SERENUS :: De sectione coni

TLG 2055 002 :: SERENUS :: De sectione coni SERENUS Geom. (Antinoensis: A.D. 4) De sectione coni Source: Heiberg, J.L. (ed.), Sereni Antinoensis opuscula. Leipzig: Teubner, 1896: 120–302. Citation: Page — (line)

120 (1t)	ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ.
2	Τῆς ἐν τοῖς κώνοις τομῆς, ἄριστε Κῦρε, ὅταν διὰ τῆς κορυφῆς αὐτῶν γίνηται, τρίγωνα μὲν ὑφιστάσης ἐν τοῖς κώνοις, ποικίλην δὲ καὶ γλαφυρὰν θεωρίαν
5	ἐχούσης καὶ μηδενὶ τῶν πρὸ ἡμῶν, ὅσα γε ἐμὲ εἰδέναι, πραγματευθείσης ἔδοξέ μοι μὴ καλῶς ἔχειν ἀνεξέργα‐ στον ἀφεῖναι τὸν τόπον τοῦτον, εἰπεῖν δὲ περὶ αὐτῶν, ὅσα γε εἰς ἐμὴν ἀφῖκται κατάληψιν. σχεδὸν μὲν οὖν τά γε πλείω καὶ βαθυτέρας δοκοῦντα δεῖσθαι γεω‐
10	μετρίας ἡγοῦμαι λόγου τετυχηκέναι παρ’ ἡμῶν, οὐκ ἂν δὲ θαυμάσαιμι, εἰ καί τι τῶν ὀφειλόντων λεχθῆναι παρείκων ὀφθείην ἅτε πρῶτος ἐγχειρήσας τῇ τούτων θεωρίᾳ· ὥστε εἰκὸς ἢ σὲ καθέντα εἰς τὴν αὐτὴν σκέψιν ἢ τῶν ὕστερον ἐντευξομένων τινὰ ὁρμώμενον ἐνθένδε
15	τὸ παροφθὲν ἡμῖν προσθεῖναι. ἔστι δὲ ἃ καὶ ἑκόντες παραλελοίπαμεν ἢ διὰ τὸ σαφὲς ἢ διὰ τὸ ἄλλοις δε‐ δεῖχθαι· αὐτίκα τὸ μὲν ἐν παντὶ κώνῳ τρίγωνον εἶναι τομήν, εἰ διὰ τῆς κορυφῆς τμηθείη, διὰ τὸ δεδεῖχθαι ἄλλοις ὡς οὕτως ἔχον ἡμεῖς παραλιμπάνομεν, ἵνα μηδὲν
20	ἀλλότριον τοῖς ὑφ’ ἡμῶν εὑρεθεῖσι συντεταγμένον ᾖ. τὰ δ’ ἐπιπολαιότερα καὶ τοῖς πολλοῖς εὔληπτα γραφῆς
20	οὐκ ἠξιώσαμεν, ἵνα μὴ τῶν ἐντυγχανόντων τὴν προσ‐	120
122	οχὴν τῆς διανοίας ἐκλύσωμεν. ἰτέον δὴ ἐπὶ τὴν τῶν προκειμένων ἀπόδειξιν.
3n	αʹ.
4	Ἐὰν τεσσάρων εὐθειῶν ἡ πρώτη πρὸς τὴν δευτέραν
5	μείζονα λόγον ἔχῃ ἤπερ ἡ τρίτη πρὸς τὴν τετάρτην, τὸ ὑπὸ πρώτης καὶ τετάρτης μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ δευ‐ τέρας καὶ τρίτης. εὐθεῖα γὰρ ἡ Α πρὸς τὴν Β μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ Γ πρὸς τὴν ΔΕ. λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν Α,
10	ΔΕ μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν Β, Γ. ἐπεὶ ἡ Α πρὸς Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς ΔΕ, ἔστω, ὡς ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς ΔΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ Α, ΔΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Γ. μεῖζον δὲ τὸ ὑπὸ Α, ΔΕ τοῦ ὑπὸ Α, ΔΖ· καὶ τοῦ
15	ὑπὸ Β, Γ ἄρα μεῖζόν ἐστι τὸ ὑπὸ Α, ΔΕ.
16n	βʹ.
17	Ἐὰν τριγώνου ὀρθογωνίου ἀπὸ τῆς ἑτέρας τῶν γωνιῶν ἐπὶ μιὰν τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν ἀχθῇ εὐθεῖα, ἡ ἀχθεῖσα πρὸς τὴν ἀπολαμβανομένην ὑπ’ αὐτῆς πρὸς
20	τῇ καθέτῳ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ἐξ ἀρχῆς ὑπο‐ τείνουσα τὴν ὀρθὴν πρὸς τὴν τμηθεῖσαν πλευρὰν ὑπὸ τῆς ἀχθείσης. τριγώνου γὰρ ὀρθογωνίου τοῦ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον‐
20	τος τὴν Α γωνίαν ἀπὸ μιᾶς τῶν γωνιῶν τῆς Γ ἐπὶ	122
124	τὴν ΑΒ ἤχθω τις εὐθεῖα ἡ ΓΔ. λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ πρὸς ΔΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ. ἤχθω παρὰ τὴν ΓΒ ἡ ΔΕ. ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΑΓ, ἀμβλεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΓ· μείζων ἄρα ἡ ΔΓ
5	τῆς ΔΕ. ἡ ἄρα ΓΔ πρὸς ΔΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΔ πρὸς ΔΑ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ.
7n	γʹ.
8	Ἐὰν κῶνος ὀρθὸς διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδοις τμηθῇ, τῶν γινομένων ἐν ταῖς τομαῖς τριγώνων τὰ ἴσας ἔχοντα
10	βάσεις ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα. ἔστω κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον, βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, τοῦ δὲ κώνου διὰ τῆς κορυφῆς τμηθέντος ἐπιπέδοις γεγενήσθω τὰ ὑπὸ τῆς τομῆς γενόμενα τρίγωνα· ὅτι γὰρ τρίγωνα ποιοῦσιν
15	αἱ τοιαῦται τομαί, ἐν ἄλλοις δείκνυται. γεγενήσθω δὴ τὰ ΑΓΔ, ΑΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς ΓΔ, ΕΖ βάσεις. λέγω, ὅτι τὰ ΑΓΔ, ΑΕΖ τρίγωνα ἴσα ἐστίν. ἐπεὶ γὰρ αἵ τε βάσεις ἴσαι ἀλλήλαις, ἴσαι δὲ καὶ αἱ ΑΓ, ΑΔ, ΑΕ, ΑΖ, καὶ τὸ τρίγωνον ἄρα τῷ τρι‐
20	γώνῳ ἴσον.
21n	δʹ.
22	Ἐν τοῖς ὀρθοῖς κώνοις τὰ ὅμοια τρίγωνα ἴσα ἀλλή‐
22	λοις ἐστίν.	124
126	ἔστω γὰρ ἐπὶ τῆς προκειμένης καταγραφῆς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον τῷ ΑΕΖ ὅμοιον. λέγω, ὅτι καὶ ἴσον ἐστίν. ἐπεὶ γάρ, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΔ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΖ, καὶ ἐναλλὰξ ἄρα. καί εἰσιν ἴσαι αἱ ΓΑ, ΕΑ·
5	ἴσαι ἄρα καὶ αἱ ΓΔ, ΕΖ. τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων βάσεων τρίγωνα ἐν τοῖς ὀρθοῖς κώνοις ἴσα ἐστίν· ἴσα ἄρα τὰ ΑΓΔ, ΑΕΖ τρίγωνα.
8n	εʹ.
9	Ἐὰν κῶνος ὀρθὸς ἐπιπέδοις τμηθῇ διὰ τῆς κορυφῆς
10	τῷ μὲν διὰ τοῦ ἄξονος, τοῖς δὲ ἐκτὸς τοῦ ἄξονος, ὁ δὲ ἄξων τοῦ κώνου μὴ ἐλάττων ᾖ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως, τῶν γινομένων ἐν τῷ κώνῳ τριγώνων μέγιστον ἔσται τὸ διὰ τοῦ ἄξονος. ἔστω κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α, βάσις δὲ ὁ περὶ
15	τὸ Β κέντρον κύκλος, ἄξων δὲ ὁ ΑΒ. τμηθέντος δὲ τοῦ κώνου διὰ τῆς κορυφῆς γεγενήσθω τρίγωνα διὰ μὲν τοῦ ἄξονος τὸ ΑΓΔ, ἐκτὸς δὲ τοῦ ἄξονος τὸ ΑΕΖ, καὶ κείσθω παράλληλος ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ, ὁ δὲ ἄξων, τουτέστιν ἡ ΑΒ εὐθεῖα, μὴ ἐλάττων ἔστω τῆς ΒΓ.
20	λέγω, ὅτι τὸ ΑΓΔ τρίγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ ΑΕΖ τριγώνου. ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν ΕΖ ἡ ΒΗ· δίχα ἄρα τέτμηται ἡ ΕΖ κατὰ τὸ Η. ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ· ἡ ΑΗ ἄρα κάθετός ἐστιν
25	ἐπὶ τὴν ΕΖ· ἰσοσκελὲς γὰρ τὸ ΕΑΖ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ οὔκ ἐστιν ἐλάττων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ΒΕ, ἐλάτ‐
25	των δὲ ἡ ΕΗ τῆς ΒΕ, ἡ ἄρα ΑΒ μείζων ἐστὶ τῆς	126
128	ΕΗ. ἀφῃρήσθω τοίνυν τῇ ΕΗ ἴση ἡ ΒΘ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἡ μὲν ΕΗ τῇ ΒΘ, κοινὴ δὲ ἡ ΒΗ, δύο ἄρα δυσὶν ἴσαι. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ὑπὸ ΗΒΘ ἴση· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· καὶ βάσις ἄρα
5	ἡ ΕΒ τῇ ΘΗ ἴση ἐστί, καὶ ὅμοια τὰ τρίγωνα· ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς ΕΗ, οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς ΘΒ. ἡ δὲ ΗΘ πρὸς ΘΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΑ πρὸς ΑΒ, ὡς προεδείχθη· ὀρθογώνιον γὰρ τὸ ΑΒΗ. καὶ ἡ ΒΕ ἄρα πρὸς ΕΗ, τουτέστιν ἡ ΓΒ πρὸς ΕΗ, μείζονα
10	λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΗ πρὸς ΑΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΒΑ μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΗΑ διὰ τὸ πρῶτον λημμάτιον. ἀλλὰ τοῦ μὲν ὑπὸ ΓΔ, ΒΑ ἥμισύ ἐστι τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, τοῦ δὲ ὑπὸ ΕΖ, ΗΑ ἥμισυ τὸ ΑΕΖ τρίγωνον· καὶ τὸ ΑΓΔ ἄρα τρίγωνον τοῦ
15	ΑΕΖ μεῖζόν ἐστι. καὶ πάντων ἄρα τῶν ἴσας βάσεις ἐχόντων τῇ ΕΖ καὶ διὰ τοῦτο ἴσων ὄντων μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΓΔ. ὁμοίως δὲ δείξομεν καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων το‐ μῶν τῶν ἐκτὸς τοῦ ἄξονος· μέγιστον ἄρα τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον.
20n	ϛʹ.
21	Ἔστι τὸ αὐτὸ καὶ ἄλλως καθολικώτερον δεῖξαι, ὅτι καὶ ἁπλῶς τῶν τριγώνων τὸ μείζονα βάσιν ἔχον μεῖζόν ἐστι. τμηθέντος γὰρ τοῦ κώνου γενέσθω τὰ ΑΓΔ, ΑΖΔ
25	τρίγωνα, ὥστε τὰς ΓΔ, ΖΔ βάσεις συμβάλλειν ἀλλή‐
25	λαις κατὰ τὸ Δ πέρας, καὶ ἔστω μείζων τῆς ΖΔ ἡ ΓΔ	128
130	εἴτε διὰ τοῦ κέντρου οὖσα εἴτε μή. λέγω, ὅτι τὸ ΑΓΔ τοῦ ΑΖΔ μεῖζόν ἐστιν. ἤχθωσαν ἐπὶ τὰς ΖΔ, ΓΔ κάθετοι αἱ ΑΒ, ΑΗ, ἐπὶ δὲ τὴν ΑΔ ἡ ΒΘ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΔ τῆς ΖΔ μείζων
5	ἐστί, καὶ ἡ ἡμίσεια ἄρα ἡ ΒΔ τῆς ΔΗ μείζων· τὸ ἀπὸ ΒΔ ἄρα τοῦ ἀπὸ ΔΗ μεῖζόν ἐστι. λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΑ λοιποῦ τοῦ ἀπὸ ΑΗ ἔλαττόν ἐστι· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΔ. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ
10	πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς ΘΔ· καὶ ἡ ΑΘ ἄρα πρὸς ΘΔ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΔ. γενέσθω, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΔ, οὕτως ἡ ΑΚ πρὸς ΚΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΚ· κάθετος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΗΚ ἐπὶ τὴν ΑΔ, ὡς
15	δειχθήσεται. καὶ ἐπεὶ ὑπόκειται ἡ ΑΒ τῆς ΒΔ οὐκ ἐλάττων, ἤτοι μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΔ ἢ ἴση. ἔστω πρό‐ τερον μείζων· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΑΘ τῆς ΘΔ. τετμήσθω ἡ ΑΔ δίχα κατὰ τὸ Λ. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ὑπὸ ΑΘ, ΘΔ
20	τοῦ ἀπὸ ΑΛ ἔλαττόν ἐστι τῷ ἀπὸ ΛΘ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΚ, ΚΔ τοῦ ἀπὸ ΑΛ ἔλαττόν ἐστι τῷ ἀπὸ ΛΚ, καί ἐστι μεῖζον τὸ ἀπὸ ΛΚ τοῦ ἀπὸ ΛΘ, μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΘ, ΘΔ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΘ, τοῦ ὑπὸ ΑΚ, ΚΔ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΗΚ· ἡ ΘΒ ἄρα μείζων τῆς ΗΚ.
25	καί εἰσιν αἱ ΒΘ, ΗΚ ὕψη τῶν ΑΒΔ, ΑΗΔ τριγώνων·
25	μεῖζον ἄρα τὸ ΑΒΔ τοῦ ΑΗΔ· ὥστε καὶ τὰ διπλάσια·	130
132	τὸ ἄρα ΑΓΔ τοῦ ΑΖΔ μεῖζόν ἐστιν. ἀλλὰ τῷ ΑΖΔ ἴσον ἕκαστον, οὗ ἡ βάσις ἴση ἐστὶ τῇ ΖΔ· τὸ ἄρα ΑΓΔ παντὸς τριγώνου μεῖζόν ἐστιν, οὗ ἡ βάσις ἴση ἐστὶ τῇ ΖΔ.
5	εἰ δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ ἴση, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΘ τῇ ΘΔ· ὁμοίως ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΘ, ΘΔ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΘ, μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΑΚ, ΚΔ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΗΚ. ἡ ἄρα ΒΘ μείζων ἐστὶ τῆς ΚΗ, καὶ τὸ ΑΒΔ τρί‐ γωνον τοῦ ΑΗΔ τριγώνου μεῖζον. ὁμοίως δὲ δειχθή‐
10	σεται, κἂν ἄλλας βάσεις διαγάγωμεν· ὥστε τὸ οὕτως ἔχον μείζονα βάσιν τρίγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ ἔχοντος ἐλάσσονα.
13n	ζʹ.
14	Ὅτι δὲ ἡ ΗΚ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΑΔ, δείκνυται
15	οὕτως. τριγώνου γὰρ ὀρθογωνίου τοῦ ΑΗΔ διῃρήσθω ἡ βάσις ὑπὸ τῆς ΗΚ, ὥστε εἶναι, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΔ, οὕτως τὴν ΑΚ πρὸς ΚΔ. λέγω, ὅτι κάθετός ἐστιν ἡ ΗΚ ἐπὶ τὴν ΑΔ.
20	εἰ γὰρ μή, ἔστω ἡ ΗΛ κάθετος· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΗΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΔ, οὕτως ἡ ΑΛ πρὸς τὴν ΛΔ. ἦν δέ, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΔ, οὕτως ἡ ΑΚ πρὸς ΚΔ· ἔσται ἄρα, ὡς ἡ ΑΛ πρὸς ΛΔ, οὕτως ἡ ΑΚ πρὸς ΚΔ· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα κάθετός ἐστιν
25	ἡ ΗΛ. ὁμοίως δὲ δείκνυται, ὅτι οὐδὲ ἄλλη πλὴν τῆς
25	ΗΚ· ἡ ἄρα ΗΚ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΑΔ.	132
134 (1n)	ηʹ.
2	Ἐὰν ἐν κώνῳ ὀρθῷ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον μέγιστον ᾖ πάντων τῶν ἐκτὸς τοῦ ἄξονος συνισταμένων τριγώνων, ὁ ἄξων τοῦ κώνου οὐκ ἐλάσσων ἔσται τῆς
5	ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως. ἔστω κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α, ἄξων δὲ ἡ ΑΒ εὐθεῖα, βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΓΔ μέγιστον ὂν πάντων τῶν ἐν τῷ κώνῳ συνισταμένων τριγώνων ἐκτὸς τοῦ
10	ἄξονος. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ οὔκ ἐστιν ἐλάττων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἐλάττων, καὶ ἤχθω ἐν τῷ κύκλῳ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΔ ἡ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία ὀρθή ἐστιν, ἡ ἄρα τὰ Α, Ε σημεῖα ἐπι‐
15	ζευγνύουσα εὐθεῖα μείζων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ΒΕ. ἐὰν ἄρα ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἀπὸ τοῦ Α ὑπὸ τῇ ὑπὸ ΑΒΕ γωνίᾳ ἐναρμοσθῇ, μεταξὺ πεσεῖται τῶν Β καὶ Ε σημείων. ἐνηρμόσθω ἡ ΑΖ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, καὶ διὰ τοῦ Ζ παρὰ τὴν ΓΔ ἤχθω ἡ ΗΘ, καὶ ἐπε‐
20	ζεύχθω ἡ ΒΗ· γενήσεται δή, ὡς ἐν τῷ εʹ θεωρήματι ἐδείχθη, τὰ ΑΒΖ, ΗΒΖ τρίγωνα ὅμοια, καὶ ἴσαι αἱ ὁμόλογοι, καὶ ὡς ἡ ΖΑ πρὸς ΑΒ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς ΗΖ, τουτέστιν ἡ ΓΒ πρὸς ΗΖ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΖ, ΖΗ, τουτέστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος
25	τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΗΘ τριγώνῳ· ὅπερ ἀδύνατον·	134
136	ὑπόκειται γὰρ τὸ ΑΓΔ μέγιστον εἶναι. οὐκ ἄρα ἡ ΑΒ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου.
3n	θʹ.
4	Κῶνον ὀρθόν, οὗ ὁ ἄξων οὔκ ἐστιν ἐλάττων τῆς
5	ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως, τεμεῖν διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδῳ ποιοῦντι τρίγωνον λόγον ἔχον δεδομένον πρὸς τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον. δεῖ δὴ τὸν διδόμενον λόγον ἐλάττονος εἶναι πρὸς μεῖζον. ἔστω κορυφὴ μὲν τοῦ κώνου τὸ Α, βάσις δὲ ὁ περὶ
10	τὸ Β κέντρον κύκλος, τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΓΔ, ἐν ᾧ κάθετος ἡ ΑΒ ἐστι. δεῖ δὴ τὸν κῶνον τεμεῖν τριγώνῳ, ὃ λόγον ἕξει πρὸς τὸ ΑΓΔ τὸν ἐπι‐ ταχθέντα· ἐπιτετάχθω δὲ ὁ τῆς Κ ἐλάττονος πρὸς μείζονα τὴν Λ λόγος.
15	ἐπεὶ τὸ ΑΒΔ ὀρθογώνιόν ἐστι, γεγράφθω περὶ αὐτὸ ἡμικύκλιον, καὶ ἀπὸ τοῦ Β κάθετος ἤχθω ἡ ΒΕ, καὶ ὡς ἡ Κ πρὸς Λ, οὕτως ἔστω ἡ ΖΕ πρὸς ΕΒ, καὶ διὰ τοῦ Ζ παράλληλος ἤχθω τῇ ΕΔ ἡ ΖΗ, διὰ δὲ τοῦ Η τῇ ΖΕ παράλληλος ἡ ΗΘ· ἴση ἄρα ἡ ΖΕ
20	τῇ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν, ὡς ἡ Κ πρὸς Λ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΒ, τουτέστιν ἡ ΘΗ πρὸς ΒΕ, ὡς δὲ ἡ ΘΗ πρὸς ΒΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΗΘ, ΑΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕ, ΑΔ, ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΗΘ, ΑΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕ, ΑΔ, οὕτως τὰ ἡμίση τὸ ΑΗΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΔ,
25	ὡς ἄρα ἡ Κ πρὸς Λ, οὕτως τὸ ΑΔΗ πρὸς τὸ ΑΒΔ·	136
138	τὸ ΑΗΔ ἄρα πρὸς τὸ ΑΒΔ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ ἐστίν. ἐὰν οὖν ἐν τῇ βάσει τοῦ κώνου ἐναρμόσωμεν διπλῆν τῆς ΗΔ καὶ διὰ τῆς ἐναρμοσθείσης καὶ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου τὸ ἐπίπεδον ἐκβάλωμεν, ποιήσει
5	τρίγωνον ἐν τῷ κώνῳ διπλάσιον τοῦ ΑΗΔ. σχήσει ἄρα τὸ συνιστάμενον τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ λόγον, ὃν τὸ ΑΗΔ ἔχει πρὸς ΑΒΔ, τουτέστιν ὃν ἡ Κ πρὸς Λ.
8n	ιʹ.
9	Ἐὰν κῶνος ὀρθὸς διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδοις τμηθῇ
10	τῷ μὲν διὰ τοῦ ἄξονος, τοῖς δὲ ἐκτὸς τοῦ ἄξονος, τῶν δὲ γενομένων τριγώνων ἐκτὸς τοῦ ἄξονος ἓν ὁτιοῦν ἴσον ᾖ τῷ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνῳ, ὁ τοῦ κώνου ἄξων ἐλάττων ἔσται τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως. τμηθέντος γὰρ τοῦ κώνου γενέσθω τρίγωνα διὰ
15	μὲν τοῦ ἄξονος τὸ ΑΓΔ, ἐκτὸς δὲ τὸ ΑΕΖ ἴσον ὂν τῷ ΑΓΔ, ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ καὶ κάθ‐ ετοι αἱ ΑΒ, ΑΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΒΗ. λέγω δή, ὅτι ἡ ΑΒ ὁ ἄξων ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΒΔ ἐκ τοῦ κέντρου.
20	ἐπεὶ τὸ ΑΕΖ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΓΔ, καὶ τὰ διπλάσια ἄρα, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΗΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΓΔ, ΒΑ· ὡς ἄρα ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ, τουτ‐ έστιν ἡ ΓΒ πρὸς ΕΗ, τουτέστιν ἡ ΒΕ πρὸς ΕΗ, οὕτως ἡ ΗΑ πρὸς ΑΒ. ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνα τὰ
25	ΒΕΗ, ΗΑΒ μίαν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΗΒ μιᾷ γωνίᾳ	138
140	τῇ ὑπὸ ΑΒΗ ἴσην ἔχει· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ἑκατέρα δὲ τῶν λοιπῶν τῶν ὑπὸ ΕΒΗ, ΑΗΒ ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς, ὅμοια ἄρα ἐστὶ τὰ τρίγωνα. ὡς ἄρα ἡ ΕΗ πρὸς ΗΒ,
5	οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΗΒ· ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΕΗ. ἐλάτ‐ των δὲ ἡ ΕΗ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ΒΕ· καὶ ἡ ΑΒ ἄρα ἄξων οὖσα τοῦ κώνου ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου· ὃ προέκειτο δεῖξαι. ἐπεὶ τοίνυν ἐδείχθη ἐπὶ παραλλήλων τῶν ΓΔ, ΕΖ,
10	φανερόν, ὡς, κἂν μὴ παράλληλοι ὦσιν, οὐδὲν διοίσει· ἐδείχθη γάρ, ὡς τὰ ἴσας ἔχοντα βάσεις τρίγωνα ἴσα ἐστί.
13n	ιαʹ.
14	Τῶν αὐτῶν ὄντων δεικτέον, ὅτι, ἐὰν διαχθῇ πάλιν
15	ἐπίπεδον τέμνον τὸν κῶνον διὰ τῆς κορυφῆς καὶ ποι‐ οῦν ἐν τῇ βάσει εὐθεῖαν τῷ μεγέθει μεταξὺ τῶν βά‐ σεων τῶν ἴσων τριγώνων, ἐκεῖνο τὸ τρίγωνον μεῖζον ἔσται ἑκατέρου τῶν ἴσων τριγώνων. ἔστω γὰρ ἐπὶ τῆς ὁμοίας καταγραφῆς τὸ διὰ τοῦ
20	ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΓΔ ἴσον τῷ βάσιν ἔχοντι τὴν ΕΖ, καὶ διήχθω τυχοῦσα ἡ ΚΜ μεγέθει μεταξὺ τῶν ΓΔ, ΕΖ καὶ ἑκατέρᾳ αὐτῶν κείσθω παράλληλος, καὶ διήχθω τὸ ἐπίπεδον. λέγω δή, ὅτι τὸ ΑΚΜ τρίγωνον μεῖζόν ἐστιν ἑκατέρου τῶν ΑΓΔ, ΑΕΖ.
25	τετμήσθω γὰρ πάλιν δίχα ἡ ΚΜ τῷ Λ, καὶ ἐπε‐
25	ζεύχθωσαν αἱ ΑΛ, ΒΚ, ΒΛ. ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΓΔ	140
142	τρίγωνον τῷ ΑΕΖ τριγώνῳ, ἡ ἄρα ΑΒ τῇ ΕΗ τῇ ἡμισείᾳ τῆς ΕΖ ἴση ἐστίν, ὡς ἐν τῷ πρὸ τούτου συν‐ απεδείχθη. μείζων δὲ ἡ ΚΛ τῆς ΕΗ· καὶ τῆς ΑΒ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ΚΛ. κείσθω οὖν τῇ ΚΛ ἴση ἡ
5	ΒΝ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΝ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τοῖς προ‐ ειρημένοις ἔσται τὸ ΒΚΛ τρίγωνον τῷ ΛΝΒ τριγώνῳ ἴσον τε καὶ ὅμοιον· ὡς ἄρα ἡ ΒΚ πρὸς ΚΛ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΚΛ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΚΜ, οὕτως ἡ ΛΝ πρὸς ΝΒ. ἡ δὲ ΛΝ πρὸς ΝΒ ἐλάτ‐
