|
TLG 2023 003 :: IAMBLICHUS :: De communi mathematica scientia IAMBLICHUS Phil. Scholia: Cf. SCHOLIA IN IAMBLICHUM PHILOSOPHUM (5027) De communi mathematica scientia Citation: Section — (line) | ||
Comm Math.p,t | ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΤΟΥ ΤΡΙΤΟΥ ΛΟΓΟΥ. | |
Comm Math.p1 | Τίς ἡ πρόθεσις τοῦ παρόντος βιβλίου ἡ ὅλη, καὶ τίνες οἱ ὑπ’ αὐτὴν μερικοὶ σκοποὶ καὶ ποσαχῶς καὶ εἰς τίνα διαιρούμενοι, πόθεν τε ἔχοντες τὰς πρώτας αἰτίας τῆς οἰκείας ἐπισκέψεως καὶ ἀπὸ ποίας | |
| 5 | οὐσίας. | |
|---|---|---|
Comm Math.p2 | Τίς ἡ κοινὴ θεωρία περὶ τῶν μαθημάτων ὅλων καὶ περὶ τῆς μαθηματικῆς ἐπιστήμης, ὁπόθεν τε αὐτὴν καὶ ἀπὸ τίνων τὸν ὅρον αὐτῆς ληπτέον, πόσην τε ἔχει τὴν διάστασιν καὶ ἐπὶ πόσα γένη κοινὰ διήκουσαν. | |
Comm Math.p3 | Τίνες ἀρχαὶ τῶν ὅλων μαθημάτων καὶ τίνι διαφέρουσι τῶν ἄλλων ἀρχῶν, ὅσαι ἑτέρων οὐσιῶν εἰσιν ἀρχαί, πῶς τε κοινὴν τὴν αἰτίαν παρέχονται αἱ τοιαῦται εἰς ὅλα τὰ μαθήματα. | |
Comm Math.p4 | Τίνες αἱ ἴδιαι ἀρχαὶ ἑκάστου τῶν μαθημάτων καὶ τίνα ἔχουσαι τὴν καθ’ αὑτὰς ἰδιότητα καὶ τὴν πρὸς ἀλλήλας διαφορὰν καὶ τὴν πρὸς πάσας τὰς ἄλλας | |
| ἀρχὰς πάντων τῶν ὄντων. | 3 | |
Comm Math.p5 | Τίνα κοινῶς ὑπόκειται πᾶσι τοῖς μαθήμασι, περὶ ἃ ποιοῦνται τὴν πραγματείαν οἱ φιλομαθεῖς, καὶ πῶς ἔνεστι περὶ αὐτὰ καθόλου τὴν θεωρίαν ποιεῖσθαι. | |
Comm Math.p6 | Τίς ἀρίστη χρῆσις τῆς περὶ τὰ μαθήματα σπουδῆς, καὶ πρὸς τί τέλος ἀναφέρειν δεῖ τὴν ἀρίστην περὶ αὐτὰ πραγματείαν. | |
Comm Math.p7 | Τί ἑκάστῃ μαθηματικῇ ἐπιστήμῃ ὑπόκειται οἰκεῖον ἐπιστητόν, καὶ πῶς ἔνεστιν ἐκ διαιρέσεως τὴν κοινὴν αὐτῶν διάκρισιν ποιήσασθαι, ὡς εἰδέναι τὸ ἐν τοῖς μαθήμασιν ἓν καὶ πλῆθος ποῖόν τί ἐστι καὶ πῶς | |
| 5 | αὐτὸ δεῖ ὁρίζειν. | |
Comm Math.p8 | Τί κοινὸν κριτήριον τῶν μαθημάτων πάντων, καὶ πῶς ἀπὸ τῆς τομῆς εὑρίσκεται τῆς γραμμῆς, ἣν οἱ Πυθαγόρειοι παραδιδόασι. | |
Comm Math.p9 | Περὶ τῶν ὡρισμένην ἀπονεμόντων οὐσίαν τοῖς μαθήμασιν, ὧν πρώτη δόξα παράκειται τῶν εἰς ψυχὴν ἀναγόντων αὐτήν, αἰτίαι τε πλείονες τῆς τοιαύτης ὑπο‐ θέσεως λέγονται καὶ πρὸς τὴν ὅλην θεωρίαν περὶ | |
| 5 | αὐτῶν ἀφορμαί. | |
Comm Math.p10 | Πῶς ἐκ πάντων τῶν μαθημάτων συνέστηκεν ἡ τῆς ψυχῆς οὐσία, καὶ κατὰ τίνα διορισμὸν ἀφορι‐ σθείη ἂν αὐτῶν ἡ σύγκρασις ἐν αὐτῇ, καὶ εἰ πᾶσαν περιέχει τῶν μαθημάτων τὴν ὑπόστασιν ἐν ἑαυτῇ ἢ | |
| 5 | καὶ ἄλλη τις ἀρχὴ αὐτῶν θεωρεῖται. | |
Comm Math.p11 | Τί τὸ ἔργον τῆς μαθηματικῆς θεωρίας καὶ πῶς παραγίγνεται, καὶ ὅτι συμφώνως τούτοις μαθη‐ | |
| ματικὴ ἐπονομάζεται. | 4 | |
Comm Math.p12 | Τίνες αἱ δυνάμεις τῆς μαθηματικῆς ἐπιστή‐ μης, καὶ τίνας ἔχουσι τάξεις ἐν αὑταῖς καὶ κατὰ πόσας διαφορὰς διαιροῦνται καὶ ποσαχῶς νοοῦνται. | |
Comm Math.p13 | Τίνα στοιχεῖα καὶ γένη τῆς μαθηματικῆς ἐστιν ἐπιστήμης, καὶ πῶς μὲν στοιχεῖα πῶς δὲ γένη τὰ αὐτὰ ὑπάρχει, τίνι τε διέστηκε ταῦτα τῶν ἐν ταῖς ἄλλαις ἐπιστήμαις καὶ οὐσίαις ταῖς τε νοηταῖς καὶ ὅσαι εἰσὶν | |
| 5 | ἐν γενέσει. | |
Comm Math.p14 | Περὶ ὁμοιότητος καὶ ἀνομοιότητος τῆς μαθη‐ ματικῆς, τίνες τέ εἰσι καὶ ἐπὶ πόσον διατείνουσι καὶ πῶς ὑπάρχουσιν ἐπὶ τῆς μαθηματικῆς οὐσίας, κατὰ τί τε διενηνόχασι τῶν ὁμωνύμων γενῶν, ὅσα ἐπὶ τῶν | |
| 5 | νοητῶν λέγεται καὶ ἐπὶ τῶν αἰσθητῶν. | |
Comm Math.p15 | Πῶς διήκει ἡ ὅλη μαθηματικὴ ἐπιστήμη, αὐτή τε καὶ τὰ γένη αὐτῆς καὶ τὰ στοιχεῖα καὶ ἀρχαί, εἰς ὅλην φιλοσοφίαν καὶ τὰ τῆς φιλοσοφίας μέρη, πῶς τε πρὸς αὐτὰ ἐπικοινωνεῖ καὶ κατὰ τίνα συντέλειαν. | |
Comm Math.p16 | Πόσα ταῖς τέχναις συμβάλλεται ἀγαθά, ταῖς τε ὅλαις καθολικῶς καὶ ταῖς κατὰ γένη διωρισμέναις, ὥσπερ ταῖς θεωρητικαῖς καὶ ποιητικαῖς καὶ πρακτικαῖς, ἐν κεφαλαίῳ τε περὶ αὐτῶν διδασκαλία. | |
Comm Math.p17 | Τίς ἡ τάξις τῆς ἐν τῇ μαθηματικῇ ἀγω‐ γῆς, καὶ εἰ κατὰ φύσιν ἔχει τάξιν καὶ πρὸς μάθησιν, καὶ εἰ συμφωνεῖ ἑκατέρα τάξις πρὸς ἑκατέραν καὶ αἱ | |
| δύο πρὸς ἀλλήλας. | 5 | |
Comm Math.p18 | Τίνες οἱ ἴδιοι τρόποι τῆς Πυθαγορικῆς παρα‐ δόσεως τῶν μαθημάτων καὶ πῶς αὐτοῖς ἐχρῶντο καὶ πρὸς τίνας, καὶ ὅτι τὸ οἰκεῖον προσέφερον ἀεὶ τοῖς τε πράγμασι καὶ τοῖς μανθάνουσι. | |
Comm Math.p19 | Διαίρεσις κατὰ τοὺς Πυθαγορείους τῆς ὅλης μαθηματικῆς ἐπιστήμης εἰς γένη τε καὶ εἴδη τὰ κυριώ‐ τατα, κοινὴν περὶ αὐτῶν ποιουμένη τὴν θεωρίαν. | |
Comm Math.p20 | Τίς ἡ ὁριστικὴ τῆς μαθηματικῆς μέθοδος καὶ πῶς γιγνομένη, τί τε ὄφελος εἰς ἐπιστήμην συμβάλλε‐ ται, καὶ ὅτι τέλος ἔχει ἡ μαθηματική, καὶ ποῖόν τι αὐτῆς ἐστι τέλος. | |
Comm Math.p21 | Τίνες ἀρχηγέται τῆς κατὰ Πυθαγόραν μαθη‐ ματικῆς προηγήσαντο καὶ τίνα ἐξαίρετα κατ’ αὐτόν ἐστι τῆς τοιαύτης ἐπιστήμης, πῶς τε δεῖ ἑπομένως αὐτῷ τὰς περὶ τῶν μαθημάτων διατάξεις ποιεῖσθαι, | |
| 5 | κοινὴ διάληψις. | |
Comm Math.p22 | Τίς ἡ ἰδιάζουσα κατὰ Πυθαγόραν ἦν μελέτη τῆς μαθηματικῆς ἐπιστήμης, καὶ πρὸς πόσα ἀπέβλεπε χρήσιμα τῇ ψυχῇ καὶ τοῖς ἀνθρώποις, πῶς τε αὐτὴν μετεχειρίζοντο παρ’ ὅλην τὴν οἰκείαν ἑαυτῶν ζωήν. | |
Comm Math.p23 | Ὅτι οὐκ εἰκῇ οἱ Πυθαγόρειοι τὰ μαθήματα ἐπὶ πλεῖον προῆγον, ἀλλὰ πρὸς τὸν βίον τῆς ἀναγκαίας χρήσεως, τίνες τε αἱ τούτου αἰτίαι διὰ πλειόνων ὑπό‐ μνησις. | |
Comm Math.p24 | Τίς ἦν ἡ συνήθεια ἐν τοῖς μαθήμασι τῆς διατριβῆς τῶν Πυθαγορείων, καὶ τίς ἡ ἐν ταῖς ἐπι‐ στήμαις γυμνασία αὐτῶν καὶ ἐξεργασία. | 6 |
Comm Math.p25 | Τίνες ἦσαν οἱ μαθηματικοὶ τῶν Πυθαγορείων καὶ κατὰ τί διέφερον τῶν ἀκουσματικῶν, τί τε ἦν αὐτῶν τὸ ἔργον καὶ ποῖόν τι τὸ εἶδος τῶν λόγων καὶ τῶν ἀποδείξεων. | |
Comm Math.p26 | Ἀντιλήψεις τῶν μαθημάτων ὡς οὐδενὸς ἀξίων ὄντων, καὶ ἀντιλογίαι πρὸς αὐτὰς ἀντιδιατάξεις τε διὰ πλειόνων. | |
Comm Math.p27 | Τί ἀπαιτεῖν δεῖ παρὰ τοῦ μαθηματικοῦ τὸν ὄντως πεπαιδευμένον, καὶ πῶς δεῖ κρίνεσθαι αὐτοῦ τὴν θεωρίαν, καὶ ἐκ τίνων ὅρων τὴν ὀρθότητα περι‐ λαμβάνεσθαι. | |
Comm Math.p28 | Πότε μαθηματικῆς ἐστὶν ἢ ἄλλης ἐπιστήμης τὸ πρόβλημα ἢ ὁ τρόπος τῶν ἀποδείξεων, διάκρισις ἐπιστημονική. | |
Comm Math.p29 | Περὶ τῶν μαθηματικῶν συλλογισμῶν καὶ τῶν μαθηματικῶν διαιρέσεών τε καὶ ὁρισμῶν πῶς χρῆται αὐτοῖς ἡ μαθηματικὴ ἐπιστήμη, πότερον κατὰ τὸν οἰκεῖον τρόπον ἢ παρὰ διαλεκτικῆς λαμβάνουσα | |
| 5 | τὰς ἀρχάς. | |
Comm Math.p30 | Ὅτι φιλοσοφίᾳ πάσῃ καὶ τοῖς μέρεσιν αὐτῆς ὅλοις μεγάλα συμβάλλεται ἡ μαθηματικὴ ὑπουρ‐ γοῦσα πρὸς πάντα αὐτῇ, καὶ μάλιστα ἡ κατὰ τοὺς Πυθαγορείους, ἥτις πολὺ διαφέρει τῆς ἄλλης μαθη‐ | |
| 5 | ματικῆς. | |
Comm Math.p31 | Ὅτι τοῖς αὐτοῖς μαθήμασιν ἐπὶ πολλὰ πράγ‐ | |
| ματα διάφορα ἐχρῶντο οἱ Πυθαγόρειοι, καὶ πλείονα μαθήματα τοῦ αὐτοῦ πράγματος ἐποιοῦντο δηλωτικά, καὶ διὰ τίνας αἰτίας. | 7 | |
Comm Math.p32 | Πῶς ἐνίοτε καὶ περὶ αἰσθητῶν μαθηματικῶς ἐπιχειροῦμεν καὶ ποσαχῶς τοῦτο γίγνεται, καὶ πῶς ἐν τοῖς μαθήμασι πολλὰ εἰς ἄλλα ἀνάγεται καὶ διὰ τίνας αἰτίας. | |
Comm Math.p33 | Τί τὸ κοινὸν ἐν ὅλῃ τῇ μαθηματικῇ ἐπι‐ στήμῃ καὶ τὸ ἴδιον αὐτῆς ἐστι κατὰ τὰς ἐν πολλοῖς εἴδεσι θεωρουμένας διαφοράς, ὅπως τε δεῖ τέμνειν αὐτὸ κατὰ τὴν διαιρετικὴν ἐπιστήμην ἀφ’ ἑνὸς ἐπὶ | |
| 5 | δύο, εἶτα ἐπὶ πλείονα εἴδη. | |
Comm Math.p34 | Πόθεν ὠνόμασται ἡ τῶν μαθημάτων ἐπι‐ στήμη καὶ τίς αὐτῆς ὁ χαρακτήρ, τίσι τε δεῖ προσέ‐ χειν ἐν τῷ τὸ εἶδος τῶν μαθημάτων ἐπικρίνειν. | |
Comm Math.p35 | Ἀνακεφαλαίωσις τοῦ κοινοῦ λόγου περὶ πάν‐ των τῶν μαθημάτων, τῆς τε τάξεως τῶν κεφαλαίων παράδειξις, καὶ ὑπόμνησις ἅμα καὶ περὶ τοῦ ὀρθῶς | |
| διῃρῆσθαι τὴν ὅλην αὐτῶν σύνοψιν. | 8 | |
Comm Math.t1-35 | ΙΑΜΒΛΙΧΟΥ ΧΑΛΚΙΔΕΩΣ ΤΗΣ ΚΟΙΛΗΣ ΣΥΡΙΑΣ ΠΕΡΙ ΤΗΣ ΚΟΙΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΛΟΓΟΣ Γʹ. | |
Comm Math.1 | Ἡ μὲν πρόθεσις τῆς παρούσης ἐπισκέψεως τὴν κοινὴν βούλεται τῶν μαθημάτων θεωρίαν παραδεῖξαι, τίς ἐστιν ἡ ὅλη καὶ τίνα ἔχει μίαν αἰτίαν καὶ οὐσίαν πρεσβυτάτην προηγουμένην, μετὰ μίαν δὲ δύο εἴ πως | |
| 5 | εἰσὶν ἀρχαὶ ταύτης ἐπισκεψόμεθα, καὶ μετὰ ταύτην τὴν διχοτομίαν εἴ τις ἐστὶν ἀριθμὸς ὡρισμένος τῶν ἐν αὐτοῖς γενῶν πειρασόμεθα ἀπολογίζεσθαι μετ’ ἐπι‐ στημονικῆς τινος διαιρέσεως· καὶ τότε δὴ τὰ κοινὰ εἴδη τῶν μαθημάτων πάντων ἐπισκεψόμεθα κατὰ κοινήν | |
| 10 | τινα ἐπιβολήν, μηδέπω τῶν καθ’ ἕκαστον θεωρημάτων ἐφαπτόμενοι. καθ’ ἕκαστον δὲ τῶν εἰρημένων παρα‐ δείξομεν τὴν οὐσίαν περὶ ἣν ἕκαστον γένος καὶ εἶδος τῶν μαθηματικῶν ἐνυπάρχει, τίς τέ ἐστιν ἡ τούτων συντέλεια πρὸς τὸ πᾶν καὶ ἡ πρὸς ἄλληλα σύνταξις | |
| 15 | οὐ παρήσομεν εἰπεῖν, τίς τε αὐτοῖς καὶ πόθεν ἡ συγ‐ γένεια ἐφήκει, καὶ ἀπὸ τίνων συνδεῖται ἀρχῶν, εἰς τίνας τε ἀνάγεται τὰς πρεσβυτέρας ἑαυτῆς αἰτίας, καὶ πῶς ἄν τις αὐτῶν ἐπιτυχεῖν δυνηθείη, τί τε χρήσιμός ἐστιν ἡ πραγματεία καὶ πρὸς πόσα ἀγαθὰ ὁδηγεῖ, καὶ | |
| 20 | ὅτι καθ’ αὑτήν τέ ἐστιν αἱρετὴ καὶ διὰ τὰς παραγινο‐ μένας ἀπ’ αὐτῆς ἐπιστήμας, καὶ ὅτι πρὸς πᾶσαν φιλο‐ σοφίαν περιάγει τὴν διάνοιαν καὶ πρὸς πᾶσαν τὴν περὶ τῶν ὄντων καὶ νοητῶν ἐπιστήμην. τὰ μὲν οὖν προκείμενα ἡμῖν ἐστι τοσαῦτα ἐν τούτῳ τῷ βιβλίῳ | 9 |
| 25 | διελθεῖν, ἀρξώμεθα δὲ ἀπὸ τοῦ πρώτου ἄνωθεν ἀνα‐ λαβόντες. Κοινῇ δὴ περὶ πάντων τῶν μαθημάτων ἀξιώματα ἡμῖν προσκείσθω ταῦτα· ὡς ἔστιν ἀσώματα καὶ καθ’ ἑαυτὰ ὑφεστηκότα, τῶν τε ἀμερίστων οὐσιῶν καὶ τῶν | |
| 30 | περὶ τὰ σώματα μεριστῶν μέσα, εἰδῶν τε καὶ λόγων, τὴν μεταξὺ τοῦ τε ἀμεροῦς καὶ τοῦ μεριστοῦ τάξιν εἰληχότα, καὶ τῶν μὲν ὄντα καθαρώτερα τῶν δὲ ποι‐ κιλώτερα, συνθέσει μὲν καὶ διαιρέσει χρώμενα, ἀγενή‐ τως δὲ καὶ ἀιδίως τὸ συντιθέμενον καὶ διαιρούμενον | |
| 35 | ἐπισκοπούμενα, τῶν μὲν νοητῶν οὐσιῶν καταδεέστερα ὄντα, τῶν δὲ ἐν τῇ φύσει πρότερα, κάλλει τε καὶ τάξει καὶ ἀκριβείᾳ προέχοντα τῶν ὁρατῶν, ἀπολειπόμενα δὲ τῶν νοητῶν, συμμετρίᾳ τε ὡσαύτως καὶ ὁμολογίᾳ μέσῃ χρώμενα, δύναμίν τε ἔχοντα διαπορθμεύειν καὶ διαβι‐ | |
| 40 | βάζειν ἐπὶ τὰ ἀμέριστα εἴδη, ἅτε συγγενῆ πρὸς αὐτὰ ὑπάρχοντα, καὶ τῶν μὲν σωμάτων ἀπάγοντα τοὺς συνήθεις πρὸς αὐτὰ γιγνομένους, περιάγοντα δὲ ἐπὶ τὰς θείας οὐσίας ὥσπερ διά τινος κλίμακος ἀναγούσης | |
| ἐπὶ τὸ ὕψος. δεῖ δὴ θεωρεῖν οὐκ ἀφ’ ἑνὸς μόνου | 10 | |
| 45 | γένους τῶν ὄντων καθήκουσαν εἰς ταῦτα δευτέραν τῆς ἀσωμάτων οὐσίας δόσιν, ἀλλ’ ἀπὸ πάντων ὅσα ποτέ ἐστιν ἐν τῷ ὄντως ὄντι καὶ τῷ νῷ γένη· κάτεισι γὰρ ἀπὸ πάντων τούτων εἰς τὰς μεταξὺ φύσεις τῶν μαθη‐ μάτων ἡ μεσότης τῶν τε αἰτίων καὶ τῶν ἀποτελου‐ | |
Comm Math.1(50) | μένων ὑπ’ αὐτῶν, συνάπτει τε τὰ γιγνόμενα πρὸς τὰ ὄντα καὶ κοινωνίαν αὐτῶν πρὸς ἄλληλα ἀπεργάζεται. τοσαύτης δὴ οὖν οὔσης 〈τῆσ〉 τῶν μαθημάτων θεωρίας καὶ οὕτως ἐπὶ πάντα διατεινούσης, ἡ μαθηματικὴ ἐπι‐ στήμη γνῶσίς ἐστι μέση, πλεονάζουσα τοῦ νοῦ τῇ συν‐ | |
| 55 | θέσει, διανοητική τις οὖσα, πολλὰ ἐν ταὐτῷ συλλαμβά‐ νουσα, διεξόδοις τισὶ χρωμένη μᾶλλον καὶ ἀνελίξεσιν, εἴδεσί τε καὶ λόγοις μέσοις καὶ οὐ πάντῃ πεπερασμέ‐ νοις, ἀλλὰ περὶ τὸ ἄπειρον ἀφορίζουσι τὸ πέρας, σαφή‐ νειάν τε ἐν τοῖς μὴ πάνυ γνωρίμοις παρεχομένοις. | |
Comm Math.2 | Τοιαύτης δὴ οὖν οὔσης τῆς ἐπιστήμης, ληπτέον αὐτὴν σωμάτων ἀφισταμένους καὶ γενέσεως, φαντασιῶν τε καὶ αἰσθήσεων καθαρεύοντας, συνεθιζομένους τε τοῖς καθ’ αὑτὰ ἀσωμάτοις καὶ τῇ μελέτῃ τῶν λόγων συνε‐ | |
| 5 | χεῖ χρωμένους. τὸν δὲ ὅρον αὐτοῖς ἐπιτιθέναι ἄξιον ἀπὸ τῆς τῶν ὄντων ἐπιστήμης καὶ τῆς καθαρᾶς νοή‐ σεως τῶν τε καθαρῶν λόγων καὶ τῶν ἀύλων εἰδῶν καὶ τῆς πεπερασμένης τῶν νοητῶν ἀληθείας· ἀπὸ γὰρ τούτων ἄν τις τὸ τέλειον καὶ εἰλικρινὲς προσλάβοι τῆς | |
| 10 | ἐν αὐτοῖς εἰδήσεως. διατείνει δὲ ἐπὶ πάντα ὅσα μέσα ἐστὶ γένη τε καὶ εἴδη τῶν ὄντων, ὅσα τε ἐν ἀριθμοῖς ὡρισμένοις περιείληπται, καὶ ὅσα πρόεισιν ὡρισμένως κατά τινας εἰδητικὰς διαφοράς. καὶ τὰ μὲν ἐπὶ τὸ | |
| πρόσω προχωρεῖ εἰς ὕψος τε ἄνεισι, τὰ δὲ τοῖς ὑπο‐ | 11 | |
| 15 | δεεστέροις καὶ κατωτέρω πελάζει, τὰ δ’ ἐν μέσῳ τού‐ των ὄντα συνάπτει τὰ ἄκρα. γένη δὲ αὐτῶν καὶ εἴδη κατὰ πάντα ταῦτα διοριστέον, καὶ ἔτι τὰ μὲν ὡς καθ’ αὑτά, τὰ δὲ ὡς πρὸς ἕτερα διαιρετέον· καὶ κατὰ τὰς τοῦ ποσοῦ δὲ διαφορὰς ὑποληπτέον αὐτῶν τὴν διάκρι‐ | |
| 20 | σιν, καὶ κατὰ τὰς τῶν λόγων τῶν μέσων καὶ εἰδῶν διαιρέσεις· καὶ τὰ μὲν πρότερα αὐτῶν, τὰ δὲ ὕστερα ὑποθετέον, ὅπως ἂν αἱ φύσεις ἔχωσι τὸ πρὸς ἀλλήλας τεταγμένον. δύναται δέ τις καὶ κατὰ τὰς δυνάμεις τῆς ψυχῆς τὰς γνωριστικάς, ὅσαι μέσαι εἰσὶ καὶ διανοητι‐ | |
| 25 | καί, συλλογίζεσθαι αὐτῶν τὴν ἑτερότητα, ὥσπερ καὶ Ἀρχύτας φαίνεται ποιῶν ἐν τῇ τῆς γνωριστικῆς γραμμῆς τομῇ. τοιαύτη τις ἔστω ὡς ἐν τύποις ὑπο‐ γράψαι ἡ πρώτη περίληψις τῆς κοινῆς περὶ μαθημάτων θεωρίας, τὰ δὲ ἐντεῦθεν ἄνωθεν ἀναλαβόντες πειρα‐ | |
| 30 | θῶμεν καθ’ ἕκαστον ἐπελθεῖν τὰ ἤδη προειρημένα προβλήματα. | |
Comm Math.3 | Κοινῶς δὴ περὶ πάντων τῶν μαθημάτων ἀφορισώμεθα τίνες τῆς μαθηματικῆς οὐσίας εἰσὶν ἀρχαί· ἐπειδὴ γὰρ πᾶσα ἐπιστήμη παραγίνεται διὰ τῶν οἰκείων ἀρχῶν, καὶ τῆς μαθηματικῆς οὐσίας ἀρίστη ἂν γένοιτο | |
| 5 | ἡ ἐντεῦθεν ὁρμωμένη εἴδησις. ὅτι μὲν οὖν τὸ πεπερα‐ σμένον καὶ ἄπειρον ἀρχαί εἰσι πάντων τῶν μαθημάτων καὶ πάσης μαθηματικῆς οὐσίας, παντὶ δῆλον, ὡς δοκεῖ τοῖς Πυθαγορείοις· ἀλλὰ τούτων ἑκάτερον οὐχ ἕνα | |
| λόγον οὐδ’ ἐπὶ πάσης οὐσίας τὸν αὐτόν, ἀλλ’ ἐπὶ μὲν | 12 | |
| 10 | τῶν νοητῶν εἰδῶν καὶ τῶν ἀύλων λόγων ἄλλαι εἰσὶν αἱ τοιαῦται ἀρχαί, νοηταί τε πάντῃ καὶ ἄυλοι καὶ καθ’ ἑαυτὰς οὖσαι ἀμέριστοι, ἐπὶ δὲ τῶν μαθημάτων πλή‐ θους καὶ μεγέθους, διαιρέσεώς τε καὶ διαστάσεως ἔσον‐ ται αἰτίαι, μεριστῆς τε φύσεως μεθέξουσι καὶ οἰκεῖα | |
| 15 | γένη λήψονται τὰ προσήκοντα τοῖς ὅλοις μαθήμασι, συνθέσεώς τε μεταλήψονται καὶ κριθήσονται διανοήσει ἑτέρᾳ οὔσῃ παρὰ τὴν κρίνουσαν δύναμιν τὰς ἁπλᾶς καὶ ἀμερίστους καὶ νοερὰς οὐσίας. κίνησιν δὲ ταῖς ἀρχαῖς ταύταις τῶν μαθημάτων ἔνιοι μὲν ἴσως δώσουσιν, | |
| 20 | ὅσοι ἐν τῇ ψυχῇ καὶ ταῖς τῆς ψυχῆς ζωαῖς καὶ δυνά‐ μεσι τὰς ἀρχὰς ταύτας ὑποτίθενται, βέλτιον δὲ τὴν μὲν ψυχὴν ἐν ἑτέρῳ γένει τῆς οὐσίας τιθέναι, τὰς δὲ μαθηματικὰς ἀρχὰς καὶ τὴν μαθηματικὴν οὐσίαν ἀκι‐ νήτους ὑπολαμβάνειν· ἕστηκέ τε γὰρ αὐτῶν ἀεὶ τὰ | |
| 25 | εἴδη καὶ ὡσαύτως αὐτὰ θεωροῦμεν καὶ κατὰ τὰ αὐτά. μέσαι δή τινες οὖν εἰσιν αὗται αἱ ἀρχαὶ τοῦ τε ἀπεί‐ ρου καὶ τοῦ πέρατος, κρατούσης ἀεὶ τῆς τοῦ πέρατος ἰδέας τοῦ ἀπείρου καὶ περιοριζούσης αὐτὴν ἐν ἑαυτῇ· διὸ καὶ πρόεισι μὲν ἐπὶ τὸ ἄπειρον ἀεί, ὁρίζεται δὲ | |
| 30 | ὑπὸ τοῦ περαίνοντος. τῶν μὲν οὖν ἐν τῷ νῷ ὑπαρ‐ χόντων διαφέρουσιν αἵδε αἱ ἀρχαὶ τῷ διαιρέσεως καὶ πλήθους καὶ μεγέθους καὶ συνθέσεως ἐνδιδόναι τὴν αἰτίαν ἀφ’ ἑαυτῶν, τῶν δὲ τῆς φύσεως καὶ τῶν τῆς ψυχῆς λόγων χωρίζονται τῷ τε ἀκίνητοι εἶναι καὶ | |
| 35 | διότι τῶν μεταξὺ τεταγμένων μέσων ἀσωμάτων καθ’ ἑαυτὰς ὑπάρχουσι κεχωρισμέναι τῆς ὕλης, αἱ δὲ καὶ | |
| τῆς ὕλης ἐφάπτονται. ὅτι μὲν οὖν διαφέρουσι τῶν ἄλλων αἰτίων, ἐκ τούτων ἄν τις πεισθείη. τὴν δὲ κοινότητα αὐτῶν τὴν ἐπὶ πάντα διατείνουσαν ἀπό τε | 13 | |
| 40 | τῆς μεσότητος τῆς ἁπλῶς οὕτω νοουμένης ὑποληπτέον, καὶ ἀπὸ τῆς ὑποδεεστέρας φύσεως τῶν ἀμερίστων καὶ νοητῶν εἰδῶν, πρεσβυτέρας δὲ τῶν περὶ τὰ σώματα μεριστῶν. καὶ εἰ λόγους δέ τις λαμβάνοι, κατὰ ταύτην τὴν κοινότητα αὐτῶν ἐν τοῖς λόγοις θεωρητέον. καὶ | |
| 45 | τὴν ἀοριστίαν δὲ ὡσαύτως κοινῶς ἐπὶ πάντα διατεί‐ νουσαν ὑποθετέον. εἴ τέ τινες ὑποδοχαὶ νοοῦνται τῶν μαθηματικῶν εἰδῶν, κοινὰς ταύτας ἀπολιπεῖν ἄξιον πάσης τῆς ἐν τοῖς μαθήμασι θεωρουμένης πολυειδοῦς συστάσεως· οὕτω γὰρ ἄν τις τὴν κοινότητα αὐτῶν | |
Comm Math.3(50) | κατανοήσειε, δύσληπτον μὲν οὖσαν νοῆσαι ὥστε αὐτὴν ἑνὶ λογισμῷ περιλαβεῖν, διὰ τὸ ἐν πολλοῖς καὶ διαφέ‐ ρουσιν ἐνυπάρχειν, μόλις δ’ ἂν οὕτως ἐπινοηθῆναι δυναμένην. τοσαῦτα μὲν οὖν καὶ περὶ τῶν κοινῶν ἡμῖν διωρίσθω. | |
Comm Math.4 | Εἰ δὲ δεῖ καὶ τὰς ἰδίας ἀρχὰς καθ’ ἕκαστον τῶν μαθημάτων ἀφορίσασθαι, τίνες τέ εἰσι καὶ ὁποῖαι καὶ τίνα ἔχουσαι τὴν καθ’ αὑτὰς ἰδιότητα καὶ τὴν πρὸς ἀλλήλας διαφορὰν καὶ τὴν πρὸς ἁπάσας τὰς ἄλλας | |
| 5 | ἀρχὰς πάντων τῶν ὄντων, καιρός ἐστιν ἤδη καὶ περὶ τού‐ των διελθεῖν. πάντων δὲ ἄριστον, ἐπεὶ τάξις τίς ἐστιν ἐν αὐτοῖς, καὶ τὰ μὲν ὡς πρότερα προηγεῖται οὐ τῇ τάξει μόνον ἀλλὰ καὶ τῇ φύσει (συναναιρεῖ μὲν γὰρ οὐ συν‐ | |
| αναιρεῖται δέ, καὶ συνεπιφέρει μὲν οὐ συνεπιφέρεται δέ), | 14 | |
| 10 | τὰ δὲ ἐν ἀμφοτέροις τούτοις ἀπολείπεται πρεσβείᾳ καὶ ἁπλότητι, τούτων δὴ ἕνεκα καὶ ἡμῖν προσήκει τῇ κατὰ φύσιν αὐτῶν τάξει συνακολουθῆσαι, καὶ πρῶτον μὲν εἰπεῖν περὶ τῶν πρώτων, ἔπειθ’ οὕτω περὶ τῶν ἄλλων. | |
| 15 | Τῶν δὴ ἀριθμῶν τῶν μαθηματικῶν δύο τὰς πρω‐ τίστας καὶ ἀνωτάτω ὑποθετέον ἀρχάς, τὸ ἕν (ὅπερ δὴ οὐδὲ ὄν πω δεῖ καλεῖν, διὰ τὸ ἁπλοῦν εἶναι καὶ διὰ τὸ ἀρχὴν μὲν ὑπάρχειν τῶν ὄντων, τὴν δὲ ἀρχὴν μηδέπω εἶναι τοιαύτην οἷα ἐκεῖνα ὧν ἐστιν ἀρχή), καὶ ἄλλην | |
| 20 | πάλιν ἀρχὴν τὴν τοῦ πλήθους, ἣν καὶ διαίρεσιν οἷόν τ’ εἶναι καθ’ αὑτὸ παρέχεσθαι, καὶ διὰ τοῦτο ὑγρᾷ τινι παντάπασι καὶ εὐπλαδεῖ ὕλῃ, προσηκόντως εἰς δύναμιν παραδεικνύντες, ἀποφαίνοιμεν ἂν ὁμοίαν εἶναι· ἐξ ὧν ἀποτελεῖσθαι, τοῦ τε ἑνὸς καὶ τῆς τοῦ πλήθους | |
| 25 | ἀρχῆς, τὸ πρῶτον γένος, ἀριθμῶν ἐξ ἀμφοτέρων τού‐ των μετά τινος πιθανῆς ἀνάγκης συντιθεμένων. καὶ χρὴ καθ’ ἕκαστον ἐπεξιόντα τῶν ἀριθμῶν διαίρεσιν μὲν ἅπασαν λέγειν ἅπαντι ἀριθμῷ καὶ μέγεθος ὡς καθόλου εἰρῆσθαι ταύτην τὴν φύσιν παρέχεσθαι, τὸ | |
| 30 | δὲ ποιὸν εἶναι ἕκαστον αὐτῶν, ἔτι δὲ ὡρισμένον καὶ ἕν, τὴν ἀδιάφορον καὶ ἄτμητον ἀρχὴν ἐπισφραγιζο‐ μένην ἀποτυποῦν. κακὸν δὲ ἢ αἰσχρὸν τὸ τοιοῦτον οὐ προσῆκον ἴσως ἐστὶ τιθέναι, ᾧ συμβαίνει μεγέθους τε καὶ διαιρέσεως, ἔτι δὲ αὔξης, καθ’ ἑαυτὸ αἰτίῳ εἶναι· | |
| 35 | οὔτε γὰρ ἐν τοῖς ἄλλοις τὸ τοιοῦτο γένος εἰς κακὴν μοῖραν εἰώθαμεν τιθέναι, ἔστιν ὅτε δὲ τοῦ μεγαλο‐ πρεποῦς καὶ ἐλευθερίου μετὰ ποιότητος συμπλεκόμενόν | |
| τινος τὸ μέγα αἴτιον λέγοιμεν ἂν ἴσως ἀληθεύοντες· ὥστε πολλοῦ δέον ἂν εἴη κακὸν προσαγορεύεσθαι | 15 | |
