TLG 1719 003 :: THEODOSIUS :: De diebus et noctibus

THEODOSIUS Astron. Math.
(Tripolites: 2–1 B.C.)

De diebus et noctibus

Source: Fecht, R. (ed.), Theodosii de habitationibus liber, de diebus et noctibus libri duo [Abhandlungen der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Philol.–hist. Kl., N.F. 19.4] Berlin: Weidmann, 1927: 54–154.

Citation: Page — (line)

54

(1T)

Θεοδοσίου περὶ ἡμερῶν καὶ νυκτῶν αʹ
2 [Ὑποθέσει χρῆται ὁ Θεοδόσιος ὁμαλῶς κινεῖσθαι τὸν ἥλιον τὴν ἐναντίαν τῷ κόσμῳ κίνησιν κατὰ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου, ὅντινα κύκλον ἡλιακὸν καλεῖ.
5 Καὶ χρόνον ἡμέρας καλεῖ τὸν ἀπὸ ἀνατολῆς ἕως δύσεως, νυκτὸς δὲ τὸν ἀπὸ δύσεως ἕως ἀνατολῆς. Ἐξαλλαγὴν δὲ περιφερείας φανεροῦ ἡμισφαιρίου, ὅταν τοῦ προη‐ γουμένου σημείου τῆς περιφερείας ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς ὄντος τὸ ἑπόμενον ἀνατεῖλαν καὶ διελθὸν ὅλον τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἐπὶ τῆς δύσεως
10γένηται. Ἀφανοῦς δὲ ἡμισφαιρίου ἐξαλλαγὴν περιφερείας λέγει, ὅταν τοῦ προδεδυκότος σημείου τῆς ἐξαλλαγῆς περιφερείας τὸ φανερὸν ἡμισφαί‐ ριον γενομένου πρὸς τῷ ἀνατολικῷ ὁρίζοντι καὶ τὸ ἑπόμενον ἀνατείλῃ, τουτέστιν ὅταν τοῦ προηγουμένου σημείου τῆς περιφερείας δύναντος καὶ
15διελθόντος ὅλον τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον τὸ ἑπόμενον σημεῖον ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς γένηται. Κόσμου περιστροφή ἐστιν, ἐν ᾧ ἕκαστος τῶν ἀπλανῶν ἀστέρων ἀπὸ ἀνατολῆς ἐπὶ τὴν ἑξῆς ἀνατολὴν παραγένηται ἢ ἀπὸ δύσεως ἐπὶ δύσιν ἢ ἀφ’ οὗ δηποτοῦν τόπου ἐπὶ τὸν αὐτὸν τόπον.]
20αʹ Ἀπὸ τροπῶν θερινῶν τοῦ ἡλίου πορευομένου ἡμέρα μὲν ἡ προ‐
τέρα τῆς ὕστερόν ἐστι μακροτέρα, νὺξ δὲ ἡ προτέρα τῆς ὕστερόν ἐστι54

56

βραχυτέρα· ἀπὸ δὲ χειμερινῶν τροπῶν τοῦ ἡλίου πορευομένου ἡμέρα μὲν ἡ προτέρα τῆς ὕστερόν ἐστι βραχυτέρα, νὺξ δὲ ἡ προτέρα τῆς ὕστερόν ἐστι μακροτέρα. Ἔστω ὁρίζων ὁ ΔΒΕΓ, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ φανερῶν ἔστω ὁ ΑΔ,
5θερινὸς δὲ τροπικὸς ἔστω ὁ ΒΓ, ὁ δὲ τοῦ ἡλίου κύκλος ἔστω ὁ ΕΖΝ, καὶ ὁ ἥλιος ἀπὸ τροπῶν θερινῶν[Omitted graphic marker] πορευόμενος ἔν τινι ἡμέρᾳ ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Ζ, τὴν δὲ μετὰ τὸ Ζ ἀνατολὴν δύσιν πεποιήσθω
10κατὰ τὸ Η ὤν, τουτέστιν τὸν ἴδιον ἀριθμὸν κινούμενος τὸν ἀπὸ δύσεως ἐπ’ ἀνατολήν, ἐν δὲ ἄλλῃ ἡμέρᾳ ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Θ. Λέγω, ὅτι ἡ ἡμέρα, ἧς ἀνατολή
15ἐστι τὸ Ζ σημεῖον, δύσις δὲ τὸ Η, μείζων ἐστὶ τῆς ἡμέρας, ἧς ἀνα‐ τολή ἐστι τὸ Θ σημεῖον. Κείσθω γὰρ τῇ ΖΗ περιφε‐ ρείᾳ ἴση περιφέρεια ἡ ΘΚ. Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ζ
20σημεῖον τὴν μετὰ τὸ Ζ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Η, ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΖΗ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἐν δὲ τούτῳ τῷ χρόνῳ ἡ ΖΗ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαί‐ ριον· ἐν τῷ ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΖΗ περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ ἡ ΖΗ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. Ἐν τῷ ἴσῳ
25δὲ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΖΗ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὴν ΘΚ· τὰς γὰρ ἴσας περιφερείας ὁ ἥλιος ἐν ἴσῳ χρόνῳ διαπορεύεται· ὁμαλῶς γὰρ ὑπόκειται ὁ ἥλιος κινούμενος· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ ἡ ΖΗ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. Ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ ἡ ΖΗ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ
30φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΘΚ· ἔγγιον γάρ ἐστιν ἡ ΖΗ τῆς συναφῆς τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ ἤπερ ἡ ΘΚ· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἤπερ ἡ ΘΚ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμι‐ σφαίριον. Ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἡ ΘΚ περιφέρεια, ὁ ἥλιος ἐλάσσονα περιφέρειαν τῆς ΘΚ διελεύσεται. Διε‐
35ληλυθέτω τὴν ΘΛ· τοῦ Κ ἄρα ἐπὶ δυσμαῖς ὄντος ὁ ἥλιος ὢν πρὸς τῷ Λ ἤδη ἐστὶ δεδυκώς· πρότερον γὰρ δύνει τὸ Λ τοῦ Κ· ἵνα ἄρα φανῇ ὁ ἥλιος δύνων, ἔτι ἐλάσσονα περιφέρειαν τῆς ΘΛ διελεύσεται. Διεληλυθέτω τὴν ΘΜ· πρὸς τῷ Μ ἄρα ὢν ὁ ἥλιος φανήσεται δεδυκώς. Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Θ τὴν μετὰ τὸ Θ ἀνατολὴν
40δύσιν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Μ, ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΘΜ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἀλλὰ καὶ ἡμέρας χρόνος ἐστίν,
ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΖΗ περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ ἔστιν μείζων ἡ56

58

ΖΗ περιφέρεια τῆς ΘΜ περιφερείας· μείζων ἄρα καὶ ἡ ἡμέρα, ἧς ἀνατολὴ μέν ἐστι τὸ Ζ σημεῖον, δύσις δὲ τὸ Η, τῆς ἡμέρας, ἧς ἀνα‐ τολή ἐστι τὸ Θ σημεῖον, δύσις δὲ τὸ Μ. Λέγω, ὅτι καὶ νὺξ ἡ προτέρα τῆς ὕστερόν ἐστι βραχυτέρα.
5 Ἔστω γὰρ ὡς ἐπὶ τῆς δευτέρας[Omitted graphic marker] καταγραφῆς, καὶ τῶν αὐτῶν ὑποκει‐ μένων ὁ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ δύσιν πεποιήσθω κατὰ τὸ Κ ὤν, τὴν δὲ συνεχῆ ἀνατολὴν κατὰ τὸ Λ· νυκ‐
10τὸς ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται. Πάλιν δὲ ἐν ἄλλῃ ἡμέρᾳ ὁ ἥλιος δύσιν πεποιήσθω κατὰ τὸ Μ. Λέγω, ὅτι ἡ νύξ, ἧς δύσις μέν ἐστι τὸ Κ
15σημεῖον, ἀνατολὴ δὲ τὸ Λ, ἐλάσσων ἐστὶ τῆς νυκτός, ἧς δύσις ἐστὶ τὸ Μ. Κείσθω γὰρ τῇ ΚΛ περιφερείᾳ ἴση περιφέρεια ἡ ΜΝ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὴν ΜΝ. Ἀλλ’ ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἡ ΚΛ ἐξαλ‐
20λάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΜΝ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἡ ΚΛ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον. Ἐν ἐλάσσονι δὲ χρόνῳ ἡ ΚΛ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΜΝ· ἐν ἐλάσσονι ἄρα χρόνῳ καὶ ὁ ἥλιος τὴν ΜΝ περιφέρειαν δια‐ πορεύεται, ἤπερ ἡ ΜΝ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον. Τῆς ΜΝ
25ἄρα ἐξαλλασσούσης τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον ὁ ἥλιος μείζονά τινα περι‐ φέρειαν τῆς ΜΝ διελεύσεται. Διερχέσθω τὴν ΝΞ· τοῦ ἄρα Ν ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς ὄντος ὁ ἥλιος ὢν πρὸς τῷ Ξ οὔπω ἀνέτειλεν· προανα‐ τέλλει γὰρ τὸ Ν τοῦ Ξ· ἵνα ἄρα φανῇ ἀνατέλλων ὁ ἥλιος, μείζονά τινα περιφέρειαν τῆς ΜΞ διελεύσεται. Διερχέσθω τὴν ΜΟ· νυκτὸς
30ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΜΟ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἀλλὰ καὶ νυκτὸς χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΚΛ διαπορεύεται, καὶ ἔστιν ἐλάσσων ἡ ΚΛ τῆς ΜΟ· καὶ ἡ νὺξ ἄρα, ἧς δύσις μέν ἐστι τὸ Κ, ἀνατολὴ δὲ τὸ Λ, ἐλάσσων ἐστὶ τῆς νυκτός, ἧς δύσις μέν ἐστι τὸ Μ, ἀνατολὴ δὲ τὸ Ο.
35 Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἀπὸ χειμερινῶν τροπῶν τοῦ ἡλίου πορευομένου τὰ ἐναντία συμβήσεται· καὶ γὰρ τὰ μεταξὺ τμήματα τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ καὶ τοῦ ἰσημερινοῦ ἴσα ἐστὶν τοῖς ὑπὸ γῆν τμήμασι
τοῖς μεταξὺ τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ χειμερινοῦ, καὶ τοῖς προειρη‐58

