|
TLG 1799 006 :: EUCLIDES :: Elementa (recensio altera, lib. 11.36–12.17) EUCLIDES Geom. Scholia: Cf. SCHOLIA IN EUCLIDEM (5022) Elementa (recensio altera, lib. 11.36–12.17) Citation: Book — demonstratio — (line) | ||
11.36 | Ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσι, τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν τριῶν στερεὸν ἴσον ἔσται τῷ ἀπὸ τῆς μέσης στερεῷ ἰσοπλεύρῳ μέν, ἰσογωνίῳ δὲ τῷ προειρημένῳ. ἔστωσαν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, ὡς ἡ Α | |
| 5 | πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ. λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ περιεχόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β στερεῷ ἰσοπλεύρῳ τε καὶ ἰσογωνίῳ. κείσθω τῇ Α ἴση ἡ ΑΕ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΕΔ εὐθείᾳ καὶ τῷ σημείῳ τῷ Δ τυχούσῃ στερεᾷ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ ἴση στερεὰ | |
|---|---|---|
| 10 | γωνία εὐθύγραμμος ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΖΔ, ΔΗ, ΗΔ, ΔΕ, ΖΔ, ΔΘ, καὶ κείσθω τῇ μὲν Β ἴση ἡ ΗΔ, τῇ δὲ Γ ἴση ἡ ΘΔ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΔΚ στερεόν, καὶ κείσθω τῇ Β ἴση ἡ ΛΜ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΜΛ εὐ‐ θείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Λ τῇ στερεᾷ γωνίᾳ εὐ‐ | |
| 15 | θυγράμμῳ τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν ΘΔ, ΔΕ, ΕΔ, ΔΗ, ΗΔ, ΔΘ ἴση στερεὰ γωνία εὐθύγραμμος ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΜΛ, ΛΝ, ΝΛ, ΛΞ, ΞΛ, ΛΜ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ὑπὸ τῶν ΘΔ, ΔΕ τῇ ὑπὸ τῶν ΝΛ, ΛΜ, τὴν δὲ ὑπὸ | |
| τῶν ΘΔ, ΔΗ τῇ ὑπὸ τῶν ΝΛ, ΛΞ, τὴν δὲ ὑπὸ τῶν ΗΔ, | 207 | |
| 20 | ΔΕ τῇ ὑπὸ τῶν ΞΛ, ΛΜ, καὶ κείσθω τῇ Β ἴση ἑκατέρα τῶν ΞΛ, ΛΟ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΛΠ στερεόν. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἴση δὲ ἡ μὲν Α τῇ ΔΕ, ἡ δὲ Β ἑκατέρᾳ τῶν ΞΛ, ΛΟ, ἡ δὲ Γ τῇ ΔΘ, ὡς ἄρα ἡ ΔΕ πρὸς ΜΛ, οὕτως ἡ ΟΛ πρὸς τὴν | |
| 25 | ΔΘ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν ΘΔ, ΔΕ, ΟΛ, ΛΜ αἱ πλευραὶ ἀντιπεπόνθασιν· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΘ, ΘΡ παραλληλόγραμμον τῷ ΟΛΜΣ. καὶ ἐπεὶ ἴσαι γωνίαι ἐπίπεδοί εἰσιν αἱ ὑπὸ τῶν ΘΔ, ΔΕ, ΟΛ, ΛΜ, ἐπὶ δὲ τῶν κορυφῶν αὐτῶν μετέωροι γραμμαὶ ἐφεστᾶσιν αἱ ΗΔ, | |
| 30 | ΞΛ, ἴσας γωνίας περιέχουσι τὴν μὲν ὑπὸ τῶν ΘΔ, ΔΗ τῇ ὑπὸ τῶν ΟΛ, ΛΞ, τὴν δὲ ὑπὸ τῶν ΗΔ, ΔΕ τῇ ὑπὸ τῶν ΞΛ, ΛΜ, καὶ ἀφῃρημέναι εἰσὶν ἴσαι εὐθεῖαι αἱ ΗΔ, ΞΛ, αἱ ἄρα ἀπὸ τῶν Η, Ξ ἐπὶ τὰ διὰ τῶν ΘΔ, ΔΕ, ΟΛ, ΛΜ ἐπίπεδα κάθετοι ἀγόμεναι ἴσαι ἔσονται. τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων | |
| 35 | βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα, ὧν τὰ ὕψη ἴσα ἐστί, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΚ τῷ ΛΠ. καί ἐστι τὸ μὲν ΔΚ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ, τὸ δὲ ΛΠ τὸ ἀπὸ τῆς Β. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ περιεχόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β στερεῷ ἰσοπλεύρῳ μέν, ἰσογωνίῳ δὲ τῷ | |
| 40 | προειρημένῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. | |
11.37 | Ἐὰν ὦσιν ὁσαιδηποτοῦν εὐθεῖαι ἀνάλογον, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἀνάλογον ἔσται. καὶ ἐὰν τὰ ἀπ’ αὐτῶν ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἀνάλογον ᾖ, καὶ αὗται | |
| 5 | ἀνάλογον ἔσονται. ἔστωσαν ὁσαιδηποτοῦν εὐθεῖαι ἀνάλογον ἡ ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΗΘ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀφ’ ἑκάστης τῶν ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΑΚ, | |
| 10 | ΓΛ, ΕΜ, ΗΝ. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ΑΚ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΛ στερεόν, οὕτως τὸ ΕΜ στερεὸν πρὸς τὸ ΗΝ στε‐ | |
| ρεόν. πεποιήσθω γὰρ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἥ τε ΓΔ πρὸς τὴν Ξ καὶ ἡ Ξ πρὸς τὴν Ο. ὡς ἄρα ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην, τουτέστιν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Ο, οὕτως τὸ ἀπὸ | 208 | |
| 15 | τῆς πρώτης, τουτέστι τὸ ΑΚ, πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας, τουτέστι τὸ ΓΛ· ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, οὕτως ἥ τε ΗΘ πρὸς τὴν Π καὶ ἡ Π πρὸς τὴν Ρ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν Ρ, οὕτως τὸ ΕΜ πρὸς τὴν ΗΝ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, ἀλλ’ | |
| 20 | ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἥ τε ΓΔ πρὸς τὴν Ξ καὶ ἡ Ξ πρὸς τὴν Ο, ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, οὕτως ἥ τε ΗΘ πρὸς τὴν Π καὶ ἡ Π πρὸς τὴν Ρ, δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Ο, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν Ρ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Ο, οὕτως τὸ ΑΚ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΛ | |
| 25 | στερεόν, ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν Ρ, οὕτως τὸ ΕΜ στερεὸν πρὸς τὸ ΗΝ στερεόν. ὡς ἄρα τὸ ΑΚ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΛ στερεόν, οὕτως τὸ ΕΜ στερεὸν πρὸς τὸ ΗΝ στερεόν. ἔστω δὴ πάλιν ὡς τὸ ΑΚ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΛ στερεόν, οὕτως τὸ ΕΜ στερεὸν πρὸς τὸ ΗΝ στερεόν. λέγω, ὅτι | |
| 30 | ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ. πεποιήσθω γὰρ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΣΤ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΣΤ τῷ ΗΝ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΣΤ. ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν | |
| 35 | ΣΤ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΚ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΛ στερεόν, οὕ‐ τως τὸ ΕΜ στερεὸν πρὸς τὸ ΣΥ στερεόν. τὸ ΕΜ ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν ΗΝ, ΣΥ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΝ τῷ ΣΥ, καὶ ὁμόλογός ἐστιν ἡ ΗΘ τῇ ΣΤ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΣΤ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς | |
| 40 | τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΣΤ, ἴση δὲ ἡ ΣΤ τῇ ΗΘ, ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. | |
11.38 | Ἐὰν κύβου τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων αἱ πλευραὶ δίχα τμηθῶσι, διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβληθῇ, ἡ τῶν ἐπι‐ πέδων κοινὴ τομὴ δίχα τεμεῖ τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον, καὶ | |
| αὐτὴ δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου. | 209 | |
| 5 | κύβου γὰρ τοῦ ΑΒ τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων τῶν ΓΔ, ΑΕ, ΒΖ, ΗΘ αἱ πλευραὶ δίχα τετμήσθωσαν αἱ ΓΔ, ΔΑ, ΑΕ, ΕΓ, ΒΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΒ κατὰ τὰ Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ, Ο, Π, Ρ, διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβεβλήσθω τὰ ΚΜ, ΠΞ, ΝΛ, ΟΡ, καὶ ἔστω τῶν ἐπιπέδων κοινὴ τομὴ ἡ ΣΤ, | |
| 10 | διάμετρος δὲ τοῦ κύβου ἔστω ἡ ΒΑ. λέγω, ὅτι ἡ ΣΤ δίχα τέμνει τὴν τοῦ κύβου διάμετρον, καὶ αὕτη δίχα τμηθήσε‐ ται ὑπὸ τῶν τοῦ κύβου διαμέτρων. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΓΣ, ΣΑ, ΒΤ, ΤΗ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΕ τῇ ΔΑ, καί ἐστι τῆς μὲν ΓΕ ἡμίσεια ἡ ΓΝ, τῆς δὲ | |
| 15 | ΔΑ ἡμίσεια ἡ ΛΑ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΝ τῇ ΛΑ· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΣΝ τῇ ΣΛ ἴση. δύο δὴ αἱ ΓΝ, ΝΣ δυσὶ ταῖς ΛΑ, ΛΣ ἴσαι εἰσί· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΝΣ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΣΛΑ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΓΣ βάσει τῇ ΣΑ ἴση, καὶ τὸ ΓΝΣ τρί‐ γωνον τῷ ΑΛΣ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι | |
| 20 | ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφ’ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΓΣ, ΣΝ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΛΣ, ΣΑ. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ τῶν ΝΣ, ΣΑ· αἱ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΣ, ΣΝ, ΝΣ, ΣΑ ταῖς ὑπὸ τῶν ΛΣ, ΣΑ, ΑΣ, ΣΝ ἴσαι εἰσίν. ἀλλ’ αἱ ὑπὸ τῶν ΛΣ, ΣΑ, | |
| 25 | ΑΣ, ΣΝ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσί· πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΝΣ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Σ δύο εὐθεῖαι αἱ ΣΓ, ΣΑ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσι τὰς ὑπὸ τῶν ΓΣΝ, ΝΣΑ. ἐπ’ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΣ τῇ ΣΑ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΤ τῇ ΤΗ | |
| 30 | ἐπ’ εὐθείας ἐστί. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΓΒ, ΑΗ τῇ ΕΘ, ἀλλὰ καὶ παράλληλοι, αἱ δὲ παρὰ τὴν αὐτὴν εὐ‐ θεῖαν μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι παράλληλοι εἰσίν, αἱ ΓΒ, ΑΗ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσι. καὶ ἐπεζευγ‐ μέναι εἰσὶν αἱ ΓΑ, ΒΗ, καί ἐστι τῆς μὲν ΓΑ ἡμίσεια ἡ | |
| 35 | ΣΑ, τῆς δὲ ΒΗ ἡμίσεια ἡ ΒΤ. αἱ ΣΑ, ΒΤ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσι· καὶ ἐπεζευγμέναι εἰσὶν αἱ ΣΤ, ΑΒ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΣΥ τῇ ΥΤ, ἡ δὲ ΑΥ τῇ ΥΒ· ὅπερ ἔδει | |
| δεῖξαι. | 210 | |
11.39 | Ἐὰν ᾖ δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ, καὶ τὸ μὲν ἔχει βάσιν τρίγωνον, τὸ δὲ παραλληλόγραμμον, διπλάσιον δὲ ᾖ τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου, ἴσα ἔσται τὰ πρίσματα. Ἔστω δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ τὰ ΑΒΓΔΕΖ, ΗΘΚ | |