| 40 | αὐτό. εἰ γὰρ δὴ καὶ τὴν τοῦ ἑνός τις φύσιν ἐπαινῶν τυγχάνοι δι’ αὐτάρκειάν τε καὶ τὸ καλῶν τινων ἐν τοῖς ἀριθμοῖς αἴτιον εἶναι, πῶς οὐκ ἄλογον ἂν εἴη λέγειν τὸ κακὸν ἢ τὸ αἰσχρὸν δεκτικὸν κατὰ φύσιν τοῦ τοιούτου πράγματος εἶναι; οὐ γὰρ ἂν ἔτι πάντῃ | |
| 45 | συμβαίνοι ψεκτὸν εἶναι τὸ κακὸν καὶ τὸ αἰσχρόν, εἴπερ τὸ δεκτικόν τινος ἐπαινετοῦ καὶ αὐτὸ δεῖ ἐπαινετὸν προσαγορεύειν. αὕτη μὲν οὖν οὕτως ἡμῖν νοείσθω ἀρχή. τὸ δὲ ἓν οὔτε καλὸν οὔτε ἀγαθὸν ἄξιον καλεῖν, διὰ τὸ καὶ τοῦ καλοῦ καὶ τοῦ ἀγαθοῦ ὑπεράνω εἶναι· | |
Comm Math.4(50) | προϊούσης γὰρ πορρωτέρω ἀπὸ τῶν ἐν ἀρχῇ τῆς φύ‐ σεως πρῶτον μὲν τὸ καλὸν ἐφάνη, δεύτερον δὲ καὶ μακροτέραν ἀπόστασιν ἐχόντων τῶν στοιχείων τἀγαθόν. ἡ τοίνυν πρώτη ὑποδοχή τε καὶ μέγεθος, ἢ ὅ τι δή‐ ποτε δεῖ προσαγορεύειν αὐτήν, τὸ τῶν ἀριθμῶν εἶδος | |
| 55 | ἀπετύπωσε, πλήθει μὲν ἀόριστον εἰκότως, εἴδει δέ πως ὡρισμένον ἐκ τῆς τοῦ ἑνὸς παραλαβοῦσα μοίρας. εἰ μὲν οὖν μίαν ἄπειρον ἅπασιν ὑποθήσει τις ὕλην τε καὶ ὑποδοχήν, ἄλογον ὡς τὸ εἰκὸς συμβήσεται τό, τῆς ἑνὸς ἰδέας ἐγγιγνομένης ἐν αὐτῇ, εἴπερ ὁμοία διὰ | |
| 60 | παντός, μὴ οὐ τὰ αὐτὰ καὶ γένη πάλιν ἀποτελεῖσθαι. ὥστε πάντα ἀριθμοὺς τὰ γένη παντελῶς συμβήσεται εἶναι· διαφορὰν γὰρ οὐχ ἕξομεν ἁρμόττουσαν προσά‐ ψαι, διὰ τί δήποτε ἐνθάδε μὲν ἀριθμῶν ἐγεννήθη φύσις, μετὰ δὲ τοῦτο γραμμῶν καὶ ἐπιπέδων καὶ σχη‐ | |
| 65 | μάτων, καὶ οὐκ ἀεὶ τὸ αὐτὸ γένος, ἀπό γε τῶν ὁμοίων | |
| καὶ κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον ἀλλήλοις συμπλεκομένων στοιχείων. εἰ δέ τις μίαν μὲν ὑποθήσεται τὴν ἅπαντος πλήθους τε καὶ μεγέθους αἰτίαν πρώτην, διαφορὰς δὲ πολλὰς ἐν αὑτῇ παρεχομένην, δι’ ὅπερ ἄλλα καὶ ἄλλα | 16 | |
| 70 | γένη κατὰ πᾶσαν τὴν φύσιν ἀποτίκτειν πεφυκέναι, καίπερ τοῦ ἑνὸς ὁμοίου ἐγγιγνομένου διὰ παντός, οὐδὲ μὴν οὐδὲ τούτου διὰ τὴν παχύτητα τῆς ὕλης ἀκριβῆ τὴν ἑαυτοῦ φύσιν ἐμφαίνοντος ἀεί, καθάπερ ἔν τισιν εἰκαίοις ξύλοις σχῆμα, ταῦτα μὲν οὖν οὐκ ἀλόγως ἂν | |
| 75 | ἴσως συμβαίνοι αὐτῷ, τὸ δὲ πρῶτον στοιχεῖον εἰς τοσαύτας διαφορὰς διαιρέσεις ἔχειν δυσχεραίνοι ἄν τις προσηκόντως ἴσως, ἄλλως τε καὶ εἰ παντάπασιν εἴη διήκων κατὰ ταῦτα τὰ παραδείγματα· τὸ γὰρ ἁπλού‐ στατον πανταχοῦ στοιχεῖον εἶναι. λοιπὸν οὖν τινα | |
| 80 | ἑτέραν μεγέθους αἰτίαν ὑποθεμένους, ὡς ἐν ἀριθμοῖς μονάδα κατὰ τὸ ἕν, οὕτως στιγμὴν ἐν γραμμαῖς τιθέναι, θέσιν δὲ καὶ διάστασιν τόπων περί τε γραμ‐ μὰς καὶ χωρία καὶ στερεὰ πρῶτον, κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ τόπον ἐνταῦθα φανῆναι παρὰ τὸ τὴν τῆς ὑποδοχῆς | |
| 85 | διαφορὰν ἴδιόν τι παραδιδόναι τῷ ἀπ’ αὐτῆς γένει. ἔτι δὲ καὶ τὸ συνεχὲς καὶ τὸ συμμεμολυσμένον μᾶλλον τῶν ἀριθμῶν καὶ παχύτερον ἐκ ταύτης ἄν τις αἰτιώ‐ μενος καὶ λέγων, ἴσως οὐ διαμαρτάνοι. καὶ μέχρι μὲν δὴ τούτων γένος ἂν εἴη ἀποτετελεσμένον δεύτερον· | |
| 90 | εἰς ταὐτὸ γὰρ τίθημι γραμμάς τε καὶ στερεὰ καὶ πλάτη χωρίων. πρώτη μὲν οὖν ἡ τῶν ἀριθμῶν ἐστιν ὕλη, δευτέρα δὲ ἡ τῶν γραμμῶν τε καὶ τῶν ἐπιπέδων καὶ στερεῶν σχημάτων. καὶ τῶν ἄλλων δὲ ὡσαύτως μαθη‐ μάτων, ὅσα ἂν καὶ ὁποῖα ἂν εὕρῃ ὁ λόγος, τὰς οἰκείας | |
| 95 | ὑποδοχὰς προϋποθετέον. Καὶ τοῦτο μὲν οὖν οὕτως ἡμῖν ἐχέτω. τὰ δὲ στοιχεῖα, ἐξ ὧν οἱ ἀριθμοί, οὐδέπω ὑπάρχει οὔτε καλὰ οὔτε ἀγαθά· ἐκ δὲ τῆς συνθέσεως τοῦ ἑνὸς καὶ τῆς τοῦ πλήθους αἰτίας ὕλης ὑφίσταται μὲν ὁ ἀριθμός, | 17 |
Comm Math.4(100) | πρώτοις δὲ ἐν τούτοις τὸ ὂν φαίνεται καὶ κάλλος, ἐφεξῆς ἐκ τῶν στοιχείων τῶν γραμμῶν τῆς γεωμετρι‐ κῆς οὐσίας φανείσης, ἐν ᾗ ὡσαύτως τὸ ὂν καὶ τὸ καλόν, ἐν οἷς [οὔτε] οὐδὲν οὔτε αἰσχρόν ἐστιν οὔτε κακόν· ἐπ’ ἐσχάτῳ δὲ ἐν τοῖς τετάρτοις καὶ πέμπτοις | |
| 105 | τοῖς συντιθεμένοις ἀπὸ τῶν στοιχείων τῶν τελευταίων κακίαν γενέσθαι οὐ προηγουμένως, ἐκ δὲ τοῦ ἐκ‐ πίπτειν καὶ μὴ κατακρατεῖν τινα τοῦ κατὰ φύσιν. Ἐκ δὴ τούτων φανερόν ἐστι καὶ τίνα ἔχουσι τὴν διαφορὰν αἱ μαθηματικαὶ ἀρχαὶ πρὸς τὰς ἄλλας· τῶν | |
| 110 | μὲν γὰρ τελευταίων προέχουσι, διότι σωματικῶν πως ἐκείνων οὐσῶν αὗταί εἰσιν ἀσώματοι, τῶν δὲ κατὰ τὴν ζωὴν θεωρουμένων, διότι κατὰ κίνησιν ἐκείνων χαρακτηριζομένων αὗταί εἰσιν ἀκίνητοι, τῶν δὲ νοη‐ τῶν, διότι ἀμερίστων ἐκείνων προϋπαρχουσῶν αὗται | |
| 115 | συνθέσεως καὶ διαιρέσεως ἀρχὴν παρέχονται. οὕτως ἡμῖν ὁ κοινὸς λόγος περὶ τῶν μαθηματικῶν ἀρχῶν καὶ ὁ ἴδιος περὶ ἑκάστων ἐχέτω διορισμόν· πῇ τε διαφέρει τῶν ἄλλων ἀρχῶν, οὑτωσὶ διακεκρίσθω. | |
Comm Math.5 | Τά γε μὴν ὑποκείμενα τῇ μαθηματικῇ θεωρίᾳ, τὰ κοινῇ ἐπὶ πᾶσαν διατείνοντα τὴν ἐπιστήμην ταύ‐ την, ἐκεῖνά ἐστιν ὅσα κοινά ἐστι θεωρήματα, δυνά‐ | |
| μενα μὲν ἐπὶ ἀριθμῶν, δυνάμενα δὲ καὶ ἐπὶ μεγεθῶν | 18 | |
| 5 | ἐφαρμόζειν, ἔτι δὲ καὶ ἁρμονιῶν καὶ ἀστρονομίας καὶ πάντων τῶν ἄλλων. ἔστι δὲ τοιαῦτα 〈τὰ〉 τῶν ἀνα‐ λογιῶν καὶ τὰ περὶ τὰς κοινῶς συνθέσεις καὶ διαιρέ‐ σεις, καὶ ὅσα περὶ τὸ ἴσον καὶ ἄνισον θεωρεῖται τὸ ὁπωσοῦν ἔχον ἢ τὸ ὁποιονοῦν, καὶ ὅσα τὸ πολλαπλά‐ | |
| 10 | σιον ἢ τὸ μεριστὸν ἐπισκοπεῖται, ἢ τὸ ὑπερέχον καὶ ἐλλεῖπον, ἢ τὸ διωρισμένον καὶ ἀδιόριστον κατὰ κοινὴν ἐπιβολήν, ἢ τὸ καθ’ αὑτὸ καὶ τὸ πρός τι, ἢ τὸ ποσὸν ἁπλῶς, μηδὲν προσλαμβάνον τὸ τοιόνδε εἶδος τοῦ ποσοῦ ποσὸν τὴν τάξιν καὶ τὸ καλὸν τὸ ἐν τοῖς μαθηματι‐ | |
| 15 | κοῖς εἴδεσιν ᾗ ἐστιν ἐπιστημονικὰ θεωρεῖ, μηδὲν προσ‐ διορίζον τὸ τοιόνδε κάλλος (ἤδη γὰρ τὸ τοιοῦτον τῶν ἐν μέρει ἐπιστημῶν ἐφάπτεται)· καὶ ὅσον δὲ αὖ τὸ ἀραρὸς καὶ βέβαιον τῆς ἐπιστήμης τῆς μαθηματικῆς σκοπεῖ, μήτε μεταβαλλόμενον ἄλλοτε ἄλλως, μήτε ἐξι‐ | |
| 20 | στάμενον τῆς οἰκείας οὐσίας, μήτε νῦν μὲν οὕτως αὖθις δὲ ἑτέρως νοούμενον, καὶ τοῦτο τὰ κοινὰ ὑπο‐ κείμενα τῇ μαθηματικῇ ἐπιστήμῃ τῷ λογισμῷ περι‐ λαμβάνει. οὐ μέντοι δεῖ ταῦτα ὑπολαβεῖν ὡς ἐπι‐ γιγνόμενα τὰ κοινά, ἀλλ’ ὡς προϋπάρχοντα τῶν | |
| 25 | καθ’ ἕκαστα· οὐδ’ ὡς ἐν τοῖς κατὰ μέρος καὶ μετ’ αὐτῶν ἔχοντα τὴν οὐσίαν, ἀλλ’ ὡς πρεσβυτέραν αὐτῶν καὶ ἀρχικωτέραν προειληφότα, οὐ μὴν διήκου‐ | |
| σαν δι’ αὐτῶν, ἀλλὰ προτεταγμένην πρὸ τῶν ἰδίων ἑκάστης ἐπιστήμης μαθημάτων. διόπερ δὴ καὶ ἡ γνῶσις | 19 | |
| 30 | αὐτῶν κοινή ἐστι καὶ προηγουμένη, τελειοτέρα τε τῶν καθ’ ἕκαστα, σύνοψίν τε κοινὴν ποιουμένη πάντων, ἀφ’ ἑνός τε καὶ εἰς ἓν τὰ θεωρήματα πάντα τὰ μαθηματικὰ συντάττουσα, τήν τε συγγένειαν καὶ τὴν ὁμοιότητα αὐτῶν πρὸς ἄλληλα ἐπιβλέπουσα, καὶ τὸ ἀνόμοιον ἐν | |
| 35 | αὐτοῖς καὶ ἕτερον παραθεωροῦσα, γένη τε ὅσα αὐτῶν ἐστι πρῶτα καὶ εἴδη συνάγουσα εἰς ταὐτὸ καὶ διακρί‐ νουσα, κοινά τε ὁμολογήματα καὶ ὑποθέσεις πρώτας καὶ ὁρισμοὺς καὶ θέσεις καὶ διαιρέσεις καὶ συναγωγὰς συνθέσεις τε καὶ μερισμοὺς καὶ ὑπερβολὰς καὶ ἐλλεί‐ | |
| 40 | ψεις καὶ παραβολὰς καθ’ ὁποιαοῦν γένη τῶν μαθη‐ ματικῶς ὄντων θεωροῦσα, ὡς ἁπλῶς εἰπεῖν, καὶ οὐ διωρισμένως καθ’ ἕκαστον, τό τε δυνατὸν τὸ ἐν τού‐ τοις καὶ τὸ ἀδύνατον, καὶ τὸ ἀναγκαῖον καὶ τὸ οὐκ ἀναγκαῖον, τό τε ἀληθὲς καὶ ψεῦδος διακρίνουσα, τάς | |
| 45 | τε ἐν αὐτοῖς διαφοράς, ὅσαι τέ εἰσι καὶ ὁποῖαι, διερευ‐ νωμένη δι’ ἀκριβείας. Τοσαῦτα ἡμῖν καὶ περὶ τῶν κοινῶς ὑποκειμένων τῇ μαθηματικῇ ἐπιστήμῃ καὶ περὶ τοῦ κοινοῦ τρόπου τῆς κατ’ αὐτὴν θεωρίας διωρίσθω ἐν τῷ παρόντι. | |
Comm Math.6 | Νοητέον δέ ἐστι περὶ πάντα τὰ τοιαῦτα μαθήματα τόδε, ὡς ἐὰν μέν τις τούτων ἕκαστα ὀρθῶς λαμβάνῃ, μέγα ὄφελος γίνεται τῷ παραλαμβάνοντι κατὰ τρόπον, εἰ δὲ μή, θεὸν ἄμεινον ἀεὶ καλεῖν. ὁ δὲ | |
| 5 | τρόπος ὅδε· ἀνάγκη γὰρ τό γε τοσοῦτον φράζειν. πᾶν διάγραμμα ἀριθμοῦ τε σύστημα καὶ ἁρμονίας σύστασιν ἅπασαν τῆς τε τῶν ἄστρων περιφορᾶς τὴν ἀναλογίαν οὖσαν μίαν ἁπάντων ἀναφανῆναι δεῖ τῷ κατὰ τρόπον μανθάνοντι. φανήσεται δέ, ἐὰν ὃ λέγομεν ὀρθῶς τις | 20 |
| 10 | ἐμβλέπων μανθάνῃ· δεσμὸς γὰρ πεφυκὼς πάντων τού‐ των εἷς ἀναφανήσεται διανοουμένοις. εἰ δ’ ἄλλως πως μεταχειριεῖταί τις, τύχην δεῖ καλεῖν, ὥσπερ καὶ λέγομεν· οὐ γὰρ ἄνευ γε τούτων μήποτέ τις ἐν πόλε‐ σιν εὐδαίμων γένηται φύσις, ἀλλ’ οὗτος ὁ τρόπος, | |
| 15 | αὕτη τροφή, ταῦτα μαθήματα, εἴτε χαλεπὰ εἴτε ῥᾴδια, ταύτῃ πορευτέον. ἀμελῆσαι δὲ οὐ θεμιτόν ἐστι θεῶν, καταφανοῦς γενομένης τῆς πάντων αὐτῶν κατὰ τρό‐ πον λεγομένης φήμης εὐτυχοῦς. τὸν δὲ ξύμπαντα ταῦτα οὕτως εἰληφότα, τοῦτον λέγω τὸν ἀληθέστατα | |
| 20 | σοφώτατον· τὴν γὰρ πάντων καλλίστην καὶ θειοτάτην φύσιν, ὅσην ἀνθρώποις θεὸς ἔδωκε κατιδεῖν, οὔποτε ἄνευ τῶν νῦν δὴ εἰρημένων μὴ κατιδὼν ἐπεύξηταί τις ῥαστώνῃ παραλαβεῖν. πρὸς τούτοις τε τὸ καθ’ ἕν τε καὶ κατ’ εἴδη προσακτέον ἐν ἑκάσταις ταῖς τῶν | |
| 25 | μαθημάτων εἰδήσεσιν, ἕως ἂν ἐξεύρωμεν τὸν ὅλον κόσμον, ὃν ἔταξε λόγος ὁ πάντων θειότατος ὁρατόν· ὃν ὁ εὐδαίμων πρῶτον μὲν ἐθαύμασεν, ἔπειτα δὲ ἔρωτα ἔσχε τοῦ καταμαθεῖν ὁπόσα θνητῇ φύσει | |
| δυνατά, ἡγούμενος ἄριστα οὕτως εὐτυχέστατά 〈τε〉 | 21 | |
| 30 | διάξειν τὸν βίον, τελευτήσας τε εἰς τόπους ἥξειν προσήκοντας ἀρετῇ, καὶ μεμυημένος ἀληθῶς τε καὶ ὄντως, μεταλαβὼν φρονήσεως εἷς ὢν μιᾶς, τὸν ἐπί‐ λοιπον χρόνον θεωρὸς τῶν καλλίστων γενόμενος, ὅσα κατ’ ὄψιν, διατελεῖν. δεῖ δὲ καὶ τὰ χύδην μαθήματα | |
| 35 | ἐν τῇ παιδείᾳ γενόμενα συνάγειν εἰς σύνοψιν οἰκειό‐ τητός τε ἀλλήλων τῶν μαθημάτων καὶ τῆς τοῦ ὄντος φύσεως· μόνη γὰρ ἡ τοιαύτη μάθησις βέβαιος ἐν οἷς ἂν γένηται. δεῖ δὲ καὶ ὀμμάτων καὶ τῆς ἄλλης αἰσθήσεως δυνατοὺς γίγνεσθαι μεθιεμένους ἐπ’ αὐτὸ | |
| 40 | τὸ ὂν μετ’ ἀληθείας ἰέναι. δεῖ δὲ καὶ μονίμους εἶναι ἐν τοῖς μαθήμασι καὶ ὀξεῖς καὶ τὰ ἄλλα ἔχοντας ὅσα τῇ φύσει τῇ ἀρίστῃ προσήκει· ὡς, ἐὰν μὲν ἀρτιμελεῖς τε καὶ ἀρτίφρονας ἐπὶ τοσαύτην μάθησιν καὶ τοσαύ‐ την ἄσκησιν κομίσαντες παιδεύωμεν, ἥ τε δίκη ἡμῖν | |
| 45 | οὐ μέμψεται αὐτή, τήν τε πόλιν καὶ πολιτείαν σώσο‐ μεν, ἀλλοίους δὲ ἄγοντες ἐπὶ ταῦτα, τἀναντία πάντα πράξομεν καὶ φιλομαθείας ἔτι πλείω γέλωτα καταντλή‐ σομεν. εἰ δὲ δεῖ τὸ ἀληθὲς εἰπεῖν ὅλον ὡς ἔχει, ἐν τούτοις τοῖς μαθήμασιν ἑκάστου ὄργανόν τι ψυχῆς | |
Comm Math.6(50) | ἐκκαθαίρεταί τε καὶ ἀναζωπυρεῖται ἀπολλύμενον καὶ τυφλούμενον ὑπὸ τῶν ἄλλων ἐπιτηδευμάτων, κρεῖττον ὂν σωθῆναι μυρίων ὀμμάτων· μόνῳ γὰρ | |
| αὐτῷ ἀλήθεια ὁρᾶται. οἷς μὲν οὖν ταῦτα ξυνδοκεῖ, ἀμηχάνως ὡς εὖ δοκεῖ λέγεσθαι τὰ παρόντα· ὅσοι δὲ | 22 | |
| 55 | τούτου μηδαμῇ ᾐσθημένοι, εἰκότως ἡγήσονται ἡμᾶς λέγειν οὐδέν· ἄλλην γὰρ ἀπ’ αὐτῶν οὐχ ὁρῶσιν ἀξίαν λόγου ὠφέλειαν. τὸ δ’, ὡς ἔοικεν, οὐκ ὀστράκου ἂν εἴη περιστροφή, ἀλλὰ ψυχῆς περιαγωγή, ἐκ νυκτερινῆς τινος ἡμέρας εἰς ἀληθινὴν τοῦ ὄντος οὖσαν ἐπάνοδον, | |
| 60 | ἣν δὴ φιλομάθειαν ἀληθινὴν φήσομεν εἶναι. οὐκοῦν δεῖ σκοπεῖσθαι τί τῶν μαθημάτων ἔχει τοιαύτην δύνα‐ μιν, καὶ τί μάθημα ψυχῆς ὁλκόν ἐστιν ἀπὸ τοῦ γιγνο‐ μένου ἐπὶ τὸ ὄν. λέγω τοίνυν ὡς τὰ μὲν ἐν ταῖς αἰσθήσεσιν οὐ παρακαλοῦντα τὴν νόησιν εἰς ἐπίσκεψιν, | |
| 65 | ὡς ἱκανῶς ὑπὸ τῆς αἰσθήσεως κρινόμενα, τὰ δὲ παν‐ τάπασι διακελευόμενα ἐκείνην ἐπισκέψασθαι, ὡς τῆς αἰσθήσεως οὐδὲν ὑγιὲς ποιούσης· καὶ τὰ μὲν οὐ παρακαλοῦντα, ὅσα μὴ ἐκβαίνει εἰς ἐναντίαν αἴσθησιν ἅμα, τὰ δ’ ἐκβαίνοντα ὡς παρακαλοῦντα τίθημι, ἐπει‐ | |
| 70 | δὰν ἡ αἴσθησις μηδὲν μᾶλλον τοῦτο ἢ τὸ ἐναντίον δηλοῖ, εἴτε ἐγγύθεν προσπίπτουσα εἴτε πόρρωθεν. ὧδε δὲ ἃ λέγω σαφέστερον εἰσόμεθα. οὗτοι, φαμέν, τρεῖς ἂν εἶεν δάκτυλοι, ὅ τε σμικρότατος καὶ ὁ δεύ‐ τερος καὶ ὁ μέσος· ὡς ἐγγύθεν τοίνυν ὁρωμένους | |
| 75 | λέγοντός μου διανοοῦ. ἀλλά μοι περὶ αὐτῶν τόδε σκόπει· δάκτυλος μέν που αὐτῶν φαίνεται ὁμοίως ἕκα‐ στος, καὶ ταύτῃ γε οὐδὲν διαφέρει, ἐάν τε ἐν μέσῳ | |
| ὁρᾶται ἐάν τ’ ἐπ’ ἐσχάτῳ, ἐάν τε λευκὸς ἐάν τε μέλας, ἐάν τε παχὺς ἐάν τε λεπτός, καὶ πᾶν ὅ τι | 23 | |
| 80 | τοιοῦτον· ἐν πᾶσι γὰρ τούτοις οὐκ ἀναγκάζεται τῶν πολλῶν ἡ ψυχὴ τὴν νόησιν ἐπερέσθαι, τί ποτ’ ἐστὶ δάκτυλος· οὐδαμοῦ γὰρ ἡ ὄψις αὐτὴ ἅμα ἐσήμαινε τὸν δάκτυλον τοὐναντίον ἢ δάκτυλον εἶναι. οὐκοῦν εἰκότως τό γε τοιοῦτον νοήσεως οὐκ ἂν παρακλητικὸν | |
| 85 | εἴη. τί δὲ δή; τὸ μέγεθος αὐτῶν καὶ τὴν μικρότητα ἡ ὄψις ἆρα ἱκανῶς ὁρᾷ, καὶ οὐδὲν αὐτῇ διαφέρει ἐν μέσῳ αὐτῶν τινα κεῖσθαι ἢ ἐπ’ ἐσχάτῳ; καὶ ὡσαύ‐ τως πάχος καὶ λεπτότητα καὶ σκληρότητα ἡ ἁφή; καὶ αἱ ἄλλαι αἰσθήσεις ἆρα οὐκ ἐνδεῶς τὰ τοιαῦτα δηλώ‐ | |
| 90 | σουσιν; ἢ ὧδε ποιεῖ ἑκάστη αὐτῶν· πρῶτον ἡ ἐπὶ τῷ σκληρῷ τεταγμένη αἴσθησις ἠνάγκασται καὶ ἐπὶ τῷ μαλακῷ τετάχθαι, καὶ παραγγέλλει τῇ ψυχῇ ὡς ταὐτὸν σκληρόν τε καὶ μαλακὸν αἰσθανομένη; οὐκοῦν ἀναγκαῖον ἐν τοῖς τοιούτοις αὖ τὴν ψυχὴν ἀπορεῖν, | |
| 95 | τί ποτε σημαίνει αὐτὴ ἡ αἴσθησις τὸ σκληρόν, εἴπερ τὸ αὐτὸ καὶ μαλακὸν λέγει, καὶ ἡ τοῦ κούφου καὶ ἡ τοῦ βαρέος, τί τὸ κοῦφον καὶ βαρύ, εἰ τό τε βαρὺ κοῦφον καὶ τὸ κοῦφον βαρὺ σημαίνει· αὗται γὰρ ἄτο‐ ποι τῇ ψυχῇ αἱ ἑρμηνεῖαι καὶ ἐπισκέψεως δεόμεναι. | |
Comm Math.6(100) | εἰκότως οὖν ἐν τοῖς τοιούτοις πρῶτον μὲν πειρᾶται λογισμόν τε καὶ νόησιν ψυχὴ παρακαλοῦσα ἐπισκοπεῖν, εἴτε ἓν εἴη εἴτε δύο ἐστὶν ἕκαστα τῶν εἰσαγγελλο‐ μένων. οὐκοῦν ἐὰν δύο φαίνηται, ἕτερόν τε καὶ ἓν ἑκάτερον φαίνεται· εἰ ἄρα ἓν ἑκάτερον, ἀμφότερα δὲ | |
| 105 | δύο, τά γε δύο κεχωρισμένα νοήσει· οὐ γὰρ ἂν χωριστά γε δύο ἐνόει, ἀλλ’ ἕν. μέγα μὴν καὶ ἡ ὄψις καὶ σμικρὸν ἑώρα, ὥς φαμεν, ἀλλ’ οὐ κεχωρι‐ σμένον, ἀλλὰ συγκεχυμένον τι· διὰ δὲ τὴν τούτου σαφήνειαν μέγα αὖ καὶ σμικρὸν ἡ νόησις ἠναγκάσθη | 24 |
| 110 | ἰδεῖν, οὐ συγκεχυμένα ἀλλὰ διωρισμένα, τοὐναντίον ἢ κείνη. οὐκοῦν ἐντεῦθέν ποθεν πρῶτον ἐπέρχεται ἐρέσθαι ἡμῖν· τί οὖν ποτ’ ἔσται τὸ μέγα αὖ καὶ τὸ σμικρόν; καὶ οὕτω δὴ τὸ μὲν νοητόν, τὸ δ’ ὁρατὸν ἐκαλέσαμεν. ταῦτα τοίνυν καὶ ἄρτι ἐπεχείρουν λέγειν, | |
| 115 | ὡς τὰ μὲν παρακλητικὰ τῆς διανοίας ἐστί, τὰ δ’ οὔ, ἃ μὲν εἰς τὴν αἴσθησιν ἅμα τοῖς ἐναντίοις ἑαυτοῖς ἐμπίπτει, παρακλητικὰ ὁριζόμενος, ὅσα δὲ μή, οὐκ ἐγερτικὰ τῆς νοήσεως. τί οὖν; ἀριθμός τε καὶ τὸ ἓν καὶ τὰ ἄλλα μαθήματα ποτέρων δοκεῖ εἶναι, ἐκ τῶν | |
| 120 | προειρημένων ἀναλογίζεσθαι ῥᾴδιον. εἰ μὲν γὰρ ἱκανῶς αὐτὸ ὁρᾶται ἢ ἄλλῃ τινὶ αἰσθήσει λαμβάνεται τὸ ἓν ἢ ἄλλο τι τῶν μαθημάτων, οὐκ ἂν ὁλκὸν εἴη ἐπὶ τὴν οὐσίαν, ὥσπερ ἐπὶ τοῦ δακτύλου ἐλέγομεν· εἰ δ’ ἀεί τι αὐτῷ ἅμα ὁρᾶται ἐναντίωμα, ὥστε μηδὲν μᾶλλον | |
| 125 | ἓν ἢ καὶ τοὐναντίον φαίνεσθαι, τοῦ ἐπικρινοῦντος δὴ δέοι ἂν ἤδη, καὶ ἀναγκάζοιτ’ ἂν ἐν αὐτῷ ψυχὴ ἀπορεῖν καὶ ζητεῖν κινοῦσα ἐν ἑαυτῇ τὴν ἔννοιαν, καὶ ἀνερω‐ τᾶν τί ποτ’ ἐστὶν αὐτὸ τὸ ἕν, καὶ οὕτω τῶν ἀγωγῶν ἂν εἴη καὶ μεταστρεπτικῶν ἐπὶ τὴν τοῦ ὄντος θέαν ἡ | |
| 130 | περὶ τὸ ἓν μάθησις. ἀλλὰ μέντοι τοῦτό γε ἔχει οὐχ ἥκιστα ἡ περὶ αὐτὸ ὄψις· ἅμα γὰρ ταὐτὸν ὡς ἕν τε ὁρῶμεν καὶ ὡς ἄπειρα τὸ πλῆθος. οὐκοῦν, εἴπερ τὸ | |
| ἕν, καὶ ξύμπας ἀριθμὸς ταὐτὸν πέπονθε τούτῳ. ἀλλὰ μὴν λογιστική τε καὶ ἀριθμητικὴ περὶ ἀριθμὸν πᾶσα· | 25 | |
| 135 | ταῦτα δὲ φαίνεται ἀγωγὰ πρὸς ἀλήθειαν· ὑπερφυῶς ἄρα ὧν ζητοῦμεν, ὡς ἔοικε, μαθημάτων εἴη ἂν τοῦτο. καὶ τἆλλα δὲ ὡσαύτως χρήσιμα ἂν εἴη πρὸς ἐπιστήμην διὰ τὸ τῆς οὐσίας ἅπτεσθαι γενέσεως δὲ ἀπολύεσθαι, καὶ τὴν μὲν νόησιν παρακαλεῖν τῶν δὲ αἰσθήσεων ἀφιστά‐ | |
| 140 | ναι, καὶ ἐπὶ θέαν τῆς τῶν ὄντων φύσεως παρακαλεῖν, αὐτῆς δὲ τῆς ψυχῆς ῥᾳστώνην παρασκευάζειν τῆς μετα‐ στροφῆς ἀπὸ γενέσεως ἐπ’ ἀλήθειάν τε καὶ οὐσίαν. δεῖ δὲ καὶ τοῦ γνωρίζειν ἕνεκα ἐπιτηδεύειν τὰ μαθή‐ ματα· οὕτω γὰρ σφόδρα ἄνω ποι ἀνάγεται ἡ ψυχή, | |
| 145 | καὶ περὶ αὐτῶν τῶν ὄντων ἀναγκάζει διαλέγεσθαι, οὐδαμῇ ἀποδεχομένους, ἐάν τις αὐτοῖς ὁρατὰ ἢ ἁπτὰ σώματα προτεινόμενος διαλέγηται· περὶ γὰρ τούτων λέγουσιν ὧν διανοηθῆναι μόνον ἐγχωρεῖ, ἄλλως δὲ οὐδαμῶς μεταχειρίσασθαι δυνατόν. ἀναγκαῖα οὖν κιν‐ | |
Comm Math.6(150) | δυνεύει εἶναι τὰ μαθήματα, ἐπειδὴ φαίνεται προσ‐ αναγκάζειν αὐτῇ τῇ νοήσει χρῆσθαι τὴν ψυχὴν ἐπ’ αὐτὴν τὴν ἀλήθειαν· καὶ μὴν καὶ ὀξυτέρους ποιεῖ αὐτοὺς ἑαυτῶν γίγνεσθαι, καὶ ἔτι πολὺν πόνον παρέχει μανθάνοντί τε καὶ μελετῶντι. | |
| 155 | Σκοπεῖσθαι δὲ δεῖ καὶ εἴ τι πρὸς ἐκεῖνο τείνει, πρὸς τὸ ποιεῖν κατιδεῖν ῥᾷον τὴν τοῦ ἀγαθοῦ ἰδέαν. τείνει δέ, φαμέν, πάντα αὐτός’, ὅσα ἀναγκάζει ψυχὴν εἰς ἐκεῖνον τὸν τόπον μεταστρέφεσθαι, ἐν ᾧ ἐστι τὸ εὐδαιμονέστατον τοῦ ὄντος, ὃ δεῖ αὐτὴν παντὶ τρόπῳ | |
| 160 | ἰδεῖν. οὐκοῦν εἰ μὲν οὐσίαν ἀναγκάζει θεάσασθαι, | |
| προσήκει· εἰ δὲ γένεσιν, οὐ προσήκει. καὶ τὰ μὲν γνώσεως ἕνεκα ἐπιτηδευόμενα, ὡς μαθήματα ὄντα τιμητέον, ὅσα τοῦ ἀεὶ ὄντος γνώσεως, ἀλλ’ οὐ τοῦ ποτὲ γιγνομένου καὶ ἀπολλυμένου ἀντιλαμβάνεται. | 26 | |
| 165 | ὁλκὰ ἄρα ψυχῆς πρὸς ἀλήθειαν εἴη ἂν ταῦτα, καὶ ἀπεργαστικὰ φιλοσόφου διανοίας πρὸς τὸ ἄνω σχεῖν ἃ νῦν κάτω οὐ δέον ἔχομεν· μόνοις γὰρ αὐτοῖς ἀλή‐ θεια ὁρᾶται. δεῖ τοίνυν συνεχῶς καὶ ἐντόνως ζητεῖ‐ σθαι αὐτά, ἵνα ἐκφανῆ γένηται ὅπῃ ἔχει. πρὸς γὰρ | |
| 170 | τοῖς ἄλλοις καὶ τὸ ἐπίχαρι διαφερόντως ἔχει, καὶ ἄνω ποιεῖ τὴν ψυχὴν βλέπειν. τοιαῦτα δέ ἐστι μαθήματα ἐκεῖνα ὅσα ἂν περὶ τὸ ὂν ᾖ καὶ τὸ ἀόρατον, καὶ ὅσα λόγῳ καὶ διανοίᾳ ληπτά, ὄψει δὲ οὔ. καὶ παραδείγ‐ μασι μὲν χρηστέον τοῖς φαινομένοις· οὐ μέντοι ἐπι‐ | |
| 175 | σκοπεῖν αὐτὰ χρὴ σπουδῇ ὡς τὴν ἀλήθειαν ἐν αὐτοῖς ληψόμενον ἴσων ἢ διπλασίων ἢ ἄλλης τινὸς ξυμμε‐ τρίας. καὶ γὰρ ἄτοπον, εἰ νομίζοι τίς γίγνεσθαί τε ταῦτα ἀεὶ ὡσαύτως, καὶ οὐδαμῇ οὐδὲν παραλλάττειν σώματα ἔχοντα καὶ ὁρώμενα, καὶ ζητεῖν παντὶ τρόπῳ | |
| 180 | τὴν ἀλήθειαν αὐτῶν λαβεῖν. παρὰ πάντα δὲ ἐκεῖνο δεῖ φυλάττειν, μήποτέ τι αὐτῶν ἀτελὲς ἐπιχειρῶσιν ἡμῖν μανθάνειν οὓς παιδεύσομεν, καὶ οὐκ ἐξῆκον ἐκεῖσε ἀεί, οἷ πάντα δεῖ ἀφήκειν· χρήσιμα γὰρ οὕτως ἔσται πρὸς τὴν τοῦ καλοῦ καὶ ἀγαθοῦ ζήτησιν, ἄλλως | |
| 185 | δὲ μεταδιωκόμενα ἄχρηστα. οἶμαι δέ γε, καὶ ἡ τού‐ των πάντων τῶν μαθημάτων μέθοδος, ἐὰν μὲν ἐπὶ τὴν ἀλλήλων κοινωνίαν ἀφίκηται καὶ ξυγγένειαν, καὶ συλλογισθῇ ταῦτα ᾗ ἐστιν ἀλλήλοις οἰκεῖα, φέρειν αὐτῶν | |
| εἰς ἃ βουλόμεθα τὴν πραγματείαν καὶ οὐκ ἀνόνητα | 27 | |
| 190 | πονεῖσθαι· εἰ δὲ μή, ἀνόνητα. ἡ γὰρ λύσις ἀπὸ τῶν δεσμῶν καὶ μεταστροφὴ ἀπὸ τῶν σκιῶν ἐπὶ τὰ εἴδωλα καὶ τὸ φῶς, καὶ ἐκ τοῦ καταγείου καὶ αἰσθητοῦ εἰς τὸν ἥλιον ἐπάνοδος καὶ τἀγαθόν, καὶ ἐκεῖ πρὸς μὲν τὰ ζῷά τε καὶ τὰ φυτὰ καὶ τὸ τοῦ ἡλίου φῶς ἔτι | |
