DIOPHANTUS :: Fragmentum [Sp.] (e cod. Paris. gr. 2448)

TLG 2039 005 :: DIOPHANTUS :: Fragmentum [Sp.] (e cod. Paris. gr. 2448) DIOPHANTUS Math., vel Diophanes (Alexandrinus: A.D. 3?) Scholia: Cf. SCHOLIA IN DIOPHANTUM (5021) Fragmentum [Sp.] (e cod. Paris. gr. 2448) Source: Tannery, P. (ed.), Diophanti Alexandrini opera omnia, vol. 2. Leipzig: Teubner, 1895 (repr. Stuttgart, 1974): 15–31. Citation: Volume — page — (line)

20t	Διοφάντου ἐπιπεδομετρικά.
21	Ἔχει ὁ κύκλος διαμέτρῳ πόδας ζ· εὑρεῖν τὴν περί‐ μετρον καὶ τὸ ἐμβαδόν.
21	Ποίει τὴν διάμετρον τρισσάκις καὶ αὐτῇ τῇ δια‐	15
2 . 16	μέτρῳ πρόσβαλε μέρος ζον τῶν ζ· γίνονται κβ· τοσοῦτον ἡ περίμετρος. Τὸ δὲ ἐμβαδὸν οὕτως· τοὺς ζ ἐφ’ ἑαυτούς, γίνονται μθ· τούτους διαπαντὸς ἐπὶ τὰ ια, γίνονται φλθ· τούτων
5	ιδʹ, λη 𐅵ʹ· ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοσοῦτον. Κύκλος οὗ ἡ μὲν διάμετρος ιδ, ἡ δὲ περίμετρος μδ εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ἀπὸ τῆς περιμέτρου καὶ διαμέτρου. ποίει οὕτως· λάβε τῆς περιμέτρου τὸ 𐅵ʹ, γίνονται κβ· καὶ τῆς διαμέτρου τὸ 𐅵ʹ, γίνονται ζ· πολυπλασίασον
10	τὰ ζ ἐπὶ τὰ κβ, γίνονται ρνδ· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδόν. Καὶ ἄλλως. πολυπλασίασον τὰ μδ ἐπὶ τὰ ιδ, γί‐ νονται χις· τούτων λάβε δʹ, γίνονται ρνδ· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν.
15	Ἔτι κύκλου περίμετρος μδ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διά‐ μετρον. ποίησον καθολικῶς τοὺς μδ ἑπτάκις, γίνονται τη· τούτων τὸ κβʹ, ιδ· τοσοῦτον ἡ διάμετρος. Τριῶν κύκλων ἁπτομένων ἀλλήλων, εὑρεῖν τοῦ μέσου σχήματος τὸ ἐμβαδόν· ἔστωσαν δὲ αὐτῶν αἱ
20	διάμετροι ἀνὰ ζ. ποίει οὕτως· τὴν διάμετρον ἐφ’ ἑαυτήν, γίνονται μθ· ταῦτα δίς, γίνονται ϙη· τούτων τὸ ιδʹ, γίνονται ζ· ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοσοῦτον. Τεσσάρων κύκλων ἁπτομένων ἀλλήλων, εὑρεῖν τοῦ μέσου σχήματος τὸ ἐμβαδόν· ἔστωσαν δὲ αὐτῶν αἱ
25	διάμετροι ἀνὰ ζ. ποίει οὕτως· τὴν διάμετρον ἐφ’	16
2 . 17	ἑαυτήν, γίνονται μθ· ταῦτα τρισσάκις, γίνονται ρμζ· ὧν ιδʹ, ι 𐅵ʹ· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν. Ἔστω ἡμικύκλιον οὗ ἡ βάσις ιδ· ἡ δὲ κάθετος ζ· εὑρεῖν τὴν περίμετρον καὶ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως·
5	σύνθες τὴν βάσιν ..... ἐπὶ τὴν κάθετον, τουτέστι τοὺς ιδ ἐπὶ τοὺς ζ, γίνονται ϙη· ταῦτα καθολικῶς ἑνδεκάκις, γίνονται ͵αοη· τούτων τὸ ιδʹ, οζ· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν. Ἔστω σφαῖρα ἔχουσα τὴν διάμετρον ι· εὑρεῖν αὐτῆς
10	τὴν ἐπιφάνειαν. ποίει οὕτως· τὰ ι ἐφ’ ἑαυτά, γίνον‐ ται ρ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ια, γίνονται ͵αρ· τούτων τὸ ιδʹ, οη 𐅵ʹ ιδʹ· ταῦτα τετράκις, γίνονται τιδ δʹ κηʹ· τοσοῦτον ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας. Τὸ δὲ πλινθίον συνέστηκεν ἐπὶ τῶνδε τῶν ἀριθμῶν·
