|
TLG 4072 002 :: EUTOCIUS :: Commentarius in dimensionem circuli EUTOCIUS Math. Commentarius in dimensionem circuli Citation: Page — (line) | ||
228 | Ἐχόμενον ἂν εἴη τὸν ἐμὸν πληροῦντι σκοπὸν τοῖς σαφεστέροις καὶ βραχυτέρας ἐπιστάσεως δεομένοις τῶν ὑπ’ Ἀρχιμήδους γεγραμμένων ἐντυγχάνοντι καὶ τὰ ὁπωσ‐ οῦν ἐν αὐτοῖς ἐπεξεργασίας δεόμενα τὸν δυνατὸν τρό‐ | |
| 5 | πον συνεχῆ ποιεῖν τοῖς πρότερον ὑφ’ ἡμῶν ἐν τῷ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου γεγραμμένοις εὐχῆς ὡς ἀληθῶς ἀξίου τυγχάνοντος τοῦ καὶ τοῖς μείζοσι καὶ πλείονος φροντίδος δεομένοις ἐπιστῆναι. εἴη δ’ ἂν ὡς πρὸς τὸ προκείμενον ἐφεξῆς τὸ γεγραμμένον Ἀρχιμήδει βιβλίδιον | |
|---|---|---|
| 10 | Κύκλου μέτρησιν τὴν ἐπιγραφὴν ἔχον, ἐν ᾧ τὴν πρόθε‐ σιν τἀνδρὸς ἐξ αὐτῆς τῆς ἐπιγραφῆς γνωρίζομεν· βού‐ λεται γὰρ ἐπιδεῖξαι, τίνι χωρίῳ εὐθυγράμμῳ ἴσος ἂν εἴη κύκλος, πρᾶγμα πάλαι πρὸς τῶν πρὸ αὐτοῦ κλεινῶν φιλοσόφων ἐζητημένον. δῆλον γάρ, ὅτι τουτὶ ἂν εἴη τὸ | |
| 15 | ζητούμενον, ὅπερ Ἱπποκράτης τε ὁ Χῖος καὶ Ἀντιφῶν ζητήσαντες ἐπιμελῶς ἐκείνους ἡμῖν τοὺς παραλογισμοὺς εὑρήκασιν, οὓς ἀκριβῶς εἰδέναι νομίζω τούς τε τὴν Εὐ‐ δήμου Γεωμετρικὴν ἱστορίαν ἐπεσκεμμένους καὶ τῶν Ἀριστοτελικῶν μετασχόντας κηρίων. ἀλλ’ ἔστι μὲν τοῦτο | |
| 20 | τὸ βιβλίον, ὥς φησιν Ἡρακλείδης ἐν τῷ Ἀρχιμήδους βίῳ, πρὸς τὰς τοῦ βίου χρείας ἀναγκαῖον· δείκνυσιν γάρ, ὅτι ἡ περιφέρεια τῆς διαμέτρου ἐστὶ τριπλασία καὶ ἔτι ὑπερέχει ἐλάττονι μὲν ἢ ἑβδόμῳ μέρει, μείζονι δὲ ἢ δέκα ἑβδομηκοστομόνοις. τοῦτο οὖν φησιν σύνεγγυς δε‐ | |
| 25 | δεῖχθαι, εὑρῆσθαι μέντοι αὐτῷ διά τινων ἑλίκων εὐ‐ | |
| θεῖαν ἴσην τῇ δοθείσῃ κύκλου περιφερείᾳ. | 228 | |
230(1t) | Εἰς τὸ αʹ θεώρημα. | |
| 2 | Τὸ πρῶτον θεώρημα καὶ τοῖς ἐπὶ ποσὸν μαθημάτων γυμνασαμένοις οὐδεμίαν ἔχον ζήτησιν φαίνεται αὐτῶν τῶν Ἀρχιμήδους ῥημάτων σαφῶς ἐκτεθειμένων καὶ τὸ | |
| 5 | συμπέρασμα πρὸς τὴν πρότασιν ἀνελλειπῶς ἀποσωζόν‐ των. δοκεῖ δέ τινι κατακεχρῆσθαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν πράγ‐ ματι μηδέπω δεδειγμένῳ. ἐκθέμενος γὰρ τρίγωνον ὀρ‐ θογώνιόν φησιν· ἐχέτω τὴν μίαν τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν | |
| 10 | ἴσην τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, τὴν δὲ λοιπὴν τῇ περιφερείᾳ· ἀλλὰ περιφερείᾳ κύκλου ἴσην εὐθεῖαν λαβεῖν οὐδὲ πρὸς αὐτοῦ ἤδη δεδειγμένον εἶναι, ἀλλ’ οὐδὲ ὑπ’ ἄλλου παρα‐ δεδομένον. συνορᾶν δὲ ὅμως χρή, ὡς οὐδὲν ἔξω τῶν προσηκόντων ὑπ’ Ἀρχιμήδους γράφεται. εἶναι γάρ τι | |
| 15 | μέγεθος τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου παντί που δῆλον, οἶμαι, καὶ τοῦτο τῶν ἐφ’ ἓν διαστατῶν, ἔστιν δὲ καὶ εὐ‐ θεῖα τοῦ αὐτοῦ εἴδους· κἂν εἰ μηδέπω οὖν ἐφάνη δυνα‐ τὸν περιφερείᾳ κύκλου ἴσην εὐθεῖαν πορίσασθαι, ἀλλ’ ὅμως εἶναί τινα τῇ φύσει εὐθεῖαν ἴσην αὐτὸ πρὸς οὐ‐ | |
| 20 | δενός ἐστι ζητούμενον. τὸ τοίνυν καὶ πρὸς Ἀρχιμήδους προτεθὲν τοιοῦτόν ἐστιν, ὅτι τὸ τρίγωνον τὸ ὀρθογώ‐ νιον τὸ ἔχον, ὡς προείρηται, τὰς πλευρὰς ἴσον ἐστὶ τῷ κύκλῳ· ὥστε τὸ προτεθὲν ἐκθέμενος οὐδεμιᾶς ἂν κατα‐ χρήσεως κρίνοιτο, θαυμαστὸς δ’ ἂν μᾶλλον κἀν τούτοις | |
