DIOPHANTUS :: Arithmeticorum libri sex

TLG 2039 001 :: DIOPHANTUS :: Arithmeticorum libri sex DIOPHANTUS Math., vel Diophanes (Alexandrinus: A.D. 3?) Scholia: Cf. SCHOLIA IN DIOPHANTUM (5021) Arithmeticorum libri sex Source: Tannery, P. (ed.), Diophanti Alexandrini opera omnia, vol. 1. Leipzig: Teubner, 1893 (repr. Stuttgart, 1974): 2–448. Lib. 1: pp. 2–80 Lib. 2: pp. 82–136 Lib. 3: pp. 138–188 Lib. 4: pp. 190–308 Lib. 5: pp. 310–390 Lib. 6: pp. 392–448 Citation: Page — (line)

2 (1t)	ΔΙΟΦΑΝΤΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ
2t	ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ Α.
3	Τὴν εὕρεσιν τῶν ἐν τοῖς ἀριθμοῖς προβλημάτων, τιμιώτατέ μοι Διονύσιε, γινώσκων σε σπουδαίως ἔχοντα
5	μαθεῖν, [ὀργανῶσαι τὴν μέθοδον] ἐπειράθην, ἀρξά‐ μενος ἀφ’ ὧν συνέστηκε τὰ πράγματα θεμελίων, ὑπο‐ στῆσαι τὴν ἐν τοῖς ἀριθμοῖς φύσιν τε καὶ δύναμιν. Ἴσως μὲν οὖν δοκεῖ τὸ πρᾶγμα δυσχερέστερον, ἐπειδὴ μήπω γνώριμόν ἐστιν, δυσέλπιστοι γὰρ εἰς
10	κατόρθωσίν εἰσιν αἱ τῶν ἀρχομένων ψυχαί, ὅμως δ’ εὐκατάληπτόν σοι γενήσεται, διά τε τὴν σὴν προθυ‐ μίαν καὶ τὴν ἐμὴν ἀπόδειξιν· ταχεῖα γὰρ εἰς μάθησιν ἐπιθυμία προσλαβοῦσα διδαχήν. Ἀλλὰ καὶ πρὸς τοῖσδε γινώσκοντί σοι πάντας τοὺς
15	ἀριθμοὺς συγκειμένους ἐκ μονάδων πλήθους τινός, φανερὸν καθέστηκεν εἰς ἄπειρον ἔχειν τὴν ὕπαρξιν τυγχανόντων δὴ οὖν ἐν τούτοις ὧν μὲν τετραγώνων, οἵ εἰσιν ἐξ ἀριθμοῦ τινος ἐφ’ ἑαυτὸν πολυπλασιασθέντος· οὗτος δὲ ὁ ἀριθμὸς καλεῖ‐
20	ται πλευρὰ τοῦ τετραγώνου· ὧν δὲ κύβων, οἵ εἰσιν ἐκ τετραγώνων ἐπὶ τὰς αὐ‐
20	τῶν πλευρὰς πολυπλασιασθέντων,
4	ὧν δὲ δυναμοδυνάμεων, οἵ εἰσιν ἐκ τετραγώνων ἐφ’ ἑαυτοὺς πολυπλασιασθέντων, ὧν δὲ δυναμοκύβων, οἵ εἰσιν ἐκ τετραγώνων ἐπὶ τοὺς ἀπὸ τῆς αὐτῆς αὐτοῖς πλευρᾶς κύβους πολυπλα‐
5	σιασθέντων, ὧν δὲ κυβοκύβων, οἵ εἰσιν ἐκ κύβων ἐφ’ ἑαυτοὺς πολυπλασιασθέντων, ἔκ τε τῆς τούτων ἤτοι συνθέσεως ἢ ὑπεροχῆς ἢ πολυπλασιασμοῦ ἢ λόγου τοῦ πρὸς ἀλλή‐ λους ἢ καὶ ἑκάστων πρὸς τὰς ἰδίας πλευρὰς συμβαίνει
10	πλέκεσθαι πλεῖστα προβλήματα ἀριθμητικά· λύεται δὲ βαδίζοντός σου τὴν ὑποδειχθησομένην ὁδόν. Ἐδοκιμάσθη οὖν ἕκαστος τούτων τῶν ἀριθμῶν συντομωτέραν ἐπωνυμίαν κτησάμενος στοιχεῖον τῆς ἀριθμητικῆς θεωρίας εἶναι· καλεῖται οὖν ὁ μὲν τετρά‐
15	γωνος δύναμις καὶ ἔστιν αὐτῆς σημεῖον τὸ Δ ἐπίση‐ μον ἔχον Υ, ΔΥ δύναμις· ὁ δὲ κύβος καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον Κ ἐπίσημον ἔχον Υ, ΚΥ κύβος· ὁ δὲ ἐκ τετραγώνου ἐφ’ ἑαυτὸν πολυπλασιασθέντος
20	δυναμοδύναμις καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον δέλτα δύο ἐπίσημον ἔχοντα Υ, ΔΥ Δ δυναμοδύναμις· ὁ δὲ ἐκ τετραγώνου ἐπὶ τὸν ἀπὸ τῆς αὐτῆς αὐτῷ πλευρᾶς κύβου πολυπλασιασθέντος δυναμόκυβος καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον τὰ ΔΚ ἐπίσημον ἔχοντα Υ, ΔΚΥ
25	δυναμόκυβος·
25	ὁ δὲ ἐκ κύβου ἑαυτὸν πολυπλασιάσαντος κυβό‐
6	κυβος καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον δύο κάππα ἐπίσημον ἔχοντα Υ, ΚΥΚ κυβόκυβος. ὁ δὲ μηδὲν τούτων τῶν ἰδιωμάτων κτησάμενος, ἔχων δὲ ἐν ἑαυτῷ πλῆθος μονάδων ἀόριστον, ἀριθμὸς
5	καλεῖται καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον τὸ 𐅶. ἔστι δὲ καὶ ἕτερον σημεῖον τὸ ἀμετάθετον τῶν ὡρισμένων ἡ μονὰς καὶ ἔστιν αὐτῆς σημεῖον τὸ Μ ἐπίσημον ἔχον τὸ Ο, Μο Ὥσπερ δὲ τῶν ἀριθμῶν τὰ ὁμώνυμα μόρια παρο‐
10	μοίως καλεῖται τοῖς ἀριθμοῖς, τοῦ μὲν τρία τὸ τρίτον, τοῦ δὲ τέσσαρα τὸ τέταρτον, οὕτως καὶ τῶν νῦν ἐπ‐ ονομασθέντων ἀριθμῶν τὰ ὁμώνυμα μόρια κληθήσεται παρομοίως τοῖς ἀριθμοῖς· τοῦ μὲν ἀριθμοῦ, τὸ ἀριθμοστόν,
15	τῆς δὲ δυνάμεως, τὸ δυναμοστόν, τοῦ δὲ κύβου, τὸ κυβοστόν, τῆς δὲ δυναμοδυνάμεως, τὸ δυναμοδυναμοστόν, τοῦ δὲ δυναμοκύβου, τὸ δυναμοκυβοστόν, τοῦ δὲ κυβοκύβου, τὸ κυβοκυβοστόν·
20	ἕξει δὲ ἕκαστον αὐτῶν ἐπὶ τὸ τοῦ ὁμωνύμου ἀριθμοῦ σημεῖον γραμμὴν × διαστέλλουσαν τὸ εἶδος. Ἐκθέμενος οὖν σοι τὴν ἑκάστου τῶν ἀριθμῶν ἐπωνυμίαν, ἐπὶ τοὺς πολυπλασιασμοὺς αὐτῶν μετα‐ βήσομαι· ἔσονται δέ σοι καταφανεῖς διὰ τὸ προδεδη‐
25	λῶσθαι σχεδὸν διὰ τῆς ὀνομασίας.
8	Ἀριθμὸς μὲν ἐπὶ ἀριθμὸν πολυπλασιασθεὶς ποιεῖ δύναμιν, ἐπὶ δὲ δύναμιν, κύβον, ἐπὶ δὲ κύβον, δυναμοδύναμιν,
5	ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, δυναμόκυβον, ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, κυβόκυβον. Δύναμις δὲ ἐπὶ μὲν δύναμιν, δυναμοδύναμιν, ἐπὶ δὲ κύβον, δυναμόκυβον, ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, κυβόκυβον.
10	Κύβος δὲ ἐπὶ κύβον, κυβόκυβον. Πᾶς δ’ ἀριθμὸς ἐπὶ τὸ ὁμώνυμον αὐτοῦ μόριον πολυπλασιασθεὶς μονάδα ποιεῖ. Τῆς οὖν μονάδος ἀμεταθέτου οὔσης καὶ ἑστώσης ἀεί, τὸ πολυπλασιαζόμενον εἶδος ἐπ’ αὐτὴν αὐτὸ τὸ
15	εἶδος ἔσται. Τὰ δ’ ὁμώνυμα μόρια ἐφ’ ἑαυτὰ πολυπλασιαζόμενα ποιήσει ὁμώνυμα μόρια τοῖς ἀριθμοῖς· οἷον τὸ μὲν ἀριθμοστὸν ἐπὶ τὸ ἀριθμοστόν, δυναμοστὸν ποιεῖ,
20	ἐπὶ δὲ δυναμοστόν, κυβοστόν, [ἐπὶ δὲ κυβοστόν, δυναμοδυναμοστόν, ἐπὶ δὲ δυναμοδυναμοστόν, δυναμοκυβοστόν, ἐπὶ δὲ τὸ δυναμοκυβοστόν, κυβοκυβοστόν,]
20	καὶ τοῦτο ὁμωνύμως συμβήσεται.
10	Ἀριθμοστὸν δὲ ἐπὶ μὲν δύναμιν, ἀριθμόν, ἐπὶ δὲ κύβον, δύναμιν, ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, κύβον,
5	ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, δυναμοδύναμιν, ἐπὶ δὲ κυβόκυβον, δυναμόκυβον. Δυναμοστὸν δὲ ἐπὶ μὲν ἀριθμόν, ἀριθμοστόν, ἐπὶ δὲ κύβον, ἀριθμόν,
10	ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, δύναμιν, ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, κύβον, ἐπὶ δὲ κυβόκυβον, δυναμοδύναμιν. Κυβοστὸν δὲ ἐπὶ μὲν ἀριθμόν, δυναμοστόν,
15	ἐπὶ δὲ δύναμιν, ἀριθμοστόν, ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, ἀριθμόν, ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, δύναμιν,
15	ἐπὶ δὲ κυβόκυβον. κύβον.
12	Δυναμοδυναμοστὸν δὲ ἐπὶ μὲν ἀριθμόν, κυβοστόν, ἐπὶ δὲ δύναμιν, δυναμοστόν, ἐπὶ δὲ κύβον, ἀριθμοστόν,
5	ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, ἀριθμόν, ἐπὶ δὲ κυβόκυβον, δύναμιν. Δυναμοκυβοστὸν δὲ ἐπὶ μὲν ἀριθμόν, δυναμοδυναμοστόν, ἐπὶ δὲ δύναμιν, κυβοστόν,
10	ἐπὶ δὲ κύβον, δυναμοστόν, ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, ἀριθμοστόν, ἐπὶ δὲ κυβόκυβον, ἀριθμόν. Τὸ δὲ κυβοκυβοστὸν ἐπὶ μὲν ἀριθμόν, δυναμοκυβοστόν,
15	ἐπὶ δὲ δύναμιν, δυναμοδυναμοστόν, ἐπὶ δὲ κύβον, κυβοστόν, ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, δυναμοστόν, ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, ἀριθμοστόν. Λεῖψις ἐπὶ λεῖψιν πολλαπλασιασθεῖσα ποιεῖ ὕπαρξιν,
20	λεῖψις δὲ ἐπὶ ὕπαρξιν ποιεῖ λεῖψιν, καὶ τῆς λείψεως
20	σημεῖον Ψ ἐλλιπὲς κάτω νεῦον, ⩚.
14	Καὶ τῶν πολλαπλασιασμῶν σοι σαφηνισθέντων, φανεροί εἰσιν οἱ μερισμοὶ τῶν προκειμένων εἰδῶν. καλῶς οὖν ἔχει ἐναρχόμενον τῆς πραγματείας συνθέσει καὶ ἀφαιρέσει καὶ πολλαπλασιασμοῖς τοῖς περὶ τὰ εἴδη
5	γεγυμνάσθαι, καὶ πῶς εἴδη ὑπάρχοντα καὶ λείποντα μὴ ὁμοπληθῆ προσθῇς ἑτέροις εἴδεσιν, ἤτοι καὶ αὐτοῖς ὑπάρχουσιν, ἢ καὶ ὁμοίως ὑπάρχουσι καὶ λείπουσι, καὶ πῶς ἀπὸ ὑπαρχόντων εἰδῶν καὶ ἑτέρων λειπόντων ὑφέλῃς ἕτερα ἤτοι ὑπάρχοντα, ἢ καὶ ὁμοίως ὑπάρχοντα
10	καὶ λείποντα. Μετὰ δὲ ταῦτα ἐὰν ἀπὸ προβλήματός τινος γένηται εἴδη τινὰ ἴσα εἴδεσι τοῖς αὐτοῖς, μὴ ὁμοπληθῆ δέ, ἀπὸ ἑκατέρων τῶν μερῶν δεήσει ἀφαιρεῖν τὰ ὅμοια ἀπὸ τῶν ὁμοίων, ἕως ἂν ἓν εἶδος ἑνὶ εἴδει ἴσον γένηται.
15	ἐὰν δέ πως ἐν ὁποτέρῳ ἐνυπάρχῃ ἢ ἐν ἀμφοτέροις ἐν ἐλλείψεσί τινα εἴδη, δεήσει προσθεῖναι τὰ λείποντα εἴδη ἐν ἀμφοτέροις τοῖς μέρεσιν, ἕως ἂν ἑκατέρων τῶν μερῶν τὰ εἴδη ἐνυπάρχοντα γένηται, καὶ πάλιν ἀφελεῖν τὰ ὅμοια ἀπὸ τῶν ὁμοίων, ἕως ἂν ἑκατέρῳ τῶν μερῶν
20	ἓν εἶδος καταλειφθῇ. Φιλοτεχνείσθω δὲ τοῦτο ἐν ταῖς ὑποστάσεσι τῶν προτάσεων, ἐὰν ἐνδέχηται, ἕως ἂν ἓν εἶδος ἑνὶ εἴδει ἴσον καταλειφθῇ· ὕστερον δέ σοι δείξομεν καὶ πῶς δύο εἰδῶν ἴσων ἑνὶ καταλειφθέντων τὸ τοιοῦτον λύεται.
25	Νῦν δ’ ἐπὶ τὰς προτάσεις χωρήσωμεν ὁδόν, πλεί‐ στην ἔχοντες τὴν ἐπ’ αὐτοῖς τοῖς εἴδεσι συνηθροισμένην ὕλην. πλείστων δ’ ὄντων τῷ ἀριθμῷ καὶ μεγίστων
25	τῷ ὄγκῳ, καὶ διὰ τοῦτο βραδέως βεβαιουμένων ὑπὸ
16	τῶν παραλαμβανόντων αὐτὰ καὶ ὄντων ἐν αὐτοῖς δυσμνημονευτῶν, ἐδοκίμασα τὰ ἐν αὐτοῖς ἐπιδεχόμενα διαιρεῖν, καὶ μάλιστα τὰ ἐν ἀρχῇ ἔχοντα στοιχειώδως ἀπὸ ἁπλουστέρων ἐπὶ σκολιώτερα διελεῖν ὡς προσῆκεν.
5	οὕτως γὰρ εὐόδευτα γενήσεται τοῖς ἀρχομένοις, καὶ ἡ ἀγωγὴ αὐτῶν μνημονευθήσεται, τῆς πραγματείας αὐ‐ τῶν ἐν τρισκαίδεκα βιβλίοις γεγενημένης. α. Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς
10	ἐν ὑπεροχῇ τῇ δοθείσῃ. Ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς ἀριθμὸς ὁ ρ, ἡ δὲ ὑπεροχὴ Μο μ. εὑρεῖν τοὺς ἀριθμούς. Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α· ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 α Μο μ· συναμφότεροι ἄρα γίνονται 𐅶 α Μο μ· δέδονται
15	δὲ Μο ρ. Μ ἄρα ρ ἴσαι εἰσὶν 𐅶 β Μο μ. καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. ἀφαιρῶ ἀπὸ τῶν ρ, Μο μ, [καὶ 〈ἀπὸ〉 τῶν β ἀριθμῶν καὶ τῶν μ μονάδων ὁμοίως μονάδας μ·] λοιποὶ 𐅶 β ἴσοι Μο ξ. ἕκαστος ἄρα γίνε‐
20	ται 𐅶, Μο λ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μο λ, ὁ δὲ μείζων Μο ο, καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά. β. Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν δεῖ διελεῖν εἰς δύο ἀριθ‐
25	μοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ξ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἐν
25	λόγω γπλ.
18	Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α. ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 γ, καὶ ἔστιν ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος τριπλασίων. δεῖ λοιπὸν τοὺς δύο ἴσους εἶναι Μο ξ· ἀλλ’ οἱ δύο συν‐ τεθέντες 𐅶 εἰσι δ.
5	𐅶 ἄρα δ ἴσοι Μο ξ. ὁ 𐅶 ἄρα Μο ιε. ὁ ἄρα ἐλάσσων ἔσται Μο ιε, ὁ δὲ μείζων Μο με. γ. Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ καὶ ὑπεροχῇ τῇ δοθείσῃ.
10	Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν π διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἵνα ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος γπλ. ᾖ καὶ ἔτι Μο δ ὑπερέχῃ. Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α, ὁ μείζων ἄρα 𐅶 γ καὶ Μο δ· καὶ ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος ὢν γπλ. ἔτι καὶ Μο δ ὑπερ‐ έχει. λοιπὸν τοὺς δύο θέλω ἴσους εἶναι Μο π· ἀλλ’ οἱ
15	δύο συντεθέντες 𐅶 εἰσι δ καὶ Μο δ. 𐅶 ἄρα δ καὶ Μο δ ἴσοι Μο π. καὶ ἀφαιρῶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια· λοιπαὶ ἄρα Μο οϛ ἴσαι 𐅶 δ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ιθ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ἄρα ὁ ἐλάσσων ἀριθμὸς
20	Μο ιθ, ὁ δὲ μείζων Μο ξα, [προστιθεμένων τῶν δ Μο ὧν ἀφεῖλον ἀπὸ τῶν π Μο. ἀφεῖλον γὰρ ὥστε εὑρεῖν πόσων Μο ἔσται ἕκαστος ἀριθμός, ὕστερον δὲ τῷ μείζονι ἀριθμῷ προστίθημι τὰς δ Μο, μετὰ τὸ γνῶναι πόσων ἕκαστος].
25	δ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ δοθέντι ὅπως καὶ
25	ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν δοθῇ.
20	Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι επλ., τὴν δὲ ὑπεροχὴν αὐτῶν ποιεῖν Μο κ. Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α, ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 ε. λοιπὸν θέλω 𐅶 ε ὑπερέχειν 𐅶 α, Μο κ· ἀλλ’ ἡ ὑπεροχὴ
5	αὐτῶν ἐστιν 𐅶 δ· οὗτοι ἴσοι Μο κ. ἔσται ὁ ἐλάσσων ἀριθμὸς Μο ε, ὁ δὲ μείζων Μο κε. καὶ μένει ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος ὢν επλ., ἡ δὲ ὑπερ‐ οχὴ γίνεται Μο κ. ε.
10	Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθ‐ μοὺς ὅπως ἑκατέρου τῶν διῃρημένων τὰ δοθέντα μὴ τὰ αὐτὰ μέρη συντεθέντα ποιῇ τὸν δοθέντα ἀριθμόν. Δεῖ δὴ τὸν διδόμενον ἀριθμὸν δίδοσθαι ὥστε εἶναι ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τῶν γινομένων δύο ἀριθμῶν
15	ἐὰν τοῦ ἐξ ἀρχῆς ἐπιταχθέντος ληφθῇ τὰ δοθέντα μὴ τὰ αὐτὰ μέρη. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ρ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ὅπως τὸ τοῦ αου ἀριθμοῦ γον καὶ τὸ τοῦ βου εον ἐπὶ τὸ αὐτὸ συντεθέντα ποιῇ Μο λ.
20	Ἔταξα τὸ τοῦ βου εον, 𐅶 α· αὐτὸς ἄρα ἔσται 𐅶 ε· τὸ ἄρα τοῦ αου γον ἔσται Μο λ ⩚ 𐅶 α· αὐτὸς ἄρα ἔσται Μο ϙ ⩚ 𐅶 γ. λοιπὸν θέλω τοὺς δύο συντεθέντας ποιεῖν Μο ρ· ἀλλ’ οἱ δύο συντεθέντες ποιοῦσιν 𐅶 β καὶ Μο ϙ· ταῦτα ἴσα Μο ρ.
25	καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. λοιπαὶ ἄρα Μο ι ἴσαι 𐅶 β. [ὁ 𐅶 ἄρα ἔσται Μο ε.] ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸ τοῦ βου εον 𐅶 α, ἔσται
25	Μο ε, αὐτὸς ἄρα Μο κε· τὸ δὲ τοῦ αου γον, Μο λ ⩚ 𐅶 α,
22	ἔσται Μο κε, αὐτὸς ἄρα ἔσται Μο οε. καὶ μένει τὸ τοῦ αου γον καὶ τὸ τοῦ βου εον Μο λ, [ἅπερ κοινῇ συντεθέντα ποιοῦσι τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμόν]. ϛ.
5	Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ὅπως τὸ τοῦ πρώτου μέρος δοθὲν τοῦ τοῦ ἑτέρου μέ‐ ρους δοθέντος ὑπερέχῃ δοθέντι ἀριθμῷ. Δεῖ δὴ τὸν δοθέντα ἀριθμὸν ἐλάσσονα εἶναι τοῦ γινομένου ἀριθμοῦ ἐὰν τοῦ ἐξ ἀρχῆς ἐπιταχθέντος
10	ληφθῇ τὸ δοθὲν μέρος ἐν ᾧ ἐστιν ἡ ὑπεροχή. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ρ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ὅπως τὸ τοῦ αου δον τοῦ τοῦ βου ϛου ὑπερέχῃ Μο κ. Ἔταξα τὸ τοῦ βου ϛον, 𐅶 α. αὐτὸς ἄρα ἔσται 𐅶 ϛ· τὸ ἄρα τοῦ αου δον ἔσται 𐅶 α καὶ Μο κ, αὐτὸς ἄρα ἔσται
15	𐅶 δ καὶ Μο π. λοιπὸν θέλω τοὺς δύο συντεθέντας ποιεῖν Μο ρ· ἀλλ’ οἱ δύο συντεθέντες ποιοῦσιν 𐅶 ι καὶ Μο π· ταῦτα ἴσα Μο ρ. ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. λοιπὸν 𐅶 ι ἴσοι Μο κ, καὶ γί‐ νεται ὁ 𐅶 Μο β.
20	ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸ τοῦ βου ϛον, 𐅶 α· ἔσται Μο β, αὐτὸς ἄρα ἔσται Μο ιβ· τὸ δὲ τοῦ αου δον, 𐅶 α καὶ Μο κ· ἔσται Μο κβ, αὐτὸς ἄρα ἔσται Μο πη. καὶ μένει τὸ τοῦ αου δον τοῦ τοῦ βου ϛου ὑπέρεχον Μο κ, [οἵτινες κοινῇ συντεθέντες ποιοῦσι τὸν ἐπιταχθέντα
25	ἀριθμόν].
24	ζ. Ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ ἀφελεῖν δύο δοθέντας ἀριθμοὺς καὶ ποιεῖν τοὺς λοιποὺς πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχειν δεδομένον.
5	Ἐπιτετάχθω δὴ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ ἀφελεῖν τὸν ρ καὶ τὸν κ, καὶ ποιεῖν τὰ μείζονα τῶν ἐλασσό‐ νων γπλ. Τετάχθω ὁ ζητούμενος 𐅶 α· κᾂν μὲν ἀπὸ τούτου ἀφέλω τὸν ρ, λοιπὸς 𐅶 α ⩚ Μο ρ· ἐὰν δὲ τὸν κ, λοιπὸς
10	𐅶 α ⩚ Μο κ. καὶ δεήσει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων εἶναι γπλ.· τρὶς ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἐστὶ τοῖς μείζοσι, τρὶς δὲ τὰ ἐλάσσονα γίνεται 𐅶 γ ⩚ Μο τ. ταῦτα ἴσα 𐅶 α ⩚ Μο κ. κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις· γίνεται 𐅶 γ ἴσοι 𐅶 α καὶ Μο σπ. καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. λοιπὸν
15	𐅶 β ἴσοι Μο σπ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ρμ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν ζητούμενον ἀριθμὸν 𐅶 α, ἔσται ἄρα Μο ρμ. κᾂν μὲν ἀπὸ τούτου ἀφέλω τὸν ρ, λοιπαὶ Μο μ· ἐὰν δὲ τὸν κ, λοιπαὶ Μο ρκ. καὶ μένει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων τριπλάσια.
20	η. Δυσὶ δοθεῖσιν ἀριθμοῖς προσθεῖναι τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τοὺς γενομένους πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχειν δεδομένον. Δεῖ δὴ τὸν διδόμενον λόγον ἐλάσσονα εἶναι τοῦ
25	λόγου οὗ ἔχει ὁ μείζων τῶν δοθέντων πρὸς τὸν ἐλάσ‐ σονα. Ἐπιτετάχθω δὴ τῷ ρ καὶ τῷ κ προσθεῖναι τὸν
25	αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων γπλ..
26	Τετάχθω ὁ προστιθέμενος ἑκατέρῳ ἀριθμῷ 𐅶 α. κᾂν μὲν τῷ ρ προστεθῇ, ἔσται 𐅶 α Μο ρ ἐὰν δὲ τῷ κ, γίνεται 𐅶 α Μο κ. καὶ δεήσει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων εἶναι γπλ.· τρὶς ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἔσται τοῖς μείζοσι. τρὶς
5	δὲ τὰ ἐλάσσονα γίνεται 𐅶 γ Μο ξ· ταῦτα ἴσα 𐅶 α Μο ρ. ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. λοιποὶ 𐅶 β ἴσοι Μο μ, καὶ γί‐ νεται ὁ 𐅶 Μο κ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν προστιθέμενον ἑκα‐ τέρῳ ἀριθμῷ 𐅶 α, ἔσται Μο κ. κἂν μὲν τῷ ρ προσ‐
10	τεθῇ, γίνονται Μο ρκ· ἐὰν δὲ τῷ κ, γίνονται Μο μ. καὶ μένει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων τριπλάσια. θ. Ἀπὸ δοθέντων δύο ἀριθμῶν ἀφελεῖν τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τοὺς λοιποὺς πρὸς ἀλλήλους λόγον
15	ἔχειν δεδομένον. Δεῖ δὴ τὸν διδόμενον λόγον μείζονα εἶναι τοῦ λόγου οὗ ἔχει ὁ μείζων τῶν δοθέντων πρὸς τὸν ἐλάσ‐ σονα. Ἐπιτετάχθω δὴ ἀπὸ τοῦ κ καὶ τοῦ ρ ἀφελεῖν τὸν
20	αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων ϛπλ. Τετάχθω ὁ ἀφαιρούμενος ἀφ’ ἑκατέρου ἀριθμοῦ, 𐅶 α. κᾂν μὲν ἀπὸ τοῦ ρ ἀφαιρεθῇ, λοιπαὶ Μο ρ ⩚ 𐅶 α· ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ κ, λοιπαὶ Μο κ ⩚ 𐅶 α. καὶ δεήσει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων εἶναι ϛπλ.· ϛκις ἄρα τὰ ἐλάσσονα
25	ἴσα ἐστὶ τοῖς μείζοσιν, ϛκις δὲ τὰ ἐλάσσονα ποιεῖ Μο ρκ ⩚ 𐅶 ϛ· ταῦτα ἴσα Μο ρ ⩚ 𐅶 α. κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ
25	ὁμοίων ὅμοια. λοιποὶ 𐅶 ε ἴσοι Μο κ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο δ.
28	ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν ἀφαιρούμενον ἀφ’ ἑκατέρου ἀριθμοῦ 𐅶 α, ἔσται Μο δ. κᾂν μὲν ἀπὸ τοῦ ρ ἀφαιρεθῇ, λοιπαὶ Μο ϙϛ· ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ κ, λοιπαὶ Μο ιϛ. καὶ μένει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων ὄντα ἑξαπλάσια.
5	ι. Δυσὶ δοθεῖσιν ἀριθμοῖς, τῷ μὲν ἐλάσσονι αὐτῶν προσθεῖναι, ἀπὸ δὲ τοῦ μείζονος ἀφελεῖν τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τὸν γενόμενον πρὸς τὸν λοιπὸν λόγον ἔχειν δεδομένον.
10	Ἐπιτετάχθω τῷ μὲν κ προσθεῖναι, ἀπὸ δὲ τοῦ ρ ἀφελεῖν τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων δπλ. Τετάχθω ὁ προστιθέμενος καὶ ἀφαιρούμενος ἑκα‐ τέρῳ ἀριθμῷ 𐅶 α. κᾂν μὲν τῷ κ προστεθῇ, γίνεται
15	𐅶 α Μο κ· ἐὰν δὲ τοῦ ρ ἀφαιρεθῇ, γίνεται Μο ρ ⩚ 𐅶 α. καὶ δεήσει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων εἶναι δπλ.· δκις ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἐστὶ τοῖς μείζοσι, δκις δὲ τὰ ἐλάσ‐ σονα γίνεται Μο υ ⩚ 𐅶 δ· ταῦτα ἴσα 𐅶 α Μο κ. κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ
20	ὁμοίων ὅμοια. λοιποὶ 𐅶 ε ἴσοι Μο τπ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο οϛ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν προστιθέμενον καὶ ἀφαιρούμενον ἀφ’ ἑκατέρου ἀριθμοῦ 𐅶 α, ἔσται Μο οϛ. κᾂν μὲν τῷ κ Μο οϛ προστεθῶσι, γίνονται Μο ϙϛ· ἐὰν
25	δὲ τοῦ ρ ἀφαιρεθῶσι, λοιπαὶ Μο κδ. καὶ μένει τὰ μεί‐
25	ζονα τῶν ἐλασσόνων ὄντα τετραπλάσια.
30	ια. Δύο δοθέντας ἀριθμοὺς ὃν μὲν προσθεῖναι, τὸν δὲ ἕτερον ἀφελεῖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ, καὶ ποιεῖν τοὺς γενομένους πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχειν δεδομένον.
5	Ἐπιτετάχθω τὸν μὲν κ προσθεῖναι, τὸν δὲ ρ ἀφ‐ ελεῖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ καὶ ποιεῖν τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων γπλ.. Ἔστω ὁ ζητούμενος 𐅶 α. κᾂν μὲν τούτῳ προσθῶ‐ μεν Μο κ, γίνεται 𐅶 α Μο κ· ἐὰν δὲ ἀπὸ τούτου ἀφαιρε‐
10	θῶσι Μο ρ, λοιπὸς 𐅶 α ⩚ Μο ρ. καὶ δεήσει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων εἶναι γπλ.· τρὶς ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἐστὶ τοῖς μείζοσι. ἀλλὰ τρὶς τὰ ἐλάσσονα γίνεται 𐅶 γ ⩚ Μο τ. 𐅶 ἄρα γ ⩚ Μο τ ἴσα ἐστὶ 𐅶 α Μο κ.
15	κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. Μο τκ ἄρα ἴσα εἰσὶν 𐅶 β, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ρξ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ἄρα ὁ μὲν μείζων Μο ρπ, ὁ δὲ ἐλάσσων Μο ξ. καὶ μένει τὰ μείζονα τῶν ἐλασ‐
20	σόνων τριπλάσια. ιβ. Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς δίς, ὅπως ὁ εἷς τῶν ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως πρὸς ἕνα τῶν ἐκ τῆς δευτέρας διαιρέσεως λόγον ἔχῃ δεδο‐
25	μένον, ὁ δὲ λοιπὸς τῶν ἐκ τῆς δευτέρας διαιρέσεως πρὸς τὸν λοιπὸν τὸν ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως λόγον ἔχῃ δεδομένον.
25	Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ρ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς
32	δίς, ὅπως ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς αης διαιρέσεως τοῦ ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς βας διαιρέσεως ᾖ βπλ., ὁ δὲ μείζων τῶν ἐκ τῆς βας διαιρέσεως τοῦ ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς αης διαιρέσεως ᾖ γπλ..
5	Τετάχθω ὁ ἐλάσσων ὁ ἐκ τῆς βας διαιρέσεως 𐅶 α, ὁ ἄρα μείζων τῶν ἐκ τῆς αης διαιρέσεως ἔσται 𐅶 β· ὁ ἐλάσσων ἄρα τῶν ἐκ τῆς αης διαιρέσεως ἔσται Μο ρ ⩚ 𐅶 β· καὶ ἐπεί ἐστιν αὐτοῦ τριπλασίων ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς βας διαιρέσεως, ἔσται Μο τ ⩚ 𐅶 ϛ. λοιπόν
10	ἐστι καὶ τοὺς τῆς βας διαιρέσεως συντεθέντας ποιεῖν Μο ρ· ἀλλὰ συντεθέντες ποιοῦσι Μο τ ⩚ 𐅶 ε· ταῦτα ἴσα Μο ρ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο μ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν μείζονα τῶν ἐκ τῆς αης διαιρέσεως 𐅶 β, ἔσται Μο π· τὸν δὲ ἐλάσσονα 〈τῶν
15	ἐκ〉 τῆς αὐτῆς διαιρέσεως Μο ρ ⩚ 𐅶 β, ἔσται Μο κ· τὸν δὲ μείζονα τὸν ἐκ τῆς βας διαιρέσεως Μο τ ⩚ 𐅶 ϛ, ἔσται Μο ξ· τὸν δὲ ἐλάσσονα τὸν ἐκ τῆς βας διαιρέσεως 𐅶 α, ἔσται Μο μ. καὶ φανερὰ ἡ ἀπόδειξις. ιγ.
20	Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς τρίς, ὅπως ὁ εἷς τῶν ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως πρὸς ἕνα τῶν ἐκ τῆς δευτέρας διαιρέσεως λόγον ἔχῃ δεδο‐ μένον, ὁ δὲ λοιπὸς τῶν ἐκ τῆς δευτέρας διαιρέσεως πρὸς ἕνα τῶν ἐκ τῆς τρίτης διαιρέσεως λόγον ἔχῃ
25	δεδομένον, καὶ ἔτι ὁ λοιπὸς τῶν ἐκ τῆς τρίτης διαιρέ‐ σεως πρὸς τὸν λοιπὸν τὸν ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως
25	λόγον ἔχῃ δεδομένον.
34	Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ρ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς τρίς, ὅπως ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς αης διαιρέσεως τοῦ ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς βας ᾖ γπλ., ὁ δὲ μείζων τῶν ἐκ τῆς βας διαιρέσεως τοῦ ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς γης ᾖ βπλ.,
5	καὶ ἔτι ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς γης διαιρέσεως τοῦ ἐλάσ‐ σονος τῶν ἐκ τῆς αης ᾖ δπλ.. Τετάχθω ὁ ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς γης διαιρέσεως 𐅶 β· καὶ ὁ ἄρα μείζων τῶν ἐκ τῆς βας διαιρέσεως ἔσται 𐅶 β. καὶ ἐπεὶ ὅλη ἡ διαίρεσίς ἐστι Μο ρ, ὁ ἄρα ἐλάσσων τῶν
10	ἐκ τῆς βας διαιρέσεως ἔσται Μο ρ ⩚ 𐅶 β. καὶ ἐπεί ἐστιν αὐτοῦ γπλ. ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς αης διαιρέσεως, ἔσται Μο τ ⩚ 𐅶 ϛ· ὁ ἄρα ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς αης διαιρέσεως ἔσται 𐅶 ϛ ⩚ Μο ς. καὶ ἐπεί ἐστιν αὐτοῦ δπλ. ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς γης διαιρέσεως, ἔσται 𐅶 κδ ⩚ Μο ω. λοιπόν
15	ἐστι καὶ τὴν γην διαίρεσιν συντεθεῖσαν ποιεῖν Μο ρ· ἀλλὰ συντεθεῖσα ποιεῖ 𐅶 κε ⩚ Μο ω. ταῦτα ἴσα Μο ρ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο λϛ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς γης διαιρέσεως Μο λϛ, ὁ δὲ μείζων ξδ.
20	ὁ δὲ ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς αης διαιρέσεως Μο ιϛ, ὁ δὲ μείζων πδ. ὁ δὲ ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς βας διαιρέσεως 〈Μο〉 κη, ὁ δὲ μείζων οβ. καὶ δῆλον ὡς ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. ιδ.
25	Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἐκ τοῦ πολλαπλα‐ σιασμοῦ πρὸς τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως λόγον ἔχῃ δεδο‐ μένον.
25	Δεῖ δὴ τὸ ὑποτιθέμενον πλῆθος τῶν μονάδων ἑνὸς
36	τῶν ἀριθμῶν μεῖζον εἶναι τοῦ ὁμωνύμου τοῦ διδο‐ μένου λόγου. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ πρὸς τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως λόγον ἔχειν γπλ.·
5	Τετάχθω ὁ μὲν εἷς αὐτῶν 𐅶 α, ὁ δὲ ἕτερος, κατὰ τὸν προσδιορισμόν, πλείων Μο γ· ἔστω Μο ιβ. καὶ ἔστι τὸ μὲν ὑπ’ αὐτῶν 𐅶 ιβ, ἡ δὲ σύνθεσις αὐτῶν 𐅶 α Μο ιβ. λοιπόν ἐστιν 𐅶 ιβ γπλ. εἶναι 𐅶 α Μο ιβ· τρὶς ἄρα τὰ ἐλάσ‐ σονα ἴσα [ἐστὶ] τοῖς μείζοσι· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο δ.
10	ἔσται ὁ μὲν αὐτῶν Μο δ, ὁ δὲ Μο ιβ. καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. ιε. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἑκάτερος παρὰ θατέρου λαβὼν τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμόν, λόγον ἔχῃ πρὸς τὸν
15	ὑπολειφθέντα τὸν ἐπιταχθέντα. Ἐπιτετάχθω δῂ τὸν μὲν αον παρὰ τοῦ βου λαβόντα Μο λ, γίνεσθαι αὐτοῦ βπλ., τὸν δὲ βον παρὰ τοῦ αου λαβόντα Μο ν, γίνεσθαι αὐτοῦ γπλ.. Τετάχθω ὁ βος 𐅶 α καὶ ὧν δίδωσι Μο λ· ὁ ἄρα αος
20	ἔσται 𐅶 β ⩚ Μο λ, ἵνα λαβὼν παρὰ τοῦ βου τὰς Μο λ, γίνηται βπλ. αὐτοῦ. λοιπόν ἐστιν καὶ τὸν βον παρὰ τοῦ αου λαβόντα Μο ν, γίνεσθαι αὐτοῦ γπλ.· ἀλλὰ δοὺς μὲν ὁ αος Μο ν, λοιπὸν ἔχει 𐅶 β ⩚ Μο π· λαβὼν δὲ αὖ ὁ βος τὰς Μο ν, γίνεται 𐅶 α Μο π. λοιπόν ἐστιν 𐅶 α Μο π γπλ.
25	εἶναι 𐅶 β ⩚ Μο π· τρὶς ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἐστὶ τοῖς μείζοσι, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ξδ. καὶ ἔσται ὁ μὲν αος Μο ϙη, ὁ δὲ βος Μο ϙδ. καὶ
25	ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.
38	ιϛ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως σὺν δύο λαμβανόμενοι ποιῶσι τοὺς ἐπιταχθέντας ἀριθμούς. Δεῖ δὴ τῶν ἐπιταττομένων τριῶν τὸ ἥμισυ μεῖζον
5	εἶναι ἑκάστου αὐτῶν. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν αον μετὰ τοῦ βου συν‐ τεθέντας ποιεῖν Μο κ, τὸν δὲ βον μετὰ τοῦ γου ποιεῖν Μο λ, τὸν δὲ γον μετὰ τοῦ αου ποιεῖν Μο μ. Τετάχθωσαν οἱ τρεῖς 𐅶 α. καὶ ἐπεὶ ὁ αος καὶ ὁ βος
10	ποιοῦσι Μο κ, ἐὰν ἄρα ἀπὸ 𐅶 α ἀφέλω Μο κ, ἕξω τὸν γον 𐅶 α ⩚ Μο κ· διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὁ μὲν αος ἔσται 𐅶 α ⩚ Μο λ, ὁ δὲ βος 𐅶 α ⩚ Μο μ· λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς συντεθέντας ἀριθμοὺς γίνεσθαι ἴσους 𐅶 α· ἀλλ’ οἱ τρεῖς συντεθέντες ποιοῦσιν 𐅶 γ ⩚ Μο ϙ· ταῦτα ἴσα 𐅶 α· καὶ
15	γίνεται ὁ 𐅶 Μο με. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος Μο ιε, ὁ δὲ βος Μο ε, ὁ δὲ γος Μο κε. καὶ φανερὰ ἡ ἀπόδειξις. ιζ. Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως σὺν τρεῖς συν‐
20	τιθέμενοι ποιῶσι τοὺς ἐπιταχθέντας ἀριθμούς. Δεῖ δὴ τῶν τεσσάρων τὸ τρίτον μεῖζον εἶναι ἑκά‐ στου αὐτῶν. Ἐπιτετάχθω δὴ τοὺς μὲν ἀπὸ τοῦ αου τρεῖς κατὰ τὸ ἑξῆς συντεθέντας ποιεῖν Μο κ, τοὺς δὲ ἀπὸ τοῦ βου
25	τρεῖς ποιεῖν Μο κβ, τοὺς δὲ ἀπὸ τοῦ γου τρεῖς ποιεῖν Μο κδ, τοὺς δὲ ἀπὸ τοῦ δου τρεῖς ποιεῖν Μο κζ. Τετάχθωσαν οἱ τέσσαρες 𐅶 α. καὶ ἐὰν ἄρα ἀπὸ 𐅶 α
25	ἀφέλω τοὺς αους τρεῖς. τουτέστι Μο κ, λοιπὸν ἕξω τὸν
40	δον 𐅶 α ⩚ Μο κ· διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὁ μὲν αος [ἔσται] 𐅶 α ⩚ Μο κβ, ὁ δὲ βος 𐅶 α ⩚ Μο κδ, ὁ δὲ γος 𐅶 α ⩚ Μο κζ. λοιπόν ἐστι τοὺς δ συντεθέντας ἀριθμοὺς ἴσους γί‐ νεσθαι 𐅶 α. ἀλλ’ οἱ δ συντεθέντες ποιοῦσιν 𐅶 δ ⩚ Μο ϙγ·
5	ταῦτα ἴσα 𐅶 α. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο λα. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος Μο θ, ὁ δὲ βος Μο ζ, ὁ δὲ γος Μο δ, ὁ δὲ δος Μο ια. καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. ιη.
10	Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως σὺν δύο λαμβανόμενοι τοῦ λοιποῦ ὑπερέχωσι τῷ ἐπιταχθέντι ἀριθμῷ. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν αον καὶ τὸν βον τοῦ γου ὑπερέχειν Μο κ, τὸν δὲ βον καὶ τὸν γον τοῦ αου ὑπερ‐ έχειν Μο λ, τὸν δὲ γον καὶ τὸν αον τοῦ βου ὑπερέχειν Μο μ.
15	Τετάχθωσαν οἱ τρεῖς 𐅶 β. καὶ ἐπεὶ ὁ αος καὶ ὁ βος τοῦ γου ὑπερέχουσιν Μο κ, κοινοῦ προστεθέντος τοῦ γου, οἱ τρεῖς, δίς ἐστιν ὁ γος καὶ ἡ ὑπεροχὴ Μο κ. ἐὰν ἄρα ἀπὸ τῶν τριῶν, τουτέστιν 𐅶 β, ἀφέλω Μο κ, ἕξω δὶς τὸν γον 𐅶 β ⩚ Μο κ· ἅπαξ ἄρα ὁ γος ἔσται 𐅶 α ⩚ Μο ι.
20	διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ μὲν αος ἔσται 𐅶 α ⩚ Μο ιε, ὁ δὲ βος 𐅶 α ⩚ Μο κ. λοιπόν ἐστιν τοὺς τρεῖς ἴσους εἶναι 𐅶 β· ἀλλ’ οἱ τρεῖς συντεθέντες ποιοῦσιν 𐅶 γ ⩚ Μο με· ταῦτα ἴσα 𐅶 β. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο με. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος Μο λ, ὁ δὲ
25	βος Μο κε, ὁ δὲ γος λε. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.
42	[Ἄλλως.] Ἐπεὶ ὁ αος καὶ ὁ βος τοῦ γου ὑπερέχουσι Μο κ, ἔστω ὁ γος 𐅶 α· συναμφότερος ἄρα ὅ τε αος καὶ ὁ βος ἔσται 𐅶 α Μο κ. πάλιν ἐπεὶ ὁ βος καὶ ὁ γος τοῦ αου ὑπερ‐
5	έχουσι Μο λ, τάσσω τὸν βον τοσούτων Μο ὅσων ἐστὶν ὁ ἥμισυς τοῦ τε κ καὶ λ, τουτέστι Μο κε· καὶ ἐπεὶ ὁ αος καὶ ὁ βος ἐστιν 𐅶 α Μο κ, ὧν ὁ βος ἐστιν Μο κε, λοιπὸς ἄρα ὁ αος ἔσται 𐅶 α ⩚ Μο ε. λοιπὸν δεῖ καὶ τὸν γον μετὰ τοῦ αου, τοῦ βου ὑπερέχειν Μο μ· ἀλλὰ ὁ αος μετὰ τοῦ
10	γου ἐστὶν 𐅶 β ⩚ Μο ε· ἴσοι ἄρα εἰσὶ Μο ξε. κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις. 𐅶 ἄρα β ἴσοι Μο ο. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο λε. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν αον, 𐅶 α ⩚ Μο ε· ἔσται Μο λ· τὸν δὲ βον Μο κε· τὸν δὲ γον 𐅶 α· ἔσται Μο λε.
15	ιθ. Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως οἱ τρεῖς λαμβανό‐ μενοι τοῦ λοιποῦ ὑπερέχωσιν ἐπιταχθέντι ἀριθμῷ. Δεῖ δὴ τῶν ἐκ τῆς ὑπεροχῆς τεσσάρων τὸ ἥμισυ μεῖζον εἶναι ἑκάστου αὐτῶν.
20	Ἐπιτετάχθω δὴ τοὺς μὲν ἀπὸ τοῦ αου τρεῖς κατὰ τὸ ἑξῆς συντεθέντας τοῦ δου ὑπερέχειν Μο κ, τοὺς δὲ ἀπὸ τοῦ βου τρεῖς τοῦ αου ὑπερέχειν Μο λ, τοὺς δὲ ἀπὸ τοῦ γου τρεῖς ὁμοίως τοῦ βου ὑπερέχειν Μο μ, καὶ ἔτι τοὺς ἀπὸ τοῦ δου τρεῖς κατὰ τὸ ἑξῆς συντεθέντας τοῦ
25	γου ὑπερέχειν Μο ν. Τετάχθωσαν οἱ τέσσαρες 𐅶 β. καὶ ἐπεὶ οἱ ἀπὸ τοῦ
25	αου τρεῖς τοῦ δου ὑπερέχουσι Μο κ, ᾧ δὲ ὑπερέχουσιν
44	οἱ αου τρεῖς τοῦ δου, τούτῳ ὑπερέχουσι καὶ οἱ τέσσαρες, δὶς τοῦ δου, καί εἰσιν οἱ τέσσαρες, 𐅶 β, 𐅶 ἄρα β, δὶς τοῦ δου ὑπερέχουσι Μο κ· ὁ ἄρα βπλ. τοῦ δου ἔσται 𐅶 β ⩚ Μο κ, αὐτὸς ἄρα ἔσται 𐅶 α ⩚ Μο ι.
5	διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ μὲν αος ἔσται 𐅶 α ⩚ Μο ιε, ὁ δὲ βος 𐅶 α ⩚ Μο κ, καὶ ἔτι ὁ γος 𐅶 α ⩚ Μο κε. λοιπόν ἐστι τοὺς τέσσαρας ἴσους εἶναι 𐅶 β· ἀλλ’ οἱ τέσσαρές εἰσιν 𐅶 δ ⩚ Μο ο· ταῦτα ἴσα 𐅶 β· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο λε. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος Μο κ, ὁ δὲ
10	βος Μο ιε, ὁ δὲ γος Μο ι, ὁ δὲ δος Μο κε. καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. [Ἄλλως.] Ἐπεὶ οἱ ἀπὸ τοῦ αου τρεῖς τοῦ δου ὑπερέχουσι Μο κ, τετάχθω ὁ δος 𐅶 α· οἱ τρεῖς ἄρα ἔσονται 𐅶 α Μο κ.
15	πάλιν ἐπεὶ οἱ ἀπὸ τοῦ βου τρεῖς τοῦ αου ὑπερέχουσι Μο λ, τετάχθω συναμφότερος ὅ τε βος καὶ ὁ γος Μο το‐ σούτων ὅσων ἐστὶν ὁ ἥμισυς τῶν δύο ὑπεροχῶν, (λέγω δὴ τοῦ κ καὶ τοῦ λ) τουτέστι Μο κε. καὶ ἐπεὶ οἱ ἀπὸ τοῦ αου τρεῖς εἰσιν 𐅶 α Μο κ, ὧν ὁ βος καὶ ὁ γος
20	Μο κε, λοιπὸς ἄρα ὁ αος ἔσται 𐅶 α ⩚ Μο ε. καὶ ἐπεὶ οἱ ἀπὸ τοῦ βου τρεῖς ὑπερέχουσι τοῦ αου Μο λ, οἱ δὲ ἀπὸ τοῦ γου τρεῖς ὑπερέχουσι τοῦ βου Μο μ, συναμφότερος ἄρα ὁ γος καὶ ὁ δος ἔσται Μο λε· λοιπὸς ἄρα ὁ γος ἔσται Μο λε ⩚ 𐅶 α.
25	ἔστι δὲ καὶ ὁ βος καὶ ὁ γος Μο κε, ὧν ὁ γος Μο λε ⩚ 𐅶 α· λοιπὸς ἄρα ὁ βος ἔσται 𐅶 α ⩚ Μο ι.
25	λοιπόν ἐστι τοὺς ἀπὸ τοῦ δου τρεῖς τοῦ γου ὑπερ‐
46	έχειν Μο ν· ἀλλ’ οἱ τρεῖς συντεθέντες ποιοῦσιν 𐅶 γ ⩚ Μο ιε, ὁ δὲ γος ἐστὶ Μο λε ⩚ 𐅶 α. δεῖ δὴ καὶ 𐅶 γ ⩚ Μο ιε ὑπερ‐ έχειν Μο λε ⩚ 𐅶 α, Μο ν, ὥστε Μ πε ⩚ 𐅶 α ἴσαι εἰσὶν 𐅶 γ ⩚ Μο ιε, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο κε.
5	ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν αον 𐅶 α ⩚ Μο ε· ἔσται Μο κ· ὁ δὲ βος ὁμοίως Μο ιε, ὁ δὲ γος Μο ι, ὁδὲ δος Μο κε. κ. Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθ‐
10	μοὺς ὅπως ἑκάτερος τῶν ἄκρων προσλαβὼν τὸν μέσον πρὸς τὸν λοιπὸν τῶν ἄκρων λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ρ διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ αος καὶ ὁ βος τοῦ γου ᾖ γπλ., ὁ δὲ βος καὶ ὁ γος τοῦ αου ᾖ δπλ..
15	Τετάχθω ὁ γος 𐅶 α· καὶ ἐπεὶ ὁ αος καὶ ὁ βος τοῦ γου ἐστὶ γπλ., τετάχθωσαν οἱ δύο 𐅶 γ. οἱ τρεῖς ἄρα εἰσὶν 𐅶 δ· οὗτοι ἴσοι Μο ρ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο κε. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν γον 𐅶 α· ἔσται Μο κε· τὸν δὲ αον καὶ τὸν βον 𐅶 γ· ἔσονται Μο οε.
20	πάλιν ἐπεὶ ὁ βος καὶ ὁ γος τοῦ αου εἰσὶ δπλ., τε‐ τάχθω ὁ αος 𐅶 α. ἔσται ἄρα ὁ βος καὶ ὁ γος 𐅶 δ· οἱ τρεῖς ἄρα εἰσὶν 𐅶 ε, ἀλλὰ καὶ Μο ρ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶, Μο κ. ἔσται ἄρα ὁ αος Μο κ· ὁ δὲ βος καὶ ὁ γος Μο π, ὧν ὁ γος Μο κε, λοιπὸς ἄρα ὁ βος ἔσται Μο νε. καὶ ποιοῦσι
25	τὰ τῆς προτάσεως. κα. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ μέγιστος τοῦ μέσου
25	ὑπερέχῃ τῷ τοῦ ἐλαχίστου δοθέντι μέρει, ὁ δὲ μέσος
48	τοῦ ἐλαχίστου ὑπερέχῃ τῷ τοῦ μεγίστου δοθέντι μέρει, ὁ δὲ ἐλάχιστος δοθέντι ἀριθμῷ τοῦ τοῦ μέσου δο‐ θέντος μέρους. Δεῖ δὴ τὸν μέσον τοῦ ἐλαχίστου τοσούτῳ μέρει
5	τοῦ μεγίστου ὑπερέχειν, ὥστε τὸν ὁμώνυμον τοῦ τοι‐ ούτου μέρους ἐπὶ τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μέσου πρὸς τὸν ἐλάχιστον πολλαπλασιαζόμενον ποιεῖν ἐν αὐτῷ πλῆθος ἀριθμῶν πλεῖον ἢ ἐν τῷ μέσῳ. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μέγιστον τοῦ μέσου ὑπερέχειν
10	τῷ τοῦ ἐλαχίστου γῳ μέρει, τὸν δὲ μέσον τοῦ ἐλαχί‐ στου τῷ τοῦ μεγίστου γῳ μέρει, τὸν δὲ ἐλάχιστον ὑπερέχειν Μο ι τοῦ τοῦ μέσου γον μέρους. Τετάχθω δὴ ὁ ἐλάσσων 𐅶 α καὶ ὧν ὑπερέχει τοῦ τοῦ μέσου γον, Μο ι· ὁ ἄρα μέσος ἔσται 𐅶 γ, ἵνα ἔχῃ
15	ὁ ἐλάχιστος τὸ γον τοῦ μέσου καὶ Μο ι. ἢ καὶ οὕτως· τετάχθω ὁ μέσος 𐅶 γ· καὶ ἐπεὶ θέλω τὸν ἐλάχιστον ὑπερέχειν τοῦ γου μέρους αὐτοῦ τοῦ μέσου, Μο ι, ἔσται 𐅶 α καὶ Μο ι. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν μέσον τοῦ ἐλαχίστου ὑπερ‐
20	έχειν τῷ τοῦ αου γῳ μέρει· ἀλλ’ ὁ μέσος τοῦ ἐλαχίστου ὑπερέχει 𐅶 β ⩚ Μο ι· ταῦτα ἄρα γον μέρος ἐστὶ τοῦ με‐ γίστου· αὐτὸς ἄρα ὁ μέγιστος ἔσται 𐅶 ϛ ⩚ Μο λ. δεήσει ἄρα καὶ τὸν μέγιστον τοῦ μέσου ὑπερέχειν τῷ τοῦ ἐλαχίστου γῳ μέρει· ἀλλὰ ὁ μέγιστος τοῦ μέσου ὑπερ‐
25	έχει 𐅶 γ ⩚ Μο λ. ταῦτα ἄρα γον ἐστὶ μέρος τοῦ ἐλαχί‐ στου· ὁ ἄρα ἐλάχιστος ἔσται 𐅶 θ ⩚ Μο ϙ· ἀλλὰ καὶ 𐅶 α Μο ι ηὑρέθη· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ιβ 𐅵ʹ. ἔσται ἄρα ὁ μὲν γος Μο κβ 𐅵ʹ, ὁ δὲ μέσος Μο λζ 𐅵ʹ,
25	ὁ δὲ μέγιστος Μο με, καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.
50	[Ἄλλως.] Εὑρεῖν κ. τ. ἑ. Δεῖ δὴ τὸ διδόμενον τοῦ μεγίστου μέρος τηλικοῦτον δίδοσθαι, ὥστε προστιθέμενον τῷ ἐλαχίστῳ, ποιεῖν
5	τοὺς ἐν αὐτῷ ἀριθμοὺς ἐλάσσονας τῶν ἐξ ἀρχῆς λαμ‐ βανομένων τοῦ μέσου. Τετάχθω πάλιν ὁ ἐλάσσων 𐅶 α καὶ ὧν ὑπερέχει τοῦ τοῦ μέσου γου μέρους, Μο ι· ἔσται ἄρα ὁ μέσος 𐅶 γ, ἵνα ὑπερέχῃ ὁ ἐλάχιστος Μο ι τοῦ τοῦ μέσου γου μέρους.
10	πάλιν ἐπεὶ θέλω τὸν μέγιστον τοῦ μέσου ὑπερέχειν τῷ τοῦ ἐλαχίστου γῳ μέρει, ἐὰν προσθῶ τῷ μέσῳ τὸ τοῦ ἐλαχίστου γου μέρος, ἕξω τὸν μέγιστον 𐅶 γ γ× Μο γ γ×. λοιπὸν δεῖ [καὶ] τὸν μέσον ἴσον εἶναι τῷ ἐλαχίστῳ καὶ τῷ τοῦ μεγίστου γῳ μέρει· ἀλλ’ ὁ ἐλάχιστος μετὰ τοῦ
15	γου μέρους τοῦ μεγίστου, 𐅶 εἰσιν β θ× καὶ Μο ια θ×. ταῦτα ἴσα τοῖς τοῦ μέσου 𐅶 γ. ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. 𐅶 ἄρα α ⩚ θ× ἴσος ἐστὶ Μο ια θ×. πάντα θκις. 𐅶 ἄρα η ἴσοι Μο ρ. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ιβ 𐅵ʹ. καὶ ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις τῇ ἐπάνω.
20	κβ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστος τῷ ἑξῆς ἑαυ‐ τοῦ διδῷ μέρος τὸ ἐπιταχθέν, ἵνα δόντες καὶ λαβόντες
20	γένωνται ἴσοι.
52	Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν αον τῷ βῳ διδόναι ἑαυτοῦ τὸ γον, τὸν δὲ βον τῷ γῳ τὸ δον, καὶ ἔτι τὸν γον τῷ αῳ τὸ εον, καὶ γίνεσθαι ἴσους μετὰ τὴν ἀντίδοσιν. Τετάχθω ὁ αος, 𐅶 τινων γον ἐχόντων μέρος, ἐπεὶ
5	γον δίδωσιν· ἔστω δὴ καὶ 𐅶 γ. ὁ δὲ βος, Μο τινῶν δον μέρος ἐχουσῶν, ἐπεὶ δον δίδωσιν· ἔστω δὴ Μο δ, καὶ μὴν δὴ ὁ βος δοὺς καὶ λαβὼν γίνεται 𐅶 α Μο γ. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν αον δόντα καὶ λαβόντα γί‐ νεσθαι 𐅶 α Μο γ· ἀλλὰ δοὺς μὲν ἑαυτοῦ τὸ γον, 𐅶 α,
10	λαβὼν δὲ Μο γ ⩚ 𐅶 α, γίνεται 𐅶 α Μο γ. Μο ἄρα γ ⩚ 𐅶 α, εον μέρος εἰσὶ τοῦ γου· αὐτὸς ἄρα ἐστὶ Μο ιε ⩚ 𐅶 ε. δεήσει ἄρα καὶ τὸν γον, δόντα μὲν ἑαυτοῦ τὸ εον, λαβόντα δὲ παρὰ τοῦ βου τὸ δον, Μο α, γίνεσθαι 𐅶 α Μο γ· ἀλλὰ δοὺς μὲν ἑαυτοῦ τὸ εον, Μο γ ⩚ 𐅶 α, λοιπός ἐστι
15	Μο ιβ ⩚ 𐅶 δ· λαβὼν δὲ παρὰ τοῦ βου τὸ δον, Μο α, γί‐ νεται Μο ιγ ⩚ 𐅶 δ. ταῦτα ἴσα 𐅶 α Μο γ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο β. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος Μο ϛ, ὁ δὲ
