|
TLG 4072 003 :: EUTOCIUS :: Commentarius in libros de planorum aequilibriis EUTOCIUS Math. Commentarius in libros de planorum aequilibriis Citation: Page — (line) | ||
264(1t) | Εἰς τὸ αʹ. | |
| 2 | Τὴν ῥοπήν, ὦ γενναιότατε Πέτρε, κοινὸν εἶναι γέ‐ νος βαρύτητος καὶ κουφότητος Ἀριστοτέλης τε λέγει καὶ Πτολεμαῖος τούτῳ ἀκολουθῶν· ὁ δέ γε παρὰ Πλάτωνι | |
|---|---|---|
| 5 | Τίμαιος πᾶσαν ῥοπὴν ἀπὸ βαρύτητος λέγει γίνεσθαι· τὴν γὰρ κουφότητα στέρησιν νομίζει. ὧν ἔξεστι τὰς δό‐ ξας τοῖς φιλομαθέσιν ἀναλέγεσθαι ἔκ τε τοῦ Περὶ ῥο‐ πῶν βιβλίου τῷ Πτολεμαίῳ συγγεγραμμένου καὶ ἐκ τῶν Ἀριστοτέλους φυσικῶν πραγματειῶν καὶ ἐκ τοῦ Πλά‐ | |
| 10 | τωνος Τιμαίου καὶ τῶν ταῦτα ὑπομνηματισάντων. ὁ δὲ Ἀρχιμήδης ἐν τούτῳ τῷ βιβλίῳ κέντρον ῥοπῆς ἐπιπέδου σχήματος νομίζει, ἀφ’ οὗ ἀρτώμενον παράλληλον μένει τῷ ὁρίζοντι, δύο δὲ ἢ πλειόνων ἐπιπέδων κέντρον ῥο‐ πῆς ἤτοι βάρους, ἀφ’ οὗ ἀρτώμενος ὁ ζυγὸς παράλλη‐ | |
| 15 | λός ἐστι τῷ ὁρίζοντι. οἷον ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ ἐν τῷ μέσῳ αὐτοῦ σημεῖόν τι τὸ Δ, ἀφ’ οὗ ἀρτώμενον παράλληλον μένει τῷ ὁρίζοντι· δῆλον οὖν, ὅτι ἰσορροπήσει τὰ [Α]Β, Γ μέρη ἑαυτοῖς, καὶ οὐδέτερον τοῦ ἑτέρου μᾶλλον ῥέψει | |
| 20 | ἐπὶ τὸν ὁρίζοντα. ὁμοίως δὲ καὶ ζυγοῦ ὄντος τοῦ ΑΒ καὶ ἀπηρτημένων ἐξ αὐτοῦ τῶν Α, Β μεγεθῶν, ἐὰν ἀρ‐ τώμενος ὁ ζυγὸς ἀπὸ τοῦ Γ ἰσορροποῦντα ἔχῃ τὰ Α, Β μέρη, παράλληλος μένει τῷ ὁρίζοντι, καὶ ἔσται κέντρον | |
| τῆς ἀρτήσεως τῶν Α, Β μεγεθῶν τὸ Γ. | ||
266 | καλῶς δὲ δοκεῖ ὁ Γεμῖνος εἰπεῖν περὶ τοῦ Ἀρχιμή‐ δους, ὅτι τὰ ἀξιώματα αἰτήματα λέγει· τὰ γὰρ ἴσα βάρη ἀπὸ ἴσων μηκῶν ἰσορροπεῖν ἀξίωμά ἐστι καὶ τὰ ἑξῆς, καί ἐστιν πάντα σαφῆ τοῖς μετρίως αὐτὰ ἐπισκεπ‐ | |
| 5 | τομένοις. τῶν δὲ ἴσων καὶ ὁμοίων, φησίν, ἐπιπέδων σχη‐ μάτων ἐφαρμοζομένων ἐπ’ ἄλληλα καὶ τὰ κέντρα τῶν βαρέων ἐφαρμόζει ἐπ’ ἄλληλα· πάντα γὰρ τὰ μέρη αὐτῶν πᾶσιν ἐφαρμόζει. | |
| 10 | τῶν δὲ ἀνίσων, ὁμοίων δέ, τὰ κέντρα τῶν βα‐ ρέων ὁμοίως ἔσται κείμενα. νοείσθω δέ, ὡς ἐπὶ τῆς ὑποκειμένης καταγραφῆς, τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τρίγωνα ἄνισα καὶ ὅμοια, κέντρον δὲ βά‐ ρους τοῦ μὲν ΑΒΓ τὸ Η, τοῦ δὲ ΔΕΖ τὸ Θ, καὶ ἐπε‐ | |
| 15 | ζεύχθωσαν αἱ ΑΗ, ΗΓ, ΒΗ, ΔΘ, ΘΕ, ΘΖ. λέγω, ὅτι εἰς ἴσα διαιροῦσιν τὰς γωνίας αἱ ἀπὸ τῶν Η, Θ σημείων ἐπιζευχθεῖσαι. γινέσθω γάρ, ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς ΘΚ καὶ ἡ ΖΘ πρὸς ΘΛ καὶ ἡ ΔΘ πρὸς ΘΜ, καὶ ἐπε‐ | |
| 20 | ζεύχθωσαν αἱ ΜΚ, ΚΛ, ΛΜ· ἔσται δὴ ὅμοιον τὸ ΚΛΜ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ ΕΘ πρὸς ΘΚ, ἡ ΘΖ πρὸς ΘΛ, παράλληλός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΚΛ· ὁμοίως δὴ καὶ ἡ ΜΚ τῇ ΔΕ καὶ ἡ ΛΜ τῇ ΔΖ· ὅμοιον ἄρα τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΚΛΜ τριγώνῳ. ἔστιν | |
| 25 | ἄρα, ὡς ἡ ΔΕ πρὸς ΜΚ, ἡ ΕΖ πρὸς ΚΛ καὶ ἡ ΔΖ πρὸς ΜΛ. ὑπόκειται δὲ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΓ, | |
| ΔΕΖ τριγώνων, ὡς ἡ ΔΕ πρὸς ΑΒ, ἡ ΕΖ πρὸς ΒΓ | ||
268 | καὶ ἡ ΔΖ πρὸς ΑΓ· ἴσαι ἄρα εἰσὶν αἱ ΑΒΓ ταῖς ΜΚΛ· ὥστε ἐφαρμόζει ἑκάστη ἐπὶ ἑκάστην. ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΚΜΛ τριγώνῳ· ὥστε καὶ ἐφαρμόσει τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ τὸ τοῦ ΜΚΛ. τοῦ | |
| 5 | δὲ Η ἐπὶ τὸ Θ ἐφαρμόζοντος καὶ τῶν Α, Β, Γ ἐπὶ τὰ Μ, Κ, Λ ἐφαρμόσουσιν καὶ αἱ ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ ἐπὶ τὰς ΜΘ, ΚΘ, ΛΘ καὶ ἴσας ποιήσουσιν γωνίας πρὸς τοῖς Μ, Κ, Λ ταῖς ἐν τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ· ὥστε καὶ ἐν τῷ ΔΕΖ· αἱ αὐταὶ γάρ εἰσιν εὐθεῖαι αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπί τε | |
| 10 | τὰ Μ, Κ, Λ καὶ ἐπὶ τὰ Δ, Ε, Ζ ἐπιζευγνύμεναι. Παντὸς σχήματος, οὗ κα ἁ περίμετρος ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλα ᾖ, τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐντὸς εἶ‐ ναι δεῖ τοῦ σχήματος τίνας καλεῖ τὰς ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλας γραμμάς, εἴρηται ἡμῖν σαφῶς ἐν τοῖς προοιμίοις | |
| 15 | τοῦ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου. ἐπειδὴ δὲ τὸ σχῆμα τὸ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλην ἔχον τὴν περίμετρον πάντα τὰ μέρη τοῦ ἐπιπέδου ἐντὸς ἔχει καὶ τὰς γωνίας, δῆλον, ὅτι καὶ τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐντὸς ἔχει τοῦ σχήμα‐ τος· ἐπὶ γάρ τινων σχημάτων τὸ κέντρον τοῦ σχήματος | |
| 20 | [Omitted graphic marker] ἐκτός ἐστι καὶ ἐπὶ τῆς περι‐ μέτρου. ἐπὶ μὲν γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἡμικυκλίου κέντρον τοῦ σχήματός ἐστι τὸ Η, ἐπὶ δὲ τῆς ΔΕΖ ὑπερβολῆς τὸ | |
| 25 | κέντρον τοῦ σχήματος ἐκτός ἐστιν, καθ’ ὃ αἱ διάμετροι συμπίπτουσιν ἀλλήλαις, ὡς ἔχει τὸ Θ· εἴρηται γὰρ ταῦτα ἐν τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ τῶν | |
| 30 | Ἀπολλωνίου Κωνικῶν. ὅμως δὲ καὶ ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ σχή‐ | |
| ματος καὶ ἐπὶ τοῦ ΔΕΖ τὸ κέντρον τοῦ βάρους, ἀφ’ | ||
270 | οὗ δηλονότι ἀρτώμενον τὸ σχῆμα παράλληλόν ἐστι τῷ ὁρίζοντι, ἐντός ἐστι τῆς περιμέτρου· εἰ γὰρ ἔσται ἐπὶ τῆς περιμέτρου ἢ ἐκτός, ῥέψει ἐπὶ θάτερα· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. | |
| 5t | Εἰς τὸ δʹ. | |
| 6 | Ἔστω κέντρον τοῦ βάρους τὸ Δ, εἰ δυνατόν ὅτι γὰρ ἔστιν ἐπὶ τῆς ΑΒ, δέδεικται· εἴρηται γὰρ ἀνω‐ τέρω, ὅτι δύο μεγεθῶν κέντρον ἐστίν, ἀφ’ οὗ ἀρτώμε‐ νος ὁ ζυγὸς ἰσορροποῦντα ἔχει τὰ μέρη παράλληλος μέ‐ | |
| 10 | νων τῷ ὁρίζοντι· ὥστε οὖν ἐπὶ τῆς ΑΒ ἐστι τὸ κέντρον τῶν Α, Β μεγεθῶν. | |