10	τονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΛΑ πρὸς ΑΒ· καὶ ἡ ΓΔ ἄρα πρὸς ΚΜ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΛΑ πρὸς ΑΒ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΒΑ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΚΜ, ΛΑ, τουτέστι τὸ ΑΓΔ ἔλαττόν ἐστι τοῦ ΑΚΜ· μεῖζον ἄρα τὸ ΑΚΜ τοῦ ΑΓΔ.
15	τὸ αὐτὸ δὴ δείκνυται καὶ ἐπὶ πάντων, ὧν ἡ βάσις μεγέθει μεταξύ ἐστι τῶν ΓΔ καὶ ΕΖ· οὐδὲν δὲ διοίσει, κἂν μὴ παράλληλοι ὦσιν αἱ βάσεις, ὡς καὶ πρότερον ἐδείχθη.
19n	ιβʹ.
20	Τὸν δοθέντα κῶνον ὀρθόν, οὗ ὁ ἄξων ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως, τεμεῖν διὰ τῆς κορυφῆς, ὥστε τὸ γινόμενον τρίγωνον ἴσον εἶναι τῷ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνῳ. ἔστω ὁ δοθεὶς κῶνος, οὗ ἄξων μὲν ὁ ΑΒ, τὸ δὲ
25	διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΓΔ, καὶ δέον ἔστω	142
144	τεμεῖν τὸν κῶνον ἐπιπέδῳ ποιοῦντι τρίγωνον ἐν τῷ κώνῳ ἴσον τῷ ΑΓΔ. ἤχθω τῇ ΓΔ ἐν τῷ κύκλῳ πρὸς ὀρθὰς διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΕΒΖ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἐλάττων ἐστὶ τῆς
5	ἐκ τοῦ κέντρου, ἐνηρμόσθω ἡ ΑΗ ὑποτείνουσα μὲν τὴν ὑπὸ ΑΒΖ γωνίαν, ἴση δὲ οὖσα τῇ ἐκ τοῦ κέντρου· τοῦτο δὲ ῥᾴδιον ποιῆσαι· καὶ διὰ τοῦ Η παράλληλος τῇ ΓΔ ἤχθω ἡ ΘΗΚ· ἡ ΘΗΚ ἄρα κατὰ τὸ Η δίχα τέτμηται καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΕΒΖ. διεκβεβλήσθω τὸ
10	διὰ τῶν ΘΚ, ΗΑ ἐπίπεδον ποιοῦν τὸ ΑΘΚ τρίγωνον. λέγω, ὅτι τὸ ΑΘΚ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΓΔ. ἐπεζεύχθω ἡ ΒΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΑΗ τῇ ΒΘ, ὡς ἄρα ἡ ΑΗ πρὸς ΗΒ, οὕτως ἡ ΘΒ πρὸς ΗΒ. ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνα τὰ ΒΘΗ, ΗΑΒ μίαν γωνίαν μιᾷ
15	γωνίᾳ ἴσην ἔχει· ὀρθαὶ γὰρ αἱ ὑπὸ ΘΗΒ, ΑΒΗ· περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, καὶ τὰ λοιπά, ὅμοια ἄρα τὰ ΒΘΗ, ΗΑΒ τρίγωνα· ὡς ἄρα ἡ ΒΘ πρὸς ΘΗ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΘΚ, οὕτως ἡ ΗΑ πρὸς ΑΒ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΔ, ΒΑ ἴσον τῷ ὑπὸ
20	ΘΚ, ΗΑ· καὶ τὰ ἡμίσεα. τὸ ΑΓΔ τρίγωνον ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
22n	ιγʹ.
23	Ἐὰν κῶνος ὀρθὸς διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδοις τμηθῇ,
23	τῶν δὲ γενομένων ἐν τῷ κώνῳ τριγώνων τινὸς ἡ ἀπὸ	144
146	τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἴση ᾖ τῇ ἡμισείᾳ τῆς βάσεως, τοῦτο μεῖζον ἔσται πάντων τῶν ἀνομοίων ἐν τῷ κώνῳ τριγώνων. ἐν γὰρ κώνῳ ὀρθῷ τρίγωνον ἔστω τὸ ΑΓΔ ἔχον
5	τὴν ΑΒ κάθετον ἴσην τῇ ΒΔ ἡμισείᾳ οὔσῃ τῆς ΓΔ βάσεως. λέγω, ὅτι τὸ ΑΓΔ τρίγωνον μεῖζόν ἐστι πάντων τῶν ἀνομοίων ἐν τῷ κώνῳ συνισταμένων τρι‐ γώνων. εἰλήφθω γὰρ ἄλλο τυχὸν τρίγωνον ἀνόμοιον αὐτῷ
10	τὸ ΑΕΖ, ἐν ᾧ κάθετος ἡ ΑΗ, καὶ ἀπὸ μὲν τοῦ Β ἐπὶ τὴν ΑΔ κάθετος ἤχθω ἡ ΒΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΑΖ κάθετος ἤχθω ἡ ΗΚ. ἐπεὶ ἀνόμοιόν ἐστι τὸ ΑΓΔ τῷ ΑΕΖ, ἀνόμοιον ἄρα καὶ τὸ ΑΒΔ τῷ ΑΗΖ. καί ἐστιν ὀρθογώνια, καὶ ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΔ·
15	τὸ ΑΗΖ ἄρα ἀνισοσκελές. καὶ τὸ μὲν ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ ἄνισον. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς ΘΔ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΖ, οὕτως ἡ ΑΚ πρὸς ΚΖ·
20	ἡ μὲν ἄρα ΑΔ εἰς ἴσα τέτμηται, ἡ δὲ ΑΖ εἰς ἄνισα. ἐπεὶ οὖν αἱ ΔΑ, ΑΖ ἴσαι εἰσί, καὶ ἡ μὲν εἰς ἴσα διῄρηται, ἡ δὲ εἰς ἄνισα, τὸ ὑπὸ τῶν ἴσων τμημάτων τοῦ ὑπὸ τῶν ἀνίσων μεῖζόν ἐστι· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΘΔ μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΑΚΖ. ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ ΑΘΔ
25	ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΒΘ, τῷ δὲ ὑπὸ ΑΚΖ ἴσον τὸ ἀπὸ	146
148	ΗΚ· μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΘ τοῦ ἀπὸ ΗΚ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΒΘ τῆς ΗΚ. ὡς δὲ ἡ ΒΘ πρὸς ΗΚ, οὕτως τό τε ὑπὸ ΒΘ, ΑΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΚ, ΑΖ, καὶ τὸ ἥμισυ πρὸς τὸ ἥμισυ, τουτέστι τὸ ΑΒΔ πρὸς τὸ
5	ΑΗΖ· μεῖζον ἄρα τὸ ΑΒΔ τοῦ ΑΗΖ, καὶ τὰ διπλάσια τὸ ΑΓΔ τοῦ ΑΕΖ. ὁμοίως δὴ δείκνυται, ὅτι πάν‐ των τῶν ἀνομοίων μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
9n	ιδʹ.
10	Τὸν δοθέντα κῶνον ὀρθόν, οὗ ὁ ἄξων ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως, τεμεῖν διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδῳ, ὥστε τὸ γινόμενον τρίγωνον μεῖζον εἶναι πάντων τῶν ἀνομοίων αὐτῷ ἐν τῷ κώνῳ γινο‐ μένων τριγώνων.
15	ἔστω ὁ δοθεὶς κῶνος ὀρθός, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α, βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, ἄξων δὲ ὁ ΑΒ ἐλάττων ὢν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως, καὶ δέον ἔστω τεμεῖν τὸν κῶνον, ὡς προστέτακται. ἤχθω τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἐπίπεδον ποιοῦν τὸ ΑΓΔ
20	τρίγωνον· ἡ ΑΒ ἄρα κάθετος ἐλάττων ἐστὶ τῆς ΒΔ. ἤχθω ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ τῇ ΓΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΕ, καὶ ᾧ μεῖζον τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΑ, τούτου ἥμισυ ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ, καὶ διὰ τοῦ Η παράλληλος ἤχθω τῇ ΓΔ ἡ ΖΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν
25	αἱ ΑΗ, ΒΘ. ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΒΔ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΘ, τοῦ ἀπὸ
25	ΒΑ μεῖζόν ἐστι δυσὶ τοῖς ἀπὸ ΒΗ, τὸ δὲ ἀπὸ ΑΗ	148
150	τοῦ ἀπὸ ΑΒ μεῖζόν ἐστιν ἑνὶ τῷ ἀπὸ ΒΗ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΘ τοῦ ἀπὸ ΑΗ μεῖζόν ἐστι τῷ ἀπὸ ΒΗ. ἔστι δὲ καὶ τοῦ ἀπὸ ΗΘ τῷ ἀπὸ ΗΒ μεῖζον τὸ ἀπὸ ΒΘ· ἑκατέρου ἄρα τῶν ἀπὸ ΑΗ, ΗΘ τῷ αὐτῷ ὑπερέχει τὸ
5	ἀπὸ ΒΘ· ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΗ τῷ ἀπὸ ΗΘ καὶ ἡ ΑΗ τῇ ΗΘ. καί ἐστι καὶ ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ ἴση· ἡ ἄρα ΑΗ ἴση ἐστὶ τῇ ἡμισείᾳ τῆς ΖΘ. ἐὰν ἄρα διὰ τῶν ΖΘ, ΗΑ διεκβάλωμεν ἐπίπεδον, ἔσται τρίγωνον ἐν τῷ κώνῳ· γεγονέτω τὸ ΑΖΘ. ἐπεὶ οὖν τρίγωνόν ἐστιν ἐν κώνῳ
10	τὸ ΑΖΘ, οὗ ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς κάθετος ἡ ΑΗ ἴση ἐστὶ τῇ ἡμισείᾳ τῆς βάσεως, τὸ ΑΖΘ ἄρα μεῖζόν ἐστι πάντων τῶν ἐν τῷ κώνῳ γινομένων τριγώνων ἀνομοίων αὐτῷ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
14n	ιεʹ.
15	Τὸν δοθέντα κῶνον διὰ τοῦ ἄξονος ἐπιπέδῳ τεμεῖν πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει. ἔστω ὁ δοθεὶς κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον, βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, ἄξων δὲ ὁ ΑΒ, καὶ δέον ἔστω τὸν κῶνον τεμεῖν διὰ τῆς ΑΒ πρὸς
20	ὀρθὰς τῇ βάσει. εἰ μὲν οὖν ὀρθός ἐστιν ὁ κῶνος, δῆλον, ὡς ἥ τε ΑΒ πρὸς ὀρθάς ἐστι τῇ βάσει, καὶ πάντα τὰ διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα πρὸς ὀρθάς ἐστι τῇ βάσει· ὥστε τὸ ΑΓΔ τρίγωνον διὰ τῆς ΑΒ ὂν πρὸς ὀρθάς
25	ἐστι τῇ βάσει. ἀλλὰ δὴ σκαληνὸς ἔστω ὁ κῶνος· ἡ ἄρα ΑΒ οὔκ
25	ἐστι πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει. πιπτέτω τοίνυν ἡ ἀπὸ τῆς Α	150
152	κορυφῆς κάθετος ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ, καὶ διεκβεβλήσθω τὸ τοῦ ΑΒΕ τριγώνου ἐπίπεδον ποιοῦν ἐν τῷ κώνῳ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον. λέγω, ὅτι τὸ ΑΓΔ πρὸς ὀρθάς ἐστι τῇ
5	βάσει τοῦ κώνου. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΕ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΑΕ ἐπίπεδα ἐκ‐ βαλλόμενα πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ· καὶ τὸ ΑΓΔ ἄρα τρίγωνον πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ τῆς
10	βάσεως ἐπιπέδῳ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
11n	ιϛʹ.
12	Ἐὰν κῶνος σκαληνὸς διὰ τοῦ ἄξονος ἐπιπέδῳ τμηθῇ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει, τὸ γενόμενον τρίγωνον ἔσται σκαληνόν, οὗ ἡ μὲν μείζων πλευρὰ μεγίστη ἔσται πα‐
15	σῶν τῶν ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου ἐπὶ τὴν περι‐ φέρειαν τῆς βάσεως ἀγομένων εὐθειῶν, ἡ δὲ ἐλάττων πλευρὰ ἐλαχίστη πασῶν τῶν ὁμοίως ἀγομένων εὐθειῶν, τῶν δὲ ἄλλων εὐθειῶν ἡ τῇ μεγίστῃ ἔγγιον τῆς ἀπώ‐ τερόν ἐστι μείζων.
20	ἔστω κῶνος σκαληνός, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α, βάσις δὲ ὁ ΓΕΔ κύκλος, ἄξων δὲ ὁ ΑΒ, τοῦ δὲ κώνου τμηθέντος διὰ τοῦ ἄξονος πρὸς ὀρθὰς τῷ ΓΕΔ κύκλῳ τὸ γενόμενον τρίγωνον ἔστω τὸ ΑΓΔ, προσνευέτω δὲ ὁ ἄξων ἐπὶ τὸ Δ μέρος. ἐπεὶ οὖν σκαληνοῦ ὄντος
25	τοῦ κώνου οὔκ ἐστιν ἡ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς τῷ ΓΔΕ	152
154	κύκλῳ, ἔστω πρὸς ὀρθὰς αὐτῷ ἡ ΑΘ· ἡ ΑΘ ἄρα ἐν τῷ τοῦ ΑΓΔ ἐστιν ἐπιπέδῳ καὶ πεσεῖται ἐπὶ τὴν ΓΒΔ ἐκβληθεῖσαν. ἐπεὶ οὖν μείζων ἡ ΓΘ τῆς ΘΔ, καὶ τὸ ἀπὸ ΓΘ ἄρα τοῦ ἀπὸ ΘΔ μεῖζον. κοινὸν προσκείσθω
5	τὸ ἀπὸ ΘΑ· τὰ ἄρα ἀπὸ ΓΘ, ΘΑ τῶν ἀπὸ ΔΘ, ΘΑ μείζονά ἐστι, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΓΑ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΔ. μείζων ἄρα ἡ ΑΓ τῆς ΑΔ. λέγω δή, ὅτι ἡ ΑΓ καὶ πασῶν ἁπλῶς μεγίστη ἐστὶ τῶν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τῆς βάσεως
10	ἀγομένων εὐθειῶν, ἡ δὲ ΑΔ ἐλαχίστη. ἤχθωσαν γὰρ αἱ ΘΕ, ΘΖ, ΘΗ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΘ μεγίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν περι‐ φέρειαν προσπιπτουσῶν, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΓ ἄρα μέ‐ γιστόν ἐστι τῶν ἀπὸ ΘΕ, ΘΖ, ΘΗ, ΘΔ. κοινὸν
15	προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΘΑ· τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΘΑ μεῖζόν ἐστιν ἑκάστου τῶν ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΕΘΑ, ΖΘΑ, ΗΘΑ, ΔΘΑ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΓ ἑκάστου τῶν ἀπὸ ΑΕ, ΑΖ, ΑΗ, ΑΔ. καὶ ἡ ΑΓ ἄρα μείζων ἐστὶν ἑκάστης τῶν ΑΕ, ΑΖ, ΑΗ, ΑΔ. ὁμοίως
20	δείκνυται, ὅτι καὶ τῶν ἄλλων· μεγίστη ἄρα ἡ ΑΓ πασῶν τῶν, ὡς εἴρηται, ἀγομένων εὐθειῶν ἐν τῷ κώνῳ. διὰ τῶν αὐτῶν δὲ δείκνυται, ὅτι καὶ ἡ μὲν ΑΔ ἐλαχίστη,
20	τῶν δὲ ἄλλων ἡ μὲν ΑΕ τῆς ΑΖ μείζων, ἡ δὲ ΑΖ	154
156	τῆς ΑΗ, καὶ ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ΑΓ τῆς ἀπώτερόν ἐστι μείζων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
3n	ιζʹ.
4	Ἐὰν τριγώνου ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν
5	τῆς βάσεως εὐθεῖα ἀχθῇ, τὰ ἀπὸ τῶν πλευρῶν τετρά‐ γωνα ἴσα ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν τμημάτων τῆς βάσεως καὶ τῷ δὶς ἀπὸ τῆς ἠγμένης ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν εὐθείας. ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, οὗ δίχα τετμήσθω ἡ βάσις
10	κατὰ τὸ Δ, καὶ διήχθω ἡ ΑΔ. λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ ΑΒ, ΑΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ καὶ τῷ δὶς ἀπὸ τῆς ΑΔ. εἰ μὲν οὖν ἰσοσκελές ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, φα‐ νερὰ ἡ δεῖξις διὰ τὸ ἑκατέραν τῶν πρὸς τῷ Δ γίνεσθαι
15	ὀρθήν. ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ ΒΑ τῆς ΑΓ μείζων· μείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ γωνία τῆς ὑπὸ ΑΔΓ. ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΔ, καὶ κατήχθωσαν ἐπ’ αὐτὴν κάθετοι αἱ ΒΕ, ΓΖ· ὅμοια ἄρα ἐστὶ τὰ ΕΒΔ, ΓΖΔ ὀρθογώνια διὰ τὸ παρ‐
20	αλλήλους εἶναι τὰς ΒΕ, ΖΓ· ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς ΔΖ. ἴση δὲ ἡ ΒΔ τῇ ΓΔ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΕΔ τῇ ΔΖ καὶ τὸ ὑπὸ ΑΔ, ΔΕ τῷ ὑπὸ
20	ΑΔ, ΔΖ καὶ τὸ δὶς ὑπὸ ΑΔ, ΔΕ τῷ δὶς ὑπὸ ΑΔ, ΔΖ.	156
158	ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ τῶν ἀπὸ ΑΔ, ΔΒ μεῖζόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ ΑΔ, ΔΕ, τουτέστι τῷ δὶς ὑπὸ ΑΔ, ΔΖ, τὸ δὲ ἀπὸ ΑΓ τῶν ἀπὸ ΑΔ, ΔΓ ἔλαττόν ἐστι τῷ αὐτῷ τῷ δὶς ὑπὸ ΑΔ, ΔΖ, τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΑ, ΑΓ
5	ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΒΔ, ΔΓ καὶ τῷ δὶς ἀπὸ τῆς ΑΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
7n	ιηʹ.
8	Ἐὰν τεσσάρων εὐθειῶν ἡ πρώτη πρὸς τὴν δευτέραν μείζονα λόγον ἔχῃ ἤπερ ἡ τρίτη πρὸς τὴν τετάρτην,
10	καὶ τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ τὸ ἀπὸ τῆς τρίτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τετάρτης. κἂν τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας μείζονα λόγον ἔχῃ ἤπερ τὸ ἀπὸ τῆς τρίτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τετάρτης, ἡ πρώτη πρὸς τὴν
15	δευτέραν μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ τρίτη πρὸς τὴν τετάρτην. ἔστωσαν εὐθεῖαι αἱ Α, Β, Γ, Δ, ἐχέτω δὲ ἡ Α πρὸς τὴν Β μείζονα λόγον ἤπερ ἡ Γ πρὸς τὴν Δ. λέγω, ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β μείζονα
20	λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ. ἐπεὶ γὰρ ὁ τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγος μείζων ἐστὶ τοῦ τῆς Γ πρὸς τὴν Δ, καὶ ὁ τοῦ μείζονος ἄρα διπλά‐ σιος μείζων ἐστὶ τοῦ τοῦ ἐλάττονος διπλασίου. ἔστι δὲ τοῦ μὲν τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγου μείζονος ὄντος
25	διπλάσιος ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγος, τοῦ δὲ τῆς Γ πρὸς τὴν Δ λόγου ἐλάττονος ὄντος διπλάσιος ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ· καὶ ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς Α ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγος μείζων
25	ἐστὶ τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ.	158
160	πάλιν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β μεί‐ ζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ. λέγω, ὅτι ἡ Α πρὸς τὴν Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς τὴν Δ.
5	ἐπεὶ ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγος μείζων ἐστὶ τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ λόγου, καὶ ὁ τοῦ μείζονος ἄρα ἥμισυς τοῦ τοῦ ἐλάτ‐ τονος ἡμίσεος μείζων ἐστίν. ἔστι δὲ τοῦ μὲν ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγου μείζονος ὄντος ἥμισυς ὁ
10	τῆς Α πρὸς τὴν Β, τοῦ δὲ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ ἐλάττονος ὄντος ἥμισυς ὁ τῆς Γ πρὸς τὴν Δ· καὶ ὁ τῆς Α ἄρα πρὸς τὴν Β λόγος μείζων ἐστὶ τοῦ τῆς Γ πρὸς τὴν Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
14n	ιθʹ.
15	Ἐὰν δύο μεγέθη ἴσα ἀνομοίως διαιρεθῇ, τῶν δὲ τοῦ ἑτέρου τμημάτων τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττον μεί‐ ζονα λόγον ἔχῃ ἤπερ τοῦ λοιποῦ τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττον ἢ τὸ ἴσον πρὸς τὸ ἴσον, τῶν προειρημένων τμημάτων τὸ μὲν μεῖζον μέγιστον ἔσται τῶν τεσσάρων
20	τμημάτων, τὸ δὲ ἔλαττον ἐλάχιστον τῶν τεσσάρων. ἔστω δύο μεγέθη ἴσα τὰ ΑΒ, ΓΔ, καὶ διῃρήσθω τὸ μὲν ΑΒ τῷ Ε, τὸ δὲ ΓΔ τῷ Ζ, ἔστω δὲ τὸ μὲν ΑΕ τοῦ ΕΒ μεῖζον, τὸ δὲ ΓΖ τοῦ ΖΔ μὴ ἔλαττον, ὥστε τὸ ΑΕ πρὸς ΕΒ μείζονα λόγον ἔχειν ἤπερ τὸ ΓΖ
25	πρὸς τὸ ΖΔ. λέγω, ὅτι τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ, ΖΔ μεγε‐ θῶν μέγιστον μέν ἐστι τὸ ΑΕ, ἐλάχιστον δὲ τὸ ΒΕ. ἐπεὶ τὸ ΑΕ πρὸς ΕΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ
25	ΓΖ πρὸς ΖΔ, καὶ συνθέντι ἄρα τὸ ΑΒ πρὸς ΒΕ	160
162	μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΓΔ πρὸς ΔΖ, καὶ ἐναλλὰξ τὸ ΑΒ πρὸς ΓΔ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΕΒ πρὸς ΖΔ. καί ἐστιν ἴσον τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ· ἔλαττον ἄρα τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ. τὸ δὲ ΖΔ τοῦ ΓΖ οὐ μεῖζον·
5	καὶ τοῦ ΓΖ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τὸ ΕΒ. ἦν δὲ καὶ τοῦ ΑΕ ἔλαττον· ἐλάχιστον ἄρα τὸ ΕΒ. πάλιν ἐπεὶ τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ ἴσον, ὧν τὸ ΕΒ τοῦ ΔΖ ἔλαττον, λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΑ λοιποῦ τοῦ ΓΖ μεῖζον. τὸ δὲ ΓΖ τοῦ ΖΔ οὐκ ἔλαττόν ἐστι· καὶ τοῦ ΖΔ ἄρα μεῖζόν ἐστι
10	τὸ ΑΕ. ἦν δὲ καὶ τοῦ ΕΒ μεῖζον· μέγιστον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕ, τὸ δὲ ΕΒ ἐλάχιστον.
12n	κʹ.
13	Ἐὰν δύο τρίγωνα τάς τε βάσεις ἴσας ἔχῃ, ἔχῃ δὲ καὶ τὰς ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βά‐
15	σεως ἠγμένας εὐθείας ἴσας, τοῦ δὲ ἑτέρου ἡ μείζων πλευρὰ πρὸς τὴν ἐλάττονα μείζονα λόγον ἔχῃ ἤπερ ἡ τοῦ λοιποῦ μείζων πρὸς τὴν ἐλάττονα ἢ καὶ ἴση πρὸς τὴν ἴσην, οὗ ἡ μείζων πλευρὰ πρὸς τὴν ἐλάττονα μεί‐ ζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστιν.
20	ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς ΒΓ, ΕΖ βάσεις, ὧν ἑκατέρα τετμήσθω δίχα κατὰ τὰ Η καὶ Θ σημεῖα, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΑΗ, ΔΘ ἴσαι ἔστωσαν· ἔστω δὲ ἡ μὲν ΕΔ τῆς ΔΖ μείζων, ἡ δὲ ΒΑ
20	τῆς ΑΓ μὴ ἐλάττων, ὥστε τὴν ΕΔ πρὸς ΔΖ μείζονα	162
164	λόγον ἔχειν ἤπερ τὴν ΒΑ πρὸς ΑΓ. λέγω, ὅτι τὸ ΔΕΖ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ. ἐπεὶ γὰρ αἱ ΒΓ, ΕΖ ἴσαι τέ εἰσι καὶ εἰς ἴσα διῄρηνται, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΗ τῇ ΔΘ ἴση, καὶ τὰ ἀπ’
5	αὐτῶν ἄρα ἴσα ἐστί· τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΗ, ΗΓ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΑΗ τοῖς ἀπὸ ΕΘ, ΘΖ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΘΔ ἴσα ἐστίν. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ ΒΗ, ΗΓ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΑΗ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ ΒΑ, ΑΓ· τοῦτο γὰρ ἐδείχθη· τοῖς δὲ ἀπὸ ΕΘ, ΘΖ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΘΔ
10	ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ ΕΔ, ΔΖ· καὶ συναμφότερον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΑ, ΑΓ συναμφοτέρῳ τῷ ἀπὸ ΕΔ, ΔΖ ἴσον ἐστί. καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΔ πρὸς ΔΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΑ πρὸς ΑΓ, καὶ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ
15	ἀπὸ ΑΓ. ἐπεὶ οὖν δύο ἴσων μεγεθῶν τοῦ τε ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ, ΑΓ καὶ τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΕΔ, ΔΖ τὸ μεῖζον τμῆμα πρὸς τὸ ἔλαττον, τουτ‐ έστι τὸ ἀπὸ ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ, μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ τοῦ λοιποῦ τμῆμα πρὸς τὸ λοιπὸν τμῆμα,
20	τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, τὸ μὲν ἄρα ἀπὸ ΕΔ μέγιστον ὂν μεῖζόν ἐστιν ἑκατέρου τῶν ἀπὸ ΒΑ, ΑΓ, τὸ δὲ ἀπὸ ΔΖ ἐλάχιστον ὂν ἔλαττόν ἐστιν ἑκατέρου τῶν ἀπὸ ΒΑ, ΑΓ διὰ τοῦ πρὸ τούτου θεω‐ ρήματος· καὶ ἡ μὲν ΕΔ ἄρα ἑκατέρας τῶν ΒΑ, ΑΓ
25	μείζων ἐστίν, ἡ δὲ ΔΖ ἑκατέρας τῶν ΒΑ, ΑΓ ἐλάττων. ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ἴσῳ τῇ ΕΔ γραφόμενος κύκλος ὑπερπεσεῖται τὴν ΒΑ· γεγράφθω ὁ ΚΛ· καὶ ὁ κέντρῳ μὲν τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ ἴσῳ
25	τῇ ΔΖ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὴν ΑΓ· γεγράφθω	164
166	ὁ ΜΝ. τέμνουσι δὴ ἀλλήλους οἱ ΚΛ, ΜΝ κύκλοι, ὡς δειχθήσεται. τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὸ Ξ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΑ, ΞΒ, ΞΗ, ΞΓ· ἡ μὲν ἄρα ΒΞ τῇ ΕΔ ἴση, ἡ δὲ ΞΓ τῇ ΔΖ. ἦν δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ
5	ΕΖ ἴση· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΒΞΓ τρίγωνον τῷ ΕΔΖ ἴσον ἐστίν. ὥστε ἴση καὶ ἡ ΞΗ τῇ ΔΘ, τουτέστι τῇ ΑΗ· ὀξεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΞΑΗ γωνία. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΑ τῆς ΑΓ οὔκ ἐστιν ἐλάττων, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΒ ἄρα γωνία τῆς ὑπὸ ΑΗΓ οὔκ ἐστιν ἐλάττων· ἡ ἄρα
10	ὑπὸ ΑΗΓ οὐ μείζων ἐστὶν ὀρθῆς. ἡ δὲ ὑπὸ ΗΑΞ ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς· αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΗΑ, ΞΑΗ δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν· οὐκ ἄρα ἡ ΑΞ τῇ ΗΓ παρ‐ άλληλός ἐστιν. ἤχθω δὴ διὰ τοῦ Α τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΑΠ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΞΠ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΠ·
15	τὸ ἄρα ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ΒΠΓ τριγώνῳ. τὸ ἄρα ΒΑΓ μεῖζόν ἐστι τοῦ ΒΞΓ, τουτέστι τοῦ ΕΔΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ὅτι δὲ τέμνουσιν ἀλλήλους οἱ ΚΛ, ΜΝ κύκλοι, δεικτέον οὕτως.
20	ἔστω γὰρ τῇ μὲν ΕΔ ἴση ἡ ΒΑΡ, τῇ δὲ ΔΖ ἴση ἡ ΓΣ ἐπ’ εὐθείας οὖσα τῇ ΒΓ· ὅλη ἄρα ἡ ΒΣ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΕΖ, ΖΔ. ἐπεὶ οὖν συναμφό‐ τερος ἡ ΕΖ, ΖΔ τῆς ΕΔ μείζων ἐστί, καὶ ἡ ΒΣ ἄρα τῆς ΒΡ μείζων ἐστίν· ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Β, διαστήματι
25	δὲ τῷ ΒΡ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὴν ΒΣ. ἡ δὲ ΓΣ	166
168	ἴση οὖσα τῇ ΔΖ ἐλάττων ἐστὶ τῆς ΓΑ· ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ ΓΣ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὴν ΑΓ. τεμνέτω κατὰ τὸ Υ· ἥξει ἄρα διὰ τῆς ΡΤ περιφερείας. τέμνουσιν ἄρα ἀλλήλους καὶ οἱ ΚΛ, ΜΝ
5	κύκλοι.
6n	καʹ.
7	Ἐὰν δύο τρίγωνα ἀνισοσκελῆ τάς τε βάσεις ἴσας ἔχῃ, ἔχῃ δὲ καὶ τὰς ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτο‐ μίαν τῆς βάσεως ἠγμένας εὐθείας ἴσας, τοῦ ἐλάττονος
10	ἡ μείζων πλευρὰ πρὸς τὴν ἐλάττονα μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ τοῦ μείζονος μείζων πλευρὰ πρὸς τὴν ἐλάττονα. ἔστω τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΕΖΗ ἴσας ἔχοντα τάς τε ΑΓ, ΕΗ βάσεις δίχα τετμημένας κατὰ τὰ Δ καὶ Θ σημεῖα, ἴσαι δὲ ἔστωσαν καὶ αἱ ΒΔ, ΖΘ, καὶ μεῖζον
15	τὸ ΕΖΗ τρίγωνον, ἔστω δὲ ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΒΓ μείζων, ἡ δὲ ΕΖ τῆς ΖΗ. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ. εἰ γὰρ μή, ἤτοι τὸν αὐτὸν ἢ ἐλάττονα. ἔστω οὖν πρότερον, εἰ δυνατόν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ,
20	οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ. ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ· καὶ συνθέντι ἄρα καὶ ἐναλλάξ, ὡς συναμφότερον τὸ ἀπὸ ΑΒ, ΒΓ πρὸς συναμφότερον τὸ ἀπὸ ΕΖ, ΖΗ, οὕτω
20	τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ. ἀλλὰ συναμφότερον τὸ	168
170	ἀπὸ ΑΒΓ συναμφοτέρῳ τῷ ἀπὸ ΕΖΗ ἴσον· καὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ ἄρα τῷ ἀπὸ ΖΗ ἴσον. ὥστε καὶ λοιπὸν τὸ ἀπὸ ΑΒ λοιπῷ τῷ ἀπὸ ΕΖ ἴσον· ἴση ἄρα ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΕΖ, ἡ δὲ ΒΓ τῇ ΖΗ. ἀλλὰ καὶ αἱ βάσεις ἴσαι·
5	πάντα ἄρα πᾶσιν ἴσα. ἴσον ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΖΗ· ὅπερ ἄτοπον· ἦν γὰρ ἔλαττον τὸ ΑΒΓ. οὐκ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ λόγον ἔχει, ὃν ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ. ἀλλ’, εἰ δυνατόν, ἐχέτω ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ ἐλάττονα λόγον ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ· ἡ ΕΖ ἄρα πρὸς ΖΗ
10	μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ. τὸ ἄρα ΕΖΗ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ διὰ τὰ δειχ‐ θέντα· ὅπερ ἄτοπον· ὑπέκειτο γὰρ μεῖζον. οὐκ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ τὸν αὐτόν· ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς
15	ΒΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ.
16n	κβʹ.
17	Τὸν δοθέντα κῶνον σκαληνὸν τεμεῖν διὰ τῆς κορυ‐ φῆς ἐπιπέδῳ ποιοῦντι ἐν τῷ κώνῳ τρίγωνον ἰσοσκελές. ἔστω ὁ δοθεὶς κῶνος σκαληνός, οὗ ἄξων μὲν ὁ ΑΒ,
20	βάσις δὲ ὁ ΓΕΔ κύκλος, καὶ δέον ἔστω τεμεῖν αὐτόν, ὡς ἐπιτέτακται. τετμήσθω πρῶτον διὰ τοῦ ἄξονος τῷ ΑΓΔ ἐπι‐ πέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὄντι τῷ ΓΕΔ κύκλῳ, καὶ ἤχθω ἡ ΑΗ κάθετος, ἥτις πίπτει ἐπὶ τὴν ΓΔ βάσιν τοῦ ΑΓΔ
25	τριγώνου, καὶ τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ἡ ΕΖ, καὶ διὰ τῆς ΕΖ καὶ τῆς Α
25	κορυφῆς ἐκβεβλήσθω τὸ ἐπίπεδον ποιοῦν τὸ ΑΕΖ	170
172	τρίγωνον. λέγω, ὅτι τὸ ΑΕΖ τρίγωνον ἰσοσκελές ἐστιν. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΗ, ΖΗ. ἐπεὶ ἡ ΓΔ τὴν ΕΖ πρὸς ὀρθὰς τέμνουσα δίχα[Omitted graphic marker]
5	αὐτὴν τέμνει, ἴση ἄρα ἡ ΕΗ τῇ ΖΗ. καὶ κοινὴ ἡ ΑΗ, καὶ ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΗΕ, ΑΗΖ γω‐ νιῶν· καὶ ἡ ΕΑ ἄρα τῇ
10	ΑΖ ἴση ἐστίν. ἰσοσκελὲς ἄρα τὸ ΑΕΖ τρίγωνον. ἐκ δὴ τούτου φανερόν ἐστιν, ὅτι πάντα τὰ συν‐ ιστάμενα τρίγωνα τὰς βά‐
15	σεις ἔχοντα πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΔ ἰσοσκελῆ ἐστιν.
17n	κγʹ.
18	Ἔτι δεικτέον, ὅτι, ἐὰν τὰ γινόμενα τρίγωνα τὰς βάσεις μὴ πρὸς ὀρθὰς ἔχῃ τῇ ΓΔ, οὐκ ἔσται ἰσοσκελῆ.
20	ὑποκείσθω γὰρ ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἡ ΕΖ μὴ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΔ· αἱ ΕΗ, ΖΗ ἄρα ἄνισοί εἰσι. κοινὴ δὲ ἡ ΗΑ καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐταῖς· καὶ αἱ ἄρα ΕΑ, ΑΖ ἄνισοί εἰσι. τὸ ΕΑΖ ἄρα τρίγωνον οὔκ ἐστιν ἰσοσκελές.
25n	κδʹ.
26	Ἐν κώνῳ σκαληνῷ τῶν διὰ τοῦ ἄξονος συνιστα‐
26	μένων τριγώνων μέγιστον μὲν ἔσται τὸ ἰσοσκελές,	172
174	ἐλάχιστον δὲ τὸ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει τοῦ κώνου, τῶν δὲ λοιπῶν τὸ τοῦ μεγίστου ἔγγιον μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπώτερον. ἐν γὰρ κώνῳ σκαληνῷ διὰ τοῦ ΑΒ ἄξονος ἔστω
5	τρίγωνα, ἰσοσκελὲς μὲν τὸ ΑΓΔ, ὀρθὸν δὲ πρὸς τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον τὸ ΑΕΖ. λέγω, ὅτι πάντων τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων μέγιστον μέν ἐστι τὸ ΑΓΔ, ἐλάχιστον δὲ τὸ ΑΕΖ. ἔστω γὰρ διὰ τοῦ ἄξονος ἠγμένον ἄλλο τρίγωνον
10	τὸ ΑΗΘ. καὶ ἐπεὶ σκαληνὸς ὁ κῶνος, κεκλίσθω ὁ ΑΒ ἄξων ἐπὶ τὰ τοῦ Ζ μέρη· μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΑΕ πλευρὰ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν περιφέρειαν ἀγομένων εὐθειῶν, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΑΖ. ἡ μὲν ἄρα ΕΑ τῆς ΑΗ μείζων ἐστίν, ἡ δὲ ΖΑ τῆς ΑΘ ἐλάττων.
15	ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνα τὰ ΑΕΖ, ΑΗΘ ἴσας ἔχει βάσεις τὰς ΕΖ, ΗΘ καὶ τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχο‐ τομίαν τῆς βάσεως τὴν αὐτὴν τὴν ΑΒ, καὶ μείζονα λόγον ἔχει ἡ ΑΕ πρὸς ΑΖ ἤπερ ἡ ΗΑ πρὸς ΑΘ, ἔλαττον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕΖ τοῦ ΗΑΘ. ὁμοίως δὲ δείκ‐
20	νυται, ὅτι καὶ πάντων τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων· ἐλάχιστον ἄρα τὸ ΕΑΖ πάντων τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων. πάλιν ἐπεὶ τῶν ΑΗΘ, ΑΓΔ τριγώνων αἵ τε βάσεις ἴσαι καὶ ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχο‐ τομίαν τῆς βάσεως ἡ αὐτή, καὶ ἔχει ἡ ΗΑ πρὸς ΑΘ
25	μείζονα λόγον ἤπερ ἡ ΓΑ πρὸς ΑΔ· ἴσαι γὰρ αἱ ΓΑ,	174
176	ΑΔ· τὸ ΗΑΘ ἄρα τρίγωνον ἔλαττόν ἐστι τοῦ ΓΑΔ τριγώνου. ὁμοίως δὲ δείκνυται, ὅτι καὶ πάντα τὰ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνα τοῦ ΓΑΔ ἐλάττονά ἐστι. μέγιστον ἄρα πάντων τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων τὸ ΑΓΔ,
5	ἐλάχιστον δὲ τὸ ΑΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ὁμοίως δὲ δείκνυται, ὅτι καὶ τὸ τοῦ μεγίστου ἔγγιον μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπώτερον.
8n	κεʹ.
9	Ἐν τῷ δοθέντι κώνῳ σκαληνῷ ἀπὸ τῆς κορυφῆς
10	ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τῆς βάσεως εὐθεῖαν ἀγαγεῖν, πρὸς ἣν ἡ μεγίστη λόγον ἕξει δοθέντα· δεῖ δὴ τὸν δοθέντα λόγον μείζονος μὲν εἶναι πρὸς ἐλάττονα, ἐλάττονα δὲ εἶναι τοῦ ὃν ἔχει ἡ μεγίστη τῶν ἐν τῷ κώνῳ πρὸς τὴν ἐλαχίστην.
15	δεδόσθω κῶνος, οὗ βάσις ὁ ΒΓ κύκλος καὶ διά‐ μετρος τοῦ κύκλου ἡ ΒΓ, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, πρὸς ὀρθὰς δὲ τῷ ΒΓ κύκλῳ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον· με‐ γίστη μὲν ἄρα ἡ ΒΑ τῶν ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου εὐθειῶν, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΑΓ. ἐπιτετάχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Α
20	ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου ἀγαγεῖν εὐθεῖαν, πρὸς ἣν ἡ ΒΑ λόγον ἕξει, ὃν ἔχει ἡ Δ εὐθεῖα μείζων οὖσα πρὸς τὴν Ε ἐλάττονα· ἐχέτω δὲ ἡ Δ πρὸς Ε λόγον ἐλάττονα τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΑ πρὸς ΑΓ. κατήχθω ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΖ, καὶ ἐκβε‐
25	βλήσθω ἡ ΒΖΗ, καὶ ὡς ἡ Δ πρὸς Ε, οὕτως ἐχέτω	176
178	ἡ ΒΑ πρὸς ἄλλην τινά, ἐχέτω δὲ πρὸς τὴν ΑΗ, ἥτις ἐνηρμόσθω ὑπὸ τὴν ὑπὸ ΑΖΗ γωνίαν. ἡ ΒΑ ἄρα πρὸς ΑΗ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς ΑΓ· μείζων ἄρα ἡ ΗΑ τῆς ΑΓ καὶ ἡ ΗΖ τῆς ΖΓ. ἐπεὶ
5	οὖν, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ, μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΑ τοῦ ἀπὸ ΑΗ, τουτέστι τὰ ἀπὸ ΒΖ, ΖΑ τῶν ἀπὸ ΑΖ, ΖΗ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΑΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΖ τοῦ ἀπὸ ΖΗ μεῖζον, καὶ ἡ ΒΖ τῆς
10	ΖΗ. ἦν δὲ καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΗ ἐλάττων· ἡ ἄρα ΖΗ τῆς μὲν ΖΓ μείζων ἐστί, τῆς δὲ ΖΒ ἐλάττων. ἐνηρ‐ μόσθω τοίνυν τῷ κύκλῳ τῇ ΖΗ ἴση ἡ ΖΘ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΑΘ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΘΖ τῇ ΖΗ ἴση, κοινὴ δὲ ἡ ΖΑ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἑκατέρᾳ αὐτῶν, καὶ βάσις ἄρα
15	ἡ ΘΑ τῇ ΑΗ ἴση. ἐπεὶ οὖν, ὡς ἡ Δ πρὸς Ε, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΒΑ πρὸς ΑΘ, ἡ δὲ Δ πρὸς Ε ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ ἐστί, καὶ ἡ ΒΑ ἄρα πρὸς ΑΘ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ ἐστίν. ἡ ΑΘ ἄρα διῆκται, πρὸς ἣν ἡ ΒΑ λόγον ἔχει τὸν ἐπιταχθέντα·
20	ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.	178
180 (1n)	κϛʹ.
2	Ἔστω τρίγωνον δοθὲν τὸ ΑΒΓ σκαληνὸν μείζονα ἔχον τὴν ΑΒ τῆς ΑΓ, ἡ δὲ ΒΓ βάσις τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ διήχθω ἡ ΑΔ, καὶ ἡ μὲν ΕΔ πρὸς
5	ὀρθὰς ἔστω τῇ ΒΓ ἴση οὖσα τῇ ΔΑ, ἡ δὲ ΑΖ κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ. μεῖζον τοῦ ΑΒΓ ἄλλο τρίγωνον συστή‐ σασθαι τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βάσεως ἴσην ἑκατέρᾳ τῷ ΔΕ, ΔΑ καὶ προσέτι λόγον ἔχον πρὸς τὸ ΑΒΓ, ὃν ἡ Θ πρὸς Η μείζων πρὸς
10	ἐλάττονα· ἐχέτω δὲ ἡ Θ πρὸς Η λόγον μὴ μείζονα ἤπερ ἡ ΔΕ πρὸς ΑΖ. κέντρῳ τῷ Δ, διαστήματι δὲ τῷ ΔΑ γεγράφθω κύκλος· ἥξει δὴ καὶ διὰ τοῦ Ε· ἔστω δὴ ὁ ΕΑ. ἐπεὶ οὖν ὁ τῆς Θ πρὸς Η λόγος οὐ μείζων ἐστὶ
15	τοῦ τῆς ΔΕ πρὸς ΑΖ, ἤτοι ὁ αὐτός ἐστιν ἢ ἐλάττων.	180
182	ἔστω πρότερον ὁ αὐτός, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ, ΕΓ. ἐπεὶ οὖν, ὡς ἡ Θ πρὸς Η, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς ΑΖ, ὡς δὲ ἡ ΕΔ πρὸς ΑΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΔ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΒΓ, ὡς ἄρα ἡ Θ πρὸς Η, οὕτως
5	τὸ ὑπὸ ΕΔ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΒΓ. ἀλλὰ τοῦ μὲν ὑπὸ ΕΔ, ΒΓ ἥμισύ ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον, τοῦ δὲ ὑπὸ ΑΖ, ΒΓ ἥμισύ ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον· καὶ τὸ ΒΕΓ ἄρα πρὸς τὸ ΒΑΓ λόγον ἔχει, ὃν ἡ Θ πρὸς Η, τουτέστι τὸν ἐπιταχθέντα.
10	ἀλλὰ δὴ ἐχέτω ἡ Θ πρὸς Η ἐλάττονα λόγον ἤπερ ἡ ΕΔ πρὸς ΑΖ, γενέσθω δέ, ὡς ἡ Θ πρὸς Η, οὕτως ἡ ΚΔ πρὸς ΑΖ, καὶ διὰ τοῦ Κ τῇ ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΒ, ΛΓ. ἐπεὶ οὖν, ὡς ἡ Θ πρὸς Η, οὕτως ἡ ΚΔ πρὸς ΑΖ, ὡς δὲ
15	ἡ ΚΔ πρὸς ΑΖ, οὕτως τὸ ΒΛΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον, τὸ ἄρα ΒΛΓ πρὸς τὸ ΒΑΓ τὸν ἐπι‐ ταχθέντα ἔχει λόγον τὸν τῆς Θ πρὸς Η· ἔχει δὲ καὶ τὴν ΛΔ ἴσην τῇ ΔΑ· ὃ προστέτακται ποιῆσαι.
19n	κζʹ.
20	Τὸν δοθέντα κῶνον σκαληνὸν τεμεῖν διὰ τοῦ ἄξο‐ νος ἐπιπέδῳ ποιοῦντι τρίγωνον ἐν τῷ κώνῳ, ὃ τὸν δοθέντα λόγον ἕξει πρὸς τὸ ἐλάχιστον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων· δεῖ δὴ τὸν δοθέντα λόγον μείζονος ὄντα πρὸς ἔλαττον μὴ μείζονα εἶναι τοῦ ὃν ἔχει τὸ
25	μέγιστον τρίγωνον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος πρὸς τὸ ἐλά‐ χιστον.
25	ἔστω ὁ δοθεὶς κῶνος σκαληνός, οὗ ὁ ἄξων ὁ ΑΒ,	182
184	βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, τὸ δὲ ἐλάχιστον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων τὸ ΑΓΔ, καὶ δέον ἔστω διὰ τοῦ ΑΒ ἄξονος ἀγαγεῖν ἐπίπεδον ποιοῦν τρίγωνον, ὃ λόγον ἕξει πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, ὃν
5	ἔχει ἡ Ε εὐθεῖα μείζων οὖσα πρὸς τὴν Ζ, μὴ μείζονα λόγον ἤπερ τὸ μέγιστον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων πρὸς τὸ ἐλάχιστον τὸ ΑΓΔ. εἰ μὲν οὖν ἡ Ε πρὸς Ζ λόγον ἔχει, ὃν τὸ μέγι‐ στον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων πρὸς τὸ ἐλάχιστον,
10	διὰ τοῦ Β πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΔ ἀγαγόντες εὐθεῖαν ἐν τῷ κύκλῳ καὶ διὰ τῆς ἀχθείσης καὶ τοῦ ἄξονος ἐκ‐ βαλόντες ἐπίπεδον ἕξομεν τρίγωνον ἰσοσκελές, ὃ μέγι‐ στόν ἐστι τῶν διὰ τοῦ ἄξονος· ταῦτα γὰρ ἐδείχθη· καὶ ἕξει πρὸς τὸ ΑΓΔ λόγον τὸν τῆς Ε πρὸς Ζ,
15	τουτέστι τὸν ἐπιταχθέντα. ἐχέτω δὲ νῦν ἡ Ε πρὸς Ζ ἐλάττονα λόγον ἤπερ τὸ μέγιστον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων πρὸς τὸ ἐλάχιστον, καὶ κείσθω ἐκτὸς εὐθεῖα ἡ ΗΘ ἴση οὖσα τῇ ΓΔ, καὶ ἐπ’ αὐτῆς τὸ ΚΗΘ τρίγωνον ὅμοιον ὂν
20	τῷ ΑΓΔ, ὥστε καὶ τὴν ΚΗ τῇ ΑΓ ἴσην εἶναι καὶ πάντα πᾶσιν, καὶ ἐπὶ τῆς ΗΘ συνεστάτω τρίγωνον ἴσην ἔχον τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν
20	τῆς βάσεως τῇ ΚΛ καὶ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ΚΗΘ, ὃν	184
186	ἡ Ε πρὸς Ζ. τὸ δὴ συνιστάμενον τρίγωνον τὴν κορυφὴν ἕξει ἐπὶ τὰ τοῦ Η μέρη, ὡς δειχθήσεται. ἔστω δὴ τὸ ΜΗΘ, ὥστε τὴν ΜΗ πλευρὰν τῆς ΜΘ μείζονα εἶναι. ἐπεὶ οὖν ἡ ΜΛ τῇ ΛΚ ἴση, κοινὴ δὲ ἡ ΛΗ,
5	μείζων δὲ ἡ ὑπὸ ΚΛΗ γωνία τῆς ὑπὸ ΜΛΗ, μείζων ἄρα ἡ ΚΗ τῆς ΜΗ. ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΓΑ ἴση· καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῆς ΜΗ μείζων ἐστί. πάλιν ἐπεὶ ἡ ΚΘ τῆς ΜΘ ἐλάττων ἐστίν, ἡ δὲ ΜΘ τῆς ΜΗ ἐλάττων, ἡ ἄρα ΚΘ τῆς ΜΗ ἐλάττων ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἡ ΜΗ
10	τῆς μὲν μεγίστης τῶν ἐν τῷ κώνῳ ἐλάττων ἐστὶ τῆς ΑΓ, τῆς δὲ ἐλαχίστης μείζων τῆς ΑΔ, δυνατὸν ἄρα εὐθεῖαν ἴσην τῇ ΜΗ ἀπὸ τῆς Α κορυφῆς ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τῆς βάσεως ἀγαγεῖν, ὡς ἤδη μεμαθήκαμεν. ἤχθω δὴ καὶ ἔστω ἡ ΑΝ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΝΒΞ καὶ
15	ἡ ΑΞ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ μὲν ΑΝ τῇ ΜΗ, ἡ δὲ ΝΒ τῇ ΗΛ, ἡ δὲ ΒΑ τῇ ΛΜ, ὅλον ἄρα τὸ ΑΝΒ τρί‐ γωνον τῷ ΜΗΛ ἴσον ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΝ γωνία τῇ ὑπὸ ΜΛΗ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΞ ἄρα τῇ ὑπὸ ΜΛΘ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΛΜ, ἡ δὲ ΒΞ τῇ ΛΘ,
20	ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΞ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΜΛΘ, ἴση ἄρα ἡ ΑΞ τῇ ΜΘ. ἦν δὲ καὶ ἡ ΑΝ τῇ ΜΗ ἴση καὶ ἡ ΝΞ βάσις τῇ ΗΘ· τὸ ἄρα ΑΝΞ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΗΜΘ. ἀλλὰ τὸ ΗΜΘ πρὸς τὸ ΗΚΘ, τουτέστι πρὸς τὸ ΓΑΔ, λόγον ἔχει τὸν τῆς Ε πρὸς
25	Ζ· καὶ τὸ ΑΝΞ ἄρα πρὸς τὸ ΑΓΔ λόγον ἔχει, ὃν ἡ	186
188	Ε πρὸς Ζ. ἦκται ἄρα διὰ τοῦ ἄξονος τὸ ΑΝΞ τρί‐ γωνον, ὡς ἐπιτέτακται.
3n	κηʹ.
4	Εἰ δέ τις λέγει, ὅτι τὸ συνιστάμενον ἐπὶ τῆς ΗΘ
5	τρίγωνον μεῖζον ὑπάρχον τοῦ ΗΚΘ ἐπὶ τὰ τοῦ Θ μέρη τὴν κορυφὴν ἕξει, συμβήσεται ἀδύνατον. ἔστω γάρ, εἰ δυνατόν, οὕτως. ἐπεὶ οὖν ἴσαι αἱ ΚΛ, ΜΛ, κοινὴ δὲ ἡ ΛΗ, ἡ δὲ ὑπὸ ΜΛΗ γωνία μείζων τῆς ὑπὸ ΚΛΗ, μείζων ἄρα ἡ ΜΗ τῆς ΚΗ. διὰ τὰ αὐτὰ
10	δὴ καὶ ἡ ΚΘ τῆς ΘΜ μείζων. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΜΗ τῆς ΗΚ μείζων ἐστίν, ἡ δὲ ΜΘ τῆς ΘΚ ἐλάττων, ἡ ἄρα ΜΗ πρὸς ΗΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΜΘ πρὸς ΘΚ· καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἡ ΗΜ πρὸς ΘΜ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ. ἔλαττον ἄρα ἐστὶ