15	ϛ, η, θ, ιβ· ὁ μὲν οὖν η πρὸς τὸν ϛ ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ, καθ’ ἣν ἡ διὰ τεσσάρων ἐστὶν ἁρμονία· ὁ δὲ ιβ πρὸς τὸν ϛ ἐν διπλασίῳ, καθ’ ἣν ἡ διὰ πασῶν .... ἕξεων ἔλεγχοι καὶ τῆς ἀναλογίας ἀριθμητικῆς μὲν ἐκ τῶν ϛ καὶ θ καὶ ιβ· οἷς γὰρ ἂν ὑπερέχῃ ὁ μέσος τοῦ πρώτου,
20	τοσούτοις ὑπερέχεται τοῦ τελευταίου. γεωμετρικὴ δὲ ἡ τῶν τεσσάρων· ὃν γὰρ λόγον ἔχει τὰ η πρὸς τὰ ϛ, τοσοῦτον τὰ ιβ πρὸς τὰ θ· ὁ δὲ λόγος ἐπίτριτος ..... Ἡμικυκλίου λώρου τοῦ λεγομένου ἡ διάμετρος ζ καὶ τὰ πάχη ἀνὰ β. σύνθες τὴν διάμετρον καὶ τὰ δύο
25	πάχη, γίνονται ια· ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά, γίνονται ρκα· ἀπὸ τούτων ὕφειλον τὴν διάμετρον ἐφ’ ἑαυτήν, γίνονται
25	μθ, λοιπὸν οβ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ια, γίνονται ψϙβ· τούτων	17
2 . 18	τὸ κηʹ, γίνονται κη δʹ κηʹ· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδὸν τοῦ λώρου. 〈ἄλλωσ〉. σύνθες τὴν διάμετρον καὶ τὸ ἓν πάχος, γίνονται θ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ια, γίνονται ϙθ· τούτων
5	τὸ ζʹ, γίνονται ιδ ζʹ· τοσοῦτον ἡ περίμετρος ἐν τῷ μέσῳ· ταῦτα ἐπὶ τὸ πάχος, ἐπὶ τὰ β, γίνονται κη δʹ κηʹ.
7n	Μέθοδος τῶν πολυγώνων.
8	Πεντάγωνον μετρήσομεν οὕτως οὗ ἑκάστη πλευρὰ ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ι ἐφ’ ἑαυτά,
10	γίνονται ρ· ταῦτα ποιῶ πεντάκις, γίνονται φ· ὧν γʹ ρξϛ 𐅷· ἔσται τὸ ἐμβαδὸν ρξϛ 𐅷. Εὑρεῖν δὲ καὶ τοῦ περιγραφομένου κύκλου τὴν διάμετρον· ἔσται ιζ· ποιῶ δὲ οὕτως· τὰ ι τῆς πλευρᾶς ἐπὶ τὰ ιζ, γίνονται ρο· ταῦτα μερίζω ἐπὶ τὰ ι, γίνον‐
15	ται ιζ· ἔσται ἡ διάμετρος τοῦ περιγραφομένου κύκλου ιζ. Ἑξάγωνον δὲ μετρήσομεν οὕτως. ἐὰν ἔχῃ τὴν διά‐ μετρον ξ, ἡ δὲ πλευρὰ λ, ποιῶ οὕτως· τὰ λ ἐφ’ ἑαυτά, γίνονται ϡ· ταῦτα ποιῶ ἑξάκις, γίνονται ͵ευ· ὧν τρίτον καὶ δέκατον, γίνονται ͵βτμ· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἑξάγωνον.
20	Ἄλλως δὲ πάλιν τὴν πλευρὰν ἐφ’ ἑαυτήν, γίνονται ϡ· ταῦτα πολυπλασίαζε ἐπὶ τὰ ιγ, γίνονται α˙. ͵αψ· ἄρτι μερίζω· ὧν εʹ, γίνονται ͵βτμ· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδόν.
20	Ἔστω ἑπτάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, οὗ	18
2 . 19	ἑκάστη πλευρὰ ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ι ἐφ’ ἑαυτά, γίνονται ρ· καὶ τὰ ρ ἐπὶ μγ, γίνονται ͵δτ· ὧν τὸ ιβʹ, τνη γʹ· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδόν. Ἔστω ὀκτάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, οὗ
5	ἑκάστη πλευρὰ ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ι ἐφ’ ἑαυτά, γίνονται ρ· ταῦτα ἐπὶ τὰ κθ, γίνον‐ ται ͵βϡ· τούτων ποιῶ πάντοτε τὸ ϛʹ, γίνονται υπγ γʹ· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀκταγώνου. Εὑρεῖν δὲ καὶ τοῦ περιγραφομένου κύκλου τὴν
10	διάμετρον· ἔσται πόδες κϛ ....· ποιῶ δὲ οὕτως· τὰ κϛ πεντάκις, γίνονται ρλ· ὧν τὸ ιγʹ, ι· τοσοῦτον ἡ πλευρὰ ἑκάστη τοῦ ὀκταγώνου. Ἐὰν δὲ εἰς τετράγωνον θέλῃς ἐγγράψαι ὀκτάγωνον, ἐὰν ἔχῃ ἡ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου κδ, τούτους πεντάκις,
