SERENUS :: De sectione cylindri

TLG 2055 001 :: SERENUS :: De sectione cylindri SERENUS Geom. (Antinoensis: A.D. 4) De sectione cylindri Source: Heiberg, J.L. (ed.), Sereni Antinoensis opuscula. Leipzig: Teubner, 1896: 2–116. Citation: Page — (line)

2 (1t)	ΠΕΡΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ.
2	Πολλοὺς ὁρῶν, ὦ φίλε Κῦρε, τῶν περὶ γεωμετρίαν ἀναστρεφομένων οἰομένους τὴν τοῦ κυλίνδρου πλαγίαν τομὴν ἑτέραν εἶναι τῆς τοῦ κώνου τομῆς τῆς καλου‐
5	μένης ἐλλείψεως ἐδικαίωσα μὴ χρῆναι περιορᾶν ἀγνο‐ οῦντας αὐτούς τε καὶ τοὺς ὑπ’ αὐτῶν οὕτω φρονεῖν ἀναπεπεισμένους· καίτοι δόξειεν ἂν παντὶ ἄλογον εἶναι γεωμέτρας γε ὄντας περὶ γεωμετρικοῦ προβλήματος ἄνευ ἀποδείξεως ἀποφαίνεσθαί τι καὶ πιθανολογεῖν
10	ἀτεχνῶς ἀλλότριον γεωμετρίας πρᾶγμα ποιοῦντας. ὅμως δ’ οὖν, ἐπείπερ οὕτως ὑπειλήφασιν, ἡμεῖς δὲ οὐ συμφερόμεθα, φέρε γεωμετρικῶς ἀποδείξωμεν, ὅτι μίαν καὶ τὴν αὐτὴν κατ’ εἶδος ἀνάγκη γίνεσθαι ἐν ἀμφο‐ τέροις τοῖς σχήμασι τομήν, τῷ κώνῳ λέγω καὶ τῷ
15	κυλίνδρῳ, τοιῶσδε μέντοι ἀλλ’ οὐχ ἁπλῶς τεμνομένοις. ὥσπερ δὲ οἱ τὰ κωνικὰ πραγματευσάμενοι τῶν παλαιῶν οὐκ ἠρκέσθησαν τῇ κοινῇ ἐννοίᾳ τοῦ κώνου, ὅτι τριγώνου περιενεχθέντος ὀρθογωνίου συνίσταιτο, περισσότερον δὲ καὶ καθολικώτερον ἐφιλοτεχνήσαντο
20	μὴ μόνον ὀρθούς, ἀλλὰ καὶ σκαληνοὺς ὑποστησάμενοι κώνους, οὕτω χρὴ καὶ ἡμᾶς, ἐπειδὴ πρόκειται περὶ κυλίνδρου τομῆς ἐπισκέψασθαι, μὴ τὸν ὀρθὸν μόνον
20	ἀφορίσαντας ἐπ’ αὐτοῦ ποιεῖσθαι τὴν σκέψιν, ἀλλὰ καὶ	2
4	τὸν σκαληνὸν περιλαβόντας ἐπὶ πλέον ἐκτεῖναι τὴν θεωρίαν. ὅτι μὲν γὰρ οὐκ ἂν προσοῖτό τις ἑτοίμως μὴ οὐχὶ πάντα κύλινδρον ὀρθὸν εἶναι τῆς ἐννοίας τοῦτο συνεφελκούσης, οὐκ ἀγνοῶ δήπουθεν· οὐ μὴν ἀλλ’
5	ἕνεκά γε τῆς θεωρίας ἄμεινον οἶμαι καθολικωτέρῳ ὁρισμῷ περιλαβεῖν, ἐπεὶ καὶ τὴν τομὴν ὀρθοῦ μένον‐ τος αὐτοῦ μόνῃ τῇ τοῦ ὀρθοῦ κώνου ἐλλείψει τὴν αὐτὴν εἶναι συμβήσεται, καθολικώτερον δὲ ὑποτεθέντος ὅλῃ τῇ ἐλλείψει καὶ αὐτὴν ἐξισάζειν, ὃ δὴ καὶ δείξειν
10	ὁ παρὼν λόγος ἐπαγγέλλεται. ἰτέον οὖν ἡμῖν ἐπὶ τὸ προκείμενον ὁρισαμένοις τάδε· ἐὰν μενόντων δύο κύκλων ἴσων τε καὶ παραλλή‐ λων αἱ διάμετροι παράλληλοι οὖσαι διὰ παντὸς αὐταί τε περιενεχθεῖσαι ἐν τοῖς τῶν κύκλων ἐπιπέδοις περὶ
15	μένον τὸ κέντρον καὶ συμπεριενεγκοῦσαι τὴν τὰ πέρατα αὐτῶν κατὰ τὸ αὐτὸ μέρος ἐπιζευγνύουσαν εὐθεῖαν εἰς ταὐτὸ πάλιν ἀποκαταστῶσιν, ἡ γραφεῖσα ὑπὸ τῆς περιενεχθείσης εὐθείας ἐπιφάνεια κυλινδρικὴ ἐπιφάνεια καλείσθω, ἥτις καὶ ἐπ’ ἄπειρον αὔξεσθαι δύναται τῆς
20	γραφούσης αὐτὴν εὐθείας ἐπ’ ἄπειρον ἐκβαλλομένης. κύλινδρος δὲ τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῶν παραλλήλων κύκλων καὶ τῆς μεταξὺ αὐτῶν ἀπειλημ‐ μένης κυλινδρικῆς ἐπιφανείας. βάσεις δὲ τοῦ κυλίν‐ δρου οἱ κύκλοι. ἄξων δὲ ἡ διὰ τῶν κέντρων αὐτῶν
25	ἀγομένη εὐθεῖα. πλευρὰ δὲ τοῦ κυλίνδρου γραμμή τις, ἥτις εὐθεῖα οὖσα καὶ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας οὖσα τοῦ
25	κυλίνδρου τῶν βάσεων ἀμφοτέρων ἅπτεται, ἣν καί	4
6	φαμεν περιενεχθεῖσαν γράφειν τὴν κυλινδρικὴν ἐπι‐ φάνειαν. τῶν δὲ κυλίνδρων ὀρθοὶ μὲν οἱ τὸν ἄξονα πρὸς ὀρθὰς ἔχοντες ταῖς βάσεσι, σκαληνοὶ δὲ οἱ μὴ πρὸς
5	ὀρθὰς ἔχοντες ταῖς βάσεσι τὸν ἄξονα. ὁριστέον δὲ κατὰ Ἀπολλώνιον καὶ τάδε· πάσης καμπύλης γραμμῆς ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ οὔσης διάμετρος καλείσθω εὐθεῖά τις, ἥτις ἠγμένη ἀπὸ τῆς καμπύλης γραμμῆς πάσας τὰς ἀγομένας ἐν τῇ γραμμῇ
10	εὐθείας εὐθείᾳ τινὶ παραλλήλους δίχα διαιρεῖ, κορυφὴ δὲ τῆς γραμμῆς τὸ πέρας τῆς εὐθείας τὸ πρὸς τῇ γραμμῇ, τεταγμένως δὲ ἐπὶ τὴν διάμετρον κατῆχθαι ἑκάστην τῶν παραλλήλων. συζυγεῖς δὲ διάμετροι καλείσθωσαν, αἵτινες ἀπὸ
15	τῆς γραμμῆς τεταγμένως ἀχθεῖσαι ἐπὶ τὰς συζυγεῖς διαμέτρους ὁμοίως αὐτὰς τέμνουσι. τοιούτων δὲ γραμμῶν ὑφισταμένων καὶ ἐν ταῖς πλαγίαις τομαῖς τοῦ κυλίνδρου ἡ διχοτομία τῆς δια‐ μέτρου κέντρον τῆς τομῆς καλείσθω, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ
20	κέντρου ἐπὶ τὴν γραμμὴν προσπίπτουσα ἐκ τοῦ κέντρου τῆς γραμμῆς. ἡ δὲ διὰ τοῦ κέντρου τῆς τομῆς παρὰ τεταγμένως κατηγμένην ἀχθεῖσα περατουμένη ὑπὸ τῆς γραμμῆς δευτέρα διάμετρος καλείσθω· δειχθήσεται γὰρ πάσας
25	τὰς ἀγομένας ἐν τῇ τομῇ παρὰ τὴν διάμετρον δίχα
25	τέμνουσα.	6
8	ἔτι κἀκεῖνο προδιωρίσθω, ὅτι ὅμοιαι ἐλλείψεις εἰ‐ σίν, ὧν ἑκατέρας αἱ συζυγεῖς διάμετροι πρὸς ἀλλήλας τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον καὶ πρὸς ἴσας γωνίας τέμνου‐ σιν ἀλλήλας.
5n	αʹ.
6	Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων καὶ ἴσας ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, αἱ τὰ πέρατα αὐτῶν ἐπιζευγνύουσαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν.
10	ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΑΒ, ΒΓ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΔΕ, ΕΖ, καὶ ἴση ἔστω ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΒΓ τῇ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΔΖ. λέγω, ὅτι αἱ ΑΓ, ΔΖ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν.
15	ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΓΖ, ΑΔ. ἐπεὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστι, καὶ ἡ ΒΕ ἄρα .... τῇ ΓΖ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστι. καὶ αἱ ΑΓ, ΔΖ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν· ὃ προέκειτο δεῖξαι.
19n	βʹ.
20	Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ ἄξονος, ἡ
20	τομὴ παραλληλόγραμμον ἔσται.	8
10	ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἱ περὶ τὰ Α, Β κέντρα κύκλοι, ἄξων δὲ ἡ ΑΒ εὐθεῖα, καὶ διὰ τῆς ΑΒ ἐκβεβλήσθω ἐπίπεδον τέμνον τὸν κύλινδρον· ποιήσει δὴ ἐν μὲν τοῖς κύκλοις εὐθείας τὰς ΓΔ, ΕΖ
5	διαμέτρους οὔσας, ἐν δὲ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου τὰς ΕΗΓ, ΖΔ γραμμάς. λέγω, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΗΓ, ΔΖ γραμμῶν εὐθεῖά ἐστιν. εἰ γὰρ δυνατόν, μὴ ἔστωσαν εὐθεῖαι, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘΓ εὐθεῖα. ἐπεὶ οὖν ἡ ΕΗΓ γραμμὴ καὶ ἡ ΕΘΓ εὐθεῖα
10	ἐν τῷ ΕΔ ἐπιπέδῳ εἰσὶ συνάπτουσαι κατὰ τὰ Ε, Γ σημεῖα, καί ἐστιν ἡ ΕΗΓ γραμμὴ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφα‐ νείας, ἡ ΕΘΓ ἄρα εὐθεῖα οὐκ ἔστιν ἐπὶ τῆς τοῦ κυ‐ λίνδρου ἐπιφανείας. ἐπεὶ οὖν οἱ Α, Β κύκλοι ἴσοι τε καὶ παράλληλοί εἰσι καὶ τέμνονται ὑπὸ τοῦ ΕΔ ἐπι‐
15	πέδου, αἱ ἄρα κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν. εἰσὶ δὲ καὶ ἴσαι· διάμετροι γάρ εἰσιν ἴσων κύκλων· ἐὰν ἄρα μενόντων τῶν Α, Β σημείων τὰς ΑΓ, ΒΕ διαμέτρους νοήσωμεν περιενεγκούσας τὴν ΕΘΓ εὐ‐ θεῖαν περὶ τοὺς Α, Β κύκλους καὶ ἀποκαθισταμένας,
20	ἡ ΕΘΓ εὐθεῖα γράψει τὴν τοῦ κυλίνδρου ἐπιφάνειαν, καὶ ἔσται τὸ Θ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας. ἦν δὲ ἐκτός· ὅπερ ἀδύνατον. εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗΓ. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΖΔ. καὶ ἐπιζευγνύουσιν ἴσας τε καὶ παραλλήλους τὰς ΕΖ, ΓΔ· τὸ ΕΔ ἄρα παραλληλόγραμμόν ἐστιν·
25	ὅπερ ἔδει δεῖξαι.	10
12 (1n)	γʹ.
2	Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ τῷ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμῳ, ἡ τομὴ παραλληλό‐ γραμμον ἔσται ἴσας γωνίας ἔχον τῷ διὰ τοῦ ἄξονος
5	παραλληλογράμμῳ. ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἱ περὶ τὰ Α, Β κέντρα κύκλοι, ἄξων δὲ ἡ ΑΒ εὐθεῖα, τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΓΔ, καὶ τετμήσθω ὁ κύλινδρος ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τῷ διὰ τῶν Ε, Ζ, Η, Θ
10	παραλλήλῳ ὄντι τῷ ΓΔ παραλληλογράμμῳ καὶ ποιοῦντι τομὰς ἐν μὲν ταῖς βάσεσι τὰς ΕΖ, ΗΘ εὐθείας, ἐν δὲ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου τὰς ΕΗ, ΖΘ γραμ‐ μάς. λέγω, ὅτι τὸ ΕΗΖΘ σχῆμα παραλληλόγραμμόν ἐστιν ἰσογώνιον τῷ ΓΔ.
15	ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β κέντρου ἐπὶ τὴν ΕΖ εὐθεῖαν κάθετος ἡ ΒΚ, καὶ διὰ τῶν ΚΒ, ΒΑ διεκβεβλήσθω ἐπίπεδον, καὶ ἔστωσαν κοιναὶ τομαὶ αἱ ΑΛ, ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΖ, ΑΘ. ἐπεὶ οὖν παράλληλος ὁ μὲν Α κύκλος τῷ Β, τὸ δὲ ΕΘ ἐπίπεδον τῷ ΓΔ ἐπι‐
20	πέδῳ, καὶ τέμνεται ὑπὸ τοῦ ΑΒΚΛ ἐπιπέδου, παράλ‐ ληλος ἄρα ἡ μὲν ΑΛ τῇ ΒΚ, ἡ δὲ ΚΛ τῇ ΒΑ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΑ· ἴση ἄρα ἡ μὲν
20	ΚΛ τῇ ΒΑ, ἡ δὲ ΒΚ τῇ ΑΛ. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ΒΚ	12
14	τῇ ΑΛ παράλληλός ἐστιν, ἡ δὲ ΚΖ τῇ ΛΘ, καὶ ἡ ὑπὸ ΒΚΖ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΑΛΘ ἴση ἐστί. καί ἐστιν ἡ ΒΚ κάθετος ἐπὶ τὴν ΚΖ· καὶ ἡ ΑΛ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΛΘ. καί εἰσιν ἴσαι· ἴσαι ἄρα
5	καὶ αἱ ΕΖ, ΗΘ· ἀλλὰ καὶ παράλληλοι. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΖ τῇ ΑΘ παράλληλός ἐστι, τὸ ἄρα διὰ τῆς ΒΖ καὶ τοῦ ἄξονος ἀγόμενον ἐπίπεδον ἥξει καὶ διὰ τῆς ΑΘ καὶ τομὴν ποιήσει παραλληλόγραμμον, καὶ πλευρὰ αὐ‐ τοῦ ἔσται ἡ τὰ Ζ, Θ ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα ἐπὶ τῆς
10	ἐπιφανείας οὖσα τοῦ κυλίνδρου. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΖΘ πλευρὰ τοῦ ΕΖΗΘ σχήματος ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας· κοινὴ ἄρα πλευρά ἐστι τοῦ τε διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου καὶ τοῦ ΕΗΖΘ σχήματος. εὐθεῖα δὲ ἐδείχθη ἡ πλευρὰ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλ‐
15	ληλογράμμου· ἡ ΘΖ ἄρα ἐστὶν εὐθεῖα. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΕΗ. καὶ ἐπιζευγνύουσιν ἴσας καὶ παραλλήλους τὰς ΕΖ, ΗΘ· τὸ ΕΘ ἄρα παραλληλόγραμμόν ἐστι. λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιον τῷ ΓΔ. ἐπεὶ γὰρ δύο αἱ ΔΒ, ΒΖ δυσὶ ταῖς ΜΑ, ΑΘ
20	παράλληλοί εἰσι, καί εἰσιν αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἴσαι, καὶ αἱ ΖΔ, ΜΘ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσι διὰ τὸ πρῶτον θεώρημα. καὶ αἱ ΖΘ, ΔΜ ἄρα καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΘ τῇ ΑΜ παράλληλος. ἡ ἄρα ὑπὸ ΛΘΖ γωνία τοῦ ΕΘ
25	παραλληλογράμμου τῇ ὑπὸ ΓΜΔ γωνίᾳ τοῦ ΓΔ παραλλη‐
25	λογράμμου ἴση ἐστίν· ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΕΘ τῷ ΓΔ.	14
16 (1n)	δʹ.
2	Ἐὰν καμπύλην γραμμὴν ὑποτείνῃ εὐθεῖα, αἱ δὲ ἀπὸ τῆς γραμμῆς ἐπὶ τὴν ὑποτείνουσαν κάθετοι ἴσον δύνωνται τῷ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς ὑποτεινούσης, ἡ
5	γραμμὴ κύκλου περιφέρεια ἔσται. ἔστω καμπύλη γραμμὴ ἡ ΑΒΔ, ὑποτείνουσα δὲ αὐτὴν ἡ ΑΔ εὐθεῖα, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ τὴν ΑΔ αἱ ΒΕ, ΓΖ, καὶ ὑποκείσθω τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΒΕ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΔ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἴσον
10	τῷ ὑπὸ ΑΖΔ. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΔ κύκλου περιφέ‐ ρειά ἐστι. τετμήσθω δίχα ἡ ΑΔ κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω‐ σαν αἱ ΗΒ, ΗΓ. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΗΔ ἴσον ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ τῆς ΗΕ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΔ, ὅ
15	ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ, ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΗΕ, ΕΒ, ἴση ἄρα ἡ ΒΗ τῇ ΗΔ. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΓΗ τῇ ΗΔ ἴση δείκνυται καὶ αἱ ἄλλαι· ἡμικύκλιον ἄρα τὸ ΑΒΔ.
