TLG 2032 001 :: PAPPUS :: Synagoge

PAPPUS Math.
(Alexandrinus: A.D. 4)

Synagoge

Source: Hultsch, F. (ed.), Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt, 3 vols. Berlin: Weidmann, 1:1876; 2:1877; 3:1878: 1:2–470; 2:474–1020; 3:1022–1134.

  • Lib. 2–5: vol. 1
  • Lib. 6–7: vol. 2
  • Lib. 8: vol. 3

Citation: Book — page — (line)

2

.

2

 * γὰρ αὐτοὺς ἐλάσσονας μὲν εἶναι ἑκατοντάδος μετρεῖ‐ σθαι δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐξ αὐτῶν στερεὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα αὐτούς. Ἔστωσαν οὖν οἱ ἀριθμοὶ νʹ νʹ νʹ μʹ μʹ λʹ· ἔσονται ἄρα
5οἱ πυθμένες εʹ εʹ εʹ δʹ δʹ γʹ· ὁ ἄρα ἐξ αὐτῶν στερεὸς γί‐ νεται μονάδων ͵ϛ. καὶ ἐπεὶ τὸ πλῆθος τῶν δεκάδων ἐστὶν ϛʹ καὶ μετρούμενον ὑπὸ τετράδος λείπει δύο, ἔσται ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς [τῶν δεκάδων] μυριάδων ἁπλῶν ἑκατόν. καὶ ἐπεὶ ὁ ἐκ τῶν δεκάδων στερεὸς ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν πυθμένων
10στερεὸν ποιεῖ τὸν ἐκ τῶν ἐξ ἀρχῆς στερεόν, αἱ ἄρα μυριά‐ δες ρʹ ἐπὶ τὰς μονάδας ͵ϛ γενόμεναι ποιοῦσιν μυριάδας ξʹ διπλᾶς, ὥστε ὁ ἐκ τῶν νʹ νʹ νʹ μʹ μʹ λʹ στερεός ἐστιν μυ‐ ριάδων ξʹ διπλῶν. ιεʹ. Ἔστωσαν δὴ πάλιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἐφ’ ὧν
15τὰ Β, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρείσθω δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐξ αὐτῶν στερεὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα τοὺς ἀριθμούς. Γεγονέτω, καὶ ὁ διπλάσιος τοῦ πλήθους αὐτῶν μετρεί‐ σθω πρότερον ὑπὸ τετράδος, καὶ ὑποκείσθω ὑπὸ ἕκαστον
20τῶν Β ἑκατοντὰς ἡ αʹ, καὶ καθὸ μετρεῖται ἕκαστος τῶν Β

2

.

4

ὑπὸ τῆς ἑκατοντάδος ἔστωσαν οἱ ἐφ’ ὧν τὰ Γ· πυθμένες ἄρα εἰσὶν οἱ ἐφ’ ὧν τὰ Γ τῶν ἐφ’ ὧν τὰ Β. ὁ δὲ διὰ τῶν πυθμένων στερεὸς ἔστω ὁ Ε [τουτέστιν μονάδες ρκʹ]. δεί‐ κνυται οὖν διὰ τῶν γραμμῶν ὁ διὰ τῶν ἐφ’ ὧν τὰ Β στε‐
5ρεὸς μυριάδων διπλῶν ρκ, ἐπειδὴ καὶ ὁ διὰ τῶν ἐφ’ ὧν τὰ Β στερεὸς ἴσος ἐστὶν τῷ διὰ τῶν ἑκατοντάδων στερεῷ ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν πυθμένων στερεόν, τουτέστιν διπλῆ μυριὰς αʹ ἐπὶ τὰς ρκʹ μονάδας. Ἀλλ’ ὁ διπλάσιος τοῦ πλήθους τῶν ἐφ’ ὧν τὰ Β μὴ
10μετρείσθω ὑπὸ τετράδος· μετρούμενος ἄρα λείψει δυάδα ἐξ ἀνάγκης (τοῦτο γὰρ προδέδεικται), ὥστε καὶ ὁ διπλάσιος τοῦ πλήθους τῶν ἑκατοντάδων μετρούμενος ὑπὸ τετράδος· τὸ ἄρα πλῆθος τῶν ἑκατοντάδων μετρούμενον ὑπὸ δυάδος λείψει μίαν ἑκατοντάδα. ὁ τοίνυν διὰ τῶν ἑκατοντάδων
15στερεὸς ἔσται μυριάδων ρʹ ὁμωνύμων τῷ Ζ, τουτέστι διπλῶν, ὥστε δῆλον ὅτι ὁ διὰ τῶν ἐφ’ ὧν τὰ Β μυριάδες εἰσὶν ρʹ ὁμώνυμοι τῷ Ζ γενόμεναι ἐπὶ τὸν Ε [τὰς ρκʹ μονάδας]. γίνονται μυριὰς μία δισχίλιαι διπλῶν μυριάδων. ιϛʹ. Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α Β, καὶ ὁ μὲν Α ὑπο‐
20κείσθω ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ ἑκατον‐ τάδος, οἷον μονάδες φʹ, ὁ δὲ Β ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, οἷον μονάδες μʹ, καὶ δέον ἔστω
τὸν ἐξ αὐτῶν ἀριθμὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα αὐτούς.

2

.

6

 Ἔστι δὲ φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν· οἱ γὰρ εʹ δʹ πυθ‐ μένες αὐτῶν ὄντες [μο. εʹ καὶ μο. δʹ] πολλαπλασιασθέντες ποιοῦσι μονάδας κʹ, χιλιάκις δὲ ὁ κʹ ἀριθμὸς ποιεῖ μυριά‐ δας δύο ποιούσας τὸν ὑπὸ τῶν Α Β γινόμενον. τὸ δὲ
5γραμμικὸν δῆλον ἐξ ὧν ἔδειξεν Ἀπολλώνιος. ιζʹ. Ἐπὶ δὲ τοῦ ιηʹ θεωρήματος. Ἔστω πλῆθος ἀριθ‐ μῶν τὸ ἐφ’ ὧν τὰ Α, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ ἄλλο πλῆθος ἀριθμῶν τὸ ἐφ’ ὧν τὰ Β, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρού‐
10μενος δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν ἐφ’ ὧν τὰ Α Β στερεὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα αὐτούς. Ἔστωσαν γὰρ πυθμένες τῶν μὲν ἐφ’ ὧν τὰ Α οἱ ἐφ’ ὧν τὰ Η, μονάδες αʹ καὶ βʹ καὶ γʹ καὶ δʹ, τῶν δὲ ἐφ’ ὧν τὰ Β οἱ ἐφ’ ὧν τὰ Θ, μονάδες βʹ καὶ γʹ καὶ δʹ καὶ εʹ,
15καὶ ληφθέντος τοῦ ἐκ τῶν πυθμένων στερεοῦ [τῶν βʹ γʹ δʹ βʹ γʹ δʹ εʹ], τουτέστιν τοῦ Ε, μονάδων ὄντος ͵βωπʹ, τὸ πλῆθος τῶν ἐφ’ ὧν τὰ Α προσλαβὸν τὸν διπλασίονα τοῦ πλήθους τῶν ἐφ’ ὧν τὰ Β μετρείσθω πρότερον ὑπὸ τε‐ τράδος ͵[κατὰ τὸν Ζ, μετρεῖ δὲ αὐτούς]. καὶ δείκνυσιν ὁ
20Ἀπολλώνιος τὸν ἐκ πάντων τῶν ἐφ’ ὧν τὰ Α Β στερεὸν μυριάδων τοσούτων, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Ε μονάδες, ὁμωνύ‐ μων τῷ Ζ ἀριθμῷ, τουτέστιν τριπλῶν μυριάδων ͵βωπʹ. [μία γὰρ μυριὰς ὁμώνυμος τῷ Ζ, τουτέστιν τριπλῆ, ἐπὶ τὸν Ε, τουτέστιν τὰ ͵βωπʹ, γενομένη ποιεῖ τὸν ἐκ τῶν
25στερεῶν ἀριθμὸν τῶν ἐφ’ ὧν τὰ Α Β· ὁ ἄρα ἐκ τῶν ἀριθμῶν στερεὸς τῶν ἐφ’ ὧν τὰ Α Β μυριάδες εἰσὶν το‐ σαῦται, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Ε μονάδες, ὁμώνυμοι τῷ Ζ ἀριθμῷ.]
Ἀλλὰ δὴ τὸ πλῆθος τῶν ἐφ’ ὧν τὰ Α, προσλαβὸν

2

.

8

τὸν διπλασίονα τοῦ πλήθους τῶν ἐφ’ ὧν τὰ Β, μετρού‐ μενον ὑπὸ τετράδος καταλειπέτω πρότερον ἕνα. καὶ συν‐ άγει ὁ Ἀπολλώνιος ὅτι ὁ ἐκ τῶν ἀριθμῶν ἐφ’ ὧν τὰ Α Β στερεὸς μυριάδες εἰσὶν τοσαῦται ὁμώνυμοι τῷ Ζ, ὅσος
5ἐστὶν ὁ δεκαπλασίων τοῦ Ε, ἐὰν δὲ τὸ προειρημένον πλῆ‐ θος μετρούμενον ὑπὸ τετράδος καταλείπῃ δύο, ὁ ἐκ τῶν ἀριθμῶν στερεὸς τῶν ἐφ’ ὧν τὰ Α Β μυριάδες εἰσὶν το‐ σαῦται ὁμώνυμοι τῷ Ζ, ὅσος ἐστὶν ὁ ἑκατονταπλάσιος τοῦ Ε ἀριθμοῦ, ὅταν δὲ τρεῖς καταλειφθῶσιν, ἴσος ἐστὶν ὁ ἐξ
10αὐτῶν στερεὸς μυριάσιν τοσαύταις ὁμωνύμοις τῷ Ζ, ὅσος ἐστὶν ὁ χιλιαπλάσιος τοῦ Ε ἀριθμοῦ. ιηʹ. Ἐπὶ δὲ τοῦ ιθʹ θεωρήματος. Ἔστω τις ἀριθμὸς ὁ Α ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ ἄλλοι ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἐλάσσονες δεκάδος οἷον οἱ
15Β Γ Δ Ε, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε στερεὸν εἰπεῖν. Ἔστω γὰρ καθ’ ὃν μετρεῖται ὁ Α ὑπὸ τῆς δεκάδος ὁ Ζ, τουτέστιν ὁ πυθμὴν τοῦ Α, καὶ εἰλήφθω ὁ ἐκ τῶν Ζ Β Γ Δ Ε στερεὸς καὶ ἔστω ὁ Η· λέγω ὅτι ὁ διὰ τῶν Α
20Β Γ Δ Ε στερεὸς δεκάκις εἰσὶν οἱ Η. Καὶ ἔστι φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν· τοῦ γὰρ Α ὑπο‐ κειμένου, φέρ’ εἰπεῖν, μονάδων κʹ καὶ τοῦ Β μονάδων γʹ καὶ τοῦ Γ μονάδων δʹ καὶ τοῦ Δ μονάδων εʹ καὶ τοῦ Ε μονάδων ϛʹ, ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς γίνεται μονάδες ͵ζςʹ. ἀλλὰ
25καὶ τοῦ Ζ ὄντος μονάδων βʹ, ὅς ἐστι πυθμὴν τοῦ Α, ὁ ἐκ τούτου καὶ τῶν Β Γ Δ Ε στερεὸς δεκάκις γενόμενος ἔσται μονάδες ͵ζςʹ, ἴσος τῷ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε στερεῷ. τὸ δὲ
γραμμικὸν ὑπὸ τοῦ Ἀπολλωνίου δέδεικται.

2

.

10

 ιθʹ. Ἀλλὰ δὴ ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α Β, ὧν ἑκά‐ τερος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκά‐ δος, τῶν δὲ Γ Δ Ε ἕκαστος ἐλάσσων δεκάδος ἔστω, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε στερεὸν εἰπεῖν.
5 Ἔστωσαν γὰρ τῶν Α Β πυθμένες οἱ Ζ Η· λέγω ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε στερεὸς τοῦ ἐκ τῶν Ζ Η Γ Δ Ε στερεοῦ ἑκατονταπλάσιός ἐστιν. Φανερὸν δὲ καὶ τοῦτο διὰ τῶν ἀριθμῶν, τοῦ Α ὄντος μονάδων κʹ καὶ τοῦ Β μονάδων λʹ καὶ τοῦ Γ μονάδων βʹ
10καὶ τοῦ Δ μονάδων γʹ καὶ τοῦ Ε μονάδων δʹ καὶ τοῦ Ζ μονάδων βʹ καὶ τοῦ Η μονάδων γʹ· ὁ γὰρ ὑπὸ τῶν Α Β Γ Δ Ε στερεός ἐστιν μα ͵δυʹ, ὁ δὲ ὑπὸ Ζ Η Γ Δ Ε μο‐ νάδες ρμδʹ, οὗτος δὲ γενόμενος ἑκατοντάκις ποιεῖ μα ͵δυʹ. τὸ δὲ γραμμικὸν ἐκ τῶν Ἀπολλωνίου.
15 κʹ. Ἀλλὰ δὴ ἔστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Α Β Γ, καὶ ἔστω ἕκαστος αὐτῶν ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, ἕκαστος δὲ τῶν Δ Ε Ζ ἔστω ἐλάσσων δε‐ κάδος, καὶ ἔστωσαν τῶν Α Β Γ πυθμένες οἱ Η Θ Κ, καὶ εἰλήφθω ὁ ἐκ τῶν Η Θ Κ Δ Ε Ζ στερεὸς καὶ ἔστω ὁ Ξ·
20ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε Ζ στερεὸς ἴσος ἐστὶν χιλίοις τοῖς Ξ. Ἔστι φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν, τοῦ Α ὄντος λόγου χάριν μονάδων κʹ καὶ τοῦ Β μονάδων λʹ καὶ τοῦ Γ μονά‐ δων μʹ καὶ τοῦ Δ μονάδων βʹ καὶ τοῦ Ε μονάδων γʹ καὶ τοῦ
25Ζ μονάδων δʹ, τοῦ δὲ Η μονάδων βʹ καὶ τοῦ Θ μονάδων γʹ καὶ τοῦ Κ μονάδων δʹ· ὁ γὰρ ὑπὸ Α Β Γ Δ Ε Ζ στερεός ἐστιν μυριάδων νζʹ ἁπλῶν καὶ μονάδων ͵ϛ, ὁ δὲ ὑπὸ τῶν Η Θ Κ πυθμένων καὶ τῶν Δ Ε Ζ ἔσται μονάδων φοϛʹ, αὗται δὲ χιλιάκις γενόμεναι, τουτέστιν ὁ ἐκ πάντων στερεός,
30γίνεται μυριάδων ἁπλῶν νζʹ καὶ μονάδων ͵ϛ.
καʹ. Ἀλλὰ δὴ ἔστωσαν πλείους τριῶν οἱ Α Β Γ Δ Ε,

2

.

12

καὶ ἕκαστος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, τῶν δὲ Ζ Η Θ ἕκαστος ἔστω ἐλάσσων δεκάδος. Τὸ πλῆθος τῶν Α Β Γ Δ Ε πρότερον μετρείσθω ὑπὸ τετράδος κατὰ τὸν Ο, καὶ ἔστωσαν τῶν Α Β Γ Δ Ε πυθ‐
5μένες οἱ Κ Λ Μ Ν Ξ· ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ζ Η Θ στερεὸς ἴσος ἐστὶν μυριάσιν ὁμωνύμοις τῷ Ο ὅσαι μονάδες εἰσὶν ἐν τῷ στερεῷ τῷ ἐκ τῶν Κ Λ Μ Ν ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Ζ Η Θ. Ἔστι δὲ φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν, τοῦ Α ὑποκει‐
10μένου λόγου χάριν μονάδων ιʹ καὶ τοῦ Β μονάδων κʹ καὶ τοῦ Γ μονάδων λʹ καὶ τοῦ Δ μονάδων μʹ, καὶ τῶν Κ Λ Μ Ν πυθμένων ὄντων μονάδων αʹ καὶ βʹ καὶ γʹ καὶ δʹ· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α Β Γ Δ στερεός ἐστιν ἁπλῶν μυριάδων κδʹ, ὁ δὲ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ζ Η Θ μυριάδων ἁπλῶν ρμδʹ, ὁ δὲ ἐκ
15τῶν Κ Λ Μ Ν πυθμένων μονάδων κδʹ· οὗτος δὲ γενόμενος ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Ζ Η Θ, ὄντα μονάδων ϛʹ, ποιεῖ μονάδας ρμδʹ, ὅσαι μυριάδες ἁπλαῖ εἰσιν τοῦ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ζ Η Θ στερεοῦ, διὰ τὸ καὶ τετράδα ἅπαξ μετρεῖν τὸ πλῆθος τῶν Α Β Γ Δ.
20 Ἀλλὰ δὴ τὸ πλῆθος τῶν Α Β Γ Δ Ε μὴ μετρείσθω ὑπὸ τετράδος· μετρούμενον δὴ ἤτοι αʹ ἢ βʹ ἢ γʹ λείψει. εἰ μὲν οὖν ἕνα λείψει, ἔσται ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ στερεὸς μυριάδων ὁμωνύμων τῷ Ο, ὅσος ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Κ Λ Μ Ν Ξ στερεὸς ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Ζ Η Θ γενόμενος δε‐
25κάκις, εἰ δὲ δύο λείψει, ἑκατοντάκις [γενόμενος ὁ εἰρημένος
στερεός]. εἰ δὲ τρεῖς λείψει, ὅσων ὁ ἐκ τῶν Κ Λ Μ Ν Ξ

2

.

14

ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Ζ Η Θ χιλιάκις γενόμενος ἔσται μονάδων, τοσούτων μυριάδων ὁμωνύμων τῷ Ο. τὸ δὲ γραμμικὸν ἐκ τοῦ στοιχείου δῆλον. κβʹ. Ἔστω ὁ μὲν Α ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος
5δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, ἕκαστος δὲ τῶν Β Γ Δ ἐλάσσων δε‐ κάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν Α Β Γ Δ στερεὸν εἰπεῖν. Κείσθω γὰρ τοῦ μὲν Α πυθμὴν ὁ Ε, ὁ δὲ ἐκ τῶν Ε Β Γ Δ ὁ Ζ· ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ στερεὸς ἑκατον‐ τάκις ἐστὶν ὁ Ζ.
10 Φανερὸν δὲ καὶ τοῦτο διὰ τῶν ἀριθμῶν, τοῦ Α ὑπο‐ κειμένου, φέρ’ εἰπεῖν, μονάδων τʹ καὶ τοῦ Β μονάδων γʹ καὶ τοῦ Γ μονάδων δʹ καὶ τοῦ Δ μονάδων εʹ· ὁ μὲν γὰρ ὑπὸ τῶν Α Β Γ Δ ἐστὶν μα ͵η, ὁ δὲ ὑπὸ τῶν Ε Β Γ Δ ἐστὶν μονάδων ρπʹ· οὗτος δὲ γενόμενος ἑκατοντάκις ἔσται
15μα ͵η. τὸ δὲ γραμμικὸν ἐκ τοῦ στοιχείου δῆλον. κγʹ. Ἐπὶ δὲ τοῦ κδʹ θεωρήματος. Τοῦ Α ὑποκειμένου λόγου χάριν μονάδων ςʹ καὶ τοῦ Β μονάδων τʹ καὶ τοῦ Γ μονάδων βʹ τοῦ δὲ Δ μονάδων γʹ καὶ τοῦ Ε μονάδων δʹ, ὁ στερεὸς ἐξ αὐτῶν ἔσται μυριάδων ἁπλῶν ρμδʹ, ἐπεὶ τὸ
20διπλάσιον τοῦ πλήθους τῶν Α Β μετρεῖται ὑπὸ τετράδος ἅπαξ [κατὰ τὸν Κ], ὁ δὲ ὑπὸ τῶν Ζ Η πυθμένων καὶ τῶν Γ Δ Ε ἐστιν μονάδων ρμδʹ [ὁ Θ στερεός· ἁπλῶν οὖν μυ‐ ριάδων ρμδʹ ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε στερεός]. Ἐὰν δὲ τὸ διπλάσιον τοῦ πλήθους τῶν Α Β μὴ με‐
25τρῆται ὑπὸ τετράδος, δῆλον ὅτι μετρούμενον κατὰ τὸν Κ λείψει δύο· τοῦτο γὰρ ἀνώτερον ἐδείχθη. διὰ δὴ τοῦτο [ἐκ τοῦ λείπεσθαι δύο] μυριάδες εἰσὶν ἑκατὸν ὁμώνυμοι τῷ
Κ, καὶ ἔστιν ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε στερεὸς ὁ Θ ἴσος τῷ

2

.

16

ἐκ τῶν Ζ Η Γ Δ Ε στερεῷ ἐπὶ τὰς ἑκατὸν μυριάδας ὁμωνύ‐ μους τῷ Κ. τὸ γραμμικὸν ὡς Ἀπολλώνιος. κδʹ. Ἐπὶ δὲ τοῦ κεʹ θεωρήματος. Ἔστω τῶν μὲν Α Β ἑκάτερος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δε‐
5κάδος, ἕκαστος δὲ τῶν Γ Δ Ε [ἔστω] ἐλάσσων δεκάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐξ αὐτῶν στερεὸν εἰπεῖν. Ἔστωσαν γὰρ τῶν Α Β πυθμένες οἱ Θ Κ, καὶ τῷ ἐκ τῶν Θ Κ Γ Δ Ε στερεῷ ἴσος ἔστω ὁ Λ· ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε στερεὸς ἴσος ἐστὶν ἑκατὸν τοῖς Λ.
10 Ἔστι δὲ φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν, τοῦ Α ὄντος μο‐ νάδων κʹ καὶ τοῦ Β μονάδων κʹ, καὶ τοῦ Γ μονάδων εʹ καὶ τοῦ Δ μονάδων ϛʹ καὶ τοῦ Ε μονάδων ζʹ, καὶ τῶν Θ Κ πυθμένων ὄντων μονάδων βʹ· ὁ γὰρ ὑπὸ τῶν Θ Κ Γ Δ Ε γίνεται στερεὸς μονάδων ωμʹ, οὗτος δὲ ἑκατοντάκις γενό‐
15μενος ἔσται μυριάδων ηʹ μονάδων ͵δ, ἴσος τῷ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε στερεῷ ἀριθμῷ. κεʹ. Τὸ δ’ ἐπὶ πᾶσι θεώρημα κϛʹ πρότασιν ἔχει καὶ ἀπόδειξιν τοιαύτην. Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ ἢ πλείους οἱ Α Β, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ
20ὑπὸ ἑκατοντάδος, καὶ ἄλλοι ἀριθμοὶ ὁσοιδήποτε οἱ Γ Δ Ε, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ ἄλλοι πάλιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Ζ Η Θ, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων δεκάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ στερεὸν εἰπεῖν.
25 Ἔστωσαν γὰρ τῶν Α Β Γ Δ Ε πυθμένες οἱ Λ Μ Ν Ξ Ο. ὁ δὴ διπλάσιος τοῦ πλήθους τῶν Α Β μετὰ τοῦ τῶν
Γ Δ Ε ἁπλοῦ ἀριθμοῦ ἤτοι μετρεῖται ὑπὸ τετράδος ἢ οὔ.

2

.

18

 Μετρείσθω πρότερον ὑπὸ τετράδος κατὰ τὸν Κ, καὶ ὑποτετάχθωσαν τοῖς μὲν Α Β ἑκατοντάδες αἱ Π Ρ, τοῖς δὲ Γ Δ Ε δεκάδες αἱ Σ Τ Υ [καὶ ὁ διπλάσιος ἄρα τοῦ πλήθους τῶν Π Ρ μετὰ τοῦ πλήθους τῶν Σ Τ Υ μετρεῖται
5ὑπὸ τετράδος κατὰ τὸν Κ]. καὶ φανερὸν ὅτι ὁ ἐκ τῶν Π Ρ Σ Τ Υ ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Λ Μ Ν Ξ Ο ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε στερεῷ. εἰλήφθω δὴ ὁ ἐκ τῶν Λ Μ Ν Ξ Ο Ζ Η Θ στερεὸς καὶ ἔστω ὁ Φ· ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ στερεὸς μυριάδες εἰσὶν τοσαῦται ὁμώνυμοι τῷ
10Κ ὅσαι μονάδες εἰσὶν ἐν τῷ Φ. τοῦτο δὲ γραμμικῶς Ἀπολ‐ λώνιος ἀπέδειξεν. Ἐὰν δὲ ὁ διπλάσιος τοῦ πλήθους τῶν Α Β μετὰ τοῦ πλήθους τῶν Γ Δ Ε μὴ μετρῆται ὑπὸ τετράδος, μετρού‐ μενος ἄρα κατὰ τὸν Κ λείψει ἢ ἕνα ἢ δύο ἢ τρεῖς. εἰ
15μὲν οὖν ἕνα λείψει, ὁ ἐκ τῶν Π Ρ Σ Τ Υ στερεὸς μυριάδες εἰσὶν δέκα ὁμώνυμοι τῷ Κ, εἰ δὲ δύο, μυριάδες ἑκατὸν ὁμώνυμοι τῷ Κ, εἰ δὲ τρεῖς, μυριάδες χίλιαι ὁμώνυμοι τῷ Κ. καὶ δῆλον ἐκ τῶν γεγραμμένων ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ στερεὸς μυριάδες εἰσὶν τοσαῦται, ὅσος ὁ
20δεκαπλάσιος τοῦ Φ, ὁμώνυμοι τῷ Κ ἀριθμῷ, ἢ ὅσος ὁ ἑκατονταπλάσιος τοῦ Φ, ὁμώνυμοι τῷ Κ, ἢ ὅσος ὁ χιλια‐ πλάσιος τοῦ Φ, ὁμώνυμοι τῷ Κ. Τούτου δὴ [τοῦ θεωρήματος] προτεθεωρημένου πρό‐ δηλον, πῶς ἔστιν τὸν δοθέντα στίχον πολλαπλασιάσαι καὶ
25εἰπεῖν τὸν γενόμενον ἀριθμὸν ἐκ τοῦ τὸν πρῶτον ἀριθμὸν ὃν εἴληφε τὸ πρῶτον τῶν γραμμάτων ἐπὶ τὸν δεύτερον ἀριθμὸν ὃν εἴληφε τὸ δεύτερον τῶν γραμμάτων πολλαπλα‐ σιασθῆναι καὶ τὸν γενόμενον ἐπὶ τὸν τρίτον ἀριθμὸν ὃν εἴληφε τὸ τρίτον γράμμα καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς περαίνεσθαι
30μέχρι τοῦ διεξοδεύεσθαι τὸν στίχον, ὃν εἶπεν Ἀπολλώνιος
ἐν ἀρχῇ [κατὰ τὸν στίχον] οὕτως.

2

.

20

 Ἀρτέμιδος κλεῖτε κράτος ἔξοχον ἐννέα κοῦραι (τὸ δὲ κλεῖτέ φησιν ἀντὶ τοῦ ὑπομνήσατε). Ἐπεὶ οὖν γράμματά ἐστιν ληʹ τοῦ στίχου, ταῦτα δὲ περιέχει ἀριθμοὺς δέκα τοὺς ρʹ τʹ ςʹ τʹ ρʹ τʹ ςʹ χʹ υʹ ρʹ,
5ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μέν ἐστιν χιλιάδος μετρεῖται δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, καὶ ἀριθμοὺς ιζʹ τοὺς μʹ ιʹ οʹ κʹ λʹ ιʹ κʹ οʹ ξʹ οʹ οʹ νʹ νʹ νʹ κʹ οʹ ιʹ, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μέν ἐστιν ἑκα‐ τοντάδος μετρεῖται δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ τοὺς λοιποὺς [σὺν ταῖς μονάσιν] ιαʹ τοὺς αʹ εʹ δʹ εʹ εʹ αʹ εʹ εʹ εʹ αʹ αʹ, ὧν
10ἕκαστος ἐλάσσων δεκάδος, ἐὰν ἄρα [τοὺς δέκα ἀριθμοὺς διπλασιάσωμεν καὶ τοὺς γενομένους κʹ προσθῶμεν τοῖς εἰρη‐ μένοις ἁπλῶς ἀριθμοῖς ἑπτακαίδεκα, τὰ γενόμενα ὁμοῦ λζʹ ἕξομεν τῶν ὑπ’ αὐτοῦ γενομένων ἀναλόγων, κἂν] τοῖς μὲν δέκα ἀριθμοῖς ὑποτάξωμεν ἰσαρίθμους δέκα κατὰ τάξιν
15ἑκατοντάδος, τοῖς δὲ ιζʹ ὁμοίως ὑποτάξωμεν δεκάδας ιζʹ, φανερὸν ἐκ τοῦ ἀνώτερον λογιστικοῦ θεωρήματος ιβʹ ὅτι δέκα ἑκατοντάδες μετὰ τῶν ιζʹ δεκάδων ποιοῦσι μυριάδας ἐνναπλᾶς δέκα. [αἱ γὰρ δέκα ἑκατοντάδες δὶς γενόμεναι, τουτέστιν κʹ, καὶ προσλαβοῦσαι τὰς ιζʹ δεκάδας γίνονται λζʹ.
20ἀναλόγων ὄντα· μερισθέντα δὲ τὰ λζʹ εἰς τὸν δʹ ποιεῖ τὸν ἐκ τοῦ μερισμοῦ θʹ καὶ καταλείπεται αʹ, ὡς εἶναι μυριάδας ἐνναπλᾶς δέκα τὰ ἐκ τῶν ἑκατοντάδων δέκα καὶ δεκάδων ιζʹ.] Ἐπεὶ δὲ καὶ πυθμένες ὁμοῦ τῶν μετρουμένων ἀριθ‐ μῶν ὑπὸ ἑκατοντάδος καὶ τῶν μετρουμένων ὑπὸ δεκάδος
25εἰσὶν οἱ ὑποκείμενοι κζʹ αʹ γʹ βʹ γʹ αʹ γʹ βʹ ϛʹ δʹ αʹ
δʹ αʹ ζʹ βʹ γʹ αʹ βʹ ζʹ ϛʹ ζʹ ζʹ εʹ εʹ εʹ βʹ ζʹ αʹ,

2

.

22

ἀλλὰ καὶ τῶν ἐλασσόνων δεκάδος εἰσὶν ιαʹ, τουτέστιν ἀριθ‐ μοὶ οἱ αʹ εʹ δʹ εʹ εʹ αʹ εʹ εʹ εʹ αʹ αʹ, ἐὰν τὸν ἐκ τούτων τῶν ιαʹ καὶ τὸν ἐκ τῶν κζʹ πυθμένων
5στερεὸν δι’ ἀλλήλων πολλαπλασιάσωμεν, ἔσται ὁ στερεὸς μυριάδων τετραπλῶν ιθʹ καὶ τριπλῶν ͵ϛλϛʹ καὶ διπλῶν ͵ηυπʹ. [Ἴσος δὲ τούτῳ συνάγεται καὶ ὁ διὰ τῶν τοῦ στίχου πυθμένων ἅμα ταῖς μονάσιν Ἀρτέμιδος κλεῖτε κράτος ἔξοχον ἐννέα κοῦραι,
10οἵ εἰσιν αʹ αʹ γʹ εʹ δʹ αʹ δʹ ζʹ βʹ βʹ γʹ εʹ αʹ γʹ εʹ βʹ αʹ αʹ γʹ ζʹ βʹ εʹ ϛʹ ζʹ ϛʹ ζʹ εʹ εʹ εʹ εʹ εʹ αʹ βʹ ζʹ δʹ αʹ αʹ αʹ. [Omitted graphic marker]

2

.

24

(17)

 Αὗται δὴ συμπολλαπλασιαζόμεναι ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν ἑκα‐ τοντάδων καὶ δεκάδων στερεόν, τουτέστι τὰς προκειμένας μυριάδας ἐνναπλᾶς δέκα, ποιοῦσιν μυριάδας τρισκαιδεκαπλᾶς
20ρϙϛʹ, δωδεκαπλᾶς τξηʹ, ἑνδεκαπλᾶς ͵δωʹ. [ἐνναπλαῖ γὰρ μυριάδες ἐπὶ μὲν τετραπλᾶς ποιοῦσι τρισκαιδεκαπλᾶς, ἐπὶ δὲ τριπλᾶς γενόμεναι ποιοῦσιν δωδεκαπλᾶς, καὶ ὁμοίως ἐπὶ διπλᾶς πολλαπλασιασθεῖσαι γίνονται ἑνδεκαπλαῖ ***] ταῦτα γὰρ πάντα προδέδεικται.
25 Φατέον οὖν τὸν ἐξ ἀρχῆς στίχον Ἀρτέμιδος κλεῖτε κράτος ἔξοχον ἐννέα κοῦραι πολλαπλασιασθέντα δι’ ἀλλήλων δύνασθαι μυριάδων πλῆ‐ θος τρισκαιδεκαπλῶν ρϙϛʹ, δωδεκαπλῶν τξηʹ, ἑνδεκαπλῶν ͵δωʹ, συμφώνως τοῖς ὑπὸ Ἀπολλωνίου κατὰ τὴν μέθοδον
30ἐν ἀρχῇ τοῦ βιβλίου προγεγραμμένοις.

2

.

26

 Πάλιν δεδόσθω στίχος ὁ ὑποκείμενος Μῆνιν ἄειδε θεὰ Δημήτερος ἀγλαοκάρπου, καὶ εἰλήφθω τά τε ἀνάλογα καὶ οἱ πυθμένες ἅμα ταῖς μο‐ νάσιν ὥσπερ ὑπόκεινται
5δʹ ηʹ εʹ αʹ εʹ αʹ εʹ αʹ δʹ εʹ θʹ εʹ αʹ δʹ ηʹ δʹ ηʹ γʹ εʹ αʹ ζʹ βʹ αʹ γʹ γʹ αʹ ζʹ βʹ αʹ αʹ ηʹ ζʹ δʹ, καὶ πεπολλαπλασιάσθωσαν δι’ ἀλλήλων οἱ ἀριθμοί· γίνον‐ ται τετραπλαῖ μυριάδες δύο, τριπλαῖ ͵αωμθʹ, διπλαῖ ͵δυβʹ, ἁπλαῖ ͵εχʹ.
10[Omitted graphic marker]

2

.

28

(13)

 Τῶν δὴ ἀναλόγων κβʹ καὶ μετρουμένων ὑπὸ τετράδος [καὶ δυάδος ὑπολειπομένης] ὅσαι μονάδες γεγόνασιν [μέτρῳ
15εἰς εʹ], τοσαυτάκις αὐξήσομεν τὸν ἐκβάντα διά τε τῶν μο‐ νάδων καὶ [διὰ τῶν πεπολλαπλασιασμένων] πυθμένων ἀριθ‐ μόν (λέγω δὲ τοσαυτάκις κατὰ μυριάδων αὔξησιν), ὥστε γίνεσθαι τὸν πρότερον ὑπάρχοντα μυριάδων τετραπλῶν δύο, τριπλῶν ͵αωμθʹ, διπλῶν ͵δυβʹ καὶ ἁπλῶν ͵εχʹ, νῦν ἐνναπλῶν
20βʹ, ὀκταπλῶν, ͵αωμθʹ, ἑπταπλῶν ͵δυβʹ, ἑξαπλῶν ͵εχʹ. Ὅτι δὲ περιλέλειπται τῶν ἀναλόγων δύο, ἅπερ ἐστὶ τῆς ἑκατοντάδος, τοσαυτάκις αὐξήσομεν τὸν εἰρημένον ἀριθ‐ μόν, ὥστε εἶναι μυριάδων ἐνναπλῶν σιηʹ, ὀκταπλῶν ͵δϡμδʹ, ἑπταπλῶν σνϛʹ.
25 Ῥητέον οὖν τὸν ἐξ ἀρχῆς στίχον Μῆνιν ἄειδε θεὰ Δημήτερος ἀγλαοκάρπου πολλαπλασιασθέντα δύνασθαι μυριάδων πλῆθος ἐνναπλῶν
σιηʹ, ὀκταπλῶν ͵δϡμδʹ, ἑπταπλῶν σνϛʹ.

3

.

30

(1t)

ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Γ.
2nΠεριέχει δὲ προβλήματα γεωμετρικὰ ἐπίπεδά τε καὶ στερεά.
3 Οἱ τὰ ἐν γεωμετρίᾳ ζητούμενα βουλόμενοι τεχνικώτερον διακρίνειν, ὦ κράτιστε Πανδροσίον, πρόβλημα μὲν ἀξιοῦσι
5καλεῖν ἐφ’ οὗ προβάλλεταί τι ποιῆσαι καὶ κατασκευάσαι, θεώρημα δὲ ἐν ᾧ τινῶν ὑποκειμένων τὸ ἑπόμενον αὐτοῖς καὶ πάντως ἐπισυμβαῖνον θεωρεῖται, τῶν παλαιῶν τῶν μὲν προβλήματα πάντα, τῶν δὲ θεωρήματα εἶναι φασκόντων. ὁ μὲν οὖν τὸ θεώρημα προτείνων συνιδὼν ὁντινοῦν τρόπον
10τὸ ἀκόλουθον τούτῳ ἀξιοῖ ζητεῖν καὶ οὐκ ἂν ἄλλως ὑγιῶς προτείνοι, ὁ δὲ τὸ πρόβλημα προτείνων [ἂν μὲν ἀμαθὴς ᾖ καὶ παντάπασιν ἰδιώτης], κἂν ἀδύνατόν πως κατασκευασθῆναι προστάξῃ, σύγγνωστός ἐστιν καὶ ἀνυπεύθυνος. τοῦ γὰρ ζητοῦντος ἔργον καὶ τοῦτο διορίσαι, τό τε δυνατὸν καὶ τὸ
15ἀδύνατον, κἂν ᾖ δυνατόν, πότε καὶ πῶς καὶ ποσαχῶς δυ‐ νατόν. ἐὰν δὲ προσποιούμενος ᾖ τὰ μαθήματά πως ἀπεί‐ ρως προβάλλων, οὐκ ἔστιν αἰτίας ἔξω. πρῴην γοῦν τινες τῶν τὰ μαθήματα προσποιουμένων εἰδέναι διὰ σοῦ τὰς τῶν προβλημάτων προτάσεις ἀμαθῶς ἡμῖν ὥρισαν. περὶ ὧν
20ἔδει καὶ τῶν παραπλησίων αὐτοῖς ἀποδείξεις τινὰς ἡμᾶς εἰπεῖν εἰς ὠφέλειαν σήν τε καὶ τῶν φιλομαθούντων ἐν τῷ τρίτῳ τούτῳ τῆς συναγωγῆς βιβλίῳ. τὸ μὲν οὖν πρῶτον τῶν προβλημάτων μέγας τις γεωμέτρης εἶναι δοκῶν ὥρισεν ἀμαθῶς· τὸ γὰρ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον
25ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ λαβεῖν ἔφασκεν εἰδέναι δι’ ἐπιπέδου

3

.

32

θεωρίας, ἠξίου δὲ καὶ ἡμᾶς ὁ ἀνὴρ ἐπισκεψαμένους ἀπο‐ κρίνασθαι περὶ τῆς ὑπ’ αὐτοῦ γενηθείσης κατασκευῆς, ἥτις ἔχει τὸν τρόπον τοῦτον. αʹ. Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλή‐
5λαις, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΒΔ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ, καὶ συμ‐ πιπτέτω τῇ ΒΑ κατὰ τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΑΓ παράλ‐ ληλος ἡ ΕΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΔ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ΔΗ, καὶ κείσθωσαν τῇ ΒΔ ἴσαι αἱ
10ΔΝ ΝΛ ΛΞ ΞΚ, καὶ διὰ τῶν Ν Λ Ξ Κ σημείων τῇ ΒΕ παράλληλοι αἱ ΝΟ ΛΜ ΞΠ ΚΘ, καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΚΡ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΚΡ κατὰ τὸ Σ, καὶ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, οὕτως ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ, ὡς δὲ ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ, οὕτως ἡ ΘΤ πρὸς ΘΦ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΞΠ τῇ ΑΒ
15ἴση ἡ ΧΞ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΧΚ καὶ ἡ ΧΦ, καὶ ἀπὸ τοῦ Σ τῇ ΧΦ παράλληλος ἡ ΣΨ, ἀπὸ δὲ τοῦ Ψ τῇ ΚΞ παράλ‐ ληλος ἡ ΨΩ, καὶ ἔστω ὡς ΛΜ πρὸς ΜΩ, οὕτως ἡ ΩΜ πρὸς ΜΑ͵. ὡς δὲ ἡ ΩΜ πρὸς ΜΑ͵, οὕτως ἡ Α͵Μ πρὸς ΜΒ͵, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΟΝ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΝΓ͵, καὶ ἐπε‐
20ζεύχθω ἡ Γ͵Λ καὶ ἡ Γ͵Β͵, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ω τῇ Β͵Γ͵ παράλληλος ἡ ΩΔ͵, ἀπὸ δὲ τοῦ Δ͵ τῇ ΛΝ παράλληλος ἡ Δ͵Ε͵, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΔΗ πρὸς ΗΕ͵, οὕτως ΗΕ͵ πρὸς ΗΖ͵, ὡς δὲ ἡ Ε͵Η πρὸς ΗΖ͵, οὕτως ἡ Ζ͵Η πρὸς ΗΘ͵, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Θ͵Γ, καὶ ἤχθωσαν τῇ Θ͵Γ παράλληλοι αἱ Ζ͵Κ͵ Ε͵Λ͵, ι
25ἀπὸ τῶν Κ͵ Λ͵ ταῖς ΑΓ ΒΔ παράλληλοι αἱ Κ͵Μ͵ Λ͵Ν͵·
δεῖξαι ὅτι τῶν ΑΓ ΒΔ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ Μ͵Κ͵ Ν͵Λ͵.

3

.

34

 Ταῦτα μὲν οὖν ἐκεῖνος γράψας ἐξέδωκεν ἡμῖν μὴ περι‐ έχοντα καὶ τὴν ἀπόδειξιν τοῦ προκειμένου προβλήματος. ἐπειδὴ δὲ καὶ Ἱέριος ὁ φιλόσοφος καὶ ἄλλοι πολλοὶ τῶν αὐτοῦ μὲν ἑταίρων ἐμοὶ δὲ γνωρίμων ἠξίωσαν ἀποκρίνα‐
5σθαί με τέως περὶ τῆς προκειμένης κατασκευῆς, ἐκείνου τὴν ἀπόδειξιν ἐπαγγειλαμένου ποιήσασθαι, τοσοῦτον ἔχω τὸ νῦν εἰπεῖν, ὡς οὐ δεόντως, ἀλλ’ ἀπείρως ἐχρήσατο τῇ κατασκευῇ. διχοτομήσας γὰρ τὴν ΡΚ εὐθεῖαν τῷ Σ καὶ ποιήσας ὡς μὲν τὴν ΚΘ εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΘΣ, οὕτως τὴν
10ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ, ἐποίησεν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ καὶ τὴν ΤΘ πρὸς τὴν ΘΦ. πᾶσα δὲ ἀνάγκη μήτ’ ἐκεῖνον εὑρίσκειν τὸ σημεῖον τῆς τομῆς τοῦ τρίτου λόγου, ὡς τὸ Φ, μήθ’ ἡμᾶς. τῆς δὲ τοιαύτης ἀπορίας παρὰ τὴν αὐτοῦ αἰτίαν ἐπακολου‐ θούσης ἐνεφάνισεν ἑαυτὸν μηδὲ τοῦτο συνιδόντα τὸ ἀκόλου‐
15θον. ἀδυνάτου γὰρ ὄντος ὁρισθῆναι τὸ τῆς τομῆς σημεῖον, ὡς τὸ Φ τοῦ τρίτου λόγου, μὴ πρότερον ὑποτεθέντος τοῦ λόγου ὃν ἔχει ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ, τουτέστιν τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὐ μόνον αὐτὸς πειρᾶται ζητεῖν τὸ ἀδύνατον, ἀλλὰ καὶ ἡμᾶς ἀξιοῖ. ὑποτεθέντος μέντοι τοῦ
20λόγου τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ, τουτέστιν ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, καὶ δοθείσης τῆς ΚΘ, δέδοται ἡ ἐλάσσων εὐθεῖα τοῦ τρίτου λόγου. καὶ δοθέν ἐστιν τὸ Θ σημεῖον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἕτερον πέρας τῆς ἐλαχίστης. καὶ ὅτι ἤτοι μεταξὺ πίπτει τῶν Θ Ρ ἢ μεταξὺ τῶν Ρ Τ δῆλόν
25ἐστιν. [ὅτι γὰρ καὶ τὸ Τ μεταξὺ πίπτει τῶν Ρ Σ δείξομεν,

3

.

36

καὶ πρότερον ὅτι τὸ Φ σημεῖον ποτὲ μὲν μεταξὺ τῶν Θ Ρ ποτὲ δὲ μεταξὺ τῶν Ρ Τ παρὰ τὴν ὑπόθεσιν τοῦ λόγου ὃν ἔχει ἡ ΚΘ δοθεῖσα πρὸς τὴν ΘΡ.] Ὑποκείσθω γὰρ ὁ δοθεὶς λόγος πρότερον διπλάσιος
5[τῆς ΚΘ πρὸς τὸν ΘΡ, τουτέστιν τῆς ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, ἢ τῆς ΒΔ πρὸς ΑΓ]· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ ὃν ἔχει τὰ βʹ πρὸς τὸ αʹ, τουτέστιν ὃν δʹ πρὸς βʹ· καὶ τῆς ΚΘ ἄρα πρὸς ΘΣ λόγος ἐστὶν ὃν δʹ πρὸς γʹ· καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, τουτέστιν ὡς δʹ πρὸς γʹ, οὕτως ἡ ΘΣ
10πρὸς ΘΤ, τουτέστιν ὡς γʹ πρὸς βʹ καὶ δʹʹ. ὡς δὲ καὶ τὰ γʹ πρὸς τὰ βʹ καὶ δʹʹ, οὕτως αὐτὰ τὰ βʹ δʹʹ πρὸς ἄλλην [ἐὰν γένηται, ἔσται πρὸς] ἐλάσσονα τῶν δύο μονάδων τῆς ΘΡ, ὥστε τὴν ἐλάσσονα εὐθεῖαν τοῦ τρίτου λόγου [καὶ πα‐ σῶν ἐλαχίστην] ἐλάσσονα εἶναι τῆς ΘΡ, καὶ τὸ τῆς τομῆς
15σημεῖον, ὡς τὸ Φ, μεταξὺ πίπτειν τῶν Θ Ρ. Ἀλλὰ δὴ ὁ δοθεὶς λόγος ἔστω τετραπλάσιος· λόγος ἄρα τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ ὃν ἔχει τὰ ηʹ πρὸς βʹ· καὶ τῆς ΘΚ ἄρα πρὸς ΘΣ λόγος ὃν ἔχει τὰ ηʹ πρὸς τὰ εʹ. καὶ ἔστιν ὡς τὰ ηʹ πρὸς τὰ εʹ, οὕτως τὰ εʹ πρὸς τὰ γʹ καὶ ηʹʹ· ὡς
20δὲ τὰ εʹ πρὸς τὰ γʹ καὶ τὸ ηʹʹ, οὕτως τὰ γʹ καὶ τὸ ηʹʹ πρὸς ἐλάσσονα τῶν δύο, ὥστε πάλιν ἡ τομὴ τοῦ τρίτου λόγου μεταξὺ πίπτει τῶν Θ Ρ. Πάλιν ὑποκείσθω λόγος τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ πεντα‐ πλάσιος· λόγος ἄρα τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ ὃν δέκα πρὸς δύο·
25καὶ τῆς ΚΘ ἄρα πρὸς τὴν ΘΣ λόγος ἐστὶν ὃν τὰ ιʹ πρὸς τὰ ϛʹ. καὶ ἔστιν ὡς μὲν τὰ ιʹ πρὸς τὰ ϛʹ, οὕτως αὐτὰ τὰ
ϛʹ πρὸς τὰ γʹ 𐅶 ιʹʹ· ὡς δὲ τὰ ϛʹ πρὸς τὰ γʹ 𐅶 ιʹʹ, οὕτως

3

.

38

αὐτὰ τὰ γʹ 𐅶 ιʹʹ πρὸς μείζονά τινα τῶν δύο. καὶ ἔστιν ἡ ΘΡ αὐτῶν τῶν δύο· μεταξὺ ἄρα τῶν Ρ Τ τὸ σημεῖον πίπτει τῆς τομῆς τοῦ τρίτου λόγου. Καὶ δῆλον ὡς πάντες μὲν οἱ ἐλάσσονες τοῦ τετρα‐
5πλασίου λόγου ποιοῦσιν τὴν τοιαύτην τομὴν μεταξὺ τῶν Ρ Θ, πάντες δὲ οἱ μείζους τοῦ πενταπλασίου ποιοῦσι τὸ σημεῖον τῆς τομῆς μεταξὺ τῶν Ρ Τ, ὡς καὶ λῆμμα περὶ τῆς τοιαύτης ἀναλογίας χρήσιμον ὑπέταξα. Ἐπεὶ οὖν ἐδείξαμεν τὸ τῆς τομῆς σημεῖον, ὡς τὸ Φ,
10ποτὲ μὲν μεταξὺ πῖπτον τῶν Θ Ρ ποτὲ δὲ μεταξὺ τῶν Ρ Τ, τοῦ τοιούτου μηδαμῶς ὑπ’ αὐτοῦ θεωρηθέντος δι’ ἣν εἴ‐ πομεν αἰτίαν [αὐτὸς δὲ λέγει δεικνύναι τὸ προκείμενον, ἐάν τε μεταξὺ τῶν Θ Ρ ᾖ τὸ Φ σημεῖον ἐάν τε μεταξὺ τῶν Ρ Τ], ἐκεῖνο χρὴ πρὸ πάντων σκοπεῖν ὅτι, ὅπου ἂν λάβῃ
15τὸ Φ, ἤτοι κάτω τοῦ Ρ ἢ ἄνω, οὐκ ἔσται ὡς ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, οὕτως καὶ ἡ ΤΘ πρὸς ΘΡ. ἐὰν οὖν λέγῃ “γεγενήσθω ὡς μὲν ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΣ, οὕτως ἡ ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ, καὶ ἡ ΤΘ πρὸς τὴν ΘΡ,” αὐ‐ τόθεν ἐλέγχεται τὸ ζητούμενον ὁμολογούμενον λαβών. ἐκ‐
20βληθείσης γὰρ τῆς ΞΚ καὶ ἴσης τεθείσης τῇ ΞΚ τῆς ΚΜα, καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΜαΘ καὶ παραλλήλων ἀχθεισῶν τῇ ΚΜα διὰ τῶν Σ καὶ Τ καὶ Ρ σημείων, γεγονὸς ἔσται τὸ ζητούμενον καὶ δῆλόν πως. ἔσται γὰρ καὶ ὡς ἡ ΚΜα πρὸς
ΣΜβ, οὕτως ἡ ΣΜβ πρὸς ΤΜΓ καὶ ἡ ΤΜΓπρὸς τὴν ΡΜδ.

3

.

40

καὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΚΜα τῇ ΒΔ, ἡ δὲ ΚΡ τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΚΘ, ὥστε καὶ τὴν ΑΓ ἴσην εἶναι τῇ ΡΜδ καὶ ηὑρῆ‐ σθαι δύο τῶν ΑΓ ΒΔ, τουτέστιν δύο τῶν ΚΜα ΡΜδ, δύο μέσας ἀνάλογον τὰς ΣΜβ ΤΜΓ, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. εὐ‐
5θείας γὰρ οὔσης τῆς ΘΚ καὶ σημείου ἐπ’ αὐτῆς τοῦ Ρ, ἀδύνατόν ἐστι δι’ ἐπιπέδου θεωρίας λαβεῖν μεταξὺ τῶν Ρ Κ δύο σημεῖα ὡς τὰ Τ Σ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΚΘ πρὸς τὴν ΘΣ, οὕτως τὴν ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ, καὶ τὴν ΤΘ πρὸς τὴν ΘΡ. ὥστε, κἂν τὸ Ζ λάβῃ ἀντὶ τοῦ Σ, καὶ οὕτως
10ἀδύνατον ἔσται τὸ πρόβλημα· στερεὸν γάρ ἐστιν τῇ φύσει. διὰ τοῦτο δέ, οἶμαι, καὶ αὐτὸς εἰδὼς ὅτι τὸ ζητούμενον ὁμολογούμενον λαμβάνεται, οὐκ ἐτόλμησεν εἰπεῖν “τὸ ἕτερον πέρας τῆς ἐλαχίστης εὐθείας ἔστω τὸ Ρ,” ἀνωτέρω δέ, τουτέστι μεταξὺ τῶν Ρ Θ, λαβὼν αὐτὸ κατὰ τὸ Φ, ἀπο‐
15πληροῖ τὰ λοιπὰ τῆς κατασκευῆς ὡς βούλεται καὶ οὐδὲν ἧττον εἰς τὸ ἐξ ἀρχῆς ἄπορον ἐμπίπτει λανθανόμενος. οὐ γὰρ ἑκὼν ψευδογραφεῖ διὰ πλειόνων εἰς ἀπάτην τῶν ἐν‐ τυγχανόντων, ἀλλ’ ἑαυτὸν παραλογιζόμενος, ὡς δείξω πρό‐ τερον κατὰ τὸν ὑγιῆ τρόπον ἐφοδεύσας τὸ προκείμενον
20[καὶ ὕστερον ἐλέγχων αὐτοῦ τὴν ὑπόθεσιν μὴ ὑγιῶς εἰλημ‐ μένην]. Ἐπεὶ τοίνυν δοθείς ἐστιν ὁ τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ λόγος καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΘΚ (τοῦτο γὰρ ὑποκεῖσθαι δεῖ), δο‐ θεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΘΡ καὶ λοιπὴ ἡ ΡΚ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΣΡ
25ἡμίσεια οὖσα τῆς ΡΚ· ἦν δὲ καὶ ἡ ΡΘ δοθεῖσα· καὶ ὅλη

3

.

42

ἄρα ἡ ΘΣ δοθεῖσά ἐστιν, ὥστε καὶ ὁ λόγος τῆς ΚΘ πρὸς ΘΣ δοθείς ἐστιν. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΣ, ἡ ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ, καὶ δοθεῖσα δέδεικται ἡ ΘΣ, δοθεῖσα ἄρα ἔσται καὶ ἡ ΤΘ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΦ δοθεῖσα
5ἔσται, ὥστε καὶ ἡ διαφορὰ τῶν ΘΡ ΘΦ εὐθειῶν δοθεῖσά ἐστιν. εὑρήσθω οὖν τὸ Φ μεταξὺ τῶν Θ Ρ, ὡς καὶ διὰ τῶν ἀριθμῶν ἐδείχθη. καὶ ἐπεὶ δέδοται ἡ ΦΡ διαφορὰ καὶ ἡ τὰ Ρ Χ ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα ἴση οὖσα τῇ ΞΚ, δοθὲν ἄρα τὸ ΦΧΡ τρίγωνον ὀρθογώνιον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει. δοθεῖσα
10ἄρα ἡ ὑπὸ ΡΦΧ γωνία, καὶ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΚΣΨ ἐκτὸς γωνίᾳ· ἐκβληθείσης ἄρα καὶ τῆς ΩΨ ἐπὶ τὸ Ζ, δοθὲν ἔσται τὸ ΣΖΨ τρίγωνον ὀρθογώνιον τῷ εἴδει. ἀλλὰ καὶ τῷ μεγέ‐ θει [οὕτως· ἐπεὶ γὰρ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΡΚ ΡΧ, δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ ΧΚ. καὶ λόγος ἐστὶν δοθεὶς τῆς ΧΚ
15πρὸς τὴν ΚΨ (ὁ αὐτὸς γάρ ἐστιν τῷ τῆς ΦΚ πρὸς τὴν ΚΣ λόγῳ δοθέντι)· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΨΚ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΨΣ δοθεῖσά ἐστιν, ἐπεὶ καὶ ὡς ἡ ΦΚ πρὸς τὴν ΚΣ, οὕτως ἡ ΦΧ πρὸς τὴν ΨΣ· καὶ δοθεῖσα δέδεικται ἡ ΦΧ· δοθεῖσα οὖν. ἐστιν καὶ ἡ ΨΣ. ἦν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΨΣΚ γωνία δοθεῖσα,
20ὥστε καὶ τὸ ΨΣΖ τρίγωνον ὀρθογώνιον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένον ἔσται]. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΨΖ, παράλ‐ ληλος οὖσα τῇ ΞΚ καὶ ἐπ’ εὐθείας τῇ ΨΩ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΩΛ ἴση οὖσα τῇ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΜΛ, ἐλάσσων δὲ ἡ ΩΛ τῆς ΣΚ (ἴση γὰρ ἡ ΩΛ τῇ ΚΖ),
25καὶ ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, οὕτως ἡ ΣΘ πρὸς τὴν
ΘΤ καὶ ἡ ΤΘ πρὸς τὴν ΘΦ, ὡς δὲ ἡ ΛΜ πρὸς ΜΩ,

3

.

44

ἡ ΜΩ πρὸς τὴν ΜΑ͵ καὶ ἡ Α͵Μ πρὸς τὴν ΜΒ͵, ἔσται ἄρα μείζων ἡ ΜΒ͵ τῆς ΘΦ (καὶ τοῦτο γὰρ ἑξῆς δειχθήσεται)· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Β͵Λ τῆς ΦΚ ἐλάσσων. ἐπεὶ οὖν πάλιν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΩΛ [ἐδείχθη ἴση γὰρ τῇ ΖΚ δοθείσῃ],
5δοθεῖσα δὲ καὶ ἡ ΛΜ (ὅτι καὶ ἡ ΚΘ), καὶ λόγος ἄρα τῆς ΛΜ πρὸς ΜΩ δοθείς. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΛΜ πρὸς τὴν ΜΩ, καὶ ἡ ΩΜ πρὸς τὴν ΜΑ͵, καὶ δοθεῖσα ἡ ΩΜ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΜΑ͵. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΜΒ͵ δοθεῖσά ἐστιν, ὥστε καὶ τὸ Β͵ σημεῖον δοθέν ἐστιν, ὅπερ ἔστω ὑποκεί‐
10μενον, ὅπου βούλεται, ἤτοι μεταξὺ τῶν ϛ Μ, ὡς νῦν ἐστιν, ἢ μεταξὺ τῶν ϛ Α͵, τῆς ϛΛ ἴσης ὑποκειμένης ἑκατέρᾳ τῶν ΚΡ ΑΒ ***. εἰ γὰρ λέγει τὸ Β͵ πίπτειν κατὰ τὸ ϛ, τὸ ζητούμενον οὐδὲν ἧττον ὡς ὁμολογούμενον λαμβάνει. φαί‐ νεται γὰρ πάλιν ἐπὶ θέσει δεδομένης εὐθείας τῆς ΜΛ,
15καὶ σημείου τινὸς ἐν αὐτῇ δοθέντος τοῦ ϛ, λαβὼν μεταξὺ δύο σημεῖα τὰ Ω Α͵ καὶ ποιήσας ὡς τὴν ΛΜ πρὸς ΜΩ, τὴν ΩΜ πρὸς τὴν ΜΑ͵ καὶ τὴν ΜΑ͵ πρὸς τὴν Μϛ, ὅπερ οὐδεὶς αὐτῷ συγχωρεῖ. τοῦτο γὰρ καὶ οἱ παλαιοὶ ζητοῦντες ἠπόρησαν διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεῖν, ὡς καὶ αὐτὸς δείξω
20παραθέμενος τὰς ἐκείνων φωνάς. καὶ αὐτὸς δὲ οὐδὲν ἔχει
λέγειν ἀνασκευαστικόν, ἐὰν λέγωμεν αὐτῷ “εἰ τὸ ϛ ἐξ

3

.

46

ἀνάγκης τὸ τῆς τομῆς σημεῖον τοῦ τρίτου λόγου, δεῖξον ὅτι οὔτε μεταξὺ τῶν ϛ Α͵ δύναται πίπτειν οὔτε μεταξὺ τῶν Μ ϛ.” ἡμεῖς γὰρ ἀπεδείξαμεν ἐν ἀρχῇ καὶ ἄνω τοῦ Ρ καὶ κάτω τὸ σημεῖον [πίπτει γὰρ παρὰ τὴν ὑπόθεσιν τοῦ
5λόγου]. ὁμοίως οὖν τῆς ἀναλύσεως προχωρούσης ἐκ τοῦ δεδόσθαι τὸ ϛΒ͵Γ͵ τρίγωνον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει, κἂν τὸ Β͵ τῆς τομῆς σημεῖον μεταξὺ ᾖ τῶν ϛ Α͵, δεδομένου δὲ καὶ τοῦ Δ͵ΩΛ τριγώνου, ὁμοίως δὲ τοῖς πρότερον καὶ τῆς ΔΕ͵ δεδομένης, ἔσται δοθεὶς καὶ ὁ τῆς ΔΗ πρὸς τὴν ΗΕ͵
10λόγος, τουτέστιν ὁ τῆς Ε͵Η πρὸς τὴν ΗΖ͵, τουτέστιν ὁ τῆς Ζ͵Η πρὸς τὴν ΗΘ͵. καὶ οὐδαμῶς πάλιν ὁ τῆς ΔΗ πρὸς τὴν Ηϡ, ἴσης ὑποκειμένης καὶ νῦν τῇ ΚΡ, τουτέστιν τῇ ΑΒ, τῆς Δϡ, κἂν τὸ Θ͵ μεταξὺ βούληται πίπτειν τῶν Ζ͵ ϡ. οὐδὲν γὰρ ἕξει καὶ ὧδε λέγειν ἀνασκευαστικόν, ἀκούων παρ’
15ἡμῶν “δεῖξον ὅτι μήτε μεταξὺ τῶν ϡ Η μήτε μεταξὺ τῶν ϡ Ζ͵ πίπτει.” εἰ δὲ κατὰ συγχώρησιν ἁπλῶς τὸ τῆς τοι‐ αύτης τομῆς σημεῖον εἶναι κατὰ τὸ ϡ βούλεται, τὸ ζητού‐ μενον καὶ νῦν ὡς ὁμολογούμενον ἔλαβεν. μὴ διδομένου δ’ αὐτῷ τὴν τομὴν εἶναι κατὰ τὸ ϡ σημεῖον (ἐπεὶ μηδὲ κατὰ
20τὸ Ρ συνεχωροῦμεν ἐπὶ τῆς ΚΘ ποιούμενοι τὴν δεῖξιν), εἰ καὶ ἄλλο τι μεταξὺ τῶν Ε͵ Η λαβεῖν ἐβούλετο, ὡς τὸ Ζ͵,
αὐτὸς οὐκ οἶδά πως ἀπατηθεὶς τὸ Θ͵ ἔλαβεν. ὡς βούλεται

3

.

48

δέ, κείσθω χωρὶς τοῦ εἶναι κατὰ τὸ ϡ. καὶ ἐπιζεύξας τὴν Θ͵Γ, καὶ παραλλήλους ἀγαγὼν τῇ μὲν ΓΘ͵ τὰς Ζ͵Κ͵ Ε͵Λ͵, διὰ δὲ τῶν Κ͵ Γ͵ παραλλήλους τῇ ΑΓ τὰς Κ͵Μ͵ Λ͵Ν͵, δῆ‐ λον ποιεῖ μὴ νενοηκέναι τὸ πρόβλημα. παραλλήλου γὰρ μὴ
5γενομένης τῇ ΕΗ τῆς Θ͵Γ ἡ ὑπὸ ΓΘ͵Η γωνία ἀμβλεῖα μέν ἐστι τοῦ Θ͵ μεταξὺ τῶν Η ϡ πίπτοντος, ὀξεῖα δὲ τοῦ Θ͵ μεταξὺ τῶν ϡ Ζ͵ ὄντος· ἡ γὰρ πρὸς τῷ ϡ γωνία ὀρθή ἐστι, καθ’ ἣν μόνως γίνεται τὸ πρόβλημα, ἐάν τις συγχω‐ ρήσῃ, καθὰ πολλάκις εἴπομεν, ἐπὶ θέσει δεδομένης εὐθείας
10τῆς ΔΗ, καὶ σημείου δοθέντος τοῦ ϡ, λαβεῖν δύο σημεῖα ὡς Ε͵ Ζ͵, ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὴν ΔΗ πρὸς τὴν ΗΕ͵, οὕτως τὴν ΗΕ͵ πρὸς ΗΖ͵, καὶ τὴν ΗΖ͵ πρὸς τὴν Ηϡ. μὴ διδομένου δὲ τούτου ἀδύνατον ἔσται τὸ προταθὲν ὑπ’ αὐτοῦ διὰ τῶν ἐπι‐ πέδων εὑρεθῆναι, ὡς καὶ διὰ τῶν ἀριθμῶν αὐτῶν ἀκολούθως
15τῇ ἀναλύσει τοῖς βουλομένοις ἐξέσται πεισθῆναι, χρωμένοις τῷ Πτολεμαίου κανόνι περὶ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν. ἀλλὰ τοῦ‐ τον μὲν ἀπορεῖν ὁμοίως τοῖς ἄλλοις βέλτιον ἦν ἤπερ οὕτως εὑρίσκειν, ἡμεῖς δὲ τὰ ὑπερτεθέντα νῦν δείξομεν. βʹ. Ἔστω τις εὐθεῖα ἡ ΑΗ τετμημένη εἰς ἴσα κατὰ
20τὰ Β Γ Δ Ε Ζ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, ἡ ΒΓ πρὸς τὸ ἥμισυ τῆς ΒΓ, ὡς δὲ ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ καὶ τὸ τρίτον τῆς ΓΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ καὶ τὸ τέταρτον τῆς ΓΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΓ καὶ τὸ πέμπτον
25τῆς ΓΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΓ καὶ τὸ ἕκτον τῆς ΓΒ. Ἔστι δὲ φανερὸν τῶν ἀριθμῶν παραληφθέντων *** καὶ ἀεὶ οὕτως, ὅτι ὡς ὁ δοθεὶς τῶν ἴσων εὐθειῶν ἀριθμὸς ἀπὸ τοῦ Α πρὸς τὸν μονάδι ἐλάσσονα, οὕτως ὁ μονάδι
30ἐλάσσων πρὸς τὸν μονάδι αὐτοῦ ἐλάσσονα καὶ τῆς ΓΒ μό‐
ριον ὁμώνυμον τῷ δοθέντι πλήθει τῶν ἴσων εὐθειῶν.

3

.

50

 γʹ. Ἕστωσαν ἴσαι εὐθεῖαι αἱ Α Β, μείζων δὲ ἡ ΓΔ τῆς Ν [ἐλάσσων οὖσα ἑκατέρας τῶν Α Β], καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ἡ Α πρὸς τὴν ΓΔ, ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, καὶ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, ὡς δὲ ἡ Β πρὸς τὴν Ν, ἡ Ν πρὸς τὴν Π
5καὶ ἡ Π πρὸς τὴν Ρ· λέγω ὅτι ἡ Ρ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ΗΘ. Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΓΔ τῆς Ν, κείσθω τῇ Ν ἴση ἡ ΓΚ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΓΚ, ἡ Β πρὸς τὴν Ν. καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΓΔ, ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ, γεγενήσθω ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΓΚ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς ΕΛ. ἔστι δὲ
10καὶ ὡς ἡ Β πρὸς Ν, ἡ Ν πρὸς Π, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Α τῇ Β, ἡ δὲ ΓΚ τῇ Ν· δι’ ἴσου ἄρα καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΕΛ, ἡ Β πρὸς τὴν Π· ἴση ἄρα ἡ ΕΛ τῇ Π. διὰ τὰ αὐτὰ δή, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΗΘ, ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς τὴν
15ΕΛ, καὶ ἡ ΕΛ πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΗΘ. ἔστω πρὸς τὴν ΗΜ· ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΕΛ, ἡ. ΕΛ πρὸς τὴν ΗΜ, ὡς δὲ ἡ Ν πρὸς τὴν Π, οὕτως ἡ Π πρὸς τὴν Ρ, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ Ν, ἡ δὲ ΕΛ τῇ Π, ἴση ἄρα καὶ ἡ Ρ τῇ ΗΜ· ἐλάσσων ἄρα ἡ Ρ τῆς ΗΘ.
20Ἄλλως τὸ αὐτό. δʹ. Ἔστω ἴση ἡ Α τῇ Ε, μείζων δὲ ἡ Β τῆς Ζ, καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Β πρὸς Γ καὶ ἡ Γ πρὸς Δ, ὡς δὲ ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ, ἡ Ζ πρὸς τὴν Η, καὶ ἡ Η πρὸς τὴν Θ· ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ Δ τῆς Θ.
25 Ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ Β τῆς Ζ, ἴση δὲ ἡ Α τῇ Ε, ἡ Β ἄρα πρὸς τὴν Α μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς τὴν Ε. ἀνάπαλιν ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ. ὡς δὲ ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Β πρὸς Γ· καὶ ἡ Β
ἄρα πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ. ὡς δὲ

3

.

52

ἡ Ε πρὸς Ζ, οὕτως ἡ Ζ πρὸς Η· καὶ ἡ Β ἄρα πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς Η. ὡς δὲ ἡ Β πρὸς Γ, οὕτως ἡ Γ πρὸς Δ· καὶ ἡ Γ ἄρα πρὸς Δ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς Η. ὡς δὲ ἡ Ζ πρὸς Η, οὕτως ἡ Η
5πρὸς Θ· καὶ ἡ Γ ἄρα πρὸς Δ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Η πρὸς Θ. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ, ἡ δὲ Β πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς Η, ἡ δὲ Γ πρὸς Δ ἐλάσσονα ἤπερ ἡ Η πρὸς Θ, δι’ ἴσου ἄρα ἡ Α πρὸς Δ ἐλάσσονα λόγον
10ἔχει ἤπερ ἡ Ε πρὸς Θ διὰ τὸ ἑξῆς. καὶ ἔστιν ἴση ἡ Α τῇ Ε· μείζων ἄρα ἡ Δ τῆς Θ, ὅπερ· ⁓ εʹ. Ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ Γ πρὸς Δ· ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἡ Α πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς τὴν Δ.
15 Πεποιήσθω ὡς ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς Ε· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῆς Δ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς Ε, ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς Γ, οὕτως ἡ Β πρὸς Ε. ἡ δὲ Β πρὸς Ε ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς Δ· καὶ ἡ Α ἄρα πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον
20ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς Δ. ϛʹ. Τούτου δειχθέντος ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ Δ πρὸς Ε, ἐχέτω δὲ καὶ ἡ Β πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ· ὅτι καὶ δι’ ἴσου ἡ Α πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Δ πρὸς Ζ.
25 Ἐπεὶ γὰρ ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Δ πρὸς Ε, ἐναλλὰξ ἡ Α πρὸς Δ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς Ε. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ Β πρὸς Ε ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς Ζ. ἐπεὶ οὖν ἡ Α πρὸς Δ πολλῷ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς Ζ, ἐναλλὰξ ἡ Α πρὸς Γ ἐλάσσονα
30λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Δ πρὸς Ζ, ὅπερ· ⁓
ζʹ. Ἃ μὲν οὖν ἔδει με προειπεῖν ἐστιν ταῦτα, παρεὶς

3

.

54

δὲ κρίνειν σοί τε καὶ τοῖς ἐν γεωμετρίᾳ γεγυμνασμένοις τὰ ὑπ’ ἐκείνου προγραφέντα περὶ τῆς κατασκευῆς καὶ τὰ ὑφ’ ἡμῶν ἐπενεχθέντα, καλῶς ἔχειν ἡγοῦμαι καὶ τὰ δόξαντα τοῖς ἀρχαίοις περὶ τοῦ προειρημένου προβλήματος ἐκθέσθαι
5καὶ πρῶτον εἰπεῖν ὀλίγα περὶ τῶν ἐν γεωμετρίᾳ προβλη‐ μάτων, ἀρχὴν λαβὼν ἐντεῦθεν. Τῶν ἐν γεωμετρίᾳ προβλημάτων οἱ παλαιοὶ τρία γένη φασὶν εἶναι, καὶ τὰ μὲν αὐτῶν ἐπίπεδα καλεῖσθαι, τὰ δὲ στερεά, τὰ δὲ γραμμικά. τὰ μὲν οὖν δι’ εὐθείας καὶ κύκλου
10περιφερείας δυνάμενα λύεσθαι λέγοιτο ἂν εἰκότως ἐπίπεδα· καὶ γὰρ αἱ γραμμαὶ δι’ ὧν λύεται τὰ τοιαῦτα προβλήματα τὴν γένεσιν ἔχουσιν ἐν ἐπιπέδῳ. ὅσα δὲ προβλήματα λύεται παραλαμβανομένης εἰς τὴν εὕρεσιν μιᾶς τῶν τοῦ κώνου τομῶν ἢ πλειόνων, ταῦτα στερεὰ κέκληται· πρὸς γὰρ τὴν
15κατασκευὴν ἀναγκαῖόν ἐστι χρήσασθαι στερεῶν σχημάτων ἐπιφανείαις, λέγω δὲ ταῖς κωνικαῖς. τρίτον δ’ ἔτι κατα‐ λείπεται γένος ὃ καλεῖται γραμμικόν· γραμμαὶ γὰρ ἕτεραι παρὰ τὰς εἰρημένας εἰς τὴν κατασκευὴν λαμβάνονται ποι‐ κιλωτέραν καὶ βεβιασμένην ἔχουσαι τὴν γένεσιν, ὁποῖαι
20τυγχάνουσιν αἱ ἕλικες καὶ τετραγωνίζουσαι καὶ κοχλοειδεῖς καὶ κισσοειδεῖς, πολλὰ καὶ παράδοξα περὶ αὑτὰς ἔχουσαι συμπτώματα. τοιαύτης δὴ τῆς διαφορᾶς τῶν προβλημάτων οὔσης οἱ παλαιοὶ γεωμέτραι τὸ προειρημένον ἐπὶ τῶν δύο εὐθειῶν πρόβλημα τῇ φύσει στερεὸν ὑπάρχον οὐχ οἷοί τ’
25ἦσαν κατασκευάζειν τῷ γεωμετρικῷ λόγῳ κατακολουθοῦντες, ἐπεὶ μηδὲ τὰς τοῦ κώνου τομὰς ῥᾴδιον ἐν ἐπιπέδῳ γράφειν ἦν [ὡς δεῖ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων δύο μέσας ἀνά‐ λογον λαβεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ], τοῖς δὲ ὀργάνοις μεταλα‐ βόντες αὐτὸ θαυμασίως εἰς χειρουργίαν καὶ κατασκευὴν
30ἐπιτήδειον ἤγαγον, ὡς ἔστιν ἰδεῖν [ἀπὸ τῶν φερομένων
αὐτοῖς συνταγμάτων, λέγω δ’] ἐν τῷ Ἐρατοσθένους μεσο‐

3

.

56

λάβῳ καὶ τοῖς Φίλωνος καὶ Ἥρωνος μηχανικοῖς [ἢ κατα‐ παλτικοῖς]. οὗτοι γὰρ ὁμολογοῦντες στερεὸν εἶναι τὸ πρό‐ βλημα τὴν κατασκευὴν αὐτοῦ μόνον ὀργανικῶς πεποίηνται [συμφώνως Ἀπολλωνίῳ τῷ Περγαίῳ, ὃς καὶ τὴν ἀνάλυσιν
5αὐτοῦ πεποίηται διὰ τῶν τοῦ κώνου τομῶν, καὶ ἄλλοι διὰ τῶν Ἀρισταίου τόπων στερεῶν, οὐδεὶς δὲ διὰ τῶν ἰδίως ἐπιπέδων καλουμένων], Νικομήδης δὲ λέλυκε διὰ κοχλοει‐ δοῦς γραμμῆς, δι’ ἧς καὶ τὴν γωνίαν ἐτριχοτόμησεν. ἐκ‐ θησόμεθα οὖν τέσσαρας αὐτοῦ κατασκευὰς μετά τινος ἐμῆς
10ἐπεξεργασίας, ὧν πρώτην μὲν τὴν Ἐρατοσθένειον, δευτέραν δὲ τὴν τῶν περὶ Νικομήδη, τρίτην δὲ τὴν τῶν περὶ Ἥρωνα μάλιστα πρὸς τὰς χειρουργίας ἁρμόζουσαν τοῖς ἀρχιτεκτο‐ νεῖν βουλομένοις, καὶ τελευταίαν τὴν ὑφ’ ἡμῶν ἀνευρημένην. [στερεοῦ γὰρ παντὸς ἕτερον στερεόν, ὅμοιον τῷ δοθέντι,
15κατασκευάζεται πρὸς τὸν δοθέντα λόγον, ἐὰν δύο τῶν δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσαι κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ληφθῶσιν, ὡς Ἥρων ἐν μηχανικοῖς καὶ καταπαλτικοῖς.] Ἔστω οὖν πλινθίον πεπηγὸς τὸ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ τρίγωνα ὀρθογώνια ἴσα τὰ ΑΕΘ ΜΖΚ ΝΗΛ, ὀρθὰς ἔχοντα
20τὰς πρὸς τοῖς Ε Ζ Η γωνίας, καὶ τὸ μὲν ΑΕΘ προσπε‐ πηγὸς μενέτω, τὸ δὲ ΜΖΚ τὴν κίνησιν ἐχέτω ἐπὶ τῶν ΑΒ ΓΔ κανόνων οὕτως ὥστε τὴν μὲν ΜΖ ἐπὶ τοῦ ΑΒ κανόνος
φέρεσθαι ἔχοντος σωλῆνα δι’ ὅλου, τὴν δὲ κορυφὴν τὴν Κ

3

.

58

διὰ τοῦ ΓΔ κανόνος καὶ αὐτοῦ δι’ ὅλου τοῦ μήκους σε‐ σωληνισμένου, παραπλησίως δὲ καὶ τὸ ΝΗΛ τρίγωνον ἐχέτω τὴν κίνησιν ἐπὶ τῶν ΑΒ ΓΔ κανόνων κατὰ τοὺς προειρη‐ μένους ὀχετούς. τούτων δὴ οὕτως ὑποκειμένων, ὅτε βού‐
5λοιτό τις κύβον κύβου διπλασίονα ποιῆσαι, διπλασίαν ἀπο‐ λαμβάνων τὴν ΑΓ τῆς ΛΞ καὶ διιστὰς τὰ ΜΖΚ ΝΗΛ τρί‐ γωνα, μέχρις ἂν κατ’ εὐθεῖαν γένηται τὰ Α Ξ σημεῖα ταῖς τῶν τριγώνων τομαῖς ταῖς Π Ο, ἐπιζεύξει τὴν ΑΠΟΞ συμπίπτουσαν τῇ ΓΔ κατὰ τὸ Ρ (τοῦτο γὰρ κατ’ ἀνάγκην
10ὀφείλει ἐπακολουθεῖν), καὶ οὕτως τὸ προκείμενον αὐτῷ συμβαίνει. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΠΘ, οὕτως ἡ ΑΡ πρὸς ΠΡ, καὶ ἡ ΑΘ πρὸς ΠΚ, καὶ ἡ ΘΡ πρὸς ΡΚ, καὶ ἡ ΠΘ πρὸς ΟΚ, καὶ ἡ ΠΡ πρὸς ΡΟ, καὶ ἡ ΠΚ πρὸς ΟΛ,
15καὶ ἡ ΚΡ πρὸς ΡΛ, καὶ ἡ ΟΚ πρὸς ΛΞ, τῶν ΑΓ ΛΞ ἄρα δύο μέσαι εἰσὶν αἱ ΠΘ ΟΚ κατὰ συνεχῆ ἀναλογίαν. καὶ ἔστι διπλασία ἡ ΑΓ τῆς ΛΞ· διπλάσιος ἄρα καὶ ὁ ἀπὸ τῆς ΑΓ κύβος τοῦ ἀπὸ τῆς ΠΘ κύβου. εἰ δ’ ἄλλον τινὰ λόγον ἔχει ὁ κύβος πρὸς τὸν κύβον, ἐκεῖνον τὸν λόγον
20ἔδει ἔχειν καὶ τὴν ΑΓ πρὸς ΛΞ, καὶ τὰ λοιπὰ ὁμοίως κατασκευάζειν. [καὶ ἐκ τούτου φανερὸν ὅτι ἀδύνατόν ἐστι τὸ προκείμενον διὰ τῶν ἐπιπέδων λύεσθαι.] ηʹ. Κατὰ δὲ Νικομήδη δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΓΔ ΔΑ δύο μέσαι κατὰ τὸ συνεχὲς λαμβάνονται τρόπῳ
25τοιῷδε. Συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον, καὶ τετμήσθω δίχα ἑκατέρα τῶν ΑΒ ΒΓ τοῖς Λ Ε σημείοις,
καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΛΔ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΒ

3

.

60

ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Η, καὶ τῇ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ ἴση οὖσα τῇ ΑΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ, καὶ αὐτῇ παράλληλος ἡ ΓΘ, καὶ γωνίας οὔσης τῆς [Omitted graphic marker]ὑπὸ τῶν ΚΓΘ ἀπὸ
5δοθέντος τοῦ Ζ δι‐ ήχθω ἡ ΖΘΚ ποι‐ οῦσα ἴσην τὴν ΘΚ τῇ ΑΛ ἢ τῇ ΓΖ (τοῦτο γὰρ ὡς δυνα‐
10τὸν ἐδείχθη διὰ τῆς κοχλοειδοῦς γραμ‐ μῆς), καὶ ἐπιζευχ‐ θεῖσα ἡ ΚΔ ἐκβε‐ βλήσθω καὶ συμ‐
15πιπτέτω τῇ ΒΑ ἐκ‐ βληθείσῃ κατὰ τὸ Μ· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΔΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΜΑ καὶ ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΑΔ.
20 Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΓ τέτμηται δίχα τῷ Ε καὶ πρόσκειται αὐτῇ ἡ ΓΚ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΚ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕΖ, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΚΕΖ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ ΚΖ. καὶ ἐπεὶ
25ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, ἡ ΜΔ πρὸς ΔΚ, ὡς δὲ ἡ ΜΔ. πρὸς ΔΚ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, οὔτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ. καὶ ἔστιν τῆς μὲν ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΛ, τῆς δὲ ΒΓ διπλῆ ἡ ΓΗ· ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΑΛ, οὕτως ἡ ΗΓ πρὸς ΓΚ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΓΗ
30πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΘΚ διὰ τὰς παραλλήλους

3

.

62

τὰς ΗΖ ΓΘ· καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΜΛ πρὸς ΛΑ, ἡ ΖΚ πρὸς ΚΘ. ἴση δὲ ὑπόκειται καὶ ἡ ΑΛ τῇ ΘΚ [ἐπεὶ καὶ τῇ ΓΖ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΛ]· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΛ τῇ ΖΚ. ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΜΛ τῷ ἀπὸ ΖΚ. καὶ ἔστι τῷ μὲν
5ἀπὸ ΜΛ ἴσον τὸ ὑπὸ ΒΜΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΛΑ, τῷ δὲ ἀπὸ ΖΚ ἴσον ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ὧν τὸ ἀπὸ ΑΛ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΖ (ἴση γὰρ ὑπόκειται ἡ ΑΛ τῇ ΓΖ)· ἴσον ἄρα καὶ λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΒΜΑ λοιπῷ τῷ ὑπὸ ΒΚΓ· ὡς ἄρα ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς
10ΜΑ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ, ἡ ΔΓ πρὸς ΓΚ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΑΜ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ, ἡ ΜΑ πρὸς ΑΔ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΚΓ πρὸς ΑΜ καὶ ἡ ΜΑ πρὸς ΑΔ. θʹ. Κατὰ δὲ τοὺς περὶ τὸν Ἥρωνα, πῶς ἐστιν δυνατὸν
15δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ὀργανι‐ κῶς, δείξομεν, ἐπειδήπερ ἐστὶν τὸ πρόβλημα τοῦτο, καθά φησιν καὶ ὁ Ἥρων, στερεόν. “ἐκθησόμεθα δέ” φησιν “τῶν δείξεων τὴν μάλιστα πρὸς τὴν χειρουργίαν εὔθετον.” Ἔστωσαν γὰρ αἱ δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΒΓ πρὸς
20ὀρθὰς ἀλλήλαις κείμεναι, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν. Συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΔΓ ΔΑ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΒ ΓΑ,
καὶ παρακείσθω κανόνιον πρὸς τῷ Β σημείῳ καὶ κινείσθω

3

.

64

τέμνον τὰς ΓΕ ΑΖ, ἄχρις οὗ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἀχθεῖσα ἐπὶ τὴν τῆς ΓΕ τομὴν ἴση γένηται τῇ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν τῆς ΑΖ τομήν. γεγονέτω, καὶ ἔστω ἡ μὲν τοῦ κανονίου θέσις ἡ ΕΒΖ, ἴσαι δὲ αἱ ΕΗ ΗΖ· λέγω οὖν ὅτι αἱ ΑΖ ΓΕ
5μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν τῶν ΑΒ ΒΓ. Ἐπεὶ γὰρ ὀρθογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓΔ παραλληλό‐ γραμμον, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι αἱ ΔΗ ΗΑ ΗΒ ΗΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΔΗ τῇ ΑΗ, καὶ διῆκται ἡ ΗΖ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΔΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΗ ἴσον ἐστὶν
10τῷ ἀπὸ ΗΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ ΔΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΕ. καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ ΗΕ ΗΖ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΔΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΗ τῷ ὑπὸ ΔΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΗ. ὦν τὸ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΑ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΔΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΔΖΑ· ὡς
15ἄρα ἡ ΕΔ πρὸς ΔΖ, ἡ ΖΑ πρὸς ΓΕ. ὡς δὲ ἡ ΕΔ πρὸς ΔΖ, ἥ τε ΒΑ πρὸς ΑΖ καὶ ἡ ΕΓ πρὸς ΓΒ, ὥστε ἔσται καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΖ, ἥ τε ΖΑ πρὸς ΓΕ καὶ ἡ ΓΕ πρὸς ΓΒ· τῶν ἄρα ΑΒ ΒΓ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΖ ΓΕ. ιʹ. Κύβος δὲ κύβου διπλάσιος οὐ μόνον εὑρίσκεται διὰ
20τοῦ ὑποκειμένου ὀργάνου καὶ καθ’ ἡμᾶς, ἀλλὰ καὶ καθόλου
λόγον ἔχων τὸν ἐπιταχθέντα.

3

.

66

 Κατεσκευάσθω γὰρ ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἀνήχθω ἡ ΔΒ, καὶ κινείσθω κανόνιόν τι περὶ τὸ Α σημεῖον οὕτως ὥστε τὸ μὲν ἓν πέρας αὐτοῦ περικεῖσθαι τυλίῳ τινὶ κατὰ τὸ Α σημεῖον ἑστῶτι, τὸ δὲ
5λοιπὸν μέρος ὡς περὶ κέντρον τὸ τυλάριον κινεῖσθαι μεταξὺ τῶν Β Γ. τούτων δὴ κατεσκευασμένων ἐπιτετάχθω δύο κύβους εὑρεῖν λόγον ἔχοντας πρὸς ἀλλήλους δοθέντα. καὶ τῷ λόγῳ ὁ αὐτὸς πεποιήσθω ὁ τῆς ΒΔ πρὸς ΔΕ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ. παραγέσθω δὴ
10τὸ κανόνιον μεταξὺ τῶν Β Γ, ἕως οὗ τὸ ἀπολαμβανόμενον αὐτοῦ μέρος μεταξὺ τῶν ΖΕ ΕΒ εὐθειῶν ἴσον γένηται τῷ μεταξὺ τῆς ΒΕ εὐθείας καὶ τῆς ΒΚΓ περιφερείας· τοῦτο γὰρ πειράζοντες αἰεὶ καὶ μετάγοντες τὸ κανόνιον ῥᾳδίως ποιήσομεν. γεγονέτω δή, καὶ ἐχέτω θέσιν τὴν ΑΗΘΚ,
15ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΗΘ ΘΚ. λέγω ὅτι ὁ ἀπὸ τῆς ΒΔ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΘ κύβον λόγον ἔχει τὸν ἐπιταχ‐ θέντα, τουτέστιν τὸν τῆς ΔΒ πρὸς ΔΕ. Νοείσθω γὰρ ὁ κύκλος προσαναπεπληρωμένος καὶ ἐπι‐ ζευχθεῖσα ἡ ΚΔ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω
20ἡ ΛΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ ΒΔ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΚΘ τῇ ΘΗ, τὴν δὲ ΚΔ τῇ ΔΛ. ἐπεζεύχθωσαν δὴ καὶ ἥ τε ΑΛ καὶ ἡ ΛΓ. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΗΑΛ ἐν ἡμικυκλίῳ καὶ κάθετος ἡ ΑΜ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΜ πρὸς ΜΑ,
25οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ (καὶ γὰρ ὡς ἡ ΛΜ πρὸς τὴν ΜΑ, οὕτως ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΜΗ, ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ, καὶ ἡ ΓΜ πρὸς ΜΑ). κοινὸς προσκείσθω
λόγος ὁ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ. ὁ ἄρα συγκείμενος ἔκ τε τοῦ

3

.

68

τῆς ΓΜ πρὸς ΜΑ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ, τουτέστιν ὁ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΗ, λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συγκειμένῳ ἔκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΗ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ. ὁ δὲ συγκείμενος ἔκ τε τοῦ τοῦ
5ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ λόγῳ ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ κύβον· καὶ ὁ τῆς ΓΜ ἄρα πρὸς τὴν ΜΗ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ λόγῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ κύβον. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΓΜ πρὸς ΜΗ,
10οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ, τουτέστιν ἧ ΒΔ πρὸς ΔΕ, ὡς δὲ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΘ, τουτέστιν ἡ ΔΒ πρὸς ΔΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς ΔΕ, τουτέστιν ὡς ὁ δοθεὶς λόγος, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΒΔ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΘ κύβον. ἐὰν οὖν ποιήσωμεν καὶ ὡς τὴν ΒΔ πρὸς
15τὴν ΔΘ, οὕτως τὴν ΔΘ πρὸς ἄλλην τινά, οἷον τὴν ΔΝ, ἔσονται τῶν ΒΔ ΔΕ δύο μέσαι ἀνάλογον αἱ ΔΘ ΔΝ. ιαʹ. Τὸ δὲ δεύτερον τῶν προβλημάτων ἦν τόδε. Ἐν ἡμικυκλίῳ τὰς τρεῖς μεσότητας λαβεῖν ἄλλος τις ἔφασκεν, καὶ ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐκθέμενος, οὗ κέντρον
20τὸ Ε, καὶ τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ΑΓ λαβὼν τὸ Δ, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγὼν τῇ ΕΓ τὴν ΔΒ, καὶ ἐπιζεύξας τὴν ΕΒ, καὶ αὐτῇ κάθετον ἀγαγὼν ἀπὸ τοῦ Δ τὴν ΔΖ, τὰς τρεῖς μεσότητας ἔλεγεν ἁπλῶς ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ ἐκ‐ τεθεῖσθαι, τὴν μὲν ΕΓ μέσην ἀριθμητικήν, τὴν δὲ ΔΒ μέσην
25γεωμετρικήν, τὴν δὲ ΒΖ ἁρμονικήν. Ὅτι μὲν οὖν ἡ ΒΔ μέση ἐστὶ τῶν ΑΔ ΔΓ ἐν τῇ γεω‐ μετρικῇ ἀναλογίᾳ, ἡ δὲ ΕΓ τῶν ΑΔ ΔΓ ἐν τῇ ἀριθμητικῇ μεσότητι, φανερόν. ἔστι γὰρ ὡς μὲν ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ, ἡ ΔΒ πρὸς ΔΓ, ὡς δὲ ἡ ΑΔ πρὸς ἑαυτήν, οὕτως ἡ τῶν
30ΑΔ ΑΕ ὑπεροχή, τουτέστιν ἡ τῶν ΑΔ ΕΓ, πρὸς τὴν τῶν
ΕΓ ΓΔ. πῶς δὲ καὶ ἡ ΖΒ μέση ἐστὶν τῆς ἁρμονικῆς

3

.

70

μεσότητος, ἢ ποίων εὐθειῶν, οὐκ εἶπεν, μόνον δὲ ὅτι τρίτη ἀνάλογόν ἐστιν τῶν ΕΒ ΒΔ, ἀγνοῶν ὅτι ἀπὸ τῶν ΕΒ ΒΔ ΒΖ ἐν τῇ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ οὐσῶν πλάσσεται ἡ ἁρμο‐ νικὴ μεσότης. δειχθήσεται γὰρ ὑφ’ ἡμῶν ὕστερον ὅτι δύο
5αἱ ΕΒ καὶ τρεῖς αἱ ΔΒ καὶ μία ἡ ΒΖ ὡς μία συντεθεῖσαι ποιοῦσι τὴν μείζονα ἄκραν τῆς ἁρμονικῆς μεσότητος, δύο δὲ αἱ ΒΔ καὶ μία ἡ ΒΖ τὴν μέσην, μία δὲ ἡ ΒΔ καὶ μία ἡ ΒΖ τὴν ἐλαχίστην. Πρότερον δὲ διαληπτέον περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων
10[καὶ μετὰ ταῦτα περὶ τῶν ἐν ἡμικυκλίῳ], εἶτα περὶ τῶν ἀντικειμένων αὐταῖς ἄλλων τριῶν κατὰ τοὺς παλαιούς, καὶ ὕστερον περὶ τῶν παρὰ τοῖς νεωτέροις τεσσάρων ἀκολούθως ταῖς γνώμαις αὐτῶν, καὶ ὡς δυνατόν ἐστιν ἑκάστην τῶν δέκα μεσοτήτων διὰ τῆς γεωμετρικῆς ἀναλογίας εὑρίσκειν,
15ἵνα καὶ τὸν προκείμενον ἔλεγχον διὰ πλειόνων συστησώμεθα.
16nΠερὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων.
17 ιβʹ. Διαφέρει τοίνυν μεσότης ἀναλογίας τῷδε ὅτι εἰ μὲν τί ἐστιν ἀναλογία, τοῦτο καὶ μεσότης, οὐ μὴν καὶ ἀνάπαλιν. μεσότητες γάρ εἰσι τρεῖς, ὧν ἡ μὲν ἀριθμητική,
20ἡ δὲ γεωμετρική, ἡ δὲ ἁρμονική. Ἀριθμητικὴ μὲν οὖν λέγεται μεσότης, ὅταν τριῶν ὄντων ὅρων ὁ μέσος τῷ ἴσῳ ἑνὸς μὲν τῶν ἄκρων ὑπερέχῃ, ὑπερ‐ έχηται δὲ ὑπὸ τοῦ λοιποῦ (ὡς ἔχει ὁ ϛʹ πρὸς τὸν θʹ καὶ τὸν γʹ ἀριθμόν), ἢ ὅταν ᾖ ὡς ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς αὑτὸν,
25ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν. [πρῶτα δὲ ἀκούειν δεῖ τὰ ὑπερέχοντα.] Γεωμετρικὴ δὲ λέγεται μεσότης, τουτέστιν ἀναλογία κυρίως, ὅταν ᾖ ὡς ὁ μέσος ὅρος πρὸς ἕνα τῶν ἄκρων, οὕ‐ τως ὁ λοιπὸς πρὸς τὸν μέσον (ὡς ἔχει ὁ ϛʹ ἀριθμὸς πρός
30τε τὸν ιβʹ καὶ τὸν γʹ), καὶ ἄλλως· ὅταν ᾖ ὡς ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον, ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευ‐
τέραν.

3

.

72

 Ἁρμονικὴ δέ ἐστι μεσότης, ὅταν ὁ μέσος ὅρος τῷ αὐτῷ μέρει ὑπερέχῃ μὲν ἑνὸς τῶν ἄκρων, ὑπερέχηται δὲ ὑπὸ τοῦ λοιποῦ (ὡς ἔχει ὁ γʹ ἀριθμὸς πρός τε τὸν βʹ καὶ τὸν ϛʹ), ἢ ὅταν ᾖ ὡς ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον, ἡ πρώτη
5ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν. Τούτων ὑποκειμένων εὑρήσομεν ὁμοῦ τὰς τρεῖς μεσό‐ τητας ἐν ἐλαχίσταις εὐθείαις πέντε τὸν ἀριθμὸν προγρα‐ φέντων τῶνδε. Ἔστω δὴ πρῶτον δοθεισῶν τῶν ΑΒ ΒΓ μέσην εὑρεῖν
10κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν. [Omitted graphic marker] Ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΔ, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ΑΒ τῷ Ε, καὶ περὶ κέντρον τὸ Ε διὰ τοῦ Β περι‐ φέρεια γραφεῖσα τεμνέτω τὴν πρὸς
15ὀρθὰς κατὰ τὸ Δ, καὶ τῇ τὰ Β Δ ἐπιζευγνυούσῃ ἴση ἀφῃρήσθω ἡ ΒΖ, καὶ γίνεται ἡ ζητουμένη μέση ἡ ΒΖ. ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ΔΑ ὀρθὴν περιέχει γωνίαν μετὰ τῆς ΒΔ διὰ τὸ ἴσην εἶναι ἑκα‐ τέραν τῶν ΒΕ ΕΑ τῇ ἐπιζευγνυούσῃ τὰ Δ Ε. ἔστιν δὲ καὶ
20ἡ πρὸς τῷ Γ ὀρθή. καὶ ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ, καὶ διὰ τοῦτο αἱ περὶ τὴν κοινὴν αὐτῶν γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Β πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΔΒ, ἡ ΒΔ πρὸς ΒΓ, καὶ μέση τῶν ΑΒ ΒΓ ἡ ΒΔ ἴση τῇ ΒΖ. ιγʹ. Ἔστω δὲ δοθεισῶν τῶν ΑΒ ΒΖ τὴν ἐλάσσονα
25ἄκραν λαβεῖν. [Omitted graphic marker] Τετμήσθω δίχα ἡ ΑΒ τῷ Ε, καὶ περὶ κέντρον τὸ Ε διὰ τοῦ Β περιφέρεια γεγράφθω, καὶ αὕτη τετμήσθω ὑπὸ τῆς διὰ τοῦ Ζ περὶ
30κέντρον τὸ Β γραφομένης περιφε‐
ρείας κατὰ τὸ Δ, καὶ κάθετος ἤχθω

3

.

74

ἡ ΔΓ, καὶ γίνεται τῶν ΑΒ ΒΖ τρίτη ἀνάλογον ἡ ΒΓ. δεί‐ κνυται γὰρ ὁμοίως [κατὰ τὰ αὐτὰ] τοῖς προειρημένοις ἐπὶ τῆς μέσης. [Καὶ φανερὸν ὅτι, ἐὰν μὲν ὁ δοθεὶς τῆς ἀναλογίας λόγος
5ᾖ διπλάσιος, ὥστε τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ τετραπλασίαν εἶναι, ἡ ἴση τῇ ΔΒ τιθεμένη διχοτομία ἐστὶν τῆς ΑΒ, τουτέστιν ἡ ΕΒ ἐστὶν, ἐὰν δὲ μείζων ἢ διπλάσιος ὁ λόγος ᾖ, ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἡμισείας, ἐὰν δὲ ἐλάσσων ᾖ τοῦ διπλασίου, μείζων ἐστὶν τῆς ΕΒ ἡμισείας.]
10 Ἔστω δὲ νῦν δοθεισῶν τῶν ΖΒ ΒΓ τὴν μείζονα ἄκραν εὑρεῖν. [Omitted graphic marker] Ἤχθω δὴ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΘ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Β διὰ τοῦ Ζ γραφομένη περιφέρεια τεμνέτω αὐ‐
15τὴν κατὰ τὸ Θ, καὶ τῇ ΒΘ ἐπι‐ ζευχθείσῃ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΑΘ· γίνεται δὴ ἡ ΑΒ τρίτη ἀνάλογον τῶν ΓΒ ΒΖ. καὶ γὰρ τοῦτο φανερὸν ἐκ τῶν προδεδειγ‐ μένων.
20 ιδʹ. Πάλιν ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΒΓ, καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ ἡ ΔΑΕ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΑΔ τῇ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΔ ΕΓΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΒ ἡ ΖΗ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ τῶν ΑΒ ΒΓ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ΓΒ ΒΗ ὑπεροχήν.
25 Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, ἡ ΔΑ πρὸς ΖΗ, τουτέστιν ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ (ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΑΔ), καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ. ἀλλ’
ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ διὰ τὸ ἰσο‐

3

.

76

γώνια εἶναι τὰ τρίγωνα ΑΓΕ ΓΖΗ· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ΑΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΑΓ ὑπεροχὴ τῶν ΑΒ ΒΓ, ἡ δὲ ΓΗ ὑπεροχὴ τῶν ΓΒ ΒΗ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ τῶν ΑΒ ΒΓ ὑπερ‐
5οχὴ πρὸς τὴν τῶν ΓΒ ΒΗ ὑπεροχήν. [τοῦτο δὲ τὸ θεώ‐ ρημα χρήσιμόν ἐστιν εἰς τὴν ἁρμονικὴν μεσότητα· πρώτη γάρ ἐστιν ἡ ΑΒ, δευτέρα ἡ ΒΓ, τρίτη ἡ ΒΗ.] Ἐὰν δὲ αἱ ΑΒ ΒΗ δοθῶσιν ἄκραι, ζητῶμεν δὲ τὴν μέσην, ἐπιζεύξαντες τὴν ΒΔ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἄξαντες ἀπὸ
10τοῦ Η τὴν ΖΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Ε ἐπιζεύξαντες τὴν ΖΓΕ, ἕξομεν τὴν ΓΒ μέσην τῶν ΑΒ ΒΗ. καὶ ἡ ἀπό‐ δειξις φανερά. ιεʹ. Δοθεισῶν δὲ τῶν ΕΒ ΒΓ τὴν μείζονα ἄκραν εὑ‐ ρήσομεν ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς ὀρθὰς ἄξαντες τὴν ΔΕΖ καὶ ἴσας
15θέντες τὰς ΔΕ ΕΖ, καὶ τὰς ΒΖ ΔΓ ἐπιζεύξαντες καὶ ἐκ‐ βαλόντες ἐπὶ τὸ Η. ἡ γὰρ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΒΓ ἐκ‐ βληθεῖσαν κάθετος ἀγομένη ΗΘ ἴσην ἀποτέμνει τῇ ζητου‐ μένῃ τὴν ΘΒ. [συμπεσοῦνται γὰρ αἱ ΓΔ ΒΖ ὡς ἐπὶ τὸ Η ἠγμέναι· δεῖ γὰρ ὑποτίθεσθαι τὴν ΒΕ μείζονα τῆς ΕΓ.]
20 ιϛʹ. Δύο πάλιν δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ Γ, ὧν μεί‐ ζων ἡ ΑΒ, μέσην ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ εὑρήσομεν οὕτως. κείσθω τῇ Γ ἴση ἡ ΔΒ, καὶ ἡ ΔΑ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Ε, καὶ τῇ ΕΒ ἴση κείσθω ἡ Ζ. καὶ φανερὸν ὅτι ἡ Ζ ἐστὶν ἡ
ζητουμένη εὐθεῖα.

3

.

78

 Ὁμοίως δὲ κἂν αἱ Ζ Γ δοθῶσιν, τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν προσθέντες τῇ Ζ τὴν γενομένην ἕξομεν ἴσην τῇ ΑΒ. Ἤ πάλιν ἐὰν αἱ ΑΒ Ζ δοθῶσιν, ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ἀπὸ τῆς Ζ ἀφαιρεθεῖσα ποιεῖ τὴν Γ τρίτην.
5 Ἔστω οὖν ἡ Ζ μέση τῶν ΑΒ Γ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ· καὶ ἔσται ἀριθμητικὴ μεσότης τῶν ΑΒ Ζ Γ εὐθειῶν. γεγενή‐ σθω δὲ καὶ ὡς ἡ Ζ πρὸς τὴν Γ, ἡ Γ πρὸς Η· καὶ ἔσται τῶν Ζ Γ Η εὐθειῶν γεωμετρικὴ μεσότης, τουτέστιν ἀνα‐ λογία κυρίως. κἂν διὰ τὸ προδειχθὲν δύο εὐθειῶν τῶν
10Γ Η, ὧν μείζων ἡ Γ, τὴν Θ ποιησώμεθα, ὥστ’ εἶναι ὡς τὴν Γ πρὸς τὴν Θ, οὕτως τὴν τῶν Γ Η ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν Η Θ ὑπεροχήν, ἔσται ἄρα καὶ τῶν Γ Η Θ εὐθειῶν ἁρμονικὴ μεσότης. ὁ αὐτὸς δὲ λόγος τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ, καὶ τῆς Γ πρὸς τὴν Θ, τῶν ἄκρων ὅρων ἐπί τε τῆς ἀριθ‐
15μητικῆς μεσότητος καὶ τῆς ἁρμονικῆς· ἔσονται οὖν πέντε τὸν ἀριθμὸν ἐλάχισται εὐθεῖαι περιέχουσαι τὰς τρεῖς μεσό‐ τητας [δυνάμεναι καὶ ἀσύμμετροι εἶναι πρὸς ἀλλήλας]. Ἅμα καὶ δι’ ἀριθμῶν ἐλαχίστων πέντε συνίστασθαι κατά τε τοὺς πολλαπλασίους λεγομένους λόγους καὶ ἐπι‐
20μορίους καὶ τοὺς λοιπούς, ἀδιαιρέτου γοῦν τῆς μονάδος ὑποκειμένης. ἐπὶ μὲν γὰρ τοῦ διπλασίου λόγου τῆς ΑΒ
πρὸς τὴν Γ [ἐν διπλασίῳ λόγῳ δοθείσης] ὑποδείγματος

3

.

80

ἕνεκεν ἔσονται τὸ προκείμενον ποιοῦντες ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι ὅ τε ιβʹ καὶ ὁ θʹ καὶ ὁ ϛʹ καὶ ὁ δʹ καὶ ὁ γʹ, ἐπὶ δὲ τῆς τριπλασίονος ἀναλογίας ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι γίνονται ὅ τε ιηʹ καὶ ὁ ιβʹ καὶ ὁ ϛʹ καὶ ὁ γʹ καὶ ὁ βʹ. καὶ δῆλον ὡς δεῖ
5καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων λόγων τοὺς ἐλαχίστους ἀριθμοὺς ἀνευ‐ ρίσκειν τῶν τριῶν μεσοτήτων. κἂν χωρὶς ἑκάστην τις ἐθέλῃ ἐκτίθεσθαι, διὰ τῶν προγεγραμμένων εὔδηλον, τῶν τριῶν ὅρων ἐπὶ μὲν τῆς ἀριθμητικῆς μεσότητος ὄντων ἐν ἐλαχί‐ στοις ἀριθμοῖς γʹ βʹ αʹ, ἐπὶ δὲ τῆς γεωμετρικῆς δʹ βʹ αʹ,
10καὶ τῶν κατὰ τὸν διδόμενον λόγον πυθμένων εἰς τοὺς ἰσάκις πολλαπλασίους καὶ τοὺς ἐπιμορίους μεταλαμβανομένων καὶ τοὺς λοιπούς. οἷον ἐπὶ τοῦ διπλασίου λόγου, τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ λόγον ἐχούσης ὃν ἔχει τὰ βʹ πρὸς τὸ αʹ, τάξο‐ μεν ἀντὶ μὲν τῶν βʹ τὰ δʹ, ἀντὶ δὲ τοῦ αʹ τὰ βʹ [ἐν ἴσῃ
15ὑπεροχῇ τῷ βʹ]. καὶ ἐπεὶ δεῖ τὸν μέσον αὐτῶν τῷ ἴσῳ ὑπερέχειν καὶ ὑπερέχεσθαι, γίνεται ἡ Ζ εὐθεῖα μονάδων τριῶν [μέσον]. καὶ ὁ τῆς Ζ πρὸς τὴν Γ λόγος ἡμιόλιος, ὡς γʹ πρὸς βʹ. ὁ αὐτὸς δὲ τούτῳ καὶ ὁ τῆς Γ πρὸς τὴν Η γενόμενος οὐ ποιεῖ τὸ πρόβλημα τῆς μονάδος ἀδιαιρέτου
20μενούσης. πάντα ἄρα τρίς· καὶ γίνεται ἀντὶ μὲν τοῦ δʹ ὁ ιβʹ, ἀντὶ δὲ τοῦ γʹ ὁ θʹ ἀριθμός, καὶ ἀντὶ τοῦ βʹ ὁ ϛʹ. καὶ γίνεται ἡ Η εὐθεῖα μονάδων δʹ καὶ ἡ Θ δηλονότι μο‐ νάδων τριῶν καὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων ἀριθμοὶ ιβʹ θʹ ϛʹ δʹ γʹ. ιζʹ. Ταῦτα μὲν οὖν περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων κατὰ
25τοὺς παλαιούς, ὅτι δὲ καὶ ἐν ἡμικυκλίῳ δυνατόν ἐστιν

3

.

82

αὐτὰς συστήσασθαι ἐν ἐλαχίσταις ϛʹ εὐθείαις τὸν ἀριθμόν, δῆλον ἐντεῦθεν. Ἐκκείσθω γὰρ τὸ ἡμικύκλιον ἔχον τὴν ΒΔ κάθετον καὶ τὴν ΕΒ ἐκ κέντρου, καὶ τὴν ΔΖ κάθετον, καὶ ἤχθω διὰ
5τοῦ Β ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου ἡ ΘΗ καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΕΓΗ κείσθω τῇ ΒΗ ἴση ἡ ΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΚΘ· λέγω ὅτι ἐν τῇ ἁρμονικῇ μεσότητι ἡ ΕΚ μέση ἐστὶν τῶν ΒΕ ΕΖ, μεγίστης οὔσης τῆς ΒΕ καὶ ἐλαχίστης τῆς ΕΖ. Ἐπεὶ γὰρ ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Β Ζ γωνίαι [παρ‐
10άλληλός ἐστιν ἡ ΔΖ τῇ ΘΗ, καὶ ἰσογώνιον τὸ ΕΒΗ τρί‐ γωνον τῷ ΕΖΔ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΒΘΚ τρίγωνον τῷ ΖΚΔ τριγώνῳ], ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΕ πρὸς ΕΖ, ἡ ΗΒ πρὸς ΖΔ. ἴση δὲ ἡ ΒΗ τῇ ΒΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς ΕΖ, ἡ ΒΘ πρὸς ΔΖ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ, ἡ ΒΚ πρὸς ΚΖ,
15καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΒΚ ὑπεροχὴ τῶν ΒΕ ΕΚ εὐθειῶν, ἡ δὲ ΚΖ ὑπεροχὴ τῶν ΚΕ ΕΖ εὐθειῶν· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ τῶν ΒΕ ΕΚ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ΚΕ ΕΖ ὑπεροχήν· ἁρμονικὴν ἄρα μεσότητα περιέχουσιν αἱ ΒΕ ΕΚ ΕΖ εὐθεῖαι, μέσης οὔσης τῆς ΕΚ καὶ μεγίστης
20τῆς ΒΕ καὶ ἐλαχίστης τῆς ΕΖ. ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ μὲν ΑΔ ΕΓ ΓΔ τὴν ἀριθμητικήν, αἱ δὲ ΑΔ ΒΔ ΔΓ τὴν γεω‐ μετρικήν· αἱ τρεῖς ἄρα μεσότητες ἐντεταγμέναι εἰσὶν καὶ ἐν
ἡμικυκλίῳ.

3

.

84

 ιηʹ. Ἐπεὶ δὲ καὶ Νικόμαχος ὁ Πυθαγορικὸς καὶ ἄλλοι τινὲς οὐ μόνον περὶ τῶν πρώτων τριῶν μεσοτήτων εἰρή‐ κασιν, αἳ χρήσιμοι τυγχάνουσιν μάλιστα πρὸς τὰς τῶν πα‐ λαιῶν ἀναγνώσεις, ἀλλὰ καὶ περὶ ἄλλων τριῶν κατὰ τοὺς
5παλαιούς, καὶ ἔτι ταῖς ἓξ ταύταις ἄλλαι ὑπὸ τῶν νεωτέρων προσεύρηνται τέσσαρες, πειρασόμεθα καὶ περὶ τούτων εἰ‐ πεῖν ἐπιτονώτερον, ἀκολουθήσαντες μέντοι γε τοῖς πρό‐ τερον, οἵτινες ἀπὸ μὲν τοῦ μείζονος ὅρου ποιούμενοι τὴν μετάβασιν τρεῖς ἐξέθεντο τὰς προειρημένας *** [ἀπὸ τοῦ
10ἐλάσσονος μείζονα μετροῦντες ἄλλας τρεῖς διαφερούσας τῶν πρώτων]. Ὅταν μὲν γὰρ ᾖ ὡς ὁ τρίτος ὅρος πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ πρώτου ὅρου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου, τὴν μεσότητα ὑπεναντίαν τῇ ἁρμονικῇ καλοῦσιν.
15 Ὅταν δ’ ᾖ ὡς ὁ τρίτος ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον, ἡ τοῦ πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου, ἡ μεσότης καλεῖ‐ ται πέμπτη καὶ ὑπεναντία τῇ γεωμετρικῇ (τινὲς γὰρ αὐτὴν οὕτως ὀνομάζουσιν). Ὅταν δὲ ὡς ὁ δεύτερος ὅρος ᾖ πρὸς τὸν πρῶτον, ἡ
20τοῦ πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου, καλεῖται ἡ μεσότης ἕκτη, λέγεται δὲ καὶ αὐτὴ ὑπεναντία τῇ γεωμε‐ τρικῇ διὰ τὴν αὐτὴν τῶν λόγων ἀντακολουθίαν· ὡς εἶναι κατ’ αὐτοὺς μεσότητας ἕξ. Ὑπὸ δὲ τῶν νεωτέρων, ὡς εἴπομεν, ἄλλαι τέσσαρες
25τὸν ἀριθμὸν εὑρέθησαν πῆ μὲν συμφερόμεναι, κέχρηνται δὲ καὶ ὅροις ἰδίοις οἱ ταύτας εὑρόντες [νεώτεροι]· καλοῦσι γὰρ τὴν μὲν τοῦ πρώτου ὅρου παρὰ τὸν δεύτερον ὑπεροχὴν πρώτην, τὴν δὲ τοῦ δευτέρου παρὰ τὸν τρίτον ὑπεροχὴν
δευτέραν, τὴν δὲ τοῦ πρώτου παρὰ τὸν τρίτον ὑπεροχὴν

3

.

86

τρίτην, νοουμένου καὶ λεγομένου δηλονότι, καθὰ καὶ ἐν ἀρχῇ διεστειλάμεθα, τοῦ μὲν μεγίστου ὅρου πρώτου, τοῦ δὲ μέσου δευτέρου, τοῦ δὲ ἐλαχίστου τρίτου. Καὶ ὅταν ᾖ ὡς ἡ τρίτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν πρώτην, ὁ
5δεύτερος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον, τὴν μεσότητα ἑβδόμην ἐκά‐ λεσαν. Μένοντος δὲ τοῦ αὐτοῦ λόγου τῶν ὑπεροχῶν, ὅταν γί‐ νηται οὕτως ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον, τὴν μεσό‐ τητα ὀγδόην ὀνομάζουσιν.
10 Ὅταν δὲ ᾖ ὡς ἡ τρίτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν πρώτην, ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον, τὴν μεσότητα ἐνάτην, Ὅταν δὲ ᾖ ὡς ἡ τρίτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν, ὁ δεύτερος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον, τὴν μεσότητα δεκάτην ὠνό‐ μασαν.
15 Τούτων δὴ τῶν ὅρων ὑποκειμένων τὰς γενέσεις τῶν δέκα μεσοτήτων ἐκθησόμεθα καὶ διὰ τῆς γεωμετρικῆς ἀνα‐ λογίας, ὡς εἴπομεν. [ἀναλογία δὲ συνέστηκεν ἐκ λόγων. λόγου δὲ παντὸς ἰσότης ἀρχή.] Ἡ τοίνυν γεωμετρικὴ μεσότης ἐκ τῆς ἰσότητος τὴν πρώ‐
20την λαβοῦσα γένεσιν αὐτή τε αὑτὴν καὶ τὰς ἄλλας συστήσει μεσότητας, ἐνδεικνυμένη, καθά φησιν ὁ θειότατος Πλάτων, τὴν τῆς ἀναλογίας φύσιν αἰτίαν τῆς ἁρμονίας πᾶσι καὶ τῆς
εὐλόγου καὶ τεταγμένης γενέσεως· λέγει γὰρ ἕνα δεσμὸν εἶναι

3

.

88

τῶν μαθημάτων ἁπάντων, αἰτία δὲ γενέσεως καὶ δεσμὸς πᾶσι τοῖς γενομένοις ἡ τῆς ἀναλογίας θεία φύσις. δειχ‐ θήσεται δὲ ἡ σύστασις τῶν δέκα μεσοτήτων διὰ τῆς γεω‐ μετρικῆς ἀναλογίας προθεωρηθέντος τοῦδε.
5 Τρεῖς ἀνάλογον ἔστωσαν ὅροι οἱ Α Β Γ καὶ συναμ‐ φοτέρῳ μὲν τῷ Α Γ μετὰ βʹ τῶν Β ἴσος ἐκκείσθω ὁ Δ, συναμφοτέρῳ δὲ τῷ Β Γ ὁ Ε, τῷ δὲ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι καὶ οἱ Δ Ε Ζ ὅροι ἀνάλογόν εἰσιν. Ἐπεὶ γὰρ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ,
10ἔσται καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ὁ ΑΒ πρὸς τὸν Β, οὕτως συναμφότερος ὁ ΒΓ πρὸς τὸν Γ· καὶ πάντες ἄρα οἱ ἡγούμενοι πρὸς πάντας τοὺς ἑπομένους εἰσὶν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὡς συναμφότερος ὁ Α Β μετὰ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ, οὕτως συναμφότερος ὁ Β Γ
15πρὸς τὸν Γ. καὶ ἔστιν συναμφοτέρῳ μὲν τῷ Α Β μετὰ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ ἴσος ὁ Δ, συναμφοτέρῳ δὲ τῷ Β Γ ἴσος ὁ Ε, καὶ τῷ Γ ὁ Ζ· καὶ οἱ Δ Ε Ζ ἄρα ἀνάλογόν εἰσιν [ἐν τῷ συναμφοτέρου τοῦ Α Β πρὸς τὸν Β λόγῳ]. Διόπερ ἴσων μὲν ὑποκειμένων τῶν Α Β Γ οἱ Δ Ε Ζ
20ἐν τῇ διπλασίᾳ γένοιντ’ ἂν ἀναλογίᾳ· συναμφότερος γὰρ ὁ Α Γ μετὰ δύο τῶν Β διπλάσιος συναμφοτέρου τοῦ Β Γ, συναμφότερος δὲ ὁ Β Γ τοῦ Γ διπλάσιος· τῶν δὲ Α Β Γ ἐν τῇ διπλασίᾳ ἀναλογίᾳ ὑποκειμένων, μεγίστου μὲν ὄντος
ἐν αὐτοῖς τοῦ Α οἱ Δ Ε Ζ ἔσονται ἐν τῇ τριπλασίᾳ, ἐλαχί‐

3

.

90

στου δὲ ἐν τῇ ἡμιολίᾳ· καὶ γὰρ συναμφότερος ὁ Α Β τοῦ Β τριπλάσιος μέν ἐστιν, εἰ διπλάσιος εἴη ὁ Α τοῦ Β, ἡμιόλιος δέ, εἰ ὁ Α τοῦ Β ἥμισυς εἴη. καὶ οὕτως ἀπὸ τῶν ἑξῆς λόγων οἱ ἀκόλουθοι πολλαπλάσιοί τε καὶ ἐπι‐
5μόριοι εὑρίσκονται. καὶ πάλιν, εἰ μονάδες εἶεν οἱ Α Β Γ, ἡ κατὰ τοὺς Δ Ε Ζ γεωμετρικὴ μεσότης ἐν ἐλαχίστοις λέγοιτ’ ἂν ἀριθμοῖς τοῖς δʹ βʹ αʹ. [Omitted graphic marker] ιθʹ. Ἡ ἁρμονικὴ μεσότης διὰ ἀναλογίας οὕτως συνίσταται [καὶ τῆς ἰσότητος ἐν τῇ
10τάξει τῆς ἀναλογίας διαφόρως κἀνταῦθα κἀν τοῖς ἑξῆς παραλαμβανομένης]. ὑποκείσθωσαν ὅροι τρεῖς ἀνάλογον οἱ Α Β Γ, καὶ δύο μὲν τοῖς Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ Δ, δύο δὲ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ε,
15ἑνὶ δὲ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ Δ Ε Ζ τὴν ἁρμονικὴν ποιοῦσι μεσότητα. Ἐπεὶ γὰρ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α Β Γ, ἔσον‐ ται καὶ ὡς δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β, οὕτως δύο οἱ Β μετὰ τοῦ Γ πρὸς τὸν Γ,
20καὶ πάντες πρὸς πάντας δύο οἱ Α μετὰ τριῶν τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ πρὸς τοὺς Β Γ, τουτ‐ έστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως δύο οἱ Α
μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β. καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ Α μετὰ τοῦ

3

.

92

Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσι δύο οἱ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Δ Ε ὑπεροχή, εἷς δὲ ὁ Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Ε Ζ ὑπεροχή.
5ὅταν δὲ ᾖ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, ἡ τῶν Δ Ε ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ἡ μεσότης ἐστὶν ἁρμονική. καὶ δῆλον ὅτι λέγοιτ’ ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς, μονάδων ὑποτεθεισῶν ὁμοίως τῶν Α Β Γ, τοῖς ϛʹ γʹ βʹ. κʹ. Ἡ τῇ ἁρμονικῇ ὑπεναντία μεσότης ἐκ τῆς ἀναλο‐
10γίας οὕτως συνίσταται. ὅρων ἀνάλογον ὑποκειμένων τῶν Α Β Γ δύο μὲν τοῖς Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ Δ, δύο δὲ τοῖς Α καὶ δύο τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ε, ἑνὶ δὲ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ Δ Ε Ζ τὴν εἰρημένην ποιοῦσι μεσότητα.
15 Πάλιν γὰρ ὁμοίως τοῖς προδεδειγμένοις ἔσται ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β. καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ Α μετὰ τοῦ Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Ε Ζ ὑπεροχή, εἷς δὲ ὁ Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερ‐
20έχουσι δύο οἱ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ δύο τῶν Α καὶ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Δ Ε ὑπερ‐ οχή· ὡς ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ἡ τῶν Δ Ε ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ὅπερ ἐστὶ κατὰ τὴν μεσότητα τὴν τῇ ἁρμονικῇ ὑπεναντίαν. δῆλον δ’ ὅτι καί, μονάδων
25ὑποτεθεισῶν τῶν Α Β Γ, εἴη ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ἡ μεσότης τοῖς ϛʹ εʹ βʹ. [ἡ αὐτὴ καταγραφή.] Ἡ πέμπτη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται.
ἐκκείσθωσαν ἀνάλογον ὅροι τρεῖς οἱ Α Β Γ, καὶ ἑνὶ μὲν

3

.

94

τῷ Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ Δ, ἑνὶ δὲ τῷ Α καὶ δύο τοῖς Β. καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ε, ἑνὶ δὲ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ Δ Ε Ζ κατὰ τὴν πέμπτην εἰσὶ μεσότητα.
5 Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ἀναλογίαν ἐστὶν ὡς ὁ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β μετὰ τοῦ Γ πρὸς τὸν Γ, ἔσται καὶ συναμφότερος ὁ ἡγούμενος ὁ Α Β μετὰ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ πρὸς τὸν ἑπόμενον συναμφότερον τὸν Β Γ, τουτ‐ έστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως συναμφότερος ὁ Α Β
10πρὸς τὸν Β. καὶ ἔστι συναμφότερος μὲν ὁ Α Β ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Ε Ζ ὑπεροχή, ὁ δὲ Β ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Α καὶ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Δ Ε ὑπεροχή·
15ὡς ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ἡ τῶν Δ Ε ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ὅπερ τῇ πέμπτῃ συμβέβηκεν μεσότητι. καὶ λέγοιτ’ ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς τοῖς εʹ δʹ βʹ, μονά‐ δων ὑποτεθεισῶν τῶν Α Β Γ. [ἡ αὐτὴ δὲ καταγραφή.] Ἡ ἕκτη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται.
20ἐκκείσθω ἡ αὐτὴ τῶν Α Β Γ ὅρων ἀναλογία, καὶ ἑνὶ μὲν τῷ Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ δύο τοῖς Γ ἴσος ὁ Δ, ἑνὶ δὲ τῷ Α καὶ δύο τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ε, ὁ δὲ Ζ ἔστω ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει συναμφότερος ὁ ΑΒ τοῦ Γ· λέγω ὅτι οἱ Δ Ε Ζ τὴν προκειμένην ποιοῦσι μεσότητα.
25 Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ἀναλογίαν ἐστὶν ὡς ὁ Α μετὰ δύο τῶν Β πρὸς συναμφότερον τὸν Α Β, οὕτως ὁ Β μετὰ δύο
τῶν Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ, καὶ πάντες οἱ ἡγού‐

3

.

96

μενοι πρὸς πάντας τοὺς ἑπομένους ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὡς ὁ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ δύο οἱ Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Α Β μετὰ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ, τουτέστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Β μετὰ δύο τῶν Γ πρὸς συναμφότερον τὸν
5Β Γ, καὶ ἔστιν ὁ μὲν Β μετὰ δύο τῶν Γ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερ‐ έχει ὁ Α μετὰ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει συναμφότερος ὁ Α Β τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Ε Ζ ὑπεροχή, συναμφότερος δὲ ὁ Β Γ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει ὁ Α μετὰ τριῶν τῶν Β καὶ δύο τῶν Γ ἑνὸς τοῦ Α καὶ δύο
10τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Δ Ε ὑπεροχή, ὡς [Omitted graphic marker]ἄρα Ε πρὸς Δ, οὕτως ἡ τῶν Δ Ε ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ὥστε οἱ Δ Ε Ζ τὴν ἕκτην ποιοῦσι μεσότητα. καὶ συνίσταται ὁμοίως ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς
15τοῖς ϛʹ δʹ αʹ, μονάδων ὑποτεθεισῶν τῶν Α Β Γ. [ἡ αὐτὴ καταγραφή.] καʹ. Ἡ δὲ ὀγδόη μεσότης ἐκ τῆς ἀνα‐ λογίας οὕτως συνίσταται. ἐκκείσθωσαν τρεῖς ἀνάλογον ὅροι οἱ Α Β Γ, καὶ δύο
20μὲν τοῖς Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ὁ Δ, ἑνὶ δὲ τῷ Α καὶ δύο τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ε, δύο δὲ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ Δ Ε Ζ κατὰ τὴν
ὀγδόην εἰσὶ μεσότητα.

3

.

98

 Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ἀναλογίαν ὡς δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς συναμφότερον τὸν Α Β, οὕτως δύο οἱ Β μετὰ τοῦ Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ, καὶ πάντες πρὸς πάντας, ὡς δύο οἱ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ πρὸς ἕνα τὸν Α καὶ
5δύο τοὺς Β καὶ ἕνα τὸν Γ, τουτέστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς συναμφότερον τὸν Α Β, καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ Α μετὰ τοῦ Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Δ Ζ ὑπεροχή, συναμφότερος δὲ ὁ
10Α Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Α καὶ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Δ Ε ὑπεροχή, καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ἡ τῶν Δ Ζ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Δ Ε ὑπεροχήν, ὅπερ τὴν ὀγδόην συνίστησι μεσότητα. καὶ λέγοιτ’ ἂν ἐν ἐλαχί‐
15στοις ἀριθμοῖς τοῖς ϛʹ δʹ γʹ, μονάδων νοουμένων τῶν Α Β Γ. κβʹ. Ἡ ἐνάτη μεσότης δι’ ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. τῶν Α Β Γ ἀνάλογον ὑποκειμένων ἑνὶ μὲν τῷ Α καὶ δύο τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ Δ, ἑνὶ δὲ τῷ Α καὶ ἑνὶ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ε, ἑνὶ δὲ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ·
20λέγω ὅτι οἱ Δ Ε Ζ τὴν ἐνάτην περιέχουσιν μεσότητα. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β, οὕτως συναμφότερος ὁ Β Γ πρὸς τὸν Γ, καὶ πάντες πρὸς πάντας, ὡς ὁ Α μετὰ δύο τῶν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς συναμ‐ φότερον τὸν Β Γ, τουτέστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως
25συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β, ἀλλὰ συναμφότερος μὲν ὁ Α Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Δ Ζ ὑπεροχή, ὁ δὲ Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ δύο
οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Α καὶ ἑνὸς τοῦ Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ,

3

.

100

τουτέστιν ἡ τῶν Δ Ε ὑπεροχή, καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, ἡ τῶν Δ Ζ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Δ Ε ὑπεροχήν, ὅπερ τῆς ἐνάτης μεσότητος ἴδιόν ἐστιν. καὶ περιέχουσιν αὐτὴν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ οἱ δʹ γʹ βʹ, μονάδων ὑποκειμένων ὁμοίως
5τῶν Α Β Γ. [ἡ αὐτὴ καταγραφή.] κγʹ. Ἡ δεκάτη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνί‐ σταται. πάλιν τριῶν ἀνάλογον ὄντων τῶν Α Β Γ τοῖς μὲν Α Β Γ ἴσος ἔστω ὁ Δ, τοῖς δὲ Β Γ ὁ Ε, τῷ δὲ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ Δ Ε Ζ κατὰ τὴν δεκάτην εἰσὶ μεσότητα.
10 Ἐπεὶ γὰρ ὡς συναμφότερος ὁ Β Γ πρὸς τὸν Γ, τουτ‐ έστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β, καὶ ἔστιν συναμφότερος ὁ Α Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσιν οἱ Α Β Γ τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Δ Ζ ὑπερ‐ οχή, ὁ δὲ Β, ᾗ ὑπερέχουσιν οἱ Β Γ τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν
15Ε Ζ ὑπεροχή, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ἡ τῶν Δ Ζ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ὃ τῇ δεκάτῃ συμβέβηκεν μεσότητι. καὶ ποιοῦσιν αὐτὴν ἐλάχιστοι ἀριθ‐ μοὶ οἱ γʹ βʹ αʹ, μονάδων ὑποτεθεισῶν τῶν Α Β Γ. Ἔκκεινται δὲ τοῦ προχείρου χάριν καὶ οἱ ἀριθμοὶ ἑξῆς,
20καθ’ οὓς ἕκαστος ὅρος τῆς ἀναλογίας πολλαπλασιαζόμενος ποιεῖ μεσότητα ἑκάστην, καὶ παράκεινται οἱ ἐλάχιστοι περι‐ έχοντες αὐτάς. οἷον ἐπὶ τοῦ τῆς ἕκτης μεσότητος πλινθίου ὁ μὲν πρῶτος στίχος ὁ αʹ γʹ βʹ σημαίνει τοῦθ’ ὅτι ὁ πρῶτος ὅρος τῆς ἀναλογίας ἅπαξ καὶ ὁ δεύτερος τρὶς καὶ ὁ τρίτος
25δὶς συντεθέντες τὸν πρῶτον τῆς μεσότητος ὅρον ἀποπλη‐ ροῦσιν. ὁ δὲ δεύτερος τοῦ πλινθίου στίχος ὁ αʹ βʹ αʹ ση‐ μαίνει ὅτι ὁ πρῶτος τῆς ἀναλογίας ὅρος ἅπαξ καὶ ὁ δεύ‐ τερος δὶς καὶ ὁ τρίτος ἅπαξ τὸν δεύτερον ὅρον ἀποπληροῦσι
τῆς μεσότητος. ὁ δὲ τρίτος τοῦ πλινθίου στίχος ἐπὶ μὲν

3

.

102

τῶν ἄλλων μεσοτήτων ἁπλῶς, ὡς γέγραπται, συντίθεται, ἰδίως δ’ ἐπὶ ταύτης ὁ αʹ αʹ αʹ, καθὸ προείρηται, σημαίνει γίνεσθαι τὸν τρίτον τῆς μεσότητος ὅρον ἐκ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ [Omitted graphic marker]

3

.

104

ὁ πρῶτος τῆς ἀναλογίας ὅρος ἅπαξ καὶ ὁ δεύτερος ἅπαξ συντεθέντες ὑπερέχουσιν ἅπαξ ληφθέντος τοῦ τρίτου. οἱ δ’ ἐκ τῆς τρίτης τοῦ πλινθίου ἀριθμοὶ οἱ ϛʹ δʹ αʹ τὴν με‐ σότητα περιέχουσιν αὐτήν. [ὡς γὰρ ὁ δεύτερος ὅρος πρὸς
5τὸν πρῶτον, τουτέστιν ὡς αἱ τέσσαρες μονάδες πρὸς τὰς ἕξ, οὕτως ἡ ὑπεροχὴ τοῦ πρώτου παρὰ τὸν δεύτερον, τουτ‐ έστιν ἡ τῶν ἓξ μονάδων παρὰ τὰς τέσσαρας ὑπεροχή, αἵπερ εἰσὶ μονάδες δύο, πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τοῦ δευτέρου ὅρου παρὰ τὸν τρίτον, τουτέστι τῶν τεσσάρων μονάδων παρὰ τὴν μίαν,
10αἵπερ εἰσὶ μονάδες τρεῖς. ἑκάτερος γὰρ λόγος (ἑκατέρου) ὑφημιόλιος· αἵ τε γὰρ τέσσαρες μονάδες τῶν ἓξ καὶ δύο τῶν τριῶν τὸν αὐτὸν ὑφημιόλιον περιέχουσι λόγον.] τὰ δ’ ὅμοια καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων πλινθίων νοείσθω. κδʹ. Τὸ δὲ τρίτον τῶν προβλημάτων ἦν τόδε.
15 Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν Β γωνίαν, καὶ διήχθω τις ἡ ΑΔ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΔΕ, καὶ δίχα τμηθείσης τῆς ΕΑ κατὰ τὸ Ζ καὶ ἐπι‐ ζευχθείσης τῆς ΖΓ δεῖξαι συναμφοτέρας τὰς ΔΖΓ δύο πλευ‐ ρὰς ἐντὸς τοῦ τριγώνου μείζονας τῶν ἐκτὸς συναμφοτέρων
20τῶν ΒΑΓ πλευρῶν. Καὶ ἔστι δῆλον. ἐπεὶ γὰρ αἱ ΓΖΑ, τουτέστιν αἱ ΓΖΕ, τῆς ΓΑ μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ, αἱ ΓΖΔ ἄρα δύο τῶν ΓΑΒ μείζονές εἰσιν. Ἦν δὲ τὸ προκείμενον ὑγιέστερον προτεῖναι καὶ οὕτως.
25ὀρθογωνίου τυχόντος ὑποκειμένου τοῦ ΑΒΓ λαβεῖν τι ση‐ μεῖον ἐντὸς τοῦ τριγώνου, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ δύο εὐθείας ἀγα‐ γεῖν, μίαν μὲν τέμνουσαν τὴν ΒΓ, τὴν δὲ λοιπὴν ἐπὶ τὸ Γ
ἐρχομένην, ὥστε συναμφοτέρας μείζονας εἶναι τῶν ἐκτός,

3

.

106

ἵνα δηλονότι [ὁ προταθεὶς] διάξας τυχοῦσαν τὴν ΑΔ καὶ θεὶς τῇ ΑΒ ἴσην τὴν ΔΕ καὶ τεμὼν δίχα τὴν ΕΑ κατὰ τὸ Ζ ἀποδείξῃ τὸ Ζ σημεῖον ποιοῦν τὸ πρόβλημα. ἐπι‐ ζευχθείσης γὰρ τῆς ΓΖ δύο αἱ ΓΖΔ δύο τῶν ἐκτὸς ΓΑΒ
5μείζονές εἰσιν. ἀλλ’ ὅτι τοῦτο μέν, ὅπως ἄν τις ἐθέλοι προτείνειν, ἀπειραχῶς δείκνυται δῆλον, οὐκ ἄκαιρον δὲ καθολικώτερον περὶ τῶν τοιούτων προβλημάτων διαλαβεῖν ἀπὸ τῶν φερομένων παραδόξων Ἐρυκίνου προτείνοντας οὕτως.
10 κεʹ. Ἐν παντὶ τριγώνῳ, πλὴν τοῦ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσο‐ σκελοῦς τοῦ τὴν βάσιν ἐλάσσονα τῆς πλευρᾶς ἔχοντος, δυ‐ νατόν ἐστι συσταθῆναί τινας ἐπὶ τῆς βάσεως ἐντὸς δύο εὐθείας ἴσας ταῖς ἐκτὸς ὁμοῦ λαμβανομέναις. Ἔστω πρότερον ἀνισοσκελὲς τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα
15ἔχον τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ, καὶ τετμήσθω συναμφότερος ἡ ΑΒΓ δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ εἰλήφθω μεταξὺ τῶν Δ Β τυχὸν ση‐ μεῖον τὸ Ε, καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ, καὶ ἐπ’ αὐτῆς τυχὸν τὸ Η, καὶ τῇ ΕΑ παράλληλος ἡ ΗΘ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΗΓ ἐκβεβλήσθω. ἐπεὶ μείζονες αἱ μὲν ΕΒΖ
20τῆς ΕΖ αἱ δὲ ΓΖΗ τῆς ΓΗ, συναμφότερος ἄρα ἡ ΕΒΓ μετὰ τῆς ΗΖ μείζονές εἰσι συναμφοτέρων τῶν ΕΖ ΗΓ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΖΗ· μείζων ἄρα καὶ συναμφότερος ἡ ΕΒΓ συναμφοτέρου τῆς ΕΗΓ, καὶ μᾶλλον τῆς ΗΓ. ἔστω συναμφοτέρῳ τῇ ΕΒΓ ἴση ἡ ΗΛ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Η
25διὰ τοῦ Λ γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ ΛΚΟ· τέμνει
δὴ ἑκατέραν τῶν ΓΘ ΘΗ, ἐπεὶ ἡ ΑΕ, τουτέστιν ἡ ΘΗ,

3

.

108

μείζων ἐστι συναμφοτέρου τῆς ΕΒΓ, τουτέστιν τῆς ΗΛ. ἐπεζεύχθω ἡ ΚΗ· λέγω δὴ ὅτι συναμφότερος ἡ ΘΗΚ ἴση ἐστὶν συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒΓ. Ἔστιν δὲ φανερόν· ἡ μὲν γὰρ ΗΘ τῇ ΑΕ, ἡ δὲ ΚΗ
5τῇ ΗΛ, τουτέστιν συναμφοτέρῳ τῇ ΕΒΓ ἴση, καὶ γίνεται ἀπειραχῶς. κϛʹ. Ἔστω δὴ νῦν ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὴν μὲν ΑΒ ἴσην ἔχον τῇ ΒΓ, τὴν δὲ ΑΓ μείζονα ἑκατέρας αὐτῶν,[Omitted graphic marker] καὶ περὶ κέντρον τὸ Α διὰ τοῦ Β γεγράφθω κύκλου περι‐
10φέρεια ἡ ΒΕΔ, καὶ διήχθω τις ἡ ΑΕΖ τέμνουσα τὴν ΒΓ ἐκτὸς τῆς περιφερείας, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΕΖ τυχὸν σημεῖον τὸ Η, καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΗΘ, καὶ ἐπ’ αὐτῆς τυχὸν τὸ Κ, καὶ τῇ ΑΖ παράλληλος ἡ ΚΛ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΓ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Μ, καὶ τῇ ΕΗ ἴση
15ἀφῃρήσθω ἡ ΒΝ· ἔσται οὖν ἡ ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΚΛ, ἴση συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒΝ, καὶ λοιπὴ ἡ ΝΓ ἐλάσσων τῆς ΚΛ. καὶ ἐπεὶ αἱ μὲν ΘΖΗ τῆς ΘΗ μείζονές εἰσιν, αἱ δὲ ΓΘΚ τῆς ΓΚ, συναμφότεροι ἄρα αἱ ΓΖΗ μετὰ τῆς ΘΚ μείζο‐ νές εἰσιν συναμφοτέρων τῶν ΓΚ ΗΘ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ
20ΘΚ· λοιπὴ ἄρα συναμφότερος ἡ ΓΖΗ μείζων συναμφοτέ‐
ρων τῶν ΓΚΗ. κοινὴ προσκείσθω ἡ ΑΗ· συναμφότεροι

3

.

110

ἄρα αἱ ΑΖΓ συναμφοτέρων τῶν ΑΗ ΗΚ ΚΓ μείζονές εἰσιν. τῶν δὲ ΑΖΓ μείζονές εἰσιν αἱ ΑΒΓ· καὶ αἱ ΑΒ ΒΓ ἄρα τῶν ΑΗ ΗΚ ΚΓ μείζονες. ὧν συναμφότερος ἡ ΑΒΝ τῇ ΑΗ ἐστὶν ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΝΓ μείζων τῶν
5ΗΚΓ συναμφοτέρων καὶ μᾶλλον τῆς ΚΓ. κείσθω οὖν τῇ ΝΓ ἴση ἡ ΚΜ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Κ διὰ τοῦ Μ γρα‐ φεῖσα κύκλου περιφέρεια τεμνέτω τὴν ΓΛ κατὰ τὸ Ξ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΞ· λέγω δὴ ὅτι συναμφότερος ἡ ΛΚΞ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒΓ.
10 Ἔστι δὲ φανερόν. ἡ μὲν γὰρ ΚΛ ἴση ἐστὶ συναμφο‐ τέρῳ τῇ ΑΒΝ, ἡ δὲ ΚΞ τῇ ΚΜ, τουτέστιν τῇ ΝΓ, καὶ γίνεται ἀπειραχῶς. κζʹ. λέγω δ’ ὅτι, ἐὰν ᾖ ἰσόπλευρον τὸ τρίγωνον ἢ ἰσοσκελὲς τὴν βάσιν ἐλάσσονα τῆς πλευρᾶς ἔχον, ἀδύνατον
15ἔσται συσταθῆναι τὰς ἐντὸς ἴσας ταῖς ἐκτός, ἀλλ’ αἱ ἐν‐ τὸς ἐλάσσονες ἔσονται. Ἔστω γὰρ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἰσόπλευρον ἢ ἰσοσκελὲς ἔχον τὴν ΑΓ βάσιν ἐλάσσονα ἑκατέρας τῶν ΑΒ ΒΓ, καὶ συνεστάτωσάν τινες ἐντὸς αἱ ΔΕ ΕΗ· λέγω ὅτι ἐλάσσονές
20εἰσιν τῶν ΑΒ ΒΓ. Ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΕ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΑ, μείζων ἡ ὑπὸ ΒΓΑ τῆς ὑπὸ ΖΑΓ. τῆς δ’ ὑπὸ ΒΓΑ μείζων ἡ ὑπὸ ΖΔΑ· πολλῷ ἄρα μείζων ἡ ὑπὸ ΖΔΑ τῆς ὑπὸ ΖΑΔ,
25ὥστε καὶ ἡ ΑΖ μείζων τῆς ΖΔ. ἐπεὶ μείζων μὲν ἡ ὑπὸ

3

.

112

ΑΖΒ τῆς ὑπὸ ΒΓΑ, ἡ δ’ ὑπὸ ΒΓΑ διὰ τὴν ὑπόθεσιν οὐκ ἐλάσσων τῆς ὑπὸ ΑΒΓ, ἔσται μείζων ἡ ὑπὸ ΑΖΒ τῆς ὑπὸ ΑΒΖ, ὥστε καὶ ἡ ΑΒ μείζων τῆς ΑΖ. ἡ δὲ ΑΖ τῆς ΖΔ ἐδείχθη μείζων· καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῆς ΔΖ καὶ πολλῷ
5μᾶλλον τῆς ΔΕ μείζων. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται καὶ ἡ ΒΓ μείζων τῆς ΕΗ· ἐλάσσονες ἄρα εἰσὶν αἱ ΗΕΔ τῶν ΑΒΓ. κηʹ. Ἐφ’ ὧν μέντοι τριγώνων αἱ ἐντὸς ἴσαι συνίσταν‐ ται ταῖς ἐκτός, ἐπ’ ἐκείνων καὶ μείζους τῶν ἐκτὸς ἐντός τινες εἶναι δύνανται συναμφότεραι λαμβανόμεναι.
10[Omitted graphic marker] Ἔστωσαν γὰρ ἐν τῷ ΑΒΓ τρι‐ γώνῳ αἱ ΔΕΖ ἴσαι ταῖς ΑΒΓ, καὶ ἐκ‐ βεβλήσθω μία τῶν
15ἐντὸς ἡ ΔΕ ἐπὶ τὸ Η, καὶ μεταξὺ τῶν Ε Η εἰλήφθω τυ‐ χὸν σημεῖον τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΖ· ἔσονται δὴ αἱ ΔΚΖ μείζονες τῶν
20ΔΕΖ, ὥστε καὶ τῶν ΑΒΓ. δῆλον δ’ ὅτι, κἂν ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ Κ σημεῖον οὕτως ληφθῇ ὥστε τὰς ΔΕΖ περιέχεσθαι ὑπὸ τῶν ἀπ’ αὐτοῦ ἐπὶ τὰ Δ Ζ ἐπιζευγνυμένων, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ οὕτως ἔσται τὸ αὐτό, καὶ ἑκατέρως ἀπειραχῶς ἔσται τὸ προκείμενον.
25 κθʹ. Καὶ τούτου παραδόξου δοκοῦντος εἶναι τοῖς ἀγεω‐ μετρήτοις ἔτι παραδοξότερον φανεῖται τὸ μὴ μόνον συν‐ αμφότερον συναμφοτέρῳ, ἀλλὰ καὶ ἑκατέραν τῶν συνιστα‐ μένων ἐντὸς ἑκατέρᾳ τῶν ἐκτὸς καὶ ἴσην εἶναι δύνασθαι
καὶ μείζονα κατὰ μίαν. δείκνυται δ’ οὕτως.

3

.

114

 Ὑποκείσθω τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ μὴ ἐλάσσονα ἔχον, τὴν δὲ ΑΓ ἑκατέρας αὐτῶν μείζονα, καὶ [Omitted graphic marker]περὶ κέντρον τὸ Α διὰ τοῦ
5Β κύκλου πε‐ ριφέρεια γε‐ γράφθω ἡ ΒΕΖ, καὶ εἰλήφθω με‐
10ταξὺ αὐτῆς καὶ τῆς ΒΓ εὐθείας τυ‐ χὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ
15ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ ΔΓ. ἐπεὶ ἡ μὲν ΑΔ μείζων τῆς ΑΒ καὶ διὰ τὴν ὑπόθεσιν τῆς ΒΓ, ἡ δὲ ΔΓ ἐλάσσων τῆς ΒΓ, ἐὰν ἐκβαλόντες τὴν ΔΓ τῇ ΒΓ ἴσην θῶμεν ἑκατέραν τῶν ΔΘ ΔΚ, ὁ περὶ κέντρον τὸ Δ διὰ τῶν Θ Κ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὴν ΑΖ. τεμνέτω κατὰ τὸ Η, καὶ μεταξὺ
20τῶν Α Η εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον τὸ Λ· δῆλον δὴ ὅτι ἐπιζευχθείσης τῆς ΔΛ ἑκατέρα τῶν ΑΔ ΔΛ ἑκατέρας τῶν ΑΒ ΒΓ ἔσται μείζων. λʹ. Ἂν δὲ θέλωμεν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ ἴσην εἶναι, δε‐ ήσει τὴν μὲν ΑΓ τῆς ΑΒ μείζονα ὑποθέσθαι, τὴν δὲ ΒΓ
25τῆς ΒΑ ἐλάσσονα. Ἐχέτω γὰρ οὕτως, καὶ ὁμοίως ἡ ΒΕΖ περιφέρεια γε‐ γράφθω, καὶ τὸ Δ σημεῖον εἰλήφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν
αἱ ΔΑ ΔΓ, καὶ τῆς ΔΓ ἐκβληθείσης τῇ ΒΓ ἴση κείσθω

3

.

116

ἡ ΔΚ, καὶ ἡ ΚΗΘ περιφέρεια κατὰ τὸ αὐτὸ γραφεῖσα τεμνέτω τὴν ΑΔ κατὰ τὸ Θ, τὴν δὲ ΑΖ κατὰ τὸ Η. ἐπεὶ δὲ μείζων ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ, ἔσται καὶ τῆς ΔΘ μείζων. κεί‐ σθω αὐτῇ ἴση ἡ ΔΛ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Δ διὰ τοῦ Λ
5περιφέρεια γραφεῖσα τεμνέτω τὴν ΑΗ κατὰ τὸ Μ. φα‐ νερὸν δὴ ὅτι ἐπιζευχθεῖσα ἑκατέρα τῶν ΔΜ ΔΗ ἴση ἔσται ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ ΒΓ. λαʹ. Μᾶλλον δ’ ἂν ἐπιταθείη τὸ παράδοξον, εἰ μὴ μό‐ νον ἴσαι ἢ μείζους ἁπλῶς εἶεν αἱ ἐπὶ τῆς βάσεως ἐντὸς
10τοῦ τριγώνου συνιστάμεναι τῶν περιεχουσῶν δύο πλευρῶν, ἀλλὰ καὶ λόγον ἔχοιεν πρὸς αὐτὰς τὸν ἐπιταχθέντα. Κατεσκευάσθωσαν γὰρ αἱ ΕΖΚ ἴσαι ταῖς ΑΒΓ (τοῦτο γὰρ ὡς δυνατόν ἐστι γενέσθαι [διὰ τῶν πρώτων] εἴρηται ἐν ἀρχῇ), καὶ τὸ μὲν Π δίχα τεμνέτω συναμφότερον τὴν
15ΑΒΓ, ἡ δὲ ΘΖΗ παράλληλος ἤχθω τῇ ΑΓ [καὶ ἡ ΖΕ δὲ παράλληλος ἔστω τῇ ΒΑ], καὶ τῷ δοθέντι λόγῳ ὁ αὐτὸς ἔστω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΑΛ, καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜΝ, καὶ ἐπὶ τῆς ΛΜΝ σημεῖον εἰλήφθω τὸ Μ, ὥστε τὰς δι’ αὐτοῦ ταῖς ΒΑ ΒΓ παραλλήλους ἀγομένας τὰς ΜΟ
20ΜΔ περιλαμβάνειν τὸ Ζ. ἔσται δὴ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ, τουτέστι συναμφοτέρου τῆς ΕΖΚ, πρὸς συναμφότε‐ ρον τὴν ΑΛ ΝΓ, τουτέστι πρὸς συναμφότερον τὴν ΟΜΔ, δοθεὶς λόγος· ἐν ἄρα τῷ ΟΜΔ τριγώνῳ ἐντὸς οὖσαι αἱ ΕΖΚ πρὸς τὰς ΟΜΔ περιεχούσας λόγον ἔχουσι τὸν ἐπι‐
25ταχθέντα.

3

.

118

 Ἐπεὶ δὲ δεῖ τὴν ΛΜΝ ἀνώτερον πίπτειν τῆς ΗΘ, δεῖ τὴν ΒΑ τῆς ΑΛ ἐλάσσονα εἶναι ἢ διπλασίαν (ἐπεὶ καὶ[Omitted graphic marker] τῆς ΑΠ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλασία), ὥστε καὶ τὸν δοθέντα λόγον δεήσει ἐλάσσονα εἶναι τοῦ διπλασίου. δῆλον δ’ ὅτι,
5ὅσῳ ἂν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΒΓ πολλαπλασία γίνηται, ἡ δὲ Β γωνία ἀμβλύνηται, μᾶλλον αἱ ΕΖΚ τῷ διπλασίῳ συν‐ εγγιοῦσι λόγῳ, καὶ μᾶλλον, εἰ μὴ ἴσαι εἶεν αἱ ΕΖΚ ταῖς ΑΒΓ ἀλλὰ μείζους αὐτῶν, καὶ φανερόν, εἰ καθέτου ἀχθεί‐ σης τῆς ΜΞ πρὸς τὰς ΟΜΞ συγκρίνονται. δυνατὸν δὲ καὶ
10καθ’ ἑτέρας ἐφόδους τὸ αὐτό, ἀλλὰ πρὸς ἔνδειξιν ἱκανὸς ὁ τρόπος οὗτος. λβʹ. Οὐ μόνον δ’ ἐπὶ τοῦ τριγώνου τῆς βάσεως αἱ εὐθεῖαι συνίστανται συναμφότεραι μείζους τῶν ἐκτὸς αἱ ἐντός, ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τετραπλεύρου δύο τῶν τριῶν καὶ
15τρεῖς τῶν τριῶν, καὶ ἐπὶ τῶν ἔτι πολυπλευροτέρων ὁμοίως ὁσαιδὴ αἱ ἐντὸς ὁσωνοῦν τῶν ἐκτὸς μείζους εἶναι δύνανται.
Ἂν γὰρ ᾖ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἐν ᾧ συνίστανται αἱ ΔΕΖ

3

.

120

μείζονες τῶν ΑΒΓ καὶ διαχθῇ ἡ ΠΘ τυχοῦσα ὑπὲρ τὸ Ε, μείζονες ἔσονται αἱ ΔΕΖ τῶν ΑΠ ΠΘ ΘΓ ἐν τῷ ΑΠΘΓ[Omitted graphic marker] τετραπλεύρῳ. κἂν τυχοῦσα κλασθῇ ἡ ΔΚΕ, αἱ τρεῖς ὁμοῦ αἱ ΔΚ ΚΕ ΕΖ τῶν τριῶν τῶν ΑΠ ΠΘ ΘΓ μείζους ἔσον‐
5ται. κἂν πάλιν κλασθῇ ἡ ΠΗΘ, μείζους ἔσονται αἱ ΔΕΖ καὶ ἔτι αἱ ΔΚ ΚΕ ΕΖ τῶν τεττάρων τῶν ΑΠ ΠΗ ΗΘ ΘΓ ἐν πενταπλεύρῳ. κἂν ἔτι κλασθῇ ἡ ΕΛΖ, μείζους ἔσονται τέτταρες αἱ ΔΚ ΚΕ ΕΛ ΛΖ τῶν τεττάρων τῶν ΑΠ ΠΗ ΗΘ ΘΓ. κἂν ἡ ΠΗΨΘ κλασθῇ, κἂν ἔτι πρὸς πλείω σημεῖα
10τῶν Η Ψ καὶ τῶν Κ Λ ἡ κλάσις γίνηται, τὸ αὐτὸ συμ‐ βήσεται. καὶ ἐπὶ τὸ ἄπειρον, ὅσας ἄν τις ἐπιτάξῃ τὰς ἐντὸς ὁσωνδὴ τῶν ἐκτὸς εἶναι μείζους, τῷ αὐτῷ τρόπῳ κατασκευασθήσεται. λγʹ. Δυνατὸν δὲ καὶ τὰς ἐντὸς ὁσαισδὴ ταῖς ἐκτὸς
15περιλαμβανούσαις πάσαις ὁμοῦ πάσας ἴσας εἶναι. Κατασκευασθεισῶν γάρ, ὡς προδέδεικται, τῶν ΗΘ ΘΚ
ΚΛ ΛΜ μειζόνων ὁσωνδὴ τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΕ ΕΖ, ἂν

3

.

122

κλασθῇ ἡ ΒΝΞΕ τῷ ἴσῳ μείζων τῆς ΒΓΔΕ, γεγονὸς ἔσται τὸ προκείμενον. λδʹ. Ῥᾴδιον δὲ ἀπὸ δύο σημείων τῶν Β Ε κλάσαι τὴν ΒΝΞΕ καθόλου τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην τῶν κλασμάτων
5τὸ πλῆθος δοθὲν ἔχουσαν. [Omitted graphic marker] Ἔστω γὰρ τὰ μὲν δοθέντα σημεῖα τὰ Α Β, ἡ δὲ δοθεῖσα τῷ μεγέθει εὐθεῖα ΑΓ μεί‐
10ζων τῆς ΑΒ, καὶ διῃ‐ ρήσθω ἡ ΒΓ εἰς τυχού‐ σας εὐθείας τὰς ΒΔ ΔΕ ΕΓ μιᾷ ἐλάσσονας τοῦ τῶν κλασμάτων πλήθους, καὶ ἡ μὲν ΑΘΒ κεκλάσθω τῆς ΑΒ ὑπερέχουσα τῇ ΒΔ (ῥᾴδιον γὰρ
15ποιῆσαι), ἡ δὲ ΑΗΘ κεκλάσθω τῆς ΑΘ ὑπερέχουσα τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΑΖΗ κεκλάσθω τῆς ΑΗ ὑπερέχουσα τῇ ΕΓ· ἔσται δὴ τὸ πλῆθος τῶν ΑΖ ΖΗ ΗΘ ΘΒ ἴσον τῷ δοθέντι, καὶ ἡ ἐκ πασῶν συγκειμένη εὐθεῖα ἴση τῇ ΑΓ. εὔκολον γὰρ ἐκ τῆς κατασκευῆς τοῦτο συνιδεῖν καὶ ὅτι ἀπειραχῶς
20γίνεται. λεʹ. Δυνατὸν δὲ καὶ παραλληλόγραμμον εὑρεῖν, οὗ ἐπὶ τῆς βάσεως ἐντὸς εὐθεῖαι δύο συνίστανται ταῖς περι‐ εχούσαις τρισὶν ἴσαι καὶ μείζους αὐτῶν προδιδαχθέντος
τοῦδε.

3

.

124

 Ἔστω ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ δοθείσῃ μείζων ἢ ἐν λόγῳ· ἀγα‐ γεῖν παράλληλον τῇ ΑΓ τὴν ΔΕ καὶ ποιεῖν ἐν τῷ λόγῳ τὴν ΑΔ πρὸς συναμφότερον τὴν ΔΕ ΒΓ.[Omitted graphic marker] Γεγονέτω. ἐπεὶ ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ δοθείσῃ μείζων ἐστὶν
5ἢ ἐν λόγῳ, ἔστω λόγος τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ μετὰ δοθεί‐ σης· ἔστω τῆς Ζ. ὁ δ’ αὐτός ἐστιν καὶ τῆς ΑΔ πρὸς τὰς ΔΕ ΒΓ· καὶ λοιπῆς ἄρα τῆς ΒΔ λόγος πρὸς τὴν τῶν Ζ ΔΕ ὑπεροχὴν ὁ αὐτός ἐστίν. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ Ζ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΔΕ *** θέσει ἄρα *** ὥστε καί, ἂν
10ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ μείζων ᾖ ἢ διπλῆ, δυνατὸν ἔσται ἀγαγεῖν παράλληλον τὴν ΔΕ καὶ ποιεῖν τὴν ΑΔ διπλῆν συναμφο‐ τέρου τῆς ΔΕ ΒΓ. λϛʹ. Ἐκκείσθω δὴ τοιοῦτον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, ὥστε τὴν μὲν ΑΒ τῆς ΒΓ μείζονα εἶναι ἢ διπλασίαν, τὴν δὲ
15ΑΓ τῆς ΓΒ διπλασίαν, καὶ ἤχθω παράλληλος ἡ ΔΕ ποι‐
οῦσα τὴν ΑΔ διπλασίαν συναμφοτέρου τῆς ΔΕ ΒΓ, καὶ

3

.

126

τῆς ΔΕ διπλασία κείσθω ἐπ’ εὐθείας ἡ ΑΖ, καὶ συμπε‐ πληρώσθω τὸ ΓΗ παραλληλόγραμμον *** Ἐπεὶ γὰρ ἡ μὲν ΖΑ διπλασία ἐστὶν τῆς ΔΕ, ἡ δὲ ΑΓ τῆς ΓΒ, ἔσται ὅλη ἡ ΖΓ, τουτέστιν ἡ ΗΒ, διπλασία[Omitted graphic marker]
5συναμφοτέρου τῆς ΔΕ ΒΓ· ἴση ἄρα ἐστὶν τῇ ΑΔ. ἐπειδὴ ἡ ΑΔ τῆς ΒΓ μείζων ἢ διπλασία, κατήχθω ἡ ΔΘ διπλα‐ σία τῆς ΒΓ· ἴση ἄρα ἡ ΔΘ ταῖς ΗΖ ΒΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΗΒ ἴση· αἱ ΑΔΘ ἄρα ἴσαι ταῖς ΖΗ ΗΒ ΒΓ, καὶ ἔστιν παραλληλόγραμμον τὸ ΖΗΒΓ.
10 Δῆλον δ’ ὅτι καὶ μείζους αἱ ΑΔΘ τῶν ΖΗ ΗΒ ΒΓ δύνανται εἶναι. Καὶ ληφθέντος σημείου τινὸς τοῦ Κ μᾶλλον αἱ ΑΚ ΚΔ ΔΘ μείζους τῶν ἐκτός. Καὶ εἰ, ὅσῳ μείζους εἰσίν, κλασθείη ἡ ΗΛΒ τῷ αὐτῷ
15μείζων τῆς ΗΒ, ἔσονται καὶ αἱ ΑΚ ΚΔ ΔΘ ἴσαι ταῖς ΖΗ ΗΛ ΛΒ ΒΓ ἐν πενταπλεύρῳ. καὶ ἐπὶ τῶν πολυ‐ πλευροτέρων ὁ αὐτὸς τρόπος, ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῶν ἀπὸ τυ‐ χόντος τετραπλεύρου συνισταμένων προδέδεικται. λζʹ. Ἕπεται τοῖς προειρημένοις καὶ τὰ τοιαῦτα. δο‐
20θέντος παραλληλογράμμου χωρίου δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν ἕτερον παραλληλόγραμμον, ὥστε αὐτὸ μὲν τὸ ἐπιταχθὲν μέρος εἶναι τοῦ δοθέντος, ἑκάστην δὲ πλευρὰν ἑκάστης
πολλαπλασίαν κατὰ τὸν δοθέντα ἀριθμόν.

3

.

128

 Ἔστω γὰρ παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓ, καὶ εἰλήφθω ἑκατέρα τῶν ΕΔ ΔΖ πολλαπλασία ἑκατέρας τῶν ΑΒ ΒΓ κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμούς, καὶ ἤχθω τῇ ΔΕ πρὸς ὀρ‐ θὰς ἡ ΕΚ, καὶ ἀπειλήφθω τὸ ὑπὸ ΔΕΚ τὸ ἐπιταχθὲν[Omitted graphic marker]
5μέρος τοῦ ΑΓ παραλληλογράμμου, καὶ διὰ τοῦ Κ τῇ ΔΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΚΛ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Δ περι‐ φέρεια γραφεῖσα ἡ ΖΗΘ τεμνέτω τὴν ΘΚΛ κατὰ τὸ Θ καὶ ἐπιζευχθείσῃ τῇ ΔΘ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΛ. δῆλον δ’ ἐκ τῆς κατασκευῆς ὅτι αὐτὸ μὲν τὸ ΔΛ παραλληλό‐
10γραμμον τὸ δοθὲν μέρος ἐστὶν τοῦ ΑΓ ὀρθογωνίου, ἑκάστη δὲ αὐτοῦ πλευρὰ ἑκάστης πολλαπλασία κατὰ τοὺς προτε‐ θέντας ἀριθμούς. ληʹ. Πάλιν τριγώνου δοθέντος ἔλασσον εὑρίσκεται τρί‐ γωνον ἑκάστην ἔχον πλευρὰν ἑκάστης μείζονα.
15 Ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ βάσις ἐφ’ ἑκάτερα μέρη, καὶ κείσθω τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἡ ΒΔ, τῇ δὲ ΑΓ ἴση ἡ ΓΕ, καὶ περὶ τὴν ΔΕ εὐθεῖαν τῷ ΑΒΓ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβεβλήσθω τὸ ΔΗ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΒΓ τυχὸν τὸ Θ. ἐπεζεύχθω‐
20σαν αἱ ΘΖ ΘΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, μεί‐ ζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΘ τῆς ΒΑ. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ἡ ΕΘ τῆς ΑΓ μείζων. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΖΗ τῆς ΒΓ μείζων· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΘΖ ΖΗ ΗΘ κατὰ μίαν μείζονές
εἰσιν τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΑ. ἐπεὶ δὲ τὸ ΔΗ παραλληλόγραμ‐

3

.

130

μον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΖΗΘ τριγώνου, ἀλλὰ τὸ ΔΗ παρ‐ αλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶν τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ, μεῖζον ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὸ τὰς ἐλάσσονας ἔχον πλευρὰς τοῦ ΖΗΘ.
5 λθʹ. Τοῦτο μὲν ἐν τοῖς παραδόξοις φέρεται, γένοιτο δ’ ἂν παραδοξότερον, εἰ τὸ μὲν τρίγωνον αὐτὸ εὑρεθείη μέρος τοῦ δοθέντος τριγώνου, ἑκάστη δὲ πλευρὰ ἑκάστης πολλαπλασία κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμοὺς [ὡς ἐπὶ τοῦ παραλληλογράμμου προείρηται] ἢ καὶ μείζων ἢ πολλαπλασία.
10 Ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ συνεστάτω τρίγωνον τὸ ΕΖΗ ἑκάστην πλευρὰν ἔχον ἑκάστης τῶν τοῦ ΑΒΓ πλευρῶν πολλαπλασίαν κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμοὺς [ἢ καὶ μείζονας ἢ πολλαπλασίας], καὶ περὶ κέντρον τὸ Η διὰ μὲν τοῦ Ε περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΕΘΚ, διὰ δὲ τοῦ Ζ
15περιφέρεια ἡ ΖΛΜ, καὶ διὰ τοῦ Η τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΗΜ, καὶ κάθετος ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΕΖ ἡ ΗΝ, καὶ ἔστω τὸ ἐπιταχθὲν μέρος τοῦ ΑΒΓ τριγώ‐ νου τὸ ὑπὸ ΚΜ ΗΠ [τοῦτο γὰρ προδέδεικται], καὶ τῇ ΚΜ παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΠΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΘ
20ΗΛ. φανερὸν οὖν ἐκ τῆς κατασκευῆς ὅτι τὸ ΘΗΛ τρί‐ γωνον ἔλασσόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ληφθέντος μέρους τοῦ ΑΒΓ (ἐλάσσων γὰρ ἡ ΘΛ τῆς ΚΜ), ἑκάστη δὲ αὐτοῦ πλευρὰ ἑκάστης τῶν τοῦ ΑΒΓ ἢ πολλαπλασία ἢ καὶ μείζων ἢ πολλαπλασία κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμούς (μείζων γὰρ
25ἡ ΘΛ τῆς ΕΖ).

3

.

132

 μʹ. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐγγράψαι τὰ πέντε πο‐ λύεδρα, προγράφεται δὲ τάδε. Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ, οὗ διάμετρος ἡ ΑΓ καὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ προκείσθω εἰς τὸν κύκλον ἐμβαλεῖν
5εὐθεῖαν παράλληλον μὲν τῇ ΑΓ διαμέτρῳ, ἴσην δὲ τῇ δο‐ θείσῃ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς ΑΓ διαμέτρου. Κείσθω τῇ ἡμισείᾳ τῆς δοθείσης ἴση ἡ ΕΔ, καὶ τῇ ΑΓ διαμέτρῳ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΒ, τῇ δὲ ΑΓ παράλ‐ ληλος ἡ ΒΖ, ἥτις ἴση ἔσται τῇ δοθείσῃ· διπλῆ γάρ ἐστιν
10τῆς ΕΔ (ἐπεὶ καὶ ἴσῃ τῇ ΕΗ, παραλλήλου ἀχθείσης τῆς ΖΗ τῇ ΒΕ). μαʹ. Ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΚΔ ΒΕΖΓ, ἡ δὲ διὰ τῶν Β Γ ἀγομένη εὐθεῖα διάμετρος ἔστω τοῦ κύκλου, καὶ προκείσθω ἀγαγεῖν διάμετρον τοῦ ΑΚΔ
15κύκλου παράλληλον τῇ ἐπὶ τὰ Β Γ διαμέτρῳ. Ἐκβεβλήσθω διὰ τῶν Β Γ σημείων ἐπίπεδον ὀρθὸν πρὸς τὸν κύκλον, καὶ ποιήσει τομὴν ΑΒΓΔ μέγιστον κύ‐ κλον· ὁ ΑΒΓΔ ἄρα ἥξει καὶ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν καὶ δίχα τεμεῖ καὶ τὸν ΑΚΔ. ἡ ἄρα ἐπὶ τὰ Α Δ ἐπιζευγνυ‐
20μένη διάμετρος παράλληλός ἐστι τῇ ἐπὶ τὰ Β Γ. ἔστι δὲ φανερόν· τετμήσθω γὰρ ἡ ΒΓ περιφέρεια δίχα τῷ Θ ση‐ μείῳ· ἐπεὶ οὖν ἡ ΘΑ τῇ ΘΔ ἴση ἐστὶν (ἐκ πόλου γάρ),
ὧν ἡ ΘΒ τῇ ΘΓ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ λοιπῇ τῇ ΓΔ ἐστὶν

3

.

134

ἴση· παράλληλος ἄρα ἡ ἐπὶ τὰ Α Δ διάμετρος τῇ ἐπὶ τὰ Β Γ διαμέτρῳ. Ἔστω δὲ ἡ ἐπὶ τὰ Ε Ζ μὴ διάμετρος καὶ προκείσθω διάμετρον ἀγαγεῖν τοῦ ΑΚΔ κύκλου παράλληλον τῇ ἐπὶ
5τὰ Ε Ζ. Κείσθω τῇ ἡμισείᾳ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει ἡμικύ‐ κλιον τῆς ΕΖ περιφερείας ἑκατέρα τῶν ΕΒ ΖΓ ἴση, καὶ διὰ τῶν Β Γ γεγράφθω ὁμοίως μέγιστος ὁ ΑΒΓΔ· ἔσται ἄρα ἡ ἐπὶ τὰ Α Δ διάμετρος τοῦ ΑΚΔ κύκλου παράλληλος
10τῇ ἐπὶ τὰ Ε Ζ, ὅτι καὶ αὐτὴ παράλληλος τῇ ἐπὶ τὰ Β Γ. μβʹ. Ἔστωσαν ἐν παραλλήλοις ἐπιπέδοις παράλληλοι εὐθεῖαι αἱ ΑΕ ΓΖ, καὶ ἐν τοῖς αὐτοῖς ἐπιπέδοις διήχθω‐ σαν αἱ ΑΒ ΓΔ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ διὰ τῶν ΑΕ ΓΖ ἐκβαλλομένου ἐπιπέδου ἴσας γωνίας ποιοῦσαι τὰς ὑπὸ
15ΒΑΕ ΔΓΖ· ὅτι καὶ αἱ ΑΒ ΓΔ παράλληλοί εἰσι, τουτ‐ έστιν ὅτι ἐκβληθὲν τὸ διὰ τῶν Β Α Γ σημείων ἐπίπεδον ποιεῖ ἐν τῷ διὰ τῶν Δ Γ Ζ ἐπιπέδῳ τὴν ΓΔ. Εἰ γὰρ ἑτέραν ποιήσει ἐκεῖ, περιέξει μετὰ τῆς ΓΖ γωνίαν ἴσην τῇ ὑπὸ ΒΑΕ, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· ἴση γὰρ
20ὑπόκειται ἡ ὑπὸ ΒΑΕ τῇ ὑπὸ ΔΓΖ. μγʹ. Ἐκ τούτου φανερὸν ὅτι, ἐὰν ἐν παραλλήλοις ἐπι‐ πέδοις κύκλοι ὦσιν [ὡς ὑπογεγραμμένοι], καὶ ἐν αὐτοῖς παράλληλοι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΓΔ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῶν Ε Ζ κέν‐ τρων ὅμοια τμήματα κύκλων ἀπολαμβάνουσαι, παράλληλος
25ἔσται ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΔΖ.

