EUTOCIUS :: Commentaria in conica

TLG 4072 004 :: EUTOCIUS :: Commentaria in conica EUTOCIUS Math. (Ascalonius: A.D. 5–6) Commentaria in conica Source: Heiberg, J.L. (ed.), Apollonii Pergaei quae Graece exstant, vol. 2. Leipzig: Teubner, 1893 (repr. Stuttgart, 1974): 168–360. Citation: Page — (line)

168 (4t)	Εἰς τὸ πρῶτον.
5	Ἀπολλώνιος ὁ γεωμέτρης, ὦ φίλε ἑταῖρε Ἀνθέμιε, γέγονε μὲν ἐκ Πέργης τῆς ἐν Παμφυλίᾳ ἐν χρόνοις τοῦ Εὐεργέτου Πτολεμαίου, ὡς ἱστορεῖ Ἡράκλειος ὁ τὸν βίον Ἀρχιμήδους γράφων, ὃς καί φησι τὰ κωνικὰ θεωρήματα ἐπινοῆσαι μὲν πρῶτον τὸν Ἀρχιμήδη, τὸν
10	δὲ Ἀπολλώνιον αὐτὰ εὑρόντα ὑπὸ Ἀρχιμήδους μὴ ἐκ‐ δοθέντα ἰδιοποιήσασθαι, οὐκ ἀληθεύων κατά γε τὴν ἐμήν. ὅ τε γὰρ Ἀρχιμήδης ἐν πολλοῖς φαίνεται ὡς παλαιοτέρας τῆς στοιχειώσεως τῶν κωνικῶν μεμνη‐ μένος, καὶ ὁ Ἀπολλώνιος οὐχ ὡς ἰδίας ἐπινοίας γράφει·
15	οὐ γὰρ ἂν ἔφη ἐπὶ πλέον καὶ καθόλου μᾶλλον ἐξειργάσθαι ταῦτα παρὰ τὰ ὑπὸ τῶν ἄλλων γεγραμμένα. ἀλλ’ ὅπερ φησὶν ὁ Γεμῖνος ἀληθές ἐστιν, ὅτι οἱ παλαιοὶ κῶνον ὁριζόμενοι τὴν τοῦ ὀρθο‐ γωνίου τριγώνου περιφορὰν μενούσης μιᾶς τῶν περὶ
20	τὴν ὀρθὴν εἰκότως καὶ τοὺς κώνους πάντας ὀρθοὺς
20	ὑπελάμβανον γίνεσθαι καὶ μίαν τομὴν ἐν ἑκάστῳ, ἐν	168
170	μὲν τῷ ὀρθογωνίῳ τὴν νῦν καλουμένην παραβολήν, ἐν δὲ τῷ ἀμβλυγωνίῳ τὴν ὑπερβολήν, ἐν δὲ τῷ ὀξυ‐ γωνίῳ τὴν ἔλλειψιν· καὶ ἔστι παρ’ αὐτοῖς εὑρεῖν οὕτως ὀνομαζομένας τὰς τομάς. ὥσπερ οὖν τῶν ἀρχαίων
5	ἐπὶ ἑνὸς ἑκάστου εἴδους τριγώνου θεωρησάντων τὰς δύο ὀρθὰς πρότερον ἐν τῷ ἰσοπλεύρῳ καὶ πάλιν ἐν τῷ ἰσοσκελεῖ καὶ ὕστερον ἐν τῷ σκαληνῷ οἱ μετα‐ γενέστεροι καθολικὸν θεώρημα ἀπέδειξαν τοιοῦτο· παν‐ τὸς τριγώνου αἱ ἐντὸς τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι
10	εἰσίν· οὕτως καὶ ἐπὶ τῶν τοῦ κώνου τομῶν· τὴν μὲν γὰρ λεγομένην ὀρθογωνίου κώνου τομὴν ἐν ὀρθο‐ γωνίῳ μόνον κώνῳ ἐθεώρουν τεμνομένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθῷ πρὸς μίαν πλευρὰν τοῦ κώνου, τὴν δὲ τοῦ ἀμβλυ‐ γωνίου κώνου τομὴν ἐν ἀμβλυγωνίῳ γινομένην κώνῳ
15	ἀπεδείκνυσαν, τὴν δὲ τοῦ ὀξυγωνίου ἐν ὀξυγωνίῳ, ὁμοίως ἐπὶ πάντων τῶν κώνων ἄγοντες τὰ ἐπίπεδα ὀρθὰ πρὸς μίαν πλευρὰν τοῦ κώνου· δηλοῖ δὲ καὶ αὐτὰ τὰ ἀρχαῖα ὀνόματα τῶν γραμμῶν. ὕστερον δὲ Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος καθόλου τι ἐθεώρησεν, ὅτι
20	ἐν παντὶ κώνῳ καὶ ὀρθῷ καὶ σκαληνῷ πᾶσαι αἱ τομαί εἰσι κατὰ διάφορον τοῦ ἐπιπέδου πρὸς τὸν κῶνον προσβολήν· ὃν καὶ θαυμάσαντες οἱ κατ’ αὐτὸν γενό‐ μενοι διὰ τὸ θαυμάσιον τῶν ὑπ’ αὐτοῦ δεδειγμένων κωνικῶν θεωρημάτων μέγαν γεωμέτρην ἐκάλουν. ταῦτα
25	μὲν οὖν ὁ Γεμῖνος ἐν τῷ ἕκτῳ φησὶ τῆς τῶν μαθη‐ μάτων θεωρίας. ὃ δὲ λέγει, σαφὲς ποιήσομεν ἐπὶ τῶν ὑποκειμένων καταγραφῶν.
25	ἔστω τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ κώνου τρίγωνον τὸ	170
172	ΑΒΓ, καὶ ἤχθω τῇ ΑΒ ἀπὸ τυχόντος σημείου τοῦ Ε πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΕ, καὶ τὸ διὰ τῆς ΔΕ ἐπίπεδον ἐκ‐ βληθὲν ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΒ τεμνέτω τὸν κῶνον· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν [Omitted graphic marker]
5	ὑπὸ ΑΕΔ, ΑΕΖ γω‐ νιῶν. ὀρθογωνίου μὲν ὄντος τοῦ κώνου καὶ ὀρθῆς δηλονότι τῆς ὑπὸ ΒΑΓ γωνίας ὡς
10	ἐπὶ τῆς πρώτης κατα‐ γραφῆς δύο ὀρθαῖς ἴσαι ἔσονται αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΕΖ γωνίαι· ὥστε παράλληλος ἔσται ἡ ΔΕΖ τῇ ΑΓ. καὶ γίνεται ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου τομὴ ἡ καλουμένη παραβολὴ οὕτω κλη‐
15	θεῖσα ἀπὸ τοῦ παράλληλον εἶναι τὴν ΔΕΖ, ἥτις ἐστὶ κοινὴ τομὴ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου καὶ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου, τῇ ΑΓ πλευρᾷ τοῦ τριγώνου. ἐὰν δὲ ἀμβλυγώνιος ᾖ ὁ κῶνος ὡς ἐπὶ τῆς δευ‐ τέρας καταγραφῆς ἀμβλείας δηλονότι οὔσης τῆς ὑπὸ
20	ΒΑΓ, ὀρθῆς δὲ τῆς ὑπὸ ΑΕΖ, δύο ὀρθῶν μείζους ἔσονται αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΕΖ γωνίαι· ὥστε οὐ συμ‐ πεσεῖται ἡ ΔΕΖ τῇ ΑΓ πλευρᾷ ἐπὶ τὰ πρὸς τοῖς Ζ, Γ μέρη, ἀλλὰ ἐπὶ τὰ πρὸς τοῖς Α, Ε προσεκβαλλομένης δηλονότι τῆς ΓΑ ἐπὶ τὸ Δ. ποιήσει οὖν τὸ τέμνον
25	ἐπίπεδον ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου τομὴν τὴν καλου‐ μένην ὑπερβολὴν οὕτω κληθεῖσαν ἀπὸ τοῦ ὑπερβάλ‐
25	λειν τὰς εἰρημένας γωνίας, τουτέστι τὰς ὑπὸ ΑΕΖ,	172
174	ΒΑΓ, δύο ὀρθὰς ἢ διὰ τὸ ὑπερβάλλειν τὴν ΔΕΖ τὴν κορυφὴν τοῦ κώνου καὶ συμπίπτειν τῇ ΓΑ ἐκτός. ἐὰν δὲ ὀξυγώνιος ᾖ ὁ κῶνος ὀξείας δηλονότι οὔσης τῆς ὑπὸ ΒΑΓ, αἱ ΒΑΓ, ΑΕΖ ἔσονται δύο ὀρθῶν
5	ἐλάσσονες· ὥστε αἱ ΕΖ, ΑΓ ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦν‐ ται ὁπουδήποτε· προσαυξῆσαι γὰρ δύναμαι τὸν κῶνον. ἔσται οὖν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τομή, ἥτις καλεῖται ἔλλει‐ ψις, οὕτω κληθεῖσα ἤτοι διὰ τὸ ἐλλείπειν δύο ὀρθαῖς τὰς προειρημένας γωνίας ἢ διὰ τὸ τὴν ἔλλειψιν κύκλον
10	εἶναι ἐλλιπῆ. οὕτως μὲν οὖν οἱ παλαιοὶ ὑποθέμενοι τὸ τέμνον ἐπίπεδον τὸ διὰ τῆς ΔΕΖ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ πλευρᾷ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ κώνου τριγώνου καὶ ἔτι δια‐ φόρους τοὺς κώνους ἐθεώρησαν καὶ ἐπὶ ἑκάστου ἰδίαν
15	τομήν· ὁ δὲ Ἀπολλώνιος ὑποθέμενος τὸν κῶνον καὶ ὀρθὸν καὶ σκαληνὸν τῇ διαφόρῳ τοῦ ἐπιπέδου κλίσει διαφόρους ἐποίησε τὰς τομάς. ἔστω γὰρ πάλιν ὡς ἐπὶ τῶν αὐτῶν καταγραφῶν τὸ τέμνον ἐπίπεδον τὸ ΚΕΛ, κοινὴ δὲ αὐτοῦ τομὴ
20	καὶ τῆς βάσεως τοῦ κώνου ἡ ΚΖΛ, κοινὴ δὲ πάλιν αὐτοῦ τοῦ ΚΕΛ ἐπιπέδου καὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἡ ΕΖ, ἥτις καὶ διάμετρος καλεῖται τῆς τομῆς. ἐπὶ πασῶν οὖν τῶν τομῶν ὑποτίθεται τὴν ΚΛ πρὸς ὀρθὰς
20	τῇ ΒΓ βάσει τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, λοιπὸν δέ, εἰ μὲν	174
176	ἡ ΕΖ παράλληλος εἴη τῇ ΑΓ, παραβολὴν γίνεσθαι τὴν ΚΕΛ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου τομήν, εἰ δὲ συμπίπτει τῇ ΑΓ πλευρᾷ ἡ ΕΖ ἐκτὸς τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου ὡς κατὰ τὸ Δ, γίνεσθαι τὴν ΚΕΛ τομὴν
5	ὑπερβολήν, εἰ δὲ ἐντὸς συμπίπτει τῇ ΑΓ ἡ ΕΖ, γί‐ νεσθαι τὴν τομὴν ἔλλειψιν, ἣν καὶ θυρεὸν καλοῦσιν. καθόλου οὖν τῆς μὲν παραβολῆς ἡ διάμετρος παρ‐ άλληλός ἐστι τῇ μιᾷ πλευρᾷ τοῦ τριγώνου, τῆς δὲ ὑπερβολῆς ἡ διάμετρος συμπίπτει τῇ πλευρᾷ τοῦ τρι‐
10	γώνου ὡς ἐπὶ τὰ πρὸς τῇ κορυφῇ τοῦ κώνου μέρη, τῆς δὲ ἐλλείψεως ἡ διάμετρος συμπίπτει τῇ πλευρᾷ τοῦ τριγώνου ὡς ἐπὶ τὰ πρὸς τῇ βάσει μέρη. κἀκεῖνο δὲ χρὴ εἰδέναι, ὅτι ἡ μὲν παραβολὴ καὶ ἡ ὑπερβολὴ τῶν εἰς ἄπειρόν εἰσιν αὐξανομένων, ἡ δὲ ἔλλειψις
15	οὐκέτι· πᾶσα γὰρ εἰς αὑτὴν συννεύει ὁμοίως τῷ κύκλῳ. πλειόνων δὲ οὐσῶν ἐκδόσεων, ὡς καὶ αὐτός φησιν ἐν τῇ ἐπιστολῇ, ἄμεινον ἡγησάμην συναγαγεῖν αὐτὰς ἐκ τῶν ἐμπιπτόντων τὰ σαφέστερα παρατιθέμενος ἐν
20	τῷ ῥητῷ διὰ τὴν τῶν εἰσαγομένων εὐμάρειαν, ἔξωθεν δὲ ἐν τοῖς συντεταγμένοις σχολίοις ἐπισημαίνεσθαι τοὺς διαφόρους ὡς εἰκὸς τρόπους τῶν ἀποδείξεων. φησὶ τοίνυν ἐν τῇ ἐπιστολῇ τὰ πρῶτα τέσσαρα βιβλία περιέχειν ἀγωγὴν στοιχειώδη· ὧν τὸ μὲν πρῶ‐
25	τον περιέχειν τὰς γενέσεις τῶν τριῶν τοῦ κώνου τομῶν καὶ τῶν καλουμένων ἀντικειμένων καὶ τὰ ἐν αὐταῖς ἀρχικὰ συμπτώματα. ταῦτα δέ ἐστιν, ὅσα συμ‐ βαίνει παρὰ τὴν πρώτην αὐτῶν γένεσιν· ἔχουσι γὰρ
25	καὶ ἕτερά τινα παρακολουθήματα. τὸ δὲ δεύτερον	176
178	τὰ παρὰ τὰς διαμέτρους καὶ τοὺς ἄξονας τῶν τομῶν συμβαίνοντα καὶ τὰς ἀσυμπτώτους καὶ ἄλλα γενικὴν καὶ ἀναγκαίαν χρείαν παρεχό‐ μενα πρὸς τοὺς διορισμούς. ὁ δὲ διορισμὸς ὅτι
5	διπλοῦς ἐστι, παντί που δῆλον, ὁ μὲν μετὰ τὴν ἔκ‐ θεσιν ἐφιστάνων, τί ἔστι τὸ ζητούμενον, ὁ δὲ τὴν πρότασιν οὐ συγχωρῶν καθολικὴν εἶναι, λέγων δέ, πότε καὶ πῶς καὶ ποσαχῶς δυνατὸν συστῆναι τὸ προ‐ τιθέμενον, οἷός ἐστιν ὁ ἐν τῷ εἰκοστῷ δευτέρῳ θεωρή‐
10	ματι τοῦ πρώτου βιβλίου τῆς Εὐκλείδου στοιχειώσεως· ἐκ τριῶν εὐθειῶν, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθείσαις, τρίγωνον συστήσασθαι· δεῖ δὴ τὰς δύο τῆς λοιπῆς μείζονας εἶναι πάντῃ μεταλαμβανομένας, ἐπειδὴ δέ‐ δεικται, ὅτι παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς
15	λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι. τὸ δὲ τρίτον τῶν κωνικῶν περιέχειν φησὶ πολλὰ καὶ παρά‐ δοξα θεωρήματα χρήσιμα πρὸς τὰς συνθέσεις τῶν στερεῶν τόπων. ἐπιπέδους τόπους ἔθος τοῖς παλαιοῖς γεωμέτραις λέγειν, ὅταν ἐπὶ τῶν προβλημά‐
20	των οὐκ ἀφ’ ἑνὸς σημείου μόνον, ἀλλ’ ἀπὸ πλειόνων γίνεται τὸ πρόβλημα, οἷον εἰ ἐπιτάξει τις εὐθείας δο‐ θείσης πεπερασμένης εὑρεῖν τι σημεῖον, ἀφ’ οὗ ἡ ἀχθεῖσα κάθετος ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν μέση ἀνάλογον γίνεται τῶν τμημάτων, τόπον καλοῦσι τὸ τοιοῦτον·
25	οὐ μόνον γὰρ ἓν σημεῖόν ἐστι τὸ ποιοῦν τὸ πρόβλημα, ἀλλὰ τόπος ὅλος, ὃν ἔχει ἡ περιφέρεια τοῦ περὶ διά‐ μετρον τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν κύκλου. ἐὰν γὰρ ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας ἡμικύκλιον γραφῇ, ὅπερ ἂν ἐπὶ
25	τῆς περιφερείας λάβῃς σημεῖον καὶ ἀπ’ αὐτοῦ κάθετον	178
180	ἀγάγῃς ἐπὶ τὴν διάμετρον, ποιήσει τὸ προβληθέν. ὁμοίως δὲ δοθείσης εὐθείας ἐάν τις ἐπιτάξῃ εὑρεῖν ἐκτὸς αὐτῆς σημεῖον, ἀφ’ οὗ αἱ ἐπιζευγνύμεναι ἐπὶ τὰ πέρατα τῆς εὐθείας ἴσαι ἔσονται ἀλλήλαις, καὶ ἐπὶ
5	τούτου οὐ μόνον ἓν σημεῖόν ἐστι τὸ ποιοῦν τὸ πρό‐ βλημα, ἀλλὰ τόπος, ὃν ἐπέχει ἡ ἀπὸ τῆς διχοτομίας πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη· ἐὰν γὰρ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν δίχα τεμὼν καὶ ἀπὸ τῆς διχοτομίας πρὸς ὀρθὰς ἀγά‐ γῃς, ὃ ἂν ἐπ’ αὐτῆς λάβῃς σημεῖον, ποιήσει τὸ ἐπι‐
10	ταχθέν. ὅμοιον γράφει καὶ αὐτὸς Ἀπολλώνιος ἐν τῷ Ἀνα‐ λυομένῳ τόπῳ ἐπὶ τοῦ ὑποκειμένου. δύο δοθέντων [εὐθειῶν] ἐν ἐπιπέδῳ [καὶ] σημείων καὶ λόγου δοθέντος ἀνίσων εὐθειῶν δυνατόν ἐστιν
15	ἐν τῷ ἐπιπέδῳ γράψαι κύκλον ὥστε τὰς ἀπὸ τῶν δοθέντων σημείων ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου κλωμένας εὐθείας λόγον ἔχειν τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι. ἔστω τὰ μὲν δοθέντα σημεῖα τὰ Α, Β, λόγος δὲ ὁ τῆς Γ πρὸς τὴν Δ μείζονος οὔσης τῆς Γ· δεῖ δὴ
20	ποιῆσαι τὸ ἐπιταχθέν. ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ καὶ ἐκβε‐ βλήσθω ἐπὶ τὰ πρὸς τῷ Β μέρη, καὶ γεγονέτω, ὡς ἡ Δ πρὸς τὴν Γ, ἡ Γ πρὸς ἄλλην τινὰ μείζονα δηλον‐ ότι τῆς Δ, καὶ ἔστω, εἰ τύχοι, πρὸς τὴν ΕΔ, καὶ πάλιν γεγονέτω, ὡς ἡ Ε πρὸς τὴν ΑΒ, ἡ Δ πρὸς
25	τὴν ΒΖ καὶ ἡ Γ πρὸς τὴν Η. φανερὸν δή, ὅτι ἥ
25	τε Γ μέση ἀνάλογόν ἐστι τῆς ΕΔ καὶ τῆς Δ καὶ ἡ	180
182	Η τῶν ΑΖ, ΖΒ. καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ζ διαστήματι δὲ τῇ Η κύκλος γεγράφθω ὁ ΚΘ. φανερὸν δή, ὅτι τέμνει ἡ ΚΘ περιφέρεια τὴν ΑΒ εὐθεῖαν· ἡ γὰρ Η εὐθεῖα μέση ἀνάλογόν ἐστι τῶν ΑΖ, ΖΒ. εἰλήφθω
5	δὴ ἐπὶ τῆς περιφερείας τυχὸν σημεῖον τὸ Θ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθωσαν αἱ ΘΑ, ΘΒ, ΘΖ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΖ τῇ Η, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΘ, ἡ ΖΘ πρὸς ΖΒ. καὶ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΘΖΒ ἀνάλογόν εἰσιν· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΖΘ
10	τῷ ΘΒΖ τριγώνῳ, καὶ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΘΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΑΒ. ἤχθω δὴ διὰ τοῦ Β τῇ ΑΘ παράλληλος ἡ ΒΛ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΘ, ἡ ΘΖ πρὸς ΖΒ, καὶ ὡς ἄρα πρώτη ἡ ΑΖ πρὸς τρίτην τὴν ΖΒ, τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΑΖ
15	πρὸς ΖΒ, ἡ ΑΘ πρὸς ΒΛ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ, ἡ ΑΘ πρὸς ΒΛ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΘΖ τῇ ὑπὸ ΘΑΒ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΘΒ τῇ ὑπὸ ΘΒΛ ἴση· ἐναλλὰξ γάρ· καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ ἴση ἐστίν, καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΘΒ
20	τῷ ΒΘΛ, καὶ ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ὡς ἡ ΑΘ πρὸς ΘΒ, ἡ ΘΒ πρὸς ΒΛ, καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ, ἡ ΑΘ πρὸς ΒΛ. ἦν δὲ καί, ὡς ἡ ΑΘ πρὸς ΒΛ, τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ
25	ΖΘ, τὸ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ, καὶ διὰ τοῦτο, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΘ, ἡ ΑΘ πρὸς ΘΒ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΘ, ἡ ΕΔ πρὸς Γ καὶ ἡ Γ πρὸς Δ· καὶ ὡς ἄρα ἡ Γ πρὸς Δ, ἡ ΑΘ πρὸς ΘΒ. ὁμοίως δὴ δειχ‐
25	θήσονται πᾶσαι αἱ ἀπὸ τῶν Α, Β σημείων ἐπὶ τὴν	182
184	περιφέρειαν τοῦ κύκλου κλώμεναι τὸν αὐτὸν ἔχουσαι λόγον ταῖς Γ, Δ. λέγω δή, ὅτι πρὸς ἄλλῳ σημείῳ μὴ ὄντι ἐπὶ τῆς περιφερείας οὐ γίνεται λόγος τῶν ἀπὸ τῶν Α, Β ση‐
5	μείων ἐπ’ αὐτὸ ἐπιζευγνυμένων εὐθειῶν ὁ αὐτὸς τῷ τῆς Γ πρὸς Δ. εἰ γὰρ δυνατόν, γεγονέτω πρὸς τῷ Μ ἐκτὸς τῆς περιφερείας· καὶ γὰρ εἰ ἐντὸς ληφθείη, τὸ αὐτὸ ἄτο‐ πον συμβήσεται καθ’ ἑτέραν τῶν ὑποθέσεων· καὶ
10	ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΑ, ΜΒ, ΜΖ, καὶ ὑποκείσθω, ὡς ἡ Γ πρὸς Δ, οὕτως ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΕΔ πρὸς Δ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ καὶ τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΒ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΕΔ πρὸς Δ, οὕτως ὑπόκειται ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ· καὶ ὡς
15	ἄρα ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ, τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΒ. καὶ διὰ τὰ προδειχθέντα, ἐὰν ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΜ παράλληλον ἀγάγωμεν, δειχθήσεται, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ, τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΜ. ἐδείχθη δὲ καί, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ, τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ.
20	ἴση ἄρα ἡ ΖΘ τῇ ΖΜ· ὅπερ ἀδύνατον. τόποι οὖν ἐπίπεδοι λέγονται τὰ τοιαῦτα· οἱ δὲ λεγόμενοι στερεοὶ τόποι τὴν προσωνυμίαν ἐσχήκασιν ἀπὸ τοῦ τὰς γραμμάς, δι’ ὧν γράφονται τὰ κατ’ αὐτοὺς προβλήματα, ἐκ τῆς τομῆς τῶν στερεῶν τὴν
25	γένεσιν ἔχειν, οἷαί εἰσιν αἱ τοῦ κώνου τομαὶ καὶ ἕτεραι πλείους. εἰσὶ δὲ καὶ ἄλλοι τόποι πρὸς ἐπιφά‐ νειαν λεγόμενοι, οἳ τὴν ἐπωνυμίαν ἔχουσιν ἀπὸ τῆς
25	περὶ αὐτοὺς ἰδιότητος.	184
186	μέμφεται δὲ ἑξῆς τῷ Εὐκλείδῃ οὐχ, ὡς οἴεται Πάππος καὶ ἕτεροί τινες, διὰ τὸ μὴ εὑρηκέναι δύο μέσας ἀνάλογον· ὅ τε γὰρ Εὐκλείδης ὑγιῶς εὗρε τὴν μίαν μέσην ἀνάλογον, ἀλλ’ οὐχ ὡς αὐτός φησιν οὐκ
5	εὐτυχῶς, καὶ περὶ τῶν δύο μέσων οὐδὲ ὅλως ἐπεχεί‐ ρησε ζητῆσαι ἐν τῇ στοιχειώσει, αὐτὸς ὅ τε Ἀπολλώ‐ νιος οὐδὲν περὶ τῶν δύο μέσων ἀνάλογον φαίνεται ζητῆσαι ἐν τῷ τρίτῳ βιβλίῳ· ἀλλ’, ὡς ἔοικεν, ἑτέρῳ βιβλίῳ περὶ τόπων γεγραμμένῳ τῷ Εὐκλείδῃ ἐπισκήπ‐
10	τει, ὅπερ εἰς ἡμᾶς οὐ φέρεται. τὰ δὲ ἐφεξῆς περὶ τοῦ τετάρτου βιβλίου λεγόμενα σαφῆ ἐστιν. τὸ δὲ πέμπτον φησὶ περιέχειν τὰ περὶ τῶν ἐλαχίστων καὶ μεγίστων. ὥσπερ γὰρ ἐπὶ τοῦ κύκλου ἐμάθομεν ἐν τῇ στοιχειώσει, ὅτι ἔστι τι σημεῖον ἐκτός, ἀφ’ οὗ τῶν
15	μὲν πρὸς τὴν κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν με‐ γίστη ἐστὶν ἡ διὰ τοῦ κέντρου, τῶν δὲ πρὸς τὴν κυρ‐ τὴν ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ μεταξὺ τοῦ σημείου καὶ τῆς διαμέτρου, οὕτως καὶ ἐπὶ τῶν τοῦ κώνου τομῶν ζητεῖ ἐν τῷ πέμπτῳ βιβλίῳ. τοῦ δὲ ἕκτου καὶ ἑβδόμου καὶ
20	ὀγδόου σαφῶς ἡ πρόθεσις ὑπ’ αὐτοῦ εἴρηται. καὶ ταῦτα μὲν περὶ τῆς ἐπιστολῆς. Ἀρχόμενος δὲ τῶν ὅρων γένεσιν ὑπογράφει κωνι‐ κῆς ἐπιφανείας, ἀλλ’ οὐ τὸν τί ἔστι διορισμὸν παρα‐ δέδωκεν· ἔξεστι δὲ τοῖς βουλομένοις ἐκ τῆς γενέσεως
25	αὐτῆς τὸν ὅρον λαμβάνειν. τὸ δὲ λεγόμενον ὑπ’ αὐ‐ τοῦ διὰ καταγραφῆς σαφὲς ποιήσομεν· ἐὰν ἀπό τινος σημείου πρὸς κύκλου περι‐
25	φέρειαν καὶ τὰ ἑξῆς. ἔστω κύκλος ὁ ΑΒ, οὗ κέν‐	186
188	τρον τὸ Γ, καὶ σημεῖόν τι μετέωρον τὸ Δ, καὶ ἐπι‐ ζευχθεῖσα ἡ ΔΒ ἐκβεβλήσθω εἰς ἄπειρον ἐφ’ ἑκάτερα μέρη ὡς ἐπὶ τὰ Ε, Ζ. ἐὰν δὴ μένοντος τοῦ Δ ἡ ΔΒ φέρηται, ἕως ἂν τὸ Β ἐνεχθὲν κατὰ τῆς τοῦ ΑΒ
5	κύκλου περιφερείας ἐπὶ τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, γεννήσει ἐπιφάνειάν τινα, ἥτις σύγκειται ἐκ δύο ἐπιφανειῶν ἁπτομένων ἀλλή‐ λων κατὰ τὸ Δ, ἣν καὶ καλεῖ κωνικὴν ἐπιφάνειαν. φησὶ δέ, ὅτι καὶ εἰς ἄπειρον αὔξεται διὰ τὸ καὶ τὴν
10	γράφουσαν αὐτὴν εὐθεῖαν οἷον τὴν ΔΒ εἰς ἄπειρον ἐκβάλλεσθαι. κορυφὴν δὲ τῆς ἐπιφανείας λέγει τὸ Δ, ἄξονα δὲ τὴν ΔΓ. κῶνον δὲ λέγει τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τοῦ ΑΒ κύκλου καὶ τῆς ἐπιφανείας, ἣν μόνη γράφει ἡ
15	ΔΒ εὐθεῖα, κορυφὴν δὲ τοῦ κώνου τὸ Δ, ἄξονα δὲ τὴν ΔΓ, βάσιν δὲ τὸν ΑΒ κύκλον. καὶ ἐὰν μὲν ἡ ΔΓ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ΑΒ κύκλῳ, ὀρθὸν καλεῖ τὸν κῶνον, ἐὰν δὲ μὴ πρὸς ὀρθάς, σκα‐ ληνόν· γενήσεται δὲ κῶνος σκαληνός, ὅταν λαβόντες
20	κύκλον ἀπὸ τοῦ κέντρου αὐτοῦ ἀναστήσωμεν εὐθεῖαν μὴ πρὸς ὀρθὰς τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ μετεώρου σημείου τῆς ἀναταθείσης εὐθείας ἐπὶ τὸν κύκλον ἐπιζεύξωμεν εὐθεῖαν καὶ περιαγάγωμεν τὴν ἐπιζευχθεῖσαν εὐθεῖαν περὶ τὸν κύκλον τοῦ πρὸς τῷ
25	μετεώρῳ σημείῳ τῆς ἀναταθείσης μένοντος· τὸ γὰρ
25	προσληφθὲν σχῆμα κῶνος ἔσται σκαληνός.	188
190	δῆλον δέ, ὅτι ἡ περιαγομένη εὐθεῖα ἐν τῇ περι‐ αγωγῇ μείζων καὶ ἐλάττων γίνεται, κατὰ δέ τινας θέσεις καὶ ἴση πρὸς ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον τοῦ κύκλου. ἀποδείκνυται δὲ τοῦτο οὕτως· ἐὰν κώνου σκαληνοῦ
5	ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν ἀχθῶσιν εὐθεῖαι, πασῶν τῶν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν ἀχθει‐ σῶν εὐθειῶν μία μέν ἐστιν ἐλαχίστη μία δὲ μεγίστη, δύο δὲ μόναι ἴσαι παρ’ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης καὶ τῆς μεγίστης, ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς ἐλαχίστης τῆς ἀπώ‐