| 195 | ἀδυναμία βλέπειν, τουτέστι πρὸς τὰ καθαρὰ εἴδη καὶ γένη, πρὸς δὲ τὰ ἐν ὕδασι φαντάσματα θεῖα καὶ σκιὰς τῶν ὄντων, ἀλλ’ οὐκ εἰδώλων σκιὰς δι’ ἑτέρου τοιού‐ του φωτὸς ὡς πρὸς ἥλιον κρίνειν ἀποσκιαζομένας, πᾶσα αὕτη ἡ πραγματεία τῶν τεχνῶν, ἃς διήλθομεν, | |
Comm Math.6(200) | ταύτην ἔχει τὴν δύναμιν καὶ ἐπαναγωγὴν τοῦ βελτί‐ στου ἐν ψυχῇ πρὸς τὴν τοῦ ἀρίστου ἐν τοῖς οὖσι θέαν, ὥσπερ τό〈τε〉 τοῦ σαφεστάτου ἐν σώματι πρὸς τὴν τοῦ φανοτάτου ἐν τῷ σωματοειδεῖ τε καὶ ἀοράτῳ τόπῳ. τοιαύτη τίς ἐστιν ἡ ἀρίστη χρῆσις τῶν μαθημάτων, καὶ | |
| 205 | τὸ κυριώτατον αὐτῶν τέλος τοιόνδε ὑπάρχει. | |
Comm Math.7 | Ἐπεὶ δὲ δεῖ καὶ καθ’ ἑκάστην μαθηματικὴν ἐπιστήμην διορίσαι τὸ ὑποκείμενον ἑκάστῃ οἰκεῖον ἐπι‐ στητόν, φέρε ἐκ διαιρέσεως ἀρχόμενοι διακρίνωμεν τὰ εἴδη τῶν μαθημάτων περὶ ἃ πραγματεύονται. οὕτω | |
| 5 | γὰρ ἂν ῥᾷστα μάθοιμεν τὸ ἓν καὶ τὸ πλῆθος τῆς μαθηματικῆς ἐπιστήμης, ποταπόν ἐστι καὶ κατὰ ποίας διαφορὰς κρίνεται. ἀρξώμεθα δὲ ἐντεῦθεν. | |
| Ἡ τοῦ συνεχοῦς καὶ ἡ τοῦ διῃρημένου φύσις πᾶσα τοῖς οὖσιν, ὅπερ ἐστὶ τῇ τοῦ παντὸς κόσμου | 28 | |
| 10 | συστάσει, διττῶς συνεπινοεῖται· τοῦ μὲν διῃρημένου κατὰ παράθεσίν τε καὶ σωρείαν, τοῦ δὲ συνεχοῦς κατὰ ἕνωσίν τε καὶ ἀλληλουχίαν. κυρίως δὲ τὸ μὲν συνεχὲς καὶ ἡνωμένον καλοῖτ’ ἂν μέγεθος, τὸ δὲ παρακεί‐ μενον καὶ διῃρημένον πλῆθος. 〈καὶ〉 κατὰ μὲν τὴν | |
| 15 | τοῦ μεγέθους οὐσίαν εἷς τε ὁ κόσμος ἐπινοοῖτ’ ἂν καὶ λέγοιτο στερεὸς καὶ σφαιρικός τε καὶ συμπεφυκὼς ἑαυτῷ διατεταμένος τε καὶ ἀλληλουχούμενος, κατὰ δὲ τὴν τοῦ πλήθους πάλιν ἰδέαν καὶ ἔννοιαν ἥ τε σύν‐ ταξις καὶ διακόσμησις καὶ ἁρμονία τοῦ παντὸς ἐπι‐ | |
| 20 | νοοῖτ’ ἂν ἐκ τοσῶνδε φέρε εἰπεῖν στοιχείων καὶ σφαιρῶν καὶ ἀστέρων γενῶν τε καὶ ζῴων καὶ φυτῶν ἐναντιοτήτων τε καὶ ὁμοιοτήτων τὴν σύστασιν ἔχουσα. ἀλλὰ τοῦ μὲν ἡνωμένου ἐπ’ ἄπειρον μὲν ἐκ παντός ἐστιν ἡ τομή, ἡ δ’ αὔξησις ἐπὶ ὡρισμένον· τοῦ δὲ | |
| 25 | πλήθους κατὰ ἀντιπεπόνθησιν ἐπ’ ἄπειρον μὲν ἡ αὔξησις, ἔμπαλιν δὲ ἡ τομὴ ἐπὶ ὡρισμένον, φύσει δὴ καὶ ἐπινοίᾳ ἀμφοτέρων ἀπείρων ὄντων, καὶ διὰ τοῦτο ἐπιστήμαις ἀπεριορίστων· ‘ἀρχὰν γὰρ οὐδὲ τὸ γνωσούμενον ἐσσεῖται πάντων ἀπείρων ἐόντων‘ κατὰ | |
| 30 | τὸν Φιλόλαον. ἀναγκαίου δὲ ὄντος ἐπιστήμης φύσιν | |
| ἐνορᾶσθαι τοῖς οὖσιν οὕτως ὑπὸ θείας ἠκριβωμένοις προνοίας, ἀποτεμόμεναι ἑκατέρου καὶ περατώσασαί τινες ἐπιστῆμαι τὸ περιληφθὲν αὐταῖς, ἀπὸ μὲν τοῦ πλήθους ποσὸν ἐκάλεσαν, ὅπερ ἤδη γνώριμον, ἀπὸ | 29 | |
| 35 | δὲ τοῦ μεγέθους κατὰ τὰ αὐτὰ πηλίκον. καὶ τὰ ἀμ‐ φότερα αὐτῶν γένη ἐπιστήμαις ὑπήγαγον ταῖς ἑαυτῶν εἰδήσεσιν· ἀριθμητικῇ μὲν τὸ ποσόν, γεωμετρίᾳ δὲ τὸ πηλίκον. ἀλλ’ ἐπεὶ μὴ μονοειδῆ ταῦτα ἦν, ἔτι δὲ μερικωτέραν ὑποδιαίρεσιν ἑκάτερον αὐτῶν ἐπεδέχετο | |
| 40 | (τοῦ μὲν γὰρ ποσοῦ τὸ μὲν ἦν καθ’ ἑαυτὸ τῆς πρὸς ἄλλο πως ἀπηλλαγμένον σχέσεως, οἷον φέρ’ εἰπεῖν ἄρτιον περιττὸν τέλειον ἐλλιπὲς καὶ τὰ ὅμοια, τὸ δὲ πρὸς ἕτερόν πως ἔχον, ὃ δὴ πρός τι ποσὸν ἰδίως λέγεται, οἷον ἴσον ἄνισον πολυπλάσιον ἐπιμόριον ἐπι‐ | |
| 45 | μερὲς καὶ τὰ παραπλήσια· καὶ πάλιν τοῦ πηλίκου τὸ μὲν ὑπάρχει τε καὶ ἐπινοεῖται μένον, τὸ δὲ κινού‐ μενον καὶ φερόμενον), διὰ τοῦτ’ εἰκότως ταῖς προσ‐ αχθείσαις δυσὶν ἐπιστήμαις ἕτεραί τινες δύο συμμετ‐ έσχον καὶ συνεφήψαντο τῆς καθ’ ἑκάτερον ἐπιστητὸν | |
Comm Math.7(50) | θεωρίας. τῇ μὲν γὰρ ἀριθμητικῇ, ἰδίως λαχούσῃ τὴν περὶ τοῦ καθ’ ἑαυτὸ ποσοῦ σκέψιν, συμμετέσχεν ἡ μουσικὴ τῆς περὶ τὸ πρός τι ποσὸν τεχνολογίας (οὐδὲν γὰρ ἄλλο τὸ ἁρμονικὸν αὐτῆς καὶ τὸ περὶ συμφωνιῶν ἐπαγγέλλεται, ὅτι μὴ σχέσεις καὶ λόγους | |
| 55 | διαρθροῦν τῶν φθόγγων πρὸς ἀλλήλους καὶ ποσότητα ὑπεροχῶν τε καὶ ἐλλείψεων), τῇ δὲ γεωμετρίᾳ περὶ | |
| τὴν τοῦ μένοντος καὶ ἑστῶτος πηλίκου ἐξέτασιν καταγινομένῃ συλλήπτρια ὑπῆρξεν ἡ σφαιρικὴ κινου‐ μένου πηλίκου ἐπιγνώμων καταστᾶσα, τοῦ τελειοτάτου | 30 | |
| 60 | δηλονότι καὶ τεταγμένην καὶ ὁμαλὴν κίνησιν ἐπι‐ δεδεγμένου. διόπερ περὶ ἀδελφὰ τὰ ὑποκείμενα καὶ αὐτὰς γενομένας, εὔλογον ἀδελφὰς καὶ τὰς ἐπιστήμας ταύτας νομίζειν, ἵνα μὴ ἀπαιδευτῇ τὸ Ἀρχύτειον· ‘ταῦτα γὰρ τὰ μαθήματα δοκοῦντι εἶμεν ἀδελφά‘, ἀλλήλων τε | |
| 65 | ἐχόμενα τρόπον ἁλύσεως κρίκων ἡγεῖσθαι, καὶ ἐφ’ ἕνα σύνδεσμον καταλήγουσα, ὥς φησιν ὁ θειότατος Πλά‐ των, καὶ μίαν ἀναφαίνεσθαι προσήκειν τούτων τῶν μαθημάτων τὴν συγγένειαν τῷ κατὰ τρόπον μανθά‐ νοντι, τὸν δὲ σύμπαντα ταῦτα οὕτως εἰληφότα, ὡς | |
| 70 | αὐτὸς ὑποτίθεται, τοῦτον δὴ καλεῖ τὸν ἀληθέστατα σοφώτατον καὶ διισχυρίζεται παίζων, μεταδιωκτά τε καὶ ἐκ παντὸς αἱρετὰ ταῦτα τὰ μαθήματα, εἴτε χαλεπὰ εἴτε ῥᾴδια εἴη, παρεγγυᾷ τοῖς φιλοσοφεῖν προθυμου‐ μένοις· καὶ μάλα εὐλόγως, εἴπερ συνεχοῦς καὶ διῃρη‐ | |
| 75 | μένου καταλήψεις διὰ τούτων μόνων γίνονται, ἐκ δὲ | |
| συνεχοῦς καὶ διῃρημένου ὅ τε κόσμος καὶ τὰ ἐν αὐτῷ πάντα. τούτων δὴ ἀκριβὴς κατάληψις σοφία, σοφίας δὲ ἔφεσις φιλοσοφία, φιλοσοφία δὲ ἐκ πασῶν μονω‐ τάτη τεχνῶν τε καὶ ἐπιστημῶν τὸ οἰκεῖον 〈καὶ〉 κατὰ | 31 | |
| 80 | φύσιν ἀνθρώπῳ τέλος περιποιεῖ καὶ ἐπὶ τὴν εὐδαι‐ μονίαν ἄγει τὴν παρὰ τὰ ἄλλα ζῷα τούτῳ μόνῳ προσ‐ ήκουσαν καὶ κατὰ φύσιν σπουδαζομένην ὡς σκοπιμώ‐ τατον αὐτῷ τέλος. | |
Comm Math.8 | Δεῖ δὴ τὸ μετὰ τοῦτο καὶ περὶ τοῦ κριτηρίου πάντων τῶν μαθημάτων εἰπεῖν, ποῖόν γέ τί ἐστι καὶ τίνας ἔχει τὰς ἐν αὑτῷ διαφορὰς τῶν ἐνεργειῶν. ἄνωθεν οὖν ἀναλαβόντες ἀπὸ διαιρέσεως ποιησώμεθα | |
| 5 | τὴν ὅλην περὶ αὐτοῦ διδασκαλίαν. Τὰ δὴ νοητὰ πάντα εἰς δύο διῄρηται, εἰς τε τὰ ἰδίως νοητὰ καλούμενα καὶ ἐπιστητά, καὶ εἰς τὰ δια‐ νοητά· καὶ πρῶτα μέν ἐστι τὰ νοητά, δεύτερα δὲ καὶ ὑποδεέστερα τὰ διανοητά. πάλιν δὲ ἀπὸ τούτων ἑτέρα | |
| 10 | οὐσία ἐστὶν ἡ τῶν αἰσθητῶν, τούτων δὲ τὰ μὲν ἰδίως ἐστὶν αἰσθητά, ἃ καὶ δοξαστά, τὰ δὲ εἰκαστά. δοξαστὰ μὲν καὶ ἰδίως αἰσθητὰ τὰ κατὰ μέρος σώματα, οἷον λίθοι ξύλα τὰ τέτταρα στοιχεῖα, ταῦτα δέ ἐστιν ἐν αἰσθητοῖς πρῶτα· μεθ’ ἃ ἀσθενῆ ἄλλα καὶ οὐχ ὅμοια, | |
| 15 | ἐπηκολουθηκότα δὲ τοῖς πρώτοις ἐστίν. ἔστι δὲ ταῦτα αἱ σκιαί· καὶ γὰρ αἱ σκιαὶ παρακολουθήματα τῶν σωμάτων, καὶ εἰ μὴ ἔχοιεν ἄλλο τι ὑποβεβλημένον | |
| σῶμα, οὐκ ἂν φανεῖεν. εἴδωλα οὖν αἱ σκιαὶ καὶ τὰ ἐν ὕδασι καὶ κατόπτροις, ἐν ἄλλοις καὶ οὐ καθ’ αὑτὰ | 32 | |
| 20 | ὄντα, οὐδὲ ἄλλων δίχα φαινόμενα, ἀλλὰ εἰς ἄλλα σώ‐ ματα πεπτωκότα, ὧν ὑποσπασθέντων οὐ φαίνεται. διὸ αἰσθητὰ μέν ἐστι τῷ γένει, ὅτι ὑπὸ αἴσθησιν πίπτει, εἰκαστὰ δὲ μᾶλλον καὶ πιστευτὰ ἢ ὑποστατά, κατὰ πίστιν λεγόμενα τὴν ἐπὶ τῶν μὴ ἀποδεικτικῶν, ἄλλως | |
| 25 | δὲ εἰς παραδοχὴν παραλαμβανομένων ἀπὸ τῆς τῶν προφερόντων πίστεως. καὶ γὰρ τὰ τῶν σκιῶν οὐκ ἀφ’ αὑτῶν ἔχει τὸ ἀντιληπτικόν, ἀπὸ δὲ τῶν σωμάτων εἰς ἃ πέπτωκε καὶ ἐν οἷς ἀναπαυόμενα φαίνεται. ἔχει οὖν τὸ ἀβέβαιον ἡ τοιαύτη πίστις· καὶ γὰρ ταῦτα εἰ ἀπο‐ | |
| 30 | σταίη τοῦ κατόπτρου ἢ ὕδατος ἢ ἐδάφους, οὐδὲν ἂν εἴη τὸ σύνολον. ὥστε καὶ τῶν σωμάτων δοξαστῶν ὄντων καὶ τὸ εἶναι ἐν τῷ δοκεῖν κεκτημένων, αἱ σκιαὶ ἔτι μᾶλλον ὑποβεβήκασι τῷ μὴ ἔχειν ἐξ ἑαυτῶν τὸ στερέμνιον, ἀλλ’ ἐπερείδεσθαι ἐπ’ ἄλλου. τούτοις δὴ | |
| 35 | ἔοικε καὶ τὰ διανοητά, λόγον ἔχοντα πρὸς τὰ ἐπιστητὰ καὶ νοητά, ὃν τὰ εἰκαστὰ πρὸς τὰ αἰσθητά τε καὶ δοξαστά. τάς τε γὰρ ἰδέας οἱονεὶ κατ’ ἐπαφὴν ἔχει ὁ νοῦς τὰ ὄντως ὄντα οὔσας, τὰ δὲ διανοητά, ἅπερ ἐστὶ τὰ γεωμετρικά, ὑπὸ τῆς διανοίας βλέπεται, οὐκέτι | |
| 40 | τῆς διανοίας αὐτοῖς κατ’ εὐθὺ καὶ οἷον κατ’ ἐπιβολὴν πελαζούσης, ἀλλὰ διὰ λόγου μᾶλλον τῆς ἐπ’ αὐτὰ γιγνομένης πελάσεως, καὶ οἷον ἀπὸ τῶν ἰδεῶν κατιόν‐ | |
| των ὡς ἐπὶ εἰκάσματα [τὰ] ἐκείνων καὶ εἴδωλα νοητά· τά τε εἰκαστὰ καὶ ἐν ταῖς σκιαῖς ὑποβέβηκε παρὰ τὰ | 33 | |
| 45 | αἰσθητά, τῷ ἐκεῖνα μὲν καθ’ αὑτὰ ὑποπίπτειν τῇ αἰσθήσει κατ’ εὐθυωρίαν, τὰ δὲ ἐν ἄλλῳ καὶ ἐπ’ ἄλλῳ καὶ δι’ ἄλλο θεωρεῖσθαι. οὐ γὰρ δὴ καθ’ ἑαυτὴν ἡ σκιά, ἀλλ’ ἢ ἐν τῷ ἐδάφει αἰσθητῷ ὄντι καθ’ ἑαυτὸ ἢ ἐν τῷ κατόπτρῳ ἢ ἐν τοῖς ὕδασιν, ἅπερ ἦν καθ’ | |
Comm Math.8(50) | ἑαυτὰ αἰσθητά. οὕτως οὖν καὶ τὰ μαθηματικά, ὥσπερ ἐν ταῖς ἰδέαις ἔοικε φαντάζεσθαι, καὶ ἐπ’ ἐκείναις ἔχειν τὸ ἐπέρεισμα· οὐ γὰρ δεῖ ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν κατὰ ἀφαίρεσιν ἐπινοεῖσθαι αὐτά, ἀλλ’ ὑποβάντα ἀπὸ τῶν ἰδεῶν τὸ εἰδωλικὸν ἔχειν ἀπ’ ἐκείνων, τῷ προσ‐ | |
| 55 | ειληφέναι καὶ μέγεθος καὶ ἐν διαστάσει φαντάζεσθαι. ὅπερ γὰρ ἐν τοῖς τῶν αἰσθητῶν εἰδώλοις τὸ ἀμενηνὸν καὶ καθ’ ἑαυτὸ ἀνεπέρειστον, τοῦτο ἐν τοῖς νοητοῖς τὸ ἔνογκον καὶ διαστατόν· ἀλλ’ ἐπεὶ καὶ τοῦτο σπεύδει πρὸς τὸ ἄογκον καὶ ἀμερές, ἐπαναπαύεσθαι ἔοικεν ἐν | |
| 60 | τῇ τῶν ἰδεῶν ἀμερείᾳ, ὡς αἱ σκιαὶ ἐν τῇ τῶν αἰσθη‐ τῶν ἀντιτυπίᾳ. ὥσπερ τοίνυν τὰ διανοητὰ τῶν νοητῶν κεχώρισται, οὕτω καὶ ἡ διάνοια τῆς νοήσεως. διόπερ καὶ Βροτῖνος ἐν τῷ Περὶ νοῦ καὶ διανοίας χωρίζων αὐτὰ ἀπ’ ἀλλήλων τάδε λέγει· ‘ἁ δὲ διάνοια | |
| 65 | τῶ νῶ μεῖζόν ἐστι, καὶ τὸ διανοατὸν τῶ νοατῶ· ὁ μὲν γὰρ νόος ἐστὶ τό τε ἁπλόον καὶ τὸ ἀσύνθετον καὶ τὸ πρᾶτον νοέον καὶ τὸ νοεόμενον (τοιοῦτον δ’ ἐστὶ τὸ | |
| εἶδος· καὶ γὰρ ἀμερὲς καὶ ἀσύνθετον καὶ πρᾶτόν ἐστι τῶν ἄλλων), ἁ δὲ διάνοια τό τε πολλαπλόον καὶ μερι‐ | 34 | |
| 70 | στὸν καὶ τὸ δεύτερον νοέον (ἐπιστάμαν γὰρ καὶ λόγον τὸν προσείληφε), παραπλησίως δὲ καὶ τὰ διανοατά, ταῦτα δ’ ἐντὶ τὰ ἐπιστατὰ καὶ τὰ ἀποδεικτὰ καὶ τὰ καθόλω τὰ ὑπὸ τῶ νόω διὰ τῶ λόγω καταλαμβανό‐ μενα.‘ ἐν δὴ τούτοις μεῖζον μὲν λέγει τὴν διάνοιαν | |
| 75 | καὶ τὸ διανοητόν, οὐ τῇ δυνάμει ἀλλὰ τῷ πλήθει (ἐναν‐ τίως δ’ ἔχει ταῦτα πρὸς ἄλληλα), ἀφορίζεται δὲ αὐτὰ ἀπὸ τοῦ νοῦ καὶ τῶν νοητῶν οὐ τούτοις μόνον, ἀλλὰ καὶ τῷ τὰ μὲν ἁπλᾶ εἶναι καὶ ἀσύνθετα τὰ δὲ πολυειδῆ καὶ σύνθετα, καὶ διότι τὰ μὲν πρώτως νοεῖ | |
| 80 | καὶ νοεῖται τὰ δὲ δευτέρως καὶ παρ’ ἐκείνων λαμβά‐ νοντα τὴν τούτων ἐνέργειαν, καὶ τὰ μὲν ἐν εἴδεσιν ἐνέστηκε τὰ δὲ ἐν λόγοις πολλαπλῆν ποιεῖται τὴν ἐνέργειαν, καὶ τὰ μέν ἐστιν ἀμέριστα τὰ δὲ μεριστά, καὶ τὰ μὲν κρείττον’ ἀποδεικτικοῦ συλλογισμοῦ τὰ δὲ | |
| 85 | συλλογίζεταί τι περὶ τῶν ὄντων, καὶ τὰ μὲν αὐτά ἐστι τὰ ὄντα τὰ δὲ ἐν τοῖς καθόλου περιείληφε καὶ συνεμφαίνει τὰ καθ’ ἕκαστον, καὶ τὰ μὲν ἀύλοις καὶ καθαραῖς ἐνεργείαις χρῆται τὰ δὲ συμμεμιγμένην ἔχει τὴν νόησιν· τῷ γὰρ νῷ διὰ τοῦ λόγου καταλαμβάνει | |
| 90 | τὰ οἰκεῖα γνωστά, ἢ τῷ νῷ μετὰ τοῦ λόγου. συμβαίνει δὴ οὖν ἐκ τούτων τά τε κρινόμενα πράγματα καὶ τὰ κριτήρια αὐτῶν διεστηκέναι ἀπ’ ἀλλήλων, ὡς τὰ μὲν διανοητὰ τῶν νοητῶν διαφέρειν, τὴν δὲ διάνοιαν τοῦ νοῦ. | |
| 95 | Ἔτι δὲ σαφέστερον Ἀρχύτας ἐν τῷ Περὶ νοῦ καὶ αἰσθήσεως διακρίνει τὰ κριτήρια τῶν ὄντων, καὶ τὸ τῶν μαθηματικῶν οἰκειότατον κριτήριον παρί‐ στησι διὰ τούτων· ‘ἐν ἁμῖν‘ γὰρ ‘αὐτοῖσ‘, φησί, ‘κατὰ ψυχὰν γνώσιές εἰσι τέσσαρες, νόος ἐπιστάμα δόξα | 35 |
Comm Math.8(100) | αἴσθησις, ὧν αἱ μὲν δύο τοῦ λόγου ἀρχαί ἐντι, οἷον νόος αἴσθασις, τὰ δὲ δύο τέλη, οἷον ἐπιστάμα καὶ δόξα· τὸ δ’ ὅμοιον ἀεὶ τοῦ ὁμοίου γνωστικόν. φανε‐ ρὸν ὦν ὅτι ὁ μὲν νόος ἐν ἁμῖν τῶν νοατῶν γνωστι‐ κόν, ἁ δὲ ἐπιστήμη τῶν ἐπιστατῶν, ἁ δὲ δόξα τῶν | |
| 105 | δοξαστῶν, ἁ δὲ αἴσθασις τῶν αἰσθατῶν· διόπερ ὦν δεῖ μεταβαίνεν ἀπὸ μὲν τῶν αἰσθατῶν ἐπὶ τὰ δοξαστὰ τὰν διάνοιαν, ἀπὸ δὲ τῶν δοξαστῶν ἐπὶ τὰ ἐπιστατά, καὶ ἀπὸ τούτων ἐπὶ τὰ νοατά· ταῦτα δὲ σύμφωνα ποιητά, θεωρούμενα δι’ αὐτῶν ἀλάθεα. διωρισμένων | |
| 110 | δὲ τούτων τὰ μετὰ ταῦτα δεῖ νοῆσαι. καθάπερ γὰρ γραμμὰν δίχα τετμαμένην καὶ ἴσα πάλιν ἑκατέρων τμήματα τετμαμένα ἀνὰ τὸν αὐτὸν λόγον, καὶ οὕτω διῃρήσθω καὶ τὸ νοατὸν ποττὸ ὁρατόν, καὶ πάλιν ἑκάτερον οὕτως διωρίσθω, καὶ διαφέρεν σαφηνείᾳ τε | |
| 115 | καὶ ἀσαφείᾳ ποττἆλλα· τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον τῶ μὲν δὴ αἰσθατῶ τὸ μὲν ἅτερον τμῆμά ἐστι τά τε εἴδωλα τὰ ἐν τοῖς ὕδασι καὶ ἐν τοῖς κατόπτροις, τὸ δ’ ἕτερον | |
| μέρος, ὧν ταῦτα εἰκόνες, φυτὰ καὶ ζῷα· τῶ δὲ νοατῶ τὸ μὲν ἀνάλογον ἔχον ὡς αἱ εἰκόνες τὰ περὶ τὰ μαθή‐ | 36 | |
| 120 | ματα γένη ἐντί· οἱ γὰρ περὶ τὰν γαμετρίαν ὑποθέ‐ μενοι τό τε περισσὸν καὶ τὸ ἄρτιον καὶ σχάματα καὶ γωνιᾶν τρισσὰ εἴδεα, ἐκ τούτων πραγματεύονται τὰ λοιπά, τὰ δὲ πράγματα ἐῶντι ὡς εἰδότες, λόγον τε οὐκ ἔχοντι διδόμεν οὔτ’ αὐτ〈αύτ〉οις οὔτ’ ἄλλοις· ἀλλὰ | |
| 125 | τοῖς μὲν αἰσθατοῖς, ὡς εἰκός, χρῶνται, ζατοῦντι δὲ οὐ ταῦτα, οὐδὲ τούτων ἕνεκα ποιεῦνται τὼς λόγως, ἀλλὰ τᾶς διαμέτρω χάριν καὶ αὐτῶ τετραγώνω. τὸ δ’ ἅτερον τμᾶμά ἐντι τῶ νοατῶ, περὶ ὃ διαλεκτικὰ κατα‐ σχόληται· αὐτὰ γὰρ τῷ ὄντι τὰς ὑποθέσιας [ἀλλ’] | |
| 130 | ὑποθέσιας, ἀλλ’ ἀρχάς τε καὶ ἐπιβάσιας ποιεῖται〈, ἵνα〉 μέχρι τῶ ἀνυποθέτω ἐπὶ παντὸς ἀρχὰν ἔλθῃ, καὶ πάλιν ἐχομένα καταβᾷ ἐπὶ τὰν τελευτὰν οὐδενὶ προσχρω‐ μένα αἰσθατῷ, ἀλλ’ εἰδέεσσιν αὐτοῖς δι’ αὑτῶν. ἐπὶ δὲ τέτταρσι τούτοις τμάμασι καλῶς ἔχει διανέμεν καὶ | |
| 135 | τὰ πάθεα τᾶς ψυχᾶς· καὶ καλέσαι νόασιν μὲν ἐπὶ τῷ ἀκροτάτῳ, διάνοιαν δὲ ἐπὶ τῷ δευτέρῳ, ἐπὶ δὲ τῷ τρίτῳ πίστιν, εἰκασίαν δὲ ἐπὶ τῷ τετάρτῳ.‘ | |
| Οἶμαι τοίνυν καὶ διὰ τούτων κατάδηλον γεγονέ‐ ναι, ὡς τέσσαρες μέν εἰσι διαφοραὶ τῶν ὄντων, τέτταρες | 37 | |
| 140 | δὲ τῆς κρίσεως ἀρχαί, καὶ ὡς ὁ λόγος μέσην ἔχων ἐφάπτεται τῶν δύο ἄκρων, νοητῶν τε καὶ αἰσθητῶν, ἐν τέλους τάξει πρὸς τὸν νοῦν καὶ τὴν αἴσθησιν καθι‐ στάμενος ὡς ἀρχὰς οὔσας ἑαυτοῦ καὶ ὑπ’ αὐτῶν ἀπο‐ τελούμενος. ἔστι δὲ καὶ τοῦτο ἀξίωμα κοινὸν περὶ | |
| 145 | πάσης γνωριστικῆς δυνάμεως, ὡς τῷ ὁμοίῳ τὰ ὅμοια γιγνώσκεται. ἔνεστιν οὖν καὶ ἀπ’ ἀμφοτέρων ἀμφό‐ τερα καὶ ἀπὸ τῶν ἑτέρων τὰ ἕτερα τούτων καταμαν‐ θάνειν, τάς τε ἴσας διαιρέσεις κοινῶς τε καὶ ἰδίως οἷόν τε ἐπ’ αὐτῶν ποιεῖσθαι, τάξιν τε μεταβάσεως | |
Comm Math.8(150) | ἀπὸ τῶν ἑτέρων ἐπὶ τὰ ἕτερα, τουτέστιν ἀπὸ τῶν καταδεεστέρων ἐπὶ τὰ ἀνωτέρω· καὶ ἀναγωγὴν πάντων καὶ σύνταξιν ἐπὶ τὸν νοῦν ὅπως δεῖ ποιεῖσθαι διώρικε. τὸ δὴ μετὰ τοῦτο τὴν γραμμὴν κατατέμνει, μίαν μὲν οὖσαν, ἵνα ὡς ἓν τὸ γνωριστικὸν ὑπολάβωμεν, δίχα | |
| 155 | δὲ ταύτην διαιρεῖ κατὰ τὰς πρώτας διαφορὰς τῶν ὄντων καὶ τὰς ἐπ’ αὐτοῖς διχῇ διῃρημένας κρίσεις. ἴσας δὲ αὐτὰς τίθεται κατὰ τὴν τῶν λόγων μετουσίαν καὶ τῶν εἰδῶν καὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν μετεχόντων πρὸς τὰ μετεχόμενα, καὶ διότι ἡ ἀναλογία ἡ αὐτή | |
| 160 | πώς ἐστιν ἐπ’ ἀμφοτέρων. πάλιν δ’ ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἀνὰ τὸν αὐτὸν λόγον διαιρεῖ, ἐπειδὴ δι’ ὅλου ἡ γνωστικὴ δύναμις ὁμοειδής ἐστι πρὸς ἑαυτήν, τάς τε διαφορὰς αὐτῆς ποιεῖται σαφηνείᾳ τε καὶ ἀσα‐ φείᾳ καὶ τῷ τελέως ὡρίσθαι ἢ τῷ ἐνδεῶς, πρὸς ἄλληλά | |
| 165 | τε αὐτῶν τὴν διάκρισιν ἐπιδείκνυσι, κατὰ τί παραλ‐ λάττει καὶ ὑποδεέστερά ἐστι τὰ δεύτερα τῶν προτέρων. | |
| πρῶτον δὲ διαιρεῖ τὸ αἰσθητὸν ὡς γνωριμώτερον, καὶ λαμβάνει αὐτοῦ τὴν κατ’ εἰκόνα ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν φαινομένην ὑπόστασιν, τὰ εἴδωλα τὰ ἐν τοῖς ὕδασι | 38 | |
| 170 | καὶ ἐν τοῖς κατόπτροις, ὡς μίαν τινὰ φύσιν ἀποτεμών. τὸ δ’ ἕτερον μέρος ἀφορίζει τὸ ἀληθινόν, ὧν ταῦτά εἰσιν εἰκόνες, οἷον φυτὰ καὶ ζῷα. ἀπὸ γὰρ τούτων εἰκασία γίγνεται τῶν εἰδώλων κατὰ ἀνάκλασιν εἰς ταῦτα τῆς αἰσθήσεως [κατὰ δεύτερον τρόπον] ἐπι‐ | |
| 175 | στρεφομένης, καὶ οὕτως αὐτὰ γιγνωσκούσης δευτέρως ὥσπερ καὶ ὑφίσταται κατὰ δεύτερον τρόπον, τοῖς δὲ αἰσθητοῖς αὐτόθεν ἐπιβαλλούσης ὥσπερ καὶ ὑφίσταται πρώτως καὶ ἐν αὑτοῖς ἔχει τὴν ἔνυλον ὑπόστασιν. ἀπὸ δὴ τῆς τούτων ἀναλογίας καὶ τὸ ἕτερον τμῆμα | |
| 180 | δυνατόν ἐστι καταμαθεῖν. ταῖς μὲν γὰρ εἰκόσι τὰ περὶ τὰ μαθήματα γένη ἐστὶν ἀνάλογον, καὶ αἱ γνώ‐ σεις αὐτῶν ταῖς εἰκασίαις τῶν εἰδώλων ἔχουσί τινα ὁμοιότητα· ἀπό τε γὰρ τῶν νοήσεων λαμβάνουσι τὴν ἐνέργειαν καὶ ἀπὸ τῶν νοητῶν ἐπὶ τὰ μαθηματικὰ ὡς | |
| 185 | εἰκόνας μεταβαίνουσιν, ὑποθέσεσί τε χρῶνται καὶ τὴν αἰτίαν οὐκ ἐπίστανται. καὶ τοῦτό ἐστι τὸ κριτήριον τῶν μαθηματικῶν, ἑτέρου τε πράγματος ὑπάρχον προ‐ γνωστικόν, ἀλλ’ οὐχὶ τοῦ νοητοῦ, καὶ ἑτέρᾳ γνώσει ἀντιλαμβανόμενον τοῦ διανοητοῦ, ἀλλ’ οὐχὶ τῇ νοήσει· | |
| 190 | αὕτη γὰρ τοῦ διαλεκτικοῦ ἐστι κριτήριον, καὶ δι’ αὐτῆς τὰ ὄντα καὶ τὰ εἴδη καὶ τὰ ἀνυπόθετα πάντα θεωρεῖ καὶ λόγον ἔχει περὶ πάντων δοῦναι, αἰσθητῷ τε οὐδενὶ προσχρῆται, ἀλλὰ τοῖς νοητοῖς εἴδεσι. τεττά‐ | |
| ρων δὴ οὐσῶν τῶν κρινουσῶν δυνάμεων τάξις τις | 39 | |
| 195 | αὐτῶν θεωρεῖται καὶ ἐνέργειαι διῃρημέναι τυγχάνουσιν, ἐπὶ μὲν τῷ ἀκροτάτῳ νόησις, ἐπὶ δὲ τῷ δευτέρῳ διά‐ νοια, ἐπὶ δὲ τῷ τρίτῳ πίστις, εἰκασία δὲ ἐπὶ τῷ τετάρτῳ. Ἐκ δὴ τούτων ἐκ διαιρέσεως πέφηνεν ἱκανῶς ὅ τι | |
Comm Math.8(200) | ποτ’ ἐστὶ τὸ τῶν μαθημάτων κριτήριον. | |
Comm Math.9 | Εἰ δὲ δεῖ καὶ ὡρισμένως τὸ λοιπὸν περι‐ λαβεῖν τὸ εἶδος τῆς μαθηματικῆς τί τέ ἐστι καὶ πῶς ὑφέστηκεν, ἴδωμεν πρώτην δόξαν τῶν εἰς ψυχὴν αὐ‐ τὴν ἀναφερόντων· εἰς γὰρ τοῦτο ὡρισμένως δυνηθείη | |
| 5 | ἄν τις ἐπερεῖσαι τὴν διάνοιαν. Ἓν μὲν οὖν γένος τῶν ἐν τοῖς μαθήμασιν [τῶν] ὄντων οὐκ ἄν τις αὐτὴν εὐλόγως θείη κατὰ τὴν τοι‐ αύτην ἐπιβολὴν τῆς θεωρίας· μεριστὴ γὰρ ἂν οὕτω γένοιτο ἡ περὶ τῆς μαθηματικῆς οὐσίας γνῶσις. διόπερ | |
| 10 | οὔτε ἰδέαν τοῦ πάντῃ διαστατοῦ οὔτε ἀριθμὸν αὐτο‐ κίνητον οὔτε ἁρμονίαν ἐν λόγοις ὑφεστῶσαν οὔτε ἄλλο οὐδὲν τοιοῦτο κατ’ ἰδίαν ἀφοριστέον περὶ αὐτῆς, κοινῇ δὲ συμπλέκειν πάντα ἄξιον, ὡς τῆς ψυχῆς καὶ ἰδέας οὔσης ἀριθμίου καὶ κατ’ ἀριθμοὺς ἁρμονίαν | |
| 15 | περιέχοντας ὑφεστώσης, πάσας τε συμμετρίας κοινῶς, ὅσαι ποτέ εἰσιν ὑπὸ τὴν μαθηματικήν, ὑπὸ ταύτην ὑποτακτέον, τάς τε ἀναλογίας ὅλας ὑπ’ αὐτὴν θετέον. διὰ δὴ τοῦτο γεωμετρικῇ τε ὁμοῦ καὶ ἀριθμητικῇ καὶ | |
| ἁρμονικῇ ἀναλογίᾳ συνυπάρχει, ὅθεν δὴ καὶ λόγοις | 40 | |
| 20 | τοῖς κατ’ ἀναλογίαν ἡ αὐτή ἐστι, ταῖς τε ἀρχαῖς τῶν ὄντων ἔχει τινὰ συγγένειαν καὶ πάντων ἐφάπτεται τῶν ὄντων καὶ πρὸς πάντα ὁμοιοῦσθαι δύναται. Αἰτίαι μὲν οὖν εἰσι τοιαῦται τῆς τοιαύτης ὑπο‐ λήψεως. πρὸς δὲ τὴν θεωρίαν ἀφορμαὶ ἂν γένοιντο | |