3

.

136

 Ἴσαι γὰρ γίνονται διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τμημάτων αἵ τε Α Γ καὶ αἱ Β Δ γωνίαι [ἴσαι ἀλλήλαις], καὶ παράλλη‐ λοι αἱ ΑΒ ΓΔ ἐν παραλλήλοις ἐπιπέδοις. μδʹ. Ἂν δὲ αἱ τὰ ὅμοια τῶν τμημάτων κύκλων ἀπο‐
5λαμβάνουσαι παράλληλοι μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέν‐ τρων ὦσιν, αἱ ἀπὸ τῶν κέντρων ἐπὶ τὰ μὴ ὁμοίως κείμενα πέρατα τῶν παραλλήλων ἐπιζευγνύμεναι παράλληλοι ἔσονται. Δείκνυται γὰρ καὶ ὁμοίως ὡς ἐπὶ τῆς προκειμένης καταγραφῆς.
10 μεʹ. Ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ ἴσοι καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ ΓΔ, καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων ἴσαι καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ ΓΔ· ὅτι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰ πέρατα αὐτῶν τὰ Α Γ, Β Δ ἴσαι τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι καὶ ὀρθαὶ πρὸς τὰ τῶν κύκλων ἐπίπεδα.
15[Omitted graphic marker] Ἔστι δὲ φανερὸν ἐκ τῶν προ‐ δεδειγμένων· ἐπιζευχθεῖσαι γὰρ αἱ ΑΕ ΓΖ παράλληλοι ἔσονται. καὶ εἰσὶν ἴσαι ἀλλήλαις· ὥστε καὶ αἱ ΑΓ ΕΖ ἴσαι τε καὶ παράλλη‐
20λοί εἰσιν. ὁμοίως καὶ αἱ ΕΖ ΒΔ. καὶ ἔστιν ἡ ΕΖ ὀρθὴ πρὸς τὰ τῶν κύκλων ἐπίπεδα (περὶ γὰρ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσίν, καὶ ἡ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν ἀγομένη ὀρθή
25ἐστιν πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν καὶ διὰ τῶν κέντρων αὐτῶν τε καὶ τῆς σφαίρας ἐλεύσεται, ὡς ἔστιν ἐν σφαιρικοῖς)· καὶ αἱ ΑΓ ΒΔ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοι καὶ ὀρθαί εἰσι πρὸς τοὺς κύκλους.
μϛʹ. Μὴ ἔστωσαν δὲ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων

3

.

138

αἱ ἴσαι καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ ΓΔ· ὅτι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰ πέρατα αὐτῶν τὰ Α Δ, Β Γ ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις τε καὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας. Τεμνέτωσαν γὰρ ἀλλήλας κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω‐
5σαν ἐπὶ τὰ κέντρα αἵ τε ΑΕ ΕΗ καὶ αἱ ΔΖ ΖΗ. ἐπεὶ ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ ΑΔ ΒΓ, αἱ δʹ ἄρα αἱ ΑΗ ΗΔ ΒΗ ΗΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· τοῦτο γὰρ φανερόν ἐστιν· ὥστε καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΒΓ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΔΖ ἐστὶν ἴση [ἐκ κέντρου τῶν ἴσων κύκλων].
10ἔστι δὲ καὶ [αὐτῇ παράλληλος] ἴση μὲν ἡ ὑπὸ ΕΑΗ γω‐ νία τῇ ὑπὸ ΗΔΖ ἐναλλάξ, ἡ δὲ ΑΗ βάσις τῇ ΗΔ· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΕ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΔΗΖ. κοινῆς προστεθείσης τῆς ὑπὸ ΕΗΔ γίνονται αἱ ὑπὸ ΑΗΕ ΕΗΔ, δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι οὖσαι, ταῖς ὑπὸ ΕΗΔ ΔΗΖ ἴσαι [ὥστε
15καὶ ταῖς ὑπὸ ΕΗΔ ΔΗΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι]· ἐπ’ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ. καὶ ἴση ἐδείχθη ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ· κέντρον ἄρα ἐστὶν τὸ Η τῆς σφαίρας διὰ τὸ ἴσους ὑποκεῖσθαι τοὺς κύκλους· διάμετροι ἄρα τῆς σφαίρας αἱ ΑΔ ΒΓ, καὶ ἴσαι ἀλλήλαις.
20 Ἂν δ’ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΑΓ ΒΔ, ἴσαι ἔσονται ἀλλήλαις τε καὶ ὀρθὰς μετὰ τῶν ΑΒ ΓΔ πε‐ ριέξουσιν γωνίας. Τῇ γὰρ ΓΔ ἴσης καὶ παραλλήλου ἐφαρμοσθείσης τῆς ΘΗ, ἔσται ἡ ΘΗ ὀρθὴ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΘΓ ΑΘ, καὶ
25πρὸς τὸ αὐτῶν ἐπίπεδον, ὥστε καὶ ἡ ΓΔ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν
ἡ ὑπὸ ΑΓΔ. ὁμοίως καὶ αἱ λοιπαί.

3

.

140

 μζʹ. Ἐὰν ὦσιν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι εὐθεῖαι, αἱ τὰ ὁμοταγῆ πέρατα αὐτῶν ἐπιζευγνύουσαι ἴσαι ἔσονται ἀλλή‐ λαις· ἂν δὲ καὶ ἴσαι ὦσιν αἱ παράλληλοι, καὶ αὐταὶ παρ‐ άλληλοι ἔσονται καὶ ὀρθαὶ πρὸς τὰς ὑποκειμένας παραλ‐
5λήλους. Ἔστιν δὲ φανερόν· ἐκβληθέντος γὰρ τοῦ διὰ τῶν παρ‐ αλλήλων ἐπιπέδου γίνεται κύκλος ἐν ᾧ εἰσιν αἱ παράλλη‐ λοι, καὶ αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς ἐξ ἀρχῆς παραλλήλους ἀνιούσας τραπέζιον ποιήσουσιν· ἂν δὲ καὶ ἴσαι ὦσιν αἱ
10παράλληλοι, αἱ ἐπιζευγνύουσαι αὐτὰς οὐκέτι τραπέζιον ἀλλὰ τετράγωνον ἢ ἑτερόμηκες περιέξουσιν. Ἔστωσαν ἐν ὑποκειμένω ἐπιπέδῳ αἱ ΑΒ ΒΓ εὐθεῖαι ἴσας περιέχουσαι γωνίας μετὰ τῆς ΔΒΕ ἐν τῷ αὐτῷ κει‐ μένης ἐπιπέδῳ, καὶ ἐφεστάτω ἡ ΒΖ μεθ’ ἑκατέρας τῶν
15ΑΒ ΒΓ ἴσας περιέχουσα γωνίας· ὅτι ὀρθή ἐστιν τῇ ΔΕ. Ἤχθω ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΖΗ, καὶ ἐπὶ τὰς ΑΒ ΒΓ αἱ ΗΓ ΗΑ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ ΖΓ ΗΒ· αἱ ΑΖ ΖΓ ἄρα ὀρθαὶ ἔσονται ἐπὶ τὰς ΑΒ ΒΓ. καὶ διὰ τὸ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ τῶν ΑΒΖ ΓΒΖ γωνίας ἴσαι
20ἔσονται καὶ αἱ ΑΒ ΒΓ, καὶ ΖΑ ΖΓ, καὶ ΗΑ ΗΓ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΓΒΗ. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΑ τῇ ὑπὸ ΕΒΓ ὑπόκειται ἴση· καὶ ὅλη ἄρα ὅλῃ· κάθετος ἄρα ἡ ΗΒ ἐπὶ τὴν ΔΕ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΖΗ ἐπὶ τὸ ἐπί‐
πεδον· καὶ ἡ ΖΒ ἄρα κάθετος ἐπὶ τὴν ΔΕ.

3

.

142

 μηʹ. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν πυραμίδα ἐγγράψαι. Ἐγγεγράφθω καὶ ἔστω σημεῖα τῶν γωνιῶν αὐτῆς ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὰ Α Β Γ Δ. ἤχθω δὴ διὰ τοῦ [Omitted graphic marker]Α τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΕΖ·
5ἴσας δὴ περιέξει μετὰ τῶν ΑΓ ΑΔ γωνίας [ἑκατέραν διμοίρου, ἐν τῷ αὐτῷ ἐπι‐ πέδῳ αὐταῖς οὖσα]. καὶ ἐφέστηκεν ἡ ΑΒ ἴσας ποι‐
10οῦσα μετὰ τῶν ΑΓ ΑΔ γω‐ νίας· διὰ τὰ προδειχθέντα ἄρα ὀρθή ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ, καὶ ἐφάψεται τῆς σφαίρας. ἐὰν γὰρ ἐκβληθῇ
15τὸ διὰ τῶν ΔΑ ΑΓ ἐπίπε‐ δον, ποιήσει κύκλον, ἐν ᾧ ἰσόπλευρον ἐγγεγράψεται τρίγωνον τὸ ΑΔΓ, καὶ τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΕΖ· ἐφάψεται ἄρα ἡ ΕΖ τοῦ κύκλου, ὥστε καὶ τῆς σφαίρας. ἐκβληθὲν οὖν τὸ διὰ τῶν ΕΖ ΑΒ ἐπί‐
20πεδον τομὴν ποιήσει τῆς σφαίρας κύκλον, οὗ διάμετρος ἔσται ἡ ΑΒ διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τῇ ΕΖ ἐφαπτομένῃ ὁμοίως. κἂν διὰ τοῦ Δ τῇ ΑΒ παράλληλος ἀχθῇ ἡ ΗΘ, ἐφάψεται τῆς σφαίρας, καὶ ὀρθὴ αὐτῇ ἔσται ἡ ΓΔ. κἂν ἐκβληθῇ τὸ διὰ τῶν ΗΘ ΓΔ ἐπίπεδον, κύκλον ποιήσει διάμετρον
25ἔχοντα τὴν ΓΔ ἴσον καὶ παράλληλον τῷ διάμετρον ἔχοντι τὴν ΑΒ· παράλληλοι γὰρ αἱ ΕΖ ΓΔ καὶ αἱ ΑΒ ΗΘ. ἤχθω διὰ τοῦ Κ κέντρου τῇ ΓΔ ὀρθὴ ἡ ΛΜ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ ΑΒ. κἂν ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΒΛ ΒΜ, ἡ μὲν ΒΜ ὀρθὴ ἔσται ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ ΛΜ καὶ τοῖς τῶν κύκλων
30ἐπιπέδοις, ἡ δὲ ΒΛ διάμετρος τῆς σφαίρας (προδέδεικται

3

.

144

γάρ). καὶ ἐπεὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΜΓ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΜ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΓ, ἔσται καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ [Omitted graphic marker]διπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΓΜ. καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΜΓ· ἴση ἄρα
5ἡ ΒΜ τῇ ΜΓ, ὥστε διπλά‐ σιον τὸ ἀπὸ ΛΜ τοῦ ἀπὸ ΜΒ· ἡμιόλιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΛ τοῦ ἀπὸ ΛΜ. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ΒΛ διάμετρος τῆς
10σφαίρας· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΛΜ τοῦ κύκλου διάμε‐ τρος. καὶ οἱ κύκλοι θέσει, καὶ δοθέντα τὰ Α Β Γ Δ σημεῖα.
15 Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά· δεήσει γὰρ ἐν τῇ σφαίρᾳ γράψαι δύο κύκλους ἴσους καὶ παραλλήλους, ὥστε τὴν διά‐ μετρον τῆς σφαίρας ἡμιολίαν εἶναι δυνάμει τῆς ἑκατέρου διαμέτρου, καὶ ἀγαγεῖν δύο διαμέτρους παραλλήλους τὰς
20ΑΒ ΛΜ, ὡς προεμάθομεν, καὶ τῇ ΛΜ διὰ τοῦ κέντρου ὀρθὴν τὴν ΓΔ, καὶ ἔχειν τὰ σημεῖα τῶν γωνιῶν τῆς πυρα‐ μίδος τὰ Α Β Γ Δ. καὶ ἡ ἀπόδειξις ἀντίστροφος τῇ ἀναλύσει καὶ συναποδέδεικται ὅτι ἡ διάμετρος τῆς σφαί‐ ρας ἡμιολία ἐστὶ δυνάμει τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος.
25μθʹ. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαίραν κύβον ἐγγράψαι.
Ἐγγεγράφθω καὶ ἔστω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας

3

.

146

τὰ σημεῖα τῶν γωνιῶν αὐτοῦ τὰ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ, καὶ ἐκβεβλήσθω δι’ αὐτῶν ἐπίπεδα· ποιήσει δὴ τομὰς κύκλους ἴσους καὶ παραλλήλους· καὶ γὰρ τὰ ἐν αὐτοῖς τετράγωνα [Omitted graphic marker][τοῦ κύβου] ἴσα τε καὶ παράλ‐
5ληλά ἐστιν. καὶ ἔσται ἐπεζευγ‐ μένη ἡ ΓΕ διάμετρος τῆς σφαί‐ ρας. ἐπεζεύχθω καὶ ἡ ΕΗ. ἐπεὶ διπλάσιον τὸ ἀπὸ ΕΗ τοῦ ἀπὸ ΕΘ, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ
10ΗΓ, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΗΕ γωνία, ἔσται τὸ ἀπὸ ΓΕ τοῦ ἀπὸ ΕΗ ἡμιόλιον. δοθὲν δὲ τὸ ἀπὸ ΓΕ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ. καὶ ἔστιν διάμετρος
15τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου· δοθεὶς ἄρα ὁ κύκλος, ὥστε καὶ ὁ ΑΒΓΔ καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς τετράγωνα καὶ τὰ τῶν γωνιῶν σημεῖα τοῦ κύβου. Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά· δεῖ γὰρ κύκλους ἐν τῇ σφαίρᾳ γράψαι δύο παραλλήλους, καὶ ἴσων οὐσῶν τῶν διαμέτρων
20ἡμιολία ἔστω δυνάμει ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος, καὶ ἐγγρά‐ ψαι εἰς τὸν ἕτερον αὐτῶν τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ, καὶ τῇ ΒΓ ἀγαγεῖν ἐν τῷ ἑτέρῳ κύκλῳ παράλληλον τὴν ΖΗ ἴσην τῇ ΒΓ, ὡς προεδείξαμεν [καθόλου ἴσην τῇ δοθείσῃ], καὶ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον συμπληρῶσαι τὸ ΕΖΗΘ, καὶ ἔχειν
25τὸν κύβον ἐγγεγραμμένον. δειχθήσεται γὰρ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει τετράγωνον τὸ ΒΖΗΓ καὶ τὰ λοιπά, καὶ συναπο‐ δέδεικται ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλα‐ σίων τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς, καὶ ὅτι οἱ αὐτοὶ κύκλοι τὰς
τῆς πυραμίδος καὶ τὰς τοῦ κύβου περιέχουσι γωνίας· καὶ

3

.

148

γὰρ ἐπ’ ἐκείνης ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ἡμιολία ἦν δυ‐ νάμει τῆς διαμέτρου τῶν κύκλων ἑκατέρου. νʹ. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ὀκτάεδρον ἐγγράψαι. Ἐγγεγράφθω καὶ ἔστω σημεῖα τῶν γωνιῶν αὐτοῦ ἐν
5τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὰ Α Β Γ Δ Ε Ζ, καὶ ἐκβλη‐ θέντα τὰ δι’ αὐτῶν ἐπίπεδα ποιείτω κύκλους τοὺς ΑΒΓ ΔΕΖ. ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἴσαι πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν προσ‐ πεπτώκασιν αἱ ΔΑ ΔΒ ΔΕ ΔΖ, ἔσται τὰ Α Ε Ζ Β ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ [καὶ γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’
10αὐτὰ ἐπιζευγνύμεναι ἴσαι εἰσίν]. καὶ εἰσὶν ἴσαι ἀλλήλαις αἱ ΑΒ ΒΖ ΖΕ, καὶ εἰσὶν ἐν κύκλῳ· τετράγωνον ἄρα τὸ ΑΕΖΒ, καὶ παράλληλος ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ. ὁμοίως καὶ ἡ μὲν ΔΕ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΔΖ τῇ ΑΓ· παράλληλοι ἄρα καὶ οἱ κύ‐ κλοι· καὶ ἴσοι ἀλλήλοις, ἐπεὶ καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς ἰσόπλευρα
15τρίγωνα ἴσα ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ ἴσοι καὶ παράλ‐ ληλοι κύκλοι εἰσίν, καὶ ἐν αὐτοῖς ἴσαι εὐθεῖαι καὶ παράλ‐ ληλοι αἱ ΑΒ ΕΖ, καὶ εἰσὶν οὐκ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων, ἔσται ἐπιζευγνυμένη ἡ ΑΖ διάμετρος τῆς σφαίρας [καὶ αἱ ΑΕ ΖΒ ὀρθὰς μετὰ τῶν ΑΒ ΕΖ περιέξουσι γω‐
20νίας, ὡς προδέδεικται]. καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ ΑΕ ΕΖ· δι‐ πλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΖ τοῦ ἀπὸ ΖΕ. τὸ δ’ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ ΔΕΖ κύκλου ἐπίτριτον τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ· ἡμιόλιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τοῦ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ ΔΕΖ κύκλου· δοθεῖσα ἄρα ἡ διάμετρος, καὶ ὁ κύκλος,
25ὥστε καὶ ὁ ΑΒΓ καὶ τὰ ἐπ’ αὐτῶν σημεῖα.
Καὶ ἡ σύνθεσις ἀκολούθως· δεῖ γὰρ ὁμοίως ἐγγρά‐

3

.

150

ψαι τῇ σφαίρᾳ δύο κύκλους ἴσους καὶ παραλλήλους, ὧν ἑκατέρου τῆς διαμέτρου ἡμιολία δυνάμει ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος, καὶ ἐγγράψαι εἰς τὸν ἕτερον αὐτῶν ἰσόπλευρον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἐν τῷ ἑτέρῳ κύκλῳ παράλληλον
5ἀγαγεῖν τὴν ΕΖ ἴσην τῇ ΑΒ, καὶ ἀπ’ αὐτῆς ἐγγράψαι τὸ ΔΕΖ τρίγωνον, καὶ ἔχειν συνεσταμένον τὸ ὀκτάεδρον. καὶ συναποδέδεικται ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας διπλασίων δυνά‐ μει τῆς πλευρᾶς τοῦ ὀκταέδρου. συνεώραται δ’ ὅτι εἴς γε τὴν τῆς πυραμίδος ἐγγραφὴν καὶ εἰς τὴν τοῦ κύβου καὶ
10τοῦ ὀκταέδρου οἱ αὐτοὶ παραλαμβάνονται κύκλοι [ὧν εἰς τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐναρμόζεται τὰ πολύεδρα], καὶ ὅτι ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τὸ τετράγωνον τοῦ κύβου καὶ τὸ τρίγωνον τοῦ ὀκταέδρου. ναʹ. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν εἰκοσάεδρον ἐγγράψαι.
15 Ἐγγεγράφθω, καὶ ἔστω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ σημεῖα τῶν [Omitted graphic marker]γωνιῶν αὐτοῦ τὰ Α Β Γ, Δ Ε Ζ, Η Θ Κ, Λ Μ Ν. ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ Β ση‐
20μείου πρὸς τὴν ἐπι‐ φάνειαν προσπε‐ πτώκασιν αἱ ΑΒ ΒΓ ΒΖ ΒΗ ΒΕ ἴσαι ἀλλήλαις, ἐν ἑνὶ
25ἔσται ἐπιπέδῳ τὰ Α Γ Ζ Η Ε σημεῖα [καὶ γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὰ ἐπιζευγ‐
30νύμεναι ἴσαι εἰσίν].
καὶ ἴσαι ἀλλήλαις αἱ ΑΓ ΓΖ ΖΗ ΗΕ ΕΑ, καὶ εἰσὶν ἐν

3

.

152

κύκλῳ· ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΑΕΗΖΓ πεντάγωνον· ὁμοίως καὶ ἑκάτερον τῶν ΚΕΒΓΔ ΔΘΖΒΑ καὶ τὰ ΑΚΛΗΒ ΑΚΝΘΓ ΓΘΜΗΒ ἰσόπλευρα καὶ ἰσογώνια [καὶ ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ]. καὶ ἔσται παράλληλος ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΕΖ ἐπιζευχθείσῃ, ἡ δὲ
5ΕΖ τῇ ΚΘ, ἡ δὲ ΚΘ τῇ ΛΜ· καὶ γὰρ τὸ ΛΚΔΘΜ πεν‐ τάγωνόν ἐστιν. ὁμοίως δειχθήσονται καὶ αἱ μὲν ἐπιζευγ‐ νύουσαι τὰ Β Γ, Ε Δ, Η Θ, Λ Ν παράλληλοι, αἱ δὲ ἐπι‐ ζευγνύουσαι τὰ Β Α, Ζ Δ, Η Κ, Μ Ν παράλληλοι. καὶ ὁμοίως ὁ περὶ τὰ Α Β Γ κύκλος ἴσος καὶ παράλληλος τῷ
10περὶ τὰ Λ Μ Ν· ἴσα γὰρ καὶ ὅμοια τὰ ἐν αὐτοῖς τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΛΜΝ. οἱ δὲ περὶ τὰ Δ Ε Ζ, Κ Η Θ σημεῖα κύκλοι ἴσοι καὶ παράλληλοι· καὶ γὰρ τὰ ἐν αὐτοῖς τρίγωνα ἴσα καὶ ἰσόπλευρα· ἑκάστη γὰρ πλευρὰ πενταγώνου γω‐ νίαν ὑποτείνει. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ οἱ περὶ τὰ Δ Ε Ζ,
15Κ Η Θ κύκλοι ἴσοι εἰσὶν καὶ ἐν αὐτοῖς ἰσοπλεύρων τρι‐ γώνων πλευραὶ παράλληλοι αἱ ΕΖ ΚΘ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων, ἔσται ἡ ἐπιζευγνύουσα τὰ Ζ Κ διάμε‐ τρος τῆς σφαίρας καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΖΕΚ γωνία· προδέδει‐ κται γάρ. καὶ ἐπεὶ πεντάγωνόν ἐστι τὸ ΗΕΑΓΖ, τῆς ΕΖ
20ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης, μεῖζον ἔσται τμῆμα ἡ ΑΓ· ἡ ἄρα ΕΖ πρὸς τὴν ΑΓ λόγον ἔχει ὃν ἡ τοῦ ἑξαγώ‐
νου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου. καὶ δύναται ἀμφο‐

3

.

154

τέρας ἡ ΖΚ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΕΚ τῇ ΑΓ· ἕξει ἄρα ἡ ΖΚ διάμετρος τῆς σφαίρας πρὸς μὲν τὴν ΕΖ λόγον, ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου, πρὸς δὲ ΑΓ, [Omitted graphic marker]ὃν ἡ τοῦ πενταγώ‐
5νου πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου. καὶ δο‐ θεῖσα ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας· δο‐ θεῖσα ἄρα καὶ ἑκα‐
10τέρα τῶν ΕΖ ΑΓ, ὥστε καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλων τρίτον μέρος οὖσαι δυνάμει τῶν ΕΖ
15ΑΓ· καὶ αὐτοὶ ἄρα οἱ κύκλοι δοθέντες, καὶ οἱ ἴσοι αὐτοῖς καὶ παράλληλοι, καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς σημεῖα τῶν τοῦ πολυέδρου γωνιῶν.
20 Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά· δεήσει γὰρ ἐκθέσθαι δύο εὐθείας, πρὸς ἃς λόγον ἔχει ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου καὶ πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου, καὶ ἐν τῇ σφαίρᾳ γράψαι δύο κύκλους, ὧν αἱ ἐκ τῶν κέντρων τρίτον μέρος δυνάμει τῶν ἐκτεθει‐
25σῶν εὐθειῶν ἑκατέρα ἑκατέρας, ὡς τοὺς ΔΕΖ ΑΒΓ, καὶ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἴσους αὐτοῖς γράψαι παραλλήλους τοὺς ΚΗΘ ΛΜΝ, καὶ ἐναρμόσαι ἐν ἑκάστῳ ἰσοπλεύρων τριγώνων πλευρὰς παραλλήλους τὰς ΑΓ ΕΖ ΚΘ ΛΜ ἐνηλλαγμένως πρὸς τὰ κέντρα κειμένας,
30καὶ ἐγγράψαι τὰ τρίγωνα ὅλα τὰ ποιοῦντα τὰς τοῦ πολυ‐ έδρου γωνίας. καὶ ἡ ἀπόδειξις ἐκ τῆς ἀναλύσεως εὐχερής. συνορᾶται δ’ ὅτι καὶ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας τριπλασία ἐστὶν δυνάμει τῆς τοῦ πενταγώνου πλευρᾶς τοῦ εἰς τὸν
ΔΕΖ κύκλον ἐγγραφομένου· ἡ μὲν γὰρ ΚΖ πρὸς τὴν ΖΕ

3

.

156

λόγον ἔχει ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἑξα‐ γώνου, ἡ δὲ ΕΖ πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου τοῦ ἐν τῷ αὐτῷ κύκλῳ, ὃν ἡ τοῦ τριγώνου πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου, καὶ ἔστιν τριπλασία δυνάμει ἡ τοῦ τριγώνου τῆς τοῦ ἑξαγώνου·
5τριπλασία ἄρα δυνάμει ἐστὶν καὶ ἡ ΚΖ διάμετρος τῆς σφαίρας τῆς τοῦ ἐν τῷ ΔΕΖ κύκλῳ πενταγώνου πλευρᾶς. νβʹ. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν [τὸ] δωδεκάεδρον ἐγ‐ γράψαι.[Omitted graphic marker] Ἐγγεγράφθω, καὶ ἔστω σημεῖα τῶν γωνιῶν αὐτοῦ τὰ
10Α Β Γ Δ Ε, Ζ Η Θ Κ Λ, Μ Ν Ξ Ο Π, Ρ Σ Τ Υ Φ. ἔσται δὴ ἡ μὲν ΕΔ παράλληλος τῇ ἐπὶ τὰ Ζ Λ, ἡ δὲ ΑΕ παράλληλος τῇ ἐπὶ τὰ Ζ Η. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ αἱ λοι‐ παί, ὥστε καὶ τὸ διὰ τῶν Α Β Γ Δ Ε ἐπίπεδον παράλ‐ ληλον τῷ διὰ τῶν Ζ Η Θ Κ Λ. ἐπεὶ δὲ αἱ ἐπὶ τὰ Ο Α,
15Ξ Γ παράλληλοι (ἑκατέρα γὰρ τῇ ΒΘ) καὶ ἴσαι εἰσίν, καὶ
αἱ ἐπὶ τὰ Ο Ξ, Α Γ ἄρα παράλληλοι, ὥστε καὶ αἱ ΣΤ

3

.

158

ΕΔ. ὁμοίως καὶ αἱ ΣΡ ΓΔ, καὶ αἱ λοιπαί· καὶ τὰ δι’ αὐτῶν ἐπίπεδα ἄρα παράλληλα. νοείσθωσαν οὖν οἱ περὶ αὐτὰ γραφόμενοι [παράλληλοι] κύκλοι. ἔσται δὴ ὁ μὲν περὶ τὰ Α Β Γ Δ Ε ἴσος τῷ περὶ τὰ Ρ Σ Τ Υ Φ· τὰ
5γὰρ ἐν αὐτοῖς πεντάγωνα ἴσα ἐστίν. ὁ δὲ περὶ τὰ Ζ Η Θ Κ Λ τῷ περὶ τὰ Μ Ν Ξ Ο Π· καὶ γὰρ τὰ ἐν τούτοις πεντάγωνα ἴσα. καὶ ἔστιν ἡ ἐπὶ τὰ Γ Λ παράλληλος τῇ ἐπὶ τὰ Ξ Υ (ἑκατέρα γὰρ τῇ ΚΝ)· ἐν ἑνὶ ἄρα ἐπιπέδῳ ἔσται τὰ Λ Γ Ξ Υ σημεῖα. καὶ αἱ ἐπιζευγνύουσαι αὐτὰ
10ἴσαι εἰσίν· ἴσων γὰρ πενταγώνων ὑποτείνουσι γωνίας· καὶ[Omitted graphic marker] εἰσὶν ἐν κύκλῳ· τετράγωνον ἄρα τὸ ΛΓΞΥ, ὥστε διπλῆ δυνάμει ἡ ἐπιζευγνύουσα τὰ Ξ Λ τῆς ἐπὶ τὰ Λ Γ, τουτ‐ έστιν τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Λ. καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΞΛΖ γωνία· ἐν ἴσοις γὰρ κύκλοις ἴσαι καὶ παράλληλοι εὐθεῖαί εἰσιν αἱ
15ΟΞ ΖΛ· τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΞΖ τοῦ ἀπὸ ΖΛ. καὶ ἔστιν διὰ τὰ προδεδειγμένα διάμετρος τῆς σφαίρας ἡ ἐπὶ τὰ Ζ Ξ· οὐ γὰρ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων εἰσὶν αἱ ΟΞ ΖΛ. ἕξει οὖν ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος πρὸς τὴν ΖΛ
λόγον ὃν τριγώνου πλευρὰ πρὸς ἑξαγώνου τῶν εἰς τὸν

3

.

160

ΖΗΘΚΛ κύκλον ἐγγραφομένων. ἔχει δὲ καὶ ἡ ΖΛ πρὸς τὴν τοῦ τριγώνου πλευράν, ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ τριγώνου· ἕξει ἄρα καὶ δι’ ἴσου ἡ διάμετρος τῆς σφαί‐ ρας πρὸς τὴν τοῦ τριγώνου πλευρὰν λόγον ὃν ἡ τοῦ πεντα‐
5γώνου πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου. ἐπεὶ δὲ καὶ τῆς ΖΛ λόγος πρὸς τὴν ΕΔ, ὃν ἡ τοῦ ἑξαγώνου ἔχει πρὸς τὴν τοῦ δεκα‐ γώνου (ἄκρον γὰρ αὐτῆς καὶ μέσον λόγον τεμνομένης μεῖ‐ ζον τμῆμα ἡ ΕΔ διὰ τὸ πενταγώνου γωνίαν ὑποτείνειν τὴν ΖΛ, οὗ πλευρὰ ἡ ΕΔ), ὡς δὲ ἡ ΖΛ πρὸς ΕΔ, ἡ τοῦ τρι‐
10γώνου πλευρὰ τοῦ ἐν τῷ ΖΗΘΚΛ πρὸς τὴν τοῦ τριγώνου[Omitted graphic marker] πλευρὰν τοῦ ἐν τῷ ΑΒΓΔΕ, ἕξει καὶ ἡ τοῦ τριγώνου πρὸς τὴν τοῦ τριγώνου λόγον ὃν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου. ἔχει δὲ καὶ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας πρὸς τὴν
15τοῦ τριγώνου πλευρὰν τοῦ ἐν τῷ ΖΗΘΚΛ, ὃν ἡ τοῦ πεν‐ ταγώνου πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου· ἕξει ἄρα ἡ διάμετρος
πρὸς τὴν τοῦ τριγώνου πλευρὰν τοῦ ἐν τῷ ΑΒΓΔΕ, ὃν

3

.

162

ἡ τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου· δοθεῖσα ἄρα ἐν ἑκατέρῳ κύκλῳ τοῦ τριγώνου πλευρά, ὥστε καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων τρίτον μέρος οὖσαι δυνάμει τῶν πλευρῶν· δοθέντες ἄρα καὶ οἱ κύκλοι καὶ οἱ ἴσοι αὐτοῖς καὶ παράλ‐
5ληλοι καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς σημεῖα τῶν τοῦ πολυέδρου γωνιῶν, ὅπερ· ⁓ Δεῖ οὖν ἐν τῇ συνθέσει δύο ἐκθέσθαι, πρὸς ἃς λόγον ἔχει ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρός τε τὴν τοῦ ἑξαγώνου καὶ πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου, ἃς καὶ
10ἐπὶ τοῦ εἰκοσαέδρου ἐξεθέμεθα, καὶ γράψαι δύο παραλλή‐ λους κύκλους ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ αὐτὸ μέρος τοῦ κέντρου κειμένους, ὡς τοὺς ΖΗΘΚΛ ΑΒΓΔΕ, ὧν αἱ ἐκ τῶν κέντρων τρίτον μέρος εἰσὶ δυνάμει τῶν ἐκ‐ κειμένων εὐθειῶν ἑκατέρα ἑκατέρας. καὶ τούτοις ἴσους
15ἄλλους δύο κύκλους καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ὡς τοὺς ΜΝΞΟΠ ΡΣΤΥΦ, καὶ ἐναρμόσαι τὰς ΕΔ ΖΛ ΟΞ ΣΤ πενταγώνων πλευρὰς παρ‐ αλλήλους, καὶ ἀπ’ αὐτῶν ἀναγράψαι τὰ πεντάγωνα, δι’ ὧν αἱ τοῦ πολυέδρου συνίστανται γωνίαι. καὶ φανερὸν ἐκ
20τῆς κατασκευῆς, ὅτι οἱ περιέχοντες κύκλοι τὰς τοῦ δωδεκα‐ έδρου γωνίας οἱ αὐτοί εἰσιν τοῖς περιέχουσιν τὰς τοῦ εἰ‐ κοσαέδρου γωνίας, καὶ ὅτι ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ τὸ πεντάγωνον τοῦ δω‐
δεκαέδρου τῶν εἰς τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐγγραφομένων.

3

.

164

(1n)

Ἄλλως τὸ δέκατον θεώρημα ἐν τῷ τρίτῳ τῆς τοῦ Πάππου συναγωγῆς
2nκαὶ τὴν ἀπόδειξιν περιέχον καὶ τὴν ὀργανικὴν κατασκευὴν τοῦ τε
3nδιπλασιασμοῦ τοῦ κύβου καὶ τῶν δύο μέσων ἀνάλογον.
4Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ, διάμετροι
5δὲ αὐτοῦ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις ἔστωσαν αἱ ΑΔΓ ΒΔΕ, καὶ [Omitted graphic marker]διήχθωσαν αἱ ΕΜΝ ΒΘΖΗ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΘΖ τῇ ΖΗ· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς ΔΜ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΕΔ κύ‐
10βος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΖ κύβον. Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΗΔ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΘ καὶ ἡ ΛΕ·
15παράλληλος ἄρα ἡ ΘΛ τῇ ΑΔΓ καὶ ἡ ΒΗ τῇ ΛΕ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΛΚ ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ ΒΛΕ κάθετος ἦκται ἐπὶ τὴν ΒΔΕ, ἡ ΚΛ ἄρα μέση ἀνάλογόν ἐστιν τῶν ΕΚ ΚΒ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς
20ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς ΚΒ, τουτ‐ έστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ΔΜ. κοινοῦ ἄρα προσληφθέντος λόγου τοῦ τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΔΖ, ἔσται ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΜ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΒΔ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΖ, τουτέστιν ὡς
25ἡ ΕΔ πρὸς ΔΜ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΕΔ κύβος πρὸς τὸν
ἀπὸ τῆς ΔΖ.

3

.

166

 Ὀργανικῶς δὲ κατασκευασθήσεται τὸν τρόπον τοῦτον. Ἔστω τύμπανον πρὸς κανόνα ἀπωρθωμένον, ἐν ᾧ κα‐ ταγραφέντος κύκλου κέντρῳ καὶ διαστήματι ἐλάττονι τῆς ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ τυμπάνου, ὡς τοῦ ΑΒΓ, πρὸς ὀρθὰς
5ἀλλήλαις ἤχθωσαν διὰ τοῦ κέντρου αἱ ΒΔΕ ΑΔΓ, καὶ κατὰ τὸ Β σημεῖον τρηματίου γενομένου ἐμβεβλήσθω εἰς αὐτὸ ἀξόνιον κυκλοτερές, καὶ περὶ τὸ ἀξόνιον περιβεβλήσθω κανὼν διατρηθεὶς καὶ αὐτός, ὡς ὁ ΒΘΖΗ, ὥστε εὐλύτως περὶ τὸ Β κέντρον περιάγεσθαι, περόνης ἐμβληθείσης εἰς
10τὸ ἀξόνιον τῆς κατεχούσης ἐν τῇ περιαγωγῇ τὸν κανόνα. [Omitted graphic marker]τούτων δὲ οὕτως γενομένων κύ‐ βος κύβου πολλαπλάσιος καθ’ ὁποιονοῦν ἀριθμὸν ῥᾳδίως κα‐ τασκευασθήσεται. προκείσθω
15δὴ διπλασίονα κατασκευάσαι· λαβόντες γὰρ τὴν ΔΕ διπλα‐ σίονα τῆς ΔΜ ἐπιζεύξομεν [κα‐ νόνι] τὴν ΕΜΝ, καὶ τὸν κανόνα τὸν ΒΘΖΗ κινήσομεν περὶ τὸ
20Β κέντρον, ἕως ἂν ἡ [αὐτῷ μέση γραμμὴ] μεταξὺ τῶν Θ Η δι‐ χοτομηθῇ ὑπὸ τῆς ΑΔ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΘΖ τῇ ΖΗ. τοιαύτην γὰρ θέσιν τοῦ κανόνος λαβόντος ἀφορισθήσεται ἡ ΔΖ, ἀφ’
25ἧς ὁ ζητούμενος κύβος ἀναγραφήσεται ἀκολούθως τῇ ἀπο‐
δείξει.

3

.

168

 Ὑπομνηματικώτερον δὲ συνταχθείη ἂν τὸ αὐτὸ πρό‐ βλημα οὕτως. Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΕ περὶ κέντρον τὸ Δ, πρὸς ὀρθὰς δὲ ἀλλήλαις διηγμέναι αἱ ΑΔΓ ΒΔΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β πρὸς
5τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου ἐντὸς προσπίπτουσα ἡ ΒΖΗ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆς ΖΗ. Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΕ διὰ τοῦ κέντρου οὖσα μείζων ἐστὶ τῆς ΒΗ, καὶ ἡ ἡμίσεια ἄρα τῆς ἡμισείας μείζων· μείζων ἄρα ἡ ΒΔ τῆς ἡμισείας τῆς ΒΗ. ἡ δὲ ΒΖ μείζων ἐστὶν τῆς ΒΔ· πολλῷ ἄρα ἡ ΒΖ μείζων ἐστὶ
10τῆς ἡμισείας τῆς ΒΗ, καὶ πολλῷ ἄρα καὶ τῆς ΖΗ. Ἐπεὶ ἡ ΒΖ μείζων ἐστὶν τῆς ΖΗ, ἴση τῇ ΖΗ κείσθω ἡ ΘΖ· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΜ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΕΔ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΖ. Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΗΔ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ
15ἐπεζεύχθω ἡ ΛΘ καὶ ἡ ΛΕ· παράλληλος ἄρα ἡ ΘΛ τῇ ΑΔΓ καὶ ἡ ΒΗ τῇ ΛΕ. Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν η μὲν ΘΖ τῇ ΖΗ διὰ τὴν ὑπόθεσιν, ἡ δὲ ΛΔ τῇ ΔΗ διὰ τὸ ἑκατέραν αὐτῶν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου εἶναι, ἔστιν ὡς ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΛΔ πρὸς τὴν ΔΗ. ἐὰν τριγώνου
20ἀνάλογον τμηθῶσιν αἱ πλευραί, ἡ ἐπὶ τὰς τομὰς ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παρὰ τὴν λοιπήν ἐστι τοῦ τριγώνου πλευράν· παράλληλος ἄρα ἡ ΘΛ τῇ ΖΔ. καὶ ἐπειδὴ δύο αἱ ΒΔΗ δυσὶ ταῖς ΛΔΕ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΔΗ τῇ ὑπὸ ΛΔΕ ἐστὶν ἴση, καὶ βάσις ἡ ΒΗ βάσει τῇ ΛΕ ἐστὶν ἴση, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ἴσαι
25εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ’ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἴση ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΕΛΗ τῇ ὑπὸ ΛΗΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΕΛ. καὶ εἰσὶν ἐναλλάξ· παράλληλος ἄρα ἡ ΒΗ τῇ ΛΕ. Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΚΛ τῇ ΔΓ, αἱ ὑπὸ
ΛΚΔ ΚΔΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ὧν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ

3

.

170

ΚΔΓ· καὶ ἡ ὑπὸ ΛΚΔ ἄρα ὀρθή ἐστιν· πρὸς ὀρθὰς ἄρα ἡ ΚΛ τῇ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ ΒΛΕ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΛΚ, μέση ἀνάλογόν ἐστιν ἡ ΛΚ τῶν ΕΚ ΚΒ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, οὕτως
5ἡ ΕΚ πρὸς ΚΒ. καὶ ἐπειδὴ παράλληλός ἐστιν ἡ μὲν ΒΖ τῇ ΛΕ, ἡ δὲ ΘΛ τῇ ΖΞ, ὅμοιόν ἐστι τὸ μὲν ΛΚΕ τρί‐ γωνον τῷ ΒΚΘ, τὸ δὲ ΒΚΘ τῷ ΒΔΖ, καὶ ἔτι τὸ μὲν ΘΚΕ ὅμοιόν ἐστι τῷ ΜΔΕ, τὸ δὲ ΛΚΕ τῷ ΞΔΕ· ἰσο‐ γώνιον ἄρα ἕκαστον ἑκάστῳ. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ
10πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ· ὡς ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ. ἀλλ’ ὡς τὸ
15ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ. πάλιν ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ μὲν ΛΚΕ τρίγωνον τῷ ΒΚΘ, τὸ δὲ ΘΚΕ τῷ ΜΔΕ, καὶ τὸ ΛΚΕ τῷ ΞΔΕ τριγώνῳ διὰ τὸ τὰς παραλλήλους ἰσογώνια
20αὐτὰ ποιεῖν, ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΕΚ πρὸς ΚΛ, οὕτως ἡ ΒΚ πρὸς ΚΘ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως ἡ ΛΚ πρὸς τὴν ΚΘ, ὡς δὲ ἡ ΕΚ πρὸς ΚΛ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΞ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΚΕ πρὸς ΕΔ, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς ΔΞ. ὁμοίως καί, ἐπεὶ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΘ,
25οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς ΔΜ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΚΕ πρὸς ΕΔ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΔΜ, δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΚΛ
πρὸς τὴν ΔΞ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΜΔ, καὶ ἐναλλὰξ

3

.

172

ὡς ἡ ΛΚ πρὸς τὴν ΚΘ, οὕτως ἡ ΞΔ πρὸς ΔΜ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΛΚ πρὸς ΚΘ, οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς ΚΒ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως ἡ ΞΔ πρὸς τὴν ΔΜ. ἴση δὲ ἡ ΞΔ τῇ ΔΖ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως
5ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΜ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ, οὕτως ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΜ. Ὅτι δὲ ἴση ἐστὶν ἡ ΞΔ τῇ ΔΖ δῆλον. ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΛΞ τῇ ΖΗ, ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΛΞΔ τρίγωνον τῷ ΖΔΗ. καὶ ἐπεὶ
10δύο τρίγωνά ἐστιν τὰ ΛΞΔ ΖΔΗ τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΞΔΛ ΔΛΞ ταῖς ὑπὸ ΖΔΗ ΔΗΖ δυσὶν ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν τὴν ΛΔ μιᾷ πλευρᾷ τῇ ΔΗ ἴσην, καὶ αἱ λοιπαὶ ἄρα πλευραὶ ταῖς λοιπαῖς ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ τῶν ὑποτεινουσῶν τὰς ἴσας γωνίας. ἴση ἄρα ἡ ΔΞ τῇ ΔΖ.
15 Κοινοῦ ἄρα προσληφθέντος λόγου τοῦ τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΔΖ, ἔσται ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΜ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΒΔ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΖ, τουτέστιν ὡς ΕΔ πρὸς ΜΔ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΕΔ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΖ. Καὶ τούτοις ἀκολούθως δύο τῶν ΕΔ ΔΜ δοθεισῶν
20ληψόμεθα τὰς δύο μέσας ἀνάλογον ἐν τῇ συνεχεῖ ἀναλογίᾳ. ἐκκείσθωσαν γὰρ ταῖς ΕΔ ΔΖ ΔΜ ἴσαι αἱ ΕΔ ΔΖ ΔΜ. καὶ ἐπεὶ δέδεικται ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΔΜ, δῆλον ὡς ἡ ΔΜ οὐκ ἔστι τρίτη ἀνάλογον τῶν ΕΔ ΔΖ.
25 Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἡ ΔΜ τρίτη ἀνάλογον τῶν ΕΔ ΔΖ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΜ τρίτη ἀνάλογόν ἐστι τῶν ΕΔ ΔΖ, ἔστιν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΔΜ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς ΔΜ. ἀλλ’ ἦν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ΔΜ· δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ
30πρὸς τὴν ΔΜ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΔΜ· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΕΔ ΔΖ
πρὸς τὴν ΔΜ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ τῇ ΔΖ, ὅπερ

3

.

174

ἀδύνατον (μείζων γὰρ ἡ ΕΔ τῆς ΔΖ)· οὐκ ἄρα ἡ ΔΜ τρίτη ἀνάλογόν ἐστιν τῶν ΕΔ ΔΖ. Εἰλήφθω τῶν ΕΔ ΔΖ τρίτη ἀνάλογον ἡ ΟΠ. ἐπεὶ οὖν τῶν ΕΔ ΔΖ τρίτη ἀνάλογόν ἐστιν ἡ ΟΠ, ἔστιν ὡς ἡ
5ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖʹ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΟΠ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΟΠ. ἀλλ’ ἦν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΔΜ· δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΟΠ, οὕτως ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΜ· καὶ
10ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΟΠ πρὸς τὴν ΔΜ. ἀλλ’ ἦν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΟΠ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΟΠ, οὕτως ἡ ΟΠ πρὸς τὴν ΔΜ· αἱ ΕΔ ΔΖ ΟΠ ΔΜ ἄρα τέσσαρες οὖσαι ἐν τῇ συνεχεῖ καὶ ἐφεξῆς ἀναλογίᾳ εἰσί· τῶν ΕΔ
15ΔΜ ἄρα δύο μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΔΖ ΟΠ. Τῆς δὲ ἀποδείξεως ἐπὶ τῆς προκειμένης καταγραφῆς ἀκολούθως τῇ ὀργανικῇ κατασκευῇ γενομένης δῆλον ὡς ἡ μὲν ὀργανικὴ κατασκευή, δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων καὶ λόγου πρὸς ἀλλήλας τῶν εὐθειῶν δεδομένου, εὑρίσκει τὰς
20δύο μέσας ἀνάλογον, ἐφ’ ὧν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρ‐ την, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας, ἡ δὲ ἀπόδειξις, ὑποστησαμένη τινὰ εὐθεῖαν καὶ ἄλλας δύο λαβοῦσα διὰ τῆς τῶν γραμμῶν καταγραφῆς ἐλάττονας μὲν τῆς πρώτης ἐφεξῆς δὲ αὐτῇ κειμένας καὶ
25ἀλλήλαις ἀνίσους, εὑρίσκει ὡς τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας, οὕτως τὴν δευτέραν πρὸς τὴν ἐλαχί‐ στην. τούτων δὲ τῆς τε πρώτης καὶ τῆς δευτέρας προσλα‐ βοῦσα τρίτην ἀνάλογον ἀποδείκνυσιν τὰς δύο μέσας ἀνά‐ λογον οὕτως θεωρουμένας ὡς ἐπὶ τῆς ὀργανικῆς κατασκευῆς.
30τούτων γὰρ τὸ μὲν συμπέρασμα τὸ αὐτό, δι’ ὧν δὲ τοῦτο

3

.

176

εὑρίσκεται τῶν πρώτων, οὐ τὸ αὐτό. ἐπὶ μὲν γὰρ τῆς ὀργανικῆς κατασκευῆς, λόγου δοθέντος δύο εὐθειῶν ἀνίσων, τὸ συμπέρασμα δείκνυται, ἐπὶ δὲ τῆς ἀποδείξεως, μὴ δο‐ θέντος τοῦ λόγου τῶν εὐθειῶν, διὸ ἔτι τοῦτο μένει ζητού‐
5μενον, πῶς ἐν λόγῳ δοθέντι αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι. δεῖ γάρ, λόγου δοθέντος τοῦ ὃν ἔχει ἡ πρώτη εὐθεῖα πρὸς τὴν τε‐ τάρτην, ἐν τῷ αὐτῷ λόγω γενέσθαι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς πρώ‐ της εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας.

4

.

176

(9)

αʹ. Ἐὰν ᾖ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ
10ἀναγραφῇ τυχόντα παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒΔΕ ΒΓΖΗ, καὶ αἱ ΔΕ ΖΗ ἐκβληθῶσιν ἐπὶ τὸ Θ, καὶ ἐπιζευχθῇ ἡ ΘΒ, γίνεται τὰ ΑΒΔΕ ΒΓΖΗ παραλληλόγραμμα ἴσα τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΘΒ περιεχομένῳ παραλληλογράμμῳ ἐν γωνίᾳ ἥ ἐστιν ἴση συναμφοτέρῳ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ΔΘΒ.
15 Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΘΒ ἐπὶ τὸ Κ, καὶ διὰ τῶν Α Γ τῇ ΘΚ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΑΛ ΓΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΜ. ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστιν τὸ ΑΛΘΒ, αἱ ΑΛ ΘΒ ἴσαι τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι. ὁμοίως καὶ αἱ ΜΓ ΘΒ ἴσαι τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι, ὥστε καὶ αἱ ΛΑ ΜΓ ἴσαι
20τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι. καὶ αἱ ΛΜ ΑΓ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν τὸ
ΑΛΜΓ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΑΓ, τουτέστιν συναμφοτέρῳ

4

.

178

τῇ τε ὑπὸ ΒΑΓ καὶ ὑπὸ ΔΘΒ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΘΒ τῇ ὑπὸ ΛΑΒ. καὶ ἐπεὶ τὸ ΔΑΒΕ παραλληλόγραμμον τῷ ΛΑΒΘ ἴσον ἐστίν (ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν τῆς ΑΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΒ ΔΘ),
5ἀλλὰ τὸ ΛΑΒΘ τῷ ΛΑΚΝ ἴσον ἐστίν (ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν τῆς ΛΑ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλή‐ λοις ταῖς ΛΑ ΘΚ), καὶ τὸ ΑΔΕΒ ἄρα τῷ ΛΑΚΝ ἴσον ἐστίν. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ ΒΗΖΓ τῷ ΝΚΓΜ ἴσον ἐστίν· τὰ ἄρα ΔΑΒΕ ΒΗΖΓ παραλληλόγραμμα τῷ ΛΑΓΜ ἴσα
10ἐστίν, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΑΓ ΘΒ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΑΓ, ἥ ἐστιν ἴση συναμφοτέραις ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ ΒΘΔ. καὶ ἔστι τοῦτο καθολικώτερον πολλῷ τοῦ ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις ἐπὶ τῶν τετραγώνων ἐν τοῖς στοιχείοις δεδειγμένου. βʹ. Ἡμικύκλιον ἐπὶ τῆς ΑΒ ῥητὴν ἔχον τὴν διάμετρον,
15καὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση καὶ τῇ ΑΒ ἐπ’ εὐθείας ἡ ΒΓ, καὶ ἐφαπτομένη ἡ ΓΔ, καὶ δίχα ἡ ΒΔ περιφέρεια τῷ Ε σημείῳ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ· ὅτι ἡ ΓΕ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων. Εἰλήφθω τὸ Ζ κέντρον τοῦ ἡμικυκλίου, καὶ ἐπεζεύχ‐
20θωσαν αἱ ΖΔ ΖΕ. ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΔΓ, ἐν ἡμι‐[Omitted graphic marker] κυκλίῳ ἐστὶν τῷ ἐπὶ τῆς ΖΓ, οὗ κέντρον ἐστὶν τὸ Β. καὶ τῆς ΒΔ ἐπιζευχθείσης ἰσόπλευρον γίνεται τὸ ΒΖΔ τρίγω‐ νον, ὥστε διμοίρου μέν ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΖΒ γωνία, τρίτου δὲ ἡ ὑπὸ ΕΖΒ. ἤχθω κάθετος ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΒ
25διάμετρον ἡ ΗΕ· ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΓΖΔ τρίγωνον τῷ ΕΖΗ

4

.

180

τριγώνῳ, καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΓΔ, ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ. ἐπίτριτον δὲ τὸ ἀπὸ ΖΓ τοῦ ἀπὸ ΓΔ· ἐπίτριτον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΕΖ τοῦ ἀπὸ ΖΗ· λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ὃν ιϛʹ πρὸς ιβʹ, τοῦ δὲ ἀπὸ ΖΓ
5πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΖ ὃν ξδʹ πρὸς ιϛʹ. καὶ τοῦ ἀπὸ ΖΓ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ λόγος ἐστὶν ὃν ξδʹ πρὸς ιβʹ. ἔστω δ’ ἡ ΖΒ τετραπλασία τῆς ΒΘ· καὶ ἔστιν τῆς ΒΖ διπλασίων ἡ ΖΓ· λόγος ἄρα τῆς ΖΓ πρὸς τὴν ΖΘ, ὃν ηʹ πρὸς εʹ, καὶ τῆς ΖΘ πρὸς ΘΓ ὃν εʹ πρὸς γʹ· καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ ἄρα
10πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ λόγος ἐστὶν ὃν ξδʹ πρὸς κεʹ. ἐδείχθη δὲ τοῦ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ λόγος ὃν ξδʹ πρὸς ιβʹ· καὶ τοῦ ἀπὸ ΘΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ λόγος ἐστὶν ὡς κεʹ πρὸς ιβʹ· αἱ ΘΖ ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσὶν δυνάμει μόνον σύμ‐ μετροι, καὶ ἡ ΘΖ τῆς ΖΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμ‐
15μέτρου ἑαυτῇ. καὶ ὅλη ἡ ΖΘ σύμμετρός ἐστιν ῥητῇ τῇ ΑΒ· ἀποτομὴ ἄρα τετάρτη ἐστὶν ἡ ΘΗ. ῥητὴ δὲ ἡ ΖΓ καὶ ἡ διπλῆ αὐτῆς· ἡ ἄρα δυναμένη τὸ δὶς ὑπὸ ΖΓ ΗΘ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων. καὶ δύναται τὸ δὶς ὑπὸ ΓΖ ΗΘ ἡ ΓΕ· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΕ.
20 Ὅτι δὲ ἡ ΓΕ δύναται τὸ δὶς ὑπὸ ΓΖ ΗΘ, οὕτως ἔσται δῆλον· ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ. ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΕΓ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΘ ΘΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΓΘ ΘΗ, ἔστιν δὲ καὶ τὰ ἀπὸ ΕΘ ΘΖ ἴσα τῷ ἀπὸ ΕΖ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΖΘ ΘΗ [ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ ΓΕ πρὸς τὰ ἀπὸ ΕΘ ΘΓ
25μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ ΓΘΗ, οὕτως τὰ ἀπὸ ΕΘ ΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΖ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ ΖΘΗ. καὶ ὡς ἓν πρὸς ἕν, πάντα πρὸς πάντα. καὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΓΕ τοῖς ἀπὸ ΕΘΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΓΘΗ], ἴσα ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ ΓΕ ΕΘ
ΘΖ τοῖς ἀπὸ ΕΘ ΘΓ ΕΖ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΓΘΗ μετὰ τοῦ

4

.

182

δὶς ὑπὸ ΖΘΗ, τουτέστιν τῷ δὶς ὑπὸ ΓΖ ΗΘ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΕΘ· λοιπὰ ἄρα τὰ ἀπὸ ΕΓ ΖΘ ἴσα ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΕΖ ΘΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΓΖ ΗΘ. ὧν τὸ ἀπὸ ΖΘ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΖ ΘΓ (τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ τῆς
5ΖΘ ἐστὶν κεʹ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΘΓ θʹ, καὶ τὸ ἀπὸ ΕΖ ιϛʹ)· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΖΓ ΗΘ. γʹ. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ ῥητὴν ἔχον τὴν διά‐ μετρον, καὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἔστω ἡ ΓΔ, καὶ ἐφα‐ πτομένη ἡ ΔΒ, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ὑπὸ ΓΔΒ γωνία ὑπὸ
10τῆς ΔΖ· ὅτι ἡ ΔΖ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων τῆς μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσης. Εἰλήφθω γὰρ τὸ Η κέντρον τοῦ ἡμικυκλίου, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΒΗ, καὶ ἐπὶ τῆς ΗΔ γεγράφθω ἡμικύκλιον τὸ ΗΒΔ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΖ ἐπὶ τὸ Κ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ
15ΒΚ περιφέρεια τῇ ΚΗ. ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΓ ἡ ΚΛ.[Omitted graphic marker] καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου ἐστὶν πλευρὰ ἡ ΒΗ, ἡμίσεια δὲ τῆς ἑξαγώνου ἡ ΚΛ (ἐκβαλλομένη γὰρ τὴν διπλῆν τῆς ΚΗ περιφερείας ὑποτείνει), διπλασία ἄρα ἡ ΒΗ τῆς ΚΛ, τουτέστιν ἡ ΓΚ τῆς ΚΛ. καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΚΛΓ·
20ἐπίτριτον ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΚΓ τοῦ ἀπὸ ΓΛ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΔΓ τοῦ ἀπὸ ΓΛ· αἱ ΔΓ ΓΛ ἄρα ῥηταί εἰσιν δυ‐ νάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΔΓ τῆς ΓΛ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ μείζων ἡ ΔΓ σύμμετρός ἐστιν ῥητῇ τῇ ΑΓ· ἐκ δύο ὀνομάτων ἄρα πρώτη ἐστὶν ἡ
25ΛΔ, ῥητὴ δὲ ἡ ΗΔ· ἡ ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΗΔΛ χωρίον

4

.

184

δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων. δύ‐ ναται δὲ αὐτὸ ἡ ΔΚ (διὰ γὰρ τὸ ἰσογώνιον εἶναι τὸ ΗΔΚ τρίγωνον τῷ ΔΛΚ τριγώνῳ ἐστὶν ὡς ἡ ΗΔ πρὸς ΔΚ, ἡ ΚΔ πρὸς ΔΛ)· ἡ ΔΚ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν. καὶ
5ἐπεὶ διμοίρου ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία καὶ ἴση ἡ ΗΒ τῇ ΗΓ, ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶν τὸ ΒΗΓ τρίγωνον. ἤχθω δὴ κάθετος ἡ ΒΘ· διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ, τουτέστιν ἡ ΔΓ, τῆς ΓΘ. καὶ ἐδείχθη τὸ ἀπὸ ΔΓ τοῦ ἀπὸ ΓΛ ἐπίτριτον·[Omitted graphic marker] τὸ ἄρα ἀπὸ ΛΓ τριπλάσιόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΓΘ· αἱ ΛΓ
10ΓΘ ἄρα ῥηταί εἰσιν δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΛΓ τῆς ΓΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τὸ ἔλασσον ὄνομα τὸ ΓΘ σύμμετρόν ἐστιν ῥητῇ τῇ ΑΓ· ἡ ΛΘ ἄρα ἀποτομή ἐστιν πέμπτη. καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν ὑπὸ ΔΗΘ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΗ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι τὰ ΒΗΘ
15ΒΗΔ τρίγωνα, τὸ δὲ ὑπὸ ΔΗΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΚΗ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι τὰ ΚΗΛ ΚΗΔ τρίγωνα, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΔΗΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΗΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΗ. καὶ ἐναλλάξ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΔΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΗΛ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΛ [κοινὸν γὰρ ὕψος
20τὸ ΔΗ]· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως τὸ ἀπὸ
ΒΗ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΖΗ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΚ· διελόντι

4

.

186

ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΘΛ πρὸς ΛΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΚΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΚ. καὶ ἐδείχθη ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΔΗΛ τῷ ἀπὸ ΗΚ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΗ ΛΘ τῷ ἀπὸ ΚΖ. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΛΘ ἀποτομὴ πέμπτη, ἡ δὲ ΔΗ ῥητή· ἡ ἄρα
5ΚΖ ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΔΚ ἐκ δύο ὀνομάτων· λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΖ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων τῆς μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσης. δʹ. Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Ε, διά‐
10μετρος δὲ ἡ ΒΓ, καὶ ἐφαπτομένη ἡ ΑΔ συμπίπτουσα τῇ ΒΓ κατὰ τὸ Δ, καὶ διήχθω ἡ ΔΖ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΚΗ ΗΛΘ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΕΚ τῇ ΕΛ. Γεγονέτω καὶ ἤχθω τῇ ΚΛ παράλληλος ἡ ΘΞΜ· ἴση
15ἄρα καὶ ἡ ΜΞ τῇ ΞΘ. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΖΘ κάθετος ἡ ΕΝ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΝ τῇ ΝΘ. ἦν δὲ καὶ
ἡ ΜΞ τῇ ΞΘ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΞ τῇ ΜΖ· οὕτως

4

.

188

ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΘΝΞ τῇ ὑπὸ τῶν ΝΖΜ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ τῶν ΘΑΞ· οὕτως ἄρα ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Α Ν Ξ Θ σημεῖα· οὕτως ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΝΘ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΑΞΘ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ τῶν
5ΑΕΛ· οὕτως ἄρα ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Α Ν Ε Δ σημεῖα. ἔστιν δέ· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΕΑΔ ΕΝΔ. Συντεθήσεται δὴ οὕτως. ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΕΑΔ ΕΝΔ, ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Α Δ Ε Ν σημεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΝΔ τῇ ὑπὸ ΑΕΔ. ἀλλ’ ἡ ὑπὸ
10ΑΕΔ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΑΞΘ διὰ τὰς παραλλήλους τὰς ΕΔ ΞΘ· ἐν κύκλῳ ἄρα τὰ Α Ν Ξ Θ σημεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΘΑΞ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΝΞ. ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΘΑΞ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΘΖΜ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ τῇ ΝΞ. καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΖΝ τῇ ΝΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΜΞ τῇ
15ΞΘ. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΞΗ πρὸς ΗΕ, οὕτως ἡ μὲν ΞΜ πρὸς ΕΚ, ἡ δὲ ΘΞ πρὸς ΛΕ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΞΜ πρὸς ΕΚ, οὕτως ἡ ΘΞ πρὸς ΛΕ. καὶ ἐναλλάξ. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΞ τῇ ΞΘ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΚΕ τῇ ΛΕ. εʹ. Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΔ ΔΓ,
20καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ, καὶ διήχθω ἡ ΕΖ, ἔστω δὲ ἡ ΕΗ ἴση τῇ ΗΖ· ὅτι καὶ ἡ ΘΗ τῇ ΗΚ ἐστὶν ἴση. Ἤχθω τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΕΜ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΑ ΛΖ ΛΓ ΛΜ ΛΕ ΛΗ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ, ἴση ἐστὶν
25καὶ ἡ ΜΓ τῇ ΓΖ. καὶ ἔστιν ἡ ΜΓ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΛ·

4

.

190

ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΖ τῇ ΛΜ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΜΓ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΛ τῇ ΛΓ ἴση, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΕΑΛ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ τῶν ΜΓΛ ἐστὶν ἴση· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΛ τῇ ΛΜ, τουτ‐
5έστιν τῇ ΛΖ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ ἐστὶν ἴση· ἡ ΗΛ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΕΖ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΗ τῇ ΗΚ. ϛʹ. Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ καὶ ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΔ ΔΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ καὶ διήχθω ἡ ΕΖ, καὶ ἔστω ἴση ἡ ΗΘ τῇ ΗΚ· ὅτι καὶ ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ ἐστὶν ἴση.
10[Omitted graphic marker] Εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύ‐ κλου τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΛ ΛΑ ΛΗ ΛΖ ΛΓ. ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΕΑΛ ΕΗΛ, ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Ε Α Η Λ
15σημεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΗΑΛ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΗΕΛ γωνίᾳ. πάλιν ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκα‐ τέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΛΗΖ ΛΓΖ, ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Λ Η Ζ Γ σημεῖα·
20ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΗΓΛ γω‐ νία, τουτέστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΗΑΛ, τουτέστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΗΕΛ, τῇ ὑπὸ τῶν ΗΖΛ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΛ τῇ ΛΖ. καὶ ἔστιν κάθετος ἡ ΛΗ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ. Ἐὰν ὦσιν τρεῖς κύκλοι τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδο‐
25μένοι καὶ ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων, καὶ ὁ περιλαμβάνων αὐ‐ τοὺς κύκλος δοθεὶς ἔσται τῷ μεγέθει. προγράφεται δὲ τάδε. ζʹ. Τετράπλευρον τὸ ΑΒΓΔ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν καὶ δοθεῖσαν ἑκάστην τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΑ εὐ‐ θειῶν· δεῖξαι δοθεῖσαν τὴν ἐπιζευγνύουσαν τὰ Δ Β σημεῖα
30[τὴν ΒΔ].

4

.

192

 Ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ καὶ κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ μὲν τὴν ΓΔ ἡ ΑΗ, ἐπὶ δὲ τὴν ΑΓ ἡ ΒΕ. ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν ΑΒ ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν [ἢ ἐν ἀριθμοῖς], καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ κάθετός ἐστιν ἡ ΒΕ, δοθεῖσα ἄρα ἔσται
5[Omitted graphic marker]καὶ ἑκάστη τῶν ΑΕ ΕΓ ΑΓ ΒΕ (καὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΓΕ ἴσον ὂν τῷ ἀπὸ ΒΓ γίνεται δοθέν· καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΓ, ὥστε ἑκάστη τῶν ΑΕ
10ΕΓ ΒΕ ἔσται δοθεῖσα). πά‐ λιν ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκά‐ στη τῶν ΑΓ ΓΔ ΔΑ εὐ‐ θειῶν, καὶ κάθετός ἐστιν ἡ ΑΗ, δοθεῖσά ἐστι καὶ ἑκάστη τῶν ΔΗ ΗΓ ΑΗ (καὶ γὰρ ἡ ὑπεροχὴ τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ
15ΔΑ παρὰ τὴν ΓΔ παραβληθεῖσα ποιεῖ δοθεῖσαν τὴν τῆς ΓΔ πρὸς ΗΔ ὑπεροχήν, ὡς ἔστι λῆμμα· ὥστε καὶ ἑκάστην τῶν ΔΗ ΗΓ ΑΗ δεδόσθαι). καὶ ἐπεὶ ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΗΓ τρίγωνον τῷ ΓΕΖ τριγώνῳ, ἔστιν ὡς ἡ ΗΓ πρὸς ΓΕ, οὕτως ἥ τε ΑΓ πρὸς ΓΖ καὶ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΕΖ.
20καὶ ἔστι δοθεὶς ὁ τῆς ΗΓ πρὸς ΓΕ λόγος· δοθεῖσα ἄρα ἔσται καὶ ἑκατέρα τῶν ΓΖ ΖΕ. ἀλλὰ καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΒ ΒΓ· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ΖΒ ΒΓ ΓΖ δοθεῖσα. ἤχθω δὴ κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΖ ἡ ΒΘ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΖΘ ΘΓ ΒΘ· ὥστε καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΘ ΘΒ δοθεῖσά
25ἐστι. καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΘΔ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν
ἡ ΒΔ.

4

.

194

(1n)

Ἄλλως.
2 ηʹ. Ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΓ ἡ ΔΕ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ. ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκάστη τῶν ΑΔ ΔΓ ΓΑ, καὶ κάθετος ἡ ΔΕ, δοθεῖσα ἔσται καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΕ ΕΓ.
5[Omitted graphic marker]καὶ ἐπεὶ ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΓΕΖ τρι‐ γώνῳ, ἔστιν ὡς ἡ ΓΕ πρὸς ΕΖ, ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ. δο‐ θεὶς δὲ ὁ τῆς ΓΒ πρὸς ΒΑ
10λόγος· δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ τῆς ΓΕ πρὸς ΕΖ λόγος. καὶ δο‐ θεῖσά ἐστιν ἡ ΓΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΖ. ἦν δὲ καὶ ἡ ΔΕ δοθεῖσα· καὶ ὅλη ἄρα ἡ
15ΔΖ ἔσται δοθεῖσα. κατὰ ταὐτὰ δοθήσεται καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΖ ΖΓ (ὡς γὰρ ἡ ΑΓ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς ΓΕ. καὶ δοθεὶς ὁ τῆς ΑΓ πρὸς ΓΒ λόγος). ἤχθω δὴ πάλιν ἀπὸ τοῦ Δ κάθετος ἡ ΔΗ· δοθεῖσα ἄρα ἑκατέρα τῶν ΖΗ ΗΓ, ὥστε καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΗ ΗΔ δοθεῖσά ἐστι. καὶ
20ὀρθή ἐστιν ἡ Η γωνία· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΒΔ. θʹ. Ἴσοι κύκλοι τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δοθέντες, ὧν κέντρα τὰ Α Β, καὶ δοθὲν σημεῖον τὸ Γ, καὶ διὰ τοῦ Γ ἐφαπτόμενος τῶν κύκλων, ὧν κέντρα τὰ Α Β, γεγράφθω ὁ ΓΕΖ· ὅτι δοθεῖσά ἐστιν αὐτοῦ ἡ διάμετρος.
25 Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖΗ ΓΖΘ ΓΜΠ ΑΒ ΓΕ ΠΖΚ ΘΚ ΘΗ· γίνεται δὴ παράλληλος ἡ ΗΘ τῇ ΓΕ διὰ τὸ τὰς κατὰ
κορυφὴν γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΖΓ ΗΖΘ ἴσας εἶναι, καὶ ὁμοίας

4

.

196

τὰς ΕΠΖ ΗΚΖ περιφερείας καὶ τὸ ΕΓΖ τρίγωνον ἰσογώ‐ νιον τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ. καὶ διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΘΚ τῇ ΠΓ ἐστὶν παράλληλος. καὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ κύκλοι, ὧν τὰ [Omitted graphic marker]κέντρα τὰ Α Β· ἴση ἄρα ἡ
5ΖΗ τῇ ΔΕ. ἤχθωσαν κά‐ θετοι αἱ ΑΣ ΒΛ· ἴση ἄρα ἡ ΑΣ τῇ ΒΛ· ὥστε καὶ ἡ μὲν ΒΜ τῇ ΜΑ ἐστὶν ἴση, ἡ δὲ ΛΜ τῇ ΜΣ (δύο γὰρ
10τρίγωνά ἐστιν τὰ ΒΛΜ ΑΣΜ τὰς δύο γωνίας τὰς κατὰ κορυφὴν ἴσας ἔχοντα καὶ τὰς πρὸς τοῖς Λ Σ ση‐ μείοις ὀρθάς, ἔχει δὲ καὶ
15μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν ΒΛ τῇ ΑΣ). καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκάστη τῶν ΜΛ ΛΒ ΜΣ ΣΑ [οὕτως καὶ ἡ ΖΗ ΔΕ καὶ ΒΛ ΛΣ]·
20δοθεῖσα ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΜ ΜΑ εὐθειῶν. ἀλλὰ καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΓ ΓΒ δοθεῖσά ἐστιν (θέσει γὰρ τὰ Α Β Γ σημεῖα)· δοθὲν ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει· καὶ ἡ ΓΜ ἄρα δοθεῖσα ἔσται
25(καθέτου ἀχθείσης ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ). καὶ ἐπεὶ
δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΝΡ διάμετρος τοῦ ΗΘΚ κύκλου, ἀλλὰ καὶ

4

.

198

[Omitted graphic marker]ἡ ΜΑ δοθεῖσα, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΜΡ δοθεῖσά ἐστιν. καὶ ἐπεὶ δοθέν ἐστιν τὸ ὑπὸ ΝΜΡ, δοθὲν ἄρα καὶ τὸ
5ὑπὸ ΗΜΖ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΕΜΖ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ τῶν ΓΜΠ. καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΓΜ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΓΠ. ἐπεὶ οὖν θέσει
10καὶ μεγέθει ἐστὶν κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Α, καὶ δο‐ θεῖσα τῇ θέσει καὶ τῷ με‐ γέθει ἡ ΓΠ, καὶ διηγμέναι αἱ ΠΖΚ ΓΖΘ, ὥστε παρ‐
15άλληλον εἶναι τῇ ΓΠ τὴν ΚΘ, δοθεῖσά ἐστιν ἡ διά‐ μετρος τοῦ περὶ τὸ ΓΖΠ τρίγωνον κύκλου, τουτέστιν τοῦ ΓΕΖ. ιʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον ἑκάστην τῶν πλευρῶν δο‐
20θεῖσαν, καὶ σημεῖον ἐντὸς τὸ Δ, καὶ ᾧ ὑπερέχει ἡ ΑΔ τῆς [Omitted graphic marker]ΓΔ, τούτῳ ὑπερ‐ εχέτω καὶ ἡ ΓΔ τῆς ΔΒ, καὶ ἔστω ὑπεροχὴ δοθεῖσα·
25ὅτι ἑκάστη τῶν ΑΔ ΔΓ ΔΒ δοθεῖσά ἐστιν. Ἐπεὶ ἡ τῶν ΑΔ ΔΓ ὑπεροχὴ δοθεῖ‐
30σά ἐστιν, ἔστω τῇ ὑπεροχῇ ἴση ἑκατέρα τῶν ΑΕ ΒΖ· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΕΔ
ΔΓ ΔΖ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. γεγράφθω περὶ κέντρον τὸ

4

.

200

Δ κύκλος ὁ ΓΕΖ· διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΔΖ. ἧς ἡ ΒΖ ἐστὶν δοθεῖσα· ἡ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΔ ἐστὶν δοθεῖσα. ἀλλὰ καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΔ ΔΓ δοθεῖσά ἐστιν· ἑκάστη ἄρα τῶν ΑΔ ΔΓ ΔΒ ἐστὶν δοθεῖσα.
5 ιαʹ. Τὰ μὲν οὖν λήμματα ταῦτα, τὸ δὲ ἀρχαϊκόν· τρεῖς κύκλοι ἄνισοι ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων δοθείσας ἔχοντες τὰς διαμέτρους, ὧν κέντρα τὰ Α Β Γ, καὶ περὶ αὐτοὺς κύκλος ἐφαπτόμενος αὐτῶν ὁ ΔΕΖ, οὗ δέον ἔστω εὑρεῖν τὴν διά‐ μετρον.
10[Omitted graphic marker] Ἔστω δὲ αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Η, καὶ ἐπὶ τὰ κέντρα τὰ Α Β Γ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΑΓ ΓΒ καὶ ἔτι αἱ ΗΑΔ
15ΗΒΖ ΗΓΕ. ἐπεὶ οὖν αἱ διάμετροι τῶν κύ‐ κλων, ὧν κέντρα τὰ Α Β Γ, δοθεῖσαί εἰσιν, γενήσεται καὶ ἑκάστη
20τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΑ δο‐ θεῖσα. καὶ αἱ τῶν ΑΗ ΗΓ ΗΒ διαφοραὶ δο‐ θεῖσαι· διὰ ἄρα τὸ προγεγραμμένον δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΗ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΔ δοθεῖσά ἐστιν, ὥστε δοθεῖσά ἐστιν ἡ διά‐
25μετρος τοῦ ΔΕΖ κύκλου. καὶ τοῦτο μὲν ἐνθάδε μοι πέρας
ἔχει, τὰ δὲ λοιπὰ ὑπογράψω.

4

.

202

 ιβʹ. Ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ κεκλάσθω ἡ ΓΒΑ, καὶ διήχθω ἡ ΓΔ, καὶ ἴση ἔστω ἡ ΓΒ συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒ ΔΓ, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ τὴν ΑΓ αἱ ΒΕ ΔΖ· ὅτι ἡ ΑΖ διπλασίων ἐστὶν τῆς ΒΕ.
5 Κείσθω γὰρ τῇ μὲν ΑΕ ἴση ἡ ΕΗ, τῇ δὲ ΑΒ ἴση ἡ ΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΘ ΘΗ ΘΖ, καὶ κά‐ θετος ἤχθω ἡ ΘΚ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΚ. ἐπεὶ ἡ ΓΒ ἴση ἐστὶν συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒ ΔΓ, ὧν ἡ ΒΘ τῇ ΒΑ ἐστὶν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΓ λοιπῇ τῇ ΓΔ. ἐστὶν ἴση· καὶ τὸ ἀπὸ
10τῆς ΓΔ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΘ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΔΓ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΖ· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΖ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΖΘΓ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΘΑΗ γωνίᾳ. πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ
15τῶν ΓΑΕ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑΗ, ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ἀπὸ τῆς ΑΒ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΘΗ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΘΓΖ γωνίᾳ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΘΑΗ ἴση τῇ ὑπὸ τῶν ΖΘΓ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΗΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ τῶν ΘΖΓ ἐστὶν ἴση· καὶ
20ἡ ὑπὸ ΘΗΖ ἄρα τῇ ὑπὸ ΘΖΗ ἐστὶν ἴση. καὶ κάθετος ἦκται ἡ ΘΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΚ τῇ ΚΗ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΑΒΘ ΑΚΘ, ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὸ ΑΒΘΚ τετράπλευρον· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΘΑ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΒΚΑ. ἡμίσους δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν
25ΒΘΑ· ἡμίσους ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΚΑ. ὀρθὴ δέ
ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΕΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΚ. τῆς

4

.

204

δὲ ΕΚ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΖ (ἐπείπερ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΗ ἐστὶν ἴση, ἡ δὲ ΖΚ τῇ ΚΗ)· καὶ τῆς ΕΒ ἄρα διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΖ, ὅπερ· ⁓ ιγʹ. Ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ κεκλάσθω ἡ ΑΒΔ,
5καὶ ἔστω ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, καὶ τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ, καὶ αὐτῇ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΖ, καὶ τὸ κέντρον τὸ Η, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΔ, οὕτως ἡ ΔΘ πρὸς ΘΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΕ· ὅτι ἡ ὑπὸ τῶν ΒΕΔ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῶν ΔΕΘ γωνίᾳ.
10 Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΒΕ κάθετος ἡ ΗΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ ΚΕ. καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΒΚ ΚΔ ΚΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΗΚ τῇ ΕΖ, καὶ ἐπεὶ ἐζήτουν τὴν ὑπὸ τῶν ΚΕΔ γωνίαν τῇ ὑπὸ τῶν ΔΕΘ γωνίᾳ ἴσην, καὶ ἔστιν
15ἴση ἡ ΔΚ τῇ ΚΕ, ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΕΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΔΕ, ὅτι ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΚΔΕ τῇ ὑπὸ ΔΕΘ ἴση ἐστίν, ὅτι ἄρα παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΚ τῇ ΕΘ. Ἤχθω καὶ τῇ ΔΕ παράλληλος ἡ ΚΛ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΔ ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΛ. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν
20ΚΛ τῇ ΔΕ ἐστὶν παράλληλος, ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΕΖ, ζητεῖται δὲ καὶ ἡ ΚΔ τῇ ΕΘ παράλληλος, ὅτι ἄρα διὰ τὸ ἰσογώ‐ νιον εἶναι τὸ μὲν ΚΛΗ τρίγωνον τῷ ΕΔΖ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΔΚΗ τῷ ΕΘΖ, ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΛΗ πρὸς ΗΚ, ἡ ΔΖ πρὸς ΖΕ, ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς ΗΔ, ἡ ΕΖ πρὸς ΖΘ· ὅτι ἄρα καὶ
25ὡς ἡ ΛΗ πρὸς ΗΔ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ΖΘ (δι’ ἴσου γάρ)· ὅτι ἄρα καὶ ὡς ἡ ΛΔ πρὸς τὴν ΔΗ, οὕτως ἡ ΔΘ πρὸς
τὴν ΘΖ (διελόντι γάρ). ὑπέκειτο δὲ καὶ ὡς ἡ ΔΘ πρὸς

4

.

206

ΘΖ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΗΔ· ὅτι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΛΔ πρὸς ΔΗ, οὕτως ἡ ΔΘ πρὸς ΘΖ, τουτέστιν ἡ ΑΗ πρὸς ΗΔ· ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΛΔ τῇ ΑΗ· ὅτι ἄρα καὶ ἡ ΛΑ τῇ ΔΗ ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ ἐστὶν ἴση· ὅτι
5ἄρα καὶ ἡ ΛΒ τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ ἡ ΒΗ ἑκατέρᾳ τῶν ΛΔ ΑΗ ἐστὶν ἴση· ὅτι ἄρα καὶ ἡ ΒΛ τῇ ΛΔ ἐστὶν ἴση. ἔστιν δέ· ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΚΛ τῇ ΔΕ,[Omitted graphic marker] καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΔΚ τῇ ΚΕ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΚΛ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΛΚΔ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ
10ΚΔ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ τῶν ΒΚΛ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΔΚΛ ἐστὶν ἴση, καὶ ἡ ΒΛ ἄρα τῇ ΛΔ ἐστὶν ἴση. Καὶ ἡ σύνθεσις ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΚ τῇ ΚΕ, ἴση καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΔΕ τῇ ὑπὸ ΚΕΔ. ἀλλ’ ἡ μὲν ὑπὸ ΚΔΕ τῇ ὑπὸ ΔΚΛ ἐστὶν ἴση,
15ἡ δὲ ὑπὸ ΚΕΔ τῇ ὑπὸ ΒΚΛ ἐστὶν ἴση διὰ τὰς ΚΛ ΕΔ παραλλήλους· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΚΛ ἄρα τῇ ὑπὸ ΔΚΛ ἐστὶν ἴση. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΒΚ εὐθεῖα τῇ ΚΔ ἴση· καὶ βάσις ἄρα ἡ ΒΛ βάσει τῇ ΛΔ ἐστὶν ἴση, ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ τῶν ΛΒΔ τῇ ὑπὸ ΒΔΑ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ΔΑΒ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ
20ΑΒΗ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΔ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΒΑ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΒΗ ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΗ τῇ ὑπὸ ΒΑΛ ἐστὶν ἴση· δύο δὴ τρίγωνά ἐστιν τὰ ΒΔΗ ΒΑΛ τὰς δύο γωνίας ταῖς δύο γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν τὴν ΑΒ τῇ ΒΔ· ἴση ἄρα ἡ μὲν ΒΗ τῇ ΒΛ, ἡ δὲ ΔΗ
25τῇ ΛΑ, ὥστε καὶ ἡ ΛΔ τῇ ΑΗ ἐστὶν ἴση. ἐπεὶ οὖν
ὑπόκειται ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΔ, ἡ ΔΘ πρὸς ΘΖ, ἴση δὲ

4

.

208

ἡ ΑΗ τῇ ΛΔ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΛΔ πρὸς ΔΗ, ἡ ΔΘ πρὸς ΘΖ· συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΛΗ πρὸς ΗΔ, ἡ ΔΖ πρὸς ΖΘ. ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἡ ΛΗ πρὸς ΗΚ, ἡ ΔΖ πρὸς ΖΕ· ἐξ ἴσου ἄρα καὶ ὡς ἡ ΚΗ πρὸς ΗΔ, ἡ ΕΖ πρὸς ΖΘ. καὶ
5ἔστιν ἴση ἡ ὑπὸ ΕΖΘ τῇ ὑπὸ ΚΗΔ διὰ τὸ παραλλήλους εἶναι τὰς ΕΖ ΚΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΘΖ τῇ ὑπὸ ΚΔΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΚΔ τῇ ΕΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΔΕ, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΚΕΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΘ. ιδʹ. Φέρεται ἔν τισιν ἀρχαία πρότασις τοιαύτη· ὑπο‐
10κείσθω τρία ἡμικύκλια ἐφαπτόμενα ἀλλήλων τὰ ΑΒΓ ΑΔΕ ΕΖΓ, καὶ εἰς τὸ μεταξὺ τῶν περιφερειῶν αὐτῶν χωρίον,[Omitted graphic marker] ὃ δὴ καλοῦσιν ἄρβηλον, ἐγγεγράφθωσαν κύκλοι ἐφαπτό‐ μενοι τῶν τε ἡμικυκλίων καὶ ἀλλήλων ὁσοιδηποτοῦν, ὡς οἱ περὶ κέντρα τὰ Η Θ Κ Λ· δεῖξαι τὴν μὲν ἀπὸ τοῦ Η
15κέντρου κάθετον ἐπὶ τὴν ΑΓ ἴσην τῇ διαμέτρῳ τοῦ περὶ τὸ Η κύκλου, τὴν δ’ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετον διπλασίαν τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Θ κύκλου, τὴν δ’ ἀπὸ τοῦ Κ κά‐ θετον τριπλασίαν, καὶ τὰς ἑξῆς καθέτους τῶν οἰκείων δια‐ μέτρων πολλαπλασίας κατὰ τοὺς ἑξῆς μονάδι ἀλλήλων ὑπερ‐
20έχοντας ἀριθμοὺς ἐπ’ ἄπειρον γινομένης τῆς τῶν κύκλων ἐγγραφῆς. δειχθήσεται δὲ πρότερον τὰ λαμβανόμενα. ιεʹ. Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ ΖΒ ΒΜ περὶ κέντρα τὰ Α Γ ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων κατὰ τὸ Β, καὶ μείζων ἔστω ὁ ΒΜ, ἄλλος δέ τις ἐφαπτόμενος αὐτῶν κατὰ τὰ Κ Λ
25περὶ κέντρον τὸ Η ὁ ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ ΑΗ

4

.

210

(πεσοῦνται δὴ διὰ τῶν Κ Λ), καὶ ἡ ἐπὶ τὰ Κ Λ ἐπι‐ ζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκβαλλομένη τεμεῖ μὲν τὸν ΖΒ κύκλον, συμπίπτει δὲ τῇ διὰ τῶν Α Γ κέντρων ἐκβαλλομένῃ εὐθείᾳ διὰ τὸ μείζονα εἶναι τὴν ΑΚ πλευρὰν τῆς ΓΔ τοῦ ΑΚΔΓ
5τραπεζίου· συμπιπτέτω οὖν κατὰ τὸ Ε τέμνουσα τὸν κύκλον κατὰ τὸ Δ· δεῖξαι ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ. Ἔστιν δὲ φανερόν [ἐπιζευχθείσης τῆς ΓΔ]· γίνεται γὰρ ἰσογώνια τὰ ΓΔΛ ΛΚΗ τρίγωνα τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας
10[πρὸς τῷ Λ] ἴσας ἔχοντα καὶ περὶ τὰς Γ Η γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον [ἔχοντα], ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ ΔΓΗ ΓΗΑ γωνίας ἐναλλάξ, καὶ παράλληλον τὴν ΓΔ τῇ ΑΗ, καὶ ὡς τὴν ΑΕ πρὸς τὴν ΕΓ, τὴν ΑΚ πρὸς ΓΔ, τουτ‐ έστιν τὴν ΑΒ πρὸς ΒΓ.
15 Καὶ τὸ ἀναστρόφιον δὲ φανερόν ἐστιν. ἐὰν γὰρ ᾖ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΚΔ ἐπ’ εὐθείας γίνεται τῇ ΔΕ. Παράλληλός τε γάρ ἐστιν ἡ ΑΚ τῇ ΓΔ καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΑΚ
20πρὸς ΓΔ· ἐπ’ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΔ τῇ ΔΕ. εἰ γὰρ ἡ διὰ τῶν Κ Ε οὐχ ἥξει καὶ διὰ τοῦ Δ, ἀλλὰ διὰ τοῦ Θ, γίνεται ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΑΚ πρὸς ΓΘ, ὅπερ ἀδύνα‐
τον. ὁμοίως οὐδὲ τοῦ Δ ἐκτὸς ἥξει τέμνουσα τὴν ΓΔ ἐκ‐

4

.

212

βληθεῖσαν, οἷον κατὰ τὸ Ν· ἔσται γὰρ πάλιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΑΚ πρὸς ΓΝ, ὅπερ ἀδύνατον· ἔστιν γὰρ πρὸς τὴν ΓΔ.[Omitted graphic marker] Ἢ οὕτως. διὰ τοῦ Κ τῇ ΑΕ παράλληλος ἡ ΚΝ ἤχθω,
5καὶ γίνεται παραλληλόγραμμον τὸ ΑΓΝΚ, καὶ ἴση ἡ ΑΚ τῇ ΓΝ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως ἡ ΑΚ, τουτέστιν ἡ ΓΝ, πρὸς ΓΔ, διελόντι ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, ἡ ΝΔ πρὸς ΔΓ. ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΝ, πρὸς ΝΔ, οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς ΓΔ. καὶ περὶ τὰς ἴσας γω‐
10νίας τὰς πρὸς τοῖς Ν Γ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΕΔΓ τρίγωνον τῷ ΔΝΚ τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΔΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΝΔΚ. καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ ΓΝ· εὐθεῖα ἄρα καὶ ἡ ΚΔΕ. Λέγω δὴ ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ ΚΕΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΒ.
15 Ἐπεὶ γὰρ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, τουτέστιν πρὸς ΓΖ, ἔσται καὶ ἡ λοιπὴ ἡ ΒΕ πρὸς λοιπὴν τὴν ΕΖ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΕ πρὸς ΕΔ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΚΕ πρὸς ΕΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΚΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΕ ΕΔ, ὡς δὲ ἡ ΒΕ πρὸς ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ
20τῆς ΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕΖ, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ ὑπὸ ΛΕ ΕΔ τῷ ὑπὸ ΒΕ ΕΖ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΚΕΛ τῷ ἀπὸ ΕΒ. ιϛʹ. Δύο ἡμικύκλια τὰ ΒΗΓ ΒΕΔ, καὶ ἐφαπτόμενος αὐτῶν κύκλος ὁ ΕΖΗΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τοῦ Α κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν ΒΓ βάσιν τῶν ἡμικυκλίων ἡ ΑΜ·
25ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΜΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘ

4

.

214

κύκλου, οὕτως ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης καταγραφῆς ἀμφότερος ἡ ΓΒ ΒΔ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὴν ΓΔ, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας καὶ τρίτης οὕτως ἡ τῶν ΓΒ ΒΔ ὑπεροχὴ πρὸς συναμφότερον τὴν ΓΒ ΒΔ, τουτέστιν τὴν ΓΔ.
5 Ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΘΖ. ἐπεὶ οὖν δύο κύκλοι οἱ ΒΗΓ ΕΖΗΘ ἐφάπτονται ἀλλήλων κατὰ τὸ Η, καὶ διάμετροι ἐν αὐτοῖς παράλληλοί εἰσιν αἱ ΒΓ ΖΘ, εὐθεῖα ἔσται ἥ τε διὰ τῶν Η Θ Β καὶ ἡ διὰ τῶν Η Ζ Γ.[Omitted graphic marker] πάλιν ἐπεὶ δύο κύκλοι οἱ ΒΕΔ ΕΖΗΘ ἐφάπτονται ἀλλή‐
10λων κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐν αὐτοῖς παράλληλοι διάμετροί εἰσιν αἱ ΘΖ ΒΔ, εὐθεῖα ἔσται ἥ τε διὰ τῶν Ζ Ε Β καὶ ἡ διὰ τῶν Θ Ε Δ. ἤχθωσαν καὶ ἀπὸ τῶν Θ Ζ σημείων κάθετοι αἱ ΘΚ ΖΛ· ἔσται δὴ διὰ μὲν τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΗΓ ΒΘΚ τριγώνων ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν
15ΒΚ, καὶ τὸ ὑπὸ ΓΒ ΒΚ περιεχόμενον χωρίον ἴσον τῷ ὑπὸ ΗΒ ΒΘ, διὰ δὲ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΖΛ ΒΕΔ τριγώνων ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ΒΛ, καὶ τὸ ὑπὸ ΔΒ ΒΛ ἴσον τῷ ὑπὸ ΖΒ ΒΕ, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ ὑπὸ ΗΒ ΒΘ τῷ ὑπὸ ΖΒ ΒΕ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΓΒ ΒΚ
20τῷ ὑπὸ ΔΒ ΒΛ, ἂν δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἐπὶ τὸ Δ

4

.

216

πίπτῃ, τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ. ἐπὶ μὲν ἄρα τῆς πρώτης κατα‐ γραφῆς ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΒΚ, ὥστε καὶ συναμφότερος ἡ ΓΒ ΒΔ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐ‐ τῶν τὴν ΓΔ, οὕτως καὶ συναμφότερος ἡ ΛΒ ΒΚ πρὸς τὴν
5ὑπεροχὴν αὐτῶν τὴν ΚΛ. καὶ ἔστι συναμφοτέρου μὲν τῆς ΛΒ ΒΚ ἡμίσεια ἡ ΒΜ (διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΚΜ τῇ ΜΛ), τῆς δὲ ΛΚ ἡμίσεια ἡ ΜΚ· καὶ ὡς ἄρα συναμφό‐ τερος ἡ ΓΒ ΒΔ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΒΜ πρὸς ΜΚ, τουτέστιν πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου.
10ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας καὶ τρίτης καταγραφῆς, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΓΒΚ ἴσον ἐδείχθη [καὶ κοινῶς] τῷ ὑπὸ ΔΒΛ, ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΒΚ. συνθέντι ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΒ, ἡ ΚΛ πρὸς ΚΒ· ὥστε καὶ ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν τῶν ΓΒ ΒΔ ὑπεροχήν, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν
15τῶν ΛΒ ΒΚ ὑπεροχήν. καὶ ἔστι τῆς μὲν ΚΛ ἡμίσεια ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου [ἀντὶ τῆς ΛΜ], ἡ δὲ ΒΜ ἡμίσεια τῆς τῶν ΛΒ ΒΚ ὑπεροχῆς διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΛΜ τῇ ΜΚ, ὥστε καὶ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, οὕτως ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης
20καταγραφῆς συναμφότερος ἡ ΓΒ ΒΔ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὴν ΓΔ, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας καὶ τῆς τρίτης ἡ τῶν ΓΒ ΒΔ ὑπεροχὴ πρὸς συναμφότερον τὴν ΓΒΔ, τουτέστιν
τὴν ΓΔ [ἀνάπαλιν γάρ].

4

.

218

 Συνθεωρεῖται δ’ ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΚ ΛΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΜ. διὰ γὰρ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΘΚ ΖΛΓ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΘ, οὕτως ἡ ΖΛ[Omitted graphic marker] πρὸς τὴν ΛΓ, καὶ τὸ ὑπὸ ΒΚ ΛΓ ἴσον τῷ ὑπὸ ΘΚ ΖΛ,
5τουτέστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΜ. Γίνεται δὲ καὶ διὰ μὲν τὸ εἶναι ὡς τὴν ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως τὴν ΒΛ πρὸς ΚΛ, τὸ ὑπὸ ΒΓ καὶ τῆς ΚΛ, τουτέστιν τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου, ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΛ ΔΓ, διὰ δὲ τὸ εἶναι ὡς τὴν ΒΔ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως τὴν ΒΚ
10πρὸς ΚΛ, τὸ ὑπὸ τῆς ΒΔ καὶ τῆς ΚΛ, τουτέστιν τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου, ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΚ ΔΓ. ιζʹ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων γεγράφθω κύκλος ὁ ΘΡΤ ἐφαπτόμενος τῶν τε ἐξ ἀρχῆς ἡμικυκλίων καὶ τοῦ ΕΗΘ κύκλου κατὰ τὰ Θ Ρ Τ σημεῖα, καὶ ἀπὸ τῶν Α Π κέν‐
15τρων κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ τὴν ΒΓ βάσιν αἱ ΑΜ ΠΝ· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΜ μετὰ τῆς διαμέτρου τοῦ ΕΗ κύκλου πρὸς τὴν διάμετρον αὐτοῦ, οὕτως ἡ ΠΝ πρὸς τὴν τοῦ ΘΡΤ κύκλου διάμετρον. Ἤχθω τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΖ· ἐφάπτεται ἄρα τοῦ
20ΒΗΓ ἡμικυκλίου. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΠ ἐκβεβλήσθω
ἐπὶ τὸ Ζ. ἐπεὶ διὰ τὸ προδειχθὲν ὡς συναμφότερος ἡ

4

.

220

[Omitted graphic marker]ΓΒΔ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὴν ΓΔ, οὕτως καὶ ἡ ΒΜ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης καταγραφῆς πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΗΘ κύκλου, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας καὶ τρίτης ὡς ἡ ὑπερ‐ οχὴ αὐτῶν πρὸς συναμφότερον, τουτέστιν ὡς ἡ τῶν ΓΒ ΒΔ
5ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΜΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέν‐ τρου τοῦ ΕΗΘ κύκλου, καὶ ἡ ΒΝ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΘΡΤ κύκλου, ἔσται ἄρα καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς
τὴν ΒΝ, ἡ ΑΘ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΗΘ κύκλου πρὸς τὴν

4

.

222

ΘΠ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΘΡΤ κύκλου. ἀλλ’ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΝ, ἡ ΑΖ πρὸς ΖΠ (ἐπιζευχθείσης γὰρ τῆς ΖΜ ἔσται ὡς ἡ ΜΒ πρὸς τὴν ΒΝ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ΖΞ). καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΠ, οὕτως ἡ ΑΘ ἐκ τοῦ κέντρου
5τοῦ ΕΗΘ κύκλου πρὸς τὴν ΘΠ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΘΡΤ κύκλου. καὶ τῶν ΕΗΘ ΡΘΤ κύκλων ἐφάπτεταί τις κύκλος ὁ ΒΡΕΔ κατὰ τὰ Ρ Ε σημεῖα· διὰ ἄρα τὸ προδειχθὲν ιεʹ θεώρημα ἡ τὰ Ρ Ε σημεῖα ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα ἐκβαλλο‐ μένη ἐπὶ τὸ Ζ σημεῖον πεσεῖται, καὶ ἴσον ἔσται τὸ ὑπὸ
10ΕΖΡ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τῷ ἀπὸ τῆς ΘΖ τετραγώνῳ. ἔστιν δὲ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ τετραγώνῳ ἴσον τὸ ὑπὸ ΕΖΡ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΖΒ τῷ ἀπὸ ΖΘ· ἴση ἄρα ἡ ΒΖ τῇ ΖΘ. ἐπεὶ δὲ καὶ ἡ μὲν ΜΑ ἐκβληθεῖσα τέμνει τὴν τοῦ ΕΗΘ κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ Σ, ἡ δὲ ΠΝ τέμνει τὴν
15τοῦ ΘΡΤ κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ Ο σημεῖον, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΘ τῇ ΑΣ, ἡ δὲ ΠΟ τῇ ΠΘ, καὶ ἡ τὰ Ο Σ σημεῖα ἐπιζευγνύουσα ἥξει διὰ τοῦ Θ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΘΑΣ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΠΟ γωνίᾳ ἐναλλάξ, καὶ ἰσο‐ γώνιόν ἐστιν τὸ ΑΘΣ τρίγωνον τῷ ΠΘΟ τριγώνῳ, καὶ
20ἔστιν εὐθεῖα ἡ ΑΠ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ διὰ τῶν Σ Θ Ο σημείων ἀπαγομένη. ἥξει δὲ καὶ διὰ τοῦ Β· εὐ‐ θεῖα γὰρ ἡ ΘΟΒ διὰ τὸ εἶναι ὡς τὴν ΒΖ πρὸς ΖΘ, οὕ‐ τως τὴν ΟΠ πρὸς τὴν ΠΘ, ἴσων οὐσῶν τῶν ὑπὸ ΒΖΘ
ΟΠΘ γωνιῶν ἐν παραλλήλοις ταῖς ΒΖ ΟΠ· καὶ τοῦτο

4

.

224

γὰρ προδέδεικται ιεʹ. ἐπιζευχθεῖσα δὲ καὶ ἡ ΒΠ ἐκβεβλή‐ σθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΜΑ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Κ. ἐπεὶ οὖν ἦν ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΝ, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΒ πρὸς τὴν ΒΠ, οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς ΖΠ καὶ ἡ ΑΘ πρὸς ΘΠ, ἔσται
5καὶ ὡς ἡ ΚΒ πρὸς ΒΠ, ἡ ΑΣ πρὸς ΠΟ καὶ ἡ ΣΚ πρὸς ΠΟ· ἴση ἄρα ἡ ΑΣ τῇ ΣΚ. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ΑΚ ὅλῃ τῇ διαμέτρῳ τοῦ ΕΗΘ κύκλου ἐστὶν ἴση, καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΚΜ πρὸς ΚΣ, οὕτως ἡ ΝΠ πρὸς ΟΠ, ἔσται καὶ ὡς ἡ ΜΚ πρὸς τὴν ΚΑ, τουτέστιν ὡς ἡ ΜΑ μετὰ τῆς διαμέτρου
10τοῦ ΕΗΘ κύκλου πρὸς τὴν διάμετρον, οὕτως ἡ ΝΠ πρὸς τὴν τοῦ ΘΡΤ κύκλου διάμετρον, ὅπερ· ⁓ ιηʹ. Τούτων προτεθεωρημένων ὑποκείσθω ἡμικύκλιον τὸ ΒΗΓ, καὶ ἐπὶ τῆς βάσεως αὐτοῦ τυχὸν σημεῖον εἰλήφθω τὸ Δ, καὶ ἐπὶ τῶν ΒΔ ΔΓ ἡμικύκλια γεγράφθω τὰ ΒΕΔ
15ΔΥΓ, καὶ ἐγγεγράφθωσαν εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῶν τριῶν περιφερειῶν τὸν καλούμενον ἄρβηλον κύκλοι ἐφαπτόμενοι τῶν ἡμικυκλίων καὶ ἀλλήλων ὁσοιδηποτοῦν, ὡς οἱ περὶ τὰ κέντρα τὰ Α Π Ο, καὶ ἀπὸ τῶν κέντρων αὐτῶν κάθετοι ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθωσαν αἱ ΑΜ ΠΝ ΟΣ· λέγω ὅτι ἡ μὲν
20ΑΜ ἴση ἐστὶν τῇ διαμέτρῳ τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου, ἡ δὲ ΠΝ διπλῆ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Π κύκλου, ἡ δὲ ΟΣ τριπλῆ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Ο κύκλου, καὶ αἱ ἑξῆς κάθετοι τῶν οἰκείων διαμέτρων πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς ἑξῆς μονάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἀριθμούς.
25Ἤχθω διάμετρος ἡ ΘΖ παράλληλος τῇ ΒΓ, καὶ κά‐

4

.

226

θετοι αἱ ΘΚ ΖΛ· ἔσται δὴ κατὰ τὰ προγεγραμμένα τὸ μὲν ὑπὸ ΓΒ ΒΚ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον τῷ ὑπὸ ΛΒ ΒΔ, τὸ δὲ ὑπὸ ΒΓ ΓΛ τῷ ὑπὸ ΚΓΔ. καὶ διὰ τοῦτο[Omitted graphic marker] ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΛ, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς ΛΓ· ἑκάτερος γὰρ
5λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΒΔ πρὸς ΔΓ (ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΓΒ ΒΚ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΛΒ ΒΔ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΛ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς ΒΚ· ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως ἡ ΛΒ πρὸς ΒΚ· διελόντι ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΒ, ἡ ΛΚ πρὸς ΚΒ· ἀνάπαλιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ, ἡ
10ΒΚ πρὸς ΚΛ· πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΒΓ ΓΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΚΓ ΓΔ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς ΓΛ· ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ, ἡ ΚΓ πρὸς τὴν ΓΛ· διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΓ· ἦν δὲ καὶ ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΓΔ, ἡ
15ΒΚ πρὸς τὴν ΚΛ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΛ, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΓ)· ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΚ ΓΛ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΛ. προδέδεικται δὲ τὸ ὑπὸ ΒΚ ΛΓ ἴσον καὶ τῷ ἀπὸ ΑΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΜ τῇ ΚΛ, τουτέστιν τῇ
ΖΘ διαμέτρῳ τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου. ἐπεὶ δὲ καὶ τοῦτο

4

.

228

προδέδεικται ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΜ μετὰ τῆς ΖΘ πρὸς τὴν ΖΘ, οὕτως ἡ ΠΝ πρὸς τὴν τοῦ περὶ τὸ Π κύκλου διά‐ μετρον, καὶ ἔστιν ἡ ΑΜ μετὰ τῆς ΖΘ διπλῆ τῆς ΖΘ, ἔσται καὶ ἡ ΠΝ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Π κύκλου διπλῆ.
5ἡ ΠΝ ἄρα μετὰ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Π κύκλου τρι‐ πλασία τῆς διαμέτρου, καὶ ἔστιν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἡ ΟΣ πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ περὶ τὸ Ο κύκλου· καὶ ἡ ΟΣ ἄρα τριπλασία τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Ο κύκλου. καὶ ὁμοίως καὶ ἡ τοῦ ἑξῆς κύκλου κάθετος τῆς διαμέτρου τετραπλασία,
10καὶ αἱ ἑξῆς κάθετοι τῶν καθ’ αὑτὰς διαμέτρων εὑρεθή‐ σονται πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς ἑξῆς μονάδι ἀλλήλων ὑπερ‐ έχοντας ἀριθμούς, καὶ τοῦτο συμβαῖνον ἐπὶ τὸ ἄπειρον ἀπο‐ δειχθήσεται. Ἂν δ’ ἀντὶ τῶν ΒΗΓ ΔΥΓ περιφερειῶν εὐθεῖαι ὦσιν
15[Omitted graphic marker]ὀρθαὶ πρὸς τὴν ΒΔ, ὡς ἐπὶ τῆς τρίτης ἔχει κατα‐ γραφῆς, τὰ αὐτὰ συμβήσεται περὶ
20τοὺς ἐγγραφομέ‐ νους κύκλους· αὐ‐ τόθεν γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ Α κέντρου κάθετος ἐπὶ τὴν
25ΒΔ ἴση γίνεται τῇ τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου διαμέ‐ τρῳ. Ἂν δὲ αἱ μὲν
30ΒΗΓ ΒΕΔ μέ‐ νωσιν περιφέ‐ ρειαι, ἀντὶ δὲ τῆς ΔΥΓ περιφερείας εὐθεῖα ὑποτεθῇ (ὡς ἐπὶ τῆς τε‐ τάρτης ἔχει καταγραφῆς) ἡ ΔΖ ὀρθὴ πρὸς τὴν ΒΓ, τῆς
35μὲν ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ τετραγωνικὸν ἐν ἀριθμοῖς λόγον
ἐχούσης, σύμμετρος ἔσται ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος τῇ δια‐

4

.

230

μέτρῳ τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου, εἰ δὲ μή, ἀσύμμετρος. κα‐ θόλου γὰρ ὃν ἔχει λόγον ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ, τοῦτον ἔχει[Omitted graphic marker] τὸν λόγον δυνάμει ἡ ΔΖ πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου, ὡς ἑξῆς δείκνυται. οἷον ἐὰν ᾖ τετραπλασία
5μήκει ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ, γίνεται διπλῆ μήκει ἡ ΔΖ, τουτέστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος, τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου, καὶ ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Π τριπλῆ, ἡ δ’ ἀπὸ τοῦ Ο τετραπλῆ, καὶ ἑξῆς κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθμούς. ιθʹ. Τὸ ὑπερτεθὲν λῆμμα. ἡμικύκλια τὰ ΒΗΓ ΒΑΔ,
10καὶ ὀρθὴ ἡ ΔΕ, καὶ κύκλος ἐφαπτόμενος ὁ ΘΗΖΑ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ μήκει, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ ΘΗΖΑ κύκλου δυνάμει. Ἤχθω διάμετρος ἡ ΘΖ· εὐθεῖαι ἄρα αἱ ΖΑΒ ΘΑΔ. κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ· ἔσται ἄρα διὰ τὰ προδεδειγμένα τὸ
15ὑπὸ τῶν ΓΒ ΒΚ περιεχόμενον χωρίον ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετραγώνῳ· ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΓΔ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς ΔΚ, τουτέστιν πρὸς ΘΖ. ὡς δὲ ἡ ΒΔ πρὸς ΘΖ, ἡ
ΔΑ πρὸς ΘΑ, ὡς δὲ ἡ ΔΑ πρὸς ΑΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς

4

.

232

ΖΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΖ (ὀρθογώνιον γάρ ἐστιν τὸ ΘΖΔ, καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ὑποτείνουσαν ἡ ΖΑ)· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δια‐ μέτρου τοῦ ΘΗΖΑ κύκλου.
5 κʹ. Ἔτι καὶ τοῦτο διὰ τῶν προγεγραμμένων λημμάτων τεθεώρηται. ἔστω ἡμικύκλια τὰ ΑΒΓ ΑΔΕ, καὶ γε‐ γράφθωσαν ἐφαπτόμενοι τῶν περιφερειῶν αὐτῶν κύκλοι οἱ περὶ τὰ κέντρα τὰ Ζ Η Θ, καὶ οἱ συνεχεῖς αὐτοῖς ὡς ἐπὶ τὸ Α. ὅτι μὲν οὖν ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΓ
10ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ Ζ κύκλου δῆλον, λέγω δ’ ὅτι καὶ ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Η κάθετος τριπλασία τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ Η κύκλου, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Θ πενταπλασία, καὶ αἱ ἑξῆς κάθετοι τῶν ἐκ τῶν κέντρων πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς ἑξῆς περισσοὺς ἀριθμούς.[Omitted graphic marker]
15 Ἐπεὶ γὰρ προδέδεικται ὡς ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος μετὰ τῆς διαμέτρου πρὸς τὴν διάμετρον, οὕτως ἡ ἀπὸ τοῦ Η κάθετος πρὸς τὴν ἰδίαν διάμετρον, καὶ ἔστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος μετὰ τῆς διαμέτρου ἡμιολία τῆς διαμέτρου, τῆς ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου ἔσται τριπλασία. πάλιν ἐπεί ἐστιν
20ὡς ἡ ἀπὸ τοῦ Η κάθετος μετὰ τῆς διαμέτρου πρὸς τὴν διάμετρον, οὕτως ἡ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετος πρὸς τὴν διά‐ μετρον, ἡ δ’ ἀπὸ τοῦ Η κάθετος μετὰ τῆς διαμέτρου πρὸς τὴν διάμετρον λόγον ἔχει ὃν ἔχει τὰ πέντε πρὸς τὰ δύο, ἕξει καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετος πρὸς τὴν διάμετρον τὸν
25αὐτὸν λόγον· τῆς ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου ἔσται πενταπλασία. ὁμοίως δειχθήσονται καὶ αἱ ἑξῆς κάθετοι τῶν ἐκ τῶν κέν‐
τρων πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς ἑξῆς περισσοὺς ἀριθμούς.

4

.

234

 καʹ. Τὸ ἐπὶ τῆς ἕλικος τῆς ἐν ἐπιπέδῳ γραφομένης θεώρημα προὔτεινε μὲν Κόνων ὁ Σάμιος γεωμέτρης, ἀπέ‐ δειξεν δὲ Ἀρχιμήδης θαυμαστῇ τινι χρησάμενος ἐπιβολῇ. ἔχει δὲ γένεσιν ἡ γραμμὴ τοιαύτην.
5[Omitted graphic marker] Ἔστω κύκλος οὗ κέντρον μὲν τὸ Β, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΒΑ. κεκινήσθω ἡ ΒΑ εὐθεῖα οὕτως ὥστε τὸ μὲν Β μένειν, τὸ δὲ Α ὁμαλῶς φέρεσθαι κατὰ τῆς τοῦ
10κύκλου περιφερείας, ἅμα δὲ αὐτῇ ἀρξάμενόν τι σημεῖον ἀπὸ τοῦ Β φερέσθω κατ’ αὐτῆς ὁμαλῶς ὡς ἐπὶ τὸ Α, καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ τό τε ἀπὸ τοῦ Β σημεῖον τὴν ΒΑ διερχέσθω καὶ τὸ Α τὴν τοῦ
15κύκλου περιφέρειαν· γράψει δὴ τὸ κατὰ τὴν ΒΑ κινού‐ μενον σημεῖον ἐν τῇ περιφορᾷ γραμμὴν οἵα ἐστὶν ἡ ΒΕΖΑ, καὶ ἀρχὴ μὲν αὐτῆς ἔσται τὸ Β σημεῖον, ἀρχὴ δὲ τῆς περι‐ φορᾶς ἡ ΒΑ, αὐτὴ δὲ ἡ γραμμὴ ἕλιξ καλεῖται. καὶ τὸ ἀρχικὸν αὐτῆς ἐστι σύμπτωμα τοιοῦτον.
20 Ἥτις γὰρ ἂν διαχθῇ πρὸς αὐτὴν ὡς ἡ ΒΖ καὶ ἐκ‐ βληθῇ, ἔστιν ὡς ἡ ὅλη τοῦ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν ΑΔΓ περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΖ. [Omitted graphic marker] Τοῦτο δὲ συνιδεῖν ῥᾴδιον ἐκ τῆς γενέσεως· ἐν ᾧ μὲν γὰρ τὸ Α
25σημεῖον τὴν ὅλην κύκλου περιφέ‐ ρειαν διέρχεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ Β τὴν ΒΑ, ἐν ᾧ δὲ τὸ Α τὴν ΑΔΓ περιφέρειαν, ἐν τούτῳ καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ Β τὴν ΒΖ εὐθεῖαν.
30καὶ εἰσὶν αἱ κινήσεις αὗται ἑαυταῖς ἰσοταχεῖς, ὥστε καὶ ἀνάλογον εἶναι.
Φανερὸν δὲ καὶ τοῦτο ὅτι, αἵτινες ἂν διαχθῶσιν ἀπὸ

4

.

236

τοῦ Β πρὸς τὴν γραμμὴν εὐθεῖαι ἴσας περιέχουσαι γωνίας, τῷ ἴσῳ ἀλλήλων ὑπερέχουσιν. κβʹ. Δείκνυται δὲ τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς ἕλικος καὶ τῆς εὐθείας τῆς ἐν ἀρχῇ τῆς περιφορᾶς τρίτον
5μέρος τοῦ περιλαμβάνοντος αὐτὴν κύκλου. Ἔστω γὰρ ὅ τε κύκλος καὶ ἡ προειρημένη γραμμή, καὶ ἐκκείσθω παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΚΝΛΠ, καὶ ἀπειλήφθω ἡ μὲν ΑΓ περιφέρεια μέρος τι τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἡ δὲ ΚΡ εὐθεῖα τῆς ΚΠ τὸ αὐτὸ μέρος, καὶ
10ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΓΒ καὶ ἡ ΒΑ, καὶ τῇ μὲν ΚΝ παράλ‐ ληλος ἡ ΡΤ, τῇ δὲ ΚΠ ἡ ΩΜ, καὶ περὶ τὸ Β κέντρον περιφέρεια ἡ ΖΗ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρὸς ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖ, οὕτως ἡ ὅλη τοῦ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΑ (τοῦτο γάρ ἐστιν τὸ ἀρχικὸν τῆς
15ἕλικος σύμπτωμα), ὡς δὲ ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΑ, ἡ ΠΚ πρὸς ΚΡ, ὡς δὲ ἡ ΠΚ πρὸς τὴν ΚΡ, ἡ ΛΚ πρὸς τὴν ΚΩ, τουτέστιν ἡ ΡΤ πρὸς τὴν ΡΩ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖ, ἡ ΤΡ πρὸς ΡΩ. καὶ ἀναστρέ‐ ψαντι· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ,
20οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΤΩ. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ, οὕτως ὁ ΑΒΓ τομεὺς πρὸς τὸν ΖΒΗ τομέα. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΩ, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ ΚΤ παραλληλογράμμου κύλινδρος περὶ ἄξονα τὸν ΝΤ πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΜΤ
25παραλληλογράμμου κύλινδρον περὶ τὸν αὐτὸν ἄξονα· καὶ ὡς ἄρα ὁ ΓΒΑ τομεὺς πρὸς τὸν ΖΒΗ τομέα, οὕτως ὁ
ἀπὸ τοῦ ΚΤ παραλληλογράμμου κύλινδρος περὶ ἄξονα τὸν

4

.

238

ΝΤ πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΜΤ παραλληλογράμμου κύλινδρον περὶ τὸν αὐτὸν ἄξονα. ὁμοίως δὲ ἐὰν τῇ μὲν ΑΓ ἴσην θῶμεν τὴν ΓΔ, τῇ δὲ ΚΡ ἴσην τὴν ΡΧ, καὶ τὰ αὐτὰ κατα‐ σκευάσωμεν, ἔσται ὡς ὁ ΔΒΓ τομεὺς πρὸς τὸν ΕΒΘ, οὕ‐
5τως ὁ ἀπὸ τοῦ ΡΦ παραλληλογράμμου κύλινδρος περὶ ἄξονα τὸν ΤΦ πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΞΦ παραλληλογράμμου κύλιν‐ δρον περὶ τὸν αὐτὸν ἄξονα. τῷ δ’ αὐτῷ τρόπῳ ἐφοδεύ‐ σαντες δείξομεν ὡς ὅλον τὸν κύκλον πρὸς πάντα τὰ ἐγγε‐ γραμμένα τῇ ἕλικι ἐκ τομέων σχήματα, οὕτως τὸν ἀπὸ τοῦ
10ΝΠ παραλληλογράμμου κύλινδρον περὶ ἄξονα τὸν ΝΛ πρὸς πάντα τὰ τῷ ἀπὸ τοῦ ΚΝΛ τριγώνου περὶ τὸν ΛΝ ἄξονα κώνῳ ἐγγραφόμενα ἐκ κυλίνδρων σχήματα, καὶ πάλιν ὡς τὸν κύκλον πρὸς πάντα τὰ περιγραφόμενα τῇ ἕλικι ἐκ το‐ μέων σχήματα, οὕτως τὸν κύλινδρον πρὸς πάντα τὰ τῷ
15αὐτῷ κώνῳ ἐκ κυλίνδρων περιγραφόμενα σχήματα, ἐξ οὗ φανερὸν ὅτι ὡς ὁ κύκλος πρὸς τὸ μεταξὺ τῆς ἕλικος καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας σχῆμα, οὕτως ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κῶνον. τριπλάσιος δὲ ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου· τριπλάσιος ἄρα καὶ ὁ κύκλος τοῦ εἰρημένου σχήματος.
20 κγʹ. Τῷ δ’ αὐτῷ τρόπῳ δείξομεν ὅτι, κἂν διαχθῇ τις εἰς τὴν ἕλικα ὡς ἡ ΒΖ καὶ διὰ τοῦ Ζ περὶ τὸ κέντρον τὸ Β γραφῇ κύκλος, τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς ΖΕΒ ἕλικος καὶ τῆς ΖΒ εὐθείας τρίτον μέρος ἐστὶν τοῦ περι‐ εχομένου σχήματος ὑπό τε τῆς ΖΗΘ περιφερείας τοῦ κύκλου
25καὶ τῶν ΖΒΘ εὐθειῶν. Ἡ μὲν οὖν ἀπόδειξις τοιαύτη τίς ἐστιν, ἑξῆς δὲ γρά‐ φομεν θεώρημα περὶ τὴν αὐτὴν γραμμὴν ὑπάρχον ἱστορίας ἄξιον.
κδʹ. Ἔστω γὰρ ὅ τε κύκλος ὁ προειρημένος ἐν τῇ γε‐

4

.

240

νέσει, καὶ ἡ ἕλιξ αὐτὴ ἡ ΑΖΕΒ· λέγω ὅτι, ἥτις ἂν διαχθῇ ὡς ἡ ΒΖ, ἔστιν ὡς τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης ἕλικος καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας περιεχόμενον σχῆμα πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΖΕΒ ἕλικος καὶ τῆς ΒΖ εὐθείας περιεχόμενον, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΑΒ
5κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΖΒ κύβον. [Omitted graphic marker] Γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Ζ κύ‐ κλος περὶ κέντρον τὸ Β ὁ ΖΗΘ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ τῆς ΑΖΕΒ γραμμῆς καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας περι‐
10εχόμενον σχῆμα πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΖΕΒ γραμμῆς καὶ τῆς ΖΒ εὐθείας περιεχόμενον σχῆμα, οὕτως ὁ ΑΓΔ κύκλος πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΖΗΘ περιφερείας καὶ τῶν ΖΒΘ εὐθειῶν
15περιεχόμενον σχῆμα (ἑκάτερον γὰρ ἑκατέρου τρίτον ἐδείχθη μέρος), ὁ δὲ ΑΓΔ κύκλος πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΒΘ εὐθειῶν καὶ τῆς ΖΗΘ περιφερείας ἀπο‐ λαμβανόμενον χωρίον τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ ΑΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΖΗΘ κύκλον καὶ ἐξ οὗ
20ὃν ἔχει ὁ ΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΒΘ εὐθειῶν καὶ τῆς ΖΗΘ περιφερείας ἀπολαμβανόμενον χωρίον, ἀλλ’ ὡς μὲν ὁ ΑΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΖΗΘ κύκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ, ὡς δὲ ὁ ΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸ εἰρημένον χωρίον, ἡ ὅλη αὐτοῦ περιφέρεια πρὸς τὴν
25ΖΗΘ, τουτέστιν ἡ τοῦ ΑΓΔ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΔΑ, τουτέστιν διὰ τὸ σύμπτωμα τῆς γραμμῆς ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΖ, καὶ τὸ μεταξὺ ἄρα τῆς ἕλικος καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας σχῆμα πρὸς τὸ μεταξὺ τῆς ἕλικος καὶ τῆς ΒΖ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἔκ τε τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ
30ἀπὸ τῆς ΖΒ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΖ. οὗτος δὲ ὁ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ κύβου πρὸς τὸν
ἀπὸ τῆς ΒΖ κύβον.

4

.

242

 κεʹ. Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι, ἐὰν τῆς ἕλικος ὑπο‐ κειμένης καὶ τοῦ περὶ αὐτὴν κύκλου ἐκβληθῇ ἡ ΑΒ ἐπὶ τὸ Δ καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἀχθῇ ἡ ΓΖΕΚ, οἵου ἐστὶν ἑνὸς τὸ μεταξὺ τῆς ΒΛΕ γραμμῆς καὶ τῆς ΒΕ εὐθείας χωρίον,
5τοιούτων ἐστὶν τὸ μὲν μεταξὺ τῆς ΝΜΕ γραμμῆς καὶ τῶν ΝΒΕ εὐθειῶν χωρίον ἑπτά, τὸ δὲ μεταξὺ τῆς ΖΘΝ γραμ‐ μῆς καὶ τῶν ΖΒΝ εὐθειῶν ιθʹ, τὸ δὲ μεταξὺ τῆς ΑΞΖ γραμμῆς καὶ τῶν ΑΒΖ εὐθειῶν λζʹ (δῆλα γὰρ ταῦτα ἐκ τοῦ προδεδειγμένου θεωρήματος), καὶ ὅτι οἵων ἐστὶν ἡ ΑΒ
10δʹ, ἡ μὲν ΖΒ τριῶν, ἡ δὲ ΒΝ δύο, ἡ δὲ ΒΕ ἑνός· καὶ γὰρ τοῦτο δῆλον ἔκ τε τοῦ τῆς γραμμῆς συμπτώματος καὶ τοῦ τὰς ΑΓ ΓΔ ΔΚ ΚΑ περιφερείας ἴσας εἶναι. κϛʹ. Εἰς τὸν διπλασιασμὸν τοῦ κύβου παράγεταί τις ὑπὸ Νικομήδους γραμμὴ καὶ γένεσιν ἔχει τοιαύτην.
15 Ἐκκείσθω εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ αὐτῇ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΔΖ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΓΔΖ δοθὲν τὸ Ε, καὶ[Omitted graphic marker] μένοντος τοῦ Ε σημείου ἐν ᾧ ἐστιν τόπῳ ἡ ΓΔΕΖ εὐθεῖα
φερέσθω κατὰ τῆς ΑΔΒ εὐθείας ἑλκομένη διὰ τοῦ Ε ση‐

4

.

244

μείου οὕτως ὥστε διὰ παντὸς φέρεσθαι τὸ Δ ἐπὶ τῆς ΑΒ εὐθείας καὶ μὴ ἐκπίπτειν ἑλκομένης τῆς ΓΔΕΖ διὰ τοῦ Ε. τοιαύτης δὴ κινήσεως γενομένης ἐφ’ ἑκάτερα φανερὸν ὅτι τὸ Γ σημεῖον γράψει γραμμὴν οἵα ἐστὶν ἡ ΛΓΜ, καὶ ἔστιν
5αὐτῆς τὸ σύμπτωμα τοιοῦτον. ὡς ἂν εὐθεῖα προσπίπτῃ τις ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν γραμμήν, τὴν ἀπολαμβα‐ νομένην μεταξὺ τῆς τε ΑΒ εὐθείας καὶ τῆς ΛΓΜ γραμμῆς ἴσην εἶναι τῇ ΓΔ εὐθείᾳ· μενούσης γὰρ τῆς ΑΒ καὶ μέ‐ νοντος τοῦ Ε σημείου, ὅταν γένηται τὸ Δ ἐπὶ τὸ Η, ἡ ΓΔ
10εὐθεῖα τῇ ΗΘ ἐφαρμόσει καὶ τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Θ πεσεῖται· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ τῇ ΗΘ. ὁμοίως καὶ ἐὰν ἑτέρα τις ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν γραμμὴν προσπέσῃ, τὴν ἀποτεμνομένην ὑπὸ τῆς γραμμῆς καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας ἴσην ποιήσει τῇ ΓΔ [ἐπειδὴ ταύτῃ ἴσαι εἰσὶν αἱ προσπίπ‐
15τουσαι]. καλείσθω δέ, φησιν, ἡ μὲν ΑΒ εὐθεῖα κανών, τὸ δὲ σημεῖον πόλος, διάστημα δὲ ἡ ΓΔ, ἐπειδὴ ταύτῃ ἴσαι εἰσὶν αἱ προσπίπτουσαι πρὸς τὴν ΛΓΜ γραμμήν, αὐτὴ δὲ ἡ ΛΓΜ γραμμὴ κοχλοειδὴς πρώτη (ἐπειδὴ καὶ ἡ δευτέρα καὶ ἡ τρίτη καὶ ἡ τετάρτη ἐκτίθεται εἰς ἄλλα
20θεωρήματα χρησιμεύουσαι). κζʹ. Ὅτι δὲ ὀργανικῶς δύναται γράφεσθαι ἡ γραμμὴ καὶ ἐπ’ ἔλαττον ἀεὶ συμπορεύεται τῷ κανόνι, τουτέστιν ὅτι πασῶν τῶν ἀπό τινων σημείων τῆς ΛΓΘ γραμμῆς ἐπὶ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν καθέτων μεγίστη ἐστὶν ἡ ΓΔ κάθετος,
25ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς ΓΔ ἀγομένη κάθετος τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν, καὶ ὅτι, εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τοῦ κανόνος καὶ τῆς κοχλοειδοῦς ἐάν τις ᾖ εὐθεῖα, ἐκβαλλομένη τμη‐
θήσεται ὑπὸ τῆς κοχλοειδοῦς, αὐτὸς ἀπέδειξεν ὁ Νικο‐

4

.

246

μήδης, καὶ ἡμεῖς ἐν τῷ εἰς τὸ ἀνάλημμα Διοδώρου, τρίχα τεμεῖν τὴν γωνίαν βουλόμενοι, κεχρήμεθα τῇ προειρημένῃ γραμμῇ. Διὰ δὴ τῶν εἰρημένων φανερὸν ὡς δυνατόν ἐστιν γω‐
5νίας δοθείσης ὡς τῆς ὑπὸ ΗΑΒ καὶ σημείου ἐκτὸς αὐτῆς τοῦ Γ διάγειν τὴν ΓΗ καὶ ποιεῖν τὴν ΚΗ μεταξὺ τῆς γραμμῆς καὶ τῆς ΑΒ ἴσην τῇ δοθείσῃ.[Omitted graphic marker] Ἤχθω κάθετος ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὴν ΑΒ ἡ ΓΘ καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ τῇ δοθείσῃ ἴση ἔστω ἡ ΔΘ, καὶ πόλῳ
10μὲν τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ δοθέντι, τουτέστιν τῇ ΔΘ, κανόνι δὲ τῷ ΑΒ γεγράφθω κοχλοειδὴς γραμμὴ πρώτη ἡ ΕΔΗ συμβάλλει ἄρα τῇ ΑΗ διὰ τὸ προλεχθέν. συμ‐ βαλλέτω κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΚΗ τῇ δοθείσῃ.
15 κηʹ. Τινὲς δὲ τῆς χρήσεως ἕνεκα παρατιθέντες κανόνα τῷ Γ κινοῦσιν αὐτόν, ἕως ἂν ἐκ τῆς πείρας ἡ μεταξὺ ἀπο‐ λαμβανομένη τῆς ΑΒ εὐθείας καὶ τῆς ΕΔΗ γραμμῆς ἴση γένηται τῇ δοθείσῃ· τούτου γὰρ ὄντος τὸ προκείμενον ἐξ ἀρχῆς δείκνυται (λέγω δὲ κύβος κύβου διπλάσιος εὑρίσκεται).
20πρότερον δὲ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσαι κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον λαμβάνονται, ὧν ὁ μὲν Νικομήδης τὴν κατασκευὴν ἐξέθετο μόνον, ἡμεῖς δὲ καὶ τὴν ἀπόδειξιν
ἐφηρμόσαμεν τῇ κατασκευῇ τὸν τρόπον τοῦτον.

4

.

248

 Δεδόσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι αἱ ΓΛ ΛΑ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχὲς εὑ‐ ρεῖν, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΛ παραλληλόγραμμον, καὶ τετμήσθω δίχα ἑκατέρα τῶν ΑΒ ΒΓ τοῖς Δ Ε σημείοις,
5καὶ ἐπιζευχθεῖσα μὲν ἡ ΔΛ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Η, τῇ δὲ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, καὶ προσβεβλήσθω ἡ ΓΖ ἴση οὖσα τῇ ΑΔ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΖΗ καὶ αὐτῇ παράλληλος ἡ ΓΘ, καὶ γωνίας οὔσης τῆς ὑπὸ τῶν ΚΓΘ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Ζ διήχθω ἡ
10ΖΘΚ ποιοῦσα ἴσην τὴν ΘΚ τῇ ΑΔ ἢ τῇ ΓΖ (τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν ἐδείχθη διὰ τῆς κοχλοειδοῦς γραμμῆς), καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΛ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΑΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Μ· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΛΓ πρὸς ΚΓ, ἡ ΚΓ πρὸς ΜΑ, καὶ ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΑΛ.
15 Ἐπεὶ ἡ ΒΓ τέτμηται δίχα τῷ Ε καὶ πρόσκειται αὐτῇ ἡ ΚΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΚ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕΖ, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΚΕΖ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ ΚΖ. καὶ ἐπεὶ
20ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ, ὡς δὲ ἡ ΜΛ πρὸς
ΛΚ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ,

4

.

250

οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ. καὶ ἔστι τῆς μὲν ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΔ, τῆς δὲ ΒΓ διπλῆ ἡ ΓΗ· ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἡ ΜΑ [Omitted graphic marker]πρὸς ΑΔ, οὕτως ἡ ΗΓ πρὸς ΚΓ. ἀλλ’
5ὡς ἡ ΗΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΘΚ διὰ τὰς παραλλήλους τὰς ΗΖ ΓΘ· καὶ συν‐ θέντι ἄρα ὡς ἡ ΜΔ
10πρὸς ΔΑ, ἡ ΖΚ πρὸς ΚΘ. ἴση δὲ ὑπόκειται καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΘΚ [ἐπεὶ καὶ τῇ ΓΖ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ]· ἴση ἄρα καὶ
15ἡ ΜΔ τῇ ΖΚ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΜΔ τῷ ἀπὸ ΖΚ. καὶ ἔστι τῷ μὲν ἀπὸ ΜΔ ἴσον τὸ ὑπὸ ΒΜΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΑ, τῷ δὲ ἀπὸ ΖΚ ἴσον ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΓ, ὧν τὸ ἀπὸ ΑΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΖ (ἴση γὰρ ὑπόκειται ἡ ΑΔ τῇ
20ΓΖ)· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΜΑ τῷ ὑπὸ ΒΚΓ· ὡς ἄρα ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΜΑ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΒΜ πρὸς ΒΚ, ἡ ΛΓ πρὸς ΓΚ· ὡς ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΑΜ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ, ἡ ΜΑ πρὸς ΑΛ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΑΜ, καὶ ἡ ΑΜ
25πρὸς ΑΛ. κθʹ. Τούτου δειχθέντος πρόδηλον ὅπως δεῖ κύβου δο‐ θέντος κύβον ἄλλον εὑρεῖν κατὰ τὸν δοθέντα λόγον. Ἔστω γὰρ ὁ δοθεὶς λόγος τῆς Α εὐθείας πρὸς τὴν Β, καὶ τῶν Α Β δύο μέσαι ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχὲς
30εἰλήφθωσαν αἱ Γ Δ· ἔσται ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕ‐ τως ὁ ἀπὸ τῆς Α κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς Γ κύβον· τοῦτο γὰρ δῆλον ἐκ τῶν στοιχείων.
λʹ. Εἰς τὸν τετραγωνισμὸν τοῦ κύκλου παρελήφθη τις

4

.

252

ὑπὸ Δεινοστράτου καὶ Νικομήδους γραμμὴ καί τινων ἄλλων νεωτέρων ἀπὸ τοῦ περὶ αὐτὴν συμπτώματος λαβοῦσα τοὔ‐ νομα· καλεῖται γὰρ ὑπ’ αὐτῶν τετραγωνίζουσα καὶ γένεσιν ἔχει τοιαύτην.
5 Ἐκκείσθω τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ καὶ περὶ κέντρον τὸ Α περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΒΕΔ, καὶ κινείσθω ἡ μὲν ΑΒ οὕτως ὥστε τὸ μὲν Α σημεῖον μένειν τὸ δὲ Β φέρεσθαι κατὰ τὴν ΒΕΔ περιφέρειαν, ἡ δὲ ΒΓ παράλληλος ἀεὶ δια‐ μένουσα τῇ ΑΔ τῷ Β σημείῳ φερομένῳ κατὰ τῆς ΒΑ
10συνακολουθείτω, καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἥ τε ΑΒ κινουμένη ὁμαλῶς τὴν ὑπὸ ΒΑΔ γωνίαν, τουτέστιν τὸ Β σημεῖον τὴν ΒΕΔ περιφέρειαν, διανυέτω, καὶ ἡ ΒΓ τὴν ΒΑ εὐθεῖαν παροδευέτω, τουτέστιν τὸ Β σημεῖον κατὰ τῆς ΒΑ φερέσθω. συμβήσεται δῆλον τῇ ΑΔ εὐθείᾳ ἅμα ἐφαρμόζειν ἑκατέραν
15τήν τε ΑΒ καὶ τὴν ΒΓ. τοιαύτης δὴ γινομένης κινήσεως τεμοῦσιν ἀλλήλας ἐν τῇ φορᾷ αἱ ΒΓ ΒΑ εὐθεῖαι κατά τι σημεῖον αἰεὶ συμμεθιστάμενον αὐταῖς, ὑφ’ οὗ σημείου γρά‐ φεταί τις ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τῶν τε ΒΑΔ εὐθειῶν καὶ τῆς ΒΕΔ περιφερείας γραμμὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλη, οἵα ἐστὶν
20ἡ ΒΖΗ, ἣ καὶ χρειώδης εἶναι δοκεῖ πρὸς τὸ τῷ δοθέντι κύκλῳ τετράγωνον ἴσον εὑρεῖν. τὸ δὲ ἀρχικὸν αὐτῆς σύμ‐ πτωμα τοιοῦτόν ἐστιν. ἥτις γὰρ ἂν διαχθῇ τυχοῦσα πρὸς τὴν περιφέρειαν, ὡς ἡ ΑΖΕ, ἔσται ὡς ὅλη ἡ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΔ, ἡ ΒΑ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΖΘ· τοῦτο γὰρ ἐκ τῆς
25γενέσεως τῆς γραμμῆς φανερόν ἐστιν.
λαʹ. Δυσαρεστεῖται δὲ αὐτῇ ὁ Σπόρος εὐλόγως διὰ

4

.

254

ταῦτα. πρῶτον μὲν γὰρ πρὸς ὃ δοκεῖ χρειώδης εἶναι πρᾶγμα, τοῦτ’ ἐν ὑποθέσει λαμβάνει. πῶς γὰρ δυνατόν, δύο ση‐ μείων ἀρξαμένων ἀπὸ τοῦ Β κινεῖσθαι, τὸ μὲν κατ’ εὐθείας ἐπὶ τὸ Α, τὸ δὲ κατὰ περιφερείας ἐπὶ τὸ Δ ἐν ἴσῳ χρόνῳ
5συναποκαταστῆσαι μὴ πρότερον τὸν λόγον τῆς ΑΒ εὐθείας πρὸς τὴν ΒΕΔ περιφέρειαν ἐπιστάμενον; ἐν γὰρ τούτῳ τῷ λόγῳ καὶ τὰ τάχη τῶν κινήσεων ἀνάγκη εἶναι. ἐπεὶ πῶς οἷόν τε συναποκαταστῆναι τάχεσιν ἀκρίτοις χρώμενα, πλὴν εἰ μὴ ἂν κατὰ τύχην ποτὲ συμβῇ; τοῦτο δὲ πῶς οὐκ ἄλο‐
10γον; ἔπειτα δὲ τὸ πέρας αὐτῆς ᾧ χρῶνται πρὸς τὸν τετρα‐ γωνισμὸν τοῦ κύκλου, τουτέστιν καθ’ ὃ τέμνει σημεῖον τὴν ΑΔ εὐθεῖαν, οὐχ εὑρίσκεται. νοείσθω δὲ ἐπὶ τῆς προκει‐ μένης τὰ λεγόμενα καταγραφῆς· ὁπόταν γὰρ αἱ ΓΒ ΒΑ φερόμεναι συναποκατασταθῶσιν, ἐφαρμόσουσιν τῇ ΑΔ καὶ
15τομὴν οὐκέτι ποιήσουσιν ἐν ἀλλήλαις· παύεται γὰρ ἡ τομὴ πρὸ τῆς ἐπὶ τὴν ΑΔ ἐφαρμογῆς ἥπερ τομὴ πέρας αὖ ἐγέ‐ νετο τῆς γραμμῆς, καθ’ ὃ τῇ ΑΔ εὐθείᾳ συνέπιπτεν. πλὴν εἰ μὴ λέγοι τις ἐπινοεῖσθαι προσεκβαλλομένην τὴν γραμμήν, ὡς ὑποτιθέμεθα τὰς εὐθείας, ἕως τῆς ΑΔ· τοῦτο
20δ’ οὐχ ἕπεται ταῖς ὑποκειμέναις ἀρχαῖς, ἀλλ’ ὡς ἂν ληφ‐ θείη τὸ Η σημεῖον προειλημμένου τοῦ τῆς περιφερείας πρὸς τὴν εὐθεῖαν λόγου. χωρὶς δὲ τοῦ δοθῆναι τὸν λόγον τοῦτον οὐ χρὴ τῇ τῶν εὑρόντων ἀνδρῶν δόξῃ πιστεύοντας
παραδέχεσθαι τὴν γραμμὴν μηχανικωτέραν πως οὖσαν [καὶ

4

.

256

εἰς πολλὰ προβλήματα χρησιμεύουσαν τοῖς μηχανικοῖς]. ἀλλὰ πρότερον παραδεκτέον ἐστὶ τὸ δι’ αὐτῆς δεικνύμενον πρόβλημα. [Omitted graphic marker] Τετραγώνου γὰρ ὄντος τοῦ
5ΑΒΓΔ καὶ τῆς μὲν περὶ τὸ κέν‐ τρον τὸ Γ περιφερείας τῆς ΒΕΔ, τῆς δὲ ΒΗΘ τετραγωνιζούσης γινο‐ μένης, ὡς προείρηται, δείκνυται, ὡς ἡ ΔΕΒ περιφέρεια πρὸς τὴν
10ΒΓ εὐθεῖαν, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΘ εὐθεῖαν. εἰ γὰρ μὴ ἔστιν, ἤτοι πρὸς μείζονα ἔσται τῆς ΓΘ ἢ πρὸς ἐλάσσονα. Ἔστω πρότερον, εἰ δυνατόν, πρὸς μείζονα τὴν ΓΚ, καὶ
15περὶ κέντρον τὸ Γ περιφέρεια ἡ ΖΗΚ γεγράφθω τέμνουσα [Omitted graphic marker]τὴν γραμμὴν κατὰ τὸ Η, καὶ κά‐ θετος ἡ ΗΛ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΗ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΔΕΒ περιφέρεια
20πρὸς τὴν ΒΓ εὐθεῖαν, οὕτως ἡ ΒΓ, τουτέστιν ἡ ΓΔ, πρὸς τὴν ΓΚ, ὡς δὲ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΓΚ, ἡ ΒΕΔ περιφέρεια πρὸς τὴν ΖΗΚ περι‐ φέρειαν (ὡς γὰρ ἡ διάμετρος τοῦ
25κύκλου πρὸς τὴν διάμετρον, ἡ περι‐ φέρεια τοῦ κύκλου πρὸς τὴν περιφέρειαν), φανερὸν ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΖΗΚ περιφέρεια τῇ ΒΓ εὐθείᾳ. καὶ ἐπειδὴ διὰ τὸ σύμπτωμα τῆς γραμμῆς ἐστιν ὡς ἡ ΒΕΔ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΗΛ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΗΚ
30πρὸς τὴν ΗΚ περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΒΓ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΗΛ. καὶ ἐδείχθη ἴση ἡ ΖΗΚ περιφέρεια τῇ ΒΓ εὐθείᾳ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΗΚ περιφέρεια τῇ ΗΛ εὐθείᾳ, ὅπερ ἄτο‐ πον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΕΔ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΓ εὐθεῖαν, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς μείζονα τῆς ΓΘ.
35λβʹ. Λέγω δὲ ὅτι οὐδὲ πρὸς ἐλάσσονα. εἰ γὰρ δυνα‐
τόν, ἔστω πρὸς τὴν ΚΓ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ περιφέρεια

4

.

258

γεγράφθω ἡ ΖΜΚ, καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΔ ἡ ΚΗ τέμ‐ νουσα τὴν τετραγωνίζουσαν κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΗ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε. ὁμοίως δὴ τοῖς προγεγραμ‐ μένοις δείξομεν καὶ τὴν ΖΜΚ περιφέρειαν τῇ ΒΓ εὐθείᾳ
5ἴσην, καὶ ὡς τὴν ΒΕΔ περιφέρειαν πρὸς τὴν ΕΔ, τουτ‐ έστιν ὡς τὴν ΖΜΚ πρὸς τὴν ΜΚ, οὕτως τὴν ΒΓ εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΗΚ. ἐξ ὧν φανερὸν ὅτι ἴση ἔσται ἡ ΜΚ περι‐ φέρεια τῇ ΚΗ εὐθείᾳ, ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἔσται ὡς ἡ ΒΕΔ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΓ εὐθεῖαν, οὕτως ἡ ΒΓ
10πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΓΘ. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ πρὸς μεί‐ ζονα· πρὸς αὐτὴν ἄρα τὴν ΓΘ. Ἔστι δὲ καὶ τοῦτο φανερὸν ὅτι ἡ τῶν ΘΓ ΓΒ εὐθειῶν τρίτη ἀνάλογον λαμβανομένη εὐθεῖα ἴση ἔσται τῇ ΒΕΔ περιφερείᾳ, καὶ ἡ τετραπλασίων αὐτῆς τῇ τοῦ ὅλου κύκλου
15περιφερείᾳ. εὑρημένης δὲ τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ ἴσης εὐθείας πρόδηλον ὡς δὴ καὶ αὐτῷ τῷ κύκλῳ ῥᾴδιον ἴσον τετράγωνον συστήσασθαι· τὸ γὰρ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου, ὡς Ἀρχιμήδης ἀπέδειξεν.
20[Omitted graphic marker] λγʹ. Αὕτη μὲν οὖν ἡ γέ‐ νεσις τῆς γραμμῆς ἐστιν, ὡς εἴρηται, μηχανικωτέρα, γεωμε‐ τρικῶς δὲ διὰ τῶν πρὸς ἐπι‐ φανείαις τόπων ἀναλύεσθαι
25δύναται τὸν τρόπον τοῦτον. Θέσει κύκλου τεταρτημό‐ ριον τὸ ΑΒΓ, καὶ διήχθω, ὡς ἔτυχεν, ἡ ΒΔ, καὶ κάθετος ἐπὶ
τὴν ΒΓ ἡ ΕΖ λόγον ἔχουσα

4

.

260

δοθέντα πρὸς τὴν ΔΓ περιφέρειαν· ὅτι πρὸς γραμμῇ τὸ Ε. Νοείσθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΔΓ περιφερείας ὀρθοῦ κυ‐ λίνδρου ἐπιφάνεια, καὶ ἐν αὐτῇ ἕλιξ γεγραμμένη δεδομένη
5τῇ θέσει ἡ ΓΗΘ, καὶ πλευρὰ τοῦ κυλίνδρου ἡ ΘΔ, καὶ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθαὶ ἤχθωσαν αἱ ΕΙ ΒΛ [ἀνε‐ σταμέναι ὀρθαί], διὰ δὲ τοῦ Θ τῇ ΒΔ παράλληλος ἡ ΘΛ. ἐπεὶ λόγος τῆς ΕΙ εὐθείας πρὸς τὴν ΔΓ περιφέρειάν ἐστιν δοθεὶς διὰ τὴν ἕλικα, δοθεὶς δὲ καὶ ὁ τῆς ΕΖ λόγος πρὸς
10τὴν ΔΓ, ἔσται καὶ τῆς ΕΖ πρὸς ΕΙ λόγος δοθείς. καὶ εἰσὶν αἱ ΖΕ ΕΙ παρὰ θέσει· καὶ ἡ ΖΙ ἄρα ἐπιζευχθεῖσα παρὰ θέσει. καὶ ἔστιν κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ· ἐν τέμνοντι ἄρα ἐπιπέδῳ ἡ ΖΙ, ὥστε καὶ τὸ Ι. ἔστιν δὲ καὶ ἐν κυ‐ λινδρικῇ ἐπιφανείᾳ (φέρεται γὰρ ἡ ΘΛ διά τε τῆς ΘΗΓ
15ἕλικος καὶ τῆς ΛΒ εὐθείας καὶ αὐτῆς τῇ θέσει δεδομένης αἰεὶ παράλληλος οὖσα. τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ)· πρὸς γραμμῇ ἄρα τὸ Ι, ὥστε καὶ τὸ Ε. τοῦτο μὲν οὖν ἀνελύθη
καθόλου, ἂν δ’ ὁ τῆς ΕΖ εὐθείας πρὸς τὴν ΔΓ περιφέρειαν

4

.

262

λόγος ὁ αὐτὸς ᾖ τῷ τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔΓ, ἡ προειρη‐ μένη τετραγωνίζουσα γίνεται γραμμή. λδʹ. Δύναται δὲ καὶ διὰ τῆς ἐν ἐπιπέδῳ γραφομένης ἕλικος ἀναλύεσθαι τὸν ὅμοιον τρόπον. ἔστω γὰρ ὁ τῆς ΕΖ
5πρὸς τὴν ΔΓ περιφέρειαν λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΑΔΓ περιφέρειαν, καὶ ἐν ᾧ ἡ ΑΒ εὐθεῖα περὶ τὸ Β κινουμένη παροδεύει τὴν ΑΔΓ περιφέρειαν, σημεῖον ἐπ’ αὐτῆς ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β παραγινέσθω θέσιν λαβούσης τὴν ΓΒ τῆς ΑΒ, καὶ ποιείτω τὴν ΒΗΑ ἕλικα.
10ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, ἡ ΑΔΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΔ, καὶ ἐναλλάξ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΖ πρὸς ΔΓ· ἴση ἄρα ἡ ΒΗ τῇ ΖΕ. ἤχθω τῷ ἐπιπέδῳ ὀρθὴ ἡ ΚΗ ἴση τῇ ΒΗ· ἐν κυλινδροειδεῖ ἄρα ἐπιφανείᾳ τῇ ἀπὸ τῆς ἕλικος τὸ Κ. ἀλλὰ καὶ ἐν κωνικῇ (ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ΒΚ ἐν κωνικῇ
15γίνεται ἐπιφανείᾳ ἡμίσειαν ὀρθῆς κεκλιμένῃ πρὸς τὸ ὑπο‐ κείμενον καὶ ἠγμένῃ διὰ δοθέντος τοῦ Β)· πρὸς γραμμῇ ἄρα τὸ Κ. ἤχθω διὰ τοῦ Κ τῇ ΕΒ παράλληλος ἡ ΛΚΙ, καὶ ὀρθαὶ τῷ ἐπιπέδῳ αἱ ΒΛ ΕΙ· ἐν πλεκτοειδεῖ ἄρα ἐπιφανείᾳ ἡ ΛΚΙ (φέρεται γὰρ διά τε τῆς ΒΛ εὐθείας
20θέσει οὔσης καὶ διὰ θέσει γραμμῆς πρὸς ᾗ τὸ Κ)· καὶ τὸ Ι ἄρα ἐν ἐπιφανείᾳ. ἀλλὰ καὶ ἐν ἐπιπέδῳ (ἴση γὰρ ἡ ΖΕ τῇ ΕΙ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΒΗ, καὶ γίνεται παρὰ θέσει
ἡ ΖΙ κάθετος οὖσα ἐπὶ τὴν ΒΓ)· πρὸς γραμμῇ ἄρα τὸ Ι,

4

.

264

ὥστε καὶ τὸ Ε. καὶ δῆλον ὅτι, ἂν ὀρθὴ ᾖ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία, ἡ προειρημένη τετραγωνίζουσα γραμμὴ γίνεται. λεʹ. Ὥσπερ ἐν ἐπιπέδῳ νοεῖται γινομένη τις ἕλιξ φε‐ ρομένου σημείου κατ’ εὐθείας κύκλον περιγραφούσης, καὶ
5ἐπὶ στερεῶν φερομένου σημείου κατὰ μιᾶς πλευρᾶς τιν’ ἐπιφάνειαν περιγραφούσης, οὕτως δὴ καὶ ἐπὶ σφαίρας ἕλικα νοεῖν ἀκόλουθόν ἐστι γραφομένην τὸν τρόπον τοῦτον. Ἔστω ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΚΛΜ περὶ πόλον τὸ Θ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ μεγίστου κύκλου τεταρτη‐
10μόριον γεγράφθω τὸ ΘΝΚ, καὶ ἡ μὲν ΘΝΚ περιφέρεια,[Omitted graphic marker] περὶ τὸ Θ μένον φερομένη κατὰ τῆς ἐπιφανείας ὡς ἐπὶ τὰ Λ Μ μέρη, ἀποκαθιστάσθω πάλιν ἐπὶ τὸ αὐτό, ση‐ μεῖον δέ τι φερόμενον ἐπ’ αὐτῆς ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Κ παραγινέσθω· γράφει δή τινα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἕλικα,
15οἵα ἐστὶν ἡ ΘΟΙΚ, καὶ ἥτις ἂν ἀπὸ τοῦ Θ γραφῇ μεγί‐ στου κύκλου περιφέρεια, πρὸς τὴν ΚΛ περιφέρειαν λόγον ἔχει ὃν ἡ ΛΘ πρὸς τὴν ΘΟ· λέγω δὴ ὅτι, ἂν ἐκτεθῇ τεταρ‐ τημόριον τοῦ μεγίστου ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλου τὸ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἐπιζευχθῇ ἡ ΓΑ, γίνεται ὡς ἡ τοῦ
20ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν μεταξὺ τῆς ΘΟΙΚ ἕλικος καὶ τῆς ΚΝΘ περιφερείας ἀπολαμβανομένην ἐπιφάνειαν,
οὕτως ὁ ΑΒΓΔ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΓ τμῆμα.

4

.

266

 Ἤχθω γὰρ ἐφαπτομένη τῆς περιφερείας ἡ ΓΖ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ διὰ τοῦ Α γεγράφθω περιφέρεια ἡ ΑΕΖ ἴσος ἄρα ὁ ΑΒΓΔ τομεὺς τῷ ΑΕΖΓ (διπλασία μὲν γὰρ ἡ πρὸς τῷ Δ γωνία τῆς ὑπὸ ΑΓΖ, ἥμισυ δὲ τὸ ἀπὸ ΔΑ
5τοῦ ἀπὸ ΑΓ)· ὅτι ἄρα καὶ ὡς αἱ εἰρημέναι ἐπιφάνειαι πρὸς ἀλλήλας, οὕτως ὁ ΑΕΖΓ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΓ τμῆμα. ἔστω, ὃ μέρος ἡ ΚΛ περιφέρεια τῆς ὅλης τοῦ κύκλου περι‐ φερείας, καὶ τὸ αὐτὸ μέρος περιφέρεια ἡ ΖΕ τῆς ΖΑ,[Omitted graphic marker] καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ· ἔσται δὴ καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΑΒΓ τὸ
10αὐτὸ μέρος, ὃ δὲ μέρος ἡ ΚΛ τῆς ὅλης περιφερείας, τὸ αὐτὸ καὶ ἡ ΘΟ τῆς ΘΟΛ. καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΘΟΛ τῇ ΑΒΓ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΘΟ τῇ ΒΓ. γεγράφθω περὶ πόλον τὸν Θ διὰ τοῦ Ο περιφέρεια ἡ ΟΝ, καὶ διὰ τοῦ Β περὶ τὸ Γ κέντρον ἡ ΒΗ. ἐπεὶ οὖν ὡς ἡ ΛΚΘ σφαιρικὴ ἐπιφάνεια
15πρὸς τὴν ΟΘΝ, ἡ ὅλη τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν τοῦ τμήματος ἐπιφάνειαν οὗ ἡ ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶν ἡ ΘΟ, ὡς δ’ ἡ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν τοῦ τμήματος ἐπιφάνειαν, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς τὰ Θ Λ ἐπιζευγνυούσης εὐθείας τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐπὶ
20τὰ Θ Ο, ἢ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς

4

.

268

ΒΓ, ἔσται ἄρα καὶ ὡς ὁ ΚΛΘ τομεὺς ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ πρὸς τὸν ΟΘΝ, οὕτως ὁ ΕΖΓ τομεὺς πρὸς τὸν ΒΗΓ. ὁμοίως δείξομεν ὅτι καὶ ὡς πάντες οἱ ἐν τῷ ἡμισφαιρίῳ τομεῖς οἱ ἴσοι τῷ ΚΛΘ, οἵ εἰσιν ἡ ὅλη τοῦ ἡμισφαιρίου
5ἐπιφάνεια, πρὸς τοὺς περιγραφομένους περὶ τὴν ἕλικα το‐ μέας ὁμοταγεῖς τῷ ΟΘΝ, οὕτως πάντες οἱ ἐν τῷ ΑΖΓ τομεῖς οἱ ἴσοι τῷ ΕΖΓ, τουτέστιν ὅλος ὁ ΑΖΓ τομεύς,[Omitted graphic marker] πρὸς τοὺς περιγραφομένους περὶ τὸ ΑΒΓ τμῆμα τοὺς ὁμοταγεῖς τῷ ΓΒΗ. τῷ δ’ αὐτῷ τρόπῳ δειχθήσεται καὶ
10ὡς ἡ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τοὺς ἐγγραφομένους τῇ ἕλικι τομέας, οὕτως ὁ ΑΖΓ τομεὺς πρὸς τοὺς ἐγγρα‐ φομένους τῷ ΑΒΓ τμήματι τομέας, ὥστε καὶ ὡς ἡ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν ὑπὸ τῆς ἕλικος ἀπολαμ‐ βανομένην ἐπιφάνειαν, οὕτως ὁ ΑΖΓ τομεύς, τουτέστιν
15τὸ ΑΒΓΔ τεταρτημόριον, πρὸς τὸ ΑΒΓ τμῆμα. συνάγεται δὲ διὰ τούτου ἡ μὲν ἀπὸ τῆς ἕλικος ἀπολαμβανομένη ἐπι‐ φάνεια πρὸς τὴν ΘΝΚ περιφέρειαν ὀκταπλασία τοῦ ΑΒΓ τμήματος (ἐπεὶ καὶ ἡ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια τοῦ ΑΒΓΔ τομέως), ἡ δὲ μεταξὺ τῆς ἕλικος καὶ τῆς βάσεως τοῦ ἡμι‐
20σφαιρίου ἐπιφάνεια ὀκταπλασία τοῦ ΑΓΔ τριγώνου, τουτ‐
έστιν ἴση τῷ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας τετραγώνῳ.

4

.

270

 λϛʹ. Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον εἰς τρία ἴσα τεμεῖν οἱ παλαιοὶ γεωμέτραι θελήσαντες ἠπόρησαν δι’ αἰ‐ τίαν τοιαύτην. τρία γένη φαμὲν εἶναι τῶν ἐν γεωμετρίᾳ προβλημάτων, καὶ τὰ μὲν αὐτῶν ἐπίπεδα καλεῖσθαι, τὰ
5δὲ στερεά, τὰ δὲ γραμμικά. τὰ μὲν οὖν δι’ εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας δυνάμενα λύεσθαι λέγοιτ’ ἂν εἰκότως ἐπίπεδα· καὶ γὰρ αἱ γραμμαὶ δι’ ὧν εὑρίσκεται τὰ τοι‐ αῦτα προβλήματα τὴν γένεσιν ἔχουσιν ἐν ἐπιπέδῳ. ὅσα δὲ λύεται προβλήματα παραλαμβανομένης εἰς τὴν εὕρεσιν μιᾶς
10τῶν τοῦ κώνου τομῶν ἢ καὶ πλειόνων, στερεὰ ταῦτα κέ‐ κληται· πρὸς γὰρ τὴν κατασκευὴν χρήσασθαι στερεῶν σχη‐ μάτων ἐπιφανείαις, λέγω δὲ ταῖς κωνικαῖς, ἀναγκαῖον. τρίτον δέ τι προβλημάτων ὑπολείπεται γένος τὸ καλούμενον γραμμικόν· γραμμαὶ γὰρ ἕτεραι παρὰ τὰς εἰρημένας εἰς τὴν
15κατασκευὴν λαμβάνονται ποικιλωτέραν ἔχουσαι τὴν γένεσιν καὶ βεβιασμένην μᾶλλον, ἐξ ἀτακτοτέρων ἐπιφανειῶν καὶ κινήσεων ἐπιπεπλεγμένων γεννώμεναι. τοιαῦται δέ εἰσιν αἵ τε ἐν τοῖς πρὸς ἐπιφανείαις καλουμένοις τόποις εὑρι‐ σκόμεναι γραμμαὶ ἕτεραί τε τούτων ποικιλώτεραι καὶ πολλαὶ
20τὸ πλῆθος ὑπὸ Δημητρίου τοῦ Ἀλεξανδρέως ἐν ταῖς γραμ‐ μικαῖς ἐπιστάσεσι καὶ Φίλωνος τοῦ Τυανέως ἐξ ἐπιπλοκῆς πλεκτοειδῶν τε καὶ ἑτέρων παντοίων ἐπιφανειῶν εὑρισκό‐ μεναι πολλὰ καὶ θαυμαστὰ συμπτώματα περὶ αὑτὰς ἔχου‐ σαι. καί τινες αὐτῶν ὑπὸ τῶν νεωτέρων ἠξιώθησαν λόγου
25πλείονος, μία δέ τις ἐξ αὐτῶν ἐστιν ἡ καὶ παράδοξος ὑπὸ τοῦ Μενελάου κληθεῖσα γραμμή. τοῦ δὲ αὐτοῦ γένους ἕτεραι ἕλικές εἰσιν τετραγωνίζουσαί τε καὶ κοχλοειδεῖς καὶ κισσο‐ ειδεῖς. δοκεῖ δέ πως ἁμάρτημα τὸ τοιοῦτον οὐ μικρὸν εἶναι τοῖς γεωμέτραις, ὅταν ἐπίπεδον πρόβλημα διὰ τῶν κωνι‐
30κῶν ἢ τῶν γραμμικῶν ὑπό τινος εὑρίσκηται, καὶ τὸ σύνολον
ὅταν ἐξ ἀνοικείου λύηται γένους, οἷόν ἐστιν τὸ ἐν τῷ πέμπτῳ

4

.

272

τῶν Ἀπολλωνίου κωνικῶν ἐπὶ τῆς παραβολῆς πρόβλημα καὶ ἡ ἐν τῷ περὶ τῆς ἕλικος ὑπὸ Ἀρχιμήδους λαμβανομένη στε‐ ρεοῦ νεῦσις ἐπὶ κύκλον· μηδενὶ γὰρ προσχρώμενον στερεῷ δυνατὸν εὑρεῖν τὸ ὑπ’ αὐτοῦ γραφόμενον θεώρημα, λέγω
5δὴ τὸ τὴν περιφέρειαν τοῦ ἐν τῇ πρώτῃ περιφορᾷ κύκλου ἴσην ἀποδεῖξαι τῇ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένῃ εὐθείᾳ τῇ ἐκ τῆς γενέσεως ἕως τῆς ἐφαπτομένης τῆς ἕλικος. τοιαύτης δὴ τῆς διαφορᾶς τῶν προβλημάτων ὑπαρχούσης οἱ πρότεροι γεω‐ μέτραι τὸ προειρημένον ἐπὶ τῆς γωνίας πρόβλημα τῇ φύσει
10στερεὸν ὑπάρχον διὰ τῶν ἐπιπέδων ζητοῦντες οὐχ οἷοί τ’ ἦσαν εὑρίσκειν· οὐδέπω γὰρ αἱ τοῦ κώνου τομαὶ συνήθεις ἦσαν αὐτοῖς, καὶ διὰ τοῦτο ἠπόρησαν· ὕστερον μέντοι διὰ τῶν κωνικῶν ἐτριχοτόμησαν τὴν γωνίαν εἰς τὴν εὕρεσιν χρη‐ σάμενοι τῇ ὑπογεγραμμένῃ νεύσει.
15 Παραλληλογράμμου δοθέντος ὀρθογωνίου τοῦ ΑΒΓΔ καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΒΓ, δέον ἔστω διαγαγόντα τὴν ΑΕ ποιεῖν τὴν ΕΖ εὐθεῖαν ἴσην τῇ δοθείσῃ. [Omitted graphic marker] Γεγονέτω, καὶ ταῖς ΕΖ ΕΔ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ
20ΔΗ ΗΖ. ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΖΕ καὶ ἔστιν ἴση τῇ ΔΗ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΔΗ. καὶ δοθὲν τὸ Δ· τὸ Η ἄρα πρὸς θέσει κύκλου περιφε‐
25ρείᾳ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΒΓΔ δοθὲν καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΖ
ΕΔ, δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΖ ΕΔ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΒΖΗ·

4

.

274

τὸ Η ἄρα πρὸς ὑπερβολῇ. ἀλλὰ καὶ πρὸς θέσει κύκλου περιφερείᾳ· δοθὲν ἄρα τὸ Η. λζʹ. Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω τὸ δοθὲν παραλληλόγραμμμον τὸ ΑΒΓΔ, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα
5τῷ μεγέθει ἡ Μ, καὶ ἴση αὐτῇ ἔστω ἡ ΔΚ, καὶ γεγράφθω[Omitted graphic marker] διὰ μὲν τοῦ Δ περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΑΒΓ ὑπερβολὴ ἡ ΔΗΘ (τοῦτο γὰρ ἑξῆς ἀποδείξομεν), διὰ δὲ τοῦ Κ περὶ κέντρον τὸ Δ κύκλου περιφέρεια ἡ ΚΗ τέμνουσα τὴν ὑπερ‐ βολὴν κατὰ τὸ Η, καὶ τῇ ΔΓ παραλλήλου ἀχθείσης τῆς
10ΗΖ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΑ· λέγω ὅτι ἡ ΕΖ ἴση ἐστὶν τῇ Μ. Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΗΔ καὶ τῇ ΚΑ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΛ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΗΛ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΒΖΗ, ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΓΔΑ, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΒΓ ΓΔ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΒΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ, οὕτως
15ἡ ΓΔ πρὸς ΖΗ· ἡ ἄρα ΕΔ ἴση τῇ ΖΗ· παραλληλόγραμμον ἄρα τὸ ΔΕΖΗ· ἴση ἄρα ἡ ΕΖ τῇ ΔΗ, τουτέστιν τῇ ΔΚ, τουτέστιν τῇ Μ. ληʹ. Δεδειγμένου δὴ τούτου τρίχα τέμνεται ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος οὕτως.
20Ἔστω γὰρ ὀξεῖα πρότερον ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπό τινος
σημείου κάθετος ἡ ΑΓ, καὶ συμπληρωθέντος τοῦ ΓΖ παρ‐

4

.

276

αλληλογράμμου ἡ ΖΑ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ παραλ‐ ληλογράμμου ὄντος ὀρθογωνίου τοῦ ΓΖ κείσθω μεταξὺ τῶν ΕΑΓ εὐθεῖα ἡ ΕΔ νεύουσα ἐπὶ τὸ Β ἴση τῇ διπλασίᾳ τῆς ΑΒ (τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν γενέσθαι προγέγραπται)·
5λέγω δὴ ὅτι τῆς δοθείσης γωνίας τῆς ὑπὸ ΑΒΓ τρίτον μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΒΓ. Τετμήσθω γὰρ ἡ ΕΔ δίχα τῷ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΔΗ ΗΑ ΗΕ ἴσαι εἰσίν· διπλῆ ἄρα ἡ ΔΕ τῆς ΑΗ. ἀλλὰ καὶ τῆς ΑΒ διπλῆ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ
10τῇ ΑΗ, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΗΔ. ἡ δὲ ὑπὸ ΑΗΔ διπλασία τῆς ὑπὸ ΑΕΔ, τουτέστιν τῆς ὑπὸ ΔΒΓ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ ἄρα διπλῆ ἐστιν τῆς ὑπὸ ΔΒΓ. καὶ ἐὰν τὴν ὑπὸ ΑΒΔ δίχα τέμωμεν, ἔσται ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τρίχα τετμημένη.
15[Omitted graphic marker] λθʹ. Ἐὰν δὲ ἡ δοθεῖσα γωνία ὀρθὴ τυγχάνῃ, ἀπολαβόντες τινὰ τὴν ΒΓ ἰσό‐ πλευρον ἐπ’ αὐτῆς γράψομεν τὸ ΒΔΓ, καὶ τὴν ὑπὸ ΔΒΓ γωνίαν δίχα τεμόντες ἕξομεν τρίχα τετμημένην τὴν ὑπὸ ΑΒΓ
20γωνίαν. μʹ. Ἔστω δὲ ἀμβλεῖα ἡ γωνία καὶ τῇ ΓΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΔ, καὶ τῆς μὲν ὑπὸ ΔΒΓ τρίτον ἀπειλήφθω μέρος ἡ [Omitted graphic marker]ὑπὸ ΔΒΖ, τῆς δὲ ὑπὸ ΑΒΔ ὀξείας γωνίας τρίτον ἡ ὑπὸ
25ΕΒΔ (ταῦτα γὰρ ἡμῖν προ‐ δέδεικται)· καὶ ὅλης ἄρα τῆς ὑπὸ ΑΒΓ γωνίας τρίτον μέ‐ ρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΒΖ. ἐὰν δὲ τῇ ὑπὸ ΕΒΖ ἴσην συστησώμεθα
30πρὸς ἑκατέραν τῶν ΑΒΓ, τρίχα τεμοῦμεν τὴν δοθεῖσαν γωνίαν. μαʹ. Τὸ δὲ ὑπερτεθὲν πρόβλημα νῦν ἀναλύσομεν. θέσει
οὐσῶν δύο εὐθειῶν τῶν ΑΒΓ καὶ δοθέντος σημείου τοῦ

4

.

278

Δ γράψαι διὰ τοῦ Δ περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΑΒΓ ὑπερ‐ βολήν. Γεγονέτω, καὶ γεγράφθω ἡ ΕΔΖ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ ἐφαπτομένη αὐτῆς ἡ ΑΔΓ, καὶ διάμετρος ἡ ΗΒΔ, καὶ
5τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΔΘ. θέσει ἄρα αἱ ΗΔ ΔΘ, καὶ[Omitted graphic marker] δοθὲν τὸ Θ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμπτωτοί εἰσιν αἱ ΑΒΓ τῆς ὑπερβολῆς, καὶ ἐφαπτομένη ἡ ΑΓ, ἴση ἄρα ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, καὶ τὸ ἀφ’ ἑκατέρας αὐτῶν τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ τε‐ τάρτῳ τοῦ πρὸς τῇ ΗΔ εἴδους· ταῦτα γὰρ ἐν τῷ δευτέρῳ
10τῶν κωνικῶν ἀποδέδεικται. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΓΔ τῇ ΔΑ, ἴση καὶ ἡ ΒΘ τῇ ΘΑ. καὶ δοθεῖσα ἡ ΒΘ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΘΑ. καὶ δοθὲν τὸ Θ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Α· θέσει ἄρα ἡ ΑΔΓ. καὶ δοθεῖσα τῷ μεγέθει ἡ ΑΓ, ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ ΑΓ δοθέν ἐστιν. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ πρὸς τῇ ΗΔ
15εἴδει· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ πρὸς τῇ ΗΔ εἶδος. καὶ δοθεῖσα ἡ ΗΔ (διπλῆ γάρ ἐστιν τῆς ΒΔ τῷ μεγέθει δεδομένης διὰ τὸ δοθὲν ἑκάτερον εἶναι τῶν Β Δ)· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ὀρθία τοῦ εἴδους πλευρά. γέγονεν δὴ πρόβλημα τοιοῦτον· θέσει καὶ μεγέθει δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῆς τε ΗΔ καὶ
20τῆς ὀρθίας γράψαι περὶ διάμετρον τὴν ΗΔ ὑπερβολήν, ἧς

4

.

