TLG 1799 016 :: EUCLIDES :: Fragmenta

EUCLIDES Geom.
(Alexandrinus: 3 B.C.)

Scholia: Cf. SCHOLIA IN EUCLIDEM (5022)

Fragmenta

Source: Heiberg, J.L. (ed.), Euclidis opera omnia, vol. 8. Leipzig: Teubner, 1916: 227, 236–284.

Citation: Page — (line)

227

(1t)

Περὶ διαιρέσεων.
2 Proclus Comm. in Eucl. p. 68, 23 sqq. (ed. Friedlein): Πολλὰ μὲν οὖν καὶ ἄλλα τοῦ ἀνδρὸς τούτου [Euclidis] μαθηματικὰ συγγράμματα θαυμαστῆς ἀκριβείας καὶ ἐπι‐
5στημονικῆς θεωρίας μεστά· τοιαῦτα γὰρ καὶ τὰ Ὀπτικὰ καὶ τὰ Κατοπτρικά, τοιαῦται δὲ καὶ αἱ κατὰ μουσικὴν στοιχειώσεις, ἔτι δὲ τὸ Περὶ διαιρέσεων βιβλίον. Idem ibid. p. 144, 18 sqq.: δεύτερον δὲ ἀπὸ τῆς ὁλότη‐ τος τελειοῦται [sc. ὁ τοῦ σχήματος λόγος] τῆς εἰς τὰ
10ἀνόμοια μέρη διακρινομένης, ὅθεν δὴ καὶ αὐτὸς ἑκάστῳ τῶν εἰδῶν ἐπιφέρει τὸ ὅλον, καὶ τῶν σχημάτων ἕκαστον εἰς διάφορα αὐτῶν εἴδη τέμνεται. καὶ γὰρ ὁ κύκλος εἰς ἀνόμοια τῷ λόγῳ καὶ ἕκαστον τῶν εὐθυγράμμων διαι‐ ρετόν ἐστιν, ὃ καὶ αὐτὸς ὁ Στοιχειωτὴς ἐν ταῖς Διαι‐
15ρέσεσι πραγματεύεται τὸ μὲν εἰς ὅμοια τὰ δοθέντα σχή‐
ματα διαιρῶν, τὸ δὲ εἰς ἀνόμοια.227

236

(1t)

Ψευδάρια.
2 Proclus Comm. in Eucl. p. 70, 1 sqq. (ed. Fried‐ lein): Ἐπειδὴ δὲ πολλὰ φαντάζεται μὲν ὡς τῆς ἀληθείας ἀντεχόμενα καὶ ταῖς ἐπιστημονικαῖς ἀρχαῖς ἀκολου‐
5θοῦντα, φέρεται δὲ εἰς τὴν ἀπὸ τῶν ἀρχῶν πλάνην καὶ τοὺς ἐπιπολαιοτέρους ἐξαπατᾷ, μεθόδους παραδέδωκεν [sc. Euclides] καὶ τῆς τούτων διορατικῆς φρονήσεως, ἃς ἔχοντες γυμνάζειν μὲν δυνησόμεθα τοὺς ἀρχομένους τῆς θεωρίας ταύτης πρὸς τὴν εὕρεσιν τῶν παραλογισ‐
10μῶν, ἀνεξαπάτητοι δὲ διαμένειν. καὶ τοῦτο δὴ τὸ σύγ‐ γραμμα, δι’ οὗ τὴν παρασκευὴν ἡμῖν ταύτην ἐντίθησι, Ψευδαρίων ἐπέγραψεν τρόπους τε αὐτῶν ποικίλους ἐν τάξει διαριθμησάμενος καὶ καθ’ ἕκαστον γυμνάσας ἡμῶν τὴν διάνοιαν παντοίοις θεωρήμασι καὶ τῷ ψεύδει τὸ
15ἀληθὲς παραθεὶς καὶ τῇ πείρᾳ τὸν ἔλεγχον τῆς ἀπάτης συναρμόσας. τοῦτο μὲν οὖν τὸ βιβλίον καθαρτικόν ἐστι καὶ γυμναστικόν. Cfr. Pseudo—Alexander siue Michael Ephesius in Aristot. Soph. Elenchos p. 76, 20 (ed. Wallies): Οὐ
20μόνον δὲ τοὺς μὴ ἀπὸ τῶν ἀρχῶν ὡρμημένους τῆς ἐπιστήμης, ὑφ’ ἥν ἐστι τὸ πρόβλημα, δοκοῦντας δὲ εἶναι, ψευδεῖς ἐλέγχους φησίν, ἀλλὰ καὶ τοὺς ἐκ τῶν οἰκείων μὲν τῆς ἐπιστήμης ἀρχῶν, κατά τι δὲ παραλογιζομένους, οἷά εἰσι τὰ τοῦ Εὐκλείδου ψευδογραφήματα. Scholia
25in Platonis Theaet. 191 b (p. 248 ed. Hermann): ἐπειδὰν ἡμᾶς ἐρωτᾷ περὶ τῶν ἔξω τῆς αἰσθήσεως, εἰ δυνατὸν συστῆναι ψευδοδοξίαν, οἷον ἐπὶ τῶν παρὰ τοῖς γεωμέ‐ τραις καλουμένων ψευδαρίων. οὐ γὰρ διὰ μῖξιν αἰ‐
σθήσεως ψευδογραφοῦσιν.236

237

(1t)

Πορίσματα.
2 Proclus Comm. in Eucl. p. 212, 12 sqq.: Τὸ δὲ πό‐ ρισμα λέγεται μὲν καὶ ἐπὶ προβλημάτων τινῶν, οἷον τὰ Εὐκλείδῃ γεγραμμένα πορίσματα, λέγεται δὲ ἰδίως, ὅταν
5ἐκ τῶν ἀποδεδειγμένων ἄλλο τι συναναφανῇ θεώρημα μὴ προθεμένων ἡμῶν, ὃ καὶ διὰ τοῦτο πόρισμα κεκλή‐ κασιν ὥσπερ τι κέρδος ὂν τῆς ἐπιστημονικῆς ἀποδείξεως πάρεργον. Idem ibid. p. 301, 21 sqq.: Ἕν τι τῶν γεωμετρικῶν
10ἐστιν ὀνομάτων τὸ πόρισμα. τοῦτο δὲ σημαίνει διττόν· καλοῦσι γὰρ πορίσματα, καὶ ὅσα θεωρήματα συγκατα‐ σκευάζεται ταῖς ἄλλων ἀποδείξεσιν οἷον ἕρμαια καὶ κέρδη τῶν ζητούντων ὑπάρχοντα, καὶ ὅσα ζητεῖται μέν, εὑρέσεως δὲ χρῄζει καὶ οὔτε γενέσεως μόνης οὔτε θεω‐
15ρίας ἁπλῆς. ὅτι μὲν γὰρ τῶν ἰσοσκελῶν αἱ πρὸς τῇ βάσει ἴσαι, θεωρῆσαι δεῖ, καὶ ὄντων δή τινων πραγ‐ μάτων ἐστὶν ἡ τοιαύτη γνῶσις, τὴν δὲ γωνίαν δίχα τεμεῖν ἢ τρίγωνον συστήσασθαι ἢ ἀφελεῖν ἢ προσθέ‐ σθαι, ταῦτα πάντα ποίησίν τινος ἀπαιτεῖ· τοῦ δὲ δο‐
20θέντος κύκλου τὸ κέντρον εὑρεῖν ἢ δύο δοθέντων συμ‐ μέτρων μεγεθῶν τὸ μέγιστον καὶ κοινὸν μέτρον εὑρεῖν ἢ ὅσα τοιάδε μεταξύ πώς ἐστι προβλημάτων καὶ θεωρη‐ μάτων. οὔτε γὰρ γενέσεις εἰσὶν ἐν τούτοις τῶν ζητου‐ μένων, ἀλλ’ εὑρέσεις, οὔτε θεωρία ψιλή· δεῖ γὰρ ὑπ’
25ὄψιν ἀγαγεῖν καὶ πρὸ ὀμμάτων ποιήσασθαι τὸ ζητού‐ μενον. τοιαῦτα ἄρα ἐστὶν καί, ὅσα Εὐκλείδης πορίσματα γέγραφε γ βιβλία Πορισμάτων συντάξας. ἀλλὰ περὶ
μὲν τῶν τοιούτων πορισμάτων παρείσθω λέγειν.237

238

(3)

 Pappus Συναγ. VII 3 p. 636, 18 sqq. (ed. Hultsch): Τῶν δὲ προειρημένων τοῦ ἀναλυομένου βιβλίων ἡ τά‐
5ξις ἐστὶν τοιαύτη· Εὐκλείδου Δεδομένων βιβλίον α, Ἀπολλωνίου Λόγου ἀποτομῆς β, Χωρίου ἀποτομῆς β, Διωρισμένης τομῆς δύο, Ἐπαφῶν δύο, Εὐκλείδου Πορισ‐ μάτων τρία κτλ. Idem ibid. VII 13 p. 648, 18 sqq.:
10 Μετὰ δὲ τὰς Ἐπαφὰς ἐν τρισὶ βιβλίοις Πορίσματά ἐστιν Εὐκλείδου, πολλοῖς ἄθροισμα φιλοτεχνότατον εἰς τὴν ἀνάλυσιν τῶν ἐμβριθεστέρων προβλημάτων, καὶ τῶν γενῶν ἀπερίληπτον τῆς φύσεως παρεχομένης πλῆθος οὐ‐ δὲν προστεθείκασι τοῖς ὑπὸ Εὐκλείδου γραφεῖσι πρώ‐
15του, χωρὶς εἰ μή τινες τῶν πρὸ ἡμῶν ἀπειρόκαλοι δευτέρας γραφὰς ὀλίγοις αὐτῶν παρατεθείκασιν ἑκά‐ στου μὲν πλῆθος ὡρισμένον ἔχοντος ἀποδείξεων, ὡς ἐδείξαμεν, τοῦ δ’ Εὐκλείδου μίαν ἑκάστου θέντος τὴν μάλιστά πως ἐμφαίνουσαν. ταῦτα δὲ λεπτὴν καὶ φυσι‐
20κὴν ἔχει θεωρίαν καὶ ἀναγκαίαν καὶ καθολικωτέραν καὶ τοῖς δυναμένοις ὁρᾶν καὶ πορίζειν ἐπιτερπῆ. ἅπαντα δὲ αὐτῶν τὰ εἴδη οὔτε θεωρημάτων ἐστὶν οὔτε προ‐ βλημάτων, ἀλλὰ μέσον πως τούτων ἐχούσης ἰδέας, ὥστε
τὰς προτάσεις αὐτῶν δύνασθαι σχηματίζεσθαι ἢ ὡς238