15	γίνονται ρκ· ὧν τὸ ιβʹ, γίνονται ι· τοσοῦτον ἡ πλευρὰ τοῦ ὀκταγώνου. Ἔστω ἐννάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ι ἐφ’ ἑαυτά, γίνονται ρ· ταῦτα ἐπὶ τὰ να,
20	γίνονται ͵ερ· τούτων τὸ ηʹ, γίνονται χλζ 𐅵ʹ· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδόν. Εὑρεῖν δὲ καὶ τοῦ περιγραφομένου κύκλου τὴν διάμετρον. ἔσται πόδες λ· ποιῶ οὕτως· ἑκάστη πλευρὰ ἔχει ι· ἡ δὲ διάμετρος τριπλάσιον, γίνονται πόδες λ.
25	Ἔστω δεκάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον, οὗ
25	ἑκάστη πλευρὰ πόδες ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν.	19
2 . 20	ποιῶ οὕτως· τὰ ι ἐφ’ ἑαυτά, γίνεται ρ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ιε, γίνεται ͵αφ· ὧν τὸ 𐅵ʹ, γίνεται ψν· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ δεκαγώνου, πόδες ψν. Ἄλλως δὲ πάλιν τὰ ι ἐφ’ ἑαυτά, γίνεται ρ· ταῦτα
5	ἐπὶ τὰ λη, γίνονται ͵γω· τούτων ἀεὶ τὸ εʹ, γίνεται ψξ· αὕτη ἡ μέθοδος ἀκριβῶς ἔχει, ἡ δὲ διάμετρος τοῦ κύκλου τοῦ περιεχομένου τῷ δεκαγώνῳ ἐστὶ πόδες κε †. Ἔστω ἑνδεκάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως·
10	τὰ ι ἐφ’ ἑαυτά, γίνονται ρ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ξϛ, γίνονται ͵ϛχ· ὧν ἕβδομον, ϡμγ· ἔστω τὸ ἐμβαδὸν τοσοῦτον. Ἔστω δωδεκάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ι ἐφ’ ἑαυτά, γίνονται ρ· ταῦτα ἐπὶ τὰ με,
15	γίνονται ͵δφ· ὧν τὸ δʹ, γίνονται ͵αρκε· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδόν. Ἐὰν θέλῃς ἀπὸ διαμέτρου κύκλου εὑρεῖν πλευρὰν ὀκταγωνικήν, ποίει οὕτως· τὴν διάμετρον πεντάκις οὖσαν ιβ, γίνονται ξ· ἄρτι μερίζω· ὧν τὸ ιβʹ, γίνονται
20	ε· τοσοῦτόν ἐστιν ἡ πλευρὰ τοῦ ὀκταγώνου, ἡ δὲ διά‐ μετρος ιβ. Πάλιν δὲ προστιθῶ μίαν πλευρὰν τῇ διαμέτρῳ τοῦ ὀκταγώνου, ὁμοῦ γίνονται ιζ, ὅπερ ἐστὶ διαγώνιος τοῦ ἔξωθεν τετραγώνου.
25	Ὁμοίως δὲ καὶ ἐὰν θέλῃς ἐκ τῆς πλευρᾶς εὑρεῖν	20
2 . 21	τὴν διάμετρον τοῦ ὀκταγώνου, ποίει οὕτως· ἐὰν ἡ πλευρὰ ε, πάντοτε ποίει τὴν πλευρὰν δωδεκάκις· ἄρτι μερίζω· ὧν πέμπτον, γίνονται ιβ· τοσοῦτόν ἐστιν ἡ διάμετρος τοῦ ὀκταγώνου.
5	Ἄλλως δὲ πάλιν ἡ διαγώνιος ἐπὶ τετραγώνου· ἐὰν ἔχῃ ἡ διάμετρος ιβ, λάμβανε πλευρὰν ὀκταγωνικήν, ὅ ἐστιν ε, λοιπὸν μένουσιν ζ· τούτων τὸ 𐅵ʹ, γ 𐅵ʹ· ταῦτα ὑφαιρῶ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῶν ιβ, λοιπὸν μένουσιν η 𐅵ʹ· ταῦτα δίς, γίνονται ιζ· τοσοῦτόν ἐστιν ἡ διαγώ‐
10	νιος τοῦ ἔξωθεν τετραγώνου. Εἰ δέ ἐστιν ἡ μία πλευρὰ τοῦ τετραγώνου μείζων, † κοινοῦται καὶ λαμβάνω· ὧν 𐅵ʹ· ἐκ τούτου δὲ καὶ εἰ ἔστι συγγώνʹ. †, εὑρίσκεται τῇ μεθόδῳ ταύτῃ. Ὅπως δὲ πάλιν εὑρίσκεται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀκταγώνου.
15	ποιῶ οὕτως· ἐὰν ἔχῃ τὴν διάμετρον ιβ, ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά, γίνονται ρμδ· τούτων ὑφαιρῶ ἕκτον μέρος, γίνονται κδ· λοιπὸν μένουσιν ρκ· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδόν. Ἄλλως δὲ πάλιν μετρήσομεν· ἐὰν [ἔστιν] ἡ διά‐