| 12t | Εἰς τὸ ζʹ. | |
| 13 | Ἤτοι μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ ὥστε ἰσορρο‐ πεῖν ἢ οὔ τούτου τοῦ ῥητοῦ δεῖ ἀκούειν οὐχ ὡς μεί‐ | |
| 15 | ζονος ὑπάρχοντος πάντως τοῦ ΑΒ μεγέθους τοῦ Γ, ἀλλὰ μείζονος ὑποκειμένου ἢ κατὰ τὴν ἰσορροπίαν· δυνατὸν γάρ ἐστι καὶ τὸ ἔλαττον μέγεθος τοῦ μείζονος μείζονα ἔχειν τὴν ῥοπὴν διὰ τὸ μῆκος τοῦ ζυγοῦ μεῖζον ὂν πάνυ καὶ ἄνισον ποιοῦν τὸν λόγον. | |
| 20 | Καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΑΒ ἔλασσον τᾶς ὑπερ‐ οχᾶς, ᾇ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ ὥστε ἰσορρο‐ πεῖν, ὥστε λοιπὸν τὸ Α σύμμετρον εἶναι τῷ Γ δεῖ, φησίν, ἀφελεῖν ἀπὸ τοῦ ΑΒ μέγεθός τι τὸ Β, ὃ ποιεῖ λοιπὸν τὸ Α τῷ Γ σύμμετρον καὶ μεῖζον τὸ Α τοῦ | |
| 25 | Γ ἢ κατὰ τὴν ἰσορροπίαν· τοῦτο δὲ δυνατὸν ποιεῖν διὰ τῶν ἐν τῇ ἀρχῇ τοῦ δεκάτου τῆς Στοιχειώσεως Εὐκλεί‐ δου εἰρημένων καὶ ἐν τῷ τρίτῳ τῶν Θεοδοσίου Σφαι‐ | |
| ρικῶν. | ||
272(1t) | Εἰς τὸ ιγʹ. | |
| 2 | Καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ, ΗΚ, ΛΜ· ἐσσοῦν‐ ται δὴ αὗται παρὰ τὰν ΒΓ ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΟ τῇ ΨΓ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΔΓ, ἔσται, ὡς ἡ ΔΒ πρὸς | |
| 5 | ΟΒ, ἡ ΔΓ πρὸς ΨΓ, καὶ διελόντι, ὡς ἡ ΔΟ πρὸς ΟΒ, ἡ ΔΨ πρὸς ΨΓ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΔΟ πρὸς ΟΒ, ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ· ἡ γὰρ ΕΟ παρὰ τὴν ΑΔ ἐστιν· ὡς δὲ ἡ ΔΨ πρὸς ΨΓ, ἡ ΑΖ πρὸς ΖΓ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΑΖ πρὸς ΖΓ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ. | |
| 10 | ὁμοίως δὴ δειχθήσονται καὶ αἱ λοιπαί Τὸ δὴ ΑΔΓ ποτὶ πάντα τὰ τρίγωνα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΜ, ΜΚ, ΚΖ, ΖΓ ἀναγεγραμμένα ὁμοῖα τῷ ΑΔΓ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει ἁ ΓΑ πρὸς ΑΜ, διὰ τὸ ἴσας εἶναι τὰς εὐθείας ἐπεὶ γὰρ ὅμοιά ἐστι | |
| 15 | τὰ ΑΔΓ, ΑΣΜ τρίγωνα, πρὸς ἄλληλα διπλασίονα λό‐ γον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ πρὸς ΑΜ. ἐπεὶ δὲ νῦν ὑπόκειται ἡ ΑΓ τῆς ΑΜ τετραπλασίων, τὸ ΑΔΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΣΜ λόγον ἔχει, ὃν ιϛ πρὸς ἕν, πρὸς δὲ πάντα τὰ τρίγωνα τὰ ἀπὸ ΑΜ, ΜΚ, ΚΖ, ΖΓ λόγον ἔχει, ὃν ιϛ | |
| 20 | πρὸς τέσσαρα· ἀνάλογον ἄρα ἐστίν, ὡς τὸ ΑΔΓ τρί‐ γωνον πρὸς τὰ τρίγωνα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΜ, ΜΚ, ΚΖ, ΖΓ ὅμοια τῷ ΑΔΓ, οὕτως αὐτὰ τὰ τρίγωνα πρὸς τὸ ΑΣΜ, τουτέστιν ἡ ΓΑ πρὸς ΑΜ· ὅμοια γάρ εἰσιν καὶ ἐπὶ ἴσων βάσεων καὶ διὰ τοῦτο ἴσα, καί εἰσιν πρὸς ἄλ‐ | |
| 25 | ληλα, ὡς αἱ βάσεις. Ἀλλὰ ἁ ΓΑ πρὸς ΑΜ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἁ ΦΡ πρὸς ΡΘ· ὁ γὰρ τῆς ΑΓ πρὸς ΑΜ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΦΡ πρὸς ΡΠ εἰ γὰρ νοήσειας ἐκβεβλημένας τὰς ΡΦ, ΓΔ καὶ συμπιπτούσας, διὰ τὰς | |
| 30 | παραλλήλους ἔσται, ὡς ἡ ΦΡ πρὸς ΡΠ, ἡ ΓΔ πρὸς | |
274 | ΔΩ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΩ, ἡ ΓΑ πρὸς ΑΜ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς ΑΜ, ἡ ΦΡ πρὸς ΡΠ. ἡ δὲ ΦΡ πρὸς ΡΠ μείζονα ἔχει λόγον ἤπερ ἡ ΦΡ πρὸς ΡΘ· καὶ ἡ ΓΑ ἄρα πρὸς ΑΜ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΦΡ | |
| 5 | πρὸς ΡΘ. Ὅπερ ἀδύνατον· τᾶς γὰρ διὰ τοῦ Χ εὐθείας παρὰ τὰν ΔΑ ἀγομένας ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ ἐσσεῖται πάντα τὰ κέντρα τουτέστιν ἐπὶ θά‐ τερον μέρος· καὶ ῥέψει δηλονότι ἐπ’ ἐκεῖνο πάντα τὰ | |
| 10 | μεγέθη καὶ οὐκ ἰσορροπήσει· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται· ὑπό‐ κειται γὰρ κέντρον τῶν μὲν παραλληλογράμμων τὸ Ρ, τῶν δὲ τριγώνων τὸ Χ. | |
| 13t | Εἰς τὸ ἄλλως τοῦ ιγʹ. | |
| 14 | Ὁμοίως γάρ ἐντι κείμενα τὰ Θ, Κ, Λ ἐν τοῖς | |
| 15 | τριγώνοις αἵ τε γὰρ ΑΘ, ΕΚ, ΖΛ παράλληλοι οὖ‐ σαι ὁμοίως διαιροῦσιν τὰς γωνίας, καὶ αἱ ΘΛΓ, ΘΚΒ αἱ αὐταί εἰσιν ἐν πᾶσι τοῖς τριγώνοις, καὶ λοιπαὶ αἱ ΚΔ, ΔΛ. | |
| 19t | Εἰς τὸ ιεʹ. | |
| 20 | Ἐὰν γὰρ ἐκβάλῃς τὰς ΓΔΗ, ΖΕΗ, ΒΑΗ, δῆ‐ λον, ὅτι ἐπὶ τὸ αὐτὸ σαμεῖον ἔρχονται ἐκβληθει‐ σῶν γὰρ τῶν ΒΑΗ, ΖΕΗ καὶ συμπιπτουσῶν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Η καὶ ἡ ΓΔ ἐκβαλλομένη ἐν τῷ αὐτῷ πεσεῖται· ἔστιν γάρ, ὡς ἡ ΒΗ πρὸς ΗΑ, ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ καὶ ἡ | |
| 25 | ΒΖ πρὸς ΑΕ καὶ ἡ ΖΓ πρὸς ΕΔ καὶ δηλαδὴ ἡ ΓΗ | |
| πρὸς ΔΗ. | ||
276 | Ἔσται δὴ τοῦ μὲν ΒΔΓ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΘΜ, ἐπειδήπερ τρίτον μέρος ἁ ΒΘ τᾶς ΒΔ ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ ἐπεζεύχθω‐ σαν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰς διχοτομίας τῶν πλευρῶν | |
| 5 | αἱ ΑΕ, ΒΖ, ΓΔ· κέντρον ἄρα ἐστὶ τοῦ βάρους τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ Η. καὶ φανερόν, ὅτι πάντα τὰ τρί‐ γωνα ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις, καὶ ὅτι αἱ ἐπὶ τὰς διχοτομίας τῶν πλευρῶν ἐπιζευγνύμεναι διὰ τοῦ Η ἔρχονται, ἵνα μὴ τοῦ αὐτοῦ πλείονα κέντρα ᾖ. ἐπεὶ γὰρ ἴσαι αἱ ΑΔ, | |
| 10 | ΔΒ, ΒΕ, ΕΓ, ΓΖ, ΖΑ, ἴσα ἔσται καὶ τὰ τρίγωνα, ὧν κορυφὴ τὸ Η σημεῖον, βάσεις δὲ αἱ εἰρημέναι εὐθεῖαι· ὥστε διπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΗΒ τρίγωνον τοῦ ΗΒΕ τρι‐ γώνου· ὥστε καὶ ἡ ΑΗ τῆς ΗΕ. ἐὰν οὖν διὰ τοῦ Η παρὰ τὴν ΒΓ ἀγάγωμεν τὴν ΘΚ, διπλασία ἐστὶν ἡ ΑΘ | |
| 15 | τῆς ΘΒ· ὥστε καθόλου, ἐὰν μία πλευρὰ τριγώνου τμη‐ θῇ, ὥστε τὸ πρὸς τῇ κορυφῇ μέρος διπλάσιον εἶναι τοῦ πρὸς τῇ βάσει, καὶ διὰ τοῦ ληφθέντος σημείου παράλ‐ ληλος ἀχθῇ τῇ βάσει, ἐπὶ τῆς ἀχθείσης ἔσται τὸ κέν‐ | |