15	βος Μο δ, ὁ δὲ γος Μο ε. καὶ φανερὰ τὰ τῆς προτάσεως.
54	κγ. Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστος τῷ ἑξῆς ἑαυτοῦ δῷ μέρος τὸ ἐπιταχθέν, ἵνα δόντες καὶ λα‐ βόντες γένωνται ἴσοι.
5	Ἐπιτετάχθω τὸν μὲν αον τῷ βῳ διδόναι τὸ γον, τὸν δὲ βον τῷ γῳ τὸ δον, τὸν δὲ γον τῷ δῳ τὸ εον, καὶ ἔτι τὸν δον τῷ αῳ τὸ ϛον, καὶ γίνεσθαι ἴσους μετὰ τὴν ἀντίδοσιν. Τετάχθω ὁ μὲν αος, 𐅶 τινων γον μέρος ἐχόντων,
10	ἐπεὶ γον δίδωσιν· ἔστω 𐅶 γ· ὁ δὲ βος, Μο τινῶν δον μέρος ἐχουσῶν, ἐπεὶ δον δίδωσιν· ἔστω Μο δ. ὁ ἄρα βος, δοὺς μὲν ἑαυτοῦ τὸ δον, Μο α, λαβὼν δὲ παρὰ τοῦ αου τὸ γον, 𐅶 α, γίνεται 𐅶 α Μο γ. δεήσει ἄρα καὶ τὸν αον, δόντα μὲν ἑαυτοῦ τὸ γον,
15	𐅶 α, λαβόντα δὲ παρὰ τοῦ δου τὸ ϛον, γίνεσθαι 𐅶 α Μο γ· ἀλλὰ δοὺς μὲν 𐅶 α, λοιποὺς ἔχει 𐅶 β. δεήσει ἄρα λα‐ βόντα αὐτὸν τοῦ δου τὸ ϛον, γίνεσθαι 𐅶 α Μο γ· Μο ἄρα γ ⩚ 𐅶 α, ϛον μέρος εἰσὶ τοῦ δου· αὐτὸς ἄρα ὁ δος ἔσται Μο ιη ⩚ 𐅶 ϛ.
20	λοιπόν ἐστι καὶ τὸν δον, δόντα μὲν ἑαυτοῦ τὸ ϛον, λαβόντα δὲ παρὰ τοῦ γου τὸ εον, γίνεσθαι 𐅶 α Μο γ· ἀλλὰ δοὺς μὲν ἑαυτοῦ τὸ ϛον, Μο γ ⩚ 𐅶 α, λοιπός ἐστι Μο ιε ⩚ 𐅶 ε. δεήσει ἄρα αὐτὸν καὶ λαβόντα τὸ τοῦ γου εον γίνεσθαι 𐅶 α Μο γ· ἀλλὰ ἐὰν λάβῃ 𐅶 ϛ ⩚ Μο ιβ, γί‐
25	νεται 𐅶 α Μο γ, ὥστε 𐅶 ϛ ⩚ Μο ιβ, εον μέρος εἰσὶ τοῦ γου·
25	αὐτὸς ἄρα ἔσται 𐅶 λ ⩚ Μο ξ.
56	δεήσει ἄρα καὶ τὸν γον, δόντα μὲν ἑαυτοῦ τὸ εον, λαβόντα δὲ παρὰ τοῦ βου τὸ δον, γίνεσθαι 𐅶 α Μο γ· ἀλλὰ δοὺς μὲν ἑαυτοῦ τὸ εον, 𐅶 ϛ ⩚ Μο ιβ, λοιποὺς ἔχει 𐅶 κδ ⩚ Μο μη· λαβὼν δὲ παρὰ τοῦ βου τὸ δον, γί‐
5	νεται 𐅶 κδ ⩚ Μο μζ. ταῦτα ἴσα 𐅶 α Μο γ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ν κγων. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος ρν, ὁ δὲ βος ϙβ, ὁ δὲ γος ρκ, ὁ δὲ δος ριδ· περιῃρήσθω τὸ μό‐ ριον· ἔσται δηλαδὴ ὁ μὲν αος Μο ρν, ὁ δὲ βος ϙβ, ὁ
10	δὲ γος ρκ, ὁ δὲ δος ριδ. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. κδ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστος παρὰ τῶν λοιπῶν δύο ὡς ἑνὸς λάβῃ μέρος τὸ ἐπιταχθέν, καὶ γέ‐ νωνται ἴσοι.
15	Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν αον παρὰ τῶν λοιπῶν δύο ὡς ἑνὸς λαμβάνειν τὸ γον, τὸν δὲ βον παρὰ τῶν λοιπῶν δύο ὡς ἑνὸς λαμβάνειν τὸ δον, τὸν δὲ γον παρὰ τῶν λοιπῶν δύο ὡς ἑνὸς λαμβάνειν τὸ εον, καὶ γίνεσθαι ἴσους.
20	Τετάχθω ὁ αος 𐅶 α· οἱ δὲ λοιποὶ δύο, Μο τινῶν τοῦ προχείρου ἕνεκεν γον μέρος ἐχουσῶν, ἐπεὶ γον δι‐ δόασιν· ἔστω Μο γ. οἱ ἄρα τρεῖς ἔσονται 𐅶 α Μο γ, καὶ μένει ὁ αος λαβὼν παρὰ τῶν λοιπῶν δύο τὸ γον, 𐅶 α Μο α.
25	δεήσει ἄρα καὶ τὸν βον παρὰ τῶν 〈λοιπῶν〉 δύο
25	ὡς ἑνὸς λαβόντα τὸ δον, γίνεσθαι 𐅶 α Μο α· πάντα δκις·
58	δκις ἄρα ὁ βος προσλαβὼν τοὺς δύο, τρίς ἐστιν ὁ βος προσλαβὼν τοὺς τρεῖς· τρὶς ἄρα ὁ βος προσλαβὼν τοὺς τρεῖς γίνεται 𐅶 δ Μο δ· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τούτων ἀφέλω τοὺς τρεῖς, λοιποὶ 𐅶 γ Μο α τρίς ἐστιν ὁ βος· αὐτὸς ἄρα ὁ
5	βος ἔσται· 𐅶 α Μο γ×. δεήσει ἄρα καὶ τὸν γον παρὰ τῶν λοιπῶν δύο ὡς ἑνὸς λαβόντα τὸ εον, γίνεσθαι 𐅶 α Μο α· πάντα ὁμοίως εκις. καὶ συνάγεται διὰ τῶν ὁμοίων ὁ γος 𐅶 α Μο 𐅵ʹ. λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς συντεθέντας ἴσους γενέσθαι
10	𐅶 α Μο γ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ιγ ιβων· καὶ ἀφαιρουμένου τοῦ μορίου, ἔσται ὁ μὲν αος Μο ιγ, ὁ δὲ βος Μο ιζ, ὁ δὲ γος Μο ιθ. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. κε. Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστος παρὰ τῶν
15	λοιπῶν τριῶν ὡς ἑνὸς λαμβάνῃ μέρος τὸ ἐπιταχθέν, καὶ γένωνται ἴσοι. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν αον παρὰ τῶν λοιπῶν τριῶν ὡς ἑνὸς λαμβάνειν τὸ γον, τὸν δὲ βον παρὰ τῶν λοιπῶν τριῶν ὡς ἑνὸς τὸ δον, τὸν δὲ γον ὁμοίως τὸ
20	εον, τὸν δὲ δον τὸ ϛον, καὶ γίνεσθαι ἴσους. Τετάχθω ὁ αος 𐅶 α· οἱ δὲ λοιποὶ τρεῖς Μο τινῶν γον μέρος ἐχουσῶν, ἐπεὶ γον διδόασιν· ἔστωσαν Μο γ. ὁ ἄρα αος παρὰ τῶν λοιπῶν τριῶν ὡς ἑνὸς λαμβάνων
20	τὸ γον, γίνεται 𐅶 α Μο α.
60	δεήσει ἄρα καὶ τὸν βον παρὰ τῶν λοιπῶν τριῶν ὡς ἑνὸς λαβόντα τὸ δον, γίνεσθαι 𐅶 α Μο α. πάντα πάλιν ὁμοίως δκις· καὶ συνάγεται διὰ τῶν αὐτῶν, ὁ μὲν βος 𐅶 α Μο γ×ʹ, ὁ δὶ γος 𐅶 α Μο 𐅵ʹ, ὁ δὲ δος 𐅶 α Μο γ εων.
5	λοιπόν ἐστι τοὺς τέσσαρας συντεθέντας ἴσους γί‐ νεσθαι 𐅶 α Μο γ· καὶ συνάγεται ὁ 𐅶 Μο μζ, ἐν μορίῳ μονάδος ϙῳ. ἔσται ὁ μὲν αος Μο μζ, ὁ δὲ βος Μ οζ, ὁ δὲ γος Μο ϙβ, ὁ δὲ δος Μο ρα. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.
10	κϛ. Δυσὶ δοθεῖσιν ἀριθμοῖς προσευρεῖν τινα ἀριθμόν, ὃς ἑκάτερον πολλαπλασιάσας ποιῇ ὃν μὲν τετράγωνον, ὃν δὲ πλευρὰν τοῦ τετραγώνου. Ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ ὅ τε ς καὶ ὁ ε·
15	καὶ ἔστω ὁ ζητούμενος 𐅶 α. κᾂν μὲν ἐπὶ τὰς ς Μο πολλαπλασιασθῇ, ποιεῖ 𐅶 ς, κᾂν δὲ ἐπὶ τὰς Μο ε, ποιεῖ 𐅶 ε. δεῖ δὴ τούτων τὸν μὲν εἶναι τετράγωνον, τὸν δὲ πλευρὰν αὐτοῦ. ἐὰν τοίνυν τοὺς 𐅶 ε τετραγωνίσω, γίνονται ΔΥ κε ἴσαι 𐅶 ς.
20	πάντα παρὰ 𐅶· 𐅶 ἄρα κε ἴσοι Μο ς. καὶ γίνεται ὁ 𐅶, Μο η, καὶ ποιεῖ τὰ τῆς προτάσεως. κζ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ σύνθεσις αὐτῶν καὶ ὁ πολλαπλασιασμὸς ποιῇ δοθέντας ἀριθμούς.
25	Δεῖ δὴ τῶν εὑρισκομένων τὸν ἀπὸ τοῦ ἡμίσεος τοῦ
62	συναμφοτέρου τετράγωνον τοῦ ὑπ’ αὐτῶν ὑπερέχειν τετραγώνῳ. ἔστι δὲ τοῦτο πλασματικόν. Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν μὲν σύνθεσιν αὐτῶν ποιεῖν Μο κ, τὸν δὲ πολλαπλασιασμὸν ποιεῖν Μο ϙϛ.
5	Τετάχθω ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν 𐅶 β. καὶ ἐπεὶ τὸ σύν‐ θεμα αὐτῶν ἐστι Μο κ, ἐὰν τοῦτο τέμω δίχα, ἔσται ἑκάτερος τῶν ἐκ τῆς διαιρέσεως, τοῦ 𐅵ʹ τοῦ συνθέμα‐ τος, Μο ι. κᾂν τὸ ἥμισυ τῆς ὑπεροχῆς, τουτέστιν 𐅶 α, ἑνὶ μὲν τῶν ἐκ τῆς διαιρέσεως προσθῶ, τοῦ δὲ λοιποῦ
10	ἀφέλω, μένει πάλιν τὸ σύνθεμα Μο κ, ἡ δὲ ὑπεροχὴ 𐅶 β. τετάχθω οὖν ὁ μείζων 𐅶 α καὶ Μο ι τῶν ἡμίσεων τοῦ συνθέματος· ὁ ἄρα ἐλάσσων ἔσται Μο ι ⩚ 𐅶 α. καὶ μένει τὸ μὲν σύνθεμα Μο κ, ἡ δὲ ὑπεροχὴ 𐅶 β. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ὑπ’ αὐτῶν ποιεῖν Μο ϙϛ· ἀλλ’
15	ὁ ὑπ’ αὐτῶν ἐστι Μο ρ ⩚ ΔΥ α· ταῦτα ἴσα Μο ϙϛ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο β. ἔσται ἄρα ὁ μὲν μείζων Μο ιβ, ὁ δὲ ἐλάσσων Μο η. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. κη.
20	Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως καὶ ἡ σύνθεσις αὐτῶν καὶ ἡ σύνθεσις τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ποιῇ δο‐ θέντας ἀριθμούς. Δεῖ δὴ τοὺς δὶς ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνους τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου αὐτῶν τετραγώνου ὑπερέχειν τετραγώνῳ.
25	ἔστι δὲ καὶ τοῦτο πλασματικόν. Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν μὲν σύνθεσιν αὐτῶν ποιεῖν Μο κ, τὴν δὲ σύνθεσιν τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων
25	ποιεῖν Μο ση.
64	Τετάχθω δὴ ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν 𐅶 β. καὶ ἔστω ὁ μείζων 𐅶 α καὶ Μο ι, τῶν ἡμίσεων πάλιν τοῦ συνθέ‐ ματος, ὁ δὲ ἐλάσσων Μο ι ⩚ 𐅶 α. καὶ μένει πάλιν τὸ μὲν σύνθεμα αὐτῶν Μο κ, ἡ δὲ ὑπεροχὴ 𐅶 β.
5	λοιπόν ἐστι καὶ τὸ σύνθεμα τῶν ἀπ’ αὐτῶν τε‐ τραγώνων ποιεῖν Μο ση· ἀλλὰ τὸ σύνθεμα τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ποιεῖ ΔΥ β Μο ς. ταῦτα ἴσα Μο ση, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο β. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν μείζων Μο ιβ, ὁ
10	δὲ ἐλάσσων Μο η. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. κθ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως καὶ ἡ σύνθεσις αὐτῶν καὶ ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ποιῇ δο‐ θέντας ἀριθμούς.
15	Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν μὲν σύνθεσιν αὐτῶν ποιεῖν Μο κ, τὴν δὲ ὑπεροχὴν τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ποιεῖν Μο π. Τετάχθω ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν 𐅶 β. ἔσται ὁμοίως ὁ μὲν μείζων 𐅶 α Μο ι, ὁ δὲ ἐλάσσων Μο ι ⩚ 𐅶 α, καὶ
20	μένει πάλιν τὸ μὲν σύνθεμα αὐτῶν Μο κ, ἡ δὲ ὑπερ‐ οχὴ 𐅶 β. λοιπόν ἐστι καὶ τὴν ὑπεροχὴν τῶν ἀπ’ αὐτῶν τε‐ τραγώνων ποιεῖν Μο π· ἀλλ’ ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ἐστὶν 𐅶 μ· ταῦτα ἴσα Μο π.
25	καὶ συνάγεται πάλιν ὁ μὲν μείζων Μο ιβ, ὁ δὲ ἐλάσ‐
25	σων Μο η. καὶ πάλιν ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.
66	λ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν καὶ ὁ πολλαπλασιασμὸς ποιῇ δοθέντας ἀριθμούς. Δεῖ δὴ τὸν τετράκις ὑπ’ αὐτῶν μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς
5	ὑπεροχῆς αὐτῶν ποιεῖν τετράγωνον. ἔστι δὲ καὶ τοῦτο πλασματικόν. Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν μὲν ὑπεροχὴν αὐτῶν εἶναι Μο δ, τὸν δὲ πολλαπλασιασμὸν Μο ϙϛ. Τετάχθω τὸ σύνθεμα αὐτῶν 𐅶 β· ἔχομεν δὲ καὶ
10	τὴν ὑπεροχὴν Μο δ. ἔσται ὁμοίως ὁ μείζων 𐅶 α Μο β, ὁ δὲ ἐλάσσων 𐅶 α ⩚ Μο β, καὶ μένει τὸ μὲν σύνθεμα αὐτῶν 𐅶 β, ἡ δὲ ὑπεροχὴ Μο δ. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν πολλαπλασιασμὸν αὐτῶν ποιεῖν Μο ϙϛ· ἀλλ’ ὁ πολλαπλασιασμὸς αὐτῶν ἐστι ΔΥ α ⩚ Μο δ·
15	ταῦτα ἴσα Μο ϙϛ. καὶ γίνεται πάλιν ὁ μὲν μείζων Μο ιβ, ὁ δὲ ἐλάσ‐ σων Μο η. καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. λα. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχοντας
20	δεδομένον, ὅπως καὶ ἡ σύνθεσις τῶν ἀπ’ αὐτῶν τε‐ τραγώνων πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γπλ., τὴν δὲ σύνθεσιν τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων συν‐ αμφοτέρου εἶναι επλ..
25	Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α, ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 γ. λοιπόν ἐστι τὸ σύνθεμα τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων 〈συναμφοτέρου εἶναι επλ.· ἀλλὰ τὸ σύνθεμα τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων〉 ποιεῖ ΔΥ ι, τὸ δὲ αὐτῶν σύνθεμα
25	𐅶 δ· ὥστε ΔΥ ι επλ. εἰσιν 𐅶 δ.
68	𐅶 ἄρα κ ἴσοι εἰσὶ ΔΥ ι, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο β. ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μο β, ὁ δὲ μείζων Μο ϛ. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. λβ.
5	Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως ἡ σύνθεσις τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων πρὸς τὴν ὑπερ‐ οχὴν αὐτῶν λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γπλ., τὸ δὲ σύνθεμα τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων τῆς
10	ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι ιπλ.. Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α, ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 γ. λοιπὸν θέλω τὸ σύνθεμα τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι ιπλ.· ἀλλὰ τὸ σύνθεμα τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ποιεῖ ΔΥ ι, ἡ δὲ ὑπεροχὴ αὐ‐
15	τῶν 𐅶 β. ΔΥ ἄρα ι ιπλ. εἰσιν 𐅶 β. καὶ πάντα παρὰ 𐅶. 𐅶 ἄρα ι ἴσοι εἰσὶ Μο κ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο β. καὶ ἔσται πάλιν ὁ μὲν ἐλάσσων Μο β, ὁ δὲ μείζων Μο ϛ. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.
20	λγ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως καὶ ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων πρὸς συν‐ αμφότερον λόγον ἔχῃ δεδομένον.
20	Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος
70	εἶναι γπλ., τὴν δὲ ὑπεροχὴν τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώ‐ νων συναμφοτέρου εἶναι ϛπλ.. Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α, ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 γ. λοιπόν ἐστι καὶ τὴν ὑπεροχὴν τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετρα‐
5	γώνων συναμφοτέρου εἶναι ϛπλ.· ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπεροχὴ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων εἰσὶ ΔΥ η, συναμφότερος δὲ 𐅶 δ. ΔΥ ἄρα η ϛπλ. εἰσιν 𐅶 δ· 𐅶 ἄρα κδ ἴσοι εἰσὶ ΔΥ η· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο γ. 〈καὶ ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μο γ, ὁ δὲ μείζων Μο θ.〉
10	καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. λδ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως καὶ ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων πρὸς τὴν ὑπερ‐ οχὴν αὐτῶν λόγον ἔχῃ δεδομένον.
15	Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γπλ., τὴν δὲ ὑπεροχὴν τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι ιβπλ.. Τετάχθω πάλιν ὁ ἐλάσσων 𐅶 α, ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 γ. λοιπόν ἐστι καὶ τὴν ὑπεροχὴν τῶν ἀπ’ αὐτῶν
20	τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι ιβπλ.· ἀλλὰ ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ἐστὶ ΔΥ η· αὐταὶ ἄρα ιβπλ. εἰσιν 𐅶 β. 𐅶 ἄρα κδ ἴσοι εἰσὶ ΔΥ η· καὶ γίνεται πάλιν ὁ 𐅶 Μο γ. καὶ φανερὰ ἡ ἀπόδειξις.
25	[Πόρισμα.] Ὁμοίως δὲ διὰ τῶν αὐτῶν εὑρεθή‐ σονται
25	καὶ ἀριθμοὶ δύο πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχοντες δε‐
72	δομένον, ὥστε τὸν ὑπ’ αὐτῶν πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχειν δεδομένον, καὶ πάλιν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχοντες δεδομένον, ὥστε τὸν ὑπ’ αὐτῶν πρὸς τὴν ὑπεροχὴν
5	αὐτῶν λόγον ἔχειν δεδομένον. λε. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος πρὸς τὸν μείζονα λόγον ἔχῃ δεδο‐ μένον.
10	Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γπλ., τὸν δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τοῦ μείζονος εἶναι ϛπλ.. Τετάχθω πάλιν ὁ ἐλάσσων 𐅶 α, ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 γ. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τοῦ
15	μείζονος εἶναι ϛπλ.· ἀλλ’ ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονός ἐστι ΔΥ α· ΔΥ ἄρα α ϛπλ. ἐστὶν 𐅶 γ. 𐅶 ἄρα ιη ἴσοι εἰσὶ ΔΥ α· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ιη. ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μο ιη, ὁ δὲ μείζων Μο νδ. καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.
20	λϛ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνος πρὸς αὐτὸν τὸν ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος
25	εἶναι γπλ., τὸν δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνον αὐτοῦ
25	τοῦ ἐλάσσονος ϛπλ..
74	Ἔσται ὁμοίως ὁ μὲν μείζων 𐅶 γ, ὁ δὲ ἐλάσσων 𐅶 α, καὶ μένει ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος γπλ.. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνον αὐτοῦ τοῦ ἐλάσσονος εἶναι ϛπλ.· ΔΥ ἄρα α ϛπλ. ἐστὶν 𐅶 α.
5	𐅶 ἄρα ϛ ἴσοι ΔΥ α· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ϛ. ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μο ϛ, ὁ δὲ μείζων Μο ιη. καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. λζ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως
10	καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνος πρὸς συναμφό‐ τερον λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω τὸν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γπλ., τὸν δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνον συναμφοτέρου εἶναι βπλ..
15	Ἔσται πάλιν ὁμοίως ὁ μὲν μείζων 𐅶 γ, ὁ δὲ ἐλάσ‐ σων 𐅶 α. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τε‐ τράγωνον συναμφοτέρου εἶναι βπλ.· ἀλλ’ ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνός ἐστι ΔΥ α, συναμφότερος δὲ 𐅶 δ. ΔΥ ἄρα α βπλ. ἐστὶν 𐅶 δ.
20	𐅶 ἄρα η ἴσοι εἰσὶ ΔΥ α· 〈καὶ〉 γίνεται ὁ 𐅶 Μο η. καὶ ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μο η, ὁ δὲ μείζων Μο κδ. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. λη. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως
25	καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνος πρὸς τὴν ὑπερ‐
25	οχὴν αὐτῶν λόγον ἔχῃ δεδομένον.
76	Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γπλ., τὸν δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνον τῆς ὑπερ‐ οχῆς αὐτῶν ϛπλ.. Ἔσται πάλιν ὁμοίως ὁ μὲν μείζων 𐅶 γ, ὁ δὲ ἐλάσ‐
5	σων 𐅶 α. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τε‐ τράγωνον τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι ϛπλ.· ΔΥ ἄρα α ϛπλ. ἐστὶν 𐅶 β. 𐅶 ἄρα ιβ ἴσοι εἰσὶ ΔΥ α· ὁ ἄρα 𐅶 ἔσται Μο ιβ ἔσται ἄρα ὁ μὲν ἐλάσσων Μο ιβ, ὁ δὲ μείζων Μο λϛ.
10	καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. [Πόρισμα.] Ὁμοίως δὲ διὰ τῶν αὐτῶν εὑρεθή‐ σονται ἀριθμοὶ δύο ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος τετράγωνος πρὸς τὸν ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ δε‐
15	δομένον, καὶ πάλιν δύο ἀριθμοὶ ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος πρὸς αὐτὸν τὸν μείζονα λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ ὁμοίως δύο ἀριθμοὶ ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως
20	καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ ἔτι δύο ἀριθμοὶ ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος τετράγωνος πρὸς τὴν ὑπερ‐ οχὴν αὐτῶν λόγον ἔχῃ δεδομένον.
25	λθ. Δυσὶ δοθεῖσιν ἀριθμοῖς προσευρεῖν ἕτερον ἀριθμὸν
25	ὅπως τῶν τριῶν ἐκκειμένων σὺν δύο συντεθέντες καὶ
78	ἐπὶ τὸν λοιπὸν πολλαπλασιασθέντες ποιῶσι τρεῖς ἀριθ‐ μοὺς ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ. Ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ ὅ τε γ καὶ ὁ ε, καὶ δέον ἔστω προσευρεῖν ἕτερον ἀριθμὸν ὅπως σὺν
5	δύο συντεθέντες καὶ ἐπὶ τὸν λοιπὸν πολλαπλασιασθέντες, ποιῶσι τρεῖς ἀριθμοὺς ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ. Ἔστω ὁ ζητούμενος 𐅶 α. καὶ ἐὰν μὲν συντεθῇ μετὰ Μο ε, γίνεται 𐅶 α Μο ε· ἐὰν δὲ πολλαπλασιασθῇ ἐπὶ τὸν λοιπόν, τουτέστι τὸν γ, γίνονται 𐅶 γ Μο ιε.
10	πάλιν ἐὰν 𐅶 α συντεθῇ μετὰ Μο γ, γίνεται 𐅶 α Μο γ· ἐὰν δὲ πολλαπλασιασθῇ ἐπὶ Μο ε, γίνεται 𐅶 ε Μο ιε. καὶ ἔτι ἐὰν Μο ε συντεθῶσι μετὰ Μο γ, καὶ αἱ γινόμεναι Μο η πολλαπλασιασθῶσιν ἐπὶ 𐅶 α, γίνονται 𐅶 η. Ὅτι μὲν οὖν οὐδέποτε ἔσται μέγιστος ὁ τῶν 𐅶 γ Μο ιε,
15	φανερόν· μείζων γὰρ αὐτοῦ ἐστιν ὁ τῶν 𐅶 ε Μο ιε· ὁ ἄρα 𐅶 γ Μο ιε ἤτοι μέσος ἐστὶν ἢ ἐλάσσων· ὁ δὲ τῶν 𐅶 ε Μο ιε ἤτοι μέγιστός ἐστιν ἢ μέσος· ὁ δὲ τῶν 𐅶 η καὶ μέ‐ γιστος καὶ μέσος καὶ ἐλάχιστος δύναται τυγχάνειν, τῷ ἄδηλον εἶναι τὴν τοῦ 𐅶 ὑπόστασιν.
20	Τετάχθω οὖν πρῶτον μέγιστος μὲν ὁ τῶν 𐅶 ε καὶ Μο ιε, ἐλάχιστος δὲ ὁ τῶν 𐅶 γ Μο ιε, μέσος δὲ δηλονότι ὁ τῶν 𐅶 η. Ἐὰν δὲ ὦσιν ἀριθμοὶ τρεῖς ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ὁ μέγιστος καὶ ὁ ἐλάχιστος συντεθέντες διπλάσιοί εἰσι
25	τοῦ μέσου· καὶ ἔστιν ὁ μέγιστος καὶ ὁ ἐλάχιστος 𐅶 η Μο λ· ταῦτα ἴσα 𐅶 ιϛ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ιεδ. τοσούτου ἔσται ὁ ζητούμενος καὶ ποιῶν τὰ τῆς
25	προτάσεως.
80	Ἀλλὰ δὴ ἔστω μέγιστος μὲν ὁ τῶν 𐅶 ε Μο ιε, μέσος δὲ ὁ τῶν 𐅶 γ Μο ιε, ἐλάχιστος δὲ ὁ τῶν 𐅶 η. Ἐὰν δὲ ὦσι τρεῖς ἀριθμοὶ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ᾧ ὑπερ‐ έχει ὁ μέγιστος τὸν μέσον, τούτῳ ὑπερέχει ὁ μέσος
5	τὸν ἐλάχιστον· ὑπερέχει δὲ ὁ μὲν μέγιστος τὸν μέσον, 𐅶 β· ὁ δὲ μέσος τὸν ἐλάχιστον, Μο ιε ⩚ 𐅶 ε. Μο ἄρα ιε ⩚ 𐅶 ε ἴσαι εἰσὶν 𐅶 β, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ιεζ. τοσούτου ἔσται ὁ ζητούμενος καὶ ποιῶν τὸ πρό‐ βλημα.
10	Ἀλλὰ δὴ ἔστω μέγιστος μὲν ὁ τῶν 𐅶 η, μέσος δὲ ὁ τῶν 𐅶 ε Μο ιε, ἐλάχιστος δὲ ὁ τῶν 𐅶 γ Μο ιε. Ἐπεὶ οὖν πάλιν ὁ μέγιστος καὶ ὁ ἐλάχιστος δι‐ πλάσιοί εἰσι τοῦ μέσου, ἀλλὰ ὁ μέγιστος καὶ ὁ ἐλάχι‐ στός εἰσιν 𐅶 ια Μο ιε, ταῦτα διπλάσιά εἰσι τῶν τοῦ μέσου·
15	ὁ δὲ μέσος ἐστὶν 𐅶 ε Μο ιε. 𐅶 ἄρα ι Μο λ ἴσοι εἰσὶν 𐅶 ια Μο ιε· ἔσται ἄρα ὁ ζητού‐
15	μενος Μο ιε, καὶ ποιεῖ τὰ τῆς προτάσεως.
82 (1t)	ΔΙΟΦΑΝΤΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ
2t	ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ Β.
3	α. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ σύνθεσις αὐτῶν πρὸς
5	τὴν τῶν ἀπ’ αὐτῶν σύνθεσιν λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν σύνθεσιν αὐτῶν τῆς τῶν ἀπ’ αὐτῶν συνθέσεως εἶναι μέρος ιον. Τετάχθω ὁ μὲν ἐλάσσων 𐅶 α, ὁ δὲ μείζων 𐅶 β· γί‐ νεται ἡ μὲν σύνθεσις αὐτῶν 𐅶 γ, ἡ δὲ σύνθεσις τῶν
10	ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ΔΥ ε· δεήσει ἄρα 𐅶 γ μέρος ιον εἶναι ΔΥ ε. 𐅶 ἄρα λ ἴσοι εἰσὶ ΔΥ ε, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ϛ. ἔσται ἄρα ὁ μὲν ἐλάσσων Μο ϛ, ὁ δὲ μείζων Μο ιβ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.
15	β. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν πρὸς τὴν τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ὑπεροχὴν λόγον ἔχῃ
15	δεδομένον.
84	Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τῆς τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ὑπεροχῆς εἶναι μέρος ϛον. Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α, ὁ δὲ μείζων 𐅶 β· καὶ γίνεται ἡ μὲν ὑπεροχὴ αὐτῶν 𐅶 α, ἡ δὲ τῶν ἀπ’ αὐτῶν
5	τετραγώνων ὑπεροχὴ ΔΥ γ. δεήσει ἄρα 𐅶 α, ϛον μέρος εἶναι ΔΥ γ. 𐅶 ἄρα ϛ ἴσοι ΔΥ γ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο β. ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μο β, ὁ δὲ μείζων Μο δ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.
10	γ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἵνα ὁ ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ πρὸς συναμφότερον ἢ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ πρότερον τὸν ἐκ τοῦ πολλαπλα‐
15	σιασμοῦ τοῦ συναμφοτέρου εἶναι ϛπλ.. Τετάχθωσαν οἱ ζητούμενοι 𐅶 α καὶ 𐅶 β· δύνανται δὲ οὗτοι προβάλλεσθαι καὶ ἐν λόγῳ δοθέντι. Ἔσται ἄρα ὁ μὲν ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ αὐτῶν ΔΥ β, ὁ δὲ συναμφότερος 𐅶 γ· δεήσει ἄρα ΔΥ β ϛπλ.
20	εἶναι 𐅶 γ. 𐅶 ἄρα ιη ἴσοι εἰσὶν ΔΥ β· πάντα παρὰ 𐅶. Μο ἄρα ιη ἴσαι εἰσὶν 𐅶 β, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο θ. ἔσται ὁ μὲν αος Μο θ, ὁ δὲ βος Μο ιη· καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.
25	Ἐὰν δὲ ἐπιταχθῇ τὸν ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς ὑπεροχῆς εἶναι ϛπλ., ἔσται πάλιν ὁ μὲν ἐκ τοῦ πολλα‐ πλασιασμοῦ ΔΥ β, ἡ δὲ ὑπεροχὴ 𐅶 α.
25	𐅶 πάλιν ϛ ἴσοι ΔΥ β, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο γ.
86	ἔσται ὁ μὲν αος Μο γ, ὁ δὲ βος Μο ϛ, καὶ ποιοῦσι πάλιν τὸ πρόβλημα. δ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν
5	ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι ιπλ.. Τετάχθω πάλιν ὃς μὲν 𐅶 α, ὃς δὲ 𐅶 β.
10	Ἔσται ἄρα ὁ μὲν συγκείμενος ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων, ΔΥ ε, ἡ δὲ ὑπεροχὴ αὐτῶν 𐅶 α· δεήσει ἄρα ΔΥ ε ιπλ. εἶναι 𐅶 α. ΔΥ ἄρα ε ἴσαι εἰσὶν 𐅶 ι, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο β. ἔσται ὁ μὲν αος Μο β, ὁ δὲ βος Μο δ, καὶ ποιοῦσι τὸ
15	πρόβλημα. ε. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχῃ δε‐ δομένον.
20	Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν ὑπεροχὴν τῶν ἀπ’ αὐτῶν τε‐ τραγώνων συναμφοτέρου εἶναι ϛπλ.. Καὶ πάλιν τετάχθωσαν οἱ ζητούμενοι, ὃς μὲν 𐅶 α, ὃς δὲ 𐅶 β, καὶ γίνεται ἡ μὲν ὑπεροχὴ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων, ΔΥ γ, συναμφότερος δὲ 𐅶 γ· [δεήσει ἄρα
25	ΔΥ γ 𐅶πλ. εἶναι 𐅶 γ]. ΔΥ ἄρα γ ἴσαι εἰσὶν 𐅶 ιη, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ϛ.
25	καὶ φανερὰ ἡ ἀπόδειξις.
88	ϛ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν ὑπεροχῇ δοθείσῃ, ὅπως ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν ὑπερέχῃ δοθέντι ἀριθμῷ.
5	Δεῖ δὴ τὸν ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν τετράγωνον ἐλάσσονα εἶναι συναμφοτέρου αὐτοῦ τε τοῦ τῆς ὑπερ‐ οχῆς καὶ τοῦ διδομένου τῶν ἀπ’ αὐτῶν πρὸς τὴν αὐ‐ τῶν ὑπεροχήν. Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν εἶναι Μο β,
10	τὴν δὲ ὑπεροχὴν τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν ὑπερέχειν Μο κ. Τετάχθω δὴ ὁ ἐλάσσων 𐅶 α· ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 α Μο β· καὶ μένει ἡ μὲν ὑπεροχὴ αὐτῶν Μο β, ἡ δὲ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ὑπεροχὴ 𐅶 δ Μο δ· δεήσει
15	ἄρα 𐅶 δ Μο δ ὑπερέχειν Μο β, Μο κ. ὥστε 𐅶 δ Μο δ ἴσοι εἰσὶ Μο κβ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο δ 𐅵ʹ. ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μο δ 𐅵ʹ, ὁ δὲ μείζων Μο ϛ 𐅵ʹ, καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. ζ.
20	Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν δοθέντι ἀριθμῷ μείζων ᾖ ἢ ἐν λόγῳ. Ἐπιτετάχθω τὴν ὑπεροχὴν τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετρα‐ γώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι γπλ., καὶ ἔτι ὑπερ‐
25	έχειν Μο ι. Δεῖ δὴ τὸν ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν τετράγωνον ἐλάσσονα εἶναι συναμφοτέρου τοῦ τε γπλ. τῆς ὑπεροχῆς
25	καὶ τῶν δοθεισῶν Μο ι.
90	Τετάχθω ἡ μὲν ὑπεροχὴ αὐτῶν Μο β, ὁ δὲ ἐλάσσων 𐅶 α· ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 α Μο β· δεήσει ἄρα 𐅶 δ Μο δ γπλ. εἶναι Μο β καὶ ἔτι ὑπερέχειν Μο ι. τρὶς ἄρα Μο β μετὰ Μο ι ἴσαι εἰσὶν 𐅶 δ Μο δ· ἀλλὰ τρὶς Μο β μετὰ Μο ι
5	γίνονται Μο ιϛ· ταῦτα ἴσα 𐅶 δ Μο δ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο γ. ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων ἀριθμὸς Μο γ, ὁ δὲ μείζων Μ ε, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. η. Τὸν ἐπιταχθέντα τετράγωνον διελεῖν εἰς δύο τε‐
10	τραγώνους. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ιϛ διελεῖν εἰς δύο τετραγώνους. Καὶ τετάχθω ὁ αος ΔΥ α, ὁ ἄρα ἕτερος ἔσται Μο ιϛ ⩚ ΔΥ α· δεήσει ἄρα Μο ιϛ ⩚ ΔΥ α ἴσας εἶναι □ῳ. πλάσσω τὸν □ον ἀπὸ 𐅶ῶν ὅσων δήποτε ⩚ τοσού‐
15	των Μ ὅσων ἐστὶν ἡ τῶν ιϛ Μο πλευρά· ἔστω 𐅶 β ⩚ Μο δ. αὐτὸς ἄρα ὁ □ος ἔσται ΔΥ δ Μο ιϛ ⩚ 𐅶 ιϛ· ταῦτα ἴσα Μο ιϛ ⩚ ΔΥ α. κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. ΔΥ ἄρα ε ἴσαι 𐅶 ιϛ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ιϛ πέμπτων.
20	ἔσται ὁ μὲν [Start of a fraction]κε/σνϛ[End of a fraction], ὁ δὲ [Start of a fraction]κε/ρμδ[End of a fraction], καὶ οἱ δύο συντεθέντες
20	ποιοῦσι [Start of a fraction]κε/υ[End of a fraction], ἤτοι Μο ιϛ, καὶ ἔστιν ἑκάτερος τετράγωνος.
92	Ἄλλως. Ἔστω δὴ πάλιν τὸν ιϛ τετράγωνον διελεῖν εἰς δύο τετραγώνους. Τετάχθω πάλιν ἡ τοῦ αου πλευρὰ 𐅶 α, ἡ δὲ τοῦ
5	ἑτέρου 𐅶ῶν ὅσων δήποτε ⩚ Μο ὅσων ἐστὶν ἡ τοῦ δι‐ αιρουμένου πλευρά· ἔστω δὴ 𐅶 β ⩚ Μο δ. ἔσονται ἄρα οἱ □οι, ὃς μὲν ΔΥ α, ὃς δὲ ΔΥ δ Μο ιϛ ⩚ 𐅶 ιϛ. βούλομαι τοὺς δύο λοιπὸν συντεθέντας ἴσους εἶναι Μο ιϛ.
10	ΔΥ ἄρα ε Μο ιϛ ⩚ 𐅶 ιϛ ἴσαι εἰσὶ Μο ιϛ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ε/ιϛ[End of a fraction]. ἔσται ἡ μὲν τοῦ αου πλ. [Start of a fraction]ε/ιϛ[End of a fraction]· αὐτὸς ἄρα ἔσται [Start of a fraction]κε/σνϛ[End of a fraction]· ἡ δὲ τοῦ βου πλ. [Start of a fraction]ε/ιβ[End of a fraction]· αὐτὸς ἄρα ἔσται [Start of a fraction]κε/ρμδ[End of a fraction]· καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.
15	θ. Τὸν δοθέντα ἀριθμόν, ὃς σύγκειται ἐκ δύο τετρα‐ γώνων, μεταδιελεῖν εἰς δύο ἑτέρους τετραγώνους. Ἔστω τὸν ιγ, συγκείμενον ἔκ τε τοῦ δ καὶ θ τε‐ τραγώνων, μεταδιελεῖν εἰς ἑτέρους δύο τετραγώνους.
20	Εἰλήφθωσαν τῶν προειρημένων τετραγώνων αἱ πλ., Μο β, Μο γ, καὶ τετάχθωσαν αἱ τῶν ἐπιζητουμένων τε‐ τραγώνων πλ., ἣ μὲν 𐅶 α Μο β, ἣ δὲ 𐅶 ὅσων δήποτε ⩚ Μο ὅσων ἐστὶν ἡ τοῦ λοιποῦ πλευρά. ἔστω 𐅶 β ⩚ Μο γ· καὶ γίνονται οἱ τετράγωνοι, ὃς μὲν ΔΥ α 𐅶 δ Μο δ, ὃς
25	δὲ ΔΥ δ Μο θ ⩚ 𐅶 ιβ.
94	λοιπόν ἐστι τοὺς δύο συντεθέντας ποιεῖν Μ ιγ. ἀλλ’ οἱ δύο συντεθέντες ποιοῦσιν ΔΥ ε Μο ιγ ⩚ 𐅶 η· ταῦτα ἴσα Μο ιγ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ε/η[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔταξα τὴν τοῦ αου πλ., 𐅶 α Μο β·
5	ἔσται [Start of a fraction]ε/ιη[End of a fraction]· τὴν δὲ τοῦ βου πλ. 𐅶 β ⩚ Μο γ· ἔσται ἑνός. αὐτοὶ δὲ οἱ □οι ἔσονται, ὃς μὲν [Start of a fraction]κε/τκδ[End of a fraction], ὃς δὲ ἑνός. καὶ οἱ δύο συντεθέντες ποιοῦσι [Start of a fraction]κε/τκε[End of a fraction], ἃ συνάγει τὰς ἐπιτα‐ χθείσας Μο ιγ.
10	ι. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς τετραγώνους ἐν ὑπεροχῇ τῇ δοθείσῃ. Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν εἶναι Μο ξ. Τετάχθω οὗ μὲν ἡ πλευρὰ 𐅶 α, οὗ δὲ 𐅶 α καὶ Μο
15	ὅσων δήποτε θέλεις, μόνον ἵνα μὴ ὁ ἀπὸ τῶν Μο □ος ὑπεράρῃ τὴν ὑπεροχὴν τὴν δοθεῖσαν, [μήτε μὴν ἴσος ᾖ]· οὕτω γὰρ ἑνὸς εἴδους ἑνὶ [εἴδει] ἴσου καταλειπο‐ μένου, συσταθήσεται τὸ πρόβλημα. ἔστω 𐅶 α Μο γ· αὐτοὶ ἄρα οἱ τετράγωνοι ἔσονται,
20	Δυ α καὶ Δυ α 𐅶 ϛ Μο θ· ἡ δὲ ὑπεροχὴ αὐτῶν, 𐅶 ϛ Μο θ·
20	ταῦτα ἴσα Μο ξ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο η 𐅵ʹ.
96	ἔσται ἡ μὲν τοῦ αου πλευρὰ Μο η 𐅵ʹ, ἡ δὲ τοῦ βου Μο ια 𐅵ʹ· αὐτοὶ δὲ οἱ □οι ἔσονται ὃς μὲν Μο οβ δ×, ὃς δὲ Μο ρλβ δ×, καὶ φανερὰ τὰ τῆς προτάσεως. ια.
5	Δυσὶ δοθεῖσιν ἀριθμοῖς προσθεῖναι τὸν αὐτὸν ἀριθμόν, καὶ ποιεῖν ἑκάτερον τετράγωνον. Ἔστω δὴ τῷ β καὶ τῷ γ καὶ ἔστω ὁ προστιθέ‐ μενος 𐅶 α. ἔσται ἄρα ὁ μὲν 𐅶 α Μο β, ὁ δὲ 𐅶 α Μο γ, ἴς. □· καὶ τοῦτο τὸ εἶδος καλεῖται διπλοισότης· ἰσοῦ‐
10	ται δὲ τὸν τρόπον τοῦτον. ἰδὼν τὴν ὑπεροχήν, ζήτει δύο ἀριθμοὺς ἵνα τὸ ὑπ’ αὐτῶν ποιῇ τὴν ὑπεροχήν· εἰσὶ δὲ Μο δ καὶ Μοος δ×. τούτων ἤτοι τῆς ὑπεροχῆς τὸ 𐅵ʹ. ἐφ’ ἑαυτὸ ἴσον ἐστὶ τῷ ἐλάσσονι, ἢ τῆς συν‐ θέσεως τὸ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτὸ ἴσον τῷ μείζονι.
15	ἀλλὰ τῆς ὑπεροχῆς τὸ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτό ἐστι [Start of a fraction]ξδ/σκε[End of a fraction]· ταῦτα ἴσα 𐅶 α Μο β, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ξδ/ϙζ[End of a fraction]. τῆς δὲ συνθέσεως τὸ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτό ἐστι [Start of a fraction]ξδ/σπθ[End of a fraction]· ταῦτα ἴσα τῷ μείζονι, τουτέστιν 𐅶 α Μο γ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 πάλιν [Start of a fraction]ξδ/ϙζ[End of a fraction].
20	ἔσται ἄρα ὁ προστιθέμενος [Start of a fraction]ξδ/ϙζ[End of a fraction], καὶ φανερὰ τὰ τῆς
20	προτάσεως.
98	Ἵνα δὲ μὴ εἰς διπλὴν ἰσότητα ἐμπέσῃ, δεικτέον οὕτως· Τῷ β καὶ τῷ γ προσευρεῖν τινα ἀριθμόν, ὃς ἑκα‐ τέρῳ προστεθεὶς ποιεῖ □ον· ζητῶ πρότερόν τινα ἀριθ‐
5	μόν, ὃς προσλαβὼν Μο β ποιεῖ □ον, ἢ καὶ τίς ἀριθμὸς προσλαβὼν Μο γ ποιεῖ □ον. ἀφ’ οἵου δ’ ἂν □ου ἀφέλω τὰς Μο, οὗτος ἔσται ὁ ζητούμενος· ἔστω δὴ ἐπὶ τῶν Μο β, καὶ ἀφῃρήσθωσαν ἀπὸ ΔΥ α· λοιπὸν ἔσται ΔΥ α ⩚ Μο β, καὶ δῆλον ὡς, ἐὰν προσλάβῃ Μο β, ποιεῖ
10	□ον· λοιπόν ἐστι καὶ γ Μο αὐτὸν προσλαβόντα ποιεῖν □ον· ἀλλ’ ἐὰν προσλάβῃ Μο γ, γίνεται ΔΥ α Μο α· ταῦτα ἴσα □ῳ. πλάσσω τὸν □ον ἀπὸ 𐅶 α ⩚ Μο τοσούτων ὥστε τὴν τῆς ΔΥ ὑπόστασιν ὑπερβάλλειν αὐτὰς τὰς προεκτεθει‐
15	μένας τῆς λείψεως Μοας, οἷον ὡς ἐπὶ τοῦ παρόντος τὰς Μο β· οὕτως γὰρ ἂν πάλιν ἐν ἑκατέρῳ τῶν μερῶν ἓν εἶδος ἑνὶ ἴσον καταλειφθήσεται. ἔστω δὴ ἀπὸ 𐅶 α ⩚ Μο δ· αὐτὸς ἄρα ἔσται ὁ □ος, ΔΥ α Μο ιϛ ⩚ 𐅶 η. ταῦτα ἴσα ΔΥ α Μο α.
20	κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια· λοιποὶ 𐅶 η ἴσοι Μο ιε, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]η/ιε[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ προστιθέμενος [Start of a fraction]ξδ/ϙζ[End of a fraction]. ιβ. Ἀπὸ δύο δοθέντων ἀριθμῶν ἀφελεῖν τὸν αὐτὸν
25	ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν ἑκάτερον τῶν λοιπῶν τετράγωνον.
100	Ἐπιτετάχθω δὴ ἀπὸ τοῦ θ καὶ τοῦ κα ἀφελεῖν τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν ἑκάτερον τῶν λοιπῶν τετράγωνον. Οἷον δ’ ἂν τετράγωνον ἀφέλω ἀπὸ ἑκατέρου αὐ‐
5	τῶν, τάσσω τὸν λοιπόν· οὗτος γὰρ ἀφαιρούμενος κατα‐ λείπει τὸν τετράγωνον· ἔστω οὖν ὁ ἀπὸ τῶν Μο θ ἀφαιρούμενος τετράγωνος, ΔΥ α· λοιπὸν Μο θ ⩚ ΔΥ α. δεήσει ἄρα καὶ ἀπὸ Μο κα ἀφελεῖν Μο θ ⩚ ΔΥ α καὶ ποιεῖν □ον. ἀλλ’ ἐὰν ἀπὸ Μο κα ἀφέλω Μο θ ⩚ ΟΥ α,
10	λοιπὸν ΔΥ α Μο ιβ· ταῦτα ἴσα □ῳ. πλάσσω τὸν □ον ἀπὸ 𐅶 α ⩚ Μο τοσούτων ὥστε τὸν ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνον πλείονας ποιεῖν τῶν Μο ιβ· οὕτω γὰρ πάλιν ἐν ἑκατέρῳ τῶν μερῶν ἓν εἶδος ἑνὶ ἴσον καταλειφθήσεται· ἔστω δὴ Μο δ· αὐτὸς ἄρα ὁ □ος
15	ἔσται ΔΥ α Μο ιϛ ⩚ 𐅶 η· ταῦτα ἴσα ΔΥ α Μο ιβ. ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια· λοιποὶ 𐅶 η ἴσοι Μο δ· καὶ γί‐ νεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]η/δ[End of a fraction]. αἱ μὲν θ Μο συνάγουσιν οβ ηα, τουτέστι [Start of a fraction]ξδ/φοϛ[End of a fraction]· ἡ δὲ λεῖψις τῆς ΔΥ α ἀφαιρεῖ ἀπ’ αὐτῶν [Start of a fraction]ξδ/ιϛ[End of a fraction], καὶ ποιεῖ τὰ
20	τῆς προτάσεως. ιγ. Ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ ἀφελεῖν δύο δοθέντας ἀριθμοὺς καὶ ποιεῖν ἑκάτερον τῶν λοιπῶν τετράγωνον. 〈Ἐπιτετάχθω δὴ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ ἀφελεῖν
25	τὸν ϛ καὶ τὸν ζ, καὶ ποιεῖν ἑκάτερον τῶν λοιπῶν τε‐
25	τράγωνον.〉
102	Τετάχθω ὁ ζητούμενος 𐅶 α· καὶ ἐὰν μὲν ἀπὸ τούτου ἀφέλω Μο ϛ, λοιπὸς 𐅶 α ⩚ Μο ϛ ἴσος □, ἐὰν δὲ Μο ζ, λοιπὸς 𐅶 α ⩚ Μο ζ ἴσος □· καὶ πάλιν ἐπὶ τούτου ὁμοίως ἐστὶν ἡ διπλοισότης.
5	Ἐπειδήπερ ἡ ὑπεροχή, Μο οὔσα α, περιέχεται ὑπὸ Μο β καὶ Μο 𐅵ʹ, καὶ συνάγεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ιϛ/ρκα[End of a fraction], καὶ ποιεῖ τὸ πρόβλημα. Ἵνα δὲ μὴ εἰς διπλὴν ἴσωσιν ἐξέρχηται, ζητητέον οὕτως· ζητῶ πρότερον ἀπὸ τίνος ἀριθμοῦ, ἐὰν ἀφέλω
10	Μο ϛ, ποιεῖ □ον. ᾧ δ’ ἂν □ῳ δηλονότι προσθῶ τὰς Μο ϛ, ἐκεῖνος ἔσται ὁ ζητούμενος. ἔστω δὴ ΔΥ α· ἔσται ἄρα ὁ ζητούμενος ΔΥ α Μο ϛ· καὶ δῆλον ὡς ἐὰν ἀπὸ τούτου ἀφέλω Μο ϛ, ὁ λοιπὸς ἔσται □ος. δεήσει ἄρα καὶ Μο ζ ἀφελεῖν ἀπὸ τῆς ΔΥ α Μο ϛ καὶ ποιεῖν □ον.
15	ΔΥ ἄρα α ⩚ Μο α ἴς. □ῳ. πλάσσω τὸν □ον ἀπὸ 𐅶 α ⩚ Μο β. αὐτὸς ἄρα ὁ □ος ἔσται ΔΥ α Μο δ ⩚ 𐅶 δ· ταῦτα ἴσα ΔΥ α ⩚ Μο α. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]δ/ε[End of a fraction]. ἔσται ὁ ζητούμενος [Start of a fraction]ιϛ/ρκα[End of a fraction], καὶ ποιεῖ τὸ πρόβλημα.
20	ιδ. Τὸν δοθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς καὶ προσευρεῖν αὐτοῖς τετράγωνον, ὃς προσλαβὼν ἑκάτερον
20	τῶν διῃρημένων, ποιεῖ τετράγωνον.
104	Ἔστω τὸν κ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμούς. Ἔκθου δύο ἀριθμοὺς ὥστε τοὺς ἀπ’ αὐτῶν □ους ἐλάσσονας εἶναι Μο κ· ἔστω δὴ ὁ β καὶ ὁ γ· καὶ προσ‐ τεθέντος ἑκατέρῳ 𐅶 α, ἔσονται οἱ ἀπὸ τούτων □οι, ὃς
5	μὲν ΔΥ α 𐅶 δ Μο δ, ὃς δὲ ΔΥ α 𐅶 ϛ Μο θ. ἐὰν ἄρα ἀπὸ ἑκατέρου ἀφέλω τὴν ΔΥ, τουτέστι τὸν □ον, ἕξομεν τοὺς ἐπιζητουμένους, οἳ προσλαμβάνοντες δηλονότι □ον, ποιοῦσι □ον. ἀλλ’ ἐὰν ἀφέλω ΔΥ α, λοιποὶ ἔσονται, ὁ μὲν 𐅶 δ Μο δ, ὁ δὲ 𐅶 ϛ Μο θ. δεήσει ἄρα
10	τὴν σύνθεσιν αὐτῶν, τουτέστιν 𐅶 ι Μο ιγ, ἴσους εἶναι Μο κ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ι/ζ[End of a fraction]· ἔσται ὁ μὲν [Start of a fraction]ι/ξη[End of a fraction], ὁ δὲ [Start of a fraction]ι/ρλβ[End of a fraction], καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. ιε. Τὸν δοθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς
15	καὶ προσευρεῖν αὐτοῖς τετράγωνον, ὃς λιπὼν ἑκάτερον ποιεῖ τετράγωνον. Ἐπιτετάχθω πάλιν τὸν κ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμούς. καὶ τετάχθω ὁ ζητούμενος □ος ἀπὸ πλ. 𐅶 α καὶ Μο τοσούτων ὥστε τὸν ἀπ’ αὐτῶν μὴ ὑπερβάλλειν τὸν κ.
20	ἔστω δὴ 𐅶 α Μο β. ὁ ἄρα □ος ἔσται ΔΥ α 𐅶 δ Μο δ· καὶ δῆλον ὡς λιπὼν 𐅶 δ Μο δ, καταλείπει □ον· καὶ ὁμοίως λιπὼν 𐅶 β Μ γ, καταλείπει □ον, ΔΥ α 𐅶 β Μο α. τάσσω οὖν διὰ ταῦτα τὸν μὲν αον 𐅶 δ Μο δ, τὸν
20	δὲ βον 𐅶 β Μο γ, τὸν δὲ ζητούμενον ΔΥ α 𐅶 δ Μο δ, καὶ
106	λιπὼν ἑκάτερον, ποιεῖ □ον. λοιπὸν δεῖ τοὺς δύο ἴσους εἶναι τῷ διαιρουμένῳ· ἀλλ’ οἱ δύο ποιοῦσιν 𐅶 ϛ Μο ζ· ταῦτα ἴσα Μο κ. ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ϛ/ιγ[End of a fraction].
5	ἔσται ὁ μὲν αος [Start of a fraction]ϛ/οϛ[End of a fraction], ὁ δὲ βος [Start of a fraction]ϛ/μδ[End of a fraction], ὁ δὲ □ος [Start of a fraction]λϛ/χκε[End of a fraction]. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. ιϛ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως ἑκάτερος αὐτῶν μετὰ τοῦ ἐπιταχθέντος τετραγώνου
10	ποιῇ τετράγωνον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γπλ., ἑκάτερον δ’ αὐτῶν μετὰ Μο θ ποιεῖν τετράγωνον. Ἀφ’ οὗ δ’ ἂν □ου ἀπὸ πλήθους 𐅶ῶν καὶ Μο 〈γ〉 ἀφέλω Μο θ, οὗτος ἔσται εἷς τῶν ζητουμένων. ἔστω
15	οὖν ὁ ἐλάσσων ΔΥ α 𐅶 ϛ, ὁ ἄρα μείζων ἔσται ΔΥ γ 𐅶 ιη. δεήσει ἄρα καὶ τοῦτον, προσλαβόντα Μο θ, ποιεῖν □ον. ἀλλὰ προσλαβόντα Μο θ, γίνονται ΔΥ γ 𐅶 ιη Μο θ. ταῦτα ἴσα □ῳ. πλάσσω τὸν □ον ἀπὸ 𐅶 β ⩚ Μο γ, καὶ γίνεται ὁ
20	𐅶 Μο λ. ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μο ͵απ, ὁ δὲ μείζων ͵γσμ, καὶ
20	ποιοῦσι μετὰ Μο θ τὰ τῆς προτάσεως.