19n	εʹ.
20	Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ ταῖς βάσεσιν, ἡ τομὴ κύκλος ἔσται τὸ κέντρον ἔχων ἐπὶ τοῦ ἄξονος. ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἱ Α, Β κύκλοι, ἄξων δὲ ἡ ΑΒ εὐθεῖα, καὶ τετμήσθω ὁ κύλινδρος
25	ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ ταῖς βάσεσι ποιοῦντι ἐν τῇ ἐπι‐ φανείᾳ τοῦ κυλίνδρου τὴν ΓΞΔ γραμμήν. λέγω, ὅτι
25	ἡ ΓΞΔ γραμμὴ κύκλου ἐστὶ περιφέρεια.	16
18	ἤχθωσαν ἐν τῷ Α κύκλῳ διάμετροι αἱ ΕΖ, ΗΘ, καὶ δι’ ἑκατέρας τῶν ΕΖ, ΗΘ καὶ τοῦ ἄξονος ἐκ‐ βεβλήσθω ἐπίπεδα τέμνοντα τὸν κύλινδρον· ποιήσει δὴ παραλληλόγραμμα τὰς τομάς. ἔστω τοῦ μὲν ΕΚ παρ‐
5	αλληλογράμμου καὶ τοῦ ΓΞΔ ἐπιπέδου κοινὴ τομὴ ἡ ΓΔ, τοῦ δὲ ΗΛ παραλληλογράμμου καὶ τοῦ ΓΔΞ ἐπιπέδου κοινὴ τομὴ ἡ ΝΞ. ἐπεὶ οὖν τὸ ΓΞΔ ἐπί‐ πεδον παράλληλόν ἐστι τῷ Α κύκλῳ καὶ τέμνεται ὑπὸ τοῦ ΕΚ ἐπιπέδου, ἡ ΓΔ ἄρα εὐθεῖα τῇ ΕΖ παράλλη‐
10	λός ἐστι. διὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἡ ΝΞ τῇ ΗΘ παράλλη‐ λός ἐστιν. ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΑ ἑκατέρᾳ τῶν ΓΕ, ΔΖ παράλληλός ἐστι, καὶ ἴση ἡ ΑΕ τῇ ΑΖ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΓΜ τῇ ΜΔ. ὁμοίως ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΑ τῇ ΑΘ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΝ τῇ ΜΞ. ἐπεὶ δὲ αἱ ΑΕ, ΑΗ ἴσαι
15	εἰσί, καὶ αἱ ΜΓ, ΜΝ ἄρα ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις· πᾶσαι ἄρα αἱ ΜΓ, ΜΔ, ΜΝ, ΜΞ ἴσαι εἰσίν. ὁμοίως δὲ κἂν ἄλλαι διαχθῶσι, πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Μ ἐπὶ τὴν ΓΞΔ γραμμὴν προσπίπτουσαι ἴσαι εὑρεθήσονται. κύκλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΞΔ τομή.
20	ὅτι δὲ καὶ τὸ κέντρον ἐπὶ τῆς ΑΒ εὐθείας ἔχει, δῆλον· τὸ γὰρ Μ ἐν τοῖς τρισὶν ἐπιπέδοις ὂν ἐπὶ τῆς ΑΒ κοινῆς τομῆς τῶν παραλληλογράμμων ἐστί, τουτ‐ έστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος.
24n	ϛʹ.
25	Ἐὰν κύλινδρος σκαληνὸς ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος
25	τμηθῇ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει, τμηθῇ δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπι‐	18
20	πέδῳ ὀρθῷ τε πρὸς τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμ‐ μον καὶ ποιοῦντι τὴν κοινὴν τομὴν ἐν τῷ παραλληλο‐ γράμμῳ εὐθεῖαν ἴσας μὲν ποιοῦσαν γωνίας ταῖς τοῦ παραλληλογράμμου, μὴ παράλληλον δὲ οὖσαν ταῖς βά‐
5	σεσι τοῦ παραλληλογράμμου, ἡ τομὴ κύκλος ἔσται, καλείσθω δὲ ἡ τοιαύτη ἀγωγὴ τοῦ ἐπιπέδου ὑπεν‐ αντία. ἔστω σκαληνὸς κύλινδρος, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον ἔστω τὸ ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ὂν τῇ
10	βάσει, τετμήσθω δὲ ὁ κύλινδρος καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τῷ ΕΖΗ ὀρθῷ καὶ αὐτῷ πρὸς τὸ ΑΔ παραλληλόγραμμον καὶ ποιοῦντι ἐν αὐτῷ κοινὴν τομὴν τὴν ΕΗ εὐθεῖαν μὴ παράλληλον μὲν ταῖς ΑΒ, ΓΔ, ἴσας δὲ γωνίας ποιοῦσαν τὴν μὲν ὑπὸ ΗΕΑ τῇ ὑπὸ ΕΑΒ, τὴν δὲ
15	ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ὑπὸ ΑΒΗ. λέγω, ὅτι ἡ ΕΖΗ τομὴ κύκλος ἐστίν. εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΕΗ εὐθείας τὸ Θ, καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΕΗ ἤχθω ἡ ΘΖ ἐν τῷ ΕΖΗ ἐπιπέδῳ οὖσα· ἡ ΖΘ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ ΑΔ ἐπίπεδον.
20	ἤχθω διὰ τοῦ Θ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΚΘΛ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΜΝ, καὶ διὰ τῶν ΖΘ, ΚΛ ἤχθω ἐπίπεδον ποιοῦν τὴν ΚΖΛ τομήν. ἐπεὶ οὖν ἡ ΜΝ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΑΒ κοινὴν τομὴν τῶν ἐπιπέδων ἐν τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ οὖσα, κάθετος
25	ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΝ ἐπὶ τὸ ΑΔ ἐπίπεδον· παράλληλοι
25	ἄρα εἰσὶν αἱ ΖΘ, ΜΝ. παράλληλοι δὲ καὶ αἱ ΚΛ,	20
22	ΑΒ· καὶ τὰ δι’ αὐτῶν ἄρα ἐπίπεδα. ἡ ΚΖΛ ἄρα τομὴ παράλληλός ἐστι τῇ βάσει· κύκλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΖΛ τομή. διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἡ ΚΛ καὶ τῇ ΚΛ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΘ· ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΚΘ, ΘΛ
5	τῷ ἀπὸ τῆς ΘΖ. ἀλλὰ τῷ ὑπὸ τῶν ΚΘ, ΘΛ τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΘΗ ἴσον ἐστίν· ἴση γὰρ ἡ μὲν ΕΘ τῇ ΘΚ, ἡ δὲ ΗΘ τῇ ΘΛ διὰ τὸ τὰς πρὸς ταῖς ΕΚ, ΛΗ βάσεσι γωνίας ἴσας εἶναι· καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΘΗ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ ἴσον ἐστί. καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ΖΘ
10	ἐπὶ τὴν ΕΗ. ὁμοίως δὲ κἂν ἄλλην ἀγάγῃς παράλληλον τῇ ΖΘ ἐπὶ τὴν ΕΗ, ἴσον δυνήσεται τῷ ὑπὸ τῶν γενο‐ μένων τμημάτων τῆς ΕΗ· κύκλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖΗ τομή, οὗ διάμετρος ἡ ΕΘΗ εὐθεῖα.
14n	ζʹ.
15	Δοθέντος κυλίνδρου σημείου τινὸς[Omitted graphic marker] ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἀγαγεῖν διὰ τοῦ σημείου πλευρὰν τοῦ κυλίνδρου. ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἱ Α, Β κύκλοι, ἄξων δὲ ἡ ΑΒ εὐθεῖα,
20	τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπι‐ φανείας τὸ Γ, καὶ δέον ἔστω διὰ τοῦ Γ ἀγαγεῖν τοῦ κυλίνδρου πλευράν. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου κάθετος
20	ἐπὶ τὴν ΑΒ ἡ ΓΔ, καὶ διὰ τῶν ΑΒ,	22
24	ΓΔ εὐθειῶν ἐκβεβλήσθω ἐπίπεδον τέμνον τὸν κύλιν‐ δρον· ἥξει ἄρα ἡ τομὴ διὰ τοῦ Γ καὶ ποιήσει εὐθεῖαν ὡς τὴν ΓΕ, ἥτις ἐστὶ πλευρὰ τοῦ κυλίνδρου.
4n	ηʹ.
5	Ἐὰν ἐπὶ κυλίνδρου ἐπιφανείας δύο σημεῖα ληφθῇ μὴ ἐπὶ μιᾶς ὄντα πλευρᾶς τοῦ παραλληλογράμμου τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ κυλίνδρου, ἡ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας. ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις εἰσὶν οἱ Α, Β κύκλοι,
10	καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας αὐτοῦ δύο σημεῖα τὰ Γ, Δ μὴ ὄντα ἐπὶ μιᾶς πλευρᾶς τοῦ παραλληλογράμμου τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ κυλίνδρου, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΔ εὐθεῖα. λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ ἐντὸς πίπτει τῆς ἐπι‐ φανείας.
15	εἰ γὰρ δυνατόν, πιπτέτω ἢ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἢ ἐκτὸς αὐτῆς. καὶ ἐπεὶ τὰ Γ, Δ σημεῖα οὔκ ἐστιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου, ἤχθω διὰ μὲν τοῦ Γ ἡ ΕΓΖ πλευρά, διὰ δὲ τοῦ Δ ἡ ΗΔΘ, καὶ ἐπ‐ εζεύχθωσαν αἱ ΕΗ, ΖΘ εὐθεῖαι· ἐντὸς ἄρα πίπτουσι
20	τῶν κύκλων αἱ ΕΗ, ΖΘ. εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΓΔ τὸ Κ· τὸ δὴ Κ ἤτοι ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἐστὶ τοῦ κυλίνδρου ἢ ἐκτός. ἔστω πρότερον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας, καὶ διὰ τοῦ Κ ἤχθω πλευρὰ τοῦ κυλίνδρου ἡ ΛΚΜ εὐθεῖα πίπτουσα ἐπὶ τὰς ΕΗ, ΖΘ περιφερείας ἐκβαλ‐
25	λομένη. οὐδετέραν ἄρα τεμεῖ τῶν ΕΗ, ΖΘ εὐθειῶν·	24
26	οὐκ ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΜ ἐν τῷ ΖΕΗΘ ἐπιπέδῳ. καὶ ἐπ’ αὐτῆς τὸ Κ· οὐδὲ τὸ Κ ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΖΕΗΘ ἐπιπέδῳ. ἐπεὶ δὲ ἡ ΓΔ ἐστιν ἐν τῷ ΖΕΗΘ ἐπιπέδῳ καὶ ἐπ’ αὐτῆς τὸ Κ, τὸ Κ ἄρα ἐν τῷ ΖΕΗΘ ἐστιν
5	ἐπιπέδῳ. καὶ ἔστιν ἄρα καὶ οὐκ ἔστιν ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τὸ Κ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἐστὶν ἡ ΓΔ. ἀλλὰ δὴ ἔστω ἐκτός, καὶ ληφθέντος σημείου τινὸς ἐπὶ τῆς ΕΗ περιφερείας τοῦ Λ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΛ. ἐκ‐
10	βληθεῖσα δὴ ἐφ’ ἑκάτερα ἡ ΚΛ οὐδετέραν τεμεῖ τῶν ΕΗ, ΖΘ εὐθειῶν· ὥστε οὐκ ἔσται ἡ ΚΛ ἐν τῷ ΖΕΗΘ ἐπιπέδῳ· καὶ τὰ λοιπὰ δῆλα.
13n	θʹ.
14	Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ μήτε παρὰ τὰς βά‐
15	σεις μήτε ὑπεναντίως μήτε διὰ τοῦ ἄξονος μήτε παραλ‐ λήλῳ τῷ διὰ τοῦ ἄξονος ἐπιπέδῳ, ἡ τομὴ οὐκ ἔσται κύκλος οὐδὲ εὐθύγραμμον. ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις οἱ Α, Β κύκλοι, καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ μήτε παρὰ τὰς βάσεις μήτε ὑπεναν‐
20	τίως μήτε διὰ τοῦ ἄξονος μήτε παραλλήλως τῷ ἄξονι. τὸ δὴ τέμνον ἐπίπεδον ἤτοι καὶ τὰς βάσεις τέμνει ἀμ‐ φοτέρας ἢ τὴν ἑτέραν ἢ οὐδετέραν. πρῶτον δὴ μηδ‐ ετέραν τεμνέτω καὶ ποιείτω γραμμὴν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου τὴν ΓΕΔ. λέγω, ὅτι ἡ ΓΕΔ τομὴ
25	οὔτε κύκλος ἐστὶν οὔτε εὐθύγραμμον.	26
28	ὅτι μὲν οὔκ ἐστιν εὐθύγραμμον, δῆλον. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω εὐθύγραμμον, καὶ εἰλήφθω πλευρά τις αὐτοῦ ἡ ΓΕ. ἐπεὶ οὖν ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίν‐ δρου δύο σημεῖα εἴληπται τὰ Γ, Ε μὴ ὄντα ἐπὶ τῆς
5	αὐτῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου· ἡ γὰρ πλευρὰ κατὰ δύο σημεῖα οὐ τέμνει τὴν τοιαύτην γραμμήν· ἡ ἄρα τὰ Γ, Ε σημεῖα ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἐστὶ τοῦ κυλίνδρου· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα εὐθεῖά ἐστιν ἡ ΓΕ γραμμή· τὸ ἄρα ΓΕΔ σχῆμα οὔκ
10	ἐστιν εὐθύγραμμον. δεικτέον δή, ὅτι οὐδὲ κύκλος. ἐπεὶ γὰρ τὸ τῆς ΓΕΔ τομῆς ἐπίπεδον τῷ τοῦ Α κύκλου ἐπιπέδῳ οὔκ ἐστι παράλληλον, ἐκβαλλόμενα τὰ ἐπίπεδα τεμεῖ ἄλληλα. τεμνέτω, καὶ ἔστω κοινὴ τομὴ
15	αὐτῶν ἡ ΖΗ, καὶ διὰ τοῦ Α κέντρου ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΖΗ ἡ ΘΑΗ, καὶ διὰ τῆς ΘΑ καὶ τοῦ ἄξονος ἐκβεβλήσθω ἐπίπεδον ποιοῦν ἐν μὲν τῷ κυλίνδρῳ το‐ μὴν τὸ ΘΚ παραλληλόγραμμον, ἐν δὲ τῇ ΓΕΔ τομῇ τὴν ΓΔ εὐθεῖαν, καὶ τῆς ΓΔ δίχα τμηθείσης κατὰ τὸ
20	Λ ἤχθωσαν τῇ ΖΗ παράλληλοι διὰ μὲν τοῦ Λ ἡ ΕΛΜ, διὰ δὲ τοῦ Α ἡ ΝΑΞ· αἱ ἄρα ΜΕ, ΝΞ παράλληλοί εἰσιν ἀλλήλαις. ἤχθω τοίνυν διὰ τῆς ΕΜ ἐπίπεδον παράλληλον τῇ βάσει τοῦ κυλίνδρου ποιοῦν ἐν τῷ κυλίνδρῳ τομὴν τὴν ΟΕΠΜ· ἡ ΟΕΠ ἄρα τομὴ κύκλος
25	ἐστίν, οὗ διάμετρός ἐστιν ἡ ΟΠ δίχα τετμημένη κατὰ τὸ Λ· ἐπεὶ γὰρ τῶν ΛΟΓ, ΛΠΔ τριγώνων ὁμοίων
25	ὄντων ἴση ἐστὶν ἡ ΓΛ τῇ ΛΔ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΟΛ	28
30	τῇ ΛΠ. διάμετρος ἄρα καὶ ἡ ΕΛΜ τοῦ ΟΕΠ κύκλου. ἐπεὶ οὖν παράλληλός ἐστιν ἡ μὲν ΟΛ τῇ ΘΑ, ἡ ΛΜ δὲ τῇ ΑΞ, ἡ ἄρα ὑπὸ τῶν ΟΛ, ΛΜ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΑ, ΑΞ ἴση ἐστίν· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν
5	ΟΛ, ΛΜ. ἡ ΕΛ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΟΠ διάμετρον τοῦ κύκλου· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΟΛ, ΛΠ. ἐπεὶ δὲ οὔκ ἐστιν ἡ τομὴ ὑπεναν‐ τία, ἡ ἄρα ὑπὸ ΛΟΓ γωνία οὔκ ἐστιν ἴση τῇ ὑπὸ ΟΓΛ· οὐδὲ ἡ ΟΛ ἄρα εὐθεῖα τῇ ΓΛ ἴση ἐστίν· οὐδὲ
10	τὸ ἀπὸ τῆς ΟΛ ἄρα, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΟΛ, ΛΠ, τῷ ἀπὸ τῆς ΛΓ, τουτέστι τῷ ὑπὸ τῶν ΓΛ, ΛΔ, ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τῷ ὑπὸ τῶν ΟΛ, ΛΠ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΛ ἴσον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΛ οὔκ ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν ΓΛ, ΛΔ ἴσον. οὐκ ἄρα κύκλος ἐστὶν ἡ ΓΕΔ τομή· ἐδείχθη
15	δέ, ὅτι οὐδὲ εὐθύγραμμον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. καὶ συναπεδείχθη, ὅτι ἡ τὴν ΓΔ ἐν τῇ τομῇ παρὰ τὴν ΖΗ διχοτομοῦσα εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς βάσεως.
19n	ιʹ.
20	Ἀλλὰ δὴ τὸ τέμνον ἐπίπεδον τεμνέτω καὶ τὰς βάσεις, τὴν μὲν Α βάσιν τῇ ΓΕ εὐθείᾳ, τὴν δὲ Β τῇ ΖΗ, καὶ διὰ τοῦ Α ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΕ ἡ ΘΑΛ, καὶ διὰ τῆς ΘΑ διαμέτρου καὶ τοῦ ἄξονος ἐκβεβλήσθω ἐπίπεδον, ὃ ποιεῖ τομὴν τὸ ΘΚ παραλληλόγραμμον, τῆς