| τρον τοῦ βάρους τοῦ τριγώνου. | ||
278(1t) | Εἰς τὸ βʹ. | |
| 2 | Ἀκριβῶς ἐπεξελθόντες τῷ πρώτῳ καὶ σαφηνίσαντες τὰ ἐν αὐτῷ δυσθεώρητα ἀναγκαῖον ἡγούμεθα καὶ τὰ ἐν τῷ δευτέρῳ δυσχερῶς εἰρημένα μετρίως ἐκθέσθαι. φη‐ | |
| 5 | σὶν τοίνυν ἐν τῇ προτάσει τοῦ πρώτου θεωρήματος· ὑποκείσθω τὰ ΑΒ, ΓΔ χωρία περιεχόμενα ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς, ἃ δυνά‐ μεθα παρὰ τὰν δοθεῖσαν εὐθεῖαν παραβαλεῖν. τοῦτο δὲ αὐτόθεν μὲν διὰ τῶν ἐνταῦθα δεδειγμένων | |
| 10 | οὐκ ἔστιν εὑρεῖν· ἐπεὶ δὲ δέδεικται αὐτῷ, ὡς καὶ ἐν τῷ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου εἶπεν, ὅτι τὸ τοιοῦτον σχῆμα ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον, τῷ δὲ ἐπιτρίτῳ τοῦ τρι‐ γώνου ἐπιπέδῳ εὐθυγράμμῳ ὄντι δυνάμεθα ἴσον παρὰ | |
| 15 | τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν παραβαλεῖν, φανερόν, ὅτι καὶ τοῖς τοιούτοις σχήμασιν. τὰ δὲ ἐν τῇ κατασκευῇ εἰρημένα πάντα δῆλά ἐστι διὰ τοῦ δεκάτου θεωρήματος τοῦ πρώ‐ του τούτων τῶν βιβλίων. | |
| 19t | Εἰς τὸ βʹ. | |
| 20 | Τοῦ δευτέρου θεωρήματος προλέγει τινὰ δηλοῦντα, πῶς δυνατὸν ἐν τῇ τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῇ σχῆμα γνωρίμως ἐγγράφεσθαι, καί φησιν· ταῦτα δεικτέον ἐν ταῖς τάξεσιν. ἐπειδὴ οὖν ἀσαφές ἐστιν τὸ λεγόμενον, ἀναγκαῖον εἰπεῖν βραχέα περὶ αὐτοῦ ἐκ τῶν Ἀπολλωνίου | |
| 25 | Κωνικῶν εὑρεθέντα. | |
280 | ἔστω σχῆμα περιεχόμενον ὑπὸ παραβολῆς τῆς ΑΒΓ καὶ εὐθείας τῆς ΑΓ, οὗ διάμετρος ἔστω ἡ ΒΔ· φανε‐ ρὸν δή, ὅτι κορυφή ἐστι τοῦ τμήματος τὸ Β σημεῖον· κορυφὰς γὰρ ἐκάλει τῶν γραμμῶν ὁ Ἀπολλώνιος τὰ | |
| 5 | πρὸς ταῖς γραμμαῖς πέρατα τῶν διαμέτρων. ἐὰν δὴ ἐπι‐ ζεύξωμεν τὰς ΑΒ, ΒΓ, ἔσται τὸ [ἀπὸ] ΑΒΓ τρίγωνον [Omitted graphic marker] τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχον τῷ τμήματι καὶ ὕψος ἴσον τὴν ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετον ἀγομένην· οὐ γὰρ πάν‐ τως ἄξων ἐστὶν ἡ ΒΔ. ἐὰν δὴ λαβόντες τὰς κορυφὰς | |
| 10 | τῶν ΑΒ, ΒΓ τμημάτων τὰς Ε, Ζ δι’ αὐτῶν παραλλή‐ λους ἀγάγωμεν τῇ ΒΔ, ὡς τὰς ΕΗΘ, Ζ͵ϛΚ, ἔσονται αὗται διάμετροι τῶν ΑΒ, ΒΓ τμημάτων· δέδεικται γὰρ ἐπὶ τῆς παραβολῆς, ὅτι πᾶσαι αἱ παρὰ τὴν διάμετρον ἀγόμεναι διάμετροί εἰσι τῆς τομῆς. ἔσονται δὴ τὰ Ε, Ζ | |
| 15 | κορυφαὶ τῶν τμημάτων καὶ αἱ διὰ τῶν Ε, Ζ ἐφαπτό‐ μεναι παράλληλοι ταῖς ΑΒ, ΒΓ· ἔσται δὴ καὶ ἡ ΕΛΖ παρὰ τὴν ΑΔΓ, ἐπειδὴ αἱ ΕΘ, ΖΚ παράλληλοί εἰσι καὶ ἴσαι διάμετροι οὖσαι τῶν ἴσων τμημάτων καὶ ἐφαρ‐ | |
| μόζουσαι ἀλλήλαις, ὡς ἐν τῷ ϛʹ τῶν Κωνικῶν δέδεικται. | ||
282 | καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΗΘ παράλληλός ἐστι τῇ ΒΔ, ἔστιν, ὡς ἡ ΒΗ πρὸς ΗΑ, ἡ ΔΘ πρὸς ΘΑ. ἴση δὲ ἡ ΗΒ τῇ ΑΗ· δίχα γὰρ αὐτὴν τέμνει ἡ ΕΗ διάμετρος παράλληλον οὖσαν τῇ ἐφαπτομένῃ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΔΘ τῇ ΘΑ. διὰ | |
| 5 | τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΓ ἐστιν ἴση. ἴση δὲ ὅλη ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΔΘ τῇ ΔΚ καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ ΕΛ τῇ ΛΖ. ὥστε ἀληθῶς λέγει, ὅτι ἡ τὰς κορυ‐ φὰς τῶν τμημάτων ἐπιζευγνύουσα παράλληλος ἔσται τῇ βάσει τοῦ τμήματος καὶ δίχα διαιρεθήσεται ὑπὸ τῆς τοῦ | |
| 10 | τμήματος διαμέτρου. ἐπεζεύχθωσαν δὴ καὶ αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ καὶ δίχα τετμήσθωσαν κατὰ τὰ Μ, Ν, Ξ, Ο σημεῖα, καὶ ἤχθω‐ σαν διὰ τῶν Μ, Ν, Ξ, Ο παρὰ τὴν ΒΔ αἱ ΠΜΡΣ, ΤΝΥΦ, ΧΞΨΩ, ϛΟϙϡ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΠ, | |
| 15 | ΠΕ, ΕΤ, ΤΒ, ΒΧ, ΧΖ, Ζϛ, ϛΓ καὶ αἱ Τ͵ΑΧ καὶ Π͵Β͵Γ͵Δ͵Ε͵ϛϛ· φανερὸν δὴ ἐκ τῶν προδεδειγμένων, ὅτι ἡ ΤΧ καὶ ἡ ΕΖ καὶ ἡ Πϛ παράλληλοί εἰσι τῇ ΑΓ, καὶ ὅτι ἴση ἡ Τ͵Α τῇ ͵ΑΧ καὶ ἡ ΕΛ τῇ ΛΖ καὶ ἡ Π͵Δ τῇ ͵Δϛ. | |
| 20 | λέγω οὖν, ὅτι τέμνουσι τὴν ΒΔ εἰς τοὺς ἑξῆς περισ‐ σοὺς ἀριθμούς, τουτέστιν οἵου ἐστὶν ἑνὸς ἡ Β͵Α, τοι‐ ούτων τριῶν ἡ ͵ΑΛ καὶ ἡ Λ͵Δ πέντε καὶ ἡ ͵ΔΔ ἑπτά. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ, καὶ παράλληλος ἡ ΕΘ τῇ ΒΔ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΘ τῇ ΘΔ. ἡ ΑΔ ἄρα τῆς | |
| 25 | ΔΘ διπλῆ ἐστιν· ὥστε καὶ τῆς ΕΛ· τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ ἄρα τετραπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΛ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΛ, οὕτως δέδεικται ἡ ΒΔ πρὸς ΒΛ· τε‐ τραπλασία ἄρα καὶ ἡ ΔΒ τῆς ΒΛ. τριπλῆ ἄρα ἡ ΔΛ τῆς ΛΒ· οἵου ἄρα ἐστὶν ἑνὸς ἡ ΛΒ, τοιούτων τριῶν | |
| 30 | ἐστιν ἡ ΛΔ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καί, οἵων [ἄρα] ἡ ΛΒ τεσ‐ | |
| σάρων, ἡ ΛΔ δώδεκα. καὶ ἐπεὶ ἴση ἡ ΕΝ τῇ ΝΒ καὶ | ||
284 | ἡ Ε͵Ζ τῇ ͵ΖΛ καὶ ἡ ΘΦ τῇ ΦΔ, διπλασία ἐστὶν ἡ ΕΛ τῆς Λ͵Ζ, τουτέστι τῆς Τ͵Α· τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΕΛ τοῦ ἀπὸ Τ͵Α. τετραπλασία ἄρα καὶ ἡ ΛΒ τῆς Β͵Α· ὥστε τριπλασία ἡ Λ͵Α τῆς ͵ΑΒ· οἵων ἄρα ἐστὶν | |
| 5 | ἡ ΛΒ τεσσάρων, τοιούτων ἡ μὲν Β͵Α ἑνός, ἡ δὲ ͵ΑΛ τριῶν, ἡ δὲ ΛΔ δώδεκα. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΜ τῇ ΜΕ καὶ ἡ ΑΡ τῇ ΡΗ καὶ ἡ ΑΣ τῇ ΣΘ, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ΑΣ, ΣΘ, ΘΦ, ΦΔ· οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ τεσ‐ σάρων, τοιούτων ἡ ΣΔ τριῶν, τουτέστιν ἡ Π͵Δ. οἵων | |
| 10 | ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΔ δεκαέξ, τοιούτων τὸ ἀπὸ Π͵Δ ἐννέα· καὶ οἵων ἄρα ἡ ΔΒ δεκαέξ, ἡ Β͵Δ ἐννέα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ͵ΔΔ ἑπτά. ἐπεὶ οὖν δέδεικται, οἵων ἡ ΒΔ δεκαέξ, τοιούτων ἡ μὲν Β͵Α ἑνός, ἡ δὲ ͵ΑΛ τριῶν, ἡ δὲ ͵ΔΔ ἑπτά, καὶ λοιπὴ ἡ Λ͵Δ ἐστι πέντε. τέμνεται ἄρα ἡ ΒΔ | |