108	ιζ. [Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστος τῷ ἑξῆς ἑαυτοῦ δῷ μέρος τὸ ἐπιταχθὲν καὶ ἔτι δοθέντα ἀριθμόν, ἵνα δόντες καὶ λαβόντες γένωνται ἴσοι.
5	Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν αον τῷ βῳ διδόναι τὸ εον καὶ ἔτι Μο ϛ· τὸν δὲ βον τῷ γῳ τὸ ϛον καὶ Μο ζ, τὸν δὲ γον τῷ αῳ τὸ ζον καὶ Μο η. Τετάχθω ὁ μὲν αος 𐅶 ε, ὁ δὲ βος ὁμοίως 𐅶 ϛ. καὶ μένει ὁ βος λαβὼν μὲν παρὰ τοῦ αου 𐅶 α Μο ϛ, 𐅶 ζ Μο ϛ.
10	δοὺς δὲ τῷ γῳ τὸ ϛον, 𐅶 α, καὶ Μο ζ, γί. 𐅶 ϛ ⩚ Μο α. ἀλλὰ δοὺς μὲν ὁ αος τὸ ἑαυτοῦ εον καὶ ἔτι Μο ϛ, γί. 𐅶 δ ⩚ Μο ϛ. δεήσει ἄρα καὶ λαβόντα αὐτὸν παρὰ τοῦ γου τὸ ζον καὶ Μο η, γίνεσθαι 𐅶 ϛ ⩚ Μο α· ἀλλ’ ἐὰν 𐅶 δ ⩚ Μο ϛ προσλάβωσιν 𐅶 β Μο ε, γίνονται 𐅶 ϛ ⩚ Μο α·
15	𐅶 ἄρα β καὶ Μο ε μέρος ζον εἰσι τοῦ γου καὶ ἔτι Μο η. ἐὰν ἄρα ἀπὸ 𐅶 β Μο ε, ἀφέλω Μο η, λοιπὸν 𐅶 β ⩚ Μο γ ζον μέρος εἰσὶ τοῦ γου· αὐτὸς ἄρα ἔσται 𐅶 ιδ ⩚ Μο κα. λοιπὸν ἄρα δεήσει καὶ τοῦτον λαβόντα μὲν παρὰ τοῦ μέσου τὸ ϛον καὶ Μο ζ, δόντα δὲ τὸ ζον καὶ Μο η,
20	γίνεσθαι 𐅶 ϛ ⩚ Μο α· ἀλλὰ δοὺς μὲν τὸ ζον καὶ Μο η,
110	λοιπός ἐστιν 𐅶 ιβ ⩚ Μο κϛ, λαβὼν δὲ παρὰ τοῦ μέσου τὸ ζον καὶ Μο ζ, γί. 𐅶 ιγ ⩚ Μο ιθ· ταῦτα ἴσα 𐅶 ϛ ⩚ Μο α, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ζ/ιη[End of a fraction]. ἔσται ὁ μὲν αος [Start of a fraction]ζ/ϙ[End of a fraction], ὁ δὲ βος [Start of a fraction]ζ/δη[End of a fraction], ὁ δὲ γος [Start of a fraction]ζ/ρε[End of a fraction], καὶ
5	οὗτοι ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.] ιη. [Τὸν δοθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς ἀριθμοὺς τρεῖς, ὅπως ἕκαστος τῶν ἐκ τῆς διαιρέσεως τῷ ἑξῆς ἑαυτοῦ δῷ μέρος τὸ ἐπιταχθὲν καὶ ἔτι δοθέντα ἀριθμόν, ἵνα
10	δόντες καὶ λαβόντες γένωνται ἴσοι. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν π διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ αος τῷ βῳ διδῷ τὸ εον καὶ ἔτι Μο ϛ, ὁ δὲ βος τῷ γῳ τὸ ϛον καὶ Μο ζ, ὁ δὲ γος τῷ αῳ τὸ ζον καὶ Μο η, ἵνα μετὰ τὴν ἀντίδοσιν γένωνται ἴσοι ..............]
15	〈Ἄλλως τὸ ιζον.〉 [Τετάχθω ὁ αος 𐅶 ε καὶ ὁ βος Μο ιβ, καὶ μένει ὁ βος λαβὼν μὲν παρὰ τοῦ αου τὸ εον, 𐅶 α, καὶ Μο ϛ, γινό‐ μενος 𐅶 α Μο ιη· δοὺς δὲ τῷ γῳ τὸ ϛον καὶ ἔτι Μο ζ, γί‐ νεται 𐅶 α Μο θ· λοιπόν ἐστι καὶ τοὺς λοιποὺς δόντας καὶ
20	λαβόντας γίνεσθαι 𐅶 α Μο θ.
112	ἀλλὰ δοὺς μὲν ὁ αος ἑαυτοῦ τὸ εον καὶ Μο ϛ λοιπός ἐστιν 𐅶 δ ⩚ Μο ϛ. δεήσει ἄρα αὐτὸν καὶ λαβόντα τὸ ζον τοῦ γου καὶ Μο η, γίνεσθαι 𐅶 α Μο θ· ἀλλ’ ἐὰν λάβῃ Μο ιε ⩚ 𐅶 γ, γίνεται 𐅶 α Μο θ. Μο ἄρα ιε ⩚ 𐅶 γ, ζον μέρος
5	εἰσὶ τοῦ γου καὶ ἔτι Μο η. ἐὰν ἄρα ἀπὸ Μο ιε ⩚ 𐅶 γ ἀφέλωμεν Μο η, ἕξομεν τὸ τοῦ γου ζον, Μο ζ ⩚ 𐅶 γ· αὐτὸς ἄρα ἔσται Μο μθ ⩚ 𐅶 κα. λοιπόν ἐστι καὶ τοῦτον λαβόντα μὲν παρὰ τοῦ μέσου τὸ ϛον καὶ Μο ζ, δόντα δὲ τῷ αῳ τὸ ζου καὶ Μο η,
10	γίνεσθαι 𐅶 α καὶ Μο θ. ἀλλὰ δοὺς καὶ λαβὼν γί. Μο μγ ⩚ 𐅶 ιη· ταῦτα ἴσα 𐅶 α Μο θ. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ιθ/λδ[End of a fraction]. ἔσται ὁ μὲν αος [Start of a fraction]ιθ/ρο[End of a fraction], ὁ δὲ βος [Start of a fraction]ιθ/σκη[End of a fraction], ὁ δὲ γος [Start of a fraction]ιθ/σιζ[End of a fraction].] ιθ. Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους ὅπως ἡ ὑπεροχὴ τοῦ
15	μεγίστου καὶ τοῦ μέσου πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλαχίστου λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν ὑπεροχὴν τῆς ὑπεροχῆς εἶναι γπλ.. Τετάχθω ὁ μὲν ἐλάσσων ΔΥ α, ὁ δὲ μέσος ΔΥ α 𐅶 β Μο α, ἀπὸ πλ. δηλονότι 𐅶 α Μο α· ὁ ἄρα μέγιστος
20	ἔσται ΔΥ α 𐅶 η Μο δ. δεήσει ἄρα καὶ ΔΥ α 𐅶 η Μο δ ἴς. εἶναι □ῳ.
20	πλάσσω τὸν □ον ἀπὸ 𐅶 〈α〉, ἵνα ἔχω τὴν ΔΥ, καὶ
114	ἔτι Μο τοσούτων ὥστε τὰ λοιπὰ ἐν τῷ □ῳ γινόμενα εἴδη τῶν 𐅶 καὶ τῶν Μο μὴ ὑπερβάλλειν κατὰ τὸ πλῆθος τοὺς 𐅶 η καὶ Μο δ ἑκάτερα, ἀλλὰ τὸ μὲν ἐλλείπειν, τὸ δὲ πλεονάζειν. ἔστω δὴ Μο γ· αὐτὸς ἄρα ὁ □ος ἔσται
5	ΔΥ α 𐅶 ϛ Μο θ· ταῦτα ἴσα ΔΥ α 𐅶 η Μο δ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο β 𐅵ʹ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μέγιστος Μο λ δ×, ὁ δὲ ἐλάχιστος Μο ϛ δ×, ὁ δὲ μέσος Μο ιβ δ×, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.
10	κ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ ἑκατέρου αὐτῶν τετράγωνος, προσλαβὼν τὸν λοιπόν, ποιῇ τε‐ τράγωνον. Τετάχθω ὁ αος 𐅶 α, ὁ δὲ βος Μο α 𐅶 β, ἵνα ὁ ἀπὸ
15	τοῦ αου □ος, προσλαβὼν τὸν βον, ποιῇ □ον. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ βου □ον, προσλαβόντα τὸν αον, ποιεῖν □ον· ἀλλ’ ὁ ἀπὸ τοῦ βου □ος, προσλαβὼν τὸν αον, ποιεῖ ΔΥ δ 𐅶 ε Μο α· ταῦτα ἴσα □ῳ. πλάσσω τὸν □ον ἀπὸ 𐅶 β ⩚ Μο β· αὐτὸς ἄρα ἔσται
20	ΔΥ δ Μο δ ⩚ 𐅶 η· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ιγ/γ[End of a fraction]. ἔσται ὁ μὲν αος [Start of a fraction]ιγ/γ[End of a fraction], ὁ δὲ βος [Start of a fraction]ιγ/ιθ[End of a fraction], καὶ ποιοῦσι τὸ πρό‐ βλημα. κα. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκατέρου αὐτῶν
25	τετράγωνος, λείψει τοῦ λοιποῦ, ποιῇ τετράγωνον.
116	Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α καὶ Μο ὅσων δήποτε· ἔστω δὴ Μ α· ὁ δὲ μείζων τοῦ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος □ου παρὰ ΔΥ α, ἵνα ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος □ος ⩚ τοῦ μείζονος ποιῇ □ον.
5	καὶ ἐπεὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος □ος ἐστιν ΔΥ α 𐅶 β Μο α, ὁ ἄρα μείζων ἔσται τῶν μετὰ τὴν ΔΥ, 𐅶 β Μο α. καὶ μένει ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος □ος, ⩚ τοῦ μείζονος, ποιῶν □ον. δεῖ δὲ καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ μείζονος, ΔΥ δ 𐅶 δ Μο α, ⩚ τοῦ ἐλάσσονος, ποιεῖν □ον· ἀλλ’ ὁ ἀπὸ τοῦ
10	μείζονος □ος, ⩚ τοῦ ἐλάσσονος, ποιεῖ ΔΥ δ 𐅶 γ· ταῦτα ἴσα □ῳ. πλάσσω τὸν □ον ἀπὸ 𐅶 γ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ε/γ[End of a fraction]. ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων [Start of a fraction]ε/η[End of a fraction], ὁ δὲ μείζων [Start of a fraction]ε/ια[End of a fraction], καὶ ποι‐ οῦσι τὰ τῆς προτάσεως.
15	κβ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκατέρου αὐτῶν τετράγωνος, προσλαβὼν συναμφότερον, ποιῇ τετρά‐ γωνον. Τετάχθω ὁ μὲν ἐλάσσων 𐅶 α, ὁ δὲ μείζων 𐅶 α Μο α,
20	ἵνα ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος □ος, τουτέστι ΔΥ α, προσ‐ λαβοῦσα συναμφότερον, τουτέστιν 𐅶 β Μο α, ποιῇ □ον. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ μείζονος □ον προσ‐ λαβόντα συναμφότερον ποιεῖν □ον· ἀλλ’ ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ μείζονος □ος προσλαβὼν συναμφότερον γίνεται
25	ΔΥ α 𐅶 δ Μο β· ταῦτα ἴς. □ῳ.
118	πλάσσω τὸν □ον ἀπὸ 𐅶 α ⩚ Μο β. αὐτὸς ἄρα ὁ □ος ἔσται ΔΥ α Μο δ ⩚ 𐅶 δ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]η/β[End of a fraction]. ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων [Start of a fraction]η/β[End of a fraction], ὁ δὲ μείζων [Start of a fraction]η/ι[End of a fraction], καὶ ποι‐ οῦσι τὸ πρόβλημα.
5	κγ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκατέρου αὐτῶν τετράγωνος λείψει συναμφοτέρου ποιῇ τετράγωνον. Τετάχθω ὁ μὲν ἐλάσσων 𐅶 α, ὁ δὲ μείζων 𐅶 α Μο α, ἵνα ὁμοίως ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος □ος λείψει συναμφο‐
10	τέρου, ποιῇ □ον. Δεήσει ἄρα καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος □ον λείψει συναμφοτέρου ποιεῖν □ον· ἔσται ἄρα ΔΥ α ⩚ 𐅶 β Μο α· ταῦτα ἴσα □ῳ. πλάσσω τὸν □ον ἀπὸ πλ. 𐅶 α ⩚ Μο γ.
15	ΔΥ ἄρα α Μο θ ⩚ 𐅶 ϛ ἴσαι εἰσὶ ΔΥ α ⩚ 𐅶 β Μο α· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο β 𐅵ʹ. ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μο β 𐅵ʹ, ὁ δὲ μείζων Μο γ 𐅵ʹ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. κδ.
20	Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συναμφο‐ τέρου προσλαβὼν ἑκάτερον ποιῇ τετράγωνον. Καὶ ἐπεὶ ΔΥ α, ἐάν τε προσλάβῃ ΔΥ γ, ἐάν τε ΔΥ η, ποιεῖ □ον, τάσσω τῶν ἐπιζητουμένων ἀριθμῶν, τὸν μὲν ΔΥ γ, τὸν δὲ ΔΥ η, τὸν δὲ ἀπὸ συναμφοτέρου
25	ΔΥ α, καὶ μένει ὁ ἀπὸ συναμφοτέρου προσλαβὼν ἑκά‐
120	τερον ποιῶν □ον. καὶ ἐπεὶ συναμφότερός ἐστι ΔΥ ια, ὁ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου ἔσται ΔΥ Δ ρκα· ἀλλ’ ἔστιν καὶ ΔΥ α. ΔΥ Δ ἄρα ρκα ἴσαι ΔΥ α.
5	ὥστε καὶ πλ. τῇ πλ. ἴση· 𐅶 ἄρα α ἴσος ΔΥ ια. καὶ πάντα παρὰ 𐅶· 𐅶 ἄρα ια ἴσοι Μ α, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ια× Μοος. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν γ ρκαων, ὁ δὲ ἕτερος η, ὁ δὲ ἀπὸ συναμφοτέρου ρκα ΜΥα˙ ͵δχμαων,
10	καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. κε. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ συναμφοτέρου λείψει ἑκατέρου ποιῇ τετράγωνον. Λαμβάνω πρῶτόν τινα □ον, ἀφ’ οὗ ἀφελὼν δύο
15	τινὰς ἀριθμούς, καταλείπω □ον. ἔστω δὴ ὁ ιϛ. αὐτὸς γὰρ ἐάν τε λείψῃ Μο ιβ, γίνεται □ος, ἐάν τε πάλιν Μο ζ, γίνεται □ος. τάσσω οὖν πάλιν αὐτοὺς ἐν ΔΥ, καὶ τὸν μὲν ΔΥ ιβ, τὸν δὲ ΔΥ ζ, τὸν δὲ ἀπὸ συναμφοτέρου ΔΥ ιϛ, καὶ
20	μένει ὁ ἀπὸ συναμφοτέρου, ⩚ ἑκατέρου, ποιῶν □ον. δεήσει λοιπὸν τὸν ἀπὸ συναμφοτέρου ἴσον γί‐ νεσθαι ΔΥ ιϛ, ὥστε καὶ τὴν πλ. τῇ πλ., τουτέστιν ΔΥ ιθ
20	ἴσας 𐅶 δ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ιθ/δ[End of a fraction].
122	ἔσται ὁ μὲν αος [Start of a fraction]τξα/ρϙβ[End of a fraction], ὁ δὲ βος [Start of a fraction]τξα/ριβ[End of a fraction], καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. κϛ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ’ αὐτῶν προσ‐
5	λαβὼν ἑκάτερον ποιῇ τετράγωνον, τῶν δὲ τετραγώ‐ νων αἱ πλευραὶ συντεθεῖσαι ποιῶσι τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμόν. Ἐπιτετάχθω δὴ ποιεῖν τὸν ϛ. Ἐπεὶ οὖν, ἐὰν ὦσι δύο ἀριθμοὶ ὧν ὁ μείζων τοῦ
10	ἐλάσσονός ἐστι τετραπλασίων παρὰ μονάδα, ὁ ὑπ’ αὐ‐ τῶν προσλαβὼν τὸν ἐλάσσονα ποιεῖ τετράγωνον, τάσσω τὸν μὲν ἐλάσσονα 𐅶 α, τὸν δὲ μείζονα 𐅶 δ ⩚ Μο α, καὶ συμβαίνει ὁμοίως τὸν ὑπ’ αὐτῶν προσλαβόντα τὸν ἐλάσσονα ποιεῖν □ον.
15	λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ὑπ’ αὐτῶν προσλαβόντα τὸν μείζονα, τουτέστιν 𐅶 δ ⩚ Μο α, ποιεῖν □ον, οὗ ἡ πλευρά ἐστι Μο ϛ ⩚ τῶν τῆς πλευρᾶς τοῦ ἐλάσσονος 𐅶 β, ἵνα, κατὰ τὸ πρόβλημα, συντεθεῖσαι τῶν δύο αἱ πλευραὶ ποιῶσι Μο ϛ. ἀλλ’ ὁ μὲν ὑπ’ αὐτῶν προσλαβὼν τὸν
20	μείζονα ποιεῖ ΔΥ δ 𐅶 γ ⩚ Μο α, ὁ δὲ ἀπὸ Μο ϛ ⩚ 𐅶 β, ΔΥ δ Μο λϛ ⩚ 𐅶 κδ. ταῦτα ἴσα ἀλλήλοις· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]κζ/λζ[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔταξα τὸν ἐλάσσονα 𐅶 α, ἔσται λζ, τὸν δὲ μείζονα 𐅶 δ ⩚ Μο α, ἔσται ρκα, καὶ μένει
25	τὰ τῆς προτάσεως.
124	κζ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ’ αὐτῶν λείψει ἑκατέρου ποιῇ τετράγωνον, τῶν δὲ τετραγώνων αἱ πλευραὶ συντεθεῖσαι ποιῶσι τὸν δοθέντα ἀριθμόν.
5	Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ε. Καὶ ἐπεί, ἐὰν ὦσι δύο ἀριθμοὶ ὧν ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονός ἐστι τετραπλασίων καὶ μονὰς μία, ὁ ὑπ’ αὐτῶν λείψει τοῦ ἐλάσσονος ποιεῖ τετράγωνον, τάσσω τὸν μὲν μείζονα 𐅶 δ Μο α, τὸν δὲ ἐλάσσονα 𐅶 α, καὶ
10	ὁ ὑπ’ αὐτῶν λείψει τοῦ ἐλάσσονος ποιεῖ τετράγωνον. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ὑπ’ αὐτῶν λείψει τοῦ μείζονος ποιεῖν τετράγωνον· ὧν αἱ πλευραὶ συνάγουσι τὰς ἐπι‐ ταχθείσας Μο ε. ἀλλ’ ὁ ὑπ’ αὐτῶν λείψει τοῦ μείζονος γίνεται ΔΥ δ ⩚ 𐅶 γ Μο α· ταῦτα ἴσα □ῳ τῷ ἀπὸ πλ.
15	Μο ε ⩚ 𐅶 β, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ιζ/κϛ[End of a fraction]. ἔσται ὁ 〈μὲν〉 ἐλάσσων κϛ, ὁ δὲ μείζων ρκα, καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. κη. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς τετραγώνους ὅπως ὁ ὑπ’ αὐ‐
20	τῶν προσλαβὼν ἑκάτερον ποιῇ τετράγωνον. Ἐὰν οὖν τάξω ἕνα τῶν τετραγώνων ΔΥ α, τὸν δὲ ἕτερον τετράγωνον Μοα, ἔσται ὁ ὑπ’ αὐτῶν τετρά‐ γωνος ΔΥ· δεήσει ἄρα τοῦτον, προσλαβόντα ἑκάτερον, ποιεῖν □ον· ἀπῆκται οὖν εἰς τὸ ζητῆσαι τίς τετράγωνος,
25	προσλαβὼν Μοα, ποιεῖ □ον.
126	Τετάχθω ὁ τετράγωνος ὃν θέλω εἶναι ὑπ’ αὐ‐ τῶν, ΔΥ α. Ἐὰν ἄρα οὗτος προσλάβῃ Μο α, γίνεται ΔΥ α Μ α· τοῦτον δεήσει ἴσον εἶναι □ῳ· πλάσσω τὸν □ον ἀπὸ πλ.
5	𐅶 α ⩚ Μο β. οὗτος ἴσος ΔΥ α Μο α, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]δ/γ[End of a fraction]. ἔσται ὁ μὲν θ ιϛων, ὁ δὲ ιϛ· καὶ συμβαίνει τὸν ὑπ’ αὐτῶν, προσλαβόντα τὴν Μοα, ποιεῖν □ον. Δεήσει ἄρα καὶ τὸν ὑπ’ αὐτῶν, προσλαβόντα τὸν βον, ποιεῖν □ον, καὶ ἐπεὶ ὁ ὑπ’ αὐτῶν ἐστιν θ ιϛων,
10	ὑποκείσθω νῦν ἐν ΔΥ, τουτέστι ΔΥ θ Μο θ, πάντων ιϛπλ.· ΔΥ ἄρα θ Μο θ ἴς. □ῳ. πλάσσω τὸν □ον ἀπὸ πλ 𐅶 γ ⩚ Μο δ· αὐτὸς ἄρα ὁ □ος ἔσται ΔΥ θ Μο ιϛ ⩚ 𐅶 κδ. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]κδ/ζ[End of a fraction]. ἔσται ὁ μὲν αος [Start of a fraction]φοϛ/τκδ[End of a fraction], ὁ δὲ βος [Start of a fraction]φθϛ/μθ[End of a fraction], καὶ ποιοῦσι τὸ
15	πρόβλημα. κθ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς τετραγώνους ὅπως ὁ ὑπ’ αὐτῶν λείψει ἑκατέρου ποιῇ τετράγωνον. Καὶ ἐὰν μὲν τάξω τὸν αον ΔΥ α, τὸν δὲ ἕτερον
20	Μο α, ἔσται ὁ ὑπ’ αὐτῶν ΔΥ α· δεήσει ἄρα καὶ αὐτὸν ⩚ Μο α ποιεῖν □ον, καὶ ἔστιν ἡ ΔΥ □ος· ἀπῆκται ἄρα
20	εἰς τὸ ζητῆσαι τίς τετράγωνος ⩚ Μο α ποιεῖ □ον· ἔστι
128	δὲ τετράγωνος ὁ [Start of a fraction]ιϛ/κε[End of a fraction]· οὗτος γάρ, ⩚ τῶν τῆς Μο [Start of a fraction]ιϛ/ιϛ[End of a fraction], ποιεῖ τὸν □ον [Start of a fraction]ιϛ/θ[End of a fraction]. Τάσσω οὖν τὸν μὲν ΔΥ α, τὸν δὲ [Start of a fraction]ιϛ/κε[End of a fraction], καὶ ὁ ὑπ’ αὐτῶν, ⩚ ΔΥ α, ποιεῖ □ον· δεήσει ἄρα καὶ τὸν ὑπ’
5	αὐτῶν, ⩚ Μο [Start of a fraction]ιϛ/κε[End of a fraction], ἴσον εἶναι □ῳ· ἀλλ’ ὁ ὑπ’ αὐτῶν, ⩚ Μο [Start of a fraction]ιϛ/κε[End of a fraction], γί. ΔΥ [Start of a fraction]ιϛ/κε[End of a fraction] ⩚ Μο [Start of a fraction]ιϛ/κε[End of a fraction]· ταῦτα ἴσα □ῳ· πάντα ιϛκις 〈καὶ τὸ κεον〉. πλάσσω τὸν □ον ἀπὸ 𐅶 α ⩚ Μο δ. αὐτὸς ἄρα ἔσται ΔΥ α Μο ιϛ ⩚ 𐅶 η ἴς. ΔΥ α ⩚ Μο α καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]η/ιζ[End of a fraction].
10	ἔσται ὁ μὲν αος [Start of a fraction]ξδ/σπθ[End of a fraction], ὁ δὲ βος [Start of a fraction]ξδ/ρ[End of a fraction], καὶ ποιοῦσι τὰ τοῦ προβλήματος. λ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ’ αὐτῶν, ἐάν τε προσλάβῃ συναμφότερον, ἐάν τε λίπῃ, ποιῇ τετράγωνον.
15	Καὶ ἐπεὶ πάντων δύο ἀριθμῶν οἱ ἀπ’ αὐτῶν συν‐ τεθέντες, ἐάν τε προσλάβωσι τὸν δὶς ὑπ’ αὐτῶν, ἐάν τε λίπωσι, ποιοῦσι □ον, ἐκτίθεμεν δύο ἀριθμούς, τόν τε β καὶ τὸν γ. Καὶ δῆλον ὡς ἡ σύνθεσις τῶν ἀπ’ αὐτῶν □ων,
20	μετὰ τοῦ δὶς ὑπ’ αὐτῶν, συνάγουσα Μο κε, ποιεῖ □ον, καὶ πάλιν ἀπὸ τῆς συνθέσεως τῶν ἀπ’ αὐτῶν ἀφαιρου‐ μένου τοῦ δὶς ὑπ’ αὐτῶν, γίνεται □ος ἡ Μο· τάσσω
20	οὖν τὸν ὑπ’ αὐτῶν ΔΥ ιγ.
130	Τετάχθω οὖν ὃς μὲν 𐅶 α, ὃς δὲ 𐅶 ιγ, καὶ γίνεται ὁ ὑπ’ αὐτῶν ΔΥ ιγ. ΔΥ ἄρα ιγ, ἐάν τε προσλάβωσι ΔΥ ιβ, ἐάν τε λίπωσι, ποιοῦσι □ον. δεήσει ἄρα ΔΥ ιβ ἴσας εἶναι συναμφοτέρῳ· ἀλλὰ συναμφότερός ἐστιν
5	𐅶 ιδ. ΔΥ ἄρα ιβ ἴσαι εἰσὶν 𐅶 ιδ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ιβ/ιδ[End of a fraction], τουτέστιν [Start of a fraction]ϛ/ζ[End of a fraction]. ἔστιν οὖν ὁ μὲν αος 𐅶 α, ἔσται [Start of a fraction]ϛ/ζ[End of a fraction], ὁ δὲ βος 𐅶 ιγ, ἔσται [Start of a fraction]ϛ/ϙα[End of a fraction]. καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. λα.
10	Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἴσους τετραγώνῳ, ὅπως ὁ ὑπ’ αὐτῶν, ἐάν τε προσλάβῃ συναμφότερον, ἐάν τε λείψῃ, ποιῇ τετράγωνον. Ἐπεὶ οὖν, ἐὰν ὦσιν δύο ἀριθμοὶ ὧν ὁ ἕτερος τοῦ ἑτέρου ἐστὶν διπλασίων, οἱ ἀπ’ αὐτῶν συντεθέντες,
15	ἐάν τε λείψωσι τὸν δὶς ὑπ’ αὐτῶν, ἐάν τε προσλάβωσι, ποιοῦσι □ον, ἐκτίθεμεν τὸν δ καὶ τὸν β. Τετάχθωσαν οὖν ἐν ΔΥ, καὶ ἔστιν ὁ μὲν ὑπ’ αὐ‐ τῶν ΔΥ κ, ὁ δὲ συναμφότερος ΔΥ ιϛ· ἔστω ὁ μὲν 𐅶 β, ὁ δὲ 𐅶 ι, συναμφότερος δὲ 𐅶 ιβ, ἀλλὰ καὶ ΔΥ ιϛ.
20	ΔΥ ἄρα ιϛ ἴσαι 𐅶 ιβ· 〈καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ιϛ/ιβ[End of a fraction]〉, τουτέστι [Start of a fraction]δ/γ[End of a fraction].
132	ἔσται ὁ μὲν αος ϛ, ὁ δὲ βος λ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. λβ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν
5	τετράγωνος προσλαβὼν τὸν ἑξῆς ποιῇ τετράγωνον. Τετάχθω ὁ μὲν αος 𐅶 α, καὶ ἐπεί, ἐὰν ᾖ ἀριθμὸς ἀριθμοῦ διπλασίων καὶ μονάδι μείζων, ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνος, προσλαβὼν τὸν μείζονα, ποιεῖ τετράγωνον, τετάχθω ὁ βος τοῦ αου διπλασίων καὶ μο‐
10	νάδι μείζων, καὶ ἔσται δηλονότι 𐅶 β Μο α, καὶ ἔτι ὁ γος τούτου διπλασίων καὶ μονάδι μείζων καὶ ἔσται 𐅶 δ Μο γ. καὶ συμβαίνει τὸν ἀπὸ τοῦ αου □ον προσλαβόντα τὸν βον, γίνεσθαι □ον, ΔΥ α 𐅶 β Μο α, καὶ ὁμοίως τὸν ἀπὸ τοῦ βου προσλαβόντα τὸν γον, ποιεῖν □ον, ΔΥ δ 𐅶 η Μο δ.
15	Δεήσει ἄρα καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ γου □ον, προσλαβόντα τὸν αον, ποιεῖν □ον. ἀλλ’ ὁ ἀπὸ τοῦ γου, προσλαβὼν τὸν αον, ποιεῖ ΔΥ ιϛ 𐅶 κε Μο θ. ταῦτα ἴσα □ῳ. πλάσσω τὸν □ον ἀπὸ πλ. 𐅶 δ ⩚ Μο δ· αὐτὸς ἄρα ἔσται ΔΥ ιϛ Μο ιϛ ⩚ 𐅶 λβ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]νζ/ζ[End of a fraction].
20	ἔσται ὁ μὲν αος ζ, ὁ δὲ βος οα, ὁ δὲ γος ρϙθ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. λγ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν τετράγωνος λείψει τοῦ ἑξῆς ποιῇ τετράγωνον.
25	Καὶ ἐπεί, ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ ᾖ διπλασίων παρὰ
25	μονάδα, ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνος, λείψει τοῦ
134	μείζονος, ποιεῖ □ον, τάσσω τὸν μὲν αον 𐅶 α Μο α, τὸν δὲ βον ὁμοίως 𐅶 β Μο α, τὸν δὲ γον 𐅶 δ Μο α, καὶ συμ‐ βαίνει τὸν ἀπὸ τοῦ αου τετράγωνον, ⩚ τοῦ βου, ποιεῖν □ον, καὶ ἔτι τὸν ἀπὸ τοῦ βου, ⩚ τοῦ γου, ποιεῖν □ον.
5	λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ γου, ⩚ τοῦ αου, ποιεῖν □ον. ἀλλ’ ὁ ἀπὸ τοῦ γου □ος, ⩚ τοῦ αου, ποιεῖ ΔΥ ιϛ 𐅶 ζ· ταῦτα ἴσα □ῳ. πλάσσω τὸν □ον ἀπὸ 𐅶 ε· ΔΥ ἄρα κε ἴσαι ΔΥ ιϛ 𐅶 ζ, καὶ γί. ὁ 𐅶 [Start of a fraction]θ/ζ[End of a fraction].
10	ἔσται ὁ μὲν αος ιϛ, ὁ δὲ βος κγ, ὁ δὲ γος λζ, καὶ μένει τὰ τῆς προτάσεως. λδ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν, προσλαβὼν τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν, ποιῇ τε‐
15	τράγωνον. Καὶ ἐπεί, ἐὰν ἀριθμὸς ὑπό τινος ἀριθμοῦ μετρῆται, καὶ λάβωμεν καθ’ ὃν μετρεῖται, καὶ ἀπὸ τοῦ μείζονος, τοῦ μετροῦντος καὶ καθ’ ὃν μετρεῖ, ἀφέλωμεν τὸν ἐλάσσονα, ὁ ἀπὸ τοῦ ἡμίσεος τοῦ λοιποῦ □ος, προσ‐
20	λαβὼν τὸν ἐξ ἀρχῆς, ποιεῖ □ον, τάσσω τὸν μὲν συγ‐ κείμενον ἐκ τῶν τριῶν, ἀπὸ ΔΥ τινῶν ἐχουσῶν με‐ τροῦντας τρεῖς· ἔστω δὴ ὁ ιβ. μετρεῖ γὰρ αὐτὸν Μο α κατὰ τὸν ιβ, καὶ Μο β κατὰ τὸν ϛ, καὶ Μο γ κατὰ τὸν δ. καὶ ἐὰν ἀφέλω τὸν μετροῦντα ἀπὸ τοῦ καθ’ ὃν μετρεῖ,
25	καὶ τῶν λοιπῶν λάβω τὰ ἡμίση, τάσσω τοὺς τρεῖς,
25	τὸν μὲν αον Μο ε 𐅵ʹ, τὸν δὲ βον Μο β, τὸν δὲ γον Μο 𐅵ʹ,
136	καὶ δῆλον ὡς ὁ ἀπὸ ἑκάστου τούτων □ος, προσλαβὼν τὸν ιβ, ποιεῖ □ον, ὃν μὲν ιβ δ×, ὃν δὲ ιϛ, ὃν δὲ μβ δ×. τάσσω οὖν αὐτοὺς ἐν 𐅶, τὸν μὲν αον 𐅶 ε 𐅵ʹ, τὸν δὲ βον 𐅶 β, τὸν δὲ γον 𐅶 𐅵ʹ· δεῖ δὲ τὸν συγκείμενον
5	ἐκ τῶν τριῶν ἴσον εἶναι ΔΥ ιβ. ἀλλ’ ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν τριῶν 𐅶 εἰσιν η. 𐅶 ἄρα η ἴσοι ΔΥ ιβ. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ϛ/δ[End of a fraction]. ἔσται ὁ μὲν αος κβ, ὁ δὲ βος η, ὁ δὲ γος β, καὶ μένει τὰ τῆς προτάσεως.
10	λε. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν τετράγωνος, λιπὼν τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν, ποιῇ τετράγωνον. Τάσσω ὁμοίως ἀριθμόν τινα ὃς μετροῦντας ἔχει
15	τρεῖς· ἔστω πάλιν τὸν ιβ· καὶ προσθεὶς τὸν μετροῦντα τῷ καθ’ ὃν μετρεῖ, καὶ ἥμισυ λαβών, τάσσω τοὺς τρεῖς ἀριθμούς, τὸν μὲν 𐅶 ϛ 𐅵ʹ, τὸν δὲ 𐅶 δ, τὸν δὲ 𐅶 γ 𐅵ʹ· καὶ συμβαίνει τὸν ἀπὸ ἑκάστου □ον, λιπόντα τὸν ιβ, ποιεῖν □ον.
20	λοιπὸν δεῖ τοὺς τρεῖς εἶναι ἴσους ΔΥ ιβ. ἀλλ’ οἱ τρεῖς συντεθέντες ποιοῦσιν 𐅶 ιδ. 𐅶 ἄρα ιδ ἴσοι εἰσὶ ΔΥ ιβ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ϛ/ζ[End of a fraction]. ἔσται ὁ μὲν αος με 𐅵ʹ, ὁ δὲ βος κη, ὁ δὲ γος κδ 𐅵ʹ,
20	καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.
138 (1t)	ΔΙΟΦΑΝΤΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ
2t	ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ Γ.
3	α. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκάστου αὐ‐
5	τῶν τετράγωνος λειφθεὶς ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν ποιῇ τετράγωνον. Ἐκτίθου δύο □ους, τὸν μὲν ἀπὸ 𐅶 α, τὸν δὲ ἀπὸ 𐅶 β, καὶ γίνονται οἱ ἀπ’ αὐτῶν □οι, ΔΥ ε. Τάσσω τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν ΔΥ ε, καὶ
10	τῶν ἐπιζητουμένων ἀριθμῶν, τὸν μὲν αον 𐅶 α, τὸν δὲ βον 𐅶 β, καὶ ἔστι δύο τῶν ἐπιταγμάτων λελυμένα· καὶ ἐπεὶ ἔχομεν τὸν ε διαιρούμενον εἰς δύο □ους, τήν τε μονάδα καὶ τὴν τετράδα, ἔστω μεταδιελεῖν αὐτόν, ὡς προδέδεικται, εἰς ἑτέρους δύο □ους, εἴς τε [Start of a fraction]κε/δ[End of a fraction] καὶ [Start of a fraction]κε/ρκα[End of a fraction].
15	τάσσω νῦν τὸν γον τῆς πλευρᾶς ἑνὸς τούτων· ἔστω [Start of a fraction]ε/β[End of a fraction] 𐅶· καὶ μένει πάλιν ὁ ἀπ’ αὐτοῦ λειφθεὶς ἀπὸ
15	συναμφοτέρου ποιῶν □ον τὸν [Start of a fraction]κε/ρκα[End of a fraction]. δεήσει τοὺς τρεῖς
140	λοιπὸν ἴσους εἶναι ΔΥ ε· ἀλλ’ οἱ τρεῖς εἰσιν 𐅶 γ καὶ [Start of a fraction]ε/β[End of a fraction], καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ρκε/πε[End of a fraction]. ἔσται ὁ μὲν αος πε, ὁ δὲ βος ρο, ὁ δὲ γος λδ, καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.
5	β. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκει‐ μένου ἐκ τῶν τριῶν τετράγωνος, προσλαβὼν ἕκαστον αὐτῶν, ποιῇ τετράγωνον. Τετάχθω ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν ΔΥ α.
10	τάσσω τὸν μὲν αον ΔΥ γ, τὸν δὲ βον ΔΥ η, τὸν δὲ γον ΔΥ ιε, ἵνα ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν, τουτ‐ έστιν ἡ ΔΥ α, προσλαβοῦσα ἕκαστον, ποιῇ □ον, ὃν μὲν ΔΥ δ, 〈ὃν δὲ ΔΥ θ〉, ὃν δὲ ΔΥ ιϛ. καὶ δεήσει τοὺς τρεῖς συντεθέντας ἴσους γίνεσθαι
15	τῇ πλευρᾷ τοῦ ἀπὸ τῶν τριῶν, τουτέστιν 𐅶 α. ἀλλ’ οἱ τρεῖς συντεθέντες ποιοῦσι ΔΥ κϛ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ἑνὸς 〈κϛου〉. ἔσται ἄρα ὁ μὲν αος [Start of a fraction]χοϛ/γ[End of a fraction], ὁ δὲ βος [Start of a fraction]χοϛ/η[End of a fraction], ὁ δὲ γος [Start of a fraction]χοϛ/ιε[End of a fraction], καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.
20	γ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκει‐ μένου ἐκ τῶν τριῶν λείψας ἕκαστον ποιῇ τετράγωνον.
20	Τετάχθω ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν τριῶν 𐅶 δ, ὁ δὲ
142	ἀπ’ αὐτοῦ τετράγωνος ΔΥ ιϛ, ὃς λείψας ΔΥ ζ, καὶ ΔΥ ιβ, καὶ ΔΥ ιε, ποιεῖ □ον. τάσσω οὖν τὸν μὲν αον ΔΥ ζ, τὸν δὲ βον ΔΥ ιβ, τὸν δὲ γον ΔΥ ιε. λοιπόν ἐστι τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν
5	τριῶν ἴσον εἶναι τοῖς τρισί. ἀλλ’ ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν τριῶν ὑπόκειται 𐅶 δ, οἱ δὲ τρεῖς εἰσιν ΔΥ λδ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ιζ/β[End of a fraction], ἡ δὲ ΔΥ [Start of a fraction]σπθ/δ[End of a fraction]. ἔσται ὁ μὲν αος κη, ὁ δὲ βος μη, ὁ δὲ γος ξ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.
10	δ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκει‐ μένου ἐκ τῶν τριῶν τετράγωνος, λειφθεὶς ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν, ποιῇ τετράγωνον. Τετάχθω ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν τριῶν 𐅶 α, ὁ δὲ
15	ἀπὸ τούτου τετράγωνος ΔΥ α, καὶ ἔστωσαν οἱ τρεῖς, ὃς μὲν ΔΥ β, ὃς δὲ ΔΥ ε, ὃς δὲ ΔΥ ι. καὶ μένει ἕκα‐ στος αὐτῶν, λείψας τὸν ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν, τουτέστιν τὴν ΔΥ α, ποιῶν □ον. καὶ ἐπεὶ ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν
20	πλευρὰν δηλονότι ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν, ἡ ἄρα σύνθεσις τῶν τριῶν ἐστιν 𐅶 α, ἀλλὰ καὶ ΔΥ ιζ.
20	καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ἑνὸς 〈ιζου〉, ἡ δὲ ΔΥ ἑνὸς 〈σπθου〉.
144	ἔσται ὁ μὲν αος β, ὁ δὲ βος ε, ὁ δὲ γος ι, καὶ ποι‐ οῦσι τὰ τῆς προτάσεως. ε. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἴσους τετραγώνῳ, ὅπως σὺν
5	δύο λαμβανόμενοι τοῦ λοιποῦ ὑπερέχωσι τετραγώνῳ. Τετάχθωσαν οἱ τρεῖς ἴσοι □ῳ ἀπὸ 𐅶 α Μο α τουτ‐ έστι ΔΥ α 𐅶 β Μο α, ὧν ὁ αος καὶ ὁ βος τοῦ γου ὑπερ‐ εχέτωσαν Μο α· ὁ ἄρα γος ἔσται ΔΥ 𐅵ʹ 𐅶 α, ἵνα καὶ ὁ αος καὶ ὁ βος ὑπερέχωσι τοῦ γου τῇ μονάδι.
10	πάλιν ὁ βος καὶ ὁ γος τοῦ αου ὑπερέχουσι □ῳ· ὑπερεχέτωσαν ΔΥ α· ἔσται ὁμοίως ὁ αος 𐅶 α Μο 𐅵ʹ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν βον ἔχομεν ΔΥ 𐅵ʹ Μο 𐅵ʹ. λοιπὸν δεῖ τὸν αον μετὰ τοῦ γου ὑπερέχειν τοῦ βου □ῳ· ἀλλὰ ὁ αος μετὰ τοῦ γου τοῦ μέσου ὑπερέχει 𐅶 β·
15	ταῦτα ἴσα □ῳ, τουτέστι Μο ιϛ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο η. ἔσται ὁ μὲν αος Μο η 𐅵ʹ, ὁ δὲ βος Μο λβ 𐅵ʹ, ὁ δὲ γος
15	Μο μ, καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.
146	Ἄλλως. Ζητῶ πρότερον τρεῖς ἀριθμοὺς ἴσους εἶναι □ῳ. ἐὰν δὲ συνθῶ δύο ἀριθμούς, οἷον τὸν δ καὶ τὸν θ, καὶ ζητήσω τίς □ος, προσλαβὼν τὸν ιγ, ποιεῖ □ον, εὑ‐
5	ρήσω τὸν λϛ· καὶ ἔσονται οἱ τρεῖς □οι ἴσοι ἑνὶ □ῳ. λοιπὸν ἀπῆκται εἰς τὸ ζητῆσαι εὑρεῖν τρεῖς ἀριθ‐ μοὺς ὅπως σὺν δύο τοῦ λοιποῦ ὑπερέχωσι δοθέντι ἀριθμῷ, ὁ μὲν αος μετὰ τοῦ βου, τοῦ γου, Μο δ· ὁ δὲ βος μετὰ τοῦ γου, τοῦ αου, Μο θ· ὁ δὲ γος μετὰ τοῦ αου,
10	τοῦ βου, ταῖς Μο λϛ. τοῦτο δὲ προδέδεικται καὶ ἔστιν ὁ μὲν αος Μ κ, ὁ δὲ βος Μο ϛ 𐅵ʹ, ὁ δὲ γος Μο κβ 𐅵ʹ, καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. ϛ.
15	Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἴσους τετραγώνῳ, ἵνα σὺν δύο λαμβανόμενοι ποιῶσι τετράγωνον. Τετάχθωσαν οἱ τρεῖς ἴσοι □ῳ, ΔΥ α 𐅶 β Μο α· ὁ δὲ αος μετὰ τοῦ βου, ΔΥ α· λοιπὸς ἄρα ὁ γος ἔσται 𐅶 β Μο α. πάλιν, ἐπεὶ ζητοῦμεν τὸν βον μετὰ τοῦ γου ποιεῖν □ον,
20	ποιείτω ΔΥ α Μο α ⩚ β ἀπὸ πλ. 𐅶 α ⩚ Μο α· καί εἰσιν
148	οἱ τρεῖς ΔΥ α 𐅶 β Μο α· λοιπὸς ἄρα ὁ αος ἔσται 𐅶 δ· ἀλλὰ καὶ σὺν τῷ βῳ τέτακται ΔΥ α, ὁ ἄρα βος ἔσται ΔΥ α ⩚ 𐅶 δ. δεήσει ἄρα καὶ τὸν αον μετὰ τοῦ γου συναγόμενον
5	𐅶 ϛ Μο α ἰσῶσαι □ῳ· ἔστω ἴσος Μο ρκα, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο κ. ἔσται ὁ μὲν αος Μο π, ὁ δὲ βος Μο τκ, ὁ δὲ γος Μο μα, καὶ ποιοῦσι τὸ ἐπίταγμα. Ἄλλως.
10	Τετάχθωσαν οἱ τρεῖς ΔΥ α 𐅶 β Μο α· καὶ ἔστω ὁ αος καὶ ὁ βος ΔΥ α, λοιπὸς ἄρα ὁ γος ἔσται 𐅶 β Μο α. ἔστω δὲ Καὶ ὁ βος μετὰ τοῦ γου ΔΥ α Μο α ⩚ 𐅶 β, ὧν ὁ γος 𐅶 β Μο α· λοιπὸς ἄρα ὁ βος ἔσται ΔΥ α ⩚ 𐅶 δ. ἔστι δὲ καὶ ὁ αος μετὰ τοῦ βου ΔΥ α, ὧν ὁ βος, ΔΥ α ⩚ 𐅶 δ·
15	λοιπὸς ἄρα ὁ αος ἔσται 𐅶 δ. καὶ οἱ τρεῖς συντεθέντες ποιοῦσι τὸν ἐπιταχθέντα □ον, ΔΥ α 𐅶 β Μο α, καὶ ὁ αος
15	μετὰ τοῦ βου, καὶ ὁ βος μετὰ τοῦ γου ποιοῦσι □ον.
150	δεήσει ἄρα καὶ τὸν γον μετὰ τοῦ αου συναγόμενον 𐅶 ϛ Μο α, ἰσῶσαι □ῳ· ἔστω Μο λϛ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ϛ/λε[End of a fraction]. ἔσται ὁ μὲν αος [Start of a fraction]ϛ/ρμ[End of a fraction], τουτέστιν [Start of a fraction]λϛ/ωμ[End of a fraction], ὁ δὲ βος [Start of a fraction]λϛ/τπε[End of a fraction], ὁ δὲ γος [Start of a fraction]λϛ/υνϛ[End of a fraction], καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.
5	ζ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ὅπως σὺν δύο λαμβανόμενοι ποιῶσι τετράγωνον. Ζητῶ πρότερον τρεῖς ἀριθμοὺς 〈□ους〉, ἵνα ὦσιν ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ὧν τὸ 𐅵ʹ τῆς συνθέσεως τῶν τριῶν
10	μεῖζόν ἐστιν ἑκάστου. τετάχθω οὖν ὁ μὲν αος ΔΥ α, ὁ δὲ βος ΔΥ α 𐅶 β Μο α, καὶ ἔστιν αὐτῶν ἡ ὑπεροχὴ 𐅶 β Μο α· ἐὰν δὲ προσθῶ τῷ βῳ τοὺς β 𐅶 Μο α, γίνεται ὁ γος ΔΥ α 𐅶 δ Μο β· ταῦτα ἴσα □ῳ τῷ ἀπὸ πλ. 𐅶 α ⩚ Μο η. γίνεται ὁ □ος, ΔΥ α
15	Μο ξδ ⩚ 𐅶 ιϛ ἴσος ΔΥ α 𐅶 δ Μο β, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]κ/ξβ[End of a fraction], τουτ‐ έστι [Start of a fraction]ι/λα[End of a fraction]. ἔσται ὁ μὲν αος ϡξα, ὁ δὲ βος ͵αχπα, ὁ δὲ γος, ͵βυα, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα τὸ ζητούμενον, τουτέστι τρεῖς □ους ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, καὶ ἔστι τῶν τριῶν τὸ 𐅵ʹ μεῖζον
20	ἑκάστου αὐτῶν.
20	Νῦν ἔρχομαι ἐπὶ τὸ προβεβλημένον, τουτέστιν εὑ‐
152	ρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ὅπως σὺν δύο λαμβανόμενοι ποιῶσι □ον. ζητῶ πρότερον τρεῖς □ους ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ· τοῦτο δὲ προδέδεικται, καί εἰσιν οἱ □οι, ὁ αος ϡξα, ὁ βος ͵αχπα, ὁ γος ͵βυα.
5	νῦν δεῖ εὑρεῖν ὅπως ὁ αος καὶ ὁ βος ποιῶσι Μο ϡξα, ὁ δὲ βος καὶ ὁ γος 〈Μο〉 ͵βυα (ἐνήλλακται γὰρ διὰ τὴν ὑπεροχήν), ὁ δὲ γος καὶ ὁ αος Μο ͵αχπα. Τετάχθωσαν οἱ τρεῖς 𐅶 α, καὶ ἐπεὶ οἱ τρεῖς εἰσιν 𐅶 α, ἐὰν ἄρα ἀφέλω τὰς τοῦ αου καὶ βου Μο ϡξα, ἕξω
10	τὸν γον, 𐅶 α ⩚ Μο ϡξα. καὶ πάλιν ἐὰν ἀπὸ 𐅶 α ἀφέλω τὰς τοῦ βου καὶ γου Μο ͵βυα, ἕξω τὸν αον, 𐅶 α 〈⩚ Μο ͵βυα· καὶ πάλιν ἐὰν ἀπὸ 𐅶 α ἀφέλω τὰς τοῦ γου καὶ αου Μο ͵αχπα, ἕξω τὸν βον, 𐅶 α〉 ⩚ Μο ͵αχπα. λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς συντεθέντας ἴσους εἶναι 𐅶 α,
15	καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ͵βφκα 𐅵ʹ. καὶ ἔσται ὁ μὲν αος Μο ρκ 𐅵ʹ, ὁ δὲ βος Μο ωμ 𐅵ʹ, ὁ
15	δὲ γος Μο ͵αφξ 𐅵ʹ, καὶ μένει τὸ ἐπίταγμα.
154	η. Ἀριθμοῦ τινος δοθέντος, προσευρεῖν ἑτέρους τρεῖς, ὅπως ὁ συγκείμενος ἐκ δύο ὁποιωνοῦν προσλαβὼν τὸν δοθέντα ποιῇ τετράγωνον, ἔτι δὲ καὶ οἱ τρεῖς συν‐
5	τεθέντες καὶ προσλαβόντες τὸν δοθέντα ποιῶσι τετρά‐ γωνον. Ἔστω ὁ μὲν δοθεὶς Μο γ, ὁ δὲ συγκείμενος ἐκ δύο τῶν αων ΔΥ α 𐅶 δ Μο α, ἵνα μετὰ τῶν γ Μο ποιῇ□ον, οἱ δὲ ἑξῆς δύο ΔΥ α 𐅶 ϛ Μο ϛ, οἱ δὲ τρεῖς ΔΥ α 𐅶 η Μο ιγ,
10	ἵνα καὶ οὗτοι μετὰ Μο γ ποιῶσι □ον. καὶ ἐπεὶ οἱ τρεῖς εἰσι ΔΥ α 𐅶 η Μο ιγ, ὧν οἱ αοι δύο ΔΥ α 𐅶 δ Μο α, λοιπὸς ἄρα ὁ γος ἐστὶν 𐅶 η Μο ιβ. πάλιν ἐπεὶ οἱ τρεῖς εἰσι ΔΥ α 𐅶 η Μο ιγ, ὧν ὁ βος καὶ γος ἐστὶ ΔΥ α 𐅶 ϛ Μο ϛ, λοιπὸς ἄρα ὁ αος ἐστιν
15	𐅶 β Μο ζ. ἀλλὰ καὶ ὁ αος καὶ ὁ βος εἰσι ΔΥ α 𐅶 δ Μο α, καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ βος ἔσται ΔΥ α 𐅶 β ⩚ Μο ϛ. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν αον μετὰ τοῦ γου, προσλαβόντα Μο γ, ποιεῖν □ον. ἀλλ’ ὁ αος μετὰ τοῦ γου, προσλαβὼν
20	Μο γ, γίνονται 𐅶 ϛ Μο κβ. ταῦτα ἴσα □ῳ· ἔστω τῷ ρ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ιγ. ἔσται ὁ μὲν αος Μο λγ, ὁ δὲ βος Μο ρπθ, ὁ δὲ γος
20	Μο ξδ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.
156	θ. Ἀριθμοῦ τινος δοθέντος, προσευρεῖν ἑτέρους τρεῖς, ὅπως ὁ συγκείμενος ἐκ δύο ὁποιωνοῦν, λείψας τὸν δο‐ θέντα, ποιῇ τετράγωνον, ἔτι δὲ καὶ οἱ τρεῖς, συν‐
5	τεθέντες καὶ λείψαντες τὸν δοθέντα, ποιῶσι τετρά‐ γωνον. Ἔστω πάλιν ὁ μὲν δοθεὶς Μο γ· ὁ δὲ συγκείμενος ἐκ τῶν δύο αων ΔΥ α Μο γ, ἵνα λείψας τὰς γ Μο ποιῇ □ον· οἱ δὲ ἑξῆς δύο ΔΥ α 𐅶 β Μο δ, οἱ δὲ τρεῖς ΔΥ α
10	𐅶 δ Μο ζ, ἵνα καὶ οὗτοι, ⩚ Μο γ, ποιῶσι □ον. καὶ ἐπεὶ οἱ τρεῖς εἰσι ΔΥ α 𐅶 δ Μο ζ, ὧν ὁ αος καὶ ὁ βος ΔΥ α Μο γ· λοιπὸς ἄρα ὁ γος ἐστὶν 𐅶 δ Μο δ. πάλιν ἐπεὶ ὁ βος καὶ ὁ γος εἰσὶ ΔΥ α 𐅶 β Μο δ, ὧν ὁ γος ἐστὶν 𐅶 δ Μο δ· λοιπὸς ἄρα ὁ βος ἔσται ΔΥ α ⩚ 𐅶 β.
15	ἔστι δὲ καὶ ὁ αος καὶ ὁ βος ΔΥ α Μο γ, ὧν ὁ βος ἐστι ΔΥ α ⩚ 𐅶 β· λοιπὸς ἄρα ὁ αος ἔσται 𐅶 β Μο γ. δεήσει ἄρα καὶ τὸν γον μετὰ τοῦ αου ⩚ Μο γ ποιεῖν □ον. ἀλλ’ ὁ γος μετὰ τοῦ αου ⩚ Μο γ ἐστιν 𐅶 ϛ Μο ι. ταῦτα ἴσα □ῳ· ἔστω τῷ ξδ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ι.
20	ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν αος Μο κγ, ὁ δὲ βος Μο π, ὁ δὲ γος Μο μδ, καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προ‐
20	τάσεως.
158	ι. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν προσλαβὼν τὸν δοθέντα ἀριθμὸν ποιῇ τετράγωνον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ιβ.
5	Ἐπεὶ οὖν ζητοῦμεν τὸν ὑπὸ αου καὶ βου προσλα‐ βόντα τὸν ιβ ποιεῖν □ον, ἐὰν ἄρα ἀπό τινος □ου ἀφέλω τὸν ιβ, ἕξω τὸν ὑπὸ αου καὶ βου. ἔστω δὴ ὁ □ος Μο κε· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τούτου ἀφέλω τὸν ιβ, λοιπὸν ἕξω τὸν ὑπὸ αου καὶ βου, Μο ιγ. ἔστω οὖν ὁ μὲν αος
10	Μο ιγ, ὁ δὲ βος Μο α, καὶ τετάχθωσαν ἐν 𐅶οῖς ὥστε τὸν ὑπ’ αὐτῶν ποιεῖν Μο ιγ. καὶ ἔστω ὁ μὲν αος 𐅶 ιγ, ὁ δὲ βος ἀριθμοστοῦ 〈α〉. ἐὰν δὲ καὶ ἀπὸ ἑτέρου □ου ἀφέλω Μο ιβ, ἕξω τὸν ὑπὸ βου καὶ γου. ἔστω ἀπὸ τοῦ ιϛ· λοιπὸς ἄρα ὁ ὑπὸ
15	βου καὶ γου ἔσται Μο δ. τετάχθωσαν πάλιν ἐν 𐅶οῖς ὥστε ποιεῖν τὸν ὑπ’ αὐτῶν Μο δ, ὧν ὁ βος ἐστιν 𐅶 ×· λοιπὸς ἄρα ὁ γος ἔσται 𐅶 δ. δεήσει ἄρα καὶ τὸν ὑπὸ αου καὶ γου μετὰ Μο ιβ ποιεῖν □ον. ἀλλὰ ὁ ὑπὸ αου καὶ γου ἐστὶ ΔΥ νβ. δεήσει
20	ἄρα ΔΥ νβ μετὰ Μο ιβ ποιεῖν □ον, καὶ εἰ εἶχον τὸ πλῆθος τῶν ιγ Μο τοῦ αου □ον, εὐχερὴς ἦν ἡ ἴσωσις. ἀλλ’ ἐπεὶ οὐ τοῦτο, ἀπῆκταί μοι εἰς τὸ εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ’ αὐτῶν ᾖ τετράγωνος καὶ ἔτι ἑκάτερος μετὰ Μο ιβ ποιῇ τετράγωνον· ἐὰν δὲ ἀντὶ
25	ἀριθμῶν εὕρω τοὺς τετραγώνους, ἔσται ὁ ὑπ’ αὐτῶν τετράγωνος. γέγονεν οὖν εὑρεῖν δύο τετραγώνους ὧν
25	ἑκάτερος μετὰ Μο ιβ ποιεῖ □ον. τοῦτο δὲ ῥᾴδιον καὶ
160	εὐχερῆ, ὡς ἔφαμεν, ποιοῦν τὴν ἴσωσιν. καὶ ἔστιν ὁ μὲν δ, ὁ δὲ δ×· ἑκάτερος γὰρ τούτων μετὰ Μο ιβ ποιεῖ τετράγωνον. Τούτων εὑρεθέντων ἔρχομαι ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ
5	τάσσω τὸν μὲν αον 𐅶 δ, τὸν δὲ βον 𐅶 ×, τὸν δὲ γον 𐅶 δ×. καὶ λοιπόν ἐστι τὸν ὑπὸ αου καὶ γου μετὰ Μο ιβ ποιεῖν □ον. ἀλλ’ ὁ ὑπὸ αου καὶ γου ἐστὶ ΔΥ α. ΔΥ ἄρα α μετὰ Μο ιβ ἴση ἐστὶ □ῳ. πλάσσω τὸν □ον ἀπὸ πλευρᾶς 𐅶 α Μο γ· αὐτὸς ἄρα
10	ἔσται ΔΥ α 𐅶 ϛ Μο θ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 𐅵ʹ, καὶ μένει τὸ ἐπίταγμα. ια. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν λείψας τὸν δοθέντα ποιῇ τετράγωνον,
15	Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ι. Ἐπεὶ ζητοῦμεν τὸν ὑπὸ αου καὶ βου, ⩚ Μο ι, ποιεῖν □ον, ἐὰν ἄρα τινὶ □ῳ προσθῶ Μο ι, ἕξω τὸν ὑπ’ αὐ‐ τῶν· ἔστω τῷ δ. ἔσται ἄρα ὁ ὑπὸ αου καὶ βου Μο ιδ. ἔστω ὁ αος Μο ιδ· ὁ ἄρα βος ἔσται Μο α. καὶ τετάχθω
20	πάλιν ἐν 𐅶οῖς ὥστε τὸν ὑπ’ αὐτῶν ποιεῖν Μο ιδ, καὶ
20	ἔστω ὁ μὲν αος 𐅶 ιδ, ὁ δὲ βος 𐅶 ×.
162	πάλιν ἐὰν ἑτέρω □ῳ προσθῶ Μο ι, ἕξω τὸν ὑπὸ τοῦ βου καὶ γου· ἔστω τῷ θ· ἔσται ἄρα ὁ ὑπὸ βου καὶ γου, Μο ιθ· ὧν ὁ βος ἐστιν α 𐅶 ×· λοιπὸς ἄρα ὁ γος ἔσται 𐅶 ιθ.
5	δεήσει ἄρα καὶ τὸν ὑπὸ γου καὶ αου ⩚ Μο ι 〈ποιεῖν □ον· ἀλλ’ ὁ ὑπὸ γου καὶ αου ⩚ Μο ι〉 γίνεται ΔΥ σξϛ ⩚ Μο ι· ταῦτα ἴσα □ῳ. καὶ διὰ τὰ ἐν τῷ πρὸ τούτου εἰρημένα, ἀπῆκταί μοι εἰς τὸ εὑρεῖν δύο τετραγώνους ὧν ἑκάτερος λείψει Μο ι ποιεῖ τετράγωνον· τοῦτο δὲ
10	ῥᾴδιον. [εὑρήσεις γάρ, ζητήσῃς ἄν τίς τετράγωνος λείψει Μο ι ποιῇ τετράγωνον· καὶ ἐπεὶ ἐάν τινι ἀριθμῷ προσ‐ τεθῇ μονάς, καὶ τῶν γενομένων τὸ ἥμισυ τετραγωνί‐ σωμεν, καὶ ἀπὸ τοῦ γενομένου τετραγώνου ἀφέλωμεν
15	τὸν ἐξ ἀρχῆς, ὁ λοιπὸς πάλιν τετράγωνος ἔσται, προσ‐ τίθημι ταῖς ι Μο, Μο α, καὶ τῶν γενομένων τὸ ἥμισυ, τουτέστι τὰ ε 𐅵ʹ, τετραγωνίσας, ἀπὸ τῶν γενομένων Μο λ δ× ἀφελὼν τὰς Μο ι, ἕξω □ον Μο κ δ× ἀπὸ πλ· δ 𐅵ʹ.
15	τάσσω οὖν τὸν μὲν αον λ δ×, τὸν δὲ γον ΔΥ α· δεήσει
164	ἄρα καὶ ἀπὸ ΔΥ α ἀφαιρεθεισῶν Μο ι τὸν λοιπὸν γί‐ νεσθαι □ον. ΔΥ ἄρα α ⩚ Μο ι ἴση ἐστὶ □ῳ· πλάσσω τὸν □ον ἀπὸ πλ. 𐅶 α ⩚ Μο β· αὐτὸς ἄρα ἔσται ΔΥ α Μο δ ⩚ 𐅶 δ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο γ 𐅵ʹ. ἐπεὶ ἔταξα τὸν γον
5	ΔΥ α, ἔσται ιβ δ×. ἔστι δὲ καὶ ὁ αος λ δ×· οἵτινες ⩚ Μο ι ποιοῦσι □ους.] Ἔρχομαι ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς ζητούμενον καὶ τάσσω τὸν αον 𐅶 λ δ×, τὸν δὲ βον 𐅶 ×, τὸν δὲ γον 𐅶 ιβ δ×, λοιπὸν δὴ τὸν ὑπὸ αου καὶ γου γίνεσθαι ΔΥ το 𐅵ʹ ιϛ×·
10	οὗτος ἄρα ⩚ Μο ι ἴσος ἐστὶ □ῳ· καὶ ἵνα ὅλαι ΔΥ ὦσι, ποιῶ αὐτὰς ιϛκις. ΔΥ ἄρα ͵εϡκθ ⩚ Μορξ ἴσαι □ῳ τῷ ἀπὸ πλ. 𐅶 οζ ⩚ Μο β, τουτέστι ΔΥ ͵εϡκθ Μο δ ⩚ 𐅶 τη. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]οζ/μα[End of a fraction].
15	ἔταξα τὸν αον 𐅶 λ δ×, ἔσται [Start of a fraction]οζ/͵ασμ[End of a fraction] δ×· τὸν δὲ βον 𐅶 ×, ἔσται [Start of a fraction]μα/οζ[End of a fraction]· τὸν δὲ γον 𐅶 ιβ δ×, ἔσται [Start of a fraction]οζ/φβ[End of a fraction] δ×· καὶ μένει τὰ τῆς προτάσεως. ιβ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν
20	προσλαβὼν τὸν λοιπὸν ποιῇ τετράγωνον.
20	Ἐπεὶ ζητοῦμεν τὸν ὑπὸ αου καὶ βου προσλαβόντα
166	τὸν λοιπὸν ποιεῖν □ον, ἐὰν ἄρα ἐκθέμενοί τινα □ον, μέρος μέν τι αὐτοῦ τάξωμεν τὸν γον, τὸν δὲ λοιπὸν τὸν ὑπὸ αου καὶ βου, λύσομεν ἓν τῶν ἐπιταγμάτων. πεπλάσθω ὁ □ος ἀπὸ 𐅶 α Μο γ· αὐτὸς ἄρα ἔσται ΔΥ α