239

θεωρημάτων ἢ ὡς προβλημάτων, παρ’ ὃ καὶ συμβέβηκε τῶν πολλῶν γεωμετρῶν τοὺς μὲν ὑπολαμβάνειν αὐτὰ εἶναι τῷ γένει θεωρήματα τοὺς δὲ προβλήματα ἀποβλέ‐ ποντας εἰς τὸ σχῆμα μόνον τῆς προτάσεως. τὴν δὲ δια‐
5φορὰν τῶν τριῶν τούτων ὅτι βέλτιον ᾔδεσαν οἱ ἀρχαῖοι, δῆλον ἐκ τῶν ὅρων. ἔφασαν γὰρ θεώρημα μὲν εἶναι τὸ προτεινόμενον εἰς ἀπόδειξιν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου, πρόβλημα δὲ τὸ προβαλλόμενον εἰς κατασκευὴν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου, πόρισμα δὲ τὸ προτεινόμενον εἰς
10πορισμὸν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου. μετεγράφη δὲ οὗ‐ τος ὁ τοῦ πορίσματος ὅρος ὑπὸ τῶν νεωτέρων μὴ δυ‐ ναμένων ἅπαντα πορίζειν, ἀλλὰ συγχρωμένων τοῖς στοι‐ χείοις τούτοις καὶ δεικνύντων αὐτὸ μόνον τοῦθ’, ὅτι ἔστι τὸ ζητούμενον, μὴ ποριζόντων δὲ τοῦτο καὶ ἐλεγχο‐
15μένων ὑπὸ τοῦ ὅρου καὶ τῶν διδασκομένων. ἔγραψαν δὲ ἀπὸ συμβεβηκότος οὕτως· πόρισμά ἐστιν τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματος. τούτου δὲ τοῦ γένους. τῶν πορισμάτων εἶδός ἐστιν οἱ τόποι καὶ πλεονάζουσιν ἐν τῷ ἀναλυομένῳ· κεχωρισμένον δὲ τῶν πορισμάτων
20ἤθροισται καὶ ἐπιγράφεται καὶ παραδίδοται διὰ τὸ πο‐ λύχυτον εἶναι μᾶλλον τῶν ἄλλων εἰδῶν [τῶν γοῦν τό‐ πων ἐστὶν ἃ μὲν ἐπιπέδων ἃ δὲ στερεῶν ἃ δὲ γραμμι‐ κῶν καὶ ἔτι τῶν πρὸς μεσότητας]. συμβέβηκε δὲ καὶ τοῦτο τοῖς πορίσμασιν τὰς προτάσεις ἔχειν ἐπιτετμη‐
25μένας διὰ τὴν σκολιότητα πολλῶν συνήθως συνυπα‐ κουομένων· ὥστε πολλοὺς τῶν γεωμετρῶν ἐπὶ μέρους ἐκδέχεσθαι, τὰ δὲ ἀναγκαιότερα ἀγνοεῖν τῶν σημαινομέ‐ νων. περιλαβεῖν δὲ πολλὰ μιᾷ προτάσει ἥκιστα δυνατὸν ἐν τούτοις διὰ τὸ καὶ αὐτὸν Εὐκλείδην οὐ πολλὰ ἐξ
30ἑκάστου εἴδους τεθεικέναι, ἀλλὰ δείγματος ἕνεκα ἐκ τῆς239

240

πολυπληθείας ἓν ἢ ὀλίγα. πρὸς ἀρχῇ δὲ ὅμως τοῦ πρώ‐ του βιβλίου τέθεικεν ὁμοειδῆ τινα ἐκείνου τοῦ δαψι‐ λεστέρου εἴδους τῶν τόπων ὡς ι τὸ πλῆθος. διὸ καὶ περι‐ λαβεῖν ταύτας μιᾷ προτάσει ἐνδεχόμενον εὑρόντες οὕ‐
5τως ἐγράψαμεν· ἐὰν ὑπτίου ἢ παρυπτίου τρία τὰ ἐπὶ μιᾶς σημεῖα ἢ παραλλήλου τῆς ἑτέρας τὰ δύο δεδομένα ᾖ, τὰ δὲ λοιπὰ πλὴν ἑνὸς ἅπτηται θέσει δεδομένης εὐθείας, καὶ τοῦθ’ ἅψεται θέσει δεδομένης εὐθείας. τοῦτ’ ἐπὶ τεσσά‐ ρων μὲν εὐθειῶν εἴρηται μόνων, ὧν οὐ πλείονες ἢ δύο
10διὰ τοῦ αὐτοῦ σημείου εἰσίν, ἀγνοεῖται δὲ ἐπὶ παντὸς τοῦ προτεινομένου πλήθους ἀληθὲς ὑπάρχον οὕτως λε‐ γόμενον ... τὸν δὲ Στοιχειωτὴν οὐκ εἰκὸς ἀγνοῆσαι τοῦτο, τὴν δ’ ἀρχὴν μόνην τάξαι. καὶ ἐπὶ πάντων δὲ τῶν πορισμάτων φαίνεται ἀρχὰς καὶ σπέρματα μόνα
15πλήθει πολλῶν καὶ μεγάλων καταβεβλημένος, ὧν τὰ γένη οὐ κατὰ τὰς τῶν ὑποθέσεων διαφορὰς διαστέλ‐ λειν δεῖ, ἀλλὰ κατὰ τὰς τῶν συμβεβηκότων καὶ ζητου‐ μένων. αἱ μὲν γὰρ ὑποθέσεις ἅπασαι διαφέρουσιν ἀλλή‐ λων εἰδικώταται οὖσαι, τῶν δὲ συμβαινόντων καὶ ζη‐
20τουμένων ἕκαστον ἓν καὶ τὸ αὐτὸ ὂν πολλαῖς ὑποθέσεσι διαφόροις συμβέβηκε. ποιητέον οὖν ἐν μὲν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ ταῦτα τὰ γένη τῶν ἐν ταῖς προτάσεσι ζητου‐ μένων· ἐν ἀρχῇ μὲν τοῦ βιβλίου διάγραμμα τοῦτο· ἐὰν ἀπὸ δύο δεδομένων σημείων πρὸς θέσει δεδομέ‐
25νην εὐθεῖαι κλασθῶσιν, ἀποτέμνῃ δὲ μία ἀπὸ θέσει240

241

δεδομένης εὐθείας πρὸς τῷ ἐπ’ αὐτῆς δεδομένῳ σημείῳ, ἀποτεμεῖ καὶ ἡ ἑτέρα ἀπὸ ἑτέρας λόγον ἔχουσαν δο‐ θέντα· ἐν δὲ τοῖς ἑξῆς·
5 I. ὅτι τόδε τὸ σημεῖον ἅπτεται θέσει δεδομένης εὐ‐ θείας. II. ὅτι λόγος τῆσδε πρὸς τήνδε δοθείς. III. ὅτι λόγος τῆσδε πρὸς ἀποτομήν. IV. ὅτι ἥδε θέσει δεδομένη ἐστίν.
10 V. ὅτι ἥδε ἐπὶ δοθὲν νεύει. VI. ὅτι λόγος τῆσδε πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ἕως δο‐ θέντος. VII. ὅτι λόγος τῆσδε πρός τινα ἀπὸ τοῦδε κατηγμένην. VIII. ὅτι λόγος τοῦδε τοῦ χωρίου πρὸς τὸ ὑπὸ δοθείσης
15καὶ τῆσδε. IX. ὅτι τοῦδε τοῦ χωρίου ὃ μέν τι δοθέν ἐστιν, ὃ δὲ λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν. X. ὅτι τόδε τὸ χωρίον ἢ τόδε μετά τινος χωρίου δο‐ θέν ἐστιν, ἐκεῖνο δὲ λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν.
20 XI. ὅτι ἡ, μεθ’ ἧς πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοθέντα, λόγον ἔχει πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος. XII. ὅτι τὸ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆσδε ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος. XIII. ὅτι λόγος τῆσδε καὶ τῆσδε πρός τινα ἀπὸ τοῦδε
25ἕως δοθέντος. XIV. ὅτι ἥδε ἀποτέμνει ἀπὸ θέσει δεδομένων δοθὲν περιεχούσας. Ἐν δὲ τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ ὑποθέσεις μὲν ἕτεραι, τῶν δὲ ζητουμένων τὰ μὲν πλείονα τὰ αὐτὰ τοῖς ἐν τῷ πρώ‐
30τῳ βιβλίῳ, περισσὰ δὲ ταῦτα·241

242

 XV. ὅτι τόδε τὸ χωρίον ἢ τόδε μετὰ δοθέντος λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν. XVI. ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ τῶνδε πρὸς ἀποτομήν. XVII. ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ συναμφοτέρων τῶνδε καὶ
5συναμφοτέρων τῶνδε πρὸς ἀποτομήν. XVIII. ὅτι τὸ ὑπὸ τῆσδε καὶ συναμφοτέρου τῆσδε τε καὶ τῆς, πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοθέντα, καὶ τὸ ὑπὸ τῆσδε καὶ τῆς, πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοθέντα, λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν.
10 XIX. ὅτι λόγος συναμφοτέρου πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος. XX. ὅτι δοθὲν τὸ ὑπὸ τῶνδε. Ἐν δὲ τῷ τρίτῳ βιβλίῳ αἱ μὲν πλείονες ὑποθέσεις ἐπὶ ἡμικυκλίων εἰσίν, ὀλίγαι δὲ ἐπὶ κύκλου καὶ τμημάτων,
15τῶν δὲ ζητουμένων τὰ μὲν πολλὰ παραπλήσια τοῖς ἔμ‐ προσθεν, περισσὰ δὲ ταῦτα· XXI. ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ τῶνδε πρὸς τὸ ὑπὸ τῶνδε. XXII. ὅτι λόγος τοῦ ἀπὸ τῆσδε πρὸς ἀποτομήν. XXIII. ὅτι τὸ ὑπὸ τῶνδε τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς
20ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος. XXIV. ὅτι τὸ ἀπὸ τῆσδε τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ ἀπο‐ λαμβανομένης ὑπὸ καθέτου ἕως δοθέντος. XXV. ὅτι συναμφότερος ἥδε καὶ πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοθέντα λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν.
25 XXVI. ὅτι ἔστιν τι δοθὲν σημεῖον, ἀφ’ οὗ αἱ ἐπι‐ ζευγνύμεναι ἐπὶ τούσδε δοθὲν περιέξουσι τῷ εἴδει τρί‐ γωνον. XXVII. ὅτι ἔστιν τι δοθὲν σημεῖον, ἀφ’ οὗ αἱ ἐπι‐
ζευγνύμεναι ἐπὶ τόνδε ἴσας ἀπολαμβάνουσι περιφερείας.242