| 15 | ὑπὸ τῶν παραλλήλων εἰς τοὺς τῶν ἑξῆς περισσῶν ἀριθ‐ μῶν λόγους ἑνὸς λεγομένου τοῦ πρὸς τῇ κορυφῇ τοῦ τμήματος. δῆλον οὖν ἐστιν ἐκ τῆς καταγραφῆς, ὅτι αἱ καταγόμεναι ὑπὸ τῶν διαμέτρων εἰς τοὺς ἀπὸ μονάδος ἑξῆς κειμένους ἀριθμοὺς τέμνονται. οἵου γάρ ἐστιν ἑνὸς | |
| 20 | ἡ Τ͵Α, τοιούτων ἐστὶ δύο· ἡ ΕΛ, τριῶν δὲ ἡ Π͵Δ, τεσσάρων δὲ ἡ ΑΔ· παράλληλοι γὰρ οὖσαι πᾶσαι εἰς ἴσα τέμνουσιν ἀλλήλας. ὠνομάσθη δὲ ὑπ’ Ἀρχιμήδους τὸ ΑΠΕΤΒΧΖϛΓ σχῆμα γνωρίμως ἐγγραφόμενον. | |
| 24t | Εἰς τὸ γʹ. | |
| 25 | Τὰ ὅμοια τμήματα τῶν τοῦ κώνου τομῶν Ἀπολλώνιος ὡρίσατο ἐν τῷ ἕκτῳ βιβλίῳ τῶν Κωνικῶν, ἐν οἷς ἀχθει‐ | |
| σῶν ἐν ἑκάστῳ παραλλήλων τῇ βάσει ἴσων τὸ πλῆθος | ||
286 | αἱ παράλληλοι καὶ αἱ βάσεις πρὸς τὰς ἀποτεμνομένας ἀπὸ τῶν διαμέτρων πρὸς ταῖς κορυφαῖς ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγοις εἰσὶ καὶ αἱ ἀποτεμνόμεναι πρὸς τὰς ἀποτεμνομέ‐ νας· καὶ ὅτι αἱ παραβολαὶ πᾶσαι ὅμοιαί εἰσιν. τὸ δὲ | |
| 5 | γνωρίμως ἐγγραφόμενον σχῆμα εἴρηται ἐν τῷ προλα‐ βόντι λήμματι. τὸ δὲ ὁμοίως διαιρεῖσθαι τὰς διαμέτρους ἐστίν, ἵνα τὰ τμήματα αὐτῶν τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον. τὰ λοιπὰ τοῦ θεωρήματος σαφῆ ἐστιν ἐκ τοῦ προειρημένου σχήματος. | |
| 10t | Εἰς τὸ δʹ. | |
| 11 | Ἐγγεγράφθω εὐθύγραμμον εἰς τὸ τμᾶμα γνω‐ ρίμως, ὥστε τὰ περιλειπόμενα τμήματα ἐλάσσο‐ να εἶναι τοῦ Κ τοῦτο δὲ φανερόν ἐστιν ἐκ τῶν εἰρη‐ μένων ἐν τῷ δεκάτῳ τῆς Στοιχειώσεως καὶ τῷ πρώτῳ | |
| 15 | τῶν Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου. | |
| 16t | Εἰς τὸ εʹ. | |
| 17 | Καὶ ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΘΖΗΙ ἐπεὶ γὰρ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΚΖ, ΛΗ· ἴσων γάρ εἰσι τμημά‐ των διάμετροι· καὶ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ΒΔ ἄξονος καὶ | |
| 20 | ὁμοίως διῄρηνται ὑπὸ τῶν Θ, Ι κέντρων, ἔστιν, ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΖ, ἡ ΛΙ πρὸς ΙΗ· καὶ ἐναλλάξ· καὶ διὰ τοῦτο ἴση ἐστὶν ἡ ΘΖ τῇ ΙΗ. ἔστιν δὲ καὶ παράλληλος· παράλληλοι γάρ εἰσιν πᾶσαι αἱ διάμετροι τῆς παραβολῆς· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΖΗΙ. | |
| 25t | Εἰς τὸ δεύτερον μέρος τοῦ εʹ. | |
| 26 | Ἔσται δὴ τοῦ μὲν ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΚΒ, | |
| ΒΓΛ τμημάτων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον | ||
288 | βάρους τὸ Χ, τοῦ δὲ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΚΒ, ΒΛΓ τριγώνων τὸ Τ δέδεικται μὲν γὰρ ἐν τῷ προ‐ λαβόντι, ὅτι ἡ ΘΜ ἐπιζευγνύουσα τὰ κέντρα τῶν τμη‐ μάτων διχοτομεῖται ὑπὸ τῆς ΒΔ κατὰ τὸ Χ παράλληλος | |
| 5 | οὖσα τῇ ΖΗ, καὶ ἡ ΝΙ διχοτομεῖται κατὰ τὸ Τ· ὥστε κέντρον βάρους ἐστὶ τὸ Χ τοῦ συγκειμένου μεγέθους ἐκ τῶν ΑΚΒ, ΒΛΓ τμημάτων καὶ τὸ Τ τοῦ συγκειμένου μεγέθους ἐκ τῶν ΑΚΒ, ΒΛΓ τριγώνων. Ἐπεὶ οὖν μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΒΑΓ τρίγω‐ | |
| 10 | νον πρὸς τὰ ΑΚΒ, ΒΛΓ τρίγωνα ἢ ποτὶ τὰ τμή‐ ματα καὶ τὰ ἑξῆς. ἐπεὶ γὰρ δέδεικται τοῦ μὲν ΑΒΓ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρους τὸ Ε, τῶν δὲ ΑΒΚ, ΒΛΓ τριγώνων κέντρον τὸ Τ, φανερόν, ὅτι τοῦ ΑΚΒΛΓ εὐ‐ θυγράμμου κέντρον τοῦ βάρους ἐπὶ τῆς ΤΕ τμηθείσης | |
| 15 | κατὰ τὸ Ρ κατὰ τὸν ἀντιπεπονθότα λόγον τοῦ, ὃν ἔχει τὸ ΑΒΓ πρὸς τὰ ΑΚΒ, ΒΛΓ τρίγωνα. ἐπεὶ δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὰ ΚΑΒ, ΒΛΓ τρίγωνα μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὰ τμήματα· μείζονα γάρ ἐστι τὰ τμήματα τῶν τριγώνων· δῆλον, ὅτι, ἐὰν τέμωμεν τὴν | |
| 20 | ΕΤ ἐν τῷ λόγῳ τῷ, ὃν ἔχει τὸ τρίγωνον πρὸς τὰ τμή‐ ματα, ἀνωτέρω τοῦ Ρ πεσεῖται τὸ σημεῖον, ὃ ἔσται κέν‐ τρον τοῦ παντὸς τμήματος διὰ τὴν ἀντιπεπόνθησιν. | |
| 23t | Εἰς τὸ ϛʹ. | |
| 24 | Τὸ κέντρον τοῦ τμήματος πάντως ἕν ἐστι καὶ ἐγγύ‐ | |
| 25 | τερον τῆς κορυφῆς τοῦ τμήματος ἤπερ τὰ τῶν ἐγγραφο‐ | |
| μένων εὐθυγράμμων. τοῦ γὰρ ΑΒΓ τριγώνου κέντρον | ||
290 | τοῦ βάρους ἐστίν, εἰ τύχοι, τὸ Ε τῆς ΒΔ τμηθείσης οὕτως, ὥστε διπλασίαν εἶναι τὴν ΕΒ τῆς ΕΔ· φανερόν, ὅτι πάντα τὰ κέντρα τῶν ἐγγραφομένων εὐθυγράμμων μεταξὺ πεσοῦνται τῶν Θ, Ε σημείων, καὶ ὅσῳ [δ’] ἂν | |
| 5 | πολυπλευρότερον ᾖ τὸ γνωρίμως ἐγγραφόμενον, τοσού‐ τῳ μᾶλλον συνεγγίζει τῷ Θ. φανερὸν οὖν, ὅτι τὴν με‐ ταξὺ τῶν κέντρων τοῦ γνωρίμως ἐγγραφομένου εὐθυ‐ γράμμου καὶ τοῦ τμήματος μείζονα μὲν εἶναι τῆς ΕΘ ἀδύνατον, ἐλάσσονα δὲ δυνατὸν οὐ μόνον τῆς ΘΕ, ἀλλὰ | |
| 10 | καὶ πάσης τῆς δοθείσης. | |
| 11t | Εἰς τὸ ζʹ. | |
| 12 | Ἐγγεγράφθω δὲ εἰς τὸ ΑΒΓ τμᾶμα τῷ ἐν τῷ ΕΖΗ τμάματι ὁμοῖον εὐθύγραμμον τουτέστιν ὁμοίως γνωρίμως· ὁμοίως γὰρ γνωρίμως ἐγγράφεται, | |
| 15 | ὅταν αἱ τομαὶ τῆς ΑΒΓ παραβολῆς ἴσαι γένωνται ταῖς τῆς ΕΖΗ, ὥστε τὰς πλευρὰς τοῦ ἐν τῷ ΑΒΓ τμήματι ἐγγεγραμμένου γνωρίμως ἰσοπληθεῖς εἶναι ταῖς τοῦ ἐν τῷ ΕΖΗ ἐγγεγραμμένου εὐθυγράμμου. ἐπεὶ γὰρ δὴ κο‐ ρυφαί εἰσι τὰ Β, Ζ σημεῖα τῶν ὁμοίων τμημάτων, ὅμοιά | |
| 20 | ἐστι τὰ οὕτως γνωρίμως ἐγγραφόμενα. | |
| 21t | Εἰς τὸ ηʹ. | |
| 22 | Καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἁ ΒΘ πρὸς ΘΔ, οὕτως ἁ ΚΜ πρὸς ΜΖ· ὅμοια γὰρ ὄντα τὰ τμήματα ἕξει κέν‐ τρα εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τέμνοντα τὰς διαμέτρους· | |
| 25 | καὶ συνθέντι, ὡς ἁ ΒΔ πρὸς ΔΘ, ἁ ΚΖ πρὸς ΖΜ, καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἁ ΒΔ πρὸς ΚΖ, οὕτως ἁ ΔΘ | |
| πρὸς ΜΖ, τετραπλασία δὲ ἡ ΒΔ τῆς ΚΖ· τοῦτο | ||
292 | γὰρ ἐπὶ τέλει δείκνυται, οὗ σαμεῖον  ἑξῆς δὲ
αὐτὸ ἡμεῖς δείξομεν.