| 25 | δόξειεν τοῖς οὕτως ὑπερμεγέθεσιν τῶν ζητημάτων σαφῆ καὶ ῥαδίαν τὴν εὕρησιν ἐπιτιθείς. ὡς δὲ εἴρηται, οὐδεμιᾶς δεῖ ζητήσεως τῷ πρώτῳ θεω‐ ρήματι. τὸ γὰρ ΠΟΡ τρίγωνον ὅτι μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΑΖΟΜ σχήματος, καὶ ὅτι ἁπλῶς περὶ τὸν | |
| 30 | δοθέντα κύκλον δυνατὸν εὐθύγραμμον περιγράψαι, ὥστε | 230 |
232 | τὰ τμήματα τὰ μεταξὺ τῶν τοῦ κύκλου περιφερειῶν καὶ τῶν πλευρῶν τοῦ περιγραφομένου εὐθυγράμμου ἐλάτ‐ τονα εἶναι τοῦ δοθέντος χωρίου, σαφῶς εἴρηται ἐν τοῖς εἰς τὸ πρῶτον τῶν Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου γε‐ | |
| 5 | γραμμένοις ἡμῖν. | |
| 6t | Εἰς τὸ γʹ θεώρημα. | |
| 7 | Ἐν τούτῳ τῷ θεωρήματι συνεχῶς ἐπιταττόμεθα τοῦ δοθέντος ἀριθμοῦ τὴν τετραγωνικὴν πλευρὰν εὑρεῖν. τοῦτο δὲ ἀκριβῶς μὲν εὑρεῖν ἐπὶ ἀριθμοῦ μὴ ὄντος τε‐ | |
| 10 | τραγώνου ἀδύνατον· ἀριθμὸς μὲν γὰρ ἐφ’ ἑαυτὸν πολλα‐ πλασιαζόμενος ποιεῖ τινα τετράγωνον ἀριθμόν, ὁ ἀριθ‐ μὸς δὲ καὶ μόριον ἐφ’ ἑαυτὰ γενόμενα οὐκέτι ἀριθμὸν ποιεῖ πλήρη, ἀλλὰ καὶ μόριον. ὅπως δὲ δεῖ σύνεγγυς τὴν δυναμένην πλευρὰν τὸν δοθέντα ἀριθμὸν εὑρεῖν, εἴρη‐ | |
| 15 | ται μὲν Ἥρωνι ἐν τοῖς Μετρικοῖς, εἴρηται δὲ Πάππῳ καὶ Θέωνι καὶ ἑτέροις πλείοσιν ἐξηγουμένοις τὴν Μεγά‐ λην σύνταξιν τοῦ Κλαυδίου Πτολεμαίου· ὥστε οὐδὲν ἡμᾶς χρὴ περὶ τούτου ζητεῖν ἐξὸν τοῖς φιλομαθέσιν ἐξ ἐκείνων ἀναλέγεσθαι. | |
| 20 | Καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΖ τρίτου ὀρθῆς ἐὰν γὰρ τὴν τοῦ ἑξαγώνου περιφέρειαν διχοτομήσαντες καὶ τὸ ἥμισυ αὐ‐ τῆς πρὸς τῷ Γ ἀπολαβόντες ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΖ, ἔσται ἡ ὑπὸ ΓΕΖ τρίτου ὀρθῆς. ἡ γὰρ πρὸς τῷ Γ ἀποληφ‐ θεῖσα περιφέρεια ἡμίσεια οὖσα τῆς τοῦ ἑξαγώνου δω‐ | |
| 25 | δέκατόν ἐστι τοῦ κύκλου· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΖ γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ οὖσα δωδέκατόν ἐστι τῶν τεσσάρων ὀρ‐ θῶν· τρίτου ἄρα ὀρθῆς. Ἡ ΕΖ ἄρα πρὸς ΖΓ λόγον ἔχει, ὃν τϛ πρὸς ρνγ ὅτι διπλῆ ἐστιν ἡ ΕΖ τῆς ΖΓ, δῆλον ἐντεῦθεν· | |
| 30 | ἐὰν γὰρ προσεκβαλόντες τὴν ΖΓ ἐπὶ τὸ Γ καὶ ἴσην αὐτῇ | 232 |
234 | ἀποθέμενοι ἐπιζεύξωμεν ἀπὸ τοῦ Ε, συσταθήσεται [ἡ πρὸς τῷ Γ γωνία διμοίρου ὀρθῆς. ἔστιν δὲ καὶ] ἡ πρὸς τῷ Ε γωνία διμοίρου ὀρθῆς. ἔστι δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Ζ διμοίρου· ἰσοπλεύρου ἄρα τριγώνου ἥμισύ ἐστι τὸ ΓΕΖ, | |
| 5 | καὶ διὰ τὸ τὴν βάσιν τοῦ ἰσοπλεύρου ἴσην οὖσαν τῇ ΕΖ δίχα τέμνεσθαι κατὰ τὸ Γ διπλῆ ἐστιν ἡ ΕΖ τῆς ΖΓ. Ἡ δὲ ΕΓ πρὸς ΓΖ λόγον ἔχει, ὃν σξε πρὸς ρνγ ἐπεὶ γὰρ ἡ ΕΖ ὑπόκειται τϛ, ἐὰν αὐτὰ ἐφ’ ἑαυτὰ πολυ‐ πλασιάσωμεν, γενήσεται Μθ͵γχλϛ. ἡ δὲ ΓΖ ἐστι ρνγ· | |
| 10 | ὥστε τὸ ἀπ’ αὐτῆς ἔσται Μβ͵γυθ. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΕΖ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΕΓ, ΓΖ, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ἀπὸ ΕΖ ὄντος Μθ͵γχλϛ ἀφέλωμεν τὸ ἀπὸ ΓΖ ὑπάρχον Μβ͵γυθ, κατα‐ λειφθήσεται τὸ ἀπὸ ΕΓ Μζσκζ, ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ σξε καὶ ἔτι μόριον ἐλάχιστον καὶ ἀνεπαίσθητον· λείπεται | |