15	τὸ ΗΜΘ τοῦ ΗΚΘ· ὅπερ ἀδύνατον· ὑπέκειτο γὰρ μεῖζον. οὐκ ἄρα ἐπὶ τὰ τοῦ Θ μέρη τὴν κορυφὴν ἕξει τὸ τρίγωνον· ἐπὶ τὰ τοῦ Η ἄρα μέρη ἕξει.
18n	κθʹ.
19	Ἐὰν κῶνος σκαληνὸς διὰ τοῦ ἄξονος ἐπιπέδῳ τμηθῇ
20	πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει, τοῦ δὲ γενομένου τριγώνου ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος μὴ ἐλάττων
20	ᾖ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως, τὸ πρὸς ὀρθὰς τῇ	188
190	βάσει τρίγωνον μέγιστον ἔσται πάντων τῶν ἐκτὸς τοῦ ἄξονος ἐν τῷ κώνῳ συνισταμένων τριγώνων καὶ παραλ‐ λήλους βάσεις ἐχόντων τῇ τοῦ πρὸς ὀρθὰς τριγώνου. κῶνος γάρ, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α, βάσις δὲ ὁ περὶ
5	τὸ Β κέντρον κύκλος, τετμήσθω διὰ τοῦ ἄξονος ἐπι‐ πέδῳ ποιοῦντι τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει τοῦ κώνου, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθε‐ τος μὴ ἐλάττων ἔστω τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως. λέγω, ὅτι τὸ ΑΓΔ τρίγωνον μέγιστόν ἐστι πάντων
10	τῶν ἐν τῷ κώνῳ συνισταμένων τριγώνων βάσεις ἐχόν‐ των παραλλήλους τῇ ΓΔ. διήχθω γὰρ ἐν τῷ κύκλῳ τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΕΖ, ἐφ’ ἧς τὸ ΑΕΖ τρίγωνον, ἐν δὲ τῷ τοῦ ΑΓΔ τριγώνου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω τῇ ΓΔ ἡ
15	ΒΗ, καὶ τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΑΗ· ἡ ΒΗ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΓΔ καθέτῳ. ἐπεζεύχθω‐ σαν αἱ ΗΓ, ΗΔ, ΗΕ, ΗΖ· νοηθήσεται δὴ κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Η, ἄξων δὲ ἡ ΗΒ, βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, ἐν ᾧ τρίγωνα διὰ μὲν τοῦ
20	ἄξονος τὸ ΗΓΔ, ἐκτὸς δὲ τοῦ ἄξονος τὸ ΗΕΖ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΗ οὐκ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, διὰ τὰ προδεδειγμένα ἄρα τὸ ΗΓΔ μεῖζόν ἐστι τοῦ ΗΕΖ καὶ πάντων τῶν ἐν τῷ κώνῳ τριγώνων βάσεις ἐχόν‐ των παραλλήλους τῇ ΓΔ. ἀλλὰ τὸ μὲν ΗΓΔ τῷ
25	ΑΓΔ ἴσον ἐστίν· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεως καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις· τὸ δὲ ΗΕΖ τῷ ΑΕΖ ἴσον·
25	τὸ ἄρα ΑΓΔ τοῦ ΑΕΖ μεῖζόν ἐστιν. ὁμοίως δὲ δείκ‐	190
192	νυται, ὅτι καὶ πάντων τῶν παραλλήλους βάσεις ἐχόν‐ των τῇ ΓΔ. τὸ ΑΓΔ ἄρα μέγιστόν ἐστι πάντων τῶν παραλλήλους βάσεις ἐχόντων τῇ ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
5n	λʹ.
6	Ἐὰν δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΔ ἐλάτ‐ των ᾖ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, τὸ ΑΓΔ οὐκ ἔσται μέγι‐ στον τῶν τὰς παραλλήλους τῇ ΓΔ βάσεις ἐχόντων τριγώνων· ἡ δὲ αὐτὴ δεῖξις καὶ καταγραφή.
10	ἐπεὶ γὰρ ἡ ΗΒ ἐλάττων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, τὸ ἄρα ΗΓΔ οὐκ ἔσται μέγιστον τῶν παραλλήλους αὐτῷ βάσεις ἐχόντων· ἐδείχθη γὰρ καὶ μείζονα αὐτοῦ συν‐ ιστάμενα καὶ ἐλάττονα καὶ ἴσα. εἰ μὲν οὖν ἔλαττον τὸ ΗΓΔ τοῦ ΗΕΖ, ἔλαττον ἔσται καὶ τὸ ΑΓΔ τοῦ
15	ΑΕΖ, εἰ δὲ μεῖζον τὸ ΗΓΔ τοῦ ΗΕΖ, μεῖζον καὶ τὸ ΑΓΔ τοῦ ΑΕΖ, καὶ ἴσον ὁμοίως.
17n	λαʹ.
18	Ἐὰν ἐν σκαληνῷ κώνῳ τμηθέντι διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδοις ἐπὶ παραλλήλων βάσεων ἰσοσκελῆ τρίγωνα
20	συστῇ, ὁ δὲ ἄξων τοῦ κώνου μὴ ἐλάττων ᾖ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως, τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς μέ‐ γιστον ἔσται πάντων τῶν ἰσοσκελῶν τῶν συνισταμέ‐ νων, ἐφ’ ὃ μέρος προσνεύει ὁ ἄξων.
20	ἔστω κῶνος, οὗ ἄξων μὲν ὁ ΑΒ, βάσις δὲ ὁ περὶ	192
194	τὸ Β κέντρον κύκλος, τοῦ δὲ πρὸς ὀρθὰς τῷ κύκλῳ τριγώνου διὰ τοῦ ἄξονος ἠγμένου βάσις ἔστω ἡ ΓΒΔ, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἐλάττων ἔστω ὀρθῆς, ὥστε τὴν ΑΒ ἐπὶ τὰ Δ μέρη προσνεύειν, καὶ ἔστω ἡ ΑΒ
5	μὴ ἐλάττων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου. λέγω, ὅτι τὸ διὰ τῆς ΑΒ ἰσοσκελὲς μέγιστόν ἐστι τῶν γινομένων ἰσοσκελῶν τριγώνων τῶν μεταξὺ τῶν Β, Δ σημείων τὰς βάσεις ἐχόντων. εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΒΔ τυχὸν σημεῖον τὸ Ε, καὶ τῇ
10	ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν ἐν τῷ κύκλῳ αἱ ΒΖ, ΕΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ. ἡ δὴ ΒΑ τῆς ΑΕ ἤτοι ἐλάττων ἐστὶν ἢ οὔκ ἐστιν ἐλάττων. ὑποκείσθω δὴ μὴ εἶναι ἐλάττων ἡ ΒΑ τῆς ΑΕ.
15	ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΑ τῆς ΑΕ οὐκ ἐλάττων, ἐλάττων δὲ ἡ ΕΗ τῆς ΒΖ, ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς ΑΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΗ πρὸς ΒΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ, ΒΖ μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΑΕ, ΕΗ. ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ ΑΒ, ΒΖ ἴσον ἐστὶ τὸ τρίγωνον τὸ βάσιν ἔχον τὴν διπλῆν τῆς
20	ΒΖ, ὕψος δὲ τὴν ΑΒ, τουτέστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελές, τῷ δὲ ὑπὸ ΑΕ, ΕΗ ἴσον ἐστὶ τὸ τρίγωνον τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὴν διπλῆν τῆς ΕΗ, ὕψος δὲ τὴν ΑΕ· τὸ ἄρα διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς μεῖζόν ἐστι τοῦ διὰ τῆς ΑΕ ἰσοσκελοῦς. ὁμοίως δὲ δείκνυται, ὅτι καὶ
25	πάντων τῶν μεταξὺ τῶν Β, Δ τὰς βάσεις ἐχόντων
25	μέγιστόν ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος.	194
196 (1n)	λβʹ.
2	Ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ ΒΑ τῆς ΑΕ ἐλάττων. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς, ἤχθω ἐν τῷ τοῦ ΑΒΕ τριγώνου ἐπιπέδῳ τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἡ
5	ΒΘ ἴση οὖσα τῇ ΕΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΕ, ΒΗ. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῆς ὑπὸ ΑΕΒ μείζων ἐστίν, ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΕΒ ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΘΒΕ· αἱ ἄρα ΘΒ, ΑΕ εὐθεῖαι ἐκβαλλό‐ μεναι συμπίπτουσι. συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Κ, καὶ
10	ἤχθω διὰ τοῦ Θ τῇ ΚΕ παράλληλος ἡ ΘΛ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΘΒ τῇ ΕΗ, κοινὴ δὲ ἡ ΒΕ, καὶ περιέχουσιν ἴσας γωνίας· ὀρθαὶ γάρ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΒΗ τῇ ΘΕ. καὶ ἐπεὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΘΒΛ, μείζων ἄρα ἡ ΘΕ τῆς ΘΛ· ἡ ΘΒ ἄρα πρὸς ΘΕ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ
15	ἡ ΒΘ πρὸς ΘΛ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΒΘ πρὸς ΘΛ, οὕτως ἡ ΒΚ πρὸς ΚΕ· ἡ ἄρα ΒΘ πρὸς ΘΕ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΚ πρὸς ΚΕ. ἡ δὲ ΒΚ πρὸς ΚΕ ἐλάτ‐ τονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ, ὡς ἐν τῷ ἑξῆς δείκνυται· πολλῷ ἄρα ἡ ΒΘ πρὸς ΘΕ ἐλάττονα λόγον
20	ἔχει ἤπερ ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ. ἡ ἄρα ΒΑ πρὸς ΑΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΘ πρὸς ΘΕ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΕΗ πρὸς ΗΒ, τουτέστι πρὸς ΒΖ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΗ πρὸς
20	ΒΖ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ, ΒΖ μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΑΕ,	196
198	ΕΗ. ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ ΑΒ, ΒΖ ἴσον ἐστὶ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελές, τῷ δὲ ὑπὸ ΑΕ, ΕΗ ἴσον ἐστὶ τὸ διὰ τῆς ΑΕ καὶ τῆς διπλῆς τῆς ΕΗ ἰσοσκελές· μεῖζον ἄρα τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς τοῦ διὰ τῆς
5	ΑΕ ἰσοσκελοῦς. ὁμοίως δὲ δείκνυται, ὅτι καὶ τῶν ἄλλων, ὧν αἱ βάσεις μεταξὺ τῶν Β, Δ· ὃ προέκειτο δεῖξαι.
8n	λγʹ.
9	Ἐὰν ὀρθογωνίου τριγώνου ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἐπὶ τὴν
10	ὑποτείνουσαν ἀχθῇ τις εὐθεῖα, ἡ ἀχθεῖσα πρὸς τὴν ἀπολαμβανομένην ὑπὸ τῆς ἀχθείσης καὶ μιᾶς τῶν περιεχουσῶν τὴν ὀρθὴν μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ ἡ λοιπὴ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν πρὸς τὴν ὑποτείνουσαν. ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν Β, ἀφ’
15	ἧς ἐπὶ τὴν ΑΓ βάσιν ἤχθω ἡ ΒΔ. λέγω, ὅτι ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΑ πρὸς ΑΓ. ἤχθω διὰ τοῦ Δ παρὰ τὴν ΑΒ ἡ ΔΕ. ἐπεὶ οὖν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Ε, μείζων ἄρα ἡ ΒΔ τῆς ΔΕ· ἡ ἄρα ΒΔ πρὸς ΔΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΔ
20	πρὸς ΔΓ. ὡς δὲ ἡ ΕΔ πρὸς ΔΓ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς ΑΓ· ἡ ἄρα ΒΔ πρὸς ΔΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΑ πρὸς ΑΓ. ὥστε φανερόν, ὅτι καὶ ἡ ΒΑ πρὸς ΑΓ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ, ὃ ἐχρησί‐
20	μευεν ἡμῖν εἰς τὸ πρὸ τούτου.	198
200 (1n)	λδʹ.
2	Ἐὰν ἐν κώνῳ σκαληνῷ τμηθέντι διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδοις τισὶν ἐπὶ παραλλήλων βάσεων ἰσοσκελῆ τρί‐ γωνα συστῇ, ἐφ’ ὃ μέρος προσνεύει ὁ ἄξων, τῶν δὲ
5	γενομένων ἰσοσκελῶν ἓν ὁτιοῦν ἴσον ᾖ τῷ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελεῖ, ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν τοῦ τριγώνου κάθετος μείζων ἔσται τοῦ ἄξονος. ἔστω σκαληνὸς κῶνος, οὗ κορυφὴ τὸ Α, ἄξων δὲ ὁ ΑΒ προσνεύων ἐπὶ τὰ τοῦ Δ μέρη, βάσις δὲ ὁ περὶ
10	τὸ Β κέντρον κύκλος, τοῦ δὲ πρὸς ὀρθὰς τῷ κύκλῳ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου βάσις ἔστω ἡ ΓΒΔ, καὶ ἤχθωσαν τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ κύκλῳ αἱ ΒΖ, ΕΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ ὑποκείσθω τὸ διὰ τῶν ΑΕ, ΕΗ ἰσοσκελὲς ἴσον εἶναι τῷ διὰ τῶν ΑΒ, ΒΖ,
15	ὅ ἐστι τῷ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελεῖ. λέγω, ὅτι ἡ ΑΕ μείζων ἐστὶ τῆς ΑΒ. ἐπεὶ γὰρ τὸ διὰ τῶν ΑΕ, ΕΗ ἰσοσκελὲς ἴσον ἐστὶ τῷ διὰ τῶν ΑΒ, ΒΖ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ, ὡς ἄρα ἡ ΒΖ πρὸς ΕΗ,
20	οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς ΑΒ. μείζων δὲ ἡ ΒΖ τῆς ΗΕ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΕΑ τῆς ΑΒ.
22n	λεʹ.
23	Ἐὰν ἐν κώνῳ σκαληνῷ τμηθέντι διὰ τῆς κορυφῆς
23	ἐπιπέδοις τισὶν ἐπὶ παραλλήλων βάσεων ἰσοσκελῆ τρί‐	200
202	γωνα συστῇ, ἐφ’ ὃ μέρος προσνεύει ὁ ἄξων, τῶν δὲ γενομένων ἰσοσκελῶν ἓν ὁτιοῦν ἴσον ᾖ τῷ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελεῖ, ὁ ἄξων τοῦ κώνου ἐλάσσων ἔσται τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως.
5	ἔστω κῶνος σκαληνός, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α, ἄξων δὲ ὁ ΑΒ νεύων ἐπὶ τὰ τοῦ Δ μέρη, βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ Β κέντρον, τοῦ δὲ πρὸς ὀρθὰς τῷ κύκλῳ διὰ τοῦ ἄξονος ἀγομένου τριγώνου βάσις ἔστω ἡ ΓΒΔ, τῇ δὲ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν ἐν τῷ κύκλῳ αἱ ΒΖ, ΕΗ,
10	καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ ὑποκείσθω τῷ διὰ τῆς ΑΒ καὶ τῆς διπλῆς τῆς ΒΖ ἀγομένῳ τριγώνῳ, τουτέστι τῷ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελεῖ, τὸ διὰ τῆς ΕΑ καὶ τῆς διπλῆς τῆς ΕΗ ἀγόμενον ἰσοσκελὲς ἴσον εἶναι. λέγω, ὅτι ὁ ΒΑ ἄξων ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου.
15	ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς, ἤχθω ἐν τῷ τοῦ ΑΒΕ ἐπιπέδῳ τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΘ. καὶ ἐπεὶ μείζων ἡ ΕΑ τῆς ΑΒ διὰ τὸ πρὸ τούτου, ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΕΑ γωνία ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΘΒΕ· αἱ ἄρα ΘΒ, ΕΑ εὐθεῖαι ἐκ‐
20	βαλλόμεναι συμπεσοῦνται. συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΒ, ΒΖ, τὸ δὲ διὰ τῆς ΑΕ καὶ τῆς διπλῆς τῆς ΕΗ ἰσοσκελὲς ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ, ΕΗ, καί ἐστιν ἴσα ἀλλήλοις τὰ ἰσοσκελῆ, καὶ τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΒΖ
25	ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ, ΕΗ· ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς
25	ΑΕ, οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς ΖΒ, τουτέστι πρὸς ΗΒ. ἐπεὶ	202
204	οὖν ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΘ πρὸς ΘΕ διὰ τὸ λγʹ θεώρημα, ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ἐλάττονα μέν τινα τῆς ΘΕ, μείζονα δὲ τῆς ΘΒ. ἔστω δή, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ,
5	οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΘΚ, καὶ διὰ τοῦ Ε παρὰ τὴν ΚΘ ἤχθω ἡ ΕΛ συμπίπτουσα τῇ ΒΘ κατὰ τὸ Λ. ἐπεὶ οὖν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΘΚ, τουτέστιν ἡ ΒΛ πρὸς ΛΕ, ἦν δέ, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ΗΒ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΛ πρὸς ΛΕ,
10	οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ΗΒ. ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνα τὰ ΛΒΕ, ΗΕΒ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχει· ὀρθο‐ γώνια γάρ· περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς Λ, Η τὰς πλευ‐ ρὰς ἀνάλογον, καὶ τῶν λοιπῶν γωνιῶν ἑκατέρα ὀξεῖα, ὅμοια ἄρα ἐστὶ τὰ ΛΒΕ, ΗΕΒ τρίγωνα. ὡς ἄρα ἡ
15	ΛΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς ΒΕ· ἴση ἄρα ἡ ΛΒ τῇ ΗΕ. ἐλάττων δὲ ἡ ΕΗ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου· καὶ ἡ ΒΛ ἄρα ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου. καὶ ἐπεὶ συναμφότερος ἡ ΕΛΒ συναμφοτέρου τῆς ΕΑΒ μείζων ἐστί, καί ἐστιν, ὡς ἡ ΕΛ πρὸς ΛΒ, οὕτως ἡ
20	ΕΑ πρὸς ΑΒ, καὶ συνθέντι ἄρα, ὡς συναμφότερος ἡ ΕΛΒ πρὸς ΒΛ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΕΑΒ πρὸς ΒΑ, καὶ ἐναλλάξ· μείζων δὲ συναμφότερος ἡ ΕΛΒ συναμφοτέρου τῆς ΕΑΒ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΛΒ τῆς ΒΑ. ἐδείχθη δὲ ἡ ΛΒ ἐλάττων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου·
25	ὅπερ ἔδει δεῖξαι.	204
206 (1n)	λϛʹ.
2	Ἐὰν ἐν κώνῳ σκαληνῷ τμηθέντι διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδοις τισὶν ἐπὶ παραλλήλων βάσεων ἰσοσκελῆ τρί‐ γωνα συστῇ, ἀφ’ οὗ μέρους ἀπονεύει ὁ ἄξων, τὸ διὰ
5	τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς τῶν συστάντων ἰσοσκελῶν οὐκ ἔσται πάντων ἐλάχιστον. ἔστω κῶνος σκαληνός, οὗ ὁ ἄξων ὁ ΑΒ, τοῦ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος πρὸς ὀρθὰς τῷ κύκλῳ ἐπιπέδου καὶ τοῦ κύκλου κοινὴ τομὴ ἡ ΓΒΔ διάμετρος, ἐλάττων δὲ
10	ἔστω ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ὀρθῆς. λέγω, ὅτι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς τῶν συνισταμένων ἰσοσκελῶν τὰς βάσεις ἐχόντων μεταξὺ τῶν Γ, Β σημείων οὐ πάντων ἐλάχιστόν ἐστιν. ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΓ, καὶ ἐν τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ
15	πρὸς ὀρθὰς ἤχθω τῇ ΓΔ ἡ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΕ μείζων ἐστὶ τῆς· ΓΒ [ἐκ κέντρου], ἔστω ἡ ΕΖ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, καὶ παρὰ τὴν ΕΒ ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΜΗ, καὶ παρὰ τὴν ΖΕ ἡ ΗΘ· παραλληλόγραμμον ἄρα τὸ ΖΘ. ἴση ἄρα ἡ ΖΕ τῇ ΗΘ· ἡ ἄρα ΗΘ
20	τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἴση. ἤχθωσαν δὴ πάλιν ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς αἱ ΚΒ, ΗΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΛ. ἐπεὶ οὖν δύο ὀρθογώνια τὰ ΘΗΒ, ΛΒΗ ἴσας ἔχει γωνίας τὰς ὀρθάς, περὶ δὲ
20	ἄλλας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, καὶ τὰ λοιπὰ τῆς προ‐	206
208	τάσεως, ὅμοια ἄρα ἐστὶ τὰ τρίγωνα· ὡς ἄρα ἡ ΗΘ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ ΒΛ πρὸς ΛΗ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΘ πρὸς ΘΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΜ πρὸς ΜΒ, ἡ δὲ ΗΜ πρὸς ΜΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΑ
5	πρὸς ΑΒ, ἡ ἄρα ΗΘ πρὸς ΘΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΑ πρὸς ΑΒ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΗΘ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ ΒΛ, τουτέστιν ἡ ΒΚ, πρὸς ΛΗ· ἡ ἄρα ΒΚ πρὸς ΛΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΑ πρὸς ΑΒ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ, ΒΚ μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΑΗ, ΗΛ,
10	τουτέστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς μεῖζόν ἐστι τοῦ διὰ τῆς ΑΗ ἰσοσκελοῦς, οὗ βάσις ἐστὶν ἡ διπλῆ τῆς ΛΗ. οὐκ ἄρα τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς ἐλάχι‐ στόν ἐστι πάντων τῶν μεταξὺ τῶν Β, Γ σημείων τὰς βάσεις ἐχόντων ἰσοσκελῶν.
15n	λζʹ.
16	Ἐὰν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως δύο τρίγωνα συστῇ, καὶ τοῦ μὲν ἑτέρου ἡ πλευρὰ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῇ βάσει, τοῦ δὲ ἑτέρου πρὸς ἀμβλεῖαν γωνίαν, τὸ δὲ τοῦ ἀμ‐ βλυγωνίου ὕψος μὴ ἔλαττον ᾖ τοῦ τοῦ ὀρθογωνίου
20	ὕψους, ἡ πρὸς τῇ κορυφῇ γωνία τοῦ ὀρθογωνίου μεί‐ ζων ἔσται τῆς πρὸς τῇ κορυφῇ τοῦ ἀμβλυγωνίου. συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΑΒ τὰ ΑΓΒ, ΑΔΒ τρίγωνα, καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ ἔστω ὀρθή, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΔ ἀμ‐ βλεῖα, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Δ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΒ ἡ ΔΖ
25	μὴ ἐλάττων ἔστω τῆς ΓΒ καθέτου. λέγω, ὅτι μείζων
25	ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῆς ὑπὸ ΑΔΒ.	208
210	ἐπεὶ παράλληλοι μὲν αἱ ΒΓ, ΔΖ καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΒΖ, οὐκ ἐλάττων δὲ ἡ ΔΖ τῆς ΓΒ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΓΒ γωνία οὐκ ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς· μείζων ἄρα ἡ ΑΔ τῆς ΑΓ. καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΒΓ ὀρθογώνιόν ἐστιν,
5	ἐν ἡμικυκλίῳ ἄρα ἐστίν, οὗ διάμετρος ἡ ΑΓ· περι‐ γραφὲν ἄρα τὸ ἡμικύκλιον τεμεῖ τὴν ΑΔ. τεμνέτω δὴ κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΒ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ μείζων τῆς ὑπὸ ΑΔΒ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ ἄρα μείζων ἐστὶ τῆς