| 5 | ΛΜΝ, καὶ τὸ μὲν ἐχέτω τρίγωνον βάσιν τὸ ΚΛΝ, τὸ δὲ παραλληλόγραμμον τὸ ΒΓΔΕ, καὶ ἔστω τὸ ΒΓΔΕ τοῦ ΝΚΛ τριγώνου διπλάσιον. λέγω, ὅτι ἴσα ἐστὶ τὰ πρίσ‐ ματα. πεπληρώσθω γὰρ τὰ παράλληλα ἐπίπεδα τὰ ΑΔ, ΗΛ. ἐπεὶ οὖν τὸ ΒΔ παραλληλόγραμμον τοῦ ΝΚΛ τρι‐ | |
| 10 | γώνου ἐστὶ διπλάσιον, ἔστι δὲ τοῦ ΝΚΛ τριγώνου διπλά‐ σιον τὸ ΝΛ παραλληλόγραμμον, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΔ τῷ ΝΛ. ἐπὶ ἴσων οὖν βάσεων τῶν ΒΔ, ΝΛ ἰσοϋψῆ ἐστι στε‐ ρεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΑΔ, ΗΛ. ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις. ἀλλὰ τοῦ μὲν ΑΔ ἥμισύ ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα, τοῦ | |
| 15 | δὲ ΗΛ ἥμισυ τὸ ΗΘΚΛΜ πρίσμα. καὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἄρα πρίσμα τῷ ΗΘΚΛΜΝ πρίσματι ἴσον ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. | |
12.1 | Τὰ ἐν τοῖς κύκλοις ὅμοια πολύγωνα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα. ἔστωσαν κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ, ΗΘΚΛ, καὶ ἐν τοῖς ΑΒ ΓΔ, ΗΘΚΛ ὅμοια πολύγωνα ἔστω τὰ ΑΒΓΔΕ, ΗΘ | |
| 5 | ΚΛΜ, διάμετροι δὲ τῶν κύκλων ἔστωσαν αἱ ΒΖ, ΘΝ. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΝ τετράγωνον, οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΗΘΚΛΜ πολύγωνον. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΑΖ, ΘΜ, ΗΝ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ | |
| 10 | ΘΗ πρὸς τὴν ΗΜ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν ΒΑΕ, ΘΗΜ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΗΘΜ τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ | |
| ὑπὸ τῶν ΑΕΒ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΗΘΜ. ἀλλ’ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΒ τῇ ὑπὸ ΑΖΒ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΜΘ τῇ ὑπὸ | 211 | |
| 15 | ΗΝΘ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ ὀρθὴ ὑπὸ τῶν ΒΑΖ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΘΗΝ ἴση. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΗΘΝ ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΖ τρίγωνον τῷ ΗΘΝ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΘΝ πρὸς ΘΗ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΖ πρὸς | |
| 20 | τὴν ΘΝ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΘΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΝ τετράγωνον διπλα‐ σίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΘΝ, ἔχει δὲ καὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΗΘΚΛΜ πολύγωνον δι‐ πλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΗΘ, καί ἐστιν ὡς ἡ | |
| 25 | ΒΖ πρὸς τὴν ΘΝ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΗΘ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΝ τετρά‐ γωνον, οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΗΘΚΛΜ πολύγωνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. | |
12.2 | Οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέ‐ τρων τετράγωνα. ἔστωσαν κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ, διάμετροι δὲ αὐτῶν αἱ ΒΔ, ΖΘ. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετρά‐ | |
| 5 | γωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ τετράγωνον, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον. εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον ἢ πρὸς τὸ | |
| 10 | μεῖζον. ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Φ, καὶ τῷ ΕΖΗΘ κύκλῳ ἴσα ἔστω τὰ ΦΧ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ. τὸ ΕΖΗΘ ἄρα τετράγω‐ νον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. τετμή‐ σθωσαν αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ | |
| 15 | Κ, Λ, Μ, Ν σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, ΝΕ. ἕκαστον ἄρα τῶν ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, ΝΕ τρίγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ’ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κύκλου. ἕκαστον ἄρα τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ τῶν τριγώνων μεῖζόν | |
| 20 | ἐστιν ἤτοι ἥμισυ τοῦ καθ’ αὑτὸ τμήματος τοῦ κύκλου. τοιαύτης δὴ γινομένης τῆς διαιρέσεως ληφθήσεται τοι‐ αῦτα τμήματα ἀπὸ τοῦ ὅλου κύκλου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τοῦ Χ χωρίου. λελήφθω καὶ ἔστω τὰ ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, ΝΕ. δύο οὖν μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων | 212 |
| 25 | τοῦ τε ΕΖΘ κύκλου καὶ τοῦ Χ χωρίου ἀφῄρηται ἀπὸ τοῦ μείζονος μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ μέρος καὶ τοῦ καταλειπο‐ μένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ μέρος, καὶ τοῦτο ἀεὶ γεγένηται, καὶ καταλέλειπται χωρίον, ὃ ἔλασσον ἔσται τοῦ Χ. λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ Φ | |
| 30 | χωρίου. ἐγγεγράφθω δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΕΚΖ ΛΗΜΘΝ πολυγώνῳ ὅμοιον πολύγωνον τὸ ΑΞΒΟΓ ΠΔΡ. ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸ Φ χωρίον, ἀλλὰ μὴν καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς | |
| 35 | ΖΘ, οὕτως τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ πολύγωνον πρὸς τὸ ΕΚΖ ΛΗΜΘΝ, ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸ Φ χωρίον, οὕτως τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ πολύγωνον πρὸς τὸ ΕΚΖΛ ΗΜΘΝ πολύγωνον. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστίν, ὡς ὁ ΑΒΓΔ πρὸς τὸ ἐν αὐτῷ πολύγωνον, οὕτως τὸ Χ χωρίον πρὸς τὸ | |
| 40 | ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον. μείζων δὲ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοῦ ἐν αὐτῷ πολυγώνου· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Φ χωρίον τοῦ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολυγώνου. ἀλλὰ μὴν καὶ ἔλασσον τὸ Φ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον, οὕτως ὁ | |
| 45 | ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον. λέγω δή, ὅτι οὐδὲ πρὸς μεῖζον. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς τὸ Φ. ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετρά‐ γωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ τετράγωνον, οὕτως τὸ Φ χωρίον | |
12.2(50) | πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον. ὡς δὲ τὸ Φ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ τετράγωνον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χω‐ | |
| 55 | ρίον· ὅπερ ἀδύνατον δέδεικται. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ | |
| τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλασσον. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετρά‐ | 213 | |
| 60 | γωνον, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον. | |
12.3 | Πᾶσα πυραμὶς τρίγωνον ἔχουσα βάσιν διαιρεῖται εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα, καὶ τὰ δύο πρίσματα τῆς ὅλης πυρα‐ μίδος μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ. | |
| 5 | ἔστω πυραμίς, ἧς βάσις μὲν ἔστω τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓΔ πυραμὶς διαιρεῖται εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα. τετμήσθωσαν αἱ πλευραὶ τῆς πυραμίδος δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ, Κ, Λ σημεῖα, | |
| 10 | καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΕΗ, ΗΛ, ΖΘ, ΘΚ, ΚΛ, ΛΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΖ τῇ ΖΔ, ἡ δὲ ΒΘ τῇ ΘΔ, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΖΘ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΒ, ἡ δὲ ΑΖ τῇ ΖΔ, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ τῇ ΕΖ. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ | |
| 15 | ΕΒΖΘ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΕΒ τῇ ΖΘ, ἡ δὲ ΕΖ τῇ ΒΘ. ἀλλ’ ἡ μὲν ΒΕ τῇ ΕΑ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΒΘ τῇ ΘΛ. καὶ ἡ μὲν ΑΕ ἄρα τῇ ΖΘ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΕΖ τῇ ΘΔ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΖ τῇ ΖΔ ἴση. ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΕΖ τρίγωνον τῷ ΖΘΔ τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΖΘ | |
| 20 | τρίγωνον τῷ ΖΔΚ τριγώνῳ ἴσον τε καὶ ὅμοιόν ἐστιν. τὸ δὲ ΑΕΗ τρίγωνον τῷ ΖΘΚ τριγώνῳ ἴσον τε καὶ ὅμοιόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΕΖ, ΖΗ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΘΔ, ΔΚ κεῖνται μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι, ἴσας γωνίας περι‐ | |
| 25 | έξουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΖΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΔΚ γωνίᾳ. ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΕΖ, ΖΗ δυσὶ ταῖς ΘΔ, ΔΚ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΖΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΔΚ ἴση ἐστίν, βάσις ἄρα ἡ ΕΗ βάσει τῇ ΘΚ ἐστιν ἴση. ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΖΗ τρίγωνον τῷ | |
| 30 | ΘΔΚ τριγώνῳ. καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς μέν ἐστι τὸ ΑΕΗ | |
| τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ζ σημεῖον, ἴση τε καὶ ὁμοία ἐστὶ τῇ πυραμίδι τῇ βάσιν μὲν ἐχούσῃ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυ‐ φὴν δὲ τὸ Δ σημεῖον. καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ζ σημεῖον, ὁμοία | 214 | |