5	𐅶 ϛ Μο θ· τετάχθω ὁ γος Μο θ· λοιπὸς ἄρα ἔσται ὁ ὑπὸ αου καὶ βου ΔΥ α 𐅶 ϛ. τετάχθω ὁ αος 𐅶 α· λοιπὸς ἄρα ὁ βος ἔσται 〈𐅶 α Μο ϛ. δεήσει ἄρα καὶ τὸν ὑπὸ βου καὶ γου προσλαβόντα τὸν αον καὶ γινόμενον〉 𐅶 ι Μο νδ ἴσον εἶναι □ῳ καὶ ἔτι τὸν ὑπὸ γου καὶ αου προσλαβόντα
10	τὸν βον καὶ γινόμενον 𐅶 ι Μο ϛ ἴσον πάλιν γίνεσθαι □ῳ. καὶ γίνεται διπλῆ ἡ ἰσότης, καὶ ἔστιν αὐτῶν ὑπεροχὴ Μο μη. δεήσει ἄρα εὑρεῖν δύο τετραγώνους ἐν ὑπεροχῇ Μο μη· τοῦτο δὲ ῥᾴδιον καὶ ἀπειραχῶς γίνεται· καὶ
15	ἔστιν ὁ μὲν ἐλάσσων Μο ιϛ, ὁ δὲ μείζων Μο ξδ, καὶ πρὸς ὁποῖον ἂν αὐτῶν ποιήσωμαι τὴν ἰσότητα, εὑρήσω τὴν ὑπόστασιν τοῦ 𐅶οῦ· ἐάν τε γὰρ φήσωμεν τὰς τοῦ μεί‐ ζονος Μο ξδ ἴσας εἶναι 𐅶 ι Μο νδ, συνάγεται ὁ 𐅶 Μο α· ἐάν τε πάλιν φήσωμεν τὰς τοῦ ἐλάσσονος Μο ιϛ ἴσας
20	εἶναι 𐅶 ι Μο ϛ, συνάγεται ὁ 𐅶 Μο α. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος Μο α, ὁ δὲ βος Μο ζ· ἔστι δὲ καὶ ὁ γος Μο θ, καὶ ποιοῦσι τὸ ἐπί‐ ταγμα. ιγ.
25	Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν
25	λείψας τὸν λοιπὸν ποιῇ τετράγωνον.
168	Τετάχθω ὁ αος 𐅶 α, ὁ δὲ βος 𐅶 α Μο δ· ὁ ἄρα ὑπ’ αὐτῶν ἔσται ΔΥ α 𐅶 δ. δεήσει ἄρα τοῦτον λείψαντα τὸν γον ποιεῖν □ον· ἐὰν οὖν τὸν γον τάξω 𐅶 δ, 〈λυθή‐ σεται ἓν τῶν ἐπιταγμάτων.
5	δεήσει ἄρα καὶ τὸν ὑπὸ βου καὶ γου λείψαντα τὸν αον ποιεῖν □ον〉, καὶ τὸν ὑπὸ γου καὶ αου λείψαντα τὸν βον ποιεῖν □ον· ἀλλ’ ὁ μὲν ὑπὸ βου καὶ γου λείψας τὸν αον ἐστι ΔΥ δ 𐅶 ιε, ἴσος □ῳ· ὁ δὲ ὑπὸ γου καὶ αου λείψας τὸν βον ἐστι ΔΥ δ ⩚ 𐅶 α Μο δ ἴσος □ῳ.
10	καὶ γίνεται πάλιν διπλῆ ἡ ἴσωσις· τῆς γὰρ ὑπερ‐ οχῆς αὐτῶν τυγχανούσης 𐅶 ιϛ Μο δ, ζητῶ δύο ἀριθμοὺς ὧν τὸ ὑπὸ ποιεῖ 𐅶 ιϛ Μο δ· εἰσὶ δὲ Μο δ καὶ 𐅶 δ Μο α. πάλιν οὖν ἢ τῆς συνθέσεως τούτων τὸ ἥμισυ ἐφ’ ἑαυτὸ ἴσον ἐστὶ τῷ μείζονι, ἢ τῆς ὑπεροχῆς τὸ ἥμισυ
15	ἐφ’ ἑαυτὸ ἴσον τῷ ἐλάσσονι, καὶ συνάγεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]κ/κε[End of a fraction]. ἔσται ὁ μὲν αος κε, ὁ δὲ βος ρε, ὁ δὲ γος ρ, καὶ μένει τὰ τῆς προτάσεως. ιδ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν
20	προσλαβὼν τὸν ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τετράγωνον ποιῇ τε‐
20	τράγωνον.
170	Τετάχθω ὁ αος 𐅶 α, ὁ δὲ βος 𐅶 δ Μο δ, ὁ δὲ γος Μο α, ἵνα ᾖ λελυμένα δύο τῶν ἐπιταγμάτων. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ὑπὸ γου καὶ αου προσλαβόντα τὸν ἀπὸ τοῦ βου, ποιεῖν □ον. ἀλλ’ ὁ ὑπὸ γου καὶ αου
5	προσλαβὼν τὸν ἀπὸ τοῦ βου ποιεῖ ΔΥ ιϛ 𐅶 λγ Μο ιϛ· ταῦτα ἴσα □ῳ τῷ ἀπὸ πλευρᾶς 𐅶 δ ⩚ Μο ε τούτεστι ΔΥ ιϛ Μο κε ⩚ 𐅶 μ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ογ/θ[End of a fraction]. ἔσται ὁ μὲν αος θ, ὁ δὲ βος τκη, ὁ δὲ γος ογ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.
10	ιε. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν προσλαβὼν συναμφότερον ποιῇ τετράγωνον. Πάντων δὴ δύο τετραγώνων κατὰ τὸ ἑξῆς ὁ ὑπὸ προσλαβὼν συναμφότερον ποιεῖ τετράγωνον.
15	Τετάχθω τοίνυν ὁ μὲν αος Μο δ, ὁ δὲ βος Μο θ, ἵνα ὁ ὑπ’ αὐτῶν γενόμενος □ος Μο λϛ, προσλαβὼν συν‐ αμφότερον, ποιῇ □ον. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ὑπὸ βου καὶ γου προσλαβόντα συναμφότερον καὶ ἔτι τὸν ὑπὸ γου καὶ αου προσλαβόντα συναμφότερον ποιεῖν □ον.
20	τετάχθω ὁ γος 𐅶 α, καὶ γίνεται ὁ ὑπὸ βου καὶ γου, προσλαβὼν συναμφοτέρους, 𐅶 ι Μο θ ἴσος □ῳ, καὶ ἔτι ὁ ὑπὸ γου καὶ αου, προσλαβὼν συναμφοτέρους, 𐅶 ε Μο δ ἴσος □ῳ καὶ γίνεται πάλιν καὶ ἐνταῦθα διπλῆ ἡ ἴσωσις καὶ ἔστιν ἡ ὑπεροχὴ 𐅶 ε Μο ε. ζητῶ οὖν πάλιν δύο
25	ἀριθμοὺς ὧν τὸ ὑπό ἐστιν 𐅶 ε Μο ε. καί εἰσιν ὧν τὸ
172	ὑπὸ ποιεῖ τὴν ὑπεροχήν, ὃς μὲν 𐅶 α Μο α, ὃς δὲ Μο ε. καὶ ὁμοίως [τὸ ἐν τῷ δευτέρῳ] ἢ τῆς συνθέσεως αὐ‐ τῶν τὸ ἥμισυ ἐφ’ ἑαυτὸ ἴσον τῷ μείζονι ἢ τῆς ὑπερ‐ οχῆς τὸ ἥμισυ 〈ἐφ’ ἑαυτὸ〉 ἴσον τῷ ἐλάσσονι, καὶ γί‐
5	νεται ὁ 𐅶 Μο κη. καὶ ἔστιν ὁ μὲν αος Μο δ, ὁ δὲ βος Μο θ, ὁ δὲ γος Μο κη. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. Ἄλλως. Εὑρεῖν ἀριθμοὺς τρεῖς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν
10	προσλαβὼν συναμφότερον ποιῇ τετράγωνον. Τετάχθω ὁ μὲν αος 𐅶 α, ὁ δὲ βος Μο γ, καὶ γίνεται ὁ ὑπ’ αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρων 𐅶 δ Μο γ· ταῦτα ἴσα □ῳ· ἔστω Μο κε, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ε 𐅵ʹ. ἔσται ὁ μὲν αος Μο ε 𐅵ʹ, ὁ δὲ βος Μο γ, καὶ λέλυται ἓν τῶν ἐπι‐
15	ταγμάτων· ὁ γὰρ ὑπ’ αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρων ποιεῖ τὸν κε □ον. δεήσει ἄρα καὶ τὸν ὑπὸ βου καὶ γου, καὶ ἔτι τὸν ὑπὸ γου καὶ αου, προσλαβόντα συναμφότερον, ποιεῖν □ον. τετάχθω ὁ γος 𐅶 α, καὶ γίνεται ὁ μὲν ὑπὸ βου καὶ
20	γου προσλαβὼν συναμφοτέρους πάλιν 𐅶 δ Μο γ, ὁ δὲ ὑπὸ
174	γου καὶ αου 𐅶 ϛ 𐅵ʹ Μο ε 𐅵ʹ, ἴσος ἑκάτερος □ῳ· καὶ διὰ τὸ πλεονάζειν ἐν τῷ ἑτέρῳ τὸ πλῆθος τῶν 𐅶 καὶ τῶν Μο, καὶ μηδὲ λόγον αὐτοὺς ἔχειν ὃν □ος πρὸς □ον, σχολάζει ἡ γεγενημένη ὑπόστασις.
5	ἀπῆκται οὖν 〈εἰς τὸ〉 εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ’ αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρων ποιῇ τετράγωνον, καὶ ἔτι 〈οἱ μονάδι μείζονες αὐτῶν〉 πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον. Ἐπεὶ ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ ᾖ τετραπλασίων καὶ Μο γ
10	μείζων, οἱ μονάδι μείζονες αὐτῶν πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν ὃν □ος ἀριθμὸς πρὸς □ον μὲν αον 𐅶 α, τὸν δὲ βον 𐅶 δ Μο γ. δεῖ λοιπὸν τὸν ὑπ’ αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρων ἴσον εἶναι □ῳ· ἀλλ’ ὁ ὑπ’ αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρων ἐστὶν ΔΥ δ 𐅶 η Μο γ· ταῦτα
15	ἴσα □ῳ. πλάσσω τὸν □ον ἁπὸ 𐅶 β ⩚ Μο γ· καὶ γίνεται ὁ □ος, ΔΥ δ Μο θ ⩚ 𐅶 ιβ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]κ/ϛ[End of a fraction] τουτέστι [Start of a fraction]ι/δγ[End of a fraction]. ἔσται ὁ μὲν αος [Start of a fraction]ι/γ[End of a fraction], ὁ δὲ βος [Start of a fraction]ι/μβ[End of a fraction] τουτέστι Μο δ ε× καὶ μένει ἓν τῶν ἐπιταγμάτων.
20	λοιπόν ἐστι τὸν ὑπὸ βου καὶ γου μετὰ συναμφοτέρων ποιεῖν □ον. τάσσω τὸν γον 𐅶 α· ἔστι δὲ καὶ ὁ βος Μο δ ε×· γίνεται ὁ ὑπ’ αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρων
20	𐅶 ε ε× Μο δ ε×· ταῦτα ἴσα □ῳ.
176	πάλιν ἐπεὶ ὁ μὲν γος ἐστὶ 𐅶 α, ὁ δὲ αος [Start of a fraction]ι/γ[End of a fraction], ἔσται ὁ ὑπ’ αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρων 𐅶 [Start of a fraction]ι/ιγ[End of a fraction] Μο [Start of a fraction]ι/γ[End of a fraction]· ταῦτα ἴσα □ῳ. ποιῶ τοὺς 𐅶 ε ε× Μο δ ε× ἐπὶ τὸν κε· γίνονται 𐅶 ρλ Μο ρε ἴσοι □ῳ· καὶ ὁμοίως τὰ τοῦ 𐅶 [Start of a fraction]ι/ιγ[End of a fraction] Μο [Start of a fraction]ι/γ[End of a fraction] ἐπὶ τὸν ρ·
5	γίνονται 𐅶 ρλ Μο λ ἴσοι πάλιν □ῳ. καὶ ἔστιν αὐτῶν ὑπεροχὴ Μο οε, καὶ ἔστι διπλῆ πάλιν ἰσότης, καὶ συν‐ άγεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ι/ζ[End of a fraction]. ἔσται ὁ μὲν γος [Start of a fraction]ι/ζ[End of a fraction]· ἦν δὲ καὶ ὁ μὲν αος [Start of a fraction]ι/γ[End of a fraction], ὁ δὲ βος [Start of a fraction]ι/μβ[End of a fraction]· καὶ ποιοῦσι τὸ ἐπίταγμα.
10	ιϛ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν λείψας συναμφότερον ποιῇ τετράγωνον. Ὁμοίως τῷ πρὸ τούτου, τετάχθω ὁ αος 𐅶 α, ὁ βος Μο ὁσωνδήποτε, καὶ ἐλεύσομαι ὡσαύτως εἰς ἄπορον. ἵνα
15	οὖν τὸ πλῆθος τῶν 𐅶 πρὸς τὸ πλῆθος τῶν 𐅶 ἔχωμεν λόγον ἔχον ὃν □ος ἀριθμὸς πρὸς □ον ἀριθμόν, ἀπῆκται εἰς τὸ ζητῆσαι δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ’ αὐτῶν λείψας συναμφότερον ποιῇ τετράγωνον 〈καὶ ἔτι οἱ μονάδι αὐτῶν ἐλάσσους πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν ὃν τετρά‐
20	γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν〉. Καὶ ἐπεὶ ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ τετραπλασίων ᾖ
20	παρὰ Μο γ, οἱ μονάδι αὐτῶν ἐλάσσους πρὸς ἀλλήλους
178	λόγον ἔχουσιν ὃν □ος ἀριθμὸς πρὸς □ον ἀριθμόν, [ἐπειδήπερ καὶ τῆς Μο α ἀφ’ ἑκατέρου ἀφαιρουμένης γίνεται ἐλάττωσις Μο δ καὶ α, καὶ δῆλόν ἐστιν ὡς ἀπὸ τετραπλασίων λόγου τετραπλασίων ἀφαιρουμένου, καὶ
5	ὁ καταλειπόμενος ἔσται τετραπλασίων, τουτέστι □ πρὸς □], τάσσω οὖν τὸν μὲν αον 𐅶 α Μο α, τὸν δὲ βον 𐅶 δ Μο α· καὶ μένει ὁ ὑπ’ αὐτῶν λείψας συναμφό‐ τερον, γί. ΔΥ δ ⩚ Μο α, ἴσος □ῳ, τῷ ἀπὸ πλευρᾶς 𐅶 β ⩚ Μο β, τουτέστι ΔΥ δ Μο δ ⩚ 𐅶 η· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]η/ε[End of a fraction].
10	ἔσται ὁ μὲν αος [Start of a fraction]η/ιγ[End of a fraction], ὁ δὲ βος [Start of a fraction]η/κη[End of a fraction], καὶ λέλυται ἓν τῶν ἐπιταγμάτων. Καὶ ἐπεὶ ὁ μὲν αος ἐστι [Start of a fraction]η/ιγ[End of a fraction], ὁ δὲ βος Μο γ 𐅵ʹ, τάσσω τὸν γον 𐅶 α. καὶ μένει ὁ ὑπὸ βου καὶ γου συναγόμενος 𐅶 γ 𐅵ʹ· λείψας τὸν συναμφότερον, 𐅶 α Μο γ 𐅵ʹ, γί.
15	𐅶 β 𐅵ʹ ⩚ Μο γ 𐅵ʹ ἴς. □ῳ. 〈ταῦτα δκις· γίνονται 𐅶 ι ⩚ Μο ιδ.〉 ὁ δὲ ὑπὸ γου καὶ αου γίνεται 𐅶 [Start of a fraction]η/ιγ[End of a fraction]· λείψας συναμφό‐ τερον, γί. 𐅶 [Start of a fraction]η/ε[End of a fraction] ⩚ Μο [Start of a fraction]η/ιγ[End of a fraction] ἴς. □ῳ. ταῦτα ιϛκις· γίνονται 𐅶 ι ⩚ Μο κϛ·
15	καὶ ἔστιν αὐτῶν ὑπεροχὴ Μο ιβ· ὧν τὸ ὑπό; Μο β
180	καὶ Μο ϛ· συναμφοτέρου τὸ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτὸ γίνεται Μο ιϛ ἴσαι τῷ μείζονι, τουτέστιν 𐅶 ι ⩚ Μο ιδ. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο γ. ἔσται ὁ μὲν γος Μο γ τουτέστιν [Start of a fraction]η/κδ[End of a fraction]· ἔχομεν δὲ καὶ
5	τὸν μὲν αον [Start of a fraction]η/ιγ[End of a fraction], τὸν δὲ βον Μο γ 𐅵ʹ τουτέστιν [Start of a fraction]η/κη[End of a fraction], καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. ιζ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ’ αὐτῶν, ἐάν τε προσλάβῃ συναμφότερον, ἐάν τε ἑκάτερον, ποιῇ τετρά‐
10	γωνον. Τετάχθω ὁ μὲν 𐅶 α, ὁ δὲ 𐅶 δ ⩚ Μο α, ἐπειδήπερ ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ ᾖ τετραπλασίων παρὰ μονάδα, ὁ ὑπ’ αὐτῶν προσλαβὼν τὸν ἐλάσσονα ποιεῖ τετράγωνον. ἑξῆς δεῖ καὶ τὰ λοιπὰ δύο ἐπιτάγματα κατα‐
15	σκευάσαι, ὥστε τὸν ὑπ’ αὐτῶν προσλαβόντα 〈τὸν βον ποιεῖν □ον καὶ ἔτι τὸν ὑπ’ αὐτῶν προσλαβόντα〉 συν‐ αμφότερον ποιεῖν □ον. ἀλλ’ ὁ μὲν ὑπ’ αὐτῶν προσ‐ λαβὼν τὸν βον γίνεται ΔΥ δ 𐅶 γ ⩚ Μο α ἴς. □ῳ. ὑπ’ αὐτῶν προσλαβὼν συναμφότερον γίνεται ΔΥ δ 𐅶 δ
20	⩚ Μο α ἴς. □ῳ. καὶ γίνεται διπλῆ ἡ ἰσότης καὶ ἔστιν αὐτῶν ὑπερ‐ οχὴ 𐅶 α, καὶ περιέχεται ὑπὸ Μο δ×, 𐅶 δ· καὶ συνάγεται
20	ὁ 𐅶 [Start of a fraction]σκδ/ξε[End of a fraction].
182	ἔσται ὁ μὲν αος ξε, ὁ δὲ βος λϛ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. ιη. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ’ αὐτῶν, ἐάν τε
5	λείψῃ ἑκάτερον, ἐάν τε συναμφότερον, ποιῇ τετράγωνον. Τετάχθω ὁ μὲν 𐅶 α Μο α, ὁ δὲ 𐅶 δ, ἐπειδήπερ ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ ᾖ τετραπλασίων παρὰ Μο δ, ὁ ὑπ’ αὐτῶν λείψας τὸν μείζονα ποιεῖ τετράγωνον. λοιπὸν δεῖ τὸν ὑπ’ αὐτῶν λείψαντα τὸν ἐλάσσονα
10	ποιεῖν □ον, καὶ ἔτι τὸν ὑπ’ αὐτῶν λείψαντα συναμφό‐ τερον ποιεῖν □ον· ἀλλ’ ὁ μὲν ὑπ’ αὐτῶν λείψας τὸν ἐλάσσονα γίνεται ΔΥ δ 𐅶 γ ⩚ Μο α· ὁ δὲ ὑπ’ αὐτῶν λείψας συναμφότερον ΔΥ δ ⩚ 𐅶 α Μο α ἴς. □ῳ. καὶ ἔστιν αὐτῶν ὑπεροχὴ 𐅶 δ· τάσσω τὸν μὲν 𐅶 δ, τὸν δὲ Μο α,
15	καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο α δ×. καὶ ἔσται ὁ μὲν αος Μο β δ×, ὁ δὲ βος Μο ε. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά. ιθ. Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκει‐
20	μένου ἐκ τῶν τεσσάρων τετράγωνος, ἐάν τε προσλάβῃ ἕκαστον, ἐάν τε λείψῃ, ποιῇ τετράγωνον. Ἐπεὶ παντὸς ὀρθογωνίου τριγώνου ὁ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τετράγωνος, ἐάν τε προσλάβῃ τὸν δὶς ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθήν, ἐάν τε λείψῃ, ποιεῖ τετρά‐
25	γωνον, ζητῶ πρότερον τέσσαρα τρίγωνα ὀρθογώνια
184	ἴσας ἔχοντα τὰς ὑποτεινούσας· τὸ δ’ αὐτό ἐστι τετρά‐ γωνόν τινα διελεῖν εἰς δύο τετραγώνους 〈τετραχῶσ〉, καὶ ἐμάθομεν τὸν δοθέντα □ον διελεῖν εἰς δύο □ους ἀπειραχῶς.
5	Νῦν οὖν ἐκθώμεθα δύο τρίγωνα ὀρθογώνια ὑπὸ ἐλαχίστων ἀριθμῶν, οἷον γ, δ, ε· ε, ιβ, ιγ. καὶ πολλα‐ πλασίασον ἕκαστον τῶν ἐκκειμένων ἐπὶ τὴν ὑποτεί‐ νουσαν τοῦ ἑτέρου, καὶ ἔσται τὸ μὲν αον τρίγωνον, λθ, νβ, ξε· τὸ δὲ βον κε, ξ, ξε. καὶ ἔστιν ὀρθογώνια
10	ἴσας ἔχοντα τὰς ὑποτεινούσας. ἔτι δὲ φυσικῶς ὁ ξε διαιρεῖται εἰς τετραγώνους διχῶς, εἴς τε τὸν ιϛ καὶ τὸν μθ, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν ξδ καὶ τὴν Μο. τοῦτο δὲ συμβαίνει ἐπεὶ ὁ ξε ἀριθμὸς περιέχεται ὑπὸ τοῦ ιγ καὶ τοῦ ε, ὧν ἕκαστος διαιρεῖται
15	εἰς δύο τετραγώνους. νῦν τῶν ἐκκειμένων, τοῦ τε μθ καὶ τοῦ ιϛ, λαμ‐ βάνω τὰς πλευράς· εἰσὶν δὲ ζ καὶ δ, καὶ πλάσσω τὸ τρίγωνον ὀρθογώνιον ἀπὸ ἀριθμῶν δύο τοῦ τε ζ καὶ τοῦ δ καὶ ἔστι λγ, νϛ, ξε.
20	ὁμοίως καὶ τοῦ ξδ καὶ τῆς Μο αἱ πλευραὶ η καὶ α, καὶ πλάσσω πάλιν ἀπ’ αὐτῶν ὀρθογώνιον τρίγωνον οὗ αἱ πλευραὶ ιϛ, ξγ, ξε. Καὶ γίνεται τέσσαρα τρίγωνα ὀρθογώνια ἴσας ἔχοντα τὰς ὑποτεινούσας· ἐλθὼν οὖν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς πρό‐
25	βλημα, τάσσω τὸν μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν τεσσάρων,
25	𐅶 ξε, ἕκαστον δὲ τούτων τῶν τεσσάρων, ΔΥ τοσούτων
186	ὅσων ἐστὶ δπλ. τοῦ ἐμβαδοῦ, τὸν μὲν αον 〈ΔΥ ͵δνϛ, τὸν δὲ βον ΔΥ ͵γ, τὸν δὲ γον〉 ΔΥ ͵γχϙϛ, καὶ ἔτι τὸν δον ΔΥ ͵βιϛ. καί εἰσιν οἱ τέσσαρες ΔΥ ΜαΥ˙ Μο ͵βψξη ἴσοι 𐅶 ξε,
5	καὶ γίνεται ὁ 𐅶 μορίου ΜαΥ˙ Μο ͵βψξη, ξε. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος ͵αψιγΜΥ˙ Μο͵ϛχ 〈ὁ δὲ βος ͵ασξζΜΥ˙ Μο͵ε〉 μορίου τοῦ αὐτοῦ, ὁ δὲ γος ͵αφξαΜΥ˙ Μο ͵ζχ μορίου τοῦ αὐτοῦ, ὁ δὲ δος ωναΜο˙ Μο ͵ζχ μο‐ ρίου τοῦ αὐτοῦ· τὸ δὲ μόριον ΜαΜΥ˙ ͵ϛτβΜΥ˙ Μο ͵αωκδ.
10	κ. Δοθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς καὶ προσευρεῖν αὐτοῖς τετράγωνον ὃς λείψας ἑκάτερον τῶν διῃρημένων ποιεῖ τετράγωνον. Ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς Μο ι.
15	Τετάχθω ὁ προσευρισκόμενος τετράγωνος ΔΥ α 𐅶 β Μο α· οὗτος ἐὰν μὲν λείψῃ 𐅶 β Μο α, καταλείπεται □ος, ἐὰν δὲ 𐅶 δ, πάλιν καταλείπεται □ος. τάσσω οὖν τὸν
15	μὲν αον 𐅶 β Μ α, τὸν δὲ βον 𐅶 δ.
188	ταῦτα δεῖ συντεθέντα ποιεῖν τὸν δοθέντα, ἀλλὰ συντεθέντα ἐστὶν 𐅶 ϛ Μο α· ταῦτα ἴσα Μο ι, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο α 𐅵ʹ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν αος δ Μο, ὁ δὲ βος
5	ϛ Μο, ὁ δὲ □ος Μο ϛ δ×. κα. Δοθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς ἀριθμοὺς δύο καὶ προσευρεῖν αὐτοῖς τετράγωνον, ὃς προσλαβὼν ἕκαστον τῶν διῃρημένων ποιεῖ τετράγωνον.
10	Ἔστω ὁ δοθεὶς Μο κ. Καὶ τετάχθω ὁ τετράγωνος ΔΥ α 𐅶 β Μο α· τούτῳ δὲ ἐὰν προσθῶ 𐅶 β Μο γ, ἔστι □ος, ἀλλὰ μὴν καὶ ἐὰν προσθῶ 𐅶 δ Μο η. συναμφότερος ἄρα ἔσται 𐅶 ϛ Μο ια ..... ἔσται ὁ μὲν αος τῶν διῃρημένων Μο ϛ, ὁ δὲ βος Μο ιδ,
15	ὁ δὲ □ος Μο ϛ δ×. καὶ φανερὰ ἡ ἀπόδειξις.
190 (1t)	ΔΙΟΦΑΝΤΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ
2t	ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ Δ.
3	α. Τὸν δοθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο κύβους ὧν
5	αἱ πλευραί εἰσι δοθεῖσαι. Ἔστω δὴ τὸν το ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο κύβους ὧν αἱ πλευραὶ Μο ι. Τετάχθω ἡ τοῦ αου κύβου πλ. 𐅶 α Μο ε τουτέστι τοῦ 𐅵ʹ τῶν πλευρῶν. λοιπὸν ἄρα ἡ τοῦ ἑτέρου κύβου πλ.
10	ἔσται Μο ε ⩚ 𐅶 α· αὐτοὶ ἄρα ἔσονται οἱ κύβοι ΔΥ λ Μο σν· ταῦτα ἴσα Μο το τουτέστι τῷ δοθέντι, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο β. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ἡ 〈μὲν〉 τοῦ αου κύβου πλ. Μο ζ, ἡ δὲ τοῦ βου Μο γ· αὐτοὶ δὲ οἱ κύβοι ὁ μὲν
15	αος τμγ, ὁ δὲ βος κζ. β. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ποιῇ δοθέντα, καὶ ἔτι ἡ τῶν ἀπ’ αὐτῶν κύβων ὑπεροχή. Ἔστω δὴ τὴν μὲν ὑπεροχὴν αὐτῶν ποιεῖν Μο ϛ,
20	τὴν δὲ ὑπεροχὴν τῶν ἀπ’ αὐτῶν κύβων Μο φδ.
192	Τετάχθω πάλιν ἡ τοῦ μείζονος κύβου πλ. 𐅶 α 〈Μο γ, ἡ δὲ τοῦ ἐλάσσονος 𐅶 α〉 ⩚ Μο γ· καὶ μένει ὥστε τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν εἶναι Μο ϛ. λοιπὸν δεῖ τῶν κύβων τὴν ὑπεροχὴν εἶναι Μο φδ· ἀλλ’ ἡ τῶν κύβων ὑπερ‐
5	οχή ἐστι ΔΥ ιη Μο νδ· ταῦτα ἴσα Μο φδ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ε. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ἡ μὲν τοῦ μείζονος κύβου πλ. Μο η, ἡ δὲ τοῦ ἐλάσσονος Μο β. αὐτοὶ δὲ οἱ κύβοι, ὃς μὲν φιβ, ὃς δὲ η, καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.
10	γ. Ἐπὶ τετράγωνον καὶ πλευρὰν πολλαπλασιάσαι τὸν αὐτὸν ἀριθμόν, καὶ ποιεῖν τὴν μὲν πλευρὰν κύβον, τὸν δὲ τετράγωνον πλευρὰν τοῦ κύβου. Τετάχθω ὁ μὲν τετράγωνος ΔΥ α, ἡ ἄρα πλ. αὐτοῦ
15	ἔσται 𐅶 α· ὁ δὲ πολλαπλασιαζόμενος ἀριθμὸς ἔστω ἀριθμοστῶν κυβικῶν ὁσωνδήποτε· ἔστω δὴ 𐅶 × η. ἐπὶ μὲν οὖν τὴν ΔΥ α πολλαπλασιάσαντες, εὑρίσκομεν 𐅶 η· ἐπὶ δὲ τὸν 𐅶 〈α〉 πολλαπλασιάσαντες, εὑρίσκομεν Μο η. θέλομεν δὲ τοὺς 𐅶 η κυβικὴν εἶναι πλευρὰν τῶν
20	η Μο· Μο ἄρα β ἴσαι 𐅶 η, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]η/β[End of a fraction] πλασιαζόμενος ἀριθμὸς Μο λβ. Ἐὰν δὲ θελήσωμεν μόρια μὴ ἐπιτιθέναι, εὑρήσομεν
20	𐅶 η, ἴσους Μο β, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 δ×.
194	ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν τετράγωνος ιϛ×, ἡ δὲ πλευρὰ δ×, ὁ δὲ πολλαπλασιαζόμενος ὁ λβ. εἰ γὰρ ὁ 𐅶 ἐστι δ×, τὸ ἀριθμοστόν ἐστι Μο δ. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.
5	δ. Τετραγώνῳ καὶ πλευρᾷ προσθεῖναι τὸν αὐτὸν ἀριθ‐ μὸν καὶ ποιεῖν τὰ αὐτά. Ἔστω ὁ μὲν τετράγωνος ΔΥ α, ἡ ἄρα πλευρὰ ἔσται 𐅶 α· ὁ δὲ προστιθέμενος ἔστω ΔΥ τοσούτων ἵνα μετὰ
10	ΔΥ α ποιῇ □ον. ἔστω ΔΥ γ· αὗται προστεθεῖσαι τῇ μὲν ΔΥ 〈α〉 ποιοῦσι □ον· τῷ δὲ 𐅶 α, ποιοῦσι ΔΥ γ 𐅶 α· ταῦτα ἴσα τῇ τοῦ □ου πλ. τῶν ΔΥ δ, τουτέστιν 𐅶 β· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ἑνὸς γου. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν τετράγωνος ἑνὸς
15	θου, ἡ δὲ πλ. ἑνὸς γου, ὁ δὲ προστιθέμενος ἀριθμὸς [Start of a fraction]θ/γ[End of a fraction]. ε. Τετραγώνῳ καὶ πλευρᾷ προσθεῖναι τὸν αὐτὸν ἀριθ‐ μὸν καὶ ποιεῖν τὰ ἐναλλάξ. Ἔστω ὁ τετράγωνος ΔΥ α, ἡ ἄρα πλευρὰ ἔσται 𐅶 α·
20	ὁ δὲ προστιθέμενος, ἵνα τὴν πλ· ποιῇ □ον, ΔΥ τετρα‐ γωνικῶν λείψει 𐅶 τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς. ἔστω δὴ ΔΥ δ ⩚ 𐅶 α. 〈αὗται προστεθεῖσαι μὲν τῷ 𐅶 α ποι‐
196	οῦσι □ον· τῇ δὲ ΔΥ α, ποιοῦσι ΔΥ ε ⩚ 𐅶 α·〉 ταῦτα ἴσα 𐅶 β τῇ πλ. τοῦ □ου τοῦ γεγενημένου ἐκ τῆς προσθέ‐ σεως, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ε/γ[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν τετράγωνος [Start of a fraction]κε/θ[End of a fraction], ἡ
5	δὲ πλ. [Start of a fraction]ε/γ[End of a fraction], ὁ δὲ προστιθέμενος [Start of a fraction]κε/κα[End of a fraction]. ϛ. Κύβω καὶ τετραγώνῳ προσθεῖναι τὸν αὐτὸν τετρά‐ γωνον καὶ ποιεῖν τὰ αὐτά. Ἔστω ὁ μὲν κύβος ΚΥ α, ὁ δὲ τετράγωνος ΔΥ
10	ὁσωνδήποτε τετραγωνικῶν, ἔστω ΔΥ θ. καὶ ἐπεὶ θέλομεν τετράγωνόν τινα μετὰ ΔΥ θ ποιεῖν □ον, ἐκτίθεμαι δύο ἀριθμοὺς ὧν τὸ ὑπό ἐστι Μο θ· ἔστω δὴ Μο α καὶ Μο θ. ἐὰν ἀφέλω ἀπὸ τῶν θ τὴν Μο, καὶ τῶν λοιπῶν τὸ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτὸ πολλαπλασιάσω, ἕξω
15	Μο ιϛ· οὗτος προσλαβὼν τὸν θ ποιεῖ □ον. τάσσω οὖν τὸν προστιθέμενον τετράγωνον ΔΥ ιϛ· κἂν μὲν ταῖς ΔΥ θ προστεθῇ, γίνεται □ος· ἐὰν δὲ τῷ ΚΥ α, γίνεται ΚΥ α ΔΥ ιϛ· ταῦτα ἴσα κύβῳ· ἔστω ΚΥ η, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ζ/ιϛ[End of a fraction].
20	ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν κύβος [Start of a fraction]τμγ/͵δϙϛ[End of a fraction], ὁ δὲ τετράγωνος [Start of a fraction]μθ/͵βτδ[End of a fraction], ὁ δὲ προστιθέμενος αὐτοῖς τετρά‐
20	γωνος [Start of a fraction]μθ/͵δϙϛ[End of a fraction].
198	ζ. Κύβῳ καὶ τετραγώνῳ προσθεῖναι τὸν αὐτὸν τετρά‐ γωνον καὶ ποιεῖν τὰ ἐναλλάξ. Ἔστω ὁ μὲν κύβος ὁ αος, ὁ δὲ τετράγωνος ὁ βος,
5	ὁ δὲ προστιθέμενος αὐτοῖς τετράγωνος ὁ γος. Καὶ ἐπεὶ θέλω τὸν προστιθέμενον □ον τὸν γον τῷ □ῳ τῷ βῳ ποιεῖν κύβον, ποιείτω κύβον τὸν αον· ὥστε ὁ αος ὑπερέχει τοῦ βου τῷ γῳ, τουτέστι □ῳ· ὁ γὰρ γος ἐστὶ □ος. οἵους δὴ ἂν ἐκθῶμαι δύο ἀριθμούς, οἱ ἀπ’
10	αὐτῶν τετράγωνοι προσλαβόντες τὸν δὶς ὑπ’ αὐτῶν ἢ λείψαντες ποιοῦσι τετράγωνον. ὀφείλω οὖν, ἐκθέμενος δύο ἀριθμούς, τοὺς μὲν ἀπ’ αὐτῶν τάσσειν τὸν αον, ἐπεὶ ὁ αος τοῖς δυσὶ τετραγώνοις ἴσος ἐστί, τῷ ζητου‐ μένῳ καὶ τῷ προστιθεμένῳ, τῷ γῳ καὶ τῷ βῳ τετρα‐
15	γώνοις, τὸν δὲ δὶς ὑπ’ αὐτῶν τὸν γον· καὶ ἔστιν 〈ὁ〉 γος □ος, ὥστε καὶ ὁ δὶς ὑπ’ αὐτῶν ἐστι □ος. Τετάχθω ὁ μὲν 𐅶 α, ὁ δὲ 𐅶 β, ἵνα ὁ δὶς ὑπ’ αὐ‐ τῶν ᾖ □ος· λαβὼν οὖν τοὺς ἀπ’ αὐτῶν □ους, τάσσω τὸν αον ΔΥ ε· τὸν δὲ δὶς ὑπ’ αὐτῶν, τὸν γον ΔΥ δ.
20	λοιπὸν ἄρα ἔσται τὸν βον εἶναι ΔΥ α· μετὰ γὰρ τοῦ γου ἴσος ἐστὶ τῷ αῳ. λοιπόν ἐστι τὸν αον ποιεῖν κύβον. ΔΥ ἄρα ε ἴσαι ΚΥ α, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 〈Μο〉 ε. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν κύβος ὁ αος Μο ρκε, ὁ δὲ τετράγωνος ὁ βος 〈Μο〉 κε, ὁ δὲ προστιθέμενος
25	τετράγωνος ὁ γος Μο ρ· καὶ φανερὰ ἡ ἀπόδειξις.
200	Ἄλλως. Ἔστω κύβος ὁ αος, ὁ δὲ τετράγωνος ὁ βος, ὁ δὲ προστιθέμενος τετράγωνος ὁ γ×. Ἐπεὶ οὖν θέλω τὸν προστιθέμενον □ον προστεθέντα
5	τᾷ βῳ τουτέστι □ῳ ποιεῖν κύβον, ποιείτω τὸν αον· ἐπεὶ δὲ πάλιν τὸν αον συντεθέντα τῷ γῳ ποιεῖν □ον, ἀπ‐ ῆκταί μοι εἰς τὸ εὑρεῖν δύο □ους ὧν ἡ σύνθεσις μετὰ ἑνὸς αὐτῶν ποιεῖ □ον, [διὰ τοῦτο δή, ἐπεὶ οἱ δύο □οι, ὅ τε προστιθέμενος τῷ βῳ καὶ ὁ βος ποιοῦσι κύβον
10	τουτέστι τὸν αον]. τετάχθωσαν οἱ δύο □οι, ὁ μὲν αος ΔΥ α, ὁ δὲ βος Μο δ· καὶ ἡ σύνθεσις αὐτῶν μετὰ ἑνὸς αὐτῶν γί. ΔΥ β Μο δ ἴς. □ῳ, τῷ ἀπὸ πλ. 𐅶 β ⩚ Μο β· γίνεται ὁ □ος ΔΥ δ 〈Μο δ〉 ⩚ 𐅶 η, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο δ.
15	ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν δ, ὁ δὲ ιϛ. Νῦν τάξον τὸν μὲν προστιθέμενον αὐτοῖς □ον ΔΥ ιϛ, τὸν δὲ βον ΔΥ δ· ὁ ἄρα αος ἔσται ΔΥ κ· θέλομεν γὰρ συναμφοτέρῳ εἶναι αὐτὸν ἴσον. λοιπὸν δεῖ ΔΥ κ ἴσας εἶναι ΚΥ α, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο κ.
20	ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν αος η, ὁ δὲ βος ͵αχ, ὁ δὲ προστιθέμενος ͵ϛυ· τοῦτο δὲ ἀπειραχῶς δείκνυται. η. Κύβῳ καὶ πλευρᾷ προσθεῖναι τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν
20	καὶ ποιεῖν τὰ αὐτά.
202	Ἔστω ὁ προστιθέμενος 𐅶 α, ἡ δὲ τοῦ κύβου πλευρὰ 𐅶 ὁσωνδήποτε· ἔστω 𐅶 β, ὁ ἄρα κύβος ἐστὶ ΚΥ η. Ἐὰν ἄρα 𐅶 α προστεθῇ 𐅶 β, γίνονται 𐅶 γ· ἐὰν δὲ τοῖς ΚΥ η, γί. ΚΥ η 𐅶 α· ταῦτα ἴσα ΚΥ κζ. ἀφῃρήσθω‐
5	σαν οἱ ΚΥ η· λοιπὸν ἄρα ΚΥ ιθ ἴσοι 𐅶 α. πάντα παρὰ 𐅶. ΔΥ ἄρα ιθ ἴς. Μο α. Καὶ ἔστιν ἡ μία Μο □ος· εἰ δὲ καὶ τὸ πλῆθος τῶν ιθ ΔΥ ᾖ □ος, λέλυτο ἂν ἡ ἰσότης· ἀλλὰ αἱ ΔΥ ιθ ἐκ τῆς ὑπεροχῆς εἰσιν ἧς ὑπερέχουσι ΚΥ κζ ΚΥ η, καὶ οἱ
10	μὲν ΚΥ κζ ἀπὸ 𐅶 γ κύβος εἰσίν, οἱ δὲ ΚΥ η ἀπὸ 𐅶 β κύβος ἐστίν· ὥστε τὰ ιθ γέγονεν ἐκ τῆς ὑπεροχῆς ἧς ὑπερέχει ὁ ἀπὸ 𐅶 γ κύβος τοῦ ἀπὸ 𐅶 β κύβου. ἀλλ’ οἱ μὲν 𐅶 β τῆς ὑποθέσεως εἰσίν, οἱ δὲ γ ἀεὶ μονάδι μείζονες τοῦ τυχόντος πλήθους τῶν τῆς πλευρᾶς 𐅶ῶν·
15	ἀπῆκται οὖν μοι εἰς τὸ εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς Μο α ἀλλήλων ὑπερέχοντας, ἵνα ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ’ αὐτῶν κύβων ποιῇ τετράγωνον. Ἔστω ὁ μὲν 𐅶 α, ὁ δὲ 𐅶 α Μο α, καὶ ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ’ αὐτῶν κύβων ἐστὶ ΔΥ γ 𐅶 γ Μο α· ταῦτα ἴσα □ῳ
20	τῷ ἀπὸ πλ. Μο α ⩚ 𐅶 β. γίνεται ὁ 𐅶 Μο ζ· ἐπὶ τὰς ὑπο‐ στάσεις· ἔσται ὁ μὲν ζ, ὁ δὲ η. Ἔρχομαι οὖν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ τάσσω τὸν μὲν προστιθέμενον 𐅶 α, τὴν δὲ τοῦ κύβου πλευρὰν 𐅶 ζ· ὁ ἄρα κύβος ἔσται ΚΥ τμγ, καὶ ὁ 𐅶 προστεθεὶς ἑκατέρῳ
25	αὐτῶν ποιεῖ ὃν μὲν 𐅶 η, ὃν δὲ ΚΥ τμγ 𐅶 α· θέλομεν
25	οὖν ταῦτα εἶναι κύβον πλευρὰν ἔχοντα 𐅶 η.
204	ΚΥ ἄρα φιβ ἴσοι ΚΥ τμγ 𐅶 α· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ἑνὸς 〈ιγου〉. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν κύβος [Start of a fraction]͵βρϙζ/τμγ[End of a fraction], ἡ δὲ πλευρὰ [Start of a fraction]ιγ/ζ[End of a fraction], ὁ δὲ προστιθέμενος ἑνός.
5	θ. Κύβῳ καὶ πλευρᾷ προσθεῖναι τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τὰ ἐναλλάξ. Ἔστω ὁ μὲν κύβος ΚΥ κυβικῶν ὁσωνδήποτε· ἔστω δὴ η· ἡ ἄρα πλευρὰ αὐτοῦ ἔσται 𐅶 β· 〈ὁ δὲ προστιθέ‐
10	μενος, ἵνα τὴν πλευρὰν ποιῇ κύβον, ΚΥ κυβικῶν ⩚ 𐅶 β〉, τουτέστι τῶν τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου, ΚΥ κζ ⩚ 𐅶 β. καὶ ἐὰν μὲν τοῖς 𐅶 β προστεθῶσι, ποιοῦσι ΚΥ κζ, καὶ ἔστιν ὁ κύβος ἀπὸ πλευρὰς 𐅶 γ· ἐὰν δὲ τοῖς ΚΥ η, ποιοῦσι ΚΥ λε ⩚ 𐅶 β.
15	θέλομεν δὴ ταῦτα πλευρὰν εἶναι κυβικὴν τῶν γενο‐ μένων ΚΥ κζ, τουτέστι 𐅶 γ· ΚΥ ἄρα λε ⩚ 𐅶 β ἴσοι 𐅶 γ· καὶ γίνονται 𐅶 ε ἴσοι ΚΥ λε· καὶ πάντα παρὰ 𐅶· ΔΥ ἄρα λε ἴσαι Μο ε. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 οὐ ῥητὸς τῷ μὴ τὸ εἶδος πρὸς τὸ
20	εἶδος λόγον ἔχειν □ου ἀριθμοῦ πρὸς □ον ἀριθμόν· ἀλλ’ αἱ μὲν ΔΥ λε σύνθεσίς ἐστι δύο κύβων, τοῦ τε κζ καὶ τοῦ η, αἱ δὲ Μο ε ἐκ τῆς συνθέσεως τῶν πλευρῶν
20	αὐτῶν· ἀπῆκται οὖν μοι εἰς τὸ εὑρεῖν δύο κύβους οἳ
206	συντεθέντες πρὸς τὰς πλευρὰς αὐτῶν συντεθείσας λόγον ἕξουσιν ὃν □ος ἀριθμὸς πρὸς □ον ἀριθμόν. Ἔστωσαν αἱ πλευραὶ αὐτῶν συντεθεῖσαι Μο ὁσαι‐ δήποτε· ἔστωσαν δὴ β· καὶ τετάχθω ἡ μὲν τοῦ αου
5	κύβου πλευρὰ 𐅶 α, ἡ ἄρα τοῦ ἑτέρου ἔσται Μο β ⩚ 𐅶 α· καὶ οἱ αὐτῶν κύβοι συντεθέντες ποιοῦσι ΔΥ ϛ Μο η ⩚ 𐅶 ιβ. θέλομεν οὖν ταῦτα πρὸς τὰς πλευρὰς αὐτῶν συν‐ τεθείσας, τουτέστι πρὸς Μο β, λόγον ἔχειν ὃν □ος ἀριθ‐ μὸς πρὸς 〈□ον〉 ἀριθμόν. καί εἰσι β Μο διπλάσιαι □ου·
10	ὥστε καὶ ΔΥ ϛ Μο η ⩚ 𐅶 ιβ διπλάσιαί εἰσι □ου· τὸ ἄρα 𐅵ʹ αὐτῶν ἴσον □ῳ, τουτέστι ΔΥ γ Μο δ ⩚ 𐅶 ϛ ἴσαι γίνονται τῷ ἀπὸ Μο β ⩚ 𐅶 δ. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ιγ/ι[End of a fraction]· ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ἡ μὲν [Start of a fraction]ιγ/ι[End of a fraction], ἡ δὲ [Start of a fraction]ιγ/ιϛ[End of a fraction]. αἴρω τὰ ιγα, καὶ τὸ 𐅵ʹ· αὐτῶν οὖν
15	τῶν κύβων αἱ πλευραὶ ἡ μὲν ε, ἡ δὲ η. Ἔρχομαι οὖν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ τάσσω τὴν τοῦ κύβου πλευρὰν 𐅶 ε· ὁ ἄρα κύβος ἔσται ΚΥ ρκε, ὁ δὲ προστιθέμενος, κύβος ἀπὸ τοῦ η, τουτέστι ΚΥ φιβ ⩚ 𐅶 ε, καὶ προστεθεὶς 𐅶 ε, ποιεῖ κύβον, τοῖς δὲ ρκε ΚΥ προσ‐
20	τεθεὶς ποιεῖ ΚΥ χλζ ⩚ 𐅶 ε· θέλομεν οὖν ταῦτα κυβικὴν εἶναι πλ. ΚΥ φιβ. 𐅶 ἄρα η ἴσοι εἰσὶ ΚΥ χλζ ⩚ 𐅶 ε, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ἑνὸς 〈ζου〉. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν κύβος [Start of a fraction]τμγ/ρκε[End of a fraction], ὁ δὲ
25	πλευρὰ [Start of a fraction]ζ/ε[End of a fraction], ὁ δὲ προστιθέμενος ἀριθμὸς [Start of a fraction]τμγ/σξζ[End of a fraction].
208	ι. Εὑρεῖν δύο κύβους ἴσους ταῖς ἰδίαις πλευραῖς. Ἔστωσαν δὴ αἱ πλευραὶ τῶν κύβων ἐν 𐅶, ἡ μὲν 𐅶 β, ἡ δὲ 𐅶 γ· οἱ ἄρα κύβοι συντεθέντες ποιήσουσι
5	ΚΥ λε ἴσους ταῖς πλευραῖς, τουτέστιν 𐅶 ε· καὶ πάντα παρὰ 𐅶. ΔΥ ἄρα λε ἴσαι Μ ε· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 οὐ ῥητός. ἀλλ’ αἱ ΔΥ λε σύνθεσίς εἰσι κύβων δύο, τοῦ τε η καὶ τοῦ κζ, αἱ δὲ Μο ε συντεθεισῶν τῶν πλευρῶν αὐ‐
10	τῶν· ἀπῆκται οὖν μοι εἰς τὸ εὑρεῖν κύβους δύο, οἳ συντεθέντες καὶ μερισθέντες εἰς τὰς πλευρὰς αὐτῶν συντεθείσας, ποιοῦσι τὴν παραβολὴν τετράγωνον. Τοῦτο δὲ προεδείχθη, καί εἰσιν αἱ πλευραὶ τῶν κύβων, ἡ μὲν 𐅶 η, ἡ δὲ 𐅶 ε· ἔρχομαι οὖν ἐπὶ τὸ ἐξ
15	ἀρχῆς καὶ τάσσω τὰς πλευρὰς τῶν κύβων, ἣν μὲν 𐅶 η, ἣν δὲ 𐅶 ε· καὶ οἱ κύβοι συντεθέντες γίνονται ΚΥ χλζ. ταῦτα ἴσα ταῖς πλευραῖς, τουτέστιν 𐅶 ιγ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ἑνὸς 〈ζου〉. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ἡ μὲν τοῦ αου κύβου
20	πλ· ε, ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου η· αὐτοὶ δὲ οἱ κύβοι, ὃς μὲν [Start of a fraction]τμγ/ρκε[End of a fraction], ὃς δὲ [Start of a fraction]τμγ/φιβ[End of a fraction]. ια. Εὑρεῖν δύο κύβους ὧν ἡ ὑπεροχὴ ἴση ἔσται τῇ τῶν πλευρῶν αὐτῶν ὑπεροχῇ.
25	Ἔστωσαν αἱ πλευραὶ αὐτῶν ἡ μὲν 𐅶 β, ἡ δὲ 𐅶 γ· καὶ ἔστιν ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ’ αὐτῶν κύβων ΚΥ ιθ, ἡ
25	δὲ ὑπεροχὴ τῶν πλευρῶν 𐅶 α. 𐅶 ἄρα α ἴσος ΚΥ ιθ.
210	Καὶ γίνεται ὁ 𐅶 οὐ ῥητὸς τῷ μὴ ἔχειν τὸ εἶδος πρὸς τὸ εἶδος λόγον □ου πρὸς □ον· ἀπῆκται οὖν μοι εἰς τὸ εὑρεῖν δύο κύβους ὅπως ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τῶν πλευρῶν αὐτῶν λόγον ἔχῃ ὃν □ος
5	〈ἀριθμὸσ〉 πρὸς □ον ἀριθμόν. Ἔστωσαν αἱ πλευραὶ τῶν κύβων, ἡ μὲν 𐅶 α, ἡ δὲ 𐅶 α Μο α, ἵνα καὶ ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ᾖ □ος τουτέστι Μο α· καὶ ἐπεί ἐστι τοῦ μὲν πλ. 𐅶 α, τοῦ δὲ Μο α καὶ 𐅶 α, ἔσται ἄρα ἡ ὑπεροχὴ τῶν πλευρῶν Μο α, 〈ἡ δὲ ὑπεροχὴ
10	τῶν κύβων ΔΥ γ 𐅶 γ Μο α〉. θέλομεν οὖν ΔΥ γ 𐅶 γ Μο α πρὸς τὴν Μο α, τὴν ὑπεροχὴν τῶν πλευρῶν, λόγον ἔχειν ὃν □ος ἀριθμὸς πρὸς □ον ἀριθμόν· τὸν ἄρα ὑπ’ αὐτῶν δεῖ εἶναι □ον· ἔστι δὲ ὁ ὑπ’ αὐτῶν ΔΥ γ 𐅶 γ Μο α. ταῦτα ἴσα □ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Μο α ⩚ 𐅶 β· καὶ γίνεται ὁ 𐅶
15	Μο ζ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσονται αἱ πλευραὶ ἡ μὲν ζ, ἡ δὲ η. Ἔρχομαι ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ τάσσω τὰς πλ· τῶν κύβων, ἣν μὲν 𐅶 ζ, ἣν δὲ 𐅶 η· καὶ ἡ μὲν τούτων ὑπερ‐ οχή ἐστιν 𐅶 α, ἡ δὲ τῶν ἀπ’ αὐτῶν κύβων ὑπεροχὴ
20	ΚΥ ρξθ. ΚΥ ἄρα ρξθ ἴσοι 𐅶 α· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ἑνὸς 〈ιγου〉. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσονται αἱ πλευραὶ τῶν κύ‐ βων, ἡ μὲν ζ, ἡ δὲ η. ιβ.
25	Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος κύβος προσλαβὼν τὸν ἐλάσσονα ἀριθμὸν ἴσος ᾖ τῷ ἀπὸ
25	τοῦ ἐλάσσονος κύβῳ προσλαβόντι τὸν μείζονα ἀριθμόν.
212	Ἔστω ὁ μὲν 𐅶 β, ὁ δὲ 𐅶 γ. καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος ἀριθμοῦ κύβος προσλαβὼν τὸν ἐλάσσονα ποιεῖ ΚΥ κζ 𐅶 β, ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος κύβος προσλαβὼν τὸν μείζονα ποιεῖ ΚΥ η 𐅶 γ.
5	ΚΥ ἄρα η 𐅶 γ ἴσοι εἰσὶ ΚΥ κζ 𐅶 β. καὶ πάντα παρὰ 𐅶. καὶ γίνονται ΔΥ ιθ ἴσαι Μο α, καὶ ὁ 𐅶 οὐ ῥητός. ἀλλὰ αἱ μὲν ΔΥ ιθ δύο εἰσὶ κύβων ὑπεροχή, ἡ δὲ Μο α τῶν πλευρῶν αὐτῶν ἐστιν ὑπεροχή. ἀπῆκται οὖν
10	μοι εἰς τὸ εὑρεῖν δύο κύβους ὧν ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν πρὸς τὴν τῶν πλευρῶν αὐτῶν ὑπεροχὴν λόγον ἔχει ὃν □ος ἀριθμὸς πρὸς □ον ἀριθμόν. Τοῦτο δὲ προεδείχθη, καί εἰσιν αἱ πλ. τῶν κύβων, ἡ μὲν ζ, ἡ δὲ η. ἔρχομαι οὖν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ
15	τάσσω ὃν μὲν 𐅶 ζ, ὃν δὲ 𐅶 η. καὶ γίνονται ΚΥ τμγ 𐅶 η ἴσοι ΚΥ φιβ 𐅶 ζ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ἑνὸς 〈ιγου〉. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν ζ, ὁ δὲ η. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά. ιγ.
20	Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἑκάτερος αὐτῶν καὶ συναμφότερος καὶ ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν, μετὰ μονάδος μιᾶς, ποιῇ τετράγωνον.
20	Ἐὰν ἄρα ἀπό τινος □ου ἀφέλω Μο α, ἕξω αον·
214	πλάσσω τινὰ □ον ἀπὸ 𐅶 ὁσωνδήποτε καὶ Μο α· καὶ ἔστω 𐅶 γ Μο α. αὐτὸς ἄρα ἔσται ὁ □ος, ΔΥ θ 𐅶 ϛ Μο α, καὶ ἐὰν ἀφέλω τὴν Μο α, τάσσω τὸν αον ΔΥ θ 𐅶 ϛ. πάλιν ἐπεὶ θέλομεν τὸν αον καὶ τὸν βον μετὰ Μο α
5	ποιεῖν □ον, ἀλλὰ συναμφότερος ὁ αος καὶ ὁ βος μετὰ Μο α, 〈ὁ βος μετὰ Μο α〉 καὶ ΔΜ θ 𐅶 ϛ εἰσιν, ὁ δὲ βος μετὰ Μο α ἐστι □ος, γέγονέ μοι ζητῆσαι τίς □ος μετὰ ΔΥ θ 𐅶 ϛ ποιεῖ □ον. ἐκτίθεμαι δύο ἀριθμοὺς ὧν τὸ ὑπό ἐστιν ΔΥ θ 𐅶 ϛ.
10	〈μετροῦσιν 𐅶 θ Μο ϛ κατὰ 𐅶 α· καὶ ἐὰν τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν τοῦ ἡμίσεος τάξω τὴν τοῦ ἐλάσσονος □ου πλ, ἔσται 𐅶 δ Μ γ·〉 ταῦτα ἐφ’ ἑαυτὰ γίνεται ΔΥ ιϛ 𐅶 νδ Μο θ· ἀφαιρῶ Μο α καὶ τάσσω τὸν βον ΔΥ ιϛ 𐅶 νδ Μο η· ἔστι δὲ καὶ ὁ αος ΔΥ θ 𐅶 ϛ· καὶ ἑκάτερος μετὰ Μο α ποιεῖ □ον.
15	λοιπόν ἐστι τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν μετὰ Μο α· ἔστι ΔΥ ζ 𐅶 ιη Μο θ ἴς. □ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Μο γ ⩚ 𐅶 γ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ιη. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος ͵γκδ, ὁ δὲ
15	βος ͵εχκδ, καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.
216	ιδ. Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους ἀριθμοὺς οἳ συντεθέντες ἴσοι ἔσονται ταῖς ὑπεροχαῖς αὐτῶν συντεθείσαις. Ἐπεὶ ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ μέσου, καὶ
5	ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλαχίστου, καὶ ἡ ὑπερ‐ οχὴ τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ ἐλαχίστου, ἴση ἐστὶ τοῖς τρισίν, ἀλλ’ αἱ τῶν τριῶν ὑπεροχαὶ δίς ἐστιν ἡ τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ ἐλαχίστου ὑπεροχή, δὶς ἄρα ἡ τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ ἐλαχίστου ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶ τοῖς
10	τρισί. Τετάχθω ὁ ἐλάσσων □ος Μο α, ὁ δὲ μέγιστος ΔΥ α 𐅶 β Μο α· καὶ δὶς ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ ἐλαχίστου ἐστὶ ΔΥ β 𐅶 δ· εἰσὶ δὲ οἱ τρεῖς □οι, ὧν οἱ δύο εἰσὶ ΔΥ α 𐅶 β Μο β· 〈λοιπὸς ἄρα ὁ μέσος ἔσται
15	ΔΥ α 𐅶 β ⩚ Μο β·〉 δεῖ ἄρα ταῦτα ἴσα εἶναι □ῳ· ἔστω τῷ ἀπὸ πλ. 𐅶 α Μο δ. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 εων θ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν μέγιστος [Start of a fraction]κε/ρϙϛ[End of a fraction], ὁ δὲ μέσος [Start of a fraction]κε/ρκα[End of a fraction], ὁ δὲ ἐλάχιστος Μο α. καὶ πάντα κεκις. ἔσται ὁ μὲν μέγιστος ρϙϛ, ὁ δὲ μέσος ρκα, ὁ δὲ
20	ἐλάχιστος κε. ιε. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως δύο ὁποιοιοῦν συν‐ τεθέντες καὶ ἐπὶ τὸν λοιπὸν πολλαπλασιασθέντες ποιῶσι
20	τοὺς δοθέντας ἀριθμούς.
218	Ἐπιτετάχθω δὴ συναμφότερον τὸν αον καὶ τὸν βον ἐπὶ τὸν γον πολλαπλασιασθέντα ποιεῖν Μο λε, συναμφό‐ τερον δὲ τὸν βον καὶ τὸν γον ἐπὶ τὸν αον πολλαπλασια‐ σθέντα ποιεῖν Μο κζ, καὶ ἔτι συναμφότερον τὸν αον καὶ
5	τὸν γον πολλαπλασιασθέντα ἐπὶ τὸν βον ποιεῖν Μο λβ. Τετάχθω ὁ γος 𐅶 α· λοιπὸν ἄρα ὁ αος καὶ ὁ βος 𐅶 × λε· ἔστω ὁ αος 𐅶 × ι· ὁ βος ἔσται 𐅶 × κε. Καὶ λοιπόν ἐστι δύο ἐπιτάγματα· τὸ συναμφότερον τὸν βον καὶ τὸν γον ἐπὶ τὸν αον ποιεῖν Μο κζ, 〈καὶ ἔτι
10	τὸ συναμφότερον τὸν αον καὶ τὸν γον ἐπὶ τὸν βον ποιεῖν Μο λβ〉. ἀλλὰ ὁ βος καὶ ὁ γος ἐπὶ τὸν αον 〈ποιεῖ〉 Μο ι ΔΥ× σν· Μο ἄρα ι μετὰ ΔΥ× σν ἴσαι Μο κζ. ὁ δὲ γος καὶ ὁ αος ἐπὶ τὸν βον ποιεῖ Μ κε ΔΥ× σν ἴς. Μο λβ, καὶ Μο ι, καὶ ΔΥ˙ σν ἴς.
15	Μο κζ. καὶ ὑπερέχουσιν αἱ Μο τὰς Μο, Μο ε· ὡσεὶ καὶ αἱ Μο κε ΔΥ× σν, Μο ι ΔΥ× σν ὑπερεῖχον Μο ε, ἦν ἂν ἴση ἡ ὑπεροχή. ἀλλὰ Μο κε ἐκ τοῦ βου εἰσίν, αἱ δὲ Μο ι ἐκ τοῦ αου εἰσίν. θέλομεν οὖν τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν εἶναι Μο ε·
20	αὐτοὶ δὲ ὁ αος καὶ ὁ βος οὐκ εἰσὶ τυχόντες, ἀλλὰ συν‐
20	αμφότεροι Μο λε εἰσίν. γέγονεν οὖν μοι τὸν λε διελεῖν
220	εἰς δύο ἀριθμοὺς ἵνα ὁ ἕτερος τοῦ ἑτέρου ὑπερέχῃ Μο ε· καὶ ἔστιν ὁ μὲν ιε, ὁ δὲ κ. τάσσω τὸν μὲν αον 𐅶 × ιε, τὸν δὲ βον 𐅶 × κ· καὶ συν‐ αμφότερος ὁ βος καὶ ὁ γος ἐπὶ τὸν αον ποιεῖ Μο ιε ΔΥ× τ
5	ἴς. Μο κζ· συναμφότερος δὲ ὁ αος καὶ ὁ γος ἐπὶ τὸν βον ποιεῖ Μο κ ΔΥ× τ ἴς. Μο λβ. καὶ ἐὰν Μο κ ΔΥ× τ ἰσώσω Μο λβ, γίνεται ὁ 𐅶 Μο ε. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος Μο γ, ὁ δὲ βος Μο δ, ὁ δὲ γος Μο ε.
10	ιϛ. Εὑρεῖν 〈τρεῖσ〉 ἀριθμοὺς ἴσους τετραγώνῳ ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν τετράγωνος προσλαβὼν τὸν ἑξῆς ποιῇ τετράγωνον. Τετάχθω ὁ μέσος 𐅶 ὁσωνδήποτε· ἔστω 𐅶 δ. καὶ
15	ἐπεὶ θέλω τὸν ἀπὸ τοῦ αου □ον προσλαβόντα τὸν βον ποιεῖν □ον, ἀπῆκται εἰς τὸ εὑρεῖν τίς □ος προσλαβὼν 𐅶 δ ποιεῖ □ον. Ζήτησον πρῶτον ἀριθμοὺς δύο ὧν τὸ ὑπό ἐστιν 𐅶 δ· μετροῦσιν 𐅶 β κατὰ Μο β· καὶ ἐὰν τῆς ὑπεροχῆς
20	αὐτῶν τοῦ 𐅵ʹ τάξω τὸν αον, ἔσται 𐅶 α ⩚ Μο α, καὶ λέ‐ λυταί μοι ὥστε τὸν ἀπὸ τοῦ αου □ονπροσλαβόντα τὸν βον ποιεῖν □ον. δεῖ δὲ καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ μέσου □ον προσλαβόντα
20	τὸν γον ποιεῖν □ον, τουτέστι ΔΥ ιϛ μετὰ τοῦ γου
222	〈ποιεῖν〉 □ον· ἐὰν ἄρα ἀπό τινος □ον ἀφέλω τὰς ΔΥ ιϛ, ἕξω τὸν γον· τάσσω τὸν □ον ἀπὸ τῆς πλ. τῶν ΔΥ ιϛ, 𐅶 δ Μο α· αὐτὸς ἄρα ἔσται ὁ □ος ιϛ 𐅶 η Μο α. ἐὰν ἀφέλω τὰς ΔΥ ιϛ, λοιπὸς ἄρα ἔσται ὁ γος 𐅶 η Μο α.
5	πάλιν, ἐπεὶ θέλω τοὺς τρεῖς ἴσους εἶναι □ῳ, εἰσὶ δὲ οἱ τρεῖς 𐅶 ιγ, ταῦτα ἴσα □ῳ· ἔστω τετραγωνικαῖς ΔΥ ρξθ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ΔΥ ιγ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ αος ΔΥ ιγ ⩚ Μο α, ὁ βος ΔΥ νβ, ὁ γος ΔΥ ρδ Μο α, καὶ λέλυταί μοι ἐν τῷ ἀορίστῳ τρία τῶν ἐπιταγμάτων.
10	λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ Γος □ον, τουτέστι ΔΥ Δ α. ωιϛ ΔΥ ση Μο α, μετὰ τοῦ αου, τουτέστι ΔΥ ιγ ⩚ Μο α, ποιεῖν □ον· ποιεῖ δὲ ΔΥ Δ α. ωιϛ ΔΥ σκα ἴς. □ῳ. πάντα παρὰ ΔΥ· γίνονται ἄρα ΔΥ α˙ωιϛ Μο σκα ἴς. □ῳ, τῷ ἀπὸ πλ. 𐅶 ρδ Μο α. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]νβ/νε[End of a fraction].
