EUTOCIUS :: Commentarii in libros de sphaera et cylindro

TLG 4072 001 :: EUTOCIUS :: Commentarii in libros de sphaera et cylindro EUTOCIUS Math. (Ascalonius: A.D. 5–6) Commentarii in libros de sphaera et cylindro Source: Heiberg, J.L., Stamatis, E. (eds.), Archimedis opera omnia cum commentariis Eutocii, vol. 3. Leipzig: Teubner, 1915 (repr. Stuttgart, 1972): 2–224. Citation: Page — (line)

2 (1t)	Εἰς τὸ αʹ.
2	Εἰς τὰ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου Ἀρχιμήδους οὐ‐ δένα τῶν πρὸ ἡμῶν ἀξίαν εὑρὼν σύνταξιν καταβεβλη‐ μένον καὶ κατανοήσας μὴ δι’ εὐμάρειαν τῶν θεωρημά‐
5	των τοῦτο παροραθῆναι· ἐπιστάσεως γὰρ ἀκριβοῦς, ὡς ἴστε, καὶ εὐεπιβόλου δεῖται φαντασίας· ὠρέχθην κατ’ ἐμὴν δύναμιν σαφῶς ἐκθέσθαι τὰ ἐν αὐτοῖς δυσθεώρητα προαχθεὶς μᾶλλον εἰς τοῦτο τῷ μηδένα πω καθεῖναι εἰς ταύτην τὴν ὑπόθεσιν ἢ διὰ τὴν δυσκολίαν ὀκνήσας καὶ
10	ἅμα τὸ Σωκρατικὸν λογισάμενος, ὡς τοῦ θεοῦ συλλαμ‐ βάνοντος πάνυ εἰκὸς καὶ ἐπὶ τέλος ἡμᾶς τῆς σπουδῆς ἐλθεῖν· ἐκ τρίτων δὲ διανοηθείς, ὡς, εἴ τι καὶ παρὰ μέλος διὰ νεότητα φθέγξομαι, τοῦτο ὑπὸ τῆς σῆς περί τε τὴν ἄλλην φιλοσοφίαν ἐπιστημονικῆς θεωρίας καὶ
15	διαφερόντως περὶ τὰ μαθήματα ἐπανορθώσεως τεύξεται, ἀνέθηκά σοι, κράτιστε φιλοσόφων Ἀμμώνιε. πρέποι δ’ ἄν σοι τῇ ἐμῇ σπουδῇ συνάρασθαι, καὶ εἰ μὲν ἀνεμιαῖον δόξῃ τὸ γράμμα, αὐτόθεν μηδὲ εἰς ἄλλον ἐλθεῖν συγ‐ χωρήσῃς, εἰ δὲ τοῦ σκοποῦ μὴ πάντη διαμαρτάνον, δή‐
20	λωσον, ἣν ἔχεις περὶ αὐτοῦ γνώμην, ὡς εἴ γε τῆ ὑμετέρᾳ κρίσει βεβαιωθῇ, πειράσομαι καὶ ἄλλο τυχὸν τῶν Ἀρχιμη‐ δείων συντάξεων ἑρμηνεῦσαι.
23t	Εἰς τοὺς ὅρους.
24	Προειπὼν τὰ μέλλοντα ἐκτίθεσθαι ὑπ’ αὐτοῦ θεω‐
25	ρήματα τὸ σύνηθες πᾶσιν γεωμέτραις ἐν τῇ ἐκθέσει
25	τηρῶν τάς τε ὀνομασίας, αἷς αὐτὸς κατ’ ἐξουσίαν ἐχρή‐
4	σατο, καὶ τοὺς ὅρους τῶν ὑποθέσεων καὶ αὐτὰς τὰς ὑποθέσεις διὰ τῆς ἀρχῆς τοῦ συγγράμματος διασαφῆσαι βούλεται καί φησιν πρῶτον εἶναί τινας ἐν ἐπιπέδῳ καμπύλας γραμμάς, αἵτινες τῶν ἐπιζευγνυου‐
5	σῶν τὰ πέρατα αὐτῶν εὐθειῶν ἢ πᾶσαι ἐπὶ τὰ αὐτά εἰσιν ἢ οὐδὲν ἔχουσιν ἐπὶ τὰ ἕτερα. σαφὲς δ’ ἂν εἴη τὸ λεγόμενον, εἰ γνωσόμεθα, τίνας καλεῖ τὰς ἐν ἐπιπέδῳ καμπύλας γραμμάς. ἰστέον οὖν, ὅτι καμπύ‐ λας γραμμὰς καλεῖ οὐχ ἁπλῶς τὰς κυκλικὰς ἢ κωνικὰς
10	ἢ ἄκλαστον ἐχούσας τὴν συνέχειαν, ἀλλὰ πᾶσαν ἁπλῶς ἐν ἐπιπέδῳ γραμμὴν τὴν παρὰ τὴν εὐθεῖαν καμπύλην ὀνομάζει, μίαν δὲ γραμμὴν ἐν ἐπιπέδῳ τὴν ὁπωσοῦν συναπτομένην, ὥστε κἂν ἐξ εὐθειῶν σύγκειται ...... τῇ ΑΒΓΔ. ἀλλ’ ἐπειδή, ὡς καὶ ἀνωτέρω εἴρηται, καμ‐
15	πύλας γραμμὰς οὐ τὰς περιφερεῖς μόνον καλεῖ, ἀλλὰ καὶ τὰς ἐξ εὐθειῶν συγκειμένας, ἐκ δὲ τούτων ἦν ἡ ἐπιλογὴ τῶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλων, ἐνδεχόμενον ἂν εἴη λαβεῖν ἐπί τινος ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλης γραμμῆς δύο τυχόντα ση‐ μεῖα, ὥστε τὴν ἐπ’ αὐτὰ ἐπιζευγνυμένην εὐθεῖαν ἐπὶ
20	μηδέτερα μὲν μέρη πίπτειν τῆς γραμμῆς, ἐπ’ αὐτὴν δὲ ἐφαρμόζειν. διό φησιν ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλην καλεῖν γραμμήν, ἐν ᾗ αἱ διὰ δύο ὁποιωνοῦν σημείων ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἤτοι πᾶσαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη πίπτουσιν τῆς γραμμῆς ἢ τινὲς μὲν ἐπὶ τὰ αὐτά,
25	τινὲς δὲ κατ’ αὐτῆς, ἐπὶ τὰ ἕτερα δὲ μέρη οὐδε‐ μία· τὰ δὲ αὐτὰ ἔξεστιν ἐπινοεῖν καὶ ἐπὶ τῶν ἐπιφα‐ νειῶν. εἶτα ἑξῆς ὀνομάζει τομέα στερεὸν καὶ ῥόμβον στερεὸν σαφῶς ἐμφανίζων τὴν ἔννοιαν τῶν ὀνομάτων.
30	μετὰ δὲ ταῦτα αἰτήματά τινα λαμβάνειν ἀξιοῖ χρη‐
30	σιμεύοντα αὐτῷ πρὸς τὰς ἑξῆς ἀποδείξεις καὶ ὄντα μὲν
6	κἀξ αὐτῆς τῆς αἰσθήσεως ὡμολογημένα, οὐδὲν δὲ ἧττον δυνατὰ καὶ ἀποδειχθῆναι ἔκ τε τῶν κοινῶν ἐννοιῶν καὶ ἐκ τῶν δεδειγμένων ἐν τοῖς Στοιχείοις. ἔστι δὲ πρῶτον τῶν αἰτημάτων τὸ τοιόνδε· πασῶν
5	τῶν ταὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν γραμμῶν ἐλαχίστην εἶναι τὴν εὐθεῖαν. ἔστω γὰρ ἐν ἐπιπέδῳ εὐθεῖα μέν τις πεπερασμένη ἡ ΑΒ, ἑτέρα δέ τις γραμμὴ ἡ ΑΓΒ τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσα τὰ Α, Β. φησὶν δὴ δεδόσθαι αὐτῷ τὴν ΑΒ
10	ἐλάττονα εἶναι τῆς ΑΓΒ. λέγω οὖν, ὅτι τοῦτο ἀληθὲς ὂν ᾐτήσατο. εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΑΓΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Γ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΓΒ· φανερὸν δή, ὅτι αἱ ΑΓ, ΓΒ τῆς ΑΒ μείζους εἰσίν. πάλιν δὴ εἰλήφθω‐
15	σαν ἐπὶ τῆς ΑΓΒ γραμμῆς ἄλλα τυχόντα σημεῖα τὰ Δ, Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ, ΓΕ, ΕΒ· ὁμοίως δὴ καὶ ἐνταῦθα δῆλον, ὅτι δύο μὲν αἱ ΑΔ, ΔΓ τῆς ΑΓ μείζους εἰσίν, δύο δὲ αἱ ΓΕ, ΕΒ τῆς ΓΒ· ὁμοίως δή, ΔΓ, ΓΕ, ΕΒ πολλῷ μείζους εἰσὶ τῆς ΑΒ. ὁμοίως δή,
20	κἂν ἄλλα σημεῖα λαβόντες μεταξὺ τῶν εἰλημμένων ἐπι‐ ζεύξωμεν ἐπὶ τὰ νῦν ληφθέντα εὐθείας, εὑρήσομεν αὐτὰς ἔτι μείζους οὔσας τῆς ΑΒ, καὶ τοῦτο συνεχῶς ποιοῦντες τὰς μᾶλλον συνεγγιζούσας τῇ ΑΒΓ γραμμῇ εὐθείας ἔτι μείζους εὑρήσομεν. ὥστε ἐκ τούτου συμ‐
25	φανὲς εἶναι αὐτὴν τὴν γραμμὴν μείζονα εἶναι τῆς ΑΒ δυνατοῦ ὄντος κατὰ πᾶν αὐτῆς σημεῖον ἐπιζεύξαντας εὐθείας λαβεῖν ἐξ εὐθειῶν συγκειμένην τὴν οἷον αὐτὴν
25	οὖσαν γραμμὴν μείζονα δεικνυμένην διὰ τῶν αὐτῶν τῆς
8	ΑΒ· οὐ γὰρ ἄτοπον ἐν ταῖς τῶν ὁμολογουμένων ἀπο‐ δείξεσιν καὶ τοιαύτας ἐννοίας προσλαμβάνειν. μετὰ δὴ τοῦτό φησιν λαμβάνειν καὶ τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν γραμμῶν ἐκείνας ἀνίσους εἶ‐
5	ναι τὰς ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλας οὔσας κατὰ τὸν ἀνω‐ τέρω εἰρημένον τρόπον· οὐ μόνον δὲ ἤρκεσεν εἰς τὸ ἀνίσους εἶναι τὸ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλας εἶναι, ἀλλὰ καὶ ὅταν ἡ ἑτέρα τὴν ἑτέραν ἢ ὅλην περιλαμβάνῃ ἢ μέρος μὲν περιλαμβάνῃ, μέρος δὲ καὶ κοινὸν
10	ἔχῃ· καὶ μείζονα εἶναι τὴν περιλαμβάνουσαν τῆς περιλαμβανομένης. νενοήσθωσαν γὰρ πρὸς τὸ καὶ τοῦτο κατάδηλον γε‐ νέσθαι ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμαὶ αἱ ΑΒΓΔΕΖ καὶ [Omitted graphic marker] ΑΗΘΖ τὰ αὐτὰ πέρατα
15	ἔχουσαι τὰ Α, Ζ καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαι καὶ ἔτι περιλαμβανομένη ὅλη ἡ ΑΗΘΖ ὑπὸ τῆς ΑΒΓΔΕΖ γραμμῆς καὶ τῆς τὰ αὐτὰ
20	πέρατα ἐχούσης αὐταῖς τῆς ΑΖ εὐθείας. φημὶ δή, ὅτι καὶ ἄνισοί εἰσιν αἱ προκείμεναι γραμμαί, καὶ μείζων ἡ περιλαμβάνουσα. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΘ, ΓΖ, ΔΖ. ἐπεὶ οὖν, ἐὰν
25	νοηθῇ ἐπιζευγνυμένη ἡ ΘΑ, ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν τοῦ ΑΒΘ ἐντὸς συνεσταμέναι εἰσὶν αἱ ΑΗ, ΗΘ, ἐλάττους εἰσὶν αἱ ΑΗ, ΗΘ τῶν ΑΒ, ΒΘ. κοινὴ προσκείσθω ἡ ΘΖ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΘ, ΘΖ ἐλάττους εἰσὶν τῶν ΑΒ, ΒΘ, ΘΖ. ἀλλ’ αἱ ΒΘ, ΘΖ ἐλάττους εἰσὶ τῶν ΒΓΖ·
30	ἐντὸς γὰρ πάλιν ἐπὶ μιᾶς τοῦ ΒΓΖ συνεσταμέναι εἰσίν·
30	πολλῷ ἄρα αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΖ τῶν ΑΗ, ΗΘ, ΘΖ μείζους
10	εἰσίν. ἀλλὰ τῆς ΓΖ μείζονες αἱ ΓΔ, ΔΖ, τῆς δὲ ΔΖ αἱ ΔΕ, ΕΖ· ἔτι πολλῷ ἄρα αἱ ΑΒΓΔΕΖ μείζους εἰσὶ τῶν ΑΗΘΖ. σαφηνείας δὲ χάριν ὑποκείσθωσαν καὶ ἕτεραι γραμμαὶ
5	ὁμοίως ταῖς προειρημέναις ὡς αἱ ΑΒΓΔΕ, ΑΖΗΘΚΕ. λέγω, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ περιλαμβάνουσα. νενοήσθωσαν γὰρ ἐκβεβλημέναι αἱ ΑΖ, ΗΘ ἐπὶ τὸ Λ. ἐπεὶ οὖν πάλιν δύο αἱ ΖΛ, ΛΗ μείζους εἰσὶ τῆς ΖΗ, κοιναὶ προσκείσθωσαν αἱ ΑΖ, ΗΘ· αἱ ἄρα ΑΛ, ΛΘ μεί‐
10	ζους εἰσὶ τῶν ΑΖ, ΗΖ, ΗΘ. ἀλλ’ αἱ ΑΛ, ΛΘ ἐλάττους τῶν ΑΒΘ· πολλῷ ἄρα αἱ ΑΒΘ μείζους τῶν ΑΖΗΘ. κοινὴ προσκείσθω ἡ ΘΚ· μείζους ἄρα αἱ ΑΒΘΚ τῶν ΑΖΗΘΚ. ἀλλ’ αἱ ΒΘΚ ἐλάττους τῶν ΒΓΚ· πολλῷ ἄρα μείζους αἱ ΑΒΓΚ τῶν ΑΖΗΘΚ. κοινὴ προσκείσθω
15	ἡ ΚΕ· αἱ ἄρα ΑΒΓΚΕ μείζους τῶν ΑΖΗΘΚΕ. ἀλλ’ αἱ ΓΚΕ ἐλάττους τῶν ΓΔΕ· πολλῷ ἄρα αἱ ΑΒΓΔΕ μείζους εἰσὶ τῶν ΑΖΗΘΚΕ. κἂν περιφέρειαι δὲ ὦσιν ἤτοι αἱ περιλαμβάνουσαι ἢ αἱ περιλαμβανόμεναι ἢ καὶ ἀμφότεραι, τὸ αὐτὸ ἔνεστιν
20	νοεῖν. συνεχῶν γὰρ σημείων ἐπ’ αὐτῶν λαμβανομένων καὶ ἐπὶ αὐτὰ ἐπιζευγνυμένων εὐθειῶν ληφθήσονται γραμμαὶ ἐξ εὐθειῶν συγκείμεναι, ἐφ’ ὧν ἁρμόσει ἡ προ‐ ειρημένη ἀπόδειξις, τῶν ἐξ εὐθειῶν συγκειμένων οἷον αὐτῶν γινομένων τῶν προτεθεισῶν διὰ τὸ καὶ πᾶσαν
25	γραμμὴν κατὰ συνέχειαν σημείων τὴν ὕπαρξιν ἔχουσαν νοεῖσθαι. ὅτι δὲ εἰκότως τὴν ἀνισότητα τῶν γραμμῶν οὐ μόνον
25	τῷ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλας εἶναι ἐχαρακτήρισεν, ἀλλὰ προσ‐
12	έθηκεν τὸ καὶ δεῖν περιλαμβάνεσθαι τὴν ἑτέραν ὑπὸ τῆς ἑτέρας καὶ τῆς τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχούσης εὐθείας· τούτου γὰρ μὴ ὄντος οὐδὲ τὸ ἀνίσους εἶναι τὰς γραμ‐ μὰς πάντη ἀληθὲς ὑπῆρχεν, ὡς ἔστι κατανοῆσαι ἐκ τῶν
5	ὑποκειμένων καταγραφῶν. ἡ γὰρ ΑΒΓΔ γραμμὴ καὶ ἡ ΑΕΖΔ τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαί εἰσι, καὶ ἄδηλον, ὁποτέρα αὐτῶν μείζων ἐστίν· δυνατὸν γὰρ καὶ ἴσας εἶναι. δυνατὸν δὲ καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλην ἑκατέραν νοεῖν καὶ τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχούσας ἀμφοτέρας,
10	κατ’ ἐναντίαν δὲ θέσιν ἀλλήλαις κειμένας, ὡς ὁποτέρα τῶν εἰρημένων τῇ ΑΗΘΚΔ· καὶ οὕτως γὰρ ἄδηλος ἥ τε ἰσότης καὶ ἀνισότης αὐτῶν. διὸ καλῶς πρόσκειται τὸ δεῖν ἢ ὅλην τὴν ἑτέραν ὑπὸ τῆς ἑτέρας περιλαμβάνεσθαι καὶ τῆς τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχούσης εὐθείας, ἢ τινὰ μὲν
15	περιλαμβάνεσθαι, τινὰ δὲ καὶ κοινὰ ἔχειν, ὡς ἐπὶ τῶν ΑΗΘΚΔ καὶ ΑΛΜΝΞΔ· ἐπὶ γὰρ τούτων τινὰ μὲν περιλαμβάνεται, τινὰ δὲ κοινά ἐστιν, ὡς τὰ ΑΛ, ΜΝ. δεόντως δὲ πάνυ κἀκεῖνο πρὸς κρίσιν τῆς ἀνισότητος παρελήφθη τὸ δεῖν τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχειν τὰς γραμμάς·
20	τούτου γὰρ μὴ ὄντος οὐδ’, ἂν περιλαμβάνοιντο ὑπὸ ἀλ‐ λήλων, πάντως ἄνισοί εἰσιν, ἀλλ’ ἐνίοτε ἴσαι, ἢ καὶ ἡ περιλαμβανομένη μείζων. ὅπερ ἵνα σαφὲς γένηται, νε‐ νοήσθωσαν ἐν ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒΓ ἀμβλεῖαν τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν περιέχουσαι, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ
25	τῆς ΒΓ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΑΓ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆς ΑΒ, κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΔΕ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΕ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ. ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΑΖΓ τῆς ΑΓ μείζους εἰσίν, ἴση δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΖΕ, καὶ αἱ ΕΖΓ ἄρα
30	τῆς ΑΓ μείζους εἰσίν. κοιναὶ προσκείσθωσαν αἱ ΑΒ,
30	ΔΕ· αἱ ἄρα ΔΖΓ τῶν ΒΑΓ μείζους εἰσίν. ὥστε μιᾶς
14	γραμμῆς νοουμένης τῆς ΒΑΓ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλης, ἑτέρας δὲ τῆς ΔΖΓ περιλαμβανομένης ὑπὸ τῆς ἑτέρας, μὴ ἐχούσης δὲ τὰ αὐτὰ πέρατα, οὐ μόνον ὅτι οὐ μείζων ἡ περιλαμβάνουσα, ἀλλὰ καὶ ἐλάττων ἐδείχθη.
5	καὶ ἐπὶ γραμμῶν δὲ ἐκ πλειόνων εὐθειῶν συγκειμέ‐ νων τὸ αὐτὸ τοῦτο ἔστι θεωρῆσαι. νενοήσθωσαν γὰρ ἐν ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒΓ καὶ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ καὶ ἐπεζευγμένη ἡ ΑΔ. πάλιν δὴ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΔΕ, καὶ ἡ ΕΑ δίχα τετμήσθω τῷ Ζ, καὶ τῇ ΑΔ πρὸς
10	[Omitted graphic marker] ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΑΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ· καὶ κείσθω τῇ ΑΗ ἴση ἡ ΖΘ, καὶ πάλιν δίχα τετμήσθω ἡ ΘΗ κατὰ τὸ Κ, καὶ
15	πρὸς ὀρθὰς τῇ ΖΗ ἤχθω ἡ ΗΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΛ· καὶ πάλιν τῇ ΗΛ ἴση ἡ ΚΜ, καὶ δίχα τε‐ τμήσθω ἡ ΜΛ τῷ Ν, καὶ
20	πάλιν πρὸς ὀρθὰς τῇ ΚΛ ἤχθω ἡ ΛΓ, καὶ ἐπ‐ εζεύχθω ἡ ΝΓ. φανερὸν οὖν διὰ τὰ προδεδειγμένα, ὅτι μείζων ἡ μὲν ΔΖ τῆς ΑΒ, ἡ δὲ ΖΚ τῆς ΑΗ, ἡ δὲ ΚΝ τῆς ΗΛ, ἡ δὲ ΝΓ τῆς ΛΓ·
25	ὥστε καὶ ὅλη ἡ γραμμὴ ἡ ΔΖΚΝΓ μείζων τῆς ΒΑΗΛΓ. καλῶς ἄρα προσετέθη τὸ τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχειν ἐπὶ τῶν ἀνίσων. τὰ αὐτὰ δὲ δυνατὸν ἐπινοοῦντα δεικνύειν καὶ ἐπὶ τῶν ἐπιφανειῶν ἀνὰ πᾶσι τοῖς προειρημένοις, ὅταν αἱ λαμ‐
30	βανόμεναι ἐπιφάνειαι τὰ πέρατα ἔχωσιν ἐν ἐπιπέδοις.
16 (1t)	Εἰς τὸ βʹ θεώρημα.
2	Τὸ δὴ ΑΓ ἑαυτῷ ἐπισυντιθέμενον ὑπερέξει τοῦ Δ δηλαδὴ ὡς τοῦ ΑΒ ἤτοι ἐπιμορίου ἢ καὶ ἐπι‐ μεροῦς τυγχάνοντος τοῦ Δ. εἰ δὲ εἴη τὸ ΑΒ τοῦ Δ
5	ἤτοι πολλαπλάσιον ἢ πολλαπλασιεπιμόριον ἢ καὶ πολ‐ λαπλασιεπιμερές, ἀφαιρεθέντος ἀπὸ τοῦ ΑΒ ἴσου τῷ Δ τοῦ ΒΓ τὸ λοιπὸν τὸ ΓΑ ὑπερέξει τοῦ Δ, ὥστε μηκέτι πολλαπλασιάζεσθαι αὐτό, ἀλλ’ αὐτόθεν δεῖν τῷ ΑΓ ἴσον ἀποτίθεσθαι τὸ ΑΘ, καὶ τὴν αὐτὴν ἀπόδειξιν ἁρ‐
10	μόζειν. καὶ συνθέντι τὸ ΖΕ πρὸς ΖΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ ὅτι γάρ, ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ ἤπερ τρίτον πρὸς τέταρ‐ τον, καὶ συνθέντι ὁ αὐτὸς λόγος ἀκολουθεῖ, δειχθήσεται
15	οὕτως. ἔστωσαν τέσσαρα μεγέθη τὰ ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, τὸ [Omitted graphic marker] δὲ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΖ. λέγω, ὅτι καὶ συνθέντι τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ
20	ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ. γεγονέτω γάρ, ὡς τὸ ΓΒ πρὸς τὸ ΒΑ, οὕτως τὸ ΖΕ πρὸς τὸ ΖΘ· ἀνάπαλιν ἄρα, ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως τὸ ΘΖ πρὸς τὸ ΖΕ. μείζονα δὲ λόγον ἔχει τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ ἤπερ τὸ ΔΕ
25	πρὸς ΕΖ· καὶ τὸ ΘΖ ἄρα πρὸς ΖΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς ΕΖ. μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΘ τοῦ ΕΔ καὶ ὅλον τὸ ΘΕ τοῦ ΔΖ, καὶ διὰ τοῦτο τὸ ΘΕ πρὸς ΕΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς ΖΕ. ἀλλ’, ὡς τὸ ΘΕ
30	πρὸς ΕΖ, τὸ ΑΓ πρὸς ΓΒ διὰ τὸ συνθέντι· καὶ τὸ ΑΓ
30	ἄρα πρὸς ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς ΕΖ.
18	ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΓ πρὸς ΓΒ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς ΖΕ. λέγω, ὅτι καὶ διελόντι τὸ ΑΒ πρὸς ΒΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς ΕΖ. πάλιν γὰρ ὁμοίως, ἐὰν ποιήσωμεν, ὡς τὸ ΒΓ πρὸς
5	ΓΑ, οὕτως τὸ ΖΕ πρὸς ΕΘ, ἔσται τὸ ΘΕ μεῖζον τοῦ ΔΖ. καὶ κοινοῦ ἀφαιρουμένου τοῦ ΕΖ ἔσται μεῖζον τὸ ΘΖ τοῦ ΔΕ, καὶ διὰ τοῦτο τὸ ΘΖ πρὸς ΖΕ, τουτέστι τὸ ΑΒ πρὸς ΒΓ διὰ τὸ διελόντι, μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς ΕΖ.
10	φανερὸν δὲ διὰ τῶν ὁμοίων, ὅτι, κἂν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς ΕΖ, καὶ συνθέντι καὶ πάλιν διελόντι ὁ αὐτὸς λόγος ἔσται. ἐκ δὲ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ τοῦ ἀναστρέψαντι λόγος ἐμ‐ φανής ἐστιν. ἐχέτω γὰρ τὸ ΑΓ πρὸς ΒΓ μείζονα λόγον
15	ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς ΖΕ. λέγω, ὅτι καὶ ἀναστρέψαντι τὸ ΓΑ πρὸς ΑΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΔ πρὸς ΔΕ. ἐπεὶ γὰρ τὸ ΑΓ πρὸς ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς ΖΕ, καὶ διελόντι τὸ ΑΒ πρὸς ΒΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς ΕΖ, ἀνάπαλιν τὸ ΒΓ
20	πρὸς ΒΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΕ πρὸς ΕΔ, καὶ συνθέντι τὸ ΓΑ πρὸς ΑΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς ΔΕ.
23t	Εἰς τὸ γʹ.
24	Καὶ ἀπὸ τοῦ Κ τῇ Θ ἴση κατήχθω ἡ ΚΜ δυ‐
25	νατὸν γὰρ τοῦτο προσεκβληθείσης τῆς ΚΛ ὡς ἐπὶ τὸ Χ καὶ τεθείσης τῇ Θ ἴσης τῆς ΚΧ καὶ κέντρῳ τῷ Κ, δια‐ στήματι δὲ τῷ ΚΧ, κύκλου γραφέντος ὡς τοῦ ΧΜΝ· ἔσται γὰρ ἡ ΚΜ ἴση τῇ ΚΧ, τουτέστι τῇ Θ. Ἡ ἄρα ΝΓ πολυγώνου ἐστὶ ἰσοπλεύρου καὶ
30	ἀρτιοπλεύρου πλευρά τῆς γὰρ μιᾶς ὀρθῆς ἐπὶ τεταρ‐
20	τημορίου βεβηκυίας καὶ τῆς τομῆς κατὰ ἀρτίαν διαίρεσιν ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γινομένης δῆλον, ὅτι καὶ ἡ τοῦ τεταρτη‐ μορίου περιφέρεια εἰς ἀρτιακισαρτίους τὸν ἀριθμὸν ἴσας διαιρεθήσεται περιφερείας· ὥστε καὶ ἡ ὑποτείνουσα εὐ‐
5	θεῖα μίαν τῶν περιφερειῶν πολυγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου καὶ ἀρτιοπλεύρου πλευρά. Ὥστε καὶ ἡ ΟΠ πολυγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου πλευρά ἐὰν γὰρ τῇ ὑπὸ ΞΗΝ γωνίᾳ ἴσην ποιήσαντες τὴν ὑπὸ ΠΗΔ ἀπὸ τοῦ Π ἐπὶ τὸ Δ ἐπιζεύξωμεν καὶ
10	προσεκβάλωμεν ἄχρι τῆς ΗΘ τῆς μετὰ ΗΔ γωνίαν περιεχούσης ἴσην τῇ ὑπὸ ΠΗΔ, ἔσται ἴση ἡ ΠΘ τῇ ΠΟ καὶ ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΞΗ ἴση ἐστὶ τῇ ΗΔ, κοινὴ δὲ ἡ ΗΠ, καὶ γωνίας ἴσας περι‐ έχουσιν, καὶ βάσις ἄρα ἡ ΞΠ τῇ ΠΔ ἴση ἐστὶ καὶ ἡ
15	ὑπὸ ΠΞΗ ὀρθὴ οὖσα τῇ ὑπὸ ΠΔΗ· ὥστε ἐφάπτεται ἡ ΔΠ. ἐπεὶ οὖν αἱ πρὸς τῷ Δ ὀρθαί εἰσιν, εἰσὶν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΠΗΔ, ΔΗΘ ἴσαι, καὶ ἡ πρὸς ταῖς ἴσαις κοινὴ ἡ ΔΗ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΠΔ τῇ ΘΔ. ἀλλ’ ἡ ΞΠ τῇ ΠΔ ἐδείχθη ἴση· καὶ ἡ ΘΠ ἄρα τῇ ΠΟ ἐστιν ἴση
20	καὶ πάσαις ταῖς ὁμοίως ἐφαπτομέναις. ὥστε ἡ ΘΠ πο‐ λυγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου καὶ ἀρτιοπλεύρου πλευρὰ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφομένου. ὅτι δὲ καὶ ὁμοίου τῷ ἐγγραφομένῳ, αὐτόθεν δῆλον. ἴσης γὰρ οὔσης τῆς μὲν ΟΗ τῇ ΗΠ, τῆς δὲ ΓΗ τῇ
25	ΗΝ, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΠ τῇ ΓΝ· διὰ τὰ αὐτὰ
22	καὶ ἡ ΠΘ τῇ ΝΚ· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΓΝΚ τῇ ὑπὸ ΟΠΘ ἴση ἐστί. καὶ διὰ τοῦτο ὅμοιόν ἐστι τὸ περιγεγραμμένον τῷ ἐγγεγραμμένῳ. Ἡ ἄρα ΜΚ πρὸς ΚΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ
5	ἡ ΓΗ πρὸς ΗΤ μείζονος γὰρ οὔσης τῆς πρὸς τῷ Κ γωνίας τῆς ὑπὸ ΓΗΤ, ἐὰν τῇ ὑπὸ ΓΗΤ ἴσην συστη‐ σώμεθα τὴν ὑπὸ ΛΚΡ τοῦ Ρ μεταξὺ τῶν Λ, Μ νοουμέ‐ νου, τὸ ΛΚΡ τρίγωνον τῷ ΓΗΤ ὅμοιόν ἐστιν, καί ἐστιν, ὡς ἡ ΡΚ πρὸς ΚΛ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΤ· ὥστε
10	καὶ ἡ ΜΚ πρὸς ΚΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΤ.
12t	Εἰς τὸ ϛʹ.
13	Διὰ δὴ τοῦτο ἔλασσόν ἐστι τὸ περιγραφόμενον τοῦ συναμφοτέρου ἐπεὶ γὰρ τὸ περιγραφόμενον πρὸς
15	τὸ ἐγγραφόμενον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ συναμ‐ φότερον πρὸς τὸν κύκλον, πολλῷ ἄρα τὸ περιγραφόμε‐ νον πρὸς τὸν κύκλον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ συν‐ αμφότερον πρὸς τὸν κύκλον· ὥστε τὸ περιγραφόμενον ἔλασσόν ἐστι τοῦ συναμφοτέρου.
20	καὶ κοινοῦ ἀφαιρουμένου τοῦ κύκλου λοιπὰ τὰ περι‐ λείμματα ἐλάσσονά ἐστι τοῦ Β χωρίου.
22t	Εἰς τὸ ηʹ.
23	Αἱ ἄρα ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὰ Α, Β Γ ἐπι‐ ζευγνύμεναι κάθετοί εἰσιν ἐπ’ αὐτάς νενοήσθω
25	γὰρ χωρὶς ὁ κῶνος, καὶ ἔστω κορυφὴ μὲν αὐτοῦ τὸ Η, κέντρον δὲ τῆς βάσεως αὐτοῦ τὸ Θ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Α ἐπεζεύχθω ἡ ΘΑ, ἀπὸ δὲ τοῦ Η ἡ ΗΑ. λέγω, ὅτι ἡ ΗΑ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΗΘ κάθετός ἐστιν πρὸς τὸ τοῦ κύκλου
30	ἐπίπεδον, καὶ πάντα τὰ δι’ αὐτῆς ἐπίπεδα· ὥστε καὶ τὸ
24	ΗΘΑ τρίγωνον ὀρθόν ἐστι πρὸς τὴν βάσιν. καὶ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων τῇ ΘΑ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἐν [Omitted graphic marker] ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων ἡ ΔΕ· ἡ ἄρα ΔΕ τῷ ΗΘΑ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν·
5	ὥστε καὶ πρὸς τὴν ΗΑ. ὁμοίως δὲ δειχθήσονται καὶ αἱ ἐπὶ τὰ Γ, Β ἐπιζευγνύμεναι ἀπὸ τῆς κορυφῆς κάθετοι οὖσαι ἐπὶ τὰς ΔΖ, ΕΖ. ἐπιστῆσαι δὲ χρή, ὅτι ἐπὶ μὲν τοῦ
10	πρὸ τούτου καλῶς προσέκειτο τὸ δεῖν πάντως τὴν ἐγγραφομένην πυ‐ ραμίδα ἰσόπλευρον ἔχειν τὴν βάσιν· οὐκ ἄλλως γὰρ αἱ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὰς τῆς βάσεως πλευρὰς ἴσαι ἠδύναντο εἶναι· ἐπὶ δὲ τοῦ προκειμένου οὐ
15	προσέθηκεν τὸ εἶναι ἰσόπλευρον τὴν βάσιν διὰ τὸ δύ‐ νασθαι, κἂν ὁποία τις ᾖ, τὸ αὐτὸ ἀκολουθεῖν.
17t	Εἰς τὸ θʹ.
18	Μείζονα ἄρα ἐστὶν τὰ ΑΒΔ, ΒΔΓ τρίγωνα τοῦ ΑΔΓ τριγώνου ἐπεὶ γὰρ στερεὰ γωνία ἐστὶν ἡ πρὸς
20	τῷ Δ, αἱ ὑπὸ ΑΔΒ, ΒΔΓ μείζους εἰσὶν τῆς ὑπὸ ΑΔΓ, καί, ἐὰν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βάσεως ἐπιζεύξωμεν ὡς τὴν ΔΕ κάθετον γινομένην ἐπὶ τὴν ΑΓ, ἔσται ἡ ὑπὸ ΑΔΒ μείζων τῆς ὑπὸ ΑΔΕ. συνεστάτω οὖν τῇ ὑπὸ ΑΔΒ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΔΖ, καὶ τεθείσης τῆς
25	ΔΖ ἴσης τῇ ΔΓ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ. ἐπεὶ οὖν δύο δυσὶν ἴσαι, ἀλλὰ καὶ γωνία γωνίᾳ, καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΔΖ τριγώνῳ μείζονι ὄντι τοῦ ΑΔΕ· καὶ τὸ
25	ΑΒΔ ἄρα τρίγωνον τοῦ ΑΔΕ μεῖζόν ἐστιν. ὁμοίως δὲ
26	καὶ τὸ ΔΒΓ τοῦ ΔΕΓ· δύο ἄρα τὰ ΑΔΒ, ΔΒΓ τοῦ ΑΔΓ μείζονά ἐστιν.
3t	Εἰς τὸ ιʹ.
4	Ἤχθω γὰρ ἡ ΗΖ ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου καὶ
5	παράλληλος οὖσα τῇ ΑΓ δίχα τμηθείσης τῆς ΑΒΓ περιφερείας κατὰ τὸ Β ὅτι γὰρ ἡ οὕτως ἀγομένη παράλληλος γίνεται τῇ ΑΓ, δειχθήσεται ἀπὸ τοῦ κέν‐ τρου τοῦ Θ ἐπιζευχθεισῶν τῶν ΘΑ, ΘΔ, ΘΓ. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, καὶ κοινὴ ἡ ΔΘ, δύο δυσὶν
10	ἴσαι. ἀλλὰ καὶ βάσις ἡ ΑΘ βάσει τῇ ΘΓ· καὶ γωνία ἄρα γωνίᾳ ἐστὶν ἴση. εἰσὶν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΗΒΔ, ΔΒΖ γωνίαι ὀρθαί· ἀπὸ γὰρ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπέ‐ ζευκται ἡ ΘΒ· ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΔΗΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΖΒ ἐστιν ἴση. καὶ διὰ τοῦτο ἡ ΗΔ τῇ ΔΖ ἴση
15	ἐστίν· ὥστε παράλληλός ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ ΑΓ. Περιγράφοντες δὴ πολύγωνα περὶ τὸ τμῆμα ὁμοίως δίχα τεμνομένων τῶν περιλειπομένων περιφερειῶν καὶ ἀγομένων ἐφαπτομένων λεί‐ ψομέν τινα ἀποτμήματα ἐλάσσονα τοῦ Θ χωρίου
20	ἐπὶ μὲν τῶν ἐγγραφομένων δέδεικται ἐν τῇ Στοιχειώσει, ὅτι τὰ ἐγγραφόμενα τρίγωνα εἰς τὰ τμήματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῶν καθ’ ἑαυτὰ τμημάτων, καὶ διὰ τοῦτο δυνατὸν ἦν τέμνοντας τὰς περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντας εὐθείας καταλείπειν τινὰ ἀποτμήματα
25	ἐλάσσονα τοῦ δοθέντος χωρίου· ἐπὶ δὲ τῆς περιγραφῆς οὐκέτι τοῦτο δέδεικται ἐν τῇ Στοιχειώσει.
25	ἐπεὶ οὖν ἐν τῷ προκειμένῳ τοῦτό φησιν, ὃ καὶ ἔστιν
28	αὐτὸ συλλογίσασθαι διὰ τοῦ ϛʹ θεωρήματος, δεικτέον, ὅτι ἡ ἐφαπτομένη ἀφαιρεῖ τρίγωνον μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ’ ἑαυτὸ περιλείμματος, οἷον ὡς ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς, ὅτι τὸ ΗΔΖ τρίγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ
5	ἥμισυ τοῦ περιλείμματος τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ καὶ τῆς ΑΒΓ περιφερείας. τῶν γὰρ αὐτῶν ἐπεζευγμένων, ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΒΖ, μείζων ἐστὶν ἡ ΔΖ τῆς ΒΖ. ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΖΓ ἴση· ἐφάπτεται γὰρ ἑκατέρα αὐτῶν· καὶ ἡ ΔΖ ἄρα τῆς
10	ΖΙ μείζων. ὥστε καὶ τὸ ΔΒΖ τρίγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ ΒΖΓ τριγώνου· ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσίν· πολλῷ ἄρα τοῦ ΒΖΓ περιλείμματος μεῖζόν ἐστιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΔΒΗ τοῦ ΒΗΑ μεῖζον· ὅλον ἄρα τὸ ΔΖΗ μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΑΔΓ περιλείμματος.
15t	Εἰς τὸ ιγʹ.
16	Νοείσθω δὴ εἰς τὸν Β κύκλον περιγεγραμ‐ μένον καὶ ἐγγεγραμμένον καὶ περὶ τὸν Α κύκλον περιγεγραμμένον ὅμοιον τῷ περὶ τὸν Β περι‐ γεγραμμένῳ ὅπως μὲν οὖν ἔστιν εἰς τὸν δοθέντα
20	κύκλον πολύγωνον ἐγγράψαι ὅμοιον τῷ ἐν ἑτέρῳ ἐγγε‐ γραμμένῳ, δῆλον, εἴρηται δὲ καὶ Πάππῳ εἰς τὸ ὑπόμνημα τῶν Στοιχείων· περὶ δὲ τὸν δοθέντα κύκλον πολύγωνον περιγράψαι ὅμοιον τῷ περὶ ἕτερον κύκλον περιγεγραμ‐ μένῳ οὐκέτι ὁμοίως ἔχομεν εἰρημένον· ὅπερ νῦν λεκτέον.
25	τῷ γὰρ εἰς τὸν Β κύκλον ἐγγεγραμμένῳ ὅμοιον εἰς τὸν Α ἐγγεγράφθω καὶ περὶ αὐτὸν τὸν Α ὅμοιον τῷ εἰς αὐτόν, ὡς ἐν τῷ γʹ θεωρήματι· καὶ ἔσται ὅμοιον καὶ τῷ περὶ τὸν Β περιγεγραμμένῳ. Καὶ ἐπεὶ ὅμοιά ἐστι τὰ εὐθύγραμμα τὰ περὶ
30	τοὺς Α, Β κύκλους περιγεγραμμένα, τὸν αὐτὸν
30	ἕξει λόγον, ὅνπερ καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων δυνάμει τὸ τοιοῦτον ἐπὶ μὲν τῶν ἐγγεγραμμένων δέδεικται ἐν τῇ Στοιχειώσει, ἐπὶ δὲ τῶν περιγεγραμμένων οὐκέτι· δειχ‐ θήσεται δὲ οὕτως.
5	νενοήσθωσαν γὰρ χωρὶς τὰ περιγεγραμμένα καὶ ἐγ‐ γεγραμμένα εὐθύγραμμα καὶ ἀπὸ τῶν κέντρων τῶν κύ‐ κλων ἐπεζευγμέναι αἱ ΚΕ, ΚΜ, ΛΘ, ΛΝ· φανερὸν δή, ὅτι αἱ ΚΕ, ΛΘ ἐκ τῶν κέντρων εἰσὶ τῶν περὶ τὰ περιγεγραμμένα πολύγωνα κύκλων καὶ πρὸς ἀλλήλας
10	εἰσὶ δυνάμει, ὡς τὰ περιγεγραμμένα πολύγωνα. καὶ ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΚΕΜ, ΛΘΝ ἡμίσειαιʹ εἰσι τῶν ἐν τοῖς πολυ‐ γώνοις γωνιῶν, ὁμοίων ὄντων τῶν πολυγώνων δῆλον, ὅτι καὶ αὐταὶ ἴσαι εἰσίν. ἀλλὰ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Μ, Ν ὀρθαί· ἰσογώνια ἄρα τὰ ΚΕΜ, ΛΘΝ τρίγωνα, καὶ
15	ἔσται, ὡς ἡ ΚΕ πρὸς ΛΘ, ἡ ΚΜ πρὸς ΛΝ· ὥστε καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ ΚΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΛ, οὕτως τὰ περιγεγραμμένα πρὸς ἄλληλα· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΚΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΝ, οὕτως τὰ περιγεγραμμένα πρὸς ἄλληλα.
20	Τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει τὸ ΚΤΔ τρίγωνον πρὸς τὸ εὐθύγραμμον τὸ περὶ τὸν Β κύκλον, ὅνπερ τὸ ΚΤΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΡΛ τρίγωνον ἐπεὶ γὰρ τὰ περὶ τοὺς Α, Β κύκλους εὐθύγραμμα πρὸς ἄλληλά ἐστιν, ὡς αἱ ἐκ τῶν κέντρων δυνάμει, τουτέστιν
25	ἡ ΤΔ πρὸς Η δυνάμει, τουτέστιν ἡ ΤΔ πρὸς ΡΖ μήκει, τουτέστιν ὡς τὸ ΚΤΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΡΛ, ἴσον δὲ τὸ ΚΤΔ τῷ περὶ τὸν Α κύκλον περιγεγραμμένῳ, ἔστιν
25	ἄρα, ὡς τὸ ΚΤΔ πρὸς τὸ περὶ τὸν Β κύκλον περιγε‐
32	γραμμένον, οὕτως τὸ αὐτὸ ΚΤΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΡΛ τρίγωνον. Ἐναλλὰξ ἄρα ἐλάσσονα λόγον ἔχει τὸ πρίσμα πρὸς τὸν κύλινδρον ἤπερ τὸ ἐγγεγραμμένον εἰς
5	τὸν Β κύκλον πολύγωνον πρὸς τὸν Β κύκλον· ὅπερ ἄτοπον ἐὰν ποιήσωμεν, ὡς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ πρίσματος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ κυλίνδρου, οὕτως τὸ ἐγγεγραμμένον εἰς τὸν Β κύκλον πρὸς ἄλλο τι, ἔσται πρὸς ἔλασσον τοῦ Β κύκλου, πρὸς ὃ μείζονα λόγον ἔχει