| 25 | τὴν μαθηματικὴν ὁμοῦ καὶ τὴν περὶ τῆς ψυχῆς, εἰ κατίδοιμεν ὡς τὸ πεπερασμένον πᾶν καὶ ὡρισμένον ἀπὸ τῶν ἀριθμῶν εἰς αὐτὴν ἐφήκει, ὁ δ’ ἑνιαῖος λόγος ἀπὸ τῆς τοῦ ἑνὸς φύσεως, ἡ δὲ εἰς μέγεθος καὶ αὔξη‐ σιν προϊοῦσα δύναμις καὶ ἔχουσα περιουσίαν, ὥστε | |
| 30 | πᾶσι διδόναι αὐτὴν τοῖς μετρίοις, ἀπὸ τῆς γεωμετρι‐ κῆς οὐσίας πάρεστιν· ἡ δὲ δύναμις τῆς ἐναρμονίου κινήσεως τάξις τε καὶ ἀλόγων συμμετρία ἥ τε ἐν ἀριθμοῖς συμφώνοις ἢ συμφωνίαν περιέχουσιν εὐμετρία ἀπὸ τῆς κατ’ οὐσίαν ἁρμονίας παραγίγνεται. διόπερ | |
| 35 | καὶ ἁρμονιῶν κατακούει ἡ ψυχὴ καὶ χαίρει τοῖς ἡρμο‐ σμένοις, ὡς οὖσα καὶ αὐτὴ ἁρμονία, ἔκ τε ἀριθμῶν καὶ ἄλλων τοιούτων μαθηματικῶν μέτρων τὴν οὐσίαν ἔχει, ἅπερ συγγένειαν παρεδέξατο πρός τε τὰ νοητὰ εἴδη καὶ πρὸς τὰς αἰσθητὰς οὐσίας καὶ τὰ ἔνυλα εἴδη· | |
| 40 | πρὸς γὰρ πάντα ταῦτα ἡ παροῦσα δόξα δίδωσι θεωρίας ἀφορμήν, ὡς ἱκανῆς οὔσης τῆς οὕτως ὑποτιθεμένης μαθηματικῆς δόξης πάντα τὰ τοιαῦτα νοήματα παρέχειν. ἵνα δὲ συνέλωμεν τὴν ὅλην δόξαν, ἐν λόγοις κοινοῖς πάντων τῶν μαθημάτων τὴν ψυχὴν νοοῦμεν οὖσαν, | |
| 45 | ἔχουσαν μὲν τὸ κριτικὸν αὐτῶν, ἔχουσαν δὲ καὶ τὸ γεννητικόν τε καὶ ποιητικὸν αὐτῶν τῶν ἀσωμάτων | |
| μέτρων, οἷς καὶ τὴν γενεσιουργίαν δύναταί τις προσ‐ αρμόζειν τῶν ἐνύλων εἰδῶν τήν τε δι’ εἰκόνων ἀπερ‐ γασίαν, ἐκ τῶν ἀφανῶν εἰς τὸ φανερὸν προϊοῦσαν, | 41 | |
Comm Math.9(50) | συνάπτουσάν τε τὰ ἔξω τοῖς εἴσω. κατὰ γὰρ πάντα ταῦτα, ὡς συλλήβδην εἰπεῖν, ὁ τῆς ψυχῆς λόγος περιέχει ἀφ’ ἑαυτοῦ τὴν ὅλην τῶν μαθημάτων συμ‐ πλήρωσιν. | |
Comm Math.10 | Πότερον δὲ μῖγμα ἐκ πάντων ἐστὶ τῶν ἐν τοῖς μαθήμασιν ὄντων, ἢ πάντα ὑφίστησιν αὐτὴ καθ’ ἕνα λόγον προηγούμενον, χρὴ διασκέψασθαι. εἰ μὲν οὖν σύμμιξίς ἐστιν ἀφ’ ὅλων, προϋπάρχει αὐτῆς τὰ | |
| 5 | συμπληρωτικὰ ἀφ’ ὧν συνιόντων συγκίρναται, καὶ οὐκέτ’ ἂν εἴη αὐτὴ ἀρχὴ τῆς μαθηματικῆς οὐσίας, ἀλλ’ ἀπὸ τῶν σποράδην ὑφεστηκότων μαθημάτων συνιόντων εἰς ταὐτὸ ἀπογεννωμένης πρὸς τοῖς ἄλλοις ἀτόποις καὶ σύνθεσίν τινα συνάγει μετὰ τῆς ψυχῆς | |
| 10 | καὶ ὑστερογενῆ ὡς ἐκ προτέρων τινῶν ἐπισυνιστα‐ μένην ὑπόστασιν· εἰ μέντοι αὕτη πρώτως ἀρχηγός ἐστι τῆς μαθηματικῆς οὐσίας καὶ παράγει ταύτην ἐξ ἑαυτῆς, πρεσβυτέρα τε αὐτῆς ἔσται, καὶ ὡς ἐν αἰτίας λόγῳ προηγεῖται καὶ ὡς ἑτέρα ὑπερέχει. ἔστι δὲ καὶ | |
| 15 | τοῦτο ὑπεναντίον πρὸς τὴν παροῦσαν δόξαν· τιμιωτέρα γὰρ ἂν οὕτω γένοιτο ἡ ψυχὴ τῶν ἐν τοῖς μαθήμασιν ὄντων. βέλτιον οὖν λέγειν ὡς οὔτε προηγεῖται οὔτ’ ἐπακολουθεῖ τοῖς μαθηματικῶς οὖσι, συντρέχει δὲ ἅμα πρὸς αὐτὰ καὶ συνυφέστηκεν ἀσύνθετον καὶ ἀμέριστον | |
| 20 | ἔχουσα τὴν ἐν ὅλοις καὶ ἀφ’ ὅλων σύμμιξιν, μονοει‐ | |
| δῶς τε αὐτοῖς παροῦσα καὶ ἑνιαίως αὐτῶν ὅλων μετέ‐ χουσα, δύναμίν τε περιεκτικὴν τῶν ὅλων ἐν ἑαυτῇ συλλαβοῦσα καὶ ἑαυτὴν δοῦσα εἰς ὅλα τὰ μαθήματα ὡσαύτως. εἰ δὲ τοῦτο οὕτως ἔχει, καὶ πάντα περι‐ | 42 | |
| 25 | είληφεν ἐν ἑαυτῇ τελέως καὶ ἀνενδεῶς, οὐδέν τε ἐκτὸς ἑαυτῆς ἀφίησιν (αὐτή τε γάρ ἐστι τελεία καὶ οὐχ οἷόν τε τῆς οἰκείας ἀρχῆς ἀπολείπεσθαί τι τῶν ὄντων), μία τε οὕτως ἔσται ἡ οὐσία τῆς αὐτῆς ἀρχῆς δι’ ὅλων διη‐ κούσης. διαφοραί γε μὴν οὐδὲν ἧττον ἔσονται κατὰ | |
| 30 | τὰς διαφόρους δυνάμεις καὶ ζωὰς καὶ ἐνεργείας τῆς ψυχῆς καὶ τὸ τῶν οὐσιῶν αὐτῆς πλῆθος, ὅπερ ἐν ἑνὶ περιέχεται. τοιοῦτον ἄν τις καὶ τὸν περὶ τούτων διορισμὸν εὐλόγως ὑπόθοιτο. Περὶ μὲν οὖν οὐσίας τῆς μαθηματικῆς θεωρίας | |
| 35 | τοσαῦτα ἡμῖν εἰρήσθω. | |
Comm Math.11 | Ἔργον δὲ τῆς ἐπιστήμης ταύτης ἐστὶν οὐχ ὡρισμένον, οὐδὲ κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡσαύτως ἔχον, ὥσπερ τὸ τοῦ νοῦ, οὐδὲ παρ’ ἑαυτοῦ πάντως τὸ γιγνώσκειν ἔχον, ὥσπερ τῷ νῷ τὸ τοιοῦτον σύμφυτόν | |
| 5 | ἐστιν· ἔξωθεν δὲ διεγείρεται πρὸς τὰς εἰδήσεις, καὶ δεχόμενον παρ’ ἄλλων τὴν ἀρχὴν τῆς ἀναμνήσεως, οὕτως αὐτὴν ἀφ’ ἑαυτοῦ προβάλλει· σταθερόν τε οὐκ ἔστι κατὰ μίαν ἐνέργειαν, ὥσπερ τὸ τοῦ νοῦ, ἀλλ’ ἐν κινήσει μᾶλλον πρόεισιν ἀφ’ ἑαυτοῦ καὶ εἰς ἑαυτό. | |
| 10 | ἀλλ’ οὐδὲ πλῆρές ἐστιν ἑαυτοῦ, ὥσπερ τὸ νοερόν, ἐν δὲ τῷ ζητεῖν καὶ εὑρίσκειν ἀεὶ ἀπό τινος κενώσεως τοῦ γιγνώσκειν εἰς πλήρωσιν αὑτοῦ προέρχεται. πέρα‐ | |
| τός τε καὶ ἀπειρίας ὁμοίως ἐν μέσῳ διείληπται· ὅθεν ἀπὸ τοῦ ἀπείρου ἐπὶ τὸ ὁρίζεσθαι ἀεὶ προχωρεῖ, καὶ | 43 | |
| 15 | ἐπὶ τὸ μεταλαμβάνειν τῶν μαθηματικῶν εἰδῶν μεθί‐ σταται. διὰ δὴ πάντα ταῦτα καὶ παραγίγνεται ἡ ἐπι‐ στήμη αὕτη μαθήσεως πρώτης προηγησαμένης, ἧς τὴν ἀρχὴν ὁ διδάσκων παρέχει, εἶτα εὑρέσεως ἐπακολου‐ θούσης, ἥτις συνήρτηται ταῖς καταβαλλομέναις ἀπὸ | |
| 20 | τοῦ διδάσκοντος ἀρχαῖς· κατὰ γὰρ ταύτας ἀναμιμνῄ‐ σκεται ἡ ψυχὴ τῶν ἀληθῶν ἐν μαθηματικῇ εἰδῶν καὶ προβάλλει τοὺς οἰκείους αὐτῶν λόγους. ἐνίοτέ γε μὴν καὶ κοινὴ ἐξ ἀμφοτέρων γίγνεται ἡ ἐνέργεια, διόπερ ὁ Ἀρχύτας ἐν τῷ Περὶ μαθηματικῶν λέγει· ‘δεῖ | |
| 25 | γὰρ μαθόντα παρ’ ἄλλω ἢ αὐτὸν ἐξευρόντα, ὧν ἀνεπι‐ στάμων ἦσθα, ἐπιστάμονα γενέσθαι. τὸ μὲν ὦν μαθέν, παρ’ ἄλλω καὶ ἀλλοτρίᾳ, τὸ δὲ ἐξευρέν, δι’ αὔταυτον καὶ ἴδιον, ἐξευρεῖν δὲ μὴ ζατοῦντα, ἄπορον καὶ σπά‐ νιον, ζατοῦντα δὲ εὔπορον καὶ ῥᾴδιον, μὴ ἐπιστάμενον | |
| 30 | δὲ ζητεῖν ἀδύνατον.‘ ἐν γὰρ τούτοις τὴν μάθησιν πρώτην ἔθηκεν ὡς ἀρχὴν τῆς τοιαύτης ἐπιστήμης, καὶ τὸ ἴδιον αὐτῆς παρέδειξεν, ὡς παρ’ ἄλλου ἐνδιδομένης. δεύτερον ἐπήγαγε τὸ ‘αὐτὸν ἐξευρόντα‘· εἰ γὰρ καὶ τῇ δυνάμει τοῦτο προηγεῖται, ἀλλὰ κατά γε τὴν ἀν‐ | |
| 35 | θρωπίνην τάξιν ὡς πρὸς ἡμᾶς ἐστι δευτέρα· εἰς γένε‐ σιν γὰρ πεσόντας ἀνάγκη ὑπ’ ἄλλων ὑπομιμνῄσκε‐ σθαι πρότερον. ἔστι μὲν οὖν καὶ ὡς δύο τούτους | |
| τρόπους ὑπολαμβάνειν τοῦ παραδέχεσθαι ἐπιστήμην, ἔστι δὲ καὶ ὡς ἕνα αὐτοὺς τῷ λογισμῷ περιλαμβάνειν· | 44 | |
| 40 | ἐπειδὰν γὰρ ὡς παρ’ ἄλλου καὶ ἀλλότρια μεταλάβωμεν τὰ μαθήματα, τότε αὐτὰ ὡς ἴδια αὐτοὶ ἀφ’ ἑαυτῶν προχειρίζομεν. τοῦτο δὲ ῥᾴδιον καταμαθεῖν ἀπὸ τῶν εὑρέσεων· ὡς γὰρ ἔχοντες αὐτὰ ἐν ἑαυτοῖς, οὕτως εὑρίσκομεν καὶ ἐπιγιγνώσκομεν αὐτὰ εὑρεθέντα. καὶ | |
| 45 | ἀπὸ τῶν ζητήσεων δὲ τὸ αὐτὸ καταφαίνεται. εἰ γὰρ μὴ ἐπιστάμενον ζητεῖν ἀδύνατον, ἦν χρόνος ὅτε ἠπι‐ στάμεθα ταῦτα, καὶ οὐχ ὁ παρὼν οὗτος (νῦν γὰρ αὐτὰ ἀγνοοῦμεν)· πρότερον ἄρα αὐτὰ ἠπιστάμεθα. καὶ διὰ τοῦτο ζητοῦντι εὔπορα καὶ ῥᾴδια τὰ μαθήματα πρὸς | |
Comm Math.11(50) | εὕρεσιν, μὴ ζητοῦντι δὲ ἄπορα καὶ σπάνια, διότι ἔνεστί πως ἐν ταῖς ψυχαῖς καὶ ἦν ποτε πρότερον περὶ αὐτὰς ἐν τῇ κατ’ ἐνέργειαν ἐπιστήμῃ. ὁδὸς ἄρα ἀπὸ ζητήσεως εἰς εὕρεσιν, καὶ ἀπὸ μαθήσεως εἰς ζήτησιν καὶ εὕρεσιν, ἡ διὰ τῶν μαθημάτων ἐστὶ πραγματεία. | |
| 55 | ὅθεν δὴ καὶ τὸ ὄνομα τοῦτο ἔσχε τὸ μαθηματικὴ καλεῖσθαι. ἀφ’ οὗ γὰρ πρώτου τὴν ἀρχὴν παραδέχε‐ ται ἡ ἐπιστήμη καὶ οὗ χωρὶς οὐχ οἷόν τε αὐτὴν ἐγγε‐ νέσθαι, λέγω δὲ τοῦ μανθάνειν, ἀπὸ τούτου τὸ ὄνομα εἴληφεν. | |
| 60 | Ἔστω δὴ οὖν ἡμῖν καὶ ταῦτα περὶ αὐτῆς οὑτωσὶ διηυκρινημένα. | |
Comm Math.12 | Δυνάμεις δὲ αὐτῆς διαριθμήσαιτο μὲν ἄν τις καὶ ἄλλας πλείονας, ἐν δὲ ταῖς πρώταις θεωρεί‐ σθωσαν αἱ ἀπὸ τοῦ πλήθους συναγωγοὶ πρὸς τὸ ταὐ‐ | |
| τὸν καὶ ἡνωμένον αἴτιον, καὶ ὅσαι ἀπὸ τοῦ ἑνὸς | 45 | |
| 5 | διαιρετικαί εἰσιν εἰς πλῆθος. ἐπεὶ γὰρ ἐκ πέρατος καὶ ἀπειρίας συνεστήκασι καὶ ἑνὸς καὶ πλήθους, μέσαι τέ εἰσι τοῦ μεριστοῦ καὶ ἀμερίστου, καὶ κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον τῆς οὐσίας μετειλήφασι καὶ συναγωγῆς καὶ διαιρέσεως, ἀναπλώσεώς τε καὶ συνειλήσεως, ἐπιστρο‐ | |
| 10 | φῆς τε ἐπὶ τὸ ὡρισμένον καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἀποστάσεως. ἔστι μὲν οὖν καὶ ἐν τῇ διαλεκτικῇ, τῇ περὶ τὸ ὂν προηγουμένως πραγματευομένῃ, ἡ τοιαύτη τῆς θεωρίας ἐνέργεια, οὐ μὴν ἀλλ’ ἔχει γέ τι διάφορον αὕτη πρὸς ἐκείνην οὐ σμικρόν· ἡ μὲν γὰρ τὸ ἁπλῶς ὂν θεωρεῖ | |
| 15 | καὶ τοῦτο συνάγει ἢ διαιρεῖ, ἡ δὲ τὸ μαθηματικὸν ἐπισκοπεῖται καὶ περὶ αὐτὸ ποιεῖται τοῦ λόγου τὰς διττὰς ταύτας ἐνεργείας. εἰσὶ δὲ καὶ ἄλλαι δυνάμεις αἱ τὸ κοινὸν ἐπὶ πολλοῖς ἐπιβλέπουσαι, ὅσαι ἐν τοῖς διαφέρουσι μαθήμασι κοινά τινα εἴδη καὶ κοινοὺς | |
| 20 | λόγους θεωροῦσι καὶ κοινὰ μέτρα οἷς ἀφορίζεται τὰ διαφέροντα, οἷον αἱ τῆς ἰσότητος καὶ ἀνισότητος θεωρίαι καὶ αἱ τοῦ συμμέτρου καὶ ἀσυμμέτρου· αὗται γὰρ αἱ δυνάμεις τὰ κοινῶς ἐπὶ πλειόνων ὑφεστηκότα θεωροῦσιν. ἀντιτίθενται δὲ ταύταις αἱ τὸ ἴδιον ἑκά‐ | |
| 25 | στου τῆς οὐσίας θεωροῦσαι, οἷον τῶν ἀριθμῶν καθό‐ σον εἰσὶν ἀριθμοί, καὶ τῶν μεγεθῶν καθόσον ὑφέστηκε [τὰ] μεγέθη, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον. ἐν δὴ ταῖς τοιαύταις εἰσὶ καὶ αἱ τὴν ἀναλογίαν τὴν πανταχοῦ ὑφισταμένην νοοῦσαι, ἄνωθεν μὲν ἀπὸ τῶν | |
| 30 | πρωτίστων ἀρχόμεναι, τελευτῶσαι δὲ ἐπὶ τὰ ἔσχατα, προϊοῦσαι δὲ διὰ τῶν μέσων, τηροῦσαι δὲ πανταχοῦ τοὺς αὐτοὺς λόγους καὶ ἑτέρους ἐν τοῖς διαφέρουσι | |
| καὶ δι’ ὅλων αὐτοὺς ἐναπεργαζόμεναι φανερούς. οὐ μὴν ἀλλὰ καὶ τὰς θεωρούσας τὸ καλὸν καὶ τὸ μέτρον | 46 | |
| 35 | τῶν μαθηματικῶν οὐσιῶν τό τε ἡρμοσμένον καὶ τὸ σύμμετρον αὐτῶν ἐν λόγῳ τινὶ θετέον· ἔχουσι γὰρ κατὰ τὴν οἰκείαν αὐτῶν φύσιν εὐταξίαν καὶ τελειότητα καὶ πάντα ὅσα προσήκει ἀγαθὰ τοῖς μαθηματικοῖς εἴδεσι. τοῖς μὲν οὖν πολλοῖς αὗταί τε ἀκίνητοι δο‐ | |
| 40 | κοῦσιν εἶναι καὶ περὶ ἀκίνητα τὰ γνωστὰ ἐνεργεῖν, οὐ μὴν ὀρθῶς γε ἀρέσκει τοῦτο· ἔστι γάρ τινα μαθήματα, ἃ τὸν τῆς κινήσεως ἀριθμὸν καὶ τὰ μέτρα αὐτά τε καθ’ αὑτὰ καὶ πρὸς ἄλληλα πῶς ἔχει τάξεως καὶ συμ‐ μετρίας ἐπισκοπεῖ, τάς τε ἀσωμάτους τῆς ψυχῆς περιό‐ | |
| 45 | δους, αἷς καὶ τοῦ οὐρανοῦ περιφοραὶ συνυπάρχουσι, πῶς ἔχουσι συμμετρίας καὶ κατὰ τίνας ἀριθμούς, καὶ διὰ τί συναρμόζουσι, καὶ πάντα τὰ τοιαῦτα ἐπισκοπεῖ‐ ται· ἐν οἷς δὴ καὶ ἀστρονομία καὶ ἁρμονικὴ περιέχον‐ ται. ἵνα τοίνυν διατείνωσιν αἱ μαθηματικαὶ δυνάμεις | |
Comm Math.12(50) | καὶ ἐπὶ τὰς τῶν κινήσεων θεωρητικάς, θετέον καὶ ταύτας ὡς περιεχομένας ὑπ’ αὐτῆς. ταύταις δὲ ἀντι‐ διαιρεῖν χρὴ τὰς σταθερὰς καὶ τῶν ἀκινήτων εἰδῶν καὶ λόγων θεωρητικάς, καὶ τὴν τούτων πρὸς ἄλληλα τάξιν δυναμένων συλλογίζεσθαι, ἐν αἷς αἱ πολλαὶ τῆς | |
| 55 | μαθηματικῆς εἰσι σύμφυτοι δυνάμεις. τάξεις δὲ αὐτῶν κατὰ τὴν οὐσίαν τῶν γνωστῶν ὧν εἰσι θεωρητικαὶ δεῖ ἀφορίζεσθαι, εἰ τὰ μὲν προηγεῖται τὰ δὲ ὑποτάττεται, καὶ κατὰ τὴν τοῦ καλοῦ προτίμησιν, εἰ τὰ μὲν τὸ πρεσβύτατον καὶ ἄκρον καλὸν θεωρεῖ τὰ δὲ τὸ ὑπο‐ | |
| 60 | δεέστερον καὶ ἀτελές. τὰς δὲ διαφορὰς ἐν αὐταῖς | |
| ληπτέον ἀπὸ τοῦ τρόπου τῶν ἐνεργειῶν καὶ τοῦ ἐξηλ‐ λαγμένου τῆς γνώσεως καὶ ἀπὸ τῶν συνεζευγμένων αὐταῖς διαφόρων ὄντων, πρὸς ἃ συμπλέκουσι τὰς μαθή‐ σεις. τὸ δὲ ποσαχῶς αὐτῶν ἐπισκεπτέον ἀπὸ τῶν | 47 | |
| 65 | ἐξηλλαγμένων γνωστῶν τῆς μαθήσεως· ἀπὸ γὰρ τούτων φαίνονται πολλαχῶς αὐταί τε ὑφεστῶσαι αἱ δυνάμεις καὶ πολυτρόπως ποιούμεναι τὰς ἐνεργείας. Οὕτως ἄν τις ὡς ἐν ὑπογραφῇ ταῦτα ἐν ἀρχῇ διαστείλαιτο. χρὴ δ’, ὅπερ ἐστὶ προσῆκον, περιμένειν | |
| 70 | τὸν πάντα περὶ αὐτῶν λόγον· οὕτω γὰρ ἂν μάλιστα τελεία ἡ περὶ αὐτῶν διδαχὴ παραδοθείη. | |
Comm Math.13 | Ἐπεὶ δὲ πᾶσα θεωρία καὶ πᾶσα ἐπιστήμη ἐκ τῶν πρώτων στοιχείων παραλαμβάνει τὸ ἀμετάπτω‐ τον, ὅταν ᾖ ταῦτα ὡρισμένα καὶ μήποτε ἄλλως ἔχοντα, ἀπό τε τῆς διεξόδου τῆς διὰ τῶν στοιχείων τὴν τελειο‐ | |
| 5 | τάτην ποιεῖται κατάληψιν, ἔτι τε ἀπὸ τῶν οἰκείων γενῶν ἑκάστη τὸν πρόσφορον ἑαυτῇ τῶν λόγων καὶ τῶν ἀποδείξεων εὑρίσκει τρόπον, ἀναγκαῖον καὶ ἐπὶ τῆς μαθηματικῆς στοιχεῖά τε αὐτῆς προδιελέσθαι τὰ κοινότατα εἰς πᾶσαν τὴν τῶν μαθημάτων σύντασιν, | |
| 10 | καὶ γενῶν θήραν ποιήσασθαι τῶν οἰκειοτάτων καὶ μάλιστα ἐπὶ πάντα κοινῶς διατεινόντων. ἐπειδὰν δὲ ταῦτα κατίδωμεν, σκεψώμεθα πάλιν εἰ ἕτερα μὲν ἔσται τὰ στοιχεῖα ἕτερα δὲ τὰ γένη, ἢ τὰ αὐτὰ πῶς μὲν γένη θεωρεῖται πῶς δὲ στοιχεῖα, καὶ τίνι δὴ διέστηκε | |
| 15 | τὰ ἐν τῇ μαθηματικῇ τοιαῦτα τῶν ἐν ταῖς ἄλλαις ἐπιστήμαις καὶ οὐσίαις γενῶν καὶ στοιχείων, ὅσα τέ ἐστι νοητὰ καὶ ὅσα φέρεται ἐν τῇ γενέσει. | |
| Ὅτι μὲν οὖν ὡρισμένα καὶ ἑστηκότα ἀεὶ τὰ τῆς μαθηματικῆς ἐστι στοιχεῖα καὶ γένη, οἵ τε ἄριστοι | 48 | |
| 20 | τῶν ἐν φιλοσοφίᾳ συνομολογοῦσι, καὶ αὐταὶ αἱ ἀπο‐ δείξεις αἱ μαθηματικαὶ συμμαρτυροῦσι σαφῶς, ἀεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡσαύτως ἔχουσαι. ὅτι δὲ καὶ ταῖς πρώταις ἀρχαῖς τῆς μαθηματικῆς οὐσίας συμφωνεῖ καὶ ὁ περὶ τούτων λόγος, ῥᾴδιον καταμαθεῖν· καὶ γὰρ ἐπὶ | |
| 25 | τούτων τὸ ἓν καὶ τὸ πλῆθος, πέρας τε καὶ ἄπειρον, ταὐτόν τε καὶ ἕτερον, στοιχεῖα καὶ γένη τῆς ἐπιστήμης ἐστὶ καὶ τῶν ὑπ’ αὐτῆς γιγνωσκομένων πραγμάτων. ὅταν μὲν οὖν ταῦτα ὡς αἴτια θεωρῶμεν καὶ ποιητικὰ τῆς ὅλης μαθηματικῆς οὐσίας καὶ τῆς περὶ αὐτὴν | |
| 30 | θεωρίας, ἀρχαὶ νοείσθωσαν αἱ νῦν εἰρημέναι αἰτίαι· ὅταν δὲ ὡς ἐνυπάρχοντα ταῦτα καὶ συμπληροῦντα τὴν οὐσίαν καὶ τὸν τῆς ἐπιστήμης λόγον νοῆται, ὡς στοι‐ χεῖα ταῦτα νοείσθω· ἐπειδὰν δὲ ὡς κοινὰ κατὰ πάν‐ των τῶν μαθημάτων κατίδωμεν αὐτά, τῆς οὐσίας τὸν | |
| 35 | σύνδεσμον παρέχοντα τῶν ἐν μέρει καὶ οὐδὲν ἧττον αὐτὰ καθ’ αὑτὰ ὑφεστηκότα, τότε δὴ καθορῶμεν αὐτὰ ὡς γένη. τὰ αὐτὰ ἄρα πὼς μέν ἐστιν ἀρχηγὰ τῆς μαθηματικῆς θεωρίας καὶ τῶν ὑπ’ αὐτῆς γιγνωσκο‐ μένων ὡς ὄντων, πὼς δὲ στοιχεῖα νοεῖται, ἄλλως δὲ | |
| 40 | πάλιν ὡς γένη· οὐχ ὅτι κατ’ ἐπίνοιαν τῷ λόγῳ μόνῳ διαφέρει, οὐδ’ ὅτι συμμεταβάλλεται καὶ ἕτερα ἐξ ἑτέρων γίγνεται κατὰ τὰς διαφόρους σχέσεις, ἀλλ’ ὅτι τὰ αὐτὰ προόδους ποιεῖται καὶ διαφορὰς ἐν ἑαυτοῖς πλείονας. καὶ δὴ καὶ κατὰ τὴν τῆς αἰτίας διαφορὰν ἔχει τὸ | |
| 45 | ἀδιάφορον· οὐ γὰρ ταὐτόν ἐστι καθ’ αὑτὸ εἶναί τι τῶν ἀσωμάτων καὶ συμπληρωτικὸν ἄλλων ὑπάρχειν, | |
| ἀλλ’ οὐδὲ τὸ ποιητικόν τινων καὶ τὸ ὁπωσοῦν εἰς οὐσίαν συντελοῦν τῆς αὐτῆς τάξεως τετύχηκεν. οὐδ’ ἔστιν ὅπως ποτὲ τὸ συνταττόμενον μεθ’ ἑτέρων τὴν | 49 | |
Comm Math.13(50) | καθ’ αὑτὸ οὐσίαν κατατάττει εἰς τὴν σύνταξιν, ἀλλ’ ἐκείνην μὲν ἀφίησι χωρίς, τὴν ἄλλην δὲ συνυφαίνει εἰς τὴν συμπλήρωσιν ἐκείνων τῶν οὐσιῶν, αἷς συν‐ τελεῖ εἰς τὸ εἶναι. κατὰ δὴ τὸν αὐτὸν λόγον οὐδὲ ἡ παρέχουσα τὸ εἶναι αἰτία συνυπάρχει τοῖς ὑφ’ ἑαυτῆς | |
| 55 | ἀποτελουμένοις, ἀλλ’ ἔστιν αὐτῶν πρεσβυτέρα κατ’ αὐτὸν τὸν τῆς οὐσίας λόγον, χωριστήν τε ἔχει ἐν ἑαυτῇ τὴν ὑπόστασιν, δι’ ἣν καὶ τοῖς σπαραττομένοις ὑφ’ ἑαυτῆς δίδωσιν ἑτέραν ὑπόστασιν μεθ’ ἑαυτήν. οὕτω δὴ οὖν ἡμῖν τὸ ἄπειρον καὶ τὸ πέρας εὐλόγως | |
| 60 | καὶ ἐν ἀρχαῖς καὶ στοιχείοις καὶ γένεσιν ἀφωρίσθη. διαφέρει δὲ ταῦτα τῶν μὲν νοητῶν ἀρχῶν καὶ στοι‐ χείων καὶ γενῶν, διότι ἀπολείπεται αὐτῶν τελειότητι καὶ καθαρότητι καὶ ἁπλότητί τε καὶ τῇ ἐπὶ πλεῖστον διατεινούσῃ περιοχῇ, τῷ τε ὡρίσθαι καὶ ἔτι τῷ κάλλει | |
| 65 | καὶ τοῖς ἀγαθοῖς ἅπασι· τῶν δὲ ἐν γενέσει προέχει τάξει, συμμετρίᾳ, τῇ ἀκινήτῳ καὶ σταθερᾷ φύσει, εἰδῶν καθαρᾷ μετουσίᾳ, τῇ ἀσωμάτῳ καὶ ἀύλῳ φύσει, καὶ συλλήβδην φάναι, πᾶσι τοῖς βελτίοσιν. ἐκ δὴ τού‐ των οὖν συνάγεται μέσα αὐτὰ ἀμφοτέρων εἶναι τού‐ | |
| 70 | των, ἔχειν τε μεταξὺ τάξιν δυναμένην ἀμφοτέροις ἐπι‐ κοινωνεῖν καὶ πρὸς ἀμφότερα δὴ αὐτὰ διαπορθμεύειν ἐπ’ ἴσης. Τοιαῦτα ἄν τις καὶ περὶ τούτων διαγιγνώσκων, οὐκ ἂν διαμαρτάνοι τοῦ προσήκοντος. | |
Comm Math.14 | Περὶ δὲ ὁμοιότητος καὶ ἀνομοιότητος, ὡς | |
| μὲν πολλή τίς ἐστιν ἐν τοῖς μαθήμασι καὶ ἐπὶ τῆς μαθηματικῆς οὐσίας, μεγάλην τε ἔχει τὴν δύναμιν ἐν‐ ταῦθα, πάντες ἂν συνομολογήσειαν· οὐδὲ γὰρ οἷόν τέ | 50 | |
| 5 | τι θεώρημα γνῶναι μαθηματικῶς, εἰ μή τις αὐτὸ κατα‐ σκευάσειεν ὁρισάμενός τι σχῆμα αὐτῷ ὅμοιον καὶ δι’ ἑτέρας εἰκόνος ποιησάμενος τὸν περὶ αὐτοῦ λόγον καὶ ἀφ’ ἑτέρου ἕτερον κατασκευάσας καθ’ ἕνα λόγον τὸν τῆς ὁμοιότητος. ἀλλ’ ἐκεῖνο ἄξιον θεωρίας, τίνες εἰσὶν | |
| 10 | αὗται αἱ κοινότητες αἱ τοῦ ὁμοίου καὶ ἀνομοίου, ἐπὶ πόσον τε διατείνουσιν ἐν τοῖς μαθήμασι, καὶ πῶς ὑπάρχουσιν ἐν αὐτοῖς, κατὰ τί τε διεστήκασι τῶν ἐν τοῖς νοητοῖς ἢ αἰσθητοῖς ὁμωνύμων λεγομένων ὁμοίων τε καὶ ἀνομοίων. δεῖ δὴ νοῆσαι τοῦτο, ὡς οὐ κατὰ | |
| 15 | ποιότητα τὸ ὅμοιον καὶ ἀνόμοιον λέγεται ἐπὶ τῆς μαθη‐ ματικῆς οὐσίας, οὔτε κατὰ σχῆμα τοιοῦτον οἷον ἐπί τισιν ὡς ἕτερον περὶ ἑτέροις ἐπιγίνεται· τὰ μὲν γὰρ τοιαῦτα ποιὰ ἐν τοῖς συνθέτοις καὶ περὶ σύνθεσιν φιλεῖ συμβαίνειν, ἐφ’ ὧν ἕτερον μέν ἐστι τὸ ὑποκεί‐ | |
| 20 | μενον, ἕτερον δὲ τὸ ἐν ὑποκειμένῳ συμβεβηκός, χαρακτῆρά τε καὶ εἰδοποιίαν περὶ τὴν ὑποκειμένην φύσιν ἐναπεργαζόμενον· ὃ δὲ νῦν ζητοῦμεν ὅμοιόν τε καὶ ἀνόμοιον, πρεσβύτερόν ἐστι πάσης συνθέσεως. ἀλλ’ οὐδὲ κατὰ σχέσιν θεωρεῖται τοιαύτην, οἵα ἐν τῷ πῶς | |
| 25 | ἔχειν ὑφέστηκε· τῶν γὰρ καθ’ αὑτὰ ὑπαρχόντων οὐ δεῖ ἐξ ἄλλων ἠρτημένας νοεῖν τὰς ὑποστάσεις. ἔστω δὴ οὖν κατ’ οὐσίαν προηγούμενον τὸ νυνὶ λεγόμενον ὅμοιόν τε καὶ ἀνόμοιον, οὐσίαν δὲ οὐ πᾶσαν, ἀλλὰ τὴν μαθηματικήν. εἴδη τινὰ οὖν ταῦτα τῆς οὐσίας | |
| 30 | ἔσται τῆς μαθηματικῆς. οὐ γὰρ δεῖ τὸ ποιὸν καὶ | |
| ποσὸν ἀντιδιαιροῦντας τῇ οὐσίᾳ ἄλλην μὲν ἐπιστήμην ἐπὶ τῇ οὐσίᾳ θεωρητικὴν συντάττειν, ἄλλην δὲ ἐπὶ τῷ ποσῷ, καὶ ταύτην ἀφορίζεσθαι εἶναι τὴν μαθηματικήν· ἀλλ’ ὥσπερ ἔχει φύσεως, οὕτω καὶ τὴν οἰκείαν οὐσίαν | 51 | |
| 35 | τὴν μαθηματικὴν ἐπισκοπεῖν, καὶ τὰ εἴδη ταῦτα ὅσα τέ ἐστι καὶ ὁποῖα· καὶ ὃ δὴ καὶ τὸ ποσὸν συνεξετάζει, οὔτε τὸ ἐν τοῖς σώμασιν, οὔτε τὸ νοητὸν παράδειγμα, ἀλλ’ ὅσον ἐστὶ μαθηματικόν· ὡσαύτως δὴ οὖν καὶ τὸ ὅμοιον καὶ τὸ ἀνόμοιον, εἴτε ὡς κοινὰ γένη περὶ τὴν οὐσίαν ἢ | |
| 40 | εἴδη, εἴτε ὡς κοινὰς δυνάμεις γεννητικὰς εἰδῶν τῶν ἐν τοῖς καθ’ ἕκαστα μαθημάτων, πέφυκε συνθεωρεῖν κατ’ αὐτὸν τὸν τοῦ εἶναι λόγον. διατείνει δὲ ἐπὶ μὲν τῆς ὅλης οὐσίας μαθηματικῆς εἰς τὸ ὅλον αὐτῆς ὄν, ἐπὶ δὲ τῶν κατὰ μέρος μαθημάτων εἰς τὰς μεριστὰς αὐτῶν | |
| 45 | ὑποστάσεις, καὶ οὕτως καθ’ ὅσον ἄν τις θεωρῇ πλείονας ἢ ἐλάττονας ἢ μείζονας ἢ καταδεεστέρας τούτων περι‐ γραφάς, πάσαις συμπαρεκτείνει τὸ ὅμοιον καὶ ἀνόμοιον ἢ ἐπὶ πλεῖον ἢ ἔλαττον διήκοντα. οὐδὲ γὰρ ὅλως πλῆθος ἢ διαίρεσιν ἢ ἕνωσιν ἢ ταυτότητα καὶ ἑτερό‐ | |