60

μένοις καὶ ἐπὶ τῆς κάτω ἐπαφῆς τοῦ χειμερινοῦ τὰ αὐτὰ κατασκευα‐ σθέντα ἀποδειχθήσεται. βʹ Ἐὰν ἔν τινι ἡμέρᾳ ὁ ἥλιος τὴν ἀνατολὴν ποιήσηται καὶ τὴν δύσιν
5ἴσον ἀπέχων τῆς τροπικῆς συναφῆς ὁποτερασοῦν, μέσου ἡμέρας ἡ τροπὴ ἔσται τῷ ἡλίῳ ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ· καὶ ἐὰν ποιήσηται τὴν τροπὴν πρὸς τῷ θερινῷ τροπικῷ, ἐν ᾗ ἂν ἡμέρᾳ τὴν τροπὴν ποιήσηται, ἐκείνη ἡ ἡμέρα μακροτάτη ἔσται πασῶν τῶν ἐν τῷ ἐνιαυτῷ ἡμερῶν, αἱ δὲ προγεγενημέναι ἡμέραι τε καὶ νύκτες τοῦ ἡλίου πορευομένου ἀπὸ τρο‐
10πῶν χειμερινῶν ἐπὶ τροπὰς θερινὰς ἴσαι ἔσονται ταῖς ἐσομέναις ἡμέραις τε καὶ νυξὶ τοῦ ἡλίου πορευομένου ἀπὸ τροπῶν θερινῶν ἐπὶ τροπὰς χειμερινὰς αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τῆς τροπικῆς ἡμέρας. Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒΓΔ, θε‐[Omitted graphic marker] ρινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΑΒ, ὁ δὲ
15τῶν ζῳδίων κύκλος ἔστω ὁ ΓΕΔ, καὶ ὁ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ ἀνα‐ τολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Ζ, τὴν δὲ μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν δύσιν πεποιήσθω κατὰ τὸ Η, καὶ ἔστω
20ἴση ἡ ΖΕ περιφέρεια τῇ ΕΗ πε‐ ριφερείᾳ. Λέγω, ὅτι μέσου ἡμέ‐ ρας ἡ τροπὴ ἔσται τῷ ἡλίῳ ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ. Γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Ζ
25σημείου τῷ ΑΒ κύκλῳ παράλλη‐ λος κύκλος· ἥξει δὴ καὶ διὰ τοῦ Η. Ἐρχέσθω ὡς ὁ ΘΚ· ἔσται ἄρα ὁ ἥλιος ἀνατεταλκὼς μὲν κατὰ τὸ Κ, δεδυκὼς δὲ κατὰ τὸ Θ, ἅτινα ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐστίν· ὥστε οὐδὲν διοίσει λέγειν τὸν ἥλιον ποιεῖσθαι τήν τε ἀνατολὴν καὶ τὴν δύσιν ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ κύκλου
30τῶν παραλλήλων. Καὶ ἐπεὶ ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ζ σημεῖον τὴν μετὰ τὸ Ζ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Η, ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται· ἐν ἄρα τῷ ἡμίσει τῆς ἡμέρας χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ἡμίσειαν τῆς ΖΕΗ περιφε‐ ρείας διαπορεύεται. Ἡμίσεια δέ ἐστι ἡ ΖΕ· ἐν ἄρα τῷ ἡμίσει τῆς
35ἡμέρας χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕ περιφέρειαν διελεύσεται. Καὶ ἀνατέλλει πρὸς τῷ Ζ ὤν· μέσου ἄρα ἡμέρας ἔσται ὁ ἥλιος κατὰ τὸ Ε σημεῖον. Κατὰ τὸ Ε δὲ ὢν ὁ ἥλιος τὴν τροπὴν ποιεῖται· μέσου ἄρα ἡμέρας ὁ ἥλιος τὴν τροπὴν ποιήσεται. Λέγω δή, ὅτι καὶ ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ.
40Γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Ε καὶ τῶν τοῦ ΑΒ κύκλου πόλων μέγιστος
κύκλος ὁ ΛΕΝ. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι ἐφάπτονται ἀλλήλων60

62

ὅ τε ΑΕΒ καὶ ὁ ΓΕΔ, διὰ δὲ τῶν τοῦ ΑΕΒ πόλων καὶ τῆς Ε συνα‐ φῆς μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΛΕΝ, ὁ ΛΕΝ ἄρα καὶ διὰ τῶν τοῦ ΓΕΔ πόλων ἐλεύσεται. Πάλιν ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΖΕΗ ΖΜΗ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος
5γέγραπται ὁ ΛΕΜ, δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα αὐτῶν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ περιφέρεια τῇ ΜΗ περιφερείᾳ. Καὶ ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ ἀπὸ ἀνατολῶν μέχρι μεσουρανήματος χρόνος τῷ ἀπὸ μεσουρανήματος ἄχρι δυσμῶν, ἀλλ’ ἐν τῷ μὲν ἀπὸ ἀνατολῆς μέχρι μεσουρανήματος χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕ περιφέρειαν διαπορεύεται, τουτέστιν τὸ Ζ τὴν
10ΚΖ περιφέρειαν τοῦ παραλλήλου· (ἀνατέλλει μὲν γὰρ ὁ ἥλιος ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον ὤν, ἐπὶ δὲ τοῦ ὁρίζοντος κατὰ τὸ Κ· ἐὰν γὰρ νοήσωμεν τὴν τοῦ ζῳδιακοῦ θέσιν ὡς τὴν ΚΞΟ, ὅτε ἀνέτελλεν ὁ ἥλιος κατὰ τὸ Ζ ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ, ἐφαίνετο ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος κατὰ τὸ Κ· ὥστε μέσου ἡμέρας τὸ μὲν Ξ ἐπὶ τὸ Ε παραγίγνεται ἐν τῇ
15περιφορᾷ τῆς σφαίρας, ὁ δὲ ἥλιος ἔσται διελθὼν τὴν ΖΕ περιφέρειαν, τουτέστιν τὴν ΚΞ· ὅταν ἄρα τὸ Ξ ἐπὶ τὸ Ε παραγένηται, τότε καὶ αὐτὸς ἐπὶ τὸ Ε παρέσται· ὥστε καὶ τὸ Κ ἐπὶ τὸ Ζ παραγενήσεται ἐν τῷ ἀπὸ ἀνατολῆς ἄχρι μεσουρανήσεως χρόνῳ), ἐν δὲ τῷ ἀπὸ μέσου ἡμέρας χρόνῳ ἄχρι δυσμῶν ὁμοίως ὁ μὲν ἥλιος τὴν ΕΗ περιφέρειαν
20διαπορεύεται, τὸ δὲ Η τὴν ΗΘ διαπορεύεται ἐν τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας, ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Ζ τὴν ΚΖ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὸ Η τὴν ΗΘ· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΖ περιφέρεια τῇ ΗΘ περιφε‐ ρείᾳ. Καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΖ περιφέρεια τῇ ΗΘ περιφερείᾳ. Κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΖΗ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΘ λοιπῇ
25τῇ ΗΚ ἴση ἐστίν. Ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΖΜ τῇ ΜΗ περιφερείᾳ ἴση· ὅλη ἄρα ἡ ΜΘ ὅλῃ τῇ ΜΚ ἴση ἐστίν. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι τέμνουσιν ἀλλήλους οἱ ΑΒΓΔ, ΘΜΚ, διὰ δὲ τῶν τοῦ ΘΜΚ κύκλου πόλων καὶ τῆς Μ διχοτομίας μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΛΕΝ, ὁ ΛΕΝ ἄρα καὶ διὰ τῶν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου πόλων ἐλεύσεται
30καὶ ὀρθὸς ἔσται πρὸς αὐτόν. Καὶ ἔστιν ὁρίζων ὁ ΑΒΓΔ· μεσημβρινὸς ἄρα ἐστὶν ὁ ΛΕΝ κύκλος. Καὶ ἐπ’ αὐτοῦ ἡ τροπὴ γεγένηται· ὥστε μέσου ἡμέρας ἡ τροπὴ ἔσται τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ. Λέγω δή, ὅτι καὶ ἐν ᾗ ἂν ἡμέρᾳ ἡ τροπὴ γένηται ἐπὶ τοῦ θε‐ ρινοῦ τροπικοῦ, ἐκείνη ἡ ἡμέρα μακροτάτη ἐστὶν πασῶν τῶν ἐν τῷ
35ἐνιαυτῷ ἡμερῶν, καὶ ἡ πρὸ τῆς Ζ ἀνατολῆς νὺξ ἴση ἐστὶν τῇ μετὰ
τὴν Η δύσιν νυκτί.62

64

 Ἔστω γὰρ ἡ πρὸ τῆς Ζ ἀνατολῆς δύσις ἡ Υ, καὶ ἔστω παράλ‐ ληλος κύκλος, καθ’ οὗ φέρεται τὸ Υ σημεῖον, ὁ ΥΦ. Ἐπεὶ ὁ ἥλιος δύνας κατὰ τὸ Υ τὴν μετὰ τὴν Υ δύσιν ἀνατολὴν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Ζ, νυκτὸς ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΥΖ περιφέρειαν διέρ‐
5χεται· ἐν δὲ τούτῳ τῷ χρόνῳ ἡ ΥΖ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον. Ἀλλ’ ἐν ἴσῳ μὲν χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΥΖ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὴν ΗΦ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΥΖ τῇ ΗΦ· ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ ἡ ΥΖ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον καὶ ἡ ΗΦ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ἡ ΗΦ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, καὶ ὁ ἥλιος τὴν
10ΗΦ περιφέρειαν διαπορεύεται. Καὶ δύνει ὁ ἥλιος πρὸς τῷ Η ὤν· τὴν μετὰ τὴν Η ἄρα δύσιν ἀνατολὴν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Φ ὤν· νυκτὸς ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΗΦ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἀλλὰ καὶ νυκτὸς χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΥΖ περιφέρειαν δια‐ πορεύεται, καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ὁ ἥλιος τήν τε ΥΖ περιφέρειαν διαπο‐
15ρεύεται καὶ τὴν ΗΦ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ πρὸ τῆς Ζ ἀνατολῆς νὺξ τῇ μετὰ τὴν Η δύσιν νυκτί. Κείσθω δὴ τῇ ΖΕΗ περιφερείᾳ ἴση περι‐ φέρεια ἡ ΦΠ. Ἐπεὶ ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ζ σημεῖον καὶ διελ‐ θὼν τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν τὴν μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Η σημεῖον, ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ
20περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἐν δὲ τούτῳ τῷ χρόνῳ ἡ ΖΕΗ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. Ἀλλ’ ἐν ἴσῳ μὲν χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὴν ΦΠ· ἴσαι γάρ εἰσιν· ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ ἡ ΖΕΗ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαί‐ ριον ἤπερ ἡ ΦΠ· ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ ΦΠ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμι‐
25σφαίριον, ὁ ἥλιος ἐλάσσονα περιφέρειαν τῆς ΦΠ διελεύσεται. Διελη‐ λυθέτω τὴν ΦΡ· τοῦ Π ἄρα ἐπὶ δυσμαῖς ὄντος ὁ ἥλιος ὢν πρὸς τῷ Ρ ἤδη ἔσται δεδυκώς· πρότερον γὰρ δύνει τὸ Ρ τοῦ Π· ἵνα ἄρα φανῇ ὁ ἥλιος δύνων, ἔτι ἐλάσσονα περιφέρειαν τῆς ΦΡ διελεύσεται. Διελη‐ λυθέτω τὴν ΦΣ· πρὸς τῷ Σ ἄρα ὢν ὁ ἥλιος φανήσεται δεδυκώς.
30Ἐπεὶ οὖν ἀνατείλας κατὰ τὸ Φ τὴν μετὰ τὴν Φ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιή‐ σατο κατὰ τὸ Σ, ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΦΣ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἀλλὰ καὶ ἡμέρας χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ ἔστι μείζων ἡ ΖΕΗ περι‐ φέρεια τῆς ΦΣ περιφερείας· μείζων ἄρα καὶ ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος
35τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται, τῆς ἡμέρας, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΦΣ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἐπεὶ καὶ ἡ ΦΠ τῇ ΖΗ ἴση οὖσα τῆς ΦΣ μείζων ἐστίν. Γεγράφθω δὴ διὰ τοῦ Σ σημείου παράλληλος κύκλος ὁ
ΣΤ. Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Φ σημεῖον τὴν μετὰ τὴν64