280

παρ’ ἣν δύνανται ἔσται ἡ λοιπὴ εὐθεῖα, καὶ αἱ καταγό‐ μεναι τεταγμένως ἐπὶ τὴν ΗΔ παράλληλοι ἔσονται θέσει τινὶ εὐθείᾳ τῇ ΑΓ. τοῦτο δὲ ἀναλέλυται ἐν τῷ πρώτῳ τῶν κωνικῶν.
5 μβʹ. Συντεθήσεται δὴ οὕτως. ἔστωσαν αἱ μὲν τῇ θέσει δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΒΓ, τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον τὸ Δ,[Omitted graphic marker] καὶ τῇ μὲν ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΘ, τῇ δὲ ΒΘ ἴση ἡ ΘΑ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΔ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Γ, ἐπιζευχθεῖσα δὲ καὶ ἡ ΒΔ ἐκβεβλήσθω καὶ τῇ ΒΔ ἴση
10κείσθω ἡ ΒΗ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῆς ΗΔ καὶ ἑτέρας τινὸς τῆς Κ, καὶ περὶ διάμετρον τὴν ΗΔ καὶ ὀρθίαν τὴν Κ γεγράφθω ὑπερβολὴ ἡ ΕΔΖ, ὥστε τὰς καταγομένας ἐπὶ τὴν ΗΔ παραλλήλους εἶναι τῇ ΑΓ· ἡ ἄρα ΑΓ ἐφάπτεται τῆς τομῆς. καὶ ἔστιν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ
15ἴση (ἐπεὶ καὶ ἡ ΒΘ τῇ ΘΑ), καὶ φανερὸν ὅτι τὸ ἀφ’ ἑκατέρας τῶν ΑΔ ΔΓ τέταρτόν ἐστι τοῦ πρὸς τῇ ΗΔ εἴ‐ δους· αἱ ἄρα ΑΒΓ ἀσύμπτωτοί εἰσι τῆς ΕΔΖ ὑπερβολῆς· γέγραπται ἄρα διὰ τοῦ Δ περὶ τὰς δοθείσας εὐθείας ἀσυμπτώτους ὑπερβολή.
20 μγʹ. Καὶ ἄλλως τῆς δοθείσης περιφερείας τὸ τρίτον ἀφαιρεῖται μέρος, χωρὶς τῆς νεύσεως, διὰ στερεοῦ τόπου
τοιούτου.

4

.

282

 Θέσει ἡ διὰ τῶν Α Γ, καὶ ἀπὸ δοθέντων ἐπ’ αὐτῆς τῶν Α Γ κεκλάσθω ἡ ΑΒΓ διπλασίαν ποιοῦσα τὴν ὑπὸ [Omitted graphic marker]ΑΓΒ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΓΑΒ· ὅτι τὸ Β πρὸς ὑπερβολῇ.
5 Ἤχθω κάθετος ἡ ΒΔ, καὶ τῇ ΓΔ ἴση ἀπειλήφθω ἡ ΔΕ· ἐπιζευχθεῖσα ἄρα ἡ ΒΕ ἴση ἔσται τῇ ΑΕ. κείσθω καὶ τῇ ΔΕ ἴση ἡ ΕΖ· τριπλασία ἄρα
10ἡ ΓΖ τῆς ΓΔ. ἔστω καὶ ἡ ΑΓ τῆς ΓΗ τριπλασία· ἔσται δὴ δοθὲν τὸ Η, καὶ λοιπὴ ἡ ΑΖ τῆς ΗΔ τριπλασία. καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ ΒΕ ΕΖ ὑπεροχή ἐστιν τὸ ἀπὸ ΒΔ, ἔστιν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΔΑ ΑΖ
15τῶν αὐτῶν ὑπεροχή, ἔσται ἄρα τὸ ὑπὸ ΔΑΖ, τουτέστιν τὸ τρὶς ὑπὸ ΑΔΗ, ἴσον τῷ ἀπὸ ΒΔ· πρὸς ὑπερβολῇ ἄρα τὸ Β, ἧς πλαγία μὲν τοῦ πρὸς ἄξονι εἴδους ἡ ΑΗ, ἡ δὲ ὀρθία τριπλασία τῆς ΑΗ. καὶ φανερὸν ὅτι τὸ Γ σημεῖον ἀπολαμβάνει πρὸς τῇ Η κορυφῇ τῆς τομῆς τὴν ΓΗ ἡμί‐
20σειαν τῆς πλαγίας τοῦ εἴδους πλευρᾶς τῆς ΑΗ. Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά· δεήσει γὰρ τὴν ΑΓ τεμεῖν ὥστε διπλασίαν εἶναι τὴν ΑΗ τῆς ΗΓ, καὶ περὶ ἄξονα τὸν ΑΗ γράψαι διὰ τοῦ Η ὑπερβολήν, ἧς ὀρθία τοῦ εἴδους πλευρὰ τριπλασία τῆς ΑΗ, καὶ δεικνύναι ποιοῦσαν αὐτὴν
25τὸν εἰρημένον διπλάσιον λόγον τῶν γωνιῶν. καὶ ὅτι τῆς
δοθείσης κύκλου περιφερείας τὸ γʹ ἀποτέμνει μέρος ἡ τοῦ‐

4

.

284

τον γραφομένη τὸν τρόπον ὑπερβολὴ συνιδεῖν ῥᾴδιον τῶν Α Γ σημείων περάτων τῆς περιφερείας ὑποκειμένων. μδʹ. Ἑτέρως δὲ τὴν ἀνάλυσιν τοῦ τρίχα τεμεῖν τὴν γωνίαν ἢ περιφέρειαν ἐξέθεντό τινες ἄνευ τῆς νεύσεως.
5ἔστω δὲ ἐπὶ περιφερείας ὁ λόγος· οὐδὲν γὰρ διαφέρει γω‐ νίαν ἢ περιφέρειαν τεμεῖν. Γεγονέτω δή, καὶ τῆς ΑΒΓ περιφερείας τρίτον ἀπει‐ λήφθω μέρος ἡ ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ ΓΑ· διπλασίων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ. τετμήσθω
10δίχα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ΓΔ, καὶ κάθετοι αἱ ΔΕ ΖΒ· ἴση ἄρα ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, ὥστε καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΕΓ· δοθὲν ἄρα τὸ Ε. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ, τουτέστιν ἡ ΑΕ πρὸς ΕΖ, καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ, ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ. διπλῆ δὲ ἡ ΓΑ τῇ ΑΕ· διπλῆ
15ἄρα καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΕΖ· τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΓ, τουτέστιν τὰ ἀπὸ τῶν ΒΖΓ, τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ. ἐπεὶ οὖν δύο δοθέντα ἐστὶν τὰ Ε Γ, καὶ ὀρθὴ ἡ ΒΖ, καὶ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΒΖΓ, τὸ Β ἄρα πρὸς ὑπερβολῇ. ἀλλὰ καὶ πρὸς θέσει περιφερείᾳ· δοθὲν ἄρα
20τὸ Β. καὶ ἡ σύνθεσις φανερά. μεʹ. Τὸ μὲν οὖν τὴν δοθεῖσαν γωνίαν ἢ περιφέρειαν τρίχα τεμεῖν στερεόν ἐστιν, ὡς προδέδεικται, τὸ δὲ τὴν δοθεῖσαν γωνίαν ἢ περιφέρειαν εἰς τὸν δοθέντα λόγον τεμεῖν γραμ‐ μικόν ἐστιν καὶ δέδεικται μὲν ὑπὸ τῶν νεωτέρων, γραφή‐
25σεται δὲ καὶ ὑφ’ ἡμῶν διχῶς.

4

.

286

 Ἔστω γὰρ κύκλου τοῦ ΚΛΘ περιφέρεια ἡ ΛΘ, καὶ δέον ἔστω τεμεῖν αὐτὴν εἰς δοθέντα λόγον. [Omitted graphic marker] Ἐπὶ τὸ κέντρον αἱ ΛΒΘ, καὶ τῇ ΒΘ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΚ,
5καὶ διὰ τοῦ Κ γεγράφθω τετραγωνίζουσα γραμμὴ ἡ ΚΑΔΓ, καὶ κάθετος ἀχθεῖσα ἡ ΑΕ τετμήσθω κατὰ τὸ Ζ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΖ πρὸς
10ΖΕ, οὕτως τὸν δοθέντα λόγον εἰς ὃν διελεῖν θέλομεν τὴν γω‐ νίαν, καὶ τῇ μὲν ΒΓ παράλ‐ ληλος ἡ ΖΔ, ἐπεζεύχθω δὲ ἡ ΒΔ, καὶ κάθετος ἡ ΔΗ. ἐπεὶ οὖν διὰ τὸ σύμπτωμα τῆς γραμμῆς ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ
15πρὸς ΔΗ, τουτέστιν πρὸς ΖΕ, ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΔΒΓ, διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΕ, τουτέστιν ὡς ὁ δοθεὶς λόγος, οὕτως ἡ ἀπὸ ΑΒΔ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΔΒΓ, τουτέστιν ἡ ΛΜ περιφέρεια πρὸς ΜΘ. μϛʹ. Ἑτέρως δὲ τέμνεται κύκλου τοῦ ΑΗΓ ἡ ΑΓ περι‐
20φέρεια. ὁμοίως ἐπὶ τὸ κέντρον αἱ ΑΒΓ, καὶ γεγράφθω [Omitted graphic marker]διὰ τοῦ Β ἕλιξ ἡ ΒΖΔΓ, ἧς ἡ ἐν τῇ γενέσει εὐθεῖα ἡ ΓΒ, καὶ τῷ δοθέντι λόγῳ ὁ αὐτὸς ἔστω ὁ τῆς ΔΕ πρὸς ΕΒ, καὶ διὰ τοῦ Ε περὶ
25κέντρον τὸ Β κύκλου περιφέρεια ἡ ΕΖ τέμνουσα τὴν ἕλικα κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΖ ἐκβεβλή‐ σθω ἐπὶ τὸ Η· ἔστιν ἄρα διὰ τὴν ἕλικα ὡς ἡ ΔΒ πρὸς ΒΖ, τουτέστιν
30πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΑΗΓ περιφέρεια πρὸς ΓΗ, καὶ διε‐
λόντι ὡς ἡ ΔΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΑΗ περιφέρεια πρὸς

4

.

288

ΗΓ. ὁ δὲ τῆς ΔΕ πρὸς ΕΒ λόγος ἐστὶν ὁ αὐτὸς τῷ δο‐ θέντι· καὶ ὁ τῆς ΑΗ ἄρα περιφερείας πρὸς τὴν ΗΓ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ δοθέντι· τέτμηται ἄρα· ⁓ μζʹ. Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὡς δυνατόν ἐστιν ἀπὸ δύο
5κύκλων ἀνίσων ἴσας περιφερείας ἀφελεῖν.[Omitted graphic marker] Γεγονέτω γάρ, καὶ ἀφῃρήσθωσαν ἴσαι αἱ ΑΗΒ ΓΘΔ, ἔστω δὲ μείζων ὁ περὶ κέντρον τὸ Ε· μείζων ἄρα ἡ ὁμοία τῇ ΓΘΔ τῆς ΑΗΒ. ἔστω οὖν τῇ ΑΗΒ ὁμοία ἡ ΓΘ· λόγος ἄρα ὁ τῆς ΑΗΒ πρὸς ΓΘ δοθείς· ὁ γὰρ αὐτός ἐστιν ταῖς
10ὅλαις τῶν κύκλων περιφερείαις ἢ ταῖς τῶν κύκλων διαμέ‐ τροις. ἴση δὲ ἡ ΑΗΒ τῇ ΓΘΔ· λόγος ἄρα δοθεὶς καὶ τῆς ΓΘΔ πρὸς τὴν ΓΘ. καὶ διελόντι. γέγονεν οὖν τέμνειν τὴν ΓΘΔ περιφέρειαν εἰς δοθέντα λόγον κατὰ τὸ Θ· τοῦτο δὲ προγέγραπται.
15 μηʹ. Ἰσοσκελὲς τρίγωνον συστήσασθαι ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν λόγον ἔχουσαν δοθέντα πρὸς τὴν λοιπήν. Γεγονέτω, καὶ συνεστάτω τὸ ΑΒΓ, καὶ περὶ κέντρον
τὸ Β διὰ τῶν Α Γ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΔΓ, καὶ ἐκβε‐

4

.

290

βλήσθω ἡ ΑΒ ἐπὶ τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ. ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶν δοθεὶς τῆς ὑπὸ τῶν ΓΑΒ γωνίας πρὸς τὴν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, καὶ ἔστιν τῆς ὑπὸ ΑΒΓ ἡμίσεια ἡ πρὸς τῷ Δ, λόγος ἄρα δοθεὶς καὶ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ γωνίας πρὸς
5τὴν ὑπὸ ΑΔΓ, ὥστε καὶ τῆς ΔΓ περιφερείας πρὸς τὴν ΑΓ λόγος. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓΔ περιφέρεια τοῦ ἡμικυκλίου εἰς δοθέντα λόγον τέτμηται, δοθέν ἐστιν τὸ Γ, καὶ δοθὲν τῷ εἴδει τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. Συντεθήσεται δὲ οὕτως. ἔστω γὰρ ὁ δοθεὶς λόγος,
10ὃν ἔδει ἔχειν ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν πρὸς τὴν λοιπήν, ὁ τῆς ΕΖ πρὸς ΖΗ, καὶ τετμήσθω ἡ ΖΗ δίχα τῷ Θ, καὶ ἐκκείσθω κύκλος ὁ ΑΔΓ περὶ κέντρον τὸ Β καὶ διάμετρον τὴν ΑΔ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓΔ περιφέρεια κατὰ τὸ Γ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΔΓ περιφέρειαν πρὸς τὴν ΓΑ,
15οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς ΖΘ (τοῦτο γὰρ προγέγραπται, καὶ καθόλου πῶς ἡ δοθεῖσα περιφέρεια εἰς δοθέντα λόγον τέμνεται), καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ ΓΑ ΓΔ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΔΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΑ, τουτέστιν ὡς ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΔΓ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΘ,
20καὶ τὰ διπλάσια τῶν ἑπομένων, ὡς ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΑΒ πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΒΓ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ· ἰσοσκελὲς ἄρα τρί‐ γωνον συνέσταται τὸ ΑΒΓ ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν λόγον ἔχουσαν τὸν δοθέντα πρὸς τὴν λοιπήν. μθʹ. Δεδειγμένου δὴ τούτου φανερὸν ὡς δυνατὸν ἐγ‐
25γράψαι πολύγωνον εἰς κύκλον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον
πλευρὰς ἔχον ὅσας ἄν τις ἐπιτάξῃ.

4

.

292

 Πῶς δ’ εὑρίσκεται κύκλος οὗ ἡ περιφέρεια ἴση ἐστὶν τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ, συνιδεῖν εὔκολον.[Omitted graphic marker] Εὑρήσθω γὰρ τῇ Γ εὐθείᾳ ἴση ἡ τοῦ Α κύκλου περι‐ φέρεια, καὶ ἐκκείσθω κύκλος τυχὼν ὁ Β, καὶ τῇ περιφερείᾳ
5αὐτοῦ ἴση διὰ τῆς τετραγωνιζούσης εὑρήσθω ἡ Δ εὐθεῖα. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, οὕτως ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Α κύκλου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Β. λόγος δὲ τῆς Δ πρὸς Γ· λόγος ἄρα καὶ τῶν ἐκ τοῦ κέντρου πρὸς ἀλλήλας. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Β· δο‐
10θεῖσα ἄρα καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Α, ὥστε καὶ αὐτὸς ὁ Α. καὶ φανερὰ ἡ σύνθεσις. νʹ. Εὐθείας τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένης τῆς ΑΒ γράψαι διὰ τῶν Α Β κύκλου περιφέρειαν λόγον ἔχου‐ σαν τὸν δοθέντα πρὸς τὴν ΑΒ εὐθεῖαν.
15 Γεγράφθω ἡ ΑΓΒ, καὶ ἐκκείσθω τεταρτημόριον κύκλου θέσει δεδομένον τὸ ΖΗΕ, καὶ γεγράφθω τετραγωνίζουσα ἡ ΖΘΚ, καὶ τῇ βεβηκυίᾳ γωνίᾳ ἐπὶ τῆς ΑΓ περιφερείας πρὸς τῇ ΖΕ περιφερείᾳ ἴση συνεστάτω ἡ ὑπὸ ΕΗΛ, καὶ ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΛΜ ΘΝ. ἔσται οὖν διὰ τὸ ἰδίωμα
20τῆς γραμμῆς ὡς ἡ ΕΛΖ περιφέρεια πρὸς τὴν ΖΗ εὐθεῖαν, τουτέστιν ὡς ἡ ΛΗ πρὸς ΗΚ, οὕτως ἡ ΛΕ περιφέρεια
πρὸς τὴν ΘΝ εὐθεῖαν. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΛ,

4

.

294

ἡ ΘΝ πρὸς ΛΜ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΗ πρὸς ΗΚ, οὕτως ἡ ΕΛ περιφέρεια πρὸς τὴν ΛΜ εὐθεῖαν. εἰλήφθω δὴ τὸ κέντρον τῆς ΑΓΒ περιφερείας τὸ Ξ, καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΒ ἡ ΞΡΓ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΞΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΗΛ.
5καὶ ἔστιν κέντρα τὰ Ξ Η· ὡς ἄρα ἡ ΑΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΑΡ εὐθεῖαν, τουτέστιν ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἡ ΑΓΒ περιφέρεια πρὸς τὴν ΑΒ εὐθεῖαν. καὶ λόγος τῆς ΑΒΓ πρὸς τὴν ΑΒ· λόγος ἄρα καὶ ὁ τῆς ΘΗ πρὸς ΗΚ. καὶ δοθεῖσα ἡ ΗΚ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΗΘ· πρὸς περιφερείᾳ
10ἄρα τὸ Θ. ἀλλὰ καὶ πρὸς τῇ ΖΘΚ γραμμῇ· δοθὲν ἄρα τὸ Θ. θέσει ἡ ΗΘΛ· δοθεῖσα ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΗΛ γωνία.[Omitted graphic marker] καὶ ἔστιν ἴση τῇ ὑπὸ ΓΞΑ, καὶ ἔστιν θέσει ἡ ΓΞ, καὶ δοθὲν τὸ Α· θέσει ἄρα ἡ ΑΞ, ὥστε καὶ ἡ ΑΓΒ περι‐ φέρεια.
15Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά. δεῖ γὰρ τῷ δοθέντι λόγῳ

4

.

296

τὸν αὐτὸν ποιῆσαι τὸν τῆς ΔΗ πρὸς ΗΚ, καὶ περὶ κέν‐ τρον τὸ Η διὰ τοῦ Δ γράψαι περιφέρειαν, καὶ λαβεῖν τὸ Θ, καθ’ ὃ τέμνει τὴν τετραγωνίζουσαν, καὶ ἐπιζεῦξαι τὴν ΘΗ, καὶ δίχα τεμόντα τὴν ΑΒ καὶ ὀρθὴν ἀναστήσαντα
5τὴν ΡΞ καταγαγεῖν τὴν ΑΞ περιέχουσαν μετὰ τῆς ΞΡ γω‐ νίαν ἴσην τῇ ὑπὸ ΚΗΘ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Ξ διὰ τοῦ Α γράψαι κύκλου περιφέρειαν τὴν ΑΓΒ ἔχουσαν λόγον πρὸς τὴν ΑΒ βάσιν τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι. ναʹ. Οὐκ ἀπίθανον δὲ οὐδὲ τὸ γωνίας ἀσυμμέτρους
10εὑρεῖν. διὰ τούτου γὰρ καὶ τοῦ αὐτοῦ κύκλου ἀσύμμετροι ληφθήσονται περιφέρειαι, κἂν ῥητὴν ὑποστησώμεθα τὴν μίαν γωνίαν ἢ περιφέρειαν, ἄλογος ἡ λοιπὴ γενήσεται. Ἐκκείσθω τὸ ΑΒΓ τεταρτημόριον, καὶ ἐν αὐτῷ τετρα‐ γωνίζουσα ἡ ΑΕΔΖ, καὶ διήχθω ἡ ΒΕ, καὶ τῇ ΒΓ παράλ‐
15ληλος ἡ ΕΗ, καὶ ἀπειλήφθω ἡ ΒΘ ἀσύμμετρος μήκει τῇ ΒΗ, καὶ ἤχθω παράλληλος ἡ ΔΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ· λέγω ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ἀπὸ ΕΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΒΖ. Ἤχθω κάθετος ἡ ΔΝ· ἔστιν ἄρα διὰ τὴν γραμμὴν ὡς ἡ ΕΚ πρὸς ΔΝ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΕΒΖ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ
20ΔΒΖ. ἀσύμμετρος δὲ ἡ ΕΚ τῇ ΔΝ (ἐπεὶ καὶ ἡ ΗΒ τῇ
ΒΘ)· ἀσύμμετρος ἄρα καὶ ἡ γωνία τῇ γωνίᾳ, κἂν ῥητὴν

4

.

298

ὑποστησώμεθα τὴν ὑπὸ ΕΒΖ γωνίαν [κἂν ἡμίσειαν ὀρθῆς], ἄλογος ἔσται ἡ ὑπὸ ΔΒΖ. νβʹ. Τῆς ὑπὸ Ἀρχιμήδους ἐν τῷ περὶ ἑλίκων βιβλίῳ λαμβανομένης νεύσεως τὴν ἀνάλυσίν σοι κατέταξα, ἵνα τὸ
5βιβλίον διερχόμενος [περὶ τῶν ἑλίκων] μὴ διαπορῇς. λαμ‐ [Omitted graphic marker]βάνονται δὲ εἰς αὐτὴν οἱ ὑπογεγραμμένοι τόποι καὶ πρὸς ἄλλα πολλὰ τῶν στε‐ ρεῶν προβλημάτων χρήσι‐
10μοι. Θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἀπὸ δοθέντος σημείου τοῦ Γ προσπιπτέτω τις ἡ ΓΔ, καὶ πρὸς ὀρθὰς
15τῇ ΑΒ ἡ ΔΕ, ἔστω δὲ λόγος τῆς ΓΔ πρὸς ΔΕ· ὅτι τὸ Ε πρὸς ὑπερβολῇ. Ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ πρὸς ὀρθὰς παράλληλος ἡ ΓΖ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΕΗ, καὶ τῷ
20τῆς ΓΔ πρὸς ΔΕ λόγῳ ὁ αὐτὸς ἔστω τῆς ΓΖ πρὸς ἑκα‐ τέραν τῶν ΖΘ ΖΚ· δοθὲν ἄρα ἑκάτερον τῶν Θ Κ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, καὶ λοιποῦ ἄρα τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΔ, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΗ, πρὸς λοιπὸν τὸ
25ὑπὸ τῶν ΚΗΘ λόγος ἐστὶν δοθείς. καὶ ἔστι δοθέντα

4

.

300

τὰ Κ Θ· τὸ Ε ἄρα πρὸς ὑπερβολῇ ἐρχομένῃ διὰ τῶν Θ Ε. νγʹ. Ἔστω θέσει καὶ μεγέθει δοθεῖσα ἡ ΑΒ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΓ, ἔστω δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἴσον τῷ ὑπὸ δο‐
5θείσης καὶ τῆς ΓΔ· ὅτι τὸ Δ σημεῖον ἅπτεται θέσει πα‐ ραβολῆς. [Omitted graphic marker] Τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΒ δίχα τῷ Ε, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ,
10καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῆς δοθείσης καὶ τῆς ΕΖ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος
15ἡ ΔΗ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ, τουτ‐ έστιν τὸ ἀπὸ τῆς ΔΗ, ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῆς δοθείσης καὶ τῆς ΖΗ. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ Ζ· τὸ ἄρα Δ σημεῖον ἅπτεται παραβολῆς κατερ‐
20χομένης διὰ τῶν Α Ζ Β, ἧς ἄξων ἐστὶν ὁ ΕΖ. νδʹ. Τούτων προγεγραμμένων προκειμένη ..............
προγενομένη τὸν τρόπον τοῦτον. θέσει ὄντος κύκλου τοῦ

4

.

302

ΑΒΓ καὶ θέσει ἐν αὐτῷ εὐθείας τῆς ΒΓ, καὶ δοθέντος ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ Α, θεῖναι μεταξὺ τῆς ΒΓ εὐθείας καὶ τῆς ΒΖΓ περιφερείας ἴσην τῇ τεθείσῃ νεύουσαν πρὸς τὸ Γ.
5 Γεγονέτω γάρ, καὶ κείσθω τῇ ΕΑ ἴση, καὶ τῇ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΖ ἴση τῇ ΑΔ. ἐπεὶ οὖν πρὸς θέσει τὴν ΒΓ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Α προσβέβληται ἡ ΑΔ, καὶ ἴση τῇ πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκεν ἡ ἀπὸ τὸ ................ πρὸς ὑπερβολῇ (ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΔΓ τῷ ὑπὸ ΑΔΕ,
10τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΖΔΕ). καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ΔΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ΔΖ· τὸ Ζ ἄρα πρὸς παραβολῇ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. ἀναλο.......... τῷ προβλήματι χρῆται ὁ Ἀρχιμήδης πρὸς τὸ δεῖξαι κύκλου περιφερείᾳ ἴσην εὐθεῖαν. αἰτιῶνται δὲ αὐτοῦ τινες ὡς οὐ
15δεόντως χρησαμένου στερεῷ προβλήματι .................... δεικνύουσιν ὡς καὶ διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεῖν ἔστιν εὐθεῖαν ἴσην τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ χρησάμενον τοῖς ἐπὶ τῆς
ἕλικος εἰρημένοις θεωρήμασιν.

5

.

304

(1t)

ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.
2nΠεριέχει δὲ συγκρίσεις τῶν ἴσην περίμετρον ἐχόντων ἐπιπέδων σχημάτων
3nπρὸς ἄλληλά τε καὶ τὸν κύκλον, καὶ συγκρίσεις τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων
4nστερεῶν σχημάτων πρὸς ἄλληλά τε καὶ τὴν σφαῖραν.
5 Σοφίας καὶ μαθημάτων ἔννοιαν ἀρίστην μὲν καὶ τελειο‐ τάτην ἀνθρώποις θεὸς ἔδωκεν, ὦ κράτιστε Μεγεθίον, ἐκ μέρους δέ που καὶ τῶν ἀλόγων ζῴων μοῖραν ἀπένειμέν τισιν. ἀνθρώποις μὲν οὖν ἅτε λογικοῖς οὖσι τὸ μετὰ λόγου καὶ ἀποδείξεως παρέσχεν ἕκαστα ποιεῖν, τοῖς δὲ λοιποῖς
10ζῴοις ἄνευ λόγου τὸ χρήσιμον καὶ βιωφελὲς αὐτὸ μόνον κατά τινα φυσικὴν πρόνοιαν ἑκάστοις ἔχειν ἐδωρήσατο. τοῦτο δὲ μάθοι τις ἂν ὑπάρχον καὶ ἐν ἑτέροις μὲν πλεί‐ στοις γένεσιν τῶν ζῴων, οὐχ ἥκιστα δὲ κἀν ταῖς μελίσσαις· ἥ τε γὰρ εὐταξία καὶ πρὸς τὰς ἡγουμένας τῆς ἐν αὑταῖς
15πολιτείας εὐπείθεια θαυμαστή τις, ἥ τε φιλοτιμία καὶ καθαριότης ἡ περὶ τὴν τοῦ μέλιτος συναγωγὴν καὶ ἡ περὶ τὴν φυλακὴν αὐτοῦ πρόνοια καὶ οἰκονομία πολὺ μᾶλλον θαυμασιωτέρα. πεπιστευμέναι γὰρ, ὡς εἰκός, παρὰ θεῶν κομίζειν τοῖς τῶν ἀνθρώπων μουσικοῖς τῆς ἀμβροσίας ἀπό‐
20μοιράν τινα ταύτην οὐ μάτην ἐκχεῖν εἰς γῆν καὶ ξύλον ἤ τινα ἑτέραν ἀσχήμονα καὶ ἄτακτον ὕλην ἠξίωσαν, ἀλλ’ ἐκ τῶν ἡδίστων ἐπὶ γῆς φυομένων ἀνθέων συνάγουσαι τὰ κάλ‐ λιστα κατασκευάζουσιν ἐκ τούτων εἰς τὴν τοῦ μέλιτος ὑπο‐ δοχὴν ἀγγεῖα τὰ καλούμενα κηρία πάντα μὲν ἀλλήλοις ἴσα
25καὶ ὅμοια καὶ παρακείμενα, τῷ δὲ σχήματι ἑξάγωνα. τοῦτο δ’ ὅτι κατά τινα γεωμετρικὴν μηχανῶνται πρόνοιαν οὕτως ἂν μάθοιμεν. πάντως μὲν γὰρ ᾤοντο δεῖν τὰ σχήματα παρακεῖσθαί τε ἀλλήλοις καὶ κοινωνεῖν κατὰ τὰς πλευράς,
ἵνα μὴ τοῖς μεταξὺ παραπληρώμασιν ἐμπίπτοντά τινα ἕτερα

5

.

306

λυμήνηται αὐτῶν τὰ ἔργα. τρία δὲ σχήματα εὐθύγραμμα τὸ προκείμενον ἐπιτελεῖν ἐδύνατο, λέγω δὲ τεταγμένα τὰ ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια, τὰ δ’ ἀνόμοια ταῖς μελίσσαις οὐκ ἤρεσεν. τὰ μὲν οὖν ἰσόπλευρα τρίγωνα καὶ τετράγωνα
5καὶ τὰ ἑξάγωνα χωρὶς ἀνομοίων παραπληρωμάτων ἀλλήλοις δύναται παρακείμενα τὰς πλευρὰς κοινὰς ἔχειν [ταῦτα γὰρ δύναται συμπληροῦν ἐξ αὑτῶν τὸν περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον τόπον, ἑτέρῳ δὲ τεταγμένῳ σχήματι τοῦτο ποιεῖν ἀδύνατον]. ὁ γὰρ περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον τόπος ὑπὸ ϛʹ μὲν τριγώνων
10ἰσοπλεύρων καὶ διὰ ϛʹ γωνιῶν, ὧν ἑκάστη διμοίρου ἐστὶν ὀρθῆς, συμπληροῦται, τεσσάρων δὲ τετραγώνων καὶ δ’ ὀρ‐ θῶν γωνιῶν [αὐτοῦ], τριῶν δὲ ἑξαγώνων καὶ ἑξαγώνου γω‐ νιῶν τριῶν, ὧν ἑκάστη αʹ γʹʹ ἐστὶν ὀρθῆς. πεντάγωνα δὲ τὰ τρία μὲν οὐ φθάνει συμπληρῶσαι τὸν περὶ τὸ αὐτὸ
15σημεῖον τόπον, ὑπερβάλλει δὲ τὰ τέσσαρα· τρεῖς μὲν γὰρ τοῦ πενταγώνου γωνίαι δʹ ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν (ἑκάστη γὰρ γωνία μιᾶς καὶ εʹʹ ἐστὶν ὀρθῆς), τέσσαρες δὲ γωνίαι μείζους τῶν τεσσάρων ὀρθῶν. ἑπτάγωνα δὲ οὐδὲ τρία περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον δύναται τίθεσθαι κατὰ τὰς πλευρὰς ἀλλή‐
20λοις παρακείμενα· τρεῖς γὰρ ἑπταγώνου γωνίαι τεσσάρων ὀρθῶν μείζονες (ἑκάστη γάρ ἐστιν μιᾶς ὀρθῆς καὶ τριῶν ἑβδόμων). ἔτι δὲ μᾶλλον ἐπὶ τῶν πολυγωνοτέρων ὁ αὐτὸς ἐφαρμόσαι δυνήσεται λόγος. ὄντων δὴ οὖν τριῶν σχημά‐ των τῶν ἐξ αὑτῶν δυναμένων συμπληρῶσαι τὸν περὶ τὸ
25αὐτὸ σημεῖον τόπον, τριγώνου τε καὶ τετραγώνου καὶ ἑξα‐ γώνου, τὸ πολυγωνότερον εἵλαντο διὰ τὴν σοφίαν αἱ μέ‐ λισσαι πρὸς τὴν παρασκευήν, ἅτε καὶ πλεῖον ἑκατέρου τῶν λοιπῶν αὐτὸ χωρεῖν ὑπολαμβάνουσαι μέλι. Καὶ αἱ μέλισσαι μὲν τὸ χρήσιμον αὑταῖς ἐπίστανται
30μόνον τοῦθ’ ὅτι τὸ ἑξάγωνον τοῦ τετραγώνου καὶ τοῦ τρι‐ γώνου μεῖζόν ἐστιν καὶ χωρῆσαι δύναται πλεῖον μέλι τῆς
ἴσης εἰς τὴν ἑκάστου κατασκευὴν ἀναλισκομένης ὕλης,

5

.

308

ἡμεῖς δὲ πλέον τῶν μελισσῶν σοφίας μέρος ἔχειν ὑπισχνού‐ μενοι ζητήσομέν τι καὶ περισσότερον. τῶν γὰρ ἴσην ἐχόν‐ των περίμετρον ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων ἐπιπέδων σχημάτων μεῖζόν ἐστιν ἀεὶ τὸ πολυγωνότερον, μέγιστος δ’
5ἐν πᾶσιν ὁ κύκλος, ὅταν ἴσην αὐτοῖς περίμετρον ἔχῃ. δείξο‐ μεν δὲ πρότερον ὅτι τῶν ἀνισοπληθεῖς μὲν ἐχόντων τὰς γωνίας τεταγμένων πολυγώνων, τὴν δὲ περίμετρον ἴσην, τὸ πολυγωνότερον ἀεὶ καὶ μεῖζόν ἐστιν. αʹ. Ἔστω δύο πολύγωνα ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια
10τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ ἔστωσαν ἴσαι μὲν αὐτῶν αἱ περίμετροι, πολυγωνότερον δὲ τὸ ΔΕΖ· λέγω ὅτι τὸ ΔΕΖ μεῖζον τοῦ ΓΑΒ. Εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν περιγραφομένων αὐτοῖς κύκλων τὰ Η Θ, κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΗΚ ΘΛ, καὶ ἐπε‐
15ζεύχθωσαν αἱ ΑΗ ΗΓ ΘΔ ΘΖ. ἐπεὶ οὖν πολυγωνότερόν ἐστιν τὸ ΕΔΖ τοῦ ΑΒΓ, πλεονάκις ἡ ΔΖ τὴν τοῦ ΔΕΖ πολυγώνου καταμετρεῖ περίμετρον ἤπερ ἡ ΑΓ τὴν τοῦ ΑΒΓ· μείζων ἄρα ἡ ΑΓ τῆς ΔΖ (ἴσαι γὰρ ὑπόκεινται αἱ περί‐ μετροι), ὥστε καὶ ἡ ΑΚ μείζων τῆς ΔΛ (ἡμίσεια γὰρ ἑκα‐
20τέρα ἑκατέρας). κείσθω τῇ ΔΛ ἴση ἡ ΚΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΗ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ΑΓ εὐθεῖα τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ γωνία τεσσάρων ὀρθῶν (ἐπειδὴ ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ πολύγωνον), ὁμοίως δὲ καί, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ΔΖ τῆς
25τοῦ ΔΕΖ περιμέτρου, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΘΖ γωνία τεσσάρων ὀρθῶν, καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ περίμετροι ἀλ‐ λήλαις καὶ αἱ δ’ ὀρθαὶ ταῖς δʹ ὀρθαῖς, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΑΒΓ περίμετρον, οὕτως ἡ Η γωνία πρὸς δʹ ὀρ‐ θάς. ὡς δὲ ἡ περίμετρος τοῦ ΔΕΖ, τουτέστιν τοῦ ΑΒΓ,
30πρὸς τὴν ΔΖ, αἱ δʹ ὀρθαὶ πρὸς τὴν ὑπὸ ΔΘΖ γωνίαν·

5

.

310

δι’ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΑΗΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΔΘΖ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΚ πρὸς τὴν ΛΔ, τουτέστιν πρὸς ΚΜ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΑΗΚ πρὸς τὴν ὑπὸ ΔΘΛ.[Omitted graphic marker] ἡ δὲ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΜ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ
5πρὸς τὴν ὑπὸ ΜΗΚ (τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς εἰς τὰ σφαιρικὰ λήμμασιν δέδεικται)· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ ἄρα γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΔΘΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ γω‐ νία πρὸς τὴν ὑπὸ ΜΗΚ· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΜΗΚ τῆς ὑπὸ ΔΘΛ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Κ ὀρθὴ ἴση τῇ πρὸς
10τῷ Λ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΜΚ τῆς ὑπὸ ΘΔΛ ἐλάσσων. ἔστω τῇ ὑπὸ ΘΔΛ ἴση ἡ ὑπὸ ΚΜΝ· καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΔΛ τῇ ΚΜ· καὶ ἡ ΛΘ ἄρα τῇ ΚΝ ἴση ἐστίν· μείζων ἄρα ἡ ΘΛ τῆς ΚΗ. ἴσαι δὲ αἱ περίμετροι· μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ ΛΘ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΔΕΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον
15τοῦ ὑπὸ τῆς ΚΗ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ. καὶ ἔστιν τῶν εἰρημένων χωρίων ἡμίση τὰ πολύγωνα· μεῖζον ἄρα τὸ ΔΕΖ πολύγωνον τοῦ ΑΒΓ. [τὸ γὰρ ὕψος ἴσον ἐστὶ τῆς περιμέτρου τῆς αὐτῆς οὔσης τῶν δύο εὐθυγράμμων, καὶ αἱ βάσεις ἄνισοι αἱ ΘΛ ΗΚ, καὶ ὡς ἡ ΘΛ βάσις πρὸς τὴν
20ΗΚ βάσιν, οὕτως τὸ παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ ΘΛ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΔΕΖ πολυγώνου πρὸς τὸ παραλληλό‐ γραμμον τὸ ὑπὸ τῆς ΗΚ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ. καὶ τὰ ἡμίση πολύγωνα ἄνισα, ὥστε μεῖζον τὸ ΔΕΖ τοῦ ΑΒΓ.] βʹ. Ἔστω πάλιν τὸ πολύγωνον τὸ ΑΒΓ ἰσόπλευρόν τε
25καὶ ἰσογώνιον ἴσην ἔχον τὴν περίμετρον τῇ τοῦ ΔΕΖ κύκλου περιφερείᾳ· λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ὁ ΔΕΖ κύκλος τοῦ ΑΒΓ
πολυγώνου.

5

.

312

 Εἰλήφθω τοῦ μὲν ΔΕΖ κύκλου κέντρον τὸ Θ, τοῦ δὲ περὶ τὸ ΑΒΓ πολύγωνον περιγραφομένου κύκλου κέντρον τὸ Η, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸν κύκλον πολύγωνον ὅμοιον[Omitted graphic marker] τῷ ΑΒΓ τὸ ΛΜΝΞΟ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΔ, καὶ κάθετος
5ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΑΓ ἤχθω ἡ ΗΚ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ τοῦ ΛΜΝΞΟ πολυγώνου περίμετρος τῆς τοῦ ΔΕΖ κύκλου περιφερείας, ὡς ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου Ἀρχιμήδει ὑπόκειται [διὰ τὸ περιέχειν αὐτήν], ἡ δὲ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἴση ἐστὶν τῇ τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περι‐
10μέτρῳ, καὶ ἡ τοῦ ΛΜΝΞΟ πολυγώνου περίμετρος μείζων τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου. καὶ ἔστιν ὅμοια τὰ πολύγωνα· μείζων ἄρα ἡ ΛΔ τῆς ΑΚ. καὶ ἔστιν ὁμοῖον τὸ ΑΗΚ τρίγωνον τῷ ΛΘΔ τριγώνῳ (καὶ γὰρ τὰ ὅλα πο‐ λύγωνα ὅμοιά ἐστι)· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΘΔ τῆς ΗΚ. ἴση
15δὲ ἡ τοῦ ΔΕΖ κύκλου περιφέρεια τῇ τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρῳ· μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς ΔΘ καὶ τῆς τοῦ ΔΕΖ κύκλου περιφερείας τοῦ ὑπὸ τῆς ΗΚ καὶ τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου. καὶ ἔστι τὸ μὲν ὑπὸ τῆς ΔΘ καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας διπλάσιον τοῦ ΔΕΖ κύκλου
20(καὶ τοῦτο γὰρ ὑπὸ Ἀρχιμήδους ἐν τῷ περὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας δέδεικται), τὸ δὲ ὑπὸ τῆς ΗΚ καὶ τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ πολυ‐ γώνου, καὶ τὰ ἡμίση· μείζων ἄρα ὁ κύκλος τοῦ ΑΒΓ πο‐ λυγώνου.
25γʹ. Ὅτι μὲν οὖν τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου
καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου Ἀρχι‐

5

.

314

μήδης ἀπέδειξεν, οὐδὲν δὲ ἧττον καὶ ἑξῆς δειχθήσεται τοῦτο πρὸς τὸ μὴ δεῖσθαι τοῦ Ἀρχιμηδείου συντάγματος ἕνεκεν μόνου τοῦ θεωρήματος τούτου. Ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ τοῦ ὑπὸ τῆς περι‐
5μέτρου αὐτοῦ καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἥμισυ ἔστω τὸ Ζ χωρίον· λέγω ὅτι ἴσον ἐστὶν τὸ Ζ χωρίον τῷ ΑΒΓΔ κύκλῳ. Ἔστω γὰρ πρότερον, εἰ δυνατόν, ἔλασσον. δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἀκολούθως τῇ ἀγωγῇ τῇ ἐν τῷ δωδεκάτῳ τῶν
10στοιχείων ἐγγράψαι εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον πολύγωνον, ὥστε τὸ ἐγγραφὲν πολύγωνον μεῖζον εἶναι τοῦ Ζ χωρίου, εἰ πρό‐ τερον ἐγγραφείη τετράγωνον εἰς τὸν κύκλον καὶ αἱ περι‐ φέρειαι τῶν περιλειπομένων τμημάτων αἰεὶ δίχα τέμνοιντο, μέχρις ἂν λειφθείη τινὰ τμήματα ἐλάσσονα ὄντα τῆς ὑπερ‐
15οχῆς ᾗ ὑπερέχει ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοῦ Ζ χωρίου. ἐγγε‐ γράφθω, καὶ ἔστω τὸ ΑΒΓΔΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Η κέντρου ἤχθω ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ ΑΒΓΔΕ πολυγώνου ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος ἡ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν ἡ περίμετρος τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου μείζων ἐστὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓΔΕ ὁποσα‐
20γώνου, ἡ δ’ ἐκ τοῦ κέντρου μείζων τῆς ΗΘ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓΔΕ πολυ‐ γώνου καὶ τῆς ΗΘ. καὶ τὰ ἡμίση· μεῖζον ἄρα τὸ Ζ χω‐ ρίον τοῦ ΑΒΓΔΕ πολυγώνου, ὅπερ ἀδύνατον· ὑπόκειται
25γὰρ ἔλασσον· οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοῦ Ζ χωρίου. Λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἐλάσσων· δυνατὸν ἄρα περιγράψαι περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον πολύγωνον, ὥστε τὸ Ζ χωρίον μεῖζον εἶναι τοῦ περι‐
30γεγραμμένου πολυγώνου, εἰ πρότερον τετράγωνον περιγρα‐
φείη περὶ τὸν κύκλον καὶ δίχα ἀεὶ τεμνομένων τῶν ἀπο‐

5

.

316

λειπομένων περιφερειῶν ἄγοιντο ἐφαπτόμεναι, μέχρις ἂν ἀπολειφθῇ τινα τμήματα τῶν ἐκτὸς σχημάτων, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει τὸ Ζ χωρίον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου· τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν [ἀνάγκῃ] γενέσθαι δέδεικται.
5περιγεγράφθω οὖν, ὡς εἴρηται, τὸ πολύγωνον καὶ ἔστω τὸ ΚΛΜΝΞ, καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Η κέντρου ἐπὶ μίαν τῶν συναφῶν τὴν Ο ἡ ΗΟ. ἐπεὶ οὖν ἡ περίμετρος τοῦ ΚΛΜΝΞ πολυγώνου μείζων ἐστὶν τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΚΛΜΝΞ
10πολυγώνου καὶ τῆς ΗΟ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῆς περι‐ μέτρου τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τῆς ΗΟ. καὶ τὰ ἡμίση· τὸ ἄρα ΚΛΜΝΞ πολύγωνον μεῖζον τοῦ Ζ χωρίου, ὅπερ ἀδύνατον· ὑπόκειται γὰρ ἔλασσον· οὐκ ἄρα τὸ Ζ χωρίον μεῖζον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.
15 Ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἔλασσον· ἴσον ἄρα. καὶ ἔστι τοῦ Ζ χωρίου διπλάσιον τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου. δʹ. Οὐ μόνον δὲ τῶν τεταγμένων ἐπιπέδων σχημάτων, ἅ ἐστιν ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια, ὁ κύκλος γίνεται μεί‐
20ζων, ἀλλὰ καὶ τῶν ἀνισοπλεύρων καὶ τῶν ἀνομοιογωνίων, ὅταν τὴν αὐτὴν αὐτοῖς περίμετρον ἔχῃ. δειχθήσεται γὰρ ὅτι καὶ τῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων πολυγώνων καὶ πλευ‐ ρὰς ἰσοπληθεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλευρόν τέ ἐστιν καὶ ἰσογώνιον. πρότερον οὖν τὰ εἰς τὴν ἀπόδειξιν αὐτοῦ
25λαμβανόμενα θεωρήματα προγράψομεν. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ, καὶ εὐθεῖα ἡ Ε, ἥτις ἔστω ἐλάσσων μὲν τῆς ΑΒ, μείζων δὲ τῆς ΒΓ· ὅτι δυνατόν ἐστιν ἐπὶ τῆς ΑΓ δύο εὐθείας συσταθῆναι, ὥστε συναμφοτέρας μὲν ἴσας εἶναι ταῖς ΑΒΓ,
30μίαν δὲ αὐτῶν ἴσην τῇ Ε.

5

.

318

 Ὅσον γὰρ ὑπερέχουσιν αἱ ΑΒ ΒΓ τῆς Ε, ἔστω ἡ Ζ· ἡ Ζ ἄρα τῆς μὲν ΑΒ ἐλάσσων ἐστὶν (ὅτι συναμφότεραι αἱ ΑΒΓ ταῖς Ε.Ζ ἴσαι εἰσίν, ὧν ἡ Ε τῆς ΓΒ μείζων), [Omitted graphic marker]τῆς δὲ ΓΒ μείζων (ἐπεὶ
5συναμφότεραι πάλιν αἱ ΑΒΓ ταῖς Ε Ζ ἴσαι, ὧν ἡ Ε τῆς ΑΒ ἐλάσ‐ σων). ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΒΓ τῆς ΑΓ μείζονές
10εἰσιν, καὶ αἱ Ε Ζ ἄρα τῆς ΑΓ μείζονές εἰσιν. ἐπεὶ δὲ καὶ αἱ ΑΓΒ τῆς ΑΒ μείζονές εἰσιν, καὶ ἔστι τῆς μὲν ΓΒ μείζων ἡ Ε, τῆς δὲ ΑΒ ἐλάσσων ἡ Ζ, πολλῷ ἄρα αἱ ΑΓ Ε τῆς Ζ μείζονές εἰσιν. ὁμοίως ἐπεὶ
15αἱ ΑΓΒ τῆς ΑΒ μείζονες, ἀλλὰ τῆς μὲν ΓΒ μείζων ἡ Ζ, τῆς δὲ ΑΒ ἐλάσσων ἡ Ε, πολλῷ ἄρα αἱ ΑΓ Ζ τῆς Ε μείζονές εἰσιν· δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ΑΓ Ε Ζ τρί‐ γωνον συστήσασθαι. συνεστάτω τὸ ΑΓΔ *** [καὶ φανερὸν ὅτι εἰ μὲν ἴσαι εἰσὶν αἱ Ε Ζ, ἰσοσκελὲς ἔσται τὸ ΑΓΔ
20τρίγωνον, εἰ δὲ ἄνισοι, ἡ μείζων αὐτῶν ἴση ἔσται τῇ ΓΔ]. εʹ. Τῶν ἰσοπεριμέτρων τριγώνων καὶ τὴν αὐτὴν βάσιν ἐχόντων τὸ ἰσοσκελὲς μέγιστόν ἐστιν, καὶ ἀεὶ τὸ ἰσοσκελέ‐ στερον μεῖζον. Ἐπὶ γὰρ τῆς ΒΓ βάσεως ἰσοπερίμετρα ἔστω τρίγωνα,
25ἰσοσκελὲς μὲν τὸ ΑΒΓ, ἰσοσκελέστερον δὲ τὸ ΒΔΓ τοῦ ΒΕΓ (δυνατὸν γὰρ κατασκευάσαι διὰ τὸ προδειχθὲν ἔναγχος)· λέγω ὅτι μέγιστον μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ, μεῖζον δὲ τὸ ΒΔΓ
τοῦ ΒΕΓ.

5

.

320

 Ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ, καὶ κείσθω τῇ ΓΑ ἴση ἡ ΑΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΔ ΔΑ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΖΔΒ τῆς ΒΖ μείζονές εἰσιν, καὶ τῶν ΒΑΓ ἄρα μείζονές εἰσιν (ἴση γὰρ ἡ ΑΓ τῇ ΑΖ). ἀλλ’ αἱ ΒΑΓ ταῖς ΒΔΓ ἴσαι εἰσίν· καὶ
5αἱ ΒΔΖ ἄρα τῶν ΒΔΓ μείζονές εἰσιν. κοινῆς ἀφαιρεθείσης τῆς ΒΔ λοιπὴ ἡ ΖΔ τῆς ΔΓ μείζων ἐστίν. δύο δὴ αἱ ΖΑΔ δύο ταῖς ΓΑΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ βάσις ἡ ΖΔ βάσεως τῆς ΔΓ μείζων· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΑΔ γω‐ νίας τῆς ὑπὸ ΔΑΓ μείζων ἐστίν· ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΑΓ τῆς
10ὑπὸ ΔΑΓ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ. διπλῆ δέ ἐστιν τῆς ὑπὸ ΑΒΓ, τουτέστιν τῆς ὑπὸ ΑΓΒ (ἰσοσκελὲς γὰρ τὸ τρίγω‐ νον)· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ ἄρα μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΔΑΓ. [Omitted graphic marker]κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ ΓΑΗ· παράλληλος ἄρα
15ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΒΓ διὰ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας. ἐκβληθείσης οὖν τῆς ΓΔ ἐπὶ τὸ Η καὶ ἐπιζευχ‐ θείσης τῆς ΒΗ φανερὸν
20ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΒΔΓ μεῖζόν ἐστιν· ἴσον γὰρ τὸ ΒΑΓ τῷ ΒΗΓ. πάλιν ἐκβεβλή‐ σθω ἡ ΒΔ ἐπὶ τὸ Κ,
25καὶ κείσθω τῇ ΔΓ ἴση ἡ ΔΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΕ ΔΕ. ἐπεὶ αἱ ΒΕΚ τῆς ΒΚ, τουτέστιν τῶν ΒΔΓ, τουτέστιν τῶν ΒΕΓ μείζονές εἰσιν, κοινῆς ἀφαιρεθείσης τῆς ΒΕ λοιπὴ ἡ ΕΚ τῆς ΕΓ μείζων ἐστίν. δύο δὴ αἱ ΚΔΕ δυσὶ ταῖς ΓΔΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ βάσις ἡ ΚΕ βάσεως τῆς
30ΕΓ μείζων· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΔΕ γωνίας τῆς ὑπὸ ΓΔΕ μείζων ἐστίν· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΔΓ ἢ διπλῆ τῆς ὑπὸ ΓΔΕ. τῆς δὲ ὑπὸ ΔΓΒ ἐλάσσων ἢ διπλῆ ἡ αὐτὴ ἡ ὑπὸ ΚΔΓ (μείζων γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΓΒ τῆς ὑπὸ ΔΒΓ· ἴσαι γὰρ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ ΑΓΒ)· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΓΒ τῆς ὑπὸ
35ΓΔΕ. συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΓ καὶ τῷ Δ τῇ ὑπὸ ΔΓΒ ἴση
ἡ ὑπὸ ΓΔΛ· φανερὸν γὰρ ὅτι μεταξὺ τῶν ΔΕ ΔΚ ἡ ΔΛ

5

.

322

ἔσται παράλληλος οὖσα τῇ ΒΓ διὰ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας· ἐκβληθείσης ἄρα τῆς ΓΕ ἄχρι τῆς ΔΛ παραλλήλου καὶ συμπιπτούσης κατὰ τὸ Λ καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΒΛ ἔσται τὸ ΒΓΔ τρίγωνον ἴσον τῷ ΒΛΓ. [ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως
5τῆς ΓΒ καὶ παραλλήλων τῶν ΒΓ ΔΛ], ὥστε μεῖζον εἶναι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΒΕΓ ἐλάσσονος ὄντος τοῦ ΒΔΓ. ϛʹ. Πάλιν ἔστω δύο τρίγωνα ὀρθογώνια ὅμοια τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς Γ Ζ γωνίας· λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΓ ΔΖ ὡς μιᾶς ἴσον ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ ΒΓ ΕΖ ὡς μιᾶς καὶ τῷ
10ἀπὸ ΑΒ ΔΕ ὡς μιᾶς.[Omitted graphic marker] Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΕΖ ἐπὶ τὸ Η, καὶ κείσθω τῇ ΒΓ ἴση ἡ ΕΗ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Η παράλληλος τῇ ΔΕ ἀχθεῖσα συμπιπτέτω τῇ ΔΖ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Κ, διὰ δὲ τοῦ Δ παράλληλος τῇ ΖΗ ἡ ΔΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΘ τῇ
15ΗΕ ἐν παραλληλογράμμῳ, τουτέστιν τῇ ΒΓ, καὶ ἡ ὑπὸ ΚΔΘ γωνία τῇ Ζ ἴση, τουτέστιν τῇ Γ, καὶ ὀρθὴ ἡ Θ τῇ Β, καὶ λοιπὴ ἡ Κ τῇ Α, ἰσογώνια ἄρα τὰ ΚΘΔ ΑΒΓ τρί‐ γωνα καὶ ἴσα· τὸ ἄρα ἀπὸ ΚΖ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΚΗΖ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΑΓ ΔΖ ὡς μιᾶς τῷ τε ἀπὸ ΑΒ ΔΕ
20ὡς μιᾶς καὶ τῷ ἀπὸ ΒΓ ΕΖ ὡς μιᾶς. ζʹ. Τὰ ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα συναμφότερα τῶν ἐπὶ ταῖς αὐταῖς βάσεσι συναμφοτέρων ἰσοσκελῶν τριγώνων ἀνο‐ μοίων μὲν ἀλλήλοις καὶ τοῖς ὁμοίοις, ἰσοπεριμέτρων δὲ αὐτοῖς, μείζονά ἐστιν.
25Ἔστω ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα τὰ ΔΖΒ ΒΑΓ, καὶ

5

.

324

ἐπὶ τῶν αὐτῶν βάσεων ἄλλα ἰσοσκελῆ τρίγωνα τὰ ΔΕΒ ΒΛΓ ἰσοπερίμετρα μὲν τοῖς ΔΖΒ ΒΑΓ, ἀνόμοια δὲ ἐξ ἀνάγκης [ὅτι αἱ γωνίαι ἄνισοί εἰσιν]· τοῦτο δὲ ὡς δυ‐ νατὸν κατασκευάσαι δειχθήσεται· λέγω ὅτι τὰ ΔΒΖ
5ΒΑΓ συναμφότερα τῶν ΔΕΒ ΒΛΓ συναμφοτέρων μεί‐ ζονά ἐστιν. Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ ΑΛ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰς βάσεις· τεμοῦσι δὴ αὐτὰς δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθάς· ἴσαι γάρ εἰσιν αἱ ΔΕΖ ταῖς ΒΕΖ, καὶ βάσεις ἴσαι αἱ ΔΖ ΖΒ
10διὰ τὸ ἰσοσκελῆ εἶναι τὰ τρίγωνα, καὶ γωνίαι ἴσαι [καὶ ὅμοια τὰ ΔΕΖ ΖΕΒ τρίγωνα], ὥστε καὶ τὰς ἐκτὸς γωνίας Ζ Ζ ἴσας εἶναι [ἴσαι εἰσὶν ταῖς ἐντός], ἴσαι δέ εἰσιν καὶ αἱ Δ Β, καὶ αἱ λοιπαὶ αἱ Η Η ἴσαι· ὀρθαὶ ἄρα εἰσίν· καὶ ἴσαι αἱ ΔΗ ΗΒ. ὁμοίως δὲ καὶ αἱ ΒΜ ΜΓ ἴσαι εἰσίν,
15καὶ ὀρθαὶ αἱ Μ Μ. τεμνέτωσαν οὖν κατὰ τὰ Η Μ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΗ, καὶ κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΗΘ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΘΒ· ἔσται δὴ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΒΗ τῇ ὑπὸ ΘΒΗ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΒΗ μείζων τῆς ὑπὸ ΑΒΓ (ὅτι καὶ τῆς ὑπὸ ΖΒΗ ἴσης· ὅμοια γὰρ τὰ ΔΒΖ ΒΑΓ τρίγωνα)· καὶ ἡ ὑπὸ
20ΘΒΗ ἄρα μείζων τῆς ὑπὸ ΑΒΓ· ἡ ἄρα τὰ Θ Λ σημεῖα ἐπιζευγνύουσα τέμνει τὴν ΒΜ, ὑποκειμένης τῆς ΔΒΓ εὐ‐ θείας καὶ τῆς ΘΒΝ ἐκβεβλημένης ἔξωθεν τῆς ΑΒ, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῆς ὑπὸ ΘΒΗ, τουτέστιν τῆς κατὰ κορυφὴν τῆς ὑπὸ ΝΒΓ, καὶ πολλῷ ἡ ὑπὸ ΛΒΓ ἐλάσ‐
25σων, ὥστε τὴν ΒΜ τέμνεσθαι ὑπὸ τῆς ΘΛ κατὰ τὸ Κ [καὶ φανερὸν ὅτι οὐ τὴν ΜΓ τέμνει, ἵνα μὴ τὴν ΛΜ ἐκ‐ βαλλομένην τέμῃ κατ’ ἄλλο σημεῖον τοῦ Λ]. ἐπεὶ οὖν αἱ
ΔΕΒ ΒΑΓ ταῖς ΔΖΒ ΒΑΓ ἴσαι εἰσίν (ὑπόκεινται γὰρ

5

.

326

ἰσοπερίμετροι), καὶ αἱ ἡμίσειαι αἱ ΕΒΛ, τουτέστιν αἱ ΘΒΛ, ταῖς ΖΒΑ ἴσαι εἰσίν, αἱ δὲ ΘΒΛ τῆς ΘΛ μεί‐ [Omitted graphic marker]ζονές εἰσιν, καὶ αἱ ΖΒΑ ἄρα τῆς
5ΘΛ μείζονές εἰ‐ σιν. καὶ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΖΒΑ ὡς μιᾶς μεῖζόν ἐστιν
10τοῦ ἀπὸ ΘΛ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΖΒΑ ὡς μιᾶς ἴσα εἰσὶν τὰ ἀπὸ
15συναμφοτέρου τῆς ΖΗ ΑΜ με‐ τὰ τοῦ ἀπὸ συν‐ αμφοτέρου τῆς ΗΒΜ ὡς μιᾶς, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΗΜ, διὰ τὴν τῶν ΗΖΒ ΒΑΜ τριγώνων ὀρθογωνίων ὁμοιό‐
20τητα (τοῦτο γὰρ προεδείχθη), τῷ δὲ ἀπὸ ΘΛ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΘΚ ΚΛ ὡς μιᾶς, ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΛΜ ΗΘ ὡς μιᾶς, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΛΜ ΗΕ ὡς μιᾶς, μετὰ τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΚ ΚΜ ὡς μιᾶς, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΗΜ, διὰ τὸ αὐτὸ
25προδειχθέν· τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΜ ΖΗ ὡς μιᾶς μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΜ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΕΗ ΛΜ ὡς μιᾶς μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΜ. κοινὸν ἀφῃρή‐ σθω τὸ ἀπὸ ΗΜ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΖΗ ΑΜ ὡς μιᾶς μεῖζόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς
30ΗΕ ΛΜ ὡς μιᾶς· καὶ μήκει ἄρα μείζων ἡ ΖΗ ΑΜ ὡς μία τῆς ΕΗ ΛΜ ὡς μιᾶς. τὰ δ’ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα τρίγωνα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις· ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ ΗΕ πρὸς ΗΖ, τά τε ἡμίση τῶν τριγώνων τὸ ΕΗΒ πρὸς ΖΗΒ καὶ τὰ ὅλα τρίγωνα [διπλάσια] τὸ ΔΕΒ πρὸς
35ΔΖΒ, ὡς δὲ ἡ ΛΜ πρὸς ΜΑ, τὸ ΜΛΓ πρὸς τὸ ΜΑΓ,
καὶ τὸ διπλάσιον ΒΛΓ πρὸς τὸ ΒΑΓ· καὶ συνθέντι ἄρα

5

.

328

πρὸς συγκείμενον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ὡς ἡ ΕΗ ΛΜ πρὸς τὴν ΖΗ ΑΜ, τὰ ΔΕΒ ΒΛΓ τρίγωνα πρὸς τὰ ΔΖΒ ΑΒΓ τρίγωνα· καὶ τοῦτο γὰρ ἑξῆς. ἐλάσσων δὲ συναμφότερος ἡ ΕΗ ΛΜ τῆς ΖΗ ΑΜ συναμφοτέρου· ἐλάσσονα ἄρα καὶ
5τὰ συναμφότερα ΔΕΒ ΒΛΓ τρίγωνα τῶν ΔΖΒ ΒΑΓ συν‐ αμφοτέρων τριγώνων. ηʹ. Ἔστω ἐπὶ ἀνίσων βάσεων τῶν ΑΒ ΓΔ ἰσοσκελῆ τρίγωνα τὰ ΑΕΒ ΓΔΖ, καὶ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΓΖ ἴση ἔστω, ἡ δὲ ΑΒ τῆς ΔΓ μείζων (ἀνόμοια ἄρα τὰ τρίγωνα)· δεῖ
10δὴ ἐπὶ τῶν ΑΒ ΓΔ ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα συστήσασθαι, ὥστε τὰς δʹ πλευρὰς αὐτῶν ἅμα ἴσας εἶναι ταῖς ΑΕΒ ΓΖΔ ἅμα. Ἐκκείσθω γὰρ ἡ ΗΘ εὐθεῖα ἴση οὖσα ταῖς ΑΕΒ ΓΖΔ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Κ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΗΚ πρὸς ΚΘ,
15οὕτως τὴν ΑΒ βάσιν πρὸς τὴν ΓΔ, τετμήσθω δὲ καὶ ἑκα‐ τέρα τῶν ΗΚ ΚΘ δίχα κατὰ τὰ Λ Μ σημεῖα. ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΘ συναμφοτέρων τῶν ΑΒ ΓΔ μείζων ἐστίν (ὅτι καὶ αἱ ΑΕΒ ΓΖΔ), καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΓΔ, ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ, μείζων ἄρα καὶ ἡ μὲν ΗΚ τῆς ΑΒ, ἡ δὲ ΚΘ τῆς ΓΔ.
20καὶ τέτμηται ἑκατέρα δίχα· τῶν ἄρα ΑΒ ΗΛ ΛΚ αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν πάντη μεταλαμβανόμεναι. ὁμοίως καὶ τῶν ΓΔ ΚΜ ΜΘ. συνεστάτω οὖν ἐκ μὲν τῶν ΑΒ ΗΛ ΛΚ τὸ ΑΞΒ τρίγωνον (φανερὸν γὰρ ὅτι ἔξω πίπτουσιν τῶν· ΑΕΒ διὰ τὸ μείζους εἶναι τὰς ΗΛΚ τῶν ΑΕΒ· ἡ
25μὲν γὰρ ΑΕΒ ἡμίσεια τῆς ΗΘ, ἴσαι γὰρ αἱ ΑΕΒ ταῖς ΓΖΔ, καὶ αἱ δʹ ἅμα εὐθεῖαι τῇ ΗΘ, ἡ δὲ ΗΚ μείζων ἢ
ἡμίσεια τῆς ΗΘ), ἐκ δὲ τῶν ΓΔ ΚΜΘ τὸ ΓΝΔ (ὁμοίως

5

.

330

γὰρ ἔνδον συνίστανται). καὶ φανερὸν ὅτι ὁμοῖα ἔσται τὰ τρίγωνα, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΓΔ, οὕτως ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ, καὶ αἱ ἡμίσειαι ἥ τε ΗΛ πρὸς ΚΜ καὶ ἡ ΛΚ πρὸς ΜΘ, καὶ αἱ ἴσαι συνιστάμεναι ἡ ΑΞ πρὸς ΓΝ καὶ ἡ ΒΞ
5πρὸς ΔΝ. [Τὸ δὲ ΑΕΒ τρίγωνον τοῦ ΓΖΔ τριγώνου ποτὲ μὲν μεῖζον γίνεται, ποτὲ δὲ ἔλασσον, ποτὲ δὲ ἴσον αὐτῷ. ἔστω[Omitted graphic marker] γὰρ τρίγωνον τὸ ΠΡΣ ἴσην ἔχον τὴν μὲν ΠΡ τῇ ΖΓ, τὴν δὲ ΡΣ τῇ ΔΖ, τὴν δὲ ΠΣ τῇ ΓΔ· ἴσα ἄρα καὶ ὅμοιά ἐστι
10τὰ ΓΖΔ ΠΡΣ τρίγωνα ἀλλήλοις. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ μείζων ἐστὶν τῆς ΓΔ, τουτέστιν τῆς ΠΣ, καὶ αἱ ΑΕ ΕΒ ἴσαι ταῖς ΠΡ ΡΣ (ἐπεὶ καὶ ταῖς ΓΖ ΖΔ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ), γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ΠΡΣ μείζων ἐστίν (ἐπεὶ καὶ τῆς ὑπὸ ΓΖΔ μείζων ἐστίν). κείσθω ἡ ὑπὸ ΠΡΤ γωνία τῇ Ε ἴση, καὶ
15ἡ ΡΤ τῇ ΡΣ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΠΤ· ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιον τὸ ΠΡΤ τρίγωνον τῷ ΑΕΒ τριγώνῳ. ἐκβεβλήσθω δὲ ἡ ΠΣΥ, καὶ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΠΥ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΡΥ· μεί‐ ζων ἄρα ἡ ΡΥ τῆς ΡΣ καὶ τῆς ΡΤ (ἑκατέρα γὰρ τῶν ΠΡ ΡΤ ἴση ἐστὶν τῇ ΡΣ). τὸ οὖν ΠΡΤ τρίγωνον τῷ ΑΕΒ
20ἴσον ἐστὶν καὶ ὅμοιον, τῷ δὲ ΠΡΣ τὸ ΠΡΤ ἤτοι ἴσον ἐστίν, ἐὰν ἡ ΤΣ παράλληλος ᾖ τῇ ΡΠ, καὶ αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι
ἴσαι ὦσιν αἱ ὑπὸ ΡΠΤ ΠΤΣ (ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς

5

.

332

ἐστιν τῆς ΡΠ τὰ τρίγωνα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ΡΠ ΤΣ), ἢ μείζων ἐστὶν αὐτοῦ, ἐὰν ἡ ΤΥ παράλληλος ᾖ τῇ ΡΠ, καὶ ἡ ὑπὸ ΠΤΥ γωνία τῇ ἐναλλὰξ ὑπὸ ΡΠΤ ἴση (γίνεται γὰρ πάλιν τὸ ΠΡΤ ἴσον τῷ ΡΥΠ· μεῖζον δὲ τὸ
5ΠΡΥ τοῦ ΠΡΣ· καὶ τὸ ΠΡΤ ἄρα μεῖζόν ἐστιν τοῦ ΠΡΣ). ἐὰν δὲ ἡ ΤΦ παράλληλος ᾖ τῇ ΡΠ, διὰ τὰς ἴσας ἐναλλὰξ ὑπὸ ΡΠΤ ΠΤΦ γωνίας καὶ τὸ ΠΡΤ ἴσον τῷ ΡΠΦ, ὥστε μεῖζον εἶναι τὸ ΠΡΣ τοῦ ΠΡΦ, τουτέστιν τοῦ ΠΡΤ, ὥστε καὶ τὸ ΑΕΒ τρίγωνον ἴσον ὂν τῷ ΠΡΤ τριγώνῳ ἤτοι μεῖ‐
10ζόν ἐστιν ἢ ἴσον ἢ ἔλασσον τοῦ ΠΡΣ, τουτέστιν τοῦ ΓΖΔ.] Τὸ λοιπὸν τῶν ἐν ὑπερθέσει * * * * * * * * * * * * * θʹ. Τούτων προγραφέντων τὸ προκείμενον δείξομεν, τουτέστιν ὅτι τῶν ἰσοπεριμέτρων εὐθυγράμμων σχημάτων καὶ τὰς πλευρὰς ἰσοπληθεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλευ‐
15ρόν τέ ἐστιν καὶ ἰσογώνιον. [Omitted graphic marker] Ἔστω γὰρ πολύπλευρον τὸ ΑΒΓΔΕ μέγιστον τῶν ἰσοπερι‐ μέτρων αὐτῷ καὶ ἰσοπληθεῖς πλευρὰς ἐχόντων· λέγω ὅτι ἰσό‐
20πλευρόν ἐστιν. μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ἔστωσαν αἱ ΑΒΓ ἄνι‐ σοι, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ, ἐφ’ ἧς συνεστάτω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΖΓ, ὥστε συναμφοτέρας τὰς
25ΑΖΓ ἴσας εἶναι συναμφοτέραις ταῖς ΑΒΓ διὰ τὸ δʹ. ἐπεὶ οὖν πρὸ τριῶν ἐδείχθη ὅτι τῶν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ἰσοπε‐ ριμέτρων τριγώνων τὸ ἰσοσκελὲς μέγιστόν ἐστιν, μεῖζον ἄρα τὸ ΑΖΓ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΑΓΔΕ τετραπλεύρου ἔσται τι χωρίον τὸ ΖΓΔΕΑ τοῦ
30ΑΒΓΔΕ μεγίστου, ἰσοπερίμετρον αὐτῷ καὶ ἰσαρίθμους πλευρὰς ἔχον, μεῖζον, ὅπερ ἀδύνατον· ἰσόπλευρον ἄρα
ἐστὶν τὸ ΑΒΓΔΕ. καὶ φανερὸν ὅτι τὸ ἰσοπλευρότερον ἀεὶ

5

.

334

μεῖζον· καὶ γὰρ τὸ ἰσοσκελέστερον ἀεὶ μεῖζον, ὡς ἐδείχθη πρὸ τριῶν. ιʹ. Λέγω δὴ ὅτι καὶ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ πο‐ λύπλευρον. μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ἔστω ἡ Β γωνία τῆς
5Δ μείζων. καὶ ἡ ΑΓ εὐθεῖα τῆς ΓΕ ἄρα μείζων (ἴσαι γὰρ αἱ ΑΒΓ ΓΔΕ). συνεστάτω ἐπὶ τῶν ΑΓ ΓΕ ἀνίσων ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα, ὡς πρὸ ἑνὸς ἐδείχθη, τὰ ΑΖΓ ΓΗΕ τὰς ΑΖΓ ΓΗΕ πλευρὰς συναμφοτέρας ἴσας ἔχοντα συν‐ αμφοτέραις ταῖς ΑΒΓ ΓΔΕ. μείζονα δὴ ἔσται τὰ συστα‐
10θέντα τὰ ΑΖΓ ΓΗΕ ἅμα τῶν ἐξ ἀρχῆς ΑΒΓ ΓΔΕ· καὶ τοῦτο γὰρ δέδεικται πρὸ δύο. κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΑΓΕ τριγώνου ἔσται τὸ αὐτὸ ἄτοπον· τὸ γὰρ ΑΖΓΗΕ μεῖζον ἔσται τοῦ ΑΒΓΔΕ μεγίστου καὶ ἰσοπεριμέτρου αὐτῷ. καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓΔΕ πολύπλευρον· τῶν ἄρα
15ἰσοπεριμέτρων εὐθυγράμμων σχημάτων καὶ τὰς πλευρὰς ἰσοπληθεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλευρόν τέ ἐστιν καὶ ἰσογώνιον. Καὶ δῆλον ὅτι μέγιστος πάντων τῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων ὁ κύκλος, ἐπειδὴ τοῦ ἰσοπεριμέτρου τεταγμένου
20σχήματος, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, ἐδείχθη μείζων. ιαʹ. Τῆς αὐτῆς δέ ἐστιν τοῖς προειρημένοις θεωρίας καὶ τοῦτο. τῶν ἴσην ἐχόντων περιφέρειαν κυκλικῶν τμημά‐ των μέγιστόν ἐστι τὸ ἡμικύκλιον. δείξομεν δὲ τοῦτο προ‐
25γράψαντες πρότερον τὰ εἰς αὐτὸ λαμβανόμενα. Αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι. Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ ΑΒ ΓΔ, καὶ διάμετροι αὐτῶν
αἱ ΑΒ ΓΔ· λέγω· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου περιφέ‐

5

.

336

ρεια πρὸς τὴν τοῦ ΓΔ κύκλου περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΓΔ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ κύκλος πρὸς τὸν ΓΔ κύ‐ κλον, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ, ἀλλὰ τοῦ μὲν
5ΑΒ κύκλου τετραπλάσιόν ἐστι τὸ περιεχόμενον ὀρθογώ‐ νιον ὑπό τε τῆς ΑΒ εὐθείας καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφε‐ ρείας, τοῦ δὲ ΓΔ κύκλου τετραπλάσιόν ἐστιν τὸ ὑπὸ τῆς ΓΔ εὐθείας καὶ τῆς τοῦ ΓΔ κύκλου περιφερείας (τοῦτο γὰρ προδέδεικται), καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς ΑΒ καὶ τῆς
10περιφερείας τοῦ ΑΒ κύκλου πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΓΔ καὶ τῆς τοῦ ΓΔ κύκλου περιφερείας, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετρά‐ γωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ. καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ τῆς τοῦ ΑΒ κύκλου περιφερείας καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῆς τοῦ ΓΔ κύκλου περιφερείας καὶ
15τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ· ὡς ἄρα ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου πε‐ ριφέρεια πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ τοῦ ΓΔ περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΔ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ τοῦ ΑΒ περιφέρεια πρὸς τὴν τοῦ ΓΔ περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ. ιβʹ. Τοῦτο ἀποδείκνυται καὶ χωρὶς τοῦ λαβεῖν ὅτι τὸ
20ὑπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῆς περιφερείας τετρα‐ πλάσιόν ἐστιν τοῦ κύκλου. τὰ γὰρ ἐγγραφόμενα τοῖς κύκλοις ἢ περιγραφόμενα ὅμοια πολύγωνα τὰς περιμέτρους ἔχει λό‐ γον ἐχούσας πρὸς ἀλλήλας τὸν αὐτὸν ταῖς ἐκ τῶν κέντρων, ὥστε καὶ αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν
25ὡς αἱ διάμετροι. Πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ, ἐκ τοῦ κέντρου δὲ αὐτοῦ ἡ ΔΒ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ διήχθω τις ἡ ΔΕ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν, οὕτως ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ
30τομέα. Εἰ μὲν οὖν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΖΕ περιφέρεια τῇ ΑΒΓ περιμέτρῳ τοῦ κύκλου, ἐπεὶ διαιρεθείσης τῆς ΑΒΓ περιμέτρου τοῦ κύκλου εἰς τὰ μέτρα καὶ ἀπὸ τῶν τῆς δι‐
αιρέσεως σημείων ἐπὶ τὸ Δ κέντρον ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν

5

.

338

ἐφαρμόσουσιν ἀλλήλοις πάντες οἱ τομεῖς, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ πλῆθος αὐτῶν τῷ πλήθει τῶν μέτρων, ἔσται ἄρα ὡς ὅλη ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΕ περι‐ φέρειαν, οὕτως ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα [ιεʹ
5τοῦ εʹ στοιχείων]. εἰ δὲ μὴ ἔστιν σύμμετρος τῇ ΒΖΕ περι‐ φερείᾳ, ὁμοίως ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέ‐ ρειαν. ἔστω, εἰ δυνατόν, ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὐτοῦ πρὸς τὴν ΒΖ πε‐
10ριφέρειαν πρότερον ἐλάσσονα οὖσαν τῆς ΒΖΕ περιφερείας, καὶ εἰλήφθω τις ἑτέρα περιφέρεια ἡ ΒΗ τῆς μὲν ΒΖ μεί‐ ζων τῆς δὲ ΒΖΕ ἐλάσσων, σύμμετρος δὲ οὖσα τῇ ΑΒΓ περιμέτρῳ, ὡς ἔστιν λῆμμα σφαιρικῶν, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΗ. ἔστιν οὖν διὰ τὰ προειρημένα καὶ ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος
15πρὸς τὸν ΒΔΗ τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύ‐ κλου πρὸς τὴν ΒΖΗ περιφέρειαν. ἀλλὰ ἡ ΑΒΓ περίμε‐ τρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΗ περιφέρειαν ἐλάσσονα λό‐ γον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΒΖ περιφέρειαν, τουτέστιν ἤπερ ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα· καὶ ὁ ΑΒΓ οὖν
20κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΗ τομέα ἐλάσσονα λόγον ἕξει ἤπερ πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα, ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὐτοῦ πρὸς τὴν ΒΖ περιφέρειαν ἐλάσσονα οὖσαν τῆς ΒΖΕ περιφερείας. λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ πρὸς μείζονα τῆς ΒΖΕ. εἰ
25γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς τὴν ΒΕΓ περιφέρειαν, καὶ εἰλή‐ φθω τις ὁμοίως ἡ ΒΕΘ περιφέρεια τῆς μὲν ΒΖΕ περι‐ φερείας μείζων τῆς δὲ ΒΕΓ περιφερείας ἐλάσσων, σύμμε‐ τρος δὲ πρὸς τὴν ΑΒΓ περίμετρον τοῦ κύκλου, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΔΘ. ἐπεὶ οὖν πάλιν ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος
30πρὸς τὸν ΒΔΘ τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύ‐

5

.

340

κλου πρὸς τὴν ΒΕΘ περιφέρειαν, ἡ δὲ ΑΒΓ περίμετρος πρὸς τὴν ΒΕΘ περιφέρειαν μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΒΕΓ περιφέρειαν, τουτέστιν ἤπερ ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα, ἕξει δηλονότι καὶ ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς
5τὸν ΒΔΘ τομέα μείζονα λόγον ἤπερ πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα, ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον· οὐκ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὐτοῦ πρὸς μείζονα τῆς ΒΖΕ περιφέρειαν. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ πρὸς ἐλάσσονα· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα, οὕτως
10ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὐτοῦ πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν. ιγʹ. Τὰ ὅμοια τμήματα τῶν κύκλων πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν βάσεων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα, καὶ αἱ περιφέρειαι δὲ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις. Ἔστω ὅμοια τμήματα κύκλων τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ· λέγω
15ὅτι ὡς μὲν τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ ΔΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ, ὡς δὲ ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΕΖ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΔΖ. Προσαναπεπληρώσθωσαν οἱ κύκλοι, καὶ εἰλήφθω αὐτῶν κέντρα τὰ Η Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗΓ ΔΘΖ. ἐπεὶ
20οὖν ὅμοιά ἐστιν τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ τμήματα, ἴση ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Η γωνία τῇ πρὸς τῷ Θ, καὶ ὅμοιον τὸ ΑΗΓ τρίγω‐ νον τῷ ΔΘΖ, καὶ ἡ ΑΒΓ περιφέρεια ὁμοία τῇ ΔΕΖ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΑΗΓΒ τομέα, οὕ‐ τως ἡ περίμετρος τοῦ ΑΒΓ κύκλου πρὸς τὴν ΑΒΓ περι‐
25φέρειαν, τουτέστιν δʹ ὀρθαὶ πρὸς τὴν Η γωνίαν. ὡς δὲ ὁ ΔΕΖ κύκλος πρὸς τὸν ΔΘΖΕ τομέα, οὕτως ἡ περίμετρος τοῦ ΔΕΖ κύκλου πρὸς τὴν ΔΕΖ περιφέρειαν, τουτέστιν
δʹ ὀρθαὶ πρὸς τὴν Θ γωνίαν. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ Θ γωνία τῇ

5

.

342

Η γωνίᾳ· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΑΗΓΒ τομέα, οὕτως ὁ ΔΕΖ κύκλος πρὸς τὸν ΔΘΖΕ τομέα, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΔΕΖ, οὕτως ὁ ΑΗΓΒ τομεὺς πρὸς τὸν ΔΘΖΕ τομέα. ὡς δὲ ὁ κύκλος πρὸς τὸν
5κύκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΘ, τουτέστιν τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΘΖ τρί‐ γωνον· καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΒ τομεὺς πρὸς τὸν ΔΘΖΕ το‐ μέα, οὕτως τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΘΖ τρίγωνον. καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ ΔΕΖ τμῆμά ἐστιν ὡς
10τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΘΖ τρίγωνον, τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ. Λέγω δὴ ὅτι ἐστὶν καὶ ὡς ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΕΖ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἐστὶν ὡς ἡ τοῦ
15ΑΒΓ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν τοῦ ΔΕΖ κύκλου περι‐ φέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΕΖ. ὡς δὲ αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΔΘ, τουτέστιν ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΕΖ, οὕτως ἡ ΑΓ
20πρὸς τὴν ΔΖ. ιδʹ. Ἔστωσαν δύο κύκλοι καὶ πρὸς τοῖς κέντροις αὐ‐ [Omitted graphic marker]τῶν ἴσαι γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ ΔΕΖ περιεχόμεναι, καὶ ἐφαπτόμεναι μὲν αἱ ΑΗ
25ΔΘ, κάθετοι δὲ αἱ ΑΚ ΔΛ· δεῖξαι ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ΑΗΚ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΚ τρί‐ γραμμον, οὕτως καὶ τὸ ΔΘΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΖΛ τρί‐
30γραμμον. Ἔστι δὲ φανερὸν ἐκ τοῦ προγεγραμμένου. ὅμοιον γὰρ γίνεται τὸ ΑΗΚ τρίγωνον τῷ ΔΘΛ, καὶ τὸ ΑΓΚ τρίγραμ‐
35μον τῷ ΔΖΛ τριγράμμῳ, καὶ
λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα ἑκά‐

5

.

344

τερον πρὸς ἑκάτερον, ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΛ. ιεʹ. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ διὰ τοῦ Α περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΑΔ,
5ὀρθὴ δὲ ἔστω ἡ πρὸς τῷ Β γωνία· δεῖξαι ὅτι ὁ ΑΔΓ το‐ μεὺς πρὸς τὸ ΔΑΒ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὀρθὴ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ τῶν ΒΓΑ περιεχομένην. Ἤχθω τῇ ΓΑ ὀρθὴ ἡ ΖΑ (ἐφάπτεται ἄρα τῆς ΑΔ περιφερείας), καὶ διὰ τοῦ Β περὶ κέντρον τὸ Α περιφέ‐
10ρεια γεγράφθω ἡ ΕΒΗ, καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΖ ἤχθω ἡ ΒΘ. ἐπεὶ οὖν μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΕΒΖ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΕΒΘ τρίγραμμον ἤπερ πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα, καὶ συνθέντι μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΖΘΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΘΒ τρίγραμμον ἤπερ τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸν ΕΑΒ
15τομέα, ὡς δὲ τὸ ΖΘΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΒΘ τρίγραμμον, οὕτως τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΒ τρίγραμμον διὰ τὸ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ ΕΑΒ ΑΓΔ γωνίας (τοῦτο γὰρ προδέδεικται), καὶ τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΑΒ τρί‐ γραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ αὐτὸ τρίγωνον πρὸς
20τὸν ΕΑΒ τομέα, μείζων ἄρα ὁ ΕΑΒ τομεὺς τοῦ ΔΑΒ τριγράμμου· μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα ἤπερ τὸ ΔΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα. τὸ δὲ ΔΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα μείζονα λόγον ἔχει ἢ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον· πολλῷ
25ἄρα ὁ ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν ΒΑΗ τομέα μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ΔΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον. ὡς δὲ ὁ ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν ΒΑΗ τομέα, οὕτως ἡ ὑπὸ ΖΑΒ πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ· καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ ἄρα πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ΔΑΒ τρίγραμμον πρὸς
30τὸ ΒΑΓ τρίγωνον. καὶ ἀνάπαλιν τὸ ΒΑΓ τρίγωνον πρὸς
τὸ ΒΑΔ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ

5

.

346

πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΖ, καὶ συνθέντι ὁ ΔΓΑ τομεὺς πρὸς τὸ ΔΑΒ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΖΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΖΑΒ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ὀρθὴ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓΒ (ἴση γὰρ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ διὰ τὸ
5ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΖΑΓ κάθετον εἶναι τὴν ΑΒ, καὶ ὅμοιον τὸ ΖΑΒ τρίγωνον τῷ ΑΓΖ). ιϛʹ. Ἔστω πάλιν ὀρθογώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ὀρ‐ θὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ διὰ τοῦ Α γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΔ· λέγω ὅτι ὁ ΑΓΔ
10τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΔ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὀρθὴ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓΔ. Ἤχθω τῇ ΑΓ ὀρθὴ ἡ ΑΕ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ, καὶ διὰ τοῦ Γ σημείου περὶ κέντρον τὸ Α γεγράφθω κύ‐ κλου περιφέρεια ἡ ΕΓΖ. ἐπεὶ οὖν περὶ τὴν αὐτὴν ἐκ τοῦ
15κέντρου τὴν ΓΑ γεγραμμέναι εἰσὶν αἱ περιφέρειαι, φανε‐ ρὸν ὅτι ἴσων εἰσὶ κύκλων. καὶ μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνία τῆς ὑπὸ ΓΑΕ· μείζων ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΓΔ τομεὺς τοῦ ΑΓΕ τομέως· μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ ΑΓΔ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἤπερ ὁ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸ αὐτὸ
20τρίγωνον, καὶ πολὺ μᾶλλον ἤπερ ὁ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΓΖ τομέα. ὡς δὲ ὁ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΓΑΖ, οὕ‐ τως ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΓΑΖ· καὶ ὁ ΑΓΔ ἄρα τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΓΑΖ. καὶ ἀνά‐
25παλιν καὶ συνθέντι [καὶ ἀναστρέψαντι] μείζονα λόγον ἔχει ὁ ΑΓΔ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΔ τρίγραμμον ἤπερ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΑΖ, τουτέστιν ἤπερ ὀρθὴ πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓΔ (ἔστιν γὰρ ἡ ὑπὸ ΕΑΖ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ΑΓΔ, ὅτι καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστὶν ὀρθῇ τῇ
30ὑπὸ ΓΒΑ καὶ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ).

5

.

348

 ιζʹ. Τούτων προγεγραμμένων τὸ προκείμενον θεώρημα συγκριτικὸν ὑπάρχον δείξομεν οὕτως. Ἔστω δύο τμήματα κύκλων τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς ΑΒΓ ΔΕΖ περιφερείας, καὶ ἔστω ἡμικύκλιον μὲν τὸ
5ΑΒΓ, τὸ δὲ ΕΔΖ πρότερον ἔλαττον ἡμικυκλίου· λέγω ὅτι μεῖζόν ἐστιν τὸ ἡμικύκλιον τοῦ τμήματος. Εἰλήφθω κέντρα τῶν κύκλων τὰ Η Θ, καὶ ὀρθὴ μὲν ἡ ΗΒ, ἀπὸ δὲ τοῦ Θ κάθετος ἐπὶ τὴν ΔΖ ἡ ΘΚΕ, καὶ τῇ ΔΖ παράλληλος ἡ ΛΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΘ. ἐπεὶ
10οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΛΕ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΛΘ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΗ (αἱ γὰρ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι), ἴση δὲ ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΛΕ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΔ, οὕ‐ τως ἡ ΛΘ πρὸς τὴν ΑΗ. ὡς δὲ ἡ ΕΛ περιφέρεια πρὸς
15τὴν ΔΕ, ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΕΘΔ τομέα. καὶ ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΛΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ διπλασίονα λόγον τοῦ τῆς ΘΛ πρὸς ΗΑ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΘΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, τουτέστιν ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ, διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΛΕΘ τομεὺς πρὸς τὸν ΔΕΘ τομέα·
20τῶν ἄρα ΛΕΘ ΑΒΗ τομέων μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ὁ ΔΕΘ τομεύς. καὶ ἐπεὶ ἔχει διὰ τὸ προδειχθὲν λῆμμα μείζονα λόγον ὁ ΕΔΘ τομεὺς πρὸς τὸ ΕΔΚ τρίγραμμον ἤπερ ὀρθὴ γωνία, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΛΘΕ, πρὸς τὴν ὑπὸ ΔΘΕ, τουτ‐ έστιν ἤπερ ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΔΘΕ, ὡς δὲ ὁ ΛΘΕ
25τομεὺς πρὸς τὸν ΔΘΕ, οὕτως ὁ ΔΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ
τομέα, ὁ ἄρα ΔΘΕ τομεὺς πρὸς τὸ ΔΕΚ τρίγραμμον μείζονα

5

.

350

λόγον ἔχει ἤπερ ὁ αὐτὸς τομεὺς πρὸς τὸν ΑΒΗ τομέα· μείζων ἄρα ὁ ΑΒΗ τομεὺς τοῦ ΔΚΕ τριγράμμου. καὶ τὰ διπλάσια· μεῖζον ἄρα τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον τοῦ ΔΕΖ τμήματος.
5 ιηʹ. Ἔστω δὴ πάλιν τὸ ΔΕΖ τμῆμα μεῖζον ἡμικυ‐ κλίου· λέγω ὅτι καὶ οὕτως μεῖζόν ἐστι τὸ ἡμικύκλιον. Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτά. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΔΘΕ, οὕτως ὁ ΔΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ (ἴσαι γὰρ αἱ ΑΒ ΔΕ περιφέρειαι).
10καὶ ἐπεὶ διὰ τὸ πρὸ δύο λῆμμα μείζονα λόγον ἔχει ὁ ΔΘΕ τομεὺς πρὸς τὸ ΔΚΕ τρίγραμμον ἤπερ ὀρθὴ γωνία, τουτ‐ έστιν ἡ ὑπὸ ΛΘΕ, πρὸς τὴν ὑπὸ ΔΘΕ, τουτέστιν ἤπερ ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΔΘΕ, τουτέστιν ἤπερ ὁ ΔΘΕ το‐ μεὺς πρὸς τὸν ΑΒΗ, ἔσται μείζων ὁ ΑΗΒ τομεὺς τοῦ
15ΔΕΚ τριγράμμου. καὶ τὰ διπλάσια· μεῖζον ἄρα τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον τοῦ ΔΕΖ τμήματος· πάντων ἄρα τῶν ἴσας ἐχόντων τὰς περιφερείας κυκλικῶν τμημάτων μέγιστόν ἐστιν τὸ ἡμικύκλιον.
19nΠερὶ τῶν στερεῶν.
20 ιθʹ. Τὸν πρῶτον καὶ δημιουργὸν τῶν πάντων θεὸν οἱ φιλόσοφοί φασιν εἰκότως τῷ κόσμῳ σχῆμα περιθεῖναι σφαιρικὸν ἐκλεξάμενον τῶν ὄντων τὸ κάλλιστον, τά τε προσόντα τῇ σφαίρᾳ φυσικὰ συμπτώματα λέγοντες ἔτι καὶ τοῦτο προστιθέασιν ὅτι πάντων τῶν στερεῶν σχημάτων
25τῶν ἴσην ἐχόντων τὴν ἐπιφάνειαν μεγίστη ἐστὶν ἡ σφαῖρα. τἄλλα μὲν οὖν ὅσα προσεῖναι λέγουσιν αὐτῇ πρόδηλά τέ ἐστιν καὶ παραμυθίας ἐλάσσονος δεῖται, τὸ δ’ ὅτι μείζων ἐστὶ τῶν ἄλλων σχημάτων οὔθ’ οἱ φιλόσοφοι δεικνύουσιν, ἀλλ’ ἀποφαίνονται μόνον, οὔτε παραμυθήσασθαι ῥᾴδιον
30ἄνευ θεωρίας πλείονος. φέρ’ οὖν, ὥσπερ ἐν τοῖς πρόσθεν

5

.

352

εὕρομεν τὸν κύκλον μέγιστον ὄντα τῶν ἴσην ἐχόντων αὐτῷ τὴν περίμετρον τεταγμένων πολυγώνων σχημάτων, καὶ νῦν τὴν σφαῖραν κατὰ τὸ ἀκόλουθον ἀποδεῖξαι πειραθῶμεν μεγίστην οὖσαν τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων αὐτῇ τεταγ‐
5μένων στερεῶν σχημάτων. πρότερον δὲ περὶ τῶν στερεῶν αὐτῶν, πρὸς ἃ δεῖ συγκρίνειν τὴν σφαῖραν, ὀλίγα προδια‐ ληψόμεθα· πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα, μᾶλλον δ’ ἄν τις ἀξιώσειε λόγου τὰ τετάχθαι δοκοῦντα [καὶ τούτων πολὺ πλέον τούς
10τε κώνους καὶ κυλίνδρους καὶ τὰ καλούμενα πολύεδρα]. ταῦτα δ’ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα, τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ ἑξάεδρον, ὀκ‐ τάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον, πέμπτον δ’ εἰκοσάεδρον, ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν
15ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δὲ πολυγώνων περιεχόμενα. τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δʹ καὶ ἑξαγώνων δʹ. τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα, ὧν τὸ μὲν
20πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηʹ καὶ τετραγώνοις ϛʹ, τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ϛʹ καὶ ἑξαγώνοις ηʹ, τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις ηʹ καὶ ὀκταγώνοις ϛʹ. μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηʹ καὶ τετραγώνοις ιηʹ, τὸ δὲ
25δεύτερον τετραγώνοις ιβʹ, ἑξαγώνοις ηʹ καὶ ὀκταγώνοις ϛʹ. μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία, ὧν τὸ
μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κʹ καὶ πενταγώνοις ιβʹ,

5

.

354

τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβʹ καὶ ἑξαγώνοις κʹ, τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κʹ καὶ δεκαγώνοις ιβʹ. μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περι‐ εχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβʹ καὶ τετραγώνων ϛʹ.
5 μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κʹ καὶ τετραγώνοις λʹ καὶ πενταγώνοις ιβʹ, τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λʹ καὶ ἑξαγώ‐ νοις κʹ καὶ δεκαγώνοις ιβʹ. μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον,
10ὃ περιέχεται τριγώνοις πʹ καὶ πενταγώνοις ιβʹ. Ὅσας δὲ γωνίας ἕκαστον ἔχει στερεὰς τῶν ιγʹ τούτων σχημάτων πολυέδρων καὶ ὅσας πλευράς, διὰ τοῦδε τοῦ τρόπου θεωρεῖται· ὅσων μὲν γὰρ ἁπλῶς πολυέδρων αἱ στερεαὶ γωνίαι τρισὶν ἐπιπέδοις περιέχονται γωνίαις, ἐξ‐
15αριθμηθεισῶν τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἃς ἔχουσιν πᾶσαι αἱ ἕδραι τοῦ πολυέδρου, δῆλον ὡς ὁ τῶν στερεῶν γωνιῶν ἀριθμὸς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ, ὅσων δὲ πολυέδρων ἡ στερεὰ γωνία περιέχεται τέσσαρσιν ἐπιπέδοις, ἐξαριθμηθεισῶν πασῶν τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἃς ἔχουσιν
20αἱ ἕδραι τοῦ πολυέδρου, τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ τὸ τέταρ‐ τον μέρος ἐστὶν ὁ ἀριθμὸς ὁ τῶν στερεῶν γωνιῶν τοῦ πολυέδρου. ὁμοίως δὲ καὶ ὅσων πολυέδρων ἡ στερεὰ γω‐ νία περιέχεται ὑπὸ εʹ γωνιῶν ἐπιπέδων, τὸ πέμπτον τοῦ πλήθους τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἐστιν ὁ ἀριθμὸς τοῦ πλή‐
25θους τῶν στερεῶν γωνιῶν. Τῶν δὲ πλευρῶν τὸ πλῆθος ἃς ἕκαστον ἔχει τῶν πο‐ λυέδρων τόνδε τὸν τρόπον εὑρήσομεν. ἐξαριθμηθεισῶν γὰρ
πασῶν τῶν πλευρῶν ἃς ἔχει τὰ ἐπίπεδα τὰ περιέχοντα τὸ

5

.

356

πολύεδρον, ὁ ἀριθμὸς αὐτῶν δῆλον ὡς ἴσος ἐστὶν τῷ πλή‐ θει τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν. ἀλλ’ ἐπειδὴ δύο ἐπιπέδων ἑκάστη τῶν πλευρῶν αὐτοῦ κοινή ἐστιν, δῆλον ὅτι τοῦ πλήθους τὸ ἥμισυ αἱ πλευραί εἰσι τοῦ πολυέδρου.
5 τὸ μὲν οὖν πρῶτον τῶν ἀνομοιογενῶν ιγʹ πολυέδρων ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις δʹ καὶ ἑξαγώνοις δʹ, γωνίας μὲν ἔχει στερεὰς ιβʹ, πλευρὰς δὲ ιηʹ· τῶν μὲν γὰρ τεσσάρων τριγώνων αἵ τε γωνίαι ιβʹ εἰσιν καὶ αἱ πλευραὶ ιβʹ, τῶν δὲ δʹ ἑξαγώνων αἵ τε γωνίαι κδʹ εἰσιν καὶ αἱ πλευραὶ κδʹ·
10γενομένου δὴ τοῦ ἀριθμοῦ παντὸς λϛʹ ἀναγκαῖόν ἐστιν τὸν μὲν τῶν στερεῶν γωνιῶν ἀριθμὸν τρίτον μέρος εἶναι τοῦ προειρημένου ἀριθμοῦ, ἐπεὶ καὶ ἑκάστη τῶν στερεῶν αὐτοῦ γωνιῶν ἐπιπέδοις γωνίαις περιέχεται γʹ, τὸ δὲ τῶν πλευρῶν πλῆθος τὸ ἥμισυ τοῦ ἀριθμοῦ, τουτέστιν τοῦ λϛʹ, ὥστε
15εἶναι πλευρὰς ιηʹ. τῶν δὲ τετρακαιδεκαέδρων τὸ πρῶτον περιέχεται τρι‐ γώνοις ηʹ καὶ τετραγώνοις ϛʹ, ὥστε ἔχειν στερεὰς μὲν γω‐ νίας ιβʹ (ἑκάστη γὰρ αὐτοῦ γωνία ὑπὸ τεσσάρων ἐπιπέδων γωνιῶν περιέχεται), πλευρὰς δὲ [ἔχει] κδʹ. τὸ δὲ δεύτερον
20τῶν τετρακαιδεκαέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις ϛʹ καὶ ἑξαγώνοις ηʹ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδʹ (ἑκάστη γὰρ τῶν γωνιῶν αὐτοῦ περιέχεται ὑπὸ γʹ γωνιῶν ἐπιπέδων), πλευρὰς δὲ [ἔχει] λϛʹ. τὸ δὲ τρίτον τῶν τετρακαιδεκαέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις ηʹ καὶ ὀκταγώνοις ϛʹ, ἕξει στερεὰς
25μὲν γωνίας κδʹ, πλευρὰς δὲ λϛʹ. τῶν δὲ ἑκκαιεικοσαέδρων τὸ μὲν πρῶτον, ἐπεὶ περι‐ έχεται τριγώνοις τε ηʹ καὶ τετραγώνοις ιηʹ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδʹ, πλευρὰς δὲ μηʹ. τὸ δὲ δεύτερον τῶν ἑκκαιεικοσαέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις ιβʹ καὶ
30ἑξαγώνοις ηʹ καὶ ὀκταγώνοις ϛʹ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας μηʹ, πλευρὰς δὲ οβʹ. τῶν δὲ δυοκαιτριακονταέδρων τὸ μὲν πρῶτον, ἐπεὶ
περιέχεται τριγώνοις τε κʹ καὶ πενταγώνοις ιβʹ, ἕξει στε‐

5

.

358

ρεὰς μὲν γωνίας λʹ, πλευρὰς δὲ ξʹ. τὸ δὲ δεύτερον τῶν δυοκαιτριακονταέδρων, ἐπεὶ περιέχεται πενταγώνοις ιβʹ καὶ ἑξαγώνοις κʹ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξʹ, πλευρὰς δὲ ϙʹ. τὸ δὲ τρίτον τῶν δυοκαιτριακονταέδρων, ἐπεὶ περιέχεται
5τριγώνοις τε κʹ καὶ δεκαγώνοις ιβʹ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξʹ, πλευρὰς δὲ ϙʹ. τὸ δὲ ὀκτωκαιτριακοντάεδρον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώ‐ νοις τε λβʹ καὶ τετραγώνοις ἕξ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδʹ, πλευρὰς δὲ ξʹ.
10 τῶν δὲ δυοκαιεξηκονταέδρων τὸ μὲν πρῶτον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε κʹ καὶ τετραγώνοις λʹ καὶ πεντα‐ γώνοις ιβʹ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξʹ, πλευρὰς δὲ ρκʹ. τὸ δὲ λοιπὸν τῶν δυοκαιεξηκονταέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τετρα‐ γώνοις λʹ καὶ ἑξαγώνοις κʹ καὶ δεκαγώνοις ιβʹ, ἕξει στερεὰς
15μὲν γωνίας ρκʹ, πλευρὰς δὲ ρπʹ. τὸ δὲ δυοκαιενενηκοντάεδρον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώ‐ νοις τε πʹ καὶ πενταγώνοις ιβʹ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξʹ, πλευρὰς δὲ ρνʹ. Ταῦτα μὲν οὖν τὰ ιγʹ σχήματα [ἤτοι ἀνομοιογώνια
20ὄντα ἢ] ὑπὸ ἀνίσων καὶ ἀνομοίων πολυγώνων περιεχόμενα διὰ τὸ ἀτακτότερον παρῃτήσθω τὸ νῦν, τὰ δὲ καλούμενα εʹ σχήματα τῇ σφαίρᾳ συγκρίνειν ἄξιον· ὑπὸ γὰρ ἴσων καὶ ὁμοίων ἐπιπέδων περιεχόμενα μόνα ταῦτα τὰς στερεὰς γωνίας ἴσας ἔχει, καὶ διὰ τοῦτ’ εὔτακτα παρὰ τὰ λοιπὰ
25μᾶλλόν ἐστιν. ὅτι δὲ πλείω τῶν εʹ τούτων ἀδύνατόν ἐστιν εὑρεῖν ἄλλα σχήματα ἴσοις καὶ ὁμοίοις ἰσοπλεύροις πολυ‐ γώνοις περιλαμβανόμενα, καὶ ὑπὸ τοῦ Εὐκλείδου καὶ ὑπό τινων ἄλλων ἀποδέδεικται. συγκρίνωμεν οὖν αὐτὰ ταῦτα πρότερον τὰ πολύεδρα τῇ σφαίρᾳ.
30Ἔστω γὰρ σφαῖρα μὲν ἐν ᾗ τὸ Α, ἓν δέ τι τῶν
προειρημένων εʹ σχημάτων ἴσην ἔχον τὴν σύμπασαν ἐπι‐

5

.

360

φάνειαν τῇ τῆς Α σφαίρας· λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ σφαῖρα. Νοείσθω γὰρ εἰς τὸ πολύεδρον ἐγγεγραμμένη σφαῖρα, ὥστε τῶν περιεχόντων ἐπιπέδων ἅπτεσθαι· μείζων ἄρα
5ἐστὶν ἡ τοῦ πολυέδρου ἐπιφάνεια τῆς ἐπιφανείας τῆς ἐγ‐ γεγραμμένης σφαίρας· περιέχει γὰρ αὐτήν. ἀλλ’ ἡ τοῦ πολυέδρου ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν τῇ τῆς Α σφαίρας ἐπιφα‐ νείᾳ, ὥστε καὶ ἡ τῆς Α σφαίρας ἐπιφάνεια μείζων ἐστὶν τῆς ἐπιφανείας τῆς ἐγγεγραμμένης τῷ πολυέδρῳ σφαίρας·
10καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἄρα τῆς Α σφαίρας μείζων ἐστὶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐγγεγραμμένης σφαίρας. ἴση δὲ ἡ τῆς Α σφαίρας ἐπιφάνεια τῇ τοῦ πολυέδρου ἐπιφανείᾳ· ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων κύκλον ἴσον τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς Α σφαίρας, ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς Α σφαί‐
15ρας, μείζων ἐστὶν τῆς πυραμίδος τῆς βάσιν ἐχούσης εὐθύ‐ γραμμον τὸ ἴσον τῇ τοῦ πολυέδρου ἐπιφανείᾳ καὶ ὕψος τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐγγεγραμμένης αὐτῷ σφαίρας. ἀλλ’ ὁ μὲν κῶνος ἴσος ἐστὶν τῇ Α σφαίρᾳ (τοῦτο γὰρ ἐκ τῶν ὑπ’ Ἀρχιμήδους δεδειγμένων ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ
20κυλίνδρου καὶ τῶν ἄλλων ὑφ’ ἡμῶν ὑποτεταγμένων λημ‐ μάτων ἐστὶ φανερόν), ἡ δὲ πυραμὶς ἴση τῷ πολυέδρῳ· μείζων ἄρα καὶ ἡ Α σφαῖρα τοῦ ὑποκειμένου πολυέδρου. κʹ. Ἔχει δέ τινα σύγκρισιν καὶ ταῦτα τὰ εʹ σχήματα πρὸς ἄλληλα, περὶ ἧς ὕστερον ἐπισκεψόμεθα· δείκνυται
25γὰρ ὑποκειμένων ἴσων τῶν ἐπιφανειῶν τὸ πολυεδρότερον ἀεὶ καὶ μεῖζον. οἷον τὸ μὲν εἰκοσάεδρον τοῦ δωδεκαέδρου, τὸ δὲ δωδεκάεδρον τοῦ ὀκταέδρου, καὶ ὁμοίως τὸ μὲν ὀκτάεδρον τοῦ κύβου, ὁ δὲ κύβος τῆς πυραμίδος· ὅμοιον γάρ τι πέπονθεν τὰ στερεὰ ταῦτα τοῖς ἐπιπέδοις πολυ‐
30γώνοις· καὶ γὰρ ἐπ’ ἐκείνων, ὁπότε τὰς περιμέτρους ἴσας

5

.

362

εἶχεν, ἀεὶ μεῖζον ἀπεδείκνυτο τὸ πολυγωνότερον, καὶ πάν‐ των ὁ κύκλος μείζων, ὥσπερ ἐδείχθη νῦν τῶν πολυέδρων ἡ σφαῖρα. πρόδηλον δ’ ὅτι καὶ ὁ κῶνος καὶ ὁ κύλινδρος ἑκάτερος ὁ ἴσην ἔχων ἐπιφάνειαν τῇ τῆς σφαίρας ἐλάσσων
5ἐστὶν αὐτῆς. ὁ μὲν γὰρ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων ἴσην τῇ ἐπι‐ φανείᾳ τῆς σφαίρας, ὅλην δὲ τὴν ἐπιφάνειαν μείζονα τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ἴσος αὐτῇ καταλαμβάνεται, ὅταν τὸ ὕψος αὐτοῦ ἴσον ᾖ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ὁ δὲ κύλινδρος ὁ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχων τῷ κώνῳ, ἥ ἐστιν
10ἴση τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας, ὕψος δὲ τὸ γʹʹ τοῦ ἄξονος τοῦ κώνου, καὶ ἴσος ὢν τῷ κώνῳ, ἴσος εὑρίσκεται καὶ τῇ σφαίρᾳ μείζονα τὴν ἐπιφάνειαν· ἔχων αὐτῆς· αἱ γὰρ δύο βάσεις αὐτοῦ τῆς βάσεως τοῦ κώνου, τουτέστιν τῆς ἐπι‐ φανείας τῆς σφαίρας, διπλασίους εἰσίν, ὥστε ὅταν ἑκάτε‐
15ρον τῶν σχημάτων ἴσην ἔχῃ τὴν ἐπιφάνειαν τῇ τῆς σφαίρας, τότ’ ἐξ ἀνάγκης ἡ σφαῖρα ἑκατέρου σχήματος μείζων ἐστίν. Τοσαῦτα μὲν οὖν περὶ τῆς συγκρίσεως τῆς σφαίρας πρὸς τὰ εʹ σχήματα καὶ τὸν κῶνον καὶ κύλινδρον, τὰ δ’ ὑπὸ τοῦ Ἀρχιμήδους, ὡς εἴρηται, δειχθέντα καὶ ἄλλως
20ἀποδείξομεν, προγράψαντες ὅσα εἰς τὰς ἀποδείξεις αὐτῶν συντείνει λημμάτια. (αʹ). Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ διαμέτρου καὶ τυ‐ χοῦσαι ἐπὶ τὴν διάμετρον κάθετοι αἱ ΓΔ ΕΖ, καὶ ἐφα‐ πτομένη ἡ ΓΕ· ὅτι τὸ δὶς ὑπὸ ΖΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ
25ΑΒ ΔΖ. Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΔ ἡ ΕΗ, καὶ ληφθέντος τοῦ Θ κέντρου ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ. ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΕΘ τῇ ὑπὸ ΖΕΗ ἐστὶν ἴση, κοινῆς ἀφαιρε‐ θείσης τῆς ὑπὸ ΗΕΘ ἔσται λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΓΕΗ τῇ ὑπὸ
30ΖΕΘ ἴση. ἀλλὰ καὶ ὀρθὴ ἡ Ζ τῇ Η ἴση· ἰσογώνιον ἄρα

5

.

364

τὸ ΓΕΗ τρίγωνον τῷ ΖΕΘ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΘ, ἡ ΗΕ πρὸς ΕΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΘΕΗ, ὥστε καὶ τὸ δὶς ὑπὸ ΖΕΓ τῷ δὶς ὑπὸ ΘΕΗ ἐστὶν ἴσον. ἀλλὰ τῷ δὶς ὑπὸ ΘΕΗ ἴσον ἐστὶν τὸ
5ὑπὸ ΑΒ ΔΖ (ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΗΕ τῇ ΔΖ)· καὶ τὸ δὶς ὑπὸ ΖΕ ΕΓ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΒ ΔΖ, ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΕΖ ΔΗ καὶ τῆς ΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΒ ΔΖ. καʹ (βʹ). Ἔστωσαν δὴ πάλιν ἐπὶ τὴν διάμετρον τυχοῦσαι
10κάθετοι αἱ ΓΔ ΕΖ, καὶ ἡ ΕΘΓ ἐφαπτομένη τοῦ ἡμικυ‐ κλίου, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΓΘ τῇ ΘΕ· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΒ ΔΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΔ ΕΖ καὶ τῆς ΓΕ.[Omitted graphic marker] Ἤχθω κάθετος ἡ ΘΚ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΗΕ. ἐπεὶ παράλληλοί εἰσιν αἱ ΓΔ ΘΚ ΕΖ, καὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΓΕ
15τῆς ΕΘ, διπλῆ ἐστιν καὶ ἡ μὲν ΓΔ τῆς ΘΗ, ἡ δὲ ΕΖ τῆς ΗΚ, ὥστε καὶ συναμφότερος ἡ ΓΔ ΕΖ τῆς ΘΚ ἐστὶν δι‐ πλῆ. διὰ δὲ τὸ προδειχθὲν τὸ δὶς ὑπὸ ΚΘΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΒ ΔΚ. καὶ τὰ διπλάσια· τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΓΔ ΕΖ καὶ τῆς ΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΒ ΔΖ.
20 κβʹ (γʹ). Ἔστω πάλιν τὸ ἡμικύκλιον καὶ τυχοῦσα ἡ ΓΕ καὶ κάθετοι αἱ ΓΔ ΕΖ· ὅτι τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΔ ΕΖ καὶ τῆς ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τῆς ΔΖ καὶ τῆς ὑποτεινούσης περιφέρειαν, ἥ ἐστιν μετὰ τῆς ΓΕ ἡμικυκλίου.
25 Προσαναγεγράφθω ὁ κύκλος, καὶ ἔστω διάμετρος αὐ‐ τοῦ ἡ ΓΘ, καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΓΔ ἐπὶ τὸ Κ κάθετος
ἐπ’ αὐτὴν ἡ ΕΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΘ ΕΚ. ἐπεὶ ἡ

5

.

366

ΑΒ τὴν ΓΚ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, ἴση ἐστὶν ἡ ΓΔ τῇ ΔΚ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΔ τῇ ΕΖ ἐστὶν ἴση· ἡ ΗΚ ἄρα συναμφο‐ τέρῳ τῇ ΓΔ ΕΖ ἐστὶν ἴση [ἡ δὲ ΔΖ τῇ ΗΕ]. ἡ δὲ τὴν λοιπὴν ὑποτείνουσα τοῦ ΓΕΘ ἡμικυκλίου ἐστὶν ἡ ΕΘ.
5ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Κ γωνία τῇ Θ, ἡ δὲ ὑπὸ ΘΕΓ ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθὴ ἴση ἐστὶν τῇ Η, ἰσογώνια ἄρα ἐστὶν τὰ ΘΕΓ ΚΕΗ τρίγωνα· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΘΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΚΗ πρὸς ΗΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς ΘΕ καὶ τῆς ΕΗ, τουτέστιν τῆς ΔΖ, ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΗΚ ΓΕ,
10τουτέστιν τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΔ ΕΖ καὶ τῆς ΓΕ. κγʹ (δʹ). Καὶ ἐκ τούτου φανερὸν ὅτι, ἐὰν ἡμικυκλίου τινὸς ὡς τοῦ ΑΒΓ περιφέρειά τις ὡς ἡ ΑΓΔ διαιρεθῇ εἰς ὁποσαοῦν ἴσα καὶ ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι, αἱ ὑπὸ τῶν ἐπιζευχθεισῶν τῶν ΑΕ ΕΖ ΖΓ ΓΗ ΗΔ κατὰ τὴν περὶ
15ἄξονα τὴν ΑΒ στροφὴν γινόμεναι ἐπιφάνειαι ἴσαι εἰσὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται, ἐπιζευχθείσης τῆς ΕΒ, τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΘ. Ἡ μὲν γὰρ ὑπὸ τῆς ΗΔ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου
20τῆς ΗΚ ΔΘ καὶ τῆς ΗΔ [ὧν μέση ἀνάλογόν ἐστιν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ εἰρημένου κύκλου]. λέγει γὰρ Ἀρχιμήδης ὅτι “ἐὰν κῶνος ἰσοσκελὴς ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ τῇ βάσει, τῇ μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων ἐπιφανείᾳ τοῦ κώ‐ νου, ἴσος ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον
25ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κώνου τῆς μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων καὶ τῆς ἴσης ἀμφοτέραις ταῖς ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλων τῶν ἐν τοῖς παραλλήλοις ἐπιπέδοις”. ὥστε
ἡ ὑπὸ τῆς ΗΔ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ

5

.

368

ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΚ ΔΘ καὶ τῆς ΗΔ, ὅπερ ἐδείχθη τῷ ὑπὸ ΕΒ ΚΘ ἴσον. ἡ δὲ ὑπὸ τῆς ΓΗ ὁμοίως ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒ ΛΚ [καὶ γὰρ τοῦ κύκλου προσανα‐
5πληρουμένου καὶ τῆς ἴσης τῇ ΕΒ εἰς τὸν κύκλον ἐναρμο‐ ζομένης διὰ τοῦ Η γίνεται τὸ ὑπ’ αὐτῆς καὶ τῆς ΛΚ ἴσον [Omitted graphic marker]τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΛ ΗΚ καὶ τῆς ΓΗ. ἡ δὲ ὑπὸ τῆς
10ΕΖ ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒ ΜΝ· τοῦτο γὰρ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου
15τῆς ΕΝ ΖΜ καὶ τῆς ΕΖ], καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς τὰ αὐτά. καὶ ἡ ὑπὸ τῆς ἐσχάτης τῆς ΑΕ κωνικὴ ἐπιφάνεια γινο‐ μένη ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΝ, ὅπερ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΕΝ (καὶ γὰρ ἰσογώ‐ νιά ἐστιν τὰ ΑΕΒ ΑΕΝ τρίγωνα, καὶ ἡ ὑπὸ τῆς ΑΕ γι‐
20νομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΕΝ· καὶ τοῦτο γὰρ Ἀρχιμήδης ἀπέδει‐ ξεν). καὶ ἡ ὑπὸ πασῶν ἄρα τῶν ΔΗ ΗΓ ΓΖ ΖΕ ΕΑ γι‐ νομένη σύνθετος ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΘ.
25 Δῆλον δὲ ὅτι καὶ ἐὰν ἡ ὅλη τοῦ ἡμικυκλίου περιφέ‐ ρεια εἰς ἴσα διαιρεθῇ, ὧν μία ἐστὶν ἡ ΑΕ, καὶ ἐπιζευχθῶ‐ σιν εὐθεῖαι, ἡ γινομένη ὑπὸ πασῶν τῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν ἐπιφάνεια κατὰ τὴν ὁμοίαν στροφὴν ἴση ἐστὶν
κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒΑ.

5

.

370

 κδʹ (εʹ), Διῃρήσθω δὲ πάλιν ἡ τοῦ ἡμικυκλίου περι‐ φέρεια εἰς ἴσα ὁποσαοῦν, ἀφ’ ὧν ἐφαπτόμεναι ἤχθωσαν, ὡς καταγέγραπται· ὅτι αἱ ὑπὸ τῶν ΓΔ ΔΕ ΕΖ ΖΗ ΗΘ γινόμεναι ἐπιφάνειαι κατὰ τὴν ὁμοίαν στροφὴν ἴσαι εἰσὶν
5κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ.[Omitted graphic marker] Κάθετοι ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Δ Ε Ζ Η ἐπὶ τὴν διά‐ μετρον. διὰ δὴ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΓΞ τῇ ΞΔ καὶ καθέ‐ τους τὰς ΓΑ ΔΚ, τὸ ὑπὸ ΒΑΚ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ συν‐ αμφοτέρου τῆς ΓΑ ΔΚ καὶ τῆς ΓΔ· τοῦτο γὰρ βʹ θεω‐
10ρήματι προδέδεικται. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ τῆς ΓΔ γινομένη ἐπι‐ φάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ ΔΚ καὶ τῆς ΓΔ διὰ τὸ αὐτὸ Ἀρχιμήδους ιζʹ θεώρημα· καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΒΑΚ ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς ΓΔ
15γινομένῃ ἐπιφανείᾳ. ὁμοίως δὲ καὶ ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒ ΚΛ, διὰ τὸ ἴσην εἶναι πάλιν τὴν ΔΟ τῇ ΟΕ, ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς ΔΕ γινομένῃ ἐπι‐
φανείᾳ, καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς τὰ αὐτά. καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ

5

.

372

ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ πασῶν τῶν ΓΔ ΔΕ ΕΖ ΖΗ ΗΘ γινομένῃ ἐπιφανείᾳ. κεʹ. Ἢ οὕτως τὸ αὐτό. ἐγγεγράφθω τὸ ΑΓΔΕΖΗΘΒ πολύγωνον εἰς ἕτερον ἡμικύκλιον περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον,[Omitted graphic marker]
5καὶ ἔστω αὐτοῦ διάμετρος ἡ ΡΣ, καὶ κάθετοι ὁμοίως ἤχθω‐ σαν· γίνεται δὴ διπλῆ ἡ μὲν ΓΔ τῆς ΓΡ, ἡ δὲ ΗΘ τῆς ΘΣ διὰ τὸ προκείμενον, καὶ διὰ τοῦτο ἡ ΓΔ μετὰ τῆς ΓΔΘ ἴση ἐστὶν τῇ ΡΘΣ. ὑποτείνει δὲ τὴν ΓΔΘ ἡ ἐπὶ τὰ Γ Θ ἐπιζευγνυμένη ἴση τῇ ΑΒ· ἔσται δὴ διὰ τὸ γʹ θεώ‐
10ρημα τὸ ὑπὸ ΘΓ ΑΚ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΒΑΚ, ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ ΔΚ καὶ τῆς ΓΔ, καὶ τὸ ὑπὸ ΒΑ ΚΛ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΚ ΕΛ καὶ τῆς ΔΕ. καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς τὰ αὐτά. καὶ πάντα ἄρα πᾶσιν ἴσα· καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ ἴσος ἐστὶν
15ταῖς ὑπὸ τῶν ΓΔ ΔΕ ΕΖ ΖΗ ΗΘ γινομέναις ἐπιφανείαις.
κϛʹ (ϛʹ). Ἡμικύκλιον οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἤχθω

5

.

374

τυχοῦσα ἡ ΑΗ, καὶ ἡ ΑΗ περιφέρεια διῃρήσθω εἰς ἴσας ὁποσασοῦν περιφερείας τοῖς Μ Ν Ξ σημείοις καὶ ἀπὸ τῶν Α Η καὶ τῶν διαιρέσεων ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΓ ΓΔ ΔΕ ΕΖ ΖΗ, καὶ τῇ ΖΗ ἴση ἡ ΗΘ καθέτου οὔσης τῆς ΗΡ· ὅτι,
5εἰ περὶ ἄξονα τὸν ΑΒ στραφὲν τὸ ἡμικύκλιον ἀποκατασταίη, ἡ γινομένη ὑπὸ πασῶν τῶν ΑΓ ΓΔ ΔΕ ΕΖ ΖΗ ἐπιφάνεια τοῦ κύκλου οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΗ μείζων ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ἥμισυ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ. Ἤχθωσαν κάθετοι ἀπὸ τοῦ Ζ, ἐπὶ μὲν τὴν ΑΒ ἡ
10ΖΛ, ἐπὶ δὲ τὴν ΗΡ ἡ ΖΚ, τῆς ΖΚ καθέτου, ὀξείας μὲν οὔσης τῆς ὑπὸ ΖΗΘ, μεταξὺ τῶν Η Θ πιπτούσης, ἀμ‐ βλείας δὲ οὔσης τῆς ὑπὸ ΖΗΘ, ἐκτὸς τοῦ Η, ὡς ἔχουσιν αἱ καταγραφαί. ἐπεὶ οὖν τὸ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ ἢ ΡΗΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΒ ΛΡ (τοῦτο γὰρ ἐν τῷ αʹ θεωρήματι
15δέδεικται), κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑ ΛΡ καὶ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ τῷ τε δὶς ὑπὸ ΡΗΘ καὶ τῷ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ. ἀλλὰ τῷ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑ ΛΡ, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΒΑΡ, ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς
20ΑΗ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ τῷ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ καὶ τοῦ ὑπὸ ΒΑΛ. ἀλλὰ τῷ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ καὶ τῷ ὑπὸ ΗΘΚ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ
ΗΘ (τοῦτο γὰρ ἑξῆς δειχθήσεται)· καὶ τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΗ

5

.

376

μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΒΑΛ καὶ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ. ἐπεὶ δὲ καὶ οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ἐκ τῶν
5κέντρων, καὶ ἐδείχθη πρὸ ἑνὸς τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΓΔ ΔΕ ΕΖ ἐφαπτομένων κωνικῶν ἐπιφανειῶν γινόμενον σχῆμα ἴσον κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΒΑΛ, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς ΖΗ ἐν τῇ στροφῇ γινόμενον σχῆμα κωνικῆς ἐπι‐ φανείας ἴσον κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ
10συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ [ἔστιν Ἀρχιμήδους ιζʹ θεωρήματι], τὸ δὲ ὑπὸ τῆς ΓΑ γινόμενον σχῆμα κύ‐ κλος ἐστὶν οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ἀπὸ ΗΘ, οἱ τρεῖς ἄρα κύκλοι, τουτέστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΓΔ ΔΕ ΕΖ ΖΗ γινομένη ἐπιφάνεια μείζων ἐστὶ τοῦ κύκλου οὗ ἡ ἐκ
15τοῦ κέντρου δύναται τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΗΘΚ, τουτέστιν τὸ ἥμισυ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ. (ζʹ). Ὅτι δὲ τὸ ἥμισυ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΗΘΚ, δῆλον ἐντεῦθεν. ἐπὶ μὲν τῆς πρώ‐
20της καταγραφῆς, ὀξείας οὔσης τῆς ὑπὸ ΖΗΘ, τὸ ἀπὸ ΖΘ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ ΘΗΚ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΖΗ ΗΘ, ὡς ἔστιν δευτέρῳ στοιχείων· τὸ ἥμισυ ἄρα τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΘΗΚ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΘΗ (ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ). ἀλλὰ τῷ ἀπὸ ΘΗ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ
25ΘΗΚ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ· κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ὑπὸ ΘΗΚ λοιπὸν ἄρα τὸ ἥμισυ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ
λοιπῷ τῷ ὑπὸ ΗΘΚ ἐστὶν ἴσον. ἀμβλείας δὲ οὔσης τῆς

5

.

378

ὑπὸ ΖΗΘ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, πάλιν τὸ ὑπὸ ΚΘΗ ἴσον γίνεται τῷ ἡμίσει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ οὕτως· ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΖΘ μεῖζόν ἐστιν τῶν ἀπὸ ΖΗ ΗΘ τῷ δὶς ὑπὸ ΘΗΚ καὶ τὸ ἥμισυ ἄρα τοῦ ἀπὸ τῆς
5ἐπὶ τὰ Ζ Θ τοῦ ἀπὸ ΗΘ μεῖζόν ἐστιν τῷ ὑπὸ ΘΗΚ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΘΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΘΗΚ ἴσον ἐστὶν τῷ ἡμίσει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ. τῷ δὲ ἀπὸ ΘΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΘΗΚ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΚΘΗ διὰ τὸ γʹ τοῦ βʹ στοιχείων· καὶ τὸ ἥμισυ ἄρα τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΚΘΗ.
10 Καὶ ἐπεὶ τὸ ἥμισυ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ ἔλασσόν ἐστιν ἀεὶ τοῦ δὶς ἀπὸ Ζ Η, δῆλον ὡς ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΓΔ ΔΕ ΕΖ ΖΗ γινομένη ἐπιφάνεια τοῦ κύκλου οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΗ μετὰ δύο κύκλων, ὧν ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΖΗ, ἐλάσσων ἐστίν.
15 κζʹ (ηʹ). Ὅτι τὸ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ. Κείσθω τῇ μὲν ΗΡ ἴση ἡ ΡΣ, τῇ δὲ ΘΡ ἡ ΡΛ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΣ τῇ ΘΗ ἐστὶν ἴση. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΡΗΘ ἴσον
20ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΡΘΗ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ, καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ ΡΗΘ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΡΘΗ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΗΘ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΗΡ τῇ ΡΣ, ἡ δὲ ΘΡ τῇ ΡΛ, ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΣΗΘ τῷ ὑπὸ ΛΘΗ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΗΘ.
κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΚΘΗ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΣΗΘ

5

.

380

[τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΗΣΛ] μετὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΚΗΘ καὶ τοῦ ἀπὸ ΗΘ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ συναμ‐ φοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ, ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΛΘΗ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΗΘ καὶ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ.
5ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ ΛΘΗ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ τῷ ὑπὸ ΛΗΘ, τὸ δὲ ἀπὸ ΗΘ τῷ ὑπὸ ΗΘ ΛΣ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΣΗΘ, ὅπερ ἐστὶν τὸ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ, μετὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ. κηʹ (θʹ). Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἐπ’ αὐτῆς τυχόντα σημεῖα
10τὰ Γ Δ· ὅτι τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ ΑΔ καὶ τῆς ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒ ΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓΔ. Τῇ ΑΔ ἴση ἡ ΑΕ, τῇ δὲ ΑΓ ἡ ΑΖ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΔ τῇ ΕΖ ἐστὶν ἴση. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ διὰ τὸ γʹ θεώρημα τοῦ
15βʹ στοιχείων, τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ. τῷ δὲ δὶς ὑπὸ ΑΓΒ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΓΒ (διπλῆ γάρ ἐστιν ἡ ΖΓ τῆς ΓΑ)· καὶ τὸ ὑπὸ ΖΓΒ ἄρα μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΓΒ ΕΖ, ὅπερ
20ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΓ ΓΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΓ ΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓΔ. ἀλλὰ τῷ ὑπὸ ΕΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΕΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ (τὸ γὰρ ὑπὸ ΕΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΒΓ διὰ τὸ αὐτὸ στοιχείων)·
25καὶ τὸ ὑπὸ ΕΒΓ ἄρα, ὅπερ ἐστὶν τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ ΑΔ καὶ τῆς ΒΓ, μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ, ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓΔ [ὥστε τὸ ὑπὸ συν‐ αμφοτέρου τῆς ΒΑΔ καὶ τῆς ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ ἴσον
ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓΔ].

5

.

382

 κθʹ (ιʹ). Ἔστω τις κύκλου περιφέρεια ἡ ΚΑΒΓ καὶ εὐθεῖα ἡ Δ· ὅτι δυνατόν ἐστιν ἀπειραχῶς ἀπολαβεῖν τὴν ΚΑ περιφέρειαν μέρος οὖσαν τῆς ΚΒΓ, ὅπως, ἐφαπτο‐ μένων ἀχθεισῶν τῶν ΚΕ ΑΕ, ἐλάσσονες ὦσιν αὗται τῆς Δ.
5[Omitted graphic marker] Ἔστω γὰρ ἐφαπτομένη ἡ ΚΗ ἴση τῇ Δ, καὶ ἐπὶ τὸ κέντρον ἡ ΗΒΘ. τέμνοντες δὴ τὴν ΚΒΓ περιφέρειαν δίχα καὶ τὴν ἡμί‐ σειαν αὐτῆς δίχα, καὶ τοῦτο ἀεὶ
10ποιοῦντες λείψομέν τινα περι‐ φέρειαν ὡς τὴν ΚΑ ἐλάσσονα τῆς ΚΑΒ. καὶ ἤχθω ἐφαπτο‐ μένη τοῦ τμήματος ἡ ΑΕ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΚΕ, καὶ ἔσται γεγονὸς τὸ ζητούμενον·
15ἡ γὰρ διὰ τῶν Θ Α ἐκβάλλεται ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ αἱ ΚΕΑ τῆς ΚΖ ἐλάσσονές εἰσιν διὰ τὸ μείζονα εἶναι τὴν ΖΕ ἑκα‐ τέρας τῶν ΑΕ ΕΚ, ὀρθῆς οὔσης τῆς ὑπὸ ΖΑΕ, καὶ πολὺ μᾶλλον τῆς Δ ἴσης ὑποκειμένης τῇ ΚΗ. λʹ (ιαʹ). Παντὸς τμήματος σφαίρας ἡ κυρτὴ ἐπιφάνεια
20[Omitted graphic marker]ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶν τῇ ἐκ τοῦ πόλου τοῦ τμήματος. Ἔστω γὰρ τμῆμα
25σφαίρας, οὗ πόλος μέν ἐστιν τὸ Κ σημεῖον, ἐκ πόλου δὲ ἡ ΚΒ, καὶ ὁ διὰ τῶν Κ Β μέγιστος, οὗ διάμετρος ἡ ΚΓ, ἐφ’
30ἣν κάθετος ἡ ΒΑ· λέγω

5

.

384

ὅτι σφαιρικὴ ἐπιφάνεια τοῦ τμήματος, οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ, κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον, ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ. Ἔστω γάρ, εἰ δυνατόν, ἄνισα ταῦτα, καὶ πρότερον
5μείζων ἡ τοῦ τμήματος ἐπιφάνεια, καὶ τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν νοείσθω ἐλάσσων κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ Θ, ὥστε τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ τμήματος μείζονα εἶναι τῶν δύο κύκλων, οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ καὶ οὗ διάμετρος ἡ Θ, καὶ διῃρήσθω ἡ ΚΒ περιφέρεια εἰς ἴσας ὁποσασοῦν, καὶ
10ἐφαπτόμεναι ἤχθωσαν, ὡς καταγέγραπται, ὥστε ἑκάστην αὐτῶν ἐλάσσονα εἶναι τῆς δυναμένης τὸ ηʹʹ τοῦ ἀπὸ Θ· τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν προγέγραπται. ἐπεὶ οὖν μεῖζόν ἐστιν τὸ ἀπὸ Θ τοῦ ὀκτάκις ἀπὸ ΗΒ, καὶ ὁ περὶ διά‐ μετρον ἄρα τὴν Θ κύκλος μείζων ἐστὶν δύο κύκλων ὧν
15ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΗΒ. οὗτοι δὲ οἱ δύο κύκλοι καὶ ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ, ὡς προδέδεικται τῷ ϛʹ θεωρήματι, μείζονές εἰσιν τῆς γινομένης ὑπὸ τῶν ἐφαπτο‐ μένων ἐπιφανείας, ἥτις περιγέγραπται περὶ τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας· ἔσται ἄρα αὕτη ἡ ἐπιφάνεια, καὶ πολὺ μᾶλλον
20ἡ τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας, ἐλάσσων κύκλων οὗ τε ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ καὶ οὗ διάμετρος ἐστὶν ἡ Θ. ἀλλὰ καὶ μείζων ὑπόκειται, ὅπερ ἄτοπον. λαʹ (ιβʹ). Ἔστω δὲ μείζων ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ τῆς σφαιρικῆς ἐπιφανείας τοῦ τμήματος· καὶ
25ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΓΚΑ μείζων ἐστὶν τῆς κυρτῆς ἐπιφανείας τοῦ τμήματος. νοείσθω δὲ μεταξὺ αὐτῶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται
τὸ ὑπὸ Θ ΚΑ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΓ τῆς Θ· ἔστω τῇ Θ

5

.

386

ἴση ἡ ΓΟ, καὶ διῃρήσθω ἡ ΚΟΒ περιφέρεια εἰς περι‐ φερείας ἴσας ὁσασδήποτε, ὧν ἑκάστη ἐλάσσων ἔστω τῆς ΚΛΟ, ὡς ἔστιν πρὸ ἑνός, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΛ ΛΜ ΜΝ ΝΒ. ἡ δὴ ὑπὸ τούτων γινομένη ἐπιφάνεια [κατὰ τὴν
5περὶ ἄξονα τὴν ΚΑ στροφῆς ἀποκατάστασιν] περιέχεται ὑπὸ τῆς τοῦ τμήματος ἐπιφανείας [καὶ τὴν αὐτὴν αὐτῷ βάσιν ἕξει] καὶ ἔστιν ἴση μὲν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται, ἐπιζευχθείσης τῆς ΓΛ, τὸ ὑπὸ ΛΓ ΚΑ διὰ τὸ δʹ θεώρημα, ἐλάσσων δὲ τῆς σφαιρικῆς τοῦ τμήματος ἐπι‐
10φανείας· πολλῷ ἄρα ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΟΓ ΚΑ ἢ τὸ ὑπὸ Θ ΚΑ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς σφαι‐ ρικῆς τοῦ τμήματος ἐπιφανείας. ἀλλὰ καὶ μείζων ὑπό‐ κειται μεταξὺ ὢν τοῦ τμήματος καὶ τοῦ κύκλου οὗ ἡ ἐκ [Omitted graphic marker]κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ, ὅπερ ἀδύνατον· ἴσα
15ἄρα ἐστὶν τὰ ζητούμενα. Καὶ δῆλον ὡς, ἐὰν τὸ Α κέντρον ᾖ, γίνεται τὸ τμῆμα ἡμισφαίριον, καὶ ἔσται ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας ὅλης ἴση κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΓ, ἢ καὶ
20ἐξ ἀμφοτέρων τῶν τμημάτων, ὁποῖα ἂν ᾖ, τὸ αὐτὸ συναχθήσεται.
λβʹ (ιγʹ). Ἐὰν ὦσιν γʹ εὐθεῖαι ὡς αἱ Α Β Γ, ὁ κῶνος

5

.

388

οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Α Β, ὕψος δὲ ἡ Γ, ἴσος ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Β Γ, ὕψος δὲ ἡ Α.
5[Omitted graphic marker] Ἐκκείσθωσαν γὰρ δύο κύκλοι οἱ Ε Ζ, καὶ τοῦ μὲν Ε ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάσθω τὸ ὑπὸ Α Β, τοῦ δὲ Ζ
10ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνά‐ σθω τὸ ὑπὸ Β Γ, ὕψος δὲ τοῦ μὲν Ε κώνου ἔστω τὸ ΕΗ ἴσον τῇ Γ, τοῦ δὲ Ζ ὕψος τὸ ΖΘ
15ἴσον ἔστω τῇ Α. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς Γ, τουτέστιν ὡς ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΕΗ, τὸ ὑπὸ Α Β πρὸς τὸ ὑπὸ Β Γ [τουτέστιν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ε πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ζ], τουτέστιν ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ἴσος ἄρα ὁ κῶνος οὗ βάσις μὲν ὁ Ε κύκλος, ὕψος δὲ τὸ ΕΗ, τῷ κώνῳ οὗ βάσις
20μὲν ὁ Ζ κύκλος, ὕψος δὲ τὸ ΖΘ· ἀντιπεπόνθασιν γὰρ αὐτῶν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν. λγʹ (ιδʹ). Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ μενούσης τῆς ΒΓ περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκαθεστάτω· ὅτι τὸ γινόμενον ὑπ’ αὐτοῦ στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις
25ἐστὶν ἴση τῇ ὑπὸ τῆς ΑΒ ἐν τῇ στροφῇ γινομένῃ κωνικῇ ἐπιφανείᾳ, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος. Ἤχθωσαν γὰρ ἐπὶ τὰς ΑΒ ΒΓ κάθετοι ἀπὸ τῶν Α Γ
αἱ ΓΕ ΑΔ. ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ Δ ὀρθῇ τῇ Ε ἴση, κοινὴ

5

.

390

δὲ ἡ Β, ἰσογώνιον γίνεται τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΒΓΕ τρι‐ γώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ ΒΑ πρὸς ΑΔ, ἡ ΒΓ πρὸς ΓΕ. ὡς δὲ ἡ ΒΑ πρὸς ΑΔ, τὸ ὑπὸ ΒΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ· ἔσται ἄρα καὶ ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ, οὕτως
5ἡ ΒΓ πρὸς ΓΕ· καὶ ὁ κῶνος ἄρα οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΒΑΔ, ὕψος δὲ ἡ ΓΕ, ἴσος ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΔ, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ (διὰ τὸ ἀντι‐ πεπονθέναι πάλιν τὰς βάσεις αὐτῶν τοῖς ὕψεσιν). καὶ
10ἔστι τὸ γινόμενον ὑπὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐν τῇ στροφῇ στερεὸν ἴσον τῷ κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΑΔ, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ· τὸ αὐτὸ ἄρα στερεὸν ἴσον ἐστὶν τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι κύκλον οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΒΑΔ, ὕψος δὲ τὴν ΓΕ κά‐
15θετον. ἀλλ’ ὁ μὲν κύκλος οὗτος ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς ΑΒ ἐν τῇ στροφῇ γινομένῃ κωνικῇ ἐπιφανείᾳ διὰ τὸ ιεʹ πάλιν Ἀρχιμήδους θεώρημα [παντὸς γὰρ κώνου ἰσοσκελοῦς ἡ ἐπιφάνεια, χωρὶς τῆς βάσεως, ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον ἀνάλογον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κώνου
20καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ὅς ἐστιν βάσις τοῦ κώνου]. ἐὰν ἄρα μενούσης τῆς ΒΓ περιενεχθὲν τὸ τρί‐ γωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, τὸ γινόμενον ὑπ’ αὐτοῦ στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν ἴση τῇ ὑπὸ τῆς ΑΒ ἐν τῇ στροφῇ γινομένῃ κωνικῇ
25ἐπιφανείᾳ, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος. λδʹ (ιεʹ). Ἔστω πάλιν τρίγωνον τὸ ΑΓΖ καὶ τυχοῦσα
διήχθω ἡ ΓΒ, ἧς μενούσης περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ

5

.

392

αὐτὸ ἀποκαθεστάτω· ὅτι τὸ γινόμενον ὑπ’ αὐτοῦ στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος ἴσος τῇ ὑπὸ τῆς ΑΖ γινομένῃ ἐπιφανείᾳ κατὰ τὴν στροφήν, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΖ κάθετος.
5[Omitted graphic marker] Ἐκβεβλήσθω ἡ ΖΑ ἐπὶ τὸ Β· διὰ τὸ προ‐ δειχθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ
10οὗ βάσις μὲν ἴση ἐστὶν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου ἣν ποιεῖ ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΒΑ, τὸ δὲ ὑπὸ τοῦ ΒΖΓ γινόμενον ὁμοίως ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶ τῇ ἐπι‐
15φανείᾳ τοῦ κώνου ἣν ποιεῖ ἡ ΒΖ, ὕψος δὲ τὸ αὐτό· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΓΖ γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κολούρου κώνου ἣν ποιεῖ ἡ ΑΖ, ὕψος δὲ τὸ αὐτό [ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΖ].
20 λεʹ (ιϛʹ). Ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ ΒΓ καὶ κά‐ θετοι ἤχθωσαν αἱ ΖΓ ΑΔ· ὅτι τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΖ τρι‐ γώνου ἐν τῇ στροφῇ γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΓΖ, ὕψος δὲ ἡ διπλῆ τῆς ΑΖ, τουτέστιν τῆς ΔΓ.
25 Ἐπεὶ γὰρ ὁ ἀπὸ τοῦ ΑΓ παραλληλογράμμου γι‐ νόμενος κύλινδρος ἴσος ἐστὶν κώνῳ βάσιν μὲν ἔχοντι κύκλον οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΔ, ὕψος δὲ τὴν τριπλασίαν τῆς ΔΓ, ὁ δὲ ὑπὸ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου γι‐ νόμενος κῶνος βάσιν μὲν ἔχει τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ τὴν
30ΒΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου μετὰ τοῦ ὑπὸ

5

.

394

τοῦ ΑΔΓΖ παραλληλογράμμου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως ὕψος ἔχοντι τὴν ΒΔ μετὰ τριῶν τῶν ΔΓ. κοινὸς ἀφῃρήσθω ὁ ὑπὸ τοῦ ΒΓΖ τρι‐ γώνου γινόμενος ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως κῶνος, ὕψος ἔχων
5τήν τε ΒΔ καὶ ἅπαξ τὴν ΔΓ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΖ γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ τὴν διπλασίαν τῆς ΔΓ ἢ τῆς ΑΖ. Ἔτι δὲ καὶ τοῦτο φανερὸν ὅτι τῇ ὑπὸ τῆς ΑΖ γινο‐ μένῃ ἐπιφανείᾳ, κυλινδρικῇ οὔσῃ, ἴσος ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ
10ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίν‐ δρου καὶ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως (τοῦτο γὰρ Ἀρχιμήδης ἔδειξεν ιδʹ θεωρήματι περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου), ὥστε ἡ ὑπὸ τῆς ΑΖ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΖΓΔ.
15 λϛʹ (ιζʹ). Ἐὰν μέντοι τὸ Β μεταξὺ ᾖ τῶν Δ Γ, εὐχε‐ ρέστερον δείκνυται. ὁ γὰρ ὑπὸ τοῦ ΑΔΓΖ παραλληλο‐ γράμμου γινόμενος κύλινδρος, τοῖς ὑπὸ τῶν ΑΒΔ ΖΒΓ τριγώνων γινομένοις κώνοις τὴν αὐτὴν ἔχων [αὐτοῖς] βάσιν καὶ ὕψος τὴν ΔΓ, ὑπερέχει αὐτῶν τῷ ἀπὸ τῆς αὐτῆς βά‐
20σεως κώνῳ ὕψος ἔχοντι τὴν διπλασίαν τῆς ΔΓ, ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΖ τριγώνου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν τῷ αὐτῷ κώνῳ, ὅπερ· ⁓ λζʹ (ιηʹ). Ἔστω τετράπλευρον τὸ ΑΒΓΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὰς ΑΔ ΔΓ κάθετοι ἴσαι, καὶ διήχθω τις ἡ ΒΕ,
25καὶ μενούσης αὐτῆς περιενεχθὲν τὸ τετράπλευρον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκαθεστάτω· ὅτι τὸ γινόμενον ὑπὸ τοῦ τετρα‐ πλεύρου στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν ΑΔ ΔΓ ἐν τῇ στροφῇ γινομέναις ἐπιφα‐
νείαις, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ μίαν τῶν ΑΔ ΔΓ κάθετος.

5

.

396

 Ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τοῦ τετραπλεύρου γι‐ νόμενον στερεὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ ΔΓΒ τριγώνων ἐστὶν γι‐ νόμενον. καὶ δέδεικται πρὸ δυοῖν τὸ μὲν ὑπὸ τοῦ ΑΒΔ γινόμενον ἴσον κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς
5ΑΔ γινομένῃ ἐπιφανείᾳ, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ μίαν τῶν ΑΔ ΔΓ κάθετος, τὸ δὲ ὑπὸ τοῦ ΔΒΓ τριγώνου ἴσον κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς ΔΓ γινομένῃ ἐπιφανείᾳ, ὕψος δὲ τὸ αὐτό· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραπλεύρου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ
10οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν ΑΔ ΔΓ γινομέ‐ ναις κατὰ τὴν στροφὴν ἐπιφανείαις, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ μίαν τῶν ΑΔ ΔΓ. ληʹ (ιθʹ). Κἂν ἀντὶ τοῦ τετραπλεύρου δὲ πεντάπλευ‐ ρον ᾖ τὸ ΔΑΒΖΓ ἢ καὶ ὁποσασοῦν πλευρὰς ἔχον, ὥστε
15τὰς ἀπὸ τοῦ Β ἐφ’ ἑκάστην τῶν ΑΔ ΔΓ ΓΖ καθέτους ἴσας εἶναι, δειχθήσεται ὁμοίως τὸ ὑπὸ τοῦ πολυγώνου γι‐ νόμενον στερεὸν ἴσον κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν ΑΔ ΔΓ ΓΖ γινομέναις ἐπιφανείαις, ὕψος δὲ μία τῶν εἰρημένων ἴσων καθέτων. καὶ οὐδὲν διαφέρει, ἂν ἡ
20ἐσχάτη ἐφαρμόζῃ τῇ ΕΒ. [ἑξῆς τὸ σχῆμα.] λθʹ (κʹ). Τὸ δ’ αὐτό ἐστιν τῷ εἰρημένῳ λέγειν ὅτι, ἐὰν περὶ ἡμικύκλιον οὗ κέντρον τὸ Σ, γραφῇ τι πολύγω‐ νον ὁποσασοῦν ἔχον πλευράς, ὡς τὸ ΒΕΖΘΛΓ, μενούσης
δὲ τῆς ΒΓ περιενεχθὲν τὸ πολύγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκα‐

5

.

398

τασταθῇ, τὸ γινόμενον ὑπ’ αὐτοῦ στερεόν, ὃ δὴ καὶ περι‐ γέγραπται περὶ τὴν σφαῖραν ἣν ποιεῖ τὸ ἡμικύκλιον, ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μὲν ἡ ἐπιφάνειά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν γινομένη κατὰ τὴν στροφήν, ὕψος
5δὲ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας· πᾶσαι γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ Σ ἀγόμεναι ἐπὶ τὰς πλευρὰς κάθετοι, ὡς αἱ ΣΜ, ΣΚ ΣΗ ΣΑ ΣΔ, ἴσαι εἰσίν. καὶ οὐ διαφέρει, ἐὰν τὸ Δ τῷ Ο, ἢ τὸ Μ τῷ Ξ ταὐτὸν ἦ. Δῆλον δ’ ὅτι, κἂν περὶ τομέα κύκλου, οἷον τὸν ΞΣΑ
10ἢ ΜΣΑ περιγραφῇ τι πολύγωνον, τὰ αὐτὰ δειχθήσεται. μʹ (καʹ). Πᾶσα σφαῖρα ἴση ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας, ὕψος δὲ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου. Ἔστω γὰρ σφαῖρα ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, κέντρον δὲ τὸ
15Γ, καί, εἰ δυνατόν, πρότερον ἔστω μείζων ὁ κῶνος οὗ βά‐ σις μὲν ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας, τουτέστιν ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΓΒ ἐκ τοῦ κέν‐ τρου τῆς σφαίρας, καὶ μεταξὺ αὐτῶν, τουτέστιν ἐλάσσων μὲν τοῦ κώνου, μείζων δὲ τῆς σφαίρας, νοείσθω κῶνος
20ἄλλος, οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν ἡ αὐτή, ὕψος δὲ ἡ ΒΔ, ἐλάσσων οὖσα τῆς ΓΒ, καὶ ἡμικυκλίου ὄντος τοῦ ΑΕΒ ἤχθω ἡ ΑΚ δυναμένη τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ ΓΔ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Κ
Β. καὶ τὰ ἡμίση· τὸ ὑπὸ ΑΒΔ ἴσον ἐστὶν ἡμίσει τῷ ἀπὸ

5

.

400

τῆς ἐπὶ τὰ Β Κ [τὸ γὰρ δὶς ὑπὸ ΑΒΔ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ ΑΒ ΓΔ, τουτέστιν τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ, τὸ ἀπὸ ΑΒ ἐστὶν ἴσον ὂν τοῖς ἀπὸ ΑΚΒ, ὀρθῆς οὔσης τῆς πρὸς τῷ Κ ἐν ἡμικυκλίῳ]. ἐγγεγράφθω δὴ εἰς τὸ ἡμικύκλιον πολύγωνον
5ἰσόπλευρον [ἀρτιόπλευρον] τὸ ΑΕΖΗΘΛΒ, ὥστε ἐλάσσονα εἶναι τὴν ΒΛ περιφέρειαν τῆς ΒΛΚ (δυνατὸν δὲ τοῦτο·[Omitted graphic marker] τέμνοντες γὰρ τὸ ἡμικύκλιον δίχα καὶ τὴν ἡμίσειαν περι‐ φέρειαν δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες λείψομέν τινα περι‐ φέρειαν ἐλάσσονα τῆς ΒΛΚ, ὡς τὴν ΒΛ). καὶ ἐπεζεύχθω
10ἡ ΑΛ, καὶ παράλληλος αὐτῇ ἡ ΓΟ. ἐπεὶ οὖν ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΛΒ τρίγωνον τῷ ΓΟΒ τριγώνῳ καὶ διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΛ τῆς ΓΟ, ἡ δὲ ΛΒ τῆς ΒΟ, καὶ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΛΒ τῆς ΑΛ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΛ ΓΟ μεῖζόν ἐστιν ἡμί‐ σους τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΒ. διὰ ταὐτὰ δὴ κἂν μὲν τὴν ΚΒ
15ἐπιζεύξωμεν, παράλληλον δὲ διὰ τοῦ Γ μέχρι τῆς ΚΒ τῇ ΑΚ ἀγάγωμεν, τὸ ὑπὸ τῆς ἀγομένης παραλλήλου καὶ τῆς
ΑΚ μεῖζόν ἐστιν ἡμίσους τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΒ εὐθείας· καὶ

5

.

402

πολλῷ τὸ ὑπὸ ΑΛ ΓΟ ἡμίσους τοῦ ἀπ’ αὐτῆς, τουτ‐ έστιν τοῦ ὑπὸ ΑΒΔ. καὶ ὁ κῶνος ἄρα, οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΛ ΓΟ, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ, μείζων ἐστὶν τοῦ κώνου οὗ ἡ μὲν
5βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒΔ, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ. ἀλλ’ ὁ κῶνος οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΛ ΓΟ, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ, ἴσος ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΛ ΑΒ, ὕψος δὲ
10ἡ ΓΟ· καὶ ὁ κῶνος ἄρα οὗτος, τουτέστιν οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΛΑΒ,[Omitted graphic marker] ὕψος δὲ ἡ ΓΟ, μείζων ἐστὶν τοῦ κώνου, οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒΔ, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ, τουτέστιν τοῦ ἴσου κώνου οὗ ἡ μὲν βάσις
15ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΒΔ [ὡς γὰρ τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΔ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΒΔ]. καὶ δέδεικται τῷ δʹ θεωρήματι ἡ γινομένη ὑπὸ πασῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν ἐπιφάνεια κατὰ τὴν ὁμοίαν στροφὴν ἴση κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται
20τὸ ὑπὸ ΛΑΒ· καὶ ὁ κῶνος ἄρα οὗ ἡ βάσις μέν ἐστιν κύ‐
κλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΛΑΒ, ὕψος δὲ

5

.

404

ἡ ΓΟ, ὅς ἐστιν ἴσος τῷ ἐγγεγραμμένῳ εἰς τὴν σφαῖραν στερεῷ σχήματι, μείζων ἐστὶν τοῦ κώνου οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεώς ἐστιν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΒΔ, ὥστε καὶ τὸ εἰρημένον στερεὸν σχῆμα μεῖζόν ἐστιν τοῦ κώνου οὗ
5ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεώς ἐστιν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΒΔ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὁ κῶνος οὗτος μείζων τῆς σφαί‐ ρας· πολλῷ ἄρα μεῖζόν ἐστιν τῆς σφαίρας τὸ στερεὸν σχῆμα τὸ ἐγγεγραμμένον εἰς αὐτήν, ὅπερ ἀδύνατόν ἐστιν. μαʹ (κβʹ). Ἔστω δὲ ἐλάσσων τῆς σφαίρας ὁ εἰρημένος
10κῶνος, οὗ βάσις μέν ἐστι κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν[Omitted graphic marker] ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΓΒ, τουτέστιν οὗ βάσις μέν ἐστιν κύ‐ κλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒΓ, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ [ὡς γὰρ ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΓ], καὶ μεταξὺ τῆς σφαίρας καὶ τοῦ κώνου
15νοείσθω κῶνος οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ αὐτή, ὕψος δὲ ἡ Κ μείζων τῆς ΑΒ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ἡμικύκλιον πολύγωνον ἰσόπλευρον, ὥστε μίαν αὐτοῦ πλευρὰν τὴν ΔΕ τῆς ὑπεροχῆς τῶν Κ ΑΒ ἐλάσσονα εἶναι. καὶ ἔστιν μεί‐ ζων ἡ ΔΕ τῶν ΔΑ ΒΜ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΝΔ τῆς ΔΑ· καὶ ἡ
20ΔΜ ἄρα τῆς Κ ἐλάσσων ἐστίν. ἐπεὶ δὲ καὶ ἡ γινομένη
ὑπὸ τοῦ πολυγώνου ἐπιφάνεια κατὰ τὴν περὶ ἄξονα τὴν

5

.

406

ΔΜ στροφὴν διὰ τὸ δʹ θεώρημα ἴση ἐστὶ κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ ΔΜ ΑΒ, δῆλον ὡς καὶ τὸ γινόμενον ὑπ’ αὐτοῦ στερεόν, ὃ δὴ περιγέγραπται περὶ τὴν σφαῖραν ἣν ποιεῖ τὸ ἡμικύκλιον, ἴσον ἐστὶν
5κώνῳ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεώς ἐστιν ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ ΔΜ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΓΒ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαί‐ ρας διὰ τὸ κʹ θεώρημα, [τῷ δὲ κώνῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέν‐ τρου τῆς βάσεώς ἐστιν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ, τουτέστι τῷ κώνῳ, οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν ἴση κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου
10δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒΓ, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ, ἴσος ἐστὶν κῶνος, οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΔΜ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ, διὰ τὸ εἶναι πάλιν ὡς τὸ ὑπὸ ΔΜ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΓ, οὕτως τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, καὶ ἀντιπεπονθέναι τὰς βάσεις τοῖς ὕψεσιν· καὶ
15τὸ γινόμενον ἄρα ὑπὸ τοῦ πολυγώνου στερεὸν κατὰ τὴν περὶ ἄξονα τὴν ΔΜ στροφὴν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΔΜ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ]. καὶ ἔστιν μείζων ἡ Κ τῆς ΔΜ, ὁ δὲ κῶνος, οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου
20δύναται τὸ ὑπὸ Κ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ, ἐλάσσων ἐστὶν τῆς σφαίρας· πολλῷ ἄρα [μᾶλλον] τὸ περιγεγραμμένον στερεὸν ἔλασσόν ἐστιν τῆς σφαίρας, ὅπερ ἀδύνατον. ἴσος ἄρα ὁ κῶνος τῇ σφαίρᾳ. μβʹ (κγʹ). Σφαίρας δοθείσης καὶ λόγου, τεμεῖν τὴν
25ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας ἐπιπέδῳ τινί, ὥστε τὰς ἐπιφα‐ νείας τῶν τμημάτων πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχειν τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι. Ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς μέγιστος κύκλος ὁ ΑΔΒΕ, καὶ
διάμετρος ἡ ΑΒ, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς Ζ πρὸς Η, καὶ

5

.

408

τετμήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Γ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως τὴν Ζ πρὸς Η, καὶ διὰ τοῦ Γ ἐπιπέδῳ τετμή‐ σθω ἡ σφαῖρα πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ, καὶ ἔστω κοινὴ τομὴ ἡ ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω‐
5σαν δύο κύκλοι οἱ Θ Κ, ὁ μὲν Θ ἴσην ἔχων τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΑΔ, ὁ δὲ Κ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου ἴσην ἔχων τῇ ΔΒ· ἔσται ἄρα ὁ μὲν Θ κύκλος ἴσος τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ΔΑΕ τμήματος, ὁ δὲ Κ τοῦ ΔΒΕ τμήματος· τοῦτο γὰρ προδέδεικται. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΔΒ καὶ κά‐
10θετος ἡ ΔΓ, ἔστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, τουτέστιν ἡ Ζ πρὸς Η, τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Θ κύκλου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Κ κύκλου, τουτέστιν ὁ Θ κύκλος πρὸς τὸν Κ κύκλον, τουτέστιν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ΔΑΕ τμήματος πρὸς
15τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ΔΒΕ τμήματος τῆς σφαίρας. μγʹ. Ὄντων δὲ τούτων φανερὸν ὅτι καὶ πάσης σφαί‐ ρας ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ κύκλῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαί‐ ρας, αὐτός τε ἡμιόλιός ἐστιν τῆς σφαίρας, καὶ ἡ ἐπιφά‐
20νεια αὐτοῦ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας. Ἡμικυκλίου γὰρ ὄντος τοῦ ΑΕΓ, οὗ διάμετρος ἡ ΑΓ, διχοτομία δὲ τὸ Ε, καὶ κέντρον τὸ Ζ, ὁπόταν τρεῖς ἀχθῶσιν ἐφαπτόμεναι διὰ τῶν Α Ε Γ, ὡς αἱ ΑΒ ΒΔ ΔΓ, μενούσης δὲ τῆς ΑΓ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς
25τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ὁ γινόμενος ὑπὸ τοῦ ΑΒΔΓ παραλληλογράμμου ὀρθογωνίου κύλινδρος πρὸς τὴν σφαῖραν τὴν ὑπὸ τοῦ ἡμικυκλίου γινο‐ μένην ἡμιόλιον λόγον ἕξει ὅνπερ καὶ ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας. ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ τῆς
30ΒΔ γινομένη ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου [μέση ἀνάλογόν ἐστιν τῆς ΒΔ καὶ συν‐
αμφοτέρου τῆς ΑΒ ΓΔ, τουτέστιν τῷ κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ

5

.

410

κέντρου] ἐστὶν ἡ ΑΓ, οὗτος δὲ ὁ κύκλος ἴσος ἐστὶν τέσσαρσι μεγίστοις τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, δέδεικται δὲ καὶ ἡ τῆς σφαί‐ ρας ἐπιφάνεια δʹ μεγίστοις ἴση, ἡ ἄρα ὑπὸ τῆς ΒΔ γινο‐ μένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν τῇ τῆς σφαίρας ἐπιφανείᾳ· μετὰ
5δύο ἄρα κύκλων, οἵ εἰσιν βάσεις τοῦ κυλίνδρου, λόγον ἔχει [Omitted graphic marker]πρὸς τὴν τῆς σφαίρας ἐπι‐ φάνειαν, ὃν ἔχει τὰ ϛʹ πρὸς τὰ δʹ. οὗτος δὲ ὁ λόγος ἡμιόλιός ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ὁ
10κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας, ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας * * * ἕκτον μέρος ἐστὶν τοῦ παντὸς κυλίνδρου, ἡμιόλιος ἄρα καὶ ὁ κύ‐
15λινδρος τῆς σφαίρας. [Ἐδείχθη δὲ ἀνώτερον, κἂν μὴ εἰς δύο ἴσα ἡ περι‐ φέρεια τοῦ ἡμικυκλίου τμηθῇ, ἀλλ’ εἰς ὁποσαοῦν, καὶ ἀπ’ αὐτῶν ἐφαπτόμεναι ἀχθῶσιν, ὡς ἐκεῖ καταγέγραπ‐ ται, ἡ ὑπὸ πασῶν τῶν ἐφαπτομένων γινομένη κατὰ τὴν
20ὁμοίαν στροφὴν ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν ὁμοίως δʹ μεγίστοις κύκλοις.] Καὶ τὰ μὲν περὶ τῶν ὑπὸ Ἀρχιμήδους δειχθέντων ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου τοσαῦτ’ ἐστίν, ἑξῆς δὲ τούτοις γράψομεν, ὡς ὑπεσχόμεθα, τὰς συγκρίσεις τῶν
25ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων πέντε σχημάτων, πυραμίδος τε καὶ κύβου καὶ ὀκταέδρου δωδεκαέδρου τε καὶ εἰκοσαέδρου [καὶ τὴν ἔφοδον τῶν ἀποδείξεων ἐχούσας], οὐ διὰ τῆς
ἀναλυτικῆς λεγομένης θεωρίας, δι’ ἧς ἔνιοι τῶν παλαιῶν

5

.

412

ἐποιοῦντο τὰς ἀποδείξεις [τῶν προειρημένων σχημάτων], ἀλλὰ διὰ τῆς κατὰ σύνθεσιν ἀγωγῆς ἐπὶ τὸ σαφέστερον καὶ συντομώτερον ὑπ’ ἐμοῦ διεσκευασμένας [ἐπεὶ καὶ τὰ λήμματα πάντα μικρά τε καὶ μεγάλα διὰ τοὺς πολλοὺς
5τῶν φιλομαθούντων κατέταξα τὸν ἀριθμὸν ἑκκαίδεκα, ὧν ἐστιν ἐνταῦθα χρεία]. προγράφεται δὲ [τῶν συγκρίσεων] τάδε. μδʹ (αʹ). Παντὸς ἰσοπλεύρου τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς τετράγωνον μεῖζον μέν ἐστιν ἢ διπλάσιον τοῦ ἰσο‐
10πλεύρου τριγώνου, ἔλασσον δὲ ἢ τετραπλάσιον. Ἔστω γὰρ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ βάσιν ἡ ΑΘ (δίχα δηλονότι τέμνουσα τὴν ΒΓ), καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ (δῆ‐ λον γὰρ ὅτι ὑπερπεσεῖται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον διὰ τὸ ἐλάσ‐
15σονα εἶναι τὴν ΑΘ κάθετον τῆς πλευρᾶς τοῦ τριγώνου), καὶ διὰ τοῦ Α παράλληλος ἤχθω τῇ ΒΓ ἡ ΖΑΗ. ἐπεὶ οὖν τετραπλῆ ἐστιν ἡ ΑΒ τῆς ΒΘ δυνάμει, ἐπίτριτος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΑΘ δυνάμει, τουτέστιν ἡ ΔΒ τῆς ΒΖ· ἡ ΔΒ ἄρα τῆς ΒΖ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῆ. καὶ ἔστιν ὡς
20ἡ ΔΒ πρὸς ΒΖ, τὸ ΒΕ τετράγωνον πρὸς τὸ ΖΓ παραλ‐ ληλόγραμμον· καὶ τὸ ΒΕ ἄρα τετράγωνον ἔλασσόν ἐστιν ἢ διπλάσιον τοῦ ΖΓ παραλληλογράμμου τουτέστιν ἢ τετραπλά‐ σιον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. τὸ ΒΕ ἄρα τετράγωνον ἔλασσον μὲν ἢ τετραπλάσιόν ἐστιν, μεῖζον δὲ ἢ διπλάσιον τοῦ
25ΑΒΓ τριγώνου. μεʹ (βʹ). Ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περι‐ λαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ὀκταέδρου κάθετος δυνάμει τρίτον μέρος ἐστὶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου
τῆς σφαίρας.

5

.

414

 Ἔστω τρίγωνον τοῦ ὀκταέδρου τὸ ΑΒΓ, ἐν τῇ σφαίρᾳ ὄν, καὶ περὶ αὐτὸ κύκλος, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΔΕ· φα‐ νερὸν δὴ ἐκ τῶν σφαιρικῶν ὅτι τὸ Ε κέντρον ἐστὶν τοῦ
5κύκλου. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ ΒΔ· ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τριπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΔΕ. Ἐπεὶ γὰρ ἐδείχθη ἐν τῷ ὀκταέδρῳ ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασία ἐστὶν τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευ‐ ρᾶς, ἔστιν δὲ καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας δυνάμει
10τετραπλασία, διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΓ τοῦ ἀπὸ ΒΔ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ τοῦ μὲν ἀπὸ ΒΕ τριπλάσιόν ἐστιν διὰ τὸ ιβʹ τοῦ ιγʹ στοιχείων, τοῦ δὲ ἀπὸ ΒΔ [ἐστὶν] διπλάσιον, τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΔ τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἡμιόλιον. ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ ΒΔ τοῖς ἀπὸ ΒΕΔ· τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΕΔ ἡμιόλια τοῦ ἀπὸ
15ΒΕ· διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΕ τοῦ ἀπὸ ΔΕ· τριπλάσια ἄρα τὰ ἀπὸ ΒΕ ΕΔ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΒΔ, τοῦ ἀπὸ ΔΕ.
17nἌλλως τὸ αὐτό.
18 μϛʹ (γʹ). Ἐκκείσθω τετράγωνον, ἐφ’ οὗ τὸ ἥμισυ τοῦ ὀκταέδρου ἔστω τὸ ΑΒΓΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἵ τε ΑΓ
20ΒΔ διάμετροι τοῦ τετραγώνου καὶ ἡ ΕΖ· ἡ ΕΖ ἄρα ἐκ κέντρου ἐστὶν τῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον σφαίρας, ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις· ἀπὸ τοῦ Ζ κέντρου τοίνυν ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΖΗ (ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ), καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΗ. καὶ ἐπεὶ ἰσόπλευρόν ἐστιν τὸ ΑΒΕ
25τρίγωνον, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ, καὶ ἡ ΕΗ ἥξει διὰ

5

.

416

τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον κύκλου· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ΑΒΕ κύκλου κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν ΕΗ πεσεῖται. πιπτέτω ὡς ἡ ΖΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΖΒ,
5ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΑΗ ἡμίσους ὀρθῆς ἐστιν. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΗΑ ὀρθή· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΗ ἡμίσους ὀρθῆς· ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΖΗ· διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΖ τοῦ ἀπὸ ΖΗ. ἴση δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΕΖ· τριπλάσια ἄρα τὰ ἀπὸ ΕΖΗ τοῦ ἀπὸ ΖΗ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ ΕΖΗ ἴσα ἐστὶν τῷ ἀπὸ
10ΕΗ διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν ΕΖ πρὸς τὸ ΑΒΓΔ τετράγω‐ νον· καὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ ἄρα τριπλάσιόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΖΗ. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΗΖ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΘ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι τὰ ΕΖΗ ΕΖΘ τρίγωνα· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τοῦ ἀπὸ τῆς
15ΖΘ καθέτου ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ὀκταέδρου. τριπλάσιόν ἐστιν. μζʹ (δʹ). Ἔστω τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ ἐγγε‐ γραμμένον εἰς σφαῖραν, κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ Δ, καὶ ἤχθω ἀπ’ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ τοῦ τριγώνου ἐπίπεδον κάθετος ἡ
20ΔΕ (τὸ Ε ἄρα κέντρον ἐστὶν τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον γραφομένου κύκλου, ὡς ἔστιν ἐν σφαιρικοῖς), καὶ ἐπιζευ‐ χθεῖσα ἡ ΑΕ ἐκβεβλήσθω· ὅτι ἡ ΑΕ τῆς ΕΖ διπλῆ ἐστιν. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ ΕΓ· ἴσαι ἄρα ἀλλήλαις εἰ‐
25σίν. καὶ ἐπεὶ τρίτου μὲν ὀρθῆς ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΕ ΕΒΖ, διμοίρου δὲ ὀρθῆς ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΕΖ ΑΒΓ, ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΒΖ τρίγωνον τῷ ΒΕΖ τρι‐
γώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΖ, ἡ ΒΕ, τουτέστιν ἡ

5

.

418

ΑΕ, πρὸς ΕΖ. διπλῆ δὲ ἡ ΑΒ τῆς ΒΖ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΖ. μηʹ (εʹ.) Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περὶ κέντρον τὸ Ε καὶ διάμετρον τὴν ΑΓ, πενταγώνου δὲ ἔστω ἡ ΔΗΒ πρὸς
5ὀρθὰς οὖσα τῇ ΑΓ διαμέτρῳ, καὶ κείσθω τῇ ΓΗ ἴση ἡ ΖΗ· ὅτι ἡ ΕΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ζ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΕΖ. [Omitted graphic marker] Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΕΔ ΖΔ ΓΔ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΔ
10περιφέρεια δεκαγώνου ἐστίν (πενταγώνου γὰρ ἡ ΔΓΒ), εἴη ἂν ἡ ὑπὸ ΔΕΓ γωνία δύο πέμπτων ὀρθῆς· ὥστε ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΕΓΔ ΕΔΓ
15τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς ἐστιν. ἀλλ’ ἐπεὶ ἡ ΖΗ τῇ ΗΓ ἴση ἐστίν, κοινὴ δὲ ἡ ΔΗ καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΖΓ, ἔστιν ἄρα καὶ ἡ ΔΖ εὐθεῖα τῇ ΔΓ ἴση· ὥστε καὶ
20ἡ ὑπὸ ΔΖΓ ἴση οὖσα τῇ ὑπὸ ΔΓΖ τεσσάρων πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς. δύο δὲ πέμπτων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΕΔ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΖ δύο πέμπτων ὀρθῆς ἐστιν· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΖ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΕΖ τῇ ΖΔ ἴση ἐστίν, τουτέστιν τῇ ΔΓ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν
25ἡ ὑπὸ ΕΔΓ τῇ ὑπὸ ΕΓΔ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ΔΖΓ, καὶ κοινὴ ἡ ὑπὸ ΔΓΖ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΖΔΓ ἐστὶν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΔΕΓ τρίγωνον τῷ ΔΖΓ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΓ πρὸς ΓΔ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς ΓΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΓΔ. ἴση δὲ ἡ
30ΓΔ τῇ ΕΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΖ· ἡ ΕΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ζ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΕΖ. μθʹ (ϛʹ). Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσ‐
35σονος μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δʹ πρὸς γʹ.

5

.