| 35 | ἐστὶ τῇ πυραμίδι τῇ βάσιν μὲν ἐχούσῃ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Δ σημεῖον. διῄρηται ἄρα ἡ ΑΒΓΔ πυρα‐ μὶς εἰς δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ. λέγω δή, ὅτι καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΛ τῇ ΛΓ, διπλάσιόν ἐστι τὸ ΕΗΛΒ παραλλη‐ | |
| 40 | λόγραμμον τοῦ ΗΛΓ τριγώνου. καὶ ἐπεὶ δέδεικται, ὅτι, ἐὰν δύο πρίσματα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, καὶ τὸ μὲν ἔχει βάσιν παραλληλόγραμμον, τὸ δὲ τρίγωνον, ᾖ δὲ διπλάσιον τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου, ἴσα ἔσται τὰ πρίσματα, τὸ ἄρα πρίσμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν | |
| 45 | ΘΒΛ, ΕΖΗ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τοῦ ΕΒΖΘ καὶ τοῦ ΕΒΛΗ καὶ ἔτι τοῦ ΖΘΛΗ, ἴσον ἐστὶ τῷ πρίσ‐ ματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΗΓΛ, ΖΘΚ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΚΖΗΓ, ΛΓΘΚ, ΖΗΛΘ. διῄρηται ἄρα ἡ ΑΒΓΔ πυραμὶς εἴς τε δύο | |
12.3(50) | πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα, καὶ φανερόν, ὅτι τὰ δύο πρίσματα ἴσα ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης πυραμίδος: — | |
12.4 | Ἐὰν ὦσι δύο πυραμίδες ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι καὶ τρι‐ γώνους ἔχουσαι βάσεις, διαιρεθῇ δὲ ἑκατέρα αὐτῶν εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα, ἔσται ὡς ἡ τῆς μιᾶς πυραμίδος βάσις | |
| 5 | πρὸς τὴν τῆς ἑτέρας πυραμίδος βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ μιᾷ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληθῆ. ἔστωσαν δύο πυραμίδες ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις τὰς ΑΒΓ, ΜΝΞ, κορυφὰς δὲ τὰ | |
| 10 | Δ, Ο σημεῖα, καὶ διῃρήσθω ἑκατέρα αὐτῶν εἴς τε δύο πυρα‐ μίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΜΝΞ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΔ πυραμίδι πρίσματα πάντα | |
| πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληθῆ. | 215 | |
| 15 | ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΛΗ, ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΛΗΓ τριγώνῳ. τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγω‐ νον πρὸς τὸ ΛΗΓ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΝΞ πρὸς τὴν ΞΦ. καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΛ, οὕτως ἡ ΝΞ πρὸς τὴν ΞΦ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον | |
| 20 | πρὸς τὸ ΛΗΓ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΜΝΞ τρίγωνον πρὸς τὸ ΣΦΞ τρίγωνον. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγω‐ νον πρὸς τὸ ΜΝΞ, οὕτως τὸ ΗΛΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΣΦΞ τρίγωνον, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ ἀπεναντίον ἐστὶ τὰ ΛΗΓ, ΖΘΚ ἐπίπεδα, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ ἀπεναντίον | |
| 25 | ἐστὶ τὰ ΣΦΞ, ΡΤΝ ἐπίπεδα. ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΜΝΞ βάσιν, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ ἀπεναντίον ἐστὶ τὰ ΛΗΓ, ΖΘΚ ἐπίπεδα, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ ἀπεναντίον ἐστὶ τὰ ΣΦΞ, ΡΥΤ ἐπίπεδα. ἀλλὰ τὰ μὲν ἐν τῇ ΑΒΓΔ πυραμίδι πρίσματα διπλάσιά ἐστι τοῦ πρίσματος, οὗ | |
| 30 | ἀπεναντίον ἐστὶ τὰ ΛΗΓ, ΖΘΚ ἐπίπεδα. τὰ δ’ ἐν τῇ ΜΝΞΟ πυραμίδι πρίσματα διπλάσιά ἐστι τοῦ πρίσματος, οὗ ἀπεναντίον ἐστὶ τὰ ΣΦΞ, ΡΤΥ ἐπίπεδα. ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΜΝΞ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΔ πυραμίδι πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΜΝΞΟ πυραμίδι πρίσ‐ | |
| 35 | ματα. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ΑΕΗ βάσις πρὸς τὴν ΜΠΣ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΕΗΖ πυραμίδι πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΜΠΣΡ πυραμίδι πρίσματα. ὡς δὲ ἡ ΖΘΚ βάσις πρὸς τὴν ΤΡΥ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΖΘΚΔ πυραμίδι πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΡΤΥΟ πυραμίδι πρίσ‐ | |
| 40 | ματα. ἔσται ἄρα ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπο‐ μένων, ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΜΝΞ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΔ πυραμίδι πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΜΝ ΞΟ πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληθῆ. | |
12.5 | Αἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι πυραμίδες καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις. ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος πυραμίδες τριγώνους ἔχου‐ σαι βάσεις τὰς ΑΒΓ, ΜΝΞ αἱ ΑΒΓΔ, ΜΝΞΟ, κορυφὰς | |
| 5 | δὲ τὰ Δ, Ο σημεῖα. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΜΝΞ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔ πυραμὶς πρὸς τὴν ΜΝΞΟ πυραμίδα. εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΜΝΞ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔ πυραμὶς πρὸς τὴν ΜΝΞΟ πυρα‐ | 216 |
| 10 | μίδα, ἔσται ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΜΝΞ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔ πυραμὶς ἤτοι πρὸς ἔλαττόν τι τῆς ΜΝ ΞΟ πυραμίδος στερεὸν ἢ πρὸς μεῖζον. ἔστω πρὸς ἔλαττον τὸ Ω, καὶ τῇ ΜΝΞΟ πυραμίδι ἴσα ἔστω τὰ Ω, Χ χωρία, καὶ διῃρήσθω ἡ ΜΝΞΟ πυραμὶς εἴς τε δύο πυραμίδας | |
| 15 | ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα. μείζονα ἄρα ἐστὶ τὰ πρίσματα τῆς ὅλης πυραμίδος ἢ τὸ ἥμισυ. τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας πυραμίδας εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα λήψομέν τινας πυραμίδας ἀπὸ τῆς ὅλης | |
| 20 | πυραμίδος, αἳ ἔσονται ἐλάσσονες τοῦ Χ στερεοῦ. λελήφθω‐ σαν καὶ ἔστωσαν αἱ ΜΠΣΡ, ΤΥΟ. ἐπεὶ οὖν ἡ πυραμὶς ἴση ἐστὶ τοῖς στερεοῖς εἰς τὰ καταλελημμένα ἀποτμήματα ἐλάσσονά εἰσι τοῦ Χ. λοιπὰ ἄρα τὰ ἐν τῇ ΜΝΞΟ πυρα‐ μίδι πρίσματα μείζονά ἐστι τοῦ Ω στερεοῦ. διῃρήσθω ἡ | |
| 25 | ΑΒΓΔ πυραμὶς ὁμοίως τῇ ΜΝΞΟ πυραμίδι. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΜΝΞ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ πυραμίδι τῇ ΑΒΓΔ πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΜΝΞΟ πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληθῆ, ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓΔ πυραμὶς πρὸς τὸ Ω στερεόν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒ | |
| 30 | ΓΔ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΜΝΞΟ πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληθῆ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓΔ πυραμὶς πρὸς τὰ ἐν αὐτῇ πρίσματα πάντα, οὕτως τὸ Ω στερεὸν πρὸς τὰ ἐν τῇ ΜΝΞΟ πυραμίδι πρίσ‐ ματα πάντα ἰσοπληθῆ. μείζων δὲ ἡ ΑΒΓΔ πυραμὶς τῶν | |
| 35 | ἐν αὐτῇ πρισμάτων πάντων. μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Ω στερεὸν τῶν ἐν τῇ ΜΝΞΟ πυραμίδι πρισμάτων πάντων. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΜΝΞ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔ πυραμὶς πρὸς ἔλατ‐ τόν τι τῆς ΜΝΞΟ πυραμίδος στερεόν. | |
| 40 | λέγω δή, ὅτι οὐδὲ πρὸς μεῖζον. εἰ γὰρ δυνατὸν, ἔστω | |
| πρὸς τὸ Ω. ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΜΝΞ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτως τὸ Ω στερεὸν πρὸς τὴν ΑΒΓΔ πυρα‐ μίδα. ὡς δὲ τὸ Ω στερεὸν πρὸς τὴν ΑΒΓΔ πυραμίδα, οὕτως ἡ ΜΝΞΟ πυραμὶς πρὸς ἔλαττόν τι τῆς ΑΒΓΔ | 217 | |
| 45 | πυραμίδος στερεόν. ὡς ἄρα ἡ ΜΝΞ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτως ἡ ΜΝΞΟ πυραμὶς πρὸς ἔλαττόν τι τῆς ΑΒΓΔ πυραμίδος στερεόν· ὅπερ ἀδύνατον δέδεικται. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΜΝΞ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔ πυραμὶς πρὸς μεῖζόν τι τῆς ΜΝΞΟ πυρα‐ | |
12.5(50) | μίδος στερεόν. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλαττον. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΜΝΞ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒ ΓΔ πυραμὶς πρὸς τὴν ΜΝΞΟ πυραμίδα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. | |
12.6 | Πᾶν πρίσμα τρίγωνον ἔχον βάσιν διαιρεῖται εἰς τρεῖς πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους βάσεις ἐχούσας. ἔστω πρίσμα τὸ ΑΒΓΔΕΖ τρίγωνον ἔχον βάσιν τὴν ΓΖΔ. λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα διαιρεῖται εἰς | |
| 5 | τρεῖς πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους βάσεις ἐχούσας. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΔ, ΒΖ, ΖΕ. ἡ ἄρα πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΓΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ζ σημεῖον, ἴση ἐστὶ τῇ πυραμίδι τῇ βάσιν μὲν ἐχούσῃ τὸ ΒΔΕ τρίγω‐ νον, κορυφὴν δὲ τὸ Ζ σημεῖον, ἴση ἐστὶ τῇ πυραμίδι τῇ | |
| 10 | βάσιν μὲν ἐχούσῃ τὸ ΑΕΖ τρίγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Ζ σημεῖον. καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΒΓΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ζ σημεῖον, ἴση ἐστὶ τῇ πυραμίδι τῇ βάσιν μὲν ἐχούσῃ τὸ ΑΕΖ τρίγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Β σημεῖον. διῄρηται ἄρα τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα εἰς τρεῖς | |
| 15 | πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις, ὧν βάσεις μέν εἰσιν ΑΒΓΔ, ΕΑΕΖ, κορυφὴ δὲ τὰ Β, Ζ σημεῖα. | |
12.7 | Τῶν ἴσων πυραμίδων καὶ τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσι. καὶ ὧν πυραμίδων τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσαι εἰσὶν ἐκεῖναι. | |