Comm Math.14(50) | τητα δυνατὸν ἐν τοῖς ὄντως μαθηματικοῖς ὑποστῆναι, μὴ προηγησαμένης τῆς κατ’ οὐσίαν ὁμοιότητός τε καὶ ἀνομοιότητος. μηκέτι οὖν θαυμάζωμεν εἰ καὶ ἐφ’ ἓν γένος καὶ ἐπὶ πλείονα καὶ ἐπ’ ἐλάττονα καὶ ἐπὶ πάντα διατείνουσιν, ἀλλὰ πολὺ μᾶλλον ἐκεῖνο χρὴ θεωρεῖν, | |
| 55 | ὡς κατὰ τὴν οἰκειότητα ἑκάστων συγγενῶς αὐτοῖς ἐνυπάρχουσι. καὶ δεῖ θεωρεῖν καὶ τοῦτο, λέγω δὴ τοῦ ὁμοίου καὶ ἀνομοίου τὸ ἓν καὶ τὰ πολλὰ καὶ τὰ μεταξὺ τούτων, τάξιν τε αὐτῶν ἐπιβλέπειν ἥτις ἐστὶν | |
| ἡ προσήκουσα, καὶ διανομὴν ἐφ’ ἑκάστοις τοῖς μαθή‐ | 52 | |
| 60 | μασιν ὡς πέφυκεν ἕκαστα αὐτῶν μεταλαμβάνειν. εἰ δὴ ταῦτα οὕτως ἔχει, καὶ ἐπιστήμη μαθηματικὴ πασῶν ἂν εἴη κυριωτάτη, ἥτις τὸ αὐτὸ τῆς ὁμοιότητος αἴτιον καὶ τῆς ἀνομοιότητος ἐπὶ προτέρων καὶ ὑστέρων ὡσαύτως ἀνευρίσκει, ἐπὶ δὲ τῶν ὁμοταγῶν ποιεῖται αὐτῶν τὴν | |
| 65 | δέουσαν διάκρισιν. καὶ δὴ καὶ παρὰ δόξαν τῶν πολ‐ λῶν κατὰ τὸν τῶν ἀσωμάτων τρόπον ἐν μὲν τοῖς διαφέρουσι τὸ ὅμοιον, ἐν δὲ τοῖς ἀδιαφόροις τὸ ἀνό‐ μοιον θεωρεῖ. καὶ ὁμοίως τἀναντία ἐν ἀλλήλοις συνεξετάζει, ὥσπερ ἐν τῷ ὁμοίῳ τὸ ἀνόμοιον ἐπι‐ | |
| 70 | θεωροῦσα. πῶς οὖν ἐγγίνεται αὐτῶν ἑκάτερον, ἄριστα ἂν κατανοήσαιμεν, εἰ φυλάττοιμεν καὶ ἐνταῦθα τὸ ἰδίωμα τῆς οὐσίας περὶ ἧς ποιούμεθα τὸν λόγον. μήτε γὰρ οὕτως αὐτὰ νοῶμεν ἐγγίγνεσθαι ὡς τὰ εἴδη τὰ ἔνυλα περὶ τὴν ὕλην ἐμφαντάζεται (συμφυῆ γάρ ἐστι | |
| 75 | καὶ ἀμετάστατα τῆς μαθηματικῆς οὐσίας, ἐν ᾗ ἔχει τὸ εἶναι), μήτε οὕτως ὥσπερ τὰ ἔμφυτα ἐν τοῖς σώμασιν, οἷον ἡ θερμότης ἐν τῷ πυρί· καὶ γὰρ ταῦτα εἰ καὶ ὅ τι μάλιστα συνυφέστηκε τοῖς ἔχουσιν αὐτά, ἀλλ’ ὅμως θεωρεῖταί τις συνθέτου διαφορότης, καθόσον | |
| 80 | μετέχεται ὡς ἑτέρα, τὰ δὲ μετέχει ὡς ἄλλα. ἐπὶ δέ γε τῶν κατ’ οὐσίαν προϋπαρχόντων ἐν τοῖς μαθηματικοῖς οὖσιν ἁπλῆ τις οὐσία θεωρεῖται δι’ ὅλης ἑαυτῆς ἀσύν‐ θετος οὖσα· ὅσῳ γὰρ μᾶλλον ἀσώματός ἐστι καὶ χωρι‐ στὴ τῶν συνθέτων καὶ διαστατῶν ὄγκων, τοσούτῳ | |
| 85 | μᾶλλον ἁπλούστερον καὶ καθ’ ἑαυτὸ ὑφεστηκὸς ἔχει καθαρώτερον τό τε ὅμοιον καὶ ἀνόμοιον ἀμιγές. ὡσαύ‐ τως καὶ τὸ κοινὸν ἐν αὐτοῖς εἰλικρινὲς καὶ ἀδιάφθορον. | |
| ὁπότε δὴ οὖν ταῦτα συνομολογοῦμεν, δεῖ κἀκεῖνο καταμαθεῖν, ὡς ἡ μαθηματικὴ ὁμοιότης καὶ ἀνομοιότης | 53 | |
| 90 | ἑτέρα τῆς ἐπὶ τῶν νοητῶν καὶ τῆς ἐπὶ τῶν αἰσθητῶν ὑπολαμβάνεσθαι ὀφείλει ὁμοιότητός τε καὶ ἀνομοιότη‐ τος. διακριθήσεται δὲ ἀπ’ αὐτῶν καθ’ ἕνα μὲν τρόπον, καθ’ ὃν τὰς τρεῖς οὐσίας διεστειλάμεθα (δῆλον γὰρ ὅτι 〈τριχῇ〉 τούτων διαφερουσῶν καὶ τὰ ἐν αὐταῖς | |
| 95 | εἴδη τριχῇ διοίσει), καθ’ ἕτερον 〈δέ〉, διότι τῇ μεσό‐ τητι αὐτῶν διορίζεται, ἐκείνων ἄκρων ὄντων καὶ τὴν ἀρχὴν καὶ τὸ τέλος ἀφοριζόντων τῶν περὶ τὴν οἰκείαν οὐσίαν εἰδῶν· καὶ ἄλλως δὲ τὰ μὲν ἀρχηγικὰ νοείσθω, τὰ δ’ ὡς ἐν ἀποτελέσματος τάξει γιγνόμενα, τὰ δὲ | |
Comm Math.14(100) | μεταξὺ φυόμενα τῶν τε προηγουμένων αἰτίων καὶ τῶν ὡς ἐσχάτων ἀποτελουμένων. ταῦτα δὴ προειλη‐ φότες, ῥᾳδίως ἂν δυνηθείημεν ἀπὸ τούτων καὶ τὰ ἐν ἑκάστῳ τῶν μαθημάτων ἴδια αὐτῶν ὅμοια καὶ ἀνόμοια ἐν τάξει θεωρεῖν, ὁπόταν τὸν ἴδιον περὶ αὐτῶν λόγον | |
| 105 | ποιώμεθα· νῦν δὲ τὰ κοινὰ ἡμῖν περὶ αὐτῶν ἄχρι τούτων εἰρήσθω. Ἀπὸ δὴ τοιούτων καὶ τοσούτων γενῶν ἡ μαθηματικὴ ἐπιστήμη συνισταμένη ἀρχῶν τε καὶ στοιχείων, καὶ τοιαύτη οὖσα οἵαν αὐτὴν προειρήκαμεν, οὐκ ἐπὶ βραχὺ | |
| 110 | διατείνει οὐδὲ ἐπὶ ὀλίγα ἄττα τῶν ἐν τῷ βίῳ πραγμά‐ των, ἀλλ’ ἐπὶ τὰ μέγιστα καὶ κάλλιστα τῶν τε θείων καὶ ἀνθρωπίνων ἀγαθῶν συμβάλλεται. | |
Comm Math.15 | Πρῶτον οὖν πειραθῶμεν εἰπεῖν ὅτι περὶ ὅλην φιλοσοφίαν διήκει καὶ περὶ πᾶσαν αὐτῆς θεωρίαν | |
| τῶν τε ὄντων καὶ γιγνομένων, αὐτή τε ἡ ὅλη καὶ τὰ γένη αὐτῆς καὶ τὰ στοιχεῖα καὶ αἱ ἀρχαί, ὅσα τ’ ἐστὶ | 54 | |
| 5 | γένη μαθηματικῆς ἢ εἴδη, διαπεφοίτηκεν εἰς ὅλην φιλοσοφίαν. ὅθεν δὴ καὶ πανταχοῦ χρῶνται οἱ ἄνδρες τοῖς μαθήμασιν, ὅταν τινὰ φιλόσοφον θεωρίαν ποιῶν‐ ται. ἀσώματα γὰρ ὄντα καὶ μέσα, καὶ πᾶσιν ἐναρμόζε‐ σθαι δυνάμενα τοῖς οὖσι καὶ ἀφομοιοῦσθαι, πρὸς | |
| 10 | πάσας τὰς ἐν φιλοσοφίᾳ ἐπιστήμας ἡμῖν μεγάλα συναίρεται. τῇ τε γὰρ θεολογίᾳ παρασκευὴν προευτρε‐ πίζει καὶ ἐπιτηδειότητα, ὁμοιότητά τε πρὸς αὐτὴν παρέχει καὶ ἀναγωγὴν καὶ ἀποκάθαρσιν, τὰ μὲν νοερὰ ὄργανα ἀπολύουσαν τῶν δεσμῶν καὶ ἀποκαθαίρουσαν | |
| 15 | συνάπτουσάν τε πρὸς τὸ ὄν, τῷ δὲ κάλλει καὶ τῇ εὐταξίᾳ τῶν θεωρουμένων ἐν τοῖς μαθήμασιν πλησιά‐ ζουσάν πως τοῖς νοητοῖς, διὰ δὲ τῆς τῶν ἀμεταπτώτων καὶ ἀκινήτων θεωρίας πρὸς τὰ ἑστῶτα κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡσαύτως νοητὰ καὶ ὡρισμένα ἀφομοιουμένην, ἐθί‐ | |
| 20 | ζουσαν δὲ τὴν διάνοιαν ἠρέμα πρὸς τὸ φανὸν τοῦ ὄντος ἐπιβάλλειν, τῶν τε σωμάτων ἀπάγουσαν, καὶ πίστιν περὶ τῆς τῶν ἀσωμάτων οὐσίας ἐντιθεῖσαν, βεβαιότητά τε ἐπιστημονικὴν καὶ ἀκρίβειαν παρέχουσαν. πάντα γὰρ τὰ τοιαῦτα φέρει μεγάλην ἀφορμὴν εἰς τὴν | |
| 25 | τῶν ὄντων καὶ νοητῶν κατανόησιν. ἀλλὰ μὴν τῷ γε φυσικῷ συνεργεῖ οὐ μετρίως, συμμετρίαν τῶν ἐν τῇ φύσει παραδεικνύουσα, εὐταξίαν τε εἰς ὑπερβολὴν καὶ ἀναλογίαν τὴν διὰ πάντων τῶν ἐν τῇ φύσει διήκουσαν, | |
| κάλλος τε ἐπισκοπουμένη καὶ εἴδη φυσικὰ καὶ τοὺς | 55 | |
| 30 | περὶ αὐτῶν λόγους, στοιχεῖά τε καὶ ἁπλούστατα καὶ τὰ σχήματα αὐτῶν, καὶ τὰ κυριώτατα γένη καὶ εἴδη· πᾶσι γὰρ τούτοις οἱ γνησίως ἀπὸ τῶν πρώτων ἀρχῶν φυσιολογοῦντες χρῶνται. τῷ γε μὴν πολιτικῷ συμ‐ βάλλεται κινήσεως τεταγμένης τῶν πράξεων ἐξηγου‐ | |
| 35 | μένη, κίνησίν τε τῶν θεωρημάτων τῶν ἑστηκότων παρέχουσα, ἰσότητά τε πᾶσιν ἐντιθεῖσα καὶ ὁμολογίαν τὴν προσήκουσαν. τῷ δὲ ἠθικῷ συναίρεται λόγους ἀρετῶν περιέχουσα καὶ παραδείγματα μαθηματικὰ εἴδη ἐκφαίνουσα, οἷον φιλίας ἢ εὐδαιμονίας ἢ ἄλλου τινὸς | |
| 40 | τῶν μεγίστων ἀγαθῶν. προτίθησι δὲ καὶ πάντων τῶν ἐν τῷ βίῳ παραδείγματα μαθηματικά, οἷον εὐγονίας ἀγονίας, εὐφορίας ἀφορίας, καὶ πάντων τοιούτων. ὅθεν δὴ καὶ πανταχοῦ δεῖ χρῆσθαι τοῖς μαθήμασιν, ὥσπερ ἐν παραδείγμασι τούτοις τὴν φιλοσοφίαν ὑπογράφον‐ | |
| 45 | τας. τὰ αὐτὰ μὲν οὖν οὐ λαμβάνομεν πανταχοῦ παραδείγματα, τὰ δ’ οἰκεῖα ἐφ’ ἑκάστων κατὰ τὰ ἴδια γένη τῆς ἐπιστήμης παρατιθέμεθα. διήκει μὲν οὖν καὶ ἡ ὅλη τῆς μαθηματικῆς οὐσία αὐτή τε καὶ τὰ ἐν αὐτῇ γένη καὶ στοιχεῖα καὶ ὅσαι εἰσὶν ἀρχαὶ περὶ | |
Comm Math.15(50) | πᾶσαν φιλοσοφίαν. ἔνεστι γὰρ κοινῶς ἐφ’ ὅλην δια‐ τείνειν αὐτὴν τοὺς μαθηματικοὺς λόγους, ἔνεστι δὲ καὶ περὶ τὰ μέρη τῆς φιλοσοφίας διατείνειν αὐτά, ὅπως ἂν ἡ τοῦ λόγου χρεία ἀπαιτῇ. ἐπικοινωνεῖ δὲ πρὸς αὐτά, καθ’ ὅσον ἔχει τινὰ πρὸς αὐτὰ ὁμοιότητα, | |
| 55 | καὶ συντέλειαν πρὸς αὐτὰ παρέχεται τὴν διαβιβάζουσαν πρὸς αὐτὰ καὶ ὁδηγοῦσαν. καὶ πρὸς μὲν τὰ ἑστηκότα καὶ ὡρισμένα εἴδη, καὶ οὐ ποτὲ μὲν ὄντα ποτὲ δὲ μὴ | |
| ὄντα, ἀεί τε ὡσαύτως ἔχοντα, ἀναφέρειν καὶ συνάγειν πέφυκεν, ὡς ἂν ἀπολειπομένη αὐτῶν τελειότητι καὶ | 56 | |
| 60 | καθαρότητι καὶ τῇ τῆς ἀσωματίας, ἵν’ οὕτως εἴπωμεν, λεπτότητι, ὁμοιῶταί τε πρὸς αὐτὰ ὡς πρὸς ὑπερέχοντα· τῶν δὲ ἐν γενέσει ἐνύλων εἰδῶν χωριστὰ τῶν σωμά‐ των παραδείγματα προτείνει ἐν εἴδεσι μαθηματικοῖς· καὶ οὕτως συνεργεῖ πρὸς ἀμφότερα. | |
| 65 | Πρὸς μὲν οὖν φιλοσοφίαν ὅλην καὶ τὰ μόρια αὐτῆς τοιαύτην συντέλειαν παρασκευάζει. | |
Comm Math.16 | Πρὸς δὲ δὴ τὰς τέχνας πάσας ὡς ἁπλῶς εἰπεῖν ἐπιστημονικὴν ἐντίθησι διάγνωσιν, ἀρχάς τε αὐτῶν παραδεικνύουσα καὶ τέλη καὶ διορισμούς, μέτρα τε καὶ ἐπικρίσεις αὐτῶν ἀναδιδάσκουσα, τό τε ὀρθὸν | |
| 5 | καὶ διημαρτημένον αὐτῶν διαστέλλουσα, καὶ τούτων ἑκατέρου στοιχεῖα τὰ προσήκοντα ἀφορίζουσα, τέλος τε αὐτῶν γιγνώσκουσα καὶ τὴν ἀκρίβειαν ἐνδιδοῦσα τήν τε εὕρεσιν αὐτῶν ποιουμένη. ἐπειδὴ γὰρ χωρὶς τήν τε οὐσίαν τῆς ὕλης θεωρεῖ αὕτη ἡ ἐπιστήμη, λόγοις τε | |
| 10 | χρῆται χωριστοῖς καὶ οὐκ ἐπιταραττομένοις ἀπὸ τῶν ἐνύλων, εἰκότως διὰ ταῦτα αἰτιωτέρα ἐστὶ καὶ ἡγε‐ μονικωτέρα τῶν τῆς ὕλης ἐφαπτομένων τεχνῶν εἴς τε εὕρεσιν αὐτῶν καὶ ἐπίκρισιν καὶ διάγνωσιν. τὰς μὲν οὖν θεωρητικὰς τέχνας διακαθαίρει καὶ τελειοῖ, ταῖς | |
| 15 | δὲ ποιητικαῖς ἐν παραδείγματος τάξει πρόσκειται, τὰς δὲ πρακτικὰς ἀνεγείρει καὶ κινεῖ τοῖς ἑστηκόσιν ἑαυτῆς εἴδεσιν, ἐφ’ ὅλων δὲ κοινῶς τοὺς λόγους τοὺς χωρι‐ στοὺς συναρμόζει τοῖς ἐνύλοις εἴδεσιν. ὥσπερ ἀρχι‐ | |
| τεκτονικὴ δὲ οὖσα πασῶν, οὕτως αὐτῶν προηγεῖται, | 57 | |
| 20 | χρηστική τε αὐταῖς ὑπάρχει, καὶ τιμίους αὐτὰς ἀπερ‐ γάζεται καὶ ὠφελίμους τῷ μαθηματικῷ λόγῳ βεβαιω‐ θείσας, ἀποδείξει τε μαθηματικῇ κρατύνει αὐτῶν τοὺς λόγους καὶ ποιεῖ ἀψευδεῖς. Πέφηνεν οὖν ἡ μαθηματικὴ διήκουσα θεωρία καὶ | |
| 25 | περὶ πᾶσαν τεχνικὴν ἐργασίαν καὶ γνῶσιν. | |
Comm Math.17 | Καὶ μὴν ὅτι γε τάξις ἐστὶν ἐν αὐτῇ διττή, ἡ μὲν κατὰ φύσιν αὐτῇ συνυπάρχουσα, ἡ δὲ ὡς πρὸς τὴν μάθησιν, ῥᾴδιον ἐντεῦθεν καταμαθεῖν. εἰ γὰρ πᾶσι τοῖς ἄλλοις τὸ τεταγμένον ἀπὸ τῆς μαθηματικῆς | |
| 5 | ἐπιστήμης παραγίγνεται καὶ τὸ ἐξ ἀνάγκης ἀκολουθεῖν τόδε τῷδε, πολὺ δήπου πρότερον αὐτὴ ἡ μαθηματικὴ θεωρία τάξιν περιέχει ἐν ἑαυτῇ, καὶ τὴν ἀγωγὴν τὴν πρὸς τὸ τέλειον τεταγμένως ποιεῖται. ἡ μὲν οὖν κατὰ φύσιν τῶν μαθημάτων τάξις προτάττει τὰ ἁπλού‐ | |
| 10 | στερα ὡς πρότερα, οἷον ἀριθμητικὴν γεωμετρίας, ἐνίοτε δὲ καὶ πρὸς διδασκαλίαν τὰ αὐτὰ προηγεῖται, ὅταν ἀπὸ τῶν στοιχείων γίγνηται τῶν συνθέτων ἡ μάθησις· οὐ μὴν ἀλλ’ ἐνίοτε καὶ ὡς πρὸς ἡμᾶς τὰ σύνθετα τῶν ἁπλουστέρων ἔσται εἰς μάθησιν πρότερα, ὅταν ᾖ γνω‐ | |
| 15 | ριμώτερα, οἷον ὁ σύμπας οὐρανὸς καὶ ἡ περὶ αὐτὸν κίνησις τῆς ἁπλῶς σφαίρας καὶ τῆς αὐτὸ τοῦτο κινου‐ μένης σφαίρας ἐστὶ δήπου γνωριμωτέρα. εἰ δή τις διὰ τῶν φανερῶν τὰ ἀφανῆ ἐνδεικνύοιτο, οὐκ ἔσται ὁ τοιοῦτος τρόπος ἀπόβλητος τῆς ἐφόδου. οὕτω δὲ | |
| 20 | τούτων διχῇ διῃρημένων, χρηστέον μὲν ἀμφοτέροις | |
| τοῖς τρόποις, τοῖς μὲν ὡς ἐπιστημονικωτέροις τοῖς δὲ ὡς γνωριμωτέροις. καὶ δὴ ὅταν μὲν ἀναγκαῖον ᾖ τῷ ἑτέρῳ μόνῳ χρῆσθαι τρόπῳ, προκρίνειν δεῖ τὸν οἰκειό‐ τερον αὐτῶν καὶ μᾶλλον συμβαλλόμενον πρὸς τὸ προ‐ | 58 | |
| 25 | κείμενον ἐπιστητόν· ὅταν δὲ ἐξῇ ἀμφοτέροις χρῆσθαι, δι’ ἀμφοτέρων ὁδηγεῖν χρὴ εἰς τὴν ἐπιστήμην. ὅθεν δὴ ἐν πολλαῖς μαθηματικαῖς θεωρίαις τὰ αὐτὰ προ‐ βλήματα δι’ ἀναλύσεώς τε καὶ συνθέσεως ἀποδείκνυται. ἐφ’ ὧν οὖν συμφωνοῦσιν οἱ δύο τρόποι τῆς ἐπιστή‐ | |
| 30 | μης, ἐπὶ τούτων χρηστέον ἀμφοτέροις. δεῖ δὲ καὶ τῆς ἕξεως ἑκάστου στοχάζεσθαι, οἷον εἰ εὐφυὴς ὀξὺς ὤν τις δύναται ἀφ’ ἑνὸς ἐπὶ πολλὰ ῥᾳδίως μετιέναι καὶ ἀθρόως ἅμα πολλὰ παραδέχεσθαι τὰ συγγένειαν ἔχοντά τινα πρὸς ἄλληλα. κἀκεῖνο δὲ δεῖ σκοπεῖν, τὸ τέλος | |
| 35 | τῆς ἀναφορᾶς τί ποτ’ ἐστὶ τῆς ἐν μαθηματικῇ δια‐ τριβῆς, πότερον αὐτὸ τοῦτο τὸ μαθεῖν τὰ τῆς ἐπιστή‐ μης θεωρήματα, ἢ εἰς φιλοσοφίαν τις αὐτὰ ἀνάγει καὶ προτίθεται ὁδηγεῖσθαι δι’ αὐτῶν ἐπὶ τὴν τοῦ νοητοῦ θέαν· τῷ γὰρ τοιούτῳ ἄλλη ἂν εἴη ἡ τάξις, | |
| 40 | ἐνίοτε τὴν κατὰ φύσιν ἀκολουθίαν τῶν μαθημάτων ὑπερβαίνουσα. πάλιν τοίνυν ἕκαστον τῶν ἐν μαθη‐ ματικῇ θεωρημάτων τὰ μὲν αὐτόθεν φαινόμενα καὶ ἀτελέστερα ὑποδείκνυσιν ὡς πρότερα, οἷον ὅτι τὸ ὀρθογώνιον τρίγωνον ἴσον ἔχει δυναμένην τὴν ὑπο‐ | |
| 45 | τείνουσαν ταῖς περιεχούσαις, τὰ μέντοι τελειότερα καὶ περιττῆς δεόμενα ἀποδείξεως ὕστερα παραδίδο‐ | |
| ται, ὅσα περὶ τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου εἴς τε τὴν τῶν ἄστρων φορὰν καὶ τὴν εἰς τὸν ζῳδιακὸν συν‐ τέλειαν καὶ τὴν ἡλίου καὶ σελήνης φορὰν συντεί‐ | 59 | |
Comm Math.17(50) | νει. καὶ τὰ περὶ ἁρμονίας δὲ ὡσαύτως, τὰ μὲν περὶ τῆς ἁπλῆς πρότερα διδάσκεται, τὰ δὲ περὶ τῆς τοῦ κόσμου ὕστερα. Ταῦτα δὴ οὖν τούτου ἕνεκα προειρήκαμεν, ἵνα μεθόδῳ τινὶ χρώμενοι ἐν τῇ τάξει τῆς μαθηματικῆς | |
| 55 | πραγματείας δυεῖν στοχαζώμεθα, τῆς τε φύσεως τῶν πραγμάτων καὶ τῆς δυνάμεως τῶν μανθανόντων, ἑκα‐ τέρῳ τε χρώμεθα ἁρμοττόντως, καὶ ὅταν συμφωνῇ ταῦτα πρὸς ἄλληλα, ἀμφοτέροις ἐπ’ ἴσης. | |
Comm Math.18 | Καὶ μὴν οἵ γε ἴδιοι τρόποι τῆς Πυθα‐ γορείου παραδόσεως τῶν μαθημάτων θαυμαστὴν εἶχον ἀκρίβειαν καὶ πολὺ παρήλλαττον τὴν τεχνικὴν τῶν ἐν τοῖς μαθήμασι διατριβόντων διδασκαλίαν. ὑπογράψω‐ | |
| 5 | μεν οὖν ἐν τύποις αὐτήν, ὡς ἂν μάλιστα δυνατὸν ᾖ κοινῷ λόγῳ περὶ αὐτῆς εἰπεῖν. Ἓν μὲν δὴ οὖν τοῦτο διομολογείσθω, ὡς ἄνωθεν ἀπὸ τῶν πρώτων ἀρχῶν ὁρμώμενοι τὴν πρώτην ἐποι‐ οῦντο τῶν μαθηματικῶν θεωρημάτων σύστασιν, ὡς ἂν | |
| 10 | ἀπ’ αὐτῆς τῆς πρώτης οὐσίας αὐτῶν ποιούμενοι τῆς διανοίας τὰς ἐπιχειρήσεις, καὶ ἐπ’ αὐτὴν ἀνάγοντες τελευταίαν τὴν ὅλην μαθηματικὴν ἐπιβολήν. ἔτι τοίνυν τῷδε ἑπόμενον, ἐπετήδευον τὸ καταδεικνύναι πρώτας τὰς εὑρέσεις τῶν θεωρημάτων, μηδενὶ δὲ ὡς ἤδη | |
| 15 | ὑπάρχοντι χρῆσθαι, ἀλλ’ ἐπὶ πάντων θεωρεῖν πῶς ἂν εἰς ὑπόστασιν ἔλθοι τὸ δεικνύμενον ἐν τοῖς μαθή‐ | |
| μασιν. ἦν δὲ καὶ ἄλλος τρόπος παρ’ αὐτοῖς ὁ διὰ συμβόλων μαθηματικός, οἷον τῆς δικαιοσύνης ἡ πεν‐ τάς, διότι πάντα τὰ εἴδη τῶν δικαίων συμβολικῶς | 60 | |
| 20 | σημαίνει. χρήσιμον δὲ τὸ εἶδος ἦν αὐτοῖς εἰς πᾶσαν φιλοσοφίαν, ἐπειδὴ συμβολικῶς τε τὰ πολλὰ ἐδίδασκον, καὶ ἡγοῦντο τὸν τρόπον τοῦτον τοῖς θεοῖς εἶναι οἰκεῖον καὶ τῇ φύσει πρόσφορον. ἀλλὰ μὴν ὅτι γε καὶ τὰς ἀρχὰς τὰς πρώτας καὶ τὰς εὑρέσεις παρεδί‐ | |
| 25 | δοσαν τῶν μαθημάτων, δῆλον μέν ἐστι καὶ ἀπὸ τῶν ἄλλων μαθηματικῶν ἐπιστημῶν, φανερὸν δὲ καὶ ἐκ τῶν ἀριθμητικῶν μεθόδων. ἕκαστον γὰρ γένος καὶ εἶδος ἀριθμῶν πῶς ἀπογεννᾶται πρώτως καὶ πῶς ὑφ’ ἡμῶν εὑρίσκεται ἀναδιδάσκουσιν, ὡς μὴ οὔσης ἐπι‐ | |
| 30 | στημονικῆς τῆς περὶ αὐτὰ θεωρίας, εἰ μή τις αὐτὰ ἄνωθεν ὁρμώμενος καταλαμβάνοι. ἔτι τοίνυν τοῖς ὄντως οὔσι καὶ τοῖς θείοις πᾶσι καὶ ταῖς τῆς ψυχῆς ἕξεσι καὶ δυνάμεσι, τοῖς τε ἐν τῷ οὐρανῷ φαινομένοις καὶ ταῖς περιόδοις τῶν ἄστρων, καὶ τοῖς ἐν τῇ γενέσει | |
| 35 | πᾶσι στοιχείοις τε σωμάτων καὶ τοῖς ἀπὸ τούτων συγκρινομένοις, τῇ τε ὕλῃ καὶ τοῖς ἀπ’ αὐτῆς γεννω‐ μένοις προσῳκείουν ἀεὶ τὰ θεωρήματα τὰ μαθηματικά, πάντα τε ἁπλῶς καὶ ἀφ’ ἑκάστου λαμβάνοντες τὰ οἰκεῖα μιμήματα πρὸς ἕκαστον τῶν ὄντων. τὰς δὲ | |
| 40 | ἀναφορὰς ἐποιοῦντο τῶν μαθημάτων ἐπὶ τὰ ὄντα ἢ κατὰ κοινωνίαν τῶν αὐτῶν λόγων, ἢ κατὰ ἔμφασίν τινα ἀμυδράν, ἢ κατὰ ὁμοιότητα ἐγγὺς πλησιάζουσαν ἢ πόρρωθεν ἀφεστηκυῖαν, ἢ κατὰ εἰδώλων τινὰ ἀπει‐ κασίαν, ἢ κατ’ αἰτίαν προηγουμένην ὡς ἐν παρα‐ | |
| 45 | δείγματι, ἢ κατ’ ἄλλον τρόπον. καὶ ἄλλως δὲ πολυει‐ | |
| δῶς συζευγνύουσι τοῖς πράγμασι τὰ μαθήματα, ὡς καὶ τῶν πραγμάτων ὁμοιοῦσθαι τοῖς μαθήμασι δυναμένων καὶ τῶν μαθημάτων τοῖς πράγμασι φύσιν ἐχόντων ἀπεικάζεσθαι καὶ ἀμφοτέρων πρὸς ἄλληλα ἀνθομοιου‐ | 61 | |
Comm Math.18(50) | μένων. τῇ μὲν οὖν ποικιλίᾳ τοῦ λόγου καὶ τῇ τῶν μεθόδων εὐπορίᾳ οὐ πάνυ τι ἔχαιρον, ὡς λογικωτέρᾳ οὔσῃ καὶ τῆς τῶν πραγμάτων ἀληθείας ἀφεστώσῃ, προηγουμένως δὲ ἠσπάζοντο τὴν αὐτῶν τῶν προβλη‐ μάτων γνῶσιν, ὡς ἂν συμβαλλομένην εἰς τὴν τῶν | |
| 55 | ὄντων ἐπιστήμην τε καὶ εὕρεσιν. καὶ μᾶλλον τῇ τῆς ἀληθείας εὑρέσει ἰσχυρίζοντο καὶ τῇ πρὸς τὰ πράγματα ἐπιβολῇ, ἀλλ’ οὐχὶ τῇ δριμύτητι καὶ ὀξύτητι τῶν περὶ τὰ προβλήματα συλλογισμῶν. ὅθεν οὐδὲ τῇ εὐπορίᾳ μέγα ἐφρόνουν τῶν μαθηματικῶν ἐπιχειρημάτων, τὸ | |
| 60 | δὲ εἰς τὴν τῶν πραγμάτων εὕρεσιν συμβαλλόμενον προτιμῶντες ἐφαίνοντο. Τρόποι μὲν οὖν οὗτοι καὶ τοιοῦτοί τινες ἦσαν παρ’ αὐτοῖς τῆς μαθηματικῆς παραδόσεως. ἐχρῶντο δὲ αὐτοῖς ἐπιστημονικῶς καὶ μετὰ τῆς θεωρητικῆς | |
| 65 | φιλοσοφίας τῶν ὄντων καὶ τοῦ καλοῦ στοχαζόμενοι, τό τε πεπερασμένον ἀεὶ καὶ τὸ ἐν βραχυτάτοις συναγό‐ μενον πρεσβεύειν οἰόμενοι δεῖν καὶ τιμᾶν, εἴ τι δὲ χρήσιμον ἀπ’ αὐτῶν ἐκλεγόμενοι πρός τε ἑαυτοὺς καὶ τοὺς συνόντας καὶ πρὸς ὅλην τὴν τῶν ὄντων ἐπιστή‐ | |
| 70 | μην. ἔτι τοίνυν ἐστοχάζοντο ἐν τῷ παραδιδόναι, κατ’ ἄλλον μὲν τρόπον, τῶν πραγμάτων, ὡς εἶχε ταῦτα τάξεως καὶ τῆς πρὸς ἄλληλα συνεχείας (κατὰ γὰρ τὴν τοιαύτην ἀκολουθίαν τὸ πρῶτον καὶ δεύτερον θεώρημα ἐν αὐτοῖς ἀφώριζον), καθ’ ἕτερον δὲ τρόπον ἀπέβλεπον | |
| 75 | καὶ πρὸς τοὺς μανθάνοντας, καὶ τούτων ἐστοχάζοντο, πῶς μὲν ἔχουσι δυνάμεως πῶς δὲ καὶ ὠφεληθήσονται ἀπ’ αὐτῶν, καὶ τίνα μὲν ἀρχομένοις τίνα δὲ προ‐ κόπτουσι παραδοτέον, καὶ τίνα μὲν ἐσωτερικὰ τίνα δὲ ἐξωτερικὰ μαθήματα, καὶ ποῖα μὲν ῥητὰ ποῖα δὲ ἄρ‐ | 62 |
| 80 | ρητα, καὶ τίσι μὲν μετ’ ἐπιστήμης τῶν πραγμάτων παραδιδόμενα τίσι δὲ αὐτὸ τοῦτο μόνον μαθηματικῶς. ἡ γὰρ διὰ πάντων τούτων ἀκρίβεια οὐκ ἀργῶς παρ’ αὐτοῖς ἐπετηδεύετο, ἀλλ’ ἕνεκα τοῦ τὴν μαθηματικὴν πραγματείαν ἑνὸς ἔχεσθαι, τοῦ καλοῦ καὶ ἀγαθοῦ, καὶ | |
| 85 | πρὸς ἓν συντετάχθαι, τὴν τοῦ ὄντος ἐπιστήμην καὶ τὴν πρὸς τἀγαθὸν ὁμοίωσιν. καίτοι οὕτως οὐ μόνον γνῶσις ψιλὴ τῶν μαθημάτων παρεδίδοτο, ἀλλὰ καὶ ζωὴ προσ‐ ήκουσα αὐτοῖς συνετάττετο, καὶ ἄνοδος ἐπὶ τὰ τιμιώ‐ τατα δι’ αὐτῶν καθίστατο δεόντως. διόπερ δὴ τὴν | |
| 90 | Πυθαγορικὴν ἐν τοῖς μαθήμασι διατριβήν, ὡς ἐξαίρε‐ τον οὖσαν καὶ προκεκριμένην πασῶν τῶν μαθηματικῶν τεχνῶν, οὕτως ἐπιτηδεύειν ἄξιον. | |
Comm Math.19 | Ἐπεὶ δὲ δεῖ μὴ τὸ ὅλον αὐτῆς ἀγαθὸν μόνως ἐπισκοπεῖν, ἀλλὰ καὶ τὰ γένη καὶ εἴδη πόσα ποτέ ἐστιν αὐτῆς καὶ ὁποῖα δεῖ ἑλέσθαι, κοινὴν ποιησώμεθα περὶ αὐτῶν τὴν διδασκαλίαν δυναμένην ἐφ’ ὅλα τε καὶ ἐφ’ | |
| 5 | ἕκαστον τῶν μαθημάτων ὡσαύτως διατείνεσθαι. Μαθηματικοῦ δὴ παντὸς καὶ τοῦ ἰδίου καθ’ ἕκα‐ στον, ὁποῖόν ποτ’ ἂν ᾖ, θεώρημα πρῶτόν ἐστι τὸ θεολογικόν, τῇ τῶν θεῶν οὐσίᾳ καὶ δυνάμει, τάξει τε καὶ ἐνεργείαις συναρμοζόμενον κατά τινα πρόσφορον | |
| 10 | ἀπεικασίαν, ὃ δὴ καὶ μάλιστα σπουδῆς ἀξιοῦται παρὰ τοῖς ἀνδράσιν, οἷον ἐπὶ ἀριθμῶν ποῖοί τινες ἀριθμοὶ ποίοις θεοῖς συγγενεῖς εἰσι καὶ ὁμοφυεῖς, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων δὲ μαθημάτων τὸ αὐτὸ νοεῖν σύνηθες αὐτοῖς | |
| ἐστι. μετὰ δὴ τοῦτο περὶ τὸ νοερὸν ὄντως ὂν ἐνερ‐ | 63 | |
| 15 | γεῖν ἐπιχειρεῖ τὰ μαθήματα παρ’ αὐτοῖς, κύκλον τε νοερὸν καὶ ἀριθμὸν εἰδητικόν, καὶ ἄλλα πολλὰ τοιαῦτα μαθήματα συμφώνως τῇ καθαρωτάτῃ οὐσίᾳ θεωροῦν‐ ται. ἔπειτα περὶ τὴν αὐτοκίνητον οὐσίαν καὶ τοὺς ἀιδίους λόγους συγκεφαλαιοῦσι τὴν τῶν μαθημάτων | |