10	ὑπὸ ΑΔΒ.
11n	ληʹ.
12	Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν τοῦ ὀρθογωνίου ἡ πρὸς τῇ κορυφῇ γωνία μὴ μείζων ᾖ τῆς περιεχομένης γωνίας ὑπό τε τῆς τὰς κορυφὰς τῶν τριγώνων ἐπιζευγνυούσης καὶ
15	τῆς πρὸς ἀμβλεῖαν τῇ βάσει, ἡ τὴν ὀρθὴν ὑποτείνουσα τοῦ ὀρθογωνίου πλευρὰ πρὸς τὴν πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ τοῦ ἀμβλυγωνίου ἡ τὴν ἀμ‐ βλεῖαν ὑποτείνουσα πρὸς τὴν πρὸς ἀμβλεῖαν τῇ βάσει. καταγεγράφθω τὰ αὐτὰ τρίγωνα, καὶ ἔστω ἡ ὑπὸ
20	ΑΓΒ μὴ μείζων τῆς ὑπὸ ΓΔΒ. λέγω, ὅτι ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ. ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΒ τῆς ὑπὸ ΑΔΒ, ὡς ἐδείχθη, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΑΒ τῆς ὑπὸ ΔΑΒ, συνεστάτω τῇ μὲν ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΔΗ, τῇ δὲ ὑπὸ ΓΑΒ
25	ἡ ὑπὸ ΔΑΗ· ἰσογώνια ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΓΒ, ΑΔΗ	210
212	τρίγωνα [ὅμοια]. ὡς ἄρα ἡ ΔΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΗΑ πρὸς ΑΒ· καὶ περιέχουσιν ἴσας γωνίας· ὅμοιον ἄρα τὸ ΔΑΓ τρίγωνον τῷ ΗΑΒ τριγώνῳ ἐπιζευχθεί‐ σης τῆς ΒΗ. ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΓΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΗ
5	ἴση ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΖ τῆς ΓΒ οὔκ ἐστιν ἐλάττων, ἤτοι ἴση ἐστὶν ἢ μείζων. ἔστω πρότερον ἴση· ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ παραλ‐ ληλόγραμμον τὸ ΓΖ. ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΓΒ μετὰ τῶν
10	ὑπὸ ΓΒΔ, ΔΒΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ἀλλὰ τῆς ὑπὸ ΓΔΒ, τουτέστι τῆς ὑπὸ ΔΒΖ, οὐ μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΓΔ μετὰ τῶν ὑπὸ ΓΒΔ, ΑΓΒ οὐ μείζονές εἰσι δυεῖν ὀρθῶν, ὅ ἐστιν αἱ ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΒΔ οὐ μείζονές εἰσι δυεῖν
15	ὀρθῶν. ἀλλὰ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΗ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΗ, ΓΒΔ οὐ μείζονές εἰσι δυεῖν ὀρθῶν. προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὀρθή· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΗ, ΑΒΔ οὐ μείζονές εἰσι τριῶν ὀρθῶν. λοιπὴ ἄρα εἰς τέσσαρας ὀρθὰς ἡ ὑπὸ ΔΒΗ οὐκ ἐλάσσων
20	ἐστὶ μιᾶς ὀρθῆς· μείζων ἄρα ἡ ΔΗ τῆς ΔΒ· ἡ ἄρα ΑΔ πρὸς ΔΗ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΔΗ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ· καὶ ἡ ἄρα ΑΓ πρὸς ΓΒ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ.
25	ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ ΔΖ τῆς ΓΒ μείζων· ἀμβλεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΓΒ. ἤχθω τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΒΘ. κατὰ τὰ αὐτὰ δή, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΔΓΒ μετὰ τῶν ὑπὸ ΓΒΔ,
25	ΔΒΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, τῆς δὲ ὑπὸ ΔΒΘ,	212
214	τουτέστι τῆς ὑπὸ ΓΔΒ, οὐ μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΒΔ, τουτέστιν αἱ ὑπὸ ΑΒΗ, ΓΒΔ, οὐ μείζονές εἰσι δυεῖν ὀρθῶν· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΔ, ΑΒΗ οὐ μείζονές εἰσι τριῶν ὀρθῶν. ἡ ἄρα
5	ὑπὸ ΔΒΗ οὐκ ἐλάττων ὀρθῆς ἐστι· μείζων ἄρα ἡ ΗΔ τῆς ΔΒ. ἡ ΑΔ ἄρα πρὸς ΔΗ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
8n	λθʹ.
9	Τῶν αὐτῶν ὄντων τῶν ἄλλων ἐὰν τοῦ ὀρθογω‐
10	νίου ἡ τὴν ὀρθὴν ὑποτείνουσα πρὸς τὴν πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει μείζονα λόγον ἔχῃ ἤπερ τοῦ ἀμβλυγωνίου ἡ τὴν ἀμβλεῖαν ὑποτείνουσα πρὸς τὴν πρὸς ἀμβλεῖαν τῇ βάσει, ἡ πρὸς τῇ κορυφῇ τοῦ ὀρθογωνίου γωνία μεί‐ ζων ἐστὶ τῆς περιεχομένης γωνίας ὑπό τε τῆς τὰς
15	κορυφὰς τῶν τριγώνων ἐπιζευγνυούσης καὶ τῆς πρὸς ἀμβλεῖαν τῇ βάσει. κείσθω ἡ αὐτὴ καταγραφὴ τῶν αὐτῶν κατεσκευασ‐ μένων. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως
20	ἡ ΑΔ πρὸς ΔΗ, καὶ ἡ ἄρα ΑΔ πρὸς ΔΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ· ἐλάττων ἄρα ἡ ΗΔ
20	τῆς ΔΒ. ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΒΗ γωνία ἐλάττων ἐστὶν	214
216	ὀρθῆς μιᾶς· λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΑΒΔ, ΑΒΗ μείζονές εἰσι τριῶν ὀρθῶν. ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΑΒΗ ἴση τῇ ὑπὸ ΑΓΔ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΔ, ΑΒΔ μείζονές εἰσι τριῶν ὀρθῶν. ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὀρθή· αἱ ἄρα ὑπὸ
5	ΑΓΔ, ΓΒΔ δύο ὀρθῶν μείζονές εἰσιν. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΒΓΔ μετὰ μὲν τῶν ὑπὸ ΑΓΒ, ΓΒΔ δυεῖν ὀρθῶν εἰσι μείζους, μετὰ δὲ τῶν ὑπὸ ΓΔΒ, ΓΒΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι, μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῆς ὑπὸ ΓΔΒ.
10n	μʹ.
11	Ἐὰν ἐν κώνῳ σκαληνῷ τμηθέντι διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδοις τισὶν ἐπὶ παραλλήλων βάσεων ἰσοσκελῆ τρί‐ γωνα συστῇ, ἀφ’ οὗ μέρους ἀπονεύει ὁ ἄξων, τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς τῶν, ὡς εἴρηται, συνισταμένων
15	ἰσοσκελῶν οὔτε μέγιστον ἔσται πάντων οὔτε πάντων ἐλάχιστον. ἔστω κῶνος, οὗ ὁ ἄξων ὁ ΑΒ, βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, τοῦ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος πρὸς ὀρθὰς γωνίας τῷ κύκλῳ ἐπιπέδου καὶ τοῦ κύκλου κοινὴ τομὴ
20	ἡ ΓΒΔ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΔ ἐλάττων ἔστω ὀρθῆς. λέγω, ὅτι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς τῶν συνισταμένων ἰσοσκελῶν τὰς βάσεις ἐχόντων μεταξὺ τῶν Γ, Β σημείων οὔτε μέγιστόν ἐστι πάντων οὔτε ἐλάχιστον. ὁ δὴ ἄξων ἤτοι ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου
25	τῆς βάσεως ἢ ἴσος αὐτῇ ἢ μείζων.	216
218	ἔστω πρῶτον ἐλάττων. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἐνηρμόσθω ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΑΕ, καὶ διὰ τῶν Β καὶ Ε σημείων τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν ἐν τῷ κύκλῳ αἱ ΕΖ, ΒΗ, καὶ
5	τῇ ὑπὸ ΑΕΒ ἴση συνεστάτω ἡ ὑπὸ ΕΒΘ, καὶ ἐπ‐ εζεύχθω ἡ ΘΕ. ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΒΘ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, κοινὴ δὲ ἡ ΒΕ, καὶ περι‐ έχουσιν ἴσας γωνίας, καὶ τὰ λοιπὰ ἄρα τοῖς λοιποῖς ἴσα· ὅμοια ἄρα τὰ τρίγωνα. ὡς ἄρα ἡ ΕΑ πρὸς ΑΒ,
10	οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΘΕ. ἐπεὶ δὲ μείζων ἡ ΖΕ τῆς ΕΘ, ἴσαι δὲ αἱ ΒΗ, ΒΘ, ἡ ἄρα ΒΘ πρὸς ΘΕ μεί‐ ζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΗ πρὸς ΖΕ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΒΘ πρὸς ΘΕ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς ΑΒ· ἡ ἄρα ΕΑ πρὸς ΑΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΗ πρὸς ΕΖ.
15	τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕ, ΕΖ μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΑΒ, ΒΗ, τουτέστι τὸ διὰ τῆς ΑΕ ἰσοσκελές, οὗ βάσις ἐστὶν ἡ διπλῆ τῆς ΕΖ, τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελοῦς μεῖζόν ἐστι· τὸ ἄρα διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς οὐ πάντων μέγιστόν ἐστι τῶν, ὡς εἴρηται, συνισταμένων τριγώ‐
20	νων. ἐδείχθη δὲ ἐν τῷ τριακοστῷ ἕκτῳ καθόλου, ὅτι οὐδὲ ἐλάχιστον· οὔτε ἄρα μέγιστόν ἐστι πάντων οὔτε ἐλάχιστον.
23n	μαʹ.
24	Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὁ ΑΒ ἄξων ἴσος τῇ ἐκ τοῦ κέντρου.
25	ἡ δὴ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἐλάττων οὖσα ὀρθῆς ἤτοι ἐλάττων ἐστὶν ἡμισείας ὀρθῆς ἢ οὔ.
25	ἔστω πρότερον οὐκ ἐλάττων ἡμισείας, καὶ διὰ τοῦ	218
220	Α ἐν τῷ ὀρθῷ πρὸς τὸν κύκλον ἐπιπέδῳ παράλληλος ἤχθω τῇ ΓΒ ἡ ΑΕ καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΑ, ἐν δὲ τῷ κύκλῳ τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΒΘ, ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΗ.
5	ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ οὐκ ἐλάττων ἐστὶν ἡμισείας, καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἄρα οὐκ ἐλάττων ἐστὶν ἡμισείας· ἡ ἄρα ὑπὸ ΕΒΑ, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΖΕΒ, οὐ μείζων ἐστὶν ἡμι‐ σείας· ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΕΒ οὐ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΕΑΒ. ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνα τὰ ΖΕΒ, ΖΑΒ ἐπὶ μιᾶς βάσεως
10	συνέστηκε, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΔ ἀγομένη, ὡς ἡ ΑΚ, οὔκ ἐστιν ἐλάττων τῆς ΕΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΖΕΒ τοῦ ὀρθογωνίου γωνία οὐ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΕΑΒ, ἡ ἄρα ΖΕ πρὸς ΕΒ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΑ πρὸς ΑΒ διὰ τὸ τριακοστὸν ὄγδοον θεώ‐
15	ρημα. ὡς δὲ ἡ ΖΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΒΗ, τουτ‐ έστιν ἡ ΒΘ, πρὸς ΖΗ· ἴση γὰρ καὶ ἡ ΕΖ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου· καὶ ἡ ΒΘ ἄρα πρὸς ΖΗ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΑ πρὸς ΑΒ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ, ΒΘ ἔλαττόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΑΖ, ΖΗ, τουτέστι τὸ διὰ τοῦ
20	ἄξονος ἰσοσκελὲς τοῦ διὰ τῆς ΑΖ ἰσοσκελοῦς· οὐκ ἄρα
20	τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς μέγιστόν ἐστι πάντων τῶν,	220
222	ὡς εἴρηται, συνισταμένων ἰσοσκελῶν. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἐλάχιστον· οὔτε ἄρα πάντων μέγιστόν ἐστιν οὔτε ἐλάχιστον.
4n	μβʹ.
5	Ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ ὑπὸ ΑΒΔ ἐλάττων ἡμισείας ὀρθῆς, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒΕ, καὶ κείσθω ἡ ΒΕ ἴση τῇ ἡμισείᾳ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, καὶ ἐν τῷ ὀρθῷ πρὸς τὸν κύκλον ἐπιπέδῳ, ἐν ᾧ καὶ ἡ ΑΕ, τῇ ΑΕ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΖ, τῇ δὲ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἡ
10	ΒΗ, καὶ ὑποτεινέτω τὴν ὑπὸ ΖΒΗ γωνίαν ἡ ΖΗ εὐθεῖα ἴση συσταθεῖσα τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, καὶ ἐπ‐ εζεύχθω ἡ ΖΑ. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΑΒΔ, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΖΒΕ, ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς ἡμισείας, ὀρθὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ Ε,
15	ἡ ἄρα ΒΕ τῆς ΕΖ μείζων. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΖΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΖΕ, ΕΒ, ὧν μεῖζον τὸ ἀπὸ ΕΒ τοῦ ἀπὸ ΖΕ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΖΒ ἔλαττον ἢ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΒΕ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΖΗ μεῖζον ἢ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΖΒ· λοιποῦ ἄρα τοῦ ἀπὸ ΒΗ ἔλαττον ἢ διπλά‐
20	σιόν ἐστι τὸ ἀπὸ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΒ ἡμίσειά ἐστι τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ ΑΒ, ΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΑ. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΖΑ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΑΒ, ΒΖ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒ, ΒΕ, ἀλλὰ τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ, ΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΒ, τὸ ἄρα ἀπὸ
25	ΖΑ ἴσον ἐστὶ τῷ τε δὶς ἀπὸ ΑΒ καὶ τῷ ἀπὸ ΒΖ·
25	τὸ ἄρα ἀπὸ ΖΑ μεῖζον ἢ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΒ.	222
224	ἐδείχθη δὲ τὸ ἀπὸ ΖΗ ἔλαττον ἢ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΗΒ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΒ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ· ὥστε καὶ ἡ ΖΗ πρὸς ΗΒ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΑ πρὸς
5	ΑΒ. ἐὰν οὖν πάλιν ἐν τῷ κύκλῳ τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἀχθῶσιν αἱ ΖΚ, ΒΘ, ἐπιζευχθῇ τε ἡ ΒΚ, ἡ ΒΘ πρὸς ΖΚ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΑ πρὸς ΑΒ· τὸ ἄρα διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς ἔλαττόν ἐστι τοῦ διὰ τῆς ΑΖ. οὐκ ἄρα τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς μέ‐
10	γιστόν ἐστι πάντων τῶν, ὡς εἴρηται, συνισταμένων ἰσοσκελῶν. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἐλάχιστον· οὔτε ἄρα μέγιστόν ἐστιν οὔτε ἐλάχιστον.
13n	μγʹ.
14	Ἔστω δὲ νῦν ὁ ΑΒ ἄξων μείζων τῆς ἐκ τοῦ κέν‐
15	τρου, καὶ ἐν τῷ ὀρθῷ πρὸς τὸν κύκλον ἐπιπέδῳ ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΔ ἡ ΑΕ. ἡ δὴ ΑΕ ἤτοι ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἢ οὔ. ἔστω πρότερον ἐλάττων, καὶ διὰ τοῦ Α παρὰ τὴν
20	ΓΔ ἤχθω ἡ ΑΖ, διὰ δὲ τοῦ Β παρὰ τὴν ΑΕ ἡ ΒΖ, καὶ συστήτω ἡ ὑπὸ ΒΖΗ μὴ μείζων οὖσα τῆς ὑπὸ ΖΑΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΑ. πάλιν ἄρα διὰ τὰ δειχθέντα ἡ ΖΗ πρὸς ΖΒ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΑ πρὸς ΑΒ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΖΒ ἴση οὖσα τῇ ΑΕ
25	ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, μείζων δὲ ἡ ΖΗ τῆς ΖΒ, ἡ ἄρα ΖΗ ἤτοι μείζων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέν‐
25	τρου ἢ ἐλάττων ἢ ἴση.	224
226	ἔστω πρῶτον ἴση. ἐὰν οὖν πάλιν, τὸ εἰωθός, ἐν τῷ κύκλῳ τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἀγάγωμεν τὰς ΗΛ, ΜΒ, καὶ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΒΛ, διὰ τὰ δειχθέντα πολλάκις ἡ ΗΑ πρὸς ΑΒ
5	μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ ἡ ΒΜ πρὸς ΗΛ· ὥστε καὶ τὸ διὰ τῶν ΑΗ, ΗΛ ἰσοσκελὲς μεῖζόν ἐστι τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελοῦς. εἰ δὲ ἡ ΖΗ ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἔστω ἡ ΗΝ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου. ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΑ πρὸς
10	ΑΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΖ πρὸς ΖΒ, ἡ δὲ ΗΖ πρὸς ΖΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΝ πρὸς ΝΒ, καὶ ἡ ἄρα ΗΑ πρὸς ΑΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΝ πρὸς ΝΒ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΒΜ πρὸς ΗΛ. καὶ οὕτως τὸ διὰ τῆς ΑΗ ἰσοσκελὲς τοῦ διὰ τοῦ
15	ἄξονος ἰσοσκελοῦς μεῖζον ἔσται. εἰ δὲ ἡ ΖΗ μείζων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, διήχθω ἡ ΖΞ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΞΖΒ οὐ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΖΑΒ, ἐπιζευχθεῖσα ἄρα ἡ ΞΑ πρὸς ΑΒ μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ ἡ ΞΖ
20	πρὸς ΖΒ. ὡς δὲ ἡ ΞΖ πρὸς ΖΒ, οὕτως ἡ ΒΜ πρὸς ΞΟ· ἡ ἄρα ΞΑ πρὸς ΑΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΜΒ πρὸς ΞΟ. τὸ ἄρα διὰ τῶν ΑΞ, ΞΟ ἰσοσκελὲς μεῖζόν ἐστι τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελοῦς· οὐκ ἄρα τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς πάντων μέγιστόν ἐστι
25	τῶν εἰρημένων ἰσοσκελῶν. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ	226
228	ἐλάχιστον· οὔτε ἄρα μέγιστόν ἐστι πάντων οὔτε ἐλάχιστον.
3n	μδʹ.
4	Ἔστω δὴ ἡ ΑΕ κάθετος μὴ ἐλάττων τῆς ἐκ τοῦ
5	κέντρου, ἡ δὲ ΖΒ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ, καὶ διήχθω τυχοῦσα ἡ ΑΘ, καὶ συστήτω ἡ ὑπὸ ΒΘΗ μὴ μείζων οὖσα τῆς ὑπὸ ΘΑΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΑ. ἕξει δὴ πάλιν διὰ τὰ δειχθέντα ἡ ΗΘ πρὸς ΘΒ ἐλάττονα λόγον ἤπερ ἡ ΗΑ πρὸς ΑΒ.
10	καὶ ἐπεὶ ἡ ΘΒ ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, μείζων δὲ ἡ ΘΗ τῆς ΘΒ, ἡ ΘΗ ἄρα ἤτοι ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἢ ἐλάσσων ἢ μείζων. ἔστω πρῶτον ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, καὶ ἤχθωσαν ἐν τῷ κύκλῳ τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς αἱ ΗΚ, ΒΛ. ἐπεὶ
15	οὖν ἡ ΗΑ πρὸς ΑΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΘ πρὸς ΘΒ, ὡς δὲ ἡ ΗΘ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ ΒΛ πρὸς ΗΚ, ἡ ἄρα ΗΑ πρὸς ΑΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΛ πρὸς ΗΚ· μεῖζον ἄρα τὸ διὰ τῆς ΑΗ τρίγωνον ἰσοσκελὲς τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελοῦς.
20	εἰ δὲ ἡ ΘΗ ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἔστω ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΗΜ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΑ πρὸς ΑΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΘ πρὸς ΘΒ, ἡ δὲ ΗΘ πρὸς ΘΒ μείζονα ἤπερ ἡ ΗΜ πρὸς ΜΒ, ἡ ἄρα ΗΑ πρὸς ΑΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΜ
25	πρὸς ΜΒ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΒΛ πρὸς ΗΚ. ὥστε καὶ	228
230	οὕτω μεῖζον τὸ διὰ τῆς ΗΑ ἰσοσκελὲς τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελοῦς. εἰ δὲ μείζων ἡ ΗΘ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἔστω ἡ ΘΝ ἐνηρμοσμένη ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, καὶ ἐπεζεύχθω
5	ἡ ΝΑ, καὶ ἐν τῷ κύκλῳ πάλιν πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΔ ἡ ΝΞ. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΝΘΒ οὐ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΘΑΒ, ἡ ἄρα ΝΘ πρὸς ΘΒ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΝΑ πρὸς ΑΒ. ὡς δὲ ἡ ΝΘ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ ΒΛ πρὸς ΝΞ· ἡ ἄρα ΒΛ πρὸς ΝΞ ἐλάττονα λόγον
10	ἔχει ἤπερ ἡ ΝΑ πρὸς ΑΒ. μεῖζον ἄρα τὸ διὰ τῆς ΑΝ ἰσοσκελὲς τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελοῦς· τὸ ἄρα διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς οὐ πάντων μέγιστόν ἐστι τῶν εἰρημένων ἰσοσκελῶν. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἐλάχιστον· οὔτε ἄρα μέγιστόν ἐστι πάντων οὔτε
15	ἐλάχιστον.
16n	μεʹ.
17	Παντὸς κώνου σκαληνοῦ δυνάμει ἀπείρων ὄντων τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων αἱ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου ἐπὶ τὰς βάσεις τῶν τριγώνων ἀγόμεναι