| 5 | ἔστωσαν ἴσαι πυραμίδες καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις τὰς ΑΒΓ, ΕΖΗ αἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ, κορυφὰς δὲ τὰ | |
| Δ, Θ σημεῖα. λέγω, ὅτι τῶν ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ πυραμίδων τριγώνων βάσιν ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσι. συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΒΔΜΛ, ΖΘΡΘ στε‐ | 218 | |
| 10 | ρεά. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΔ πυραμὶς τῇ ΕΖΗΘ πυραμίδι, καί ἐστι τῆς μὲν ΑΒΓΔ πυραμίδος ἑξαπλά‐ σιον τὸ ΒΔΜΛ στερεόν, τῆς δὲ ΕΖΗΘ ἑξαπλάσιον τὸ ΖΘΡΟ στερεόν, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΔΜΛ στερεὸν τῷ ΖΘΡΟ στερεῷ. τῶν δὲ ἴσων στερεῶν παραλληλεπιπέ‐ | |
| 15 | δων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΖΡ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΟΡΘΖ στερεοῦ ὕψος. ὡς δὲ ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΖΡ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗ βάσιν. ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΟΡΘΖ | |
| 20 | στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΛΜΔΒ στερεοῦ ὕψος. τὰ δ’ αὐτὰ ὕψη ἐστὶ τῶν τε ΒΔΜΛ, ΖΘΡΟ στερεῶν καὶ τῶν ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ πυραμίδων. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ πρὸς τὴν ΕΖΗ βάσιν, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖΗΘ πυραμίδος ὕψος τῶν ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΔ πυρα‐ | |
| 25 | μίδος ὕψος. τῶν ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ ἄρα πυραμίδων ἀντι‐ πεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν. ἀντιπεπονθέτωσαν δὴ πάλιν τῶν ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ πυραμίδων αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσι, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς ΕΖΗΘ πυρα‐ | |
| 30 | μίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΔ πυραμίδος ὕψος. λέγω, ὅτι ἐστὶν ἴση ἡ ΑΒΓΔ πυραμὶς τῇ ΕΖΗΘ πυραμίδι· τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς ΕΖΗΘ ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΔ πυραμίδος ὕψος, ὡς δὲ ἡ ΑΒΓ βάσις | |
| 35 | πρὸς τὴν ΕΖΗ βάσιν, οὕτως ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΖΡ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς ΕΖΗΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΔ πυραμίδος ὕψος. τὰ δ’ αὐτὰ ὕψη ἐστὶ τῶν τε ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ πυραμίδων καὶ τῶν ΒΔΜΛ, ΖΘΡΟ στερεῶν. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΖΡ βάσιν, | |
| 40 | οὕτως τὸ τοῦ ΖΘΡΟ στερεοῦ ὕψος. ὧν δὲ στερεῶν παραλ‐ ληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΔΜΛ στερεὸν τῷ ΖΘΡΟ | |
| στερεῷ. καί ἐστι τοῦ μὲν ΒΔΜΛ στερεοῦ ἕκτον μέρος ἡ ΕΖΗΘ, ΑΒΓΔ πυραμίς, τοῦ δὲ ΖΘΡΟ στερεοῦ | 219 | |
| 45 | ἕκτον μέρος ἡ ΕΖΗΘ πυραμίς. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒΓΔ πυραμὶς τῇ ΕΖΗΘ πυραμίδι. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. | |
12.8 | Αἱ ὅμοιαι πυραμίδες καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις πρὸς ἀλλήλας ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. ἔστωσαν ὅμοιαι πυραμίδες καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις | |
| 5 | τὰς ΑΒΓ, ΕΖΗ αἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ, κορυφὰς δὲ τὰ Δ, Θ σημεῖα, καὶ ἔστω ἴση ἡ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΖΗ γωνίᾳ, ἡ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΖΘ. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῇ ὑπὸ τῶν ΘΖ, ΖΗ, ὁμόλογος δὲ ἔστω ἡ ΒΓ τῇ ΖΗ. λέγω, | |
| 10 | ὅτι ἡ ΑΒΓΔ πυραμὶς πρὸς τὴν ΕΖΗΘ πυραμίδα τριπλα‐ σίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΖΗ. συμπεπληρώσθωσαν γὰρ τὰ ΒΔΜΛ, ΖΘΡΟ στερεά. ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΒΛ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΖΕ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΕΖ, | |
| 15 | ΖΗ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον τῷ ΖΡ παραλληλογράμμῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΑΔ τῷ ΕΘ ὅμοιόν ἐστι, τὸ δὲ ΝΒ τῷ ΖΠ. ἀλλὰ τὰ μὲν ΒΝ, ΑΔ, ΒΜ τὰ τρία τοῖς ἀπεναντίον αὐτῶν τοῖς ΛΔ, ΜΝ, ΑΛ ἴσα ἐστί, τὰ δὲ ΖΡ, ΕΘ, ΠΖ | |
| 20 | τὰ τρία τοῖς ἀπεναντίον αὐτῶν τοῖς ΘΟ, ΕΟ, ΡΠ ἴσα ἐστίν. ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΜΛ στερεὸν ὅλῳ τῷ ΖΘΡΟ στε‐ ρεῷ ὅμοιόν ἐστι. τὰ δὲ ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλα ἐν τριπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. τὸ ΒΔΜΛ ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ ΖΘΡΟ στε‐ | |
| 25 | ρεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΖΗ. καί ἐστι τοῦ μὲν ΒΔΜΛ στερεοῦ ἕκτον μέρος ἡ ΑΒΓ πυραμὶς τοῦ ΖΘΡΟ στερεοῦ ἕκτον μέρος ἡ ΕΖΗΘ πυρα‐ μίς· καὶ ἡ ΑΒΓΔ ἄρα πυραμὶς πρὸς τὴν ΕΖΗΘ πυρα‐ μίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΖΗ. | |
12.9 | Πᾶς κῶνος κυλίνδρου τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ τὴν αὐτὴν | |
| βάσιν ἔχοντος καὶ ὕψος ἴσον. ἐχέτω γὰρ κῶνος κυλίνδρῳ βάσιν τὴν αὐτὴν τὸν ΑΒ ΓΔ κύκλον καὶ ὕψος ἴσον. λέγω, ὅτι τριπλάσιός ἐστιν ὁ | 220 | |
| 5 | κύλινδρος τοῦ κώνου. εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου τριπλάσιος, ἔσται ἄρα ἤτοι μείζων ἢ τριπλάσιος ἢ ἐλάσσων ἢ τρι‐ πλάσιος. ἔστω πρότερον ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου μείζων ἢ τριπλάσιος τῷ ΡΣ στερεῷ. καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν | |
| 10 | ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου πρίσμα ἰσοϋψὲς τῷ κυλίν‐ δρῳ. τὸ ἄρα ἀνεσταμένον πρίσμα μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κυλίνδρου. τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ περι‐ φέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω‐ | |
| 15 | σαν αἱ ΕΑ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ, καὶ ἀν‐ εστάτω ἀφ’ ἑκάστου τῶν ΔΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τρι‐ γώνων πρίσματα ἰσοϋψὲς τῷ κυλίνδρῳ. ἕκαστον ἀνα‐ σταμένων πρισμάτων μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ’ αὑτὸ τμήματος καὶ κυλίνδρου. τοιαύτης δὴ γινομένης ἀεὶ | |
| 20 | ἐπισκέψεως ληφθήσεταί τινα τμήματα ἀπὸ τοῦ ὅλου κυλίνδρου, ἃ ἔσται ἐλάττονα τοῦ Ρ στερεοῦ. λελήφθω καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ. λοιπὸν ἄρα τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύ‐ γωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, μεῖζόν ἐστιν ἢ τρι‐ | |
| 25 | πλάσιον τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ. ἀλλὰ τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, τριπλάσιόν ἐστι τῆς πυραμίδος τῆς βάσιν μὲν ἐχούσης τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, | |
| 30 | ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ. καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, μεῖζόν ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίν‐ δρῳ. ἀλλὰ καὶ ἐμπεριέχεται ἐν αὐτῷ· ὅπερ ἀδύνατον. | |
| 35 | οὐκ ἄρα ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου μείζων ἐστὶν ἢ τριπλάσιος. λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων ἢ τριπλάσιος. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω. ἀνάπαλιν ἄρα ὁ κῶνος τοῦ κυλίν‐ | |
| δρου μείζων ἐστὶν ἢ τρίτον μέρος τῷ Ρ στερεῷ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον τὸ | 221 | |
| 40 | ΑΒΓΔ, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου πυρα‐ μὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ. ἡ ἄρα ἀνεσταμένη πυραμὶς μεί‐ ζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κώνου. τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὸ ΕΖΗΘ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, | |
| 45 | ΔΘ, ΘΑ, καὶ ἀνεστάτω ἀφ’ ἑκάστου τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ. ἑκά‐ στη ἄρα τῶν ἀνεσταμένων πυραμίδων μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τῶν καθ’ αὑτὸ τμήματος τοῦ κώνου. τοιαύτης δὴ γινομένης ἀεὶ ἐπισκέψεως ληφθήσεταί τινα τμήματα ἀπὸ | |
12.9(50) | τοῦ ὅλου κώνου, ἃ ἔσται ἔλαττον αὐτοῦ στερεοῦ. λελήφθω καὶ ἀνεστάτω ἐπὶ τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ. λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ, μεῖζόν ἐστιν ἢ τρίτον μέρος τοῦ κυλίνδρου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸν | |
| 55 | ΑΒΓΔ κύκλον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ. ἀλλ’ ἡ πυρα‐ μίς, ἧς βάσις μέν ἐστιν ἡ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ, τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸ ΑΕΒ ΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ. καὶ τὸ πρίσμα ἄρα, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύ‐ | |
| 60 | γωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ, μεῖζόν ἐστι τοῦ κυλίν‐ δρου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ, μεῖζόν ἐστι τοῦ κυλίνδρου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ. ἀλλὰ καὶ ἐμπεριέχεται ἐν αὐτῷ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ὁ | |
| 65 | κύλινδρος τοῦ κώνου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριπλάσιος. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ μείζων ἢ τριπλάσιος. τριπλάσιος ἄρα ἐστίν. | |
12.10 | Οἱ ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους ἐν τριπλα‐ σίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖς βάσεσι διαμέτρων. ἔστωσαν ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεις μὲν ἔστωσαν οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλοι, ἄξονες δὲ οἱ ΚΛ, | |