10	τερόν ἐστιν ἐλάσσων. ἔστω κῶνος σκαληνός, οὗ βάσις μὲν ὁ ΑΒΓ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον. καὶ ἐπεὶ ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ σκαληνοῦ κώνου ἐπὶ τὸ ὑπο‐ κείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἀγομένη ἤτοι ἐπὶ τῆς περι‐ φερείας τοῦ ΑΒΓΖΗ κύκλου πεσεῖται ἢ ἐκτὸς ἢ ἐν‐
15	τός, ἐμπιπτέτω πρότερον ἐπὶ τῆς περιφερείας ὡς ἐπὶ τῆς πρώτης καταγραφῆς ἡ ΔΕ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέν‐ τρον τοῦ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Κ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΚ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ, καὶ εἰλήφθωσαν δύο ἴσαι περιφέ‐
20	ρειαι παρ’ ἑκάτερα τοῦ Ε αἱ ΕΖ, ΕΗ, καὶ παρ’ ἑκάτερα τοῦ Β αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ, ΕΗ, ΔΖ, ΔΗ, ΕΑ, ΕΓ, ΑΒ, ΒΓ, ΔΑ, ΔΓ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΕΖ εὐθεῖα τῇ ΕΗ εὐθείᾳ· ἴσας γὰρ περιφερείας ὑποτείνουσιν· κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς
25	ἡ ΔΕ, βάσις ἄρα ἡ ΔΖ τῇ ΔΗ ἐστιν ἴση. πάλιν
25	ἐπεὶ ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση, καὶ διάμετρος	190
192	ἡ ΒΕ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΖΓ τῇ ΕΗΑ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΕΓ. κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΔ· βάσις ἄρα ἡ ΔΑ τῇ ΔΓ ἐστιν ἴση. ὁμοίως δὴ καὶ πᾶσαι δειχθήσονται αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τῆς ΔΕ ἢ τῆς
5	ΔΒ ἴσαι. πάλιν ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΔΕΖ ὀρθή ἐστι γωνία ἡ ὑπὸ ΔΕΖ, μείζων ἐστὶν ἡ ΔΖ τῆς ΔΕ. καὶ πάλιν ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΕΑ εὐθεῖα τῆς ΕΖ, ἐπεὶ καὶ περιφέρεια ἡ ΕΖΑ τῆς ΕΖ περιφερείας, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΕ, ἡ ΔΖ ἄρα τῆς ΔΑ
10	ἐλάσσων ἐστίν. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΔΑ τῆς ΔΒ ἐλάσσων ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΕ τῆς ΔΖ ἐλάσσων ἐδείχθη, ἡ δὲ ΔΖ τῆς ΔΑ, ἡ δὲ ΔΑ τῆς ΔΒ, ἐλα‐ χίστη μέν ἐστιν ἡ ΔΕ, μεγίστη δὲ ἡ ΔΒ, ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς ΔΕ τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ἐστίν.
15	ἀλλὰ δὴ ἡ κάθετος πιπτέτω ἐκτὸς τοῦ ΑΒΓΗΖ κύ‐ κλου ὡς ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς ἡ ΔΕ, καὶ εἰλήφθω πάλιν τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Κ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΕΚ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχ‐ θωσαν αἱ ΔΒ, ΔΘ, καὶ εἰλήφθωσαν δύο ἴσαι περι‐
20	φέρειαι παρ’ ἑκάτερα τοῦ Θ αἱ ΘΖ, ΘΗ καὶ παρ’ ἑκάτερα τοῦ Β αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ, ΕΗ, ΖΚ, ΗΚ, ΔΖ, ΔΗ, ΑΒ, ΒΓ, ΚΑ, ΚΓ, ΔΚ, ΔΑ, ΔΓ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΘΖ περιφέρεια τῇ ΘΗ, καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΚΖ τῇ ὑπὸ ΘΚΗ ἐστιν
25	ἴση. ἐπεὶ οὖν ἡ ΖΚ εὐθεῖα τῇ ΚΗ ἐστιν ἴση· ἐκ
25	κέντρου γάρ· κοινὴ δὲ ἡ ΚΕ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΚΕ	192
194	τῇ ὑπὸ ΗΚΕ ἴση, καὶ βάσις ἡ ΖΕ τῇ ΗΕ ἴση. ἐπεὶ οὖν ἡ ΖΕ εὐθεῖα τῇ ΗΕ ἐστιν ἴση, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΔ, βάσις ἄρα ἡ ΔΖ τῇ ΔΗ ἐστιν ἴση. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΑ περιφέρεια τῇ ΒΓ,
5	καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΚΒ τῇ ὑπὸ ΓΚΒ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ λοιπὴ εἰς τὰς δύο ὀρθὰς ἡ ὑπὸ ΑΚΕ λοιπῇ εἰς τὰς δύο ὀρθὰς τῇ ὑπὸ ΓΚΕ ἐστιν ἴση. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΚ εὐθεῖα τῇ ΓΚ ἐστιν ἴση· ἐκ κέντρου γάρ· κοινὴ δὲ ἡ ΚΕ, δύο δυσὶν ἴσαι, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΚΕ
10	τῇ ὑπὸ ΓΚΕ· καὶ βάσις ἄρα ἡ ΑΕ τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΑΕ εὐθεῖα τῇ ΓΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΔ καὶ πρὸς ὀρθάς, βάσις ἄρα ἡ ΔΑ τῇ ΔΓ ἴση. ὁμοί‐ ως δὲ καὶ πᾶσαι δειχθήσονται αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τῆς ΔΒ ἢ τῆς ΔΘ ἴσαι. καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΘ τῆς ΕΖ ἐστιν
15	ἐλάσσων, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΔ, βάσις ἄρα ἡ ΔΘ βάσεως τῆς ΔΖ ἐστιν ἐλάσσων. πάλιν ἐπεὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ε ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου πασῶν τῶν πρὸς τὴν κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν μείζων ἐστίν, ἐδείχθη δὲ ἐν τῷ γʹ τῆς στοιχειώσεως τὸ ὑπὸ ΑΕ,
20	ΕΛ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ, ὅταν ἡ ΕΖ ἐφάπτηται, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΖ, ἡ ΕΖ πρὸς ΕΛ. μεί‐ ζων δέ ἐστιν ἡ ΕΖ τῆς ΕΛ· ἀεὶ γὰρ ἡ ἔγγιον τῆς ἐλαχίστης τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΖ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΕΖ τῆς ΕΑ ἐστιν
25	ἐλάσσων, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΔ, βάσις ἄρα ἡ ΔΖ τῆς ΔΑ ἐστιν ἐλάσσων. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΚ τῇ ΚΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΚΕ, δύο ἄρα αἱ ΑΚ, ΚΕ ταῖς ΕΚ, ΚΒ, τουτέστιν ὅλῃ τῇ ΕΚΒ, εἰσιν ἴσαι.
25	ἀλλ’ αἱ ΑΚ, ΚΕ τῆς ΑΕ μείζονές εἰσιν· καὶ ἡ ΒΕ	194
196	ἄρα τῆς ΑΕ μείζων ἐστίν. πάλιν ἐπεὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ ἐστιν ἐλάσσων, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΔ, βάσις ἄρα ἡ ΔΑ τῆς ΒΔ ἐστιν ἐλάσσων. ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΘ τῆς ΔΖ ἐστιν ἐλάσσων, ἡ δὲ ΔΖ τῆς ΔΑ, ἡ
5	δὲ ΔΑ τῆς ΔΒ, ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ ΔΘ, μεγίστη δὲ ἡ ΔΒ, ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον καὶ τὰ ἑξῆς. ἀλλὰ δὴ ἡ κάθετος πιπτέτω ἐντὸς τοῦ ΑΒΓΗΖ κύκλου ὡς ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς ἡ ΔΕ, καὶ εἰ‐ λήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθω
10	ἡ ΕΚ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Β, Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΘ, ΔΒ, καὶ εἰλήφθωσαν δύο ἴσαι περιφέρειαι παρ’ ἑκάτερα τοῦ Θ αἱ ΘΖ, ΘΗ καὶ παρ’ ἑκάτερα τοῦ Β αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχ‐ θωσαν αἱ ΕΖ, ΕΗ, ΖΚ, ΗΚ, ΔΖ, ΔΗ, ΚΑ, ΚΓ,
15	ΕΑ, ΕΓ, ΔΑ, ΔΓ, ΑΒ, ΒΓ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΘΖ περιφέρεια τῇ ΘΗ, καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΚΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΚΗ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΖ τῇ ΗΚ, κοινὴ δὲ ἡ ΚΕ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΚΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΚΕ ἐστιν ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΖΕ τῇ
20	ΗΕ ἐστιν ἴση. ἐπεὶ οὖν ἡ ΖΕ τῇ ΗΕ ἐστιν ἴση, κοινὴ δὲ ἡ ΔΕ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΕΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΕΔ ἐστιν ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΔΖ τῇ ΔΗ ἐστιν ἴση. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΒΓ, καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΚΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΚΒ
25	ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ λοιπὴ εἰς τὰς δύο ὀρθὰς ἡ ὑπὸ ΑΚΕ λοιπῇ εἰς τὰς δύο ὀρθὰς τῇ ὑπὸ ΓΚΕ ἐστιν ἴση. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΚ τῇ ΚΓ ἐστιν ἴση, κοινὴ δὲ ἡ
25	ΕΚ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΚΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΚΕ	196
198	ἐστιν ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΑΕ τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΕ τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση, κοινὴ δὲ ἡ ΕΔ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΔ τῇ ὑπὸ ΓΕΔ ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΔΑ τῇ ΔΓ ἐστιν ἴση. ὁμοίως δὴ καὶ πᾶσαι δειχ‐
5	θήσονται αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἢ τῆς ΔΒ ἢ τῆς ΔΘ ἴσαι. καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τῷ ΑΒΓ ἐπὶ τῆς διαμέτρου εἴληπται σημεῖον τὸ Ε μὴ ὂν κέντρον τοῦ κύκλου, μεγίστη μὲν ἡ ΕΒ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΕΘ, ἀεὶ δὲ ἡ ἔγ‐ γιον τῆς ΕΘ τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων· ὥστε ἡ
10	ΕΘ τῆς ΕΖ ἐστιν ἐλάσσων. καὶ ἐπεὶ ἡ ΘΕ τῆς ΖΕ ἐλάσσων ἐστίν, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐταῖς ἡ ΕΔ, βάσις ἄρα ἡ ΔΘ βάσεως τῆς ΔΖ ἐλάσσων ἐστίν. πάλιν ἐπεὶ ἡ μὲν ΕΖ ἔγγιόν ἐστι τῆς ΕΘ, ἡ δὲ ΑΕ πορρωτέρω, ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΕΖ τῆς ΑΕ. ἐπεὶ οὖν
15	ἐλάσσων ἡ ΕΖ τῆς ΕΑ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθάς ἐστιν αὐταῖς ἡ ΕΔ, βάσις ἄρα ἡ ΔΖ βάσεως τῆς ΔΑ ἐστιν ἐλάσσων. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἡ ΑΚ τῇ ΚΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΚΕ, δύο αἱ ΑΚ, ΚΕ δύο ταῖς ΒΚ, ΚΕ, τουτ‐ έστιν ὅλῃ τῇ ΒΚΕ, εἰσιν ἴσαι. ἀλλ’ αἱ ΑΚ, ΚΕ
20	τῆς ΑΕ μείζονές εἰσιν· καὶ ἡ ΕΒ ἄρα τῆς ΕΑ μεί‐ ζων ἐστίν. πάλιν ἐπεὶ ἡ ΕΑ τῆς ΕΒ ἐλάσσων ἐστίν, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐταῖς ἡ ΕΔ, βάσις ἄρα ἡ ΔΑ βάσεως τῆς ΔΒ ἐστιν ἐλάσσων. ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΘ τῆς ΔΖ ἐλάσσων, ἡ δὲ ΔΖ τῆς ΔΑ, ἡ δὲ ΔΑ τῆς
25	ΔΒ, ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ ΔΘ καὶ τὰ ἑξῆς. Πάσης καμπύλης γραμμῆς, ἥτις ἐστὶν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ, διάμετρον καλῶ καὶ τὰ ἑξῆς. τὸ ἐν
25	ἑνὶ ἐπιπέδῳ εἶπε διὰ τὴν ἕλικα τοῦ κυλίνδρου καὶ	198
200	τῆς σφαίρας· αὗται γὰρ οὐκ εἰσὶν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ. ὃ δὲ λέγει, τοιοῦτόν ἐστιν· ἔστω καμπύλη γραμμὴ ἡ ΑΒΓ καὶ ἐν αὐτῇ εὐθεῖαί τινες παράλληλοι αἱ ΑΓ, ΔΕ, ΖΗ, ΘΚ, καὶ διήχθω ἀπὸ τοῦ Β εὐθεῖα ἡ ΒΛ
5	δίχα αὐτὰς τέμνουσα. φησὶν οὖν, ὅτι τῆς ΑΒΓ γραμ‐ μῆς διάμετρον μὲν καλῶ τὴν ΒΛ, κορυφὴν δὲ τὸ Β, τεταγμένως δὲ ἐπὶ τὴν ΒΛ κατῆχθαι ἑκάστην τῶν ΑΓ, ΔΕ, ΖΗ, ΘΚ. εἰ δὲ ἡ ΒΛ δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει τὰς παραλλήλους, ἄξων καλεῖται.
10	Ὁμοίως δὲ καὶ δύο καμπύλων γραμμῶν καὶ τὰ ἑξῆς. ἐὰν γὰρ νοήσωμεν τὰς Α, Β γραμμὰς καὶ ἐν αὐταῖς τὰς ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΚΛ, ΜΝ, ΞΟ παραλ‐ λήλους καὶ τὴν ΑΒ διηγμένην ἐφ’ ἑκάτερα καὶ τέμ‐ νουσαν τὰς παραλλήλους δίχα, τὴν μὲν ΑΒ καλῶ,
15	φησίν, πλαγίαν διάμετρον, κορυφὰς δὲ τῶν γραμμῶν τὰ Α, Β σημεῖα, τε‐ [Omitted graphic marker] ταγμένως δὲ ἐπὶ τὴν ΑΒ τὰς ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΚΛ, ΜΝ, ΞΟ.
20	εἰ δὲ δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὰς τέμνει, ἄξων καλεῖται. ἐὰν δὲ διαχθεῖσά τις εὐ‐ θεῖα ὡς ἡ ΠΡ τὰς ΓΞ, ΕΜ, ΗΚ παραλλήλους
25	τῇ ΑΒ δίχα τέμνει, ὀρθία μὲν διάμετρος καλεῖται ἡ ΠΡ, τεταγμένως δὲ κατῆχθαι ἐπὶ τὴν ΠΡ διάμετρον ἑκάστη τῶν ΓΞ, ΕΜ, ΗΚ. εἰ δὲ δίχα καὶ πρὸς
25	ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει, ἄξων ὀρθός, ἐὰν δὲ αἱ ΑΒ, ΠΡ	200
202	δίχα τέμνουσι τὰς ἀλλήλων παραλλήλους, λέγονται συζυγεῖς διάμετροι, ἐὰν δὲ δίχα καὶ πρὸς ὀρθάς, συ‐ ζυγεῖς ἄξονες ὀνομάζονται.
4t	Εἰς τὸ αʹ.
5	Περὶ τῶν διαφόρων καταγραφῶν ἤτοι πτώσεων τῶν θεωρημάτων τοσοῦτον ἰστέον, ὅτι πτῶσις μέν ἐστιν, ὅταν τὰ ἐν τῇ προτάσει δεδομένα τῇ θέσει ᾖ δοθέντα· ἡ γὰρ διάφορος αὐτῶν μετάληψις τοῦ αὐτοῦ συμπεράσματος ὄντος ποιεῖ τὴν πτῶσιν. ὁμοίως δὲ
10	καὶ ἀπὸ τῆς κατασκευῆς μετατιθεμένης γίνεται πτῶσις. πολλὰς δὲ ἐχόντων τῶν θεωρημάτων πάσαις ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις ἁρμόζει καὶ ἐπὶ τῶν αὐτῶν στοιχείων πλὴν βραχέων, ὡς ἑξῆς εἰσόμεθα· εὐθὺς γὰρ τὸ πρῶτον θεώρημα τρεῖς πρώσεις ἔχει διὰ τὸ τὸ λαμβανόμενον
15	σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας, τουτέστι τὸ Β, ποτὲ μὲν εἰς τὴν κατωτέρω ἐπιφάνειαν εἶναι καὶ τοῦτο διχῶς ἢ ἀνωτέρω τοῦ κύκλου ἢ κατωτέρω, ποτὲ δὲ ἐπὶ τῆς κατὰ κορυφὴν αὐτῇ ἐπικειμένης. τοῦτο δὲ τὸ θεώρημα προέθετο ζητῆσαι, ὅτι οὐκ ἐπὶ πάντα δύο σημεῖα ἐπὶ
20	τῆς ἐπιφανείας λαμβανόμενα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἐστίν, ἀλλ’ ἡ νεύουσα μόνον ἐπὶ τὴν κορυφήν, διὰ τὸ καὶ ὑπὸ εὐθείας τὸ πέρας ἐχού‐ σης μένον γεγενῆσθαι τὴν κωνικὴν ἐπιφάνειαν. ὅτι δὲ τοῦτο ἀληθές, τὸ δεύτερον θεώρημα δηλοῖ.
25t	Εἰς τὸ βʹ.
26	Τὸ δεύτερον θεώρημα τρεῖς ἔχει πτώσεις διὰ τὸ
26	τὰ λαμβανόμενα σημεῖα τὰ Δ, Ε ἢ ἐπὶ τῆς κατὰ κο‐	202
204	ρυφὴν εἶναι ἐπιφανείας ἢ ἐπὶ τῆς κάτω διχῶς ἢ ἐσωτέρω τοῦ κύκλου ἢ ἐξωτέρω. δεῖ δὲ ἐφιστάνειν, ὅτι τοῦτο τὸ θεώρημα εὑρίσκεται ἔν τισιν ἀντιγρά‐ φοις ὅλον διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς δεδειγ‐
5	μένον.
6t	Εἰς τὸ γʹ.
7	Τὸ γʹ θεώρημα πτῶσιν οὐκ ἔχει. δεῖ δὲ ἐν αὐτῷ ἐπιστῆσαι, ὅτι ἡ ΑΒ εὐθεῖά ἐστι διὰ τὸ κοινὴ τομὴ εἶναι τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου καὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ
10	κώνου, ἥτις ὑπὸ εὐθείας ἐγράφη τὸ πέρας ἐχούσης μένον πρὸς τῇ κορυφῇ τῆς ἐπιφανείας. οὐ γὰρ πᾶσα ἐπιφάνεια ὑπὸ ἐπιπέδου τεμνομένη τὴν τομὴν ποιεῖ εὐθεῖαν, οὐδὲ αὐτὸς ὁ κῶνος, εἰ μὴ διὰ τῆς κορυφῆς ἔλθῃ τὸ τέμνον ἐπίπεδον.
15t	Εἰς τὸ δʹ.
16	Αἱ πτώσεις τούτου τοῦ θεωρήματος τρεῖς εἰσιν ὥσπερ καὶ τοῦ πρώτου καὶ δευτέρου.
18t	Εἰς τὸ εʹ.
19	Τὸ πέμπτον θεώρημα πτῶσιν οὐκ ἔχει. ἀρχόμενος
20	δὲ τῆς ἐκθέσεώς φησιν· τετμήσθω ὁ κῶνος ἐπι‐ πέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ πρὸς τὴν βάσιν. ἐπειδὴ δὲ ἐν τῷ σκαληνῷ κώνῳ κατὰ μίαν μόνον θέσιν τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον ὀρθόν ἐστι πρὸς τὴν βάσιν, τοῦτο ποιήσομεν οὕτως· λαβόντες τὸ κέν‐
25	τρον τῆς βάσεως ἀναστήσομεν ἀπ’ αὐτοῦ τῷ ἐπιπέδῳ τῆς βάσεως πρὸς ὀρθὰς καὶ δι’ αὐτῆς καὶ τοῦ ἄξονος
25	ἐκβάλλοντες ἐπίπεδον ἕξομεν τὸ ζητούμενον· δέδεικται	204
206	γὰρ ἐν τῷ ιαʹ τῆς Εὐκλείδου στοιχειώσεως, ὅτι, ἐὰν εὐθεῖα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ πάντα τὰ δι’ αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται. τὸν δὲ κῶνον σκαληνὸν ὑπέθετο, ἐπειδὴ ἐν τῷ ἰσοσκε‐
5	λεῖ τὸ παράλληλον τῇ βάσει ἐπίπεδον τῷ ὑπεναντίως ἠγμένῳ τὸ αὐτό ἐστιν. ἔτι φησίν· τετμήσθω δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς μὲν τῷ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνῳ, ἀφαιροῦντι δὲ πρὸς τῇ κορυφῇ τρίγωνον ὅμοιον
10	μὲν τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ, ὑπεναντίως δὲ κείμενον. τοῦτο δὲ γίνεται οὕτως· ἔστω τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρί‐ γωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν ση‐ μεῖον τὸ Η, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΗ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Η τῇ ὑπὸ ΑΓΒ γωνίᾳ ἴση
15	ἡ ὑπὸ ΑΗΚ· τὸ ΑΗΚ ἄρα τρίγωνον τῷ ΑΒΓ ὅμοιον μέν ἐστιν, ὑπεναντίως δὲ κείμενον. εἰλήφθω δὴ ἐπὶ τῆς ΗΚ τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τῷ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἡ ΖΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν ΗΚ, ΘΖ ἐπίπεδον. τοῦτο
20	δὴ ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον διὰ τὴν ΖΘ καὶ ποιοῦν τὸ προκείμενον. ἐν τῷ συμπεράσματί φησιν, ὅτι διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΔΖΗ, ΕΖΚ τριγώνων ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΔΖΕ τῷ ὑπὸ ΗΖΚ. δυνατὸν δέ ἐστι τοῦτο δεῖξαι καὶ
25	δίχα τῆς τῶν τριγώνων ὁμοιότητος λέγοντα, ὅτι, ἐπειδὴ	206
208	ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΚΗ, ΑΔΕ γωνιῶν ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Β, ἐν τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τοῦ περιλαμ‐ βάνοντος κύκλου τὰ Δ, Η, Ε, Κ σημεῖα. καὶ ἐπειδὴ ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΕ, ΗΚ τέμνουσιν ἀλλή‐
5	λας κατὰ τὸ Ζ, τὸ ὑπὸ ΔΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΗΖΚ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ ἀπὸ τῆς ΗΘ γραμμῆς ἐπὶ τὴν ΗΚ κάθετοι ἀγόμεναι ἴσον δύ‐ νανται τῷ ὑπὸ τῶν τμημάτων. κύκλος ἄρα ἐστὶν ἡ
10	τομή, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΗΚ. καὶ δυνατὸν μέν ἐστιν ἐπιλογίσασθαι τοῦτο διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπα‐ γωγῆς. εἰ γὰρ ὁ περὶ τὴν ΚΗ γραφόμενος κύκλος οὐχ ἥξει διὰ τοῦ Θ σημείου, ἔσται τὸ ὑπὸ τῶν ΚΖ, ΖΗ ἴσον ἤτοι τῷ ἀπὸ μείζονος τῆς ΖΘ ἢ τῷ ἀπὸ
15	ἐλάσσονος· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. δείξομεν δὲ αὐτὸ καὶ ἐπ’ εὐθείας. ἔστω τις γραμμὴ ἡ ΗΘ, καὶ ὑποτεινέτω αὐτὴν ἡ ΗΚ, εἰλήφθω δὲ καὶ ἐπὶ τῆς γραμμῆς τυχόντα σημεῖα τὰ Θ, Ο, καὶ ἀπ’ αὐτῶν ἐπὶ τὴν ΗΚ κάθετοι ἤχθω‐
20	σαν αἱ ΘΖ, ΟΠ, καὶ ἔστω τὸ μὲν ἀπὸ ΖΘ ἴσον τῷ ὑπὸ ΗΖΚ, τὸ δὲ ἀπὸ ΟΠ τῷ ὑπὸ ΗΠΚ ἴσον. λέγω, ὅτι κύκλος ἐστὶν ἡ ΗΘΟΚ γραμμή. τετμήσθω γὰρ ἡ ΗΚ δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΘ, ΝΟ. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΗΚ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα
25	κατὰ τὸ Ν, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Ζ, τὸ ὑπὸ ΗΖΚ
25	μετὰ τοῦ ἀπὸ ΝΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΝΚ. τὸ δὲ	208
210	ὑπὸ ΗΖΚ ἴσον ὑπόκειται τῷ ἀπὸ ΘΖ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΘΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΝΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΝΚ. ἴσα δέ ἐστι τὰ ἀπὸ ΘΖ, ΖΝ τῷ ἀπὸ ΝΘ· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Ζ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΝΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΝΚ.