| 20 | πραγματείαν, τὸν αὐτὸν αὐτοκίνητον ἀριθμὸν ἀφοριζό‐ μενοι καὶ μέτρα τινὰ τῶν λόγων κατά τινας συμμε‐ τρίας μαθηματικὰς ἀνευρίσκοντες. πολλὴ δὲ καὶ περὶ τὸν οὐρανὸν καὶ πάσας τὰς ἐν οὐρανῷ περιφοράς, τάς τε ἀπλανεῖς καὶ τὰς τῶν πλανωμένων, θεωρεῖται | |
| 25 | μαθηματικὴ ἐπιστήμη, οὐ μόνον τὰς ποικίλας κινήσεις τῶν σφαιρῶν, ἀλλὰ καὶ τὰς μονοειδεῖς αὐτῶν συνεξε‐ τάζουσα. ἤδη δὲ καὶ τοὺς ἐνύλους λόγους καὶ τὰ ἔνυλα εἴδη, πῶς τε ὑφέστηκε καὶ πῶς ἐξ ἀρχῆς παρήχθη, διαπραγματεύεται· τοιοῦτον γάρ ἐστι τῆς μαθηματικῆς | |
| 30 | τὸ χωρίζον ταῖς ἐπινοίαις τὴν μορφὴν καὶ τὰ σχήματα ἀπὸ τῶν σωμάτων. καὶ ἄλλως δὲ φυσιολογεῖν ἐπι‐ χειρεῖ τὰ ἐν γενέσει, τὰ στοιχεῖα τὰ ἁπλᾶ καὶ τοὺς περὶ τοῖς σώμασι λόγους θεωροῦσα. Τούτοις οὖν πᾶσι τοῖς μορίοις τῆς μεθόδου καθ’ | |
| 35 | ἕκαστα καὶ ἐπὶ πάντα τὰ μαθήματα χρῆται ἡ Πυθα‐ γόρειος ἀγωγή, τάξιν τε δι’ αὐτῶν καὶ ἀποκάθαρσιν ποιεῖται. ὥσπερ γὰρ ἐν τοῖς μαθηματικοῖς γιγνώσκε‐ ται τὰ δεύτερα ἀπὸ τῶν προτέρων, οὕτως ἐπὶ τῶν τῆς ψυχῆς δυνάμεων πρὸς τὰς τελειοτέρας ζωὰς καὶ ἐνερ‐ | |
| 40 | γείας γίγνεται δι’ αὐτῶν ἄνοδος. ἀλλὰ μὴν οὐδὲ ἀμελοῦσί τινος οὐδὲ παραλείπουσί τι τῶν μέσων ὅσα συμπληροῖ τὴν τοιαύτην ἐπιστήμην, ἀλλ’ οὐδὲ τὰ | |
| ἄκρα ἀφιᾶσιν ἀδιερεύνητα. διεξέρχονται δὲ δι’ ὅλων ἀνενδεῶς, καὶ οὕτω τὴν διαίρεσιν, ἣν ἡ διαιρετικὴ ἐπι‐ | 64 | |
| 45 | στήμη κατέδειξεν, ἐπὶ τῶν κυριωτάτων καὶ πρωτίστων γενῶν ἡ ἐπιστήμη αὕτη παραδίδωσιν. ἀπὸ δὲ ταύτης ἔνεστι καὶ τὰς μεριστὰς τομὰς ἀνευρίσκειν τῶν μαθη‐ μάτων, ὧν καὶ προϊόντες μνημονεύσομεν ἐν τῷ ἰδίῳ περὶ αὐτῆς λόγῳ. | |
Comm Math.20 | Ταύτῃ τοίνυν τῇ δυνάμει τῆς μαθηματικῆς ἐστιν ἄλλη ἀντίστροφος, ἡ ὁριστική· χρῆται γὰρ καὶ ὁρισμοῖς ἡ μαθηματική, καὶ τούτους δι’ ἀκριβείας ποιεῖται. τρόπος δὲ τῆς ὅλης τῶν ὁρισμῶν συστάσεώς | |
| 5 | ἐστιν οὗτος. ἐπειδὰν ἡ διαιρετικὴ τῆς μαθηματικῆς διέλῃ κατὰ γένη καὶ εἴδη τὰ ἐν τοῖς μαθήμασι, τότε τὰς διαφορὰς τὰς ἐκ τῆς διαιρέσεως εἰς ταὐτὸ συνάγει ἡ ὁριστική, λόγον τε ἕνα κοινὸν ἐκ πάντων συνα‐ θροίζει. ποιεῖ δὲ τὸ αὐτὸ καὶ ἀπὸ τῆς ἀναλύσεως· | |
| 10 | ἐπειδὰν γὰρ ἡ ἀνάλυσις ἐπὶ τὰ ἁπλούστερα καὶ κοινό‐ τερα ἀναγάγῃ τὴν νόησιν, καὶ τὰ γένη καὶ τὰς δια‐ φορὰς διακρίνῃ ᾗ πεφύκασιν ἕκαστα, τότε ἡ συναγωγὸς σύνθεσις συνάγουσα εἰς ταὐτὸ τὰ διαφέροντα καὶ τὰ ἁπλᾶ ἀφορίζεται ἕκαστον τῶν ἐν τοῖς μαθήμασι. καὶ | |
| 15 | οὕτως ἡ μαθηματικὴ ἐπιστήμη οἰκεῖον ἔχει ἀφ’ ἑαυτῆς τὸν ὁριστικὸν λόγον καὶ δύναται αὐτὸν ἐξευρίσκειν θεωρητικῶς. ἐπειδὴ τοίνυν ἡ μὲν διαίρεσις τὸ ἓν πολλὰ ποιεῖ ἡ δὲ ὁριστικὴ τὰ πολλὰ ἕν, κατ’ ἀμφότερα ἀναγκαῖον τὴν μαθηματικὴν τὸ ἓν θεωρεῖν, ἀφ’ οὗ | |
| 20 | ὁρμᾶται καὶ πρὸς ὃ ἀνάγεται. τοῦτο δὴ οὖν ἔσται τὸ τέλος, ὅπερ ἄν τις καὶ εἶδος εἴποι, ἐπὶ πᾶσι τοῖς πολ‐ λοῖς θεωρήμασιν ἕν· τὸ δὲ αὐτὸ καὶ καλόν ἐστι καὶ | |
| ἀγαθόν, πρὸς ὃ τὰ διῃρημένα σπεύδει συνάπτεσθαι. διὰ δὴ τοῦτο καὶ ἐν τοῖς μαθήμασι τὸ ἄπειρον καὶ | 65 | |
| 25 | καθ’ ἕκαστον ἀφίεμεν ἀεί, ἐπὶ δὲ τὸ κοινὸν καὶ τὸ ὡρισμένον σπεύδομεν ἀνιέναι, ὅσοι κατὰ τὰ ἀρέσκοντα τοῖς Πυθαγορείοις μαθηματικὴν ἀσκοῦμεν, ἕως ἂν ἐπὶ τὸ ἓν τὸ πάντων ὁμοῦ τῶν μαθημάτων ἀναγάγωμεν τὴν ὅλην θεωρίαν τῆς μαθηματικῆς πραγματείας. καὶ | |
| 30 | τοῦτό ἐστι τὸ τέλος, πρὸς ὃ δεῖ σπεύδειν τοὺς ὄντως φιλοθεάμονας τῶν ὅλων μαθηματικῶν εἰδῶν. | |
Comm Math.21 | Ἐπεὶ δὲ τῆς Πυθαγορείου μὲν μαθηματικῆς προηγουμένως ἀντιποιούμεθα, ταύτην δὲ οὐκ ἔνεστι τελέως τῷ λόγῳ παραθέσθαι, εἰ μή τις αὐτῆς τὰς πρώ‐ τας ἀρχὰς κατίδοι, ἀναγκαῖον διὰ τοῦτο καὶ τοὺς | |
| 5 | ἀρχηγοὺς γενομένους Πυθαγόρᾳ τῆς τοιαύτης θεωρίας συμπεριλαβεῖν εἰς τὴν περὶ τῶν παρόντων ἐξέτασιν· οὕτω γὰρ ἂν τελειοτάτη γένοιτο ἡ περὶ αὐτῶν ἐπί‐ σκεψις, ἄνωθεν ἀπὸ τῶν πρώτων αἰτίων βεβαιωθεῖσα. φασὶ τοίνυν ὡς Θαλῆς πρῶτος ἐξευρὼν οὐκ ὀλίγα τῶν | |
| 10 | ἐν γεωμετρίᾳ παρέδωκε Πυθαγόρᾳ· ὥστε καὶ ὅσα παρειλήφαμεν μαθηματικὰ σκέμματα Θαλοῦ, δικαίως ἂν αὐτὰ προσοικειώσαιμεν τῇ Πυθαγορείῳ μαθηματικῇ. μετὰ δὴ Θαλῆν Αἰγυπτίοις συνεγένετο ἐν πολλῷ χρόνῳ, παρ’ αὐτῶν τε οὐκ ὀλίγα εἰς μαθηματικὴν ἐπιστήμην | |
| 15 | εὕρατο ἀγαθά· διόπερ οὐκ ἂν ἄπο τρόπου ποιοῖμεν πολλὰ καὶ τῶν παρ’ Αἰγυπτίοις συμπαραλαμβάνοντες. ἐπεὶ δὲ καὶ Ἀσσυρίοις ὕστερον συνεγένετο τοῖς τε παρ’ αὐτοῖς λεγομένοις Χαλδαίοις (οὕτω γὰρ οἱ μαθη‐ | |
| ματικοὶ παρ’ αὐτοῖς λέγονται), ἀνάγκη καὶ παρὰ τούτων | 66 | |
| 20 | ἡμᾶς πολλὰ λαμβάνειν εἰς τὴν μαθηματικὴν μέ‐ θοδον. | |
Comm Math.22 | Οὐ μὴν ἐξαρκεῖ γε τοῦτο. ἀλλ’ ἐπεὶ παρα‐ λαβὼν παρὰ βαρβάρων τὰ μαθήματα Πυθαγόρας ἀφ’ ἑαυτοῦ πολλὰ προσέθηκε, δεῖ καὶ τὰς τοιαύτας ἀρχὰς συνεισενεγκεῖν, τήν τε ἰδιότητα αὐτοῦ τῆς μαθηματι‐ | |
| 5 | κῆς προσθεῖναι. πολλὰ γὰρ φιλοσόφως ἐθεώρησε τῶν μαθημάτων, ᾠκειώσατό τε αὐτὰ ταῖς οἰκείαις ἐπιβολαῖς, καίτοι παρ’ ἄλλων παραδοθέντα, τάξιν τε αὐτοῖς ἐφήρμοσε τὴν πρέπουσαν καὶ ζητήσεις περὶ αὐτῶν ἐποιήσατο τὰς προσηκούσας, ὁμολογίαν τε δι’ ὅλων | |
| 10 | παρέχεται τὴν αὐτὴν ἀεί, ὡς μηδαμοῦ παραβαίνειν τὸ ἀκόλουθον. ταύταις οὖν ταῖς ἀρχαῖς ἐμμένοντας δεῖ τὴν Πυθαγορικὴν μαθηματικὴν ἀνιχνεύειν. ἐξαίρετα δὲ αὐτῆς ὡσπερεὶ στοιχεῖα κοινὰ λάβωμεν, ὡς μὲν αὐτόθεν ἀκοῦσαι τὴν συμβολικὴν καὶ ἀπεξενωμένην | |
| 15 | χρῆσιν τῶν μαθηματικῶν λέξεων· τῶν γὰρ ὄντων στο‐ χαζόμενος καὶ τῶν ἀληθῶν, οὕτω καὶ τὰ κατὰ φύσιν ὀνόματα ἐτίθει τοῖς μαθήμασιν. ἀρχὴν δὲ διδασκαλίας ἀπ’ αὐτῶν ἐποιεῖτο δυναμένην ὁδηγεῖν τοὺς ἀκούον‐ τας, εἴ τις δι’ ἐμπειρίας ἱκανῆς ἱκανῶς ἀκούοι τῶν | |
| 20 | ὀνομάτων. καὶ μὴν ἀποδείξεών γε καθαρότητι λεπτό‐ τητί τε καὶ ἀκριβείᾳ παραλλάττει πᾶσαν τὴν τῶν ἄλλων ὁμοειδῆ θεωρίαν, ἐναργείᾳ τε πολλῇ χρῆται καὶ ἀπὸ τῶν γνωρίμων ὁρμᾶται· κάλλιστον δὲ ἐν αὐτῇ τυγχάνει τὸ ὂν τὸ ὑψηλόνουν καὶ ἐπὶ τὰ πρῶτα | |
| 25 | αἴτια ἀναγόμενον, τῶν τε πραγμάτων ἕνεκα ποιού‐ | |
| μενον τὰς μαθήσεις καὶ καθαρῶς ἀντιλαμβανόμενον τῶν ὄντων, ἐνιαχοῦ δὲ καὶ συνάπτον τὰ μαθηματικὰ θεωρήματα τοῖς θεολογικοῖς. τοσαῦτα γὰρ ἄν τις ἐν τῷ παρόντι ὡς κοινὰ ἐξαίρετα τῆς τοιαύτης ἐπιστήμης | 67 | |
| 30 | προστήσαιτο ἂν στοιχεῖα. Πῶς δὲ δεῖ μεταδιώκειν αὐτῆς τὴν θήραν, ἄξιον τόδε σύμπαν εἰπεῖν ἑπομένως τοῖς ὑπ’ αὐτῶν τῶν ἀνδρῶν παραδοθεῖσιν. ἀλλ’ ἐπεὶ τὰ πλεῖστα ἐνεργὰ ἦν παρ’ αὐτοῖς, ἐν μνήμαις τε ἀγράφοις διεσῴζετο, αἳ | |
| 35 | νῦν οὐκέτι διαμένουσι, περὶ ὧν οὐδὲν τεκμήρασθαι ῥᾴδιον οὐδὲ ἀνευρεῖν ἢ ἀπὸ γραμμάτων ἢ παρ’ ἄλλου ἀκούοντα, δεῖ τοιόνδε τι ποιεῖν· ἀπὸ σμικρῶν αἰθυγμά‐ των ὁρμωμένους σωματοποιεῖν ἀεὶ τὰ τοιαῦτα καὶ συναύξειν, εἰς ἀρχάς τε αὐτὰ ἀνάγειν τὰς προσηκούσας | |
| 40 | καὶ τὰ παραλειπόμενα ἀναπληροῦν, στοχάζεσθαί τε κατὰ τὸ δυνατὸν τῆς ἐκείνων γνώμης, τίνα ἂν εἶπον, εἰ ἐνεχώρει τινὰ αὐτῶν διδάσκειν. ἤδη δὲ καὶ ἀπὸ τῆς ἀκολουθίας τῶν ἀναμφισβητήτως ἡμῖν παραδοθέν‐ των δυνάμεθα τὰ ἑξῆς ἀνευρίσκειν μαθήματα προση‐ | |
| 45 | κόντως. οἱ γὰρ τοιοῦτοι τρόποι τῆς διερευνήσεως ἢ τυχεῖν ἡμᾶς ποιήσουσι τῆς ὄντως μαθηματικῆς Πυθα‐ γορείου ἐπιστήμης, ἢ ἐγγυτάτω προσελθεῖν πρὸς αὐτήν, καθ’ ὅσον οἷόν τ’ ἐστὶ μάλιστα. συνομολογεῖν δὲ ταύτῃ νενόμικα τὴν ἐπιτήδευσιν αὐτῆς, τὴν κατὰ τὸν | |
Comm Math.22(50) | οἰκεῖον ἀρχηγέτην διαμελετωμένην· πάντῃ γὰρ ἦν ἰδιάζουσα καὶ παρὰ τὰς ἄλλας ἀσκήσεις ἐξαίρετος, πρὸς τὴν ψυχὴν ἀποβλέπουσα καὶ τὴν κάθαρσιν τοῦ τῆς ψυχῆς ὄμματος, εὕρεσίν τε τῶν πρώτων εἰδῶν καὶ αἰτίων τῆς μαθηματικῆς οὐσίας ποιουμένη, καὶ πρὸς | |
| 55 | τὴν φύσιν αὐτῶν τῶν ὄντων συναρμόζουσα, προσοι‐ κειοῦσα δὲ τοῖς νοητοῖς εἴδεσι, καὶ τὸ συγγενὲς αὐτῶν πρὸς τὸ ἀγαθὸν καὶ τὸ πρὸς ἄλληλα τῶν μαθημάτων οἰκεῖον ἀναδιδάσκουσα. Τοιαύτη τοίνυν οὖσα ἡ μαθηματικὴ ἄσκησις συν‐ | 68 |
| 60 | τόνως καὶ σφοδρῶς καὶ ἀδιαλείπτως ἀνεζήτει τὰ ὑφ’ ἑαυτὴν θεωρήματα. συνεβάλλετο δὲ τῇ μὲν ψυχῇ πρὸς γνώσεως καθαρότητα καὶ λεπτότητα τῶν διανοήσεων, ἀκρίβειάν τε τοῦ λόγου καὶ συναφὴν πρὸς τὰς καθ’ ἑαυτὴν ἀσωμάτους οὐσίας, πρὸς συμμετρίαν τε καὶ | |
| 65 | εὐαρμοστίαν καὶ περιαγωγὴν ἐπὶ τὸ ὄν· τῷ δὲ ἀνθρώπῳ τάξιν εἰς τὸν βίον παρέχει ἠρεμίαν τε τῶν παθῶν καὶ κάλλος ἐν τοῖς ἤθεσιν εὑρέσεις τε τῶν ἄλλων τῶν εἰς τὸν ἀνθρώπινον βίον λυσιτελούντων. μετεχειρί‐ ζοντο δὲ αὐτὴν παρ’ ὅλην τὴν οἰκείαν ζωήν, ταῖς τε | |
| 70 | πράξεσι συνυφαίνοντες τὸ ἀπ’ αὐτῆς ὄφελος καὶ τοῖς τῆς ψυχῆς τρόποις, ταῖς τε τῶν πόλεων κατασκευαῖς καὶ ταῖς τῶν οἴκων διοικήσεσι, τεχνικαῖς τε ἐργασίαις καὶ πολεμικαῖς ἢ εἰρηνικαῖς παρασκευαῖς, καὶ ὅλως περὶ πάντα τὰ μέρη τοῦ βίου τὴν μαθηματικὴν προσέ‐ | |
| 75 | φερον, οἰκείως μὲν τοῖς πράγμασι, λυσιτελούντως δὲ τοῖς χρωμένοις, ἐμμελῶς δὲ πρὸς ἀμφότερα ταῦτα, καὶ περὶ τἆλλα πάντα συμμέτρως. δεῖ τοίνυν κατὰ ταῦτα τὰ ἴχνη συνεπομένους οὐχ ἁπλῶς ἀσκεῖν μαθηματικήν· ἡ γὰρ νῦν ἐπιπολάζουσα αἰσθήσει καὶ φαντασίᾳ χρῆ‐ | |
| 80 | ται μᾶλλον, ἀλλοτρία τέ ἐστιν ἀληθείας, γενέσει τε μᾶλλον προσφιλὴς παραπέφυκεν. εἰ δὴ βουλοίμεθα Πυθαγορικῶς μαθηματικὴν ἀσκεῖν, τὴν ἔνθεον αὐτῆς ὁδὸν καὶ ἀναγωγὸν καὶ καθαρτικὴν καὶ τελεσιουργὸν | |
| μεταδιώκειν σπουδῇ προσήκει. | 69 | |
Comm Math.23 | Ὅτι τοίνυν οὐδὲ εἰκῇ Πυθαγόρας τὴν περὶ τὰ μαθήματα φιλοσοφίαν εἰς σχῆμα παιδείας ἐλευθερίου μετέστησε, καὶ τῷ τε πλήθει τῶν δεικνυ‐ μένων πολὺ προῆγεν αὐτὰ καὶ τῇ τῶν ἀποδείξεων | |
| 5 | ἀκριβείᾳ, τῆς τε ἀναγκαίας χρήσεως πρὸς τὸν βίον περιττότερον αὐτὰ ἤσκησεν, ἐντεῦθεν ῥᾴδιον κατα‐ μαθεῖν. εἰ γάρ τι σπέρμα καὶ ἀρχὴν τοιαύτης γνώσεως ἐκομισάμεθα, ἀφ’ ἧς τὸ τῆς ἐπιστήμης γένος ὀνομαστὶ παρειληφότες πρότερον ἀκριβῶς ἐθεωρήσαμεν οἷόν τι | |
| 10 | τὴν φύσιν ἐστίν, οὐκ ἀλλαχόθεν ἡμῖν γέγονεν ἢ ἀπὸ τούτων. ἀλλὰ καὶ ἡ δύναμις τῆς ἐπιστήμης φανερὰ κατέστη διὰ τῶν οἰκείων λόγων ἐν ταῖς περὶ ταῦτα ἀποδείξεσιν. ἔτι δὲ πολλοῖς πιστεύοντας ἡμᾶς εἰκῇ τῶν φαινομένων ἐπηνώρθωκεν ἡ περὶ ταῦτα σύνεσις, | |
| 15 | φανερὸν καθιστᾶσα περὶ αὐτῶν τἀληθὲς ὅπως ποτὲ ἔχει. μάλιστα δὲ θέας ἐλευθερίου τε καὶ φιλοσόφοις ἁρμοττούσης πρῶτον ἐν τῇ τούτων κοινωνίᾳ μεταλαμ‐ βάνομεν· οἰκεῖον γάρ ἐστιν ἑκάστῳ τὸ τὴν φύσιν ὅμοιον, τοῦ δὲ ἐλευθέρου τὸ κύριον τέλος τῆς κατὰ τὸν οἰκεῖον | |
| 20 | βίον ἐνεργείας πρὸς αὑτὸν τὴν ἀναφορὰν ἔχει καὶ πρὸς οὐδὲν ἕτερον τῶν ἐκτός *** λεχθείσαις ἐπιστήμαις θεωρητικαῖς οὔσαις ὑπάρχει τε καὶ πρώταις ὑπάρχει διὰ τὸ τὴν μάθησιν αὐτῶν πρώτην ἔχειν τάξιν κατὰ τὸν τῆς ἡλικίας χρόνον, οὐδὲν προσδεομένην τοιαύτης | |
| 25 | ἐπαγωγῆς, ἣ διὰ συνηθείας ἐκ τῶν καθ’ ἕκαστα γίνε‐ σθαι πέφυκεν· ὅ τε φιλόσοφος ἔοικεν (εἰ δεῖ καθάπερ | |
| τὰς ἄλλας οἰκείας ὀρέξεις, ὅσαι τῇ φιλοστοργίᾳ τῇ πρός τι γένος εἰσὶν ὠνομασμέναι, καὶ τούτῳ προσάψαι τοὔνομα οἰκείως ἀπὸ τοῦ πάθους) ἐπιστήμης τινὸς | 70 | |
| 30 | ἔχειν ἔφεσιν δι’ αὑτὴν τιμίας, ἀλλ’ οὐ διά τι τῶν ἀποβαινόντων ἀπ’ αὐτῆς ἕτερον. οὐ γὰρ ἂν δόξειαν αὐτοῖς τὴν πρέπουσαν ἀπονέμειν τάξιν ἔνιοι τῶν προάγειν μὲν αὐτὰ βουλομένων, φασκόντων δὲ τὴν μάθησιν αὐτῶν δεῖν ἡμᾶς ποιεῖσθαι διὰ τὸ χρησίμην | |
| 35 | εἶναι τὴν ἐν τούτοις γυμνασίαν πρὸς ἑτέρας θεωρίας. ὧν γὰρ χάριν τοῦτο παρακελεύονται δρᾶν, τῇ τούτων φύσει τἀληθοῦς ἧττόν ἐστιν οἰκεῖα, καὶ τοῖς εἰωθόσιν ὑπὲρ αὐτῶν λέγεσθαι λόγοις, οὐδὲ παράμιλλα κατὰ τὴν τῶν ἀποδείξεων ἀκρίβειαν. ἱκανὸν δὲ τούτου σημεῖον· | |
| 40 | τὰς μὲν γὰρ διαμενούσας τε καὶ πιστευομένας ὁρῶμεν διὰ τέλους ὁμοίως ὑπὸ τῶν μεταχειριζομένων αὐτάς, τῶν δὲ παντελῶς ὀλίγας ἄν τινας εὕροιμεν τοιαύτας. πρὸς πολλὰς μὲν οὖν καὶ τῶν πρὸς τὸν βίον ἀναγκαίων καὶ τῶν ἐκ περιουσίας ἤδη καὶ καθ’ αὑτὰ τιμίων ἡ | |
| 45 | περὶ τὰ μαθήματα φιλοσοφία βεβοήθηκεν ἡμῖν. καὶ γὰρ τῶν δημιουργικῶν τεχνῶν οὐκ ὀλίγαις εὕροιμεν ἂν ἐπικουρίαν ἀπ’ αὐτῶν γεγενημένην· καὶ τὴν περὶ φύσεως φιλοσοφίαν, κἂν εἴ τις ἑτέρα ταύτης ἔχῃ τάξιν ἐντιμοτέραν, πολλοῖς ἂν χρωμένην ἴδοιμεν ἐν ταῖς | |
Comm Math.23(50) | οἰκείαις ἀποδείξεσιν, ἃ διὰ τῶν λεχθέντων τεθεωρή‐ καμεν. ἔτι δὲ τοῦ τεταγμένου τε καὶ τάξεως οἰκείους ἡμᾶς καθιστᾶσα, καὶ πρὸς ἀρετὴν καὶ τὸ καλὸν ἅπαν ποιοῖτ’ ἄν τινα προτροπήν. οὐ μόνον δὲ διὰ τὴν | |
| τοιαύτην βοήθειαν ἀγαπήσειεν ἄν τις αὐτῶν τὴν δύνα‐ | 71 | |
| 55 | μιν, ἀλλὰ μᾶλλον ἔτι δι’ αὐτὰς καὶ διὰ τὴν οἰκείαν φύσιν. συγχωρεῖται μὲν γὰρ ὡς εἰσί τινες τῶν ἐπι‐ στημῶν δι’ αὑτὰς αἱρεταί, καὶ οὐ μόνον διὰ τὰ συμ‐ βαίνοντα ἀπ’ αὐτῶν· μόναις δὴ μάλιστα τοιαύταις εἶναι ταῖς θεωρητικαῖς ἐνδέχεται, διὰ τὸ μηδὲν αὐτῶν | |
| 60 | εἶναι τέλος ἕτερον παρὰ τὴν θεωρίαν. ἔστι δὲ ταὐτά, οἷς ἑτέραν ἀνθ’ ἑτέρας ἐπιστήμην αἱρετωτέραν εἶναι τίθεμεν, καὶ οἷς αὐτὴν ἑκάστην αἱρετήν. αἱρούμεθα δὲ ἑτέραν πρὸ ἑτέρας ἢ διὰ τὴν αὐτῆς ἀκρίβειαν ἢ διὰ τὸ βελτιόνων καὶ τιμιωτέρων εἶναι θεωρητικήν· | |
| 65 | ὧν τὸ μὲν ἅπαντες συγχωρήσειαν 〈ἂν〉 ἡμῖν διαφόρως ὑπάρχειν ταῖς μαθηματικαῖς τῶν ἐπιστημῶν, τὸ δ’ ὅσοι ταῖς μὲν ἀρχαῖς ταῖς πρώταις τὴν εἰρημένην προεδρίαν ἀπονέμουσιν, ἀριθμοῖς δὲ καὶ γραμμαῖς καὶ τοῖς τού‐ των πάθεσιν οἰκείαν ὑπολαμβάνουσιν εἶναι τὴν τῆς | |
| 70 | ἀρχῆς φύσιν διὰ τὴν ἁπλότητα τῆς οὐσίας. ἔτι τὰ περὶ τὸν οὐρανὸν θεωρήματα τιμιωτάτην ἔχοντα καὶ θειοτάτην τάξιν τῶν ἡμῖν αἰσθητῶν διὰ τῆς ἀστρολο‐ γικῆς ἐπιστήμης γνωρίζεσθαι πέφυκεν, ἣ μία τῶν μαθηματικῶν οὖσα τυγχάνει· ἄτοπον δ’ ἂν δόξειεν | |
| 75 | εἶναι καὶ οὐδαμῶς ὁμολογούμενον τό, φάσκοντας οἰ‐ κεῖον εἶναι τῆς ἀληθείας τὸν φιλόσοφον, ζητεῖν τιν’ αὐτὸν οἴεσθαι δεῖν καρπὸν ἕτερον ἀπὸ τῶν τοιούτων θεωρημάτων, ἃ τῆς ἀκροτάτης ἀληθείας κεκοινώνηκε· καὶ φιλοθεάμονα ὄντα τὰς τοιαύτας τῶν ἐπιστημῶν | |
| 80 | ἀξιοῦν δι’ ἕτερον λαμβάνειν, αἳ περὶ τὰ κοινότατά τε τῆς φύσεώς εἰσι καὶ τῶν ἡμῖν αἰσθητῶν τὰ θειότατα, | |
| πλείστων τε καὶ θαυμασιωτάτων θεαμάτων οὖσαι πλή‐ ρεις ἀκρίβειαν οὐ πλαστὴν ἐκ λόγων κενῶν ἔχουσιν, ἀλλ’ οἰκείαν καὶ βέβαιον ἐκ τῆς ὑποκειμένης αὐταῖς | 72 | |
| 85 | φύσεως. ὅλως δ’ ὅσα ζητήσειεν ἄν τις δεῖν ὑπάρχειν ταῖς δι’ αὑτὰς αἱρεταῖς τῶν ἐπιστημῶν, ἁπάντων τού‐ των εὑρήσομεν κοινωνούσας τὰς μαθηματικάς. περὶ φύσιν γὰρ ἑκάστη τινά ἐστιν αὐτῶν, καὶ ταύτην ἀίδιον καὶ θεάματα ἔχουσαν ἐν αὑτῇ πολλὰ καὶ θαυμαστά, | |
| 90 | κατὰ τὴν τάξιν τῶν οἰκείων παθῶν καὶ κατὰ τὴν ἀπόστασιν τῆς ἐκ τῶν αἰσθητῶν ὑπολήψεως. ἔτι δὲ τὰς τῶν ἀποδείξεων ἀρχὰς γνωρίμους λαμβάνουσαι καὶ δι’ αὑτῶν πιστάς, οὕτω ποιοῦνται τοὺς ὑπὲρ τού‐ των συλλογισμοὺς διὰ τούτων, ὥστ’ εἶναι παράδειγμα | |
| 95 | τοῖς βουλομένοις ἀκριβῶς τι συναγαγεῖν τὰς ἐν τού‐ τοις ἀποδείξεις· διόπερ ἁρμόττειν ἂν δόξειε τοῖς οἰομέ‐ νοις τὴν μὲν ἐν τῷ φιλοσοφεῖν διαγωγὴν καθ’ αὑτὴν αἱρετὴν εἶναι, τὴν δὲ περὶ τὰ μαθήματα θεωρίαν οἰκείαν καὶ συγγενῆ φιλοσοφίᾳ. εἰκότως ἄρα διὰ ταῦτα | |
Comm Math.23(100) | πάντα ἐτίμων τὴν περὶ τὰ μαθήματα σπουδὴν οἱ Πυθαγόρειοι, καὶ πρὸς τὴν τοῦ κόσμου θεωρίαν αὐτὴν ποικίλως συνέταττον· οἷον τὸν μὲν ἀριθμὸν ἀπὸ τῶν περιφορῶν καὶ τῆς διαφορᾶς τούτων τῷ λογισμῷ περιλαμβάνοντες, τὰ δὲ δυνατὰ καὶ ἀδύνατα | |
| 105 | τῇ τοῦ κόσμου συστάσει ἀπὸ τῶν ἐν τοῖς μαθήμασι δυνατῶν καὶ ἀδυνάτων θεωροῦντες, τὰς δὲ οὐρανίους περιφορὰς κατὰ τοὺς συμμέτρους ἀριθμοὺς μετ’ αἰτίας νοοῦντες, μέτρα τε τοῦ οὐρανοῦ κατά τινας μαθηματι‐ κοὺς λόγους ἀφορίζοντες, καὶ ὅλως τὴν φυσιολογίαν | |
| 110 | τὴν προγνωστικὴν ἀπὸ τῶν μαθημάτων συστησάμενοι, | |
| καὶ πρὸς τὰ ἄλλα τὰ περὶ τοῦ κόσμου θεωρήματα ὥσπερ ἀρχὰς τὰ μαθήματα προστησάμενοι. ἀφ’ ὧν δὴ καὶ εἰς τὰ περὶ φύσεως πολλὰς ἀποδείξεις ἐπορί‐ σαντο, καὶ εἰς τὸ καλὸν κἀγαθὸν τὴν ἀρετὴν προτρέ‐ | 73 | |
| 115 | πουσι, καὶ [εἰς] τὸ μέγιστον θεολογικῶς ἀστρονομοῦσι διὰ τὰ μαθήματα. ὥστε διὰ πάντα ταῦτα θαυμαστὴν εἰκότως σπουδὴν περὶ αὐτὰ ἐποιοῦντο. | |
Comm Math.24 | Τὸ δὴ μετὰ τοῦτο καὶ τὴν συνήθειαν ἄξιον εἰπεῖν τῆς ἐν τοῖς μαθήμασι διατριβῆς τῶν Πυθαγορείων. ἐκεῖνοι τοίνυν ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν ἀπέστησαν τοὺς περὶ τῶν μαθημάτων λόγους, εἴς τε | |
| 5 | πίστιν ἀσωμάτου οὐσίας περιῆγον δι’ αὐτῶν τὴν διάνοιαν, διαπορθμεύουσί τε αὐτοῖς ἐχρῶντο ἐπὶ τὰ νοητά, καὶ ἐν τοῖς μάλιστα ἐσκόπουν τί πρὸς τὰ καθαρὰ εἴδη καὶ τοὺς ἑνιαίους λόγους ἐστὶν ἐν αὐτοῖς ἀπεικασμένον. τοῖς μὲν οὖν θεωρήμασι τοῦτον προσ‐ | |
| 10 | εφέροντο τὸν τρόπον, ἅπαξ δὲ ἀποστήσαντες αὐτῶν τὴν ἐπιστήμην τῆς κοινῆς καὶ δεδημοσιευμένης γνώ‐ σεως, καὶ τὴν μετάδοσιν ἐποιοῦντο αὐτῶν κατὰ τὰ αὐτὰ ἐν ἀπορρήτοις· ὀλίγοις τε πάνυ τῆς γνώσεως αὐτῶν ἐκοινώνουν, καὶ εἴ πού τι ἔκφορον γένοιτο εἰς | |
| 15 | τοὺς πολλούς, ἀφωσιοῦντο τοῦτο ὡς ἀσέβημα· διόπερ ἀπωθοῦντο καὶ τοὺς ἔξω τῆς συνηθείας, ὡς ἀναξίους ὄντας αὐτῶν μεταλαμβάνειν. ὑπέλαβε γὰρ Πυθαγόρας οὐ πᾶσι δεῖν κοινωνεῖν τῆς ἐν τοῖς μαθήμασι φιλο‐ σοφίας, ἀλλ’ αὐτοῖς μόνοις, οἷσπερ ἄν τις τοῦ παντὸς | |
| 20 | βίου κοινωνήσειε. καὶ πρὸς ταύτην τὴν ὁμιλίαν οὐκ | |
| εἰκῇ προσίετο οὐδὲ τοὺς τυχόντας, ἀλλὰ πεῖράν τε λαμβάνων ἐν πολλῷ χρόνῳ καὶ τοὺς ἀναξίους ἀπω‐ θούμενος. καὶ τοῖς μὲν ἔξω τῆς συνηθείας οὐκ ἐποιή‐ σατο κοινὴν τὴν δι’ αὑτοῦ γενομένην ἐπίδοσιν ἀπορ‐ | 74 | |
| 25 | ρήτους ποιησάμενος πρὸς τοὺς ἄλλους τοὺς περὶ αὐτῶν λόγους, ἐν δὲ τοῖς ὀνομασθεῖσι Πυθαγορείοις διὰ τὴν πρὸς ἑαυτὸν ἑταιρίαν πολλὴν ἐπίδοσιν παρέσχε τῇ τε περὶ τὰ μαθήματα φιλοσοφίᾳ καὶ τῇ περὶ γεωμετρίαν θεωρίᾳ, καὶ σχεδὸν ἁπάντων τῶν ὕστερον ἐπὶ πλέον | |
| 30 | προελθόντων εὕροι τις ἂν τὰς ἀρχὰς ἡμῖν παρ’ ἐκείνου γεγενημένας. ἠγάπα δ’ ἐν αὐτοῖς οὐχ ὥσπερ ἔνιοι τῶν ὕστερον τὴν δύναμιν, ἀφ’ ἧς οἷοί τ’ ἔσονται τὸ προβληθὲν εὑρίσκειν, ἀλλ’ αὐτὰ τὰ θεωρήματα· καὶ τούτων οὐχ ὅσα χαλεπώτατα ἦν εὑρεῖν, καθάπερ [ἦν] | |
| 35 | οἱ πλεῖστοι τῶν ὕστερον, ἀλλ’ ἐν οἷς ἦν μάλιστα αὐτῶν κατανοῆσαι τάξιν ἤ τι σύμπτωμα φυσικόν. ἔπαθον δὲ τοῦτο διὰ τὸ τῆς ὅλης φύσεως οἴεσθαι τὰς ἀρχὰς ὑπάρχειν ἐν τούτοις καὶ μάλιστα εὐθεωρήτους εἶναι τίνες τέ εἰσι καὶ πόσαι, διὰ τὸ περὶ μένουσάν | |