66

Φ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Σ, ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΦΣ περιφέρειαν διαπορεύεται· ἐν δὲ τούτῳ τῷ χρόνῳ ἡ ΦΣ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. Ἀλλ’ ἐν ἴσῳ μὲν χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΦΣ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὴν ΥΤ, ἐν
5ἴσῳ δὲ χρόνῳ ἡ ΦΣ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον καὶ ἡ ΥΤ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΥΤ περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ ἡ ΥΤ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. Καὶ δύνει ὁ ἥλιος πρὸς τῷ Υ ὤν· τὴν ἄρα πρὸ τῆς Υ δύσεως ἀνατολὴν ὁ ἥλιος ἐποιήσατο κατὰ τὸ Τ· ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΥΤ περιφέρειαν
10διαπορεύεται. Ἀλλὰ καὶ ἡμέρας ἐστὶν χρόνος, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΦΣ περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΥΤ περιφέρεια τῇ ΦΣ περι‐ φερείᾳ· καὶ ἡ ἡμέρα ἄρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΦΣ περιφέρειαν διαπο‐ ρεύεται, ἴση ἐστὶν τῇ ἡμέρᾳ, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΥΤ περιφέρειαν δια‐ πορεύεται. Καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ περι‐
15φέρειαν διαπορεύεται, τῆς ἡμέρας, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΦΣ περιφέρειαν διαπορεύεται, μείζων, ἴση δὲ ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΥΤ περιφέ‐ ρειαν διαπορεύεται, τῇ ἡμέρᾳ, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΣΦ περιφέρειαν δια‐ πορεύεται, μείζων ἄρα καὶ ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ περιφέ‐ ρειαν διαπορεύεται, τῆς ἡμέρας, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΥΤ περιφέρειαν δια‐
20πορεύεται. Ἀλλ’ ἡ μὲν ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΥΤ περιφέρειαν δια‐ πορεύεται, μείζων ἐστὶν πασῶν τῶν πρὸ αὐτῆς ἡμερῶν τῶν ἐν τῷ ΕΓ ἡμικυκλίῳ τοῦ ἡλίου πορευομένου ἀπὸ χειμερινῶν τροπῶν ἐπὶ τροπὰς θερινάς· τοῦτο γὰρ ὁμοίως τοῖς προθεωρηθεῖσιν ἀποδείκνυται· ἡ δὲ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΦΣ περιφέρειαν διαπορεύεται, μείζων ἐστὶ
25πασῶν τῶν μετ’ αὐτὴν ἐν τῷ ΕΣΔ ἡμικυκλίῳ ἡμερῶν τοῦ ἡλίου πορευο‐ μένου ἀπὸ τροπῶν θερινῶν ἐπὶ τροπὰς χειμερινάς· ὥστε καὶ ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται, μακροτάτη ἐστὶν πασῶν τῶν ἐν τῷ ἐνιαυτῷ ἡμερῶν· καὶ αἱ προγεγενημέναι ἡμέραι τε καὶ νύκτες τοῦ ἡλίου πορευομένου ἀπὸ τροπῶν χειμερινῶν ἐπὶ τροπὰς
30θερινὰς ταῖς ἐσομέναις ἡμέραις τε καὶ νυξὶν τοῦ ἡλίου πορευομένου ἀπὸ τροπῶν θερινῶν ἐπὶ τροπὰς χειμερινὰς ἴσαι ἐδείχθησαν αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ὁποτέρας τροπικῆς συναφῆς. Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται τοῖς ἐπάνω, ὅτι, ἐὰν ὁ ἥλιος ἐν τινι ἡμέρᾳ τὴν ἀνατολὴν καὶ τὴν δύσιν ποιήσηται ἴσον ἀπέχων τῆς χειμε‐
35ρινῆς συναφῆς, ὅτι τὴν τροπὴν ποιήσεται μέσου ἡμέρας ἐπὶ τοῦ μεσημ‐ βρινοῦ, καὶ ὅτι, ἐὰν ἔν τινι νυκτὶ τήν τε δύσιν καὶ τὴν ἀνατολὴν ποιή‐ σηται ἴσον ἀπέχων τῆς συναφῆς ὁποτερασοῦν, μέσου νυκτὸς τὴν τροπὴν
ποιήσεται ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ, καὶ ἐν ᾗ ἂν ποιήσηται πρὸς τῷ χειμε‐66

68

ρινῷ τροπικῷ, ἐκείνη ἡ νὺξ μακροτάτη ἔσται πασῶν τῶν ἐν τῷ ἐνιαυτῷ νυκτῶν, αἱ δὲ προγεγενημέναι νύκτες καὶ ἡμέραι τοῦ ἡλίου πορευο‐ μένου ἀπὸ τροπῶν θερινῶν ἐπὶ τροπὰς χειμερινὰς ταῖς γινομέναις νυξί τε καὶ ἡμέραις τοῦ ἡλίου πορευομένου ἀπὸ τροπῶν χειμερινῶν ἐπὶ
5τροπὰς θερινὰς ἴσαι ἔσονται αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τῆς τροπικῆς νυκτός. Ὁμοίως δὴ δείξομεν τοῖς πρότερον καὶ ἐπὶ τοῦ ἀφανοῦς ἡμισφαι‐ ρίου. [Πόρισμα.] Φανερὸν δέ, ὅτι, ἐὰν μέσου ἡμέρας ὁποτεραοῦν τῶν τροπῶν γένη‐
10ται, ἡ ἀνατολή τε καὶ ἡ δύσις ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἔσται· ἴσος γὰρ ὁ χρόνος ὁ πρὸ μέσου ἡμέρας καὶ μετὰ μέσον ἡμέρας ὑπάρ‐ χων ποιήσει καὶ τὸν ἥλιον ἴσας περιφερείας διαπορεύεσθαι τὴν πρὸ μέσου ἡμέρας τῇ μετὰ μέσον πρὸς τῇ συναφῇ· ὁ δὲ κύκλος ὁ διὰ τῶν δύο σημείων τῶν ἀφοριζόντων τὰς ἴσας περιφερείας πρὸς τῇ συναφῇ
15παράλληλος τῷ τροπικῷ γίνεται, καὶ ἔσται ἐπὶ παραλλήλου ἥ τε ἀνα‐ τολὴ καὶ ἡ δύσις. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καί, ἐὰν μέσου νυκτὸς ὁποτεραοῦν τῶν τροπῶν γένηται, ἡ ἀνατολὴ καὶ ἡ δύσις ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παρ‐ αλλήλων ἔσται κύκλου. γʹ
20 Ἐὰν ὁ ἥλιος ἐπί τινος τῶν παραλλήλων ἀνατολὴν ποιήσηται ἐν ἡμέρᾳ τινὶ πρὸ τροπῶν θερινῶν καὶ μετὰ τροπὰς θερινὰς ἐν ἄλλῃ ἡμέρᾳ δύσιν ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παρ‐[Omitted graphic marker] αλλήλων, ἴσαι ἔσονται ἀλλήλαις αἱ ἡμέραι, καὶ αἱ πρὸ τῆς μιᾶς αὐτῶν
25γεγενημέναι νύκτες τε καὶ ἡμέραι τοῦ ἡλίου πορευομένου ἀπὸ τροπῶν χειμερινῶν ἐπὶ τροπὰς θερινὰς ταῖς μετὰ τὴν ἑτέραν ἡμέραν γινομέναις νυξί τε καὶ ἡμέραις τοῦ ἡλίου πο‐
30ρευομένου ἀπὸ τροπῶν θερινῶν ἐπὶ τροπὰς χειμερινὰς ἴσαι ἔσονται αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ὁποτερασοῦν ἡμέρας. Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒΓΕ, θε‐ ρινὸς δὲ τροπικὸς ἔστω ὁ ΑΔΒ, ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ ΓΔΕ, καὶ
35τῷ ΑΒ παράλληλος ἔστω ὁ ΘΚ, καὶ ὁ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ πρὸ τρο‐ πῶν θερινῶν ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Ζ ὤν, μετὰ δὲ τροπὴν θε‐ ρινὴν ἐν ἄλλῃ ἡμέρᾳ δύσιν πεποιήσθω ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ παραλλήλου κατὰ τὸ Η ὤν. Λέγω, ὅτι ἡ μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν δύσις ἔσται μεταξὺ τῶν
Δ Ζ. Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἐπὶ τοῦ Δ ἔσται ἢ μεταξὺ τῶν Δ Η.68

