EUCLIDES :: Catoptrica (recensio Theonis?)

TLG 1799 011 :: EUCLIDES :: Catoptrica (recensio Theonis?) EUCLIDES Geom. (Alexandrinus: 3 B.C.) Scholia: Cf. SCHOLIA IN EUCLIDEM (5022) Catoptrica (recensio Theonis?) Source: Heiberg, J.L. (ed.), Euclidis opera omnia, vol. 7. Leipzig: Teubner, 1895: 286–342. Citation: Section — (line)

Arg	Ὄψιν εἶναι εὐθεῖαν, ἧς τὰ μέσα πάντα τοῖς ἄκροις ἐπιπροσθεῖ. Τὰ ὁρώμενα ἅπαντα κατ’ εὐθείας ὁρᾶσθαι. Ἐνόπτρου τεθέντος ἐν ἐπιπέδῳ καὶ θεωρουμένου
5	τινὸς ὕψους, ὃ πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ ἐπιπέδῳ, γίγνονται ἀνάλογον, ὡς ἡ μεταξὺ τοῦ ἐνόπτρου καὶ τοῦ θεω‐ ροῦντος εὐθεῖα πρὸς τὴν μεταξὺ τοῦ ἐνόπτρου καὶ τοῦ πρὸς ὀρθὰς ὕψους, οὕτω τὸ τοῦ θεωροῦντος ὕψος πρὸς τὸ πρὸς ὀρθὰς τῷ ἐπιπέδῳ ὕψος.
10	Ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐνόπτροις τοῦ τόπου καταληφ‐ θέντος, ἐφ’ ὃν ἡ κάθετος πίπτει ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου, οὐκέτι ὁρᾶται τὸ ὁρώμενον. Καὶ ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις καταληφθέντος τοῦ τόπου, δι’ οὗ ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου εἰς τὸ κέντρον ἄγεται
15	τῆς σφαίρας, οὐκέτι ὁρᾶται τὸ ὁρώμενον. τὸ δ’ αὐτὸ καὶ ἐν τοῖς κοίλοις συμβαίνει. Ἐὰν εἰς ἀγγεῖον ἐμβληθῇ τι καὶ λάβῃ ἀπόστημα ὡς μηκέτι ὁρᾶσθαι, τοῦ αὐτοῦ ἀποστήματος ὄντος ἐὰν ὕδωρ ἐγχυθῇ, ὀφθήσεται τὸ ἐμβληθέν.
1	Ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων καὶ κυρτῶν καὶ κοί‐
1	λων αἱ ὄψεις ἐν ἴσαις γωνίαις ἀνακλῶνται. ἔστω ὄμμα τὸ Β, ἔνοπτρον ἐπίπεδον τὸ ΑΓ, ὄψις δ’ ἀπὸ τοῦ ὄμματος φερέσθω ἡ ΒΚ καὶ ἀνακεκλάσθω	286
5	ἐπὶ τὸ Δ. φημὶ δὴ τὴν Ε γωνίαν ἴσην εἶναι τῇ Ζ. ἤχθωσαν κάθετοι ἐπὶ τὸ ἔνοπτρον αἱ ΒΓ, ΔΑ. οὐκ‐ οῦν ἐστιν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΔΑ πρὸς ΑΚ· τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς ὅροις ὑπέκειτο· ὅμοιον ἄρα τὸ ΒΓΚ τρί‐ γωνον τῷ ΔΑΚ τριγώνῳ. ἴση ἄρα ἡ Ε γωνία τῇ Ζ
10	γωνίᾳ· τὰ γὰρ ὅμοια τρίγωνα ἰσογώνιά ἐστιν. ἔστω δὴ κυρτὸν ἔν‐ [Omitted graphic marker] οπτρον τὸ ΑΚΓ, ὄψις δὲ ἡ ΒΚ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ Δ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν
15	ἡ Ε, Θ γωνία τῇ Ζ, Λ. παρέθηκα ἐπίπεδον ἔν‐ οπτρον τὸ ΝΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Ε γωνία τῇ Ζ. ἀλλὰ καὶ ἡ Θ τῇ Λ· ἐφ‐ άπτεται γὰρ ἡ ΜΝ. ὅλη ἄρα ἡ Ε, Θ ὅλῃ τῇ Λ, Ζ
20	ἐστιν ἴση. ἔστω δὴ πάλιν κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΚΓ, ὄψις δὲ ἡ ΒΚ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ Δ. λέγω, ὅτι ἡ Ε γωνία ἴση ἐστὶ τῇ Ζ. παρατεθέντος γὰρ ἐπιπέδου ἐνόπτρου ἴση γίγνεται ἡ Θ, Ε γωνία τῇ Ζ, Λ· ἴση δὲ καὶ ἡ Θ
25	τῇ Λ· λοιπὴ ἄρα ἡ Ε τῇ Ζ ἴση ἔσται.	288
2	Πρὸς ὁποῖον ἂν τῶν ἐνόπτρων προσπέσῃ ὄψις ἴσας ποιοῦσα γωνίας, αὐτὴ δι’ ἑαυτῆς ἀνακλασθήσεται. ἔστω ἔνοπτρον ἐπίπεδον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψις δὲ ἡ ΒΚ προσπεπτωκέτω ἴσας ποιοῦσα γωνίας
5	τὴν Ε, Ζ τῇ Θ. λέγω, ὅτι ἀνακλωμένη ἡ ΒΚ ἐφ’ ἑαυτῆς ἥξει, τουτέστιν ἐπὶ τὸ Β. μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ἡκέτω ἐπὶ τὸ Δ. καὶ ἐπειδὴ αἱ ὄψεις ἐν ἴσαις ἀνακλῶνται γωνίαις, ἴση ἐστὶν ἡ Ε γωνία τῇ Θ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ Ε, Ζ γωνία τῇ Θ ἴση. καὶ ἡ Ε, Ζ
10	ἄρα γωνία τῇ Ε γωνίᾳ ἔσται ἴση, ἡ μείζων τῇ ἐλάσ‐ σονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. ἡ ἄρα ΒΚ δι’ αὑτῆς ἀνα‐ κλασθήσεται. ἡ δ’ αὐτὴ ἀπόδειξις ἁρμόσειεν ἂν ἐπὶ τῶν κυρτῶν καὶ τῶν κοίλων ἐνόπτρων.
3	Πρὸς ὁποῖον ἂν τῶν ἐνόπτρων προσπίπτουσα ὄψις ἀνίσους ποιῇ γωνίας, οὔτε δι’ ἑαυτῆς ἀνακλασθήσεται οὔτε ἐπὶ τῆς ἐλάσσονος γωνίας. ἔστω ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΑΚΓ, ὄψις δὲ ἡ ΒΚ
5	προσπιπτέτω μείζονα ποιοῦσα γωνίαν τὴν Ζ τῆς Θ, Λ. λέγω, ὅτι ἡ ΒΚ ἀνακλωμένη οὔτε αὐτὴ δι’ ἑαυτῆς
5	ἀνακλασθήσεται οὔτε ἐπὶ τὴν Θ, Λ γωνίαν. εἰ μὲν γὰρ ἥξει ἐπὶ τὸ Β, ἔσται ἡ Ζ γωνία τῇ Θ, Λ ἴση· ὅπερ ἄτοπον· ὑπόκειται γὰρ μείζων. εἰ δὲ διὰ τοῦ Δ,	290
10	ἴση ἔσται ἡ Ζ γωνία τῇ Θ· ἔστι δὲ μείζων. ἡ ἄρα ΒΚ ἀνακλασθήσεται ἐπὶ τὴν μείζονα γωνίαν τὴν Ζ· δυνατὸν γὰρ ἀπὸ τῆς μείζονος τῇ ἐλάσσονι ἴσην ἀφαιρε‐ θῆναι. ἔστι δὲ ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις ἐπὶ τῶν κυρτῶν καὶ κοίλων.