| 40 | τε φύσιν εἶναι καὶ κινήσεως ἀπηλλαγμένην, ἔτι δὲ ἁπλῆν· διόπερ οὔτε τῶν προβληματικῶν ἥψαντο, πλὴν ὅσα ἦν στοιχειώδη, καθάπερ ἡ παραβολὴ καὶ ὁ τετρα‐ γωνισμός, οὔτ’ ἐν τοῖς θεωρήμασιν ἐπραγματεύοντο πάντα ἐπεξιέναι βουλόμενοι καὶ μηδὲν τῶν ἐνδεχο‐ | |
| 45 | μένων παραλιπεῖν, ἀλλ’ αὐτὰς μόνον τὰς ἀρχὰς ἰδεῖν ἐν ἑκάστοις ἐζήτουν. γυμνασίαν δὲ ἐν ταῖς ἐπιστήμαις ταύταις καὶ ἐξεργασίαν λογικὴν ἐποιοῦντο ἀκριβῆ θεωρητικὴν εἰς ἐπιστήμην οἰκείαν, τάξιν τε ἐν ταῖς | |
| ἐπιστήμαις προσέθηκαν τὴν προσήκουσαν, ὀλίγα τε | 75 | |
Comm Math.24(50) | κατ’ ἀρχὰς παραλαβόντες ἐξειργάσαντο ταῦτα, καὶ μάλιστα τὰ τιμιώτατα καὶ σεμνότατα τῶν θεωρημάτων ἐτελεώσαντο, ἄλλως τε ἀσκούμενα τὰ θεωρήματα ἐπ’ ἄλλα περιήγαγον, τάξιν τ’ ἐν αὐτοῖς ἐποιοῦντο τοι‐ αύτην ὡς τὰ μὲν ἁπλούστερα 〈πρότερα〉 παραδιδόναι | |
| 55 | τὰ δὲ συνθέσεως ἐφαπτόμενα δεύτερα, καὶ τῇ φύσει τῶν ὄντων ἑπομένως συνέταττον τὰ θεωρήματα καὶ τῇ ἡμετέρᾳ δυνάμει προσφόρως καὶ τῇ ἀξίᾳ τῶν παρα‐ λαμβανόντων αὐτὰ οἰκείως τῇ τε πρὸς ἀρετὴν ἀγωγῇ καὶ τῇ ὅλῃ παιδείᾳ ὁμολογουμένως καὶ τῇ καθάρσει | |
| 60 | τῆς ψυχῆς προσηκόντως. Τοιαῦτα ἄν τις καὶ περὶ τούτου γνωρίσματα τοῦ Πυθαγορικοῦ τύπου ποιήσαιτο, περὶ ὧν πλείονα ἐροῦ‐ μεν ἐν τοῖς κατ’ ἰδίαν περὶ ἑκάστου τῶν μαθημάτων λεχθησομένοις. | |
Comm Math.25 | Δύο δ’ ἐστὶ τῆς Ἰταλικῆς φιλοσοφίας εἴδη, καλουμένης δὲ Πυθαγορικῆς. δύο γὰρ ἦν γένη καὶ τῶν μεταχειριζομένων αὐτήν, οἱ μὲν ἀκουσματικοί, οἱ δὲ μαθηματικοί. τούτων δὲ οἱ μὲν ἀκουσματικοὶ ὡμολο‐ | |
| 5 | γοῦντο Πυθαγόρειοι εἶναι ὑπὸ τῶν ἑτέρων, τοὺς δὲ μαθηματικοὺς οὗτοι οὐχ ὡμολόγουν, οὔτε τὴν πραγμα‐ τείαν αὐτῶν εἶναι Πυθαγόρου, ἀλλὰ Ἱππάσου. τὸν δ’ Ἵππασον οἱ μὲν Κροτωνιάτην φασίν, οἱ δὲ Μεταπον‐ | |
| τῖνον. οἱ δὲ περὶ τὰ μαθήματα τῶν Πυθαγορείων | 76 | |
| 10 | τούτους τε ὁμολογοῦσιν εἶναι Πυθαγορείους, καὶ αὐτοί φασιν ἔτι μᾶλλον, καὶ ἃ λέγουσιν αὐτοὶ ἀληθῆ εἶναι. τὴν δὲ αἰτίαν τῆς ἀνομοιότητος τοιαύτην γενέσθαι φασίν. ἀφικέσθαι τὸν Πυθαγόραν ἐξ Ἰωνίας καὶ Σάμου κατὰ τὴν Πολυκράτους τυραννίδα καὶ ἀκμαζού‐ | |
| 15 | σης Ἰταλίας, καὶ γενέσθαι συνήθεις αὐτῷ τοὺς πρώ‐ τους ἐν ταῖς πόλεσι. τούτων δὲ τοῖς μὲν πρεσβυτέροις καὶ ἀσχόλοις διὰ τὸ ἐν πολιτικοῖς 〈πράγμασι κατέχε‐ σθαι,〉 ὡς χαλεπὸν ὂν διὰ τῶν μαθημάτων καὶ ἀπο‐ δείξεων ἐντυγχάνειν, ψιλῶς διαλεχθῆναι, ἡγούμενον | |
| 20 | οὐδὲν ἧττον ὠφελεῖσθαι ἂν καὶ ἄνευ τῆς αἰτίας εἰ‐ δότας τί δεῖ πράττειν, ὥσπερ καὶ οἱ ἰατρευόμενοι οὐ προσακούοντες διὰ τί αὐτοῖς ἕκαστα πρακτέον οὐδὲν ἧττον τυγχάνουσι τῆς ὑγείας. ὅσοις δὲ νεωτέροις ἐνετύγχανε καὶ δυναμένοις πονεῖν καὶ μανθάνειν, τοῖς | |
| 25 | τοιούτοις διὰ ἀποδείξεως καὶ τῶν μαθημάτων ἐν‐ ετύγχανεν. αὐτοὶ μὲν οὖν εἶναι ἀπὸ τούτων, ἐκείνους δὲ ἀπὸ τῶν ἑτέρων. περὶ δ’ Ἱππάσου λέγουσιν, ὡς ἦν μὲν τῶν Πυθαγορείων, διὰ δὲ τὸ ἐξενεγκεῖν καὶ γράψασθαι πρῶτος σφαῖραν τὴν ἐκ τῶν δώδεκα ἑξα‐ | |
| 30 | γώνων ἀπόλοιτο κατὰ θάλατταν ὡς ἀσεβήσας, δόξαν δὲ λάβοι ὡς 〈εὑρών,〉 εἶναι δὲ πάντα ἐκείνου τοῦ ἀνδρός· προσαγορεύουσι γὰρ οὕτω τὸν Πυθαγόραν καὶ οὐ καλοῦσιν ὀνόματι. ἐπέδωκε δὲ τὰ μαθήματα, ἐπεὶ | |
| ἐξηνέχθησαν δισσοὶ προάγοντε μάλιστα, Θεόδωρός τε | 77 | |
| 35 | ὁ Κυρηναῖος καὶ Ἱπποκράτης ὁ Χῖος. λέγουσι δὲ οἱ Πυθαγόρειοι ἐξενηνέχθαι γεωμετρίαν οὕτως. ἀποβαλεῖν τινα τὴν οὐσίαν τῶν Πυθαγορείων, ὡς δὲ τοῦτ’ ἠτύ‐ χησε, δοθῆναι αὐτῷ χρηματίσασθαι ἀπὸ γεωμετρίας. ἐκαλεῖτο δὴ ἡ γεωμετρία πρὸς Πυθαγόρου ἱστορία. | |
| 40 | περὶ μὲν οὖν τῆς διαφορᾶς ἑκατέρας τῆς πραγματείας καὶ περὶ τῶν μαθημάτων σχεδὸν ταῦτά τε καὶ τοιαῦτά ἐστι τὰ συμβεβηκότα. οἱ δὲ Πυθαγόρειοι διατρίψαντες ἐν τοῖς μαθήμασι καὶ τό τε ἀκριβὲς τῶν λόγων ἀγα‐ πήσαντες, ὅτι μόνα εἶχεν ἀποδείξεις ὧν μετεχειρίζοντο | |
| 45 | ἄνθρωποι, καὶ ὁμολογούμενα ὁρῶντες ἔνισον τὰ περὶ τὴν ἁρμονίαν [ὅτι] δι’ ἀριθμῶν καὶ τὰ περὶ τὴν ὄψιν μαθήματα διὰ 〈δια〉γραμμάτων, ὅλως αἴτια τῶν ὄντων ταῦτα ᾠήθησαν εἶναι καὶ τὰς τούτων ἀρχάς· ὥστε τῷ βουλομένῳ θεωρεῖν τὰ ὄντα πῶς ἔχει, εἰς ταῦτα | |
Comm Math.25(50) | βλεπτέον εἶναι, τοὺς ἀριθμοὺς καὶ τὰ γεωμετρούμενα εἴδη τῶν ὄντων καὶ λόγους, διὰ τὸ δηλοῦσθαι πάντα διὰ τούτων. ὡς οὖν οὔτ’ ἐγκαιροτέρων ἂν οὔτε τιμιω‐ τέρων ἀνάψαντες ἑκάστων τὰς δυνάμεις ἢ εἰς τὰ πάν‐ των αἴτια καὶ πρῶτα σχεδὸν ὁμοτρόπως καὶ τὰ ἄλλα | |
| 55 | τούτοις διώριζον. αἱ μὲν οὖν ἀγωγαὶ εἰς τοὺς ἀριθμοὺς καὶ τὰ μαθήματα τῶν πραγμάτων διὰ ταῦτά τε καὶ τοῦτον τὸν τύπον ἐδόκουν ἔχειν αὐτοῖς. τοιαύτη τις ἦν παρ’ αὐτοῖς καὶ ἡ μέθοδος τῶν ἀποδείξεων, ἐκ τοιούτων τε ἀρχῶν ὁρμωμένη καὶ οὕτως ἔχουσα τὸ | |
| 60 | πιστὸν καὶ βέβαιον ἐν τοῖς λόγοις. | 78 |
Comm Math.26 | Γεγόνασι δέ τινες, οἱ μὲν παλαιοὶ οἱ δὲ νέοι, οἵτινες τὴν ἐναντίαν δόξαν περὶ τῶν μαθημά‐ των ἐξενηνόχασι, ψέγοντες αὐτὰ ὡς παντελῶς ἄχρηστα καὶ πρὸς τὸν ἀνθρώπινον βίον οὐδὲν συμβαλλόμενα. | |
| 5 | ἔνιοι δὲ οὕτως ἐπιχειροῦσιν· εἰ ἀχρεῖον αὐτῶν τὸ τέλος, δι’ ὅπερ αὐτὰ μανθάνειν φασὶ δεῖν οἱ φιλό‐ σοφοι, πολὺ πρότερον ἀνάγκη μάταιον εἶναι τὴν περὶ ταῦτα σπουδήν. περὶ δὲ τοῦ τέλους σχεδὸν ὁμολο‐ γοῦσι πάντες οἱ δοκοῦντες περὶ αὐτὴν μάλιστα ἠκρι‐ | |
| 10 | βωκέναι. φασὶ γὰρ οἱ μὲν εἶναι τὴν τῶν ἀδίκων καὶ δικαίων καὶ κακῶν καὶ ἀγαθῶν ἐπιστήμην, ὁμοίαν οὖσαν γεωμετρίᾳ καὶ ταῖς ἄλλαις ταῖς τοιαύταις, οἱ δὲ τὴν περὶ φύσεώς τε καὶ τῆς τοιαύτης ἀληθείας φρό‐ νησιν, οἵαν οἵ τε περὶ Ἀναξαγόραν καὶ Παρμενίδην | |
| 15 | εἰσηγήσαντο. δεῖ δὴ μὴ λεληθέναι τὸν μέλλοντα περὶ τούτων ἐξετάζειν, ὅτι πάντα τὰ ἀγαθὰ καὶ τὰ πρὸς τὸν βίον ὠφέλιμα τοῖς ἀνθρώποις ἐν τῷ χρῆσθαι καὶ πράττειν ἐστίν, ἀλλ’ οὐκ ἐν τῷ γινώσκειν μόνον· οὔτε γὰρ ὑγιαίνομεν τῷ γνωρίζειν τὰ ποιητικὰ τῆς | |
| 20 | ὑγιείας, ἀλλὰ τῷ προσφέρεσθαι τοῖς σώμασιν· οὔτε πλουτοῦμεν τῷ γιγνώσκειν πλοῦτον, ἀλλὰ τῷ κεκτῆ‐ σθαι πολλὴν οὐσίαν· οὐδὲ τὸ πάντων μέγιστον εὖ ζῶμεν τῷ γιγνώσκειν ἄττα τῶν ὄντων, ἀλλὰ τῷ πράτ‐ τειν εὖ· τὸ γὰρ εὐδαιμονεῖν ἀληθῶς τοῦτ’ ἐστίν. ὥστε | |
| 25 | προσήκει καὶ τὴν φιλοσοφίαν, εἴπερ ἐστὶν ὠφέλιμος, | |
| ἤτοι πρᾶξιν εἶναι τῶν ἀγαθῶν ἢ χρήσιμον εἰς τὰς τοιαύτας πράξεις. ὅτι μὲν οὖν οὐκ ἔστιν οὔθ’ αὕτη πραγμάτων ἐργασία τις οὔτ’ ἄλλη τῶν προειρημένων ἐπιστημῶν οὐδεμία, φανερόν ἐστι πᾶσιν· ὅτι δ’ οὐδ’ | 79 | |
| 30 | ἐστὶ χρήσιμος εἰς τὰς πράξεις, ἐκεῖθεν ἄν τις κατα‐ μάθοι. μέγιστον γὰρ ἔχομεν παράδειγμα τὰς ὁμοίας ἐπιστήμας αὐτῇ καὶ τὰς ὑποκειμένας δόξας· ὧν γάρ εἰσιν οἱ γεωμέτραι δι’ ἀποδείξεως θεωρητικοί, τούτων οὐδενὸς ὁρῶμεν αὐτοὺς ὄντας πρακτικούς, ἀλλὰ καὶ | |
| 35 | διελεῖν χωρίον καὶ τὰ ἄλλα πάντα πάθη τῶν τε μεγε‐ θῶν καὶ τῶν τόπων οἱ μὲν γεωδαῖται δύνανται δι’ ἐμπειρίαν, οἱ δὲ περὶ τὰ μαθήματα καὶ τοὺς τούτων λόγους ἴσασι μὲν ὡς δεῖ πράττειν, οὐ δύνανται δὲ πράττειν. ὁμοίως δ’ ἔχει καὶ περὶ μουσικὴν καὶ τὰς | |
| 40 | ἄλλας ἐπιστήμας, ὅσαις διῄρηται τό τε τῆς γνώσεως καὶ τὸ τῆς ἐμπειρίας χωρίς. οἱ μὲν γὰρ τὰς ἀποδείξεις καὶ τοὺς συλλογισμοὺς διωρισμένοι περὶ συμφωνίας καὶ τῶν ἄλλων τῶν τοιούτων, ὥσπερ οἱ κατὰ φιλο‐ σοφίαν, σκοπεῖν εἰώθασιν, οὐδενὸς δὲ κοινωνοῦσι τῶν | |
| 45 | ἔργων, ἀλλὰ κἂν τυγχάνωσιν αὐτῶν δυνάμενοί τι χει‐ ρουργεῖν, ὅταν μάθωσι τὰς ἀποδείξεις, ὥσπερ ἐπίτηδες, εὐθὺς αὐτὰ χεῖρον ποιοῦσιν· οἱ δὲ τοὺς μὲν λόγους ἀγνοοῦντες, γεγυμνασμένοι δὲ καὶ δοξάζοντες ὀρθῶς ὅλῳ καὶ παντὶ διαφέρουσι πρὸς τὰς χρείας. ὡσαύτως | |
Comm Math.26(50) | δὲ καὶ περὶ τῶν κατὰ τὴν ἀστρολογίαν, οἷον ἡλίου καὶ σελήνης πέρι καὶ τῶν ἄλλων ἄστρων, οἱ μὲν τὰς αἰτίας καὶ τοὺς λόγους μεμελετηκότες οὐδὲν τῶν χρη‐ σίμων τοῖς ἀνθρώποις ἴσασιν, οἱ δὲ τὰς ὑπὸ τούτων ναυτικὰς καλουμένας ἐπιστήμας ἔχοντες χειμῶνας καὶ | |
| 55 | πνεύματα καὶ πολλὰ τῶν γινομένων δύνανται προ‐ λέγειν ἡμῖν. ὥστε πρὸς τὰς πράξεις ἀχρεῖοι παντελῶς ἔσονται αἱ τοιαῦται ἐπιστῆμαι· εἰ δὲ τῶν πράξεων τῶν ὀρθῶν ἀπολείπονται, τῶν μεγίστων ἀγαθῶν ἀπολείπε‐ ται ἡ φιλομάθεια. | 80 |
| 60 | Πρὸς δὴ ταῦτα ἀντιλέγοντες, εἶναί τέ φαμεν ἐπι‐ στήμας τῶν μαθημάτων καὶ ταύτας δυνατὰς εἰς τὸ μεταλαβεῖν. ἀεὶ γὰρ γνωριμώτερα ἀμφότερα, τὰ πρό‐ τερα τῶν ὑστέρων καὶ τὰ βελτίω τὴν φύσιν τῶν χειρόνων. τῶν γὰρ ὡρισμένων καὶ τεταγμένων ἐπι‐ | |
| 65 | στήμη μᾶλλόν ἐστιν ἢ τῶν ἐναντίων, ἔτι δὲ τῶν αἰτίων ἢ τῶν ἀποβαινόντων. ἔστι δὲ ὡρισμένα καὶ τεταγμένα τὰ ἐν τοῖς ἀκινήτοις μαθηματικοῖς εἴδεσιν. αἴτιά τε μᾶλλον τὰ πρότερα τῶν ὑστέρων· ἐκείνων γὰρ ἀναι‐ ρουμένων ἀναιρεῖται τὰ τὴν οὐσίαν ἐξ ἐκείνων ἔχοντα, | |
| 70 | μήκη μὲν ἀριθμῶν, ἐπίπεδα δὲ μηκῶν, στερεὰ δὲ ἐπι‐ πέδων. ὥστε εἴπερ πάντων ἐστὶν ἁπλούστερα τὰ ἐν τοῖς μαθήμασιν, ἔσται καὶ ἀρχικώτερα πάντων. ὥστε περὶ τὰ ἀμείνονα καὶ ἀρχηγικώτερα ἔσονται πολὺ μᾶλλον ἐπιστῆμαι, καὶ δυναταὶ κτήσασθαι ὑπάρχουσι· | |
| 75 | πολὺ γὰρ πρότερον ἀναγκαῖον τῶν αἰτίων καὶ τῶν στοιχείων εἶναι φρόνησιν ἢ τῶν ὑστέρων. οὐ γὰρ ταῦτα τῶν ἄκρων οὐδ’ ἐκ τούτων τὰ πρῶτα πέφυκεν, ἀλλ’ ἐξ ἐκείνων καὶ δι’ ἐκείνων καὶ τἆλλα γίγνεται καὶ συνίσταται φανερῶς. ὅτι δὲ καὶ μέγιστόν ἐστι | |
| 80 | τῶν ἀγαθῶν καὶ πάντων ὠφελιμώτατον τῶν ἄλλων, | |
| ἐπίστασθαι τὰ μαθήματα, ἐκ τῶνδε δῆλον. λόγος γὰρ καὶ φρόνησις ἡγεῖται τῶν ἀγαθῶν· κανών τε καὶ ὅρος ἀκριβέστατος τῶν ἀγαθῶν οὐδεὶς ἄλλος ἐστὶ πλὴν ὁ φρόνιμος· ὅσα γὰρ ἂν οὗτος ἕλοιτο, ταῦτ’ ἐστὶν ἀγαθά, | 81 | |
| 85 | κακὰ δὲ τἀναντία τούτοις. ἐπεὶ δὲ πάντες αἱροῦνται μάλιστα 〈τὰ〉 κατὰ τὰς οἰκείας ἕξεις (τὸ μὲν γὰρ δικαίως ζῆν ὁ δίκαιος, τὸ δὲ κατὰ τὴν ἀνδρείαν ὁ τὴν ἀνδρείαν ἔχων, ὁ δὲ σώφρων τὸ σωφρονεῖν), ὁμοίως δῆλον ὅτι καὶ τὸ φρονεῖν ὁ φρόνιμος αἱρήσεται | |
| 90 | πάντων μάλιστα· τοῦτο γὰρ ἔργον ταύτης τῆς δυνάμεως. ὥστε φανερὸν ὅτι κατὰ τὴν κυριωτάτην κρίσιν κράτι‐ στόν ἐστι τῶν ἀγαθῶν ἡ φρόνησις. καὶ οὐ δεῖ πάν‐ τας χρείας ἕνεκα αὐτὴν μεταδιώκειν· καὶ γὰρ αὕτη δι’ αὑτήν ἐστιν αἱρετή. | |
| 95 | Καὶ περὶ μὲν ὠφελείας καὶ μεγέθους τοῦ πράγ‐ ματος ἱκανῶς ἀποδεδεῖχθαι νομίζω, διότι δὲ πολλῷ ῥᾴστη τῶν ἄλλων ἀγαθῶν ἡ κτῆσις αὐτῆς, ἐκ τῶνδε πέπεισμαι. τὸ γὰρ μήτε μισθοῦ παρὰ τῶν ἀνθρώπων γινομένου τοῖς φιλοσόφοις, δι’ ὃν συντόνως οὕτως ἂν | |
Comm Math.26(100) | διαπονήσειαν, πολύ τε προεμένους 〈εἰσ〉 τὰς ἄλλας τέχνας ὅμως ἐξ ὀλίγου χρόνου θέοντας παρεληλυθέναι ταῖς ἀκριβείαις, σημεῖόν μοι δοκεῖ τῆς περὶ τὴν φιλο‐ σοφίαν εἶναι ῥᾳστώνης. ἔτι δὲ τὸ πάντας φιλοχωρεῖν ἐπ’ αὐτῇ καὶ βούλεσθαι σχολάζειν ἀφεμένους τῶν | |
| 105 | ἄλλων ἁπάντων, οὐ μικρὸν τεκμήριον ὅτι μεθ’ ἡδονῆς ἡ προσεδρεία γίγνεται· πονεῖν γὰρ οὐδεὶς ἐθέλει πολὺν χρόνον. πρὸς δὲ τούτοις ἡ χρῆσις πλεῖστον διαφέρει πάντων· οὐδὲν γὰρ δέονται πρὸς τὴν ἐργασίαν ὀργάνων | |
| οὐδὲ τόπων, ἀλλ’ ὅπῃ τις ἂν θῇ τῆς οἰκουμένης τὴν | 82 | |
| 110 | διάνοιαν, ὁμοίως πανταχόθεν ὥσπερ παρούσης ἅπτεται τῆς ἀληθείας. ἀλλὰ ταῦτα μὲν ἴσως ἀποχρώντως εἴρη‐ ται πρὸς τὸν ἐνεστῶτα καιρόν· καὶ γὰρ ὅτι δυνατὸν καὶ διότι μέγιστον τῶν ἀγαθῶν καὶ κτήσασθαι ῥᾴδιον ἡ φρόνησις, ἀποδέδεικται. | |
| 115 | Νεώτατον οὖν ὁμολογουμένως ἐστὶ τῶν ἐπιτηδευ‐ μάτων ἡ περὶ τὴν ἀλήθειαν ἀκριβολογία. μετὰ γὰρ τὴν φθορὰν καὶ τὸν κατακλυσμὸν τὰ περὶ τὴν τροφὴν καὶ τὸ ζῆν πρῶτον ἠναγκάζοντο φιλοσοφεῖν, εὐπορώ‐ τεροι δὲ γενόμενοι τὰς πρὸς ἡδονὴν ἐξειργάσαντο | |
| 120 | τέχνας, οἷον μουσικὴν καὶ τὰς τοιαύτας, πλεονάσαντες δὲ τῶν ἀναγκαίων οὕτως ἐπεχείρησαν φιλοσοφεῖν. τοσοῦτον δὲ νῦν προεληλύθασιν ἐκ μικρῶν ἀφορμῶν ἐν ἐλαχίστῳ χρόνῳ ζητοῦντες οἵ τε περὶ τὴν γεωμε‐ τρίαν καὶ τοὺς λόγους καὶ τὰς ἄλλας παιδείας, ὅσον | |
| 125 | οὐδὲν ἕτερον γένος ἐν οὐδεμιᾷ τῶν τεχνῶν. καίτοι τὰς μὲν ἄλλας πάντες συνεξορμῶσι τιμῶντες κοινῇ καὶ τοὺς μισθοὺς τοῖς ἔχουσι διδόντες, τοὺς δὲ ταῦτα πραγματευομένους οὐ μόνον οὐ προτρέπομεν ἀλλὰ καὶ διακωλύομεν πολλάκις, ἀλλ’ ὅμως ἐπιδίδωσι πλεῖστον, | |
| 130 | διότι τῇ φύσει ἐστὶ πρεσβύτατα· τὸ γὰρ τῇ γενέσει ὕστερον, οὐσίᾳ καὶ τελειότητι προηγεῖται. Καὶ ἡ τῶν μαθημάτων οὖν ἐπιστήμη κρατεῖ πρὸς ἅπαντα ταῦτα τῶν ἄλλων ἐπιστημῶν ἐκ περιττοῦ, κάλ‐ | |
| λει καὶ ἀκριβείᾳ τῶν πάντων ἐπιτηδευμάτων προέχουσα· | 83 | |
| 135 | ἔχει δὲ καὶ τὸ κατὰ λόγον οὕτως. πρῶτα μὲν γὰρ τὰ τῇ γενέσει ὁμοφυῆ περισπούδαστά ἐστι τοῖς ἀνθρώποις ὥστε κτᾶσθαι κατὰ δύναμιν, ἐπὶ δὲ τούτοις τὰ ἀπο‐ λύοντα ἡμᾶς τῆς σωματοειδοῦς φύσεως πολὺ τῶν προ‐ τέρων ἐστὶ τιμιώτερα· τὰ μὲν γὰρ ὡς ἀναγκαῖα προϋ‐ | |
| 140 | πόκειται, τὰ δὲ ὡς δι’ αὑτὰ αἱρετὰ καὶ σεμνὰ πρεσβείων καὶ τιμῆς ἠξίωται. συμβάλλεται μὲν οὖν καὶ πρὸς τὴν ὅλην ἀνθρωπίνην ζωὴν οὐκ ὀλίγας χρείας ἡμῖν τὰ μαθήματα, ὡς πρόδηλον τοῖς ἐπὶ τοῦ βίου τὰ ἀπὸ τῶν μαθηματικῶν τεχνῶν ἔργα ἐπισκοπουμένοις· | |
| 145 | οὐ μὴν ἀλλὰ ταῦτα μέν ἐστι ἐλάττονος σπουδῆς ἄξια, τὰ δὲ μέγιστα ἡ κάθαρσίς ἐστι τῆς ἀθανάτου ψυχῆς, καὶ ἡ τοῦ νοῦ περιαγωγὴ πρὸς τὸ νοητόν, καὶ ἡ μετουσία τῆς τοῦ ὄντος ἐνεργείας. ταῦτα δ’ ἡμῖν παρασκευάζουσα ἡ μαθηματικὴ ἐπιστήμη τὰ πάντα | |
Comm Math.26(150) | ἀγαθὰ παρέχει, ὥστε πρὸς τὸ τέλος τῆς εὐδαιμονίας οὐκ οἶδ’ εἴ τις ἄλλη μέθοδος οὕτω συναίρεται. διὰ δὴ τούτων οὐ μόνον ψευδεῖς οἱ· ἐναντίοι λόγοι πεφή‐ νασιν, ἀλλὰ καὶ τὰ μαθήματα χρησιμώτατα ὄντα ἡμῖν ἀποδέδεικται. | |
Comm Math.27 | Ἐπεὶ δὲ τοῦ πεπαιδευμένου ἔργον ἐστὶ τὸ δύνασθαι κρῖναι εὐστόχως τί καλῶς ἢ μὴ καλῶς ἀποδίδωσιν ὁ λέγων, τοιοῦτον δή τινα τὸν ὅλως πεπαιδευμένον οἰόμεθα εἶναι, καὶ τὸ πεπαιδεῦσθαι τὸ | |
| 5 | δύνασθαι ποιεῖν τὸ εἰρημένον. δῆλον δὴ τοῦθ’ ὅτι | |
| καὶ περὶ τὰ μαθήματα τὸν ὀρθῶς πεπαιδευμένον ἀπαι‐ τεῖν δεῖ παρὰ τοῦ μαθηματικοῦ τὴν ὀρθότητα καὶ τὸ οἰκεῖον ἔργον, εἰ καλῶς ἢ μὴ καλῶς ποιεῖται τὴν περὶ αὐτῶν θεωρίαν. ὥσπερ γὰρ τὸν ἁπλῶς πεπαιδευμένον | 84 | |
| 10 | περὶ πάντων ὡς εἰπεῖν κριτικὸν νομίζομεν εἶναι ἕνα τὸν ἀριθμὸν ὄντα, οὕτως καὶ περί τινος ἐπιστήμης ἀφωρισμένης εἴη ἄν τις ἕτερος τὸν αὐτὸν τρόπον τῷ εἰρημένῳ διακείμενος περὶ μόριον. ὥστε δῆλον ὅτι καὶ τῆς περὶ τὰ μαθήματα θεωρίας δεῖ τινας ὑπάρχειν | |
| 15 | ὅρους τοιούτους, πρὸς οὓς ἀναφέρων ἀποδέξεται ὁ πεπαιδευμένος τὸν τρόπον τῶν δεικνυμένων, χωρὶς τοῦ πῶς ἔχειν τἀληθές, εἴτε οὕτως εἴτε ἄλλως. λέγω δὲ οἷον πότερον δεῖ λαμβάνοντας ἓν ἕκαστον θεώρημα τῶν μαθηματικῶν περὶ τούτου διορίζειν καθ’ αὑτό, | |
| 20 | οἷον περὶ τῶνδε τῶν τριγώνων, ἢ τὰ κοινὰ θεωρή‐ ματα καὶ τὰ πᾶσιν ὑπάρχοντα δεῖ σκοπεῖν κατά τι κοινὸν ὑποθεμένους. πολλὰ γὰρ ὑπάρχει τὰ αὐτὰ πολλοῖς γένεσιν ἑτέροις οὖσιν ἀλλήλων, οἷον εἴ τις καθόσον ἐστὶ τρίγωνα ποιοῖτο τὴν ἀπόδειξιν, ἢ καθόσον | |
| 25 | ἐστὶν εὐθύγραμμα κοινῶς. εἰ γάρ τινα τὰ αὐτὰ ὑπάρ‐ χοι τοῖς εἴδει διαφέρουσιν, οὐδ’ ἡ ἀπόδειξις αὐτῶν οὐδεμίαν ὀφείλει ἔχειν διαφοράν. ἕτερα δὲ ἴσως ἐστίν, οἷς συμβαίνει τὴν μὲν κατηγορίαν ἔχειν τὴν αὐτήν, διαφέρειν δὲ τῇ κατ’ εἶδος διαφορᾷ· οἷον τὸ ὅμοιον | |
| 30 | ἐπὶ μὲν τριγώνων ἐστὶν ἄλλο, ἐπ’ ἀριθμῶν δὲ ἕτερον. καὶ δεῖ καθ’ ἑκάτερον ἰδίας ποιεῖσθαι ἀποδείξεις. ἐπι‐ σκεπτέον οὖν, πότε κοινῶς κατὰ γένος καὶ πότε ἰδίως | |
| καθ’ ἕκαστον θεωρητέον· τὸ γὰρ διωρίσθαι περὶ τού‐ των μέγα μέρος εἰς παιδείαν μαθηματικὴν συμβάλ‐ | 85 | |
| 35 | λεται. ἔτι κατὰ τὴν ὑποκειμένην οὐσίαν δεῖ τοὺς λόγους ἀπαιτεῖν τὸν μαθηματικόν, καὶ τὸν τρόπον τῶν ἀποδείξεων οἰκεῖον ποιεῖσθαι. ὥσπερ οὖν τοῦ ῥητορι‐ κοῦ πιθανολογοῦντος ἀνεχόμεθα, οὕτω τὸν μαθηματι‐ κὸν ἀποδείξεις δεῖ ἀπαιτεῖν ἀναγκαίας. οὐ πανταχοῦ | |
| 40 | δὲ τὰς αὐτὰς ἀνάγκας δεῖ ζητεῖν οὐδ’ ὁμοίως τὴν αὐτὴν ἀκρίβειαν ἐν ἅπασιν, ἀλλ’ ὥσπερ τὰ κατὰ τὰς τέχνας ταῖς ὑποκειμέναις ὕλαις διαιροῦμεν, οὐχ ὁμοίως ἐν χρυσῷ καὶ καττιτέρῳ καὶ χαλκῷ ζητοῦντες τὸ ἀκριβές, οὐδὲ ἐν φελλῷ καὶ πύξῳ καὶ λωτῷ, τὸν | |
| 45 | αὐτὸν τρόπον καὶ ἐν ταῖς θεωρητικαῖς. εὐθὺς γὰρ ποιήσει τὰ ὑποκείμενα διαφοράς, ὅταν 〈τὰ μὲν〉 ἁπλού‐ στερα ᾖ τὰ δὲ ἐν συνθέσει μᾶλλον, καὶ τὰ μὲν ὅλως ἀκίνητα τὰ δὲ κινούμενα, οἷον τὰ ἐν ἀριθμοῖς καὶ ἐν ἁρμονίᾳ ἢ τὰ ἐν γεωμετρίᾳ καὶ ἀστρονομίᾳ, καὶ τῶν | |
Comm Math.27(50) | μὲν ὁ νοῦς ἡ ἀρχὴ τῶν δὲ ἡ διάνοια, ἐνίων δὲ καὶ ἀπὸ τῆς αἰσθήσεως μικραί τινες ἂν ὦσιν ἀφορμαί, καθάπερ τῶν οὐρανίων. οὐ γὰρ οἷόν τε τὰς αὐτὰς οὐδὲ τὰς ὁμοίας αἰτίας περὶ τῶν τοιούτων φέρειν, ἀλλ’ ὅσον αἱ ἀρχαὶ διαφέρουσι, τοσοῦτον καὶ τὰς ἀπο‐ | |
| 55 | δείξεις διαφέρειν· ἐν ἑκάσταις γὰρ συγγενὴς ὁ τρόπος. ἔτι δ’ ἐν μείζονι διαστάσει τούτων, ὅτι ἐπιζητοῦσιν οἱ μὲν ἔχοντες οἱ δὲ οὐκ ἔχοντες ἀρχάς· ὥστε οὐδ’ ἐνταῦθα ὁμοίας αἰτίας οὐδ’ ὁμοίους τοὺς λόγους ἀπο‐ | |
| δεικτέον. ἀνάγκη δὲ πρὸς ταῦτα γνωρίζειν τί ταὐτὸ | 86 | |
| 60 | καὶ ἕτερον ἔχουσι καὶ τί κατ’ ἀναλογίαν ταὐτόν, καὶ αἱ ποῖαι πλειόνων δέονται καὶ κατὰ ποίας πλείω τὰ ἀπορούμενα· σχεδὸν γὰρ τούτοις καὶ τοῖς τοιούτοις αἱ παραλλαγαὶ τῶν περὶ ἕκαστον ἀποδείξεων καὶ λόγων εἰσίν. οὐ μόνον δὲ πρὸς τὸ κρίνειν, ἀλλὰ καὶ πρὸς | |
| 65 | τὸ ζητεῖν ὡς δεῖ, συμβάλοιτ’ ἂν ἡ τοιαύτη θεωρία· διορισμὸν γὰρ ἔχουσα τῆς καθ’ ἕκαστον αἰτίας, οἰκείους ποιήσει λόγους, ὅπερ οὐ ῥᾴδιον μὴ συνεθι‐ σθέντα δρᾶν. ἡ γὰρ φύσις αὐτὴ καθ’ ἑαυτὴν ἐπὶ μὲν τὰς ἀρχὰς ὑφηγήσασθαι δύναται, κρῖναι δὲ ἕκαστα | |
| 70 | μὴ προσλαβοῦσα σύνεσιν ἑτέραν οὐκ αὐτάρκης. ἔτι διακριτέον εἰ πλείους αἰτίαι εἰσὶ περὶ ὧν δεῖ τὸν μαθηματικὸν λέγειν, ποία τε τούτων πρώτη καὶ δευ‐ τέρα πέφυκεν. ἐξεταστικὸς γὰρ καὶ τῶν ἀποδιδομένων αἰτίων ὁ πεπαιδευμένος μαθηματικῶς, καὶ τῆς τάξεως | |
| 75 | αὐτῶν θεωρητικός. Οὐ δεῖ δὲ λανθάνειν κἀκεῖνο, ὅτι πολλοὶ τῶν νεωτέρων Πυθαγορικῶν μόνα τὰ κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡσαύτως ἔχοντα τὰ ὑποκείμενα τοῖς μαθήμασιν ὑπε‐ λάμβανον, καὶ μόνας ταύτας ἀρχὰς ὑπετίθεντο· καὶ | |
| 80 | τὰς ἐπιστήμας οὖν κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον περὶ τῶν τοιούτων ἀφωρίζοντο καὶ τὰς ἀποδείξεις. ἐπεὶ δὲ ἡμεῖς ἔν τε τοῖς προάγουσι νυνὶ λόγοις καὶ ἐν τοῖς ὕστερον ῥηθησομένοις ἀποδείξομεν, ὅτι πολλαὶ οὐσίαι καὶ ἕτεραι ἀκίνητοι καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ ἔχουσαι, οὐ μόναι αἱ τῶν | |