70

 Ἔστω πρότερον, εἰ δυνατόν, ἐπὶ τοῦ Δ. Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἀνα‐ τείλας κατὰ τὸ Ζ τὴν μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Δ, ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΔΖ περιφέρειαν δια‐ πορεύεται· ἐν δὲ τούτῳ τῷ χρόνῳ ἡ ΔΖ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμι‐
5σφαίριον. Ἀλλ’ ἐν ἴσῳ μὲν χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΖΔ περιφέρειαν δια‐ πορεύεται καὶ τὴν ΔΗ· ἴσαι γάρ εἰσιν· ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ ἡ ΖΔ ἐξαλ‐ λάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον καὶ ἡ ΔΗ· ἴσον γὰρ ἀπέχουσιν τῶν συναφῶν· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΔΗ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἡ ΔΗ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. Καὶ δύνει ὁ ἥλιος
10πρὸς τῷ Η ὤν· τὴν ἄρα πρὸ τῆς Η δύσεως ἀνατολὴν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Δ. Ἀλλὰ καὶ τὴν μετὰ τὸ Ζ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Δ· ἐν τῷ αὐτῷ ἄρα ἔτει καὶ ἀνέτειλε καὶ ἔδυνε κατὰ τὸ αὐτὸ ση‐ μεῖον· ὅπερ ἄτοπον ἔσται· κινεῖται γὰρ ὁ ἥλιος περιφέρειάν τινα ἑκάστης ἡμέρας. Οὐκ ἄρα τὴν μετὰ τὸ Ζ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο
15κατὰ τὸ Δ ὤν. Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ μεταξὺ τῶν Δ Η· πολλῷ γὰρ ἔσται ἀτοπώ‐ τερον. Εἰ γὰρ δυνατόν, πεποιήσθω τὴν μετὰ τὸ Ζ ἀνατολὴν δύσιν ἐπὶ τοῦ Μ, καὶ τῇ ΜΔΖ περιφερείᾳ ἴση κείσθω ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἡ ΗΔΛ.
20Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΖΔΜ περιφέρεια τῇ ΗΔΛ περιφερείᾳ, κοινῆς ἀφαιρεθείσης τῆς ΛΔΜ λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΛ περιφέρεια [λοιπῇ] τῇ ΗΜ περιφερείᾳ ἴση ἐστίν· ὥστε ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον· ἴσον γὰρ πάλιν ἀπέχουσιν τῶν συναφῶν. Κοινὸς προσ‐ κείσθω ὁ τῆς ΛΔΜ περιφερείας τῆς ἐξαλλαγῆς χρόνος· ὅλη ἄρα ἡ
25ΖΔΜ περιφέρεια τῇ ΛΔΗ περιφερείᾳ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσει τὸ φα‐ νερὸν ἡμισφαίριον. Διέρχεται δὲ καὶ ὁ ἥλιος ἑκατέραν αὐτῶν ἐν ἴσῳ χρόνῳ· ἴσαι γάρ εἰσιν. Καὶ ἔστιν ἡμέρας χρόνος, ἐν ᾧ ὅ τε ἥλιος τὴν ΖΔΜ περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ ἡ ΖΔΜ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον· καὶ ἐν ᾧ ἄρα ὁ ἥλιος χρόνῳ τὴν ΛΔΗ περιφέρειαν δια‐
30πορεύεται, καὶ ἡ ΛΔΗ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἡμέρας ἐστὶν χρόνος. Καὶ δύνει ὁ ἥλιος κατὰ τὸ Η· τὴν ἄρα πρὸ τῆς Η δύσεως ἀνατολὴν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Λ. Ὑπόκειται δὲ καὶ κατὰ τὸ Ζ ἀνατολὴν πεποιημένος· τὴν δὲ μετὰ τὸ Ζ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Μ. Καὶ ἔστι τὸ Λ σημεῖον μεταξὺ τῶν Ζ Μ· ἐν ᾗ ἄρα
35ἡμέρᾳ τὴν ΖΜ περιφέρειαν διελθὼν [ὁ ἥλιος] τὴν ἀνατολὴν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Ζ, ἐν τῇ αὐτῇ ἡμέρᾳ καὶ κατὰ τὸ Λ ἀνέτειλεν. Κατὰ τὴν
αὐτὴν ἄρα ἡμέραν δύο ἀνατολὰς ἐποιήσατο ὁ ἥλιος· ὅπερ ἐστὶν ἄτο‐70

72

πον. Οὐκ ἄρα τὴν μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν δύσιν ποιήσεται μεταξὺ τῶν Δ Η. Ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἐπὶ τοῦ Δ· μεταξὺ ἄρα τῶν Δ, Ζ ποιή‐ σεται τὴν μετὰ τὸ Ζ ἀνατολὴν δύσιν. Ποιείσθω οὖν κατὰ τὸ Λ, καὶ κείσθω τῇ ΛΖ περιφερείᾳ ἴση
5περιφέρεια ἡ ΜΗ. Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ζ τὴν μετὰ τὸ Ζ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Λ, ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΖΛ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἐν δὲ τούτῳ τῷ χρόνῳ ἡ ΖΛ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὅ τε ἥλιος τὴν ΖΛ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἡ ΖΛ ἐξαλλάσσει τὸ
10φανερὸν ἡμισφαίριον. Ἀλλ’ ἐν ἴσῳ μὲν χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΖΛ περι‐ φέρειαν διαπορεύεται καὶ τὴν ΜΗ· ἴσαι γάρ εἰσιν· ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ ἡ ΖΛ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον καὶ ἡ ΜΗ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΜΗ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἡ ΜΗ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. Καὶ δύνει ὁ ἥλιος πρὸς τῷ Η ὤν· τὴν ἄρα πρὸ
15τῆς Η δύσεως ἀνατολὴν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Μ· ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΜΗ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἀλλὰ μὴν καὶ ἡμέρας χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΛΖ περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΛΖ τῇ ΜΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν ἡμέρα τῇ πρὸ τῆς Η δύσεως ἡμέρᾳ. Ὁμοίως καὶ ἡ πρὸ τῆς Ζ ἀνα‐
20τολῆς νὺξ ἴση ἐστὶν τῇ μετὰ τὴν Η δύσιν νυκτί· ὥστε καὶ αἱ προγενό‐ μεναι νύκτες τε καὶ ἡμέραι τοῦ ἡλίου πορευομένου ἀπὸ τροπῶν χειμε‐ ρινῶν ἐπὶ τροπὰς θερινὰς ταῖς ἐσομέναις νυξί τε καὶ ἡμέραις τοῦ ἡλίου πορευομένου ἀπὸ τροπῶν θερινῶν ἐπὶ τροπὰς χειμερινὰς ἴσαι ἔσονται αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἑκατερασοῦν ἡμέρας, τουτέστι τῶν ΖΛ ΜΗ.
25[Λῆμμα τοῦ δʹ Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒΓ, θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΑΕΔ, ὁ δὲ τοῦ ἡλίου κύκλος ὁ ΒΕΓ, καὶ ἔστω ἐλάσ‐[Omitted graphic marker] σων ἡ ΖΕ περιφέρεια τῆς ΕΗ περιφε‐ ρείας, καὶ τῇ ΖΕΗ ἴση κείσθω ἡ ΘΚ.
30Λέγω, ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ΖΕΗ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΘΚ. Κείσθω γὰρ τῇ μὲν ΖΕ ἴση ἡ ΕΛ, τῇ δὲ ΖΕΛ ἴση ἡ ΘΜ· λοιπὴ
35ἄρα ἡ ΛΗ λοιπῇ τῇ ΜΚ ἐστὶν ἴση. Ἐπεὶ οὖν ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ΖΕΛ
ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον72

74

ἤπερ ἡ ΘΜ (τοῦτο γὰρ δείκνυται δίχα τμηθείσης τῆς ΘΜ), ἀλλὰ καὶ ἡ ΛΗ τῆς ΜΚ ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον (ἔγγιον γάρ ἐστι μᾶλλον τοῦ Ε τὸ Η ἤπερ τὸ Κ), καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΖΕΗ ὅλης τῆς ΘΚ ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαί‐
5ριον.] δʹ Ἐὰν ἔν τινι ἡμέρᾳ ὁ ἥλιος τὴν ἀνατολὴν καὶ τὴν δύσιν ποιήσηται μὴ ἴσον ἀπέχων τῆς τροπικῆς συναφῆς ὁποτερασοῦν, οὐκ ἔσται μέσου ἡμέρας ἡ τροπὴ τῷ ἡλίῳ, ἐν ᾗ δὲ ἂν ποιήσηται ἡμέρᾳ πρὸς τῷ θε‐
10ρινῷ τροπικῷ τὴν τροπήν, μακροτάτη πασῶν ἐστι τῶν ἐν τῷ ἐνιαυτῷ ἡμερῶν, καὶ αἱ ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ ἡμέραι, ἐν ᾧ ἔγγιον ὢν τῆς θερινῆς συναφῆς τὴν ἀνατολὴν ἢ τὴν δύσιν ἐποιήσατο, μακρότεραι ἔσονται τῶν γινομένων ἡμερῶν τοῦ ἡλίου διαπορευομένου τὸ ἕτερον ἡμικύκλιον, νύκτες δὲ τοὐναντίον βραχύτεραι, ἐὰν[Omitted graphic marker]
15δὲ πρὸς τῷ χειμερινῷ τροπικῷ, τὰ ἐναντία συμβήσεται. Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒΓΔ, θερινὸς δὲ τροπικὸς κύκλος ἔστω ὁ ΑΒ, ὁ δὲ τοῦ ἡλίου κύκλος ἔστω ὁ ΓΕΔ· καὶ
20ὁ ἥλιος πρὸ τροπῶν θερινῶν ἔν τινι ἡμέρᾳ ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Ζ, μετὰ δὲ τὴν θερινὴν τροπὴν τὴν μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν δύσιν πεποιήσθω κατὰ τὸ Η, καὶ ἔστω ἔγγιον τὸ Ζ ση‐
25μεῖον τῆς Ε συναφῆς ἤπερ τὸ Η. Λέγω, ὅτι πάντα τὰ διὰ τῆς προ‐ τάσεως ἔσται. Ἐπεὶ γὰρ ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ζ τὴν μετὰ τὸ Ζ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Η, ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται· ὥστε ἐν τῷ τῆς ἡμέρας χρόνῳ ὁ
30ἥλιος τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται· ἐν τῷ ἡμίσει ἄρα τῆς ἡμέρας χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ἡμίσειαν τῆς ΖΕΗ περιφερείας διαπορεύεται. Ἡ δὲ τῆς ΖΕΗ ἡμίσεια μείζων ἐστὶ τῆς ΖΕ· ἐν ἄρα τῷ ἡμίσει τῆς ἡμέρας χρόνῳ ὁ ἥλιος μείζονα περιφέρειαν τῆς ΖΕ διελεύσεται. Καὶ ἀνατέλλει πρὸς τῷ Ζ ὤν· πρὸ μέσου ἄρα ἡμέρας ἔσται ὁ ἥλιος πρὸς
35τῷ Ε. Πρὸς δὲ τῷ Ε ὢν τὰς τροπὰς ποιεῖται· πρὸ μέσου ἄρα ἡμέρας
ἔσται ἡ τροπὴ τῷ ἡλίῳ.74