420

 Εὐθεῖα γὰρ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω ἔλασσον αὐτῆς τμῆμα τὸ ΓΒ· λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δʹ πρὸς γʹ.
5 Κείσθω τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΓΔ· γίνεται ἄρα, διὰ τὸ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμῆσθαι τὴν ΑΒ εὐθεῖαν, τὸ ἀπὸ ΑΒ καὶ τὸ ἀπὸ ΓΒ ἴσα τῷ τρὶς ἀπὸ ΑΓ, ὡς ἔστιν στοιχείοις δʹ τοῦ τρισκαιδεκάτου θεωρήματι, τουτέστιν τῷ τρὶς ὑπὸ ΑΒΓ. ἀλλὰ τὸ τρὶς ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τρὶς ὑπὸ
10ΑΓΒ καὶ τῷ τρὶς ἀπὸ ΓΒ (ἐπεὶ καὶ τὸ ἅπαξ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τῷ ἀπὸ ΒΓ, ὥς ἔστι στοι‐ χείοις τὸ γʹ θεώρημα τοῦ βʹ)· τὰ ἄρα ἀπὸ ΑΒΓ ἴσα ἐστὶν τῷ τρὶς ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τῷ τρὶς ἀπὸ ΓΒ· κοινοῦ ἀφαιρε‐ θέντος τοῦ ἀπὸ ΒΓ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ
15τρὶς ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τῷ δὶς ἀπὸ ΒΓ, τουτέστιν τῷ τρὶς ὑπὸ ΑΓΔ καὶ τῷ δὶς ἀπὸ ΓΔ. ἀλλὰ τὸ τρὶς ὑπὸ ΑΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ τρὶς ἀπὸ ΑΔΓ καὶ τῷ τρὶς ἀπὸ ΓΔ (ἐπεὶ καὶ τὸ ἅπαξ ὑπὸ ΑΓΔ ἴσον τῷ ὑπὸ ΑΔΓ καὶ τῷ ἀπὸ ΔΓ διὰ τὸ αὐτὸ γʹ τοῦ βʹ στοιχείων θεώρημα)· τὸ ἄρα
20ἀπὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τρὶς ὑπὸ ΑΔΓ καὶ τῷ πεντάκις ἀπὸ ΓΔ, τουτέστιν τῷ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ. κείσθω δὴ τῇ ΑΔ ἴση ἡ ΔΕ· φανερὸν γὰρ ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΔΑ τῆς ΓΔ, ἐπειδήπερ καὶ ἡ ΓΑ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμη‐ ται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν τὸ ΔΓ. καθόλου
25γάρ, ἐὰν ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἡ ΑΒ, καὶ τὸ ἔλασσον τμῆμα οἷον τὸ ΓΒ, καὶ τῇ ΓΒ ἴση τεθῇ ἡ ΓΔ, καὶ ἡ ΑΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμη‐ ται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν τὸ ΔΓ. διὰ τὰ
αὐτὰ καὶ ἡ ΔΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Ε,

5

.

422

καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΔΕ [καὶ γάρ, τῇ ΔΓ ἴσης τεθείσης τῆς ΓΒ, ἡ ὅλη ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμη‐ ται κατὰ τὸ Γ· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΓ ἑκατέρας τῶν ΑΔ ΔΕ, ἐπειδήπερ ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΔ, ἡ ΓΔ
5πρὸς ΔΑ, τουτέστιν πρὸς τὴν ΔΕ. καὶ διελόντι ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΓΔ, ἡ ΕΓ πρὸς ΔΕ. ἐλάσσων δὲ ἡ ΑΔ τῆς ΔΓ· ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ΕΓ τῆς ΔΕ]· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ ΔΕΓ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΔΓΕ. κοινὸν προσκείσθω τὸ τετράκις ὑπὸ ΔΓΕ· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ ΔΕΓ καὶ τὸ
10τετράκις ὑπὸ ΔΓΕ, τουτέστιν τὸ τετράκις ἀπὸ ΔΕ, μεῖ‐ ζον τοῦ πεντάκις ὑπὸ ΔΓΕ. ἀλλὰ τὸ τετράκις ὑπὸ ΔΕΓ καὶ τὸ τετράκις ἀπὸ ΔΕ ἴσον ἐστὶν τῷ τετράκις ὑπὸ ΓΔΕ· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ ΓΔΕ μεῖζον τοῦ πεντάκις ὑπὸ ΔΓΕ. κοινὸν προσκείσθω τὸ πεντάκις ὑπὸ ΓΔΕ· τὸ ἄρα ἐννάκις
15ὑπὸ ΓΔΕ μεῖζόν ἐστιν τοῦ πεντάκις ὑπὸ ΓΔΕ καὶ τοῦ πεντά‐ κις ὑπὸ ΔΓΕ, τουτέστιν τοῦ πεντάκις ἀπὸ ΔΓ· τὸ ἄρα τρὶς ὑπὸ ΑΔΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΔΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ ἐννάκις ὑπὸ ΑΔΓ. λόγος δὲ τοῦ τρὶς ὑπὸ ΑΔΓ πρὸς τὸ ἐννάκις ὑπὸ ΑΔΓ, ὃν αʹ πρὸς γʹ· τὸ ἄρα τρὶς ὑπὸ
20ΑΔΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΔΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ αʹ πρὸς γʹ· συνθέντι τὸ ἄρα τρὶς ὑπὸ ΑΔΓ καὶ πεντάκις ἀπὸ ΔΓ, τουτέστιν τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ, πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δʹ πρὸς γʹ. ἐδείχθη δὲ τὸ τρὶς ὑπὸ ΑΔΓ καὶ τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΒ τε‐
25τραγώνῳ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΒ τετράγωνον πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δʹ πρὸς γʹ. Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ πεντάκις ἀπὸ τῆς ΒΓ μεῖζόν ἐστιν. νʹ (ζʹ). Τῆς ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περι‐
30λαμβανούσης τὸ εἰκοσάεδρον ἐφ’ ἓν ἐπίπεδον τῶν τοῦ εἰκοσαέδρου καθέτου τὸ δυνάμει δωδεκαπλάσιον μεῖζόν ἐστιν τοῦ δυνάμει πενταπλασίου τῆς πλευρᾶς τοῦ εἰκο‐ σαέδρου. Ἐκκείσθω κύκλος ὁ ΑΒΓ ὁ δεχόμενος τὸ πεντάγωνον
35τοῦ εἰκοσαέδρου, ὡς ἐν στοιχείοις, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΓ
διάμετρος τοῦ κύκλου, τὸ δὲ Ε κέντρον, ἡ δὲ ΔΚΒ πεν‐

5

.

424

ταγώνου ἰσοπλεύρου πλευρὰ κάθετος οὖσα ἐπὶ τὴν διάμε‐ τρον [αὕτη δέ ἐστιν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρά, ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις], καὶ ἀπὸ τῶν Ε Γ ἀνεστάτωσαν ὀρθαὶ τῷ ἐπι‐ πέδῳ τοῦ κύκλου αἱ ΖΕΗ ΓΛ, καὶ ἑκατέρα μὲν τῶν ΕΘ
5ΓΛ ἑξαγώνου, ἑκατέρα δὲ τῶν ΕΖ ΗΘ δεκαγώνου, καὶ τετμήσθω ἡ ΕΘ δίχα κατὰ τὸ Ο· τὸ Ο ἄρα σημεῖον κέν‐ τρον ἐστὶν τῆς σφαίρας, ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις ιϛʹ θεώρημα τοῦ ιγʹ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΔ ΛΒ ΛΚ ΒΓ. ἐπεὶ οὖν ἑξαγώνου ἐστὶν ἡ ΓΛ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΒΓ, καὶ ὀρθή ἐστιν
10ἡ ὑπὸ ΒΓΛ, πενταγώνου ἄρα ἐστιν ἡ ΒΛ διὰ τὸ ιʹ θεώ‐ ρημα τοῦ ιγʹ· ὁμοίως καὶ ἡ ΛΔ. ἔτι δὲ καὶ ἡ ΒΔ· τὸ ἄρα ΒΛΔ τρίγωνον ἰσόπλευρόν ἐστιν τῶν περιεχόντων τὸ εἰκοσάεδρον. καὶ ἐπεὶ ἡ ΛΚ τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, καὶ τὸ διὰ τῶν ΑΓ ΚΛ ἄρα ἐπίπεδον, ὅπερ ἐστὶν τὸ διὰ τῶν
15ΕΗ ΓΛ παραλλήλων, ὀρθόν ἐστιν πρὸς τὴν ΒΔ [καὶ ἡ ΒΔ ἄρα ὀρθή ἐστιν πρὸς αὐτό· ταῦτα γὰρ ἐν τοῖς στε‐ ρεοῖς τῶν στοιχείων ἐδείχθη]· καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΒΔ ἐπίπεδα, ὧν ἐστιν καὶ τὸ ΒΔΛ τρίγωνον, ὀρθά ἐστιν πρὸς τὸ διὰ τῶν ΕΗ ΓΛ παραλλήλων ἐπίπεδον, ἐν ᾧ
20ἐστιν καὶ τὸ ΓΚΛ τρίγωνον· ὥστε καὶ τὸ ΒΔΛ τρίγωνον ὀρθόν ἐστιν πρὸς τὸ ΓΚΛ. ἤχθω ἐπὶ τὴν ΚΛ κάθετος ἡ ΟΝ· δύο οὖν ἐπίπεδά ἐστιν ὀρθὰ ἀλλήλοις τό τε ΓΚΛ καὶ τὸ ΒΔΛ, καὶ τῇ κοινῇ τομῇ αὐτῶν τῇ ΚΛ ἐν ἑνὶ τῶν
ἐπιπέδων ὀρθή ἐστιν ἡ ΟΝ· καὶ ἡ ΟΝ ἄρα κάθετός ἐστιν

5

.

426

ἐπὶ τὸ ΒΔΛ τρίγωνον. καὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΛΒ τῆς ΒΚ· ὥστε διπλῆ ἐστιν ἡ ΛΝ τῆς ΝΚ διὰ τὸ δʹ. τετμήσθω δὲ δίχα ἡ ΓΛ κατὰ τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΜ· ἔσται δὴ παράλληλος ἡ ΟΜ τῇ ΕΓ (ἴση γὰρ ἡ ΕΟ τῇ ΓΜ, ἐπεὶ
5καὶ αἱ ΓΛ ΕΘ διπλαῖ ἴσαι καὶ παράλληλοί εἰσιν), καὶ ἡ ΛΙ τῇ ΙΚ ἴση (τριγώνου γὰρ τοῦ ΓΚΛ παρὰ τὴν ΓΚ ἦκται ἡ ΙΜ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΓΜ τῇ ΜΛ). καὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΛΝ τῆς ΝΚ· οἵων ἄρα ἡ ΚΛ ϛʹ, ἡ ΛΝ δʹ καὶ ἡ ΚΝ βʹ, καὶ ἑκατέρα τῶν ΛΙ ΙΚ τριῶν, καὶ λοιπὴ ἡ ΙΝ ἑνός· τρι‐
10πλῆ ἄρα ἡ ΛΙ τῆς ΙΝ· λέγω οὖν ὅτι δώδεκα τὰ ἀπὸ ΟΝ μείζονά ἐστιν εʹ τῶν ἀπὸ ΒΔ. Κείσθω τῇ ΚΓ ἴση ἡ ΚΞ· διὰ μὲν οὖν τὸ εʹ θεώ‐ ρημα τῶν προγραφομένων ἡ ΕΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ξ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ
15ΕΞ, διὰ δὲ τὸ ϛʹ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ τοῦ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος τῆς ΞΓ μεῖζον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ τοῦ μὲν ἀπὸ τῆς ΞΓ μεῖζόν ἐστιν ἢ πενταπλάσιον, τοῦ δὲ ἀπὸ τῆς ΚΓ μεῖζον ἢ εἰκοσαπλάσιον. καὶ ἔστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΓ, τὸ ἀπὸ ΓΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΚ, τουτ‐
20έστιν τὸ ἀπὸ ΟΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΙ (ἰσογώνια γὰρ τὰ ΟΝΙ ΛΙΜ ΛΚΓ τρίγωνα)· τὸ ἄρα ἀπὸ ΟΝ εἴκοσι τῶν ἀπὸ ΝΙ μεῖζόν ἐστιν. καὶ λϛʹ ἄρα τὰ ἀπὸ ΟΝ ψκʹ τῶν ἀπὸ ΝΙ μείζονά ἐστιν. ψκʹ δὲ τὰ ἀπὸ ΝΙ ὀγδοήκοντά ἐστιν τὰ ἀπὸ ΛΙ (ἐδείχθη γὰρ τριπλῆ ἡ ΛΙ τῆς ΙΝ). ὀγδοή‐
25κοντα δὲ τὰ ἀπὸ ΙΛ εἴκοσί ἐστιν τὰ ἀπὸ ΛΚ (διπλῆ γὰρ
ἡ ΛΚ τῆς ΛΙ). εἴκοσι δὲ τὰ ἀπὸ ΚΛ ιεʹ ἐστὶν τὰ ἀπὸ ΒΔ

5

.

428

(ἰσόπλευρον γάρ ἐστιν τὸ ΔΒΛ τρίγωνον, καὶ κάθετος ἡ ΛΚ, καὶ ἐπίτριτος δυνάμει ἡ ΒΔ τῆς ΚΛ)· ὥστε λϛʹ τὰ ἀπὸ ΟΝ δεκαπέντε τῶν ἀπὸ ΒΔ, καὶ δώδεκα ἄρα τὰ ἀπὸ ΟΝ μείζονα πέντε τῶν ἀπὸ ΒΔ, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
5 ναʹ (ηʹ). Ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμη‐ θῶσιν, ἐν ἀναλογίᾳ εἰσὶν τῇ ὑποκειμένῃ. Τετμήσθω γὰρ ἡ μὲν ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα αὐτῆς ἔστω ἡ ΑΓ, ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΔΕ κατὰ τὸ Ζ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα ἔστω ἡ ΔΖ·
10λέγω ὅτι ὡς ὅλη ἡ ΑΒ πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα τὴν ΑΓ, οὕτως ὅλη ἡ ΔΕ πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα τὴν ΔΖ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΔΕΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ,
15οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ· καὶ ὡς ἄρα τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως τὸ τετράκις ὑπὸ ΔΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ, καὶ συνθέντι ὡς τὸ τετράκις ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως τὸ τετράκις ὑπὸ ΔΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΖ πρὸς
20τὸ ἀπὸ ΔΖ. ἀλλὰ τὸ μὲν τετράκις ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου ἐστὶν τῆς ΑΒ καὶ ΒΓ διὰ τὸ ηʹ θεώρημα τοῦ βʹ στοιχείων, τὸ δὲ τετράκις ὑπὸ ΔΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΖ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου ἐστὶν τῆς ΔΕΖ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ
25τῆς ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ· καὶ μήκει ἄρα ὡς συναμφότερος ἡ ΑΒΓ πρὸς ΑΓ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΔΕΖ πρὸς ΔΖ. καὶ συνθέντι ὡς συναμφότεραι αἱ ΑΒ ΒΓ μετὰ τῆς ΑΓ, τουτέστιν δύο αἱ ΑΒ, πρὸς ΑΓ, οὕτως συναμφότεραι αἱ ΔΕ ΕΖ μετὰ τῆς
30ΔΖ, τουτέστιν δύο αἱ ΔΕ, πρὸς ΔΖ. καὶ τῶν ἡγουμένων
τὰ ἡμίση, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς ΔΖ.

5

.

430

 Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι, ἐὰν ὦσιν δύο εὐθεῖαι ἴσαι, ὡς αἱ ΑΒ ΔΕ, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ κατὰ τὰ Γ Ζ, ἔσται τὰ μείζονα τμήματα αὐτῶν ἴσα καὶ τὰ ἐλάσσονα ὁμοίως ἴσα. ἐπεὶ γάρ, ὡς ἐδείχθη,
5ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς ΖΔ, καὶ ἐναλλάξ· ⁓ νβʹ (θʹ). Ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, οὗ κέντρον τὸ Ε, καὶ τριπλῆ ἡ ΑΓ τῆς ΓΔ, καὶ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ· ἡ ΑΓ ἄρα τῆς ΒΓ δυνάμει τριπλα‐
10σίων ἐστίν (ὡς γὰρ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΓ [Omitted graphic marker]ΒΔΓ τριγώνων). τε‐ τμήσθω δ’ ἡ ΒΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τῷ Θ,
15καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα ἔστω ἡ ΒΘ, καὶ γεγε‐ νήσθω ἡ ΓΕ τῆς ΕΖ δυνάμει πενταπλῆ (δυ‐ νατὸν δὲ τοῦτο· ἡ γὰρ
20ΕΓ τῆς ΕΔ [μήκει] τριπλῆ [δυνάμει ἐνναπλῆ])· λέγω ὅτι λόγος ἐστὶν τῆς ΒΘ πρὸς τὴν ΓΖ δυνάμει ὃν εʹ πρὸς γʹ. Κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΕΗ, καὶ ἡ ΖΗ ἄκρον καὶ μέ‐ σον λόγον τετμήσθω τῷ Κ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΖΚ. καὶ
25ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΓΕ ἑαυτῆς τμήματος τῆς ΕΖ πενταπλάσιον δύναται, καὶ ἡ διπλῆ τῆς ΕΖ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Κ, ἡ ΚΖ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ΖΓ διὰ τὸ βʹ
θεώρημα τοῦ ιγʹ στοιχείων· ὥστε καὶ ἡ ΓΗ ἄκρον καὶ

5

.

432

μέσον λόγον τέτμηται τῷ Ζ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΖΗ. ἀλλὰ διὰ τὸ προδειχθέν ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΘ, ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΖ, τουτέστιν ἡ ΖΗ πρὸς ΖΓ· καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΖΗ, ἡ ΒΘ
5πρὸς τὴν ΓΖ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ τῆς μὲν ΒΓ δυνάμει τρι‐ πλῆ ἐστιν, τῆς δὲ ΗΖ πενταπλῆ, οἵων ἄρα δυνάμει ἡ ΑΓ ιεʹ, τοιούτων ἡ μὲν ΒΓ εʹ, ἡ δὲ ΖΗ γʹ· ἡ ΒΓ ἄρα πρὸς ΖΗ λόγον ἔχει δυνάμει ὃν εʹ πρὸς γʹ· ὥστε καὶ ἡ ΒΘ πρὸς ΖΓ λόγον ἔχει δυνάμει ὃν εʹ πρὸς γʹ.
10 νγʹ (ιʹ). Πάλιν ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ οὗ κέντρον τὸ Ζ, καὶ πενταπλάσιον τὸ ἀπὸ ΓΖ τοῦ ἀπὸ ΕΖ, καὶ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΕ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω τῷ Δ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΒΔ· ὅτι τὰ ἀπὸ ΓΒ ΒΔ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΓΕ.
15 Κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΖΗ· ἡ ΗΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέ‐ σον λόγον τέτμηται τῷ Ε, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΕΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΗΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΗ, ἴση δέ ἐστιν ἡ ΕΓ τῇ ΑΗ (ὅτι καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ), ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΕΓ τῷ ἀπὸ ΕΗ. καὶ ἔστιν ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΕΗ,
20τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΑΕΓ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ (ἐπεὶ καὶ ὡς ἡ ΗΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως πρὸς ΒΔ). ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΑΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς ΕΓ [τοῦτο γὰρ δείκνυται διὰ τοῦ αʹ τοῦ ϛʹ στοιχείων, τετραγώνου ἀναγραφέντος ἀπὸ τῆς ΕΓ καὶ συμ‐
25πληρωθέντος τοῦ ἐπὶ τῆς ΑΕ παραλληλογράμμου]· καὶ
ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ.

5

.

434

συνθέντι ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, οὕτως τὰ ἀπὸ ΓΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ. ἔστι δὲ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ, τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ· δι’ ἴσου ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ
5ἀπὸ ΕΗ, τὰ ἀπὸ ΓΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ. πενταπλάσιον δὲ τὸ ἀπὸ ΑΓ τοῦ ἀπὸ ΗΕ· πενταπλάσια ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ ΓΒΔ τοῦ ἀπὸ ΓΕ, ὅπερ· ⁓ νδʹ (ιαʹ). Τῆς δὲ τοῦ ἑξαγώνου πλευρᾶς ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης, τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ δε‐
10καγώνου πλευρά. [Omitted graphic marker] Ἑξαγώνου γὰρ ἡ ΔΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΔΓ· λέγω ὅτι ἡ ΔΓ δεκαγώνου ἐστίν.
15 Προσκείσθω ἡ ΔΑ δεκαγώνου οὖσα· ἡ ΑΒ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Δ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΔΒ τῷ Γ· διὰ ἄρα τὸ ηʹ λῆμμά ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΔ, τουτέστιν ἡ ΒΔ πρὸς ΔΑ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ· ἴση ἄρα ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ. δεκαγώνου δὲ ἡ ΑΔ· δεκαγώνου ἄρα καὶ ἡ ΔΓ.
20 νεʹ (ιβʹ). Τῶν εἰς τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐγγραφομένων τὸ πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου καὶ τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσα‐ έδρου ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει. [Omitted graphic marker] Ἐκκείσθω γὰρ τῆς σφαίρας διά‐
25μετρος ἡ ΑΒ, καὶ περὶ αὐτὴν ἡμικύ‐ κλιον οὗ κέντρον τὸ Γ, καὶ ἀπ’ αὐ‐ τοῦ ὀρθὴ πρὸς τὴν
30ΑΒ ἡ ΓΔ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ
ὥστε διπλασίαν εἶ‐

5

.

436

ναι τὴν ΑΕ τῆς ΕΒ, καὶ ὀρθὴ ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΛΒ ΖΒ· ἡ ΖΒ ἄρα κύβου ἐστὶν πλευρά, ὡς ἔστιν ἐν τῷ ιγʹ τῶν στοιχείων ἐπὶ τοῦ κύβου. τετμήσθω ἡ ΖΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τῷ Η, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΖΗ· ἡ
5ΖΗ ἄρα δωδεκαέδρου ἐστὶν πλευρὰ διὰ τὸ ἐν τῷ ιγʹ στοι‐ χείων ἐπιλεγόμενον τῷ δωδεκαέδρῳ. ἐπιζευχθεῖσα δὲ ἡ ΛΓ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Κ, καὶ κάθετος μὲν ἡ ΚΘ ἐπὶ τὴν ΑΒ, ἐπιζευχθεῖσα δὲ ἡ ΚΒ. ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω τῷ Μ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΚΜ. καὶ ἐπεὶ ἡ
10μὲν ΑΒ τῆς ΒΓ διπλῆ, ἡ δὲ ΑΕ τῆς ΕΒ διπλῆ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΒ λοιπῆς τῆς ΓΕ διπλῆ. ἀλλὰ ἡ ΒΕ τῇ ΕΛ ἐστὶν ἴση διὰ τὸ εἶναι ὡς τὴν ΒΓ πρὸς ΔΓ, τὴν ΒΕ πρὸς ΕΛ· καὶ ἡ ΛΕ ἄρα τῆς ΕΓ ἐστὶν διπλῆ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΚΘ τῆς ΘΓ διπλῆ· τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΘΚ τοῦ
15ἀπὸ ΓΘ πεντα‐ πλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΚΓ τοῦ ἀπὸ ΓΘ· καὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ ἄρα τοῦ ἀπὸ
20ΓΘ ἐστὶν πεντα‐ πλάσιον· ἡ ΚΒ ἄρα εἰκοσαέδρου ἐστὶν πλευρά· τοῦ‐ το γὰρ ἐδείχθη ἐν
25τῷ ιγʹ στοιχείων. ἐπεὶ οὖν ἐν μὲν τῷ θʹ λήμματι δέδεικται λόγος τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΘ ὃν ἔχει τὰ
εʹ πρὸς τὰ γʹ, ἐν δὲ τῷ δεκάτῳ τὰ ἀπὸ ΒΚ ΚΜ πεντα‐

5

.

438

πλάσια τοῦ ἀπὸ ΒΘ, τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΚ ΚΜ τριπλάσια τοῦ ἀπὸ ΖΗ. ἐκκείσθω οὖν κύκλος ὁ περιλαμβάνων τὸ τρί‐ γωνον τοῦ εἰκοσαέδρου, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τυχοῦσα διηγμένη ἡ ΝΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω τῷ Ο,
5καὶ μεῖζον ἔστω τμῆμα τὸ ΟΝ· δεκαγώνου ἄρα ἡ ΝΟ διὰ τὸ προδειχθέν. καὶ ἐπεὶ ἡ τοῦ τριγώνου τοῦ ἰσοπλεύρου τοῦ εἰς τὸν κύκλον οὗ κέντρον τὸ Ν γραφομένου τριπλασία ἐστὶν δυνάμει τῆς ΝΞ ἐκ κέντρου, ὡς ἔστιν ἐν τῷ ιγʹ βι‐ βλίῳ στοιχείων, ἦν δὲ ἡ τοῦ τριγώνου ἡ ΚΒ, τὸ ἄρα
10ἀπὸ τῆς ΚΒ τριπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΝΞ. καὶ εἰσὶν ἀμφό‐ τεραι ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμημέναι· διὰ τὸ ἐν ἀρχῇ τοίνυν ἐστὶν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΝΞ, ἡ ΚΜ πρὸς ΝΟ. καὶ τὰ τετράγωνα. καὶ ὡς ἓν πρὸς ἕν, πάντα πρὸς πάντα· τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΚΜ τῶν ἀπὸ ΞΝΟ ἐστὶν τριπλάσια. ἐδεί‐
15χθη δὲ καὶ τοῦ ἀπὸ ΖΗ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΚΜ τριπλάσια· ἴσα ἄρα τὰ ἀπὸ ΞΝΟ τῷ ἀπὸ ΖΗ. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΝΞ ἑξαγώνου, ἡ δὲ ΝΟ δεκαγώνου· ἡ ΖΗ ἄρα πενταγώνου ἐστὶν πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν κύκλον, οὗ κέντρον τὸ Ν, γρα‐ φομένου (δέδεικται γὰρ ἐν τῷ ιγʹ στοιχείων καὶ τοῦτο).
20ἡ δὲ ΖΗ πενταγώνου οὖσα πλευρὰ καὶ δωδεκαέδρου πλευρά ἐστιν· ὁ αὐτὸς ἄρα κύκλος περιλαμβάνει τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ τὸ πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου. νϛʹ (ιγʹ). Ἄλλως ὅτι ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τοῦ εἰκοσαέδρου τρίγωνον καὶ τοῦ δωδεκαέδρου πεντάγωνον.
25Ἐκκείσθω τις σφαῖρα καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὴν δω‐
δεκάεδρον καὶ εἰκοσάεδρον, καὶ ἔστω τοῦ μὲν δωδεκαέδρου

5

.

440

πεντάγωνον τὸ ΓΔΕΖΗ κύκλῳ περιεχόμενον τῷ ΓΔΕ, εἰ‐ κοσαέδρου δὲ τρίγωνον ἐν κύκλῳ τῷ ΠΡΣ· λέγω ὅτι οἱ[Omitted graphic marker] κύκλοι ἴσοι εἰσίν, τουτέστιν ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τὸ πεντάγωνον καὶ τὸ τρίγωνον.
5 Ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ· κύβου ἄρα τοῦ ὑπὸ τὴν αὐτὴν σφαῖραν τῷ δωδεκαέδρῳ πλευρά ἐστιν ἡ ΓΕ· τοῦτο γὰρ ἐδείχθη ιγʹ στοιχείων. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Κ, καὶ κάθετος ἀπ’ αὐτοῦ ἡ ΚΛ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Γ Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ· δεκαγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ
10ΕΘ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΘ, τουτέστιν τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕΘ τετραπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ, τὰ ἄρα ἀπὸ ΓΕ ΕΘ ΘΚ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ. ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ ΕΘ ΘΚ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ (ἡ γὰρ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν
15αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων, ὡς ἔστιν ιγʹ στοιχείων)· τὰ ἄρα ἀπὸ ΓΕ ΕΖ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ. ἐκκείσθω δὴ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ καὶ εὐθεῖά τις ἡ ΜΝ, ὥστε πενταπλάσιον εἶναι τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΜΝ,
ὡς ἔστιν λῆμμα ιγʹ στοιχείων. ἔστιν δὲ καὶ ἡ τῆς σφαί‐

5

.

442

ρας διάμετρος δυνάμει πενταπλασία τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἀφ’ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον, ὡς ἔστιν ιγʹ στοιχείων· ἐκ τοῦ κέντρου ἄρα ἐστὶν τοῦ κύκλου ἀφ’ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἡ ΜΝ. τετμήσθω ἡ ΜΝ ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ
5Ξ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΜΞ· δεκαγώνου ἄρα ἡ ΜΞ διὰ τὸ ιαʹ λῆμμα. καὶ ἐπεί ἐστιν τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΜΝ[Omitted graphic marker] πενταπλάσιον, ἔστιν δὲ καὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΓΕ τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου τριπλάσιον, ὡς ἔστιν ιγʹ στοιχείων, τρία ἄρα τὰ ἀπὸ ΓΕ ἴσα ἐστὶν εʹ τοῖς ἀπὸ ΜΝ. ὡς δὲ
10τρία τὰ ἀπὸ ΓΕ πρὸς τρία τὰ ἀπὸ ΓΔ, οὕτως πέντε τὰ ἀπὸ ΜΝ πρὸς πέντε τὰ ἀπὸ ΜΞ (τῆς γὰρ ΓΕ κύβου πλευρᾶς ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρά, ὡς ἔστιν ιγʹ στοι‐ χείων)· τρία ἄρα τὰ ἀπὸ ΓΕ καὶ τρία τὰ ἀπὸ ΖΕ ἴσα
15ἐστὶν πέντε τοῖς ἀπὸ ΜΝ καὶ πέντε τοῖς ἀπὸ ΜΞ. πέντε

5

.

444

δὲ τὰ ἀπὸ ΜΝ καὶ πέντε τὰ ἀπὸ ΜΞ ἴσα ἐστὶν πέντε τοῖς ἀπὸ ΡΣ, ὡς ἐν τῷ εἰκοσαέδρῳ ιγʹ στοιχείων δείκνυ‐ ται· πέντε ἄρα τὰ ἀπὸ ΡΣ ἴσα ἐστὶν τρισὶ τοῖς ἀπὸ ΓΕ καὶ τρισὶ τοῖς ἀπὸ ΖΕ. ἀλλὰ πέντε μὲν τὰ ἀπὸ ΡΣ ἴσα
5ἐστὶν δεκαπέντε τοῖς ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ περὶ τὸ ΠΡΣ γραφομένου διὰ τὸ ιβʹ τοῦ ιγʹ στοι‐ χείων. τρία δὲ τὰ ἀπὸ ΓΕ καὶ τρία τὰ ἀπὸ ΖΕ ἴσα ἐστὶν δεκαπέντε τοῖς ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ περιγραφομένου περὶ τὸ ΓΔΕΖΗ πεντάπλευρον (ἐδείχθη
10γὰρ τὰ ἀπὸ ΓΕΖ τοῦ ἀπὸ ΘΚ πενταπλάσια)· δεκαπέντε ἄρα τὰ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ ΠΡΣ τρίγω‐ νον κύκλου ἴσα ἐστὶν δεκαπέντε τοῖς ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέν‐ τρου τοῦ περὶ τὸ ΓΔΕΖΗ κύκλου· ὥστε καὶ τὸ ἓν τῷ ἑνὶ ἴσον· ἡ ἄρα διάμετρος ἴση τῇ διαμέτρῳ, καὶ ὁ κύκλος τῷ
15κύκλῳ· ὁ αὐτὸς ἄρα κύκλος περιλαμβάνει τό τε τοῦ δω‐ δεκαέδρου πεντάγωνον καὶ τὸ τοῦ εἰκοσαέδρου τρίγωνον τῶν εἰς τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐγγραφομένων. νζʹ (ιδʹ). Τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων τὰ δώδεκα πεντάγωνα μείζονά ἐστιν εἴκοσι τριγώνων.
20 Ἔστω κύκλος ὁ περιλαμβάνων τό τε τρίγωνον τοῦ εἰ‐ κοσαέδρου καὶ τὸ πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου ὁ ΒΓΔΕ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸν τριγώνου μὲν πλευρὰ ἡ ΒΕ, πενταγώνου δὲ ἡ ΓΔ, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι, καὶ εἰ‐ λήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Α, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ κάθε‐
25τος ἐπὶ τὰς παραλλήλους ἡ ΑΖΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΕ ΒΘ ΓΘ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΕ τριγώνου πλευρά
ἐστιν, ἡ ΒΘ ἄρα ἑξαγώνου ἐστίν. πάλιν ἐπεὶ ἡ ΓΔ πεν‐

5

.

446

ταγώνου ἐστίν, ἡ ΓΘ ἄρα δεκαγώνου ἐστίν. καὶ κάθετοί εἰσιν αἱ ΒΖ ΓΗ· μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΗΑ τοῦ ὑπὸ ΒΖΑ διὰ τὸ ἑξῆς· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον τοῦ ΑΒΕ τριγώνου· καὶ ξʹ ἄρα τρίγωνα τὰ ΓΔΑ ξʹ τριγώνων τῶν
5ΒΑΕ μείζονά ἐστιν. ἀλλὰ ξʹ μὲν τὰ ΓΑΔ τρίγωνα τὸ δωδεκάεδρόν ἐστιν (ἕκαστον γὰρ πεντάγωνον πέντε ἔχει τρίγωνα ὅμοια τῷ ΓΑΔ), ξʹ δὲ τὰ ΒΑΕ τὸ εἰκοσάεδρόν ἐστιν (ἕκαστον γὰρ τρίγωνον τρία ἔχει ὅμοια τῷ ΒΑΕ)· μείζονα ἄρα τὰ δώδεκα πεντάγωνα εἴκοσι τριγώνων τῶν
10εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων. νηʹ (ιεʹ). Τὸ ὑπερτεθέν. ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ οὗ κέντρον τὸ Κ, καὶ διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ ΒΔ, καὶ ἑξαγώνου μὲν περιφέρεια ἡ ΔΕ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΔΖ, καὶ αἱ ΕΘ ΖΗ κάθετοι ἐπὶ τὴν ΒΔ διάμετρον· ὅτι
15τὸ ὑπὸ ΖΗΚ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΕΘΚ.[Omitted graphic marker] Ἔστω γὰρ ὀκταγώνου ἡ ΔΟ· οἵων ἄρα ὁ κύκλος τξʹ, τοιούτων ἡ μὲν ΔΕ ξʹ, ἡ δὲ ΔΖ λϛʹ, ἡ δὲ ΟΔ μεʹ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΟ θʹ, ἡ δὲ ΟΕ ιεʹ. κείσθω οὖν τῇ ΖΟ ἴση ἡ
ΟΡ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΡ τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν. ἐπιζευχθεῖ‐

5

.

448

σαι δὲ αἱ ΖΕ ΖΡ ἐκβεβλήσθωσαν καὶ ἔστωσαν ὡς αἱ ΝΕΖΞ ΛΡΖΜ εὐθεῖαι· ἐπιζευχθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΚΟ δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τεμεῖ τὴν ΖΡ. τεμνέτω κατὰ τὸ Σ. καὶ ἐπεὶ ἡμίσους ὀρθῆς ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΟΚΛ
5ΟΚΜ, ἴση ἄρα καὶ ἡ μὲν ΚΜ τῇ ΚΛ, μείζων δὲ ἡ ΚΞ πολλῷ τῆς ΚΝ. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΝΚ πρὸς ΚΞ, ἡ ΖΗ πρὸς ΗΞ· ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ΖΗ τῆς ΗΞ. ἀλλὰ ἡ ΖΗ μείζων ἐστὶν τῆς ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΚ καθέτου, τουτ‐ έστιν τῆς ΘΚ (τῇ γὰρ ἀπὸ τοῦ Ρ καθέτῳ ἴση ἐστὶν ἡ
10ΖΗ)· ἡ ΗΘ ἄρα πρὸς ΘΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΗΞ. καὶ συνθέντι ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΞ πρὸς τὴν ΞΗ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΖΗ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΗΚ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΕΘΚ. νθʹ (ιϛʹ). Ἐὰν τρίγωνον ἰσοσκελὲς ἔχον τὴν πρὸς τῇ
15κορυφῇ γωνίαν τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς καὶ ἰσόπλευρον αὐτῷ ἴσον ᾖ, δείκνυται τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς τοῦ ἰσοπλεύ‐ ρου πρὸς τὸ ἀπὸ μιᾶς [πλευρᾶς] τῶν ἴσων πλευρῶν τοῦ ἰσοσκελοῦς ἐλάσσονα λόγον ἔχον ἤπερ εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντά‐
20κις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος. [Omitted graphic marker] Ἔστω γὰρ ἰσο‐ σκελὲς τρίγωνον τὸ ΒΔΕ ἔχον τεσσάρων πέμπτων τὴν πρὸς
25τῷ Ε περιειλημμέ‐ νην κύκλῳ οὗ κέν‐ τρον τὸ Ε καὶ διά‐ μετρος ἡ ΑΕΖΓ κά‐ θετος οὖσα ἐπὶ τὴν
30ΒΔ· πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΖΔ πλευρά. ἐὰν δὲ
ἀπολάβωμεν ἑκατέ‐

5

.

450

ραν τῶν ΓΗ ΓΘ περιφερειῶν δωδεκαγώνου, καὶ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΗΘ καὶ τὰς ΕΗ ΕΘ, ἔσται ἰσόπλευρον τὸ ΕΗΘ. καὶ ἐὰν ἀγάγωμεν ἐφαπτομένην τὴν ΚΓΛ, ἔσται καὶ τὸ ΕΚΛ τρί‐ γωνον ἰσόπλευρον. καὶ ἐὰν θέλωμεν ἁρμόσαι ἴσον τῷ ΒΔΕ
5τριγώνῳ, δείκνυται ὅτι μεταξὺ πίπτει τῶν ΘΕΗ ΚΕΛ, τουτ‐ έστιν τοῦ μὲν ΕΗΘ μεῖζον ἔσται τοῦ δὲ ΚΕΛ ἔλασσον. Ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ ΘΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΜ ὃν δʹ πρὸς γʹ, ἴση δὲ ἡ ΘΕ τῇ ΕΓ, λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΜ ὃν δʹ πρὸς γʹ. ὡς δὲ τὸ
10ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΜ, τὸ ἀπὸ ΚΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΗ, τουτέστιν τὸ ΚΕΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΗΘ τρίγωνον. καὶ τὰ ἑξαπλᾶ· τὸ περιγεγραμμένον ἑξάγωνον πρὸς τὸ ἐγγε‐ γραμμένον λόγον ἔχει ὃν δʹ πρὸς γʹ, τουτέστιν ὃν ιβʹ πρὸς θʹ. τοῦ δὲ περιγεγραμμένου ἑξαγώνου πρὸς εʹ τρίγωνα τὰ
15ΚΕΛ λόγος ἐστὶν ὃν ιβʹ πρὸς ιʹ· καὶ πέντε ἄρα τρίγωνα τὰ ΚΕΛ μείζονά ἐστιν τοῦ ἐγγεγραμμένου ἑξαγώνου· πολλῷ ἄρα τοῦ ἐγγεγραμμένου πενταγώνου μείζονά ἐστιν (ἐν γὰρ κύκλῳ τὸ ἐγγεγραμμένον πεντάγωνον ἰσόπλευρον τοῦ ἐγγρα‐ φομένου ἑξαγώνου ἔλασσόν ἐστιν)· ἔλασσον ἄρα τὸ ΔΕΒ τοῦ
20ΚΕΛ. [Omitted graphic marker] Λέγω δὴ ὅτι καὶ τοῦ ΕΗΘ μεῖ‐ ζόν ἐστιν. εἰλήφ‐ θω γὰρ ἡ ΓΝ πε‐
25ριφέρεια ἑξαγώνου καὶ κάθετος ἡ ΝΞ. καὶ ἐπεὶ διὰ τὸ πρὸ τούτου τὸ ὑπὸ ΔΖΕ μεῖζόν ἐστιν
30τοῦ ὑπὸ ΝΞΕ, καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ὑπὸ ΝΞΕ τὸ ὑπὸ ΘΜΕ (πάντα γὰρ πᾶσίν ἐστιν ἴσα), καὶ τὸ
35ὑπὸ ΔΖΕ ἄρα μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΘΜΕ, ὥστε καὶ τὸ
ΒΔΕ τρίγωνον μεῖζόν ἐστιν τοῦ ΘΕΗ τριγώνου.

5

.

452

 Τὸ ἄρα τῷ ΒΔΕ ἴσον συνιστάμενον ἰσόπλευρον, ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ παράλληλον εἶναι τῇ ΗΘ ἢ τῇ ΚΛ, με‐ ταξὺ τῶν Κ Θ πίπτει. ἐπεὶ οὖν δέδεικται ἐν τῷ ϛʹ λήμ‐ ματι ὅτι εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ
5ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δʹ πρὸς γʹ, ἔχει δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ, λόγον ὃν δʹ πρὸς γʹ, πολλῷ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης εὐθείας πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ
10τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν ΚΕ ΘΕ τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου πλευρᾶς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ, τουτέστιν τῆς ΕΔ τοῦ ἰσο‐ σκελοῦς. ξʹ. Τὰ μὲν οὖν λαμβανόμενα εἰς τὰς συγκρίσεις τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων πέντε σχημάτων ἐδείχθη καθ’ αὑ‐
15τά, δεικτέον δ’ ἐφεξῆς ὅτι τὸ μὲν εἰκοσάεδρον μέγιστόν ἐστιν, μετὰ δὲ τοῦτο τὸ δωδεκάεδρον, εἶτα τὸ ὀκτάεδρον, μετὰ δὲ τὸ ὀκτάεδρον ὁ κύβος, ἐλάχιστον δὲ τὸ τῆς πυρα‐ μίδος. Ἔστω δὲ πρῶτον ἐπὶ τοῦ κύβου καὶ τῆς πυραμίδος ὁ
20λόγος, καὶ ἔστω κύβου μὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓ, πυραμίδος δὲ τρίγωνον τὸ ΔΕΖ. ἐπεὶ οὖν ἴσαι ὑπόκεινται τῶν σχη‐ μάτων αἱ ἐπιφάνειαι, ἓξ ἄρα τετράγωνα τὰ ΑΒ ἴσα ἐστὶν τέσσαρσι τριγώνοις τοῖς ΔΕΖ· λόγος ἄρα τοῦ ΔΕΖ τρι‐ γώνου πρὸς τὸ ΑΒ τετράγωνον ὃν γʹ πρὸς βʹ. ἤχθω δὴ
25ἀπὸ τῆς κορυφῆς τῆς πυραμίδος ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ· φανερὸν δὴ ὅτι τὸ Θ κέν‐
τρον ἐστὶν τοῦ περὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον γραφομένου κύκλου·

5

.

454

τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΔΕ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΕΗ, τοῦ ἀπὸ ΕΘ. καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΕΘΗ· λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ ΗΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΘ ὃν γʹ πρὸς βʹ, τουτέστιν ὃν νδʹ πρὸς λϛʹ. τοῦ δὲ ἀπὸ ΗΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ γʹ τῆς ΗΘ
5λόγος ἐστὶν ὃν λϛʹ πρὸς δʹ· καὶ τοῦ ἀπὸ ΗΕ ἄρα, τουτ‐ έστιν τοῦ ἀπὸ ΕΖ, πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ τρίτου τῆς ΗΘ λόγος ἐστὶν ὃν νδʹ πρὸς δʹ. καὶ ἐπεὶ παντὸς ἰσοπλεύρου τρι‐ γώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς τετράγωνον ἔλασσον ἢ τετρα‐ πλάσιόν ἐστιν τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου, τέσσαρα ἄρα τρί‐
10γωνα τὰ ΔΕΖ, ἅπερ ἐστὶν ἓξ τετράγωνα τὰ ἀπὸ ΑΓ, μείζονά ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΕΖ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΖ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν αʹ πρὸς ϛʹ, τουτέστιν ἢ ὃν θʹ πρὸς νδʹ. τοῦ δὲ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ τρίτου τῆς ΗΘ λόγος ἐστὶν ὃν νδʹ πρὸς δʹ, ὡς ἐδείχθη, καὶ δι’ ἴσου
15τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ τρίτου τῆς ΗΘ μείζονα λό‐ γον ἔχει ἤπερ τὰ θʹ πρὸς τὰ δʹ· καὶ μήκει ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς τὸ τρίτον τῆς ΗΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὰ γʹ πρὸς τὰ βʹ. ἐδείχθη δὲ λόγος τοῦ ΔΕΖ τριγώνου πρὸς τὸ ΑΒ τετράγωνον, ὃν γʹ πρὸς βʹ· τὸ ΔΕΖ ἄρα τρίγωνον
20πρὸς τὸ ΑΒ τετράγωνον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ πρὸς τὸ γʹ τῆς ΗΘ. καὶ ἀνάπαλιν ἡ ΑΓ πρὸς τὸ τρίτον τῆς ΗΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒ τετράγωνον. ἐὰν ἄρα ποιῶμεν ὡς τὴν ΑΓ πρὸς τὸ τρίτον τῆς ΗΘ, οὕτως τὸ ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς ἄλλο τι,
25ἔσται πρὸς ἔλασσον χωρίον τοῦ ΑΒ τετραγώνου· καὶ ἔστιν ὁ μὲν κύβος τὸ ΑΒ τετράγωνον ἐφ’ ὕψος τὴν ΑΓ, ἡ δὲ πυραμὶς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον ἐφ’ ὕψος τὸ τρίτον τῆς ἀπὸ τῆς κορυφῆς τῆς πυραμίδος ἀγομένης καθέτου ἐπὶ τὸ ΔΕΖ
τρίγωνον· μείζων ἄρα ὁ κύβος τῆς πυραμίδος.

5

.

456

 ξαʹ. Τὸ ὀκτάεδρον τοῦ κύβου μεῖζόν ἐστιν. Ἔστω γὰρ ὀκταέδρου μὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, κύβου δὲ τετράγωνον τὸ ΖΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς περιλαμβα‐ νούσης τὸ ὀκτάεδρον σφαίρας ἔστω κάθετος ἠγμένη ἐπὶ τὸ
5ΑΒΓ τρίγωνον ἡ ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΒ ΒΕ. ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ὀκτὼ τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ἴσα ἓξ τετραγώνοις τοῖς ΖΗ, λόγος ἄρα τοῦ ΖΗ τετραγώνου πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ὃν δʹ πρὸς γʹ. καὶ ἔστιν διὰ τὸ αʹ λῆμμα καθό‐ λου παντὸς τριγώνου ἰσοπλεύρου τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς
10τετράγωνον μεῖζον ἢ διπλάσιον τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου· καὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ ἄρα μεῖζόν ἐστιν ἢ ϛʹ οἵων τὸ ἀπὸ ΖΘ δʹ. τέσσαρα ἄρα πρὸς ϛʹ, τουτέστιν λϛʹ πρὸς νδʹ, μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ. καὶ ἐπεὶ διὰ τὸ βʹ λῆμμα λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ
15ΔΕ ὃν γʹ πρὸς αʹ, ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ ΒΔ τοῖς ἀπὸ ΒΕΔ, λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ ὃν αʹ πρὸς βʹ. τοῦ δὲ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ ὃν ϛʹ πρὸς βʹ διὰ τὸ ιβʹ τοῦ ιγʹ στοιχείων· λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ ὃν αʹ πρὸς ϛʹ, τουτέστιν ὃν θʹ πρὸς νδʹ. τοῦ δὲ ἀπὸ
20τοῦ γʹ τῆς ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ λόγος ἐστὶν ὃν αʹ πρὸς θʹ (τὰ γὰρ μήκει τριπλάσια δυνάμει ἐνναπλάσια [καὶ τὰ μήκει ἐπίτριτα δυνάμει ἔννατά] ἐστιν)· καὶ τοῦ ἀπὸ τοῦ τρίτου οὖν τῆς ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ λόγος ἐστὶν ὃν αʹ πρὸς νδʹ. ἐδείχθη δὲ ὅτι λϛʹ πρὸς νδʹ μείζονα λόγον ἔχει
25ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ· δι’ ἴσου ἄρα λϛʹ πρὸς αʹ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ γʹ τῆς ΔΕ· καὶ μήκει ἄρα ϛʹ πρὸς αʹ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὸ γʹ τῆς ΔΕ. λόγος δὲ ϛʹ τετραγώνων τῶν ΖΗ πρὸς αʹ ὃν ϛʹ πρὸς αʹ. καὶ ἔστιν τὰ ϛʹ τετράγωνα
30ἴσα ηʹ τριγώνοις τοῖς ΑΒΓ· καὶ ηʹ ἄρα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ
πρὸς τὸ ΖΗ τετράγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ

5

.

458

πρὸς τὸ γʹ τῆς ΔΕ. καὶ ἔστιν ὀκτάεδρον ὀκτὼ τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ἐφ’ ὕψος τὸ γʹ τῆς ΔΕ, κύβος δὲ τὸ ΖΗ τετρά‐ γωνον ἐφ’ ὕψος τὴν ΘΖ· μεῖζον ἄρα τὸ ὀκτάεδρον τοῦ κύβου.
5 ξβʹ. Ἔστω δεῖξαι ὅτι τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ ὀκταέδρου μεῖζόν ἐστιν. Καὶ ἔστω ὀκταέδρου μὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, εἰκοσαέ‐ δρου δὲ τὸ ΔΕΖ, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν κέντρων τῶν σφαι‐ ρῶν τῶν περιλαμβανουσῶν τὰ στερεὰ ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα τῶν
10στερεῶν κάθετοι αἱ ΗΘ ΚΛ. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ἐν τῷ ζʹ θεωρήματι τῶν προγραφομένων ὅτι δώδεκα τὰ ἀπὸ ΗΘ μείζονά ἐστιν πέντε τῶν ἀπὸ ΕΖ, πέντε δὲ τὰ ἀπὸ ΕΖ δύο ἐστὶν τὰ ἀπὸ ΒΓ (ἐπείπερ καὶ πέντε τρίγωνα τὰ ΔΕΖ ἴσα ἐστὶν δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΑΒΓ· καὶ γὰρ τετραπλάσια
15κʹ τρίγωνα τοῖς ηʹ ἴσα ἐστίν, καὶ ὡς τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρίγωνον, οὕτως τὸ τετράγωνον πρὸς τὸ τετράγωνον τῶν ὁμοίων σχημάτων πρὸς ἄλληλα διπλασίονα λόγον ἐχόντων ἤπερ τῆς ὁμολόγου πλευρᾶς πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν), δύο δὲ τὰ ἀπὸ ΒΓ δώδεκά ἐστιν τὰ ἀπὸ ΚΛ (προδέδεικται
20γὰρ λόγος τοῦ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΛ ὃν ϛʹ πρὸς αʹ), δώδεκα ἄρα τὰ ἀπὸ ΗΘ μείζονά ἐστιν δώδεκα τῶν ἀπὸ ΚΛ· μείζων ἄρα ἡ ΘΗ τῆς ΚΛ. καὶ τὸ γʹ τῆς ΘΗ τοῦ γʹ τῆς ΚΛ μεῖζον. καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν εἰκοσάεδρόν ἐστιν εἴ‐ κοσι τρίγωνα τὰ ΔΕΖ ἐφ’ ὕψος τὸ γʹ τῆς ΗΘ, τὸ δὲ ὀκ‐
25τάεδρον ὀκτὼ τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ἐφ’ ὕψος τὸ γʹ τῆς ΚΛ, καὶ ἔστιν κʹ τρίγωνα τὰ ΔΕΖ ἴσα ὀκτὼ τριγώνοις τοῖς ΑΒΓ
διὰ τὴν ὑπόθεσιν, μεῖζον ἄρα τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ ὀκταέδρου.

5

.

460

 ξγʹ. Τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ δωδεκαέδρου μεῖζόν ἐστιν. Ἔστω γὰρ πεντάγωνον μὲν τὸ ΑΒΓ ἓν τῶν τοῦ δω‐ δεκαέδρου, τρίγωνον δὲ τὸ ΔΕΖ ἓν τῶν τοῦ εἰκοσαέδρου, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν κέντρων τῶν σφαιρῶν τῶν περι‐
5εχουσῶν τὰ στερεὰ σχήματα ἐπὶ τὰ ΔΕΖ ΑΒΓ ἐπίπεδα κάθετοι αἱ ΗΘ ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΔ ΘΔ ΚΑ ΑΛ. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ἐν τῷ ιβʹ θεωρήματι τῶν προ‐ γραφομένων ὅτι ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τό τε πεντά‐ γωνον τοῦ δωδεκαέδρου καὶ τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου τοῦ
10εἰς τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐγγραφομένου τῷ δωδεκαέδρῳ, ὥστε ἡ ΑΛ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν τοῦ κύκλου τοῦ περιλαμβά‐ νοντος τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου, ἡ δὲ ΚΛ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος, ἡ δὲ ΚΑ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ἀλλὰ καὶ τὸ ΗΘΔ τρίγωνον
15ὁμοίως ἐστὶν λαμβανόμενον [διὸ δὴ καὶ ὅμοιόν ἐστιν τῷ ΚΛΑ τριγώνῳ. ὡς γὰρ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος τῆς περιλαμβανούσης τὸ δωδεκάεδρον πρὸς τὴν ΑΛ, οὕτως ἡ τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸ εἰκοσάεδρον πρὸς τὴν ΔΘ. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ τοῦ τριγώνου ἰσοπλεύρου πλευρὰ
20τοῦ ἐγγραφομένου εἰς τὸν κύκλον τὸν δεχόμενον τὸ τρίγω‐ νον τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ τὸ πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου πρὸς τὴν ΑΛ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς ΔΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΑ ἐκ κέντρου σφαίρας πρὸς ΑΛ, οὕτως ἡ ΗΔ ἐκ κέντρου σφαίρας πρὸς ΔΘ. καὶ ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Λ Θ
25γωνίαι· ὅμοιον ἄρα τὸ ΑΚΛ τρίγωνον τῷ ΔΗΘ τριγώνῳ],
καὶ ἐπεὶ πάλιν ἐδείχθη ἐν τῷ ιδʹ θεωρήματι τῶν προγρα‐

5

.

462

φομένων ὅτι εἴκοσι τρίγωνα τὰ ΔΕΖ, τουτέστιν δώδεκα πεντάγωνα τὰ ΑΒΓ, μείζονά ἐστιν εἴκοσι τριγώνων τῶν ἐγγραφομένων εἰς τὸν κύκλον τὸν περιλαμβάνοντα τὸ ΑΒΓ πεντάγωνον, φανερὸν ὡς καὶ ὁ περὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον κύ‐
5κλος μείζων ἐστὶν τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ πεντάγωνον· ὥστε καὶ ἡ ΔΘ μείζων ἐστὶν τῆς ΑΛ. καὶ ἔστιν ὅμοια τὰ ΔΗΘ ΑΚΛ τρίγωνα· ὡς ἄρα ἡ ΔΘ πρὸς ΘΗ, οὕτως ἡ ΑΛ πρὸς ΛΚ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΔΘ πρὸς ΑΛ, ἡ ΗΘ πρὸς ΚΛ. μείζων δὲ ἡ ΔΘ τῆς ΑΛ· μείζων ἄρα καὶ ἡ
10ΗΘ τῆς ΚΛ. καὶ τὸ τρίτον ἄρα τῆς ΗΘ τοῦ τρίτου τῆς ΚΛ μεῖζόν ἐστιν. καὶ ἔστιν τὸ μὲν εἰκοσάεδρον εἴκοσι τρίγωνα τὰ ΔΕΖ ἐπὶ τὸ τρίτον τῆς ΗΘ, τὸ δὲ δωδεκά‐ εδρόν ἐστιν δώδεκα πεντάγωνα τὰ ΑΒΓ ἐπὶ τὸ τρίτον τῆς ΚΛ. καὶ ὑπόκειται κʹ τρίγωνα τὰ ΔΕΖ ιβʹ πενταγώνοις
15τοῖς ΑΒΓ ἴσα· μεῖζον ἄρα τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ δωδεκαέδρου. ξδʹ. Τὸ δωδεκάεδρον τοῦ ὀκταέδρου μεῖζόν ἐστιν.[Omitted graphic marker] Ἔστω δωδεκαέδρου μὲν πεντάγωνον τὸ ΦϙΤ καὶ κά‐ θετος ἡ ΥΩ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμ‐
βανούσης τὸ δωδεκάεδρον ἐπὶ τὸ ΦϙΤ πεντάγωνον ἠγμένη,

5

.

464

καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΩΦ Ωϙ ΩΤ ΥΦ, ὀκταέδρου δὲ τρί‐ γωνον τὸ ΣΡΠ ἔστω, καὶ ὁμοίως ἡ ΧΨ κάθετος, ἣν δεῖ ἐλάσσονα δεῖξαι τῆς ΥΩ καθέτου. Ἐκκείσθω δὲ καὶ τὸ ληφθὲν θεώρημα εἰς τὴν σύγκρι‐
5σιν τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ ὀκταέδρου [οὗ σημεῖον ἀστήρ], δι’ οὗ ἐδείχθη δώδεκα τὰ ἀπὸ ΟΝ μείζονα πέντε τῶν ἀπὸ ΒΔ. ἔστω δὲ καὶ τὸ ͵Δ͵Β͵Γ τρίγωνον εἰκοσαέδρου, καὶ κάθετος ἀπὸ τοῦ ͵Δ ἡ ͵Δ͵Ε, ὡς ἐν τῷ προκειμένῳ θεωρήματι· ὅμοιον ἄρα τὸ ΥΦΩ τῷ τε ͵Δ͵Α͵Ε τριγώνῳ
10καὶ τῷ ΟΝΛ [καὶ ιβʹ τὰ ἀπὸ ͵Δ͵Ε μείζονα εʹ τῶν ἀπὸ ͵Β͵Γ, τουτέστιν ιβʹ τὰ ἀπὸ ΥΩ μείζονα εʹ τῶν ἀπὸ ϙΤ.] ἐπεὶ οὖν διὰ τοῦ ιϛʹ λημματίου ἐδείχθη ὅτι, ἐὰν ᾖ τρίγω‐ νον ἰσοσκελὲς ὡς τὸ ϙΩΤ ἔχον τὴν πρὸς τῷ Ω γωνίαν τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς καὶ ἰσόπλευρον ἴσον αὐτῷ ὡς τὸ
15ΜαΜβΜΓ, τὸ ἀπὸ ΜαΜβ πρὸς τὸ ἀπὸ ϙΩ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομέ‐ νης τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσο‐ νος, καὶ ἡ ΕΓ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται
κατὰ τὸ Ξ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ

5

.

466

ΞΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΜαΜβ πρὸς τὸ ἀπὸ ϙΩ, τουτέστιν τὸ πεντεκαιδεκάκις ἀπὸ ΜαΜβ πρὸς τὸ πεντεκαιδεκάκις ἀπὸ ϙΩ. καὶ ἐπεὶ ἔχομεν ηʹ τρίγωνα τὰ ΣΡΠ ἴσα ιβʹ πενταγώνοις τοῖς ΦϙΤ, τουτέστιν ξʹ τριγώ‐
5νοις τοῖς ϙΩΤ, ὥστε καὶ δύο τρίγωνα τὰ ΣΡΠ ἴσα ἐστὶν ιεʹ τριγώνοις τοῖς ϙΩΤ, τουτέστιν ιεʹ τοῖς ΜαΜβΜΓ ὥστε καὶ τὸ δὶς ἀπὸ ΣΠ ἴσον ἐστὶν τῷ πεντεκαιδεκάκις ἀπὸ ΜβΜΓ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ΞΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δύο τὰ ἀπὸ ΣΠ πρὸς τὸ
10πεντεκαιδεκάκις ἀπὸ ΩΦ (ἴση γάρ ἐστιν ἡ Ωϙ τῇ ΩΦ). δύο δὲ τὰ ἀπὸ ΣΠ ιβʹ ἐστιν τὰ ἀπὸ ΧΨ, ὡς ἐδείχθη ἐν τῇ συγκρίσει τοῦ κύβου καὶ ὀκταέδρου· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΞΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβʹ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ ΩΦ. καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΞΚ
15τῇ ΚΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ εἰκοσάκις ἀπὸ τῆς ΚΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβʹ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ ΩΦ· ὥστε καὶ λϛʹ τὰ ἀπὸ ΕΓ, τουτέστιν λϛʹ τὰ ἀπὸ ΓΛ, πρὸς ψκʹ τὰ ἀπὸ ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβʹ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ ΩΦ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΓΛ πρὸς
20ΓΚ, ἡ ΛΜ πρὸς ΙΜ, ὡς δὲ ἡ ΛΜ πρὸς ΜΙ, ἡ ΟΝ πρὸς ΝΙ· ὥστε καὶ λϛʹ τὰ ἀπὸ ΟΝ πρὸς ψκʹ τὰ ἀπὸ ΝΙ, τουτ‐ έστιν πʹ τὰ ἀπὸ ΙΛ (τριπλασία γὰρ ἐν τῷ ζʹ λήμματι ἐδείχθη ἡ ΙΛ τῆς ΙΝ), τουτέστιν κʹ τὰ ἀπὸ ΚΔ, τουτέστιν ιεʹ τὰ ἀπὸ ΒΔ (ἐπίτριτος γὰρ ἡ ΒΔ τῆς ΚΛ δυνάμει),
25μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβʹ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ ΩΦ· ὥστε καὶ ιβʹ τὰ ἀπὸ ΟΝ πρὸς εʹ τὰ ἀπὸ ΒΔ μεί‐
ζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβʹ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ

5

.

468

ΩΦ. πέντε δὲ τὰ ἀπὸ ΒΔ ιεʹ ἐστιν τὰ ἀπὸ ΝΛ, ὡς ἔστιν ἐν τῷ ιγʹ τῶν στοιχείων (τὸ γὰρ κέντρον τοῦ περὶ τὸ ΒΔΛ τρίγωνον κύκλου τὸ Ν σημεῖόν ἐστιν)· καὶ ιβʹ ἄρα τὰ ἀπὸ ΟΝ πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ ΛΝ, τουτέστιν ιβʹ τὰ ἀπὸ
5͵Δ͵Ε πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ ͵Ε͵Α, μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβʹ[Omitted graphic marker] τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ ΩΦ. καὶ ἔστιν ὅμοιον τὸ ͵Δ͵Α͵Ε τρίγωνον τῷ ΥΦΩ τριγώνῳ· καὶ ιβʹ ἄρα τὰ ἀπὸ ΥΩ πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ ΩΦ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβʹ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ ΩΦ· μείζων ἄρα ἡ ΥΩ κάθετος τῆς
10ΧΨ καθέτου. καὶ ὑπόκεινται αἱ ἐπιφάνειαι ἴσαι τῶν στε‐ ρεῶν σχημάτων· μεῖζον ἄρα τὸ δωδεκάεδρον τοῦ ὀκταέδρου. ξεʹ. Ὅτι μὲν οὖν τῶν εʹ σχημάτων τούτων ἃ δὴ καὶ πολύεδρα καλεῖται τὸ πολυεδρότερον αἰεὶ μεῖζόν ἐστιν φα‐ νερὸν ἐκ τῶν ἀποδεδειγμένων, ὅτι δὲ πλείω τῶν πέντε
15τούτων ἀδύνατόν ἐστιν εὑρεῖν ἄλλα σχήματα ἴσοις καὶ ὁμοίοις ἰσοπλεύροις πολυγώνοις περιεχόμενα μάθοι τις ἂν καὶ οὕτως.
Πᾶσαν στερεὰν γωνίαν ἐκ τριῶν ἐλαχίστων συνεστάναι

5

.

470

γωνιῶν ἐπιπέδων ἀναγκαῖον, καὶ αἱ περιέχουσαι αὐτάς, ἐάν τε τρεῖς ὦσιν ἐάν τε πλείους, τῶν τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάτ‐ τονές εἰσιν πάντως. ὑπὸ μὲν οὖν ἑξαγώνου γωνιῶν ἤ τινος εὐθυγράμμου πολυγωνοτέρου περισχεθῆναι στερεὰν γωνίαν
5ἀδύνατον (αἱ γὰρ ἐλάχισται δυνάμεναι περιλαβεῖν αὐτὴν τρεῖς τεσσάρων ὀρθῶν οὐκ εἰσὶν ἐλάττους), ὑπὸ δὲ πεντα‐ γώνου τριῶν μόνων δυνατόν, ὡς καὶ συνέστηκεν ἡ τοῦ δω‐ δεκαέδρου. πάλιν δὲ τέσσαρες μὲν ἢ πλείους τετραγώνου γωνίαι περιέχειν στερεὰν γωνίαν οὐ δύνανται (τεσσάρων γὰρ
10ὀρθῶν οὐκ εἰσὶν ἐλάττους), τρεῖς δὲ περιέχουσιν τὴν τοῦ κύβου. κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἰσοπλεύρου τριγώνου ἓξ μὲν ἢ πλείους γωνίαι τεσσάρων ὀρθῶν οὐκ εἰσὶν ἐλάττους, καὶ διὰ τοῦτο στερεὰν γωνίαν οὐ περιέχουσι, πέντε δὲ καὶ τέσσαρες καὶ τρεῖς δύνανται, καὶ περιέχεται ὑπὸ μὲν πέντε
15ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου, ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἡ τοῦ ὀκταέδρου, ὑπὸ δὲ τριῶν ἡ τῆς πυραμίδος. δῆλον οὖν ἐκ τῶν εἰρημένων ὅτι παρὰ ταύτας οὐκ ἔστιν ἄλλη στερεὰ γωνία ἐξ ἴσων καὶ τοῦ αὐτοῦ πολυγώνου συνεστηκυῖα γωνιῶν, ὥστε οὐδὲ πο‐ λύεδρον εὑρεῖν ἄλλο παρὰ τὰ προειρημένα πέντε δυνατόν
20ἐστιν ὑπὸ ἴσων καὶ ὁμοίων πολυγώνων περιεχόμενον.

6

.

474

(1t)

ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ ϛ.
2nΠεριέχει δὲ ἀποριῶν λύσεις τῶν ἐν τῷ μικρῷ ἀστρονομουμένῳ.
3 Πολλοὶ τῶν τὸν ἀστρονομούμενον τόπον διδασκόντων ἀμελέστερον τῶν προτάσεων ἀκούοντες τὰ μὲν προστιθέασιν
5ὡς ἀναγκαῖα, τὰ δὲ παραλείπουσιν ὡς οὐκ ἀναγκαῖα. λέ‐ γουσιν γὰρ ἐπὶ τοῦ ἕκτου θεωρήματος τοῦ τρίτου τῶν Θεο‐ δοσίου σφαιρικῶν, ὅτι δεῖ τῶν δύο μεγίστων κύκλων ἑκά‐ τερον ὑπὸ τοῦ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας τέμνεσθαι πρὸς ὀρθάς· τοῦτο δὲ οὐ πάντως. ὁμοίως δὲ παραλείπουσιν ἐν
10τῷ βʹ θεωρήματι τῶν φαινομένων Εὐκλείδου, ποσάκις ὁ ζῳδιακὸς [δὶς] ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα. κἀν τῷ δʹ θεωρήματι τοῦ περὶ ἡμερῶν καὶ νυκτῶν ψευδογραφοῦσι τὸν Θεοδόσιον, καὶ ἄλλα δέ τινα τῶν ἑξῆς ὡς οὐκ ἀναγκαῖα παραλείπουσιν, ὧν ἕκαστον ἐπιδείξομεν ἡμεῖς.
15 αʹ. Ἐὰν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας τρεῖς περιφέρειαι μεγίστων κύκλων τέμνωσιν ἀλλήλας, ὧν ἑκάστη ἐλάττων ἐστὶν ἡμικυκλίου, δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν πάντη με‐
ταλαμβανόμεναι.

6

.

476

 Τεμνέτωσαν γὰρ ἀλλήλας μεγίστων κύκλων περιφέρειαι κατὰ τὰ Α Β Γ σημεῖα· λέγω ὅτι αἱ δύο τῆς λοιπῆς μεί‐ [Omitted graphic marker]ζονές εἰσιν πάντη μεταλαμβα‐ νόμεναι.
5 Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας, τὸ δ’ αὐτὸ καὶ τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΑ περιφερειῶν, καὶ ἔστω τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύ‐ χθωσαν αἱ ΔΑ ΔΒ ΔΓ. ἐπεὶ
10οὖν στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Δ ὑπὸ γʹ γωνιῶν ἐπιπέδων τῶν ὑπὸ ΑΔΒ ΒΔΓ ΓΔΑ περι‐ έχεται, δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν πάντη μεταλαμβανό‐ μεναι. καὶ βεβήκασιν αἱ ὑπὸ ΑΔΒ ΒΔΓ ΓΔΑ γωνίαι ἐπὶ τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΑ περιφερειῶν· αἱ δύο ἄρα τῆς λοι‐
15πῆς μείζονές εἰσιν πάντη μεταλαμβανόμεναι. Καλεῖ δὲ τὸ τοιοῦτο σχῆμα Μενέλαος ἐν τοῖς σφαιρι‐ κοῖς τρίπλευρον. βʹ. Ἐὰν τριπλεύρου ἐπὶ μιᾶς πλευρᾶς δύο κύκλων με‐ γίστων περιφέρειαι συσταθῶσιν ἐντός, αἱ συσταθεῖσαι τῶν
20λοιπῶν τοῦ τριπλεύρου δύο πλευρῶν ἐλάττονες ἔσονται. Τριπλεύρου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ μιᾶς πλευρᾶς τῆς ΒΓ δύο μεγίστων κύκλων περιφέρειαι συνεστάτωσαν ἐντὸς αἱ ΒΔΓ· λέγω ὅτι αἱ ΒΔΓ τῶν ΒΑΓ ἐλάττονές εἰσιν. Ἐπεὶ παντὸς τριπλεύρου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς
25μείζονές εἰσιν, αἱ ἄρα ΓΕ ΕΔ τῆς ΓΔ μείζονές εἰσιν. κοινὴ προσκείσθω ἡ ΔΒ· αἱ ἄρα ΓΕΒ τῶν ΓΔΒ μείζονές εἰσιν. πάλιν ἐπεὶ παντὸς τριπλεύρου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν, αἱ ἄρα ΒΑΕ τῆς ΕΒ μείζονές εἰσιν. κοινὴ προσκείσθω ἡ ΕΓ· αἱ ἄρα ΒΑΓ τῶν ΒΕΓ μείζονές εἰσιν.
30ἀλλ’ αἱ ΒΕΓ τῶν ΒΔΓ μείζονές εἰσιν· πολλῷ ἄρα αἱ ΒΑΓ
τῶν ΒΔΓ μείζονές εἰσιν.

6

.

478

 γʹ. Τριῶν κύκλων μεγίστων περιφέρειαι αἱ ΑΒ ΑΓ ΑΔ μεγίστου κύκλου περιφέρειαν τὴν ΒΔ τεμνέτωσαν, καὶ ἔστω ἑκάστη μὲν τῶν ΑΒ ΑΓ ΑΔ ἐλάσσων τεταρτημορίου, ἴση δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ· δεῖξαι ὅτι συναμφότερος ἡ ΒΑΔ τῆς
5ΑΓ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ. [Omitted graphic marker] Κείσθω τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΓΕ. ἐπεὶ ἐλάσσων τεταρτημορίου ἡ ΑΓ, ἐλάσ‐ σων ἄρα τεταρτημορίου καὶ ἡ ΓΕ· ἐλάσσων ἄρα ἡμικυκλίου ἡ ΑΕ· οὐκ
10ἄρα ὁ ΑΔ κύκλος προσαναπληρού‐ μενος ἥξει διὰ τοῦ Ε. γεγράφθω οὖν διὰ τῶν Ε Δ μέγιστος κύκλος ὁ ΕΔΖ, καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΓ τῇ ΓΒ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΓΕ, ἴση ἄρα
15ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Ε τῇ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ. ἐπεὶ δὲ παντὸς τριπλεύρου αἱ δύο τῆς λοι‐ πῆς μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ μὲν ΔΕ
20τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ΕΓ τῇ ΓΑ, συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΔ τῆς ΑΓ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ. δʹ. Τεσσάρων κύκλων μεγίστων περιφέρειαι αἱ ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΕ μεγίστου κύκλου περιφέρειαν τὴν ΒΕ τεμνέτωσαν, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΒΓ ἴση τῇ ΔΕ, ἑκάστη δὲ τῶν ΑΒ ΑΓ
25ΑΔ ΑΕ ἐλάσσων τεταρτημορίου· δεῖξαι ὅτι συναμφότερος ἡ ΒΑΕ συναμφοτέρου τῆς ΓΑΔ ἐστὶ μείζων. Τετμήσθω ἡ ΓΔ δίχα τῷ Ζ, καὶ γεγράφθω διὰ τῶν Α Ζ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΖΗ, καὶ κείσθω τῇ ΑΖ ἴση ἡ ΖΗ, καὶ γεγράφθω διὰ μὲν τῶν Η Ε μέγιστος κύκλος ὁ
30ΗΕΚ, διὰ δὲ τῶν Η Δ μέγιστος κύκλος ὁ ΗΔΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΗΖ τῇ ΖΑ, ἡ δὲ ΔΖ τῇ ΖΓ, ἴση ἄρα
ἐστὶν καὶ ἡ ΔΗ τῇ ΓΑ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΕΗ τῇ

6

.

480

ΒΑ ἐστὶν ἴση. ἐπεὶ δὲ τριπλεύρου τοῦ ΗΕΑ ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν τῆς ΗΑ δύο συνεστᾶσιν ἐντὸς αἱ ΑΔ ΔΗ, αἱ ΑΔΗ ἄρα τῶν ΑΕΗ ἐλάσσονές εἰσιν, ὥστε αἱ ΑΕΗ τῶν ΑΔΗ μείζονές εἰσιν. ἴση δὲ ἡ μὲν ΕΗ τῇ ΑΒ, ἡ δὲ
5ΗΔ τῇ ΑΓ· συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΕ συναμφοτέρου τῆς ΓΑΔ μείζων ἐστίν, ὅπερ· ⁓ εʹ. Τούτων προδεδειγμένων ἔστω τὸ εʹ θεώρημα τοῦ γʹ τῶν Θεοδοσίου σφαιρικῶν ἄλλως δεῖξαι. [Omitted graphic marker] Ἐπὶ γὰρ μεγίστου
10κύκλου περιφερείας τοῦ ΑΒΓ ὁ πόλος ἔστω τῶν παραλλήλων ὁ Α, καὶ τοῦτον τεμνέτωσαν δύο μέγιστοι κύκλοι πρὸς ὀρ‐
15θάς, ὧν ὁ μὲν ΒΓ τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ΕΖ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλ‐ λήλους, καὶ ἀπειλήφθω‐ σαν ἀπὸ τοῦ ΕΖ ἴσαι
20περιφέρειαι ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη αἱ ΗΘΚ, καὶ γεγράφθωσαν κύκλοι διὰ τῶν Η Θ Κ σημείων παράλληλοι τῷ ΒΓ οἱ ΜΝ ΞΟ ΠΡ· δεῖξαι ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΠΞ τῆς ΜΞ.
25 Γεγράφθωσαν γὰρ διὰ τοῦ Α καὶ ἑκάστου τῶν Κ Η Θ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΚ ΑΘ ΑΗ· φανερὸν δὴ ὅτι ἑκάστη τῶν ΑΚ ΑΘ ΑΗ περιφερειῶν ἐλάσσων ἐστὶν τεταρτημο‐ ρίου (ἐπειδὴ τεταρτημορίου ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἕως τοῦ ΒΓ μεγίστου κύκλου). ἐπεὶ οὖν τριῶν μεγίστων κύκλων
30περιφέρειαι αἱ ΑΚ ΑΘ ΑΗ μεγίστου κύκλου τοῦ ΕΖ
περιφέρειαν τέμνουσιν, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΚΘ τῇ ΘΗ, ἑκάστη

6

.

482

δὲ τῶν ΑΚ ΑΘ ΑΗ ἐλάσσων ἐστὶν τεταρτημορίου, διὰ ἄρα τὸ προδεδειγμένον συναμφότερος ἡ ΚΑΗ τῆς ΑΘ μεί‐ ζων ἐστὶν ἢ διπλῆ, ὧν συναμφότερος ἡ ΚΑΤ τῆς ΑΣ ἐστὶν διπλῆ (αἱ γὰρ τρεῖς αἱ ΑΣ ΑΚ ΑΤ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν
5διὰ τοῦ πόλου)· λοιπὴ ἄρα ἡ ΤΗ τῆς ΣΘ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ. ἴση δὲ ἡ ΣΘ τῇ ΤΥ· ἡ ΗΥ ἄρα τῆς ΤΥ μείζων ἐστίν. ἴση δὲ ἡ μὲν ΗΥ τῇ ΠΞ, ἡ δὲ ΥΤ τῇ ΞΜ· μεί‐ ζων ἄρα ἡ ΠΞ τῆς ΞΜ, ὅπερ· ⁓ ϛʹ. Ἔστω δὴ δεῖξαι μὴ οὐσῶν συνεχῶν τῶν ἴσων περι‐
10φερειῶν (τοῦτο γὰρ οὐκ ἔδειξεν Θεοδόσιος), καὶ ἔστω τὸ αὐτὸ σχῆμα, αἱ δὲ ἴσαι περιφέρειαι ἔστωσαν αἱ ΗΘ ΚΛ, καὶ ἔστωσαν οἱ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΜΝ ΞΟ ΠΡ ΣΤ, καὶ γεγράφθωσαν διὰ τοῦ Α καὶ ἑκάστου τῶν Η Θ Κ Λ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΗ ΑΘ ΑΚ ΑΛ· ἔσονται δὴ ἐλάσ‐
15σονες τεταρτημορίου. καὶ ἔσται διὰ τὸ ἐπάνω δʹ θεώρημα συναμφότερος ἡ ΛΑΗ συναμφοτέρου τῆς ΚΑΘ μείζων, συναμφότερος δὲ ἡ ΛΑΧ συναμφοτέρῳ τῇ ΥΑΦ ἴση ἐστίν (ἐκ πόλου γάρ εἰσιν τοῦ ΜΝ κύκλου)· λοιπὴ ἄρα ἡ ΧΗ συναμφοτέρου τῆς ΦΘ ΥΚ μείζων ἐστίν. ἴση δὲ ἡ ΦΘ
20τῇ ΧΨ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΨΗ τῆς ΥΚ μείζων ἐστίν. ἴση δὲ ἡ μὲν ΨΗ τῇ ΣΠ, ἡ δὲ ΥΚ τῇ ΜΞ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΣΠ τῆς ΜΞ, ὅπερ· ⁓ ζʹ. Ἔστω νῦν ἄλλως τὸ αὐτὸ δεῖξαι. ἐπὶ γὰρ μεγίστου κύκλου περιφερείας τοῦ ΑΒΓ ὁ πόλος ἔστω τῶν παραλ‐
25λήλων, καὶ τοῦτον τεμνέτωσαν δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΔΕ ΒΓ πρὸς ὀρθάς, ὧν ὁ μὲν ΒΓ ἔστω τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ΔΕ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους, καὶ ἀπὸ τοῦ ΔΕ ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΖΗ ΘΚ, καὶ γεγράφθωσαν παράλλη‐ λοι κύκλοι οἱ ΛΜ ΝΞ ΟΠ ΡΣ· λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν
30ἡ ΟΡ τῆς ΝΛ.

6

.

484

 Ἡ γὰρ ΖΗ τῇ ΗΘ ἤτοι σύμμετρός ἐστιν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον σύμμετρος. ἴση δὲ ἡ ΗΖ τῇ ΘΚ· καὶ ἡ ΘΚ τῇ [Omitted graphic marker]ΘΗ ἄρα σύμμετρός ἐστιν· αἱ τρεῖς ἄρα
5αἱ ΖΗ ΗΘ ΘΚ σύμ‐ μετροι ἀλλήλαις εἰ‐ σίν. διῃρήσθωσαν οὖν εἰς τὰ μέτρα τοῖς Τ Υ Φ Χ Ψ, καὶ γε‐
10γράφθωσαν διὰ τῶν Τ Υ Φ Χ Ψ παράλ‐ ληλοι κύκλοι οἱ ΩΤ ͵ΑΥ Φ͵Β Χ͵Γ Ψ͵Δ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΖΤ ΤΥ
15ΥΗ ΗΦ ΦΘ ΘΧ ΧΨ ΨΚ περιφέρειαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, αἱ ἄρα ΡΩ Ω͵Α ͵ΑΟ Ο͵Β ͵ΒΝ Ν͵Γ ͵Γ͵Δ ͵ΔΛ ἄνισοι εἰσὶν ἐξ ἀρχῆς ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΡΩ. καὶ ἔστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΡΩ Ω͵Α ͵ΑΟ τῷ
20πλήθει τῶν Ν͵Γ ͵Γ͵Δ ͵ΔΛ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΡΟ τῆς ΝΛ. ηʹ. Ἀλλὰ δὴ τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων μὴ ἔστω σύμ‐ μετρος ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ· λέγω ὅτι καὶ οὕτως μείζων ἐστὶν η ΡΟ τῆς ΛΝ. Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν ἢ ἐλάσσων. ἔστω πρότερον
25ἐλάσσων, καὶ κείσθω τῇ ΡΟ ἴση ἡ Ν͵Γ, καὶ τριῶν γραμμῶν ὁμογενῶν τῶν ΛΝ Ν͵Γ ΝΟ εἰλήφθω τῇ μὲν ΝΟ σύμμε‐ τρος, τῆς δὲ Ν͵Γ μείζων, τῆς δὲ ΝΛ ἐλάσσων, καὶ ἔστω ἡ Ν͵Δ, καὶ ἔστωσαν οἱ παράλληλοι κύκλοι οἱ Χ͵Γ Ψ͵Δ, καὶ κείσθω τῇ ΨΘ ἴση ἡ ΗΤ, καὶ ἔστω ὁ παράλληλος
30κύκλος ὁ ΤΩ. ἐπεὶ οὖν σύμμετρός ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΨΘ

6

.

486

ΗΤ τῇ ΗΘ, μείζων ἐστὶν καὶ ἡ ΩΟ τῆς Ν͵Δ· πολλῷ ἄρα ἡ ΡΟ τῆς Ν͵Δ μείζων ἐστίν. ἀλλὰ ἡ ΡΟ ἴση ἐστὶν τῇ Ν͵Γ· ἡ Ν͵Γ ἄρα τῆς Ν͵Δ μείζων ἐστὶν ἡ ἐλάσσων τῆς μείζονος, ὅπερ ἀδύνατον· οὐκ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΡΟ τῆς ΝΛ.
5 θʹ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων λέγω ὅτι οὐδὲ ἴση. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω, καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΗΖ ΘΚ δίχα τοῖς [Omitted graphic marker]Τ Ψ, καὶ ἔστωσαν οἱ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΤΩ Ψ͵Δ. ἐπεὶ οὖν
10αἱ ΤΖ ΤΗ ἴσαι εἰ‐ σίν, ἄνισοι ἄρα εἰσὶν αἱ ΡΩ ΩΟ ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΡΩ. πάλιν ἐπεὶ αἱ ΘΨΚ
15ἴσαι εἰσίν, ἄνισοι ἄρα εἰσὶν αἱ Ν͵Δ ͵ΔΛ ἀρ‐ χόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς Ν͵Δ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ μὲν
20ΡΩ τῆς ΩΟ, ἡ δὲ Ν͵Δ τῆς ͵ΔΛ, μείζων ἄρα ἢ διπλῆ ἡ ΡΟ τῆς Ν͵Δ, ὅπερ ἀδύνατον (προδέδεικται * * *)· οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΡΟ τῇ ΝΛ. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΡΟ τῆς ΝΛ.
25 ιʹ. Πάλιν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας ὁ πόλος ἔστω τῶν παραλλήλων, καὶ αὐτὸν τεμνέτωσαν πρὸς ὀρθὰς οἱ ΒΓ ΔΕ, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι οἱ ΚΛ ΜΝ ΞΟ, καὶ ἔστω ἴση ἡ ΞΜ τῇ ΜΚ· λέγω ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν
ἡ ΖΗ τῆς ΗΘ.

6

.

488

 Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν ἢ μείζων. ἴση μὲν οὖν οὐκ ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ· μείζων γὰρ ἂν ἦν ἡ ΞΜ τῆς ΜΚ, [Omitted graphic marker]οὐκ ἔστιν δέ· οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ. λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ
5μείζων. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω, καὶ κείσθω τῇ ΘΗ ἴση ἡ ΗΠ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΗΠ τῇ ΗΘ, μεί‐ ζων ἄρα ἡ ΡΜ τῆς ΜΚ· πολλῷ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ΞΜ τῆς ΜΚ,
10ὅπερ ἀδύνατον· ὑπόκειται γὰρ ἴση· οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ΖΗ τῆς ΗΘ. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἴση· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῆς ΗΘ, ὅπερ· ⁓ ιαʹ. Δέδεικται μὲν οὖν ὅτι ἐὰν ᾖ κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ
15τέμνωσιν αὐτὸν δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΒΓ ΔΕ πρὸς ὀρθὰς καὶ ἀποληφθῶσιν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΖΗ ΗΘ, καὶ γρα‐ φῶσιν παράλληλοι κύκλοι οἱ ΚΛ ΜΝ ΞΟ, γίνεται μείζων ἡ ΞΜ τῆς ΜΚ. ἔστω δὲ μείζων ἡ ΖΗ τῆς ΗΘ· λέγω ὅτι πολλῷ μείζων ἐστὶν ἡ ΞΜ τῆς ΜΚ.
20 Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΖΗ τῆς ΗΘ, κείσθω τῇ ΗΘ ἴση ἡ ΗΠ, καὶ γεγράφθω παράλληλος κύκλος ὁ ΠΡ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΗΠ τῇ ΗΘ, μείζων ἐστὶν ἡ ΡΜ τῆς ΜΚ· πολλῷ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ΞΜ τῆς ΜΚ, ὥστε, ἐὰν μεί‐ ζων ἡ ΖΗ τῆς ΘΗ, γίνεται καὶ ἡ ΞΜ τῆς ΜΚ μείζων,
25ὅπερ· ⁓
26nΠερὶ τῆς εἰς τὸ ϛʹ θεώρημα ἐνστάσεως τοῦ γʹ λήμματα.
27 ιβʹ. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ δύο διήχθωσαν αἱ ΔΑ ΑΕ ἐν ἴσαις γωνίαις ταῖς ὑπὸ ΒΑΔ ΕΑΓ· ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΔΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΔ περιεχόμενον ὀρθογώ‐
30νιον, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ.
Περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΔΕ τρίγωνον κύκλος, καὶ

6

.

490

ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ ΒΓ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΖΔ περιφέρειαν τῇ ΕΗ περιφερείᾳ· ἔστιν [Omitted graphic marker]ἄρα ὡς ΑΓ πρὸς ΓΗ, ἡ ΑΒ πρὸς ΒΖ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς
5τὸ ὑπὸ ΑΓΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΖ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΓΗ τῷ ὑπὸ ΔΓΕ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒΖ τῷ ὑπὸ ΕΒΔ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ
10ΔΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΔ· καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, τὸ ὑπὸ ΔΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΔ. ιγʹ. Ἐχέτω δὲ τὸ ὑπὸ ΔΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΔ μείζονα λόγον, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΑΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΖ, ἤπερ
15τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ· ὅτι μείζων ἡ ὑπὸ ΕΑΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΔ. [Omitted graphic marker] Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΑΓ
20πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, ἐναλλὰξ τὸ ὑπὸ ΑΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ὑπὸ ΑΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ὑπὸ
25ΑΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως ἡ ΗΓ πρὸς ΑΓ, ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΑΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς ΑΒ· καὶ ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΓΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΖ. ἐὰν ἄρα ποιῶμεν ὡς τὴν ΑΓ πρὸς ΓΗ, οὕτως τὴν ΑΒ πρὸς ἄλλην τινά, ἔσται πρὸς μείζονα τῆς ΒΖ.
30ἔστω πρὸς τὴν ΒΚ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΗΚ ἐκβεβλήσθω
ἐπὶ τὸ Θ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΗΘ· ἴση ἄρα

6

.

492

ἐστὶν ἡ ΕΗ περιφέρεια τῇ ΔΘ περιφερείᾳ· μείζων ἄρα ἡ ΕΗ τῆς ΔΖ, ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΑΕ τῆς ὑπὸ ΒΑΔ, ὅπερ· ⁓ ιδʹ. Τεμνέτωσαν ἀλλήλους δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ ΒΕΓ, καὶ ἔστω τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλος ὁ Δ, καὶ γεγρά‐
5φθωσαν μέγιστοι κύκλοι οἱ ΔΖ ΔΘ, καὶ ἔστω ἴση ἡ ΒΕ περιφέρεια τῇ ΓΗ περιφερείᾳ· δεῖξαι ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Ε τῇ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Η. [Omitted graphic marker] Τετμήσθω ἡ ΕΗ δίχα τῷ Κ, καὶ γεγράφθω διὰ τῶν Δ
10Κ μέγιστος κύκλος ὁ ΔΚΛ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΕ τῇ ΗΓ, ἡ δὲ ΕΚ τῇ ΚΗ, ὅλη ἄρα ἡ ΒΚ τῇ ΓΚ ἴση ἐστίν. ἐπεὶ οὖν διὰ τῆς τοῦ ΒΓ δι‐
15χοτομίας καὶ τῶν τοῦ ΑΒΓ πόλων γέγραπται μέγιστος κύ‐ κλος ὁ ΔΚΛ, ὁ ΔΚΛ ἄρα ἥξει διὰ τῶν τοῦ ΒΕΗ πόλων καὶ ὀρθὸς ἔσται πρὸς αὐτόν.
20ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΚΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ἀπὸ τοῦ Κ ὀρθὸν τμῆμα κύκλου ἐφέστηκεν τὸ ΚΔ, καὶ διῄρηται ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια κατὰ τὸ Δ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΕΚ τῇ ΚΗ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Ε τῇ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Η, ὅπερ· ⁓
25 ιεʹ. Ἔστωσαν μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ ΒΕΗΓ, καὶ ἔστω τοῦ ΑΒΓ πόλος τὸ Δ, καὶ γεγράφθωσαν μέγιστοι κύκλοι οἱ ΔΕΖ ΔΚΛ ΔΗΘ διχοτομίας οὔσης τοῦ Κ τῆς ΗΚΕ περιφερείας· λέγω ὅτι, εἰ μὲν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΗΓ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ΖΛ τῇ ΛΘ, εἰ δὲ μείζων ἐστὶν
30ἡ ΒΕ τῆς ΗΓ, μείζων ἐστὶν καὶ ἡ ΖΛ τῆς ΛΘ, εἰ δὲ

6

.

494

ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΒΕ τῆς ΗΓ, ἐλάσσων ἐστὶν καὶ ἡ ΖΛ τῆς ΛΘ. Ἔστω γὰρ πρότερον ἡ ΒΕ τῇ ΗΓ ἴση· λέγω ὅτι καὶ ἡ ΖΛ τῇ ΛΘ ἴση ἐστίν.
5 Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΗΓ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Ε τῇ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Η· ὁ ἄρα πόλῳ τῷ Δ καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν ΔΕ ΔΗ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ λοιποῦ σημείου. γεγράφθω, καὶ ἔστω ὁ ΗΜΕ· ἔσται δὴ παράλληλος τῷ ΑΒΓ. ἐπεὶ οὖν δύο κύ‐
10κλοι οἱ ΗΜΕ ΕΚΗ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων καὶ τῆς διχοτομίας τῆς Κ γέγραπται μέγιστος κύκλος ὁ ΔΚΛ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ περιφέρεια τῇ ΜΗ περιφερείᾳ. ἀλλ’ ἡ μὲν ΕΜ τῇ ΖΛ ἐστὶν ὁμοία, ἡ δὲ ΜΗ τῇ ΛΘ· καὶ ἡ ΖΛ ἄρα τῇ ΛΘ ἐστὶν ὁμοία. καὶ
15εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΔ τῇ ΛΘ, ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ιϛʹ. Ὑποκείσθω δὴ τὸ αὐτὸ σχῆμα, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΒΕ τῆς ΞΓ, ἴση δὲ ἡ ΕΚ τῇ ΚΞ· λέγω ὅτι ἡ ΖΛ τῆς ΛΘ μείζων.[Omitted graphic marker]
20 Κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΓΜ, καὶ γεγράφθω μέγιστος κύκλος ὁ ΔΜΝ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΜΓ, ἴση
ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Ε τῇ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Μ· ὁ

6

.

496

ἄρα πόλῳ τῷ Δ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΔΕ ΔΜ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ λοιποῦ σημείου. ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὁ ΣΕΜ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Ο, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΔ· ἔσται δὴ κάθετος ἐπὶ τὸ τοῦ
5ΣΜΕ κύκλου ἐπίπεδον (πόλος γάρ ἐστιν τὸ Δ τοῦ κύκλου), καὶ ἔσται τὸ κέντρον τοῦ ΜΣΕ ἐπὶ τῆς ΔΟ. ἔστω τὸ Π, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΜ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Τ, καὶ ἡ ΟΞ ἐπὶ τὸ Τ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΟ ΟΡΚ ΠΡ ΡΣ ΠΗ ΗΤ.[Omitted graphic marker] καὶ ἐπεὶ τὸ Π σημεῖον ἐν τῷ τοῦ ΜΣΕ ἐστὶν κύκλου ἐπι‐
10πέδῳ, ἔστιν δὲ καὶ ἑκάτερον τῶν Ρ Σ ἐν τῷ τοῦ ΜΣΕ κύκλου ἐπιπέδῳ, τὰ τρία ἄρα σημεῖα ἐν τῷ κύκλῳ ἐστίν. πάλιν ἐπεὶ ὁ ΟΔ ἐν τῷ τοῦ ΔΚΛ ἐπιπέδῳ ἐστίν, καὶ τὸ Π ἄρα ἐν τῷ τοῦ ΔΚΛ ἐπιπέδῳ ἐστίν. καὶ ἡ ΟΡΚ εὐ‐ θεῖα· καὶ τὸ Ρ ἄρα ἐν τῷ τοῦ ΔΚΛ κύκλου ἐστὶν ἐπι‐
15πέδῳ. ἔστιν δ’ ἐν αὐτῷ καὶ τὸ Σ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΡΣ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΠΗΤ εὐθεῖά ἐστιν (τὰ γὰρ Π Τ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶν τοῦ ΕΣΜ κύκλου· ἀλλὰ καὶ ἐν τῷ τοῦ ΔΗΞΘ κύκλου ἐπιπέδῳ, καὶ τὸ Η δὲ κατ’ αὐτήν ἐστιν τὴν τομὴν τῶν ἐπιπέδων τοῦ ΕΣΜ καὶ τοῦ ΔΞΘ
20κύκλου· εὐθεῖα ἄρα ἡ ΠΗΤ). καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΚ περιφέρεια τῇ ΚΞ περιφερείᾳ, ἴση ἐστὶν καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΟΚ τῇ ὑπὸ ΚΟΞ· ὁ ἄρα τῆς ΕΟ πρὸς ΟΤ λό‐
γος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΕΡ πρὸς ΡΤ. ἐπεὶ δὲ ζητῶ

6

.

498

τίς ἡ ΖΛ περιφέρεια τῇ ΛΘ, τουτέστιν ἡ ΕΣ τῇ ΣΗ, ζητήσω ἄρα τίς γωνία ἡ ὑπὸ ΕΠΡ τῇ ὑπὸ ΡΠΤ. τίς ἄρα ὁ τῆς ΕΠ πρὸς ΠΤ τῷ τῆς ΕΡ πρὸς ΡΤ; ἀλλ’ ὁ τῆς ΕΡ πρὸς ΡΤ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΕΟ πρὸς ΟΤ· ζητήσω ἄρα τίς ὁ
5τῆς ΕΟ πρὸς ΟΤ λόγος τῷ τῆς ΕΠ πρὸς ΠΤ λόγῳ· ζη‐ τήσω ἄρα τίς ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΤ λόγος τῷ τοῦ ἀπὸ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΤ λόγῳ, καὶ ἐναλλὰξ τίς ὁ τοῦ ἀπὸ ΟΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΠ τῷ τοῦ ἀπὸ ΟΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΠ, καὶ διελόντι τίς ὁ τοῦ ἀπὸ ΟΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΕ
10τῷ τοῦ ἀπὸ ΟΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΠ. τίς ἄρα τὸ ἀπὸ ΤΠ τῷ ἀπὸ ΠΕ; τίς ἄρα ἡ ΤΠ τῇ ΠΕ; ἀλλ’ ἡ ΠΕ τῇ ΠΗ[Omitted graphic marker] ἴση· ἔχει δὴ σύγκρισιν· ἔστιν γὰρ μείζων. ἐπεὶ οὖν μεί‐ ζων ἐστὶν ἡ ΤΠ τῆς ΠΗ, τουτέστιν τῆς ΠΕ, ἡ ΠΟ ἄρα πρὸς ΠΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΟΠ πρὸς ΠΤ· καὶ
15τὸ ἀπὸ ΟΠ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΟΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΤ. καὶ ἔστιν τὸ μὲν ἀπὸ ΕΟ ἴσον τοῖς ἀπὸ ΕΠ ΠΟ (ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΠΟ γω‐ νία), τὸ δὲ ἀπὸ ΤΟ τοῖς ἀπὸ ΤΠ ΠΟ (ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΤΠΟ)· καὶ τὸ ἀπὸ ΟΕ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΠ μείζονα λό‐
20γον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΟΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΠ. καὶ ἐναλλὰξ τὸ ἀπὸ ΕΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΤ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΠ. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΟΕ πρὸς τὸ
ἀπὸ ΟΤ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ

6

.

500

ΤΠ, καὶ ἡ ΕΟ ἄρα πρὸς ΟΤ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΠ πρὸς ΠΤ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΕΟ πρὸς ΟΤ, οὕτως ἡ ΕΡ πρὸς ΡΤ· ἡ ΕΡ ἄρα πρὸς ΡΤ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΠ πρὸς ΠΤ. διὰ δὴ τοῦτο μείζων γωνία ἡ ὑπὸ ΕΠΣ τῆς
5ὑπὸ ΣΠΤ· μείζων ἄρα ἡ ΕΣ περιφέρεια τῆς ΣΗ περι‐ φερείας. ἀλλ’ ἡ μὲν ΕΣ τῇ ΖΛ ἐστὶν ὁμοία, ἡ δὲ ΣΗ τῇ ΛΘ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΛ τῆς ΛΘ, ὅπερ· ⁓ ιζʹ. Ἀλλ’ ἔστω ἡ ΖΛ ἴση τῇ ΛΘ· λέγω ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΕΚ τῆς ΚΞ.
10 Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΛ τῇ ΛΘ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΠΣ τῇ ὑπὸ ΣΠΤ· ὁ ἄρα τῆς ΕΠ πρὸς ΠΤ λόγος ὁ αὐ‐ τός ἐστιν τῷ τῆς ΕΡ πρὸς ΡΤ. ἐπεὶ δὲ ζητῶ τίς περι‐ φέρεια ἡ ΕΚ τῇ ΚΞ, ζητήσω ἄρα τίς γωνία ἡ ὑπὸ ΕΟΚ τῇ ὑπὸ ΚΟΤ· ζητήσω ἄρα τίς ὁ τῆς ΕΟ πρὸς ΟΤ λόγος
15τῷ τῆς ΕΡ πρὸς ΡΤ λόγῳ. ἀλλ’ ὁ τῆς ΕΡ πρὸς ΡΤ λό‐ γος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΕΠ πρὸς ΠΤ· ζητήσω ἄρα τίς ὁ τῆς ΕΠ πρὸς ΠΤ τῷ τῆς ΕΟ πρὸς ΟΤ· ἔχει δὲ σύγ‐ κρισιν. ἐπεὶ οὖν ἡ ΕΟ πρὸς ΟΤ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΠ πρὸς ΠΤ (τοῦτο γὰρ προδέδεικται), ἀλλ’ ὡς ἡ ΕΠ
20πρὸς ΠΤ, οὕτως ἡ ΕΡ πρὸς ΡΤ, ἡ ΕΡ ἄρα πρὸς ΡΤ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΟ πρὸς ΟΤ. διὰ δὴ τοῦτο ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΟΚ τῆς ὑπὸ ΚΟΤ· ἐλάσσων ἄρα περιφέρεια ἡ ΕΚ τῆς ΚΞ, ὅπερ· ⁓ ιηʹ. Τεμνέτωσαν ἀλλήλους δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ
25ΒΡΓ, καὶ ἔστω ὁ πόλος τοῦ ΑΒΓ κύκλου ὁ Δ, καὶ γε‐ γράφθωσαν μέγιστοι κύκλοι οἱ ΔΖ ΔΘ ΔΛ ΔΝ, καὶ ἔστω ἴση ἡ ΕΞ τῇ ΠΜ· λέγω ὅτι, εἰ μὲν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ
ΜΓ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΛΝ, εἰ δὲ μείζων ἐστὶν ἡ

6

.

502

ΒΕ τῆς ΜΓ, μείζων ἐστὶν ἡ ΖΘ τῆς ΛΝ, εἰ δὲ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΒΕ τῆς ΜΓ, ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΖΘ τῆς ΛΝ. [Omitted graphic marker] Ὑποκείσθω ἴση ἡ ΒΕ τῇ ΜΓ· ἴση ἄρα
5ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Μ τῇ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Ε· ὁ ἄρα πόλῳ τῷ Δ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΔΕ ΔΜ κύκλος γραφό‐
10μενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ λοιποῦ σημείου. γεγρά‐ φθω, καὶ ἔστω ὁ ΕΤΜ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΞΠ τῷ Ρ, καὶ γεγρά‐
15φθω διὰ τῶν Δ Ρ μέ‐ γιστος κύκλος ὁ ΔΡΣ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΞ τῇ ΠΜ, ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΕ τῇ ΜΓ ἴση ἐστίν, ὅλη ἄρα ἡ ΒΞ τῇ ΓΠ ἴση ἐστίν· ἴση ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Ξ τῇ
20ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Π. πόλῳ οὖν τῷ Δ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΔΞ ΔΠ κύκλος γεγράφθω ὁ ΞΟΠ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΞΟ τῇ ΟΠ, ἀλλ’ ἡ μὲν ΞΟ τῇ ΘΣ ἐστὶν ὁμοία, ἡ δὲ ΟΠ τῇ ΣΛ ἐστὶν ὁμοία, καὶ ἡ ΘΣ ἄρα τῇ ΣΛ ἐστὶν ὁμοία. καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΣ
25τῇ ΣΛ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΒ τῇ ΓΜ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ΖΣ τῇ ΣΝ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΘ λοιπῇ τῇ ΝΛ ἐστὶν ἴση, ὅπερ· ⁓ Ἀλλὰ δὴ ὑποκείσθω τὸ αὐτὸ σχῆμα, ἔστω δὲ μείζων ἡ ΒΕ τῆς ΓΞ, ἴση δὲ ἡ ΕΥ τῇ ΞΨ, καὶ γεγράφθω διὰ
30τῶν Δ Ψ κύκλος μέγιστος ὁ ΔΨΚΛ· λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΖΘ τῆς ΛΟ.
Κατεσκευάσθω γὰρ τὸ σχῆμα ὁμοίως τοῖς ἐπάνω, καὶ

6

.

504

ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΠΤ γωνία τῇ ὑπὸ ΧΠΡ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΡΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΤΡΧ πρὸς τὸ ὑπὸ ΧΕΤ. καὶ ἐπεὶ ζητῶ τίς ἡ ΖΘ περιφέρεια τῇ ΛΟ, τουτέστιν ἡ ΕΗ τῇ ΚΦ, ζητήσω ἄρα τίς γωνία ἡ ὑπὸ ΕΣΤ
5γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΧΣΡ· ζητήσω ἄρα τίς ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΡ λόγος τῷ τοῦ ὑπὸ ΧΕΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΤΡΧ, τουτέστι τῷ ἀπὸ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΡ. ἔχει δὲ σύγκρισιν. καὶ ἔστιν ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΡ μείζων τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ ΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΡ. ὁμοίως γὰρ τῷ ἐπάνω
10δείξομεν. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΡ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΧΕΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΤΡΧ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΧΕΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΤΡΧ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΡ. διὰ δὴ τοῦτο μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΣΤ τῆς ὑπὸ ΧΣΡ. μείζων ἄρα ἡ ΖΘ περιφέρεια τῆς ΛΟ περιφερείας.
15 Ἔστω δὴ ἴση ἡ ΛΟ τῇ ΖΘ· λέγω ὅτι ἐλάττων ἐστὶν ἡ ΕΥ τῆς ΨΞ.[Omitted graphic marker] Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν περιφέρεια ἡ ΖΘ τῇ ΛΟ, ἴση ἄρα ἔσται καὶ ἡ ΕΗ περιφέρεια τῇ ΚΦ (ὁμοία γὰρ ἡ μὲν ΖΘ τῇ ΕΗ, ἡ δὲ ΛΟ τῇ ΚΦ), ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΣΤ
20τῇ ὑπὸ ΧΣΡ ἐστὶν ἴση· ὁ ἄρα τοῦ ἀπὸ ΣΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΡ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ὑπὸ ΧΕΤ πρὸς τὸ ὑπὸ
ΤΡΧ. ἐπεὶ δὲ ζητῶ τίς ἡ ΕΥ τῇ ΨΞ, ζητήσω ἄρα τίς ὁ

6

.

506

τοῦ ἀπὸ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΡ λόγος τῷ τοῦ ὑπὸ ΧΕΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΤΡΧ, τουτέστιν τῷ τοῦ ἀπὸ ΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΡ. ἔχει δὲ σύγκρισιν. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΡ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΡ,
5τουτέστιν ἤπερ τὸ ὑπὸ ΧΕΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΤΡΧ, καὶ τὸ ὑπὸ ΧΕΤ ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ ΤΡΧ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΡ. διὰ δὴ τοῦτο ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΠΤ τῆς ὑπὸ ΧΠΡ· ἐλάσσων ἄρα ἡ ΕΥ τῆς ΞΨ, ὅπερ· ⁓
10 ιθʹ. Δεδειγμένων δὴ τούτων ἑξῆς ἀποδείξομεν εἰς ὃ ταῦτα ἐλήφθη. “ἐὰν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας ὁ πόλος ᾖ τῶν παραλλήλων καὶ τοῦτον τέμνωσιν δύο μέγιστοι κύκλοι, ὧν ὁ μὲν εἷς τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ἕτερος λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους, ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου ἴσαι
15περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ με‐ γίστου τῶν παραλλήλων, διὰ δὲ τῶν γενομένων σημείων καὶ τοῦ πόλου μέγιστοι κύκλοι γραφῶσιν, ἀνίσους ἀπολή‐ ψονται περιφερείας τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, καὶ μείζονα ἀεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ μεγίστου κύκλου τοῦ ἐξ ἀρχῆς
20τῆς ἀπώτερον”. Ἐνθάδε οἴονταί τινες προσκεῖσθαι τὸ πρὸς ὀρθάς, ἐπειδὴ καὶ εἰς τὸ πρὸ αὐτοῦ ἀποδείκνυται ἐν τοῖς εἰς τὰ σφαιρικὰ λαμβανομένοις ὅτι δεῖ προσκεῖσθαι τὸ πρὸς ὀρθάς. Ἐὰν γὰρ ἐκθώμεθα τὸν διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας
25τὸν ΑΒΓΔ καὶ τοὺς τέμνοντας αὐτὸν δύο μεγίστους κύ‐ κλους τοὺς ΒΕΔ ΑΕΓ, ὧν τὸν μὲν ΒΕΔ τῶν παραλλήλων, τὸν δὲ ΑΕΓ λοξὸν πρὸς τοὺς παραλλήλους, καὶ ἀπολά‐ βωμεν ἀπὸ τοῦ ΑΕΓ ἴσας τὰς ΖΗ ΗΘ, καὶ γράψωμεν
διὰ τῶν Ζ Η Θ παραλλήλους τῷ ΒΕΔ, οὐ πάντως

6

.

508

τέμνουσιν τὴν ΑΒ περιφέρειαν (ἐὰν δὴ ᾖ ἡ ΑΕ μὴ μείζων τετραγώνου). εἶτα ἀποδείκνυται ἐν τοῖς εἰς τὰ σφαιρικὰ ὅτι τὸ πρὸς ὀρθὰς κεῖται, ἵνα ᾖ τετραγώνου. εἶτα τὸ αὐτὸ[Omitted graphic marker] οἴονται προσκεῖσθαι τῷ ϛʹ θεωρήματι, διότι διὰ τοῦ πρὸ
5αὐτοῦ, φασιν, δείκνυται [ἐκεῖ δὲ χρήσιμόν ἐστιν τὸ πρὸς ὀρθάς]. ἔστιν δὲ τοῦτο σφόδρα εὔηθες· ἐρεῖ γάρ τις “οὐχὶ διὰ τοῦ πρὸ αὐτοῦ, ὅπου χρήσιμον ἦν αὐτοὺς προσθεῖναι, τοῦτο δεικνύεις· πάντως οὖν καὶ ἑτέρα δεῖξις ἡ μὴ προσ‐ χρησαμένη τῷ πρὸ αὐτοῦ δείξει τὸ προκείμενον”. ἔνιοι δὲ
10οἴονται διὰ τοῦτο προσκεῖσθαι· γράψαντες γὰρ παραλλή‐ λους κύκλους καὶ θέντες τῇ ΚΗ ἴσην τὴν ΗΛ καὶ διὰ τοῦ Λ γράψαντες παράλληλον κύκλον τὸν ΛΞ λέγουσιν “ἐπεὶ οἱ ΑΕΓ ΔΕΒ τὸν ΑΒΓΔ πρὸς ὀρθὰς τέμνουσιν, τετρα‐ γώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΒ· ἐλάσσων ἄρα τετραγώνου ἡ ΛΞ
15τοῦ ἰδίου κύκλου”, ἵνα εἴπωσιν “ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΞΘ ἐπὶ εὐθείας τῆς ἀπὸ Ξ ὀρθὸν τμῆμα ἐφέστηκε τὸ ΞΛ καὶ
τὸ συνεχὲς αὐτῷ, καὶ διῄρηται ἡ τοῦ ἐφεστῶτος περιφέρεια

6

.

510

εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Λ, καὶ ἔστιν ἐλάσσων ἢ ἡμίσεια ἡ ΛΞ, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὸ Λ ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν”. εἰς τοῦτ’ οἴονται χρήσιμον εἶναι τὸ πρὸς ὀρθάς, ἵνα ἡ ΞΛ ἐλάσσων ᾖ ἢ ἡμίσεια τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος. ἔστιν δὲ
5τοῦτο εἰκαῖον. ἐάν τε γὰρ μείζων ᾖ ἢ ἡμίσεια ἐάν τε ἐλάττων ἢ ἡμίσεια, γίνεται τὸ προκείμενον. ἐὰν γὰρ εἰς κύκλον, ὡς τὸν ΠΘ, διαχθῇ τις εὐθεῖα παράλληλος τῇ [Omitted graphic marker]διαμέτρῳ τῇ ἀπὸ τοῦ Θ, ὥσπερ ἡ ἀπὸ τοῦ Ξ, κοινὴ
10τομὴ τῶν ΠΞ ΛΞ, καὶ ἐπ’ αὐτῆς τμῆμα ἐπισταθῇ, ὡς τὸ ΞΛ, καὶ ἐπ’ αὐτοῦ τυ‐ χὸν σημεῖον ληφθῇ, ὡς τὸ Λ, ἡ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Ξ
15ἐλάσσων ἐστὶν πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Λ πρὸς τὴν με‐ ταξὺ τῆς τε διαμέτρου καὶ τῆς παραλλήλου αὐτῇ προσ‐ πιπτουσῶν εὐθειῶν, ὡς
20ἑξῆς δείξομεν· ὥστε οὐδὲ διὰ τοῦτο προσετέθη ἂν τὸ πρὸς ὀρθάς [ἀλλ’ ἐπειδὴ συμβαίνει, ὅταν μὲν ἡ ΑΕ τετραγώνου ᾖ, μείζονα πάντως γίνεσθαι τὴν ΟΠ τῆς ΠΡ, ὅταν δὲ μείζων ἢ ἐλάττων ᾖ, ποτὲ μὲν ἡ ΟΠ τῆς ΡΠ μείζων, ποτὲ δὲ ἐλάσσων ἔσται, ποτὲ δὲ ἴση αὐτῇ· τοῦτο γὰρ ἑξῆς].
25 κʹ. Ἔστω δὲ νῦν δεῖξαι τὸ λημμάτιον τὸ λαμβανόμενον εἰς αὐτό. Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, διάμετρος δὲ ἡ ΒΓ, καὶ ταύτῃ παράλληλος ἡ ΔΕ, καὶ ἐπὶ τῆς ΔΕ εὐθεῖας τμῆμα ἐφε‐ στάτω τὸ ΔΖΕ ὀρθὸν πρὸς τὸν ΑΒΓ, καὶ εἰλήφθω ἐπ’
30αὐτῆς τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΔ· λέγω ὅτι
ἡ ΖΔ οὐ μόνον ἐλαχίστη ἐστὶν τῶν πρὸς τὴν ΔΒ περιφέ‐

6

.

512

ρειαν προσπιπτουσῶν, ἀλλὰ καί, ἐὰν διάμετροι ἀχθῶσιν αἱ ΕΘΚ ΔΘΛ, τῶν πρὸς τὴν ΔΚ περιφέρειαν προσπι‐ πτουσῶν. [Omitted graphic marker] Διήχθω γάρ τις ἡ ΖΝ, καὶ
5ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον· πε‐ σεῖται ἐπὶ τὴν κοινὴν αὐτῶν το‐ μήν. πιπτέτω ἡ ΖΜ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΜΝ. καὶ ἐπεὶ ζητῶ
10εἰ μείζων ἐστὶν ἡ ΖΝ τῆς ΖΔ, ζητήσω ἄρα εἰ τὸ ἀπὸ ΝΖ τοῦ ἀπὸ ΖΔ μεῖζόν ἐστιν. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ ΝΖ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ ΝΜΖ, τῷ δὲ ἀπὸ ΔΖ τὰ ἀπὸ
15ΔΜΖ· ὅτι ἄρα ἡ ΝΜ τῆς ΔΜ ἐστὶν μείζων. ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΜΘ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Ξ Α· ἔσται δὴ διάμετρος ἡ ΑΞ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔσται ἡ μὲν ΜΞ μεγίστη, ἡ δὲ ΜΑ ἐλαχίστη, ἡ δὲ ἔγγιον τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΝ τῆς ΜΔ, ὅπερ· ⁓
20 καʹ. Τούτων δὴ προδεδειγμένων ἔστω δεῖξαι τὸ θεώ‐ ρημα, ὅπου διὰ τοῦ πόλου καὶ τῶν ἀποτεμνομένων ἀπὸ τοῦ λοξοῦ κύκλου ἴσων περιφερειῶν οἱ κύκλοι γράφονται. Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστον κύκλον τὸν ΑΒΓ δύο κύκλοι μέγιστοι τεμνέτωσαν πρὸς ὀρθὰς οἱ ΒΓ ΔΕ, ὧν ὁ μὲν ΒΓ
25τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ΔΕ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους, καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΖΗΘ, πόλος δὲ ἔστω τῶν παραλλήλων ὁ Α, καὶ γεγράφθωσαν μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΜ ΑΝ ΑΞ· δεῖξαι ὅτι μείζων ἡ ΜΝ τῆς ΝΞ [πρόσκειται δὲ τὸ πρὸς ὀρθάς, ἵνα γένηται τὸ πρό‐
30βλημα]. Προσαναπεπληρώσθωσαν οἱ ΒΓ ΔΕ κατὰ τὸ Λ, καὶ
ἐπεὶ τετραγώνου ἡ ΔΚ, ἀλλὰ καὶ ἡ ΔΛ, μείζων ἄρα ἐστὶν

6

.

514

ἡ ΛΘ τῆς ΖΚ. ἐπεὶ οὖν δύο κύκλοι τέμνουσιν ἀλλήλους οἱ ΒΓΛ ΕΔΛ, καὶ ἔστιν ὁ τοῦ ΒΓΛ πόλος τὸ Α, καὶ γεγραμμένοι εἰσὶν μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΜ ΑΝ ΑΞ, καὶ ἔστιν μείζων ἡ ΛΘ τῆς ΖΚ, ἴση δὲ ἡ ΘΗ τῇ ΗΖ, μείζων
5ἄρα καὶ ἡ ΜΝ τῆς ΝΞ διὰ τὰ προδεδειγμένα, ὅπερ· ⁓ κβʹ. Λέγω δὴ ὅτι, ἐὰν μὴ πρόσκειται τὸ πρὸς ὀρθάς, οὐ πάντοτε γίνεται τὰ κατὰ τὴν πρότασιν. Ὑποκείσθω δὴ τὰ αὐτὰ, καὶ ἔστω ἐλάσσων τετραγώνου ἡ ΚΔ· λέγω ὅτι καὶ οὕτως γίνεται τὸ πρόβλημα.
10 Ἀπειλήφθωσαν γὰρ ἴσαι αἱ ΖΗΘ, καὶ γεγράφθωσαν οἱ κύκλοι οἱ ΑΜ ΑΝ ΑΞ. καὶ ἐπεὶ ἐλάσσων ἐστὶν τε‐ τραγώνου ἡ ΚΔ, ἡμικυκλίου δὲ ἡ ΚΛ, μείζων ἄρα τετρα‐ γώνου ἡ ΛΔ· μείζων ἄρα ἡ ΛΘ τῆς ΚΖ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΜΝ τῆς ΝΞ, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
15 [Ἀλλὰ δὴ ὑποκείσθω ἡ ΚΔ ἐλάσσων τετραγώνου, καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι αἱ ΖΗ ΗΘ· μείζων ἄρα ἡ ΛΘ τῆς ΚΖ καὶ ἡ ΜΝ τῆς ΝΞ.] κγʹ. Ἀλλὰ δὴ ὑποκείσθω τὸ αὐτὸ σχῆμα, καὶ ἔστω μείζων τετραγώνου ἡ ΚΔ, καὶ ἀπειλήφθω τετραγώνου ἡ
20ΚΖ· ἔσονται δὴ αἱ ἀπολαμβανόμεναι ἴσαι ἤτοι ἐφ’ ἑκά‐ τερα τοῦ Ζ ἡ ἐπὶ τὰ Ζ Δ μέρη ἢ ἐπὶ τὰ Ζ Κ μέρη. Ἀπειλήφθω ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ Ζ, καὶ ἔστωσαν αἱ ΖΗ ΘΖ, καὶ γεγράφθωσαν οἱ μέγιστοι κύκλοι [καὶ προσανα‐ πεπληρώσθωσαν οἱ ΓΒ ΕΔ κύκλοι]. καὶ ἐπεὶ ἡμικυκλίου
25ἐστὶν ἡ ΚΛ, ἧς ἡ ΚΖ τεταρτημορίου ἐστίν, λοιπὴ ἡ ΛΖ

6

.

516

τεταρτημορίου ἐστίν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΖ τῇ ΖΚ. ὧν ἡ ΗΖ τῇ ΘΖ ἴση ἐστίν· λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΗ τῇ ΘΚ ἴση ἐστίν· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΝΞ τῇ ΞΜ· ὥστε, ἐὰν μείζων ᾖ τε‐ τραγώνου ἡ ΚΔ, καὶ ἀποληφθῇ τετραγώνου ἡ ΚΖ, ἔτι δὲ
5ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ Ζ ἀποληφθῶσιν ἴσαι, οὐ γίνεται τὸ πρό‐ βλημα. [Omitted graphic marker] κδʹ. Ἀλλὰ δὴ ὑπο‐ κείσθω τὸ αὐτὸ σχῆμα, καὶ ἔστω τετραγώνου ἡ
10ΚΖ, καὶ ἴσαι ἀπειλή‐ φθωσαν ἐπὶ τὰ Ζ Δ μέρη αἱ ΖΗ ΗΘ, καὶ γεγρά‐ φθωσαν οἱ μέγιστοι κύ‐ κλοι. ἐπειδὴ τετραγώνου
15ἡ ΚΖ, μείζων ἄρα ἡ ΚΖ τῆς ΘΛ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΞΜ τῆς ΝΞ, ὅπερ ἔδει δεῖξαι. κεʹ. Ἀλλὰ δὴ ὑποκείσθω τὸ αὐτὸ σχῆμα, καὶ ἀπει‐
20λήφθωσαν ἴσαι ἐπὶ τὰ Ζ Κ μέρη αἱ ΖΗ ΗΘ, καὶ γεγρά‐ φθωσαν οἱ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΘΜ ΑΖΝ ΑΗΞ. καὶ ἐπεὶ τετραγώνου ἐστὶν ἡ ΚΖ, ἀλλὰ καὶ ἡμικυκλίου ἡ ΚΛ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΛ τετραγώνου ἐστίν· ἡ ΖΛ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ΖΚ [ὧν ἡ ΘΗ τῇ ΗΖ ἴση ἐστίν]· λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΘ
25τῆς ΖΛ ἐστὶν ἐλάσσων· ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ΜΞ τῆς ΝΞ, ὅπερ· ⁓ κϛʹ. Ὥστε ἀποδέδεικται ὅτι, ἐὰν μὲν ὀρθοὶ τέμνωσι, πάντοτε γίνεται τὸ κατὰ τὴν πρότασιν, ἐὰν δὲ μὴ ὀρθοὶ τέμνωσιν, ἐὰν μὲν ἡ ΚΔ ἐλάσσων ᾖ [τῆς τοῦ] τετραγώνου
30[πλευρᾶς], πάντοτε πάλιν γίνεται τὸ κατὰ τὴν πρότασιν

6

.

518

[τοῦ στοιχείου], ἐὰν δὲ ἡ ΚΔ μείζων ᾖ [τῆς τοῦ] τετρα‐ γώνου [πλευρᾶς], οὐ πάντοτε γίνεται. ἀλλὰ ἐὰν ἀπολάβω τὴν ΚΖ τετραγώνου, ἐὰν μὲν αἱ ἀπολαμβανόμεναι περι‐ φέρειαι ἴσον ἀπέχωσιν τοῦ Ζ, οἱ γραφόμενοι κύκλοι μέγι‐
5στοι ἴσας ἀπολήψονται τὰς μεταξὺ αὑτῶν, ἐὰν δὲ αἱ ἀπο‐ λαμβανόμεναι ἴσαι ἐπὶ τῆς ΖΔ ἀπολαμβάνωνται, οἱ γρα‐ φόμενοι κύκλοι διὰ τῶν πόλων ἐλάσσονα ἀπολήψονται τὴν ἔγγιον τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου τῆς ἀπώτερον, ἐὰν δὲ αἱ περιφέρειαι ἐπὶ τῆς ΖΚ ἀπολαμβάνωνται, συμβαίνει
10τὸ κατὰ τὴν πρότασιν, τουτέστιν οἱ διὰ τῶν πόλων γρα‐ φόμενοι ἀπολήψονται μείζονα τὴν ἔγγιον τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου τῆς ἀπώτερον· ὥστε, ἐὰν μὴ ὀρθοὶ τέμνω‐ σιν, γίνεται μὲν τὸ κατὰ τὴν πρότασιν, οὐ πάντοτε δέ (ἐὰν μὴ αἱ ἀπολαμβανόμεναι ἐπὶ τῆς ΖΚ ἀπολαμβάνωνται).
15 κζʹ. Ἐπειδὴ τρεῖς μόναι διαφοραὶ τῆς θέσεως τῶν μεγίστων κύκλων θεωροῦνται ἐν τῇ σφαίρᾳ (ἢ γὰρ ὀρθοὺς εἶναι δεῖ αὐτοὺς πρὸς τὸν ἄξονα ἢ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας ἢ κεκλιμένους πρὸς τὸν ἄξονα), ἐπὶ τῶν τριῶν τὰς ἀποδείξεις ποιεῖται ὁ Αὐτόλυκος.
20 Καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν αʹ καὶ βʹ καὶ γʹ θεώρημα ἐπὶ τῶν προειρημένων τριῶν θέσεων τῶν κύκλων θεωρεῖται, διὰ τοῦτο καθολικῶς καὶ περιληπτικῶς ἐπ’ αὐτῶν τὴν ὅλην σφαῖραν παραλαμβάνει. ἐάν τε γὰρ τὸν μέγιστον κύκλον ὀρθὸν πρὸς τὸν ἄξονα ὑποθώμεθα, πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπι‐
25φανείας τῆς σφαίρας σημεῖα στρεφομένης τῆς σφαίρας κύ‐ κλους γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ
σφαίρᾳ, καὶ πάλιν ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὰς ὁμοίας περιφερείας

6

.

520

τῶν παραλλήλων τὰ σημεῖα διεξέρχεται, καὶ [ἐπὶ τὰς περι‐ φερείας] ἃς διεξέρχεται ἐν ἴσῳ χρόνῳ ὅμοιαί εἰσιν αἱ περι‐ φέρειαι, ἐάν τε αὐτὸν διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας ἢ λοξὸν πρὸς τὸν ἄξονα ὑποθώμεθα, ταὐτὰ συμβήσεται. ἕνεκα οὖν
5τούτου ἐπὶ τῆς ὅλης σφαίρας ἐποιήσατο τὰς ἀποδείξεις ἐπὶ τούτων τῶν θεωρημάτων. Τὸ δὲ δʹ θεώρημα ἐπὶ μόνης τῆς μιᾶς θέσεως ἁρμόζει, ὅταν ὁ μέγιστος κύκλος ὀρθὸς ᾖ πρὸς τὸν ἄξονα, ὥστε πάντα τὰ λαμβανόμενα σημεῖα ἐπὶ τῆς σφαίρας μήτε ἀνα‐
10τέλλειν μήτε δύνειν, ὃ καὶ χαρακτηριστικὸν καὶ ἴδιόν ἐστιν ταύτης τῆς θέσεως. Τὸ δὲ εʹ καὶ αὐτὸ χαρακτηριστικόν ἐστιν καὶ ἴδιον τῆς διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας· ἐπ’ οὐδεμιᾶς γὰρ ἄλλης τῶν δυεῖν θέσεων πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας
15σημεῖα καὶ δύνει καὶ ἀνατέλλει, ἀλλ’ ἐπὶ μόνης ταύτης. Τὸ δὲ ϛʹ θεώρημα χαρακτηριστικόν ἐστιν καὶ αὐτὸ τῆς λοιπῆς θέσεως τῆς λοξῆς πρὸς τὸν ἄξονα· οὐδεμία γὰρ τῶν ἄλλων θέσεων ἔχει τὸν μέγιστον κύκλον ἐφαπτόμενον δύο κύκλων ἴσων τε καὶ παραλλήλων, καὶ τούτων τὸν μὲν ὄντα
20ἐν τῷ φανερῷ ἡμισφαιρίῳ διὰ παντὸς ὄντα φανερόν, τὸν δὲ ἐν τῷ ἀφανεῖ διὰ παντὸς ἀφανῆ· ἐφάψεται μὲν γὰρ πᾶς μέγιστος ἐν σφαίρᾳ κύκλος δύο κύκλων ἴσων τε καὶ παραλλήλων, ἀλλ’ οὐκ ἀεὶ φανερῶν οὐδὲ ἀεὶ ἀφανῶν. Πάνυ οὖν καλῶς καὶ κατὰ λόγον πρότερον τὰ καθο‐
25λικὰ θεωρήματα προειπὼν [ἐν τοῖς ἐφεξῆς τρισὶ πρώτοις θεωρήμασι θεωρεῖται] μετὰ ταῦτα τὰ ἴδια καὶ χαρακτηρι‐ στικὰ τῶν εἰρημένων θέσεων ἐκτίθεται ἃ συμβαίνει γίνε‐ σθαι ἐφ’ ἑκάστης θέσεως [ἴδια], καὶ τὰ λοιπὰ ἅπερ ἐπὶ κοινῷ πάντα ἐστὶν θεωρήματα καὶ σωζόμενα ἐπὶ μιᾶς μό‐
30νης θέσεως (ἀλλὰ καὶ ἐπὶ δευτέρας) ἑξῆς τῇ τάξει τίθησιν. Εὐθέως γοῦν τὸ ζʹ αὐτῷ θεώρημα σώζεται ἐπί τε ὀρ‐
θῆς τῆς διὰ τῶν πόλων θέσεως καὶ ἐπὶ τῆς λοξῆς πρὸς

6

.

522

τὸν ἄξονα· ἐδείξαμεν γὰρ ἡμεῖς πῶς δύναται σώζεσθαι ἐπὶ τῆς διὰ τῶν πόλων θέσεως τὸ θεώρημα. ἐπὶ μέντοι τῆς λοιπῆς θέσεως οὐ δύναται σώζεσθαι· οὔτε γὰρ ἀνατέλλει τι ἐκεῖ οὔτε δύνει.
5 Τὸ δὲ ηʹ λέγεται θεώρημα ἐπὶ μόνης τῆς λοξῆς πρὸς τὸν ἄξονα θέσεως· ἐπὶ γὰρ τῆς θέσεως τῆς διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας τὰ ἅμα ἀνατέλλοντα σημεῖα ἅμα καὶ δύνει, καὶ τὰ ἅμα δύνοντα ἅμα καὶ ἀνατέλλει· πάντες γὰρ ἐκεῖ οἱ κύκλοι οἱ τέμνοντες τὸν ὁρίζοντα δίχα τέμνονται ὑπ’
10αὐτοῦ, καὶ ἡμικύκλια ὑπέρ τε τὸν ὁρίζοντα ἔχουσιν καὶ ὑπὸ τὸν ὁρίζοντα, καὶ διὰ ταύτην τὴν αἰτίαν τὰ ἅμα ἀνατέλ‐ λοντα ἅμα καὶ δύνει, καὶ τὸ ἀνάπαλιν. Ὁμοίως δὲ καὶ τὸ θʹ αὐτῷ ἐπὶ τῆς αὐτῆς θέσεως μό‐ νης παραλαμβάνεται· βούλεται γὰρ τοὺς τοῦ αὐτοῦ ἐφα‐
15πτομένους μὴ ἄλλου τινὸς ἐφάπτεσθαι ἢ μόνου τοῦ ἀεὶ φανεροῦ. Τὸ δὲ ιʹ ἐπί τε τῆς διὰ τῶν πόλων θέσεως σώζεται καὶ ἐπὶ τῆς λοξῆς πρὸς τὸν ἄξονα, μόνης δὲ αὐτὸς τῆς ἐπὶ τῆς λοξῆς θέσεως ἀποδείξεως ἐμνήσθη. ἡμεῖς δὲ προσαπε‐
20δείξαμεν σωζόμενον τοῦτο καὶ ἐπ’ ἐκείνης τῆς θέσεως· ἐπὶ μέντοι τῆς ὀρθῆς πρὸς τὸν ἄξονα ἔφαμεν πῶς δὶς μὲν οὐκ ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα ὁ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαί‐ ρας, ἀεὶ δέ. Ἐπὶ δὲ τοῦ ιαʹ θεωρήματος τὴν χαλεπωτέραν εἴληφε
25θέσιν τὴν λοξὴν πρὸς τὸν ἄξονα ἐν τῷ λέγειν “λοξὸς ὢν πρὸς τὸν ἄξονα” καὶ “μειζόνων ἐφάπτεται ἢ ὧν ὁ ἐξ ἀρ‐ χῆς ἐφήπτετο”, ἐπιστάμενος τῆς διὰ τῶν πόλων θέσεως ὑπολειπομένης ῥᾳδίαν εἶναι τὴν ἀπόδειξιν· ἐδείξαμεν γὰρ ἡμεῖς πῶς καὶ ἐπ’ ἐκείνης τῆς θέσεως κατὰ πάντα τόπον
30τοῦ ὁρίζοντος τοῦ μεταξὺ τῶν παραλλήλων ὧν ἐφάπτεται
τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιεῖται.

6

.

524

 Ἐπὶ δὲ τοῦ ιβʹ θεωρήματος φανερὸν ὅτι ἐπὶ μόνης τῆς λοξῆς θέσεως συμβαίνει τε καὶ ἁρμόζει. [Δεῖ μέντοι καὶ τοῦτο μὴ ἀγνοεῖν ὅτι ὀρθοὶ μὲν πρὸς τὸν ἄξονα μέγιστοι κύκλοι πολλοὶ οὐ δύνανται ὑποστῆναι,
5εἷς δὲ μόνος καὶ μονογενής, διὰ δὲ τῶν πόλων τῆς σφαί‐ ρας καὶ λοξοὶ πρὸς τὸν ἄξονα ἄπειροι. καὶ οἱ μὲν διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας πάντες στρεφομένης τῆς σφαίρας ἐφαρμόζουσιν ἑαυτοῖς, οἱ δὲ λοξοὶ πάντες μὲν οὐκέτι, ἐκεῖ‐ νοι δὲ μόνοι οἵτινες τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐφάπτον‐
10ται (ὃς παράλληλος περὶ τοὺς αὐτοὺς πόλους ἐστὶ τῇ σφαίρᾳ καὶ ἔτι ὀρθὸς πρὸς τὸν ἄξονα). μήποτ’ οὖν διὰ τοῦτο καὶ ὁ Αὐτόλυκος, ἀρχόμενος τὰ παρακολουθοῦντα ἴδια καὶ χαρακτηριστικὰ ἑκάστῃ θέσει ἐκτίθεσθαι, ἀπὸ τῆς ἁπλου‐ στάτης καὶ πρώτης ἤρξατο θέσεως. αὕτη δέ ἐστιν ἡ τὸν
15μέγιστον κύκλον ἔχουσα ὀρθὸν πρὸς τὸν ἄξονα· μονογενὴς δὲ αὕτη ἐστὶν ἡ θέσις, ὡς ἔφημεν, καὶ μετακίνησιν οὐδ’ ἡντινοῦν ἐπιδεχομένη. μετὰ δὲ ταύτην τὴν τῇ τάξει ἁπλου‐ στέραν. αὕτη δέ ἐστιν ἡ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας, καθ’ ἥν, ἔφημεν, ἄπειροι μὲν δύνανται κύκλοι γράφεσθαι διὰ
20τῶν πόλων τῆς σφαίρας, πάντες δ’ ἑαυτοῖς ἐφαρμόζοντες διὰ τὸ τοὺς πόλους ἑστηκέναι καὶ μὴ μεταγίνεσθαι. ἡ δ’ ἄλλη θέσις ἔχει μὲν ἐπί τινων τοῦτο, ὡς ἔφημεν, ἐπὶ δέ τινων οὐκ ἔχει· ταύτῃ οὖν ταύτην μὲν τρίτην τῇ τάξει ἔθη‐ κεν, τὴν δὲ ἑτέραν ἐν δευτέρᾳ χώρᾳ κατέταξεν.]
25 κηʹ. Ταῦτα μὲν οὖν εἴρηται λόγῳ περιοχῆς, ζητεῖται δ’ ἐν τῷ βιβλίῳ, ὅπερ ἀναγκαῖον παραμυθήσασθαι, πῶς τὰ μὴ ἔσω τοῦ ἄξονος ὄντα σημεῖα, ἀλλ’ ἐπὶ τῆς ἐπιφα‐ νείας τῆς σφαίρας, κύκλους γράφει συμπεριαγόμενα τῇ σφαίρᾳ. εἰ μὲν γὰρ τὰ σημεῖα εἱστήκει καὶ μὴ συμπεριή‐
30γετο τῇ σφαίρᾳ, πιθανὸν ἦν τὸ λέγειν ὅτι ἡ γραμμὴ ἡ γι‐ νομένη ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας ὑπό τινος σημείου
κύκλου ἐστὶν περιφέρεια, εἰ δ’ αὖ πάλιν ἥ τε σφαῖρα ἐστρέ‐

6

.

526

φετο καὶ τὸ σημεῖον ὁμαλῶς ἐφέρετο κατ’ αὐτῆς συμπερι‐ αγόμενον αὐτῇ, ὑπολειπόμενον μέντοι ἢ ὑπεκτρέχον κατὰ τὰ αὐτὰ τῆς σφαίρας, καὶ οὕτως ἂν εἶχέ τινα λόγον. ὑπο‐ λειπόμενόν τε γὰρ τῆς σφαίρας ἐξ ἀνάγκης τόπους μετα‐
5μεῖβον κατὰ συνέχειαν ἂν γραμμήν τινα ἐγέννα ἐν τῇ ἐπι‐ φανείᾳ τῆς σφαίρας, ὑπεκτρέχον δὲ τῷ αὐτῷ λόγῳ [κύκλον γράψειεν ἂν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας], μήτε δὲ ὑπο‐ λειπόμενον μήτε ὑπεκτρέχον, ἀεὶ δὲ τὸν αὐτὸν τόπον ἐπέ‐ χον ἐν τῇ σφαίρᾳ στρεφομένης αὐτῆς, θαυμαστὸν ἴσως ἂν
10δόξειεν πῶς κύκλον γράψειεν· ὀφείλει γὰρ τὸ γράφον περί τι γράφειν ἑστός, εἰ δὲ περὶ ὃ γράφει οὐχ ἕστηκεν, πῶς γράψει τὸ γράφον; πάντα μὲν οὖν τὰ ἐν τῇ σφαίρᾳ στρε‐ φομένης αὐτῆς οὐχ ἕστηκεν, μόνος δὲ ὁ ἄξων ἕστηκεν, καὶ ἐπὶ τὸν ἑστῶτα ἀπὸ τοῦ φερομένου αἰεὶ σημείου κάθετος
15ἄγεται καὶ συμβάλλει τῷ ἄξονι δῆλον ὅτι κατά τι σημεῖον· δεῖ ἄρα τὸ σημεῖον καθ’ ὃ συμβάλλουσιν ἀλλήλαις αἱ εὐ‐ θεῖαι ἑστηκέναι, ἐπεὶ καὶ ὁ ἄξων ἕστηκεν. καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν σημεῖον ἐν τῷ ἄξονί ἐστιν, ἡ δὲ ἀχθεῖσα κάθετος ἐν τῇ σφαίρᾳ, στρεφομένης τῆς σφαίρας συμπεριάγεται μὲν ἡ
20εὐθεῖα μετὰ τοῦ ἑτέρου πέρατος τοῦ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ἕστηκεν δὲ τὸ ἐπὶ τοῦ ἄξονος. ἀνάγκη οὖν συμπεριφερομένην ταύτην τὴν εὐθεῖαν σὺν τῇ σφαίρᾳ, καθ’ ὃ μὲν φέρεται ἡ σφαῖρα κινουμένης αὐτῆς, καθ’ ὃ δὲ πε‐ περάτωται ἑστώσης, καὶ μὴ μεταμειβούσης τὰ πέρατα, κατ’
25ἐπιπέδου φέρεσθαι. ἕστηκεν δ’ ἐκεῖνο τὸ ἐπίπεδον, καθ’ οὗ φέρεται [τοῦτο δὲ τὸ ἐπίπεδον οὐκ ἀλλαχόσε ἐστὶν ἢ ἐν τῇ σφαίρᾳ]. ἐπεὶ οὖν ἐπίπεδον ἑστὸς ὑπόκειται, καθ’ οὗ φέρεται ἡ εἰρημένη εὐθεῖα, καὶ ἔστιν εἰλημμένα ἐπ’ αὐτοῦ δύο τυχόντα σημεῖα [τὰ πέρατα τῆς φερομένης εὐθείας τό
30τε πρὸς τῷ ἄξονι καὶ τὸ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας], δυνατὸν δέ ἐστιν ἐν ἐπιπέδῳ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι
κύκλον γράφειν, δῆλον ὅτι ὁ κέντρῳ μὲν τῷ ἐπὶ τοῦ ἄξονος

6

.

528

σημείῳ διαστήματι δὲ τῷ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημείῳ κύκλος γραφόμενος ἐν τῷ ἐπιπέδῳ γραφήσεται, ἐφ’ οὗ ἡ εἰρημένη εὐθεῖα ἐφέρετο· τὸ ἄρα σημεῖον τὸ ἐπὶ τοῦ ἄξονος ἑστὸς αἴτιον ἐγένετο τοῦ κύκλον γραφῆναι ὑπὸ τοῦ
5ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημείου [ἀδύνατον γὰρ μὴ ἑστῶτός τινος αὐτὸν γραφῆναι]· οὐκ ἄρα δυνατὸν ἦν τὸ πρόβλημα γενέσθαι, εἰ μὴ κάθετος ἦν ἀχθεῖσα ἐπὶ τὸν ἑστῶτα ἄξονα. [Καὶ τοῦτο δὲ δεῖ εἰδέναι ὅτι, ὅτε κάθετον ἄγει ἐπὶ
10τὸν ἄξονα καὶ ἐκβάλλει τὸ διὰ τοῦ ἄξονος καὶ τῆς καθέτου ἐπίπεδον, ὡς ἐπὶ ἑστηκυίας τῆς σφαίρας τοῦτο ποιεῖ. ἀμή‐ χανον γάρ ἐστιν στρεφομένης τῆς σφαίρας κάθετον ἄξαι ἐπὶ τὸν ἄξονα· δεῖ γὰρ προϋποκεῖσθαι ἐπίπεδον, ἵνα ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ὑπαρχούσης εὐθείας τε καὶ σημείου τυχόντος
15ἀπὸ τοῦ σημείου κάθετον ἀγάγωμεν ἐπὶ τὴν εὐθεῖαν. φερο‐ μένου δὲ τοῦ σημείου ἐν τῷ στρέφεσθαι τὴν σφαῖραν καὶ παριόντος ἀμύθητα ἐπίπεδα, τῆς δὲ εὐθείας ἑστώσης, οὐ δύναται κάθετος ἄγεσθαι ἐπὶ τὴν εὐθεῖαν, ὅταν δὲ καὶ τὸ σημεῖον στῇ καὶ ἡ εὐθεῖα, τότε νοουμένων αὐτῶν ἐν ἐπι‐
20πέδῳ δυνατὸν ἀπὸ τοῦ σημείου ἐπὶ τὴν εὐθεῖαν κάθετον ἀγαγεῖν.] κθʹ. Ὅτι δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ τυχόντος σημείου τῶν ἐπὶ τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸν ἄξονα κάθετος ἀγομένη ἐντὸς τῆς σφαίρας αὐτῷ συμπίπτει οὕτως δειχθήσεται.
25 Ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς ἄξων ὁ ΑΒ, πόλοι δὲ αὐτῆς τὰ Α Β σημεῖα, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τυχὸν σημεῖον τὸ Γ, καὶ ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΒ· λέγω ὅτι ἐντὸς τῆς σφαίρας τῇ ΑΒ συμπίπτει. Μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, συμπιπτέτω αὐτῇ ἐκτὸς κατὰ
30τὸ Δ σημεῖον, καὶ ἔστω ἡ ΓΔ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΕΓ. ἐπεὶ οὖν τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶν τῆς
σφαίρας, ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ τῇ ΕΑ· μείζων ἄρα ἡ ΕΔ τῆς

6

.

530

ΕΓ. καὶ ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστιν τὸ ΕΓΔ καὶ μείζων ἡ ΕΔ τῆς ΕΓ, καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΓΔ γωνίας τῆς ὑπὸ ΕΔΓ μείζων ἐστίν. ὀρθὴ δ’ ἡ ὑπὸ ΕΔΓ· μείζων ἄρα ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΕΓΔ· τριγώνου ἄρα τοῦ ΕΓΔ αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρ‐
5θῶν μείζους εἰσίν, ὅπερ ἀδύνατον· οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἀγομένη ἐκτὸς τῆς σφαίρας αὐτῇ συμ‐ πίπτει. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ κατὰ τὰ πέρατα τοῦ ἄξονος τὰ Α Β· ἐντὸς ἄρα· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἀγομένη ἐντὸς πίπτει τῆς σφαίρας, ὅπερ ἔδει
10δεῖξαι. λʹ. Ἐν τῷ δʹ θεωρήματι ὁ Θεοδόσιος ψευδογραφεῖται. ἀποδείξας γὰρ τὴν ΝΘ ἡμέραν μείζονα τῆς ΜΠ ἡμέρας ὑπενοήθη ὡσαύτως ἀποδείξειν ὅτι καὶ ἡ προγεγενημένη νὺξ τῆς ΝΘ ἡμέρας τῆς ἐπιγινομένης νυκτὸς τῇ ΜΠ ἡμέρᾳ
15ἐλάσσων ἐστίν. [Omitted graphic marker] Ἔστω γὰρ ἡ πρὸ τῆς Ν ἀνα‐ τολῆς δύσις ἡ Ρ, καὶ κείσθω τῇ ΡΝ ἴση ἡ ΠΣ [καθ’ ὑπόθεσιν, καὶ ἔστω ἐπὶ τοῦ ὑποκειμένου σχήμα‐
20τος γινόμενος ὁ λόγος]. εἰ μὲν οὖν ἐλάσσων ἦν [καὶ] ἡ ΝΘ τῆς ΜΠ, ἐγένετο ἂν αὐτῷ καὶ ὅλη ἡ. ΝΔ ὅλης τῆς ΔΠ ἐλάσσων, καὶ αἱ παρ‐ αλλαγαὶ τῶν ἴσων περιφερειῶν αἱ
25ΝΡ ΠΣ ὡσαύτως ἐπεραίνοντο. νυνὶ δέ, ἐπεὶ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΘΔ τῆς ΔΜ μείζων δὲ ἡ ΘΝ τῆς ΜΠ, οὐκ ἔστιν φανερὸν ὅτι καὶ ὅλη ἡ ΔΝ ὅλης τῆς ΔΠ ἐλάσσων ἐστίν· δυνατὸν γάρ ἐστιν καὶ ἴσην γίνεσθαι καὶ μείζονα. μὴ οὔσης δὲ ἐλάσσονος τῆς ΔΝ οὐκέτι δυνησό‐
30μεθα λέγειν διότι ἡ ΝΡ περιφέρεια ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ
παραλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἤπερ ἡ ΠΣ. ἔδει οὖν προδείξαντα

6

.

532

τὸν Θεοδόσιον ὅτι αἰεὶ αἱ συντιθέμεναι περιφέρειαι τῶν νυκτῶν καὶ τῶν ἡμερῶν ἐπὶ τοῦ ΔΓ μέρους τῶν συντιθε‐ μένων περιφερειῶν ἐπὶ τοῦ ΔΕ μέρους ἐλάσσονές εἰσιν, οὕτως ἐπιλέγειν ὅτι καὶ τὰ λοιπὰ δειχθήσεται ὁμοίως
5[ταῦτα ἐπὶ τοῦ ὑποκειμένου σχήματος]. λαʹ. Ἡμεῖς δὲ τὸ παραλελειμμένον ὑπὸ τοῦ Θεοδο‐ σίου ἀπεδείξαμεν ἀστρονομικώτατα τοῦτον τὸν τρόπον. Ἀνατελλέτω γὰρ ὁ ἥλιος πρὸς τῷ Ζ, δυνέτω δὲ πρὸς τῷ Η, καὶ ἔστω ἐλάσσων ἡ ΔΖ τῆς ΔΗ, καὶ πάλιν ἔστω
10ἡ μὲν προγεγενημένη δύσις τῆς Ζ ἀνατολῆς ἡ Θ, ἡ δὲ προ‐ γεγενημένη ἀνατολὴ τῆς Θ δύσεως ἡ Ν, ἔτι δὲ ἔστω ἡ μὲν μετὰ τὴν Η δύσιν ἀνατολὴ ἡ Κ, ἡ δὲ μετὰ τὴν Κ ἀνατο‐ λὴν δύσις ἡ Λ, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΖΘ νὺξ ἐλάσσων τῆς ΗΚ νυκτός, ἡ δὲ ΘΝ ἡμέρα μείζων τῆς ΚΛ ἡμέρας· λέγω ὅτι
15ὅλη ἡ ΔΝ ὅλης τῆς ΔΛ ἐλάσσων ἐστίν. Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν ἢ μείζων. ἔστω πρότερον ἴση. ἐπεὶ οὖν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ μὲν ΔΖ τῆς ΔΗ ἡ δὲ ΖΘ τῆς ΗΚ, ὅλη ἄρα ἡ ΔΘ ὅλης τῆς ΔΚ ἐλάσσων ἐστίν. ἔστω οὖν αὐτῇ ἴση ἡ ΔΜ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΝΔ ὅλῃ τῇ ΔΛ
20ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΝ λοιπῇ τῇ ΜΛ ἴση ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας μὲν πρὸς τῷ Ν ἔδυνε πρὸς τῷ Θ, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΘΝ διαπορεύεται, ἡ ΘΝ παραλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΝΘ διαπορεύεται καὶ τὴν ἴσην τὴν ΜΛ· ἐν ἴσῳ ἄρα ὁ ἥλιος
25τὴν ΜΛ διαπορεύεται καὶ ἡ ΘΝ παραλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. ἐν ἴσῳ δὲ ἡ ΘΝ παραλλάσσει τὸ φανερὸν καὶ ἡ ΛΜ (ἴσαι γὰρ οὖσαι ἴσον ἀπέχουσιν τῆς θερινῆς συναφῆς)· ἐν ἴσῳ ἄρα ὁ ἥλιος τὴν ΜΛ διαπορεύεται καὶ ἡ ΜΛ παραλλάσσει τὸ φανερόν. ἀλλ’ ὁ μὲν ἥλιος τὴν
30ΜΛ διαπορεύεται ἐν τούτῳ τῷ χρόνῳ ἐν ᾧ ἑκατέραν τῶν
ΜΚ ΚΛ διαπορεύεται, ἡ δὲ ΜΛ παραλλάσσει τὸ φανε‐

6

.

534

ρὸν ἐν ᾧ ἡ μὲν ΜΚ ἀνατέλλει ἡ δὲ ΚΛ παραλλάσσει τὸ φανερόν· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος ἑκατέραν τῶν ΜΚ ΚΛ διαπορεύεται καὶ ἡ μὲν ΜΚ ἀνατέλλει ἡ δὲ ΚΛ παρ‐ αλλάσσει τὸ φανερόν. ὧν ἴσος ὁ χρόνος ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν
5ΚΛ διαπορεύεται καὶ ἡ ΚΛ παραλλάσσει τὸ φανερόν [ἀνα‐ τέλλει μὲν γὰρ πρὸς τῷ Κ, δύνει δὲ πρὸς τῷ Λ]· καὶ λοι‐ πὸς ἄρα ὁ χρόνος ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΜΚ διαπορεύεται ἴσος ἐστὶν τῷ χρόνῳ ἐν ᾧ ἡ ΜΚ ἀνατέλλει. τοῦτο δέ ἐστιν ἀδύνατον· πᾶσαν γὰρ περιφέρειαν ὁ ἥλιος ἐν πλείονι
10χρόνῳ διαπορεύεται ἤπερ αὐτὴ ἡ περιφέρεια ἀνατέλλει ἢ πάλιν δύνει (τοῦτο γὰρ δείξομεν ἐχομένως)· οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΝΔ τῇ ΔΛ. Ἔστω δὴ πάλιν μείζων ἡ ΝΔ τῆς ΔΛ, καὶ κείσθω τῇ ΔΝ ἴση ἡ ΔΞ, ἐτέθη δὲ καὶ ἡ ΔΘ ἴση τῇ ΔΜ· λοιπὴ
15ἄρα ἡ ΘΝ λοιπῇ τῇ ΜΞ ἴση ἐστίν, καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΘΝ διαπορεύεται καὶ ἡ ΘΝ παραλλάσσει τὸ φα‐ νερόν. ἐν ᾧ δὲ ὁ ἥλιος τὴν ΘΝ ἐν τούτῳ καὶ τὴν ΜΞ, καὶ ἐν ᾧ ἡ ΘΝ παραλλάσσει τὸ φανερόν, ἐν τούτῳ καὶ ἡ ΜΞ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΜΞ διαπορεύεται καὶ
20ἡ ΜΞ παραλλάσσει τὸ φανερόν. ἀλλ’ ὁ μὲν ἥλιος δια‐ πορεύεται τὴν ΜΞ περιφέρειαν ἐν τούτῳ τῷ χρόνῳ ἐν ᾧ [ὁ ἥλιος] ἑκάστην τῶν ΜΚ ΚΛ ΛΞ διαπορεύεται, ἡ δὲ ΜΞ παραλλάσσει τὸ φανερὸν ἐν τούτῳ τῷ χρόνῳ ἐν ᾧ ἡ μὲν ΜΚ ἀνατέλλει ἡ δὲ ΚΛ παραλλάσσει ἡ δὲ ΛΞ δύνει
25[τὴν δὲ ΛΞ διαπορεύεται]. ἀλλ’ ὁ χρόνος ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΚΛ διαπορεύεται ἴσος ἐστὶν τῷ χρόνῳ ἐν ᾧ ἡ ΚΛ παραλλάσσει τὸ φανερόν· καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ χρόνος ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΜΚ διαπορεύεται ἴσος ἐστὶν τῷ χρόνῳ ἐν ᾧ ἡ ΜΚ ἀνατέλλει, καὶ ὁ χρόνος ἐν ᾧ καὶ ὁ ἥλιος τὴν ΛΞ
30διαπορεύεται ἴσος τῷ χρόνῳ ἐν ᾧ ἡ ΛΞ δύνει. τοῦτο δέ

6

.

536

ἐστιν ἀδύνατον (πᾶσαν γὰρ περιφέρειαν ὁ ἥλιος ἐν πλείονι χρόνῳ διαπορεύεται ἤπερ αὐτὴ ἀνατέλλει ἢ πάλιν δύνει), ὥστε οὐκ ἂν εἴη μείζων ἡ ΝΔ τῆς ΔΛ. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἴση· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΔ τῆς ΔΛ. ὁμοίως δὲ
5καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς δειχθήσεται. τούτων οὖν προδεδειγμέ‐ νων προβήσεται καὶ ἡ τοῦ Θεοδοσίου ἀπόδειξις κατὰ τὸν εἰρημένον τρόπον. λβʹ. Ὅτι δὲ πᾶσαν περιφέρειαν ὁ ἥλιος ἐν πλείονι χρόνῳ διαπορεύεται ἤπερ ἐκείνη ἡ περιφέρεια ἀνατέλλει ἢ
10πάλιν δύνει, νῦν δείξομεν. δόξει δέ τισι φανερὸν εἶναι τοῦτο καὶ μὴ προσδεόμενον ἀποδείξεως· “ἐπεὶ γὰρ ὁ μὲν ἥλιος ἐνιαυτῷ τὸν κύκλον διαπορεύεται, αὐτὸς δὲ ὁ κύκλος ἐν νυκτὶ καὶ ἡμέρᾳ ἀνατέλλει, γίνεται ὁ χρόνος ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὸν κύκλον διαπορεύεται πολλαπλάσιος τοῦ χρόνου
15ἐν ᾧ ὁ κύκλος ἀνατέλλει. ἐπεὶ οὖν ἐν μείζονι χρόνῳ ὁ ἥλιος τὸν ὅλον κύκλον διαπορεύεται ἤπερ αὐτὸς ὁ κύκλος ἀνατέλλει, καὶ τὰς κατὰ μέρος τοῦ κύκλου περιφερείας ἐν μείζονι χρόνῳ ὁ ἥλιος διελεύσεται ἤπερ ἐκεῖναι αἱ περι‐ φέρειαι ἀνατελοῦσιν ἢ δύσονται. ὥστε φανερὸν τὸ προ‐
20κείμενον καὶ οὐ προσδεόμενον πλείονος ἐπισκέψεως”. πρὸς οὓς ῥητέον διότι, εἰ μὲν αἱ κατὰ μέρος ἴσαι περιφέρειαι τοῦ ζῳδιακοῦ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλουσιν ἢ πάλιν δύνου‐ σιν, συμφανὲς ἂν ἡμῖν ὑπῆρχεν τὸ λεγόμενον· αὐτός τε γὰρ ὁ κύκλος ὁμαλῶς ἂν ἀνέτελλεν καὶ οὕτως οἱ χρόνοι πρὸς
25ἀλλήλους συνεκρίνοντο, ἐπειδὴ καὶ ὁ ἥλιος ὁμαλῶς κινού‐ μενος ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὰς ἴσας περιφερείας διέρχεται. νυνὶ δὲ τοῦ μὲν ἡλίου ὁμαλῶς διαπορευομένου τὸν κύκλον, αὐ‐ τοῦ δὲ τοῦ κύκλου ἀνωμάλως τὰς ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιουμένου οὐκ ἐξέσται ἡμῖν λέγειν ὅτι, πλείονος ὄντος
30τοῦ χρόνου ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὸν κύκλον διαπορεύεται ἤπερ αὐ‐ τὸς ὁ κύκλος ἀνατέλλει, πλείων ἔσται ὁ κατὰ μέρος χρόνος ἐν ᾧ ὁ ἥλιός τινα περιφέρειαν διαπορεύεται ἐκείνου τοῦ χρόνου ἐν ᾧ ἐκείνη ἡ περιφέρεια ἀνατέλλει τε καὶ δύνει.
τούτων δὴ τοιούτων ὑπαρχόντων οὐκέτι πρόδηλον καθέστη‐

6

.

538

κεν διότι πᾶσαν περιφέρειαν ὁ ἥλιος ἐν πλείονι χρόνῳ διαπορεύεται ἤπερ ἡ περιφέρεια ἀνατέλλει ἢ πάλιν δύνει. πόθεν δὲ ὅτι οὐχὶ τὸν μὲν ὅλον κύκλον ἐν πλείονι χρόνῳ διέρχεται ἤπερ αὐτὸς ὁ κύκλος ἀνατέλλει, οἱ δὲ κατὰ μέ‐
5ρος χρόνοι ἐν οἷς ὁ ἥλιος ἑκάστην περιφέρειαν τοῦ κύκλου διέρχεται, ἐλάττονές εἰσιν τῶν κατὰ μέρος χρόνων, ἐν οἷς ἑκά‐ στη τῶν τοῦ κύκλου περιφερειῶν ἀνατέλλει; ὅτι γὰρ δυνατόν ἐστιν ἐπί τινων κινήσεων γίνεσθαι τοῦτο, φανερὸν ἐκ τούτου. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΔ ὀρθὴν ἔχον τὴν
10Β γωνίαν, καὶ ἑκατονταπλασία συναμφότερος ἡ ΔΑ ΑΒ τῆς ΑΒ, καὶ γεγράφθω περὶ κέντρον τὸ Α κύκλος, καὶ ἐκκείσθω[Omitted graphic marker] τις εὐθεῖα ἡ ΝΘ ἴση τῇ ΒΔ, καὶ διαπορευέσθω τὸ μὲν Ν σημεῖον ὁμαλῶς φερόμενον τὴν ΝΘ ἐν ὥραις δέκα, ἡ δὲ Β συμβολή, καθ’ ὃ συμβάλλει ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, διαπορευέσθω
15τὴν ΒΔ ἐν ὥρᾳ μιᾷ, καὶ τετμήσθω ἡ ΕΗ περιφέρεια δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΖΓ. ἐπεὶ οὖν ἐν ᾧ χρόνῳ τὸ Ε σημεῖον τὴν ΕΗ διαπορεύεται ἐν τούτῳ τῷ χρόνῳ τὸ Β τὴν ΒΔ διαπορεύεται, ἐν ᾧ δὲ τὸ Ε τὴν ΕΖ ἐν τούτῳ τὸ Β τὴν ΒΓ, καὶ ἔστιν ὁ χρόνος ἐν
20ᾧ τὸ Ε τὴν ΕΗ διαπορεύεται τοῦ χρόνου ἐν ᾧ τὸ Ε τὴν ΕΖ διαπορεύεται διπλάσιος, καὶ ὁ χρόνος ἄρα ἐν ᾧ τὸ Β τὴν ΒΔ διαπορεύεται τοῦ χρόνου ἐν ᾧ τὸ Β τὴν ΒΓ δια‐ πορεύεται διπλάσιος. ἀλλὰ τὸ Β τὴν ΒΔ διέρχεται ἐν ὥρᾳ μιᾷ· τὸ Β ἄρα τὴν ΒΓ διελεύσεται ἐν ἡμιωρίῳ. καὶ
25ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΖ περιφέρεια τῇ ΖΗ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ
ΕΑΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΑΗ· ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΔΑ

6

.

540

ΑΒ πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ. ἑκατοντα‐ πλασία δὲ συναμφότερος ἡ ΔΑ ΑΒ τῆς ΑΒ· ἑκατοντα‐ πλασία ἄρα καὶ ἡ ΔΒ τῆς ΒΓ. ἐὰν ἄρα ποιήσωμεν ὡς τὴν ΔΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως τὴν ΘΝ πρὸς ΝΞ, ἔσται οὖν
5καὶ ἡ ΝΘ τῆς ΝΞ ἑκατονταπλασία. καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΒΔ τῇ ΝΘ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΝΞ. ἐπεὶ οὖν τὸ Ν ὁμα‐ λῶς κινούμενον διαπορεύεται τὴν ΝΘ ἐν ὥραις δέκα, τὸ ἄρα ἑκατοστὸν αὐτῆς μέρος ἐν ὥρας δεκάτῳ διελεύσεται, τὸ δὲ Β ἀνωμάλως κινούμενον διέρχεται τὴν ΒΓ ἐν ὥρας
10ἡμίσει. δύο οὖν ὑπαρχουσῶν κινήσεων καὶ τῆς μὲν ἀνω‐ μάλου τῆς δὲ ὁμαλῆς, ὁ μὲν ὅλος χρόνος ἐν ᾧ τὸ Ν τὴν ΝΘ διέρχεται ὁμαλῶς τοῦ ὅλου χρόνου τοῦ ἐν ᾧ τὸ Β τὴν ΒΔ διέρχεται ἀνωμάλως πλείων ἐστίν, ὁ δὲ κατὰ μέρος χρόνος ἐν ᾧ τὸ Ν τὴν ΝΞ διέρχεται τοῦ κατὰ μέρος χρό‐
15νου ἐν ᾧ τὸ Β τὴν ΒΓ διέρχεται ἐλάσσων ἐστίν. ὥστε οὐθὲν ἀπέχει καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ ἡλίου κινήσεως καὶ τῆς τοῦ κύκλου ἀνατολῆς τὸ αὐτὸ γίνεσθαι, τὸν μὲν ἥλιον ἐν μεί‐ ζονι χρόνῳ διαπορεύεσθαι τὸν κύκλον, αὐτὸν δὲ τὸν κύκλον ἐν ἐλάσσονι ἀνατέλλειν, πάλιν δὲ ἐκ τῶν ἐναντίων τινὰς
20μὲν περιφερείας τοῦ κύκλου ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλειν, τὸν δὲ ἥλιον αὐτὰς ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ διέρχεσθαι· μειου‐ μένου γὰρ τοῦ τάχους τῆς ἀνατολῆς τοῦ κύκλου, πόθεν ὅτι οὐχὶ μειοῦται ἐπὶ τοσοῦτον ὥστε τινὰ περιφέρειαν αὐτοῦ ἐν μείζονι χρόνῳ ἀνατέλλειν ἤπερ ὁ ἥλιος ἐκείνην τὴν περι‐
25φέρειαν διέρχεται; λγʹ. Δεῖ οὖν ἡμᾶς ἐπισκέψασθαι πότερόν ποτε τοῦ ζῳδιακοῦ τὸ τάχος τῶν ἐπ’ ἄπειρον αὐξομένων καὶ ἐπ’ ἄπειρον μειουμένων ἐστίν, ἢ τῶν ἐπ’ ἄπειρον μὲν αὐξομέ‐ νων οὐκ ἐπ’ ἄπειρον δὲ μειουμένων, ἢ τῶν ἐπ’ ἄπειρον
30μὲν μειουμένων οὐκ ἐπ’ ἄπειρον δὲ αὐξομένων, ἢ οὔτε τῶν ἐπ’ ἄπειρον μειουμένων οὔτε τῶν ἐπ’ ἄπειρον αὐξομένων. ὅτι γὰρ περί τινα μεγέθη ταῦτα γίνεσθαι συμβαίνει, φα‐
νερὸν ἐκ τούτων.

6

.

542

 Παντὸς γὰρ τοῦ προτεθέντος μεγέθους μείζονα γίνεται καὶ πάλιν ἐλάττονα πάντα τὰ ἐπὶ τῶν ἀδιορίστων προβλη‐ μάτων γινόμενα.[Omitted graphic marker] Δυνατὸν γάρ ἐστιν περὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν παντὸς
5τοῦ παραβεβλημένου ἤδη χωρίου ὑπερβάλλοντος τετραγώνῳ μεῖζον χωρίον παραβάλλειν ὑπερβάλλον τετραγώνῳ καὶ πά‐ λιν ἔλασσον, καὶ τοῦτο γίνεται ἐπ’ ἄπειρον. [ἐπὶ ταύτης οὖν τὸ μέγεθος τῆς παραβολῆς αὔξεται ἐπ’ ἄπειρον καὶ πάλιν μειοῦται.]
10 Τῶν δὲ ἐπ’ ἄπειρον αὐξομένων οὐκ ἐπ’ ἄπειρον δὲ μειουμένων ἐστὶν τὸ ἐπὶ τοῦ προγεγραμμένου τριγώνου γι‐ νόμενον. Ἐὰν γὰρ ᾖ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τμηθῇ δίχα ἡ ΑΓ κατὰ τὸ Ε, καὶ διαχθῇ ἀπὸ τοῦ Ε εὐθεῖα ἡ ΖΕΗ, ἔστι
15μεῖζον τὸ ΖΗΒ τρίγωνον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. καὶ πάλιν ἐὰν διαχθῇ ἡ ΘΕΚ, μεῖζόν ἐστι τὸ ΒΘΚ τοῦ ΖΒΗ τρι‐ γώνου. καὶ αἰεὶ διαγομένων ἐπ’ ἄπειρον τῶν εὐθειῶν αὐξηθήσεται τὸ τρίγωνον. οὐδέποτε δὲ ἡ διαχθεῖσα εὐ‐ θεῖα ποιήσει τρίγωνον ἔλασσον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. [τοῦτο
20οὖν τὸ μέγεθος αὔξεται μὲν ἐπ’ ἄπειρον, μειοῦται δὲ οὐκέτι, ἀλλ’ ἔστι τι μέγεθος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἔλασσον ὃ οὐκ ἔσται τρίγωνον.]
λδʹ. Τῶν δὲ ἐπ’ ἄπειρον μὲν μὴ αὐξομένων ἐπ’ ἄπει‐

6

.

544

ρον δὲ μειουμένων ἐστὶ τὸ ἐπὶ τῆς εὐθείας τῆς ἐναρμοζο‐ μένης εἰς τὸν κύκλον. οὐ γὰρ πάσης τῆς προτεθείσης δυ‐ νατόν ἐστιν μείζονα εἰς τὸν κύκλον ἐναρμόσαι. ἐπειδὴ γάρ ἐστιν ὡρισμένον μέγεθος τὸ τῆς διαμέτρου, ταύτης μείζονα
5εὐθεῖαν οὐ δυνατὸν ἐναρμόσαι· ἐπὶ μέντοι γε τὸ ἔλασσον δυνατόν ἐστιν γίνεσθαι ἐπ’ ἄπειρον [πάσης γὰρ εὐθείας δυνατόν ἐστιν ἐλάσσονα ἐναρμόσαι]. Φανερὸν δὲ γίνεται τὸ λεγόμενον καὶ ἐκ τοῦ μὴ πᾶν τὸ δοθὲν παρὰ τὴν δοθεῖσαν παραβάλλεσθαι ἐλλεῖπον τε‐
10τραγώνῳ· τὸ γὰρ παραβαλλόμενον χωρίον οὐκ ἐπ’ ἄπειρον δυνησόμεθα αὔξοντες παραβάλλειν, ἐπειδή ἐστίν τι χωρίον, οὗ μεῖζον οὐκέτι δυνατόν ἐστιν παραβάλλειν· μειοῦντες μέντοι γε δυνησόμεθα παντὸς τοῦ προτεθέντος ἔλασσον παραβάλλειν. [θεωρεῖται γοῦν τοῦτο τὸ μέγεθος τῆς πα‐
15ραβολῆς ἐπ’ ἄπειρον μὴ αὐξόμενον μειούμενον δὲ ἐπ’ ἄπειρον.] Τῶν δὲ μήτε ἐπ’ ἄπειρον δυναμένων αὔξεσθαι μήτε ἐπ’ ἄπειρον μειουμένων [ἀλλ’ ἐπί τινα μεγέθη ὡρισμένα, κατὰ πάντων τούτων] ἐστὶν τὸ ὑπογεγραμμένον.
20 Ἐὰν γὰρ ὦσι δύο κύκλοι ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων κατὰ τὸ Α, ἄλλος δέ τις κύκλος τοῦ μὲν ἑνὸς ἐφάπτηται κατὰ τὸ Β, τὸν δὲ ἕτερον τέμνῃ κατὰ τὰ Γ Δ, καὶ ἀπὸ τῶν Γ Δ πρὸς τὰς ἁφὰς τῶν κύκλων κλασθῶσιν εὐθεῖαι αἱ ΑΔ ΓΑ ΒΓ ΒΔ, ἔστιν πασῶν τῶν κλωμένων γωνιῶν πρὸς τὴν
25περιφέρειαν τοῦ ΒΕΑΖ κύκλου μεγίστη μὲν ἡ ὑπὸ ΓΑΔ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ὑπὸ ΓΒΔ. [ἐπὶ τούτου οὖν τὸ μέγεθος τῆς γωνίας μειούμενον οὐκ ἐπ’ ἄπειρον μειοῦται, ἀλλ’ ἔστιν μέγεθος γωνίας ἧς ἔλασσον οὐκέτι δύναται γενέσθαι. καὶ
πάλιν αὐξομένη ἡ γωνία οὐκ ἐπ’ ἄπειρον αὔξεται, ἀλλ’

6

.