4	Αἱ ὄψεις ἐπὶ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων καὶ κυρτῶν ἀνακλώμεναι οὔτε συμπεσοῦνται ἀλλήλαις οὔτε παρ‐ άλληλοι ἔσονται. ἔστω ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β,
5	ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΓΔ, ΒΑΕ. λέγω, ὅτι αἱ ΓΔ, ΑΕ οὔτε παράλληλοί εἰσιν οὔτε συμπεσοῦνται ἐπὶ τὰ Δ, Ε. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ Ζ γωνία τῇ Θ, ἡ δὲ Κ τῇ Μ, μείζων δὲ ἡ Ζ τῆς Κ διὰ τὸ ἐκτὸς εἶναι ἐν τῷ ΒΑΓ τριγώνῳ, μείζων ἂν εἴη καὶ ἡ Θ τῆς Μ. οὐκ
10	ἄρα παράλληλος ἡ ΓΔ τῇ ΑΕ ἐστιν, οὐδὲ συμπίπτου‐ σιν ἐπὶ τὰ Ε, Δ. ἔστω πάλιν κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ ΑΖΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΖΔ, ΒΗΕ. λέγω,
10	ὅτι αἱ ΖΔ, ΕΗ οὔτε παράλληλοί εἰσιν οὔτε συμ‐	292
15	πεσοῦνται ἐπὶ τὰ Ε, Δ. ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΗΖ εὐθεῖα καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφ’ ἑκάτερα. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ Κ, Θ τῇ Λ διὰ τὸ ἐν ἴσαις ἀνακλᾶσθαι γωνίαις, εἴη ἂν μείζων ἡ Λ, Μ τῆς Κ. ἡ δὲ Κ τῆς Ν, Ξ ἐστι μείζων, ἡ δὲ Ν, Ξ τῆς Ο, Π μείζων· αὐτὴ γὰρ ἡ Ξ ἴση ἐστὶ
20	τῇ Ο, Π· μείζων ἄρα ἡ Λ, Μ τῆς Ο, Π. πολλῷ ἄρα ἡ Λ, Μ τῆς Ο μείζων ἐστίν. οὐκ ἄρα συμπεσοῦνται αἱ ΖΔ, ΗΕ εὐθεῖαι οὐδὲ παράλληλοί εἰσιν.
5	Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἢ ἐπὶ τὸ κέντρον ἢ ἐπὶ τῆς περιφερείας ἢ ἐκτὸς τῆς περιφερείας θῇς τὸ ὄμμα, τουτέστι μεταξὺ τοῦ κέντρου καὶ τῆς περιφερείας, αἱ ὄψεις ἀνακλώμεναι συμπεσοῦνται.
5	ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓΔ, κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ Β, καὶ κείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Β, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀπὸ τοῦ Β ὄψεις πρὸς τὴν περιφέρειαν αἱ ΒΑ, ΒΓ, ΒΔ. ἴσαι ἄρα εἰσὶν αἱ πρὸς τοῖς ση‐ μείοις τοῖς Α, Δ, Γ γωνίαι· ἡμικυκλίου γάρ εἰσιν. αἱ
10	ἄρα ὄψεις ἀνακλώμεναι δι’ ἑαυτῶν ἀνακλασθήσονται αἱ ΒΑ, ΒΓ, ΒΔ· τοῦτο γὰρ δέδεικται. ὥστε συμ‐ πεσοῦνται κατὰ τὸ Β.
10	ἔστω πάλιν κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓΒ, ὄμμα δὲ τὸ Β, κείσθω δὲ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β	294
15	προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΒΓ, ΒΑ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Δ, Ε σημεῖα. ἐπεὶ μεῖζον τὸ ΑΓΒ τμῆμα τοῦ ΒΓ τμήματος, μείζων ἡ Ζ γωνία τῆς Θ γωνίας. καὶ ἡ Η ἄρα τῆς Κ μείζων. αἱ ἄρα Ζ, Η τῶν Θ, Κ μείζους εἰσίν. λοιπὴ ἄρα ἡ Λ τῆς Μ ἐλάσσων· πολλῷ μᾶλλον
20	ἄρα τῆς Ν. συμπεσοῦνται ἄρα αἱ ΓΔ, ΑΕ κατὰ τὸ Ξ. ὁμοίως δειχθήσεται, κἂν ἐκτὸς τῆς περιφερείας πίπτῃ τὸ ὄμμα, ὡς ἐπὶ τοῦ ἑξῆς θεωρήματος.
6	Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἀνὰ μέσον τοῦ κέν‐ τρου καὶ τῆς περιφερείας θῇς τὸ ὄμμα, ὁτὲ μὲν συμ‐ πεσοῦνται αἱ ὄψεις ἀνακλώμεναι, ὁτὲ δὲ οὐ συμπεσοῦνται. ἔστω ἔνοπτρον κοῖλον τὸ ΑΓ, κέντρον δὲ αὐτοῦ
5	τὸ Δ, ὄμμα δὲ κείσθω τὸ Β μεταξὺ τοῦ κέντρου καὶ τῆς περιφερείας, ὄψεις δὲ αἱ ΒΑ, ΒΓ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Η, Ζ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ὄψεις ἕως τοῦ ἐν‐ όπτρου αἱ ΑΘ, ΓΚ. ἡ ΑΘ δὴ τῆς ΓΚ ἢ μείζων ἐστὶν ἢ ἴση ἢ ἐλάσσων. εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΘ ὄψις
10	τῇ ΓΚ ὄψει, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΑΓΘ περιφέρεια τῇ ΓΘΚ περιφερείᾳ. ὥστε καὶ ἡ Μ γωνία τῇ Ξ· αἱ γὰρ τῶν ἴσων περιφερειῶν γωνίαι ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις. καὶ αἱ
10	Μ, Λ γωνίαι ἄρα ταῖς Ν, Ξ εἰσιν ἴσαι διὰ τὴν ἀνά‐ κλασιν. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Ο τῇ Π ἴση ἐστίν. μείζων	296
15	ἄρα ἡ Ρ τῆς Ο. ἐπεὶ γὰρ ἡ Ρ γωνία τῆς Π μείζων ἐστὶ διὰ τὸ ἐκτὸς εἶναι, ἡ δὲ Π τῇ Ο ἴση, καὶ ἡ Ρ ἄρα τῆς Ο μείζων ἐστίν. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΟΡΖ. συμπεσοῦνται ἄρα αἱ ΓΖ, ΑΗ ὡς ἐπὶ τὰ Η, Ζ. τὸ δ’ αὐτὸ ἔσται, κἂν μείζων ἡ ΑΘ ὄψις τῆς ΓΚ·
20	μείζονες γὰρ ἔσονται αἱ Λ, Μ γωνίαι τῶν Ν, Ξ, ἡ δὲ Π τῆς Ο μείζων ἔσται καὶ ἡ Ρ τῆς Ο. ἐὰν δὲ ἡ ΑΘ εὐθεῖα ἐλάσσων ᾖ τῆς ΓΚ, διὰ τὰ αὐτὰ μείζων ἔσται ἡ Ο γωνία τῆς Π. ἔστι δὲ καὶ ἡ Ρ τῆς Π μείζων. οὐδὲν ἄρα κωλύει ἴσην εἶναι τὴν Ρ τῇ Ο ἢ
25	ἐλάσσονα τῆς Ο, καὶ μὴ συμπίπτειν τὴν ΑΗ τῇ ΓΖ. φανερὸν δέ, ὅτι, κἄν τε μείζων ᾖ ἡ ΑΘ περιφέρεια τῆς ΓΚ, ἐάν τε ἴση, ἡ σύμπτωσις τῶν ἀνακλάσεων οὔτε ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ κύκλου οὔτε ἐκτὸς οὐ μὴ γίνηται, ἀλλ’ ἐντὸς μόνον.