76

 Λέγω δή, ὅτι καὶ ἐν τῷ ΓΖΕ ἡμικυκλίῳ ἡμέραι αἱ προγεγενη‐ μέναι τοῦ ἡλίου πορευομένου ἀπὸ τροπῶν χειμερινῶν μακρότεραι ἔσονται τῶν ἐν τῷ ΕΗΔ ἡμικυκλίῳ ἡμερῶν, νύκτες δὲ τοὐναντίον βραχύτεραι. Ἔστω γὰρ ἡ πρὸ τῆς Ζ ἀνατολῆς δύσις κατὰ τὸ Θ, καὶ κείσθω
5τῇ ΘΖ περιφερείᾳ ἴση περιφέρεια ἡ ΗΚ. Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος δὺς κατὰ τὸ Θ τὴν μετὰ τὴν Θ δύσιν ἀνατολὴν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Ζ, νυκτὸς ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΘΖ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἐν δὲ τούτῳ τῷ χρόνῳ ἡ ΘΖ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαί‐ ριον. Ἀλλ’ ἐν ἴσῳ μὲν χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΘΖ περιφέρειαν διαπορεύεται
10καὶ τὴν ΗΚ· ἴσαι γάρ εἰσιν· ἐν ἐλάσσονι δὲ χρόνῳ ἡ ΘΖ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΗΚ· ἔγγιον γάρ ἐστιν ἡ ΗΚ τοῦ χειμε‐ ρινοῦ τροπικοῦ ἤπερ ἡ ΘΖ· ἐν ἐλάσσονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΗΚ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἤπερ ἡ ΗΚ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαί‐ ριον. Ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ ΗΚ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ὁ
15ἥλιος μείζονα περιφέρειαν τῆς ΗΚ διελεύσεται. Διεληλυθέτω τὴν ΗΛ· τοῦ Κ ἄρα ἐπ’ ἀνατολαῖς ὄντος ὁ ἥλιος ὢν πρὸς τῷ Λ οὐδέπω ἔσται ἀνατεταλκώς· πρότερον γὰρ τὸ Κ τοῦ Λ ἀνατέλλει· ἵνα ἄρα φανῇ ὁ ἥλιος ἀνατέλλων, ἔτι μείζονα περιφέρειαν τῆς ΗΛ διελεύσεται. Διελη‐ λυθέτω τὴν ΗΜ· πρὸς τῷ Μ ἄρα ὢν ὁ ἥλιος φανήσεται ἀνατέλλων.
20Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος δύνας κατὰ τὸ Η τὴν μετὰ τὴν Η δύσιν ἀνατολὴν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Μ, νυκτὸς ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΗΜ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἀλλὰ καὶ νυκτὸς χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΘΖ περιφέρειαν διαπορεύεται. Καὶ ἔστιν ἐλάσσων ἡ ΘΖ περιφέρεια τῆς ΗΜ περιφερείας· [καὶ ἔστιν πρὸς τῷ χειμερινῷ τροπικῷ
25ἡ ΗΜ περιφέρεια ἤπερ ἡ ΘΖ·] ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ πρὸ τῆς Ζ ἀνα‐ τολῆς νὺξ τῆς μετὰ τὴν Η δύσιν νυκτός. Λέγω δή, ὅτι καὶ ἡ πρὸ τῆς Θ δύσεως ἡμέρα μείζων ἐστὶν τῆς μετὰ τὴν Μ ἀνατολὴν ἡμέρας. Ἔστω γὰρ ἡ πρὸ τῆς Θ δύσεως ἀνατολὴ κατὰ τὸ Ν, καὶ κείσθω
30τῇ ΘΝ περιφερείᾳ ἴση περιφέρεια ἡ ΜΞ. Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ν τὴν μετὰ τὴν Ν ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Θ, ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΝΘ περιφέρειαν διαπο‐ ρεύεται. Ἐν δὲ τούτῳ τῷ χρόνῳ ἡ ΝΘ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. Ἀλλ’ ἐν ἴσῳ μὲν χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΝΘ περι‐
35φέρειαν διαπορεύεται καὶ τὴν ΜΞ, ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ ἡ ΝΘ περιφέ‐ ρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΜΞ· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΜΞ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἤπερ ἡ ΜΞ ἐξαλ‐
λάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. Ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ ΜΞ ἐξαλλάσσει76

78

τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ὁ ἥλιος ἐλάσσονα τῆς ΜΞ περιφέρειαν διελεύ‐ σεται. Διεληλυθέτω τὴν ΜΟ· τοῦ Ξ ἄρα ἐπὶ δυσμαῖς ὄντος ὁ ἥλιος ὢν πρὸς τῷ Ο ἤδη ἔσται δεδυκώς· πρότερον γὰρ δύνει τὸ Ο τοῦ Ξ· ἵνα ἄρα φανῇ ὁ ἥλιος δύνων, ἔτι ἐλάσσονα περιφέρειαν τῆς ΜΟ διελεύ‐
5σεται. Διεληλυθέτω τὴν ΜΠ· πρὸς τῷ Π ἄρα ὢν ὁ ἥλιος φανήσεται δεδυκώς. Ἐπεὶ οὖν ἀνατείλας κατὰ τὸ Μ τὴν μετὰ τὴν Μ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Π, ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΜΠ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἀλλὰ καὶ ἡμέρας χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΝΘ περιφέρειαν διαπορεύεται. Καὶ ἔστιν μείζων ἡ
10ΘΝ περιφέρεια τῆς ΜΠ περιφερείας· μείζων ἄρα καὶ ἡ πρὸ τῆς Θ δύσεως ἡμέρα τῆς μετὰ τὴν Μ ἀνατολὴν ἡμέρας. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ αἱ ἐν τῷ ΓΖΕ ἡμικυκλίῳ ἡμέραι αἱ πρὸ τῆς Ν ἀνατολῆς μείζονές εἰσιν τῶν ἐν τῷ ΕΗΔ ἡμι‐ κυκλίῳ ἡμερῶν τῶν μετὰ τὴν Π δύσιν, νύκτες δὲ τοὐναντίον βραχύτεραι·
15καὶ φανερόν, ὅτι ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπο‐ ρεύεται, μακροτάτη ἐστὶν πασῶν τῶν ἐν τῷ ἐνιαυτῷ ἡμερῶν, οὗ ἀρχὴ αἱ χειμεριναὶ τροπαί. Λέγω δή, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΖΕΗ περιφέρεια τῆς ΝΘ περιφερείας. Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν ἢ ἐλάττων. Ἔστω πρότερον ἐλάττων
20ἡ ΖΕΗ τῆς ΝΘ, καὶ κείσθω τῇ ΝΘ ἴση ἡ ΖΕΚ. Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἐν ἡμέρᾳ τὴν ΝΘ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἐν ᾧ ἄρα ὁ ἥλιος τὴν ΝΘ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἡ ΝΘ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. Καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΝΘ διαπορεύεται καὶ τὴν ΖΕΚ· ἴσαι γάρ εἰσιν. Ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ ἡ ΖΕΚ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμι‐
25σφαίριον ἤπερ ἡ ΝΘ [διὰ τὸ λῆμμα]· ἐν ἐλάσσονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΚ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἤπερ ἡ ΖΕΚ ἐξαλλάσσει τὸ φα‐ νερὸν ἡμισφαίριον. Ἐν ᾧ ἄρα ἡ ΖΕΚ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαί‐ ριον, ὁ ἥλιος μείζονά τινα τῆς ΖΕΚ διελεύσεται. Διαπορευέσθω τὴν ΖΕΛ· ὅταν ἄρα δύνῃ τὸ Κ σημεῖον, ὁ ἥλιος ὢν ἐπὶ τοῦ Λ οὔπω δέ‐
30δυκεν· πρότερον γὰρ δύνει τὸ Κ τοῦ Λ· ἵνα ἄρα φανῇ δύνων, ἔτι μεί‐ ζονα τῆς ΖΕΛ περιφέρειαν ὁ ἥλιος διαπορεύσεται. Διεληλυθέτω τὴν ΖΕΜ· ἀνατείλας ἄρα ὁ ἥλιος ἐπὶ τοῦ Ζ δύσεται ἐπὶ τοῦ Μ. Ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τοῦ Η ἔδυνεν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΖΕΗ περιφέρεια τῆς ΝΘ περιφερείας. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι
35οὐδὲ ἴση· μείζων ἄρα ἡ ΖΕΗ περιφέρεια τῆς ΝΘ περιφερείας· ὥστε καὶ ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται, μείζων
ἐστὶν τῆς ἡμέρας, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΝΘ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἡ78

80

δὲ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΝΘ περιφέρειαν διαπορεύεται, μείζων ἐδείχθη τῆς ἡμέρας, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΜΠ περιφέρειαν διαπορεύεται· καὶ ἡ ἡμέρα ἄρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται, μείζων ἐστὶν τῆς ἡμέρας, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΜΠ περιφέρειαν διαπο‐
5ρεύεται. Ἀλλ’ ἡ μὲν ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΝΘ περιφέρειαν δια‐ πορεύεται, μακροτάτη ἐστὶν πασῶν τῶν προγεγενημένων ἡμερῶν ἀπὸ χειμερινῶν τροπῶν, ἡ δὲ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΜΠ περιφέρειαν διαπορεύεται, μακροτάτη ἔσται πασῶν τῶν ὑστέρων ἕως χειμερινῶν τροπῶν· καὶ ἡ ἡμέρα ἄρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπο‐
10ρεύεται, μακροτάτη ἔσται πασῶν τῶν ἐν τῷ ἐνιαυτῷ ἡμερῶν· ὥστε ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ἡ τροπὴ γέγονεν, μακροτάτη ἐστὶν πασῶν τῶν ἐν τῷ ἐνι‐ αυτῷ ἡμερῶν, οὗ ἀρχὴ αἱ χειμεριναὶ τροπαί. Ἐὰν δὲ πρὸς τῷ χειμερινῷ τροπικῷ ἔν τινι ἡμέρᾳ ὁ ἥλιος μέλλων τροπὴν ποιεῖσθαι τὴν ἀνατολὴν καὶ τὴν δύσιν ποιήσηται μὴ ἴσον ἀπέ‐
15χων τῆς τροπικῆς συναφῆς, ὁμοίως οὐκ ἔσται μέσου ἡμέρας ἡ τροπὴ τῷ ἡλίῳ, καὶ αἱ προγενόμεναι ἡμέραι τε καὶ νύκτες τοῦ ἡλίου πορευο‐ μένου ἀπὸ θερινῶν τροπῶν ταῖς μετὰ ταύτας ἕως τῶν θερινῶν τροπῶν ἄνισοι ἔσονται. Δειχθήσεται δὲ καὶ τοῦτο ὁμοίως τοῖς πρότερον. [Πόρισμα.]
20 Φανερὸν δέ, ὅτι, ἐὰν μὴ μέσου ἡμέρας ἢ μέσων νυκτῶν ὁποτερα‐ ποτοῦν τροπὴ γένηται ἢ ἀνατεταλκότος τοῦ ἡλίου ἢ δεδυκότος, ὅτι οὐκ ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ κύκλου τῶν παραλλήλων ἔσται ἥ τε ἀνατολὴ καὶ ἡ δύσις, κἂν ὁ ἥλιος τὴν δύσιν ἢ τὴν ἀνατολὴν ποιήσηται ἐπὶ τῆς συνα‐ φῆς τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ, ἐν ᾗ ἂν ποιήσηται ἡμέρᾳ, μακροτάτη ἔσται
25πασῶν τῶν ἐν τῷ ἐνιαυτῷ ἡμερῶν, οὗ ἀρχὴ αἱ χειμεριναὶ τροπαί. Τῶν δὲ ἄλλων ἡμερῶν μακρότεραι ἔσονται αἱ γιγνόμεναι ἡμέραι τοῦ ἡλίου ὄντος ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ, ἐν ᾧ μὴ ἐποιήσατο τὴν δύσιν ἢ τὴν ἀνατολὴν τῆς τροπικῆς ἡμέρας, τῶν γεγενημένων ἡμερῶν τοῦ ἡλίου ὄντος ἐν τῷ ἑτέρῳ ἡμικυκλίῳ, ἐν ᾧ ἐποιήσατο τὴν τροπικὴν ἡμέραν,
30νύκτες δὲ τοὐναντίον βραχύτεραι. Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται καὶ τοῦτο τοῖς πρότερον. Ἐὰν ἡ θερινὴ τροπὴ μέσων νυκτῶν γένηται, αἱ προγεγενημέναι ἡμέραι τε καὶ νύκτες ἀπὸ χειμερινῶν τροπῶν ταῖς μετὰ θερινὰς τρο‐ πὰς ἴσαι ἔσονται, καὶ ἐὰν μέσου ἡμέρας ἡ θερινὴ τροπὴ γένηται, αἱ
35προγεγενημέναι ἡμέραι τε καὶ νύκτες ἀπὸ τροπῶν χειμερινῶν ταῖς μετὰ
τὰς θερινὰς ἴσαι ἔσονται.80