15	ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν Αος γ. [Start of a fraction]͵βψδ/͵ϛχκα[End of a fraction], ὁ δὲ βος ιε. [Start of a fraction]͵βψδ/͵ζτ[End of a fraction], ὁ δὲ γος λα. [Start of a fraction]͵βψδ/͵ζτδ[End of a fraction]. ιζ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἴσους τετραγώνῳ, ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν τετράγωνος λείψας τὸν ἑξῆς ποιῇ
20	τετράγωνον. Τετάχθω πάλιν ὁ μέσος 𐅶 δ, καὶ ἐπεὶ θέλω τὸν
20	ἀπὸ τοῦ αου □ον λείψαντα τὸν βον, τουτέστι τοὺς δ 𐅶,
224	ποιεῖν □ον, ἀπῆκταί μοι 〈εἰς τὸ〉 εὑρεῖν τίς ὁ □ος λείψας 𐅶 δ ποιεῖ □ον. Καὶ ζητῶ πρότερον ἀριθμοὺς δύο ὧν τὸ ὑπό ἐστιν 𐅶 δ. μετροῦσι δὲ 𐅶οὺς δ, Μο β κατὰ 𐅶 β. νῦν τῆς συν‐
5	θέσεως αὐτῶν λαβὼν τὸ 𐅵ʹ, τάσσω τὸν αον 𐅶 α Μο α, καὶ λέλυταί μοι ἓν τῶν ἐπιταγμάτων. πάλιν, ἐπεὶ θέλω τὸν ἀπὸ τοῦ Βος □ον, τουτέστι ΔΥ ιϛ, λείψαντα τὸν γον, ποιεῖν □ον, ἐὰν ἄρα ἀπὸ τῶν ΔΥ ιϛ ἄρωμέν τινα □ον, ἀπὸ 𐅶 δ ⩚ Μο α, γίνονται
10	ΔΥ ιϛ Μο α ⩚ 𐅶 η· ταῦτα ἀφαιρῶ ἀπὸ ΔΥ ιϛ· λοιποὶ 𐅶 η ⩚ Μο α. τάσσω οὖν τὸν γον 𐅶 η ⩚ Μο α· καὶ λέλυται ἕτερον ἐπίταγμα. πάλιν, ἐπεὶ θέλω τοὺς τρεῖς, τουτέστιν 𐅶 ιγ, ἴσους εἶναι □ῳ, ἔστω ΔΥ ὁ ἴσος ρξθ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ΔΥ ιγ.
15	ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν Αος ΔΥ ιγ Μο α, ὁ δὲ βος ΔΥ νβ, ὁ δὲ γος ΔΥ ρδ ⩚ Μο α, καὶ πάλιν λέλυταί μοι ἐν τῷ ἀορίστῳ τρία τῶν ἐπιταγμάτων. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ Γον □ον λείψαντα τὸν αον ποιεῖν □ον· ἀλλὰ ὁ ἀπὸ τοῦ γου □ος λείψας τὸν
20	αον ποιεῖ ΔΥ Δ α˙ωιϛ ⩚ ΔΥ σκα ἴς. □ῳ. καὶ, πάντα παρὰ ΔΥ· γίνονται ΔΥ α˙ωιϛ ⩚ Μο σκα ἴς. □ῳ· τῷ ἀπὸ πλ. 𐅶 ρδ ⩚ Μο α· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ρδ/ρια[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος [Start of a fraction]α˙ωιϛ/ιζ˙ϡπθ[End of a fraction], ὁ δὲ
20	βος [Start of a fraction]α˙ωιϛ/ξδ˙χϙβ[End of a fraction], ὁ δὲ γος [Start of a fraction]α˙ωιϛ/ρκξ˙φξη[End of a fraction].
226	ιη. Εὑρεῖν δύο ἀριθμούς, ὅπως ὁ ἀπὸ 〈τοῦ〉 πρώτου κύβος προσλαβὼν τὸν δεύτερον ποιῇ κύβον, ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ δευτέρου τετράγωνος προσλαβὼν τὸν πρῶτον ποιῇ
5	τετράγωνον. Τετάχθω ὁ αος 𐅶 α· ὁ ἄρα βος ἔσται Μο κυβικαὶ η ⩚ ΚΥ α. καὶ γίνεται ὁ ἀπὸ τοῦ αου κύβος, προσ‐ λαβὼν τὸν βον, κύβος. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ βου □ον, προσλαβόντα
10	τὸν αον, ποιεῖν □ον. ἀλλ’ ὁ ἀπὸ τοῦ Βου □ος, προσ‐ λαβὼν τὸν αον, ποιεῖ ΚΥ Κ α 𐅶 α Μο ξδ ⩚ ΚΥ ιϛ 〈ταῦτα ἴσα □ῳ τῷ ἀπὸ πλ. ΚΥ α Μο η, τουτέστι ΚΥ Κ α ΚΥ ιϛ Μο ξδ·〉 καὶ κοινῶν προστιθεμένων τῶν λειπομένων καὶ ἀφαιρουμένων τῶν ὁμοίων ἀπὸ ὁμοίων, λοιποὶ ΚΥ λβ
15	ἴσοι 𐅶 α· καὶ πάντα παρὰ 𐅶· ΔΥ λβ ἴσαι Μο α. Καὶ ἔστιν ἡ Μο □ος, καὶ ΔΥ λβ εἰ ἦσαν □ος, λελυ‐ μένη ἄν μοι ἦν ἡ ἴσωσις· ἀλλ’ αἱ ΔΥ λβ εἰσὶν 〈ἐκ τῶν〉 δὶς ΚΥ ιϛ· οἱ δὲ ΚΥ ιϛ εἰσιν ὑπὸ τῶν δὶς Μο η καὶ τοῦ ΚΥ α, τουτέστι δὶς τῶν Μο η· ὥστε αἱ λβ ΔΥ
20	ἐκ δκις τῶν η Μο. γέγονεν οὖν μοι εὑρεῖν κύβον ὃς δκις γενόμενος ποιεῖ □ον. Ἔστω ὁ ζητούμενος ΚΥ α· οὗτος δκις γενόμενος ποιεῖ ΚΥ δ ἴς. □ῳ. ἔστω ΔΥ ιϛ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο δ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ ΚΥ Μο ξδ.
25	Τάσσω ἄρα τὸν βον Μο ξδ ⩚ ΚΥ α. καὶ λοιπόν ἐστι τὸν ἀπὸ 〈τοῦ〉 βου □ον προσλαβόντα τὸν αον ποιεῖν □ον. ἀλλὰ ὁ ἀπὸ τοῦ βου προσλαβὼν τὸν αον ποιεῖν
25	ΚΥ Κ α Μο ͵δϙϛ 𐅶 α ⩚ ΚΥ ρκη ἴς. □ῳ τῷ ἀπὸ πλ. ΚΥ α
228	Μο ξδ· καὶ γίνεται ὁ □ος ΚΥ Κ α Μο͵δϙϛ ΚΥ ρκη. καὶ γίνονται λοιποὶ ΚΥ σνϛ ἴς. 𐅶 α. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ἑνὸς 〈ιϛου〉. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ αος ἑνὸς ιϛου, ὁ δὲ
5	βος [Start of a fraction]͵δϙϛ/κϛ˙͵βρμγ[End of a fraction]. ιθ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἐν τῷ ἀορίστῳ, ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν μετὰ μονάδος μιᾶς ποιῇ τετρά‐ γωνον.
10	Ἐπεὶ θέλω τὸν ὑπὸ αου καὶ Βου μετὰ Μο α ποιεῖν □ον, ἐὰν ἀπό τινος □ου ἀφέλω τὴν Μο, ἕξω τὸν ὑπὸ αου καὶ βου. πλάσσω □ον ἀπὸ 𐅶 ὁσωνδήποτε καὶ Μο α· ἔστω 𐅶 α Μο α· αὐτὸς ἄρα ἔσται ὁ □ος ΔΥ α 𐅶 β Μο α· ἐὰν ἀφέλω τὴν Μο α, λοιπὰ ΔΥ α 𐅶 β ἔσται ὁ ὑπὸ αου
15	καὶ βου. ἔστω ὁ Βος 𐅶 α, ὁ ἄρα αος ἔσται 𐅶 α Μο β. πάλιν ἐπεὶ θέλω τὸν ὑπὸ βου καὶ γου ποιεῖν □ον μετὰ Μ α, ἐὰν ὁμοίως ἀπό τινος □ου ἀφέλω Μο α, ἕξω τὸν ὑπὸ βου καὶ γου. πεπλάσθω ὁ □ος ἀπὸ 𐅶 γ Μο α,
20	ἔσται ὁ □ος ΔΥ θ 𐅶 ϛ Μο α. ἐὰν ἄρα ἀφέλω Μο α, γί‐ νονται ΔΥ θ 𐅶 ϛ. δεῖ ἄρα τὸν ὑπὸ βου καὶ γου εἶναι ΔΥ θ 𐅶 ϛ, ὧν ὁ βος ἐστιν 𐅶 α λοιπὸς ἄρα ὁ γος ἔσται
20	𐅶 θ Μο ϛ
230	πάλιν, ἐπεὶ θέλω τὸν ὑπὸ αου καὶ γου μετὰ Μο α ποιεῖν □ον, ἀλλὰ ὁ ὑπὸ αου καὶ γου μετὰ Μο α ἐστι ΔΥ θ 𐅶 κδ Μο ιγ, ἴς. □ῳ. καὶ ἔχω τὰς ΔΥ τετραγωνικάς· 〈εἰ καὶ αἱ Μο ἦσαν τετραγωνικαί〉 καὶ τὸ δὶς τὸ ὑπὸ
5	τῶν πλευρῶν τῶν ΔΥ καὶ τῶν Μο ἴσον ἦν τοῖς 𐅶, ἦν ἂν ἀορίστως τὰ τρία ἐπιτάγματα λελυμένα. ἀλλ’ αἱ Μο ιγ εἰσιν ἐκ τοῦ ὑπὸ τῶν Μο β καὶ Μο ϛ μετὰ Μο α, ἀλλ’ αἱ μὲν Μο β ἐκ τοῦ δὶς ὑπὸ 𐅶 α καὶ Μο α, αἱ δὲ Μο ϛ πάλιν ἐκ τοῦ δὶς ὑπὸ 𐅶 γ καὶ Μο α.
10	θέλω δὶς τοὺς 𐅶 ἐπὶ δὶς τοὺς 𐅶 μετὰ Μο α ποιεῖν □ον. ἀλλὰ δὶς οἱ 𐅶 ἐπὶ δὶς τοὺς 𐅶 ὁ δκις ὑπὸ τῶν 𐅶 ἐστιν. θέλω οὖν τὸν δκις ὑπ’ αὐτῶν μετὰ Μο α ποιεῖν □ον. ἀλλὰ μὴν καὶ πάντων δύο ἀριθμῶν ὁ δκις ὑπ’ αὐτῶν μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν ποιεῖ □ον. ἐὰν
15	οὖν τὸν ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν Μο α κατασκευάσωμεν, ὁ δκις ὑπ’ αὐτῶν μετὰ Μο α ποιεῖ □ον. Εἰ οὖν ὁ ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν Μο α, καὶ ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ἐστι Μο α. δεῖ οὖν ἀπὸ τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς 𐅶 πλάσσειν καὶ Μο α, ἀπὸ 𐅶 α καὶ Μο α καὶ ἀπὸ
20	𐅶 β Μο α. καὶ ἔσται ὁ μὲν ἀπὸ 𐅶 α Μο α □ος, ΔΥ 𐅶 β Μο α. ἐὰν ἀφέλω τὴν Μο, λοιπὸν γίνεται ΔΥ α 𐅶 β. δεῖ ἄρα τὸν ὑπὸ αου καὶ βου εἶναι ΔΥ α 𐅶 β. τετάχθω ὁ βος 𐅶 α· λοιπὸς ἄρα ὁ αος ἔσται 𐅶 α Μο β.
20	Πάλιν, ἐπεὶ ὁ ἀπὸ 𐅶 β Μο α □ος ἐστι ΔΥ δ 𐅶 δ Μο α,
232	ἐὰν ὁμοίως ἀφέλω τὴν Μο α, λοιπὸς γίνεται ΔΥ δ 𐅶 δ· δεῖ δὴ τὸν ὑπὸ τοῦ βου καὶ γου εἶναι ΔΥ δ 𐅶 δ, ὧν ὁ βος ἐστιν 𐅶 α· λοιπὸς ἄρα ὁ γος ἔσται 𐅶 δ Μο δ. Καὶ λέλυται ἐν τῷ ἀορίστῳ, ὥστε τὸν ὑπὸ δύο
5	ὁποιωνοῦν μετὰ Μο α ποιεῖν □ον, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ὅσου τις θέλει. τὸ γὰρ ἀορίστως ζητεῖν ἐστιν ἵνα ἡ ὑπό‐ στασις τοιαύτη ᾖ, ἵνα ὅσου τις θέλει τὸν 𐅶 εἶναι, ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις ποιήσας, σώσῃ τὸ ἐπίταγμα. κ.
10	Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιων‐ οῦν προσλαβὼν μονάδα μίαν ποιῇ τετράγωνον. Ἐπεὶ θέλω τὸν ὑπὸ αου καὶ βου μετὰ Μο α εἶναι □ον, ἐὰν ἄρα ἀπό τινος □ου ἄρω Μο α, ἕξω τὸν ὑπὸ αου καὶ βου. πλάσσω □ον ἀπὸ 𐅶 α Μο α καὶ γίνεται
15	αὐτὸς ὁ □ος ΔΥ α 𐅶 β Μο α. ἐὰν ἀφέλω τὴν Μο α, λοιπὸς γίνεται ΔΥ α 𐅶 β ὁ ὑπὸ αου καὶ βου. ἔστω ὁ αος 𐅶 α· 〈ὁ ἄρα βος ἔσται 𐅶 α〉 Μο β. Πάλιν, ἐπεὶ θέλω τὸν ὑπὸ αου καὶ γου μετὰ Μο α ποιεῖν □ον, πλάσσω □ον ἀπὸ 𐅶 β Μο α, τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς διὰ
20	τὸ προδειχθέν, καὶ λαβὼν τὸν ἀπό, αἴρω τὴν Μο α, καὶ τάσσω τὸν ὑπὸ αου καὶ γου ΔΥ δ 𐅶 δ, ὧν ὁ αος ἐστιν
20	𐅶 α· λοιπὸς ἄρα ὁ γος ἐστὶν 𐅶 δ Μο δ.
234	Πάλιν, ἐπεὶ θέλω τὸν ὑπὸ τοῦ αου καὶ δου μετὰ Μο α ποιεῖν □ον, πλάσσω □ον ἀπὸ τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς, 𐅶 γ Μο α, καὶ λαβὼν τὸν ἀπό, ἀφελὼν Μο α, ἕξω τὸν ὑπὸ αου καὶ δου ΔΥ θ 𐅶 ϛ, ὧν ὁ αος ἐστιν 𐅶 α· λοιπὸς
5	ἄρα ὁ δος ἔσται 𐅶 θ Μοϛ. Καὶ ἐπεὶ συμβαίνει τὸν ὑπὸ τοῦ γου καὶ δου μετὰ Μο α ποιεῖν □ου, ἀλλὰ ὁ ὑπὸ βου καὶ δου μετὰ Μο α ποιεῖ ΔΥ θ 𐅶 κδ Μο ιγ, ἴς. □ῳ τῷ ἀπὸ πλ. 𐅶 γ ⩚ Μο δ· καὶ
10	γίνεται ὁ 𐅶 ἑνὸς 〈ιϛου〉 ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος α, ὁ δὲ βος λγ, ὁ δὲ γος ξη, ὁ δὲ δος ρε. κα. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἀνάλογον, ὅπως δύο ὁποιων‐
15	οῦν ἡ ὑπεροχὴ ᾖ τετράγωνος. Τετάχθω ὁ μὲν ἐλάσσων 𐅶 α, ὁ δὲ μέσος 𐅶 α Μο δ, ἵνα ἡ ὑπεροχὴ ᾖ □ος, ὁ δὲ γος 𐅶 α Μο ιγ, ἵνα καὶ ἡ τούτου πρὸς τὸν μέσον ὑπεροχὴ ᾖ □ος. ἔτι δέ, εἰ ἡ τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ ἐλαχίστου ὑπερ‐
20	οχὴ ἦν □ος, ἦν ἂν λελυμένον ἐν τῷ ἀορίστῳ δύο ὁποιωνοῦν ἡ ὑπεροχὴ □ος. ὁ δὲ μέγιστος τοῦ ἐλαχίστου ὑπερέχει Μο ιγ· αἱ δὲ Μο ιγ συντεθεῖσαί εἰσι □ων τοῦ δ καὶ τοῦ θ· γέγονεν
20	οὖν μοι εὑρεῖν δύο τετραγώνους ἴσους ἑνὶ τετραγώνῳ.
236	τοῦτο δὲ ῥάδιον ἀπὸ τριγώνου ὀρθογωνίου· ἔστι δὴ ὁ θ καὶ ὁ ιϛ· καὶ τάσσω τὸν μὲν ἐλάχιστον 𐅶 α, τὸν δὲ μέσον 𐅶 α Μο θ, τὸν δὲ γον 𐅶 α Μο κε, καὶ δύο ὁποιωνοῦν ἡ ὑπεροχή ἐστι □ος.
5	λοιπόν ἐστιν αὐτοὺς ἀνάλογον εἶναι· ἐὰν δὲ τρεῖς ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου. ἀλλὰ ὁ ὑπὸ τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ ἐλαχίστου, τουτ‐ έστιν ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων, ἔστι ΔΥ α 𐅶 κε· ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ
10	μέσου ΔΥ α 𐅶 ιη Μο πα, ἴς. ΔΥ α 𐅶 κε· καὶ γίνηται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ζ/πα[End of a fraction] ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος πα, ὁ δὲ βος ρμδ, ὁ δὲ γος σνϛ· κβ.
15	Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς προσλαβὼν ἕκαστον αὐτῶν ποιῇ τετράγωνον. Τετάχθω ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς ΔΥ α 𐅶 β, ὁ δὲ αος Μο α, ἵνα ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς μετὰ τοῦ αου ποιῇ □ον.
20	πάλιν, ἐπεὶ θέλω τὸν ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν μετὰ τοῦ βου ποιεῖν □ον, ἐὰν ἄρα ἀπό τινος □ου ἄρω ΔΥ α 𐅶 β, ἕξω τὸν βον. πλάσσω □ον ἀπὸ 𐅶 α Μο γ, καὶ ὁ ἀπὸ τούτου □ος ⩚ ΔΥ α 𐅶 β ποιεῖ 𐅶 δ Μο θ· τάσσω οὖν τὸν
20	βον 𐅶 δ Μο θ.
238	ἀλλ’ ἐπεὶ ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς ΔΥ α 𐅶 β, ὁ δὲ ὑπὸ αου καὶ βου 𐅶 δ Μο θ, ἐὰν ἄρα ΔΥ α 𐅶 β παραβάλω παρὰ 𐅶 δ Μο θ, ἕξω τὸν γον. Οὐ δυνατὴ δὲ ἡ παραβολή· ἵνα δὲ δύνηται ἡ παρα‐
5	βολή, δεῖ εἶναι ὡς ΔΥ α πρὸς 𐅶 δ, οὕτως 𐅶 β πρὸς Μο θ, καὶ ἐναλλάξ· ὡς ΔΥ α πρὸς 𐅶 β, οὕτως 𐅶 δ πρὸς Μο θ. ἡ δὲ ΔΥ α τῶν 𐅶 β, 𐅵ʹ ἐστι τῷ πλήθει. ὡσεὶ οὖν καὶ 𐅶 δ τῶν Μο θ, 𐅵ʹ ἦν, ἦν ἂν ἡ παραβολή· ἀλλὰ οἱ δ ἐκ τῆς ὑπεροχῆς εἰσιν, ἧς ὑπερέχουσιν 𐅶 ϛ, β 𐅶.
10	ἀλλὰ οἱ ϛ 𐅶 ἐκ τοῦ δίς εἰσιν ὑπὸ τῶν Μο γ καὶ 𐅶 α, τουτέστι δὶς τῶν Μο γ· αἱ δὲ θ Μο ὁ ἀπὸ Μο γ ἐστι □ος· ἀπῆκται οὖν μοι εὑρεῖν τινα ἀριθμόν, ὡς τὰς Μο γ, ὅστις δὶς γενόμενος καὶ λείψας δυάδα, 𐅵ʹ ᾖ τοῦ ἀπ’ αὐτοῦ τετραγώνου.
15	Ἔστω ὁ ζητούμενος 𐅶 α· οὗτος δὶς γενόμενος καὶ λείψας δυάδα, γίνονται 𐅶 β ⩚ Μο β· ὁ δὲ ἀπ’ αὐτοῦ □ος ἐστι ΔΥ α. θέλομεν οὖν 𐅶 β ⩚ Μο β, 𐅵ʹ εἶναι ΔΥ α. ΔΥ ἄρα α ἴση 𐅶 δ ⩚ Μ δ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο β. Νῦν ἔρχομαι ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς, καὶ εἶχον τὸν μὲν
20	αον ἀριθμὸν Μο α, τὸν δὲ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν ΔΥ α 𐅶 β. δεῖ δὲ καὶ τὸν ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν προσλαβόντα τὸν βον ποιεῖν □ον· ἐὰν ἄρα ἀπό τινος □ου ἀφέλω τὴν ΔΥ α 𐅶 β, ἕξω τὸν βον. πλάσσω τὸν □ον ἀπὸ 𐅶 α καὶ Μο τοσούτων, ἵνα αἱ Μο, δὶς γενόμεναι καὶ λείψασαι
25	δυάδα, 𐅵ʹ ᾖ τοῦ ἀπ’ αὐτῶν □ου· καὶ προδέδεικται, καὶ
240	ἔστι Μο β. πλάσσω τὸν □ον ἀπὸ 𐅶 α Μο β· ἔσται ἄρα ὁ ἀπό, ΔΥ α 𐅶 δ Μο δ. ἐὰν ἄρω τὸν ἐκ τῶν τριῶν στερεόν, τουτέστι ΔΥ α 𐅶 β, λοιπὸς ἄρα ἔσται ὁ βος 𐅶 β Μο δ. καὶ ἔστιν ὁ ὑπὸ αου καὶ βου, 〈𐅶 β Μο δ· ἐὰν ἄρα τὸν ἐκ
5	τῶν τριῶν στερεόν, τουτέστι ΔΥ α 𐅶 β, μερίσω εἰς τὸν ὑπὸ αου καὶ βου〉 τουτέστιν εἰς 𐅶 β Μο δ, ἕξω τὸν γον· ἀλλ’ ἔστιν ὁ μερισμὸς 𐅶 𐅵ʹ. Καὶ λοιπόν ἐστι τὸν ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν μετὰ τοῦ γου ποιεῖν □ον. ἀλλὰ ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς
10	μετὰ τοῦ γου ἐστι ΔΥ α 𐅶 β 𐅵ʹ ἴς. □ῳ ΔΥ δ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ϛ/ε[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος ϛ, ὁ δὲ βος λδ, ὁ δὲ γος β 𐅵ʹ. κγ.
15	Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς λείψας ἕκαστον ποιῇ τετράγωνον. Τετάχθω ὁ αος 𐅶 α, ὁ δὲ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς ΔΥ α 𐅶 α· καὶ λείψας τὸν αον ποιεῖ □ον. καὶ ἐπεὶ ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς ΔΥ α 𐅶 α, ὁ δὲ αος ἐστιν 𐅶 α, ὁ ἄρα
20	ὑπὸ βου καὶ γου ἔσται 𐅶 α Μο α· ἔστω ὁ βος Μο α· λοιπὸς ἄρα ἔσται ὁ γος 𐅶 α Μο α. λοιπόν ἐστι τὸν ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν λείποντα τὸν βον καὶ τὸν γον ποιεῖν □ον· λιπὼν δὲ ὃν μὲν ποιεῖ
20	ΔΥ α 𐅶 α ⩚ Μο α ἴς. □· ὃν δὲ ΔΥ α ⩚ Μο α ἴς. □ῳ.
242	καὶ γίνεται διπλῆ ἡ ἰσότης, καὶ λαμβάνω τὴν ὑπερ‐ οχήν· ἔστι δὲ 𐅶 α· ἐκτίθεμαι ἀριθμοὺς δύο ὧν ὁ ὑπὸ τηλικοῦτός ἐστι. τοῦτον 𐅶 α μετρείτω Μο 𐅵ʹ κατὰ 𐅶 β, τουτέστι κατὰ πλευρὰς β τῆς ΔΥ· καὶ ἔστιν αὐτῶν ὡς
5	οἶδας ἡ ἴσωσις, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ηων ιζ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν αος ιζ, ὁ δὲ βος Μο α, ὁ δὲ γος ηων κε. κδ. Δοθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμούς, καὶ
10	ποιεῖν τὸν ὑπ’ αὐτῶν κύβον παρὰ πλευράν. Ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς ὁ ϛ. Τετάχθω ὁ αος 𐅶 α, λοιπὸς ἄρα ὁ βος ἔσται Μο ϛ ⩚ 𐅶 α. λοιπὸν δεῖ εἶναι τὸν ὑπ’ αὐτῶν κύβον παρὰ πλευ‐
15	ράν· ἀλλ’ ὁ ὑπ’ αὐτῶν ἔσται 𐅶 ϛ ⩚ ΔΥ α· ταῦτα ἴσα κύβῳ παρὰ πλευράν· πλάσσω κύβον ἀπὸ 𐅶 ὁσωνδήποτε ⩚ Μο α· ἔστω δὴ ἀπὸ 𐅶 β ⩚ Μο α. καὶ ὁ ἀπὸ τούτου κύβος λείψας αὐτὸν ποιεῖ ΚΥ η 𐅶 δ ⩚ ΔΥ ιβ. ταῦτα ἴσα 𐅶 ϛ ⩚ ΔΥ α.
20	Καὶ εἰ ἦσαν οἱ 𐅶 ἐν ἑκατέρᾳ τῇ ἰσώσει ἴσοι, λοιπὸν ἐγίνετο ἰσῶσαι ΚΥ ἴσους ΔΥ, καὶ ὁ 𐅶 ἦν ῥητός· ἀλλὰ οἱ 𐅶 β ἐκ τῆς ὑπεροχῆς εἰσιν ὑπὲρ 𐅶 β, τουτέστιν
20	ἐκ τῶν τρὶς τῶν β 𐅶· καὶ ἐὰν τρὶς οἱ β 𐅶 λείψωσιν 𐅶 β,
244	ποιοῦσι δὶς τοὺς 𐅶 β· οἱ δὲ ϛ τυχόντες εἰσὶ κατὰ τὴν ὑπόθεσιν. ἀπῆκται οὖν μοι εὑρεῖν τινα ἀριθμόν, ὡς τοὺς 𐅶 β, ὃς δὶς γενόμενος ποιεῖ ϛ· ἔστι δὲ ὁ γ. Ζητῶ οὖν 𐅶 ϛ ⩚ ΔΥ α ἴσους κύβῳ παρὰ πλευράν.
5	νῦν τάσσω τὴν τοῦ κύβου πλ. ἀπὸ 𐅶 γ ⩚ Μο α· καὶ ὁ ἀπὸ τούτου κύβος λείψας αὐτὸν ποιεῖ ΚΥ κζ 𐅶 ϛ ⩚ ΔΥ κζ ἴς. 𐅶 ϛ ⩚ ΔΥ α, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]κζ/κϛ[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν αος κς, ὁ δὲ βος ρλϛ.
10	κε. Δοθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθμούς, ὅπως ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς ποιῇ κύβον, οὗ ἡ πλευρά ἐστιν ἴση ταῖς ὑπεροχαῖς αὐτῶν συντεθείσαις. Ἔστω ὁ δοθεὶς ὁ δ.
15	Καὶ ἐπεὶ ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς κύβος ἐστίν, ἔστω ΚΥ η οὗ πλ. ἐστιν 𐅶 β. ἀλλὰ ἡ τοῦ βου καὶ τοῦ αου ὑπεροχὴ καὶ ἡ τοῦ γου καὶ βου ὑπεροχὴ καὶ ἔτι τοῦ γου καὶ τοῦ αου, δίς ἐστιν ὑπεροχὴ τοῦ γου καὶ τοῦ αου, τουτέστιν, ἐὰν ὦσιν ἀριθμοὶ τρεῖς ἄνισοι, ἡ τῶν
20	τριῶν ὑπεροχὴ διπλασίων ἐστὶ τῆς ὑπεροχῆς τῶν ἄκρων. ἔχομεν δ’ ἐν τῇ ὑποστάσει τῆς πλ. τοῦ κύβου 𐅶 β· δεῖ δὲ τοὺς 𐅶 β τῶν τριῶν τὴν ὑπεροχὴν εἶναι· ὁ γος ἄρα τοῦ αου ὑπερέχει 𐅶 α. ἔστω ὁ αος 𐅶 β ἢ ὁσων‐
20	δήποτε· ὁ γος ἔσται ἄρα 𐅶 γ. καὶ ἐπεὶ ὁ ἐκ τῶν τριῶν
246	στερεός ἐστι ΚΥ η, ὁ δὲ ὑπὸ 〈τοῦ〉 αου καὶ γου ΔΥ ϛ, λοιπὸς ἄρα ὁ βος ἔσται 𐅶 α γ×. Καὶ εἰ μὲν ἦν ὁ βος τοῦ αου μείζων, ἐλάσσων δὲ τοῦ γου, λελυμένον ἂν ἦν τὸ ζητούμενον· ἀλλὰ ὁ βος
5	ἐγένετο ἐκ τοῦ τὸν η μερισθῆναι εἰς τὸν ὑπὸ αου καὶ γου. ἀλλὰ ὁ αος καὶ ὁ γος οὔκ εἰσι τυχόντες, ἀλλὰ μονάδι διαφέροντες· ἀπῆκται οὖν μοι εἰς τὸ εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς μονάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας, ὅπως ὁ η μεριζόμενος εἰς τὸν ὑπ’ αὐτῶν ποιῇ τινα ὃς τοῦ μὲν
10	ἐλάσσονος μείζων ᾖ, τοῦ δὲ μείζονος ἐλάσσων. Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α, ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 α Μο α. καὶ τὸν η ἐὰν μερίσω εἰς τὸν ὑπ’ αὐτῶν, τουτέστιν εἰς ΔΥ α 𐅶 α, εὑρεθήσεται ὁ μέσος Μο η μο‐ ρίου ΔΥ α 𐅶 α. θέλομεν δὲ τοῦτον μείζονα μὲν εἶναι
15	𐅶 α, ἐλάσσονα δὲ 𐅶 α Μο α· καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ἐστι Μο α, ὥστε ἡ ὑπεροχὴ τοῦ αου καὶ τοῦ βου ἐλάσ‐ σων ἐστὶ Μο α, ὥστε ὁ βος μετὰ Μο α μείζων ἐστὶ τοῦ αου. ἀλλὰ ὁ βος, προσλαβὼν τὴν Μο καὶ ἀναλυθεὶς εἰς τὴν ΔΥ α 𐅶 α, γίνεται ΔΥ α 𐅶 α Μο η μορίου ΔΥ α 𐅶 α·
20	ὥστε ταῦτα μείζονά ἐστιν 𐅶 α Μο α· καὶ πάντα ἐπὶ τὸ μόριον· ΔΥ α 𐅶 α Μο η μείζονά εἰσιν ΚΥ α ΔΥ β 𐅶 α. καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια καὶ γίνονται Μο η μείζονες ΚΥ α ΔΥ α.
25	πλάσσω κύβον ὃς ἔχει ΚΥ α ΔΥ α· ἔσται ἄρα ἡ πλ.
25	τοῦ κύβου 𐅶 α Μο γ×. ἀλλὰ ἐπεὶ Μο η μείζους εἰσὶ
248	ΚΥ α ΔΥ α, ἔστι δὲ καὶ ὁ ἀπὸ 𐅶 α Μο γ× κύβος μείζων ΚΥ α ΔΥ α, ἐὰν ἰσώσω καὶ τὴν πλευράν, τουτέστι Μο β ἴς. 𐅶 α Μο γ×, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 γων ε. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ αος [Start of a fraction]γ/η[End of a fraction], ὁ βος [Start of a fraction]ε/θ[End of a fraction], ὁ γος [Start of a fraction]γ/ε[End of a fraction],
5	καὶ πάντα εἰς ιεα. ἔσται ὁ αος μ, ὁ βος κζ, ὁ γος κε. κοινὸν γὰρ ἤρθη τὸ ιε μόριον, καὶ ηὑρημένοι εἰσὶν τρεῖς ἀριθμοὶ ὅπως ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς ᾖ κύβος πλευ‐ ρὰν ἔχων τὰς ὑπεροχὰς αὐτῶν συντεθείσας. Τάσσω τοίνυν τὸν μὲν αον 𐅶 μ, τὸν δὲ βον 〈𐅶 κζ,
10	τὸν δὲ γον〉 𐅶 κε, καὶ ἔστιν ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς κύβος οὗ ἡ πλευρὰ ἴση ἐστὶ ταῖς ὑπεροχαῖς αὐτῶν συντεθείσαις· λοιπὸν δεῖ ἰσῶσαι τοὺς τρεῖς ταῖς δο‐ θείσαις Μο, ἐδόθησαν δὲ Μο δ· 𐅶 ἄρα ϙβ ἴσοι Μο δ. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ἑνὸς 〈κγου〉.
15	ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος μ, ὁ δὲ βος κζ, ὁ δὲ γος κε. κϛ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ’ αὐτῶν προσλαβὼν ἑκάτερον ποιῇ κύβον.
20	Τάσσω τὸν αον ἐκ κυβικῶν 𐅶· ἔστω δὴ η· τὸν βον
250	ΔΥ α ⩚ Μο α· καὶ συμφωνεῖ μοι ἓν ἐπίταγμα. ὁ γὰρ ὑπ’ αὐτῶν προσλαβὼν τὸν αον ποιεῖ κύβον. λοιπὸν δεῖ τὸν ὑπ’ αὐτῶν προσλαβόντα τὸν βον ποιεῖν κύβον. ἀλλὰ ὁ ὑπ’ αὐτῶν προσλαβὼν τὸν βον
5	ποιεῖ ΚΥ η ΔΥ α ⩚ 𐅶 η Μο α ἴς. κύβῳ· πλάσσω τὸν κύβον ἀπὸ 𐅶 β ⩚ Μο α, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ιγ/ιδ[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ 〈μὲν〉 αος [Start of a fraction]ιγ/ριβ[End of a fraction], ὁ δὲ βος [Start of a fraction]ρξθ/κζ[End of a fraction]. κζ.
10	Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ’ αὐτῶν λείψας ἑκάτερον ποιῇ κύβον. Ὁμοίως ὁ αος τετάχθω κυβικῶν 𐅶 η, ὁ βος ΔΥ α Μο α ἀεί, καὶ γίνεται ὁ ὑπ’ αὐτῶν λείψας 〈τὸν αον κύβος. πάλιν ὁ ὑπ’ αὐτῶν λείψασ〉 τὸν βον ποιεῖ ΚΥ η 𐅶 η
15	⩚ ΔΥ α Μο α· ταῦτα ἴσα κύβῳ· καὶ ἔστιν ἀδύνατον. Τάσσω τοίνυν πάλιν τὸν μὲν κυβικῶν 𐅶 Μο α· ἔστω 𐅶 η Μο α· τὸν δὲ ΔΥ α· καὶ γίνεται ὁ ὑπ’ αὐτῶν λείψας τὸν βον κύβος. πάλιν ὁ ὑπ’ αὐτῶν λείψας τὸν αον ποιεῖ ΚΥ η ΔΥ α ⩚ 𐅶 η Μο α· ταῦτα ἴσα κύβῳ τῷ ἀπὸ πλ.
20	𐅶 β ⩚ Μο α· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ιγ/ιδ[End of a fraction].
252	ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος [Start of a fraction]ιγ/ρκε[End of a fraction], ὁ δὲ βος [Start of a fraction]ρξθ/ρϙϛ[End of a fraction]. κη. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ’ αὐτῶν, ἐάν τε
5	προσλάβῃ συναμφότερον, ἐάν τε λείψῃ, ποιῇ κύβον. Ἐπεὶ οὖν ὁ ὑπ’ αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρου ποιεῖ κύβον, ποιείτω Μο ξδ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ ὑπ’ αὐτῶν λείψας συναμφότερον ποιεῖ 〈κύβον, ποιείτω〉 Μο η. δὶς ἄρα συναμφότερος, ποιῶν αὐτῶν τὴν ὑπεροχήν, ἔσται Μο νϛ·
10	ὥστε συναμφότερος ἔσται Μο κη· ἀλλὰ καὶ ὁ ὑπ’ αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρου ποιεῖ Μο ξδ· λοιπὸς ἄρα ὁ ὑπ’ αὐ‐ τῶν ἔσται Μο λϛ. ἀπῆκται οὖν μοι εὑρεῖν δύο ἀριθ‐ μοὺς 〈ὥστε συναμφότερον ποιεῖν〉 Μο κη, ὧν ὁ ὑπ’ αὐτῶν ἐστι Μο λϛ.
15	Τετάχθω ὁ μείζων 𐅶 α Μο ιδ· ὁ ἄρα ἐλάσσων ἔσται Μο ιδ ⩚ 𐅶 α. λοιπόν ἐστι τὸν ὑπ’ αὐτῶν, τουτέστι Μο ρϙϛ ⩚ ΔΥ α, ἰσῶσαι Μο λϛ, καὶ γίνεται ΔΥ α ἴση Μο ρξ. Καὶ εἰ ἦσαν Μο ρξ τετραγωνικαί, λελυμένον μοι ἦν τὸ ζητούμενον. ἀλλὰ αἱ Μο ρξ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερ‐
20	έχουσι Μο ρϙϛ τῶν λϛ. ἀλλὰ αἱ Μο ρϙϛ ἀπὸ Μο ιδ ἐστι □ος· ὁ δὲ ιδ ἥμισύ ἐστι τῶν κη· ὥστε τὰ ρϙϛ τὸ 𐅵ʹ ἐστι τῶν κη ἐφ’ ἑαυτά· ἀλλὰ ὁ κη ἥμισύ ἐστι
20	τῶν νϛ, ὥστε τὰ ιδ, δον ἐστι τοῦ νϛ· ἀλλὰ ὁ νϛ
254	δύο κύβων ἐστὶν ὑπεροχὴ τοῦ τε ξδ καὶ τοῦ η, ὁ δὲ λϛ συναμφοτέρου ἐστὶ τῶν κύβων τὸ 𐅵ʹ. ἀπῆκται οὖν μοι εἰς τὸ εὑρεῖν δύο κύβους ὅπως τῆς ὑπεροχῆς αὐ‐ τῶν τὸ δον, ἐφ’ ἑαυτὸ γενόμενον, καὶ λεῖψαν συναμ‐
5	φοτέρου τὸ 𐅵ʹ, ποιῇ □ον. Ἔστω ἡ τοῦ μείζονος κύβου πλ. 𐅶 α Μο α, ἡ δὲ τοῦ ἐλάσσονος 𐅶 α ⩚ Μο α· καὶ γίνονται οἱ κύβοι, ὁ μὲν μείζων 〈ΚΥ α〉 ΔΥ γ 𐅶 γ Μο α, ὁ δὲ ἐλάσσων ΚΥ α 𐅶 γ ⩚ ΔΥ γ Μο α, καὶ τῆς τούτων ὑπεροχῆς τὸ δον, ΔΥ α 𐅵ʹ
10	Μο 𐅵ʹ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτὰ γίνονται ΔΥ Δ β 〈δ×〉 ΔΥ α 𐅵ʹ Μο δ× ταῦτα ἐὰν λείψῃ συναμφότερον τῶν κύβων 𐅵ʹ, ὅπερ ἐστὶ ΚΥ α 𐅶 γ, λοιπὸν γίνονται ΔΥ Δ β δ× ΔΥ α 𐅵ʹ Μο δ× ⩚ ΚΥ α 𐅶 γ ἴς. □ῳ· καὶ πάντα δκις διὰ τὸ μόριον· γί‐ νεται ΔΥ Δ θ ΔΥ ϛ Μο α ⩚ ΚΥ δ 𐅶 ιβ· ταῦτα ἴσα □ῳ τῷ
15	ἀπὸ πλ. ΔΥ γ Μο α ⩚ 𐅶 ϛ· αὐτὸς ἄρα ἔσται ΔΥ Δ θ ΔΥ μβ Μο α ⩚ ΚΥ λϛ 𐅶 ιβ ἴς. ΔΥ Δ θ ΔΥ Μο α ⩚ ΚΥ δ 𐅶 ιβ. καὶ κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια· καὶ λοιποὶ ΚΥ λβ ἴσοι ΔΥ λϛ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]η/θ[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὰς τῶν κύβων πλ., τὴν
20	μὲν 𐅶 α Μο α, τὴν δὲ 𐅶 α ⩚ Μο α, καὶ ἔσται ἡ μὲν ιζ, ἡ δὲ α. αὐτοὶ ἄρα οἱ κύβοι ἔσονται, ὁ μὲν αος [Start of a fraction]φιβ/͵δϡιγ[End of a fraction]
20	ὁ δὲ βος ἑνός.
256	Ἔρχομαι οὖν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ ζητῶ τὸν ὑπ’ αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρου ποιεῖν κύβον τῶν ͵δϡιγ, τὸν δὲ ὑπ’ αὐτῶν λείψαντα συναμφότερον ποιεῖν κύ‐ βον τὸ α.
5	Ἐπεὶ οὖν ὁ μὲν ὑπ’ αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρου ποιεῖ κύβον, τουτέστι Μο [Start of a fraction]φιβ/͵δϡιγ[End of a fraction], ὧν ὁ ὑπ’ αὐτῶν λείψας συναμφότερον ποιεῖ κύβον, τουτέστι Μο [Start of a fraction]φιβ/α[End of a fraction], ὁ δὶς ἄρα συναμφότερός ἐστιν αὐτῶν ἡ ὑπεροχή, τουτέστι ͵δϡιβ, ὥστε συναμφότερος ἔσται ͵βυνϛ· ἀλλὰ ὁ ὑπ’ αὐτῶν
10	μετὰ συναμφοτέρου ͵δϡιγ, ὧν συναμφότερος ͵βυνϛ· ἔσται ἄρα ὁ ὑπ’ αὐτῶν Μο [Start of a fraction]φιβ/͵βυνζ[End of a fraction]. καὶ προδέδεικται αὕτη ἡ ἀπόδειξις ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ, καὶ νῦν δὲ δειχθήσεται διὰ τὸ πρόβλημα. Τετάχθω ὁ αος, 𐅶 α καὶ Μο τοῦ 𐅵ʹ ὧν εἰσι συν‐
15	αμφότερα, τουτέστι Μο [Start of a fraction]φιβ/͵ασκη[End of a fraction]· ὁ βος ἔσται Μο [Start of a fraction]φιβ/͵ασκη[End of a fraction] ⩚ 𐅶 α· καὶ ἔστι μὲν συναμφότερος Μο [Start of a fraction]φιβ/͵βυνϛ[End of a fraction]· ἀλλὰ ὁ ὑπ’ αὐ‐ τῶν ἐστι ΜΥ ρν˙͵ζϡπδ μορίου κϛ˙͵βρμδ ⩚ Δυ α· ταῦτα ἴσα Μο [Start of a fraction]φιβ/͵βυνζ[End of a fraction]· καὶ πάντα ἐπὶ 〈τὸ〉 μόριον, τουτέστιν κϛ˙͵βρμδ· καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. γίνεται ΔΥ κϛ˙͵βρμδ
20	ἴσαι ΜΥ κε. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο [Start of a fraction]φιβ/φ[End of a fraction].
258	ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ αος ͵αψκη, ὁ βος ψκη, καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά. Ἄλλως. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ’ αὐτῶν, ἐάν τε
5	προσλάβῃ συναμφότερον, ἐάν τε λείψῃ, ποιῇ κύβον. Ἐν δὲ τῷ τοιούτῳ, ἅπας τετράγωνος ἀριθμὸς δι‐ αιρεθεὶς εἴς τε τὴν πλευρὰν καὶ τὸν λοιπόν, ποιεῖ τὸν ὑπ’ αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρου κύβον. τετάχθω τοίνυν ὁ τετράγωνος ΔΥ α, καὶ διῃρήσθω εἴς τε τὴν πλ. καὶ
10	τὸν λοιπόν. ἔσται 𐅶 α καὶ ΔΥ α ⩚ 𐅶 α· καὶ ἔστιν ὁ ὑπ’ αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρου κύβος. λοιπὸν δεῖ τὸν ὑπ’ αὐτῶν λείψαντα συναμφότερον ποιεῖν κύβον. ἀλλὰ ὁ ὑπ’ αὐτῶν λείψας συναμφό‐ τερον ποιεῖ ΚΥ α ⩚ ΔΥ β· ταῦτα ἴσα κύβῳ ἐλάσσονι
15	τοῦ ΚΥ α· πλάσσω ΚΥ η×, καὶ πάντα ηκις· γίνονται ΚΥ η ⩚ ΔΥ ιϛ ἴς. ΚΥ α, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ζ/ιϛ[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος [Start of a fraction]ζ/ιϛ[End of a fraction], ὁ δὲ βος [Start of a fraction]μθ/ρμδ[End of a fraction]. κθ. Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς 〈τετραγώνουσ〉, οἳ συν‐
20	τεθέντες καὶ προσλαβόντες τὰς ἰδίας πλευρὰς συν‐ τεθείσας ποιοῦσι δοθέντα ἀριθμόν.
20	Ἔστω δὴ τὸν ιβ.
260	Ἐπεὶ πᾶς □ος προσλαβὼν τὴν ἰδίαν πλ. καὶ Μο δ×, ποιεῖ □ον, οὗ ἡ πλ. ⩚ Μο 𐅵ʹ ποιεῖ ἀριθμόν τινα, ὅς ἐστι τοῦ ἐξ ἀρχῆς □ου πλευρά, οἱ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἄρα, προσλαβόντες μὲν τὰς ἰδίας πλ., ποιοῦσι Μο ιβ, προσ‐
5	λαβόντες δὲ καὶ δ δα, ποιοῦσι τέσσαρας □ους· εἰσὶ δὲ καὶ αἱ Μο ιβ μετὰ δ δων, ὅ ἐστι Μο α, Μο ιγ. τὰς ιγ ἄρα Μο διαιρεῖν δεῖ εἰς τέσσαρας □ους, καὶ ἀπὸ τῶν πλευρῶν, ἀφελὼν ἀπὸ ἑκάστης πλ. Μο 𐅵ʹ, ἕξω τῶν δ □ων τὰς πλ..
10	Διαιρεῖται δὲ ὁ ιγ εἰς δύο □ους, τόν τε δ καὶ θ. καὶ πάλιν ἑκάτερος τούτων διαιρεῖται εἰς δύο □ους, εἰς [Start of a fraction]κε/ξδ[End of a fraction] καὶ [Start of a fraction]κε/λϛ[End of a fraction], καὶ [Start of a fraction]κε/ρμδ[End of a fraction] καὶ [Start of a fraction]κε/πα[End of a fraction]. λαβὼν τοίνυν ἑκά‐ στου τὴν πλευράν, [Start of a fraction]ε/η[End of a fraction], 〈[Start of a fraction]ε/ϛ[End of a fraction], [Start of a fraction]ε/ιβ[End of a fraction]〉, [Start of a fraction]ε/θ[End of a fraction], καὶ αἴρω ἀπὸ ἑκά‐ στου τούτων πλευρᾶς Μο 𐅵ʹ, καὶ ἔσονται αἱ πλ. τῶν
15	ζητουμένων □ων, [Start of a fraction]ι/ια[End of a fraction], [Start of a fraction]ι/ζ[End of a fraction], [Start of a fraction]ι/ιθ[End of a fraction], [Start of a fraction]ι/ιγ[End of a fraction]. αὐτοὶ ἄρα οἱ □ου, ὃς μὲν [Start of a fraction]ρ/ρκα[End of a fraction], ὃς δὲ [Start of a fraction]ρ/μθ[End of a fraction], ὃς δὲ [Start of a fraction]ρ/τξα[End of a fraction], ὃς δὲ [Start of a fraction]ρ/ρξθ[End of a fraction]. λ. Εὑρεῖν τέσσαρας τετραγώνους οἳ συντεθέντες καὶ λείψαντες τὰς πλευρὰς αὐτῶν συντεθείσας ποιοῦσι
20	δοθέντα ἀριθμόν.
262	Ἔστω δὴ Μο δ. Ἐπεὶ οὖν τὸν αον λείψαντα αὑτοῦ τὴν πλ., καὶ τὸν βον λείψαντα αὑτοῦ τὴν πλ., καὶ τὸν γον, καὶ τὸν δον, ὁμοίως λείψαντα, 〈δεῖ〉 ποιεῖν Μο δ, ἀλλὰ μὴν καὶ πᾶς
5	□ος, λείψας τὴν ἑαυτοῦ πλ., καὶ προσλαβὼν Μο δ×, ποιεῖ □ον, οὗ ἡ πλ. προσλαβοῦσα Μο 𐅵ʹ ποιεῖ τὴν τοῦ ἐξ ἀρχῆς □ου πλευράν, ὥστε οἱ τέσσαρες, λείψαντες αὐτῶν τὰς πλ., καὶ προσλαβόντες Μοος δ δα, τουτέστι Μο α, ποιήσουσι τέσσαρας □ους· ἀλλὰ καὶ οἱ τέσσαρες, λεί‐
10	ψαντες αὐτῶν τὰς πλ., ποιοῦσι Μο δ· προσλαβόντες δὲ καὶ Μο α, ποιοῦσι Μο ε. ἀπῆκται οὖν μοι τὸν ε διελεῖν εἰς τέσσαρας □ους. [ἑκάστῃ τῶν πλ. προσέθηκα Μο 𐅵ʹ καὶ εὗρον τὰς τῶν ζητουμένων □ων πλ..] Διαιρεῖται δὲ ὁ ε εἰς τέσσαρας □ους, [Start of a fraction]κε/θ[End of a fraction] καὶ [Start of a fraction]κε/ιϛ[End of a fraction]
15	καὶ [Start of a fraction]κε/ξδ[End of a fraction] καὶ [Start of a fraction]κε/λϛ[End of a fraction]. λαμβάνω τούτων τὰς πλευράς, γίνονται [Start of a fraction]ε/γ[End of a fraction], [Start of a fraction]ε/δ[End of a fraction], [Start of a fraction]ε/η[End of a fraction], [Start of a fraction]ε/ϛ[End of a fraction]. προστίθημι ἑκάστῳ τούτων Μο 𐅵ʹ καὶ εὑρίσκω τὰς πλευράς, ἣν μὲν [Start of a fraction]ι/ια[End of a fraction], ἣν δὲ [Start of a fraction]ι/ιγ[End of a fraction], ἣν δὲ [Start of a fraction]ι/κα[End of a fraction], ἣν δὲ [Start of a fraction]ι/ιζ[End of a fraction]. ἔσονται δὲ ἄρα οἱ ζητούμενοι τετράγωνοι, ὃς μὲν [Start of a fraction]ρ/ρκα[End of a fraction], ὃς δὲ [Start of a fraction]ρ/ρξθ[End of a fraction], ὃς δὲ [Start of a fraction]ρ/υμα[End of a fraction], ὃς δὲ [Start of a fraction]ρ/σπθ[End of a fraction].
264	λα. Τὴν μονάδα διελεῖν εἰς δύο ἀριθμούς, καὶ προσ‐ θεῖναι ἑκατέρῳ δοθέντα ἀριθμόν, καὶ ποιεῖν τὸν ὑπ’ αὐτῶν τετράγωνον.
5	Ἔστω τὴν Μο διελεῖν εἰς δύο ἀριθμούς, καὶ ᾧ μὲν προστιθέναι Μο γ, ᾧ δὲ Μο ε, καὶ ποιεῖν τὸν ὑπ’ αὐ‐ τῶν □ον. Τετάχθω ὁ αος 𐅶 α, ὁ ἄρα βος ἔσται Μο α ⩚ 𐅶 α· καὶ ἐὰν μὲν τῷ αῳ προστεθῶσι Μο γ, ἔσται 𐅶 α Μογ· ἐὰν
10	δὲ τῷ βῳ Μο ε, ἔσται Μο ϛ ⩚ 𐅶 α· καὶ γίνεται ὁ ὑπ’ αὐ‐ τῶν 𐅶 γ Μο ιη ⩚ ΔΥ α ἴς. □ῳ. ἔστω ΔΥ δ. καὶ κοινῇ προσκείσθω τὰ τῆς λείψεως· γίνονται 𐅶 γ Μο ιη ἴς. Δ ε, καὶ οὐκ ἔστιν ἡ ἴσωσις ῥητή. ἀλλὰ αἱ ΔΥ ε ἐστὶ □ος μετὰ Μ α· δεῖ ταύτας ἐπὶ
15	τὰς ιη Μο πολλαπλασιασθείσας καὶ προσλαβούσας τὸν ἀπὸ τοῦ 𐅵ʹ τῶν γ 𐅶 □ον, τουτέστι β δ×, ποιεῖν □ον. διὰ τοῦτο τοίνυν ἀπῆκταί μοι εἰς τὸ ζητῆσαι □ον, 〈ὃσ〉 προσλαβὼν Μο α, καὶ ιηκις γενόμενος, καὶ προσ‐ λαβὼν Μο β δ×, ποιεῖ □ον.
20	ἔστω ὁ □ος ΔΥ α· οὗτος μετὰ Μο α, ιηκις γενόμενος καὶ προσλαβὼν Μο β δ×, 〈ποιεῖ〉 ΔΥ ιη Μο κ δ× ἴς. □ῳ. πάντα δκις, γίνονται ΔΥ οβ Μο πα ἴς. □ῳ. καὶ πλάσσω
	τὸν □ον ἀπὸ 𐅶 η Μο θ· γίνεται ὁ 𐅶 Μο ιη. ἐπὶ τὰς ὑπο‐
	στάσεις· ἔσται ὁ □ος τκδ.
266	Ἔρχομαι ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς, ἰσῶσαι 𐅶 γ Μο ιη ⩚ ΔΥ α ἴς. □ῳ· νῦν τάσσω ΔΥ τκδ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 τκεων οη, τουτ‐ έστιν [Start of a fraction]κε/ϛ[End of a fraction].
5	ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν αος ϛ· ὁ δὲ βος ιθ. Ἄλλως. Τὴν μονάδα διελεῖν εἰς δύο ἀριθμούς, καὶ προσ‐ θεῖναι ἑκατέρῳ δοθέντα ἀριθμόν, καὶ ποιεῖν τὸν ὑπ’ αὐτῶν τετράγωνον.
10	Ἔστω δὴ τὴν Μο διελεῖν εἰς δύο ἀριθμούς, καὶ ᾧ μὲν προσθεῖναι Μο γ, ᾧ δὲ Μο ε, καὶ ποιεῖν τὸν ὑπ’ αὐτῶν □ον. Τετάχθω ὁ αος 𐅶 α καὶ ⩚ Μο γ ἃς προσλαμβάνει. λοιπὸς ἄρα ὁ βος ἔσται Μο δ ⩚ 𐅶 α.
15	καὶ ἐὰν μὲν τῷ αῳ προστεθῶσι Μο γ, γί. 𐅶 α, ἐὰν δὲ τῷ βῳ Μο ε, γί. Μο θ ⩚ 𐅶 α. καὶ ἔστιν ὁ ὑπ’ αὐ‐ τῶν 𐅶 θ ⩚ ΔΥ α ἴς. □ῳ· ἔστω ΔΥ δ. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ε/θ[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· καὶ οὐ δύναμαι ἀφελεῖν ἀπὸ τοῦ 𐅶οῦ γ Μο.
20	Δεῖ οὖν τὸν 𐅶 μείζονα μὲν εἶναι Μο γ, ἐλάσσονα δὲ Μο δ. ὁ δὲ 𐅶 εὕρηται ἐκ τοῦ τὸν θ μερισθῆναι εἰς τὸν ε, ὅς ἐστι □ος σὺν Μο α. εἰ δὲ ὁ θ, μεριζόμενος εἴς τινα □ον σὺν Μο α, ποιεῖ Μο γ, εἰς ὃν ἄρα μερί‐
20	ζεται, ἔστι δὴ ὁ γ· εἰς ὃν δὲ ὁ θ μερίζεται, □ός ἐστι
268	〈σὺν〉 Μο, ὥστε ὁ □ος σὺν Μο α 〈ἐλάσσων ἐστὶ Μο γ〉. καὶ ἤρθω ἡ Μο· ὁ ἄρα □ος 〈ἐλάσσων〉 ἐστὶ Μο β. πάλιν θέλομεν τὸν θ μερίζοντες εἰς □ον σὺν Μο α ποιεῖν Μο δ. εἰς ὃν ἄρα μερίζεται, 〈ἔστι δὴ Μο β δ×·
5	εἰς ὃν δὲ μερίζεται〉 ὁ θ, □ός ἐστι σὺν Μο α, ὥστε ὁ □ος σὺν τῇ Μο μείζων ἐστὶ Μο β δ×· καὶ ἤρθω ἡ Μο α· ὥστε ὁ □ος μείζων Μο α δ×. ἐδείχθη δὲ καὶ ἐλάσσων β □ος· γέγονεν οὖν μοι εὑρεῖν τινα □ον ὅς ἐστι μείζων Μο α δ×, ἐλάσσων δὲ β.
10	Καὶ ἀναλύω ταῦτα εἰς μόρια τετραγωνικά, εἰς ξδα, καὶ γίνονται π καὶ ρκη· τοῦτο δέ ἐστι ῥᾴδιον, καὶ ἔστιν ὁ □ος [Start of a fraction]ξδ/ρ[End of a fraction], τουτέστιν [Start of a fraction]ιϛ/κε[End of a fraction]. Ἔρχομαι οὖν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς, καὶ ἐζήτουν 𐅶 θ ⩚ ΔΥ α ἴς. □ῳ, τουτέστι τῷ εὑρημένῳ ἴς. ΔΥ [Start of a fraction]ιϛ/κε[End of a fraction]· καὶ
15	γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]μα/ρμδ[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ αος κα, ὁ βος κ. λβ. Δοθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ τοῦ πρώτου καὶ τοῦ δευτέρου, ἐάν τε προσλάβῃ
20	τὸν τρίτον, ἐάν τε λείψῃ, ποιῇ τετράγωνον. Ἔστω ὁ δοθεὶς ὁ ϛ.
20	Τετάχθω ὁ γος 𐅶 α, καὶ ὁ βος Μο ἐλασσόνων τοῦ ϛ·
270	ἔστω Μο β· ὁ ἄρα αος ἔσται Μο δ ⩚ 𐅶 α· καὶ λοιπά ἐστι δύο ἐπιτάγματα, τὸν ὑπὸ αου καὶ βου, ἐάν τε προσλάβῃ τὸν γον, ἐάν τε λείψῃ, ποιεῖν □ον. καὶ γίνεται διπλῆ ἡ ἰσότης· Μο η ⩚ 𐅶 α ἴς. □ῳ· καὶ Μο η ⩚ 𐅶 γ ἴς. □ῳ· καὶ
5	οὐ ῥητόν ἐστι διὰ τὸ μὴ εἶναι τοὺς 𐅶 πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχοντας ὃν □ος ἀριθμὸς πρὸς □ον ἀριθμόν. ἀλλὰ ὁ 𐅶 ὁ α μονάδι ἐλάσσων τοῦ β, οἱ δὲ 𐅶 γ ὁμοίως μείζ. 〈Μοι〉 τοῦ β. ἀπῆκται οὖν μοι εἰς τὸ εὑρεῖν ἀριθμόν τινα, ὡς τὸν β, ἵνα ὁ Μοι αὐτοῦ μεί‐
10	ζων, πρὸς τὸν Μοι 〈αὐτοῦ ἐλάσσονα, λόγον ἔχῃ ὃν □ος ἀριθμὸς πρὸσ〉 □ον ἀριθμόν. Ἔστω ἡ ζητούμενος 𐅶 α, καὶ 〈ὁ〉 Μοι α αὐτοῦ μείζων ἔσται 𐅶 α Μο α, ὁ δὲ Μοι αὐτοῦ ἐλάσσων 𐅶 α ⩚ Μο α. θέλομεν οὖν αὐτοὺς πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχειν ὃν □ος
15	ἀριθμὸς πρὸς □ον ἀριθμόν. ἔστω ὃν δ πρὸς α· ὥστε 𐅶 α ⩚ Μο α ἐπὶ Μο δ γίνονται 𐅶 δ ⩚ Μο δ· καὶ 𐅶 α Μο α ἐπὶ τὴν Μο α 〈γίνονται 𐅶 α Μο α〉. καί εἰσιν οὗτοι οἱ ἐκκείμενοι ἀριθμοὶ λόγον ἔχοντες πρὸς ἀλλήλους ὃν ἔχει □ος ἀριθμὸς πρὸς □ον ἀριθμόν· νῦν 𐅶 δ ⩚ Μο δ
20	ἴς. 𐅶 α Μο α, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο [Start of a fraction]γ/ε[End of a fraction]. τάσσω οὖν τὸν βον Μο [Start of a fraction]γ/ε[End of a fraction]· ὁ γὰρ γος ἐστὶν 𐅶 α· ὁ ἄρα
20	αος ἔσται Μο [Start of a fraction]γ/ιγ[End of a fraction] ⩚ 𐅶 α.
272	λοιπὸν δεῖ εἶναι τὸ ἐπίταγμα, ἔστω τὸν ὑπὸ αου καὶ βου, προσλαβόντα τὸν γον, ποιεῖν □ον, καὶ λείψαντα τὸν γον, ποιεῖν □ον· ἀλλ’ ὁ ὑπὸ αου καὶ βου, προσλαβὼν τὸν γον, ποιεῖ Μο [Start of a fraction]θ/ξε[End of a fraction] ⩚ 𐅶 𐅷 ἴς. □ῳ· ⩚ δὲ τοῦ γου, ποιεῖ
5	Μο [Start of a fraction]θ/ξε[End of a fraction] ⩚ 𐅶 β 𐅷 ἴς. □ῳ. καὶ πάντα ἐπὶ τὸν θ, καὶ γί‐ νονται Μο ξε ⩚ 𐅶 ϛ ἴς. □ῳ, καὶ Μο ξε ⩚ 𐅶 κδ ἴς. □ῳ. καὶ ἐξισῶ, τοὺς 𐅶 τῆς μείζονος ἰσότητος ποιήσας δκις, καὶ ἔστι Μο σξ ⩚ 𐅶 κδ ἴς. □ῳ καὶ Μο ξε ⩚ 𐅶 κδ ἴς. □ῳ.
10	νῦν τούτων λαμβάνω τὴν ὑπεροχὴν καὶ ἔστι Μο ρϙε· καὶ ἐκτίθεμαι δύο ἀριθμοὺς ὧν τὸ ὑπό ἐστι Μο ρϙε, καί εἰσι ιε καὶ ιγ· καὶ τῆς τούτων ὑπεροχῆς τὸ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτὸ ἴσον ἐστὶ τῷ ἐλάσσονι □ῳ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 γων η. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος ε, ὁ δὲ βος ε,
15	ὁ δὲ γος η. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά. λγ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἕτερος, παρὰ τοῦ ἑτέρου προσλαβὼν τὸ αὐτὸ μέρος ἢ τὰ αὐτὰ μέρη, λόγον ἔχῃ πρὸς τὸν περιλειφθέντα ὑπὸ τοῦ δοθέντος
20	τὸν ἐπιταχθέντα. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν αον, προσλαβόντα παρὰ τοῦ βου
20	μέρος τι ἢ μέρη, τοῦ λοιποῦ εἶναι γπλ., τὸν δὲ βον,
274	προσλαβόντα παρὰ τοῦ αου τὸ αὐτὸ μέρος ἢ τὰ αὐτὰ μέρη, τοῦ λοιποῦ εἶναι επλ.. Τετάχθω ὁ βος 𐅶 α Μο α, τὸ δὲ μέρος ἢ μέρη αὐτοῦ ἔστω Μο α· ὁ ἄρα αος ἔσται 𐅶 γ ⩚ Μο α, καὶ ὁ αος, ἐὰν
5	προσλάβῃ τοῦ βου μέρος τι ἢ μέρη, τουτέστι Μο α, γί‐ νεται τοῦ λοιποῦ γπλ.. θέλομεν δὲ καὶ τὸν βον, προσ‐ λαβόντα 〈τοῦ αου〉 τὸ αὐτὸ μέρος ἢ τὰ αὐτὰ μέρη, τοῦ λοιποῦ εἶναι επλ.. ἀλλ’ ἐπειδὴ οἱ δύο εἰσὶν 𐅶 δ καὶ ὁ βος λαμβάνει τι
10	καὶ ὁ αος δίδωσι, καὶ ὁ γενόμενος τοῦ λοιποῦ γίνεται επλ., ὥστε ὁ συναμφότερος, ὁ γενόμενος καὶ ὁ λοιπός, ἔσται 𐅶 δ, ὥστε ὁ λοιπὸς ἔσται ἐὰν τῶν 𐅶 δ λάβωμεν τὸ ϛον, τουτέστιν 𐅶 𐅷· ἐὰν ἄρα ἀπὸ 𐅶 γ ⩚ Μο α ἄρωμεν 𐅶 𐅷, ἕξομεν τοῦ αου μέρος ἢ μέρη.
15	ἐὰν δὲ ἄρωμεν, λοιπός ἐστι γενόμενος 𐅶 [Start of a fraction]γ/ζ[End of a fraction] ⩚ Μο α· λαβὼν γὰρ ὁ βος, ὁ 𐅶 α Μο α, παρὰ τοῦ αου 𐅶 [Start of a fraction]γ/ζ[End of a fraction] ⩚ Μο α, γίνεται επλ. τοῦ καταλιμπανομένου τοῦ αου. λοιπὸν δεῖ ἐνθάδε ζητῆσαι, εἰ ὃ μέρος ἐστὶν ἢ μέρη Μο α, 𐅶οῦ α Μο α, τὸ αὐτὸ μέρος ἢ τὰ αὐτὰ μέρη 𐅶ῶν γ
20	⩚ Μ α οἱ 𐅶 [Start of a fraction]γ/ζ[End of a fraction] ⩚ Μο α. ὅταν δέ τι τοιοῦτο ζητῇς, τὸ ὑπὸ 〈τῶν〉 𐅶 [Start of a fraction]γ/ζ[End of a fraction] ⩚ Μο α
20	καὶ 𐅶 α Μ α ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ 𐅶 γ ⩚ Μο α ἐπὶ τὴν Μο,
276	τουτέστι τὰ μέρη ἐναλλὰξ πολλαπλασιάζεται· ὧν εἰσιν ΔΥ [Start of a fraction]γ/ζ[End of a fraction] 𐅶 [Start of a fraction]γ/δ[End of a fraction] ⩚ Μο α ἴς. 𐅶 γ ⩚ Μο α· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ζ/ε[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος [Start of a fraction]ζ/η[End of a fraction], ὁ δὲ βος [Start of a fraction]ζ/ιβ[End of a fraction]. Ἦν δὲ τοῦ βου μέρη Μο α· σκεπτόμεθα· ἡ Μο α τοῦ
5	βου· εἰσὶ δὲ [Start of a fraction]ιβ/ζ[End of a fraction]· καὶ ποιῶ ζκις τοὺς δύο ἀριθμούς. ἔσται ὁ αος Μο η, ὁ βος Μο ιβ, τὰ δὲ μέρη [Start of a fraction]ιβ/ζ[End of a fraction]. ἀλλὰ ἐπεὶ ὁ αος οὐκ ἔχει ιβον, ποιῶ αὐτὰ τρίς, ἵνα μὴ εἰς μόρια ἐμπίπτῃ· ἔσται ὁ αος κδ, ὁ βος λϛ, τὰ δὲ μέρη τῶν [Start of a fraction]ιβ/ζ[End of a fraction], καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.