ἔστω παραβολὴ ἡ ΑΒΓ, ἧς διάμετρος ἡ ΒΔ, καὶ
ἤχθω τεταγμένως ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ δίχα | |
| 5 | τετμήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Ζ, καὶ διὰ τοῦ Ζ τῇ ΒΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ· διάμετρος ἄρα ἐστὶν τοῦ ΑΒ τμήματος. καὶ ἀπὸ τῶν Ε, Ζ παρατεταγμένως ἤχθωσαν αἱ ΕΗ, ΖΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΒΖ, διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΒ τῆς ΖΒ καὶ ἡ ΔΒ τῆς ΒΘ καὶ ἡ ΑΔ τῆς | |
| 10 | ΖΘ, τουτέστι τῆς ΕΗ· ὥστε τὸ ἀπὸ ΑΔ τοῦ ἀπὸ ΕΗ ἐστι τετραπλάσιον, καὶ διὰ τοῦτο ἡ ΔΒ τῆς ΒΗ ἐστι τετραπλασία μήκει. ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΔ τῆς [μὲν] ΒΘ διπλῆ, ἡ ΒΘ τῆς ΒΗ ἐστι διπλῆ. καὶ ἡ ΘΗ τῇ ΗΒ ἴση, τουτ‐ έστι τῇ ΕΖ διὰ τὸ παραλληλόγραμμον εἶναι τὸ ΕΗΖΘ· | |
| 15 | τετραπλασία ἄρα ἡ ΒΔ τῆς ΖΕ. Καὶ ἐπεὶ τετραπλασίων ἐστὶν ἁ ΒΔ τᾶς ΒΣ· καὶ γὰρ τοῦτο δείκνυται δέδεικται γὰρ ἐν τῷ λήμ‐ ματι ἡ ΒΔ ἑκατέρας τῶν ΒΗ, ΕΖ τετραπλασία· ὥστε ἡ ΒΗ τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση, καὶ διὰ τοῦτο ἐνταῦθα ἡ ΒΣ | |
| 20 | τῇ ΚΖ ἴση καὶ ἡ ΒΔ ἑκατέρας αὐτῶν τετραπλασία. Ἡ ΒΞ ἄρα τῆς ΒΔ τρίτον μέρος ἐπεὶ γὰρ τετρα‐ πλασίων ἡ ΒΔ τῆς ΒΣ, οἵων ἄρα ἡ ΒΔ τεσσάρων, ἡ ΒΣ ἑνός· καὶ οἵων ἄρα ἡ ΒΔ δώδεκα, τοιούτων ἡ ΒΣ τριῶν. τριπλῆ δὲ ἡ ΒΣ τῆς ΣΞ· οἵων ἄρα ἡ ΒΣ τριῶν, | |
| 25 | ἡ ΞΣ ἑνὸς καὶ ὅλη ἡ ΒΞ τεσσάρων. τούτων δὲ ἦν ἡ ΒΔ δώδεκα· ἡ ΒΞ ἄρα τῆς ΒΔ τρίτον μέρος ἐστί. Τριπλοῦν δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῶν τμαμά‐ | |
| των δέδεικται γὰρ ὑπ’ αὐτοῦ ἐν τῷ Περὶ τῆς ὀρθο‐ | ||
294 | γωνίου κώνου τομῆς, ὅτι πᾶν σχῆμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον· ὥστε τὸ ΑΒΓ τμῆμα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπίτρι‐ | |
| 5 | τόν ἐστιν, καὶ διελόντι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῶν ΑΚΒ, ΒΛΓ τμημάτων τριπλάσιόν ἐστιν. Καί ἐντι τᾶς ΕΔ τριπλασία ἡ ΔΒ· ἡμιολία ἄρα ἐντὶ ἁ ΒΘ τᾶς ΘΔ· ὅπερ ἔδει δείξαι ἐπεὶ γὰρ τρι‐ πλῆ ἐστιν ἡ ΒΔ τῆς ΔΕ, οἵων ἄρα ἡ ΒΔ δεκαπέντε, | |
| 10 | τοιούτων ἡ ΕΔ πέντε. οἵων δὲ ἡ ΔΕ πέντε, τοιούτου ἡ ΘΕ ἑνὸς καὶ ὅλη ἡ ΘΕΔ ἕξ· ἑξαπλασία ἄρα ἡ ΔΘ τῆς ΘΕ. οἵων ἄρα ἡ ΒΔ δεκαπέντε, τοιούτων ἡ ΔΘ ἓξ καὶ λοιπὴ ἡ ΘΒ ἐννέα· ὥστε ἡμιολία ἐστὶν ἡ ΒΘ τῆς ΘΔ. | |
| 15t | Εἰς τὸ θʹ. | |
| 16 | Τὸ ἔνατον θεώρημα πάνυ ὂν ἀσαφὲς ἐκθησόμεθα παραφράζοντες σαφῶς κατὰ τὸ δυνατόν. ἐπεὶ γὰρ ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΔΒ, ΒΕ, καὶ διελόντι καὶ ἐναλλὰξ αἱ ΑΓ, ΓΔ, ΔΕ ἐν τῷ αὐτῷ λό‐ | |
| 20 | γῳ εἰσίν. ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΒΔ [ΔΕ] ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ καὶ αἱ ΑΓ, ΓΔ, ΔΕ, ἔστιν, ὡς ἐν τοῖς πρώ‐ τοις μεγέθεσιν ἡγούμενον καὶ μέσον πρὸς ἑπόμενον, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡγούμενον καὶ μέσον πρὸς ἑπόμενον· ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΑΓ, ΓΔ, τουτ‐ | |
| 25 | έστιν ἡ ΑΔ, πρὸς ΔΕ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΑΒ, ΓΒ πρὸς ΔΒ. ὡς δὲ συναμφότερος ἡ ΑΒ, ΓΒ πρὸς ΔΒ, οὕτως ἡ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΓ πρὸς τὴν β τῆς ΒΔ, διότι τὰ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΔ πρὸς ΔΕ, οὕτως | |
| 30 | ἡ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ πρὸς τὴν β τῆς ΔΒ. πά‐ | |
| λιν, ἐπειδὴ αἱ ΓΒ, ΒΔ, ΒΕ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν καὶ | ||
296 | αἱ ΑΓ, ΓΔ, ΔΕ, ἔστιν διὰ τὰ πρότερον εἰρημένα, ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΔΕ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΓΒ, ΒΔ πρὸς ΒΕ. ἦν δὲ καί, ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΔΕ, ἡ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΓ πρὸς τὴν β τῆς ΒΔ· καὶ ὡς ἄρα ἓν πρὸς | |
| 5 | ἕν, οὕτως ἅπαντα πρὸς ἅπαντα· ὡς ἄρα ἡ ΑΔ πρὸς ΔΕ, οὕτως τὰ ἡγούμενα πρὸς τὰ ἑπόμενα. ἔστιν δὲ ἡγούμενα μὲν ἡ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΓ καὶ συν‐ αμφότερος ἡ ΓΒ, ΒΔ, τουτέστι δύο αἱ ΑΒ καὶ τρεῖς αἱ ΓΒ καὶ μία ἡ ΒΔ, ἑπόμενα δὲ ἡ β τῆς ΒΔ καὶ ἡ | |
| 10 | ΒΕ μόνη· ἔστιν οὖν, ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΔΕ, ἡ συγκειμένη εὐθεῖα ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΒ καὶ γ τῆς ΓΒ καὶ τῆς ΔΒ μόνης πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς ΒΔ καὶ μόνης τῆς ΕΒ. καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς δ τῆς ΓΒ καὶ τῆς δ τῆς ΔΒ | |
| 15 | καὶ τῆς β τῆς ΒΕ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΒ καὶ γ τῆς ΓΒ καὶ τῆς ΒΔ μόνης, ἔξωθεν δέ ἐστιν ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς β τῆς ΔΒ καὶ μόνης τῆς ΕΒ, τὸ δὲ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον, μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς | |
| 20 | β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, ΒΔ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΔΒ καὶ τῆς ΕΒ μόνης ἤπερ ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς γ τῆς ΓΒ καὶ μόνης τῆς ΔΒ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς διπλῆς τῆς ΒΔ καὶ μόνης τῆς ΕΒ. ἀλλ’ ὡς ἡ | |
| 25 | συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ γ τῆς ΓΒ καὶ τῆς ΒΔ μόνης πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΒΔ καὶ μό‐ νης τῆς ΕΒ, οὕτως ἐδείχθη ἡ ΑΔ πρὸς ΔΕ· καὶ ἡ συγκειμένη ἄρα ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, ΒΔ πρὸς τὴν συγκειμένην | |
| 30 | ἔκ τε τῆς β τῆς ΒΔ καὶ μόνης τῆς ΕΒ μείζονα λόγον | |
| ἔχει ἤπερ ἡ ΑΔ πρὸς ΔΕ. ἐὰν ἄρα θελήσωμεν ποιῆσαι | ||
297 | τὸν αὐτὸν λόγον τῆς ΑΔ πρὸς ἄλλην τινά, ἐλάσσων ἔσται ἐκείνη τῆς ΔΕ. ἔστω ἡ ΔΟ· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΔΟ, ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς | |
| ΑΒ, ΒΕ καὶ δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, ΒΔ πρὸς τὴν | ||
298 | συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΒΔ καὶ μόνης τῆς ΕΒ. ἀνά‐ παλιν ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΟΔ πρὸς ΔΑ, ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΒΔ καὶ μόνης τῆς ΕΒ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ τῆς δ συναμ‐ | |
| 5 | φοτέρου τῆς ΓΒ, ΒΔ· καὶ συνθέντι, ὡς ἡ ΟΑ πρὸς ΑΔ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ δ τῆς ΓΒ καὶ ϛ τῆς ΒΔ καὶ γ τῆς ΒΕ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ δ συναμφοτέ‐ ρου τῆς ΓΒ, ΒΔ· ἥ τε γὰρ ΒΔ ἑξάκις παρελήφθη, τε‐ | |
| 10 | τράκις μὲν ἐν τοῖς προτέροις, δὶς δὲ ἐν τοῖς δευτέροις, καὶ ἡ ΒΕ τρὶς ἐλήφθη, δὶς μὲν ἐν τοῖς πρώτοις, ἅπαξ δὲ ἐν τοῖς δευτέροις. ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ΑΔ πρὸς ΗΘ τοῦτον ἔχουσα τὸν λόγον, ὃν ἔχει ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ ι συναμφοτέρου τῆς | |