82

 Τῶν δὲ ἴσων ἡμερῶν καὶ παρ’ ἑκάτερα οὐσῶν τῶν τροπικῶν ἡμε‐ ρῶν καὶ νυκτῶν μακρότεραι ἔσονται αἱ ἡμέραι αἱ γιγνόμεναι ἐν τῷ ἐνιαυτῷ, ἐν ᾧ ἡ θερινὴ τροπὴ μέσων νυκτῶν ἐγένετο, τῶν ἐν τῷ ἐνι‐ αυτῷ, ἐν ᾧ ἡ θερινὴ τροπὴ μέσου ἡμέρας ἐγένετο· ἔγγιον γὰρ ἔσονται
5πᾶσαι τῆς τροπικῆς συναφῆς αἱ ἐν τῷ ἐνιαυτῷ, ἐν ᾧ μέσων νυκτῶν ἡ τροπὴ ἐγένετο, τῶν ἐν τῷ ἑτέρῳ, ἐν ᾧ μέσου ἡμέρας ἡ τροπὴ ἐγένετο. Τῶν δὲ ἴσων νυκτῶν μακρότεραι ἔσονται αἱ γινόμεναι ἐν τῷ ἐνιαυτῷ, ἐν ᾧ ἡ θερινὴ τροπὴ μέσου ἡμέρας ἐγένετο. εʹ
10 Ἀπὸ θερινῆς τροπῆς τοῦ ἡλίου πορευομένου, ἐὰν ἀνατολὴ γένη‐ ται τῷ ἡλίῳ ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ, ἡ πρὸ τῆς ἀνατολῆς νὺξ ἴση ἐστὶν τῇ μετὰ τὴν ἀνατολὴν ἡμέρᾳ. Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒΓΔ, θερινὸς δὲ τροπικὸς ἔστω ὁ ΑΕΒ, ἰσημε‐ ρινὸς δὲ ὁ ΓΔ, ὁ δὲ τοῦ ἡλίου κύκλος ὁ ΓΕΔ, καὶ ὁ ἥλιος ἀπὸ τρο‐
15πῶν θερινῶν πορευόμενος ἐπὶ[Omitted graphic marker] τοῦ ἰσημερινοῦ ἀνατολὴν πε‐ ποιήσθω κατὰ τὸ Δ. Λέγω, ὅτι ἡ πρὸ τῆς Δ ἀνατολῆς νὺξ ἴση ἐστὶν τῇ μετὰ τὴν Δ
20ἀνατολὴν ἡμέρᾳ. Ἔστω γὰρ ἡ πρὸ τῆς Δ ἀνατολῆς δύσις κατὰ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΔΖ περιφερείᾳ ἴση ἡ ΔΗ. Ἐπεὶ ὁ ἥλιος
25δὺς κατὰ τὸ Ζ τὴν μετὰ τὴν Ζ δύσιν ἀνατολὴν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Δ, νυκτὸς ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΖΔ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἐν δὲ τούτῳ τῷ χρόνῳ ἡ ΖΔ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον. Ἀλλ’ ἐν ἴσῳ μὲν χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΖΔ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὴν ΔΗ, ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ
30ἡ ΖΔ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον καὶ ἡ ΔΗ τὸ φανερόν· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΔΗ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἡ ΔΗ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. Καὶ συνανατέλλει αὐτῇ ὁ ἥλιος πρὸς τῷ Δ ὤν· συνδύνει ἄρα αὐτῇ πρὸς τῷ Η ὤν. Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Δ τὴν μετὰ τὴν Δ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο κατὰ
35τὸ Η, ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΔΗ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἀλλὰ καὶ νυκτὸς χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΖΔ περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΖΔ περιφέρεια τῇ ΗΔ περι‐ φερείᾳ· καὶ ὁ χρόνος ἄρα, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος ἑκατέραν αὐτῶν διαπορεύεται, ἴσος ἐστίν. Ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ πρὸ τῆς Δ ἀνατολῆς νὺξ τῇ μετὰ
10τὴν Δ ἀνατολὴν ἡμέρᾳ.
Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, κἂν δύσις γένηται ἐπὶ τοῦ Δ ὄντος τοῦ82

84

ἡλίου, ὅτι ἡ πρὸ τῆς Δ δύσεως ἡμέρα τῇ μετὰ τὴν Δ δύσιν νυκτὶ ἴση ἐστίν. Καὶ ἀπὸ τροπῶν δὲ χειμερινῶν τοῦ ἡλίου πορευομένου, ἐὰν ἀνατολὴ ἢ δύσις τῷ ἡλίῳ γένηται ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ κατὰ τὸ Γ, ὁμοίως δειχθήσεται ἡ ἡμέρα τῇ συνεχεῖ νυκτὶ ἴση οὖσα.
5ϛʹ Αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου ἡμέραι τε καὶ νύκτες ἴσαι εἰσίν· ἴσον δὲ ἀπέχειν τοῦ ἰσημερινοῦ λέγονται, ὅταν αἵ τε ἀνα‐ τολαὶ καὶ δύσεις ἴσον ἀπέχωσι τοῦ[Omitted graphic marker] ἰσημερινοῦ.
10 Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΑΒ, χειμε‐ ρινὸς δὲ ὁ ΓΔ, ζῳδιακὸς δὲ κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ΑΕΓ, ἰσημερινὸς δὲ κύκλος ὁ ΖΕΗ. Λέγω, ὅτι αἱ
15ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ ἡμέ‐ ραι τε καὶ νύκτες ἴσαι εἰσίν. Ὁ γὰρ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ ἀνατολὴν μὲν πεποιήσθω κατὰ τὸ Θ σημεῖον, δύσιν δὲ κατὰ τὸ Κ· ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ
20ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται. Κείσθω τῇ ΚΕ ἴση ἡ ΕΛ, ἐν ἄλλῃ δὲ ἡμέρᾳ δύσιν πεποιήσθω κατὰ τὸ Λ. Λέγω, ὅτι ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ διαπορεύεται περιφέρειαν, ἴση ἐστὶν τῇ νυκτί, ἧς δύσις ἐστὶν τὸ Λ σημεῖον. Κείσθω τῇ ΘΚ ἴση ἡ ΛΜ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὰς ΘΚ
25ΛΜ περιφερείας διαπορεύεται. Ἀλλ’ ἐν ᾧ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἡ ΘΚ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἐν ᾧ δὲ ἡ ΘΚ τὸ φανερόν, ἡ ΛΜ τὸ ἀφανές· ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΛΜ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἡ ΛΜ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμι‐ σφαίριον. Καὶ συνδύνει τῷ Λ· συνανατέλλει ἄρα τῷ Μ· νυκτὸς ἄρα
30χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΛΜ περιφέρειαν διαπορεύεται. Καὶ ἔστιν ἴση τῇ ΚΘ περιφερείᾳ· ἴση ἄρα ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται, τῇ νυκτί, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΛΜ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι, κἂν δύο ἀνατολὰς ὑποθώμεθα κατὰ τὰ
35Κ, Λ, ἡ πρὸ τῆς Κ ἀνατολῆς νὺξ ἴση ἐστὶν τῇ μετὰ τὴν Λ ἀνατολὴν
ἡμέρᾳ.84