| 85 | μαθημάτων, καὶ ὅτι πρεσβύτεραι καὶ τιμιώτεραι αὐτῶν εἰσιν ἐκεῖναι, ἀποδείξομεν δὲ καὶ ὅτι οὐ μόνον ἀρχαί εἰσιν αὗται αἱ μαθηματικαί, ἀλλὰ καὶ ἄλλαι, καὶ αἵ γε | |
| πρεσβύτεραι καὶ δυνατώτεραι αὐτῶν εἰσιν ἐκεῖναι, καὶ ὅτι οὐ πάντων τῶν ὄντων εἰσὶν ἀρχαὶ αἱ μαθηματι‐ | 87 | |
| 90 | καὶ ἀλλὰ τινῶν· διὰ δὴ ταῦτα διορισμὸν ἀπαιτεῖ νυνὶ ἡ μαθηματικὴ ἀπόδειξις, τῶν ποίων τινῶν κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡσαύτως ἐχόντων ἐστὶν ἀποδεικτική, καὶ ἐκ ποίων τινῶν ἀρχῶν συλλογίζεται, καὶ περὶ ποίων τινῶν προβλημάτων ποιεῖται τὰς ἀποδείξεις. ἡ γὰρ | |
| 95 | περὶ τούτων ἐπικρίνουσα παιδεία τήν τε ὀρθότητα καὶ τὸ τέλος ἀφορίζεται τῆς μαθηματικῆς, τήν τε ἐπίκρισιν αὐτῆς ποιεῖται δεόντως, καὶ τὸν τρόπον πῶς δεῖ ποι‐ εῖσθαι τὰς ζητήσεις καλῶς περιλαμβάνει. ὥστε καὶ περὶ τούτων ἡμῖν ταυτὶ διωρίσθω. | |
Comm Math.28 | Ἐπεὶ δὲ πολλάκις οὐκ ἔστι φανερὸν εἴτε μαθηματική ἐστιν εἴτε κατ’ ἄλλην ἐπιστήμην ἡ προ‐ κειμένη ζήτησις, ὅ τε τρόπος τῶν ἀποδείξεων ἀμφισβη‐ τεῖται ποῖός ἐστι μαθηματικός, δεῖ διευκρινῆσαι καὶ | |
| 5 | περὶ τούτων τὰ ποῖα προβλήματα καὶ τὰ πῶς ἀπο‐ δεικνύμενα μαθηματικὴν ἐμφαίνει μέθοδον. καθόλου μὲν οὖν δεῖ προειδέναι ὡς παράκεινται τῇ μαθηματικῇ θεωρίᾳ ἥ τε θεολογικὴ ἐπιστήμη καὶ ἡ φυσική, ὥστε καὶ αἱ ἀποδείξεις καὶ τὰ προβλήματα ἐπικοινωνεῖ τού‐ | |
| 10 | των τῶν ἐπιστημῶν πρὸς ἀλλήλας. ἔχει μὲν οὖν καὶ τἀληθὲς οὕτως ἡ τῆς γνώσεως συγγένεια περὶ τὰς διαφόρους γνωριστικὰς δυνάμεις συνάπτουσά τινα μίαν οἰκειότητα, ἔχει δὲ καὶ τὰ πράγματα σύνεγγύς πως ὄντα τὴν συνέχειαν τὴν κοινὴν τῶν ἐπιστημῶν πρὸς | |
| 15 | ἀλλήλας. οὐ μὴν ἀλλὰ οἵ γε Πυθαγόρειοι ἔτι μᾶλλον τὴν κοινωνίαν ταύτην συνάπτουσιν ἀδιαίρετον, πολλὰ μὲν περὶ τῶν νοητῶν εἰδῶν διὰ τῶν μαθημάτων παρα‐ διδόντες, πολλὰ δὲ περὶ τῆς φύσεως, πολλὰ δὲ καὶ περὶ τῶν ἠθῶν μαθηματικῶς ἀναδιδάσκοντες. δεῖ δ’ | |
| 20 | ὅμως διακρίνειν τὰ τρία γένη τῶν λόγων τούτων καὶ τὸ μαθηματικὸν διορίζειν κατ’ ἰδίαν, ὥστε πρὸς μηδὲν αὐτῶν συγκεχύσθαι. ἔστωσαν μὲν οὖν ἀκίνητοι καθ’ ἑαυτοὺς καὶ ἀνέλεγκτοι οἱ μαθηματικοὶ λόγοι τοῖς καθ’ αὑτὰ εἴδεσι καὶ γένεσι μαθηματικοῖς συνηρ‐ | 88 |
| 25 | μοσμένοι, οὐ κατὰ ἀφαίρεσιν ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν ταῦτα περιλαμβάνοντες, ἀλλ’ ὡρισμένως αὐτοῖς ἐπιβάλλον‐ τες, ἅτε δὴ καθ’ ἑαυτὰ ὑφεστηκόσιν, οὔτε κινήσεως ἐφαπτομένοις, οὔτε τῶν νοητῶν καὶ ἀμερίστων εἰδῶν ἢ τῶν νοήσεων εἰς ταυτότητα συνιοῦσι, κατὰ δὲ τὰ | |
| 30 | νοητὰ διεξιοῦσι καὶ τὰς διανοήσεις τὰς περὶ αὐτὰ συνισταμένας μέσον τέ τινα τρόπον τοῦτον μετα‐ χειριζομένοις γνώσεως. ἡ γὰρ τοιαύτη μέθοδος τῶν λόγων καὶ τῶν ἀποδείξεων μαθηματική τέ ἐστι καὶ πολὺ κεχωρισμένη τῶν παρὰ τοῖς ἄλλοις ἐπιστήμοσι | |
| 35 | λόγων. | |
Comm Math.29 | Ἕπεται δὲ τοῖς τοιούτοις προβλήμασι κἀκεῖνο συνεπισκέψασθαι, πῶς χρῆται διαιρέσει καὶ ὁρισμῷ καὶ συλλογισμοῖς ἡ μαθηματικὴ ἐπιστήμη, εἴπερ δεχομένη παρὰ διαλεκτικῆς τὴν μάθησιν αὐτῶν, ἢ καὶ | |
| 5 | αὐτὴ ἀφ’ ἑαυτῆς ἐνεργοῦσα περὶ ταῦτα. εἰ μὲν δὴ παραλαμβάνει ταῦτα ἀπὸ τῆς περὶ τὸν λόγον θεωρίας, πολλῶν ἔσται ἐπιδεὴς καὶ τῆς οἰκείας γνώσεως τὰς ἀρχὰς ἑτέρωθεν μεταλαμβάνει· εἰ δὲ τὸ τοιοῦτον ἄλλῃ τινὶ μᾶλλον ἢ τῇ μαθηματικῇ ἀκριβείᾳ προσήκει, δεῖ | |
| 10 | νοεῖν τὰ τρία ταῦτα, οἷον διαίρεσιν, ὁρισμόν, συλλο‐ γισμόν, ἄλλα μὲν ὄντα ἐν διαλεκτικῇ, ἄλλα δὲ ἐν τῇ μαθηματικῇ, κατὰ τὸ οἰκεῖον δὲ γένος ἑκατέρων διω‐ ρισμένα ἐφ’ ἑκατέρων. τὰ μὲν οὖν τῆς διαλεκτικῆς | |
| μείζονά τέ ἐστι θεωρήματα καὶ οὐ πρόκειται νυνὶ | 89 | |
| 15 | διεξιέναι, τὰ δὲ τῆς μαθηματικῆς οἰκεῖα αὐτῇ μόνῃ διαφέρει τῇ μαθηματικῇ. ἀφ’ ἑαυτῆς οὖν εὑρίσκει τε αὐτὰ καὶ τελειοῖ καὶ ἐξεργάζεται, τά τε οἰκεῖα αὑτῇ καλῶς οἶδε δοκιμάζειν, καὶ οὐ δεῖται ἄλλης ἐπιστήμης πρὸς τὴν οἰκεῖαν θεωρίαν. οὐ γὰρ τὸ ἁπλῶς καθάπερ | |
| 20 | ἡ διαλεκτική, ἀλλὰ τὰ ὑφ’ ἑαυτὴν διαγινώσκει, οἰκείως τε αὐτὰ θεωρεῖ καθόσον αὑτῇ ὑπόκειται, καὶ περὶ αὐτῶν ποιεῖται τοὺς ἀκριβεῖς διορισμούς, κριτήριά τε οἷς δεῖ δοκιμάζεσθαι αὐτὰ ἔχει παρ’ αὑτῇ, καὶ τρό‐ πους τῶν ἀποδείξεων πλείονας ποιεῖται, καὶ τούτων | |
| 25 | διαιρεῖ τούς τε βελτίονας καὶ ἀληθινούς, ὅσοι τέ εἰσιν ἀμφίβολοι καὶ δεόμενοι πλείονος ἐπιστάσεως. ἤδη δὲ καὶ διττὴν ποιεῖται πραγματείαν· τὴν μὲν πρὸς εὕρεσιν συντείνουσαν, τὴν δὲ πρὸς κρίσιν. κριτικὴ δέ ἐστι καὶ εὑρετικὴ κατὰ τὸν ἴδιον τῆς οἰκείας τέχνης λόγον, | |
| 30 | οὐ κατὰ τὸν ἁπλῶς θεωρητικὸν νοῦν. δύναται οὖν διακρίνειν κατὰ τοῦτον πῶς μὲν δεῖ διαιρεῖν τὰ ἐν μαθηματικῇ εἴδη, τίνες δέ εἰσιν αἱ διαιροῦσαι αὐτὰ οἰκείως διαφοραί, τίνες δέ εἰσιν οἱ ὅροι οἱ ἐν τῇ μαθηματικῇ, καὶ πῶς δεῖ συνάγειν αὐτοὺς ἀπὸ τῶν | |
| 35 | μαθηματικῶν διαιρέσεων, πῶς δὲ γίγνεται μαθηματικὸς συλλογισμός, καὶ κατὰ πόσους διορισμοὺς τὸ ἀκριβὲς λαμβάνει, καὶ πότε δυνατός ἐστι καὶ πότε ἀδύνατος, καὶ ποσαχῶς ἔχει τὸ ἀναγκαῖον. ἡ γὰρ ἐν τούτοις πᾶσιν οἰκεία αὐτῆς εὕρεσις καὶ χρῆσις καὶ κρίσις | |
| 40 | οὐδεμιᾶς ἐπεισάκτου δεῖται παρασκευῆς, ὡς ἔνιοι νο‐ μίζουσιν. | |
Comm Math.30 | Ὅτι δὲ καὶ πρὸς πᾶσαν φιλοσοφίαν καὶ | |
| τὰ ὅλα μέρη αὐτῆς πολλὰς καὶ μεγάλας χρείας ἡ μαθηματικὴ συμβάλλεται, ὑπουργοῦσα τῇ θέᾳ τῶν ὄντων καὶ κατ’ ἴχνος αὐτῇ συνεπομένη, ῥᾴδιον ἐν‐ | 90 | |
| 5 | τεῦθεν καταμαθεῖν. οὐκ ἔστιν ἡ τῶν Πυθαγορείων μαθηματικὴ τοιαύτη, ὁποίαν οἱ πολλοὶ ἐπιτηδεύουσιν. ἐκείνη μέν γε τεχνικὴ τὸ πλέον ἐστὶ καὶ σκοπὸν οὐκ ἔχουσα ἕνα οὐδὲ τοῦ καλοῦ καὶ ἀγαθοῦ στοχαζομένη, ἡ δὲ τῶν Πυθαγορείων θεωρητική τέ ἐστι διαφερόν‐ | |
| 10 | τως, καὶ πρὸς τέλος ἓν ἀναφέρει τὰ ἑαυτῆς θεωρή‐ ματα, τῷ καλῷ τε καὶ ἀγαθῷ προσοικειοῖ πάντας τοὺς οἰκείους λόγους, καὶ πρὸς τὸ ὂν αὐτοῖς ἀναγωγοῖς χρῆται. ἀπὸ δὴ τῆς τοιαύτης ἀφορμῆς ὁρμωμένη διαστέλλει παρ’ ἑαυτῇ καλῶς, τίνες μὲν θεωρίαι τῶν | |
| 15 | παρ’ ἑαυτὴν πρὸς θεολογίαν εἰσὶν ἁρμόζουσαι, τάξεώς τε καὶ μέτρων θείων δυνάμεναι μετέχειν, καὶ ταύτας ἀπονέμει τῷ τοιούτῳ μέρει τῆς φιλοσοφίας, τίνες δὲ τῇ τοῦ ὄντος θήρᾳ προσήκουσι πρός τε οἰκείωσιν καὶ συμμετρίαν καὶ περιαγωγήν, καὶ δὴ καὶ τῷ τοιούτῳ | |
| 20 | μέρει ἀποδίδωσι τὰ τοιαῦτα θεωρήματα. οὐ διαλαν‐ θάνει δὲ αὐτὴν οὐδ’ εἴ τινες πρὸς τὴν τοῦ λόγου ἀκρίβειαν ἐπιστημονικῶς συναίρονται, εἴς τε τὸ συλ‐ λογίζεσθαι καὶ ἀποδεικνύναι καὶ ὁρίζεσθαι καλῶς ὁδη‐ γοῦσαι, τά τε ψευδῆ διελέγχουσαι καὶ τὰ ἀληθῆ ἀπὸ | |
| 25 | τῶν ψευδῶν διακρίνουσαι. οὐ μὴν ἀγνοεῖ οὐδὲ τῆς περὶ φύσιν ἱστορίας τὴν ἐπιβάλλουσαν ἁρμονίαν, πῶς τε συνίσταται καὶ πῶς ἐστι χρήσιμος πῶς τε τὰ ἐλλείποντα τῇ φύσει ἀναπληροῖ, καὶ πῶς τὴν ἐπίκρισιν αὐτῶν ποιεῖται. ἔτι τοίνυν πρὸς πολιτείας | |
| 30 | κάτεισι καὶ ἠθῶν κατασκευὴν βίου τε ὀρθότητα καὶ | |
| οἴκου καὶ πόλεων τοὺς οἰκείους ὅρους τῶν μαθημάτων ἀνευρίσκει, καὶ χρῆται αὐτοῖς δεόντως ἕνεκα τοῦ βελ‐ τίστου καὶ πρὸς ἐπανόρθωσιν καὶ παιδείαν τὴν ἀρί‐ στην, εὐμετρίαν τε τὴν ἐπιβάλλουσαν, καὶ φυλακὴν | 91 | |
| 35 | μὲν τῶν αἰσχρῶν, τῶν δὲ καλῶν κτῆσιν, κοινῶς τε οὑτωσὶ κατὰ πάντα τὰ μαθήματα καὶ καθ’ ἕκαστον αὐτῶν οἰκείως συναιρουμένη. καὶ μὴν πρός γε τὰ κατὰ φύσιν ἀγαθὰ καὶ πρὸς τὰ τῶν τεχνῶν πλεονεκτή‐ ματα τὰ μὲν εὑροῦσα, τὰ δὲ ὡς πάρεργα καταδείξασα | |
| 40 | ἐν προσθήκης τε μέρει συγκατασκευάσασα, ἔργα τε ἀφ’ ἑαυτῆς παρασχομένη καὶ μόρια ἐνίοις ἐνδοῦσα, ἐτελεώσατο τὴν ἀνθρωπίνην ζωήν, ὥστ’ εἶναι αὐτάρκη ἑαυτῇ καὶ μηδενὸς ἐπιδεῖν ὧν βίος δεῖται. ὥστ’ εἰ‐ κότως ἂν τὴν ὑπὸ τῶν Πυθαγορείων ἐπιτηδευομένην | |
| 45 | μαθηματικὴν συναρμόζοιμεν ἂν φιλοσοφίᾳ, ὡς οἰκείαν καὶ πρόσφορον αὐτῇ ὑπάρχουσαν. | |
Comm Math.31 | Τοιαύτην δὲ αὐτὴν ὑπάρχουσαν κατὰ πολλὰς ὁδοὺς εὑρίσκομεν χρωμένην τῇ περὶ τὰ πράγ‐ ματα ἐπιστήμῃ. καὶ γὰρ τοῖς αὐτοῖς μαθήμασι πολ‐ λάκις ἐπὶ πολλὰ πράγματα χρῆται, ἤτοι φυσικὰ ἢ | |
| 5 | θεολογικά, ἢ ἐπὶ τὴν γένεσιν ἢ ἐπὶ τὰ στοιχεῖα ἢ ὅσα γενεσιουργίας ἔχεται ἢ ἐπὶ τὰ σύνθετα ἢ ἐπὶ τὰ ἁπλᾶ, οἷον τοῖς ἀριθμοῖς πρὸς πάντα ταῦτα χρῆται καὶ ταῖς ἁρμονίαις καὶ τοῖς σχήμασι καὶ τοῖς ἄλλοις τοῖς τοιούτοις· ἐνίοτε δὲ πλείονα ἅμα τοῦ αὐτοῦ δηλω‐ | |
| 10 | τικὰ συμπαραλαμβάνει, οἷον τῆς ψυχῆς ἀριθμούς, ἁρμονίας, σχήματα, ἄλλ’ ἄττα μαθηματικά. αἴτιον δὲ τοῦ μὲν προτέρου τὸ πολυειδεῖς εἶναι τὰς φύσεις | |
| ἑκάστου τῶν μαθημάτων καὶ ἑκάστης μαθηματικῆς οὐσίας (διὰ γὰρ τοῦτο τοῖς αὐτοῖς ἐπὶ πολλὰ χρώμεθα, | 92 | |
| 15 | οἷον τοῖς ἀριθμοῖς ἐπὶ τὰ θεολογικὰ καὶ τὰ φυσικά), τοῦ δὲ δευτέρου αἴτιόν ἐστι τὸ συγκεκρᾶσθαί τινα τῶν ὄντων ἀπὸ πολλῶν οὐσιῶν καὶ τὸ μέσα εἶναι πλειόνων ἄκρων. διὰ γὰρ τοῦτο ἡ ψυχὴ καὶ αἱ μέσαι φύσεις πᾶσαι πλείοσι μαθήμασιν ἀναδιδάσκονται, ὡς | |
| 20 | πρὸς πλείονας μαθηματικὰς οὐσίας ἐφαρμόζειν δυνά‐ μεναι καὶ ἀπὸ πλειόνων παραλαμβάνουσαι τὴν βεβαίω‐ σιν τοῦ εἶναι. ταῦτα μὲν οὖν τοιοῦτόν τινα ἂν ἔχοι λόγον. | |
Comm Math.32 | Ἔθος δ’ ἐστὶ τῇ μαθηματικῇ θεωρίᾳ καὶ περὶ αἰσθητῶν ἐνίοτε μαθηματικῶς ἐπιχειρεῖν, οἷον περὶ τῶν τεττάρων στοιχείων γεωμετρικῶς ἢ ἀριθμη‐ τικῶς ἢ ἁρμονικῶς, καὶ περὶ τῶν ἄλλων ὡσαύτως. | |
| 5 | ἐπεὶ γὰρ προτέρα ἐστὶ τῇ φύσει ἡ μαθηματικὴ θεωρία καὶ ἀπὸ προτέρων τῶν κατὰ φύσιν ὄντων ὁρμᾶται, διὰ τοῦτο καὶ τοὺς συλλογισμοὺς ποιεῖται ὡς ἐκ προ‐ τέρων αἰτίων ἀποδεικτικούς. πλειοναχῶς δὲ τοῦτο ποιεῖ· ἢ κατὰ ἀφαίρεσιν, ὅταν τὰ ἔνυλα εἴδη ἀφελοῦσα | |
| 10 | ἀπὸ τῆς ὕλης ἐπισκοπῇ μαθηματικῶς· ἢ κατὰ ἐφαρ‐ μογήν, ὅταν τοὺς λόγους τοὺς μαθηματικοὺς ἐπάγῃ τοῖς φυσικοῖς καὶ συνάπτῃ· ἢ κατὰ τελείωσιν, ὅταν ἀτελῆ ὄντα τὰ εἴδη τὰ σωματοειδῆ προστιθεῖσα τὸ ἐλλεῖπον ἀναπληρώσῃ· ἢ κατὰ ἀπεικασίαν, ὅταν τὰ | |
| 15 | ἴσα καὶ σύμμετρα τὰ ἐν τῇ γενέσει κατὰ τί μάλιστα ἀφωμοίωται τοῖς μαθηματικοῖς εἴδεσιν ἐπιβλέπῃ· ἢ κατὰ μετοχήν, ὅταν τῶν καθαρῶν λόγων οἱ ἐν ἄλλοις | |
| ὄντες λόγοι κατὰ τί μετέχουσιν ἐπισκοπῶμεν· ἢ κατὰ ἔμφασιν, ἡνίκα ἂν ἀμυδρὸν ἴχνος τοῦ μαθηματικοῦ | 93 | |
| 20 | ἐμφανταζόμενον περὶ τὰ αἰσθητὰ θεωρῶμεν· ἢ κατὰ διαίρεσιν, ὅταν τὸ ἓν καὶ ἀμέριστον μαθηματικὸν εἶδος μεριζόμενον περὶ τὰ καθ’ ἕκαστον καὶ πληθυνόμενον κατανοήσωμεν· ἢ κατὰ παραβολήν, ὅταν παρ’ ἄλληλα συνεπισκοπῶμεν τὰ καθαρὰ τῶν μαθημάτων εἴδη καὶ | |
| 25 | τὰ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς· ἢ κατὰ τὴν αἰτίαν τὴν ἀπὸ τῶν προτέρων, ὅταν αἴτια προστησάμενοι τὰ μαθηματικὰ συνεπισκοπῶμεν πῶς ἀπ’ αὐτῶν γίνεται τὰ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς. οὕτω γὰρ οἶμαι περὶ πάντων τῶν ἐν τῇ φύσει καὶ τῶν ἐν τῇ γενέσει μαθηματικῶς ἐπιχειροῦ‐ | |
| 30 | μεν. ἀφ’ ἧς δὴ αἰτίας πολλὰ τῶν ἐν τοῖς μαθήμασιν οὐ μένει ἐπὶ τῶν μαθημάτων, ἀλλὰ ἕλκεται ἐπὶ τὰ καταδεέστερα αὐτῶν, ἤτοι διὰ τὴν τῶν χρωμένων προαίρεσιν, ἢ καὶ διὰ τὴν τῶν πραγμάτων τῶν αἰσθη‐ τῶν πρὸς αὐτὰ συγγένειαν. ἐνίοτε δὲ καὶ ἐπὶ τὰ | |
| 35 | μείζονα ἀνάγεται ἡ ἀπὸ τῶν μαθημάτων ἀφορμή, καὶ ἐπὶ πάντα τὰ ἄλλα πράγματα, ἐπειδὴ εὐφυής ἐστιν ἡ ἀσώματος οὐσία προσοικειοῦσθαι ταῖς καθαραῖς οὐ‐ σίαις τῶν ὄντων, καὶ διότι τὰ μαθήματα πᾶσιν ἀφο‐ μοιοῦσθαι πέφυκεν. τοσαῦτα δὴ καὶ περὶ τούτων. | |
Comm Math.33 | Ἐπεὶ δὲ τὸ κοινὸν τῆς ὅλης μαθηματι‐ κῆς ἐπιστήμης γένος κυριώτατόν ἐστιν εἰς ἐπιστήμην τῆς παρούσης θεωρίας, δεῖ μάλιστα τοῦτο κατιδεῖν, κατὰ τί ἔχει τὸ κοινὸν ἡ πᾶσα μαθηματική. ἐὰν γὰρ | |
| 5 | τοῦ τὸ ἓν αὐτῆς κατίδωμεν γένος καὶ τὴν κοινὴν οὐ‐ σίαν γνῶμεν αὐτῆς, τελεωτάτην ἕξομεν περὶ αὐτῆς | |
| εἴδησιν. ἤδη μὲν οὖν καὶ ἐν ἀρχῇ περὶ τούτου προ‐ διεσκεψάμεθα, πλὴν δεῖ γε καὶ κορυφὴν ἐπιτιθέναι ἐπὶ τῷ τέλει τὴν αὐτὴν τῇ προκαταβληθείσῃ ἀρχῇ. | 94 | |
| 10 | καὶ νῦν οὖν πάλιν ἐπαναλάβωμεν τὸν περὶ τοῦ ἑνὸς γένους τῆς μαθηματικῆς θεωρίας λόγον. Φημὶ δὴ οὖν ὡς τὸ μέσον ἁπλῶς οὑτωσὶ τῶν τε νοητῶν καὶ αἰσθητῶν εἰδῶν κοινόν ἐστι γένος ταύτης τῆς ἐπιστήμης, τὸ περιέχον ἐν ἑαυτῷ πάντα ὁπόσα ἐστὶ καὶ | |
| 15 | ὁποῖα διάφορα εἴδη, μετέχον μὲν τῶν τοῦ ὄντος γενῶν πρώτως, συνειληφὸς δὲ ἐν ἑαυτῷ τὰ τῶν αἰσθητῶν γένη, καθαρότητι δὲ καὶ ἀκριβείᾳ καὶ λεπτότητι καὶ ἀσωματίᾳ παντελῶς αὐτῶν προέχον, δυνάμεις δὲ περιέχον ἐν ἑαυτῷ παντοίας, τὰς μὲν ἐπὶ τὰ ὄντα | |
| 20 | ἀναγούσας τὰς δὲ ἐπὶ τὴν γένεσιν ἐπιρρεπούσας, καὶ γνώσεις ὡσαύτως. τοῦτο δὲ τοιοῦτον ἓν τιθέμενοι τὰς διαφορὰς αὐτοῦ νοήσωμεν κατὰ τὰς διχοτομίας τῆς μέσης ταύτης φύσεως, ὧν τὴν μὲν ἐχομένην τοῦ ὄντος ἀφορισώμεθα, τὴν δὲ τῶν αἰσθητῶν ἀντιλαμβα‐ | |
| 25 | νομένην καὶ πρὸ αὐτῶν ἑστηκυῖαν· πάλιν δὲ καθ’ ἑκάτερον τούτων τῶν εἰδῶν ἄλλους καὶ ἄλλους ὅρους λαμβάνοντες, τὸ μέσον διαφόρως τῶν μαθημάτων ληψόμεθα ἢ κατὰ τὸ ποσὸν ἢ κατ’ ἄλλο τι γένος τού‐ του διακρίνοντες. καὶ ἡ ἀπόστασις δὲ ἀπὸ τοῦ ὄντος | |
| 30 | ἢ πορρωτέρω οὖσα ἢ ἐγγὺς παρέξει τὸ διάφορον τοῖς μαθήμασιν. ἔτι δὲ ἡ προήγησις τῶν ἐν τῇ συστάσει τοῦ παντός, πρώτη οὖσα ἢ δευτέρα, καὶ αὐτὴ ἐμποιεῖ τινας διαφορὰς τῶν μαθημάτων. τὴν δὲ τάξιν αὐτῶν ἢ κατὰ τὸ ἐφεξῆς ἢ κατὰ τὸ συνεχὲς ἢ κατὰ τὸ ἐχό‐ | |
| 35 | μενον ἢ κατ’ ἄλλην συνέχειαν ἀνευρίσκειν ὀφείλομεν. ταύτῃ δὲ τῇ ἀφ’ ἑνὸς προϊούσῃ καὶ πληθυομένῃ συστάσει καὶ τῇ ἐφ’ ἓν ἀναγομένῃ συντάξει διακρί‐ νομεν, διακρίνοντές τε ὡσαύτως συνάπτομεν. καὶ οὕ‐ τως ἡμῖν ἡ κοινὴ τῶν μαθημάτων οὐσία κοινῶς τε | 95 |
| 40 | περιληφθήσεται τῷ λογισμῷ καὶ διαιρεθήσεται καὶ ἀπὸ τῶν πολλῶν πάλιν ἀναχθήσεται ἐπὶ τὸ ἓν γένος τῆς μαθηματικῆς οὐσίας· ὃ δὴ καὶ τέλος ἐστὶ τῆς διαιρετικῆς καὶ ὁριστικῆς μαθηματικῆς ἐπιστήμης. | |
Comm Math.34 | Ὠνόμασται δὲ ἡ τῶν μαθημάτων ἐπι‐ στήμη, ἐπειδὴ ἀπὸ τῆς περὶ τῶν νοητῶν νοήσεως κάτεισί τις εἰς αὐτὴν μάθησις, καὶ ἔστι πρὸς αὐτὴν οἰκεία αὕτη ἡ θεωρία, περὶ ἃ δὲ νόησίς ἐστι καὶ ἐπι‐ | |
| 5 | στήμη, περὶ ταῦτα καὶ μάθησις παραγίγνεται, καὶ ταῦτα ἂν εἴη μόνα τῶν ἄλλων μαθητά, διὸ καὶ μαθή‐ ματα προσηγόρευται. ἐδόκει δὲ τοῖς Πυθαγορείοις ὥσπερ οἰκεῖά τινα ὄργανα πεπορίσθαι ταυτὶ τὰ μαθή‐ ματα πρὸς τὸ ἀναπτύξαι τὴν τῶν ὄντων φύσιν, καὶ | |
| 10 | πᾶσαν ἀφελεῖν τὴν ἀχλὺν τὴν ἐπισκοτοῦσαν τοῖς πράγμασιν, ὥστε εἰλικρινῶς τὴν ἀλήθειαν αὐτὴν θεᾶ‐ σθαι· ἔτι δὲ καὶ τῆς περὶ τὰ ἤθη ὁμολογίας συνεξευ‐ πορήσειν τὴν αἰτίαν τὴν τοιαύτην μάθησιν, ἀγαθοῦ τε καὶ κακοῦ τὴν φύσιν συναποκαλύψειν φιλοσοφίᾳ προσ‐ | |
| 15 | αρωγὸν γιγνομένην, τῆς τε περὶ τὸν κόσμον τάξεως καὶ τῆς περὶ τὸν οὐρανὸν ἐγκυκλίου φορᾶς τὴν συμμετρίαν δι’ αὐτῆς θεωρεῖσθαι. διόπερ ἐνόμιζον χωρὶς αὐτῆς μὴ οἷόν τε εἶναι φιλοσοφῆσαι. ἔτι τοίνυν πολλά, ὥσπερ διὰ κατόπτρων φανότητι διαφερόντων, θηρᾷ | |
| 20 | εἴδωλα τῶν τῆς φύσεως ἔργων, ὅπερ μαθηματικὸν μέρος τῆς φιλοσοφίας ὠνόμαζον, καὶ τοὺς ἐμπείρους τῶν τοιῶνδε λόγων μαθηματικοὺς ἀπέφαινον. ἐνόμιζον δὲ καὶ κάλλιστα παραδείγματα εἶναι τὰ ἐν τοῖς μαθή‐ μασι τῶν τῇδε, διότι πρὸς νόησιν ἐστάθμηται ταῦτα | 96 |
| 25 | μόνιμά τε ὄντα καὶ ἀκίνητα καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ ἀεὶ ὡσαύτως ἔχοντα, πρὸς ἅπερ ἀποβλέπων τις καὶ μιμού‐ μενος ἀπεργάζοιτο ἂν ἕκαστα τά τε σταθηρὰ καὶ βέβαια ἔργα. ἔχει δὲ ὁ μαθηματικὸς λόγος καὶ τὸ καθαρὸν καὶ ἐπιστημονικὸν καὶ ἀνέλεγκτον. πρότερός τε εἶναι | |
| 30 | δοκεῖ τοῖς παλαιοῖς ὁ μαθηματικὸς τοῦ φυσικοῦ καὶ ἀρχηγικώτερος· ἐκ γὰρ τούτου ἐκκρέμασθαι ὑπελάμβανε τὴν τῶν ἄλλων εἰλικρινῆ νόησιν. χαρακτὴρ μὲν οὖν οὗτός ἐστι τοῦ μαθηματικοῦ λόγου. προσέχειν δὲ δεῖ ἐν τῷ τὸ εἶδος αὐτοῦ ἐπικρίνειν τῇ ἀκριβείᾳ καὶ τῇ | |
| 35 | ἀνελέγκτῳ γνώσει καὶ τῇ ὀρθότητι τῶν λόγων καὶ τῇ συμφωνίᾳ πρὸς τὰ ὄντα· μετὰ γὰρ τούτων τὸ εἶδος αὐτοῦ ἄριστα διαφαίνεται. ἔστω δὴ καὶ ταῦτα τὰ ἡμῖν προσκείμενα μετὰ τῶν ἔμπροσθεν περὶ τούτων διωρισμένων. | |
Comm Math.35 | Ἐπειδὴ τοίνυν ἀπετελέσαμεν τὴν κοινὴν περὶ τῶν μαθημάτων θεωρίαν, καιρός ἐστιν ἤδη συνα‐ γαγεῖν ὑπὸ μίαν σύνοψιν τὰ ὅλα περὶ αὐτῶν κεφάλαια. πρῶτα μὲν οὖν τὰ τῶν σκοπῶν καὶ τὰ περὶ τῆς ὅλης | |
| 5 | ἐπιστήμης τῆς μαθηματικῆς, εἶτα περὶ ἀρχῶν τῶν τε κοινῶν καὶ τῶν ἰδίων, ἐπὶ τούτοις περὶ τῶν ὑποκει‐ | |
| μένων τοῖς μαθήμασιν ἐποιησάμεθα λόγον, εἶτα περὶ τῆς ἀρίστης αὐτῶν χρήσεως καὶ τῶν ἐν αὐτοῖς ἐπιστη‐ τῶν καὶ περί τε τῶν καθ’ αὑτὰ κριτηρίων καὶ περὶ | 97 | |
| 10 | τῆς ὡρισμένης αὐτῶν οὐσίας ποσαχῶς αὕτη θεωρεῖται, τί τε τὸ ἔργον τῆς μαθηματικῆς θεωρίας καὶ τίνες αἱ δυνάμεις αὐτῆς καὶ τίνα τὰ στοιχεῖα, τά τε κοινὰ καὶ τὰ ἴδια, καὶ πῶς ταῦτα πάντα ἐπικοινωνεῖ πρὸς φιλο‐ σοφίαν, καὶ πόσα ταῖς τέχναις συμβάλλεται, καὶ τίνα | |
| 15 | τάξιν ἔχει τῆς εἰς παιδείαν ἀγωγῆς, τίνες τε οἱ ἴδιοι τρόποι τῆς Πυθαγορικῆς παραδόσεως τῶν μαθημάτων, καὶ τίς ἡ διαίρεσις κατὰ τοὺς Πυθαγορείους τῆς ὅλης μαθηματικῆς ἐπιστήμης, καὶ τίς ἡ ὁριστικὴ μαθημα‐ τική, καὶ τίνα ἐξαίρετα κατὰ Πυθαγόραν τῆς θεωρίας | |
| 20 | ταύτης, τίς τε ἡ ἰδιάζουσα αὐτῆς κατ’ αὐτὸν μελέτη, καὶ ὅτι οὐκ εἰκῇ αὐτὰ οἱ Πυθαγόρειοι προήγαγον ἐπὶ πλεῖστον, τίς τε ἦν ἡ συνήθεια αὐτῶν τῆς ἐν τοῖς μαθήμασι διατριβῆς καὶ τίνες ἦσαν οἱ μαθηματικοὶ παρ’ αὐτοῖς, ἀντιλήψεις τε τῶν μαθημάτων καὶ ἀντι‐ | |
| 25 | λογίαι πρὸς αὐτὰς καὶ ἀντιδιατάξεις, καὶ τί δεῖ ἀπαι‐ τεῖν παρὰ τοῦ μαθηματικοῦ τὸν ὄντως πεπαιδευμένον, διάκρισίς τε τῶν ἐν αὐτῇ προβλημάτων καὶ τοῦ τρό‐ που τῶν ἀποδείξεων, περὶ συλλογισμῶν τε καὶ διαι‐ ρέσεων καὶ ὁρισμῶν μαθηματικῶν, τίς τε ἡ κοινωνία | |
| 30 | φιλοσοφίᾳ πρὸς τὴν Πυθαγόρειον ἣν ἐν τοῖς μαθή‐ μασιν ἐχρῶντο οἱ Πυθαγόρειοι, τί τε τὸ κοινὸν καὶ ἴδιον τῆς μαθηματικῆς ἐπιστήμης καὶ πόσας ἔχει διαι‐ ρέσεις καὶ πῶς τεταγμένας, ἐπὶ τέλει τε περὶ τοῦ ὀνόματος εἴρηται τῆς μαθηματικῆς καὶ τῶν τούτῳ | |
| 35 | συνεπομένων. τοσαῦτα περὶ τοῦ κοινοῦ λόγου τῶν μαθημάτων καὶ τῶν μαθηματικῶν ἐπιστημῶν κεφάλαια ἐπεσκεψάμεθα, καὶ οἶμαι αὐτὰ συμμέτρως ἔχειν· εἰ δέ πού τινα παραλέλειπται, ῥᾳδίαν ἀπὸ τῶν εἰρημένων | 98 |
| καὶ ταῦτα λήψεται τὴν διάγνωσιν. | 99 | |