25	δὲ ΖΕ τομῆς καὶ τοῦ ΘΚ παραλληλογράμμου κοινὴ
25	τομὴ ἡ ΛΜ. ἐπεὶ οὖν τὸ ΖΕ ἐπίπεδον οὔτε διὰ τοῦ	30
32	ἄξονος ἦκται οὔτε παραλλήλως τῷ ἄξονι, ἡ ΛΜ ἄρα ἐπ’ ἄπειρον ἐκβαλλομένη τεμεῖ τὸν ἄξονα· τεμεῖ ἄρα καὶ τὴν ΘΝ παράλληλον οὖσαν τῷ ἄξονι· ἀμφοτέρα γὰρ ἐν τῷ ΘΚ εἰσιν ἐπιπέδῳ. τεμνέτω δὴ κατὰ τὸ Ν,
5	καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφ’ ἑκάτερα ἡ ΘΝ. ἐὰν δὴ μένοντος τοῦ ἄξονος καὶ τῶν κύκλων ἡ ΘΝ περιενεχθεῖσα σὺν ταῖς διαμέτροις ἀποκατασταθῇ, αὐξήσει τὴν τοῦ ἐξ ἀρχῆς κυλίνδρου ἐπιφάνειαν κατὰ τὸ ὕψος, καὶ προσ‐ εκβληθέντος τοῦ ΖΕ ἐπιπέδου αὐξηθήσεται καὶ ἡ τομὴ
10	μέχρι τοῦ Ν· τὸ δ’ αὐτὸ ἔσται καὶ ἐπὶ τὰ Γ, Λ μέρη· ἡ ΝΗΕΡ ἄρα τομή ἐστι κυλίνδρου, οἵα καὶ ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι. ἡ ΝΗΕΡ ἄρα τομὴ οὔτε κύκλος οὔτε εὐθύγραμμόν ἐστι· καὶ ἡ ΓΕΗΖ ἄρα τομὴ οὔτε εὐθύγραμμον οὔτε κύκλος οὔτε τμῆμα κύκλου, ἀλλ’
15	ἐστὶν ἡ τοιαύτη τομὴ κυλίνδρου τομή.
16n	ιαʹ.
17	Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ ἄξονος, ληφθῇ δέ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας, ὃ μή ἐστιν ἐπὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παρ‐
20	αλληλογράμμου, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἀχθῇ τις εὐθεῖα παράλ‐ ληλος εὐθείᾳ τινί, ἥτις ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσα τῇ βάσει τοῦ κυλίνδρου πρὸς ὀρθάς ἐστι τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου, ἐντὸς πεσεῖται τοῦ
20	παραλληλογράμμου καὶ προσεκβαλλομένη ἕως τοῦ ἑτέρου	32
34	μέρους τῆς ἐπιφανείας δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ παρ‐ αλληλογράμμου. ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἱ Α, Β κύκλοι, τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΓΔ, καὶ
5	εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε παράλληλος ἤχθω εὐθείᾳ τινὶ καθέτῳ ἐπὶ τὴν ΓΑ βάσιν τοῦ παραλληλογράμμου, καὶ ἔστω ἡ ΕΖ. λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ ἐντὸς πεσεῖται τοῦ ΓΔ παραλληλογράμμου καὶ προσεκβαλλομένη μέχρι τοῦ
10	ἑτέρου μέρους τῆς ἐπιφανείας δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ παραλληλογράμμου. ἤχθω διὰ τοῦ Ε σημείου παρὰ τὸν ἄξονα ἡ ΘΕΗ εὐθεῖα τέμνουσα τὴν περιφέρειαν τῆς βάσεως κατὰ τὸ Θ, καὶ διὰ τοῦ Θ ἤχθω ἡ ΘΚ παράλληλος τῇ ἐπὶ τὴν
15	ΓΑ καθέτῳ, ᾕτινι παράλληλος ὑπόκειται ἡ ΕΖ· τεμεῖ ἄρα ἡ ΘΚ τὴν ΓΑ καὶ αὐτή. ἤχθω οὖν διὰ τῶν ΗΘ, ΘΚ ἐπίπεδον τέμνον τὸν κύλινδρον καὶ ποιείτω τὸ ΗΝ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΛ κοινὴ τομὴ τῶν ΓΔ, ΝΗ παραλληλογράμμων. ἐπεὶ τοίνυν
20	αἱ ΕΖ, ΚΘ τῇ αὐτῇ εἰσι παράλληλοι, καὶ ἀλλήλαις ἄρα εἰσὶ παράλληλοι· καί ἐστιν ἡ ΘΚ ἐν τῷ ΚΗ ἐπι‐ πέδῳ· καὶ ἡ ΕΖ ἄρα ἐν τῷ ΚΗ ἐστιν ἐπιπέδῳ. ἐκ‐ βαλλομένη ἄρα ἡ ΕΖ πίπτει ἐπὶ τὴν ΛΚ, ἥτις ἐστὶν ἐν τῷ ΓΔ ἐπιπέδῳ. ἡ ΕΖ ἄρα ἐντὸς πίπτει τοῦ ΓΔ
25	παραλληλογράμμου.	34
36	φανερὸν δέ, ὅτι, κἂν εἰς τὸ ἕτερον μέρος ἐκβληθῇ μέχρι τοῦ Μ, ὅπερ ἐστὶν ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυ‐ λίνδρου, δίχα ἔσται τετμημένη κατὰ τὸ Ζ. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΓΑ διάμετρος πρὸς ὀρθάς ἐστι τῇ ΘΚ, ἴση ἄρα ἡ
5	ΘΚ τῇ ΚΝ. καὶ παράλληλοι αἱ ΜΝ, ΛΚ, ΗΘ· ἴση ἄρα ἡ ΜΖ τῇ ΖΕ.
7n	ιβʹ.
8	Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ τέμνοντι μὲν τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον ἐκτὸς τοῦ κύκλου, ἡ δὲ κοινὴ τομὴ
10	τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου ἢ τῇ ἐπ’ εὐθείας αὐτῇ, αἱ ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἀπὸ τῆς τομῆς τῆς ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου γενομένης ὑπὸ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου παράλληλοι τῇ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξο‐
15	νος παραλληλογράμμου ἢ τῇ ἐπ’ εὐθείας αὐτῇ ἐπὶ τὴν κοινὴν τομὴν τῶν ἐπιπέδων πεσοῦνται καὶ προσεκβαλ‐ λόμεναι ἕως τοῦ ἑτέρου μέρους τῆς τομῆς δίχα τμηθή‐ σονται ὑπὸ τῆς κοινῆς τομῆς τῶν ἐπιπέδων, καὶ ἡ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου
20	ἢ τῇ ἐπ’ εὐθείας αὐτῇ ὀρθοῦ μὲν ὄντος τοῦ κυλίνδρου πρὸς ὀρθὰς ἔσται καὶ τῇ κοινῇ τομῇ τοῦ τε διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου καὶ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου, σκαληνοῦ δὲ ὄντος οὐκέτι, πλὴν ὅταν τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἐπίπεδον πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῇ βάσει τοῦ κυλίνδρου.
25	ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἱ Α, Β κύκλοι, τὸ
25	δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΓΔ, καὶ	36
38	τετμήσθω ὁ κύλινδρος, ὡς εἴρηται, ἐπιπέδῳ ποιοῦντι τὴν ΕΖΗΘ τομήν, ὥστε συμπιπτόντων τοῦ· τε τῆς ΕΖΗΘ τομῆς καὶ τοῦ τῆς ΑΓ βάσεως ἐπιπέδου τὴν κοινὴν τομὴν τὴν ΚΛ πρὸς ὀρθὰς εἶναι τῇ ΓΑΛ εὐ‐
5	θείᾳ, καὶ ἀπὸ τῆς ΕΖΗ τομῆς ἤχθω τις εὐθεῖα παρ‐ άλληλος τῇ ΚΛ ἡ ΖΜ καὶ προσεκβληθεῖσα περατούσθω κατὰ τὸ ἕτερον μέρος τῆς ἐπιφανείας κατὰ τὸ Θ. λέγω, ὅτι ἡ ΖΜ πίπτει ἐπὶ τὴν ΕΗ, καὶ ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΖΜ τῇ ΜΘ.
10	ἐπεὶ γὰρ ἐν τῇ ΕΖΗ τομῇ παράλληλος ἦκται τῇ ΚΛ ἡ ΖΜ, ἐντὸς ἄρα πίπτει τοῦ ΓΔ παραλληλο‐ γράμμου. ἐπεὶ δέ ἐστιν ἡ μὲν ΖΜ εὐθεῖα ἐν τῷ ΕΖΗΘ ἐπιπέδῳ, ἡ δὲ ΕΗ κοινὴ τομή ἐστιν αὐτοῦ καὶ τοῦ ΓΔ παραλληλογράμμου, ἡ ΖΜ ἄρα ἐπὶ τὴν
15	ΕΗ πίπτει. ὅτι δὲ καὶ ἡ ΖΜ τῇ ΜΘ ἴση ἐστί, φανερὸν καὶ αὐτὸ διὰ τὸ πρὸ τούτου θεώρημα. λοιπὸν δεῖ δεῖξαι, ὅτι ἡ ΚΛ ὀρθοῦ μὲν ὄντος τοῦ κυλίνδρου ἢ τοῦ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ὄντος τῇ βάσει τοῦ
20	κυλίνδρου πρὸς ὀρθάς ἐστι τῇ ΕΗΛ. ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν ΓΔ ἐπίπεδον πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ, τῇ δὲ κοινῇ αὐτῶν τομῇ τῇ ΓΑΛ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΚΛ ἐν τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ οὖσα, καὶ τῷ λοιπῷ ἄρα τῷ τοῦ ΓΔ παραλληλογράμμου ἐπιπέδῳ πρὸς
25	ὀρθάς ἐστιν.
25	εἰ δὲ τὸ ΓΔ οὔκ ἐστι πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει,	38
40	πρὸς ὀρθὰς οὐκ ἔσται ἡ ΚΛ τῇ ΛΕ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΚΛ τῇ ΛΕ. ἔστι δὲ καὶ τῇ ΛΓ πρὸς ὀρθάς· καὶ τῷ δι’ αὐτῶν ἄρα ἐπιπέδῳ, τουτέστι τῷ ΓΔ, πρὸς ὀρθὰς ἔσται ἡ ΚΛ. καὶ τὸ δι’ αὐτῆς
5	ἄρα ἐπίπεδον τὸ τῆς Α βάσεως πρὸς ὀρθὰς ἔσται τῷ ΓΔ· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. οὐκ ἄρα ἡ ΚΛ πρὸς ὀρθάς ἐστι τῇ ΛΕ. ἐκ δὴ τῶν δεδειγμένων φανερόν, ὅτι ἡ ΕΗ διά‐ μετρός ἐστι τῆς ΕΖΗΘ τομῆς· πάσας γὰρ τὰς παρὰ
10	τὴν ΚΛ καταγομένας ἐπ’ αὐτὴν δίχα τέμνει, ὥσπερ τὴν ΖΘ.
12n	ιγʹ.
13	Ἐὰν δύο εὐθεῖαι ὁμοίως τμηθῶσιν, ἔσται, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας, οὕτως τὸ
15	ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς πρώτης πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς δευτέρας. εὐθεῖαι γὰρ αἱ ΑΒ, ΓΔ ὁμοίως τετμήσθωσαν κατὰ τὰ Ε, Ζ σημεῖα. λέγω, ὅτι, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ πρὸς τὸ
20	ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. ἐπεὶ γάρ, ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, καὶ συνθέντι ἄρα καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς ΖΔ. καὶ ἐπεί, ὡς ἡ ΑΕ πρὸς
20	ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ,	40
42	ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΒ πρὸς ΖΔ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς ΓΔ. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς ΓΔ· ὡς ἄρα
5	τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· ὃ προέκειτο δεῖξαι.
8n	ιδʹ.
9	Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ ἄξονος,
10	τμηθῇ δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τέμνοντι τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον, ἡ δὲ κοινὴ τομὴ τοῦ τε τῆς βάσεως καὶ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου ἢ τῇ ἐπ’ εὐθείας αὐτῇ, ἀπὸ δὲ τῆς τομῆς ἀχθῇ τις ἐπὶ τὴν διάμετρον παράλ‐
15	ληλος τῇ εἰρημένῃ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων, ἡ ἀχθεῖσα δυνήσεταί τι χωρίον, πρὸς ὃ τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς διαμέτρου τῆς τομῆς λόγον ἔχει, ὃν τὸ ἀπὸ τῆς δια‐ μέτρου τῆς τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως.
20	ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἱ Α, Β κύκλοι, τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΓΔ, καὶ τετμήσθω ὁ κύλινδρος ἐπιπέδῳ συμπίπτοντι τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ κατ’ εὐθεῖαν ὀρθὴν πρὸς ΓΑ ἐκβλη‐ θεῖσαν, καὶ ἔστω ἡ γενομένη τομὴ ἡ ΕΖΗ, κοινὴ δὲ
25	τομὴ τοῦ παραλληλογράμμου καὶ τοῦ τέμνοντος ἐπι‐ πέδου ἡ ΕΗ διάμετρος οὖσα τῆς τομῆς, ὡς ἐδείχθη. ληφθέντος δέ τινος σημείου ἐπὶ τῆς τομῆς τοῦ Ζ
25	κατήχθω ἀπ’ αὐτοῦ ἐπὶ τὴν διάμετρον εὐθεῖα παράλ‐	42
44	ληλος τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων ἡ ΖΘ· πίπτει ἄρα ἡ ΖΘ ἐπὶ τὴν ΕΗ, ὡς ἐδείχθη. λέγω δή, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ λόγον ἔχει, ὃν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου
5	τῆς βάσεως. ἤχθω διὰ τοῦ Θ παράλληλος τῇ ΓΑ ἡ ΚΘΛ, καὶ διὰ τῶν ΖΘ, ΚΛ εὐθειῶν ἤχθω ἐπίπεδον τομὴν ποιοῦν τὴν ΚΖΛ. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΚΛ τῇ ΓΑ παράλληλος, ἡ δὲ ΖΘ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων οὔσῃ ἐν τῷ τῆς
10	βάσεως ἐπιπέδῳ, καὶ τὰ δι’ αὐτῶν ἄρα ἐπίπεδα παρ‐ άλληλά ἐστιν· ἡ ΚΖΛ ἄρα τομὴ κύκλος ἐστί. πάλιν ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ μὲν ΚΛ τῇ ΓΑ, ἡ δὲ ΖΘ τῇ κοινῇ· τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς οὔσῃ πρὸς τὴν ΓΑ, καὶ ἡ ΖΘ ἄρα πρὸς ὀρθάς ἐστι τῇ ΚΛ. καί
15	ἐστι κύκλος ὁ ΚΖΛ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΖΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΚΘ, ΘΛ. ἐπεὶ ἡ ΚΕ τῇ ΛΗ παράλλη‐ λός ἐστιν, ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΛ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΘΗ ὅμοιόν ἐστι τῷ ὑπὸ ΚΘ, ΘΛ. ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΘΗ πρὸς
20	τὸ ὑπὸ τῶν ΚΘ, ΘΛ, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ, οὕ‐ τως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως.
23n	ιεʹ.
24	Ἡ διὰ τῆς διχοτομίας τῆς διαμέτρου τῆς τομῆς
25	τεταγμένως ἀγομένη ἐν τῇ τομῇ δευτέρα διάμετρος ἔσται. ἔστω γὰρ τῆς ΕΖΗ τομῆς διάμετρος ἡ ΕΗ καὶ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Θ, καὶ διήχθω ἡ ΖΘΜ τεταγμέ‐
25	νως. λέγω, ὅτι ἡ ΖΜ δευτέρα διάμετρός ἐστι τῆς τομῆς.	44
46	ἤχθω παρὰ μὲν τὴν ΕΗ ἡ ΝΞ, παρὰ δὲ τὴν ΖΜ αἱ ΝΠ, ΞΡ· τεταγμέναι ἄρα εἰσὶ καὶ αἱ ΝΠ, ΞΡ. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΝΠ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΠΗ λόγον ἔχει, ὃν τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως τοῦ κυλίν‐
5	δρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς τομῆς, ἔχει δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΞΡ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΡΗ τὸν αὐτὸν λόγον, ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΝΠ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΠΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΞΡ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΡΗ. καὶ ἐναλλάξ· ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ ΝΠ τῷ ἀπὸ ΞΡ· παραλληλόγραμμον