5	ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ ΝΟ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΝΚ. κύκλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘΚ γραμμή, διά‐ μετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΗΚ. δυνατὸν δέ ἐστι τὰς ΔΕ, ΗΚ διαμέτρους ποτὲ μὲν ἴσας, ποτὲ δὲ ἀνίσους εἶναι, οὐδέποτε μέντοι δίχα
10	τέμνουσιν ἀλλήλας. ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Κ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΝΚ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ΒΑ τῆς ΑΓ, μείζων ἄρα καὶ ἡ ΝΑ τῆς ΑΚ. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΚΑ τῆς ΑΗ διὰ τὴν ὑπεναντίαν τομήν. ὥστε ἡ τῇ ΑΚ ἀπὸ τῆς ΑΝ ἴση λαμβανομένη μεταξὺ πίπτει
15	τῶν Η, Ν σημείων. πιπτέτω ὡς ἡ ΑΞ· ἡ ἄρα διὰ τοῦ Ξ τῇ ΒΓ παράλληλος ἀγομένη τέμνει τὴν ΗΚ. τεμνέτω ὡς ἡ ΞΟΠ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΞΑ τῇ ΑΚ, ὡς δὲ ἡ ΞΑ πρὸς ΑΠ, ἡ ΚΑ πρὸς ΑΗ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΗΚΑ, ΞΑΠ τριγώνων, ἡ ΑΗ
20	τῇ ΑΠ ἐστιν ἴση καὶ λοιπὴ ἡ ΗΞ τῇ ΠΚ. καὶ ἐπεὶ αἱ πρὸς τοῖς Ξ, Κ γωνίαι ἴσαι εἰσίν· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ Β· εἰσὶ δὲ καὶ αἱ πρὸς τῷ Ο ἴσαι· κατὰ κορυφὴν γάρ· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΞΗΟ τρίγω‐ νον τῷ ΠΟΚ τριγώνῳ. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΞ τῇ
25	ΠΚ· ὥστε καὶ ἡ ΞΟ τῇ ΟΚ καὶ ἡ ΗΟ τῇ ΟΠ καὶ	210
212	ὅλη ἡ ΗΚ τῇ ΞΠ. καὶ φανερόν, ὅτι, ἐὰν μεταξὺ τῶν Ν, Ξ ληφθῇ τι σημεῖον ὡς τὸ Ρ, καὶ διὰ τοῦ Ρ τῇ ΝΚ παράλληλος ἀχθῇ ἡ ΡΣ, μείζων ἔσται τῆς ΞΠ καὶ διὰ τοῦτο καὶ τῆς ΗΚ, ἐὰν δὲ μεταξὺ τῶν Η, Ξ
5	ληφθῇ τι σημεῖον οἷον τὸ Τ, καὶ δι’ αὐτοῦ παράλλη‐ λος ἀχθῇ ἡ ΤΠ, ἐλάττων ἔσται τῆς ΞΠ καὶ τῆς ΚΗ. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΞΠΚ γωνία μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΑΞΠ, ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΟΠΚ τῇ ὑπὸ ΟΗΞ, μείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΟΗΞ τῆς ὑπὸ ΗΞΟ. ἡ ΞΟ ἄρα τῆς
10	ΟΗ μείζων καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ ΚΟ τῆς ΟΠ. ἐὰν δέ ποτε ἡ ἑτέρα αὐτῶν δίχα διαιρεθῇ, ἡ λοιπὴ εἰς ἄνισα τμηθήσεται.
13t	Εἰς τὸ ϛʹ.
14	Προσέχειν χρή, ὅτι οὐ μάτην πρόσκειται ἐν τῇ
15	προτάσει τὸ δεῖν τὴν ἀγομένην εὐθεῖαν ἀπὸ τοῦ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ σημείου παράλληλον μιᾷ τινι τῶν ἐν τῇ βάσει εὐθειῶν πρὸς ὀρθὰς οὔσῃ πάντως τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου ἄγεσθαι παράλληλον· τού‐ του γὰρ μὴ ὄντος οὐ δυνατόν ἐστιν αὐτὴν δίχα τέμ‐
20	νεσθαι ὑπὸ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου· ὅπερ ἐστὶ φανερὸν ἐκ τῆς ἐν τῷ ῥητῷ καταγραφῆς. εἰ γὰρ ἡ ΜΝ, ᾕτινι παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΖΗ, μὴ πρὸς ὀρθὰς εἴη τῇ ΒΓ, δῆλον, ὅτι οὐδὲ δίχα τέμνεται οὐδὲ ἡ ΚΛ. καὶ διὰ τῶν αὐτῶν λόγων συνάγεται, ὅτι ἐστίν,
25	ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΛ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ΖΗ· καὶ ἡ ΔΗ ἄρα εἰς ἄνισα τμηθήσεται κατὰ τὸ Ζ. δυνατὸν δὲ κατωτέρω τοῦ κύκλου καὶ ἐπὶ τῆς
25	κατὰ κορυφὴν ἐπιφανείας τὰ αὐτὰ δείκνυσθαι.	212
214 (1t)	Εἰς τὸ ζʹ.
2	Τὸ ζʹ θεώρημα πτώσεις ἔχει τέσσαρας· ἢ γὰρ οὐ συμβάλλει ἡ ΖΗ τῇ ΑΓ ἢ συμβάλλει τριχῶς ἢ ἐκτὸς τοῦ κύκλου ἢ ἐντὸς ἢ ἐπὶ τοῦ Γ σημείου.
5t	Μετὰ τὸ ιʹ.
6	Χρὴ ἐπιστῆσαι, ὅτι τὰ ι ταῦτα θεωρήματα ἀλλή‐ λων ἔχονται. ἀλλὰ τὸ πρῶτον ἔχει, ὅτι αἱ ἐν τῇ ἐπι‐ φανείᾳ εὐθεῖαι νεύουσαι ἐπὶ τὴν κορυφὴν ἐν ταύτῃ μένουσιν, τὸ δὲ δεύτερον τὸ ἀνάπαλιν, τὸ δὲ τρίτον
10	ἔχει τὴν διὰ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου τομήν, τὸ δὲ τέταρτον τὴν παράλληλον τῇ βάσει, τὸ πέμπτον τὴν ὑπεναντίαν, τὸ ἕκτον ὡσανεὶ προλαμβάνεται τοῦ ἑβ‐ δόμου δεικνύον, ὅτι καὶ πρὸς ὀρθὰς ὀφείλει πάντως εἶναι τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου ἡ κοινὴ τομὴ αὐτοῦ
15	καὶ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου, καὶ ὅτι τούτου οὕτως ἔχοντος αἱ παράλληλοι αὐτῇ διχοτομοῦνται ὑπὸ τοῦ τριγώνου, τὸ δὲ ἕβδομον τὰς ἄλλας τρεῖς τομὰς ἔδειξε καὶ τὴν διάμετρον καὶ τὰς ἐπ’ αὐτὴν καταγομένας παραλλήλους τῇ ἐν τῇ βάσει εὐθείᾳ. ἐν δὲ τῷ ὀγδόῳ
20	δείκνυσιν, ὅπερ ἐν τοῖς προλεγομένοις εἴπομεν, ὅτι ἡ παραβολὴ καὶ ἡ ὑπερβολὴ τῶν εἰς ἄπειρόν εἰσιν αὐξομένων, ἐν δὲ τῷ ἐνάτῳ, ὅτι ἡ ἔλλειψις συννεύ‐ ουσα εἰς ἑαυτὴν ὁμοίως τῷ κύκλῳ διὰ τὸ τὸ τέμνον ἐπίπεδον συμπίπτειν ἀμφοτέραις ταῖς πλευραῖς τοῦ
25	τριγώνου οὐκ ἔστι κύκλος· κύκλους γὰρ ἐποίουν ἥ τε ὑπεναντία τομὴ καὶ ἡ παράλληλος· καὶ δεῖ ἐπιστῆσαι,
25	ὅτι ἡ διάμετρος τῆς τομῆς ἐπὶ μὲν τῆς παραβολῆς	214
216	τὴν μίαν πλευρὰν τοῦ τριγώνου τέμνει καὶ τὴν βάσιν, ἐπὶ δὲ τῆς ὑπερβολῆς τήν τε πλευρὰν καὶ τὴν ἐπ’ εὐθείας τῇ λοιπῇ πλευρᾷ ἐκβαλλομένην πρὸς τῇ κο‐ ρυφῇ, ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως καὶ ἑκατέραν τῶν πλευ‐
5	ρῶν καὶ τὴν βάσιν. τὸ δὲ δέκατον ἁπλούστερον μέν τις ἐπιβάλλων ἴσως ἂν οἰηθείη ταὐτὸν εἶναι τῷ δευ‐ τέρῳ, τοῦτο μέντοι οὐχ ὣς ἔχει· ἐκεῖ μὲν γὰρ ἐπὶ πάσης τῆς ἐπιφανείας ἔλεγε λαμβάνεσθαι τὰ δύο σημεῖα, ἐνταῦθα δὲ ἐπὶ τῆς γενομένης γραμμῆς. ἐν
10	δὲ τοῖς ἑξῆς τρισὶν ἀκριβέστερον ἑκάστην τῶν τομῶν τούτων διακρίνει μετὰ τοῦ λέγειν καὶ τὰ ἰδιώματα αὐτῶν τὰ ἀρχικά.
13t	Εἰς τὸ ιαʹ.
14	Πεποιήσθω, ὡς τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ
15	ΒΑΓ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς ΖΑ· σαφὲς μέν ἐστι τὸ λεγόμενον, πλὴν εἴ τις καὶ ὑπομνησθῆναι βούλεται. ἔστω τῷ ὑπὸ ΒΑΓ ἴσον τὸ ὑπὸ ΟΠΡ, τῷ δὲ ἀπὸ ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΠΡ παραβληθὲν πλάτος ποιείτω τὴν ΠΣ, καὶ γεγονέτω, ὡς ἡ ΟΠ πρὸς ΠΣ, ἡ ΑΖ
20	πρὸς ΖΘ· γέγονεν ἄρα τὸ ζητούμενον. ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ ΟΠ πρὸς ΠΣ, ἡ ΑΖ πρὸς ΖΘ, ἀνάπαλιν ὡς ἡ ΣΠ πρὸς ΠΟ, ἡ ΘΖ πρὸς ΖΑ. ὡς δὲ ἡ ΣΠ πρὸς ΠΟ, τὸ ΣΡ πρὸς ΡΟ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ. τοῦτο χρησιμεύει καὶ τοῖς ἑξῆς
25	δύο θεωρήμασιν.	216
218	Τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ καὶ ἡ ΒΓ πρὸς ΒΑ· δέδεικται μὲν ἐν τῷ ἕκτῳ βιβλίῳ τῆς στοιχειώσεως ἐν τῷ εἰκοστῷ τρίτῳ θεωρή‐
5	ματι, ὅτι τὰ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· ἐπεὶ δὲ ἐπακτικώτερον μᾶλλον καὶ οὐ κατὰ τὸν ἀναγκαῖον τρόπον ὑπὸ τῶν ὑπομνηματιστῶν ἐλέγετο, ἐζητήσαμεν αὐτὸ καὶ γέγραπται ἐν τοῖς ἐκδεδομένοις ἡμῖν εἰς τὸ
10	τέταρτον θεώρημα τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν Ἀρχιμή‐ δους περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου καὶ ἐν τοῖς σχολίοις τοῦ πρώτου βιβλίου τῆς Πτολεμαίου συντάξεως· οὐ χεῖρον δὲ καὶ ἐνταῦθα τοῦτο γραφῆναι διὰ τὸ μὴ πάντως τοὺς ἀναγινώσκοντας κἀκείνοις ἐντυγχάνειν, καὶ ὅτι σχεδὸν
15	τὸ ὅλον σύνταγμα τῶν κωνικῶν κέχρηται αὐτῷ. λόγος ἐκ λόγων συγκεῖσθαι λέγεται, ὅταν αἱ τῶν λόγων πηλικότητες ἐφ’ ἑαυτὰς πολλαπλασιασθεῖσαι ποι‐ ῶσί τινα, πηλικότητος δηλονότι λεγομένης τοῦ ἀριθ‐ μοῦ, οὗ παρώνυμός ἐστιν ὁ λόγος. ἐπὶ μὲν οὖν τῶν
20	πολλαπλασίων δυνατόν ἐστιν ἀριθμὸν ὁλόκληρον εἶναι τὴν πηλικότητα, ἐπὶ δὲ τῶν λοιπῶν σχέσεων ἀνάγκη τὴν πηλικότητα ἀριθμὸν εἶναι καὶ μόριον ἢ μόρια, εἰ μὴ ἄρα τις ἐθέλοι καὶ ἀρρήτους εἶναι σχέσεις, οἷαί εἰσιν αἱ κατὰ τὰ ἄλογα μεγέθη. ἐπὶ πασῶν δὲ τῶν σχέσεων
25	δῆλον, ὅτι αὐτὴ ἡ πηλικότης πολλαπλασιαζομένη ἐπὶ τὸν ἑπόμενον ὅρον τοῦ λόγου ποιεῖ τὸν ἡγούμενον.
25	ἔστω τοίνυν λόγος ὁ τοῦ Α πρὸς τὸν Β, καὶ εἰ‐	218
220	λήφθω τις αὐτῶν μέσος, ὡς ἔτυχεν, ὁ Γ, καὶ ἔστω τοῦ Α, Γ λόγου πηλικότης ὁ Δ, τοῦ δὲ Γ, Β ὁ Ε, καὶ ὁ Δ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω. λέγω, ὅτι τοῦ λόγου τῶν Α, Β πηλικότης ἐστὶν ὁ Ζ, τουτ‐
5	έστιν ὅτι ὁ Ζ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Α ποιεῖ. ὁ δὴ Ζ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω. ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τὸν μὲν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Ζ πεποίηκεν, τὸν δὲ Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα, ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Γ, ὁ Ζ πρὸς τὸν Α. πάλιν
10	ἐπεὶ ὁ Β τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, τὸν δὲ Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα, ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ὁ Γ πρὸς τὸν Η. ἐναλλάξ, ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Γ, ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. ἦν δέ, ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Γ, ὁ Ζ πρὸς τὸν Α· ἴσος ἄρα ὁ Η
15	τῷ Α. ὥστε ὁ Ζ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν. μὴ ταραττέτω δὲ τοὺς ἐντυγχάνοντας τὸ διὰ τῶν ἀριθμητικῶν δεδεῖχθαι τοῦτο· οἵ τε γὰρ παλαιοὶ κέ‐ χρηνται ταῖς τοιαύταις ἀποδείξεσι μαθηματικαῖς μᾶλλον
20	οὔσαις ἢ ἀριθμητικαῖς διὰ τὰς ἀναλογίας, καὶ ὅτι τὸ ζητούμενον ἀριθμητικόν ἐστιν. λόγοι γὰρ καὶ πηλικότητες λόγων καὶ πολλαπλασιασμοὶ τοῖς ἀριθμοῖς πρώτως ὑπάρχουσι καὶ δι’ αὐτῶν τοῖς μεγέθεσι, κατὰ τὸν εἰπόντα· ταῦτα γὰρ τὰ μαθήματα δοκοῦντι εἶμεν
25	ἀδελφά.	220
222 (1t)	Εἰς τὸ ιγʹ.
2	Δεῖ σημειώσασθαι, ὅτι τοῦτο τὸ θεώρημα τρεῖς ἔχει καταγραφάς, ὡς καὶ πολλάκις εἴρηται ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως· ἡ γὰρ ΔΕ ἢ ἀνωτέρω τοῦ Γ συμπίπτει
5	τῇ ΑΓ ἢ κατ’ αὐτοῦ τοῦ Γ ἢ ἐξωτέρω ἐκβαλλομένῃ τῇ ΑΓ συμπίπτει.
7t	Εἰς τὸ ιδʹ.
8	Δυνατὸν ἦν καὶ οὕτως δεῖξαι, ὅτι, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΣΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΤ πρὸς τὸ ὑπὸ
10	ΞΤΟ. ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΞΟ, ἔστιν, ὡς ἡ ΓΣ πρὸς ΣΑ, ἡ ΞΤ πρὸς ΤΑ, καὶ διὰ τὰ αὐτά, ὡς ἡ ΑΣ πρὸς ΣΒ, ἡ ΑΤ πρὸς ΤΟ· δι’ ἴσου ἄρα, ὡς ἡ ΓΣ πρὸς ΣΒ, ἡ ΞΤ πρὸς ΤΟ. καὶ ὡς
15	ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΣΒ, τὸ ἀπὸ ΞΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΞΤΟ. ἔστι δὲ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τρι‐ γώνων, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΓ, τὸ ἀπὸ ΑΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΤ· δι’ ἴσου ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΣΓ, τὸ ἀπὸ ΑΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΞΤΟ.
20	καί ἐστιν, ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΑΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΣΓ, ἡ ΘΕ πρὸς ΕΠ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΑΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΞΤΟ, ἡ ΘΕ πρὸς ΘΡ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΕ πρὸς ΕΠ, ἡ ΕΘ πρὸς ΘΡ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΠ τῇ ΘΡ. πτῶσιν μὲν οὖν οὐκ ἔχει, φανερὸς δέ ἐστιν ὁ
25	σκοπὸς συνεχὴς ὢν τοῖς πρὸ αὐτοῦ τρισίν· ὁμοίως γὰρ ἐκείνοις τὴν διάμετρον τῶν ἀντικειμένων ζητεῖ τὴν
25	ἀρχικὴν καὶ τὰς παρ’ ἃς δύνανται.	222
224 (1t)	Εἰς τὸ ιϛʹ.
2	Ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΚΑ τῷ ὑπὸ ΑΛΒ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΑ τῇ ΒΛ· ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΒΚΑ τῷ ὑπὸ ΑΛΒ ἐστιν ἴσον, ἀνάλογον ἔσται, ὡς ἡ ΚΒ
5	πρὸς ΑΛ, ἡ ΛΒ πρὸς ΑΚ. καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΚΒ πρὸς ΒΛ, ἡ ΛΑ πρὸς ΑΚ· καὶ συνθέντι, ὡς ἡ ΚΛ πρὸς ΛΒ, ἡ ΛΚ πρὸς ΚΑ· ἴση ἄρα ἡ ΚΑ τῇ ΒΛ. δεῖ ἐπιστῆσαι, ὅτι ἐν τῷ πεντεκαιδεκάτῳ καὶ ἑκ‐ καιδεκάτῳ θεωρήματι σκοπὸν ἔσχε ζητῆσαι τὰς καλου‐
10	μένας δευτέρας καὶ συζυγεῖς διαμέτρους τῆς ἐλλείψεως καὶ τῆς ὑπερβολῆς ἤτοι τῶν ἀντικειμένων· ἡ γὰρ παραβολὴ οὐκ ἔχει τοιαύτην διάμετρον. παρατηρητέον δέ, ὅτι αἱ μὲν τῆς ἐλλείψεως διάμετροι ἐντὸς ἀπολαμ‐ βάνονται, αἱ δὲ τῆς ὑπερβολῆς καὶ τῶν ἀντικειμένων
15	ἐκτός. καταγράφοντας δὲ δεῖ τὰς μὲν παρ’ ἃς δύναν‐ ται ἤτοι τὰς ὀρθίας πλευρὰς πρὸς ὀρθὰς τάττειν καὶ δηλονότι καὶ τὰς παραλλήλους αὐταῖς, τὰς δὲ τεταγ‐ μένως καταγομένας καὶ τὰς δευτέρας διαμέτρους οὐ πάντως· μάλιστα γὰρ ἐν ὀξείᾳ γωνίᾳ δεῖ κατάγειν
20	αὐτάς, ἵνα σαφεῖς ὦσιν τοῖς ἐντυγχάνουσιν ἕτεραι οὖσαι τῶν παραλλήλων τῇ ὀρθίᾳ πλευρᾷ. Μετὰ τὸ ἑκκαιδέκατον θεώρημα ὅρους ἐκτίθεται περὶ τῆς καλουμένης δευτέρας διαμέτρου τῆς ὑπερ‐ βολῆς καὶ τῆς ἐλλείψεως, οὓς διὰ καταγραφῆς σαφεῖς
25	ποιήσομεν. ἔστω ὑπερβολὴ ἡ ΑΒ, διάμετρος δὲ αὐτῆς ἔστω
25	ἡ ΓΒΔ, παρ’ ἣν δὲ δύνανται αἱ ἐπὶ τὴν ΒΓ κατ‐	224
226	αγόμεναι ἡ ΒΕ. φανερὸν οὖν, ὅτι ἡ μὲν ΒΓ εἰς ἄπει‐ ρον αὔξεται διὰ τὴν τομήν, ὡς δέδεικται ἐν τῷ ὀγδόῳ θεωρήματι, ἡ δὲ ΒΔ, ἥτις ἐστὶν ἡ ὑποτείνουσα τὴν ἐκτὸς τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου γωνίαν πεπέρασ‐
5	ται. ταύτην δὴ διχοτομοῦντες κατὰ τὸ Ζ καὶ ἀγα‐ γόντες ἀπὸ τοῦ Α τεταγμένως κατηγμένην τὴν ΑΗ, διὰ δὲ τοῦ Ζ τῇ ΑΗ παράλληλον τὴν ΘΖΚ καὶ ποι‐ ήσαντες τὴν ΘΖ τῇ ΖΚ ἴσην, ἔτι μέντοι καὶ τὸ ἀπὸ ΘΚ ἴσον τῷ ὑπὸ ΔΒΕ, ἕξομεν τὴν ΘΚ δευτέραν διά‐
10	μετρον. τοῦτο γὰρ δυνατὸν διὰ τὸ τὴν ΘΚ ἐκτὸς οὖσαν τῆς τομῆς εἰς ἄπειρον ἐκβάλλεσθαι καὶ δυνα‐ τὸν εἶναι ἀπὸ τῆς ἀπείρου προτεθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην ἀφελεῖν. τὸ δὲ Ζ κέντρον καλεῖ, τὴν δὲ ΖΒ καὶ τὰς ὁμοίως αὐτῇ ἀπὸ τοῦ Ζ πρὸς τὴν τομὴν φερομένας ἐκ
15	τοῦ κέντρου. ταῦτα μὲν ἐπὶ τῆς ὑπερβολῆς καὶ τῶν ἀντικειμέ‐ νων· καὶ φανερόν, ὅτι πεπερασμένη ἐστὶν ἑκατέρα τῶν διαμέτρων, ἡ μὲν πρώτη αὐτόθεν ἐκ τῆς γενέσεως τῆς τομῆς, ἡ δὲ δευτέρα, διότι μέση ἀνάλογόν ἐστι
20	πεπερασμένων εὐθειῶν τῆς τε πρώτης διαμέτρου καὶ τῆς παρ’ ἣν δύνανται αἱ καταγόμεναι ἐπ’ αὐτὴν τε‐ ταγμένως. ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως οὔπω δῆλον τὸ λεγόμενον. ἐπειδὴ γὰρ εἰς ἑαυτὴν συννεύει, καθάπερ ὁ κύκλος,
25	καὶ ἐντὸς ἀπολαμβάνει πάσας τὰς διαμέτρους καὶ ὡρισμένας αὐτὰς ἀπεργάζεται· ὥστε οὐ πάντως ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως ἡ μέση ἀνάλογον τῶν τοῦ εἴδους πλευ‐ ρῶν καὶ διὰ τοῦ κέντρου τῆς τομῆς ἀγομένη καὶ ὑπὸ
25	τῆς διαμέτρου διχοτομουμένη ὑπὸ τῆς τομῆς περατοῦται·	226
228	δυνατὸν δὲ αὐτὴν συλλογίζεσθαι δι’ αὐτῶν τῶν εἰρη‐ μένων ἐν τῷ πεντεκαιδεκάτῳ θεωρήματι. ἐπεὶ γάρ, ὡς ἐκεῖ δέδεικται, αἱ ἐπὶ τὴν ΔΕ καταγόμεναι παράλληλοι τῇ ΑΒ δύνανται τὰ παρακείμενα παρὰ τὴν τρίτην αὐταῖς
5	ἀνάλογον γινομένην, τουτέστι τὴν ΖΔ, ἔστιν, ὡς ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΑΒ, ἡ ΑΒ πρὸς ΔΖ· ὥστε μέση ἀνάλογόν ἐστιν ἡ ΑΒ τῶν ΕΔ, ΔΖ. καὶ διὰ τοῦτο καὶ αἱ κατα‐ γόμεναι ἐπὶ τὴν ΑΒ παράλληλοι τῇ ΔΕ δυνήσονται τὰ παρὰ τὴν τρίτην ἀνάλογον παρακείμενα τῶν ΔΕ, ΑΒ,
10	τουτέστι τὴν ΑΝ. διὰ δὴ τοῦτο μέση ἀνάλογον γίνε‐ ται ἡ ΔΕ δευτέρα διάμετρος τῶν ΒΑ, ΑΝ τοῦ εἴδους πλευρῶν. δεῖ δὲ εἰδέναι καὶ τοῦτο διὰ τὸ εὔχρηστον τῶν καταγραφῶν· ἐπεὶ γὰρ ἄνισοί εἰσιν αἱ ΑΒ, ΔΕ διά‐
15	μετροι· ἐν μόνῳ γὰρ τῷ κύκλῳ ἴσαι εἰσίν· δῆλον, ὅτι ἡ μὲν πρὸς ὀρθὰς [Omitted graphic marker] ἀγομένη τῇ ἐλάσσονι αὐτῶν ὡς ἐνταῦθα ἡ ΔΖ ἅτε τρίτη ἀνά‐
20	λογον οὖσα τῶν ΔΕ, ΑΒ μείζων ἐστὶν ἀμ‐ φοῖν, ἡ δὲ πρὸς ὀρ‐ θὰς ἀγομένη τῇ μείζονι ὡς ἐνταῦθα ἡ ΑΝ διὰ τὸ τρίτην ἀνάλογον εἶναι τῶν ΑΒ, ΔΕ ἐλάσσων ἐστὶν ἀμφοῖν·
25	ὥστε καὶ συνεχῶς εἶναι τὰς τέσσαρας ἀνάλογον· ὡς γὰρ ἡ ΑΝ πρὸς ΔΕ, ἡ ΔΕ πρὸς ΑΒ καὶ ἡ ΑΒ πρὸς ΔΖ.
27t	Εἰς τὸ ιζʹ.
28	Ὁ μὲν Εὐκλείδης ἐν τῷ πεντεκαιδεκάτῳ θεωρήματι
28	τοῦ τρίτου βιβλίου τῆς στοιχειώσεως ἔδειξεν, ὅτι ἡ	228
230	πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη ἀπ’ ἄκρας τῆς διαμέτρου ἐκτός τε πίπτει καὶ ἐφάπτεται τοῦ κύκλου, ὁ δὲ Ἀπολλώνιος ἐν τούτῳ καθολικόν τι δείκνυσι δυνάμενον ἐφαρμό‐ σαι ταῖς τρισὶ τοῦ κώνου καὶ τῷ κύκλῳ.
5	τοσοῦτον διαφέρει ὁ κύκλος τῶν τοῦ κώνου το‐ μῶν, ὅτι ἐπ’ ἐκείνου μὲν αἱ τεταγμένως κατηγμέναι πρὸς ὀρθὰς ἄγονται τῇ διαμέτρῳ· οὐδὲ γὰρ ἄλλαι εὐθεῖαι παράλληλοι ἑαυταῖς ὑπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου διχοτομοῦνται· ἐπὶ δὲ τῶν τριῶν τομῶν οὐ
10	πάντως πρὸς ὀρθὰς ἄγονται, εἰ μὴ ἐπὶ μόνους τοὺς ἄξονας.
12t	Εἰς τὸ ιηʹ.
13	Ἔν τισιν ἀντιγράφοις τὸ θεώρημα τοῦτο ἐπὶ μόνης παραβολῆς καὶ ὑπερβολῆς ἐστιν, κάλλιον δὲ καθολι‐
15	κώτερον ἔχειν τὴν πρότασιν, εἰ μὴ ὅτι τὸ ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως ἐκείνοις ὡς ἀναμφίβολον παραλέλειπται· ἡ γὰρ ΓΔ ἐντὸς οὖσα τῆς τομῆς πεπερασμένης οὔσης καὶ αὐτὴ κατ’ ἀμφότερα τέμνει τὴν τομήν. δεῖ δὲ ἐπιστῆσαι, ὅτι, κἂν ἡ ΑΖΒ τέμνῃ τὴν το‐
20	μήν, ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις ἁρμόζει.
21t	Εἰς τὸ κʹ.
22	Ἀπὸ τούτου τοῦ θεωρήματος ἀρχόμενος ἐφεξῆς ἐν πᾶσι τὰ συμπτώματα τῆς παραβολῆς αὐτῇ δείκνυσιν ὑπάρχοντα καὶ οὐκ ἄλλῃ τινί, ὡς ἐπὶ τὸ πολὺ δὲ τῇ
25	ὑπερβολῇ καὶ τῇ ἐλλείψει καὶ τῷ κύκλῳ τὰ αὐτὰ δείκ‐ νυσιν ὑπάρχοντα.
25	ἐπειδὴ δὲ οὐκ ἄχρηστον φαίνεται τοῖς τὰ μηχα‐	230
232	νικὰ γράφουσι διὰ τὴν ἀπορίαν τῶν ὀργάνων καὶ πολλάκις διὰ συνεχῶν σημείων γράφειν τὰς τοῦ κώ‐ νου τομὰς ἐν ἐπιπέδῳ, διὰ τούτου τοῦ θεωρήματος ἔστι πορίσασθαι συνεχῆ σημεῖα, δι’ ὧν γραφήσεται ἡ
5	παραβολὴ κανόνος παραθέσει. ἐὰν γὰρ ἐκθῶμαι εὐ‐ θεῖαν ὡς τὴν ΑΒ καὶ ἐπ’ αὐτῆς λάβω συνεχῆ σημεῖα ὡς τὰ Ε, Ζ καὶ ἀπ’ αὐτῶν πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ καὶ ποιήσω ὡς τὰς ΕΓ, ΖΔ λαβὼν ἐπὶ τῆς ΕΓ τυχὸν σημεῖον τὸ Γ, εἰ μὲν εὐρυτέραν βουληθείην ποιῆσαι
10	παραβολήν, πόρρω τοῦ Ε, εἰ δὲ στενωτέραν, ἐγγύτε‐ ρον, καὶ ποιήσω, ὡς τὴν ΑΕ πρὸς ΑΖ, τὸ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ, τὰ Γ, Δ σημεῖα ἐπὶ τῆς τομῆς ἔσται. ὁμοίως δὲ καὶ ἄλλα ληψόμεθα, δι’ ὧν γραφή‐ σεται ἡ παραβολή.
15t	Εἰς τὸ καʹ.
16	Τὸ θεώρημα σαφῶς ἔκκειται καὶ πτῶσιν οὐκ ἔχει· δεῖ μέντοι ἐπιστῆσαι, ὅτι ἡ παρ’ ἣν δύνανται, τουτ‐ έστιν ἡ ὀρθία πλευρά, ἐπὶ τοῦ κύκλου ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ. εἰ γάρ ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ὑπὸ