10	τὸ ἐγγεγραμμένον ἤπερ πρὸς τὸν κύκλον, τουτέστιν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ πρίσματος πρὸς τὴν τοῦ κυλίνδρου ἐπι‐ φάνειαν μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἐγγεγραμμένον πρὸς τὸν κύκλον. ἐδείχθη δὲ ἔχον καὶ ἐλάσσονα· ὅπερ ἄτοπον.
14t	Εἰς τὸ ιδʹ.
15	Ἡ δὲ Γ πρὸς τὴν Δ μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ πολύγωνον τὸ ἐν τῷ Α κύκλῳ ἐγγεγραμμένον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς πυραμίδος τῆς ἐγγε‐ γραμμένης εἰς τὸν κῶνον ἡ γὰρ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου πρὸς τὴν πλευρὰν τοῦ κώνου μείζονα λόγον ἔχει
20	ἤπερ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου κάθετος ἀγομένη ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου πρὸς τὴν ἐπὶ τὴν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου κάθετον ἀγομένην ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου. νενοήσθω γὰρ χωρὶς ἡ ἐν τῷ ῥητῷ καταγραφὴ καὶ
25	εἰς τὸν Α κύκλον ἐγγεγραμμένον πολύγωνον τὸ ΖΘΚ, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ Α ἐπὶ μίαν πλευ‐ ρὰν τοῦ πολυγώνου τὴν ΘΚ κάθετος ἤχθω ἡ ΑΗ· φα‐ νερὸν δή, ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ πολυγώνου καὶ τῆς ΑΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ πολυγώνου. νενοήσθω
30	δὴ καὶ [ἡ] τοῦ κώνου κορυφὴ τὸ Λ σημεῖον καὶ ἀπὸ
34	τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Η ἐπεζευγμένη ἡ ΛΗ, ἥτις κάθετος γίνε‐ ται ἐπὶ τὴν ΘΚ, ὡς ἐδείχθη ἐν τῷ λήμματι τοῦ ηʹ θεω‐ ρήματος. ἐπεὶ οὖν ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ ἐγγεγραμμένον πολύγωνον, ἔστι δὲ καὶ ἰσοσκελὴς ὁ κῶνος, αἱ ἀπὸ τοῦ
5	Λ ἐφ’ ἑκάστην τῶν πλευρῶν τοῦ πολυγώνου ἀγόμεναι κάθετοι ἴσαι εἰσὶ τῇ ΛΗ· ἑκάστη γὰρ αὐτῶν δύναται τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος καὶ τῆς ἴσης τῇ ΑΗ. διὰ δὲ τοῦτο καὶ τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ πολυγώνου καὶ τῆς ΛΗ διπλάσιόν ἐστι τῆς ἐπιφανείας τῆς πυραμίδος· τὸ γὰρ
10	ὑφ’ ἑκάστης πλευρᾶς καὶ τῆς ἀπὸ τῆς κορυφῆς καθέτου ἐπ’ αὐτὴν ἀγομένης ἴσης τῇ ΛΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ καθ’ ἑαυτὴν τριγώνου. ὥστε ἐστίν, ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΛ, τὸ πολύγωνον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς πυραμίδος κοινοῦ ὕψους τῆς περιμέτρου τοῦ πολυγώνου λαμβανομένης.
15	ἀχθείσης δὴ τῆς ΗΝ παρὰ τὴν ΜΛ ἔσται, ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΛ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΝ. ἡ δὲ ΑΗ πρὸς ΗΝ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΗΛ· μείζων γὰρ ἡ ΛΗ τῆς ΗΝ· καὶ ἡ ΑΜ ἄρα πρὸς ΜΛ, τουτέστιν ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΗ πρὸς ΗΛ, τουτ‐
20	έστιν ἤπερ τὸ πολύγωνον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς πυραμίδος.
22t	Εἰς τὸ ιϛʹ.
23	Καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΖ καὶ τῷ ὑπὸ τῆς ΑΔ καὶ συναμ‐
25	φοτέρου τῆς ΔΖ, ΑΗ διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν ΔΖ τῇ ΑΗ ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΖ τῇ ΑΗ, ἔστιν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ, ἡ ΒΔ πρὸς ΔΖ· καὶ διὰ τοῦτο τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων τῶν ΒΑ, ΔΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων τῶν ΒΔ, ΑΗ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν
30	ΒΑ, ΔΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΖ καὶ τῷ ὑπὸ
36	τῶν ΑΔ, ΔΖ διὰ τὸ πρῶτον θεώρημα τοῦ βʹ βιβλίου τῆς Στοιχειώσεως· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΑΗ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ ΒΔ, ΔΖ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΔ, ΔΖ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΔΑ, ΑΗ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΔ, ΑΗ
5	μετὰ τοῦ ὑπὸ ΔΑ, ΑΗ, ὅπερ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΑ, ΑΗ, ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΒΔ, ΔΖ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΔ, ΔΖ καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ ΑΔ, ΑΗ.
8t	Εἰς τὸ κγʹ.
9	Τὸ δὲ πλῆθος τῶν πλευρῶν τοῦ πολυγώνου
10	μετρείσθω ὑπὸ τετράδος ὑπὸ τετράδος βούλεται μετρεῖσθαι τὰς πλευρὰς τοῦ πολυγώνου διὰ τὸ τοῦ κύ‐ κλου κινουμένου περὶ τὴν ΑΓ διάμετρον πάσας τὰς πλευρὰς κατὰ κωνικῶν φέρεσθαι ἐπιφανειῶν χρησίμου ἐσομένου αὐτῷ ἐν τοῖς ἑξῆς τοῦ τοιούτου. μὴ γὰρ ὑπὸ
15	τετράδος μετρουμένων τῶν πλευρῶν τοῦ πολυγώνου, κἂν ἀρτιόπλευρον ᾖ, οὐ πάσας δυνατὸν κατὰ κωνικῶν φέρεσθαι ἐπιφανειῶν, ὡς κατανοῆσαι ἔνεστιν ἐπὶ τῶν τοῦ ἑξαγώνου πλευρῶν· δύο γὰρ τὰς ἀπεναντίον αὐτοῦ παραλλήλους πλευρὰς κατὰ κυλινδρικῆς φέρεσθαι ἐπι‐
20	φανείας συμβαίνει. ὅπερ, ὡς εἴρηται, οὐ χρήσιμον αὐτῷ πρὸς τὰ ἑξῆς.
22t	Εἰς τὸ λʹ.
23	Ἡ δὲ ΚΘ ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τοῦ ΑΒΓΔ κύ‐ κλου ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ Χ ἐπιζεύξωμεν ἐπὶ τὸ σημεῖον,
25	καθ’ ὃ ἐφάπτεται ἡ ΚΖ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, νοούμενον τὸ Μ, ὁμοίως δὲ καὶ τὴν ΧΚ, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΧΚ τῇ ΧΖ, εἰσὶν δὲ καὶ ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Μ, ἴση γίνεται καὶ ἡ ΚΜ τῇ ΜΖ. ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΖΧ τῇ ΧΘ ἴση· παρ‐ άλληλος ἄρα ἡ ΧΜ τῇ ΚΘ, καὶ διὰ τοῦτο ἔσται, ὡς ἡ
30	ΘΖ πρὸς ΖΧ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς ΧΜ. διπλῆ δὲ ἡ ΘΖ
38	τῆς ΧΘ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΚΘ τῆς ΧΜ ἐκ τοῦ κέντρου οὔσης τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.
3t	Εἰς τὸ λβʹ.
4	Ἔχει δὲ καὶ ἡ διάμετρος τοῦ Μ κύκλου πρὸς
5	τὴν διάμετρον τοῦ Ν λόγον, ὃν ἔχει ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ ἐὰν γὰρ ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΗΛ, ΓΚ, ὀρθῶν γινο‐ μένων τῶν πρὸς τοῖς Κ, Λ καὶ παραλλήλου τῆς ΑΚ τῇ ΛΕ ἰσογώνιον γίνεται τὸ ΗΛΕ τρίγωνον τῷ ΓΚΑ τρι‐ γώνῳ, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν, ὡς ἡ ΗΛ πρὸς ΛΕ, οὕτως
10	ἡ ΓΚ πρὸς ΚΑ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΗΛ πρὸς ΛΕ, οὕτως πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς τοῦ περιγεγραμμένου γω‐ νίας πρὸς τὴν τοῦ περὶ τὸ περιγεγραμμένον κύκλου διά‐ μετρον, ὡς δὲ ἡ ΓΚ πρὸς ΚΑ, οὕτως πᾶσαι αἱ ἐπιζευγ‐ νύουσαι τὰς τοῦ ἐγγεγραμμένου γωνίας πρὸς τὴν τοῦ
15	ΑΒΓΔ κύκλου διάμετρον· ὡς ἄρα πᾶσαι αἱ ἐπιζευγ‐ νύουσαι τὰς τοῦ περιγεγραμμένου γωνίας πρὸς τὴν τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου διάμετρον, οὕτως πᾶσαι αἱ ἐπιζευγ‐ νύουσαι τὰς τοῦ ἐγγεγραμμένου γωνίας πρὸς τὴν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου διάμετρον. ὡς δὲ ἡ διάμετρος πρὸς τὴν
20	πλευράν, οὕτως ἡ διάμετρος πρὸς τὴν πλευράν, ἐπεὶ καί, ὡς ἡ ΗΕ πρὸς ΕΛ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς ΑΚ· καὶ δι’ ἴσου ἄρα, ὡς πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι πρὸς τὴν ΕΛ, οὕτως πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι πρὸς τὴν ΑΚ. ἀλλ’ ὡς πᾶσαι πρὸς τὴν πλευρὰν τὴν ΕΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ πασῶν
25	καὶ τῆς ΕΛ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΛ τῆς ΕΛ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης, ὡς δὲ πᾶσαι πρὸς τὴν ΑΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ πασῶν καὶ τῆς ΑΚ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν, πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ κοινοῦ ὕψους πάλιν λαμβανο‐
30	μένης τῆς ΑΚ· ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέν‐
40	τρου τοῦ Μ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΛ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΚ. καὶ ὡς ἄρα αὐτὴ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ πρὸς τὴν ΕΛ, οὕτως ἡ ἐκ τοῦ κέν‐ τρου τοῦ Ν πρὸς τὴν ΑΚ. ἐναλλάξ, ὡς ἡ ἐκ τοῦ κέν‐
5	τρου τοῦ Μ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν, οὕτως ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ, καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ διπλάσια, ὡς ἡ διάμετρος τοῦ Μ πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ Ν, ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ.
9t	Εἰς τὸ λδʹ.
10	Αἱ δὲ Ι, Θ εἰλημμέναι, ὥστε τῷ ἴσῳ ἀλλήλων ὑπερέχειν τὴν Κ τῆς Ι καὶ τὴν Ι τῆς Θ καὶ τὴν Θ τῆς Η τὸ προκείμενόν ἐστι δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν ἀριθμητικῇ ἀναλογίᾳ, ὃ ταὐτόν ἐστι τῷ τῷ ἴσῳ ἀλλήλων ὑπερέχειν. ποιητέον δὲ
15	τοῦτο οὕτως· ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΚ ἄνισοι, καὶ ἀφαιρεθείσης ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσης τῇ ΓΚ τῆς ΒΔ ἡ λοιπὴ ἡ ΑΔ τετμήσθω τρίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, καὶ τῇ μὲν ΕΒ ἴση κείσθω ἡ Η, τῇ δὲ ΖΒ ἴση ἡ Θ. ἔσονται δὴ αἱ Θ, Η ποιοῦσαι τὸ προκείμενον.
20	λέγω δή, ὅτι καὶ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΚ μείζονα ἢ τρι‐ πλασίονα λόγον ἔχει τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Η. γεγονέτω γάρ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Η, οὕτως ἡ Η πρὸς ἄλλην τινὰ τὴν Λ. καὶ ἐπεί, ᾧ μέρει ἑαυτῆς ἡ ΑΒ ὑπερ‐ έχει τῆς Η, τούτῳ καὶ ἡ Η ἑαυτῆς ὑπερέχει τῆς Λ, τὸ
25	δὲ αὐτὸ μέρος τῆς ΑΒ μεῖζόν ἐστι τοῦ μέρους τῆς η, μείζονι ἄρα ὑπερέχει ἡ ΑΒ τῆς Η ἤπερ ἡ Η τῆς Λ. τῷ δὲ αὐτῷ ὑπερέχει ἡ ΑΒ τῆς Η καὶ ἡ Η τῆς Θ· μείζονι ἄρα ὑπερέχει ἡ Η τῆς Θ ἤπερ ἡ Η τῆς Λ· ὥστε μείζων ἡ Λ τῆς Θ. ἐὰν δὴ πάλιν ποιήσωμεν, ὡς τὴν Η
30	πρὸς τὴν Λ, οὕτως τὴν Λ πρὸς Μ, πολλῷ μείζων ἔσται
42	τῆς ΓΚ. καὶ ἐπεὶ τέσσαρες εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, Η, Λ, Μ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Μ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς Η· ὥστε ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΚ μείζονα ἢ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν Η.
5t	Εἰς τὸ λζʹ.
6	Ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΕΘ καὶ τῶν ΕΖ, ΓΔ, ΚΑ δέδεικ‐ ται ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΕΛ, ΚΘ ἐν γὰρ τῷ δευτέρῳ καὶ εἰκοστῷ θεωρήματι δέδεικται, ὅτι αἱ ΕΖ, ΓΔ, ΚΑ πρὸς τὴν ΘΚ τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον, ὃν ἡ ΛΕ πρὸς
10	ΕΘ· ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων. Τὸ δὲ ὑπὸ ΕΛ, ΚΘ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΘΑ καὶ γὰρ τοῦ ὑπὸ ΛΘ, ΘΚ ἴσου ὄντος τῷ ἀπὸ ΘΑ, ὥς ἐστι δῆλον ἐπιζευγνυμένης τῆς ΑΛ καὶ διὰ τοῦτο ὁμοίου
15	γινομένου τοῦ ΘΑΚ τριγώνου τῷ ΘΑΛ· ἔσται γάρ, ὡς ἡ ΛΘ πρὸς ΘΑ, ἡ ΑΘ πρὸς ΟΚ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς μέσης.
18t	Εἰς τὸ λθʹ.
19	Ἕξει δὴ τὸ αὐτὸ κέντρον τῷ ΑΒΓ κύκλῳ ἐὰν
20	γὰρ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι ἐπὶ τὰ Θ, Ε, Λ, ἴσαι ἔσονται διὰ τὸ καὶ τὰς ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνυμένας εὐθείας καθέτους εἶναι ἐπὶ τὰς ἐφαπ‐ τομένας, καὶ αὐτὰς δὲ τὰς ἐφαπτομένας δίχα τέμνεσθαι πρὸς τῇ ἁφῇ.
25	Ὅταν δὲ τοῦτο ᾖ, μείζων γίνεται ἡ ἐπιφάνεια τῆς ἐπιφανείας ἐπεὶ γὰρ ἡ ΜΖ κατὰ κωνικῆς ἐπι‐
25	φανείας φέρεται, κατὰ κολούρου κώνου ἐπιφανείας οἰσ‐
44	θήσεται, ᾗ ἴσος ἐστὶ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέ‐ σον λόγον ἔχει τῆς τε ΖΜ καὶ τῆς ἡμισείας συναμφοτέ‐ ρου τῆς ΖΗ καὶ τῆς ΜΝ. ὁμοίως δὴ καὶ τῇ ὑπὸ τῆς ΜΑ γενομένῃ κολούρου κώνου ἐπιφανείᾳ ἴσος ἐστὶ κύ‐
5	κλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς ΜΑ καὶ τῆς ἡμισείας συναμφοτέρου τῆς ΑΒ καὶ ΜΝ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΖΜ μείζων τῆς ΜΑ, ἡ δὲ ΖΗ τῆς ΑΒ· μείζων ἄρα καὶ ἡ μέση τῆς μέσης· ὥστε καὶ ἡ ἐπιφάνεια τῆς ἐπιφανείας. ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΜ, ΝΗ μείζων ἐστὶ τῆς
10	ὑπὸ ΜΑ, ΝΒ ἐπιφανείας.
11t	Εἰς τὸ μʹ.
12	Ἡ ἄρα τοῦ σχήματος τοῦ ΚΖΛ ἐπιφάνεια μεί‐ ζων ἐστὶ τοῦ κύκλου καὶ τὰ ἑξῆς. ἀσαφέστερον δοκεῖ συνῆχθαι τὸ εἰρημένον, λέγοις δ’ ἂν σαφῶς οὕτως·
15	ἐπειδὴ ὁ Ν κύκλος ἴσος ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ σχήματος, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν δύναται τὸ ὑπὸ ΜΘ, ΖΗ, τὸ δὲ ὑπὸ ΜΘ, ΖΗ μεῖζον τοῦ ὑπὸ ΓΔ, ΔΞ· ἡ μὲν γὰρ ΜΘ ἴση δέδεικται τῇ ΓΔ, ἡ δὲ ΖΗ μείζων τῆς ΔΞ· ὁ Ν ἄρα κύκλος μείζων ἐστὶ τοῦ κύκλου, οὗ ἡ ἐκ
20	τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΓΔ, ΔΞ. τὸ δὲ ὑπὸ ΓΔ, ΔΞ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΑ· ὁ ἄρα Ν κύκλος, τουτέστιν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ περιγεγραμμένου, μείζων ἐστὶ τοῦ κύκλου, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΔΑ.
24t	Εἰς τὸ μαʹ.
25	Ἀλλὰ τὰ εἰρημένα χωρία πρὸς ἄλληλά ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πλευρᾶς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ πλευρᾶς ἐὰν γὰρ ἐπιζευχθῇ ἡ ΔΛΚ, παραλλήλου οὔσης τῆς ΕΚ τῇ ΑΛ ἐστιν, ὡς ἡ ΕΔ πρὸς ΔΑ, ἡ ΕΚ
25	πρὸς ΑΛ. ὡς δὲ ἡ ΕΔ πρὸς ΔΑ, ἡ ΕΖ πρὸς ΑΓ· καὶ
46	ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ, ἡ ΕΖ πρὸς ΑΓ καὶ ἡ ἡμίσεια τῆς ΕΖ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς ΑΓ. ὁμοίως δὴ καὶ ἐπὶ πασῶν τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰς γωνίας τῶν πολυγώνων δειχθήσεται, ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον πρὸς ἀλλήλας,
5	ὃν ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ. καὶ ὡς ἄρα ἓν πρὸς ἕν, οὕτως ἅπαντα πρὸς ἅπαντα· ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ, οὕτως πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς τοῦ περιγεγραμμένου γω‐ νίας μετὰ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως τοῦ μείζονος τμή‐ ματος πρὸς πάσας τὰς ἐπιζευγνυούσας μετὰ τῆς ἡμισείας
10	τῆς βάσεως τοῦ ἐλάσσονος τμήματος. ὥστε καί, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῆς ΕΚ καὶ πασῶν πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΑΛ καὶ πασῶν· τὰ γὰρ ὅμοια εὐθύγραμμα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολό‐ γων πλευρῶν, καὶ τοῦ μὲν τῆς ΕΚ πρὸς ΑΛ λόγου δι‐
15	πλασίων ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ, τῶν δὲ ἐπιζευγνυουσῶν τὰς τοῦ μείζονος πρὸς τὰς ἐπιζευ‐ γνυούσας τὰς τοῦ ἐλάττονος διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ὑπὸ τῆς ΕΚ καὶ πασῶν πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΑΛ καὶ πασῶν· ὅμοια γὰρ καὶ ταῦτα διὰ τὸ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχειν.
20	Καί ἐστιν, ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐλάσσονος σφαίρας, οὕτως ἡ ΑΛ πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ΑΛ κάθετον ἠγμένην ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζεύξωμεν εὐθεῖαν, ἔσται ἡ ἐπιζευχθεῖσα κάθετος ἐπ’ ἀμφοτέρας
25	τὰς ΕΚ, ΑΛ, καὶ ἔσται, ὡς ἡ ΕΔ πρὸς ΔΑ, τουτέστιν ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ, ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπι‐ ζευχθεῖσα, τουτέστιν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐλάσσονος σφαίρας, πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ΑΛ κάθετον. Ἐδείχθη δέ, ὡς ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ, οὕτως ἡ ἐκ τοῦ
30	κέντρου τοῦ Μ κύκλου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου
30	τοῦ Ν κύκλου ἐπεὶ δέδεικται, ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ πολύ‐
48	γωνον πρὸς τὸ πολύγωνον, οὕτως ὁ Μ κύκλος πρὸς τὸν Ν, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν.
4t	Εἰς τὸ μβʹ.
5	Ἑκάτερος γὰρ τῶν λόγων διπλάσιός ἐστι τοῦ, ὃν ἔχει ἡ τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου πλευ‐ ρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ πρὸ τούτου, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύ‐ κλου τοῦ ἴσου τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ περιγεγραμμένου πρὸς
10	τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ ἴσου τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ἐγγεγραμμένου, οὕτως ἡ πλευρὰ τοῦ περιγεγραμμέ‐ νου πολυγώνου πρὸς τὴν πλευρὰν τοῦ ἐγγεγραμμένου. οἱ δὲ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους ἐν διπλασίονι λόγῳ εἰσὶν τῶν ἐκ τῶν κέντρων· καὶ ἡ ἐπιφάνεια ἄρα πρὸς τὴν
15	ἐπιφάνειαν διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν.
17t	Εἰς τὸ μδʹ.
18	Τὸ ἄρα περιγεγραμμένον στερεὸν πρὸς τὸ ἐγ‐ γεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὁ στερεὸς
20	τομεὺς πρὸς τὸν Θ κῶνον εἰ γὰρ τὸ περιγεγραμμέ‐ νον στερεὸν πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα ἢ τρι‐ πλασίονα λόγον ἔχει τοῦ, ὃν ἔχει ἡ Δ πρὸς Ζ, ἡ δὲ Δ πρὸς Ε μείζονα ἢ τριπλασίονα, τὸ ἄρα περιγεγραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Δ
25	πρὸς Ε. ἡ δὲ Δ πρὸς Ε ἤπερ ὁ τομεὺς πρὸς τὸν κῶνον· καὶ τὸ περιγεγραμμένον ἄρα πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ τομεὺς πρὸς τὸ κῶνον. [Εὐτοκίου Ἀσκαλωνίτου ὑπόμνημα εἰς τὸ πρῶτον τῶν Ἀρχιμήδους περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ἐκδόσεως παρα‐
30	ναγνωσθείσης τῷ Μιλησίῳ μηχανικῷ Ἰσιδώρῳ ἡμετέρῳ
30	διδασκάλῳ].
50 (1t)	Εἰς τὸ βʹ.
2	Σαφῶς ἡμῖν τῶν ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ θεωρημάτων γεγραμμένων ἀκόλουθος καὶ ἡ κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον ἐν τοῖς τοῦ δευτέρου θεωρήμασι σπουδή.
5	φησὶν δὴ πρῶτον ἐν τῷ αʹ θεωρήματι· Εἰλήφθω τοῦ δοθέντος κώνου ἢ κυλίνδρου ἡμιόλιος κύλινδρος τοῦτο δὲ διχῶς δυνατόν ἐστιν ποιεῖν ἤτοι τῆς βάσεως τῆς αὐτῆς σωζομένης ἐν ἀμφοτέ‐ ροις ἢ τοῦ ὕψους. καὶ ἵνα σαφέστερον γένηται τὸ λεγό‐
10	μενον, νενοήσθω κῶνος ἢ κύλινδρος, οὗ βάσις μὲν ὁ Α κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΑΓ, καὶ δέον ἔστω αὐτοῦ ἡμιόλιον κύλινδρον εὑρεῖν. ὑποκείσθω δὴ πρότερον ὁ ΑΓ κύλινδρος, καὶ προσ‐ εκβεβλήσθω τὸ ΑΓ ὕψος τοῦ κυλίνδρου, καὶ κείσθω
15	τῆς ΑΓ ἡμίσεια ἡ ΓΔ· ἡ ἄρα ΑΔ ἡμιολία ἐστὶν τῆς ΑΓ. ἐὰν δὴ νοήσωμεν κύλινδρον βάσιν μὲν ἔχοντα τὸν Α κύκλον, ὕψος δὲ τὴν ΑΔ εὐθεῖαν, ἡμιόλιος ἔσται τοῦ προτεθέντος τοῦ ΑΓ· οἱ γὰρ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄν‐ τες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη.
20	εἰ δὲ κῶνος εἴη ὁ ΑΓ, τμηθείσης τῆς ΑΓ δίχα ὡς κατὰ τὸ Ε ἐὰν πάλιν νοηθῇ κύλινδρος βάσιν μὲν ἔχων τὸν Α κύκλον, ὕψος δὲ τὴν ΑΕ, ἔσται ἡμιόλιος τοῦ ΑΓ κώνου· ὁ γὰρ κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὸν Α κύ‐ κλον, ὕψος δὲ τὴν ΑΓ εὐθεῖαν, τοῦ μὲν ΑΓ κώνου
25	τριπλάσιός ἐστι, τοῦ δὲ ΑΕ κυλίνδρου διπλάσιος· ὥστε δῆλον, ὅτι καὶ ὁ ΑΕ κύλινδρος ἡμιόλιός ἐστι τοῦ ΑΓ
25	κώνου.
52	οὕτως μὲν οὖν τῆς αὐτῆς βάσεως σωζομένης ἔν τε τῷ προτεθέντι καὶ ἐν τῷ λαμβανομένῳ γενήσεται τὸ πρόβλημα, ἔνεστι δὲ καὶ τῆς βάσεως διαφόρου τυγχα‐ νούσης, τοῦ δὲ ἄξονος τοῦ αὐτοῦ μένοντος, τὸ αὐτὸ
5	ποιεῖν. ἔστω γὰρ πάλιν κῶνος ἢ κύλινδρος, οὗ βάσις ὁ ΖΗ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, οὗ δέον ἔστω ἡμιόλιον [Omitted graphic marker] κύλινδρον εὑρεῖν ὕψος ἔχοντα ἴσον τῇ ΘΚ. ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΖΗ δια‐
10	μέτρου τοῦ κύκλου τετράγωνον τὸ ΖΛ, καὶ προσεκβληθείσης τῆς ΖΗ κείσθω αὐτῆς ἡμίσεια ἡ ΗΜ, καὶ συμπεπλη‐ ρώσθω τὸ ΖΝ παραλληλόγραμμον· τὸ ἄρα ΖΝ ἡμιόλιόν ἐστι τοῦ ΖΛ καὶ ἡ
15	ΜΖ τῆς ΖΗ. συνεστάτω δὴ τῷ ΖΝ παραλληλογράμμῳ ἴσον τετράγωνον τὸ ΞΠ, καὶ περὶ διάμετρον μίαν τῶν πλευρῶν αὐτοῦ τὴν ΞΟ κύκλος γε‐ γράφθω. ἔσται δὴ ὁ ΞΟ ἡμιόλιος τοῦ ΖΗ· οἱ γὰρ κύ‐ κλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τε‐
20	τράγωνα. καὶ ἐὰν πάλιν νοηθῇ κύλινδρος βάσιν μὲν ἔχων τὸν ΞΟ κύκλον, ὕψος δὲ ἴσον τῇ ΘΚ, ἔσται ἡμιόλιος τοῦ κυλίνδρου, οὗ βάσις μὲν ὁ ΖΗ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΘΚ. εἰ δὲ κῶνος εἴη, ὁμοίως τὰ αὐτὰ ποιήσαντες καὶ τῷ
25	τρίτῳ μέρει τοῦ ΖΝ παραλληλογράμμου ἴσον συστησά‐ μενοι τετράγωνον ὡς τὸ ΞΠ καὶ περὶ τὴν πλευρὰν αὐ‐ τοῦ τὴν ΞΟ κύκλον γράψαντες νοήσωμεν ἀπ’ αὐτοῦ κύλινδρον ὕψος ἔχοντα τὴν ΘΚ· ἕξομεν αὐτὸν ἡμιόλιον τοῦ προτεθέντος κώνου. ἐπεὶ γὰρ τὸ ΖΝ παραλληλό‐
30	γραμμον τοῦ ΞΠ τετραγώνου τριπλάσιον, τοῦ δὲ ΖΛ
30	ἡμιόλιον, τὸ ΖΛ τοῦ ΞΠ ἔσται διπλάσιον, καὶ διὰ τοῦτο
54	καὶ ὁ κύκλος τοῦ κύκλου διπλάσιος καὶ ὁ κύλινδρος τοῦ κυλίνδρου. ἀλλ’ ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὸν ΖΗ κύ‐ [Omitted graphic marker] κλον, ὕψος δὲ τὴν ΘΚ, τριπλάσιός ἐστι τοῦ περὶ
5	τὴν αὐτὴν βάσιν καὶ ὕψος τὸ αὐτὸ κώνου· ὥστε καὶ ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὸν ΞΟ κύκλον, ὕψος δὲ ἴσον τῇ ΘΚ, ἡμιόλιός ἐστι
10	τοῦ προκειμένου κώνου. εἰ δὲ δέοι μήτε τὸν ἄξονα τὸν αὐτὸν εἶναι μήτε τὴν βάσιν, γενήσεται τὸ πρόβλημα πάλιν διχῶς· ἢ γὰρ τὴν βάσιν ἕξει ἴσην τῇ δοθείσῃ ἢ τὸν ἄξονα ὁ ποριζόμενος κύλινδρος. ἔστω γὰρ πρότερον ἡ βάσις διδομένη, ὡς ὁ ΞΟ
15	κύκλος, καὶ δέον ἔστω κύλινδρον εὑρεῖν ἡμιόλιον τοῦ δοθέντος κώνου ἢ κυλίνδρου ἀπὸ βάσεως τῆς ΞΟ. εἰ‐ λήφθω, ὡς προείρηται, τοῦ δοθέντος κώνου ἢ κυλίνδρου ἡμιόλιος κύλινδρος βάσιν ἔχων τὴν αὐτὴν τῷ προτεθέντι ὁ ΦΥ, καὶ γεγονέτω, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΞΟ πρὸς τὸ ἀπὸ
20	ΤΥ, οὕτως τὸ ὕψος τοῦ ΦΥ πρὸς τὴν ΡΣ. ἔσται ἄρα ὁ κύλινδρος ὁ ἀπὸ τῆς ΞΟ βάσεως ὕψος ἔχων τὴν ΡΣ ἴσος τῷ ΦΥ· ἀντιπεπόνθασιν γὰρ αἱ βάσεις τοῖς ὕψε‐ σιν· καὶ γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπίταγμα. εἰ δὲ μὴ ἡ βάσις ᾖ διδομένη, ἀλλὰ ὁ ἄξων, τῷ αὐτῷ λόγῳ πορισθέντος
25	τοῦ ΦΥ γενήσεται τὰ τῆς προτάσεως.
26t	Εἰς τὴν σύνθεσιν τοῦ αʹ.
27	Τούτου ληφθέντος ἐπεὶ δι’ ἀναλύσεως αὐτῷ προέβη τὰ τοῦ προβλήματος, ληξάσης τῆς ἀναλύσεως εἰς τὸ δεῖν δύο δοθεισῶν δύο μέσας ἀνάλογον προσευρεῖν ἐν συν‐
30	εχεῖ ἀναλογίᾳ φησὶν ἐν τῇ συνθέσει· εὑρήσθωσαν.
56	τὴν δὲ εὕρεσιν τούτων ὑπ’ αὐτοῦ μὲν γεγραμμένην οὐδὲ ὅλως εὑρίσκομεν, πολλῶν δὲ κλεινῶν ἀνδρῶν γραφαῖς ἐντετυχήκαμεν τὸ πρόβλημα τοῦτο ἐπαγγελλομέναις, ὧν τὴν Εὐδόξου τοῦ Κνιδίου παρῃτησάμεθα γραφήν, ἐπειδή
5	φησιν μὲν ἐν προοιμίοις διὰ καμπύλων γραμμῶν αὐτὴν ηὑρηκέναι, ἐν δὲ τῇ ἀποδείξει πρὸς τῷ μὴ κεχρῆσθαι καμπύλαις γραμμαῖς ἀλλὰ καὶ διῃρημένην ἀναλογίαν εὑρὼν ὡς συνεχεῖ χρῆται· ὅπερ ἦν ἄτοπον ὑπονοῆσαι, τί λέγω περὶ Εὐδόξου, ἀλλὰ περὶ τῶν καὶ μετρίως περὶ
10	γεωμετρίαν ἀνεστραμμένων. ἵνα δὴ ἡ τῶν εἰς ἡμᾶς ἐλη‐ λυθότων ἀνδρῶν ἔννοια ἐμφανὴς γένηται, ὁ ἑκάστου τῆς εὑρέσεως τρόπος καὶ ἐνταῦθα γραφήσεται.
13t	Ὡς Πλάτων.
14	Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν
15	ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ. ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν. ἐκβεβλή‐ [Omitted graphic marker] σθωσαν ἐπ’ εὐθείας ἐπὶ τὰ Δ, Ε, καὶ κατεσκευάσθω ὀρθὴ γω‐
20	νία ἡ ὑπὸ ΖΗΘ, καὶ ἐν ἑνὶ σκέλει, οἷον τῷ ΖΗ, κινείσθω κανὼν ὁ ΚΛ ἐν σωλῆνί τινι ὄντι ἐν τῷ ΖΗ οὕτως, ὥστε παράλληλον αὐτὸν διαμένειν
25	τῷ ΗΘ. ἔσται δὲ τοῦτο, ἐὰν καὶ ἕτερον κανόνιον νοηθῇ συμφυὲς τῷ ΘΗ, παράλληλον δὲ τῷ ΖΗ, ὡς τὸ ΘΜ· σωληνισθεισῶν γὰρ τῶν ἄνωθεν
25	ἐπιφανειῶν τῶν ΖΗ, ΘΜ σωλῆσιν πελεκινοειδέσιν καὶ
58	τύλων συμφυῶν γενομένων τῷ ΚΛ εἰς τοὺς εἰρημένους σωλῆνας ἔσται ἡ κίνησις τοῦ ΚΛ παράλληλος ἀεὶ τῷ ΗΘ. τούτων οὖν κατεσκευασμένων κείσθω τὸ ἓν σκέλος τῆς γωνίας τυχὸν τὸ ΗΘ ψαῦον τοῦ Γ, καὶ μεταφερέσθω ἥ
5	τε γωνία καὶ ὁ ΚΛ κανὼν ἐπὶ τοσοῦτον, ἄχρις ἂν τὸ μὲν Η σημεῖον ἐπὶ τῆς ΒΔ εὐθείας ᾖ τοῦ ΗΘ σκέλους ψαύοντος τοῦ Γ, ὁ δὲ ΚΛ κανὼν κατὰ μὲν τὸ Κ ψαύῃ τῆς ΒΕ εὐθείας, κατὰ δὲ τὸ λοιπὸν μέρος τοῦ Α, ὥστε εἶναι, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς καταγραφῆς, τὴν μὲν ὀρθὴν γω‐
10	νίαν θέσιν ἔχουσαν ὡς τὴν ὑπὸ ΓΔΕ, τὸν δὲ ΚΛ κανόνα θέσιν ἔχειν, οἵαν ἔχει ἡ ΕΑ· τούτων γὰρ γεναμένων ἔσται τὸ προκείμενον. ὀρθῶν γὰρ οὐσῶν τῶν πρὸς τοῖς Δ, Ε ἔστιν, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, ἡ ΔΒ πρὸς ΒΕ καὶ ἡ ΕΒ πρὸς ΒΑ.
15t	Ὡς Ἥρων ἐν Μηχανικαῖς εἰσαγωγαῖς καὶ ἐν
16t	τοῖς Βελοποιικοῖς.
17	Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν. κείσθωσαν, ὥστε ὀρθὴν [Omitted graphic marker] γωνίαν περιέχειν τὴν πρὸς
20	τῷ Β, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΒΔ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΒΔ [φανερὸν δή, ὅτι ἴσαι οὖσαι δίχα τέμνουσιν ἀλλή‐
25	λας· ὁ γὰρ περὶ μίαν αὐτῶν
25	γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ
60	διὰ τῶν περάτων τῆς ἑτέρας διὰ τὸ ὀρθογώνιον εἶναι τὸ παραλληλόγραμμον]. ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΔΓ, ΔΑ [ἐπὶ τὰ Ζ, Η], καὶ νοείσθω κανόνιον ὡς τὸ ΖΒΗ κινούμενον περί τινα τύλον μένοντα πρὸς τῷ Β καὶ κινείσθω, ἕως
5	ἀποτέμοις ἴσας τὰς ἀπὸ τοῦ Ε, τουτέστι τὰς ΕΗ, ΕΖ. καὶ νοείσθω ἀποτεμὸν καὶ θέσιν ἔχον τὴν ΖΒΗ ἴσων, ὡς εἴρηται, γινομένων τῶν ΕΗ, ΕΖ [ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος ἡ ΕΘ· δίχα δὴ τέμνει δηλονότι τὴν ΓΔ. ἐπεὶ οὖν δίχα τέτμηται ἡ ΓΔ κατὰ τὸ Θ, καὶ
10	πρόσκειται ἡ ΓΖ, τὸ ὑπὸ ΔΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΘ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΘΖ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΘ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΔΖΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΘ, ΘΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΖΘ, ΘΕ. καί ἐστι τοῖς μὲν ἀπὸ ΓΘ, ΘΕ ἴσον τὸ ἀπὸ ΓΕ, τοῖς δὲ ἀπὸ ΖΘ, ΘΕ ἴσον τὸ ἀπὸ ΕΖ]· τὸ
15	ἄρα ὑπὸ ΔΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΖ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ ΔΗΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΗ. καί ἐστιν ἴση ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ, ἡ δὲ ΗΕ τῇ ΕΖ· καὶ τὸ ὑπὸ ΔΖΓ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΔΗΑ [ἐὰν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ
20	τῶν μέσων, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν]· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΖΔ πρὸς ΔΗ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΓΖ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΖΔ πρὸς ΔΗ, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς ΓΒ καὶ ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ [τριγώνου γὰρ τοῦ ΖΔΗ παρὰ μίαν μὲν τὴν ΔΗ ἦκται ἡ ΓΒ, παρὰ δὲ τὴν ΔΖ ἡ ΑΒ]· ὡς ἄρα ἡ
25	ΒΑ πρὸς ΑΗ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΓΖ καὶ ἡ ΓΖ πρὸς ΓΒ. τῶν ἄρα ΑΒ, ΒΓ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΗ, ΓΖ [ὅπερ ἔδει εὑρεῖν].
28t	Ὡς Φίλων ὁ Βυζάντιος.
29	Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ὧν
30	δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν. κείσθωσαν, ὥστε ὀρ‐
62	θὴν γωνίαν περιέχειν τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΑΓ γεγράφθω περὶ αὐτὴν ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΕΓ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν τῇ μὲν ΒΑ ἡ ΑΔ, τῇ δὲ ΒΓ ἡ ΓΖ, καὶ παρακείσθω κανὼν κινούμενος πρὸς τῷ Β
5	τέμνων τὰς ΑΔ, ΓΖ καὶ κεκινήσθω περὶ τὸ Β, ἄχρις ἂν ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Δ ἴση γένηται τῇ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ, τουτέστι τῇ μεταξὺ τῆς τε περιφερείας τοῦ κύκλου καὶ τῆς ΓΖ. νενοήσθω οὖν ἔχον τὸ κανόνιον θέσιν, οἵαν ἔχει ἡ ΔΒΕΖ, ἴσης οὔσης, ὡς εἴρηται, τῆς
10	ΔΒ τῇ ΕΖ. λέγω, ὅτι αἱ ΑΔ, ΓΖ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν τῶν ΑΒ, ΒΓ. νενοήσθωσαν γὰρ ἐκβεβλημέναι αἱ ΔΑ, ΖΓ καὶ συμ‐ πίπτουσαι κατὰ τὸ Θ· φανερὸν δή, ὅτι παραλλήλων οὐ‐ σῶν τῶν ΒΑ, ΖΘ ἡ πρὸς τῷ Θ γωνία ὀρθή ἐστιν, καὶ
15	ὁ ΑΕΓ κύκλος ἀναπληρούμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Θ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΒ τῇ ΕΖ, καὶ τὸ ὑπὸ ΕΔΒ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΒΖΕ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΕΔΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΘΔΑ· ἑκάτερον γὰρ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ἀπὸ τοῦ Δ· τὸ δὲ ὑπὸ ΒΖΕ ἴσον τῷ
20	ὑπὸ ΘΖΓ· ἑκάτερον γὰρ ὁμοίως ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ἀπὸ τοῦ Ζ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ ΘΔΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΘΖΓ, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν, ὡς ἡ ΔΘ πρὸς ΘΖ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΔΑ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΘΔ πρὸς ΘΖ, οὕτως ἥ τε ΒΓ πρὸς ΓΖ καὶ ἡ ΔΑ πρὸς ΑΒ· τριγώ‐
25	νου γὰρ τοῦ ΔΘΖ παρὰ μὲν τὴν ΔΘ ἦκται ἡ ΒΓ, παρὰ δὲ τὴν ΘΖ ἡ ΒΑ· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖ, ἡ ΓΖ πρὸς ΔΑ καὶ ἡ ΔΑ πρὸς ΑΒ· ὅπερ προέκειτο δεῖξαι.
25	Ἰστέον δέ, ὅτι ἡ τοιαύτη κατασκευὴ σχεδὸν ἡ αὐτή
64	ἐστι τῇ ὑπὸ Ἥρωνος· τὸ γὰρ ΒΘ παραλληλόγραμμον τὸ αὐτό ἐστι τῷ ληφθέντι ἐπὶ τῆς Ἥρωνος κατασκευῆς καὶ αἱ προσεκβαλλόμεναι πλευραὶ αἱ ΘΑ, ΘΓ καὶ ὁ πρὸς τῷ Β κινούμενος κανών. ταύτῃ δὲ μόνον διαφέρει,
5	ὅτι ἐκεῖ μὲν μέχρι τοσούτου ἐκινοῦμεν περὶ τὸ Β τὸν κανόνα, ἄχρις ἂν αἱ ἀπὸ τῆς διχοτομίας τῆς ΑΓ, τουτ‐ έστι τοῦ Κ, ἴσαι ὑπ’ αὐτοῦ ἀπετέμνοντο πρὸς τὰς ΘΔ, ΘΖ προσπίπτουσαι, ὡς αἱ ΚΔ, ΚΖ, ἐνταῦθα δέ, ἄχρις ἂν ἡ ΔΒ ἴση γένηται τῇ ΕΖ. ἐφ’ ἑκατέρας δὲ κατα‐
10	σκευῆς τὸ αὐτὸ ἀκολουθεῖ, τὸ δὲ νῦν εἰρημένον πρὸς χρῆσιν εὐθετώτερον· τὰς γὰρ ΔΒ, ΕΖ ἴσας τηρεῖν ἐνδέχεται διῃρημένου τοῦ ΔΖ κανόνος εἰς ἴσα καὶ συν‐ εχῆ πολύ γε εὐκολώτερον τοῦ καρκίνῳ διαπειράζειν τὰς ἀπὸ τοῦ Κ ἴσας πρὸς τὰ Δ, Ζ.
15t	Ὡς Ἀπολλώνιος.
16	Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν, αἱ ΒΑΓ ὀρθὴν περιέχουσαι γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Α, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΑΓ, κύκλου περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΚΘΛ, καὶ
20	πάλιν κέντρῳ τῷ Γ καὶ διαστήματι τῷ ΑΒ κύκλου περι‐ [Omitted graphic marker] φέρεια γεγράφθω ἡ ΜΘΝ καὶ τεμνέτω τὴν ΚΘΛ κατὰ τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΑ, ΘΒ, ΘΓ· παραλληλόγραμμον ἄρα
25	ἐστὶν τὸ ΒΓ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΘΑ. τετμήσθω δίχα ἡ ΘΑ τῷ Ξ, καὶ κέντρῳ τῷ Ξ γεγράφθω κύκλος τέμνων τὰς ΑΒ, ΑΓ ἐκβληθείσας κατὰ τὰ Δ, Ε, ὥστε μέντοι τὰ ΔΕ
30	ἐπ’ εὐθείας εἶναι τῷ Θ· ὅπερ ἂν γένοιτο κανονίου κι‐
66	νουμένου περὶ τὸ Θ τέμνοντος τὰς ΑΔ, ΑΕ καὶ παρα‐ γομένου ἐπὶ τοσοῦτον, ἄχρις ἂν αἱ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὰ Δ, Ε ἴσαι γένωνται. τούτου γὰρ γενομένου ἔσται τὸ ζητούμενον· ἡ γὰρ
5	αὐτὴ κατασκευή ἐστι τῇ τε ὑπὸ Ἥρωνος καὶ Φίλωνος γεγραμμένῃ, καὶ δῆλον, ὅτι καὶ ἡ ἀπόδειξις ἡ αὐτὴ ἁρμόσει.
8t	Ὡς Διοκλῆς ἐν τῷ Περὶ πυρίων.
9	Ἐν κύκλῳ ἤχθωσαν δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς αἱ
10	ΑΒ, ΓΔ, καὶ δύο περιφέρειαι ἴσαι ἀπειλήφθωσαν ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ Β αἱ ΕΒ, ΒΖ, καὶ διὰ τοῦ Ζ παράλληλος τῇ ΑΒ ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ. λέγω, ὅτι τῶν ΓΗ, ΗΘ δύο μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΖΗ, ΗΔ. ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΕΚ· ἴση
15	ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΕΚ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΚΓ τῇ ΗΔ. ἔσται γὰρ τοῦτο δῆλον ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὰ Ε, Ζ ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν· ἴσαι γὰρ γίνονται αἱ ὑπὸ ΓΛΕ, ΖΛΔ, καὶ ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Κ, Η· καὶ πάντα ἄρα πᾶσιν διὰ τὸ τὴν ΛΕ τῇ ΛΖ ἴσην εἶναι· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΚ τῇ ΗΔ
20	ἴση ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΔΚ πρὸς ΚΕ, ἡ ΔΗ πρὸς ΗΘ, ἀλλ’ ὡς ἡ ΔΚ πρὸς ΚΕ, ἡ ΕΚ πρὸς ΚΓ· μέση γὰρ ἀνάλογον ἡ ΕΚ τῶν ΔΚ, ΚΓ· ὡς ἄρα ἡ ΔΚ πρὸς ΚΕ καὶ ἡ ΕΚ πρὸς ΚΓ, οὕτως ἡ ΔΗ πρὸς ΗΘ. καί ἐστιν ἴση ἡ μὲν ΔΚ τῇ ΓΗ, ἡ δὲ ΚΕ τῇ ΖΗ, ἡ
25	δὲ ΚΓ τῇ ΗΔ· ὡς ἄρα ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ, ἡ ΖΗ πρὸς ΗΔ καὶ ἡ ΔΗ πρὸς ΗΘ. ἐὰν δὴ παρ’ ἑκάτερα τοῦ Β
25	ληφθῶσιν περιφέρειαι ἴσαι αἱ ΜΒ, ΒΝ, καὶ διὰ μὲν
68	τοῦ Ν παράλληλος ἀχθῇ τῇ ΑΒ ἡ ΝΞ, ἐπιζευχθῇ δὲ ἡ ΔΜ, ἔσονται πάλιν τῶν ΓΞ, ΞΟ μέσαι ἀνάλογον αἱ ΝΞ, ΞΔ. πλειόνων οὖν οὕτως καὶ συνεχῶν παραλλήλων ἐκβληθεισῶν μεταξὺ τῶν Β, Δ καὶ ταῖς ἀπολαμβανο‐
5	μέναις ὑπ’ αὐτῶν περιφερείαις πρὸς τῷ Β ἴσων τεθει‐ σῶν ἀπὸ τοῦ Β ὡς ἐπὶ τὸ Γ καὶ ἐπὶ τὰ γενάμενα ση‐ μεῖα ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν ἀπὸ τοῦ Δ, ὡς τῶν ὁμοίων ταῖς ΔΕ, ΔΜ, τμηθήσονται αἱ παράλληλοι αἱ μεταξὺ τῶν Β, Δ κατά τινα σημεῖα, ἐπὶ τῆς προκειμένης κατα‐
10	γραφῆς τὰ Ο, Θ, ἐφ’ ἃ κανόνος παραθέσει ἐπιζεύξαντες εὐθείας ἕξομεν καταγεγραμμένην ἐν τῷ κύκλῳ τινὰ γραμμήν, ἐφ’ ἧς ἐὰν ληφθῇ τυχὸν σημεῖον καὶ δι’ αὐ‐ τοῦ παράλληλος ἀχθῇ τῇ ΛΒ, ἔσται ἡ ἀχθεῖσα καὶ ἡ ἀπολαμβανομένη ὑπ’ αὐτῆς ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῷ
15	Δ μέσαι ἀνάλογον τῆς τε ἀπολαμβανομένης ὑπ’ αὐτῆς ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῷ Γ σημείῳ καὶ τοῦ μέρους αὐτῆς τοῦ ἀπὸ τοῦ ἐν τῇ γραμμῇ σημείου ἐπὶ τὴν ΓΔ διάμετρον. τούτων προκατεσκευασμένων ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο
20	εὐθεῖαι, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν, αἱ Α, Β, καὶ ἔστω κύκλος, ἐν ᾧ δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΓΔ, ΕΖ, καὶ γεγράφθω ἐν αὐτῷ ἡ διὰ τῶν συνεχῶν σημείων γραμμή, ὡς προείρηται, ἡ ΔΘΖ, καὶ γεγονέτω, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα
25	ἡ ΓΚ καὶ ἐκβληθεῖσα τεμνέτω τὴν γραμμὴν κατὰ τὸ Θ, καὶ διὰ τοῦ Θ τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜ· διὰ ἄρα τὰ προγεγραμμένα τῶν ΓΛ, ΛΘ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν
25	αἱ ΜΛ, ΛΔ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΓΛ πρὸς ΛΘ, οὕτως
70	ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, ὡς δὲ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἐὰν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ταῖς ΓΛ, ΛΜ, ΛΔ, ΛΘ παρεμβάλωμεν μέσας τῶν Α, Β, ὡς τὰς Ν, Ξ, ἔσονται εἰλημμέναι τῶν Α, Β μέσαι ἀνάλογον αἱ Ν, Ξ· ὅπερ ἔδει
5	εὑρεῖν.
6t	Ὡς Πάππος ἐν Μηχανικαῖς εἰσαγωγαῖς.
7	Προέθετο μὲν ὁ Πάππος κύβον εὑρεῖν πρὸς τὸν δο‐ θέντα κύβον λόγον ἔχοντα δεδομένον, καὶ ὡς πρὸς τὴν τοιαύτην πρόθεσιν καὶ τὰ τῆς ἀποδείξεως αὐτῷ προ‐
10	έρχεται, δῆλον δέ, ὅτι τούτου εὑρισκομένου καὶ τὸ προ‐ κείμενον εὑρίσκεται· δύο γὰρ δοθεισῶν εὐθειῶν ἐὰν τῶν ὀφειλουσῶν μέσων εὑρεθῆναι ἡ δευτέρα εὑρεθῇ, καὶ ἡ τρίτη αὐτόθεν δοθήσεται. γεγράφθω γάρ, ὥς φησιν αὐτὸς κατὰ λέξιν, ἡμικύκλιον
15	τὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΒ, καὶ κινείσθω κανόνιον περὶ τὸ Α σημεῖον, ὥστε τὸ [Omitted graphic marker] μὲν ἓν πέρας αὐτοῦ περι‐ κεῖσθαι τυλίῳ τινὶ κατὰ τὸ Α σημεῖον ἑστῶτι, τὸ
20	δὲ λοιπὸν μέρος ὡς περὶ κέντρον τὸ τυλάριον κι‐ νεῖσθαι μεταξὺ τῶν Β, Γ. τούτων δὲ κατεσκευασμέ‐ νων ἐπιτετάχθω δύο κύ‐
25	βους εὑρεῖν λόγον ἔχον‐ τας πρὸς ἀλλήλους τὸν ἐπι‐
25	ταχθέντα.
72	καὶ τῷ λόγῳ ὁ αὐτὸς πεποιήσθω ὁ τῆς ΒΔ πρὸς ΔΕ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ. παρα‐ γέσθω δὴ τὸ κανόνιον μεταξὺ τῶν Β, Γ, ἕως οὗ τὸ ἀπο‐ λαμβανόμενον αὐτοῦ μέρος μεταξὺ τῶν ΖΕ, ΕΒ εὐ‐
5	θειῶν ἴσον γένηται τῷ μεταξὺ τῆς ΒΕ εὐθείας καὶ τῆς ΒΚΓ περιφερείας· τοῦτο γὰρ πειράζοντες καὶ μετάγοντες τὸ κανόνιον ῥᾳδίως ποιήσομεν. γεγονέτω δή, καὶ ἐχέτω θέσιν τὴν ΑΚ, ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΗΘ, ΘΚ. λέγω, ὅτι ὁ ἀπὸ τῆς ΒΔ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΘ κύβον λόγον
10	ἔχει τὸν ἐπιταχθέντα, τουτέστι τὸν τῆς ΒΔ πρὸς ΔΕ. νενοήσθω γὰρ ὁ κύκλος ἀναπεπληρωμένος, καὶ ἐπι‐ ζευχθεῖσα ἡ ΚΔ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ ΒΔ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΚΘ τῇ ΗΘ, τὴν δὲ ΚΔ τῇ ΔΛ. ἐπεζεύχθω δὴ
15	ἥ τε ΑΛ καὶ ἡ ΛΓ. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΛΓ· ἐν ἡμικυκλίῳ γάρ· καὶ κάθετος ἡ ΛΜ, ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ, τουτέστιν ἡ ΓΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ. κοινὸς προσ‐ κείσθω ὁ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ λόγος· ὁ ἄρα συγκείμενος
20	λόγος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΑ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ, τουτέστιν ὁ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΗ λόγος, ὁ αὐ‐ τός ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἔκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ. ὁ δὲ συγκεί‐ μενος λόγος ἔκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ
25	ΜΗ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ ὁ αὐτός ἐστι τῷ λόγῳ, ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ· καὶ ὁ τῆς ΓΜ ἄρα πρὸς ΜΗ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ λόγῳ, ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΓΜ πρὸς ΜΗ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς
30	ΔΕ, ὡς δὲ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ, ἡ ΑΔ πρὸς ΔΘ· καὶ ὡς
30	ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς ΔΕ, τουτέστιν ὡς ὁ δοθεὶς λόγος, οὕ‐
74	τως ὁ ἀπὸ τῆς ΒΔ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΘ κύβον. τῶν ἄρα ὀφειλουσῶν εὑρεθῆναι δύο μέσων ἀνάλογον τῶν ΒΔ, ΔΕ δευτέρα ἐστὶν ἡ ΔΘ· καὶ ἐὰν ποιήσωμεν, ὡς τὴν ΒΔ πρὸς ΔΘ, τὴν ΘΔ πρὸς ἄλλην τινά, ἔσται
5	καὶ ἡ τρίτη ηὑρημένη. Προσέχειν δὲ χρή, ὡς καὶ ἡ τοιαύτη κατασκευὴ ἡ αὐτή ἐστι τῇ ὑπὸ Διοκλέους εἰρημένῃ τούτῳ μόνον δια‐ φέρουσα τῷ ἐκεῖνον μὲν γραμμήν τινα καταγράφειν διὰ συνεχῶν σημείων μεταξὺ τῶν Α, Β, ἐφ’ ἧς ἐλαμβάνετο
10	τὸ Η ἐκβαλλομένης τῆς ΓΕ καὶ τεμνούσης τὴν εἰρημένην γραμμήν, ἐνταῦθα δὲ τὸ Η πορίζεται διὰ τοῦ ΑΚ κα‐ νόνος κινουμένου περὶ τὸ Α. ὅτι γὰρ τὸ Η τὸ αὐτό ἐστι, εἴτε ὡς ἐνταῦθα διὰ τοῦ κανόνος ληφθῇ, εἴτε ὡς ἔφη Διοκλῆς, μάθοιμεν ἂν οὕτως. ἐκβληθείσης τῆς ΜΗ κατὰ
15	τὸ Ν ἐπεζεύχθω ἡ ΚΝ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΚΘ τῇ ΘΗ, καὶ παράλληλος ἡ ΗΝ τῇ ΘΒ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΚΞ τῇ ΞΝ. καὶ κοινὴ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΞΒ· ἡ γὰρ ΚΝ δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνεται ὑπὸ τῆς διὰ τοῦ κέν‐ τρου· καὶ βάσις ἄρα βάσει ἴση, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ ΚΒ
20	περιφέρεια τῇ ΒΝ. τὸ ἄρα Η ἐστιν τὸ ἐπὶ τῆς γραμμῆς τοῦ Διοκλέους. καὶ ἡ ἀπόδειξις δὲ ἡ αὐτή ἐστιν. ἔφασκεν γὰρ ὁ Διοκλῆς, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΓΜ πρὸς ΜΝ, οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς ΜΑ καὶ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ. ἴση δέ ἐστιν ἡ ΝΜ τῇ ΜΛ· ἡ γὰρ διάμετρος πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει·
25	ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΓΜ πρὸς ΜΛ, οὕτως ἡ ΛΜ πρὸς ΜΑ καὶ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ. τῶν ἄρα ΓΜ, ΜΗ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΛΜ, ΜΑ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΓΜ πρὸς ΜΗ, ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ, ὡς δὲ ἡ ΓΜ πρὸς ΜΛ, ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ, τουτέστιν ἡ ΓΔ πρὸς ΔΘ· καὶ τῶν δύο μέ‐
30	σων ἄρα τῶν ΓΔ, ΔΕ δευτέρα ἐστὶν ἡ ΔΘ, ἥντινα
30	ἐπορίσατο καὶ ὁ Πάππος.
76 (1t)	Ὡς Σπόρος.
2	Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΒ, ΒΓ· δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΒΓ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συν‐ εχεῖ ἀναλογίᾳ.
5	ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΒΕ, καὶ κέντρῳ τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΒΑ, ἡμικύκλιον γε‐ γράφθω τὸ ΔΑΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Γ εὐθεῖα ἐπι‐ ζευχθεῖσα διήχθω ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ διήχθω τις εὐθεῖα οὕτως, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΗΘ τῇ ΘΚ· τοῦτο
10	[Omitted graphic marker] γὰρ δυνατόν· καὶ ἤχθω‐ σαν ἀπὸ τῶν Η, Κ ἐπὶ τὴν ΔΕ κάθετοι αἱ ΗΛ, ΚΝΜ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΗ, ἡ
15	ΜΒ πρὸς ΒΛ, ἴση δὲ ἡ ΚΘ τῇ ΘΗ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΒ τῇ ΒΛ· ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ΜΕ τῇ ΛΔ. καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΔΜ τῇ ΛΕ ἐστιν ἴση, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν, ὡς ἡ ΜΔ πρὸς ΔΛ, ἡ ΛΕ πρὸς ΕΜ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ
20	ΜΔ πρὸς ΔΛ, ἡ ΚΜ πρὸς ΗΛ, ὡς δὲ ἡ ΛΕ πρὸς ΕΜ, ἡ ΗΛ πρὸς ΝΜ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΔΜ πρὸς ΜΚ, ἡ ΚΜ πρὸς ΜΕ, ὡς ἄρα ἡ ΔΜ πρὸς ΜΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΚ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ
25	ΒΘ· ἴση γὰρ ἡ ΔΒ τῇ ΒΑ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΜΔ πρὸς ΔΒ, ἡ ΛΕ πρὸς ΕΒ, ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΜΔ πρὸς ΔΒ, ἡ ΚΜ πρὸς ΘΒ, ὡς δὲ ἡ ΛΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΗΛ πρὸς ΓΒ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΜ πρὸς ΘΒ, ἡ ΗΛ πρὸς ΓΒ· καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΚΜ πρὸς ΗΛ, ἡ ΘΒ πρὸς ΓΒ.
30	ἀλλ’ ὡς ἡ ΚΜ πρὸς ΗΛ, ἡ ΜΔ πρὸς ΔΛ, τουτέστιν
78	ἡ ΔΜ πρὸς ΜΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ, ἡ ΒΘ πρὸς ΒΓ. εἰλήφθω τῶν ΘΒ, ΒΓ μέση ἀνάλογον ἡ Ξ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ, ἡ ΘΒ πρὸς
5	ΒΓ, ἀλλὰ τὸ μὲν ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς ΒΘ, ἡ δὲ ΘΒ πρὸς ΒΓ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΒ πρὸς Ξ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΘ, ἡ ΒΘ πρὸς Ξ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΘΒ πρὸς Ξ, ἡ Ξ πρὸς ΒΓ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΘ, ἡ ΘΒ πρὸς
10	Ξ καὶ ἡ Ξ πρὸς ΒΓ. Φανερὸν δέ, ὅτι καὶ αὕτη ἡ αὐτή ἐστιν τῇ τε ὑπὸ Πάππου καὶ Διοκλέους γεγραμμένῃ.
13t	Ὡς Μέναιχμος.
14	Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ Α, Ε· δεῖ δὴ
15	τῶν Α, Ε δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν. γεγονέτω, καὶ ἔστωσαν αἱ Β, Γ, καὶ ἐκκείσθω θέσει εὐθεῖα ἡ ΔΗ πεπερασμένη κατὰ τὸ Δ, καὶ πρὸς τῷ Δ τῇ Γ ἴση κείσθω ἡ ΔΖ, καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΘ, καὶ τῇ Β ἴση κείσθω ἡ ΖΘ. ἐπεὶ οὖν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνά‐
20	λογον αἱ Α, Β, Γ, τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β· τὸ ἄρα ὑπὸ δοθείσης τῆς Α καὶ τῆς Γ, τουτέστι τῆς ΔΖ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΖΘ. ἐπὶ παραβολῆς ἄρα τὸ Θ διὰ τοῦ Δ γεγραμμένης.
20	ἤχθωσαν παράλληλοι αἱ ΘΚ, ΔΚ. καὶ ἐπεὶ δοθὲν τὸ
80	ὑπὸ Β, Γ· ἴσον γάρ ἐστι τῷ ὑπὸ Α, Ε· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΚΘΖ. ἐπὶ ὑπερβολῆς ἄρα τὸ Θ ἐν ἀσυμπτώτοις ταῖς ΚΔ, ΔΖ. δοθὲν ἄρα τὸ Θ· ὥστε καὶ τὸ Ζ. συντεθήσεται δὴ οὕτως. ἔστωσαν αἱ μὲν δοθεῖσαι εὐ‐
5	θεῖαι αἱ Α, Ε, ἡ δὲ τῇ θέσει ἡ ΔΗ πεπερασμένη κατὰ τὸ Δ, καὶ γεγράφθω διὰ τοῦ Δ παραβολή, ἧς ἄξων μὲν ἡ ΔΗ, ὀρθία δὲ τοῦ εἴδους πλευρὰ ἡ Α, αἱ δὲ κατα‐ γόμεναι ἐπὶ τὴν ΔΗ ἐν ὀρθῇ γωνίᾳ δυνάσθωσαν τὰ παρὰ τὴν Α παρακείμενα χωρία πλάτη ἔχοντα τὰς ἀπο‐
10	λαμβανομένας ὑπ’ αὐτῶν πρὸς τῷ Δ σημείῳ. γεγράφθω καὶ ἔστω ἡ ΔΘ, καὶ ὀρθὴ ἡ ΔΚ, καὶ ἐν ἀσυμπτώτοις ταῖς ΚΔ, ΔΖ γεγράφθω ὑπερβολή, ἀφ’ ἧς αἱ παρὰ τὰς ΚΔ, ΔΖ ἀχθεῖσαι ποιήσουσιν τὸ χωρίον ἴσον τῷ ὑπὸ Α, Ε· τεμεῖ δὴ τὴν παραβολήν. τεμνέτω κατὰ τὸ Θ, καὶ
15	κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΘΚ, ΘΖ. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΖΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ Α, ΔΖ, ἔστιν, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΖΘ, ἡ ΘΖ πρὸς ΖΔ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ Α, Ε ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΘΖΔ, ἔστιν, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΖΘ, ἡ ΖΔ πρὸς τὴν Ε. ἀλλ’ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΖΘ, ἡ ΖΘ πρὸς ΖΔ· καὶ
20	ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν ΖΘ, ἡ ΖΘ πρὸς ΖΔ καὶ ἡ ΖΔ πρὸς Ε. κείσθω τῇ μὲν ΘΖ ἴση ἡ Β, τῇ δὲ ΔΖ ἴση ἡ Γ· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ Β πρὸς τὴν Γ καὶ ἡ Γ πρὸς Ε. αἱ Α, Β, Γ, Ε ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν·
20	ὅπερ ἔδει εὑρεῖν.
82 (1t)	Ἄλλως.
2	Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθὰς ἀλλή‐ λαις αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ γεγονέτωσαν αὐτῶν μέσαι αἱ ΔΒ, ΒΕ, ὥστε εἶναι, ὡς τὴν ΓΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως τὴν ΒΔ
5	πρὸς ΒΕ καὶ τὴν ΒΕ πρὸς ΒΑ, καὶ ἤχθωσαν πρὸς ὀρ‐ θὰς αἱ ΔΖ, ΕΖ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, ἡ ΔΒ πρὸς ΒΕ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ, τουτέστι τὸ ὑπὸ δο‐ θείσης καὶ τῆς ΒΕ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ, τουτέστι τῆς ΕΖ. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ΒΕ ἴσον
10	ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΖ, τὸ Ζ ἄρα ἅπτεται παραβολῆς τῆς περὶ ἄξονα τὴν ΒΕ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΕ, ἡ ΒΕ πρὸς ΒΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΔ, τουτέστι τὸ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ΒΔ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΒ, τουτέστι τῆς ΔΖ· τὸ Ζ ἄρα ἅπτεται παραβολῆς τῆς περὶ ἄξονα
15	τὴν ΒΔ. ἧπται δὲ καὶ ἑτέρας δοθείσης τῆς περὶ τὴν ΒΕ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. καὶ κάθετοι αἱ ΖΔ, ΖΕ· δοθέντα ἄρα τὰ Δ, Ε. συντεθήσεται δὲ οὕτως. ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐ‐ θεῖαι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΒ, ΒΓ καὶ ἐκβεβλήσθω‐
20	σαν ἐπ’ ἄπειρον ἀπὸ τοῦ Β, καὶ γεγράφθω περὶ ἄξονα τὴν ΒΕ παραβολή, ὥστε τὰς καταγομένας ἐπὶ τὴν ΒΕ δύνασθαι τὰ παρὰ τὴν ΒΓ. πάλιν γεγράφθω περὶ ἄξονα τὴν ΔΒ παραβολή, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι τὰ παρὰ τὴν ΑΒ· τεμοῦσιν δὴ ἀλλήλας αἱ παραβολαί. τεμ‐
25	νέτωσαν κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΖΔ, ΖΕ. ἐπεὶ οὖν ἐν παραβολῇ κατῆκται ἡ ΖΕ,
25	τουτέστιν ἡ ΔΒ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ
84	ΒΔ· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, ἡ ΔΒ πρὸς ΒΕ. πάλιν, ἐπεὶ ἐν παραβολῇ κατῆκται ἡ ΖΔ, τουτέστιν ἡ ΕΒ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΔΒΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΒ· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΔΒ πρὸς ΒΕ, ἡ ΒΕ πρὸς ΒΑ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΔΒ πρὸς
5	ΒΕ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, ἡ ΒΔ πρὸς ΒΕ καὶ ἡ ΕΒ πρὸς ΒΑ· ὅπερ ἔδει εὑρεῖν. [Γράφεται δὲ ἡ παραβολὴ διὰ τοῦ εὑρεθέντος δια‐ βήτου τῷ Μιλησίῳ μηχανικῷ Ἰσιδώρῳ τῷ ἡμετέρῳ δι‐
10	δασκάλῳ, γραφέντος δὲ ὑπ’ αὐτοῦ εἰς τὸ γενόμενον αὐ‐ τῷ ὑπόμνημα τῶν Ἥρωνος Καμαρικῶν].
12t	Ἡ Ἀρχύτου εὕρησις, ὡς Εὔδημος ἱστορεῖ.
13	Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, Γ· δεῖ δὴ τῶν ΑΔ, Γ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν.
15	γεγράφθω περὶ τὴν μείζονα τὴν ΑΔ κύκλος ὁ ΑΒΔΖ, καὶ τῇ Γ ἴση ἐνηρμόσθω ἡ ΑΒ καὶ ἐκβληθεῖσα συμ‐ πιπτέτω τῇ ἀπὸ τοῦ Δ ἐφαπτομένῃ τοῦ κύκλου κατὰ τὸ Π, παρὰ δὲ τὴν ΠΔΟ ἤχθω ἡ ΒΕΖ, καὶ νεονήσθω ἡμικυλίνδριον ὀρθὸν ἐπὶ τοῦ ΑΒΔ ἡμικυκλίου, ἐπὶ δὲ
20	τῆς ΑΔ ἡμικύκλιον ὀρθὸν ἐν τῷ τοῦ ἡμικυλινδρίου παραλληλογράμμῳ κείμενον· τοῦτο δὴ τὸ ἡμικύκλιον περιαγόμενον ὡς ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Β μένοντος τοῦ Α πέρατος τῆς διαμέτρου τεμεῖ τὴν κυλινδρικὴν ἐπιφάνειαν ἐν τῇ περιαγωγῇ καὶ γράψει ἐν αὐτῇ γραμμήν τινα. πάλιν
25	δέ, ἐὰν τῆς ΑΔ μενούσης τὸ ΑΠΔ τρίγωνον περι‐ ενεχθῇ τὴν ἐναντίαν τῷ ἡμικυκλίῳ κίνησιν, κωνικὴν ποιήσει ἐπιφάνειαν τῇ ΑΠ εὐθείᾳ, ἣ δὴ περιαγομένη συμβαλεῖ τῇ κυλινδρικῇ γραμμῇ κατά τι σημεῖον· ἅμα δὲ καὶ τὸ Β περιγράψει ἡμικύκλιον ἐν τῇ τοῦ κώνου
30	ἐπιφανείᾳ. ἐχέτω δὴ θέσιν κατὰ τὸν τόπον τῆς συμπτώ‐
86	σεως τῶν γραμμῶν τὸ μὲν κινούμενον ἡμικύκλιον ὡς τὴν τοῦ ΔΚΑ, τὸ δὲ ἀντιπεριαγόμενον τρίγωνον τὴν τοῦ ΔΛΑ, τὸ δὲ τῆς εἰρημένης συμπτώσεως σημεῖον ἔστω τὸ Κ, ἔστω δὲ καὶ τὸ διὰ τοῦ Β γραφόμενον ἡμικύκλιον
5	τὸ ΒΜΖ, κοινὴ δὲ αὐτοῦ τομὴ καὶ τοῦ ΒΔΖΑ κύκλου ἔστω ἡ ΒΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ τοῦ ΒΔΑ ἡμικυκλίου ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω· πεσεῖται δὴ ἐπὶ τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν διὰ τὸ ὀρθὸν ἑστάναι τὸν κύλινδρον. πιπ‐ τέτω καὶ ἔστω ἡ ΚΙ, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ι ἐπὶ τὸ Α ἐπι‐
10	ζευχθεῖσα συμβαλέτω τῇ ΒΖ κατὰ τὸ Θ, ἡ δὲ ΑΛ τῷ ΒΜΖ ἡμικυκλίῳ κατὰ τὸ Μ, ἐπεζεύχθωσαν δὲ καὶ αἱ ΚΔ, ΜΙ, ΜΘ. ἐπεὶ οὖν ἑκάτερον τῶν ΔΚΑ, ΒΜΖ ἡμικυκλίων ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ ἡ κοινὴ ἄρα αὐτῶν τομὴ ἡ ΜΘ πρὸς ὀρθάς ἐστι
15	τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ· ὥστε καὶ πρὸς τὴν ΒΖ ὀρθή ἐστιν ἡ ΜΘ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΘΖ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΑΘΙ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΜΘ· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΜΙ τρίγωνον ἑκατέρῳ τῶν ΜΙΘ, ΜΑΘ, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΙΜΑ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΚΑ ὀρθή· παράλληλοι ἄρα
20	εἰσὶν αἱ ΚΔ, ΜΙ, καὶ ἔσται ἀνάλογον, ὡς ἡ ΔΑ πρὸς ΑΚ, τουτέστιν ἡ ΚΑ πρὸς ΑΙ, οὕτως ἡ ΙΑ πρὸς ΑΜ, διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων. τέσσαρες ἄρα αἱ ΔΑ,
20	ΑΚ, ΑΙ, ΑΜ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν. καί ἐστιν ἡ ΑΜ
88	ἴση τῇ Γ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΑΒ· δύο ἄρα δοθεισῶν τῶν ΑΔ, Γ δύο μέσαι ἀνάλογον ηὕρηνται αἱ ΑΚ, ΑΙ.
3t	Ὡς Ἐρατοσθένης.
4	Βασιλεῖ Πτολεμαίῳ Ἐρατοσθένης χαίρειν.
5	Τῶν ἀρχαίων τινὰ τραγῳδοποιῶν φασιν εἰσαγαγεῖν τὸν Μίνω τῷ Γλαύκῳ κατασκευάζοντα τάφον, πυθόμενον δέ, ὅτι πανταχοῦ ἑκατόμπεδος εἴη, εἰπεῖν· μικρόν γ’ ἔλεξας βασιλικοῦ σηκὸν τάφου· διπλάσιος ἔστω, τοῦ καλοῦ δὲ μὴ σφαλεὶς
10	δίπλαζ’ ἕκαστον κῶλον ἐν τάχει τάφου. ἐδόκει δὲ διημαρτηκέναι· τῶν γὰρ πλευρῶν διπλασιασ‐ θεισῶν τὸ μὲν ἐπίπεδον γίνεται τετραπλάσιον, τὸ δὲ στερεὸν ὀκταπλάσιον. ἐζητεῖτο δὲ καὶ παρὰ τοῖς γεω‐ μέτραις, τίνα ἄν τις τρόπον τὸ δοθὲν στερεὸν διαμένον
15	ἐν τῷ αὐτῷ σχήματι διπλασιάσειεν, καὶ ἐκαλεῖτο τὸ τοι‐ οῦτον πρόβλημα κύβου διπλασιασμός· ὑποθέμενοι γὰρ κύβον ἐζήτουν τοῦτον διπλασιάσαι. πάντων δὲ διαπορούν‐ των ἐπὶ πολὺν χρόνον πρῶτος Ἱπποκράτης ὁ Χῖος ἐπε‐ νόησεν, ὅτι, ἐὰν εὑρεθῇ δύο εὐθειῶν γραμμῶν, ὧν ἡ
20	μείζων τῆς ἐλάσσονός ἐστι διπλασία, δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ, διπλασιασθήσεται ὁ κύβος, ὥστε τὸ ἀπόρημα αὐτῷ εἰς ἕτερον οὐκ ἔλασσον ἀπόρημα
20	κατέστρεφεν. μετὰ χρόνον δὲ τινάς φασιν Δηλίους ἐπι‐
90	βαλλομένους κατὰ χρησμὸν διπλασιάσαι τινὰ τῶν βωμῶν ἐμπεσεῖν εἰς τὸ αὐτὸ ἀπόρημα, διαπεμψαμένους δὲ τοὺς παρὰ τῷ Πλάτωνι ἐν Ἀκαδημίᾳ γεωμέτρας ἀξιοῦν αὑτοῖς εὑρεῖν τὸ ζητούμενον. τῶν δὲ φιλοπόνως ἐπιδιδόντων
5	ἑαυτοὺς καὶ ζητούντων δύο τῶν δοθεισῶν δύο μέσας λαβεῖν Ἀρχύτας μὲν ὁ Ταραντῖνος λέγεται διὰ τῶν ἡμι‐ κυλίνδρων εὑρηκέναι, Εὔδοξος δὲ διὰ τῶν καλουμένων καμπύλων γραμμῶν· συμβέβηκε δὲ πᾶσιν αὐτοῖς ἀπο‐ δεικτικῶς γεγραφέναι, χειρουργῆσαι δὲ καὶ εἰς χρείαν
10	πεσεῖν μὴ δύνασθαι πλὴν ἐπὶ βραχύ τι τὸν Μέναιχμον καὶ ταῦτα δυσχερῶς. ἐπινενόηται δέ τις ὑφ’ ἡμῶν ὀρ‐ γανικὴ λῆψις ῥᾳδία, δι’ ἧς εὑρήσομεν δύο τῶν δοθεισῶν οὐ μόνον δύο μέσας, ἀλλ’ ὅσας ἄν τις ἐπιτάξῃ. τούτου δὲ εὑρισκομένου δυνησόμεθα καθόλου τὸ δοθὲν στερεὸν