10	Λῆμμα εἰς τὸ ἑξῆς. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἀορίστους ὅπως ὁ ὑπ’ αὐ‐ τῶν μετὰ συναμφοτέρου ποιῇ τὸν δοθέντα ἀριθμόν. ποιείτω Μο η. Τετάχθω ὁ αος 𐅶 α, ὁ βος Μο γ· καὶ ὁ ὑπ’ αὐτῶν
15	μετὰ συναμφοτέρου ἐστὶν 𐅶 δ Μο γ· ταῦτα ἴσα Μο η. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 δων 〈ε〉. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ αος δων ε, ὁ βος Μο γ. Νῦν σκέπτομαι ὁ 𐅶 πόθεν ἐγένετο [Start of a fraction]δ/ε[End of a fraction]· ἐκ τοῦ τὸν ε
15	μερισθῆναι εἰς τοὺς 𐅶 δ· ἀλλ’ ὁ ε ἐστὶν ἐκ τῆς ὑπερ‐
278	οχῆς τοῦ η ἧς ὑπερέχει τὸν γ. οἱ δὲ 𐅶 δ εἰσιν ὁ Μοι μείζων τοῦ βου. ἐὰν ἄρα τάξωμεν τὸν βον 𐅶οῦ οἱουδήποτε, καὶ ἄρω αὐτὸν ἀπὸ Μο η, καὶ τὰ λοιπὰ μερίσω παρὰ τὸν Μοι
5	μείζονα τοῦ βου, ἕξω τὸν αον. οἷον, ἔστω ὁ βος 𐅶 α ⩚ Μο α· ταῦτα αἴρω ἀπὸ Μο η· λοιπὸν Μο θ ⩚ 𐅶 α· ταῦτα μερίζω εἰς τὸν Μοι α μείζονα, τουτέστιν εἰς 𐅶 α, καὶ γίνεται 𐅶 × θ ⩚ Μο α· ἔσται ὁ αος. Καὶ λέλυται ἐν τῇ ἀορίστῳ, ὥστε τὸν ὑπ’ αὐτῶν
10	μετὰ συναμφοτέρου ποιεῖν Μο η. τὸ δὴ ἐν τῇ ἀορίστῳ τοιοῦτόν ἐστιν, ἵνα τὸν 𐅶, ὅσων ἄν τις θέλῃ Μο εἶναι, ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις ποιήσας, περανῇ τὸ πρόβλημα. λδ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν
15	προσλαβὼν συναμφότερον ποιῇ τοὺς δοθέντας ἀριθ‐ μούς. —Δεῖ δὴ τοὺς δοθέντας τετραγώνους εἶναι παρὰ μονάδα μίαν. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ὑπὸ αου καὶ βου μετὰ συναμ‐ φοτέρου ποιεῖν Μο η, τὸν ὑπὸ τοῦ βου καὶ γου μετὰ
20	συναμφοτέρου ποιεῖν Μο ιε, τὸν δὲ ὑπὸ τοῦ αου καὶ τοῦ γου μετὰ συναμφοτέρου ποιεῖν Μο κδ. Ἐπεὶ οὖν θέλω τὸν ὑπὸ αου καὶ βου μετὰ συναμ‐ φοτέρου ποιεῖν Μο η, ἐὰν ἄρα τάξω τὸν βον ὁσουδήποτε καὶ ἀπὸ Μο η ἄρω αὐτόν, καὶ μερίσω παρὰ τὸν Μοι
25	μείζονα τοῦ βου, ἕξω τὸν αον.
280	τετάχθω ὁ βος 𐅶 α ⩚ Μο α· καὶ ἐὰν ἀπὸ Μο η ἄρω αὐτά, καὶ μερίσω παρὰ τὸν Μοι α μείζονα τοῦ βου, ἔσται ὁ αος 𐅶 × θ ⩚ Μο α. πάλιν ὁμοίως ἐπεὶ θέλω τὸν ὑπὸ τοῦ βου καὶ τοῦ γου
5	μετὰ συναμφοτέρου ποιεῖν Μο ιε, 〈ἐὰν ἀπὸ Μο ιε〉 ἀφέλω 𐅶 α ⩚ Μο α καὶ μερίσω εἰς τὸν Μοι α μείζονα τοῦ βου, τουτέστιν εἰς 𐅶 α, γίνονται 𐅶 × ιϛ ⩚ Μο α, ἕξω τὸν γον. λοιπόν ἐστι τὸν ὑπὸ αου καὶ γου μετὰ συναμφο‐ τέρου· ποιεῖ ΔΥ× ρμδ ⩚ Μο α· ταῦτα ἴσα Μο κδ, καὶ γί‐
10	νεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ε/ιβ[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν αος [Start of a fraction]ιβ/λγ[End of a fraction], ὁ δὲ βος [Start of a fraction]ε/ζ[End of a fraction], ὁ δὲ γος [Start of a fraction]ιβ/ξη[End of a fraction]. καὶ πάντα εἰς ἓν μόριον καὶ γίνεται ὁ αος [Start of a fraction]ξ/ρξε[End of a fraction], ὁ βος [Start of a fraction]ξ/πδ[End of a fraction], ὁ δὲ γος [Start of a fraction]ξ/τμ[End of a fraction]. Λῆμμα εἰς τὸ ἑξῆς.
15	Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἀορίστους, ὥστε τὸν ὑπ’ αὐ‐ τῶν λείψαντα συναμφότερον ποιεῖν τὸν δοθέντα. Ἔστω τὸν η. Τετάχθω ὁ αος 𐅶 α, ὁ βος Μο γ, καὶ ὁ ὑπ’ αὐτῶν λείψας συναμφότερον ποιεῖ 𐅶 β ⩚ Μο γ ἴς. Μο η. καὶ γί‐
20	νεται ὁ 𐅶 Μο ε 𐅵ʹ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν
20	αος Μο ε 𐅵ʹ, ὁ δὲ βος Μο γ.
282	Πάλιν οὖν σκέπτομαι πόθεν ἐγένετο ὁ 𐅶 Μο ε 𐅵ʹ· ἐκ τοῦ τὸν ια μερισθῆναι εἰς τὸν β· ἀλλὰ ὁ ια ὁ δο‐ θείς ἐστι μετὰ τοῦ βου· οἱ δὲ 𐅶 β εἰσὶν ὁ Μοι ἐλάσσων τοῦ βου.
5	ἐὰν οὖν τάξω τὸν βον ὁσουδήποτε καὶ προσθῶμεν αὐτὸν τῷ δοθέντι, καὶ τὰ γενόμενα μερίσωμεν παρὰ τὸν Μοι α ἐλάσσονα τοῦ βου, εὑρήσομεν τὸν αον. ἔστω ὁ βος 𐅶 α Μο α· ταῦτα μετὰ Μο η ποιεῖ 𐅶 α Μο θ. μερίζω ταῦτα εἰς τὸν Μοι α ἐλάσσονα τοῦ βου, τουτέστιν
10	εἰς 𐅶 α, καὶ γίνεται Μο α 𐅶 × θ. καὶ λέλυται ἐν τῇ ἀορίστῳ, ὥστε τὸν ὑπ’ αὐτῶν λείψαντα συναμφότερον ποιεῖν Μο η. λε. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν
15	λείψας συναμφότερον ποιῇ τοὺς δοθέντας. —Δεῖ δὴ τοὺς δοθέντας τετραγώνους εἶναι παρὰ μονάδα. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ὑπὸ τοῦ αου καὶ τοῦ βου, λεί‐ ψαντα συναμφότερον, ποιεῖν Μο η, τὸν δὲ ὑπὸ βου καὶ γου, λείψαντα συναμφότερον, ποιεῖν Μο ιε, τὸν δὲ ὑπὸ
20	τοῦ γου καὶ τοῦ αου, λείψαντα συναμφότερον, ποιεῖν Μο κδ. Ἐπεὶ θέλω τὸν ὑπὸ τοῦ αου καὶ τοῦ βου, λείψαντα συναμφότερον, ποιεῖν Μο η, ἐὰν ἄρα τάξω τὸν βον οἱου‐ δήποτε, καὶ προσθῶμεν αὐτὸν εἰς Μο η, καὶ τὰ γενό‐
25	μενα μερίσω παρὰ τὸν Μοι ἐλάσσονα τοῦ βου, ἕξω τὸν
25	αον, κατὰ τὸ λῆμμα τὸ προγεγραμμένον.
284	ἔστω ὁ βος 𐅶 α Μο α· προστίθημι αὐτῷ Μο η· γίνεται 𐅶 α Μο θ· ταῦτα μερίζω εἰς τὸν πρῶτον ἐλάσσονα τοῦ βου, τουτέστιν εἰς 𐅶 α, καὶ γίνεται Μο α 𐅶 × θ· ἔσται ὁ αος. ὁμοίως δὲ καὶ ὁ γος ἔσται Μο α 𐅶 × ιϛ, καὶ λέλυταί
5	μοι δύο ἐπιτάγματα. λοιπὸν δεῖ τὸν ὑπὸ αου καὶ γου λείψαντα συναμ‐ φότερον· ποιεῖ ΔΥ× ρμδ ⩚ Μο α ἴς. Μο κδ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ε/ιβ[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν αος [Start of a fraction]ιβ/νζ[End of a fraction], ὁ δὲ βος [Start of a fraction]ε/ιζ[End of a fraction],
10	ὁ δὲ γος [Start of a fraction]ιβ/ϙβ[End of a fraction]· καὶ ἐὰν θέλῃς αὐτοὺς εἶναι ἑνὸς μορίου, πάντα εἰς ξα, ἔσται 〈ὁ αος〉 σπε, ὁ βος σδ, ὁ γος υξ. Λῆμμα εἰς τὸ ἑξῆς. Εὑρεῖν ἀριθμοὺς ἀορίστους δύο, ὅπως ὁ ὑπ’ αὐ‐ τῶν πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχῃ δεδομένον.
15	Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ὑπὸ αὐτῶν συναμφότερον εἶναι τρίς. Καὶ τετάχθω ὁ αος 𐅶 α, ὁ βος Μο ε. καὶ ἔστιν ὁ ὑπ’ αὐτῶν 𐅶 ε· ταῦτα θέλομεν εἶναι τρὶς 𐅶 α Μο ε. ὥστε 𐅶 γ Μο ιε ἴσοι εἰσὶν 𐅶 ε, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ζ 𐅵ʹ. ἐπὶ
20	τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ αος Μο ζ 𐅵ʹ, ὁ βος Μο ε.
286	Βλέπω οὖν 〈πόθεν〉 ὁ 𐅶 γέγονεν Μο ζ 𐅵ʹ· ἐκ τοῦ τὸν ιε μερισθῆναι εἰς β 𐅶. ἀλλὰ ὁ ιε ὁ βος πολλα‐ πλασιαζόμενός ἐστιν ἐπὶ τὸν λόγον. ὁ δὲ β ἐστὶν ἐκ τῆς ὑπεροχῆς ἧς ὑπερέχει ὁ βος τοῦ λόγου.
5	Ἐὰν οὖν τάξωμεν τὸν βον οἱουδήποτε 𐅶, καὶ πολλα‐ πλασιάσωμεν αὐτὸν ἐπὶ τὸν λόγον, ποιεῖ 𐅶 γ, καὶ ἐὰν μερισθῇ εἰς τὴν ὑπεροχὴν ᾗ ὑπερέχει ὁ βος τοῦ λόγου, τουτέστιν εἰς 𐅶 α ⩚ Μο γ, γίνεται ὁ αος 𐅶 γ ἐν μορίῳ 𐅶 α ⩚ Μο γ.
10	λϛ. Εὑρεῖν ἀριθμοὺς τρεῖς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχη δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ὑπὸ αου καὶ βου συναμφοτέρους εἶναι γος, τὸν δὲ ὑπὸ τοῦ βου καὶ γου συναμφοτέρους
15	εἶναι δκις, τὸν δὲ ὑπὸ αου καὶ τοῦ γου συναμφοτέρους εἶναι εκις. Τετάχθω ὁ βος 𐅶 α· ἔσται δή, διὰ τὸ λῆμμα, ὁ αος 𐅶 γ ἐν μορίῳ 𐅶 α ⩚ Μο γ· ὁμοίως καὶ ὁ γος 𐅶 δ ἐν μο‐ ρίῳ 𐅶 α ⩚ Μο δ.
20	λοιπὸν δεῖ τὸν ὑπὸ τοῦ αου καὶ τοῦ γου συναμφο‐ τέρους εἶναι εκις. ἀλλὰ ὁ ὑπὸ τοῦ αου καὶ γου ΔΥ ιβ ἐν μορίῳ ΔΥ α Μο ιβ ⩚ 𐅶 ζ, συναμφότερος δέ ἐστιν ὁ αος
20	καὶ ὁ γος ΔΥ ζ ⩚ 𐅶 κδ μορίου ΔΥ α Μο ιβ ⩚ 𐅶 ζ.
288	Οὕτως· ὅταν γὰρ δεήσῃ συνθεῖναι μόρια, οἷον· 𐅶 γ μορ. 𐅶 α ⩚ Μο γ καὶ 𐅶 δ μορ. 𐅶 α ⩚ Μο δ, οἱ 𐅶 τοῦ μέρους ἐπὶ τὰ ἐναλλὰξ μόρια πολλαπλασια‐ σθήσονται, οἷον 𐅶 γ ἐπὶ τὰ τοῦ ἑτέρου μόρια τουτ‐
5	έστιν ἐπὶ 𐅶 α ⩚ Μο δ, καὶ πάλιν οἱ 𐅶 δ ἐπὶ τὰ μόρια τοῦ ἑτέρου, ἐπὶ 𐅶 α ⩚ Μο γ. οὕτως ἐποίησεν ἡ σύν‐ θεσις ΔΥ ζ ⩚ 𐅶 κδ μορίου τοῦ ὑπὸ τῶν μορίων, τουτ‐ έστι ΔΥ α Μο ιβ ⩚ 𐅶 ζ. ἔχομεν δὲ καὶ τὸν ὑπὸ τοῦ αου καὶ γου ΔΥ ιβ μο‐
10	ρίου ΔΥ α Μο ιβ ⩚ 𐅶 ζ. ΔΥ ἄρα ιβ 〈μορίου ΔΥ α Μο ιβ〉 ⩚ 𐅶 ζ επλ. εἰσι τῆς συνθέσεως. εκις ἄρα ἡ σύνθεσις· γίνεται ΔΥ λε ⩚ 𐅶 ρκ μορίου ΔΥ α Μο ιβ ⩚ 𐅶 ζ. καὶ πάντα ἐπὶ τὸ κοινὸν αὐ‐ τῶν μόριον ἐπὶ ΔΥ α Μο ιβ ⩚ 𐅶 ζ· καὶ γίνονται ΔΥ ιβ
15	ἴσαι ΔΥ λε ⩚ 𐅶 ρκ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]κγ/ρκ[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· εἶχες δὴ τὸν μὲν αον 𐅶 γ μορ. 𐅶 α ⩚ Μο γ, τὸν δὲ βον 𐅶 α, τὸν δὲ γον 𐅶 δ μορ. 𐅶 α ⩚ Μο δ. εὑρέθη δὲ ὁ 𐅶 [Start of a fraction]κγ/ρκ[End of a fraction]. ἐὰν μὲν ἐπὶ τὸν αον ποιῇς, ἐπὶ 𐅶 γ, ἔσονται Μο τξ· λοιπὸς ἐπὶ τὸ μόριον, Μο ρκ ἐπὶ
20	𐅶 α ⩚ Μο γ. γίνονται Μο να. λοιπὸς ἄρα ὁ αος [Start of a fraction]να/τξ[End of a fraction]· ὁ δὲ
290	βος [Start of a fraction]κψ/ρκ[End of a fraction], οὐ γὰρ εἶχεν ἀριθμητικὸν μόριον· ὁ δὲ γος· ὁμοίως ρκ ἐπὶ τοὺς δ 𐅶, γίνονται υπ· ὁμοίως καὶ ἐπὶ τὸ μόριον, ρκ ἐπὶ 𐅶 α ⩚ Μο δ, γίνονται Μο κη, λοιπὸς ἄρα ὁ γος Μο [Start of a fraction]κη/υπ[End of a fraction]. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.
5	λζ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν πρὸς τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν ὑπὸ τοῦ αου καὶ τοῦ βου τῶν τριῶν εἶναι γπλ., τὸν δὲ ὑπὸ τοῦ βου καὶ τοῦ γου
10	τῶν τριῶν εἶναι δπλ., τὸν δὲ ὑπὸ τοῦ γου καὶ τοῦ αου τῶν τριῶν εἶναι επλ.. Ἐπεὶ οὖν ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν πρὸς τὸν ἐκ τῶν τριῶν λόγον ἔχει δεδομένον, ζητῶ πρότερον τρεῖς ἀριθ‐ μοὺς καὶ τυχόντα ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν πρὸς
15	τὸν τυχόντα λόγον ἔχῃ τὸν ἐπιταχθέντα. ἔστω ὁ τυχὼν Μο ε· καὶ ἐπεὶ ὁ ὑπὸ τοῦ αου καὶ τοῦ βου, τυχόντος ἐστὶ γπλ., τουτέστι τοῦ ε, ὁ ὑπὸ τοῦ αου ἄρα καὶ τοῦ βου ἔσται Μο ιε. ἔστω ὁ βος 𐅶 α, ὁ ἄρα αος ἔσται 𐅶 × ιε.
20	πάλιν ἐπεὶ ὁ ὑπὸ τοῦ βου καὶ τοῦ γου, τοῦ ε ἐστὶ δπλ., ὁ ἄρα ὑπὸ βου καὶ γου ἔσται Μο κ. ἔστι δὲ ὁ βος 𐅶 α· ὁ ἄρα γος ἔσται 𐅶 × κ. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ὑπὸ τοῦ γου καὶ τοῦ αου, ὃς ΔΥ× εἰσι τ, ταῦτα τοῦ ε εἶναι επλ.· γίνονται ΔΥ× τ
25	ἴς. Μο κε.
292	Καὶ εἰ ἦν τὸ εἶδος πρὸς τὸ εἶδος λόγον ἔχον ὃν □ος πρὸς □ον, λελυμένον ἂν ἦν μοι τὸ ζητούμενον. ἀλλὰ τὰ τ ΔΥ× ὑπὸ τοῦ ιε ἐστι καὶ τοῦ κ. ἀλλὰ ὁ ιε γπλ. ἐστὶ τοῦ ε, ὁ δὲ κ δπλ. τοῦ ε. θέλομεν οὖν τὸν
5	γπλ. τοῦ ε ἐπὶ τὸν δπλ. τοῦ ε γενόμενον πρὸς τὸν επλ.· τοῦ ε λόγον ἔχειν ὃν □ος πρὸς □ον· ὁ δὲ ε τυχών ἐστιν. ἀπῆκται οὖν μοι εἰς τὸ ζητεῖν τινα ἀριθμόν, ὅπως ὁ γπλ. αὐτοῦ πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν δπλ. αὐτοῦ καὶ ὁ γενόμενος πρὸς τὸν επλ. αὐτοῦ λόγον ἔχῃ ὃν □ος
10	πρὸς □ον. Ἔστω ὁ ζητούμενος 𐅶 α· καὶ ὁ γπλ. αὐτοῦ πολλα‐ πλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν δπλ. αὐτοῦ ποιείτω ΔΥ ιβ· δεῖ τοί‐ νυν τοῦτον πρὸς τὸν επλ. αὐτοῦ λόγον ἔχειν ὃν □ος πρὸς □ον. ΔΥ ἄρα ιβ πρὸς 𐅶 ε θέλομεν εἶναι ἐν λόγῳ
15	ᾧ ἔχει □ος ἀριθμὸς πρὸς □ον ἀριθμόν· ὁ ἄρα ὑπ’ αὐ‐ τῶν καὶ αὐτὸς ἔσται □ος· ΚΥ ἄρα ξ ἴς. □ῳ. τοῦτο δὲ ῥᾴδιον· ἴς. ΔΥ ϡ. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ιε, ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ ζητούμενος Μο ιε. τάσσω οὖν αὐτὸν Μο ιε· ἔσται ἄρα ὁ ὑπὸ τοῦ αου
20	καὶ τοῦ βου Μο με. καὶ ἔστιν ὁ βος 𐅶 α· ὁ ἄρα αος ἔσται 𐅶 × με. ὁμοίως καὶ ὁ γος 𐅶 ×ξ. λοιπόν ἐστι τὸν ὑπὸ αου καὶ γου, τουτέστι ΔΥ× ͵βψ, τῶν Μο ιε κατασκευάσαι επλ.· ΔΥ× ͵βψ ἴς. Μο οε. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ϛ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ αος
25	Μο ζ 𐅵ʹ, ὁ δὲ βος Μο ϛ, ὁ δὲ γος Μο ι.
294	Καὶ ὡσεὶ ἦν ἡ συγκείμενος ἐκ τῶν τριῶν Μο ιε, λελυμένον ἂν ἦν μοι τὸ ζητούμενον· τάσσω οὖν τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν ΔΥ ιε, αὐτοὺς δὲ τοὺς τρεῖς ἐν 𐅶, ὡς εὕρομεν, τὸν μὲν αον 𐅶 ζ 𐅵ʹ, τὸν δὲ βον 𐅶 ϛ,
5	τὸν δὲ γον 𐅶 ι. Καὶ λοιπὸν δεῖ τοὺς τρεῖς εἶναι ΔΥ ιε· εἰσὶ δὲ οἱ τρεῖς 𐅶 κγ 𐅵ʹ· 𐅶 ἄρα κγ 𐅵ʹ ἴς. ΔΥ ιε, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο [Start of a fraction]λ/μζ[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος τνβ 𐅵ʹ, ὁ δὲ
10	βος σπβ, ὁ δὲ γος υο. λη. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν τριῶν πολλαπλασιαζόμενος ἐπὶ μὲν τὸν πρῶτον ποιῇ τρίγωνον, ἐπὶ δὲ τὸν δεύτερον ποιῇ τετράγωνον, ἐπὶ
15	δὲ τὸν τρίτον ποιῇ κύβον. Τετάχθω δὴ οἱ τρεῖς ΔΥ α, ὁ δὲ αος δυναμοστῶν τριγωνικῶν· ἔστω ΔΥ× ϛ· ὁ δὲ βος ΔΥ×δ, ὁ δὲ γος δυναμοστῶν κυβικῶν· ἔστω ΔΨ× η. Καὶ ἡ ΔΥ α πολλαπλασιασθεῖσα ἐπὶ μὲν τὸν αον
20	ποιεῖ Μο ϛ ὅς ἐστι τρίγωνος· ἐπὶ δὲ τὸν βον ποιεῖ Μο δ, ὅς ἐστι □ος· ἐπὶ δὲ τὸν γον ποιεῖ Μο η, ὅς ἐστι κύβος.
20	λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς εἶναι ΔΥ α· ἀλλὰ οἱ τρεῖς
296	εἰσι ΔΥ ιη ἴς. ΔΥ α. καὶ πάντα ἐπὶ ΔΥ α· γίνεται ΔΥ Δ α ἴς. Μο ιη. δεῖ οὖν τὸν ιη εἶναι □ον, πλευρὰν ἔχοντα □ον, ἀλλὰ ὁ ιη σύνθεσίς ἐστι τριγώνου καὶ τετραγώνου καὶ
5	κύβου. ἀπῆκται οὖν μοι εὑρεῖν· □ον, πλευρὰν ἔχοντα □ον, διελεῖν εἰς τρίγωνον καὶ τετράγωνον καὶ κύβον. ἔστω ὁ τετράγωνος ΔΥ Δ α Μο α ⩚ ΔΥ β. ἐὰν ἄρα ἀπὸ ΔΥ Δ α ἄρω ΔΥ Δ α Μο α ⩚ ΔΥ β, λοιπὸς καταλείπεται ΔΥ β ⩚ Μο α· πάλιν ταῦτα δεῖ διαιρεθῆναι εἴς τε κύβον
10	καὶ τρίγωνον. καὶ ἔστω ὁ κύβος Μο η. λοιπὸς ἄρα ὁ τρίγωνος ΔΥ β ⩚ Μο θ ἴς. τριγώνῳ. πᾶς δὲ τρίγωνος, ηκις γενόμενος καὶ προσλαβὼν Μ α, □ος γίνεται. ΔΥ ἄρα ιϛ ⩚ Μο οα ἴς. □ῳ· πλάσσω τὸν □ον ἀπὸ
15	𐅶 δ ⩚ Μο α. γίνεται ὁ □ος, ΔΥ ιϛ Μο α 〈⩚ 𐅶 η〉· καὶ γί‐ νεται ὁ 𐅶 Μο θ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν τρί‐ γωνος Μο ρνγ, ὁ δὲ τετράγωνος Μο ͵ϛυ, ὁ δὲ κύβος Μο η. Ἔρχομαι εἰς τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ τάσσω τὸν ἐκ τῶν τριῶν συγκείμενον τετράγωνον ΔΥ α, τὸν δὲ αον
20	ΔΥ × ρνγ, ἐπεὶ δεῖ τρίγωνον γενέσθαι, τὸν δὲ βον ΔΥ ×͵ϛυ, ἐπεὶ δεῖ τετράγωνον γενέσθαι, τὸν δὲ γον ΔΨ× η, ἐπεὶ δεῖ κύβον γενέσθαι· καὶ ἡ ΔΥ α, τετρά‐ γωνος οὖσα, ἐφ’ ὃν ἂν πολλαπλασιασθῇ, ποιεῖ ὃν μὲν
20	τρίγωνον, ὃν δὲ τετράγωνον, ὃν δὲ κύβον.
298	δεῖ δὴ τοὺς τρεῖς εἶναι ΔΥ α· εἰσὶ δὲ ΔΨ× ͵ϛφξα ἴς. ΔΥ α. καὶ πάντα ἐπὶ ΔΥ· γίνεται ΔΥ Δ α ἴς. Μο ͵ϛφξα· καὶ ἔστιν ὁ 𐅶 Μο θ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν αος [Start of a fraction]πα/ρνγ[End of a fraction], ὁ δὲ
5	βος [Start of a fraction]πα/͵ϛυ[End of a fraction], ὁ δὲ γος [Start of a fraction]πα/η[End of a fraction]. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά. λθ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μεί‐ ζονος καὶ τοῦ μέσου πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλάσσονος λόγον ἔχῃ δεδομένον, ἔτι δὲ καὶ
10	σὺν δύο λαμβανόμενοι, ποιῶσι τετράγωνον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μείζονος καὶ τοῦ μέσου τῆς ὑπεροχῆς τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλαχίστου εἶναι γπλ.. Ἐπεὶ δὲ συναμφότερος ὁ μέσος καὶ ὁ ἐλάσσων
15	ποιεῖ □ον, ποιείτω Μο δ. ὁ ἄρα μέσος μείζων ἐστὶ δυάδος· ἔστω 𐅶 α Μο β. ὁ ἄρα ἐλάχιστος ἔσται Μο β ⩚ 𐅶 α. Καὶ ἐπειδὴ ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μείζονος καὶ τοῦ μέσου τῆς ὑπεροχῆς τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλαχίστου γπλ. 〈ἐστί〉,
20	καὶ ἡ. ὑπεροχὴ τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλαχίστου 𐅶 β, ἡ ἄρα ὑπεροχὴ τοῦ μείζονος καὶ τοῦ μέσου ἔσται 𐅶 ϛ, καὶ ὁ μείζων ἄρα ἔσται 𐅶 ζ Μο β. λοιπόν ἐστι δύο ἐπιτάγματα, τό τε συναμφότερον 〈τὸν μείζονα καὶ τὸν ἐλάχιστον ποιεῖν □ον, καὶ τὸ τὸν
25	μείζονα〉 καὶ τὸν μέσον ποιεῖν □ον. καὶ γίνεταί μοι διπλῆ ἡ ἰσότης·
25	𐅶 η Μο δ ἴς. □ῳ, καὶ 𐅶 ϛ Μο δ ἴς. □ῳ.
300	καὶ διὰ τὸ τὰς Μο εἶναι τετραγωνικάς, εὐχερής ἐστιν ἡ ἴσωσις. πλάσσω ἀριθμοὺς δύο ἵνα ὁ ὑπ’ αὐτῶν ᾖ 𐅶 β, καθὼς ἴσμεν διπλῆν ἰσότητα· ἔστω οὖν 𐅶 𐅵ʹ καὶ Μο δ·
5	καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ριβ. ἐλθὼν ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις, οὐ δύναμαι ἀφελεῖν ἀπὸ Μο β τὸν 𐅶 α τουτέστι τὰς Μο ριβ. θέλω οὖν τὸν 𐅶 εὑρεθῆναι ἐλάττονα Μο β, ὥστε καὶ 𐅶 ϛ Μο δ ἐλάσσονες ἔσονται Μο ιϛ. ἐὰν γὰρ ἡ δυὰς ἐπὶ 𐅶 ϛ γένηται καὶ προσλάβῃ Μο δ ποιεῖ Μο ιϛ.
10	ἐπεὶ οὖν ζητῶ 𐅶 η Μο δ ἴς. □ῳ καὶ 𐅶 ϛ Μο δ ἴς. □ῳ, ἀλλὰ καὶ ὁ ἀπὸ τῆς δυάδος, τουτέστι Μο δ, □ός ἐστι, γεγόνασι τρεῖς □οι, 𐅶 η Μο δ, καὶ 𐅶 ϛ Μο δ, καὶ Μο δ, καὶ ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μείζονος καὶ τοῦ μέσου τῆς ὑπεροχῆς τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλαχίστου γον μέρος ἐστίν. ἀπῆ‐
15	κται οὖν μοι εἰς τὸ εὑρεῖν 〈τρεῖσ〉 τετραγώνους, ὅπως ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μείζονος καὶ τοῦ μέσου τῆς ὑπεροχῆς τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλαχίστου γον μέρος ᾖ, ἔτι δὲ ὁ μὲν ἐλάχιστος ᾖ Μο δ, ὁ δὲ μέσος ἐλάσσων Μο ιϛ. Τετάχθω ὁ μὲν ἐλάχιστος Μο δ, ἡ δὲ τοῦ μέσου πλ.
20	𐅶 α Μο β· αὐτὸς ἄρα ἔσται ὁ □ος, ΔΥ α 𐅶 δ Μο δ. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μείζονος καὶ τοῦ μέσου τῆς ὑπεροχῆς τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλαχίστου γον μέρος ἐστίν, καὶ ἔστιν ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλαχί‐ στου ΔΥ α 𐅶 δ, ὥστε ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ
25	μέσου ἔσται ΔΥγ× 𐅶 α γ×· καὶ ἔστιν ὁ μέσος ΔΥ α 𐅶 δ
25	Μο δ· ὁ ἄρα μέγιστος ἔσται ΔΥ α γ× 𐅶 ε γ× Μο δ ἴς. □ῳ·
302	πάντα θκις· ΔΥ ἄρα ιβ 𐅶 μη Μο λϛ ἴς. □ῳ· καὶ τὸ δον αὐτῶν· ΔΥ γ 𐅶 ιβ Μο θ ἴς. □ῳ. ἔτι δὲ θέλω τὸν μέσον τετράγωνον ἐλάσσονα εἶναι Μο ιϛ, καὶ τὴν πλ. δηλαδὴ ἐλάσσονος Μο δ. ἡ δὲ πλευρὰ
5	τοῦ μέσου ἐστὶν 𐅶 α Μο β· ἐλάττονές εἰσι Μο δ. καὶ κοινῶν ἀφαιρεθεισῶν τῶν β Μο, ὁ 𐅶 ἔσται ἐλάσσο‐ νος Μο β. γέγονεν οὖν μοι ΔΥ γ 𐅶 ιβ Μο θ ἴς. ποιῆσαι □ῳ. πλάσσω □όν τινα ἀπὸ Μο γ λειπουσῶν 𐅶 τινας· καὶ γί‐
10	νεται ὁ 𐅶 ἔκ τινος ἀριθμοῦ ϛκις γενομένου καὶ προσ‐ λαβόντος τὸν ιβ, τουτέστι τῆς ἰσώσεως τῆς 𐅶 ιβ, καὶ μερισθέντος εἰς τὴν ὑπεροχὴν ᾗ ὑπερέχει ὁ ἀπὸ τοῦ ἀριθμοῦ □ος τῶν ΔΥ τῶν ἐν τῇ ἰσώσει γ. ἀπῆκται οὖν μοι εἰς τὸ εὑρεῖν τινα ἀριθμόν, ὃς ϛκις γενόμενος
15	καὶ προσλαβὼν Μο ιβ καὶ μεριζόμενος εἰς τὴν ὑπεροχὴν ᾗ ὑπερέχει ὁ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ □ος τριάδος, ποιεῖ τὴν παραβολὴν ἐλάσσονος Μο β. Ἔστω ὁ ζητούμενος 𐅶 α· οὕτως ϛκις γενόμενος καὶ προσλαβὼν Μο ιβ, ποιεῖ 𐅶 ϛ Μο ιβ· ὁ δὲ ἀπ’ αὐτοῦ □ος,
20	⩚ Μο γ, ποιεῖ ΔΥ α ⩚ Μο γ. θέλω οὖν 𐅶 ϛ Μο ιβ μερίζε‐ σθαι εἰς ΔΥ α ⩚ Μο γ καὶ ποιεῖν τὴν παραβολὴν ἐλάσ‐ σονος Μο β. ἀλλὰ καὶ ὁ β μεριζόμενος εἰς Μο α, ποιεῖ τὴν παραβολὴν β· ὥστε 𐅶 ϛ Μο ιβ πρὸς ΔΥ α ⩚ Μο γ
20	ἐλάσσονα λόγον ἔχουσιν ἤπερ β πρὸς α.
304	Καὶ χωρίον χωρίῳ ἄνισον· ὁ ἄρα ὑπὸ 𐅶 ϛ Μο ιβ καὶ Μ α ἐλάσσων ἐστὶν τοῦ ὑπὸ δυάδος καὶ ΔΥ α ⩚ Μο γ, τουτ‐ έστιν 𐅶 ϛ Μο ιβ ἐλάσσονές εἰσιν ΔΥ β ⩚ Μο ϛ. καὶ κοιναὶ προσκείσθωσαν αἱ Μο ϛ. 𐅶 ϛ Μο ιη ἐλάσσονες ΔΥ β.
5	ὅταν δὲ τοιαύτην ἴσωσιν ἰσώσωμεν, ποιοῦμεν τῶν 𐅶 τὸ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτό, γίνεται θ, καὶ τὰς ΔΥ β ἐπὶ τὰς Μο ιη, γίνονται λϛ· πρόσθες τοῖς θ, γίνονται με, ὧν πλ.· οὐκ ἔλαττόν ἐστι Μο ζ· πρόσθες τὸ ἡμίσευμα τῶν 𐅶· 〈γίνεται οὐκ ἔλαττον Μο ι· καὶ μέρισον εἰς τὰς ΔΥ·〉
10	γίνεται οὐκ ἔλαττον Μο ε. γέγονεν οὖν μοι ΔΥ γ 𐅶 ιβ Μο θ ἴς. □ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Μο γ ⩚ 𐅶 ε, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο [Start of a fraction]κβ/μβ[End of a fraction] τουτέστιν [Start of a fraction]ια/κα[End of a fraction]. τέταχα δὲ τὴν τοῦ μέσου □ου πλ. 𐅶 α Μο β· ἔσται ἡ τοῦ □ου πλ. Μο [Start of a fraction]ια/μγ[End of a fraction]. αὐτὸς δὲ ὁ □ος Μο [Start of a fraction]ρκα/͵αωμθ[End of a fraction].
15	Ἔρχομαι οὖν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ τάσσω Μο [Start of a fraction]ρκα/͵αωμθ[End of a fraction], ὄντα □ον, ἴς. τοῖς 𐅶 ϛ Μο δ· καὶ πάντα εἰς ρκα· καὶ γί‐ νεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ψκϛ/͵ατξε[End of a fraction], καὶ ἔστιν ἐλάσσων δυάδος. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις τοῦ προβλήματος τοῦ ἐξ ἀρχῆς· ὑπέστημεν δὴ τὸν μὲν μέσον 𐅶 α Μο β, τὸν δὲ ἐλάχιστον
20	Μο β ⩚ 𐅶 α, τὸν δὲ μέγιστον 𐅶 ζ Μο β. ἔσται ὁ μὲν μέ‐
306	γιστος α˙͵αζ, ὁ δὲ βος ͵βωιζ, ὁ δὲ ἐλάχιστος ὁ γος πζ. καὶ ἐπεὶ τὸ μόριον, ἔστι τὸ ψκϛον, οὐκ ἔστιν □ος, ϛον δέ ἐστιν αὐτοῦ, ἐὰν λάβωμεν ρκα, ὅ ἐστι □ος, πάντων οὖν τὸ ϛον, καὶ ὁμοίως ἔσται ὁ μὲν αος ρκαων ͵αωλδ 𐅵ʹ,
5	ὁ δὲ βος υξθ 𐅵ʹ, ὁ δὲ γος ιδ 𐅵ʹ. Καὶ ἐὰν ἐν ὁλοκλήροις θέλῃς ἵνα μὴ τὸ 𐅵ʹ ἐπι‐ τρέχῃ, εἰς δα ἔμβαλε. καὶ ἔσται ὁ αος [Start of a fraction]υπδ/͵ζτλη[End of a fraction], ὁ δὲ βος [Start of a fraction]υπδ/͵αωοη[End of a fraction], ὁ δὲ γος [Start of a fraction]υπδ/νη[End of a fraction]. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά. μ.
10	Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμούς, ὅπως ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερ‐ έχει ὁ ἀπὸ τοῦ μεγίστου τετράγωνος τοῦ ἀπὸ τοῦ μέσου τετραγώνου, πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλαχίστου, λόγον ἔχῃ δεδομένον, ἔτι δὲ σὺν δύο λαμβανόμενοι ποιῶσι τετράγωνον.
15	Ἡ δὴ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει ὁ ἀπὸ τοῦ μγ. □ος τοῦ ἀπὸ τοῦ μς. □ου, τῆς ὑπεροχῆς ἧς ὑπερέχει ὁ μς. τοῦ ἐλ., ἔστω γπλ.. Ἐπεὶ ὁ μγ. καὶ ὁ μς. ποιοῦσι □ον, ποιείτωσαν ΔΥ ιϛ· ὁ ἄρα μγ. ἔσται μείζων ΔΥ η· ἔστω ΔΥ η Μο β.
20	καὶ ἐπεὶ συναμφότερος ὁ μγ. καὶ ὁ μς. μείζων ἐστὶ συναμφοτέρου τοῦ μγ. καὶ τοῦ ἐλ., καὶ ἔστι συναμφό‐ τερος ὁ μγ. καὶ ὁ μς. ΔΥ ιϛ, συναμφότερος ὁ ἄρα μγ.
20	καὶ ἐλ. ἐλάσσων μέν ἐστι ΔΥ ιϛ, μείζων δὲ ΔΥ η. ἔστω
308	οὖν συναμφότερος ὁ μγ. καὶ ὁ ἐλ. ΔΥ θ. ἔστιν καὶ ὁ μγ. καὶ ὁ μς. ΔΥ ιϛ, ὧν ὁ μγ. ἐστι ΔΥ η Μο β. ἔσται ἄρα καὶ ὁ μς. ΔΥ η ⩚ Μο β, ὁ δὲ γος ΔΥ α ⩚ Μο β. καὶ ἐπεὶ θέλω τὴν ὑπεροχὴν ἣν ὑπερέχει ὁ ἀπὸ
5	τοῦ μγ. τὸν ἀπὸ τοῦ μς., τῆς ὑπεροχῆς τοῦ μς. καὶ τοῦ ἐλ. εἶναι γπλ., ἀλλὰ ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει ὁ ἀπὸ τοῦ μγ. □ος τοῦ ἀπὸ τοῦ μς. □ου ἐστὶν ΔΥ ξδ, ἡ δὲ ὑπερ‐ οχὴ τοῦ μς. καὶ τοῦ ἐλ. ἐστιν ΔΥ ζ· καὶ θέλομεν τὰς ΔΥ ξδ τῶν ΔΥ ζ εἶναι γπλ. ἀλλὰ αἱ ΔΥ ζ γπλ. γενόμεναι
10	ποιοῦσι ΔΥ κα. ἀλλὰ αἱ ΔΥ ξδ ἐκ τοῦ λβκις ἐστι τῶν Μο β· γέγονεν οὖν μοι εὑρεῖν τινα ἀριθμόν, ὃς λβκις γενόμενος ποιεῖ Μο κα· ἔστιν δὴ τὰ [Start of a fraction]λβ/κα[End of a fraction]. τάσσω οὖν τὸν μὲν αον ΔΥ η Μο [Start of a fraction]λβ/κα[End of a fraction], τὸν δὲ μς. ΔΥ η ⩚ Μο [Start of a fraction]λβ/κα[End of a fraction], τὸν δὲ γον ΔΥ α ⩚ Μο [Start of a fraction]λβ/κα[End of a fraction].
15	καὶ λοιπόν ἐστιν ἓν ἐπίταγμα συναμφότερον τὸν μς. καὶ τὸν ἐλ. εἶναι □ον. ἔστιν δὲ ὁ μς. καὶ ὁ ἐλ. ΔΥ θ ⩚ Μο [Start of a fraction]λβ/μβ[End of a fraction] ἴς. □ῳ ἀπὸ πλ. 𐅶 γ ⩚ Μο ϛ. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]φοϛ/φϙζ[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν αος τϛ˙͵θ μορ.
20	λγ˙͵αψοϛ, ὁ δὲ βος σξγ˙͵γφμδ, ὁ δὲ γος ιγ˙͵ηχπα.
310 (1t)	ΔΙΟΦΑΝΤΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ
2t	ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ Ε.
3	α. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἐν τῇ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ,
5	ὅπως ἕκαστος αὐτῶν λείψας τὸν δοθέντα ἀριθμὸν ποιῇ τετράγωνον. Ἔστω ὁ δοθεὶς Μο ιβ. Γεωμετρικὴ δή ἐστιν ἀναλογία ὅταν ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἀριθμὸς πλευρὰν ἔχῃ τὸν μέσον. —ζητῶ πρό‐
10	τερον τίς 〈τετράγωνοσ〉 ⩚ Μο ιβ 〈ποιεῖ □ον〉· ἔστιν δὲ τοῦτο ῥᾴδιον καὶ ἔστιν ὁ μβ δ×. 〈Τάσσω οὖν τὸν αον τῶν ἄκρων Μο μβ δ×〉, τὸν δὲ βον ΔΥ α· ὁ ἄρα μέσος ἔσται 𐅶 ϛ 𐅵ʹ. λοιπόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν λοιπῶν ⩚ Μο ιβ ποιεῖν
15	□ον καὶ ἔστιν ΔΥ α ⩚ Μο ιβ ἴς. □ῳ καὶ 𐅶 ϛ 𐅵ʹ ⩚ Μο ιβ ἴς. □ῳ.
15	ἡ τούτων ὑπεροχή ἐστιν ΔΥ α ⩚ 𐅶 ϛ 𐅵ʹ· ἡ μέτρησις·
312	μετρεῖ 𐅶 α κατὰ 𐅶 α ⩚ Μο ϛ 𐅵ʹ. τῆς ὑπεροχῆς τὸ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτό ἐστι Μο [Start of a fraction]ιϛ/ρξθ[End of a fraction]· ταῦτα ἴσα τῷ ἐλάσσονι, τουτέστιν 𐅶 ϛ 𐅵ʹ ⩚ Μο ιβ. καὶ γί. 〈ὁ 𐅶〉 [Start of a fraction]ρδ/τξα[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος Μο μβ δ×, ὁ δὲ
5	βος [Start of a fraction]ρδ/͵βτμϛ[End of a fraction] 𐅵ʹ, ὁ δὲ γος [Start of a fraction]α˙ωιϛ/ιγ˙τκα.[End of a fraction] β. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἐν τῇ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ, ὅπως ἕκαστος αὐτῶν προσλαβὼν τὸν δοθέντα ποιῇ τετράγωνον.
10	Ἔστω δὴ τὸν κ. Πάλιν ζητῶ τίς □ος προσλαβὼν Μο κ ποιεῖ □ον· ἔστιν δὲ ὁ ιϛ· τάσσω τοίνυν ἕνα τῶν ἄκρων Μο ιϛ, τὸν δὲ ὕστερον τῶν ἄκρων ΔΥ α· ὁ ἄρα μέσος ἔσται 𐅶 δ· καὶ κατὰ τὴν προτέραν λοιπὸν γίνεται ζητεῖν
15	𐅶 δ Μο κ ἴς. □ῳ καὶ ΔΥ α Μο κ ἴς. □ῳ. καὶ ἔστιν αὐτῶν ἡ ὑπεροχὴ ΔΥ α ⩚ 𐅶 δ· μέτρησις· με‐ τρεῖ 〈𐅶 α κατὰ〉 𐅶 α ⩚ Μο δ. τῆς ὑπεροχῆς τὸ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτὸ ποιεῖ Μο δ ἴσας τῷ ἐλάσσονι 𐅶 δ Μο κ· ὅπερ ἄτοπον, δεῖ γὰρ τὰς δ Μο μὴ ἐλάσσονας εἶναι Μο κ.
20	ἀλλὰ αἱ δ Μο, δον τῶν ιϛ· αἱ δὲ Μο ιϛ οὐκ εἰσὶν αἱ τυχοῦσαι, ἀλλὰ ὁ □ος ἐστιν ὁ προσλαβὼν Μο κ καὶ
20	ποιῶν □ον· ἀπῆκται οὖν μοι ζητῆσαι τίς □ος ἔχει μέρος
314	δον καὶ μεῖζον Μο κ, προσλαβὼν δὲ Μο κ ποιεῖ □ον. ὥστε ὁ □ος γίνεται μείζων Μο π. Ἔστιν δὲ ὁ πα □ος μείζων π· ἐὰν ἄρα τὴν τοῦ ζητουμένου □ου πλ. κατασκευάσωμεν ἀπὸ 𐅶 α Μο θ, αὐτὸς
5	ἄρα ἔσται ὁ □ος, ΔΥ α 𐅶 ιη Μο πα· οὗτος μετὰ Μο κ ὀφείλει γενέσθαι □ος· ἔστιν ἄρα ΔΥ α 𐅶 ιη Μο ρα ἴς. □ῳ. ἔστω ἀπὸ πλ. 𐅶 α ⩚ Μο ια· ὁ ἄρα □ος ἔσται ΔΥ α Μο ρκα ⩚ 𐅶 κβ· ταῦτα ἴσα ΔΥ α 𐅶 ιη Μο ρα. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο 𐅵ʹ. ἦν δὲ ἡ τοῦ ζητουμένου □ου πλ. 𐅶 α Μο θ· ἔσται
10	ἄρα ὁ □ος Μο ϙ δ×. Νῦν ἀνατρέχω ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ τάσσω ἕνα τῶν ἄκρων Μο ϙ δ×, τὸν δὲ γον ΔΥ α· ὁ ἄρα μέσος ἔσται 𐅶 θ 𐅵ʹ· καὶ ἔρχομαι εἰς τὸ ζητεῖν ΔΥ α Μο κ ἴς. □ῳ καὶ 𐅶 θ 𐅵ʹ Μο κ ἴς. □ῳ.
15	καὶ ἔστιν ἡ ὑπεροχὴ ΔΥ α ⩚ 𐅶 θ 𐅵ʹ· μετρεῖ 𐅶 α κατὰ 𐅶 α ⩚ Μο θ 𐅵ʹ. τῆς ὑπεροχῆς τὸ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτό ἐστι [Start of a fraction]ιϛ/τξα[End of a fraction] ἴσα τῷ ἐλάσσονι, τουτέστιν 𐅶 θ 𐅵ʹ Μο κ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ρνβ/μα[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος ϙ δ×, ὁ 〈δὲ〉
20	βος [Start of a fraction]ρνβ/τπθ 𐅵ʹ[End of a fraction], ὁ 〈δὲ〉 γος [Start of a fraction]β˙͵γρδ/͵αχπα[End of a fraction].
316	γ. Δοθέντι ἀριθμῷ προσθεῖναι τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστός τε αὐτῶν καὶ ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν προσ‐ λαβὼν τὸν δοθέντα ἀριθμὸν ποιῇ τετράγωνον.
5	Ἔστω δὴ τὸν ε. Καὶ ἐπεὶ ἔχομεν ἐν τοῖς Πορίσμασιν ὅτι ‘ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἑκάτερός τε καὶ ὁ ὑπ’ αὐτῶν μετὰ τοῦ αὐτοῦ δοθέντος ποιῇ τετράγωνον, γεγόνασιν ἀπὸ δύο τετρα‐ γώνων τῶν κατὰ τὸ ἑξῆσ‘, ἐκτίθεμαι οὖν δύο □ους τῶν
10	κατὰ τὸ ἑξῆς, ὃν μὲν ἀπὸ 𐅶 α Μο γ, ὃν δὲ ἀπὸ 𐅶 α Μο δ. καὶ γίνονται οἱ □οι, ὃς μὲν ΔΥ α 𐅶 ϛ Μο θ, ὃς δὲ ΔΥ α 𐅶 η Μο ιϛ. αἴρω ἀπὸ ἑκάστου Μο ε καὶ τάσσω ὃν μὲν ΔΥ α 𐅶 ϛ Μο δ, ὃν δὲ ΔΥ α 𐅶 η Μο ια, τὸν δὲ γον, συναμφότερον τὸν δὶς παρὰ Μο α, τουτέστιν ΔΥ δ
15	𐅶 κη Μο κθ. λοιπὸν ἄρα καὶ τοῦτον μετὰ Μο ε δεῖ ποιεῖν □ον. ΔΥ ἄρα δ 𐅶 κη Μο λδ ἴς. □ῳ τῷ ἀπὸ πλ. 𐅶 β ⩚ Μο ϛ. καὶ γίνεται ὁ □ος ΔΥ δ Μο λϛ ⩚ Μο κδ ἴς. ΔΥ δ 𐅶 κη Μο λδ
15	καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ἑνὸς κϛου.
318	ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος [Start of a fraction]κοϛ/͵βωξα[End of a fraction], ὁ δὲ βος [Start of a fraction]χοϛ/͵ζκμε[End of a fraction], ὁ δὲ γος [Start of a fraction]χοϛ/β˙τλϛ[End of a fraction]. δ. Δοθέντι ἀριθμῷ εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἑκά‐
5	τερός τε αὐτῶν καὶ ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν λείψας τὸν δοθέντα ἀριθμὸν ποιῇ τετράγωνον. Ἔστω ὁ δοθεὶς Μοϛ. Πάλιν δὴ ὁμοίως ἐκτίθεμαι δύο □ους τοὺς κατὰ τὸ ἑξῆς ὄντας ὃν μὲν ΔΥ α, ὃν δὲ ΔΥ α 𐅶 β Μο α, καὶ
10	τούτοις προστίθημι τὸν δοθέντα καὶ τάσσω τὸν μὲν αον ΔΥ α Μο ϛ, τὸν δὲ βον ΔΥ α 𐅶 β Μο ζ, τὸν δὲ γον ὁμοίως τοῦ δὶς συναμφότερον παρὰ Μο α, τουτέστιν ΔΥ δ 𐅶 δ Μο 〈κε. λοιπὸν ἄρα καὶ τοῦτον, ⩚ Μο ϛ, ποιεῖν □ον. ΔΥ ἄρα δ 𐅶 δ Μο ιθ ἴς. □ῳ τῷ ἀπὸ πλ. 𐅶 β ⩚ Μο ϛ.
15	καὶ γίνεται ὁ □ος ΔΥ δ Μο λϛ ⩚ 𐅶 κδ ἴς. ΔΥ δ 𐅶 ϛ Μο〉 ιθ. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]κη/ιζ[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος [Start of a fraction]ψπδ/͵δϡϙγ[End of a fraction], ὁ δὲ
15	βος [Start of a fraction]ψπδ/͵ϛψκθ[End of a fraction], ὁ δὲ γος [Start of a fraction]ψπδ/β˙͵βχξ[End of a fraction].
320	ε. Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιων‐ οῦν, ἐάν τε προσλάβῃ συναμφότερον, ἐάν τε τὸν λοι‐ πόν, ποιῇ τετράγωνον.
5	Καὶ ἔχομεν πάλιν ἐν τοῖς Πορίσμασιν ὅτι ‘Πᾶσι δύο τετραγώνοις τοῖς κατὰ τὸ ἑξῆς προσευρίσκεται ἕτερος ἀριθμός, ὁ ὢν δὶς συναμφότερος καὶ δυάδι μεί‐ ζων, ὅστις τὸν ἀριθμὸν μείζονα τριῶν ἀριθμῶν ποιεῖ, 〈ὥστε〉 τὸν ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν, ἐάν τε προσλάβῃ
10	συναμφότερον, ἐάν τε τὸν λοιπόν, ποιεῖν τετράγωνον‘. Τάσσομεν οὖν τῶν ἐκκειμένων τριῶν □ων, ὃν μὲν ΔΥ α 𐅶 β Μο α, ὃν δὲ ΔΥ α 𐅶 δ Μο δ, τὸν δὲ γον ΔΥ δ 𐅶 ιβ 〈Μο ιβ〉. λοιπὸν δεῖ κατασκευάσαι τὸν γον τουτέστι ΔΥ δ
15	𐅶 ιβ 〈Μο ιβ〉 ἴς. □ῳ. καὶ κοινὸν τὸ δον, γίνεται ΔΥ α 𐅶 γ Μο γ ἴς. □ῳ. πλάσσω τὸν □ον ἀπὸ 𐅶 α ⩚ Μο γ· αὐτὸς ἄρα ἔσται ὁ □ος ΔΥ α Μο θ ⩚ 𐅶 ϛ ἴς. ΔΥ α 𐅶 γ Μο γ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο 𐅷. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος [Start of a fraction]θ/κε[End of a fraction], ὁ δὲ βος [Start of a fraction]θ/ξδ[End of a fraction],
20	ὁ δὲ γος [Start of a fraction]θ/ρϙϛ[End of a fraction].
322	ϛ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστος μὲν αὐτῶν λείψας δυάδα ποιῇ τετράγωνον, ὁ δὲ ὑπὸ δύο ὁποιων‐ οῦν, ἐάν τε λείψῃ συναμφότερον, ἐάν τε τὸν λοιπόν,
5	ποιῇ τετράγωνον. Ἐὰν ἑκάστῳ τῶν ἐν τῷ πρὸ τούτου εὑρεθέντων ἀριθμῶν προσθῶ δυάδα, οἱ γενόμενοι ποιοῦσι τὸ προ‐ κείμενον· τὸ δὴ λεγόμενον τοιοῦτόν ἐστι. Τάσσομεν γὰρ ἕνα τῶν ζητουμένων ΔΥ α Μο β, τὸν
10	δὲ ἕτερον ΔΥ α 𐅶 β Μο γ, τὸν δὲ γον ΔΥ δ 𐅶 δ Μο ϛ, καὶ μένει τὰ ἐπιταχθέντα. λοιπόν ἐστι ΔΥ δ 𐅶 δ Μο δ ἰσῶσαι □ῳ· καὶ τὸ δον, ὥστε καὶ ΔΥ α 𐅶 α Μο α ἴς. □ῳ· καὶ ἐὰν τάξωμεν τὴν πλ. τοῦ □ου ἀπὸ διαφορᾶς, ἔστω ἀπὸ 𐅶 α ⩚ Μο β, γί‐
15	νεται ὁ □ος ΔΥ α Μο δ ⩚ 𐅶 δ ἴς. ΔΥ α 𐅶 α Μ α. καὶ γί‐ νεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ε/γ[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος [Start of a fraction]κε/νθ[End of a fraction], ὁ 〈δὲ〉 βος [Start of a fraction]κε/ριδ[End of a fraction], ὁ δὲ γος [Start of a fraction]κε/σμϛ[End of a fraction], καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά. Λῆμμα εἰς τὸ ἑξῆς.
20	Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ’ αὐτῶν προσ‐ λαβὼν τὸν ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν 〈τὸν〉 τῆς συνθέσεως
20	ποιῇ τετράγωνον.
324	Ἔστω ὁ αος 𐅶 α, ὁ βος Μο ὅσων θέλεις· ἔστω Μο α· καὶ γίνεται ὁ μὲν ὑπὸ αὐτῶν 𐅶 α· ὁ δὲ ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν □ος ποιεῖ ΔΥ α Μο α· μετὰ τοῦ 𐅶 α, γίνεται ΔΥ α 𐅶 α Μο α ἴς. □ῳ· ἔστω δὴ τῷ ἀπὸ πλ. 𐅶 α ⩚ Μο β.
5	γίνεται ὁ □ος ΔΥ α Μο δ ⩚ 𐅶 δ ἴς. ΔΥ α, 𐅶 α Μο α, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ε/γ[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος γ, ὁ δὲ βος ε· καὶ ἀρθέντος τοῦ μορίου, ἔσται ὁ μὲν αος γ Μο, ὁ 〈δὲ〉 βος ε, καὶ ποιοῦσι τὸ προκείμενον· τὰ γὰρ ἀπ’ αὐτῶν
10	τετράγωνα μετὰ τοῦ ὑπ’ αὐτῶν ποιεῖ τετράγωνον, ὁσάκις δὲ ἂν θέλῃς τὸν γ καὶ τὸν ε ποιῆσαι, ποιήσουσιν οἱ γενόμενοι ἀριθμοὶ τὸ ἐπίταγμα. Λῆμμα εἰς τὸ ἑξῆς. Εὑρεῖν τρία τρίγωνα ὀρθογώνια ἴσα ἔχοντα τὰ
15	ἐμβαδά. Πρότερον δεῖ ζητῆσαι δύο ἀριθμοὺς ὅπως τὰ ἀπ’ αὐτῶν μετὰ τοῦ ὑπ’ αὐτῶν ποιῇ 〈τετράγωνον. τοῦτο δὲ προδέδεικται καί εἰσι γ καὶ ε ὧν τὰ ἀπ’ αὐτῶν μετὰ τοῦ ὑπ’ αὐτῶν ποιεῖ τετράγωνον〉 πλευρὰν ἔχοντα
20	τὸν ζ. Νῦν τάσσω τρία τρίγωνα ὀρθογώνια ἀπὸ ἀριθμῶν δύο, ἀπό τε τοῦ ζ καὶ τοῦ γ, καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ ζ καὶ
20	τοῦ ε, καὶ ἔτι ἀπὸ τοῦ ζ καὶ τῆς συνθέσεως τῶν εὑρη‐
326	μένων ἀριθμῶν τοῦ τε γ καὶ τοῦ ε, τουτέστιν η, ἀπὸ ἄρα τοῦ ζ καὶ τοῦ η. ἔσται τὰ τρίγωνα· μ, μβ, νη, καὶ κδ, ο, οδ, καὶ ιε, ριβ, ριγ,
5	καὶ ἔστιν τὰ τρίγωνα ἴσα ἔχοντα ἐμβαδὰ ἀπὸ Μο ωμ. ζ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν τετράγωνος, ἐάν τε προσλάβῃ τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν, ἐάν τε λείψῃ, ποιῇ τετράγωνον.
10	Καὶ ἐπεὶ ζητοῦμεν τὸν ἀπὸ τοῦ αου □ον, ἐάν τε προσλάβῃ τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν, ἐάν τε λείψῃ, ποιεῖν □ον, παντὸς δὲ τριγώνου ὀρθογωνίου ὁ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης □ος, ἐάν τε προσλάβῃ δκις τὸ ἐμβα‐ δόν, ἐάν τε λείψῃ, ποιεῖ □ον, οἱ ἄρα τρεῖς ἀριθμοὶ
15	ἔσονται ὀρθογωνίου τριγώνου ὑποτείνουσαι, ὁ δὲ ἐκ τῶν τριῶν συγκείμενος ἔσται τεσσάρων ἐμβαδῶν 〈τῶν〉 τριγώνων ὧν εἰσιν αἱ ὑποτείνουσαι. ἀπῆκται οὖν μοι ζητῆσαι τρίγωνα τρία ἴσα 〈ἔχοντα〉 ἐμβαδά. τοῦτο δὲ προδέδεικται καί εἰσιν τὰ τρίγωνα· μ. μβ. νη, καὶ
20	κδ. ο. οδ, καὶ ιε. ριβ. ριγ. Νῦν τάσσω, ἐλθὼν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς, τοὺς τρεῖς ἐν 𐅶 τῶν ὑποτεινουσῶν τῶν τριγώνων· καὶ ἔσται ὁ αος 𐅶 νη, ὁ βος 𐅶 οδ, ὁ γος 𐅶 ριγ· τὸν δὲ συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν ἐν ΔΥ τοῦ δπλ. τοῦ ἐμβαδοῦ.
25	ΔΥ ἄρα ͵γτξ ἴσαι 𐅶 σμε, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ϙϛ/ζ[End of a fraction].
328	ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος υϛ, ὁ δὲ βος φιη, ὁ δὲ γος ψϙα. Λῆμμα εἰς τὸ ἑξῆς. Τριῶν τετραγώνων ἀπὸ δοθέντων δυνατόν ἐστιν
5	εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν ποιῇ τοὺς δοθέντας τετραγώνους ἀριθμούς. Ἐὰν γὰρ ὦσιν οἱ δοθέντες τετράγωνοι, ὅ τε δ καὶ ὁ θ καὶ ὁ ιϛ, καὶ τάξωμεν ἕνα τῶν ζητουμένων 𐅶 α, ἔσονται τῶν λοιπῶν δύο, ὁ μὲν 𐅶 × δ, ὁ δὲ 𐅶 × θ, καὶ
10	λοιπόν ἐστι τὸ ὑπὸ τοῦ βου καὶ τοῦ γου ποιεῖν Μο ιϛ. ἀλλὰ ὁ ὑπὸ τοῦ βου καὶ τοῦ γου ἐστὶ ΔΥ× λϛ ἴς. □ῳ ιϛ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο α 𐅵ʹ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος α 𐅵ʹ, ὁ 〈δὲ〉 βος β 𐅵ʹ ϛʹ, ὁ 〈δὲ〉 γος ϛ. Ἵνα δὲ καὶ ἐν μεθόδῳ κείμενον ᾖ, εὗρον ΔΥ× λϛ
15	ἴς. Μο ιϛ καὶ πάντα ἐπὶ ΔΥ α· γίνονται ΔΥ ιϛ ἴσαι Μο λϛ, καὶ γίνεται ἡ ΔΥ ιϛων λϛ οὗ πλευρὰ δων ϛ· ἀλλὰ τὰ ϛ, τὰ ὑπὸ τῶν πλ. τοῦ δ καὶ τοῦ θ, τουτέστιν τοῦ βου καὶ τοῦ γου, τὸ δὲ μόριον, τουτέστιν τὰ δ, πλευρά ἐστιν τοῦ ιϛ τετραγώνου.
20	Ὅταν οὖν σοι προβληθῇ εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν ποιῇ τοὺς δοθέντας τε‐ τραγώνους, οἷον τὸν δ καὶ τὸν θ καὶ τὸν ιϛ, ποίει τὸ ὑπὸ τῶν πλ. τοῦ δ καὶ τοῦ θ, γίνεται ϛ, μέρισον ταῦτα
20	παρὰ τὴν πλ. τοῦ ιϛ □ου· [καὶ] γίνεται ὁ αος [Start of a fraction]δ/ϛ[End of a fraction].
330	νῦν πάλιν τὸν δ □ον παρὰ τὸν [Start of a fraction]δ/ϛ[End of a fraction], γίνονται 〈[Start of a fraction]ϛ/ιϛ[End of a fraction], καὶ ἔτι τὸν θ □ον παρὰ τὸν [Start of a fraction]δ/ϛ[End of a fraction], γίνονται〉 Μο ϛ. ἔσται ἄρα ὁ αος [Start of a fraction]δ/ϛ[End of a fraction], ὁ βος [Start of a fraction]ϛ/ιϛ[End of a fraction], ὁ γος Μο ϛ. η.
5	Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν, ἐάν τε προσλάβῃ τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν, ἐάν τε λείψῃ, ποιῇ τετράγωνον. Πάλιν ζητοῦμεν πρῶτον τρία τρίγωνα 〈ἴσα ἔχοντα τὰ〉 ἐμβαδά, καὶ εὑρόντες, λαμβάνομεν τοὺς ἀπὸ τῶν
10	ὑποτεινουσῶν τετραγώνους· ἔστιν δὲ ὁ μὲν ͵γτξδ, ὁ δὲ ͵ευος, ὁ δὲ α˙͵βψξθ. καὶ ἔχοντες τούτους, εὑρίσκομεν ὡς προγέγραπται τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν ποιῇ τοὺς δοθέντας □ους, ἔστω δὴ τοὺς κει‐ μένους.
15	Τούτους δὲ ἐξεθέμεθα, διὰ τὸ ἕκαστον τῶν □ων, ἐάν τε προσλάβῃ Μο ͵γτξ, ἐάν τε λείψῃ, ποιεῖν □ον· ἀλλ’ αἱ ͵γτξ Μο ὁ δπλ. ἐστὶ τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ ἑκάστου τῶν τριγώνων, καὶ διὰ τοῦτο τοίνυν τάσσω ἐν 𐅶, ὃν μὲν 𐅶 [Start of a fraction]ριγ/͵δςϙβ[End of a fraction], ὃν δὲ καὶ † [Start of a fraction]͵δςϙβ/δ˙͵γψλβ[End of a fraction], ὃν δὲ [Start of a fraction]͵δςϙβ/δ˙͵αρπη[End of a fraction], καὶ
20	ὁ ὑπὸ δύο αὐτῶν ποιεῖ τοὺς ἐπάνω □ους.
332	λοιπὸν δεῖ τοὺς τρεῖς ἰσῶσαι ΔΥ ͵γτξ, καὶ πάντα, ἵνα ἓν μόριον γένηται, βάλλομεν 〈εἰσ〉 ε˙͵εψϙϛ. καὶ 〈γίνεται ὁ αος 𐅶 ͵αωμβ˙͵ασξδ μορίου ε˙͵εψϙϛ·〉 ὁ βος 𐅶 νϛ˙͵ηφιϛ μορίου τοῦ αὑτοῦ· ὁ γος 𐅶 ϙβ˙͵ευμδ
5	μορίου τοῦ αὐτοῦ. καὶ γίνονται οἱ τρεῖς 𐅶 ͵αϡϙα˙͵εσκδ μορίου ε˙͵εψϙϛ ἴς. ΔΥ ͵γτξ. καὶ πάντα εἰς ε˙͵εψϙϛ. καὶ γίνεται 𐅶 ͵αϡϙα˙͵εσκδ ἴς. ΔΥ α˙͵ηψμζ˙͵δφξ. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ͵αϡϙα˙͵εσκδ μορίου βʹ ΜΥ α καὶ αʹ˙͵ηψμζ καὶ Μο ͵δφξ. μορίου κοινοῦ ληφθέντος τινός, [ὅπερ
10	ἐστὶν ἀδύνατον, πρῶτοι γὰρ πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν οἱ ἀριθμοί], ἔσται ὁ 𐅶 [Μο ͵αϡϙα˙͵εσκδ μορίου α˙͵ηψμζ˙͵δφξ]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος †..... θ.
15	Τὴν μονάδα διελεῖν εἰς δύο μόρια καὶ προσθεῖναι ἑκατέρῳ τῶν τμημάτων τὸν δοθέντα καὶ ποιεῖν τετρά‐ γωνον. —Δεῖ δὴ τὸν διδόμενον μήτε περισσὸν εἶναι,