| 5 | ΜΝ, διάμετροι δὲ ἔστωσαν αἱ ΒΓ, ΖΘ. λέγω, ὅτι ὁ ΑΒ ΓΔΚΛ κῶνος πρὸς τὸν ΕΖΗΘΜΝ κῶνον τριπλασίονα | |
| λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς ΖΘ. εἰ γὰρ μὴ ὁ ΑΒΓΔΚΛ κῶνος πρὸς τὸν ΕΖΗΘΜΝ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ, ἕξει | 222 | |
| 10 | ἄρα ὁ ΑΒΓΔΚΛ κῶνος ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗ ΘΜΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ ἢ πρὸς τὸ μεῖζον. ἐχέτω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Α, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον[Omitted graphic marker] τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΕΖΗΘ | |
| 15 | τετραγώνου πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ. ἡ ἄρα ἀνεστα‐ μένη πυραμὶς μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κώνου. τετμή‐ σθωσαν αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ξ, Ο, Π, Ρ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΞ, ΞΖ, ΖΟ, ΟΗ, ΗΠ, ΠΘ, ΘΡ, ΡΕ, καὶ ἀνεστάτω ἀφ’ ἑκάστου τῶν | |
| 20 | ΕΞ, ΞΖ, ΖΟ, ΟΗ, ΗΠ, ΠΘ, ΘΡ, ΡΕ τριγώνων πυρα‐ μὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ. ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνεσταμένων πυ‐ ραμίδων μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ’ αὑτὴν τμήμα‐ τος τοῦ κώνου. τοιαύτης δὴ γινομένης ἀεὶ ἐπισκέψεως ληφθήσεταί τινα τμήματα ἀπὸ τοῦ ὅλου κώνου, ἃ ἔσται | |
| 25 | ἐλάσσονα τοῦ Α στερεοῦ. λελήφθω καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΕΞΖ, ΖΟΗ, ΗΠΘ, ΘΡΕ. λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΞΖΖΟΗΗΠΘΡΕ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, μεῖζόν ἐστι τοῦ Α στερεοῦ. ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΕΞΖΟΗΠ | |
| 30 | ΘΡΕ πολυγώνῳ ὅμοιόν τε πολύγωνον τὸ ΑΕΒΤΓΥ ΔΦΑ, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΑΣΒΤΓΥΔΦ πολυγώνου πρίσμα ἰσοϋψὲς τῷ κώνῳ, καὶ τῶν μὲν περιεχόντων τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΤΓΥΔΦ πολύγω‐ νον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, τρίγωνον ἐφεστάτω τὸ ΛΣΒ, | 223 |
| 35 | τῶν δὲ περιεχόντων τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΞΟΗΠΘΡ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, ἐφ‐ εστάτω τὸ ΝΖΞ τρίγωνον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΣΚ, ΜΞ. ἐπεὶ ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροί εἰσιν, ὧν ἀνάλογόν εἰσιν οἵ τε ἄξονες καὶ οἱ διάμετροι τῶν βάσεων, ἔστιν ἄρα ὡς | |
| 40 | ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΜΝ, οὕτως ὁ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ. ὡς δὲ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ, οὕτως ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΜΖ. ὡς ἄρα ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΜΖ· καὶ περὶ ὀρθὰς γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν ΔΚ, ΚΒ, ΜΝ, ΜΖ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΒΛ τρίγωνον τῷ | |
| 45 | ΜΝΖ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΒ, οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΖΝ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΜΝ, οὕτως ἡ ΛΖ πρὸς τὴν ΝΖ. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΣΚ πρὸς τὴν ΚΛ, οὕτως ἡ ΜΞ πρὸς τὴν ΜΝ, καὶ περὶ ὀρθὰς γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν ΣΚΛ, ΞΜΝ αἱ πλευ‐ | |
12.10(50) | ραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΣΚΛ τρίγωνον τῷ ΞΜΝ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΜΝ, οὕτως ἡ ΛΣ πρὸς τὴν ΝΞ, ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΛΚ πρὸς τὴν ΜΝ, οὕτως ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΝΖ· ὡς ἄρα ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΝΖ, οὕτως ἡ ΛΣ πρὸς τὴν ΝΞ. καὶ ἐπεί | |
| 55 | ἐστιν, ὡς ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΓ, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ΜΞ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν ΒΚΣ, ΖΜΞ αἱ πλευ‐ ραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΚΣ τρίγωνον τῷ ΖΜΞ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΣΚ πρὸς ΣΒ, οὕτως ἡ ΞΜ πρὸς ΞΖ. ἀλλὰ μὴν καὶ ὡς ἡ ΣΚ πρὸς τὴν ΣΛ, | |
| 60 | οὕτως ἡ ΜΞ πρὸς τὴν ΞΝ. δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΣ πρὸς ΣΒ, οὕτως ἡ ΝΞ πρὸς τὴν ΞΖ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΛΣ πρὸς τὴν ΝΞ, οὕτως ἡ ΣΒ πρὸς τὴν ΞΖ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΑΣ πρὸς τὴν ΝΞ, οὕτως ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΝΖ. ὡς ἄρα ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΝΖ, οὕτως ἡ ΛΣ πρὸς τὴν ΝΞ· | |
| 65 | ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΣΒ τρίγωνον τῷ ΝΞΖ τριγώνῳ. | |
| καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΚΒΣ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, ὁμοία ἐστὶ τῇ πυραμίδι τῇ βάσιν μὲν ἐχούσῃ τὸ ΜΞΖ τρίγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Ν σημεῖον. αἱ δὲ ὅμοιαι πυραμίδες καὶ τριγώνους βάσεις ἔχουσαι | 224 | |
| 70 | πρὸς ἀλλήλας ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. ἡ ἄρα πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΒΚΣ τρί‐ γωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὴν πυραμίδα τὴν βάσιν μὲν ἔχουσαν τὸ ΜΖΞ τρίγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΚ πρὸς τὴν | |
| 75 | ΖΜΘ. καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΚΒΣ τρί‐ γωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, πρὸς τὴν πυραμίδα τὴν βάσιν μὲν ἔχουσαν τὸ ΜΞΖ τρίγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΘΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν λοιπῶν | |
| 80 | πυραμίδων, ὧν βάσεις μέν εἰσι τὰ ΣΚ, ΜΚ, ΦΚΑ, ΚΔΥ, ΥΚΓ, ΚΓΤ, ΚΤΒ τὰ τρίγωνα, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς ἑκάστην τῶν πυραμίδων, ὧν βάσεις μέν εἰσι τὰ ΞΜΕ, ΕΜΡ, ΜΘΡ, ΜΘΠ, ΜΠΝ, ΗΜΘ, ΜΟΖ τὰ τρίγωνα, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει | |
| 85 | ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ. καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΣΒΤΓΜΟΦΑ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὴν πυραμίδα τὴν βάσιν μὲν ἔχουσαν τὸ ΕΞΞΟΗΠΘΡ πολύγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ. καὶ ἐπεὶ | |
| 90 | ὁ ΑΒΓΔΚΛ κῶνος πρὸς τὸ Α στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ, ἔχει δὲ καὶ ἡ πυρα‐ μίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΓΒΠΥΦΔ πολύγωνον, κορυ‐ φὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὴν πυραμίδα τὴν βάσιν μὲν ἔχουσαν τὸ ΕΞΞΘΗΠΘΡ πολύγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ | |
| 95 | Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ, ἔστιν ἄρα, ὡς ὁ ΑΒΓΔΚΛ κῶνος πρὸς τὸ Α στερεόν, οὕτως ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΣΒΤΓ ΥΔΦ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὴν πυραμίδα τὴν βάσιν μὲν ἔχουσαν τὸ ΕΞΖΟΗΠΘΡ | |
12.10(100) | πολύγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Ν σημεῖον. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστίν, ὡς ὁ ΑΒΓΔΚΛ κῶνος πρὸς τὴν πυραμίδα τὴν βάσιν | |
| μὲν ἔχουσαν τὸ ΑΣΒΓΠΥΔΦ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, οὕτως τὸ Α στερεὸν πρὸς τὴν πυραμίδα τὴν βάσιν μὲν ἔχουσαν τὸ ΕΞΖΟΗΠΘΡ πολύγωνον, | 225 | |
| 105 | κορυφὴν δὲ τὸ Ν σημεῖον. μείζων δὴ ὁ ΑΒΓΔΚΛ κῶνος τῆς πυραμίδος τῆς βάσιν μὲν ἐχούσης τὸ ΑΣΒΠΥΦΔ πολύγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Λ σημεῖον. μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Α στερεὸν τῆς πυραμίδος τῆς βάσιν μὲν ἐχούσης τὸ ΕΞΖ ΟΗΠΘΡ πολύγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Ν σημεῖον. ἀλλὰ | |
| 110 | καὶ ἐλάττων· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ὁ ΑΒΓΔΚΛ κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΕΖΗΘΜΝ κώνου στερεὸν τριπλα‐ σίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ. λέγω δή, ὅτι οὐδὲ πρὸς μεῖζον. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς τὸ Α. ἀνά‐ παλιν ἄρα τὸ Α στερεὸν πρὸς τὸν ΑΒΓΔΚΛ κῶνον τρι‐ | |
| 115 | πλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΔΒ. ὡς δὲ τὸ Α στερεὸν πρὸς τὸν ΑΒΓΔΚΛ κῶνον, οὕτως ὁ ΕΖΗ ΜΜΝ κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΚΛ κώνου στερεόν. ὁ ΕΖΗΘΜΝ ἄρα κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΚΛ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ | |
| 120 | ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΒΛ· ὅπερ ἀδύνατον δέδεικται. οὐκ ἄρα ὁ ΑΒΓΔΚΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘΜΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλαττόν τι. ὁ ΑΒΓΔ ΚΛ ἄρα κῶνος πρὸς τὸν ΕΖΗΘΜΝ κῶνον τριπλασίονα | |
| 125 | λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ. | |
12.11 | Οἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὧν αἱ βάσεις. ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν αἱ βάσεις ἔστωσαν οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλοι, ἄξονες | |
| 5 | δὲ οἱ ΚΛ, ΜΝ, διάμετροι δὲ τῶν βάσεων ἔστωσαν αἱ ΖΔ, ΖΘ. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρὸς τὸν ΕΖΗΘΝ κῶνον. εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κῶνος πρὸς | |
| 10 | τὸν ΕΖΗΘ, ἔσται ὁ ΑΒΓΔΚΛ κῶνος ἤτοι πρὸς ἔλατ‐ | |
| τόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κώνου στερεὸν ἢ πρὸς μεῖζον. ἔστω πρότερον πρὸς ἔλαττον τὸ Α στερεόν, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ, καὶ ἀν‐ εστάτω ἀπὸ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ | 226 | |
| 15 | κώνῳ. ἡ ἄρα ἀνεσταμένη πυραμὶς μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κώνου. τετμήσθωσαν αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ξ, Ο, Π, Ρ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΞ, ΞΖ, ΖΘ, ΘΗ, ΗΠ, ΠΘ, ΘΡ, ΡΣ, καὶ ἀνεστάτω ἀφ’ ἑκάστου τῶν ΕΞ, ΞΖ, ΖΘ, ΘΗ, ΗΠ, ΠΘ, ΘΡ, | |
| 20 | ΡΣ τριγώνων πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ. ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνεσταμένων πυραμίδων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ’ αὑτὴν τμήματος τοῦ κώνου. τοιαύτης δὴ γινομένης ἀεὶ ἐπισκέψεως ληφθήσεταί τινα τμήματα ἀπὸ τοῦ ὅλου κώνου, ἃ ἔσται ἐλάττονα τῆς ὑπεροχῆς, ἧς ὑπερέχει ὁ | |
| 25 | ΖΘΜΝ κύκλος τοῦ Α στερεοῦ. λελήφθω καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΕΞΖ, ΘΗΠ, ΘΡΕ. λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΕΞΖΟΗΠΘΡ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν ση‐ μεῖον, μεῖζόν ἐστι τοῦ Α στερεοῦ. ἐγγεγράφθω δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΕΞΖΟΗΠΘΡ πολυγώνῳ ὅμοιον | |
| 30 | πολύγωνον τὸ ΑΓΒΤΓΥΔΦ πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ. ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, ἀλλὰ μὴν καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον, οὕτως τὸ ΑΣΒΠΥΔΦ | |
| 35 | πολύγωνον πρὸς τὸ ΕΞΖΟΗΠΘΡ πολύγωνον, ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως τὸ ΑΣΒΤΓΥΔΦ πολύγωνον πρὸς τὸ ΕΞΖΟΗΠΘΡ πο‐ λύγωνον. ἀλλ’ ὡς μὲν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖ ΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΒΓΔΚΛ κῶνος πρὸς τὸ Α στε‐ | |
| 40 | ρεόν, ὡς δὲ τὸ ΑΣΒΤΓΥΔΦ πολύγωνον πρὸς τὸ ΕΞΖΟ ΗΠΘΡ πολύγωνον, οὕτως ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΣΒΤΓΥΔΦ πολύγωνον, οὕτως ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΣΒΤΓΥΔΦ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὴν πυραμίδα τὴν βάσιν μὲν ἔχουσαν τὸ | |
| 45 | ΕΞΖΟΗΠΘΡ πολύγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Ν σημεῖον. ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΔΚΛ κῶνος πρὸς τὸ Α στερεόν, οὕτως | |
| ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΣΒΤΓΥΔΦ πολύ‐ γωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὴν πυραμίδα τὴν βάσιν μὲν ἔχουσαν τὸ ΕΞΖΟΗΠΘΡ πολύγωνον, κορυ‐ | 227 | |
12.11(50) | φὴν δὲ τὸ Ν σημεῖον. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔΚΛ κῶνος πρὸς τὴν πυραμίδα τὴν βάσιν μὲν ἔχουσαν τὸ ΑΣΒΤΓΥΔΦ πολύγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Λ σημεῖον, οὕτως τὸ Α στερεὸν πρὸς τὴν πυραμίδα τὴν βάσιν μὲν ἔχουσαν τὸ ΕΞΖΟΗΠΘΡ πολύγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ | |
| 55 | Ν σημεῖον. μείζων δὲ ὁ ΑΒΓΔΚΛ κῶνος τῆς πυραμί‐ δος τῆς βάσιν μὲν ἐχούσης τὸ ΑΣΒΤΓΥΔΦ πολύγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Λ σημεῖον. μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Α στερεὸν τῆς πυραμίδος τῆς βάσιν μὲν ἐχούσης τὸ ΕΞΖΟΗΠΘΡ πολύγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Ν σημεῖον. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· | |
| 60 | ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΒΓΔΚΛ κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΕΖΘΝ κώνου στερεόν. λέγω δὴ οὐδὲ πρὸς μεῖζον. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς μεῖζον τὸ Α. ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς | |
| 65 | τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως τὸ Α στερεὸν πρὸς τὸν ΑΒΓ ΔΛ κῶνον. ὡς δὲ τὸ Α στερεὸν πρὸς τὸν ΑΒΓΔΛ κῶνον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεόν. ὡς ἄρα ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒ ΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι | |
| 70 | τοῦ κώνου τοῦ ΑΒΓΔΛ στερεοῦ· ὅπερ ἀδύνατον δέδεικ‐ ται. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗ ΘΝ κώνου στερεόν. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλαττον. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, | |
| 75 | οὕτως ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρὸς τὸν ΕΖΗΘΝ κῶνον. καί ἐστι μὲν κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ, τριπλάσιος τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου, τοῦ δὲ ΕΖΗΘΝ κώνου τριπλάσιος ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ. ἔστιν | |
| 80 | ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως | |
| ὁ ΑΒΓΔΛ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΖΗΘΝ κύλινδρον. | 228 | |
12.12 | Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔσται ὡς ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κύλινδρον, οὕτως ὁ ἄξων πρὸς τὸν ἄξονα. κύλινδρος γὰρ ὁ ΑΔ ἐπιπέδῳ τῷ ΗΘ τετμήσθω παραλ‐ | |
| 5 | λήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις τοῖς ΑΒ, ΓΔ, καὶ συμβαλλέτω τῷ τοῦ κυλίνδρου ἄξονι τὸ ΗΘ ἐπίπεδον κατὰ τὸ Κ σημεῖον. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΗΘ κύλινδρος πρὸς τὸν ΗΔ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΕΚ ἄξων. ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Λ, Μ σημεῖα, καὶ κείσθωσαν τῷ μὲν ΕΚ | |
| 10 | ἄξονι ἴσοι ὁσοιδήποτε ὁ ΖΞ, ΖΜ, καὶ ἐκβεβλήσθω διὰ τῶν Λ, Ν, Ξ, Μ σημείων ἐπίπεδα παράλληλα τοῖς ΑΒ, ΓΔ, καὶ νενοήσθωσαν ἐν τοῖς διὰ τῶν Λ, Ν, Ξ, Μ σημείων ἐπιπέδοις περὶ κέντρα τὰ Λ, Ν, Ξ, Μ κύκλοι οἱ ΟΠΡΣ, ΤΥΦΧ ἴσοι ὄντες τοῖς ΑΒΓΔ, καὶ νενοήσθωσαν κύλιν‐ | |
| 15 | δροι οἱ ΠΡ, ΡΒ, ΔΤ, ΤΧ. καὶ ἐπεὶ οἱ ΛΝ, ΝΕ, ΕΚ ἄξονες ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοις, οἱ ἄρα ΠΡ, ΗΡ, ΒΗ κύλιν‐ δροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις. ἴσαι δὲ ἀλλήλαις εἰσὶν αἱ βάσεις. ἴσοι ἄρα εἰσὶ καὶ οἱ ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλιν‐ δροι ἀλλήλοις. καὶ ἐπεὶ οἱ ΛΝ, ΝΕ, ΕΚ ἄξονες ἴσοι εἰσὶν | |
| 20 | ἀλλήλοις, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι ἴσοι ἀλλή‐ λοις, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῷ πλήθει, ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ὁ ΛΚ ἄξων τοῦ ΕΚ ἄξονος, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τοῦ ΒΗ κυλίνδρου. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ὁ ΜΚ ἄξων τοῦ ΚΖ ἄξονος, | |
| 25 | τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ὁ ΧΗ κύλινδρος τοῦ ΗΔ κυλίν‐ δρου. εἰ μὲν οὖν ἴσος ἐστὶν ὁ ΛΚ ἄξων τῷ ΚΜ ἄξονι, ἴσος ἐστὶ καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τῷ ΗΧ κυλίνδρῳ, εἰ δὲ μείζων ἐστὶν ὁ ΚΛ ἄξων τοῦ ΚΜ ἄξονος, μείζων ἐστὶ καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τοῦ ΗΧ κυλίνδρου, εἰ δὲ ἐλάσσων ἐστὶν ὁ ΛΚ | |
| 30 | ἄξων τοῦ ΚΜ ἄξονος, ἐλάσσων ἐστὶ καὶ ὁ ΠΗ κύλιν‐ δρος τοῦ ΗΧ κυλίνδρου. τεσσάρων δὴ μεγεθῶν ὄντων, ἀξόνων μὲν τῶν ΕΚ, ΚΖ, κυλίνδρων τῶν ΒΗ, ΗΔ, εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ μὲν ΕΚ ἄξονος καὶ | |
| ΒΗ κυλίνδρου ὅ τε ΚΛ ἄξων καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος, τοῦ | 229 | |
| 35 | δὲ ΚΖ ἄξονος καὶ τοῦ ΗΔ κυλίνδρου ὅ τε ΚΜ ἄξων καὶ ὁ Η κύλινδρος, καὶ δέδεικται, ὅτι, εἰ ὑπερέχει ὁ ΛΚ ἄξων τοῦ ΚΜ ἄξονος, ὑπερέχει καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τοῦ ΗΧ κυλίνδρου, καὶ εἰ ἴσος ἐστὶν ὁ ΚΛ ἄξων τῷ ΚΜ ἄξονι, ἴσος ἐστὶ καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τῷ ΗΧ κυλίνδρῳ, | |
| 40 | καὶ εἰ ἐλάσσων ἐστὶν ὁ ΛΚ ἄξων τοῦ ΚΜ ἄξονος, ἐλάσσων ἐστὶ καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τοῦ ΗΧ κυλίνδρου, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΚ ἄξων πρὸς τὸν ΚΖ ἄξονα, οὕτως ὁ ΒΗ κύλιν‐ δρος πρὸς τὸν ΗΔ κύλινδρον. | |
12.13 | Οἱ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη. ἔστωσαν γὰρ ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΑΒ, ΓΔ κύλινδροι οἱ ΕΒ, ΖΔ. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΗΒ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ | |
| 5 | ἄξονα, οὕτως ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον. ἐκβεβλήσθω γὰρ ὁ ΚΛ ἄξων ἐπὶ τὸ Ν σημεῖον, καὶ κείσθω τῷ ΗΘ ἄξονι ἴσος ὁ ΛΝ, καὶ περὶ ἄξονα τὸν ΛΝ κύλινδρος νοείσθω ὁ ΓΜ. ἐπεὶ οὖν οἱ ΕΒ, ΓΜ κύλινδροι ὑπὸ τὸ αὐτό εἰσιν ὕψος, πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις. | |
| 10 | ἴσαι δέ εἰσιν αἱ βάσεις. ἴσος ἄρα καὶ ὁ ΒΕ κύλινδρος τῷ ΓΜ κυλίνδρῳ. καὶ ἐπεὶ κύλινδρος ὁ ΖΜ ἐπιπέδῳ τῷ ΓΔ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΜ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΛΝ πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα. ἴσος δέ ἐστιν ὁ μὲν ΓΜ | |
| 15 | κύλινδρος τῷ ΕΒ κυλίνδρῳ, ὁ δὲ ΛΜ ἄξων τῷ ΗΘ ἄξονί ἐστιν. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλιν‐ δρον, οὕτως ὁ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα. ὡς δὲ ὁ ΒΕ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΑΒΗ κῶνος πρὸς τὸν ΓΔΚ κῶνον. καὶ ὡς ἄρα ὁ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν | |
| 20 | ΚΛ ἄξονα, οὕτως ὅ τε ΑΒΗ κῶνος πρὸς τὸν ΓΔΚ κῶνον καὶ ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον. | |
12.14 | Τῶν ἴσων κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσι, καὶ ὧν κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντιπε‐ πόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἐκεῖνοι ἴσοι εἰσίν. | |