15	παραλληλογράμμοις περιεχόμενον εἰς κύβον καθιστάναι ἢ ἐξ ἑτέρου εἰς ἕτερον μετασχηματίζειν καὶ ὅμοιον ποιεῖν καὶ ἐπαύξειν διατηροῦντας τὴν ὁμοιότητα, ὥστε καὶ βω‐ μοὺς καὶ ναούς· δυνησόμεθα δὲ καὶ τὰ τῶν ὑγρῶν μέτρα καὶ ξηρῶν, λέγω δὲ οἷον μετρητὴν ἢ μέδιμνον, εἰς κύ‐
20	βον καθίστασθαι καὶ διὰ τῆς τούτου πλευρᾶς ἀναμετρεῖν τὰ τούτων δεκτικὰ ἀγγεῖα, πόσον χωρεῖ. χρήσιμον δὲ ἔσται τὸ ἐπινόημα καὶ τοῖς βουλομένοις ἐπαύξειν κατα‐ παλτικὰ καὶ λιθοβόλα ὄργανα· δεῖ γὰρ ἀνάλογον ἅπαντα αὐξηθῆναι καὶ τὰ πάχη καὶ τὰ μεγέθη καὶ τὰς κατατρή‐
25	σεις καὶ τὰς χοινικίδας καὶ τὰ ἐμβαλλόμενα νεῦρα, εἰ μέλλει καὶ ἡ βολὴ ἀνάλογον ἐπαυξηθῆναι, ταῦτα δὲ οὐ δυνατὰ γενέσθαι ἄνευ τῆς τῶν μέσων εὑρέσεως. τὴν δὲ ἀπόδειξιν καὶ τὴν κατασκευὴν τοῦ λεχθέντος ὀργάνου ὑπογέγραφά σοι.
30	δεδόσθωσαν δύο ἄνισοι εὐθεῖαι, ὧν δεῖ δύο μέσας
30	ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ, αἱ ΑΕ, ΔΘ, καὶ
92	κείσθω ἐπί τινος εὐθείας τῆς ΕΘ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΕ, καὶ ἐπὶ τῆς ΕΘ τρία συνεστάτω παραλληλόγραμμα ἐφ‐ εξῆς τὰ ΑΖ, ΖΙ, ΙΘ, καὶ ἤχθωσαν διάμετροι ἐν αὐτοῖς αἱ ΑΖ, ΛΗ, ΙΘ· ἔσονται δὴ αὗται παράλληλοι. μέ‐
5	νοντος δὴ τοῦ μέσου παραλληλογράμμου τοῦ ΖΙ συν‐ ωσθήτω τὸ μὲν ΑΖ ἐπάνω τοῦ μέσου, τὸ δὲ ΙΘ ὑπο‐ κάτω, καθάπερ ἐπὶ τοῦ δευτέρου σχήματος, ἕως οὗ γέ‐ νηται τὰ Α, Β, Γ, Δ κατ’ εὐθεῖαν, καὶ διήχθω διὰ τῶν Α, Β, Γ, Δ σημείων εὐθεῖα καὶ συμπιπτέτω τῇ ΕΘ ἐκ‐
10	βληθείσῃ κατὰ τὸ Κ· ἔσται δή, ὡς ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ, ἐν μὲν ταῖς ΑΕ, ΖΒ παραλλήλοις ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ, ἐν δὲ ταῖς ΑΖ, ΒΗ παραλλήλοις ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ. ὡς ἄρα ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ, ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ καὶ ἡ ΚΖ πρὸς ΚΗ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΓ, ἐν μὲν ταῖς ΒΖ,
15	ΓΗ παραλλήλοις ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ, ἐν δὲ ταῖς ΒΗ, ΓΘ παραλλήλοις ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ, ὡς ἄρα ἡ ΒΚ πρὸς ΚΓ, ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ καὶ ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ, ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ, ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ καὶ ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΕΚ
20	πρὸς ΚΖ, ἡ ΑΕ πρὸς ΒΖ, ὡς δὲ ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ, ἡ ΒΖ πρὸς ΓΗ, ὡς δὲ ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ, ἡ ΓΗ πρὸς ΔΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΒΖ, ἡ ΒΖ πρὸς ΓΗ καὶ ἡ ΓΗ πρὸς ΔΘ. ηὕρηνται ἄρα τῶν ΑΕ, ΔΘ δύο μέσαι ἥ τε ΒΖ καὶ ἡ ΓΗ.
25	ταῦτα οὖν ἐπὶ τῶν γεωμετρουμένων ἐπιφανειῶν ἀπο‐ δέδεικται· ἵνα δὲ καὶ ὀργανικῶς δυνώμεθα τὰς δύο μέ‐ σας λαμβάνειν, διαπήγνυται πλινθίον ξύλινον ἢ ἐλεφάν‐
25	τινον ἢ χαλκοῦν ἔχον τρεῖς πινακίσκους ἴσους ὡς λεπτο‐
94	τάτους, ὧν ὁ μὲν μέσος ἐνήρμοσται, οἱ δὲ δύο ἐπωστοί εἰσιν ἐν χολέδραις, τοῖς δὲ μεγέθεσιν καὶ ταῖς συμμε‐ τρίαις ὡς ἕκαστοι ἑαυτοὺς πείθουσιν· τὰ μὲν γὰρ τῆς ἀποδείξεως ὡσαύτως συντελεῖται· πρὸς δὲ τὸ ἀκριβέστε‐
5	ρον λαμβάνεσθαι τὰς γραμμὰς φιλοτεχνητέον, ἵνα ἐν τῷ συνάγεσθαι τοὺς πινακίσκους παράλληλα διαμένῃ πάντα καὶ ἄσχαστα καὶ ὁμαλῶς συναπτόμενα ἀλλήλοις. ἐν δὲ τῷ ἀναθήματι τὸ μὲν ὀργανικὸν χαλκοῦν ἐστιν καὶ καθήρμοσται ὑπ’ αὐτὴν τὴν στεφάνην τῆς στήλης
10	προσμεμολυβδοχοημένον, ὑπ’ αὐτοῦ δὲ ἡ ἀπόδειξις συν‐ τομώτερον φραζομένη καὶ τὸ σχῆμα, μετ’ αὐτὸ δὲ ἐπί‐ γραμμα. ὑπογεγράφθω οὖν σοι καὶ ταῦτα, ἵνα ἔχῃς καὶ ὡς ἐν τῷ ἀναθήματι. τῶν δὲ δύο σχημάτων τὸ δεύτερον γέγραπται ἐν τῇ στήλῃ.
15	Δύο τῶν δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον εὑ‐ ρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ. δεδόσθωσαν αἱ ΑΕ, ΔΘ. συνάγω δὴ τοὺς ἐν τῷ ὀργάνῳ πίνακας, ἕως ἂν κατ’ εὐ‐ θεῖαν γένηται τὰ Α, Β, Γ, Δ σημεῖα. νοείσθω δή, ὡς ἔχει ἐπὶ τοῦ δευτέρου σχήματος. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΑΚ πρὸς
20	ΚΒ, ἐν μὲν ταῖς ΑΕ, ΒΖ παραλλήλοις ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ, ἐν δὲ ταῖς ΑΖ, ΒΗ ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ· ὡς ἄρα ἡ ΕΚ [Omitted graphic marker] πρὸς ΚΖ, ἡ ΚΖ πρὸς ΚΗ. ὡς δὲ αὗται πρὸς ἀλλήλας, ἥ τε ΑΕ πρὸς ΒΖ καὶ ἡ ΒΖ πρὸς ΓΗ. ὡσαύτως δὲ
20	δείξομεν, ὅτι καί, ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΓΗ, ἡ ΓΗ πρὸς ΔΘ·
96	ἀνάλογον ἄρα αἱ ΑΕ, ΒΖ, ΓΗ, ΔΘ. ηὕρηνται ἄρα δύο τῶν δοθεισῶν δύο μέσαι. ἐὰν δὲ αἱ δοθεῖσαι μὴ ἴσαι ὦσιν ταῖς ΑΕ, ΔΘ, ποιή‐ σαντες αὐταῖς ἀνάλογον τὰς ΑΕ, ΔΘ τούτων ληψόμεθα
5	τὰς μέσας καὶ ἐπανοίσομεν ἐπ’ ἐκείνας, καὶ ἐσόμεθα πε‐ ποιηκότες τὸ ἐπιταχθέν. ἐὰν δὲ πλείους μέσας ἐπιταχθῇ εὑρεῖν, ἀεὶ ἑνὶ πλείους πινακίσκους καταστησόμεθα ἐν τῷ ὀργανίῳ τῶν ληφθησομένων μέσων· ἡ δὲ ἀπόδειξις ἡ αὐτή·
10	Εἰ κύβον ἐξ ὀλίγου διπλήσιον, ὦγαθέ, τεύχειν φράζεαι ἢ στερεὴν πᾶσαν ἐς ἄλλο φύσιν εὖ μεταμορφῶσαι, τόδε τοι πάρα, κἂν σύ γε μάνδρην ἢ σιρὸν ἢ κοίλου φρείατος εὐρὺ κύτος τῇδ’ ἀναμετρήσαιο, μέσας ὅτε τέρμασιν ἄκροις
15	συνδρομάδας δισσῶν ἐντὸς ἕλῃς κανόνων. μηδὲ σύ γ’ Ἀρχύτεω δυσμήχανα ἔργα κυλίνδρων μηδὲ Μεναιχμείους κωνοτομεῖν τριάδας διζήσῃ, μηδ’ εἴ τι θεουδέος Εὐδόξοιο καμπύλον ἐγ γραμμαῖς εἶδος ἀναγράφεται.
20	τοῖσδε γὰρ ἐν πινάκεσσι μεσόγραφα μυρία τεύχοις ῥεῖά κεν ἐκ παύρου πυθμένος ἀρχόμενος. εὐαίων, Πτολεμαῖε, πατὴρ ὅτι παιδὶ συνηβῶν πάνθ’, ὅσα καὶ Μούσαις καὶ βασιλεῦσι φίλα, αὐτὸς ἐδωρήσω· τὸ δ’ ἐς ὕστερον, οὐράνιε Ζεῦ,
25	καὶ σκήπτρων ἐκ σῆς ἀντιάσειε χερός. καὶ τὰ μὲν ὣς τελέοιτο, λέγοι δέ τις ἄνθεμα λεύσσων
25	τοῦ Κυρηναίου τοῦτ’ Ἐρατοσθένεος.
98 (1t)	Ὡς Νικομήδης ἐν τῷ Περὶ κογχοειδῶν γραμμῶν.
2	Γράφει δὲ καὶ Νικομήδης ἐν τῷ ἐπιγεγραμμένῳ πρὸς αὐτοῦ Περὶ κογχοειδῶν συγγράμματι ὀργάνου κατα‐ σκευὴν τὴν αὐτὴν ἀποπληροῦντος χρείαν, ἐφ’ ᾧ καὶ
5	μεγάλα μὲν σεμνυνόμενος φαίνεται ὁ ἀνήρ, πολλὰ δὲ τοῖς Ἐρατοσθένος ἐπεγγελῶν εὑρήμασιν ὡς ἀμηχάνοις τε ἅμα καὶ γεωμετρικῆς ἕξεως ἐστερημένοις. τοῦ τε ἀνελλειποῦς τοίνυν τῶν περὶ τὸ πρόβλημα πεπονηκότων τῆς τε πρὸς Ἐρατοσθένη συγκρίσεως ἕνεκα καὶ αὐτὸν
10	τοῖς ἤδη γεγραμμένοις συνάπτομεν δυνάμει γράφοντα οὕτως· νοεῖν χρὴ κανόνας δύο πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλοις συμ‐ βεβλημένους οὕτως, ὥστε μίαν ἀποσῴζειν αὐτοὺς ἐπι‐ φάνειαν, καθάπερ εἰσὶν οἱ ΑΒ, ΓΔ, ἐν δὲ τῷ ΑΒ
15	σωλῆνα πελεκινοειδῆ, εἰς ὃν χελώνιον διατρέχειν δυ‐ νήσεται, ἐν δὲ τῷ ΓΔ κατὰ τὸ μέρος τὸ πρὸς τῷ Δ καὶ τὴν μέσον διαιροῦσαν εὐθεῖαν τὸ πλάτος αὐτοῦ κυλίν‐ δριον συμφυὲς τῷ κανόνι καὶ βραχὺ ὑπερέχον τῆς ἄνω‐ θεν ἐπιφανείας αὐτοῦ τοῦ κανόνος, ἄλλον δὲ κανόνα
20	ὡς τὸν ΕΖ μετὰ βραχύ τι διάστημα τοῦ πρὸς τῷ Ζ πέρατος ἀνατομὴν ἔχοντα ὡς τὴν ΗΘ δυναμένην περι‐ βαίνειν τῷ πρὸς τῷ Δ κυλινδρίῳ, πρὸς δὲ τῷ Ε ὀπὴν στρογγύλην, ἥτις ἐγκείσεται εἴς τι ἀξόνιον συμφυὲς τῷ διατρέχοντι χελωναρίῳ ἐν τῷ πελεκινοειδεῖ σωλῆνι τῷ
25	ὄντι ἐν τῷ ΑΒ κανόνι. ἐναρμοσθέντος τοίνυν τοῦ ΕΖ
25	κανόνος κατὰ μὲν τὴν ΗΘ ἀνατομὴν ἐν τῷ πρὸς τῷ Δ
100	κυλινδρίῳ, κατὰ δὲ τὴν Ε ὀπὴν ἐν τῷ ἀξωνίῳ τῷ συμ‐ φυεῖ τῷ χελωναρίῳ, ἐάν τις ἐπιλαβόμενος τοῦ Κ ἄκρου τοῦ κανόνος κινῇ αὐτὸν ἐπὶ τὰ πρὸς τῷ Α μέρη, ἔπειτα ἐπὶ τὰ πρὸς τῷ Β, τὸ μὲν Ε σημεῖον ἀεὶ ἐπὶ τοῦ ΑΒ
5	κανόνος ἐνεχθήσεται, ἡ δὲ ΗΘ ἀνατομὴ ἐπὶ τῷ πρὸς τῷ Δ κυλινδρίῳ κινηθήσεται ἀεὶ τῆς μέσης τοῦ ΕΖ κανόνος εὐθείας ἐν τῇ κινήσει διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ πρὸς τῷ Δ κυλινδρίου νοουμένης, τῆς δὲ ΕΚ ὑπεροχῆς τοῦ κανόνος ἀεὶ τῆς αὐτῆς μενούσης. ἐὰν τοίνυν πρὸς τῷ Κ
10	ἐπινοήσωμέν τι γραφεῖον ἐφαπτόμενον τοῦ ἐδάφους, γραφήσεταί τις γραμμή, οἵα ἐστὶν ἡ ΛΜΝ, ἥντινα καλεῖ Νικομήδης κογχοειδῆ πρώτην γραμμήν, καὶ διά‐ στημα μὲν τῆς γραμμῆς τὸ ΕΚ μέγεθος τοῦ κανόνος, πόλον δὲ τὸ Δ.
15	ταύτῃ δὴ τῇ γραμμῇ συμβαῖνον δείκνυσιν τὸ ἀεὶ ἐπ’ ἔλαττον μὲν συμπορεύεσθαι τῷ ΑΒ κανόνι, καὶ ἐάν τις εὐθεῖα διαχθῇ μεταξὺ τῆς τε γραμμῆς καὶ τοῦ ΑΒ κα‐ νόνος, ὅτι πάντως τέμνει τὴν γραμμήν. καὶ τὸ μὲν πρό‐ τερον τῶν συμβαινόντων ἐστὶν εὐκατανόητον ἐφ’ ἑτέρας
20	καταγραφῆς. κανόνος γὰρ νοουμένου τοῦ ΑΒ, πόλου δὲ τοῦ Γ, διαστήματος δὲ τοῦ ΔΕ, γραμμῆς δὲ κογχοει‐ δοῦς τῆς ΖΕΗ, προσπιπτέτωσαν ἀπὸ τοῦ Γ δύο αἱ ΓΘ, ΓΖ, ἴσων δηλονότι γινομένων τῶν ΚΘ, ΛΖ. λέγω, ὅτι ἡ ΖΜ κάθετος ἐλάττων τῆς ΘΝ καθέτου.
25	μείζονος γὰρ οὔσης τῆς ὑπὸ ΜΛΓ γωνίας τῆς ὑπὸ ΝΚΓ λοιπὴ ἡ λείπουσα εἰς τὰς δύο ὀρθὰς ἡ ὑπὸ ΜΛΖ λοιπῆς τῆς ὑπὸ ΝΚΘ ἐστιν ἐλάσσων, καὶ διὰ τοῦτο ὀρθῶν οὐσῶν τῶν πρὸς τοῖς Μ, Ν μείζων ἔσται καὶ ἡ πρὸς τῷ Ζ τῆς πρὸς τῷ Θ. καὶ ἐὰν τῇ πρὸς τῷ Θ ἴσην
30	συστησώμεθα τὴν ὑπὸ ΜΖΞ, ἡ ΚΘ, τουτέστιν ἡ ΛΖ,
30	πρὸς ΘΝ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, ὃν ἡ ΞΖ πρὸς ΖΜ·
102	ὥστε ἡ ΖΛ πρὸς τὴν ΘΝ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΖΜ, καὶ διὰ τοῦτο μείζων ἡ ΘΝ τῆς ΖΜ. τὸ δὲ δεύτερον ἦν τὸ τὴν διαγομένην εὐθεῖαν με‐ ταξὺ τῆς τε ΑΒ καὶ τῆς γραμμῆς τέμνειν τὴν γραμμήν·
5	καὶ τοῦτο δὲ οὕτω γίνεται γνώριμον· ἡ γὰρ διαγομένη ἤτοι παράλληλός ἐστι τῇ ΑΒ ἢ οὔ. ἔστω πρότερον παράλληλος, ὡς ἡ ΖΗΘ, καὶ γεγονέτω, ὡς ἡ ΔΗ πρὸς ΗΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς ἄλλην τινὰ τὴν [Omitted graphic marker] Κ, καὶ κέντρῳ τῷ
10	Γ, διαστήματι δὲ τῇ Κ, περιφέρεια γραφεῖσα τεμνέτω τὴν ΖΗ κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω
15	ἡ ΓΖ· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΔΗ πρὸς ΗΓ, οὕτως ἡ ΛΖ πρὸς ΖΓ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΔΗ πρὸς ΗΓ, οὕτως ἦν ἡ ΔΕ πρὸς τὴν Κ, τουτέστι τὴν ΓΖ· ἴση ἄρα ἡ ΔΕ τῇ ΛΖ· ὅπερ ἀδύνατον· δεῖ γὰρ εἶναι τὸ Ζ πρὸς τῇ γραμμῇ.
20	ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ἡ διαγομένη παράλληλος, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΜΗΝ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Η παράλληλος τῇ ΑΒ ἡ ΖΗ. ἡ ἄρα ΖΗ συμπεσεῖται τῇ γραμμῇ· ὥστε πολλῷ μᾶλλον ἡ ΜΝ. τούτων δὲ ὄντων τῶν παρακολουθημάτων διὰ τοῦ
25	ὀργάνου τὸ χρήσιμον εἰς τὸ προκείμενον δείκνυται οὕτως· πάλιν γωνίας δοθείσης τῆς Α καὶ σημείου ἐκτὸς τοῦ Γ διαγαγεῖν τὴν ΓΗ καὶ ποιεῖν τὴν ΚΗ ἴσην τῇ δο‐ θείσῃ.
30	ἤχθω κάθετος ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὴν ΑΒ ἡ ΓΘ
30	καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ τῇ δοθείσῃ ἴση ἔστω ἡ ΔΘ, καὶ
104	πόλῳ μὲν τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ δοθέντι τῷ ΔΘ, κα‐ νόνι δὲ τῷ ΑΒ, γεγράφθω κογχοειδὴς γραμμὴ πρώτη ἡ ΕΔΖ· συμβάλλει ἄρα τῇ ΑΗ διὰ τὸ προδειχθέν. συμβαλλέτω κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ· ἴση ἄρα
5	ἡ ΚΗ τῇ δοθείσῃ. τούτων δειχθέντων δεδόσθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΓΛ, ΛΑ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχὲς εὑρεῖν, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΛ παραλληλόγραμμον, καὶ τετμήσθω δίχα ἑκατέρα τῶν ΑΒ,
10	ΒΓ τοῖς Δ, Ε σημείοις, καὶ ἐπιζευχθεῖσα μὲν ἡ ΔΛ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Η, τῇ δὲ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, καὶ προσβεβλήσθω ἡ ΓΖ ἴση οὖσα τῇ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ καὶ αὐτῇ παράλληλος ἡ ΓΘ, καὶ γωνίας οὔσης τῆς ὑπὸ τῶν ΚΓΘ
15	ἀπὸ δοθέντος τοῦ Ζ διήχθω ἡ ΖΘΚ ποιοῦσα ἴσην τὴν ΘΚ τῇ ΑΔ ἢ τῇ ΓΖ· τοῦτο γὰρ ὡς δυνατόν, ἐδείχθη διὰ τῆς κογχοειδοῦς· καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΛ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΑΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Μ. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΓΛ πρὸς ΚΓ, ἡ ΚΓ πρὸς ΜΑ καὶ ἡ
20	ΜΑ πρὸς τὴν ΑΛ. ἐπεὶ ἡ ΒΓ τέτμηται δίχα τῷ Ε, καὶ πρόσκειται αὐτῇ ἡ ΚΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΚ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕΖ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΓΖ,
25	ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΚΕΖ, τουτέστι τῷ ἀπὸ ΚΖ. καὶ
25	ἐπεί, ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ, ὡς δὲ ἡ
106	ΜΛ πρὸς ΛΚ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ. καί ἐστιν τῆς μὲν [Omitted graphic marker] ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΔ, τῆς δὲ ΒΓ διπλῆ ἡ ΓΗ (ἐπεὶ καὶ ἡ ΛΓ
5	τῆς ΔΒ)· ἔσται ἄρα καί, ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΔ, οὕτως ἡ ΗΓ πρὸς ΚΓ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΗΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΘΚ διὰ τὰς παραλλήλους τὰς ΗΖ,
10	ΓΘ· καὶ συνθέντι ἄρα, ὡς ἡ ΜΔ πρὸς ΔΑ, ἡ ΖΚ πρὸς ΚΘ. ἴση δὲ ὑπόκειται καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΘΚ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΓΖ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΔ τῇ ΖΚ· ἴσον ἄρα
15	καὶ τὸ ἀπὸ ΜΔ τῷ ἀπὸ ΖΚ. καί ἐστιν τῷ μὲν ἀπὸ ΜΔ ἴσον τὸ ὑπὸ ΒΜΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΑ, τῷ δὲ ἀπὸ ΖΚ ἴσον ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ὧν τὸ ἀπὸ ΑΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΖ· ἴση γὰρ ὑπόκειται ἡ ΑΔ τῇ ΓΖ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΜΑ τῷ ὑπὸ ΒΚΓ. ὡς ἄρα
20	ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ, ἡ ΚΓ πρὸς ΑΜ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΒΜ πρὸς ΒΚ, ἡ ΓΛ πρὸς ΓΚ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΑΜ. ἔστιν δὲ καί, ὡς ἡ ΛΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΜΑ πρὸς ΑΛ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΑΜ καὶ ἡ ΑΜ πρὸς ΑΛ.
25t	Εἰς τὸ βʹ θεώρημα.
26	Καὶ συνθέντι, ὡς ἡ ΔΘ πρὸς ΘΓ, ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ ὡς γὰρ ἐπὶ αὐτῆς τῆς ἐν τῷ ῥητῷ καταγραφῆς, ἐπεὶ ἐν
26	ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΓΒΑ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἐπὶ τὴν
108	βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΒΕ, τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν, ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ καὶ ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ· ὥστε καί, ὡς τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, οὕτως τὸ
5	ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ· ὡς γὰρ ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας. ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ.
10	διὰ δὲ τῶν αὐτῶν δείκνυται, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ. διὰ γὰρ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων ἐστὶ πάλιν, ὡς ἡ μὲν ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως ἡ ΒΓ, πρὸς ΓΕ, τουτέστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ
15	ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ. εἶτα ἐφεξῆς δεικνύναι πειρώμενος τῷ ΒΑΖ τμήματι τῆς σφαίρας ἴσον τὸν ΒΚΖ κῶνον ἐκθέμενος κῶνον
20	τὸν Ν βάσιν μὲν ἔχοντα ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ΒΑΖ τμήματος, ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, φησίν, ὅτι ὁ Ν κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ ΖΑΒΘ στερεῷ τομεῖ, ὡς δέδεικται ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ. ἰστέον δέ, ὅτι ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ οὐ τὸν τοιοῦτον τομέα ἀπεδείκνυεν ἴσον
25	ὄντα τῷ οὕτως λαμβανομένῳ κώνῳ, ἀλλὰ τὸν περιεχό‐ μενον ὑπό τε τῆς τοῦ κώνου ἐπιφανείας καὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας ἐλάττονος ἡμισφαιρίου, ὅντινα καὶ κυρίως ἐν τοῖς ὅροις τομέα στερεὸν καλεῖν ἐφαίνετο. ἔφασκεν γάρ· τομέα δὲ στερεὸν καλέω, ἐπειδὰν σφαῖραν
30	κῶνος τέμνῃ τὰν κορυφὰν ἔχων ποτὶ τῷ κέντρῳ
30	τᾶς σφαίρας, τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπὸ τᾶς τοῦ
110	κώνου ἐπιφανείας καὶ τᾶς ἐντὸς τοῦ κώνου. τὸ δὲ νῦν προκείμενον σχῆμα περιέχεται μὲν ὑπὸ κωνικῆς ἐπιφανείας τὴν κορυφὴν ἐχούσης πρὸς τῷ κέντρῳ τῆς σφαίρας καὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας, ἀλλ’ οὐ τῆς ἐντὸς
5	ἀπολαμβανομένης τοῦ κώνου. ὅτι δὲ καὶ τὸ τοιοῦτον σχῆμα ἴσον γίνεται τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τῇ σφαιρικῇ τῇ περιεχούσῃ τὸ τμῆμα, ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, δειχθήσε‐ ται οὕτως διὰ τῶν ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ δεδειγμένων.
10	νενοήσθω χωρὶς σφαῖρα καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ τινὶ μὴ διὰ τοῦ κέντρου τῷ περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ κύκλῳ, κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ Α, καὶ νοείσθω κῶνος [ὁ] βάσιν μὲν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ κύκλον, κορυφὴν δὲ τὸ Α σημεῖον, ἐκκείσθω δὲ κῶνος ὁ Ε, οὗ
15	ἡ μὲν βάσις ἴση ἔστω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας, ὕψος δὲ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας· ὁ ἄρα Ε κῶνος ἴσος ἐστὶ τῇ σφαίρᾳ· τετραπλάσιος γάρ ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὸν μέγιστον κύκλον, ὕψος δὲ τὸ αὐτό, οὗπερ καὶ ἡ σφαῖρα ἐδείχθη τετραπλασία. ἐκκείσθωσαν
20	δὲ καὶ ἄλλοι δύο κῶνοι οἱ Ζ, Η, ὧν ὁ μὲν Ζ βάσιν ἐχέτω ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κατὰ τὴν ΒΓΔ τμήματος, ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ὁ δὲ Η βάσιν μὲν ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κατὰ τὴν ΒΘΔ τμήματος, ὕψος δὲ τὸ αὐτό· ὁ ἄρα Ζ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ τομεῖ, οὗ
25	κορυφὴ μὲν τὸ Α, ἐπιφάνεια δὲ σφαιρικὴ ἡ κατὰ τὴν ΒΓΔ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ τοῦ Ε κώνου βάσις ταῖς
25	τῶν Ζ, Η κώνων βάσεσιν, καί εἰσιν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος,
112	ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Ε κῶνος, τουτέστιν ἡ σφαῖρα, τοῖς Ζ, Η κώνοις. ἀλλ’ ὁ Ζ ἴσος ἐδείχθη τῷ κατὰ τὴν ΒΓΔ στερεῷ τομεῖ κορυφὴν ἔχοντι τὸ Α· λοιπὸς ἄρα ὁ Η κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ λοιπῷ τμήματι βάσιν ἔχων τὴν ἐπι‐
5	φάνειαν τοῦ κατὰ τὴν ΒΘΔ τμήματος, ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου. εἶτα πάλιν φησίν· ἴσος ἄρα ὁ Ν κῶνος, τουτ‐ έστιν ὁ ΒΘΖΑ τομεύς, τῷ ΒΘΖΚ σχήματι ἐπεὶ γὰρ συνήχθη ὁ Ν κῶνος ἴσος ὢν κώνῳ, οὗ βάσις μὲν
10	ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΘΚ, ὁ δὲ κῶνος, οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ αὐτή, ὕψος δὲ ἡ ΕΚ, ἴσος τῷ τε εἰρημένῳ κώνῳ καὶ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐ‐ τήν, ὕψος δὲ τὴν ΕΘ· πρὸς ἀλλήλους γάρ εἰσιν ὡς τὰ ὕψη· κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν
15	ἔχοντος τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ τὴν ΕΘ, λοιπὸν τὸ ΒΘΖΚ σχῆμα ἴσον ἐστὶ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλον, ὕψος δὲ τὴν ΘΚ, τουτέστι τῷ Ν κώνῳ, τουτέστι τῷ ΒΑΘΖ τομεῖ. ἐπαγαγὼν δὴ τὸ ἐκ τῶν συναχθέντων πόρισμα ἐπὶ
20	τέλει τοῦ θεωρήματος ἑξῆς δι’ ἑτέρας ἀποδείξεως συν‐ άγει τὸ τελευταῖον μέρος τοῦ θεωρήματος, τουτέστιν ὅτι τὸ ΑΒΖ τμῆμα τῆς σφαίρας ἴσον ἐστὶ τῷ ΒΚΖ κώνῳ, καὶ προιών φησιν· ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς ΘΓ, ἡ ΘΔ πρὸς ΔΓ, καὶ ὅλη ἡ ΚΔ πρὸς ΔΘ ἐστιν, ὡς
25	ἡ ΔΘ πρὸς ΔΓ ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΓ, ἡ ΘΔ πρὸς ΔΓ, καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΔ, ἡ ΘΓ πρὸς ΓΔ, καὶ συνθέντι, ὡς ἡ ΚΔ πρὸς ΔΘ, ἡ ΘΔ πρὸς ΔΓ, τουτέστιν ἡ ΚΘ πρὸς ΘΑ· ἦν γάρ, ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΓ, ἡ ΘΔ πρὸς ΔΓ, ἴση δὲ ἡ ΘΓ τῇ ΘΑ.
30	καὶ μετ’ ὀλίγον· ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς ΔΘ, οὕτως
30	ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΚΔ πρὸς τὸ
114	ὑπὸ τῶν ΚΘΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ νοείσθωσαν γὰρ χωρὶς κείμεναι αἱ ΚΔ, ΑΓ, καὶ ἔστω, ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΔ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ. λέγω, ὅτι ἐστὶν καί, ὡς τὸ ἀπὸ ΚΔ πρὸς τὸ ὑπὸ
5	ΚΘΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΓ. ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΔ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, καὶ συνθέντι ἐστίν, ὡς ἡ ΚΔ πρὸς ΔΘ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ· ὥστε καί, ὡς τὸ ἀπὸ ΚΔ πρὸς [Omitted graphic marker] τὸ ἀπὸ ΔΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ.
10	πάλιν, ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΔ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἀλλ’ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΔ, οὕ‐ τως τὸ ὑπὸ ΚΘΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΔ κοινοῦ ὕψους τῆς ΘΔ λαμβανομένης, ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ κοινοῦ
15	πάλιν ὕψους λαμβανομένης τῆς ΕΓ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΚΘΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ. ἐδείχθη δέ, ὡς τὸ ἀπὸ ΘΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ· καὶ δι’ ἴσου ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΚΘΔ πρὸς τὸ ἀπὸ
20	ΚΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ. καὶ ἀνά‐ παλιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
22t	Εἰς τὸ γʹ.
23	Ὡς δὲ οἱ εἰρημένοι κύκλοι πρὸς ἀλλήλους, τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ, τουτέστιν ἡ ΑΓ πρὸς
25	ΓΒ ὡς γὰρ ἐν αὐτῇ τῇ τοῦ ῥητοῦ καταγραφῇ, ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΑΔΒ κάθετος ἦκται καὶ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἡ ΔΓ, μέση ἀνάλογόν ἐστι τῶν τῆς βάσεως τμημάτων, καὶ τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις· ὥστ’ ἐστιν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΔΓ,
30	ἡ ΒΔ πρὸς ΔΑ· καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν ἄρα. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ
116	ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ, οὕτως ἡ πρώτη ἡ ΒΓ πρὸς τρί‐ την τὴν ΓΑ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ, τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ. Δοθεὶς δὴ λόγος τῆς ΑΓ πρὸς ΓΒ· ὥστε δοθέν
5	ἐστι τὸ Γ σημεῖον ἐπεὶ γὰρ ἡ σφαῖρα ὑπόκειται δε‐ δομένη, δέδοται ἄρα καὶ ἡ διάμετρος αὐτῆς ἡ ΑΒ. καὶ δέδοται ὁ λόγος τῆς ΑΓ πρὸς ΓΒ· ἐὰν δὲ δεδομένον μέγεθος εἰς δεδομένον λόγον διαιρεθῇ, δέδοται ἑκάτερον τῶν τμημάτων· ὥστε δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΓ. καὶ δοθὲν
10	τὸ Α· ἐπὶ γὰρ τῆς κοινῆς τομῆς ἐστι θέσει δεδομένων γραμμῶν· δέδοται ἄρα καὶ τὸ Γ.
12t	Εἰς τὸ δʹ.
13	Καὶ διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον διὰ τῆς κατα‐ σκευῆς, ὡς ἡ ΛΔ πρὸς ΔΚ, ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ καὶ ἡ
15	ΔΧ πρὸς ΧΒ ἐν γὰρ τῷ πρὸ τούτου συνήγετο οὕτως· ἐπεί ἐστιν, ὡς συναμφότερος ἡ ΚΔ, ΔΧ πρὸς ΔΧ, οὕτως ἡ ΡΧ πρὸς ΧΒ, διελόντι, ὡς ἡ ΚΔ πρὸς ΔΧ, ἡ ΡΒ πρὸς ΒΧ· ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΚΔ, τουτέστιν ἡ ΚΒ, πρὸς ΒΡ, ἡ ΔΧ πρὸς ΧΒ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΛΧ
20	πρὸς ΧΔ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΚΒ, ΒΧ πρὸς ΧΒ, διελόντι καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΛΔ πρὸς ΔΚ, ἡ ΔΧ πρὸς ΧΒ. ἦν δὲ καὶ, ὡς ἡ ΔΧ πρὸς ΧΒ, ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ· ὡς ἄρα ἡ ΛΔ πρὸς ΔΚ, ἡ ΔΧ πρὸς ΧΒ καὶ ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ.
25	Καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΡΛ πρὸς ὅλην τὴν ΚΛ ἐστιν, ὡς ἡ ΚΛ πρὸς ΛΔ ὡς γὰρ ἓν πρὸς ἕν, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα. Ὡς ἄρα ἡ ΡΛ πρὸς ΛΔ, τὸ ἀπὸ ΚΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΔ ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΚ, ἡ ΚΛ πρὸς
30	ΛΔ, καὶ ὡς ἄρα ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ
118	ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΡΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ ΡΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΔ· ἀνάλογον γάρ εἰσιν· ὡς ἄρα ἡ
5	ΡΛ πρὸς ΛΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΔ. Κείσθω τῇ ΚΒ ἴση ἡ ΒΖ· ὅτι γὰρ ἐκτὸς τοῦ Ρ πεσεῖται, δῆλον ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ ΧΔ πρὸς ΧΒ, οὕτως ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ, μείζων δὲ ἡ ΔΧ τῆς ΧΒ, μεί‐ ζων ἄρα καὶ ἡ ΚΒ τῆς ΒΡ. ἐκτὸς ἄρα τοῦ Ρ πίπτει
10	τὸ Ζ. Ἐπεὶ δὲ λόγος ἐστὶ τῆς ΔΛ πρὸς ΛΧ δοθεὶς καὶ τῆς ΡΛ πρὸς ΛΧ, καὶ τῆς ΡΛ ἄρα πρὸς ΛΔ λόγος ἐστὶ δοθείς ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς συναμφότερος ἡ ΚΒΧ πρὸς ΒΧ, τουτέστιν ἡ ΖΧ πρὸς ΧΒ, οὕτως ἡ
15	ΛΧ πρὸς ΧΔ, ἀναστρέψαντι, ὡς ἡ ΧΖ πρὸς ΖΒ, οὕτως ἡ ΧΛ πρὸς ΛΔ, καὶ ἀνάπαλιν, ὡς ἡ ΒΖ πρὸς ΖΧ, ἡ ΛΔ πρὸς ΛΧ. δέδοται δὲ ὁ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ λόγος, ἐπειδὴ ἡ μὲν ΖΒ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς δεδο‐ μένης σφαίρας, ἡ δὲ ΒΧ τῶν Β, Χ περάτων αὐτῆς δε‐
20	δομένων καθ’ ὑπόθεσιν τετμημένης τῆς σφαίρας ὑπὸ τοῦ διὰ τῆς ΑΓ ἐπιπέδου καὶ τῆς ΔΒ πρὸς ὀρθὰς οὔ‐ σης τῇ ΑΓ δέδοται, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ὅλη ἡ ΧΖ καὶ ὁ τῆς ΧΖ πρὸς ΖΒ· ὥστε καὶ ὁ τῆς ΧΛ πρὸς ΛΔ λόγος ἐστὶν δοθείς. πάλιν, ἐπειδὴ δέδοται ὁ λόγος τῶν τμημά‐
25	των, καὶ ὁ τοῦ ΛΑΓ κώνου πρὸς τὸν ΑΡΓ κῶνον λόγος ἔσται δοθείς· ὥστε καὶ ὁ τῆς ΛΧ πρὸς ΧΡ· πρὸς ἀλ‐ λήλους γάρ εἰσιν ὡς τὰ ὕψη· καὶ ὅλης ἄρα τῆς ΡΛ πρὸς τὴν ΛΧ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἐπεὶ οὖν ἑκατέρας τῶν ΡΛ, ΛΔ πρὸς τὴν ΛΧ λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ τῆς ΡΛ ἄρα
30	πρὸς ΛΔ λόγος ἐστὶ δοθείς· τὰ γὰρ πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον
30	ἔχοντα δεδομένον καὶ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον.
120	Ἐπεὶ οὖν ὁ τῆς ΡΛ πρὸς ΛΧ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΡΛ πρὸς ΛΔ, καὶ ἡ ΛΔ πρὸς ΛΧ ὅτι μὲν ἡ σύνθεσις τῶν λόγων λαμβάνεται τῆς ΛΔ μέσης λαμβανομένης, ὡς κἀν τῇ Στοιχειώσει ἐλαμ‐