7	Τὰ ὕψη καὶ τὰ βάθη ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων ἀνεστραμμένα φαίνεται. ἔστω ὕψος μὲν τὸ ΑΕ, ἔνοπτρον δὲ ἐπίπεδον τὸ ΑΛ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ αἱ ΒΓ, ΒΔ ἀνακλώμεναι
5	ἐπὶ τὰ Ε, Κ. οὐκοῦν φαίνεται ἐκβληθεισῶν τῶν ὄψεων ἐπ’ εὐθείας τὸ μὲν Ε τὸ ἄνω ἐπὶ τοῦ Θ κάτω ὄντος, τὸ δὲ Κ κάτω ὂν ἐπὶ τοῦ Ζ τοῦ ἄνω ὄντος. ὥστε
5	ἀνεστραμμένα ἐστὶ τῇ φαντασίᾳ. ἔστω πάλιν βάθος μὲν τὸ ΕΑ, ἔνοπτρον δὲ ἐπί‐	298
10	πεδον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Δ,[Omitted graphic marker] ὄψεις δὲ αἱ ΔΓ, ΔΒ ἀνακλώ‐ μεναι ἐπὶ τὰ Ε, Ζ. ὁμοίως τῶν ὄψεων ἐκβληθεισῶν ἐπὶ τὰ Θ, Κ φανεῖται τὸ μὲν Ε κάτω ὂν ἐπὶ
15	τοῦ Θ ἄνω ὄντος, τὸ δὲ Ζ ἄνω ὂν ἐπὶ τοῦ Κ κάτω ὄντος.
8	Τὰ ὕψη καὶ τὰ βάθη ἀπὸ τῶν κυρτῶν ἐνόπτρων ἀνεστραμμένα φαίνεται. ἔστω ὕψος τὸ ΑΕ, ἔνοπτρον δὲ κυρτὸν τὸ ΑΔΓ, ὄψεις δὲ αἱ ΒΔ, ΒΓ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Ε, Θ. δέ‐
5	δεικται, ὅτι οὐ συμπεσοῦνται. τὰ δὲ λοιπὰ ὁμοίως τοῖς ἐν τοῖς ἐπιπέδοις. ἔστω πάλιν βάθος τὸ ΑΕ, ἔνοπτρον δὲ κυρτὸν τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Ε, Θ αἱ ΒΓΕ, ΒΔΘ. τὰ δὲ λοιπὰ καθάπερ ἐν τοῖς ἐπι‐
10	πέδοις.
9	Τὰ πλάγια μήκη ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων, ὡς
9	τῇ ἀληθείᾳ ἔχει, οὕτω καὶ φαίνεται. ἔστω ὄμμα τὸ Β, μῆκος δὲ πλάγιον τὸ ΔΕ, ἔν‐ οπτρον δὲ τὸ ΑΓ. οὐκοῦν ἀνα‐ [Omitted graphic marker]	300
5	κλασθεισῶν τῶν ὄψεων φαίνεται τὸ μὲν Δ ἐπὶ τὸ Α, τὸ δὲ Ε ἐπὶ τὸ Γ, καί ἐστιν οὕτω τῇ φαντασίᾳ, καθάπερ καὶ τῇ ἀλη‐ θείᾳ ἔχει, τὸ ἔγγιον ἔγγιον, τὸ
10	ἀπώτερον ἀπώτερον.
10	Τὰ πλάγια μήκη ἀπὸ τῶν κυρτῶν ἐνόπτρων, καθ‐ άπερ ἐστὶν ἀληθῶς, καὶ φαίνεται. ἔστω μῆκος τὸ ΕΔ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ἔνοπτρον δὲ κυρτὸν τὸ ΑΓ, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Ε, Δ.
5	τὰ δὲ ἄλλα τὰ αὐτά.
11	Τὰ ὕψη καὶ τὰ βάθη ἀπὸ τῶν κοίλων ἐνόπτρων, ὅσα μέν ἐστιν ἐντὸς τῆς συμπτώσεως τῶν ὄψεων, ἀνεστραμμένα φαίνεται καθάπερ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις καὶ κυρτοῖς ἐνόπτροις, ὅσα δέ ἐστιν ἐκτὸς τῆς συμπτώσεως,
5	καθάπερ ἔστιν, καὶ φαίνεται. ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΑ, ΒΓ, σύμπτωσις δὲ αὐτῶν ἐπὶ τὸ Ζ, ὕψη δὲ τό τε ΔΕ καὶ τὸ ΚΝ, καὶ τὸ μὲν ΚΝ ἐντὸς τῆς τοῦ Ζ συμπτώσεως, τὸ δὲ ΔΕ ἐκτὸς τῆς
10	συμπτώσεως. οὐκοῦν ἐκβληθεισῶν τῶν ὄψεων καθάπερ
10	ἐν τοῖς ἐπιπέδοις καὶ κυρτοῖς ἐνόπτροις φαίνεται τὸ μὲν Κ ἐπὶ τοῦ Μ, τὸ δὲ Ν ἐπὶ τοῦ Λ· ὥστε ἀνεστραμ‐ μένα φαίνεται. πάλιν ἐπὶ τοῦ ἐκτὸς τῆς συμπτώσεως ὕψους φαίνεται τὸ μὲν Δ ἐπὶ τοῦ Η, τὸ δὲ Ε ἐπὶ	302
15	τοῦ Θ, ὡς ἔχει, οὕτως φαίνεται. πάλιν βάθος μὲν τὸ ΔΕ καὶ ΚΘ, ἔνοπτρον δὲ κοῖλον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι καὶ συμπίπτουσαι κατὰ τὸ Ζ. οὐκοῦν ἐκβληθεισῶν[Omitted graphic marker] τῶν ὄψεων ὁμοίως τὰ μὲν Κ, Θ φαίνεται ἀνεστραμμένα,
20	τὸ μὲν Κ κατὰ τὸ Γ, τὸ δὲ Θ κατὰ τὸ Α, καθάπερ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις καὶ κυρτοῖς ἐνόπτροις, τὰ δὲ Δ, Ε, καθάπερ καὶ ἔστιν, τὸ μὲν Ε κάτω κατὰ τὸ Α, τὸ δὲ Δ ἄνω κατὰ τὸ Γ.
12	Τὰ πλάγια μήκη ἀπὸ τῶν κοίλων ἐνόπτρων, ὅσα
12	μὲν ἐντὸς τῆς συμπτώσεως κεῖται τῶν ὄψεων, καθ‐ άπερ ἔστιν, οὕτω καὶ φαίνεται, ὅσα δ’ ἐκτός, ἀντε‐ στραμμένα.	304
5	ἔστω γὰρ μήκη μὲν πλάγια τὰ ΕΔ, ΘΚ, κοῖλον δὲ ἔνοπτρον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι καὶ συμπίπτουσαι κατὰ τὸ Η αἱ ΒΑΔ, ΒΓΕ, καὶ τὸ μὲν ΘΚ πλάγιον μῆκος ἔστω ἐντὸς τῆς συμπτώσεως τῆς Η, τὸ δὲ ΔΕ ἐκτός. οὐκοῦν τὰ μὲν Θ, Κ κατὰ
10	φύσιν φαίνεται, καθάπερ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις καὶ κυρτοῖς ἐνόπτροις, τὰ δὲ Ε, Δ ἀντεστραμμένα· τὸ μὲν γὰρ Δ ἐπὶ τοῦ Α φαίνεται, τὸ δὲ Ε ἐπὶ τοῦ Γ.