| 15 | γὰρ ἡ τῶν σξε δύναμις τῆς ἀκριβοῦς μονάσιν β. οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται· [Omitted graphic marker] Τετμήσθω οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ δίχα τῇ ΕΗ· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΖΗ πρὸς ΗΓ, διὰ τὸ τρίτον θεώρημα τοῦ ἕκτου βιβλίου τῆς Εὐκλείδου Στοι‐ | |
| 20 | χειώσεως. καὶ συνθέντι, ὡς συναμφότερος ἡ ΖΕ, ΕΓ | |
| πρὸς ΕΓ, ἡ ΖΓ πρὸς ΓΗ, καὶ ἐναλλάξ, ὡς συναμ‐ | 234 | |
236 | φότερος ἡ ΖΕ, ΕΓ πρὸς ΖΓ, ἡ ΕΓ πρὸς ΓΗ. συν‐ αμφότερος δὲ ἡ ΕΖ, ΕΓ μείζων ἐστὶν ἤπερ φοα· ἡ μὲν γὰρ ΖΕ ὑπόκειται τϛ, ἡ δὲ ΕΓ σξε καὶ ἔτι μορίου τι‐ νός· ὥστε μείζονές εἰσι τῶν φοα. ἡ δὲ ΖΓ ἐστιν ρνγ· | |
| 5 | συναμφότερος ἄρα ἡ ΖΕ, ΕΓ πρὸς ΖΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ φοα πρὸς ρνγ· ὥστε καὶ ἡ ΕΓ πρὸς ΗΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ φοα πρὸς ρνγ. Ἡ ΗΕ ἄρα πρὸς ΗΓ δυνάμει λόγον ἔχει, ὃν Μλδ͵θυν πρὸς Μβ͵γυθ συναχθήσεται δὲ τοῦτο οὕτως· | |
| 10 | ἐπεὶ γὰρ δέδεικται ἡ ΕΓ πρὸς ΓΗ μείζονα λόγον ἔχουσα ἤπερ φοα πρὸς ρνγ, εἴ τις ὑποθοῖτο τὴν μὲν ΕΓ φοα, τὴν δὲ ΓΗ ρνγ, ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ ΕΓ Μλβ͵ϛμα, τὸ δὲ ἀπὸ ΓΗ Μβ͵γυθ, συναμφότερα δὲ ἴσα ὄντα τῷ ἀπὸ ΕΗ ἔσται Μλδ͵θυν. τούτων πλευρὰ τετραγωνικὴ φϙα ηʹ ἔγ‐ | |
| 15 | γιστα· ἐλλείπει γὰρ ὁ ἀπὸ τοῦ φϙα ηʹ τετράγωνος εἰς τὸ ἀκριβὲς μοκα ϛʹ ιεʹ ἔγγιστα· ἡ ἄρα ΕΗ πρὸς ΗΓ δυ‐ νάμει μὲν λόγον ἔχει, ὃν Μλδ͵θυν πρὸς Μβ͵γυθ, μήκει δέ, ὃν φϙα ηʹ ἔγγιστα πρὸς ρνγ. οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται· [Omitted graphic marker] | |
| 20 | Πάλιν δίχα ἡ ὑπὸ ΗΕΓ τῇ ΘΕ· διὰ τὰ αὐτὰ | |
| ἄρα ἡ ΕΓ πρὸς ΓΘ μείζονα λόγον ἔχει, ἢ ὃν | 236 | |
238 | ͵αρξβ ηʹ πρὸς ρνγ γίνεται γὰρ διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς γωνίας, ὡς ἡ ΗΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΗΘ πρὸς ΘΓ. καὶ συν‐ θέντι, ὡς συναμφότερος ἡ ΗΕ, ΕΓ πρὸς ΕΓ, ἡ ΗΓ πρὸς ΓΘ, καὶ ἐναλλάξ, ὡς συναμφότερος ἡ ΗΕ, ΕΓ πρὸς | |
| 5 | ΗΓ, ἡ ΕΓ πρὸς ΓΘ. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΕΓ φοα καὶ ἔτι μορίου τινός, ἡ δὲ ΕΗ φϙα ηʹ καὶ ἔτι μορίου τινός· μείζονες ἄρα εἰσὶν ἢ ͵αρξβ ηʹ. καὶ ἔστιν ἡ ΗΓ ρνγ· συναμφότερος ἄρα ἡ ΗΕ, ΕΓ πρὸς ΗΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵αρξβ ηʹ πρὸς ρνγ. | |
| 10 | Ἡ ΘΕ ἄρα πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει, ἢ ὃν ͵αροβ ηʹ πρὸς ρνγ ἐπεὶ γὰρ δέδεικται ἡ ΕΓ πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχουσα ἤπερ ͵αρξβ ηʹ πρὸς ρνγ, εἴ τις ὑποθοῖτο αὐτὰς οὕτως ἔχειν, ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ ΕΓ Μρλεφλδ 𐅵ʹ ξδʹ, τὸ δὲ ἀπὸ ΓΘ Μβ͵γυθ. τὸ ἄρα ἀπὸ ΕΘ | |
| 15 | ἴσον ὂν τοῖς ἀπὸ ΕΓ, ΓΘ ἔσται Μρλζ͵γϡμγ 𐅵ʹ ξδʹ, ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ͵αροβ ηʹ ἔγγιστα· λείπεται γὰρ τῆς ἀκριβοῦς δυνάμεως τὸ ἀπ’ αὐτῆς μοξϛ 𐅵ʹ. οἱ δὲ πολλα‐ | |
| πλασιασμοὶ ὑπόκεινται. [Omitted graphic marker] | 238 | |
240 | Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΕΓ τῇ ΕΚ· ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ͵βτλδ δʹ πρὸς ρνγ πάλιν γὰρ διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς ὑπὸ ΘΕΓ γωνίας ἐστίν, ὡς ἡ ΘΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΘΚ πρὸς ΓΚ. καὶ συνθέντι, ὡς συν‐ | |