20	μετρος ιβ ᾖ, πλευρὰ ἡ μία ἔχει ε· νῦν ποιῶ τὴν πλευρὰν ἐπὶ τὴν διάμετρον τῶν ιβ, γίνονται ξ· ταῦτα δίς, γί‐ νονται ρκ· τοσοῦτόν ἐστι τὸ ἐμβαδόν. Ὅπως μετρεῖται ὀκτάγωνος, μᾶλλον δὲ καὶ θεμελιοῦ‐ ται. ποίησον οἶκον τετράγωνον, οὗ τὸ μῆκος καὶ τὸ
25	πλάτος ιβ, καὶ λαβὼν τῆς διαγωνίου 𐅵ʹ, ἀπότιθε ἀπὸ	21
2 . 22	γωνίας εἰς γωνίαν, καὶ δυνήσῃ στῆσαι τὸ ὀκτάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον. Ἔχουσι τὰ ια τετράγωνα ιδ κύκλους. ἔχουσι τὰ ιγ τετράγωνα λ τρίγωνα ἰσόπλευρα· ἔστι
5	δὲ τὰ ιγ τῶν λ μέρος τρίτον 〈καὶ〉 δέκατον. ἔχουσι τὰ ε τετράγωνα γ πεντάγωνα. ἔχουσι τὰ ιγ τετράγωνα ε ἑξάγωνα. ἔχουσι τὰ μγ τετράγωνα ιβ ἑπτάγωνα. ἔχουσι τὰ κθ τετράγωνα ϛ ὀκτάγωνα.
10	ἔχουσι τὰ να τετράγωνα η ἐννάγωνα. ἔχουσι τὰ ιε τετράγωνα β δεκάγωνα. ἄλλως δὲ πάλιν ἔχουσι τὰ λη τετράγωνα ε δεκά‐ γωνα. αὕτη καὶ ἀκριβεστάτη. ἔχουσι τὰ ξϛ τετράγωνα ζ ἑνδεκάγωνα.
15	ἔχουσι τὰ με τετράγωνα δ δωδεκάγωνα. Ἀπέδειξεν Ἀρχιμήδης ὅτι τὰ λ τρίγωνα ἰσόπλευρα ἴσα ἐστὶν ιγ τετραγώνοις, ἃ τῶν λ ἐστὶ μέρος τρίτον 〈καὶ〉 δέκατον· ποίει οὖν τὴν πλευρὰν ἐφ’ ἑαυτήν, καὶ τῶν γινομένων τὸ τρίτον 〈καὶ〉 δέκατον ἔσται τὸ ἐμ‐
20	βαδόν· τουτέστι λ τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἐφ’ ἑαυτά, γίνον‐ ται ϡ· ὧν τρίτον καὶ δέκατον, γίνονται τϙ· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν. Ἄλλως τὸ αὐτὸ κάλλιον. τὰ λ ἐφ’ ἑαυτά, γίνονται ϡ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ιγ τετράγωνα, γίνονται α˙. αψ· ταῦτα
25	μέριζε παρὰ τὰ λ τρίγωνα, γίνονται τϙ. Ἄλλως. εὑρεῖν πρῶτον τὴν κάθετον. τὰ λ ἐφ’
25	ἑαυτά, γίνονται ϡ· τούτων ἆρον τὸ δʹ, γίνονται σκε·	22
2 . 23	λοιπὸν χοε· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ κϛ· τοσοῦτον ἡ κάθετος. Ἄλλως. τὰ λ τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἐφ’ ἑαυτά, γίνονται ϡ· καὶ τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως, τουτέστι τὰ ιε, ἐφ’
5	ἑαυτά, γίνονται σκϛ· ταῦτα ἀπὸ τῶν ϡ, λοιπὸν χοε· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ κϛ· τοσοῦτον ἡ κάθετος· ταῦτα ἐπὶ τὸ 𐅵ʹ τῆς μιᾶς πλευρᾶς, τουτέστι τῆς βάσεως, ἐπὶ τὰ ιε, γίνονται τϙ· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν. Τμῆμα ἧττον ἡμισφαιρίου μετρῆσαι, οὗ ἡ διάμετρος
10	ιβ καὶ ἡ κάθετος δ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. τῆς βάσεως 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτό, γίνονται λϛ· ταῦτα τρισσάκις, γίνονται ρη· καὶ τὴν κάθετον ἐφ’ ἑαυτήν, γίνονται ιϛ· σύνθες ὁμοῦ, γίνονται ρκδ· ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὴν κάθετον, γίνονται υϙϛ· ταῦτα ἑνδεκάκις, γίνονται ͵ευνϛ·
15	τούτων τὸ καʹ, γίνονται σνθ 𐅷 ζʹ· τοσοῦτον τὸ στερεόν. Εὑρεῖν δὲ ἀπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς καθέτου τὴν διάμετρον ὅλης τῆς σφαίρας. τῆς βάσεως τὸ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτό, γίνονται λϛ· ταύτην μέριζε παρὰ τὴν κάθετον, παρὰ τὰ δ, γίνονται θ· μῖξον ὁμοῦ μετὰ τὰ δ, γίνον‐