13	Δυνατόν ἐστι διὰ πλειόνων ἐνόπτρων ἐπιπέδων ἰδεῖν τὸ αὐτό. ἔστω, ὃ δεῖ ὀφθῆναι, τὸ Α, ὄμμα δὲ τὸ Β, ἔνοπτρα δὲ τρία τὰ ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ. ἤχθω δὴ κάθετος ἀπὸ τοῦ Β
5	ἐπὶ τὸ ΓΔ ἔνοπτρον ἡ ΒΓ, ἴση δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΓΣ, καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ ΕΖ κάθετος ἡ ΑΖ, καὶ τῇ ΑΖ ἴση ἡ ΖΘ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ ΔΕ ἔνοπτρον κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ, καὶ ἔστω τῇ ΘΚ ἴση ἡ ΚΛ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Σ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΜΞΣ, ἀπὸ
10	δὲ τοῦ Μ ἐπὶ τὸ Θ ἡ ΜΡΘ, ἐπεζεύχθωσαν δὲ καὶ αἱ ΑΡ, ΒΞ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΣ, καὶ
10	ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Γ γωνίαι, δύο δὴ αἱ ΒΓ, ΓΦ δυσὶ ταῖς ΣΓ, ΓΦ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΓΦ ὀρθὴ οὖσα γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΣΓΦ ὀρθῇ	306
15	οὔσῃ ἴση ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφ’ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑπο‐ τείνουσιν, ἡ μὲν πρὸς τῷ Β γωνία τῇ πρὸς τῷ Σ, ἡ δὲ Ξ γωνία τῇ Τ. ἀλλ’ ἡ Τ τῇ Ν ἐστιν ἴση· κατὰ κορυφὴν γάρ· ὥστε ἴση ἐστὶ καὶ ἡ Ν γωνία τῇ Ξ.
20	ἡ ἄρα ΒΞ ὄψις ἀνακλασθήσεται ἐπὶ τὸ Μ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΚΛ, καὶ ὀρθαὶ δὲ αἱ πρὸς τῷ Κ, ἴση ἐστὶν ἡ Ο γωνία τῇ Π. ἀνακλᾶται ἄρα ἡ αὐτὴ ὄψις ἡ ΒΞΜ ἐπὶ τὸ Ρ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐπὶ τὸ Α διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΖΡΑ γωνίαν τῇ
25	ὑπὸ ΕΡΜ ὁμοίως ταῖς λοιπαῖς ἀποδείξεσιν. ὁρᾷ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ὄψις τὸ Α διὰ τῶν τριῶν ἐν‐ όπτρων ὄντων ἐπιπέδων τῶν ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ.
14	Ἔστι δὲ καί, δι’ ὅσων ἄν τις ἐπιτάξῃ ἐνόπτρων ἐπιπέδων, ἰδεῖν τὸ αὐτό· δεῖ δὲ κατὰ τὸν ἀριθμὸν τῶν ἐνόπτρων πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον συνίστασθαι δυσὶ πλείους ἔχον πλευρὰς τῶν ἐνόπτρων.
5	ἔστω γάρ, ὃ μὲν ὀφθῆναι δεῖ, τὸ Α, ὄμμα δὲ τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἀναγεγράφθω
5	πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον δύο πλευρὰς πλείους ἔχον τῶν ἐνόπτρων καὶ ἔστω τὸ ΑΒΔ πολυ‐ γώνιον, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τοῦ γρα‐	308
10	φομένου περὶ τὸ πολύγωνον τὸ Θ, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΓ, ΘΕ, ΘΔ, ΘΒ, ΘΑ ἐπὶ τὰς γω‐ νίας, καὶ προσκείσθωσαν ἔνοπτρα ἐπίπεδα πρὸς ὀρθὰς ταῖς ἐπεζευγμέναις. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΖΛ γωνία τῇ ΝΚ· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα· ὧν ἡ Ν τῇ Λ ἴση
15	ἐστίν, λοιπὴ ἄρα ἡ Ζ τῇ Κ ἴση ἐστίν. ὥστε ἡ ἀνά‐ κλασις τῆς ΒΓ ὄψεως ἐπὶ τὸ Δ ἔσται· διὰ γὰρ ἴσων γωνιῶν αἱ ἀνακλάσεις γίνονται. ὁμοίως δὲ δειχθήσονται καὶ αἱ πρὸς τοῖς Δ, Ε σημείοις γωνίαι ἴσαι αἱ πρὸς τοῖς ἐνόπτροις. ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ὄψις ἀνα‐
20	κλωμένη καὶ προσπεσοῦσα πρὸς πάντα τὰ ἔνοπτρα ἥξει ἐπὶ τὸ Α.
15	Ἔστι δὲ καὶ διὰ κυρτῶν ἐνόπτρων καὶ διὰ κοίλων ἰδεῖν τὸ αὐτό. ἔστω γάρ, ὃ δεῖ ἰδεῖν, τὸ Α, ὄμμα δὲ τὸ Β, καὶ ὁμοίως ἀναγεγράφθω πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ
5	ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓΔΕ, καὶ πρὸς τοῖς Γ, Δ, Ε σημείοις ἔστω ἔνοπτρα ἐπίπεδα, ἀφ’ ὧν ὁρᾶται τὸ Α, καθάπερ
5	δέδεικται, καὶ προσκείσθω τούτοις κοῖλα ἢ κυρτὰ ἔν‐ οπτρα κατὰ τὰς ἁφὰς τῶν ὄψεων. οὐκοῦν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Ζ τῇ Θ, ἡ δὲ Κ τῇ Λ· ὅλη ἄρα ἡ ΚΖ ἴση ἐστὶ	310
10	τῇ ΘΛ. ἀνακλασθήσεται ἄρα ἡ ὄψις ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ ἐνόπτρου τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Δ καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Ε καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Α. φανερὸν οὖν, ὅτι καὶ κυρ‐ τῶν ἢ κοίλων ὄντων ἁπάντων καὶ ἀναμεμιγμένων ἔστιν ἰδεῖν τὸ αὐτό.
16	Ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐνόπτροις ἕκαστον τῶν ὁρωμένων κατὰ τὴν ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου κάθετον ὁρᾶται. ἔστω ἔνοπτρον ἐπίπεδον τὸ ΓΔ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὁρώμενον δὲ τὸ Α, καὶ ἔστω κάθετος ἡ ἀπὸ τοῦ ὁρω‐
5	μένου ἐπὶ τὸ ἔνοπτρον ἡ ΑΓ. οὐκοῦν ἐπεὶ ὑπέκειτο ἐν τοῖς φαινομένοις, ὅτι καταληφθέντος τοῦ τόπου τοῦ Γ οὐχ ὁρᾶται τὸ Α, τὸ Α ἄρα ὀφθήσεται ἐπ’ εὐθείας τῇ ΑΓ. ἀλλὰ δὴ καὶ ἐπ’ εὐθείας τῇ ΒΔ ὄψει· κατὰ τὸ Ε ἄρα· ὑπέκειτο γὰρ ἡμῖν τὸ εὐθύ, οὗ τὸ
10	μέσον τοῖς ἄκροις ἐπιπροσθεῖ· ὥστε εὐθεῖα ἔσται ἡ ΑΕ καὶ ἡ ΒΕ.
17	Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις ἕκαστον τῶν ὁρωμένων κατὰ τὴν ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου εἰς τὸ κέντρον τῆς σφαί‐ ρας ἀγομένην εὐθεῖαν ὁρᾶται.
17	ἔστω κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ ΓΔ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψις	312
5	δὲ ἡ ΒΔ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ Α, καὶ ὁράσθω τὸ Α, κέντρον δὲ τῆς σφαίρας ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΔ ὄψις ἐπὶ τὸ Ε. οὐκοῦν ἐπεὶ ὑπέκειτο ἐν τοῖς φαινομένοις, ὅτι καταληφθέντος τοῦ Γ τὸ Α οὐχ ὁρᾶται, ὀφθήσεται ἄρα ἐπ’ εὐθείας
10	τῇ ΑΓ κατὰ τὴν σύμβασιν τῆς ΒΔ ὄψεως καὶ [ἀπὸ] τῆς ΑΓ ἐπὶ τοῦ Ε, καθάπερ ἐπὶ τοῖς ἐπιπέδοις.
18	Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἕκαστον τῶν ὁρωμένων κατὰ τὴν ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου εἰς τὸ κέντρον τῆς σφαίρας ἀγομένην εὐθεῖαν ὁρᾶται. ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΓΔ, ὄψις δὲ ἀνακλωμένη
5	ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Α ὁρώμενον, τῆς δὲ σφαίρας κέντρον ἔστω τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Ε ἐπεζεύχθω εὐθεῖα καὶ ἐκβεβλήσθω. οὐκοῦν ἐπεὶ ὑπέκειτο ἐν τοῖς φαινο‐ μένοις, ὅτι καταληφθέντος τοῦ τόπου τοῦ Δ τὸ Α οὐχ ὁρᾶται, ὥστε φαίνεται ἐπ’ εὐθείας τῇ ΑΕ, ὀφθήσεται
10	ἄρα κατὰ τὴν συμβολὴν τῆς ΑΔ εὐθείας καὶ τῆς ΒΓ ὄψεως κατὰ τὸ Ζ.