546

ἔστι τι μέγεθος γωνίας ὡρισμένον, ἧς μεῖζον οὐκέτι δύνα‐ ται γενέσθαι.] λεʹ. Τούτων οὖν προειρημένων ἀποδείξομεν νῦν ὅτι τοῦ ζῳδιακοῦ τὸ τάχος μειούμενον οὐδέποτε ἔλασσόν ἐστιν
5τοῦ τάχους τοῦ ἡλίου, ἀλλ’ ἀεὶ τὴν τυχοῦσαν περιφέρειαν τοῦ ζῳδιακοῦ ὁ ἥλιος ἐν μείζονι χρόνῳ διέρχεται ἤπερ ἐκείνη ἀνατέλλει ἢ πάλιν δύνει. [Omitted graphic marker] Ἔστω γὰρ ὁρίζων μὲν ὁ ΑΒ, θερινὸς δὲ τρο‐
10πικὸς ὁ ΒΕΔ, ζῳδιακὸς δὲ ὁ ΔΘΛ, μέγιστος δὲ τῶν παραλλήλων ὁ ΚΝΜ, καὶ ἔστω ἡ ἀρχὴ τοῦ καρ‐ κίνου ἐπὶ τῆς δύσεως, καὶ
15ἀπειλήφθω τυχοῦσά τις περιφέρεια τοῦ ζῳδιακοῦ ἡ ΔΘ· λέγω ὅτι ἐν μεί‐ ζονι χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΔΘ περιφέρειαν διέρχεται ἤ‐
20περ ἡ ΔΘ δύνει. Γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Θ μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμε‐ νος τοῦ ἀρκτικοῦ ὁ ΘΞ, καὶ ἐπεὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμε‐ τρος πρὸς τὴν τοῦ θερινοῦ κύκλου διάμετρον λόγον ἔχει δυνάμει ὃν τὰ χκθʹ πρὸς τὰ φκθʹ (ἐπείπερ ἡ ἀπὸ τοῦ
25κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ τροπικοῦ λόγον ἔχει μήκει πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ τροπικοῦ ὃν τὰ ιʹ πρὸς τὰ κγʹ), ἐλάσσων ἄρα ἢ διπλασία ἐστὶν ἡ τῆς σφαί‐ ρας διάμετρος τῆς τοῦ τροπικοῦ διαμέτρου· ἡ ἄρα διπλα‐ σία τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τετραπλα‐
30σία τῆς τοῦ τροπικοῦ διαμέτρου. ἡ δὲ διπλασία τῆς δια‐ μέτρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν τοῦ ΒΕΔ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΜΝ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΘ περιφέρειαν, ὡς ἔστι τῶν σφαιρικῶν τοῦ γʹ βιβλίου θεω‐ ρήματι ιβʹ· πολλῷ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τετραπλασία ἡ
35ΜΝ περιφέρεια τῆς ΔΘ περιφερείας. καὶ ἐπεὶ τὸ τοῦ
κόσμου τάχος τοῦ τοῦ ἡλίου τάχους μεῖζόν ἐστιν ἢ τετρα‐

6

.

548

πλάσιον, καὶ ὁ μὲν κόσμος διὰ τοῦ ΚΝΜ κύκλου φέρεται ὁ δὲ ἥλιος διὰ τοῦ ΔΘΛ, ἐν ᾧ ἄρα ὁ ἥλιος τὴν ΘΔ πε‐ ριφέρειαν διαπορεύεται, ἐν τούτῳ τὸ Ν μείζονα τῆς ΝΜ περιφέρειαν διέρχεται (ἐπειδὴ τὸ Ν ἰσοταχῶς φέρεται τῷ
5κόσμῳ)· ἐν μείζονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΔΘ περιφέρειαν διαπορεύεται ἤπερ τὸ Ν ἐπὶ τὸ Μ παραγίνεται. γεγράφθω δὴ διὰ τοῦ Θ παράλληλος κύκλος ὁ ΗΘΖ. ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ τὸ Ν ἐπὶ τὸ Μ παραγίνεται καὶ τὸ Θ ἐπὶ τὸ Η (ὅμοιαι γάρ εἰσιν αἱ ΝΜ ΘΗ περιφέρειαι)· ἐν μείζονι ἄρα
10χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΔΘ περιφέρειαν διαπορεύεται ἤπερ τὸ Θ ἐπὶ τὸ Η παραγίνεται. ἐν ᾧ δὲ τὸ Θ ἐπὶ τὸ Η παρα‐ γίνεται, ἡ ΔΘ δύνει· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΔΘ περιφέρειαν διαπορεύεται ἤπερ ἡ ΔΘ δύνει. ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ ἡ ΔΘ δύνει καὶ ἴση καὶ ἀπεναντίον ἡ μετὰ τὸν
15αἰγόκερω ἀνατέλλει. καὶ ἴσας οὔσας αὐτὰς ὁ ἥλιος ἐν ἴσῳ χρόνῳ διαπορεύεται· ὥστε καὶ ἐν πλείονι χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν μετὰ τὸν αἰγόκερω περιφέρειαν δίεισιν ἤπερ ἐκείνη ἀνατέλλει. πεποίημαι δὲ τὸν λόγον ἐπὶ τούτων τῶν ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφερειῶν, ἐπειδὴ ἡ μὲν δοκεῖ ἐν πλείστῳ
20χρόνῳ δύνειν, ἡ δὲ ἐν πλείστῳ ἀνατέλλειν. ἐπεὶ δ’ ἡ ἀπὸ τῆς συναφῆς τοῦ καρκίνου ἐν πλείστῳ χρόνῳ δύνουσα πα‐ σῶν τῶν λοιπῶν περιφερειῶν τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλου δέδει‐ κται, αὕτη δὲ δέδεικται ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ δύνουσα ἤπερ ὁ ἥλιος αὐτὴν δίεισιν, πολὺ μᾶλλον οὖν αἱ λοιπαὶ ἐν ἐλάσ‐
25σονι χρόνῳ δύσονται ἤπερ ὁ ἥλιος αὐτὰς δίεισιν. πάλιν ἐπεὶ ἡ ἀπὸ τῆς συναφῆς τοῦ αἰγόκερω περιφέρεια ἐν πλεί‐ στῳ χρόνῳ ἀνατέλλει πασῶν τῶν λοιπῶν περιφερειῶν τοῦ
ζῳδιακοῦ, δέδεικται δὲ ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ ἀνατέλλουσα

6

.

550

ἤπερ ὁ ἥλιος αὐτὴν διέρχεται, πολὺ μᾶλλον ἄρα αἱ λοιπαὶ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρειαι ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ ἀνατελοῦσιν ἤπερ ὁ ἥλιος αὐτὰς διέρχεται, ὅπερ· ⁓ λϛʹ. Ἐὰν δὲ τὸ μὲν Ζ ᾖ δύσις, ᾖ δὲ τὸ Η ἀνατολή,
5ἔσται ὁ τῆς ΖΗ περιφερείας χρόνος, ἐν ᾧ αὐτὴν ὁ ἥλιος διέρχεται, νυκτός. ὅτι δὲ ἀνίσων οὐσῶν τῶν ΖΔ ΔΗ οὐ γίνεται μέσης νυκτὸς ἡ τροπή, δῆλον [διότι ἄνισός ἐστι καὶ ὁ χρόνος τῆς ΖΔ ἣν δίεισιν ὁ ἥλιος]. ὅτι δὲ καὶ με‐ γίστη ἐστὶν ἡ ΖΔΗ [περιφέρεια] νὺξ πασῶν τῶν ἐν τῷ
10ἐνιαυτῷ οὗ ἀρχὴ ἡ θερινὴ τροπή, δῆλον, ἐπεὶ ἐν πλείστῳ ἡ ΖΔΗ παραλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον. ἔστω δὴ [Omitted graphic marker]δεῖξαι καὶ τὰ ἐφ’ ἑκάτερα, καὶ ἔστω πρῶτον μείζων ἡ ΖΔ τῆς ΔΗ, καὶ ἔστω ἀνα‐
15τολὴ ἡ πρὸ τῆς Ζ δύσεως τὸ Θ, καὶ τῇ ΖΘ ἴση ἡ ΚΗ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὰς ΖΘ ΚΗ διαπορεύεται. ἀλλ’ ἐν ᾧ τὴν ΖΘ διαπο‐
20ρεύεται, ἡ ΖΘ παραλλάσ‐ σει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἐν ἐλάσσονι δὲ χρόνῳ ἡ ΖΘ παραλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον τῆς ΚΗ· ἐν
25ἐλάσσονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΚΗ δίεισιν ἤπερ ἡ ΚΗ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον· ἐν ᾧ ἄρα ἡ ΚΗ παρ‐ αλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ὁ ἥλιος μείζονα τῆς ΚΗ περιφερείας περιφέρειαν διελεύσεται. διεληλυθέτω τὴν ΗΛ· τοῦ ἄρα Κ σημείου ὄντος ἐπὶ δυσμὰς ὁ ἥλιος πρὸς τῷ Λ
30ὤν ἐστιν ὑπὲρ γῆν. ἵν’ οὖν ἐπὶ τῆς δύσεως γένηται, προσ‐ διελεύσεταί τινα περιφέρειαν. προσδιερχέσθω τὴν ΛΜ·
ἐν ᾧ ἄρα ἡ ΗΜ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἐν

6

.

552

τούτῳ καὶ ὁ ἥλιος τὴν ΗΜ διέρχεται. καὶ ἔστι μείζων ἡ ΜΗ τῆς ΖΘ, ὥστε μείζονές εἰσιν αἱ ἡμέραι αἱ ἐν τῷ ΔΕ ἡμικυκλίῳ τῶν ἐν τῷ ΓΔ ἡμικυκλίῳ. [τοῦτο μὲν οὖν δεικνύοιτ’ ἂν ὥσπερ ἐν τῷ στοιχείῳ δείκνυται, ἐπεὶ δὲ
5μείζων μὲν ἡ ΖΔ τῆς ΔΗ, ἐλάσσων δὲ ἡ ΖΘ τῆς ΗΜ, ἡ ΘΔ πρὸς τὴν ΔΜ οὐκ ἔχει σύγκρισιν, ὥστε ἡ ἀπόδειξις οὐ προβήσεται ὡσαύτως, ἂν μὴ δείξωμεν τὰς συναμφοτέ‐ ρας ἐν τῷ ΔΓ τμήματι ἡμέρας τε καὶ νύκτας τῶν συναμ‐ φοτέρων ἐν τῷ ΔΕ τμήματι ἡμερῶν τε καὶ νυκτῶν μείζονας.]
10δεῖ οὖν ἡμᾶς τῇ προγεγραμμένῃ ἀποδείξει χρῆσθαι ἵνα καὶ αἱ νύκτες συγκριθῶσιν. Ἔστω οὖν ἡ πρὸ τῆς Θ ἀνατολῆς δύσις τὸ Π, καὶ κείσθω τῇ μὲν ΖΔ ἴση ἡ ΔΚ, τῇ δὲ ΠΖ ἴση ἡ ΚΞ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΠΖ τῇ ΚΞ, ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος ἑκάστην
15αὐτῶν δίεισιν. ἐν ᾧ δὲ τὴν ΖΠ, κόσμου περιστροφή ἐστιν καὶ τῆς ΖΠ δύσις. ὁ δὲ χρόνος ἐν ᾧ ἡ ΚΞ ἀνατέλλει ἴσος τῷ χρόνῳ ἐν ᾧ ἡ ΠΖ δύνει· ὁ ἄρα χρόνος ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΚΞ δίεισιν, ὅς ἐστιν κόσμου περιστροφή, καὶ τῆς ΚΞ περιφερείας ἀνατολή. μείζων δὲ ὁ χρόνος ἐν ᾧ
20τὴν ΚΗ διέρχεται ὁ ἥλιος τοῦ χρόνου τῆς ἀνατολῆς τῆς ΚΗ· ὁ ἄρα χρόνος ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΗΞ διέρχεται μείζων ἐστὶν κόσμου περιστροφῆς καὶ τῆς ἀνατολῆς τῆς ΞΗ· ἐν ἄρα κόσμου περιστροφῇ καὶ τῆς ΗΞ ἀνατολῇ ὁ ἥλιος ἐλάσ‐ σονα τῆς ΞΗ περιφέρειαν διελεύσεται. διεληλυθέτω τὴν
25ΗΟ· τοῦ Ξ ἄρα ὄντος ἐπ’ ἀνατολῆς ὁ ἥλιος κατὰ τὸ Ο ὢν προανατεταλκὼς ἔσται, ὥστε ἐν ᾧ ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς γίνεται ἐλάσσονα τῆς ΗΟ διελεύσεται. ἔστω ἡ ΗΝ· ὥστε
τὸ Ν ἀνατολικὸν ἔσται σημεῖον τὸ μετὰ τὴν Η ἀνατολήν,

6

.

554

ὥστε ἡ νὺξ ἧς ἀνατολή ἐστιν τὸ Ν σημεῖον ἐλάσσων ἐστὶ τῆς νυκτὸς ἧς δύσις τὸ Π. ὁμοίως δὲ καὶ τὰ λοιπὰ δει‐ χθήσεται. [ὁμοίως δὲ καὶ ἐάν τις ἔνστασις ᾖ ἐπὶ τῆς γρα‐ φῆς ἐφ’ ἧς ἢ ἀνατολὴ ἢ δύσις ἐστὶν ἐπὶ τῆς θερινῆς τρο‐
5πῆς, ὡσαύτως ἐπιλυσόμεθα]. λζʹ. Ἐν τῷ περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων ὁ Ἀρί‐ σταρχος ἓξ ταῦτα ὑποτίθεται· πρῶτον τὴν σελήνην παρὰ τοῦ ἡλίου φῶς λαμβάνειν, δεύτερον τὴν γῆν σημείου τε καὶ κέντρου λόγον ἔχειν πρὸς τὴν τῆς σελήνης σφαῖραν,
10τρίτον, ὅταν ἡ σελήνη διχότομος ἡμῖν φαίνηται, νεύειν εἰς τὴν ἡμετέραν ὄψιν τὸν διορίζοντα τὸ σκιερὸν καὶ τὸ λαμ‐ πρὸν τῆς σελήνης μέγιστον κύκλον, τέταρτον, ὅταν ἡ σελήνη διχότομος ἡμῖν φαίνηται, τότε αὐτὴν ἀπέχειν τοῦ ἡλίου ἔλασσον τεταρτημορίου τῷ τοῦ τεταρτημορίου τριακοστη‐
15μορίῳ [ἀντὶ τοῦ ἀπέχειν αὐτὴν μοίρας πζʹ· αὗται γὰρ ἐλάσσους εἰσὶν τῶν ϙʹ μοιρῶν τεταρτημορίου μοίραις γʹ, αἵ εἰσιν τῶν ϙʹ μέρος λʹ]. πέμπτον δὲ ὑποτίθεται τὸ τῆς σκιᾶς πλάτος σεληνῶν εἶναι δύο, ἕκτον δὲ τὴν σελήνην ὑποτείνειν ὑπὸ ιεʹ μέρος ζῳδίου.
20 Τούτων δὴ τῶν ὑποθέσεων ἡ μὲν πρώτη καὶ τρίτη καὶ τετάρτη σχεδὸν συμφωνοῦσιν ταῖς Ἱππάρχου καὶ Πτο‐ λεμαίου. φωτίζεται μὲν γὰρ ἡ σελήνη ὑπὸ τοῦ ἡλίου παντὶ χρόνῳ χωρὶς ἐκλείψεως, καθ’ ἣν ἀφώτιστος γίνεται ἐμπίπτουσα εἰς τὴν σκιάν, ἣν ἐπιπροσθούμενος ὁ ἥλιος
25ὑπὸ τῆς γῆς ποιεῖ κωνικὸν ἔχουσαν τὸ σχῆμα, καὶ ὁ διο‐ ρίζων δὲ τὸ γαλακτῶδες, ὅ ἐστιν ἐκ τῆς προσλάμψεως
ἡλίου, καὶ τὸ τεφρῶδες, ὅ ἐστιν ἴδιον χρῶμα τῆς σελήνης,

6

.

556

ἀδιαφορῶν τοῦ μεγίστου κύκλου ἐν ταῖς διχοτόμοις πρὸς τὸν ἥλιον στάσεσιν, τεταρτημορίου ἔγγιστα ἐπὶ τοῦ ζῳ‐ διακοῦ θεωρουμένου νεύει πρὸς τὴν ἡμετέραν ὄψιν· τοῦτο γὰρ τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον ἥξει καὶ διὰ
5τῆς ἡμετέρας ὄψεως, ὁποίαν πότ’ ἂν ἔχῃ θέσιν ἡ σελήνη τῆς πρώτης ἢ δευτέρας διχοτόμου φάσεως. ἀσυμφώνους δὲ τὰς λοιπὰς ὑποθέσεις κατειλήφασιν οἱ προειρημένοι μαθηματικοὶ διὰ τὸ μήτε τὴν γῆν σημείου καὶ κέντρου λό‐ γον ἔχειν πρὸς τὴν τῆς σελήνης σφαῖραν κατ’ αὐτούς, ἀλλὰ
10πρὸς τὴν τῶν ἀπλανῶν, μήτε τὸ τῆς σκιᾶς πλάτος σελη‐ νῶν εἶναι δύο [διαμέτρων], μήτε· τὴν διάμετρον αὐτῆς ὑπο‐ τείνειν [τοῦ κατὰ τὸ αὐτὸ μέσον αὐτῆς ἀπόστημα περιφέ‐ ρειαν μεγίστου κύκλου] ιεʹ μέρος ζῳδίου, τουτέστιν μοίρας βʹ. κατὰ μὲν γὰρ Ἵππαρχον ἑξακοσιάκις καὶ πεντηκοντά‐
15κις καταμετρεῖται ὁ κύκλος οὗτος ὑπὸ τῆς διαμέτρου τῆς σελήνης, δὶς δὲ καὶ ἡμισάκις ὁ τῆς σκιᾶς κατὰ τὸ ἐν ταῖς συζυγίαις μέσον ἀπόστημα, κατὰ δὲ Πτολεμαῖον ἡ διάμε‐ τρος αὐτῆς ὑποτείνει περιφέρειαν κατὰ μὲν τὸ μέγιστον ἀπόστημα 𐆊 λαʹ κʹʹ, κατὰ δὲ τὸ ἐλάχιστον 𐆊 λεʹ κʹʹ, ἡ
20δὲ διάμετρος τοῦ κύκλου τῆς σκιᾶς κατὰ μὲν τὸ μέγιστον ἀπόστημα τῆς σελήνης ἑξηκοστὰ μʹ μʹʹ, κατὰ δὲ τὸ ἐλάχι‐ στον ἀπόστημα ἑξηκοστὰ μϛʹ. ἐντεῦθεν αὐτοῖς οἱ λόγοι διάφοροι καὶ τῶν ἀποστημάτων καὶ τῶν μεγεθῶν ἡλίου καὶ σελήνης ἐπιλελογισμένοι εἰσίν.
25Ὁ μὲν γὰρ Ἀρίσταρχος ἐπάγει ταῖς εἰρημέναις ὑπο‐
θέσεσιν λέγων κατὰ λέξιν οὕτως· “ἐπιλογίζεται δὴ τὸ τοῦ

6

.

558

ἡλίου ἀπόστημα τοῦ τῆς σελήνης ἀποστήματος πρὸς τὴν γῆν μεῖζον μὲν ἢ ὀκτωκαιδεκαπλάσιον, ἔλασσον δὲ ἢ εἰκοσα‐ πλάσιον, τὸν αὐτὸν δὲ λόγον ἔχει καὶ ἡ τοῦ ἡλίου διάμε‐ τρος πρὸς τὴν τῆς σελήνης διάμετρον, τοῦτο δὲ διὰ τῆς
5περὶ τὴν διχότομον ὑποθέσεως. τὴν δὲ τοῦ ἡλίου διάμε‐ τρον πρὸς τὴν τῆς γῆς διάμετρον ἐν μείζονι λόγῳ ἢ ὃν ιθʹ πρὸς γʹ, ἐν ἐλάσσονι δὲ λόγῳ ἢ ὃν τὰ μγʹ πρὸς ϛʹ, διὰ τοῦ εὑρεθέντος περὶ τὰ ἀποστήματα λόγου καὶ τῆς περὶ τὴν σκιὰν ὑποθέσεως καὶ τοῦ τὴν σελήνην ὑποτείνειν ὑπὸ
10ιεʹ μέρος ζῳδίου”. “ἐπιλογίζεται δέ” εἶπεν “τὰ ἀποστή‐ ματα” καὶ τὰ ἑξῆς ὡς αὐτὰ μέλλων ἀποδείξειν προγράψας ὅσα συντείνει πρὸς τὰς ἀποδείξεις αὐτῶν λήμματα. συν‐ άγει δ’ ἐκ πάντων ὅτι ὁ μὲν ἥλιος πρὸς τὴν γῆν μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν τὰ ͵ϛωνθʹ πρὸς κζʹ, ἐλάσσονα δὲ λόγον ἢ
15ὃν τὰ μ. ζʹ ͵θφζʹ πρὸς σιϛʹ, ἡ δὲ διάμετρος τῆς γῆς πρὸς τὴν διάμετρον τῆς σελήνης ἐν μείζονι μὲν λόγῳ ἢ ὃν τὰ ρηʹ πρὸς τὰ μγʹ, ἐν ἐλάσσονι δὲ ἢ ὃν τὰ ξʹ πρὸς τὰ ιθʹ, ἡ δὲ γῆ πρὸς τὴν σελήνην ἐν μείζονι λόγῳ ἢ ὃν τὰ μ. ρκεʹ ͵θψιβʹ πρὸς μ. ζʹ ͵θφζʹ, ἐν ἐλάσσονι δὲ ἢ ὃν μ. καʹ ͵ϛ
20πρὸς ͵ϛωνθʹ. Πτολεμαῖος δὲ πέμπτῳ βιβλίῳ συντάξεως ἀπέδειξεν ὅτι, οἵου ἐστὶν ἑνὸς ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς γῆς, τοιούτων τὸ μὲν τῆς σελήνης ἐν ταῖς συζυγίαις μέγιστον ἀπόστημα ξδ ιʹ, τὸ δὲ τοῦ ἡλίου ͵ασι, ἡ δ’ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σε‐
25λήνης 𐆊 ιζʹ λγʹʹ, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἡλίου ε λʹ, ὥστε καί, οἵου ἐστὶν ἑνὸς ἡ διάμετρος τῆς σελήνης, τοιούτων ἡ μὲν τῆς γῆς ἄρα διάμετρος γʹ καὶ βʹ εʹʹ, ἡ δὲ τοῦ ἡλίου ιηʹ καὶ δʹ εʹʹ, καὶ ἡ μὲν τῆς γῆς ἄρα διάμετρος τῆς σελη‐
νιακῆς τριπλασία ἐστὶν καὶ τοῖς βʹ εʹʹ μείζων, ἡ δὲ τοῦ

6

.

560

ἡλίου τῆς μὲν τῆς σελήνης ὀκτωκαιδεκαπλασία καὶ ἔτι τοῖς δʹ εʹʹ μείζων, τῆς δὲ τῆς γῆς πενταπλασία καὶ ἔτι τῷ 𐅶 μείζων· ἀφ’ ὧν καὶ οἱ τῶν στερεῶν σωμάτων λόγοι δῆλοι, ἐπεὶ καὶ ὁ τοῦ αʹ κύβος τοῦ αὐτοῦ ἐστιν αʹ, ὁ δ’ ἀπὸ τῶν
5γʹ καὶ βʹ εʹʹ τῶν αὐτῶν ἔγγιστα λθʹ δʹʹ, ὁ δ’ ἀπὸ τῶν ιηʹ καὶ δʹ εʹʹ ὁμοίως ͵ϛχμδʹ 𐅶 ἔγγιστα, ὡς συνάγεσθαι ὅτι, οἵου ἐστὶν ἑνὸς τὸ τῆς σελήνης στερεὸν μέγεθος, τοιούτων ἐστὶ τὸ μὲν τῆς γῆς λθʹ δʹʹ, τὸ δὲ τοῦ ἡλίου ͵ϛχμδʹ 𐅶· ἑκατοντακαιεβδομηκονταπλάσιον [μεῖζον] ἄρα ἔγγιστα τὸ
10τοῦ ἡλίου τοῦ τῆς γῆς. Καὶ ταῦτα μὲν ἐπὶ τοσοῦτον εἰρήσθω συγκρίσεως ἕνε‐ κεν τῶν εἰρημένων μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων, ἓν δέ τι λῆμμα γράψομεν ἐκ τῶν φερομένων εἰς τὸ δʹ θεώρημα τοῦ βιβλίου τῆς ζητήσεως ἄξιον.
15 Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἐκβληθεῖσα ἡ ΑΓΔ, κέντρον δὲ τὸ Ε, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΑΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΕΖ, ἀπὸ δὲ τοῦ Δ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφ‐ απτομένη ἡ ΔΘ, καὶ κείσθω τῆς ΖΘ ἡμίσεια ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ Γ ἡ ΚΓ ΓΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΔ ΔΛ ΖΔ· λέγω
20ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΔΛ τῆς ὑπὸ τῶν ΖΔΘ. προ‐ γράφεται δὲ τάδε. ληʹ. Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ διάμετρος ἐκβληθεῖσα ἡ ΑΓΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἤχθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕΖ· λέγω ὅτι ἡ ΑΖ περιφέρεια μείζων ἐστὶν τῆς ΓΕ περιφερείας.
25Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Η σημεῖον,

6

.

562

καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΖ ΗΕ· καὶ γωνία ἄρα ἡ πρὸς τῳ Ζ γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ Ε ἴση ἐστίν. καὶ ἐπεὶ τρίγωνον τὸ [Omitted graphic marker]ΗΖΔ καὶ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΗΖ μείζων ἐστὶν τῆς ἐντὸς
5καὶ ἀπεναντίον τῆς πρὸς τῷ Ζ, τουτέστι τῆς πρὸς τῷ Ε, ἀλλὰ ἡ πρὸς τῷ Ε μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΔΗΕ διὰ τὸ ἐκτὸς εἶναι τοῦ τριγώνου, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΖ
10ἄρα μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΕΗΔ. καὶ εἰσὶν πρὸς τῷ κέντρῳ· μείζων ἄρα καὶ περιφέρεια ἡ ΑΖ τῆς ΓΕ, ὅπερ· ⁓ λθʹ. Κύκλος ὁ ΑΒ, οὗ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἐκτὸς τοῦ κύκλου σημεῖον τὸ Γ, καὶ διήχθω ἡ ΓΛΔΚ, καὶ ἐφαπτο‐
15μένη τοῦ κύκλου ἡ ΓΖ καὶ διὰ τοῦ Δ κέντρου πρὸς ὀρθὰς τῇ ΚΛ διαμέτρῳ ἡ ΔΑ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΖ περιφέρεια δίχα τῷ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΒΑ ΓΗΕ· λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΕ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΓΖ. Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ ΖΗ. ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΕΒ
20τῆς ΖΗ, ἐλάσσων δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΓΗ, ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ μεί‐ ζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΗ πρὸς ΓΗ. γεγονέτω οὖν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ, ἡ ΗΘ πρὸς ΗΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΓ. ἐπεὶ οὖν αἱ ὑπὸ ΑΒΕ ΕΗΖ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν (ἐπεὶ καὶ περιφέρεια ἡ ΑΕ περιφερείᾳ τῇ ΕΖ), καὶ αἱ
25λοιπαὶ ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις αἱ ὑπὸ ΕΒΓ ΖΗΓ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΕΒΓ τρίγωνον τῷ ΗΘΓ τριγώνῳ· ἴσαι ἄρα εἰσὶν αἱ ὑπὸ ΑΓΕ ΗΓΘ γωνίαι· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῆς ὑπὸ ΕΓΖ.
μʹ. Ἔστω λοιπὸν ἡ αὐτὴ καταγραφὴ τῇ πρότερον,

6

.

564

καὶ τὰ αὐτὰ δεδομένα· λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΔΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΖΔΘ.[Omitted graphic marker] Τετμήσθω δίχα ἡ ΖΘ περιφέρεια κατὰ τὸ Μ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΜΔ. φανερὸν δὴ ἐκ τοῦ νῦν δειχθέντος ὅτι ἡ
5ὑπὸ ΖΔΜ γωνία μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΜΔΘ. ἐκβεβλή‐ σθωσαν αἱ ΖΕΒ ΔΛ ἐπὶ τὰ Ν Ξ σημεῖα, καὶ κείσθω τῇ ΑΔ εὐθείᾳ ἴση ἡ ΝΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΜ ΝΔ ΖΜ. καὶ ἐπεὶ κύκλος ἐστὶν ὁ ΑΒΓ, καὶ διάμετρος ἐκβληθεῖσα ἡ ΑΓΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ διῆκται πρὸς τὴν κοίλην περιφέ‐
10ρειαν ἡ ΔΛΞ, περιφέρεια ἄρα ἡ ΑΞ περιφερείας τῆς ΓΛ μείζων ἐστίν. ἀλλ’ ἡ ΓΛ ἴση ἐστὶν τῇ ΖΜ περιφερείᾳ (ἡμίσεια γὰρ ἑκατέρα αὐτῶν τῆς ΖΘ)· καὶ ἡ ΑΞ ἄρα περι‐ φέρεια μείζων ἐστὶν τῆς ΖΜ. κείσθω οὖν τῇ ΖΜ ἴση ἡ ΑΟ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΟ ΟΔ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΘΓ
15περιφέρεια τοῦ ἡμικυκλίου ἴση ἐστὶν τῇ ΖΓΒ περιφερείᾳ τοῦ ἡμικυκλίου, ὧν ἡ ΑΟ περιφέρεια ἴση ἐστὶν τῇ ΜΖ περιφερείᾳ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΟΓ περιφέρεια ἴση ἐστὶν τῇ ΜΒ περιφερείᾳ. καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΟΓ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΟ, ἐπὶ δὲ τῆς ΜΒ γωνία ἡ ὑπὸ ΝΖΜ·
20ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΔΑΟ γωνία τῇ ὑπὸ ΝΖΜ (καὶ
ἔστιν ἑκατέρα αὐτῶν ἐλάσσων ὀρθῆς). καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν

6

.

566

ἡ μὲν ΑΔ τῇ ΖΝ, ἡ δὲ ΑΟ τῇ ΖΜ, δύο δὴ αἱ ΔΑΟ δυσὶ ταῖς ΝΖΜ ἴσαι εἰσίν. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΟ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΝΖΜ ἴση ἐστίν· βάσις ἄρα ἡ ΟΔ βάσει τῇ ΝΜ ἴση ἐστίν. καὶ αἱ γωνίαι ἴσαι εἰσίν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΟ
5γωνία τῇ ὑπὸ ΖΝΜ γωνίᾳ. πάλιν ἐπεὶ ἡμικυκλίου ἐστὶν ἡ ΖΑΒ, μείζων ἄρα ἡμικυκλίου ἐστὶν ἡ ΖΑΒΗ. καὶ βέ‐ βηκεν ἐπ’ αὐτῆς ἡ ὑπὸ ΖΜΗ γωνία· ἡ ὑπὸ ΖΜΗ γωνία ἄρα μείζων ἐστὶν ὀρθῆς. καὶ ὑποτείνει αὐτὴν εὐθεῖα ἡ ΖΡ, τὴν δὲ ὑπὸ ΡΖΜ ὀξεῖαν ἡ ΡΜ· ἡ ΖΡ ἄρα μείζων
10ἐστὶν τῆς ΡΜ. ἐκβεβλήσθω οὖν ἡ ΡΜ ἐπὶ τὸ Σ, καὶ κεί‐ σθω τῇ ΖΡ ἴση ἡ ΡΣ. καὶ ἐπεὶ ὅλη ἡ ΑΓΔ ὅλῃ τῇ ΖΒΝ ἴση ἐστίν, ὧν ἡ ΑΕ ἴση ἐστὶν τῇ ΖΕ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΔ[Omitted graphic marker] λοιπῇ τῇ ΕΝ ἐστὶν ἴση· καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΝ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΝΔ ἴση ἐστίν· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΝ τῆς ὑπὸ
15ΔΝΡ· καὶ πλευρὰ ἄρα ἡ ΝΡ πλευρᾶς τῆς ΡΔ μείζων ἐστίν. ἐκβεβλήσθω ἡ ΡΔ ἐπὶ τὸ Υ, καὶ κείσθω τῇ ΡΝ ἴση ἡ ΡΥ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΥΣ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΖΡ τῇ ΡΣ, ἡ δὲ ΡΝ τῇ ΡΥ, δύο αἱ ΖΡΝ δυσὶ ταῖς ΣΡΥ ἴσαι εἰσίν. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΡΝ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΣΡΥ ἴση ἐστίν
20(κατὰ κορυφὴν γάρ)· βάσις ἄρα ἡ. ΝΖ βάσει τῇ ΣΥ ἐστὶν

6

.

568

ἴση. καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι εἰσίν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΡΖΝ τῇ ὑπὸ ΡΣΥ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΡΜΔ μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΡΣΥ (ἐκτὸς γάρ ἐστιν τοῦ τριγώνου)· καὶ ἡ ὑπὸ ΡΜΔ ἄρα μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΡΖΝ. ἔστιν
5δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΡΝ ἴση τῇ ὑπὸ ΜΡΔ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΝΡ μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΡΔΜ. ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΖΝΡ ἴση ἐδείχθη τῇ ὑπὸ ΑΔΟ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΔΟ ἄρα μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΡΔΜ· πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΞ μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΡΔΜ. ἀλλὰ τῆς μὲν ΑΔΞ διπλασίων ἐστὶν ἡ ὑπὸ
10ΚΔΛ, τῆς δὲ ὑπὸ ΡΔΜ ἐλάττων ἢ διπλασίων ἐδείχθη ἡ ὑπὸ ΖΔΘ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΚΔΛ μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΖΔΘ.
12nΕἰς τὰ ὀπτικὰ Εὐκλείδου.
13 μαʹ. Ἐὰν ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος προσπίπτουσα πρὸς τὸ κέντρον τοῦ κύκλου μήτε πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ἐπιπέδῳ μήτε
15ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, μείζων δὲ ἢ ἐλάσσων, ἄνισοι αἱ διάμετροι τοῦ κύκλου φανοῦνται. Προγράφεται δὲ τοῦ θεωρήματος τάδε. Ἔστω δύο τρίγωνα ὀρθογώνια τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ ὀρθὰς ἔχοντα τὰς πρὸς τοῖς Α Δ γωνίας, καὶ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν
20ΓΑ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΔ· ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΑ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΖΔ.[Omitted graphic marker] Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΔ, καὶ δυνάμει καὶ διελόντι καὶ μήκει ἡ ἄρα ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΔ πρὸς
25τὴν ΔΖ. πεποιήσθω ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΗΑ
πρὸς ΑΓ· δῆλον ἄρα ὅτι ἐλάσσων ἔσται ἡ ΗΑ τῆς ΑΒ,

6

.

570

ἐπεζεύχθω ἡ ΗΓ [καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕ‐ τως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ]· ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΗΓ· τρί‐ γωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΕ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῆς ὑπὸ ΔΖΕ
5γωνίας. μβʹ. Ἀπὸ μετεώρου σημείου τοῦ Α ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω ἡ ΑΒ, καὶ συμβαλλέτω αὐτῷ κατὰ τὸ Β σημεῖον, ἔστω δ’ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ εὐθεῖά τις ἡ ΓΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β σημείου ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος ἤχθω ἡ ΒΔ,
10καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ· λέγω ὅτι καὶ ἡ ΑΔ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΓΔ. [Omitted graphic marker] Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΓΔ τυχὸν ση‐ μεῖον τὸ Γ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ ΓΒ. ἐπεὶ οὖν ἡ. ΑΒ κάθετος ἐπὶ τὸ
15ὑποκείμενον ἐπίπεδον, ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ. τῷ δὲ ἀπὸ ΒΓ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΒΔ ΔΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν
20ΑΒ ΒΔ ΓΔ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΔ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῶν ΑΔ ΔΓ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΓ γωνία· κάθετος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ ἐπὶ τὴν ΓΔ, ὅπερ· ⁓
25 μγʹ. Ἀπὸ σημείου μετεώρου τοῦ Α ἐπὶ τὸ ὑποκεί‐ μενον ἐπίπεδον εὐθεῖα διήχθω ἡ ΑΒ μὴ οὖσα κάθετος ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον, καὶ κάθετος ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον ἤχθω, καὶ συμβαλλέτω αὐτῷ κατὰ τὸ Γ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΓΒ· λέγω ὅτι ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία ἐλαχίστη ἐστὶν
30πασῶν τῶν περιεχομένων ὑπό τε τῆς ΑΒ καὶ ἑκάστης τῶν
ἀπὸ τοῦ Β σημείου διαγομένων εὐθειῶν ἐν τῷ ὑποκειμένῳ

6

.

572

ἐπιπέδῳ, ἔτι δὲ ὅτι ἀεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ἐστίν, καὶ ὅτι δύο μόνον ἴσαι αὐτῇ ἐφ’ ἑκάτερα συνίστανται. [Omitted graphic marker] Διήχθω γάρ τις ἐν τῷ ὑποκειμένῳ
5ἐπιπέδῳ τυχοῦσα ἡ ΒΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπ’ αὐτὴν κάθετος ἡ ΓΔ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΑΔ· κάθετος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ ἐπὶ τὴν ΒΔ διὰ τὸ προδεδειγ‐ μένον. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ
10ΑΓΔ γωνία, μείζων ἐστὶν ἡ ΔΑ τῆς ΑΓ· ἡ ἄρα ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ μεί‐ ζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ. καὶ εἰσὶν ὀρθαὶ αἱ ὑπὸ ΒΓΑ ΒΔΑ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΑΔ
15διὰ τὸ πρὸ ἑνὸς δεδειγμένον, ὥστε λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΑΒΔ. ὁμοίως δείξομεν ὅτι καὶ πασῶν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία· ἐλαχίστη ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία. Λέγω ὅτι καὶ αἰεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερόν ἐστιν
20ἐλάσσων. Διήχθω γάρ τις ἡ ΒΕ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπ’ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΓΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ· καὶ ἡ ΑΕ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΒΕ. καὶ ἐπεὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΔΓ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΓΕΒ ἴση, ἀλλὰ καὶ
25ἡ ὑπὸ ΒΓΔ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΓΕ μείζων, ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΔΓ πρὸς ΓΒ· πολλῷ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ΕΓ τῆς ΓΔ. καὶ ἔστιν ἡ ΓΑ πρὸς ὀρθὰς ἑκατέρᾳ τῶν ΓΔ ΓΕ· μείζων ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΑ τῆς ΑΔ· ἡ ἄρα ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς
30τὴν ΑΕ. καὶ εἰσὶν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Δ Ε σημείοις γω‐ νίαι· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΑΕ·
ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΑΒΕ γω‐

6

.

574

νίας. ὁμοίως δείξομεν ὅτι καὶ αἰεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ὑπὸ ΑΒΓ γωνίας τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ἐστίν. Λέγω δ’ ὅτι ἴσαι δύο μόνον ἐφ’ ἑκάτερα αὐτῆς συστα‐ θήσονται.
5 Συνεστάτω πρὸς τῇ ΓΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ ση‐ μείῳ τῷ Β ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ τῇ ὑπὸ ΔΒΓ γω‐ νίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΓΒΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΒΖ κάθετος ἤχθω ἡ ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΒΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΖ, ἔστιν δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΔΒ
10ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΓΖΒ ἴση, καὶ ἔστιν καὶ κοινὴ τῶν τριγώνων ἡ ΓΒ πλευρά, ἴση ἄρα ἡ μὲν ΒΔ τῇ ΒΖ, ἡ δὲ ΓΔ τῇ ΓΖ. καὶ ἔστιν ἡ ΑΓ κάθετος ἐπὶ ἑκατέραν τῶν ΔΓ ΓΖ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΑΖ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΒ τῇ ΒΖ, κοινὴ δὲ ἡ ΒΑ, καὶ ἔστιν βάσις ἡ ΔΑ βάσει τῇ ΑΖ ἴση,
15γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΖ ἐστὶν ἴση. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι τῇ ὑπὸ ΑΒΔ ἑτέρα οὐ συνίστα‐ ται ἴση. Ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ ἄρα γωνία ἐλαχίστη ἐστίν, αἰεὶ δὲ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων, ἴσαι δὲ δύο μόνον
20ἐφ’ ἑκάτερα αὐτῆς συνίστανται. μδʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς ΒΓ ΕΖ, καὶ τετμήσθωσαν δίχα αἱ ΒΓ ΕΖ τοῖς Η Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ ΔΘ, καὶ ἔστωσαν ἴσαι, καὶ ἡ μὲν ΑΗ κάθετος ἔστω ἐπὶ τὴν ΒΓ, ἡ δὲ ΔΘ μὴ ἔστω
25κάθετος ἐπὶ τὴν ΕΖ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΑΗ τῆς ΗΒ· ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΕΔΖ. Περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΗ ἐπὶ τὸ Λ. ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ
ΑΗ τῆς ΗΒ, καὶ ἔστιν διάμετρος ἡ ΑΛ, τὸ ἄρα κέντρον

6

.

576

τοῦ κύκλου ἐστὶ μεταξὺ τῶν Α Η (τοῦτο γὰρ ἑξῆς)· με‐ γίστη ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ, καὶ αἰεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς μείζων[Omitted graphic marker] τῆς ἀπώτερον. συνεστάτω τῇ ὑπὸ ΔΘΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΓΗΜ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΔΘ, τῆς ΗΜ.
5κείσθω τῇ ΔΘ ἴση ἡ ΗΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΒ ΚΓ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΕΔΖ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΒΚΓ. μείζων δὲ τῆς ὑπὸ ΒΚΓ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ· καὶ τῆς ὑπὸ ΕΔΖ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. Ὑποκειμένων τῶν αὐτῶν ἔστω ἐλάσσων ἡ ΗΑ τῆς ΗΒ·
10λέγω ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ. Συνεστάτω οὖν τῇ ὑπὸ ΔΘΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΓΗΜ. καὶ ἐπεὶ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΗ τῆς ΗΒ, καὶ ἔστιν διάμε‐ τρος ἡ ΑΛ, τὸ ἄρα κέντρον τοῦ κύκλου ἐστὶν μεταξὺ τῶν Λ Η· ἐλαχίστη ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΜ
15τῆς ΗΑ, τουτέστιν τῆς ΔΘ. κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΗΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΒ ΝΓ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΔΖ γω‐ νία τῇ ὑπὸ ΒΝΓ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΝΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ μεί‐ ζων ἐστίν· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΖ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΑΓ, ὅπερ· ⁓
20μεʹ. Κύκλος ὁ ΑΒΓ, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἐπ’

6

.

578

αὐτῆς τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ διήχθω ὡς ἔτυχεν ἡ ΓΔ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΑΔ τῆς ΔΓ· ὅτι καὶ τῆς ΔΒ μείζων ἐστίν. [Omitted graphic marker] Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ ΓΒ. ἐπεὶ μεί‐
5ζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνία τῆς ὑπὸ ΓΑΔ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΓΒ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΔΒΓ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ τῆς ΔΒ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΔ μεί‐ ζων τῆς ΔΓ· πολλῷ ἄρα μείζων ἐστὶν
10ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ. Ὁμοίως δείξομεν [ὅτι], κἂν ἐλάσ‐ σων ᾖ ἡ ΑΔ τῆς ΔΓ, ὅτι καὶ τῆς ΔΒ ἐλάσσων ἐστίν. μϛʹ. Κύκλος ὁ ΑΒΓ, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἐπ’ αὐτῆς εἰλήφθω σημεῖον τὸ Δ, καὶ διήχθωσαν αἱ ΔΓ ΔΕ,
15καὶ ἔστω μείζων ἡ ΓΔ τῆς ΔΕ· ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ. Ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ, καὶ κάθετος ἡ ΔΖ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ τῆς ΖΕ. τετμήσθω δίχα ἡ ΓΕ τῷ Η, καὶ διὰ τοῦ Η παράλληλος τῇ ΔΖ ἡ ΗΘ· πρὸς ὀρθὰς ἄρα ἐστὶν
20ἡ ΘΗ τῇ ΓΕ. ἀλλὰ καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει· ἐπὶ τῆς ΗΘ ἄρα ἐστὶν τὸ κέντρον. ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τῆς ΑΒ· τὸ ἄρα Θ κέντρον ἐστὶν τοῦ κύκλου· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ. μζʹ. Ἔστω πάλιν δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ ἴσας
25ἔχοντα τὰς ΒΓ ΕΖ, καὶ δίχα τετμήσθωσαν αἱ ΒΓ ΕΖ τοῖς Η Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ ΔΘ, καὶ ἔστωσαν ἴσαι, καὶ μηδετέρα τῶν ΑΗ ΔΘ ἔστω κάθετος ἐπὶ τὴν βάσιν, ἔστω δὲ μείζων ἡ ὑπὸ ΑΗΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΔΘΖ· λέγω ὅτι, ἐὰν μὲν ᾖ μείζων ἡ ΑΗ τῆς ΗΓ, μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ
30ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ, εἰ δὲ ἐλάσσων ἡ ΗΑ τῆς ΗΓ,
ἐλάσσων καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ.

6

.

580

 Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η τῇ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΚ· διάμε‐ τρος ἄρα ἐστὶν τοῦ κύκλου. ἔστω πρότερον μείζων ἡ ΗΑ[Omitted graphic marker] τῆς ΗΓ· διὰ ἄρα τὸ προδειχθὲν μείζων ἐστὶν ἡ ΗΚ τῆς ΗΑ [μεγίστη ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΗ, καὶ αἰεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς
5τῆς ἀπώτερον μείζων]. συνεστάτω τῇ ὑπὸ ΔΘΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΓΗΜ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΑ, τουτέστιν ἡ ΔΘ, τῆς ΗΜ. κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΗΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΒ ΝΓ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΝΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΔΖ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ.
10 Ὁμοίως δείξομεν ὅτι, ἐὰν ᾖ ἐλάσσων ἡ ΑΗ τῆς ΗΓ, ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ, ὅπερ· ⁓ μηʹ. Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, οὗ κέντρον τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς ὀρθὰς ἔστω τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ἡ ΕΖ· λέγω ὅτι, ἐὰν ἐπὶ τῆς ΕΖ τὸ ὄμμα τεθῇ, ἴσαι αἱ διάμε‐
15τροι φαίνονται τοῦ κύκλου. Τοῦτο δὲ δῆλον· ἅπασαι γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ Ζ πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις καὶ ἴσας γωνίας περιέχουσιν. Μὴ ἔστω δὲ ἡ ΕΖ πρὸς ὀρθὰς τῷ τοῦ κύκλου ἐπι‐
20πέδῳ, ἴση δὲ ἔστω τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου· λέγω ὅτι τοῦ ὄμματος ὄντος πρὸς τῷ Ζ σημείῳ καὶ οὕτως αἱ διά‐ μετροι ἴσαι ὁρῶνται. Ἤχθωσαν γὰρ δύο διάμετροι αἱ ΑΓ ΒΔ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθωσαν αἱ ΖΑ ΖΒ ΖΓ ΖΔ. ἐπεὶ αἱ τρεῖς αἱ ΕΑ ΕΓ
25ΕΖ ἴσαι εἰσίν, ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΓ γωνία. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΔ ὀρθή ἐστιν· ἴσαι ἄρα φανήσονται αἱ
ΑΓ ΒΔ διάμετροι. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πᾶσαι.

6

.

582

 Δῆλον οὖν ὅτι [ἐὰν ᾖ κύκλος καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου αὐ‐ τοῦ πρὸς ὀρθὰς ἀχθῇ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ, ὅπου ἂν ἐπὶ τῆς ἀχθείσης τὸ ὄμμα τεθῇ, ἴσαι ὀφθήσονται αἱ τοῦ κύκλου διάμετροι, ἐὰν δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἀνισταμένη
5μὴ ᾖ πρὸς ὀρθὰς τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ, ἴση δὲ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ὑπάρχῃ, καὶ οὕτως ἀπὸ τοῦ πέρατος αὐτῆς ἴσαι αἱ διάμετροι τοῦ κύκλου ὀφθήσονται· δῆλον δὴ ὅτι ἐντεῦθεν], ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος, ἐπὶ δὲ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας ὁπουδήποτε τὸ ὄμμα μετατεθῇ
10κατὰ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, αἱ διάμετροι ἴσαι ὀφθή‐ σονται. μθʹ. Ἐὰν ᾖ κύκλος, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἀνασταθῇ τις εὐθεῖα μήτε πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ μήτε ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἐπὶ δὲ τοῦ πέρατος τῆς
15ἀνασταθείσης τὸ ὄμμα τεθῇ, ἄνισοι αἱ τοῦ κύκλου διά‐ μετροι ὀφθήσονται. Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, οὗ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἀνεστάτω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ μήτε πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ μήτε ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύ‐
20κλου, καὶ ἔστω τὸ ὄμμα πρὸς τῷ Ε, ἔστω δὲ πρότερον ἡ ΔΕ μείζων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ ΑΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον κά‐ θετος ἡ ΕΖ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΖΗΔ διήχθω ἐπὶ τὸ Γ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΗΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΒ· λέγω ὅτι
25μεγίστη μὲν ὀφθήσεται ἡ ΑΒ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΗΓ, αἰεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς ΗΓ τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ὀφθήσεται, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἐφ’ ἑκάτερα τῆς ΗΓ θεωρηθήσονται.
Δῆλον δὴ ὅτι ἡ ΕΔ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΑΒ· ἀπὸ

6

.

584

γὰρ μετεώρου σημείου τοῦ Ε ἐπὶ τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος διῆκται ἡ ΕΖ, καὶ τυχοῦσα διῆκται ἡ ΑΒ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπ’ αὐτὴν κάθετος ἦκται ἡ ΔΖ, καὶ ἐπέζευκται ἡ ΕΔ. ἔτι δὲ καὶ τοῦτο δῆλον ἐκ τῶν προειρημένων ὅτι
5ἡ μὲν ὑπὸ ΕΔΖ γωνία ἐλαχίστη ἐστίν, αἰεὶ δὲ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων, ἴσαι δὲ δύο μόνον ἐφ’ ἑκάτερα αὐτῆς συνίστανται. Διήχθω δή τις ἡ ΘΔΚ· ἡ ἄρα ΕΔ οὐκ ἔστιν κάθετος ἐπὶ τὴν ΘΚ. ἐὰν γὰρ ᾖ κάθετος, ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τὴν ΑΒ
10κάθετος, ἔσται ἄρα ἡ ΕΔ ἐπὶ τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον, [Omitted graphic marker]ὅπερ ἀδύνατον· οὐκ ἄρα κάθετός ἐστιν ἡ ΕΔ ἐπὶ τὴν ΘΚ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ ΕΒ ΕΘ ΕΚ ΕΗ
15ΕΓ. ἐπεὶ δύο τρίγωνά ἐστιν τὰ ΑΕΒ ΕΘΚ ἴσας ἔχοντα τὰς ΑΒ ΘΚ βά‐ σεις, ὧν ἑκατέρα δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ, καὶ
20ἔστιν ἡ ΕΔ ἡ αὐτὴ ἐν ἑκα‐ τέρῳ τῶν τριγώνων, ἐπὶ μὲν τὴν ΑΒ κάθετος οὖ‐ σα, ἐπὶ δὲ τὴν ΘΚ οὐ‐ κέτι, καὶ ἔστιν ἡ ΕΔ μεί‐
25ζων τῆς ΔΑ, μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΘΕΚ. ὁμοίως δείξομεν ὅτι καὶ πασῶν τῶν ὁμοίως διαγομένων· ἡ ἄρα ΑΒ μεγίστη ὁρᾶται. Πάλιν ἐπεὶ δύο τρίγωνά ἐστιν τὰ ΕΗΓ ΕΘΚ ἴσας
30ἔχοντα τὰς βάσεις καὶ κοινὴν τὴν ΕΔ, καὶ ἡ ΕΔ ἐπὶ οὐδε‐ τέραν τῶν ΘΚ ΗΓ κάθετός ἐστιν, μείζων δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΔΘ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΗ (δέδεικται γὰρ ἐλαχίστη ἡ ὑπὸ ΕΔΗ), καὶ ἔστιν ἡ ΕΔ μείζων τῆς ΔΘ, μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΘΕΚ γωνία τῆς ὑπὸ ΗΕΓ γωνίας (προδέδεικται γὰρ
35καὶ τοῦτο). ὁμοίως δείξομεν ὅτι ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν ἡ
ὑπὸ ΗΕΓ γωνία· ἡ ἄρα ΗΓ ἐλαχίστη ὁρᾶται.

6

.

586

 Καὶ φανερὸν ὅτι ἴσαι δύο μόνον ἐφ’ ἑκάτερα τῆς ΗΓ ὀφθήσονται, ἐπειδήπερ τῆς ὑπὸ ΕΔΖ γωνίας δύο ἴσαι μό‐ νον ἐφ’ ἑκάτερα συνίστανται γωνίαι. [Omitted graphic marker] Ὁμοίως δείξομεν ὅτι,
5ἐὰν ᾖ ἐλάσσων ἡ ΕΔ τῆς ΔΑ, [ὅτι] μεγίστη μὲν ὀ‐ φθήσεται ἡ ΗΓ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΑΒ, καὶ αἰεὶ ἡ ἔγ‐ γιον τῆς ΑΒ τῆς ἀπώτε‐
10ρον ἐλάσσων, ἴσαι δὲ δύο μόνον ἐφ’ ἑκάτερα τῆς ΗΓ (ἢ τῆς ΑΒ) ὀφθή‐ σονται. νʹ. Ἐπεὶ οὖν ὁ κύκλος ἔδοξεν ἐλλείψεως παρέχειν φαν‐
15τασίαν τῇ ὄψει καὶ τὸ κέντρον αὐτοῦ φαινόμενον εἶναι κέν‐ τρον τῆς ἐλλείψεως, ἔνστασιν οὐ τὴν τυχοῦσαν ἔχει τὸ θεώ‐ ρημα· δυνατὸν γάρ ἐστιν ἀποδεῖξαί τι σημεῖον ἕτερον ἐν τῷ κύκλῳ κέντρον ὁρώμενον τῆς κατὰ φαντασίαν γραμμῆς. προγραφήσεται δὲ λημμάτιον τόδε.
20 Ἔστω ὡς ἡ ΒΚ εὐθεῖα πρὸς ΚΔ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΔΘ, καὶ ἔστω ἴση ἡ ὑπὸ ΒΖΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΖΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΖ· ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΘΖΚ· γωνία. [Omitted graphic marker] Ἤχθω τῇ ΚΖ παρ‐ άλληλος διὰ τοῦ Θ ἡ
25ΓΘΗ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΖΔ ἐπὶ τὸ Η. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΔ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΔ, καὶ
30ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΒΘ, οὕτως ἡ ΚΔ πρὸς ΔΘ, ἀλλὰ ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΒΘ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς ΓΘ, ὡς ἄρα ἡ ΖΚ πρὸς ΓΘ, οὕτως
ἡ ΚΔ πρὸς ΔΘ. ὡς δὲ ἡ ΚΔ πρὸς ΔΘ, οὕτως ἡ ΚΖ

6

.

588

πρὸς ΘΗ (ἰσογώνια γὰρ τὰ ΖΔΚ ΔΗΘ τρίγωνα)· ἡ ΖΚ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ΓΘ ΘΗ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴση ἄρα ἡ ΓΘ τῇ ΘΗ. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΓΘ πρὸς ΘΗ, οὕ‐ τως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΓΖ εὐθεῖα τῇ ΖΗ.
5καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΘ τῇ ΘΗ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΘ, καὶ βά‐ σις ἡ ΗΖ βάσει τῇ ΓΖ ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΘΖ τῇ ὑπὸ ΖΘΗ ἐστὶν ἴση· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα αὐτῶν· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΖΚ διὰ τὸ τὰς ΓΗ ΖΚ παραλλήλους εἶναι.
10 ναʹ. Τούτου προγραφέντος ἔστω ὁ μὲν κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περὶ κέντρον τὸ Ε, ὄψις δὲ μὴ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ αὐτοῦ ᾖ πρὸς τῷ Ζ σημείῳ, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ [διὰ] τοῦ κύκλου ἐπίπεδον ἡ ΖΗ μὴ πιπτέτω ἐπὶ τὸ Ε κέντρον, καὶ ἐπιζευχθεῖσα μὲν ἡ ΗΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ
15τὰ Β Κ, ἀπὸ δὲ τοῦ Ζ σημείου ἐπὶ τὰ Β Δ ἐπεζεύχθω‐ σαν αἱ ΖΔ ΖΒ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ὑπὸ ΒΖΔ τῇ ΖΘ, καὶ ἤχθω τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΘΓ, καὶ ἐφαπτόμεναι τοῦ κύκλου αἱ ΑΚ ΚΓ· λέγω ὅτι τῇ πρὸς τῷ Ζ ὄψει ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἔλλειψις φανήσεται κέντρον μὲν ἔχουσα τὸ
20Θ σημεῖον (οὐχ, ὥσπερ οἴονταί τινες, τὸ Ε), ἄξονας δὲ τοὺς ΓΑ ΒΔ συζυγεῖς, καὶ αἱ μὲν ἐπὶ τὴν ΒΔ καταγόμε‐ ναι τεταγμένως τῇ ΑΓ ἔσονταί τε καὶ φανοῦνται παράλ‐ ληλοι, αἱ δ’ ἐπὶ τὴν ΑΓ καταγόμεναι διαχθήσονται μὲν ἀπὸ τοῦ Κ, φανοῦνται δὲ τῇ ΒΔ παράλληλοι, καὶ ταὐτὰ
25φανεῖται περὶ τὴν ὁρωμένην ἔλλειψιν, ἃ καὶ τῇ τοῦ κώνου τομῇ συμβέβηκεν. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΖ ΖΓ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΖΓ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΘΖΒ τῇ ὑπὸ
ΘΖΔ ἴση· φαίνεται ἄρα ἴση ἡ μὲν ΑΘ τῇ ΘΓ, ἡ δὲ ΒΘ

6

.

590

τῇ ΘΔ. λέγω δὴ ὅτι καί, ἥτις ἂν διαχθῇ ὡς ἡ ΛΘΜ, φανεῖται διχοτομουμένη κατὰ τὸ Θ. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἵ τε ΛΚ ΚΜ ΜΞ καὶ αἱ ΜΖ ΖΞ ΖΝ ΖΛ καὶ ἔτι ἡ ΖΚ. ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς ἐφαπτομένας ἐστὶν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς[Omitted graphic marker]
5ΚΔ, ἡ ΒΘ πρὸς ΘΔ, καὶ ἔστιν ἡ ὑπὸ ΒΖΘ ἴση τῇ ὑπὸ ΘΖΔ, ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΘΖΚ γωνία (τοῦτο γὰρ προ‐ δέδεικται). καὶ ἐπεὶ τὸ διὰ τῶν Β Ζ Κ ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστιν πρὸς τὸ διὰ τῶν Α Ζ Γ ἐπίπεδον (καὶ γὰρ ἡ ΑΓ ὀρθή ἐστιν τῷ διὰ τῶν Β Ζ Κ ἐπιπέδῳ, καὶ τῇ κοινῇ τομῇ
10τῇ ΘΖ ὀρθὴ ἦκται ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων ἡ ΖΚ), ἡ ἄρα ΖΚ τῷ διὰ τῶν Α Ζ Γ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν· ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΝΖΚ γωνία. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΛΚ πρὸς ΚΞ, ἡ ΛΝ πρὸς ΝΞ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΛΖΝ γωνία τῇ ὑπὸ ΝΖΞ· ἴση ἄρα φαίνεται ἡ ΛΝ τῇ ΝΞ. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΛΖ
15πρὸς ΖΞ, ἡ ΛΝ πρὸς ΝΞ, ἀλλ’ ἡ μὲν ΖΞ τῇ ΖΜ ἴση ἐστίν (ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ΜΞ γίνεται παράλληλος τῇ ΑΓ), ὡς δὲ ἡ ΛΝ πρὸς ΝΞ, ἡ ΛΘ πρὸς ΘΜ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΖΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΖΜ· ἴση ἄρα φαίνεται ἡ ΘΛ τῇ ΘΜ. ὁμοίως δὲ καί, ἥτις ἂν ἄλλη διὰ τοῦ Θ διαχθῇ,
20φανήσεται διχοτομουμένη κατὰ τὸ Θ· κέντρον ἄρα φαίνε‐
ται τῆς ἐλλείψεως τὸ Θ, καὶ συζυγεῖς ἄξονες οἱ ΑΓ ΒΔ,

6

.

592

καὶ αἱ μὲν τῇ ΑΓ παράλληλοι διχοτομηθήσονται ὑπὸ τῆς ΒΔ, αἱ δὲ ἀπὸ τοῦ Κ διαγόμεναι δίχα τεμνόμεναι φα‐ νοῦνται ὑπὸ τῆς ΑΓ, ὥσπερ ἡ ΛΞ ἀπεδείχθη. λέγω δὴ ὅτι φαίνονται τῇ ΒΔ παράλληλοι αἱ ἀπὸ τοῦ Κ διαγόμε‐
5ναι. διήχθω γὰρ λόγου χάριν ἡ ΛΚ, καὶ κάθετος ἡ ΛΟ,[Omitted graphic marker]
10καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ρ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΖ ΖΠ ΖΡ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΛΚ πρὸς ΚΞ, τουτέστιν ὡς ἡ ΡΛ πρὸς τὴν ΞΜ, οὕτως ἡ ΛΖ πρὸς τὴν ΞΖ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ μὲν ΛΖ τῇ ΖΡ, ἡ δὲ ΞΖ τῇ ΖΜ, ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΖΡ τῇ ὑπὸ ΞΖΜ· καὶ ἡ ὑπὸ ΛΖΟ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ
15ὑπὸ ΞΖΠ· ἡ ἄρα ΟΛ ἴση φαίνεται τῇ ΠΞ, ὥστε παράλ‐ ληλοι φανοῦνται αἱ ΛΞ ΒΔ [ἐπειδὴ αἱ μεταξὺ αὐτῶν κά‐ θετοι ἴσαι φαίνονται]. νβʹ. Τούτου δεδειγμένου παραδοξότερόν τι πρόβλημα δυνατὸν ἀποδεῖξαι προτείνοντας οὕτως.
20 Θέσει ὄντος κύκλου καὶ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ αὐτοῦ σημείου δοθέντος ἐντὸς τῆς περιφερείας τόπον εὑρεῖν τῇ ὄψει, ἀφ’ οὗ τὸν κύκλον ἔλλειψιν ὄψεται κέντρον ἔχουσαν τὸ δοθὲν ἐντὸς τῆς περιφερείας σημεῖον. Ἔστω γὰρ ὁ μὲν δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περὶ κέν‐
25τρον τὸ Ε, τὸ δὲ δοθὲν ἐντὸς αὐτοῦ σημεῖον τὸ Ζ, καὶ

6

.

594

δέον ἔστω τόπον εὑρεῖν, ἀφ’ οὗ ὁ κύκλος ἔλλειψις ὀφθή‐ σεται κέντρον ἔχουσα τὸ Ζ σημεῖον. ἐπιζευχθεῖσα ἐπὶ τὸ [Omitted graphic marker]κέντρον ἡ ΖΕ ἐκβεβλήσθω ἐφ’ ἑκάτερα, καὶ ὀρθὴ αὐτῇ ἀπὸ
5τοῦ Ζ ἤχθω ἡ ΑΓ, καὶ ἀπὸ τῶν Α Γ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου ἐφαπτόμεναι ἤχθωσαν αἱ ΑΘ ΘΓ, καὶ ἐπὶ τῆς ΖΘ ἡμικύκλιον γεγράφθω ὀρθὸν
10πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον τὸ ΖΗΘ· λέγω δὴ ὅτι, ὁποῖον ἂν ληφθῇ σημεῖον ἐφ’ ὅλης τῆς ΖΗΘ περιφε‐ ρείας, πρὸς αὐτῷ τεθεῖσα ἡ
15ὄψις ἔλλειψιν ὄψεται τὸν κύ‐ κλον κέντρον ἔχουσαν τὸ Ζ. Εἰλήφθω γὰρ τὸ Η ση‐ μεῖον καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΒ ΗΖ ΗΔ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν διὰ
20τὰς ἐφαπτομένας ἐστὶν ὡς ἡ ΒΘ πρὸς ΘΔ, ἡ ΒΖ πρὸς ΖΔ, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΗΘ γωνία, ἴση ἔσται ἡ ὑπὸ ΒΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΗΔ· ἴση ἄρα φαίνεται ἡ ΒΖ τῇ ΖΔ. φανερὸν δὴ ὅτι καὶ ἡ ΑΖ τῇ ΖΓ ἴση φαίνεται. καὶ τοῖς προγεγραμμένοις ὁμοίως
25δειχθήσεται τῆς φαινομένης ἐλλείψεως κέντρον τὸ Ζ ση‐ μεῖον καὶ συζυγεῖς ἄξονες οἱ ΑΓ ΒΔ.
27nΕἰς τὰ φαινόμενα Εὐκλείδου.
26 νγʹ. Ἐπὶ τοῦ βʹ θεωρήματος τῶν Εὐκλείδου φαινομέ‐ νων παρεῖται καὶ διὰ τῆς ἀποδείξεως, ἐὰν ὁ πόλος τοῦ.
30ὁρίζοντος μεταξὺ τῶν τροπικῶν ᾖ ἢ ἐπί τινος αὐτῶν, πο‐ σάκις ὁ ζῳδιακὸς πρὸς ὀρθὰς ἔσται πρὸς τὸν ὁρίζοντα ἐν
μιᾷ περιφορᾷ. διὸ ἀποδείξομεν ἡμεῖς ὅτι, ἐὰν μὲν ὁ πό‐

6

.

596

λος τοῦ ὁρίζοντος ἐπί τινος τῶν τροπικῶν ᾖ, ἅπαξ ὁ ζῳ‐ διακός ἐστιν ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα ἐν μιᾷ περιφορᾷ, ἐὰν δὲ μεταξὺ τῶν τροπικῶν, δίς. Ἔστω γὰρ ὁρίζων μὲν ὁ ΑΒΘ, θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ
5ΓΗ, χειμερινὸς δὲ ὁ ΒΘ, μεσημβρινὸς δὲ ὁ ΑΔΕ, ζῳδια‐ κὸς δὲ ὁ ΒΖΗ, ὁ δὲ τοῦ ΑΒΘ ὁρίζοντος πόλος ἔστω ἐπὶ τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ τὸ Δ· λέγω ὅτι ἐν μιᾷ περιφορᾷ ὁ ΒΖΗ ἅπαξ ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ΑΒΘ ὁρίζοντα. Ἐπεὶ γὰρ ἐν μιᾷ περιφορᾷ τὸ Η τὴν ΗΓ περιφέρειαν
10διέρχεται καὶ τὴν συνεχῆ αὐτῆς τὴν ὑπὸ γῆν καὶ ἐπὶ τὸ Η παραγίνεται, ἐν δὲ τῇ εἰρημένῃ διεξόδῳ τὸ Η ἅπαξ ἐπὶ τὸν Δ πόλον παραγίνεται καὶ ὁ ζῳδιακὸς θέσιν λαμβάνει τὴν ἐπὶ τοῦ ΚΔΛ, καὶ ἔσται ἅπαξ ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρί‐ ζοντα· διὰ γὰρ τῶν πόλων ἐστὶν αὐτοῦ.
15 Ὁμοίως δὴ καί, ἐὰν ὁ πόλος τοῦ ὁρίζοντος ἐπὶ τοῦ χειμερινοῦ κύκλου ᾖ, ὡς ὁ Ε, ἅπαξ ἔσται ὁ ζῳδιακὸς ὀρ‐ θὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα. [φανερὸν γὰρ ὅτι οἱ δύο πόλοι τοῦ ὁρίζοντος οὐκ εἰσὶν ἐν τῷ τροπικῷ, ἤτοι τῷ θερινῷ ἢ τῷ χειμερινῷ· οὐ γὰρ τὴν διάμετρον τῆς σφαίρας δέχε‐
20ται ἐλάσσων τις κύκλος τοῦ μεγίστου· ὥστε ἑκάτερος τῶν τροπικῶν μὴ ὢν διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τοὺς βʹ πό‐ λους τοῦ ὁρίζοντος οὐ δέχεται· ὥστε τὸ Η ὑπόγειον γινό‐ μενον οὐχ ἥξει διὰ τοῦ ἑτέρου πόλου τοῦ ὁρίζοντος, ἀλλ’ ἑκάτερος τῶν τροπικῶν ἕνα δέχεται πόλον. ἐπεὶ γὰρ τὸ
25Η τῷ Β ἐστὶν κατὰ διάμετρον καὶ θέσιν ἔχει τὸ Η κατὰ τὸ Δ τὸν πόλον, καὶ τὸ Β ἄρα ὑπὸ γῆν τόπον ἕξει ἐν τῷ χειμερινῷ κατὰ τὸ διάμετρον τοῦ Δ τὸν ἕτερον πόλον τοῦ ὁρίζοντος· ὅτι κατὰ διάμετρόν ἐστιν τὸ Η τοῦ Β· ὥστε οὐδὲ ἐν τῷ ἑτέρῳ τῶν τροπικῶν εἰσιν οἱ δύο πόλοι τοῦ
30ὁρίζοντος, ἀλλ’ ἑκάτερος ἐν ἑκατέρῳ τῶν τροπικῶν.]

6

.

598

 νδʹ. Ἔστω δὴ ὁ πόλος μεταξὺ τῶν τροπικῶν, ὡς ὁ Θ· λέγω ὅτι ὁ ζῳδιακὸς δὶς γίνεται ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα ἐν μιᾷ περιφορᾷ.[Omitted graphic marker] Προσαναγεγράφθω γὰρ ὁ ζῳδιακὸς κύκλος, καὶ ἔστω
5ὁ ΒΜΗ, ἔστω δὲ καθ’ οὗ φέρεται παραλλήλου κύκλου τὸ Θ σημεῖον ὁ ΜΛΟ. τοῦ δὴ Λ ἐπὶ τὸν Θ πόλον παρα‐ γενομένου ὁ ΗΜΒ ζῳδιακὸς θέσιν λαβὼν τὴν ἐπὶ τοῦ ΝΘΞ ὀρθὸς γίνεται τὸ πρῶτον πρὸς τὸν ὁρίζοντα. πάλιν τοῦ Μ τὴν ΜΟΘ περιφέρειαν διελθόντος κατὰ τὴν συ‐
10στροφὴν καὶ ἐπὶ τὸν Θ πόλον παραγενομένου ὁ ζῳδιακὸς θέσιν λαβὼν τὴν ἐπὶ τοῦ ΚΘΠ ὀρθὸς τὸ δεύτερον ἔσται πρὸς τὸν ὁρίζοντα. [μόνα γὰρ τὰ Μ Λ σημεῖα τῶν ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλου καὶ τοῦ παραλλήλου (τὰ Μ Λ κατὰ τοῦ ΜΟΛ κύκλου φέρεται), καὶ δὶς μόνον ποιήσει τὸν ζῳ‐
15διακὸν κύκλον ὀρθὸν πρὸς τὸν ὁρίζοντα διὰ τοῦ Θ ἐλθόντα πόλου ἐν μιᾷ περιφορᾷ κόσμου· ἑκάτερον γὰρ τῶν Μ Λ ἐν μιᾷ στροφῇ ὅλον τὸν κύκλον τὸν ΜΟΛ διέρχεται· ὥστε καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς περιφερείας σημεῖα τοῦ κύκλου δι‐ έρχεται ἐν μιᾷ στροφῇ τὰ Μ Λ· ὥστε καὶ τὸ Θ σημεῖον
20διέρχεται ἐν μιᾷ στροφῇ ἑκάτερον τῶν Μ Λ.] νεʹ. Ἐπὶ δὲ τοῦ ιβʹ θεωρήματός φησιν ὁ Εὐκλείδης
“τοῦ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι ἐν

6

.

600

ἀνίσοις χρόνοις δύνουσιν, καὶ ἐν μεγίστοις αἱ πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἰση‐ μερινῷ, ἐν ἴσοις δὲ χρόνοις αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημε‐ ρινοῦ”. ζητεῖται δὲ διὰ τί περὶ μὲν τῆς καταδύσεως τού‐
5των τῶν περιφερειῶν λέγει, περὶ δὲ τῆς ἀνατολῆς οὐκέτι. ἐπαναβέβηκε γὰρ ἡ ζήτησις [καὶ ἀνετράπη] εἰς τοὺς ἀνα‐ τολικοὺς διορισμούς, ἔστιν δὲ ὅλη ἡ πραγματεία τοιαύτη· εὑρεῖν οἴκησιν ἐν ᾗ λόγου χάριν ὁ καρκίνος τῷ λέοντι ἐν ἴσοις χρόνοις ἀνατέλλει [πρὸς τὸ ἄνω]. Ἵππαρχος δὲ ἐν
10τῷ περὶ τῆς τῶν ιβʹ ζῳδίων ἀναφορᾶς συναποδείκνυσιν δι’ ἀριθμῶν ὅτι οὐχ ὥσπερ δύνουσιν αἱ ἴσαι περιφέρειαι τοῦ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικυκλίου ἔχουσαί τινα πρὸς ἀλ‐ λήλας χρόνου σύγκρισιν, οὕτως καὶ αὗται ἀνατέλλουσιν. εἶναι γάρ τινας οἰκήσεις, ἐν αἷς τῶν ἴσων περιφερειῶν τοῦ
15μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικυκλίου αἰεὶ αἱ ἔγγιον τοῦ ἰσημερι‐ νοῦ ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλουσιν τῶν πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν. διὰ τοῦτο οὖν καὶ αὐτὸς ἐπὶ τῶν ἴσον ἀπεχουσῶν ἀπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ εἴρηκεν ἐν ἴσοις χρόνοις καὶ τὰς ἀνατολὰς γίνεσθαι. τοῦτο δὲ συμφανὲς ἐκ τῶν ἐν
20τοῖς φαινομένοις δεικνυμένων. ὁμοίως δὲ καὶ “τοῦ μετὰ τὸν αἰγόκερώ” φησιν “ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἀνατέλλουσιν, καὶ ἐν πλείστοις μὲν αἱ πρὸς ταῖς συναφαῖς, ἐν ἐλάττοσι δὲ αἱ ἑξῆς τούτων, ἐν ἐλαχί‐ στοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ, ἐν ἴσοις δὲ αἱ ἴσον ἀπ‐
25έχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ”. περὶ δὲ δύσεως αὐτῶν οὐθὲν λέγει· ὁ γὰρ λόγος τῆς ἀποδείξεως ἐμπίπτει εἰς τοὺς ἀνα‐
τολικοὺς διορισμούς, καὶ ἔστιν ἤδη πραγματεία περὶ τού‐

6

.

602

του γεγραμμένη Μενελάῳ τῷ Ἀλεξανδρεῖ, περὶ ἧς ὕστερον ἐπισκεψόμεθα. ἐὰν μέντοι διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλή‐ λων ᾖ ὁ ὁρίζων, οὕτως δειχθήσεται. Ἔστω ὁρίζων διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων ὁ
5ΑΒΓΔΖΘ, καὶ τοῦ ζῳδιακοῦ τὸ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμι‐ κύκλιον τὸ ΒΞΗ, καὶ μέγιστος τῶν παραλλήλων ὁ ΘΞΕ, καὶ διῃρήσθω τὸ ΒΝΞ τεταρτημόριον εἰς ἴσα κατὰ τὰ Μ Ν, καὶ διὰ τοῦ Α καὶ ἑκατέρου τῶν Μ Ν μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν· ἥξουσιν δὴ καὶ διὰ τοῦ ἑτέρου πόλου.[Omitted graphic marker]
10ἔστωσαν οἱ ΑΜΖ ΑΝΖ, καὶ διὰ τῶν Μ Ν παράλληλοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΔΝΚ ΓΜΛ. καὶ ἐπεὶ ἕκαστον τῶν ΑΜΖ ΑΝΖ ἡμικυκλίων ἐφαρμόζει τῷ ΑΔΖ δυτικῷ ἡμικυκλίῳ (ἅμα γὰρ δύνει ἡ ΜΒ καὶ ἡ ΓΜ περιφέρεια, ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ ἡ ΜΓ δύνει, ἐν τούτῳ τὸ Μ σημεῖον ἔσται
15διεληλυθὸς τὴν ΜΓ περιφέρειαν), ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Μ διέρχεται τὴν ΜΓ περιφέρειαν, ἐν τούτῳ δύνει ἡ ΜΒ πε‐ ριφέρεια. πάλιν δὴ τοῦ ΑΜΖ λαβόντος τὴν τοῦ ὁρίζον‐ τος θέσιν τὰ Μ Π ἅμα ἐστὶν ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος, καὶ τοῦ
Ν σημείου γενομένου ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος δεδύκασιν αἱ ΠΝ

6

.

604

ΝΜ περιφέρειαι· ἅμα ἄρα δύνει ἡ ΝΠ περιφέρεια καὶ ἡ ΝΜ. ἐν ᾧ δὲ ἡ ΠΝ δύνει, τὸ Ν ἔσται τὴν ΝΠ διεληλυ‐ θός· ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Ν τὴν ΝΠ περιφέρειαν διέρχε‐ ται, ἐν τούτῳ ἡ ΝΜ περιφέρεια δύνει. ὁμοίως δὲ καὶ ἐν
5ᾧ τὸ Ξ τὴν ΞΣ περιφέρειαν διέρχεται, ἐν τούτῳ ἡ ΝΞ περιφέρεια δύνει. ἐπεὶ δὲ διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλή‐ λων γεγραμμένοι εἰσὶν μέγιστοι κύκλοι, ὁμοίας ἀπολήψον‐ ται τῶν παραλλήλων κύκλων περιφερείας τὰς μεταξὺ αὑ‐ τῶν· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΜΓ τῇ ΔΠ καὶ ΡΕ περιφε‐
10ρείᾳ, ἡ δὲ ΝΠ τῇ ΣΡ. ἐπεὶ δὲ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΒΜ ΜΝ ΝΞ, καὶ διὰ τῶν πόλων μέγιστοι κύκλοι γεγραμμένοι εἰσίν, μείζων ἄρα ἡ μὲν ΕΡ τῆς ΣΡ, ἡ δὲ ΡΣ τῆς ΣΞ· ἐν πλεί‐ ονι ἄρα χρόνῳ τὸ Ρ τὴν ΡΕ περιφέρειαν διέρχεται ἤπερ τὸ Σ τὴν ΣΡ, καὶ τὸ Σ τὴν ΣΡ ἢ τὸ Ξ τὴν ΞΣ. ἀλλ’ ἐν
15ᾧ μὲν τὸ Ρ τὴν ΡΕ περιφέρειαν διέρχεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Μ τὴν ΜΓ, ἐν ᾧ δὲ τὸ Σ τὴν ΣΡ, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Ν τὴν ΝΠ· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ Μ τὴν ΜΓ περιφέ‐ ρειαν διέξεισιν ἤπερ τὸ Ν τὴν ΝΠ, τὸ δὲ Ν τὴν ΝΠ ἤπερ τὸ Ξ τὴν ΞΣ. ἀλλ’ ἐν ᾧ μὲν τὸ Μ τὴν ΜΓ διέξεισιν,
20ἐν τούτῳ ἡ ΜΒ περιφέρεια δύνει, ἐν ᾧ δὲ τὸ Ν τὴν [ἴσην τῇ] ΝΠ περιφερείᾳ διέξεισιν, ἐν τούτῳ ἡ ΜΝ δύνει, ἐν ᾧ δὲ τὸ Ξ τὴν ΞΣ διέξεισιν, ἐν τούτῳ ἡ ΝΞ περιφέρεια δύνει· ἐν πλείονι μὲν ἄρα χρόνῳ ἡ ΜΒ δύνει, ἐν ἐλάσσονι δὲ ἡ ΜΝ, ἐν ἐλαχίστῳ δὲ ἡ ΝΞ.
25 [Ὁμοίως δὴ καὶ τὰ ἐπὶ τοῦ ΞΗ τεταρτημορίου δειχθή‐ σεται. ὅτι δὲ καὶ ἐν πλείονι ἀνατέλλει ἡ μὲν ΜΒ τῆς ΜΝ, ἡ δὲ ΜΝ τῆς ΝΞ, οὕτως δειχθήσεται. τετμήσθω καὶ τὸ ΞΗ τεταρτημόριον ὁμοίως τῷ ΞΒ κατὰ τὰ Ο Ω
σημεῖα, καὶ διὰ τοῦ Α πόλου καὶ τῶν Ο Ω σημείων μέ‐

6

.

606

γιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΖΟΑ ΖΩΑ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται μείζων ἢ ὁμοία ἡ μὲν ΘΥ τῆς ΥΤ, ἡ δὲ ΥΤ τῆς ΤΞ, καὶ τῶν παραλλήλων ἄρα τῷ μεγίστῳ αἱ περι‐ φέρειαι· μείζων ἄρα ἐστὶν ἢ ὁμοία ἡ μὲν ΧΩ τῆς ΦΟ, ἡ
5δὲ ΦΟ τῆς ΞΤ· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ Ω τὴν ΩΧ δι‐ έξεισιν ἤπερ τὸ Ο τὴν ΟΦ, καὶ τὸ Ο τὴν ΟΦ ἤπερ τὸ Ξ τὴν ΞΤ. ἀλλ’ ἐν ᾧ μὲν τὸ Ω τὴν ΩΧ, ἐν τούτῳ ἡ ΩΗ περιφέρεια ἀνατέλλει, ἐν ᾧ δὲ τὸ Φ τὴν ἴσην τῇ ΦΟ, ἡ ΟΩ ἀνατέλλει, ἐν ᾧ δὲ τὸ Ξ τὴν ἴσην τῇ ΤΞ διέξεισιν,[Omitted graphic marker]
10ἐν τούτῳ ἡ ΞΟ περιφέρεια ἀνατέλλει· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ μὲν ΗΩ περιφέρεια ἀνατέλλει τῆς ΩΟ περιφε‐ ρείας, ἡ δὲ ΩΟ τῆς ΟΞ ἀνατέλλει. ἀλλ’ ἐν ἴσῳ χρόνῳ
ἑκάστη τῶν ΗΩ ΩΟ ΟΞ ἑκάστῃ τῶν ΒΜ ΜΝ ΝΞ ἀνα‐

6

.

608

τέλλει (ἡ μὲν ΗΩ τῇ ΒΜ, ἡ δὲ ΩΟ τῇ ΜΝ, ἡ δὲ ΞΟ τῇ ΝΞ· τοῦτο γὰρ καὶ ἐν τῷ στοιχείῳ δέδεικται)· ἀνατέλλει ἄρα ἐν πλείστῳ χρόνῳ ἡ ΜΒ, ἐν ἐλαχίστῳ δὲ ἡ ΝΞ.] νϛʹ. Δέδεικται μὲν ὅτι τοῦ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικυ‐
5κλίου τῶν ἴσων περιφερειῶν ἡ ἔγγιον τῆς θερινῆς συναφῆς τοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον ἐν πλείονι χρόνῳ δύνει, τοῦ δὲ μετὰ τὸν αἰγόκερω ἡμικυκλίου τῶν ἴσων περιφερειῶν ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλει ἡ ἔγγιον τῆς χειμερινῆς συνα‐ φῆς τοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον. εἰ δέ τις ἐπιζητοίη εἰ
10καὶ τὸ ἀνάπαλιν γίνεται ὥστε ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλειν τὰς ἐν τῷ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικυκλίῳ ἴσας περιφερείας αἰεὶ τὰς ἔγγιον τῆς ἀπώτερον τῆς θερινῆς συναφῆς τοῦ τροπικοῦ, τοῦτο δή, ῥητέον, οὐκ ἐν πάσῃ οἰκήσει συμβαί‐ νειν [τοῦτο] δυνατόν ἐστιν· δειχθήσεται γὰρ ἐπί τινων
15ὁριζόντων παρθένος μὲν λέοντος ὀρθοτέρα ἀναφερομένη, ἀνάπαλιν δὲ ὁ λέων παρθένου ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλ‐ λων, καὶ λέων μὲν καρκίνου ὀρθότερος ἀναφερόμενος καὶ ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλων.[Omitted graphic marker] Ὅτι μὲν οὖν ἐν παντὶ κλίματι, ὅπου ἀνατολαὶ καὶ
20δύσεις εἰσὶν τοῖς ιβʹ ζῳδίοις, ὀρθοτέρα ἀναφέρεται λέον‐ τος παρθένος, δειχθήσεται οὕτως.
Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒΓ, θερινὸς δὲ ὁ ΔΗ, καὶ ἐπὶ μὲν

6

.

610

τῆς αʹ πτώσεως ἐφαπτέσθω τοῦ ὁρίζοντος, ἐπὶ δὲ τῆς βʹ πτώσεως τεμνέτω τὸν ὁρίζοντα, πόλος δὲ αὐτοῦ ἔστω τὸ Θ, καὶ διὰ τοῦ Θ καὶ τῶν τοῦ ὁρίζοντος πόλων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΘΕ· ἔσται ἄρα μεσημβρινὸς καὶ ὀρ‐
5θὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα [διὰ γὰρ τῶν πόλων αὐτοῦ ἐστιν γεγραμμένος]. γεγράφθω δὴ καὶ διὰ τοῦ Δ ζῳδιακὸς κύ‐ κλος ὁ ΒΔΓ, καὶ ἔστω ὁ ΒΓ ἰσημερινὸς κύκλος [ὡς καὶ ἔστιν]. ἐπεὶ οὖν οἱ ΔΗ ΒΔΓ ἐφάπτονται ἀλλήλων, διὰ δὲ τῆς ἁφῆς τοῦ Δ καὶ τῶν πόλων τοῦ ἑνὸς τοῦ ΔΗ [τοῦ
10Θ] γέγραπται μέγιστος κύκλος ὁ μεσημβρινὸς ὁ ΗΘΔΕ, καὶ διὰ τῶν τοῦ ἑτέρου πόλων τοῦ ΒΔΓ ἥξει καὶ ὀρθὸς ἔσται πρὸς αὐτόν, ὥστε καὶ ὁ ζῳδιακὸς ὀρθὸς ἔσται πρὸς τὸν μεσημβρινόν· καὶ διὰ τῶν πόλων ἄρα. [ἔστιν δὲ καὶ ὁ ὁρίζων καὶ ὁ ἰσημερινὸς διὰ τῶν πόλων τοῦ μεσημβρι‐
15νοῦ, ὥστε καὶ ἡ κοινὴ τομὴ τῶν τριῶν κύκλων, ὁρίζοντος, ζῳδιακοῦ, ἰσημερινοῦ, τὰ Β Γ σημεῖά ἐστιν κατὰ διάμετρον ὄντα, ὥστε ἰσημερινός ἐστιν ὁ ΒΓ κύκλος.] διῃρήσθω ἡ ΔΓ εἰς γʹ ἴσα κατὰ τὰ Ζ Μ, διὰ δὲ τῶν Ζ Μ κύκλοι παράλληλοι γεγράφθωσαν οἱ ΑΖΚ ΛΜΟ· ἔστιν ἄρα καρ‐
20κίνου μὲν δωδεκατημόριον τὸ ΔΖ, λέοντος δὲ τὸ ΖΜ, παρ‐ θένου δὲ τὸ ΜΓ. ὅταν μὲν δὴ ἡ ΜΓ ἀνατέλλῃ, ὁ ζῳδια‐ κὸς ἕξει θέσιν τινά· ἐχέτω τὴν ΠΝΞ. ὅταν δὲ ἡ ΖΜ ἀνατέλλῃ, ὁ ζῳδιακὸς θέσιν ἕξει τινά· ἐχέτω τὴν ΡΚΟ.
διὰ δὴ τὸ ἐν τῷ βʹ τῶν σφαιρικῶν Θεοδοσίου καʹ θεώ‐

6

.

612

ρημα ὀρθότατός ἐστιν, τουτέστιν μετεωρότατος [ὁ ΒΔΓ] πρὸς τὸν ὁρίζοντα, ὁ ζῳδιακὸς θέσιν ἔχων τὴν ΒΔΓ, αἰεὶ δ’ ὁ ἔγγιον τῆς Δ συναφῆς τῆς θερινῆς τῆς ἀπώτερον ἧσσον κέκλιται· ὀρθότερος ἄρα ἐστὶν ὁ ΠΝΞ τοῦ ΡΚΟ.[Omitted graphic marker]
5καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν ΝΞ δωδεκατημόριον ἀνατέλλει, ὅ ἐστιν τῆς παρθένου, τοῦ ζῳδιακοῦ θέσιν ἔχοντος τὴν ΠΝΞ, τὸ δὲ ΚΟ ἀνατέλλει, ὅπερ ἐστὶν τοῦ λέοντος, τοῦ ζῳδιακοῦ θέ‐ σιν ἔχοντος τὴν ΡΚΟ, ὀρθοτέρα ἄρα ἡ παρθένος ἀναφέ‐ ρεται λέοντος ἐπὶ τούτων τῶν οἰκήσεων, ἐφ’ ὧν πάντα τὰ
10μέρη τοῦ ζῳδιακοῦ ἀνατέλλει τε καὶ δύνει. καὶ φανερὸν ὅτι αἱ θέσεις τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλου ὀρθῶς ἔχουσιν τῷ ιβʹ τοῦ βʹ· ὅμοιαι γάρ εἰσιν αἱ περιφέρειαι αἱ ΔΠ ΖΣ ΜΝ ΓΞ, καὶ ἴσαι αἱ ΠΣ ΡΚ ΣΝ ΚΟ, ὥστε στρεφομένης τῆς σφαίρας ἁρμόζειν ἐν ἴσῳ χρόνῳ [τῷ αὐτῷ] τὰ σημεῖα ἐπὶ
15τὰ σημεῖα, καθ’ ὃ καὶ ἐν τῷ περὶ κινουμένης σφαίρας δείκνυται, καὶ τὰς μεταξὺ περιφερείας ἴσας ἐπὶ τὰς ἴσας [καὶ μεταξὺ περιφέρεια ὁ τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλου]. δεῖ δὲ τὴν ἴσην τῇ ΜΓ ἀνατέλλουσαν μεταξὺ πάλιν εἶναι τῶν αὐ‐ τῶν παραλλήλων, διότι ἡ τῆς ΜΓ ἀναφορὰ ἡ αὐτὴ λαμ‐
20βάνεται τῇ ΝΞ οὐ προοδεύεται δὲ τὸ θεώρημα τοῦτο οὐκ‐

6

.

614

έτι ἐν μείζονι ἐξάρματι, ὅταν ὁ ὁρίζων μειζόνων ἐφάπτη‐ ται ἢ ὧν ὁ ζῳδιακὸς ἐφάπτεται. νζʹ. Ἔστω δὲ νῦν τοὺς ὁρίζοντας εὑρεῖν τῶν οἰκήσεων, ἐν οἷς τὰ ὀρθότερα ἀναφερόμενα τοῦ ζῳδιακοῦ δωδεκατη‐
5μόρια ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ ἀνενεχθήσεται τῶν πλαγιωτέρων ἀναφερομένων. [Omitted graphic marker] Ἐκκείσθω μέγι‐ στος κύκλος ὁ ΑΒ‐ ΓΔ ὁρίζων διὰ τῶν
10πόλων τῶν παραλ‐ λήλων, καὶ ἔστωσαν πόλοι τὰ Α Γ, καὶ δι’ αὐτῶν μέγιστος ὁ ΑΘΓ, τουτέστιν
15μεσημβρινός, καὶ ἔστω θερινὸν μὲν ἡμικύκλιον τὸ ΕΗ, χειμερινὸν δὲ τὸ ΚΖ, ζῳδιακοῦ θέσις ὁτὲ
20μὲν ἡ ΕΘΖ, ὁτὲ δὲ ἡ ΗΘΚ, ἀνατολικῶν ὄντων μερῶν τῶν πρὸς τοῖς Η Δ Ζ, καὶ διῃρήσθω τὸ ΕΘ τεταρτημόριον εἰς τὰ ζῴδια κατὰ τὰ Λ Μ· λέγω ὅτι ὀρθοτέρα ἡ ΜΘ τῆς ΛΜ
25ἀναφέρεται. Ἐπεὶ γὰρ ὁ ὁρίζων ἐστὶν διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας, τουτέστιν τοῦ ἰσημερινοῦ, ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν αὐτόν, ὥστε καὶ ὁ ἰσημερινὸς ὀρθός ἐστιν τῷ ὁρίζοντι· καὶ διὰ τῶν πόλων ἄρα τοῦ ὁρίζοντός ἐστιν ὁ ἰσημερινός. ἔστιν
30δὲ καὶ ὁ μεσημβρινὸς διὰ τῶν πόλων τοῦ ὁρίζοντος, ὥστε ἡ κοινὴ τομὴ τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ εἰσιν οἱ πόλοι τοῦ ὁρίζοντος. καὶ ἔστιν ὁ μὲν ἰσημερινὸς φερόμε‐ νος ἀεὶ διὰ τῶν πόλων τοῦ ὁρίζοντος, ὁ δὲ ζῳδιακὸς κατὰ δύο σημεῖα μόνα [κριοῦ ἀρχὴ καὶ ζυγοῦ] διὰ τῶν κοινῶν
35τομῶν τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ μεσημβρινοῦ, ὥστε καὶ ἡ ἀπὸ
τοῦ ὁρίζοντος ἐπὶ τὸν πόλον περιφέρεια τεταρτημορίου

6

.

616

[μοιρῶν ϙʹ]. καὶ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος τὰ Ε Η Κ Ζ ὄντα τῶν ἁφῶν σημεῖα τῶν τροπικῶν ἐπὶ τὸν μεσημβρινὸν τεταρτημορίου, ὥστε τὸ τεταρτημόριον τὸ ἀπὸ τῶν Ε Η Κ Ζ ἐπὶ τὸ τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ
5καὶ τοῦ πόλου τοῦ ὁρίζοντος κοινὸν σημεῖον τὸ Θ. καὶ διὰ τῶν Λ Μ Θ παράλληλοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΛΝ ΜΞ ΒΘΔ· ἔσται δὴ ὁ ΒΘΔ ἰσημερινός, ὡς προείρηται. γεγράφθωσαν διὰ τοῦ Α πόλου καὶ ἑκάστου τῶν Λ Μ Ξ Ν μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΟ ΑΠ ΑΡ ΑΣ. καὶ ἐπειδὴ τῷ
10ιβʹ τοῦ βʹ τῶν σφαιρικῶν ἴσαι εἰσὶν αἱ ΕΛ ΗΝ καὶ ΛΜ ΝΞ, καὶ αἱ ΜΘ ΞΘ, διῄρηνται δὲ ἴσαι, εἰς τὰ ζῴδιά εἰ‐ σιν διαιρεθεῖσαι καὶ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ ἔστιν τὸ Ε καρκίνου 𐆊 ἡγούμενον τοῦ ἡμικυκλίου, καὶ τὸ Η καρκίνου 𐆊 ἑπόμενον τῷ ἡμικυκλίῳ, ὥστε τὰ μὲν Λ Μ Θ ση‐
15μεῖα ἕπεται τῷ Ε, τὰ δὲ Ν Ξ Θ ἡγεῖται τοῦ Η, ὥστε εἶναι τὰ ὁμόζωνα ζῴδια καὶ εἶναι τὸ Θ σημεῖον κριοῦ 𐆊 κατὰ τὸ Η καὶ ζυγοῦ 𐆊 κατὰ τὸ Ε. μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΒΟ τῆς ΟΠ, ἡ δὲ ΟΠ τῆς ΠΘ, ὁμοίως δὲ καὶ ἡ μὲν ΔΣ τῆς ΣΡ, ἡ δὲ ΣΡ τῆς ΡΘ· ἔσται ἄρα ἡ ΟΘΣ τῆς
20ΠΘΡ μείζων ἢ διπλῆ, τουτέστιν τῇ ὁμοιότητι ἡ ΛΝ τῆς ΜΞ. ἔστω δὴ τῆς ΜΞ διπλῆ τῇ ὁμοιότητι ἡ ΛΦ, διὰ
δὲ τῶν Φ Θ μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ϛΦΘϙ. ἔσται

6

.

618

δὴ οὗτος ὀρθὸς τῷ ΑΒΓΔ ὁρίζοντι (τὸ γὰρ Θ ἐστὶν πό‐ λος τοῦ ὁρίζοντος). Λέγω οὖν ὅτι, ἐὰν ὁρίζοντα ὑποστησώμεθα ἤτοι τὸν ϛΦΘϙ ἢ τὸν ΗΘΚ (ὃς ἐφάπτεται τοῦ ΕΗ θερινοῦ τρο‐
5πικοῦ ἐν τῇ μεταξὺ τῶν ϛ Η πιπτούσῃ οἰκήσει), δειχθή‐ σεται παρθένος λέοντος ὀρθοτέρα ἀναφερομένη, ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ παρθένου λέων ἀνατέλλων. Ἐπείπερ [ἐν πλείονι χρόνῳ] ὑπεστησάμην ὁρίζοντα τοιοῦτον μὴ μειζόνων ἐφαπτόμενον ἤπερ εἰσὶν οἱ τροπικοὶ
10κύκλοι, φανερὸν οὖν ὅτι διὰ τὸ προαποδεδειγμένον παρ‐ θένος λέοντος ὀρθοτέρα ἀνενεχθήσεται. ὑποκείσθω πρό‐ τερον ὁ ΗΘΚ ὁρίζων, καὶ ἔστω αὐτοῦ ἀνατολικώτερον ἡμικύκλιον τὸ ΗΘΚ, τοῦ μεσημβρινοῦ ὄντος τοῦ ΑΒΓΔ ὀρθοῦ τοῖς παραλλήλοις καὶ τῷ ΗΘΚ· ἀρκτικὸς ἄρα τοῦ
15ΗΘΚ ὁρίζοντος ὁ ΕΗ θερινὸς τροπικός. καὶ ἔσται καρ‐ κίνου μὲν δωδεκατημόριον τὸ ΕΛ, λέοντος δὲ τὸ ΛΜ, παρθένου δὲ τὸ ΜΘ· ὀρθοτέρα ἄρα ἡ ΜΘ τῆς ΛΜ ἀνα‐ φέρεται. Λέγω ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλει ἡ ΛΜ τῆς
20ΜΘ. Ἐπεὶ γὰρ δέδεικται μείζων ἢ διπλῆ τῇ ὁμοιότητι ἡ ΛΝ τῆς ΜΞ, καὶ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ τὸ Λ τὴν ΛΝ διεξελή‐ λυθεν, ἀνατέλλει ἡ ΛΘ (τοῦ γὰρ Λ ἀρξαμένου ἀπὸ τοῦ Ν ἀνατολῆς ὁρίζοντος διαπορεύεσθαι τὴν ΝΛ, ἡ ΛΘ ἀν‐
25ενεχθήσεται· ἔστιν γὰρ τὸ Θ ἐν τῇ ἀνατολῇ τοῦ ὁρίζοντος),
ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ τὸ Μ τὴν ΞΜ διαπορεύεται, ἀνατέλλει ἡ

6

.

620

ΜΘ (διὰ τὰ αὐτά), φανερὸν ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ἢ δι‐ πλασίῳ ἀνατέλλει ἡ ΛΘ τῆς ΜΘ, ὥστε μείζων ἐστὶν ὁ [Omitted graphic marker]χρόνος τῆς ἀνατο‐ λῆς τῆς ΛΜ ἢ τῆς
5ΜΘ (ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ χρόνου τῆς ΛΘ ἀφαιρεθῇ ὁ χρόνος τῆς ΜΘ ἐλάσσων ἢ τὸ ἥμισυ, ὅτι μεί‐
10ζων ἐστὶν ἢ διπλα‐ σίων ὁ τῆς ΛΘ, λοι‐ πὸν γίνεται ὁ χρό‐ νος τῆς ΛΜ μείζων ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ΛΘ
15μείζων ὢν τοῦ χρό‐ νου τῆς ΜΘ ἐλάσ‐ σονος ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ΛΘ). Πάλιν ἔστω ἕτερος ὁ ϛΦΘϙ ὁρίζων, τοῦ ΑΒΓΔ με‐
20σημβρινοῦ ὀρθοῦ ὄντος τοῖς παραλλήλοις καὶ τῷ ϛΦΘϙ ὁρίζοντι (ὅτι ὁ Θ πόλος ἐστὶν τοῦ μεσημβρινοῦ, ὥστε ὀρ‐ θοί εἰσιν πρὸς ἀλλήλους)· λέγω ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ΛΜ τῆς ΜΘ ἀναφέρεται. Ἐπεὶ γὰρ ἀφῄρηται ἡ ΛΦ διπλῆ τῇ ὁμοιότητι τῆς
25ΜΞ, φανερὸν ὅτι μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ τῇ ὁμοιότητι ἡ ΛΦ τῆς ΜΨ (φανερὸν γὰρ ὅτι μεταξύ ἐστιν τὸ Ψ τῶν Μ Ξ· ὅτι μὲν γὰρ διὰ τῶν Μ Ξ οὐχ ἥξει ἡ ΘΦϛ, φανερόν· γίνονται γὰρ διάμετροι τῶν μεγίστων κύκλων αἱ ΘΜ ΞΘ ἐλάσσονες [γὰρ] ἡμικυκλίων ὅλων τῶν ΕΜΘΖ ΗΞΘΚ, ὅπερ
30ἐστὶν ἀδύνατον· ἀλλ’ οὐδ’ ἔξω τῶν Μ Ξ· ἥξει γὰρ καὶ διὰ τοῦ Φ, ὡς ὑπόκειται, ὁ διὰ τῶν Θ Ψ γραφεὶς καὶ τεμεῖ πάλιν τοὺς ΕΛΖ ΗΞΚ μεγίστους κατὰ σημεῖον ἕτε‐ ρον, καὶ ἔσται ἡ κοινὴ τομὴ ἐλάσσων ἡμικυκλίου ἡ ἀπὸ τοῦ Ε, ὅπερ ἀδύνατον· μεταξὺ ἄρα ἐστὶν τὸ Ψ τῶν Μ Ξ).
35ἀλλ’ ἐν ᾧ μὲν τὸ Λ τὴν ΦΛ περιφέρειαν κινεῖται ἀρξά‐
μενον ἀπὸ τοῦ Φ τῆς ἀνατολῆς τοῦ ὁρίζοντος, ἡ ΛΘ ἀνα‐

6

.

622

τέλλει, ἐν ᾧ δὲ τὸ Μ τὴν ΜΨ περιφέρειαν κινεῖται ἀρξά‐ [Omitted graphic marker]μενον ἀπὸ τοῦ Ψ τῆς ἀνατολῆς τοῦ ὁρί‐ ζοντος, ἡ ΜΘ ἀνα‐
5τέλλει· φανερὸν ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλει ἡ ΛΜ τῆς ΜΘ, ὡς προε‐ δείχθη.
10 Τῷ δὲ αὐτῷ τρόπῳ ἐφωδεύσα‐ μεν ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλει ἡ ΕΛ τῆς ΛΜ, καὶ
15ὀρθοτέρα ἡ ΛΜ περιφέρεια, ἥτις ἐ‐ στὶν τοῦ λέοντος, ἀναφερομένη ἤπερ ἡ ΕΛ, ἥτις ἐστὶν τοῦ καρκίνου. Δέδεικται οὖν τὰ προτεθέντα, κατὰ δὲ Πτολεμαῖον ἐν
20ὀρθῇ σφαίρᾳ καὶ πρώτῳ κλίματι καὶ δευτέρῳ συμφώνως ὁ καρκίνος ἐν πλείονι χρόνῳ ἀναφέρεται τοῦ λέοντος, μετὰ δὲ μοίρας ιϛʹ κζʹ ἐξάρματος πόλου τοῦ δευτέρου κλίματος ἕως τοῦ γʹ κλίματος ἐν πλείονι ὁ λέων ἀνατέλλει τοῦ καρ‐ κίνου, ὥστε ἀσύμφωνον εἶναι. περὶ δὲ τοῦ ὀρθότερον [εἶ‐
25ναι] τὸ τοῦ λέοντος ἤπερ τὸ τοῦ καρκίνου ἀναφέρεσθαι δειχθήσεται πάλιν τῷ καʹ τοῦ δευτέρου τῶν σφαιρικῶν [τῷ προτέρῳ λήμματι]. νηʹ. Ἔστω διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, πόλοι δὲ τῆς σφαίρας οἱ Α Β, ἕτερος δὲ μέγιστος
30κύκλος ὁ ΓΔ λοξὸς μὲν πρὸς τοὺς παραλλήλους ὀρθὸς δὲ πρὸς τὸν ΑΒΓΔ, καὶ διῃρήσθω τὸ ΓΧ τεταρτημόριον εἰς τρία ἴσα κατὰ τὰ Σ Τ, καὶ διὰ τῶν Σ Τ Χ γεγράφθωσαν κύκλοι παράλληλοι, καὶ ἔστωσαν κοιναὶ τομαὶ αὐτῶν τε
καὶ τοῦ ΑΒΓΔ αἱ ΔΓ ΛΚ καὶ ΗΘ ΕΖ (γίνονται δὴ καὶ

6

.

624

διάμετροι), ἔστω δὲ παράλληλος τῇ ΚΛ ἡ ΓΝ (ὁ ἄρα περὶ τὴν ΓΝ παράλληλος κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓΔ * * * ἡ ΓΝ· ἐφάψεται γὰρ κατὰ τὸ Γ), καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΝ· φημὶ δὴ ὅτι τῆς κατὰ τὴν ΠΡ εὐθεῖαν περιφερείας
5ἐν τῷ ΗΘ κύκλῳ ἡ κατὰ τὴν ΞΟ εὐθεῖαν περιφέρεια (ἥτις ἔχει βάσιν τὴν ἴσην τῇ ΞΟ) μείζων ἐστὶν ἢ διπλασίων τῇ ὁμοιότητι.[Omitted graphic marker] Νενοήσθωσαν γὰρ αἱ κοιναὶ τομαὶ πάντων τῶν κύ‐ κλων· ἔσονται δὴ αἱ ΣΞ ΠΤ ΧΜ κάθετοι ἐπὶ τὴν ΓΔ
10καὶ ἐπὶ τὰς ΚΛ καὶ ΗΘ καὶ ΕΖ. γεγράφθωσαν δὴ διὰ τῶν Σ Τ Χ καὶ τοῦ Α μεγίστων κύκλων περιφέρειαι αἱ ΑΥ ΑΦ ΑΧ· δῆλον δὴ ὅτι δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα ἡμικύκλια τῶν παραλλήλων κύκλων ἡ ΑΧ. ἤχθωσαν δὲ καὶ ἀπὸ τῶν Ο Ρ πρὸς ὀρθὰς ταῖς ΚΛ ΗΘ ἐν τοῖς τῶν
15ἡμικυκλίων ἐπιπέδοις ἥ τε ΟΨ καὶ ἡ Ρ͵Α· ἔσονται δὴ αὗται ἴσαι ταῖς ΣΞ ΠΤ, ὥστε ἔσονται αἱ κατὰ τὰς ΟΞ
ΠΡ εὐθείας περιφέρειαι αἱ ΣΨ καὶ Τ͵Α. ὅτι οὖν ἡ ΣΨ

6

.

626

περιφέρεια τῆς Τ͵Α περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ ὁμοιότητι [τῆς Τ͵Α]· ὅτι ἄρα καὶ ἡμίσεια ἡ ϛΣ περιφέ‐ ρεια τῆς Τϙ περιφερείας μείζων ἐστὶν ὁμοιότητι ἢ διπλα‐ σίων. καὶ ἔστιν ἡ μὲν Σϛ τῇ ΥΧ ὁμοία, ἡ δὲ Τϙ τῇ
5ΦΧ [ἡ δὲ ΥΧ τῆς Τϙ μείζων]· ὁμοιότητι ἄρα ἡ ΥΧ πε‐ ριφέρεια τῆς ΦΧ μείζων ἐστὶν [ὁμοιότητι] ἢ διπλασίων.[Omitted graphic marker] ἔστιν δέ, ἐπείπερ ἴση ἐστὶν ἡ ΣΤ τῇ ΤΧ περιφερείᾳ, καὶ διὰ τοῦ πόλου καὶ τῶν Τ Χ σημείων μέγιστοι κύκλοι γε‐ γραμμένοι εἰσίν· τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς σφαιρικοῖς ἀποδέδεικται.
10 νθʹ. Καὶ τὸ παραλειφθὲν δὲ εἰς τὸ ιβʹ καὶ ιγʹ. Τῶν ἐν τῷ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικυκλίῳ περιφερειῶν ἡ τυχοῦσα περιφέρεια ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλει ἢ δύνει, τῶν δὲ ἐν τῷ λοιπῷ ἡμικυκλίῳ, ὅ ἐστιν μετὰ τὸν αἰγό‐ κερω, ἡ τυχοῦσα ἐν πλείονι χρόνῳ δύνει ἢ ἀνατέλλει.
15 Ἔστω γὰρ ἐν σφαίρᾳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ, ζῳδιακοῦ δὲ τὸ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικύκλιον ἐν τῷ φανερῷ ἡμισφαιρίῳ ΑΔΖ (τὸ Α ἄρα καρκίνου 𐆊 ἡγούμενον τοῦ ἡμικυκλίου ἐπὶ τῇ δύσει), καὶ ἔστω θερινοῦ τροπικοῦ τὸ ὑπὲρ γῆν
τμῆμα τὸ ΑΗΓ, καὶ ἀφῃρήσθω τις τοῦ ζῳδιακοῦ περι‐

6

.

628

φέρεια ἡ ΕΔ· λέγω ὅτι ἡ ΔΕ ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλει ἢ δύνει. Γεγράφθωσαν γὰρ διὰ τῶν Δ Ε παράλληλοι κύκλοι οἱ ΒΔΛ ΝΘΕΚ· [γίνεται ἄρα μείζων ἢ ὁμοία ἡ μὲν ΔΛ
5τῆς ΣΕ, ἡ δὲ ΕΝ τῆς ΔΒ]· προανατέλλει ἄρα τὸ Δ ἡγού‐ μενον τοῦ Ε ἑπομένου, ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Λ, τοῦ Ε ἀρ‐ ξαμένου ἀπὸ τοῦ Σ, ὥστε μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία ἡ ΔΛ τῆς ΕΣ, ὅτι καὶ ὁ χρόνος ἐστὶν μείζων [προανατέλλει, καὶ ὅτι τὸ Δ τοῦ Ε προδύνει κατὰ τὸ Β ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Δ
10καὶ τὸ Ε δύνει κατὰ τὸ Ν ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ε· ἐλάσσων γάρ ἐστιν ὁ χρόνος τοῦ Δ ἢ τοῦ Ε]· ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ὁμοία ἡ ΒΔ τῆς ΕΝ. γεγράφθωσαν δὴ διὰ τῶν Β Λ μέγιστοι κύκλοι ἐφαπτόμενοι τοῦ ΑΗΓ οἱ ΘΒΜ ΚΛΗ· ἡ ἄρα ΔΕ περιφέρεια ἀνατελεῖ μὲν θέσιν ἔχουσα τὴν ΚΛ,
15ὅταν τὸ Κ τὴν ΚΣ περιφέρειαν διέλθῃ, δύσεται δὲ θέσιν ἔχουσα τὴν ΒΘ, ὅταν τὸ Θ τὴν ΘΝ περιφέρειαν διέλθῃ (καὶ γὰρ αἱ θέσεις εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου τοῦ ζῳδιακοῦ αἱ ΑΔΕ ΜΒΘ ΗΛΚ, μεταξὺ ὁμοίας περιφερείας ἔχουσαι τάς τε ΑΗ ΔΛ ΕΚ καὶ τὰς ΜΑ ΒΔ ΘΕ· ὥστε μείζων
20ἐστὶν ἢ ὁμοία ἡ μὲν ΔΛ τῆς ΕΣ, ἡ δὲ ΕΝ τῆς ΒΔ, ὡς καὶ ἐδείχθη). ἔτι τε ἴσαι εἰσὶν αἱ ΗΚ ΑΕ ΜΘ (ἑκατέρα γὰρ τῶν ΜΘ ΗΚ ἴση ἐστὶν τῇ ΑΕ), ὥστε καὶ ἐφαρμόζει καὶ ἅμα τὰ Κ Λ Η ἐπὶ τὰ Ε Δ Α ἥξει. ὁμοίως καὶ τὰ
Ε Δ Α ἐπὶ τὰ Θ Β Μ ἥξει [ἴσαι γάρ εἰσιν καὶ αἱ ΚΛ

6

.

630

ΕΔ ΘΒ, ὥστε ἐφαρμόζειν τὰς ΚΛ ΕΔ ΘΒ περιφερείας]. λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΚΣ περιφέρεια τῆς ΝΘ περι‐ φερείας.[Omitted graphic marker] Ἐπεὶ γὰρ ὁμοία ἡ μὲν ΔΛ τῇ ΕΚ, ἡ δὲ ΔΒ τῇ ΕΘ,
5ἔσται καὶ ὅλη ἡ ΛΒ ὅλῃ τῇ ΘΚ ὁμοία. ἡ δὲ ΛΒ τῆς ΣΝ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία· καὶ ἡ ΘΚ ἄρα τῆς ΝΣ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία. καὶ εἰσὶ τοῦ αὐτοῦ κύκλου· μείζων ἄρα ἡ ΚΘ τῆς ΝΣ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΘΣ· λοιπὴ ἄρα μεί‐ ζων ἐστὶν ἡ ΚΣ [ὁ ἀνατολικὸς τῆς ΔΕ περιφερείας τοῦ
10δυτικοῦ χρόνου] τῆς ΘΝ. καὶ ἐπεὶ διὰ τὸ ιαʹ Εὐκλείδου φαινομένων [ἐν ᾧ χρόνῳ] αἱ ἴσαι περιφέρειαι κατὰ διάμε‐ τρον οὖσαι ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ἑτέρα ἀνατέλλει ἡ ἑτέρα δύνει, καὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ἑτέρα δύνει ἡ ἑτέρα ἀνατέλλει, τῇ ΔΕ ἄρα ἡ ἴση περιφέρεια. κατὰ διάμετρον λαμβάνεται ἐν τῷ
15ἑτέρῳ ἡμικυκλίῳ τῷ ἀπὸ αἰγόκερω 𐆊, καὶ δειχθήσεται ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ δύνει ἢ ἀνατέλλει [ὁ γὰρ χρόνος τοῦ ἑτέ‐ ρου ἡμικυκλίου τῆς ἀνατολῆς μείζων ἐστὶν ἢ ὁ τῆς δύσεως]. ξʹ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἐπὶ τῆς δευτέρας πτώ‐ σεως τοῦ θεωρήματος τοῦ μετὰ τὸν αἰγόκερω ἡμικυκλίου
20ὑπὲρ γῆν τὸ ΑΕΖ, καὶ ἀφῃρήσθω τις τυχοῦσα περιφέρεια
ἡ ΔΕ· λέγω ὅτι ἡ ΔΕ ἐν πλείονι χρόνῳ δύνει ἢ ἀνατέλλει.

6

.

632

 Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτά. ἐπεὶ οὖν τὸ Α ἀρχή ἐστιν καρκίνου ἑπόμενον τῷ ἡμικυκλίῳ, καὶ τὸ Ζ ἡγού‐ μενον αἰγόκερω ἀρχή, ἔστιν ἄρα τὸ Ζ δυτικὸν καὶ τὸ Α ἀνατολικόν· ἡ ΔΕ ἄρα ἀνατέλλει μὲν θέσιν ἔχουσα τὴν
5ΒΘ, ὅταν τὸ Θ τὴν ΝΘ διέλθῃ [ὥστε καὶ ἀνατέλλει τὸ Δ ἑπόμενον τῇ ΔΕ περιφερείᾳ, ὃν τρόπον πρὸς τῇ ἀνατολῇ κατὰ τὸ Β, καὶ τοῦ Ε ἡγουμένου ὄντος ὑπὲρ γῆν κατὰ τὸ Θ, ὅταν τὴν ΘΝ περιφέρειαν διέλθῃ ἀπὸ τῆς ἀνατολῆς τοῦ Ν], δύνει δὲ θέσιν ἔχουσα τὴν ΚΛ, ὅταν τὸ Κ τὴν
10ΚΣ διέλθῃ [ὥστε καὶ ἔδυνεν τὸ Ε ἡγούμενον τῆς ΔΕ πε‐ ριφερείας προδυνούσης τῆς ΚΣ περιφερείας τοῦ Δ ἑπο‐ μένου ὄντος κατὰ τῆς δύσεως τοῦ Λ]. καὶ ἐδείχθη πρό‐ τερον ἡ ΣΚ τῆς ΝΘ μείζων, ὥστε ὁ χρόνος ὁ δυτικός ἐστιν μείζων ἢ ὁ ἀνατολικὸς τῆς ΕΔ περιφερείας, ὁ τῆς ΣΚ
15τῆς ΘΝ. Ἀλλὰ ταῦτα μὲν ἱκανὰ τοῦ συντάγματος Εὐκλείδου τῶν φαινομένων μόνον ἕνεκεν, ὅτι δὲ τὰ περὶ τὰς ἀνατο‐ λὰς καὶ δύσεις τῶν τοῦ ζῳδιακοῦ δωδεκατημορίων ἀτελῆ καθέστηκεν, οἶμαι καὶ αὐτόν σε μὴ ἀγνοεῖν. ἕκαστα δὲ
20τούτων ἀπαραλείπτως ἔνεστί σοι καὶ ῥᾳδίως ἐντυγχάνοντι τοῖς ὑπὸ τοῦ Πτολεμαίου πεπραγματευμένοις περὶ τούτων
συντάγμασιν ἐπιγινώσκειν.

7

.

634

(1t)

ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ζ.
2nΠεριέχει δὲ λήμματα τοῦ ἀναλυομένου.
3 Ὁ καλούμενος ἀναλυόμενος, Ἑρμόδωρε τέκνον, κατὰ σύλληψιν ἰδία τίς ἐστιν ὕλη παρεσκευασμένη μετὰ τὴν τῶν
5κοινῶν στοιχείων ποίησιν τοῖς βουλομένοις ἀναλαμβάνειν ἐν γραμμαῖς δύναμιν εὑρετικὴν τῶν προτεινομένων αὐτοῖς προβλημάτων, καὶ εἰς τοῦτο μόνον χρησίμη καθεστῶσα. γέγραπται δὲ ὑπὸ τριῶν ἀνδρῶν, Εὐκλείδου τε τοῦ στοι‐ χειωτοῦ καὶ Ἀπολλωνίου τοῦ Περγαίου καὶ Ἀρισταίου τοῦ
10πρεσβυτέρου, κατὰ ἀνάλυσιν καὶ σύνθεσιν ἔχουσα τὴν ἔφο‐ δον. ἀνάλυσις τοίνυν ἐστὶν ὁδὸς ἀπὸ τοῦ ζητουμένου ὡς ὁμολογουμένου διὰ τῶν ἑξῆς ἀκολούθων ἐπί τι ὁμολογού‐ μενον συνθέσει· ἐν μὲν γὰρ τῇ ἀναλύσει τὸ ζητούμενον ὡς γεγονὸς ὑποθέμενοι τὸ ἐξ οὗ τοῦτο συμβαίνει σκοπούμεθα
15καὶ πάλιν ἐκείνου τὸ προηγούμενον, ἕως ἂν οὕτως ἀναπο‐ δίζοντες καταντήσωμεν εἴς τι τῶν ἤδη γνωριζομένων ἢ τά‐ ξιν ἀρχῆς ἐχόντων· καὶ τὴν τοιαύτην ἔφοδον ἀνάλυσιν κα‐ λοῦμεν, οἷον ἀνάπαλιν λύσιν. ἐν δὲ τῇ συνθέσει ἐξ ὑπο‐ στροφῆς τὸ ἐν τῇ ἀναλύσει καταληφθὲν ὕστατον ὑποστη‐
20σάμενοι γεγονὸς ἤδη, καὶ ἑπόμενα τὰ ἐκεῖ [ἐνταῦθα] προηγούμενα κατὰ φύσιν τάξαντες καὶ ἀλλήλοις ἐπισυνθέν‐ τες, εἰς τέλος ἀφικνούμεθα τῆς τοῦ ζητουμένου κατασκευῆς· καὶ τοῦτο καλοῦμεν σύνθεσιν. Διττὸν δ’ ἐστὶν ἀναλύσεως γένος, τὸ μὲν ζητητικὸν
25τἀληθοῦς, ὃ καλεῖται θεωρητικόν, τὸ δὲ ποριστικὸν τοῦ
προταθέντος [λέγειν], ὃ καλεῖται προβληματικόν. ἐπὶ μὲν

7

.

636

οὖν τοῦ θεωρητικοῦ γένους τὸ ζητούμενον ὡς ὂν ὑποθέμε‐ νοι καὶ ὡς ἀληθές, εἶτα διὰ τῶν ἑξῆς ἀκολούθων ὡς ἀλη‐ θῶν καὶ ὡς ἔστιν καθ’ ὑπόθεσιν προελθόντες ἐπί τι ὁμο‐ λογούμενον, ἐὰν μὲν ἀληθὲς ᾖ ἐκεῖνο τὸ ὁμολογούμενον,
5ἀληθὲς ἔσται καὶ τὸ ζητούμενον, καὶ ἡ ἀπόδειξις ἀντί‐ στροφος τῇ ἀναλύσει, ἐὰν δὲ ψεύδει ὁμολογουμένῳ ἐντύ‐ χωμεν, ψεῦδος ἔσται καὶ τὸ ζητούμενον. ἐπὶ δὲ τοῦ προ‐ βληματικοῦ γένους τὸ προταθὲν ὡς γνωσθὲν ὑποθέμενοι, εἶτα διὰ τῶν ἑξῆς ἀκολούθων ὡς ἀληθῶν προελθόντες ἐπί
10τι ὁμολογούμενον, ἐὰν μὲν τὸ ὁμολογούμενον δυνατὸν ᾖ καὶ ποριστόν, ὃ καλοῦσιν οἱ ἀπὸ τῶν μαθημάτων δοθέν, δυ‐ νατὸν ἔσται καὶ τὸ προταθέν, καὶ πάλιν ἡ ἀπόδειξις ἀντί‐ στροφος τῇ ἀναλύσει, ἐὰν δὲ ἀδυνάτῳ ὁμολογουμένῳ ἐντύ‐ χωμεν, ἀδύνατον ἔσται καὶ τὸ πρόβλημα.
15 [Διορισμὸς δέ ἐστιν προδιαστολὴ τοῦ πότε καὶ πῶς καὶ ποσαχῶς δυνατὸν ἔσται καὶ τὸ πρόβλημα.] Τοσαῦτα μὲν οὖν περὶ ἀναλύσεως καὶ συνθέσεως. Τῶν δὲ προειρημένων τοῦ ἀναλυομένου βιβλίων ἡ τάξις ἐστὶν τοιαύτη· Εὐκλείδου δεδομένων βιβλίον αʹ, Ἀπολλω‐
20νίου λόγου ἀποτομῆς βʹ, χωρίου ἀποτομῆς βʹ, διωρισμένης τομῆς δύο, ἐπαφῶν δύο, Εὐκλείδου πορισμάτων τρία, Ἀπολλωνίου νεύσεων δύο, τοῦ αὐτοῦ τόπων ἐπιπέδων δύο, κωνικῶν ηʹ, Ἀρισταίου τόπων στερεῶν πέντε, Εὐκλείδου τόπων τῶν πρὸς ἐπιφανείᾳ δύο, Ἐρατοσθένους περὶ με‐
25σοτήτων δύο. γίνεται βιβλία λγʹ, ὧν τὰς περιοχὰς μέχρι τῶν Ἀπολλωνίου κωνικῶν ἐξεθέμην σοι πρὸς ἐπίσκεψιν, καὶ τὸ πλῆθος τῶν τόπων καὶ τῶν διορισμῶν καὶ τῶν πτώσεων καθ’ ἕκαστον βιβλίον, ἀλλὰ καὶ τὰ λήμματα τὰ ζητούμενα, καὶ οὐδεμίαν ἐν τῇ πραγματείᾳ τῶν βιβλίων
30καταλέλοιπα ζήτησιν, ὡς ἐνόμιζον.

7

.

638

 Περιέχει δὲ τὸ πρῶτον βιβλίον, ὅπερ ἐστὶν τῶν δεδο‐ μένων, ἅπαντα θεωρήματα ἐνενήκοντα· ὧν πρῶτα μὲν καθόλου ἐπὶ μεγεθῶν [διαγράμματα] κγʹ, τὸ δὲ δʹ καὶ κʹ ἐν εὐθείαις ἐστὶν ἀνάλογον ἄνευ θέσεως. τὰ δὲ ἑξῆς τού‐
5τοις ιδʹ ἐν εὐθείαις ἐστὶν θέσει δεδομέναις. τὰ δὲ τού‐ τοις ἑξῆς ιʹ ἐπὶ τριγώνων ἐστὶν τῷ εἴδει δεδομένων ἄνευ θέσεως. τὰ δὲ ἑξῆς τούτοις ζʹ ἐπὶ τυχόντων ἐστὶν εὐθυ‐ γράμμων χωρίων εἴδει δεδομένων ἄνευ θέσεως. τὰ δὲ ἑξῆς τούτοις ϛʹ ἐν παραλληλογράμμοις ἐστὶ καὶ παραβολαῖς εἴ‐
10δει δεδομένων χωρίων. τῶν δὲ ἐχομένων εʹ τὸ μὲν πρῶτον γραφόμενόν ἐστιν, τὰ δὲ δʹ ἐπὶ τριγώνων χωρίων, ὅτι αἱ διαφοραὶ τῶν δυνάμεων τῶν πλευρῶν πρὸς ταῦτα τὰ τρί‐ γωνα χωρία λόγον ἔχουσιν δεδομένον. τὰ δὲ ἑξῆς ζʹ ἕως τοῦ οʹ καὶ γʹ ἐν δυσὶ παραλληλογράμμοις, ὅτι διὰ τὰς ἐν
15ταῖς γωνίαις ὑποθέσεις ἐν δεδομένοις ἐστὶν λόγοις πρὸς ἄλληλα· ἔνια δὲ τούτων ἐπιλόγους ἔχει ὁμοίους ἐν δυσὶ τριγώνοις. ἐν δὲ τοῖς ἐφεξῆς ϛʹ διαγράμμασιν ἕως τοῦ οʹ καὶ θʹ δύο μέν ἐστιν ἐπὶ τριγώνων, δʹ δὲ ἐπὶ πλειόνων εὐθειῶν ἀνάλογον οὐσῶν. τὰ δὲ ἑξῆς γʹ ἐπὶ δύο εὐθειῶν
20[ἀνάλογον οὐσῶν, τὰ δ’ ἔστιν] δοθέν τι περιεχουσῶν χω‐
ρίον. τὰ δὲ ἐπὶ πᾶσιν ηʹ ἕως τοῦ ϙʹ ἐν κύκλοις δείκνυται

7

.

640

τοῖς μὲν μεγέθει μόνον δεδομένοις, τοῖς δὲ καὶ θέσει. [* ἀγομένων εὐθειῶν ἐστιν διὰ δεδομένου σημείου τὰ γενό‐ μενα δεδομένα.] Τῆς δ’ ἀποτομῆς τοῦ λόγου βιβλίων ὄντων βʹ πρότα‐
5σίς ἐστιν μία ὑποδιῃρημένη· διὸ καὶ μίαν πρότασιν οὕτως γράφω· διὰ τοῦ δοθέντος σημείου εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγα‐ γεῖν τέμνουσαν ἀπὸ τῶν τῇ θέσει δοθεισῶν δύο εὐθειῶν πρὸς τοῖς ἐπ’ αὐτῶν δοθεῖσι σημείοις λόγον ἐχούσας τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι. τὰς δὲ γραφὰς διαφόρους γενέσθαι καὶ
10πλῆθος λαβεῖν συμβέβηκεν, ὑποδιαιρέσεως γενομένης, ἕνεκα τῆς τε πρὸς ἀλλήλας θέσεως τῶν δεδομένων εὐθειῶν καὶ τῶν διαφόρων πτώσεων τοῦ δεδομένου σημείου καὶ διὰ τὰς ἀναλύσεις καὶ συνθέσεις αὐτῶν τε καὶ τῶν διορισμῶν. ἔχει γὰρ τὸ μὲν πρῶτον βιβλίον τῶν λόγου ἀποτομῆς τό‐
15πους ζʹ, πτώσεις κδʹ, διορισμοὺς δὲ εʹ, ὧν τρεῖς μέν εἰσιν μέγιστοι, δύο δὲ ἐλάχιστοι· καὶ ἔστι μέγιστος μὲν κατὰ τὴν τρίτην πτῶσιν τοῦ εʹ τόπου, ἐλάχιστος δὲ κατὰ τὴν δευ‐ τέραν τοῦ ϛʹ τόπου καὶ κατὰ τὴν αὐτὴν τοῦ ζʹ τόπου, μέ‐ γιστοι δὲ οἱ κατὰ τὰς τετάρτας τοῦ ϛʹ καὶ τοῦ ζʹ τόπου.
20τὸ δὲ δεύτερον βιβλίον λόγου ἀποτομῆς ἔχει τόπους ιδʹ, πτώσεις δὲ ξγʹ, διορισμοὺς δὲ τοὺς ἐκ τοῦ πρώτου· ἀπά‐ γεται γὰρ ὅλον εἰς τὸ πρῶτον. Λήμματα δὲ ἔχει τὰ λόγου ἀποτομῆς κʹ, αὐτὰ δὲ τὰ δύο βιβλία τῶν λόγου ἀποτομῆς θεωρημάτων ἐστὶν ρπαʹ,
25κατὰ δὲ Περικλέα πλειόνων ἢ τοσούτων. Τῆς δ’ ἀποτομῆς τοῦ χωρίου βιβλία μέν ἐστιν δύο, πρόβλημα δὲ κἀν τούτοις ἕν, ὑποδιαιρούμενον δίς· καὶ τούτων μία πρότασίς ἐστιν τὰ μὲν ἄλλα ὁμοίως ἔχουσα τῇ προτέρᾳ, μόνῳ δὲ τούτῳ διαφέρουσα τῷ δεῖν τὰς ἀπο‐
30τεμνομένας δύο εὐθείας ἐν ἐκείνῃ μὲν λόγον ἐχούσας δο‐

7

.

642

θέντα ποιεῖν, ἐν δὲ ταύτῃ χωρίον περιεχούσας δοθέν. ῥη‐ θήσεται γὰρ οὕτως· διὰ τοῦ δοθέντος σημείου εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν τέμνουσαν ἀπὸ τῶν δοθεισῶν θέσει δύο εὐθειῶν πρὸς τοῖς ἐπ’ αὐτῶν δοθεῖσι σημείοις χωρίον πε‐
5ριεχούσας ἴσον τῷ δοθέντι. καὶ αὕτη δὲ διὰ τὰς αὐτὰς αἰτίας τὸ πλῆθος ἔσχηκε τῶν γραφομένων. ἔχει δὲ τὸ μὲν αʹ βιβλίον χωρίου ἀποτομῆς τόπους ζʹ, πτώσεις κδʹ, διο‐ ρισμοὺς ζʹ, ὧν δʹ μὲν μέγιστοι, τρεῖς δὲ ἐλάχιστοι· καὶ ἔστι μέγιστος μὲν κατὰ τὴν δευτέραν πτῶσιν τοῦ πρώτου
10τόπου, καὶ ὁ κατὰ τὴν πρώτην πτῶσιν τοῦ βʹ τόπου, καὶ ὁ κατὰ τὴν βʹ τοῦ δʹ, καὶ ὁ κατὰ τὴν τρίτην τοῦ ϛʹ τόπου, ἐλάχιστος δὲ ὁ κατὰ τὴν τρίτην πτῶσιν τοῦ τρίτου τόπου, καὶ ὁ κατὰ τὴν δʹ τοῦ δʹ τόπου, καὶ ὁ κατὰ τὴν πρώτην τοῦ ἕκτου τόπου. τὸ δὲ δεύτερον βιβλίον τῶν χωρίου ἀπο‐
15τομῆς ἔχει τόπους ιγʹ, πτώσεις δὲ ξʹ, διορισμοὺς δὲ τοὺς ἐκ τοῦ πρώτου· ἀπάγεται γὰρ εἰς αὐτό. Θεωρήματα δὲ ἔχει τὸ μὲν πρῶτον βιβλίον μηʹ, τὸ δὲ δεύτερον οϛʹ. Ἑξῆς δὲ τούτοις ἀναδέδοται τῆς διωρισμένης τομῆς
20βιβλία βʹ, ὧν ὁμοίως τοῖς πρότερον μίαν πρότασιν πάρ‐ εστιν λέγειν, διεζευγμένην δὲ ταύτην· τὴν δοθεῖσαν ἄπει‐ ρον εὐθεῖαν ἑνὶ σημείῳ τεμεῖν, ὥστε τῶν ἀπολαμβανομέ‐ νων εὐθειῶν πρὸς τοῖς ἐπ’ αὐτῆς δοθεῖσι σημείοις ἤτοι τὸ ἀπὸ μιᾶς τετράγωνον ἢ τὸ ὑπὸ δύο ἀπολαμβανομένων
25περιεχόμενον ὀρθογώνιον δοθέντα λόγον ἔχειν ἤτοι πρὸς τὸ ἀπὸ μιᾶς τετράγωνον ἢ πρὸς τὸ ὑπὸ μιᾶς ἀπολαμβανο‐
μένης καὶ τῆς ἔξω δοθείσης ἢ πρὸς τὸ ὑπὸ δύο ἀπολαμ‐

7

.

644

βανομένων περιεχόμενον ὀρθογώνιον, ἐφ’ ὁπότερ’ ἂν χρῇ τῶν δοθέντων σημείων. καὶ ταύτης ἅτε δὶς διεζευγμένης καὶ περισκελεῖς διορισμοὺς ἐχούσης διὰ πλειόνων ἡ δεῖξις γέγονεν ἐξ ἀνάγκης. [δείκνυσι δὲ ταύτην Ἀπολλώνιος μὲν
5πάλιν ἐπὶ ψιλῶν τῶν εὐθειῶν τριβακώτερον πειρώμενος, καθάπερ καὶ ἐπὶ τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν πρώτων στοι‐ χείων Εὐκλείδου, καὶ ταύτην πάλιν εἰσαγωγικώτερον ἐπανα‐ γράφων δείξας τε καὶ εὐφυῶς διὰ τῶν ἡμικυκλίων.] ἔχει δὲ τὸ μὲν πρῶτον βιβλίον προβλήματα ϛʹ, ἐπιτάγματα ιϛʹ,
10διορισμοὺς εʹ, ὧν μεγίστους μὲν δʹ, ἐλάχιστον δὲ ἕνα· καὶ εἰσὶν μέγιστοι μὲν ὅ τε κατὰ τὸ δεύτερον ἐπίταγμα τοῦ δευτέρου προβλήματος καὶ ὁ κατὰ τὸ γʹ τοῦ δʹ προβλήμα‐ τος καὶ ὁ κατὰ τὸ τρίτον τοῦ εʹ καὶ ὁ κατὰ τὸ τρίτον τοῦ ἕκτου, ἐλάχιστος δὲ ὁ κατὰ τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου
15προβλήματος. τὸ δὲ δεύτερον διωρισμένης τομῆς ἔχει προ‐ βλήματα τρία, ἐπιτάγματα θʹ, διορισμοὺς γʹ· ὧν εἰσιν ἐλά‐ χιστοι μὲν ὅ τε κατὰ τὸ τρίτον τοῦ πρώτου καὶ ὁ κατὰ τὸ τρίτον τοῦ δευτέρου, μέγιστος δὲ ὁ κατὰ τὸ τρίτον τοῦ τρίτου προβλήματος.
20 Λήμματα δὲ ἔχει τὸ μὲν πρῶτον βιβλίον κζʹ, τὸ δὲ δεύτερον κδʹ. θεωρημάτων δέ ἐστιν τὰ δύο βιβλία διω‐ ρισμένης τομῆς πγʹ. Ἑξῆς δὲ τούτοις τῶν ἐπαφῶν ἐστιν βιβλία δύο. προ‐ τάσεις δὲ ἐν αὐτοῖς δοκοῦσιν εἶναι πλείονες. ἀλλὰ καὶ
25τούτων μίαν τίθεμεν οὕτως ἔχουσαν· ἑξῆς σημείων καὶ εὐ‐ θειῶν καὶ κύκλων τριῶν ὁποιωνοῦν θέσει δοθέντων κύκλον ἀγαγεῖν δι’ ἑκάστου τῶν δοθέντων σημείων (εἰ δοθείη) ἐφαπτόμενον ἑκάστης τῶν δοθεισῶν γραμμῶν. ταύτης διὰ πλήθη τῶν ἐν ταῖς ὑποθέσεσι δεδομένων ὁμοίων ἢ ἀνο‐
30μοίων κατὰ μέρος διαφόρους προτάσεις ἀναγκαῖον γίνεσθαι

7

.

646

δέκα· ἐκ τῶν τριῶν γὰρ ἀνομοίων γενῶν τριάδες διάφοροι ἄτακτοι γίνονται ιʹ. ἤτοι γὰρ [τὰ] δεδομένα τρία σημεῖα ἢ τρεῖς εὐθεῖαι ἢ δύο σημεῖα καὶ εὐθεῖα ἢ δύο εὐθεῖαι καὶ σημεῖον ἢ δύο σημεῖα καὶ κύκλος ἢ δύο κύκλοι καὶ
5σημεῖον ἢ δύο εὐθεῖαι καὶ κύκλος ἢ δύο κύκλοι καὶ εὐθεῖα ἢ σημεῖον καὶ εὐθεῖα καὶ κύκλος ἢ τρεῖς κύκλοι. τούτων δύο μὲν τὰ πρῶτα δέδεικται ἐν τῷ δʹ βιβλίῳ τῶν πρώτων στοιχείων· ὃ παρεῖμεν γράφειν· τὸ μὲν γὰρ τριῶν δοθέν‐ των σημείων μὴ ἐπ’ εὐθείας ὄντων τὸ αὐτό ἐστιν τῷ περὶ
10τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον περιγράψαι, τὸ δὲ γʹ δοθεισῶν εὐθειῶν μὴ παραλλήλων οὐσῶν (ἀλλὰ τῶν τριῶν συμπι‐ πτουσῶν) τὸ αὐτό ἐστιν τῷ εἰς τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον ἐγγράψαι· τὸ γὰρ δύο παραλλήλων οὐσῶν καὶ μιᾶς ἐμπι‐ πτούσης ὡς μέρος ὂν τῆς τοῦ βʹ ὑποδιαιρέσεως προγράφε‐
15ται ἐν τούτοις πάντων. καὶ τὰ ἑξῆς ϛʹ ἐν τῷ πρώτῳ βι‐ βλίῳ, τὰ δὲ λειπόμενα δύο, τὸ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν καὶ κύκλου, ἢ τριῶν δοθέντων κύκλων, μόνον ἐν τῷ δευτέρῳ βι‐ βλίῳ διὰ τὰς πρὸς ἀλλήλους θέσεις τῶν κύκλων τε καὶ εὐθειῶν πλείονας οὔσας καὶ πλειόνων διορισμῶν δεομένας.
20 Ταῖς προειρημέναις ἐπαφαῖς ὁμογενὲς πλῆθός ἐστιν προβλημάτων παραλειπόμενον ὑπὸ τῶν ἀναδιδόντων, καὶ προσανέδωκα ἐν τοῖς πρότερον τῶν εἰρημένων δύο βιβλίων· εὐσυνοπτόν τε γὰρ καὶ εἰσαγωγικὸν μᾶλλον ἦν ἐντελὲς δὲ
καὶ συμπληρωτικὸν τοῦ γένους τῶν ἐπαφῶν. πάλιν μιᾷ

7

.

648

περιλάβωμεν ἅπαντα προτάσει, ἥτις τῆς προειρημένης λεί‐ πουσα μὲν ὑποθέσει περιττεύουσα δὲ ἐπιτάγματι οὕτως ἔχει· ἐκ σημείων καὶ εὐθειῶν καὶ κύκλων ὁποιωνοῦν δύο δοθέντων κύκλον γράψαι τῷ μεγέθει δοθέντα διὰ τοῦ δο‐
5θέντος σημείου ἢ τῶν δοθέντων παραγινόμενον (εἰ δοθείη) ἐφαπτόμενον δὲ ἑκάστης τῶν δεδομένων γραμμῶν. αὕτη περιέχει προβλημάτων ἤδη τὸ πλῆθος ἕξ· ἐκ τριῶν γὰρ διαφόρων τινῶν δυάδες ἄτακτοι διάφοροι γίνονται τὸ πλῆ‐ θος ϛʹ· ἤτοι γὰρ δύο δοθέντων σημείων ἢ δύο δοθεισῶν
10εὐθειῶν ἢ δύο δοθέντων κύκλων ἢ σημείου καὶ εὐθείας ἢ σημείου καὶ κύκλου ἢ εὐθείας καὶ κύκλου τὸν δεδομένον τῷ μεγέθει κύκλον ἀγαγεῖν δεῖ, ὡς εἴρηται, ταῦτα δὲ ἀναλῦσαι καὶ συνθεῖναι καὶ διορίσασθαι κατὰ πτῶσιν. Ἔχει δὲ τὸ πρῶτον τῶν ἐπαφῶν προβλήματα ζʹ, τὸ δὲ
15δεύτερον προβλήματα δʹ. Λήμματα δὲ ἔχει τὰ δύο βιβλία καʹ, αὐτὰ δὲ θεωρη‐ μάτων ἐστὶν ξʹ. Μετὰ δὲ τὰς ἐπαφὰς ἐν τρισὶ βιβλίοις πορίσματά ἐστιν Εὐκλείδου [πολλοῖς] ἄθροισμα φιλοτεχνότατον εἰς τὴν ἀνά‐
20λυσιν τῶν ἐμβριθεστέρων προβλημάτων, [καὶ] τῶν γενῶν
ἀπερίληπτον τῆς φύσεως παρεχομένης πλῆθος. [οὐδὲν

7

.

650

προστεθείκασι τοῖς ὑπὸ Εὐκλείδου γραφεῖσι πρώτου, χωρὶς εἰ μή τινες τῶν πρὸ ἡμῶν ἀπειρόκαλοι δευτέρας γραφὰς ὀλίγοις αὐτῶν παρατεθείκασιν, ἑκάστου μὲν πλῆθος ὡρι‐ σμένον ἔχοντος ἀποδείξεων, ὡς ἐδείξαμεν, τοῦ δ’ Εὐκλεί‐
5δου μίαν ἑκάστοτε θέντος τὴν μάλιστα ὑπεμφαίνουσαν. ταῦτα δὲ λεπτὴν καὶ φυσικὴν ἔχει θεωρίαν καὶ ἀναγκαίαν καὶ καθολικωτέραν καὶ τοῖς δυναμένοις ὁρᾶν καὶ πορίζειν ἐπιτερπῆ.] ἅπαντα δὲ αὐτῶν τὰ εἴδη οὔτε θεωρημάτων ἐστὶν οὔτε προβλημάτων ἀλλὰ μέσον πως τούτων ἐχούσης
10ἰδέας [ὥστε τὰς προτάσεις αὐτῶν δύνασθαι σχηματίζεσθαι ἢ ὡς θεωρημάτων ἢ ὡς προβλημάτων], παρ’ ὃ καὶ συμ‐ βέβηκε τῶν πολλῶν γεωμετρῶν τοὺς μὲν ὑπολαμβάνειν αὐτὰ εἶναι τῷ γένει θεωρήματα τοὺς δὲ προβλήματα, ἀπο‐ βλέποντας εἰς τὸ σχῆμα μόνον τῆς προτάσεως. τὴν δὲ
15διαφορὰν τῶν τριῶν τούτων ὅτι βέλτιον ᾔδεσαν οἱ ἀρχαῖοι, δῆλον ἐκ τῶν ὅρων· ἔφασαν γὰρ θεώρημα μὲν εἶναι τὸ προτεινόμενον εἰς ἀπόδειξιν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου, πρό‐ βλημα δὲ τὸ προβαλλόμενον εἰς κατασκευὴν αὐτοῦ τοῦ προ‐ τεινομένου, πόρισμα δὲ τὸ προτεινόμενον εἰς πορισμὸν αὐ‐
20τοῦ τοῦ προτεινομένου. [μετεγράφη δὲ οὗτος ὁ τοῦ πο‐ ρίσματος ὅρος ὑπὸ τῶν νεωτέρων μὴ δυναμένων ἅπαντα πορίζειν, ἀλλὰ συγχρωμένων τοῖς στοιχείοις τούτοις καὶ δεικνύντων αὐτὸ μόνον τοῦθ’ ὅτι ἔστι τὸ ζητούμενον, μὴ
ποριζόντων δὲ τοῦτο καὶ ἐλεγχομένων ὑπὸ τοῦ ὅρου καὶ

7

.

652

τῶν διδασκομένων. ἔγραψαν δὲ ἀπὸ συμβεβηκότος οὕτως· πόρισμά ἐστιν τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματος. τούτου δὲ τοῦ γένους τῶν πορισμάτων εἶδός ἐστιν οἱ τό‐ ποι, καὶ πλεονάζουσιν ἐν τῷ ἀναλυομένῳ· κεχωρισμένον
5δὲ τῶν πορισμάτων ἤθροισται καὶ ἐπιγράφεται καὶ παρα‐ δίδοται διὰ τὸ πολύχυτον εἶναι μᾶλλον τῶν ἄλλων εἰδῶν. τῶν γοῦν τόπων ἐστὶν ἃ μὲν ἐπιπέδων, ἃ δὲ στερεῶν, ἃ δὲ γραμμικῶν, καὶ ἔτι τῶν πρὸς μεσότητας.] συμβέβηκε δὲ καὶ τοῦτο τοῖς πορίσμασιν, τὰς προτάσεις ἔχειν ἐπι‐
10τετμημένας διὰ τὴν σκολιότητα πολλῶν συνήθως συνυπα‐ κουομένων, ὥστε πολλοὺς τῶν γεωμετρῶν ἐπὶ μὲν μέρους ἐκδέχεσθαι, τὰ δὲ ἀναγκαιότερα ἀγνοεῖν τῶν σημαινομέ‐ νων. [περιλαβεῖν δὲ πολλὰ μιᾷ προτάσει ἥκιστα δυνατὸν ἐν τούτοις, διὰ τὸ καὶ αὐτὸν Εὐκλείδην οὐ πολλὰ ἐξ ἑκά‐
15στου εἴδους τεθεικέναι· ἀλλὰ δείγματος ἕνεκα ἐκ τῆς πο‐ λυπληθείας ἔνια ὀλίγα πρὸς ἀρχὴν (δεδομένον) τοῦ πρώτου βιβλίου τέθεικεν ὁμοειδῆ, πάντ’ ἐκείνου τοῦ δαψιλεστέρου εἴδους τῶν τόπων, ὡς ιʹ τὸ πλῆθος.] διὸ καὶ περιλαβεῖν ταύτας μιᾷ προτάσει ἐνδεχόμενον εὑρόντες οὕτως ἐγράψα‐
20μεν· ἐὰν ὑπτίου ἢ παρυπτίου τρία τὰ ἐπὶ μιᾶς σημεῖα [ἢ
παραλλήλου ἕτερα τὰ δύο] δεδομένα ᾖ, τὰ δὲ λοιπὰ πλὴν

7

.

654

ἑνὸς ἅπτηται θέσει δεδομένης εὐθείας, καὶ τοῦθ’ ἅψεται θέσει δεδομένης εὐθείας. τοῦτ’ ἐπὶ τεσσάρων μὲν εὐθειῶν εἴρηται μόνων, ὧν οὐ πλείονες ἢ δύο διὰ τοῦ αὐτοῦ ση‐ μείου εἰσίν, ἀγνοεῖται δὲ ἐπὶ παντὸς τοῦ προτεινομένου
5πλήθους ἀληθὲς ὑπάρχον οὕτως λεγόμενον· ἐὰν ὁποσαιοῦν εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, μὴ πλείονες ἢ δύο διὰ τοῦ αὐ‐ τοῦ σημείου, πάντα δὲ ἐπὶ μιᾶς αὐτῶν δεδομένα ᾖ, καὶ τῶν ἐπὶ ἑτέρας ἕκαστον ἅπτηται θέσει δεδομένης εὐθείας, ἢ καθολικώτερον οὕτως· ἐὰν ὁποσαιοῦν εὐθεῖαι τέμνωσιν
10ἀλλήλας, μὴ πλείονες ἢ δύο διὰ τοῦ αὐτοῦ σημείου, πάντα δὲ τὰ ἐπὶ μιᾶς αὐτῶν σημεῖα δεδομένα ᾖ, τῶν δὲ λοιπῶν τὸ πλῆθος ἐχόντων τρίγωνον ἀριθμὸν ἡ πλευρὰ τούτου ἕκαστον ἔχῃ σημεῖον ἁπτόμενον εὐθείας θέσει δεδομένης, τῶν τριῶν μὴ πρὸς γωνίαις ὑπαρχόντων τριγώνου χωρίου,
15ἕκαστον λοιπὸν σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης εὐθείας. τὸν δὲ στοιχειωτὴν οὐκ εἰκὸς ἀγνοῆσαι τοῦτο, τὴν δ’ ἀρχὴν μόνην τάξαι· καὶ ἐπὶ πάντων δὲ τῶν πορισμάτων φαίνεται ἀρχὰς καὶ σπέρματα μόνα [πληθῶν πολλῶν καὶ μεγάλων] καταβεβλημένος, ὧν τὰ γένη οὐ κατὰ τὰς τῶν ὑποθέσεων
20διαφορὰς διαστέλλειν δεῖ, ἀλλὰ κατὰ τὰς τῶν συμβεβηκό‐ των καὶ ζητουμένων. [αἱ μὲν ὑποθέσεις ἅπασαι διαφέρου‐ σιν ἀλλήλων εἰδικώταται οὖσαι, τῶν δὲ συμβαινόντων καὶ ζητουμένων ἕκαστον ἓν καὶ τὸ αὐτὸ ὂν πολλαῖς ὑποθέσεσι διαφόροις συμβέβηκε διαιρεῖσθαι.]
25 Ποιητέον οὖν ἐν μὲν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ ταῦτα τὰ γένη τῶν ἐν ταῖς προτάσεσι ζητουμένων [ἐν ἀρχῇ μὲν τοῦ ζʹ διά‐
γραμμα τοῦτο]·

7

.

656

 ἐὰν ἀπὸ δύο δεδομένων σημείων πρὸς θέσει δεδομέ‐ νην εὐθεῖαι κλασθῶσιν, ἀποτέμνῃ δὲ μία ἀπὸ θέσει δεδο‐ μένης εὐθείας πρὸς τῷ ἐπ’ αὐτῆς δεδομένῳ σημείῳ, ἀπο‐ τεμεῖ καὶ ἡ ἑτέρα ἀπὸ ἑτέρας λόγον ἔχουσαν δοθέντα·
5ἐν δὲ τοῖς ἑξῆς· ὅτι τόδε τὸ σημεῖον ἅπτεται θέσει δεδομένης εὐθείας· ὅτι λόγος τῆσδε πρὸς τήνδε δοθείς· ὅτι λόγος τῆσδε πρὸς ἀποτομήν· ὅτι ἥδε θέσει δεδομένη ἐστίν·
10 ὅτι ἥδε ἐπὶ δοθὲν νεύει· ὅτι λόγος τῆσδε πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος· ὅτι λόγος τῆσδε πρός τινα ἀπὸ τοῦδε κατηγμένην· ὅτι λόγος τοῦδε τοῦ χωρίου πρὸς τὸ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆσδε·
15 ὅτι τοῦδε τοῦ χωρίου ὃ μέν τι δοθέν ἐστιν, ὃ δὲ λό‐ γον ἔχει πρὸς ἀποτομήν· ὅτι τόδε τὸ χωρίον ἢ τόδε μετά τινος χωρίου δοθέν‐ τος ἐστίν, ἐκεῖνο δὲ λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν· ὅτι [ἥδε] μεθ’ ἧς πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοθέντα,
20λόγον ἔχει πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος· ὅτι τὸ ὑπὸ δοθέντος καὶ τῆσδε ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ
δοθέντος καὶ τῆς ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος·

7

.

658

 ὅτι λόγος τῆσδε καὶ τῆσδε πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος· ὅτι ἥδε ἀποτέμνει ἀπὸ θέσει δεδομένων δοθὲν περι‐ εχούσας.
5 Ἐν δὲ τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ ὑποθέσεις μὲν ἕτεραι, τῶν δὲ ζητουμένων τὰ μὲν πλείονα τὰ αὐτὰ τοῖς ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ, περισσὰ δὲ ταῦτα· ὅτι τόδε τὸ χωρίον ἢ τόδε μετὰ δοθέντος λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν·
10 ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ τῶνδε πρὸς ἀποτομήν· ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ συναμφοτέρων τῶνδε καὶ συναμ‐ φοτέρων τῶνδε πρὸς ἀποτομήν· ὅτι τὸ ὑπὸ τῆσδε καὶ συναμφοτέρου τῆσδέ τε καὶ τῆς πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοθέντα καὶ τὸ ὑπὸ τῆσδε καὶ
15τῆς πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοθέντα λόγον ἔχει πρὸς ἀπο‐ τομήν· ὅτι λόγος συναμφοτέρου πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ἕως δο‐ θέντος· ὅτι δοθὲν τὸ ὑπὸ τῶνδε.
20 Ἐν δὲ τῷ τρίτῳ βιβλίῳ αἱ μὲν πλείονες ὑποθέσεις ἐπὶ ἡμικυκλίων εἰσίν, ὀλίγαι δὲ ἐπὶ κύκλου καὶ τμημάτων· τῶν δὲ. ζητουμένων τὰ μὲν πολλὰ παραπλησίως τοῖς ἔμ‐
προσθεν, περισσὰ δὲ ταῦτα·

7

.

660

 ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ τῶνδε πρὸς τὸ ὑπὸ τῶνδε· ὅτι λόγος τοῦ ἀπὸ τῆσδε πρὸς ἀποτομήν· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶνδε τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος·
5 ὅτι τὸ ἀπὸ τῆσδε τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ ἀπολαμβανο‐ μένης ὑπὸ καθέτου ἕως δοθέντος· ὅτι συναμφότερος ἥδε καὶ πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δο‐ θέντα λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν· ὅτι ἔστιν τι δοθὲν σημεῖον ἀφ’ οὗ αἱ ἐπιζευγνύμεναι
10ἐπὶ τούσδε δοθὲν περιέξουσι τῷ εἴδει τρίγωνον· ὅτι ἔστιν τι δοθὲν σημεῖον ἀφ’ οὗ αἱ ἐπιζευγνύμεναι ἐπὶ τόνδε ἴσας ἀπολαμβάνουσι περιφερείας· ὅτι ἥδε ἤτοι ἐν παραθέσει ἐστὶν ἢ μετά τινος εὐθείας ἐπὶ δοθὲν νευούσης δοθεῖσαν περιέχει γωνίαν.
15 Ἔχει δὲ τὰ τρία βιβλία τῶν πορισμάτων λήμματα ληʹ, αὐτὰ δὲ θεωρημάτων ἐστὶν ροαʹ.
17nΤόπων ἐπιπέδων δύο.
18Τῶν τόπων καθόλου οἱ μέν εἰσιν ἐφεκτικοί, ὡς καὶ
Ἀπολλώνιος πρὸ τῶν ἰδίων στοιχείων λέγει σημείου μὲν

7

.

662

τόπον σημεῖον, γραμμῆς δὲ τόπον γραμμήν, ἐπιφανείας δὲ ἐπιφάνειαν, στερεοῦ δὲ στερεόν, οἱ δὲ διεξοδικοί, ὡς ση‐ μείου μὲν γραμμήν, γραμμῆς δ’ ἐπιφάνειαν, ἐπιφανείας δὲ στερεόν, οἱ δὲ ἀναστροφικοί, ὡς σημείου μὲν ἐπιφάνειαν,
5γραμμῆς δὲ στερεόν. [τῶν δὲ ἐν τῷ ἀναλυομένῳ οἱ μὲν τῶν θέσει δεδομένων ἐφεκτικοί εἰσιν, οἱ δὲ ἐπίπεδοι λε‐ γόμενοι καὶ οἱ στερεοί. γραμμικοὶ διεξοδικοί εἰσιν ση‐ μείων, οἱ δὲ πρὸς ἐπιφανείαις ἀναστροφικοὶ μέν εἰσιν ση‐ μείων, διεξοδικοὶ δὲ γραμμῶν· οἱ μέντοι γραμμικοὶ ἀπὸ
10τῶν πρὸς ἐπιφανείαις δείκνυνται. λέγονται δὲ ἐπίπεδοι μὲν τόποι οὗτοί τε περὶ ὧν ἐπάγομεν καὶ καθόλου ὅσοι εἰσὶν εὐθεῖαί τε καὶ γραμμαὶ ἢ κύκλοι· στερεοὶ δὲ ὅσοι εἰσὶν κώνων· τομαὶ παραβολαὶ ἢ ἐλλείψεις ἢ ὑπερβολαί· γραμ‐ μικοὶ δὲ τόποι λέγονται ὅσοι γραμμαί εἰσιν οὔτε εὐθεῖαι
15οὔτε κύκλοι οὔτε τινὲς τῶν εἰρημένων κωνικῶν τομῶν. οἱ δὲ ὑπὸ Ἐρατοσθένους ἐπιγραφέντες τόποι πρὸς μεσότητας ἐκ τῶν προειρημένων εἰσὶν τῷ γένει, ἀπὸ δὲ τῆς ἰδιότητος τῶν ὑποθέσεων * ἐκείνοις.] Οἱ μὲν οὖν ἀρχαῖοι εἰς τὴν τῶν ἐπιπέδων [τούτων] τό‐
20πων τάξιν ἀποβλέποντες ἐστοιχείωσαν· ἧς ἀμελήσαντες οἱ μετ’ αὐτοὺς προσέθηκαν ἑτέρους, ὡς οὐκ ἀπείρων τὸ πλῆ‐ θος ὄντων, εἰ θέλοι τις προσγράφειν τὰ τῆς τάξεως ἐκεί‐ νης ἐχόμενα. θήσω οὖν τὰ μὲν προσκείμενα ὕστερα, τὰ δ’ ἐκ τῆς τάξεως πρότερα, μιᾷ περιλαβὼν προτάσει ταύτῃ·
25 ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἀχθῶσιν ἤτοι ἀπὸ ἑνὸς δεδομένου σημείου ἢ ἀπὸ δύο, καὶ ἤτοι ἐπ’ εὐθείας ἢ παράλ‐
ληλοι ἢ δεδομένην περιέχουσαι γωνίαν, καὶ ἤτοι λόγον

7

.

664

ἔχουσαι πρὸς ἀλλήλας ἢ χωρίον περιέχουσαι δεδομένον, ἅπτηται δὲ τὸ τῆς μιᾶς πέρας ἐπιπέδου τόπου θέσει δεδομένου, ἅψεται καὶ τὸ τῆς ἑτέρας πέρας ἐπιπέδου τό‐ που θέσει δεδομένου ὁτὲ μὲν τοῦ ὁμογενοῦς, ὁτὲ δὲ τοῦ
5ἑτέρου, καὶ ὁτὲ μὲν ὁμοίως κειμένου πρὸς τὴν εὐθεῖαν, ὁτὲ δὲ ἐναντίως. ταῦτα δὲ γίνεται παρὰ τὰς διαφορὰς τῶν ὑποκειμένων. Τὰ δὲ προσκείμενα ἐν ἀρχῇ μὲν ὑπὸ Χαρμάνδρου γʹ συμφωνεῖ ταῦτα·
10 ἐὰν εὐθείας τῷ μεγέθει δεδομένης τὸ ἓν πέρας ᾖ δε‐ δομένον, τὸ ἕτερον ἅψεται θέσει δεδομένης περιφερείας κοίλης· ἐὰν ἀπὸ δύο δεδομένων σημείων κλασθῶσιν εὐθεῖαι δεδομένην περιέχουσαι γωνίαν, τὸ κοινὸν αὐτῶν σημεῖον
15ἅψεται θέσει δεδομένης περιφερείας κοίλης· ἐὰν τριγώνου χωρίου μεγέθει δεδομένου ἡ βάσις θέσει καὶ μεγέθει δεδομένη ᾖ, ἡ κορυφὴ αὐτοῦ ἅψεται θέσει δεδομένης εὐθείας· ἕτερα δὲ τοιαῦτα·
20 ἐὰν εὐθείας τῷ μεγέθει δεδομένης καὶ παρά τινα θέ‐ σει δεδομένην εὐθεῖαν ἠγμένης τὸ ἓν πέρας ἅπτηται θέσει δεδομένης εὐθείας, ἅψεται καὶ τὸ ἕτερον εὐθείας θέσει δεδομένης· ἐὰν ἀπό τινος σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένας δύο εὐ‐
25θείας παραλλήλους ἢ συμπιπτούσας καταχθῶσιν ἐν δεδο‐ μέναις γωνίαις ἤτοι λόγον ἔχουσαι πρὸς ἀλλήλας δεδομέ‐ νον ἢ ὧν ἡ μία μεθ’ ἧς πρὸς ἣν ἡ ἑτέρα λόγον ἔχει δο‐ θέντα δεδομένη ἐστίν, ἅψεται τὸ σημεῖον θέσει δεδομένης
εὐθείας·

7

.

666

 καὶ ἐὰν ὦσιν ὁποσαιοῦν εὐθεῖαι θέσει δεδομέναι, καὶ ἐπ’ αὐτὰς ἀπό τινος σημείου καταχθῶσιν εὐθεῖαι ἐν δε‐ δομέναις γωνίαις, ᾖ δὲ τὸ ὑπὸ δοθείσης καὶ κατηγμένης μετὰ τοῦ ὑπὸ δοθείσης καὶ ἑτέρας κατηγμένης ἴσον τῷ ὑπὸ
5δοθείσης καὶ ἄλλης κατηγμένης καὶ τῶν λοιπῶν ὁμοίως, τὸ σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης εὐθείας· ἐὰν ἀπό τινος σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένας παραλλή‐ λους καταχθῶσιν εὐθεῖαι ἐν δεδομέναις γωνίαις ἤτοι ἀπο‐ τεμνοῦσαι πρὸς τοῖς ἐπ’ αὐτῶν δοθεῖσι σημείοις εὐθείας
10λόγον ἐχούσας ἢ χωρίον περιέχουσαι δεδομένον ἢ ὥστε τὰ ἐπ’ αὐτῶν τῶν κατηγμένων δεδομένα εἴδη ἢ τὴν ὑπεροχὴν τῶν εἰδῶν ἴσην εἶναι δεδομένῳ χωρίῳ, τὸ σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης εὐθείας. Τὸ δὲ δεύτερον βιβλίον περιέχει τάδε·
15 ἐὰν ἀπὸ δύο δεδομένων σημείων εὐθεῖαι κλασθῶσιν, καὶ ᾖ τὰ ἀπ’ αὐτῶν δοθέντι χωρίῳ διαφέροντα, τὸ ση‐ μεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης εὐθείας· ἐὰν δὲ ὦσιν ἐν λόγῳ δοθέντι, ἤτοι εὐθείας ἢ περι‐ φερείας·
20 ἐὰν ᾖ θέσει δεδομένη εὐθεῖα καὶ ἐπ’ αὐτῆς δοθὲν ση‐ μεῖον καὶ ἀπὸ τούτου διαχθεῖσά τις πεπερασμένη, ἀπὸ δὲ τοῦ πέρατος ἀχθῇ πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὴν θέσει δεδομένην, καὶ ᾖ τὸ ἀπὸ τῆς διαχθείσης ἴσον τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ ἧς ἀπολαμβάνει ἤτοι πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ ἢ πρὸς
25ἑτέρῳ δοθέντι σημείῳ ἐπὶ τῆς θέσει δεδομένης, τὸ πέρας
τῆσδε ἅψεται θέσει δεδομένης περιφερείας·

7

.

668

 ἐὰν ἀπὸ δύο δοθέντων σημείων εὐθεῖαι κλασθῶσιν, καὶ ἦ τὸ ἀπὸ τῆς μιᾶς τοῦ ἀπὸ τῆς ἑτέρας δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ, τὸ σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης περιφερείας· ἐὰν ἀπὸ ὁσωνοῦν δεδομένων σημείων κλασθῶσιν εὐθεῖαι
5πρὸς ἑνὶ σημείῳ, καὶ ᾖ τὰ ἀπὸ πασῶν εἴδη ἴσα δοθέντι χωρίῳ, τὸ σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης περιφερείας· ἐὰν ἀπὸ δύο δοθέντων σημείων κλασθῶσιν εὐθεῖαι, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου παρὰ θέσει ἀχθεῖσα εὐθεῖα ἀπολαμ‐ βάνῃ ἀπὸ θέσει δεδομένης εὐθείας πρὸς δοθέντι σημείῳ,
10καὶ ᾖ τὰ ἀπὸ τῶν κεκλασμένων εἴδη ἴσα τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης, τὸ πρὸς τῇ κλάσει σημεῖον ἅψε‐ ται θέσει δεδομένης περιφερείας· ἐὰν ἐν κύκλῳ θέσει δεδομένῳ δοθέν τι σημεῖον ᾖ καὶ δι’ αὐτοῦ ἀχθῇ τις εὐθεῖα καὶ ἐπ’ αὐτῆς ληφθῇ τι ση‐
15μεῖον ἐκτός, καὶ ᾖ τὸ ἀπὸ τῆς ἄχρι τοῦ δοθέντος ἐντὸς σημείου ἴσον τῷ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανο‐ μένης ἤτοι μόνον ἢ τοῦτό τε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἐντὸς δύο τμημάτων, τὸ ἐκτὸς σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης εὐ‐ θείας·
20 καὶ ἐὰν τοῦτο μὲν τὸ σημεῖον ἅπτηται θέσει δεδομέ‐ νης εὐθείας, ὁ δὲ κύκλος μὴ ὑπόκειται, τὰ ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ δεδομένου σημεῖα ἅψεται θέσει δεδομένης περιφερείας
τῆς αὐτῆς.

7

.

670

 Ἔχει δὲ τὰ τόπων ἐπιπέδων δύο βιβλία θεωρήματα ἤτοι διαγράμματα ρμζʹ, λήμματα δὲ ηʹ.
3nΝεύσεων δύο.
4Νεύειν λέγεται γραμμὴ ἐπὶ σημεῖον, ἐὰν ἐπεκβαλλο‐
5μένη ἐπ’ αὐτὸ παραγίνηται. [καθόλου δὲ τὸ αὐτό ἐστιν, ἐάν τε ἐπὶ δοθὲν νεύειν σημεῖον λέγηται, ἐάν τέ ἐστίν τι ἐπ’ αὐτῆς δοθέν, ἐάν τε διὰ δοθέντος ἐστὶν σημείου. ἐπέ‐ γραψαν δὲ ταῦτα νεύσεις ἀπὸ ἑνὸς τῶν εἰρημένων.] προ‐ βλήματος δὲ ὄντος καθολικοῦ τούτου
10 δύο δοθεισῶν γραμμῶν θέσει, θεῖναι μεταξὺ τούτων εὐθεῖαν τῷ μεγέθει δεδομένην νεύουσαν ἐπὶ δοθὲν σημεῖον, ἐπὶ ταύτης τῶν ἐπὶ μέρους διάφορα τὰ ὑποκείμενα ἐχόντων ἃ μὲν [ἦν] ἐπίπεδα, ἃ δὲ στερεά, ἃ δὲ γραμμικά, τῶν ἐπιπέδων ἀποκληρώσαντες τὰ πρὸς πολλὰ χρησιμώ‐
15τερα ἔδειξαν τὰ προβλήματα ταῦτα· θέσει δεδομένων ἡμικυκλίου τε καὶ εὐθείας πρὸς ὀρ‐ θὰς τῇ βάσει, ἢ δύο ἡμικυκλίων ἐπ’ εὐθείας ἐχόντων τὰς βάσεις, θεῖναι δοθεῖσαν τῷ μεγέθει εὐθεῖαν μεταξὺ τῶν δύο γραμμῶν, νεύουσαν ἐπὶ γωνίαν ἡμικυκλίου·
20 καὶ ῥόμβου δοθέντος καὶ ἐπεκβεβλημένης μιᾶς πλευ‐ ρᾶς, ἁρμόσαι ὑπὸ τὴν ἐκτὸς γωνίαν δεδομένην τῷ μεγέθει εὐθεῖαν νεύουσαν ἐπὶ τὴν ἀντικρὺς γωνίαν· καὶ θέσει δοθέντος κύκλου, ἐναρμόσαι εὐθεῖαν μεγέ‐ θει δεδομένην νεύουσαν ἐπὶ δοθέν.
25 τούτων δὲ ἐν μὲν τῷ πρώτῳ τεύχει δέδεικται τὸ ἐπὶ τοῦ ἑνὸς ἡμικυκλίου καὶ εὐθείας, ἔχον πτώσεις δʹ, καὶ τὸ ἐπὶ τοῦ κύκλου ἔχον πτώσεις δύο, καὶ τὸ ἐπὶ τοῦ ῥόμβου
πτώσεις ἔχον βʹ, ἐν δὲ τῷ δευτέρῳ τεύχει τὸ ἐπὶ τῶν δύο

7

.

672

ἡμικυκλίων, τῆς ὑποθέσεως πτώσεις ἐχούσης ιʹ· ἐν δὲ ταύ‐ ταις ὑποδιαιρέσεις πλείονες διοριστικαὶ ἕνεκα τοῦ δεδομέ‐ νου μεγέθους τῆς εὐθείας. [Τὰ μὲν οὖν ἐν τῷ ἀναλυομένῳ τόπῳ ἐπίπεδα ταῦτ’
5ἔστιν ἃ καὶ πρότερα δείκνυται, χωρὶς τῶν Ἐρατοσθένους μεσοτήτων· ὕστατα γὰρ ἐκεῖνα. τοῖς δὲ ἐπιπέδοις ἐφεξῆς τὴν τῶν στερεῶν ἡ τάξις ἀπαιτεῖ θεωρίαν· στερεὰ δὲ κα‐ λοῦσι προβλήματα οὐχ ὅσα ἐν στερεοῖς σχήμασι προτείνε‐ ται, ἀλλ’ ὅσα διὰ τῶν ἐπιπέδων μὴ δυνάμενα δειχθῆναι
10διὰ τῶν τριῶν κωνικῶν γραμμῶν δείκνυται, ὥστε ἀναγκαῖον πρότερον περὶ τούτων γράφειν. ἦν μὲν οὖν ἀναδεδομένα κωνικῶν στοιχείων πρότερον Ἀρισταίου τοῦ πρεσβυτέρου εʹ τεύχη, ὡς ἂν ἤδη δυνατοῖς οὖσι τοῖς ταῦτα παραλαμ‐ βάνουσιν ἐπιτομώτερον γεγραμμένα.]
15 Ἔχει δὲ τὰ τῶν νεύσεων βιβλία δύο θεωρήματα μὲν ἤτοι διαγράμματα ρκεʹ, λήμματα δὲ ληʹ.
17nΚωνικῶν ηʹ.
18 Τὰ Εὐκλείδου βιβλία δʹ κωνικῶν Ἀπολλώνιος ἀνα‐ πληρώσας καὶ προσθεὶς ἕτερα δʹ παρέδωκεν ηʹ κωνικῶν
20τεύχη. Ἀρισταῖος δέ, ὃς γέγραφε τὰ μέχρι τοῦ νῦν ἀνα‐ διδόμενα στερεῶν τόπων τεύχη εʹ συνεχῆ τοῖς κωνικοῖς, ἐκάλει [καὶ οἱ πρὸ Ἀπολλωνίου] τῶν τριῶν κωνικῶν γραμ‐ μῶν τὴν μὲν ὀξυγωνίου, τὴν δὲ ὀρθογωνίου, τὴν δὲ ἀμβλυ‐ γωνίου κώνου τομήν. ἐπεὶ δ’ ἐν ἑκάστῳ τῶν τριῶν τού‐
25των κώνων διαφόρως τεμνομένων αἱ γʹ γίνονται γραμμαί,
διαπορήσας, ὡς φαίνεται, Ἀπολλώνιος τί δήποτε ἀποκλη‐

7

.