20	ΑΕΒ, ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ ΔΕ τῷ ὑπὸ ΑΕΒ ἐπὶ τοῦ κύκλου μόνου, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΓΑ τῇ ΑΒ. δεῖ δὲ καὶ τοῦτο εἰδέναι, ὅτι αἱ καταγόμεναι ἐν τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ πρὸς ὀρθάς εἰσι πάντως
25	τῇ διαμέτρῳ καὶ ἐπ’ εὐθείας γίνονται ταῖς παραλλή‐ λοις τῇ ΑΓ. διὰ δὲ τούτου τοῦ θεωρήματος τῷ αὐτῷ τρόπῳ
25	τοῖς ἐπὶ τῆς παραβολῆς εἰρημένοις προσέχοντες γρά‐	232
234	φομεν ὑπερβολὴν καὶ ἔλλειψιν κανόνος παραθέσει. ἐκκείσθω γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ προσεκβεβλήσθω ἐπ’ ἄπειρον ἐπὶ τὸ Η, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ταύτῃ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΑΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ καὶ ἐκβεβλήσθω,
5	καὶ εἰλήφθω τινὰ σημεῖα ἐπὶ τῆς ΑΗ τὰ Ε, Η, καὶ ἀπὸ τῶν Ε, Η τῇ ΑΓ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΕΘ, ΗΚ, καὶ γινέσθω τῷ μὲν ὑπὸ ΑΗΚ ἴσον τὸ ἀπὸ ΖΗ, τῷ δ’ ὑπὸ ΑΕΘ ἴσον τὸ ἀπὸ ΔΕ· διὰ γὰρ τῶν Α, Δ, Ζ ἥξει ἡ ὑπερβολή. ὁμοίως δὲ κατασκευάσο‐
10	μεν καὶ τὰ ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως.
11t	Εἰς τὸ κγʹ.
12	Δεῖ ἐπιστῆσαι, ὅτι ἐν τῇ προτάσει δύο διαμέτρους λέγει οὐχ ἁπλῶς τὰς τυχούσας, ἀλλὰ τὰς καλουμένας συζυγεῖς, ὧν ἑκατέρα παρὰ τεταγμένως κατηγμένην
15	ἦκται καὶ μέσον λόγον ἔχει τῶν τοῦ εἴδους πλευρῶν τῆς ἑτέρας διαμέτρου, καὶ διὰ τοῦτο δίχα τέμνουσι τὰς ἀλλήλων παραλλήλους, ὡς δέδεικται ἐν τῷ ιεʹ θεω‐ ρήματι. εἰ γὰρ μὴ οὕτως ληφθῇ, συμβήσεται τὴν μεταξὺ εὐθεῖαν τῶν δύο διαμέτρων τῇ ἑτέρᾳ αὐτῶν
20	παράλληλον εἶναι· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. ἐπειδὴ δὲ τὸ Η ἔγγιόν ἐστι τῆς διχοτομίας τῆς ΑΒ ἤπερ τὸ Θ, καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ ΒΗΑ μετὰ τοῦ
20	ἀπὸ ΗΜ ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΜ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΘΒ μετὰ	234
236	τοῦ ἀπὸ ΘΜ ἴσον τῷ αὐτῷ, τὸ δὲ ἀπὸ ΘΜ τοῦ ἀπὸ ΗΜ μεῖζον, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΗΑ μεῖζον τοῦ ὑπὸ ΒΘΑ.
3t	Εἰς τὸ κεʹ.
4	Ἔν τισι φέρεται καὶ αὕτη ἡ ἀπόδειξις·
5	εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τομῆς τὸ Θ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΖΘ· ἡ ΖΘ ἄρα ἐκβαλλομένη συμπίπτει τῇ ΔΓ· ὥστε καὶ ἡ ΖΕ. πάλιν δὴ εἰλήφθω, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΚΖ καὶ ἐκβεβλήσθω· συμπεσεῖται δὴ τῇ ΒΑ ἐκβαλλομένῃ· ὥστε καὶ ἡ ΖΗ.
10t	Εἰς τὸ κϛʹ.
11	Τὸ θεώρημα τοῦτο πτώσεις ἔχει πλείους, πρῶτον μέν, ὅτι ἡ ΕΖ ἢ ἐπὶ τὰ κυρτὰ μέρη τῆς τομῆς λαμ‐ βάνεται ὡς ἐνταῦθα ἢ ἐπὶ τὰ κοῖλα, ἔπειτα, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Ε παρὰ τεταγμένως κατηγμένην ἔσω μὲν
15	καθ’ ἓν σημεῖον συμβάλλει ἀδιαφόρως τῇ διαμέτρῳ ἀπείρῳ οὔσῃ, ἔξω δὲ οὖσα καὶ μάλιστα ἐπὶ τῆς ὑπερ‐ βολῆς ἔχει θέσιν ἢ ἐξωτέρω τοῦ Β ἢ ἐπὶ τοῦ Β ἢ μεταξὺ τῶν Α, Β.
19t	Εἰς τὸ κζʹ.
20	Ἔν τισιν ἀντιγράφοις τοῦ κζʹ θεωρήματος φέρεται τοιαύτη ἀπόδειξις· ἔστω παραβολή, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ταύτην
20	τεμνέτω εὐθεῖά τις ἡ ΗΔ ἐντὸς τῆς τομῆς. λέγω,	236
238	ὅτι ἡ ΗΔ ἐκβαλλομένη ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη συμπε‐ σεῖται τῇ τομῇ. ἤχθω γάρ τις διὰ τοῦ Α παρατεταγμένως ἡ ΑΕ· ἡ ΑΕ ἄρα ἐκτὸς πεσεῖται τῆς τομῆς.
5	ἤτοι δὴ ἡ ΗΔ τῇ ΑΕ παράλληλός ἐστιν ἢ οὔ. εἰ μὲν οὖν παράλληλός ἐστιν, αὐτὴ τεταγμένως κατῆκται· ὥστε ἐκβαλλομένη ἐφ’ ἑκάτερα, ἐπεὶ δίχα τέμνεται ὑπὸ τῆς· διαμέτρου, συμπεσεῖται τῇ τομῇ. μὴ ἔστω δὴ παράλληλος τῇ ΑΕ, ἀλλὰ ἐκβαλλομένη
10	συμπιπτέτω τῇ ΑΕ κατὰ τὸ Ε ὡς ἡ ΗΔΕ. ὅτι μὲν οὖν τῇ τομῇ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη συμπί‐ πτει, ἐφ’ ἅ ἐστι τὸ Ε, δῆλον· εἰ γὰρ τῇ ΑΕ συμβάλ‐ λει, πολὺ πρότερον τεμεῖ τὴν τομήν. λέγω, ὅτι καὶ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ἐκβαλλομένη συμ‐
15	πίπτει τῇ τομῇ. ἔστω γὰρ παρ’ ἣν δύνανται ἡ ΜΑ, καὶ ἐκβε‐ βλήσθω ἐπ’ εὐθείας αὐτῇ ἡ ΑΖ· ἡ ΜΑ ἄρα τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. πεποιήσθω, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΑΕΔ τρίγωνον, οὕτως ἡ ΜΑ πρὸς ΑΖ, καὶ διὰ
20	τῶν Μ, Ζ τῇ ΑΒ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΖΚ, ΜΝ· τετραπλεύρου οὖν ὄντος τοῦ ΛΑΔΗ καὶ θέσει οὔσης τῆς ΛΑ ἤχθω τῇ ΛΑ παράλληλος ἡ ΓΚΒ ἀποτέμ‐ νουσα τὸ ΓΚΗ τρίγωνον τῷ ΛΑΔΗ τετραπλεύρῳ ἴσον, καὶ διὰ τοῦ Β τῇ ΖΑΜ παράλληλος ἤχθω ἡ
25	ΞΒΝ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΑΕΔ τρίγωνον, ἡ ΜΑ πρὸς ΑΖ, ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΑΕΔ τρίγωνον, τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ΔΓΒ τρίγωνον· παράλληλος γάρ ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΓΒ, καὶ
25	ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ ΓΕ, ΑΒ· ὡς δὲ ἡ ΜΑ πρὸς	238
240	ΑΖ, τὸ ΑΜΝΒ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΑΞ παραλ‐ ληλόγραμμον, ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ΓΔΒ τρί‐ γωνον, οὕτως τὸ ΑΜΝΒ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΑΖΞΒ παραλληλόγραμμον· ἐναλλάξ, ὡς τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς
5	τὸ ΑΜΝΒ παραλληλόγραμμον, οὕτως τὸ ΓΔΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΖΞΒ παραλληλόγραμμον. ἴσον δέ ἐστι τὸ ΖΑΒΞ παραλληλόγραμμον τῷ ΓΒΔ τριγώνῳ· ἐπεὶ γὰρ τὸ ΓΗΚ τρίγωνον τῷ ΑΛΗΔ τετραπλεύρῳ ἐστὶν ἴσον, κοινὸν δὲ τὸ ΗΔΒΚ τετράπλευρον, τὸ ΛΑΒΚ παραλληλό‐
10	γραμμον τῷ ΓΔΒ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· τὸ δὲ ΛΑΒΚ παραλληλόγραμμον τῷ ΖΑΒΞ παραλληλογράμμῳ ἐστὶν ἴσον· ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστι τῆς ΑΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΒ, ΖΚ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΔΒ τρίγωνον τῷ ΞΖΑΒ παραλληλογράμμῳ·
15	ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ ΓΒ τῷ ΑΜΝΒ παραλληλογράμμῳ ἐστὶν ἴσον. τὸ δὲ ΜΑΒΝ παραλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΜΑΒ· ἡ γὰρ ΜΑ πρὸς ὀρθάς ἐστι τῇ ΑΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΜΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΓΒ καί ἐστιν ἡ ΜΑ ὀρθία τοῦ εἴδους πλευρά, ἡ δὲ ΑΒ διά‐
20	μετρος, καὶ ἡ ΓΒ τεταγμένως· παράλληλος γάρ ἐστι τῇ ΑΕ· τὸ Γ ἄρα πρὸς τῇ τομῇ ἐστιν. ἡ ΔΗΓ ἄρα συμβάλλει τῇ τομῇ κατὰ τὸ Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
23t	σχόλια εἰς τὸ προτεθὲν θεώρημα.
24	πεποιήσθω δή, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΑΕΔ
25	τρίγωνον, ἡ ΜΑ πρὸς ΑΖ τοῦτο δέδεικται ἐν σχολίῳ τοῦ ιαʹ θεωρήματος. ἀναγράψας γὰρ τὸ ἀπὸ ΑΕ καὶ παρὰ τὴν πλευρὰν αὐτοῦ τῷ ΑΕΔ τριγώνῳ
25	ἴσον παραβαλὼν ἕξω τὸ ζητούμενον.	240
242 (1t)	εἰς τὸ αὐτό.
2	τετραπλεύρου ὄντος τοῦ ΛΑΔΗ ἤχθω τῇ ΛΑ παράλληλος ἡ ΓΚΒ ἀποτέμνουσα τὸ ΓΗΚ τρί‐ γωνον τῷ ΛΑΔΗ τετραπλεύρῳ ἴσον τοῦτο δὲ
5	ποιήσομεν οὕτως· ἐὰν γάρ, ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις ἐμά‐ θομεν, τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΛΑΔΗ τετρα‐ πλεύρῳ ἴσον καὶ ἄλλῳ τῷ δοθέντι τῷ ΑΕΔ τριγώνῳ ὅμοιον τὸ αὐτὸ συστησώμεθα τὸ ΣΤΥ, ὥστε ὁμόλογον εἶναι τὴν ΣΥ τῇ ΑΔ, καὶ ἀπολάβωμεν τῇ μὲν ΣΥ
10	ἴσην τὴν ΗΚ, τῇ δὲ ΤΥ ἴσην τὴν ΗΓ, καὶ ἐπιζεύ‐ ξωμεν τὴν ΓΚ, ἔσται τὸ ζητούμενον. ἐπεὶ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Υ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ Δ, τουτέστι τῇ Η, διὰ τοῦτο ἴσον καὶ ὅμοιον τὸ ΓΗΚ τῷ ΣΤΥ. καὶ ἴση ἡ Γ γωνία τῇ Ε, καί εἰσιν ἐναλλάξ· παράλληλος ἄρα
15	ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΑΕ. φανερὸν δή, ὅτι, ὅταν ἡ ΑΒ ἄξων ἐστίν, ἡ ΜΑ ἐφάπτεται τῆς τομῆς, ὅταν δὲ μὴ ἄξων, τέμνει, εἰ πρὸς ὀρθὰς ἄγεται πάντως τῇ διαμέτρῳ.
19t	Εἰς τὸ κηʹ.
20	Ὅτι, κἂν ἡ ΓΔ τέμνῃ τὴν ὑπερβολήν, τὰ αὐτὰ συμβήσεται, ὥσπερ ἐπὶ τοῦ ὀκτωκαιδεκάτου.
22t	Εἰς τὸ λʹ.
23	Καὶ ὡς ἄρα ἐπὶ μὲν τῆς ἐλλείψεως συνθέντι,
23	ἐπὶ δὲ τῶν ἀντικειμένων ἀνάπαλιν καὶ ἀνα‐	242
244	στρέψαντι ἐπὶ μὲν οὖν τῆς ἐλλείψεως ἐροῦμεν· ἐπειδή ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ, τὸ ὑπὸ ΑΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΕ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΓ, τὸ ἀπὸ ΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ, δι’ ἴσου,
5	ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΓ, τὸ ὑπὸ ΑΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ· συνθέντι, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΓ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΖ· ἡ γὰρ ΑΒ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Γ, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Ζ· οὕτως τὸ ἀπὸ
10	ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΗ· καὶ ἐναλλάξ, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, τὸ ἀπὸ ΖΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΗ. ἐπὶ δὲ τῶν ἀντικειμένων· ἐπεί ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΖΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΓ, τὸ ὑπὸ ΑΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΗ, διότι δι’ ἴσου, ἀνάπαλιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΖΓ πρὸς τὸ ὑπὸ
15	ΒΖΑ, τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΗΒ· ἀναστρέψαντι, ὡς τὸ ἀπὸ ΖΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ, τὸ ἀπὸ ΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ· εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ πρόσκειται ἡ ΖΑ, καὶ τὸ ὑπὸ ΒΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΓΖ, ὥστε τὸ ἀπὸ ΓΖ
20	τοῦ ὑπὸ ΒΖΑ ὑπερέχει τῷ ἀπὸ ΑΓ, καὶ καλῶς εἴρη‐ ται τὸ ἀναστρέψαντι.
22t	Εἰς τὸ λαʹ.
23	Διελόντι τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΗΒ μεί‐ ζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ
25	ΑΘΒ ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΒ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ πρόσκειται αὐτῇ ἡ ΒΗ, τὸ ὑπὸ ΑΗΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΓΗ· ὥστε τὸ ἀπὸ ΓΗ
25	τοῦ ὑπὸ ΑΗΒ ὑπερέχει τῷ ἀπὸ ΓΒ. διὰ δὲ τὴν	244
246	αὐτὴν αἰτίαν καὶ τὸ ἀπὸ ΓΘ τοῦ ὑπὸ ΑΘΒ ὑπερέχει τῷ ἀπὸ ΓΒ· ὥστε ὀρθῶς εἴρηται τὸ διελόντι.
3t	Εἰς τὸ λβʹ.
4	Ἐν τῷ ἑπτακαιδεκάτῳ θεωρήματι ἁπλούστερον
5	ἔδειξεν, ὅτι ἡ διὰ τῆς κορυφῆς παρὰ τὴν κατηγμένην τεταγμένως ἀγομένη ἐφάπτεται, ἐνταῦθα δὲ τὸ ἐν τοῖς στοιχείοις ἐπὶ τοῦ κύκλου μόνου δεδειγμένον καθολι‐ κώτερον ἐπὶ πάσης κώνου τομῆς ὑπάρχον ἐπιδείκνυσι. δεῖ μέντοι ἐπιστῆσαι, ὅπερ κἀκεῖ ἐδείχθη, ὅτι καμ‐
10	πύλην μὲν ἴσως γραμμὴν οὐδὲν ἄτοπόν ἐστιν ἐμπί‐ πτειν μεταξὺ τῆς εὐθείας καὶ τῆς τομῆς, εὐθεῖαν δὲ ἀμήχανον· τεμεῖ γὰρ αὕτη τὴν τομὴν καὶ οὐκ ἐφά‐ ψεται· δύο γὰρ ἐφαπτομένας εὐθείας κατὰ τοῦ αὐτοῦ σημείου εἶναι ἀδύνατον.
15	πολυτρόπως δεδειγμένου τούτου τοῦ θεωρήματος ἐν διαφόροις ἐκδόσεσιν ἡμεῖς τὴν ἀπόδειξιν ἁπλου‐ στέραν καὶ σαφεστέραν ἐποιήσαμεν.
18t	Εἰς τὸ λδʹ.
19	Δεῖ ἐπιστῆσαι, ὅτι ἡ ΓΔ κατηγμένη ἐπὶ τὴν διά‐
20	μετρον ἐπὶ μὲν τῆς ὑπερβολῆς τὰς ΔΒ, ΔΑ ὁρίζουσα τὴν ΒΑ καταλιμπάνει ὀφείλουσαν τμηθῆναι εἰς τὸν τῶν ΒΔΑ λόγον, ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως καὶ τοῦ κύ‐ κλου ἀνάπαλιν τὴν ΒΑ τέμνουσα εἰς ὡρισμένον λόγον τὸν τῶν ΒΔΑ ἐπιζητεῖν ἡμᾶς ποιεῖ τὸν τῶν ΒΕ,
25	ΕΑ· οὐδὲν γὰρ δυσχερὲς λόγου δοθέντος ἴσον αὐτῷ
25	πορίσασθαι.	246
248	δεῖ μέντοι εἰδέναι, ὅτι καθ’ ἑκάστην τομὴν κατα‐ γραφαί εἰσι δύο τοῦ Ζ σημείου ἢ ἐσωτέρω τοῦ Γ λαμβανομένου ἢ ἐξωτέρω· ὥστε εἶναι τὰς πάσας πτώ‐ σεις ἕξ.
5	χρῆται δὲ καὶ δύο λήμμασιν, ἅπερ ἑξῆς γράψομεν. μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΝΞ τοῦ ὑπὸ ΑΟΞ· ἡ ΝΟ ἄρα πρὸς ΞΟ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΟΑ πρὸς ΑΝ ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΝ, ΝΞ μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΑΟ, ΟΞ, γινέσθω τῷ ὑπὸ ΑΝ, ΝΞ
10	ἴσον τὸ ὑπὸ τῆς ΑΟ καὶ ἄλλης τινὸς τῆς ΞΠ, ἥτις μείζων ἔσται τῆς ΞΟ· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΟΑ πρὸς ΑΝ, ἡ ΝΞ πρὸς ΞΠ. ἡ δὲ ΝΞ πρὸς ΞΟ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΞΠ· καὶ ἡ ΟΑ ἄρα πρὸς ΑΝ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΝΞ πρὸς ΞΟ.
15	φανερὸν δὴ καὶ τὸ ἀνάπαλιν, ὅτι, κἂν ἡ ΝΞ πρὸς ΞΟ μείζονα λόγον ἔχῃ ἤπερ ἡ ΟΑ πρὸς ΑΝ, τὸ ὑπὸ ΞΝ, ΝΑ μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΑΟ, ΟΞ. γινέσθω γάρ, ὡς ἡ ΟΑ πρὸς ΑΝ, οὕτως ἡ ΝΞ πρὸς μείζονα δηλονότι τῆς ΞΟ ὡς τὴν ΞΠ· τὸ ἄρα
20	ὑπὸ ΞΝ, ΝΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΟ, ΞΠ· ὥστε μεῖ‐ ζόν ἐστι τὸ ὑπὸ ΞΝ, ΝΑ τοῦ ὑπὸ ΑΟ, ΟΞ.
22t	εἰς τὸ αὐτό.
23	ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ὑπὸ ΒΚ, ΑΝ πρὸς τὸ ἀπὸ
23	ΓΕ, τὸ ὑπὸ ΒΔΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΔ ἐπεὶ οὖν διὰ	248
250	τὸ παραλλήλους εἶναι τὰς ΑΝ, ΕΓ, ΚΒ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΝ πρὸς ΕΓ, ἡ ΑΔ πρὸς ΔΕ, ὡς δὲ ἡ ΕΓ πρὸς ΚΒ, ἡ ΕΔ πρὸς ΔΒ, δι’ ἴσου ἄρα, ὡς ἡ ΑΝ πρὸς ΚΒ, ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΝ πρὸς
5	τὸ ὑπὸ ΑΝ, ΚΒ, τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔΒ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΝ, τὸ ἀπὸ ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ· δι’ ἴσου ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΝ, ΚΒ, τὸ ἀπὸ ΕΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔΒ· καὶ ἀνάπαλιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΚΒ, ΑΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ,
10	τὸ ὑπὸ ΒΔΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΔ.
11t	Εἰς τὸ λζʹ.
12	Διὰ τούτων τῶν θεωρημάτων φανερόν, ὅπως ἐστὶ δυνατὸν διὰ τοῦ δοθέντος σημείου ἐπὶ τῆς διαμέ‐ τρου καὶ τῆς κορυφῆς τῆς τομῆς ἐφαπτομένην ἀγαγεῖν.
15t	Εἰς τὸ ληʹ.
16	Ἔν τισιν ἀντιγράφοις τὸ θεώρημα τοῦτο ἐπὶ μόνης τῆς ὑπερβολῆς εὑρίσκεται δεδειγμένον, καθολικῶς δὲ ἐνταῦθα δέδεικται· τὰ γὰρ αὐτὰ συμβαίνει καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων τομῶν. καὶ τῷ Ἀπολλωνίῳ δὲ δοκεῖ μὴ
20	μόνον τὴν ὑπερβολήν, ἀλλὰ καὶ τὴν ἔλλειψιν ἔχειν δευτέραν διάμετρον, ὡς πολλάκις αὐτοῦ ἠκούσαμεν ἐν τοῖς προλαβοῦσιν. καὶ ἐπὶ μὲν τῆς ἐλλείψεως πτῶσιν οὐκ ἔχει, ἐπὶ δὲ τῆς ὑπερβολῆς τρεῖς· τὸ γὰρ Ζ σημεῖον, καθ’ ὃ
25	συμβάλλει ἡ ἐφαπτομένη τῇ δευτέρᾳ διαμέτρῳ, ἢ κατω‐	250
252	τέρω τοῦ Δ ἐστιν ἢ ἐπὶ τοῦ Δ ἢ ἀνωτέρω τοῦ Δ, καὶ διὰ τοῦτο τὸ Θ ὁμοίως αὐτῷ τρεῖς ἕξει τόπους, καὶ προσεκτέον, ὅτι, εἴτε κατωτέρω πέσῃ τὸ Ζ τοῦ Δ, καὶ τὸ Θ τοῦ Γ ἔσται κατωτέρω, εἴτε τὸ Ζ ἐπὶ τὸ Δ,
5	καὶ τὸ Θ ἐπὶ τὸ Γ, εἴτε ἀνωτέρω τὸ Ζ τοῦ Δ, καὶ τὸ Θ τοῦ Γ ἔσται ἀνωτέρω.
7t	Εἰς τὸ μαʹ.
8	Τὸ θεώρημα τοῦτο ἐπὶ μὲν τῆς ὑπερβολῆς πτῶσιν οὐκ ἔχει, ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως, ἐὰν ἡ καταγομένη ἐπὶ
10	τὸ κέντρον πίπτῃ, τὰ δὲ λοιπὰ γένηται τὰ αὐτά, τὸ ἀπὸ τῆς κατηγμένης εἶδος ἴσον ἔσται τῷ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου εἴδει. ἔστω γὰρ ἔλλειψις, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, κέντρον τὸ Δ, καὶ κατήχθω τεταγμένως ἡ ΓΔ, καὶ ἀναγε‐
15	γράφθω ἀπό τε τῆς ΓΔ καὶ τῆς ΑΔ εἴδη ἰσογώνια τὰ ΑΖ, ΔΗ, ἐχέτω δὲ ἡ ΔΓ πρὸς ΓΗ τὸν συγκεί‐ μενον λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑΔ πρὸς ΔΖ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ὀρθία πρὸς τὴν πλαγίαν. λέγω, ὅτι τὸ ΑΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ΔΗ.
20	ἐπεὶ γὰρ ἐν τῷ ῥητῷ δέδεικται, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ΑΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΔΒ πρὸς τὸ ΔΗ, φημί, ὅτι καὶ ἐναλλάξ, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔΒ, οὕτως τὸ ΑΖ πρὸς τὸ ΔΗ. ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ ΑΔ τῷ ὑπὸ ΑΔΒ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ΑΖ τῷ ΔΗ.
25t	Εἰς τὸ μβʹ.
26	Τὸ θεώρημα τοῦτο ἔχει πτώσεις ια, μίαν μὲν, εἰ
26	ἐσωτέρω λαμβάνοιτο τὸ Δ τοῦ Γ· δῆλον γάρ, ὅτι καὶ	252
254	αἱ παράλληλοι ἐσωτέρω πεσοῦνται τῶν ΑΓΘ. ἑτέρας δὲ πέντε οὕτως· ἐὰν τὸ Δ ἐξωτέρω ληφθῇ τοῦ Γ, ἡ μὲν ΔΖ παράλληλος δηλονότι ἐξωτέρω πεσεῖται τῆς ΘΓ, ἡ δὲ ΔΕ ἢ μεταξὺ τῶν Α, Β ἢ ἐπὶ τὸ Β ἢ με‐
5	ταξὺ τῶν Β, Θ ἢ ἐπὶ τὸ Θ ἢ ἐξωτέρω τοῦ Θ· τοῦ γὰρ Α ἐξωτέρω πεσεῖν αὐτὴν ἀδύνατον, ἐπειδὴ τὸ Δ ἐξωτέρω ἐστὶ τοῦ Γ καὶ δηλονότι καὶ ἡ δι’ αὐτοῦ παράλληλος ἀγομένη τῇ ΑΓ. ἐὰν δὲ τὸ Δ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ληφθῇ τῆς τομῆς, ἢ ἀμφότεραι αἱ παράλ‐
10	ληλοι μεταξὺ τῶν Θ, Β περατωθήσονται, ἢ ἡ μὲν ΔΖ ἐσωτέρω τοῦ Θ, τὸ δὲ Ε ἐπὶ τὸ Θ, ἢ τῆς ΔΖ ὡσαύ‐ τως μενούσης τὸ Ε ἐξωτέρω τοῦ Θ ἐλεύσεται· τοῦ δὲ Ε πάλιν ἐξωτέρω πίπτοντος τὸ Ζ ἢ ἐπὶ τὸ Θ πεσεῖται, ὡς εἶναι τὴν ΓΘΔ μίαν εὐθεῖαν, εἰ καὶ μὴ σώζεται
15	κυρίως τότε τὸ τῆς παραλλήλου ἰδίωμα, ἢ ἐξωτέρω τοῦ Θ. δεῖ δὲ ἐπὶ τῆς ἀποδείξεως τῶν τελευταίων πέντε πτώσεων τὴν ΔΖ ἐκβάλλειν ἕως τῆς τομῆς καὶ τῆς ΗΓ παραλλήλου καὶ οὕτως ποιεῖσθαι τὴν ἀπό‐ δειξιν.
20	δυνατὸν δὲ καὶ ἄλλην μίαν καταγραφὴν ἐπινοεῖν ἐκ τούτων, ὅταν δὴ λαμβανομένου ἑτέρου σημείου αἱ ἐξ ἀρχῆς εὐθεῖαι ποιῶσι τὸ λεγόμενον, ἀλλὰ τοῦτο θεώρημα μᾶλλόν ἐστιν ἢ πτῶσις.
24t	Εἰς τὸ μγʹ.
25	Ἔν τισι φέρεται ἀπόδειξις τοῦ θεωρήματος τούτου
25	τοιαύτη·	254
256	ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΖΓΔ τῷ ἀπὸ ΓΒ, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΖΓ πρὸς ΓΒ, ἡ ΓΒ πρὸς ΓΔ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ εἶδος, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΓΔ. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΖΓ
5	πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, τὸ ΕΖΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΓΒ τρίγωνον, ὡς δὲ ἡ ΖΓ πρὸς ΓΔ, τὸ ΕΖΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΓΔ τρίγωνον· ὡς ἄρα τὸ ΕΓΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΛΓ τρίγωνον, τὸ ΕΓΖ πρὸς τὸ ΕΓΔ τρί‐ γωνον. ἴσον ἄρα τὸ ΕΓΔ τρίγωνον τῷ ΒΓΛ. καὶ
10	ὡς ἄρα ἐπὶ μὲν τῆς ὑπερβολῆς ἀναστρέψαντι, ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως ἀνάπαλιν καὶ διελόντι, [ὡς] τὸ ΕΖΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΛΒΖ τετράπλευρον, οὕτως τὸ ΕΓΖ πρὸς τὸ ΕΔΖ τρίγωνον· ἴσον ἄρα τὸ ΕΔΖ τρίγωνον τῷ ΕΛΒΖ τετραπλεύρῳ. καὶ ἐπεί ἐστιν,
15	ὡς τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, τὸ ΕΓΖ πρὸς τὸ ΛΓΒ τρίγωνον, ἐπὶ μὲν τῆς ὑπερβολῆς διελόντι, ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως ἀνάπαλιν καὶ ἀναστρέψαντι καὶ ἀνά‐ παλίν ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ, τὸ ΕΛΒΖ τετράπλευρον πρὸς τὸ ΒΛΓ τρίγωνον. ὁμοίως
20	δὲ καί, ὡς τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΚΒ, οὕτως τὸ ΛΓΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΜΛΒΚ τετράπλευρον· δι’ ἴσου ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΚΒ, τὸ ΕΛΒΖ τετράπλευρον πρὸς τὸ ΛΒΚΜ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΑΖΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΚΒ, τὸ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ
25	ἀπὸ ΗΚ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΚ, τὸ ΕΔΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΘΚ τρίγωνον· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΕΔΖ πρὸς τὸ ΗΘΚ, τὸ ΕΛΒΖ τετράπλευρον πρὸς τὸ ΜΛΒΚ. ἐναλλάξ, ὡς τὸ ΕΔΖ πρὸς τὸ
25	ΕΛΒΖ, οὕτως τὸ ΗΘΚ πρὸς τὸ ΜΛΒΚ. ἴσον δὲ	256
258	τὸ ΕΔΖ τῷ ΕΛΒΖ ἐδείχθη· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ΗΘΚ τῷ ΜΛΒΚ τετραπλεύρῳ. τὸ ἄρα ΜΓΚ τρίγωνον τοῦ ΗΘΚ διαφέρει τῷ ΛΒΓ. ἐπιστῆσαι δεῖ ταύτῃ τῇ δείξει· ὀλίγην γὰρ ἀσάφειαν
5	ἔχει ἐν ταῖς ἀναλογίαις τῆς ἐλλείψεως· ἵνα τὰ διὰ τὴν συντομίαν τοῦ ῥητοῦ ὁμοῦ λεγόμενα διῃρημένως ποιήσωμεν, οἷον—φησὶ γάρ· ἐπεί ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΖΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, τὸ ΕΓΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΒΓ, ἀνάπαλιν καὶ ἀναστρέψαντι καὶ ἀνάπαλιν
10	—ὡς τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΖ, τὸ ΛΒΓ πρὸς τὸ ΕΖΓ· ἀναστρέψαντι, ὡς τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖΒ, τουτέστιν ἡ ὑπεροχὴ τοῦ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΖ διὰ τὸ διχοτομίαν εἶναι τὸ Γ τῆς ΑΒ, οὕτως τὸ ΛΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΒΖΕ τετράπλευρον· ἀνά‐
15	παλιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ, τὸ ΕΛΒΖ τετράπλευρον πρὸς τὸ ΛΒΓ τρίγωνον. ἔχει δὲ πτώσεις ἐπὶ μὲν τῆς ὑπερβολῆς ια, ὅσας εἶχε καὶ τὸ πρὸ αὐτοῦ ἐπὶ τῆς παραβολῆς, καὶ ἄλλην μίαν, ὅταν τὸ ἐπὶ τοῦ Η λαμβανόμενον σημεῖον ταὐ‐
20	τὸν ᾖ τῷ Ε· τότε γὰρ συμβαίνει τὸ ΕΔΖ τρίγωνον μετὰ τοῦ ΛΒΓ ἴσον εἶναι τῷ ΓΕΖ· δέδεικται μὲν γὰρ τὸ ΕΔΖ τρίγωνον ἴσον τῷ ΛΒΖΕ τετραπλεύρῳ, τὸ δὲ ΛΒΖΕ τοῦ ΓΖΕ τριγώνου διαφέρει τῷ ΛΒΓ. ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως ἢ ταὐτόν ἐστι τὸ Η τῷ Ε ἢ
25	ἐσωτέρω λαμβάνεται τοῦ Ε· καὶ δῆλον, ὅτι ἀμφότεραι
25	αἱ παράλληλοι μεταξὺ πεσοῦνται τῶν Δ, Ζ, ὡς ἔχει	258
260	ἐν τῷ ῥητῷ. εἰ δὲ ἐξωτέρω ληφθῇ τὸ Η τοῦ Ε, καὶ ἡ ἀπ’ αὐτοῦ τῇ ΕΖ παράλληλος μεταξὺ πέσῃ τῶν Ζ, Γ, τὸ Θ σημεῖον ποιεῖ πτώσεις πέντε· ἢ γὰρ μεταξὺ τῶν Δ, Β πίπτει ἢ ἐπὶ τὸ Β ἢ μεταξὺ τῶν Β, Ζ ἢ
5	ἐπὶ τὸ Ζ ἢ μεταξὺ τῶν Ζ, Γ. ἐὰν δὲ ἡ διὰ τοῦ Η τῇ κατηγμένῃ παράλληλος ἐπὶ τὸ Γ κέντρον πίπτῃ, τὸ Θ πάλιν σημεῖον ποιήσει ἄλλας πέντε πτώσεις ὡσαύτως· καὶ δεῖ ἐπὶ τούτῳ σημειώσασθαι, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν παραλλήλων ταῖς ΕΔ, ΕΖ γιγνόμενον τρί‐
10	γωνον ἴσον γίνεται τῷ ΛΒΓ τριγώνῳ· ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ, τὸ ΕΔΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΘΓ· ὅμοια γάρ· ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ, τὸ ὑπὸ ΒΖΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΓΑ, τουτ‐ έστι τὸ ἀπὸ ΒΓ, ὡς ἄρα τὸ ΕΔΖ τρίγωνον πρὸς τὸ
15	ΗΘΓ, τὸ ὑπὸ ΒΖΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΒΖΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ, οὕτως ἐδείχθη ἔχον τὸ ΛΒΖΕ τετράπλευρον πρὸς τὸ ΛΒΓ τρίγωνον· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΕΔΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΘΓ, τὸ ΛΒΖΕ τετράπλευ‐ ρον πρὸς τὸ ΛΒΓ τρίγωνον. καὶ ἐναλλάξ. καὶ ἄλλως δὲ
20	ταύτας δυνατὸν δεῖξαι λέγοντας, ὅτι ἐπὶ τῶν διπλασίων αὐτῶν παραλληλογράμμων ταῦτα δέδεικται ἐν τῷ σχο‐ λίῳ τοῦ μαʹ θεωρήματος. ἐὰν δὲ ἡ διὰ τοῦ Η τῇ ΕΖ παράλληλος ἀγομένη μεταξὺ πέσῃ τῶν Γ, Α, ἐκβληθήσεται μέν, ἕως ὅτε ἡ
25	ΓΕ αὐτῇ συμπέσῃ, τὸ δὲ Θ σημεῖον ποιήσει πτώσεις	260
262	ζ· ἢ γὰρ μεταξὺ τῶν Β, Δ ἢ ἐπὶ τὸ Β πίπτει ἢ με‐ ταξὺ τῶν Β, Ζ ἢ ἐπὶ τὸ Ζ ἢ μεταξὺ τῶν Ζ, Γ ἢ ἐπὶ τὸ Γ ἢ μεταξὺ τῶν Γ, Α· καὶ ἐπὶ τούτων τῶν πτώσεων συμβαίνει τὴν διαφορὰν τῶν ΛΒΓ, ΗΘΚ
5	τριγώνων κατωτέρω συνίστασθαι τῆς ΑΒ εὐθείας ὑπὸ τῆς ΛΓ ἐκβαλλομένης. ἐὰν δὲ τὸ Η ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ληφθῇ τῆς τομῆς, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η τῇ ΕΖ παράλληλος μεταξὺ πίπτῃ τῶν Β, Ζ, ἐκβληθήσεται μὲν διὰ τὴν ἀπόδειξιν, ἕως
10	οὗ τέμῃ τὴν ΛΓ, τὸ δὲ Θ σημεῖον ποιήσει πτώσεις ζ ἢ μεταξὺ ὂν τῶν Β, Ζ ἢ ἐπὶ τὸ Ζ πῖπτον ἢ μεταξὺ τῶν Ζ, Γ ἢ ἐπὶ τὸ Γ ἢ μεταξὺ τῶν Γ, Α ἢ ἐπὶ τὸ Α ἢ ἐξωτέρω τοῦ Α. ἐὰν δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Η τῇ ΕΖ παράλληλος ἐπὶ τὸ Ζ πίπτῃ, ὥστε μίαν εὐθεῖαν εἶναι
15	τὴν ΕΖΗ, τὸ Θ σημεῖον ποιήσει πτώσεις ε· ἢ γὰρ μεταξὺ τῶν Ζ, Γ πεσεῖται ἢ ἐπὶ τὸ Γ ἢ μεταξὺ τῶν Γ, Α ἢ ἐπὶ τὸ Α ἢ ἐξωτέρω τοῦ Α. ἐὰν δὲ ἡ ΗΚ μεταξὺ πίπτῃ τῶν Ζ, Γ, τὸ Θ ποιήσει πτώσεις ε· ἢ γὰρ μεταξὺ τῶν Ζ, Γ πεσεῖται ἢ ἐπὶ τὸ Γ ἢ μεταξὺ
20	τῶν Γ, Α ἢ ἐπὶ τὸ Α ἢ ἐξωτέρω τοῦ Α. ἐὰν δὲ ἡ ΗΚ ἐπὶ τὸ Γ κέντρον πίπτῃ, τὸ Θ σημεῖον ποιήσει πτώσεις τρεῖς ἢ μεταξὺ πῖπτον τῶν Γ, Α ἢ ἐπὶ τὸ Α ἢ ἐξωτέρω τοῦ Α· καὶ ἐπὶ τούτων τῶν πτώσεων συμβήσεται πάλιν τὸ ΗΘΚ τρίγωνον ἴσον γίνεσθαι
25	τῷ ΛΒΓ τριγώνῳ. ἐὰν δὲ ἡ ΗΚ μεταξὺ πίπτῃ τῶν Γ, Α, τὸ Θ σημεῖον ἢ μεταξὺ τῶν Γ, Α πεσεῖται ἢ ἐπὶ τὸ Α ἢ ἐξωτέρω τοῦ Α. συμβαίνει οὖν ἐπί τινος ἐλλείψεως τὰς πάσας πτώ‐
25	σεις εἶναι μβ καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου δὲ περιφερείας	262
264	τοσαύτας, ὡς εἶναι τὰς πάσας πτώσεις τούτου τοῦ θεωρήματος ϙϛ.
3t	Εἰς τὸ μδʹ.
4	Ἐπεὶ οὖν ἀντικείμεναί εἰσιν αἱ ΖΑ, ΒΕ,
5	ὧν διάμετρος ἡ ΑΒ, ἡ δὲ διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΖΓΕ καὶ ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν αἱ ΖΗ, ΔΕ, παράλληλός ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ ΕΔ ἐπεὶ γὰρ ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΑΖ καὶ ἐφαπτομένη ἡ ΖΗ καὶ κατηγμένη ἡ ΖΟ, ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΟΓΗ τῷ ἀπὸ ΓΑ διὰ τὸ λζʹ
10	θεώρημα· ὁμοίως δὴ καὶ τὸ ὑπὸ ΞΓΔ τῷ ὑπὸ ΓΒ ἐστιν ἴσον. ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΟΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΞΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ, καὶ ἐναλ‐ λάξ, ὡς τὸ ὑπὸ ΟΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΞΓΔ, τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ. ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ ΑΓ τῷ ἀπὸ ΓΒ·
15	ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΟΓΗ τῷ ὑπὸ ΞΓΔ. καί ἐστιν ἡ ΟΓ τῇ ΓΞ ἴση· καὶ ἡ ΗΓ ἄρα τῇ ΓΔ ἐστιν ἴση· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΖΓ τῇ ΓΕ διὰ τὸ λʹ· αἱ ἄρα ΖΓΗ ἴσαι εἰσὶ ταῖς ΕΓΔ. καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσι τὰς πρὸς τῷ Γ· κατὰ κορυφὴν γάρ. ὥστε καὶ ἡ ΖΗ τῇ ΕΔ ἐστιν ἴση
20	καὶ ἡ ὑπὸ ΓΖΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΕΔ. καί εἰσιν ἐναλλάξ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΕΔ. αἱ πτώσεις αὐτοῦ ιβ εἰσιν, καθάπερ ἐπὶ τῆς ὑπερ‐ βολῆς ἐν τῷ μγʹ ἔχει, καὶ ἡ ἀπόδειξις ἡ αὐτή.
24t	Εἰς τὸ μεʹ.
25	Ἐπιστῆσαι χρὴ τῷ θεωρήματι τούτῳ πλείους ἔχοντι
25	πτώσεις. ἐπὶ μὲν γὰρ τῆς ὑπερβολῆς ἔχει κ· τὸ γὰρ	264
266	ἀντὶ τοῦ Β λαμβανόμενον σημεῖον ἢ ταὐτόν ἐστι τῷ Α ἢ ταὐτὸν τῷ Γ· τότε γὰρ συμβαίνει τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ τρίγωνον ὅμοιον τῷ ΓΔΛ ταὐτὸν εἶναι τῷ ἀπο‐ τεμνομένῳ τριγώνῳ ὑπὸ τῶν παραλλήλων ταῖς ΔΛΓ.
5	ἐὰν δὲ μεταξὺ ληφθῇ τὸ Β σημεῖον τῶν Α, Γ, καὶ τὰ Δ, Λ ἀνωτέρω ὦσι τῶν περάτων τῆς δευτέρας διαμέτρου, γίνονται πτώσεις τρεῖς· τὰ γὰρ Ζ, Ε ἢ ἀνωτέρω τῶν περάτων φέρονται ἢ ἐπ’ αὐτὰ ἢ κατωτέρω. ἐὰν δὲ τὰ Δ, Λ ἐπὶ τὰ πέρατα ὦσι τῆς
10	δευτέρας διαμέτρου, τὰ Ζ, Ε κατωτέρω ἐνεχθήσονται. ὁμοίως δὲ καὶ † ἐὰν ἐξωτέρω ληφθῇ τοῦ Γ τὸ Β, [καὶ] ἡ ΘΓ ἐπὶ τὸ Γ ἐκβληθήσεται, συμβαίνει δὲ οὕτως γίνεσθαι ἄλλας πτώσεις τρεῖς· τοῦ γὰρ Δ σημείου ἢ ἀνωτέρω φερομένου τοῦ πέρατος τῆς δευτέρας διαμέ‐
15	τρου ἢ ἐπ’ αὐτὸ ἢ κατωτέρω καὶ τὸ Ζ ὁμοίως φερό‐ μενον ποιήσει τὰς τρεῖς πτώσεις. ἐὰν δὲ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τῆς τομῆς ληφθῇ τὸ Β σημεῖον, ἡ μὲν ΓΘ ἐκβληθήσεται ἐπὶ τὸ Θ διὰ τὴν ἀπόδειξιν, αἱ δὲ ΒΖ, ΒΕ ποιοῦσι πτώσεις τρεῖς, ἐπειδὴ τὸ Λ ἐπὶ τὸ πέρας
20	φέρεται τῆς δευτέρας διαμέτρου ἢ ἀνωτέρω ἢ κατωτέρω. ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας οὐδὲν ποικίλον ἐροῦμεν, ἀλλὰ ὅσα ἐν τῷ προλαβόντι θεωρήματι ἐλέχθη· ὡς εἶναι τὰς πτώσεις τοῦ θεωρή‐
20	ματος τούτου ρδ.	266
268	δύναται δὲ τὰ τῆς προτάσεως δείκνυσθαι καὶ ἐπὶ ἀντικειμένων.
3t	Εἰς τὸ μϛʹ.
4	Τοῦτο τὸ θεώρημα πτώσεις ἔχει πλείους, ἃς δείξο‐
5	μεν προσέχοντες ταῖς πτώσεσι τοῦ μβʹ. ὑποδείγματος δὲ χάριν, ἐὰν τὸ Ζ ἐπὶ τὸ Β πίπτοιτο, αὐτόθεν ἐροῦμεν· ἐπεὶ τὸ ΒΔΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ΘΒΔΜ, [Omitted graphic marker] κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΝΜΔΒ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΛΝΜ τῷ ΝΘΒ ἐστιν ἴσον.
10	ἐπὶ δὲ τῆς λοιπῆς ἐροῦμεν· ἐπειδὴ τὸ ΛΕΔ τῷ ΘΒΔΜ ἐστιν ἴσον, τουτέστι τῷ ΚΗΔΜ καὶ τῷ ΗΖΕ, τουτέστι τῷ ΖΚΝ καὶ τῷ ΝΕΔΜ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΝΕΔΜ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΛΝΜ τῷ ΚΖΝ ἴσον.
14t	Εἰς τὸ μζʹ.
15	Τοῦτο τὸ θεώρημα ἐπὶ μὲν τῆς ὑπερβολῆς πτώσεις
15	ἔχει, ὅσας τὸ πρὸ αὐτοῦ ἐπὶ τῆς παραβολῆς εἶχεν, τὰς	268
270	δὲ ἀποδείξεις αὐτῶν ποιησόμεθα προσέχοντες ταῖς πτώσεσι τοῦ μγʹ θεωρήματος, καὶ ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως δὲ τὰς ἀποδείξεις ἐκ τῶν πτώσεων τοῦ μγʹ, οἷον ἐπὶ τῆς ὑποκειμένης καταγραφῆς τοῦ Η σημείου ἐκτὸς
5	εἰλημμένου, ἐπειδὴ ἴσον ἐστὶ τὸ ΛΑΓ τρίγωνον τοῖς ΘΗΩ, ΩΓΜ, τουτέστι τοῖς ΟΘΓ, ΟΗΜ τριγώνοις, τῷ δὲ ΛΑΓ ἴσον ἐστὶ τό τε ΞΠΓ τρίγωνον καὶ τὸ ΛΑΠΞ τετράπλευρον, τουτέστι τὸ ΝΘΠ τρίγωνον διὰ τὰ δεδειγμένα ἐν τῷ μγʹ θεωρήματι, καὶ τὰ ΞΠΓ,
10	ΝΘΠ ἄρα τρίγωνα ἴσα ἐστὶ τοῖς ΟΘΓ, ΟΜΗ τρι‐ γώνοις. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΘΟΓ τρίγωνον· λοιπὸν ἄρα τὸ ΞΟΝ τῷ ΗΟΜ ἴσον ἐστίν. καὶ παράλληλος ἡ ΝΞ τῇ ΜΗ· ἴση ἄρα ἡ ΝΟ τῇ ΟΗ.
14t	Εἰς τὸ μηʹ.
15	Καὶ τούτου αἱ πτώσεις ὡσαύτως ἔχουσι τοῖς προειρη‐ μένοις ἐπὶ τοῦ μζʹ κατὰ τὴν τῆς ὑπερβολῆς κατα‐ γραφήν.
18t	Εἰς τὸ μθʹ.
19	Λοιπὸν ἄρα τὸ ΚΛΝ τρίγωνον τῷ ΔΛΠΓ
20	παραλληλογράμμῳ ἐστὶν ἴσον. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΛΠ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΛΝ γωνίᾳ· διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΚΛΝ τοῦ ὑπὸ ΛΔΓ ἐκκείσθω
20	γὰρ χωρὶς τὸ ΚΛΝ τρίγωνον καὶ τὸ ΔΛΠΓ παραλ‐	270
272	ληλόγραμμον. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΚΛΝ τρίγωνον τῷ ΔΠ παραλληλογράμμῳ, ἤχθω διὰ τοῦ Ν τῇ ΛΚ παράλληλος ἡ ΝΡ, διὰ δὲ τοῦ Κ τῇ ΛΝ ἡ ΚΡ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΡ καὶ διπλάσιον τοῦ
5	ΚΛΝ τριγώνου· ὥστε καὶ τοῦ ΔΠ παραλληλογράμμου. ἐκβεβλήσθωσαν δὴ αἱ ΔΓ, ΛΠ ἐπὶ τὰ Σ, Τ, καὶ κείσθω τῇ ΔΓ ἴση ἡ ΓΣ, τῇ δὲ ΛΠ ἡ ΠΤ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΣΤ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΤ διπλάσιον τοῦ ΔΠ· ὥστε ἴσον τὸ ΛΡ τῷ ΛΣ. ἔστι δὲ
10	αὐτῷ καὶ ἰσογώνιον διὰ τὸ τὰς πρὸς τῷ Λ γωνίας κατὰ κορυφὴν οὔσας ἴσας εἶναι· τῶν δὲ ἴσων καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευραί· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΚΛ πρὸς ΛΤ, τουτέστι πρὸς ΔΣ, ἡ ΔΛ πρὸς ΛΝ, καὶ τὸ ὑπὸ ΚΛΝ
15	ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΛΔΣ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΔΣ τῆς ΔΓ, τὸ ὑπὸ ΚΛΝ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΛΔΓ. ἐὰν δὲ ἡ μὲν ΔΓ τῇ ΛΠ ἐστι παράλληλος, ἡ δὲ ΓΠ τῇ ΛΔ μή ἐστι παράλληλος, τραπέζιον μὲν δηλον‐ ότι ἐστὶ τὸ ΔΓΠΛ, καὶ οὕτως δέ φημι, ὅτι τὸ ὑπὸ
20	ΚΛΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΔΛ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΓΔ, ΛΠ. ἐὰν γὰρ τὸ μὲν ΛΡ ἀναπληρωθῇ, ὡς προείρηται, ἐκβληθῶσι δὲ καὶ αἱ ΔΓ, ΛΠ, καὶ τεθῇ τῇ μὲν ΛΠ ἴση ἡ ΓΣ, τῇ δὲ ΔΓ ἡ ΠΤ, καὶ ἐπι‐ ζευχθῇ ἡ ΣΤ, παραλληλόγραμμον ἔσται τὸ ΔΤ δι‐
25	πλάσιον τοῦ ΔΠ, καὶ ἡ ἀπόδειξις ἡ αὐτὴ ἁρμόσει. χρησιμεύσει δὲ τοῦτο εἰς τὸ ἑξῆς.
27t	Εἰς τὸ νʹ.
28	Αἱ πτώσεις τούτου τοῦ θεωρήματος ὡσαύτως ἔχουσι
28	ταῖς τοῦ μγʹ, ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τοῦ ναʹ.	272
274 (1t)	Εἰς τὸν ἐπίλογον.
2	Τὴν ἐκ τῆς γενέσεως διάμετρον λέγει τὴν γεναμένην ἐν τῷ κώνῳ κοινὴν τομὴν τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου καὶ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου· ταύτην
5	δὲ καὶ ἀρχικὴν διάμετρον λέγει. καί φησιν, ὅτι πάντα τὰ δεδειγμένα συμπτώματα τῶν τομῶν ἐν τοῖς προειρη‐ μένοις θεωρήμασιν ὑποθεμένων ἡμῶν τὰς ἀρχικὰς διαμέτρους συμβαίνειν δύνανται καὶ τῶν ἄλλων πασῶν διαμέτρων ὑποτιθεμένων.
10t	Εἰς τὸ νδʹ.
11	Καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τῆς ΑΒ ἐπίπεδον ὀρθὸν πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ ἐν αὐτῷ περὶ τὴν ΑΒ γεγράφθω κύκλος ὁ ΑΕΒΖ, ὥστε τὸ τμῆμα τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου τὸ ἐν τῷ
15	ΑΕΒ τμήματι πρὸς τὸ τμῆμα τῆς διαμέτρου τὸ ἐν τῷ ΑΖΒ τμήματι μὴ μείζονα λόγον ἔχειν τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ δέον ἔστω περὶ τὴν ΑΒ κύκλον γράψαι, ὥστε τὴν διάμετρον αὐτοῦ τέμνεσθαι ὑπὸ τῆς
20	ΑΒ οὕτως, ὥστε τὸ πρὸς τῷ Γ μέρος αὐτῆς πρὸς τὸ λοιπὸν μὴ μείζονα λόγον ἔχειν τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΓ. ὑποκείσθω μὲν νῦν τὸν αὐτόν, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ δι’ αὐτοῦ πρὸς ὀρθὰς τῇ
20	ΑΒ ἤχθω ἡ ΕΔΖ, καὶ γεγονέτω, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς	274
276	ΒΓ, ἡ ΕΔ πρὸς ΔΖ, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ΕΖ· δῆλον δή, ὅτι, εἰ μὲν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση καὶ ἡ ΕΔ τῇ ΔΖ, διχοτομία ἔσται τῆς ΕΖ τὸ Δ, εἰ δὲ ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ μείζων καὶ ἡ ΕΔ τῆς ΔΖ, ἡ διχοτομία
5	κατωτέρω ἐστὶ τοῦ Δ, εἰ δὲ ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ ἐλάσσων, ἀνωτέρω. ἔστω δὲ νῦν τέως κατωτέρω ὡς τὸ Η, καὶ κέντρῳ τῷ Η διαστήματι τῷ ΗΖ κύκλος γεγράφθω· δεῖ δὴ διὰ τῶν Α, Β σημείων ἥξειν ἢ ἐσωτέρω ἢ ἐξωτέρω.
10	καὶ εἰ μὲν διὰ τῶν Α, Β σημείων ἔρχοιτο, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν· ὑπερπιπτέτω δὲ τὰ Α, Β, καὶ ἐκβληθεῖσα ἐφ’ ἑκάτερα ἡ ΑΒ συμπιπτέτω τῇ περιφερείᾳ κατὰ τὰ Θ, Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΘ, ΘΕ, ΕΚ, ΚΖ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Β τῇ μὲν ΖΚ παράλληλος ἡ ΜΒ,
15	τῇ δὲ ΚΕ ἡ ΒΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΑ, ΑΛ· ἔσονται δὴ καὶ αὐταὶ παράλληλοι ταῖς ΖΘ, ΘΕ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΑΔ τῇ ΔΒ, τὴν δὲ ΔΘ τῇ ΔΚ καὶ πρὸς ὀρθὰς εἶναι τὴν ΖΔΕ τῇ ΘΚ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Κ γωνία, καὶ παράλληλοι αἱ ΜΒΛ
20	ταῖς ΖΚΕ, ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ πρὸς τῷ Β· διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ πρὸς τῷ Α. ὥστε ὁ περὶ τὴν ΜΛ κύκλος γραφόμενος ἥξει διὰ τῶν Α, Β. γεγράφθω ὡς ὁ ΜΑΛΒ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΜΒ τῇ ΖΚ, ἔστιν, ὡς ἡ ΖΔ πρὸς ΔΜ, ἡ ΚΔ πρὸς ΔΒ. ὁμοίως
25	δὴ καί, ὡς ἡ ΚΔ πρὸς ΔΒ, ἡ ΕΔ πρὸς ΔΛ. καὶ	276
278	ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΕΔ πρὸς ΔΖ, τουτέστιν ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, ἡ ΛΔ πρὸς ΔΜ. ὁμοίως δέ, κἂν ὁ γραφόμενος περὶ τὴν ΖΕ κύκλος τέμνοι τὴν ΑΒ, τὸ αὐτὸ δειχθήσεται.
5t	Εἰς τὸ νεʹ.
6	Καὶ ἐπὶ τῆς ΑΔ γεγράφθω ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΔ, καὶ ἤχθω τις εἰς τὸ ἡμικύκλιον παράλ‐ ληλος τῇ ΑΘ ἡ ΖΗ ποιοῦσα τὸν τοῦ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΗΑ λόγον τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΓΑ
10	πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΑΔ ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΓ, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς ΕΖ πρὸς ΖΗ, καὶ δέον ἔστω ποιῆσαι τὰ προκείμενα. κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΖΘ, καὶ τετμήσθω ἡ ΘΗ δίχα κατὰ τὸ Κ, καὶ ἤχθω ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ τυχοῦσα
15	εὐθεῖα ἡ ΓΒ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ κέντρου ἤχθω ἐπ’ αὐτὴν κάθετος ἡ ΛΣ καὶ ἐκβλη‐ θεῖσα συμβαλλέτω τῇ περιφερείᾳ κατὰ τὸ Ν, καὶ διὰ τοῦ Ν τῇ ΓΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΝΜ· ἐφάψεται ἄρα τοῦ κύκλου. καὶ πεποιήσθω, ὡς ἡ ΖΘ πρὸς ΘΚ,