10	γάρ ἐστι τὸ ΝΠΡΞ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΕΠΗ τῷ ὑπὸ ΕΡΗ. καὶ ἀπ’ ἴσων ἀφῄρηται τῶν ἀπὸ ΕΘ, ΘΗ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΠΘ λοιπῷ τῷ ἀπὸ ΘΡ ἴσον ἐστίν· ἴση ἄρα ἡ ΠΘ τῇ ΘΡ, τουτέστιν ἡ ΝΟ τῇ ΟΞ. ὁμοίως δὲ πᾶσαι αἱ παρὰ τὴν ΕΗ δίχα τέμνονται ὑπὸ τῆς
15	ΖΜ· δευτέρα διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ.
16n	ιϛʹ.
17	Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ τέμνοντι τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον, ἡ δὲ κοινὴ τομὴ τοῦ τε τῆς βάσεως καὶ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῇ βάσει
20	τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου ἢ τῇ ἐπ’ εὐ‐ θείας αὐτῇ, ἡ μὲν ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν διάμετρον ἀχθεῖσα παράλληλος τῇ εἰρημένῃ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπι‐ πέδων δυνήσεται χωρίον, πρὸς ὃ τὸ ὑπὸ τῶν τμημά‐
20	των τῆς διαμέτρου λόγον ἔχει, ὃν τὸ ἀπὸ τῆς δια‐	46
48	μέτρου τῆς τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν δευτέραν διάμετρον ἀχθεῖσα παράλληλος τῇ διαμέτρῳ δυνήσεται χωρίον, πρὸς ὃ τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς δευτέρας διαμέτρου λόγον ἔχει,
5	ὃν τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου. ἔστω κύλινδρος, καὶ κατεσκευάσθω ὡς ἐν τῷ ιδʹ. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δια‐
10	μέτρου τῆς βάσεως τῆς διχοτομούσης τὴν ΕΗ τεταγ‐ μένως, ὡς ἐδείχθη πρὸς τῷ θʹ θεωρήματι, ἡ δὲ διχο‐ τομοῦσα τὴν διάμετρον τεταγμένως δευτέρα διάμετρός ἐστιν, ὡς ἐν τῷ πρὸ τούτου, εἴη ἄν, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου,
15	οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ἀλλὰ δὴ ὑποκείσθω τὸ μὲν Θ διχοτομεῖν τὴν ΕΗ διάμετρον, τὴν δὲ ΖΘΦ τεταγμένην εἶναι· δευτέρα ἄρα διάμετρος ἡ ΖΦ. κατήχθω ἐπ’ αὐτὴν ἀπὸ τῆς
20	τομῆς ἡ ΜΝ παράλληλος τῇ ΕΗ· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΦΝ, ΝΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ λόγον ἔχει, ὃν τὸ ἀπὸ τῆς ΦΖ δευτέρας διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ διαμέτρου τῆς τομῆς. ἤχθω διὰ τῆς ΜΝ ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ΓΔ
25	παραλληλογράμμῳ τέμνον τὸν κύλινδρον· ποιήσει δὴ
25	παραλληλόγραμμον τὴν τομήν. ποιείτω τὸ ΡΣ, ἔστω‐	48
50	σαν δὲ κοιναὶ τομαὶ αὐτοῦ καὶ τῶν παραλλήλων κύκλων αἱ ΣΤ, ΞΟ, ΠΡ, αὐτοῦ δὲ καὶ τῆς ΕΖΗ τομῆς κοινὴ τομὴ ἔστω ἡ ΜΝ. ἐπεὶ οὖν παράλληλα ἐπίπεδα τὰ ΓΔ, ΡΣ τέμνεται ὑπὸ τοῦ ΚΖΛ ἐπιπέδου, αἱ κοιναὶ
5	αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσι· παράλληλος ἄρα ἡ ΚΘ τῇ ΝΞ. ἦν δὲ καὶ ἡ ΘΕ τῇ ΝΜ παράλληλος· ἡ ἄρα ὑπὸ ΚΘΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΞΝΜ ἴση ἐστί. καὶ ἐπεὶ τὸ ΡΣ παραλληλόγραμμον ἰσογώνιόν ἐστι τῷ ΓΔ παραλ‐ ληλογράμμῳ, ὡς ἐδείχθη ἐν τῷ γʹ θεωρήματι, ἡ ἄρα
10	ὑπὸ τῶν ΣΠΡ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΕΓΑ ἴση ἐστί, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΣΞΝ τῇ ὑπὸ ΕΚΘ· ὅμοια ἄρα ἀλλή‐ λοις τὰ ΕΚΘ, ΜΞΝ τρίγωνα. ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ, οὕτως ἡ ΞΝ πρὸς ΝΜ· καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς δευ‐
15	τέρας διαμέτρου τῆς ΦΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ δια‐ μέτρου, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΞΝ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΝΜ. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς ΝΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΦΝ, ΝΖ· κύκλος γάρ ἐστιν ὁ ΚΖΛ, καὶ ὀρθὴ ἡ ΘΖ ἐπὶ τὰς ΚΘ, ΞΝ. ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΦΖ δευτέρας δια‐
20	μέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ διαμέτρου, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΦΝ, ΝΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ· ὃ προέκειτο δεῖξαι.
23n	ιζʹ.
24	Ἐὰν κυλίνδρου τομῆς συζυγεῖς διάμετροι ὦσι, καὶ
25	ποιηθῇ, ὡς ἡ διάμετρος τῆς τομῆς πρὸς τὴν δευτέραν διάμετρον, οὕτως ἡ δευτέρα διάμετρος πρὸς ἄλλην τινά, ἥτις ἂν ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν διάμετρον ἀχθῇ τεταγ‐ μένως, δυνήσεται τὸ παρὰ τὴν τρίτην ἀνάλογον πλάτος
25	ἔχον τὴν ὑπ’ αὐτῆς τῆς τεταγμένως ἀχθείσης ἀπολαμ‐	50
52	βανομένην πρὸς τῇ τομῇ ἐλλεῖπον εἴδει ὁμοίῳ τῷ περι‐ εχομένῳ ὑπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς τρίτης ἀνάλογον. ἔστω κυλίνδρου τομή, ἧς διάμετρος μὲν ἡ ΑΒ, δευτέρα δὲ διάμετρος ἡ ΓΔ, καὶ γενέσθω, ὡς ἡ ΑΒ
5	πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΑΗ, καὶ κείσθω ἡ ΑΗ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΗ, καὶ ἐπὶ τὴν ΑΒ ἤχθω τεταγμένως ἡ ΕΖ, καὶ παρὰ μὲν τὴν ΑΗ ἡ ΖΘ, παρὰ δὲ τὴν ΑΖ ἡ ΘΚ. λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΘ παραλληλογράμμῳ.
10	ἐπεί, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΒΖ πρὸς ΖΘ, ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΖ, ΖΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΖ, ὡς δὲ ἡ ΒΖ πρὸς ΖΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΖ, ΖΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΖ,
15	ΖΑ, τουτέστι τὸ ΑΘ παραλληλόγραμμον, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΘ, ὃ παράκειται παρὰ τὴν ΑΗ τρίτην ἀνάλογον πλάτος ἔχον τὴν ΑΖ ἐλλεῖπον εἴδει τῷ ὑπὸ ΗΚΘ ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΗΑΒ. καλείσθω δὲ ἡ μὲν ΑΒ πλαγία τοῦ εἴδους πλευρά,
20	ἡ δὲ ΑΗ ὀρθία τοῦ εἴδους πλευρά. Τούτων οὕτως ἐχόντων φανερόν ἐστιν, ὅτι ἡ ΑΒΓ τοῦ κυλίνδρου τομὴ ἔλλειψίς ἐστιν· ὅσα γὰρ ἐνταῦθα τῇ τομῇ ἐδείχθη ὑπάρχοντα, πάντα ὁμοίως καὶ ἐπὶ τοῦ κώνου τῇ ἐλλείψει ὑπῆρχεν, ὡς ἐν τοῖς Κωνικοῖς
25	δείκνυται θεωρήματι ιεʹ τοῖς δυναμένοις λέγειν τὴν ἀκρίβειαν τοῦ θεωρήματος, καὶ ἡμεῖς ἐν τοῖς εἰς αὐτὰ
25	ὑπομνήμασι γεωμετρικῶς ἀπεδείξαμεν.	52
54 (1n)	ιηʹ.
2	Ἐὰν ἐν κυλίνδρου τομῇ συζυγεῖς διάμετροι ὦσι, καὶ ποιηθῇ, ὡς ἡ δευτέρα διάμετρος πρὸς τὴν διά‐ μετρον, οὕτως ἡ διάμετρος πρὸς ἄλλην τινά, ἥτις ἂν
5	ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν δευτέραν διάμετρον ἀχθῇ τεταγ‐ μένως, δυνήσεται τὸ παρὰ τὴν τρίτην ἀνάλογον πλάτος ἔχον τὴν ὑπ’ αὐτῆς τῆς τεταγμένως ἀχθείσης ἀπολαμ‐ βανομένην πρὸς τῇ τομῇ ἐλλεῖπον εἴδει ὁμοίῳ τῷ περι‐ εχομένῳ ὑπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου καὶ τῆς πορισ‐
10	θείσης τρίτης ἀνάλογον. ἔστω κυλίνδρου τομή, καὶ γενέσθω, ὡς ἡ ΓΔ δευ‐ τέρα διάμετρος πρὸς τὴν ΑΒ διάμετρον, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΗ, καὶ κείσθω ἡ ΓΗ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΗ, καὶ ἐπὶ τὴν ΓΔ κατήχθω τεταγ‐
15	μένως ἡ ΕΖ, καὶ παρὰ μὲν τὴν ΓΗ ἡ ΖΘ, παρὰ δὲ τὴν ΓΔ ἡ ΘΚ. λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΘ παραλληλογράμμῳ. ἐπεὶ γάρ, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΓΗ, τουτέστιν ἡ ΔΖ πρὸς
20	ΖΘ, ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΔΖ, ΖΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ· ταῦτα γὰρ ἐδείχθη· ὡς δὲ ἡ ΔΖ πρὸς ΖΘ, οὕ‐ τως τὸ ὑπὸ ΔΖ, ΖΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΖ, ΖΓ, τουτέστι
20	τὸ ΓΘ ὀρθογώνιον, ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ΓΘ,	54
56	ὃ παραβέβληται παρὰ τὴν τρίτην ἀνάλογον τὴν ΓΗ πλάτος ἔχον τὴν ΖΓ ἐλλεῖπον εἴδει τῷ ὑπὸ ΘΚΗ ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΔΓΗ· ἅπερ ἔδει δεῖξαι. Ταῦτα σαφέστατα παρηκολούθει τῇ ἐλλείψει ἐν τῷ
5	ιεʹ θεωρήματι τῶν Κωνικῶν· ἔλλειψις ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒΓ τομὴ τοῦ κυλίνδρου.
7n	ιθʹ.
8	Ἐὰν ἐν κυλίνδρου τομῇ εὐθεῖαι ἀχθῶσιν ἐπὶ τὴν διάμετρον τεταγμένως, ἔσται τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα
10	πρὸς μὲν τὰ περιεχόμενα χωρία ὑπὸ τῶν ἀπολαμβανο‐ μένων ὑπ’ αὐτῶν πρὸς τοῖς πέρασι τῆς πλαγίας τοῦ εἴδους πλευρᾶς, ὡς τοῦ εἴδους ἡ ὀρθία πλευρὰ πρὸς τὴν πλαγίαν, πρὸς ἑαυτὰ δέ, ὡς τὰ περιεχόμενα χωρία ὑπὸ τῶν, ὡς εἴρηται, λαμβανομένων εὐθειῶν.
15	ἔστω κυλίνδρου τομὴ ἡ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐ‐ τῆς ἡ ΑΔ καὶ πλαγία πλευρὰ τοῦ εἴδους, ὀρθία δὲ τοῦ εἴδους πλευρὰ ἡ ΑΗ, καὶ ἐπὶ τὴν ΑΔ τεταγμένως ἤχθωσαν αἱ ΒΕ, ΖΓ. λέγω, ὅτι τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΔ ἐστιν, ὡς ἡ ΗΑ πρὸς ΑΔ,
20	τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΕΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖΔ. ἐπεὶ γάρ, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου, οὕτως τό τε ἀπὸ τῆς ΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΔ καὶ ἡ ΑΗ ὀρθία πλευρὰ πρὸς τὴν ΑΔ
25	πλαγίαν, ὡς ἄρα ἡ ὀρθία πρὸς τὴν πλαγίαν, οὕτως	56
58	τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΔ· ὁμοίως δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖΔ. καὶ ἐναλλὰξ ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΔ· ἃ προέκειτο
5	δεῖξαι. Καὶ ταῦτα δέδεικται ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως ἐν τοῖς Κωνικοῖς θεωρήματι κʹ. Ἔστι μὲν οὖν καὶ δι’ ἑτέρων πλείστων ἐπιδεῖξαι τὴν ταυτότητα τῶν τομῶν διὰ τῶν κοινῇ συμβαινόν‐
10	των αὐταῖς· οὐ μὴν ἀλλὰ τά γε ἀρχικώτερα τῶν συμ‐ πτωμάτων εἴρηται σχεδόν. ἔπειτα μέχρι τοῦδε προ‐ αχθείσης τῆς θεωρίας οὐκ ἐμοὶ προσήκει τοὐντεῦθεν ἔτι τῶν λοιπῶν ἕκαστα διεξιόντι τοῖς ἀλλοτρίοις ἐν‐ διατρίβειν· ἀνάγκη γάρ που λεπτολογοῦντα περὶ ἐλλεί‐
15	ψεως ἐπεισκυκλῆσαι καὶ τὰ τῷ Περγαίῳ Ἀπολλωνίῳ τεθεωρημένα περὶ αὐτῆς. ἀλλ’ ὅτῳ σπουδὴ περαιτέρω σκοπεῖν, ἔξεστι ταῦτα παρατιθέντι τοῖς ἐν τῷ πρώτῳ τῶν Κωνικῶν εἰρημένοις αὐτῷ δι’ αὑτοῦ βεβαιῶσαι τὸ προκείμενον· ὅσα γὰρ ἐν ἐκείνοις περὶ τὴν τοῦ κώνου
20	τομὴν συμβαίνοντα τὴν καλουμένην ἔλλειψιν, τοσαῦτα καὶ περὶ τὴν τοῦ κυλίνδρου τομὴν ἐκ τῶν ἐνταῦθα προδεδειγμένων εὑρήσει συμβαίνοντα. διόπερ τούτου μὲν ἀποστάς, ὀλίγα δὲ ἄττα λημμάτια προσθείς, δι’ ὧν καὶ αὐτῶν ἐνδείκνυταί πως ἡ τῶν τομῶν ταυτότης, ἐπ’
25	ἄλλο τι τρέψομαι.
26n	κʹ.
27	Λέγω τοίνυν, ὅτι δυνατόν ἐστι δεῖξαι κῶνον ὁμοῦ
27	καὶ κύλινδρον μιᾷ καὶ τῇ αὐτῇ τεμνομένους ἐλλείψει.	58
60	ἐκκείσθω τρίγωνον σκαληνὸν τὸ ΑΒΓ ἐπὶ τῆς ΒΓ βάσεως δίχα τεμνομένης κατὰ τὸ Δ, καὶ μείζων ἔστω ἡ ΑΒ τῆς ΑΓ, καὶ πρὸς τῇ ΓΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ Α σημείῳ συνεστάτω γωνία ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΕ ἤτοι μείζων
5	οὖσα τῆς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἢ ἐλάσσων, καὶ συμπιπτέτω ἡ ΑΕ τῇ ΒΓΕ κατὰ τὸ Ε, καὶ τῶν ΒΕ, ΕΓ μέση ἀνάλογον ἔστω ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ, καὶ τῇ ΑΕ παράλληλος ἐν τῷ τριγώνῳ διήχθω ἡ ΘΗ, καὶ διὰ τῶν Θ, Η σημείων τῇ ΑΖ παράλληλοι ἤχθωσαν
10	αἱ ΘΚ, ΛΗΜ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΚΜ παραλλη‐ λόγραμμον, καὶ διὰ τῆς ΒΕ ἀχθέντος ἐπιπέδου πρὸς ὀρθὰς τῷ ΒΑΕ ἐπιπέδῳ γεγράφθω ἐν τῷ ἀχθέντι περὶ μὲν τὴν ΚΛ διάμετρον ὁ ΚΝΛ κύκλος βάσις ἐσόμενος κυλίνδρου, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμόν ἐστι