20	κάθετοι πᾶσαι ἐπὶ ἑνὸς κύκλου περιφέρειαν πίπτουσιν ὄντος τε ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τῷ τῆς βάσεως τοῦ κώνου καὶ περὶ διάμετρον τὴν ἐν τῷ εἰρημένῳ ἐπιπέδῳ ἀπολαμβανομένην εὐθεῖαν μεταξὺ τοῦ τε κέντρου τῆς βάσεως καὶ τῆς ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον καθέτου.
25	ἔστω κῶνος σκαληνός, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον, βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, καὶ ἄξων ὁ ΑΒ, ἀπὸ δὲ τοῦ Α κάθετος ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον ἡ ΑΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ, τῇ δὲ ΓΒ ἀπὸ τοῦ Β πρὸς
25	ὀρθὰς ἤχθω ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἡ ΔΒ, τυχοῦσαι δὲ	230
232	αἱ ΖΗ, ΚΘ· γίνονται δὴ αἱ ΔΕ, ΖΗ, ΘΚ βάσεις τριγώνων διὰ τοῦ ἄξονος ἠγμένων. ἤχθωσαν οὖν κάθετοι ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὰς ΔΕ, ΖΗ, ΘΚ εὐθείας αἱ ΑΒ, ΑΛ, ΑΜ· ὅτι γὰρ ὁ μὲν ΑΒ ἄξων πρὸς ὀρθάς
5	ἐστι τῇ ΔΕ, αἱ δὲ ΑΛ, ΑΜ κάθετοι ἐπὶ τὰ ΒΗ, ΒΚ μέρη πίπτουσιν, ἑξῆς δειχθήσεται. λέγω δή, ὅτι τὰ Β καὶ Λ καὶ Μ σημεῖα ἐπὶ ἑνὸς κύκλου περιφερείας ἐστίν, οὗ διάμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ εὐθεῖα. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΛ, ΓΜ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΛ
10	κάθετος ἐπὶ τὴν ΖΗ, ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΛΑ γωνία. πάλιν ἐπεὶ ἡ ΑΓ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον, ὀρθαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΑΓΒ, ΑΓΛ, ΑΓΜ γωνίαι· ὥστε ἐπεὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῖς ἀπὸ ΒΛ, ΛΑ ἴσον, τὸ δὲ ἀπὸ ΛΑ τοῖς ἀπὸ ΛΓ, ΓΑ ἴσον,
15	τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῖς ἀπὸ ΒΛ, ΛΓ, ΓΑ ἴσον ἐστίν. ἔστι δὲ καὶ τοῖς ἀπὸ ΒΓ, ΓΑ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ· τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΓ, ΓΑ τοῖς ἀπὸ ΒΛ, ΛΓ, ΓΑ ἴσα ἐστί. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΓΑ· λοιπὸν ἄρα
15	τὸ ἀπὸ ΒΓ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΒΛ, ΛΓ· ὀρθὴ ἄρα	232
234	ἡ ὑπὸ ΒΛΓ γωνία ἐν τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ. πάλιν ἐπεὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον τοῖς ἀπὸ ΒΜ, ΜΑ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΜΑ ἴσον τοῖς ἀπὸ ΜΓ, ΓΑ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΒΜ, ΜΓ, ΓΑ. ἐπεὶ δὲ
5	καὶ τοῖς ἀπὸ ΒΓ, ΓΑ ἴσον, τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΓ ἴσον τοῖς ἀπὸ ΒΜ, ΜΓ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΜΓ γωνία ἐν τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ. τὰ ἄρα Λ, Μ σημεῖα ἐπὶ περι‐ φερείας ἐστὶ τοῦ αὐτοῦ κύκλου, οὗ διάμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ. ὁμοίως οὖν, κἂν ὁσασοῦν ἀγάγωμεν, ὃν εἰρήκαμεν
10	τρόπον, ὥσπερ οὖν καὶ τὴν ΝΟΞ, τὸ αὐτὸ συμβαῖνον δειχθήσεται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
12n	μϛʹ.
13	Ὅτι δὲ ὁ μὲν ΑΒ ἄξων πρὸς ὀρθάς ἐστι τῇ ΔΕ, αἱ δὲ ΑΛ, ΑΜ κάθετοι ἐπὶ τὰ ΒΗ, ΒΚ μέρη πίπτουσιν,
15	οὕτω δεικτέον. ἐὰν γὰρ ἐπιζεύξωμεν τὰς ΑΔ, ΑΕ, ἔσται τὸ ΔΑΕ τρίγωνον ἰσοσκελές, καὶ διὰ τοῦτο ἡ διὰ τῆς διχοτομίας τῆς βάσεως καὶ τῆς Α κορυφῆς ἀγομένη πρὸς ὀρθὰς ἔσται τῇ ΔΕ. ἐπεζεύχθωσαν δὴ καὶ αἱ ΓΖ, ΓΗ,
20	ΑΖ, ΑΗ. ἐπεὶ οὖν ἀμβλεῖα μὲν ἡ ὑπὸ ΖΒΓ γωνία, ὀξεῖα δὲ ἡ ὑπὸ ΓΒΗ, μείζων ἄρα ἡ ΖΓ τῆς ΓΗ,
20	καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΗ μεῖζον. καὶ	234
236	κοινοῦ ἄρα προστεθέντος τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τὰ ἀπὸ τῶν ΖΓ, ΓΑ τῶν ἀπὸ τῶν ΗΓ, ΓΑ μείζονά ἐστι, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΖΑ τοῦ ἀπὸ ΑΗ μεῖζόν ἐστι· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΖΑ τῆς ΑΗ. ἐπεὶ οὖν αἱ μὲν ΖΒ, ΒΗ ἴσαι, κοινὴ
5	δὲ ἡ ΒΑ, μείζων δὲ ἡ ΖΑ τῆς ΑΗ, ἡ μὲν ἄρα ὑπὸ ΖΒΑ γωνία ἀμβλεῖά ἐστιν, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΗ ὀξεῖα· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Α κάθετος ἐπὶ τὴν ΖΗ ἐπὶ τὰ ΒΗ μέρη πίπτει. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων. Ὥστε φανερόν, ὅτι αἱ προειρημέναι κάθετοι ἀπὸ
10	μετεώρου τοῦ Α σημείου ἐπὶ κύκλου περιφέρειαν πίπτουσαι κατὰ ἐπιφανείας οἰσθήσονται κώνου, οὗ βάσις μὲν ὁ ὑπὸ τῶν πτώσεων τῶν καθέτων γραφόμενος κύκλος, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ ἐξ ἀρχῆς κώνῳ.
14n	μζʹ.
15	Ἐν κώνῳ σκαληνῷ δοθέντος τινὸς τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων, ὃ μήτε μέγιστόν ἐστι μήτε ἐλάχιστον, εὑρεῖν ἕτερον τρίγωνον διὰ τοῦ ἄξονος, ὃ μετὰ τοῦ δοθέντος ἴσον ἔσται συναμφοτέρῳ τῷ μεγίστῳ καὶ τῷ ἐλαχίστῳ τῶν διὰ τοῦ ἄξονος.
20	ἔστω κῶνος σκαληνός, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α
20	σημεῖον, βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, ἄξων	236
238	δὲ ὁ ΑΒ, καὶ ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΑΓ, καὶ διὰ τοῦ Γ καὶ τοῦ Β κέντρου διήχθω ἡ ΓΔΒΕ εὐθεῖα, ᾗ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΒΗ· τῶν ἄρα διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων μέγιστον μὲν ἔσται, ὡς ἐδείχθη
5	πολλάκις, οὗ βάσις μὲν ἡ ΖΗ, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ, ἐλάχιστον δέ, οὗ βάσις μὲν ἡ ΕΔ, ὕψος δὲ ἡ ΑΓ. ἔστω δὴ τὸ δοθὲν τρίγωνον διὰ τοῦ ἄξονος, οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ ΘΚ, ὕψος δὲ ἡ ΑΛ, καὶ δέον ἔστω ἕτερον τρίγωνον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος εὑρεῖν, ὃ μετὰ τοῦ τριγώνου, οὗ
10	βάσις μὲν ἡ ΘΚ, ὕψος δὲ ἡ ΑΛ, ἴσον ἔσται συναμ‐ φοτέρῳ τῷ μεγίστῳ καὶ τῷ ἐλαχίστῳ. ἐπεὶ ἡ ΑΛ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΘΚ βάσιν, τὸ ἄρα Λ σημεῖον ἐπὶ κύκλου περιφερείας ἐστίν, οὗ διά‐ μετρός ἐστιν ἡ ΒΓ, διὰ τὸ προδειχθέν. γεγράφθω
15	δὲ ὁ ΒΛΓ κύκλος, καὶ ᾧ μείζων ἐστὶ συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ τῆς ΑΛ, τούτῳ ἴση ἔστω ἡ Μ. ἐπεὶ οὖν τῶν ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΛΓ περιφέρειαν ἀγομένων εὐθειῶν μεγίστη μὲν ἡ ΑΒ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΑΓ, ἡ ἄρα ΑΛ ἐλάττων μέν ἐστι τῆς ΑΒ, μείζων δὲ τῆς
20	ΑΓ. ἀλλ’ ἡ ΛΑ μετὰ τῆς Μ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΒΑΓ, ὧν ἡ ΑΛ ἐλάττων τῆς ΑΒ· ἡ ἄρα Μ τῆς ΑΓ μείζων ἐστί· καὶ τὸ ἀπὸ Μ ἄρα τοῦ ἀπὸ ΑΓ μεῖζόν ἐστιν. ἔστω τῷ ἀπὸ τῆς Μ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν
20	ΑΓ, ΓΝ τῆς ΓΝ ἐναρμοσθείσης εἰς τὸν κύκλον, καὶ	238
240	διήχθω ἡ ΝΞΒΟ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΝΑ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΝΓ γωνία ὀρθή ἐστιν· ἐν ἡμικυκλίῳ γάρ. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΒΓ, ΓΑ, τὸ δὲ ἀπὸ ΒΓ ἴσον τοῖς ἀπὸ ΒΝ, ΝΓ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΒ
5	ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΒΝ, ΝΓ, ΓΑ, ὧν τοῖς ἀπὸ ΓΝ, ΓΑ τὸ ἀπὸ ΑΝ ἴσον ἐστί· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῖς ἀπὸ ΒΝ, ΝΑ ἴσον ἐστίν. ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΝΑ γωνία· ἡ ΑΝ ἄρα ὕψος ἐστὶ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου, οὗ βάσις ἐστὶν ἡ ΟΒΞ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ
10	τῆς Μ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΑΓ, ΓΝ, ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΝ ἴσον τοῖς ἀπὸ ΑΓ, ΓΝ, ἴση ἄρα ἡ Μ τῇ ΑΝ· ὥστε καὶ συναμφότερος ἡ ΛΑΝ συναμφοτέρῳ τῇ ΒΑΓ ἴση ἐστί, καὶ τὸ ὑπὸ τῆς διαμέτρου καὶ συναμφοτέρου τῆς ΛΑΝ τῷ ὑπὸ τῆς διαμέτρου καὶ
15	συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ τῆς διαμέτρου καὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ διπλάσιόν ἐστι τοῦ μεγίστου καὶ ἐλαχίστου τριγώνου, ὧν βάσεις μὲν αἱ ΖΗ, ΕΔ, ὕψη δὲ αἱ ΒΑ, ΑΓ, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς διαμέτρου καὶ συναμφοτέρου τῆς ΛΑΝ διπλάσιόν
20	ἐστι τῶν τριγώνων, ὧν βάσεις μὲν αἱ ΘΚ, ΟΞ, ὕψη δὲ αἱ ΛΑ, ΑΝ· τὰ ἄρα τρίγωνα, ὧν βάσεις μὲν αἱ ΘΚ, ΟΞ, ὕψη δὲ αἱ ΛΑ, ΑΝ, ἴσα ἐστὶ τῷ τε ἐλαχίστῳ καὶ τῷ μεγίστῳ τῶν διὰ τοῦ ἄξονος. καί ἐστι τὸ
20	δοθὲν τὸ ἐπὶ τῆς ΘΚ· εὕρηται ἄρα τρίγωνον διὰ	240
242	τοῦ ἄξονος τὸ ἐπὶ τῆς ΟΞ, ὃ μετὰ τοῦ δοθέντος τοῦ ἐπὶ τῆς ΘΚ ἴσον ἐστὶ τῷ μεγίστῳ καὶ τῷ ἐλαχίστῳ.
3n	μηʹ.
4	Ἐὰν δύο τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων αἱ βάσεις
5	ἴσας περιφερείας ἀπολαμβάνωσι πρὸς τῇ διὰ τῆς καθέ‐ του διαμέτρῳ, τὰ[Omitted graphic marker] τρίγωνα ἴσα ἀλλή‐ λοις ἔσται· καλεί‐ σθω δὲ ὁμοταγῆ.
10	ἔστω κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α, βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, καὶ ἄξων
15	ὁ ΑΒ, κάθετος δὲ ἐπὶ τὴν βάσιν ἡ ΑΓ, ἡ δὲ διὰ τοῦ Γ σημείου τῆς καθέτου διά‐
20	μετρος ἡ ΔΓΒΕ, διήχθωσαν δὲ αἱ ΖΒΗ, ΘΒΚ ἴσας περιφερείας ἀπολαμβάνουσαι πρὸς τῇ ΕΔ τὰς ΚΔ, ΔΗ. λέγω, ὅτι τὰ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνα, ὧν βάσεις
25	εἰσὶν αἱ ΖΗ, ΘΚ, ἴσα ἀλλήλοις ἐστί. γεγράφθω περὶ τὴν ΒΓ διάμετρον κύκλος ὁ
25	ΒΛΓΜ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΛ, ΑΜ· κάθετοι ἄρα	242
244	εἰσὶν ἡ μὲν ΑΛ ἐπὶ τὴν ΖΗ, ἡ δὲ ΑΜ ἐπὶ τὴν ΘΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΜ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΛ ἴση ἐστίν, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΒ εὐθεῖα τῇ ΒΛ. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΜ, ΜΒ, ἀλλὰ καὶ
5	τοῖς ἀπὸ ΑΛ, ΛΒ, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΜ, ΜΒ ἄρα τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΛ, ΛΒ ἴσα ἐστίν, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΜΒ τῷ ἀπὸ ΒΛ ἴσον ἐστί· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΜΑ τῷ ἀπὸ ΑΛ ἴσον ἐστίν· ἴση ἄρα ἡ ΛΑ τῇ ΑΜ. καί εἰσιν ὕψη τῶν τριγώνων, ὧν βάσεις εἰσὶν αἱ ΖΗ, ΘΚ·
10	ἴσα ἄρα ἐστὶ τὰ ἐπὶ τῶν ΖΗ, ΘΚ βάσεων τρίγωνα τὰ διὰ τοῦ ἄξονος· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
12n	μθʹ.
13	Τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων τὰ ὁμοταγῆ ἴσα τε καὶ ὅμοια ἀλλήλοις ἐστίν.
15	ἔστω γὰρ ὡς ἐπὶ τῆς προκειμένης τὰ ΖΑΗ, ΘΑΚ τρίγωνα ὁμοταγῆ. λέγω, ὅτι ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστιν ἀλλήλοις. ὅτι μὲν οὖν ἴσα ἐστίν, ἤδη δέδεικται· ὅτι δὲ ὅμοια, νῦν δεικτέον.
20	ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΒ ἐν ἑκατέρῳ τῶν τριγώνων ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν ἦκται τῆς βάσεως, καί ἐστιν ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῖς ἀπὸ ΑΜ, ΜΒ, ἀλλὰ
20	καὶ τοῖς ἀπὸ ΑΛ, ΛΒ, καὶ τὰ ἀπὸ ΑΜ, ΜΒ ἄρα	244
246	τοῖς ἀπὸ ΑΛ, ΛΒ ἴσα, ὧν τὸ ἀπὸ ΑΜ τῷ ἀπὸ ΑΛ ἴσον· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΜΒ τῷ ἀπὸ ΒΛ καὶ ἡ ΜΒ εὐθεῖα τῇ ΒΛ· ὥστε καὶ ὅλη ἡ ΜΘ τῇ ΛΖ. ἴση δὲ καὶ ἡ ΜΑ τῇ ΛΑ· καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν ἄρα ἴσα ἐστί,
5	τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΖ τῷ ἀπὸ ΑΘ, καὶ ἡ ΑΖ τῇ ΑΘ ἴση. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΑΚ τῇ ΑΗ δείκνυται ἴση. ἀλλὰ καὶ αἱ ΖΗ, ΘΚ βάσεις ἴσαι· τὰ ἄρα ΖΑΗ, ΘΑΚ τρίγωνα ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστιν ἀλλήλοις. δῆλον δὲ καὶ τὸ ἀντίστροφον αὐτοῦ.
10n	νʹ.
11	Ἐὰν κώνου σκαληνοῦ ὁ ἄξων ἴσος ᾖ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως, ἔσται, ὡς τὸ μέγιστον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων πρὸς τὸ ἐλάχιστον, οὕτως τὸ ἐλάχιστον πρὸς τὸ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει ἰσοσκελές.
15	ἔστω κῶνος σκαληνός, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α, ἄξων δὲ ἡ ΑΒ εὐθεῖα ἴση οὖσα τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως, βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, καὶ τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων τὸ μὲν πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει ἔστω τὸ ΓΑΔ, τὸ δὲ ἰσοσκελὲς τὸ ΕΑΖ· μέγιστον
20	μὲν ἄρα ἐστὶ τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τὸ ΕΑΖ, ἐλάχιστον δὲ τὸ ΓΑΔ, διὰ τὰ πρότερον δειχθέντα. ἤχθω οὖν ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος· πίπτει δὴ ἐπὶ τὴν ΓΔ διάμετρον. ἔστω οὖν ἡ ΑΗ, καὶ διήχθω ἡ ΘΗΚ
20	πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΔ, καὶ διεκβεβλήσθω τὸ ἐπίπεδον	246
248	ποιοῦν τὸ ΘΑΚ τρίγωνον ἰσοσκελὲς ὂν καὶ ὀρθὸν πρὸς τὴν βάσιν. λέγω δή, ὅτι, ὡς τὸ ΕΑΖ μέγιστον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος πρὸς τὸ ΓΑΔ ἐλάχιστον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος, οὕτω τὸ ΓΑΔ πρὸς τὸ ΘΑΚ ἰσοσκελές.
5	ἐπεὶ γὰρ τῶν ΕΑΖ, ΓΑΔ τριγώνων αἱ μὲν βάσεις ἴσαι εἰσὶν αἱ ΓΔ, ΕΖ διάμετροι, ὕψος δὲ τοῦ μὲν ΕΑΖ ἡ ΒΑ, τοῦ δὲ ΓΑΔ ἡ ΑΗ, ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ, οὕτως τὸ ΕΑΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΓΑΔ. πάλιν ἐπεὶ τῶν ΓΑΔ καὶ ΘΑΚ τριγώνων κοινὸν
10	ὕψος ἐστὶν ἡ ΑΗ, βάσις δὲ τοῦ μὲν ΓΑΔ ἡ ΓΔ, τουτέστιν ἡ ΕΖ, τοῦ δὲ ΘΑΚ ἡ ΘΚ, ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς ΘΚ, οὕτως τὸ ΓΑΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΘΑΚ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΘΚ, οὕτως αἱ ἡμίσειαι, τουτέστιν ἡ ΒΚ πρὸς ΚΗ, ὡς δὲ ἡ ΒΚ πρὸς ΚΗ, οὕτως ἡ
15	ΒΑ πρὸς ΑΗ· ὅμοια γὰρ τὰ ΒΗΚ, ΒΗΑ τρίγωνα ὀρθογώνια· καὶ τὸ ἄρα ΓΑΔ τρίγωνον πρὸς ΘΑΚ ἐστιν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ. ἦν δὲ καὶ τὸ ΕΑΖ πρὸς ΓΑΔ, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ· ὡς ἄρα τὸ ΕΑΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΓΑΔ, οὕτως τὸ ΓΑΔ πρὸς τὸ ΘΑΚ· ὅπερ
20	ἔδει δεῖξαι.
21n	ναʹ.
22	Πάλιν ἔστω, ὡς τὸ ΕΑΖ πρὸς τὸ ΓΑΔ, οὕτως τὸ ΓΑΔ πρὸς ΘΑΚ. λέγω, ὅτι ἡ ΒΑ ἴση ἐστὶ τῇ
22	ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως.	248
250	ἐπεί, ὡς τὸ ΕΑΖ πρὸς τὸ ΓΑΔ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ, ὡς δὲ τὸ ΕΑΖ πρὸς ΓΑΔ, οὕτως τὸ ΓΑΔ πρὸς ΘΑΚ, καὶ τὸ ἄρα ΓΑΔ πρὸς ΘΑΚ ἐστιν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ. ὡς δὲ τὸ ΓΑΔ πρὸς ΘΑΚ,
5	οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΘΚ, τουτέστιν ἡ ΒΚ πρὸς ΚΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ, οὕτως ἡ ΒΚ πρὸς ΚΗ, καί ἐστιν ὅμοια τὰ ΒΑΗ, ΒΚΗ τρίγωνα καὶ ὁμόλογοι αἱ ΑΒ, ΒΚ. ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΒΚ ἐκ τοῦ κέντρου· ὃ προέκειτο δεῖξαι.
10	Καὶ συναπεδείχθη καθ’ ἑκατέραν τῶν δείξεων, ὅτι τὸ ΕΑΖ τρίγωνον τῷ ΘΑΚ ὅμοιόν ἐστιν· ὡς γὰρ ἡ ΕΖ πρὸς ΘΚ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ. καὶ ἔτι τὸ μὲν ΕΑΖ πρὸς τὸ ΘΑΚ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΓΑΔ πρὸς τὸ ΘΑΚ. καί ἐστι τὸ ΓΑΔ τρίγωνον
15	πρὸς τὸ ΘΑΚ, ὡς ἡ ΓΔ, τουτέστιν ὡς ἡ ΕΖ, πρὸς ΘΚ· ὥστε τὸ ΕΑΖ πρὸς τὸ ΘΑΚ διπλασίονα λόγον ἔχει τῶν ὁμολόγων πλευρῶν τῶν ΕΖ, ΘΚ. ὅμοια ἄρα τὰ ΕΑΖ, ΘΑΚ. ὥστε φανερόν, ὅτι, ἐὰν κώνου σκαληνοῦ ὁ ἄξων ἴσος ᾖ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου
20	τῆς βάσεως, τὸ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει ἰσοσκελὲς ὅμοιόν ἐστι τῷ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελεῖ· καὶ ἀντιστρόφως, ὅτι, ἐὰν τὸ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει ἰσοσκελὲς ὅμοιον ᾖ τῷ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελεῖ, ὁ ἄξων τοῦ κώνου ἴσος ἔσται τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως· καὶ τοῦτο γὰρ
25	εὐκατανόητον ἐκ τῶν ἤδη δειχθέντων.	250
252 (1n)	νβʹ.
2	Ἐὰν κύκλος κύκλον τέμνῃ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ γραφόμενος, ἀπὸ δὲ τῆς ἑτέρας αὐτῶν τομῆς διαχθῶσιν εὐθεῖαι τέμνουσαι τὴν διὰ τοῦ κέντρου περιφέρειαν
5	καὶ προσεκβληθῶσιν ἐπὶ τὴν τοῦ ἑτέρου κύκλου περι‐ φέρειαν, ἡ ἀπολαμβανομένη εὐθεῖα μεταξὺ τῆς τοῦ ἑτέρου κύκλου κυρτῆς περιφερείας καὶ τῆς κοίλης τοῦ ἑτέρου ἴση ἔσται τῇ ἀπὸ τῆς κοινῆς τομῆς τῆς διαχ‐ θείσης εὐθείας καὶ τῆς διὰ τοῦ κέντρου περιφερείας
10	ἐπὶ τὴν ἑτέραν κοινὴν τομὴν τῶν κύκλων ἐπιζευγνυμένῃ. ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ, διὰ δὲ τοῦ Δ κέντρου γεγράφθω τις κύκλος ὁ ΔΒΓ τέμνων τὸν ἐξ ἀρχῆς κατὰ τὰ Β, Γ σημεῖα, καὶ διήχθωσαν εὐθεῖαι διὰ μὲν τοῦ Δ ἡ ΒΔΕ, τυχοῦσα δὲ ἡ ΒΖΗ,
15	καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΓ, ΖΓ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΕΔ τῇ ΔΓ, ἡ δὲ ΖΗ τῇ ΖΓ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΓ, ΓΗ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΔΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΖΓ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΗΖΓ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ
20	ΔΕΓ τῇ ὑπὸ ΖΗΓ ἴση διὰ τὸ ἐπὶ τῆς αὐτῆς περι‐ φερείας βεβηκέναι· καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ ἴση, καὶ ὅμοια τὰ τρίγωνα· ἰσοσκελὲς ἄρα καὶ τὸ ΓΖΗ. ἴση ἄρα ἡ μὲν ΕΖ τῇ ΔΓ, ἡ δὲ ΗΖ τῇ ΖΓ. ὁμοίως δέ,
20	κἂν ἄλλαι διαχθῶσι, δειχθήσεται τὰ τῆς προτάσεως.	252
254	Πάλιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ὑποκείσθω τῇ μὲν ΓΔ ἴση ἡ ΔΕ, τῇ δὲ ΓΖ ἡ ΖΗ τῆς ΒΔΓ περι‐ φερείας κατὰ τὸ Δ δίχα τετμημένης. λέγω, ὅτι ὁ κέντρῳ μὲν τῷ Δ, διαστήματι δὲ ὁποτερῳοῦν τῶν
5	ΔΒ, ΔΓ γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τῶν Ε καὶ Η σημείων. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΔΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΓ, καί ἐστιν ἰσοσκελῆ τὰ ΕΔΓ, ΗΖΓ τρίγωνα, ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΗΓ· ἐν τῷ αὐτῷ
10	ἄρα κύκλῳ αἱ ὑπὸ ΒΕΓ, ΒΗΓ γωνίαι. ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Δ, διαστήματι δὲ τῷ ΔΒ γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τῶν Ε, Η σημείων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
13n	νγʹ.
14	Ἐὰν ἐν τμήματι κύκλου κλασθῶσιν εὐθεῖαι, μεγίστη