20	ἡ ΜΞ πρὸς ΞΝ, καὶ κείσθω τῇ ΞΝ ἴση ἡ ΝΟ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΞ, ΛΟ τέμνουσαι τὸ ἡμικύκλιον κατὰ τὰ Π, Ρ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΠΡΔ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΞΝ τῇ ΝΟ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΝΛ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΛΟ τῇ ΛΞ. ἔστι
25	δὲ καὶ ἡ ΛΠ τῇ ΛΡ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΠΟ τῇ ΡΞ	278
280	ἐστιν ἴση. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΡΔ τῇ ΜΟ. καί ἐστιν, ὡς ἡ ΖΘ πρὸς ΘΚ, ἡ ΜΞ πρὸς ΝΞ· ὡς δὲ ἡ ΘΚ πρὸς ΘΗ, ἡ ΝΞ πρὸς ΞΟ· δι’ ἴσου ἄρα, ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΘΗ, ἡ ΜΞ πρὸς ΞΟ· ἀνάπαλιν, ὡς
5	ἡ ΗΘ πρὸς ΘΖ, ἡ ΟΞ πρὸς ΞΜ· συνθέντι, ὡς ἡ ΗΖ πρὸς ΖΘ, τουτέστι πρὸς ΖΕ, ἡ ΟΜ πρὸς ΜΞ, τουτέστιν ἡ ΠΔ πρὸς ΔΡ. ὡς δὲ ἡ ΠΔ πρὸς ΔΡ, τὸ ὑπὸ ΠΔΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΡ, ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ ΠΔΡ τῷ ὑπὸ ΑΔΓ· ὡς ἄρα ἡ ΗΖ πρὸς ΖΕ, τὸ ὑπὸ ΑΔΓ
10	πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΡ. ἀνάπαλιν ἄρα, ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ, τὸ ἀπὸ ΔΡ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔΓ.
12t	Εἰς τὸ νηʹ.
13	Καὶ ἐπὶ τῆς ΑΕ γεγράφθω ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΖ, καὶ τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἐν αὐτῷ ἡ
15	ΖΗ λόγον ποιοῦσα τὸν τοῦ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΗΕ τὸν τῆς ΓΑ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΑΕ ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ καὶ ἐν αὐτῷ εὐθεῖά τις ἡ ΑΒ, καὶ κείσθωσαν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΔΕ, ΕΖ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΖ ἐπὶ τὸ Η, καὶ τῇ ΔΕ
20	ἴση κείσθω ἡ ΖΗ, καὶ τετμήσθω ὅλη ἡ ΕΗ δίχα κατὰ τὸ Θ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Κ, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΒ ἤχθω καὶ συμβαλλέτω τῇ περιφερείᾳ κατὰ τὸ Λ, καὶ διὰ
20	τοῦ Λ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜ, καὶ ἐκβλη‐	280
282	θεῖσα ἡ ΚΑ συμβαλλέτω τῇ ΛΜ κατὰ τὸ Μ, καὶ πεποιήσθω, ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΖΗ, ἡ ΛΜ πρὸς ΜΝ, καὶ τῇ ΛΝ ἴση ἔστω ἡ ΛΞ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΚ, ΚΞ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν, καὶ ἀναπληρωθεὶς ὁ
5	κύκλος τεμνέτω αὐτὰς κατὰ τὰ Π, Ο, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΡΠ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΖΘ πρὸς ΖΗ, ἡ ΛΜ πρὸς ΜΝ, συνθέντι, ὡς ἡ ΘΗ πρὸς ΗΖ, ἡ ΛΝ πρὸς ΝΜ· ἀνάπαλιν, ὡς η ΖΗ πρὸς ΗΘ, ἡ ΝΜ πρὸς ΝΛ,
10	ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ, ἡ ΜΝ πρὸς ΝΞ· διελόντι, ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΖΕ, ἡ ΝΜ πρὸς ΜΞ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΝΛ τῇ ΛΞ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΛΚ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΚΝ τῇ ΚΞ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΚΟ τῇ ΚΠ ἴση· παράλληλος ἄρα ἡ ΝΞ τῇ ΟΠ. ὅμοιον
15	ἄρα τὸ ΚΜΝ τρίγωνον τῷ ΟΚΡ τριγώνῳ καὶ τὸ ΚΜΞ τῷ ΠΡΚ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΚΜ πρὸς ΚΡ, ἡ ΜΝ πρὸς ΡΟ. ἀλλὰ καί, ὡς αὐτὴ ἡ ΚΜ πρὸς ΚΡ, ἡ ΜΞ πρὸς ΠΡ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΝΜ πρὸς ΡΟ, ἡ ΜΞ πρὸς ΠΡ· καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΝΜ πρὸς ΜΞ, ἡ ΟΡ
20	πρὸς ΡΠ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΝΜ πρὸς ΜΞ, ἡ ΗΖ πρὸς ΖΕ, τουτέστιν ἡ ΔΕ πρὸς ΕΖ, ὡς δὲ ἡ ΟΡ πρὸς ΡΠ, τὸ ἀπὸ ΟΡ πρὸς τὸ ὑπὸ ΟΡΠ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΕ πρὸς ΕΖ, τὸ ἀπὸ ΟΡ πρὸς τὸ ὑπὸ ΟΡΠ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ ΟΡΠ τῷ ὑπὸ ΑΡΓ. ὡς ἄρα ἡ ΔΕ πρὸς
25	ΕΖ, τὸ ἀπὸ ΟΡ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΡΓ.	282
284	Εἴρηται μὲν ἐν τοῖς μετὰ τὸ ιʹ θεώρημα σχολίοις ὁ σκοπὸς τῶν ιγ πρώτων θεωρημάτων καὶ ἐν τοῖς εἰς τὸ ἑκκαιδέκατον ὁ τῶν ἑξῆς τριῶν, δεῖ δὲ εἰδέναι, ὅτι ἐν μὲν τῷ ιζʹ φησίν, ὅτι ἡ διὰ τῆς κορυφῆς
5	παρὰ τεταγμένως κατηγμένην ἀγομένη ἐκτὸς πίπτει, ἐν δὲ τῷ ιηʹ φησίν, ὅτι ἡ παράλληλος τῇ ὁπωσοῦν ἐφαπτομένῃ ἐντὸς τῆς τομῆς ἀγομένη τεμεῖ τὴν τομήν, ἐν τῷ ιθʹ, ὅτι ἡ ἀπό τινος σημείου τῆς διαμέτρου παρὰ τεταγμένως κατηγμένην συμπίπτει τῇ τομῇ, ἐν
10	τῷ κʹ καὶ καʹ τὰς καταγομένας ζητεῖ τῶν τομῶν, ὅπως ἔχουσι πρὸς ἀλλήλας καὶ τὰ τῆς διαμέτρου ὑπ’ αὐτῶν γινόμενα τμήματα, ἐν τῷ κβʹ καὶ κγʹ λέγει περὶ τῆς εὐθείας τῆς κατὰ δύο σημεῖα τῇ τομῇ συμπιπτούσης, ἐν τῷ κδʹ καὶ κεʹ περὶ τῆς εὐθείας τῆς καθ’ ἓν τῇ
15	τομῇ συμπιπτούσης, τουτέστιν ἐφαπτομένης, ἐν τῷ κϛʹ περὶ τῆς ἀγομένης παραλλήλου τῇ διαμέτρῳ τῆς παρα‐ βολῆς καὶ τῆς ὑπερβολῆς, ἐν τῷ κζʹ περὶ τῆς τεμνούσης τὴν διάμετρον τῆς παραβολῆς, ὅτι κατ’ ἀμφότερα μέρη συμπίπτει τῇ τομῇ, ἐν τῷ κηʹ περὶ τῆς ἀγομένης
20	παραλλήλου τῇ ἐφαπτομένῃ μιᾶς τῶν ἀντικειμένων, ἐν τῷ κθʹ περὶ τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῶν ἀντικειμένων ἐκβαλλομένης, ἐν τῷ λʹ φησιν, ὅτι διχοτομεῖται ἡ διὰ τοῦ κέντρου ἐκβαλλομένη τῆς ἐλλείψεως καὶ τῶν ἀντικει‐ μένων, ἐν τῷ λαʹ φησίν, ὅτι ἐπὶ τῆς ὑπερβολῆς ἡ
25	ἐφαπτομένη τὴν διάμετρον τέμνει μεταξὺ τῆς κορυφῆς καὶ τοῦ κέντρου, ἐν τῷ λβʹ καὶ γʹ καὶ δʹ καὶ εʹ καὶ
25	ϛʹ περὶ τῶν ἐφαπτομένων ποιεῖται τὸν λόγον, ἐν τῷ	284
286	λζʹ περὶ τῶν ἐφαπτομένων καὶ τῶν ἀπὸ τῆς ἁφῆς κατηγμένων τῆς ἐλλείψεως καὶ τῆς ὑπερβολῆς, ἐν τῷ ληʹ περὶ τῶν ἐφαπτομένων τῆς ὑπερβολῆς καὶ τῆς ἐλλείψεως, ὅπως ἔχουσι πρὸς τὴν δευτέραν διάμετρον,
5	ἐν τῷ λθʹ καὶ μʹ περὶ τῶν αὐτῶν ποιεῖται τὸν λόγον τοὺς συγκειμένους ἐκ τούτων λόγους ἐπιζητῶν, ἐν τῷ μαʹ περὶ τῶν ἀναγραφομένων παραλληλογράμμων ἀπὸ τῆς κατηγμένης καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ὑπερβολῆς καὶ τῆς ἐλλείψεως, ἐν τῷ μβʹ ἐπὶ τῆς παραβολῆς λέγει
10	ἴσον εἶναι τὸ ὑπὸ τῆς ἐφαπτομένης καὶ τῆς κατηγμένης καταλαμβανόμενον τρίγωνον τῷ ἰσοϋψεῖ αὐτῷ παραλ‐ ληλογράμμῳ, ἡμίσειαν δ’ ἔχοντι βάσιν, ἐν τῷ μγʹ ἐπὶ τῆς ὑπερβολῆς καὶ τῆς ἐλλείψεως ζητεῖ, πῶς ἔχουσι πρὸς ἄλληλα τὰ ὑπὸ τῶν ἐφαπτομένων καὶ
15	τῶν κατηγμένων ἀπολαμβανόμενα τρίγωνα, ἐν τῷ μδʹ τὸ αὐτὸ ἐν ταῖς ἀντικειμέναις, ἐν τῷ μεʹ τὸ αὐτὸ ἐπὶ τῆς δευτέρας διαμέτρου τῆς ὑπερβολῆς καὶ τῆς ἐλλείψεως, ἐν τῷ μϛʹ περὶ τῶν μετὰ τὴν ἀρχικὴν διάμετρον τῆς παραβολῆς ἑτέρων, ἐν τῷ μζʹ
20	περὶ τῶν ἑτέρων διαμέτρων τῆς ὑπερβολῆς καὶ τῆς ἐλλείψεως, ἐν τῷ μηʹ περὶ τῶν ἑτέρων διαμέτρων τῶν ἀντικειμένων, ἐν τῷ μθʹ περὶ τῶν παρ’ ἃς δύνανται αἱ καταγόμεναι ἐπὶ τὰς ἑτέρας διαμέτρους τῆς παρα‐ βολῆς, ἐν τῶ νʹ περὶ τοῦ αὐτοῦ τῆς ὑπερβολῆς καὶ
25	τῆς ἐλλείψεως, ἐν τῷ ναʹ περὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν ἀντικει‐
25	μένων. ταῦτα εἰπὼν καὶ προσθεὶς τοῖς εἰρημένοις	286
288	ἐπίλογόν τινα ἐν τῷ νβʹ καὶ νγʹ δεικνύει πρόβλημα, ὡς δυνατὸν ἐν ἐπιπέδῳ γράψαι τὴν παραβολήν, ἐν τῷ νδʹ καὶ νεʹ λέγει, πῶς δεῖ γράψαι τὴν ὑπερβολήν, ἐν τῷ νϛʹ καὶ νζʹ καὶ νηʹ, πῶς δεῖ γράψαι τὴν ἔλλειψιν,
5	ἐν τῷ νθʹ λέγει, πῶς δεῖ γράφειν ἀντικειμένας, ἐν
5	τῷ ξʹ περὶ τῶν συζύγων ἀντικειμένων.	288
290 (1t)	Εἰς τὸ δεύτερον.
2	Ἀρχόμενος τοῦ βʹ βιβλίου τῶν Κωνικῶν, ὦ φίλτατέ μοι Ἀνθέμιε, τοσοῦτον οἶμαι δεῖν προειπεῖν, ὅτι τοσαῦτα μόνα εἰς αὐτὸ γράφω, ὅσα ἂν μὴ ᾖ δυνατὸν διὰ
5	τῶν ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ νοηθῆναι.
6t	Εἰς τὸ αʹ.
7	Τὸ πρῶτον θεώρημα πτῶσιν οὐκ ἔχει, εἰ μὴ ἄρα .... τοῦτο γὰρ τῇ καταγραφῇ διαφορὰν οὐ ποιεῖ· αἱ γὰρ ΔΓ, ΓΕ ἀσύμπτωτοί τέ εἰσι τῇ τομῇ καὶ αἱ
10	αὐταὶ διαμένουσι κατὰ πᾶσαν διάμετρον καὶ ἐφαπτο‐ μένην.
12t	Εἰς τὸ βʹ.
13	Τοῦτο τὸ θεώρημα πτῶσιν οὐκ ἔχει. ἡ μέντοι ΒΘ πάντως τεμεῖ τὴν τομὴν κατὰ δύο σημεῖα. ἐπεὶ γὰρ
15	παράλληλός ἐστι τῇ ΓΔ, συμπεσεῖται τῇ ΓΘ· ὥστε πρότερον τῇ τομῇ συμπεσεῖται.
17t	Εἰς τὸ ιαʹ.
18	Ἔν τισιν ἀντιγράφοις τὸ θεώρημα τοῦτο ἄλλως
18	δείκνυται.	290
292	Ἔστω ὑπερβολή, ἧς ἀσύμπτωτοι αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπ’ εὐθείας ἡ ΒΕΔ, καὶ ἤχθω τις ἡ ΕΖ, ὡς ἔτυχεν, τέμνουσα τὰς ΔΒ, ΒΑ. λέγω, ὅτι συμ‐ πεσεῖται τῇ τομῇ.
5	εἰ γὰρ δυνατόν, μὴ συμπιπτέτω, καὶ διὰ τοῦ Β τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΗ. ἡ ΒΗ ἄρα διάμετρός ἐστι τῆς τομῆς. καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ τῷ ἀπὸ ΒΗ ἴσον παραλληλόγραμμον ὑπερβάλλον εἴδει τετραγώνῳ καὶ ποιείτω τὸ ὑπὸ ΕΘΖ, καὶ ἐπεζεύχθω
10	ἡ ΘΒ καὶ ἐκβεβλήσθω· συμπεσεῖται δὴ τῇ τομῇ. συμπιπτέτω κατὰ τὸ Κ, καὶ διὰ τοῦ Κ τῇ ΒΗ παράλ‐ ληλος ἤχθω ἡ ΚΑΔ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΔΚΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΗ· ὥστε καὶ τῷ ὑπὸ ΕΘΖ· ὅπερ ἄτοπον, ἐπείπερ ἡ ΑΔ παράλληλός ἐστι τῇ ΕΘ. ἡ ΕΖ ἄρα
15	συμπεσεῖται τῇ τομῇ. φανερὸν δή, ὅτι καὶ καθ’ ἓν μόνον σημεῖον· παράλ‐ ληλος γάρ ἐστι τῇ ΒΗ διαμέτρῳ.
18t	Εἰς τὸ ιβʹ.
19	Ηὑρέθη ἔν τισιν ἀντιγράφοις τοῦτο τὸ θεώρημα
20	δεικνύμενον διὰ δύο παραλλήλων ἀγομένων τῇ ἐφαπτο‐ μένῃ, μιᾶς μὲν διὰ τοῦ Δ, ἑτέρας δὲ διὰ τοῦ Η· καὶ
20	ἡ ἀπόδειξις διὰ συνθέσεως λόγων ἐδείκνυτο. ἐπελεξά‐	292
294	μεθα δὲ ταύτην τὴν κατασκευὴν ὡς τὰ αὐτὰ δεικνῦσαν ἁπλουστέρως. ἔχει δὲ καὶ πτώσεις ἕξ· τῶν γὰρ ΕΔΖ ἀχθεισῶν τὸ Ε σημεῖον ἢ μεταξὺ ἔσται τῶν Θ, Β ἢ ἐπὶ τοῦ Β
5	ἢ ἔξω τοῦ Β, ὡς γίνονται τρεῖς, καὶ ὁμοίως ἐπὶ τοῦ Ζ ἄλλαι τρεῖς.
7t	Εἰς τὸ ιδʹ.
8	Ἔν τισιν ἀντιγράφοις ηὑρέθη ἄλλως δεικνύμενον, ὅτι παντὸς τοῦ δοθέντος διαστήματος εἰς ἔλαττον
10	ἀφικνοῦνται διάστημα. τῶν γὰρ αὐτῶν ὑποκειμένων εἰλήφθω τοῦ δοθέντος διαστήματος ἔλαττον τὸ ΕΚ, καὶ πεποιήσθω, ὡς ἡ ΚΕ πρὸς ΕΘ, ἡ ΘΑ πρὸς ΑΛ, καὶ διὰ τοῦ Λ τῇ ΕΖ παράλληλος ἡ ΜΛΒ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΞΒ μείζων ἐστὶ
15	τῆς ΛΒ, ἡ ΞΒ ἄρα πρὸς ΘΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΛΒ πρὸς ΘΖ. ὡς δὲ ἡ ΞΒ πρὸς ΘΖ, ἡ ΘΕ πρὸς ΜΞ διὰ τὸ ἴσον εἶναι τὸ ὑπὸ ΖΘΕ τῷ ὑπὸ ΒΞΜ· καὶ ἡ ΘΕ ἄρα πρὸς ΜΞ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΛΒ πρὸς ΖΘ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΛΒ πρὸς ΖΘ, ἡ
20	ΛΑ πρὸς ΑΘ, ὡς δὲ ἡ ΛΑ πρὸς ΑΘ, ἡ ΘΕ πρὸς ΕΚ· καὶ ἡ ΘΕ ἄρα πρὸς ΜΞ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΕ πρὸς ΕΚ. ἐλάσσων ἄρα ἡ ΞΜ τῆς ΚΕ.
20	Ηὑρέθησαν δὲ ἔν τισι καὶ ταῦτα τὰ θεωρήματα	294
296	ἐγγεγραμμένα, ἅπερ ὡς περιττὰ ἀφῃρέθη ὑφ’ ἡμῶν· δεδειγμένου γὰρ τούτου, ὅτι αἱ ἀσύμπτωτοι ἔγγιον προσάγουσι τῇ τομῇ καὶ παντὸς τοῦ δοθέντος εἰς ἔλαττον ἀφικνοῦνται, περιττὸν ἦν ταῦτα ζητεῖν. ἀμέλει
5	οὐδὲ ἀποδείξεις ἔχουσί τινας, ἀλλὰ διαφορὰς κατα‐ γραφῶν. ἵνα δὲ τοῖς ἐντυγχάνουσι τὴν ἡμέραν δήλην ποιήσωμεν, ἐκκείσθω ἐνταῦθα τὰ ὡς περιττὰ ἀφῃρημένα. Εἴ τινές εἰσιν ἀσύμπτωτοι τῇ τομῇ ἕτεραι τῶν προειρημένων, ἔγγιόν εἰσιν αἱ προειρημέναι τῇ τομῇ.
10	ἔστω ὑπερβολή, ἧς ἀσύμπτωτοι αἱ ΓΑ, ΑΔ. λέγω, ὅτι, εἴ τινές εἰσιν ἀσύμπτωτοι τῇ τομῇ, ἐκείνων ἔγγιόν εἰσιν αἱ ΓΑ, ΑΔ. ὅτι μὲν οὖν, ὡς ἐπὶ τῆς πρώτης καταγραφῆς, οὐ δύνανται αἱ ΕΖΗ ἀσύμπτωτοι εἶναι, φανερόν, ὥστε
15	εἶναι παράλληλον τὴν μὲν ΕΖ τῇ ΓΑ, τὴν δὲ ΖΗ τῇ ΑΔ· δέδεικται γάρ, ὅτι συμπεσοῦνται τῇ τομῇ· ἐν γὰρ τῷ ἀφοριζομένῳ τόπῳ ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων καὶ τῆς τομῆς εἰσιν. εἰ δέ, ὡς ἐπὶ τῆς δευτέρας πτώσεώς εἰσιν, ἀσύμ‐
20	πτωτοι αἱ ΕΖ, ΖΗ παράλληλοι οὖσαι ταῖς ΓΑ, ΑΔ, ἔγγιον μᾶλλόν εἰσιν αἱ ΓΑ, ΑΔ τῆς τομῆς ἤπερ αἱ ΕΖ, ΖΗ. εἰ δέ, ὡς ἐπὶ τῆς τρίτης πτώσεως, καὶ οὕτως αἱ
20	μὲν ΓΑ, ΑΔ, ἐὰν ἐκβληθῶσιν εἰς ἄπειρον, ἐγγίζουσι	296
298	τῆς τομῆς καὶ εἰς ἔλαττον διάστημα παντὸς τοῦ δοθέντος ἀφικνοῦνται, αἱ δὲ ΕΖΗ κατὰ μὲν τὸ Ζ καὶ τὰ ἐγγὺς αὐτοῦ ἐντὸς ὄντα τῆς γωνίας σύνεγγύς εἰσι τῆς τομῆς, ἐκβληθεῖσαι δὲ ἀφίστανται τῆς τομῆς μᾶλλον· παντὸς
5	γὰρ τοῦ δοθέντος, ὃ νῦν ἀφεστήκασιν, ἔστιν ἔλασσον. [Omitted graphic marker] ἔστωσαν δὴ πάλιν, ὡς ἐπὶ τῆς τετάρτης καταγραφῆς, ἀσύμπτωτοι αἱ ΕΖ, ΖΗ· φανερὸν δὴ καὶ οὕτως, ὅτι ἡ μὲν ΓΑ ἔγγιόν ἐστι τῆς τομῆς ἤπερ ἡ ΕΖ, ἐάν τε ἡ ΕΖ τῇ ΓΑ παράλληλός ἐστιν, ἐάν τε συμπίπτῃ τῇ ΓΑ.
10	καὶ ἐὰν μὲν ἡ σύμπτωσις ἀνώτερον ᾖ τῆς διὰ τοῦ Ζ ἐφαπτομένης τῆς τομῆς, τέμνει τὴν τομήν, ἐὰν δὲ ἡ σύμπτωσις ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ ᾖ τῆς τε ἐφαπτομένης καὶ τῆς γωνίας, ὥσπερ καὶ ἡ ΖΗ, κατὰ τὰ αὐτὰ τῷ ἐπάνω ἡ ΘΗ τῆς τομῆς οὐκ ἀφέξει ἔλασσον διάστημα
15	παντὸς τοῦ δοθέντος· ὥστε ἡ ΓΑ ἔγγιόν ἐστι τῆς τομῆς, ἤπερ ἡ ΕΖ ἐστιν. ἡ δὲ ΔΑ ἔγγιον τῆς τομῆς ἤπερ ἡ ΖΗ διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς ἐπὶ τῆς τρίτης κατα‐ γραφῆς.
15	ὅτι δὲ ἡ ἀνωτέρω τῆς διὰ τοῦ Ζ ἐφαπτομένης	298
300	συμπίπτουσα τῇ ΓΑ συμπίπτει καὶ τῇ τομῇ, οὕτως δείκνυται. ...... καὶ ἡ ΖΕ ἐφαπτέσθω τῆς τομῆς κατὰ τὸ Ε, ἡ δὲ σύμπτωσις τῇ ΓΑ ἀνώτερον τῇ ΖΗ. λέγω, ὅτι
5	ἐκβληθεῖσα συμπεσεῖται τῇ τομῇ. ἤχθω γὰρ διὰ τῆς Ε ἁφῆς παράλληλος τῇ ΓΑ ἀσυμπτώτῳ ἡ ΕΘ· ἡ ΕΘ ἄρα κατὰ μόνον τὸ Ε τέμνει τὴν τομήν. ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΑ τῇ ΕΘ παράλληλός ἐστιν, καὶ τῇ ΑΗ συμπίπτει ἡ ΖΗ, καὶ τῇ ΕΘ ἄρα συμ‐
10	πεσεῖται· ὥστε καὶ τῇ τομῇ. Εἴ τίς ἐστιν εὐθύγραμμος γωνία περιέχουσα τὴν ὑπερβολὴν ἑτέρα τῆς περιεχούσης τὴν ὑπερ‐ βολήν, οὐκ ἔστιν ἐλάσσων τῆς περιεχούσης τὴν ὑπερ‐ βολήν.
15	ἔστω ὑπερβολή, ἧς ἀσύμπτωτοι αἱ ΓΑ, ΑΔ, ἕτεραι δέ τινες ἀσύμπτωτοι τῇ τομῇ ἔστωσαν αἱ ΕΖΗ. λέγω, ὅτι οὐκ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Ζ γωνία τῆς πρὸς τῷ Α. ἔστωσαν γὰρ πρότερον αἱ ΕΖΗ ταῖς ΓΑ, ΑΔ
20	παράλληλοι. ἴση ἄρα ἡ πρὸς τῷ Ζ γωνία τῇ πρὸς τῷ Α· οὐκ ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Ζ τῆς πρὸς τῷ Α.
20	μὴ ἔστωσαν δὴ παράλληλοι, καθὼς ἐπὶ τῆς δευτέρας	300
302	καταγραφῆς. φανερὸν οὖν, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Ζ γωνία τῆς ὑπὸ ΘΑΗ. ἐπὶ δὲ τῆς γʹ μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΘΑ τῆς πρὸς τῷ Α, καί ἐστιν ἴση ἡ πρὸς τῷ Ζ τῇ πρὸς τῷ Θ.
5	ἐπὶ δὲ τῆς δʹ ἡ κατὰ κορυφὴν τῆς κατὰ κορυφήν ἐστι μείζων. οὐκ ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Ζ τῆς πρὸς τῷ Α.
8t	Εἰς τὸ κγʹ.
9	Τὸ δὲ ὑπὸ ΘΜΕ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΘΚΕ ἴσον
10	ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΛΜΚ διὰ τὸ τὰς ἄκρας ἴσας εἶναι ἔστω εὐθεῖα ἡ ΛΚ, καὶ ἔστω ἡ ΛΘ ἴση τῇ ΕΚ, ἡ δὲ ΘΝ ἴση τῇ ΕΜ, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Μ, Κ πρὸς ὀρθὰς αἱ ΜΞ, ΚΟ, [Omitted graphic marker] καὶ κείσθω τῇ ΜΚ
15	ἴση ἡ ΜΞ, τῇ δὲ ΚΕ ἡ ΚΟ, καὶ συμ‐ πεπληρώσθω τὰ ΞΘ, ΘΑ παραλ‐ ληλόγραμμα. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΜΚ τῇ ΜΞ,
20	τουτέστι τῇ ΠΟ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΘ τῇ ΕΚ, τουτέστι
20	τῇ ΚΟ, ἴσον ἄρα τὸ ΘΑ τῷ ΜΟ.	302
304	κοινὸν προσκείσθω τὸ ΞΘ· ὅλον ἄρα τὸ ΛΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ΞΘ καὶ ΜΟ, τουτέστι τῷ ΘΟ καὶ ΠΡ. καί ἐστι τὸ μὲν ΛΞ τὸ ὑπὸ τῶν ΛΜΚ, τὸ δὲ ΘΟ τὸ ὑπὸ ΘΚΕ, τὸ δὲ ΠΡ τὸ ὑπὸ ΘΜΕ [τουτέστιν ὑπὸ
5	ΠΞΡ]. ἔστι δὲ καὶ ἄλλως δεῖξαι τὸ αὐτό. τετμήσθω ἡ ΜΝ δίχα κατὰ τὸ Σ. φανερὸν δή, ὅτι καὶ ἡ ΛΚ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Σ, καὶ ὅτι τὸ ὑπὸ ΘΚΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΛΕΚ· ἴση γὰρ ἡ ΘΚ
10	τῇ ΛΕ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΛΚ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Σ, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Ε, τὸ ὑπὸ ΛΕΚ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΣΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΚΣ. τὸ δὲ ἀπὸ ΣΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΘΜΕ καὶ τῷ ἀπὸ ΣΜ· ὥστε τὸ ἀπὸ ΣΚ ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ ΛΕΚ, τουτέστι τῷ ὑπὸ ΘΚΕ, καὶ
15	τῷ ὑπὸ ΘΜΕ καὶ τῷ ἀπὸ ΣΜ. διὰ ταὐτὰ δὴ τὸ ἀπὸ ΣΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΛΜΚ καὶ τῷ ἀπὸ ΣΜ· ὥστε τὸ ὑπὸ ΘΚΕ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΘΜΕ καὶ τοῦ ἀπὸ ΣΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΛΜΚ καὶ τῷ ἀπὸ ΣΜ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΣΜ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΘΚΕ μετὰ τοῦ ὑπὸ
20	ΘΜΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΛΜΚ.
21t	Εἰς τὸ κδʹ.
22	Δεῖ σημειώσασθαι, ὅτι συμπτώσεις καλεῖ τὰ σημεῖα,
22	καθ’ ἃ συμβάλλουσι τῇ τομῇ αἱ ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖαι. καὶ	304
306	δεῖ, φησίν, παρατηρεῖν, ὥστε ἐκτὸς εἶναι ἀλλήλων τὰ σημεῖα, ἀλλὰ μὴ τὰ Α, Β ..... δεῖ δὲ εἰδέναι, ὅτι καὶ ἐπὶ ἐφαπτομένων τὰ αὐτὰ συμβαίνει.
5t	Εἰς τὸ κηʹ.
6	Ἄξιον ἐπισκέψασθαι τὴν δοθεῖσαν ἐν ἐπιπέδῳ καμπύ‐ λην γραμμήν, πότερον κύκλου ἐστὶ περιφέρεια ἢ ἑτέρα τις τῶν τριῶν τοῦ κώνου τομῶν ἢ ἄλλη παρὰ ταύτας. ἔστω δὴ ἡ ΑΒΓ, καὶ προκείσθω τὸ εἶδος αὐτῆς
10	ἐπισκέψασθαι τὸν εἰρημένον τρόπον. [Omitted graphic marker] εἰλήφθω τινὰ σημεῖα ἐπὶ τῆς γραμμῆς τὰ Γ, Δ, καὶ ἤχθωσαν διὰ τῶν Γ, Δ σημείων παράλληλοι ἀλ‐ λήλαις εὐθεῖαί τινες αἱ ΓΒ, ΔΕ ἐντὸς ἀπολαμβανόμεναι
10	τῆς γραμμῆς, καὶ πάλιν ἀπὸ τῶν Γ, Δ ἕτεραι παράλ‐	306
308	ληλοι αἱ ΓΗ, ΔΖ, καὶ τετμήσθωσαν δίχα αἱ μὲν ΓΒ, ΔΕ κατὰ τὰ Θ, Κ, αἱ δὲ ΓΗ, ΔΖ κατὰ τὰ Λ, Μ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΚ, ΛΜ. εἰ μὲν οὖν πᾶσαι αἱ τῇ ΒΓ παράλληλοι ὑπὸ τῆς
5	ΚΘ διχοτομοῦνται, πᾶσαι δὲ αἱ τῇ ΓΗ ὑπὸ τῆς ΜΛ, μία ἐστὶ τῶν τοῦ κώνου τομῶν ἡ ΒΑΓ διαμέτρους ἔχουσα τὰς ΘΚ, ΜΛ, εἰ δὲ μή, οὔ. πάλιν δέ, ποία τῶν δ ἐστίν, εὑρίσκομεν ἐκβάλλοντες εἰς ἄπειρον ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη τὰς ΘΚ, ΛΜ. ἤτοι