5	βάνετο, φανερόν· ἐπεὶ δὲ τὸ λεγόμενον ἀδιαρθρώτως πως καὶ οὐχ οὕτως, ὥστε τὴν ἔννοιαν ἀποπληρῶσαι, λέλεκται, ὡς ἔστιν εὑρεῖν ἐντυγχάνοντας Πάππῳ τε καὶ Θέωνι καὶ Ἀρκαδίῳ ἐν πολλοῖς συντάγμασιν οὐκ ἀπο‐ δεικτικῶς, ἀλλ’ ἐπαγωγῇ τὸ λεγόμενον παριστῶσιν, οὐ‐
10	δὲν ἄτοπον πρὸς βραχὺ ἐνδιατρίψαντας τῷ λόγῳ τὸ σα‐ φέστερον παραστῆσαι. φημὶ τοίνυν, ὅτι, ἐὰν δύο ἀριθμῶν ἤτοι μεγεθῶν μέσος τις ὅρος ληφθῇ, ὁ τῶν ἐξ ἀρχῆς ληφθέντων ἀριθμῶν λόγος σύγκειται ἐκ τοῦ λόγου, ὃν ἔχει ὁ πρῶτος πρὸς τὸν
15	μέσον, καὶ τοῦ, ὃν ἔχει ὁ μέσος πρὸς τὸν τρίτον. ὑπομνηστέον δὴ πρότερον, πῶς ἐλέγετο λόγος ἐκ λό‐ γων συγκεῖσθαι. ὡς γὰρ ἐν τῇ Στοιχειώσει· ὅταν αἱ τῶν λόγων πηλικότητες ἐφ’ ἑαυτὰς πολλαπλασιασθεῖσαι ποι‐ ῶσίν τινα, πηλικότητος δηλονότι λεγομένης τοῦ ἀριθ‐
20	μοῦ, οὗ παρώνυμός ἐστιν ὁ διδόμενος λόγος, ὥς φασιν ἄλλοι τε καὶ Νικόμαχος ἐν τῷ πρώτῳ Περὶ μουσικῆς καὶ Ἡρώνας ἐν τῷ ὑπομνήματι τῷ εἰς τὴν Ἀριθμητικὴν εἰσαγωγήν, ταὐτὸν δὲ εἰπεῖν καὶ τοῦ ἀριθμοῦ τοῦ πολλα‐ πλασιαζομένου ἐπὶ τὸν ἑπόμενον ὅρον τοῦ λόγου καὶ
25	ποιοῦντος τὸν ἡγούμενον. καὶ κυριώτερον μὲν ἐπὶ τῶν πολλαπλασίων ἡ πηλικότης ἂν λαμβάνοιτο, ἐπὶ δὲ τῶν ἐπιμορίων ἢ ἐπιμερῶν οὐκέτι τὴν πηλικότητα δυνατὸν λαμβάνεσθαι ἀδιαιρέτου μενούσης τῆς μονάδος· ὥστ’ ἐπ’ ἐκείνων διαιρετέον τὴν μονάδα, ὃ εἰ καὶ μὴ κατὰ τὸ προσ‐
30	ῆκον τῇ ἀριθμητικῇ ἀλλὰ τῇ λογιστικῇ τυγχάνει. διαι‐
30	ρεῖται δὲ ἡ μονὰς κατὰ τὸ μέρος ἢ τὰ μέρη, ἀφ’ ὧν ὠνό‐
122	μασται ὁ λόγος, ὥστε εἶναι ὡς ἐν σαφεστέρῳ τῷ λέγειν τοῦ μὲν ἡμιολίου λόγου πηλικότητα πρὸς τῇ μονάδι καὶ τὸ ἥμισυ τῆς μονάδος, τοῦ δὲ ἐπιτρίτου πρὸς τῇ μονάδι τὸ τρίτον, ὥστε, καθὰ καὶ ἀνωτέρῳ εἴρηται, τὴν πηλι‐
5	κότητα τοῦ λόγου ἐπὶ τὸν ἑπόμενον ὅρον πολλαπλασια‐ ζομένην ποιεῖν τὸν ἡγούμενον. τοῦ γὰρ ἐννέα πρὸς τὰ ἓξ ἡμιολίου πηλικότης οὖσα ἡ μονὰς καὶ τὸ ἥμισυ πολλα‐ πλασιασθεῖσα ἐπὶ τὸν ϛ ποιεῖ τὸν θ, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων δὲ τὸ αὐτὸ ἔξεστι κατανοεῖν.
10	τούτων δὴ προσαφηνισθέντων ἐπανακτέον ἐπὶ τὸ προ‐ τεθέν. ἔστωσαν γὰρ οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, μέσος δὲ αὐτῶν εἰλήφθω τις ὁ Γ· δεικτέον δή, ὅτι ὁ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγος συνῆπται ἐκ τοῦ, ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Γ, καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν Β.
15	εἰλήφθω γὰρ τοῦ μὲν Α, Γ λόγου πηλικότης ὁ Δ, τοῦ δὲ Γ, Β ὁ Ε· ὁ ἄρα Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α ποιεῖ, ὁ δὲ Β τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ. ὁ δὴ Δ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω. λέγω, ὅτι ὁ Ζ πηλικότης ἐστὶ τοῦ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγου, τουτέστιν,
20	ὅτι ὁ Ζ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Α ποιεῖ. ὁ γὰρ Β τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω. ἐπεὶ οὖν ὁ Β τὸν μὲν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλα‐ πλασιάσας τὸν Γ, ἔστιν ἄρα, ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε, ὁ Η πρὸς τὸν Γ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Δ τὸν μὲν Ε πολλαπλασιάσας
25	τὸν Ζ πεποίηκεν, τὸν δὲ Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πε‐ ποίηκεν, ἔστιν ἄρα, ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Γ, ὁ Ζ πρὸς τὸν Α. ἐναλλάξ, ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ὁ Γ πρὸς τὸν Α, καὶ ἀνάπαλιν, ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Γ. ἀλλ’ ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε, ἐδείχθη ὁ Η πρὸς τὸν Γ· καὶ
30	ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Γ, ὁ Α πρὸς τὸν Γ· ἴσος ἄρα ὁ
30	Α τῷ Η. ἀλλ’ ὁ Β τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Η πε‐
124	ποίηκεν· καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Α ποιεῖ· ὁ Ζ ἄρα πηλικότης ἐστὶ τοῦ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγου. καὶ ἔστιν ὁ Ζ τοῦ Δ ἐπὶ τὸν Ε πολλαπλασιασ‐ θέντος, τουτέστι τῆς πηλικότητος τοῦ Α, Γ λόγου ἐπὶ
5	τὴν πηλικότητα τοῦ Γ, Β λόγου· ὁ ἄρα τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Γ, καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ἵνα δὲ καὶ ἐπὶ ὑποδείγματος φανερὸν γένηται τὸ εἰ‐ ρημένον, παρεμπιπτέτω τοῦ ιβ καὶ τοῦ β μέσος τις ἀριθ‐
10	μὸς ὁ δ. λέγω, ὅτι ὁ τοῦ ιβ πρὸς τὸν β λόγος, τουτέστιν ὁ ἑξαπλάσιος, σύγκειται ἔκ τε τοῦ τριπλασίου τοῦ ιβ πρὸς τὰ δ καὶ τοῦ διπλασίου τοῦ δ πρὸς τὰ β. ἐὰν γὰρ τὰς πηλικότητας τῶν λόγων πολλαπλασιά‐ σωμεν ἐπ’ ἀλλήλας, τουτέστι τὸν γ ἐπὶ τὸν β, γίνεται ὁ
15	ϛ πηλικότης ὢν τοῦ ιβ πρὸς τὰ β λόγου, καί ἐστιν ἑξα‐ πλάσιος, ὅνπερ καὶ προέκειτο ὑποδεῖξαι. εἰ δὲ καὶ ὁ μέσος παρεμπίπτων μὴ ὑπάρχῃ τοῦ μὲν μείζονος ἐλάττων, τοῦ δὲ ἐλάττονος μείζων, ἀλλ’ ἢ τὸ ἀνάπαλιν ἢ ἀμφοτέρων μείζων ἢ ἀμφοτέρων ἐλάττων, καὶ
20	οὕτως ἡ σύνθεσις ἡ προειρημένη ἀκολουθήσει. τοῦ θ καὶ τοῦ ϛ μέσος τις παρεμπιπτέτω ἀμφοτέρων μείζων ὁ ιβ. λέγω, ὅτι ἔκ τε τοῦ ὑπεπιτρίτου τοῦ θ πρὸς τὸν ιβ λόγου καὶ τοῦ διπλασίου τοῦ ιβ πρὸς τὸν ϛ σύγκειται ὁ ἡμιόλιος τοῦ θ πρὸς τὰ ϛ.
25	ἡ γὰρ πηλικότης τοῦ θ πρὸς τὸν ιβ λόγου ἐστὶ τρία τέταρτα, τουτέστιν ἥμισυ καὶ τέταρτον, ἡ δὲ πηλικότης τοῦ ιβ πρὸς τὸν ϛ ἐστιν ὁ β. ἐὰν οὖν πολλαπλασιάσωμεν τὸν β ἐπὶ τὸ ἥμισυ καὶ τέταρτον, γίνεται μονὰς α καὶ ἥμισυ, ἥτις πηλικότης ἐστὶ τοῦ ἡμιολίου λόγου, ὃν ἔχει
30	καὶ ὁ θ πρὸς τὸν ϛ. ὁμοίως δέ, κἂν τοῦ θ καὶ ϛ μέσος
30	ἐμπέσῃ ὁ δ, ἐκ τοῦ θ πρὸς δ διπλασιεπιτετάρτου καὶ τοῦ
125	δ πρὸς ϛ ὑφημιολίου σύγκειται ὁ ἡμιόλιος λόγος. πάλιν γὰρ τὴν πηλικότητα τοῦ διπλασιεπιτετάρτου τὰ β δʹ ἐπὶ
125	τὴν πηλικότητα τοῦ ὑφημιολίου, τουτέστι τὰ δύο τρίτα,
126	πολλαπλασιάσαντες ἕξομεν τὸ ἓν ἥμισυ πηλικότητα τοῦ ἡμιολίου, ὡς εἴρηται, λόγου. καὶ ἐπὶ πάντων δὲ ὁμοίως ὁ αὐτὸς ἁρμόσει λόγος. συμφανὲς δὲ ἐκ τῶν εἰρημένων, ὡς, ἐὰν δύο δοθέν‐
5	των ἀριθμῶν ἤτοι μεγεθῶν κἂν μὴ εἷς μέσος, πλείους δέ, παρεμπίπτωσιν ὅροι, ὁ τῶν ἄκρων λόγος σύγκειται ἐκ πάντων τῶν λόγων, ὧν ἔχουσιν οἱ κατὰ τὸ ἑξῆς κεί‐ μενοι ὅροι ἀρχόμενοι ἀπὸ πρώτου καὶ λήγοντες εἰς τὸν ἔσχατον τῇ κατὰ τοὺς ἐχομένους τάξει.
10	δύο γὰρ ὄντων ὅρων τῶν Α, Β παρεμπιπτέτωσαν πλείους ἑνὸς οἱ Γ, Δ. λέγω, ὅτι ὁ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Γ, καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Β. ἐπεὶ γὰρ ὁ τοῦ Α πρὸς τὸν Β σύγκειται ἔκ τε τοῦ, ὃν
15	ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Δ, καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Β, ὡς ἀνωτέρω εἴρηται, ὁ δὲ τοῦ Α πρὸς τὸν Δ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Γ, καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὁ ἄρα τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Γ, καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, καὶ ὁ Δ πρὸς
20	τὸν Β. ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δειχθήσεται. Ἔτι ἐν τῷ ῥητῷ φησιν. Ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΡΛ πρὸς ΛΔ, ἐδείχθη τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΧ ἐπεὶ γὰρ δέδεικται, ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΔ, τὸ ἀπὸ ΛΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΛ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ
25	ΚΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΧ· ἐδείχθη γάρ, ὡς ἡ ΚΛ πρὸς ΛΔ, ἡ ΒΔ πρὸς ΔΧ διὰ τοῦ συνθέντι· ὡς ἄρα ἡ ΡΛ πρὸς ΛΔ, τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΧ. Πεποιήσθω δέ, ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΧ, ἡ ΒΖ πρὸς
30	ΖΘ τὸ Θ σημεῖον ὅπως ποτὲ μὲν ἐὰν τεθῇ, ὅσον πρὸς
30	τὴν ἀκολουθίαν τῆς ἀποδείξεως κατ’ οὐδὲν ἐμποδὼν γί‐
128	νεται τῷ λόγῳ· ὅτι δέ, καθὰ ἐν τῇ καταγραφῇ κεῖται, ἀεὶ μεταξὺ τῶν Β, Ρ πίπτει, οὕτως ἔσται δῆλον. ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ ΛΚ πρὸς ΔΚ, τουτέστι πρὸς ΚΒ, οὕτως ἡ ΚΡ πρὸς ΡΒ, καὶ ὡς ἄρα ἓν πρὸς ἕν, οὕτως ἅπαντα
5	πρὸς ἅπαντα, ὡς ἡ ΛΡ πρὸς ΡΚ, ἡ ΚΡ πρὸς ΡΒ. μεί‐ ζονα δὲ λόγον ἔχει ἡ ΛΡ πρὸς ΡΧ ἤπερ ἡ ΛΡ πρὸς ΡΚ· καὶ ἡ ΛΡ ἄρα πρὸς ΡΧ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΚΡ πρὸς ΒΡ, τουτέστιν ἡ ΖΒ πρὸς ΒΡ. ἀναστρέψαντι ἡ ΡΛ πρὸς ΛΧ ἐλάσσονα ἔχει λόγον ἤπερ ἡ ΒΖ πρὸς
10	ΖΡ. ἐὰν ἄρα ποιήσωμεν, ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΧ, οὕτως τὴν ΒΖ πρὸς ἄλλην τινά, ἔσται πρὸς μείζονα τῆς ΖΡ. φανερὸν δὲ αὐτόθεν, ὅτι ἡ ΖΘ τῆς ΘΒ μείζων ἐστίν. ἐπεὶ γὰρ δέδεικται, ὡς ἡ ΛΔ πρὸς ΔΚ, ἡ ΔΧ πρὸς ΧΒ καὶ ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ, μείζων δὲ ἡ ΔΧ τῆς ΧΒ, μεί‐
15	ζων ἄρα καὶ ἡ ΛΔ τῆς ΔΚ καὶ ἡ ΚΒ τῆς ΒΡ· ὥστε καὶ ἡ ΛΔ τῆς ΒΡ. καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΛΧ τῆς ΧΡ μείζων ἐστίν· ὥστε καὶ ἡ ΘΖ τῆς ΘΒ. Λοιπὸν ἄρα ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΒΔ, τουτέστι τὸ δοθέν, πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΧ, οὕτως ἡ ΖΧ πρὸς ΖΘ
20	ἐπεὶ γὰρ τῷ τῆς ΒΖ πρὸς ΘΖ λόγῳ ὁ αὐτὸς ἐδείχθη ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ τοῦ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΧ καὶ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ, τῷ δὲ αὐτῷ τῷ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΘ ὁ αὐτός ἐστι καὶ ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ καὶ τῆς ΧΖ πρὸς ΖΘ, καὶ ὁ συγκείμενος ἄρα ἐκ τοῦ τοῦ
25	ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΧ καὶ τοῦ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ λό‐ γος ὁ αὐτός ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐκ τοῦ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ καὶ τοῦ τῆς ΧΖ πρὸς ΖΘ. ἐὰν οὖν τὸν ἐν ἀμφοτέ‐
25	ροις τοῖς λόγοις κοινὸν ἀφέλωμεν τὸν τῆς ΒΖ πρὸς ΧΖ,
130	λοιπὸς ὁ τοῦ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΧ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΧΖ πρὸς ΖΘ. Καὶ δὴ δοθεῖσαν τὴν ΔΖ τεμεῖν δεῖ κατὰ τὸ Χ καὶ ποιεῖν, ὡς τὴν ΧΖ πρὸς δοθεῖσαν· τουτέστι
5	τὴν ΖΘ· οὕτως τὸ δοθέν· τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΔ· πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΧ. τοῦτο δὲ οὕτως ἁπλῶς μὲν λεγό‐ μενον ἔχει διορισμόν, προστιθεμένων δὲ τῶν προβλημάτων τῶν ἐνθάδε ὑπαρχόντων· τουτέστι τοῦ τε διπλασίαν εἶναι τὴν ΔΒ τῆς ΒΖ καὶ τοῦ μείζονα
10	τὴν ΒΖ τῆς ΖΘ, ὡς κατὰ τὴν ἀνάλυσιν· οὐκ ἔχει διορισμόν· καὶ ἔσται τὸ πρόβλημα τοιοῦτον· δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΔΒ, ΒΖ καὶ διπλασίας οὔσης τῆς ΔΒ τῆς ΒΖ καὶ σημείου ἐπὶ τῆς ΒΖ τοῦ Θ τεμεῖν τὴν ΔΒ κατὰ τὸ Χ καὶ ποιεῖν, ὡς
15	τὸ ἀπὸ ΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΧ, τὴν ΧΖ πρὸς ΖΘ· ἑκάτερα δὲ ταῦτα ἐπὶ τέλει ἀναλυθήσεται καὶ συντεθήσεται ἐπὶ τέλει μὲν τὸ προρηθὲν ἐπηγγείλατο δεῖξαι, ἐν οὐδενὶ δὲ τῶν ἀντιγράφων εὑρεῖν ἔνεστι τὸ ἐπάγγελμα. ὅθεν καὶ Διονυσόδωρον μὲν εὑρίσκομεν μὴ
20	τῶν αὐτῶν ἐπιτυχόντα, ἀδυνατήσαντα δὲ ἐπιβαλεῖν τῷ καταλειφθέντι λήμματι, ἐφ’ ἑτέραν ὁδὸν τοῦ ὅλου προ‐ βλήματος ἐλθεῖν, ἥντινα ἑξῆς γράψομεν· Διοκλῆς μέντοι καὶ αὐτὸς ἐν τῷ Περὶ πυρίων αὐτῷ συγγεγραμμένῳ βι‐ βλίῳ ἐπηγγέλθαι νομίζων τὸν Ἀρχιμήδη, μὴ πεποιηκέναι
25	δὲ τὸ ἐπάγγελμα, αὐτὸς ἀναπληροῦν ἐπεχείρησεν, καὶ τὸ ἐπιχείρημα ἑξῆς γράψομεν· ἔστιν γὰρ καὶ αὐτὸ οὐ‐ δένα μὲν ἔχον πρὸς τὰ παραλελειμμένα λόγον, ὁμοίως δὲ τῷ Διονυσοδώρῳ δι’ ἑτέρας ἀποδείξεως κατασκευάζον
25	τὸ πρόβλημα. ἔν τινι μέντοι παλαιῷ βιβλίῳ· οὐδὲ γὰρ
132	τῆς εἰς πολλὰ ζητήσεως ἀπέστημεν· ἐντετύχαμεν θεωρή‐ μασι γεγραμμένοις οὐκ ὀλίγην μὲν τὴν ἐκ τῶν πταισμά‐ των ἔχουσιν ἀσάφειαν περί τε τὰς καταγραφὰς πολυ‐ τρόπως ἡμαρτημένοις, τῶν μέντοι ζητουμένων εἶχον τὴν
5	ὑπόστασιν, ἐν μέρει δὲ τὴν Ἀρχιμήδει φίλην Δωρίδα γλῶσσαν ἀπέσωζον καὶ τοῖς συνήθεσι τῷ ἀρχαίῳ τῶν πραγμάτων ὀνόμασιν ἐγέγραπτο τῆς μὲν παραβολῆς ὀρ‐ θογωνίου κώνου τομῆς ὀνομαζομένης, τῆς δὲ ὑπερβολῆς ἀμβλυγωνίου κώνου τομῆς, ὡς ἐξ αὐτῶν διανοεῖσθαι,
10	μὴ ἄρα καὶ αὐτὰ εἴη τὰ ἐν τῷ τέλει ἐπηγγελμένα γρά‐ φεσθαι. ὅθεν σπουδαιότερον ἐντυγχάνοντες αὐτὸ μὲν τὸ ῥητόν, ὡς γέγραπται, διὰ πλῆθος, ὡς εἴρηται, τῶν πταισμάτων δυσχερὲς εὑρόντες τὰς ἐννοίας κατὰ μικρὸν ἀποσυλήσαντες κοινοτέρᾳ καὶ σαφεστέρᾳ κατὰ τὸ δυνα‐
15	τὸν λέξει γράφομεν. καθόλου δὲ πρῶτον τὸ θεώρημα γραφήσεται, ἵνα τὸ λεγόμενον ὑπ’ αὐτοῦ σαφηνισθῇ περὶ τῶν διορισμῶν· εἶτα καὶ τοῖς ἀναλελυμένοις ἐν τῷ προ‐ βλήματι προσαρμοσθήσεται. Εὐθείας δοθείσης τῆς ΑΒ καὶ ἑτέρας τῆς ΑΓ
20	καὶ χωρίου τοῦ Δ προκείσθω λαβεῖν ἐπὶ τῆς ΑΒ σημεῖον ὡς τὸ Ε, ὥστε εἶναι, ὡς τὴν ΑΕ πρὸς ΑΓ, οὕτω τὸ Δ χωρίον πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ. γεγονέτω, καὶ κείσθω ἡ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΕ διήχθω ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ
25	ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΓΗ, διὰ δὲ τοῦ Β τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΖΒΗ συμπίπτουσα ἑκατέρᾳ τῶν ΓΕ, ΓΗ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΗΘ παραλληλόγραμμον, καὶ διὰ τοῦ Ε ὁποτέρᾳ τῶν ΓΘ, ΗΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΕΛ, καὶ τῷ Δ
30	ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ ΓΗΜ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΕΑ
30	πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ, ὡς δὲ ἡ
133	ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ, ὡς δὲ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΖ,
133	ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΖ, οὕτως τὸ
134	Δ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ· καὶ ἐναλλάξ, ὡς τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ Δ, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΜ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΚ. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΜ,
5	οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΜ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΗ πρὸς ΗΜ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΚ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΗΜ, τῆς ΗΖ κοινοῦ ὕψους λαμ‐ βανομένης οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΗΖ· ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΗΖ, οὕτως
10	τὸ ὑπὸ ΓΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΚ· ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΜΗΖ τῷ ἀπὸ ΖΚ. ἐὰν ἄρα περὶ ἄξονα τὴν ΖΗ γραφῇ διὰ τοῦ Η παραβολή, ὥστε τὰς καταγομέ‐ νας δύνασθαι παρὰ τὴν ΗΜ, ἥξει διὰ τοῦ Κ, καὶ ἔσται θέσει δεδομένη διὰ τὸ δεδομένην εἶναι
15	τὴν ΗΜ τῷ μεγέθει περιέχουσαν μετὰ τῆς ΗΓ δεδομένης δοθὲν τὸ Δ· τὸ ἄρα Κ ἅπτεται θέσει δεδομένης παραβολῆς. γεγράφθω οὖν, ὡς εἴρη‐ ται, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΗΚ. πάλιν, ἐπειδὴ τὸ ΘΛ χω‐ ρίον ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΒ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΘΚΛ τῷ
20	ὑπὸ ΑΒΗ, ἐὰν διὰ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΘΓ, ΓΗ γραφῇ ὑπερβολή, ἥξει διὰ τοῦ Κ διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ ηʹ θεωρήματος τοῦ δευτέ‐ ρου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοι‐ χείων, καὶ ἔσται θέσει δεδομένη διὰ τὸ καὶ ἑκα‐
25	τέραν τῶν ΘΓ, ΓΗ, ἔτι μὴν καὶ τὸ Β τῇ θέσει δεδόσθαι. γεγράφθω, ὡς εἴρηται, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΚΒ· τὸ ἄρα Κ ἅπτεται θέσει δεδομένης ὑπερ‐ βολῆς. ἥπτετο δὲ καὶ θέσει δεδομένης παρα‐
25	βολῆς· δέδοται ἄρα τὸ Κ. καί ἐστιν ἀπ’ αὐτοῦ
136	κάθετος ἡ ΚΕ ἐπὶ θέσει δεδομένην τὴν ΑΒ· δέ‐ δοται ἄρα τὸ Ε. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΕΑ πρὸς τὴν δοθεῖσαν τὴν ΑΓ, οὕτως δοθὲν τὸ Δ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ, δύο στερεῶν, ὧν βάσεις τὸ ἀπὸ ΕΒ
5	καὶ τὸ Δ, ὕψη δὲ αἱ ΕΑ, ΑΓ, ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν· ὥστε ἴσα ἐστὶ τὰ στερεά· τὸ ἄρα ἀπὸ ΕΒ ἐπὶ τὴν ΕΑ ἴσον ἐστὶ τῷ δοθέντι τῷ Δ ἐπὶ δοθεῖσαν τὴν ΓΑ. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ μέγιστόν ἐστι πάντων τῶν ὁμοίως λαμ‐
10	βανομένων ἐπὶ τῆς ΒΑ, ὅταν ᾖ διπλασία ἡ ΒΕ τῆς ΕΑ, ὡς δειχθήσεται· δεῖ ἄρα τὸ δοθὲν ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν μὴ μεῖζον εἶναι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ. συντεθήσεται δὲ οὕτως· ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα
15	εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ἄλλη δέ τις δοθεῖσα ἡ ΑΓ, τὸ δὲ δοθὲν χωρίον τὸ Δ, καὶ δέον ἔστω τεμεῖν τὴν ΑΒ, ὥστε εἶναι, ὡς τὸ ἓν τμῆμα πρὸς τὴν δοθεῖ‐ σαν τὴν ΑΓ, οὕτως τὸ δοθὲν τὸ Δ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος.
20	εἰλήφθω τῆς ΑΒ τρίτον μέρος ἡ ΑΕ· τὸ ἄρα Δ ἐπὶ τὴν ΑΓ ἤτοι μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ ἢ ἴσον ἢ ἔλασσον. εἰ μὲν οὖν μεῖζόν ἐστιν, οὐ συντεθήσεται, ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει δέδεικται· εἰ δὲ ἴσον ἐστί, τὸ Ε
25	σημεῖον ποιήσει τὸ πρόβλημα. ἴσων γὰρ ὄντων τῶν στερεῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν, ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ. εἰ δὲ ἔλασσόν ἐστι τὸ Δ ἐπὶ τὴν ΑΓ τοῦ ἀπὸ
30	ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ, συντεθήσεται οὕτως· κείσθω ἡ
30	ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ, καὶ διὰ τοῦ Γ τῇ ΑΒ παρ‐
138	άλληλος ἤχθω ἡ ΓΖ, διὰ δὲ τοῦ Β τῇ ΑΓ παρ‐ άλληλος ἤχθω ἡ ΒΖ καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΕ ἐκ‐ βληθείσῃ κατὰ τὸ Η, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΖΘ παραλληλόγραμμον, καὶ διὰ τοῦ Ε τῇ ΖΗ παρ‐
5	άλληλος ἤχθω ἡ ΚΕΛ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ ἐπὶ τὴν ΑΓ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ, ἔστιν, ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ Δ πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΚ. ἔστω οὖν, ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ,
10	καὶ τῷ Δ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ ΓΖΝ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ Δ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΓΖΝ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ, ἀλλ’ ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΗ, ὡς δὲ ἡ ΓΖ πρὸς ΖΗ, οὕ‐ τως τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΗ, καὶ ὡς ἄρα τὸ
15	ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ· καὶ ἐναλλάξ, ὡς τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΝ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΝ, ἡ ΓΖ πρὸς ΖΝ, ὡς δὲ ἡ ΓΖ πρὸς ΖΝ, τῆς ΖΗ
20	κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΖΗ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΖΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΗΜ τῷ ὑπὸ ΗΖΝ. ἐὰν ἄρα διὰ τοῦ Ζ περὶ ἄξονα τὴν ΖΗ γράψωμεν
25	παραβολήν, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι πα‐ ρὰ τὴν ΖΝ, ἥξει διὰ τοῦ Μ. γεγράφθω, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΜΞΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΘΛ τῷ ΑΖ, τουτ‐ έστι τὸ ὑπὸ ΘΚΛ τῷ ὑπὸ ΑΒΖ, ἐὰν διὰ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΘΓ, ΓΖ γράψωμεν ὑπερ‐
30	βολήν, ἥξει διὰ τοῦ Κ διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ
30	ηʹ θεωρήματος τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοι‐
140	χείων. γεγράφθω, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΒΚ τέμνουσα τὴν παραβολὴν κατὰ τὸ Ξ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΞΟΠ, καὶ διὰ τοῦ Ξ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΡΞΣ. ἐπεὶ οὗν ὑπερβολή
5	ἐστιν ἡ ΒΞΚ, ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΘΓ, ΓΖ, καὶ παρ‐ άλληλοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΡΞΠ ταῖς ΑΒΖ, ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΡΞΠ τῷ ὑπὸ ΑΒΖ· ὥστε καὶ τὸ ΡΟ τῷ ΟΖ. ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Σ ἐπιζευχθῇ εὐθεῖα, ἥξει διὰ τοῦ Ο. ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὡς ἡ
10	ΓΟΣ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΟΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΟΒ πρὸς ΒΣ, τουτέστιν ἡ ΓΖ πρὸς ΖΣ, ὡς δὲ ἡ ΓΖ πρὸς ΖΣ, τῆς ΖΝ κοινοῦ ὕψους λαμβανο‐ μένης οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ΣΖΝ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΟΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΝ πρὸς
15	τὸ ὑπὸ ΣΖΝ. καί ἐστι τῷ μὲν ὑπὸ ΓΖΝ ἴσον τὸ Δ χωρίον, τῷ δὲ ὑπὸ ΣΖΝ ἴσον τὸ ἀπὸ ΣΞ, τουτ‐ έστι τὸ ἀπὸ ΒΟ, διὰ τὴν παραβολήν· ὡς ἄρα ἡ ΟΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ Δ χωρίον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΟ. εἴληπται ἄρα τὸ Ο σημεῖον ποιοῦν τὸ
20	πρόβλημα. ὅτι δὲ διπλασίας οὔσης τῆς ΒΕ τῆς ΕΑ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ μέγιστόν ἐστι πάντων τῶν ὁμοίως λαμβανομένων ἐπὶ τῆς ΒΑ, δειχθήσεται οὕτως. ἔστω γάρ, ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει, πάλιν δο‐
25	θεῖσα εὐθεῖα πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ ἡ ΑΓ, καὶ ἐπι‐ ζευχθεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ διὰ τοῦ Β παραλλήλῳ ἠγμένῃ τῇ ΑΓ κατὰ τὸ Ζ, καὶ διὰ τῶν Γ, Ζ παράλληλοι τῇ ΑΒ ἤχθωσαν αἱ ΘΖ, ΓΗ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΑ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ
30	ταύτῃ παράλληλος διὰ τοῦ Ε ἤχθω ἡ ΚΕΛ, καὶ
30	γεγονέτω, ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΜ
141	πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΓΗΜ ἐπὶ τὴν ΑΓ διὰ τὸ δύο στε‐ ρεῶν ἀντιπεπονθέναι τὰς βάσεις τοῖς ὕψεσιν.
141	λέγω οὖν, ὅτι τὸ ὑπὸ ΓΗΜ ἐπὶ τὴν ΑΓ μέγιστόν
142	ἐστι πάντων τῶν ὁμοίως ἐπὶ τῆς ΒΑ λαμβανο‐ μένων. γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Η περὶ ἄξονα τὴν ΖΗ παραβολή, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι παρὰ
5	τὴν ΗΜ· ἥξει δὴ διὰ τοῦ Κ, ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει δέδεικται, καὶ συμπεσεῖται ἐκβαλλομένη τῇ ΘΓ παραλλήλῳ οὔσῃ τῇ διαμέτρῳ τῆς τομῆς διὰ τὸ ἕβδομον καὶ εἰκοστὸν θεώρημα τοῦ πρώτου βι‐ βλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων. ἐκ‐
10	βεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ν, καὶ διὰ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΝΓΗ γεγράφθω ὑπερβολή· ἥξει ἄρα διὰ τοῦ Κ, ὡς ἐν τῇ ἀναλύ‐ σει εἴρηται. ἐρχέσθω οὖν ὡς ἡ ΒΚ, καὶ ἐκβλη‐ θείσῃ τῇ ΖΗ ἴση κείσθω ἡ ΗΞ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ
15	ΞΚ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ο· φανερὸν ἄρα, ὅτι ἐφάπτεται τῆς παραβολῆς διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ τετάρτου καὶ τριακοστοῦ θεωρήματος τοῦ πρώτου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν Στοι‐ χείων. ἐπεὶ οὖν διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΕ τῆς ΕΑ· οὕ‐
20	τως γὰρ ὑπόκειται· τουτέστιν ἡ ΖΚ τῆς ΚΘ, καί ἐστιν ὅμοιον τὸ ΟΘΚ τρίγωνον τῷ ΞΖΚ τριγώ‐ νῳ, διπλασία ἐστὶ καὶ ἡ ΞΚ τῆς ΚΟ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΞΚ τῆς ΚΠ διπλῆ διὰ τὸ καὶ τὴν ΞΖ τῆς ΞΗ καὶ παράλληλον εἶναι τὴν ΠΗ τῇ ΚΖ· ἴση
25	ἄρα ἡ ΟΚ τῇ ΚΠ. ἡ ἄρα ΟΚΠ ψαύουσα τῆς ὑπερ‐
144	βολῆς καὶ μεταξὺ οὖσα τῶν ἀσυμπτώτων δίχα τέμνεται· ἐφάπτεται ἄρα τῆς ὑπερβολῆς διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ τρίτου θεωρήματος τοῦ δευτέ‐ ρου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοι‐
5	χείων. ἐφήπτετο δὲ καὶ τῆς παραβολῆς κατὰ τὸ αὐτὸ Κ· ἡ ἄρα παραβολὴ τῆς ὑπερβολῆς ἐφάπτε‐ ται κατὰ τὸ Κ. νενοήσθω οὖν καὶ ἡ ὑπερβολὴ προσεκβαλλομένη ὡς ἐπὶ τὸ Ρ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Σ, καὶ διὰ τοῦ Σ τῇ ΚΛ
10	παράλληλος ἤχθω ἡ ΤΣΥ καὶ συμβαλλέτω τῇ ὑπερβολῇ κατὰ τὸ Τ, καὶ διὰ τοῦ Τ τῇ ΓΗ παρ‐ άλληλος ἤχθω ἡ ΦΤΧ. ἐπεὶ οὖν διὰ τὴν ὑπερ‐ βολὴν καὶ τὰς ἀσυμπτώτους ἴσον ἐστὶ τὸ ΦΥ τῷ ΓΒ, κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΣ ἴσον γίνεται
15	τὸ ΦΣ τῷ ΣΗ, καὶ διὰ τοῦτο ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Χ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἥξει διὰ τοῦ Σ. ἐρχέ‐ σθω καὶ ἔστω ὡς ἡ ΓΣΧ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΨΧ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΧΗΜ διὰ τὴν παραβολήν, τὸ ἀπὸ ΤΧ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΧΗΜ. γεγονέτω οὖν
20	τῷ ἀπὸ ΤΧ ἴσον τὸ ὑπὸ ΧΗΩ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΣΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΧ, ἀλλ’ ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΗΧ, τῆς ΗΩ κοινοῦ ὕψους λαμβανο‐ μένης οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΩ πρὸς τὸ ὑπὸ ΧΗΩ καὶ πρὸς τὸ ἴσον αὐτῷ τὸ ἀπὸ ΧΤ, τουτέστι τὸ ἀπὸ
25	ΒΣ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΣ ἐπὶ τὴν ΣΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΓΗΩ ἐπὶ τὴν ΓΑ. τὸ δὲ ὑπὸ ΓΗΩ ἐπὶ τὴν ΓΑ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΓΗΜ ἐπὶ τὴν ΓΑ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΣ ἐπὶ τὴν ΣΑ ἔλαττόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἐπὶ πάντων
30	τῶν σημείων τῶν μεταξὺ λαμβανομένων τῶν Ε, Β.
30	ἀλλὰ δὴ εἰλήφθω μεταξὺ τῶν Ε, Α σημεῖον
146	τὸ ϛ. λέγω, ὅτι καὶ οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ Βϛ ἐπὶ τὴν ϛΑ. τῶν γὰρ αὐτῶν κατεσκευασμένων ἤχθω διὰ τοῦ ϛ τῇ ΚΛ παράλληλος ἡ ϙϛΡ καὶ συμβαλλέτω
5	τῇ ὑπερβολῇ κατὰ τὸ Ρ· συμβαλεῖ γὰρ αὐτῇ διὰ τὸ παράλληλος εἶναι τῇ ἀσυμπτώτῳ· καὶ διὰ τοῦ Ρ παράλληλος ἀχθεῖσα τῇ ΑΒ ἡ ΑʹΡΒʹ συμβαλλέ‐ τω τῇ ΗΖ ἐκβαλλομένῃ κατὰ τὸ Βʹ. καὶ ἐπεὶ πά‐ λιν διὰ τὴν ὑπερβολὴν ἴσον ἐστὶ τὸ Γʹϙ τῷ ΑΗ,