15	μὲν ἔσται ἡ πρὸς τὴν διχοτομίαν τὴν κλάσιν ἔχουσα, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς πρὸς τῇ διχοτομίᾳ τῆς ἀπώτερόν ἐστι μείζων. ἐν γὰρ τῷ ΑΒΓ τμήματι κεκλάσθωσαν εὐθεῖαι, ἡ μὲν ΑΒΓ ὥστε τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν δίχα τετμῆ‐
20	σθαι κατὰ τὸ Β, τυχοῦσαι δὲ αἱ ΑΔΓ, ΑΗΓ. λέγω, ὅτι συναμφότερος ἡ ΑΒΓ εὐθεῖα μεγίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἐν τῷ τμήματι κλωμένων εὐθειῶν, μείζων δὲ ἡ ΑΔΓ τῆς ΑΗΓ. ἐπεὶ ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΒΓ περιφερείᾳ ἴση
25	ἐστί, καὶ ἡ ΑΒ ἄρα εὐθεῖα τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση. κέντρῳ	254
256	οὖν τῷ Β, διαστήματι δὲ ὁποτερῳοῦν τῶν ΒΑ, ΒΓ γεγράφθω κύκλος ὁ ΑΕΖΓ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΑΒΕ, ΑΔΖ, ΑΗΘ· ἴση ἄρα διὰ τὸ πρὸ τούτου θεώρημα ἡ μὲν ΕΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΔ τῇ ΔΓ, ἡ δὲ
5	ΘΗ τῇ ΗΓ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΕ διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΕΖ κύκλου, μεγίστη μὲν ἄρα τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν ἡ ΑΕ, ἡ δὲ ΑΖ μείζων τῆς ΑΘ. ἀλλὰ τῇ μὲν ΑΕ ἴση συναμφότερος ἡ ΑΒΓ, τῇ δὲ ΑΖ ἡ ΑΔΓ, τῇ δὲ ΑΘ ἡ ΑΗΓ· καὶ τούτων ἄρα μεγίστη μὲν ἡ ΑΒΓ,
10	μείζων δὲ ἡ ΑΔΓ τῆς ΑΗΓ. καὶ ὁμοίως ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς πρὸς τῇ διχοτομίᾳ τῆς ἀπώτερόν ἐστι μείζων· ὃ προέκειτο δεῖξαι.
13n	Ἄλλως τὸ αὐτό.
14	Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐν τῷ ΑΒΓ τμήματι
15	κεκλάσθω ἡ ΑΒΓ εὐθεῖα, ὥστε τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν δίχα τετμῆσθαι κατὰ τὸ Β. λέγω, ὅτι συναμφότερος ἡ ΑΒΓ εὐθεῖα μεγίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι κλωμένων εὐθειῶν. κεκλάσθω γὰρ ἡ ΑΔΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΔΕ,
20	καὶ κείσθω ἡ ΔΕ τῇ ΔΓ ἴση, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΔ, ΒΕ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΒΓ περι‐ φερείᾳ ἴση ἐστί, καὶ ἐπὶ μὲν τῆς ΑΒ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ γωνία βέβηκεν, ἐπὶ δὲ τῆς ΒΓ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ἴση ἄρα
20	ἡ ὑπὸ ΒΔΑ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ	256
258	ΒΔΕ· συναμφοτέρος ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΕ, ΒΔΑ συναμφοτέρῳ τῇ ὑπὸ ΒΔΕ, ΒΑΓ ἐστιν ἴση. καί ἐστι συναμφότερος ἡ ὑπὸ ΒΔΕ, ΒΔΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴση· καὶ συναμ‐ φότερος ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΕ, ΒΑΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἐστιν
5	ἴση. ἔστι δὲ καὶ συναμφότερος ἡ ὑπὸ ΒΔΓ, ΒΑΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴση· συναμφότερος ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΕ, ΒΑΓ συναμφοτέρῳ τῇ ὑπὸ ΒΔΓ, ΒΑΓ ἴση ἐστί. κοινῆς ἀρθείσης τῆς ὑπὸ ΒΑΓ λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΒΔΕ τῇ ὑπὸ ΒΔΓ ἴση ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἴση μὲν ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ,
10	κοινὴ δὲ ἡ ΒΔ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας, καὶ βάσις ἄρα ἡ ΓΒ τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΒ, ΒΕ εὐθεῖαι μείζονές εἰσι τῆς ΑΕ, ἀλλὰ ταῖς μὲν ΑΒ, ΒΕ συναμ‐ φότερος ἡ ΑΒΓ ἴση ἐστί, τῇ δὲ ΑΕ συναμφότερος ἡ ΑΔΓ ἴση ἐστί, καὶ συναμφότερος ἄρα ἡ ΑΒΓ τῆς
15	ΑΔΓ μείζων ἐστίν. ὁμοίως δὲ δείκνυται καὶ τῶν ἄλλων μείζων. συναμφότερος ἄρα ἡ ΑΒΓ πασῶν τῶν ἐν τῷ τμήματι κλωμένων μεγίστη ἐστίν. Ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ διχοτομία πρὸς τῷ Ζ. λέγω, ὅτι ἡ τοῦ Ζ ἔγγιον ἡ ΑΒΓ εὐθεῖα τῆς ἀπώτερον τῆς
20	ΑΔΓ μείζων ἐστίν. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΖΒ περιφέρεια τῆς ΒΔΓ περι‐ φερείας μείζων ἐστί, καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ἄρα γωνία τῆς ὑπὸ ΒΑΓ μείζων. κοινῆς προστεθείσης τῆς ὑπὸ ΒΔΕ
20	αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΔΕ, ΒΔΑ μείζονές εἰσι τῶν ὑπὸ ΒΔΕ,	258
260	ΒΑΓ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΔΕ, ΒΑΓ ἐλάττονές εἰσι δυοῖν ὀρθῶν. εἰσὶ δὲ αἱ ὑπὸ ΒΔΓ, ΒΑΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΔΓ, ΒΑΓ τῶν ὑπὸ ΒΔΕ, ΒΑΓ μείζονές εἰσι. καὶ κοινῆς ἀρθείσης τῆς ὑπὸ ΒΑΓ λοιπὴ
5	ἡ ὑπὸ ΒΔΓ τῆς ὑπὸ ΒΔΕ μείζων ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΔΓ τῇ ΔΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΔΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΔΒ τῆς ὑπὸ ΒΔΕ μείζων, καὶ ἡ ΓΒ ἄρα βάσις μείζων ἐστὶ τῆς ΒΕ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΒ, ΒΕ εὐθεῖαι μείζονές εἰσι τῆς ΑΕ, τῶν δὲ ΑΒ, ΒΕ συναμφότερος ἡ ΑΒΓ
10	εὐθεῖα μείζων ἐστί, συναμφότερος ἄρα ἡ ΑΒΓ μείζων ἐστὶ τῆς ΑΕ, τουτέστι συναμφοτέρου τῆς ΑΔΓ.
12n	νδʹ.
13	Ἐὰν τεσσάρων ἀνίσων εὐθειῶν τὸ ἀπὸ τῆς μεγίστης καὶ τῆς ἐλαχίστης τὸ συναμφότερον τετράγωνον ἴσον
15	ᾖ συναμφοτέρῳ τῷ ἀπὸ τῶν λοιπῶν, ἡ συγκειμένη εὐθεῖα ἐκ τῆς μεγίστης καὶ τῆς ἐλαχίστης ἐλάττων ἔσται τῆς συγκειμένης ἐκ τῶν λοιπῶν. ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, καὶ μεγίστη μὲν πασῶν ἔστω ἡ ΑΒ, ἐλαχίστη δὲ ἡ
20	ΒΓ, ἡ δὲ ΔΕ τῆς ΕΖ μὴ ἐλάττων ἔστω, ἔστω δὲ τὰ ἀπὸ ΑΒ, ΒΓ τοῖς ἀπὸ ΔΕ, ΕΖ ἴσα. λέγω, ὅτι ἡ ΑΓ τῆς ΔΖ ἐλάττων ἐστίν.
20	ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς αἱ ΒΗ, ΕΘ, καὶ κείσθω	260
262	ἴση ἡ μὲν ΒΗ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΕΘ τῇ ΕΖ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθωσαν αἱ ΑΗ, ΔΘ, καὶ γεγράφθω περὶ τὸ ΑΒΗ ὀρθογώνιον ἡμικύκλιον. ἐπεὶ οὖν τὰ ἀπὸ ΑΒ, ΒΓ, τουτέστι τὰ ἀπὸ ΑΒ, ΒΗ, τοῖς ἀπὸ ΔΕ, ΕΘ ἴσα
5	ἐστί, καὶ τὸ ἀπὸ ΑΗ ἄρα τῷ ἀπὸ ΔΘ ἐστιν ἴσον, καὶ ἡ ΑΗ τῇ ΔΘ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΘ τῆς ΒΗ μείζων ἐστίν, ἡ ἄρα τῇ ΕΘ ἴση ἐναρμοζομένη τῷ ἡμικυκλίῳ τεμεῖ τὴν ὑπὸ ΒΗΑ γωνίαν. ἐνηρμόσθω ἡ ΗΚ ἴση οὖσα τῇ ΘΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΚ καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ
10	ἔστω ἴση ἡ ΚΛ τῇ ΚΗ. ἐπεὶ οὖν τὰ ἀπὸ ΑΚ, ΚΗ τοῖς ἀπὸ ΑΒ, ΒΗ ἴσα ἐστί, τὰ δὲ ἀπὸ ΑΒ, ΒΗ τοῖς ἀπὸ ΔΕ, ΕΘ ἴσα, τὰ ἄρα ἀπὸ ΑΚ, ΚΗ τοῖς ἀπὸ ΔΕ, ΕΘ ἴσα ἐστίν· ὧν τὸ ἀπὸ ΚΗ τῷ ἀπὸ ΕΘ ἴσον· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΚ τῷ ἀπὸ ΔΕ ἴσον ἐστί,
15	καὶ ἡ ΑΚ τῇ ΔΕ· τὸ ἄρα ΑΚΗ τρίγωνον ἴσον καὶ ὅμοιόν ἐστι τῷ ΔΕΘ, καὶ ἡ ΑΛ τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΚ εὐθεῖα τῆς ΚΗ οὔκ ἐστιν ἐλάττων, οὐδ’ ἡ ΑΚ ἄρα περιφέρεια τῆς ΚΗ περιφερείας ἐλάττων ἐστί. καὶ διὰ τὸ πρὸ τούτου θεώρημα, ἐπεὶ
20	ἐν τμήματι κύκλου κεκλασμέναι εἰσὶν αἱ ΑΚΗ, ΑΒΗ εὐθεῖαι, καί ἐστιν ἡ ΑΚΗ ἤτοι πρὸς τῇ διχοτομίᾳ ἢ ἔγγιον τῆς διχοτομίας, μείζων ἄρα ἡ ΑΚΗ τῆς ΑΒΗ, τουτέστιν ἡ ΑΛ τῆς ΑΓ, τουτέστιν ἡ ΔΖ τῆς ΑΓ. ἐλάττων ἄρα ἡ ΑΓ τῆς ΔΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
25n	νεʹ.
26	Ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι διῃρημέναι ὦσι, τὰ δὲ ἀπὸ τῶν τῆς ἐλάττονος τμημάτων τετράγωνα ἴσα ᾖ τοῖς
26	ἀπὸ τῶν τῆς μείζονος τμημάτων τετραγώνοις, τῶν	262
264	τεσσάρων τμημάτων μέγιστον μὲν ἔσται τὸ τῆς ἐλάττονος μεῖζον τμῆμα, ἐλάχιστον δὲ τὸ ἔλαττον. ἔστωσαν εὐθεῖαι δύο ἄνισοι αἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ διῃρημέναι κατὰ τὰ Β καὶ Ε σημεῖα, ὥστε τὴν μὲν ΔΕ
5	τῆς ΕΖ μείζονα εἶναι, τὴν δὲ ΑΒ τῆς ΒΓ μὴ εἶναι ἐλάσσονα, καὶ μείζων μὲν ἔστω ἡ ΑΓ τῆς ΔΖ, τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα τοῖς ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ τετραγώνοις ἴσα. λέγω, ὅτι τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ εὐθειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΔΕ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΕΖ.
10	ἤχθω πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΓ ἡ ΒΗ ἴση οὖσα τῇ ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ, καὶ περὶ τὸ ΑΒΗ ὀρθογώνιον γεγράφθω ἡμικύκλιον. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ εὐθεῖα τῆς ΒΗ οὔκ ἐστιν ἐλάττων, καὶ ἡ ΑΒ ἄρα περιφέρεια τῆς ΒΗ οὔκ ἐστιν ἐλάττων· ἡ ἄρα τῆς ΑΒΗ περιφερείας
15	διχοτομία ἤτοι κατὰ τὸ Β ἔσται ἢ ἐπὶ τῆς ΑΒ περι‐ φερείας, οἷον κατὰ Θ. ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῇ διχοτομίᾳ, διαστήματι δὲ ὁποτερῳοῦν τῶν Α, Η γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Γ, ὡς προεδείχθη· γεγράφθω οὖν καὶ ἔστω ὁ ΑΚΓΗ. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ
20	μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ ΔΕ, ΕΖ, τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἴσα τῷ ἀπὸ τῆς ΑΗ, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ ἄρα μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΗ· μείζων ἄρα ἡ ΔΖ τῆς ΑΗ. ἐλάττων δὲ ἡ ΔΖ τῆς ΑΓ· δυνατὸν ἄρα μεταξὺ τῶν ΑΓ, ΑΗ εὐθειῶν ἐναρμόσαι τῷ ΑΚΓΗ κύκλῳ
25	εὐθεῖαν ἴσην τῇ ΔΖ. ἐνηρμόσθω ἡ ΑΛΜ, καὶ
25	ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ· ἴση ἄρα διὰ τὰ προδεδειγμένα ἡ	264
266	ΛΜ τῇ ΛΗ. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΑΛ μείζων ἐστὶ τῆς ΑΒ, ἡ δὲ ΑΒ οὐκ ἐλάσσων τῆς ΒΗ, ἡ ἄρα ΑΛ μείζων ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ΑΒ, ΒΗ. ἡ δὲ ΛΗ ἐλάττων ἑκατέρας τῶν ΑΒ, ΒΗ· τῶν ἄρα ΑΒ, ΒΗ,
5	ΑΛ, ΛΗ μεγίστη μὲν ἡ ΑΛ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΛΗ. ἀλλ’ ἡ μὲν ΒΗ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΑΛ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΛΗ, τουτέστιν ἡ ΛΜ, τῇ ΕΖ, ὡς δείξομεν· τῶν ἄρα ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ εὐθειῶν μεγίστη μὲν ἡ ΔΕ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΕΖ· ὃ προέκειτο δεῖξαι.
10n	νϛʹ.
11	Ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἴσαι διῃρημέναι ὦσιν οὕτως, ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς ἑτέρας τῷ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς λοιπῆς ἴσον εἶναι, καὶ τὰ τμήματα τοῖς τμήμασιν ἴσα ἔσται ἑκάτερον ἑκατέρῳ.
15	ἔστωσαν εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις αἱ ΑΛΜ, ΔΕΖ διῃρημέναι κατὰ τὰ Λ καὶ Ε σημεῖα, ὥστε τὸ ὑπὸ ΑΛ, ΛΜ ἴσον εἶναι τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ. λέγω, ὅτι ἐστὶν ἴση ἡ ΑΛ τῇ ΔΕ. ἐπεὶ ἴση ἡ ΑΜ τῇ ΔΖ, καὶ αἱ ἡμίσειαι ἄρα ἴσαι
20	εἰσίν. ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΜ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΔΖ ἴσον ἐστίν. εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΜ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Λ, καί ἐστι τὸ ὑπὸ ΑΛ, ΛΜ τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας, καὶ ἡ ΔΖ ἄρα δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Ε, ἐπειδὴ τὸ ὑπὸ ΔΕ, ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ
25	τῆς ἡμισείας τῆς ΑΜ, τουτέστι τῆς ἡμισείας τῆς ΔΖ.	266
268	εἰ δὲ μή, τετμήσθωσαν δίχα κατὰ τὰ Ν, Ξ σημεῖα· ἴση ἄρα ἡ ΝΜ εὐθεῖα τῇ ΞΖ. ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΝΜ τῷ ἀπὸ τῆς ΞΖ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΑΛ, ΛΜ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΔΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ
5	ἀπὸ ΞΕ, ὧν τὸ ὑπὸ ΑΛ, ΛΜ τῷ ὑπὸ ΔΕ, ΕΖ ἴσον ἐστί· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΝΛ τῷ ἀπὸ τῆς ΞΕ ἴσον ἐστίν· ἴση ἄρα ἡ ΝΛ τῇ ΞΕ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΝΜ τῇ ΞΖ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΜ τῇ ΕΖ ἴση. ὥστε καὶ ἡ ΑΛ τῇ ΔΕ ἴση· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
10n	νζʹ.
11	Ἐὰν κῶνος σκαληνὸς διὰ τοῦ ἄξονος τμηθῇ, τῶν γενομένων τριγώνων τὸ μεῖζον μείζονα περίμετρον ἔχει, καὶ οὗ τριγώνου μείζων ἡ περίμετρος, καὶ αὐτὸ μεῖζόν ἐστι.
15	τετμήσθω κῶνος σκαληνὸς διὰ τοῦ ΑΒ ἄξονος, καὶ γενέσθω ἐκ τῆς τομῆς τὰ ΑΓΔ, ΑΕΖ τρίγωνα, μεῖζον δὲ τὸ ΑΓΔ, ὥστε τὴν μὲν ΕΑ τῆς ΑΖ μείζονα εἶναι, τὴν δὲ ΓΑ τῆς ΑΔ μὴ ἐλάττονα. λέγω, ὅτι ἡ ΑΓΔ περίμετρος τῆς ΑΕΖ περιμέτρου μείζων ἐστίν.
20	ἐπεὶ γὰρ ἴσαι μὲν αἱ ΓΔ, ΕΖ βάσεις, κοινὴ δὲ ἦκται ἡ ΒΑ ἐπὶ τὴν διχοτομίαν αὐτῶν ἀπὸ τῆς κορυφῆς, καί ἐστι τὸ ΑΕΖ τοῦ ΑΓΔ ἔλαττον, ἡ ἄρα ΕΑ πρὸς ΑΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΑ πρὸς
20	ΑΔ, ὡς ἐδείχθη ἐν τῷ καʹ θεωρήματι· ἡ μὲν ἄρα ΕΑ	268
270	μεγίστη ἐστὶ τῶν τεσσάρων εὐθειῶν, ἡ δὲ ΑΖ ἐλαχίστη· καὶ ταῦτα γὰρ ἐδείχθη ιηʹ καὶ ιθʹ θεωρήματι. καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπὸ τῆς μεγίστης καὶ τῆς ἐλαχίστης, τουτέστι τὰ ἀπὸ ΕΑ, ΑΖ, τοῖς ἀπὸ ΓΑ, ΑΔ ἴσα ἐστί, συν‐
5	αμφότερος ἄρα ἡ ΕΑ, ΑΖ εὐθεῖα συναμφοτέρου τῆς ΓΑ, ΑΔ ἐλάττων ἐστὶ διὰ τὸ πρὸ τούτου θεώρημα. προσκείσθωσαν αἱ ΕΖ, ΓΔ· ὅλη ἄρα ἡ ΑΕΖ περί‐ μετρος ὅλης τῆς ΑΓΔ περιμέτρου ἐλάττων ἐστί. μείζων ἄρα ἡ τοῦ μείζονος περίμετρος.
10	Καὶ γέγονε φανερόν, ὅτι ἐν τοῖς σκαληνοῖς κώνοις τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων μεγίστη μὲν ἡ τοῦ μεγίστου περίμετρος, τουτέστι τοῦ ἰσοσκελοῦς, ἐλαχίστη δὲ ἡ τοῦ ἐλαχίστου, τουτέστι τοῦ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει τοῦ κώνου, τῶν δ’ ἄλλων ἀεὶ τὸ μεῖζον μείζονα περιμέτρον
15	ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον. Πάλιν ὑποκείσθω ἡ τοῦ ΓΑΔ τριγώνου περίμετρος μείζων εἶναι τῆς τοῦ ΕΑΖ. λέγω δή, ὅτι τὸ ΑΓΔ τρίγωνον τοῦ ΕΑΖ μεῖζόν ἐστιν. ἐπεὶ ἡ ΑΓΔ περίμετρος τῆς ΕΑΖ περιμέτρου
20	μείζων ἐστίν, ἴση δὲ ἡ ΓΔ τῇ ΕΖ, λοιπὴ ἄρα συναμ‐ φότερος ἡ ΓΑ, ΑΔ συναμφοτέρου τῆς ΕΑ, ΑΖ μείζων ἐστί. καί ἐστι τὰ ἀπὸ ΓΑ, ΑΔ τοῖς ἀπὸ ΕΑ, ΑΖ ἴσα· τῶν ἄρα ΓΑ, ΑΔ, ΕΑ, ΑΖ εὐθειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΕΑ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΑΖ· ταῦτα
25	γὰρ ἅπαντα προδέδεικται. ἡ ΕΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΖ
25	μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΔΑ πρὸς ΑΓ. ἐπεὶ οὖν	270
272	δύο τρίγωνα τὰ ΓΑΔ, ΕΑΖ βάσεις ἴσας ἔχει, ἔχει δὲ καὶ τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βάσεως ἠγμένην τὴν αὐτήν, ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου μείζων πλευρὰ πρὸς τὴν ἐλάττονα μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ
5	τοῦ ἑτέρου μείζων πρὸς τὴν ἐλάττονα, καὶ τὰ λοιπά, τὸ ἄρα ΕΑΖ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστι· μεῖζον ἄρα τὸ ΓΑΔ τρίγωνον τοῦ ΕΑΖ [ὡς ἐδείχθη θεωρήματι ιθʹ τοῦ πρώτου βιβλίου].
9n	νηʹ.
10	Τῶν ἴσων μὲν καὶ ὀρθῶν κώνων, ἀνομοίων δέ, ἀντιπέπονθε τὰ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνα ταῖς ἑαυτῶν βάσεσιν. ἔστωσαν κῶνοι ὀρθοὶ καὶ ἴσοι, ἀνόμοιοι δέ, ὧν κορυφαὶ μὲν τὰ Α, Β σημεῖα, ἄξονες δὲ οἱ ΑΗ, ΘΒ,
15	τὰ δὲ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα τὰ ΑΓΔ, ΒΕΖ, βάσεις δὲ τῶν κώνων οἱ περὶ τὰς ΓΔ, ΕΖ διαμέτρους κύκλοι. λέγω, ὅτι, ὡς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ, οὕτως ἡ ΕΖ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ. ἐπεὶ γὰρ ἴσοι εἰσὶν οἱ κῶνοι, ὡς ἄρα ὁ περὶ τὸ
20	Η κέντρον κύκλος πρὸς τὸν περὶ τὸ Θ κύκλον, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΑΗ. ὁ δὲ περὶ τὸ Η κύκλος πρὸς
20	τὸν περὶ τὸ Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ	272
274	ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ. ἔστω τῶν ΘΒ, ΑΗ μέση ἀνάλογον ἡ ΚΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΓ, ΚΔ· ὡς ἄρα ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἥ τε ΒΘ πρὸς τὴν ΚΗ καὶ ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΑ. ἐπεὶ οὖν, ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν
5	ΕΖ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΚΗ, τὸ ΒΕΖ ἄρα τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΚΓΔ τριγώνῳ. καὶ ἐπεί, ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς ΗΑ, ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΑ, οὕτως τὸ ΚΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ, ὡς ἄρα ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως τὸ ΚΓΔ
10	τρίγωνον, τουτέστι τὸ ΒΕΖ τρίγωνον, πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ, οὕτως ἡ ΕΖ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν. ἀντι‐ πέπονθεν ἄρα τὰ ἐκκείμενα τρίγωνα ταῖς ἑαυτῶν βάσεσιν.
15n	νθʹ.
16	Ὧν κώνων ὀρθῶν ἀντιπέπονθε τὰ διὰ τῶν ἀξό‐ νων τρίγωνα ταῖς ἑαυτῶν βάσεσιν, οὗτοι ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοις. ἔστωσαν κῶνοι ὀρθοί, ὧν κορυφαὶ μὲν τὰ Α, Β
20	σημεῖα, ἄξονες δὲ αἱ ΑΗ, ΒΘ εὐθεῖαι, τὰ δὲ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα τὰ ΑΓΔ, ΒΕΖ, καὶ ἔστω, ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως τὸ ΕΒΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ. λέγω, ὅτι ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοις οἱ κῶνοι. γενέσθω, ὡς τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ,
25	οὕτως τὸ ΑΓΔ πρὸς τὸ ΚΕΖ· τὸ ΒΕΖ ἄρα πρὸς τὸ ΚΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΓΑΔ πρὸς τὸ
25	ΚΕΖ. ἐπεὶ οὖν, ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως τὸ	274
276	ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ, ὡς δὲ τὸ ΒΕΖ πρὸς τὸ ΑΓΔ, οὕτως τὸ ΑΓΔ πρὸς τὸ ΚΕΖ, ὡς ἄρα ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ. ὥστε ἐπεὶ τὰ ΑΓΔ, ΚΕΖ τρίγωνα πρὸς
5	ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις, ὑπὸ τὸ αὐτὸ ἄρα ὕψος ἐστίν· ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΚΘ. καὶ ἐπεὶ ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΔ διάμετρος πρὸς τὴν ΕΖ, ὡς δὲ ἡ ΓΔ διάμετρος πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΚΖ, ὁ
10	ἄρα Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΓΑΔ πρὸς τὸ ΕΚΖ. εἶχε δὲ καὶ τὸ ΕΒΖ πρὸς τὸ ΕΚΖ διπλασίονα λόγον ἤπερ τὸ ΓΑΔ πρὸς τὸ ΕΚΖ· ὡς ἄρα ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον, οὕτω τὸ ΕΒΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΚΖ, τουτέστιν ἡ