| 5 | αμφότερος ἡ ΘΕ, ΕΓ πρὸς ΕΓ, ἡ ΘΓ πρὸς ΓΚ· ἐν‐ αλλάξ, ὡς συναμφότερος ἡ ΘΕ, ΕΓ πρὸς ΘΓ, ἡ ΕΓ πρὸς ΓΚ. καὶ ἐπεὶ δέδεικται ἡ ΘΕ ͵αροβ ηʹ καὶ ἔτι μο‐ ρίου τινός, ἡ δὲ ΕΓ ͵αρξβ ηʹ καὶ ἔτι μορίου τινός, συν‐ αμφότερος ἄρα ἡ ΘΕ, ΕΓ μείζων ἐστὶν ἢ ͵βτλδ δʹ. καὶ | |
| 10 | ὑπόκειται ἡ ΘΓ ρνγ· συναμφότερος ἄρα ἡ ΘΕ, ΕΓ πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵βτλδ δʹ πρὸς ρνγ. Ἡ ΕΚ ἄρα πρὸς τὴν ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει, ἢ ὃν ͵βτλθ δʹ πρὸς ρνγ πάλιν γάρ, ἐπεὶ ὑπόκειται ἡ μὲν ΕΓ ͵βτλδ δʹ, ἡ δὲ ΓΚ ρνγ, ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ ΕΓ | |
| 15 | Μφμδ͵ηψκγ ιϛʹ, τὸ δὲ ἀπὸ ΓΚ Μβ͵γυθ. τούτοις δὲ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΚΕ· ἔσται ἄρα Μφμζ͵βρλβ ιϛʹ, ὧν πλευρὰ τε‐ τραγωνικὴ ἔγγιστα ͵βτλθ δʹ· λείπει γὰρ τὸ ἀπ’ αὐτῆς | |
| τοῦ ἀκριβοῦς μομα 𐅵ʹ. οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται· [Omitted graphic marker] | 240 | |
242 | Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΚΕΓ τῇ ΕΛ· ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΓΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὰ ͵δχογ 𐅵ʹ πρὸς ρνγ πάλιν γὰρ διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς γωνίας ἐστίν, ὡς ἡ ΚΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΚΛ πρὸς ΛΓ· καὶ συνθέντι, ὡς συν‐ | |
| 5 | αμφότερος ἡ ΚΕ, ΕΓ πρὸς ΕΓ, ἡ ΚΓ πρὸς ΓΛ· ἐν‐ αλλάξ, ὡς συναμφότερος ἡ ΚΕ, ΕΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΕΓ πρὸς ΛΓ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΚΕ ͵βτλθ δʹ καὶ ἔτι μορίου τινός, ἡ δὲ ΕΓ ͵βτλδ δʹ καὶ ἔτι μορίου τινός· συναμφό‐ τερος ἄρα ἡ ΚΕ, ΕΓ μείζων ἐστὶν ἢ ͵δχογ 𐅵ʹ. καί ἐστιν | |
| 10 | ἡ ΚΓ ρνγ· συναμφότερος ἄρα ἡ ΕΚ, ΕΓ πρὸς ΚΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵δχογ 𐅵ʹ πρὸς ρνγ. ὡς δὲ συν‐ αμφότερος ἡ ΚΕ, ΕΓ πρὸς ΚΓ, οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς ΓΛ· καὶ ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΓΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵δχογ 𐅵ʹ πρὸς ρνγ. | |
| 15 | ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τρίτον οὖσα ὀρθῆς δωδέκατον | |
| μέρος ἐστὶ τῶν τεσσάρων ὀρθῶν, ταύτης δὲ ἡμίσεια ἡ | 242 | |
244 | ὑπὸ ΗΕΓ, ἡ ὑπὸ ΗΕΓ εἰκοστοτέταρτον ἂν εἴη. ταύτης δὲ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΘΕΓ· ὥστε μηʹ ἐστιν. ταύτης δὲ ἡμίσειά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΚΕΓ· ϙϛʹ ἄρα ἐστίν· ἧς ἡμίσεια οὖσα ἡ ὑπὸ ΛΕΓ ρϙβʹ ἐστιν. | |
| 5 | κείσθω οὖν, φησίν, ἴση αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΓΕΜ, καὶ ἐκ‐ βεβλήσθω ἡ ΖΓ ἐπὶ τὸ Μ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΛΕΜ διπλασία οὖσα τῆς ὑπὸ ΛΕΓ ϙϛʹ ἐστι τῶν τεσσάρων ὀρθῶν· ὥστε καὶ ἡ ΛΜ πλευρά ἐστι τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφο‐ μένου πολυγώνου πλευρὰς ἔχοντος ϙϛ. | |