20	ται ιγ· τοσοῦτον ἔσται ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας. Ἔστω κῶνος ἀτέλεστος, οὗ ἡ περίμετρος τῆς βάσεως ξ, ἡ δὲ τῆς κορυφῆς ϛ, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ιε· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. λαμβάνω τὸ γʹ τῆς βάσεως τῶν ξ, γίνονται κ, ἥτις ἐστὶν ἡ διάμετρος· καὶ τῶν ϛ τῆς
25	κορυφῆς τὸ γʹ, γίνονται β· καὶ ποιῶ ὡς τραπέζιον ἰσοσκελές, καὶ ἀφαιρῶ τὰ β ἀπὸ τῶν κ, λοιπὸν ιη·
25	τούτων τὸ 𐅵ʹ, θ· ἐπὶ ταῦτα πεσεῖται ἡ κάθετος· ταῦτα	23
2 . 24	ἐφ’ ἑαυτά, γίνονται πα· καὶ τὰ ιε τοῦ κλίματος ἐφ’ ἑαυτά, γίνονται σκε· ἀπὸ τούτων ἀφαιρῶ τὰ πα, λοιπὸν ρμδ· τούτων πλευρὰ τετραγωνικὴ ιβ. ἔσται ἡ κάθετος τοῦ κώνου, τουτέστι τὸ ὕψος, ιβ.
5	Εὑρεῖν αὐτοῦ 〈τὸ στερεόν. σύνθεσ〉 τὰ ϛ τῆς κο‐ ρυφῆς καὶ τὰ ξ τῆς βάσεως, γίνονται ξϛ· τούτων τὸ ἥμισυ, λγ· ἀναγεγράφθω κύκλος οὗ ἡ περίμετρος λγ· γίνεται αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν πϛ 𐅵ʹ ηʹ. καὶ ὁμοίως ἀφαιρῶ τὰ ϛ τῆς κορυφῆς ἀπὸ τῶν ξ τῆς βάσεως, λοιπὸν νδ·
10	τούτων τὸ ἥμισυ, κζ. ἀναγεγράφθω ἕτερος κύκλος, οὗ ἡ περίμετρος κζ· γίνεται αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν νη· τούτων τὸ γʹ, ιθ γʹ· ταῦτα προστιθῶ τοῖς πϛ 𐅵ʹ ηʹ· γίνονται ὁμοῦ ρε 𐅵ʹ γʹ ηʹ· ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ ιβ, γίνονται ͵ασοα 𐅵ʹ· τοσοῦτον ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου.
15n	Μέθοδος καθολικὴ ἐπὶ τῶν πολυγώνων. οὕτως·
16	Ἔστω πεντάγωνον οὗ ἡ διάμετρος κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν· οὕτως· πάντοτε τὴν διάμετρον καθολικῶς τριπλασιάζεις· τρισσάκις, γίνονται ξ· καὶ μερίζω παρὰ τὸν ε, γίνονται ιβ· τοσοῦτόν ἐστιν ἡ πλευρὰ τοῦ
20	πενταγώνου. Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν τοῦ αὐτοῦ πενταγώνου ἀπὸ τῆς πλευρᾶς, ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως· πάντοτε τὸ πεντάκις, γίνονται ξ· ἄρτι μερίζω καθολι‐ κῶς· ὧν γʹ, γίνονται κ. τοσοῦτον ἔσται ἡ διάμετρος
25	τοῦ πενταγώνου.	24
2 . 25	Ἔστω ἑξάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν. ποίει οὕτως· πάντοτε, καθὼς προεῖπον, τὴν διάμετρον καθολικῶς τριπλασίαζε, γί‐ νονται ξ· καὶ μέριζε· ὧν ϛʹ, ἐπειδὴ ἑξάγωνόν ἐστι,
5	γίνεται ἡ πλευρὰ ι. τοσοῦτον ἔσται ἡ πλευρὰ τούτου. Ἐὰν θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς τοῦ αὐτοῦ, ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως· πάντοτε τὴν πλευρὰν ποίει ἑξάκις, ἐπειδὴ ἑξάγωνόν ἐστι, γίνονται ξ· ἄρτι μέριζε καθολικῶς· ὧν γʹ, γίνονται κ. τοσοῦτον
10	ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ ἑξαγώνου. Ἔστω ἑπτάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν. ποίει οὕτως· πάντοτε τὴν διά‐ μετρον καθολικῶς τριπλασίαζε, γίνονται ξ· ἄρτι μέριζε παρὰ τὴν †πολύγωνον, τουτέστι παρὰ τὸν ζ, γίνονται