243

 XXVIII. ὅτι ἥδε ἤτοι παρὰ θέσει ἐστὶν ἢ μετά τινος εὐθείας ἐπὶ δοθὲν νευούσης δοθεῖσαν περιέχει γω‐ νίαν. ἔχει δὲ τὰ τρία βιβλία τῶν Πορισμάτων λήμματα λη,
5αὐτὰ δὲ θεωρημάτων ἐστὶν ροα.
8Pappus Συναγ. VII 193 p. 866, 1 sqq.
9tLemmata ad Porismata.
10tΠορισμάτων αʹ βʹ γʹ.
11tΤοῦ πρώτου εἰς τὸ πρῶτον πόρισμα.
12 αʹ. Ἔστω καταγραφὴ ἡ ΑΒΓΔΕΖΗ, καὶ ἔστω, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, καὶ ἐπε‐
15ζεύχθω ἡ ΘΚ· ὅτι παράλ‐ ληλός ἐστιν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ. ἤχθω διὰ τοῦ Ζ τῇ ΒΔ παράλληλος ἡ ΖΛ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΑΖ
20πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΖ, τουτ‐ έστιν ἐν παραλλήλῳ ὡς ἡ
25ΒΑ πρὸς τὴν ΑΛ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΗ· παρ‐243

244

άλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΗ τῇ ΒΓ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΛ, οὕτως ἐν παραλλήλῳ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. ἔστι δὲ καί, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΛ, οὕτως ἐν παραλ‐ λήλῳ ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς τὴν
5ΚΖ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ. Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως· ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, ἀνάπαλίν ἐστιν, ὡς ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν
10ΔΑ. συνθέντι καὶ ἐναλλὰξ καὶ ἀναστρέψαντί ἐστιν, ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ. ἀλλ’ ὁ μὲν τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΔΖ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ καὶ τοῦ τῆς ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ, ὁ δὲ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ ἔκ τε τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ καὶ
15τοῦ τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ· ὁ ἄρα συνημμένος λόγος ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, καὶ ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ, ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, καὶ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. καὶ κοι‐ νὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ λόγος· λοιπὸν
20ἄρα ὁ τῆς ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ.
22tΕἰς τὸ δεύτερον πόρισμα.
23 βʹ. Καταγραφὴ ἡ ΑΒΓΔΕΖΗΘ, ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ ΔΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ
25πρὸς τὴν ΗΖ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Θ, Κ, Ζ. ἤχθω διὰ τοῦ Η παρὰ τὴν ΔΕ ἡ ΗΛ, καὶ ἐπιζευχ‐ θεῖσα ἡ ΘΚ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ
πρὸς τὴν ΗΖ, ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΗ,244

245

οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ. ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΗΛ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΗΛ. καί ἐστι παράλληλος ἡ ΕΘ τῇ ΗΛ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ, Λ, Ζ·
5ὅπερ ἔδει δεῖξαι. γʹ. Εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΑ, ΔΑ διήχθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΘΕ, ΘΔ· ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ,
10ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ, ΔΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔ, ΒΓ. ἤχθω διὰ μὲν τοῦ Θ τῇ ΖΓΑ παράλληλος ἡ ΚΛ, καὶ αἱ ΔΑ, ΑΒ συμ‐
15πιπτέτωσαν αὐτῇ κατὰ τὰ Κ, Λ σημεῖα, διὰ δὲ τοῦ Λ τῇ ΔΑ παράλλη‐ λος ἡ ΛΜ καὶ συμπιπτέ‐
τω τῇ ΕΘ ἐπὶ τὸ Μ.245

246

 ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς μὲν ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΛ, ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΜ· καὶ γὰρ ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΘΗ ἐν παραλλήλῳ· δι’ ἴσου ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ,
5οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΜ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΘΕ, ΗΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΘΜ. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΘΗ· ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΗΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΘΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΗΘ, τουτέστιν ἡ ΘΜ πρὸς ΘΗ, τουτέστιν
10ἡ ΛΘ πρὸς τὴν ΘΚ. κατὰ τὰ αὐτὰ καί, ὡς ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΔ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΒ, ΓΔ· ἀνάπαλιν ἄρα γί‐
15νεται, ὡς ἡ ΛΘ πρὸς τὴν ΘΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ, ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔ, ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΛΘ πρὸς
20τὴν ΘΚ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΗΘ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΗΘ, οὕτως
25τὸ ὑπὸ ΘΒ, ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΑ, ΒΓ. Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως· ἐπεὶ ὁ τοῦ ὑπὸ ΘΕ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ, καὶ τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ, καί ἐστιν, ὡς μὲν ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς
30τὴν ΖΑ, ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς246

247

τὴν ΘΚ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΘΕ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΕΖ συνῆπται ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΖΑ, καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΘΚ. ὁ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΘΛ πρὸς τὴν ΖΑ καὶ τοῦ τῆς ΖΑ πρὸς τὴν ΘΚ ὁ αὐτός
5ἐστιν τῷ τῆς ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ· ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ. διὰ ταὐτὰ καί, ὡς τὸ ὑπὸ ΘΔ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΒ, ΓΔ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΘΛ. καὶ ἀνά‐ παλίν ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΘΒ, ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔ, ΒΓ,
10οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ. ἦν δὲ καί, ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΘΕ, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΘΕ, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ, ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔ, ΒΓ.
15 δʹ. Καταγραφὴ ἡ ΑΒΓΔΕΖΗΘΚΛ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΔΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔ, ΕΖ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Θ, Η, Ζ σημείων. ἐπεί ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒ,
20ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΔΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔ, ΕΖ, ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΔΕ, τουτέστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔ, ΕΖ. ἀλλ’ ὁ μὲν τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΔΕ συνῆπται λόγος, ἐὰν διὰ τοῦ Κ τῇ ΑΖ
25παράλληλος ἀχθῇ ἡ ΚΜ, ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς ΚΝ καὶ τῆς ΚΝ πρὸς ΚΜ καὶ ἔτι τοῦ τῆς ΚΜ πρὸς ΔΕ, ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΑΒ, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔ, ΕΖ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΑ πρὸς ΑΔ καὶ τοῦ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ. κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ΒΑ πρὸς ΑΔ ὁ αὐτὸς
30ὢν τῷ τῆς ΝΚ πρὸς ΚΜ· λοιπὸν ἄρα ὁ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΚΝ, τουτέστιν τοῦ τῆς ΘΓ πρὸς τὴν ΚΘ, καὶ τοῦ τῆς ΚΜ πρὸς τὴν ΔΕ, τουτέστιν τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΗΕ.
εὐθεῖα ἄρα ἡ διὰ τῶν Θ, Η, Ζ.247

248

 ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ ΘΓ παράλληλον ἀγάγω τὴν ΕΞ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΘΗ ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Ξ, ὁ μὲν τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΗΕ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΕΞ, ὁ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΘ πρὸς
5τὴν ΘΚ καὶ τοῦ τῆς ΘΚ πρὸς τὴν ΕΞ μεταβαλλόμενος εἰς τὸν τῆς ΘΓ πρὸς ΕΞ λόγον, καὶ ὁ τῆς ΓΖ πρὸς ΖΕ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΓΘ πρὸς τὴν ΕΞ παραλ‐ λήλου οὔσης τῆς ΓΘ τῇ ΕΞ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ, Ξ, Ζ· τοῦτο γὰρ φανερόν· ὥστε καὶ ἡ διὰ τῶν
10Θ, Η, Ζ εὐθεῖά ἐστιν. εʹ. Ἐὰν ᾖ καταγραφὴ ἡ ΑΒΓΔΕΖΗΘ, γίνεται, ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. ἔστω οὖν, ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Θ.
15 ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ ΑΔ παράλληλος ἡ ΚΛ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ, ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΜ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ, οὕτως
20ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΜ, καὶ λοιπὴ ἡ ΗΛ πρὸς λοιπὴν τὴν
ΛΜ ἐστιν, ὡς ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΔ248

249

πρὸς τὴν ΔΓ. ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΛΜ, τουτέστιν ἡ ΔΘ πρὸς ΘΛ. καί ἐστι παράλληλος ἡ ΗΛ τῇ ΑΔ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Θ σημείων· τοῦτο γὰρ φανερόν.
5 ϛʹ. Πάλιν, ἐὰν ᾖ καταγραφή, καὶ παράλληλος ἡ ΔΖ τῇ ΒΓ, γίνεται ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ. ἔστω οὖν ἴση· ὅτι παράλληλος. ἔστιν δέ· ἐὰν γὰρ τῇ ΕΒ προσθῶ τῇ ΗΒ ἴσην τὴν ΒΘ καὶ ἐπιζεύξω τὰς ΑΘ, ΘΓ, γίνεται παραλληλόγραμ‐
10μον τὸ ΑΘΓΗ, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν, ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ· ἑκάτερος γὰρ τῶν εἰρημένων ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΘΗ πρὸς τὴν ΗΕ λόγῳ· ὥστε παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΖ τῇ ΑΓ. ζʹ. Ἔστω καταγραφή, καὶ τῶν ΔΒ, ΒΓ μέση ἀνάλογον
15ἔστω ἡ ΒΑ· ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ ΑΓ. ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΒ, καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ΔΖ εὐθείᾳ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΚ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΑΒ
πρὸς τὴν ΒΔ, ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΚΒ249

250

πρὸς τὴν ΒΘ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΚΒ πρὸς τὴν ΒΘ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ τῇ ΚΓ. ἔστιν οὖν πάλιν, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΕ· ἑκάτερος γὰρ τῶν εἰρημένων λόγος
5ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΕ· ὥστε παράλ‐ ληλός ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ ΑΔ. ηʹ. Ἔστω βωμίσκος ὁ ΑΒΓΔΕΖΗ, καὶ ἔστω παράλ‐ ληλος ἡ μὲν ΔΕ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΕΗ τῇ ΒΖ· ὅτι καὶ ἡ ΔΖ τῇ ΓΗ παράλληλός ἐστιν.
10 ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΔΓ, ΖΗ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ΔΒΕ τρίγωνον τῷ ΔΓΕ τριγώνῳ. κοινὸν προσ‐ κείσθω τὸ ΔΑΕ τρί‐ γωνον· ὅλον ἄρα τὸ
15ΑΒΕ τρίγωνον ὅλῳ τῷ ΓΔΑ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. πάλιν, ἐπεὶ παρ‐ άλληλός ἐστιν ἡ ΒΖ τῇ ΕΗ, ἴσον ἐστὶν τὸ ΒΖΕ
20τρίγωνον τῷ ΒΖΗ τρι‐ γώνῳ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΑΒΖ τρίγωνον· λοι‐ πὸν ἄρα τὸ ΑΒΕ τρίγωνον λοιπῷ τῷ ΑΗΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΓΔ τριγώνῳ
25ἐστὶν ἴσον· καὶ τὸ ΑΓΔ ἄρα τρίγωνον τῷ ΑΖΗ τρι‐ γώνῳ ἴσον ἐστίν. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΑΓΗ τρί‐ γωνον· ὅλον ἄρα τὸ ΓΔΗ τρίγωνον ὅλῳ τῷ ΓΖΗ τρι‐ γώνῳ ἴσον ἐστίν. καί ἐστιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΓΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΗ τῇ ΔΖ.
30θʹ. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἐν αὐτῷ διήχθωσαν
αἱ ΑΔ, ΑΕ, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ250