19	Ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐνόπτροις τὰ δεξιὰ ἀριστερὰ φαίνεται καὶ τὰ ἀριστερὰ δεξιὰ καὶ τὸ εἴδωλον ἴσον τῷ ὁρωμένῳ, καὶ τὸ ἀπόστημα τὸ ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου
19	ἴσον ἐστίν.	314
5	ἔστω ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ αἱ ΒΑ, ΒΓ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Ε, Δ, ὁρώ‐ μενον δὲ ἔστω τὸ ΕΔ, καὶ ἀπὸ τῶν Ε, Δ ἐπὶ τὸ ἔν‐ οπτρον κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΕΖ, ΔΘ καὶ ἐκβεβλήσθω‐ σαν, ἐκβεβλήσθωσαν δὲ καὶ αἱ ΒΓ, ΒΑ ὄψεις καὶ συμ‐
10	πιπτέτωσαν ταῖς καθέτοις κατὰ τὰ Κ, Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΚ. οὐκοῦν φαίνεται τὸ μὲν Ε ἐπὶ τοῦ Κ, τὸ δὲ Δ ἐπὶ τοῦ Λ· τοῦτο γὰρ προεδείχθη. τὰ ἄρα ἀριστερὰ δεξιὰ φαίνεται καὶ τὰ δεξιὰ ἀριστερά. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΚΓΖ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΖΓΕ, καί
15	εἰσιν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Ζ, ἴση ἂν εἴη καὶ ἡ ΖΚ τῇ ΖΕ. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΔΘ τῇ ΘΛ. ἴσον ἄρα τὸ ἀπόστημα, ὃ ἀπέχει ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου τὸ ΕΔ, τῷ, ὃ ἀπέχει τὸ εἴδωλον τὸ ΚΛ. καὶ ἴσον τὸ ὁρώμενον τὸ ΕΔ τῷ εἰδώλῳ τῷ ΚΛ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΕΖ
20	τῇ ΖΚ, τὴν δὲ ΔΘ τῇ ΘΛ, κοινὴν δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΘΖ.
20	Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις τὰ ἀριστερὰ δεξιὰ φαί‐ νεται καὶ τὰ δεξιὰ ἀριστερά, καὶ τὸ ἀπόστημα ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου τὸ εἴδωλον ἔλασσον ἔχει. ἔστω ἔνοπτρον κυρτὸν τὸ ΑΓ, κέντρον δὲ τῆς
5	σφαίρας τὸ Θ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ αἱ ΒΑ, ΒΓ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Δ, Ε, ὁρώμενον δὲ τὸ ΔΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ κέντρου ἤχθωσαν ἐπὶ τὰ Δ, Ε αἱ ΘΔ, ΘΕ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ὄψεις ἐπὶ τὰ Ζ, Η, καὶ ἐπεζεύχθω τὸ ΖΗ εἴδωλον. οὐκοῦν τὸ μὲν Δ φαίνεται ἐπὶ τοῦ Η,	316
10	τὸ δὲ Ε ἐπὶ τοῦ Ζ. τὰ ἄρα δεξιὰ ἀριστερὰ φαίνεται καὶ τὰ ἀριστερὰ δεξιά. λέγω, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΕΛ τῆς ΛΖ. ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Α ἐφαπτομένη τῆς περι‐ φερείας ἡ ΡΑΚ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΒΑ, ΑΕ πρὸς τὴν περι‐ φέρειαν ἴσας ποιοῦσι γωνίας διὰ τὴν ἀνάκλασιν, ἐφ‐
15	άπτεται δὲ ἡ ΚΑΡ, δίχα ἂν εἴη τετμημένη ἡ ὑπὸ τῶν ΕΑΖ γωνία. καὶ ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ Κ γωνία· μείζων ἄρα ἡ ΕΚ τῆς ΚΖ· πολλῷ μᾶλλον ἡ ΕΛ τῆς ΛΖ. ἔλασσον ἄρα ἀπέχει τὸ εἴδωλον τὸ ΖΗ ἀπὸ τοῦ ἐν‐ όπτρου, μεῖζον δὲ τὸ ὁρώμενον τὸ ΕΔ.
21	Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις τὸ εἴδωλον ἔλασσόν ἐστι τῶν ὁρωμένων. ἔστω γὰρ κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ ΑΟΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β,
21	ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΑ, ΒΓ ἐπὶ τὰ Δ, Ε. οὐκ‐	318
5	οῦν ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ ἐνόπτρου θεωρεῖται τὸ ΕΔ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. παρακείσθω δὴ ἔνοπτρον ἐπί‐ πεδον τὸ ΑΓ ἁπτόμενον τῶν ὄψεων κατὰ τὰ Α, Γ. οὐκοῦν ἡ ὄψις ἡ μέλλουσα ἰδεῖν τὸ Ε ἀπὸ τοῦ ἐπι‐ πέδου ἐνόπτρου οὐκ ἔστιν ἡ ΒΑΕ· οὐ γὰρ ποιεῖ γω‐
10	νίας ἴσας πρὸς τῷ ἐπιπέδῳ ἐνόπτρῳ. οὐδὲ μὴν κλα‐ σθήσεται μεταξὺ τῶν Α, Γ. κεκλάσθω γάρ, εἰ δυνατόν, καὶ ἔστω ἡ ΒΖΕ ὄψις. ἴση ἄρα ἡ Η γωνία τῇ Θ διὰ τὴν ἀνάκλασιν. ἡ δὲ Θ μείζων τῆς ΝΙ, ἡ δὲ Μ τῆς Η· ὥστε καὶ ἡ Μ τῆς ΝΙ μείζων ἐστίν· ὅπερ
15	ἀδύνατον. αὐτὴ γὰρ ἡ Ι μείζων τῆς Μ ἐστιν· ἴση γάρ ἐστιν ὅλῃ τῇ πρὸς τῇ περιφερείᾳ. ἐκτὸς ἄρα ἀνα‐ κλασθήσεται τοῦ Α. κεκλάσθω καὶ ἔστω ἡ ΒΚΕ. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΒΛΔ πεσεῖται ἐκτός. τὸ ἄρα ΕΔ ὑπὸ μείζονος γωνίας θεωρεῖται ἀπὸ τοῦ ἐπιπέδου ἐν‐
20	όπτρου τῆς περιεχομένης ὑπὸ ΚΒΛ ἤπερ ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ. ἴσον δὲ ἐδείχθη φαινόμενον ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἐνόπτρῳ. φανερὸν οὖν, ὅτι ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ ἐνόπτρου
20	τὸ εἴδωλον ἔλασσον φαίνεται τοῦ ὁρωμένου.	320
22	Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις ἀπὸ τῶν ἐλασσόνων ἐνόπτρων ἐλάσσονα φαίνεται τὰ εἴδωλα. ἔστω σφαῖρα μείζων μὲν ἡ ΑΓ, ἐλάσσων δὲ ἡ ΕΛ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τὸ Θ, ὄμμα δὲ τὸ Β, καὶ ἐπε‐
5	ζεύχθω ἡ ΒΑΘ, καὶ ἀπὸ τῆς σφαίρας ἀνακεκλάσθω ὄψις ἡ ΒΓΔ. λέγω, ὅτι ἡ ἀνακλασθησομένη ὄψις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος σφαίρας ἐπὶ τὸ Δ οὔτε διὰ τοῦ Γ πε‐ σεῖται οὔτε ἐκτὸς τοῦ Γ. πιπτέτω γὰρ πρότερον, εἰ δυνατόν, διὰ τοῦ Γ, καὶ ἀνακεκλάσθω ἀπὸ τῆς ἐλάσ‐
10	σονος σφαίρας ἐπὶ τὸ Δ καὶ ἔστω ἡ ΒΕΔ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Γ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Κ. δίχα δὴ τεμεῖ ἡ ΘΓΚ τὴν ὑπὸ τῶν ΒΓΔ γωνίαν διὰ τὸ τὴν ΒΓΔ ἴσας ποιεῖν γωνίας πρὸς τῇ περιφερείᾳ διὰ τὴν ἀνάκλασιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Θ
15	ἐπὶ τὸ Ε ἐπιζευγνυμένη καὶ ἐκβληθεῖσα δίχα τεμεῖ τὴν ὑπὸ ΒΕΔ. τεμνέτω καὶ ἔστω ἡ ΘΕΖ. ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΒΓΔ τῆς ὑπὸ ΒΕΔ, καὶ ἡ ἡμίσεια τῆς ἡμισείας μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΚ τῆς ὑπὸ ΒΕΖ. ἔστι δὲ καὶ ἐλάσσων· ὅπερ ἀδύνατον.