| 15 | ΓΒ, ΒΔ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ δ τῆς ΓΒ καὶ ϛ τῆς ΒΔ καὶ γ τῆς ΒΕ, καί ἐστι τετα‐ ραγμένη ἀναλογία· δι’ ἴσου ἄρα, ὡς ἡ ΟΑ πρὸς ΗΘ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ ι τῆς ΓΒ, ΒΔ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς | |
| 20 | β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ δ τῆς ΓΒ, ΒΔ. τὸ γὰρ τῆς γεγραμμένης ἀναλογίας οὕτως ἔσται δῆλον· ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἡγούμενον ἡ ΟΑ πρὸς ἑπόμενον τὴν ΑΔ, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡγούμενον ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ | |
| 25 | καὶ δ τῆς ΓΒ καὶ ϛ τῆς ΒΔ καὶ γ τῆς ΒΕ πρὸς ἑπό‐ μενον τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, ΒΔ, ὡς δὲ ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἑπόμενον ἡ ΑΔ πρὸς ἄλλο τι τὴν ΗΘ, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἄλλο τι ἡ συγ‐ | |
| 30 | κειμένη ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ ι συν‐ | |
| αμφοτέρου τῆς ΓΒ, ΒΔ πρὸς ἡγούμενον τὴν συγκει‐ | ||
299 | μένην ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΒ καὶ δ τῆς ΓΒ καὶ ϛ τῆς ΒΔ καὶ γ τῆς ΒΕ ..... ἐπεὶ ἡ ε συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, | |
| ΒΕ πρὸς τὴν β τῆς αὐτῆς λόγον ἔχει, ὃν πέντε πρὸς | ||
300 | δύο, ἔχει δὲ καὶ ἡ ι συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, ΒΔ πρὸς τὴν δ τῆς αὐτῆς λόγον, ὃν πέντε πρὸς δύο, ἐπειδὴ καὶ τὰ πέντε πρὸς δύο καὶ τὰ δέκα πρὸς τέσσαρα λόγον ἔχει, ὃν πέντε πρὸς δύο, καὶ ἡ συγκειμένη ἄρα ἐκ τῆς ε | |
| 5 | συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ ι συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, ΒΔ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ δ τῆς ΓΒ, ΒΔ λόγον ἔχει, ὃν πέντε πρὸς δύο· ὥστε καὶ ἡ ΑΟ πρὸς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν πέντε πρὸς δύο. πάλιν, ἐπεὶ ἐδείχθη ἐν τοῖς ἀνωτέρω, | |
| 10 | ὅτι ἡ ΟΔ πρὸς ΔΑ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἔχει ἡ ΕΒ μετὰ τῆς β τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ἴσην τῇ συγκειμένῃ ἔκ τε τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ μετὰ τῆς δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, ΒΔ, ἔστιν δὲ καί, ὡς ἑπόμενον ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἡ ΑΔ πρὸς ἄλλο τι τὴν ΔΕ, | |
| 15 | οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἄλλο τι ἡ συγκει‐ μένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ γ τῆς ΓΒ καὶ μόνης τῆς ΔΒ πρὸς ἡγούμενον τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς ΕΒ καὶ τῆς β τῆς ΒΔ, ἀνομοίως τῶν λόγων τεταγμένων, τουτέστι τεταραγμένης οὔσης τῆς ἀναλογίας, δι’ ἴσου ἐστίν, ὡς | |
| 20 | ἡ ΟΔ πρὸς ΔΕ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς γ τῆς ΓΒ καὶ μόνης τῆς ΒΔ πρὸς τὴν συγκει‐ μένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ δ τῆς ΓΒ, ΒΔ· ὥστε καὶ ἀνάπαλιν, ὡς ἡ ΕΔ πρὸς ΔΟ, οὕ‐ τως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ | |
| 25 | καὶ δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒΔ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΒ καὶ γ τῆς ΓΒ καὶ μόνης τῆς ΒΔ, καὶ ἀναστρέψαντι, ὡς ἡ ΔΕ πρὸς ΕΟ, τὸ ἡγούμενόν φημι πρὸς τὴν ὑπεροχήν, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συν‐ αμφοτέρου τῆς ΑΒΕ μετὰ τῆς δ τῆς ΓΒΔ πρὸς τὴν | |
| 30 | συγκειμένην ἐκ τῆς ΓΒ μόνης καὶ γ τῆς ΒΔ καὶ τῆς β | |
| τῆς ΕΒ. ἐν μὲν γὰρ τῷ ἡγουμένῳ ἡ β τῆς ΑΒ καὶ τῆς | ||
302 | ΒΕ, ἐν δὲ τῷ ἑπομένῳ ἡ β τῆς ΑΒ μόνης· ὥστε περιλείπε‐ ται ἐν ταῖς ὑπεροχαῖς ἡ β τῆς ΕΒ· πάλιν ἐν μὲν τῷ ἡγου‐ μένῳ ἡ δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒΔ, ἐν δὲ τῷ ἑπομένῳ ἡ γ τῆς ΓΒ καὶ ἡ ΒΔ μόνη· ὥστε περιλείπεται ἐν ταῖς ὑπερ‐ | |
| 5 | οχαῖς ἡ ΓΒ μόνη καὶ ἡ γ τῆς ΒΔ. καλῶς οὖν ἐλέχθη, ὅτι ἐστὶν ἀναστρέψαντι, ὡς ἡ ΔΕ πρὸς ΕΟ, ἡ συγκει‐ μένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ δ συν‐ αμφοτέρου τῆς ΓΒΔ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς ΓΒ καὶ τῆς γ τῆς ΔΒ καὶ τῆς β τῆς ΕΒ· ὥστε καὶ | |
| 10 | ἀνάπαλιν, ὡς ἡ ΟΕ πρὸς ΕΔ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΓΒ μετὰ τῆς γ τῆς ΒΔ καὶ β τῆς ΕΒ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒΔ. ἔστιν δὲ καί, ὡς ἡ ΔΒ πρὸς ἄλλο τι τὴν ΕΒ, ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, καὶ διελόντι, ὡς ἡ | |
| 15 | ΔΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ· διὰ τὰ αὐτὰ δή ἐστιν, ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΒ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς ΕΒ· καὶ ὡς ἄρα ἡ γ τῆς ΓΔ πρὸς τὴν γ τῆς ΔΒ, οὕτως ἡ β τῆς ΔΕ πρὸς τὴν β τῆς ΕΒ· τὰ γὰρ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλα‐ πλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. καὶ ὡς ἄρα ἓν πρὸς ἕν, | |
| 20 | οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΔΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΑΓ καὶ τῆς γ τῆς ΓΔ καὶ β τῆς ΔΕ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς ΓΒ καὶ τῆς γ τῆς ΒΔ καὶ τῆς β τῆς ΕΒ. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη, ὡς ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθε‐ | |
| 25 | σιν ἡγούμενον ἡ ΟΕ πρὸς ἑπόμενον τὴν ΔΕ, ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡγούμενον ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΓΒ καὶ τῆς γ τῆς ΒΔ καὶ β τῆς ΒΕ πρὸς ἑπόμενον τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒΔ, ὡς δὲ ἐν τοῖς πρώτοις με‐ | |
| 30 | γέθεσιν ἑπόμενον ἡ ΔΕ πρὸς ἄλλο τι τὴν ΕΒ, ἐν τοῖς | |
| δευτέροις μεγέθεσιν ἄλλο τι ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΑΓ | ||
304 | καὶ γ τῆς ΓΔ καὶ β τῆς ΔΕ πρὸς ἡγούμενον τὴν συγ‐ κειμένην ἔκ τε τῆς ΓΒ καὶ γ τῆς ΔΒ καὶ β τῆς ΒΕ, δι’ ἴσου ἐν τῇ τεταραγμένῃ ἀναλογίᾳ, ὡς ἡ ΟΕ πρὸς ΕΒ, ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς ΑΓ καὶ γ τῆς ΓΔ καὶ β | |
| 5 | τῆς ΔΕ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ μετὰ τῆς δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒΔ· καὶ συνθέντι, ὡς ἡ ΟΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΑΓ καὶ γ τῆς ΓΔ καὶ β τῆς ΕΔ καὶ β συναμφοτέ‐ ρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒΔ πρὸς | |
| 10 | τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒΔ. ἀλλὰ ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΑΓ καὶ γ τῆς ΓΔ καὶ β τῆς ΕΔ καὶ β συναμφο‐ τέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒΔ ἴση ἐστὶ τῇ συγκειμένῃ ἔκ τε τῆς γ τῆς ΑΒ καὶ ϛ τῆς ΓΒ | |