| 10 | ἐπεὶ οὖν ἡ ΕΓ πρὸς ΛΓ δέδεικται μείζονα λόγον ἔχουσα ἤπερ ͵δχογ 𐅵ʹ πρὸς ρνγ, καί ἐστι τῆς μὲν ΕΓ διπλῆ ἡ ΑΓ, τῆς δὲ ΛΓ ἡ ΛΜ, καὶ ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΛΜ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵δχογ 𐅵ʹ πρὸς ρνγ· ἀνα‐ πάλιν ἄρα ἡ ΛΜ πρὸς ΑΓ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ | |
| 15 | ρνγ πρὸς ͵δχογ 𐅵ʹ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΛΜ πολυγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ πλευρὰς ἔχοντος ϙϛ, ἡ περίμετρος ἄρα τοῦ πολυγώνου ἐστὶ Μα͵δχπη· ὁ γὰρ ϙϛ ἐπὶ τὸν ρνγ πολλα‐ πλασιαζόμενος τοῦτον ποιεῖ· ἡ περίμετρος ἄρα τοῦ πο‐ λυγώνου πρὸς τὴν ΑΓ διάμετρον ἐλάττονα λόγον ἔχει | |
| 20 | ἤπερ Μα͵δχπη πρὸς ͵δχογ 𐅵ʹ. ἡ περίμετρος ἄρα τοῦ πο‐ λυγώνου τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἐστὶ τριπλασία καὶ ἔτι ὑπερέχει μοχξζ 𐅵ʹ. ταῦτα δὲ ἐλάττονά ἐστι τοῦ ἑβ‐ δόμου τῆς διαμέτρου μιᾶς μονάδος ἑβδόμῳ μέρει· τὰ γὰρ ἑπταπλάσια τῶν χξζ 𐅵ʹ, ἅπερ ἐστὶ ͵δχοβ 𐅵ʹ, ἐλάττονά | |
| 25 | ἐστι τῆς διαμέτρου μοα. ἐπεὶ οὖν τὸ πολύγωνον ἔλατ‐ τόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον καὶ ἔτι ἑβδόμῳ ὑπερέχον, ἡ δὲ περίμετρος τοῦ κύκλου ἐλάσσων ἐστὶ τῆς τοῦ πολυγώνου, πολλῷ ἄρα ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια τῆς διαμέτρου ἐστὶ τριπλασία καὶ ἔτι ὑπερέχει ἐλάσσονι ἢ ἑβδόμῳ μέρει. | |
| 30 | Ἑξῆς δὲ κατασκευάζων τὸ λοιπὸν μέρος τοῦ θεωρή‐ | 244 |
246 | ματός φησιν· ἔστω κύκλος περὶ διάμετρον τὴν ΑΓ, καὶ τρίτου ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. τοῦτο δὲ ἔσται, ἐὰν ἀπὸ τοῦ Γ τῇ τοῦ ἑξαγώνου ἴσην ἀπολαβόντες τὴν ΓΒ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΑΒ· ἡ γὰρ ἐπὶ τῆς τοῦ ἑξαγώνου περι‐ | |
| 5 | φερείας βεβηκυῖα γωνία πρὸς μὲν τῷ κέντρῳ διμοίρου ἐστὶν ὀρθῆς, πρὸς δὲ τῇ περιφερείᾳ τρίτου. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, τρίτου δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, διμοίρου ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ. ἐὰν ἄρα προσ‐ εκβάλλοντες τὴν ΓΒ ἐπὶ τὸ Β καὶ ἴσην αὐτῇ ἀπολαβόντες | |
| 10 | ἀπὸ τοῦ Α ἐπιζεύξωμεν, ἰσόπλευρον ἔσται τὸ τρίγωνον, καὶ διὰ τὸ τὴν ΑΒ κάθετον διχοτομεῖν τὴν βάσιν διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΓΒ. ἐὰν οὖν πάλιν λάβωμεν τὴν ΑΓ ͵αφξ, ἔσται ἡ ΓΒ ψπ, καὶ τὸ μὲν ἀπὸ ΑΓ ἔσται Μσμγ͵δχ, τὸ δὲ ἀπὸ ΓΒ Μξ͵ηυ. καὶ ἐὰν ἀφέλωμεν τὸ ἀπὸ ΓΒ ἀπὸ | |
| 15 | τοῦ ἀπὸ ΑΓ, λοιπὸν καταλειφθήσεται τὸ ἀπὸ ΑΒ Μρπβ͵ες, ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ͵ατνα ἔγγιστα· περιττεύει γὰρ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τοῦ ἀκριβοῦς μοα. διό φησιν· ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ ἤπερ ͵ατνα πρὸς ψπ. οἱ | |
| δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται· [Omitted graphic marker] | 246 | |
248 | Τετμήσθω δίχα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ΑΖΗ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΗ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ· ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς περιφερείας βεβήκασιν· ἀλλὰ καὶ τῇ ὑπὸ ΗΑΓ, καὶ ἡ ὑπὸ ΗΓΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΑΓ ἐστιν ἴση. καὶ | |
