικνύναι, λαμβάνειν δὲ ἐξ ἑτοίμου χρήσιμον. τὸ μέντοι γε παρακολουθοῦν ἀναγκαῖον οὐκ ἄξιον παραπέμψαι· τῶν γὰρ τοιούτων ζήτησις οἰκεία καὶ παντελῶς, ὡς ἔφην, τῷ δικαίως ἂν κληθέντι Μουσῶν υἱῷ προσήκουσα. πρῶτον μὲν γὰρ παντὸς στερεοῦ σχήματος αἰρομένου πρός
25τι μετέωρον εὐχερεστέρα γίνεται διὰ τῆς μηχανικῆς ὁλκή, ὁπόταν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ βάρους ὅπλον ἐξαφθῇ μὴ γινομένου
γὰρ τούτου δυσχερὴς τοῖς ἕλκουσιν ἡ ἀναγωγὴ ἀκολουθεῖ. πᾶν56

57

γὰρ οὕτως βάρος κούφως τε καὶ ῥᾳδίως μετάγεσθαι δύναται, πρὸς ὃν ἄν τις προαιρῆται τόπον, ὁπόταν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ βάρους ἄγηται. πρὸς δὲ τούτοις πολλῶν ὄντων φιλοσόφων ἐν τοῖς μηχανικοῖς ἀποδεδώκασιν παρακειμένην τήνδε τὴν ὑπό‐
5μνησιν· τὰ γοῦν δόρατα καὶ ὅσα ἄλλα τούτοις ἔχει παραπλησίαν τὴν χρῆσιν ἐκ μέσου μὲν αἴρεται σφόδρα εὐχερῶς· περὶ γὰρ τοῦτον τὸν τόπον ἐστὶ τὸ κέντρον· ἐκ δ’ ἄκρου πάλιν ἥττω. καὶ ἐπὶ τῶν ζυγῶν δὲ καὶ τῶν τοιούτων τὸ παραπλήσιον γίνεται· τὸ γὰρ κρεμαστὸν ἰσορροπούντων μὲν τῶν ὑποκειμένων
10βαρῶν εὐχερῶς ἐπιλαμβανόμενοι μετεωρίζομεν καὶ μετὰ τὸ μετεωρίσαι, πρὸς ὃν ἂν βουλώμεθα τόπον μετατίθεμεν, μὴ ληφθέντος δὲ τοῦ κέντρου μηδὲ ἰσορροπούντων τῶν ὑποκειμένων βαρῶν δυσχερῶς ὡς ἀνομοίας τῆς ἀνθολκῆς τῶν ἀντιρροπούν‐ των ἀντικειμένης τῇ τοιαύτῃ διὰ παντὸς ὁλκῇ. προδήλου δὴ
15τῆς αἰτίας ὑπαρχούσης εὔγνωστον, ὡς δεῖ παντὸς σχήματος στερεοῦ κειμένου ῥᾳδίως ἄγειν τὸ βάρος ἐκ τοῦ κέντρου· εὐχερὴς γὰρ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ βάρους ἡ ὁλκή. πῶς δὲ .................. ἐπὶ τῆς ΝΔ παράλληλος ἐφ...... 〈β〉αρύ. καὶ πάλιν κατὰ
20... ΜΞ ... τὰ τῶν ..... λαβόντες καὶ διὰ τῶν ..... γενο‐57

58

μένων σημείων ..... κανονίῳ δι’ αὐ......α γνώμων. δὲ ἡ δ. τοῦ ἡμικυ〈κλίου〉 ἡ ΓΔ ...... ποίας δὲ λου.....λόμεθα δὲ ... .............. λόμεθα διὰ .........
5........ (legi nequit).58