15	τὸ ΚΜ, περὶ δὲ τὴν ΒΓ διάμετρον ὁ ΒΞΓ κύκλος βάσις ἐσόμενος κώνου, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνόν ἐστι τὸ ΑΒΓ, καὶ τῆς ΘΗ ἐκβληθείσης ἐπὶ τὸ Ο ἤχθω πρὸς ὀρθὰς τῇ ΒΕ ἡ ΟΠ ἐν τῷ τῶν κύκλων ἐπιπέδῳ οὖσα, καὶ ἤχθω διὰ τῶν ΟΠ, ΟΘ εὐθειῶν ἐπίπεδον·
20	ποιήσει δὴ τομὴν ἐν τῷ κώνῳ τῷ ἐπὶ τῆς ΒΞΓ βά‐ σεως. ποιείτω τὴν ΘΡΗ· ἡ ΘΗ ἄρα εὐθεῖα διάμετρός ἐστι τῆς τομῆς. τῆς οὖν ΘΗ δίχα τμηθείσης κατὰ τὸ Σ κατήχθωσαν τεταγμένως ἐπ’ αὐτὴν δευτέρα μὲν διά‐ μετρος ἡ ΡΣΤ, τυχοῦσα δὲ ἡ ΥΦ, καὶ γενέσθω, ὡς
25	τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ διαμέτρου τῆς ΘΡΗ τομῆς πρὸς τὸ	60
62	ἀπὸ τῆς ΡΤ δευτέρας διαμέτρου τῆς αὐτῆς τομῆς, οὕτως ἡ ΘΗ πλαγία τοῦ εἴδους πλευρὰ πρὸς τὴν ΘΧ ὀρθίαν. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΘΚ τῇ ΑΖ παράλληλός ἐστιν, ἡ
5	δὲ ΘΟ τῇ ΑΕ, ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΘΟ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΟ. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ διαμέτρου τῆς τοῦ κώνου τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΡΤ δευτέρας διαμέτρου τῆς
10	αὐτῆς τομῆς, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΟ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΟΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, τουτέστιν οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ διαμέτρου τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς, ὡς ἐδείχθη πρότερον· ἡ ἄρα
15	δευτέρα διάμετρος τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς ἴση ἐστὶ τῇ ΡΤ δευτέρᾳ διαμέτρῳ τῆς τοῦ κώνου τομῆς. καί ἐστιν ἡ διχοτομία τῆς ΘΗ κατὰ τὸ Σ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἄγεται τῇ ΘΗ δευτέρα διάμετρος τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς, ὥσπερ καὶ ἡ ΡΤ· ἡ ἄρα ΡΤ δευτέρα διάμετρός
20	ἐστι τῆς τε τοῦ κώνου καὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς. ὁμοίως δὲ ἡ ΘΗ διάμετρός ἐστι τῆς τοῦ κώνου καὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς· τὸ Ρ ἄρα σημεῖον ἐπὶ τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφα‐ νείας ἐστί. πάλιν ἐπεὶ ἐν ταῖς τομαῖς τοῦ τε κώνου
25	καὶ τοῦ κυλίνδρου αἱ αὐταί εἰσι διάμετροι ἥ τε ΘΗ
25	καὶ ἡ ΡΤ, καὶ ἡ τρίτη ἄρα ἀνάλογον ἡ αὐτή, τουτ‐	62
64	έστιν ἡ ΘΧ ὀρθία τοῦ εἴδους πλευρά· ἡ ἄρα ΘΧ καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς ὀρθία ἐστὶ τοῦ εἴδους πλευρά. ἐπεὶ οὖν, ὡς ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΘΧ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΗΦ, ΦΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΦΥ, ἐδείχθη δὲ
5	καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς, ὡς ἡ πλαγία τοῦ εἴδους πλευρὰ πρὸς τὴν ὀρθίαν, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς κατηγμένης ἐπ’ αὐτὴν τεταγμένως καὶ ποιούσης τὰ τμήματα, καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἄρα τομῆς, ὡς ἡ ΘΗ πλαγία
10	τοῦ εἴδους πλευρὰ πρὸς τὴν ΘΧ ὀρθίαν, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΗΦ, ΘΦ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἴσης τῇ ΥΦ καὶ πρὸς ἴσας γωνίας ἀγομένης ἐπὶ τὴν ΘΗ. ἀλλ’ ἡ ἴση τῇ ΥΦ καὶ πρὸς ἴσας γωνίας ἐπ’ αὐτὴν ἀγομένη κατὰ τὸ Φ οὐχ ἑτέρα ἐστὶ τῆς ΥΦ. ἡ ἄρα ΦΥ καὶ ἐν τῇ
15	τοῦ κυλίνδρου ἐστὶ τομῇ· τὸ ἄρα Υ σημεῖον ἐπὶ τῆς τοῦ κώνου ἐπιφανείας ὂν καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐστὶν ἐπιφανείας. ὁμοίως δὲ δείκνυται, κἂν ὁσασοῦν ὁμοίως τεταγμένως ἀγάγωμεν. ἡ ΘΡΗ ἄρα γραμμὴ ἐν ταῖς ἐπιφανείαις ἐστὶν ἀμφοτέρων τῶν σχημάτων·
20	ἡ ΘΡΗ ἄρα τομὴ μία καὶ ἡ αὐτὴ ἐν ἀμφοτέροις ἐστὶ τοῖς σχήμασι. καὶ ἐπεὶ κατεσκευάσθη ἡ ὑπὸ ΓΑ, ΑΕ γωνία, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΑΗ, ΗΘ, ἤτοι μείζων ἢ ἐλάττων οὖσα τῆς πρὸς τῷ Β, ἡ ἄρα τομὴ οὔκ ἐστιν ὑπεναντία· ἡ ΘΡΗ ἄρα τομὴ οὔκ ἐστι κύκλος· ἔλλειψις
25	ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΡΗ. καὶ τοῦ κώνου ἄρα τοῦ ἐκκει‐ μένου καὶ τοῦ κυλίνδρου ἡ τομὴ αὕτη ἔλλειψίς ἐστιν·
25	ὅπερ ἔδει δεῖξαι.	64
66 (1n)	καʹ.
2	Κώνου δοθέντος καὶ ἐλλείψεως ἐν αὐτῷ εὑρεῖν κύλινδρον τεμνόμενον τῇ αὐτῇ ἐλλείψει τοῦ κώνου. ἔστω ὁ δοθεὶς κῶνος, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρί‐
5	γωνον τὸ ΑΒΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα ἐν αὐτῷ ἔλλειψις, ἧς διάμετρος ἡ ΖΕ, ἥτις ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Δ, καὶ παρ‐ άλληλος τῇ ΖΔ ἡ ΑΜ, καὶ τῶν ΒΜ, ΜΓ μέση ἀνά‐ λογον ἔστω ἡ ΜΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ, καὶ διὰ τῶν Ζ καὶ Ε σημείων τῇ ΑΗ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΖΘ,
10	ΚΕΛ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΘΛ παραλληλόγραμμον. ἐὰν δὴ νοήσωμεν κύλινδρον, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ διά‐ μετρον τὴν ΘΚ κύκλος, τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλ‐ ληλόγραμμον τὸ ΘΛ, ἔσται καὶ ἐν τῷ κυλίνδρῳ τομή, ἧς διάμετρός ἐστιν ἡ ΖΕ. ὁμοίως δὴ τῷ πρὸ τούτου
15	θεωρήματι δειχθήσεται καὶ ἡ δευτέρα διάμετρος ἡ αὐτὴ οὖσα καὶ πᾶσαι αἱ τεταγμένως ἀγόμεναι. εὕρηται ἄρα κύλινδρος, ὃς τέμνεται τῇ δοθείσῃ ἐλλείψει τοῦ δοθέν‐ τος κώνου· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
19n	κβʹ.
20	Κυλίνδρου δοθέντος καὶ ἐλλείψεως ἐν αὐτῷ εὑρεῖν
20	κῶνον τεμνόμενον τῇ αὐτῇ ἐλλείψει τοῦ κυλίνδρου.	66
68	ἐκκείσθω ἔξωθεν εὐθεῖά τις ἡ ΑΒ καὶ τυχὸν σημεῖον ἐπ’ αὐτῆς τὸ Δ, καὶ γενέσθω, ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΕΔ, καὶ ἀπὸ
5	μὲν τῶν Ε, Δ, Γ σημείων τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς οἱαν‐ δήποτε γωνίαν ἐφεστάτωσαν εὐθεῖαι παράλληλοι ἀλλή‐ λαις αἱ ΕΖ, ΔΗ, ΓΘ, διὰ δὲ τοῦ Γ ἤχθω τις εὐθεῖα τέμνουσα τὰς ΕΖ, ΔΗ ἡ ΓΚ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΚ συμπιπτέτω τῇ ΔΗ κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΒ.
10	τούτων οὕτως ἰδίᾳ κατασκευασθέντων ἔστω ὁ δο‐ θεὶς κύλινδρος, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμ‐ μόν ἐστι τὸ ΛΜ, τῆς δὲ δοθείσης ἐν αὐτῷ ἐλλείψεως διάμετρος ἔστω ἡ ΝΞ, καὶ τετμήσθω ἡ ΛΞ βάσις τοῦ παραλληλογράμμου ὁμοίως τῇ ΕΓ, ἵν’ ᾖ, ὡς ἡ ΕΔ
15	πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΛΟ πρὸς τὴν ΟΞ. ἔτι γε‐ νέσθω, ὡς μὲν ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΛΞ πρὸς τὴν ΞΠ, ὡς δὲ ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΞΛ πρὸς τὴν ΛΡ, καὶ διὰ τοῦ Ο ἤχθω παράλληλος ταῖς τοῦ παραλληλογράμμου πλευραῖς ἡ ΟΣ, καὶ ἐπι‐
20	ζευχθεῖσα ἡ ΡΝ συμπιπτέτω τῇ ΟΣ κατὰ τὸ Σ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΣΠ, ΣΞ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΡΠ εὐθεῖα ὁμοίως τῇ ΑΒ τέτμηται, ἔστιν ἄρα καί, ὡς μὲν ἡ ΡΠ πρὸς τὴν ΠΟ, οὕτως ἡ ΟΠ πρὸς τὴν ΠΞ, ὡς δὲ ἡ ΡΠ πρὸς τὴν ΠΞ, οὕτως
25	ἡ ΡΟ πρὸς τὴν ΟΛ, τουτέστιν ἡ ΡΣ οὕτως πρὸς τὴν
25	ΣΝ· παράλληλος ἄρα τῇ ΝΞ ἡ ΣΠ. ἐὰν δὴ νοήσω‐	68
70	μεν κῶνον, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΡΞ κύκλος, τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΣΡΞ, ἔσται καὶ ἐν τῷ κώνῳ τομή, ἧς διάμετρός ἐστιν ἡ ΝΞ. ὁμοίως δὴ τοῖς προδεδειγμένοις δειχθήσεται καὶ ἡ δευτέρα διά‐
5	μετρος ἡ αὐτὴ οὖσα καὶ πᾶσαι αἱ τεταγμένως ἀγόμεναι. τέτμηται ἄρα καὶ ὁ κῶνος τῇ αὐτῇ ἐλλείψει τοῦ δο‐ θέντος κυλίνδρου· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
8n	κγʹ.
9	Κώνου δοθέντος εὑρεῖν κύλινδρον καὶ τεμεῖν ἀμ‐
10	φοτέρους ἑνὶ ἐπιπέδῳ διὰ τῆς τομῆς ποιοῦντι ἐν ἑκα‐ τέρῳ ὁμοίας ἐλλείψεις. δεδόσθω κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Α κέντρον κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Β σημεῖον, τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΓΒΔ πρὸς ὀρθὰς ὂν τῇ βάσει τοῦ κώνου,
15	καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφ’ ἑκάτερα ἡ ΑΓΕ, ΑΔΖ, καὶ πρὸς τῇ ΔΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Β συνεστάτω ἡ ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΖ γωνία ἤτοι μείζων οὖσα τῆς ὑπὸ ΒΓΔ ἢ ἐλάσσων, καὶ τῶν ΓΖ, ΖΔ μέση ἀνάλογον εἰλήφθω ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΗ, τοῦ δὲ ζητου‐
20	μένου κυλίνδρου βάσις ἔστω ἤτοι ὁ Α κύκλος ἢ καὶ ἄλλος τις ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τῷ Α κύκλῳ· οὐδὲν γὰρ διοίσει. ἔστω δὴ ὁ περὶ τὴν ΕΘ διάμετρον, καὶ διὰ τῶν Ε, Θ σημείων παράλληλοι τῇ ΒΗ εὐθείᾳ ἤχθω‐
20	σαν αἱ ΕΚ, ΘΛ· ἐν τῷ αὐτῷ ἄρα εἰσὶν ἐπιπέδῳ τῷ	70
72	ΓΒΔ τριγώνῳ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΖ τέμνει τὴν ΒΗ, ἡ ΒΖ ἄρα ἐκβαλλομένη πάσας τὰς τῇ ΒΗ παραλλήλους ἐπ’ ἄπειρον ἐκβαλλομένας τέμνει· καὶ αἱ παράλληλοι οὖν τῇ ΒΖ τὰς τῇ ΒΗ παραλλήλους τέμνουσιν. ἤχθω
5	τῇ ΒΖ παράλληλος ἡ ΜΝ καὶ ἐκβληθεῖσα τεμνέτω τὰς ΘΛ, ΕΚ κατὰ τὰ Ξ, Ο σημεῖα, καὶ τῇ ΕΘ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΛ καὶ περὶ τὴν ΚΛ διάμετρον κύκλος παρ‐ άλληλος τῷ περὶ τὴν ΕΘ· νοηθήσεται δὴ κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἱ ΕΘ, ΚΛ κύκλοι, τὸ δὲ διὰ τοῦ
10	ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΚΘ, δηλονότι καὶ αὐτὸ πρὸς ὀρθὰς ὂν τῇ βάσει. καὶ ἐὰν διὰ τοῦ Μ τῇ ΓΔΖ βάσει πρὸς ὀρθὰς ἀγάγωμεν τὴν ΜΡ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπι‐ πέδῳ οὖσαν τῷ Α κύκλῳ καὶ διὰ τῶν ΜΡ, ΜΟ διεκ‐ βάλλωμεν ἐπίπεδον, ποιήσει ἐν μὲν τῷ κώνῳ τὴν ΝΣΤ
15	ἔλλειψιν, ἐν δὲ τῷ κυλίνδρῳ τὴν ΟΦΞ, διάμετροι δὲ τῆς μὲν ἡ ΝΤ, τῆς δὲ ἡ ΟΞ. λέγω δή, ὅτι ἡ ΝΣΤ ἔλλειψις τῇ ΟΦΞ ἐλλείψει ὁμοία ἐστίν. ἐπεὶ γὰρ αἱ ΟΜ, ΒΖ παράλληλοί εἰσιν ἀλλήλαις, ἀλλὰ καὶ αἱ ΕΚ, ΘΛ, ΒΗ παράλληλοι ἀλλήλαις, κοινὴ
20	δὲ ἡ ΕΖ τέμνει, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΟΜ πρὸς τὴν ΜΕ, τουτέστιν ὡς ἡ ΟΞ πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΗ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΟΞ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ, τουτ‐ έστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ
25	τῆς ΟΞ διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΟΞ διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς δια‐ μέτρου, φέρε τῆς ΦΨ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ πρὸς τὸ
25	ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΝΤ διαμέτρου	72
74	πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς διαμέτρου, φέρε τῆς ΣΩ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΟΞ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΦΨ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΝΤ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΣΩ. καὶ ὡς ἡ ΟΞ ἄρα πρὸς τὴν ΦΨ συζυγῆ διάμετρον, οὕτως καὶ ἡ ΝΤ
5	πρὸς τὴν ΣΩ συζυγῆ διάμετρον. ὅτι δὲ καὶ πρὸς ἴσας γωνίας τέμνουσιν ἥ τε ΟΞ τὴν ΦΨ καὶ ἡ ΝΤ τὴν ΣΩ, δῆλον· τὰς γὰρ ΨΦ, ΩΣ παραλλήλους οὔσας ἀλλήλαις τε καὶ τῇ ΜΡ ἡ ΜΟ τέμνει. ἡ ἄρα ΟΦΞ τομὴ τῇ ΝΣΤ τομῇ ὁμοία ἐστί. καὶ οὔκ ἐστι κύκλος
10	οὐδετέρα αὐτῶν διὰ τὸ μὴ ὑπεναντίαν εἶναι τὴν τομὴν τῆς ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΖ γωνίας, τουτέστι τῆς ὑπὸ τῶν ΒΤ, ΤΝ, ἀνίσου οὔσης τῇ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΓΔ. ἔλλειψις ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΟΦΞ, ΝΤΣ τομῶν, καί εἰσιν ὅμοιαι ἀλλήλαις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
15n	κδʹ.
16	Κυλίνδρου δοθέντος εὑρεῖν κῶνον καὶ τεμεῖν ἀμφοτέρους ἑνὶ ἐπιπέδῳ ποιοῦντι διὰ τῆς τομῆς ἐν ἑκατέρῳ ὁμοίας ἐλλείψεις. δεδόσθω κύλινδρος, οὗ βάσις μὲν ὁ Α κύκλος, τὸ