251

κεκλάσθω ἡ ΖΘΗ, ἔστω δέ, ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ, οὕτως ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΕ· ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΚΛ τῇ ΒΓ. ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ, οὕτως ἡ ΔΘ
5πρὸς τὴν ΘΕ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς λοιπὴν τὴν ΓΕ ἐστιν, ὡς ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΕ. ὡς δὲ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΖΜ πρὸς ΝΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΜ πρὸς ΝΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΕ. ἐναλ‐
10λάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ΔΘ, οὕτως ἡ ΝΗ πρὸς τὴν ΘΕ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ΔΘ, οὕτως ἐστὶν ἐν παραλλήλῳ
15ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΘ, ὡς δὲ ἡ ΗΝ πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΗΛ πρὸς τὴν ΛΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΘ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΗΛ
20πρὸς τὴν ΛΘ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΛ τῇ ΗΖ· ὥστε καὶ τῇ ΓΒ. ιʹ. Εἰς δύο εὐθείας τὰς ΒΑΕ, ΔΑΗ ἀπὸ τοῦ Θ ση‐ μείου δύο διήχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΔΘ, ΘΕ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΘ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΓ, ΒΘ, οὕτως τὸ
25ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Γ, Α, Ζ. ἤχθω διὰ τοῦ Θ τῇ ΓΑ παράλληλος ἡ ΚΛ καὶ συμ‐ πιπτέτω ταῖς ΑΒ, ΑΔ κατὰ τὰ Κ, Λ σημεῖα, καὶ διὰ τοῦ Λ τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜ, καὶ ἐκβεβλήσθω
30ἡ ΕΘ ἐπὶ τὸ Μ, διὰ δὲ τοῦ Κ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΝ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΘ ἐπὶ τὸ Ν. ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς παραλλήλους γίνεται, ὡς ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΝ, οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ, τὸ ἄρα ὑπὸ
τῶν ΔΘ, ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΔΓ, ΘΝ. ἄλλο251

252

δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ ΔΓ, ΒΘ· ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΔΘ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΓ, ΒΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΔ, ΘΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΓ, ΒΘ, τουτέστιν ἡ ΘΝ πρὸς ΘΒ. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ὑπὸ ΘΔ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΓ, ΒΘ, ὑπόκει‐
5ται τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ, ὡς δὲ ἡ ΘΝ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς ΘΛ, τουτέστιν ἐν παρ‐ αλλήλῳ ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΘΜ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΜ, ΖΕ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ
10πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΜ, ΖΕ. ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ τῷ ὑπὸ ΘΜ, ΖΕ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΘΜ πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΕ, συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΜΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΜΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΛΕ
15πρὸς τὴν ΕΑ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΚΛ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΓΑ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑΖ· ὅπερ
ἔδει δεῖξαι.252

253

 τὰ δὲ πτωτικὰ αὐτοῦ ὁμοίως τοῖς προγεγραμμένοις, ὧν ἐστιν ἀναστρόφιον. ιαʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΑΔ, καὶ διαχθεῖσα ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ε ση‐
5μεῖον· ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ ΔΕ, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΗΔ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ. ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ ΔΕ παράλληλος ἡ ΓΘ, καὶ ἐκ‐ βεβλήσθω ἡ ΑΒ ἐπὶ τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἡ ΓΘ
10πρὸς τὴν ΖΗ, ὡς δὲ ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΗ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΓ πρὸς τὴν ΖΗ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΘ, ΔΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΔ, ΖΗ. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΗΔ· ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΔΕ, ΖΗ πρὸς
15τὸ ὑπὸ ΔΗ, ΕΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΘ, ΔΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΗ, ΕΖ, τουτέστιν ἡ ΓΘ πρὸς ΕΖ, τουτέστιν ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ. ἔστιν οὖν, ὡς τὸ ὑπὸ ΔΕ, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΗΔ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ.
τὰ δ’ αὐτά, κἂν ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ἀχθῇ ἡ ΑΔ παρ‐253

254

άλληλος, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἐκτὸς ὡς ἐπὶ τὸ Γ διαχθῇ ἡ εὐθεῖα. ιβʹ. Ἀποδεδειγμένων οὖν τούτων ἔσται δεῖξαι, ὅτι, ἐὰν παράλληλοι ὦσιν αἱ ΑΒ, ΓΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπί‐
5πτωσιν εὐθεῖαί τινες αἱ ΑΔ, ΑΖ, ΒΓ, ΒΖ, καὶ ἐπι‐ ζευχθῶσιν αἱ ΕΔ, ΕΓ, [ὅτι] γίνεται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν Η, Μ, Κ. ἐπεὶ γὰρ τρίγωνον τὸ ΔΑΖ, καὶ τῇ ΔΖ παράλληλος ἡ ΑΕ, καὶ διῆκται ἡ ΕΓ συμπίπτουσα τῇ ΔΖ κατὰ τὸ
10Γ, διὰ τὸ προγεγραμμένον γίνεται, ὡς ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ. πάλιν, ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστιν τὸ ΓΒΖ, καὶ τῇ ΓΔ παρ‐ άλληλος ἦκται ἡ ΒΕ, καὶ διῆκται ἡ ΔΕ συμπίπτουσα τῇ ΓΖΔ κατὰ τὸ Δ, γίνεται, ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ,
15οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΕ, ΛΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΚ, ΛΕ· ἀνάπαλιν ἄρα γίνεται, ὡς ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΚ, ΛΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ, ΛΚ. ἦν δὲ καί, ὡς ἡ ΔΖ
πρὸς τὴν ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ,254

255

ΘΕ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΔΚ, ΛΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ, ΚΛ. ἐπεὶ οὖν εἰς δύο εὐθείας τὰς ΓΜΛ, ΘΜΔ δύο εὐθεῖαι διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΓ, ΕΔ, καί ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΓΕ,
5ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΚ, ΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ, ΛΚ, εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Η, Μ, Κ· τοῦτο γὰρ προδέδεικται. ιγʹ. Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν αἱ ΑΒ, ΓΔ παράλληλοι, ἀλλὰ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ν· ὅτι πάλιν εὐθεῖά ἐστιν
10ἡ διὰ τῶν Η, Μ, Κ. ἐπεὶ εἰς τρεῖς εὐ‐ θείας τὰς ΑΝ, ΑΖ, ΑΔ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Γ δύο
15διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΓΕ ΓΔ, γίνεται, ὡς τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ, οὕ‐ τως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΝ,
20ΖΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΝΔ, ΓΖ. πάλιν ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ση‐ μείου τοῦ Δ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΒΝ, ΒΓ, ΒΖ δύο εἰσὶν διηγμέναι αἱ ΔΕ, ΔΝ, ἔστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΝΓ, ΖΔ πρὸς τὸ
25ὑπὸ ΝΔ, ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΚ, ΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ, ΚΛ. ἀλλ’ ὡς τὸ ὑπὸ ΝΓ, ΖΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΔ, ΓΖ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΘΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΔΚ, ΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ, ΚΛ. διὰ δὴ τὸ προγε‐
30γραμμένον εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Η, Μ, Κ.255

256

 ιδʹ. Ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ διήχθωσαν αἱ ΑΕ, ΓΒ, καὶ σημεῖον ἐπὶ τῆς ΒΗ τὸ Ζ, ὥστε εἶναι, ὡς τὴν ΔΕ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΒ, ΓΗ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Ζ, Δ.
5 ἤχθω διὰ μὲν τοῦ Δ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΔΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΕ ἐπὶ τὸ Θ, διὰ δὲ τοῦ Θ τῇ ΓΔ παρ‐ άλληλος ἡ ΘΚ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Κ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΔΕ πρὸς
10τὴν ΕΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΖ, ΓΗ, ὡς δὲ ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἐστὶν ἥ τε ΔΘ πρὸς τὴν ΓΗ καὶ τὸ ὑπὸ ΔΘ, ΒΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΗ,
15ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΖΗ τῷ ὑπὸ ΔΘ, ΒΖ· ἀνάλογον ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΖ, οὕτως ἡ ΔΘ, τουτέστιν ἡ ΓΚ, πρὸς τὴν ΗΖ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΚΒ πρὸς ὅλην τὴν ΒΗ ἐστιν, ὡς ἡ ΚΓ πρὸς ΖΗ,
20τουτέστιν ὡς ἡ ΔΘ πρὸς ΖΗ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΚΒ πρὸς ΒΗ ἐν παραλλήλῳ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΑ πρὸς ΑΗ καὶ ἡ ΔΘ πρὸς ΖΗ. καί εἰσιν παράλληλοι αἱ ΔΘ, ΖΗ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α, Ζ, Δ σημείων. ιεʹ. Τούτου προτεθεωρημένου ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ
25τῇ ΓΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπιπτέτωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΖ, ΖΒ, ΓΕ, ΕΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΗΚ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Μ, Δ. Ἐπεζεύχθω ἡ ΔΜ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Θ.
ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΒΓΖ ἐκτὸς ἀπὸ τῆς κορυφῆς256

257

τοῦ Β σημείου τῇ ΓΔ παράλληλος ἦκται ἡ ΒΕ, καὶ διῆκται ἡ ΔΕ, γίνεται, ὡς ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΕ, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ, ΚΔ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΔΕ, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΚ, ΛΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΗ,
5ΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ, ἐπεὶ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΓΛ, ΔΘ, ΗΚ δύο εἰσὶν διηγμέναι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ση‐ μείου τοῦ Ε αἱ ΕΓ, ΕΔ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΖ πρὸς ΖΓ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ. διὰ τὸ προγεγραμμένον ἄρα ἡ διὰ τῶν Α, Μ, Δ ἐστιν εὐθεῖα.
10 ιϛʹ. Εἰς δύο εὐθείας τὰς ΑΒ, ΑΓ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ση‐ μείου τοῦ Δ δύο διήχθωσαν αἱ ΔΒ, ΔΕ, καὶ ἐπ’ αὐτῶν εἰλήφθω σημεῖα τὰ Η, Θ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ὑπὸ ΕΗ, ΖΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ, ΗΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΘ, ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔ, ΓΘ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Θ.
15 ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ ΒΔ παράλληλος ἡ ΚΛ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΕΗ, ΖΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ, ΖΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΘ, ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔ, ΓΘ, ἀλλὰ
ὁ τοῦ ὑπὸ ΕΗ, ΖΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ, ΗΖ συνῆπται257