20	οὐκ ἄρα ἥξει διὰ τοῦ Γ ἡ ἀνακλωμένη ὄψις ἀπὸ
20	τῆς ἐλάσσονος σφαίρας. ὑποκείσθω δὲ πάλιν τὰ αὐτά, καὶ ἡ ἀπὸ τῆς ἐλάσ‐ σονος σφαίρας ἀνακλωμένη ὄψις ἡ ΒΕΔ ἐκτὸς πιπτέτω τοῦ Γ, καὶ τεμνέτω ἡ ΒΕ τὴν μείζονα σφαῖραν κατὰ	322
25	τὸ Ζ. ἡ δὴ ἀπὸ τοῦ Ζ[Omitted graphic marker] ἀνακλωμένη ὄψις ἡ ΒΖΚ οὐ συμπεσεῖται τῇ ΓΔ· τοῦτο γὰρ δέδεικται. τῇ ἄρα ΕΔ συμπιπτέτω κατὰ
30	τὸ Κ. ἡ ἄρα ΒΖΚ ὄψις ἀνακλωμένη ἀπὸ τοῦ μεί‐ ζονος ἐνόπτρου ὁρᾷ τὸ Κ, καὶ ἡ αὐτὴ ἡ ΒΕΚ ἀνα‐ κλωμένη ἀπὸ τοῦ ἐλάσσο‐
35	νος ἐνόπτρου ὁρᾷ τὸ αὐτὸ Κ· τοῦτο δὲ ἐπάνω ἐδείχθη ἀδύνατον. μεταξὺ ἄρα πεσεῖται τῶν Γ, Α ἡ ἀνακλωμένη ὄψις ἀπὸ τοῦ
40	ἐλάσσονος ἐνόπτρου ἐπὶ τὸ Δ. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ ἑτέρου μέρους τὸ αὐτὸ ποιοῦσα. ὑπὸ ἐλάσσονος ἄρα γωνίας θεωρεῖται τῆς πρὸς τῷ Β γιγνο‐ μένης ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος ἐνόπτρου ἤπερ ἀπὸ τοῦ
45	μείζονος. ἔλασσον ἄρα φαίνεται τὸ εἴδωλον ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος ἐνόπτρου.
23	Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις τὰ εἴδωλα κυρτὰ φαί‐
23	νεται. ἔστω κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Ε, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΕΑ, ΕΓ ἐπὶ τὰ Δ, Β, ἡ δὲ ΖΕ	324
5	ἀνακλωμένη δι’ ἑαυτῆς ἐπὶ τὸ Ε. οὐκοῦν τῶν ὄψεων μέγισται μέν εἰσι τῷ μήκει αἱ πορρωτάτω, ἐλάχισται δὲ αἱ κατὰ μέσον, ὥσπερ ἡ ΕΖ. φαίνεται ἄρα τοῦ ἐνόπτρου ἔγγιον μᾶλλον τὸ Ε, πορρωτάτω δὲ τὸ Β καὶ τὸ Δ. ὥστε ὅλον κυρτὸν φαίνεται.
24	Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἐπὶ τοῦ κέντρου τὸ ὄμμα τεθῇ, αὐτὸ μόνον φαίνεται τὸ ὄμμα. ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓΔ, κέντρον δὲ αὐτοῦ τὸ Β, ὄψεις δὲ αἱ ΒΑ, ΒΓ, ΒΔ. οὐκοῦν ἴση ἡ Ε
5	γωνία τῇ Ζ. ἥξει ἄρα ἀνακλωμένη ἡ ΒΓ ὄψις ἐπὶ τὸ Β. ὁμοίως δὲ καὶ αἱ λοιπαί. αὐτὸ μόνον ἄρα ὁρᾶται τὸ Β.
25	Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἐπὶ τῆς περιφερείας θῇς τὸ ὄμμα ἢ ἔξω τῆς περιφερείας, οὐ φαίνεται τὸ ὄμμα. ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓΒ, καὶ τὸ ὄμμα κείσθω
5	ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ τὸ Β, ὄψεις δὲ προσπιπτέ‐ τωσαν αἱ ΒΑ, ΒΓ καὶ ἀνακεκλάσθωσαν. οὐκοῦν μεί‐
5	ζων ἐστὶν ἡ μὲν ΜΘ γωνία τῆς Κ, ἡ δὲ ΕΛ τῆς Ζ. ὥστε οὐκ ἀνακλασθήσονται αἱ ΒΑ, ΒΓ ὄψεις ἐπὶ τὸ Β ὄμμα. εἰς τὸ ὄμμα δὲ εἰ ἀνεκλῶντο, ἴσαι ἂν αἱ γωνίαι	326
10	πρὸς τοῖς Α, Γ ἐγίγνοντο. δειχθήσεται δέ, κἂν ἐκτὸς τῆς περιφερείας γένηται τὸ ὄμμα, τὰ αὐτὰ συμβαίνοντα, τουτέστι τὸ μὴ ὁρᾶσθαι τὸ ὄμμα διὰ τὸ τὰς ἀνακλάσεις μὴ γενέσθαι ἐπ’ αὐτό.