10	γὰρ παράλληλοί εἰσιν, καί ἐστι παραβολή, ἢ ἐπὶ τὰ Θ, Λ μέρη συμπίπτουσιν, καί ἐστιν ἔλλειψις ἢ κύκλος, ἢ ἐπὶ τὰ ἕτερα, καί ἐστιν ὑπερβολή. τὴν δὲ ἔλλειψιν τοῦ κύκλου διακρινοῦμεν ἀπὸ τοῦ σημείου τῆς συμ‐ πτώσεως τῶν ΑΘ, ΝΛ, ὅπερ κέντρον γίνεται. εἰ μὲν
15	γὰρ ἴσαι εἰσὶν αἱ ἀπ’ αὐτοῦ πρὸς τὴν γραμμὴν προσ‐ πίπτουσαι, δῆλον, ὅτι κύκλου ἐστὶ περιφέρεια ἡ ΑΒΓ, εἰ δὲ μή, ἔλλειψις. Ἔστιν αὐτὰς διακρῖναι καὶ ἄλλως ἀπὸ τῶν τεταγ‐ μένως ἐπὶ τὴν διάμετρον καταγομένων, οἷον τῶν ΓΘ,
20	ΔΚ. εἰ μὲν γὰρ εἴη, ὡς τὸ ἀπὸ ΓΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΚ, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΚ, παραβολή ἐστιν, εἰ δὲ τὸ ἀπὸ ΘΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΑ πρὸς ΑΚ, ὑπερβολή, εἰ δὲ ἐλάττονα, ἔλλειψις.
25	Καὶ ἀπὸ τῶν ἐφαπτομένων δυνατόν ἐστιν αὐτὰς διακρῖναι ἀναμνησθέντας τῶν εἰρημένων αὐταῖς ὑπάρ‐
25	χειν ἀνωτέρω.	308
310 (1t)	Εἰς τὸ μηʹ.
2	Ἔστωσαν δύο μεγέθη ἴσα τὰ ΑΒ, ΓΔ καὶ διῃρήσθω εἰς ἄνισα κατὰ τὰ Ε, Ζ. λέγω, ὅτι, ᾧ διαφέρει τὸ ΑΕ τοῦ ΖΓ, τούτῳ διαφέρει τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ.
5	κείσθω τῷ ΓΖ ἴσον τὸ ΑΗ· τὸ ΕΗ ἄρα ὑπεροχή ἐστι τῶν ΑΗ, ΑΕ, τουτέστι τῶν ΓΖ, ΑΕ· τὸ γὰρ ΑΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΖ. ἀλλὰ καὶ τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΒ τῷ ΖΔ ἐστιν ἴσον. ὥστε τὸ ΕΗ ὑπεροχή ἐστι τῶν ΕΒ, ΒΗ ἤτοι τῶν ΕΒ, ΖΔ.
10	Ἀλλὰ δὴ ἔστωσαν δ μεγέθη τὰ ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ, ΖΔ, καὶ τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ διαφερέτω, ᾧ διαφέρει τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ. λέγω, ὅτι συναμφότερα τὰ ΑΕΒ συναμφο‐ τέροις τοῖς ΓΖ, ΖΔ ἐστιν ἴσα. κείσθω πάλιν τῷ ΓΖ ἴσον τὸ ΑΗ· τὸ ΕΗ ἄρα
15	ὑπεροχή ἐστι τῶν ΑΕ, ΓΖ. τῷ δὲ αὐτῷ διαφέρειν ὑπόκεινται ἀλλήλων τὰ ΕΑ, ΓΖ καὶ τὰ ΕΒ, ΖΔ· ἴσον ἄρα τὸ ΗΒ τῷ ΖΔ. ἀλλὰ καὶ τὸ ΑΗ τῷ ΓΖ· τὸ ΑΒ ἄρα τῷ ΓΔ ἐστιν ἴσον. φανερὸν δή, ὅτι, ἐὰν πρῶτον δευτέρου ὑπερέχῃ
20	τινί, καὶ τρίτον τετάρτου ὑπερέχῃ τῷ αὐτῷ, ὅτι τὸ πρῶτον καὶ τὸ τέταρτον ἴσα ἐστὶ τῷ δευτέρῳ καὶ τῷ τρίτῳ κατὰ τὴν καλουμένην ἀριθμητικὴν μεσότητα.
20	ἐὰν γὰρ τούτων ὑποκειμένων ὑπάρχῃ, ὡς τὸ πρῶτον	310
312	πρὸς τὸ τρίτον, τὸ δεύτερον πρὸς τὸ τέταρτον, ἴσον ἔσται τὸ μὲν πρῶτον τῷ τρίτῳ, τὸ δὲ δεύτερον τῷ τετάρτῳ. δυνατὸν γὰρ ἐπὶ ἄλλων τοῦτο δειχθῆναι διὰ τὸ δεδεῖχθαι ἐν τῷ κεʹ θεωρήματι τοῦ εʹ βιβλίου
5	τῆς Εὐκλείδου στοιχειώσεως· ἐὰν δ μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ πρῶτον καὶ τὸ τέταρτον δύο τῶν λοιπῶν μείζονα
5	ἔσται.	312
314 (1t)	Εἰς τὸ τρίτον.
2	Τὸ τρίτον τῶν Κωνικῶν, ὦ φίλτατέ μοι Ἀνθέμιε, πολλῆς μὲν φροντίδος ὑπὸ τῶν παλαιῶν ἠξίωται, ὡς αἱ πολύτροποι αὐτοῦ ἐκδόσεις δηλοῦσιν, οὔτε δὲ ἐπιστο‐
5	λὴν ἔχει προγεγραμμένην, καθάπερ τὰ ἄλλα, οὐδὲ σχόλια εἰς αὐτὸ ἄξια λόγου τῶν πρὸ ἡμῶν εὑρίσκεται, καίτοι τῶν ἐν αὐτῷ ἀξίων ὄντων θεωρίας, ὡς καὶ αὐτὸς Ἀπολλώνιος ἐν τῷ προοιμίῳ τοῦ παντὸς βιβλίου φησίν. πάντα δὲ ὑφ’ ἡμῶν σαφῶς ἔκκειταί σοι δεικ‐
10	νύμενα διὰ τῶν προλαβόντων βιβλίων καὶ τῶν εἰς αὐτὰ σχολίων.
12t	Εἰς τὸ αʹ.
13	Ἔστι δὲ καὶ ἄλλη ἀπόδειξις. ἐπὶ μὲν τῆς παραβολῆς, ἐπειδὴ ἐφάπτεται ἡ ΑΓ,
15	καὶ κατῆκται ἡ ΑΖ, ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΒΖ. ἀλλὰ ἡ ΒΖ τῇ ΑΔ ἴση· καὶ ἡ ΑΔ ἄρα τῇ ΓΒ ἴση. ἔστι δὲ αὐτῇ καὶ παράλληλος· ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιον τὸ ΑΔΕ τρίγωνον τῷ ΓΒΕ τριγώνῳ. ἐπὶ δὲ τῶν λοιπῶν ἐπιζευχθεισῶν τῶν ΑΒ, ΓΔ
20	λεκτέον· ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΗΒ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, ὡς
20	δὲ ἡ ΖΗ πρὸς ΗΒ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΔ· παράλληλος γὰρ ἡ	314
316	ΑΖ τῇ ΔΒ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΔ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ. ἴσον ἄρα τὸ ΑΔΓ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ, καὶ κοινοῦ ἀφαιρουμένου τοῦ ΓΔΕ λοιπὸν τὸ ΑΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΒΕ.
5	περὶ δὲ τῶν πτώσεων λεκτέον, ὅτι ἐπὶ μὲν τῆς παρα‐ βολῆς καὶ τῆς ὑπερβολῆς οὐκ ἔχει, ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως ἔχει δύο· αἱ γὰρ ἐφαπτόμεναι κατὰ τὰς ἁφὰς μόνον συμβάλλουσαι ταῖς διαμέτροις καὶ ἐκβαλλομέναις αὐταῖς συμπίπτουσιν, ἢ ὡς ἐν τῷ ῥητῷ κεῖται, ἢ ἐπὶ τὰ ἕτερα
10	μέρη, καθ’ ἅ ἐστι τὸ Ε, ὥσπερ ἔχει καὶ ἐπὶ τῆς ὑπερβολῆς.
12t	Εἰς τὸ βʹ.
13	Τὰς πτώσεις τούτου τοῦ θεωρήματος εὑρήσεις διὰ τοῦ μβʹ καὶ μγʹ θεωρήματος τοῦ αʹ βιβλίου καὶ τῶν
15	εἰς αὐτὰ γεγραμμένων σχολίων. δεῖ μέντοι ἐπιστῆσαι, ὅτι, ἐὰν τὸ Η σημεῖον με‐ [Omitted graphic marker] ταξὺ τῶν Α, Β ληφθῇ ὥστε τὰς παραλλήλους εἶναι ὡς τὰς ΜΙΗΖ, ΛΗΚ, ἐκβάλλειν
20	δεῖ τὴν ΛΚ μέχρι τῆς το‐ μῆς ὡς κατὰ τὸ Ν καὶ διὰ τοῦ Ν τῇ ΒΔ παράλλη‐ λον ἀγαγεῖν τὴν ΝΞ· ἔσται γὰρ διὰ τὰ εἰρημένα ἐν τῷ αʹ βιβλίῳ κατὰ τὸ μθʹ
25	καὶ νʹ θεώρημα καὶ τὸ τούτων σχόλιον τὸ ΚΝΞ τρί‐	316
318	γωνον τῷ ΚΓ τετραπλεύρῳ ἴσον. ἀλλὰ τὸ ΚΞΝ ὅμοιόν ἐστι τῷ ΚΜΗ, διότι παράλληλός ἐστιν ἡ ΜΗ τῇ ΝΞ· ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ἴσον, διότι ἐφαπτομένη ἐστὶν ἡ ΑΓ, παράλληλος δὲ αὐτῇ ἡ ΗΝ, καὶ διάμετρος ἡ ΜΞ,
5	καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΚ τῇ ΚΝ. ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΚΝΞ τῷ τε ΚΓ καὶ τῷ ΚΜΗ, κοινοῦ ἀφαιρουμένου τοῦ ΑΗ λοιπὸν τὸ ΑΙΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΗ.
8t	Εἰς τὸ γʹ.
9	Τὸ θεώρημα τοῦτο πλείους ἔχει πτώσεις, ἃς εὑρή‐
10	σομεν ὁμοίως τῷ πρὸ αὐτοῦ. δεῖ μέντοι ἐπισκῆψαι, ὅτι τὰ λαμβανόμενα δύο σημεῖα ἢ μεταξύ ἐστι τῶν δύο διαμέτρων ἢ τὰ δύο ἐκτὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη· εἰ γὰρ τὸ μὲν ἕτερον ἐκτὸς λάβωμεν, τὸ δὲ ἕτερον μεταξὺ τῶν διαμέτρων, οὐ συνίσταται τὰ ἐν τῇ προ‐
15	τάσει λεγόμενα τετράπλευρα, ἀλλ’ οὐδὲ ἐφ’ ἑκάτερα τῶν διαμέτρων.
17t	Εἰς τὸ δʹ.
18	Ἐν τῇ προτάσει τούτου τοῦ θεωρήματος καὶ τῶν ἐφεξῆς δεῖ ἐπιστῆσαι, ὅτι τῶν ἀντικειμένων λέγει
20	ἀδιορίστως, καὶ τινὰ μὲν τῶν ἀντιγράφων τὰς δύο ἐφαπτομένας ἐπὶ τῆς μιᾶς τομῆς ἔχει, τινὰ δὲ οὐκέτι τὰς δύο ἐφαπτομένας ἐπὶ τῆς μιᾶς, ἀλλ’ ἐφ’ ἑκατέρας αὐτῶν μίαν συμπιπτούσας ἀλλήλαις, ὡς εἴρηται ἐν τῷ βʹ βιβλίῳ, ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῶν ἀσυμπτώτων, καὶ
25	οὕτως δὲ κᾀκείνως συμβαίνει τὰ τῆς προτάσεως, ὡς
25	ἔξεστι τοῖς βουλομένοις καταγράφουσιν ἐπισκέπτεσθαι,	318
320	πλὴν ὅτι, εἰ μὲν τῆς μιᾶς τῶν τομῶν δύο εὐθεῖαι ἐφάπτονται, ἡ διὰ τῆς συμπτώσεως αὐτῶν καὶ τοῦ κέντρου ἡ πλαγία διάμετρός ἐστι τῶν ἀντικειμένων, εἰ δὲ ἑκατέρας μία ἐστὶν ἐφαπτομένη, ἡ διὰ τῆς συμ‐
5	πτώσεως αὐτῶν καὶ τοῦ κέντρου ἡ ὀρθία διάμετρός ἐστιν.
6t	Εἰς τὸ εʹ.
7	Ἐπειδὴ ἀσαφές ἐστι τὸ εʹ θεώρημα, λεκτέον ἐπὶ μὲν τῆς καταγραφῆς τῆς ἐχούσης τὴν μίαν ὀρθίαν διάμετρον· ἐπεὶ δέδεικται τὸ ΗΘΜ τοῦ ΓΛΘ μεῖζον τῷ ΓΔΖ,
10	ἴσον ἂν εἴη τὸ ΗΘΜ τῷ ΓΘΛ καὶ τῷ ΓΔΖ· ὥστε καὶ τῷ ΚΔΘ μετὰ τοῦ ΖΛΚ. τὸ ἄρα ΗΜΘ τοῦ ΚΔΘ διαφέρει τῷ ΚΛΖ. κοινοῦ ἀφαιρουμένου τοῦ ΘΔΚ λοιπὸν τὸ ΚΛΖ ἴσον τῷ ΚΔΜΗ. ἐπὶ δὲ τῆς ἐχούσης τὴν πλαγίαν διάμετρον·
15	ἐπειδὴ προδέδεικται τὸ ΓΛΘ τοῦ ΜΘΗ μεῖζον τῷ ΓΔΖ, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΘΛ τῷ ΘΗΜ μετὰ τοῦ ΓΔΖ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΔΚΛ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΚΘΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ΘΗΜ μετὰ τοῦ ΚΛΖ. ἔτι κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΜΘΗ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΚΖΛ τῷ
20	ΔΜΗΚ ἴσον. πτώσεις δὲ ἔχει πολλάς, αἷς δεῖ ἐφιστάνειν ἀπὸ τῶν δεδειγμένων ἐν τῷ μδʹ καὶ μεʹ θεωρήματι τοῦ αʹ βιβλίου. ἐν δὲ τῷ λέγειν ἀφῃρήσθω ἢ προσκείσθω τετρά‐
25	πλευρον ἢ τρίγωνον τὰς ἀφαιρέσεις ἢ προσθέσεις κατὰ
25	τὴν οἰκειότητα τῶν πτώσεων χρὴ ποιεῖσθαι.	320
322	ἐπειδὴ δὲ τὰ ἐφεξῆς πολύπτωτά ἐστι διὰ τὰ λαμβανόμενα σημεῖα καὶ τὰς παραλλήλους, ἵνα μὴ ὄχλον παρέχωμεν τοῖς ὑπομνήμασι πολλὰς ποιοῦντες καταγραφάς, καθ’ ἕκαστον τῶν θεωρημάτων μίαν
5	ποιοῦμεν ἔχουσαν τὰς ἀντικειμένας καὶ τὰς διαμέτρους καὶ τὰς ἐφαπτομένας, ἵνα σώζηται τὸ ἐν τῇ προτάσει λεγόμενον τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων, καὶ τὰς παραλ‐ λήλους πάσας ποιοῦμεν συμπίπτειν καὶ στοιχεῖα τίθεμεν καθ’ ἑκάστην σύμπτωσιν, ἵνα φυλάττων τις τὰ ἀκό‐
10	λουθα δύνηται πάσας τὰς πτώσεις ἀποδεικνύειν.
11t	Εἰς τὸ ϛʹ.
12	Αἱ πτώσεις τούτου τοῦ θεωρήματος καὶ τῶν ἐφεξῆς πάντων, ὡς εἴρηται ἐν τοῖς τοῦ εʹ θεωρήματος σχολίοις, πολλαί εἰσιν, ἐπὶ πασῶν μέντοι τὰ αὐτὰ συμβαίνει.
15	ὑπὲρ δὲ πλείονος σαφηνείας ὑπογεγράφθω μία ἐξ αὐτῶν, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἡ ΓΠΡ· φανερὸν δή, ὅτι παράλληλός ἐστι τῇ ΑΖ καὶ τῇ ΜΛ. καὶ ἐπεὶ δέδεικται ἐν τῷ δευτέρῳ θεωρή‐ ματι κατὰ τὴν τῆς ὑπερβολῆς καταγραφὴν τὸ ΠΝΓ
20	τρίγωνον τῷ ΛΠ τετραπλεύρῳ ἴσον, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΜΠ· τὸ ἄρα ΜΚΝ τρίγωνον τῷ ΜΛΡΓ ἐστιν ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΡΕ, ὅ ἐστιν ἴσον τῷ ΑΕΖ
20	διὰ τὰ ἐν τῷ μδʹ τοῦ αʹ βιβλίου· ὅλον ἄρα τὸ ΜΕΛ	322
324	ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΚΝ καὶ τῷ ΑΕΖ. κοινοῦ ἀφαιρου‐ μένου τοῦ ΚΜΝ λοιπὸν τὸ ΑΕΖ τῷ ΚΛΕΝ ἐστιν ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΖΕΝΙ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΙΝ τρίγωνον τῷ ΚΛΖΙ ἐστιν ἴσον. ὁμοίως δὲ καὶ τὸ
5	ΒΟΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ΚΝΗΟ.
6t	Εἰς τὸ ιγʹ.
7	Ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΑΘ πρὸς ΘΖ, ἡ ΘΒ πρὸς ΘΗ, καί εἰσιν αἱ πρὸς τῷ Θ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι, ἴσον τὸ ΑΗΘ τρίγωνον τῷ ΒΘΖ τριγώνῳ
10	ἐκκείσθω χωρὶς ἡ καταγραφὴ μόνων τῶν τριγώνων, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΘ εἰς τὸ Ξ, καὶ πεποιήσθω, ὡς ἡ ΗΘ πρὸς ΘΒ, ἡ ΖΘ πρὸς ΘΞ. ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΘΗ, ἡ ΑΘ πρὸς ΘΖ καὶ ἡ ΞΘ πρὸς ΘΖ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ τῇ ΘΞ· ὥστε καὶ τὸ ΑΗΘ τρί‐
15	γωνον ἴσον τῷ ΗΘΞ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΞΘ πρὸς ΘΖ, ἡ ΘΒ πρὸς ΘΗ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς κατὰ κορυφὴν πρὸς τῷ Θ ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραί, ἴσον ἐστὶ τὸ ΖΘΒ τρίγωνον τῷ ΗΘΞ· ὥστε καὶ τῷ ΑΗΘ. ἔστι δὲ καὶ ἄλλως δεῖξαι ἴσα τὰ τρίγωνα.
20	ἐπεὶ γὰρ δέδεικται, ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΒ, ἡ ΘΒ
20	πρὸς ΘΗ, ἀλλ’ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΒ, ἡ ΑΚ πρὸς ΒΖ,	324
326	καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΚ πρὸς ΒΖ, ἡ ΒΘ πρὸς ΗΘ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΚ, ΘΗ ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΒΖ, ΒΘ ὀρθογωνίῳ. καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ὑπὸ ΗΘΝ, ΘΒΖ, ἐὰν ἀναγράψωμεν παραλληλόγραμμα ῥομβοειδῆ ὑπὸ
5	τῶν αὐτῶν περιεχόμενα πλευρῶν τοῖς ὀρθογωνίοις ἴσας ἔχοντα τὰς πρὸς τοῖς Θ, Β, ἴσα ἔσται καὶ αὐτὰ διὰ τὴν τῶν πλευρῶν ἀντιπεπόνθησιν. ἔσται δὴ τὸ περιεχόμενον ῥομβοειδὲς ὑπὸ τῶν ΖΒ, ΒΘ ἐν τῇ Β γωνίᾳ διπλάσιον τοῦ ΘΒΖ τριγώνου· διάμετρος γὰρ
10	αὐτοῦ ἔσται ἡ ΖΘ· τὸ δὲ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς ΗΘ καὶ τῆς ἴσης τῇ ΑΚ ἀπὸ τῆς ΘΝΛ ἀφαιρουμένης ἐν τῇ ὑπὸ ΗΘΝ γωνίᾳ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΗΘ τριγώνου· ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΗΘ καὶ ὑπὸ τὴν αὐτὴν παράλληλον τὴν ἀπὸ τοῦ Α παρὰ τὴν ΗΘ ἀγο‐
15	μένην. ὥστε ἴσον τὸ ΑΗΘ τῷ ΖΒΘ.
16t	Εἰς τὸ ιϛʹ.
17	Ἔν τισι τῶν ἀντιγράφων τοῦτο ὡς θεώρημα ὡς ιζʹ παρέκειτο, ἔστι δὲ κατὰ ἀλήθειαν πτῶσις τοῦ ιϛʹ· μόνον γάρ, ὅτι αἱ ΑΓΒ ἐφαπτόμεναι παράλληλοι
20	γίνονται ταῖς διαμέτροις, τὰ δὲ ἄλλα ἐστὶ τὰ αὐτά. ἐν σχολίοις οὖν ἔδει τοῦτο κεῖσθαι, ὥσπερ ἐγράψαμεν καὶ εἰς τὸ μαʹ τοῦ αʹ βιβλίου.
20	Ἐὰν ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως καὶ τοῦ κύκλου αἱ διὰ τῶν	326
328	ἁφῶν διάμετροι παράλληλοι ὦσι ταῖς ἐφαπτομέναις, καὶ οὕτως ἔσται τὰ τῆς προτάσεως. ἐπεὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΒΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΘΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΗΑ, καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ
5	ΛΘΑ ἴσον τῷ ἀπὸ ΘΑ, τὸ δὲ ὑπὸ ΛΗΑ ἴσον τῷ ὑπὸ ΙΑΗ· ἴση γὰρ ἡ ΑΘ τῇ ΘΛ καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΖ καὶ ἡ ΗΘ τῇ ΘΙ καὶ ἡ ΑΗ τῇ ΙΛ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ, τὸ ὑπὸ ΙΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΗ, τουτέστι
10	τὸ ὑπὸ ΖΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ.
11t	Εἰς τὸ ιζʹ.
12	Καὶ τοῦτο ὁμοίως τῷ πρὸ αὐτοῦ ἔκειτο θεώρημα, ὅπερ ἡμεῖς ὡς πτῶσιν ἀφελόντες ἐνταῦθα ἐγράψαμεν· Ἐὰν ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας
15	αἱ διὰ τῶν ἁφῶν ἀγόμεναι διάμετροι παράλληλοι ὦσι ταῖς ἐφαπτομέναις ταῖς ΒΓ, ΓΑ, καὶ οὕτως ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, τὸ ὑπὸ ΚΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΖΘ. ἤχθωσαν διὰ τῶν Δ, Θ τεταγμένως κατηγμέναι αἱ
20	ΔΠ, ΘΜ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, τὸ ἀπὸ ΒΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΑ, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΝΛ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΒΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΝΛ, τὸ ἀπὸ ΔΠ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΖΟ, πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΠΛ καὶ
20	τὸ ἀπὸ ΕΟ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΟΛ, καὶ λοιπὸν ἄρα πρὸς λοι‐	328
330	πόν ἐστιν, ὡς ὅλον πρὸς ὅλον. ἀλλ’ ἐὰν μὲν ἀπὸ τοῦ ἀπὸ ΕΟ ἀφαιρεθῇ τὸ ἀπὸ ΔΠ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΖΟ, καταλεί‐ πεται τὸ ὑπὸ ΚΖΕ· ἴση γὰρ ἡ ΚΟ τῇ ΟΕ· ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ ὑπὸ ΑΟΛ ἀφαιρεθῇ τὸ ὑπὸ ΑΠΛ, λείπεται
5	τὸ ὑπὸ ΜΟΠ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΘΖΔ· ἴση γὰρ ἡ ΑΠ τῇ ΜΛ καὶ ἡ ΠΝ τῇ ΝΜ. ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΚΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΖΘ. ὅταν δὲ τὸ Ζ ἐκτὸς ᾖ τῆς τομῆς, τὰς προσθέσεις
10	καὶ ἀφαιρέσεις ἀνάπαλιν ποιητέον.
11t	Εἰς τὸ ιηʹ.
12	Ἔν τισιν ἀντιγράφοις ηὑρέθη ἑτέρα ἀπόδειξις τούτου τοῦ θεωρήματος· Ἐὰν ἑκατέρας τῶν τομῶν ἐφαπτόμεναι εὐθεῖαι συμ‐
15	πίπτωσι, καὶ οὕτως ἔσται τὰ εἰρημένα. ἔστωσαν γὰρ ἀντικείμεναι αἱ Α, Β καὶ ἐφαπτόμεναι αὐτῶν αἱ ΑΓ, ΓΒ συμπίπτουσαι κατὰ τὸ Γ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς Β τομῆς τὸ Δ, καὶ δι’ αὐτοῦ παρὰ τὴν ΑΓ ἤχθω ἡ ΕΔΖ. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς
20	τὸ ἀπὸ ΓΒ, τὸ ὑπὸ ΕΖΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΒ. ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Α διάμετρος ἡ ΑΘΗ, διὰ δὲ τῶν Β, Η παρὰ τὴν ΕΖ αἱ ΗΚ, ΒΛ. ἐπεὶ οὖν ἀπὸ
20	τοῦ Β ἐφάπτεται μὲν τῆς ὑπερβολῆς ἡ ΒΘ, τεταγμένως	330
332	δὲ ἦκται ἡ ΒΛ, ἔστιν, ὡς ἡ ΑΛ πρὸς ΛΗ, ἡ ΑΘ πρὸς ΘΗ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΑΛ πρὸς ΛΗ, ἡ ΓΒ πρὸς ΒΚ, ὡς δὲ ἡ ΑΘ πρὸς ΘΗ, ἡ ΑΓ πρὸς ΚΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς ΒΚ, ἡ ΑΓ πρὸς ΗΚ. καὶ
5	ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, ἡ ΗΚ πρὸς ΚΒ, καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, τὸ ἀπὸ ΗΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΒ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΗΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΒ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΕΖΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΒ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, τὸ ὑπὸ ΕΖΔ
10	πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΒ.
11t	Εἰς τὸ ιθʹ.
12	Ἔν τισιν ἀντιγράφοις ηὑρέθη ἀπόδειξις τούτου τοῦ θεωρήματος τοιαύτη· ἤχθω δὴ ἡ μὲν ΜΛ παρὰ τὴν ΖΑ τέμνουσα τὴν
15	ΔΓ τομήν, ἡ δὲ ΗΛ παρὰ τὴν ΖΔ τέμνουσα τὴν ΑΒ. δεικτέον, ὅτι ὁμοίως ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΗΛΙ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΛΞ. ἤχθωσαν γὰρ διὰ τῶν Α, Δ ἁφῶν διάμετροι αἱ ΑΓ, ΔΒ, καὶ διὰ τῶν Γ, Β ἤχθωσαν παρὰ τὰς ἐφαπτο‐
20	μένας αἱ ΒΠ, ΓΠ· ἐφάπτονται δὴ αἱ ΒΠ, ΓΠ τῶν τομῶν κατὰ τὰ Β, Γ. καὶ ἐπεὶ κέντρον ἐστὶ τὸ Ε, ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΕ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΑΕ τῇ ΕΓ· διὰ
20	δὲ τοῦτο, καὶ ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΤΖ τῇ ΓΣΠ,	332
334	ἴση ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΔΕ τῇ ΕΒ, ἡ δὲ ΔΣ τῇ ΤΒ. ὥστε καὶ ἡ ΒΣ τῇ ΤΔ, καὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΠΣ τρί‐ γωνον τῷ ΔΤΖ τριγώνῳ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΒΠ τῇ ΔΖ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἡ ΓΠ τῇ ΑΖ ἴση. ὡς δὲ
5	τὸ ἀπὸ ΒΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΓ, οὕτως ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΗΛΙ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΛΞ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΑ.
8t	Ἄλλο εἰς τὸ αὐτό.
9	Ἤχθω πάλιν ἑκατέρα τῶν ΗΘΚ, ΙΘΛ παράλληλος
10	τέμνουσα τὴν ΔΓ τομήν. δεικτέον, ὅτι καὶ οὕτως ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΗΘΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ΙΘΛ. ἤχθω γὰρ διὰ τῆς Α ἁφῆς διάμετρος ἡ ΑΓ, παρὰ δὲ τὴν ΑΖ ἤχθω ἡ ΓΜ· ἐφάψεται δὴ ἡ ΓΜ τῆς
15	ΓΔ τομῆς κατὰ τὸ [Omitted graphic marker] Γ· καὶ ἔσται, ὡς τὸ ἀπὸ ΔΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΓ, τὸ ὑπὸ ΙΘΛ πρὸς τὸ ὑπὸ