258

λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΗΕ πρὸς ΕΔ, τουτέστιν ἡ ΚΗ πρὸς ΒΔ, καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΔΖ πρὸς ΖΗ, τουτ‐ έστιν ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΗΛ, ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΒΘ, ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔ, ΓΘ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ
5ΘΒ πρὸς ΒΔ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΔΓ πρὸς ΓΘ, καὶ ὁ ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ ἄρα πρὸς ΒΔ καὶ τοῦ τῆς ΔΓ πρὸς ΗΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς ΒΔ καὶ τοῦ τῆς ΔΓ πρὸς ΓΘ. ὁ δὲ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΔ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς
10ΒΘ πρὸς ΒΔ· ὁ ἄρα συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς ΒΔ καὶ ἔτι τοῦ τῆς ΔΓ πρὸς ΗΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς ΒΔ καὶ τοῦ τῆς ΔΓ πρὸς ΓΘ. κοινὸς ἐκ‐ κεκρούσθω ὁ τῆς ΘΒ πρὸς ΒΔ λόγος· λοιπὸς ἄρα ὁ
15συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΔΓ πρὸς ΗΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΔΓ πρὸς τὴν ΓΘ, τουτέστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΔΓ πρὸς τὴν ΗΛ καὶ τοῦ τῆς ΗΛ πρὸς τὴν ΘΓ. καὶ πάλιν κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ΔΓ πρὸς τὴν ΗΛ λόγος· λοιπὸς
20ἄρα ὁ τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΒΘ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΗΛ πρὸς τὴν ΘΓ. καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ. καί εἰσιν αἱ ΚΛ, ΒΓ παράλληλοι· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Θ σημείων.
25 ιζʹ. Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, ἀλλὰ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ν. ἐπεὶ οὖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Δ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΒΝ, ΒΓ, ΒΖ δύο εὐθεῖαι διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΔΕ, ΔΝ, ἔστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΝΔ, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ
30ΝΓ, ΔΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΕ, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ, ΚΔ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΕΔ, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ, ΚΔ, οὕτως
ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓ, ΘΗ· πάλιν258

259

γὰρ εἰς τρεῖς τὰς ΓΛ, ΔΘ, ΗΚ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Ε δύο ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΓ, ΕΔ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓ, ΘΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΝΔ, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΓ, ΖΔ. διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον
5εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Θ, Δ· καὶ ἡ διὰ τῶν Α, Μ, Δ ἄρα εὐθεῖά ἐστιν. ιηʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΔ, καὶ διήχθωσαν αἱ ΔΕ, ΖΗ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓΒ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΓ·
10ὅτι, ἐὰν ἐπιζευχθῇ ἡ ΒΔ, γίνεται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν Θ, Κ, Γ. ἐπεί ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓΒ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, κοινὸς ἄρα προσκείσθω ὁ τῆς ΓΕ πρὸς ΕΒ λόγος ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ πρὸς
15τὸ ὑπὸ ΕΒΓ· δι’ ἴσου ἄρα ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ λόγος, τουτέστιν ὁ τῆς ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΗ πρὸς ΗΓ καὶ τοῦ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς
τῷ τῆς ΕΓ πρὸς ΕΒ· ὥστε ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ259

260

ΕΒΓ συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΕΓ πρὸς ΕΒ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΓ, ΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒ, ΓΗ. ὡς δὲ ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἐστὶν διὰ τὸ προγεγραμμένον λῆμμα τὸ
5ὑπὸ ΔΕ, ΖΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΖ, ΘΕ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΕΒ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΔΕ, ΖΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΖ, ΘΕ. εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ, Κ, Γ· τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς πτωτικοῖς τῶν ἀναστροφίων.
10 ιθʹ. Εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ ἀπό τινος σημείου τοῦ Ε δύο διήχθω‐ σαν αἱ ΕΖ, ΕΒ, ἔστω δέ, ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΘΗ· ὅτι γίνε‐
15ται καί, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ. ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ΛΚ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΕΖ260

261

πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ, ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΗΚ, ὡς δὲ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΗΛ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΔΕ
5πρὸς τὴν ΗΛ. ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΛ. ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ. ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ.
10 τὰ δὲ πτωτικὰ ὁμοίως. κʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς Α, Δ γωνίας· ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΔΖ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΔΖ τρίγωνον. ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΒΗ, ΕΘ.
15 ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Α γωνία τῇ Δ, ἡ δὲ Η τῇ Θ, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΘ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗ, ΑΓ, ὡς δὲ ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΘ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΕΔΖ πρὸς τὸ ὑπὸ
20ΕΘ, ΔΖ· ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗ, ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΔΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΔΖ· καὶ ἐναλλάξ. ἀλλ’ ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗ, ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΔΖ, οὕτως ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον· ἑκα‐ τέρα γὰρ τῶν ΒΗ, ΕΘ κάθετός ἐστιν ἑκατέρου τῶν
25εἰρημένων τριγώνων· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ261

262

ὑπὸ ΕΔΖ, οὕτως ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον. καʹ. Ἔστωσαν δὴ αἱ Α, Δ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· ὅτι πάλιν γίνεται, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΔΖ, οὕ‐
5τως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον. ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ, καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΑΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ. ἐπεὶ οὖν αἱ Α, Δ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ἀλλὰ καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΗ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς, ἴση
10ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΑΗ γωνία τῇ Δ. ἔστιν οὖν, ὡς τὸ ὑπὸ ΗΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΔΖ, οὕτως τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον. ἴση δέ ἐστιν ἡ μὲν ΗΑ τῇ ΑΒ, τὸ δὲ ΗΑΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΔΖ, οὕτως τὸ ΑΒΓ
15τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον. κβʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἐπ’ αὐτῆς δύο σημεῖα τὰ Γ, Δ, ἔστω δὲ τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ, ΓΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΒ· ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ ΑΔ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΔΒ τετρα‐ γώνοις.
20 ἐπεὶ γὰρ τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ, ΓΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΓΒ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ δὶς ὑπὸ ΒΔΓ· λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ ΑΔΓ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΔ, ΔΒ τετραγώ‐
νοις. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΓΔ τετράγωνον· λοι‐262

263

πὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ ΑΓΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΒ τετραγώνῳ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΑΓ τετράγωνον· ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΔ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΔΒ τετραγώνοις.
5 κγʹ. Ἔστω τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ ΒΔ τετραγώνῳ· ὅτι γίνεται γ, τὸ μὲν ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΔΓ καὶ τῆς ΒΔ ἴσον τῷ ὑπὸ ΑΔ, ΔΓ, τὸ δὲ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΔΓ καὶ τῆς ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΓ τετραγώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΔΓ καὶ τῆς ΒΑ ἴσον τῷ
10ἀπὸ ΑΔ τετραγώνῳ. ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΔ, ἀνά‐ λογον καὶ ὅλη πρὸς ὅλην καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι· ἔστιν ἄρα, ὡς συναμφότερος ἡ ΓΔ, ΔΑ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου
15τῆς ΑΔ, ΔΓ καὶ τῆς ΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ. πάλιν, ἐπεὶ ὅλη ἡ ΑΔ πρὸς ὅλην τὴν ΔΓ ἐστιν, ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, συνθέντι ἐστίν, ὡς συναμφότερος ἡ ΑΔΓ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΔΓ καὶ τῆς ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ
20ἀπὸ ΔΓ. πάλιν, ἐπεὶ ὅλη ἡ ΑΔ πρὸς ὅλην τὴν ΔΓ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι ἐστίν, ὡς συναμφότερος ἡ ΓΔΑ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΔΓ καὶ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΑΔ τετραγώνῳ.
25 κδʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δύο σημεῖα τὰ Γ, Δ, καὶ ἔστω τὸ ἀπὸ ΓΔ τετράγωνον ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ ΑΓ, ΒΔ· ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΓΒ τετραγώνοις.
ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ ΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΓ, ΔΒ,263

264

τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ ΑΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ τῆς ΓΔ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓΔ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΑΓ· τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΑΔ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΒΓ· ὅλον ἄρα τὸ
5ἀπὸ ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΓΒ τετραγώνοις. κεʹ. Ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ· ὅτι γίνεται γ, τὸ μὲν ὑπὸ τῆς τῶν ΑΔ, ΔΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΔ ἴσον τῷ ὑπὸ ΑΔΓ, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΔΓ
10ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ τετραγώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΔ, ΔΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΑ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ τετραγώνῳ. ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΒΓ, λοιπὴ πρὸς λοιπὴν καὶ διελόντι· ἔστιν
15οὖν, ὡς ἡ τῶν ΑΔ, ΔΓ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν ΑΔ, ΔΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΔΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ. πάλιν, ἐπεὶ λοιπὴ ἡ ΑΔ πρὸς λοιπὴν τὴν ΔΓ ἐστιν, ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, διελόντι ἐστίν, ὡς ἡ τῶν ΑΔΓ
20ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν ΑΔ, ΔΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ τετραγώνῳ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, ἀνά‐ παλιν καὶ διελόντι ἐστίν, ὡς ἡ τῶν ΑΔ, ΔΓ ὑπεροχὴ
25πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν ΑΔ, ΔΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ
ἀπὸ τῆς ΑΔ τετραγώνῳ.264

265

 κϛʹ. Ἔστω, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετραγώνῳ. κείσθω τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΔΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΑΓ μετὰ
5τοῦ ἀπὸ ΓΔ, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΓΔΕ, ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΔ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ, διελόντι ἐστίν, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑ, ΒΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΔΕ· ἴσον ἄρα ἐστὶν
10τὸ ὑπὸ ΑΕ, ΒΓ τῷ ὑπὸ ΓΔΕ. ἀνάλογον καὶ διελόντι ἐστίν, ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΕ, τουτέστιν πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς λοιπὴν τὴν ΒΔ ἐστιν, ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΒΓ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετραγώνῳ.
15 κζʹ. Ἔστω δὲ πάλιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ τετράγωνον· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετραγώνῳ. κείσθω γὰρ ὁμοίως τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΔΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΑΕ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΕΔΓ, ἴσον
20τῷ ἀπὸ ΑΔ. καὶ γίνεται κατὰ διαίρεσιν, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑ, ΓΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΔΓ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕ, ΓΒ τῷ ὑπὸ ΕΔΓ. ἀνάλογον καὶ συν‐ θέντι ἐστίν, ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΕ, τουτέστιν πρὸς
25τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ὅλην τὴν ΒΔ ἐστιν, ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΒΓ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετρα‐
γώνῳ.265