| 5 | κοινὴ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ ὀρθή· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΖΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΓΗ ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗΓ τρίγωνον τῷ ΓΗΖ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ καὶ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ. τῶν γὰρ ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν | |
| 10 | εἰσιν αἱ πλευραί, καὶ ὁμόλογοι αἱ τὰς ἴσας γωνίας ὑπο‐ τείνουσαι. Ἀλλ’ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ, συναμφότερος ἡ ΓΑΒ πρὸς ΓΒ· καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ πρὸς ΓΒ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα | |
| 15 | τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ, ἔστιν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΓ, ἡ ΒΖ πρὸς ΖΓ. καὶ συνθέντι, ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς ΑΓ, ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖ· καὶ ἐναλλάξ, ὡς συναμφό‐ τερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς ΒΓ, ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ ἐλάσσων ἢ ͵ατνα, ἡ δὲ ΑΓ ͵αφξ, ἡ δὲ ΒΓ | |
| 20 | ψπ· συναμφότερος ἄρα ἡ ΑΒ, ΑΓ πρὸς ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵βϡια πρὸς ψπ· καὶ ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΓΖ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵βϡια πρὸς ψπ. ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ· καὶ ἡ ΑΗ ἄρα πρὸς ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵βϡια πρὸς ψπ. διὰ οὖν | |
| 25 | ταῦτα ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ ΑΗ Μωμζ͵γϡκα, τὸ δὲ ἀπὸ ΗΓ Μξ͵ηυ. καί ἐστιν αὐτοῖς ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΓ· καὶ αὐτὸ ἄρα | |
| ἔσται Μϡη͵βτκα· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ͵γιγ 𐅵ʹ δʹ ἔγ‐ | 248 | |
250 | γιστα· ὑπερέχει γὰρ τὸ ἀπ’ αὐτῶν τῆς ἀκριβοῦς δυνά‐ μεως μοτξη ιϛʹ. διὰ ταῦτα οὖν φησιν, ὅτι ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵γιγ 𐅵ʹ δʹ πρὸς ψπ. οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται· [Omitted graphic marker] | |
| 5 | Δίχα ἡ ὑπὸ ΓΑΗ τῇ ΑΘ. διὰ οὖν τὴν διχοτομίαν τῆς γωνίας καὶ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων καὶ ἀνα‐ λογίαν τῶν πλευρῶν καὶ τὸ συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς συναμφότερος ἡ ΗΑ, ΑΓ πρὸς ΗΓ, ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ. καὶ ὑπέκειτο ἡ μὲν ΑΗ ἐλάσσων ἢ ͵βϡια, ἡ δὲ ΑΓ | |
| 10 | ἐλάσσων ἤπερ ͵γιγ 𐅵ʹ δʹ· συναμφότερος ἄρα ἡ ΗΑ, ΑΓ ἐστιν ἐλάσσων ἢ ͵εϡκδ 𐅵ʹ δʹ. ἡ δὲ ΗΓ ἐστι ψπ· συν‐ αμφότερος ἄρα ἡ ΗΑ, ΑΓ πρὸς ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵εϡκδ 𐅵ʹ δʹ πρὸς ψπ· ὤστε καὶ ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵εϡκδ 𐅵ʹ δʹ πρὸς ψπ. | |
| 15 | ὥστε ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ υνε 𐅵ʹ | |
| δʹ πρὸς ξ· ἑκατέρα γὰρ ἑκατέρας ἐστὶ μέρος ιγʹ· καὶ τὰ | 250 | |