20	ΗΘΚ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΔΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΓ, τὸ ἀπὸ ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΑ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΑ, τὸ ὑπὸ ΙΘΛ πρὸς τὸ
20	ὑπὸ ΗΘΚ.	334
336 (1t)	Εἰς τὸ κγʹ.
2	Τὸ θεώρημα τοῦτο πολλὰς ἔχει πτώσεις, ὥσπερ καὶ τὰ ἄλλα. ἐπεὶ δὲ ἔν τισιν ἀντιγράφοις ἀντὶ θεω‐ ρημάτων πτώσεις εὑρίσκονται καταγεγραμμέναι καὶ ἄλ‐
5	λως τινὲς ἀποδείξεις, ἐδοκιμάσαμεν αὐτὰς περιελεῖν· ἵνα δὲ οἱ ἐντυγχάνοντες ἀπὸ τῆς διαφόρου παραθέσεως πειρῶνται τῆς ἡμετέρας ἐπινοίας, ἐξεθέμεθα ταύτας ἐν τοῖς σχολίοις. Πιπτέτωσαν δὴ αἱ παρὰ τὰς ἐφαπτομένας αἱ ΗΚΟ,
10	ΘΚΤ διὰ τοῦ Κ κέντρου. λέγω, ὅτι καὶ οὕτως ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΑ, τὸ ὑπὸ ΘΚΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΚΟ. ἤχθωσαν διὰ τῶν Η, Θ παρὰ τὰς ἐφαπτομένας αἱ ΘΝ, ΗΜ· γίνεται δὴ ἴσον τὸ μὲν ΗΚΜ τρίγωνον
15	τῷ ΑΚΞ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΘΝΚ τῷ ΚΠΕ. ἴσον δὲ τὸ ΑΚΞ τῷ ΕΚΠ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ΗΚΜ τῷ ΚΘΝ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΛΕ πρὸς τὸ ΛΕΞ τρίγωνον, τὸ ἀπὸ ΚΘ πρὸς τὸ ΚΘΝ, καί ἐστι τὸ μὲν ΛΕΞ τρίγωνον ἴσον τῷ ΛΑΠ, τὸ δὲ ΘΚΝ τῷ ΚΗΜ,
20	εἴη ἄν, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΛ πρὸς τὸ ΛΠΑ τρίγωνον, τὸ ἀπὸ ΘΚ πρὸς ΗΚΜ. ἔστι δὲ καί, ὡς τὸ ΛΠΑ τρί‐ γωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΑ, τὸ ΗΚΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΚ·
20	καὶ δι’ ἴσου ἄρα ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΛ πρὸς τὸ ἀπὸ	336
338	ΛΑ, τὸ ἀπὸ ΚΘ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΘΚΤ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΚ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΗΚΟ. τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν ἡ μὲν ΘΚΠ, τουτέστιν ἡ παρὰ τὴν ΕΛ ἀγομένη, διὰ τοῦ Κ κέντρου ἐμπίπτῃ,
5	η δὲ ΗΟ μὴ διὰ τοῦ κέντρου, λέγω, ὅτι καὶ οὕτως ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΑ, τὸ ὑπὸ ΘΞΠ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΞΟ. ἤχθωσαν γὰρ διὰ τῶν Ο, Π ταῖς ἐφαπτομέναις παράλληλοι αἱ ΟΡ, ΠΣ. ἐπεὶ οὖν τὸ ΜΟΡ τοῦ ΜΝΚ
10	τριγώνου μεῖζον τῷ ΑΚΤ, τῷ δὲ ΑΚΤ ἴσον τὸ ΚΣΠ, ἴσον τὸ ΜΟΡ τοῖς ΜΝΚ, ΚΣΠ τριγώνοις· ὥστε λοιπὸν τὸ ΞΡ τετράπλευρον τῷ ΞΣ τετραπλεύρῳ ἴσον. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΛ πρὸς τὸ ΕΛΤ τρίγωνον, οὕτως τό τε ἀπὸ ΠΚ πρὸς τὸ ΚΣΠ καὶ τὸ ἀπὸ ΚΞ
15	πρὸς τὸ ΚΞΝ, ἔσται, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΛ πρὸς τὸ ΕΛΤ, οὕτως λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΘΞΠ πρὸς τὸ ΞΡ τετράπλευρον. καί ἐστι τῷ μὲν ΕΛΤ τριγώνῳ ἴσον τὸ ΑΦΛ, τὸ δὲ ΞΡ τετράπλευρον τῷ ΣΞ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΕΛ πρὸς τὸ ΑΛΦ, τὸ ὑπὸ ΘΞΠ πρὸς τὸ ΞΣ. διὰ τὰ αὐτὰ
20	δὴ καί, ὡς τὸ ΑΛΦ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΛ, τὸ ΞΣ πρὸς	338
340	τὸ ὑπὸ ΗΞΟ· καὶ δι’ ἴσου ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΑ, τὸ ὑπὸ ΘΞΠ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΞΟ.
3t	Ἄλλως.
4	ἔστι δὲ καὶ οὕτως δεῖξαι·
5	ἐπεί, ἐὰν τῆς ΕΖ τομῆς ἀχθῇ ἐπιψαύουσα, καθ’ ὃ συμβάλλει ἡ ΑΖ διάμετρος τῇ ΕΖ τομῇ, γίνεται παράλληλος ἡ ἀχθεῖσα τῇ ΑΤ, καὶ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει ἡ ἀχθεῖσα πρὸς τὴν ἀποτεμνομένην ὑπ’ αὐτῆς πρὸς τῷ Ε ἀπὸ τῆς ΕΦ τῷ ὃν ἔχει ἡ ΑΛ πρὸς ΛΕ,
10	καὶ τὰ λοιπὰ ὁμοίως τοῖς εἰς τὸ ιθʹ.
11t	Εἰς τὸ κθʹ.
12	Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΞ τῇ ΟΝ, τὰ ἀπὸ ΛΗΝ τῶν ἀπὸ ΞΗΟ ὑπερέχει τῷ δὶς ὑπὸ ΝΞΛ ἔστω εὐθεῖα ἡ ΛΝ, καὶ ἀφῃρήσθωσαν ἀπ’ αὐτῆς ἴσαι
15	αἱ ΛΞ, ΝΟ ...... τὸ σχῆμα. φανερὸν δὴ ἐκ τῆς ὁμοιότη‐ τος καὶ τοῦ ἴσην εἶναι τὴν ΛΞ τῇ ΟΝ, ὅτι τὰ ΛΔ, ΖΝ, ΑΤ, ΦΒ τετράγωνα ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις. ἐπεὶ οὖν τὰ
15	ἀπὸ ΛΗΝ τὰ ΑΜ, ΜΝ ἐστιν, τὰ δὲ ἀπὸ ΞΗΟ ἐστι	340
342	τὰ ΤΜ, ΜΖ, τὰ ἄρα ἀπὸ ΛΗΝ τῶν ἀπὸ ΞΗΟ ὑπερέχουσι τοῖς ϡϙ, ΑʹΒʹ γνώμοσιν. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΖ τῷ ΦΩ, τὸ δὲ ΣΚ τῷ ΦΡ, οἱ ϡϙ, ΑʹΒʹ γνώμονες ἴσοι εἰσὶ τῷ τε ΖΒ καὶ τῷ ΑΦ. τὸ δὲ
5	ΑΦ τῷ ΖΛ ἴσον, τὰ δὲ ΖΛ, ΖΒ ἴσα ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΛΞΝ, τουτέστιν ὑπὸ ΛΟΝ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΛΗΝ, τουτέστι τὰ ΑΜ, ΜΝ, τῶν ἀπὸ ΞΗΟ, τουτέστι τῶν ΤΜ, ΜΖ, ὑπερέχει τῷ δὶς ὑπὸ ΝΞΛ ἤτοι τοῖς ΛΖ, ΖΒ.
10t	Εἰς τὸ λαʹ.
11	Δυνατόν ἐστι τοῦτο τὸ θεώρημα δεῖξαι ὁμοίως τῷ πρὸ αὐτοῦ ποιοῦντας τὰς δύο εὐθείας μιᾶς τομῆς ἐφάπτεσθαι· ἀλλ’ ἐπειδὴ πάντῃ ταὐτὸν ἦν τῷ ἐπὶ τῆς μιᾶς ὑπερβολῆς προδεδειγμένῳ, αὕτη ἡ ἀπόδειξις
15	ἀπελέχθη.
16t	Εἰς τὸ λγʹ.
17	Ἔστι καὶ ἄλλως τοῦτο τὸ θεώρημα δεῖξαι· ἐὰν γὰρ ἐπιζεύξωμεν τὰς ΓΛ, ΛΖ, ἐφάψονται τῶν τομῶν διὰ τὰ δεδειγμένα ἐν τῷ μʹ τοῦ βʹ βιβλίου.
20	ἐπεὶ οὖν ......
21t	Ἄλλως τὸ λδʹ.
22	Ἔστω ὑπερβολὴ ἡ ΑΒ καὶ ἀσύμπτωτοι αἱ ΓΔΕ καὶ ἐφαπτομένη ἡ ΓΒΕ καὶ παράλληλοι αἱ ΓΑΗ,
22	ΖΒΗ. λέγω, ὅτι ἴση ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ.	342
344	ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΒ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Θ, Κ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΒΕ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΚΒ τῇ ΒΑ. ἀλλὰ ἡ ΚΒ τῇ ΑΘ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ.
5t	Ἄλλως τὸ λεʹ.
6	Ἔστω ὑπερβολὴ ἡ ΑΒ, ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΓΔΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ ἡ μὲν ΓΒΕ ἐφαπτέσθω, ἡ δὲ ΓΑΗΘ τεμνέτω τὴν τομὴν κατὰ τὰ Α, Η σημεῖα, καὶ διὰ τοῦ Β παρὰ τὴν ΓΔ ἤχθω ἡ ΚΒΖ. δεικτέον, ὅτι ἐστίν,
10	ὡς ἡ ΗΓ πρὸς ΓΑ, ἡ ΗΖ πρὸς ΖΑ. ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Λ, Μ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε παρὰ τὴν ΓΘ ἤχθω ἡ ΕΝ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΕΒ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΓΑ τῇ ΕΝ, ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΒΝ· ἡ ἄρα ΝΜ ὑπεροχή ἐστι τῶν ΒΜ,
15	ΑΒ. ἴση δὲ ἡ ΒΜ τῇ ΛΑ· ἡ ΝΜ ἄρα ὑπεροχή ἐστι τῶν ΛΑ, ΑΒ. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΘΜ παρὰ τὴν ΑΘ ἐστιν ἡ ΕΝ, ἔστιν, ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΝΜ, ἡ ΑΘ πρὸς ΝΕ. ἴση δὲ ἡ ΝΕ τῇ ΑΓ· ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΓ, ἡ ΑΜ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τῶν ΑΒ, ΒΜ,
20	τουτέστιν ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τῶν ΛΑ, ΑΒ. ὡς δὲ ἡ ΘΑ πρὸς ΑΓ, ἡ ΗΓ πρὸς ΓΑ· ἴση γὰρ ἡ ΓΑ τῇ ΘΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΗΓ πρὸς ΓΑ, οὕτως ἡ
20	ΛΒ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τῶν ΛΑ, ΑΒ καὶ ἡ ΓΖ πρὸς	344
346	τὴν τῶν ΓΑ, ΖΑ ὑπεροχήν. καὶ ἐπεὶ ζητῶ, εἴ ἐστιν, ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΓΑ, ἡ ΗΖ πρὸς ΖΑ, δεικτέον, εἴ ἐστιν, ὡς ὅλη ἡ ΗΓ πρὸς ὅλην τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ἀφαιρεθεῖσα ἡ ΖΗ πρὸς ἀφαιρεθεῖσαν τὴν ΑΖ καὶ
5	λοιπὴ ἡ ΓΖ πρὸς λοιπὴν τὴν τῶν ΓΑ, ΖΑ ὑπεροχήν. δεικτέον ἄρα, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΗΓ πρὸς ΓΑ, ἡ ΓΖ πρὸς τὴν τῶν ΓΑ, ΖΑ ὑπεροχήν.
8t	Ἄλλως τὸ λϛʹ.
9	Ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Λ καὶ ἀσύμπτωτοι αἱ
10	ΒΚ, ΓΔ καὶ ἐφαπτομένη ἡ ΒΑΔ καὶ διηγμένη ἡ ΛΚΔΗΖ καὶ τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΑΖ. δεικτέον, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΛΖ πρὸς ΖΗ, ἡ ΛΔ πρὸς ΔΗ. ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ καὶ ἐκβεβλήσθω· φανερὸν οὖν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΘΑ τῇ ΕΗ καὶ ἡ ΘΗ τῇ ΑΕ. ἤχθω
15	διὰ τοῦ Δ παρὰ τὴν ΘΓ ἡ ΔΜ· ἴση ἄρα ἡ ΒΑ τῇ ΑΔ καὶ ἡ ΘΑ τῇ ΑΜ. ἡ ἄρα ΜΗ ὑπεροχή ἐστι τῶν ΘΑ, ΑΗ, τουτέστι τῶν ΑΗ, ΗΕ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΚ τῇ ΔΜ, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΘΗ πρὸς ΗΜ, ἡ ΚΗ πρὸς ΗΔ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΗΘ
20	τῇ ΑΕ, ἡ δὲ ΛΔ τῇ ΚΗ· ὡς ἄρα ἡ ΛΔ πρὸς ΔΗ,	346
348	οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΗΜ, τουτέστι τὴν τῶν ΑΗΕ ὑπεροχήν. ἀλλ’ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν τῶν ΑΗΕ ὑπεροχήν, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς τὴν τῶν ΔΗΖ ὑπεροχήν· προδέδεικται γάρ· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΛΔ πρὸς ΔΗ,
5	ἡ ΔΖ πρὸς τὴν τῶν ΔΗΖ ὑπεροχήν. καὶ ὡς ἓν πρὸς ἕν, οὕτως ἅπαντα πρὸς ἅπαντα, ὡς ἡ ΛΔ πρὸς ΔΗ, ὅλη ἡ ΛΖ πρὸς ΔΗ καὶ τὴν τῶν ΔΗΖ ὑπεροχήν, τουτέστι τὴν ΗΖ.
9t	Ἄλλως τὸ αὐτό.
10	Ἔστω τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον καὶ διὰ τοῦ Α παρὰ τὴν ΒΚ ἡ ΑΜ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΑ τῇ ΑΔ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΚΜ τῇ ΜΔ. καὶ ἐπεὶ παράλληλοί εἰσιν αἱ ΘΚ, ΑΜ, ἔστιν, ὡς ἡ ΗΜ πρὸς ΜΚ, ἡ ΗΑ πρὸς ΑΘ,
15	τουτέστιν ἡ ΑΗ πρὸς ΗΕ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΑΗ πρὸς ΗΕ, ἡ ΖΗ πρὸς ΗΔ, ὡς δὲ ἡ ΗΜ πρὸς ΜΚ, ἡ διπλασία τῆς ΜΗ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΜΚ· ὡς ἄρα ἡ ΖΗ πρὸς ΗΔ, ἡ διπλασία τῆς ΜΗ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΜΚ. καί ἐστι διπλασία τῆς ΜΗ ἡ
20	ΛΗ· ἴση γὰρ ἡ ΛΚ τῇ ΔΗ καὶ ἡ ΚΜ τῇ ΜΔ· τῆς δὲ ΚΜ διπλασία ἡ ΔΚ· ὡς ἄρα ἡ ΛΗ πρὸς ΗΖ, ἡ ΚΔ πρὸς ΔΗ. συνθέντι, ὡς ἡ ΛΖ πρὸς ΖΗ, ἡ
20	ΚΗ πρὸς ΗΔ, τουτέστιν ἡ ΛΔ πρὸς ΔΗ.	348
350 (1t)	Ἄλλως τὸ μδʹ.
2	Ἀποδεδειγμένων τῶν ΓΕ, ΖΗ παραλλήλων ἐπεζεύχ‐ θωσαν αἱ ΗΑ, ΖΒ. ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ ΓΕ, ἴσον τὸ
5	ΓΗΖ τρίγωνον τῷ ΕΗΖ τριγώνῳ. καί ἐστι τὸ μὲν ΓΖΗ τοῦ ΑΗΖ διπλάσιον, ἐπεὶ καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΑ, τὸ δὲ ΕΗΖ τοῦ ΒΗΖ· ἴσον ἄρα τὸ ΑΗΖ τῷ ΒΗΖ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΑΒ. ἐπὶ δὲ τῶν ἀντικειμένων ἡ ΑΒ ἢ ...... μὴ ἔρχεται
10	διὰ τοῦ Δ κέντρου, ἤχθω διὰ τοῦ Δ παράλληλος τῇ ΓΕ ἡ ΔΚΛ καὶ διὰ τῶν Κ, Λ ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν αἱ ΚΜΝ, ΛΞΟ. οὕτως γὰρ δῆλον γενήσεται, ὅτι, ἐπειδὴ τὸ ὑπὸ ΞΔΟ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΜΔΝ, ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΞΔΟ τῷ ὑπὸ ΕΔΗ ἐστιν ἴσον, τὸ
15	δὲ ὑπὸ ΜΔΝ τῷ ὑπὸ ΓΔΖ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΔΗ ἴσον τῷ ὑπὸ ΓΔΖ.
17t	Εἰς τὸ νδʹ.
18	Ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΝΓ, ΜΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΜ, τὸ ὑπὸ ΛΓ, ΚΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΑ ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς
20	ἡ ΑΔ πρὸς ΔΜ ἡ ΓΔ πρὸς ΔΝ, ἀναστρέψαντι, ὡς
20	ἡ ΔΑ πρὸς ΑΜ, ἡ ΔΓ πρὸς ΓΝ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ	350
352	καὶ τὸ ἀνάπαλίν ἐστιν, ὡς ἡ ΚΑ πρὸς ΑΔ, ἡ ΛΓ πρὸς ΓΔ· δι’ ἴσου ἄρα, ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΚ, ἡ ΝΓ πρὸς ΓΛ· καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΝΓ, ἡ ΚΑ πρὸς ΛΓ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΝΓ, ΑΜ πρὸς
5	τὸ ἀπὸ ΑΜ, τὸ ὑπὸ ΛΓ, ΚΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΑ. Ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ὑπὸ ΑΜ, ΝΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΔΜ, τὸ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΜ, ΓΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΔΜ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἐκ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΔ καὶ τοῦ τῆς
10	ΓΝ πρὸς ΝΔ, ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΑΜ πρὸς ΜΔ, ἡ ΕΒ πρὸς ΒΔ, ὡς δὲ ἡ ΓΝ πρὸς ΝΔ, ἡ ΕΒ πρὸς ΒΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΜ, ΓΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΔΜ διπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΕΒ πρὸς ΒΔ. ἔχει δὲ καὶ τὸ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ διπλασίονα λόγον τοῦ
15	τῆς ΕΒ πρὸς ΒΔ· ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΜ, ΓΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΔΜ, τὸ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ. Ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΝΔΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΒΜ, τὸ ὑπὸ ΓΔΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΑ ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΝΔΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΒΜ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον
20	ἐκ τοῦ τῆς ΔΝ πρὸς ΝΒ καὶ τοῦ τῆς ΔΜ πρὸς ΜΒ, ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΔΝ πρὸς ΝΒ, ἡ ΔΓ πρὸς ΓΕ, ὡς δὲ ἡ ΔΜ πρὸς ΜΒ, ἡ ΔΑ πρὸς ΑΕ, ἕξει ἄρα τὸν συγκείμενον ἐκ τοῦ τῆς ΔΓ πρὸς ΓΕ καὶ τοῦ τῆς ΔΑ πρὸς ΑΕ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ
25	ΓΔΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΑ. ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΝΔΜ
25	πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΒΜ, τὸ ὑπὸ ΓΔΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΑ.	352
354 (1t)	Εἰς τὸ δʹ.
2	Τὸ τέταρτον βιβλίον, ὦ φίλε ἑταῖρε Ἀνθέμιε, ζήτησιν μὲν ἔχει, ποσαχῶς αἱ τῶν κώνων τομαὶ ἀλλήλαις τε καὶ τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ συμβάλλουσιν
5	ἤτοι ἐφαπτόμεναι ἢ τέμνουσαι, ἔστι δὲ χαρίεν καὶ σαφὲς τοῖς ἐντυγχάνουσι καὶ μάλιστα ἀπὸ τῆς ἡμετέρας ἐκδόσεως, καὶ οὐδὲ σχολίων δεῖται· τὸ γὰρ ἐνδέον αἱ παραγραφαὶ πληροῦσιν. δέδεικται δὲ τὰ ἐν αὐτῷ πάντα διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς, ὥσπερ καὶ
10	Εὐκλείδης ἔδειξε τὰ περὶ τῶν τομῶν τοῦ κύκλου καὶ τῶν ἐπαφῶν. εὔχρηστος δὲ καὶ ἀναγκαῖος ὁ τρόπος οὗτος καὶ τῷ Ἀριστοτέλει δοκεῖ καὶ τοῖς γεωμέτραις καὶ μάλιστα τῷ Ἀρχιμήδει. ἀναγινώσκοντι οὖν σοι τὰ δ βιβλία δυνατὸν ἔσται
15	διὰ τῆς τῶν κωνικῶν πραγματείας ἀναλύειν καὶ συν‐ τιθέναι τὸ προτεθέν· διὸ καὶ αὐτὸς ὁ Ἀπολλώνιος ἐν ἀρχῇ τοῦ βιβλίου φησὶ τὰ δ βιβλία ἀρκεῖν πρὸς τὴν ἀγωγὴν τὴν στοιχειώδη, τὰ δὲ λοιπὰ εἶναι περιουσι‐
15	αστικώτερα.	354
356	ἀνάγνωθι οὖν αὐτὰ ἐπιμελῶς, καὶ εἴ σοι κατα‐ θυμίως γένηται καὶ τὰ λοιπὰ κατὰ τοῦτον τὸν τύπον ὑπ’ ἐμοῦ ἐκτεθῆναι, καὶ τοῦτο θεοῦ ἡγουμένου γενήσε‐ ται. ἔρρωσο.
5t	Ἄλλως τὸ κδʹ.
6	Ἔστωσαν αἱ ΕΑΒΓ, ΔΑΒΓ τομαί, ὡς εἴρηται, καὶ διήχθω, ὡς ἔτυχεν, ἡ ΔΕΓ, καὶ [Omitted graphic marker] διὰ τοῦ Α τῇ ΔΕΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΘ.
10	εἰ οὖν ἐντὸς τῶν τομῶν πίπτει, ἡ ἐν τῷ ῥητῷ ἀπόδειξις ἁρμόσει· εἰ δὲ ἐφάψεται κατὰ τὸ Α, ἀμφοτέρων ἐπι‐ ψαύσει τῶν τομῶν, καὶ διὰ τοῦτο ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἀγομένη διάμετρος τῆς ἑτέρας
15	τῶν τομῶν διάμετρος ἔσται καὶ τῆς λοιπῆς. δίχα ἄρα τέμνει κατὰ τὸ Ζ τήν τε ΓΔ καὶ τὴν ΕΓ· ὅπερ ἀδύ‐ νατον.
18t	Ἄλλως τὸ αὐτό.
19	Ἔστωσαν αἱ ΕΑΒΓ, ΔΑΒΓ τομαί, ὡς εἴρηται,
20	καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ κοινοῦ τμήματος αὐτῶν σημεῖόν τι τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ καὶ δίχα τε‐ τμήσθω κατὰ τὸ Ζ, καὶ διὰ τοῦ Ζ διάμετρος ἤχθω ἡ ΗΖΘ, καὶ διὰ τοῦ Γ παρὰ τὴν ΑΒ ἤχθω ἡ ΓΔΕ. ἐπεὶ οὖν διάμετρός ἐστιν ἡ ΖΘ καὶ δίχα τέμνει
25	τὴν ΑΒ, τεταγμένως ἄρα κατῆκται ἡ ΑΒ. καί ἐστι	356
358	παράλληλος αὐτῇ ἡ ΓΔΕ· δίχα ἄρα τέτμηται κατὰ τὸ Θ ἐν μὲν τῇ ΕΑΒΓ γεγραμμένη ἡ ΕΓ, ἐν δὲ τῇ ΔΑΒΓ ἡ ΔΓ. ἴση ἄρα ἡ ΕΘ τῇ ΘΔ· ὅπερ ἀδύνατον.
4t	Ἄλλως τὸ μγʹ.
5	Ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, καὶ ὑπερβολὴ ἡ ΓΑΒΔ ἑκατέραν τῶν ἀντικειμένων τεμνέτω κατὰ τὰ Γ, Α, Β, Δ, ἀντικειμένη δὲ αὐτῆς ἔστω ἡ ΕΖ. λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ οὐδετέρᾳ τῶν ἀντικειμένων συμπεσεῖται. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΔΒ, ΓΑ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν
10	καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Θ· ἔσται ἄρα τὸ Θ μεταξὺ τῶν ἀσυμπτώτων τῆς ΓΑΒ τομῆς. ἔστω‐ σαν ἀσύμπτωτοι τῆς ΓΑΒΔ αἱ ΚΗΛ, ΜΗΝ· φανερὸν δή, ὅτι αἱ ΝΗΛ τὴν ΕΖ τομὴν περιέχουσιν. καὶ ἡ ΓΑ τέμνει τὴν ΓΑΞ τομὴν κατὰ δύο σημεῖα τὰ Γ, Α·
15	ἐκβαλλομένη ἄρα ἐφ’ ἑκάτερα τῇ ἀντικειμένῃ οὐ συμπεσεῖται τῇ ΔΒΟ, ἀλλ’ ἔσται μεταξὺ τῆς ΒΟ τομῆς καὶ τῆς ΛΗ. ὁμοίως δὴ καὶ ἡ ΔΒΘ οὐ συμπεσεῖται τῇ ΓΑΞ, ἀλλ’ ἔσται μεταξὺ τῆς ΑΞ καὶ τῆς ΗΝ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΘΠ, ΘΡ μὴ συμπίπτουσαι
20	ταῖς Α, Β τομαῖς περιέχουσι τὰς ΝΗΛ ἀσυμπτώτους καὶ πολλῷ μᾶλλον τὴν ΕΖ τομήν, ἡ ΕΖ οὐδετέρᾳ τῶν ἀντικειμένων συμπεσεῖται.
23t	Ἄλλως τὸ ναʹ.
24	Λέγω, ὅτι ἡ Ε οὐδετέρᾳ τῶν Α, Β συμπεσεῖται.
25	ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α, Β ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν	358
360	καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Γ ἐντὸς τῆς περιεχούσης γωνίας τὴν ΑΒ τομήν· φανερὸν δή, ὅτι αἱ ΑΓ, ΓΒ ἐκβαλλόμεναι οὐ συμπεσοῦνται ταῖς ἀσυμ‐ πτώτοις τῆς Ε τομῆς, ἀλλὰ περιέχουσιν αὐτὰς καὶ
5	πολὺ πλέον τὴν Ε τομήν. καὶ ἐπεὶ τῆς ΑΔ τομῆς ἐφάπτε‐ ται ἡ ΑΓ, η ΑΓ ἄρα οὐ συμπεσεῖται τῇ ΒΗ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΓ οὐ συμπεσεῖται τῇ ΑΔ. ἡ ἄρα Ε τομὴ οὐδεμιᾷ τῶν ΑΔ, ΒΗ τομῶν συμ‐
5	πεσεῖται.	360

168

(4t)

170

172

174

176

178

180

182

184

186

188

190

192

194

196

198

200

202

204

206

208

210

212

214

(1t)

216

218

220

222

(1t)

224

(1t)

226

228

230

232

234

236

238

240

242

(1t)

244

246

248

250

252

254

256

258

260

262

264

266

268

270

272

274

(1t)

276

278

280

282

284

286

288

290

(1t)

292

294

296

298

300

302

304

306

308

310

(1t)