86

ζʹ Ἐὰν γένηται τῷ ἡλίῳ δύσις καὶ ἀνατολὴ κατὰ διάμετρον, ἡ δι’ ἡμίσεως ἐνιαυτοῦ νὺξ ἴση ἐστὶν τῇ ἡμέρᾳ. Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΑΒ, ὁ δὲ
5τοῦ ἡλίου κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΓΕΔ, καὶ ὁ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Δ, ἐν[Omitted graphic marker] ἄλλῃ δὲ ἡμέρᾳ κατὰ διάμετρον τοῦ Δ δύσιν πεποιήσθω κατὰ τὸ Γ. Λέγω, ὅτι ἡ ἡμέρα, ἧς ἀνατολή ἐστιν τὸ Δ
10σημεῖον, ἴση ἐστὶν τῇ νυκτί, ἧς δύσις ἐστὶν τὸ Γ. Ἔστω γὰρ ἡ μετὰ τὴν Δ ἀνα‐ τολὴν δύσις κατὰ τὸ Ζ σημεῖον· ἡμέ‐ ρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος
15τὴν ΔΖ περιφέρειαν διαπορεύεται. Κείσθω τῇ ΔΖ ἴση ἡ ΓΗ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὰς ΖΔ, ΓΗ περι‐ φερείας διαπορεύεται. Ἀλλ’ ἐν ᾧ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΔΖ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἡ ΔΖ ἐξαλλάσσει τὸ
20φανερὸν ἡμισφαίριον, ἐν ᾧ δὲ ἡ ΔΖ τὸ φανερόν, ἡ ΓΗ τὸ ἀφανές· ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΓΗ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἡ ΓΗ ἐξαλ‐ λάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον. Καὶ συνδύνει τῷ Γ· συνανατέλλει ἄρα τῷ Η. Νυκτὸς ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΓΗ περιφέρειαν διαπορεύεται· καὶ ἔστιν ἴση τῇ ΔΖ.
25ηʹ Ὅταν ὁ ἥλιος διαπορεύηται τὸ ἀπολαμβανόμενον ἡμικύκλιον ὑπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς τῷ θερινῷ τροπικῷ, ἡ βραχυτάτη ἡμέρα τῆς μα‐ κροτάτης νυκτὸς μείζων ἐστίν. Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΖΗ, θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΑΒ, ὁ δὲ
30τοῦ ἡλίου κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΖΕΗ, ἰσημερινὸς δὲ κύκλος ἔστω ὁ ΖΘΗ· τὸ ἄρα ἀπολαμβανόμενον ἡμικύκλιον ὑπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς τῷ θερινῷ τροπικῷ τὸ ΖΕΗ ἐστίν. Λέγω, ὅτι, ὅταν ὁ ἥλιος τὸ ΖΕΗ ἡμικύκλιον διαπορεύηται, ἡ βραχυτάτη ἡμέρα τῆς μακροτάτης νυκτὸς μείζων ἐστίν.
35 Ὁ γὰρ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ ἀνατολὴν μὲν πεποιήσθω κατὰ τὸ Λ σημεῖον, δύσιν δὲ κατὰ τὸ Μ· ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΛΜ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἐν ἄλλῃ δὲ ἡμέρᾳ δύσιν πεποιήσθω κατὰ τὸ Ν, καὶ κείσθω τῇ ΛΜ ἴση ἡ ΝΞ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος
τὰς ΛΜ, ΝΞ περιφερείας διαπορεύεται. Ἀλλ’ ἐν ᾧ χρόνῳ ὁ ἥλιος86

88

τὴν ΛΜ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἡ ΛΜ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμι‐ σφαίριον· ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΝΞ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἡ ΛΜ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμι‐[Omitted graphic marker] σφαίριον. Ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ ἡ
5ΛΜ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαί‐ ριον ἤπερ ἡ ΝΞ τὸ ἀφανές· ἐν πλεί‐ ονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΝΞ περι‐ φέρειαν διαπορεύεται ἤπερ ἡ ΝΞ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον.
10Ὅτε ἄρα ἡ ΝΞ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ὁ ἥλιος ἐλάσσονά τινα περιφέρειαν τῆς ΝΞ διελεύσεται. Διε‐ ληλυθέτω τὴν ΝΟ· τοῦ Ξ ἄρα πρὸς ἀνατολαῖς ὄντος ὁ ἥλιος ὢν πρὸς τῷ Ο ἤδη ἀνέτειλεν. Ἵνα ἄρα φανῇ
15ἀνατέλλων, ἔτι ἐλάσσονά τινα τῆς ΝΟ διελεύσεται. Διερχέσθω τὴν ΝΠ· νυκτὸς ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΝΠ περιφέρειαν δια‐ πορεύεται. Καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΝΞ τῆς ΝΠ, ἴση δὲ ἡ ΝΞ τῇ ΛΜ, μείζων ἄρα ἡ ΛΜ τῆς ΝΠ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΛΜ περιφέρειαν διαπορεύεται, τῆς νυκτός, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν
20ΝΠ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι, ἐὰν ὁ ἥλιος διαπορεύηται τὸ ἀπολαμ‐ βανόμενον ἡμικύκλιον ὑπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς τῷ χειμερινῷ τροπικῷ, ἡ μακροτάτη ἡμέρα τῆς βραχυτάτης νυκτὸς ἐλάσσων ἐστίν. θʹ
25 Ἀπὸ χειμερινῶν τροπῶν τοῦ ἡλίου διαπορευομένου, ἐὰν γίνωνται τῷ ἡλίῳ ἀνατολαὶ δύο, ἡ μὲν ἀνώτερον, ἡ δὲ κατώτερον, ἡ μετὰ τὴν ἀνώτερον ἀνατολὴν δύσις ἀνωτέρω ἔσται[Omitted graphic marker] τῆς μετὰ τὴν κατώτερον ἀνατολὴν δύ‐ σεως, καὶ ἡ πρὸ τῆς ἀνώτερον ἀνατο‐
30λῆς δύσις ἀνώτερον ἔσται τῆς πρὸ τῆς κατώτερον ἀνατολῆς δύσεως. Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ ΑΒ, χει‐ μερινὸς δὲ ὁ ΓΔ, καὶ ἔστω τὸ μετὰ
35τὸν αἰγόκερω ἡμικύκλιον ὑπὸ γῆν τὸ ΔΕΒ, καὶ ἀπὸ χειμερινῶν τροπῶν τοῦ ἡλίου πορευομένου γεγενήσθωσαν ἀνα‐ τολαὶ δύο κατὰ τὰ Ε, Ζ σημεῖα, καὶ ἔστω ἡ Ε ἀνώτερον. Λέγω, ὅτι ἡ μετὰ τὴν Ε ἀνατολὴν δύσις ἀνώτερόν ἐστι τῆς μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν δύσεως.
40Εἰ μὲν οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ε τὴν μετὰ τὴν Ε ἀνα‐
τολὴν δύσιν ποιήσεται ἤτοι κατὰ τὸ Ζ ἢ ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τῶν Ε, Ζ,88

90

φανερόν, ὅτι ἡ μετὰ τὴν Ε ἀνατολὴν δύσις ἀνώτερόν ἐστι τῆς μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν δύσεως. Ἀλλὰ δὴ ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ε τὴν μετὰ τὴν Ε ἀνατολὴν δύσιν πεποιήσθω κατὰ τὸ Η· ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται. Καὶ
5ἐπεὶ ἀπὸ χειμερινῶν τροπῶν τοῦ ἡλίου πορευομένου ἡμέρα ἡ πρότερον τῆς ὕστερόν ἐστι βραχυτέρα, ἐλάσσων ἄρα ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται, τῆς ἡμέρας, ἧς ἀνατολή ἐστι τὸ Ζ· ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ΕΗ περιφέρεια τῆς περιφερείας, ἣν διέρχεται ὁ ἥλιος ἐν τῇ ἡμέρᾳ, ἧς ἀνατολή ἐστι τὸ Ζ· πολλῷ ἄρα ἡ ΖΗ ἐλάσσων
10ἐστὶ τῆς εἰρημένης ἡμέρας. Ἔστω αὐτῇ ἴση ἡ ΖΘ· ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΖΘ περιφέρειαν διαπορεύεται. Καὶ συνανατέλλει τῷ Ζ· συνδύνει ἄρα τῷ Θ· ὥστε ἡ μετὰ τὴν Ε ἀνατολὴν δύσις ἀνώτερόν ἐστι τῆς μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν δύσεως. Λέγω δή, ὅτι καὶ ἡ πρὸ τῆς Ε ἀνατολῆς δύσις ἀνώτερόν ἐστι τῆς
15πρὸ τῆς Ζ ἀνατολῆς δύσεως. Εἰ μὲν οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ζ τὴν πρὸ τῆς Ζ ἀνατο‐ λῆς δύσιν πεποίηται ἤτοι κατὰ τὸ Ε ἢ μεταξὺ τῶν Ζ, Ε, φανερόν, ὅτι ἡ πρὸ τῆς Ε ἀνατολῆς δύσις ἀνώτερόν ἐστι τῆς πρὸ τῆς Ζ ἀνατολῆς δύσεως. Ἀλλὰ δὴ ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ζ τὴν πρὸ τῆς Ζ ἀνα‐
20τολῆς δύσιν πεποιήσθω κατὰ τὸ Κ· νυκτὸς ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΚΖ περιφέρειαν διαπορεύεται. Καὶ ἐπεὶ ἀπὸ χειμερινῶν τροπῶν τοῦ ἡλίου πορευομένου νὺξ ἡ πρότερον τῆς ὕστερόν ἐστι μακρο‐ τέρα, μείζων ἄρα καὶ ἡ νύξ, ἧς ἀνατολή ἐστι τὸ Ε, τῆς νυκτός, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΚΖ περιφέρειαν διαπορεύεται· μείζων ἄρα καὶ ἡ περιφέ‐
25ρεια, ἣν διέρχεται ὁ ἥλιος ἐν τῇ νυκτί, ἧς ἀνατολή ἐστιν τὸ Ε, τῆς ΚΖ περιφερείας· πολλῷ ἄρα τῆς ΚΕ μείζων ἐστὶν ἡ προειρημένη πε‐ ριφέρεια. Ἔστω αὐτῇ ἴση ἡ ΕΛ· νυκτὸς ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΛΕ περιφέρειαν διαπορεύεται. Καὶ συνανατέλλει τῷ Ε· συνδύνει ἄρα τῷ Λ· ὥστε ἡ πρὸ τῆς Ε ἀνατολῆς δύσις ἀνώτερόν ἐστι
30τῆς πρὸ τῆς Ζ ἀνατολῆς δύσεως. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι, ἐὰν γένωνται τῷ ἡλίῳ δύσεις δύο, ἡ μὲν ἀνώτερον, ἡ δὲ κατώτερον, ἡ μετὰ τὴν ἀνώτερον δύσιν ἀνατολὴ ἀνώτερον ἔσται τῆς μετὰ τὴν κατώτερον δύσιν ἀνατολῆς, καὶ ἡ πρὸ τῆς ἀνώτερον δύσεως ἀνατολὴ ἀνώτερον ἔσται τῆς πρὸ τῆς κατώτερον
35δύσεως ἀνατολῆς. ιʹ Ἀπὸ θερινῶν τροπῶν τοῦ ἡλίου πορευομένου, ἐὰν γένωνται τῷ
ἡλίῳ δύσεις δύο, ἡ μὲν ἀνώτερον, ἡ δὲ κατώτερον, ἡ μετὰ τὴν ἀνώ‐90