15	η 𐅵ʹ ιδʹ. τοσοῦτον ἔσται ἡ πλευρὰ τοῦ ἑπταγώνου. Ἐὰν θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς τοῦ αὐτοῦ, ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως· πάντοτε τὴν πλευρὰν ἑπτάκις, ἐπειδὴ ἑπτάγωνός ἐστι, γίνονται ξ· ἄρτι μέριζε καθολικῶς· ὧν γʹ, γίνονται κ. τοσοῦτον
20	ἔσται ἡ διάμετρος. Ἔστω ὀκτάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν. ποιῶ οὕτως· πάντοτε τὴν διά‐ μετρον πεντάκις, γίνονται ρ· ἄρτι μερίζω· ὧν ιβʹ, γί‐ νονται η 𐅵ʹ.
25	Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς,	25
2 . 26	ποίει τὸ ἀνάπαλιν· πάντοτε τὴν πλευρὰν δωδεκάκις, γίνονται ρ· καὶ μερίζω καθολικῶς, ὡς προεῖπον· ὧν εʹ, γίνονται κ. τοσοῦτον ἡ διάμετρος τοῦ ὀκταγώνου. Ἔστω ἐννάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ· εὑρεῖν
5	αὐτοῦ τὴν πλευράν. ποίει οὕτως· πάντοτε τὴν διά‐ μετρον τριπλασίαζε, γίνονται ξ· ἄρτι μερίζω· ὧν θʹ, γίνονται ϛ 𐅷. τοσοῦτον ἡ πλευρά. Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ, ποίει τὸ ἀνάπαλιν· τὴν πλευρὰν ἐννάκις, γίνονται ξ·
10	ἄρτι μερίζω καθολικῶς· ὧν τρίτον, κ. τοσοῦτον ἔστω ἡ διάμετρος. Ἔστω δεκάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν. πάντοτε τὴν διάμετρον τριπλα‐ σίαζε, γίνονται ξ· ἄρτι μερίζω· ὧν δέκατον, γίνονται ϛ.
15	τοσοῦτον ἔσται ἡ πλευρά. Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς τοῦ αὐτοῦ, ποίει οὕτως τὸ ἀνάπαλιν· τὴν πλευρὰν δεκάκις, γίνονται ξ· ἄρτι μερίζω καθολικῶς τρισσάκις, γίνονται κ. τοσοῦτον ἡ διάμετρος.
20	Ἔστω ἑνδεκάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν. ποιῶ οὕτως· καθολικῶς τὴν διάμετρον τριπλασιάζω, γίνονται ξϛ· ἄρτι μερίζω· ὧν ἑνδέκατον, ϛ. τοσοῦτον ἡ πλευρά. Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς,
25	ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως· τὴν πλευρὰν ἑνδεκάκις, γί‐ νονται ξϛ· καὶ μέριζε καθολικῶς· ὧν τρίτον, κβ. ἔστω
25	ἡ διάμετρος τοσοῦτον.	26
2 . 27	Ἔστω δωδεκάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν. ποιῶ οὕτως· πάντοτε τὴν διάμετρον τρισσάκις, γίνονται ξ· ἄρτι καθολικῶς με‐ ρίζω· ὧν δωδέκατον, ε. τοσοῦτον ἡ πλευρά.
5	Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευ‐ ρᾶς, ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως· τὴν πλευρὰν δωδεκάκις, γίνονται ξ· καὶ μερίζω καθολικῶς· ὧν τρίτον, κ. ἔστω τοσοῦτον ἡ διάμετρος. Ὁμοίως καὶ ἐπὶ οἱουδήποτε πολυγώνου, ἐὰν δοθῇ
10	σοι ἡ διάμετρος, πάντοτε καθολικῶς τριπλασίαζε τὴν διάμετρον, καὶ τὰ συναχθέντα μέριζε παρὰ τὴν ὀνο‐ μασίαν τῶν πολυγώνων, καὶ ἕξεις τὴν πλευρὰν τοσοῦ‐ τον ἀποφήνασθαι. Ἐὰν δὲ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς εὑρεῖν τὴν διάμετρον,
15	ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως· πάντοτε τὴν πλευρὰν πολυ‐ πλασίαζε ἐπὶ τὴν ὀνομασίαν τῶν πολυγώνων· οἷον ἐὰν ᾖ 〈τρισκαιδεκάγωνον, ποίει〉 τρισκαιδεκάκις τὴν πλευ‐ ράν, καὶ τὰ συναχθέντα μέριζε καθολικῶς, ὧν γʹ, καὶ ἕξεις τὴν διάμετρον.
20	Ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων τῇ αὐτῇ μεθόδῳ χρῶ.
21n	Περὶ κυλίνδρου.