252 | τούτων τετραπλάσια, ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵αωκγ πρὸς σμ· διὰ τοῦτο γάρ φησιν, ὅτι ἑκατέρα ἑκατέρας ἐστὶ δ ιγʹ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΘ ἐστιν ͵αωκγ, τὸ ἄρα ἀπ’ αὐτῆς ἐστι Μτλβ͵γτκθ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΘΓ σμ | |
| 5 | καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς Με͵ζχ· καί ἐστι τοῖς ἀπὸ ΑΘ, ΘΓ ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΓ· ἔσται ἄρα Μτληϡκθ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ͵αωλη θ ιαʹ· τὸ γὰρ ἀπ’ αὐτῆς ὑπερέχει τοῦ ἀκριβοῦς μοτκα ἐγγύς. ὥστε ἡ ΑΓ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵αωλη θ ιαʹ πρὸς σμ. οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπό‐ | |
| 10 | κεινται· [Omitted graphic marker] | |
254 | Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΑΓ γωνία τῇ ΚΑ. πάλιν οὖν διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς γωνίας καὶ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων καὶ τὴν ἀναλογίαν τῶν πλευρῶν καὶ τὸ συν‐ θέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς συναμφότερος ἡ ΘΑ, ΑΓ | |
| 5 | πρὸς ΓΘ, ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ. ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΘΑ, ΑΓ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ͵γχξα θ ιαʹ, ἐπειδὴ ἡ μὲν ΘΑ ὑπό‐ κειται ͵αωκγ, ἡ δὲ ΑΓ ͵αωλη θ ιαʹ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΘΓ σμ· συναμφότερος ἄρα ἡ ΘΑ, ΑΓ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵γχξα θ ιαʹ πρὸς σμ· ὥστε καὶ ἡ ΑΚ | |
| 10 | πρὸς ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵γχξα θ ιαʹ πρὸς σμ. καὶ ἐπεὶ τῶν μὲν ͵γχξα θ ιαʹ τὸ ια [καὶ] μʹ ἐστι ͵αζ, τῶν δὲ σμ ξϛ, ἡ ΑΚ ἄρα πρὸς ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵αζ πρὸς ξϛ. καί ἐστι τὸ μὲν ἀπὸ ΑΚ Μρα͵δμθ, τὸ δὲ ἀπὸ ΚΓ ͵δτνϛ, οἷς ἴσον ὂν τὸ ἀπὸ ΑΓ | |
| 15 | ἐστι Μρα͵ηυε· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ͵αθ ϛʹ ἔγγιστα· ὑπερέχει γὰρ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τοῦ ἀκριβοῦς μοιβ γʹ λϛʹ. ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΓΚ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵αθ ϛʹ | |
| πρὸς ξϛ. οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται· [Omitted graphic marker] | 252 | |
256 | Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΚΑΓ γωνία τῇ ΑΛ. διὰ τὰ αὐτὰ δή ἐστιν, ὡς συναμφότερος ἡ ΚΑ, ΑΓ πρὸς ΚΓ, ἡ ΑΛ πρὸς ΛΓ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΑΚ ἐλάσσων ἢ ͵αζ, ἡ δὲ ΑΓ ἐλάσσων ἢ ͵αθ ϛʹ, ἡ δὲ ΚΓ ξϛ· συναμφότερος ἄρα ἡ | |
| 5 | ΚΑ, ΑΓ πρὸς ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵βιϛ ϛʹ πρὸς ξϛ. καὶ ἡ ΑΛ ἄρα πρὸς ΛΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵βιϛ ϛʹ πρὸς ξϛ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΛ ὑπόκειται ͵βιϛ ϛʹ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς Μυϛ͵δϡκη λϛʹ, ἡ δὲ ΛΓ ξϛ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς ͵δτνϛ, ἴσον δὲ αὐτοῖς ἐστι τὸ ἀπὸ ΑΓ, | |