15	μήτε † τὸν διπλάσιον αὐτοῦ καὶ μονάδι μιᾷ μείζονα
334	μετρεῖσθαι ὑπό του πρώτου ἀριθμοῦ 〈οὗ ὁ μονάδι μιᾷ μείζων〉 ἔχῃ μέρος τέταρτον †. Ἐπιτετάχθω δὴ ἑκατέρῳ τῶν τμημάτων προσθεῖναι Μο ϛ καὶ ποιεῖν □ον.
5	Ἐπεὶ οὖν θέλομεν τὴν Μο τεμεῖν καὶ ἑκατέρῳ τῶν τμημάτων προσθεῖναι Μο ϛ καὶ ποιεῖν □ον, τὸ ἄρα σύν‐ θεμα τῶν □ων ἐστὶν Μο ιγ. δεήσει ἄρα τὸν ιγ διελεῖν εἰς δύο □ους ὅπως ἑκάτερος αὐτῶν μείζων ᾖ Μο ϛ. ἐὰν οὖν τὸν ιγ διέλω εἰς δύο □ους, ὧν ἡ ὑπεροχὴ
10	ἐλάσσων ἐστὶν Μο α, λύω τὸ ζητούμενον· λαμβάνω τοῦ ιγ τὸ 𐅵ʹ, γίνεται ϛ 𐅵ʹ, καὶ ζητῶ τί μόριον προσθεῖναι Μο ϛ 𐅵ʹ καὶ ποιεῖν □ον. καὶ πάντα δκις· ζητῶ ἄρα μό‐ ριον τετραγωνικὸν προσθεῖναι ταῖς κϛ Μο, καὶ ποιεῖν □ον· ἔστω τὸ προστιθέμενον μόριον ΔΥ × α καὶ γίνονται
15	Μο κϛ ΔΥ× α ἴς. □ῳ. καὶ πάντα ἐπὶ ΔΥ· γίνονται ΔΥ κϛ Μο α ἴς. □ῳ· ἔστω τῷ ἀπὸ πλ. 𐅶 ε Μο α, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ι· ΔΥ ἄρα Μο ρ, τὸ ΔΥ× Μο ρ×. ἔσται ἄρα τὸ ταῖς κϛ· προστιθέ‐ μενον ρ×· τὸ ἄρα ταῖς Μο ϛ 𐅵ʹ καὶ γίνεται υ× καὶ ποιεῖ
20	□ον τὸν ἀπὸ πλ. [Start of a fraction]κ/να[End of a fraction]. Δεῖ οὖν τὸν ιγ διαιρούμενον εἰς δύο □ους κατα‐ σκευάζειν τὴν ἑκάστου πλ. ὡς ἔγγιστα [Start of a fraction]κ/να[End of a fraction], καὶ ζητῶ τί ἡ τριὰς λείψασα, προσλαβοῦσα δυὰς ποιεῖ τὸν αὐτόν,
20	τουτέστιν [Start of a fraction]κ/να[End of a fraction].
336	τάσσω οὖν δύο □ους, ἕνα μὲν ἀπὸ 𐅶 ια Μο β, τὸν δὲ ἕτερον ἀπὸ Μο γ ⩚ 𐅶 θ, καὶ γίνεται ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν □ων, ΔΥ σβ Μο ιγ ⩚ 𐅶 ι ἴς. Μο ιγ. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ρα/ε[End of a fraction]. ἔσται ἄρα ἑνὸς τῶν □ων ἡ πλ. [Start of a fraction]ρα/σνζ[End of a fraction],
5	ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου [Start of a fraction]ρα/σνη[End of a fraction]. καὶ ἐὰν ἀπὸ ἑκατέρου τῶν ἀπ’ αὐτῶν □ων ἄρωμεν Μ ϛ, ἔσται τὸ μὲν ἓν τμῆμα τῆς μονάδος Μο [Start of a fraction]α˙σα/͵ετνη[End of a fraction], τὸ δὲ ἕτερον [Start of a fraction]α˙σα/͵δωμγ[End of a fraction], καὶ δῆλον ὡς ἑκάτερον μετὰ Μο ϛ ποιεῖ □ον.
10	ι. Δ ΑΓΒ Ε Μονάδα τεμεῖν 〈εἰς δύο μόρια〉 καὶ προσθεῖναι ἑκατέρῳ ἄλλον καὶ ἄλλον δοθέντα ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τετράγωνον.
15	Ἐπιτετάχθω δὴ Μο τεμεῖν, καὶ προσθεῖναι ᾧ μὲν Μο β, ᾧ δὲ Μο ϛ, καὶ ποιεῖν ἑκάτερον □ον. Ἐκκείσθω μονὰς ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ, καὶ τῷ μὲν ΑΓ προσκείσθω δυὰς ἡ ΑΔ, τῷ δὲ ΓΒ ἑξὰς ἡ ΒΕ· ἑκάτερος ἄρα τῶν ΓΔ, ΓΕ ἔστιν □ος.
20	καὶ ἐπεὶ ὁ μὲν ΑΒ ἔστιν Μο α, συναμφότερος ὁ δὲ ΑΔ, ΒΕ ὀκτάς, ὅλος ἄρα ὁ ΔΕ [ἐπὶ τῆς Μο α] γίνεται Μο θ,
20	καὶ ταύτας χρὴ διελεῖν εἰς δύο □ους τοὺς ΓΔ, ΓΕ.
338	ἀλλὰ ἐπεὶ εἷς τῶν □ων τοῦ μὲν ΑΔ ἔστιν μείζων, τουτέστιν δυάδος, τοῦ δὲ ΔΒ ἔστιν ἐλάσσων τουτέστιν τριάδος, ἀπῆκταί μοι εἰς τὸ τὸν ἐπιταχθέντα □ον, οἱονεὶ τὸν θ, διελεῖν εἰς δύο □ους τοὺς ΔΓ, ΓΕ, ὥστε ἕνα
5	τὸν ΓΔ εἶναι ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τῆς τε δυάδος καὶ τῆς τριάδος. εὑρεθέντος γὰρ τοῦ ΓΔ, δοθεὶς ὧν ὁ ΑΔ ἔστιν δυάς, λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΓ δοθείς· ἔστιν δὲ ὁ ΑΒ Μο α, καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΒΓ ἔστιν δοθείς· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Γ, καθ’ ὃ τέμνεται ἡ μονάς.
10	Ἡ δὲ ἀγωγὴ ὑπογραφήσεται. ἔστω γὰρ ὁ εἷς τῶν □ων, μεταξύ τε δυάδος καὶ τῆς τριάδος, ΔΥ α· ὁ ἄρα λοιπὸς ἔσται Μο θ ⩚ ΔΥ α· ταῦτα ἴσα □ῳ. καὶ ταῦτα ἴσα □ῳ ποιεῖν ῥᾴδιόν ἐστιν, δεῖ δὲ εὑρεῖν ΔΥ μεταξὺ τοῦ τε β καὶ τοῦ γ. λαμβάνομεν
15	δύο □ους, ἕνα μὲν μείζονα τοῦ β, τὸν δὲ ἕτερον ἐλάσ‐ σονα τοῦ γ. εἰσὶν δὲ τὰ [Start of a fraction]ρμδ/σπθ[End of a fraction] καὶ [Start of a fraction]ρμδ/τξα[End of a fraction]· ἐὰν οὖν τὴν ΔΥ α κατασκευάσωμεν ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τῶν προειρη‐ μένων δύο □ων, λύσομεν τὸ ζητούμενον. δεῖ οὖν καὶ τὴν πλευρὰν ΔΥ α, τουτέστιν 𐅶 α, μεί‐
20	ζονα μὲν εἶναι [Start of a fraction]ιβ/ιζ[End of a fraction], ἐλάσσονα δὲ [Start of a fraction]ιβ/ιθ[End of a fraction], ὥστε δεῖ, ζητοῦντα Μο θ ⩚ ΔΥ α ἴς. □ῳ, εὑρεῖν τὸν 𐅶 μείζονα μὲν [Start of a fraction]ιβ/ιζ[End of a fraction], ἐλάσ‐
20	σονα δὲ [Start of a fraction]ιβ/ιθ[End of a fraction].
340	ἐὰν δὲ Μο θ ⩚ ΔΥ α ποιῶμεν ἴσας □ῳ, πλάσσομεν τὴν τοῦ □ου πλ. ἀπὸ Μο γ ⩚ 𐅶 τινος, καὶ εὑρίσκομεν τὸν 𐅶 γινόμενον ἔκ τινος ἀριθμοῦ ϛκις γενομένου καὶ μεριζομένου εἰς τὸν Μο α μείζονα τοῦ ἀπ’ αὐτοῦ □ου·
5	ἀπῆκται οὖν εἰς τὸ εὑρεῖν τινα ἀριθμὸν ὃς ϛκις γενό‐ μενος καὶ παραβληθεὶς εἰς τὸν Μο α μείζονα τοῦ ἀπ’ αὐτοῦ □ου, τὴν παραβολὴν ποιεῖ μείζονα μὲν [Start of a fraction]ιβ/ιζ[End of a fraction], ἐλάσ‐ σονα δὲ [Start of a fraction]ιβ/ιθ[End of a fraction]. Ἔστω ὁ ζητούμενος 𐅶 α καὶ ζητῶ κατὰ τὸν προσ‐
10	διορισμὸν 𐅶 ϛ ἐν μορίῳ ΔΥ α Μο α μείζονα μὲν εἶναι [Start of a fraction]ιβ/ιζ[End of a fraction], ἐλάσσονα δὲ [Start of a fraction]ιβ/ιθ[End of a fraction]. ἀλλὰ καὶ ὁ ιζ παραβληθεὶς παρὰ τὸν ιβ, τὴν παρα‐ βολὴν ποιεῖ Μο [Start of a fraction]ιβ/ιζ[End of a fraction], ὥστε δεῖ 𐅶 ϛ πρὸς ΔΥ α Μο α μείζονα λόγον ἔχειν ἤπερ ιζ πρὸς ιβ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν 𐅶 〈ϛ〉
15	καὶ Μο ιβ, τουτέστιν 𐅶 οβ ὀφείλουσι μείζονες εἶναι 〈τοῦ ὑπὸ ΔΥ α Μο α καὶ Μο ιζ, τουτέστι ΔΥ ιζ Μο ιζ〉. τῶν 𐅶 τὸ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτὸ γίνεται ͵ασϙϛ· ὕφελε τὰς ΔΥ ἐπὶ τὰς Μο, τουτέστιν σπθ, λοιπὸς ἄρα αζ· τούτων
15	πλευρά· οὐ μείζων λα· πρόσθες τὸ 𐅵ʹ τῶν 𐅶· γίνεται
342	οὐ μείζων ξζ· παράβαλε παρὰ τὸ πλῆθος τῶν ΔΥ, γίνεται ὁ 𐅶 〈οὐ μείζων〉 [Start of a fraction]ιζ/ξζ[End of a fraction]. Καὶ ὁμοίως δεήσει 𐅶 ϛ πρὸς ΔΥ α Μο α ἐλάσσονα λόγον ἔχειν 〈ἤπερ ιθ πρὸς ιβ〉· εὑρήσομεν τὸν 𐅶 οὐκ
5	ἐλάσσονα [Start of a fraction]ιθ/ξϛ[End of a fraction], ἀλλὰ καὶ οὐ μείζονα [Start of a fraction]ιζ/ξζ[End of a fraction]. ἔστω Μο γ 𐅵ʹ· πλάσσω οὖν τὴν πλ. τοῦ □ον ἀπὸ Μο γ ⩚ 𐅶 γ 𐅵ʹ· γίνεται ὁ □ος ΔΥ ιβ δ× Μο θ ⩚ 𐅶 κα· ταῦτα ἴσα Μο θ ⩚ ΔΥ α, ὅθεν ὁ 𐅶 [Start of a fraction]νγ/πδ[End of a fraction], ἡ ΔΥ [Start of a fraction]͵βωθ/͵ζνϛ[End of a fraction]. καὶ ἐὰν ἀπὸ τούτου ἀφέλωμεν τὴν δυάδα, ἔσται ἓν τμῆμα τῆς
10	Μο, [Start of a fraction]͵βωθ/͵αυλη[End of a fraction], ὥστε τὸ ἕτερον ἔσται [Start of a fraction]͵βωθ/͵ατοα[End of a fraction]. καὶ μένει τὸ ἐπίταγμα. ια. Μονάδα διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθμοὺς καὶ προσθεῖναι ἑκάστῳ αὐτῶν πρότερον τὸν αὐτὸν δοθέντα 〈καὶ〉
15	ποιεῖν ἕκαστον τετράγωνον. Δεῖ δὴ τὸν διδόμενον ἀριθμὸν μήτε δυάδα εἶναι μήτε τινὰ τῶν ἀπὸ δυάδος ὀκτάδι παραυξανομένων. Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν Μο διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθμοὺς
15	καὶ προσθεῖναι ἑκάστῳ Μο γ καὶ ποιεῖν ἕκαστον □ον.
344	Πάλιν δεῖ τὸν ι διελεῖν εἰς τρεῖς □ους ὅπως ἕκαστος αὐτῶν μείζων ᾖ Μο γ. ἐὰν οὖν πάλιν τὸν ι διέλωμεν εἰς τρεῖς □ους, τῇ τῆς παρισότητος ἀγωγῇ, ἔσται ἕκα‐ στος αὐτῶν μείζων τριάδος καὶ δυνησόμεθα, ἀφ’ ἑκά‐
5	στου αὐτῶν ἀφελόντες Μο γ, ἔχειν εἰς οὓς ἡ Μο δι‐ αιρεῖται. λαμβάνομεν ἄρτι τοῦ ι τὸ γον, γί. γ γ×, καὶ ζητοῦμεν τί προστιθέντες μόριον τετραγωνικὸν ταῖς Μο γ γ×, ποιήσομεν 〈□ον〉· πάντα θκις. δεῖ καὶ τῷ λ προσθεῖναί
10	τι μόριον τετραγωνικὸν καὶ ποιεῖν τὸν ὅλον □ον. ἔστω τὸ προστιθέμενον μόριον ΔΥ× α· καὶ πάντα ἐπὶ ΔΥ· γίνονται ΔΥ λ Μο α ἴς. □ῳ· τῷ ἀπὸ πλευρᾶς 𐅶 ε Μο α· γίνεται ὁ □ος ΔΥ κε 𐅶 ι Μο α ἴς. ΔΥ λ Μο α· ὅθεν ὁ 𐅶 Μο β, ἡ ΔΥ Μο δ, τὸ ΔΥ× Μο δ×
15	Εἰ οὖν ταῖς 〈Μο〉 λ προστίθεται Μο δ×, ταῖς Μο γ γ× προστεθήσεται λϛ× καὶ γίνεται [Start of a fraction]λϛ/ρκα[End of a fraction]· δεῖ οὖν τὸν ι διελεῖν εἰς τρεῖς □ους ὅπως ἑκάστου □ου ἡ πλευρὰ πάρισος ᾖ Μο [Start of a fraction]ϛ/ια[End of a fraction]. ἀλλὰ καὶ ὁ ι σύγκειται ἐκ δύο □ων, τοῦ τε θ καὶ
20	τῆς Μο. διαιροῦμεν τὴν Μο εἰς δύο □ους τά τε [Start of a fraction]κε/θ[End of a fraction] καὶ
20	τὰ [Start of a fraction]κε/ιϛ[End of a fraction], ὥστε τὸν ι συγκεῖσθαι ἐκ τριῶν □ων, ἔκ τε τοῦ θ
346	καὶ τοῦ [Start of a fraction]κε/ιϛ[End of a fraction] καὶ τοῦ [Start of a fraction]κε/θ[End of a fraction]. δεῖ οὖν ἑκάστην τῶν πλ. τού‐ των παρασκευάσαι πάρισον [Start of a fraction]ϛ/ια[End of a fraction]. ἀλλὰ καὶ αἱ πλ. αὐτῶν εἰσιν Μο γ καὶ Μο [Start of a fraction]ε/δ[End of a fraction] καὶ Μο [Start of a fraction]ε/γ[End of a fraction]· καὶ πάντα λκις. καὶ γίνονται Μο ϙ καὶ Μο κδ καὶ Μο ιη.
5	τὰ δὲ ια ϛ˙α γίνονται Μο νε· δεῖ οὖν ἑκάστην πλ. κατα‐ σκευάσαι νε. πλάσσομεν ἑνὸς πλευρὰν Μο γ ⩚ 𐅶 λε, ἑτέρου δὴ 𐅶 λα Μο δ εων, τοῦ δὲ ἑτέρου 𐅶 λζ Μο γ 〈εων〉. γίνονται οἱ ἀπὸ τῶν εἰρημένων □οι, ΔΥ ͵γφνε Μο ι ⩚ 𐅶 ριϛ·
10	ταῦτα ἴσα Μο ι. ὅθεν εὑρίσκεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]͵γφνε/ριϛ[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· καὶ γίνονται αἱ πλευραὶ τῶν τετραγώνων δοθεῖσαι, ὥστε καὶ αὐτοί. τὰ λοιπὰ δῆλα. ιβ. Μονάδα διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθμοὺς καὶ προσθεῖναι
15	ἑκάστῳ αὐτῶν ἄλλον καὶ ἄλλον δοθέντα καὶ ποιεῖν ἕκαστον τετράγωνον. Ἔστωσαν οἱ δοθέντες ὅ τε β καὶ ὁ γ καὶ ὁ δ. Καὶ πάλιν ἀπάγεται εἰς τὸ τὸν ι διελεῖν εἰς τρεῖς □ους, ὅπως αὐτῶν ὁ μὲν αος μείζων ᾖ δυάδος, ὁ δὲ
20	ἕτερος μείζων ᾖ τριάδος, ὁ δὲ γος μείζων ᾖ Μο δ.
20	ἐὰν οὖν τεμόντες Μο α δίχα, προσθῶμεν τοῖς δο‐
348	θεῖσιν ἀνὰ Μο 𐅵ʹ, γίνεται ἕνα τῶν □ων ζητεῖν μείζονα μὲν δυάδος, ἐλάσσονα δὲ Μο β 𐅵ʹ, τὸν δὲ ἕτερον μείζονα μὲν Μο γ, ἐλάσσονα δὲ 〈Μο〉 γ 𐅵ʹ, τὸν δὲ γον μείζονα μὲν Μο δ, ἐλάσσονα δὲ Μο δ 𐅵ʹ. καὶ ἀπάγεται ἅπαντα
5	εἰς τὸ τὸν ι συγκείμενον ἐκ δύο □ων μεταδιελεῖν εἰς ἑτέρους δύο □ους ὅπως εἷς αὐτῶν μείζων μὲν ᾖ Μο β, ἐλάσσων δὲ Μο β 𐅵ʹ. καὶ ἐὰν ἀπὸ τούτου ἀφέλωμεν δυάδα, εὑρήσομεν ἕνα τῶν ἀπὸ τῆς Μο. Καὶ πάλιν τὸν ἕτερον τῶν □ων μεταδιαιροῦμεν εἰς
10	ἑτέρους δύο □ους, ὅπως εἷς μὲν αὐτῶν μείζων ᾖ Μο γ, ἐλάσσων δὲ Μο γ 𐅵ʹ· καὶ πάλιν ἐὰν ἀπὸ τούτου ἀφέλω‐ μεν Μο γ, εὑρήσομεν ἕνα τῶν ζητουμένων, ὥστε καὶ τὸν γον ὁμοίως εὑρήσομεν. ιγ.
15	Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθ‐ μοὺς ὅπως σὺν δύο λαμβανόμενοι ποιῶσι τετράγωνον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ι. Καὶ ἐπεὶ ἐν τοῖς ζητουμένοις τρισὶν ἀριθμοῖς ὁ μείζων καὶ ὁ μέσος ποιοῦσι □ον, ὁμοίως καὶ ὁ μέσος
20	μετὰ τοῦ γου ποιοῦσι □ον, καὶ ὁ γος μετὰ τοῦ αου, οἱ ἄρα τρεῖς δὶς γενόμενοι ποιοῦσι τρεῖς □ους, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων ἐστὶ Μο ι. ἀλλὰ δὶς οἱ τρεῖς ποιοῦσι Μο κ· δεῖ οὖν τὸν κ διελεῖν εἰς τρεῖς □ους, ὅπως ἕκαστος 〈ἐλάσσων〉 ᾖ Μο ι.
25	ὁ δὲ κ σύγκειται ἐκ δύο □ων, τοῦ τε ιϛ καὶ τοῦ
350	δ· καὶ ἐὰν τάξωμεν ἕνα τῶν ζητουμένων Μο δ, δεήσει τὸν ιϛ διελεῖν εἰς δύο □ους, ὅπως ἕκαστος αὐτῶν ἐλάσ‐ σων ᾖ Μο ι. ἐμάθομεν δὲ τὸν δοθέντα □ον διελεῖν εἰς δύο □ους, ὅπως εἷς αὐτῶν μείζων μὲν ᾖ Μο ϛ, ἐλάσ‐
5	σων δὲ Μο ι. ἔστω συναμφότερος Μο ιϛ, ὥστε διῃρήσθω εἰς □ους ὅπως ἕκαστος αὐτῶν ἐλάσσων ᾖ Μο ι· καὶ ἐὰν ἕκαστον ἀφέλωμεν ἀπὸ Μο ι, εὑρήσομεν τοὺς λοιποὺς οἳ σὺν δύο λαμβανόμενοι ποιοῦσι τετράγωνον.
10	ιδ. Δοθέντα ἀριθμὸν εἰς τέσσαρας ἀριθμοὺς διελεῖν, οἳ σὺν τρεῖς λαμβανόμενοι ποιοῦσι τετράγωνον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ι. Ἐπεὶ οὖν οἱ ἀπὸ τοῦ αου 〈τρεῖς λαμβανόμενοι〉 οἱ
15	κατὰ τὸ ἑξῆς ποιοῦσι □ον, ἀλλὰ καὶ οἱ ἀπὸ τοῦ βου τρεῖς τὸ αὐτὸ ποιοῦσι, καὶ οἱ ἀπὸ τοῦ γου τρεῖς τὸ αὐτὸ ποιοῦσι, καὶ οἱ ἀπὸ τοῦ δου τρεῖς, οἱ ἄρα τέσ‐ σαρες τρὶς ποιοῦσι τέσσαρας □ους. ἀλλὰ οἱ τέσσαρες τρὶς ποιοῦσι Μο λ· δεήσει ἄρα Μο λ διελεῖν εἰς τέσσαρας
20	□ους, ὅπως ἕκαστος ἐλάσσων ᾖ Μο ι· τοῦτο δὲ οὕτως εὑρεθήσεται. ἐάν τε διὰ τῆς παρισότητος τάξαντες ἕκαστον αὐ‐ τῶν Μο ζ 𐅵ʹ, καὶ ἕκαστον □ον ἀφέλωμεν ἀπὸ Μο ι, εὑρή‐ σομεν τοὺς ζητουμένους· εἰ δὲ μή, ὁρῶ τὸν λ συγκεί‐
25	μενον ἔκ τε τοῦ ιϛ καὶ τοῦ θ καὶ τοῦ δ καὶ τῆς Μο α.
352	θῶμεν τὸν δ καὶ τὸν θ, ἐπειδὴ ἕκαστος αὐτῶν ἐλάσ‐ σων ἐστὶν Μο ι· λοιπὸν γίνεται Μο ιζ διελεῖν εἰς δύο □ους, ὅπως ἑκάτερος αὐτῶν ἐλάττων ᾖ Μο ι. ἐὰν οὖν τὸν ιζ διέλωμεν εἰς δύο □ους, ὡς ἐμάθο‐
5	μεν, ὥστε ἕνα αὐτῶν μείζονα εἶναι Μο η 𐅵ʹ, ἐλάσσονα δὲ Μο ι, ἔσται ἑκάτερος αὐτῶν ἐλάσσων Μο ι, καὶ ἐὰν ἑκάτερον αὐτῶν ἀφέλωμεν ἀπὸ Μο ι, εὑρήσομεν τοὺς λοιποὺς τῶν ζητουμένων, [ὃν μὲν Μο ϛ, ὃν δὲ Μο α, ὥστε λελύσθαι τὸ ζητούμενον].
10	ιε. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκει‐ μένου ἐκ τῶν τριῶν κύβος προσλαβὼν ἕκαστον ποιῇ κύβον. Τετάχθω ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν τριῶν 𐅶 α, ἕκαστος
15	δὲ τῶν ζητουμένων, ὁ μὲν ΚΥ ζ, ὁ δὲ ΚΥ κϛ, ὁ δὲ ΚΥ ξγ, καὶ μένει· ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν κύβος προσλαβὼν ἕκαστον αὐτῶν ποιεῖ κύβον· λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς ἰσῶσαι 𐅶 α. ἀλλὰ οἱ τρεῖς εἰσιν ΚΥ ϙϛ· ὥστε ΚΥ ϙϛ ἴσοι 𐅶 α.
20	καὶ πάντα παρὰ 𐅶· ΔΥ ϙϛ ἴσαι Μο α. καὶ ἔστιν ἡ Μο □ος· εἰ ἦσαν καὶ αἱ Μο ϙϛ □ος, λελυμένον ἂν ἦν τὸ ζητούμενον· ὅθεν ζητῶ πόθεν ἐστὶν ὁ ϙϛ· ἔστιν δὲ τριῶν ἀριθμῶν σύνθεμα ὧν ἕκαστος αὐτῶν μετὰ Μο α ποιεῖ κύβον. ἀπάγεται οὖν
25	εἰς τὸ εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμούς, ὅπως ἕκαστος αὐτῶν
354	μετὰ Μο α ποιῇ κύβον, ἔτι δὲ τὸ σύνθεμα τῶν τριῶν ᾖ □ος. Ἐκκείσθω ἡ μὲν τοῦ αου πλ.· 𐅶 α Μο α, ἡ δὲ τοῦ βου Μο β ⩚ 𐅶 α, ὁ δὲ τοῦ γου Μο β. οἱ κύβοι γίνονται, ὁ
5	μὲν ΚΥ α ΔΥ γ 𐅶 γ Μο α, ὁ δὲ ΔΥ ϛ Μο η ⩚ ΚΥ α 𐅶 ιβ, ὁ δὲ Μο η. αἴρω ἀπὸ ἑκάστου Μο α, καὶ τάσσω τὸν μὲν αον ΚΥ α ΔΥ γ 𐅶 γ, τὸν δὲ βον ΔΥ ϛ Μο ζ ⩚ ΚΥ α 𐅶 ιβ, τὸν δὲ γον Μο ζ. λοιπόν ἐστιν αὐτοὺς συντεθέντας ποιεῖν □ον. γί.
10	δὲ ΔΥ θ Μο ιδ ⩚ 𐅶 θ ἴς. □ῳ τῷ ἀπὸ πλ. 𐅶 γ ⩚ Μο δ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ιε/β[End of a fraction]. ἔσται τῶν ζητουμένων ὁ μὲν [Start of a fraction]͵γτοε/͵αφλη[End of a fraction], ὁ δὲ [Start of a fraction]͵γτοε/α˙͵ηφοζ[End of a fraction], ὁ δὲ Μο ζ. Ἔρχομαι ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ πάλιν τάσσομεν τοὺς
15	τρεῖς ἀριθμοὺς καὶ τὸν μὲν ΚΥ[Start of a fraction]͵γτοε/͵αφλη[End of a fraction], τὸν δὲ ΚΥ[Start of a fraction]͵γτοε/α˙͵ηφοζ[End of a fraction], τὸν δὲ ΚΥ ζ. πάλιν τάσσομεν τοὺς τρεῖς 𐅶 α, καὶ γίνονται ΚΥ[Start of a fraction]͵γτοε/δ˙͵γψμ[End of a fraction] ἴσοι 𐅶 α. καὶ Πάντων τὸ ιεον. καὶ παρὰ 𐅶· καὶ γίνονται ΔΥ ͵βϡιϛ ἴσαι Μο σκε. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ιε.
20	ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις καὶ μένει.
356	ιϛ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν κύβος λείψας ἕκαστον ποιῇ κύβον. Τετάχθωσαν πάλιν οἱ τρεῖς 𐅶 α, καὶ αὐτῶν πάλιν
5	ὁ μὲν ΚΥ[Start of a fraction]η/ζ[End of a fraction], ὁ δὲ ΚΥ [Start of a fraction]κζ/κϛ[End of a fraction], ὁ δὲ ΚΥ [Start of a fraction]ξδ/ξγ[End of a fraction]. λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς ἰσῶσαι 𐅶 α· γίνεται κυβικόν τι πλῆθος ἴσον 𐅶 α. πάντα παρὰ 𐅶· καὶ γίνεται ΔΥ τι πλῆθος ἴσον Μο α. καὶ ἔστιν ἡ Μο □ος· δεήσει ἄρα καὶ τὰς ΔΥ εἶναι
10	□ον. πόθεν ἐστὶν τὸ πλῆθος τῶν ΔΥ; ἐκ τοῦ ἀπὸ τριάδος ἀφαιρεῖσθαι τρεῖς κύβους ὧν ἕκαστος ἐλάσσων ἐστὶν Μο α· καὶ ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρεῖς κύβους, ὅπως ἕκαστος αὐτῶν ἐλάσσων ᾖ Μο α, τὸ δὲ σύνθεμα αὐτῶν ἀρθὲν ἀπὸ τριάδος ποιῇ □ον.
15	καὶ ἔτι ζητοῦμεν ἕκαστον αὐτῶν κύβον ἐλάσσονα εἶναι Μο α· ἐὰν ἄρα κατασκευάσωμεν τοὺς τρεῖς ἀριθ‐ μοὺς ἐλάσσονας Μο α, πολλῷ ἕκαστος αὐτῶν ἐλάσσων Μο α· ὥστε ὀφείλει ὁ καταλειπόμενος □ος μείζων εἶναι δυάδος.
20	τετάχθω ὁ καταλειπόμενος □ος μείζων εἶναι δυάδος· ἔστω Μο β δ×. δεῖ οὖν τὰ [Start of a fraction]δ/γ[End of a fraction] διελεῖν εἰς 〈τρεῖσ〉 κύ‐
20	βους, καὶ τὰ τούτων πολλαπλάσια κατά τινων κύβων
358	διαιρεθέντων. ἔστω δὴ κατὰ τοῦ σιϛ· ὀφείλομεν οὖν τὸν ρξβ διελεῖν εἰς τρεῖς κύβους. σύγκειται δὲ ὁ ρξβ ἔκ τε κύβου τοῦ ρκε καὶ δύο κύβων ὑπεροχῆς τοῦ τε ξδ καὶ τοῦ κζ· ἔχομεν δὲ ἐν
5	τοῖς Πορίσμασιν ὅτι ‘πάντων δύο κύβων ἡ ὑπεροχὴ κύβων 〈δύο σύνθεμά ἐστιν〉‘. Ἀνατρέχομεν εἰς τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ τάσσομεν ἕκαστον ΚΥ τῶν εὑρεθέντων, τοὺς δὲ τρεῖς 𐅶 α· καὶ συμβήσεται τὸν ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν κύβον λείψαντα
10	ἕκαστον ποιεῖν κύβον. λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς ἰσῶσαι 𐅶 α· γίνονται δὲ οἱ τρεῖς ΚΥ β δ×· ταῦτα ἴσα 𐅶 α· ὅθεν γίνεται ὁ 𐅶 γων β. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ιζ.
15	Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκει‐ μένου ἐκ τῶν τριῶν κύβος ἀρθεὶς ἀπὸ ἑκάστου ποιῇ κύβον. Τετάχθωσαν πάλιν οἱ τρεῖς 𐅶 α, τῶν δὲ τριῶν ὁ μὲν ΚΥ β, ὁ δὲ ΚΥ θ, ὁ δὲ ΚΥ κη. λοιπόν ἐστι τοὺς
20	τρεῖς ἰσῶσαι 𐅶 α· ἀλλὰ οἱ τρεῖς εἰσιν ΚΥ λθ, ὥστε
20	ΚΥ λθ ἴς. 𐅶 α. καὶ παρὰ 𐅶· ὥστε ΔΥ λθ ἴς. Μο α.
360	Καὶ εἰ ἦσαν αἱ ΔΥ λθ 〈□ος, λελυμένον ἂν ἦν τὸ ζητούμενον. ἔστι δὲ ὁ λθ〉 τριῶν κύβων τὸ σύνθεμα μετὰ Μο γ· δεήσει ἄρα εὑρεῖν τρεῖς κύβους, ὧν τὸ σύν‐ θεμα μετὰ Μο γ ποιεῖ □ον. τετάχθω οὖν ἡ μὲν τοῦ
5	αου κύβου πλ. 𐅶 α, ἡ δὲ τοῦ βου Μο γ ⩚ 𐅶 α, ἡ δὲ λοιπὴ Μο τινός· ἔστω δὴ Μο α· καὶ γίνεται τὸ σύνθεμα τῶν τριῶν κύβων ΔΥ θ Μο κη 〈⩚ 𐅶 κζ〉· ταῦτα μετὰ Μο γ γίνεται ΔΥ θ Μο λα ⩚ 𐅶 κζ. 〈ἴς.〉 □ῳ τῷ ἀπὸ πλ. 𐅶 γ ⩚ Μο ζ καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο [Start of a fraction]ε/ϛ[End of a fraction]· 〈ἔσται ἡ μὲν τοῦ αου πλ. ϛ〉, ἡ
10	δὲ τοῦ ἑτέρου θ, ἡ δὲ τοῦ λοιποῦ Μο α. Καὶ τῷ ἀπὸ ἑκάστου τούτων κύβῳ προστίθεμαι Μο α καὶ ἔρχομαι ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς. τάσσω ἕκαστον ΚΥ το‐ σούτων, ὑποτιθεμένων τῶν τριῶν 𐅶 α. λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς ἰσῶσαι 𐅶 α· γίνονται οἱ τρεῖς ΚΥ [Start of a fraction]κε/σπθ[End of a fraction]· ταῦτα
15	ἴσα 𐅶 α, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ιζ/ε[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ιη. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἴσους 〈τετραγώνῳ〉 ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν κύβος προσλαβὼν
20	ἕκαστον ποιῇ τετράγωνον. Τετάχθω ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν τριῶν, ἵνα ᾖ □ος,
20	ΔΥ α, καὶ τῶν ζητουμένων, ὁ μὲν ΚΥ Κ γ, ὁ δὲ ΚΥ Κ η,
362	ὁ δὲ ΚΥ Κ ιε. καὶ συμβαίνει τὸν ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν κύβον, προσλαβόντα ἕκαστον, ποιεῖν □ον. λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς ἰσῶσαι ΔΥ α. ἀλλὰ οἱ τρεῖς εἰσιν ΚΥ Κ κϛ· ταῦτα ἴσα ΔΥ α. καὶ πάντα παρὰ ΔΥ α·
5	γίνονται ΔΥ Δ κϛ ἴσαι Μο α. Καὶ ἔστιν ἡ Μο α □ος πλευρὰν ἔχων □ον, ὥστε ἄρα καὶ ΔΥ Δ κϛ δεήσει εἶναι □ον πλευρὰν ἔχοντα □ον· γέγονε δὲ τὸ εἰρημένον πλῆθος τῶν ΔΥ Δ ἔκ τινων τριῶν ἀριθ‐ μῶν ὧν ἕκαστος μετὰ Μο α ποιεῖ □ον. 〈ἀπῆκται οὖν
10	εἰς τὸ εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμούς, ὅπως ἕκαστος μετὰ Μο α ποιῇ □ον〉, ἔτι δὲ ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν τριῶν ᾖ □ος πλευρὰν ἔχων □ον. Τετάχθω εἷς τῶν ζητουμένων ΔΥ Δ α ⩚ ΔΥ β, ὁ δὲ ἕτερος ΔΥ α 𐅶 β, ὁ δὲ λοιπὸς ΔΥ α ⩚ 𐅶 β, καὶ μένει
15	ἕκαστος αὐτῶν μετὰ Μο α ποιῶν □ον, ἔτι δὲ οἱ τρεῖς συντεθέντες ποιοῦσι □ον 〈πλευρὰν ἔχοντα □ον〉, καὶ ἐν ἀορίστοις 𐅶 λέλυται τὸ ζητούμενον. ὑποκείσθω οὖν ὁ 𐅶 Μο γ· ἔσται ἄρα εἷς τῶν ζητου‐ μένων Μο ξγ, ὁ δὲ βος Μο ιε, ὁ δὲ γος Μο γ.
20	Ἀνατρέχομεν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ τάσσομεν πάλιν τοὺς τρεῖς ΔΥ α, τῶν δὲ ζητουμένων ὃν μὲν ΚΥ Κ ξγ, ὃν δὲ ΚΥ Κ ιε, ὃν δὲ ΚΥ Κ γ. λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς ἰσῶσαι ΔΥ α καὶ γίνονται ΚΥ Κ πα ἴσοι ΔΥ α. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 γ×.
25	τὰ λοιπὰ δῆλα.
364	ιθ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἴσους τετραγώνῳ, ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν κύβος λείψας ἕκα‐ στον αὐτῶν ποιῇ τετράγωνον.
5	.................. καὶ γίνεται ἡμῖν πάλιν τὸν β διελεῖν ὡς καὶ πρό‐ τερον καὶ ἔστιν ὁ ἀπὸ τοῦ β ἀριθμοῦ κύβος Μο η. δεῖ οὖν ἀπὸ Μ η ἀφελεῖν ἕκαστον καὶ ποιεῖν □ον. δεήσει οὖν τὸν κβ διελεῖν εἰς τρεῖς □ους, ὅπως ἕκαστος αὐ‐
10	τῶν μείζων ᾖ Μο ϛ. καὶ ἐὰν ἀπὸ Μο η ἄρωμεν ἕκαστον τούτων, εὑρήσομεν τοὺς ζητουμένους ἀριθμοὺς τρεῖς. τοῦτο δὲ προεδείχθη, πῶς δεῖ τὸν κβ διελεῖν εἰς τρεῖς □ους, ὅπως ἕκαστος αὐτῶν μείζων ᾖ Μο ϛ. κ.
15	Τὸ δοθὲν μόριον διελεῖν εἰς τρία μόρια, ὅπως ἕκαστον αὐτῶν, λεῖψαν τὸν ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν κύβον, ποιῇ τετράγωνον. Ἔστω τὸ δοθὲν μόριον Μο δ× καὶ δέον ἔστω τὸ δ×
15	διελεῖν εἰς τρία μόρια καθὼς ἐπετάχθη.
366	ὥστε δεήσει ἕκαστον αὐτῶν ⩚ Μο ξδ× ποιεῖν □ον. οἱ ἄρα τρεῖς ⩚ Μο [Start of a fraction]ξδ/γ[End of a fraction] ποιοῦσι τρεῖς □ους, καὶ ἐὰν ἑκά‐ στῳ τῶν □ων προσθῶμεν ξδ×, εὑρήσομεν ἕκαστον τῶν ζητουμένων.
5	Τοῦτο δὲ ῥᾴδιον· ἔρχεται δὴ τὰ [Start of a fraction]ξδ/ιγ[End of a fraction] διελεῖν εἰς τρεῖς □ους, ὅπερ ἐστὶ ῥᾴδιον. κα. Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους ὅπως ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς προσλαβὼν ἕκαστον ποιῇ τετράγωνον.
10	Τετάχθω ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς ΔΥ α, καὶ ζητοῦ‐ μεν τρεῖς □ους ὅπως ἕκαστος αὐτῶν μετὰ Μο α ποιῇ □ον. Τοῦτο δὲ ἀπὸ παντὸς ὀρθογωνίου τριγώνου· ἐκτί‐ θεμαι τὰ τρία τρίγωνα ὀρθογώνια καὶ λαβὼν τὸν ἀπὸ μιᾶς τῶν ὀρθῶν, μερίζω 〈εἰσ〉 τὸν ἀπὸ τῆς λοιπῆς
15	τῶν ὀρθῶν. καὶ εὑρήσομεν τοὺς □ους, ἕνα μὲν ΔΥ [Start of a fraction]ιϛ/θ[End of a fraction], τὸν δὲ ἕτερον ΔΥ [Start of a fraction]ρμδ/κε[End of a fraction], τὸν δὲ γον ΔΥ [Start of a fraction]σκε/ξδ[End of a fraction]. καὶ μένει
15	ἕκαστος αὐτῶν μετὰ ΔΥ α ποιῶν □ον.
368	λοιπόν ἐστι τὸν ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν ἰσῶσαι ΔΥ α· γίνεται δὲ ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς ΚΥΚ [Start of a fraction]να˙͵ηυ/α˙͵δυ[End of a fraction]· ἴσα ΔΥ α. καὶ πάντα [εἰς τὸ αὐτὸ μόριον καὶ] παρὰ ΔΥ· γίνεται ΔΥΔ [Start of a fraction]να˙͵ηυ/α˙͵ου[End of a fraction] ἴς. Μο α. καὶ ἡ πλευρὰ τῇ
5	πλευρᾷ· γίνεται ΔΥ [Start of a fraction]ψκ/ρκ[End of a fraction] ἴς. Μο α. καὶ ἔστιν ἡ Μο □ος. εἰ ἦν □ος καὶ τὰ ΔΥ [Start of a fraction]ψκ/ρκ[End of a fraction], λε‐ λυμένον ἂν ἦν τὸ ζητούμενον· οὐκ ἔστιν δέ. ἀπάγεται οὖν εἰς τὸ εὑρεῖν τρία τρίγωνα ὀρθογώνια, ὅπως ὁ ἐκ τῶν τριῶν καθέτων αὐτῶν στερεὸς πολλαπλασιασθεὶς
10	ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν βάσεων αὐτῶν στερεὸν ποιῇ □ον. πλευρὰν ἐχέτω τὸν ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν ἑνὸς τῶν ὀρθογωνίων. καὶ ἐὰν πάντα παραβάλωμεν παρὰ τὸν ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν τοῦ εἰρημένου ὀρθο‐ γωνίου, γενήσεται ὁ ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν τοῦ ἑνὸς
15	τριγώνου ἐπὶ τὸν 〈ὑπὸ τῶν〉 περὶ τὴν ὀρθὴν τοῦ ἑτέ‐ ρου τῶν τριγώνων. καὶ ἐὰν τάξωμεν ἓν αὐτῶν γ. δ. ε, καὶ ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν δύο τρίγωνα ὀρθογώνια ὅπως ὁ ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν τοῦ ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν ᾖ ιβπλ..
20	ὥστε καὶ ἐμβαδὸν ἐμβαδοῦ ιβπλ.· εἰ δὲ ιβπλ., καὶ γπλ.. τοῦτο δὲ ῥᾴδιον καὶ ἔστιν ὅμοιον 〈τὸ μὲν〉 τῷ
20	θ. μ. μα, τὸ δὲ ἕτερον η. ιε. ιζ. ἔχοντες οὖν τὰ τρία
370	τρίγωνα ὀρθογώνια ἐρχόμεθα εἰς τὸ ἐξ ἀρχῆς, τάσσο‐ μεν τῶν ζητουμένων τριῶν □ων, ὃν μὲν [Start of a fraction]ιϛ/θ[End of a fraction], ὃν δὲ [Start of a fraction]ξδ/σκε[End of a fraction], ὃν δὲ [Start of a fraction]͵αχ/πα[End of a fraction]. καὶ ἐὰν τὸν ἐκ τῶνδε στερεὸν ἰσώσωμεν ΔΥ α,
5	γενήσεται ὁ 𐅶 ῥητός. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. κβ. Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους ὅπως ὁ ἐκ τούτων στερεὸς λείψας ἕκαστον αὐτῶν ποιῇ τετράγωνον. Τετάχθω ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς ΔΥ α, καὶ πάλιν οἱ
10	ζητούμενοι τρεῖς □οι ἀπὸ τῶν ὀρθογωνίων τριγώνων, ἑνὸς μὲν [Start of a fraction]κε/ιϛ[End of a fraction], τοῦ δὲ ἑτέρου [Start of a fraction]ρξθ/κε[End of a fraction], τοῦ δὲ [Start of a fraction]σπθ/ξδ[End of a fraction]. τάσω αὐτοὺς ἐν ΔΥ, καὶ μένει ἡ ΔΥ α λείψασα ἕκαστον αὐτῶν ποιοῦσα □ον. λοιπόν ἐστι τὸν ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν ἰσῶσαι ΔΥ α·
15	καὶ ἔστιν ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς ΚΥ Κ β˙͵εχ ἐν μο‐ ρίῳ ρκβ˙͵ακε· ταῦτα ἴσα ΔΥ α. καὶ πάντα παρὰ ΔΥ α· γίνεται ΔΥΔ β˙͵εχ ἐν μορίῳ ρκβ˙͵ακε ἴς. Μο α. Καὶ ἔστιν ἡ Μο □ος πλευρὰν ἔχουσα □ον· δεήσει ἄρα καὶ ΔΥΔ β˙͵εχ ἐν μορίῳ ρκβ˙͵ακε εἶναι □ον
20	〈πλευρὰν ἔχοντα □ον〉. καὶ πάλιν ἀπάγεται εἰς τὸ
20	εὑρεῖν τὰ τρία τρίγωνα ὀρθογώνια ὧν ὁ ἐκ τῶν καθ‐
372	έτων στερεὸς πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν ὑπο‐ τεινουσῶν στερεὸν ποιεῖ □ον. Καὶ ἐὰν πάντα παραβάλωμεν παρὰ τὸν τῆς ὑπο‐ τεινούσης καὶ καθέτου ἑνὸς τῶν ὀρθογωνίων, δεήσει
5	τὸν ὑποτεινούσης καὶ καθέτου τοῦ ὑποτεινούσης καὶ καθέτου πολλαπλάσιον εἶναι κατὰ τὸν ὑποτεινούσης καὶ καθέτου ὀρθογωνίου τινός. ἔστω τὸ ἓν τῶν ὀρθο‐ γώνιον γ. δ. ε. ἀπάγεται οὖν εἰς τὸ εὑρεῖν δύο τρί‐ γωνα ὀρθογώνια, ὅπως ὁ ὑποτεινούσης καὶ καθέτου
10	τοῦ ὑποτεινούσης καὶ καθέτου ᾖ κπλ. Εἰ δὲ κπλ., καὶ επλ.· καὶ ἔστιν ῥᾴδιον 〈ἐπὶ τῶν ἐμ‐ βαδῶν〉 καὶ ἔστιν τὸ μὲν μεῖζον ε. ιβ. ιγ, τὸ δὲ ἔλατ‐ τον γ. δ. ε· ζητητέον οὖν ἀπὸ τούτων ἕτερα δύο, ὅπως ὁ ὑποτεινούσης καὶ καθέτου ᾖ 〈τοῦ μὲν〉 Μο ϛ, 〈τοῦ
15	δὲ Μο λ〉. ἔστιν δὲ τοῦ μὲν μείζονος ἡ ὑποτείνουσα Μο ϛ 𐅵ʹ, ἡ δὲ κάθετος [Start of a fraction]ιγ/ξ[End of a fraction]. τοῦ δὲ ἐλάσσονος ὁ μὲν ἐν τῇ ὑπο‐
15	τεινούσῃ Μο β 𐅵ʹ, ὁ δ’ ἐν τῇ περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν, [Start of a fraction]ε/ιβ[End of a fraction].
374	καὶ λαβόντες τὰ ἐλάχιστα τῶν ὁμοίων, ἀνατρέχομεν εἰς τὸ ἐξ ἀρχῆς, καὶ τάσσομεν τὸν ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν ΔΥ α, αὐτῶν δὲ τῶν □ων, ὃν μὲν ΔΥ [Start of a fraction]κε/ιϛ[End of a fraction], ὃν δὲ ΔΥ [Start of a fraction]χκε/φοϛ[End of a fraction], ὃν δὲ ΔΥ α˙͵δυ ἐν μορίῳ β˙͵ηφξα.
5	λοιπόν ἐστι τὸν ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν ἰσῶσαι ΔΥ α καὶ πάντα παρὰ ΔΨ. καὶ ἡ πλ. τῇ πλ. καὶ εὑρίσκεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]μη/ξε[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. κγ.
10	Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους ὅπως ὁ ἐξ αὐτῶν λει‐ φθεὶς ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν ποιῇ τετράγωνον. Τετάχθω πάλιν ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς ΔΥ α, αὐτοὶ δ’ ἀφ’ οἱωνδήποτε τριῶν ὀρθογωνίων· καὶ πάλιν ἀπ‐ άγεται καὶ ἐνταῦθα εἰς τὰ ζητούμενα ἐν τῇ πρὸ ταύτης
15	προτάσει. εἰ χρώμεθα οὖν καὶ ἐν ταύτῃ τοῖς αὐτοῖς ὀρθο‐ γωνίοις, καὶ τάσσομεν τῶν ζητουμένων □ων ὃν μὲν ΔΥ [Start of a fraction]ιϛ/κε[End of a fraction], ὃν δὲ ΔΥ [Start of a fraction]φοϛ/χκε[End of a fraction], ὃν δὲ ΔΥ [Start of a fraction]α˙͵δυ/β˙͵ηφξα[End of a fraction]· καὶ πάλιν μένει ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς ἀρθεὶς ἀπὸ ἑκάστου
20	ποιῶν □ον. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ὑπ’ αὐτῶν στερεὸν ἰσῶσαι ΔΥ α, ὅθεν εὑρίσκεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ξε/μη[End of a fraction].
20	καὶ μένει.
376	κδ. Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιων‐ οῦν προσλαβὼν μονάδα μίαν ποιῇ τετράγωνον. Καὶ ἐπεὶ ζητῶ τὸν ὑπὸ αου καὶ βου μετὰ Μο α ποι‐
5	εῖν □ον, πάντα ἐπὶ τὸν γον ὄντα □ον· ὥστε δεήσει τὸν ὑπὸ αου καὶ βου 〈ἐπὶ τὸν γον〉, τουτέστι τὸν ἐκ τῶν τριῶν στερεόν, μετὰ τοῦ γου, ποιεῖν 〈□ον〉, ὡς καὶ μετὰ τοῦ αου καὶ 〈τοῦ〉 βου. τοῦτο γὰρ προεδείξαμεν· ὥστε ἐκεῖνοι οἱ ἀριθμοὶ ποιοῦσι καὶ τοῦτο τὸ ζήτημα.
10	κε. Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιων‐ οῦν λείψας μονάδα μίαν ποιῇ τετράγωνον. πάντα ἐπὶ τὸν γον· ὥστε τὸ ὑπὸ αου καὶ βου ἐπὶ τὸν γον, τουτέστιν ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεός, λείψας τὸν
15	γον, ποιεῖ □ον· ὥστε καὶ ἑκάτερον τόν τε αον καὶ τὸν βον λείψας ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς ποιεῖ □ον. τοῦτο δὲ προδέδεικται· ἐκεῖνοι οὖν οἱ ἀριθμοὶ ποιοῦσι καὶ τοῦτο. κϛ.
20	Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιων‐ οῦν ἀφαιρεθεὶς ἀπὸ μονάδος μιᾶς ποιῇ τετράγωνον. Πάλιν, ζητοῦντες τὸν ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν ἀρθέντα ἀπὸ Μο α ποιεῖν □ον, ἐὰν πάντα ποιήσωμεν ἐπὶ τὸν γον,
20	πάλιν ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμούς, ὅπως ὁ
378	ἐξ αὐτῶν στερεὸς ἀρθεὶς ἀπὸ ἑκάστου ποιῇ □ον. τοῦτο δὲ προεδείξαμεν. κζ. Δοθέντι ἀριθμῷ προσευρεῖν τρεῖς τετραγώνους,
5	ὅπως σὺν δύο λαμβανόμενοι οἱ τετράγωνοι καὶ προσ‐ λαβόντες τὸν δοθέντα ἀριθμὸν ποιῶσι τετράγωνον. Ἔστω ὁ δοθεὶς Μο ιε. Καὶ ἔστω εἷς τῶν ζητουμένων Μο θ. ζητητέον οὖν ἑτέρους δύο, ὅπως ἑκάτερος μὲν αὐτῶν μετὰ Μο κδ
10	ποιῇ □ον, συναμφότερος δὲ μετὰ Μο ιε ποιῇ □ον. δεῖ οὖν ζητεῖν δύο □ους ὅπως ἑκάτερος αὐτῶν μετὰ Μο κδ ποιῇ □ον. λαμβάνομεν τοὺς μετροῦντας Μο κδ καὶ τριγώνου ὀρθογωνίου πλ. τὰς περὶ τὴν ὀρθήν. 〈ἔστω κατὰ 𐅶 ×δ ὁ ἀντικείμενος 𐅶 ϛ· συναμφοτέρου
15	τὸ 𐅵ʹ γίνεται 𐅶 ×β καὶ 𐅶 γ· πάλιν〉 ἔστω κατὰ 𐅶 × γ ὁ ἀντικείμενος 𐅶 η· συναμφοτέρου τὸ 𐅵ʹ γίνεται 𐅶 × α 𐅵ʹ καὶ 𐅶 δ. ἔστω ἡ τοῦ ἑνὸς πλευρὰ ἀπὸ διαφορᾶς 𐅶 × β καὶ 𐅶 γ, 〈ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου ἀπὸ διαφορᾶς 𐅶 × α 𐅵ʹ καὶ 𐅶 δ〉. καὶ
20	μένει ἑκάτερος αὐτῶν μετὰ Μο κδ ποιῶν □ον.
380	λοιπόν ἐστι καὶ συναμφότερον μετὰ Μο ιε ποιεῖν □ον. γίνεται δὲ ΔΥ× ϛ δ× ΔΥ κε ⩚ Μο θ ἴς. □ῳ ἴς. ΔΥ κε. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ϛων ε. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις.
5	κη. Δοθέντι ἀριθμῷ προσευρεῖν τρεῖς τετραγώνους, ὅπως σὺν δύο λαμβανόμενοι καὶ λείψαντες τὸν δοθέντα ποιῶσι τετράγωνον. Ἔστω ὁ δοθεὶς Μο ιγ.
10	Τετάχθω πάλιν εἷς τῶν ζητουμένων □ων Μο κε· 〈ζητητέον οὖν ἑτέρους δύο, ὅπωσ〉 ἑκάτερος μὲν αὐ‐ τῶν μετὰ Μο ιβ ποιῇ □ον, συναμφότερος δὲ ⩚ Μο ιγ ποιῇ □ον. πάλιν λαμβάνομεν τὴν μέτρησιν κατὰ 𐅶 γ καὶ 𐅶 × δ.
15	γίνεται ἡ μὲν τοῦ αου πλ. ἀπὸ διαφορᾶς 𐅶 α 𐅵ʹ καὶ 𐅶 × β, ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου ἀπὸ διαφορᾶς 𐅶 β καὶ 𐅶 × α 𐅵ʹ. καὶ μένει ὁ ἀπὸ ἑκατέρου □ος μετὰ Μο ιβ ποιῶν □ον. λοιπόν ἐστι συναμφότερον ⩚ Μο ιγ ποιεῖν □ον· γί‐ νεται δὲ ΔΥ× ϛ ΔΥ ϛ δ× ⩚ Μο κε ἴς. □ῳ· ἔστω ἴς.
20	ΔΥ ϛ δ×, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο β. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. κθ. Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους, ὅπως ὁ συγκείμενος ἐκ
20	τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ποιῇ τετράγωνον.
382	Τετάχθω δὴ τῶν ζητουμένων ὁ μὲν ΔΥ α, ὁ δὲ Μο δ, ὁ δὲ Μο θ, καὶ γίνεται ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν □ων, ΔΥ Δ α Μο ϙζ ἴς. □ῳ· τῷ ἀπὸ πλ. ΔΥ α ⩚ Μο ι· καὶ γίνονται λοιπαὶ ΔΥ κ ἴσαι Μο γ.
5	Καὶ εἰ ἦν ἑκάτερος □ος, λελυμένον ἂν ἦν τὸ ζη‐ τούμενον· καὶ ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν δύο □ους καὶ ἀριθμόν τινα 〈ὅπωσ〉 ὁ ἀπ’ αὐτοῦ □ος λείψας τοὺς ἀπὸ τῶν ζητουμένων □ους ποιῇ 〈ἀριθμόν〉 τινα, ὃς πρὸς τὸν διπλάσιον τοῦ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοῦ λόγον ἔχει
10	ὃν □ος ἀριθμὸς πρὸς □ον ἀριθμόν. Τετάχθωσαν οἱ ζητούμενοι □οι, ὃς μὲν ΔΥ α, ὃς δὲ Μο δ, 〈ὁ δὲ τυχὼν ἀριθμὸς ΔΥ α Μο δ〉· καὶ 〈ὁ〉 ἀπὸ τούτου □ος, ἐὰν λείψῃ τοὺς ἀπ’ αὐτῶν □ους, κατα‐ λείπει ΔΥ η. θέλομεν ταῦτα πρὸς τὸν δὶς ΔΥ α Μο δ,
15	τουτέστιν πρὸς ΔΥ β Μο η, λόγον ἔχειν ὃν □ος πρὸς □ον. καὶ πάντων τὸ 𐅵ʹ, ὥστε καὶ ΔΥ δ πρὸς ΔΥ α Μο δ λόγον ἔχειν ὃν □ος ἀριθμὸς πρὸς □ον. Καί εἰσιν αἱ ΔΥ δ □ος, ὥστε καὶ ΔΥ α Μο δ ἴς. □ῳ· τῷ ἀπὸ πλ. 𐅶 α Μο α· ὅθεν ὁ 𐅶 Μο α 𐅵ʹ. ἔσται τῶν ζη‐
20	τουμένων □ων, ὁ μὲν Μο β δ×, ὁ δὲ Μο δ, ὁ δὲ τυχὼν Μο ϛ δ×. καὶ πάντα δκις· γίνεται ὁ μὲν Μο θ, ὁ δὲ Μο ιϛ, ὁ δὲ τυχὼν Μο κε. Ἀνατρέχομεν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ τάσσομεν τῶν
20	τριῶν □ων, ὃν μὲν ΔΥ α, ὃν δὲ Μο θ, ὃν δὲ Μο ιϛ. καὶ
384	γίνεται ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν □ων ΔΥ Δ α Μο τλζ· ταῦτα [τὰ] ἴσα □ῳ τῷ ἀπὸ πλ. ΔΥ α ⩚ Μο κε. ὅθεν ὁ 𐅶 Μο [Start of a fraction]ε/ιβ[End of a fraction]. τὰ λοιπὰ δῆλα.
5	λ. Ὀκταδράχμους καὶ πενταδράχμους χοέας τις ἔμιξε τοῖς ὁμοπλοῖσι ποιεῖν χρήστ’ ἐπιταττόμενος, καὶ τιμὴν ἀπέδωκεν ὑπὲρ πάντων τετράγωνον, τὰς ἐπιταχθείσας δεξάμενον μονάδας
10	καὶ ποιοῦντα πάλιν ἕτερόν σε φέρειν τετράγωνον κτησάμενον πλευρὰν σύνθεμα τῶν χοέων· ὥστε διάστειλον τοὺς ὀκταδράχμους πόσοι ἦσαν, καὶ πάλι τοὺς ἑτέρους, παῖ, λέγε πενταδράχμους. Τὸ σημαινόμενον διὰ τοῦ ἐπιγράμματός ἐστι τοι‐
15	οῦτον. Ἠγόρασέν τις δύο ἑνῆ οἴνου, ἐκ μὲν τοῦ ἑνὸς τὸν χοέα δραχμῶν η, ἐκ δὲ τοῦ ἑνὸς τὸν χοέα δραχμῶν ε, καὶ ἀπέδωκεν ὑπὲρ πάντων τιμὴν τετράγωνον ἀριθμόν, ὃς πρὸς Μο ξ ἐποίει τετράγωνον πλευρὰν ἔχοντα τὸ
20	πλῆθος τῶν χοέων· διάστειλον τοὺς ὀκταδράχμους καὶ πενταδράχμους. Ἔστω τὸ πλῆθος τῶν· χοέων 𐅶 α, ὥστε ἡ τιμὴ γε‐ νήσεται ΔΥ α ⩚ Μο ξ. λοιπὸν δεῖ ΔΥ α ⩚ Μο ξ ποιεῖν ἴς. □ῳ καὶ δεῖ τάσσειν τὴν τοῦ □ου πλ. ἀπὸ 𐅶 α λεί‐
25	ψαντος Μο ὁσανδήποτε. ἀλλὰ ἐπεὶ ἡ ΔΥ α ⩚ Μο ξ σύγκειται ἐκ δύο τινῶν
25	ἀριθμῶν, τῆς τιμῆς τῶν ὀκταδράχμων καὶ τῆς τιμῆς
386	τῶν πενταδράχμων, 〈καὶ τὸ εον τῆς τιμῆς τῶν πεντα‐ δράχμων〉 ποιεῖ τὸ πλῆθος 〈τῶν〉 πενταδράχμων, τὸ δὲ ηον τῆς τιμῆς τῶν ὀκταδράχμων ποιεῖ τὸ πλῆθος τῶν ὀκταδράχμων, καὶ ἐπεὶ τὸ πλῆθος τῶν χοέων συν‐
5	τεθέντα ποιεῖ 𐅶 α, γέγονεν οὖν τινα τὸν ὄντα ΔΥ α ⩚ Μο ξ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμούς, ὅπως τὸ τοῦ ἑνὸς εον καὶ τὸ τοῦ ἑτέρου ηον ποιῇ 𐅶 α. Καὶ τοῦτο δὲ οὐ πάντοτε δύναμαι, εἰ μὴ κατ‐ εσκευάσθη ὁ 𐅶 μείζων μὲν τοῦ ηου ΔΥ α ⩚ Μο ξ, ἐλάσ‐
10	σων δὲ τοῦ εου ΔΥ α ⩚ Μο ξ ἔστω ΔΥ α ⩚ Μο ξ μείζων 𐅶 ε, ἐλάσσων δὲ 𐅶 η. ἐπεὶ οὖν ΔΥ α ⩚ Μο ξ μείζων ἐστὶν 𐅶 ε, κοιναὶ προσ‐ κείσθωσαν Μο ξ, ὥστε καὶ ΔΥ α μείζων ἐστὶν 𐅶 ε Μο ξ. ὥστε καὶ ΔΥ α 〈ἴς.〉 𐅶 ε καὶ ἀριθμῷ τινι μείζονι Μο ξ·
15	ὥστε δεήσει τὸν 𐅶 μὴ εἶναι ἐλάσσονα Μο ια. πάλιν ἐπεὶ ἡ ΔΥ α ⩚ Μο ξ ἐλάσσων ἐστὶν 𐅶 η, κοιναὶ προσκείσθωσαν Μο ξ· ὥστε ΔΥ α ἴση ἐστὶν 𐅶 η καὶ ἀριθμῷ τινι ἐλάττονι Μο ξ· ὅθεν δεῖ τὸν 𐅶 εὑρίσκε‐ σθαι μὴ μείζονα Μο ιβ· ἐδείχθη δὲ καὶ μὴ ἐλάττων Μο ια·
20	ὥστε δεήσει τὸν 𐅶 εὑρεῖν μὲν μείζονα Μο ια, ἐλάσσονα δὲ Μο ιβ. ἐὰν δὲ ζητῶμεν ΔΥ α ⩚ Μο ξ ἴς. 〈□ῳ〉, πλάσσομεν τὴν τοῦ □ου πλ. ἀπὸ 𐅶 α λείψαντος Μο τινάς, καὶ γί‐ νεται ὁ 𐅶 ἔκ τινος ἀριθμοῦ ἐφ’ ἑαυτὸν γενομένου καὶ
25	προσλαβόντος Μο ξ καὶ παραβληθέντος παρὰ τὸν βπλ.
388	αὐτοῦ· καὶ ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τινα ἀριθμόν, ὅπως ὁ ἀπ’ αὐτοῦ □ος προσλαβὼν Μο ξ καὶ παραβληθεὶς παρὰ τὸν βπλ. αὐτοῦ, τὴν παραβολὴν ποιῇ μείζονα μὲν Μο ια, ἐλάσσονα δὲ Μο ιβ.
5	[καὶ ἐὰν τάξωμεν τὸν ζητούμενον 𐅶 α, δεῖ ΔΥ α Μο ξ μερίζοντα παρὰ 𐅶 β τὴν παραβολὴν ποιεῖν μείζονα μὲν Μο ια, ἐλάσσονα δὲ Μο ιβ] καὶ ἂν τάξωμεν τὸν ζητού‐ μενον ἀριθμὸν 𐅶 α, δεῖ οὖν ΔΥ α Μο ξ μερίζοντα παρὰ 𐅶 β [παραβολὴν] ποιεῖν μείζονα μὲν Μο ια, ἕστε ΔΥ α Μο ξ
10	μείζονες ὀφείλουσιν εἶναι 𐅶 κβ· ὥστε 𐅶 κβ ἴσοι εἰσὶν ΔΥ α καὶ ἀριθμῷ τινι ἐλάσσονι Μο ξ· ὥστε ὁ 𐅶 οὐκ ὀφείλει εἶναι ἐλάσσων Μο ιθ. πάλιν δεῖ ΔΥ α Μο ξ μερίζοντα παρὰ 𐅶 β [τὸν 𐅶] εὑρεῖν ἐλάσσονα Μο ιβ· ὥστε ΔΥ α Μο ξ ἐλάσσους εἰσὶν
15	𐅶 κδ· 𐅶 ἄρα κδ ἴσοι εἰσὶν ΔΥ α καὶ ἀριθμῷ τινι μείζονι Μο ξ· ὅθεν ὁ 𐅶 ὀφείλει ἐλάσσων εἶναι Μο κα, ἀλλὰ καὶ μείζων Μο ιθ· ἔστω Μο κ. ὥστε δεῖ ΔΥ α ⩚ Μο ξ ἴς. □ῳ ποιοῦντα, τάσσειν τὴν τοῦ □ου πλ. ἀπὸ 𐅶 α ⩚ Μο κ· ὅθεν εὑρίσκεται ὁ 𐅶 Μο α 𐅵ʹ,
20	ὁ □ος ρλβ δ×. αἴρω Μο ξ· λοιπαὶ Μο οβ δ×. δεῖ οὖν τὰς Μο οβ δ× διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ὅπως τὸ τοῦ αου εον μετὰ τοῦ τοῦ βου. 〈ηου〉 ποιῇ Μο ια δ×. ἔστω τὸ τοῦ αου εον μέρος
20	𐅶 α· τὸ ἄρα τοῦ βου ηον ἔσται Μο ια 𐅵ʹ ⩚ 𐅶 α· αὐτοὶ ἄρα
390	ἔσονται ὁ μὲν 𐅶 ε, ὁ δὲ Μο ϙβ ⩚ 𐅶 η· ταῦτα ἴσα 〈Μο〉 οβ δ×. ἔσται ἄρα 〈ὁ 𐅶〉 Μο [Start of a fraction]ιβ/οθ[End of a fraction]. τὸ ἄρα πλῆθος τῶν πενταδράχμων ἔσται χοέων ϛ κοτυλῶν ζ, τὸ δὲ τῶν ὀκταδράχμων χοέων δ κοτυ‐
5	λῶν ια. τὰ λοιπὰ δῆλα.
392 (1t)	ΔΙΟΦΑΝΤΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ
2t	ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΝ ϛ.
3	α. Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῇ ὑπο‐