10	ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Βʹ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἥξει διὰ τοῦ ϛ. ἐρχέσθω καὶ ἔστω ὡς ἡ ΓϛΒʹ. καὶ ἐπεὶ πάλιν διὰ τὴν παραβολὴν ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΑʹΒʹ τῷ ὑπὸ ΒʹΗΜ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΡΒʹ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΒʹΗΜ. γεγονέτω τὸ ἀπὸ ΡΒʹ ἴσον τῷ ὑπὸ
15	ΒʹΗΩ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ϛΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΒʹ, ἀλλ’ ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΗΒʹ, τῆς ΗΩ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΩ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒʹΗΩ, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΡΒʹ, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ Βϛ, τὸ ἄρα ἀπὸ Βϛ ἐπὶ τὴν
20	ϛΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΓΗΩ ἐπὶ τὴν ΓΑ. καὶ μεῖ‐ ζον τὸ ὑπὸ ΓΗΜ τοῦ ὑπὸ ΓΗΩ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ τοῦ ἀπὸ Βϛ ἐπὶ τὴν ϛΑ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἐπὶ πάντων τῶν ση‐ μείων τῶν μεταξὺ τῶν Ε, Α λαμβανομένων. ἐδείχ‐
25	θη δὲ καὶ ἐπὶ πάντων τῶν μεταξὺ τῶν Ε, Β· πάν‐ των ἄρα τῶν ἐπὶ τῆς ΑΒ ὁμοίως λαμβανομένων μέγιστόν ἐστιν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ, ὅταν
25	ᾖ διπλασία ἡ ΒΕ τῆς ΕΑ.
148	Ἐπιστῆσαι δὲ χρὴ καὶ τοῖς ἀκολουθοῦσιν κατὰ τὴν εἰρημένην καταγραφήν. ἐπεὶ γὰρ δέδεικται τὸ ἀπὸ ΒΣ ἐπὶ τὴν ΣΑ καὶ τὸ ἀπὸ Βϛ ἐπὶ τὴν ϛΑ ἔλασσον τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ, δυνατόν ἐστι καὶ τοῦ δοθέντος χω‐
5	ρίου ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν ἐλάσσονος ὄντος τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ κατὰ δύο σημεῖα τὴν ΑΒ τεμνομένην ποιεῖν τὸ ἐξ ἀρχῆς πρόβλημα. τοῦτο δὲ γίνεται, εἰ νοήσαιμεν περὶ διάμετρον τὴν ΧΗ γραφομένην παραβολήν, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι παρὰ τὴν ΗΩ· ἡ γὰρ τοι‐
10	αύτη παραβολὴ πάντως ἔρχεται διὰ τοῦ Τ. καὶ ἐπειδὴ ἀνάγκη αὐτὴν συμπίπτειν τῇ ΓΝ παραλλήλῳ οὔσῃ τῇ διαμέτρῳ, δῆλον, ὅτι τέμνει τὴν ὑπερβολὴν καὶ κατ’ ἄλλο σημεῖον ἀνωτέρω τοῦ Κ, ὡς ἐνταῦθα κατὰ τὸ Ρ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ρ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἀγομένη, ὡς ἐν‐
15	ταῦθα ἡ Ρϛ, τέμνει τὴν ΑΒ κατὰ τὸ ϛ, ὥστε τὸ ϛ ση‐ μεῖον ποιεῖν τὸ πρόβλημα, καὶ ἴσον γίνεσθαι τὸ ἀπὸ ΒΣ ἐπὶ τὴν ΣΑ τῷ ἀπὸ Βϛ ἐπὶ τὴν ϛΑ, ὥς ἐστι διὰ τῶν προειρημένων ἀποδείξεων ἐμφανές. ὥστε δυνατοῦ ὄντος ἐπὶ τῆς ΒΑ δύο σημεῖα λαμβάνειν ποιοῦντα τὸ
20	ζητούμενον ἔξεστιν, ὁπότερόν τις βούλοιτο, λαμβάνειν ἢ τὸ μεταξὺ τῶν Ε, Β ἢ τὸ μεταξὺ τῶν Ε, Α. εἰ μὲν γὰρ τὸ μεταξὺ τῶν Ε, Β, ὡς εἴρηται, τῆς διὰ τῶν Η, Τ σημείων γραφομένης παραβολῆς κατὰ δύο σημεῖα τεμνού‐ σης τὴν ὑπερβολὴν τὸ μὲν ἐγγύτερον τοῦ Η, τουτέστι
25	τοῦ ἄξονος τῆς παραβολῆς, εὑρήσει τὸ μεταξὺ τῶν Ε, Β, ὡς ἐνταῦθα τὸ Τ εὑρίσκει τὸ Σ, τὸ δὲ ἀπωτέρω τὸ με‐
25	ταξὺ τῶν Ε, Α, ὡς ἐνταῦθα τὸ Ρ εὑρίσκει τὸ ϛ.
150	καθόλου μὲν οὖν οὕτως ἀναλέλυται καὶ συντέθειται τὸ πρόβλημα· ἵνα δὲ καὶ τοῖς Ἀρχιμηδείοις ῥήμασιν ἐφαρ‐ μοσθῇ, νενοήσθω ὡς ἐν αὐτῇ τῇ τοῦ ῥητοῦ καταγραφῇ διάμετρος μὲν τῆς σφαίρας ἡ ΔΒ, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου
5	ἡ ΒΖ, καὶ ἡ δεδομένη ἡ ΖΘ. κατηντήσαμεν ἄρα, φη‐ σίν, εἰς τὸ τὴν ΔΖ τεμεῖν κατὰ τὸ Χ, ὥστε εἶναι, ὡς τὴν ΧΖ πρὸς τὴν δοθεῖσαν, οὕτως τὸ δοθὲν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΧ. τοῦτο δὲ ἁπλῶς μὲν λεγό‐ μενον ἔχει διορισμόν. εἰ γὰρ τὸ δοθὲν ἐπὶ τὴν δο‐
10	θεῖσαν μεῖζον ἐτύγχανεν τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἐπὶ τὴν ΒΖ, ἀδύνατον ἦν τὸ πρόβλημα, ὡς δέδεικται, εἰ δὲ ἴσον, τὸ Β σημεῖον ἐποίει τὸ πρόβλημα, καὶ οὕτως δὲ οὐδὲν ἦν πρὸς τὴν ἐξ ἀρχῆς Ἀρχιμήδους πρόθεσιν· ἡ γὰρ σφαῖρα οὐκ ἐτέμνετο εἰς τὸν δοθέντα λόγον. ἁπλῶς ἄρα λεγό‐
15	μενον εἶχεν προσδιορισμόν· προστιθεμένων δὲ τῶν προβλημάτων τῶν ἐνθάδε ὑπαρχόντων, τουτέστι τοῦ τε διπλασίαν εἶναι τὴν ΔΒ τῆς ΖΒ καὶ τοῦ μεί‐ ζονα εἶναι τὴν ΒΖ τῆς ΖΘ, οὐκ ἔχει διορισμόν. τὸ γὰρ ἀπὸ ΔΒ τὸ δοθὲν ἐπὶ τὴν ΖΘ τὴν δοθεῖσαν ἔλατ‐
20	τόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἐπὶ τὴν ΒΖ διὰ τὸ τὴν ΒΖ τῆς ΖΘ μείζονα εἶναι, οὗπερ ὑπάρχοντος ἐδείξαμεν δυ‐ νατόν, καὶ ὅπως προβαίνει τὸ πρόβλημα. κατανοεῖν δὲ χρὴ καὶ τοῖς ὑπ’ Ἀρχιμήδους λεγομένοις συμφώνως ἔχουσιν τοῖς ὑφ’ ἡμῶν ἀναλελυμένοις. πρό‐
25	τερον μὲν γὰρ μετὰ τὴν ἀνάλυσιν αὐτοῦ καθόλου τό, εἰς ὃ κατήντησεν, λέγων φησίν· δοθεῖσαν τὴν ΔΖ τεμεῖν δεῖ κατὰ τὸ Χ καὶ ποιεῖν, ὡς τὴν ΧΖ πρὸς δο‐ θεῖσαν, οὕτως τὸ δοθὲν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΧ·
25	εἶτα εἰπών, ὡς καθόλου μὲν τὸ λεγόμενον ἔχει δι‐
152	ορισμόν, προστεθέντων δὲ τῶν ὑπ’ αὐτοῦ εὑρεθέντων προβλημάτων, τοῦ τε εἶναι διπλασίαν τὴν ΔΒ τῆς ΒΖ καὶ μείζονα τὴν ΒΖ τῆς ΖΘ, μὴ ἔχειν διορισμόν, μερι‐ κώτερον ἐπαναλαμβάνει τὸ πρόβλημα καί φησιν, ὅτι·
5	καὶ ἔσται τὸ πρόβλημα τοιοῦτον· δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΔΒ, ΒΖ καὶ διπλασίας οὔσης τῆς ΔΒ τῆς ΒΖ καὶ σημείου ἐπὶ τῆς ΒΖ τοῦ Θ τε‐ μεῖν τὴν ΔΒ κατὰ τὸ Χ, οὐκέτι, ὡς πρότερον, τὴν ΔΖ εἰπὼν ἀλλὰ τὴν ΔΒ δεῖν τεμεῖν διὰ τό, ὡς ἀνω‐
10	τέρω ἡμεῖς ἀπεδείξαμεν, εἰδέναι αὐτόν, ὡς δύο σημεῖά ἐστι τὰ λαμβανόμενα ἐπὶ τῆς ΔΖ καὶ ποιοῦντα τὸ πρό‐ βλημα, ἓν μὲν τὸ μεταξὺ τῶν Δ, Β, ἕτερον δὲ τὸ μεταξὺ τῶν Β, Ζ, ὧν τὸ μεταξὺ τῶν Δ, Β ἦν τὸ πρὸς τὴν ἐξ ἀρχῆς πρόθεσιν χρήσιμον.
15	ταῦτα μὲν οὖν ἀκόλουθα τοῖς Ἀρχιμήδους ῥήμασιν κατὰ τὸ δυνατὸν σαφῶς ἀπεγραψάμεθα· ἐπεὶ δέ, ὡς προ‐ είρηται, καὶ Διονυσόδωρος οὐδαμοῦ τοῖς ἐπὶ τέλει γρα‐ φομένοις παρ’ Ἀρχιμήδους ἐπηγγελμένοις ἐντυχών, ἀτο‐ νήσας δὲ ὥσπερ προσευρεῖν τὰ μὴ ἐκτεθέντα ἐφ’ ἑτέραν
20	ὁδὸν βαδίζων τοῦ ὅλου προβλήματος οὐκ ἄχαριν εὑρέ‐ σεως συνεγράψατο τρόπον, ἀναγκαῖον ᾠήθημεν δεῖν καὶ αὐτὸν τούτοις ἐπισυνάψαι διορθωσάμενοι κατὰ δύναμιν· καὶ γὰρ αὐτὸς ἐκ πολλῆς ἀμελετησίας τῶν ἀνθρώπων τὰ πολλὰ τῶν ἀποδείξεων τῷ πλήθει τῶν πταισμάτων
25	ἠφανισμένα ἔχων ἐν πᾶσιν, οἷς ἡμεῖς ἐντετύχαμεν, ἀντι‐ γράφοις ἐφέρετο.
27t	Ὡς Διονυσόδωρος.
28	Τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐπιπέδῳ τεμεῖν, ὥστε τὰ τμή‐ ματα αὐτῆς πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν τὸν δοθέντα.
30	ἔστω ἡ δοθεῖσα σφαῖρα, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, ὁ δὲ
154	δοθεὶς λόγος, ὃν ἔχει ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ. δεῖ δὴ τεμεῖν τὴν σφαῖραν ἐπιπέδῳ ὀρθῷ πρὸς τὴν ΑΒ, ὥστε τὸ τμῆμα, οὗ κορυφὴ τὸ Α, πρὸς τὸ τμῆμα, οὗ κορυφὴ τὸ Β, λό‐ γον ἔχειν, ὃν ἔχει ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ.
5	ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῆς ΑΒ ἡμί‐ σεια ἡ ΑΖ, καὶ ὃν ἔχει λόγον ἡ ΓΕ πρὸς ΕΔ, ἐχέτω ἡ ΖΑ πρὸς ΑΗ, καὶ ἔστω ἡ ΑΗ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ, καὶ τῶν ΖΑ, ΑΗ μέση ἀνάλογον εἰλήφθω ἡ ΑΘ· μείζων ἄρα ἡ ΑΘ τῆς ΑΗ. καὶ περὶ ἄξονα τὴν ΖΒ διὰ τοῦ Ζ
10	γεγράφθω παραβολή, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι παρὰ τὴν ΑΗ· ἥξει ἄρα διὰ τοῦ Θ, ἐπειδὴ τὸ ὑπὸ ΖΑΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΘ. γεγράφθω οὖν καὶ ἔστω ὡς ἡ ΖΘΚ, καὶ διὰ τοῦ Β ἀνήχθω παρὰ τὴν ΑΘ ἡ ΒΚ καὶ τεμνέτω τὴν παραβολὴν κατὰ τὸ Κ, καὶ διὰ τοῦ Η περὶ
15	ἀσυμπτώτους τὰς ΖΒΚ γεγράφθω ὑπερβολή· τεμεῖ δὴ τὴν παραβολὴν μεταξὺ τῶν Θ, Κ. τεμνέτω κατὰ τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ, καὶ διὰ Η, Λ τῇ ΑΒ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΗΝ, ΛΞ. ἐπεὶ οὖν ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΗΛ, ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΑΒΚ,
20	καὶ παράλληλοι ταῖς ΑΗΝ αἱ ΜΛΞ, ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΑΗΝ τῷ ὑπὸ ΜΛΞ διὰ τὸ ηʹ θεώρημα τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων. ἀλλ’ ἡ μὲν ΗΝ τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΛΞ τῇ ΜΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΛΜΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΗΑΒ, καὶ διὰ τὸ τὸ ὑπὸ
25	τῶν ἄκρων ἴσον εἶναι τῷ ὑπὸ τῶν μέσων αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΛΜ πρὸς ΗΑ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΒΜ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς
25	τὸ ἀπὸ ΗΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΜ. καὶ
156	ἐπεὶ διὰ τὴν παραβολὴν τὸ ἀπὸ ΛΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΖΜ, ΑΗ, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΛ, οὕτως ἡ ΜΛ πρὸς ΑΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας καὶ
5	τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τρίτης· ὡς ἄρα ἡ ΖΜ πρὸς ΑΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΜ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΜ, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς ΑΗ. ἀλλ’ ὡς τὸ
10	ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΜ, οὕτως ὁ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ· καὶ ὡς ἄρα ὁ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς ΑΗ·
15	ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέν‐ τρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, ὕψος δὲ τὴν ΑΗ, ἴσος ἐστὶ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέν‐ τρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ, ὕψος δὲ τὴν ΖΜ· ὧν γὰρ κώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσοι εἰσὶν ἐκεῖνοι.
20	ἀλλ’ ὁ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, ὕψος δὲ τὴν ΖΑ, πρὸς τὸν κῶνον τὸν βάσιν μὲν ἔχοντα τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ τὴν ΑΗ, ἐστίν, ὡς ἡ ΖΑ πρὸς ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΓΕ πρὸς ΕΔ· ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντες πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη·
25	καὶ ὁ κῶνος ἄρα ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, ὕψος δὲ τὴν ΖΑ, πρὸς τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέν‐ τρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ, ὕψος δὲ τὴν ΖΜ, ἐστίν, ὡς ἡ
25	ΓΕ πρὸς ΕΔ. ἀλλ’ ὁ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον,
158	οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, ὕψος δὲ τὴν ΖΑ, ἴσος ἐστὶ τῇ σφαίρᾳ, ὁ δὲ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύ‐ κλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ, ὕψος δὲ τὴν ΖΜ, ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας, οὗ κορυφὴ
5	μέν ἐστι τὸ Β, ὕψος δὲ ἡ ΒΜ, ὡς ἑξῆς δειχθήσεται· καὶ ἡ σφαῖρα ἄρα πρὸς τὸ εἰρημένον τμῆμα λόγον ἔχει, ὃν ἡ ΓΕ πρὸς ΕΔ· καὶ διελόντι τὸ τμῆμα, οὗ κορυφὴ τὸ Α, ὕψος δὲ ἡ ΑΜ, πρὸς τὸ τμῆμα, οὗ κορυφὴ τὸ Β, ὕψος δὲ ἡ ΒΜ, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει ἡ ΓΔ
10	πρὸς ΔΕ. τὸ ἄρα διὰ τῆς ΛΜ ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΒ τέμνει τὴν σφαῖραν εἰς τὸν δοθέντα λόγον· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. ὅτι δὲ ὁ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ, ὕψος δὲ τὴν ΖΜ, ἴσος
15	ἐστὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Β, ὕψος δὲ ἡ ΒΜ, δειχθήσεται οὕτως. γεγονέτω γάρ, ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως ἡ ΟΜ πρὸς ΜΒ· ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὴν αὐτὴν τῷ τμή‐ ματι, ὕψος δὲ τὴν ΟΜ, ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι. καὶ ἐπεί
20	ἐστιν, ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως ἡ ΟΜ πρὸς ΜΒ, καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΟ, οὕτως ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ, ἀλλ’ ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΠΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΒ, καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΠΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΒ, οὕτως ὁ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΠΜ, πρὸς
25	τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΜΒ, ὡς ἄρα ὁ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΠΜ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΜΒ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς ΜΟ. ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΜΒ, ὕψος δὲ
30	τὴν ΖΜ, ἴσος ἐστὶ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν
30	κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΠΜ, ὕψος δὲ
160	τὴν ΜΟ· ἀντιπεπόνθασιν γὰρ αὐτῶν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν· ὥστε καὶ τῷ τμήματι ἴσος ἐστίν.
3t	Ὡς Διοκλῆς ἐν τῷ Περὶ πυρίων.
4	Γράφει δὲ καὶ ὁ Διοκλῆς ἐν τῷ Περὶ πυρίων προ‐
5	λέγων τάδε· Ἐν τῷ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου Ἀρχιμήδης ἀπ‐ έδειξεν, ὅτι πᾶν τμῆμα σφαίρας ἴσον ἐστὶν κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτὴν τῷ τμήματι, ὕψος δὲ εὐ‐ θεῖάν τινα λόγον ἔχουσαν πρὸς τὴν ἀπὸ τῆς τοῦ τμή‐
10	ματος κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετον, ὃν ἔχει συναμφό‐ τερος ἥ τε ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ ἡ τοῦ ἐναλλὰξ τμήματος κάθετος πρὸς τὴν τοῦ ἐναλλὰξ τμήματος κάθ‐ ετον. οἷον, ἐὰν ᾖ σφαῖρα ἡ ΑΒΓ καὶ τμηθῇ ἐπιπέδῳ τινὶ τῷ περὶ διάμετρον τὴν ΓΔ κύκλῳ, καὶ διαμέτρου
15	οὔσης τῆς ΑΒ, κέντρου δὲ τοῦ Ε, ποιήσωμεν, ὡς συν‐ αμφότερον τὴν ΕΑ, ΖΑ πρὸς ΖΑ, οὕτως τὴν ΗΖ πρὸς ΖΒ, ἔτι τε, ὡς συναμφότερον τὴν ΕΒ, ΒΖ πρὸς ΖΒ, οὕτως τὴν ΘΖ πρὸς ΖΑ, ἀποδέδεικται, ὅτι τὸ μὲν ΓΒΔ τμῆμα τῆς σφαίρας ἴσον ἐστὶ τῷ κώνῳ, οὗ βάσις μέν
20	ἐστιν ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΓΔ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΖΗ, τὸ δὲ ΓΑΔ τμῆμα ἴσον ἐστὶ τῷ κώνῳ, οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ αὐτή, ὕψος δὲ ἡ ΘΖ. προταθέντος οὖν αὐτῷ τοῦ τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐπιπέδῳ τεμεῖν, ὥστε τὰ τμή‐ ματα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν τὸν δοθέντα,
25	κατασκευάσας τὰ εἰρημένα φησί· λόγος ἄρα δοθεὶς καὶ τοῦ κώνου, οὗ βάσις ἐστὶν ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΓΔ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΖΘ, πρὸς τὸν κῶνον, οὗ βάσις μέν
25	ἐστιν ἡ αὐτή, ὕψος δὲ ἡ ΖΗ· καὶ γὰρ καὶ τοῦτο ἀπ‐
162	εδείχθη. οἱ δὲ κῶνοι οἱ ἐπ’ ἴσων βάσεων ὄντες πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη· λόγος ἄρα τῆς ΘΖ πρὸς ΖΗ δοθείς. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΖΑ, οὕτως συν‐ αμφότερος ἡ ΕΒΖ πρὸς τὴν ΖΒ, διελόντι, ὡς ἡ ΘΑ
5	πρὸς ΑΖ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς ΖΒ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καί, ὡς ἡ ΗΒ πρὸς ΖΒ, οὕτως ἡ αὐτὴ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΖΑ. γέγονεν οὖν πρόβλημα τοιοῦτον· θέσει οὔσης εὐθείας τῆς ΑΒ καὶ δύο δοθέντων σημείων τῶν Α, Β καὶ δο‐ θείσης τῆς ΕΒ τεμεῖν τὴν ΑΒ κατὰ τὸ Ζ καὶ προσθεῖναι
10	τὰς ΘΑ, ΒΗ, ὥστε λόγον εἶναι τῆς ΘΖ πρὸς ΖΗ δο‐ θέντα, ἔτι τε εἶναι, ὡς μὲν τὴν ΘΑ πρὸς ΑΖ, οὕτως τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΖΒ, ὡς δὲ τὴν ΗΒ πρὸς ΒΖ, οὕτως τὴν αὐτὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πρὸς ΖΑ. τοῦτο δὲ ἑξῆς δέδεικται· ὁ γὰρ Ἀρχιμήδης μακρότερον
15	αὐτὸ δείξας καὶ οὕτως εἰς πρόβλημα ἕτερον ἀπάγει, ὃ οὐκ ἀποδείκνυσιν ἐν τῷ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου. θέσει δεδομένης εὐθείας τῆς ΑΒ καὶ δύο δοθέντων σημείων τῶν Α, Β καὶ λόγου τοῦ, ὃν ἔχει ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, τεμεῖν τὴν ΑΒ κατὰ τὸ Ε καὶ προσθεῖναι τὰς ΖΑ,
20	ΗΒ, ὥστε εἶναι, ὡς τὴν Γ πρὸς τὴν Δ, οὕτως τὴν ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ, ἔτι τε εἶναι, ὡς τὴν ΖΑ πρὸς ΑΕ, οὕ‐ τως δοθεῖσάν τινα εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΒΕ, ὡς δὲ τὴν ΗΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως τὴν αὐτὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΕΑ.
25	γεγονέτω, καὶ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΘΑΚ, ΛΒΜ, καὶ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴση κείσθω ἑκατέρα τῶν ΑΚ, ΒΜ. ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΚΕ, ΜΕ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Λ, Θ, ἐπεζεύχθω δὲ καὶ ἡ ΚΜ, καὶ διὰ τοῦ Λ παράλληλος ἤχθω τῇ ΑΒ ἡ ΛΝ, διὰ δὲ τοῦ Ε τῇ ΝΚ
30	ἡ ΞΕΟΠ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως
30	ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ· ὑπόκειται γάρ· ὡς δὲ ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ,
164	οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΕ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώ‐ νων, ὡς ἄρα ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΕ· ἴση ἄρα ἡ ΖΑ τῇ ΘΑ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΗ τῇ ΒΛ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς συναμφότερος ἡ ΘΑΕ πρὸς συν‐
5	αμφότερον τὴν ΜΒΕ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΚΑΕ πρὸς συναμφότερον τὴν ΛΒΕ· ἑκάτερος γὰρ τῶν λόγων ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΑΕ πρὸς ΕΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμ‐ φοτέρου τῆς ΘΑΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΛΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΚΑΕ καὶ συναμφοτέρου
10	τῆς ΜΒΕ. κείσθω τῇ ΚΑ ἴση ἑκατέρα τῶν ΑΡ, ΒΣ. [Omitted graphic marker] ἐπεὶ οὖν συναμφότερος μὲν ἡ ΘΑΕ ἴση ἐστὶ τῇ ΖΕ, συναμφότερος δὲ ἡ ΛΒΕ ἴση τῇ ΕΗ, συναμφότερος δὲ ἡ ΚΑΕ ἴση τῇ ΡΕ, συναμφότερος δὲ ἡ ΜΒΕ ἴση τῇ ΣΕ, καὶ ἐδείχθη τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΘΑΕ καὶ συν‐
15	αμφοτέρου τῆς ΛΒΕ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΚΑΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΜΒΕ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΕΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΡΕΣ. διὰ δὴ τοῦτο, ὅταν τὸ Ρ μεταξὺ τῶν Α, Ζ πίπτῃ, τότε τὸ Σ ἐξωτέρω τοῦ Η πεσεῖται, καὶ
15	τὸ ἀνάπαλιν. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, οὕ‐
166	τως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ, ὡς δὲ ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ, ὡς ἄρα ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ. τὸ δὲ ὑπὸ ΖΕΗ ἴσον ἐδείχθη τῷ ὑπὸ ΡΕΣ· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ Γ πρὸς τὴν
5	Δ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΡΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ. κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΕΟ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΟ ἐκβεβλήσθω ἐφ’ ἑκάτερα, καὶ ἀπὸ τῶν Σ, Ρ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσαι αἱ ΣΤ, ΡΥ συμβαλλέτωσαν αὐτῇ κατὰ τὰ Τ, Υ. ἐπεὶ οὖν διὰ δεδομένου τοῦ Β πρὸς θέσει δεδομένην τὴν ΑΒ ἦκται
10	ἡ ΤΥ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΒΟ ἡμί‐ σειαν ὀρθῆς, δέδοται ἡ ΤΥ τῇ θέσει. καὶ ἀπὸ δεδομέ‐ νων τῶν Σ, Ρ θέσει ἠγμέναι αἱ ΣΤ, ΡΥ τέμνουσιν αὐ‐ τὴν κατὰ τὰ Τ, Υ· δοθέντα ἄρα ἐστὶ τὰ Τ, Υ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΤΥ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει. καὶ ἐπεὶ διὰ
15	τὴν τῶν ΕΟΒ, ΣΤΒ τριγώνων ὁμοιότητά ἐστιν, ὡς ἡ ΤΒ πρὸς ΒΟ, οὕτως ἡ ΣΒ πρὸς ΒΕ, καὶ συνθέντι ἐστίν, ὡς ἡ ΤΟ πρὸς ΟΒ, οὕτως ἡ ΣΕ πρὸς ΕΒ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΒΟ πρὸς ΟΥ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΡ· καὶ δι’ ἴσου ἄρα, ὡς ἡ ΤΟ πρὸς ΟΥ, οὕτως ἡ ΣΕ πρὸς ΕΡ. ἀλλ’
20	ὡς ἡ ΤΟ πρὸς ΟΥ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΥ, ὡς δὲ ἡ ΣΕ πρὸς ΕΡ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΣΕΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΡ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΥ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΣΕΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΡ· καὶ ἐναλλάξ, ὡς τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ὑπὸ ΣΕΡ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΟΥ πρὸς
25	τὸ ἀπὸ ΕΡ. τὸ δὲ ἀπὸ ΟΥ τοῦ ἀπὸ ΕΡ διπλάσιον, ἐπει‐ δὴ καὶ τὸ ἀπὸ ΟΒ τοῦ ἀπὸ ΒΕ· καὶ τὸ ὑπὸ ΤΟΥ ἄρα τοῦ ὑπὸ ΣΕΡ ἐστι διπλάσιον. τὸ δὲ ὑπὸ ΣΕΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ ἐδείχθη λόγον ἔχειν, ὃν ἔχει ἡ Γ πρὸς τὴν Δ· καὶ τὸ ὑπὸ ΤΟΥ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ λόγον ἔχει, ὃν ἡ
30	διπλασία τῆς Γ πρὸς τὴν Δ. τὸ δὲ ἀπὸ ΕΗ ἴσον ἐστὶ
30	τῶ ἀπὸ ΞΟ· ἑκατέρα γὰρ τῶν ΕΗ, ΞΟ ἴση ἐστὶ συν‐
168	αμφοτέρῳ τῇ ΛΒΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ λόγον ἔχει, ὃν ἡ διπλασία τῆς Γ πρὸς τὴν Δ. καὶ δέ‐ δοται ὁ τῆς διπλασίας τῆς Γ πρὸς τὴν Δ λόγος· δέδοται ἄρα καὶ ὁ τοῦ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ λόγος. ἐὰν
5	ἄρα ποιήσωμεν, ὡς τὴν Δ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς Γ, οὕτως τὴν ΤΥ πρὸς ἄλλην τινὰ ὡς τὴν Φ, καὶ περὶ τὴν ΤΥ γράψωμεν ἔλλειψιν, ὥστε τὰς καταγομένας ἐν τῇ ὑπὸ ΞΟΒ γωνίᾳ, τουτέστιν ἐν ἡμισείᾳ ὀρθῆς, δύνασθαι τὰ παρὰ τὴν Φ ἐλλείποντα ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΤΥ, Φ, ἥξει
10	διὰ τοῦ Ξ διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ εἰκοστοῦ θεωρήμα‐ τος τοῦ πρώτου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοι‐ χείων. γεγράφθω καὶ ἔστω ὡς ἡ ΥΞΤ· τὸ ἄρα Ξ ση‐ μεῖον ἅπτεται θέσει δεδομένης ἐλλείψεως. καὶ ἐπεὶ δια‐ γώνιός ἐστιν ἡ ΛΚ τοῦ ΝΜ παραλληλογράμμου, ἴσον
15	ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΝΞΠ τῷ ὑπὸ ΑΒΜ. ἐὰν ἄρα διὰ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΘΚΜ γράψωμεν ὑπερβολήν, ἥξει διὰ τοῦ Ξ καὶ ἔσται θέσει δεδομένη διὰ τὸ καὶ τὸ Β σημεῖον τῇ θέσει δεδόσθαι καὶ ἑκατέραν τῶν ΑΒ, ΒΜ καὶ διὰ τοῦτο τὰς ΘΚΜ ἀσυμπτώτους. γεγράφθω καὶ
20	ἔστω ὡς ἡ ΞΒ· τὸ ἄρα Ξ σημεῖον ἅπτεται θέσει δεδο‐ μένης ὑπερβολῆς. ἥπτετο δὲ καὶ θέσει δεδομένης ἐλλεί‐ ψεως· δέδοται ἄρα τὸ Ξ. καὶ ἀπ’ αὐτοῦ κάθετος ἡ ΞΕ· δέδοται ἄρα τὸ Ε. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ, καὶ δέδοται ἡ ΑΕ, δέδοται ἄρα
25	καὶ ἡ ΑΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ δέδοται καὶ ἡ ΗΒ. συντεθήσεται δὲ οὕτως· ὡς γὰρ ἐπὶ τῆς αὐτῆς κατα‐ γραφῆς ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα, ἣν δεῖ τεμεῖν, ἡ ΑΒ, ἡ δὲ δοθεῖσα ἑτέρα ἡ ΑΚ, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς Γ πρὸς τὴν Δ. ἤχθω τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΜ ἴση οὖσα
30	τῇ ΑΚ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΜ, καὶ τῇ μὲν ΚΑ ἴση
30	κείσθω ἡ ΑΡ καὶ ἡ ΒΣ, ἀπὸ δὲ τῶν Ρ, Σ πρὸς ὀρθὰς
170	ἤχθωσαν αἱ ΡΥ, ΣΤ, καὶ πρὸς τῷ Β σημείῳ συνεστάτω ἡμίσεια ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΑΒΟ, καὶ ἐκβληθεῖσα ἡ ΒΟ ἐφ’ ἑκάτερα τεμνέτω τὰς ΣΤ, ΡΥ κατὰ τὰ Τ, Υ, καὶ γεγο‐ νέτω, ὡς ἡ Δ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς Γ, οὕτως ἡ ΤΥ
5	πρὸς τὴν Φ, καὶ περὶ τὴν ΤΥ γεγράφθω ἔλλειψις, ὥστε τὰς καταγομένας ἐν ἡμισείᾳ ὀρθῆς δύνασθαι τὰ παρα‐ κείμενα παρὰ τὴν Φ ἐλλείποντα ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΤΥ, Φ, διὰ δὲ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΑΚ, ΚΜ γεγράφθω ὑπερβολὴ ἡ ΒΞ τέμνουσα τὴν ἔλλειψιν κατὰ τὸ Ξ, καὶ
10	ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΞΕ καὶ ἐκβε‐ βλήσθω ἐπὶ τὸ Π, διὰ δὲ τοῦ Ξ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΞΝ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΚΑ, ΜΒ ἐπὶ τὰ Λ, Θ, καὶ ἡ ΜΕ ἐπιζευχθεῖσα ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπ‐ τέτω τῇ ΚΝ κατὰ τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν ὑπερβολή ἐστιν ἡ
15	ΒΞ, ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΘΚ, ΚΜ, ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΝΞΠ τῷ ὑπὸ ΑΒΜ διὰ τὸ ηʹ θεώρημα τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων, καὶ διὰ τοῦτο εὐθεῖά ἐστιν ἡ ΚΕΛ. κείσθω οὖν τῇ μὲν ΘΑ ἴση ἡ ΑΖ, τῇ δὲ ΛΒ ἴση ἡ ΒΗ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ
20	διπλασία τῆς Γ πρὸς τὴν Δ, οὕτως ἡ Φ πρὸς τὴν ΤΥ, ὡς δὲ ἡ Φ πρὸς τὴν ΤΥ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ διὰ τὸ κʹ θεώρημα τοῦ πρώτου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων, ὡς ἄρα ἡ διπλασία τῆς Γ πρὸς τὴν Δ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ.
25	καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΤΒ πρὸς ΒΟ, οὕτως ἡ ΣΒ πρὸς ΒΕ, καὶ συνθέντι, ὡς ἡ ΤΟ πρὸς ΟΒ, οὕτως ἡ ΣΕ πρὸς ΕΒ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΒΟ πρὸς ΟΥ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΡ· καὶ δι’ ἴσου ἄρα, ὡς ἡ ΤΟ πρὸς ΟΥ, οὕτως ἡ ΣΕ πρὸς ΕΡ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΥ,
30	οὕτως τὸ ὑπὸ ΣΕΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΡ· ἐναλλάξ, ὡς τὸ
30	ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ὑπὸ ΣΕΡ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΟΥ πρὸς
172	τὸ ἀπὸ ΕΡ. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ ΟΥ τοῦ ἀπὸ ΕΡ διπλάσιον διὰ τὸ καὶ τὸ ἀπὸ ΒΟ τοῦ ἀπὸ ΒΕ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΒΕ τῇ ΕΟ ἡμισείας ὀρθῆς οὔσης ἑκατέρας τῶν πρὸς τοῖς Β, Ο· καὶ τὸ ὑπὸ ΤΟΥ ἄρα διπλάσιόν ἐστι τοῦ
5	ὑπὸ ΣΕΡ. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη, ὡς ἡ διπλασία τῆς Γ πρὸς τὴν Δ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ, καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ ἡμίση· ὡς ἄρα ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΡΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ· ἴση γὰρ ἡ ΞΟ τῇ ΕΗ διὰ τὸ ἑκατέραν αὐτῶν ἴσην
10	εἶναι συναμφοτέρῳ τῇ ΛΒΕ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς συν‐ αμφότερος ἡ ΘΑΕ πρὸς συναμφότερον τὴν ΜΒΕ, οὕ‐ τως συναμφότερος ἡ ΚΑΕ πρὸς συναμφότερον τὴν ΛΒΕ· ἑκάτερος γὰρ τῶν λόγων ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΑΕ πρὸς ΕΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΘΑΕ καὶ συν‐