| 10 | ἔσται ἄρα Μυϛ͵θσπδ λϛʹ· ὧν πλευρὰ τετραγωνική ἐστι ͵βιζ δʹ ἔγγιστα· ὑπερέχει γὰρ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τοῦ ἀκρι‐ βοῦς μοιγ 𐅵ʹ κʹ. ὥστε ἡ ΑΓ πρὸς ΓΛ ἐλάσσονα λό‐ γον ἔχει ἤπερ ͵βιζ δʹ πρὸς ξϛ. οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ | |
| ὑπόκεινται· [Omitted graphic marker] | 254 | |
258 | ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ πρὸς ΓΛ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵βιζ δʹ πρὸς ξϛ, ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς ΓΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ξϛ πρὸς ͵βιζ δʹ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΒ περι‐ φέρεια ἕκτον ἐστὶ τοῦ κύκλου, ἡ ΗΓ ἄρα ιβʹ μέρος | |
| 5 | ἐστίν, ἡ δὲ ΘΓ κδʹ, ἡ δὲ ΚΓ μηʹ, ἡ δὲ ΛΓ ϙϛʹ· ὥστε ἡ ΛΓ εὐθεῖα πολυγώνου ἐστὶ πλευρὰ ϙϛ πλευρὰς ἔχον‐ τος. καί ἐστιν ἡ ΛΓ ξϛ· ἡ ἄρα τοῦ πολυγώνου πε‐ ρίμετρος πρὸς τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον μεί‐ ζονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵ϛτλϛ πρὸς ͵βιζ δʹ. ταῦτα δέ | |
| 10 | ἐστι τριπλάσια καὶ ἔτι ὑπερέχει σπδ δʹ, ἅπερ μείζονά ἐστι δέκα ἑβδομηκοστομόνων· ὅ ἐστι μοκζ 𐅵ʹ ϛʹ ἔγγιστα τὰ δὲ δεκαπλάσια τούτων σοζ· πολλῷ ἄρα ἡ τοῦ κύ‐ κλου περιφέρεια μείζων ἐστὶν ἢ τριπλασία καὶ δέκα ἑβδομηκοστόμονα. | |
| 15 | Ὡς μὲν οὖν ἐνεχώρει, οἱ παρ’ αὐτοῦ εἰρημένοι ἀριθμοὶ μετρίως ἐσαφηνίσθησαν· ἰστέον δέ, ὅτι καὶ Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος ἐν τῷ Ὠκυτοκίῳ ἀπέδειξεν αὐτὸ δι’ ἀριθμῶν ἑτέρων ἐπὶ τὸ σύνεγγυς μᾶλλον ἀγαγών. τοῦτο δὲ ἀκρι‐ βέστερον μὲν εἶναι δοκεῖ, οὐ χρήσιμον δὲ πρὸς τὸν Ἀρ‐ | |
| 20 | χιμήδους σκοπόν· ἔφαμεν γὰρ αὐτὸν σκοπὸν ἔχειν ἐν τῷδε τῷ βιβλίῳ τὸ σύνεγγυς εὑρεῖν διὰ τὰς ἐν τῷ βίῳ χρείας. ὥστε οὐδὲ Σπόρος ὁ Νικαεὺς εὔκαιρον εὑρεθή‐ σεται μέμψιν ἐπάγων Ἀρχιμήδει ὡς μὴ ἀκριβῶς εὑρόντι, ποίᾳ εὐθείᾳ ἴση ἐστὶν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια, ἐξ ὧν | |
| 25 | αὐτὸς ἐν τοῖς Κηρίοις φησὶν τὸν ἑαυτοῦ διδάσκαλον, Φί‐ λωνα λέγων τὸν ἀπὸ Γαδάρων, εἰς ἀκριβεστέρους ἀριθ‐ μοὺς ἀγαγεῖν τῶν ὑπ’ Ἀρχιμήδους εἰρημένων, τοῦ τε ζʹ φημὶ καὶ τῶν ι οαʹ· ἅπαντες γὰρ ἐφεξῆς φαίνονται τὸν σκοπὸν αὐτοῦ ἠγνοηκότες. κέχρηνται δὲ καὶ τοῖς τῶν | |
| 30 | μυριάδων πολλαπλασιασμοῖς καὶ μερισμοῖς, οἷς οὐκ εὔ‐ | |
| κολον παρακολουθεῖν τὸν μὴ διὰ τῶν Μάγνου Λογιστι‐ | 256 | |
260 | κῶν ἠγμένον. εἰ δέ τις ὅλως ἐβούλετο εἰς ἔλαττον αὐτὸ καταγαγεῖν, ἐχρῆν τοῖς ἐν τῇ Μαθηματικῇ συντάξει Κλαυ‐ δίου Πτολεμαίου εἰρημένοις ἀκολουθοῦντα διὰ τῶν μοι‐ ρῶν καὶ λεπτῶν καὶ τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν τοῦτο | |
| 5 | ποιεῖν, καὶ πεποιήκειν ἂν ἐγὼ τοῦτο, εἰ μή, ὅπερ πολ‐ λάκις εἶπον, ἐνενόουν, ὡς οὔτε ἀκριβῶς δυνατὸν διὰ τῶν ἐνταῦθα εἰρημένων εὑρεῖν τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ ἴσην εὐθεῖαν, καὶ εἴ τις τὸ σύνεγγυς καὶ παρὰ μικρὸν προσέχοι, ἀρκεῖ τὰ ὑπ’ Ἀρχιμήδους ἐνταῦθα εἰρημένα. | |
| 10 | [Εὐτοκίου Ἀσκαλωνίτου ὑπόμνημα εἰς τὴν Ἀρχιμή‐ δους τοῦ κύκλου μέτρησιν ἐκδόσεως παραναγνωσθείσης | |
| τῷ Μιλησίῳ μηχανικῷ Ἰσιδώρῳ ἡμετέρῳ διδασκάλῳ]. | 258 | |