266

 κηʹ. Κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτέσθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ, καὶ διήχθω τυχοῦσα ἡ ΔΒ· ὅτι γίνεται, ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ.
5 ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΑ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΖΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΖΕ, τὸ δὲ ἀπὸ ΔΑ ἐστιν τὸ ὑπὸ ΒΔΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΖΕ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΔΕ. ἐὰν δὲ ᾖ τοῦτο, γίνεται, ὡς ἡ ΒΔ
10πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ. κθʹ. Τμήματος δοθέντος τοῦ ἐπὶ τῆς ΑΒ κλάσαι εὐ‐ θεῖαν τὴν ΑΓΒ ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι. γεγονέτω, καὶ διήχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐφαπτομένη ἡ ΓΔ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς
15ΔΒ. λόγος δὲ τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ δοθείς·
ὥστε καὶ ὁ τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς. καί ἐστιν δύο266

267

δοθέντα τὰ Α, Β· δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ Δ· ὥστε καὶ τὸ Γ δοθέν. Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω τὸ μὲν τμῆμα τὸ ΑΒΓ, ὁ δὲ λόγος ὁ τῆς Ε πρὸς τὴν Ζ, καὶ
5πεποιήσθω, ὡς τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη ἡ ΔΓ, καὶ ἐπεζεύχ‐ θωσαν αἱ ΑΓ, ΓΒ. λέγω, ὅτι αἱ ΑΓ, ΓΒ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως
10ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ διὰ τὸ ἐφάπτεσθαι τὴν ΓΔ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ· ὥστε καί, ὡς ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ. ἡ ΑΓΒ ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα.
15 λʹ. Κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἀπὸ τυχόντος ἐπ’ αὐτὴν κάθετος ἡ ΔΕ, διήχθω ἡ ΔΖ, ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ καὶ ἐκβεβλήσθω, καί, καθ’ ὃ συμπίπτει τῇ διαμέτρῳ, ἔστω τὸ Η· ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ.
20ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ, ΑΕ, ΑΖ.267

268

 ἐπεὶ οὖν ἐπὶ διάμετρον κάθετος ἡ ΔΕ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ. ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΘΖΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση ἐστὶν τῇ ἐκτὸς τετραπλεύρου τῇ ὑπὸ ΒΖΗ· καὶ ἡ
5ὑπὸ ΘΖΒ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΖΗ. καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΖΒ γωνία· διὰ δὴ τὸ λῆμμα γίνεται, ὡς ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΒΘ. λαʹ. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ ἀπὸ τῶν Α, Β σημείων τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαι γραμμαὶ
10ἤχθωσαν αἱ ΒΔ, ΑΕ, καὶ ἤχθω τυχοῦσα ἡ ΔΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΔΕ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΖΗ συμπιπτέτω τῇ ΑΒ κατὰ τὸ Η· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ. ὅτι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἡ ΗΒ
15πρὸς τὴν ΒΔ. περὶ ἴσας γωνίας ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευ‐ ραί· ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΗΕ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΒΔΗ γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΗΕ ἴση ἐστὶν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ ΑΖΕ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΔΗ πάλιν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ ΒΖΗ· ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν
20ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΖΗ γωνίᾳ. ἔστιν δέ· ὀρθὴ
γάρ ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΖΒ, ΕΖΗ γωνιῶν.268

269

 λβʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ ΑΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ ἐπὶ τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ διήχθω ἡ ΔΕ ποιοῦσα ἴσον τὸ ΒΔΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ· ὅτι, ἐὰν δίχα τμηθῇ μία τῶν ἴσων πλευρῶν ἡ πρὸς τῷ
5ἴσῳ τριγώνῳ τῇ ΒΖ, γίνεται, ὡς συναμφότερος ἡ ΖΒΗ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΖ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ τετράγωνον. ἤχθω διὰ τοῦ Β τῇ ΔΕ παράλληλος ἡ ΒΚ, καὶ ἐκ‐ βεβλήσθω ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ Κ· ὅτι ἄρα ἐστίν, ὡς συναμφό‐
10τερος ἡ ΖΚ, ΚΘ πρὸς τὴν ΖΘ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ συναμ‐ φοτέρου τῆς ΖΚ, ΚΘ καὶ τῆς ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΖ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ τετρά‐ γωνον. τὸ δὴ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΖΚΘ καὶ τῆς ΖΘ, τουτέστιν ἡ τῶν ἀπὸ ΖΚ, ΚΘ ὑπεροχή, ἴση ἐστὶν τῷ
15ἀπὸ ΑΖ· ἡ ἄρα τῶν ἀπὸ ΚΖ, ΖΑ ὑπεροχή ἐστιν τὸ ἀπὸ ΚΘ. ἀλλὰ ἡ τῶν ἀπὸ ΚΖ, ΖΑ ὑπεροχή ἐστιν τὸ ὑπὸ ΓΚΑ· ὅτι ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΚΑ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΘΚ· ὅτι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΘ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΚΑ, τουτ‐
20έστιν ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΑ. ἔστιν δέ· παράλληλος γάρ
ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΔΓ, ἐπειδὴ τὸ ΔΒΕ τρίγωνον ἴσον ἐστὶν269

270

τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ, κοινοῦ δ’ ἀφαιρουμένου τοῦ ΑΒΕ λοιπὸν τὸ ΔΑΕ λοιπῷ τῷ ΑΓΕ ἐστιν ἴσον καί ἐστιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως. λγʹ. Κύκλος περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθω
5ἡ ΑΒ καὶ ἔστω ἐπὶ τυχοῦσαν τὴν ΔΕ κάθετος, καὶ τῷ ὑπὸ ΑΖΒ ἴσον κείσθω τὸ ἀπὸ ΖΗ τετράγωνον· ὅτι, οἷον ἐὰν ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ Ε, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευχθεῖσα
10ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Θ, γίνε‐ ται καὶ τὸ ὑπὸ ΘΕΚ ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΗ τετρα‐ γώνῳ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ,
15ΒΛ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Α γωνία. ἔστιν δὲ καὶ ἡ Ζ ὀρθή· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕΛ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΖΒ καὶ τῷ ἀπὸ ΖΕ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΕΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΘΕΚ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΖΒ ἴσον ἐστὶν
20τῷ ἀπὸ ΖΗ τετραγώνῳ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΘΕΚ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΗ τετραγώνοις, τουτέστιν τῷ ἀπὸ ΕΗ τετραγώνῳ. λδʹ. Ἔστω, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον·
25ὅτι γίνεται τρία, τὸ μὲν ὑπὸ ΒΕΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΓ τετραγώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ ΒΔΕ τῷ ὑπὸ ΑΔΓ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒΓ τῷ ὑπὸ ΕΒΔ. ἐπεὶ γάρ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, συνθέντι καὶ τὰ ἡμίση τῶν ἡγουμένων καὶ
30ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ, ἡ ΕΓ270

271

πρὸς τὴν ΕΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΓ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΔΕ τετράγωνον· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΔΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΔΓ. πάλιν τὸ ὑπὸ ΒΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΓ τετραγώνῳ. ἀμφότερα
5ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ τετραγώνου· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΒΔ. Ἀλλὰ ἔστω νῦν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΓΑ κατὰ τὸ Ε· ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ.
10 ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΔΕ τετράγωνον· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΕΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΕ τετραγώνῳ. ἀνάλογον καὶ ἀναστρέψαντι καὶ δὶς τὰ ἡγούμενα καὶ διελόντι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ.
15 λεʹ. Τούτων ὄντων ἔστω κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ, ἔστω δὲ ἐπὶ τυχοῦσαν τὴν ΔΕ κάθετος, καὶ πε‐ ποιήσθω, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἡ ΑΗ
20πρὸς τὴν ΗΒ· ὅτι πά‐ λιν, οἷον ἐὰν ἐπὶ τῆς ΕΔ σημεῖον ληφθῇ ὡς τὸ Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΗ ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Θ,
25γίνεται, ὡς ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΚ. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΕΘ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ
30ΚΜ τῇ ΜΘ. ἐπεὶ δὲ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν Μ, Ζ γωνιῶν, ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Ε, Ζ, Λ, Μ σημεῖα· τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΗΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΗΜ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ
τῶν ΖΗΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ διὰ τὸ εἶναι,271

272

ὡς τὴν ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως τὴν ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, καὶ τετμῆσθαι τὴν ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Λ· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΕΗΜ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ, τουτέστιν· ἐν κύκλῳ γάρ· τῷ ὑπὸ τῶν ΘΗΚ. καὶ τέτμηται δίχα ἡ
5ΘΚ κατὰ τὸ Μ· διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον γίνεται, ὡς ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΚ. λϛʹ. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ παράλληλος τῇ ΑΒ ἡ ΓΔ, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΓΕ, ΔΗ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΗΒ.
10 εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχ‐ θωσαν αἱ ΓΖ, ΖΔ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ τῇ ΖΔ· ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ ΓΖ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶν
15τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕ, ΕΖ τετράγωνα, τῷ δὲ ἀπὸ ΔΖ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ΔΗ, ΗΖ τε‐ τράγωνα· καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕ, ΕΖ ἄρα τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΗ, ΗΔ
20τετραγώνοις. ὧν τὸ ἀπὸ ΓΕ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΗ τετραγώνῳ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον λοιπῷ τῷ ἀπὸ ΖΗ τετραγώνῳ ἐστὶν ἴσον· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΑΖ ὅλῃ τῇ ΖΒ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΕ λοιπῇ τῇ ΗΒ ἐστιν
25ἴση· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. λζʹ. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ ἀπὸ τυχόντος τοῦ Γ διήχθω ἡ ΓΔ, καὶ κάθετος ἤχθω ἡ ΔΕ· ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΓ τοῦ ἀπὸ ΓΔ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓ, ΓΒ καὶ τῆς ΑΕ.
30ὅτι ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ ΔΓ, τουτ‐
έστιν τοῖς ἀπὸ ΔΕ, ΕΓ, καὶ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς272