15	αμφοτέρου τῆς ΛΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΚΑΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΜΒΕ. ἀλλὰ συναμφο‐ τέρῳ μὲν τῇ ΘΑΕ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΕ, συναμφοτέρῳ δὲ τῇ ΛΒΕ ἴση ἡ ΕΗ, συναμφοτέρῳ δὲ τῇ ΚΑΕ ἴση ἡ ΡΕ, συναμφοτέρῳ δὲ τῇ ΜΒΕ ἴση ἡ ΕΣ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΕΗ
20	ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΡΕΣ. ἀλλ’ ὡς ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, οὕ‐ τως τὸ ὑπὸ ΡΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ. ἀλλ’ ὡς τὸ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς
25	ΕΗ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΕ, ἴση δὲ ἡ ΘΑ τῇ ΖΑ, ὡς ἄρα ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ. διὰ τὰ αὐτὰ καί, ὡς ἡ ΚΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς ΒΕ. εὐθείας ἄρα δοθείσης τῆς ΑΒ καὶ ἑτέρας τῆς ΑΚ καὶ λόγου τοῦ τῆς Γ πρὸς
30	τὴν Δ εἴληπται ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Ε, καὶ
30	προσετέθησαν εὐθεῖαι αἱ ΖΑ, ΗΒ, καὶ γέγονεν ἐν τῷ
174	δοθέντι λόγῳ ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ, ἔτι τέ ἐστιν, ὡς ἡ δο‐ θεῖσα ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ, ὡς δὲ αὐτὴ ἡ δοθεῖσα ἡ ΚΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς ΒΕ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
5	τούτων δεδειγμένων δυνατόν ἐστι τὴν δοθεῖσαν σφαῖ‐ ραν εἰς τὸν δοθέντα λόγον τεμεῖν οὕτως· ἔστω γὰρ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος, ὃν δεῖ ἔχειν τὰ τμήματα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα, ὁ τῆς Γ πρὸς τὴν Δ· κέντρον δὲ τῆς σφαίρας ἔστω τὸ Ε,
10	καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ σημεῖον τὸ Ζ, καὶ προσκείσθω‐ σαν αἱ ΗΑ, ΘΒ, ὥστε εἶναι, ὡς τὴν Γ πρὸς τὴν Δ, οὕ‐ τως τὴν ΗΖ πρὸς τὴν ΖΘ, ἔτι τε εἶναι, ὡς μὲν τὴν ΗΑ πρὸς ΑΖ, οὕτως δοθεῖσαν τὴν ΕΒ πρὸς ΒΖ, ὡς δὲ τὴν ΘΒ πρὸς ΒΖ, οὕτως τὴν αὐτὴν δοθεῖσαν τὴν ΕΑ
15	πρὸς ΑΖ· τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν ποιεῖν, προδέδεικται· καὶ διὰ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΚΖΛ, καὶ διὰ τῆς ΚΛ ἐπίπεδον ἐκβληθὲν ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΒ τεμνέτω τὴν σφαῖραν. λέγω, ὅτι τὰ τμήματα τῆς σφαί‐ ρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν τῆς Γ πρὸς τὴν Δ.
20	ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ ΗΑ πρὸς ΑΖ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς ΒΖ, καὶ συνθέντι· ὡς ἄρα ἡ ΗΖ πρὸς ΖΑ, οὕ‐ τως συναμφότερος ἡ ΕΒ, ΒΖ πρὸς ΒΖ· ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ, ὕψος δὲ τὴν ΖΗ, ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι τῆς σφαί‐
25	ρας τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ τὴν ΖΑ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΒΖ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς ΑΖ, καὶ συνθέντι ἐστίν, ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΒΖ, οὕ‐ τως συναμφότερος ἡ ΕΑ, ΑΖ πρὸς ΑΖ· ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ κύκλον, ὕψος
30	δὲ τὴν ΖΘ, ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας τῷ βάσιν
30	μὲν ἔχοντι τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ τὴν ΒΖ. ἐπεὶ οὖν οἱ εἰ‐
176	ρημένοι κῶνοι ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντες πρὸς ἀλλή‐ λους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη, τουτέστιν ὡς ἡ ΗΖ πρὸς ΖΘ, τουτέστιν ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, καὶ τὰ τμήματα ἄρα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν δοθέντα· ὅπερ ἔδει
5	ποιῆσαι. Ὡς δὲ δεῖ διὰ τοῦ δοθέντος σημείου περὶ τὰς δοθεί‐ σας ἀσυμπτώτους γράψαι ὑπερβολήν, δείξομεν οὕτως, ἐπειδὴ οὐκ αὐτόθεν κεῖται ἐν τοῖς κωνικοῖς στοιχείοις. ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΓΑ, ΑΒ τυχοῦσαν γωνίαν
10	περιέχουσαι τὴν πρὸς τῷ Α, καὶ δεδόσθω σημεῖόν τι τὸ Δ, καὶ προκείσθω διὰ τοῦ Δ περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΓΑ, ΑΒ γράψαι ὑπερβολήν. ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ καὶ ἐκ‐ βεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ κείσθω τῇ ΔΑ ἴση ἡ ΑΕ, καὶ διὰ τοῦ Δ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΖ, καὶ κείσθω
15	τῇ ΑΖ ἴση ἡ ΖΓ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΔ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Β, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ ΔΕ, Η, καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΑΔ γεγράφθω περὶ αὐτὴν διὰ τοῦ Δ ὑπερβολή, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι τὰ παρὰ τὴν Η ὑπερβάλλοντα ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΔΕ, Η. λέγω, ὅτι
20	τῆς γεγραμμένης ὑπερβολῆς ἀσύμπτωτοί εἰσιν αἱ ΓΑ, ΑΒ. ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΖ τῇ ΒΑ, καὶ ἴση ἡ ΓΖ τῇ ΖΑ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΔΒ· ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ. καί ἐστι τὸ ἀπὸ ΓΒ ἴσον τῷ ὑπὸ ΔΕ, Η· ἑκάτερον ἄρα τῶν ἀπὸ
25	ΓΔ, ΔΒ τέταρτον μέρος ἐστὶ τοῦ ὑπὸ ΔΕ, Η εἴδους. αἱ ἄρα ΓΑ, ΑΒ ἀσύμπτωτοί εἰσι τῆς ὑπερβολῆς διὰ τὸ πρῶτον θεώρημα τοῦ βʹ βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνι‐
25	κῶν στοιχείων.
178 (1t)	Εἰς τὴν σύνθεσιν τοῦ δʹ.
2	Ἐν δὲ τῇ συνθέσει προσεκβάλλων τὴν διάμετρον τῆς σφαίρας τὴν ΔΒ καὶ ἀποθέμενος τῇ ἡμισείᾳ αὐτῆς ἴσην τὴν ΖΒ καὶ τεμὼν αὐτὴν εἰς τὸν δοθέντα λόγον κατὰ
5	τὸ Θ καὶ ἐπὶ τῆς ΔΒ λαβὼν τὸ Χ οὕτως, ὥστε εἶναι, ὡς τὴν ΧΖ πρὸς ΘΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΧ, τὰ αὐτὰ κατασκευάζων τοῖς πρότερόν φησι, ὅτι· γεγονέτω, ὡς συναμφότερος ἡ ΚΔΧ πρὸς ΔΧ, οὕτως ἡ ΡΧ πρὸς ΧΒ, καὶ τίθησιν τὸ Ρ μεταξὺ τῶν
10	Θ, Ζ. ὅτι δὲ τοῦτο οὕτως ἔχει, δεικτέον. ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς συναμφότερος ἡ ΚΔΧ πρὸς ΔΧ, ἡ ΡΧ πρὸς ΧΒ, διε‐ λόντι, ὡς ἡ ΚΔ πρὸς ΔΧ, ἡ ΡΒ πρὸς ΧΒ· ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΚΔ πρὸς ΡΒ, ἡ ΔΧ πρὸς ΒΧ. μείζων δὲ ἡ ΔΧ τῆς
15	ΧΒ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΚΒ τῆς ΒΡ, τουτέστιν ἡ ΖΒ τῆς ΒΡ· ὥστε τὸ Ρ ἐντὸς τοῦ Ζ πεσεῖται. ὅτι δὲ καὶ ἐκτὸς τοῦ Θ, δειχθήσεται ὁμοίως τοῖς ἐν τῇ ἀναλύσει προελθούσης πάσης τῆς συνθέσεως τοῦ θεωρήματος. συνάγεται γάρ, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΡΧ πρὸς ΧΛ, ἡ ΒΘ
20	πρὸς ΘΖ· ὥστε καὶ συνθέντι. καὶ διὰ τοῦτο γίνεται ἀκόλουθος τοῖς ἄνω εἰρημένοις καὶ ἐνταῦθα ἡ δεῖξις. Καὶ δι’ ἴσου ἐν τῇ τεταραγμένῃ ἀναλογίᾳ τεταραγμένην ἀναλογίαν ἐν τοῖς Στοιχείοις ἐμάθομεν τριῶν ὄντων μεγεθῶν καὶ ἄλλων αὐτοῖς ἴσων τὸ πλῆ‐
25	θος, ὅταν ᾖ, ὡς μὲν ἡγούμενον πρὸς ἑπόμενον ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡγούμενον πρὸς ἑπόμενον, ὡς δὲ ἑπόμενον πρὸς ἄλλο τι ἐν τοῖς πρώτοις, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις ἄλλο τι πρὸς ἡγούμενον. κἀνταῦθα οὖν δέδεικται, ὡς μὲν ἡγού‐
30	μενον ἡ ΡΛ πρὸς ἑπόμενον τὴν ΛΔ, οὕτως ἡγούμενον
180	ἡ ΧΖ πρὸς ἑπόμενον τὴν ΖΘ, ὡς δὲ ἑπόμενον ἡ ΔΛ πρὸς ἄλλο τι τὴν ΛΧ, οὕτως ἄλλο τι ἡ ΒΖ πρὸς ἡγού‐ μενον τὴν ΧΖ. ἕπεται ἄρα καὶ δι’ ἴσου, ὡς δέδεικται ἐν τῷ πέμπτῳ τῶν Στοιχείων, ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΧ, οὕ‐
5	τως ἡ ΒΖ πρὸς ΖΘ.
6t	Εἰς τὸ εʹ.
7	Καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΖΗ τμῆμα τῷ ΘΚΛ τμήματι, ὅμοιος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ ΕΖΩ κῶνος τῷ ΨΘΚ κώνῳ νενοήσθωσαν γὰρ χωρὶς κείμεναι αἱ
10	καταγραφαὶ καὶ ἐπεζευγμέναι αἱ ΕΗ, ΗΖ, ΕΟ, ΟΖ, ΘΛ, ΛΚ, ΘΞ, ΞΚ. ἐπεὶ οὖν ὅμοιά ἐστι τὰ ΕΖΗ, ΘΚΛ τμήματα, ἴσαι εἰσὶν καὶ αἱ ὑπὸ ΕΗΖ, ΘΛΚ γω‐ νίαι· ὥστε καὶ αἱ ἡμίσειαι αὐτῶν. καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Φ, Υ· καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ ἐστιν ἴση.
15	ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΗΦΖ τρίγωνον τῷ ΛΥΚ, καί ἐστιν, ὡς ἡ ΗΦ πρὸς ΦΖ, ἡ ΛΥ πρὸς ΥΚ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσογωνίων ὄντων τῶν ΦΖΟ, ΥΚΞ τριγώνων ἐστιν, ὡς [Omitted graphic marker] ἡ ΖΦ πρὸς ΦΟ, ἡ ΚΥ πρὸς ΥΞ·
20	δι’ ἴσου ἄρα, ὡς ἡ ΗΦ πρὸς ΦΟ, ἡ ΛΥ πρὸς ΥΞ. καὶ συνθέντι, ὡς ἡ ΗΟ πρὸς ΟΦ,
25	ἡ ΛΞ πρὸς ΞΥ· καὶ τῶν ἡγου‐ μένων τὰ ἡμίση, ὡς ἡ ΣΟ πρὸς ΟΦ, ἡ ΡΞ πρὸς ΞΥ· καὶ συνθέντι, ὡς συναμφότερος ἡ ΣΟΦ πρὸς ΦΟ, τουτέστιν ἡ ΩΦ πρὸς ΦΗ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΡΞΥ πρὸς ΞΥ,
30	τουτέστιν ἡ ΨΥ πρὸς ΥΛ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΗΦ πρὸς ΦΖ,
182	ἡ ΑΥ πρὸς ΥΚ· καὶ δι’ ἴσου ἄρα, ὡς ἡ ΩΦ πρὸς ΦΖ, ἡ ΨΥ πρὸς ΥΚ· καὶ τῶν ἑπομένων τὰ διπλάσια· ὡς ἄρα ἡ ΩΦ πρὸς ΕΖ, ἡ ΨΥ πρὸς ΘΚ. τῶν ἄρα ΩΕΖ, ΨΘΚ κώνων ἀνάλογόν εἰσιν οἱ ἄξονες καὶ αἱ διάμε‐
5	τροι τῶν βάσεων· ὅμοιοι ἄρα εἰσὶν οἱ κῶνοι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Λόγος δὲ τῆς ΩΦ πρὸς τὴν ΕΖ δοθείς ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὰ τμήματα τῶν σφαιρῶν, δεδομέναι εἰσὶ καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων καὶ τὰ ὕψη τῶν τμημά‐
10	των· ὥστε δέδοται ἡ ΕΖ καὶ ἡ ΗΦ. καὶ ἡ ἡμίσεια ἄρα τῆς ΕΖ ἡ ΕΦ δοθήσεται· ὥστε καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς. καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ ΗΦΟ. ἐὰν δὲ δοθὲν παρὰ δοθεῖσαν παραβληθῇ, πλάτος ποιεῖ δοθεῖσαν· δοθεῖσα ἄρα ἡ ΦΟ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΦΗ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας
15	δοθεῖσά ἐστι, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ ἡμίσεια αὐτῆς δέδο‐ ται ἡ ΣΟ. ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΟΦ· δέδοται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΣΟ πρὸς ΟΦ λόγος. καὶ συνθέντι ὁ συναμφοτέρου τῆς ΣΟΦ πρὸς τὴν ΟΦ λόγος δοθείς ἐστιν, τουτέστι τῆς ΩΦ πρὸς ΦΗ. καὶ δέδοται ἡ ΦΗ· δέδοται ἄρα καὶ ἡ
20	ΩΦ. ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΕΖ· δέδοται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΩΦ πρὸς ΕΖ λόγος. τὰ αὐτὰ δὲ ἂν ῥηθείη καὶ ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ τμήματος, καὶ συναχθήσεται ὁ τῆς ΧΤ πρὸς ΑΒ λόγος δοθείς· καὶ διὰ τὸ δοθεῖσαν εἶναι τὴν ΑΒ δοθεῖσα ἔσται καὶ
25	ἡ ΧΤ. ὅτι δέ, ἂν τὰ τμήματα δεδομένα ᾖ, καὶ τὰ ὕψη αὐτῶν δοθήσονται, πρόδηλον μέν, ἵνα δὲ καὶ τοῦτο ἀκολούθως τῇ στοιχειώσει τῶν Δεδομένων δοκῇ συνάγεσθαι, λεχ‐ θήσεται.
30	ἐπειδὴ δέδοται τὰ τμήματα τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει,
30	δέδοται καὶ ἡ ΕΖ καὶ ἡ ἐν τῷ τμήματι γωνία· ὥστε
184	καὶ ἡ ἡμίσεια αὐτῆς. καὶ ἐὰν νοήσωμεν ἐπιζευγνυμένην τὴν ΕΗ, δεδομένης τῆς πρὸς τῷ Φ ὀρθῆς δεδομένη ἔσται καὶ ἡ λοιπὴ καὶ τὸ ΕΗΦ τρίγωνον τῷ εἴδει· ὥστε καὶ ὁ τῆς ΕΦ πρὸς ΦΗ λόγος δοθεὶς ἔσται. καὶ
5	δέδοται ἡ ΕΦ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΕΖ· δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΦΗ. ἔνεστι δὲ καὶ ἄλλως λέγειν. ἐπειδὴ δέδοται ἡ ΕΖ τῇ θέσει, καὶ ἀπὸ δεδομένου τοῦ Φ· διχοτομία γάρ ἐστι τῆς ΕΖ· πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΦΗ τῇ θέσει, δέδοται δὲ
10	καὶ ἡ περιφέρεια τοῦ τμήματος τῇ θέσει, δέδοται ἄρα τὸ Η. ἦν δὲ καὶ τὸ Φ δεδομένον· δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΦΗ. Ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς Δ ἐπεὶ γὰρ γέγονεν, ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΘΚ, ἡ ΧΤ πρὸς
15	Δ, ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ, ἡ ΚΘ πρὸς Δ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ, τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ· ἴσων γὰρ ὄντων τῶν κώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ὡς δὲ αἱ βάσεις πρὸς ἀλλήλας, οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς
20	τὸ ἀπὸ ΘΚ, ἡ ΘΚ πρὸς τὴν Δ. Καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΘΚ, ἡ ϛ πρὸς Δ ἐπειδὴ τῷ λόγῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ ὁ αὐτὸς ἐδείχθη ὁ τῆς ΒΑ πρὸς ϛ καὶ ὁ τῆς ΚΘ πρὸς Δ, καὶ ὁ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς ϛ ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΚΘ πρὸς
25	Δ· ὥστε ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΘΚ, ἡ ϛ πρὸς Δ.
26t	Εἰς τὴν σύνθεσιν τοῦ εʹ.
27	Ἐπειδὴ ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΒ, ΘΚ, ϛ, Δ, ἔστιν,
27	ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ, ἡ ΘΚ πρὸς Δ
186	καθόλου γάρ, ἐὰν ὦσιν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον, ἔσται, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας, ἡ δευτέρα πρὸς τὴν τετάρτην. ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν δευτέραν, ἡ τρίτη πρὸς τὴν τετάρτην, ἐναλ‐
5	λάξ, ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, ἡ δευτέρα πρὸς τὴν τετάρτην. ἀλλ’ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας, ἡ δευ‐ τέρα πρὸς τὴν τετάρτην.
10t	Εἰς τὸ ϛʹ.
11	Ἐπεὶ δὲ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΚΛΜ τῷ ΑΒΓ τμή‐ ματι, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΡΝ, ἡ ΒΠ πρὸς ΠΘ ἐὰν γὰρ ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΜΝ, ΓΘ, ἐπεὶ ὅμοιά εἰσιν τὰ τμήματα, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β, Λ γω‐
15	νίαι. εἰσὶν δὲ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Μ, Γ ὀρθαί· καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ, καὶ ἰσογώνια τὰ τρίγωνα, καί ἐστιν, ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΘΓ, οὕτως ἡ ΛΝ πρὸς ΝΜ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΘΓ πρὸς ΘΠ, οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς ΝΡ διὰ τὴν ὁμοιό‐ τητα τῶν ΓΘΠ, ΜΝΡ τριγώνων· καὶ δι’ ἴσου ἄρα,
20	ὡς ἡ ΒΘ πρὸς ΘΠ, ἡ ΛΝ πρὸς ΝΡ· ὥστε καὶ διελόν‐ τι, ὡς ἡ ΒΠ πρὸς ΠΘ, οὕτως ἡ ΛΡ πρὸς ΡΝ. Λόγος δὲ τῆς ΕΖ πρὸς ΒΓ δοθείς· δοθεῖσα γὰρ ἑκατέρα ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὰ τμήματα τῶν σφαι‐ ρῶν, δεδομέναι εἰσὶ καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων καὶ
25	τὰ ὕψη τῶν τμημάτων· ὥστε, ἐπεὶ δέδοται ἡ ΑΓ, δέ‐ δοται καὶ ἡ ἡμίσεια αὐτῆς ἡ ΓΠ. δέδοται δὲ καὶ ἡ ΒΠ, καὶ ὀρθὴν γωνίαν περιέχουσιν· δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΒΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΕΖ δοθεῖσά ἐστιν· ὥστε καὶ ὁ
25	τῆς ΒΓ πρὸς ΕΖ λόγος δοθείς ἐστιν.
188 (1t)	Εἰς τὴν σύνθεσιν τοῦ ϛʹ.
2	Ὅμοια ἄρα ἐστὶ τὰ ἐπὶ τῶν ΚΜ, ΑΓ τμήματα κύκλων ἐὰν γάρ, ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει, ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΓΘ, ΜΝ, ἐπεὶ ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Γ, Μ, καὶ
5	κάθετοι αἱ ΓΠ, ΜΡ, μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν τῶν τῆς βάσεως τμημάτων· ὥστε ἐστίν, ὡς ἡ πρώτη ἡ ΒΠ πρὸς τὴν τρίτην τὴν ΠΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης τῆς ΠΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τῆς ΠΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καί, ὡς ἡ ΛΡ πρὸς ΡΝ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΡΜ.
10	καί ἐστιν, ὡς ἡ ΒΠ πρὸς ΠΘ, ἡ ΡΛ πρὸς ΡΝ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΡΜ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΠΒ πρὸς ΠΓ, ἡ ΛΡ πρὸς ΡΜ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ἰσογώνια ἄρα τὰ τρίγωνα. ἴσαι ἄρα αἱ πρὸς τοῖς
15	Β, Λ γωνίαι καὶ αἱ διπλασίους αὐτῶν αἱ ἐν τοῖς τμή‐ μασιν· ὅμοια ἄρα εἰσὶν τὰ τμήματα.
17t	Εἰς τὸ ζʹ.
18	Λόγος ἄρα δεδομένος συναμφοτέρου τῆς ΕΔΖ πρὸς ΔΖ· ὥστε καὶ ἡ ΑΓ ἐπεὶ γὰρ συναμφότερος ἡ
20	ΕΔ, ΔΖ πρὸς ΔΖ λόγον ἔχει δεδομένον, ἐὰν δεδομέ‐ νον μέγεθος πρός τι μόριον ἑαυτοῦ λόγον ἔχει δεδομέ‐ νον, καὶ πρὸς τὸ λοιπὸν λόγον ἕξει δεδομένον· ὥστε συναμφότερος ἡ ΕΔΖ πρὸς ΕΔ λόγον ἔχει δεδομένον. ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν ΕΔ, ΔΖ πρὸς συναμφότερον τὴν
25	ΕΔΖ λόγον ἔχει δεδομένον, καὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχουσι δεδομένον· δέδοται ἄρα ὁ τῆς ΕΔ πρὸς ΔΖ λό‐ γος. καὶ δέδοται ἡ ΕΔ· δέδοται γὰρ ἡ διάμετρος· δέδο‐ ται ἄρα καὶ ἡ ΔΖ. λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΒ δοθήσεται· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ ΔΖΒ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΖ, τουτέστιν ἡ
30	ΑΖ δοθεῖσα ἔσται· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΓ.
190	καὶ ἄλλως δὲ λέγοις ἄν, ὅτι ἡ ΑΓ δοθεῖσά ἐστιν. ἐπεὶ γὰρ δέδοται ἡ διάμετρος ἡ ΔΒ τῇ θέσει, δέδοται δὲ καὶ τὸ Ζ, ὡς ᾔτηται, καὶ ἀπὸ δεδομένου τοῦ Ζ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΑΓ, δέδοται ἡ ΑΓ τῇ θέσει. ἀλλὰ καὶ
5	ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια· δοθέντα ἄρα τὰ Α, Γ, καὶ αὐτὴ ἡ ΑΖΓ δοθεῖσά ἐστιν. Καὶ ἐπεὶ συναμφότερος μὲν ἡ ΕΔΖ πρὸς ΔΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ ΕΔΒ πρὸς ΔΒ ἐπεὶ γὰρ ἡ ΕΔ μείζων ἢ ἡμίσειά ἐστι τῆς
10	ΔΖ, συναμφότερος ἄρα ἡ ΕΔΖ τῆς ΔΖ μείζων ἐστὶν ἢ ἡμιολία. συναμφότερος δὲ ἡ ΕΔ, ΔΒ τῆς ΔΒ ἡμιολία· μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ἡ ΕΔΖ πρὸς ΔΖ ἤπερ ἡ ΕΔΒ πρὸς ΔΒ. ἢ καὶ ἄλλως. ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΔΒ τῆς ΔΖ, ἄλλη
15	δέ τις ἡ ΕΔ, ἡ ΕΔ ἄρα πρὸς ΔΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΔ πρὸς ΔΒ· συνθέντι συναμφότερος ἡ ΕΔΖ πρὸς ΔΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ ΕΔΒ πρὸς ΔΒ. ἡ σύνθεσις τοῦ θεωρήματος σαφὴς διὰ τῶν ἐνταῦθα
20	εἰρημένων.
21t	Εἰς τὸ ηʹ.
22	Ἡ ΘΖ πρὸς ΖΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ διπλα‐ σίονα τοῦ, ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ, τουτέστιν ἡ ΒΖ πρὸς ΖΔ ἐπεὶ γὰρ ἐν ὀρθογωνίῳ
25	τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς κάθετος ἦκται ἡ ΑΖ, τῶν πρὸς τῇ καθέτῳ τριγώνων ὁμοίων ὄντων ἐστίν, ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΒΑ, ἡ ΑΒ πρὸς ΒΔ. καὶ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευ‐ τέρας καὶ τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τρίτης,
30	ὡς ἀνωτέρω δέδεικται· ὡς ἄρα ἡ ΖΒ πρὸς ΒΔ, τὸ ἀπὸ
192	ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΒΔ πρὸς ΔΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ· ὡς γὰρ ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας· καὶ δι’ ἴσου ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ
5	ΔΑ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ΖΔ. συναχθείη δ’ ἂν τὸ αὐτὸ καὶ ἄλλως οὕτως· ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ ΒΖ πρὸς ΖΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔΖ τῆς ΒΔ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης, καί ἐστι τῷ μὲν ὑπὸ ΔΒΖ ἴσον τὸ ἀπὸ ΒΑ, τῷ δὲ ὑπὸ
10	ΒΔΖ ἴσον τὸ ἀπὸ ΔΑ, ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ΑΔ. [Omitted graphic marker] Καὶ ἐπεὶ ἡ ΘΖ πρὸς ΖΚ ἐλάσσονα λό‐ γον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ καθόλου γάρ, ἐὰν ὦσιν δύο μεγέθη ἄνισα, καὶ προστεθῇ αὐτοῖς
15	ἴσα, τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλασσον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ συντεθὲν πρὸς τὸ συντεθέν. ἔστωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΒ, ΓΔ, καὶ προσκείσθωσαν αὐταῖς ἴσαι αἱ ΒΕ, ΔΖ. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ πρὸς ΓΔ μείζονα λόγον ἔχει
20	ἤπερ ἡ ΑΕ πρὸς ΓΖ. ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς [Omitted graphic marker] ΒΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΒΕ, τουτέστι πρὸς ΔΖ· ὥστε καὶ συνθέντι ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ
25	ΓΖ πρὸς ΔΖ διὰ τὰ προδεδειγμένα. Ἔλασσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΘΖΗ τοῦ ἀπὸ ΖΚ ἐὰν γὰρ ὦσι τρεῖς εὐθεῖαι συνεχεῖς ὡς αἱ Α, Β, Γ, ὥστε τὴν Α πρὸς τὴν Β ἐλάσ‐ σονα λόγον ἔχειν ἤπερ τὴν Β πρὸς τὴν Γ, τὸ
30	ὑπὸ τῶν ἄκρων τῶν Α, Γ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς
30	μέσης τῆς Β. ἐὰν γὰρ ποιήσωμεν, ὡς τὴν Α πρὸς τὴν
194	Β, τὴν Β πρὸς ἄλλην τινά, ἔσται πρὸς μείζονα τῆς Γ, εἴπερ δεῖ ἐλαττῶσαι τὸν τῆς Β πρὸς Γ λόγον. καὶ ἔσται τὸ ὑπὸ τῆς Α καὶ τῆς μείζονος τῆς Γ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς Β· ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς Β.
5	Τὸ ἄρα ὑπὸ ΘΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΚΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ ὡς γὰρ ἡ ΘΖ πρὸς ΖΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ, τὸ δὲ ὑπὸ ΘΖΗ τοῦ ἀπὸ ΖΚ ἔλασσον· τὸ δὲ μεῖ‐ ζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλασσον.
10	Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΔ, ἔλασσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΖΔ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΕΔ τὸ μὲν γὰρ ὑπὸ ΒΕΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΔ, τὸ δὲ ὑπὸ ΒΖΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ αὐτῷ. καὶ δῆλον, ὅτι, ὅσῳ τῆς διχοτομίας ἀφέστηκεν τὸ Ζ μείζονι, ἔλασσόν ἐστι τοῦ
15	ὑπὸ τῶν ἴσων· μετὰ γὰρ μείζονος τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν ἴσον γίνεται τῷ ὑπὸ τῶν ἴσων. ὥστε ἡ εὐ‐ θεῖα κἂν εἰς ἄνισα τέμνηται κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον, τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῶν ἔγγιον τῆς διχοτομίας μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ἀπωτέρων τμημάτων.
20	[Omitted graphic marker] Ἡ ΖΒ ἄρα πρὸς ΒΕ ἐλάσσονα λό‐ γον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΔ πρὸς ΔΖ καθό‐ λου γάρ, ἐὰν τέσσαρες ὅροι ὦσιν, ὡς οἱ Α, Β, Γ, ΔΕ, καὶ ᾖ τὸ ὑπὸ τῶν Α, ΔΕ ἔλασ‐ σον τοῦ ὑπὸ Β, Γ, ὁ Α πρὸς τὸν Β ἐλάσ‐
25	σονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς ΔΕ. ἔστω γὰρ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Α, ΖΕ· ἔστιν ἄρα, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν
25	Β, ὁ Γ πρὸς τὸν ΖΕ. ὁ δὲ Γ πρὸς τὸν ΖΕ ἐλάσσονα
196	λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸν ΕΔ· καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς ΔΕ. Ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ, τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ ἐπεὶ γὰρ τῷ ὑπὸ ΘΒΚ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ
5	ΒΝ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν, ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΒΝ, ἡ ΝΒ πρὸς ΒΚ· καὶ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρί‐ την, ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τρίτης, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ, ὡς δέδεικται ἀνωτέρω. πάλιν, ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΘΒ
10	πρὸς ΒΝ, ἡ ΝΒ πρὸς ΒΚ, συνθέντι, ὡς ἡ ΘΝ πρὸς ΝΒ, ἡ ΚΝ πρὸς ΚΒ· ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΘΝ πρὸς ΝΚ, ἡ ΝΒ πρὸς ΒΚ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΝΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ ΝΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ, οὕτως ἐδείχθη ἡ ΘΒ πρὸς
15	ΒΚ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ. Τὸ δὲ ἀπὸ ΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ πάλιν γὰρ δύο ἀνίσοις ταῖς ΘΖ, ΖΚ πρόσκειται ἡ ΝΖ, καὶ διὰ
20	τὸ ἀνωτέρω εἰρημένον ἡ ΘΖ πρὸς ΖΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΝ πρὸς ΝΚ· ὥστε καὶ τὰ διπλάσια. τὸ ἄρα ἀπὸ ΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ, τουτέστιν ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ, τουτέστιν ἡ ΘΒ πρὸς ΒΕ, τουτέστιν ἡ ΚΖ πρὸς ΖΗ.
25	Ἡ ἄρα ΘΖ πρὸς ΖΗ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ἡμιό‐ λιον τοῦ τῆς ΚΖ πρὸς ΖΗ νοείθωσαν γὰρ χωρὶς κείμεναι εὐθεῖαι, ὡς αἱ ΑΒ, Γ, Δ, ὥστε τὸ ἀπὸ ΑΒ
25	πρὸς τὸ ἀπὸ Γ μείζονα λόγον ἔχειν ἤπερ τὴν Γ πρὸς
198	τὴν Δ. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ πρὸς Δ μείζονα ἢ ἡμιόλιον λό‐ γον ἔχει τοῦ, ὃν ἔχει ἡ Γ πρὸς τὴν Δ. εἰλήφθω γὰρ τῶν Γ, Δ μέση ἀνάλογον ἡ Ε. ἐπεὶ οὖν [Omitted graphic marker] τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ μείζονα λόγον
5	ἔχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, ἀλλ’ ὁ μὲν τοῦ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ λόγος διπλασίων ἐστὶ τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς Γ, ὁ δὲ τῆς Γ πρὸς τὴν Δ διπλασίων ἐστὶ τοῦ τῆς Γ πρὸς Ε, καὶ ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς Γ μείζονα λόγον ἔχει
10	ἤπερ ἡ Γ πρὸς Ε. γεγονέτω οὖν, ὡς ἡ Ε πρὸς τὴν Γ, ἡ Γ πρὸς ΒΖ. καὶ ἐπεὶ τέσσα‐ ρες εὐθεῖαι ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΒΖ, Γ, Ε, Δ, ἡ ΒΖ ἄρα πρὸς Δ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΖ πρὸς Γ, τουτέστιν ἡ Γ πρὸς Ε. ἔχει δὲ καὶ ἡ Γ
15	πρὸς Δ διπλασίονα λόγον τοῦ τῆς Γ πρὸς Ε· ἡ ἄρα ΒΖ πρὸς Δ ἡμιόλιον λόγον ἔχει τοῦ, ὃν ἔχει ἡ Γ πρὸς Δ· ὥστε ἡ ΑΒ πρὸς Δ μείζονα ἢ ἡμιόλιον λόγον ἔχει τοῦ τῆς Γ πρὸς Δ.
19t	Λῆμμα εἰς τὸ ἑξῆς.
20	Ἔστωσαν τέσσαρες ὅροι οἱ Α, Γ, Δ, Β. λέγω, ὅτι ὁ συγ‐ κείμενος λόγος ἐκ τοῦ τοῦ ὑπὸ τῶν Α, Β πρὸς τὸ ἀπὸ Γ μετὰ τοῦ τῆς Β πρὸς Δ λόγου ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ὑπὸ Α, Β ἐπὶ τὴν Β πρὸς τὸ ἀπὸ Γ ἐπὶ τὴν Δ. ἔστω γὰρ τῷ μὲν ὑπὸ Α, Β ἴσος ὁ Κ, τῷ δὲ ἀπὸ Γ
25	ἴσος ὁ Λ, καὶ γεγονέτω, ὡς ὁ Β πρὸς Δ, οὕτως ὁ Λ πρὸς Μ· ὁ ἄρα τοῦ Κ πρὸς Μ λόγος σύγκειται ἐκ τοῦ τοῦ Κ πρὸς Λ, τουτέστι τοῦ ὑπὸ Α, Β πρὸς τὸ ἀπὸ Γ, καὶ τοῦ Λ πρὸς Μ, τουτέστι τοῦ Β πρὸς Δ. ὁ δὴ Κ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Ν ποιείτω, ὁ δὲ Λ τὸν Β πολλα‐
30	πλασιάσας τὸν Ξ ποιείτω, τὸν δὲ Δ πολλαπλασιάσας τὸν
200	Ο. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β ὁ Κ ἐστιν, ὁ δὲ Κ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Ν πεποίηκεν, ὁ ἄρα Ν ἐστιν ὁ ὑπὸ Α, Β ἐπὶ τὸν Β. πάλιν, ἐπεὶ τὸ ἀπὸ Γ ὁ Λ ἐστιν, ὁ δὲ Λ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ο πεποίηκεν ὁ Ο ἄρα