| ἔστωσαν ἴσοι κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεις μὲν οἱ | 230 | |
| 5 | ΑΒΓΔ κύκλοι, ἄξονες δὲ οἱ ΕΖ, ΗΘ. λέγω, ὅτι τῶν ΑΒΖ, ΓΔΘ κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσι, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΒ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτως τὸ ΗΘ ὕψος πρὸς τὸ ΕΖ ὕψος. τὸ γὰρ ΕΖ ὕψος τῷ ΗΘ ὕψει ἤτοι ἴσον ἐστὶν ἢ οὔ. | |
| 10 | ἔστω πρότερον ἴσον. οἱ δὲ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΖ κῶνος ἢ κύλινδρος πρὸς τὸν ΓΔΘ κῶνον ἢ κύλινδρον, οὕτως ἡ ΑΒ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν. ἴσος δέ ἐστιν ὁ ΑΒΖ κῶνος ἢ κύλινδρος τῷ ΚΔΘ κώνῳ ἢ κυλίν‐ | |
| 15 | δρῳ. ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΒ βάσις τῇ ΓΔ βάσει. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΕΖ ὕψος τῷ ΗΘ ὕψει ἴσον. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΕ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτως τὸ ΗΘ ὕψος πρὸς τὸ ΕΖ ὕψος. μὴ ἔστω δὴ ἴσον τὸ ΗΘ ὕψος τῷ ΕΖ ὕψει, ἀλλ’ ἔστω μεῖ‐ ζον τὸ ΗΘ, καὶ κείσθω τὸ ΕΖ ἴσον τῷ ΗΚ, καὶ ἀπὸ | |
| 20 | βάσεως τῆς ΓΔ, ὕψους δὲ τοῦ ΗΚ νενοήσθω κῶνος ἢ κύλινδρος ὁ ΓΔΚ. ἐπεὶ οὖν ὁ ΑΒΖ κῶνος ἢ κύλινδρος τῷ ΓΔ κώνῳ ἢ κυλίνδρῳ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἐστὶν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτως ὁ ΑΒΖ κῶνος ἢ κύλινδρος πρὸς ΓΔΚ κῶνον ἢ κύλινδρον. ἴσος | |
| 25 | δὲ ὁ ΑΒΖ κῶνος ἢ κύλινδρος τῷ ΓΔΘ κώνῳ ἢ κυλίν‐ δρῳ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτως ὁ ΓΔΘ κῶνος ἢ κύλινδρος πρὸς τὸν ΓΔΚ κῶνον ἢ κύλιν‐ δρον. ὡς δὲ ὁ ΓΔΘ κῶνος ἢ κύλινδρος πρὸς τὸν ΓΔΚ κῶνον ἢ κύλινδρον, οὕτως τὸ ΗΘ ὕψος πρὸς τὸ ΗΚ | |
| 30 | ὕψος. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτως τὸ ΗΦ ὕψος πρὸς τὸ ΗΚ ὕψος. ἴσον δὲ τὸ ΗΚ ὕψος τῷ ΕΖ ὕψει. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτως τὸ ΗΘ ὕψος πρὸς τὸ ΕΖ ὕψος. τῶν ΑΒΖ, ΓΔΘ ἄρα κώνων ἢ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς | |
| 35 | ὕψεσιν. ἀλλὰ δὴ ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΒ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτως τὸ ΗΘ ὕψος πρὸς τὸ ΕΖ ὕψος. λέγω, ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ ΑΒΞ κῶ‐ νος ἢ κύλινδρος τῷ ΓΘΔ κώνῳ ἢ κυλίνδρῳ. πάλιν γὰρ τὸ | |
| 40 | ΕΖ ὕψος τῷ ΗΘ ὕψει ἤτοι ἴσον ἐστὶν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον ἴσον. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτως ὁ ΑΒΖ κῶνος ἢ κύλινδρος πρὸς τὸν ΓΔΘ κῶνον ἢ κύλιν‐ δρον. ὡς δὲ ἡ ΑΒ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτως τὸ ΗΘ ὕψος πρὸς τὸ ΕΖ ὕψος. καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΒΖ κῶνος | 231 |
| 45 | ἢ κύλινδρος πρὸς τὸν ΓΔΘ κῶνον ἢ κύλινδρον, οὕτως τὸ ΗΘ ὕψος πρὸς τὸ ΕΖ ὕψος. ἴσον δὲ τὸ ΗΘ ὕψος τῷ ΕΖ ὕψει. ἴσος ἄρα καὶ ὁ ΑΒΖ κῶνος ἢ κύλινδρος τῷ ΓΔΘ κώνῳ ἢ κυλίνδρῳ. μὴ ἔστω δὴ ἴσον τὸ ΕΖ ὕψος τῷ ΗΘ ὕψει, καὶ ἔστω μεῖζον τὸ ΗΘ τῷ ΕΖ, καὶ κείσθω | |
12.14(50) | τὸ ΕΖ ἴσον τῷ ΗΚ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτως ὁ ΑΒΖ κῶνος ἢ κύλινδρος πρὸς τὸν ΓΔΚ κῶνον ἢ κύλινδρον. ὡς δὲ ὁ ΑΒ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτως τὸ ΗΘ ὕψος πρὸς τὸ ΕΖ ὕψος, τουτέστι πρὸς τὸ ΗΚ. καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΖΒ κῶνος ἢ κύλινδρος πρὸς τὸν | |
| 55 | ΓΔΚ κῶνον ἢ κύλινδρον, οὕτως τὸ ΗΘ ὕψος πρὸς τὸ ΗΚ ὕψος, ὡς δὲ τὸ ΗΘ ὕψος πρὸς τὸ ΗΚ ὕψος, οὕτως ὁ ΓΔΘΔΒΖ κῶνος ἢ κύλινδρος πρὸς τὸν ΓΔ κῶνον ἢ κύλινδρον. καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΒΖ κῶνος ἢ κύλινδρος πρὸς τὸν ΓΔΚ κῶνον ἢ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΓΔΘ κῶνος ἢ | |
| 60 | κύλινδρος πρὸς τὸν ΓΔΚ κῶνον ἢ κύλινδρον. τὰ δὲ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα ἐστίν. ἴσος ἄρα ὁ ΑΒΖ κῶνος ἢ κύλινδρος τῷ ΓΔΘ κώνῳ ἢ κυλίνδρῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. | |
12.15 | Δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων εἰς τὸν μεί‐ ζονα κύκλον πολύγωνον ἰσόπλευρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονος κύκλου. ἔστωσαν δύο κύκλοι περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οἱ ΑΒΓ, | |
| 5 | ΔΕΖ. δεῖ δὴ εἰς τὸν μείζονα κύκλον τὸν ΑΒΓΔ πολύγω‐ νον ἰσόπλευρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάττονος κύκλου τοῦ ΕΖ. ἤχθωσαν τῶν ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλων δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ, ΔΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΑΓ | |
| 10 | πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΗ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ ΖΘ. ἐφάπτε‐ ται ἄρα τοῦ ΕΖ κύκλου. τέμνοντες δὴ τὴν ΓΔ περιφέ‐ | |
| ρειαν δίχα καὶ τὴν ἡμίσειαν τῆς ΓΔ δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλήψομέν τινα περιφέρειαν, ἥτις ἔσται ἐλάσσων τῆς ΗΓ. λελήφθω καὶ ἔστω ἡ ΚΓ, καὶ ἤχθω | 232 | |
| 15 | ἀπὸ τοῦ Κ σημείου ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἡ ΚΛ καὶ ἐκβε‐ βλήσθω ἐπὶ τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΓ, ΓΜ. ἑκα‐ τέρα ἄρα τῶν ΚΓ, ΓΜ πολυγώνου ἰσοπλεύρου ἐστὶ πλευ‐ ρὰ τοῦ εἰς τὸν ΑΒΓΔ ἐγγραφομένου. καὶ ἐπεὶ παράλλη‐ λός ἐστιν ἡ ΗΘ τῇ ΚΜ, ἡ δὲ ΗΘ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖ | |
| 20 | κύκλου, ἡ ΚΜ ἄρα οὐκ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖ κύκλου. πολλῷ ἄρα οὐδετέρα τῶν ΚΓ, ΓΜ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖ κύκλου. ἐὰν ἄρα τῇ ΚΓ περιφερείᾳ ἴσας περιφερείας ἀφαιρῶμεν κατὰ τὸ ἑξῆς καὶ ἐπιζευγνύομεν εὐθείας, ἔσται εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον πολύγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγραμμένον | |
| 25 | μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονος κύκλου τοῦ ΕΖ, καὶ φανερόν, ὅτι τὸ ἐγγραφόμενον πολύγωνον ἀρτιόπλευρόν ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. | |
12.16 | Δύο σφαιρῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οὐσῶν εἰς τὴν μεί‐ ζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἢ καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγ‐ γράψαι μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπι‐ φάνειαν. | |
| 5 | ἐννοείσθωσαν δύο σφαῖραι περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οὖσαι τὸ Α. δεῖ δὴ εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαί‐ ρας. τετμήσθωσαν αἱ σφαῖραι ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ κέντρου. ποιήσει δὴ τομὰς μεγίστους κύκλους. ποιείτω τοὺς ΑΒ | |
| 10 | ΓΔ, ΕΖΗ, καὶ ἔστω ὁ μὲν ΒΓΔ κύκλος ἐν τῇ μείζονι σφαίρᾳ, ὁ δὲ ΕΖΗ ἐν τῇ ἐλάσσονι. καὶ ἤχθωσαν τοῦ ΒΓΔ κύκλου δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΒΕ, ΓΔ. καὶ δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων ΒΓΔ, ΕΖΗ εἰς τὸν μείζονα κύκλον τὸν ΒΓΔ πολύγωνον ἰσόπλευρόν | |
| 15 | τε καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγεγράφθω μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονος κύκλου τοῦ ΕΖΗ, καὶ ἔστωσαν πλευραὶ τοῦ πολυγώνου αἱ ΒΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΓ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΜΑ ἐκβεβλή‐ σθω ἐπὶ τὸ Ξ, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῷ τοῦ ΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΝ καὶ συμβαλλέτω | |
| 20 | τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς μείζονος σφαίρας κατὰ τὸ Ν σημεῖον, καὶ δι’ ἑκατέρας τῶν ΓΔ, ΜΞ καὶ τῆς ΑΝ ἐπίπεδα ἐκβεβλήσθω. ποιήσει δὴ τομὰς κύκλους. ποιείτω, ὧν ἡμικύκλια ἔστω τὰ ΓΝΔ, ΜΝΞ. καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΒΓΔ, ΓΝΔ, ΜΝΞ κύκλοι ἀλλήλοις, ὅσαι ἄρα εἰσὶν ἐν | 233 |
| 25 | τῷ ΒΓ τεταρτημορίῳ πλευραὶ τοῦ πολυγώνου, τοσαῦταί εἰσι καὶ ἐν ἑκατέρῳ τῷ ΓΝ, ΜΝ τῇ ΜΓ ἴσαι. ἐνηρμό‐ σθωσαν καὶ ἔστωσαν αἱ ΓΟ, ΟΠ, ΠΡ, ΡΝ, ΝΣ, ΣΤ, ΤΥ, ΥΜ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΥΟ, ΤΠ, ΕΡ, καὶ ἀπὸ μὲν τοῦ Ο ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος ἤχθω ἡ ΟΦ, ἀπὸ δὲ τοῦ | |
| 30 | Υ ἐπὶ τὴν ΜΞ ἡ ΥΧ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΦΧ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΝΑ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ΒΓ ἐπίπεδον, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΝΑ ἐπίπεδα ὀρθά ἐστι πρὸς τὸ ΒΓ ἐπίπεδον. ἓν δέ τι τῶν διὰ τῆς ΝΑ ἐπιπέδων ἐστὶν ἡ ΓΝΔ κύκλος. ὁ ΓΝΔ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΒΓΔ κύκλον. διὰ | |
| 35 | τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ ΜΝΞ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΒΓΔ κύκλον. καὶ ἐπεὶ τὸ ΓΝΔ ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ΒΓΔ, καὶ τῇ κοινῇ τομῇ αὐτῶν τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἐν τῷ ΓΝΔ ἐπιπέδῳ ἡ ΟΦ, ἡ ΟΦ ἄρα καὶ τῷ ΒΓΔ ἐπι‐ πέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΥΧ τῷ ΒΓΔ | |
| 40 | ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΦ τῇ ΥΧ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΥΜ τῇ ΟΓ, ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΥΜ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΟΓ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΟΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΓΦ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΥΜ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΞΜΧ. καὶ τὸ ὑπὸ | |