20	δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ὂν τῇ βάσει, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ, τοῦ δὲ ζητουμένου κώνου βάσις ἔστω ἤτοι ὁ Α κύκλος ἢ καὶ ἄλλος τις ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τῷ Α, οἷον περὶ τὴν ΕΖ διάμετρον, ἐφ’ ἧς κέντρον τὸ Δ, καὶ ληφ‐
25	θέντος σημείου τυχόντος ἐπὶ τῆς ΖΗ τοῦ Η εἰλήφθω	74
76	τῶν ΕΗ, ΗΖ μέση ἀνάλογον ἡ ΘΗ, καὶ κέντρῳ τῷ Η, διαστήματι δὲ ἤτοι μείζονι ἢ ἐλάττονι τοῦ ΗΘ γεγράφθω ἐν τῷ ΒΓ ἐπιπέδῳ περιφέρεια κύκλου ἡ ΚΛ, καὶ διὰ τοῦ Θ ταῖς πλευραῖς τοῦ ΒΓ παράλληλος
5	ἤχθω ἡ ΘΜ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΕ, ΜΖ, ΜΗ, καὶ τῇ ΜΗ παράλληλος ἤχθω τέμνουσα τὸ τρίγωνον καὶ τὸ παραλληλόγραμμον ἡ ΝΞ. ἐὰν δὴ διὰ τῆς ΝΞ διαγάγωμεν ἐπίπεδον κατὰ τὸν ὑποδειχθέντα τρόπον, ἔσται ἡ τομὴ ὁμοία ἐν ἑκατέρῳ, δεῖξις δὲ ἡ αὐτὴ τῷ
10	πρὸ τούτου. ὅτι δὲ καὶ ἐλλείψεις αἱ τομαὶ καὶ οὐχὶ κύκλοι, δῆλον· τὸ γὰρ ἀπὸ τῆς ΜΗ ἤτοι μεῖζον κατε‐ σκευάσθη ἢ ἔλαττον τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΘ, τουτέστι τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΖ.
14n	κεʹ.
15	Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ τετμημένη κατὰ τὸ Γ καὶ Δ, ἡ δὲ ΑΓ τῆς ΔΒ μὴ ἔστω μείζων. λέγω δή, ὅτι, ἐὰν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ ἴσον χωρίον παρὰ τὴν ΑΓ παραβάλω ὑπερβάλλον εἴδει τετραγώνῳ, ἡ πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος μείζων μὲν ἔσται τῆς ΓΔ, ἐλάττων δὲ
20	τῆς ΓΒ. εἰ γὰρ δυνατόν, ὑποκείσθω πρῶτον ἡ ΓΔ πλευρὰ εἶναι τοῦ ὑπερβλήματος. ἐπεὶ οὖν τὸ παρὰ τὴν ΑΓ παραβαλλόμενον ὑπερβάλλον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ
20	ταὐτόν ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ, ἔστι δὲ τὸ παρὰ τὴν	76
78	ΑΓ παραβαλλόμενον ὑπερβάλλον εἴδει τετραγώνῳ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ οὐκ ἔλαττον· οὐ γὰρ ἐλάτ‐
5	των ἡ ΔΒ τῆς ΑΓ οὐδὲ ἡ ΓΒ τῆς ΑΔ· καὶ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ τετραγώνου οὔκ ἐστιν ἔλαττον· ὅπερ ἀδύνατον. τὸ δὲ αὐτὸ δειχθήσεται, εἰ καὶ ἐλάττων τῆς ΓΔ ὑποτεθείη γίνεσθαι ἡ πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος.
10	ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστω πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος ἡ ΓΒ. ἔσται ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ· ὅπερ ἀδύνατον. τὸ αὐτὸ δέ, εἰ καὶ μείζων τῆς ΓΒ ὑποτεθείη γίνεσθαι ἡ πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος.
15	ἡ ἄρα πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος μείζων ἔσται τῆς ΓΔ, ἐλάττων δὲ τῆς ΓΒ.
17n	κϛʹ.
18	Κυλίνδρου δοθέντος τετμημένου ἐλλείψει κῶνον συστήσασθαι ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τοῦ κυλίνδρου ὑπὸ
20	τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα καὶ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τεμνόμενον καὶ ποιοῦντα ὁμοίαν ἔλλειψιν τῇ τοῦ κυλίνδρου ἐλλείψει. ἔστω ὁ δοθεὶς κύλινδρος, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Α κέντρον κύκλος, τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλό‐ γραμμον τὸ ΒΓ, ἐν ᾧ διάμετρος τῆς δοθείσης ἐλλεί‐
25	ψεως ἡ ΕΔ, ἥτις ἐκβληθεῖσα συμπιπτέτω τῇ ΒΑ κατὰ τὸ Ζ, καὶ τῇ ΔΖ διὰ τοῦ Γ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΗ συμπίπτουσα τῇ ΒΑ κατὰ τὸ Η, καὶ προσεκβεβλήσθω
25	ἡ ΖΔΘ εὐθεῖα.	78
80	ἐπεὶ οὖν τοῦ ΘΗ παραλληλογράμμου ἡ ΖΗ πλευρὰ τῇ ΘΓ ἴση ἐστίν, ἡ δὲ ΘΓ τῆς ΒΚ οὔκ ἐστιν ἐλάτ‐ των, καὶ ἡ ΖΗ ἄρα τῆς ΒΚ οὔκ ἐστιν ἐλάττων. ἐὰν ἄρα τῷ ἀπὸ τῆς ΚΗ τετραγώνῳ ἴσον παραβάλλωμεν
5	παρὰ τὴν ΒΚ ὑπερβάλλον εἴδει τετραγώνῳ, ἡ πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος μείζων μὲν ἔσται τῆς ΚΖ, ἐλάττων δὲ τῆς ΚΗ διὰ τὸ προδειχθέν. ἔστω τοίνυν ἡ ΚΛ πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος, καὶ διὰ τοῦ Λ παράλληλος ἤχθω τῇ ΗΓ ἡ ΛΜ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΒ, ΜΚ,
10	καὶ νενοήσθω κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Μ σημεῖον, βάσις δὲ ὁ Α κύκλος, τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον δηλονότι τὸ ΒΚΜ. ἐὰν δὴ νοήσωμεν καὶ τὸν κῶνον τετμημένον τῷ ἐπιπέδῳ, ὑφ’ οὗ γέγονεν ἡ ΕΔ διά‐ μετρος τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς, ἔσται καὶ ἐν τῷ κώνῳ
15	τομή, ἧς διάμετρος ἡ ΝΞ. ἐπεὶ οὖν τῷ ἀπὸ τῆς ΚΗ τετραγώνῳ ἴσον παρὰ τὴν ΒΚ παραβέβληται ὑπερ‐ βάλλον τῷ ἀπὸ τῆς ΚΛ τετραγώνῳ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΛ, ΛΚ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΗ τετραγώνῳ ἴσον ἐστίν. ἐπεὶ οὖν αἱ ΔΒ, ΚΓ παράλληλοι ἀλλήλαις εἰσίν, ἀλλὰ καὶ
20	αἱ ΔΖ, ΜΛ, ΓΗ παράλληλοί εἰσιν ἀλλήλαις, ὡς ἄρα ἡ ΔΖ πρὸς ΖΒ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΚ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΗ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΜΛ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΛ, ΛΚ. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ
25	ἀπὸ τῆς ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς	80
82	ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς δια‐ μέτρου τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐλλείψεως τῆς ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς διαμέτρου, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΜΛ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΛ, ΛΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς δια‐
5	μέτρου τῆς τοῦ κώνου ἐλλείψεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς διαμέτρου. καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐλλείψεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυ‐ γοῦς διαμέτρου, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς τοῦ κώνου ἐλλείψεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς διαμέτρου.
10	καὶ ὡς ἄρα ἡ διάμετρος τῆς ἐλλείψεως· τοῦ κυλίνδρου πρὸς τὴν συζυγῆ διάμετρον, οὕτως ἡ διάμετρος τῆς τοῦ κώνου ἐλλείψεως πρὸς τὴν συζυγῆ διάμετρον. καί εἰσιν αἱ δεύτεραι διάμετροι πρὸς ἴσας γωνίας ταῖς διαμέτροις· ἀμφότεραι γὰρ παράλληλοί εἰσι ταῖς πρὸς
15	ὀρθὰς τῇ ΒΗ τῇ ΖΟ καὶ τῇ ΛΠ. ἡ ἄρα τοῦ κώνου ἔλλειψις ὁμοία ἐστὶ τῇ τοῦ κυλίνδρου ἐλλείψει, καὶ γέγονεν ὑπὸ τοῦ αὐτοῦ ἐπιπέδου, καὶ συνέστη ὁ κῶνος ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῷ κυλίνδρῳ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος· ἅπερ ἦν τὰ ἐπιταχθέντα.
20n	κζʹ.
21	Τὸν δοθέντα κύλινδρον ἢ κῶνον σκαληνὸν δυνατόν ἐστιν ἀπὸ τοῦ ἑτέρου μέρους ἀπειραχῶς τεμεῖν δυσὶν ἐπιπέδοις μὴ παραλλήλως μὲν κειμένοις, ποιοῦσι δὲ ὁμοίας ἐλλείψεις.
25	ἔστω πρῶτον ὁ δοθεὶς κύλινδρος σκαληνός, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ὂν τῇ βάσει τοῦ κυλίνδρου, καὶ ὑποκείσθω ἡ πρὸς τῷ
25	Α γωνία ὀξεῖα, καὶ διὰ τοῦ Γ ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν	82
84	ΑΔ πλευρὰν ἡ ΓΔ· ἐλαχίστη ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ πασῶν τῶν ταῖς ΑΔ, ΓΒ παραλλήλοις ἐμπιπτουσῶν. εἰλήφθω‐ σαν ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ Δ ἴσαι εὐθεῖαι αἱ ΕΔ, ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΓ, ΓΖ· ἴση ἄρα ἡ ΕΓ τῇ ΖΓ. ἐὰν
5	οὖν κατὰ τὸν παραδεδομένον τρόπον ἀγάγωμεν διὰ τῶν ΓΕ, ΓΖ ἐπίπεδα, τεμεῖ τὸν κύλινδρον. τεμνέτω καὶ ποιείτω τὰς ΕΗΓ, ΖΘΓ ἐλλείψεις. λέγω δή, ὅτι ὅμοιαί εἰσιν. ἐπεὶ γάρ, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς
10	ΓΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ, ἀλλὰ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ διαμέτρου τῆς τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἑαυτῇ συζυγοῦς διαμέτρου, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΖΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ διαμέτρου τῆς τομῆς
15	πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς ἑαυτῇ διαμέτρου, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΓ διάμετρος πρὸς τὴν ἑαυτῇ συζυγῆ διά‐ μετρον, οὕτω καὶ ἡ ΖΓ διάμετρος πρὸς τὴν ἑαυτῇ συζυγῆ διάμετρον. ἀλλὰ καὶ πρὸς ἴσας γωνίας τέμ‐ νονται ἐν ἑκατέρᾳ αἱ διάμετροι, ὡς ἐδείχθη πολλάκις·
20	ὅμοιαι ἄρα ἀλλήλαις εἰσὶν αἱ ΕΗΓ, ΖΘΓ ἐλλείψεις. κἂν ἑτέρας δὲ ἀπολάβῃς ἴσας εὐθείας παρ’ ἑκάτερα τοῦ Δ, συστήσονται πάλιν ἕτεραι δύο ἐλλείψεις ὅμοιαι ἀλλήλαις. ἐπισημαντέον δέ, ὅτι ἐπὶ τοῦ κυλίνδρου ἀνάγκη
25	τὰς ἐκ τοῦ αὐτοῦ μέρους ὁμοίας καὶ ἴσας εἶναι διὰ τὸ	84
86	τὸν λόγον εἶναι τῶν διαμέτρων τὸν αὐτὸν πρὸς τὴν αὐτὴν τὴν ΑΓ. Ἔστω δὲ νῦν ὁ δοθεὶς κῶνος σκαληνός, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΒΓ πρὸς ὀρθὰς ὂν τῇ βάσει
5	τοῦ κώνου, καὶ ἔστω ἡ ΑΒ τῆς ΑΓ μείζων, καὶ περι‐ γεγράφθω κύκλος, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΒΓ παρ‐ άλληλος ἡ ΑΔ δηλονότι τέμνουσα τὸν κύκλον, καὶ τῆς ΔΑ περιφερείας δίχα τμηθείσης κατὰ τὸ Ε εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΔΕ περιφερείας τὸ Ζ, καὶ ἤχθω
10	παράλληλος τῇ ΔΑ ἡ ΖΗ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ μὲν ΖΑ συμπιπτέτω τῇ ΒΓ κατὰ τὸ Θ, ἡ δὲ ΗΑ κατὰ τὸ Κ· ὡς ἄρα ἡ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΗ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΖ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΗΚ, ΚΑ,
15	ὡς δὲ ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΘ, ΘΖ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΗΚ, ΚΑ, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΚ, ΚΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΘ, ΘΑ, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΘ, ΘΓ. ἐὰν
20	οὖν διαγάγωμεν εὐθείας παραλλήλους τῇ μὲν ΑΚ τὴν ΛΜ, τῇ δὲ ΑΘ τὴν ΛΝ, καὶ δι’ αὐτῶν ἀχθέντα ἐπί‐ πεδα τέμῃ τὸν κῶνον, ὁμοίας ἐλλείψεις ποιήσει. ἐπεὶ γάρ, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΚ, ΚΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΘ, ΘΓ,
25	ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΚ,	86
88	ΚΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΛΜ διαμέτρου τῆς ἐλλείψεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς ἑαυτῇ διαμέτρου, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΘ, ΘΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΛΝ διαμέτρου τῆς ἐλλείψεως πρὸς τὸ ἀπὸ
5	τῆς συζυγοῦς ἑαυτῇ διαμέτρου, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΜ διάμετρος πρὸς τὴν συζυγῆ διάμετρον, οὕτως ἡ ΝΛ διάμετρος πρὸς τὴν συζυγῆ διάμετρον. αἱ ἄρα ΛΜ, ΛΝ ὁμοίων ἐλλείψεών εἰσι διάμετροι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. κἂν ἑτέρας δὲ τῇ ΖΗ παραλλήλους ἀγάγωμεν, ὡς
10	τὴν ΞΟ, καὶ ἀπὸ τῶν Ξ καὶ Ο ἐπὶ τὸ Α ἐπιζεύξαντες ἐκβάλωμεν ἐπὶ τὴν ΒΘ, καὶ ταῖς ἐκβληθείσαις παραλ‐ λήλους ἀγάγωμεν ἐν τῷ τριγώνῳ, συστήσονται πάλιν ἕτεραι δύο ἐλλείψεις ὅμοιαι ἀλλήλαις, καὶ τοῦτο ἐπ’ ἄπειρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
15n	κηʹ.
16	Τὸν δοθέντα κύλινδρον σκαληνὸν ἢ κῶνον δυνατόν ἐστιν ἀπὸ τῶν ἀντικειμένων μερῶν ἀπειραχῶς τεμεῖν δυσὶν ἐπιπέδοις καὶ ποιεῖν ἐλλείψεις ὁμοίας. ἔστω πρῶτον ἐπὶ τοῦ κυλίνδρου δεῖξαι, καὶ κείσθω
20	ἡ αὐτὴ καταγραφὴ τῇ πρότερον, καὶ τῇ ΑΔ ἴση ἔστω ἡ ΔΗ· ἴση ἄρα ἡ ΓΑ τῇ ΗΓ. ἐπεὶ τοίνυν ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΓΒ ἀγομένη εὐθεῖα μείζων ἐστὶν ἑκα‐ τέρας τῶν ΑΓ, ΓΗ καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Γ μεταξὺ τῶν Η, Α σημείων πιπτουσῶν, δῆλον, ὡς, ἐὰν ἐκ τῶν