5	τεινούσῃ λείψας τὸν ἐν ἑκατέρᾳ τῶν ὀρθῶν ποιῇ κύβον. Ἔστω τὸ ζητούμενον τρίγωνον πεπλασμένον ἀπὸ δύο ἀριθμῶν, καὶ ἔστω ὁ μὲν 𐅶 α, ὁ δὲ Μο γ. γίνεται οὖν ἡ μὲν ὑποτείνουσα ΔΥ α Μο θ, ἡ δὲ κάθετος 𐅶 ϛ, ἡ δὲ βάσις ΔΥ α ⩚ Μο θ.
10	καὶ ἡ ὑποτείνουσα, ἐὰν λείψῃ τὸν ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν, τουτέστιν ΔΥ α ⩚ Μο θ, γίνεται Μο ιη, καὶ οὐκ ἔστι κύβος. πόθεν ὁ ιη; ὁ ἀπὸ τοῦ γ ἐστὶν □ος, δὶς γενόμενος. δεῖ οὖν εὑρεῖν ἀριθμόν τινα, ὅπως ὁ ἀπὸ τούτου □ος
15	δὶς γενόμενος ποιῇ κύβον. ἔστω ὁ ζητούμενος 𐅶 α· καὶ γίνεται ΔΥ β ἴς. κύβῳ. ἔστω ἴς. ΚΥ α, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο β. πάλιν πλάσσω τὸ τρίγωνον ἀπὸ 𐅶 α καὶ οὐκέτι Μο γ, ἀλλὰ Μο β. καὶ γίνεται ἡ 〈μὲν〉 ὑποτείνουσα ΔΥ α Μο δ,
20	ἡ δὲ κάθετος 𐅶 δ, ἡ δὲ βάσις ΔΥ α ⩚ Μο δ. καὶ μένει
394	ἡ ὑποτείνουσα λείψασα τὸν ἐν τῇ βάσει, τουτέστιν ΔΥ α ⩚ Μο δ, ποιοῦσα κύβον. λοιπὸν καὶ τὴν οὖσαν 𐅶 δ· γίνεται δὲ ΔΥ α Μο δ ⩚ 𐅶 δ ἴς. κύβῳ. καὶ ἔστιν τετράγωνος ἀπὸ πλευρᾶς 𐅶 α ⩚ Μο β.
5	ἐὰν οὖν 𐅶 α ⩚ Μο β ἰσώσωμεν κύβῳ, λύσομεν τὸ ζητού‐ μενον. ἔστω ἴς. Μο η καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ι. ὥστε πλασθήσεται τὸ τρίγωνον ἀπὸ Μο ι καὶ Μο 〈β〉, καὶ γίνεται ἡ μὲν ὑποτείνουσα Μο ρδ, ἡ δὲ κάθετος Μο μ, ἡ δὲ βάσις Μο ϙϛ, καὶ μένει.
10	β. Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον, ὅπως ὁ ἐν τῇ ὑπο‐ τεινούσῃ προσλαβὼν τὸν ἐν ἑκατέρᾳ τῶν ὀρθῶν ποιῇ κύβον. Ἐὰν πλάσσωμεν τὸ ζητούμενον ἀπὸ ἀριθμῶν δύο,
15	ὡς καὶ πρὸ τούτου, γίνεται ζητεῖν τετράγωνόν τινα ὅπως ὁ διπλάσιος αὐτοῦ 〈ᾖ〉 κύβος, καὶ ἔστιν ὁ ἀπὸ πλευρᾶς Μο β. Πλάσσομεν οὖν τὸ ζητούμενον ἀπὸ 𐅶 α [καὶ] Μο β, καὶ γίνεται ὁμοίως ἡ μὲν ὑποτείνουσα ΔΥ α Μο δ, μία
20	δὲ τῶν ὀρθῶν 𐅶 δ, ἡ δὲ λοιπὴ Μο δ 〈⩚ ΔΥ α〉. λοιπὸν τὸν ἐν τῇ ὑποτεινούσῃ προσλαβόντα τὸν ἐν τῇ ἑτέρᾳ τῶν ὀρθῶν ποιεῖν κύβον, ἀλλὰ διελθόντα εἰς τὴν ὑπόστασιν εὑρεῖν τὴν ΔΥ ἐλάσσονα Μο δ· ὁ ἄρα
20	〈𐅶〉 ἐλάσσων ἐστὶ Μο β, καὶ ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν
396	κύβον ἐλάσσονα 〈μὲν〉 Μο δ, μείζονα δὲ Μο β, καὶ ἔστιν ηων κζ· καὶ ἔστω 𐅶 α Μο β ἴς. ηοις κζ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ια. ἔσται ἄρα ἡ μὲν ὑποτείνουσα [Start of a fraction]ξδ/τοζ[End of a fraction], τῶν 〈δὲ〉 ὀρθῶν ἡ μὲν [Start of a fraction]ξδ/ρλε[End of a fraction], ἡ δὲ Μο ε 𐅵ʹ. καὶ εἰς ξδα· ἔσται ἄρα τὸ τρί‐
5	γωνον τοζ καὶ ρλε καὶ τνβ, καὶ μένει. γ. Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμ‐ βαδῷ αὐτοῦ προσλαβὼν τὸν δοθέντα ἀριθμὸν ποιῇ τετράγωνον.
10	Ἔστω ὁ δοθεὶς Μο ε. καὶ τετάχθω τὸ τρίγωνον δεδομένον τῷ εἴδει 𐅶 γ, 𐅶 δ, 𐅶 ε, καὶ γίνεται ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ μετὰ Μο ε, ΔΥ ϛ Μο ε ἴς. □ῳ. ἔστω ἴς. ΔΥ θ· καὶ ἀπὸ τῶν ὁμοίων τὰ ὅμοια·
15	λοιπαὶ ΔΥ γ ἴς. Μο ε. καὶ δεῖ τὸ εἶδος πρὸς τὸ εἶδος λόγον ἔχειν ὃν □ος ἀριθμὸς πρὸς □ον ἀριθμόν. [ὀφείλει καὶ τὸ πλῆθος πρὸς τὸ πλῆθος·] καὶ ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον καὶ □ον ἀριθμὸν ὅπως ὁ □ος λείψας τὸν ἐν τῷ ἐμβαδῷ τοῦ τριγώνου
20	ποιῇ εον τετραγώνου, ἐπειδήπερ ὁ δοθεὶς Μο ε ἐστίν. πεπλάσθω 〈τὸ τρίγωνον ἀπὸ〉 𐅶 α 〈καὶ 𐅶 × α〉, καὶ
20	γίνεται ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ ΔΥ α 〈⩚ ΔΨ× α〉· ἔστω ἡ τοῦ
398	□ου πλευρὰ 𐅶 α καὶ 𐅶 × τοσούτων ὅσων ἐστὶν ὁ δι‐ πλάσιος τοῦ δοθέντος ἀριθμοῦ, τουτέστιν 𐅶 × ι. καὶ γίνεται ὁ □ος ΔΥ α ΔΥ× ρ Μο κ. καὶ ἐὰν ἀπὸ τούτου ἄρωμεν τὸ ἐμβαδόν, τουτέστιν ΔΥ α 〈⩚ ΔΥ× α〉, λοιπὸν
5	γίνεται ΔΥ × ρα Μο κ· ταῦτα εκις· γίνεται ΔΥ× φε Μο ρ ἴσος ὁ □ος. καὶ πάντα ἐπὶ ΔΥ α· γίνονται ΔΥ ρ Μο φε ἴς. 〈□〉· ἔστω ἴς. τῷ ἀπὸ πλ. 𐅶 ι Μο ε· ὅθεν εὑρίσκεται ὁ 𐅶 εων κδ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. πλάσσεται ἄρα τὸ τρίγωνον
10	ἀπὸ [Start of a fraction]ε/κδ[End of a fraction] καὶ [Start of a fraction]κδ/ε[End of a fraction], ἡ δὲ τοῦ □ου πλ. [Start of a fraction]ξ/υιγ[End of a fraction]· ἐὰν οὖν τὸ ὀρθο‐ γώνιον τάξωμεν ἐν 𐅶, καὶ τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ μετὰ Μο ε ποιῶμεν ἴσον ΔΥ ιζ. [Start of a fraction]͵γκ/φξθ[End of a fraction], ἔσται ἡμῖν τὰ λοιπὰ δῆλα. δ. Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμ‐
15	βαδῷ αὐτοῦ λείψας τὸν δοθέντα [ἀριθμὸν] ποιῇ τε‐ τράγωνον. Ἔστω ὁ δοθεὶς Μο ϛ. καὶ τετάχθω τὸ τρίγωνον δεδομένον τῷ εἴδει, καὶ διὰ τὴν ὑπόθεσιν, ΔΥ ϛ ⩚ Μο ϛ ἴς. □ῳ· ἔστω ἴς. ΔΥ δ,
20	καὶ πάλιν ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον
400	καὶ □ον ἀριθμὸν ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ ἐμβαδοῦ ἀρθῇ □ος, καὶ τὰ λοιπὰ ϛκις γενόμενα ποιῇ □ον. πεπλάσθω πάλιν τὸ τρίγωνον ἀπὸ 𐅶 α καὶ 𐅶 × α, ἡ δὲ τοῦ □ου πλ. 𐅶 α 〈⩚ 𐅶 × τοσούτων ὅσων〉 καὶ ἔσται τὸ 𐅵ʹ τοῦ πλήθους
5	τοῦ δοθέντος ἀριθμοῦ, τουτέστιν 𐅶 × γ. Μο ϛ ⩚ ΔΥ× ι [ἴς. □ῳ], καὶ ϛκιϛ· ΔΥ λϛ ⩚ Μο ξ ἴς. □ῳ· τῷ ἀπὸ πλ. 𐅶 ϛ ⩚ Μο β, ὅθεν εὑρίσκεται ὁ 𐅶 γων η. πλάσσεται ἄρα τὸ τρίγωνον ἀπὸ [Start of a fraction]γ/η[End of a fraction] καὶ [Start of a fraction]η/γ[End of a fraction], ἡ δὲ τοῦ
10	□ου 〈πλ.〉 [Start of a fraction]κδ/λξ.[End of a fraction] καὶ εὑρὼν τὸ τρίγωνον τάσσω ἐν 𐅶, καὶ ἀκολουθήσας τῇ προτάσει, εὑρήσω τὸν 𐅶 ῥητόν, καὶ μένει. ε. Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμ‐
15	βαδῷ αὐτοῦ ἀφαιρεθεὶς ἀπὸ τοῦ δοθέντος ἀριθμοῦ ποιῇ τετράγωνον. Ἔστω ὁ δοθεὶς Μο ι. καὶ πάλιν τετάχθω τὸ τρίγωνον 𐅶 γ, 𐅶 δ, 𐅶 ε· γί‐ νεται Μο ι ⩚ ΔΥ ϛ ἴσαι □ῳ. καὶ ἐὰν ποιῶμεν ἴς. ΔΥ
20	τετραγωνικαῖς, ἀπάγεται πάλιν εἰς τὸ εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον καὶ □ον ἀριθμόν, ὅπως ὁ □ος προσλαβὼν
20	τὸν ἐν τῷ ἐμβαδῷ ποιῇ ιον □ου.
402	πεπλάσθω τὸ τρίγωνον ἀπὸ 𐅶 α καὶ 𐅶 × α, ἡ δὲ τοῦ □ου πλ., 𐅶 × α καὶ 𐅶 ε. καὶ γίνεται ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ ἐμβαδοῦ καὶ τοῦ 〈□ου〉, ΔΥ κϛ Μο ι· ταῦτα ικις· γίνεται ΔΥ σξ Μο ρ ἴς. □ῳ· καὶ τὰ δα· γίνονται ΔΥ ξε Μο κε ἴς.
5	□ῳ· τῷ ἀπὸ πλ. Μο ε 𐅶 η, ὅθεν εὑρίσκεται ὁ 𐅶 Μο π. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· καὶ ὁμοίως τοῖς πρὸ τούτου εὑρήσομεν. ϛ. Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμ‐
10	βαδῷ προσλαβὼν τὸν ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν ποιῇ δοθέντα ἀριθμόν. Ἔστω ὁ δοθεὶς Μο ζ. Τετάχθω πάλιν τὸ τρίγωνον δεδομένον τῷ εἴδει 𐅶 γ, 𐅶 δ, 𐅶 ε· καὶ γίνονται ΔΥ ϛ 𐅶 γ ἴς. Μο ζ. καὶ δεῖ
15	τῶν 𐅶 τῷ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτὸ προσθεῖναι τὰς ΔΥ 〈ἐπὶ τὰς Μο〉, καὶ ποιεῖν □ον· οὐ ποιεῖ δέ· ὥστε δεήσει εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ 𐅵ʹ μιᾶς τῶν ὀρθῶν προσλαβὼν τὸν ζπλ. τοῦ ἐν τῷ ἐμβαδῷ ποιῇ □ον. ἔστω ὁ ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν 𐅶 α, ὁ δὲ ἐν τῇ ἑτέρᾳ
20	Μο α· καὶ γίνονται 𐅶 γ 𐅵ʹ Μο δ×· καὶ πάντα δκις· γίνονται 𐅶 ιδ 〈Μο α〉 ἴς. □ῳ. καὶ ἵνα καὶ τὸ ὀρθογώνιον ῥητὸν κατασκευάσωμεν,
20	δεῖ καὶ ΔΥ α μετὰ Μο α εἶναι □ον.
404	ἡ ὑπεροχὴ γίνεται ΔΥ α ⩚ 𐅶 ιδ· ἡ μέτρησις· 𐅶 α κατὰ 𐅶 α ⩚ Μο ιδ· τῆς ὑπεροχῆς τὸ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτὸ γίνεται Μο μθ ἴσαι τῷ ἐλάσσονι, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ζ/κδ[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. τάσσω οὖν μίαν τῶν ὀρθῶν
5	τοῦ τριγώνου [Start of a fraction]ζ/κδ[End of a fraction], τὴν δὲ ἑτέραν Μο α. καὶ πάντα ζκις· γίνεται ἡ μὲν κδ, ἡ δὲ ζ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα κε. [καὶ] γίνεται ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ μετὰ βας τῶν ὀρθῶν ΔΥ πδ 𐅶 ζ. ταῦτα ἴσα Μο ζ· ὅθεν ὁ 𐅶 εὑρίσκεται 〈δ×· ἔσται ἄρα τὸ τρίγωνον〉 Μο ϛ, δων ζ, δων κε, καὶ μένει.
10	ζ. Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμ‐ βαδῷ αὐτοῦ λείψας τὸν ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν ποιῇ τὸν δοθέντα ἀριθμόν. Ἔστω ὁ δοθεὶς Μο ζ.
15	Καὶ πάλιν, ἐὰν τάξωμεν αὐτὸ δεδομένον τῷ εἴδει, ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως μιᾶς ὀρθῆς τὸ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτὸ γενόμενον καὶ προσλαβὸν τὸν ζπλ. τοῦ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ, ποιῇ □ον. καὶ
15	εὕρηται ὂν ζ, κδ, κε.
406	τάσσω οὖν ἐν 𐅶οῖς, καὶ τὸ ἐμβαδόν, λεῖψαν τὸν ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν, γί. ΔΥ πδ ⩚ 𐅶 ζ· ταῦτα ἴσα Μο ζ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο γ×. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις.
5	η. Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμ‐ βαδῷ αὐτοῦ, προσλαβὼν τὸν ἐν συναμφοτέρῳ τῶν ὀρθῶν, ποιῇ δοθέντα. Ἔστω ὁ δοθεὶς Μο ϛ.
10	Καὶ πάλιν τετάχθω δεδομένον τῷ εἴδει, καὶ πάλιν ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως συναμφοτέρου τῶν ὀρθῶν τὸ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτὸ μετὰ τοῦ ϛπλ. τοῦ ἐν τῷ ἐμβαδῷ ποιῇ □ον. Καὶ πάλιν ὑποκείσθω 〈μία〉 τῶν ὀρθῶν 𐅶 α, ἡ δὲ
15	ἑτέρα Μ α, καὶ γίνεται ζητεῖν ΔΥ δ× 𐅶 γ 𐅵ʹ Μο δ× ἴς. □ῳ. καὶ πάντα δκις. γίνεται ΔΥ α 𐅶 ιδ Μο α ἴς. □ῳ, καὶ ΔΥ α Μο α ἴς. 〈□ῳ〉. ἡ ὑπεροχὴ 𐅶 ιδ· ἡ μέτρησις· 𐅶 β κατὰ Μο ζ· τῆς τούτων ὑπεροχῆς τὸ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτὸ γίνεται ΔΥ α Μο ιβ δ×
20	⩚ 𐅶 ζ ἴς. ΔΥ α Μο α. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο [Start of a fraction]κη/με[End of a fraction].
20	ἔσται ἄρα τὸ τρίγωνον Μο [Start of a fraction]κη/με[End of a fraction], Μο α, Μο [Start of a fraction]κη/νγ[End of a fraction]· καὶ πάντα
408	κηκις· γίνεται ἄρα τὸ τρίγωνον 𐅶 με, 𐅶 κη, 𐅶 νγ, καὶ γίνεται τὸ ἐμβαδὸν μετὰ συναμφοτέρου τῶν ὀρθῶν ΔΥ χλ 𐅶 ογ ἴς. Μο ϛ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ῥητός. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις.
5	θ. Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμ‐ βαδῷ αὐτοῦ, λείψας τὸν 〈ἐν〉 συναμφοτέρῳ τῶν ὀρθῶν, ποιῇ δοθέντα ἀριθμόν. Ἔστω ὁ δοθεὶς Μο ϛ.
10	Καὶ πάλιν, ἐὰν τάξωμεν τὸ ζητούμενον τρίγωνον δεδομένον τῷ εἴδει, γίνεται ζητεῖν τρίγωνον ὀρθο‐ γώνιον ὅπως συναμφοτέρου τῶν ὀρθῶν τὸ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτὸ προσλαβὸν τὸν ϛπλ. τοῦ ἐν τῷ ἐμβαδῷ ποιῇ □ον. τοῦτο δὲ προδέδεικται καὶ ἔστιν κη, με, νγ.
15	τάσσω οὖν αὐτὰ ἐν 𐅶, καὶ πάλιν γίνεται ΔΥ χλ ⩚ 𐅶 ογ ἴς. Μο ϛ· ὅθεν εὑρίσκεται ὁ 𐅶 Μο [Start of a fraction]λε/ϛ[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ι. Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμ‐
20	βαδῷ αὐτοῦ, προσλαβὼν τὸν ἐν συναμφοτέρῳ τῆς τε ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν, ποιῇ δοθέντα ἀριθμόν. Ἔστω ὁ δοθεὶς Μο δ.
20	Καὶ πάλιν τάξομεν αὐτὸ δεδομένον τῷ εἴδει· ἀπ‐
410	άγεται πάλιν εἰς τὸ εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως συναμφοτέρου 〈τῆσ〉 τε ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν τὸ ἥμισυ ἐφ’ ἑαυτὸ 〈μετὰ τοῦ ἐν τῷ ἐμβαδῷ δκις γενομένου, ποιῇ τετράγωνον.
5	πεπλάσθω τὸ τρίγωνον ἀπὸ Μο α καὶ 𐅶 α Μο α, καὶ γίνεται συναμφοτέρου τῆς τε ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν τὸ ἥμισυ ἐφ’ ἑαυτὸ〉 ΔΥ Δ α ΚΥ δ ΔΥ ϛ 𐅶 δ Μο α· ὁ δὲ δπλ. τοῦ ἐν τῷ ἐμβαδῷ ΚΥ δ ΔΥ ιβ 𐅶 η· ὥστε δεήσει ζητεῖν ΔΥΔ α ΚΥ η ΔΥ ιη 𐅶 ιβ Μο α ἴς. □ῳ· τῷ
10	ἀπὸ πλ· 𐅶 ϛ Μο α ⩚ ΔΥ α, καὶ γίνεται ὁ 𐅶, δ εων. πλάσ‐ σεται ἄρα τὸ τρίγωνον ἀπὸ 〈Μ α καὶ〉 [Start of a fraction]ε/θ[End of a fraction]· καὶ ἅπαντα εκις· πλασθήσεται πάλιν τὸ τρίγωνον ἀπὸ θ καὶ ε. Καὶ λαβὼν τὰ ἐλάσσονα τῶν ὁμοίων, τάσσω αὐτὸ ἐν 𐅶· γίνεται 𐅶 κη, 𐅶 με, 𐅶 νγ. καὶ γίνεται ὁ ἐν τῷ
15	ἐμβαδῷ, μετὰ συναμφοτέρου τῆς τε ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν, ΔΥ χλ 𐅶 πα ἴς. Μο δ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ρε/δ[End of a fraction]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ια. Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ
20	αὐτοῦ, λείψας τὸν ἐν συναμφοτέρῳ τῆς τε ὑποτεινού‐ σης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν, ποιῇ δοθέντα ἀριθμόν.
20	Ἔστω ὁ δοθεὶς Μο δ.
412	Καὶ πάλιν τάξομεν αὐτὸ δεδομένον τῷ εἴδει. ἀπ‐ άγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ δκις γενόμενος προσλαβὼν συναμφο‐ τέρου τῆς τε ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν τὸ
5	ἥμισυ ἐφ’ ἑαυτὸ ποιῇ τετράγωνον, καὶ δειχθήσεται ὅτι ἔστιν κη, με, νγ. τάσσω αὐτὸ ἐν 𐅶 καὶ γίνονται ΔΥ χλ ⩚ 𐅶 πα ἴς. Μο δ. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ϛ×. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις.
10	Λῆμμα εἰς τὸ ἑξῆς. Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως 〈ἡ ὑπεροχὴ τῶν ὀρθῶν ᾖ τετράγωνοσ〉, καὶ ὁ ἐν τῇ μείζονι τῶν ὀρθῶν ᾖ τετράγωνος, ἔτι δὲ καὶ ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ μετὰ ἐλάσσονος ὀρθῆς ποιῇ τετράγωνον.
15	Πεπλάσθω τρίγωνον ἀπὸ ἀριθμῶν δύο καὶ ὑπο‐ κείσθω ἡ μείζων ὀρθὴ γενομένη ἐκ τοῦ δὶς ὑπ’ αὐ‐ τῶν. δεῖ οὖν εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ δὶς ὑπ’ αὐτῶν ᾖ τετράγωνος, καὶ ἡ ὑπεροχή, ᾗ ὑπερέχει ὁ δὶς ὑπ’ αὐτῶν τῆς ὑπεροχῆς τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων,
20	ποιῇ □ον. τοῦτο δὲ ἐν πᾶσι δυσὶν ἀριθμοῖς, ὅταν ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος ᾖ διπλασίων. λοιπὸν ζητοῦμεν καὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου
20	μετὰ τῆς ἐλάσσονος τῶν ὀρθῶν ποιεῖν □ον· γίνεται δὲ
414	τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου 𐅶 πλ. τῆς ἀπὸ τοῦ 〈ἐλάσσονοσ〉 ἀριθμοῦ δυναμοδυνάμεως· ὁ δ’ ἐν τῇ τῶν ὀρθῶν ἐλάσσονι γ τῶν ἀπὸ ἐλάσσονος τετραγώνων· καὶ πάντα παρὰ τὸν ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνον· ζητήσομεν
5	ἄρα ἀριθμόν τινα ὅπως καὶ οἱ ϛ ἀπ’ αὐτοῦ τετράγωνοι μετὰ Μο γ ποιῶσι τετράγωνον. ἔστι δὲ ἡ μονὰς μία καὶ ἄλλοι ἄπειροι ἀριθμοί· ὥστε τὸ ζητούμενον ὀρθογώνιον ἔσται πεπλασμένον ἀπὸ Μο α καὶ Μο β.
10	Ἕτερον εἰς τὸ αὐτὸ χρειῶδες. Δύο ἀριθμῶν δοθέντων ὧν τὸ σύνθεμα ποιεῖ τε‐ τράγωνον, εὑρίσκονται ἄπειροι τετράγωνοι ὧν ἕκαστος πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ ἕνα τὸν δοθέντα 〈καὶ προσλαβὼν τὸν ἕτερον〉 ποιεῖ τετράγωνον.
15	Ἔστωσαν οἱ δοθέντες ἀριθμοὶ δύο ὅ τε γ καὶ ὁ ϛ; καὶ δέον ἔστω προσευρεῖν □ον, ὃς πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν γ καὶ προσλαβὼν Μο ϛ ποιεῖ □ον. Ἔστω ὁ ζητούμενος □ος, ΔΥ α 𐅶 β Μο α· καὶ γίνονται ΔΥ γ 𐅶 ϛ Μο θ ἴς. □ῳ, καὶ δυνατόν ἐστιν ἀπειραχῶς
20	εὑρεῖν διὰ τὸ τὰς Μο εἶναι τετραγωνικάς. ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ πλ. Μο γ ⩚ 𐅶 γ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο δ· ὥστε ἄρα ἡ τοῦ □ου πλ. Μο ε. καὶ ἕτεροι ἄπειροι εὑρίσκονται. ιβ.
25	Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ προσλαβὼν τὸν ἐν ἑκατέρᾳ τῶν ὀρθῶν ποιῇ
25	τετράγωνον.
416	Τετάχθω τὸ τρίγωνον δεδομένον τῷ εἴδει 𐅶 ε, 𐅶 ιβ, 𐅶 ιγ· καὶ γίνεται ΔΥ λ 𐅶 ιβ ἴς. □ῳ, [καὶ ΔΥ λ 𐅶 ε ἴς. □ῳ] καὶ ἔστω ἴς. ΔΥ λϛ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο β. καὶ τοῦ 𐅶 ὄντος Μο β, δεήσει καὶ ΔΥ λ 𐅶 ε εἶναι □ον·
5	οὐκ ἔστιν δέ. ἀπάγεται οὖν εἰς τὸ εὑρεῖν □όν τινα, λείψῃ ὃς τὸν λ καὶ παρὰ τὸν λοιπὸν μερισθῇ ὁ ιβ, καὶ ὁ γενόμενος ἀριθμὸς ἐφ’ ἑαυτὸν λκις καὶ προσ‐ λαβὼν τὸν επλ. τοῦ εὑρεθέντος ἀριθμοῦ, ἀριθμὸν ποιῇ τετράγωνον.
10	Ἔστω ὁ ζητούμενος ποιεῖν τετράγωνον ΔΥ α· καὶ 〈ἐὰν λείψῃ τὸν λ καὶ παρὰ τὸν λοιπὸν μερισθῇ ὁ ιβ, γίνεται〉 ὁ ἀριθμὸς Μο ιβ ἐν μορίῳ ΔΥ α ⩚ Μο λ· ὁ τε‐ τράγωνος γίνεται 〈Μο〉 ρμδ ἐν μορίῳ ΔΥ Δ α Μο ϡ ⩚ Δτ ξ· ταῦτα λκις μετὰ τοῦ επλ. αὐτοῦ, γίνεται ΔΥ ξ Μο ͵βφκ
15	ἐν μορίῳ ΔΥ Δ α Μο ϡ ⩚ ΔΥ ξ. καὶ ἔστι τὸ μόριον τετράγωνος, καὶ δεήσει ἄρα ΔΥ ξ Μο ͵βφκ εἶναι □ον. καὶ ἔστιν ὁ 𐅶 ἐκ τετραγώνου τινός· 〈ζητητέον ἄρα τοῦτον〉 ΔΥ ξκις γενόμενον καὶ προσλαβόντα Μο ͵βφκ καὶ ποιοῦντα □ον. ἐὰν οὖν ἀλ‐
20	λασσομένῳ τῷ ὀρθογωνίῳ κατασκευάσωμεν τὸν ξ μετὰ τοῦ ͵βφκ ποιεῖν □ον, λύσομεν τὸ ζητούμενον. γίνεται δὲ ὁ μὲν ξ ἐκ τοῦ ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθήν, ὁ δὲ ͵βφκ
20	ἐκ τοῦ στερεοῦ περιεχομένου ἐκ τῆς μείζονος τῶν
418	ὀρθῶν, καὶ τῆς ὑπεροχῆς τῶν ὀρθῶν, καὶ τοῦ ἐμβαδοῦ. καὶ ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν αὐτοῦ, προσλαβὼν τὸν στερεὸν τὸν περιεχόμενον ἔκ τε τῆς μείζονος τῶν ὀρ‐
5	θῶν, καὶ τῆς ὑπεροχῆς τῶν ὀρθῶν, καὶ τοῦ ἐμβαδοῦ αὐτοῦ, ποιῇ τετράγωνον. καὶ ἐὰν τάξωμεν τὴν μείζονα τῶν ὀρθῶν □ον, καὶ ἅπαντα παραβάλωμεν παρ’ αὐτήν, ζητήσομεν τὸν ἐν τῇ ἐλάσσονι τῶν ὀρθῶν αὐτοῦ, μετὰ τοῦ ὑπὸ τοῦ ἐμβαδοῦ καὶ τῆς ὑπεροχῆς τῶν ὀρθῶν,
10	〈ποιεῖν〉 □ον. ἀπάγεται εἰς τὸ δύο ἀριθμοὺς εὑρόντας 〈τόν τε ὑπὸ〉 τοῦ ἐμβαδοῦ καὶ τῆς ὑπεροχῆς τῶν ὀρθῶν, 〈καὶ τὸν ἐν τῇ ἐλάσσονι τῶν ὀρθῶν〉, αὖθις ζητεῖν □όν τινα, ὃς πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ ἕνα τὸν δοθέντα, 〈καὶ
15	προσλαβὼν τὸν ἕτερον〉, ποιεῖ τετράγωνον. ταῦτα δὲ λήμματα προεδείχθη καὶ ἔστιν τὸ ὀρθο‐ γώνιον γ, δ, ε. τάσσω αὐτὸ ἐν 𐅶 καὶ γίνεται ζητεῖν ΔΥ ϛ 𐅶 δ ἴς. □ῳ, καὶ ΔΥ ϛ 𐅶 γ ἴς. □ῳ. καὶ πάλιν ἐὰν ἀπολύσωμεν τὴν μείζονα ἰσότητα, γίνεται ὁ ἀριθμὸς
20	Μο δ ἐν μορίῳ ΔΥ α ⩚ Μο ϛ. ἡ ἄρα δύναμις γίνεται Μο ιϛ ἐν μορίῳ ΔΥ Δ α Μο λϛ ⩚ ΔΥ ιβ. ἔσται ἄρα δυνά‐ μεις ϛ μετὰ ἀριθμῶν γ, γί. ΔΥ ιβ Μο κδ ἐν μορίῳ
20	ΔΥ Δ α Μο λϛ ⩚ ΔΥ ιβ· 〈ὥστε Μο ιβ καὶ〉 Μο κδ ὀφείλουσι
420	τετράγωνον ὃς πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ ἐλάσσονα τὸν δο‐ θέντα, καὶ προσλαβὼν τὸν μείζονα, ποιεῖ □ον. ἔστιν δὲ ὁ κε· ὥστε ἡ ΔΥ γίνεται Μο κε, ὁ ἄρα 𐅶 ἔσται Μο ε. ζητοῦντες οὖν ΔΥ ϛ 𐅶 δ ἰσῶσαι, ποιοῦμεν ἴς. ΔΥ κε,
5	καὶ γίνεται ὁ 𐅶 δ ιθων. ἔσται ἄρα τὸ τρίγωνον ιβ, ιϛ, κ, καὶ μένει. ιγ. Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ λείψας τὸν ἐν ἑκατέρᾳ τῶν ὀρθῶν ποιῇ τετρά‐
10	γωνον. Πάλιν ἐὰν τάξωμεν αὐτὸ δεδομένον τῷ εἴδει, ὁμοίως τῷ πρὸ τούτου, ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρί‐ γωνον ὀρθογώνιον ὅμοιον τῷ γ, δ, ε. τετάχθω οὖν ἐν 𐅶 καὶ γίνεται 𐅶 γ, 𐅶 δ, 𐅶 ε· καὶ ΔΥ ϛ ⩚ 𐅶 δ ἴς. □ῳ.
15	καὶ τάξομεν τὸν τετράγωνον ἐλάττονα ΔΥ ϛ· ἔρχεται ὁ 𐅶 Μο δ ἐν μορίῳ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει ὁ 〈ϛ〉 τε‐ τραγώνου τινός. καὶ ἐὰν τάξωμεν τὸν τετράγωνον ΔΥ α, γίνεται, τηλικούτου ὄντος τοῦ 𐅶οῦ, ΔΥ ϛ ⩚ 𐅶 γ ποιεῖν ἴς. □ῳ.·
20	καὶ αἱ μὲν ΔΥ ϛ, Μο ϙϛ ἐν μορίῳ ΔΥ Δα Μο λϛ ⩚ ΔΥ ιβ· τῆς δὲ πλευρᾶς γπλ., Μο ιβ ἐν μορίῳ Μο ϛ ⩚ ΔΥ α, τουτ‐
20	έστιν Μο οβ ⩚ ΔΥ ιβ ἐν μορίῳ τῷ αὐτῷ.
422	καὶ ἐὰν ταῦτα αἴρωμεν ἀπὸ Μο ϙϛ ἐν μορίῳ τῷ αὐτῷ, λοιπαί εἰσιν ΔΥ ιβ 〈Μο κδ〉 ἐν μορίῳ ΔΥ Δ α Μο λϛ ⩚ ΔΥ ιβ· καὶ ἔστιν τὸ μόριον □ος, ὥστε καὶ ΔΥ ιβ Μο κδ ἴς. □ῳ· καὶ ἔστιν ὁ 𐅶 Μο α.
5	τάσσω οὖν ΔΥ ϛ ⩚ 𐅶 δ ἴς. ΔΥ α, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 εων δ· ἔσονται οὖν τοῦ ζητουμένου ὀρθογωνίου πλευ‐ ραὶ [Start of a fraction]ε/ιβ[End of a fraction], [Start of a fraction]ε/ιϛ[End of a fraction], Μο δ. Καὶ ἐὰν μὴ θέλης χρήσασθαι τῇ Μο, τάξον τὸν ἐλάσσονα 𐅶 α Μο α· ὥστε αἱ ΔΥ γ Μο ϛ ἰσχύουσι Δγ 𐅶 ϛ
10	Μο θ· καὶ ταῦτα ἴσα □ῳ ποιεῖν ῥᾴδιόν ἐστι, καὶ εὑρε‐ θήσεται ὁ 𐅶 οὐ μείζων [Start of a fraction]θ/ιγ[End of a fraction]· ἦν δὲ ὁ 𐅶, 𐅶 α Μο α· ἔσται ἄρα ὁ 𐅶 οὐ μείζων [Start of a fraction]θ/κβ[End of a fraction], καὶ ὁ ἀπὸ τούτων □ος ἀρθεὶς ἀπὸ Μο ϛ ποιεῖ 𐅶 ῥητόν. ιδ.
15	Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ, λείψας τὸν ἐν ἑκατέρᾳ τῆς τε ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν, ποιῇ τετράγωνον.
424	Ἔστω τὸ τρίγωνον δεδομένον τῷ εἴδει 𐅶 γ, 𐅶 δ, 𐅶 ε, καὶ πάλιν γίνεται ζητεῖν ΔΥ ϛ ⩚ 𐅶 ε ἴς. □ῳ, καὶ ΔΥ ϛ ⩚ 𐅶 γ ἴς. □ῳ. καὶ ἐὰν ποιήσω ΔΥ ϛ ⩚ 𐅶 γ ἴς. □ῳ, γί‐ νεται ὁ 𐅶 Μο γ ἐν μορίῳ Μο ϛ ⩚ ΔΥ α.
5	καὶ τοιούτου εὑρεθέντος, αἱ ΔΥ ϛ γίνονται Μο νδ ἐν μορίῳ ΔΥ Δ α Μο λϛ ⩚ ΔΥ ιβ. καὶ δεῖ ἀπὸ Μονδ ἐν μορίῳ ΔΥ Δ α Μο λϛ ⩚ ΔΥ ιβ 〈ἀφελεῖν τοὺς ε 𐅶〉, ἔσονται ἄρα αἱ Μο ϙ ⩚ ΔΥ ιε ἐν μορίῳ τῷ αὐτῷ, καὶ τὰ λοιπὰ ποιεῖν ἴς. □ῳ· γίνονται δὲ λοιπαὶ ΔΥ ιε ⩚ Μο λϛ ἐν μο‐
10	ρίῳ ΔΥ Δ α Μο λϛ ⩚ ΔΥ ιβ ἴς. □ῳ· καὶ ἔστιν τὸ μόριον □ος· ὥστε καὶ ΔΥ ιε ⩚ Μο λϛ ἴς. □ῳ. Καὶ αὕτη μὲν ἡ ἰσότης ἀδύνατός ἐστι διὰ τὸ τὸν ιε μὴ διαιρεῖσθαι εἰς δύο τετραγώνους· οὐ πάντως δὲ τὸ ἐξ ἀρχῆς ἀδύνατόν ἐστι· δέον οὖν διορίζεσθαι περὶ
15	τοῦ τριγώνου. γεγόνασι γὰρ αἱ μὲν ΔΥ ιε ἔκ τινος □ου, ἐλάσσονος τοῦ ἐν τῷ ἐμβαδῷ, πολλαπλασιασθέντος ἐπὶ τὸν ὑπὸ τῆς ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν· αἱ δ’ ἐν λείψει Μο λϛ ἐκ τοῦ στερεοῦ τοῦ περιεχομένου ἔκ τε τοῦ ἐμβαδοῦ καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν καὶ τῆς ὑπερ‐
20	οχῆς ᾗ ὑπερέχει ἡ ὑποτείνουσα τῆς εἰρημένης τῶν ὀρθῶν. καὶ ἀπῆκται εἰς τὸ πρότερον εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον καὶ τετράγωνον ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ ἐμβαδοῦ, ὅπως ὁ τετράγωνος πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν 〈ὑπὸ τῆσ〉 ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν,
25	〈λείψει〉 τοῦ στερεοῦ τοῦ περιεχομένου ἔκ τε τοῦ ἐμ‐
25	βαδοῦ καὶ τῆς εἰρημένης τῶν ὀρθῶν καὶ τῆς ὑπεροχῆς
426	ᾗ ὑπερέχει ἡ ὑποτείνουσα 〈τῆς εἰρημένης τῶν ὀρθῶν ποιῇ τετράγωνον. Καὶ ἐὰν πλάσσωμεν τὸ τρίγωνον ἀπὸ δύο ἀριθμῶν καὶ ὑποθώμεθα〉 τὴν εἰρημένην τῶν ὀρθῶν γεγενῆ‐
5	σθαι ἐκ τοῦ δὶς ὑπ’ αὐτῶν, καὶ πάντα παραβάλωμεν παρὰ τὸν ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς 〈αὐτῶν τουτέστι τὴν ὑπερ‐ οχὴν〉 τῆς ὑποτεινούσης καὶ τῆς προειρημένης μιᾶς τῶν ὀρθῶν, ζητήσομεν πάλιν ἄλλον τινὰ τετράγωνον 〈ὃσ〉 πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν ὑπὸ τῆς ὑποτεινούσης
10	καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν, τοῦ ἐμβαδοῦ ἐπὶ τὴν μίαν τῶν ὀρθῶν ὑπερέχει τετραγώνῳ. καὶ ἐὰν τάξωμεν τοὺς πλάσσοντας τὸ ὀρθογώνιον ὁμοίους εἶναι ἐπιπέδους, διαλύσομεν τὸ ζητούμενον. Πεπλάσθω τὸ τρίγωνον ἀπὸ Μο δ καὶ Μο α· ὁ δὲ
15	τετράγωνος ἔστω, ἵνα ἐλάσσων ᾖ τοῦ ἐμβαδοῦ, Μο λϛ· καὶ πλάσας τὸ τρίγωνον, πλάσσω αὐτὸ ἐν 𐅶 η, 𐅶 ιε, 𐅶 ιζ· καὶ γίνεται ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ λείψας τὸν ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν, ΔΥ ξ ⩚ 𐅶 η· ταῦτα ἴσα ΔΥ λϛ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο γ×.
20	ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ἄρα τὸ τρίγωνον [Start of a fraction]γ/η[End of a fraction], [Start of a fraction]γ/ιε[End of a fraction], [Start of a fraction]γ/ιζ[End of a fraction],
20	καὶ μένει.
428	Λῆμμα εἰς τὸ ἑξῆς. Δύο ἀριθμῶν δοθέντων, ἐὰν τετράγωνός τις πολλα‐ πλασιασθεὶς ἐπὶ ἕνα αὐτῶν καὶ λείψας τὸν ἕτερον ποιῇ τετράγωνον, καὶ εὑρίσκεται τετράγωνος καὶ ἕτερος
5	μείζων τοῦ προειρημένου τετραγώνου, τὸ αὐτὸ ποιῶν. Δεδόσθωσαν δύο ἀριθμοὶ ὅ τε γ καὶ ὁ ια, καὶ τε‐ τράγωνός τις, ὁ ἀπὸ τοῦ ε, πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν γ καὶ λείψας τὸν ια, ποιείτω τετράγωνον, τὸν ὄντα ἀπὸ πλευρᾶς Μο η. δέον ἔστω ζητεῖν ἕτερον τετρά‐
10	γωνον μείζονα τοῦ κε, τὸ αὐτὸ ποιοῦντα. Ἔστω ἡ τοῦ □ου πλ. 𐅶 α Μο ε· ὁ □ος γίνεται ΔΥ α 𐅶 ι Μο κε· ταῦτα τρὶς ⩚ Μο ια, γίνονται ΔΥ γ 𐅶 λ Μο ξδ ἴς. □ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Μοη ⩚ 𐅶β· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο ξβ. ἔσται ἄρα ἡ πλ. Μο ξζ, ὁ □ος ͵δυπθ, καὶ οὗτος ποιεῖ τὸ ἐπι‐
15	ταχθέν. ιε. Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ, προσλαβὼν τὸν ἐν ἑκατέρᾳ τῆς τε ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν, ποιῇ τετράγωνον.
20	Καὶ ἐὰν τάξωμεν αὐτὸ δεδομένον τῷ εἴδει, πάλιν ἔρχεται ἡμῖν διορίζεσθαι καὶ ζητεῖν τρίγωνον ὀρθο‐ γώνιον καὶ τετράγωνον ἀριθμὸν μείζονα ὄντα τοῦ ἐν τῷ ἐμβαδῷ, ὅπως ὁ τετράγωνος πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ
20	τὸν 〈ὑπὸ τῆσ〉 ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν
430	τοῦ ζητουμένου ὀρθογωνίου, 〈λείψει〉 τοῦ στερεοῦ τοῦ περιεχομένου 〈ἐκ τοῦ〉 ἐν τῷ ἐμβαδῷ καὶ τῆς προ‐ ειρημένης μιᾶς τῶν ὀρθῶν καὶ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερ‐ έχει ἡ ὑποτείνουσα τῆς προειρημένης μιᾶς, τῆς ὑπερ‐
5	οχῆς τετραγώνου 〈οὔσης, ποιῇ τετράγωνον〉. Πεπλάσθω οὖν τὸ τρίγωνον ἀπὸ Μο δ καὶ Μο α, ὁ δὲ □ος Μο λϛ· καὶ οὐκ ἔστιν μείζων τοῦ ἐμβαδοῦ· ἔχοντες οὖν δύο ἀριθμούς, τὸν μὲν ἕνα, τὸν ὑπὸ τῆς ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν, τουτέστι Μο ρλϛ·
10	τὸν δὲ λοιπόν, τὸν στερεὸν τὸν περιεχόμενον ὑπὸ τοῦ ἐμβαδοῦ καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν καὶ τῆς ὑπεροχῆς τῆς τε ὑποτεινούσης καὶ τῆς προειρημένης μιᾶς τῶν ὀρθῶν, τὸν ͵δτκ· ἐπεὶ οὖν □ός τις, ὁ ὢν Μο λϛ, πολλαπλασια‐ σθεὶς ἐπὶ τὸν ρλϛ καὶ λείψας τὸν ͵δτκ, ποιεῖ □ον,
15	ζητοῦμεν δὲ τὸν □ον μείζονα εἶναι τοῦ λϛ, ἐὰν οὖν τάξωμεν ΔΥ α 𐅶 ιβ Μο λϛ, καὶ ἀκολουθήσωμεν τῇ προ‐ δεδειγμένῃ ἀποδείξει, εὑρήσομεν ἀπείρους □ους ποιοῦν‐ τας τὸ πρόβλημα, ὧν εἷς ἔσται ὁ ὢν Μο χοϛ. Τάξομεν οὖν τὸ ὀρθογώνιον 𐅶 η, 𐅶 ιε, 𐅶 ιζ, καὶ γί‐
20	νονται ΔΥ ξ 𐅶 η ἴς. ΔΥ χοϛ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 οζ×. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ιϛ. Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως, τῶν ὀξειῶν 〈μιᾶσ〉 αὐτοῦ γωνιῶν τμηθείσης δίχα, ὁ τῆς τεμνού‐
25	σης τὴν γωνίαν ἀριθμὸς ᾖ ῥητός.
432	Τετάχθω ἡ μὲν τέμνουσα γωνίαν δίχα 𐅶 ε, ἡ δὲ μία τομὴ τῆς βάσεως 𐅶 γ, ἡ ἄρα κάθετος ἔσται 𐅶 δ. τετάχθω δὴ καὶ ἡ ἐξ ἀρχῆς βάσις Μο ὁσωνδήποτε ἐχουσῶν γον, ἔστω δὴ Μο γ· ὥστε δὴ τὸ λοιπὸν τμῆμα
5	τῆς βάσεως, Μο γ ⩚ 𐅶 γ. ἀλλ’ ἐπεὶ ἡ γωνία δίχα ἐτμήθη, καὶ ἔστιν ἡ κάθετος ἀποτομῆς ἐπίτριτος, ὥστε καὶ ἡ ὑποτείνουσα τοῦ λοιποῦ τῆς βάσεως ἐστὶν ἐπί‐ τριτος, καὶ τέτακται τὸ λοιπὸν τμῆμα τῆς βάσεως Μο γ ⩚ 𐅶 γ, ἡ ἄρα ὑποτείνουσά 〈ἐστι〉 Μο δ ⩚ 𐅶 δ.
10	λοιπόν ἐστι τὸν ἀπὸ τούτων τετράγωνον, τουτέστιν ΔΥ ιϛ Μο ιϛ ⩚ 𐅶 λβ, ἰσῶσαι τοῖς ἀπὸ τῶν ὀρθῶν τετρα‐ γώνοις, τουτέστι ΔΥ ιϛ Μο θ, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]λβ/ζ[End of a fraction]· τὰ λοιπὰ δῆλα. καὶ ἐὰν πάντα λβκις ποιήσω, ἔσται ἄρα ἡ μὲν κάθ‐
15	ετος Μο κη, ἡ δὲ βάσις Μο ϙϛ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα Μο ρ, ἡ δὲ τέμνουσα τὴν γωνίαν Μο λε, αἱ δὲ 〈τομαὶ τῆς βάσεως, ἡ μὲν Μο κα, ἡ δὲ Μο οε〉. ιζ. Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ
20	αὐτοῦ, προσλαβὼν τὸν ἐν τῇ ὑποτεινούσῃ, ποιῇ τε‐ τράγωνον, ὁ δὲ ἐν τῇ περιμέτρῳ αὐτοῦ ᾖ κύβος. Τετάχθω ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ 𐅶 α, ὁ δὲ ἐν τῇ ὑποτεινούσῃ αὐτοῦ Μο τινῶν τετραγωνικῶν ⩚ 𐅶 α, ἔστω Μο ιϛ ⩚ 𐅶 α.
25	ἀλλ’ ἐπεὶ ὑπεθέμεθα τὸν ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ εἶναι
434	𐅶 α, ὁ ἄρα ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν αὐτοῦ γίνεται 𐅶 β. ἀλλὰ 𐅶 β περιέχονται ὑπὸ 𐅶 α καὶ Μο β· ἐὰν οὖν τάξω‐ μεν μίαν τῶν ὀρθῶν Μο β, ἔσται ἡ ἑτέρα 𐅶 α. καὶ γίνεται ἡ περίμετρος Μο ιη καὶ οὐκ ἔστι κύβος·
5	ὁ δὲ ιη γέγονεν ἔκ τινος □ου καὶ Μο β· δεήσει ἄρα εὑρεῖν □όν τινα, ὅς, προσλαβὼν Μο β, ποιεῖ κύβον, ὥστε κύβον □ῳ ὑπερέχειν Μο β. Τετάχθω οὖν ἡ μὲν τοῦ □ου 〈πλ.〉 𐅶 α Μο α, ἡ δὲ τοῦ κύβου 𐅶 α ⩚ Μο α. γίνεται ὁ μὲν □ος, ΔΥ α 𐅶 β Μο α,
10	ὁ δὲ κύβος, 〈ΚΥ α〉 𐅶 γ ⩚ ΔΥ γ Μο α. θέλω οὖν τὸν κύβον τὸν □ον ὑπερέχειν δυάδι· ὁ ἄρα □ος μετὰ δυά‐ δος, τουτέστιν ΔΥ α 𐅶 β Μο γ, ἔστιν ἴσος ΚΥ α 𐅶 〈γ ⩚ ΔΥ γ Μ〉 α, ὅθεν ὁ 𐅶 εὑρίσκεται Μο δ. ἔσται οὖν ἡ μὲν τοῦ □ου πλ. Μο ε, ἡ δὲ τοῦ κύβου
15	Μο γ. αὐτοὶ ἄρα ὁ μὲν □ος Μο κε, ὁ δὲ κύβος Μο κζ. Μεθυφίσταμαι οὖν τὸ ὀρθογώνιον, καὶ τάξας αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν 𐅶 α, τάσσω τὴν ὑποτείνουσαν Μο κε ⩚ 𐅶 α· μένει δὲ καὶ ἡ βάσις Μο β, ἡ δὲ κάθετος 𐅶 α. λοιπόν ἐστιν τὸν ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης ἴσον εἶναι
20	τοῖς ἀπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθήν· γίνεται δὲ ΔΥ α Μο χκε ⩚ 𐅶 ν· ἔσται ἴση ΔΥ α Μο δ. ὅθεν ὁ 𐅶 Μο [Start of a fraction]ν/χκε[End of a fraction].
20	ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις καὶ μένει.
436	ιη. Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμ‐ βαδῷ αὐτοῦ, προσλαβὼν τὸν ἐν τῇ ὑποτεινούσῃ, ποιῇ κύβον, ὁ δὲ ἐν τῇ περιμέτρῳ αὐτοῦ ᾖ τετράγωνος.
5	Ἐὰν δὴ ὁμοίως τῷ πρὸ τούτου τάξωμεν τὸν ἐν τῷ ἐμβαδῷ 𐅶 α, τὸν δὲ ἐν τῇ ὑποτεινούσῃ Μο κυβικῶν ⩚ 𐅶 α, ἔρχεται ζητεῖν τίς κύβος μετὰ Μο β ποιεῖ τετρά‐ γωνον. Τετάχθω ἡ τοῦ κύβου πλ. 𐅶 α ⩚ Μο α· ὁ κύβος
10	〈μετὰ Μο β〉 γίνεται ΚΥ α 𐅶 γ Μο α ⩚ ΔΥ γ· ἔσται □ος· ἔστω ἀπὸ πλ. 𐅶 α 𐅵ʹ Μο α. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 μονάδος κα δων. ἔσται ἄρα ἡ τοῦ κύβου πλευρὰ [Start of a fraction]δ/ιζ[End of a fraction], αὐτὸς ἄρα ἔσται [Start of a fraction]ξδ/͵δϡιγ[End of a fraction]. Τάσσω πάλιν τὸν ἐν τῷ ἐμβαδῷ 𐅶 α, τὴν δὲ ὑπο‐
15	τείνουσαν Μο [Start of a fraction]ξδ/͵δϡιγ[End of a fraction] ⩚ 𐅶 α· ἔχομεν δὲ καὶ τὴν βάσιν Μο β, τὴν δὲ κάθετον 𐅶 α. καὶ ἐὰν ἰσάσωμεν τὸν ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης □ον ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρ‐ θὴν □οις, εὑρήσομεν τὸν 𐅶 ῥητόν. ιθ.
20	Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμ‐ βαδῷ αὐτοῦ, προσλαβὼν τὸν ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν, ποιῇ
20	τετράγωνον, ὁ δ’ ἐν τῇ περιμέτρῳ αὐτοῦ ᾖ κύβος.
438	Τετάχθω τὸ ὀρθογώνιον ἀπὸ ἀριθμοῦ τινος ἀορί‐ στου περισσοῦ· ἔστω δὴ 𐅶 β Μο α. ἔσται ἄρα ἡ μὲν κάθετος 𐅶 β Μο α, ἡ δὲ βάσις ΔΥ β 𐅶 β, ἡ δὲ ὑποτεί‐ νουσα ΔΥ β 𐅶 β Μ α· λοιπόν ἐστιν τὴν περίμετρον
5	αὐτοῦ εἶναι κύβον, τὸν δὲ ἐν τῷ ἐμβαδῷ μετὰ μιᾶς τῶν ὀρθῶν ποιεῖν τετράγωνον. γίνεται δὲ ἡ μὲν περίμετρος ΔΥ δ 𐅶 ϛ Μο β ἴσαι κύβῳ· καὶ ἔστιν σύνθετος ἀριθμός· περιέχεται γὰρ ὑπὸ 𐅶 δ Μο β καὶ 𐅶 α Μο α· ἐὰν οὖν ἑκάστην πλευρὰν μερί‐
10	σωμεν παρὰ 𐅶 α Μο α, ἕξομεν τὴν περίμετρον αὐτοῦ 𐅶 δ Μο β· ἔσται κύβος. λοιπὸν ἄρα ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ μετὰ μιᾶς τῶν ὀρθῶν ποιεῖ □ον. γίνεται δὲ ὁ μὲν ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ ΚΥ β ΔΥ γ 𐅶 α ἐν μορίῳ ΔΥ α 𐅶 β Μο α, ἡ δὲ μία
15	τῶν ὀρθῶν 𐅶 β Μο α ἐν μορίῳ 𐅶 α Μο α. καὶ ἐὰν ποιή‐ σωμεν τὰ δύο εἰς τὸ αὐτὸ μόριον, γίνονται ΚΥ β ΔΥ ε 𐅶 δ Μο α. καὶ ἔχουσι κοινὸν μόριον ΔΥ α 𐅶 β Μο α, ὥστε τὰ δύο συντεθέντα ποιεῖν 𐅶 β Μο α ἴς. □ῳ· ἐζητοῦμεν δὲ καὶ 𐅶 δ Μο β ἴς. κύβῳ. καὶ ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν
20	κύβον □ου διπλασίονα· ἔστιν δὲ ὁ η, Μο δ. ἔστω 𐅶 δ Μο β ἴς. Μο η· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 α 𐅵ʹ.
20	ἔσται ἄρα ὀρθογώνιον [Start of a fraction]ε/η[End of a fraction], [Start of a fraction]ε/ιε[End of a fraction], [Start of a fraction]ε/ιζ[End of a fraction]. καὶ μένει.
440	κ. Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμ‐ βαδῷ αὐτοῦ, προσλαβὼν τὸν ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν, ποιῇ κύβον, ὁ δὲ ἐν τῇ περιμέτρῳ αὐτοῦ ᾖ τετράγωνος.
5	Πάλιν ἐὰν τῇ αὐτῇ ἀγωγῇ χρησώμεθα τῇ πρὸ τού‐ του, ἀπάγεται εἰς τὸ 𐅶 δ Μο β ποιεῖν ἴς. □ῳ, καὶ 𐅶 β Μο α ἴς. κύβῳ. καὶ γίνεται ζητεῖν τετράγωνον κύβου βπλ.. ἔστιν ιϛ καὶ η· καὶ πάλιν ἰσάζομεν Μο ιϛ, 𐅶 δ Μο β. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο γ 𐅵ʹ· ἔσται ἄρα τὸ ὀρθογώνιον [Start of a fraction]θ/ιϛ[End of a fraction], [Start of a fraction]θ/ξγ[End of a fraction], [Start of a fraction]θ/ξε[End of a fraction].
10	κα. Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῇ περι‐ μέτρῳ αὐτοῦ ᾖ τετράγωνος, καὶ προσλαβὼν τὸν ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ ποιῇ κύβον. Πεπλάσθω τὸ ὀρθογώνιον ἀπὸ 𐅶 α, Μο α· γίνεται
15	μία μὲν τῶν ὀρθῶν 𐅶 β, ἡ δὲ ἑτέρα ΔΥ α ⩚ Μο α, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ΔΥ α Μο α. καὶ γίνεται ζητεῖν ΔΥ β 𐅶 β ἴς. □ῳ, καὶ ΚΥ α ΔΥ β 𐅶 α ἴς. κύβῳ. καὶ τὸ μὲν ΔΥ β 𐅶 β κατασκευάζειν □ον ῥᾴδιόν ἐστιν· ἐὰν γὰρ δυάδα μερί‐ σῃς εἰς □ον παρὰ δυάδα, εὑρήσεις τὸν 𐅶 ἕνα· ἀλλὰ δεῖ
20	τοιοῦτον εὑρίσκεσθαι, ὥστε τὸν ἀπ’ αὐτοῦ ΚΥ καὶ β τοὺς ἀπ’ αὐτοῦ □ους καὶ αὐτὸν συντιθέμενον ποιεῖν
20	κύβον.
442	ἔστιν οὖν ὁ 𐅶 ἐκ δυάδος μερισθείσης εἰς ΔΥ α ⩚ Μο β· ὁ κύβος γίνεται Μο η ἐν μορίῳ τῷ ἀπὸ ΔΥ α ⩚ Μο β 〈κύβῳ〉. καὶ οἱ β ἀπ’ αὐτοῦ □οι γίνονται Μο η ἐν μορίῳ τῷ ἀπὸ ΔΥ α ⩚ Μο β □ῳ· αὐτὸς δὲ Μο β ἐν μο‐
5	ρίῳ ΔΥ α ⩚ Μο β. καὶ πάντα εἰς τὸ αὐτὸ μόριον· γί. ΔΥ Δ β ἐν μορίῳ τῷ ἀπὸ ΔΥ α ⩚ Μο β κύβῳ. καὶ ἔστιν τὸ μόριον κυβικόν· ἔστω ΔΥ Δ β ἴς. κύβῳ· καὶ πάντα παρὰ ΚΥ α· γίνονται 𐅶 β ἴς. 〈κύβῳ〉. καὶ ἐὰν τάξωμεν ἴς. Μο κυβικαῖς, εὑρίσκεται ὁ 𐅶 κύβου
10	τινὸς τὸ 𐅵ʹ. ἔστω· ὁ κύβος Μο η· γίνεται ἄρα τοῦ 𐅵ʹ, Μο δ ........ □ος γίνεται μθ× καὶ δεῖ ἀπὸ τούτου ἆραι Μο α, ἐπειδήπερ ἡ μία τῶν ὀρθῶν ἐστιν ΔΥ α ⩚ Μο α· καὶ ἀπάγεται εἰς τὸ ζητῆσαι κύβον ὅπως τὸ δον τοῦ ἀπ’
15	αὐτοῦ τετραγώνου μεῖζον μὲν Μο β ᾖ, ἔλασσον δὲ Μο δ. καὶ ἐὰν τάξωμεν τὸν κύβον ΚΥ α, ζητήσομεν ΚΥ Κδ× μεῖζον μὲν Μο β, ἔλασσον δὲ Μο δ· ὁ ἄρα ΚΥ Κ μείζων μὲν Μ η, ἐλάσσων δὲ Μο ιϛ. ἔστιν δὲ τὰ [Start of a fraction]ξδ/ψκθ[End of a fraction], ὥστε ὁ κύβος [Start of a fraction]η/κζ[End of a fraction].
20	τάσσω οὖν 𐅶 β ἴς. Μο [Start of a fraction]η/κζ[End of a fraction], καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction]ιϛ/κζ[End of a fraction], ἡ ΔΥ,
20	[Start of a fraction]σνϛ/ψκθ[End of a fraction]. καὶ ἐὰν δυάδα μερίσωμεν εἰς τὸν τοῦδε δυάδι
444	ἐλάσσονα, εὑρήσομεν τὸν 𐅶 μονάδος [Start of a fraction]σιζ/φιβ[End of a fraction], καὶ ἔχομεν ἀπὸ τοῦ ἀπ’ αὐτοῦ □ον ἆραι Μο α. κβ. Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῇ περι‐
5	μέτρῳ αὐτοῦ ᾖ κύβος, προσλαβὼν δὲ τὸν ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ, ποιῇ τετράγωνον. Πρότερον δεῖ ἐπισκέψασθαι· δύο ἀριθμῶν δοθέν‐ των, εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον, ὅπως ὁ μὲν ἐν τῇ περιμέτρῳ αὐτοῦ ἴσος 〈ᾖ〉 ἑνὶ τῶν δοθέντων, ὁ δ’ ἐν
10	τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ τῷ ἑτέρῳ. Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ ὅ τε ιβ καὶ ὁ ζ· καὶ ἐπι‐ τετάχθω τὸν μὲν ιβ εἶναι τὸν ἐν τῇ περιμέτρῳ αὐτοῦ, τὸν δὲ ζ τὸν ἐν τῷ ἐμβαδῷ. ὁ ἄρα ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν αὐτοῦ ἔσται Μο ιδ, καὶ ἐὰν τάξωμεν μίαν
15	αὐτοῦ ὀρθὴν 𐅶 × α, ἡ ἑτέρα αὐτοῦ ἔσται 𐅶 ιδ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ περίμετρος αὐτοῦ Μο ιβ· ἡ ἄρα ὑποτείνουσα ἔσται Μο ιβ ⩚ 𐅶 × α 𐅶 ιδ. λοιπόν ἐστιν τὸν ἀπ’ αὐτῆς □ον, ὅσπερ ἐστὶ ΔΨ× α ΔΥ ρϙϛ Μο ροβ ⩚ 𐅶 × κδ 𐅶 τλϛ, ἰσῶσαι τοῖς ἀπὸ τῶν περὶ
20	τὴν ὀρθὴν □οις, τουτέστιν ΔΨ× α ΔΥ ρϙϛ. κοινὴ προσ‐ κείσθω ἡ λεῖψις καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια καὶ πάντα ἐπὶ 𐅶, γί. 𐅶 ροβ ἴς. ΔΥ τλϛ Μο κδ. καὶ οὐ πάντοτε δυνατόν ἐστιν, εἰ μὴ τὸ 𐅵ʹ τῶν 𐅶
20	ἐφ’ ἑαυτό, λεῖψαν τὰς ΔΥ ἐπὶ τὰς Μο, ποιεῖ □ον· καί
446	εἰσιν οἱ μὲν 𐅶 ἐκ τοῦ ἀπὸ τῆς περιμέτρου καὶ τοῦ δπλ. τοῦ ἐν τῷ ἐμβαδῷ, αἱ δὲ ΔΥ ἐπὶ τὰς Μο ἐκ τοῦ ηκις ἀπὸ τῆς περιμέτρου ἐπὶ τὸ ἐμβαδόν. Ὥστε ἐὰν τοιοῦτοι δοθῶσιν οἱ ἀριθμοί, καὶ ἔστω
5	ὁ μὲν ἐν τῷ ἐμβαδῷ 𐅶 α, ὁ δ’ ἐν τῇ περιμέτρῳ, κύβος ἅμα καὶ □ος, Μο ξδ, καὶ ἵνα συσταθῇ τὸ τρίγωνον, δεῖ τοῦ ἀπὸ Μο ξδ □ου καὶ 𐅶 δ τὸ 𐅵ʹ ποιήσαντα 〈ἐφ’ ἑαυτὸ〉 ἀφελεῖν τὸν ηκις ἀπὸ τῆς περιμέτρου ἐπὶ 𐅶 α, καὶ λοι‐ πὸν ζητῆσαι τὰ λοιπὰ ἴσα □ῳ.
10	γίνονται ΔΥ δ ΜΥ υιθ˙͵δτδ ⩚ 𐅶 β˙͵δφος· καὶ πάν‐ των τὸ Δον. γίνεται ΔΥ α ΜΥ ρδ˙͵ηφος ⩚ 𐅶 ͵ϛρμδ ἴς. □ῳ. ἔτι δὲ καὶ 𐅶 α Μο ξδ ἴς. □ῳ. καὶ ἐξισούσθωσαν αἱ Μο καὶ ἡ ὑπεροχὴ καὶ ἡ μέτρησις καὶ τὰ λοιπὰ δῆλα. κγ.
15	Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἀπὸ τῆς ὑπο‐ τεινούσης τετράγωνος ᾖ ἄλλως τετράγωνος καὶ πλευρά, 〈καὶ〉 μερισθεὶς παρὰ τὸν ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν ποιῇ κύβον καὶ πλευράν. Τετάχθω ἡ μία τῶν ὀρθῶν 𐅶 α, ἡ δὲ ἑτέρα ΔΥ α·
20	καὶ μένει ὁ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης ὦν τετραγώνου καὶ πλευρᾶς.
20	λοιπόν ἐστι ΔΥΔ α ΔΥ α ἰσῶσαι □ῳ, καὶ πάντα παρὰ
448	ΔΥ· γίνεται ΔΥ α Μο α ἴς. □ῳ τῷ ἀπὸ πλ. 𐅶 α ⩚ Μο β· ὅθεν ὁ 𐅶 γίνεται μονάδος [Start of a fraction]δ/γ[End of a fraction]. τὰ λοιπὰ δῆλα. κδ.
5	Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ μὲν ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν ᾖ κύβος, ὁ δὲ ἐν τῇ ἑτέρᾳ κύβος παρὰ πλευράν, ὁ δὲ ἐν τῇ ὑποτεινούσῃ κύβος καὶ πλευρά. Τετάχθω ὁ ἐν τῇ ὑποτεινούσῃ ΚΥ α 𐅶 α, ὁ δὲ ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν ΚΥ α ⩚ 𐅶 α· ὁ ἄρα ἐν τῇ ἑτέρᾳ ἔσται
10	ΔΥ β. λοιπόν ἐστι ΔΥ β ἰσῶσαι κύβῳ· ἔστω ἰσῶσαι ΚΥ α· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μο β. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. καὶ ἔσται τὸ τρίγωνον ϛ, η, ι,
10	καὶ μένει.

2

(1t)

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

52

54

56

58

60

62

64

66

68

70

72

74

76

78

80

82

(1t)

84

86

88

90

92

94

96

98

100

102

104

106

108

110

112

114

116

118

120

122

124

126

128

130

132

134

136

138

(1t)

140

142

144

146

148

150

152

154