273

ΑΓΒ καὶ τῆς ΑΕ. ὅτι ἄρα κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ὑπὸ ΓΑΕ λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΑΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ ΔΕ, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΑΕΒ, καὶ τῷ ἀπὸ ΓΕ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ, ΓΒ. κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ ΓΕ, ὅτι
5λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΑΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΕΒ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ, ΒΓ. ἔστιν δέ.
7tΕἰς τὸ πόρισμα τοῦ αʹ βιβλίου.
8 ληʹ. Θέσει ὄντος παραλληλογράμμου τοῦ ΑΔ ἀπὸ δο‐ θέντος τοῦ Ε διαγαγεῖν τὴν ΕΖ καὶ ποιεῖν ἴσον τὸ ΖΓΗ
10τρίγωνον τῷ ΑΔ παραλληλογράμμῳ. γεγονέτω. ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶν τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ ΑΔ παρ‐ αλληλογράμμῳ, τὸ δὲ ΑΔ παρ‐ αλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστιν
15τοῦ ΑΓΔ τριγώνου, καὶ τὸ ΖΓΗ ἄρα τρίγωνον διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΑΓΔ τριγώνου. ὡς δὲ τὸ τρί‐ γωνον πρὸς τὸ τρίγωνον, διὰ τὸ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν Γ
20οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓΔ. δοθὲν
δὲ τὸ ὑπὸ ΑΓΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΖΓΗ. καὶ δο‐273

274

θέντος τοῦ Ε εἰς θέσει τὰς ΑΓ, ΓΔ διῆκται εἰς χωρίου ἀποτομήν· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ. συντεθήσεται δὲ οὕτως· ἔστω τὸ μὲν τῇ θέσει παρ‐ αλληλόγραμμον τὸ ΑΔ, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Ε. διήχθω ἀπὸ
5τοῦ Ε εἰς θέσει τὰς ΖΓΗ εὐθεῖα ἡ ΕΖ ἀποτέμνουσα χωρίον τὸ ΖΓΗ ἴσον δοθέντι χωρίῳ τῷ διπλασίονι τοῦ ΑΓΔ. καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ τῇ ἀναλύσει δείξομεν ἴσον τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ ΑΔ παραλληλογράμμῳ· ἡ ΕΖ ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα. φανερὸν οὖν, ὅτι μόνη, ἐπεὶ
10κἀκείνη μόνη.
11tΤόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ.
12Pappus Συναγ. VII 3 p. 636, 23:
14Εὐκλείδου Τόπων πρὸς ἐπιφανείᾳ δύο.
17Pappus Συναγ. VII 312 p. 1004, 16 sqq.: Εἰς τοὺς πρὸς ἐπιφανείᾳ. αʹ. Ἐὰν ᾖ εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ
20παρὰ θέσει ἡ ΓΔ, καὶ ᾖ λόγος τοῦ ὑπὸ ΑΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ, τὸ Γ ἅπτεται κωνικῆς γραμμῆς. ἐὰν οὖν ἡ μὲν ΑΒ στερηθῇ τῆς θέσεως, καὶ τὰ Α, Β στερηθῇ τοῦ
25δοθέντα εἶναι, γένηται δὲ πρὸς θέσει εὐθείαις ταῖς ΑΕ,274

275

ΕΒ, τὸ Γ μετεωρισθὲν γίνεται πρὸς θέσει ἐπιφανείᾳ. τοῦτο δὲ ἐδείχθη. βʹ. Ἐὰν ᾖ θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δοθὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, καὶ διαχθῇ ἡ ΔΓ, καὶ
5παρὰ θέσει ἀχθῇ ἡ ΔΕ, λόγος δὲ ᾖ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΕ, τὸ Δ ἅπτεται θέσει κωνι‐ κῆς τομῆς· δείκνυται δέ, ὅτι γραμμῆς. δειχθήσεται δὲ οὕτως προγραφέντος τό‐ που τοῦδε·
10 Δύο δοθέντων τῶν Α, Β καὶ ὀρθῆς τῆς ΓΔ λόγος ἔστω τοῦ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὰ ἀπὸ ΓΔ, ΔΒ. λέγω, ὅτι τὸ Γ ἅπτεται κώνου τομῆς, ἐάν τε ᾖ ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον ἢ μείζων πρὸς ἐλάσσονα ἢ ἐλάσσων πρὸς μείζονα.
15ἔστω γὰρ πρότερον ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΑΔ τοῖς ἀπὸ ΓΔ, ΔΒ, κείσθω τῇ ΒΔ ἴση ἡ ΔΕ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΒΑΕ τῷ ἀπὸ ΔΓ. τετμήσθω
20δίχα ἡ ΑΒ τῷ Ζ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. καὶ ἔσται διπλῆ ἡ ΑΕ τῆς ΖΔ· ὥστε τὸ ὑπὸ ΒΑΕ τὸ δίς ἐστιν ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. καί ἐστιν ἡ διπλῆ τῆς ΑΒ δοθεῖσα· τὸ ἄρα ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ΖΔ ἴσον
25ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ. τὸ Γ ἄρα ἅπτεται θέσει παρα‐ βολῆς ἐρχομένης διὰ τοῦ Ζ. συντεθήσεται δὴ ὁ τόπος οὕτως·
ἔστω τὰ δοθέντα Α, Β, ὁ δὲ λόγος ἔστω ἴσος πρὸς275

276

ἴσον, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα τῷ Ζ, τῆς δὲ ΑΒ διπλῆ ἔστω ἡ Ρ, καὶ θέσει οὔσης εὐθείας τῆς ΖΒ πεπερασ‐ μένης κατὰ τὸ Ζ, τῆς δὲ Ρ δεδομένης τῷ μεγέθει, γε‐ γράφθω περὶ ἄξονα τὸν ΖΒ παραβολὴ ἡ ΗΖ, ὥστε,
5οἷον ἐὰν ἐπ’ αὐτῆς σημεῖον ληφθῇ ὡς τὸ Γ, κάθετος δὲ ἀχθῇ ἡ ΓΔ, ἴσον εἶναι τὸ ὑπὸ Ρ, ΖΔ τῷ ἀπὸ ΔΓ, καὶ ἤχθω ὀρθὴ ἡ ΒΗ. λέγω, ὅτι τὸ ΓΗ μέρος τῆς παρα‐ βολῆς ἐστιν. ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ ΓΔ, καὶ τῇ ΒΔ ἴση κείσθω
10ἡ ΔΕ. ἐπεὶ οὖν διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΒΖ, ἡ δὲ ΕΒ τῆς ΒΔ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΖΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΑΕ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ, τουτ‐ έστιν τῷ ἀπὸ ΔΓ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΔ ἴσον ὂν τῷ ἀπὸ ΔΒ· ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΔ ἴσον ἐστὶν
15τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΔ, ΔΒ. ἡ ΖΓΗ ἄρα γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον. Ἔστω δὴ πάλιν τὰ δύο δοθέντα σημεῖα τὰ Α, Β καὶ
εὐθεῖά τε ἡ ΔΓ καὶ ὀρθή, λόγος δὲ ἔστω τοῦ ἀπὸ ΑΔ276

277

πρὸς τὰ ἀπὸ ΒΔ, ΔΓ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων πρὸς ἐλάσσονα. λέγω, ὅτι τὸ Γ ἅπτεται κώνου τομῆς, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλλείψεως, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας
5ὑπερβολῆς. ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὰ ἀπὸ ΒΔ, ΔΓ, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ· ἐπὶ μὲν οὖν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΒΔ τῆς ΔΕ, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων ἐστὶν ἡ ΒΔ
10τῆς ΔΕ. κείσθω οὖν τῇ ΕΔ ἴση ἡ ΔΖ. ἐπεὶ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὰ ἀπὸ ΓΔ, ΔΒ, καί ἐστιν αὐτῷ
ὁ αὐτὸς ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ, καὶ λοιπὸς277

278

ἄρα τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ λόγος ἐστὶν δο‐ θείς. ἐπεὶ δὲ λόγος ἐστὶν τῆς ΕΔ πρὸς ΔΒ καὶ τῆς ΖΔ πρὸς ΔΒ καὶ τῆς ΖΒ πρὸς ΒΔ, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΗ· καὶ ὅλης ἄρα τῆς ΑΖ
5πρὸς ΔΗ λόγος ἐστὶν δοθείς. πάλιν, ἐπεὶ λόγος ἐστὶν τῆς ΕΔ πρὸς ΔΒ δοθείς, καὶ τῆς ΕΒ ἄρα πρὸς ΒΔ λόγος ἐστὶν δοθείς. ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΘ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΘ ἐστιν δοθείς· δοθὲν ἄρα τὸ Θ. καὶ λοιπὸς τῆς ΑΕ πρὸς ΘΔ λόγος
10ἐστὶν δοθείς· καὶ τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔΗ λόγος ἐστὶ δοθείς. τοῦ δὲ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ λόγος ἐστὶν δοθείς· καὶ τοῦ ὑπὸ ΗΔΘ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ λόγος ἐστὶν δοθείς. καί ἐστιν δύο δοθέντα τὰ Θ, Η· ἐπὶ μὲν ἄρα τῆς πρώτης πτώσεως τὸ Γ ἅπτεται
15ἐλλείψεως, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολῆς. συντεθήσεται δὲ ὁ τόπος οὕτως· ἔστω τὰ μὲν δύο δοθέντα σημεῖα τὰ Α, Β, ὁ δὲ δο‐ θεὶς λόγος ὁ τῆς ΡΤ πρὸς ΤΣ, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώ‐
σεως ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων278

279

πρὸς ἐλάσσονα, καὶ τῇ ΡΤ ἴση κείσθω ἡ ΤΥ, καὶ πε‐ ποιήσθω, ὡς ἡ ΥΣ πρὸς τὴν ΣΤ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, πεποιήσθω δὲ καί, ὡς ἡ ΡΤ πρὸς τὴν ΤΣ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ, καὶ γεγράφθω περὶ ἄξονα
5τὸν ΘΗ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἔλλειψις, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολή, ὥστε, οἷον ἐὰν ἐπ’ αὐτῆς ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ Γ, καὶ κάθετος ἀχθῇ ἡ ΓΔ, λόγον εἶναι τοῦ ὑπὸ τῶν ΘΔΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ τὸν συνημμένον ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ, καὶ
10ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ, καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ὁ δοθεὶς λόγος, ὅς ἐστιν ὁ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, καὶ ἤχθω ὀρθὴ ἡ ΒΚ. λέγω, ὅτι ἡ ΘΚ ποιεῖ τὸ ἐπίταγμα. ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ ΓΔ, καὶ πεποιήσθω, ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΔ, ὡς δὲ ἡ
15ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΒ· ὥστε ἔσται ὁ μὲν τῆς ΔΗ πρὸς τὴν ΑΖ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΗΒ πρὸς τὴν ΒΑ, τουτέστιν τῷ τῆς ΤΣ πρὸς ΣΥ, ὁ δὲ τῆς ΘΔ πρὸς ΑΕ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΤΣ πρὸς ΣΡ· τὸ αὐτὸ γὰρ ἐν τῇ ἀναλύσει ἀπεδείχθη· ὥστε
20τοῦ ὑπὸ ΘΔΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ λόγος συνῆπται ἐξ οὗ279