22	Ἀπέδειξε καὶ ἐνταῦθα Ἀρχιμήδης ὅτι ὅνπερ ἔχει λόγον ὁ κύκλος πρὸς τὸ τετράγωνον τὸ περὶ αὐτὸν περιγραφόμενον, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει καὶ ὁ κύλινδρος
25	πρὸς τὸν κύβον τὸν περιέχοντα αὐτὸν καὶ ἴσας πλευ‐	27
2 . 28	ρὰς ἔχοντα τῇ διαμέτρῳ τοῦ κυλίνδρου καὶ τὸ ὕψος ἴσον, καὶ ὡς ἐπὶ τῶν κύκλων εἰπεῖν ὅτι τὰ ἕνδεκα τετράγωνα, τὰ ἐκτὸς περιγραφόμενα τοῦ κύκλου, ἴσα ἐστὶ δεκατέτρασι κύκλοις τοῖς τὴν αὐτὴν διάμετρον
5	ἔχουσιν, οὕτως καὶ οἱ ἕνδεκα κύβοι ἴσοι εἰσὶ δεκατέ‐ τρασι κυλίνδροις, ὧν αἱ πλευραὶ ἴσαι εἰσὶ τῇ διαμέτρῳ καὶ τῷ ὕψει, καὶ ὥσπερ ἐπὶ τῶν κύκλων λαμβάνομεν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου καὶ ποιοῦμεν ἑνδεκάκις καὶ μερίζομεν παρὰ ιδ, καὶ ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κυ‐
10	λίνδρου. Ἔστω κύλινδρος οὗ ἡ διάμετρος ζ καὶ τὸ ὕψος ζ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. τὰ ζ κύβισον, γίνονται τ γ· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ ια, γίνονται ͵γψογ· ταῦτα μέριζε παρὰ τὰ ιδ, γίνονται σξθ 𐅵ʹ.
15	Τινὲς δὲ πρῶτον τὸ ἐμβαδὸν λαμβάνουσιν ὡς ἐπὶ τοῦ κύκλου, καὶ τότε ποιοῦσιν ἐπὶ τὸ ὕψος. Περὶ δὲ τῆς σφαίρας καὶ κυλίνδρου ὁ αὐτὸς Ἀρχι‐ μήδης ἀπέδειξεν ὅτι ἡ σφαῖρα δίμοιρον μέρος ἐστὶ τοῦ περιλαμβάνοντος αὐτὴν κυλίνδρου, καὶ πᾶς κῶνος
20	τρίτον μέρος ἐστὶ κυλίνδρου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον. Ἐὰν οὖν ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου θέλῃς εὑρεῖν τὸ στε‐ ρεὸν τῆς σφαίρας, ὅσον ἂν εὑρέθῃ ὁ κύλινδρος, λαμ‐ βάνεις αὐτοῦ τὸ 𐅷. καὶ ἔσται τὸ στερεόν· καὶ ὡς
25	ἐπὶ τῶν ζ, ὅτι ἐστὶ σξθ 𐅵ʹ, τὸ γʹ, γίνονται πθ 𐅵ʹ γʹ.
25	Κάλλιον ἀπὸ τοῦ κύβου, ὡς ἐπὶ τοῦ κυλίνδρου,	28
2 . 29	τὰ πολυπλασιασθέντα μερίζειν παρὰ τὸ ιδ [ὧν γʹ]· ἔστι δὲ ἡ σφαῖρα δίμοιρον μέρος τοῦ κυλίνδρου· τὰ οὖν ιδ τίνος ἐστὶ δίμοιρον; τῶν κα· μέρισον τὰ γινό‐ μενα παρὰ τὰ κα· οὕτως ἐδόθη σφαῖρα [𐅷 τῶν κα]
5	... ταῦτα κύβισον, γίνονται τμγ· ταῦτα πολυπλασία‐ σον ἑνδεκάκις, γίνονται ͵γψογ· ταῦτα μέριζε παρὰ τὰ κα, γίνονται ροθ 𐅷. οὕτω μέτρει πᾶσαν σφαῖραν. Καὶ ἐπὶ τοῦ κώνου, ἐπειδὴ τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ κυλίνδρου, μέριζε παρὰ τὰ ιδ· τὰ ιδ τίνος ἐστὶ γʹ; τῶν
10	μβ. μέτρει ἐπὶ τοῦ κώνου οὕτως· τὰ ζ κύβισον, γίνον‐ ται τμγ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ια, γίνονται ͵γψογ· μέριζε παρὰ τὰ μβ, γίνονται πθ 𐅵ʹ γʹ. Τινὲς δὲ μετρήσαντες τὸν κύλινδρον, λαμβάνουσι τὸ γʹ, καὶ ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου.
15	Σφαίρας ἡ διάμετρος ιγ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ιγ κύβισον, γίνονται ͵βρϙζ· ταῦτα ἑνδε‐ κάκις, β˙. ͵δρξζ γίνονται· τούτων τὸ καʹ, ͵αρν 𐅵ʹ δʹ καʹ πδʹ. τοσοῦτον τὸ στερεόν. Εὑρεῖν δὲ αὐτῆς καὶ τὴν ἐπιφάνειαν. ποίει οὕτως·
20	τὰ ιγ ἐφ’ ἑαυτά, γίνονται ρξθ· ταῦτα καθολικῶς τετρά‐ κις, γίνονται χοϛ· ταῦτα ἑνδεκάκις, γίνονται ͵ζυλϛ· τούτων τὸ ιδʹ, φλα ζʹ. τοσοῦτον ἔσται ἡ ἐπιφάνεια. Ἡμισφαίριον μετρῆσαι οὗ ἡ διάμετρος ιγ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ ιγ κύβισον, γίνον‐