25	ἀντικειμένων μερῶν ἀγάγωμεν δύο εὐθείας ἴσας ἀλλή‐
25	λαις, ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἀγομένη ὑπερπεσεῖται τὸ Η. ἤχθω‐	88
90	σαν οὖν ἐκ τῶν ἀντικειμένων μερῶν αἱ ΑΘ, ΓΚ ἴσαι οὖσαι ἀλλήλαις, δι’ ὧν ἐὰν ἀχθῇ ἐπίπεδα ποιοῦντα ἐλλείψεις, ἔσται, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΑ διαμέτρου τῆς ἐλλείψεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ
5	τῆς συζυγοῦς ἑαυτῇ διαμέτρου, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΚΓ διαμέτρου τῆς ἐλλείψεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, τουτ‐ έστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΓ διαμέτρου τῆς ἐλλείψεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς. διαμέτρου. αἱ ἄρα ΚΓ, ΑΘ διάμετροί εἰσιν ὁμοίων ἐλλείψεων.
10	Κείσθω πάλιν ἡ καταγραφὴ τοῦ κώνου, καὶ ἐκ‐ βληθείσης τῆς ΓΒ ἐπὶ θάτερα δέον ἔστω ἀπ’ ἀμφοτέ‐ ρων τῶν μερῶν ἀγαγεῖν ἐπίπεδα ποιοῦντα ὁμοίας ἐλλείψεις. διήχθω τις εἰς τὸν κύκλον εὐθεῖα παράλληλος τῇ
15	ΒΓ ἡ ΠΡ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΑΠ, ΑΡ ἐκβεβλή‐ σθωσαν ἐπὶ τὰ Σ, Τ σημεῖα· ὡς ἄρα ἡ ΑΣ πρὸς τὴν ΣΠ, οὕτως ἡ ΑΤ πρὸς τὴν ΤΡ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΣ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΣ, ΣΠ, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΣ, ΣΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΤ πρὸς τὸ
20	ὑπὸ τῶν ΑΤ, ΤΡ, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΤ, ΤΓ. ἐὰν ἄρα ταῖς ΣΑ, ΑΤ παραλλήλους εὐθείας ἀγάγωμεν ἐν τῷ τριγώνῳ, ὡς τὰς ΒΥ, ΓΦ, καὶ δι’ αὐτῶν ἐπί‐ πεδα ποιοῦντα ἐλλείψεις, ἔσονται διὰ τὰ πολλάκις εἰ‐ ρημένα αἱ ΒΥ, ΓΦ εὐθεῖαι ὁμοίων ἐλλείψεων διά‐
25	μετροι. Καὶ φανερόν, ὅτι τῇ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ μέρους τῶν ὁμοίων ἐλλείψεων συζυγίᾳ γίνεταί τις ὁμοία ἀπὸ τῶν
25	ἀντικειμένων μερῶν ὁμοίων ἐλλείψεων συζυγία, ἀντι‐	90
92	πεπονθυίας μέντοι τὰς διαμέτρους ἔχουσα ταῖς δια‐ μέτροις. ἐὰν γὰρ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου καταγραφῆς κατα‐ σκευάσωμεν, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἢ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ
5	ἀπὸ τῆς ΓΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ ἢ τῆς ΓΚ, γενήσεται, ὡς τὸ ἀπὸ ἑκατέρας τῶν ΕΓ, ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ, τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῶν ὁμοίων ἐλλείψεων τῶν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ μέρους ἠγμένων πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας
10	συζυγοῦς διαμέτρου, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ἑκατέρας τῶν ΑΘ, ΓΚ, τουτέστιν οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου τῶν ἀπὸ τῶν ἀντικειμένων ἠγμένων ὁμοίων ἐλλείψεων πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς διαμέτρου· ὡς ἄρα τῆς ἑτέρας συζυγίας ἡ διάμετρος
15	πρὸς τὴν δευτέραν διάμετρον, οὕτως τῆς ἑτέρας συζυ‐ γίας ἡ δευτέρα διάμετρος πρὸς τὴν διάμετρον. Ἐπὶ δὲ τοῦ κώνου, ἐὰν πάλιν κατασκευάσωμεν, ὡς τὴν ΗΑ πρὸς ΑΚ, οὕτως τὴν ΑΠ πρὸς τὴν ΠΣ, ἔσται, ὡς ἡ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΗ, οὕτως ἡ ΠΣ πρὸς
20	τὴν ΣΑ, τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΗΚ, ΚΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΠΣ, ΣΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΣ. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΗΚ, ΚΑ, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΚ,
20	ΚΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῶν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ	92
94	μέρους ὁμοίων δύο ἐλλείψεων ἤτοι τῆς ΛΝ ἢ τῆς ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας συζυγοῦς διαμέτρου, ὡς δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΠΣ, ΣΑ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΓΣ, ΣΒ, πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΣΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας δια‐
5	μέτρου τῶν ἀπὸ τῶν ἀντικειμένων μερῶν ἠγμένων ἐλλείψεων πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς διαμέτρου. ὡς ἄρα τῆς ἑτέρας συζυγίας ἡ διάμετρος πρὸς τὴν δευτέ‐ ραν διάμετρον, οὕτως τῆς ἑτέρας συζυγίας ἡ δευτέρα διάμετρος πρὸς τὴν διάμετρον.
10	Καὶ γέγονε φανερὸν ἐκ τούτων, ὅτι ἐν παντὶ μὲν κυλίνδρῳ καὶ κώνῳ συνίστανται δύο συζυγίαι ἐλλεί‐ ψεων ὁμοίων μὲν ἀλλήλαις, ἀντιπεπονθυίας δὲ τὰς διαμέτρους ἐχουσῶν, καὶ ὅτι παρὰ τὰς τέσσαρας ταύ‐ τας ἄλλη ὁμοία οὐ συνίσταται πλὴν τῶν παραλλήλων
15	αὐταῖς· ἀεὶ γὰρ αἱ παράλληλοι τομαὶ ὁμοίας ποιοῦσιν ἐλλείψεις, ἐὰν ποιῶσι· καὶ ὅτι ἐπὶ μὲν τοῦ κυλίνδρου ἡ διὰ τῆς ΓΗ ἀγωγὴ τοῦ ἐπιπέδου ὑπεναντία τέ ἐστι καὶ κύκλον ποιεῖ τὴν τομήν, ἐπὶ δὲ τοῦ κώνου, ἐὰν διὰ τοῦ Α τοῦ κύκλου ἐφάπτηταί τις ὡς ἡ ΑΧ, διὰ
20	τὸ εἶναι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΧ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΧ, ΧΓ ἴσον ἡ διὰ τῶν τῇ ΑΧ παραλλήλων εὐθειῶν ἐν τῷ τριγώνῳ ἀγωγὴ τῶν ἐπιπέδων ποιήσει κύκλους· ὑπεναντία γάρ ἐστι καὶ αὐτή, ὡς τῷ προσέχοντι γίνεται καταφανές· καὶ ὅτι τῇ δοθείσῃ ἐλλείψει ἐν κυλίνδρῳ σκαληνῷ καὶ
25	κώνῳ τρεῖς ὁμοίας ἄλλας ἔστιν εὑρεῖν, μίαν μὲν αὐτῇ τῇ δοθείσῃ σύζυγον, δύο δὲ ἑαυταῖς μὲν συζύγους, ταῖς
25	δὲ λοιπαῖς ὁμοίας κατὰ ἀντιπεπόνθησιν τῶν διαμέτρων·	94
96	ὥστε καὶ τῇ δοθείσῃ δυνατὸν τρεῖς ὁμοίας πορίσασθαι· δεῖ δὲ τὴν δοθεῖσαν μήτε ὑπεναντίαν εἶναι· ταύτῃ γὰρ οὐδεμία συνίσταται ὁμοία πλὴν τῶν παραλλήλων· μήτε τὴν διάμετρον αὐτῆς παράλληλον εἶναι τῇ διὰ
5	τῶν Ε καὶ Α ἀγομένῃ εὐθείᾳ ἐν τῇ καταγραφῇ τοῦ κώνου· μονήρης γὰρ καὶ αὕτη διὰ τὸ τὴν διὰ τοῦ Ε τῇ ΑΔ παράλληλον ἀγομένην ἐφαπτομένην τοῦ κύκλου πίπτειν ἐκτὸς καὶ μὴ εἶναι τῷ Ε σημεῖον σύζυγον ὡς τῷ Ξ τὸ Ο ἢ τῷ Ζ τὸ Η.
10	Περὶ μὲν οὖν τοῦ προτεθέντος ἡμῖν προβλήματος ἀπὸ πλειόνων ἀρκείτω καὶ τὰ εἰρημένα, ὥρα δ’ ἂν εἴη μετελθεῖν, ἐφ’ ὅπερ ἀρτίως ἐπηγγειλάμην· ἀφορμὴ δέ μοι τῆς μελλούσης σκέψεως οὐκ ἄκαιρος, ἔστι δὲ ἥδε. Πείθων ὁ γεωμέτρης ἐν συγγράμματι ἑαυτοῦ τὰς
15	παραλλήλους ἐξηγούμενος, οἷς μὲν Εὐκλείδης εἶπεν, οὐκ ἠρκέσθη, σοφώτερον δὲ δι’ ὑποδείγματος αὐτὰς ἐσαφή‐ νισε· φησὶ γὰρ τὰς παραλλήλους εὐθείας εἶναι τοιοῦτον, οἵας ἐν τοῖς τοίχοις ἢ τῷ ἐδάφει τὰς τῶν κιόνων σκιὰς ὁρῶμεν ἀποτελουμένας ἤτοι λαμπάδος τινὸς ἀπ’ ἀν‐
20	τικρὺ καιομένης ἢ λύχνου. τούτων δὲ εἰ καὶ πᾶσι πλεῖστον παρέχει κατάγελων, ἀλλὰ ἡμῖν οὐ καταγέλα‐ στον αἰδοῖ τοῦ γεγραφότος· φίλος γὰρ ἁνήρ. ἀλλὰ σκεπτέον, ὅπως τὸ τοιοῦτον ἔχει μαθηματικῶς· οἰκεία δὲ ἡ σκέψις τοῖς ἐνταῦθα προτεθεωρημένοις· δι’ αὐ‐
25	τῶν γὰρ ἀποδειχθήσεται τὸ προκείμενον.	96
98 (1n)	κθʹ.
2	Αἱ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου κυλινδρικῆς ἐπιφανείας ἐφαπτόμεναι εὐθεῖαι κατ’ ἀμφότερα τὰ μέρη πᾶσαι καθ’ ἑνὸς παραλληλογράμμου πλευρῶν τὰς ἐπαφὰς
5	ποιοῦνται. ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἱ Α, Β κύκλοι, ἄξων δὲ ἡ ΑΒ εὐθεῖα, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Γ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ ἤχθωσαν αἱ ΓΔ, ΓΕ εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας ἐπὶ τὰ
10	αὐτὰ μέρη κατὰ τὰ Δ, Ε σημεῖα. λέγω, ὅτι τὰ Ε, Δ τῶν ἐπαφῶν σημεῖα ἐπὶ μιᾶς εὐθείας ἐστί. κατήχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὴν ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΖ, καὶ διὰ τῆς ΓΖ ἤχθω ἐπίπεδον παράλ‐ ληλον τῷ τοῦ Α κύκλου ἐπιπέδῳ καὶ ποιείτω τομὴν
15	ἐν τῷ κυλίνδρῳ τὸν περὶ τὸ Ζ κύκλον, ὥστε κύλιν‐ δρον ὑποστῆναι, οὗ βάσεις οἱ Β, Ζ κύκλοι, ἄξων δὲ ἡ ΒΖ εὐθεῖα, καὶ διὰ τῆς ΓΖ καὶ τοῦ ἄξονος ἐκ‐ βεβλήσθω ἐπίπεδον ποιοῦν ἐν τῷ κυλίνδρῳ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΗΘ, καὶ τῇ ΖΓ πρὸς
20	ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΚ ἐν τῷ τοῦ Ζ κύκλου ἐπιπέδῳ οὖσα, καὶ διὰ τῆς ΓΚ καὶ ἑκατέρας τῶν ΓΔ, ΓΕ διεκβεβλήσθω ἐπίπεδα τέμνοντα τὸν κύλινδρον καὶ ποιείτω διὰ τῆς τομῆς ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου τὰς ΛΔΜ, ΝΕΞ γραμμάς, ἐν δὲ τῷ τοῦ παραλληλογράμμου ἐπι‐
25	πέδῳ τὰς ΛΜΓ, ΝΞΓ εὐθείας· διάμετροι ἄρα τῶν	98
100	τομῶν εἰσιν αἱ ΛΜ, ΝΞ εὐθεῖαι. κατήχθωσαν τοίνυν ἐπὶ τὰς ΛΜ, ΝΞ διαμέτρους αἱ ΔΟ, ΕΠ τεταγμένως καὶ προσεκβεβλήσθωσαν ἐπὶ θάτερον μέρος τῆς ἐπιφα‐ νείας κατὰ τὸ Ρ καὶ Σ. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται τῆς
5	ΛΔΜΡ γραμμῆς ἡ ΓΔ κατὰ τὸ Δ, καὶ δέδεικται ἡ τοιαύτη τοῦ κυλίνδρου τομὴ ἔλλειψις οὖσα, ἀλλ’ οὐ κύκλος, καὶ κατῆκται τεταγμένως ἡ ΔΟ, ὡς ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς τὴν ΓΜ, οὕτως ἡ ΛΟ πρὸς τὴν ΟΜ, ὡς δέ‐ δεικται τῷ Ἀπολλωνίῳ ἐν τῷ αʹ τῶν Κωνικῶν. καὶ
10	διὰ τὰ αὐτά, ὡς ἡ ΝΓ πρὸς τὴν ΓΞ, οὕτως ἡ ΝΠ πρὸς τὴν ΠΞ. ἐπεὶ δὲ ἡ ΝΗ τῇ ΘΜ παράλληλός ἐστιν, ὡς ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς τὴν ΓΜ, οὕτως ἡ ΝΓ πρὸς τὴν ΓΞ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΟ πρὸς τὴν ΟΜ, οὕ‐ τως ἡ ΝΠ πρὸς τὴν ΠΞ· ἡ ἄρα τὰ Π, Ο σημεῖα
15	ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα ἐν τῷ ΗΘ ἐπιπέδῳ ἐστὶ καὶ παράλληλος ἑκατέρᾳ τῶν ΒΑ, ΘΜ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΔΟ, ΕΠ τῇ ΓΚ παράλληλός ἐστιν, αἱ ΔΟ, ΕΠ ἄρα καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι. ἐὰν δὴ διὰ τῶν ΔΟ, ΕΠ εὐθειῶν ἀχθῇ ἐπίπεδον, τεμεῖ τὸ ΘΗ παρ‐
20	αλληλόγραμμον κατὰ τὴν ΟΠ γραμμήν, καὶ ἔσται τὸ ΠΕΔΟ ἐπίπεδον παράλληλον ἐπιπέδῳ τινὶ τῶν διὰ τῆς ΒΑ ἀγομένων καὶ τεμνόντων τὸ ΗΘ· τὸ ἄρα ΠΕΔΟ ἐπίπεδον τομὴν ποιήσει ἐν τῷ κυλίνδρῳ παρ‐ αλληλόγραμμον, ὡς ἐδείχθη θεωρήματι τρίτῳ. καί
25	ἐστιν ἡ ΕΔ γραμμὴ κοινὴ τομὴ τοῦ ΠΕΔΟ ἐπιπέδου καὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας· ἡ ΕΔ ἄρα εὐθεῖά ἐστι καὶ πλευρὰ τοῦ παραλληλογράμμου. ὁμοίως δὴ
25	δείκνυται καὶ ἐπὶ πασῶν τῶν ἐφαπτομένων, καὶ ὅτι	100
102	πάλιν ἐπὶ θάτερα μέρη αἱ ἁφαὶ κατὰ τὸ Ρ καὶ Σ γίνονται καί εἰσιν ἐπὶ μιᾶς εὐθείας παραλλήλου τῇ ΕΔ. πᾶσαι ἄρα αἱ ἐφαπτόμεναι καθ’ ἑνὸς παραλληλο‐ γράμμου πλευρῶν τὰς ἁφὰς ποιοῦνται· ὃ προέκειτο
5	δεῖξαι.
6n	λʹ.
7	Τούτου δειχθέντος ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, καὶ παρὰ τὴν ΑΒ αὐτοῦ βάσιν ἤχθωσαν αἱ ΕΖ, ΗΘ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον τὸ Κ μὴ ὂν ἐν τῷ
10	τοῦ παραλληλογράμμου ἐπιπέδῳ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ, ΚΘ ἐκβληθεῖσαι προσπιπτέτωσαν ἐπι‐ πέδῳ τινὶ παραλλήλῳ ὄντι τῷ ΑΒΓΔ κατὰ τὰ Λ, Μ, Ν, Ξ σημεῖα. τὸ δὴ διὰ τῶν ΚΛ, ΕΖ εὐθειῶν ἐκ‐ βαλλόμενον ἐπίπεδον τεμεῖ καὶ τὸ ΛΜΝΞ ἐπίπεδον
15	καὶ ποιήσει ἐν αὐτῷ κοινὴν τομὴν τὴν ΛΜ εὐθεῖαν παράλληλον οὖσαν τῇ ΕΖ· ὁμοίως δὲ καὶ τὸ διὰ τῶν ΚΝ, ΗΘ εὐθειῶν ἐπίπεδον ποιήσει παράλληλον τὴν ΝΞ τῇ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν τὸ ΛΚΝ τρίγωνον τέμνεται ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ΑΒΓΔ, ΛΝΞΜ, αἱ ἄρα
20	κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν ἀλλήλαις, τουτ‐ έστιν ἡ ΝΛ τῇ ΗΕ· διὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἡ ΞΜ τῇ ΘΖ παράλληλος. ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΛ, οὕτως ἡ ΗΚ πρὸς τὴν ΚΝ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΗΚ πρὸς τὴν ΚΝ, οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΝΞ, ὡς δὲ ἡ ΕΚ πρὸς