674

ρώσαντες οἱ πρὸ αὐτοῦ ἣν μὲν ἐκάλουν ὀξυγωνίου κώνου τομὴν δυναμένην καὶ ὀρθογωνίου καὶ ἀμβλυγωνίου εἶναι, ἣν δὲ ὀρθογωνίου εἶναι δυναμένην ὀξυγωνίου τε καὶ ἀμβλυ‐ γωνίου, ἣν δὲ ἀμβλυγωνίου δυναμένην εἶναι ὀξυγωνίου τε
5καὶ ὀρθογωνίου, μεταθεὶς τὰ ὀνόματα καλεῖ τὴν μὲν ὀξυ‐ γωνίου καλουμένην ἔλλειψιν, τὴν δὲ ὀρθογωνίου παραβο‐ λήν, τὴν δὲ ἀμβλυγωνίου ὑπερβολήν, ἑκάστην ἀπό τινος ἰδίου συμβεβηκότος. χωρίον γάρ τι παρά τινα γραμμὴν παραβαλλόμενον ἐν μὲν τῇ ὀξυγωνίου κώνου τομῇ ἐλλεῖπον
10γίνεται τετραγώνῳ, ἐν δὲ τῇ ἀμβλυγωνίου ὑπερβάλλον τετρα‐ γώνῳ, ἐν δὲ τῇ ὀρθογωνίου οὔτε ἐλλεῖπον οὔθ’ ὑπερβάλ‐ λον. [τοῦτο δ’ ἔπαθεν μὴ προσεννοήσας ὅτι κατά τινα ἰδίαν πτῶσιν τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου τὸν κῶνον (καὶ γεν‐ νῶντος τρεῖς γραμμὰς) ἐν ἑκάστῳ τῶν κώνων ἄλλη καὶ ἄλλη
15τῶν γραμμῶν γίνεται, ἣν ὠνόμασεν ἀπὸ τῆς ἰδιότητος τοῦ κώνου. ἐὰν γὰρ τὸ τέμνον ἐπίπεδον ἀχθῇ παράλληλον μιᾷ τοῦ κώνου πλευρᾷ, γίνεται μία μόνη τῶν τριῶν γραμμῶν, ἀεὶ ἡ αὐτή, ἣν ὠνόμασεν ὁ Ἀρισταῖος ἐκείνου τοῦ τμη‐ θέντος κώνου τομήν.]
20 Ὁ δ’ οὖν Ἀπολλώνιος οἷα περιέχει τὰ ὑπ’ αὐτοῦ γρα‐ φέντα κωνικῶν ηʹ βιβλία λέγει κεφαλαιώδη θεὶς προδήλω‐ σιν ἐν τῷ προοιμίῳ τοῦ πρώτου ταύτην· “περιέχει δὲ τὸ μὲν πρῶτον τὰς γενέσεις τῶν τριῶν τομῶν καὶ τῶν ἀντικειμένων καὶ τὰ ἐν αὐταῖς ἀρχικὰ συμπτώματα ἐπὶ πλεῖον καὶ καθό‐
25λου μᾶλλον ἐξητασμένα παρὰ τὰ ὑπὸ τῶν ἄλλων γεγραμ‐ μένα. τὸ δὲ δεύτερον τὰ περὶ τὰς διαμέτρους καὶ τοὺς
ἄξονας τῶν τομῶν [καὶ τῶν ἀντικειμένων] συμβαίνοντα καὶ

7

.

676

τὰς ἀσυμπτώτους, καὶ ἄλλα γενικὴν καὶ ἀναγκαίαν χρείαν παρεχόμενα πρὸς τοὺς διορισμούς· τίνας δὲ διαμέτρους ἢ τίνας ἄξονας καλῶ εἰδήσεις ἐκ τούτου τοῦ βιβλίου. τὸ δὲ τρίτον πολλὰ καὶ παντοῖα χρήσιμα [τὰ] πρός τε τὰς
5συνθέσεις τῶν στερεῶν τόπων καὶ τοὺς διορισμούς, ὧν τὰ πλείονα καὶ καλὰ καὶ ξένα κατανοήσαντες εὕρομεν μὴ συν‐ τιθέμενον ὑπὸ Εὐκλείδου τὸν ἐπὶ τρεῖς καὶ δʹ γραμμὰς τόπον, ἀλλὰ μόριόν τι αὐτοῦ καὶ τοῦτο οὐκ εὐτυχῶς· οὐ γὰρ δυνατὸν ἄνευ τῶν προειρημένων τελειωθῆναι τὴν σύν‐
10θεσιν. τὸ δὲ δʹ, ποσαχῶς αἱ τῶν κώνων τομαὶ ἀλλήλαις τε καὶ τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ συμπίπτουσιν, καὶ ἐκ περισσοῦ, ὧν οὐδέτερον ὑπὸ τῶν πρὸ ἡμῶν γέγραπται, κώνου τομὴ κύκλου περιφερείᾳ [κατὰ πόσα σημεῖα συμ‐ βάλλει] καὶ ἀντικείμεναι ἀντικειμέναις κατὰ πόσα σημεῖα
15συμβάλλουσιν. τὰ δὲ λοιπὰ δʹ περιουσιαστικώτερα· ἔστι γὰρ τὸ μὲν περὶ ἐλαχίστων καὶ μεγίστων ἐπὶ πλεῖον, τὸ δὲ περὶ ἴσων καὶ ὁμοίων τομῶν, τὸ δὲ διοριστικῶν θεω‐ ρημάτων, τὸ δὲ κωνικῶν προβλημάτων διωρισμένων”. Ἀπολλώνιος μὲν ταῦτα. ὃν δέ φησιν ἐν τῷ τρίτῳ τό‐
20πον ἐπὶ γʹ καὶ δʹ γραμμὰς μὴ τετελειῶσθαι ὑπὸ Εὐκλεί‐ δου, οὐδ’ ἂν αὐτὸς ἠδυνήθη οὐδ’ ἄλλος οὐδεὶς [ἀλλ’ οὐδὲ μικρόν τι προσθεῖναι τοῖς ὑπὸ Εὐκλείδου γραφεῖσιν] διά γε μόνων τῶν προδεδειγμένων ἤδη κωνικῶν ἄχρι τῶν κατ’ Εὐκλείδην, ὡς καὶ αὐτὸς μαρτυρεῖ λέγων ἀδύνατον εἶναι
25τελειωθῆναι χωρὶς ὧν αὐτὸς προγράφειν ἠναγκάσθη. [ὁ δὲ Εὐκλείδης ἀποδεχόμενος τὸν Ἀρισταῖον ἄξιον ὄντα ἐφ’ οἷς ἤδη παραδεδώκει κωνικοῖς, καὶ μὴ φθάσας ἢ μὴ θελήσας
ἐπικαταβάλλεσθαι τούτων τὴν αὐτὴν πραγματείαν, ἐπιει‐

7

.

678

κέστατος ὢν καὶ πρὸς ἅπαντας εὐμενὴς τοὺς καὶ κατὰ πο‐ σὸν συναύξειν δυναμένους τὰ μαθήματα, ὡς δεῖ, καὶ μη‐ δαμῶς προσκρουστικὸς ὑπάρχων, καὶ ἀκριβὴς μὲν οὐκ ἀλα‐ ζονικὸς δὲ καθάπερ οὗτος, ὅσον δυνατὸν ἦν δεῖξαι τοῦ
5τόπου διὰ τῶν ἐκείνου κωνικῶν ἔγραψεν, οὐκ εἰπὼν τέλος ἔχειν τὸ δεικνύμενον· τότε γὰρ ἦν ἀναγκαῖον ἐξελέγχειν, νῦν δ’ οὐδαμῶς, ἐπείτοι καὶ αὐτὸς ἐν τοῖς κωνικοῖς ἀτελῆ τὰ πλεῖστα καταλιπὼν οὐκ εὐθύνεται. προσθεῖναι δὲ τῷ τόπῳ τὰ λειπόμενα δεδύνηται προφαντασιωθεὶς τοῖς ὑπὸ
10Εὐκλείδου γεγραμμένοις ἤδη περὶ τοῦ τόπου καὶ συσχολά‐ σας τοῖς ὑπὸ Εὐκλείδου μαθηταῖς ἐν Ἀλεξανδρείᾳ πλεῖστον χρόνον, ὅθεν ἔσχε καὶ τὴν τοιαύτην ἕξιν οὐκ ἀμαθῆ. οὗτος δὲ ὁ ἐπὶ γʹ καὶ δʹ γραμμὰς τόπος, ἐφ’ ᾧ μέγα φρονεῖ προσθεὶς χάριν ὀφείλειν εἰδέναι τῷ πρώτῳ γράψαντι, τοι‐
15οῦτός ἐστιν.] ἐὰν γάρ, θέσει δεδομένων τριῶν εὐθειῶν, ἀπό τινος [τοῦ αὐτοῦ] σημείου καταχθῶσιν ἐπὶ τὰς τρεῖς ἐν δεδομέναις γωνίαις εὐθεῖαι, καὶ λόγος ᾖ δοθεὶς τοῦ ὑπὸ δύο κατηγμένων περιεχομένου ὀρθογωνίου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς λοιπῆς τετράγωνον, τὸ σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένου
20στερεοῦ τόπου, τουτέστιν μιᾶς τῶν τριῶν κωνικῶν γραμ‐ μῶν. καὶ ἐὰν ἐπὶ δʹ εὐθείας θέσει δεδομένας καταχθῶσιν εὐθεῖαι ἐν δεδομέναις γωνίαις, καὶ λόγος ᾖ δοθεὶς τοῦ ὑπὸ δύο κατηγμένων πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν λοιπῶν δύο κατηγμένων, ὁμοίως τὸ σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης κώνου τομῆς.
25[ἐὰν μὲν γὰρ ἐπὶ δύο μόνας, ἐπίπεδος ὁ τόπος δέδεικται·] ἐὰν δὲ ἐπὶ πλείονας τεσσάρων, ἅψεται τὸ σημεῖον τόπων οὐκέτι γνωρίμων, ἀλλὰ γραμμῶν μόνον λεγομένων [ποδα‐
πῶν δὲ ἤ τινα ἐχουσῶν ἴδια οὐκέτι], ὧν μίαν οὐδέ τινα

7

.

680

συμφανεστάτην εἶναι δοκοῦσαν συντεθείκασιν ἀναδείξαντες χρησίμην οὖσαν. αἱ δὲ προτάσεις αὐτῶν εἰσιν· ἐὰν ἀπό τινος σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένας εὐθείας πέντε κατα‐ χθῶσιν εὐθεῖαι ἐν δεδομέναις γωνίαις, καὶ λόγος ᾖ δεδο‐
5μένος τοῦ ὑπὸ τριῶν κατηγμένων περιεχομένου στερεοῦ παραλληλεπιπέδου ὀρθογωνίου πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν λοιπῶν δύο κατηγμένων καὶ δοθείσης τινὸς περιεχόμενον παραλ‐ ληλεπίπεδον ὀρθογώνιον, ἅψεται τὸ σημεῖον θέσει δεδο‐ μένης γραμμῆς. ἐάν τε ἐπὶ ϛʹ, καὶ λόγος ᾖ δοθεὶς τοῦ
10ὑπὸ τῶν τριῶν περιεχομένου προειρημένου στερεοῦ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν λοιπῶν τριῶν, πάλιν τὸ σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης. ἐὰν δὲ ἐπὶ πλείονας τῶν ϛʹ, οὐκέτι μὲν ἔχουσι λέγειν, ἐὰν λόγος ᾖ δοθεὶς τοῦ ὑπὸ τῶν δʹ περιεχομένου τινὸς πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν λοιπῶν, ἐπεὶ οὐκ ἔστι τι περιεχό‐
15μενον ὑπὸ πλειόνων ἢ τριῶν διαστάσεων. συγκεχωρήκασι δὲ ἑαυτοῖς οἱ βραχὺ πρὸ ἡμῶν ἑρμηνεύειν τὰ τοιαῦτα, μηδὲ ἓν μηδαμῶς διάληπτον σημαίνοντες, τὸ ὑπὸ τῶνδε περι‐ εχόμενον λέγοντες ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆσδε τετράγωνον ἢ ἐπὶ τὸ ὑπὸ τῶνδε. παρῆν δὲ διὰ τῶν συνημμένων λόγων ταῦτα
20καὶ λέγειν καὶ δεικνύναι καθόλου καὶ ἐπὶ τῶν προειρημέ‐ νων προτάσεων καὶ ἐπὶ τούτων τὸν τρόπον τοῦτον· ἐὰν ἀπό τινος σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένας εὐθείας καταχθῶ‐ σιν εὐθεῖαι ἐν δεδομέναις γωνίαις, καὶ δεδομένος ᾖ λόγος ὁ συνημμένος ἐξ οὗ ἔχει μία κατηγμένη πρὸς μίαν καὶ
25ἑτέρα πρὸς ἑτέραν, καὶ ἄλλη πρὸς ἄλλην, καὶ ἡ λοιπὴ πρὸς δοθεῖσαν, ἐὰν ὦσιν ζʹ, ἐὰν δὲ ηʹ, καὶ ἡ λοιπὴ πρὸς λοιπήν, τὸ σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης γραμμῆς· καὶ ὁμοίως ὅσαι ἂν ὦσιν περισσαὶ ἢ ἄρτιαι τὸ πλῆθος. τού‐ των, ὡς ἔφην, ἑπομένων τῷ ἐπὶ τέσσαρας τόπῳ οὐδὲ ἓν
3oσυντεθείκασιν ὥστε τὴν γραμμὴν εἰδέναι. [ταῦθ’ οἱ βλέ‐

7

.

682

ποντες ἥκιστα ἐπαίρονται, καθάπερ οἱ πάλαι καὶ τῶν τὰ κρείττονα γραψάντων ἕκαστοι· ἐγὼ δὲ καὶ πρὸς ἀρχαῖς ἔτι τῶν μαθημάτων καὶ τῆς ὑπὸ φύσεως προκειμένης ζητημά‐ των ὕλης κινουμένους ὁρῶν ἅπαντας, αἰδούμενος ἐγὼ καὶ
5δείξας γε πολλῷ κρείσσονα καὶ πολλὴν προφερόμενα ὠφέ‐ λειαν ... ἵνα δὲ μὴ κεναῖς χερσὶ τοῦτο φθεγξάμενος ὧδε χωρισθῶ τοῦ λόγου, ταῦτα δώσω τοῖς ἀναγνοῦσιν· ὁ μὲν τῶν τελείων ἀμφοιστικῶν λόγος συνῆπται ἔκ τε τῶν ἀμφοι‐ σμάτων καὶ τῶν ἐπὶ τοὺς ἄξονας ὁμοίως κατηγμένων εὐ‐
10θειῶν ἀπὸ τῶν ἐν αὐτοῖς κεντροβαρικῶν σημείων, ὁ δὲ τῶν ἀτελῶν ἔκ τε τῶν ἀμφοισμάτων καὶ τῶν περιφερειῶν, ὅσας ἐποίησεν τὰ ἐν τούτοις κεντροβαρικὰ σημεῖα, ὁ δὲ τούτων τῶν περιφερειῶν λόγος συνῆπται δῆλον ὡς ἔκ τε τῶν κατηγμένων καὶ ὧν περιέχουσιν αἱ τούτων ἄκραι, εἰ καὶ
15εἶεν πρὸς τοῖς ἄξοσιν ἀμφοιστικῶν, γωνιῶν. περιέχουσι δὲ αὗται αἱ προτάσεις, σχεδὸν οὖσαι μία, πλεῖστα ὅσα καὶ παντοῖα θεωρήματα γραμμῶν τε καὶ ἐπιφανειῶν καὶ στερεῶν, πάνθ’ ἅμα καὶ μιᾷ δείξει καὶ τὰ μήπω δεδειγ‐ μένα καὶ τὰ ἤδη ὡς καὶ τὰ ἐν τῷ δωδεκάτῳ τῶνδε τῶν
20στοιχείων.] Ἔχει δὲ τὰ ηʹ βιβλία τῶν Ἀπολλωνίου κωνικῶν θεω‐ ρήματα ἤτοι διαγράμματα υπζʹ, λήμματα δὲ [ἤτοι λαμβα‐
νόμενά ἐστιν εἰς αὐτὰ] οʹ.

7

.

684

 αʹ. Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν εἰς τὸν δοθέντα λόγον τεμεῖν. Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ὁ δὲ δοθεὶς λό‐ γος ὁ Γ πρὸς Δ, καὶ δέον ἔστω τεμεῖν τὴν ΑΒ εἰς τὸν τῆς Γ πρὸς τὴν Δ λόγον. ἔκλινα πρὸς τὴν ΑΒ εὐθεῖαν
5ἐν γωνίᾳ τυχούσῃ εὐθεῖαν τὴν ΑΕ, καὶ τῇ μὲν Γ ἴσην ἀφεῖλον τὴν ΑΖ, τῇ δὲ Δ τὴν ΖΗ, καὶ ἐπιζεύξας τὴν ΒΗ ταύτῃ παράλληλον ἤγαγον τὴν ΖΘ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΘ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς ΖΗ, ἴση δέ ἐστιν ἡ μὲν ΑΖ τῇ Γ, ἡ δὲ ΖΗ τῇ Δ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΘ πρὸς ΘΒ,
10οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ· διῄρηται ἄρα κατὰ τὸ Θ σημεῖον, ὅπερ· ⁓ βʹ. Τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ ΒΓ Δ, εὑρεῖν ὡς τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἄλλην τινὰ πρὸς τὴν Δ. Πάλιν ἔκλινά τινα εὐθεῖαν τὴν ΓΕ ἐν τυχούσῃ γωνίᾳ,
15καὶ τῇ Δ ἴσην ἀπεθέμην τὴν ΓΖ. ἐπέζευξα τὴν ΒΖ καὶ ταύτῃ παράλληλον ἤγαγον τὴν ΗΑ. γίνεται οὖν πάλιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΓΖ, τουτέστιν πρὸς τὴν Δ· εὕρηται ἄρα ἡ ΖΗ. Ὁμοίως κἂν ἡ τρίτη δοθῇ, τὴν τετάρτην εὑρήσομεν.
20 γʹ. Ἐχέτω τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ μείζονα λόγον ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΖ· ὅτι καὶ κατὰ σύνθεσιν τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ. Πεποιήσθω γὰρ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως ἄλλο τι τὸ Η πρὸς τὸ ΕΖ· καὶ τὸ Η ἄρα πρὸς τὸ ΕΖ μείζονα
25λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΖ· μεῖζον ἄρα ἐστὶν τὸ Η τοῦ ΔΕ. κείσθω αὐτῷ ἴσον τὸ ΘΕ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν
ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως τὸ ΘΕ πρὸς τὸ ΕΖ,

7

.

686

συνθέντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως τὸ ΖΘ πρὸς τὸ ΖΕ. τὸ δὲ ΘΖ πρὸς τὸ ΖΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ· καὶ τὸ ΑΓ ἄρα πρὸς τὸ ΓΒ μεί‐ ζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ.
5 δʹ. Πάλιν δὴ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΖ· ὅτι καὶ τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΕΖ. Πάλιν γὰρ ἐπεὶ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΖ, ἐὰν ποιῶ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς
10τὸ ΒΓ, οὕτως ἄλλο τι πρὸς τὸ ΕΖ, ἔσται ἔλασσον τοῦ ΔΕ. ἔστω τὸ ΕΘ· γίνεται ἄρα καὶ ὡς τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΒ, οὕτως τὸ ΘΖ πρὸς τὸ ΖΕ. τὸ δὲ ΘΖ πρὸς τὸ ΖΕ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ· τὸ ΑΓ ἄρα πρὸς τὸ ΓΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ.
15 εʹ. Ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ μείζονα λό‐ γον ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΖ· ὅτι καὶ ἐναλλὰξ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΕΖ. Πεποιήσθω γὰρ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως ἄλλο τι πρὸς τὸ ΕΖ· φανερὸν δὴ ὅτι μεῖζον ἔσται τοῦ ΔΕ.
20ἔστω τὸ ΗΕ· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΗ, οὕτως τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΕΖ. ἀλλὰ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΗ, τουτέστιν ἤπερ τὸ ΒΓ πρὸς ΕΖ· καὶ τὸ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ ΔΕ μεί‐ ζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΕΖ.
25 Τὰ δ’ αὐτά, κἂν ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ, ὅτι καὶ ἐναλλάξ. ἔσται γὰρ καὶ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως ἄλλο τι πρὸς τὸ ΕΖ· ὅτι ἔλασσον τοῦ ΔΕ. τὰ λοιπὰ τὰ αὐτά. ϛʹ. Τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ· ὅτι ἀναστρέψαντι τὸ ΓΑ πρὸς τὸ ΑΒ
30ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΔ πρὸς τὸ ΔΕ.
Πεποιήσθω γὰρ ὡς τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΒ, οὕτως τὸ

7

.

688

ΔΖ πρὸς ἄλλο τι· ἔσται δὴ πρὸς ἔλασσον τοῦ ΖΕ. ἔστω πρὸς τὸ ΖΗ· ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΓΑ πρὸς τὸ ΑΒ, οὕτως τὸ ΖΔ πρὸς τὸ ΔΗ. τὸ δὲ ΖΔ πρὸς τὸ ΔΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΔ πρὸς τὸ ΔΕ· καὶ τὸ ΓΑ
5ἄρα πρὸς τὸ ΑΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΔ πρὸς τὸ ΔΕ. Ὁμοίως δὴ καὶ τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΒ ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ· ἀναστρέψαντι ἄρα τὸ ΓΑ πρὸς τὸ ΑΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΔΕ. ἔσται γὰρ ὡς τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΒ, οὕτως τὸ ΔΖ πρὸς
10μεῖζόν τι μέγεθος τοῦ ΖΕ. καὶ τὰ λοιπὰ φανερά. ζʹ. Ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ μείζονα λό‐ γον ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΖ· ὅτι ἀνάπαλιν τὸ ΓΒ πρὸς τὸ ΒΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΕ πρὸς τὸ ΕΔ. Πεποιήσθω γὰρ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως τὸ ΔΕ
15πρός τι· ἔσται δὴ πρὸς ἔλασσον τοῦ ΕΖ. ἔστω πρὸς τὸ ΕΗ· ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΓΒ πρὸς τὸ ΒΑ, οὕτως τὸ ΗΕ πρὸς τὸ ΕΔ. τὸ δὲ ΗΕ πρὸς τὸ ΕΔ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΕ πρὸς τὸ ΕΔ· καὶ τὸ ΓΒ ἄρα πρὸς τὸ ΒΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΕ πρὸς τὸ ΕΔ.
20 Ὁμοίως δὴ κἂν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΖ, ἀνάπαλιν τὸ ΓΒ πρὸς τὸ ΒΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΕ πρὸς τὸ ΕΔ. ἔσται γὰρ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΒ, οὕτως τὸ ΔΕ πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖ· τὰ δὲ λοιπὰ φανερά.
25 Καὶ φανερὸν ἐκ τούτων ὅτι, ἐὰν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ μείζονα λόγον ἔχῃ ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΖ, καὶ τὸ ΖΕ πρὸς τὸ ΕΔ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΓΒ πρὸς τὸ ΒΑ· ἐὰν δὲ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΖ, καὶ τὸ ΖΕ πρὸς τὸ ΕΔ ἐλάσσονα λόγον
30ἔχει ἤπερ τὸ ΓΒ πρὸς τὸ ΒΑ. ηʹ. Ἐχέτω τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ μείζονα λόγον ἤπερ τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΕΖ· ὅτι καὶ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ μείζονα λό‐ γον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΔΖ.
Πεποιήσθω γὰρ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ, οὕτως τὸ

7

.

690

ΒΓ πρός τι· ἔσται δὴ πρὸς ἔλασσον τοῦ ΕΖ. ἔστω πρὸς τὸ ΗΕ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς ὅλην τὴν ΔΗ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ· ἡ δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΔΖ· καὶ ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς τὴν ΔΕ μείζονα
5λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ. Καὶ φανερὸν ὅτι ὅλη ἡ ΑΓ πρὸς ὅλην τὴν ΔΖ ἐλάσ‐ σονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ. Κἂν ἐλάσσων τοῦ μέρους, μείζων ὅλης. θʹ. Ἐχέτω δὴ πάλιν ὅλη ἡ ΑΓ πρὸς ὅλην τὴν ΔΖ
10μείζονα λόγον ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ· ὅτι καὶ λοιπὴ ἡ ΒΓ πρὸς λοιπὴν τὴν ΕΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ. Πεποιήσθω γὰρ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΗ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς λοιπὴν τὴν ΗΖ
15ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ. ἡ δὲ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΖΗ· καὶ ἡ ΒΓ ἄρα πρὸς τὴν ΕΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ. Ἐὰν δὲ ὅλη πρὸς τὴν ὅλην ἐλάσσονα, ἡ λοιπὴ ἐλάσσονα. ιʹ. Ἔστω μεῖζον μὲν τὸ ΑΒ τοῦ Γ, ἴσον δὲ τὸ Δ τῷ
20Ε· ὅτι τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ Ε. Κείσθω γὰρ τῷ Γ ἴσον τὸ ΒΖ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΒΖ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε. ἀλλὰ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΒΖ πρὸς τὸ Γ· καὶ τὸ ΑΒ
25ἄρα πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ Ε.

7

.

692

 Καὶ φανερὸν ὅτι, ἂν ἔλασσον τὸ ΑΒ τοῦ Γ, τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, διὰ τὸ ἀνάπαλιν. ιαʹ. Ἀλλὰ ἔστω μεῖζον μὲν τὸ ΑΒ τοῦ Γ, ἔλασσον δὲ
5τὸ ΔΕ τοῦ Ζ· ὅτι τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ Ζ. Φανερὸν μὲν οὖν καὶ ἄνευ ἀποδείξεως· εἰ γὰρ ὄντος ἴσου τοῦ ΔΕ τῷ Ζ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ Ζ, ἐλάσσονος ὄντος πολλῷ μείζονα
10λόγον ἕξει. διὰ ἀποδείξεως δὲ οὕτως· ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστιν τὸ ΑΒ τοῦ Γ, ἐὰν ποιῶ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ, οὕ‐ τως ἄλλο τι πρὸς τὸ Ζ, ἔσται μεῖζον τοῦ Ζ, ὥστε καὶ τοῦ ΔΕ. ἔστω οὖν [αὐτῷ ἴσον] τὸ ΗΕ· τὸ ΗΕ ἄρα πρὸς τὸ Ζ. μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ Ζ. ἀλλ’ ὡς
15τὸ ΗΕ πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ· καὶ τὸ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ Ζ. Καὶ φανερὸν ὅτι, ὅπου τὸ ἔλασσον, ἀεὶ ἐλάσσονα. Καὶ ὅτι μεῖζον γίνεται τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ Ζ τοῦ ὑπὸ τῶν Γ ΔΕ· ἴσον γὰρ αὐτῷ ἐστιν τὸ ὑπὸ τῶν Γ ΕΗ, ὅ ἐστιν
20μεῖζον τοῦ ὑπὸ τῶν Γ ΔΕ. ιβʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ· ὅτι πάντα μὲν τὰ μεταξὺ τῶν Α Γ σημείων εἰς ἐλάσσονας λό‐ γους διαιρεῖ τὴν ΑΒ τοῦ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, πάντα δὲ τὰ μεταξὺ τῶν Γ Β εἰς μείζονας.
25 Εἰλήφθω γὰρ σημεῖα ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ Γ τὰ Δ Ε. ἐπεὶ οὖν ἐλάσσων μὲν ἡ ΔΑ τῆς ΑΓ, μείζων δὲ ἡ ΔΒ τῆς ΒΓ, ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ
ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ· ἐναλλὰξ ἄρα ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ ἐλάσ‐

7

.

694

σονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ἐπὶ πάντων τῶν μεταξὺ τῶν Α Γ ση‐ μείων. Πάλιν ἐπεὶ μείζων μέν ἐστιν ἡ ΕΑ τῆς ΑΓ, ἐλάσσων
5δὲ ἡ ΕΒ τῆς ΒΓ, ἡ ΕΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ· ἐναλλὰξ ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ. ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν μεταξὺ τῶν Γ Β λαμβανομέ‐ νων σημείων.
10 ιγʹ. Ἐὰν εὐθεῖα ᾖ ΑΒ καὶ τμηθῇ δίχα κατὰ τὸ Γ, πάντων τῶν λαμβανομένων σημείων μέγιστον ἀποτέμνει τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ τὸ Γ σημεῖον. Ἐὰν γὰρ ληφθῇ σημεῖον τὸ Δ, γίνεται τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΓ, τουτέστιν τῷ
15ὑπὸ τῶν ΑΓΒ· ὥστε μεῖζόν ἐστιν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ. τὰ δὲ αὐτὰ καὶ ἐπὶ τὰ ἕτερα. Λέγω δ’ ὅτι καὶ αἰεὶ τὸ ἔγγιον τοῦ Γ τοῦ ἀπώτερον μεῖζον χωρίον ποιεῖ. Εἰλήφθω γὰρ καὶ ἕτερον σημεῖον τὸ Ε μεταξὺ τῶν Α
20Δ· δεικτέον ὅτι μεῖζόν ἐστιν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ. ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἔστιν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΕ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ ἄρα μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΓ ἴσον ἐστὶν
25τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΕ. ὧν τὸ ἀπὸ ΔΓ ἔλασσόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΓΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ. ιδʹ. Εἰ γὰρ εἴη τὸ Α μετὰ τοῦ Β ἴσον τῷ Γ μετὰ τοῦ ΔΕ, καὶ ἔλασσον τὸ Β τοῦ ΔΕ, μεῖζον ἂν γένοιτο τὸ
30Α τοῦ Γ.

7

.

696

 Κείσθω γὰρ τῷ Β ἴσον τὸ ΔΖ· τὸ Α ἄρα μετὰ τοῦ ΔΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ΔΕ μετὰ τοῦ Γ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΔΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ Α ἴσον ἐστὶν τοῖς Γ ΖΕ, ὥστε μεῖ‐ ζόν ἐστιν τὸ Α τοῦ Γ.
5 ιεʹ. Ἡ Α πρὸς τὴν Β μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ Γ πρὸς τὴν Δ· ὅτι μεῖζόν ἐστιν τὸ ὑπὸ τῶν Α Δ τοῦ ὑπὸ τῶν Β Γ. Πεποιήσθω γὰρ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Ε· καὶ ἡ Γ ἄρα πρὸς τὴν Ε μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ
10πρὸς τὴν Δ, ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἡ Ε τῆς Δ. καὶ κοινὸν ὕψος ἡ Α· ἔλασσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν Ε Α τοῦ ὑπὸ τῶν Α Δ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν Α Ε ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Β Γ. ἔλασσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν Β Γ τοῦ ὑπὸ τῶν Α Δ, ὥστε μεῖζόν ἐστιν τὸ ὑπὸ τῶν Α Δ τοῦ ὑπὸ τῶν Β Γ.
15 Ὁμοίως καὶ ἐὰν ἐλάσσων γίνηται, ἔλασσον καὶ τὸ χω‐ ρίον τοῦ χωρίου. Ἀλλὰ δὴ ἔστω πάλιν μεῖζον τὸ ὑπὸ τῶν Α Δ τοῦ ὑπὸ τῶν Β Γ· ὅτι ἡ Α πρὸς τὴν Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς τὴν Δ.
20 Κείσθω γὰρ τῷ ὑπὸ τῶν Α Δ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Β Ε· γίνεται ἄρα μεῖζον μὲν τὸ ὑπὸ τῶν Β Ε τοῦ ὑπὸ τῶν Β Γ, ὥστε καὶ ἡ Ε τῆς Γ μείζων. ὡς δὲ ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Δ. ἡ δὲ Ε πρὸς τὴν Δ μείζονα λό‐ γον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς τὴν Δ· καὶ ἡ Α ἄρα πρὸς τὴν Β.
25 Ὁμοίως καὶ ἀναστρέψαντι. ιϛʹ. Δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΒΓ, καὶ τῶν ΑΒ ΒΓ μέση ἀνάλογον ἔστω ἡ ΒΔ, καὶ τῇ ΑΔ ἴση κείσθω ἡ ΔΕ· ὅτι ἡ ΓΕ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει συναμφότερος ἡ ΑΒΓ τῆς
δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ.

7

.

698

 Ἐπεὶ γὰρ συναμφότερος ἡ ΑΒΓ συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ ὑπερέχει τῇ ΓΕ, ἡ ΓΕ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερ‐ [Omitted graphic marker]έχει συναμφότερος ἡ ΑΒΓ συναμφοτέρου·
5τῆς ΑΒΕ· συναμφό‐ τερος δὲ ἡ ΑΒΕ δύο εἰσὶν αἱ ΒΔ, δύο δὲ αἱ ΒΔ δύνανται τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ· ἡ ΓΕ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει συναμφότερος ἡ ΑΒΓ τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ.
10 ιζʹ. Ἔστω δὴ πάλιν ἡ τῶν ΑΒ ΒΓ μέση ἡ ΒΔ, καὶ κείσθω τῇ ΑΔ ἴση ἡ ΔΕ· ὅτι ἡ ΓΕ σύγκειται ἔκ τε συν‐ αμφοτέρου τῆς ΑΒ ΒΓ καὶ τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ. Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΓΕ ἐστὶν ἡ συγκειμένη ἐκ τῶν ΓΔ ΔΕ,
15ἴση δέ ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΔΕ, ἡ ΓΕ ἄρα ἐστὶν ἡ συγκειμένη ἐκ τῶν ΑΔ ΔΓ, τουτέστιν ἐκ συναμφοτέρου τῆς ΑΒ ΒΓ καὶ δύο τῶν ΒΔ. δύο δὲ αἱ ΒΔ δύνανται τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ· ἡ ΓΕ ἄρα ἐστὶν ἡ συγκειμένη ἔκ τε συναμφο‐ τέρου τῆς ΑΒ ΒΓ καὶ τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ
20τῶν ΑΒΓ. ιηʹ. Πάλιν τῶν ΑΒ ΒΓ μέση ἀνάλογον ἡ ΒΔ, καὶ τῇ ΓΔ ἴση κείσθω ἡ ΔΕ· ὅτι ἡ ΑΕ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερ‐ έχει συναμφότερος ἡ ΑΒΓ τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ ΑΒΓ.
25 Ἐπεὶ γὰρ συναμφότερος ἡ ΑΒΓ συναμφοτέρου τῆς ΕΒΓ ὑπερέχει τῇ ΑΕ, συναμφότερος δὲ ἡ ΕΒΓ δύο εἰσὶν αἱ ΒΔ, τουτέστιν ἡ δυναμένη τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, ἡ ΑΕ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει συναμφότερος ἡ ΑΒΓ τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ.
30ιθʹ. Πάλιν τῶν ΑΒ ΒΓ μέση ἀνάλογον ἔστω ἡ ΒΔ,
καὶ τῇ ΓΔ ἴση κείσθω ἡ ΔΕ· ὅτι ἡ ΑΕ ἐστὶν ἡ συγκει‐

7

.

700

μένη ἔκ τε συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ καὶ τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ. Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΕ σύγκειται ἐκ τῶν ΑΔ ΔΕ, ἴση δέ ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΔΓ, ἡ ΑΕ ἄρα σύγκειται ἐκ τῶν ΑΔ ΔΓ,
5τουτέστιν συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ καὶ δύο τῶν ΒΔ. δύο δὲ αἱ ΒΔ δύνανται τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ· ἡ ΑΕ ἄρα ἐστὶν ἡ συγκειμένη ἔκ τε συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ καὶ τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ. [Ταῦτα λαμβάνεται εἰς τὴν τοῦ λόγου ἀποτομήν· ταῦτα
10καὶ εἰς τὴν τοῦ χωρίου ἀποτομὴν λαμβάνεται, διαφερόν‐ τως μόνον.]
12nΠρόβλημα εἰς τὸ δεύτερον λόγου ἀποτομῆς, χρήσιμον εἰς
13nτὴν τοῦ ιγʹ τόπου ἀνακεφαλαίωσιν.
14Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ ΒΓ, λαβεῖν ἐπεκβά‐
15λοντα τὴν ΑΔ δοθὲν τὸ Δ ποιοῦν τὸν τῆς ΒΔ πρὸς ΔΑ λόγον τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΓΔ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν ᾗ ὑπερέχει συναμφότερος ἡ ΑΒΓ τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ. [ἄλλως οὐχ οἷόν τε συστῆναι, εἰ μὴ συναμφότερος μὲν ἡ ΔΒ ΑΓ ἴση ᾖ τῇ ΕΑ ὑπεροχῇ, ὅλη δὲ ἡ ΔΑ ὅλῃ
20τῇ ΑΒ, καὶ ἔτι τὰς ΕΑ ΑΓ ΓΒ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ τὴν ΓΒ τῆς ΔΕ διπλασίαν εἶναι.] Ἔστω γεγονός, καὶ ἡ ὑπεροχὴ ἔστω ἡ ΑΕ (ἐν γὰρ τοῖς ἐπάνω εὕρομεν αὐτήν)· ἔστιν οὖν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ,
25οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΑΕ· καὶ ἐναλλὰξ καὶ διελόντι καὶ χωρίον χωρίῳ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΓ ΕΑ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔΕ. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΕΑ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔΕ. καὶ παρὰ δοθεῖσαν τὴν ΓΕ παράκειται
ὑπερβάλλον τετραγώνῳ· δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ Δ.

7

.

702

 Συντεθήσεται δὲ οὕτως· ἔστω ἡ ὑπεροχὴ ἡ ΕΑ, καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΕΑ ἴσον πάλιν τῇ ΓΕ παραβεβλήσθω ὑπερ‐ βάλλον τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ ΓΔΕ· λέγω ὅτι τὸ ζητούμενον σημεῖόν ἐστιν τὸ Δ. ἐπεὶ γὰρ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΕΑ
5τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔΕ, ἀνάλογον καὶ συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς ΕΑ, ἥτις ἐστὶν ἡ ὑπεροχή. τὰ δ’ αὐτά, κἂν ζητῶμεν λαβεῖν σημεῖον ποιοῦν ὡς τὴν ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως τὴν ΓΔ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ καὶ
10τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, ὅπερ· ⁓ [Τὸ πρῶτον λόγου ἀποτομῆς ἔχει τόπους ζʹ, πτώσεις κδʹ, διορισμοὺς δὲ εʹ, ὧν τρεῖς μὲν μέγιστοι, δύο δὲ ἐλά‐ χιστοι· καὶ ἔστιν μέγιστος μὲν κατὰ τὴν τρίτην πτῶσιν τοῦ εʹ τόπου, ἐλάχιστος δὲ κατὰ τὴν βʹ τοῦ ἕκτου τόπου
15καὶ κατὰ τὴν αὐτὴν τοῦ ζʹ, μέγιστοι δὲ οἱ κατὰ τὰς τετάρ‐ τας τοῦ ἕκτου καὶ τοῦ ἑβδόμου. τὸ δεύτερον λόγου ἀπο‐ τομῆς ἔχει τόπους ιδʹ, πτώσεις δὲ ξγʹ, διορισμοὺς δὲ τοὺς ἐκ τοῦ πρώτου· ἀπάγεται γὰρ ὅλον εἰς τὸ πρῶτον. τὸ πρῶτον χωρίου ἀποτομῆς ἔχει τόπους ζʹ, πτώσεις κδʹ, διορισμοὺς
20ζʹ, ὧν δʹ μὲν μέγιστοι, τρεῖς δὲ ἐλάχιστοι· καὶ ἔστιν μέ‐ γιστος μὲν ὁ κατὰ τὴν δευτέραν τοῦ πρώτου τόπου καὶ ὁ κατὰ τὴν πρώτην τοῦ βʹ τόπου καὶ ὁ κατὰ τὴν βʹ τοῦ δʹ τό‐ που καὶ ὁ κατὰ τὴν τρίτην τοῦ ἕκτου, ἐλάχιστοι δὲ ὁ κατὰ τὴν τρίτην τοῦ τρίτου τόπου καὶ ὁ κατὰ τὴν δʹ τοῦ δʹ καὶ
25ὁ κατὰ τὴν πρώτην τοῦ ϛʹ. τὸ δεύτερον χωρίου ἀποτομῆς ἔχει τόπους ιγʹ, πτώσεις ξʹ, διορισμοὺς δὲ τοὺς ἐκ τοῦ πρώτου· ἀπάγεται γὰρ εἰς αὐτό.] [Ἐπιστήσειεν ἄν τις διὰ τί ποτε μὲν τὸ λόγου ἀποτο‐ μῆς δεύτερον ἔχει τόπους ιδʹ, τὸ δὲ τοῦ χωρίου ιγʹ. ἔχει
30δὲ διὰ τόδε, ὅτι ὁ ζʹ ἐν τῷ τοῦ χωρίου ἀποτομῆς τόπος
παραλείπεται ὡς φανερός· ἐὰν γὰρ αἱ παράλληλοι ἀμφό‐

7

.

704

τεραι ἐπὶ τὰ πέρατα πίπτωσιν, οἵα ἂν διαχθῇ, δοθὲν ἀποτέμνει χωρίον· ἴσον γὰρ γίνεται τῷ ὑπὸ τῶν μεταξὺ τῶν περάτων καὶ τῆς ἀμφοτέρων τῶν ἐξ ἀρχῆς τῇ θέσει δοθεισῶν εὐθειῶν συμβολῆς. ἐν δὲ τῷ λόγου ἀποτομῆς
5οὐκέτι ὁμοίως· διὰ τοῦτο οὖν προέχει τόπον ἕνα εἰς τὸ ἕβδομον τοῦ δευτέρου, καὶ τὰ λοιπὰ ὄντα τὰ ὄντα.]
7nΔιωρισμένης τομῆς πρῶτον.
8nΛῆμμα χρήσιμον εἰς τὸ πρῶτον ἐπίταγμα τοῦ πέμπτου
9nπροβλήματος.
10 αʹ. Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ ἐπ’ αὐτῆς τρία σημεῖα τὰ Γ Δ Ε, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ· ὅτι γίνεται ὡς ἡ ΒΔ πρὸς ΔΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΔΕ,
15ἀνάλογον ἄρα ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ὅλην τὴν ΒΓ ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς ΔΓ· καὶ ἀνάπαλιν. πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ, καὶ ὅλη
20ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ὅλην τὴν ΓΕ ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ. ἦν δὲ καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΕ, ὥστε καὶ ὁ συνημμένος λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς ΓΕ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΒΓ πρὸς ΑΕ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ καὶ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν
25ΕΔ. ἀλλ’ ὁ μὲν συνημμένος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς ΓΕ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΒΓ πρὸς ΑΕ ὁ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ ἐστίν, ὁ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ καὶ ἐξ οὗ ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ ὁ τῆς ΒΔ πρὸς ΔΕ ἐστίν· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς ΔΕ,
30οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ, ὅπερ· ⁓
31nἌλλως τὸ αὐτό.
32 βʹ. Ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΑΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, ἀνάλογον καὶ ὅλη πρὸς ὅλην ἐστὶν ἄρα ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΒΓ,
οὔτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ. συνθέντι ἐστὶν ὡς συναμφότερος

7

.

706

ἡ ΑΕ ΓΒ πρὸς ΓΒ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΒΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΕ ΓΒ καὶ τῆς ΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, οὕ‐ τως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ, καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ὅλην
5τὴν ΓΒ ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς ΔΓ· ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΕ ΓΒ καὶ τῆς ΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ συναμ‐ φοτέρου τῆς ΑΕ ΓΒ καὶ τῆς ΒΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ· ἐναλλὰξ ἄρα γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΕ ΓΒ
10καὶ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΕ ΓΒ καὶ τῆς ΔΕ, τουτέστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ.
13nἌλλως εἰς τὸ πρῶτον ἐπίταγμα τοῦ πέμπτου προβλήματος,
14nπρότερον προθεωρηθέντων τῶν ἑξῆς δύο.
15 γʹ. Ἔστω ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ ἐπὶ τῆς ΓΔ τυχὸν τὸ Ε· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΕΔ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΕΓ. Τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ζ σημεῖον· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΓΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ
20τῆς ΖΔ. διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ τετραγώνου ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΔ ἄρα μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΔ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετραγώνῳ, τουτ‐ έστιν τῷ τε ὑπὸ τῶν ΒΕΓ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ τετραγώνῳ.
25καὶ κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ τετράγωνον· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΔ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΕΓ. δʹ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἔστω τὸ Ε σημεῖον ἐκτὸς τῆς ΑΔ· ὅτι πάλιν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΕΓ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν
30ΑΕΔ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ. Τετμήσθω πάλιν ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ζ· τὸ μὲν ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΖΕ, ὥστε τὸ ὑπὸ ΒΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ
ΑΕΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΖ, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΒΔΓ καὶ τοῦ

7

.

708

ἀπὸ ΓΖ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΓΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΔ καὶ τῷ ὑπὸ ΒΔΓ. εʹ. Τούτων προτεθεωρημένων δεῖξαι ὅτι, ἐὰν τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον τῷ ὑπὸ ΔΒΕ, γίνεται ὡς ἡ ΔΒ πρὸς ΒΕ, οὕ‐
5τως τὸ ὑπὸ ΑΔΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΓ. Κείσθω γὰρ τῇ ΓΕ ἴση ἡ ΖΑ. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΔΒΕ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΖΒΕ· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ ΔΖ ΒΕ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ τῶν ΖΒΕ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ. ἀλλὰ ταῦτα διὰ τὸ προγε‐
10γραμμένον ἴσα ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΖΓΕ, τουτέστιν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΔ ΒΕ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. ἔξωθεν τὸ ὑπὸ τῶν ΖΔΕ· ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΖΔΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΔ ΒΕ, τουτέστιν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς ΕΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΖΔΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ.
15συνθέντι ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΖΔΕ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΔΕ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ διὰ τὸ προγεγραμ‐ μένον ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΓ.
20 ϛʹ. Ἐὰν ᾖ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ δύο διαχθῶσιν ὡς ΑΔ ΑΕ, ὥστε τὰς ὑπὸ ΒΑΓ ΔΑΕ γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι, γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΕΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΕ. Ἐὰν γὰρ περιγράψωμεν κύκλον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ, καὶ
25ἐκβληθῶσιν αἱ ΕΑ ΓΑ ἐπὶ τὰ Ζ Η, μεταβαίνει τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΓΔ εἰς τὸ ὑπὸ τῶν ΗΓΑ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΒΕΔ εἰς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕΑ, καὶ δεήσει ἐναλλὰξ ζητῆσαι, εἰ ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΗΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ
ΖΕΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ. τοῦτο δὲ ταὐτόν ἐστιν τῷ

7

.

710

ζητεῖν, εἰ ἔστιν ὡς ἡ ΗΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΑ. εἰ ἄρα ἔστιν, ἡ ΗΖ παράλληλός ἐστιν τῇ ΒΓ. ἔστιν δέ· ἐπεὶ γὰρ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ ΔΑΕ γωνίαι δυσὶν ὀρ‐ θαῖς ἴσαι εἰσίν, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΑΗ
5γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΑΕ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΖΒΔ ἐκ‐ τὸς τετραπλεύρου, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΗ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΖΗ· καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΔ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΖΗ γωνίᾳ. καὶ εἰσὶν ἐναλλάξ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΖ τῇ ΒΓ. τοῦτο δὲ ἐζητοῦμεν. εἰ ἄρα· ⁓
10nἌλλως τὸ αὐτό.
11 ζʹ. Ἔστωσαν ἐν τριγώνῳ τῷ ΑΒΓ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ ΔΑΕ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΕ. Ἤχθω διὰ τοῦ Ε τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΕΖ· ἴση ἄρα
15ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΖΕ γωνίᾳ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕΗ τῷ ἀπὸ ΑΕ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ, ὡς δὲ ἡ ΓΑ πρὸς ΗΕ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ, ὁ ἄρα συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΑ πρὸς ΖΕ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ΓΑ πρὸς ΗΕ
20ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΒ πρὸς ΒΕ καὶ τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΕ. ἀλλ’ ὁ μὲν συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΑ πρὸς ΖΕ καὶ τοῦ τῆς ΓΑ πρὸς ΗΕ ὁ τοῦ ἀπὸ ΓΑ ἐστὶν πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΕ ΗΕ, τουτέστιν πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΕ, ὁ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΒ πρὸς ΒΕ
25καὶ τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΕ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ὑπὸ ΒΓ

7

.

712

ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕ ΔΕ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΕ. ηʹ. Ἔστω πάλιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΒΑΕ ΓΑΔ
5γωνία ὀρθή· ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ. [Omitted graphic marker] Ἤχθω διὰ τοῦ Δ τῇ ΑΓ παράλ‐ ληλος ἡ ΖΗ, καὶ
10καθ’ ὃ συμπίπ‐ τει τῇ ΑΕ, ἔστω τὸ Η σημεῖον· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΖ. ὀρ‐
15θὴ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΗ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΔΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΑ τετραγώνῳ· ἔστιν
20ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΔΗ. ἀλλὰ ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΔΗ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΓΑ πρὸς ΔΗ, τουτέστιν ἡ ΓΕ πρὸς ΕΔ, καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΓΑ πρὸς ΖΔ, τουτέστιν ἡ
25ΓΒ πρὸς ΒΔ, ὁ δὲ συνημμένος λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΓΕ πρὸς ΕΔ καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ ὁ αὐ‐ τός ἐστιν τῷ τοῦ ὑπὸ ΒΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔΕ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ τετράγωνον.
30 θʹ. Τούτου ὄντος ἄλλως τὸ προγεγραμμένον λῆμμα· ὅτι γίνεται ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. Ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Δ τυχοῦσά τις εὐθεῖα ἡ ΔΖ, καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον ὑποκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ, καὶ
35ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ ΓΖ ΕΖ ΒΖ. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν
ΑΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν

7

.

714

ΓΖΔ ἴση ἐστὶν τῇ Α γωνίᾳ. πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΔΖΕ γωνίᾳ τῇ Β ἴση ἐστίν. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΖΔ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ Α· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΖΕ ἴση ἐστὶν ταῖς Α
5Β γωνίαις. ἀλλὰ αἱ Α Β μετὰ τῆς ὑπὸ ΑΖΒ γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ὑπὸ ΑΖΒ ΓΖΕ ἄρα γω‐ νίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. γίνεται δὴ διὰ τὸ προγε‐ γραμμένον λῆμμα ὡς τὸ ἀπὸ ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΓ. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ ΒΖ
10πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΔ πρὸς ΔΕ (ἴσον γάρ ἐστιν τὸ ὑπὸ ΒΔΕ τῷ ἀπὸ ΔΖ)· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς ΔΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ.
13nΛῆμμα χρήσιμον εἰς τὸ βʹ ἐπίταγμα τοῦ αὐτοῦ προβλήματος.
14ιʹ. Πάλιν ὄντος ἴσου τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΔΕ τῷ ὑπὸ ΒΔΓ,
15δεῖξαι ὅτι γίνεται ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΑ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΓ, καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς ὅλην τὴν ΓΕ ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν
20ΔΑ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς λοιπὴν τὴν ΑΓ ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ. ἦν δὲ καὶ ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΕ· καὶ ὁ συγκείμενος ἄρα λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ, ὅς ἐστιν ὁ τῆς
25ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΓΕ καὶ τοῦ τῆς ΕΒ πρὸς τὴν ΑΓ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΑ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ
τῶν ΑΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΑ, ὅπερ· ⁓

7

.

716

(1n)

Ἄλλως τὸ αὐτό.
2 ιαʹ. Ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΕ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς λοιπὴν τὴν ΕΒ ἐστὶν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ. καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς συναμ‐
5φότερος ἡ ΑΓ ΕΒ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓ ΕΒ καὶ τῆς ΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς λοιπὴν τὴν ΓΑ ἐστὶν [ὡς εἷς τῶν λόγων] ὡς ἡ
10ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ. καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς συναμφότερος ἡ ΕΒ ΑΓ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΕΒ ΑΓ καὶ τῆς ΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΓΑ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓ ΕΒ καὶ τῆς ΒΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ· καὶ ὡς ἄρα τὸ
15ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓ ΕΒ καὶ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ συν‐ αμφοτέρου τῆς ΑΓ ΕΒ καὶ τῆς ΓΔ, τουτέστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΑ, ὅπερ· ⁓
19nἌλλως τὸ αὐτὸ προθεωρηθέντος τοῦδε.
20 ιβʹ. Οὔσης ἴσης τῆς ΑΒ τῇ ΓΔ, ἐὰν ληφθῇ τι σημεῖον τὸ Ε, δεῖξαι ὅτι ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΔ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓΔ καὶ τῷ ὑπὸ ΒΕΓ. Τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ζ σημεῖον· τὸ μὲν ἄρα ὑπὸ ΑΕΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΕΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΖ, τὸ
25δ’ ὑπὸ ΑΓΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΖ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ ΑΕΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΕΖ τετραγώνου ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΒΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΕΖ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΕΖ τετράγωνον· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ
30τε ὑπὸ ΑΓΔ καὶ τῷ ὑπὸ ΒΕΓ. ιγʹ. Τούτου προτεθεωρημένου ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΔΒΕ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ.
Κείσθω τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΑΖ· διὰ δὴ τὸ προγεγραμμέ‐

7

.

718

νον γίνεται τὸ ὑπὸ τῶν ΖΒΔ ἴσον τῷ τε ὑπὸ ΖΓΔ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΒΓ. ἐπεὶ δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΔΒΕ, ὁπότερα ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ὑπὸ τῶν ΖΒΔ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΖΓΔ, ὅ ἐστιν τὸ ὑπὸ ΑΓΔ, ἴσον
5ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΔΒ ΖΕ. πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΔΒΕ, ἀνάλογον καὶ διελόντι ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς ΓΒ ἐστίν, τουτέστιν ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΒΓ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΖΕ πρὸς ὅλην τὴν ΕΓ ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΖΕΒ
10ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΓΕΑ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ ΒΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ ΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕΒ, τουτέστιν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ.
15 ιδʹ. Προθεωρηθέντος καὶ τοῦδε ἄλλως τὸ αὐτὸ δειχθή‐ σεται. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ διήχθωσαν ἐντὸς αἱ ΑΔ ΑΕ ποιοῦσαι ἑκατέραν τῶν ὑπὸ ΒΑΕ ΓΑΔ γωνίαν ὀρθήν· ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ
20τετράγωνον.[Omitted graphic marker] Περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον κύκλος ὁ ΑΒΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΕ ΓΑΔ γωνία, διάμετρός ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΒΕ
ΖΗ τοῦ κύκλου, ὥστε κέντρον ἐστὶν τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν ἴση

7

.

720

ἐστὶν ἡ ΖΘ τῇ ΘΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΖ, καὶ ἀνάπαλιν. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΒΓΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ.
5ὡς δὲ ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΖΔΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΒΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ. ἐναλλὰξ ἄρα γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ τετράγωνον, ὅπερ· ⁓
10 ιεʹ. Τούτου ὄντος ἄλλως τὸ προγεγραμμένον· ὅτι γί‐ νεται ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓΕ. Ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΑΒ ὀρθὴ ἡ ΔΖ, καὶ ὁποτέρῳ τῶν ὑπὸ ΑΔΕ ΒΔΓ ἴσον κείσθω τὸ ἀπὸ ΔΖ τετράγωνον,
15καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ ΖΓ ΖΕ ΖΒ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΑΖΕ ΓΖΒ γωνία· διὰ δὴ τὸ προ‐ γεγραμμένον γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΓ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΓ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΔ πρὸς τὴν
20ΔΓ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓΕ.
22nΕἰς τὸ πρῶτον ἐπίταγμα τοῦ ϛʹ προβλήματος.
23 ιϛʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἐπ’ αὐτῆς τρία σημεῖα τὰ Γ Δ Ε, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ·
25ὅτι γίνεται ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΕΔ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν
ΓΒΔ, ἀνάλογον καὶ λοιπὸν πρὸς λοιπὸν καὶ ἀναστρέψαντι

7

.

722

ἔστιν ἄρα ὡς ἡ τῶν ΑΓ ΕΔ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕ‐ τως ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν ΑΓ ΕΔ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΔΑΓ. πά‐ λιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς
5τὴν ΒΕ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς λοιπὴν τὴν ΔΕ ἐστὶν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ. διελόντι ἐστὶν ὡς ἡ τῶν ΑΓ ΕΔ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν ΑΓ ΔΕ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΕΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΓΕΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΓ ΕΔ
10ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΑΒ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΔΑΓ· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΓ ΔΕ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΓ ΔΕ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΕ, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΔ.
15nἌλλως τὸ αὐτὸ διὰ τοῦ συνημμένου.
16 ιζʹ. Ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΔ πρὸς λοιπὴν τὴν ΓΕ ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς
20λοιπὴν τὴν ΔΕ ἐστὶν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ· ὥστε ὁ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΓ καὶ τοῦ τῆς ΓΒ πρὸς ΒΕ, ὅς ἐστιν ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΕ, ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΑΔ πρὸς ΓΕ καὶ τοῦ τῆς ΑΓ πρὸς ΔΕ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ τοῦ ὑπὸ ΔΑΓ πρὸς τὸ
25ὑπὸ ΓΕΔ.
26nἌλλως.
27 ιηʹ. Γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΕ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΕ, καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη ἡ ΒΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ ΓΖ ΔΖ ΕΖ. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΒΖ, τέμνει δὲ ἡ ΒΑ, τὸ
30ὑπὸ τῶν ΑΒΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΖ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΑΒΕ

7

.

724

τῷ ὑπὸ ΓΒΔ ἴσον ὑπόκειται· καὶ τὸ ὑπὸ ΓΒΔ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΖ τετραγώνῳ· ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΖΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΖ γωνίᾳ. ὧν ἡ ὑπὸ ΒΖΕ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΖΑΓ γωνίᾳ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΖΕ γω‐
5νία λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΖΓ γωνίᾳ ἴση ἐστίν· ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΔΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΕΔ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ· ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΔΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΔ.
10nΛῆμμα εἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ ἕκτου προβλήματος.
11 ιθʹ. Ὄντος πάλιν ἴσου τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ δεῖξαι ὅτι γίνεται ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΕ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΓΒ
15πρὸς τὴν ΒΕ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς λοιπὴν τὴν ΔΕ ἐστὶν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ λοιπὴ ἡ ΑΔ πρὸς λοιπὴν τὴν ΓΕ ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ. καὶ ἀνάπαλιν· ὥστε ὁ συνημμένος λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΔ, ὅς
20ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΕ καὶ ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΑΔ, ὅς ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔΕ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΕ.
25nἌλλως τὸ αὐτό.
26 κʹ. Ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ, λοιπὴ ἡ ΑΓ πρὸς λοιπὴν τὴν ΔΕ ἐστὶν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ. ἀναστρέψαντί ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς
τὴν τῶν ΑΓ ΔΕ ὑπεροχήν, οὕτως [ἐστὶν] ἡ ΓΒ πρὸς τὴν

7

.

726

ΓΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΓ ΔΕ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ. πάλιν ἐπεὶ λοιπὴ ἡ ΑΓ πρὸς λοιπὴν τὴν ΔΕ γίνεται ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, διε‐ λόντι ὡς ἡ τῶν ΑΓ ΔΕ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ
5ΔΑ πρὸς τὴν ΔΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΓ ΔΕ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΔΒ· ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΓ ΔΕ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΓ ΔΕ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΔΒ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔΕ,
10ὅπερ· ⁓
11nἌλλως τὸ αὐτό.
12 καʹ. Γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΓΔ ἡμικύκλιον τὸ ΓΖΔ, ἐφα‐ πτομένη ἤχθω ἡ ΒΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ ΓΖ ΔΖ ΕΖ. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΑΒΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΓΒΔ, ἀλλὰ τὸ
15ὑπὸ ΓΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τῆς ΒΖ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΖΕ γωνίᾳ τῇ Α ἴση ἐστίν. ἀλλὰ καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ ΒΖΔ τῇ ὑπὸ ΖΓΒ ἴση ἐστίν· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΖΔ γωνία λοιπῇ τῇ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ ἴση ἐστίν· ὡς ἄρα
20τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔΕ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ· ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔΕ. κβʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἐπ’ αὐτῆς δύο σημεῖα τὰ Γ
25Δ, ἔστω δὲ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ.
Κείσθω τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΔΕ· διελόντι ἄρα γίνεται ὡς

7

.

728

ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ, τουτέστιν πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΔΓ. ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἐστὶν κοινοῦ ὕψους παραληφθείσης τῆς ΑΕ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ ΓΒ· ἐστιν ἄρα ὡς
5τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ ΓΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΔΓ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ ΓΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΔΓ. ἀνάλογον καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΕ, τουτέστιν πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ὅλην τὴν
10ΒΔ ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ὅπερ· ⁓ κγʹ. Ἔστω δὴ πάλιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ· ὅτι γίνεται ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΒΓ τῷ ἀπὸ ΒΔ τετραγώνῳ.
15 Κείσθω τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΔΕ· κατὰ διαίρεσιν ἄρα γίνε‐ ται ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΑ ΒΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔΕ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ ΒΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔΕ. ἀνάλογον καὶ διελόντι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΔ
20πρὸς τὴν ΔΕ, τουτέστιν πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΓΒ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς λοιπὴν τὴν ΔΒ ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΓΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΔ τετραγώνῳ. κδʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἐπ’ αὐτῆς τρία σημεῖα τὰ Γ
25Δ Ε, ἔστω δὲ ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ· ὅτι γίνεται καὶ ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ. Εἰλήφθω γὰρ ἰσότητος σημεῖον τὸ Ζ, ὥστε ἴσον εἶναι
30τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΔ τῷ ὑπὸ ΒΖΕ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ

7

.

730

πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔΕ (λῆμμα γὰρ ἐν δωρισμένῃ). ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΒΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ
5ἀπὸ ΓΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΖΔ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΒΖΕ, ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΖΓ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕ‐ τως τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ. ὡς δέ ἐστιν ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΔ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΔ, οὕτως ἐστὶν
10τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ.
11nἌλλως τὸ αὐτό.
12 κεʹ. Γεγράφθω ἐπὶ τῶν ΑΕ ΔΒ εὐθειῶν ἡμικύκλια τὰ ΑΖΕ ΔΖΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ ΖΓ ΖΔ ΖΕ ΖΒ. ἐπεὶ οὖν αἱ ὑπὸ ΑΖΒ ΔΖΕ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰ‐
15σίν, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΒΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔΕ, οὕτως ἦν τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ, ὥστε καὶ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕ‐
20τως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΔ· δίχα ἄρα τέτμηται ἡ ὑπὸ ΑΖΔ γωνία τῇ ΖΓ εὐθείᾳ. ἀλλὰ καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΒΖ ἐπὶ τὸ Η, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΑ γωνίᾳ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΖΓ ὅλῃ τῇ ὑπὸ τῶν ΓΖΗ γωνίᾳ ἴση ἐστίν· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς
25τὴν ΖΕ, καὶ ὡς τὸ ἀπὸ πρὸς τὸ ἀπό. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ

7

.

732

ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΔ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ, ὅπερ·⁓ κϛʹ. Ἔστω πάλιν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΒ,
5οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ· ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ. Εἰλήφθω πάλιν ἰσότητος σημεῖον τὸ Ζ, ὥστε ἴσον εἶναι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖΕ. ἔστιν ἄρα ὡς
10ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΖΕ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΑΖΒ,
15τῷ ἀπὸ ΖΔ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ. ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒΕ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ, ὅπερ·⁓
20Ἄλλως τὸ αὐτό. κζʹ. Γεγράφθω περὶ τὰς ΑΕ ΓΒ ἡμικύκλια τὰ ΑΖΕ ΓΖΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ ΓΖ ΔΖ ΕΖ ΒΖ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΖΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΖΒ γωνίᾳ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΑΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΖ
25πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΑΓΒ, πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΒ, οὕτως ἦν τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ· καὶ ὥς ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ, ὥστε καὶ ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΖΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΕ

7

.

734

γωνίᾳ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΖΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΖΕ γω‐ νίᾳ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΔ γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΒΖΔ γωνίᾳ ἴση ἐστίν· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς
5τὸ ἀπὸ ΖΒ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒΕ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ, ὅπερ· ⁓
8nΛήμματα χρήσιμα εἰς τὸ δεύτερον διωρισμένης τομῆς.
9αʹ. Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τρία σημεῖα τὰ Γ Δ Ε,
10ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον εἶναι τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, καὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΑΕ ΓΒ ἴση κείσθω ἡ Ζ· ὅτι γίνεται τὸ μὲν ὑπὸ τῶν Ζ ΑΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν Ζ ΓΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓΕ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν Ζ ΒΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν Ζ ΔΕ τῷ ὑπὸ
15τῶν ΑΕΓ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, ἀνάλογον [καὶ ἀνάπαλιν] καὶ ὅλη πρὸς ὅλην καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ἡ ΒΓ ΑΕ, τουτέστιν ἡ Ζ, πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Ζ ΑΔ ἴσον
20ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ. πάλιν ἐπεὶ ὅλη ἡ ΑΕ πρὸς ὅλην τὴν ΓΒ ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ, συνθέντι ἐστὶν ὡς συναμφότερος ἡ ΑΕ ΓΒ πρὸς τὴν ΓΒ, τουτέστιν ὡς ἡ Ζ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΓΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Ζ ΓΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓΕ. τὰ αὐτὰ καὶ ἐπὶ τῶν
25λοιπῶν· γίνεται ἄρα τέσσαρα. βʹ. Ἔστω νῦν πάλιν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, καὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΑΕ ΓΒ ἴση κείσθω ἡ Ζ· ὅτι πάλιν γίνεται τέσσαρα, τὸ μὲν ὑπὸ τῶν Ζ ΑΔ ἴσον
τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν Ζ ΓΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν

7

.

736

ΒΓΕ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν Ζ ΒΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν Ζ ΔΕ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, ἀνάλογον καὶ ἀνάπαλιν καὶ λοιπὴ πρὸς λοιπὴν καὶ
5συνθέντι ἔστιν ἄρα ὡς συναμφότερος ἡ ΑΕ ΓΒ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ. συναμφότερος δὲ ἡ ΑΕ ΓΒ ἴση ἐστὶν τῇ Ζ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ζ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕ‐ τως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Ζ ΑΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν
10ΔΒ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς λοιπὴν τὴν ΓΒ ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ. συνθέντι ὡς συναμφότερος ἡ ΑΕ ΓΒ, τουτέστιν ὡς ἡ Ζ, πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Ζ ΓΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓΕ. τὰ δ’ αὐτὰ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δύο
15δείξομεν· γίνεται ἄρα τέσσαρα. γʹ. Ἔστω δὲ ἐκτὸς τῆς ὅλης τὸ σημεῖον, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ· ὅτι πάλιν, ἐὰν τῇ τῶν ΑΕ ΓΒ ὑπεροχῇ ἴση τεθῇ ἡ Ζ, γίνεται τέσσαρα, τὸ μὲν ὑπὸ τῶν Ζ ΑΔ ἴσον τῶ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ, τὸ δὲ ὑπὸ
20Ζ ΓΔ τῷ ὑπὸ ΒΓΕ, τὸ δὲ ὑπὸ Ζ ΒΔ τῷ ὑπὸ ΑΒΓ, τὸ δὲ ὑπὸ Ζ ΔΕ τῷ ὑπὸ ΑΕΓ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, ἀνάλογον καὶ λοιπὴ πρὸς λοιπὴν καὶ ἀναστρέψαντι ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν τῶν ΑΕ ΓΒ ὑπεροχήν, οὕτως ἡ
25ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ. ἡ δὲ τῶν ΑΕ ΓΒ ὑπεροχή ἐστιν ἡ Ζ· τὸ ἄρα ὑπὸ Ζ ΑΔ ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΑΕ. πάλιν ἐπεὶ λοιπὴ ἡ ΑΕ πρὸς λοιπὴν τὴν ΒΓ ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ, διελόντι ἐστὶν ὡς ἡ τῶν ΑΕ ΒΓ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τὴς τῶν ΑΕ
30ΒΓ ὑπεροχῆς, τουτέστιν τῆς Ζ καὶ τῆς ΓΔ, ἴσον τῷ ὑπὸ

7

.

738

τῶν ΒΓΕ. τὰ δὲ αὐτὰ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δύο δείξομεν· γίνεται ἄρα τέσσαρα. δʹ. Τούτου δ’ ἂν δειχθέντος ῥᾳδίως εὑρεθείη τὰ εἰς τὸ πρῶτον διωρισμένης· τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ὅτι γίνε‐
5ται ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. Ἐπεὶ γὰρ δέδεικται τὸ μὲν ὑπὸ τῶν Ζ ΒΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν Ζ ΔΕ τῷ ὑπὸ ΑΕΓ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ Ζ ΔΒ πρὸς τὸ ὑπὸ Ζ ΔΕ, τουτέστιν ὡς
10ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ.
12nΕἰς τὸ πρῶτον ἐπίταγμα τοῦ πρώτου προβλήματος.
13 εʹ. Ἔστω πάλιν ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, καὶ τυχὸν σημεῖον ἔστω τὸ Ζ· ὅτι, ἐὰν συναμφο‐
15τέρῳ τῇ ΑΕ ΓΒ ἴση τεθῇ ἡ Η, τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΖΕ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ τῶν Η ΔΖ. Ἐπεὶ γὰρ προδέδεικται τὸ ὑπὸ τῶν Η ΔΕ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ὑπὸ τῶν Η ΖΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν Η ΔΖ ἡ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ
20τῶν ΑΕΓ τοῦ ὑπὸ τῶν Η ΕΖ. ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ τοῦ ὑπὸ τῶν Η ΕΖ, κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΕΖ, τούτῳ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ ΓΖ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΖΕ· ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ ΓΖ τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒ ΖΕ, κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΖΕ,
25τούτῳ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΖΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΖΕ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ
τῶν Η ΔΖ, ὅπερ· ⁓

7

.

740

(1n)

Ἄλλο εἰς τὸ τρίτον τοῦ δευτέρου.
2 ϛʹ. Ἔστω τὸ σημεῖον μεταξὺ τῶν Ε Β τὸ Ζ· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν Η ΔΖ. Ἐπεὶ γὰρ προαποδέδεικται τὸ ὑπὸ τῶν Η ΔΕ ἴσον
5τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ Η ΕΖ· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν Η ΔΖ ἴσον τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΕΓ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΖ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΕΖ. ἀλλὰ καὶ τὸ ὑπὸ ΑΕΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΕΖ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕ ΓΖ· γέ‐ γονεν οὖν τὸ ὑπὸ Η ΔΖ ἴσον τῷ τε ὑπὸ ΑΕ ΓΖ καὶ τῷ
10ὑπὸ ΓΒ ΕΖ. ἀλλὰ πάλιν τὸ ὑπὸ ΓΒ ΕΖ ἴσον τῷ τε ὑπὸ ΓΖΕ καὶ τῷ ὑπὸ ΕΖΒ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΕ ΓΖ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΖΕ ὅλον [ἄρα] ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΖΓ, εἴχομεν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΕΖΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Η ΔΖ ἴσον τῷ τε ὑπὸ ΑΖΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΕΖΒ.
15nΕἰς τὸ πρῶτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος.
16 ζʹ. Ἔστω πάλιν τὸ σημεῖον ἐκτὸς τῆς ΑΒ τὸ Ζ· δεῖ‐ ξαι ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ Η ΔΖ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν Η ΔΒ ἴσον τῷ ὑπὸ ΑΒΓ, κοι‐
20νὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ τῶν Η ΒΖ· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν Η ΔΖ ἴσον τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΒΓ καὶ τῷ ὑπὸ Η ΒΖ, τουτέστιν τῷ τε ὑπὸ ΑΕ ΒΖ καὶ τῷ ὑπὸ ΓΒΖ. τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΒΖ ὅλον [ἄρα] ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΖ ΓΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ Η ΔΖ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΖ
25ΓΒ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ ΒΖ. τὸ δὲ ὑπὸ ΑΖ ΓΒ μετὰ τοῦ

7

.

742

ὑπὸ ΑΕ ΒΖ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΖΒ· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Η ΔΖ ἄρα ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΖΒ.
4nΕἰς τὸ δεύτερον ἐπίταγμα τοῦ πρώτου προβλήματος.
5 ηʹ. Ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΕΔΒ, σημεῖον ἔστω τὸ Ζ μεταξὺ τῶν Δ Γ, καὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΑΕ ΓΒ ἴση κείσθω ἡ Η· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖΒ τοῦ ὑπὸ ΑΖΓ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ τῶν Η ΔΖ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν Η ΔΓ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓΕ,
10κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ὑπὸ τῶν Η ΖΓ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ Η ΔΖ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΒ τοῦ ὑπὸ τῶν Η ΓΖ. ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΒ τοῦ ὑπὸ τῶν Η ΖΓ, κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ὑπὸ ΒΓΖ, τούτῳ ὑπερ‐ έχει τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ ΓΒ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΖΓ· ᾧ δὲ ὑπερ‐
15έχει τὸ ὑπὸ ΕΖ ΓΒ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΖΓ, κοινοῦ προστε‐ θέντος τοῦ ὑπὸ ΕΖΓ, τούτῳ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΕΖΒ τοῦ ὑπὸ ΑΖΓ· καὶ τὸ ὑπὸ ΕΖΒ ἄρα τοῦ ὑπὸ ΑΖΓ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ Η ΔΖ.
19nΕἰς τὸ δεύτερον ἐπίταγμα τοῦ δευτέρου προβλήματος.
20 θʹ. Ἀλλὰ ἔστω τὸ σημεῖον μεταξὺ τῶν Γ Β τὸ Ζ· ὅτι γίνεται τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΖΕ ἴσον τῷ ὑπὸ Η ΔΖ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν Η ΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓΕ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ Η ΓΖ· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ
25τῶν Η ΔΖ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΒΓΕ καὶ τῷ ὑπὸ Η ΓΖ, ὅ ἐστιν τῷ τε ὑπὸ ΑΕ ΓΖ καὶ τῷ ὑπὸ ΒΓΖ. ἀλλὰ τὸ
ὑπὸ ΕΓΒ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓΖ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΕΖ ΓΒ·

7

.

744

γέγονεν οὖν τὸ ὑπὸ ΕΖ ΓΒ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΓΖ ἴσον τῷ ὑπὸ Η ΔΖ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΕΖ ΓΒ ἴσον τῷ τε ὑπὸ ΕΖΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΒΖΕ, τὸ δὲ ὑπὸ ΕΓΖ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΓΖ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΖΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ
5τοῦ ὑπὸ ΒΖΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Η ΔΖ.
6nΕἰς τὸ δεύτερον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος.
7 ιʹ. Ἔστω δὴ τὸ σημεῖον ἐκτὸς τῆς ΑΒ τὸ Ζ· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΖΒ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ τῶν Η ΔΖ.
10 Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν Η ΔΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ τῶν Η ΒΖ· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΗΔΖ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΒΓ καὶ τῷ ὑπὸ Η ΒΖ, ὅ ἐστιν τῷ τε ὑπὸ ΑΕ ΖΒ καὶ τῷ ὑπὸ ΓΒΖ. τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΒΖ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΖ
15ΓΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΖ ΓΒ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΖΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΗΔΖ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΑΖ ΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΖΒ ὑπεροχή ἐστιν, ᾗ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ· καὶ τὸ ὑπὸ ΑΖΓ ἄρα τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ Η ΔΖ, ὅπερ· ⁓
20nΕἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ πρώτου προβλήματος.
21 ιαʹ. Ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ ΔΓ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ ΔΕ, καὶ τῇ τῶν ΑΕ ΒΓ ὑπεροχῇ ἴση κείσθω ἡ Η, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον τὸ Ζ μεταξὺ τῶν Ε Β· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ τῆς Η καὶ τῆς ΖΔ.
25 Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν Η ΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΒΓ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ Η ΒΖ· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ Η
ΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΒΓ καὶ τῷ ὑπὸ Η ΒΖ, ὅ

7

.

746

ἐστιν τῷ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΒΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΖ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΑΒΓ τὸ ὑπὸ ΑΖ ΒΓ ἐστὶν καὶ τὸ ὑπὸ ΖΒ ΒΓ· γέγονεν οὖν τὸ ὑπὸ Η ΖΔ ἴσον τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΖ ΒΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΓΒ ΒΖ καὶ τῷ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΓΒ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΖ.
5τὸ δὲ ὑπὸ ΓΒ ΒΖ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΓΒ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΖ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕ ΖΒ τὸ οὖν ὑπὸ Η ΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΖ ΓΒ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ ΖΒ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΑΖ ΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΖΒ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΖΓ
10τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ Η ΖΔ, ὅπερ· ⁓
11nΕἰς τὸ πρῶτον ἐπίταγμα τοῦ δευτέρου προβλήματος.
12 ιβʹ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἔστω τὸ Ζ σημεῖον με‐ ταξὺ τῶν Β Γ· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῆς Η καὶ τῆς ΖΔ.
15 Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ Η ΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΓΒ, κοι‐ νὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ Η ΖΓ· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ Η ΖΔ τῷ ὑπὸ ΕΓΒ καὶ τῷ ὑπὸ Η ΖΓ ἐστὶν ἴσον. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ Η ΖΓ τὸ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΒΓ ἐστὶν ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΖΓ, τὸ δὲ ὑπὸ ΕΓΒ τὸ ὑπὸ ΒΓΖ ἐστὶν καὶ τὸ ὑπὸ
20ΕΖ ΒΓ· γέγονεν οὖν τὸ ὑπὸ Η ΖΔ ἴσον τῷ ὑπὸ ΕΖ ΒΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΒΓΖ καὶ τῷ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΒΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΓΖ. τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΒΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΓΖ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓΖ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕ ΓΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ Η ΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΕ ΓΖ καὶ τῷ ὑπὸ
25ΕΖ ΓΒ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΕΖ ΒΓ τό τε ὑπὸ ΕΖ ΖΓ ἐστὶν καὶ τὸ ὑπὸ ΕΖ ΖΒ, τὸ δὲ ὑπὸ ΕΖΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΖΓ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΖΓ. εἴχομεν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΕΖΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ἴσον ἐστὶν
τῷ ὑπὸ Η ΖΔ, ὅπερ· ⁓

7

.

748

(1n)

Εἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος.
2 ιγʹ. Ἔστω πάλιν τὸ σημεῖον μεταξὺ τῶν Γ Δ· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ἐλλείπει τῷ ὑπὸ Η ΖΔ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ Η ΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΓΒ, κοι‐
5νὸν ἀφῃρήσθω τὸ ὑπὸ Η ΓΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ Η ΖΔ ὑπεροχή ἐστιν, ᾗ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΕΓΒ τοῦ ὑπὸ Η ΓΖ, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΓΒ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΓΖ. ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΕΓΒ τοῦ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΓΒ ὑπερ‐ οχῆς καὶ τῆς ΓΖ, κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ὑπὸ ΖΓΒ,
10τούτῳ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΕΖ ΒΓ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΓΖ. ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΕΖ ΒΓ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΓΖ, κοινοῦ προστεθέν‐ τος τοῦ ὑπὸ ΕΖΓ, τούτῳ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΕΖΒ τοῦ ὑπὸ ΑΖΓ· ὥστε τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ἐλλείπει τῷ ὑπὸ τῆς Η καὶ τῆς ΖΔ.
15nΕἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος.
16 ιδʹ. Ἀλλὰ ἔστω ἐκτὸς τὸ Ζ σημεῖον· ὅτι πάλιν τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ Η ΔΖ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΗΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΓΒ, ἀμ‐ φότερα ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ὑπὸ Η ΓΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ
20ὑπὸ ΗΔΖ ἡ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ Η ΓΖ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ. ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ Η ΓΖ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ, κοι‐ νοῦ προστεθέντος τοῦ ὑπὸ ΒΓΖ, τούτῳ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΑΕ ΓΖ τοῦ ὑπὸ ΕΖ ΒΓ· ἡ γὰρ τῶν ΑΕ ΒΓ ὑπεροχὴ μετὰ
τῆς ΒΓ ἡ ΑΕ ἐστίν. ᾧ δὲ πάλιν ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΑΕ ΓΖ

7

.

750

τοῦ ὑπὸ ΕΖ ΒΓ, κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ὑπὸ ΕΖΓ, τούτῳ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ Η ΔΖ.
4nΕἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος.
5 ιεʹ. Πάλιν ἔστω τὸ Ζ σημεῖον μεταξὺ τῶν Α Ε· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Η ΖΔ. Ἐπεὶ τὸ ὑπὸ Η ΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΒΓ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ Η ΒΖ· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ Η ΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΒΓ καὶ τῷ ὑπὸ Η ΖΒ. ἀλλὰ τὸ μὲν
10ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΖ ΒΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΖΒΓ, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΒΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΖΒ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΒΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΕ ΒΖ· τὸ ὑπὸ ΑΕ ΒΖ ἄρα ἐστὶν τό τε ὑπὸ ΒΖΕ καὶ τὸ ὑπὸ ΑΖΒ, ὃ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΖ ΒΓ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΖΓ· τὸ οὖν ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ
15τοῦ ὑπὸ ΒΖΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Η ΖΔ, ὅπερ· ⁓
16nΕἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος.
17 ιϛʹ. Ἔστω δὴ πάλιν ἐκτὸς τὸ Ζ σημεῖον· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ἐλλείπει τῷ ὑπὸ Η ΖΔ.[Omitted graphic marker] Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν Η ΑΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΑΕ,
20κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ Η ΑΖ· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ Η ΔΖ
ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΒΑΕ καὶ τῷ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΓΒ

7

.

752

ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΑΖ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΒΑΕ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΓΒ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΑΖ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΒ ΑΕ λεῖπον τῷ ὑπὸ ΖΑ ΒΓ, ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ Η ΖΔ ἡ ὑπερ‐ οχή ἐστιν, ᾗ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΒΖ ΑΕ τοῦ ὑπὸ ΖΑ ΒΓ.
5ἀλλὰ ᾧ τὸ ὑπὸ ΖΒ ΑΕ τοῦ ὑπὸ ΖΑ ΒΓ ὑπερέχει, κοι‐ νοῦ προστεθέντος τοῦ ὑπὸ ΒΖΑ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ ὑπὸ ΒΖΕ τοῦ ὑπὸ ΓΖΑ· τὸ οὖν ὑπὸ ΒΖΕ τοῦ ὑπὸ ΓΖΑ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ Η ΖΔ, ὥστε τὸ ὑπὸ ΓΖΑ τοῦ ὑπὸ ΒΖΕ ἐλλείπει τῷ ὑπὸ Η ΖΔ, ὅπερ· ⁓
10nΕἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ πρώτου προβλήματος.
11 ιζʹ. Ἔστω ἡ ΑΒ ἴση τῇ ΓΔ, καὶ τυχὸν σημεῖον τὸ Ε μεταξὺ τῶν Β Γ σημείων· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΕ ΕΔ τοῦ ὑπὸ ΒΕ ΕΓ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ ΑΓΔ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΕ ΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΕ
15ΕΓ, τουτέστιν τῷ τε ὑπὸ ΒΕ ΕΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΒ ΕΓ, καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ ΑΕ ΓΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕ ΕΔ τοῦ ὑπὸ ΒΕ ΕΓ ὑπερέχει τῷ τε ὑπὸ ΕΓ ΑΒ, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΕΓ ΓΔ (ἴσαι γάρ εἰσιν αἱ ΑΒ ΓΔ), καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ ΓΔ. ἀλλὰ τό τε ὑπὸ ΕΓ ΓΔ καὶ τὸ ὑπὸ ΑΕ ΓΔ γίνεται ὅλον τὸ
20ὑπὸ ΑΓ ΓΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕ ΕΔ τοῦ ὑπὸ ΒΕ ΕΓ ὑπερ‐ έχει τῷ ὑπὸ ΑΓ ΓΔ.
22nΕἰς τὸ πρῶτον ἐπίταγμα τοῦ δευτέρου προβλήματος.
23 ιηʹ. Ἔστω ἡ ΑΒ ἴση τῇ ΓΔ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον μεταξὺ τῶν Γ Δ τὸ Ε· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΕ ΕΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ
25ΒΕ ΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΔ.

7

.

754

 Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ ΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΓ ΕΔ καὶ τῷ ὑπὸ ΓΕ ΕΔ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΒΕ ΕΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΓ ΕΔ καὶ τῷ ὑπὸ ΓΕ ΕΔ καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ
5ΒΕ ΕΓ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΓΕ ΕΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΕ ΕΓ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΔ ΓΕ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΑΓΕ (ἴσαι γάρ εἰσιν καὶ ὅλαι αἱ ΑΓ ΒΔ), τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΕΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΓΕ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΓ ΓΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕ ΕΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΕ ΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΔ.
10nΛῆμμα χρήσιμον εἰς τοὺς μοναχοὺς τοῦ τε πρώτου καὶ
11nδευτέρου καὶ τοῦ τρίτου ἐπιτάγματος.
12 ιθʹ. Ἡμικυκλίου ὄντος τοῦ ΑΕΒ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΒΑ, καὶ ὀρθῶν τῶν ΓΕ ΔΖ, καὶ ἀχθείσης εὐθείας τῆς ΕΖΗ, καὶ ἐπ’ αὐτῆς καθέτου τῆς ΒΗ, γίνεται τρία· τὸ μὲν ὑπὸ
15ΓΒ ΒΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΒΗ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΓ ΔΒ τῷ ἀπὸ ΖΗ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΔ ΓΒ τῷ ἀπὸ ΕΗ. [Omitted graphic marker] Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΗΓ ΗΔ ΑΖ ΖΒ. ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Ζ, καὶ
20κάθετος ἡ ΖΔ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΖΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΑΖ γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΖΒ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΔΗΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΖ, ἐὰν
25ἐπιζευχθῇ ἡ ΕΒ, τῇ ὑπὸ ΒΕΖ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ΒΓΗ· καὶ ἡ ὑπὸ ΔΗΒ ἄρα ἴση τῇ ΒΓΗ· ὥστε τὸ ὑπὸ ΓΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΗ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλον τὸ ὑπὸ ΑΒΔ ἴσον
τῷ ἀπὸ ΒΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΓ ΔΒ ἴσον ἐστὶν τῷ

7

.

756

ἀπὸ ΖΗ. πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΕ τετραγώνῳ, ὧν τὸ ὑπὸ ΓΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΗ, λοι‐ πὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΔ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΗ τετρα‐ γώνῳ· γίνεται ἄρα τρία.
5nΕἰς τὸν μοναχὸν τοῦ τρίτου ἐπιτάγματος τοῦ δευτέρου
6nπροβλήματος.
7 κʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ διήχθωσαν αἱ ΑΔ ΒΖ ΓΕ, ἔστω δὲ ἡ μὲν ΑΔ ἐπὶ τῆς ΒΓ κάθετος, ἐν κύκλῳ δὲ τὰ Α Ζ Ε Η σημεῖα· ὅτι ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Ζ Ε γωνίαι.
10[Omitted graphic marker] Ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΔ, καὶ τῇ ΗΔ ἴση κείσθω ἡ ΔΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΘ ΘΓ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Θ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΗΓ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ΖΗΕ.
15ἀλλ’ ἦν ἡ ὑπὸ ΖΗΕ μετὰ τῆς Α δυσὶν ὀρθαῖς ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΘΓ ἄρα μετὰ τῆς Α δυσὶν ὀρθαῖς ἴση ἐστίν· ἐν κύκλῳ ἄρα ἔστιν τὰ Α Β Θ Γ ση‐
20μεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΘ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ΗΓΔ. εἰσὶν δὲ καὶ αἱ πρὸς τῷ Η κατὰ κορυφὴν ἴσαι ἀλλήλαις· λοιπὴ ἄρα ἡ Δ ἴση τῇ πρὸς τῷ Ε. ὀρθὴ δέ ἐστιν ἡ Δ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ πρὸς τῷ Ε ση‐
25μείῳ. διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ ἡ πρὸς τῷ Ζ γωνία ὀρθή ἐστιν· ὀρθαὶ ἄρα εἰσὶν αἱ πρὸς τοῖς Ζ Ε σημείοις, ὅπερ· ⁓ Ὁ μοναχὸς πρώτου προβλήματος τοῦ τρίτου ἐπιτάγματος. καʹ. Τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΔ, ἐὰν
γένηται ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓΔ, οὕτως τὸ

7

.

758

ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, [ὁ] μοναχὸς λόγος καὶ ἐλάχιστός ἐστιν ὁ τοῦ ὑπὸ ΑΕΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕΓ· λέγω δὴ ὅτι ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ὑπερ‐ οχῆς ᾗ ὑπερέχει ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ ΑΙ ΒΔ τῆς δυναμένης
5τὸ ὑπὸ ΑΒ ΓΔ. Γεγράφθω περὶ τὴν ΑΔ κύκλος, καὶ ἤχθωσαν ὀρθαὶ αἱ ΒΖ ΓΗ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓΔ, τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, καὶ μήκει ἄρα ἐστὶν
10ὡς ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Ζ Ε Η. ἔστω ἡ ΖΕΗ, καὶ ἐκβεβλή‐ σθω ἡ μὲν ΗΓ ἐπὶ τὸ Θ, ἐπιζευχθεῖσα δὲ ἡ ΖΘ ἐκβεβλή‐ σθω ἐπὶ τὸ Κ, καὶ ἐπ’ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΔΚ. καὶ διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον λῆμμα γίνεται τὸ μὲν ὑπὸ ΑΓ
15ΒΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΖΚ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒ ΓΔ τῷ ἀπὸ ΘΚ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΘ ἐστὶν ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ ΑΓ ΒΔ τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ ΑΒ ΓΔ. ἤχθω οὖν διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΖΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΛ. ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΖΘΛ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΕΓΗ ἐστὶν ἴση, ἔστιν
20δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Λ τῇ πρὸς τῷ Η γωνίᾳ ἴση, ἰσογώνια ἄρα τὰ τρίγωνα· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΛΖ πρὸς τὴν ΘΖ, τουτ‐ έστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΖΘ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΕΓ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, καὶ τὸ ὑπὸ ΗΕ ΕΖ, τουτέστιν τὸ
25ὑπὸ ΑΕ ΕΔ, πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕ ΕΓ. καὶ ἔστιν ὁ μὲν τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΕΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕ ΕΓ μοναχὸς καὶ ἐλάσσων [ὁ] λόγος, ἡ δὲ ΖΘ ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει ἡ δυναμένη τὸ
ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ ΑΒ ΓΔ [τουτέστιν

7

.

760

τὸ ἀπὸ τῆς ΖΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΘΚ], ὥστε ὁ μοναχὸς καὶ ἐλάσσων λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ ΑΓ ΒΔ τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ ΑΒ ΓΔ, ὅπερ· ⁓
5nὉ μοναχὸς τοῦ τρίτου ἐπιτάγματος τοῦ δευτέρου
6nπροβλήματος.
7 κβʹ. Πάλιν τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΔ, ἐὰν γένηται ὡς τὸ ὑπὸ ΑΔΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, μοναχὸς καὶ ἐλάσσων λόγος
10ἐστὶν ὁ τοῦ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΔ. λέγω δὴ ὅτι ὁ αὐ‐ τός ἐστιν τῷ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ καὶ τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ. [Omitted graphic marker] Ἤχθω ἀπὸ τοῦ
15Ε τῇ ΑΔ ὀρθὴ ἡ ΕΖ καὶ ἐκβεβλή‐ σθω, καὶ τῷ ὑπὸ ΑΔΒ ἴσον τὸ ἀπὸ ΖΔ, καὶ τῇ ΖΔ
20εὐθείᾳ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΓ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΔΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓΒ, οὕτως τὸ
25ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΗ, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν
30ΑΔΒ τῷ ἀπὸ ΖΔ, καὶ τὸ ὑπὸ ΑΓΒ ἄρα ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΗ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ ΖΒ ΑΗ ΗΒ. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΑΔΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΖ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΖΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΑΒ γωνίᾳ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ
35ἴση τῇ ὑπὸ ΒΑΗ. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΔ ἴση ἐστὶν τῇ

7

.

762

ὑπὸ ΒΘΗ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΘΗ ΒΗΘ γωνίαι, τουτέστιν (ἐὰν ἐκβληθῇ ἡ ΒΚ) ἡ ὑπὸ ΚΒΖ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΛΑΚ γωνίᾳ· ὥστε ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Α Λ Β Κ σημεῖα· [Omitted graphic marker]διὰ ἄρα τὸ προ‐
5γεγραμμένον γίνον‐ ται ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Κ Λ σημείοις γωνίαι. ἤχθω δὴ κάθετος ἐπὶ τὴν
10ΖΔ ἡ ΒΜ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΔΝ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ξ· κάθετος ἄρα ἐστὶν ἐπὶ τῆς ΖΛ
15καὶ παράλληλος τῇ ΗΛ. πάλιν δὲ ἐπι‐ ζευχθεῖσα ἡ ΗΓ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ο· κάθετος ἄρα
20ἐστὶν ἐπὶ τῆς ΒΝ (καὶ γὰρ ἡ ΖΔ ἐπὶ τῆς ΜΒ). ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΑΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΗ, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνίᾳ τῇ ΗΑΓ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπὸ ΒΗΓ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΓΝΒ ἐν κύκλῳ, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΑΒ
25ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΔΝ ἐν παραλλήλῳ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΝΓ

7

.

764

ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΔΝ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΔΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΝ τετραγώνῳ. ἐπεὶ δὲ ἐν τριγώνῳ τῷ ΒΔΖ κά‐ θετος ἦκται ἡ ΔΝΞ, καὶ κεκλασμέναι πρὸς αὐτῇ εἰσιν αἱ ΖΝ ΝΒ, ἡ ἄρα τῶν ἀπὸ ΖΔ ΔΒ ὑπεροχὴ ἴση τῇ τῶν
5ἀπὸ ΖΝ ΝΒ ὑπεροχῇ. ἀλλὰ ἡ τῶν ἀπὸ ΖΔ ΔΒ ὑπεροχή [Omitted graphic marker]ἐστιν τὸ ὑπὸ ΑΒΔ· καὶ ἡ τῶν ἀπὸ τῶν ΖΝ ΝΒ ἄρα ὑπερ‐ οχή ἐστιν τὸ ὑπὸ
10ΑΒΔ. ἔστιν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΔΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ ΒΝ· ἡ ΝΖ ἄρα ἐστὶν ἡ δυνα‐ μένη τὸ ὑπὸ τῶν
15ΑΓ ΒΔ. πάλιν ἐπεὶ ἡ τῶν ἀπὸ τῶν ΗΝ ΝΒ ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶν τῇ τῶν ἀπὸ τῶν ΗΓ ΓΒ
20ὑπεροχῇ, ἀλλὰ ἡ τῶν ἀπὸ τῶν ΗΓ ΓΒ ὑπεροχή ἐστιν τὸ ὑπὸ ΑΒ ΒΓ, καὶ ἡ τῶν ἀπὸ τῶν ΗΝ ΝΒ ἄρα ὑπεροχή ἐστιν τὸ ὑπὸ
25τῶν ΑΒ ΒΓ. ἔστιν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΔΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ ΒΝ· ἡ ΝΗ ἄρα ἐστὶν ἡ δυναμένη ὅλον τὸ ὑπὸ ΑΔ ΒΓ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΖΝ ἐστὶν ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ· ὅλη ἄρα
ἡ ΖΗ ἴση ἐστὶν τῇ τε δυναμένῃ τὸ ὑπὸ ΑΔ ΒΓ καὶ τῇ δυνα‐

7

.

766

μένῃ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ. ἐπειδὴ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΚΗ γωνία, καὶ κάθετος ἡ ΑΕ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΖΕΗ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΔ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ
5ΖΕΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ. καὶ ἔστιν ὁ μὲν τοῦ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΔ λόγος [ὁ] μοναχὸς καὶ ἐλάσσων, ἡ δὲ ΖΗ ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς δυναμένης
10τὸ ὑπὸ ΑΓ ΒΔ καὶ τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ ΑΔ ΒΓ· ὁ ἄρα μοναχὸς καὶ ἐλάσσων λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ ἀπὸ τῆς συγ‐ κειμένης ἔκ τε τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ ΑΓ ΒΔ καὶ τῆς δυ‐ ναμένης τὸ ὑπὸ ΑΔ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ.
14nΕἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος.
15 κγʹ. Ἔστω ἴση ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΓΔ, μεῖζον δὲ ὑπὸ ΒΕΓ τοῦ ὑπὸ ΑΒΔ· ὅτι τὸ ὑπὸ ΒΕΓ τοῦ ὑπὸ ΑΕΔ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ ΒΔΓ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΒΕΓ ἴσον τῷ τε ὑπὸ ΒΓΕ καὶ τῷ ἀπὸ ΕΓ, τουτέστιν καὶ τῷ ὑπὸ ΓΕΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΕΓΔ,
20ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΒΓΕ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΕΓΔ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΔ ΓΕ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΑΓ ΓΕ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΓΕ καὶ τῷ ὑπὸ ΓΕΔ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΓ ΕΔ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΓ ΓΔ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΓ ΕΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΕΔ ὅλον ἐστὶν τὸ
25ὑπὸ ΑΕΔ· γέγονεν οὖν τὸ ὑπὸ ΒΕΓ ἴσον τῷ τε ὑπὸ ΑΕΔ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΓΔ, ὅ ἐστιν τὸ ὑπὸ ΒΔ ΔΓ, ὥστε τὸ ὑπὸ
ΒΕΓ τοῦ ὑπὸ ΑΕΔ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ ΒΔΓ, ὅπερ· ⁓

7

.

768

(1n)

Μοναχὸς τοῦ τρίτου ἐπιτάγματος τοῦ τρίτου προβλήματος.
2 κδʹ. Τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΔ, καὶ προστιθεμένης τινὸς ΔΕ, ἐὰν γένηται ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, μονα‐
5χὸς καὶ μέγιστος λόγος ἐστὶν ὁ τοῦ ὑπὸ ΑΕΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕΓ· λέγω δὴ ὅτι ὁ αὐτός ἐστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ καὶ τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ ΑΒ ΓΔ.[Omitted graphic marker] Γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΔ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΗΔ, καὶ τῇ
10ΑΔ ὀρθαὶ ἤχθωσαν αἱ ΒΖ ΓΗ. ἐπεὶ οὖν γεγένηται ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΒΔ ἴσον ἐστὶν ἐν ἡμι‐ κυκλίῳ τῷ ἀπὸ ΒΖ, τῷ δὲ ὑπὸ ΑΓΔ ἴσον τὸ ἀπὸ ΓΗ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ
15ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ. καὶ μήκει· καὶ εἰσὶν παράλληλοι αἱ ΒΖ ΓΗ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Ζ Η Ε. ἔστω ἡ ΖΗΕ καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ ἐπ’ αὐτὴν κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΑΘ ΔΚ. ἐπεὶ οὖν μοναχὸς καὶ μέγιστος λόγος ἐστὶν ὁ τοῦ ὑπὸ ΑΕΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕΓ, ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΖΕΗ
20ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΕΔ, ὁ ἄρα μοναχὸς καὶ μέγιστος λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕΓ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕΓ, οὕτως ἐστὶν ἐν παραλ‐
λήλῳ τὸ ἀπὸ ΗΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΑΕ

7

.

770

πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΘ (ἐν κύκλῳ γὰρ τὰ Θ Α Γ Η σημεῖα, ἐπειδήπερ ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Θ Γ σημείοις γωνίαι). ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΕΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΘ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ ἐν παραλλήλῳ· ὁ ἄρα μοναχὸς καὶ
5μέγιστος λόγος ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ ΔΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ. ἡ δὲ ΘΚ ἐστὶν ἡ δυναμένη· τε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ καὶ ἡ τὸ ὑπὸ ΑΒ ΓΔ, ὥστε ὁ μοναχὸς καὶ μέγιστος λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ καὶ τῆς δυναμέ‐
10νης τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ ΓΔ. Τὸ πρῶτον διωρισμένης τομῆς ἔχει προβλήματα ϛʹ, ἐπιτάγματα ιϛʹ, διορισμοὺς δὲ εʹ, ὧν μέγιστοι μὲν δʹ, ἐλά‐ χιστος δὲ αʹ. καὶ εἰσὶν μέγιστοι μὲν ὅ τε κατὰ τὸ βʹ ἐπί‐ ταγμα τοῦ βʹ προβλήματος καὶ ὁ κατὰ τὸ τρίτον τοῦ τε‐
15τάρτου προβλήματος καὶ ὁ κατὰ τὸ τρίτον τοῦ πέμπτου καὶ ὁ κατὰ τὸ τρίτον τοῦ ἕκτου, ἐλάχιστος δὲ ὁ κατὰ τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος. τὸ δὲ δεύτερον διωρισμένης ἔχει προβλήματα τρία, ἐπιτάγματα θʹ, διο‐ ρισμοὺς γʹ, ὧν ἐλάχιστοι μὲν δύο, μέγιστος δὲ αʹ. καὶ
20εἰσὶν ἐλάχιστοι μὲν ὅ τε κατὰ τὸ τρίτον τοῦ πρώτου καὶ ὁ κατὰ τὸ τρίτον τοῦ δευτέρου, μέγιστος δὲ ὁ κατὰ τὸ γʹ τοῦ γʹ προβλήματος.
23nΝεύσεων πρῶτον.
24nΛῆμμα χρήσιμον εἰς τὸ πρῶτον πρόβλημα.
25 αʹ. Ἔστω μείζων ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, καὶ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΕΒ τῷ ὑπὸ ΓΖΔ· ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΑΕ τῆς ΓΖ. Καὶ τετμήσθω ἑκατέρα τῶν ΑΒ ΓΔ δίχα καθ’ ἑκά‐ τερα τῶν Η Θ σημείων· φανερὸν δὴ ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΗΒ τῆς ΘΔ. ἐπεὶ οὖν ἴσον μέν ἐστιν τὸ ὑπὸ ΑΕΒ τῷ
30ὑπὸ ΓΖΔ, μεῖζον δὲ τὸ ἀπὸ ΗΒ τοῦ ἀπὸ ΘΔ, μεῖζον

7

.

772

ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΑΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΒ, τοῦ ὑπὸ ΓΖΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΘΔ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΕ, τὸ δὲ ὑπὸ ΓΖΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΘΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΖΘ· μεῖζον ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ
5ἀπὸ ΗΕ τοῦ ἀπὸ ΘΖ, ὥστε μείζων ἐστὶν ἡ ΗΕ τῆς ΘΖ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΗ τῆς ΓΘ μείζων· ὅλη ἄρα ἡ ΑΕ ὅλης τῆς ΓΖ ἐστὶν μείζων. Ὁμοίως δὲ καί, ἐὰν ἐλάσσων ᾖ ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, καὶ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΕΒ τῷ ὑπὸ ΓΖΔ, ἐλάσσων ἔσται ὅλη ἡ ΑΕ ὅλης
10τῆς ΓΖ. βʹ. Ἔστω μείζων ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΓΔ κατὰ τὸ Ε· φανερὸν μὲν οὖν ὅτι δυνατόν ἐστιν τῷ ὑπὸ τῶν ΓΕ ΕΔ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν. τὸ μὲν γὰρ ὑπὸ ΓΕΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΕ, τὸ δὲ ἀπὸ ΓΕ ἔλασσόν
15ἐστιν τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ. παραβεβλήσθω, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΒ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΑΖ τῆς ΖΒ· πάλιν δὴ φανερὸν ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΑΖ τῆς ΓΕ, ἐλάσ‐ σων δὲ ἡ ΒΖ τῆς ΕΔ. Ἡ μὲν γὰρ ΑΖ τῆς μείζονος μείζων ἐστὶν ἢ ἡμίσεια,
20ἡ δὲ ΓΕ τῆς ἐλάσσονός ἐστιν ἡμίσεια [ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΖΒ]· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῆς ΓΕ, ὅπερ· ⁓ γʹ. Ἔστω δὴ πάλιν ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΖΒ τῷ ὑπὸ ΓΕΔ, καὶ ἐλάσσων ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, καὶ ἔτι ἐλάσσων μὲν ἡ ΔΕ
25τῆς ΕΓ, ἡ δὲ ΒΖ τῆς ΖΑ· ὅτι καὶ ἡ ΑΖ τῆς ΓΕ ἐλάσ‐ σων ἐστίν. Τετμήσθωσαν δὲ δίχα αἱ ΓΔ ΑΒ κατὰ τὰ Η Θ ση‐ μεῖα· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΑΘ τῆς ΓΗ, ὥστε καὶ τὸ
ἀπὸ ΑΘ τοῦ ἀπὸ ΓΗ ἐστὶν ἔλασσον. ἀλλὰ τὸ μὲν ἀπὸ ΑΘ

7

.

774

ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΖΒ καὶ τῷ ἀπὸ ΖΘ, τὸ δὲ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΓΕΔ καὶ τῷ ἀπὸ ΗΕ· καὶ τὸ ὑπὸ ΑΖΒ ἄρα μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΘ ἔλασσόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΓΕΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΕ. ὧν τὸ ὑπὸ ΑΖΒ ἴσον ὑπόκειται
5τῷ ὑπὸ ΓΕΔ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΘΖ ἔλασσόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΗΕ· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΖ τῆς ΗΕ. ἦν δὲ καὶ ἡ ΑΘ τῆς ΓΗ ἐλάσσων· ὅλη ἄρα ἡ ΑΖ ὅλης τῆς ΓΕ ἐστὶν ἐλάσσων. ἡ δὲ λοιπὴ τῆς λοιπῆς μείζων. δʹ. Ἔστω δὴ πάλιν μείζων ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, καὶ τετμή‐
10σθω ἡ ΓΔ κατὰ τὸ Ε, ὥστε τὴν ΔΕ τῆς ΕΓ μὴ εἶναι ἐλάσσονα· φανερὸν μὲν οὖν ὅτι δυνατόν ἐστιν τῷ ὑπὸ τῶν ΓΕΔ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν ἐλλεῖπον τετραγώνῳ. Ἐπεὶ γὰρ μὴ ἔστιν ἐλάσσων ἡ ΔΕ τῆς ΕΓ, ἤτοι ἴση ἐστὶν αὐτῇ ἢ μείζων. καὶ εἰ μὲν ἴση, ἴσον τὸ ὑπὸ ΓΕΔ
15τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΓΔ, ὥστε ἔλασσον τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ, εἰ δὲ μείζων, πολλῷ ἔλασσόν ἐστιν τὸ ὑπὸ ΓΕΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ (καὶ γὰρ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΓΔ ἐστὶν ἔλασσον). δυνατὸν ἄρα ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΓΕΔ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν ἐλλεῖ‐
20πον τετραγώνῳ. Παραβεβλήσθω, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΒ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα ἔστω ἡ ΑΖ· ὅτι δὴ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΖΒ τῆς ΓΕ. Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΔΕ τῆς ΕΓ οὐκ ἔστιν ἐλάσσων, ἤτοι ἄρα
25ἴση ἐστὶν ἢ μείζων. ἔστω πρότερον ἴση ἡ ΔΕ τῇ ΕΓ.

7

.

776

ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, καὶ ἔστι τῆς μὲν ΑΒ μείζων ἢ ἡμίσεια ἡ ΑΖ, τῆς δὲ ΓΔ ἡμίσεια ἡ ΔΕ, μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῆς ΔΕ. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΖΒ· μείζων ἄρα καὶ
5ἡ ΓΕ τῆς ΖΒ, ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΖΒ τῆς ΓΕ. Ἔστω δὲ μείζων ἡ ΔΕ τῆς ΕΓ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΓΔ κατὰ τὸ Η σημεῖον, ἡ δὲ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Θ ση‐ μεῖον. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, καὶ ἔστι τῆς μὲν ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΘΒ, τῆς δὲ ΓΔ ἡμίσεια ἡ ΓΗ, μείζων
10ἄρα ἡ ΘΒ τῆς ΓΗ, ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ ΘΒ τοῦ ἀπὸ ΓΗ μεῖζόν ἐστιν. ἀλλὰ τὸ μὲν ἀπὸ ΘΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΖΒ καὶ τῷ ἀπὸ ΖΘ, τὸ δὲ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ τῶν ΓΕΔ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ· μεῖζον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΖΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΘ τοῦ ὑπὸ ΓΕΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ
15ΕΗ. ὧν τὸ ὑπὸ ΑΖΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΓΕΔ· λοι‐ πὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΘΖ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΕΗ, ὥστε μεί‐ ζων ἐστὶν ἡ ΘΖ τῆς ΕΗ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΘ τῆς ΔΗ μείζων· ὅλη ἄρα ἡ ΑΖ ὅλης τῆς ΔΕ μείζων ἐστίν. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΖΒ·
20μείζων ἄρα καὶ ἡ ΓΕ τῆς ΖΒ, ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΖΒ τῆς ΓΕ, ὅπερ· ⁓
22nΕἰς τὸ ϛʹ πρόβλημα.
23 εʹ. Ἔστω ἐλάσσων μὲν ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ τῷ ὑπὸ ΓΖΔ· ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΕ τῆς ΓΖ.
25 Τετμήσθωσαν δίχα αἱ ΑΒ ΓΔ κατὰ τὰ Θ Η σημεῖα· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΒ τῆς ΗΔ. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ὑπὸ ΓΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΕΒ, τὸ δὲ ἀπὸ ΘΒ ἔλασσόν
ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΗΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΘΒ,

7

.

778

ὅ ἐστιν τὸ ἀπὸ ΘΕ, ἔλασσόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΓΖΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΔ, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΗΖ· ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΕΘ τῆς ΗΖ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΘ τῆς ΓΗ ἐλάσσων· ὅλη ἄρα ἡ ΑΕ ὅλης τῆς ΓΖ ἐστὶν ἐλάσσων.
5Ὁμοίως κἂν μείζων ᾖ, ἡ ὅλη τῆς ὅλης.
6nΠαραθεωρούμενον ἐν τῷ ηʹ προβλήματι.
7 ϛʹ. Ῥόμβου ὄντος τοῦ ΑΔ, οὗ διάμετρος ἡ ΒΓΕ, ἐὰν τῶν ΒΕ ΕΓ μέση ἀνάλογον ληφθῇ ἡ ΕΖ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ε διαστήματι δὲ τῷ ΕΖ κύκλος γραφῇ ὁ ΖΗΘ, καὶ
10ἐκβληθῇ ἡ ΛΓΗ, ἔσται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν Η Κ Β. [Omitted graphic marker] Ἐπεζεύχθω‐ σαν γὰρ αἱ ΛΕ ΕΚ ΒΚ ΚΗ ΗΕ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν
15ἡ ὑπὸ ΛΓΖ γω‐ νία τῇ ὑπὸ ΖΓΚ γωνίᾳ καὶ ἐφ’ ἑ‐ κάτερα τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου
20εἰσίν, αἱ ΛΓ ΓΚ ἴσαι εἰσίν (λῆμμα γάρ). ἀλλὰ καὶ ἡ ΛΕ τῇ ΕΚ ἴση ἐστίν· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΛΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΚΕ ἴση ἐστίν.
25ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΓΛΕ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΓΗΕ· καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΕ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΓΚΕ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΚΕ τῇ
ὑπὸ ΓΒΚ· καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΚ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΓΗΕ.

7

.

780

ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΗΓΕ τῇ ὑπὸ ΒΓΚ ἴση ἐστίν· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΕΗ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΓΚΒ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΓΕΗ μετὰ τῆς ὑπὸ ΓΚΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ ἡ ὑπὸ ΓΚΒ ἄρα μετὰ τῆς ὑπὸ ΓΚΗ γωνίας δυσὶν ὀρ‐
5θαῖς ἴσαι εἰσίν· ὥστε εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Β Κ Η σημείων.
7n[Λῆμμα χρήσιμον εἰς τὸ ἐπὶ τετραγώνων ποιούντων τὰ
8nαὐτὰ τῷ ῥόμβῳ.]
9ζʹ. Ἔστω τετράγωνον τὸ ΑΔ, καὶ ἤχθω ἡ ΒΗΕ, καὶ
10αὐτῇ ὀρθὴ ἤχθω ἡ ΕΖ· ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΓΔ ΗΕ τετρά‐ γωνα ἴσα ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ τετραγώνῳ. [Omitted graphic marker] Ἤχθω διὰ τοῦ Ε τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΕΘ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΕΘ γω‐
15νία. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΗ γωνία ὀρθή· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΗ γωνία, τουτ‐ έστιν ἡ ὑπὸ ΔΒΗ γωνία, τῇ ὑπὸ ΖΕΘ γωνίᾳ. ἔστιν δὲ
20καὶ ἡ ὑπὸ ΖΘΕ γωνία ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΒΔΗ ἴση, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΕΘ τῇ ΒΔ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΗΒ. ἐπεὶ δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΕ ΕΖ τετραγώ‐ νοις, ὧν τὸ ὑπὸ ΖΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΒΗ (ἐν κύκλῳ γάρ ἐστιν τὰ Δ Ζ Ε Η σημεῖα), λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΖΔ
25ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΒΕΗ καὶ τῷ ἀπὸ ΕΖ τετραγώνῳ, τουτέστιν καὶ τῷ ἀπὸ ΒΗ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΒΕΗ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΒΗ τετραγώνου τὸ ὑπὸ ΕΒΗ ἐστὶν μετὰ
τοῦ ἀπὸ ΕΗ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ

7

.

782

ΕΒΗ, τουτέστιν ὑπὸ ΖΒΔ, καὶ τῷ ἀπὸ ΗΕ. κοινὸν ἀφῃ‐ ρήσθω τὸ ὑπὸ ΒΔΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΖΔ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΔ ΗΕ, τουτέστιν τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΔ ΗΕ τετραγώνοις.
5nΠρόβλημα ὡς Ἡράκλειτος.
6 ηʹ. Τετραγώνου ὄντος θέσει τοῦ ΑΔ ποιεῖν δοθεῖσαν τὴν ΕΖ νεύουσαν ἐπὶ τὸ Β.[Omitted graphic marker] Γεγονέτω, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου τῇ ΒΕ ὀρθογώνιος ἤχθω ἡ ΕΗ. ἐπεὶ οὖν τὰ ἀπὸ τῶν ΓΔ ΖΕ τετράγωνα ἴσα
10ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΗ τετραγώνῳ, δοθέντα δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΔ ΖΕ (δοθέντα γὰρ ἑκάτερα τῷ μεγέθει), δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΔΗ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ τῷ μεγέθει· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΒΗ δέδοται τῷ μεγέθει. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει· δέδοται ἄρα τῇ θέσει τὸ ἐπὶ τῆς ΒΗ ἡμικύκλιον. καὶ ἔρ‐
15χεται διὰ τοῦ Ε· τὸ Ε ἄρα θέσει περιφερείας ἅπτεται. ἀλλὰ καὶ θέσει εὐθείας τῆς ΑΕ· δοθὲν ἄρα ἐστίν. ἀλλὰ καὶ τὸ Β ἐστὶν δοθέν· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ. Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως· ἔστω τὸ μὲν τετράγωνον τὸ ΑΔ, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ Θ, καὶ τοῖς
20ἀπὸ τῶν ΓΔ Θ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς ΔΗ τετράγωνον· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΔ τῆς ΔΓ, ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ ΗΔ ΔΒ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΔΓ· τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΒΗ ἡμι‐
κύκλιον γραφόμενον ὑπερπεσεῖται τὸ Γ σημεῖον. γεγράφθω,

7

.

784

καὶ ἔστω τὸ ΒΚΕΗ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ ΕΗ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΔ ΕΖ τε‐ τράγωνα ἴσα ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΔ τετραγώνῳ. τῷ δὲ ἀπὸ ΔΗ ἴσα ἐτέθη τὰ ἀπὸ τῶν ΓΔ Θ τετράγωνα· ἴσα ἄρα
5ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ΓΔ Θ τετράγωνα τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΔ ΕΖ, ὥστε ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ Θ τῷ ἀπὸ ΕΖ τετραγώνῳ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Θ τῇ ΕΖ. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ΕΖ· ἡ ΕΖ ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα. Λέγω δὴ ὅτι καὶ μόνη. διήχθω γάρ τις καὶ ἑτέρα ἡ
10ΒΛ. εἰ δὴ καὶ ἡ ΒΛ ποιεῖ τὸ πρόβλημα, ἔσται ἴση ἡ ΝΛ τῇ ΕΖ. μείζων δὲ ἡ ΖΒ τῆς ΝΒ· ὅλη ἄρα ἡ ΒΛ ἐλάσσων ἔσται τῆς ΒΕ, ὅπερ ἄτοπον· ἔστιν γὰρ μείζων· οὐκ ἄρα ἡ ΒΛ ποιεῖ τὸ πρόβλημα· ἡ ΒΕ ἄρα μόνη. Ἵνα δὲ καὶ ἐπιγνῶμεν, ποτέρα αὐτῶν μείζων, δείξο‐
15μεν οὕτως· ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ΛΒ τῆς ΒΕ, ἡ δὲ ΒΖ τῆς ΒΝ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΝΛ τῆς ΖΕ μείζων ἐστίν. καὶ φα‐ νερὸν ὅτι αἰεὶ ἡ ἔγγιστα τοῦ Γ σημείου τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων.
19nΛῆμμα χρήσιμον εἰς τὸν τοῦ θʹ προβλήματος διορισμόν,
20nὡς ἐν τοῖς ἀρχαίοις.
21 θʹ. Ἔστω ἴση ἡ ΒΑ τῇ ΑΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Δ σημεῖον· ὅτι ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ΒΓ πασῶν τῶν διὰ τοῦ Δ σημείου διαγομένων εὐθειῶν. Διήχθω γάρ τις καὶ ἑτέρα ἡ ΕΖ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ
25ΑΒ ἐπὶ τὸ Ζ· ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΕΖ τῆς ΓΒ. ἐπεὶ μεί‐ ζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία, τουτέστιν ἡ Γ, τῆς ὑπὸ
ΒΖΕ, δυνατόν ἐστιν τῇ ὑπὸ ΒΖΕ ἴσην ἀπὸ τῆς Γ ἀφελεῖν.

7

.

786

ἔστω αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ ΔΓΗ γωνία· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΒ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΗ. μείζων δὲ ἡ [Omitted graphic marker]ΖΔ τῆς ΔΒ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΓΔ τῆς ΔΗ. ἐπεὶ οὖν μεί‐
5ζων ἐστὶν ἡ ΖΔ τῆς ΔΒ, τουτ‐ έστιν τῆς ΔΓ, ἀλλὰ ἡ ΔΓ τῆς ΔΗ μείζων ἐστίν, μεγίστη ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΔ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΔΗ. ἐπεὶ οὖν τέσσαρες εὐθεῖαι
10ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΖΔ ΔΒ ΔΓ ΔΗ, καὶ ἔστιν μεγίστη μὲν ἡ ΖΔ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΔΗ, μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῆς ΒΓ, ὥστε ἡ ΒΓ, ἐλάσσων οὖ‐
15σα τῆς ΖΗ, πολλῷ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ΕΖ. ὁμοίως δείξο‐ μεν ὅτι καὶ πασῶν τῶν διὰ τοῦ Δ διαγομένων εὐθειῶν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΒΓ.
20 Ἡ ΒΓ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν πασῶν τῶν διὰ τοῦ Δ δια‐ γομένων εὐθειῶν· λέγω δὴ ὅτι καὶ ἡ ἔγγιστα αὐτῆς τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ἐστίν. διήχθω γάρ τις καὶ ἑτέρα ἡ ΘΚ, καὶ τῇ Κ γωνίᾳ ἴση συνεστάτω ἡ ὑπὸ ΔΕΛ (δυνατὸν γάρ). πάλιν δὴ μείζων ἡ μὲν ΚΔ τῆς ΖΔ, ἡ δὲ ΕΔ τῆς ΔΛ,
25ὥστε ὅλη ἡ ΚΛ μείζων ἐστὶν τῆς ΕΖ· πολλῷ ἄρα μείζων ἡ ΘΚ τῆς ΕΖ, ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΕΖ τῆς ΘΚ. ἐλάσ‐ σων μὲν ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ πασῶν τῶν διὰ τοῦ Δ διαγομέ‐ νων εὐθειῶν, ἡ δὲ ἔγγιστα αὐτῆς τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων. ιʹ. Τούτου ὄντος, φανερὸς ὁ διορισμός. ἐὰν γὰρ ἐκ‐
30θώμεθα τὸν ῥόμβον τὸν ΑΒΓΔ, καὶ ἐπιζεύξας τὴν ΑΔ ἀγάγω αὐτῇ ὀρθὴν τὴν ΕΖ συμπίπτουσαν ταῖς ΑΓ ΑΒ κατὰ τὰ Ε Ζ, δεῖ με διορίζεσθαι πότερον μεγίστη ἐστὶν ἢ ἐλάσσων πασῶν τῶν διὰ τοῦ Δ διαγομένων εὐθειῶν.
καὶ ἐπεὶ διαγώνιός ἐστιν ἡ ΑΔ, καὶ τῇ ΑΔ ὀρθὴ ἡ ΕΖ,

7

.

788

γέγονέ μοι ἰσοσκελὲς τρίγωνον τὸ ΕΑΖ ἴσην ἔχον τὴν ΕΑ τῇ ΑΖ. διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον λῆμμα γίνεται ἡ ΕΖ ἐλάσσων πασῶν τῶν διὰ τοῦ Δ διαγομένων εὐθειῶν, καὶ αἰεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων.
5nΝεύσεων δεύτερον.
6 αʹ. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, διήχθω τυχοῦσα ἡ ΔΕ, καὶ ἐπ’ αὐτὴν κάθετοι αἱ ΑΔ ΒΕ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΔΖ τῇ ΗΕ. Εἰλήφθω τὸ τοῦ ἡμικυκλίου κέντρον τὸ Θ, καὶ ἐπὶ τὴν
10ΔΕ κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ταῖς ΑΔ ΒΕ, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΚ τῇ ΚΗ. ἐπεὶ δὲ τρεῖς εἰσιν παράλληλοι αἱ ΑΔ ΘΚ ΒΕ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΑΘ τῇ ΘΒ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΕ. ὧν ἡ ΖΚ τῇ ΚΗ ἐστὶν ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΖ λοιπῇ τῇ ΗΕ ἐστὶν ἴση.
15 Καὶ φανερὸν ὅτι καὶ ἡ ΔΗ τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν. βʹ. Ἔστω πάλιν ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ ἐφα‐ πτομένη ἤχθω ἡ ΓΔ καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ κάθετοι ἐπ’ αὐ‐ τὴν αἱ ΑΕ ΒΖ· ὅτι πάλιν ἴση ἡ ΕΔ τῇ ΔΖ. Ἔστω τὸ κέντρον τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΗ· παρ‐
20άλληλος ἄρα ἐστὶν ταῖς ΑΕ ΒΖ (γίνονται γὰρ ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Δ γωνίαι). ἐπεὶ οὖν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΑΕ ΗΔ ΒΖ, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΔ τῇ ΔΖ, ὅπερ· ⁓
24nΕἰς τὸ εʹ πρόβλημα.
25 γʹ. Ἔστω δύο ἡμικύκλια ἐπὶ τῆς ΑΓ τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ ἔστω ἴση ἡ ΑΔ τῇ ΓΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ διήχθω ἡ ΒΓ·
ὅτι ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ΒΕ τῇ ΗΓ.

7

.

790

 Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΓΖ, περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ἐστὶν τὰ ἡμικύκλια. εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τῶν ἡμικυ‐ κλίων τὸ Θ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν ΕΗ κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΚ τῇ ΚΗ. ἐπεζεύχθω οὖν ἡ ΑΒ. καὶ
5ἐπεὶ παράλληλοί εἰσιν αἱ ΑΒ ΘΚ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΑΘ τῇ ΘΓ, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΒΚ τῇ ΚΓ. ὧν ἡ ΕΚ τῇ ΚΗ ἴση ἐστίν· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ λοιπῇ τῇ ΗΓ ἐστὶν ἴση, ὅπερ· ⁓ Φανερὸν δὴ ὅτι καὶ ἡ ΒΗ τῇ ΕΓ ἐστὶν ἴση. δʹ. Ἔστω δὴ πάλιν τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ ἡμικύκλια, καὶ ἀπὸ
10τοῦ Γ ἤχθω ἐφαπτομένη τοῦ ΔΕΖ ἡ ΓΕ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Β· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΓ, ἴσης οὔσης τῆς ΑΔ τῇ ΖΓ. Φανερὸν ὅτι περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον εἰσὶν τὰ ἡμικύκλια. εἰλήφθω πάλιν τὸ κέντρον τῶν ἡμικυκλίων τὸ Η, καὶ ἐπε‐ ζεύχθωσαν αἱ ΗΕ ΑΒ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Ε γω‐
15νία. ἀλλὰ καὶ ἡ πρὸς τῷ Β· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΕΗ. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΓΗ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΒΕ τῇ ΕΓ, ὅπερ· ⁓
18nΕἰς τὸ ἕβδομον.
19εʹ. Ἔστω πάλιν τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ ἡμικύκλια, καὶ ἔστω
20[Omitted graphic marker]ἴση ἡ ΑΔ τῇ ΖΓ, καὶ προσαναγεγράφθω ὁ μείζων κύκλος, καὶ διὰ τοῦ Ζ ἤχθω τις ἡ ΒΗ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ
25τῇ ΖΗ. Ἔστω τὸ κέντρον τὸ Θ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν ΒΗ κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ· ἴση ἄρα
30ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ ΚΗ.
ἐπεζεύχθω δὴ ἡ ΕΔ.

7

.

792

ἐπεὶ οὖν παράλληλοί εἰσιν αἱ ΔΕ ΘΚ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΔΘ τῇ ΘΖ, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΚ τῇ ΚΖ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΒΚ ὅλῃ τῇ ΚΗ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ λοιπῇ τῇ ΖΗ ἴση ἐστίν, ὅπερ· ⁓
5Φανερὸν ὅτι καὶ ἡ ΒΖ τῇ ΕΗ ἴση ἐστίν.
6nΕἰς τὸ θʹ.
7 ϛʹ. Ἔστω δύο ἡμικύκλια τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ τῇ ΑΔ ἴση κείσθω ἡ ΖΗ, καὶ διαχθείσης τῆς ΒΓ ἀπὸ τοῦ Η ἐπ’ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΗΘ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΚΘ.
10[Omitted graphic marker] Εἰλήφθω τὸ κέν‐ τρον τοῦ ΔΕΖ ἡμι‐ κυκλίου τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΚΕ κάθετος ἤχθω ἡ
15ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΔ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΔΛ τῇ ΛΖ, ὅλη ἄρα ἡ ΑΛ ὅλῃ τῇ ΛΗ ἴση ἐστίν. καὶ εἰσὶν
20τρεῖς παράλληλοι αἱ ΑΒ ΜΛ ΘΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΒΜ τῇ ΜΘ. ὧν ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ ἴση ἐστίν· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ λοιπῇ τῇ ΚΘ ἴση ἐστίν. Φανερὸν δὴ ὅτι καὶ ἡ ΒΚ τῇ ΕΘ ἴση ἐστίν. ζʹ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἐφαπτέσθω ἡ ΒΓ τοῦ
25ΔΕΖ ἡμικυκλίου· ὅτι πάλιν ἡ ΒΕ τῇ ΕΘ ἴση ἐστίν. Πάλιν εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΔΕΖ ἡμικυκλίου τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΕ· κάθετος ἄρα ἐστὶν ἐπὶ τὴν ΒΓ. καὶ γεγόνασιν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΑΒ ΕΛ ΗΘ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΑΛ τῇ ΛΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΒΕ τῇ ΕΘ, ὅπερ· ⁓
30nΕἰς τὸ ηʹ.
31ηʹ. Ἔστω δύο ἡμικύκλια τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ ἔστω

7

.

794

ἐλάσσων ἡ ΑΔ τῆς ΓΖ, καὶ τῇ ΑΔ ἴση κείσθω ἡ ΓΗ, καὶ προσαναπεπληρώσθω ὁ ΒΑΚΓ κύκλος, καὶ διήχθω τυχοῦσα ἡ ΒΚ, καὶ ἀπὸ τοῦ Η ἐπ’ αὐτὴν κάθετος ἡ ΗΘ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΘΚ.
5 Εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΕΖ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΛ τῇ ΛΓ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΗΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΛ λοιπῇ τῇ ΛΗ ἐστὶν ἴση. καὶ εἰσὶ τρεῖς παράλληλοι αἱ ΔΕ ΛΜ ΗΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν
10καὶ ἡ ΕΜ τῇ ΜΘ· ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΒΜ ὅλῃ τῇ ΜΚ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ λοιπῇ τῇ ΘΚ ἐστὶν ἴση. Φανερὸν δὲ ὅτι καὶ ἡ ΘΒ τῇ ΕΚ ἴση ἐστίν.
13nΕἰς τὸ ιζʹ.
14θʹ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἔστω μείζων ἡ ΑΔ τῆς
15ΖΓ, καὶ αὐτῇ ἴση κείσθω ἡ ΖΗ, καὶ διαχθείσης τῆς ΒΓΘ ἐπ’ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΗΘ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΚΘ.[Omitted graphic marker] Εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΔΕΖ ἡμικυκλίου τὸ Λ, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἐπὶ τὴν ΕΚ κάθετος ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΔ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ
20ΔΛ τῇ ΛΖ, ὅλη ἄρα ἡ ΑΛ ὅλῃ τῇ ΛΗ ἐστὶν ἴση. καὶ εἰσὶν πάλιν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΒΑ ΜΛ ΗΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΒΜ τῇ ΜΘ. ὧν ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ ἐστὶν ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ λοιπὴ τῇ ΚΘ ἐστὶν ἴση, ὅπερ· ⁓
Φανερὸν δὲ ὅτι καὶ ἡ ΒΚ τῇ ΕΘ ἐστὶν ἴση.

7

.

796

 ιʹ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἐφαπτέσθω ἡ ΒΓ τοῦ ΔΕΖ ἡμικυκλίου· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΘ.[Omitted graphic marker] Εἰλήφθω πάλιν τὸ κέντρον τοῦ ΔΕΖ ἡμικυκλίου τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΕ· κάθετος ἄρα ἐστὶν ἐπὶ τὴν ΒΘ·
5ὥστε τρεῖς εἰσιν παράλληλοι αἱ ΑΒ ΛΕ ΗΘ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΑΛ τῇ ΛΗ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΒΕ τῇ ΕΘ.
7nΠρόβλημα χρήσιμον εἰς τὴν σύνθεσιν τοῦ ιζʹ.
8 ιαʹ. Θέσει ἡμικυκλίου ὄντος τοῦ ΑΒΓ, καὶ δοθέντος τοῦ Δ, γράψαι διὰ τοῦ Δ ἡμικύκλιον ὡς τὸ ΔΕΖ, ἵνα, ἐὰν
10ἐφαπτομένη ἀχθῇ ἡ ΒΓ, ἴση γένηται ἡ ΑΔ τῇ ΒΕ. Γεγονέτω· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΕΓ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, οὕτως ἐστίν, ἐὰν κέντρον τοῦ
15ΔΕΖ ἡμικυκλίου ληφθῇ τὸ Η, καὶ ἐπιζευχθῇ ἡ ΗΕ, τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ ΕΓ ἡ τῶν ἀπὸ ΕΗ ΗΓ ἐστὶν ὑπεροχή· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ ΔΗ ΗΓ ὑπεροχήν, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ. κείσθω τῇ ΔΑ ἴση ἡ ΑΘ, καὶ τετμήσθω ἡ ΔΓ
20δίχα κατὰ τὸ Κ σημεῖον. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ
ΔΗ ΗΓ ὑπεροχήν, λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΔΗΘ πρὸς λοιπὸν

7

.

798

τὸ ἀπὸ ΗΔ, τουτέστιν ἡ ΘΗ πρὸς ΗΔ, ἐστὶν [ὡς εἷς τῶν λόγων] ὡς τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ ΔΗ ΗΓ ὑπερ‐ οχήν, τουτέστιν πρὸς τὸ δὶς ὑπὸ ΔΓ ΗΚ. κείσθω οὖν τῷ ἀπὸ ΑΔ τετραγώνῳ ἴσον τὸ δὶς ὑπὸ ΔΓ Λ, δοθὲν
5δὲ τὸ ἀπὸ ΑΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ δὶς ὑπὸ ΔΓ Λ, ὥστε καὶ τὸ ἅπαξ. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ΓΔ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ Λ. ἐπεὶ δέ ἐστιν ὡς ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΗΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ, τουτέστιν τὸ δὶς ὑπὸ Λ ΔΓ, πρὸς τὸ δὶς ὑπὸ ΔΓ ΗΚ, τουτέστιν ἡ Λ πρὸς ΗΚ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΘΗΚ
10ἴσον τῷ ὑπὸ Λ ΗΔ. καὶ εἰσὶν αἱ τρεῖς αἱ ΘΔ ΔΚ Λ δοθεῖσαι· ἀπῆκται ἄρα εἰς διωρισμένης αʹ· δεδομένων τριῶν εὐθειῶν τῶν ΘΔ ΔΚ Λ τεμεῖν τὴν ΔΚ κατὰ τὸ Η, καὶ ποιεῖν λόγον τοῦ ὑπὸ ΘΗΚ πρὸς τὸ ὑπὸ Λ ΗΔ ἴσου πρὸς ἴσον. τοῦτο δὲ φανερόν, καὶ ἔστιν ἀδιόριστον. δοθὲν ἄρα
15τὸ Η, καὶ κέντρον τοῦ ΔΕΖ ἡμικυκλίου· θέσει ἄρα τὸ ἡμι‐ κύκλιον. καὶ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Γ ἦκται ἐφαπτομένη ἡ ΒΓ· θέσει ἄρα ἡ ΒΓ [τὸ δ’ αὐτὸ ἁρμόσει τοῦ σημείου κάτω], ὅπερ· ⁓ ιβʹ. Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως· ἔστω τὸ[Omitted graphic marker]
20μὲν ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Δ· καὶ δέον ἔστω
ποιεῖν τὸ πρόβλημα. κείσθω τῷ ἀπὸ ΑΔ τετραγώνῳ ἴσον

7

.

800

τὸ δὶς ὑπὸ ΔΓ Λ, καὶ τῇ μὲν ΔΑ ἴση κείσθω ἡ ΑΘ, ἡ δὲ ΔΓ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Κ σημεῖον, καὶ τριῶν δο‐ θεισῶν εὐθειῶν τῶν ΘΔ ΔΚ Λ, τετμήσθω ἡ ΔΚ κατὰ τὸ Η καὶ ποιείτω λόγον τοῦ ὑπὸ Λ ΗΔ πρὸς τὸ ὑπὸ
5ΘΗΚ ἴσου πρὸς ἴσον, καὶ περὶ κέντρον τὸ Η ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ ΔΕΖ· λέγω ὅτι τὸ ΔΕΖ ποιεῖ τὸ πρό‐ βλημα. Ἤχθω γὰρ ἐφαπτομένη τοῦ ἡμικυκλίου ἡ ΒΓ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΒΕ. ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΘΗΚ ἴσον ἐστὶν
10τῷ ὑπὸ Λ ΗΔ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΔ, οὕτως ἡ Λ πρὸς τὴν ΗΚ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΔ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΗΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΔ, τουτ‐ έστιν ἡ τῶν ἀπὸ ΗΑ ΑΔ ὑπεροχὴ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΔ, ὡς δὲ ἡ Λ πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἐστὶν τὸ δὶς ὑπὸ Λ ΔΓ
15πρὸς τὸ δὶς ὑπὸ ΔΓ ΗΚ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ ΔΗ ΗΓ ὑπεροχήν· καὶ ὡς ἄρα ἡ τῶν ἀπὸ ΗΑ ΑΔ ὑπεροχὴ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΔ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ ΔΗ ΗΓ ὑπεροχήν· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὴν
20τῶν ἀπὸ ΔΗ ΗΓ ὑπεροχήν, τουτέστιν πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ ΓΗ ΗΕ ὑπεροχήν, τουτέστιν πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ· ὡς
25ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΑΔ τῷ ἀπὸ ΒΕ, ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΒΕ. καὶ φανερὸν ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΒΕ τῆς ΕΓ. ἔχομεν γὰρ ὡς τὴν ΘΗ πρὸς τὴν ΗΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ· μείζων δὲ ἡ
30ΘΗ τῆς ΗΔ· μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΔ τοῦ ἀπὸ ΕΓ, ὥστε

7

.

802

μείζων ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆς ΕΓ· πολλῷ ἄρα τῆς ΖΓ μείζων ἐστίν· τὸ ΔΕΖ ἄρα ἡμικύκλιον ποιεῖ τὸ πρόβλημα. Λέγω δὲ ὅτι καὶ μόνον. γεγράφθω γάρ τι καὶ ἕτερον ΔΜΝ, καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη ἡ ΓΜΞ. εἰ δὴ καὶ τὸ ΔΜΝ[Omitted graphic marker]
5ποιεῖ τὸ πρόβλημα, ἔσται ἴση ἡ ΑΔ τῇ ΜΞ. καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΔΜΝ ἡμικυκλίου τὸ Ο, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΜ. ἔσται ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει τὸ ὑπὸ τῶν ΘΟΚ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν Λ ΔΟ, ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον (ἐν γὰρ τῇ διωρισμένῃ δέδεικται μεῖζον)· οὐκ ἄρα τὸ ΔΜΝ ἡμικύκλιον
10ποιεῖ τὸ πρόβλημα. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ἄλλο τι πλὴν τοῦ ΔΕΖ· τὸ ΔΕΖ ἄρα μόνον ποιεῖ τὸ πρόβλημα. Ἵνα δὲ καὶ ἐπιγνῶμεν πότερον αὐτῶν μεῖζον ἀποτέμ‐ νει, δείξομεν οὕτως. ἐπεὶ ἐν τῇ διωρισμένῃ δέδεικται ἔλασσον τὸ ὑπὸ τῶν Λ ΔΟ τοῦ ὑπὸ τῶν ΘΟΚ, ἀνάλογον
15ἡ Λ πρὸς ΟΚ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΟ πρὸς ΟΔ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ Λ πρὸς ΚΟ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ ΔΟ ΟΓ ὑπεροχήν (δέδεικται γάρ), ὡς δὲ ἡ ΘΟ πρὸς ΟΔ, οὕτως ἐστὶν ἡ τῶν ἀπὸ ΟΑ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΔ· καὶ τὸ ἀπὸ ΑΔ ἄρα πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ ΔΟ ΟΓ
20ὑπεροχὴν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ τῶν ἀπὸ ΟΑ ΑΔ

7

.

804

ὑπεροχὴ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΔ. καὶ πάντα πρὸς πάντα, τουτ‐ έστιν τὸ ἀπὸ ΑΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΓ, μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ ΓΟ ΟΔ ὑπεροχήν, τουτέστιν πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΜ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΜ
5ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΑΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΓ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΞΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΓ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΞΜ τῆς ΑΔ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ μεταξὺ τῶν Α Β σημείων γινόμεναι εὐθεῖαι μείζονές εἰσιν τῆς ΑΔ, αἱ
10δὲ μεταξὺ τῶν Β Γ ἐλάσσονες. ἐὰν γὰρ πάλιν γράψωμεν ἡμικύκλιον τὸ ΔΠΡ, καὶ ἐφαπτομένη ἀχθῇ ἡ ΣΠΓ, καὶ[Omitted graphic marker] τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον κατασκευασθῇ, τὸ μὲν κέντρον ἔσται τοῦ ΔΠΡ ἡμικυκλίου τὸ Τ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ Η· ἐν δὲ τῇ διωρισμένῃ μεῖζον ἔσται τὸ ὑπὸ ΘΗΚ τοῦ ὑπὸ
15ΘΤΚ, καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ μείζων ἔσται πάλιν ἡ ΑΔ τῆς ΣΠ, ὥστε τὰ μὲν ἔγγιστα τοῦ Α τὰς ἐφαπτομένας ἔχοντα μείζω ποιεῖ τῆς ΑΔ, τὰ δὲ ἀπώτερον ἐλάσσω. Δυνατὸν ἄρα ἐστὶν γράψαι διὰ τοῦ Δ ἡμικύκλια, ἵνα ἡ ἐφαπτομένη ἑκάστου αὐτῶν προσεκβαλλομένη ἐπὶ τὴν τοῦ
20μείζονος ἡμικυκλίου περιφέρειαν τὴν μεταξὺ τῆς ἁφῆς καὶ τῆς τοῦ μείζονος ἡμικυκλίου περιφερείας ἴσην ποιῇ τῇ ΑΔ,
καὶ πάλιν μείζω καὶ ἐλάσσω.

7

.

806

Εἰς τὸ ιθʹ. ιγʹ. Ἔστω πάλιν τὰ ἡμικύκλια, μείζων δ’ ἡ ΑΔ τῆς ΓΖ, καὶ τῇ ΑΔ ἴση κείσθω ἡ ΓΗ, καὶ διαχθείσης τῆς ΒΕΖ ἀπὸ τοῦ Η ἐπ’ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΗΘ, καὶ
5προσαναπεπληρώσθω ὁ ΑΒΓ κύκλος, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΖ ἐπὶ τὸ Κ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΘ τῇ ΕΚ. [Omitted graphic marker] Εἰλήφθω τὸ κέν‐ τρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ
10ἐπὶ τὴν ΒΚ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ τῇ ΜΚ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΛ τῇ ΛΓ, ἡ δὲ
15ΑΔ τῇ ΗΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΛ λοιπῇ τῇ ΛΗ ἐστὶν ἴση. καὶ εἰσὶν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΔΕ ΛΜ ΗΘ· ἴση ἄρα
20καὶ ἡ ΕΜ τῇ ΜΘ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΒΜ ὅλῃ τῇ ΜΚ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ λοιπῇ τῇ ΘΚ ἐστὶν ἴση. φανερὸν οὖν ὅτι καὶ ἡ ΒΘ τῇ ΕΚ, ὅπερ· ⁓
23nΠρόβλημα εἰς τὸ αὐτό.
24ιδʹ. Ἡμικυκλίου ὄντος τοῦ ΑΒΓ, καὶ σημείου τοῦ Δ,
25γράψαι ἐπὶ τῆς ΑΓ διὰ τοῦ Δ ἡμικύκλιον, ἵνα, ἐὰν ἐφ‐ απτομένη ἀχθῇ ἡ ΖΒ, ἴση ᾖ ἡ ΑΔ τῇ ΖΒ. Γεγονέτω. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΖΒ, ἴσον καὶ τὸ ἀπὸ ΑΔ τῷ ἀπὸ ΖΒ, τουτέστι τῷ ὑπὸ ΑΖΓ. ἐὰν ἄρα τῷ ἀπὸ ΑΔ ἴσον παρὰ τὴν ΑΓ παραβάλωμεν ἐλλεῖ‐
30πον τετραγώνῳ, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖΓ, καὶ ἀγάγω ὀρθὴν τὴν

7

.

808

ΖΒ, καὶ ἐπὶ τῆς ΔΖ ἡμικύκλιον γράψω τὸ ΔΕΖ, ἐφάπτε‐ ται ἡ ΒΖ τοῦ ἡμικυκλίου, καὶ ἔσται ἴση τῇ ΑΔ. τοῦτο δὲ γίνεται, ὁπόταν ἡ ΑΔ ἐλάσσων ᾖ ἢ ἡμίσεια τῆς ΑΓ. Εὑρημένου δὴ τούτου, ἐὰν διὰ τοῦ Δ ἕτερα ἡμικύκλια
5γράψω, ὡς τὰ ΔΗΘ ΔΚΛ, καὶ ἐφαπτόμεναι ἀχθῶσιν αἱ ΘΜ ΛΝ, ἔσται ἡ μὲν ΘΜ μείζων τῆς ΑΔ, ἡ δὲ ΛΝ ἐλάσσων. [ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΔ τῆς ΔΓ ἐλάσσων ἐστίν, ἡ ΘΜ ἄρα ἔσται μεταξὺ τῶν Δ Γ. ἐπὶ μὲν οὖν τὸ Ζ οὐ πεσεῖ‐ ται, ἐπεὶ συμβήσεται ἴσην γίνεσθαι τὴν ΑΔ τῇ ΖΓ, ὅπερ
10ἄτοπον, μεταξὺ δὲ τῶν Γ Ζ πολλῷ μᾶλλον οὐκ ἔστιν, ἐπεὶ πάλιν συμβαίνει ἐλάσσονα εἶναι τὴν ΑΔ τῆς ΖΓ, ὅπερ ἄτοπον (ἔστιν γὰρ καὶ μείζων, ὡς ἐν τῷ ἐξ ἀρχῆς ὑπόκειται προβλήματι)· ἔσται ἄρα μεταξὺ τῶν Ζ Δ τὸ Θ. μεῖζον δὲ τὸ ὑπὸ ΑΘΓ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΜΘ, τοῦ ὑπὸ
15ΑΖΓ, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΖΒ· μεῖζον ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ ΑΔ, ὥστε μείζων ἡ ΘΜ τῆς ΑΔ. ἡ δὲ ΛΝ μεταξὺ τῶν Γ Ζ. ἐπειδὴ ἔλασσόν ἐστιν τὸ ὑπὸ ΑΛΓ τοῦ ἀπὸ ΑΔ (ἐπεὶ καὶ τὸ ὑπὸ ΑΖΓ), ἔλασσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΛΝ τοῦ ἀπὸ ΑΔ, ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΛΝ τῆς ΑΔ. ὁμοίως
20καὶ πᾶσαι αἱ ἐπὶ ταύτῃ ὡς πρὸς τὸ Γ ἠγμέναι εὐθεῖαι.] καὶ καθόλου προσιόντων μὲν τῶν ἡμικυκλίων τῷ Γ σημείῳ ἡ ἐφαπτομένη ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ΑΔ, ἀποχωρούντων δὲ ἀεὶ μείζων· δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐπὶ τῆς ΑΓ, μένοντος τοῦ Δ, ἡμικύκλια γράψαι, ἵνα ὁτὲ μὲν αἱ ἐφαπτόμεναι αὐτῶν
25ἴσαι ὦσιν τῇ ΑΔ, ὁτὲ δὲ μείζονες, ὁτὲ δὲ ἐλάσσονες.

7

.

810

Εἰς τὸ καʹ. ιεʹ. Ἔστω ἡμικύκλια τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, τῇ ΓΔ ἴση κείσθω ἡ ΑΗ, καὶ διαχθείσης τῆς ΖΒ ἐπ’ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΗΘ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΘΒ τῇ ΚΕ.[Omitted graphic marker]
5 Εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ ἡμικυκλίου τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΒΖ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΗΑ τῇ ΓΔ, ἡ δὲ ΑΛ τῇ ΛΓ, ὅλη ἄρα ἡ ΗΛ ὅλῃ τῇ ΛΔ ἴση ἐστίν. καὶ εἰσὶν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΗΘ ΛΜ ΔΕ· ἴση
10ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΘΜ τῇ ΜΕ. ὧν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ ἐστὶν ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΒ τῇ ΚΕ ἴση ἐστίν, ὅπερ· ⁓ Φανερὸν δὲ ὅτι καὶ ἡ ΘΚ τῇ ΒΕ ἴση ἐστίν. ιϛʹ. Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐφαπτέσθω ἡ ΒΖ κατὰ τὸ Β· ὅτι πάλιν ἴση ἐστὶν ἡ ΘΒ τῇ ΒΕ.
15 Εἰλήφθω γὰρ πάλιν τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ ἡμικυκλίου τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Β ἐπεζεύχθω ἡ ΚΒ· κάθε‐ τος ἄρα ἐστὶν ἐπὶ τὴν ΒΖ. ἐπεὶ οὖν ἐν τρισὶν παραλλή‐ λοις ταῖς ΗΘ ΒΚ ΔΕ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΚ τῇ ΚΔ, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΘΒ τῇ ΒΕ, ὅπερ· ⁓
20nΕἰς τὸ κγʹ.
21 ιζʹ. Ἔστω τὰ ἡμικύκλια τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ τῇ ΓΔ ἴση κείσθω ἡ ΑΗ, καὶ διαχθείσης τῆς ΕΘ ἐπ’ αὐτὴν κά‐
θετος ἤχθω ἡ ΗΘ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΘΒ τῇ ΚΔ.

7

.

812

 Εἰλήφθω τὸ τοῦ ΑΒΓ ἡμικυκλίου κέντρον τὸ Λ, καὶ κάθετος ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ. ἐπεὶ ἴση[Omitted graphic marker] ἐστὶν ἡ μὲν ΗΑ τῇ ΓΔ, ἡ δὲ ΑΛ τῇ ΛΓ, ὅλη ἄρα ἡ ΗΛ ὅλῃ τῇ ΛΔ ἐστὶν ἴση. καὶ εἰσὶν τρεῖς παράλληλοι
5αἱ ΗΘ ΛΜ ΕΖ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΘΜ τῇ ΜΔ· ὧν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΒ λοιπῇ τῇ ΚΔ ἐστὶν ἴση [κἂν ἐφάπτηται, φανερόν· ἡ γὰρ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπιζευχθεῖσα ἐπὶ τὴν ἁφήν], ὅπερ· ⁓
9nΕἰς τὸ κδʹ.
10 ιηʹ. Ἔστω δύο ἡμικύκλια ὡς τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ ἔστω ἴση ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, καὶ διήχθω ἡ ΖΒ· ὅτι γίνεται ἴση καὶ ἡ ΒΕ τῇ ΕΗ. Ἔστιν δὲ φανερόν· ἐὰν γὰρ ἐπιζευχθῇ ἡ ΔΕ, γίνεται ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνία διὰ τὸ ἐν ἡμικυκλίῳ εἶναι. καὶ
15ἔστιν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ ΑΒΓ ἡ ΔΕ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΗ, ὅπερ· ⁓
17nΕἰς τὸ κεʹ.
18 ιθʹ. Τῶν αὐτῶν ὄντων ἔστω μείζων ἡ ΑΔ τῆς ΔΓ, καὶ τῇ ΔΓ ἴση κείσθω ἡ ΑΗ, καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΖ ἡ
20ΗΘ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΘ τῇ ΕΚ.
Ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆς ΔΓ, τὸ ἄρα κέντρον τοῦ

7

.

814

ΑΒΓ ἡμικυκλίου ἐστὶ μεταξὺ τῶν Α Δ. ἔστω τὸ Λ, καὶ πάλιν κάθετος ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ. ἐπεὶ[Omitted graphic marker] δὲ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΗ τῇ ΔΓ, ἡ δὲ ΑΛ τῇ ΛΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΛ λοιπῇ τῇ ΛΔ ἴση ἐστίν. καὶ εἰσὶν τρεῖς παρ‐
5άλληλοι αἱ ΗΘ ΛΜ ΔΕ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΘΜ τῇ ΜΕ. ἦν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΒΜ ὅλῃ τῇ ΜΚ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΘ λοιπῇ τῇ ΕΚ ἐστὶν ἴση, ὅπερ· ⁓
8nΕἰς τὸ κϛʹ.
9κʹ. Ἔστω ἡ ΑΔ ἐλάσσων τῆς ΔΓ, καὶ τῇ ΑΔ ἴση
10κείσθω ἡ ΓΗ, καὶ κάθετος ἡ ΗΘ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΚΘ. Ἐπεὶ γὰρ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆς ΔΓ, τοῦ ΑΒΓ ἡμικυκλίου τὸ κέντρον ἐστὶ μεταξὺ τῶν Δ Η. ἔστω τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΖΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ·
15ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΓΗ, ἡ δὲ ΑΛ τῇ ΛΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΛ λοιπῇ τῇ ΛΗ ἴση ἐστίν. καὶ εἰσὶν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΔΕ ΛΜ ΗΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΜ τῇ ΜΘ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΒΜ ὅλῃ τῇ ΜΚ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ λοιπῇ τῇ ΚΘ ἐστὶν ἴση,
20ὅπερ· ⁓
21nΕἰς τὸ κθʹ.
22καʹ. Ὄντων δύο ἡμικυκλίων τῶν ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ μεί‐
ζονος οὔσης τῆς ΑΔ τῆς ΔΓ, ἐὰν τῇ ΔΓ ἴση τεθῇ ἡ ΑΗ,

7

.

816

καὶ διαχθείσης τῆς ΖΒ ἐπ’ αὐτὴν κάθετος ἀχθῇ ἡ ΗΘ, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΘΒ τῇ ΚΕ.[Omitted graphic marker] Εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ ἡμικυκλίου τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΒΖ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα
5ἐστὶν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΛ τῇ ΛΓ, ἡ δὲ ΑΗ τῇ ΔΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΛ λοιπῇ τῇ ΛΔ ἐστὶν ἴση. καὶ εἰσὶν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΗΘ ΛΜ ΔΕ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΜ τῇ ΜΕ. ὧν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ ἐστὶν ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΒ λοιπῇ τῇ ΚΕ ἐστὶν ἴση, ὅπερ· ⁓
10Φανερὸν ὡς καὶ ἡ ΘΚ τῇ ΒΕ ἐστὶν ἴση.
11nΕἰς τὸ λαʹ.
12 κβʹ. Ἔστω τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ ἡμικύκλια, καὶ πάλιν ἔστω ἐλάσσων ἡ ΑΔ τῆς ΔΓ, καὶ διήχθω ἡ ΖΕΒ, καὶ τῇ ΑΔ ἴση κείσθω ἡ ΓΗ, καὶ ἐπὶ τὴν ΖΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΗΘ·
15ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΕΒ τῇ ΚΘ. Φανερὸν γὰρ ὅτι ἡ ΗΘ οὔτε ἐπὶ τὸ Κ πίπτει οὔτε μεταξὺ τῶν Ζ Κ. ἐὰν τὸ κέντρον ληφθῇ τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΒΖ κάθετος ἀχθῇ ἡ ΛΜ, ἔσται ἴση ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ. ἀλλὰ καὶ διὰ τὸ τρεῖς εἶναι παραλλήλους τὰς ΔΕ
20ΛΜ ΗΘ ἴση γίνεται ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ (ἴση γὰρ ἡ ΔΛ τῇ ΛΗ). εἴη ἂν καὶ ἡ ΒΜ τῇ ΜΕ ἴση, ἡ μείζων τῇ ἐλάσ‐
σονι, ὅπερ ἀδύνατον· οὐκ ἄρα ἐπὶ τὸ Κ πίπτει. πολλῷ

7

.

818

δὲ μᾶλλον ὅτι οὐδὲ μεταξὺ τῶν Ζ Κ· [τῶν] ἐκτὸς ἄρα. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΛ τῇ ΛΓ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΗΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΛ λοιπῇ τῇ ΛΗ ἴση ἐστίν. καὶ εἰσὶν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΔΕ ΛΜ ΗΘ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΕΜ τῇ ΜΘ.
5ὧν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ ἐστὶν ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΒ λοιπῇ τῇ ΚΘ ἐστὶν ἴση, ὅπερ· ⁓ Φανερὸν δὲ καὶ ὡς ἡ ΕΚ τῇ ΒΘ ἐστὶν ἴση.
8nΕἰς τὸ λδʹ.
9κγʹ. Ἔστω τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ ἡμικύκλια, μείζων ἔστω ἡ
10ΔΓ τῆς ΓΖ, καὶ τῇ ΑΔ ἴση κείσθω ἡ ΖΗ, καὶ προσανα‐ πεπληρώσθω ὁ ΔΕΖΚ κύκλος, διήχθω ἡ ΒΓΘ, καὶ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΒΘ κάθετος ἤχθω [φανερὸν ὅτι ἐκτὸς πίπτει τοῦ κύκλου· παράλληλος γὰρ γίνεται τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ΑΒ ὑποπίπτει, καὶ ἡ ΗΘ ἄρα ὑποπίπτει. ἔστω] ἡ ΗΘ· ὅτι
15ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΘΚ. Ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΔΓ τῆς ΓΖ, τὸ τοῦ ΔΕΖ ἡμι‐ κυκλίου κέντρον μεταξύ ἐστιν τῶν Δ Γ. ἔστω τὸ Λ, καὶ κάθετος ἡ ΛΜ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΔ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΔΛ τῇ ΛΖ, ὅλη ἄρα ἡ ΑΛ ὅλῃ τῇ ΛΗ ἐστὶν ἴση.
20καὶ εἰσὶν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΑΒ ΛΜ ΗΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΒΜ τῇ ΜΘ. ὧν ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ ἐστὶν ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ λοιπῇ τῇ ΚΘ ἐστὶν ἴση, ὅπερ· ⁓ Φανερὸν ὡς καὶ ἡ ΒΚ τῇ ΕΘ ἐστὶν ἴση. κδʹ. Ἔστω πάλιν τὰ ἡμικύκλια τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ
25μείζων ἡ ΔΓ τῆς ΓΖ, καὶ τῇ ΑΔ ἴση κείσθω ἡ ΖΗ, καὶ
προσαναπεπληρώσθω ὁ ΔΕΖΚ κύκλος, καὶ διήχθω ἡ ΕΒΚ,

7

.

820

καὶ ἀπὸ τοῦ Η ἐπ’ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΗΘ [φανερὸν δὲ ὅτι ἐντὸς πίπτει τοῦ κύκλου, ἐπεὶ καὶ ἡ παράλληλος αὐτῇ ἡ ΑΒ ἐντός]· δεῖξαι ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΕΒ τῇ ΘΚ. [Omitted graphic marker] Ἔστω τὸ κέν‐
5τρον τὸ Λ, καὶ πάλιν κάθετος ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ. ἐπεὶ δὲ ἐν
10τρισὶ παραλλή‐ λοις ταῖς ΑΒ ΛΜ ΗΘ ἴση ἐ‐ στὶν ἡ ΑΛ τῇ ΛΗ, ἴση ἄρα ἐ‐
15στὶν καὶ ἡ ΒΜ τῇ ΜΘ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΕΜ ὅλῃ τῇ ΜΚ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΒ λοιπῇ τῇ ΚΘ ἐστὶν ἴση, ὅπερ· ⁓ Τὸ πρῶτον τῶν νεύσεων ἔχει προβλήματα θʹ, διορισ‐ μοὺς τρεῖς· καὶ εἰσὶν οἱ τρεῖς ἐλάσσονες ὅ τε κατὰ τὸ
20πέμπτον καὶ ὁ κατὰ τὸ ζʹ πρόβλημα καὶ ὁ κατὰ τὸ θʹ. τὸ δεύτερον νεύσεων ἔχει προβλήματα μεʹ, διορισμοὺς τρεῖς, τόν τε κατὰ τὸ ιζʹ πρόβλημα καὶ τὸν κατὰ τὸ ιθʹ καὶ τὸν κατὰ τὸ κγʹ· καὶ εἰσὶν οἱ τρεῖς ἐλάσσονες.
24nἘπαφῶν πρῶτον.
25nΕἰς τὸ εʹ πρόβλημα.
26 αʹ. Δύο παράλληλοι αἱ ΑΒ ΓΔ, καὶ κύκλος ἐφαπτέ‐ σθω ὁ ΕΖ κατὰ τὰ Ε Ζ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ· ὅτι διάμετρός ἐστιν τοῦ ΕΖ κύκλου. Εἰλήφθω σημεῖα ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας τὰ
30Η Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΗ ΗΖ ΕΘ ΘΖ. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΑΕ τέμνει δὲ ἡ ΕΖ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΖ γωνία τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ
ΕΘΖ. διὰ ταὐτὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΖΕ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΕΗΖ

7

.

822

ἐναλλάξ· καὶ ἡ ὑπὸ ΕΘΖ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΕΗΖ γωνίᾳ. καὶ εἰσὶν δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα αὐτῶν, ὥστε ἡμικύκλιόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΕΘΖ ΕΗΖ· διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τοῦ ΕΖ κύκλου, ὅπερ· ⁓
5 βʹ. Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΔ, καὶ ἐφαπτέσθωσαν αὐτοῦ αἱ ΒΓ ΓΑ, καὶ τετμήσθω ἡ Γ γωνία δίχα τῇ ΓΔ εὐθείᾳ· ὅτι ἐπὶ τῆς ΓΔ τὸ κέντρον ἐστὶν τοῦ ΑΒΔ κύκλου. [Omitted graphic marker] Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ ΑΕ ΔΒ ΒΕ. ἐπεὶ
10οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΑΓ τέμνει δὲ ἡ ΓΔ, τὸ ὑπὸ ΔΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΓΑ· ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ
15γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΓ γω‐ νίᾳ. διὰ ταὐτὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΕΓ γωνίᾳ. ἀλλὰ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΔ γωνία· καὶ ἡ ὑπὸ ΔΑΕ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΔΒΕ γωνίᾳ, ὥστε ὀρθή ἐστιν
20ἑκατέρα αὐτῶν· διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τοῦ ΑΒΔ κύ‐ κλου· ἐπὶ τῆς ΓΔ ἄρα τὸ κέντρον ἐστὶν τοῦ ΑΒΔ κύκλου.
22nΕἰς τὸ ιβʹ.
23 γʹ. Ἔστωσαν δύο κύκλοι ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων οἱ ΑΒ ΒΓ κατὰ τὸ Β σημεῖον, καὶ διήχθω ἡ ΑΒΓ, ἔστω δὲ ἐπ’
25αὐτῆς τὸ τοῦ ΑΒ κύκλου κέντρον· ὅτι καὶ τὸ τοῦ ΒΓ κύ‐ κλου κέντρον ἐστὶν ἐπὶ τῆς ΑΒΓ. Ἤχθω γὰρ ἀμφοτέρων τῶν κύκλων ἐφαπτομένη ἡ ΔΒΕ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία· καὶ ἡ ἐφεξῆς ἄρα ἡ
ὑπὸ ΔΒΓ ἐστὶν ὀρθή. καὶ ἐφάπτεται ἡ ΔΕ τοῦ ΒΓ κύ‐

7

.

824

κλου· τὸ ἄρα κέντρον τοῦ ΒΓ κύκλου ἐστὶν ἐπὶ τῆς ΑΒΓ ὁμοίως ὡς καὶ τοῦ ΑΒ.
3nἌλλως.
4δʹ. Ἔστωσαν πάλιν αἱ ΑΒ ΒΓ κύκλων διάμετροι· ὅτι
5οἱ ΑΒ ΒΓ κύκλοι ἐφάπτονται ἀλλήλων. [Omitted graphic marker] Ἤχθω πάλιν ἐφα‐ πτομένη [ἡ] τοῦ ΑΒ κύ‐ κλου ἡ ΔΕ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία, καὶ
10ἐφεξῆς ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία ὀρθή ἐστιν. καὶ ἔστιν τοῦ ΒΓ κύκλου κέντρον ἐπὶ τῆς ΒΓ· ἡ ΔΕ ἄρα ἐφά‐ πτεται τοῦ ΒΓ κύκλου· ἀλλὰ καὶ τοῦ ΑΒ κατ’ αὐτὸ τὸ Β·
15καὶ ὁ ΑΒ ἄρα τοῦ ΒΓ κύκλου ἐφάπτεται κατὰ τὸ Β σημεῖον [ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς]. εʹ. Δύο κύκλοι ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων οἱ ΑΒ ΒΓ κατὰ τὸ Β σημεῖον, καὶ διήχθω ἡ ΑΓΒ, ἔστω δὲ ἐπ’ αὐτῆς τὸ κέντρον τοῦ ΑΒ κύκλου· ὅτι καὶ τοῦ ΒΓ τὸ κέντρον ἐστὶν ἐπὶ τῆς ΒΓ.
20 Ἤχθω ἐφαπτομένη τῶν κύκλων ἡ ΔΕ. ἐπεὶ οὖν ἐφα‐ πτομένη ἡ ΔΕ τοῦ ΑΒ κύκλου, καὶ διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΑΒ, ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΒΑ γωνία. καὶ ἦκται ἀπὸ τῆς ἁφῆς ἡ ΒΓ· ἐπὶ τῆς ΒΓ ἄρα τὸ κέντρον ἐστὶν τοῦ ΒΓ κύκλου. Φανερὸν δὲ καὶ οὕτως· εἰ γὰρ διαχθείη ἡ ΒΖΗ, καὶ
25ἐπιζευχθείησαν αἱ ΓΖ ΑΗ, γένοιτο ἂν ἴση ἡ ὑπὸ ΕΒΓ
γωνία ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ τῶν ΒΖΓ ΑΗΒ γωνίᾳ. καὶ ἔστιν

7

.

826

ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΗΒ γωνία· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΓ γωνία, ὥστε ἐπὶ τῆς ΒΓ τὸ κέντρον ἐστὶν τοῦ ΒΓ. καὶ ὁμοίως, κἂν τοῦ ΒΓ δοθῇ ἐπὶ τῆς ΑΒ, δείξομεν ὅτι καὶ τοῦ ΑΒ. ϛʹ. Ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστωσαν διάμετροι αἱ ΑΒ ΒΓ·
5ὅτι οἱ κύκλοι ἐφάπτονται ἀλλήλων. [Omitted graphic marker] Ἤχθω τοῦ ΑΒ κύκλου ἐφα‐ πτομένη εὐθεῖα ἡ ΔΒΕ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία. καὶ ἔστιν διάμετρος ἡ ΒΓ· ἡ ΔΕ ἄρα ἐφα‐
10πτομένη τοῦ ΒΓ κύκλου κατὰ τὸ Β σημεῖον. [εἰ γὰρ ἐκβληθείη ἡ ΓΖ ἐπὶ τὸ Δ, γένοιτο ἂν τὸ ὑπὸ ΓΔΖ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΒ, διὰ τὸ ὀρθὴν γίνεσθαι τὴν πρὸς τῷ Ζ γωνίαν,
15οὔσης τῆς πρὸς τῷ Β ὀρθῆς.] ἀλλὰ γὰρ καὶ τοῦ ΑΒ κύκλου ἐφάπτεται κατὰ τὸ Β· καὶ ὁ ΑΒ ἄρα κύκλος τοῦ ΒΓ κύκλου ἐφάπτεται κατὰ τὸ Β [ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς].
14nΕἰς τὸ ιϛʹ.
20 ζʹ. Ἔστωσαν δύο κύκλοι ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων οἱ ΑΒΓ ΔΕΒ κατὰ τὸ Β σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ Β διήχθωσαν αἱ ΓΒΔ ΑΒΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ ΔΕ· ὅτι παράλληλοι αἱ ΑΓ ΔΕ. Ἤχθω γὰρ τῶν κύκλων ἐφαπτομένη εὐθεῖα ἡ ΖΗ κατὰ
25τὸ Β σημεῖον. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΒΖ τέμνει δὲ ἡ ΒΑ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΓΒ. διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΗΒΕ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΔΕ γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΕΒΗ γωνίᾳ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΕΔΒ
30γωνίᾳ. καὶ εἰσὶν ἐναλλάξ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ
τῇ ΔΕ, ὅπερ· ⁓

7

.

828

 ηʹ. Κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ ΓΑ, καὶ διὰ τοῦ Α διήχθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν Β γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΑΓ γωνίᾳ· ὅτι ἐφάπτεται ἡ ΔΕ τοῦ ΑΒΓ κύκλου κατὰ τὸ Α σημεῖον.
5 Εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΓ διὰ τοῦ κέντρου ἐστίν, φανερὸν ἔσται· γίνεται γὰρ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία διὰ τὸ καὶ τὴν Β γωνίαν εἶναι ὀρθήν· τοῦτο δὲ προδέδεικται. εἰ δὲ μή, ἔστω τὸ κέντρον τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ καὶ ἐκβε‐ βλήσθω ἐπὶ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΗ. ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν
10ἡ ὑπὸ ΑΒΗ γωνία. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΕΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΑΓ γωνία ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ ΗΒΓ, ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΑΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΗ γωνίᾳ ἴση ἐστίν. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΗ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΗ. καὶ ἔστιν ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΖΑ·
15ἐφαπτομένη ἄρα ἡ ΔΕ τοῦ ΑΒΓ κύκλου· τοῦτο γὰρ προ‐ γέγραπται. θʹ. Τούτου ὄντος ἀνάστροφον τοῦ πρὸ αὐτοῦ. παραλ‐ [Omitted graphic marker]λήλου οὔσης ΑΓ τῇ ΔΕ, δεῖξαι ὅτι ἐφαπτόμενοι οἱ ΑΒΓ ΔΕΒ ἀλλή‐
20λων κατὰ τὸ Β σημεῖον. Ἤχθω πάλιν τοῦ ΑΒΓ κύ‐ κλου ἐφαπτομένη εὐθεῖα ἡ ΖΗ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία τῇ Γ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία
25ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΕΒΗ, ἡ δὲ Γ τῇ Δ ἐναλλὰξ ἴση ἐστίν, ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΗΒΕ γωνία τῇ Δ. διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον ἐφάπτεται ἡ ΖΗ τοῦ ΔΒΕ κύκλου. ἀλλὰ καὶ
30τοῦ ΑΒΓ κατὰ τὸ Β· καὶ ὁ ΑΒΓ

7

.

830

ἄρα κύκλος τοῦ ΒΔΕ κύκλου ἐφάπτεται κατὰ τὸ Β ση‐ μεῖον.
3tΠρόβλημα εἰς τὸ αὐτό.
4ιʹ. Θέσει δοθέντος κύκλου τοῦ ΑΒΓ, καὶ δύο δοθέν‐
5των τῶν Δ Ε, ἀπὸ τῶν Δ Ε ἂν κλασθῇ ἡ ΔΒΕ καὶ ἐκ‐ βληθῇ, ποιεῖν παράλληλον τὴν ΑΓ τῇ ΔΕ. [Omitted graphic marker] Γεγονέτω· καὶ ἤχ‐ θω ἐφαπτομένη ἡ ΖΑ. ἐπεὶ οὖν παράλληλος ἡ
10ΑΓ τῇ ΔΕ, ἴση ἐστὶν ἡ Γ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΕ γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ Γ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΖΑΕ (ἐφάπτεται γὰρ καὶ
15τέμνει)· καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΕ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΓΔΕ· ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶν τὰ Α Β Δ Ζ σημεῖα· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕΒ τῷ ὑπὸ ΖΕΔ. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ ΑΕΒ (ἴσον γάρ ἐστιν τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης)· δοθὲν
20ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕΖ. καὶ δοθεῖσα ἡ ΔΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΖ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καὶ ἔστιν δοθὲν τὸ Ε· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ζ. ἀπὸ δὴ δεδομένου σημείου τοῦ Ζ θέσει δεδομένου κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτομένη εὐθεῖα ἦκ‐ ται ἡ ΖΑ· δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΖΑ τῇ θέσει καὶ τῷ με‐
25γέθει. καὶ ἔστιν δοθὲν τὸ Ζ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Α. ἀλλὰ καὶ τὸ Ε δοθέν· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ. θέσει δὲ καὶ ὁ κύκλος· δοθὲν ἄρα τὸ Β σημεῖον. ἔστιν δὲ καὶ ἑκάτερον τῶν Δ Ε δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΒ ΒΕ τῇ θέσει.
30Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω ὁ μὲν
κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὰ δὲ δοθέντα δύο σημεῖα τὰ Δ Ε. κεί‐

7

.