| 45 | τῶν ΔΓΦ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΞΜΧ καὶ ΔΓΦ τῷ ὑπὸ τῶν ΞΜΧ. καί ἐστιν ἴση ἡ ΔΓ τῇ ΞΜ. ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΓΦ τῇ ΜΧ. ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΓΑ ὅλῃ τῇ ΑΜ ἴση. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΦΧ τῇ ΜΓ. πάλιν ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓΘ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΥ | |
12.16(50) | τετραγώνῳ, ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΓΟ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΦ, ΦΟ· ἴση γὰρ ἡ ὑπὸ ΓΦΟ γωνία· τῷ δ’ ἀπὸ τῆς ΜΥ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΜΧ, ΧΥ· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ | |
| ΜΧΟ γωνία· καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΦ, ΦΟ ἄρα ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΜΧ, ΧΥ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΓΦ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ | 234 | |
| 55 | τῆς ΜΧ. λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΦΟ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΧΥ ἐστιν ἴσον. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΦΟ τῇ ΥΧ. ἔστι δὲ αὕτη καὶ παράλληλος. καὶ αἱ ΦΧ, ΟΥ ἄρα ἴσαι τέ εἰσι καὶ παράλληλοι. ἡ ἄρα ΦΧ τῇ ΓΜ ἐστι παράλληλος. καὶ ἡ ΓΜ ἄρα τῇ ΟΥ ἐστι παράλληλος. καὶ ἐφ’ ἑκατέρας αὐτῶν | |
| 60 | εἴληπται τυχόντα σημεῖα τὰ Ν, Μ, Ο, Γ, καὶ ἐπεζευγμέ‐ ναι εἰσὶν αἱ ΜΥ, ΓΟ. αἱ ἄρα ΥΜ, ΜΓ, ΓΟ, ΟΥ ἐν τούτῳ ἐστὶ καὶ τὸ ΥΜΓΟ τετράπλευρον. τὸ ἄρα ΥΜΓΟ τετρά‐ πλευρον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάτε‐ ρον τῶν ΥΟΠΤ, ΡΣ τετραπλεύρων ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ. | |
| 65 | ἔστι δὲ καὶ τὸ ΣΡΝ τρίγωνον ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΥ τῇ ΓΟ, καὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΜΓ τῇ ΥΟ, ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶ τὰ Μ, Γ, Υ, Ο σημεῖα. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ ΜΓΥΟ τετραπλεύρου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΑΨ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ψ. | |
| 70 | τὸ Ψ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ περὶ τὰ Μ, Γ, Ο, Υ σημεῖα κύκλου. ἐπεζεύχθω ἡ ΨΓ. καὶ ἐπεὶ τετράπλευρον ἐν κύκλῳ ἐστὶ τὸ ΜΓΟΥ, καὶ τρεῖς αἱ ΥΜ, ΜΓ, ΓΟ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΜΓ τῆς ΥΟ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΜΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΦ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλά‐ | |
| 75 | σιον. ἤχθω ἀπὸ τοῦ ΜΕ ἐπὶ τὴν ΓΦ κάθετος ἡ ΜΩ. καὶ ἐπεὶ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΓΩ τῆς ΩΔ, ὡς δὲ ἡ ΓΩ πρὸς τὴν ΩΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΩ τοῦ ἀπὸ τῆς ΩΜ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΩ, ΩΜ ἐλάσσονά ἐστι τοῦ δὶς ἀπὸ τῶν ΜΩ. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῶν ΓΩ, ΩΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΓ. | |
| 80 | τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΜΓ ἔλασσόν ἐστι τοῦ δὶς ἀπὸ τῶν ΜΩ. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΜΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΨ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλά‐ σιον. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΜΩ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΨ μεῖζόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΜ, ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΘ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΜ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΓΑ ἴσα | |
| 85 | ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΨ, ΨΛ. ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Ψ γωνία. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΜΑ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΜΩ, ΩΑ. ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΜΩΑ γωνία. τὰ ἀπὸ τῶν ΓΨ, ΨΑ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΜΩ, ΩΑ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΜΩ | |
| μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΨ. λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΨΑ | 235 | |
| 90 | μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΩ. μείζων ἄρα ἡ ΨΑ τῆς ΑΩ· ἡ δὲ ΑΩ μείζων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐλάσσονος σφαίρας. πολλῷ ἄρα ἡ ΨΑ μείζων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέν‐ τρου τῆς ἐλάσσονος σφαίρας. καὶ ἡ ΑΨ κάθετος ἐπὶ τὸ ΜΓΟΥ ἐπίπεδόν ἐστιν. τὸ ἄρα ΜΓΟΥ ἐπίπεδον οὐ | |
| 95 | ψαύει τῆς ἐλάσσονος σφαίρας. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκά‐ τερον τῶν ΥΟΠΤ, ΤΠΡΣ τετραπλεύρων οὐ ψαύει τῆς ἐλάσσονος σφαίρας, οὐδὲ τὸ ΝΣΡ τρίγωνον ψαύει τῆς ἐλάσσονος σφαίρας. ἐὰν δὴ ἐν ἑκάστῃ τῶν λοιπῶν τεταρ‐ τημορίων τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν, ἕξομεν εἰς τὴν μεί‐ | |
12.16(100) | ζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγε‐ γραμμένον μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας. Ἐὰν δὴ εἰς ἑτέραν σφαῖραν τῷ ἐν τῇ ΒΓΔ σφαίρᾳ στε‐ ρεῷ πολυέδρῳ ὅμοιον στερεὸν πολύεδρον ἐγγράψωμεν, ἔσται ἑκάστη τῶν πυραμίδων τῶν βάσιν μὲν ἐχουσῶν τὰ | |
| 105 | ΜΓΟΥ, ΥΟΠΤ, ΤΠΡΣ καὶ τὸ ΝΟΡ τρίγωνον, κορυ‐ φὴν δὲ τὸ Α σημεῖον, ὁμοία τῇ ὁμοταγεῖ πυραμίδι. αἱ δὲ ὅμοιαι πυραμίδες πρὸς ἀλλήλας τριπλασίονα λόγον ἔχου‐ σιν ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν. ἑκάστη ἄρα τῶν πυραμίδων τῶν βάσιν μὲν ἐχουσῶν τὰ | |
| 110 | ΜΓΟΥ, ΥΟΠΤ, ΤΠΡΣ τετράπλευρα καὶ τὸ ΝΣΡ τρίγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Α σημεῖον, πρὸς ἑκάστην τῶν ὁμοταγῶν πυραμίδων τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἑτέρας σφαίρας. καὶ ὅλον ἄρα τὸ πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΑ | |
| 115 | πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἑτέρας σφαίρας. ὡς δὲ ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἑτέρας σφαίρας, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν διάμετρον τῆς ἑτέρας σφαίρας. καὶ ὅλον ἄρα τὸ πολύεδρον πρὸς ὅλον τὸ πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν διάμετρον τῆς σφαίρας: ⁓ | |
12.17 | Αἱ σφαῖραι πρὸς ἀλλήλας ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν διαμέτρων. | |
| ἔστωσαν σφαῖραι αἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, διάμετροι δὲ τῶν ΑΒΓ, ΔΕΖ σφαιρῶν ἔστωσαν αἱ ΒΓ, ΕΖ. λέγω, ὅτι ἡ | 236 | |
| 5 | ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. εἰ γὰρ μὴ ἔχει ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΔΕΖ τριπλα‐ σίονα λόγον ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ, ἕξει ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα ἤτοι πρὸς ἐλάσσονά τινα σφαῖραν τῆς ΔΕΖ ἢ | |
| 10 | πρὸς μείζονα τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἐχέτω πρότερον πρὸς ἐλάσσονα τὴν ΗΘΚ, καὶ νενοήσθω ἡ ΔΕΖ τῇ ΗΘΚ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον, καὶ δύο σφαιρῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οὐσῶν τῶν ΔΕΖ, ΗΘΚ εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν τὴν ΔΕΖ στερεὸν πολύ‐ | |
| 15 | εδρον ἐγγεγράφθω μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας τῆς ΗΘΚ κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὴν ΑΒΓ σφαῖραν τῷ ἐν τῷ ΔΕΖ στερεῷ πολυέδρῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον στερεὸν πολύεδρον. τὸ ἄρα ἐν τῇ ΑΒΓ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸς τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ | |
| 20 | σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἔχει δὲ καὶ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΗΘΚ τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΗΘΚ σφαῖραν, οὕτως τὸ ἐν τῇ ΑΒΓ στερεὸν πολύεδρον. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς | |
| 25 | ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὸ ἐν αὐτῇ πολύεδρον, οὕτως ἡ ΗΘΚ σφαῖρα πρὸς τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον. μείζων δὲ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα τοῦ ἐν αὐτῇ πολυέδρου. μείζων ἄρα καὶ ἡ ΗΘΚ σφαῖρα τοῦ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεοῦ πολυέδρου. ἀλλὰ καὶ ἐλάσσων· ἐμπεριέχεται γάρ· ὅπερ | |
| 30 | ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ΒΓ σφαῖρα πρὸς ἔλασσόν τινα τῆς ΔΕΖ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἡ ΔΕΖ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΑΒΓ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΒΓ. | |
| 35 | λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς μεῖζόν τινα τῆς ΔΕΖ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς μείζονα λόγον ἐχέτω τῆς ΔΕΖ σφαίρας πρὸς τὴν Λ ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς | |
| τὴν ΕΖ. ἀνάπαλιν ἄρα ἡ Λ σφαῖρα πρὸς τὴν ΑΒΓ σφαῖ‐ | 237 | |
| 40 | ραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΒΓ. ὡς δὲ ἡ Λ σφαῖρα πρὸς τὴν ΑΒΓ σφαῖραν, οὕτως ἡ ΔΕΖ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΑΒΓ σφαίρας. καὶ ἡ ΔΕΖ ἄρα σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΑΒΓ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΒΓ· ὅπερ | |
| 45 | ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς μείζονά τινα τῆς ΔΕΖ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἐλάσσονα. ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει | |
| ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. | 238 | |