280

ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ. ἀλλ’ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΘΔΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ τὸν συνημμένον ἔχει λόγον ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ, καὶ ἔτι ὁ δοθεὶς λόγος ὁ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ,
5καὶ τὸ ὑπὸ ΘΔΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ συνῆπται ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ ΘΔΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ καὶ τὸ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ, καί ἐστιν ὁ τοῦ ὑπὸ τῶν ΘΔΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ συνημμένῳ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ, λοιπὸς ἄρα
10τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, τουτέστι τῷ τοῦ ἀπὸ ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ. καὶ πάντα πρὸς πάντα· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὰ ἀπὸ ΓΔ, ΔΒ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, τουτέστιν ὁ δο‐
15θεὶς λόγος· ὥστε τὸ ΘΚ μέρος τῆς τομῆς ποιεῖ τὸν τόπον. Τούτων οὕτως ἐχόντων ἐλευσόμεθα ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς. ἔστω θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δοθὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, καὶ διήχθω ἡ ΔΓ καὶ κάθετος ἡ ΔΕ, λόγος δὲ
20ἔστω τῆς ΓΔ πρὸς ΔΕ. λέγω, ὅτι τὸ Δ ἅπτεται κώνου τομῆς, καὶ ἐὰν μὲν ὁ λόγος ᾖ ἴσος πρὸς ἴσον, παραβολῆς, ἐὰν δὲ ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐλλείψεως, ἐὰν δὲ μείζων πρὸς ἐλάσσονα, ὑπερβολῆς. ἔστω πρότερον ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον, τουτέστιν ἔστω
25πρότερον ἴση ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ. δεῖξαι, ὅτι τὸ Δ ἅπτεται παραβολῆς. ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ· θέσει ἄρα ἐστί· τῇ δὲ ΑΒ
παράλληλος ἡ ΔΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΕΔ ἴσον τῷ ἀπὸ280

281

ΔΓ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΕΔ τῇ ΖΗ, τὸ δὲ ἀπὸ ΔΓ ἴσον τοῖς ἀπὸ ΔΗ, ΗΓ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΖΗ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΔΗ, ΗΓ. καὶ ἔστιν θέσει ἡ ΖΓ, καὶ δύο δοθέντα τὰ Ζ, Γ· τὸ Δ ἄρα ἅπτεται παραβολῆς· τοῦτο γὰρ προ‐
5δέδεικται. συντεθήσεται δὴ οὕτως· ἔστω ἡ τῇ θέσει ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Γ, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ, καὶ θέσει οὔσης τῆς ΓΖ καὶ δύο δοθέν‐ των τῶν Ζ, Γ εὑρήσθω παραβολὴ ἡ ΔΘ, ὥστε, οἷον
10ἐὰν ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ Δ, ἀχθῇ δὲ κάθετος ἡ ΔΗ, ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ ΔΗ, ΗΓ. λέγω, ὅτι ἡ ΔΘ γραμμὴ τὸν τόπον ποιεῖ, τουτέστιν ὅτι, οἵα τις ἐὰν διαχθῇ ὡς ἡ ΓΔ καὶ κάθετος ἡ ΔΕ, ἴση ἐστὶν ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ.
15 ἤχθω κάθετος ἡ ΔΗ· διὰ ἄρα τῆς παραβολῆς ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ ΔΗ, ΗΓ. καί ἐστιν τῇ μὲν ΖΗ ἴση ἡ ΕΔ, τοῖς δὲ ἀπὸ ΔΗ, ΗΓ ἴσον τὸ ἀπὸ ΔΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΕ. ἴση ἄρα ἐστὶν
ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ· ἡ ἄρα ΔΘ γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον.281

282

(1t)

Κωνικά.
2 Pappus Συναγ. VII 30 p. 672, 18 sqq.: Τὰ Εὐκλείδου βιβλία δ Κωνικῶν Ἀπολλώνιος ἀνα‐ πλώσας καὶ προσθεὶς ἕτερα δ παρέδωκεν η Κωνικῶν
5τεύχη. Scholiasta Pappi III p. 1187 ad hunc locum: ὅτι καὶ ὁ Εὐκλείδης κωνικῶν δ βιβλία γέγραφεν.
9Apollonius Pergaeus Conic. I p. 4, 10 sqq.:
10 Τὸ δὲ τρίτον πολλὰ καὶ παράδοξα θεωρήματα χρήσιμα πρός τε τὰς συνθέσεις τῶν στερεῶν τόπων καὶ τοὺς διορισμούς, ὧν τὰ πλεῖστα καὶ κάλλιστα ξένα, ἃ καὶ κατανοήσαντες συνείδομεν μὴ συντιθέμενον ὑπὸ Εὐκλεί‐ δου τὸν ἐπὶ τρεῖς καὶ τέσσαρας γραμμὰς τόπον, ἀλλὰ
15μόριον τὸ τυχὸν αὐτοῦ καὶ τοῦτο οὐκ εὐτυχῶς· οὐ γὰρ ἦν δυνατὸν ἄνευ τῶν προσευρημένων ἡμῖν τελειωθῆναι τὴν σύνθεσιν.
19Pappus VII 33 p. 676, 19 sqq.: Ἀπολλώνιος μὲν ταῦτα·
20ὃν δέ φησιν ἐν τῷ τρίτῳ τόπον ἐπὶ γ καὶ δ γραμμὰς μὴ τελειωθῆναι ὑπὸ Εὐκλείδου, οὐδ’ ἂν αὐτὸς ἠδυνήθη οὐδ’ ἄλλος οὐδεὶς ἀλλ’ οὐδὲ μικρόν τι προσθεῖναι τοῖς ὑπὸ Εὐκλείδου γραφεῖσιν διά γε μόνων τῶν προδεδειγ‐ μένων ἤδη κωνικῶν ἄχρι τῶν κατ’ Εὐκλείδην, ὡς καὶ
25αὐτὸς μαρτυρεῖ λέγων ἀδύνατον εἶναι τελειωθῆναι, χω‐ ρὶς ὧν αὐτὸς προγράφειν ἠναγκάσθη. ὁ δὲ Εὐκλείδης ἀποδεχόμενος τὸν Ἀρισταῖον ἄξιον ὄντα, ἐφ’ οἷς ἤδη παραδεδώκει κωνικοῖς, καὶ μὴ φθάσας ἢ μὴ θελήσας
ἐπικαταβάλλεσθαι τούτων τὴν αὐτὴν πραγματείαν ..,282

283

ὅσον δυνατὸν ἦν τοῦ τόπου διὰ τῶν ἐκείνου κωνικῶν, ἔγραψεν οὐκ εἰπὼν τέλος ἔχειν τὸ δεικνύμενον.
5 Archimedes Quadrat. parabol. prop. 1—3 (II p. 266 sqq.): Εἴ κα ᾖ ὀρθογωνίου κώνου τομά, ἐφ’ ἇς ἁ ΑΒΓ, ἁ δὲ ΒΔ παρὰ τὰν διά‐ μετρον ἢ αὐτὰ διάμετρος,
10ἁ δὲ ΑΓ παρὰ τὰν κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσαν τᾶς τοῦ κώ‐ νου τομᾶς, ἴσα ἐσσεῖται ἁ ΑΔ τᾷ ΔΓ. κἂν ἴσα ᾖ ἁ ΑΔ τᾷ ΔΓ, παραλλήλοι ἐσ‐
15σοῦνται ἅ τε ΑΓ καὶ ἁ κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς. Εἴ κα ᾖ ὀρθογωνίου κώ‐ νου τομὰ ἁ ΑΒΓ, ᾖ δὲ ἁ
20μὲν ΒΔ παρὰ τὰν διά‐ μετρον ἢ αὐτὰ διάμετρος, ἁ δὲ ΑΔΓ παρὰ τὰν κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσαν τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς, ἁ δὲ ΕΓ τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς ἐπιψαύουσα κατὰ τὸ Γ, ἐσσοῦνται αἱ ΒΔ, ΒΕ ἴσαι.
25 Εἴ κα ᾖ ὀρθογωνίου κώνου τομὰ ἁ ΑΒΓ, ἁ δὲ ΒΔ παρὰ τὰν διάμετρον ἢ αὐτὰ διάμετρος, καὶ ἀχθέωντί τινες αἱ ΑΔ, ΕΖ παρὰ τὰν κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσαν τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς, ἐσσεῖται, ὡς ἁ ΒΔ ποτὶ τὰν ΒΖ, δυ‐ νάμει ἁ ΑΔ ποτὶ τὰν ΕΖ.
30 ἀποδέδεικται δὲ ταῦτα ἐν τοῖς κωνικοῖς στοι‐ χείοις. Archimedes Περὶ κωνοειδ. καὶ σφαιροειδ. prop. 3
(I p. 270, 15 sqq.):283

284

 Εἰ κα κώνου τομᾶς ὁποιασοῦν εὐθεῖαι ἐπιψαύωντι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σαμείου ἀγμέναι, ἔωντι δὲ καὶ ἄλλαι εὐθεῖαι ἐν τᾷ τοῦ κώνου τομᾷ παρὰ τὰς ἐπιψαυούσας ἀγμέναι καὶ τέμνουσαι ἀλλάλας, τὰ περιεχόμενα ὑπὸ
5τῶν τμαμάτων τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον ποτ’ ἄλλαλα, ὃν τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ἐπιψαυουσᾶν· ὁμόλογον δὲ ἐσσεῖται τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν τᾶς ἑτέρας γραμμᾶς τμαμάτων τῷ τετραγώνῳ τῷ ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυούσας τᾶς παραλλήλου αὐτᾷ.
10 ἀποδέδεικται δὲ τοῦτο ἐν τοῖς κωνικοῖς στοι‐ χείοις. Archimedes Περὶ κωνοειδ. prop. 3 (I p. 272, 23 sqq.): Ὃν δὴ λόγον ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ
15ἀπὸ τᾶς ΑΖ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΚ, τοῦτον ἐχέτω ἁ Ν ποτὶ τὰν Μ. αἱ δὴ ἀπὸ τᾶς τομᾶς ἐπὶ τὰν ΔΖ ἀγόμεναι παρὰ τὰν ΑΕ δύνανται τὰ παρὰ τὰν ἴσαν τᾷ Ν παραπίπτοντα
20πλάτος ἔχοντα, ἃς αὐταὶ ἀπολαμβά‐ νοντι ἀπὸ τᾶς ΔΖ ποτὶ τὸ Δ πέρας.
δέδεικται γὰρ ἐν τοῖς κωνικοῖς.284