832

σθω τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ἴσον τὸ ὑπὸ τῆς ΔΕ καὶ ἄλλης τινὸς τῆς ΕΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτομένη εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΖΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΒ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Γ, καὶ
5ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ· λέγω ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΔΕ. [Omitted graphic marker] Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΖΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης, ἀλλὰ καὶ τὸ ὑπὸ ΑΕΒ
10ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης, ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕΒ τῷ ὑπὸ ΖΕΔ· ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶν τὰ Α Β Δ Ζ
15σημεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΔΕ γωνίᾳ. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΕ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τμήματι τῇ ὑπὸ ΑΓΒ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΔΕ γωνίᾳ. καὶ εἰσὶν ἐναλλάξ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ
20τῇ ΔΕ.
21nΕἰς τὸ ιζʹ.
22 ιαʹ. Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ ΑΔΕ ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ διήχθωσαν ἀπὸ τοῦ Α εὐθεῖαι αἱ ΑΔΒ ΑΕΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΕ ΒΓ· ὅτι
25παράλληλοί εἰσιν αἱ ΔΕ ΒΓ. Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐφαπτομένη εὐθεῖα ἡ ΖΗ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ἀπὸ ΖΑΒ γωνία ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΑΓΒ ΑΕΔ, ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΑΕΔ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ.
30Ἀλλὰ παράλληλος ἔστω ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ· ὅτι ἐφάπτονται
οἱ ΑΒΓ ΑΔΕ κύκλοι ἀλλήλων.

7

.

834

 Ἤχθω γὰρ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτομένη ἡ ΖΗ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΑΔ γωνία τῇ Γ γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ Γ γω‐ νία ἴση ἐστὶν τῇ Ε· καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΔ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶ τῇ Ε γωνίᾳ, ὥστε ἐφαπτομένη ἡ ΖΗ τοῦ ΑΔΕ κύκλου (τοῦτο
5γὰρ προδέδεικται)· οἱ ΑΒΓ ΑΔΕ ἄρα κύκλοι ἐφάπτονται ἀλ‐ λήλων κατὰ τὸ Α σημεῖον.
7nΠρόβλημα εἰς τὸ αὐτό.
8 ιβʹ. Θέσει ὄντος κύκλου τοῦ ΑΒΓ, καὶ δύο δοθέντων τῶν Δ Ε, κλᾶν τὴν ΔΑΕ καὶ ποιεῖν παράλληλον τὴν ΒΓ
10τῇ ΔΕ. [Omitted graphic marker] Γεγονέτω· καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἐφαπτομένη ἤχθω ἡ ΒΖ. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτε‐ ται μὲν ἡ ΒΖ τέμνει δὲ
15ἡ ΒΓ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΒΓ γωνία, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΔΖΒ, τῇ Α· ἐν κύ‐ κλῳ ἄρα ἐστὶ τὰ Α Β Ζ Ε σημεῖα· ἴσον ἄρα ἐστὶν
20τὸ ὑπὸ ΑΔΒ τῷ ὑπὸ ΕΔΖ. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ ΑΔΒ (ἴσον γὰρ τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης)· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΕΔΖ· καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ΔΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΔΖ. ἀλλὰ
25καὶ τῇ θέσει. καὶ ἔστιν δοθὲν τὸ Δ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ζ. ἀπὸ δὴ δοθέντος σημείου τοῦ Ζ [τῇ] θέσει [δὲ] δοθέντος κύκλου ἐφαπτομένη ἦκται ἡ ΖΒ· δέδοται ἄρα ἡ ΖΒ τῇ θέσει. ἀλλὰ καὶ ὁ ΑΒΓ κύκλος θέσει· δοθὲν ἄρα ἐστὶ
τὸ Β σημεῖον. ἔστιν δὲ καὶ τὸ Δ δοθέν· θέσει ἄρα ἐστὶν

7

.

836

ἡ ΒΔ. θέσει δὲ καὶ ὁ κύκλος· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Α. ἔστιν δὲ καὶ τὸ Ε δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΑ ΑΕ τῇ θέσει. Συντεθήσεται δὲ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω ὁ μὲν
5κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὰ δὲ δοθέντα σημεῖα τὰ Δ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ἴσον κείσθω τὸ ὑπὸ ΕΔΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτομένη εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΖΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Α, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ ΒΓ· λέγω ὅτι παράλληλός ἐστιν
10ἡ ΒΓ τῇ ΔΕ. [Omitted graphic marker] Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΕΔΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΑΔΒ, ἐν κύκλῳ ἄρα
15ἐστὶν τὰ Α Β Ζ Ε σημεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Α γωνία, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΓΒΖ (ἐφ‐ άπτεται γὰρ ἡ ΒΖ τέμνει δὲ ἡ ΒΓ), τῇ ὑπὸ ΒΖΔ.
20καὶ εἰσὶν ἐναλλάξ, παράλ‐ ληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΔΕ.
23nΠρόβλημα εἰς τὸ ιηʹ.
24ιγʹ. Θέσει δοθέντος κύκλου τοῦ ΑΒΓ, καὶ δύο δο‐
25θέντων σημείων τῶν Δ Ε, ἀπὸ τῶν Δ Ε κλᾶν τὴν ΔΑΕ
καὶ ποιεῖν τῇ ΔΕ παράλληλον τὴν ΒΓ.

7

.

838

 Γεγονέτω· καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτομένη εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΒΖ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΒΑ γωνία τῇ Γ, τουτέστιν τῇ Ε· ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶν τὰ Β Ζ Α Ε σημεῖα· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΔΑ ἴσον ἐστὶν τῷ
5ὑπὸ ΖΔΕ. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ ΒΔΑ (ἀπὸ γὰρ δοθέντος τοῦ Δ εἰς θέσει δεδομένον κύκλον διῆκται ἡ ΑΔΒ)· δο‐ θὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΖΔΕ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΔΕ· δο‐ θεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΔ. καὶ ἔστιν δοθὲν τὸ Δ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ζ. ἀπὸ δὴ δεδομένου σημείου τοῦ Ζ θέσει δεδομένου
10κύκλου ἐφαπτομένη ἦκται ἡ ΖΒ· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΒ. θέσει δὲ καὶ ὁ κύκλος· δοθὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ Β σημεῖον. ἀλλὰ καὶ τὸ Δ δοθέν· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ. θέσει δὲ καὶ ὁ κύκλος· δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ Α σημεῖον. ἔστιν δὲ καὶ ἑκάτερον τῶν Δ Ε δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα
15τῶν ΔΑ ΑΕ τῇ θέσει. Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω ὁ μὲν τῇ θέσει δεδομένος κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὰ δὲ δοθέντα δύο σημεῖα τὰ Δ Ε, καὶ διήχθω τυχοῦσα ἡ ΑΔΒ, καὶ τῷ ὑπὸ ΑΔΒ ἴσον κείσθω τὸ ὑπὸ ΕΔΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τοῦ ΑΒΓ κύ‐
20κλου ἐφαπτομένη ἤχθω ἡ ΒΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕΑ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΒΑ γωνία τῇ πρὸς τῷ Ε (ἐν κύκλῳ γάρ ἐστιν τὰ Α Ζ Β Ε σημεῖα), ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΑ ἴση ἐστὶν τῇ Γ (ἐφάπτεται γὰρ καὶ τέμνει), καὶ ἡ Γ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ Ε· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΔΕ,
25ὅπερ· ⁓

7

.

840

(1n)

Πρόβλημα εἰς τὸ ιθʹ.
2 ιδʹ. Θέσει ὄντος τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ δύο δοθέντων τῶν Δ Ε, κλᾶν ἀπ’ αὐτῶν τὴν ΔΑΕ, ὥστε παράλληλον εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΔΕ.
5[Omitted graphic marker] Γεγονέτω· καὶ ἤχθω ἐφα‐ πτομένη ἡ ΒΖ. γίνεται οὖν πάλιν ἐν κύκλῳ τὰ Α Ζ Β Ε σημεῖα, καὶ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΔΒ τῷ ὑπὸ ΕΔΖ. δοθὲν δὲ τὸ
10ὑπὸ ΑΔΒ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΕΔΖ. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ΔΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΔΖ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καὶ ἔστιν δοθὲν τὸ Δ· δοθὲν ἄρα καὶ
15τὸ Ζ, ὥστε θέσει ἡ ΒΖ. ἀλλὰ καὶ ὁ κύκλος· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Β. ἀλλὰ καὶ τὰ Δ Ε· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΑ ΑΕ. ὁμοίως γὰρ τοῖς πρότερον δείξομεν, καὶ ὁμοίως ἡ σύνθεσις τῷ πρὸ αὐτοῦ.
19nΕἰς τὸ κδʹ.
20 ιεʹ. Ἁπτέσθωσαν δύο κύκλοι ἀλλήλων οἱ ΑΒ ΒΓ κατὰ τὸ Β σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τὰ κέντρα αὐτῶν τὰ Δ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ ΔΒ ΓΕ ΕΒ, ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΑΔ τῇ ΓΕ· ὅτι εὐθεῖαί εἰσιν αἱ διὰ τῶν Δ Β Ε, Α Β Γ. Ἤχθω γὰρ τῶν ΑΒ ΒΓ κύκλων ἐφαπτομένη εὐθεῖα
25ἡ ΖΗ. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΖΗ, ἐκ δὲ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΔΒ, ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΔΒΖ γωνία. διὰ
ταὐτὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΕ γωνία ἐστὶν ὀρθή· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν

7

.

842

ἡ διὰ τῶν Δ Β Ε. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΔ τῇ ΔΒ, ἡ δὲ ΕΓ τῇ ΕΒ, ἔστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΕΒ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς Δ Ε αἱ πλευ‐ ραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΔΒΑ γωνία
5τῇ ὑπὸ ΓΒΕ. καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ ΔΒΕ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ διὰ τῶν Α Β Γ, ὅπερ· ⁓
7nΕἰς τὸ κεʹ.
8 ιϛʹ. Ἴσης οὔσης τῆς μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ, τῆς δὲ ΑΔ τῇ ΔΕ, καὶ παραλλήλου οὔσης τῆς ΔΕ τῇ ΒΓ, δεῖξαι ὅτι εὐ‐
10θεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α Ε Γ σημείων. [Omitted graphic marker] Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ ΕΓ, καὶ τῇ ΑΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΖ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΔ ἐπὶ τὸ Ζ· ἴση ἄρα
15ἐστὶν ἡ ΔΖ τῇ ΔΒ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΔΕ ἴση· ὅλη ἄρα ἡ ΑΒ ὅλῃ τῇ ΖΕ ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ ἴση ἐστίν· καὶ ἡ ΒΓ
20ἄρα τῇ ΖΕ ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ καὶ παράλληλος· καὶ ἡ ΓΕ ἄρα τῇ ΒΖ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΒΖ παράλληλός ἐστιν· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕΓ· τοῦτο γὰρ φανερόν.
23nἘπαφῶν δεύτερον.
24nΕἰς τὸ λαʹ.
25 ιζʹ. Ἐὰν ᾖ κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ δύο προβληθῶσιν αἱ ΒΔ ΔΓ ἴσαι οὖσαι, ἡ δὲ ΒΔ ἐφάπτηται, ὅτι καὶ ἡ ΔΓ ἐφάπτεται. Τοῦτο δὲ φανερόν· ἂν γὰρ διαχθῇ ἡ ΔΑ, τὸ ὑπὸ ΑΔΕ
ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΒ. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ ΔΒ τῷ ἀπὸ ΔΓ

7

.

844

ἴσον ἐστίν· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΕ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΓ· ἐφάπτεται ἄρα ἡ ΔΓ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. ιηʹ. Δύο κύκλοι οἱ ΑΒ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ Β διήχθω τις ἡ ΑΒΓ, καὶ δύο παράλληλοι αἱ ΑΔ ΕΓ νεύουσαι ἐπὶ
5τὰ κέντρα τῶν κύκλων· ὅτι οἱ ΑΒ ΒΓ κύκλοι ἐφάπτονται ἀλλήλων κατὰ τὸ Β σημεῖον. [Omitted graphic marker] Εἰλήφθω τὰ κέντρα τῶν κύκλων τὰ Δ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΒ ΒΕ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν
10Δ Β Ε· παράλληλος γάρ ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΓΕ. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς ΕΒ, καὶ γί‐ νεται δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα τὴν Α τῇ Γ, περὶ
15δὲ ἄλλας γωνίας τὰς Δ Ε τὰς πλευ‐ ρὰς ἀνάλογον· ἰσογώνια ἄρα ἐστὶν τὰ τρίγωνα· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΕ. καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ ΑΒΓ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν
20καὶ ἡ ΔΒΕ. ἐπεὶ δὲ εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν κέντρων καὶ τῆς ἁφῆς, ἐφάπτονται ἄρα οἱ ΑΒ ΒΓ κύκλοι ἀλλήλων κατὰ τὸ Β σημεῖον.
24nΕἰς τὸ νβʹ.
25 ιθʹ. Ἔστω ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΓΔ παράλληλος, ἴση δὲ ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, οὔσης ἀμβλείας μὲν τῆς ὑπὸ τῶν ΑΓΔ, ὀξείας δὲ τῆς ὑπὸ ΒΔΓ· ὅτι παραλληλόγραμμόν ἐστιν τὸ ΑΔ. Ἐπεὶ γὰρ ἀμβλεῖα μέν ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΓΔ, ὀξεῖα δὲ ἡ ὑπὸ ΒΔΓ, αἱ ἀπὸ τῶν Α Β ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετοι ἀγόμεναι ἡ μὲν ἀπὸ
30τοῦ Α ἐκτὸς τοῦ Γ, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Β ἐντὸς τοῦ Δ πίπτουσιν·

7

.

846

καὶ ἔστωσαν αἱ ΑΕ ΒΖ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΒΖ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ παράλληλος, καὶ εἰσὶν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Ε Ζ σημείοις γωνίαι· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΖΔ τῇ ΕΓ, ὥστε καὶ ὅλη ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ ἐστὶν ἴση·
5καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῇ ΓΔ ἐστὶν ἴση. κʹ. Δύο ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒ ΓΔ, καὶ διὰ τῶν κέντρων ἡ ΑΔ, καὶ τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΕΖ· λέγω ὅτι ἐκβληθεῖσα τέμνει καὶ τὸν ΑΒ κύκλον. [Omitted graphic marker] Εἰλήφθω τὰ κέν‐
10τρα τῶν κύκλων τὰ Η Θ, καὶ ἀπὸ τῶν Η Θ σημείων τῇ ΑΔ ὀρθαὶ ἤχθωσαν αἱ ΗΚ ΘΛ, καὶ ἐπε‐
15ζεύχθω ἡ ΚΛ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΚ τῇ ΘΛ. ἀλλὰ καὶ παρ‐ άλληλος· καὶ ἡ ΚΛ ἄρα τῇ ΗΘ ἴση ἐστὶν καὶ παράλ‐ ληλος, ὥστε ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Κ Λ γωνίαι. καὶ
20εἰσὶν ἐκ τῶν κέντρων αἱ ΗΚ ΘΛ· ἡ ΚΛ ἄρα ἐφάπτεται τῶν κύκλων. φανερὸν οὖν ὅτι ἡ τοῦ ΓΔ ἐφαπτομένη καὶ τοῦ ΑΒ ἐφάπτεται· ἡ ἄρα τὸν ΓΔ τέμνουσα ἡ ΕΖ καὶ τὸν ΑΒ τέμνει ἐκβληθεῖσα (ἐπεὶ καὶ μεταξὺ τῶν Β Λ ἔσται, ὡς ἡ ΕΖ τῶν Γ Κ ἐστὶν μεταξύ).
25 καʹ. Ἔστω ἴση ἡ μὲν ΔΑ τῇ ΑΕ, μείζων δὲ ἡ ΒΔ τῆς ΓΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ· ὅτι ἐκβληθεῖσα ἡ ΔΕ συμ‐ πίπτει τῇ ΒΓ.
Κείσθω τῇ ΓΕ ἴση ἡ ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ· παράλ‐

7

.

848

ληλος ἄρα ἐστὶν τῇ ΔΕ, καὶ συμπίπτει τῇ ΒΓ· καὶ ἡ ΔΕ ἄρα συμπίπτει τῇ ΒΓ.
3nΠρόβλημα εἰς τὸ αὐτό.
4κβʹ. Θέσει ὄντος κύκλου τοῦ ΑΒΓ, καὶ τριῶν δοθέν‐
5των σημείων τῶν Δ Ε Ζ ἐπ’ εὐθείας, κλᾶν τὴν ΔΑΕ καὶ ποιεῖν ἐπ’ εὐθείας τὴν ΒΓ τῇ ΓΖ. [Omitted graphic marker] Γεγονέτω· καὶ διὰ τοῦ Β τῇ ΔΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΓ
10καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Θ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία, τουτέστιν ἡ Α, τῇ ὑπὸ ΓΘΖ γωνίᾳ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΔΕΘ. δοθὲν
15δὲ τὸ ὑπὸ ΑΕΓ (ἴσον γὰρ τῷ ἀπὸ τῆς ἀπὸ τοῦ Ε ἐφαπτο‐ μένης)· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕΘ. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ΔΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΘ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει· καὶ
20ἔστιν δοθὲν τὸ Ε· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Θ. ἔστιν δὲ καὶ τὸ Ζ δοθέν· γέγονεν δή μοι ἀπὸ δύο δοθέντων τῶν Θ Ζ κλᾶν τὴν ΘΓΖ καὶ ποιεῖν παράλληλον τὴν ΒΗ τῇ ΘΕΖ· τοῦτο δὲ προγέγραπται. δοθὲν ἄρα τὸ Γ. ἀλλὰ καὶ τὸ Ε δοθέν· θέσει ἄρα ἡ ΓΕ. ἀλλὰ καὶ ὁ κύκλος δοθείς· δο‐
25θὲν ἄρα τὸ Α. ἔστιν δὲ καὶ τὸ Δ δοθέν· θέσει ἄρα καὶ ἡ ΔΑ, ὅπερ· ⁓ Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω ὁ μὲν
κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὰ δὲ δοθέντα ἐπ’ εὐθείας τρία σημεῖα

7

.

850

τὰ Δ Ε Ζ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ἴσον κείσθω τὸ ὑπὸ ΔΕΘ, καὶ δύο δοθέντων σημείων τῶν Θ Ζ, εἰς τὸν κύκλον ἀπὸ τῶν Θ Ζ κεκλάσθω ἡ ΘΓΖ, ὥστε παράλληλον εἶναι τὴν ΒΗ τῇ ΘΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ καὶ ἐκβεβλήσθω
5ἐπὶ τὸ Α· λέγω ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α Β Δ. [Omitted graphic marker] Ἐπεὶ γὰρ ἑκάτερον τῶν ὑπὸ ΑΕΓ ΔΕΘ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἀπὸ τοῦ Ε ἐφαπτομένης, ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕΓ τῷ ὑπὸ
10ΔΕΘ· ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶν τὰ Δ Θ Γ Α σημεῖα. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΘΖ, ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἐν κύ‐
15κλῳ, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΓΘΖ γωνίᾳ. καὶ ἔστιν ἐν κύκλῳ τὰ Α Γ Θ Δ σημεῖα· ἐπ’ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, ὅπερ· ⁓ Μένει δ’ αὐτοῦ καὶ τὰ πτωτικά· ἀπάγεται γὰρ εἰς
20τὰ πτωτικὰ τοῦ ἑπτακαιδεκάτου. κγʹ. Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ ΑΒ ΓΔ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΔ, καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΗΖ, οὕτως ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒ κύκλου πρὸς τὴν ἐκ κέντρου τοῦ ΓΔ κύκλου· ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Η διαγομένη τέμνουσα τὸν ΓΔ
25κύκλον ἐκβληθεῖσα καὶ τὸν ΑΒ τέμνει.

7

.

852

 Εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν κύκλων τὰ Ε Ζ σημεῖα, καὶ ἀπὸ τοῦ Η τοῦ ΓΔ κύκλου ἐφαπτομένη ἤχθω ἡ ΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΘ, καὶ τῇ ΖΘ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΚ. ἐπεὶ οὖν ἐστὶν ὡς ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΗΖ, οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς
5τὴν ΖΘ, εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Η Θ Κ. καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ Θ γωνία· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ Κ γωνία, ὥστε, εἰ τοῦ ΓΔ ἐφάπτεται ἡ ἀπὸ τοῦ Η, ἐκβληθεῖσα καὶ τοῦ ΑΒ ἐφάψεται. ἀλλὰ αἱ τέμνουσαι τὸν ΓΔ μεταξὺ τῶν Δ Θ εἰσίν· ἐκβαλλόμεναι ἄρα μεταξὺ τῶν Κ Β ἔσονται. καὶ
10ἔστιν ἐφαπτομένη ἡ ΗΚ· τέμνει ἄρα ἡ μεταξὺ τῶν Β Κ, Δ Θ. ἀλλὰ ἡ αὐτὴ καὶ τὸν ΓΔ τέμνει· ἡ ἄρα τὸν ΓΔ τέμνουσα καὶ τὸν ΑΒ τέμνει ἀγομένη ἀπὸ τοῦ Η σημείου. Τὸ πρῶτον τῶν ἐπαφῶν ἔχει προβλήματα ἑπτά, τὸ δεύτερον προβλήματα δʹ.
15nἘπιπέδων τόπων αʹ βʹ.
16nΕἰς τὸν τοῦ δευτέρου πρῶτον τόπον.
17 αʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ διήχθω [τυχοῦσα] ἡ ΑΔ, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ· ὅτι γίνεται ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ τῷ
20ἀπὸ ΑΔ. Ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΓΕ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΕ, καὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒ ΓΕ. ὡς δὲ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἦν τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ· ἴσον
25ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΑ ΓΕ τῷ ἀπὸ ΓΑ· ἀνάλογον ἄρα αἱ

7

.

854

περὶ ἴσας γωνίας τὰς ἐναλλάξ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΑΔ τῇ Β, ὥστε ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΔΓ τῷ ἀπὸ ΔΑ. Τὸ δὲ ἀναστρεφόμενον φανερόν.
4nΕἰς τὸν δεύτερον τόπον.
5 βʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ κάθετος ἡ ΔΑ· ὅτι μὲν ἡ τῶν ἀπὸ ΒΑ ΑΓ ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶ τῇ τῶν ἀπὸ ΒΔ ΔΓ ὑπεροχῇ· ἐὰν δὲ ἡ ΒΓ δίχα τμηθῇ κατὰ τὸ Ε, ἡ τῶν ἀπὸ ΒΔ ΔΓ ὑπεροχή ἐστιν τὸ δὶς ὑπὸ ΒΓ ΕΔ. Ὅτι μὲν οὖν ἡ τῶν ἀπὸ ΒΑ ΑΓ ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶν
10τῇ τῶν ἀπὸ ΔΒ ΔΓ ὑπεροχῇ, φανερόν· ἔστιν γὰρ τὸ μὲν ἀπὸ ΑΒ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΔ ΑΔ, τὸ δὲ ἀπὸ ΑΓ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ ΔΓ· ᾧ ἄρα ὑπερέχει τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΑΓ, τούτῳ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ ΑΔ ΔΒ τῶν ἀπὸ ΑΔ ΔΓ. κἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΑΔ, λοιπὸν ἄρα ᾧ ὑπερέχει τὸ ἀπὸ
15ΒΔ τοῦ ἀπὸ ΔΓ, τούτῳ ὑπερέχει τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΑΓ. ὅτι καὶ ἡ τῶν ἀπὸ ΒΔ ΔΓ ὑπεροχή ἐστιν τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΓ ΔΕ, οὕτως· ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΓ, ἡ ΒΔ ἄρα ἴση ἐστὶν συναμφοτέρῳ τῇ ΓΕΔ· καὶ τὸ ἀπὸ ΒΔ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΕΔ. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ
20συναμφοτέρου τῆς ΓΕΔ τοῦ ἀπὸ ΓΔ ὑπερέχει τῷ τετράκις ὑπὸ ΓΕΔ, τουτέστιν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΓ ΔΕ· ἡ ἄρα τῶν
ἀπὸ ΒΔ ΔΓ ὑπεροχή ἐστιν τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΓ ΔΕ.

7

.

856

Εἰς τὸν αὐτόν, ἐὰν μὴ ὁ λόγος ἴσου πρὸς ἴσον. γʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τὸ ἀπὸ ΒΑ τοῦ ἀπὸ ΑΓ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ, δοθέντι μὲν τῷ Ε, ἐν λόγῳ δὲ τῷ τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ· ὅτι μεῖζόν ἐστιν τὸ ὑπὸ ΔΒΓ
5τοῦ Ε χωρίου. [Omitted graphic marker] Ἀφῃρήσθω γὰρ τὸ δοθὲν χωρίον τὸ ὑπὸ ΑΒΗ· λοιποῦ ἄρα τοῦ ὑπὸ ΒΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ
10ΑΓ λόγος ἐστὶν δοθεὶς ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ. κείσθω τῷ ὑπὸ ΒΑΗ ἴσον τὸ ὑπὸ ΖΑΓ· λοιποῦ ἄρα
15τοῦ ὑπὸ ΖΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, τουτέστιν τῆς ΖΑ πρὸς τὴν ΑΓ, ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΖΒ· ἴση ἄρα
20ἐστὶν ἡ Ζ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΑΔ γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ Ζ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΑΗΓ γωνίᾳ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΓΑΔ γωνίᾳ. μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΘ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ· καὶ τῆς ὑπὸ ΓΗΑ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΘ γωνία· ὥστε μεῖζόν ἐστιν τὸ ὑπὸ ΔΒΓ τοῦ ὑπὸ ΑΒΗ,
25τουτέστιν τοῦ Ε [τοῦ δοθέντος] χωρίου.
26nΕἰς τὸν τρίτον τόπον.
27 δʹ. Ἐὰν ᾖ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ διαχθῇ τις ἡ ΑΔ δίχα τέμνουσα τὴν ΒΓ, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετράγωνα διπλάσιά ἐστιν τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ ΔΓ τετραγώνων.
30Ἤχθω κάθετος ἡ ΑΕ. τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΒΕ ΕΓ τετρά‐

7

.

858

γωνα διπλάσιά ἐστιν τῶν ἀπὸ τῶν ΒΔ ΕΔ τετραγώνων· [Omitted graphic marker]ἔστιν δὲ καὶ τὸ δὶς ἀπὸ ΑΕ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΔΕ διπλά‐ σιον τοῦ ἀπὸ ΑΔ, τὰ δὲ ἀπὸ
5τῶν ΒΕ ΕΓ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΑΕ ἴσα ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ· τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΑ ΑΓ διπλάσιά ἐστιν τῶν ἀπὸ ΒΔ ΔΑ τετραγώνων, τουτέστιν τῶν ἀπὸ ΓΔ ΔΑ τετραγώνων.
10 εʹ. Λόγου ὄντος τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, καὶ χω‐ ρίου τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΑ ΑΔ, ἐὰν τῶν ΔΒ ΒΓ μέση ἀνά‐ λογον ληφθῇ ἡ ΒΕ, δεῖξαι ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΕ τοῦ ἀπὸ ΕΓ μεῖζόν ἐστιν τῷ ὑπὸ ΓΑ ΑΔ ἢ ἐν λόγῳ τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ.
15[Omitted graphic marker] Πεποιήσθω γὰρ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἄλλη τις ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΓ· διελόντι ἄρα ἐστὶν καὶ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΓΕ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΖ πρὸς ὅλην τὴν ΒΕ ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς
20τὴν ΒΓ· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕ‐ τως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕ‐ τως ἐστὶν ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΓ ἐκ τοῦ εἶναι μέσην ἀνάλογον· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΓΕ. χωρίον χωρίῳ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΖ ΕΓ ἴσον ἐστὶν
25τῷ ὑπὸ ΑΓ ΔΕ. τὸ δὲ ὑπὸ ΑΖ ΓΕ τοῦ ὑπὸ ΑΕΓ ὑπερ‐ έχει τῷ ὑπὸ ΖΕΓ. ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΑΖ ΕΓ τοῦ ὑπὸ ΑΕΓ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ ὑπὸ ΑΓ ΔΕ τοῦ ὑπὸ ΑΕΓ· τὸ
ἄρα ὑπὸ ΑΓ ΔΕ τοῦ ὑπὸ ΑΕΓ μεῖζόν ἐστιν τῷ ὑπὸ ΖΕΓ.

7

.

860

ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΑΓ ΔΕ τοῦ ὑπὸ ΑΕΓ, τούτῳ ὑπερ‐ έχει καὶ τὸ ἀπὸ ΑΕ τοῦ ὑπὸ ΓΑΔ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΕ τε‐ τράγωνον τοῦ ὑπὸ ΓΑΔ μεῖζόν ἐστιν τῷ ὑπὸ ΖΕΓ. τὸ δὲ ὑπὸ ΖΕΓ λόγον ἔχει πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΒ
5πρὸς τὴν ΒΓ, ὥστε τὸ ἀπὸ ΑΕ τοῦ ἀπὸ ΕΓ μεῖζόν ἐστιν τῷ ὑπὸ ΓΑΔ ἢ ἐν λόγῳ τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. ϛʹ. Λόγος τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, χωρίον τὸ ὑπὸ ΓΑΔ. ἐὰν τῶν ΔΒ ΒΓ μέση ἀνάλογον ληφθῇ ἡ ΒΕ, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ μεῖζόν ἐστιν τῷ ὑπὸ ΓΑΔ ἢ ἐν
10λόγῳ τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ.[Omitted graphic marker] Πεποιήσθω γὰρ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἄλλη τις ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΕ. διελόντι ἄρα καὶ λοιπὴ πρὸς λοι‐ πήν ἐστιν ὡς ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ. ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΕΒ
15πρὸς τὴν ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΓ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΓΕ. χωρίον χωρίῳ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΖΑ ΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΔ ΑΓ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΑΕΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΑΔ· ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΕ ἴσον ἐστὶν
20ὅλῳ τῷ τε ὑπὸ ΖΕΓ καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ ΓΑΔ· ὥστε τὸ ἀπὸ ΑΕ τοῦ ἀπὸ ΕΓ μεῖζον τῷ ὑπὸ ΓΑΔ ἢ ἐν λόγῳ τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ· τὸ γὰρ ὑπὸ ΖΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ
τοῦτον ἔχει τὸν λόγον.

7

.

862

 ζʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ δύο σημεῖα τὰ Γ Δ· ὅτι, ἐὰν τὸ ἀπὸ ΑΔ καὶ τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ συντεθῇ, γίνεται τό τε ἀπὸ ΑΓ καὶ τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΓ
5πρὸς τὴν ΓΒ καὶ ἔτι τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. [Omitted graphic marker] Τῷ γὰρ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ λόγῳ ὁ αὐτὸς γεγονέτω ὁ τῆς
10ΖΔ πρὸς τὴν ΔΒ· καὶ συνθέντι ἄρα καὶ τὰ λοιπὰ ἡ ΑΖ πρὸς λοιπὴν τὴν ΓΔ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΑΖ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ, ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ· ὥστε τὸ μὲν λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΔΒ, τὸ δὲ λόγον ἔχον πρὸς
15τὸ ἀπὸ ΓΒ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΓΒ, τὸ δὲ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς [αὐτῆς] ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΖ ΔΓ. ὅτι οὖν τὸ ἀπὸ ΑΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΔΖ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΒΑΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΖ ΓΔ. καὶ κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ὑπὸ
20ΔΑΓ· ὅτι λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΑΔΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΖΔΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΓ ΔΒ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΖ ΓΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ὑπὸ ΑΖ ΓΔ· ὅτι ἄρα τὸ ὑπὸ ΖΔΓ μετὰ
τοῦ ὑπὸ ΖΔΒ, τουτέστιν ὅλον τὸ ὑπὸ ΖΔ ΓΒ, ἴσον ἐστὶν

7

.

864

τῷ ὑπὸ ΑΓ ΔΒ. ἔστιν δέ· ἀνάλογον γὰρ αἱ ΑΓ ΓΒ, ΖΔ ΔΒ εἰσὶν εὐθεῖαι. ηʹ. Θέσει καὶ μεγέθει εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τυχὸν τὸ Γ· ὅτι ἐστὶν δοθὲν ἐπὶ τῆς ΑΒ, ὥστε τὸ ἀπὸ ΑΓ καὶ τὸ
5λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ δοθέντα ἴσον ἐστὶν δο‐ θέντι καὶ τῷ λόγον ἔχοντι πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τοῦ τε δοθέντος καὶ τοῦ Γ δοθέντα. Πεποιήσθω γὰρ ὡς ὁ δοθεὶς λόγος, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ δοθείς·
10ὥστε δοθέν ἐστιν τὸ Δ σημεῖον. ἐπεὶ δὲ εὐθεῖά ἐστιν ἡ ΑΒ, καὶ δύο σημεῖα τὰ Δ Γ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΓ καὶ τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ ΑΔ καὶ τῷ λόγον ἔχοντι πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ καὶ
15ἔτι τῷ λόγον ἔχοντι πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ. καὶ τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΒΔ τὸ ὑπὸ ΑΔΒ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΓ καὶ τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, τουτέστιν δοθέντα, ἴσον ἐστὶν τῷ
20τε ὑπὸ ΒΑΔ, τουτέστιν δοθέντι, καὶ τῷ λόγον ἔχοντι πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, τουτέστιν δοθέντα. Ὁμοίως καί, ἐὰν [τὸ δοθὲν] τὸ Γ ἐκτὸς ᾖ τῆς ΑΒ εὐ‐
θείας, τῇ αὐτῇ ἀκολουθίᾳ δείξομεν.

7

.

866

(1n)

Πορισμάτων αʹ βʹ γʹ.
2nΤοῦ πρώτου εἰς τὸ πρῶτον πόρισμα.
3 αʹ. Ἔστω καταγραφὴ ἡ ΑΒΓΔΕΖΗ, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, καὶ ἐπε‐
5ζεύχθω ἡ ΘΚ· ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ.[Omitted graphic marker] [Omitted graphic marker] Ἤχθω διὰ τοῦ Ζ τῇ ΒΔ παράλληλος ἡ ΖΛ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, ἀνά‐
10παλιν καὶ συνθέντι καὶ ἐναλ‐ λάξ ἐστιν ὡς ἡ Δ Α πρὸς τὴν ΑΖ, τουτέστιν ἐν παραλλήλῳ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΛ, οὕ‐ τως ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΗ· παρ‐
15άλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΗ τῇ ΒΓ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΛ, οὕτως ἐν παραλλήλῳ ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ, καὶ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ· παρ‐
20άλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ.
Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως. ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΖ

7

.

868

πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, ἀνάπαλίν ἐστιν ὡς ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΑ. συν‐ θέντι καὶ ἐναλλὰξ καὶ ἀναστρέψαντί ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς [Omitted graphic marker]τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν
5ΓΗ. ἀλλ’ ὁ μὲν τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΔΖ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ καὶ τοῦ τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ· ὁ ἄρα συνημμένος λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς
10τὴν ΒΕ καὶ ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ καὶ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. καὶ κοι‐ νὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ λόγος· λοιπὸν ἄρα
15ὁ τῆς ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ.
17nΕἰς τὸ δεύτερον πόρισμα.
18 βʹ. Καταγραφὴ ἡ ΑΒΓΔΕΖΗΘ, ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ ΔΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ
20πρὸς τὴν ΗΖ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Θ Κ Ζ. Ἤχθω διὰ τοῦ Η παρὰ τὴν ΔΕ ἡ ΗΛ, καὶ ἐπιζευ‐ χθεῖσα ἡ ΘΚ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΖ, ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ.
25ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΗΛ (διὰ τὸ εἶναι δύο παρὰ δύο, καὶ ἐναλλάξ)· καὶ ὡς ἄρα ἡ
ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΗΛ. καὶ ἔστι

7

.

870

παράλληλος ἡ ΕΘ τῇ ΗΛ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ Λ Ζ, τουτέστιν ἡ διὰ τῶν Θ Κ Ζ, ὅπερ· ⁓ γʹ. Εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΑΒ ΓΑ ΔΑ διήχθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΘΕ ΘΔ· ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΘΕ ΗΖ πρὸς
5τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ ΔΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔ ΒΓ. [Omitted graphic marker] Ἤχθω διὰ μὲν τοῦ Θ τῇ ΖΓΑ παράλληλος ἡ ΚΛ, καὶ αἱ ΔΑ ΑΒ συμ‐
10πιπτέτωσαν αὐτῇ κατὰ τὰ Κ Λ σημεῖα, διὰ δὲ τοῦ Λ τῇ ΔΑ παράλληλος ἡ ΛΜ καὶ συμπιπτέτω τῇ ΕΘ ἐπὶ τὸ Μ. ἐπεὶ οὖν
15ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΛ, ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΜ (καὶ γὰρ ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΘΗ ἐν παραλλήλῳ), δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΖ
20πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΜ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΘΕ ΗΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΖ ΘΜ. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ ΘΗ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ ΗΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖ ΘΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ ΗΘ, τουτέστιν ἡ ΘΜ πρὸς ΘΗ, τουτ‐
25έστιν ἡ ΛΘ πρὸς τὴν ΘΚ. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΔ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΒ ΓΔ·
ἀνάπαλιν ἄρα γίνεται ὡς ἡ ΛΘ πρὸς τὴν ΘΚ, οὕτως τὸ

7

.

872

ὑπὸ ΘΒ ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔ ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΛΘ πρὸς τὴν ΘΚ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΕΘ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ ΗΘ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΕΘ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ ΗΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔ ΒΓ.
5 Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως. ἐπεὶ τοῦ ὑπὸ ΘΕ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ, καὶ ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΖΑ, ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς τὴν
10ΘΚ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΘΕ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ ΕΖ συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΖΑ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΘΚ. ὁ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΘΛ πρὸς τὴν ΖΑ καὶ τοῦ τῆς ΖΑ πρὸς τὴν ΘΚ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΘΕ ΗΖ
15πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ. διὰ ταὐτὰ καὶ ὡς τὸ ὑπὸ ΘΔ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΒ ΓΔ, οὕ‐ τως ἐστὶν ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΘΛ. καὶ ἀνάπαλίν ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΘΒ ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔ ΒΓ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ. ἦν δὲ καὶ ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΘΕ ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ
20ΘΗ ΖΕ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΘΕ ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔ ΒΓ. δʹ. Καταγραφὴ ἡ ΑΒΓΔΕΖΗΘΚΛ, ἔστω δὲ ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒ ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΖ ΔΕ
25πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔ ΕΖ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Θ Η Ζ σημείων. Ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒ ΓΖ,
οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΖ ΔΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔ ΕΖ, ἐναλλάξ ἐστιν

7

.

874

ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖ ΔΕ, τουτέστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΒ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ [Omitted graphic marker]ΑΔ ΕΖ. ἀλλ’ ὁ μὲν τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΔΕ συνῆπται λό‐
5γος, ἐὰν διὰ τοῦ Κ τῇ ΑΖ παράλληλος ἀχθῇ ἡ ΚΜ, ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς ΚΝ καὶ τῆς ΚΝ πρὸς ΚΜ καὶ ἔτι τοῦ τῆς ΚΜ πρὸς ΔΕ, ὁ
10δὲ τοῦ ὑπὸ ΑΒ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔ ΕΖ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΑ πρὸς ΑΔ καὶ τοῦ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ. κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ΒΑ πρὸς ΑΔ ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τῆς ΝΚ πρὸς ΚΜ· λοιπὸν ἄρα
15ὁ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΚΝ, τουτέστιν τοῦ τῆς ΘΓ πρὸς τὴν ΚΘ, καὶ τοῦ τῆς ΚΜ πρὸς τὴν ΔΕ, τουτέστιν τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΗΕ· εὐθεῖα ἄρα ἡ διὰ τῶν Θ Η Ζ. Ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ ΘΓ παράλληλον ἀγάγω τὴν ΕΞ,
20καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΘΗ ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Ξ, ὁ μὲν τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΗΕ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΕΞ, ὁ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΘ πρὸς τὴν ΘΚ καὶ τοῦ τῆς ΘΚ πρὸς τὴν ΕΞ μεταβάλλεται εἰς τὸν τῆς ΘΓ πρὸς ΕΞ λόγον, καὶ ὁ τῆς ΓΖ πρὸς ΖΕ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ
25τῆς ΓΘ πρὸς τὴν ΕΞ· παραλλήλου οὔσης τῆς ΓΘ τῇ ΕΞ εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ Ξ Ζ (τοῦτο γὰρ φανερόν), ὥστε καὶ ἡ διὰ τῶν Θ Η Ζ εὐθεῖά ἐστιν. εʹ. Ἐὰν ᾖ καταγραφὴ ἡ ΑΒΓΔΕΖΗΘ, γίνεται ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. ἔστω οὖν
30ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α Η Θ.
Ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ ΑΔ παράλληλος ἡ ΚΛ. ἐπεὶ

7

.

876

οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς [Omitted graphic marker]τὴν ΛΗ, ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς
5τὴν ΗΜ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΜ, καὶ λοιπὴ ἡ ΗΛ πρὸς λοιπὴν τὴν ΛΜ ἐστὶν ὡς ἡ ΚΛ πρὸς τὴν
10ΛΗ, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ. ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕ‐ τως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΛΜ, τουτέστιν ἡ ΔΘ πρὸς ΘΛ. καὶ ἔστι παράλληλος ἡ ΗΛ τῇ ΑΔ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ
15τῶν Α Η Θ σημείων· τοῦτο γὰρ φανερόν. ϛʹ. Πάλιν ἐὰν ᾖ καταγραφή, καὶ παράλληλος ἡ ΔΖ τῇ ΒΓ, γίνεται ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ. ἔστω οὖν ἴση· ὅτι παράλληλος. Ἔστιν δέ· ἐὰν γὰρ ἐπὶ τῆς ΕΒ θῶ τῇ ΗΒ ἴσην τὴν
20ΒΘ, καὶ ἐπιζεύξω τὰς ΑΘ ΘΓ, γίνεται παραλληλόγραμμον τὸ ΑΘΓΗ, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ (ἑκατέρων γὰρ τῶν εἰρημένων ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΘΗ πρὸς τὴν ΗΕ λόγος), ὥστε παρ‐ άλληλός ἐστιν ἡ ΔΖ τῇ ΑΓ.
25 ζʹ. Ἔστω καταγραφή, καὶ τῶν ΔΒ ΒΓ μέση ἀνάλογον [Omitted graphic marker]ἔστω ἡ ΒΑ· ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ ΑΓ. Ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΒ, καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ΔΖ εὐθείᾳ
30παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΚ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ,
35οὕτως ἡ ΚΒ πρὸς τὴν ΒΘ, καὶ
ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ,

7

.

878

οὕτως ἡ ΚΒ πρὸς τὴν ΒΘ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ τῇ ΚΓ. ἔστιν οὖν πάλιν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΕ (ἑκατέρων γὰρ τῶν εἰρημένων λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΕ), ὥστε παράλληλός
5ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ ΑΓ. ηʹ. Ἔστω βωμίσκος ὁ ΑΒΓΔΕΖΗ, καὶ ἔστω παράλ‐ ληλος ἡ μὲν ΔΕ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΕΗ τῇ ΒΖ· ὅτι καὶ ἡ ΔΖ τῇ ΓΗ παράλληλός ἐστιν. [Omitted graphic marker] Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ
10ΔΓ ΖΗ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ΔΒΕ τρίγωνον τῷ ΔΓΕ τριγώνῳ. κοινὸν προσ‐ κείσθω τὸ ΔΑΕ τρίγωνον· ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΕ τρίγω‐
15νον ὅλῳ τῷ ΓΔΑ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. πάλιν ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΖ τῇ ΕΗ, ἴσον ἐστὶν τὸ ΒΖΕ τρίγωνον τῷ ΒΖΗ τρι‐
20γώνῳ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΑΒΖ τρίγωνον· λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒΕ τρίγωνον λοιπῷ τῷ ΑΗΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΓΔ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ τὸ ΑΓΔ ἄρα τρίγωνον τῷ ΑΖΗ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. κοινὸν προσ‐ κείσθω τὸ ΑΓΗ τρίγωνον· ὅλον ἄρα τὸ ΓΔΗ τρίγωνον
25ὅλῳ τῷ ΓΖΗ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. καὶ ἔστιν ἐπὶ τῆς αὐ‐ τῆς βάσεως τῆς ΓΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΗ τῇ ΔΖ. θʹ. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἐν αὐτῷ διήχθωσαν αἱ ΑΔ ΑΕ, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ κε‐ κλάσθω ἡ ΖΘΗ, ἔστω δὲ ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ, οὕτως
30ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΕ· ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΚΛ τῇ ΒΓ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ, οὕτως ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΕ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς λοιπὴν τὴν ΓΕ ἐστὶν
ὡς ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΕ. ὡς δὲ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως

7

.

880

ἐστὶν ἡ ΖΜ πρὸς ΝΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΜ πρὸς ΝΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΕ. ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ΖΜ πρὸς [Omitted graphic marker]τὴν ΔΘ, οὕτως ἡ ΝΗ πρὸς τὴν ΘΕ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΖΜ πρὸς
5τὴν ΔΘ, οὕτως ἐστὶν ἐν παραλ‐ λήλῳ ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΘ, ὡς δὲ ἡ ΗΝ πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΗΛ πρὸς τὴν ΛΘ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΘ, οὕ‐
10τως ἐστὶν ἡ ΗΛ πρὸς τὴν ΛΘ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΛ τῇ ΗΖ, ὥστε καὶ τῇ ΓΒ. ιʹ. Εἰς δύο εὐθείας τὰς ΒΑΕ ΔΑΗ ἀπὸ τοῦ Θ ση‐ μείου δύο διήχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΔΘ ΘΕ, ἔστω δὲ ὡς τὸ
15ὑπὸ τῶν ΔΘ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΓ ΒΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ ΖΗ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Γ Α Ζ. Ἤχθω διὰ τοῦ Θ τῇ ΓΑ παράλληλος ἡ ΚΛ καὶ συμ‐ πιπτέτω ταῖς ΑΒ ΑΔ κατὰ τὰ Κ Λ σημεῖα, καὶ διὰ τοῦ
20Λ τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΘ ἐπὶ τὸ Μ, διὰ δὲ τοῦ Κ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΝ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΘ ἐπὶ τὸ Ν. ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς παραλλήλους γίνεται ὡς ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΝ, οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΔΘ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ
25τῶν ΔΓ ΘΝ. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ ΔΓ ΒΘ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΔΘ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΓ ΒΘ, οὕτως τὸ
ὑπὸ ΓΔ ΘΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΓ ΒΘ, τουτέστιν ἡ ΘΝ πρὸς

7

.

882

ΘΒ. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ὑπὸ ΘΔ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΓ ΒΘ, ὑπόκειται τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ ΖΗ, ὡς δὲ ἡ ΘΝ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς ΘΛ, τουτέστιν ἐν παρ‐ αλλήλῳ ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΘΜ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ
5πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΜ ΖΕ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ ΖΗ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΜ ΖΕ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΕ ΖΗ τῷ ὑπὸ ΘΜ ΖΕ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΜ πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΕ. συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ΜΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως
10ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΜΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΛΕ πρὸς τὴν ΕΑ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΚΛ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΓΑ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑΖ, ὅπερ· ⁓
15 Τὰ δὲ πτωτικὰ αὐτοῦ ὁμοίως τοῖς προγεγραμμένοις, ὧν ἐστιν ἀναστρόφιον. ιαʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΑΔ, καὶ διαχθεῖσα ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ε ση‐ μεῖον· ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ ΗΔ,
20οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ. [Omitted graphic marker] Ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ ΔΕ παράλληλος ἡ ΓΘ, καὶ ἐκβε‐ βλήσθω ἡ ΑΒ ἐπὶ τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν
25ΑΗ, οὕτως ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΖΗ, ὡς δὲ ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΗ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ
30ΘΓ πρὸς τὴν ΖΗ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΘ ΔΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΔ ΖΗ. ἄλλο δέ τι τυ‐
χὸν τὸ ὑπὸ ΕΖ ΗΔ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΖΗ πρὸς

7

.

884

[Omitted graphic marker]τὸ ὑπὸ ΔΗ ΕΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΘ ΔΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΗ ΕΖ, τουτέστιν ἡ ΓΘ πρὸς ΕΖ, τουτέστιν ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ. ἔστιν οὖν ὡς τὸ ὑπὸ ΔΕ
5ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ ΗΔ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ. τὰ δ’ αὐτὰ κἂν ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ἀχθῇ ἡ ΑΔ παράλ‐ ληλος, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἐκτὸς τοῦ Γ ἀχθῇ ἡ ΔΕ.
10 ιβʹ. Ἀποδεδειγμένων νῦν τούτων ἔσται δεῖξαι ὅτι, ἐὰν παράλληλοι ὦσιν αἱ ΑΒ ΓΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπίπτωσιν εὐθεῖαί τινες αἱ ΑΔ ΑΖ ΒΓ ΒΖ, καὶ ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΕΔ ΕΓ, [ὅτι] γίνεται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν Η Μ Κ. Ἐπεὶ γὰρ τρίγωνον τὸ ΔΑΖ, καὶ τῇ ΔΖ παράλληλος
15ἡ ΑΕ, καὶ διῆκται ἡ ΕΓ συμπίπτουσα τῇ ΔΖ κατὰ τὸ Γ, διὰ τὸ προγεγραμμένον γίνεται ὡς ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕ ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ. πάλιν ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστιν τὸ ΓΒΖ, καὶ τῇ ΓΔ παράλληλος ἦκται ἡ ΒΕ, καὶ διῆκται ἡ ΔΕ συμπίπτουσα τῇ ΓΖΔ κατὰ τὸ Δ, γί‐
20νεται ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΕ ΛΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΚ ΛΕ· ἀνάπαλιν ἄρα γίνεται ὡς ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΚ ΛΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΛΚ. ἦν δὲ καὶ ὡς ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕ ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ
25ΓΗ ΘΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΔΚ ΛΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΚΛ [ἀνῆκται εἰς τὸ πρὸ ἑνός]. ἐπεὶ οὖν εἰς δύο εὐθείας τὰς ΓΜΛ ΔΜΘ δύο εὐθεῖαι διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΓ ΕΔ, καὶ ἔστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΓΕ ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΚ ΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΛΚ, εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ
30διὰ τῶν Η Μ Κ· τοῦτο γὰρ προδέδεικται.

7

.

886

 ιγʹ. Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν αἱ ΑΒ ΓΔ παράλληλοι, ἀλλὰ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ν· ὅτι πάλιν εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Η Μ Κ. [Omitted graphic marker] Ἐπεὶ εἰς τρεῖς εὐ‐
5θείας τὰς ΑΝ ΑΖ ΑΔ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Γ δύο διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΓΕ ΓΔ, γίνε‐ ται ὡς τὸ ὑπὸ ΓΕ ΗΘ
10πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΝ ΖΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΝΔ ΓΖ. πάλιν ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Δ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΒΝ
15ΒΓ ΒΖ δύο εἰσὶν διηγμέναι αἱ ΔΕ ΔΝ, ἔστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΝΓ ΖΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΔ ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΚ ΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΚΛ. ἀλλ’ ὡς τὸ ὑπὸ ΝΓ ΖΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΔ ΓΖ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΓΕ ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ ΘΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ,
20οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΔΚ ΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΚΛ [ἀπῆκ‐ ται εἰς ὃ καὶ ἐπὶ τῶν παραλλήλων]. διὰ δὴ τὸ προγε‐ γραμμένον εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Η Μ Κ. ιδʹ. Ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ διήχθωσαν αἱ ΑΕ ΓΒ, καὶ σημεῖον ἐπὶ τῆς ΒΗ τὸ Ζ, ὥστε εἶναι ὡς
25τὴν ΔΕ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΒ ΓΗ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α Ζ Δ. Ἤχθω διὰ μὲν τοῦ Δ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΔΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΕ ἐπὶ τὸ Θ, διὰ δὲ τοῦ Θ τῇ ΓΔ παράλ‐ ληλος ἡ ΘΚ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Κ. ἐπεὶ οὖν
30ἐστιν ὡς ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΒ ΓΗ, ὡς δὲ ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἐστὶν
ἥ τε ΔΘ πρὸς τὴν ΓΗ καὶ τὸ ὑπὸ ΔΘ ΒΖ πρὸς τὸ ὑπὸ

7

.

888

τῶν ΓΗ ΒΖ, ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΖΗ τῷ ὑπὸ ΔΘ ΒΖ· ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΖ, οὕ‐ τως ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΗΖ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΗΖ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΚΒ πρὸς ὅλην τὴν ΒΗ ἐστὶν ὡς ἡ ΚΓ
5πρὸς ΖΗ, τουτέστιν ὡς ἡ ΔΘ πρὸς ΖΗ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΚΒ πρὸς ΒΗ ἐν παραλλήλῳ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΑ πρὸς ΑΗ καὶ ἡ ΔΘ πρὸς ΖΗ. καὶ εἰσὶν παράλληλοι αἱ ΔΘ ΖΗ· εὐ‐ θεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α Ζ Δ σημείων. ιεʹ. Τούτου προτεθεωρημένου ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ
10τῇ ΓΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπιπτέτωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΖ ΖΒ ΓΕ ΕΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ ΗΚ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α Μ Δ. Ἐπεζεύχθω ἡ ΔΜ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΒΓΖ [ἐκτὸς] ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ Β
15σημείου τῇ ΓΔ παράλληλος ἦκται ἡ ΒΕ, καὶ διῆκται ἡ ΔΕ, γίνεται ὡς ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΕ ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ ΚΔ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΔΕ ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΚ ΛΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕ ΗΘ (εἰς τρεῖς γὰρ εὐθείας τὰς ΓΛ ΔΘ ΗΚ δύο εἰσὶν διηγ‐
20μέναι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Ε αἱ ΕΓ ΕΔ)· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΖ πρὸς ΖΓ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΕ ΗΘ πρὸς τὸ
ὑπὸ ΓΗ ΘΕ. καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν Θ Μ Δ· διὰ

7

.

890

τὸ προγεγραμμένον ἄρα καὶ ἡ διὰ τῶν Α Μ Δ ἐστὶν εὐ‐ θεῖα. ιϛʹ. Εἰς δύο εὐθείας τὰς ΑΒ ΑΓ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ση‐ μείου τοῦ Δ δύο διήχθωσαν αἱ ΔΒ ΔΕ, καὶ ἐπ’ αὐτῶν
5εἰλήφθω σημεῖα τὰ Η Θ, ἔστω δὲ ὡς τὸ ὑπὸ ΕΗ ΖΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΗΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΘ ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔ ΓΘ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α Η Θ. Ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ ΒΔ παράλληλος ἡ ΚΛ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΕΗ ΖΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΖΗ, οὕτως
10τὸ ὑπὸ ΒΘ ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔ ΓΘ, ἀλλὰ ὁ τοῦ ὑπὸ ΕΗ ΖΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΗΖ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΗΕ πρὸς ΕΔ, τουτέστιν ἡ ΚΗ πρὸς ΒΔ, καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΔΖ πρὸς ΖΗ, τουτέστιν ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΗΛ, ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΒΘ ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔ ΓΘ συνῆπται λό‐
15γος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΒ πρὸς ΒΔ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΔΓ πρὸς ΓΘ, καὶ ὁ ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ ἄρα πρὸς ΒΔ καὶ τοῦ τῆς ΔΓ πρὸς ΗΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς ΒΔ καὶ τοῦ τῆς ΔΓ πρὸς ΓΘ. ὁ δὲ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΔ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ
20τῆς ΒΘ πρὸς ΒΔ· ὁ ἄρα συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς ΒΔ καὶ ἔτι τοῦ τῆς ΔΓ πρὸς ΗΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς ΒΔ καὶ τοῦ τῆς ΔΓ πρὸς ΓΘ. κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ΒΘ πρὸς ΒΔ λόγος· λοιπὸς ἄρα ὁ συνημμένος ἔκ
25τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΔΓ πρὸς ΗΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΔΓ πρὸς τὴν ΓΘ, τουτέστιν τῷ συνημ‐ μένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΔΓ πρὸς τὴν ΗΛ καὶ τοῦ τῆς ΗΛ πρὸς τὴν ΘΓ. καὶ πάλιν κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ΔΓ πρὸς τὴν ΗΛ λόγος· λοιπὸς ἄρα ὁ τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΒΘ
30λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΗΛ πρὸς τὴν ΘΓ. καὶ ἐναλ‐
λάξ ἐστιν ὡς ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν

7

.

892

ΘΓ, καὶ εἰσὶν αἱ ΚΛ ΒΓ παράλληλοι· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α Η Θ σημείων. ιζʹ. Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, ἀλλὰ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ν.
5[Omitted graphic marker] Ἐπεὶ οὖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Δ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΒΝ ΒΓ ΒΖ δύο εὐ‐ θεῖαι διηγμέναι εἰσὶν
10αἱ ΔΕ ΔΝ, ἔστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΝΔ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΓ ΔΖ, οὕ‐ τως τὸ ὑπὸ ΔΕ ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ ΚΔ.
15ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΕΔ ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ ΚΔ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΕΘ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓ ΘΗ (πάλιν γὰρ εἰς τρεῖς τὰς ΓΛ ΔΘ ΗΚ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Ε δύο ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΓ ΕΔ)· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΕΘ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓ
20ΘΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΝΔ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΓ ΖΔ· διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α Θ Δ· καὶ ἡ διὰ τῶν Α Μ Δ ἄρα εὐθεῖά ἐστιν. ιηʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΔ, καὶ διήχθωσαν αἱ ΔΕ ΖΗ, ἔστω δὲ ὡς τὸ ἀπὸ ΕΒ
25πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓΒ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΓ· ὅτι, ἐὰν ἐπιζευχθῇ ἡ ΒΔ, γίνεται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν Θ Κ Γ. Ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓΒ, οὕ‐ τως ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, κοινὸς [ἄρα] προσκείσθω ὁ τῆς ΓΕ
πρὸς ΕΒ λόγος ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ

7

.

894

ΕΒΓ· δι’ ἴσου ἄρα ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ λό‐ γος, τουτέστιν ὁ τῆς ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΗ πρὸς ΗΓ καὶ τοῦ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΕΓ πρὸς ΕΒ·
5ὥστε ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΕΓ πρὸς ΕΒ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΓ ΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒ ΓΗ. ὡς δὲ ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἐστὶν διὰ τὸ προγεγραμμένον λῆμμα τὸ ὑπὸ ΔΖ ΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ
10ΖΘ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ ΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΕΒ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΔΖ ΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΖΘ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ Κ Γ· τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς πτωτικοῖς τῶν ἀναστροφίων. ιθʹ. Εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΑΒ ΑΓ ΑΔ ἀπό τινος
15σημείου τοῦ Ε δύο διήχθωσαν αἱ ΕΖ ΕΒ, ἔστω δὲ ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΘΗ· ὅτι γίνεται καὶ ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ. Ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ΛΚ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν
20ΘΗ, ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΗΚ, ὡς δὲ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ, οὕτως [ἐστὶν] ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΗΛ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΗΛ. ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΛ. ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς
25τὴν ΗΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ. ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ. Τὰ δὲ πτωτικὰ ὁμοίως. κʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς
30Α Δ γωνίας· ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΔΖ,
οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον.

7

.

896

 Ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΒΗ ΕΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Α γωνία τῇ Δ, ἡ δὲ Η τῇ Θ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ[Omitted graphic marker] πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΘ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ
5ΒΗ ΑΓ, ὡς δὲ ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΘ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΕΔΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ ΔΖ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗ ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΔΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ ΔΖ. καὶ ἐναλλάξ. ἀλλ’ ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ ΔΖ, οὕτως ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ
10τρίγωνον (ἑκατέρα γὰρ τῶν ΒΗ ΕΘ κάθετός ἐστιν ἑκατέρου τῶν εἰρημένων τριγώνων)· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΔΖ, οὕτως ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον. καʹ. Ἔστωσαν δὴ αἱ Α Δ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· ὅτι πά‐
15λιν γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΔΖ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον. Ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ, καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΑΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ. ἐπεὶ οὖν αἱ Α Δ γωνίαι δυσὶν ὀρ‐ θαῖς ἴσαι εἰσίν, ἀλλὰ καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ ΓΑΗ γωνίαι δυ‐
20σὶν ὀρθαῖς, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΑΗ γωνία τῇ Δ. ἔστιν οὖν ὡς τὸ ὑπὸ ΗΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΔΖ, οὕτως τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον. ἴση δέ ἐστιν ἡ μὲν ΗΑ τῇ ΑΒ, τὸ δὲ ΗΑΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΔΖ, οὕτως τὸ ΑΒΓ
25τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον. κβʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἐπ’ αὐτῆς δύο σημεῖα τὰ Γ Δ, ἔστω δὲ τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ ΓΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΒ· ὅτι καὶ
τὸ ἀπὸ ΑΔ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΓ ΔΒ τετραγώνοις.

7

.

898

 Ἐπεὶ γὰρ τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ ΓΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΓΒ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ δὶς ὑπὸ ΒΔΓ· λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ ΑΔΓ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΔ ΔΒ τετραγώνοις. κοι‐ νὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΓΔ τετράγωνον· λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς
5ὑπὸ ΑΓΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΒ τε‐ τραγώνῳ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΑΓ τετράγωνον· ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΔ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΓ ΔΒ τετραγώνοις. κγʹ. Ἔστω τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ ΒΔ τετραγώνῳ·
10ὅτι γίνεται τρία, τὸ μὲν ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΔΓ καὶ τῆς ΒΔ ἴσον τῷ ὑπὸ ΑΔ ΔΓ, τὸ δὲ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΔΓ καὶ τῆς ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΓ τετραγώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΔΓ καὶ τῆς ΒΑ ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΔ τετραγώνῳ.
15 Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΔ, ἀνά‐ λογον καὶ ὅλη πρὸς ὅλην καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι ἐστὶν ἄρα ὡς συναμφότερος ἡ ΓΔ ΔΑ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΔ ΔΓ καὶ τῆς ΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ. πάλιν ἐπεὶ
20ὅλη ἡ ΑΔ πρὸς ὅλην τὴν ΔΓ ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, συνθέντι ἐστὶν ὡς συναμφότερος ἡ ΑΔΓ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΔΓ καὶ τῆς ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΓ. πάλιν ἐπεὶ ὅλη ἡ ΑΔ πρὸς ὅλην τὴν ΔΓ ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ,
25ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς συναμφότερος ἡ ΓΔΑ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ, τὸ ἄρα ὑπὸ συναμ‐ φοτέρου τῆς ΑΔΓ καὶ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΑΔ
τετραγώνῳ.

7

.

900

 κδʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ δύο σημεῖα τὰ Γ Δ, καὶ ἔστω τὸ ἀπὸ ΓΔ τετράγωνον ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ ΑΓ ΔΒ· ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ ΓΒ τετραγώνοις.
5 Ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ ΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΓ ΔΒ, τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ ΑΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ τῆς ΓΔ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓΔ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΑΓ· τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΑΔ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΒΓ· ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ
10ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ ΓΒ τετρα‐ γώνοις. κεʹ. Ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ· ὅτι γίνεται τρία, τὸ μὲν ὑπὸ τῆς τῶν ΑΔ ΔΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΔ ἴσον τῷ ὑπὸ ΑΔΓ, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΔ
15ΔΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ τετραγώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΔ ΔΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΑ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ τετραγώνῳ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΒΓ, λοιπὴ πρὸς λοιπὴν καὶ διελόντι ἐστὶν ἄρα
20ὡς ἡ τῶν ΑΔ ΔΓ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν ΑΔ ΔΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΔΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ ΔΓ. πάλιν ἐπεὶ λοιπὴ ἡ ΑΔ πρὸς λοιπὴν τὴν ΔΓ ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, διελόντι ἐστὶν ὡς ἡ τῶν ΑΔ ΔΓ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΔΓ,
25οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν ΑΔ ΔΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ τετρα‐
γώνῳ. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως

7

.

902

ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, ἀνάπαλιν καὶ διελόντι ἐστὶν ὡς ἡ τῶν ΑΔ ΔΓ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν ΑΔ ΔΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ τετραγώνῳ.
5 κϛʹ. Ἔστω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετραγώνῳ. Κείσθω τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΔΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΑΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΓΔΕ, ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΔ.
10ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ, διελόντι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑ ΒΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΔΕ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕ ΒΓ τῷ ὑπὸ ΓΔΕ. ἀνάλογον καὶ διελόντι ἐστὶν ὡς ἡ
15ΑΔ πρὸς τὴν ΔΕ, τουτέστιν πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς λοιπὴν τὴν ΒΔ ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΒΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετραγώνῳ. κζʹ. Ἔστω δὲ πάλιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως
20τὸ ἀπὸ ΑΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ τετράγωνον· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετραγώνῳ. Κείσθω γὰρ ὁμοίως τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΔΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΑΕ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΕΔΓ, ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΔ. καὶ γίνεται κατὰ διαίρεσιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ,
25τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑ ΓΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΔΓ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕ ΓΒ τῷ ὑπὸ ΕΔΓ. ἀνάλογον καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΕ, τουτέστιν πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ὅλην τὴν ΒΔ ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ
30πρὸς τὴν ΒΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ
τῆς ΒΔ τετραγώνῳ.

7

.

904

 κηʹ. Κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτέσθωσαν αἱ ΑΔ ΔΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ, καὶ διήχθω τυχοῦσα ἡ ΔΒ· ὅτι γίνεται ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ. [Omitted graphic marker] Ἐπεὶ γὰρ ἴση
5ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΔ ἴσον ἐ‐ στὶν τῷ ἀπὸ ΔΑ.
10ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΖΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΖΕ, τὸ δὲ ἀπὸ ΔΑ ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΔΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΖΕ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΖ ἴσον
15ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΔΕ. ἐὰν δὲ ᾖ τοῦτο, γίνεται ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ. κθʹ. Τμήματος δοθέντος τοῦ ἐπὶ τῆς ΑΒ, κλάσαι εὐ‐ θεῖαν τὴν ΑΓΒ ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι.[Omitted graphic marker] Γεγονέτω, καὶ διήχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐφαπτομένη ἡ ΓΔ·
20ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ. λόγος δὲ τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ δοθείς, ὥστε καὶ ὁ τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς. καὶ ἔστιν δοθέντα τὰ
Α Β· δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ Δ, ὥστε καὶ τὸ Γ δοθέν.

7

.

906

 Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω τὸ μὲν τμῆμα τὸ ΑΒΓ, ὁ δὲ λόγος ὁ τῆς Ε πρὸς τὴν Ζ, καὶ πεποιήσθω ὡς τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη ἡ ΔΓ, καὶ ἐπεζεύ‐
5χθωσαν αἱ ΑΓ ΓΒ· λέγω ὅτι αἱ ΑΓ ΓΒ ποιοῦσι τὸ πρό‐ βλημα. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ (διὰ τὸ ἐφάπτεσθαι τὴν ΓΔ),
10καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ· ὥστε καὶ ὡς ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ· ἡ ΑΓΒ ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα. λʹ. Κύκλος οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἀπὸ τυχόντος ἐπ’ αὐτὴν κάθετος ἡ ΔΕ, διήχθω ἡ ΔΖ, ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ καὶ
15ἐκβεβλήσθω, καὶ καθ’ ὃ συμπίπτει τῇ διαμέτρῳ ἔστω τὸ Η· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ. Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ ΑΕ ΑΖ. ἐπεὶ οὖν ἐπὶ δια‐ μέτρου κάθετος ἡ ΔΕ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ.
20ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΘΖΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση ἐστὶν τῇ ἐκτὸς τετραπλεύρου τῇ ὑπὸ ΒΖΗ· καὶ τῇ ὑπὸ ΘΖΒ ἄρα γωνίᾳ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΖΗ· καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΖΒ γωνία· διὰ δὴ τὸ λῆμμα γίνεται ὡς ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς
25τὴν ΘΒ.
λαʹ. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ ἀπὸ τῶν Α Β

7

.

908

σημείων τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαι γραμμαὶ ἤ‐ χθωσαν αἱ ΒΔ ΑΕ, καὶ ἤχθω τυχοῦσα ἡ ΔΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΔΕ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΖΗ συμ‐ πιπτέτω τῇ ΑΒ κατὰ τὸ Η· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ ΒΔ ἴσον
5ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ. [Omitted graphic marker] Ὅτι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΔ. περὶ
10ἴσας γωνίας ἀνάλο‐ γόν εἰσιν αἱ πλευ‐ ραί. ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΗΕ γωνία τῇ ὑπὸ
15τῶν ΒΔΗ γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΗΕ ἴση ἐστὶν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ ΑΖΕ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΔΗ πάλιν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ ΒΖΗ· ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΖΕ
20γωνία τῇ ὑπὸ ΒΖΗ γωνίᾳ. ἔστιν δέ· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκα‐ τέρα τῶν ὑπὸ ΑΖΒ ΕΖΗ γωνιῶν. λβʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ ΑΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ ἐπὶ τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ διήχθω ἡ ΔΕ ποιοῦσα ἴσον τὸ ΒΔΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ· ὅτι, ἐὰν
25δίχα τμηθῇ μία τῶν ἴσων πλευρῶν ἡ πρὸς τῷ ἴσῳ τρι‐ γώνῳ τῇ ΒΖ, γίνεται ὡς συναμφότερος ἡ ΖΒ ΒΗ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΖ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ τετράγωνον. Ἤχθω διὰ τοῦ Β τῇ ΔΕ παράλληλος ἡ ΒΚ, καὶ ἐκ‐
30βεβλήσθω ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ Κ. ὅτι ἄρα ἐστὶν ὡς συναμφό‐

7

.

910

τερος ἡ ΖΚ ΚΘ πρὸς τὴν ΖΘ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ συναμ‐ φοτέρου τῆς ΖΚ ΚΘ καὶ τῆς ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΖ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ τετράγωνον· τὸ ἄρα [Omitted graphic marker]ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΖΚ
5ΚΘ καὶ τῆς ΖΘ, τουτέστιν ἡ τῶν ἀπὸ ΖΚ ΚΘ ὑπεροχή, ἴση ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΑΖ· ἡ ἄρα τῶν ἀπὸ ΚΖ ΖΑ ὑπεροχή ἐστιν τὸ ἀπὸ ΚΘ. ἀλλὰ ἡ
10τῶν ἀπὸ ΚΖ ΖΑ ὑπεροχή ἐστιν τὸ ὑπὸ ΓΚΑ· ὅτι ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΚΑ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΘΚ· ὅτι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΘ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως
15ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΚΑ, τουτέστιν ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΑ. ἔστιν δέ· παράλληλος γάρ ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΔΓ, ἐπειδὴ τὸ ΔΒΕ τρίγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ, κοινοῦ δ’ ἀφαιρου‐ μένου τοῦ ΑΒΕ λοιπὸν τὸ ΔΑΕ λοιπῷ τῷ ΑΓΕ ἐστὶν ἴσον, καὶ ἔστιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως.
20 λγʹ. Κύκλος περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ, καὶ ἔστω ἐπὶ τυχοῦσαν τὴν ΔΕ κάθετος, καὶ τῷ ὑπὸ ΑΖΒ ἴσον κείσθω τὸ ἀπὸ ΖΗ τετράγωνον· ὅτι, οἷον ἐὰν ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ Ε, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ Η ἐπι‐ [Omitted graphic marker]ζευχθεῖσα ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Θ, γί‐
25νεται καὶ τὸ ὑπὸ ΘΕΚ ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΗ τετραγώνῳ. Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ ΒΛ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Λ γωνία. ἔστιν δὲ καὶ ἡ Ζ ὀρθή· τὸ ἄρα ὑπὸ
30ΑΕΛ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΖΒ
καὶ τῷ ἀπὸ ΖΕ τετραγώνῳ. ἀλλὰ

7

.

912

τὸ μὲν ὑπὸ ΑΕΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΘΕΚ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΖΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΖΗ τετραγώνῳ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΘΕΚ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΖ ΖΗ τετραγώνοις, τουτέστιν τῷ ἀπὸ ΕΗ τετραγώνῳ.
5 λδʹ. Ἔστω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον· ὅτι γίνεται τρία, τὸ μὲν ὑπὸ ΒΕΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΓ τετρα‐ γώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ ΒΔΕ τῷ ὑπὸ ΑΔΓ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒΓ τῷ ὑπὸ ΕΒΔ.
10[Omitted graphic marker] Ἐπεὶ γὰρ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, συνθέντι καὶ τὰ ἡμίση τῶν ἡγουμένων καὶ ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἡ ΕΓ
15πρὸς τὴν ΕΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΓ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΔΕ τετράγωνον· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΔΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΔΓ. πάλιν τὸ ὑπὸ ΒΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΓ τετραγώνῳ. ἀμφότερα ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ τετραγώνου· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν
20ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΒΔ. Ἀλλὰ ἔστω νῦν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΓΑ κατὰ τὸ Ε· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν
25ΑΔΓ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΔΕ τετράγωνον· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΕΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΕ τετραγώνῳ. ἀνάλογον καὶ ἀναστρέψαντι καὶ δὶς τὰ ἡγούμενα καὶ διελόντι ἄρα ἐστὶν
ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ.

7

.

914

 λεʹ. Τούτων ὄντων ἔστω κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ, ἔστω δὲ ἐπὶ τυχοῦσαν τὴν ΔΕ κάθετος, καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ· ὅτι πάλιν, οἷον ἐὰν ἐπὶ τῆς ΕΔ ση‐
5μεῖον ληφθῇ ὡς τὸ Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΗ ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Θ, γίνεται ὡς ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΚ. [Omitted graphic marker] Εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ
10Λ ἐπὶ τὴν ΕΘ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΜ τῇ ΜΘ. ἐπεὶ δὲ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν Μ Ζ γωνιῶν, ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Ε Ζ Λ Μ
15σημεῖα· τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΗΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΗΜ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΗΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ (διὰ τὸ εἶναι ὡς τὴν ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως τὴν ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, καὶ τέτμηται ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Λ)· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΕΗΜ ἄρα ἴσον
20ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ, τουτέστιν (ἐν κύκλῳ γάρ) τῷ ὑπὸ τῶν ΘΗΚ. καὶ τέτμηται δίχα ἡ ΘΚ κατὰ τὸ Μ· διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον γίνεται ὡς ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΚ. λϛʹ. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ παράλληλος τῇ
25ΑΒ ἡ ΓΔ, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΓΕ ΔΗ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΗΒ. [Omitted graphic marker] Εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύ‐ χθωσαν αἱ ΓΖ ΖΔ· ἴση ἄρα
30ἐστὶν ἡ ΓΖ τῇ ΖΔ, ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἴσον τῷ ἀπὸ
τῆς ΖΔ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τῷ

7

.

916

μὲν ἀπὸ ΓΖ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕ ΕΖ τετράγωνα, τῷ δὲ ἀπὸ ΔΖ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ΔΗ ΗΖ τετράγωνα· καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕ ΕΖ ἄρα τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΗ ΗΔ τετραγώνοις.
5ὧν τὸ ἀπὸ ΓΕ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΗ τετραγώνῳ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον λοιπῷ τῷ ἀπὸ ΖΗ τετραγώνῳ ἐστὶν ἴσον· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΑΖ ὅλῃ τῇ ΖΒ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΕ λοιπῇ τῇ ΗΒ ἐστὶν ἴση, ὅπερ· ⁓
10 λζʹ. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ ἀπὸ τυχόντος τοῦ Γ διήχθω ἡ ΓΔ, καὶ κάθετος ἤχθω ἡ ΔΕ· ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΓ τοῦ ἀπὸ ΓΔ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓ ΓΒ καὶ τῆς ΑΕ. [Omitted graphic marker] Ὅτι ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ
15ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ ΔΓ, τουτέστιν τοῖς ἀπὸ ΔΕ ΕΓ, καὶ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓ ΓΒ καὶ τῆς ΑΕ·
20ὅτι ἄρα κοινοῦ ἀφαιρε‐ θέντος τοῦ ὑπὸ ΓΑΕ λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΑΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ ΔΕ, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΑΕΒ, καὶ τῷ ἀπὸ ΓΕ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ ΓΒ. κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ ΓΕ ὅτι λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΑΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΕΒ καὶ τῷ
25ὑπὸ ΑΕ ΒΓ. ἔστιν δέ.
26nΕἰς τὸ πόρισμα τοῦ αʹ βιβλίου.
27 ληʹ. Θέσει ὄντος παραλληλογράμμου τοῦ ΑΔ, ἀπὸ δοθέντος τοῦ Ε διαγαγεῖν τὴν ΕΖ καὶ ποιεῖν ἴσον τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ ΑΔ παραλληλογράμμῳ.
30Γεγονέτω. ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶν τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ

7

.

918

ΑΔ παραλληλογράμμῳ, τὸ δὲ ΑΔ παραλληλόγραμμον διπλά‐ σιόν ἐστιν τοῦ ΑΓΔ τριγώνου, καὶ τὸ ΖΓΗ ἄρα τρίγωνον [Omitted graphic marker]διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΑΓΔ τρι‐ γώνου. ὡς δὲ τὸ τρίγωνον πρὸς
5τὸ τρίγωνον, διὰ τὸ εἶναι περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν Γ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓΔ. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ ΑΓΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΖΓΗ.
10καὶ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Ε εἰς θέ‐ σει τὰς ΑΓ ΓΔ διῆκται ἡ ΕΖ εἰς χωρίου ἀποτομήν· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ. Συντεθήσεται δὲ οὕτως· ἔστω τὸ μὲν τῇ θέσει παρ‐ αλληλόγραμμον τὸ ΑΔ, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Ε. διήχθω ἀπὸ
15τοῦ Ε εἰς θέσει τὰς ΖΓ ΓΔ εὐθεῖα ἡ ΕΖ ἀποτέμνουσα χωρίον τὸ ὑπὸ ΖΓΗ ἴσον δοθέντι χωρίῳ τῷ διπλασίονι τοῦ ὑπὸ ΑΓΔ, καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ τῇ ἀναλύσει δείξομεν ἴσον τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ ΑΔ παραλληλογράμμῳ· ἡ ΕΖ ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα. φανερὸν οὖν ὅτι μόνη, ἐπεὶ κἀ‐
20κείνη μόνη. αʹ. Ἔστω κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΑΒ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον. εἰ μὲν οὖν ἰσοσκελής ἐστιν ὁ κῶνος, φανερὸν ὅτι πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Γ πρὸς τὸν ΑΒ κύκλον
25προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, εἰ δὲ σκαλη‐
νός, ἔστω εὑρεῖν τίς μεγίστη καὶ τίς ἐλαχίστη.

7

.

920

[Omitted graphic marker] Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος, καὶ πιπτέτω πρότερον ἐντὸς τοῦ ΑΒ κύκλου, καὶ ἔστω
5ἡ ΓΔ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΕ ἐκβεβλήσθω ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Α Β σημεῖα, καὶ ἐπε‐ ζεύχθωσαν αἱ ΑΓ ΓΒ· λέγω ὅτι
10μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΒΓ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΑΓ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Γ πρὸς τὸν ΑΒ προσπι‐ πτουσῶν. Προσβεβλήσθω γάρ τις καὶ ἑτέρα ἡ ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΖ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ τῆς ΔΖ. κοινὴ δὲ ἡ ΓΔ,
15καὶ εἰσὶν αἱ πρὸς τῷ Δ γωνίαι ὀρθαί· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆς ΓΖ. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΓΑ μείζων ἐστίν· ὥστε μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΓΒ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΓΑ. βʹ. Ἀλλὰ δὴ πάλιν ἡ ἀπὸ τοῦ Γ κάθετος ἀγομένη πιπτέτω ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ ΑΒ κύκλου, καὶ ἔστω ἡ
20ΓΑ, καὶ πάλιν ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Δ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ· λέγω ὅτι μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΒΓ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΑΓ. Ὅτι μὲν οὖν μείζων ἡ ΓΒ τῆς ΓΑ φανερόν, διήχθω δέ τις καὶ ἑτέρα ἡ ΓΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ. ἐπεὶ διά‐
25μετρός ἐστιν ἡ ΑΒ, μείζων ἐστὶν τῆς ΑΕ. καὶ αὐταῖς πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΓ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΒ τῆς ΓΕ. ὁμοίως καὶ πασῶν. καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ μείζων δειχθήσεται ἡ ΕΓ τῆς ΓΑ· ὥστε μεγίστη μὲν ἡ ΒΓ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΓΑ τῶν ἀπὸ τοῦ Γ σημείου πρὸς τὸν ΑΒ κύκλον προσπιπτουσῶν
30εὐθειῶν. γʹ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων πιπτέτω ἡ κάθετος ἐκτὸς τοῦ κύκλου, καὶ ἔστω ἡ ΓΔ, καὶ ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου
τὸ Ε ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΕ ἐκβεβλήσθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν

7

.

922

αἱ ΑΓ ΒΓ· λέγω δὴ ὅτι μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΒΓ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΑΓ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Γ πρὸς τὸν ΑΒ κύκλον προσπιπτουσῶν εὐθειῶν. Ὅτι μὲν οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆς ΓΑ φανερόν, λέγω
5δὲ ὅτι καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Γ πρὸς τὴν τοῦ ΑΒ κύκλου περιφέρειαν προσπιπτουσῶν. προσπιπτέτω γάρ τις καὶ ἑτέρα ἡ ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΖ. ἐπεὶ οὖν διὰ τοῦ κέν‐ τρου ἐστὶν ἡ ΒΔ, μείζων ἐστὶν ἡ ΔΒ τῆς ΔΖ. καὶ ἔστιν αὐταῖς ὀρθὴ ἡ ΔΓ, ἐπεὶ καὶ τῷ ἐπιπέδῳ· μείζων ἄρα ἐστὶν
10ἡ ΒΓ τῆς ΓΖ. ὁμοίως καὶ πασῶν. μεγίστη μὲν ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΒ, ὅτι δὲ καὶ ἡ ΑΓ ἐλαχίστη. ἐπεὶ γὰρ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆς ΔΖ, καὶ ἔστιν αὐταῖς ὀρθὴ ἡ ΔΓ, ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΓΖ. ὁμοίως καὶ πασῶν. ἐλαχίστη ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ, μεγίστη δὲ ἡ ΒΓ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Γ
15πρὸς τὴν τοῦ ΑΒ κύκλου περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν.
17nΕἰς τοὺς κωνικοὺς ὅρους.
18 “Ἐὰν ἀπό τινος σημείου πρὸς κύκλου περιφέρειαν” εἰκότως ὁ Ἀπολλώνιος προστίθησιν “ἐφ’ ἑκάτερα προσ‐
20εκβληθῇ”, ἐπειδήπερ τοῦ τυχόντος κώνου γένεσιν δηλοῖ. εἰ μὲν γὰρ ἰσοσκελὴς ὁ κῶνος, περισσὸν ἦν προσεκβάλλειν διὰ τὸ τὴν φερομένην εὐθεῖαν αἰεί ποτε ψαύειν τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἐπειδήπερ πάντοτε τὸ σημεῖον ἴσον ἀφέξειν ἔμελλεν τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας. ἐπεὶ δὲ δύ‐
25ναται καὶ σκαληνὸς εἶναι ὁ κῶνος, ἔστιν δέ, ὡς προγέ‐ γραπται, ἐν κώνῳ σκαληνῷ μεγίστη τις καὶ ἐλαχίστη πλευρά,
ἀναγκαίως προστίθησιν τὸ “προσεκβληθῇ”, ἵνα αἰεὶ προσ‐

7

.

924

εκβληθεῖσα ἡ ἐλαχίστη [ἀεὶ τῆς μεγίστης] αὔξηται [προσ‐ εκβαλλομένης], ἕως ἴση γένηται τῇ μεγίστῃ καὶ ψαύσῃ κατ’ ἐκεῖνο τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας. δʹ. Ἔστω γραμμὴ ἡ ΑΒΓ, καὶ θέσει ἡ ΑΓ, πᾶσαι δὲ
5αἱ ἀπὸ τῆς γραμμῆς ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετοι [ἀγόμεναι] οὕτως ἀγέσθωσαν, ὥστε τὸ ἀπὸ ἑκάστης αὐτῶν τετράγωνον ἴσον εἶναι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν τῆς βάσεως τμημάτων ἀφ’ ἑκάστης αὐτῶν τμηθέντων· λέγω ὅτι κύκλου περιφέρειά ἐστιν ἡ ΑΒΓ, διάμετρος δὲ αὐτῆς ἐστιν ἡ ΑΓ.
10 Ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ σημείων τῶν Δ Β Ε κάθετοι αἱ ΔΖ ΒΗ ΕΘ· τὸ μὲν ἄρα ἀπὸ ΔΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΖΓ, τὸ δὲ ἀπὸ ΒΗ τῷ ὑπὸ ΑΗΓ, τὸ δὲ ἀπὸ ΕΘ τῷ ὑπὸ ΑΘΓ. τετμήσθω δὴ δίχα ἡ ΑΓ κατὰ τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΚ ΚΒ ΚΕ ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ
15ΖΚ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΑΚ, ἀλλὰ τῷ ὑπὸ ΑΖΓ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΔΖ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΔΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΚ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΔΚ, ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΑΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΚ τῇ ΚΔ. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΚ ΕΚ ἴση ἐστὶν τῇ ΑΚ ἢ τῇ ΚΓ· κύκλου ἄρα περιφέρειά ἐστιν
20ἡ ΑΒΓ τοῦ περὶ κέντρον τὸ Κ, τουτέστιν τοῦ περὶ διά‐ μετρον τὴν ΑΓ. εʹ. Τρεῖς παράλληλοι αἱ ΑΒ ΓΔ ΕΖ, καὶ διήχθωσαν εἰς αὐτὰς δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΗΖΓ ΒΗΕΔ· ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΗΖ
25πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ τετράγωνον. [Omitted graphic marker] Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΖΕ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒ ΖΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΖ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΑΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ
30ΗΖ, ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΒ ΖΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΗΖ πρὸς τὸ
ἀπὸ ΗΖ. ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΖΕ πρὸς

7

.

926

τὸ ἀπὸ ΓΔ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ· δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒ ΖΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ τετράγωνον, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ τετρά‐ γωνον.
5 ϛʹ. Ἔστω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον· ὅτι γίνεται τὸ μὲν ὑπὸ ΒΕΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΓ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΔΓ τῷ ὑπὸ ΒΔΕ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒΓ τῷ ὑπὸ ΕΒΔ. [Omitted graphic marker] Ἐπεὶ γάρ ἐστιν
10ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, συνθέντι καὶ τὰ ἡμίση τῶν ἡγουμένων καὶ ἀναστρέψαντί ἐστιν ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΓΕ
15τετραγώνῳ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΕΔ τετράγωνον· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΔΕ. ἐπεὶ δὲ τὸ ὑπὸ ΒΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΓ, ἑκάτερον ἀφῃρή‐ σθω ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ τετραγώνου· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΒΔ. γίνεται ἄρα τὰ τρία.
20 ζʹ. Τὸ Α πρὸς τὸ Β τὸν συνημμένον λόγον ἐχέτω ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει τὸ Γ πρὸς τὸ Δ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ· ὅτι καὶ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ τὸν συνημμένον λόγον ἔχει ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει τὸ Α πρὸς τὸ Β καὶ τὸ Ζ πρὸς τὸ Ε. Τῷ γὰρ τοῦ Ε πρὸς τὸ Ζ λόγῳ ὁ αὐτὸς πεποιήσθω
25ὁ τοῦ Δ πρὸς τὸ Η. ἐπεὶ οὖν ὁ τοῦ Α πρὸς τὸ Β συν‐ ῆπται ἔκ τε τοῦ τοῦ Γ πρὸς τὸ Δ καὶ τοῦ τοῦ Ε πρὸς τὸ Ζ, τουτέστιν τοῦ Δ πρὸς τὸ Η, ἀλλὰ ὁ συνημμένος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει τὸ Γ πρὸς τὸ Δ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὸ Δ πρὸς τὸ Η ἐστὶν ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ Η, ὡς ἄρα τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως
30τὸ Γ πρὸς τὸ Η. ἐπεὶ δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ τὸν συνημμένον

7

.

928

λόγον ἔχει ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει τὸ Γ πρὸς τὸ Η καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὸ Η πρὸς τὸ Δ, ἀλλ’ ὁ μὲν τοῦ Γ πρὸς τὸ Η ὁ αὐτὸς ἐδείχθη τῷ τοῦ Α πρὸς τὸ Β, ὁ δὲ τοῦ Η πρὸς τὸ Δ ἐκ τοῦ ἀνάπαλιν ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ Ζ πρὸς τὸ Ε,
5καὶ τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Δ τὸν συνημμένον λόγον ἔχει ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει τὸ Α πρὸς τὸ Β καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὸ Ζ πρὸς τὸ Ε. ηʹ. Ἔστω δύο παραλληλόγραμμα τὰ ΑΓ ΔΖ ἰσογώνια, ἴσην ἔχοντα τὴν Β γωνίαν τῇ Ε γωνίᾳ· ὅτι γίνεται ὡς τὸ
10ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕΖ, οὕτως τὸ ΑΓ παραλληλό‐ γραμμον πρὸς τὸ ΔΖ παραλληλόγραμμον. Εἰ μὲν οὖν ὀρθαί εἰσιν αἱ Β Ε γωνίαι, φανερόν· εἰ δὲ μή, ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΑΗ ΔΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Β γωνία τῇ Ε, ἡ δὲ Η ὀρθὴ τῇ Θ, ἰσογώνιον ἄρα
15ἐστὶν τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΘ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΘ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΗ ΒΓ, ὡς δὲ ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΘ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΔΕΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΘ ΕΖ· ἔστιν ἄρα ἐν‐
20αλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΗ ΒΓ, τουτέστιν τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον, πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΘ ΕΖ, τουτέστιν πρὸς τὸ ΔΖ παραλληλόγραμμον. θʹ. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΒΓ τῇ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ ἴσον κείσθω τὸ ὑπὸ ΖΑΕ·
25ὅτι, ἐὰν ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΔΓ ΒΖ, γίνεται παράλληλος ἡ ΒΖ τῇ ΔΓ. Τοῦτο δέ ἐστιν φανερόν. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΕ, ὡς δὲ ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἐστὶν ἐν παραλλήλῳ ἡ ΒΑ πρὸς ΑΔ, καὶ
30ὡς ἄρα ἡ ΖΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς ΑΔ· παρ‐ άλληλοι ἄρα εἰσὶν αἱ ΔΓ ΒΖ.
ιʹ. Ἔστω τρίγωνον μὲν τὸ ΑΒΓ τραπέζιον δὲ τὸ ΔΕΖΗ,

7

.

930

ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ· ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΗ ΕΖ καὶ τῆς ΔΕ, οὕτως τὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΔΕΖΗ. Ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΑΘ ΔΚ. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἡ
5μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ, ἡ δὲ Θ ὀρθὴ τῇ Κ ὀρθῇ ἴση, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΘ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς ΔΚ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΒΑ πρὸς ΑΘ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΘ ΒΓ, ὡς δὲ ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΚ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΗ ΕΖ καὶ
10τῆς ΔΕ πρὸς τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΗ ΕΖ καὶ τῆς ΔΚ. καὶ ἔστιν τοῦ μὲν ὑπὸ ΑΘ ΒΓ ἥμισυ τὸ ΑΒΓ τρί‐ γωνον, τοῦ δὲ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΗ ΕΖ καὶ τῆς ΔΚ ἥμισυ τὸ ΔΕΖΗ τραπέζιον· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΗ ΕΖ καὶ τῆς ΔΕ, οὕτως
15τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖΗ τραπέζιον. Καὶ ἐὰν ᾖ [δὲ] τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ παραλληλό‐ γραμμον τὸ ΔΖ, γίνεται ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖΗ παραλληλόγραμμον, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ δὶς ὑπὸ ΔΕΖ, κατὰ τὰ αὐτά. καὶ φανερὸν ἐκ τούτων ὅτι
20τὸ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ, ἐὰν ᾖ παραλληλόγραμμον τὸ ΔΖ καὶ ἴσον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ, ἴσον γίνεται τῷ δὶς ὑπὸ ΔΕΖ, ἐπὶ δὲ τοῦ τραπεζίου ἴσον γίνεται τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΗ ΕΖ καὶ τῆς ΔΕ, ὅπερ· ⁓ ιαʹ. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΓΑ
25διήχθω τις τυχοῦσα ἡ ΔΕ, καὶ αὐτῇ μὲν παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΗ, τῇ δὲ ΒΓ ἡ ΑΖ· ὅτι γίνεται ὡς τὸ ἀπὸ ΑΗ τε‐ τράγωνον πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΑ τετράγωνον. Κείσθω τῷ μὲν ὑπὸ ΒΗΓ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΗΚ, τῷ δὲ
30ὑπὸ ΔΖΘ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΖΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΚ ΘΛ.

7

.

932

ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ Γ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΚΗ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΑΛ ἐν κύκλῳ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΖΘΛ, καὶ ἡ ὑπὸ ΗΚΒ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΖΘΛ γωνίᾳ. ἀλλὰ καὶ ἡ πρὸς τῷ Η γωνία ἴση ἐστὶν τῇ πρὸς τῷ Ζ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΗ
5πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἡ ΛΖ πρὸς τὴν ΖΘ. ἐπεὶ δέ ἐστιν ὡς ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΒ, ὡς δὲ ἡ ΘΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἐστὶν ἐν παραλλήλῳ ἡ ΖΘ πρὸς ΖΑ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς ΖΑ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΑΗ πρὸς ΗΒ, οὕτως ἡ ΘΖ
10πρὸς ΖΑ, ὡς δὲ ἡ ΒΗ πρὸς ΗΚ, οὕτως ἄλλη τις ἡ ΛΖ πρὸς τὴν ἡγουμένην τὴν ΖΘ, δι’ ἴσου ἄρα ἐν τεταραγμένῃ ἀναλογίᾳ ὡς ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἡ ΛΖ πρὸς τὴν ΖΑ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΑΗ πρὸς ΗΚ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΗΚ, τουτέστιν πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ, ὡς
15δὲ ἡ ΛΖ πρὸς ΖΑ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΛΖΑ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΔΖΘ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΑ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΑ. Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου. ἐπεὶ ὁ μὲν τῆς ΑΗ πρὸς ΗΒ λόγος ἐστὶν ὁ τῆς ΘΕ πρὸς ΕΒ, τουτέστιν ὁ τῆς ΘΖ πρὸς
20ΖΑ, ὁ δὲ τῆς ΑΗ πρὸς τὴν ΗΓ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΔΕ πρὸς ΕΓ, τουτέστιν τῷ τῆς ΔΖ πρὸς ΖΑ, ὁ ἄρα συνημμένος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑΗ πρὸς ΗΒ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ, ὅς ἐστιν ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ, ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΘΖ
25πρὸς ΖΑ καὶ τοῦ τῆς ΔΖ πρὸς ΖΑ, ὅς ἐστιν ὁ τοῦ ὑπὸ ΔΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΑ τετράγωνον.
27nΤοῦ βʹ.
28 αʹ. Δύο δοθεισῶν τῶν ΑΒ ΒΓ, καὶ εὐθείας τῆς ΔΕ, εἰς τὰς ΑΒ ΒΓ ἐναρμόσαι εὐθεῖαν ἴσην τῇ ΔΕ καὶ παρ‐
30άλληλον αὐτῇ.

7

.

934

 Τοῦτο δὲ φανερόν. ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ ΑΒ παρ‐ άλληλον ἀγάγωμεν τὴν ΕΓ, διὰ δὲ τοῦ Γ τῇ ΔΕ παράλλη‐ λος ἀχθῇ ἡ ΓΑ, ἔσται, διὰ τὸ παραλληλόγραμμον εἶναι τὸ ΑΓΕΔ, ἡ ΑΓ ἴση τῇ ΔΕ καὶ παράλληλος, καὶ ἐνήρ‐
5μοσται εἰς τὰς δοθείσας εὐθείας τὰς ΑΒ ΒΓ. βʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς ΕΖ, καὶ παράλληλος ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΒΓ τῇ ΕΖ· ὅτι καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΔΖ ἐστὶν παράλληλος.
10 Ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ καὶ συμπιπτέτω ταῖς ΔΕ ΔΖ κατὰ τὰ Η Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς ΕΖ, καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ Β Ε γωνίαι, διὰ τὸ εἶναι δύο παρὰ δύο, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ Γ τῇ Ζ, τουτέστιν τῇ Θ, διὰ τὸ παραλλήλους εἶναι τὰς ΕΖ ΗΘ· παράλληλος
15ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΔΘ. γʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἔστωσαν ἴσαι αἱ ΑΓ ΔΒ, καὶ μεταξὺ τῶν Γ Δ εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον τὸ Ε· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΔΒ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΕΒ. Τετμήσθω ἡ ΓΔ δίχα [ὅπως ἂν ἔχῃ ὡς πρὸς τὸ Ε
20σημεῖον] κατὰ τὸ Ζ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΑΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΖΒ, ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ ΖΔ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΕΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΕ, τῷ δὲ ἀπὸ ΖΒ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΕ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΔΒ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΕΔ καὶ τοῦ ἀπὸ ΖΕ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ
25ΑΕΒ καὶ τῷ ἀπὸ ΖΕ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΖΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΔΒ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΕΔ ἴσον ἐστὶν
τῷ ὑπὸ ΑΕΒ.

7

.

936

 δʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἔστωσαν ἴσαι αἱ ΑΓ ΔΒ, καὶ μεταξὺ τῶν Γ Δ εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον τὸ Ε· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ τῶν ΓΕΔ καὶ τῷ ὑπὸ ΔΑΓ. Τετμήσθω γὰρ ἡ ΓΔ δίχα [ὅπως ἂν ἔχῃ ὡς πρὸς τὸ
5Ε σημεῖον] κατὰ τὸ Ζ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ ἴση ἐστίν· τὸ μὲν ἄρα ὑπὸ ΑΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΕΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΑΖ, τὸ δὲ ὑπὸ ΔΑΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΑΖ, ὥστε τὸ ὑπὸ ΑΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΕΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΔΑΓ καὶ τῷ ἀπὸ ΓΖ. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ ΓΖ
10ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΓΕΔ καὶ τῷ ἀπὸ ΕΖ, καὶ κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΕΖ τετράγωνον· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΕΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΓΕΔ καὶ τῷ ὑπὸ ΔΑΓ. εʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ ἔστω ἴση ἡ μὲν Γ τῇ Ζ, μείζων δὲ ἡ Β τῆς Ε· ὅτι ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ
15ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΔ. Συνεστάτω τῇ Ε γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΓΒΗ, ἔστιν δὲ καὶ ἡ Γ τῇ Ζ ἴση· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΔ. ἀλλὰ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς ΓΗ· καὶ ἡ ΒΓ ἄρα πρὸς ΓΑ ἐλάσσονα
20λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΔ. ϛʹ. Ἐχέτω δὴ πάλιν ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ μείζονα λόγον ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΔ, ἴση δὲ ἔστω ἡ Γ γωνία τῇ Ζ· ὅτι πάλιν γίνεται ἐλάσσων ἡ Β γωνία τῆς Ε γωνίας. Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ
25ΕΖ πρὸς ΖΔ, ἐὰν ἄρα ποιῶ ὡς τὴν ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως τὴν ΕΖ πρός τινα, ἔσται πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΖΔ.
ἔστω πρὸς τὴν ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΗ, καὶ περὶ ἴσας

7

.

938

γωνίας ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Β γω‐ νία τῇ ὑπὸ ΖΕΗ, ἐλάσσονι οὔσῃ τῆς Ε. ζʹ. Ἔστω ὅμοια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ διήχθω‐ σαν αἱ ΑΗ ΔΘ οὕτως, ὥστε εἶναι ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ πρὸς
5τὸ ἀπὸ ΓΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ· ὅτι γίνεται ὅμοιον καὶ τὸ ΑΗΓ τρίγωνον τῷ ΔΘΖ τριγώνῳ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ, ἀλλ’ ὁ μὲν τοῦ ὑπὸ ΒΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει
10ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ καὶ τοῦ τῆς ΗΓ πρὸς ΓΑ, ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΕΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΕΖ πρὸς ΖΔ καὶ τοῦ τῆς ΘΖ πρὸς ΖΔ, ὧν ὁ τῆς ΒΓ πρὸς ΓΑ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΕΖ πρὸς ΖΔ, διὰ τὴν ὁμοιό‐ τητα τῶν τριγώνων λοιπὸς ἄρα ὁ τῆς ΗΓ πρὸς ΓΑ λόγος
15ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΘΖ πρὸς ΖΔ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας· ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΓΗ τρίγωνον τῷ ΔΖΘ τριγώνῳ. ηʹ. Διὰ μὲν οὖν τοῦ συνημμένου λόγου, ὡς προγέ‐ γραπται, ἔστω δὲ νῦν ἀποδεῖξαι μὴ προσχρησάμενον τῷ συνημμένῳ λόγῳ.
20 Κείσθω τῷ μὲν ὑπὸ ΒΓΗ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΓΚ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΚ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ. τῷ δὲ ὑπὸ ΕΖΘ ἴσον κείσθω τὸ ὑπὸ ΔΖΛ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΖΛ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ΖΘ. ὑπόκειται δὲ ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΑΓΚ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ,
25τουτέστιν ὡς ἡ ΚΓ πρὸς ΓΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖΘ, τουτ‐ έστιν τὸ ὑπὸ ΔΖΛ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ, τουτέστιν ἡ ΛΖ πρὸς ΖΔ. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΔ διὰ τὴν ὁμοιότητα· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΛ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως
30ἐδείχθη ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ, ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΛ, οὕτως ἡ

7

.

940

ΔΖ πρὸς ΖΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ΖΘ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας· ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΓΗ τρίγωνον τῷ ΔΖΘ τριγώνῳ. Ὁμοίως καὶ τὸ ΑΗΒ τῷ ΔΘΕ, ὅτι καὶ τὸ ΑΒΓ τῷ
5ΔΕΖ. θʹ. Ἔστω ὅμοιον τὸ μὲν ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τρι‐ γώνῳ, τὸ δὲ ΑΗΒ τῷ ΔΕΘ· ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ. Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ὁμοιότητα ἴση ἐστὶν ὅλη μὲν ἡ Α
10ὅλῃ τῇ Δ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΗ τῇ ὑπὸ ΕΔΘ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΑΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΘΔΖ ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ καὶ ἡ Γ τῇ Ζ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΗΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς ΖΔ. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἦν ἡ ΕΖ πρὸς ΖΔ· καὶ ὁ συνημμένος ἄρα τῷ συνημμένῳ ἐστὶν ὁ αὐτός· ἔστιν
15ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ. ιʹ. Ἄλλως μὴ διὰ τοῦ συνημμένου. κείσθω τῷ μὲν ὑπὸ ΒΓΗ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΓΚ, τῷ δὲ ὑπὸ ΕΖΘ ἴσον τὸ ὑπὸ ΔΖΛ. ἔσται πάλιν ὡς μὲν ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ,
20ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΛ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ΖΘ. καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ τῷ ἐπάνω δείξομεν ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ΖΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΛ. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΔ διὰ τὴν ὁμοιότητα· δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς
25ἡ ΚΓ πρὸς ΓΑ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΚΓΑ, ὅ ἐστιν τὸ ὑπὸ ΒΓΗ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως ἡ ΛΖ πρὸς ΖΔ, τουτ‐ έστιν τὸ ὑπὸ ΛΖΔ, ὅ ἐστιν τὸ ὑπὸ ΕΖΘ, πρὸς τὸ ἀπὸ
ΖΔ, ὅπερ· ⁓

7

.

942

 Ὁμοίως δὴ δείξομεν, καὶ ἐὰν ᾖ ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ, καὶ ὅμοιον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ, ὅτι καὶ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΘ τριγώνῳ ὅμοιον.
5 ιαʹ. Ἔστω δύο ὅμοια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ κά‐ θετοι ἤχθωσαν αἱ ΑΗ ΔΘ· ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΔ. Τοῦτο δὲ φανερόν, ὅτι ὅμοιον γίνεται τοῖς πρὸ αὐτοῦ. ιβʹ. Ἔστω ἴση ἡ μὲν Β γωνία τῇ Ε, ἐλάσσων δὲ ἡ Α
10τῆς Δ· ὅτι ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΕ πρὸς ΕΔ. Ἐπεὶ γὰρ ἐλάσσων ἡ Α γωνία τῆς Δ, συνεστάτω αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΔΗ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ΕΔ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΗ πρὸς ΕΔ ἐλάσσονα λόγον
15ἔχει ἤπερ ἡ ΖΕ πρὸς ΕΔ· καὶ ἡ ΓΒ ἄρα πρὸς τὴν ΒΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΔ. καὶ πάντα δὲ τὰ τοιαῦτα τῇ αὐτῇ ἀγωγῇ δείξομεν. ιγʹ. Ἔστω ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΘ, καὶ ἡ μὲν ΒΗ τῇ ΗΓ ἔστω
20ἴση, ἡ δὲ ΓΗ πρὸς ΗΑ ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς ΘΔ· ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΖΘ τῆς ΘΕ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ ἐλάσσονα λό‐ γον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΔ, ἀλλὰ τὸ ἀπὸ ΓΗ· ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΗΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΗΓ πρὸς τὸ
25ἀπὸ ΑΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΔ. ἀλλ’ ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, οὕτως ὑπόκειται τὸ ὑπὸ ΕΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΔ, καὶ τὸ ὑπὸ ΕΘΖ
ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΔ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ

7

.

944

ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΔ· μεῖζον ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΘ τοῦ ὑπὸ ΕΘΖ· ὥστε μείζων ἐστὶν ἡ ΖΘ τῆς ΘΕ.
3nΤοῦ γʹ.
4αʹ. Καταγραφὴ ἡ ΑΒΓΔΕΖΗ, ἔστω δὲ ἴση ἡ ΒΗ τῇ
5ΗΓ· ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ. Ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΘΚ, καὶ ἐκ‐ βεβλήσθωσαν αἱ ΒΖ ΓΕ ἐπὶ τὰ Κ Θ σημεῖα. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΘΑ τῇ ΑΚ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΘΑ, τουτέστιν ὡς ἡ ΒΕ πρὸς
10τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΚΑ, τουτέστιν ἡ ΓΖ πρὸς ΖΑ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ. βʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, ἴσας ἔχοντα τὰς Α Δ γωνίας, ἴσον δὲ ἔστω τὸ ὑπὸ ΒΑΓ τῷ ὑπὸ ΕΔΖ· ὅτι καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον.
15 Ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΒΗ ΕΘ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΕΔ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΗ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΑ ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΘ ΔΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΔΖ. ἴσον δέ ἐστιν τὸ ὑπὸ ΒΑΓ τῷ ὑπὸ ΕΔΖ· ἴσον ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ ὑπὸ ΒΗ ΑΓ τῷ ὑπὸ ΕΘ ΔΖ.
20ἀλλὰ τοῦ μὲν ὑπὸ ΒΗ ΑΓ ἥμισύ ἐστιν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, τοῦ δὲ ὑπὸ ΕΘ ΔΖ ἥμισύ ἐστιν τὸ ΔΕΖ τρίγωνον· καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. Φανερὸν δὴ ὅτι καὶ τὰ διπλᾶ αὐτῶν παραλληλόγραμμα
ἴσα ἐστίν.

7

.

946

 γʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ παράλληλος ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ· ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον. Ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΔΕ
5τριγώνῳ, τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΑ πρὸς ΑΔ. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον.
10 δʹ. Ἴσαι αἱ ΑΒ ΓΔ, καὶ τυχὸν σημεῖον τὸ Ε· ὅτι τὸ ὑπὸ ΓΕΒ τοῦ ὑπὸ ΓΑΒ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ ΔΕΑ. Τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα τῷ Ζ· τὸ Ζ ἄρα διχοτομία ἐστὶν καὶ τῆς ΑΔ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΓΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΒΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΖ, ἀλλὰ καὶ τὸ ὑπὸ ΔΕΑ μετὰ τοῦ
15ἀπὸ ΑΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΖ, καὶ ἔστιν τὸ ἀπὸ ΑΖ ἴσον τῷ ὑπὸ ΓΑΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΒΖ, κοινὸν ἐκκεκρούσθω τὸ ἀπὸ ΒΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΓΑΒ καὶ τῷ ὑπὸ ΔΕΑ, ὥστε τὸ ὑπὸ ΓΕΒ τοῦ ὑπὸ ΓΑΒ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ ΔΕΑ, ὅπερ· ⁓
20 εʹ. Ἐὰν δὲ τὸ σημεῖον ᾖ μεταξὺ τῶν Α Β σημείων, τὸ ὑπὸ ΓΕΒ τοῦ ὑπὸ ΓΑΒ ἔλασσον ἔσται τῷ αὐτῷ χωρίῳ, οὗπέρ ἐστιν κατὰ τὰ αὐτὰ ἡ ἀπόδειξις. Ἐὰν δὲ τὸ σημεῖον ᾖ μεταξὺ τῶν Β Γ, τὸ ὑπὸ ΓΕΒ τοῦ ὑπὸ ΑΕΔ ἔλασσον ἔσται τῷ ὑπὸ ΑΒΔ, τῇ αὐτῇ ἀγωγῇ.
25 ϛʹ. Ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ, καὶ δύο σημεῖα τὰ Δ Ε· ὅτι τὸ τετράκις ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΔΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ ΑΕΓ καὶ δὶς τῶν ἀπὸ ΒΔ ΒΕ
τετραγώνων.

7

.

948

 Τοῦτο δὲ φανερόν· τὸ μὲν γὰρ δὶς ἀπὸ ΑΒ, διὰ τῶν διχοτομιῶν, ἴσον ἐστὶν τῷ τε δὶς ὑπὸ ΑΔΓ καὶ τῷ δὶς ἀπὸ ΔΒ, τὸ δὲ δὶς ἀπὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε δὶς ὑπὸ ΑΕΓ καὶ τῷ δὶς ἀπὸ ΕΒ τετραγώνῳ.
5 ζʹ. Ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ σημεῖον τὸ Ε· ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ ΕΔ τετράγωνα ἴσα τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΕ ΕΓ τετρα‐ γώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓΔ. Τετμήσθω δίχα ἡ ΒΓ κατὰ τὸ Ζ. ἐπεὶ οὖν τὸ δὶς ἀπὸ τῆς ΔΖ ἴσον ἐστὶν τῷ τε δὶς ὑπὸ ΑΓΔ καὶ δὶς ἀπὸ
10ΓΖ, κοινοῦ προστεθέντος τοῦ δὶς ἀπὸ ΕΖ ἴσον ἐστὶν τό τε δὶς ὑπὸ ΑΓΔ καὶ τὰ δὶς ἀπὸ τῶν ΓΖ ΖΕ τοῖς δὶς ἀπὸ τῶν ΔΖ ΖΕ τετραγώνοις. ἀλλὰ τοῖς μὲν δὶς ἀπὸ τῶν ΔΖ ΖΕ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ ΕΔ τετράγωνα, τοῖς δὲ δὶς ἀπὸ τῶν ΓΖ ΖΕ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ΒΕ ΕΓ τετράγωνα·
15τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΕ ΕΔ τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΒΕ ΕΓ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓΔ. ηʹ. Ἔστω τὸ ὑπὸ ΒΑΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΑ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΓΔ τῇ ΔΒ. Κοινὸν γὰρ ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΓΔ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ
20ΒΑΓ ἴσον ἐστὶν τῇ τῶν ἀπὸ ΑΔ ΔΓ ὑπεροχῇ, τουτέστιν τοῖς ὑπὸ τῶν ΔΑΓ ΑΓΔ. ἐπεὶ δὲ τὸ ὑπὸ ΒΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΔΑΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΒΔ ΑΓ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ὑπὸ ΔΑΓ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΓ ΔΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΔΓΑ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΔΒ, ὅπερ· ⁓
25θʹ. Ἔστω τὸ ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ ἴσον τῷ
ἀπὸ ΔΒ τετραγώνῳ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ.

7

.

950

 Κείσθω τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΔΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΕ, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΓΔ, ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΒ, τουτ‐ έστιν τῷ ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ, ὥστε τὸ ὑπὸ ΓΒΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΒ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΕΒ. ἀλλὰ
5καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ· ὅλη ἄρα ἡ ΑΔ ὅλῃ τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν. ιʹ. Ἔστω πάλιν τὸ ὑπὸ ΒΑΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΒ ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΔ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΓΔ τῇ ΔΒ. Κείσθω τῇ ΔΒ ἴση ἡ ΑΕ. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΒΑΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΒ, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΕΑ, ἴσον ἐστὶν τῷ
10ἀπὸ ΑΔ τετραγώνῳ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ὑπὸ ΔΑΓ· λοι‐ πὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΔ ΑΓ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΕΑΓ, μετὰ τοῦ ἀπὸ ΕΑ, ὅ ἐστιν τὸ ὑπὸ ΓΕΑ, ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΔΓ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΑ, τουτέστιν ἡ ΒΔ, τῇ ΔΓ. ιαʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ἐφ’ ἧς γʹ σημεῖα τὰ Γ Δ Ε οὕτως,
15ὥστε ἴσην μὲν εἶναι τὴν ΒΕ τῇ ΕΓ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΕΔ τῷ ἀπὸ ΕΓ· ὅτι γίνεται ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ. [Omitted graphic marker] Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ
20ἀπὸ ΕΓ, ἀνάλογον καὶ ἀναστρέψαντι καὶ δὶς τὰ ἡγούμενα καὶ διελόντι ἐστὶν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ. ιβʹ. Ἔστω πάλιν τὸ ὑπὸ ΒΓΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΕ, ἴση δὲ ἡ ΑΓ τῇ ΓΕ· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΒΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΓΒΔ.
25 Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΒΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΓΕ, ἀνά‐ λογόν ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΕ, τουτέστιν πρὸς τὴν ΓΑ,
οὕτως ἡ ΓΕ, τουτέστιν ἡ ΑΓ, πρὸς τὴν ΓΔ· καὶ ὅλη πρὸς

7

.

952

ὅλην καὶ ἀναστρέψαντι καὶ χωρίον χωρίῳ τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΓΒΔ. Φανερὸν δὲ ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ ΑΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΒΔΓ· ἐὰν γὰρ ἀφαιρεθῇ τὸ ἀπὸ ΓΔ κοινὸν ἀπὸ τῆς τοῦ
5ἀπὸ ΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΓΔ ἰσότητος, γίνεται· ⁓ ιγʹ. Εἰς δύο παραλλήλους τὰς ΑΒ ΓΔ διά τε τοῦ αὐ‐ τοῦ σημείου τοῦ Ε τρεῖς διήχθωσαν αἱ ΑΕΔ ΒΕΓ ΖΕΗ· ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΔ.
10 Διὰ τοῦ συνημμένου φανερόν· ὡς μὲν γὰρ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΗΔ, ὡς δὲ ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΗΓ, καὶ σύγκειται ἐκ τούτων τὰ χωρία· γίνεται ἄρα· ⁓ Ἔστιν δὲ καὶ οὕτως μὴ προσχρησάμενον τῷ συνημμένῳ.
15ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΕΓ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ. ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΗ· δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΒ,
20οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΗ. ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΖΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΖΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΔ· δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΔ.
24nΤοῦ εʹ.
25 αʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ κάθετος ἤχθω ἡ ΑΔ· λέγω ὅτι, εἰ μὲν ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΔΓ τῷ ἀπὸ ΑΔ τετραγώνῳ, γίνεται ὀρθὴ ἡ Α γωνία, εἰ δὲ μεῖζον, ἀμβλεῖα, εἰ δὲ ἔλασσον, ὀξεῖα.
Ἔστω πρότερον ἴσον· ἀνάλογον ἄρα καὶ περὶ ἴσας γω‐

7

.

954

νίας· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Α γωνία τῇ πρὸς τῷ Δ, ὥστε ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία. ἀλλὰ ἔστω μεῖζον, καὶ αὐτῷ ἴσον κείσθω τὸ ἀπὸ ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ ΕΓ· ἔσται ἄρα ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΕΓ γωνία. καὶ αὐτῆς μείζων ἡ
5Α γωνία· ἀμβλεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ Α γωνία. ἀλλὰ ἔστω πά‐ λιν ἔλασσον, καὶ αὐτῷ ἴσον κείσθω τὸ ἀπὸ ΔΖ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθωσαν αἱ ΒΖ ΖΓ· ἔσται δὴ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΖΓ γωνία. καὶ αὐτῆς ἐλάσσων ἡ πρὸς τῷ Α γωνία· ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ Α γωνία.
10 βʹ. Θέσει οὐσῶν δύο εὐθειῶν τῶν ΑΒ ΒΓ, καὶ ση‐ μείου δοθέντος τοῦ Δ, γράψαι διὰ τοῦ Δ ὑπερβολὴν περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΑΒ ΒΓ.[Omitted graphic marker] Γεγονέτω· κέντρον ἄρα αὐτῆς ἐστιν τὸ Β. ἐπεζεύχθω οὖν ἡ ΔΒ καὶ ἐκβεβλήσθω, διάμετρος ἄρα ἐστίν. κείσθω
15τῇ ΔΒ ἴση ἡ ΒΕ· δοθεῖσα ἄρα ἐστίν, ὥστε δοθέν ἐστιν
τὸ Ε καὶ πέρας τῆς διαμέτρου. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὴν

7

.

956

ΒΓ κάθετος ἡ ΔΖ· δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ Ζ. καὶ κείσθω τῇ ΒΖ ἴση ἡ ΖΓ· δοθὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ Γ. καὶ ἐπι‐ ζευχθεῖσα ἡ ΓΔ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Α· θέσει ἄρα ἐστίν. θέσει δὲ καὶ ἡ ΑΒ· δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ Α. ἔστιν δὲ καὶ
5τὸ Γ δοθέν· δέδοται ἄρα ἡ ΑΓ τῷ μεγέθει. καὶ ἔσται ἴση ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, διὰ τὸ καὶ τὴν ΒΖ τῇ ΖΓ ἴσην εἶναι.[Omitted graphic marker] ἔστω δὴ ὀρθία τοῦ πρὸς τῇ ΕΔ εἴδους ἡ ΔΗ· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΔ ΔΓ δυνάμει ἐστὶν δʹ τοῦ ὑπὸ ΕΔΗ. ἀλλὰ καὶ τοῦ ἀπὸ ΑΓ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΕΔΗ τῷ ἀπὸ
10ΑΓ τετραγώνῳ. δοθὲν δὲ τὸ ἀπὸ ΑΓ τετράγωνον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΕΔΗ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΕΔ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΗΔ, ὥστε δοθὲν τὸ Η. ἐπεὶ οὖν θέσει δεδο‐ μένων δύο εὐθειῶν ἐν ἐπιπέδῳ τῶν ΕΔ ΔΗ ὀρθῶν ἀλλή‐ λαις κειμένων, καὶ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Δ ὑπὸ τῆς ΑΔΒ γω‐
15νίας γίνεται ὑπερβολή, ἧς διάμετρος μὲν ἡ ΕΔ κορυφὴ δὲ τὸ Δ, αἱ δὲ καταγόμεναι κατάγονται ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ, δυνάμεναι τὰ παρὰ τὴν ΔΗ παρακείμενα, πλάτη ἔχοντα ἃ αὐταὶ ἀφαιροῦσιν ἀπὸ τῆς ἐπ’ εὐθείας τῇ διαμέτρῳ πρὸς τῷ Δ, ὑπερβάλλοντα εἴδει ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ
20ΕΔΗ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ τομή.

7

.

958

 Συντεθήσεται δὲ τὸ πρόβλημα οὕτως· ἔστωσαν αἱ τῇ θέσει δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΒΓ, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Δ, καὶ ἐπι‐ ζευχθεῖσα ἡ ΔΒ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ αὐτῇ ἴση κεί‐ σθω ἡ ΒΕ, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΔΖ, καὶ τῇ ΒΖ ἴση κεί‐
5σθω ἡ ΖΓ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΔ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Α, καὶ τῇ ΔΕ προσανήχθω ἡ ΔΗ, καὶ τῷ ἀπὸ ΑΓ ἴσον κεί‐ σθω τὸ ὑπὸ ΕΔΗ, καὶ γεγράφθω, ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει ἐλέ‐ γομεν, περὶ διάμετρον ΔΕ ὑπερβολή· λέγω ὅτι ποιεῖ τὸ πρόβλημα.
10 Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΖ τῇ ΖΓ, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ἀπὸ ΑΔ ΔΓ δʹ ἐστιν τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΕΔΗ, τουτέστιν τοῦ πρὸς τῇ ΕΔ διαμέτρῳ εἴδους. ἐὰν δὲ ᾖ τοῦτο, δέδεικται ἐν τῷ δευτέρῳ, ὅτι ἀσύμπτωτοί εἰσιν αἱ
15ΑΒ ΒΓ τῆς ὑπερβολῆς. γʹ. Θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ δοθὲν τὸ Γ. διήχθω ἡ ΒΓ, κείσθω δοθεῖσα ἡ ΒΔ, ὀρθὴ ἀνήχθω ἡ ΔΕ· ὅτι τὸ Ε ἅπτεται [θέσει κώνου τομῆς] ὑπερβολῆς ἐρχομένης διὰ τοῦ Γ.
20 Ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ, καὶ τῇ ΒΔ ἴση κείσθω ἡ ΖΑ· δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ Α. ἀνήχθω ὀρθὴ ἡ ΑΗ· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ [συμπίπτουσα τῇ ΒΓ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Η]· καὶ θέσει δοθεισῶν τῶν ΒΑ ΑΗ καὶ σημείου δοθέντος τοῦ Γ ὑπερβολὴ περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΗΑ ΑΒ ἐλεύσε‐
25ται ἄρα καὶ διὰ τοῦ Ε, διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΕΗ

7

.

960

(ἐπεὶ καὶ ὅλη ἡ ΒΕ τῇ ΗΓ). καὶ ἔσται διὰ τὸ προγεγραμ‐ μένον. Συντεθήσεται δὲ οὕτως· ἔστω ἡ μὲν τῇ θέσει δεδο‐ μένη εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Γ, ἡ δὲ διηγμένη ἡ
5ΒΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα ἡ Θ, καὶ αὐτῇ ἴση ἔστω, καθέτου ἀχ‐ θείσης τῆς ΓΖ, ἡ ΖΑ, καὶ ὀρθὴ ἀνήχθω ἡ ΑΗ καὶ συμ‐ πιπτέτω τῇ ΒΓ κατὰ τὸ Η, καὶ περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΗΑ ΑΒ διὰ δοθέντος τοῦ Γ γεγράφθω ὑπερβολή· λέγω ὅτι ποιεῖ τὸ πρόβλημα, τουτέστιν ὅτι, ἂν κάθετος ἀχθῇ
10ἡ ΕΔ, ἴση γίνεται ἡ ΒΔ τῇ Θ. τοῦτο δὲ φανερὸν διὰ τὰς ἀσυμπτώτους· ἴση γὰρ ἡ ΕΗ τῇ ΓΒ, ὥστε καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΖΒ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΖ, τουτέστιν ἡ Θ, ἴση ἐστὶν τῇ ΒΔ. δʹ. Ἔστω ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ· ὅτι τῶν ΒΑ ΑΓ μέση ἀνάλογόν ἐστιν
15ἡ ΑΔ. Κείσθω τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΔΕ· κατὰ διαίρεσιν ἄρα γίνε‐ ται ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΓΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓ ΕΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΔ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΓ ΕΒ τῷ ἀπὸ ΔΕ, τουτ‐
20έστιν τῷ ὑπὸ ΓΔΕ. ἀνάλογον καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ, τουτέστιν πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς ΑΓ· ὅλη ἄρα πρὸς ὅλην ἐστὶν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΑΓ, ὥστε τῶν ΒΑ ΑΓ μέση ἀνά‐ λογόν ἐστιν ἡ ΑΔ.
25 εʹ. Ἔστω τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον τῷ δὶς ἀπὸ ΑΓ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ. Κείσθω τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΑΔ· ἔσται ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΔΑ ἴσον τῷ ὑπὸ ΑΒΓ. καὶ παρὰ τὴν αὐτήν· ἴση ἄρα ἐστὶν
ἡ ΔΑ, τουτέστιν ἡ ΑΓ, τῇ ΓΒ.

7

.

962

 ϛʹ. Περὶ τὰς αὐτὰς ἀσυμπτώτους τὰς ΑΒ ΒΓ ὑπερ‐ βολαὶ γεγράφθωσαν αἱ ΔΖ ΗΕ· λέγω ὅτι οὐ συμβάλλουσιν ἀλλήλαις. Εἰ γὰρ δυνατόν, συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Δ, καὶ ἀπὸ
5τοῦ Δ διήχθω εἰς τομὰς εὐθεῖα ἡ ΑΔΕΖΓ· ἔσται δὴ διὰ μὲν τῆς ΔΖ τομῆς ἴση ἡ ΑΔ τῇ ΖΓ, διὰ δὲ τῆς ΔΕ το‐ μῆς ἴση ἡ ΑΔ τῇ ΕΓ, ὥστε ἡ ΓΖ τῇ ΓΕ ἴση ἐστίν, ὅπερ ἀδύνατον· οὐκ ἄρα συμβάλλουσιν αἱ τομαὶ ἀλλήλαις. Λέγω δὴ ὅτι καὶ εἰς ἄπειρον αὐξόμεναι ἔγγιον προσ‐
10άγουσιν ἑαυταῖς καὶ αἰεὶ εἰς ἔλαττον ἀφικνοῦνται διάστημα. [Omitted graphic marker] Ἤχθω γάρ τις καὶ ἑτέρα ἡ ΘΚ, καὶ ἔστω ἡ διάμετρος ... ἧς πέρας ἔστω τὸ Μ ..... ἔσται
15ἄρα ὡς μὲν τὸ ὑπὸ ΜΛΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΞ, οὕτως ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρ‐ θίαν, ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΗΟΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΡ, οὕτως
20ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρ‐ θίαν· ὥστε ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΜΛΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΞ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΗΟΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΡ, καὶ
25ἐναλλάξ. μεῖζον δέ ἐστιν τὸ ὑπὸ ΜΛΝ τοῦ ὑπὸ ΗΟΠ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΞΖ τῆς ΘΣ. καὶ ἔστιν διὰ τὰς τομὰς ἴσον τὸ ὑπὸ ΖΞΔ τῷ ὑπὸ ΣΘΡ· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν
ἡ ΞΔ τῆς ΘΡ, ὥστε αἰεὶ εἰς ἔλαττον ἀφικνοῦνται διάστημα.

7

.

964

[ἀλλὰ καὶ παράκεινται· εἰ γὰρ ἑκατέρα αὐτῶν ταῖς ἀσυμ‐ πτώτοις ἔγγιον προσάγει, δηλονότι καὶ ἑαυταῖς.] ζʹ. Ἔστω ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, ὡς δὲ ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς
5τὴν ΔΘ· ὅτι γίνεται ὡς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΑΓ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν ΑΒ, πρὸς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΔΖ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν ΔΕ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΑΗ κύβος μετὰ τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΗΒ κύβον ὃν τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ
10πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΘ κύβον μετὰ τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΘΕ κύβον ὃν τὸ ἀπὸ ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΕ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΖΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ
15ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ (κοινὸν ὕψος ἡ ΑΒ), οὕτως τὸ στε‐ ρεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΑΓ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν ΑΒ, πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΑΒ κύβον, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΖΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ (κοινὸν ὕψος ἡ ΔΕ), οὕτως τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΔΖ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν ΔΕ,
20πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΕ κύβον· καὶ ταῦτα ἄρα ἀνάλογον καὶ ἐναλλάξ ἐστιν. ἔστιν δὲ καὶ ὡς ὁ ἀπὸ τῆς ΑΒ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΕ κύβον, οὕτως ὅ τε ἀπὸ τῆς ΑΗ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΘ κύβον, καὶ ὁ ἀπὸ τῆς ΗΒ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΘΕ κύβον. ἀλλ’ ὡς ὁ ἀπὸ τῆς ΗΒ κύ‐
25βος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΘΕ κύβον, οὕτως τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΗΒ κύβον ὃν τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΘΕ κύβον ὃν τὸ ἀπὸ ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ· καὶ ὡς ἄρα ἓν τῶν ἡγουμένων
πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα πρὸς ἅπαντα· ἔστιν

7

.

966

ἄρα ὡς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τε‐ τράγωνον, ὕψος δὲ τὴν ΑΒ, πρὸς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν ΔΕ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΑΗ κύβος μετὰ τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸν
5ἀπὸ τῆς ΗΒ κύβον ὃν τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΘ κύβον μετὰ τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΘΕ κύβον ὃν τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ. ηʹ. Ἔστω τὸ Α μετὰ τοῦ Β ἴσον τῷ Γ μετὰ τοῦ Δ· ὅτι ᾧ ὑπερέχει τὸ Α τοῦ Γ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ Δ τοῦ Β.
10 Ἔστω γὰρ ᾧ ὑπερέχει τὸ Α τοῦ Γ τὸ Ε· τὸ Α ἄρα ἴσον ἐστὶν τοῖς Γ Ε. κοινὸν προσκείσθω τὸ Β· τὰ Α Β ἄρα ἴσα ἐστὶν τοῖς Γ Ε Β. ἀλλὰ τὰ Α Β τοῖς Γ Δ ἴσα ὑπόκειται· καὶ τὰ Γ Δ ἄρα τοῖς Γ Ε Β ἴσα. κοινὸν ἀφῃ‐ ρήσθω τὸ Γ· λοιπὸν ἄρα τὸ Δ ἴσον τοῖς Β Ε, ὥστε τὸ Δ
15τοῦ Β ὑπερέχει τῷ Ε· ᾧ ἄρα ὑπερέχει τὸ Α τοῦ Γ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ Δ τοῦ Β. Ὁμοίως δὴ δείξομεν [ὅτι], ἐάν, ᾧ ὑπερέχει τὸ Α τοῦ Γ, τούτῳ ὑπερέχῃ καὶ τὸ Δ τοῦ Β, ὅτι τὰ Α Β ἴσα ἐστὶν τοῖς Γ Δ.
20 θʹ. Ἔστω δύο μεγέθη τὰ ΑΒ ΒΓ· ὅτι [ᾧ ὑπερέχει τὸ ΒΑ τοῦ ΑΓ τούτῳ] ὑπερέχει [καὶ] τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ΑΒ τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸ ΑΓ τὸν αὐτὸν τῷ λόγον ἔχοντι πρὸς τὸ ΓΒ τὸν αὐτόν. Ἔστω γὰρ τὸ μὲν πρὸς τὸ ΑΒ λόγον τινὰ ἔχον τὸ ΔΕ,
25τὸ δὲ πρὸς τὸ ΑΓ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχον τὸ ΔΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΖ πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχει τὸν αὐτόν. καὶ ἔστιν τὸ ΕΖ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει τὸ ΔΕ τοῦ ΔΖ, τουτέστιν τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ΑΒ τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸ ΑΓ
τὸν αὐτόν.

7

.

968

 ιʹ. Τὸ Α τοῦ Γ ἐλάσσονι ὑπερεχέτω ἤπερ τὸ Δ τοῦ Β· ὅτι τὰ Α Β ἐλάσσονά ἐστιν τῶν Γ Δ. Ἔστω γὰρ ᾧ ὑπερέχει τὸ Α τοῦ Γ τὸ Ε, τὰ Α Β ἄρα ἴσα ἐστὶν τοῖς Γ Ε Β. ἐπεὶ δὲ τὸ Α τοῦ Γ ἐλάσσονι ὑπερ‐
5έχει ἤπερ τὸ Δ τοῦ Β, τὸ δὲ Α τοῦ Γ ὑπερέχει τῷ Ε, τὸ Ε ἄρα ἔλασσόν ἐστιν τῆς τῶν Δ Β ὑπεροχῆς, ὥστε τὰ Ε Β ἐλάσσονά ἐστιν τοῦ Δ. κοινὸν προσκείσθω τὸ Γ· τὰ Γ Ε Β ἄρα ἐλάσσονά ἐστιν τῶν Γ Δ. ἀλλὰ τὰ Γ Ε Β ἴσα ἐδείχθη τοῖς Α Β· τὰ Α Β ἄρα ἐλάσσονά ἐστιν τῶν
10Γ Δ. Ὁμοίως καὶ τὸ ἀναστρόφιον. καὶ τὰ ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως ὁμοίως.
13nΤοῦ ϛʹ.
14αʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα ἀμβλυγώνια τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ,
15ἀμβλείας ἔχοντα τὰς Γ Ζ γωνίας, καὶ ἴσας τὰς Α Δ ὀξείας, ὀρθαὶ ταῖς ΒΓ ΕΖ ἤχθωσαν αἱ ΓΗ ΖΘ, ἔστω δὲ ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΕΔΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ· ὅτι ὅμοιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
20 Γεγράφθω γὰρ ἐπὶ τῶν ΗΒ ΕΘ ἡμικύκλια· ἐλεύσεται δὴ καὶ διὰ τῶν Γ Ζ [ἐρχέσθω, καὶ ἔστω τὰ ΗΓΒ ΕΖΘ]· ἤτοι δὴ ἐφάπτονται αἱ ΑΓ ΔΖ τῶν ἡμικυκλίων ἢ οὔ. εἰ μὲν οὖν ἐφάπτονται, φανερὸν ὅτι γίνεται ὅμοια τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ τρίγωνα. ἐὰν γὰρ λάβω τὰ κέντρα τὰ Μ Ν, καὶ ἐπι‐
25ζεύξω τὰς ΜΓ ΝΖ, ἔσονται ὀρθαὶ αἱ ὑπὸ ΜΓΑ ΝΖΔ γωνίαι· καὶ εἰσὶν αἱ Α Δ γωνίαι ἴσαι· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΜΓ
ἄρα τῇ ὑπὸ ΔΝΖ γωνίᾳ. καὶ τὰ ἡμίση· καὶ ἡ Β ἄρα

7

.

970

γωνία τῇ Ε ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ καὶ ἡ Α τῇ Δ· ὅμοια ἄρα ἐστὶν τὰ τρίγωνα.[Omitted graphic marker] Ἀλλὰ δὴ μὴ ἐφαπτέσθωσαν, ἀλλὰ τεμνέτωσαν τὰ ἡμι‐ κύκλια κατά τινα σημεῖα τὰ Κ Λ, καὶ ἤχθωσαν κάθετοι
5αἱ ΜΞ ΝΟ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΚΞ τῇ ΞΓ, ἡ δὲ ΛΟ τῇ ΟΖ. ὅμοιον δὲ τὸ ΑΜΞ τῷ ΔΝΟ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΞΑ πρὸς ΑΜ, οὕτως ἡ ΟΔ πρὸς ΔΝ. ἐπεὶ δέ ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΔΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΚΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ
10ΑΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΛΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ, τουτέστιν ἡ ΛΔ πρὸς ΔΖ· ὥστε καὶ ὡς ἡ ΞΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΟΔ πρὸς ΔΖ. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΞΑ πρὸς ΑΜ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΟΔ πρὸς ΔΝ [διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων]· δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΑ
15πρὸς ΑΜ, οὕτως ἡ ΖΔ πρὸς ΔΝ. καὶ παρὰ ἴσας γωνίας τὰς Α Δ ἀνάλογόν εἰσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΜΓ τῇ ὑπὸ τῶν ΔΝΖ γωνίᾳ. καὶ τὰ ἡμίση· καὶ ἡ Β ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ Ε. ἀλλὰ καὶ ἡ Α τῇ Δ καθ’ ὑπόθεσιν· ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
20 Συμφανὲς δὲ τὸ ἀντίστροφον αὐτῷ· ὄντος ὁμοίου τοῦ ΑΒΓ τῷ ΔΕΖ, καὶ ὀρθῶν τῶν ὑπὸ ΒΓΗ ΕΖΘ, δεῖξαι ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΔΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ· ἔστιν γὰρ διὰ τὴν ὁμοιότητα
τῶν τριγώνων ὡς μὲν ἡ ΒΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς

7

.

972

ΔΖ, ὡς δὲ ἡ ΗΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΘΔ πρὸς ΔΖ· καὶ ὁ συνημμένος. βʹ. Ἔστω δύο ὅμοια τμήματα μείζονα ἡμικυκλίου τὰ ἐπὶ τῶν ΑΒ ΓΔ, καὶ ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΕΖΗ ΘΚΛ,
5ἔστω δὲ ὡς ἡ ΕΗ πρὸς ΗΖ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς ΛΚ· δεικτέον ὅτι ὁμοία ἐστὶν ἡ ΒΖ περιφέρεια τῇ ΔΚ περι‐ φερείᾳ.[Omitted graphic marker] Εἰλήφθω τὰ κέντρα τὰ Μ Ν, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΜΞ ΜΟ ΝΠ ΝΡ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΒ ΝΔ· ἴση
10ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΟΜΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΡΝΔ γωνίᾳ (ἴσαι γάρ εἰσιν αἱ ἐν τοῖς τμήμασιν, ὥστε καὶ ἡμίσειαι). καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ Ο Ρ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΜΒΟ γωνία τῇ ὑπὸ ΝΔΡ γωνίᾳ. ἤχθωσαν ταῖς ΑΒ ΓΔ παράλληλοι αἱ ΖΣ ΚΤ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΖ ΝΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν
15καὶ ἡ ὑπὸ ΜΣΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΝΤΚ γωνίᾳ. ἐπεὶ δέ ἐστιν ὡς ἡ ΕΗ πρὸς ΗΖ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς ΛΚ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΞΗ πρὸς ΗΖ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΠΛ πρὸς ΛΚ, ὥστε καὶ ὡς ἡ ΗΞ πρὸς ΞΖ, τουτέστιν ἡ ΜΒ πρὸς ΜΣ, τουτέστιν [ὡς] ἡ ΖΜ πρὸς ΜΣ, οὕτως ἡ ΛΠ πρὸς ΚΠ, τουτέστιν
20ἡ ΔΝ πρὸς ΝΤ, τουτέστιν ἡ ΚΝ πρὸς ΝΤ. καὶ εἰσὶν αἱ μὲν ὑπὸ ΜΣΖ ΝΤΚ ἴσαι, αἱ δὲ ὑπὸ ΜΖΣ ΝΚΤ ὀξεῖαι· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΣΜΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΤΝΚ· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΖ περιφέρεια τῇ ΔΚ περιφερείᾳ. γʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, ὀρθὰς ἔχοντα
25τὰς Γ Ζ γωνίας, καὶ διήχθωσαν αἱ ΑΗ ΔΘ ἐν ἴσαις γω‐
νίαις ταῖς ὑπὸ ΒΑΗ ΕΔΘ, ἔστω τε ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΗ

7

.

974

πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ· ὅτι ὅμοιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τρι‐ γώνῳ.[Omitted graphic marker] Γεγράφθω γὰρ περὶ τὰ ΑΒΗ ΔΕΘ τρίγωνα τμήματα
5κύκλων τὰ ΒΗΑ ΕΘΔ [ὅμοια ἄρα ἐστίν]· ἤτοι δὴ ἐφά‐ πτονται αἱ ΑΓ ΔΖ τῶν τμημάτων ἢ οὔ. ἐφαπτέσθωσαν πρότερον· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ μὲν ὑπὸ ΒΓΗ τῷ ἀπὸ ΑΓ, τουτέστιν, ἐὰν πρὸς ὀρθὰς ἀγάγω τῇ ΑΗ τὴν ΑΚ, τῷ ὑπὸ τῶν ΗΓΚ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΕΖΘ τῷ ἀπὸ ΔΖ, τουτ‐
10έστιν, ἐὰν ὀρθὴν ἀγάγω τὴν ΔΛ τῇ ΔΘ, τῷ ὑπὸ ΘΖΛ· ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΓ τῇ ΓΚ, ἡ δὲ ΕΖ τῇ ΖΛ. καὶ ὀρθαὶ αἱ ΑΓ ΔΖ· διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΒΑΚ γω‐ νία τῆς ὑπὸ ΒΑΓ γωνίας, ἡ δὲ ὑπὸ ΕΔΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ. καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ ὑπὸ ΒΑΚ ΕΔΛ (ἴση γάρ ἐστιν
15ἡ μὲν ὑπὸ ΒΑΗ τῇ ὑπὸ ΕΔΘ, ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΗΑΚ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΘΔΛ)· καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ ΕΔΖ ἄρα ἴσαι εἰσίν. ἀλλὰ καὶ ὀρθαὶ αἱ Γ Ζ· ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρί‐ γωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ, ὅπερ· ⁓ Ἀλλὰ δὴ μὴ ἐφαπτέσθωσαν αἱ ΑΓ ΔΖ, ἀλλὰ τεμνέ‐
20τωσαν κατὰ τὰ Μ Ν σημεῖα. ἔστιν οὖν ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΜΓ πρὸς ΓΑ, οὕτως τὸ
ὑπὸ τῶν ΔΖΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ, τουτέστιν ἡ ΝΖ πρὸς ΖΔ.

7

.

976

καὶ ἔστιν ὅμοια μείζονα τμήματα τὰ ΒΑΗ ΕΔΘ· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ περιφέρεια τῇ ΔΘ περιφερείᾳ· ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ Β γωνία τῇ Ε· ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρί‐ γωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
5nἌλλως τὸ αὐτό.
6 δʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα ὀρθὰς ἔχοντα τὰς Γ Ζ γωνίας, καὶ διήχθωσαν αἱ ΑΗ ΔΘ ἐν ἴσαις γωνίαις ταῖς ὑπὸ ΒΑΗ ΕΔΘ, ἔστω τε ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ· ὅτι ὅμοιον τὸ ΑΒΓ τρί‐
10γωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.[Omitted graphic marker] Ἤχθωσαν ταῖς ΑΗ ΔΘ ὀρθαὶ αἱ ΑΚ ΔΛ· ἴσον ἄρα τὸ μὲν ἀπὸ ΑΓ τῷ ὑπὸ ΗΓΚ, τὸ δὲ ἀπὸ ΔΖ τῷ ὑπὸ ΘΖΛ· ἔστιν οὖν ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΓΚ, τουτέστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖΘ πρὸς
15τὸ ὑπὸ ΘΖΛ, τουτέστιν ἡ ΕΖ πρὸς ΖΛ. ἤχθωσαν ταῖς ΑΚ ΔΛ παράλληλοι αἱ ΓΜ ΖΝ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως ἡ ΕΝ πρὸς ΝΔ. καὶ εἰσὶν ὀρθαὶ μὲν αἱ πρὸς τοῖς Γ Ζ σημείοις, ἴσαι δὲ αἱ πρὸς τοῖς Μ Ν γωνίαι ταῖς ὑπὸ ΒΑΚ ΕΔΛ· διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον ὅμοιόν ἐστι
20τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. εʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα ὀρθὰς ἔχοντα τὰς πρὸς τοῖς Β Ε σημείοις γωνίας, καὶ διήχθωσαν αἱ ΒΗ ΕΘ ἐν ἴσαις γωνίαις ταῖς ὑπὸ ΑΗΒ ΔΘΕ, ἔστω τε ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΔΘΖ πρὸς τὸ
25ἀπὸ ΘΕ· δεικτέον ὅτι ὅμοιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ
ΔΕΖ τριγώνῳ.

7

.

978

 Περιγεγράφθωσαν κύκλοι, καὶ εἰλήφθω αὐτῶν τὰ κέν‐ τρα τὰ Κ Λ· φανερὸν δὴ ὅτι ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῶν Η Θ ση‐ μείων εἰσίν. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τὸ μὲν Κ μεταξὺ τῶν Γ Η σημείων, τὸ δὲ Λ μεταξὺ τῶν Δ Θ, καὶ ἐκβεβλήσθω‐
5σαν αἱ ΒΗ ΕΘ ἐπὶ τὰ Μ Ν σημεῖα, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ[Omitted graphic marker] τὴν ΜΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΚΞ· πεσεῖται ἄρα μεταξὺ τῶν Η Β, ἀμβλεῖά τε γίνεται ἡ ὑπὸ ΑΗΒ γωνία καὶ ἔστιν ἴση τῇ ὑπὸ ΔΘΕ· ἀμβλεῖα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΔΘΕ γωνία· ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΘΝ, ὥστε ἡ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν
10ΕΝ κάθετος ἀγομένη πίπτει μεταξὺ τῶν Θ Ν. πιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΛΟ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΟ τῇ ΟΕ, ὥστε μεί‐ ζων ἐστὶν ἡ ΝΟ τῆς ΘΕ· πολλῷ ἄρα ἡ ΝΘ τῆς ΘΕ ἐστὶν μείζων, καὶ τὸ ὑπὸ ΝΘΕ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΔΘΖ, μεῖζόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΕΘ τετραγώνου. καὶ ἔστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΔΘΖ πρὸς
15τὸ ἀπὸ ΘΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΒ, ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον· ἔστιν γὰρ καὶ ἔλασσον, ἐπειδήπερ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΜΗ τῆς ΗΒ καὶ τὸ ὑπὸ ΜΗΒ τοῦ ἀπὸ ΗΒ· οὐκ ἄρα τοῦ Κ κέντρου ὄντος μεταξὺ τῶν Η Γ, τὸ Λ ἔσται μεταξὺ τῶν Δ Θ. ἔστω οὖν μεταξὺ τῶν Θ Ζ, καὶ κατὰ
20τὰ αὐτὰ ἤχθω ἡ ΛΟ κάθετος. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ

7

.

980

ΑΗΓ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΜΗΒ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΒ, τουτ‐ έστιν ὡς ἡ ΜΗ πρὸς ΗΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΘΖ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΝΘΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΕ, τουτέστιν ἡ ΝΘ πρὸς ΘΕ, καὶ τέτμηνται αἱ ΒΜ ΝΕ δίχα τοῖς Ξ Ο, ἔστιν ἄρα ὡς
5ἡ ΒΞ πρὸς ΞΗ, οὕτως ἡ ΕΟ πρὸς ΟΘ. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΗΞ πρὸς ΞΚ, οὕτως ἡ ΘΟ πρὸς τὴν ΟΛ (ὀρθαὶ μὲν γὰρ αἱ Ξ Ο, ἴσαι δὲ αἱ πρὸς τοῖς Η Θ σημείοις γωνίαι)· δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΞ πρὸς ΞΚ, οὕτως ἡ ΕΟ πρὸς ΟΛ.[Omitted graphic marker] καὶ περὶ ἴσας γωνίας· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΚΞ γω‐
10νία τῇ ὑπὸ τῶν ΕΛΟ γωνίᾳ, ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΞΚΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΟΛΘ ἴση· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΚΗ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΕΛΘ ἐστὶν ἴση. καὶ τὰ ἡμίση· καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῶν ΔΖΕ. καὶ εἰσὶν ὀρθαὶ αἱ Β Ε γωνίαι· ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ
15ΔΕΖ τριγώνῳ. Φανερὸν δὲ καὶ τὸ τούτῳ ἀναστρόφιον, ἐὰν ᾖ ὅμοιον τὸ μὲν ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΗΒΓ τῷ ΘΕΖ, ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΑΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΕ [διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων].
20 ϛʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, ἴσας ἔχοντα τὰς Α Λ γωνίας μὴ ὀρθὰς δέ, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΑΗ ΔΘ, ἔστω τε τὸ ὑπὸ τῶν ΒΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΘ, καὶ ἔστω τῶν ΒΓ ΕΖ εὐθειῶν μείζονα τμήματα τὴ ΒΗ ΕΘ· λέγω
25ὅτι ὅμοιόν ἐστιν τὸ μὲν ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΘ, τὸ δὲ
λοιπὸν τῷ λοιπῷ.

7

.

982

 Περιγεγράφθωσαν κύκλοι, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΑΗ ΔΘ ἐπὶ τὰ Κ Λ σημεῖα, καὶ εἰλήφθω τὰ κέντρα τῶν κύ‐ κλων τὰ Μ Ν, καὶ ἀπὸ αὐτῶν ἐπὶ τὰς ΑΚ ΒΓ ΔΛ ΕΖ κάθετοι αἱ ΜΞ ΜΟ ΝΠ ΝΡ. ἔστιν δὴ κατὰ τὰ αὐτὰ τοῖς
5προγεγραμμένοις ὡς ἡ ΚΗ πρὸς ΗΑ, οὕτως ἡ ΛΘ πρὸς ΘΔ, ὥστε καὶ ὡς ἡ ΑΞ πρὸς ΞΗ, οὕτως ἡ ΔΠ πρὸς ΠΘ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΜ ΔΝ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΑΞ πρὸς ΞΗ, οὕτως ἡ ΑΜ πρὸς ΜΣ, ὡς δὲ ἡ ΔΠ πρὸς ΠΘ, οὕτως ἡ ΔΝ πρὸς ΝΤ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΜ πρὸς ΜΣ, οὕτως ἡ ΔΝ
10πρὸς ΝΤ. ἐπεζεύχθωσαν δὴ αἱ ΒΜ ΕΝ. ἐπεὶ οὖν ὅμοιόν ἐστι τὸ ΒΑΓ τμῆμα τῷ ΕΔΖ τμήματι, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΚΓ τμῆμα λοιπῷ τῷ ΕΛΖ τμήματι ὅμοιόν ἐστιν· αἱ ἄρα ἐν αὐτοῖς γωνίαι ἴσαι εἰσίν, καὶ εἰσὶν αὐτῶν καὶ ἡμίσειαι ἴσαι· αἱ ὑπὸ τῶν ΒΜΟ ΕΝΡ ἄρα γωνίαι ἴσαι εἰσίν [ἐπὶ
15τῆς πρώτης δυάδος τῶν πτώσεων, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ἐκ παρακειμένου δηλονότι ἐστὶν ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΒΜΟ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΝΡ· καὶ γὰρ αἱ ἐν τοῖς ΒΑΓ ΕΔΖ τμήμασιν γωνίαι]. γίνεται οὖν ὡς ἡ ΒΜ πρὸς ΜΟ, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΟ, οὕτως ἡ ΕΝ πρὸς ΝΡ, τουτέστιν ἡ ΔΝ
20πρὸς ΝΡ. ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΣ, οὕτως ἡ ΔΝ πρὸς ΝΤ· δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΜΟ πρὸς ΜΣ, οὕτως ἡ ΡΝ πρὸς ΝΤ. καὶ εἰσὶν ὀρθαὶ μὲν αἱ Ο Ρ γωνίαι, ὀξεῖα δὲ ἑκατέρα τῶν Σ Τ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΟΜΣ γω‐ νία τῇ ὑπὸ τῶν ΡΝΤ γωνίᾳ. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΜΟ
25τῇ ὑπὸ ΕΝΡ ἐστὶν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΜΣ ἄρα τῇ ὑπὸ τῶν ΕΝΤ ἐστὶν ἴση, ὥστε καὶ ἡ Γ γωνία τῇ Ζ ἐστὶν ἴση·
ὅμοια ἄρα ἐστὶν πάντα πᾶσιν.

7

.

984

 ζʹ. Δυνατὸν δὲ καί, τῆς μιᾶς πτώσεως [ἢ τῶν ἀμ‐ βλειῶν ἢ ὀξειῶν] προγεγραμμένης τῆς δείξεως, τὸ λοιπὸν ἀποδοῦναι οὕτως. ὑποκείσθω γὰρ ἀποδεδεῖχθαι οὐσῶν ἴσων ἀμβλειῶν τῶν γωνιῶν τὸ πρότερον κατὰ τὸν προγε‐
5γραμμένον τρόπον, καὶ ἔστω, δυεῖν ὀξειῶν οὐσῶν ἴσων τῶν ὑπὸ ΒΑΓ ΕΔΖ, δεῖξαι ὅτι ὅμοια τὰ τρίγωνα. καὶ πάλιν περιγεγράφθωσαν οἱ κύκλοι καὶ ἐκβεβλημένων τῶν ΑΗ ΔΘ ἐπὶ τὰ Κ Λ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΚ ΚΓ ΕΛ ΛΖ· ἴσαι ἄρα εἰσὶν καὶ αἱ ὑπὸ ΒΚΓ ΕΛΖ γωνίαι ἀμβλεῖαι. καὶ ἐπεί
10ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΑΗΚ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΚΗ πρὸς ΗΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΘΖ,[Omitted graphic marker] τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΔΘΛ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΘ, τουτέστιν ἡ ΛΘ πρὸς ΘΔ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΚ, οὕ‐ τως τὸ ἀπὸ ΔΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΛ. ἔστιν δὲ καὶ ὡς τὸ
15ὑπὸ ΒΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΘ· δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ πρὸς τὸ
ἀπὸ ΗΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΛ. καὶ εἰσὶν

7

.

986

ἴσαι ἀμβλεῖαι αἱ ὑπὸ τῶν ΒΚΓ ΕΛΖ γωνίαι, καὶ κάθετοι αἱ ΚΗ ΛΘ· διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον, ὅμοιόν ἐστι τὸ μὲν ΒΚΗ τρίγωνον τῷ ΕΛΘ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΓΚΗ τῷ ΖΛΘ, ὥστε καὶ τὸ μὲν ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΘ τριγώνῳ ἐστὶν
5ὅμοιον, τὸ δὲ ΑΗΓ τῷ ΔΘΖ, ὥστε καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓ ὅλῳ τῷ ΔΕΖ ἐστὶν ὅμοιον. ηʹ. Θέσει δεδομένων τῶν ΑΒ ΑΓ, ἀγαγεῖν παρὰ θέσει τὴν ΔΕ καὶ ποιεῖν δοθεῖσαν τὴν ΔΕ. Γεγονέτω, καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ΔΕ παράλληλος ἤχθω
10ἡ ΑΖ· παρὰ θέσει ἄρα ἐστίν. καὶ ἔστιν δοθὲν τὸ Α· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ. διὰ δὲ τοῦ Ε τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΔΕ. καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΔΕ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΑΖ. ἀλλὰ καὶ θέσει· καὶ δοθέν ἐστιν τὸ Α· δοθὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ Ζ. διὰ δὴ
15δεδομένου τοῦ Ζ παρὰ θέσει τῇ ΑΒ ἦκται ἡ ΖΕ· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΑΓ· δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ Ε. καὶ διὰ αὐτοῦ παρὰ θέσει ἦκται ἡ ΔΕ· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ. Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστωσαν αἱ μὲν
20τῇ θέσει δεδομέναι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΑΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα τῷ μεγέθει ἔστω ἡ Η, παρ’ ἣν δὲ ἄγεται ἔστω ἡ ΑΖ, καὶ τῇ Η ἴση κείσθω ἡ ΑΖ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Ζ τῇ ΑΒ παρ‐ άλληλος ἤχθω ἡ ΖΕ, διὰ δὲ τοῦ Ε τῇ ΑΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΔ· λέγω ὅτι ἡ ΔΕ ποιεῖ τὸ πρόβλημα.
25 Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΑΖ, ἀλλὰ ἡ ΑΖ τῇ Η ἐστὶν ἴση, τουτέστιν τῇ δοθείσῃ, καὶ ἡ ΔΕ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ Η τῇ δοθείσῃ· ἡ ΔΕ ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα. καὶ φανερὸν ὅτι μόνη· αἰεὶ γὰρ ἡ ἔγγιον τοῦ Α τῆς ἀπώτερόν
ἐστιν ἐλάσσων.

7

.

988

 θʹ. Ἔστω δύο ἐπίπεδα τὰ ΑΒΓ ΕΒΖ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΒΓ ἐφεστῶτα, τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τῷ ὑποκει‐ μένῳ ὀρθά· λέγω ὅτι ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ εἰσὶν αἱ ΑΒ ΒΕ ΒΓ εὐθεῖαι.
5 Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΒΓ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπι‐ πέδῳ ὀρθὴ ἡ ΗΒ· καὶ τῷ ΕΒΖ ἄρα ἐπιπέδῳ ἔσται ὀρθὴ ἡ ΗΒ, ὥστε καὶ τῇ ΒΕ ἐστὶν ὀρθή. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ τῇ ΑΒ. ἔστι δὲ καὶ τῇ ΒΓ εὐθείᾳ ἡ ΒΗ ὀρθή· ἡ ΒΗ ἄρα τρισὶν εὐθείαις ταῖς ΑΒ ΒΕ ΒΓ ὀρθὴ ἐπὶ τῆς ἁφῆς
10τῆς Β ἐφέστηκεν· διὰ ἄρα τὸ ιαʹ στοιχείων ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ αἱ ΑΒ ΒΕ ΒΓ εὐθεῖαι. ιʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, ὀρθὰς ἔχοντα τὰς Α Δ γωνίας, καὶ διήχθωσαν αἱ ΑΗ ΔΘ ἐν ἴσαις γω‐ νίαις ταῖς ὑπὸ ΑΗΒ ΔΘΕ, ἔστω δὲ ὡς ἡ ΒΗ πρὸς τὴν
15ΗΓ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΖ· ὅτι ὅμοιόν ἐστιν τὸ μὲν ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΘ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΑΗΓ τῷ ΔΘΖ. Ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΗ, καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΔΘ πρὸς ΘΕ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΚ ΚΓ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΕΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΚΗ γωνίᾳ. ἐπεὶ
20δέ ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς ΘΖ, ὡς δὲ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, οὕτως ἡ ΔΘ πρὸς ΘΕ, δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ἐν τεταραγμένῃ ἀναλογίᾳ ὡς ἡ ΒΗ πρὸς ΗΚ, οὕτως ἡ ΔΘ πρὸς ΘΖ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΚΗ γωνία τῇ Ζ γωνίᾳ. ἐδείχθη δὲ
25καὶ ἡ ὑπὸ ΓΚΗ γωνία ἴση τῇ Ε, καὶ εἰσὶν αἱ Ε Ζ ὀρθῇ

7

.

990

ἴσαι· ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ γωνία ἐστὶν ὀρθή. ἀλλὰ καθ’ ὑπό‐ θεσιν καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ὀρθή· ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶν τὰ Α Β Γ Κ σημεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΚΓ, τουτ‐ έστιν ἡ ὑπὸ ΔΕΘ, τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΒ
5γωνία καθ’ ὑπόθεσιν ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΔΘΕ γωνίᾳ· ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΘ τριγώνῳ. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ ΑΗΓ τρίγωνον τῷ ΔΘΖ ἐστὶν ὅμοιον.
8nἌλλως ἄμεινον.
9ιαʹ. Τετμήσθωσαν δίχα τοῖς Κ Λ σημείοις αἱ ΒΓ ΕΖ,
10καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ ΔΛ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς ΘΖ, συνθέντι καὶ τὰ ἡμίση τῶν ἡγουμένων καὶ ἀναστρέψαντι γίνεται ὡς ἡ ΓΚ, τουτ‐ έστιν ἡ ΑΚ, πρὸς ΚΗ, οὕτως ἡ ΛΖ, τουτέστιν ἡ ΔΛ, πρὸς ΛΘ. καὶ εἰσὶν ἴσαι μὲν αἱ πρὸς τοῖς Η Θ σημείοις
15γωνίαι, αἱ δὲ ὑπὸ ΚΑΗ ΛΔΘ ἑκατέρα ἅμα ὀξεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΚΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΛΘ γωνίᾳ. καὶ τὰ ἡμίση· καὶ ἡ Β ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ Ε. ἀλλὰ καὶ ἡ Η γωνία τῇ Θ ἴση ἐστίν· ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΘ τριγώνῳ. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ ΑΗΓ
20τρίγωνον τῷ ΔΘΖ τριγώνῳ ἐστὶν ὅμοιον.
21nΤοῦ ζʹ ηʹ.
22 αʹ. Παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΑΓ, καὶ διήχθω ἡ ΕΖΑ· ὅτι τὸ ὑπὸ ΕΑΖ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΖΒΓ καὶ
τῷ ὑπὸ ΕΔΓ.

7

.

992

 Ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΓ ΓΖ, ὧν τὰ ἀπὸ τῶν ΕΑ ΑΖ τετράγωνα ἴσα ἐστὶν [Omitted graphic marker]τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΔ ΔΑ, τουτέστιν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΔ ΓΒ, καὶ τοῖς
5ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΖ, τουτέστιν τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΔ ΒΖ τετραγώνοις, λοι‐ πὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΑΖ ἴσον ἐστὶν τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΕΔ ΔΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΖΒ ΒΓ· καὶ
10τὸ ἅπαξ ἄρα ὑπὸ τῶν ΕΑΖ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΕΔΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΖΒΓ, ὅπερ· ⁓ βʹ. Παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΑΓ, καὶ διήχθω ἡ ΕΑΖ· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΔ ΔΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΒΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΑΖ.
15[Omitted graphic marker] Ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΓ ΓΖ, ἔστιν δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΑ ΑΖ τετράγωνα ἴσα τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΔ ΔΓ ΓΒ ΒΖ, καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν
20ΕΑΖ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΔΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒΖ, ὥστε καὶ τὸ ἅπαξ τῷ ἅπαξ. γʹ. Ἔστω μείζων ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, καὶ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΕΒ τῷ ὑπὸ ΓΖΔ, καὶ ἔστω μείζω τμήματα τὰ ΑΕ ΓΖ· ὅτι
25μείζων ἐστὶν ἡ ΑΕ τῆς ΓΖ. Τετμήσθωσαν ὅλαι αἱ ΑΒ ΓΔ δίχα τοῖς Η Θ ση‐
μείοις· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΒ τῆς ΔΘ, ὥστε καὶ τὸ

7

.

994

ἀπὸ ΗΒ μεῖζον τοῦ ἀπὸ ΔΘ τετραγώνου. ἔστιν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΑΕΒ ἴσον τῷ ὑπὸ ΓΖΔ· καὶ τὸ ἀπὸ ΗΕ ἄρα μεῖζόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΘΖ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΕ τῆς ΘΖ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΗ μείζων τῆς ΓΘ· ὅλη ἄρα ἡ ΑΕ ὅλης τῆς ΓΖ
5μείζων ἐστίν. δʹ. Ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΕΒ τῷ ὑπὸ ΓΖΔ, ἴσων οὐσῶν τῶν ΑΒ ΓΔ· ὅτι τὰ μείζονα τμήματα τὰ ΑΕ ΓΖ ἴσα ἐστίν. (τὸ δ’ ἐφεξῆς· τετμήσθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ ΓΔ δίχα τοῖς Η Θ· ⁓) εʹ. Ἔστω μὲν μείζων ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, ἐλάσσων δὲ ἡ
10ΒΕ τῆς ΔΖ, οὔσης μείζονος τῆς μὲν ΑΒ τῆς ΒΕ, τῆς δὲ ΓΔ τῆς ΔΖ· ὅτι ἡ τῶν ΑΒ ΒΕ ὑπεροχὴ μείζων ἐστὶν τῆς τῶν ΓΔ ΔΖ ὑπεροχῆς. Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, καὶ ἡ τῶν ΑΒ ΒΕ ὑπεροχὴ ἄρα μείζων ἐστίν. τῆς τῶν ΓΔ ΕΒ ὑπεροχῆς.
15ἀλλὰ ἡ τῶν ΓΔ ΕΒ μείζων ἐστὶν τῆς τῶν ΓΔ ΔΖ ὑπερ‐ οχῆς (ἐλάσσων γάρ ἐστιν ἡ ΕΒ τῆς ΔΖ), ὥστε ἡ τῶν ΑΒ ΒΕ ὑπεροχὴ πολλῷ μείζων ἐστὶν τῆς τῶν ΓΔ ΔΖ ὑπεροχῆς. ϛʹ. Ἔστω ἴση ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΔΕ τῇ ΕΖ· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΓ ΔΖ τετραπλάσιόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΑΒ ΔΕ.
20 Ἐπεὶ γὰρ διπλῆ ἐστιν ἡ ΓΑ τῆς ΑΒ, κοινὸν ὕψος ἡ ΔΕ τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΑ ΔΕ διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΑΒ ΔΕ. πάλιν ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΔΖ τῆς ΔΕ, κοινὸν ὕψος ἡ ΑΓ τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΓ ΔΖ διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΑΓ ΔΕ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΑΓ ΔΕ τοῦ ὑπὸ ΑΒ ΔΕ διπλάσιόν ἐστιν· τὸ
25ἄρα ὑπὸ ΑΓ ΔΖ τετραπλάσιόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΑΒ ΔΕ. ζʹ. Ἔστω ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΘ· ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕΘ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν
30ΔΘΖ.

7

.

996

 Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΘ, ἀναστρέψαντί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΘ· ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΘ. ἀλλὰ
5καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕΘ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕΘ. ἐπεὶ δὲ ὑπόκειται ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, οὕ‐
10τως ἡ ΖΔ πρὸς ΔΕ. ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΘ· δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΗ, οὕτως ἡ ΖΔ πρὸς ΔΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΗ πρὸς ΗΑ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΔΘ, καὶ ὡς τὸ ὑπὸ πρὸς τὸ ἀπό, οὕτως τὸ ὑπὸ πρὸς τὸ ἀπό. ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΑΗ
15πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕΘ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΗΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΕΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΘΖ. ηʹ. Ἔστω δοθέντα συναμφότερα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ, καὶ δοθεῖσα ἡ τῶν ἀπὸ ΑΒ ΒΓ ὑπεροχή· ὅτι δοθεῖσά
20ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΑΒ ΒΓ. Κείσθω γὰρ τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΒΔ· δοθὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑΔ (ὑπεροχὴ γάρ ἐστιν τῶν ἀπὸ ΑΒ ΒΓ τετραγώνων). ἀλλὰ καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑΔ δοθέν ἐστιν (ἐπεὶ καὶ τὸ ὑπὸ ΓΑΔ δοθέν ἐστιν)· δοθὲν ἄρα ἐστὶν καὶ
25τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ ΑΔ, ὥστε δοθεῖσά ἐστι

7

.

998

συναμφότερος ἡ ΓΑ ΑΔ. καὶ ἔστιν αὐτῆς ἡμίσεια ἡ ΒΑ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ, ὥστε καὶ ἡ ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν. θʹ. Ἔστω ἴση ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΔΕ τῇ ΕΖ, ἔτι δὲ ἔστω ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΘ· ὅτι
5γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΑΗΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖΘ. [Omitted graphic marker] Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς
10ΕΔ, ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΘ, ἔ‐ σται ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ
15ὑπὸ ΑΗΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΘΕ. ἀλλὰ καὶ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΖ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖΘ· ἔσται ἄρα δι’ ἴσου ὡς τὸ ὑπὸ ΑΗΒ
20πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖΘ. ιʹ. Ἔστω ἴση ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ, ἐλάσσων δὲ ἡ ΒΔ τῆς ΒΕ· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἐλάσ‐ σονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ.
25 Ἐπεὶ γὰρ ἴση μέν ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ, ἐλάσσων δὲ ἡ ΒΔ τῇ ΒΕ, ἡ ΓΔ ἄρα μείζων ἐστὶν τῆς ΑΕ, ὥστε καὶ ἡ ΓΕ μείζων ἐστὶν τῆς ΑΔ. ἔλασσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΑΔΒ τοῦ ὑπὸ ΓΕΒ, μεῖζον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ τοῦ ὑπὸ ΒΑΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΔΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΓΔ ἐλάσσονα λόγον ἔχει
30ἤπερ τὸ ὑπὸ ΓΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΑΕ.

7

.

1000

 ιαʹ. Ἔστω δὲ νῦν τὸ τοῖς προηγουμένοις ἀναστρόφιον δεῖξαι. οὔσης ἴσης τῆς μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ, τῆς δὲ ΔΕ τῇ ΕΖ, ἔστω ὡς τὸ ὑπὸ ΑΗΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖΘ· δεῖξαι ὅτι γίνεται ὡς ἡ ΓΒ πρὸς
5ΒΗ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΘ. Κείσθω τῷ μὲν ὑπὸ ΑΗΒ ἴσον τὸ ὑπὸ ΓΗ ΑΚ, τῷ δὲ ὑπὸ ΔΘΕ ἴσον τὸ ὑπὸ ΖΘ ΔΛ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΑΚ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ, τουτέστιν ἡ ΑΚ πρὸς ΒΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΛ ΖΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖΘ, τουτέστιν ἡ
10ΔΛ πρὸς ΕΖ. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΖΕ πρὸς ΕΔ· αἱ ΑΚ ΒΓ ΒΚ ἄρα ταῖς ΔΛ ΕΖ ΕΛ ὁμοταγεῖς εἰσιν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ [τουτέστιν ὡς ἡ ΚΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως ἡ ΛΖ πρὸς ΖΕ]. ἐπεὶ δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΚ ΓΗ, ἀμφότερον ἀφῃρήσθω
15ἀπὸ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΚ ΗΒ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΗΚ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΚ ΒΓ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΚ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΒΗΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ. διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΛ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΛ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν
20ΕΘΛ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΛ. καὶ ἔστιν ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΚ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΔΛ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΛ διὰ τὴν ἀναλογίαν τῶν ὁμοταγῶν τμημάτων· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΗΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ,
οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΘΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΛ. καὶ ἔστιν τὰ αὐτὰ

7

.

1002

τμήματα τὰ ΒΗ ΕΘ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΚΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΛΕ πρὸς ΕΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΖΕ πρὸς ΕΘ. ιβʹ. Ἔστω ἴση ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΔΕ τῇ ΕΖ, ἔτι
5δὲ ἡ ΒΓ πρὸς ΓΗ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΘ· ὅτι ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως καὶ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΒΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΕΖ, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ἐλάσσω. Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΓ πρὸς ΓΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ
10ἡ ΕΖ πρὸς ΖΘ, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἡ ΓΒ πρὸς ΒΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΕ πρὸς ΕΘ, ἐπὶ δὲ τῆς δευ‐ τέρας μείζω· ὥστε καὶ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΔΕ πρὸς ΕΘ, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζω· καὶ ἡ ΗΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΒ
15ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΔ πρὸς ΔΕ, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ἐλάσσω. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς ΕΖ· δι’ ἴσου ἄρα ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΒΓ μείζονα λό‐ γον ἔχει ἤπερ ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΕΖ, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας
20ἐλάσσω. ιγʹ. Ἔστω πάλιν ἴση ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΔΕ τῇ ΕΖ, ἔτι δὲ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΕ· ὅτι καὶ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΘ.
25Ἐπεὶ γὰρ κατὰ ἀναστροφὴν καὶ διαίρεσιν ἡ ΗΒ πρὸς

7

.