25	ται ͵βρϙζ· ταῦτα ἑνδεκάκις, γίνονται β˙. ͵δρξζ· τοῦ αὐτοῦ μβʹ, γίνονται φοε δʹ ηʹ. τοσοῦτον τὸ στερεόν.
25	Εὑρεῖν αὐτοῦ καὶ τὴν ἐπιφάνειαν· τὰ ιγ ἐφ’ ἑαυτά ...	29
2 . 30	〈Μεῖζον τμῆμα ἡμισφαιρίου οὗ ἡ βάσις ιβ, ἡ δὲ κάθετος θ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. λαμβάνω τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως· ἐφ’ ἑαυτά〉, γίνονται λϛ· ταῦτα τρισσάκις, γίνονται ρη· καὶ τὴν κάθετον ἐφ’ ἑαυτήν,
5	γίνονται πα· σύνθες ὁμοῦ, γίνονται ρπθ· ταῦτα ἐπὶ κάθετον, ἐπὶ τὰ θ, γίνονται ͵αψα· ταῦτα ἑνδεκάκις, γίνονται α˙. ͵ηψια· τούτων τὸ καʹ, γίνονται ωϙα. το‐ σοῦτον ἔσται τὸ στερεόν. Εὑρεῖν αὐτοῦ καὶ τὴν ἐπιφάνειαν· τῆς βάσεως τὸ
10	ἥμισυ ἐφ’ ἑαυτό, γίνονται λϛ· καὶ τὴν κάθετον, ἐφ’ ἑαυτά, γίνονται πα· ὁμοῦ γίνονται ριζ· ταῦτα τετρά‐ κις, γίνονται υξη· ταῦτα ἑνδεκάκις, γίνονται ͵ερμη· τούτων τὸ ιδʹ, τξζ 𐅵ʹ. τοσοῦτον ἡ ἐπιφάνεια τοῦ μεί‐ ζονος τμήματος τοῦ ἡμισφαιρίου.
15	Σφαίρας ἔσται ἡ διάμετρος δ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεὸν 〈ἀπὸ〉 τοῦ κυλίνδρου. ποιῶ οὕτως· ἐν τῇ βάσει μέτρει κύκλον ἀπὸ τῆς διαμέτρου. τὸ ἐμβαδὸν εὑρήσομεν οὕτως· ποιοῦμεν τὴν διάμετρον, τὰ δ, ἐφ’ ἑαυτά, γίνονται ιϛ· ταῦτα ἑνδεκάκις, γίνονται ροϛ·
20	τούτων τὸ ιδʹ, γίνονται ιβ 𐅵ʹ ιδʹ· τοσοῦτον τὸ ἐμβα‐ δόν. ταῦτα ποίει ἐπὶ τὴν διάμετρον, ἐπὶ τὰ δ· τὰ γὰρ δ ἐστὶ τὸ ὕψος τοῦ περιλαμβάνοντος κυλίνδρου τὴν σφαῖραν, δύο ὄντων διαμέτρων τῆς σφαίρας 〈καὶ〉 τοῦ κυλίνδρου· ἐποίησα οὖν τὰ δ ἐπὶ τὸ ἐμβαδόν, ἐπὶ τὰ
25	ιβ 𐅵ʹ ιδʹ, γίνονται ν καὶ δύο ἕβδομα. τοσοῦτον ὁ	30
2 . 31	κύλινδρος, ὅσον ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας. δέδειχε δὲ Ἀρχιμήδης ὅτι κύλινδρος ὁ περιλαμβάνων τὴν σφαῖραν ἡμιόλιός ἐστι τῆς σφαίρας· εἰ οὖν 𐅵ʹ πρόσθεμα, γʹ ἀφαίρεμα. ἀφαιρῶ οὖν τοῦ κυλίνδρου, ὅ ἐστιν ἐπι‐
5	φάνεια τῆς σφαίρας, τῶν ν καὶ β ἑβδόμων τὸ γʹ, κατα‐ λείπεται λγ γʹ ζʹ καʹ. τοσοῦτον τὸ στερεὸν τῆς σφαί‐ ρας. ἐὰν δὲ τὸ 𐅷 λάβωμεν τῶν ν καὶ δύο ἑβδόμων, γίνονται ὁμοίως λγ γʹ ζʹ καʹ· ἔσται ἄρα ἡ μὲν ἐπιφά‐ νεια τῆς σφαίρας ν καὶ δύο ἑβδόμων, τὸ δὲ στερεὸν
10	λγ 〈γʹ ζʹ καʹ〉. Καὶ ἔστω σφαίρας ἡ περίμετρος ιη, εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ὡς ἐπὶ τῶν κύκλων, τὰ ιη ἐπὶ τὰ ζ, γίνονται ρκϛ· καὶ τούτων τὸ κβʹ, ε καὶ ἑνδέκατα η· ταῦτα ἑνδεκάκις, γίνονται ξγ ταῦτα κύ‐
15	βισον, γίνονται κε˙ καὶ μζ· ταῦτα μέριζε παρὰ τὰ ͵βφμα, γίνονται ϙη δʹ ιαʹ λγʹ μδʹ ρκαʹ τξγʹ. Ἔτεμον σφαῖραν εἰς μέρη τέσσαρα καὶ εὑρέθη τὸ ἓν τμῆμα ἐξ ἀμφοτέρων τῶν μερῶν ἀνὰ ζ· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· κυβίζω τὰ ζ, γίνονται τμγ·
20	ταῦτα δίς, γίνονται χπϛ· ταῦτα ἑνδεκάκις, γίνονται ͵ζφμϛ· τούτων τὸ καʹ, γίνονται τνθ γʹ. τοσοῦτον τὸ
20	στερεὸν τοῦ τμήματος.	31

2

16

2

17

2

18

2

19

2

20

2

21

2

22

2

23

2

24

2

25

2

26

2

27

2

28

2

29

2

30

2

31