26	Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἐκβαλὼν διάμετρον τῆς σφαίρας ἐκ τοῦ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἀναγάγῃς καὶ εἰς τὸ ἕτερον μέρος θῇς τὸ ὄμμα, οὐδὲν τῶν ἐν τῷ αὐτῷ μέρει, ἐν ᾧ τὸ ὄμμα ἐστίν, ὀφθήσεται, τουτέστιν
5	οὔτε τῶν ἐπὶ τῆς διαμέτρου οὔτε τῶν ἐκτὸς τῆς δια‐ μέτρου. ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓΔ, διάμετρος δὲ ἔστω τῆς σφαίρας ἡ ΑΔ, καὶ τῇ ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ Ζ ἡ ΖΓ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β,
10	ὄψις δὲ ἡ ΒΕ. οὐκοῦν ἡ ΒΕ ἀνακλωμένη οὐχ ἥξει οὔτε ἐπὶ τὸ Β οὔτε ἐπὶ τὸ Ζ· ἐν γὰρ ἴσαις γωνίαις ἀνακλᾶται. ἥξει ἄρα ὡς ἡ ΕΘ. ὁμοίως δὲ καὶ ἐὰν ἐντὸς ἐμπέσῃ τὸ ὄμμα, ὅπου τὸ Θ, ἢ ἐπὶ τῆς διαμέτρου, ὅπου τὸ Μ, ἀνακλώμεναι αἱ ὄψεις αἱ ΘΚ, ΜΝ ἥξου‐
15	σιν ὡς αἱ ΚΛ, ΝΞ. οὐκ ἄρα ὁρᾶται οὐδὲν τῶν ἐν τῷ αὐτῷ μέρει, ὅπου ἐστὶ τὸ ὄμμα, οὔτε τῶν ἐπὶ τῆς διαμέτρου οὔτε τῶν ἐκτὸς τῆς διαμέτρου.	328
27	Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἐπὶ τῆς διαμέτρου τεθῇ τὰ ὄμματα ἴσον ἀπέχοντα τοῦ κέντρου, οὐδέτερον τῶν ὀμμάτων ὀφθήσεται. ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓΔ, διάμετρος δὲ ἡ ΑΔ,
5	κέντρον δὲ τὸ Ζ, πρὸς ὀρθὰς δὲ ἡ ΖΓ, ὄμματα δὲ τὰ Β, Ε ἴσον ἀπέχοντα τοῦ κέντρου, ὄψις δὲ ἡ ΒΓ. οὐκοῦν ἀνακλωμένη ἥξει ἐπὶ τὸ Ε· ἐν ἴσαις γὰρ γω‐ νίαις ἀνακλᾶται. ἄλλη δὲ οὐδεμία ἥξει ἀνακλωμένη ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Ε. εἰ γὰρ ἥξει ὡς ἡ ΒΘ, ἐπε‐
10	ζεύχθωσαν αἱ ΘΕ, ΘΖ· δίχα ἄρα τμηθήσεται ἡ ὑπὸ ΒΘΕ ὑπὸ τῆς ΖΘ, καὶ ἀνάλογον ἔσται ὡς ἡ ΒΘ πρὸς ΘΕ, ἡ ΒΖ πρὸς ΖΕ· ὅπερ ἀδύνατον· ἡ μὲν γὰρ ΒΘ μείζων ἐστὶ τῆς ΘΕ, ἡ δὲ ΒΖ ἴση τῇ ΖΕ. οὐδε‐ μία ἄρα ἥξει ἀνακλωμένη ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Ε. μία
15	ἄρα ὄψις μόνον ἀνακλασθήσεται ἐφ’ ἑκατέρου τῶν Β, Ε ὀμμάτων, καὶ οὐκ ὀφθήσεται τὸ Ε· οὐ γὰρ συμπεσεῖται ἡ ΒΓ ἐκβαλλομένη τῇ ΒΔ ἐπὶ τὰ Γ, Δ μέρη, ἐφαίνετο δὲ ἕκαστον κατὰ τὴν συμβολὴν μόνον τῶν ὁρωμένων· οὐδὲ ἡ ΕΓ οὐ μὴ συμπέσῃ τῇ ΕΑ ἐπὶ τὰ Γ, Α μέρη·
20	ἐν γὰρ τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἕκαστον τῶν ὁρωμένων κατὰ τὴν ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου εἰς τὸ κέντρον τῆς σφαίρας
20	ἀγομένην εὐθεῖαν ὁρᾶται.	330
28	Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν τὴν ἐκ τοῦ κέντρου δίχα τεμὼν καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγὼν θῇς τὰ ὄμματα ἴσον ἀπέχοντα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, θῇς δὲ ἢ ἀνὰ μέσον τῆς διαμέτρου καὶ τῆς πρὸς ὀρθὰς ἢ ἐπ’ αὐτῆς τῆς
5	πρὸς ὀρθάς, οὐδέτερον τῶν ὀμμάτων φαίνεται. ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓΔ, διάμετρος δὲ ἡ ΑΔ, κέντρον δὲ τὸ Κ, καὶ ἡ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΚΓ δίχα τε‐ τμήσθω κατὰ τὸ Π, πρὸς ὀρθὰς δὲ αὐτῇ ἔστω ἡ ΕΠΖ, καὶ ὄμματα τὰ Β, Θ μεταξὺ κείμενα τῆς τε διαμέτρου
10	τῆς ΑΔ καὶ τῆς ΕΖ ἐν παραλλήλοις ταῖς ΕΖ, ΒΘ ἴσον ἀπέχοντα τῆς ΚΓ, ὄψις δὲ ἔστω ἡ ΒΓ ἀνακλω‐ μένη ἐπὶ τὸ Θ· ἴσας γὰρ ποιεῖ γωνίας πρὸς τῇ περι‐ φερείᾳ διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν ΖΕ τῇ ΒΘ καὶ ἴσην τὴν ΒΝ τῇ ΝΘ. καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΚΒ,
15	ΚΘ ἐκβεβλήσθωσαν, ἐκβεβλήσθω δὲ καὶ ἡ ΓΒ ἐπὶ τὸ Φ. καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆς ΒΚ, μείζων ἐστὶν ἡ Ρ γωνία τῆς Ι. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΘ μείζων τῆς ὑπὸ ΘΒΚ, τουτέστι τῆς ὑπὸ ΒΘΚ. οὐκ ἄρα συμπεσεῖται ἡ ΒΓ τῇ ΚΘ. οὐκ ἄρα ὀφθήσεται τὸ Θ·
20	κατὰ γὰρ τὴν συμβολὴν φαίνεται τῶν ΒΓ, ΚΘ. ἔστω πάλιν τὰ αὐτὰ τῇ ἐπάνω, τὰ δὲ Β, Θ ὄμματα
20	ἔστωσαν ἐπὶ τῆς δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τεμνούσης τὴν ἐκ τοῦ κέντρου ἐπὶ τῆς ΑΔ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ μὲν ΒΓ τῇ ΒΖ, ἡ δὲ ΓΘ τῇ ΖΘ, παράλληλος ἂν εἴη ἡ ΒΓ	332
25	τῇ ΖΘ. οὐκ ἄρα συμπεσεῖται ἡ ΒΓ ὄψις τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὸ ὁρώμενον, τουτέστι τῇ ΖΘ, ἐπὶ τὰ Θ, Γ μέρη. ὥστε οὐ φαίνεται τὸ Θ ὄμμα· κατὰ γὰρ τὴν συμβολὴν ἐφαίνετο τῶν ΒΓ, ΖΘ. ἔστω πάλιν τὰ αὐτά, τῆς δὲ διχοτομίας ἀνωτέρω
30	κείσθω τὰ ὄμματα τὰ Β, Γ ἴσον ἀπέχοντα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ΖΑ. φημὶ δὴ φαίνεσθαι τὰ Β, Γ καὶ τὰ δεξιὰ ἀριστερὰ καὶ τὰ ἀριστερὰ δεξιὰ καὶ τὸ εἴδωλον μεῖζον τοῦ προσώπου καὶ τὸ ἀπόστημα ἀπὸ τοῦ ἐν‐ όπτρου ἔχον μεῖζον τὸ εἴδωλον. ἔστω γὰρ ἡ ΒΑ ὄψις
35	ἀνακλωμένη, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τοῦ Ζ κέντρου ἐπὶ τὰ Β, Γ αἱ ΖΒ, ΖΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ. ἐπεὶ οὖν διχοτομία ἐστὶ τὸ Ν, μείζων ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆς ΒΑ καὶ ἡ Κ γωνία τῆς Ε. ἴση δὲ ἡ Κ τῇ Δ· μείζων ἄρα καὶ ἡ Δ τῆς Ε. συμπεσοῦνται ἄρα αἱ ΖΒ, ΓΑ ἐκ‐
40	βληθεῖσαι. συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Π. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ ΒΑ, ΖΓ συμπεσοῦνται κατὰ τὸ Θ. ὀφθήσεται ἄρα τὸ μὲν Γ ἐπὶ τοῦ Θ, τὸ δὲ Β ἐπὶ τοῦ Π, καὶ φαίνεται τὰ μὲν δεξιὰ ἀριστερά, τὰ δὲ ἀριστερὰ δεξιά.