5	ἐστὶν ὁ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸν Δ· ὥστε ὁ τοῦ ὑπὸ Α, Β ἐπὶ τὸν Β πρὸς τὸ ἀπὸ Γ ἐπὶ τὸν Δ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ Ν πρὸς Ο. δεῖ ἄρα δεῖξαι, ὅτι ὁ τοῦ Κ πρὸς Μ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ Ν πρὸς Ο. ἐπεὶ οὖν ἑκάτερος τῶν Κ, Λ τὸν Β πολλαπλασιάσας
10	ἑκάτερον τῶν Ν, Ξ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα, ὡς ὁ Κ πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὁ Ν πρὸς Ξ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Λ ἑκάτερον τῶν Β, Δ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ξ, Ο πεποί‐ ηκεν, ἔστιν ἄρα, ὡς ὁ Β πρὸς Δ, ὁ Ξ πρὸς Ο. ἀλλ’ ὡς ὁ Β πρὸς Δ, ὁ Λ πρὸς τὸν Μ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Λ πρὸς
15	Μ, ὁ Ξ πρὸς Ο. οἱ ἄρα Κ, Λ, Μ τοῖς Ν, Ξ, Ο ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν σύνδυο λαμβανόμενοι· καὶ δι’ ἴσου ἄρα ἐστίν, ὡς ὁ Κ πρὸς Μ, οὕτως ὁ Ν πρὸς Ο. καί ἐστιν ὁ τοῦ Κ πρὸς Μ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ συγκειμένῳ ἐκ τοῦ τοῦ ὑπὸ Α, Β πρὸς τὸν ἀπὸ Γ καὶ τοῦ, ὃν ἔχει ὁ Β
20	πρὸς Δ, ὁ δὲ τοῦ Ν πρὸς Ο λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ὑπὸ Α, Β ἐπὶ τὸν Β πρὸς τὸν ἀπὸ Γ ἐπὶ τὸν Δ· ὁ ἄρα συγκείμενος λόγος ἐκ τοῦ τοῦ ὑπὸ Α, Β πρὸς τὸν ἀπὸ Γ καὶ τοῦ, ὃν ἔχει ὁ Β πρὸς Δ, ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ὑπὸ Α, Β ἐπὶ τὸν Β πρὸς τὸν ἀπὸ Γ ἐπὶ τὸν Δ.
25	φανερὸν δὲ καί, ὅτι τὸ ὑπὸ Α, Β ἐπὶ τὸν Β ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸν Α. ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως τὸ ὑπὸ Α, Β πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ Β τοῦ Β κοινοῦ ὕψους λαμβανομένου, ἐὰν δὲ τέσσαρες ὅροι ἀνά‐ λογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν
30	μέσων, ὁ ἄρα ὑπὸ Α, Β ἐπὶ τὸν Β ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ
30	Β ἐπὶ τὸν Α.
202 (1t)	Εἰς τὸ ἄλλως τοῦ ηʹ.
2	Εἴρηται ἐν τοῖς προλαβοῦσιν, ὡς, ἐὰν δύο μεγεθῶν ληφθῇ τι μέσον, ὁ τῶν ἄκρων λόγος σύγκειται ἐκ τοῦ, ὃν ἔχει τὸ πρῶτον πρὸς τὸ μέσον, καὶ τὸ μέσον πρὸς
5	τὸ τρίτον. ὁμοίως δὴ κἂν πλείονα μέσα ληφθῇ, ὁ τῶν ἄκρων λόγος σύγκειται ἐκ τῶν λόγων, ὧν ἔχουσι πάντα κατὰ τὸ ἑξῆς πρὸς ἄλληλα τὰ μεγέθη. καὶ ἐνταῦθα οὖν φησιν, ὅτι· ὁ τοῦ ΒΑΔ τμήματος πρὸς τὸ ΒΓΔ τμῆμα λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει τὸ ΒΑΔ
10	τμῆμα πρὸς τὸν κῶνον, οὗ βάσις μέν ἐστιν ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Α ση‐ μεῖον, καὶ ὁ αὐτὸς κῶνος πρὸς κῶνον τὸν βάσιν μὲν ἔχοντα τὴν αὐτήν, κορυφὴν δὲ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ὁ εἰρημένος κῶνος πρὸς τὸ ΒΓΔ τμῆμα, δη‐
15	λαδὴ τοῦ ΔΑΒ τμήματος καὶ τοῦ ΒΓΔ μέσων λαμβα‐ νομένων τῶν εἰρημένων κώνων. Ἀλλ’ ὁ μὲν τοῦ ΒΑΔ τμήματος πρὸς τὸν ΒΑΔ κῶνον ὁ τῆς ΗΘ ἐστι πρὸς ΘΓ. διὰ τὸ πόρισμα τοῦ δευτέρου θεωρήματος τοῦ δευτέρου βιβλίου· ἐλέγετο γὰρ
20	τὸ τμῆμα πρὸς τὸν ἐν ἑαυτῷ κῶνον τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερος ἥ τε ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ τῆς σφαίρας καὶ τὸ ὕψος τοῦ λοιποῦ τμήματος πρὸς τὸ ὕψος τοῦ λοιποῦ τμήματος. Ὁ δὲ τοῦ ΒΑΔ κώνου πρὸς τὸν ΒΓΔ κῶνον ὁ
25	τῆς ΑΘ ἐστι πρὸς ΘΓ ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄν‐ τες πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη. Ὁ δὲ τοῦ ΒΓΔ κώνου πρὸς τὸ ΒΓΔ τμῆμα ὁ τῆς ΑΘ ἐστι πρὸς ΘΖ διὰ τὸ ἀνάπαλιν τοῦ εἰρημέ‐
25	νου πορίσματος.
204	ὥστε ὁ τοῦ ΒΑΔ τμήματος πρὸς τὸ ΒΓΔ τμῆμα λό‐ γος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΗΘ πρὸς ΘΓ καὶ τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΓ καὶ τοῦ τῆς αΘ πρὸς ΘΖ. ὁ δὲ συγκεί‐ μενος λόγος ἔκ τε τοῦ τῆς ΗΘ πρὸς ΘΓ μετὰ τοῦ
5	τῆς ΑΘ πρὸς ΘΓ, ὁ τοῦ ὑπὸ ΗΘΑ ἐστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΓ· τὰ γὰρ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν. ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΗΘΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ μετὰ τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΖ ὁ τοῦ ὑπὸ ΗΘΑ ἐστιν ἐπὶ τὴν ΘΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ
10	τὴν ΘΖ ὡς δέδεικται ἐν τῷ προληφθέντι λήμματι. ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΗΘΑ ἐπὶ τὴν ΘΑ ὁ αὐτός ἐστι τῷ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ· καὶ τοῦτο γὰρ συναποδέδεικται ἐν τῷ προληφθέντι· ὁ ἄρα τοῦ τμήματος πρὸς τὸ τμῆμα λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς
15	τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ. ἐπεὶ οὖν δεῖ δεῖξαι, ὅτι τὸ τμῆμα πρὸς τὸ τμῆμα ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ διπλασίονα τοῦ τῆς ἐπιφανείας πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν λόγου, δεῖ ἄρα δεῖξαι, ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ ἐλάσσονα ἢ διπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ, ὃν
20	ἔχει ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ΒΑΔ τμήματος πρὸς τὴν ἐπιφά‐ νειαν τοῦ ΒΓΔ, τουτέστι τοῦ, ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ, οὕ‐ τως ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ· δέδεικται γὰρ τοῦτο ἐν τοῖς προ‐ λαβοῦσιν θεωρήμασιν; δεῖ ἄρα δεῖξαι, ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΘ
25	ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ ἐλάσ‐ σονα ἢ διπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΓ. ἀλλὰ τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΓ λόγου διπλάσιός ἐστιν ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΓ· ὅτι ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ ἐλάσσονα
30	λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΓ. ἀλλ’ ὡς
30	τὸ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΓ, τῆς ΘΗ κοινοῦ ὕψους
206	λαμβανομένης οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ· χρὴ ἄρα δειχθῆναι, ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ αὐτὸ τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ
5	τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ. πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο μεῖζόν ἐστι· δεῖ ἄρα δεῖξαι, ὅτι τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΖΘ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ, τουτέστιν ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΖΘ τῆς ΘΗ. ἔστι δὲ τοῦτο φανερόν; ἀνίσοις γὰρ
10	ταῖς ΑΘ, ΘΓ ἴσαι πρόσκεινται αἱ ΖΑ, ΓΗ. ταῦτα εἰπὼν αὐτὸς μὲν οὐκ ἐπήγαγεν τὴν σύνθεσιν, ἡμεῖς δὲ αὐτὴν προσθήσομεν. ἐπεὶ ἡ ΖΘ τῆς ΘΗ μείζων ἐστίν, τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ· ὥστε τὸ ἀπὸ
15	ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ ἐλάσ‐ σονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ αὐτὸ τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ, τὸ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ
20	ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ ἐλάσσονα λόγον ἔχει τοῦ, ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΓ. ἀλλ’ ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΓ λόγος διπλάσιός ἐστι τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ ἐλάσσονα ἢ διπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ τῆς ΑΘ
25	πρὸς ΘΓ. ἀλλ’ ὁ μὲν τῶν τμημάτων λόγος ὁ αὐτὸς ἐδείχθη τῷ, ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴ ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ, ὁ δὲ τῶν ἐπιφανειῶν τῷ, ὃν ἔχει ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ· τὸ ἄρα τμῆμα πρὸς τὸ τμῆμα ἐλάσσονα ἢ διπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ τῆς ἐπιφανείας πρὸς τὴν
30	ἐπιφάνειαν λόγου.
30	ἑξῆς δὲ ἀναλύων τὸ ἕτερον μέρος τοῦ θεωρήματος
207	ἐπάγει· φημὶ δή, ὅτι τὸ μεῖζον τμῆμα πρὸς τὸ ἔλασσον μείζονα λόγον ἔχει ἢ ἡμιόλιον τοῦ τῆς
207	ἐπιφανείας πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν λόγου. ἀλλ’ ὁ
208	μὲν τῶν τμημάτων ἐδείχθη ὁ αὐτὸς τῷ, ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ, τοῦ δὲ τῆς ἐπιφανείας πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν λόγου ἡμιόλιός ἐστιν ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΒ κύβου πρὸς
5	τὸν ἀπὸ τῆς ΒΓ κύβον τοῦ γὰρ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΓ διπλάσιος μέν ἐστιν ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΒ τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ τετράγωνον, τριπλάσιος δὲ ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΒΓ κύβον. ἀλλ’ ὡς ὁ ἀπὸ τῆς ΑΒ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΒΓ κύβον, οὕτως ὁ
10	ἀπὸ ΑΘ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΘΒ κύβον· ὡς γὰ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς ΘΒ διὰ τὴν ὁμοιό‐ τητα τῶν ΑΒΓ, ΑΒΘ τριγώνων, ἐὰν δὲ ὦσιν τέσσα‐ ρες εὐθεῖαι ἀνάλογον, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν στερεὰ τὰ ὅμοια καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογόν εἰσιν· ὥστε ὁ ἀπὸ
15	τῆς ΑΘ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΘΒ κύβον ἡμιόλιον λόγον ἔχει τοῦ, ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ ΑΒ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ τετράγωνον, τουτέστιν ἡ ἐπιφάνεια πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν. ἀλλ’ ὡς τὸ τμῆμα πρὸς τὸ τμῆμα, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ.
20	φημὶ οὖν, ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ἀπὸ τῆς ΑΘ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΘΒ κύβον, τουτέστιν ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ καὶ ὁ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΒ· ὁ γὰρ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ
25	ΘΒ διπλασίων τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΒ προσλαβὼν τὸν τῆς ΑΘ πρὸς ΘΒ ὁ αὐτὸς γίνεται τῷ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΘ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ ΘΒ κύβον· ἑκάτερον γὰρ τοῦ αὐ‐ τοῦ ἐστι τριπλάσιος. ὁ δὲ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ προσλαβὼν
30	τὸν τῆς ΑΘ πρὸς ΘΒ ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΘ ἐστι πρὸς τὸ
30	ὑπὸ ΓΘΒ. ἐπεὶ γὰρ ὁ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΒ λόγος ὁ αὐ‐
209	τός ἐστι τῷ τῆς ΘΒ πρὸς ΘΓ τῆς ΒΘ μέσης ἀνάλογον ὑπαρχούσης, ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ μετὰ τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΒ ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς
209	τὸ ἀπὸ ΘΒ μετὰ τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς ΘΓ. ἀλλ’ ὁ τῆς
210	ΒΘ πρὸς ΘΓ ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ ΒΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΘΓ τῆς ΒΘ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης· ὥστε ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ λόγος μετὰ τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΒ ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ μετὰ
5	τοῦ τοῦ ἀπὸ ΒΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ. ἀλλ’ ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΘΓ λόγος ὁ συγκείμενός ἐστιν ἐκ τοῦ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ καὶ τοῦ ἀπὸ ΒΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΘΓ τοῦ ἀπὸ ΒΘ μέσου λαμβανομένου· ὥστε ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ λόγος μετὰ τοῦ τῆς
10	ΑΘ πρὸς ΘΒ ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΘΓ. ὁ δὲ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΘΓ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΘΓ ἐπὶ τὴν ΘΗ τῆς ΘΗ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης. φημὶ δή, ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ
15	τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ μείζονα λό‐ γον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘΒ ἐπὶ τὴν ΘΗ. πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλασσόν ἐστι· δεικτέον, ὅτι τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΒΘΓ
20	ἐπὶ τὴν ΘΗ, ὃ ταὐτόν ἐστι τῷ δεῖξαι, ὅτι τὸς ἀπὸ ΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΗ πρὸς ΘΖ. ἐὰν γὰρ ὦσιν τέσσαρες ὅροι, ὡς ἐν‐ ταῦθα τὸ ἀπὸ ΓΘ καὶ τὸ ὑπὸ ΓΘΒ καὶ ἡ ΘΗ καὶ ΘΖ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἔλασσον ᾖ τοῦ ὑπὸ τῶν μέσων,
25	ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ τρίτος πρὸς τὸν τέταρτον, ὡς δέδεικται ἀνωτέρω. εὐ‐ λόγως ἄρα ἐχρῆν δεῖξαι τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ ἔλασσον τοῦ ὑπὸ ΓΘΒ ἐπὶ τὴν ΘΗ, ὃ ταὐτόν ἐστι τῷ δεῖξαι, ὅτι τὸ ἀπὸ ΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει
30	ἤπερ ἡ ΘΗ πρὸς ΘΖ. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ
30	ΓΘΒ, ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ· δεῖ ἄρα δεῖξαι, ὅτι ἡ ΓΘ πρὸς
212	ΘΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΗ πρὸς ΘΖ, τουτ‐ έστιν ἡ ΗΘ πρὸς ΘΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΕΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΚ καὶ ἀπὸ τοῦ Β κάθετος ἐπ’ αὐτὴν ἡ ΒΛ· ἐπί‐
5	λοιπον ἡμῖν δεῖξαι δεῖ, ὅτι ἡ ΗΘ πρὸς ΘΖ μεί‐ ζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ. ἴση δέ ἐστιν ἡ ΘΖ συναμφοτέρῳ τῇ ΘΑ, ΚΕ· ἡ γὰρ ΑΖ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστίν· δεῖ ἄρα δεῖξαι, ὅτι ἡ ΗΘ πρὸς συμαμφότερον τὴν ΘΑ, ΚΕ μείζονα
10	λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ· καὶ ἀφαιρεθεί‐ σης ἄρα ἀπὸ τῆς ΗΘ τῆς ΓΘ, ἀπὸ δὲ τῆς ΚΕ τῆς ΕΛ ἴσης τῇς ΒΘ, δεήσει δειχθῆναι, ὅτι λοιπὴ ἡ ΓΗ πρὸς λοιπὴν συναμφότερον τὴν ΑΘ, ΚΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ. ἐπεὶ γὰρ
15	δεῖ δειχθῆναι, ὅτι ἡ ΗΘ πρὸς συναμφότερον τὴν ΘΑ, ΚΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ, καὶ ἐν‐ αλλάξ, ὅτι ἡ ΗΘ πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ ΘΑ, ΚΕ πρὸς ΘΒ, τουτέστι πρὸς ΛΕ, καὶ διελόντι ἡ ΗΓ πρὸς ΓΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ
20	συναμφότερος ἡ ΘΑ, ΚΛ πρὸς ΛΕ, τουτέστι πρὸς ΒΘ, ἐναλλάξ, ὅτι ἡ ΗΓ πρὸς συναμφότερον τὴν ΘΑ, ΚΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΘΑ, τουτέστιν ἡ ΛΕ πρὸς ΑΘ· ὅτι ἄρα ἡ ΗΓ πρὸς συναμφότερον τὴν ΘΑ,
25	ΚΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΛΕ πρὸς ΑΘ, καὶ ἐναλ‐ λάξ, ὅτι ἡ ΓΗ, τουτέστιν ἡ ΚΕ, πρὸς ΕΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ ΚΛ, ΘΑ πρὸς ΘΑ· διελόντι, ὅτι ἡ ΚΛ πρὸς ΛΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ αὐτὴ ἡ ΚΛ πρὸς ΘΑ, τουτέστιν ὅτι ἐλάσ‐
30	σων ἡ ΛΕ τῆς ΘΑ ἐστιν.
30	ἑξῆς δὲ ἡμεῖς τὴν σύνθεσιν προσθήσομεν. ἐπεὶ ἡ ΛΕ
213	τῆς ΑΘ ἐλάσσων, ἡ ἄρα ΚΛ πρὸς ΛΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΚΛ πρὸς ΑΘ· συνθέντι ἡ ΚΕ πρὸς ΕΛ
213	μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ ΚΛ, ΑΘ πρὸς
214	ΑΘ. ἡ δὲ ΛΕ τῇ ΒΘ ἐστιν ἴση· ἡ ἄρα ΗΓ πρὸς ΒΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ ΚΛ, ΑΘ πρὸς ΑΘ. ἐναλλάξ· ἡ ἄρα ΗΓ πρὸς συναμφότερον τὴν ΚΛ, ΑΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΘ πρὸς ΘΑ, τουτέστιν
5	ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ· ἐναλλὰξ ἡ ΗΓ πρὸς ΓΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ ΚΛ, ΑΘ πρὸς ΘΒ· συνθέντι ἡ ΗΘ πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ ΚΛ, ΑΘ μετὰ τῆς ΘΒ, τουτέστι συναμφότερος ἡ ΑΘ, ΚΕ, πρὸς ΒΘ. ἴση δὲ ἡ ΚΕ τῇ ΑΖ· ἡ ἄρα ΗΘ
10	πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς ΘΒ· ἐναλλὰξ ἡ ΗΘ πρὸς ΘΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ. ὡς δὲ ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘΒ· ἡ ἄρα ΗΘ πρὸς ΘΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘΒ. καὶ διὰ τὸ
15	πρότερον εἰρημένα τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΓΘΒ ἐπὶ τὴν ΘΗ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘΒ ἐπὶ τὴν ΘΗ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ
20	ὑπὸ ΓΘΒ ἐπὶ τὴν ΘΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ΓΘΒ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘΒ. ὁ δὲ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΘΓ τοῦ ἀπὸ ΒΘ μέσου λαμβανομένου σύγκειται ἔκ τε τοῦ, ὃν
25	ἔχει τὸ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ, καὶ τοῦ ἀπὸ ΒΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΘΓ, ὁ δὲ τοῦ ἀπὸ ΒΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΘΓ λό‐ γος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΒΘ πρὸς ΘΓ, τουτέστι τῷ τῆς ΑΘ πρὸς ΒΘ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ
30	ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ μετὰ τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΒ. ὁ δὲ
30	συγκείμενος λόγος ἔκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ
216	ΘΒ καὶ τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΒ ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΘ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ ΘΒ κύβον, τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΑΒ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ ΒΓ κύβον· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ μείζονα
5	λόγον ἔχει τοῦ, ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ ΑΒ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ ΒΓ κύβον. ἀλλ’ ὁ μὲν τοῦ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ λόγος ὁ αὐτὸς ἐδείχθη τῷ τῶν τμημάτων λόγῳ, ὁ δὲ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΒΓ κύβον λόγος ἡμιόλιος ἐδείχθη τοῦ τῶν ἐπι‐
10	φανειῶν λόγου· τὸ ἄρα τμῆμα πρὸς τὸ τμῆμα μείζονα λόγον ἔχει ἢ ἡμιόλιον τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ἐπιφάνεια πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν.
13t	Εἰς τὸ θʹ.
14	Δῆλον δέ, ὅτι ἡ ΒΑ τῆς μὲν ΑΚ ἐλάσσων ἐστὶν
15	ἢ διπλασία δυνάμει, τῆς δὲ ἐκ τοῦ κέντρου μεί‐ ζων ἢ διπλασία ἐπιζευχθείσης γὰρ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ κέντρον τῆς πρὸς τῷ κέντρῳ ἀμβλείας γινομένης ὑπὸ τῆς ΒΑ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν περιεχουσῶν ἴσων ὄντων· ὥστε τοῦ ἑνὸς αὐ‐
20	τῶν, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον. πάλιν δὲ τοῦ ἀπὸ ΑΒ ἴσου ὄντος τοῖς ἀπὸ ΑΚ, ΚΒ καὶ μείζονος ὄντος τοῦ ἀπὸ ΑΚ τοῦ ἀπὸ ΚΒ τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΑΚ ἔλασσόν ἐστιν ἢ διπλάσιον [καὶ ταῦτα μὲν ἐπὶ τοῦ σχήματος, ἐφ’ οὗ σημεῖον , ἐν
25	δὲ τῷ ἑτέρῳ σχήματι τἀναντία τούτοις εἰκότως λεχή‐ σεται]. Ἔστω καὶ τῇ ΕΛ ἴση ἡ ΕΝ, καὶ ἀπὸ τοῦ κύ‐ κλου τοῦ περὶ διάμετρον τὴν ΘΖ κῶνος ἔστω κορυφὴν ἔχων τὸ Ν σημεῖον. ἴσος δὴ καὶ οὗτός
30	ἐστι τῷ κατὰ τὴν ΘΕΖ περιφέρειαν ἡμισφαιρίῳ
217	ἐπεὶ γὰρ ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΘΖ, ὕψος δὲ τὴν ΛΕ, τοῦ μὲν κώνου τοῦ βάσιν
217	ἔχοντος τὴν αὐτὴν καὶ ὕψος ἴσον τριπλάσιός ἐστι, τοῦ
218	δὲ ἡμισφαιρίου ἡμιόλιος, τὸ ἡμισφαίριον διπλάσιόν ἐστι τοῦ αὐτοῦ κώνου. ἔστιν δὲ καὶ ὁ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΘΖ κύκλον, ὕψος δὲ τὴν ΛΝ, διπλάσιος τοῦ αὐτοῦ κώνου· καὶ τὸ ἡμισφαίριον
5	ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ κώνῳ τῳ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΖΘ κύκλον, ὕψος δὲ τὴν ΛΝ. Τὸ δὲ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ΑΡΓ μεῖζόν ἐστι τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τῶν ΑΚΓ, διότι τὴν ἐλάσ‐ σονα πλευρὰν τοῦ ἐλάσσονος τοῦ ἑτέρους μείζονα
10	ἔχει εἴρηται γὰρ ἀνωτέρω, ὅτι ἐὰν εὐθεῖα τμηθῇ εἰς ἄνισα κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον, τὸ ὑπὸ τῶν τμημά‐ των τῶν κατὰ τὴν ἐγγυτέραν τῆς διχοτομίας τομὴν μεῖ‐ ζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῶν κατὰ τὴν ἀπωτέρω. ταὐτὸν δέ ἐστιν εἰπεῖν, διότι τὴν ἐλάσσονα πλευρὰν τῆς
15	ἐλάσσονος τοῦ ἑτέρου μείζονα ἔχει· ὅσῳ γὰρ ἐλάσσων ἐστί, τοσούτῳ πλέον ἀφέστηκεν ἡ τομὴ τῆς διχοτομίας· Τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΡ ἴσον ἐστὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν ΑΚ, ΓΞ· ἥμισυ γάρ ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἐὰν γὰρ ἐπιζευχθῇ ἡ ΒΓ, διὰ τὸ ἐν ὀρθογωνίῳ
20	τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς κάθετον ἦχθαι τὴν ΒΚ καὶ τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοια εἶναι τῷ ὅλῳ γίνεται τὸ ὑπὸ ΓΑΚ ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΒ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῆς ἡμι‐ σείας τῆς ΓΑ καὶ ΑΚ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΓΞ, ΑΚ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἡμίσει τοῦ ἀπὸ ΑΒ, τουτέστι τῷ ἀπὸ ΑΡ.
25	Μεῖζον οὖν ἐστι καὶ τὸ συναμφότερον τοῦ συναμφοτέρου ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΑΚ, ΓΞ τῷ ἀπὸ ΑΡ, μεῖζον δὲ τὸ ὑπὸ ΑΡΓ τοῦ ὑπὸ ΑΚΓ,
25	ἐὰν δὲ ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἄνισα, καὶ
220	ἐκεῖνο μεῖζον, ὃ καὶ ἐξ ἀρχῆς μεῖζον, τῷ μὲν ὑπὸ ΑΡΓ προστεθέντος τοῦ ἀπὸ ΑΡ, τῷ δὲ ὑπὸ ΑΚΓ τοῦ ὑπὸ ΑΚ, ΓΞ μεῖζον γίνεται τὸ ὑπὸ ΑΡΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΡ τοῦ ὑπὸ ΑΚΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΓ, ΓΞ.
5	ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΑΡΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΡ ἴσον γίνεται τῷ ὑπὸ ΓΑΡ διὰ τὸ δεύτερον θεώρημα τοῦ δευτέρου βι‐ βλίου τῆς Στοιχειώσεως, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΚΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΚ, ΓΞ ἴσον τῷ ὑπὸ ΑΚ, ΚΞ διὰ τὸ πρῶτον θεώ‐ ρημα τοῦ αὐτοῦ βιβλίου· ὥστε τὸ ὑπὸ ΓΑΡ μεῖζόν ἐστι
10	τοῦ ὑπὸ ΑΚΞ. Τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΞΚΑ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΜΚΓ ὑπόκειται γάρ, ὡς ἡ ΞΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΜΑ πρὸς ΑΚ· ὥστε καὶ συνθέντι, ὡς ἡ ΞΚ πρὸς ΚΓ, οὕτως ἡ ΜΚ πρὸς ΚΑ. καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ
15	ὑπὸ τῶν μέσων· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΞΚΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΜΚΓ. ἀλλὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΞΚΑ μεῖζον ἦν τὸ ὑπὸ ΓΑΡ· καὶ τὸ ὑπὸ ΓΑΡ ἄρα μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΜΚΓ. Ἕστε μείζονα λόγον ἔχει ἡ ΑΓ πρὸς ΓΚ ἤπερ ἡ ΜΚ πρὸς ΑΡ ἐπεὶ γὰρ τέσσαρες εὐθεῖαί εἰσιν αἱ
20	ΓΚ, ΚΜ, ΓΑ ΑΡ, καὶ τὸ ὑπὸ πρώτης τῆς ΓΑ καὶ τετάρτης τῆς ΑΡ μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ δευτέρας τῆς ΜΚ καὶ τρίτης τῆς ΚΓ, ἡ πρώτη ἡ ΓΑ πρὸς δευτέραν τὴν ΜΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ τρίτη ἡ ΚΓ τρὸς τετάρ‐ την τὴν ΑΡ· καὶ ἐναλλὰξ ἡ ΓΑ πρὸς ΚΓ μείζονα λόγον
25	ἔχει ἤπερ ἡ ΜΚ πρὸς ΑΡ. Ὃν δὲ λόγον ἔχει ἡ ΑΓ πρὸς ΓΚ, τοῦτον ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ ἐπιζευχθείσης
25	γὰρ τῆς ΒΓ διὰ τὸ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρ‐
222	θῆς κάθετον εἶναι τὴν ΒΚ γίνεται, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, καὶ διὰ τοῦτος, ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, τουτέστιν ἡ ΑΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς
5	τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ· ὅμοιον γὰρ τὸ ΑΒΚ τῷ ΑΓΒ· ἔστιν ἄρα καί, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ. ἡ δὲ ΑΓ πρὸς ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΜΚ πρὸς ΑΡ· καὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ μεί‐
10	ζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΜΚ πρὸς ΑΡ· καὶ τῶν ἡγου‐ μένων τὰ ἡμίση, τὸ ἥμισυ τοῦ ἀπὸ ΑΒ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΑΡ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ἡμίσεια τῆς ΜΚ πρὸς τὴν ΑΡ, τουτέστιν ἡ ΜΚ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΑΡ. ἀλλὰ τῷ ἀπὸ ΑΡ ἴσον ἐστὶ τὸ
15	ἀπὸ ΖΛ, ἐπειδὴ ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΕΖ ὑπόκειται ἴση, ἡ δὲ ΕΖ τῆς ΖΛ δυνάμει διπλῆ· ἴση γὰρ ἡ ΕΛ τῇ ΛΖ· τῆς δὲ ΑΡ διπλασία ἡ ΝΛ, ἐπεὶ καὶ τῆς ΛΖ· ὥστε τὸ ἀπὸ ΖΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΜΚ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΑΡ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ ΛΝ.
20	Μείζονα ἄρα λόγον ἔχει καὶ ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΘΖ πρὸς τὸν κύκλον τὸν περὶ διά‐ μετρον τὴν ΒΔ ἤπερ ἡ ΜΚ πρὸς ΝΛ. ὥστε μεί‐ ζων ἐστὶν ὁ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΖΘ κύκλον, κορυφὴν δὲ τὸ Ν ση‐
25	μεῖον, τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ κύκλον, κορυφὴν δὲ τὸ Μ ση‐ μεῖον ἐὰν γὰρ ποιήσωμεν ὡς τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΖΘ κύκλον πρὸς τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΒΔ κύκλον, οὕτως τὴν ΚΜ πρὸς ἄλλην τινά, ἔστι πρὸς ἐλάσσονα
30	τῆς ΛΝ. καὶ ἔσται ὁ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν περὶ διά‐
30	μετρον τὴν ΖΘ κύκλον, ὕψος δὲ τὴν εὑρεθεῖσαν ἐλάσ‐
224	σονα εὐθεῖαν, ἴσος μὲν τῷ ΜΒΔ διὰ τὸ ἀντιπεπονθέναι τὰς βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἐλάττων δὲ τοῦ ΝΘΖ διὰ τὸ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντας πρὸς ἀλλήλους εἶναι ὡς τὰ ὕψη. δῆλον οὖν ὅτι καὶ τὸ ἡμισφαίριον τὸ κατὰ
5	τὴν ΕΖΘ περιφέρειαν μεῖζόν ἐστι τοῦ τμήματος τοῦ κατὰ τὴν ΒΑΔ περιφέριαν. [Εὐτοκίου Ἀσκαλωνίτου ὑπόμνημα εἰς τὸ δεύτερον τῶν Ἀρχιμήδους περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ἐκδόσεως παραναγνωσθείσης τῷ Μιλησίῳ μηχανικῷ Ἰσιδώρῳ ἡμε‐
10	τέρῳ διδασκάλῳ].

2

(1t)

4

6

8

10

12

14

16

(1t)

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

(1t)

52

54

56

58

60

62

64

66

68

70

72

74

76

(1t)

78

80

82

(1t)

84

86

88

90

92

94

96

98

(1t)

100

102

104

106

108

110

112

114

116

118

120

122

124

125

126

128

130

132

133

134

136

138

140

141

142