25	ΚΛ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΛΜ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς
25	τὴν ΛΜ, οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΝΞ. καὶ ἐναλλάξ·	102
104	καί ἐστιν ἴση ἡ ΕΖ τῇ ΗΘ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΛΜ τῇ ΝΞ. εἰσὶ δὲ καὶ παράλληλοι· παράλληλος ἄρα καὶ ἡ ΜΞ εὐθεῖα τῇ ΛΝ. Ἐὰν δὴ τὸ μὲν Κ σημεῖον ὑποθώμεθα εἶναι τὸ
5	φωτίζον, τὸ δὲ ΑΓ παραλληλόγραμμον τὸ ἐπιπροσθοῦν ταῖς ἀκτῖσιν, εἴτε καθ’ αὑτὸ εἴη εἴτε ἐν κυλίνδρῳ, συμβήσεται τὰς ἀπὸ τοῦ Κ φωτίζοντος ἀκτῖνας ἐκβαλ‐ λομένας ὁρίζεσθαι τῇ τε ΜΛ καὶ τῇ ΝΞ εὐθείᾳ, καὶ τὸ μεταξὺ τῶν ΜΛ, ΞΝ παραλλήλων ἐσκιασμένον ἔσται.
10	ὅτι μὲν οὖν παράλληλος καὶ ἡ ΔΑ τῇ ΓΒ καὶ ἡ ΝΛ τῇ ΞΜ, δέδεικται· οὐ μὴν καὶ οὕτω φανοῦνται· τῶν γὰρ ΛΜ, ΝΞ διαστάσεων ἡ ἐγγύτερον τῆς ὄψεως μείζων φαίνεται· ταῦτα δὲ παρειλήφαμεν ἐκ τῶν Ὀπ‐ τικῶν.
15	Ἐπειδὴ δὲ παρακείμενόν ἐστι καὶ περὶ τοῦ κώνου θεωρῆσαι τὸ ὅμοιον διὰ τὸ κοινὸν εἶναι τὴν ἔλλειψιν τοῦ τε κώνου καὶ τοῦ κυλίνδρου, ἔσκεπται δὲ περὶ τοῦ κυλίνδρου, φέρε καὶ περὶ τοῦ κώνου σκεψώμεθα.
19n	λαʹ.
20	Ἐὰν τριγώνου ληφθῇ σημεῖον ἐκτός, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἀχθῇ τις εὐθεῖα τέμνουσα τὸ τρίγωνον, ἀπὸ δὲ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν ἀχθῇ τις ἑτέρα εὐθεῖα τέμνουσα τὴν διηγμένην οὕτως, ὥστε ἔχειν, ὡς ὅλη ἡ διηγμένη πρὸς τὴν ἐκτὸς τοῦ τριγώνου, οὕτως τῆς ἐντὸς ἀπει‐
25	λημμένης τὸ μεῖζον τμῆμα πρὸς τὸ ἔλασσον καὶ πρὸς τῷ ἐκτὸς τοῦ τριγώνου κείμενον, ἥτις ἂν ἀπὸ τοῦ ληφθέντος σημείου ἀχθῇ εὐθεῖα τέμνουσα τὸ τρίγω‐
25	νον, ἀνάλογον ἔσται τετμημένη ὑπὸ τῆς ἠγμένης ἀπὸ	104
106	τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν εὐθείας. κἂν πᾶσαι αἱ οὕτως ἠγμέναι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου ἀνάλογον τμη‐ θῶσιν, ἡ τέμνουσα αὐτὰς εὐθεῖα ἐν τῷ τριγώνῳ ἀγο‐ μένη διὰ τῆς κορυφῆς τοῦ τριγώνου ἐλεύσεται.
5	τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκ‐ τὸς τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ διήχθω εὐθεῖα τέμνουσα τὸ τρίγωνον ἡ ΔΕΖ, ἀπὸ δὲ τῆς Α κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν ἀχθήτω ἡ ΑΗΘ τέμνουσα τὴν ΖΔ, ὥστε εἶναι, ὡς τὴν ΖΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως τὴν ΖΗ πρὸς τὴν
10	ΗΕ, καὶ διήχθω τις ἑτέρα εὐθεῖα ἡ ΔΚΛ. λέγω, ὅτι, ὡς ἡ ΜΔ πρὸς τὴν ΔΚ, οὕτως ἡ ΜΛ πρὸς τὴν ΛΚ. ἤχθωσαν διὰ μὲν τῶν Ε, Κ σημείων τῇ ΑΒ παράλληλοι αἱ ΕΝ, ΚΞ, διὰ δὲ τῶν Ε, Ζ τῇ ΜΔ παράλληλοι αἱ ΕΟ, ΖΠΡ. ἐπεὶ τοῦ ΑΜΚ τριγώνου
15	παρὰ τὴν ΑΜ πλευράν ἐστιν ἡ ΕΝ, ὡς ἄρα ἡ ΝΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΑΚ, τουτέστιν οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΑΡ. πάλιν ἐπεὶ ἡ ΖΑ τῇ ΚΞ παράλληλός ἐστιν, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΞ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΖ. ἐπεὶ οὖν, ὡς μὲν ἡ
20	ΝΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΑΡ, ὡς δὲ ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΞ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΖ, καὶ δι’ ἴσου ἄρα ἐν τεταραγμένῃ ἀναλογίᾳ, ὡς ἡ ΕΝ πρὸς τὴν ΚΞ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΡ, τουτέστιν ἡ ΕΟ πρὸς τὴν ΠΡ. ἐπεὶ οὖν ὁ τῆς ΜΔ πρὸς τὴν ΔΚ
25	λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΖΔ πρὸς τὴν ΔΞ λόγῳ,
25	ὁ δὲ τῆς ΖΔ πρὸς τὴν ΔΞ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ	106
108	τῆς ΖΔ πρὸς τὴν ΕΔ καὶ τοῦ τῆς ΕΔ πρὸς ΔΞ, καὶ ὁ τῆς ΜΔ πρὸς ΔΚ λόγος ἄρα σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΖΔ πρὸς τὴν ΕΔ καὶ τοῦ τῆς ΕΔ πρὸς τὴν ΔΞ. ἀλλ’ ὁ μὲν τῆς ΖΔ πρὸς τὴν ΕΔ λόγος ὁ αὐτός ἐστι
5	τῷ τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ διὰ τὴν ὑπόθεσιν, ὁ δὲ τῆς ΕΔ πρὸς τὴν ΔΞ, τουτέστιν ὁ τῆς ΕΝ πρὸς τὴν ΞΚ, ὁ αὐτὸς ἐδείχθη τῷ τῆς ΟΕ πρὸς τὴν ΠΡ· ὁ ἄρα τῆς ΜΔ πρὸς τὴν ΔΚ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΖΗ πρὸς ΗΕ λόγου καὶ τοῦ τῆς ΟΕ πρὸς τὴν ΠΡ. πάλιν
10	ἐπεὶ ὁ τῆς ΜΛ πρὸς τὴν ΛΚ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΖΠ πρὸς τὴν ΠΡ, ὁ δὲ τῆς ΖΠ πρὸς τὴν ΠΡ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΖΠ πρὸς τὴν ΟΕ λόγου, τουτέστι τοῦ τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ, καὶ τοῦ τῆς ΟΕ πρὸς τὴν ΠΡ, καὶ ὁ τῆς ΜΛ ἄρα πρὸς τὴν
15	ΛΚ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΗΖ πρὸς τὴν ΗΕ λόγου καὶ τοῦ τῆς ΟΕ πρὸς τὴν ΠΡ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὁ τῆς ΜΔ πρὸς τὴν ΔΚ λόγος ἐκ τῶν αὐτῶν συγ‐ κείμενος· ὡς ἄρα ἡ ΜΔ πρὸς τὴν ΔΚ, οὕτως ἡ ΜΛ πρὸς τὴν ΛΚ.
20	ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, κἂν ἄλλαι διαχθῶσιν ἀπὸ τοῦ Δ· πᾶσαι γὰρ ὑπὸ τῆς ΑΘ διαιρεθήσονται τὸν εἰρημένον τρόπον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Κἂν αἱ ἀπὸ τοῦ Δ διαχθεῖσαι ἀνάλογον ὦσι τετμη‐ μέναι, ἵν’ ᾖ, ὡς μὲν ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΖΗ
25	πρὸς τὴν ΗΕ, ὡς δὲ ἡ ΜΔ πρὸς τὴν ΔΚ, οὕτως ἡ ΜΛ πρὸς τὴν ΛΚ, ἡ τὰς ἐν τῷ τριγώνῳ ἀπειλημμέ‐ νας εὐθείας, οἷον τὰς ΖΕ, ΜΚ, ἀνάλογον τέμνουσα
25	εὐθεῖα διαγομένη διὰ τῆς κορυφῆς ἥξει τοῦ τριγώνου.	108
110	εἰ γὰρ δυνατόν, ἡκέτω ἐκτὸς κατὰ τὸ Φ σημεῖον, καὶ διήχθω ἡ ΑΗΨ εὐθεῖα. ἐπεὶ οὖν κατὰ τὸ προ‐ δειχθὲν εὐθεῖά τις ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἡ ΑΨ ἀγομένη τέμνει τὴν ΖΔ εὐθεῖαν, ὥστε εἶναι, ὡς τὴν ΖΔ πρὸς
5	τὴν ΔΕ, οὕτως τὴν ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ, καὶ τὴν ΜΔ ἄρα ἀνάλογον τέμνει. ὡς ἄρα ἡ ΜΔ πρὸς τὴν ΔΚ, οὕτως ἡ ΜΨ πρὸς τὴν ΨΚ· ὅπερ ἀδύνατον· ὑπέκειτο γάρ, ὡς ἡ ΜΔ πρὸς τὴν ΔΚ, οὕτως ἡ ΜΛ πρὸς τὴν ΛΚ. ἡ ἄρα ΛΗ ἐκβαλλομένη οὐχ ἥξει δι’ ἄλλου
10	σημείου πλὴν τοῦ Α· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
11n	λβʹ.
12	Αἱ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου κωνικῆς ἐπιφανείας ἐφαπτόμεναι εὐθεῖαι κατ’ ἀμφότερα τὰ μέρη πᾶσαι καθ’ ἑνὸς τριγώνου πλευρῶν τὰς ἐπαφὰς ποιοῦνται.
15	ἔστω κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Α κέντρον κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Β σημεῖον, ἄξων δὲ ἡ ΑΒ εὐ‐ θεῖα, σημείου δέ τινος τοῦ Γ ληφθέντος ἐκτὸς τοῦ κώνου ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Γ αἱ ΓΔ, ΓΕ εὐθεῖαι ἐφ‐ απτόμεναι τῆς τοῦ κώνου ἐπιφανείας ἐπὶ τὰ αὐτὰ
20	μέρη. λέγω, ὅτι τὰ Ε, Δ σημεῖα τῶν ἐπαφῶν ἐπὶ μιᾶς εὐθείας ἐστί. κατήχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὴν ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΖ, καὶ διὰ τῆς ΓΖ ἤχθω ἐπίπεδον παράλ‐ ληλον τῷ τοῦ Α κύκλου ἐπιπέδῳ καὶ ποιείτω τομὴν
25	ἐν τῷ κώνῳ τὸν περὶ τὸ Ζ κέντρον κύκλον, ὥστε κῶνον ὑποστῆναι, οὗ βάσις μὲν ὁ Ζ κύκλος, ἄξων δὲ
25	ὁ ΖΒ, καὶ διὰ τῆς ΓΖ καὶ τοῦ ἄξονος ἐκβεβλήσθω	110
112	ἐπίπεδον ποιοῦν ἐν τῷ κώνῳ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρί‐ γωνον τὸ ΒΗΘ, καὶ τῇ ΓΖ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΚ ἐν τῷ τοῦ Ζ κύκλου ἐπιπέδῳ οὖσα, καὶ διὰ τῆς ΓΚ καὶ ἑκατέρας τῶν ΓΔ, ΓΕ ἤχθω ἐπίπεδα τέμνοντα
5	τὸν κῶνον καὶ ποιείτω διὰ τῆς τομῆς ἐν μὲν τῇ ἐπι‐ φανείᾳ τοῦ κώνου τὰς ΛΔΜ, ΝΕΞ γραμμάς, ἐν δὲ τῷ τοῦ ΒΗΘ τριγώνου ἐπιπέδῳ τὰς ΛΓ, ΝΓ εὐ‐ θείας· διάμετροι ἄρα τῶν ΛΔΜ, ΝΕΞ τομῶν εἰσιν αἱ ΛΜ, ΝΞ εὐθεῖαι. ἤχθωσαν τοίνυν ἐπὶ τὰς ΛΜ,
10	ΝΞ διαμέτρους αἱ ΔΟ, ΕΠ τεταγμένως καὶ προσεκ‐ βεβλήσθωσαν ἐπὶ θάτερον μέρος τῆς ἐπιφανείας κατὰ τὸ Ρ καὶ Σ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΔ εὐθεῖα τῆς ΛΔΜ γραμ‐ μῆς ἐφάπτεται κατὰ τὸ Δ σημεῖον, καὶ κατῆκται τεταγ‐ μένως ἡ ΔΟ, ὡς ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς τὴν ΓΜ, οὕτως ἡ
15	ΛΟ πρὸς τὴν ΟΜ· καὶ διὰ τὰ αὐτά, ὡς ἡ ΝΓ πρὸς τὴν ΓΞ, οὕτως ἡ ΝΠ πρὸς τὴν ΠΞ· ἡ ἄρα τὰ Ο καὶ Π σημεῖα ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα ἐκβαλλομένη ἥξει διὰ τῆς κορυφῆς διὰ τὸ πρὸ τούτου. διήχθω τοίνυν ἡ ΟΠΒ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΕΣ, ΔΡ τῇ ΓΚ ἐστι
20	παράλληλος, αἱ ἄρα ΔΡ, ΕΣ παράλληλοί τέ εἰσιν ἀλλήλαις καὶ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ. τὸ οὖν διὰ τῆς ΒΠΟ καὶ τῶν ΕΣ, ΔΡ ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον τὴν τομὴν ποιήσει τρίγωνον ἐν τῇ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ· τὰ ἄρα Ε καὶ Δ σημεῖα ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ ὄντα τοῦ
25	κώνου ἐπὶ πλευρᾶς ἐστι τριγώνου τοῦ τέμνοντος τὸ ΒΗΘ τρίγωνον κατὰ τὴν ΒΠΟ εὐθεῖαν. ὁμοίως δὲ δείκνυται ἐπὶ τῶν ἐφαπτομένων πασῶν καὶ τῶν κατὰ
25	τὸ Ρ καὶ Σ ἐφαπτομένων τὸ αὐτὸ συμβαῖνον. πᾶσαι	112
114	ἄρα αἱ ἀπὸ τοῦ Γ ἐφαπτόμεναι τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας καθ’ ἑνὸς τριγώνου πλευρῶν πίπτουσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
4n	λγʹ.
5	Τούτου δὴ δειχθέντος ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ παρὰ τὴν ΒΓ βάσιν αἱ ΔΕ, ΖΗ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον τὸ Θ μὴ ὂν ἐν τῷ τοῦ τριγώνου ἐπιπέδῳ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΘΔ, ΘΖ, ΘΗ, ΘΕ ἐκβληθεῖσαι προσ‐ πιπτέτωσαν ἐπιπέδῳ τινὶ παραλλήλῳ ὄντι τῷ ΑΒΓ
10	ἐπιπέδῳ κατὰ τὰ Κ, Λ, Μ, Ν σημεῖα· τὸ δὴ διὰ τῶν ΕΔ, ΚΘ εὐθειῶν ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον τεμεῖ καὶ τὸ ΚΛΜΝ ἐπίπεδον καὶ ποιήσει ἐν αὐτῷ κοινὴν το‐ μὴν τὴν ΚΝ εὐθεῖαν παράλληλον οὖσαν τῇ ΕΔ. ὁμοίως δὲ καὶ τὸ διὰ τῶν ΖΗ, ΛΘ ἐπίπεδον ἐκβαλλό‐
15	μενον ποιήσει παράλληλον τῇ ΖΗ τὴν ΛΜ. ἐπεὶ οὖν τὸ ΚΘΛ ἐπίπεδον τέμνεται ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ΑΒΓ, ΚΛΜΝ, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ αἱ ΚΛ, ΔΖ παράλληλοί εἰσιν ἀλλήλαις. διὰ ταὐτὰ δὲ καὶ ἡ ΝΜ τῇ ΗΕ παράλληλός ἐστιν· ἐκβληθεῖσαι ἄρα αἱ ΚΛ,
20	ΜΝ συμπεσοῦνται κατὰ τὸ Ξ. ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΚΞ, ΞΝ δυσὶ ταῖς ΔΑ, ΑΕ παράλληλοί εἰσιν, ἴση ἄρα ἡ πρὸς τῷ Ξ γωνία τῇ πρὸς τῷ Α. πάλιν ἐπεὶ δύο αἱ ΞΚ, ΚΝ δυσὶ ταῖς ΑΔ, ΔΕ παράλληλοί εἰσιν, ἡ ἄρα ὑπὸ τῶν ΞΚ, ΚΝ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΔ, ΔΕ ἴση. τὰ
25	ἄρα ΞΚΝ, ΑΒΓ τρίγωνα ὅμοιά ἐστιν ἀλλήλοις. Ἐὰν οὖν πάλιν τὸ μὲν Θ σημεῖον ὑποθώμεθα τὸ
25	φωτίζον εἶναι, τὸ δὲ ΑΒΓ τρίγωνον τὸ ἐπιπροσθοῦν	114
116	ταῖς ἀκτῖσιν, εἴτε καθ’ αὑτὸ ὂν τὸ τρίγωνον εἴτε ἐν κώνῳ, συμβήσεται τὰς ἀπὸ τοῦ Θ φερομένας ἀκτῖνας ἐκπιπτούσας διὰ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ποιεῖν τὸ ΚΝΞ τρίγωνον τῆς σκιᾶς ὅμοιον ὂν τῷ ΑΒΓ.
5	Ταῦτα εἰ καὶ ὀπτικῆς θεωρίας ἔχεται καὶ δοκεῖ διὰ τοῦτο τῆς παρούσης πραγματείας ἀλλότρια εἶναι, ἀλλ’ οὖν ἐκεῖνό γε φανερὸν γέγονεν, ὅτι ἄνευ τῶν περὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου καὶ τῆς τοῦ κώνου τομῆς ἐνταῦθα δειχθέντων, τῆς ἐλλείψεως λέγω καὶ τῶν ἁπτομένων
10	αὐτῆς εὐθειῶν, ἀδύνατον ἦν καταστῆσαι τὸ τοιοῦτον πρόβλημα· ὥστε οὐκ ἀλόγως, ἀλλὰ διὰ τὴν χρείαν
10	ἐπεισῆλθεν ὁ περὶ τούτων λόγος.	116

2

(1t)

4

6

8

10

12

(1n)

14

16

(1n)

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

52

54

(1n)

56

58

60

62

64

66

(1n)

68

70

72

74

76

78

80

82

84

86

88

90

92

94

96

98

(1n)

100

102

104

106

108

110

112

114

116