| 15 | καὶ γ τῆς ΔΒ· ἥ τε γὰρ ΑΒ δὶς παρελήφθη αὐτόθεν καὶ προσλαβοῦσα τὴν ΑΓ καὶ ἐκ τῆς δ τῆς ΓΒ μίαν ποιεῖ τὴν γ τῆς ΑΒ· πάλιν ἀφαιρεθείσης ἀπὸ τῆς δ τῆς ΓΒ μιᾶς γίνεται γ, προσλαβοῦσα δὲ τὴν γ τῆς ΓΔ καὶ γ τῆς ΔΒ ποιεῖ τὴν ϛ τῆς ΓΒ· πάλιν ἀφαιρεθείσης ἀπὸ | |
| 20 | τῆς δ τῆς ΔΒ γ μένει μόνη ἡ ΔΒ, προσλαβοῦσα δὲ τήν τε β τῆς ΔΕ καὶ τὴν β τῆς ΕΒ ποιεῖ τὴν γ τῆς ΒΔ. καλῶς οὖν λέγει, ὅτι ἡ ΟΒ πρὸς ΕΒ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς γ τῆς ΑΒ καὶ ϛ τῆς ΓΒ καὶ γ τῆς ΔΒ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συν‐ | |
| 25 | αμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒΔ. πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΕΔ, ΔΓ, ΓΑ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ καὶ διὰ τὸ ἀνάπαλιν τῆς ὑποθέσεως συναμφότερος ἑκάστη | |
| τῶν ΕΒ, ΒΔ, ΔΒ, ΒΓ, ΒΓ, ΒΑ, ἔσται, ὡς ἡ ΕΔ πρὸς | ||
306 | τὴν μέσην καὶ τὴν ἑπομένην τὰς ΔΓ, ΓΑ, τουτέστι τὴν ΔΑ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΕΒ, ΒΔ πρὸς συναμφό‐ τερον τὴν ΔΒ, ΒΓ μετὰ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, ΒΑ· καὶ συνθέντι ἄρα, ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΔ, οὕτως συναμφό‐ | |
| 5 | τερος ἡ ΕΒΔ μετὰ συναμφοτέρου τῆς ΔΒΓ καὶ μετὰ συναμφοτέρου τῆς ΓΒΑ πρὸς συναμφότερον τὴν ΔΒΓ μετὰ συναμφοτέρου τῆς ΓΒΑ. ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΕΒΔ μετὰ τῆς ΔΒΓ καὶ τῆς ΓΒΑ ἴση ἐστὶ συναμφο‐ τέρῳ τῇ ΕΒΑ καὶ δὶς συναμφοτέρῳ τῇ ΔΒΓ· ἅπαξ γὰρ | |
| 10 | αἱ ἄκραι παραλαμβάνονται καὶ δὶς αἱ μέσαι· συναμφό‐ τερος δὲ ἡ ΔΒΓ μετὰ τῆς ΓΒΑ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒΔ καὶ δὶς τῇ ΒΓ διὰ τὴν αὐτὴν αἰτίαν· ὥστε ἐστίν, ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΔ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς ΕΒΑ καὶ β συναμφοτέρου τῆς ΔΒΓ πρὸς τὴν συγ‐ | |
| 15 | κειμένην ἔκ τε συναμφοτέρου τῆς ΔΒΑ καὶ τῆς β τῆς ΓΒ. ὥστε καὶ ἡ διπλασία πρὸς τὴν διπλασίαν τὸν αὐ‐ τὸν ἔχει λόγον· ὡς ἄρα ἡ ΕΑ πρὸς ΑΔ, οὕτως ἡ συγ‐ κειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΕΒΑ μετὰ τῆς δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒΔ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς | |
| 20 | β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΔ καὶ τῆς δ τῆς ΓΒ. ὥστε καί, ὡς ἡ ΕΑ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς ΑΔ, οὕτως ἡ συγ‐ κειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ δ συν‐ αμφοτέρου τῆς ΓΒΔ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς συγκει‐ μένης ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΔ καὶ τῆς δ τῆς | |
| 25 | ΓΒ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς ΑΔ, οὕ‐ τως ἐλήφθη ἡ ΒΕ πρὸς ΖΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ τῆς δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒΔ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς συγκειμένης ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς | |
| 30 | ΑΒΔ καὶ δ τῆς ΓΒ. ἐπεὶ οὖν δέδεικται, ὡς ἡγούμενον | |
| ἡ ΟΒ πρὸς ἑπόμενον τὴν ΒΕ, οὕτως ἡγούμενον ἡ γ | ||
308 | συναμφοτέρου τῆς ΑΒΔ μετὰ τῆς ϛ τῆς ΓΒ πρὸς ἑπό‐ μενον τὴν β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ δ συναμφο‐ τέρου τῆς ΓΒΔ, ὡς δὲ ἑπόμενον ἡ ΕΒ πρὸς ἄλλο τι τὴν ΖΗ, οὕτως ἑπόμενον ἡ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ | |
| 5 | καὶ ἡ δ συναμφοτέρου τῆς ΔΒΓ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τοῦ ἑπομένου, τουτέστι τῆς συγκειμένης ἐκ τῆς β συν‐ αμφοτέρου τῆς ΑΒΔ καὶ τῆς δ τῆς ΓΒ, τεταγμένης οὖν οὔσης τῆς ἀναλογίας δι’ ἴσου ἐστίν, ὡς ἡ ΟΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς γ συναμφοτέρου τῆς | |
| 10 | ΑΒΔ καὶ ϛ τῆς ΓΒ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς συγκει‐ μένης ἔκ τε τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΔ καὶ δ τῆς ΓΒ. ἡ δὲ συγκειμένη ἐκ τῆς γ συναμφοτέρου τῆς ΑΒΔ καὶ ϛ τῆς ΓΒ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφο‐ τέρου τῆς ΑΒΔ καὶ δ τῆς ΓΒ λόγον ἔχει, ὃν τρία πρὸς | |
| 15 | δύο, πρὸς δὲ τὰ τρία πέμπτα τῆς αὐτῆς λόγον ἔχει, ὃν πέντε πρὸς δύο ..... τὰ δὲ ἑξαπλάσια τῶν αὐτῶν τῶν τετραπλασίων ἡμιόλιά ἐστιν· πρὸς δὲ τρία πέμπτα τῆς αὐτῆς λόγον ἔχει, ὃν πέντε πρὸς δύο. ἐπειδὴ γὰρ τὰ ἡγούμενα τῶν ἑπομένων ἡμιόλια, καὶ λόγον ἔχει πρὸς | |
| 20 | αὐτά, ὃν τρία πρὸς δύο· ἔχει ἄρα καί, ὃν τεσσαράκοντα πέντε πρὸς τριάκοντα· ἑκάτερον γὰρ ἑκατέρου ἐστὶ πεν‐ τεκαιδεκαπλάσιον. καί ἐστι τὰ τρία πέμπτα τῶν τριά‐ κοντα δεκαοκτώ· ἔχει ἄρα τεσσαράκοντα πέντε πρὸς δε‐ καοκτὼ λόγον, ὃν πέντε πρὸς δύο· τὰ γὰρ πέντε καὶ τὰ | |
| 25 | δύο ἀμφοτέρων εἰσὶν ἔννατα. ἐπεὶ οὖν δέδεικται ἡ μὲν ΟΑ πρὸς ΗΘ λόγον ἔχουσα, ὃν πέντε πρὸς δύο, ἡ δὲ ΟΒ πρὸς ΖΗ τὸν αὐτὸν λόγον, δύο πεμπτημόριά ἐστιν | |
| ὅλη ἡ ΖΘ ὅλης τῆς ΑΒ. | ||
310(1t) | Εἰς τὸ ιʹ. | |
| 2 | Φανερὸν δή, ὅτι καὶ τοῦ ΑΔΕΓ τόμου διά‐ μετρός ἐστιν ἡ ΖΗ ἐπεὶ γὰρ ὑπόκειται ἡ ΖΒ διά‐ μετρος τοῦ τμήματος καὶ αἱ ΑΓ, ΔΕ διχοτομούμεναι | |
| 5 | ὑπ’ αὐτῆς κατὰ τὰ Ζ, Η, παράλληλοί εἰσιν τῇ κατὰ τὸ Β ἐφαπτομένῃ τῆς τομῆς. καὶ δῆλον, ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ ὁμοίως αὐταῖς ἀγόμεναι παράλληλοι εἴτε μεταξὺ αὐτῶν εἴτε καὶ μεταξὺ τῆς ΔΕ καὶ τῆς Β κορυφῆς δίχα τμηθή‐ σονται ὑπὸ τῆς ΒΖ, καὶ διὰ τοῦτό φησι διάμετρον εἶναι | |
| 10 | τοῦ τόμου τὴν ΖΗ. Ἀλλ’ ὡς μὲν ὁ ἀπὸ ΖΑ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ ΔΗ κύβον, οὕτως τὸ [ἀπὸ] ΑΒΓ τμᾶμα πρὸς τὸ ΔΕΒ τμᾶμα ἐπεὶ γὰρ δέδεικται ὑπ’ αὐτοῦ, ὅτι τὸ ΑΒΓ τμῆμα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐστὶν ἐπίτριτον καὶ τὸ ΔΕΒ | |
| 15 | τμῆμα τοῦ ΔΕΒ τριγώνου, ἔστιν, ὡς τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΔΕΒ τμῆμα πρὸς τὸ ΔΕΒ τρίγωνον· καὶ ἐναλλάξ, ὡς τὸ τμῆμα πρὸς τὸ τμῆμα, τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρίγωνον· ὥστε καὶ τὰ ἡμίση αὐτῶν, ὡς τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ ΔΕΒ τμῆμα, | |
| 20 | οὕτως τὸ ΑΖΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΗΒ τρίγωνον. [ὥστε] καὶ ἐὰν ἀναγράψωμεν τὰ παραλληλόγραμμα τὰ διπλάσια τῶν τριγώνων, ἔσται ἰσογώνια διὰ τὸ παραλλήλους εἶ‐ ναι τὰς ΔΗ, ΑΖ· ὥστε καὶ λόγον ἕξει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν τῆς ΑΖ πρὸς ΔΗ καὶ τῆς ΖΒ πρὸς | |
| 25 | ΒΗ. ὁ αὐτὸς δὲ λόγος ἐστὶ τῶν τε τριγώνων καὶ τῶν τμημάτων· τὸ ἄρα τμῆμα πρὸς τὸ τμῆμα λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τοῦ τῆς ΑΖ πρὸς ΔΗ καὶ τοῦ τῆς ΖΒ πρὸς ΒΗ. ὁ δὲ τῆς ΖΒ πρὸς ΒΗ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΗ τετράγωνον· ὁ ἄρα | |
| 30 | τοῦ τμήματος πρὸς τὸ τμῆμα λόγος σύγκειται ἐκ τοῦ | |