15	ΒΘ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΚΘ. καί ἐστιν ἡ ΘΚ τῇ ΑΗ ἴση· ὡς ἄρα ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον, οὕτως ἡ ΒΘ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΗ. καί εἰσιν αἱ ΒΘ, ΑΗ ἄξονες τῶν κώνων καὶ ἀντιπεπόνθασι ταῖς βάσεσι, τουτέστι τοῖς Η, Θ κύκλοις· οἱ ἄρα Α, Β κῶνοι ἴσοι
20	ἀλλήλοις εἰσίν.	276
278 (1n)	ξʹ.
2	Ἐὰν δύο κώνων ὀρθῶν ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν διπλασίονα λόγον ἔχῃ ἤπερ ὁ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον, τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις ἔσται.
5	ἔστωσαν κῶνοι ὀρθοί, ὧν κορυφαὶ μὲν τὰ Α, Β σημεῖα, βάσεις δὲ οἱ περὶ τὰ Η, Θ κέντρα κύκλοι, τὰ δὲ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα τὰ ΑΓΔ, ΒΕΖ, ἐχέτω δὲ ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ διπλασίονα λόγον ἤπερ ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ. λέγω, ὅτι τὰ ΑΓΔ,
10	ΒΕΖ τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. ἔστω, ὡς ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, οὕτως ὁ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν ΚΘΕΖ. ἐπεὶ ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον, ἀλλὰ καὶ ὁ ΑΗΓΔ
15	κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, ὡς ἄρα ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ κῶνον. ὥστε ἐπεὶ οἱ ΑΗΓΔ, ΚΘΕΖ κῶνοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις, ἰσοϋψεῖς ἄρα
20	εἰσὶ διὰ τὸ ἀντίστροφον τοῦ θεωρήματος τοῦ ιβʹ τῶν
20	Στοιχείων· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΚΘ. ἐπεὶ οὖν ὁ	278
280	Η κύκλος πρὸς τὸν Θ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον, τουτέστιν ἤπερ ὁ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν ΚΘΕΖ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΚ, ἔχει δὲ ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ
5	κύκλον διπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ, ὡς ἄρα ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΘΚ, τουτέστι πρὸς ΑΗ. ἴσα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΓΔ, ΒΕΖ τρίγωνα· ὃ προέκειτο δεῖξαι.
9n	ξαʹ.
10	Καὶ ἐὰν τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις ᾖ, ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον. καταγεγράφθωσαν πάλιν οἱ προκείμενοι κῶνοι, καὶ ὑποκείσθω τὰ ΑΓΔ, ΒΕΖ τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις εἶναι.
15	δεικτέον δή, ὅτι ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον. ἔστω γάρ, ὡς ἡ ΒΘ εὐθεῖα πρὸς ΑΗ, οὕτως ἡ
15	ΑΗ πρὸς ΗΚ. ἐπεὶ οὖν τὰ ΑΓΔ, ΒΕΖ τρίγωνα	280
282	ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις, ὡς ἄρα ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΑΗ πρὸς ΗΚ. καὶ ἐπεὶ ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΒΘ πρὸς ΑΗ, ἔχει
5	δὲ καὶ ἡ ΒΘ πρὸς ΚΗ διπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΒΘ πρὸς ΑΗ, ὡς ἄρα ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΚΗ· ὁ ἄρα ΚΗΓΔ κῶνος τῷ ΒΘΕΖ ἴσος ἐστίν. ἐπεὶ οὖν, ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΗΚ, ὡς δὲ ἡ ΑΗ πρὸς ΗΚ,
10	οὕτως ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΗΔΓ, τουτέστι πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον, ὡς ἄρα ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ, οὕτως ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον. ἀλλ’ ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ· ὁ ἄρα Η κύκλος πρὸς
15	τὸν Θ κύκλον, τουτέστιν ἡ βάσις τοῦ ΑΗΓΔ κώνου πρὸς τὴν βάσιν τοῦ ΒΘΕΖ κώνου, διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
19n	ξβʹ.
20	Οἱ ἰσοϋψεῖς κῶνοι ὀρθοὶ διπλασίονα λόγον ἔχουσι πρὸς ἀλλήλους ἤπερ τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα. καταγεγράφθωσαν οἱ κῶνοι, καὶ ἔστω ὁ ΑΗ ἄξων τῷ ΒΘ ἴσος. λέγω, ὅτι ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΓΔ
25	πρὸς τὸ ΒΕΖ.	282
284	ἐπεὶ γὰρ ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλα‐ σίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ, ὡς δὲ ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον· ἰσοϋψεῖς γάρ· καὶ ὁ ΑΗΓΔ
5	ἄρα κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ, τουτέστιν ἤπερ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ τρίγωνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
8n	ξγʹ.
9	Ἐὰν ὀρθοὶ κῶνοι πρὸς ἀλλήλους διπλασίονα λόγον
10	ἔχωσιν ἤπερ τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα, ἰσοϋψεῖς ἔσονται οἱ κῶνοι. καταγεγράφθωσαν οἱ κῶνοι, καὶ ὑποκείσθω ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχειν ἤπερ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ τρίγωνον.
15	λέγω, ὅτι ἡ ΑΗ ἴση ἐστὶ τῇ ΒΘ. κείσθω τῷ ΒΕΖ τριγώνῳ ἴσον τὸ ΚΓΔ τρίγωνον. ἐπεὶ οὖν ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ, ἴσον δὲ τὸ ΒΕΖ τρίγωνον τῷ ΚΓΔ τριγώνῳ,
20	ὁ ἄρα ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον διπλα‐ σίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΓΔ τρίγωνον, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΑΗ πρὸς ΗΚ, τουτέστιν ἤπερ ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΗΓΔ κῶνον· ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ πρὸς τὸν ΚΗΓΔ κῶνον,
25	οὕτως ὁ ΚΗΓΔ πρὸς τὸν ΒΘΕΖ. καὶ ἐπεὶ τῶν	284
286	ΚΗΓΔ, ΒΘΕΖ κώνων τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα τὰ ΚΓΔ, ΒΕΖ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν, ἡ ἄρα Η βάσις τοῦ κώνου πρὸς τὴν Θ βάσιν διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΚΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, ὡς ἐδείχθη
5	ἐν τῷ πρὸ ἑνὸς θεωρήματι. ὡς δὲ ὁ ΚΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, οὕτως ὁ ΑΗΓΔ πρὸς τὸν ΚΗΓΔ καὶ ἡ ΑΗ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΗΚ· ὁ ἄρα Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΚ. ἔχει δὲ ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ
10	κύκλον διπλασίονα λόγον τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΓΔ διάμετρος πρὸς τὴν ΕΖ· ὡς ἄρα ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΗΚ. ἐπειδὴ δὲ τὸ ΚΓΔ τρίγωνον τῷ ΒΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστί, κατ’ ἀντιπεπόνθησιν ἄρα, ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΚΗ. ἐδείχθη δέ,
15	ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ, οὕτως καὶ ἡ ΑΗ πρὸς ΚΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΘ πρὸς ΚΗ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΚΗ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΒΘ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
18n	ξδʹ.
19	Τῶν ἀντιπεπονθότων κώνων ὀρθῶν τοῖς ἄξοσι τὰ
20	διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις ἐστί. καταγεγράφθωσαν οἱ κῶνοι, καὶ ἔστω, ὡς ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, οὕτως ὁ ΒΘ ἄξων πρὸς τὸν ΑΗ. λέγω, ὅτι τὰ ΑΓΔ, ΒΕΖ τρίγωνα ἴσα ἀλλή‐ λοις ἐστίν.
25	ἔστω τῷ ΑΗΓΔ κώνῳ ἰσοϋψὴς ὁ ΚΘΕΖ κῶνος.
25	ἐπεὶ οὖν, ὡς ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ,	286
288	οὕτως ἡ ΒΘ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΗ, ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ ΘΚ, ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, οὕτως ἡ ΒΘ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΘΚ, τουτέστιν ὁ ΒΘΕΖ κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ· ὁ ἄρα ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν
5	ΚΘΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν ΚΘΕΖ κῶνον. ἀλλ’ ὡς ὁ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν ΚΘΕΖ, οὕτως τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ· ὁ ἄρα ΑΗΓΔ πρὸς τὸν ΚΘΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ. ἔχει δὲ ὁ
10	ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ ἰσοϋψῆ κῶνον διπλασίονα λόγον καὶ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ, ὡς ἐδείχθη ἐν τῷ πρὸ ἑνὸς θεωρήματι· ὡς ἄρα τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ, οὕτως τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ. τὸ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνον
15	τῷ ΒΕΖ ἴσον ἐστίν· ὃ προέκειτο δεῖξαι.
16n	ξεʹ.
17	Καὶ ἐὰν τὰ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις ᾖ, ἀντιπεπόνθασιν οἱ κῶνοι τοῖς ἄξοσιν. ὑποκείσθω γὰρ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον τῷ ΒΕΖ
20	τριγώνῳ ἴσον εἶναι. λέγω, ὅτι, ὡς ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, οὕτως ὁ ΒΘ ἄξων πρὸς τὸν ΑΗ. ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς καὶ κατασκευῆς,
20	ἐπεὶ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον τῷ ΒΕΖ ἴσον ἐστίν, ὡς ἄρα	288
290	τὸ ΑΓΔ πρὸς τὸ ΚΕΖ, οὕτως τὸ ΒΕΖ πρὸς τὸ ΚΕΖ. ἐπειδὴ δὲ ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ ἰσοϋψῆ κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΓΔ πρὸς τὸ ΚΕΖ, ὡς δὲ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ
5	ΚΕΖ, οὕτως τὸ ΒΕΖ πρὸς ΚΕΖ, ὁ ἄρα ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ, τουτέστιν ὁ ΒΘΕΖ κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ· ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, οὕτως ὁ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν ΚΘΕΖ,
10	τουτέστιν οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΘΚ. ἀλλ’ ἡ ΘΚ τῇ ΑΗ ἴση· ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, οὕτως ὁ ΒΘ ἄξων πρὸς τὸν ΑΗ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
13n	ξϛʹ.
14	Τῶν ἀντιπεπονθότων ὀρθῶν κώνων ταῖς βάσεσι
15	τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα πρὸς ἄλληλα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν ἀντι‐ πεπονθότως. καταγεγράφθωσαν οἱ κῶνοι, καὶ ἔστω, ὡς ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, οὕτως ἡ Θ βάσις
20	πρὸς τὴν Η βάσιν. λέγω, ὅτι τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς
20	τὴν ΓΔ.	290
292	κείσθω τῇ ΒΘ ἴση ἡ ΚΗ· οἱ ἄρα ΚΗΓΔ, ΒΘΕΖ ἰσοϋψεῖς κῶνοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ὡς αἱ βάσεις. ἐπεὶ οὖν, ὡς ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, οὕτως ἡ Θ βάσις πρὸς τὴν Η βάσιν, ἀλλ’ ὡς ἡ Θ
5	βάσις πρὸς τὴν Η βάσιν, οὕτως ὁ ΒΘΕΖ κῶνος πρὸς τὸν ΚΗΓΔ κῶνον, ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, οὕτως ὁ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν ΚΗΓΔ· ὁ ἄρα ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΗΓΔ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν ΚΗΓΔ. ἀλλ’ ὡς
10	ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΗΓΔ, οὕτως τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΓΔ· τὸ ΑΓΔ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΓΔ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΒΘΕΖ κῶνος πρὸς τὸν ΚΗΓΔ. ὁ δὲ ΒΘΕΖ κῶνος πρὸς τὸν ΚΗΓΔ ἰσοϋψῆ κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ
15	ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΓΔ· τὸ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΓΔ τετραπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΒΕΖ πρὸς τὸ ΚΓΔ. καὶ τὸ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΒΕΖ πρὸς τὸ ΚΓΔ. ὡς δὲ τὸ ΒΕΖ πρὸς ΚΓΔ, οὕτως ἡ
20	ΕΖ πρὸς τὴν ΓΔ· τὸ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ	292
294	ΒΕΖ τρίγωνον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
3n	ξζʹ.
4	Καὶ ὧν κώνων ὀρθῶν τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα
5	τριπλασίονα λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα ἤπερ ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν ἀντιπεπονθότως, οὗτοι ταῖς βάσεσιν ἀντι‐ πεπόνθασιν. ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς καὶ κατασκευῆς ἐχέτω τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ τριπλασίονα
10	λόγον ἤπερ ἡ ΕΖ βάσις τοῦ τριγώνου πρὸς τὴν ΓΔ. λέγω δή, ὅτι, ὡς ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, οὕτως ἡ Θ βάσις τοῦ κώνου πρὸς τὴν Η βάσιν. ἐπεὶ γὰρ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ τρι‐ πλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς ΓΔ, ὡς δὲ ἡ
15	ΕΖ πρὸς ΓΔ, οὕτως τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΓΔ ἰσοϋψὲς τρίγωνον, τὸ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΒΕΖ πρὸς τὸ ΚΓΔ· τὸ ἄρα ΑΓΔ πρὸς τὸ ΚΓΔ τετραπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΒΕΖ πρὸς τὸ ΚΓΔ. ὡς δὲ τὸ
20	ΑΓΔ πρὸς τὸ ΚΓΔ, οὕτως ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς
20	τὸν ΚΗΓΔ· ὁ ἄρα ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΗΓΔ	294
296	τετραπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΓΔ. ἔχει δὲ ὁ ΒΘΕΖ κῶνος πρὸς τὸν ΚΗΓΔ κῶνον ἰσοϋψῆ διπλασίονα λόγον ἤπερ τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΓΔ· ὁ ἄρα ΑΗΓΔ πρὸς
5	τὸν ΚΗΓΔ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΒΘΕΖ κῶνος πρὸς τὸν ΚΗΓΔ κῶνον. ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, οὕτως ὁ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν ΚΗΓΔ. ὡς δὲ ὁ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν ΚΗΓΔ, οὕτως ἡ Θ βάσις πρὸς τὴν Η· ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ κῶνος
10	πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, οὕτως ἡ Θ βάσις πρὸς τὴν Η· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
12n	ξηʹ.
13	Ἐὰν κῶνος ὀρθὸς πρὸς κῶνον ὀρθὸν διπλασίονα λόγον ἔχῃ ἤπερ ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν, τὸ διὰ τοῦ
15	ἄξονος τρίγωνον πρὸς τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τριπλασίονα λόγον ἕξει ἤπερ ἡ τοῦ τριγώνου βάσις πρὸς τὴν βάσιν. καταγεγράφθωσαν οἱ κῶνοι, καὶ ὑποκείσθω ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον διπλασίονα
20	λόγον ἔχειν ἤπερ ἡ Η βάσις τοῦ κώνου πρὸς τὴν Θ βάσιν. λέγω, ὅτι τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΔΓ βάσις τοῦ τριγώνου πρὸς τὴν ΕΖ.
20	ἔστω τῇ ΑΗ ἡ ΘΚ ἴση· οἱ ἄρα ΑΗΓΔ, ΚΘΕΖ	296
298	κῶνοι ἰσοϋψεῖς ὄντες πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις. ἐπεὶ οὖν ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Η βάσις πρὸς τὴν Θ βάσιν, ὡς δὲ ἡ Η βάσις πρὸς τὴν Θ, οὕτως ὁ ΑΗΓΔ
5	κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ, ὁ ἄρα ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΑΗΓΔ πρὸς τὸν ΚΘΕΖ· ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ, οὕτως ὁ ΚΘΕΖ πρὸς τὸν ΒΘΕΖ. [ἐπεὶ τοίνυν ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ διπλασίονα
10	λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΚΘΕΖ πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΚΘ πρὸς ΘΒ, ἔχει δὲ ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ διπλασίονα λόγον καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ Η βάσις πρὸς τὴν Θ βάσιν, ὡς ἄρα ἡ Η βάσις πρὸς τὴν Θ βάσιν, οὕτως ὁ ΑΗ ἄξων πρὸς τὸν ΒΘ ἄξονα.]
15	καὶ ἐπεὶ ἰσοϋψεῖς εἰσιν οἱ ΑΗΓΔ, ΚΘΕΖ κῶνοι, ὁ ἄρα ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ, ὡς ἐδείχθη. ὡς δὲ ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ, οὕτως ὅ τε ΚΘΕΖ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον καὶ
20	τὸ ΚΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ· καὶ τὸ ΚΖΕ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΓΔ πρὸς τὸ ΚΕΖ· τὸ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΓΔ πρὸς τὸ ΚΕΖ. ὡς δὲ τὸ ΑΓΔ πρὸς τὸ ΚΕΖ, οὕτως ἡ
25	ΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖ· ἰσοϋψῆ γάρ ἐστι τὰ τρίγωνα· τὸ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ τριπλασίονα
25	λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.	298
300 (1n)	ξθʹ.
2	Κἂν τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον πρὸς τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τριπλασίονα λόγον ἔχῃ ἤπερ ἡ τοῦ τριγώνου βάσις πρὸς τὴν βάσιν, ὁ κῶνος πρὸς τὸν
5	κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ βάσις τοῦ κώνου πρὸς τὴν βάσιν. ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ τριπλασίονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, καὶ κείσθω πάλιν τῇ ΑΗ ἴση ἡ ΘΚ.
10	ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΓΔ πρὸς τὸ ΒΕΖ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ, ὡς δὲ ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ, οὕτως τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ, τὸ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΓΔ πρὸς τὸ ΚΕΖ· τὸ ἄρα ΚΕΖ πρὸς τὸ ΒΕΖ
15	διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΓΔ πρὸς τὸ ΚΕΖ. ἀλλ’ ὡς τὸ ΚΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ, οὕτως ὁ ΚΘΕΖ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ· καὶ ὁ ΚΘΕΖ κῶνος ἄρα πρὸς τὸν ΒΘΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ. ἔχει δὲ καὶ ὁ ΑΗΓΔ
20	κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ κῶνον ἰσοϋψῆ διπλασίονα λόγον ἤπερ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ· ὡς ἄρα
20	ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ κῶνον, οὕτως ὁ	300
302	ΚΘΕΖ πρὸς τὸν ΒΘΕΖ. ὁ ἄρα ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΑΗΓΔ πρὸς τὸν ΚΘΕΖ, τουτέστιν ἤπερ ἡ Η βάσις	300
302	τοῦ κώνου πρὸς τὴν Θ βάσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.	302

120

(1t)

122

124

126

128

130

132

134

(1n)

136

138

140

142

144

146

148

150

152

154

156

158

160

162

164

166

168

170

172

174

176

178

180

(1n)

182

184

186

188

190

192

194

196

(1n)

198

200

(1n)

202

204

206

(1n)

208

210

212

214

216

218

220

222

224

226

228

230

232

234

236

238

240

242

244

246

248

250

252

(1n)

254

256

258

260

262

264