1004

τὴν ΒΑ, τουτέστιν τὴν ΒΓ, ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΔ, τουτέστιν πρὸς τὴν ΕΖ, ἀναστρέψαντι καὶ διελόντι ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΘ.
5 ιδʹ. Ἴση ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΔΕ τῇ ΕΖ, καὶ ἔτι ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΕ· ὅτι ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΖ. [Omitted graphic marker] Ἐπεὶ γὰρ κατὰ διαί‐
10ρεσιν ἡ ΑΒ, τουτέστιν ἡ ΒΓ, πρὸς τὴν ΒΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΔΕ, τουτ‐ έστιν ἡ ΕΖ, πρὸς τὴν ΕΘ, ἀναστρέψαντι καὶ κατὰ διαίρε‐ σιν ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΘ
15πρὸς τὴν ΘΖ.
16nΕἰς τοὺς πρὸς ἐπιφανείᾳ.
17 αʹ. Ἐὰν ᾖ εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ παρὰ θέσει ἡ ΓΔ, καὶ ᾖ λόγος τοῦ ὑπὸ ΑΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ, τὸ Γ ἅπτεται κω‐ νικῆς γραμμῆς. ἐὰν οὖν ἡ μὲν ΑΒ στερηθῇ τῆς θέσεως,
20καὶ τὰ Α Β στερηθῇ τοῦ δοθέντος εἶναι, γένηται δὲ πρὸς θέσει εὐθεῖα ταῖς ΑΕ ΕΒ, τὸ Γ μετεωρισθὲν γίνεται πρὸς θέσει ἐπιφανείας. τοῦτο δὲ ἐδείχθη. βʹ. Ἐὰν ᾖ θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ δοθὲν τὸ Γ ἐν τῷ
αὐτῷ ἐπιπέδῳ, καὶ διαχθῇ ἡ ΔΓ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀχθῇ

7

.

1006

ἡ ΔΕ, λόγος δὲ ᾖ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΕ, τὸ Δ ἅπτεται θέσει κωνικῆς τομῆς. δείκνυται δὲ ὅτι γραμμῆς μέρος ποιεῖ τὸν τόπον. δειχθήσεται δὲ οὕτως, προγραφέντος τόπου τοῦδε. γʹ. Δύο δοθέντων τῶν Α Β, καὶ ὀρθῆς τῆς ΓΔ, λό‐
5γος ἔστω τοῦ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὰ ἀπὸ ΓΔ ΔΒ· λέγω ὅτι τὸ Γ ἅπτεται κώνου τομῆς, ἐάν τε ᾖ ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον ἢ μείζων πρὸς ἐλάσσονα ἢ ἐλάσσων πρὸς μείζονα. [Omitted graphic marker] Ἔστω γὰρ πρότερον ὁ λό‐ γος ἴσος πρὸς ἴσον· καὶ ἐπεὶ
10ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΑΔ τοῖς ἀπὸ ΓΔ ΔΒ, κείσθω τῇ ΒΔ ἴση ἡ ΔΕ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΒΑΕ τῷ ἀπὸ ΔΓ. τε‐ τμήσθω δίχα ἡ ΑΒ τῷ Ζ·
15δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. καὶ ἔστιν διπλῆ ἡ ΑΕ τῆς ΖΔ, ὥστε τὸ ὑπὸ ΒΑΕ τὸ δίς ἐστιν ὑπὸ τῶν ΑΒ ΖΔ. καὶ ἔστιν ἡ διπλῆ τῆς ΑΒ δοθεῖσα· τὸ ἄρα ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς
20ΔΓ· τὸ Γ ἄρα ἅπτεται θέσει παραβολῆς ἐρχομένης διὰ τοῦ Ζ. δʹ. Συντεθήσεται δὴ ὁ τόπος οὕτως. ἔστω τὰ δοθέντα Α Β, ὁ δὲ λόγος ἔστω ἴσος πρὸς ἴσον, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα τῷ Ζ, τῆς δὲ ΑΒ διπλῆ ἔστω ἡ Ρ, καὶ θέσει
25οὔσης εὐθείας τῆς ΖΒ πεπερασμένης κατὰ τὸ Ζ, τῆς δὲ Ρ δεδομένης τῷ μεγέθει, γεγράφθω περὶ ἄξονα τὸν ΖΒ παρα‐ βολὴ ἡ ΗΖ, ὥστε, οἷον ἐὰν ἐπ’ αὐτῆς σημεῖον ληφθῇ ὡς
τὸ Γ, κάθετος δὲ ἀχθῇ ἡ ΓΔ, ἴσον εἶναι τὸ ὑπὸ Ρ ΖΔ

7

.

1008

τῷ ἀπὸ ΔΓ, καὶ ἤχθω ὀρθὴ ἡ ΒΗ· λέγω ὅτι τὸ ΓΗ μέρος τῆς παραβολῆς ἐστιν. Ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ ΓΔ, καὶ τῇ ΒΔ ἴση κείσθω ἡ ΔΕ. ἐπεὶ οὖν διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΒΖ, ἡ δὲ ΕΒ
5τῆς ΒΔ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΖΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΑΕ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ ΖΔ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ ΔΓ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΔ ἴσον ὂν τῷ ἀπὸ ΔΒ· ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΔ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΔ ΔΒ· ἡ ΖΓΗ ἄρα γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον.
10 εʹ. Ἔστω δὴ πάλιν τὰ δύο δοθέντα σημεῖα τὰ Α Β, καὶ κατήχθω ὀρθὴ ἡ ΔΓ, λόγος δὲ ἔστω τοῦ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὰ ἀπὸ ΒΔ ΔΓ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως μείζων πρὸς ἐλάσσονα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ἐλάσσων πρὸς μείζονα· λέγω ὅτι τὸ Γ ἅπτεται κώνου τομῆς, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώ‐
15σεως ἐλλείψεως, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολῆς. [Omitted graphic marker] Ἐπεὶ γὰρ λό‐ γος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὰ ἀπὸ ΒΔ ΔΓ, ὁ αὐτὸς
20αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ· ἐπὶ μὲν οὖν τῆς πρώ‐ της πτώσεως ἐ‐
25λάσσων ἐστὶν ἡ ΒΔ τῆς ΔΕ, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων ἐστὶν ἡ ΒΔ τῆς ΔΕ. κεί‐
30σθω τῇ ΕΔ ἴση ἡ ΔΖ. ἐπεὶ λόγος
ἐστὶν τοῦ ἀπὸ ΑΔ

7

.

1010

πρὸς τὰ ἀπὸ ΓΔ ΔΒ, καὶ ἔστιν αὐτῷ ὁ αὐτὸς ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ, καὶ λοιπὸς ἄρα τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ λόγος ἐστὶν δοθείς. ἐπεὶ δὲ λόγος ἐστὶν τῆς ΕΔ πρὸς ΔΒ καὶ τῆς ΖΒ πρὸς ΒΔ, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγο‐
5νέτω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΗ· καὶ ὅλης ἄρα τῆς ΑΖ πρὸς ΔΗ λόγος ἐστὶν δοθείς. πάλιν ἐπεὶ λόγος ἐστὶν τῆς ΕΔ πρὸς ΔΒ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΑΘ πρὸς ΒΘ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΘ ἐστὶν δοθείς [δοθὲν ἄρα τὸ Θ]· καὶ λοιπὸς ἄρα τῆς ΑΕ πρὸς ΘΔ λόγος ἐστὶν δο‐
10θείς· καὶ τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔΗ λόγος ἐστὶ δοθείς. τοῦ δὲ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ λόγος ἐστὶν δοθείς· καὶ τοῦ ὑπὸ ΗΔΘ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ λόγος ἐστὶν δοθείς. καὶ ἔστιν δύο δοθέντα τὰ Θ Η· ἐπὶ μὲν ἄρα τῆς πρώτης πτώσεως τὸ Γ ἅπτεται ἐλλείψεως, ἐπὶ δὲ
15τῆς δευτέρας ὑπερβολῆς. ϛʹ. Συντεθήσεται δὲ ὁ τόπος οὕτως. ἔστω τὰ μὲν δύο δοθέντα σημεῖα τὰ Α Β, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως μείζων πρὸς ἐλάσσονα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ἐλάσσων πρὸς μείζονα,
20καὶ τῇ ΡΤ ἴση κείσθω ἡ ΤΥ, καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΥΣ πρὸς τὴν ΣΤ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, πεποιήσθω δὲ καὶ ὡς ἡ ΡΤ πρὸς τὴν ΤΣ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ, καὶ γεγράφθω περὶ ἄξονα τὸν ΘΗ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἔλλειψις, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολή, ὥστε,
25οἷον ἐὰν ἐπ’ αὐτῆς ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ Γ, καὶ κάθετος ἀχθῇ ἡ ΓΔ, λόγον εἶναι τοῦ ὑπὸ τῶν ΘΔΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ τὸν συνημμένον ἐκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ὁ δοθεὶς λόγος ὅς ἐστιν ὁ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, κατήχθω
30ὀρθὴ ἡ ΒΚ· λέγω ὅτι ἡ ΘΚ ποιεῖ τὸ ἐπίταγμα.

7

.

1012

 Ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ ΓΔ, καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΔ, ὡς δὲ ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΒ, ὥστε ἔσται ὁ μὲν τῆς ΔΗ πρὸς τὴν ΑΖ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΗΒ
5πρὸς τὴν ΒΑ, τουτέστιν τῷ τῆς ΤΣ πρὸς ΣΥ, ὁ δὲ τῆς ΘΔ πρὸς ΑΕ λόγος ὁ αὐτὸς [ἐστὶν] τῷ τῆς ΤΣ πρὸς ΣΡ (τὸ αὐτὸ γὰρ ἐν τῇ ἀναλύσει ἀπεδείχθη), ὥστε τοῦ ὑπὸ ΘΔΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ λόγος συνῆπται ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ· ἀλλ’ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΘΔΗ
10πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ τὸν συνημμένον ἔχει λόγον ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ὁ δο‐ θεὶς λόγος, καὶ ἔστιν ὁ δοθεὶς λόγος ὁ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, καὶ τὸ ὑπὸ ΘΔΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ συνῆπται ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ ΘΔΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ καὶ τὸ ὑπὸ
15ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ, καὶ ἔστιν ὁ τοῦ ὑπὸ τῶν ΘΔΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ συνημμένῳ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ, λοιπὸς ἄρα τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, τουτέστι τῷ τοῦ ἀπὸ ΕΔ πρὸς
20τὸ ἀπὸ ΔΒ. καὶ πάντα πρὸς πάντα· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὰ ἀπὸ ΓΔ ΔΒ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, τουτέστιν ὁ δοθεὶς λόγος, ὥστε τὸ ΘΚ μέρος τῆς τομῆς ποιεῖ τὸν τόπον. ζʹ. Τούτων οὕτως ἐχόντων ἐλευσόμεθα ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς.
25ἔστω θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ δοθὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, καὶ διήχθω ἡ ΔΓ, κάθετος ἡ ΔΕ, λόγος δὲ ἔστω τῆς ΓΔ πρὸς ΔΕ· λέγω ὅτι τὸ Δ ἅπτεται κώνου τομῆς,
καὶ ἐὰν μὲν ὁ λόγος ᾖ ἴσος πρὸς ἴσον, παραβολῆς, ἐὰν δὲ

7

.

1014

ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐλλείψεως, ἐὰν δὲ μείζων πρὸς ἐλάσσονα, ὑπερβολῆς. Ἔστω γὰρ πρότερον ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον, τουτέστιν ἔστω πρότερον ἴση ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ· δεῖξαι ὅτι τὸ Δ ἅπτεται
5παραβολῆς. Ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ (θέσει ἄρα ἐστί), τῇ δὲ ΑΒ παράλληλος ἡ ΔΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΕΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΓ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΕΔ τῇ ΖΗ, τὸ δὲ ἀπὸ ΔΓ ἴσον τοῖς ἀπὸ ΔΗ ΗΓ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΖΗ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΔΗ ΗΓ.
10καὶ ἔστιν θέσει ἡ ΖΓ, καὶ δύο δοθέντα τὰ Ζ Γ· τὸ Δ ἄρα ἅπτεται παραβολῆς· τοῦτο γὰρ προδέδεικται. ηʹ. Συντεθήσεται δὴ οὕτως. ἔστω ἡ τῇ θέσει ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Γ, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ, καὶ θέσει οὔσης τῆς ΓΖ καὶ δύο δοθέντων τῶν Ζ Γ, εὑρήσθω παρα‐
15βολὴ ἡ ΔΘ, ὥστε, οἷον ἐὰν ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ Δ, ἀχθῇ δὲ κάθετος ἡ ΔΗ, ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ ΔΗ ΗΓ· λέγω ὅτι ἡ ΔΘ γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον, τουτέστιν, οἵα τις ἂν διαχθῇ ὡς ἡ ΓΔ καὶ κάθετος ἡ ΔΕ, ἴση ἐστὶν ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ.
20 Ἤχθω κάθετος ἡ ΔΗ· διὰ ἄρα τῆς παραβολῆς ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ ΔΗ ΗΓ. καὶ ἔστιν τῇ μὲν ΖΗ ἴση ἡ ΕΔ, τοῖς δὲ ἀπὸ ΔΗ ΗΓ ἴσον τὸ ἀπὸ ΔΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΕ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ τῇ
ΔΕ· ἡ ἄρα ΔΘ γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον.

7

.

1016

(1n)

Λῆμμα τοῦ ἀναλυομένου.
2 Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ, ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως. ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ καὶ ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν
5αἱ ΑΕΗ ΓΕΖ ΒΕΔ· ὅτι ἡ ΒΔ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΑΓ. Ἐπεὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ, καὶ ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, ὡς ἄρα ἡ ΑΖ πρὸς ΒΖ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ. συν‐ θέντι καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, ἡ ΖΒ πρὸς ΗΓ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ· ὡς ἄρα ἡ ΖΒ
10πρὸς ΗΓ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ· ἴση ἄρα ἡ ΖΒ τῇ ΒΗ. [ὥστε ἐπιζευχθείσης τῆς ΖΗ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΘ τῇ ὑπὸ ΒΗΘ ἐστὶν ἴση. καὶ μείζων ἡ ΖΘ εὐθεῖα τῆς ΘΗ· ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Η τῇ ΑΓ παράλληλον ἀγάγωμεν τὴν ΗΙΚ, ἡ ὑπὸ ΒΘΗ γωνία ταῖς ἀπεναντίον ὑπὸ ΘΗΙ ΘΙΗ ἴση οὖσα μείζων
15ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΗΘΙ, τουτέστι τῆς ὑπὸ ΖΒΘ ὀξείας, ὥστε καὶ λοιπὴν τὴν ὑπὸ ΗΒΘ ἐλάσσονα γίνεσθαι τῆς ὑπὸ ΖΒΘ. δίχα ἡ ΖΗ τῷ Λ· ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Λ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΛΖ ΛΒ ΛΗ γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Δ, καὶ ἔσται ἐν κύκλῳ τὸ ΔΖΒΗ τετράπλευρον (τοῦτο γὰρ
20ἑξῆς). ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΔΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΔΗ, καὶ
ἔστιν ἑκατέρα ἡμίσεια ὀρθῆς (καὶ γὰρ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ

7

.

1018

ΒΗΖ ΒΖΗ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς). καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΖΔΗ· λέγω οὖν ὅτι ἡ ὑπὸ ΑΔΒ ὀρθή ἐστιν. εἰ γὰρ μή, ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ ἐλάσσων ὀρθῆς. ἔστω πρότερον μείζων ὀρ‐ θῆς, καὶ ἔστω ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΔΜ, τῶν ΗΓ ΜΔ ἐκβληθει‐
5σῶν καὶ συμπιπτουσῶν κατὰ τὸ Ν. ἐπεὶ οὖν τὸ ΜΒΔ τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅμοιόν ἐστιν τῷ ΜΒΝ τριγώνῳ ὀρθο‐ γωνίῳ, καὶ ἔστιν ἡμίσεια ὀρθῆς ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΔΖ ΖΔΜ, ὡς ἄρα ἡ ΜΖ πρὸς ΖΒ, ἡ ΜΔ πρὸς ΔΒ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΜΔ πρὸς ΔΒ, ἡ ΒΔ πρὸς ΔΝ, τουτέστιν ἡ ΒΗ πρὸς
10ΗΝ (δίχα γὰρ τέτμηται καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΝ γωνία τῇ ΔΗ)· ὡς ἄρα ἡ ΜΖ πρὸς ΖΒ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΝ. πάλιν ἐπεί, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ ὑπόκειται, ἡ ΜΖ ἄρα πρὸς ΖΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΗ πρὸς ΗΝ, ὅπερ ἀδύνατον· ἐδείχθη γὰρ ὡς ἡ ΜΖ πρὸς ΖΒ, ἡ ΒΗ πρὸς
15ΗΝ· οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΒΔΑ γωνία. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων ἐστὶν ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΑΔΒ, διὰ τοῦ Δ τῇ ΔΒ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγόντες τὴν ΞΔΟ· ἔσται γὰρ πάλιν ὡς ἡ ΞΖ πρὸς ΖΒ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΟ, καὶ δειχθήσεται ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ πολλῷ ἐλάσσονα λόγον ἔχουσα
20ἤπερ ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, ὅπερ ἀδύνατον· ὑπόκειται γὰρ ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ.] Ἔστω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ καὶ ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΖΒ τῇ ΒΗ. Ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, συν‐
25θέντι καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, ἡ ΖΒ πρὸς ΗΓ· ἴση ἄρα ἡ ΖΒ τῇ ΒΗ. Τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ, ὀρθὴ ἡ Β, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ καὶ ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΕΖ ΑΕΗ ΒΕΔ· ὅτι ἡ ΒΔ κάθετός
30ἐστιν ἐπὶ τὴν ΑΓ. Γεγονέτω· ὅμοια ἄρα τὰ ΑΒΔ ΒΔΓ τρίγωνα τῷ ὅλῳ
ΑΒΓ καὶ ἀλλήλοις· ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, τουτέστιν ἡ

7

.

1020

ΑΖ πρὸς ΖΒ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΔΒ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΖΔ, ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΔΒ. διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΓ δίχα τέτμη‐ ται ὑπὸ τῆς ΔΗ· ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΒΔΗ· ὀρθὴ
5ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΔΗ. ὀρθὴ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΗ· ἐν κύκλῳ ἄρα τὸ ΒΖΔΗ τετράπλευρον. καὶ ἔστιν ἡ ὑπὸ ΖΔΒ τῇ ὑπὸ ΒΔΗ ἴση· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΒ τῇ ΒΗ. [ἔστιν δὲ διὰ
τὸ προδειχθέν.]

8

.

1022

(1t)

ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Η.
2nΠεριέχει δὲ μηχανικὰ προβλήματα σύμμικτα ἀνθηρά.
3 Ἡ μηχανικὴ θεωρία, τέκνον Ἑρμόδωρε, πρὸς πολλὰ καὶ μεγάλα τῶ ἐν τῷ βίῳ χρήσιμος ὑπάρχουσα πλείστης
5εἰκότως ἀποδοχῆς ἠξίωται πρὸς τῶν φιλοσόφων καὶ πᾶσι τοῖς ἀπὸ τῶν μαθημάτων περισπούδαστός ἐστιν, ἐπειδὴ σχεδὸν πρώτη τῆς περὶ τὴν ὕλην τῶν ἐν τῷ κόσμῳ στοι‐ χείων φυσιολογίας ἅπτεται. στάσεως γὰρ καὶ φορᾶς σωμά‐ των καὶ τῆς κατὰ τόπον κινήσεως ἐν τοῖς ὅλοις θεωρημα‐
10τικὴ τυγχάνουσα τὰ μὲν κινούμενα κατὰ φύσιν αἰτιολογεῖ, τὰ δ’ ἀναγκάζουσα παρὰ φύσιν ἔξω τῶν οἰκείων τόπων εἰς ἐναντίας κινήσεις μεθίστησιν ἐπιμηχανωμένη διὰ τῶν ἐξ αὐτῆς τῆς ὕλης ὑποπιπτόντων αὐτῇ θεωρημάτων. τῆς δὲ μηχανικῆς τὸ μὲν εἶναι λογικὸν τὸ δὲ χειρουργικὸν οἱ περὶ
15τὸν Ἥρωνα μηχανικοὶ λέγουσιν· καὶ τὸ μὲν λογικὸν συν‐ εστάναι μέρος ἔκ τε γεωμετρίας καὶ ἀριθμητικῆς καὶ ἀστρο‐
νομίας καὶ τῶν φυσικῶν λόγων, τὸ δὲ χειρουργικὸν ἔκ τε

8

.

1024

χαλκευτικῆς καὶ οἰκοδομικῆς καὶ τεκτονικῆς καὶ ζωγραφικῆς καὶ τῆς ἐν τούτοις κατὰ χεῖρα ἀσκήσεως· τὸν μὲν οὖν ἐν ταῖς προειρημέναις ἐπιστήμαις ἐκ παιδὸς γενόμενον κἀν ταῖς προειρημέναις τέχναις ἕξιν εἰληφότα πρὸς δὲ τού‐
5τοις φύσιν εὐκίνητον ἔχοντα, κράτιστον ἔσεσθαι μηχανι‐ κῶν ἔργων εὑρετὴν καὶ ἀρχιτέκτονά φασιν. μὴ δυνατοῦ δ’ ὄντος τὸν αὐτὸν μαθημάτων τε τοσούτων περιγενέ‐ σθαι καὶ μαθεῖν ἅμα τὰς προειρημένας τέχνας παραγγέλ‐ λουσι τῷ τὰ μηχανικὰ ἔργα μεταχειρίζεσθαι βουλομένῳ
10χρῆσθαι ταῖς οἰκείαις τέχναις ὑποχειρίοις ἐν ταῖς παρ’ ἕκαστα χρείαις. Μάλιστα δὲ πάντων ἀναγκαιόταται τέχναι τυγχάνουσιν πρὸς τὴν τοῦ βίου χρείαν [μηχανικὴ προηγουμένη τῆς ἀρχιτεκ‐ τονικῆς] ἥ τε τῶν μαγγαναρίων, μηχανικῶν καὶ αὐτῶν κατὰ
15τοὺς ἀρχαίους λεγομένων (μεγάλα γὰρ οὗτοι βάρη διὰ μηχα‐ νῶν παρὰ φύσιν εἰς ὕψος ἀνάγουσιν ἐλάττονι δυνάμει κι‐ νοῦντες), καὶ ἡ τῶν ὀργανοποιῶν τῶν πρὸς τὸν πόλεμον ἀναγκαίων, καλουμένων δὲ καὶ αὐτῶν μηχανικῶν (βέλη γὰρ καὶ λίθινα καὶ σιδηρᾶ καὶ τὰ παραπλήσια τούτοις ἐξαπο‐
20στέλλεται εἰς μακρὸν ὁδοῦ μῆκος τοῖς ὑπ’ αὐτῶν γινομένοις ὀργάνοις καταπαλτικοῖς), πρὸς δὲ ταύταις ἡ τῶν ἰδίως πάλιν καλουμένων μηχανοποιῶν (ἐκ βάθους γὰρ πολλοῦ ὕδωρ εὐκολώτερον ἀνάγεται διὰ τῶν ἀντληματικῶν ὀργά‐ νων ὧν αὐτοὶ κατασκευάζουσιν). καλοῦσι δὲ μηχανικοὺς
25οἱ παλαιοὶ καὶ τοὺς θαυμασιουργοὺς, ὧν οἱ μὲν διὰ πνευ‐ μάτων φιλοτεχνοῦσιν, ὡς Ἥρων πνευματικοῖς, οἱ δὲ διὰ νευ‐ ρίων καὶ σπάρτων ἐμψύχων κινήσεις δοκοῦσι μιμεῖσθαι, ὡς Ἥρων αὐτομάτοις καὶ ζυγίοις, ἄλλοι δὲ διὰ τῶν ἐφ’ ὕδατος
ὀχουμένων, ὡς Ἀρχιμήδης ὀχουμένοις, ἢ τῶν δι’ ὕδατος ὡρο‐

8

.

1026

λογίων, ὡς Ἥρων ὑδρείοις, ἃ δὴ καὶ τῇ γνωμονικῇ θεωρίᾳ κοι‐ νωνοῦντα φαίνεται. μηχανικοὺς δὲ καλοῦσιν καὶ τοὺς τὰς σφαιροποιΐας [ποιεῖν] ἐπισταμένους, ὑφ’ ὧν εἰκὼν τοῦ οὐρα‐ νοῦ κατασκευάζεται δι’ ὁμαλῆς καὶ ἐγκυκλίου κινήσεως ὕδατος.
5 Πάντων δὲ τούτων τὴν αἰτίαν καὶ τὸν λόγον ἐπεγνω‐ κέναι φασίν τινες τὸν Συρακόσιον Ἀρχιμήδη· μόνος γὰρ οὗτος ἐν τῷ καθ’ ἡμᾶς βίῳ ποικίλῃ πρὸς πάντα κέχρηται τῇ φύσει καὶ τῇ ἐπινοίᾳ, καθὼς καὶ Γεμῖνος ὁ μαθημα‐ τικὸς ἐν τῷ περὶ τῆς τῶν μαθημάτων τάξεώς φησιν. Κάρ‐
10πος δὲ πού φησιν ὁ Ἀντιοχεὺς Ἀρχιμήδη τὸν Συρακόσιον ἓν μόνον βιβλίον συντεταχέναι μηχανικὸν τὸ κατὰ τὴν σφαι‐ ροποιΐαν, τῶν δὲ ἄλλων οὐδὲν ἠξιωκέναι συντάξαι. καίτοι παρὰ τοῖς πολλοῖς ἐπὶ μηχανικῇ δοξασθεὶς καὶ μεγαλο‐ φυής τις γενόμενος ὁ θαυμαστὸς ἐκεῖνος, ὥστε διαμεῖναι
15παρὰ πᾶσιν ἀνθρώποις ὑπερβαλλόντως ὑμνούμενος, τῶν τε προηγουμένων γεωμετρικῆς καὶ ἀριθμητικῆς ἐχομένων θεωρίας [καὶ] τὰ βραχύτατα δοκοῦντα εἶναι σπουδαίως συνέγραφεν· ὃς φαίνεται τὰς εἰρημένας ἐπιστήμας οὕτως ἀγαπήσας ὡς μηδὲν ἔξωθεν ὑπομένειν αὐταῖς ἐπεισάγειν.
20αὐτὸς δὲ Κάρπος καὶ ἄλλοι τινὲς συνεχρήσαντο γεωμετρίᾳ καὶ εἰς τέχνας τινὰς εὐλόγως· γεωμετρία γὰρ οὐδὲν βλάπτε‐ ται, σωματοποιεῖν πεφυκυῖα πολλὰς τέχνας, διὰ τοῦ συν‐ εῖναι αὐταῖς [μήτηρ οὖν ὥσπερ οὖσα τεχνῶν οὐ βλάπτεται διὰ τοῦ φροντίζειν ὀργανικῆς καὶ ἀρχιτεκτονικῆς· οὐδὲ γὰρ
25διὰ τὸ συνεῖναι γεωμορίᾳ καὶ γνωμονικῇ καὶ μηχανικῇ καὶ

8

.

1028

σκηνογραφίᾳ βλάπτεταί τι], τοὐναντίον δὲ προάγουσα μὲν ταύτας φαίνεται, τιμωμένη δὲ καὶ κοσμουμένη δεόντως ὑπ’ αὐτῶν. Τοιαύτης δὲ τῆς μηχανικῆς ἐπιστήμης ὁμοῦ καὶ τέχνης
5ὑπαρχούσης καὶ εἰς τοσαῦτα μέρη διῃρημένης καλῶς ἔχειν ἐνόμισα τά τε λόγῳ γεωμετρικῷ θεωρούμενα [καὶ ἀναγκαιό‐ τατα περὶ τὴν τῶν βαρῶν κίνησιν κείμενα δὲ] παρὰ τοῖς παλαιοῖς καὶ τὰ ὑφ’ ἡμῶν εὐχρήστως ἀνευρημένα θεωρή‐ ματα συντομώτερον καὶ σαφέστερον ἀναγράψαι βελτίονί τε
10λόγῳ τοῦ παρὰ τοῖς πρότερον ἀναγεγραμμένου συντάξαι, οἷον βάρους δοθέντος ὑπὸ δοθείσης [ὑποδοχῆς] ἀγομένου δυνάμεως ἐν τῷ παρὰ τὸν ὁρίζοντα ἐπιπέδῳ, καὶ ἑτέρου ἐπιπέδου κεκλιμένου πρὸς τὸ ὑποκείμενον δοθεῖσαν γωνίαν ὑποτιθέντος, εὑρεῖν τὴν δύναμιν ὑφ’ ὅσης ἀχθήσεται τὸ
15βάρος ἐν τῷ κεκλιμένῳ ἐπιπέδῳ (τοῦτο δὲ χρήσιμον τοῖς μηχανικοῖς μαγγαναρίοις· προσθέντες γὰρ τῇ εὑρεθείσῃ δυνάμει ἑτέραν τινὰ δύναμιν ἀνδρῶν θαρσοῦντες ἀνάγουσιν τὸ βάρος), καὶ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ (διὰ γὰρ τοῦ θεωρή‐
20ματος τούτου πᾶν τὸ δοθὲν στερεὸν σχῆμα κατὰ τὸν δο‐ θέντα λόγον αὔξεταί τε καὶ μειοῦται), καὶ πῶς δυνατόν ἐστι τυμπάνου δοθέντος καὶ τοῦ πλήθους τῶν σκυταλῶν αὐτοῦ [δοθέντων ἢ ὀδόντων] παραθεῖναι αὐτῷ τύμπανον δοθὲν ἔχον τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων καὶ εὑρεῖν τὴν διάμε‐
25τρον τοῦ παρατιθεμένου τυμπάνου (τοῦτο γὰρ χρήσιμον εἰς πολλὰ καὶ τῇ τῶν μηχανοποιῶν τέχνῃ διὰ τὴν παράθεσιν τῶν σκυταλωτῶν τυμπάνων). ἕκαστον δὲ τούτων ἐν τῷ οἰ‐ κείῳ τόπῳ γενήσεται φανερὸν μετὰ καὶ ἄλλων χρησίμων ἀρχιτέκτονι καὶ μηχανικῷ, ἐὰν πρότερον τὰ συνέχοντα τὴν
30κεντροβαρικὴν πραγματείαν εἴπωμεν ἑξῆς.

8

.

1030

 Τί μὲν οὖν ἐστιν τὸ βαρὺ καὶ τὸ κοῦφον, καὶ τίς αἰ‐ τία τῆς ἄνω καὶ κάτω τοῖς σώμασι φορᾶς, καὶ αὐτό γε τὸ ἄνω καὶ κάτω τίνος ἐννοίας ἔχεται καὶ τίσιν ἀφώρισται πέρασιν, οὐδὲν δεῖ λέγεσθαι παρ’ ἡμῶν τὸ νῦν, ἐπειδὴ
5περὶ τούτων ἐν τοῖς μαθηματικοῖς ὑπὸ τοῦ Πτολεμαίου δεδήλωται, τὸ δὲ κέντρον τοῦ βάρους ἐκάστου σώματος, ὃ τῆς κεντροβαρικῆς πραγματείας ἀρχὴ καὶ στοιχεῖόν ἐστιν, ἐξ ἧς καὶ τὰ λοιπὰ μέρη τῆς μηχανικῆς ἀνήρτηται, τί ποτ’ ἐστὶν καὶ τί βούλεται λεκτέον· ἐκ τούτου γάρ, οἶμαι, καὶ
10τὰ λοιπὰ τῶν ἐν τῇ πραγματείᾳ θεωρουμένων ἔσται σαφῆ. λέγομεν δὲ κέντρον βάρους ἑκάστου σώματος εἶναι σημεῖόν τι κείμενον ἐντός, ἀφ’ οὗ κατ’ ἐπίνοιαν ἀρτηθὲν τὸ βάρος ἠρεμεῖ φερόμενον καὶ φυλάσσει τὴν ἐξ ἀρχῆς θέσιν [οὐ μὴ περιτρεπόμενον ἐν τῇ φορᾷ]. τοῦτο δὲ τὸ σημεῖον οὐ
15μόνον ἐν τοῖς τεταγμένοις ἀλλὰ κἀν τοῖς ἀτάκτως ἐσχη‐ ματισμένοις εὑρίσκεται σώμασιν ὑπάρχον, ἐφόδῳ τινὶ θεω‐ ρούμενον τοιαύτῃ. αʹ. Ὑποκείσθω γὰρ ἐπίπεδον ὀρθὸν τὸ ΑΒΓΔ νεῦον εἰς τὸ τοῦ παντὸς κέντρον, ἐφ’ ὃ καὶ τὰ βάρος ἔχοντα πάντα
20τὴν ῥοπὴν ἔχειν δοκεῖ, καὶ ἔστω ἡ ΑΒ εὐθεῖα παράλληλος τῷ ἐφ’ οὗ βεβήκαμεν ἐπιπέδῳ. ἐὰν δή τι τῶν βάρος ἐχόν‐ των σωμάτων τιθῆται κατὰ τῆς ΑΒ εὐθείας οὕτως, ὥστε τετμῆσθαι πάντως ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου ἐκβαλλομένου, ἕξει ποτὲ θέσιν τοιαύτην, ὥστε μένειν ἀπερίτρεπτον καὶ μὴ
25ἀποπίπτειν. γενομένου δὲ τούτου ἐὰν νοηθῇ τὸ ΑΒΓΔ ἐπί‐ πεδον ἐκβαλλόμενον, τεμεῖ τὸ ἐπικείμενον σῶμα εἰς ἰσόρ‐ ροπα δύο μέρη, οἷον περὶ ἄρτημα τὸ ἐπίπεδον ἰσορρο‐ ποῦντα. πάλιν δὴ τὸ βάρος μετατεθέν, ὥστε καθ’ ἕτερον μέρος ψαύειν τῆς ΑΒ εὐθείας, ἕξει ποτὲ θέσιν περιτρεπό‐
30μενον ὥστε μένειν ἀφεθὲν καὶ μὴ ἀποπίπτειν. ἐὰν οὖν
πάλιν νοηθῇ τὸ ΑΒΓΔ ἐπίπεδον ἐκβεβλημένον, εἰς ἰσορρο‐

8

.

1032

ποῦντα μέρη τεμεῖ τὸ βάρος καὶ συμπεσεῖται τῷ πρότερον εἰς ἰσόρροπα τέμνοντι τὸ αὐτὸ βάρος ἐπιπέδῳ· εἰ γὰρ μὴ τεμεῖ, τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἰσόρροπα καὶ ἀνισόρροπα γενή‐ σεται ἀλλήλοις, ὅπερ ἄτοπον.
5 βʹ. Τούτων δὴ προειρημένων νοείσθω πάλιν εὐθεῖα ἡ ΑΒ ὀρθὴ πρὸς τὸ ἐφ’ οὗ βεβήκαμεν ἐπίπεδον, εἰς τὸ τοῦ παντὸς κέντρον δηλονότι νεύουσα, καὶ τὸ βάρος ὁμοίως ἐπὶ τοῦ Α σημείου τιθέσθω, οἷον ὑποθέματι τῇ ΑΒ εὐθείᾳ χρώμενον [στήσεται δήποτε κατὰ τοῦ Α σημείου ὥστε μέ‐
10νειν, εἴ γε δὴ καὶ ἐπὶ τοῦ δι’ αὐτῆς ἐπιπέδου τὸ βάρος ἠρεμεῖν ἐδύνατο]. ἐὰν δὴ μένοντος αὐτοῦ ἐκβληθῇ ἡ ΑΒ εὐθεῖα, ἐναποληφθήσεταί τι μέρος αὐτῆς. ἐν τῷ ὑποκει‐ μένῳ σχήματι. νοείσθω δὴ τοῦτο μένον, καὶ πάλιν καθ’ ἕτερον μέρος ἐπικείσθω τῇ εὐθείᾳ τὸ βάρος ὥστε ἠρεμεῖν·
15λέγω δὴ ὅτι ἐκβληθεῖσα ἡ ΑΒ εὐθεῖα συμπεσεῖται τῇ πρό‐ τερον ἐναπειλημμένῃ. εἰ γὰρ μὴ συμπεσεῖται, δυνήσεταί τινα δι’ ἀμφοτέρων αὐτῶν ἐκβληθέντα ἐπίπεδα μὴ συμ‐ πεσεῖν ἀλλήλοις ἐντὸς τοῦ σχήματος, καὶ ἑκάτερον αὐτῶν [ἐφαρμοζόμενον τῷ διὰ τῆς ΑΒ ἐπιπέδῳ] διελεῖν τὸ βάρος
20εἰς ἰσόρροπα καὶ ἀνισόρροπα τὰ αὐτὰ μέρη, ὅπερ ἄτοπον· συμπεσοῦνται ἄρα αἱ εἰρημέναι εὐθεῖαι ἐντὸς τοῦ σχήμα‐ τος. ὁμοίως δὲ κἂν κατ’ ἄλλας θέσεις τιθῆται τὸ βάρος ἐπὶ τοῦ Α σημείου ὥστε μένειν, ἐκβληθεῖσα ἡ ΑΒ συμπε‐ σεῖται ταῖς πρότερον ἐναπειλημμέναις [ὁμοίως] εὐθείαις.
25ἐξ οὗ φανερὸν ὡς καθ’ ἓν σημεῖον ἀλλήλας τεμοῦσιν αἱ τὸν εἰρημένον τρόπον ἐπινοούμεναι εὐθεῖαι· τὸ δὲ σημεῖον τοῦτο κέντρον τοῦ βάρους καλεῖται. καὶ φανερὸν ὅτι ἐκ τοῦ κέντρου κατ’ ἐπίνοιαν τὸ βάρος ἀρτώμενον οὐ περι‐ τραπήσεται, μενεῖ δὲ τὴν ἐξ ἀρχῆς φυλάσσον ἡντινοῦν θέ‐
30σιν ἐν τῇ φορᾷ· πάντα γὰρ δι’ αὐτοῦ ἐκβληθέντα ἐπίπεδα εἰς ἰσόρροπα μέρη διαιρεῖ τὸ βάρος, ὥστε μηδεμίαν αἰτίαν ἐπιδέχεσθαι περιτροπῆς [ἰσορρόπων αὐτοῦ κατὰ πᾶσαν θέ‐
σιν τῶν ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ σημείου γινομένων μερῶν].

8

.

1034

 Τὸ μὲν οὖν μάλιστα συνέχον τὴν κεντροβαρικὴν πραγ‐ ματείαν τοῦτ’ ἂν εἴη, μάθοις δ’ ἂν τὰ μὲν στοιχειώδη ὄντα διὰ ταύτης δεικνύμενα τοῖς Ἀρχιμήδους περὶ ἰσορ‐ ροπιῶν ἐντυχὼν καὶ τοῖς Ἥρωνος μηχανικοῖς, ὅσα δὲ
5μὴ γνώριμα τοῖς πολλοῖς γράψομεν ἐφεξῆς, οἷον τὰ τοι‐ αῦτα. γʹ. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ αἱ πλευραὶ αὐτοῦ εἰς τὸν αὐτὸν λόγον τεμνέσθωσαν τοῖς Η Θ Κ σημείοις, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΗ πρὸς ΗΒ, τὴν ΒΘ πρὸς ΘΓ καὶ τὴν ΓΚ
10πρὸς ΚΑ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΘ ΘΚ ΚΗ· ὅτι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου καὶ τοῦ ΗΘΚ τὸ αὐτὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐστίν. Τετμήσθωσαν γὰρ αἱ ΒΓ ΓΑ δίχα τοῖς Δ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ ΒΕ· τὸ Ζ ἄρα κέντρον βάρους ἐστὶν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἐὰν γὰρ τὸ τρίγωνον ἐπί τινος ὀρθοῦ
15ἐπιπέδου ἐπισταθῇ κατὰ τὴν ΑΔ εὐθεῖαν, ἐπ’ οὐδέτερον μέρος ῥέψει τὸ τρίγωνον διὰ τὸ ἴσον εἶναι τὸ ΑΒΔ τρί‐ γωνον τῷ ΑΓΔ τριγώνῳ. ἐπισταθὲν δὲ ὁμοίως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κατὰ τὴν ΒΕ ἐπὶ τοῦ ὀρθοῦ ἐπιπέδου ἐπ’ οὐ‐ δέτερον μέρος ῥέψει διὰ τὸ ἴσα εἶναι τὰ ΑΒΕ ΒΓΕ τρί‐
20γωνα. εἰ δὲ ἐφ’ ἑκατέρας τῶν ΑΔ ΒΕ ἰσορροπεῖ τὸ τρίγωνον, τὸ ἄρα κοινὸν αὐτῶν σημεῖον τὸ Ζ κέντρον ἔσται τοῦ βάρους. [νοεῖν δὲ δεῖ τὸ Ζ, ὡς προείρηται, κείμενον ἐν μέσῳ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἰσοπαχοῦς τε καὶ ἰσοβαροῦς δη‐
λονότι ὑποκειμένου.] καὶ φανερὸν ὅτι διπλασία ἐστὶν ἡ

8

.

1036

μὲν ΑΖ τῆς ΖΔ, ἡ δὲ ΒΖ τῆς ΖΕ, καὶ ὅτι ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΔΕ καὶ ἡ ΒΖ πρὸς ΖΕ καὶ ἡ ΑΖ πρὸς ΖΔ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι καὶ τὰ ΔΖΕ ΑΒΖ τρίγωνα καὶ τὰ ΓΔΕ ΑΒΓ. ἐπιζευχθεῖσα οὖν ἡ ΔΕ τεμνέτω τὴν ΘΚ κατὰ τὸ
5Λ. ἐπεὶ οὖν ὁ τῆς ΒΘ πρὸς ΘΓ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΘΒ πρὸς ΔΘ καὶ τοῦ τῆς ΔΘ πρὸς ΘΓ, καὶ ἔστιν συνθέντι ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΘ, ἡ ΓΑ πρὸς ΑΚ, καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ ἡμίση ὡς ΓΔ πρὸς ΓΘ, ἡ ΕΑ πρὸς ΑΚ, καὶ ἀναστρέψαντι ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΘ, ἡ ΑΕ πρὸς ΕΚ, ἴση
10δὲ ἡ μὲν ΓΔ τῇ ΒΔ, ἡ δὲ ΑΕ τῇ ΓΕ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς ΔΘ, ἡ ΓΕ πρὸς ΕΚ· συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΒΘ πρὸς ΘΔ, ἡ ΓΚ πρὸς ΚΕ· σύγκειται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΑΗ πρὸς ΗΒ λόγος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΚ πρὸς ΚΕ καὶ τοῦ τῆς ΔΘ [Omitted graphic marker]πρὸς ΘΓ. σύγκειται δ’ ἐκ
15τῶν αὐτῶν καὶ ὁ τῆς ΔΛ πρὸς ΛΕ [καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΛ τῇ ΛΚ], ὡς δειχθή‐ σεται· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΒ, ἡ ΔΛ
20πρὸς ΛΕ. καὶ εἰσὶν παρ‐ άλληλοι αἱ ΑΒ ΔΕ, καὶ ἐπεζευγμέναι αἱ ΑΔ ΒΕ τέμνουσιν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ζ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν
25ἡ διὰ τῶν Η Ζ Λ· καὶ
τοῦτο γὰρ ἑξῆς [εἰ μικρόν ἐστιν]. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΖ

8

.

1038

πρὸς ΖΕ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς ΖΛ, διπλῆ δὲ ἡ ΒΖ τῆς ΖΕ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΗΖ τῆς ΖΛ. τριγώνου δὴ τοῦ ΗΘΚ διχοτομία ἡ ΗΛ, καὶ διπλῆ ἡ ΗΖ τῆς ΖΛ· τὸ Ζ ἄρα κέν‐ τρον βάρους ἐστὶν τοῦ ΗΘΚ τριγώνου. ἦν δὲ καὶ τοῦ ΑΒΓ.
5 δʹ. Τὸ δὲ ὑπερτεθὲν νῦν δειχθήσεται. ἔστω γὰρ ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΘ, ἡ ΓΕ πρὸς ΕΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΕ ΘΚ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Λ· ὅτι ἴση μέν ἐστιν ἡ ΘΛ τῇ ΚΛ, ὁ δὲ τῆς ΔΛ πρὸς ΛΕ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΔΘ πρὸς ΘΓ καὶ τοῦ τῆς ΓΚ πρὸς ΚΕ.
10 Ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ ΘΚ παράλληλος ἡ ΓΖ καὶ συμ‐ πιπτέτω τῇ ΔΕ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Ζ. ἐπεὶ οὖν δύο εὐ‐ θεῖαί εἰσιν αἱ ΔΛ ΛΕ, καὶ ἔξωθεν ἡ ΖΛ, ὁ ἄρα τῆς ΔΛ πρὸς ΛΕ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΔΛ πρὸς ΛΖ καὶ τοῦ τῆς ΛΖ πρὸς ΕΛ. ἀλλὰ τῷ μὲν τῆς ΔΛ πρὸς ΛΖ
15λόγῳ ὁ αὐτός ἐστιν ὁ τῆς ΔΘ πρὸς ΘΓ διὰ τὸ παράλλη‐ λον εἶναι τὴν ΓΖ τῇ ΚΘ, τῷ δὲ τῆς ΖΛ πρὸς ΛΕ λόγῳ ὁ αὐτός ἐστιν ὁ τῆς ΓΚ πρὸς ΚΕ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι τὰ ΓΕΖ ΕΚΛ τρίγωνα· καὶ ὁ τῆς ΔΛ ἄρα πρὸς τὴν ΛΕ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΔΘ πρὸς ΘΓ καὶ ἐκ τοῦ
20τῆς ΓΚ πρὸς ΚΕ. κατὰ ταὐτὰ δὴ δειχθήσεται ὅτι καὶ ὁ τῆς ΚΛ πρὸς ΛΘ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΕ πρὸς ΕΓ καὶ τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΘ, παραλλήλου ἀχθείσης τῇ ΕΔ διὰ τοῦ Γ τῆς ΓΜ καὶ συμπιπτούσης τῇ ΚΘ ἐκβλη‐ θείσῃ κατὰ τὸ Μ. ἐπεὶ γὰρ πάλιν δύο εὐθεῖαί εἰσιν αἱ
25ΚΛ ΛΘ ἔξωθεν τῆς ΛΜ λαμβανομένης, ὁ ἄρα τῆς ΚΛ
πρὸς ΛΘ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΛ πρὸς ΛΜ καὶ τοῦ

8

.

1040

τῆς ΛΜ πρὸς ΛΘ. ἀλλ’ ὁ μὲν τῆς ΚΛ πρὸς ΛΜ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΕ πρὸς ΕΓ διὰ τὸ παράλληλον εἶναι πάλιν τὴν ΕΔ τῇ ΓΜ, ὁ δὲ τῆς ΛΜ πρὸς ΛΘ λό‐ γος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΘ διὰ τὸ ἰσογώνια
5εἶναι τὰ ΔΘΛ ΓΘΜ τρίγωνα· ὁ ἄρα τῆς ΚΛ πρὸς ΛΘ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συγκειμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΕ πρὸς ΕΓ, τουτέστιν τοῦ τῆς ΔΘ πρὸς ΔΓ, καὶ τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς τὴν ΔΘ λόγου, ὃς τὸν τῆς ἰσότητος λόγον ποιεῖ· καὶ ὁ τῆς ΚΛ ἄρα πρὸς τὴν ΛΘ λόγος τῆς ἰσότητός ἐστιν·
10ἴση ἄρα ἡ ΚΛ τῇ ΛΘ. εʹ. Τὸ λοιπὸν τῶν ὑπερτεθέντων. ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ, ἡ ΓΘ πρὸς ΘΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ ΒΔ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον· ὅτι ἡ διὰ τῶν Ζ Ε Θ εὐθεῖά ἐστιν.
15 Εἰ γὰρ μή, ἔστω ἡ διὰ τῶν Ζ Ε Η. ἐπεὶ οὖν ἐστιν [Omitted graphic marker]ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΓΗ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ, ὡς δὲ ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς ΗΔ, ὡς ἄρα ἡ ΑΖ πρὸς ΓΗ,
20οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς ΗΔ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΘ πρὸς ΘΔ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΔ, ὅπερ ἀδύνατον· ἡ ἄρα διὰ τῶν
25Ζ Ε Θ σημείων εὐθεῖά ἐστιν. ϛʹ. Παραλληλογράμμου δοθέντος ὀρθογωνίου τοῦ ΑΓ, διαγαγεῖν τὴν ΓΔ ὥστε τοῦ ΑΒΓΔ τραπεζίου ἀρτηθέντος ἀπὸ τοῦ Δ τὰς ΑΔ ΒΓ παραλλήλους εἶναι τῷ ὁρίζοντι. Γεγονέτω· ἡ ἄρα διὰ τοῦ Δ καὶ τοῦ κέντρου τοῦ βά‐
30ρους τοῦ τραπεζίου ἀγομένη εὐθεῖα κάθετος ἔσται ἐπὶ τὸν ὁρίζοντα καὶ ἐπὶ τὴν ΒΓ. ἔστω ἡ ΔΛ, καὶ τε‐
τμήσθω δίχα ἡ ΔΛ κατὰ τὸ Ε, καὶ ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Ζ,

8

.

1042

ἐπεζεύχθω δὲ ἡ ΓΕΖ, καὶ τετμήσθω ἡ ΓΕ κατὰ τὸ Θ ὥστε διπλῆν εἶναι τὴν ΓΘ τῆς ΘΕ, καὶ ἡ ΕΖ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ τέμνουσα τὴν ΔΛ κατὰ τὸ Κ· τὸ μὲν ἄρα Η κέντρον βάρους ἐστὶν τοῦ ΒΔ παραλληλο‐
5γράμμου, τὸ δὲ Θ κέντρον βάρους τοῦ ΓΔΛ τριγώνου· τοῦ ἄρα ὅλου τραπεζίου τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐπὶ τῆς ΗΘ ἐστίν. ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τῆς ΔΛ· τὸ Κ ἄρα κέντρον βά‐ ρους ἐστὶν τοῦ ΑΒΓΔ τραπεζίου. ἀλλὰ καὶ τοῦ μὲν ΒΔ παραλληλογράμμου τὸ Η, τοῦ δὲ ΔΛΓ τριγώνου τὸ Θ·
10ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΒΔ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΔΓΛ τρίγωνον, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΗ. ἐὰν γὰρ ἀνὰ πεῖραν ἐπινοήσωμεν τοῦ μὲν ΒΔ παραλληλογράμμου [οὕτως ἔχον] τὸ βάρος ἐν ἑαυτῷ πᾶν συνῆχθαι πρὸς τῷ Η, τοὺ δὲ ΓΔΛ τριγώνου πᾶν τὸ βάρος ἐν τῷ Θ συνῆχθαι, γίνεται ὥσπερ
15ζυγὸς ἡ ΗΘ, ἐκ δὲ τῶν ἄκρων τὰ εἰρημένα βάρη. καὶ ἐὰν τμηθῇ. ἡ ΗΘ κατὰ τὸ Κ, ὥστε εἶναι ὡς τὸ πρὸς τῷ Η βάρος πρὸς τὸ πρὸς τῷ Θ, τουτέστιν τὸ ΒΔ παραλληλό‐ γραμμον πρὸς τὸ ΓΔΛ τρίγωνον, οὕτως τὴν ΘΚ εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΚΗ κατὰ τὸν ἀντιπεπονθότα τῶν βαρῶν ἐν τοῖς
20ζυγοῖς λόγον, ἔσται τὸ Κ σημεῖον ἐξ οὗ τὰ βάρη ἰσορρο‐ πήσει [ὥστε καὶ τὸ ΑΒΓΔ ἐκ τοῦ Κ ἰσορροπήσει]. ἤχθω‐ σαν δὴ κάθετοι ἀπὸ τῶν Η Θ ἐπὶ τὴν ΒΓ αἱ ΗΜ ΘΝ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ΒΔ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΔΛ τρίγωνον, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΗ, ἀλλ’ ὡς τὸ παρ‐
25αλληλόγραμμον πρὸς τὸ τρίγωνον, οὕτως ἡ ΒΛ πρὸς τὴν
ἡμίσειαν τῆς ΛΓ, ὡς δὲ ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΚΗ, οὕτως ἡ ΝΛ

8

.

1044

πρὸς τὴν ΛΜ διὰ τὸ εἰς παραλλήλους τὰς ΗΜ ΕΛ ΘΝ διῆχθαι τὰς ΗΚΘ ΜΛΝ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΛ πρὸς τὴν ἡμί‐ σειαν τῆς ΛΓ, οὕτως ἡ ΝΛ πρὸς τὴν ΛΜ ἡμίσειαν οὖσαν τῆς ΒΛ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΛ πρὸς τὴν διπλασίαν, τουτέστιν
5πρὸς τὴν ΛΓ, οὕτως ἡ ΛΝ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΜΛ, τουτέστιν τὴν ΒΛ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΓΛΝ. [ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ ΓΛ πρὸς ΛΒ, ἡ ΒΛ πρὸς ΛΝ.] ὡς δὲ ἡ ΓΛ πρὸς ΛΝ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΛ τε‐ τράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τὴς ΒΛ τετράγωνον. καὶ τριπλῆ
10ἐστιν ἡ ΓΛ τῆς ΛΝ (ἐπεὶ καὶ ἡ ΓΕ τριπλῆ ἐστιν τῆς ΕΘ· διπλῆ γὰρ ἡ ΓΘ τῆς ΕΘ)· τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΛ τοῦ ἀπὸ ΛΒ. καὶ δοθέντα τὰ Β Γ· δοθὲν ἄρα τὸ Λ, ὥστε καὶ τὸ Δ. διὸ δὴ τὴν ΒΓ τεμόντες κατὰ τὸ Λ, ὥστε τὸ ἀπὸ ΓΛ τοῦ ἀπὸ ΛΒ εἶναι τριπλάσιον, ἕξομεν τὸ Δ
15τῆς ἀρτήσεως σημεῖον. τέμνεται δὲ ἡ ΒΓ οὕτως. ζʹ. Εὐθεῖαν τεμεῖν ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάττονος εἶναι δυνάμει τριπλασίαν. Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΔ καὶ τετμήσθω τῷ Γ, ὥστε τὴν ΑΓ τῆς ΓΔ εἶναι τριπλῆν, καὶ ἐπὶ τῆς ΑΔ γεγράφθω ἡμικύ‐
20κλιον τὸ ΑΒΔ, καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΔ ἀπὸ τοῦ Γ ἡ ΓΒ, καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΔΕ· ὅτι ἡ ΑΕ τῆς ΔΕ δυνάμει τριπλασία ἐστίν. Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΓ τῶν ΑΓ ΓΔ μέση ἀνάλογόν ἐστιν, ὡς ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ,
25τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ· τριπλασία ἄρα ἡ ΑΕ τῆς ΔΕ δυνάμει. Ὁμοίως καὶ εἰς τὸν δοθέντα λόγον δυνάμει τμηθήσεται
ἡ ΑΔ εὐθεῖα καὶ πᾶσα ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα.

8

.

1046

 ηʹ. Θέσει αἱ ΑΒ ΑΓ, καὶ δοθὲν τὸ Β, καὶ διήχθω ἡ ΓΔ ἀποτέμνουσα δοθέντα λόγον τὸν τῆς ΑΓ πρὸς ΒΔ· δεῖξαι ὅτι τοῦ ΑΓΔ τριγώνου τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶ πρὸς θέσει.
5 Τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα τῷ Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΕ τετμήσθω κατὰ τὸ Ζ, ὥστε τὴν ΕΖ τρίτον μέρος εἶναι τῆς [Omitted graphic marker]ΕΔ· τὸ Ζ ἄρα κέντρον βάρους ἐστὶν τοῦ ΑΓΔ τριγώνου (τοῦτο γὰρ προ‐ δέδεικται). ἤχθω δὴ τῇ ΑΕ παράλ‐
10ληλος ἡ ΖΗ, καὶ τῆς ΑΒ τρίτον μέρος ἔστω ἡ ΑΘ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΗ τρίτον μέρος τῆς ΑΔ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΕΖ τῆς ΕΔ· καὶ λοιπὸν οὖν ἡ ΘΗ τρίτον μέρος ἐστὶν τῆς ΒΔ.
15λόγος δὲ τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΑΓ δο‐ θείς [τῆς δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ΖΗ· τριπλασία γὰρ αὐτῆς ἐστιν, ὅτι καὶ ἡ μὲν ΔΑ τῆς ΔΗ ἡμιολία ἐστίν, τουτέστιν ἡ ΑΕ τῆς ΖΗ, ἡ δὲ ΓΑ
20τῆς ΑΕ διπλῆ]· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΗΘ πρὸς τῆν ΗΖ δοθείς. καὶ δο‐ θεῖσα ἡ πρὸς τῷ Η γωνία (καὶ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Α)· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΗΘΖ γωνία. καὶ δοθὲν τὸ Θ· θέσει ἄρα ἡ ΘΖ εὐθεῖα, καὶ ἔστιν ἐπ’ αὐτῆς
25τὸ Ζ κέντρον. Ταῦτα μὲν οὖν καὶ τὰ τοιαῦτα θεωρίαν ἔχει, τὰ δὲ
καὶ εἰς χρείαν δυνάμενα πεσεῖν μηχανικὴν τοιαῦτ’ ἂν εἴη.

8

.

1048

 θʹ. Ἐπίπεδον ἐκκλῖναι, ὥστε τὸ κλίμα αὐτοῦ ἐφ’ ἓν νεύειν σημεῖον δοθέντος ἀκλινοῦς ἐπιπέδου, τουτέστιν παρ‐ αλλήλου τῷ ὁρίζοντι, ἐν παραλληλογράμμῳ, τὸ δὲ κλίμα ἔστω ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ.
5 Ἔστω τὸ δοθὲν παραλληλόγραμμον πρότερον ἰσόπλευ‐ ρον τὸ ΑΒΓΔ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία, ἐν ᾗ βουλόμεθα ἐκ‐[Omitted graphic marker] κλῖναι τὸ ἐπίπεδον, ἡ ὑπὸ ΕΖΗ, ἀπὸ δὲ τῶν Α Β Δ σημείων τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτωσαν αἱ ΑΘ ΒΚ ΔΛ, τὸ δὲ Γ σημεῖον ἔστω ὅπου βουλόμεθα
10τὴν κλίσιν νεύειν, καὶ τῇ μὲν ΑΓ ἐπιζευχθείσῃ ἴση κείσθω ἡ ΖΗ, τῇ δὲ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΗ, τῇ δὲ ΗΕ ἴση κείσθω ἡ ΑΘ. ἐὰν δὴ νοήσωμεν ἐπεζευγμένην τὴν ΘΓ, ἔσται ἡ ὑπὸ ΘΓΑ γωνία τῆς κλίσεως τῶν ἐπιπέδων. ἤχθω δὴ καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἡ ΒΜ, καὶ τῇ ΓΜ
15ἴση κείσθω ἡ ΖΝ, τῇ δὲ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΝΞ, τῇ

8

.

1050

δὲ ΝΞ ἴση κείσθω ἑκατέρα τῶν ΒΚ ΔΛ, καὶ ἐπιζευχθεῖ‐ σαι αἱ ΘΛ ΘΚ ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν ταῖς ΑΔ ΑΒ ἐκβληθείσαις κατὰ τὰ Π Ρ σημεῖα [ὅτι δὲ συμ‐ πίπτουσιν δῆλον· ἀπ’ ἐλαττόνων γάρ εἰσιν δύο ὀρθῶν καὶ
5αὐταὶ κἀκεῖναι]· ἔσται δὴ τὸ ΘΚΛ ἐπίπεδον κεκλιμένον πρὸς τὸ ΑΒΓΔ ἐν τῇ ὑπὸ ΘΓΑ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ΕΖΗ. ἐὰν γὰρ νοήσωμεν τῇ ΑΘ παράλληλον ἠγμένην τὴν ΜΟ, καὶ ἐπεζευγμένην τὴν ΟΚ, ἔσται ἡ μὲν ΜΟ ἴση τῇ ΝΞ διὰ τὸ ἰσογώνιον εἶναι τὸ ΖΝΞ τρίγωνον τῷ ΜΟΓ, ἡ δὲ ΚΟ τῇ
10ΒΜ ἴση καὶ παράλληλος, καὶ παραλληλόγραμμον τὸ ΚΒΜΟ ὀρθὸν πρὸς ὑποκείμενον. καὶ ἐπεὶ τὰ Π Γ Ρ σημεῖα ἐν δυσὶν ἅμα ἐπιπέδοις ἐστὶν τῷ τε ὑποκειμένῳ ΑΒΓΔ [ἐν ᾧ ἐστιν καὶ τὰ Π Ρ σημεῖα, ἀλλὰ] καὶ ἐν τῷ ΚΘΛΓ, τὰ Π Γ Ρ ἄρα σημεῖα ἐπὶ μιᾶς ἐστιν εὐθείας τῆς ΠΓΡ, κοι‐
15νῆς τομῆς οὔσης τῶν εἰρημένων ἐπιπέδων. διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ τὰ Κ Ο Λ σημεῖα ἐπὶ τῆς κοινῆς ἐστι τομῆς τοῦ ΚΘΛΓ ἐπιπέδου καὶ τοῦ διὰ τῶν Κ Ο Λ παραλλήλου τῷ ΑΒΓΔ ἐπιπέδῳ, ὥστε τὴν διὰ τῶν Κ Ο Λ εὐθεῖαν παράλληλον εἶναι τῇ ΠΡ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΑΠ πρὸς ΠΔ, ἡ
20ΘΑ πρὸς ΛΔ, ὡς δὲ ἡ ΑΡ πρὸς ΡΒ, ἡ ΑΘ πρὸς ΒΚ, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΛ τῇ ΒΚ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΠ τῇ ΑΡ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΠΡ τῇ ὑπὸ ΑΡΠ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΠΑΓ ἴση τῇ ὑπὸ ΡΑΓ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΠ τῇ ὑπὸ ΑΓΡ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα αὐτῶν, καὶ ἡ ΠΡ εὐθεῖα
25δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνεται ὑπὸ τῆς ΑΓ. καὶ ἔστιν

8

.

1052

αὐτῇ πρὸς ὀρθὰς καὶ τῷ ΑΒΓΔ ἐπιπέδῳ ἡ ΜΟ· καὶ ἡ ΟΓ ἄρα πρὸς ὀρθάς ἐστιν τῇ ΡΠ διὰ λῆμμα σφαιρικῶν· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΠ ΟΓΠ· τὸ ΚΘΛΓ ἄρα ἐπίπεδον κέκλιται πρὸς τὸ [ἀπὸ] ΑΒΓΔ ἐν τῇ δο‐
5θείσῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΖΗ. Ἀλλὰ δὴ ἔστω μείζων ἡ ΑΒ τῆς ΑΔ, τῶν ἄλλων ὑποκειμένων τῶν αὐτῶν· λέγω ὅτι ἡ ὑπὸ ΑΓΠ ὀξεῖά ἐστιν. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΑΠ πρὸς ΠΔ, ἡ ΘΑ πρὸς
10ΔΛ, ὡς δὲ ἡ ΑΡ πρὸς ΡΒ, ἡ ΘΑ πρὸς ΒΚ, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΛ τῇ ΒΚ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΠ πρὸς ΠΔ, ἡ ΑΡ πρὸς ΡΒ· καὶ διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΔΠ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΒΡ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΑΒ, οὕτως ἡ ΔΠ πρὸς ΒΡ. ἐλάττων δὲ ἡ ΑΔ τῆς ΑΒ· ἐλάτ‐
15των ἄρα καὶ ἡ ΔΠ τῆς ΒΡ· ὅλη ἄρα ἡ ΑΠ ἐλάττων ἐστὶν τῆς ΑΡ, ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΡΠ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΑΠΡ· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΠΡ τῆς ὑπὸ ΑΡΠ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΑΠ τῆς ὑπὸ ΓΑΡ μείζων· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΠ τοῦ ΑΓΠ τριγώνου λοιπῆς τῆς ὑπὸ ΑΓΡ
20τοῦ ΑΓΡ τριγώνου ἐλάσσων ἐστίν· ὀξεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΠ γωνία· ἡ κλίσις ἄρα τῶν εἰρημένων ἐπιπέδων πρός τι ση‐ μεῖον μεταξὺ τῶν Γ Π θεωρεῖται, ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὴν ΓΠ καθέτου ἀγομένης. ὡς οὖν ἐκκλῖναι δυνατόν
ἐστιν ἐπίπεδον ἐν τῇ δοθείσῃ γωνία πρὸς ἐπίπεδον, δυνα‐

8

.

1054

τόν ἐστιν ἄρα καὶ ἐκκεκλιμένου τὴν κλίσιν εἰπεῖν, τουτέστιν ἐν ποίᾳ γωνίᾳ κέκλιται τὸ ἐπίπεδον πρὸς τὸ παράλληλον τῷ ὁρίζοντι. ιʹ. Βάρους δοθέντος ὑπὸ δοθείσης ἀγομένου δυνάμεως
5ἐν τῷ παρὰ τὸν ὁρίζοντα ἐπιπέδῳ καὶ ἑτέρου ἐπιπέδου κεκλιμένου πρὸς τὸ ὑποκείμενον δοθεῖσαν γωνίαν ὑποτι‐ θέντος, εὑρεῖν τὴν δύναμιν ὑφ’ ὅσης ἀχθήσεται τὸ βάρος ἐν τῷ κεκλιμένῳ ἐπιπέδῳ. [Omitted graphic marker] Ἔστω τὸ μὲν διὰ τῆς ΜΝ εὐ‐
10θείας ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενον, τὸ δὲ διὰ τῆς ΜΚ κεκλιμένον πρὸς αὐτὸ γωνίαν δοθεῖσαν τὴν ὑπὸ ΚΜΝ ὑποτιθέν, βάρος δέ τι τὸ Α κινείσθω ὑπὸ δυνάμεως τῆς Γ
15ἐπὶ τοῦ ὑποκειμένου ἐπιπέδου, καὶ νοείσθω τῷ Α ἰσοβαρὴς σφαῖρα ἡ περὶ κέντρον τὸ Ε, καὶ κείσθω ἐπὶ τοῦ διὰ τῶν Μ Κ ἐπιπέδου ψαύουσα αὐτοῦ κατὰ τὸ Λ ση‐
20μεῖον, ὡς ἔστιν σφαιρικῶν γʹ θεω‐ ρήματι· ἡ ἄρα ΕΛ ἐπιζευχθεῖσα κάθετος ἔσται ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον (καὶ τοῦτο γὰρ δέδεικται θεωρή‐ ματι δʹ σφαιρικῶν), ὥστε καὶ
25πρὸς τὴν ΚΜ κάθετός ἐστιν ἡ ΕΛ. ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν ΚΜ ΕΛ ἐπίπεδον καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον τὸν ΛΗΞ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ε κέντρου τῇ ΜΝ παράλληλος ἡ ΕΘ, καὶ κάθετος ἐπ’ αὐτὴν ἀπὸ τοῦ Λ ἡ
ΛΖ. ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΘΛ γωνία (ἴση γάρ

8

.

1056

ἐστιν τῇ ὑπὸ ΚΜΝ δοθείσῃ [ὀξείᾳ] γωνίᾳ), δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΛΖ ἴση οὖσα τῇ ὑπὸ ΕΘΛ (ἰσογώνιον γάρ ἐστιν τὸ ΕΘΛ τῷ ΕΛΖ τριγώνῳ)· δοθὲν ἄρα τὸ ΕΛΖ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΕΛ, τουτέστιν τῆς ΕΗ,
5πρὸς ΕΖ δοθείς· καὶ λοιπῆς ἄρα τῆς ΖΗ πρὸς ΕΖ λόγος [Omitted graphic marker]ἐστὶν δοθείς. πεποιήσθω οὖν ὡς ἡ ΗΖ πρὸς ΖΕ, οὕτως τὸ μὲν Α βάρος πρὸς τὸ Β, ἡ δὲ Γ δύναμις πρὸς τὴν Δ. καὶ ἔστιν τοῦ Α δύ‐
10ναμις ἡ Γ· καὶ τοῦ Β ἄρα δύνα‐ μις ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἔσται ἡ Δ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΗΖ εὐ‐ θεῖα πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως τὸ Α βάρος πρὸς τὸ Β, ἂν τεθῇ τὰ Α
15Β βάρη περὶ κέντρα τὰ Ε Η, ἰσορροπήσει ἀρτώμενα ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου [ἢ ἐπὶ ὑποθέματος κεί‐ μενα τοῦ ΛΖ ὀρθοῦ πρὸς τὸν ὁρί‐ ζοντα]. κεῖται δὲ τὸ Α βάρος περὶ
20κέντρον τὸ Ε (ἀντ’ αὐτοῦ γὰρ ἡ σφαῖρα)· τεθὲν ἄρα τὸ Β βάρος περὶ κέντρον τὸ Η ἰσορροπήσει τῇ σφαίρᾳ, ὥστε μὴ κατα‐ φέρεσθαι τὴν σφαῖραν διὰ τὴν κλίσιν τοῦ ἐπιπέδου, ἀλλ’ ἐφεστάναι ἀρρεπῆ, ὡς εἰ καὶ ἐπὶ τοῦ ὑποκειμένου ἑστῶσα
25ἐτύγχανεν. ἐκινεῖτο δὲ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὑπὸ τῆς Γ δυνάμεως· κινηθήσεται ἄρα ἐν τῷ κεκλιμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς συναμφοτέρου τῆς τε Γ δυνάμεως καὶ τῆς τοῦ Β βάρους, τουτέστιν τῆς Δ δυνάμεως. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ Δ δύναμις.
30Ἡ μὲν οὖν γεωμετρικὴ τοῦ προβλήματος ἀνάλυσις ὑπο‐
δέδεικται, ἵνα δὲ καὶ ἐπὶ παραδείγματος ποιησώμεθα τήν

8

.

1058

τε κατασκευὴν καὶ τὴν ἀπόδειξιν, ἔστω τὸ μὲν Α βάρος ταλάντων, εἰ τύχοι, ςʹ ἀγόμενον ἐν τῷ παραλλήλῳ ὁρίζοντι ἐπιπέδῳ ὑπὸ τῆς Γ κινούσης δυνάμεως, τουτέστιν οἱ κι‐ νοῦντες ἔστωσαν ἄνθρωποι μʹ, ἡ δὲ ὑπὸ ΚΜΝ γωνία, τουτ‐
5έστιν ἡ ὑπὸ ΕΘΛ, διμοίρου ὀρθῆς· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΛΘ τρίτου ὀρθῆς. καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΕΛΘ· διμοίρου ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΛΖ· οἵων ἄρα αἱ δʹ ὀρθαὶ τξʹ τοιούτων ξʹ ἡ ὑπὸ ΕΛΖ, καὶ τοῦ περιγραφομένου ἄρα περὶ τὸ ΕΖΛ τρίγωνον ὀρθογώνιον κύκλου ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΕΖ περιφέρεια
10τοιούτων ἔσται ρκʹ οἵων ὁ κύκλος τξʹ, αὐτὴ δὲ ἡ ΕΖ τοι‐ ούτων ρδʹ ἔγγιστα οἵων ἡ ΕΛ τοῦ κύκλου διάμετρος ρκʹ· ταῦτα γὰρ δῆλα ἐκ τοῦ κανόνος τῶν ἐγκυκλίων εὐθειῶν τοῦ κατὰ Πτολεμαῖον [ὄντος] κειμένου ἐν τῷ αʹ τῶν μαθημα‐ τικῶν. λόγος ἄρα τῆς ΕΛ, τουτέστιν τῆς ΕΗ, πρὸς ΕΖ,
15ὃν ρκʹ πρὸς ρδʹ· καὶ λοιπῆς ἄρα τῆς ΗΖ πρὸς ΖΕ λόγος ὃν ιϛʹ πρὸς ρδʹ. τούτῳ δὲ ὁ αὐτός ἐστιν ὁ τοῦ Α βάρους πρὸς τὸ Β, καὶ τῆς Γ δυνάμεως πρὸς τὴν Δ, καὶ ἔστιν τὸ μὲν Α βάρος ταλάντων ςʹ, ἡ δὲ κινοῦσα δύναμις ἀνδρῶν μʹ· ἔσται ἄρα καὶ τὸ μὲν Β βάρος ταλάντων ͵ατʹ, ἡ δὲ Δ δύ‐
20ναμις ἀνθρώπων σξʹ (ὡς γὰρ ιϛʹ πρὸς ρδʹ, οὕτως ςʹ πρὸς ͵ατʹ καὶ μʹ πρὸς σξʹ)· τοῦ ἄρα Α βάρους ταλάντων ςʹ κι‐ νουμένου ἐν παραλλήλῳ τῷ ὁρίζοντι ἐπιπέδῳ ὑπὸ τῶν μ ἀνδρῶν, τὸ αὐτὸ βάρος κινηθήσεται ὑπὸ συναμφοτέρων τῶν προειρημένων ἀνθρώπων, τουτέστιν ὑπὸ τʹ ὅλων, ἐν ἐπι‐
25πέδῳ κεκλιμένῳ πρὸς τὸν ὁρίζοντα, τῆς ὑπὸ ΚΜΝ γωνίας
διμοίρου ὀρθῆς ὑποκειμένης.

8

.

1060

 ιαʹ. Τῆς αὐτῆς δέ ἐστιν θεωρίας τὸ δοθὲν βάρος τῇ δοθείσῃ δυνάμει κινῆσαι· τοῦτο γὰρ Ἀρχιμήδους μὲν εὕρημα [λέγεται] μηχανικόν, ἐφ’ ᾧ λέγεται εἰρηκέναι· δός μοί (φησι) ποῦ στῶ καὶ κινῶ τὴν γῆν. Ἥρων δὲ ὁ Ἀλεξανδρεὺς πάνυ
5σαφῶς αὐτοῦ τὴν κατασκευὴν ἐξέθετο ἐν τῷ καλουμένῳ βαρουλκῷ, λῆμμα λαβὼν ὅπερ ἐν τοῖς μηχανικοῖς ἀπέδει‐ ξεν, ἔνθα καὶ περὶ τῶν εʹ δυνάμεων διαλαμβάνει, τουτέστιν τοῦ τε σφηνὸς καὶ μοχλοῦ καὶ κοχλίου καὶ πολυσπάστου καὶ ἄξονος ἐν τῷ περιτροχίῳ, δι’ ὧν τὸ δοθὲν βάρος τῇ
10δοθείσῃ δυνάμει κινεῖται [καθ’ ἑκάστην δύναμιν]. ἐν δὲ τῷ βαρουλκῷ διὰ τυμπάνων ὀδοντωτῶν παραθέσεως ἐκίνει τὸ δοθὲν βάρος τῇ δοθείσῃ δυνάμει, τῆς διαμέτρου τοῦ τυμ‐ πάνου πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ ἄξονος λόγον ἐχούσης ὃν εʹ[Omitted graphic marker] πρὸς αʹ, τοῦ κινουμένου βάρους ὑποκειμένου ταλάντων χι‐
15λίων, τῆς δὲ κινούσης δυνάμεως ὑποκειμένης ταλάντων εʹ. Ἔστω δὴ ἡμᾶς ἐπὶ διπλασίου λόγου τὸ αὐτὸ δεικνύναι, καὶ ταλάντων ρξʹ ὄντος τοῦ κινουμένου βάρους ἀντὶ χιλίων,
καὶ τῆς κινούσης αὐτὸ δυνάμεως ὑποκειμένης ταλάντων δʹ

8

.

1062

ἀντὶ εʹ, τουτέστιν ὁ κινῶν ἄνθρωπος δυνάσθω καθ’ αὑτὸν ἄνευ μηχανῆς ἕλκειν τάλαντα δʹ, καὶ ἔστω τὸ εἰρημένον ὑπ’ αὐτοῦ γλωσσόκομον τὸ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ εἰς τοὺς μακροὺς καὶ παραλλήλους τοίχους ἔστω ἄξων διακείμενος
5εὐλύτως στρεφόμενος ὁ ΕΖ, τούτῳ δὲ συμφυὲς ἔστω τύμ‐ πανον ὠδοντωμένον [ἀκτῖσιν ὀδοντωτοῖς] τὸ ΗΘ, ἔχον τὴν διάμετρον διπλασίαν τῆς διαμέτρου [τῆς ΕΖ διαγωνίου] τοῦ ἄξονος τῆς κατὰ κότραφον [γίνεται γὰρ τετράγωνος μὲν περὶ μέσον ἐπὶ τοσοῦτον μῆκος, ὅσον ἐστὶν τὸ πάχος τοῦ
10τυμπάνου εἰς ὃ ἐναρμόζεται ἀσφαλῶς, στρογγύλος δέ πως ἢ λελοιφωμένος ἐκ τῶν ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ τυμπάνου μερῶν]. ἐὰν ἄρα τὰ ἐκ τοῦ βάρους τοῦ ἑλκομένου δεδεμένα σχοινία [καλούμενα δὲ ὅπλα] διά τινος ὀπῆς [μᾶλλον δὲ ἀνατομῆς[Omitted graphic marker] πλατείας] οὔσης ἐν τῷ ΑΒ τοίχῳ ἐπειληθῇ περὶ τὸν ΕΖ
15ἄξονα [ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ ΗΘ τυμπάνου] καὶ στραφῇ τὸ ΗΘ
τύμπανον, τοῦτο ἐπιστρέψει καὶ τὸν συμφυῆ ἄξονα κινού‐

8

.

1064

μενον περὶ τὰ ἄκρα ἐν δακτύλοις χαλκοῖς καὶ πυξίσιν ὁμοίως χαλκαῖς [κινουμέναις], κειμέναις δ’ ἐν τοῖς εἰρημέ‐ νοις ΑΒ ΓΔ τοίχοις. ἐπειλούμενα δὲ τὰ ἐκ τοῦ βάρους [ὃ καλεῖται φορτίον] ὅπλα κινήσει τὸ βάρος. ἵνα δὲ κινηθῇ
5τὸ ΗΘ τύμπανον, δεήσει δύναμιν παρασχεῖν ταλάντων πλεῖον πʹ διὰ τὸ τὴν διάμετρον τοῦ τυμπάνου τῆς δια‐ μέτρου τοῦ ἄξονος εἶναι διπλασίαν· τοῦτο γὰρ πρόβλημά ἐστιν ὑπὸ Ἥρωνος δεικνύμενον ἐν τοῖς μηχανικοῖς. [καὶ ἄλλα πλεῖστα προβλήματα τῶν χρησιμωτάτων καὶ βιωφε‐
10λῶν γέγραπται]. Ἐπεὶ οὖν οὐκ ἔχομεν τὴν δοθεῖσαν δύναμιν ταλάντων πʹ, ἀλλὰ ταλάντων δʹ, γεγονέτω ἕτερος ἄξων παρακείμενος παράλληλος τῷ ΕΖ ὁ ΚΛ, ἔχων συμφυὲς τύμπανον ὠδον‐ τωμένον τὸ ΜΝ, ὥστε τοὺς ὀδόντας αὐτοῦ ἐναρμόζειν τοῖς
15ὀδοῦσι τοῦ ΗΘ τυμπάνου· τοῦτο δὲ γίνεται, ἐὰν ᾖ ὡς ἡ διάμετρος τοῦ ΗΘ τυμπάνου πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ ΜΝ, οὕτως τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ ΗΘ πρὸς τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ ΜΝ (πῶς δὲ τοῦτο γίνεται διὰ τῶν ἑξῆς δῆ‐ λον ἔσται)· δοθὲν μὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ ΜΝ τύμπανον.
20τῷ δ’ αὐτῷ ἄξονι τῷ ΚΛ συμφυὲς ἔστω τύμπανον τὸ ΞΟ, ἔχον τὴν διάμετρον διπλασίαν τῆς τοῦ ΜΝ τυμπάνου δια‐ μέτρου. διὰ δὴ τοῦτο δεήσει τὸν βουλόμενον κινεῖν διὰ τοῦ ΞΟ τυμπάνου τὸ βάρος ἔχειν δύναμιν ταλάντων μʹ, ἐπειδήπερ τὰ πʹ τάλαντα διπλάσιά ἐστιν τῶν μʹ ταλάν‐
25των.
Πάλιν δὲ παρακείσθω τῷ ΞΟ τυμπάνῳ [ὀδοντωθέντι]

8

.

1066

ἕτερον τύμπανον ὠδοντωμένον τὸ ΠΡ συμφυὲς ἑτέρῳ ἄξονι, τῷ δ’ αὐτῷ ἄξονι ἕτερον συμφυὲς τύμπανον τὸ ΣΤ, ἔχον μὲν ὁμοίως διπλασίαν τὴν διάμετρον τῆς τοῦ ΠΡ τυμπάνου διαμέτρου, τοὺς δὲ ὀδόντας μὴ συμπλεκομένους τοῖς ὀδοῦσι
5τοῦ ΜΝ τυμπάνου· ἡ ἄρα διὰ τοῦ ΣΤ τυμπάνου κινοῦσα τὸ βάρος δύναμις ἔσται ταλάντων κʹ. ἦν δὲ ἡ δοθεῖσα δύναμις ταλάντων δʹ· δεήσει οὖν πάλιν ἕτερον μὲν τύμ‐ πανον ὠδοντωμένον τὸ ΥΦ παρακεῖσθαι τῷ ΣΤ [ὀδοντω‐ θέντι], τῷ δὲ ἄξονι τοῦ ΥΦ τυμπάνου συμφυὲς γενέσθαι
10τὸ ΧΨ ὠδοντωμένον, οὗ ἡ διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ΥΦ τυμπάνου διάμετρον λόγον ἐχέτω ὃν τὰ βʹ πρὸς αʹ· ἡ ἄρα κινοῦσα τὸ βάρος δύναμις διὰ τοῦ ΧΨ τυμπάνου ἔσται ταλάντων ιʹ. πάλιν δὴ παρακείσθω μὲν τῷ ΧΨ τυμπάνῳ ἕτερον τύμπανον ὠδοντωμένον τὸ ϙϡ, τῷ δὲ ἄξονι αὐτοῦ
15τύμπανον ἔστω συμφυὲς ΜαΜβ ὠδοντωμένον ὀδοῦσιν λο‐ ξοῖς, οὗ ἡ διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ϙϡ διάμετρον λόγον ἐχέτω ὃν ἔχει τὰ ιʹ τάλαντα πρὸς τὰ τῆς δοθείσης δυνά‐ μεως τάλαντα δʹ. Καὶ τούτων κατασκευασθέντων ἐὰν ἐπινοήσωμεν τὸ
20ΑΒΓΔ γλωσσόκομον μετέωρον κείμενον ἀμεταστάτως, καὶ ἐκ μὲν τοῦ ΕΖ ἄξονος βάρος ἐξάψωμεν, ἐκ δὲ τοῦ ΜαΜβ τυμπάνου τὴν ἕλκουσαν δύναμιν τὰ δʹ τάλαντα, οὐδοπότε‐ ρον αὐτῶν κατενεχθήσεται, εὐλύτως στρεφομένων τῶν ἀξό‐ νων καὶ τῆς τῶν τυμπάνων παραθέσεως ἀκριβῶς ἁρμοζού‐
25σης, ἀλλ’ ὥσπερ ἐπὶ ζυγοῦ τινος ἰσορροπήσει ἡ δύναμις τῶν δʹ ταλάντων τῷ βάρει τῶν ρξʹ ταλάντων· ἐὰν ἄρα ἑνὶ αὐτῶν προσθῶμεν ὀλίγον τι βάρος, καταρρέψει καὶ ἐνεχ‐ θήσεται ἐφ’ ὁπότερον μέρος ἡ πρόσθεσις γεγένηται· εἰ γὰρ λόγου χάριν τῇ τῶν δʹ ταλάντων δυνάμει μναιαῖον προσ‐
30τεθῇ βάρος, κατακρατῆσαν ἐπισπάσεται τὸ βάρος τῶν ρξʹ
ταλάντων. ἀντὶ δὲ τῆς προσθέσεως παρακείσθω κοχλίας

8

.

1068

τῷ ΜαΜβ τυμπάνῳ ὁ ΩΑ͵ ἔχων τὴν ἕλικα ἁρμόζουσαν τοῖς λοξοῖς ὀδοῦσι τοῦ τυμπάνου τοῦ ΜαΜβ. τοῦτο δὲ ὡς δεῖ ποιεῖν, ἐν τοῖς αὐτοῖς μηχανικοῖς Ἥρωνος γέγραπται, καὶ ἡμεῖς δὲ τοῦτο σαφέστερον ἑξῆς γράψομεν. στρεφέσθω δὲ
5ὁ κοχλίας εὐλύτως περὶ τόρμους ἐνόντας ἐν τρήμασι στρογ‐ γύλοις, ὧν ὁ ἕτερος ὑπερεχέτω εἰς τὸ ἐκτὸς μέρος τοῦ γλωσσοκόμου κατὰ τὸν ΓΔ τοῖχον, καὶ ἡ ὑπεροχὴ τετρα‐ γωνισθεῖσα λαβέτω χειρολάβην τὴν ϛ͵Β, δι’ ἧς ἐπιλαβόμενοι καὶ ἐπιστρέφοντες τὸν κοχλίαν ἐπιστρέψομεν καὶ τὸ ΜαΜβ
10τύμπανον, ὥστε καὶ τὸ ϙϡ συμφυὲς αὐτῷ. διὰ δὲ τοῦτο καὶ τὸ παρακείμενον αὐτῷ τὸ ΧΨ στραφήσεται, καὶ τὸ συμφυὲς αὐτῷ τὸ ΥΦ, καὶ τὸ παρακείμενον αὐτῷ τὸ ΣΤ, καὶ τὸ τούτῳ συμφυὲς τὸ ΠΡ, καὶ τὸ τούτῳ παρακείμενον τὸ ΞΟ, καὶ τὸ τούτῳ συμφυὲς τὸ ΜΝ, καὶ τὸ τούτῳ πα‐
15ρακείμενον τὸ ΗΘ, ὥστε καὶ ὁ τούτῳ συμφυὴς ἄξων ὁ ΕΖ, περὶ ὃν ἐπειλοῦντες τὰ ἐκ τοῦ φορτίου ὅπλα κινήσομεν τὸ βάρος. ὅτι γὰρ κινήσεται δῆλον ἐκ τοῦ προστεθεῖσθαι ἑτέραν δύναμιν τὴν τῆς χειρολάβης, ἥτις περιγράφει κύκλον τῆς τοῦ κοχλίου περιμέτρου μείζονα· ἀπεδείχθη γὰρ ἐν τῷ
20περὶ ζυγῶν Ἀρχιμήδους καὶ τοῖς Φίλωνος καὶ Ἥρωνος μηχανικοῖς, ὅτι οἱ μείζονες κύκλοι κατακρατοῦσιν τῶν ἐλασσόνων κύκλων, ὅταν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ἡ κύλισις αὐτῶν γίνηται. ιβʹ. Τὰ μὲν οὖν μάλιστα συνέχοντα τὴν μηχανικὴν
25θεωρίαν ταῦτ’ ἂν εἴη. τῆς δὲ ὀργανικῆς πολλὰ μὲν εἴδη

8

.

1070

καὶ μέρη· τὰ μὲν γὰρ ὑπὸ τῆς μηχανικῆς καὶ γνωμονικῆς καὶ τῆς περὶ ὑδρείων πραγματείας λόγῳ θεωρούμενα δι’ αὐτῶν τῶν ὀργάνων ὑπὸ ταύτης κατασκευαζόμενα δείκνυται, πολλὰ δὲ καὶ χωρὶς τῶν μηχανικῶν ἔξωθεν ὑπ’ αὐτῆς ἐπι‐
5τελεῖται, καί τινα ταῖς γεωμετρικαῖς ἐφόδοις δυσχείριστα μεταλαβοῦσα τοῖς ὀργάνοις εἰς ῥᾳδιεστέραν ἤγαγε κατα‐ σκευήν. αὐτίκα γοῦν τὸ καλούμενον Δηλιακὸν πρόβλημα τῇ φύσει στερεὸν ὑπάρχον οὐχ οἷόν τ’ ἦν κατασκευάσαι τῷ γεωμετρικῷ λόγῳ κατακολουθοῦντας, ἐπεὶ μηδὲ τὰς
10τοῦ κώνου τομὰς ῥᾴδιον ἐν ἐπιπέδῳ γράφειν ἦν, τοῖς δ’ ὀρ‐ γάνοις μεταληφθὲν εἰς χειρουργίαν καὶ κατασκευὴν ἐπιτή‐ δειον [μᾶλλον τῆς ὑπὸ τῶν ἄλλων ἐκτεθειμένης οὕτως] ἂν ἀναχθείη [τὸ προκείμενον], λέγω δὲ τὸ κύβον κύβου διπλά‐ σιον εὑρεῖν. οὐ μόνον δὲ διπλάσιος εὑρίσκεται διὰ τοῦ
15ὑποκειμένου ὀργάνου, ἀλλὰ καὶ καθόλου λόγον ἔχων τὸν ἐπιταχθέντα. Κατεσκευάσθω γὰρ ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἀνήχθω ἡ ΔΒ, καὶ κινείσθω κανό‐ νιόν τι περὶ τὸ Α σημεῖον οὕτως ὥστε τὸ μὲν ἓν πέρας
20αὐτοῦ περικεῖσθαι τυλίῳ τινὶ κατὰ τὸ Α σημεῖον ἑστῶτι, τὸ δὲ λοιπὸν μέρος ὡς περὶ κέντρον τὸ τυλάριον κινεῖσθαι μεταξὺ τῶν Β Γ. τούτων δὲ κατεσκευασμένων ἐπιτετάχθω δύο κύβους εὑρεῖν λόγον ἔχοντας πρὸς ἀλλήλους δοθέντα, καὶ τῷ λόγῳ ὁ αὐτὸς πεποιήσθω ὁ τῆς ΒΔ πρὸς ΔΕ, καὶ
25ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ. παραγέσθω δὴ τὸ κανόνιον μεταξὺ τῶν Β Γ, ἕως οὗ τὸ ἀπολαμβανόμενον
αὐτοῦ μέρος μεταξὺ τῶν ΖΕ ΕΒ εὐθειῶν ἴσον γένηται τῷ

8

.

1072

μεταξὺ τῆς ΒΕ εὐθείας καὶ τῆς ΒΚΓ περιφερείας· τοῦτο γὰρ πειράζοντες αἰεὶ καὶ μετάγοντες τὸ κανόνιον ῥᾳδίως ποιήσομεν. γεγονέτω δή, καὶ ἐχέτω θέσιν τὴν ΑΗΘΚ, ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΗΘ ΘΚ· λέγω ὅτι ὁ ἀπὸ τῆς ΒΔ
5κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΘ κύβον λόγον ἔχει τὸν ἐπιταχ‐ θέντα, τουτέστιν τὸν τῆς ΒΔ πρὸς ΔΕ. Νοείσθω γὰρ ὁ κύκλος προσαναπεπληρωμένος, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΔ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ ΒΔ διὰ τὸ ἴσην εἶναι
10τὴν μὲν ΚΘ τῇ ΘΗ, τὴν δὲ ΚΔ τῇ ΔΛ. ἐπεζεύχθω δὴ καὶ ἥ τε ΑΛ καὶ ἡ ΛΓ. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΗΑΛ ἐν ἡμικυκλίῳ καὶ κάθετος ἡ ΑΜ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ. κοινὸς προσκείσθω
15λόγος ὁ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ· ὁ ἄρα συγκείμενος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΑ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ, τουτέστιν ὁ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΗ, λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συγκειμένῳ ἔκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΗ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ. ὁ δὲ συγκείμενος ἔκ τε τοῦ τοῦ
20ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΗ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ λόγῳ ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ κύβον· καὶ ὁ τῆς ΓΜ ἄρα πρὸς τὴν ΜΗ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ λόγῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ κύβον. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΓΜ
25πρὸς ΜΗ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ, τουτέστιν ἡ ΒΔ πρὸς ΔΕ, ὡς δὲ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΘ, τουτέστιν ἡ ΔΒ πρὸς ΔΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς ΔΕ, τουτέστιν ὡς ὁ δοθεὶς λόγος, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΒΔ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΘ κύβον.
30nΠρόβλημα ὀργανικὸν ἐπὶ κυλίνδρου.
31ιγʹ. Τὰ δ’ ὀργανικὰ ἐν τοῖς μηχανικοῖς λεγόμενα προ‐

8

.

1074

βλήματά [ἐστιν ὅτι] γίνεται τῆς γεωμετρικῆς ἐξουσίας ἀφαι‐ ρούμενα, οἷά ἐστιν καὶ τὰ ἑνὶ διαστήματι γραφόμενα καὶ τὸ ἐπὶ τοῦ τὰς βάσεις ἀμφοτέρας λελωβημένου κυλίνδρου προτεινόμενον ὑπὸ τῶν ἀρχιτεκτόνων. ἀξιοῦσι γὰρ μέρους
5ἐπιφανείας ὀρθοῦ κυλίνδρου δοθέντος, οὗ μηδὲν μέρος ὑγιὲς φυλάσσεται τῶν ἐν ταῖς βάσεσι περιφερειῶν, εὑρεῖν τὸ πάχος τοῦ κυλίνδρου, τουτέστιν τοῦ κύκλου τὴν διάμε‐ τρον ἀφ’ οὗ τὴν γένεσιν ἔσχεν ὁ κύλινδρος. εὑρίσκεται δὲ μεθοδευθὲν οὕτως.
10 Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς δοθείσης ἐπιφανείας δύο σημεῖα τὰ Α Β, καὶ κέντροις αὐτοῖς ἑνὶ διαστήματι σεσημειώσθω ἐπὶ[Omitted graphic marker] τῆς ἐπιφανείας πρῶτον τὸ Γ, καὶ πάλιν κέντροις αὐτοῖς τοῖς Α Β διαστήματι τοῦ προτέρου μείζονι σεσημειώσθω τὸ Δ, καὶ ἄλλῳ διαστήματι τὸ Ε, καὶ ἄλλῳ τὸ Ζ, καὶ ἄλλῳ
15τὸ Η. ἔσται δὴ τὰ εʹ σημεῖα τὰ Γ Δ Ε Ζ Η ἐν ἑνὶ ἐπι‐ πέδῳ διὰ τὸ καὶ τὴν ἐπιζευγνύουσαν ἕκαστον αὐτῶν ὡς κο‐ ρυφὴν ἰσοσκελοῦς τριγώνου τῇ διχοτομίᾳ τῆς ἐπιζευγνούσης
εὐθείας τὰ Α Β ὡς βάσεως κοινῆς τῶν τριγώνων ὀρθὴν

8

.

1076

εἶναι πρὸς τὴν ΑΒ [καὶ ἐν ἑνὶ γίνεσθαι ἐπιπέδῳ τὰς εʹ εὐθείας, καὶ δῆλον ὅτι τὰ Γ Δ Ε Ζ Η σημεῖα]. ταῦτα δὲ εἰς ἐπίπεδον ἐκθησόμεθα οὕτως· ἐκ τριῶν μὲν εὐθειῶν τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰ Γ Δ Ε τρίγωνον ἐν τῷ ἐπιπέδῳ
5συνεστάτω τὸ ΘΚΛ, ἐκ τριῶν δὲ τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰ Δ Ε Ζ τὸ ΚΛΜ, ἐκ τριῶν δὲ τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰ Ε Ζ Η σημεῖα τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΛΜΝ· ἔσται ἄρα ἐκκείμενα τὰ ΘΚΛ ΚΛΜ ΛΜΝ τρίγωνα ἀντὶ τῶν ΓΔΕ ΔΕΖ ΕΖΗ τριγώνων. ἂν δὴ περὶ τὰ Θ Κ Λ Μ Ν ση‐
10μεῖα γράψωμεν ἔλλειψιν, ὁ ἐλάσσων αὐτῆς ἄξων διάμετρος ἔσται τοῦ κύκλου τοῦ τὸν κύλινδρον ἀπεργασαμένου. ιδʹ. Ζητουμένου δὴ περὶ πέντε τὰ δοθέντα σημεῖα ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ κείμενα τὰ Θ Κ Λ Μ Ν ἔλλειψιν γράψαι, περιγεγράφθω, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΘΝ ΜΚ πρότερον
15ἔστωσαν παράλληλοι, καὶ δίχα τετμήσθω ἑκατέρα αὐτῶν τοῖς Α Β, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΒ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Ε Ζ τῆς ἐλλείψεως σημεῖα· ἡ ΕΖ ἄρα διάμετρός ἐστιν τῆς ἐλλείψεως διὰ τὸν ιʹ ὅρον τῶν κωνικῶν, θέσει δεδομένη· δοθὲν γὰρ καὶ ἑκάτερον τῶν Α Β σημείων τῇ θέσει. ἤχθω
20δὴ διὰ τοῦ Λ τῇ ΕΖ παράλληλος ἡ ΛΞ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΞΚ ΛΜ συμπιπτέτωσαν τῇ ΘΝ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὰ
Π Η· δοθέντα ἄρα τὰ Γ Η (δοθὲν γὰρ ἕκαστον τῶν Λ Μ

8

.

1078

Θ Ν). καὶ ἐπεὶ ὡς τὸ ὑπὸ ΞΔΛ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΜΔΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΞΓΛ πρὸς ἑκάτερον τῶν ὑπὸ ΗΓΠ ΝΓΘ, ἔσται ἄρα ἴσον τὸ ὑπὸ ΗΓΠ τῷ ὑπὸ ΝΓΘ. καὶ ἔστιν δοθὲν τὸ ὑπὸ ΝΓΘ (δοθεῖσα γὰρ ἑκατέρα)· δοθὲν ἄρα τὸ
5Π. ἀλλὰ καὶ τὸ Κ· θέσει ἄρα ἡ ΚΠΞ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΛΓΞ· δοθὲν ἄρα τὸ Ξ. καὶ ἔστιν ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως. ἐπιζευχ‐ θεῖσαι δὴ αἱ ΝΞ ΛΘ συμπιπτέτωσαν τῇ ΕΖ διαμέτρῳ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὰ Ρ Σ· ἔσται δὴ πάλιν ὡς τὸ ὑπὸ ΝΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΞΓΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΝΑΘ πρὸς ἑκάτερον
10τῶν ὑπὸ ΡΑΣ ΕΑΖ, καὶ διὰ τοῦτο ἴσον τὸ ὑπὸ ΡΑΣ τῷ[Omitted graphic marker] ὑπὸ ΕΑΖ. καὶ ἔστιν δοθὲν τὸ ὑπὸ ΡΑΣ (δοθεῖσαι γάρ εἰσιν αἱ ΡΑ ΑΣ)· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΕΑ ΑΖ. τῷ δ’ ὁμοίῳ τρόπῳ δειχθήσεται καὶ τὸ ὑπὸ ΕΒΖ δοθέν. καὶ δοθέντα τὰ Α Β· δοθέντα ἄρα καὶ τὰ Ε Ζ, ὡς ἑξῆς δειχ‐
15θήσεται· ὥστε ἡ ΕΖ διάμετρος δέδοται τῷ μεγέθει. δῆλον
δ’ ὅτι καὶ ἡ συζυγὴς αὐτῇ· δέδοται γὰρ ὁ τῆς ΕΖ πλαγίας

8

.

1080

πρὸς τὴν ὀρθίαν αὐτῆς λόγος ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΝ. ιεʹ. Τὸ ὑπερτεθέν. ἔστω δοθὲν ἑκάτερον τῶν ὑπὸ ΑΓΒ ΑΔΒ, καὶ δοθέντα τὰ Γ Δ· ὅτι τὰ Α Β δοθέντα ἐστίν.
5 Ἔστω γὰρ τῷ μὲν ὑπὸ ΑΓΒ ἴσον τὸ ὑπὸ ΔΓΕ, τῷ δὲ ὑπὸ ΑΔΒ ἴσον τὸ ὑπὸ ΓΔΖ· ἔσται ἄρα ὡς ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς ΖΔ (διὰ γὰρ τὴν κατασκευὴν ἑκάτερος λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΓΒ πρὸς ΒΔ)· ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΕΓ ΖΔ τῷ ὑπὸ ΕΑΖ, ὥστε καὶ τὸ Α ση‐
10μεῖον δοθέν. ὁμοίως καὶ τὸ Β. ιϛʹ. Μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ τὰ Ν Θ Μ Κ δεδομένα ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως σημεῖα ἐπιζευγνύουσαι παράλληλοι, καὶ ἐπι‐ ζευχθεῖσαι αἱ ΝΚ ΜΘ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Τ, καὶ διὰ τοῦ Λ παράλληλος ἤχθω τῇ ΜΘ ἡ ΛΥΦ· ἔσται
15[Omitted graphic marker]δὴ λόγος τοῦ ὑπὸ ΝΥΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΥΦ δοθεὶς (ὁ αὐτὸς γὰρ τῷ τοῦ ὑπὸ ΝΤΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΤΘ). καὶ δοθὲν τὸ ὑπὸ ΝΥΚ·
20δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΛΥΦ· καὶ δοθέντα τὰ ΛΥ· δοθὲν ἄρα τὸ Φ· ἀπῆκ‐ ται οὖν εἰς τὸ προγεγραμ‐ μένον, περὶ πέντε σημεῖα
25τὰ Ν Μ Λ Φ Θ γράψαι ἔλλειψιν τὴν ΝΜΛΦΘ παραλλή‐
λων ὑποκειμένων τῶν ΜΘ ΦΛ.

8

.

1082

 ιζʹ. Ῥᾴδιον δὲ συζυγῶν διαμέτρων ἐλλείψεως πορισθει‐ σῶν ὡντινωνοῦν τοὺς ἄξονας αὐτῆς ὀργανικῶς εὑρεῖν. με‐ θοδεύεται δὲ τὸν τρόπον τοῦτον. Ἐκκείσθωσαν αἱ προευρεθεῖσαι τῆς ἐλλείψεως διάμε‐
5τροι συζυγεῖς αἱ ΑΒ ΓΔ δίχα τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε, καὶ διὰ μὲν τοῦ Α τῇ ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΗ, τῷ δὲ ἀπὸ ΔΕ ἴσον κείσθω τὸ ὑπὸ ΕΑΘ, καὶ ἡ ΕΘ δίχα[Omitted graphic marker] τετμήσθω κατὰ τὸ Κ· ἔσται δὴ τὸ Κ μεταξὺ τῶν Α Θ (μεί‐ ζων γάρ ἐστιν ἡ ΔΕ τῆς ΕΑ), καὶ τῇ ΕΘ πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ
10τοῦ Κ ἤχθω ἡ ΚΛ τέμνουσα τὴν ΖΗ κατὰ τὸ Λ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Λ διὰ τοῦ Ε γραφομένη κύκλου περιφέρεια τεμ‐ νέτω τὴν ΗΖ κατὰ τὰ Ζ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΗ ΕΖ, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν ἐπ’ αὐτὰς αἱ ΑΜ ΑΝ, καὶ τῷ μὲν ὑπὸ ΗΕΜ ἴσον κείσθω ἑκάτερον τῶν ἀπὸ ΕΟ ΕΠ,
15τῷ δὲ ὑπὸ ΖΕΝ ἑκάτερον τῶν ἀπὸ ΕΡ ΕΣ· ἔσονται οὖν
εὑρημένοι τῆς ἐλλείψεως ἄξονες οἱ ΟΠ ΡΣ, ὧν ὁ ἐλάχι‐

8

.

1084

στος ἴσος ἔσται τῷ τοῦ κυλίνδρου πάχει, καθὼς ἐν ἀρχῇ προείρηται. ιηʹ. Σφαίρας μετεώρου δοθεῖσαν θέσιν ἐχούσης πρὸς τὸ ὑποκείμενον, εὑρεῖν τό τε σημεῖον ἐφ’ ὃ πίπτει καθετι‐
5κῶς ἐνεχθεῖσα [καὶ καθ’ ὃ πίπτει σημεῖον] καὶ τὴν ἐλα‐ χίστην ἀποτεμνομένην ἀπὸ τῆς καθέτου μεταξὺ τῶν δύο σημείων τοῦ τε κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας καὶ τοῦ κατὰ τὸ ἐπίπεδον. προγράφεται δὲ τὸ κύκλου δοθέντος με‐ τεώρου μὴ ἐν ὀρθῷ ἐπιπέδῳ πρὸς τὸ ὑποκείμενον εὑρεῖν τήν
10τε κοινὴν τομὴν τῶν ἐπιπέδων ἀμφοτέρων καὶ τὴν κλίσιν. Ἔστω μετέωρος κύκλος, καὶ εἰλήφθω ἐπ’ αὐτοῦ τρία σημεῖα τὰ Α Β Γ, καὶ ἤχθωσαν ἀπ’ αὐτῶν ἐπὶ τὸ ὑπο‐[Omitted graphic marker] κείμενον ἐπίπεδον κάθετοι. ἀχθήσονται δὲ οὕτως· ἀπὸ τοῦ Γ προσπεσοῦσα εὐθεῖα πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον
15ὡς ἡ ΓΔ περιενηνέχθω καὶ ψαυέτω τοῦ ἐπιπέδου καθ’

8

.

1086

ἕτερα δύο σημεῖα τὰ Ε Ζ, καὶ εἰλήφθω τοῦ περὶ τὰ Δ Ε Ζ κύκλου κέντρον τὸ Κ· ἡ οὖν ἀπὸ τοῦ Γ κάθετος ἐπὶ τὸ Κ σημεῖον πεσεῖται, καὶ δοθὲν ἔσται τὸ Κ. ἤχθωσαν καὶ ἀπὸ τῶν Α Β κάθετοι ὁμοίως αἱ ΒΘ ΑΛ· ἐπιζευχθεῖσαι
5δὴ αἱ ΚΛ ΘΛ ἐκβεβλήσθωσαν, καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ἡ ΓΚ πρὸς ΑΛ, οὕτως ἡ ΚΜ πρὸς ΜΛ, ὡς δὲ ἡ ΒΘ πρὸς ΑΛ, οὕτως ἡ ΘΟ πρὸς ΟΛ [δοθέντα ἄρα τὰ Μ Ο ... ἐφ’ ἡμῖν γάρ ἐστι τοιαύτας καθέτους λαβεῖν ὥστε ἐλαχίστην ἐν αὐταῖς εἶναι μίαν, ὡς τὴν ΑΛ]· εὐθεῖαι ἄρα
10αἱ ΜΑΓ ΒΑΟ. καὶ ἔσονται ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ ΑΒΓ κύ‐ κλου· ἡ ἄρα κοινὴ τομὴ αὐτοῦ καὶ τοῦ ὑποκειμένου ἐπι‐ πέδου ἐστὶν ἡ ΜΟ. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΜΟ κάθετος ἡ ΛΝ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΝ· καὶ ἡ ΑΝ ἄρα κάθετος ἔσται ἐπὶ τὴν ΜΟ· πεπόρισται ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΝΛ γωνία, τῶν
15ἐπιπέδων ἡ κλίσις. ιθʹ. Τούτου προδειχθέντος ἔστω σφαῖρα μετέωρος, καὶ προκείσθω τό τε σημεῖον εὑρεῖν, ἐφ’ ὃ πεσεῖται καθετι‐ κῶς ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον ἐνεχθεῖσα, καὶ τὴν ἐλαχί‐ στην ἀποτεμνομένην ἀπὸ τῆς καθέτου μεταξὺ τῆς ἐπιφα‐
20νείας καὶ τοῦ ἐπιπέδου.
Ἔστω ἡ σφαῖρα μετέωρος κειμένη περὶ κέντρον τὸ Ε,

8

.

1088

καὶ ἐν αὐτῇ μέγιστός τις ἐγγεγράφθω κύκλος ὁ ΑΒΓ· ἤτοι δὴ ἐν ὀρθῷ ἔσται ἐπιπέδῳ πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἢ οὔ, [Omitted graphic marker]γνωσόμεθα δὲ οὕτως· λαβόντες ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ τρία τυχόντα σημεῖα
5καθέτους ἄξομεν ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, ὡς μεμαθήκαμεν, κἂν μὲν τὰ σημεῖα ἐφ’ ἃ πίπτουσιν αἱ κάθετοι ἐπ’ εὐθείας ἀλλήλοις ὦσιν, ὀρθὰ πρὸς ἄλ‐ ληλα ἔσται τὰ ἐπίπεδα, ἐὰν δὲ μή,
10κεκλιμένα. Ἔστω δὴ πρότερον ὀρθά, καὶ ἤχθω‐ σαν ἀπὸ τῶν Α Γ σημείων κάθετοι αἱ ΑΔ ΓΗ· ἤτοι δὴ ἴσαι, ἔσονται ἢ οὔ. Ἔστωσαν ἴσαι, καὶ τετμήσθω ἡ ΔΗ
15ἐπιζευχθεῖσα δίχα τῷ Ζ· ἔσται δὴ τὸ Ζ τὸ ζητούμενον σημεῖον ἐν τῷ ἐπιπέδῳ, ἡ δὲ διχοτομία τῆς ΑΒΓ περι‐ φερείας τὸ Β ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἐφαρμόζον τῷ Ζ, καὶ ἡ ΒΖ ἐλαχίστη κάθετος, ὡς προείρηται. κʹ. Μὴ ἔστωσαν δὲ ἴσαι αἱ κάθετοι, ἀλλὰ ἐλαχίστη
20ἡ ΑΔ, καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΑΔ, οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς ΘΔ, ἐκβληθείσης τῆς ΗΔ· ἔσται δὴ τὸ Θ, καθ’ ὃ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Α συμπίπτει τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, καὶ δοθεῖσα ἔσται ἥ τε ΑΘ εὐθεῖα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΘΔ γω‐
νία. τούτων γενομένων ἐκκείσθω κύκλος ἴσος τῷ μεγίστῳ

8

.

1090

περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ, καὶ προσκείσθω ἡ ΛΜ ἴση τῇ ΑΘ, καὶ τῇ ὑπὸ ΑΘΔ γωνίᾳ ἴση συνεστάτω ἡ ὑπὸ ΚΜΝ, [Omitted graphic marker]καὶ ἀπὸ τῶν Κ Λ κά‐ θετοι αἱ ΛΟ ΚΝ, καὶ
5ἀπὸ τοῦ κέντρου ἡ ΣΠ, καὶ τῇ μὲν ΛΡ περι‐ φερείᾳ ἴση ἀπειλήφθω ἡ ΑΒ, τῇ δὲ ΟΠ εὐ‐ θείᾳ ἴση ἡ ΔΖ [τὸ δὲ
10αὐτὸ ἦν λέγειν δίχα ἡ ΔΗ τῷ Ζ]. ἔσται οὖν τὸ μὲν Ζ σημεῖον, ἐφ’ ὃ ἡ σφαῖρα καταφερο‐ μένη πεσεῖται, τὸ δὲ Β τὸ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας, ἡ δὲ ἐλα‐
15χίστη κάθετος ἡ ΒΖ. καʹ. Μὴ ἔστω δὲ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐν [ἑνὶ] ἐπιπέδῳ ὀρθῷ πρὸς τὸ ὑποκείμενον, καὶ εἰλήφθω ἡ κοινὴ τῶν ἐπιπέδων τομὴ ἡ ΔΘ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου σημεῖα τὰ Α Γ κατὰ διάμετρον ἀλλήλοις κείμενα οὕτως ὥστε τὴν ἐπ’
20αὐτὰ ἐπιζευγνυμένην τὴν ΓΑ συμπίπτειν τῇ κοινῇ τομῇ τῇ ΔΘ [ἔστιν γὰρ ἐπ’ ἐμοὶ διὰ τὸ τὴν ΔΘ ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ εἶναι]. συμπιπτέτω κατὰ τὸ Θ· δοθεῖσα ἄρα ἡ ΑΘ καὶ ἡ Θ γωνία. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε κέντρου κά‐
θετος ἐπὶ τὴν ΔΘ ἡ ΕΒΔ. ἀχθήσεται οὕτως· ἐκκείσθω

8

.

1092

κύκλος ὁ ΗΖΛ ἴσος τῷ μεγίστῳ τῷ ΑΒΓ περὶ διάμετρον τὴν ΖΗ, καὶ προσκείσθω ἡ ΗΚ ἴση τῇ ΓΘ, καὶ τῇ ὑπὸ[Omitted graphic marker] ΑΘΔ γωνίᾳ ἴση συνεστάτω ἡ ὑπὸ ΖΚΜ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ο κέντρου κάθετος ἡ ΟΛΜ, καὶ τῇ μὲν ΗΛ περιφερείᾳ ἴση
5ἀπειλήφθω ἡ ΓΒ, τῇ δὲ ΚΜ εὐθείᾳ ἡ ΘΔ· ἡ ΔΒ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ΜΛ καὶ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΘ καὶ ἐκ‐ βαλλομένη ἐπὶ τὸ Ε κέντρον πίπτει· ταῦτα γὰρ δῆλα ἐκ τῆς ὁμοιότητος. ἤχθω δὴ τῇ ΔΘ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ ὑπο‐ κειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ ΔΙ· ἡ ΔΘ ἄρα ὀρθὴ πρὸς τὸ διὰ τῶν
10Ε Δ Ι ἐπίπεδον, ὥστε καὶ ὁ ΑΒΓ κύκλος ὀρθὸς πρὸς τὸ διὰ τῶν Ε Δ Ι ἐπίπεδον· ἐκβληθὲν ἄρα τὸ διὰ τῶν Ε Δ Ι ἐπίπεδον κύκλον ποιήσει ἐν τῇ σφαίρᾳ μέγιστον ὀρθὸν πρὸς τὸν ΑΒΓ διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ πίπτοντα καὶ διὰ τῶν Β Ο σημείων, ὥστε, ἐὰν τοῦ ΑΒΓ τὸν πόλον λαβόντες
15τὸν Π διὰ τοῦ Π καὶ ἑκατέρου τῶν Β Ο γράψωμεν κύ‐

8

.

1094

κλον, οὗτος ἔσται ὁ γινόμενος μέγιστος ἐν τῇ σφαίρᾳ [ὑπὸ τοῦ διὰ τῶν Ο Δ Ι ἐπιπέδου]. γεγράφθω ὁ ΒΠΟ, καὶ [Omitted graphic marker]ἐκκείσθω πάλιν κύκλος ὁ ΡΝΤ
5περὶ διάμετρον τὴν ΡΤ, καὶ προσ‐ κείσθω ἡ ΡΦ ἴση τῇ ΒΔ, καὶ τῇ ὑπὸ ΒΔΙ γω‐
10νίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΡΦΞ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ κέντρου κάθετος ἡ ΛΝΞ, καὶ τῇ μὲν ΡΝ περιφερείᾳ ἴση ἀπειλήφθω ἐπὶ τοῦ ΠΒΟ κύ‐
15κλου ἡ ΒΥ, τῇ δὲ ΦΞ ἴση ἡ ΔΙ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΙΥ· ἡ ΙΥ ἄρα ἴση ἔσται τῇ ΞΝ καὶ ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὸ Ε κέν‐ τρον πεσεῖται καὶ ἔσται κάθετος ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπί‐ πεδον, ἐπεὶ καὶ ἐπὶ τὴν ΙΔ· τὸ μὲν ἄρα Ι σημεῖον ἔσται ἐφ’ ὃ πίπτει ἡ σφαῖρα, τὸ δὲ Υ καθ’ ὃ πίπτει, ἡ δὲ
20ἐλαχίστη κάθετος ἡ ΙΥ. κβʹ. Σφαίρας ὑποκειμένης καὶ σημείου δοθέντος ἐκτὸς αὐτῆς, εὑρεῖν τὸ σημεῖον καθ’ ὃ ἡ ἀπὸ τοῦ δοθέντος ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη τέμνει τὴν ἐπιφάνειαν. Ἔστιν δὲ φανερόν· ἂν γὰρ ἡτισοῦν ἀπὸ τοῦ δοθέντος
25εὐθεῖα προσπεσοῦσα πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν περιενεχθῇ, καὶ αὕτη γράψει κύκλον καὶ πόλος αὐτοῦ τὸ ζητούμενον ἔσται σημεῖον. Ὑποκείσθω πάλιν ἡ σφαῖρα, καὶ δύο σημεῖα δεδόσθω τῆς ἐπιφανείας ἐκτὸς ἀμφότερα, καὶ προκείσθω τὰ ση‐
30μεῖα λαβεῖν καθ’ ἃ ἡ ἐπὶ τὰ δοθέντα ἐπιζευγνυμένη τέμνει
τὴν ἐπιφάνειαν.

8

.

1096

 Κείσθω γὰρ ἡ σφαῖρα περὶ κέντρον τὸ Β, καὶ τὰ δο‐ θέντα σημεῖα ἐκτὸς ἔστω τὰ Α Γ, καὶ καθ’ ἃ συμβάλλουσιν τῇ ἐπιφανείᾳ αἱ ἀπὸ τῶν Α Γ ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνύμεναι εἰλήφθω σημεῖα τὰ Δ Ε, δι’ ὧν γεγράφθω μέγιστος κύκλος
5ὁ ΔΕΖΗ· δοθεῖσαι ἄρα αἱ ΑΔ ΓΕ (λῆμμα γάρ)· καὶ διὰ τὸ δεδόσθαι τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ ὅλαι δο‐ θήσονται αἱ ΑΒ ΓΒ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ τὰ δοθέντα ἐπιζευ‐ γνύουσα ἡ ΑΓ δοθεῖσα. ἐκ τριῶν οὖν τῶν ΑΒ ΑΓ ΓΒ τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΘΚΛ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Θ γε‐
10γράφθω κύκλος ἴσος τῷ ΕΔΖΗ ὁ ΣΜΝΟ. ἐὰν μὲν οὗτος τέμνῃ τὴν ΚΛ, δῆλον ὅτι καὶ ἡ ἐπὶ τὰ Α Γ ἐπιζευγνυμένη τέμνει τὴν σφαῖραν, εἰ δὲ μή, οὐ τέμνει. τεμνέτω οὖν ὁ κύκλος τὴν ΚΛ κατὰ τὰ Μ Ν, καὶ τῇ μὲν ΣΜ περιφερείᾳ ἴση ἀπειλήφθω ἡ ΔΗ, τῇ δὲ ΟΝ ἡ ΕΖ. φανερὸν δὴ ὅτι
15τὰ Η Ζ σημεῖα ἔσται καθ’ ἃ τέμνει ἡ ἐπιζευγνύουσα τὰ Α Γ σημεῖα τὴν τῆς σφαίρας ἐπιφάνειαν. κγʹ. Χρήσιμα καὶ τὰ ἐν τοῖς ἰδίως λεγομένοις ὀργανι‐ κοῖς καὶ μάλισθ’ ὅταν ἐπὶ τὸ εὔκολον ὑπὸ τῆς ἀναλύσεως χειραγωγούμενα τὴν ἀνάλογον πεῖραν διαφεύγειν δύνηται,
20οἷον εἰς τὸν δοθέντα κύκλον ἑπτὰ ἑξάγωνα ἐγγράψαι, τὸ μὲν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τῷ κύκλῳ, τὰ δὲ λοιπὰ ἓξ ἀπὸ μὲν τῶν τοῦ μέσου πλευρῶν ἀναγεγραμμένα, τὰς δὲ ἀντι‐ κειμένας πλευρὰς ἔχοντα ἐνηρμοσμένας ἑκάστην εἰς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν.
25Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος περὶ κέντρον τὸ Η, καὶ κείσθω
περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ἑξαγώνου πλευρὰ ἡ ΘΚ, ὥστε ἔσται

8

.

1098

τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ ἀναγραφὲν ἑξάγωνον τὴν ΜΝ πλευρὰν ἔχον ἐνηρμοσμένην τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΚ· ἐπ’ εὐθείας ἄρα ἐστὶν τῇ ΚΛ πλευρᾷ τοῦ ἑξαγώνου, διὰ τὸ διμοίρου μὲν εἶναι τὴν ὑπὸ ΗΚΘ, ὀρθῆς δὲ καὶ
5τρίτου τὴν ὑπὸ ΘΚΛ. ἐπεζεύχθω ἡ ΗΝ. ἐπεὶ ἴσαι αἱ ΗΚ ΚΛ, διπλῆ ἐστὶν ἡ ΗΛ τῆς ΛΝ. καὶ δοθεῖσα ἡ Λ γωνία (ὀρθῆς γὰρ καὶ τρίτου)· δοθὲν ἄρα τὸ ΝΛΗ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΗΝ πρὸς ΝΛ δοθείς. καὶ δοθεῖσα ἡ ΗΝ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΝΛ πλευρὰ τοῦ ἑξαγώνου.
10 Τὸ δὲ ὀργανικὸν οὕτως· ἐκκείσθω τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τρίτον μέρος ἡ ΑΓ, καὶ ἐπ’ αὐτῆς τμῆμα κύ‐ κλου τὸ ΑΒΓ γωνίαν δεχόμενον διμοίρου ὀρθῆς, καὶ οἵων ἐστὶν ἡ ΑΓ εʹ, τοιούτων δʹ ἀπειλήφθω ἡ ΓΕ, καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη ἡ ΒΕ· λέγω ὅτι ἡ ΑΒ ἐπιζευχθεῖσα ἴση ἐστὶν
15τῇ ΘΚ τοῦ ἑξαγώνου πλευρᾷ. Ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ, καὶ τῇ ΑΒ ἴση ἀφῃρήσθω ἡ ΒΔ· ἰσόπλευρον ἄρα τὸ ΑΒΔ. καὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύ‐ κλου ἴση ἡ ΑΖ. ἐπεὶ ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ λόγον ἔχει ὃν τὰ θʹ πρὸς δʹ, ἕξει καὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ τὸν αὐτὸν
20λόγον· ἡμιολία ἄρα ἡ ΑΒ, τουτέστιν ἡ ΒΔ, τῆς ΒΓ· διπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΖΓ τῆς ΓΑ· καὶ ἡ ΒΖ ἄρα ἐπιζευχθεῖσα τῆς ΑΔ, τουτέστιν τῆς ΑΒ, ἐστὶν διπλῆ. ἦν δὲ καὶ ἡ ΗΛ τῆς ΛΝ διπλῆ, καὶ ἴσας περιέχουσιν γω‐ νίας· ὅμοιον ἄρα τὸ ΑΒΖ τρίγωνον τῷ ΝΛΗ τριγώνῳ. καὶ
25ἔστιν ἴση ἡ ΑΖ τῇ ΝΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΛΝ ἢ τῇ ΘΚ.
26nΤὸ αὐτὸ ἄλλως σαφέστερον.
27κδʹ. Ἔστω τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ δοθέντος κύκλου ἴση

8

.

1100

ἡ ΑΖ, καὶ ἀπειλήφθω αὐτῆς τὸ γʹ μέρος, καὶ ἔστω ἡ ΑΓ, ἐφ’ ἧς τμῆμα κύκλου γεγράφθω τὸ ΑΒΓ δεχόμενον γωνίαν διμοίρου ὀρθῆς, καὶ οἵων ἐστὶν ἡ ΑΓ εʹ, τοιούτων δʹ ἀπει‐ λήφθω ἡ ΓΕ, καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη τοῦ τμήματος ἡ ΕΒ,
5καὶ ἐπεζεύχθω ἥ τε ΑΒ καὶ ἡ ΖΒ, καὶ ἔτι ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΓ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Δ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ. ἐπεὶ οὖν εἰς κύκλον διήχθησαν ἥ τε ΕΓΑ καὶ ἡ ΕΒ, καὶ ἡ μὲν τέμνει τὸν κύκλον ἡ δὲ ἐφάπτεται, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ·
10ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΓΕ· ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΓΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΕ τριγώνῳ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΒ, ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ
15τῆς ΕΒ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ διὰ κʹ τοῦ ϛʹ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ λόγον ἔχει ὃν τὰ θʹ πρὸς δʹ· ἡμιολία ἄρα ἡ ΒΔ τῆς ΒΓ· διπλασία ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ.
20ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΖΓ τῆς ΓΑ διπλασία· ὡς ἄρα ἡ ΖΓ πρὸς ΓΑ, ἡ ΒΓ πρὸς ΓΔ. καὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ πρὸς τῷ Γ γω‐ νίαι· ἴση ἄρα καὶ ἡ μὲν Δ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΓ, ἡ δὲ Ζ τῇ ὑπὸ ΓΑΔ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΓ. ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΑΔ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς
25ΓΔ. διπλασία δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ· διπλασία ἄρα καὶ ἡ ΖΒ τῆς ΑΔ, τουτέστιν τῆς ΑΒ. καὶ ἔστιν διμοίρου ἡ Δ·
διμοίρου ἄρα ὀρθῆς καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΓ. ὅλη δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ

8

.

1102

μιᾶς ὀρθῆς καὶ γʹ. ἐὰν οὖν ἔχωμεν κύκλον, οὗ κέντρον τὸ Η, ἴσην ἔχοντα τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΑΖ εὐθείᾳ, καὶ διαγά‐ γωμεν ἀπὸ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τὴν ΗΞ εὐθεῖαν, καὶ ἴσην θῶμεν τῇ ΖΒ τὴν ΗΛ εὐθεῖαν, καὶ πρὸς τῇ ΗΛ εὐθείᾳ
5καὶ τῷ Λ σημείῳ ἴσην γωνίαν συστησώμεθα τὴν ὑπὸ ΗΛΝ τῇ ὑπὸ ΖΒΑ, καὶ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΗΝ, ἰσογώνιον γίνεται[Omitted graphic marker] τὸ ΗΛΝ τρίγωνον τῷ ΑΖΒ τριγώνῳ. καὶ ἔστιν ἡ ΑΖ ἴση τῇ ΗΝ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΝΛ τῇ ΑΒ. καὶ φανερὸν ὅτι ἀπὸ τῆς ἴσης τῇ ΑΒ εὐθείας γίνεται ἡ τῶν ζʹ εἰς τὸν
10κύκλον ἑξαγώνων ἐγγραφή. κεʹ. Πῶς δὲ καὶ ἡ τῶν προειρημένων τυμπάνων γίνεται παράθεσις, νῦν ἐροῦμεν. Ἔστω γὰρ δύο τύμπανα ἔντορνα καὶ παρακείμενα ἀλ‐
λήλοις τὰ Α Β, καὶ ἔστω ὡς ἡ διάμετρος τοῦ Α πρὸς τὴν

8

.

1104

διάμετρον τοῦ Β, οὕτως τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α πρὸς τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Β· οὕτως γὰρ ἡ παρά‐ θεσις τῶν τυμπάνων σῴζεται διὰ τὸ εἶναι ὡς τὴν περί‐ μετρον τοῦ κύκλου πρὸς τὴν περίμετρον, οὕτως τὴν διά‐
5μετρον πρὸς τὴν διάμετρον (τοῦτο γὰρ ἑξῆς). ὑποκείσθω δὴ τὸ μὲν Α ὀδόντων ξʹ, τὸ δὲ Β ὀδόντων μʹ· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ τάχος τοῦ Α πρὸς τὸ τάχος τοῦ Β, οὕτως τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Β πρὸς τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α.
10 Ἐπεὶ γὰρ παράκειται ἀλλήλοις τὰ Α Β, ὅσους ἂν ὀδόντας κινηθῇ τὸ Β, τοσούτους ὀδόντας κινηθήσεται καὶ τὸ Α· ὅταν ἄρα τὸ Β στρεφόμενον μίαν ἀποκατάστασιν ποιήσηται, τότε τὸ Α μʹ ὀδόντας κινηθήσεται, ὥστε καί, ὅταν τὸ Β ξʹ ἀποκαταστάσεις ποιήσηται, ὅσον ἐστὶν τὸ
15πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α, τότε τὸ Α ὀδόντας κινηθή‐ σεται ͵βυʹ, ὅσον ἐστὶν τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α ἐπὶ τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Β. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται καί, ὅταν τὸ Α μʹ ἀποκαταστάσεις ποιήσηται, ὅσον ἐστὶν τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Β, τότε τὸ Β ὀδόντας κεκινη‐
20μένον ͵βυʹ, ὅσον ἐστὶν τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Β ἐπὶ τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α· ὅταν ἄρα τὸ Α ἀποκατα‐ στάσεις ποιήσηται μʹ, ὅσον ἐστὶν τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Β, τότε καὶ τὸ Β ἀποκαταστάσεις ποιεῖται ξʹ, ὅσον ἐστὶν τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ
25τάχος τοῦ Α πρὸς τὸ τάχος τοῦ Β, οὕτως τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Β πρὸς τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α. κϛʹ. Ὅτι δὲ αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας
εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι, νῦν δείξομεν.

8

.

1106

 Ἔστωσαν γὰρ δύο κύκλοι οἱ ΑΒ ΓΔ, καὶ διάμετροι αὐτῶν αἱ ΑΒ ΓΔ· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν τοῦ ΓΔ κύκλου περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒ διάμετρος πρὸς τὴν ΓΔ.
5 Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ κύκλος πρὸς τὸν ΓΔ κύκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον, ἀλλὰ τοῦ μὲν ΑΒ κύκλου τετραπλάσιόν ἐστιν τὸ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ὑπό τε τῆς ΑΒ διαμέτρου καὶ τῆς τοῦ ΑΒ περιφερείας, τοῦ δὲ ΓΔ κύκλου τετραπλάσιόν
10ἐστιν τὸ ὑπὸ τῆς ΓΔ καὶ τῆς τοῦ ΓΔ περιφερείας (τὸ γὰρ ὑπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου περιεχόμενον ὀρθογώνιον διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ἐμ‐ βαδοῦ τοῦ κύκλου, ὡς Ἀρχιμήδης, καὶ ὡς ἐν τῷ εἰς τὸ πρῶτον τῶν μαθηματικῶν σχολίῳ δέδεικται καὶ ὑφ’ ἡμῶν
15δι’ ἑνὸς θεωρήματος), καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς ΑΒ καὶ τῆς περιφερείας τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΓΔ καὶ τῆς τοῦ ΓΔ κύκλου περιφερείας, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ. καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ τῆς τοῦ ΑΒ κύκλου περιφερείας καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ,
20οὕτως τὸ ὑπὸ τῆς τοῦ ΓΔ κύκλου περιφερείας καὶ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ· καὶ ὡς ἄρα ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου πε‐ ριφέρεια πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ τοῦ ΓΔ περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΔ (τοῦτο γὰρ πρῶτόν ἐστιν ἐν τῷ ϛʹ λαμβανόμενον), καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ τοῦ ΑΒ περιφέρεια πρὸς τὴν τοῦ ΓΔ περι‐
25φέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ. κζʹ. Τυμπάνου δοθέντος καὶ τοῦ πλήθους τῶν ὀδόντων
αὐτοῦ, ἐπιτετάχθω παραθεῖναι αὐτῷ τύμπανον δοθὲν ἔχον

8

.

1108

τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων καὶ εὑρεῖν τὴν διάμετρον τοῦ παρα‐ τιθεμένου τυμπάνου. Ἔστω τύμπανον τὸ Α, οὗ τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων ἔστω ὁ Β ἀριθμὸς [μονάδων ξʹ], καὶ παρακείσθω τῷ Α
5τὸ Γ τύμπανον, οὗ τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων ἔστω ὁ Δ ἀριθμὸς [μονάδων μʹ]· δεῖ δὴ τοῦ Γ τὴν διάμετρον εὑρεῖν. Ἐπεὶ οὖν ὁ Β ἀριθμὸς πλῆθός ἐστιν ὀδόντων τοῦ Α, ὁ δὲ Δ πλῆθός ἐστιν ὀδόντων τοῦ Γ [καὶ ἔστιν τὸ μὲν πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α ἡ περίμετρος αὐτοῦ, τὸ δὲ πλῆ‐
10θος τῶν ὀδόντων τοῦ Γ ἡ περίμετρος αὐτοῦ], ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Β ἀριθμὸς πρὸς τὸν Δ, οὕτως ἡ περίμετρος τοῦ Α πρὸς τὴν περίμετρον τοῦ Γ. ὡς δὲ ἡ περίμετρος πρὸς τὴν πε‐ ρίμετρον, οὕτως ἡ διάμετρος πρὸς τὴν διάμετρον. λόγος δὲ τοῦ Β ἀριθμοῦ πρὸς τὸν Δ ἀριθμὸν δοθείς [ἔστιν γὰρ
15ὁ τῶν ξʹ πρὸς τὰ μʹ]· λόγος ἄρα καὶ τῆς διαμέτρου τοῦ Α πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ Γ δοθείς [ὁ τῶν ξʹ πρὸς τὰ μʹ]. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ διάμετρος τοῦ Α· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ διάμετρος τοῦ Γ [δεῖ γὰρ ποιεῖν ὡς τὸν ξʹ ἀριθμὸν πρὸς τὸν μʹ, οὕτως τὴν διάμετρον τοῦ Α πρὸς ἄλλην τινά, καὶ
20ὁ περὶ διάμετρον ἐκείνην γραφόμενος κύκλος ἴσος ἔσται τῷ ζητουμένῳ τυμπάνῳ]. Ὀργανικῶς δὲ οὕτως· ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΕΖ τε‐ τμημένη εἰς ἴσα, ἴσα τὸ πλῆθος τοῖς ὀδοῦσι τοῦ Α τυμ‐ πάνου [τουτέστιν ξʹ], καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἀχθεῖσα κείσθω
25διαμέτρῳ τοῦ Α τυμπάνου ἴση ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΗ, καὶ [οἵων ἡ ΕΖ ξʹ, τοιούτων μʹ] ἀπειλήφθω ἡ ΕΘ τοῦ πλήθους τῶν ὀδόντων τοῦ Γ γινομένη, καὶ διὰ τοῦ Θ παράλληλος τῇ ΖΗ ἤχθω ἡ ΘΚ· καὶ ἔσται ἄρα ἡ ΘΚ ἴση τῇ διαμέτρῳ τοῦ Γ τυμπάνου (φανερὰ γὰρ ἡ ἀπόδειξις).
30 κηʹ. Πῶς δὲ κατασκευάζεται κοχλίας τὴν ἕλικα ἁρμο‐ στὴν ἔχων τοῖς λοξοῖς ὀδοῦσι τοῦ δοθέντος τυμπάνου, φα‐
νερὸν οὕτως ἔσται.

8

.

1110

 Νοείσθω κύλινδρος ἰσοπαχῶς τετορνευμένος ὁ ΑΔΕΖ, πλευρὰ δ’ αὐτοῦ ἡ ΑΕ, καὶ εἰλήφθω μονοστρόφου ἕλικος ἐπ’ αὐτῆς διάστημα τὸ ΑΒ, καὶ λεπίδιον χαλκοῦν γεγενή‐ σθω, οὗ τὸ μὲν ΗΘΚ μέρος τρίγωνον ὀρθογώνιον ἔστω
5ὀρθὴν ἔχον τὴν Θ γωνίαν, τὸ δὲ λοιπὸν παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΘΚΛ, ἴση δὲ κείσθω ἡ ΘΗ τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ΘΚ τῇ περιμέτρῳ τοῦ ΑΔΕΖ κυλίνδρου, καὶ περικαμπτέ‐ σθω τὸ λεπίδιον περὶ τὸν κύλινδρον, ἵνα καὶ τὸ ΘΚΛ παραλληλόγραμμον κύλινδρος γένηται ἁπτόμενος τοῦ ΔΕ,
10ὅταν εἰσαχθῇ, καὶ κείσθω τὸ μὲν Θ ἐπὶ τὸ Α, τὸ δὲ Η ἐπὶ τὸ Β, καὶ οὕτως γράψομεν διὰ τῆς ΗΚ ὑποτεινούσης καμφθείσης [δὲ] τὴν καλουμένην μονόστροφον ἕλικα ὡς τὴν ΒΑ. καὶ πάλιν μεταθέντες τὸ λεπίδιον, ὥστε τὸ μὲν Θ κατὰ τὸ Β εἶναι τὸ δὲ Η κατὰ τὸ Γ, γράψομεν διὰ τῆς
15ΗΚ ἑτέραν ἕλικα μονόστροφον, ὥστε τὴν ὅλην εἶναι δί‐ στροφον. ἐν ᾧ γὰρ χρόνῳ τὸ Α ἐπὶ τὸ Β παραγίνεται ὁμαλῶς κινούμενον, ἐν τούτῳ καὶ ἡ ΑΒ κατὰ τῆς ἐπιφα‐ νείας τοῦ κυλίνδρου κινηθεῖσα εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκαθίσταται καὶ τὸ εἰρημένον φέρεσθαι σημεῖον κατὰ τῆς ΑΒ εὐθείας
20γράψει τὴν μονόστροφον ἕλικα· τοῦτο γὰρ Ἀπολλώνιος ὁ Περγεὺς ἀπέδειξεν. [ἐὰν οὖν καὶ ἑκατέραν τῶν ΑΒ ΒΓ καὶ τὰς ἑξῆς ἄχρι τοῦ Ε δίχα τέμνωμεν καὶ διὰ τῶν ση‐ μείων τῷ λεπιδίῳ γράψωμεν μονοστρόφους ἕλικας ἀπ’ αὐτῶν κατὰ τὸ βάθος τῆς ἕλικος ὃ βουλόμεθα λάβωμεν καὶ ἀπὸ
25τοῦ βάθους λοιπὸν καὶ τῆς γραφείσης ἕλικος, ῥᾳδίως τὴν ἕλικα φακοειδῆ ῥινήσαντες ἕξομεν ἀπηρτισμένην.]
κθʹ. Πάλιν νοείσθω ἐν τῇ ἑτέρᾳ ἐπιφανείᾳ τοῦ δοθέν‐

8

.

1112

τος τυμπάνου περὶ τὸν κότραφον κύκλος, οὗ περιφέρεια ἡ ΡΥΤ κέντρον δὲ τὸ Ξ, καὶ τὰ Ρ Υ Τ ἴσον ἀπ’ ἀλλήλων ἀπέχοντα, λόγου χάριν τοῦ πανὸς κύκλου εἰς εἴκοσι τέσ‐ σαρα διῃρημένου, καὶ ἀπὸ τῶν Ρ Υ Τ ἐπὶ τὸ Ξ κέντρον
5νεύουσαι διήχθωσαν ἄχρι τοῦ περὶ τὸ Ξ κέντρον γεγραμμέ‐ νου κύκλου τοῦ ΜΝΠΦ αἱ ΡΟ ΥΟ ΤΟ, καὶ ἀπὸ τῶν δι‐ χοτομούντων τὰς ΟΟ περιφερείας σημείων διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Ρ Υ Τ σημεῖα αἱ ΜΡ ΝΡ ΝΥ ΠΥ ΠΤ ΤΦ, καὶ ἀπὸ τῆς ΟΡ εὐθείας προήχθω ἐν τῇ κυρτῇ τοῦ τυμπάνου ἐπι‐
10φανείᾳ ἡ ΡΣ μέχρι τῆς περιφερείας οὖσα τοῦ ἐν τῇ ἑτέρᾳ ἐπιφανείᾳ τοῦ τυμπάνου περὶ τὸν κότραφον ὁμοίως γραφο‐ μένου τοῦ ΧΩ κύκλου, καὶ ἀπὸ τοῦ Σ τῇ μὲν ἡμισείᾳ τῆς ΡΥ περιφερείας [ὡς λοξώσεως] ἴση κείσθω ἡ ΣΧ, τῇ δὲ ΡΥ ἡ ΧΩ, καὶ οὕτως ἑξῆς ἴσην θέντες τῇ ΥΤ τὴν ΩΨ καὶ
15τὰς λοιπάς, καὶ ἐπιζεύξαντες τὰς ΡΧ ΥΩ ΤΨ ἕξομεν τὰς τῶν ὀδόντων λοξώσεις. καὶ ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ ΡΥ κύκλος τῷ ΧΩ κύκλῳ, γράψομεν κἀν τῇ ἑτέρᾳ ἐπιφανείᾳ τοῦ τυμ‐ πάνου περὶ κέντρον τὸ ἀντικείμενον τῷ Ξ σημείῳ κύκλον ἴσον τῷ ΜΝ, καὶ ἀπὸ τῶν Χ Ω ἀγαγόντες ἐπ’ αὐτὸν
20εὐθείας νευούσας ἐπὶ τὸ κέντρον αὐτοῦ, καὶ τὰ αὐτὰ ποι‐ ήσαντες τοῖς ἐπὶ τῆς ΡΥΤ περιφερείας [τοῦ κύκλου] ἕξομεν καὶ τὴν ἄλλην πλευρὰν τοῦ τυμπάνου καταγεγραμμένην. καὶ λοιπὸν ἐκκόψαντες τὰ μεταξὺ τῶν γραμμῶν σχήματα
ὡς τὰ ΝΡΥ ΥΠΤ καὶ τὰ ἀντικείμενα ἕξομεν τὸ τύμπανον

8

.

1114

ὠδοντωμένον ὀδοῦσιν λοξοῖς. ἐμβαίνει δὲ ἕκαστος εἰς τὴν τοῦ κοχλίου ἕλικα, ἐπεὶ καὶ τὸ μεταξὺ διάστημα τὸ ΡΥ ἴσον ἐστὶν τῷ ΑΒ διαστήματι τῆς τοῦ κοχλίου ἕλικος. καὶ δῆλον ὡς καθ’ ἑκάστην στροφὴν τοῦ κοχλίου εἷς ὀδοὺς
5παρενεχθήσεται· τοῦτο γὰρ Ἥρων ἀπέδειξεν ἐν τοῖς μηχα‐ νικοῖς, γραφήσεται δὲ καὶ ὑφ’ ἡμῶν, ἵνα μηδὲν ἔξωθεν ἐπιζητῶμεν. λʹ. Νοείσθω γὰρ κοχλίας ὁ ΑΒ, ἡ δὲ ἐν αὐτῷ ἕλιξ ἡ ΑΓΔΕΖΒ [νοείσθωσαν δὲ μονόστροφοι αἱ εἰρημέναι ἕλικες],
10τύμπανον δὲ ἔστω [τὸ] παρακείμενον καὶ ὠδοντωμένον τὸ ΗΓΕΘ ὀδόντας ἔχον τοὺς ΗΓ ΓΕ ΕΘ ἁρμόζοντας τῇ ἕλικι [οἱ ἄρα λοιποὶ οὐκ ἐναρμόσουσιν εἰς τὰς λοιπὰς ἕλικας]. ἐὰν οὖν ἐπιστρέφωμεν τὸν κοχλίαν, ὥστε τὸ Ε σημεῖον παρωθεῖσθαι ἐπὶ τὰ Γ μέρη, παρέσται τὸ Ε ἐπὶ τὸ Γ,
15ὅταν ὁ κοχλίας ἀποκατάστασιν μίαν ποιήσηται, καὶ ἕξει ὁ μὲν ΓΕ ὀδοὺς τὴν τοῦ ΓΗ θέσιν, ὁ δὲ ΕΘ τὴν τοῦ ΓΕ, καὶ πάλιν ὁ ΕΘ θέσιν ἐσχηκὼς τὴν ΓΕ ἐν μιᾷ τοῦ κοχλίου περιστροφῇ ὅλος παραχθήσεται. καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς ὀδόν‐ των τὰ αὐτὰ ἐπινοεῖν χρή, ὥστε, ὅσους ἂν ὀδόντας ἔχῃ τὸ
20τύμπανον, τοσαυτάκις ὁ κοχλίας κινηθεὶς μίαν ἀποκατά‐ στασιν τοῦ τυμπάνου ποιήσεται. λαʹ. Τοσαῦτα μὲν οὖν περὶ τοῦ βαρουλκοῦ, τῶν δὲ
προειρημένων εʹ δυνάμεων ἐκ τῶν Ἥρωνος τὴν ἔκθεσιν

8

.

1116

ἐπιτομώτερον ποιησόμεθα πρὸς ὑπόμνησιν τῶν φιλομα‐ θούντων, προσθέντες ἔτι καὶ τὰ περὶ τῆς μονοκώλου καὶ δικώλου καὶ τρικώλου καὶ τετρακώλου μηχανῆς ἀναγκαίως λεγόμενα, μή ποτε καὶ τῶν βιβλίων ἐν οἷς ταῦτα γέγραπται
5ἀπορία γένηται τῷ ζητοῦντι· καὶ γὰρ ἡμεῖς κατὰ πολλὰ μέρη διεφθαρμένοις ἐνετύχομεν ἀνάρχοις τε καὶ ἀτελέσι βιβλίοις. πέντε τοίνυν οὐσῶν δυνάμεων δι’ ὧν τὸ δοθὲν βάρος τῇ δοθείσῃ βίᾳ κινεῖται, ἀναγκαῖόν ἐστιν τά τε σχήματα αὐτῶν καὶ τὰς χρείας ἔτι δὲ καὶ τὰ ὀνόματα
10ἐκθέσθαι. ἀποδέδοται δὲ ὑπὸ τοῦ Ἥρωνος καὶ Φίλωνος καὶ διότι αἱ προειρημέναι δυνάμεις εἰς μίαν ἄγονται φύσιν, καίτοι παρὰ πολὺ διαλλάσσουσαι τοῖς σχήμασιν. ὀνόματα μὲν οὖν ἐστιν τάδε· ἄξων ἐν περιτροχίῳ, μοχλός, πολύ‐ σπαστον, σφήν, καὶ πρὸς τούτοις ὁ καλούμενος ἄπειρος
15κοχλίας. Ὁ μὲν οὖν ἄξων ὁ ἐν τῷ περιτροχίῳ κατασκευάζεται οὕτως· ξύλον δεῖ λαβεῖν εὔτονον τετράγωνον (καθάπερ δο‐ [Omitted graphic marker]κίδα) καὶ τούτου τὰ ἄκρα σι‐ μώσαντα στρογγύλα ποιῆσαι
20καὶ χοινικίδας περιθεῖναι χαλκᾶς συναραρυίας τῷ ἄξονι, ὥστε ἐμβληθείσας αὐτὰς εἰς τρήματα στρογγύλα ἐν ἀκινή‐ τῳ τινὶ πήγματι εὐλύτως στρέ‐
25φεσθαι τῶν τρημάτων τριβεῖς χαλκοῦς ἐχόντων ὑποκειμένους ταῖς χοινικίσι· καλεῖται δὲ τὸ εἰρημένον ξύλον ἄξων. περὶ δὲ μέσον τὸν ἄξονα περιτί‐
30θεται τύμπανον ἔχον τρῆμα τετράγωνον ἁρμοστὸν τῷ ἄξονι, ὥστε ἅμα στρέφεσθαι τόν
τε ἄξονα καὶ τὸ περιτρόχιον.

8

.

1118

 Ἡ μὲν οὖν κατασκευὴ δεδήλωται, χρεία δ’ ἐστὶν ἡ μέλλουσα λέγεσθαι. ὅταν γὰρ βουλώμεθα μεγάλα βάρη κινεῖν ἐλάσσονι βίᾳ, τὰ ἐκδεδεμένα ἐκ τοῦ βάρους ὅπλα περιθέντες περὶ τὰ σεσιμωμένα τοῦ ἄξονος, καὶ ἐμβαλόν‐
5τες σκυτάλας εἰς τὰ ἐν τῷ περιτροχίῳ τρήματα, ἐπιστρέ‐ φομεν τὸ περιτρόχιον κατάγοντες τὰς σκυτάλας, καὶ οὕτως εὐκόπως κινηθήσεται τὸ βάρος ὑπὸ ἐλάσσονος δυνάμεως τῶν ὅπλων περὶ τὸν ἄξονα ἐπειλουμένων [ἢ καὶ διαμηρυο‐ μένων ὑπό τινος πρὸς τὸ μὴ ἅπαν τὸ ὅπλον περικεῖσθαι
10τῷ ἄξονι]. τοῦ δὲ εἰρημένου ὀργάνου τὸ μὲν μέγεθος ἁρ‐ μόζεσθαι δεῖ πρὸς τὰ μέλλοντα κινεῖσθαι βάρη, τὴν δὲ συμμετρίαν πρὸς τὸν λόγον ὃν ἔχει τὸ κινούμενον βάρος πρὸς τὴν κινοῦσαν δύναμιν, ὡς ἑξῆς δειχθήσεται. Ἦν δὲ δευτέρα δύναμις ἡ διὰ τοῦ μοχλοῦ [καὶ τάχα ἡ
15προεπίνοια τῆς περὶ τὰ ὑπεράγαν βάρη κινήσεως]· προελό‐ μενοι γάρ τινες μεγάλα βάρη κινεῖν, ἐπειδὴ ἀπὸ τῆς γῆς ἔδει πρῶτον μετεωρίσαι, λαβὰς δὲ οὐκ εἶχον διὰ τὸ πάντα τὰ μέρη τῆς ἕδρας τοῦ φορτίου ἐπικεῖσθαι τῷ ἐδάφει, ὑπο‐ ρύξαντες βραχὺ καὶ ξύλου μακροῦ τὸ ἄκρον ὑποβαλόντες
20ὑπὸ τὸ φορτίον κατῆγον ἐκ τοῦ ἑτέρου ἄκρου, ὑποθέντες τῷ ξύλῳ παρ’ αὐτὸ τὸ φορτίον λίθον, ὃ δὴ καλεῖται ὑπο‐ μόχλιον. φανείσης δ’ αὐτοῖς τῆς κινήσεως πάνυ εὐκόπου ἐνόησαν ὅτι δυνατὸν κινεῖσθαι μεγάλα βάρη διὰ τοῦ τρόπου τούτου. καλεῖται δὲ τὸ ξύλον μοχλός, εἴτε τετράγωνον εἴη
25εἴτε στρογγύλον. ὅσῳ δ’ ἂν ἐγγυτέρω τιθῆται τοῦ φορτίου τὸ ὑπομόχλιον, τοσούτῳ εὐχερέστερον κινεῖται τὸ βάρος, ὡς ἑξῆς δειχθήσεται. Ἔστιν δὲ ἡ τρίτη δύναμις ἡ κατὰ τὸ πολύσπαστον.
ὅταν γὰρ βουλώμεθά τι βάρος ἕλκειν, ἐξάψαντες ὅπλον

8

.

1120

ἐξ αὐτοῦ ἐπισπώμεθα τοσαύτῃ βίᾳ, ὅση τῷ φορτίῳ ἰσόρ‐ ροπός ἐστιν. ἐὰν δὲ ἑλκύσαντες ἐκ τοῦ φορτίου τὸ ὅπλον τὴν μὲν μίαν αὐτοῦ ἀρχὴν ἐκδήσωμεν ἔκ τινος μένοντος χωρίου, τὴν δὲ ἑτέραν βάλωμεν διὰ τροχίλου ἐκδεδεμένου
5ἐκ τοῦ φορτίου καὶ ταύτην ἐπισπώμεθα, εὐχερέστερον κι‐ νήσομεν τὸ βάρος. πάλιν δὲ ἐὰν ἐκ τοῦ μένοντος χωρίου ἐξάψωμεν ἕτερον τροχίλον καὶ τὴν ἀγομένην ἀρχὴν διαβα‐ λόντες διὰ τούτου ἐπισπώμεθα, ἔτι μᾶλλον εὐχερέστερον κινήσομεν τὸ βάρος. καὶ πάλιν ἐὰν ἐκ τοῦ φορτίου τροχί‐
10λον ἕτερον ἐκδήσωμεν καὶ τὴν ἀγομένην ἀρχὴν διὰ τούτου διαβαλόντες ἐπισπώμεθα, πολλῷ μᾶλλον εὐχερέστερον κι‐ νήσομεν τὸ βάρος ** ἀεὶ τροχίλους ἔκ τε τοῦ μένοντος χω‐ ρίου ἐξάπτοντες καὶ ἐκ τοῦ φορτίου καὶ διαβάλλοντες ἐναλλὰξ τὴν ἀγομένην ἀρχὴν εἰς τοὺς τροχίλους εὐχερέστε‐
15ρον κινήσομεν τὸ βάρος. [ὅσῳ δ’ ἂν εἰς πλείονα κῶλα τὸ ὅπλον κάμπτηται, τὸ βάρος εὐκοπώτερον κινηθήσεται· δεῖ δὲ τὴν ἐκδεννυμένην ἀρχὴν ἐκ τοῦ μένοντος χωρίου ἐξάπτε‐ σθαι.] ἵνα οὖν μὴ καθ’ ἕνα τοὺς τροχίλους ἔκ τε τοῦ μέ‐ νοντος χωρίου καὶ ἐκ τοῦ φορτίου ἐξάπτωμεν, οἱ μὲν εἰρη‐
20μένοι εἰς τὸ μένον εἶναι χωρίον εἰς ἓν ξύλον ἐντίθενται περὶ ἄξονας κινούμενοι, ὃ καλεῖται μάγγανον, τοῦτο δὲ ἐξάπτεται ἐκ τοῦ μένοντος χωρίου διά τινος ἑτέρου ὅπλου, οἱ δὲ πρὸς τῷ φορτίῳ εἰς ἕτερον μάγγανον τούτῳ ἴσον, ὃ δὴ πάλιν ἐξάπτεται ἐκ τοῦ φορτίου μόνον. οὕτως δὲ δεῖ κατα‐
25τετάχθαι ἐν τοῖς μαγγάνοις τοὺς τροχίλους, ὥστε τὰ κῶλα

8

.

1122

μὴ ἐμπλεκόμενα πρὸς ἄλληλα δυσπειθῆ γίνεσθαι. δι’ ἣν δ’ αἰτίαν πλειόνων τῶν κώλων γινομένων εὐκοπία παρα‐ [Omitted graphic marker]κολουθεῖ, δείξομεν, καὶ δι’ ἣν αἰτίαν ἡ ἑτέρα ἀρχὴ ἐκ τοῦ μένοντος ἐξάπτεται
5χωρίου. Ἡ δὲ ἑξῆς δύναμις ἡ διὰ τοῦ σφη‐ νὸς καὶ αὐτὴ μεγάλας χρείας παρεχο‐ μένη πρός τε τὰς μυρεψικὰς πιέσεις καὶ τὰς διὰ τῆς τεκτονικῆς ὑπεραγούσας κολ‐
10λήσεις, τὸ δὲ πάντων μέγιστον, ὅταν τοὺς ἐκ τῶν λατομιῶν λίθους ἀποσπᾶν δέῃ τῆς κατὰ τὸ κάτω μέρος συνεχείας, οὐδεμία τῶν ἄλλων δυνάμεων ἐνεργεῖν δύναται, οὐδ’ ἂν ἅμα πᾶσαι συζευ‐
15χθῶσιν, μόνος δὲ ὁ σφὴν ἐνεργεῖ διὰ τῆς τυχούσης, καὶ ἄνεσις μὲν οὐδ’ ἡτισοῦν γίνεται κατὰ τὰ διαλήμματα τῶν ἐργα‐ ζομένων, καρτερὰ δὲ ἡ ἐπίτασις. τοῦτο δὲ φανερὸν ἐκ τοῦ καὶ μὴ πλησσομένου
20τοῦ σφηνὸς ἐνίοτε ψόφους καὶ ῥήγματα γίνεσθαι διὰ τῆς τοῦ σφηνὸς ἐνεργείας. ὅσῳ δ’ ἂν ἡ τοῦ σφηνὸς γωνία ἐλάσσων γίνηται, τοσούτῳ εὐχερέστερον ἐνεργεῖ, τουτέστιν δι’ ἐλάσσονος πληγῆς, ὡς δεί‐
25ξομεν. Τὰ μὲν οὖν προειρημένα ὄργανα φανερὰς καὶ αὐτοτελεῖς ἔχει τὰς κατα‐ σκευὰς πολλαχοῦ ἐν ταῖς χρείαις φαινο‐ μένας, ὁ δὲ κοχλίας ἔχει τι περίεργον
30περί τε τὴν κατασκευὴν καὶ τὴν χρῆσιν. ὁτὲ μὲν [οὖν] γὰρ αὐ‐
τὸς καθ’ αὑτὸν μόνος ἐνεργεῖ, ὁτὲ δὲ καὶ προσλαμβάνων ἔτι

8

.

1124

δύναμιν, πλὴν ὅτι οὐδὲν ἕτερόν ἐστιν ἢ σφὴν εἰλημένος, ἀπο‐ λειπόμενος τῆς πληγῆς, διὰ μοχλοῦ δὲ καὶ στροφῆς τὴν κίνη‐[Omitted graphic marker] σιν ποιούμενος. τοῦτο δ’ ἔσται δῆλον ἐκ τῶν μελλόντων λέ‐ γεσθαι. φύσις μὲν οὖν ὑπάρχει τῆς περὶ αὐτὸν πραγμα‐
5τείας τοιαύτη· ἐὰν κυλίνδρου πλευρὰ φέρηται κατὰ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας, πρὸς δὲ τῷ πέρατι ταύτης σημεῖόν τι ἅμα κατὰ αὐτῆς τῆς πλευρᾶς φέρηται, καὶ ἐν τῷ αὐτῷ χρόνῳ ἥ τε πλευρὰ μίαν ἀποκατάστασιν ποιήσηται καὶ τὸ σημεῖον τὸ πᾶν τῆς πλευρᾶς διεξέλθῃ, ἡ γενομένη ὑπὸ τοῦ
10σημείου ἐν τῇ κυλινδρικῇ ἐπιφανείᾳ γραμμὴ ἕλιξ ἐστίν, ἣν δὴ κοχλίαν καλοῦσιν. καταγράφεται δὲ ἐν τῷ κυλίνδρῳ οὕτως· ἐὰν ἐν ἐπιπέδῳ δύο εὐθείας ἐκθώμεθα ὀρθὰς ἀλλή‐ λαις, ὧν ἡ μὲν μία ἴση ἐστὶν τῇ τοῦ εἰρημένου κυλίνδρου πλευρᾷ, ἡ δὲ ἑτέρα τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ, ὅς ἐστιν
15βάσις τοῦ κυλίνδρου, καὶ ἐπὶ τὰ πέρατα τῶν εἰρημένων εὐθειῶν ἐπιζεύξωμεν εὐθεῖαν ὑποτείνουσαν τὴν ὀρθὴν γω‐ νίαν, τεθῇ δὲ ἡ ἴση τῇ τοῦ κυλίνδρου πλευρᾷ ἐπὶ τὴν τοῦ κυλίνδρου πλευράν, ἡ δὲ ἑτέρα τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν ἐπει‐ ληθῇ κατὰ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, εἰληθήσεται καὶ
20ἡ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν κατὰ τῆς κυλινδρικῆς ἐπιφανείας, καθ’ ἧς ἔσται ἡ εἰρημένη ἕλιξ. ἔξεστιν δὲ διελόντα τὴν τοῦ κυλίνδρου πλευρὰν εἰς ἴσα, ὁπός’ ἄν τις προαιρῆται, καθ’ ἕκαστον αὐτῆς μέρος περιγράφειν ἕλικα, ὡς προείρη‐ ται [ὥστε ἐν τῷ κυλίνδρῳ πλείονας ἕλικας γράφεσθαι, κα‐
25λείσθω δὲ ἡ ἅπαξ εἰληθεῖσα ἕλιξ μονόστροφος, τουτέστιν

8

.

1126

ἡ περὶ τὰ παρὰ ἑκάστου μέρους γινομένη γραμμή]. κατὰ αὐτῆς οὖν τῆς γραμμῆς σωλῆνα ἐντεμόντες εἰς τὸ βάθος τοῦ κυλίνδρου καὶ ἐκκόψαντες, ὥστε ἐν τῷ σωλῆνι τύλον[Omitted graphic marker] ἐναρμόσαι στερεόν, χρῶνται τῷ κοχλίᾳ οὕτως· τὰ ἄκρα
5αὐτοῦ στρογγύλα ποιήσαντες ἐναρμόζουσιν εἴς τινα δια‐ πήγματα ἐν στρογγύλοις τρήμασιν, ὥστε εὐκόπως αὐτὸν στρέφεσθαι, ὑπὲρ δὲ τὸν κοχλίαν κανόνα διατιθέντες παρ‐ άλληλον αὐτῷ σωλῆνα ἔχοντα μέσον ἐν τῇ ἄνω ἐπιφανείᾳ ἐναρμόζουσιν εἰς τοῦτον τὸν σωλῆνα τὸν εἰρημένον τύλον,
10ὥστε τὸ μὲν ἕτερον ἄκρον τοῦ τύλου μένειν ἐν τῷ τοῦ κο‐ χλίου σωλῆνι, τὸ δὲ ἕτερον ἐν τῷ εἰρημένῳ ἐτέρῳ σωλῆνι τῷ ἐν τῷ κανόνι. ὅταν οὖν βούλωνται φορτίον κινεῖν διὰ τούτου τοῦ ὀργάνου, ὅπλον λαβόντες τούτου τὴν μὲν μίαν ἀρχὴν ἐξάπτουσιν ἐκ τοῦ φορτίου, τὴν δὲ ἑτέραν ἐκ τοῦ προ‐
15ειρημένου τύλου, καὶ τρημάτων ὄντων τῇ κεφαλῇ τοῦ κο‐ χλίου σκυτάλας ἐμβαλόντες κατάγουσιν, καὶ οὕτως ὑπὸ τῆς ἕλικος ὁ τύλος παραγόμενος ἐν τῷ σωλῆνι ἐπισπᾶται τὸ ὅπλον δι’ οὗ καὶ τὸ φορτίον. ἔξεστιν δὲ ἀντὶ τῶν σκυ‐ ταλῶν χειρολάβην τινὰ περιθεῖναι τῷ ἄκρῳ τοῦ κοχλίου
20ὑπερέχοντι εἰς τὸ ἐκτὸς τοῦ διαπήγματος καὶ οὕτως στρέ‐ φοντα τὸν κοχλίαν ἐπισπᾶσθαι τὸ φορτίον. ἡ δ’ ἐν τῷ κο‐ χλίᾳ ἕλιξ ὁτὲ μὲν τετράγωνος γίνεται ὁτὲ δὲ φακοειδής, τετράγωνος μέν, ὅταν ὁ ἐν αὐτῷ σωλὴν ὀρθὰς ἔχῃ τὰς
ἐντομάς, φακοειδὴς δέ, ὅταν λοξὰς καὶ εἰς μίαν συναγο‐

8

.

1128

μένας γραμμήν. καλεῖται δὲ ὁ μὲν τετράγωνος, ὁ δὲ φα‐ κωτός. Ὅταν μὲν οὖν αὐτὸς καθ’ αὐτὸν ὁ κοχλίας ἐνεργῇ, ταύτην λαμβάνει τὴν κατασκευήν, γίνεται δὲ καὶ ἑτέρως·
5[Omitted graphic marker]προσλαβόντες γάρ τινα ἑτέραν δύναμιν τὴν διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ ἐν τῷ περιτροχίῳ καλουμένου [κατασκευὴν] νοήσομεν
10τὸ περὶ τὸν ἄξονα τύμ‐ πανον ὠδοντωμένον εἶ‐ ναι, κοχλίαν δέ τινα παρακεῖσθαι τῷ τυμ‐ πάνῳ ἤτοι ὀρθὸν κεί‐
15μενον πρὸς τὸ ἔδαφος ἢ παράλληλον τῷ ἐδά‐ φει, ἔχοντα τὴν μὲν ἕλικα ἐμπεπλεγμένην τοῖς ὀδοῦσι τοῦ τυμπά‐
20νου τὰ δὲ ἄκρα ἐν στρογ‐ γύλοις τρήμασιν πολευό‐ μενα ἔν τισιν διαπήγμα‐ σιν, καθάπερ καὶ προεί‐ ρηται, καὶ ὑπεροχῆς
25οὔσης τοῦ ἄκρου τοῦ κοχλίου εἰς τὸ ἐκτὸς τοῦ διαπήγματος μέρος, ἤτοι χειρολάβην τινὰ περικεῖσθαι, δι’ ἧς ἐπιστραφήσεται ὁ κοχλίας, ἢ τρήματα, ὥστε σκυταλῶν ἐμβληθεισῶν ὁμοίως
30ἐπιστρέφεσθαι· αὐτόν. πάλιν οὖν τὰ ἐκ τοῦ φορτίου ὅπλα

8

.

1130

περιβαλόντες περὶ τὸν ἄξονα ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ τυμπάνου καὶ ἐπιστρέφοντες τὸν κοχλίαν, δι’ οὗ καὶ τὸ ὠδοντωμένον τύμπανον, ἐπισπασόμεθα τὸ βάρος. Αἱ μὲν οὖν κατασκευαὶ καὶ αἱ χρήσεις τῶν προειρη‐
5μένων πέντε δυνάμεων δεδήλωνται, τίς δέ ἐστιν ἡ αἰτία, δι’ ἣν δι’ ἑκάστης αὐτῶν μεγάλα βάρη κινεῖται μικρᾷ παντάπασι δυνάμει, Ἥρων ἀπέδειξεν ἐν τοῖς μηχανικοῖς. ἐν δὲ τοῖς ἑξῆς ἐκ τοῦ γʹ τῶν Ἥρωνος μηχανὰς γράψομεν πρὸς εὐκοπίαν καὶ λυσιτέλειαν ἁρμοζούσας, δι’ ὧν πάλιν
10μεγάλα βάρη κινηθήσεται. Τὰ μὲν οὖν ἀγόμενα ἐπὶ τοῦ ἐδάφους, φησίν, ἐπὶ χελώνας ἄγεται. ἡ δὲ χελώνη πῆγμά ἐστιν ἐκ τετραγώνων[Omitted graphic marker] ξύλων συμπεπηγός, ὧν τὰ ἄκρα ἀνασεσίμωται. τούτοις οὖν ἐπιτίθεται τὰ βάρη, καὶ ἐκ τῶν ἄκρων αὐτῶν ἤτοι
15πολύσπαστα ἐκδέννυται ἢ ὅπλων ἀρχαί. ταῦτα δὲ ἤτοι ἀπὸ χειρὸς ἕλκεται ἢ εἰς ἐργάτας ἀποδίδοται, ὧν περια‐ γομένων ἡ χελώνη ἐπὶ τοῦ ἐδάφους σύρεται ὑποβαλλομένων σκυταλίων ἢ σανίδων. ἐὰν μὲν γὰρ μικρὸν ᾖ τὸ φορτίον, σκυτάλαις χρῆσθαι δεῖ, ἐὰν δὲ μεῖζον, ταῖς σανίσιν διὰ
20τὸ ταύτας μὴ εὐκόλως σύρεσθαι· αἱ γὰρ σκυτάλαι κυλιό‐
μεναι κίνδυνον ἔχουσιν τοῦ φορτίου ὁρμὴν λαβόντος. ἔνιοι

8

.

1132

δὲ οὔτε σκυτάλαις οὔτε σανίσι χρῶνται, ἀλλὰ τροχοὺς να‐ στοὺς προσθέντες ταῖς χελώναις ἄγουσιν. λβʹ. Ἐπὶ δὲ τῶν εἰς ὕψος βασταζομένων φορτίων, φησίν, μηχαναὶ γίνονται αἱ μὲν μονόκωλοι, αἱ δὲ δίκωλοι, αἱ δὲ
5τρίκωλοι, αἱ δὲ τετράκωλοι. αἱ μὲν οὖν μονόκωλοι οὕτως· ξύλον εὔτονον λαμβάνεται ὕψος ἔχον μεῖζον ἢ οὗ βουλό‐ μεθα τὸ φορτίον μετεωρίσαι, κἂν μὲν αὐτὸ καθ’ αὑτὸ ἰσχυρὸν ᾖ, ὅπλον βάλλοντες περὶ αὐτὸ [καὶ σφίγγοντες] καὶ διαμηρυόμενοι κατὰ ἐπείλησιν ἀποσφίγγουσιν. τῶν δὲ
10ἐπειλήσεων τὸ μεταξὺ διάστημα οὐ πλεῖον γίνεται παλαι‐ στῶν δʹ, καὶ οὕτως εὐτονώτερόν τε γίνεται τὸ ξύλον καὶ αἱ τοῦ ὅπλου ἐπειλήσεις ὥσπερ βαθμοὶ τοῖς ἐργαζομένοις καὶ βουλομένοις εἰς τὸ ἄνω μετεωρίζεσθαι εὔχρηστοι γίνον‐ ται. ἐὰν δὲ μὴ ᾖ εὔτονον τὸ ξύλον, ἐκ πλειόνων συμβλη‐
15τὸν γίνεται. [στοχάζεσθαι δεῖ τῶν μελλόντων βαστάζεσθαι φορτίων, ὅπως μὴ ἀσθενέστερον τὸ κῶλον ὑπάρχῃ.] ἵστα‐ ται οὖν τὸ κῶλον ὀρθὸν ἐπί τινος ξύλου καὶ ἐκ τοῦ ἄκρου αὐτοῦ ὅπλα ἐκδέννυται τρία που ἢ τέσσαρα καὶ ἀποτε‐ θέντα ἀποδίδοται πρός τινα μένοντα χωρία, ὅπως τὸ ξύ‐
20λον, ὅπου ἄν τις βιάζηται, μὴ παραχωρῇ κατεχόμενον ὑπὸ τῶν ἀποτεταμένων ὅπλων. ἐκ δὲ τοῦ ἄνω μέρους αὐτοῦ πολύσπαστα ἐξάψαντες καὶ ἀποδιδόντες εἰς τὸ φορτίον ἐπισπῶνται ἤτοι ἀπὸ χειρὸς ἢ εἰς ἐργάτας ἀποδόντες, εἰς ὅταν μετεωρισθῇ τὸ φορτίον. κἂν δέῃ τὸν λίθον ἐκτεθῆ‐
25ναι ἐπὶ τεῖχος ἢ ὅπου βούλεταί τις, ἐκλύσαντες ἓν τῶν

8

.

1134

ἐκδεννυμένων ἐκ τοῦ ἄκρου ὅπλων τὸ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ φορτίου κείμενον ἐγκλίνουσιν τὸ κῶλον, ἢ τὰς σκυ‐ τάλας ὑποβάλλοντες ὑπὸ τὸ φορτίον ἐν τοῖς μέρεσιν, ἐν οἷς ἡ σφενδόνη ἐν τῷ λίθῳ οὐκ ἐπείληται, χαλῶσι τὰ ἀγό‐
5μενα τῶν πολυσπάστων ἄχρι ἂν ἐπικαθίσῃ τὸ φορτίον ταῖς σκυτάλαις, εἶτ’ ἐκλύσαντες τὴν σφενδόνην μοχλεύουσι τὸ φορτίον ἄχρι οὗ εἰς ὃν βούλονται τόπον παράξωσιν. εἶτα πάλιν τὸ ὑποκείμενον τῷ κώλῳ ξύλον ὅπλῳ ἐπισπασάμενοι ἀπὸ χειρὸς περιάγουσιν ἐπὶ ἕτερον μέρος τοῦ οἰκοδομήμα‐
10τος ἅμα ἀνιέντες τοὺς ἀποτόμους, καὶ πάλιν ἐκδήσαντες
χρῶνται, ὡς προείρηται.