40	ἀλλὰ μὴν καὶ μείζων ἡ ΘΠ τῆς ΒΓ· παράλληλοι γάρ	334
45	εἰσιν. τὸ ἄρα εἴδωλον φαίνεται μεῖζον καὶ μεῖζον ἀπέχον τοῦ ἐνόπτρου· μείζων γὰρ ἡ ΜΑ τῆς ΑΛ. ἐὰν δὲ ἔξω τῆς διαμέτρου τεθῇ τὰ ὄμματα, τὰ δεξιὰ φαίνεται δεξιὰ καὶ τὰ ἀριστερὰ ἀριστερὰ καὶ τὸ εἴδω‐ λον ἔλασσον τοῦ προσώπου καὶ ἐν τῷ ἀνὰ μέσον τοῦ
28 (50)	προσώπου καὶ τοῦ ἐνόπτρου. ἔστω γὰρ ὄμματα τὰ Β, Γ, κέντρον δὲ τὸ Ζ τοῦ ἐνόπτρου, καὶ τῇ διαμέτρῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστω ἡ ΑΖΔ, καὶ ταύτῃ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΓ, καὶ ἴση τῇ ΒΑ ἔστω ἡ ΑΓ, καὶ ὄψις ἡ ΒΔ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ Γ καὶ διὰ
55	τοῦ κέντρου αἱ ΒΖΚ, ΓΖΕ, καὶ ἀπὸ τῶν Ε, Κ ἡ ΚΕ ἐπεζεύχθω. οὐκοῦν τὸ μὲν Β ἐπὶ τοῦ Κ φαίνεται, τὸ δὲ Γ ἐπὶ τοῦ Ε. τὰ ἄρα δεξιὰ δεξιὰ καὶ τὰ ἀριστερὰ ἀριστερὰ φαίνεται καὶ τὸ ΕΚ εἴδωλον ἔλασσον τοῦ ΒΓ προσώπου· παράλληλος γάρ ἐστιν ἡ ΕΚ τῇ ΒΓ· καὶ
60	ἀνὰ μέσον τοῦ ἐνόπτρου καὶ τοῦ προσώπου φαίνεται τὸ εἴδωλον. ἀναγομένου δὲ τοῦ προσώπου ἔτι ἔλασσον φαίνεται τὸ εἴδωλον. ἔστω γὰρ τὸ ΜΝ πρόσωπον τὸ αὐτὸ τῷ
60	ΒΓ ἀφεστηκὸς ἀπὸ τοῦ ΒΓ κείμενον ὁμοίως. οὐκοῦν	336
65	ἡ ἀπὸ τοῦ Μ ἐπὶ τὸ Ζ κέντρον ἐπιζευχθεῖσα καὶ ἐκ‐ βληθεῖσα ἀνώτερον πεσεῖται τοῦ Κ ὡς τὸ Λ, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὸ Ζ ἀνώτερον τοῦ Ε ὡς τὸ Θ. φαίνεται ἄρα τὸ ΜΝ ὡς τὸ ΘΛ. καί ἐστιν ἔλασσον τὸ ΘΛ τοῦ ΕΚ καὶ ἔγγιον τοῦ ἐνόπτρου.
29	Δυνατόν ἐστιν ἔνοπτρον κατασκευασθῆναι ὥστε ἐν τῷ αὐτῷ φαίνεσθαι πλείω πρόσωπα, τὰ μὲν μείζονα, τὰ δὲ ἐλάσσονα, καὶ τὰ μὲν ἔγγιον, τὰ δὲ πορρώτερον, καὶ τῶν μὲν τὰ δεξιὰ δεξιά, τὰ δὲ ἀριστερὰ ἀριστερά,
5	τῶν δὲ τὰ ἀριστερὰ δεξιά, τὰ δὲ δεξιὰ ἀριστερά. ἔστω γὰρ ἐπίπεδον τὸ ΑΜ. οὐκοῦν ἐν τούτῳ γένοιτ’ ἂν κυρτὰ μὲν ἔνοπτρα οἷα τὰ ΑΟΓ, ΘΡΚ, κοῖλα δὲ οἷα τὰ ΓΔΕ, ΖΗΘ, ἐπίπεδα δὲ οἷα τὰ ΕΖ,[Omitted graphic marker] ΛΜ. τεθέντος οὖν τοῦ προσώπου, ὅπου τὸ Ν, φαίνεται
10	ἀπὸ μὲν τῶν ἐπιπέδων ἴσα τὰ εἴδωλα καὶ ἴσον ἀπ‐ έχοντα, ἀπὸ δὲ τῶν κυρτῶν ἐλάσσονα καὶ ἔλασσον ἀπέχοντα, ἀπὸ δὲ τῶν κοίλων παντοδαπῶς, καθάπερ
10	δέδεικται.	338
30	Ἐκ τῶν κοίλων ἐνόπτρων πρὸς τὸν ἥλιον τεθέντων πῦρ ἐξάπτεται. ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΒΓ, ἥλιος δὲ ὁ ΕΖ, κέντρον δὲ τοῦ κατόπτρου τὸ Θ, καὶ ἀπό τινος σημείου
5	τοῦ Δ ἐπιζευχθεῖσα μὲν ἐπὶ τὸ Θ κέντρον ἡ ΔΘ ἐκ‐ βεβλήσθω ἐπὶ τὸ Β, προσπεπτωκέτω δὲ ἡ ΔΓ ἀκτὶς καὶ ἀνακεκλάσθω ἐπὶ τὸ Κ. ἀνακλασθήσεται δὴ ἐπάνω τοῦ Θ κέντρου· ἡ γὰρ γωνία ἡ πρὸς τῇ περιφερείᾳ ἡ Π ἐλάσσων ἐστὶ τῆς πρὸς τῇ περιφερείᾳ λοιπῆς τῆς
10	ὑπὸ ΒΓΔ. καὶ ἔστω ἡ ΑΒ περιφέρεια ἴση τῇ ΒΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἄλλη τις ἀκτὶς προσπιπτέτω ἡ ΔΑ. φανερὸν οὖν, ὅτι ἀνακλωμένη ἡ ΑΔ ἀκτὶς πεσεῖται ἐπὶ τὸ Κ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΑΒ περιφέρειαν τῇ ΒΓ. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, ὅτι πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Δ
15	προσπίπτουσαι πρὸς τὸ ἔνοπτρον καὶ ἴσας ἀπολαμβά‐ νουσαι εἰς τὸ αὐτὸ συμπεσοῦνται τῇ ΒΘ ἀνώτερον τοῦ Θ. ἔστω πάλιν κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΒΓ, ἥλιος δὲ ὁ ΔΕΖ, καὶ ἀπό τινος σημείου τοῦ Ε διὰ τοῦ Θ κέντρου
20	ἔστω ἡ ΕΘΒ, καὶ ἀπ’ ἄλλων [διὰ] τῶν Δ, Ζ αἱ ΔΘΓ, ΖΘΑ. οὐκοῦν προδεδείχαμεν, ὅτι αἱ ἀπὸ τοῦ Ε ἀκτῖνες συμπεσοῦνται εἰς ἑαυτὰς διὰ τὰς Π, Ρ γωνίας ἴσας
20	οὔσας· διάμετροι γάρ εἰσιν· αἱ δὲ ἀπὸ τοῦ Ζ διὰ τὰς Κ, Λ γωνίας, αἱ δὲ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὴν ΔΓ διὰ τὰς	340
25	Ν, Ξ γωνίας ἴσας οὔσας. ὅτι δὲ πᾶσαι αὐταὶ εἰς ἑαυτὰς ἀνακλῶνται, δῆλον· ἐκ τοῦ γὰρ κέντρου οὖσαι ἡμικύκλια ποιοῦσιν, αἱ δὲ τῶν ἡμικυκλίων γωνίαι ἴσαι εἰσίν· δι’ ἴσων ἄρα γωνιῶν αἱ ἀνακλάσεις γίγνονται· εἰς ἑαυτὰς οὖν ἀνακλῶνται. πᾶσαι ἄρα συμπεσοῦνται
30	ἀπὸ πάντων τῶν σημείων ἐπὶ τὰς διὰ τοῦ κέντρου καὶ ἐν τῷ κέντρῳ [ἀκτῖνας]. τούτων οὖν τῶν ἀκτίνων ἐκθερμαινομένων περὶ τὸ κέντρον πῦρ ἀθροίζεται. ὥστε
30	ἐνταῦθα στύππιον τεθὲν ἐξαφθήσεται.	342

Arg

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

28

(50)

29

30