312 | τοῦ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΗ τετράγωνον καὶ τοῦ τῆς ΑΖ πρὸς ΔΗ. σύγκειται δὲ καὶ ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΖ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ ΔΗ κύβον λόγος ἐκ τῶν αὐτῶν, ὡς δέδεικται ἐν τοῖς σχολίοις τοῦ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου· ἔστιν | |
| 5 | ἄρα, ὡς τὸ τμῆμα πρὸς τὸ τμῆμα, οὕτως ὁ ἀπὸ ΑΖ κύ‐ βος πρὸς τὸν ἀπὸ ΔΗ κύβον. Καὶ ἐπεὶ τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς ΔΗ καὶ τῆς ΑΖ πρὸς τὸν ἀπὸ ΑΖ | |
| 10 | κύβον λόγον ἔχει, ὃν ἡ β τῆς ΔΗ μετὰ τῆς ΑΖ πρὸς ΖΑ ἐπὶ γὰρ τῶν αὐτῶν βάσεων ὄντα πρὸς ἄλ‐ ληλά ἐστιν, ὡς τὰ ὕψη. ἔστιν δὲ καί, ὡς ἡ ΔΗ πρὸς ΑΖ, ἡ ΞΝ πρὸς ΝΜ, καὶ ὡς ἡ β τῆς ΔΗ πρὸς ΑΖ, ἡ β τῆς ΞΝ πρὸς ΝΜ· | |
| 15 | καὶ συνθέντι, ὡς ἡ β τῆς ΝΞ μετὰ τῆς ΝΜ πρὸς ΝΜ, ἡ β τῆς ΔΗ μετὰ τῆς ΑΖ πρὸς ΑΖ. ἐδείχθη δὲ καί, ὡς ὁ ἀπὸ ΑΖ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ ΔΗ κύβον, οὕ‐ τως ὅ τε ἀπὸ ΜΝ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ ΝΞ κύβον καὶ ἡ ΜΝ πρὸς ΝΤ· αἱ γὰρ ΜΝ, ΝΞ, ΝΟ, ΝΤ τέσσαρές | |
| 20 | εἰσιν ἀνάλογον, καὶ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης στερεὸν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευ‐ τέρας ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένον. Ὡς δὲ ὁ ἀπὸ ΔΗ κύβος πρὸς τὸ στερεὸν τὸ βά‐ σιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΔΗ τετράγωνον, ὕψος δὲ | |
| 25 | τὴν συγκειμένην εὐθεῖαν ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΖ καὶ τῆς ΔΗ, οὕτως ἡ ΔΗ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΑΖ καὶ τῆς ΔΗ πάλιν γὰρ πρὸς ἄλληλά ἐστιν, ὡς τὰ ὕψη. ὡς δὲ ἡ ΔΗ πρὸς τὴν β τῆς ΑΖ μετὰ τῆς ΔΗ, οὕ‐ | |
| 30 | τως ἡ ΤΝ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς ΟΝ καὶ | |
| τῆς ΤΝ· ἔστιν γάρ, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΔΗ, ἡ ΜΝ πρὸς | ||
314 | ΝΞ καὶ ἡ ΟΝ πρὸς ΝΤ· καὶ ἀνάπαλιν, ὡς ἡ ΔΗ πρὸς ΑΖ, ἡ ΤΝ πρὸς ΝΟ, καὶ ὡς ἡ ΔΗ μετὰ τῆς β τῆς ΑΖ πρὸς ΑΖ, οὕτως ἡ ΤΝ μετὰ τῆς β τῆς ΝΟ πρὸς ΝΟ. | |
| 5 | Γέγονεν οὖν τέσσαρα μεγέθη ἑξῆς ἀλλήλων κείμενα, πρῶτον μὲν τὸ στερεὸν τὸ βάσιν ἔχον τὸ ἀπὸ ΑΖ τε‐ τράγωνον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΔΗ καὶ τῆς ΑΖ, καὶ δεύτερον ὁ ἀπὸ τῆς ΑΖ κύβος καὶ τρίτον ὁ ἀπὸ τῆς ΔΗ κύβος καὶ τέταρτον τὸ στερεὸν | |
| 10 | τὸ βάσιν ἔχον τὸ ἀπὸ τῆς ΔΗ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΖ καὶ τῆς ΔΗ, καὶ ἄλλαι τινὲς εὐθεῖαι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ σύνδυο λαμβανόμεναι, ἥ τε συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΝΞ καὶ μόνης τῆς ΜΝ καὶ δευτέρα ἡ ΜΝ καὶ τρίτη ἡ ΝΤ καὶ τετάρτη ἡ | |
| 15 | συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΟΝ καὶ τῆς ΝΤ· δι’ ἴσου ἄρα γενήσεται, ὡς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΑΖ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΔΗ καὶ τῆς ΑΖ μόνης, πρὸς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν ἔχον τὸ ἀπὸ ΔΗ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς | |
| 20 | β τῆς ΑΖ καὶ μόνης τῆς ΔΗ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΞΝ καὶ μόνης τῆς ΜΝ πρὸς τὴν συγκειμέ‐ νην ἐκ τῆς β τῆς ΝΟ καὶ μόνης τῆς ΝΤ. ἀλλ’ ὡς τὰ εἰρημένα στερεὰ πρὸς ἄλληλα, οὕτως ἐδείχθη ἡ ΘΙ πρὸς ΙΚ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΙ πρὸς ΙΚ, οὕτως ἡ συγκειμένη | |
| 25 | ἐκ τῆς β τῆς ΞΝ καὶ μόνης τῆς ΝΜ πρὸς τὴν συγκει‐ μένην ἐκ τῆς β τῆς ΟΝ καὶ μόνης τῆς ΝΤ· καὶ συν‐ θέντι, ὡς ἡ ΘΚ πρὸς ΚΙ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ συν‐ αμφοτέρου τῆς ΜΝΤ καὶ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΞΝΟ | |
| πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΟΝ καὶ μόνης τῆς | ||
316 | ΝΤ· καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ ε, ὡς ἡ ΗΖ πρὸς ΚΙ, οὕ‐ τως ἡ ε συναμφοτέρου τῆς ΜΝΤ καὶ ι συναμφοτέρου τῆς ΞΝΟ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΝΟ καὶ μόνης τῆς ΝΤ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΗ πρὸς ΖΚ οὖσαν αὐ‐ | |
| 5 | τῆς δύο πέμπτα· ἑκατέρα γὰρ τῶν ΗΘ, ΖΚ δύο πεμπτη‐ μόριά ἐστι τῆς ΗΖ, ἐπειδὴ τὸ μέσον πεμπτημόριον ἡ ΘΚ ὑπόκειται· οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ε συναμφο‐ τέρου τῆς ΜΝΤ καὶ ι συναμφοτέρου τῆς ΞΝΟ πρὸς τὴν β συναμφοτέρου τῆς ΜΝΤ καὶ δ συναμφοτέρου τῆς | |
| 10 | ΞΝΟ· καὶ γὰρ τὰ β τῶν ε καὶ τὰ δ τῶν ι δύο πεμπτη‐ μόριά ἐστιν. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη, ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΙΚ, οὕ‐ τως ἡ ε τῆς ΜΝΤ καὶ ι τῆς ΞΝΟ πρὸς τὴν β τῆς ΝΟ καὶ μόνην τὴν ΝΤ, πάλιν δὲ ἐδείχθη, ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΖΚ, ἡ ε συναμφοτέρου τῆς ΜΝΤ καὶ ι τῆς ΞΝΟ πρὸς | |
| 15 | τὴν β τῆς ΜΝΤ καὶ δ τῆς ΞΝΟ, ἔσται, ὡς ἡγούμενον πρὸς τὰ δύο ἑπόμενα, οὕτως ἡγούμενον πρὸς τὰ δύο ἑπόμενα, ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΖΙ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΜΝΤ καὶ ι συναμφοτέρου τῆς ΞΝΟ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΟΝ καὶ μό‐ | |
| 20 | νης τῆς ΝΤ καὶ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΜΝΤ καὶ δ τῆς ΞΝΟ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ συγκειμένῃ ἐκ τῆς β τῆς ΜΝ καὶ δ τῆς ΝΞ καὶ ϛ τῆς ΝΟ καὶ γ τῆς ΝΤ· οὕτως γὰρ εἴληπται καὶ ἀνωτέρω. ἐπεὶ οὖν τέσσαρες εὐθεῖαι ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΜΝΞ, ΟΝΤ, καί ἐστιν, ὡς μὲν ἡ | |
| 25 | ΝΤ πρὸς ΤΜ, οὕτως εἰλημμένη τις ἡ ΡΙ πρὸς τὴν ΖΘ, τουτέστι πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς ΗΖ, τουτέστι τῆς ΜΟ, καὶ δεδειγμέναι εἰσὶν αἱ ἐν τῷ ῥητῷ ἀναλογίαι, ἔσται διὰ τὸ προειρημένον ἡ ΡΖ δύο πέμπτα τῆς ΜΝ, | |
| τουτέστι τῆς ΖΒ· τρία ἄρα πέμπτα ἐστὶν ἡ ΒΡ τῆς | ||
318 | ΒΖ. ἡ ΒΡ ἄρα πρὸς ΡΖ λόγον ἔχει, ὃν τρία πρὸς δύο· ὥστε κέντρον βάρους ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ τμήματος τὸ Ρ σημεῖον. ἐὰν δὴ λάβωμεν τὸ τοῦ ΔΒΕ τμήματος τὸ Χ, τρία πέμπτα ἔσται ἡ ΒΧ τῆς ΒΗ. γέγονεν οὖν, ὡς ὅλη | |
| 5 | ἡ ΖΒ πρὸς ὅλην τὴν ΒΡ, οὕτως ἀφαιρεθεῖσα ἡ ΒΗ πρὸς ἀφαιρεθεῖσαν τὴν ΒΧ· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν πρὸς ἑκατέραν λόγον ἔχει, ὃν πέντε πρὸς τρία· καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΗ πρὸς λοιπὴν τὴν ΧΡ λόγον ἕξει, ὃν πέντε πρὸς τρία. ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται, ὡς ὁ ΑΔΕΓ τομεὺς πρὸς | |
| 10 | τὸ ΔΒΕ τμῆμα, οὕτως ἡ ΜΤ πρὸς ΤΝ, ὡς δὲ ἡ ΜΤ πρὸς ΤΝ, οὕτως τὰ τρία πέμπτα τῆς ΗΖ [τουτέστιν ἡ ΙΘ] ἤτοι ἡ ΧΡ πρὸς ΡΙ, ἔσται ἄρα καί, ὡς ὁ τομεὺς πρὸς τὸ τμῆμα, ἡ ΧΡ πρὸς ΡΙ. καὶ ἀντιπεπόνθασιν ...... ὅπερ τὸ Ρ κέντρον τοῦ ὅλου τμήματος· τοῦ ἄρα τόμου | |
| 15 | κέντρον ἐστὶ τὸ Ι. | |