92

τερον δύσιν ἀνατολὴ ἀνώτερον ἔσται τῆς μετὰ τὴν κατώτερον δύσιν ἀνατολῆς, καὶ ἡ πρὸ τῆς ἀνώτερον δύσεως ἀνατολὴ ἀνώτερον ἔσται τῆς πρὸ τῆς κατώτερον δύσεως ἀνατολῆς. Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ ΑΒ,
5χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΓΔ, τὸ δὲ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΓ, καὶ τοῦ ἡλίου ἀπὸ θερινῶν τρο‐[Omitted graphic marker] πῶν πορευομένου γεγενήσθωσαν δύο δύσεις κατὰ τὰ Ε, Ζ. Λέγω, ὅτι ἡ μετὰ τὴν Ε δύσιν ἀνατολὴ ἀνώτερόν
10ἐστι τῆς μετὰ τὴν Ζ δύσιν ἀνατολῆς. Εἰ μὲν οὗν ὁ ἥλιος δύνας κατὰ τὸ Ε τὴν μετὰ τὴν Ε δύσιν ἀνατολὴν ποιήσεται ἤτοι κατὰ τὸ Ζ ἢ μεταξὺ τῶν Ε, Ζ, φανερόν, ὅτι ἡ μετὰ τὴν Ε
15δύσιν ἀνατολὴ ἀνώτερόν ἐστιν τῆς μετὰ τὴν Ζ δύσιν ἀνατολῆς. Ἀλλὰ δὴ ὁ ἥλιος δύνας κατὰ τὸ Ε τὴν μετὰ τὴν Ε δύσιν ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Η· νυκτὸς ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΕΗ περιφέ‐ ρειαν διαπορεύεται. Καὶ ἐπεὶ ἀπὸ θερινῶν τροπῶν τοῦ ἡλίου πορευο‐
20μένου νὺξ ἡ πρότερον τῆς ὕστερόν ἐστι βραχυτέρα, ἐλάσσων ἄρα ἡ νύξ, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται, τῆς νυκτός, ἧς δύσις ἐστὶν τὸ Ζ· ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ΕΗ περιφέρεια τῆς περιφερείας, ἣν διέρχεται ὁ ἥλιος ἐν τῇ νυκτί, ἧς δύσις ἐστὶν τὸ Ζ· πολλῷ ἄρα ἡ ΖΗ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς εἰρημένης περιφερείας. Ἔστω αὐτῇ ἴση ἡ
25ΖΘ· νυκτὸς ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΖΘ περιφέρειαν δια‐ πορεύεται. Καὶ συνδύνει τῷ Ζ· συνανατέλλει ἄρα τῷ Θ· ὥστε ἡ μετὰ τὴν Ε δύσιν ἀνατολὴ ἀνώτερόν ἐστι τῆς μετὰ τὴν Ζ δύσιν ἀνατολῆς. Λέγω, ὅτι καὶ ἡ πρὸ τῆς Ε δύσεως ἀνατολὴ ἀνώτερόν ἐστι τῆς πρὸ τῆς Ζ δύσεως ἀνατολῆς.
30 Εἰ μὲν οὖν ὁ ἥλιος δύνας κατὰ τὸ Ζ τὴν πρὸ τῆς Ζ δύσεως ἀνα‐ τολὴν πεποίηται ἤτοι κατὰ τὸ Ε ἢ ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τῶν Ε, Ζ, φα‐ νερόν, ὅτι ἡ πρὸ τῆς Ε δύσεως ἀνατολὴ ἀνώτερόν ἐστιν τῆς πρὸ τῆς Ζ δύσεως ἀνατολῆς. Ἀλλὰ δὴ ὁ ἥλιος δύνας κατὰ τὸ Ζ τὴν πρὸ τῆς Ζ δύσεως ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Κ· ἡμέρας ἄρα χρόνος
35ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΚΖ περιφέρειαν διαπορεύεται. Καὶ ἐπεὶ ἀπὸ θερινῶν τροπῶν τοῦ ἡλίου πορευομένου ἡμέρα ἡ πρότερον τῆς ὕστερόν ἐστι μακροτέρα, μείζων ἄρα ἡ ἡμέρα, ἧς δύσις ἐστὶ τὸ Ε, τῆς ἡμέρας, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΚΖ περιφέρειαν διαπορεύεται· μείζων ἄρα καὶ ἡ
περιφέρεια, ἣν διέρχεται ὁ ἥλιος ἐν τῇ ἡμέρᾳ, ἧς δύσις ἐστὶν τὸ Ε,92

94

τῆς ΚΖ περιφερείας· πολλῷ ἄρα τῆς ΚΕ μείζων ἐστίν. Ἔστω αὐτῇ ἴση ἡ ΕΛ· ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΛΕ περιφέ‐ ρειαν διαπορεύεται. Καὶ συνδύνει τῷ Ε· συνανατέλλει ἄρα τῷ Λ· ὥστε ἡ πρὸ τῆς Ε δύσεως ἀνατολὴ ἀνώτερόν ἐστιν τῆς πρὸ τῆς Ζ
5δύσεως ἀνατολῆς. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι, ἐὰν γένωνται τῷ ἡλίῳ ἀνατολαὶ δύο, ἡ μὲν ἀνώτερον, ἡ δὲ κατώτερον, ἡ μετὰ τὴν ἀνώτερον ἀνατολὴν δύσις ἀνώτερον ἔσται τῆς μετὰ τὴν κατώτερον ἀνατολὴν δύσεως, καὶ ἡ πρὸ τῆς ἀνώτερον ἀνατολῆς δύσις ἀνώτερον ἔσται τῆς πρὸ τῆς κατώτερον
10ἀνατολῆς δύσεως. ιαʹ Ἀπὸ θερινῶν τροπῶν τοῦ ἡλίου πορευομένου, ἐὰν μήτε δύσις μήτε ἀνατολὴ γένηται τῷ ἡλίῳ ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ, οὐκ ἔσται ἰσημερία. Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ[Omitted graphic marker]
15καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ ΑΒ, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΓΔ, ζῳ‐ διακὸς δὲ ὁ ΑΕΓ, ἰσημερινὸς δὲ ὁ ΖΕΗ. Λέγω, ὅτι ἀπὸ θερινῶν τρο‐ πῶν τοῦ ἡλίου πορευομένου, ἐὰν
20μήτε δύσις μήτε ἀνατολὴ γένηται τῷ ἡλίῳ ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ, οὐκ ἔσται ἰσημερία. Ὁ γὰρ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ ἀνατολὴν μὲν πεποιήσθω κατὰ τὸ
25Θ, δύσιν δὲ κατὰ τὸ Κ· ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται. Λέγω δή, ὅτι ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται, οὐκ ἔστιν ἴση οὔτε τῇ πρὸ αὐτῆς νυκτὶ οὔτε τῇ μετ’ αὐτήν. Ὑποκείσθω γὰρ ὁ ἥλιος ἀνατολὴν πεποιημένος κατὰ τὸ Ε. Καὶ
30ἐπεὶ ἀπὸ θερινῶν τροπῶν τοῦ ἡλίου πορευομένου δύο ἀνατολαί εἰσιν κατὰ τὰ Θ, Ε, ὧν ἀνώτερον ἡ Θ, ἡ ἄρα μετὰ τὴν Θ ἀνατολὴν δύσις ἀνώτερόν ἐστιν τῆς μετὰ τὴν Ε ἀνατολὴν δύσεως. Ἔστω οὖν μετὰ τὴν Ε ἀνατολὴν δύσις κατὰ τὸ Λ. Πάλιν ἐπεὶ δύο ἀνατολαί εἰσιν κατὰ τὰ Θ, Ε, ἡ πρὸ τῆς Θ ἀνατολῆς δύσις ἀνώτερόν ἐστιν τῆς πρὸ
35τῆς Ε ἀνατολῆς δύσεως. Ἔστω οὖν ἡ μὲν πρὸ τῆς Θ ἀνατολῆς δύσις κατὰ τὸ Μ, ἡ δὲ πρὸ τῆς Ε ἀνατολῆς δύσις κατὰ τὸ Ν. Καὶ ἐπεὶ ὁ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ ἀνατολὴν πεποίηται ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ κατὰ τὸ Ε, ἡ ἄρα πρὸ τῆς Ε ἀνατολῆς νὺξ ἴση ἐστὶν τῇ μετὰ τὴν Ε ἀνατολὴν
ἡμέρᾳ· ἴση ἄρα ἡ νύξ, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΝΕ περιφέρειαν διαπορεύεται,94

96

τῇ ἡμέρᾳ, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΕΛ περιφέρειαν διαπορεύεται. Καὶ ἐπεὶ ἀπὸ θερινῶν τροπῶν τοῦ ἡλίου πορευομένου ἡμέρα μὲν ἡ πρότερον τῆς ὕστερόν ἐστι μακροτέρα, νὺξ δὲ ἡ πρότερον τῆς ὕστερόν ἐστι βραχυ‐ τέρα, ἐλάσσων ἄρα ἡ νύξ, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΜΘ περιφέρειαν διαπο‐
5ρεύεται, τῆς νυκτός, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΝΕ περιφέρειαν διαπορεύεται, τουτέστιν τῆς ἡμέρας, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΕΛ περιφέρειαν διαπορεύεται· ἴση γὰρ ἡ ΕΝ νὺξ τῇ ΕΛ ἡμέρᾳ· ἐλάσσων δὲ καὶ ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΕΛ περιφέρειαν διαπορεύεται, τῆς ἡμέρας, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται· πολλῷ ἄρα ἡ νύξ, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν
10ΜΘ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ἡμέρας, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἡ ἄρα ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται, οὐκ ἔστιν ἴση τῇ πρὸ αὐτῆς νυκτί. Λέγω, ὅτι οὐδὲ τῇ μετ’ αὐτήν. Ὑποκείσθω ὁ ἥλιος δύσιν πεποιημένος κατὰ τὸ Ε, ἀνατολὴν δὲ
15κατὰ τὸ Λ. Καὶ ἐπεὶ δύο δύσεις εἰσὶν αἱ Ε, Κ, ἡ ἄρα μετὰ τὴν Ε δύσιν ἀνατολὴ ἀνώτερόν ἐστιν τῆς μετὰ τὴν Κ δύσιν ἀνατολῆς. Ἔστω οὖν ἡ μετὰ τὴν Κ δύσιν ἀνατολὴ κατὰ τὸ Ξ· νυκτὸς ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΚΞ περιφέρειαν διαπορεύεται. Πάλιν ἐπεὶ δύο δύσεις εἰσὶν αἱ Ε, Κ, ἡ ἄρα πρὸ τῆς Ε δύσεως ἀνατολὴ ἀνώτερόν ἐστι τῆς
20πρὸ τῆς Κ δύσεως ἀνατολῆς. Ἔστω οὖν ἡ μὲν πρὸ τῆς Ε δύσεως ἀνατολὴ κατὰ τὸ Ν, ἡ δὲ πρὸ τῆς Κ δύσεως ἀνατολὴ κατὰ τὸ Θ. Καὶ ἐπεὶ ἀπὸ θερινῶν τροπῶν τοῦ ἡλίου πορευομένου δύσις γέγονεν ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ κατὰ τὸ Ε, ἡ ἄρα πρὸ τῆς Ε δύσεως ἡμέρα ἴση ἐστὶν τῇ μετὰ τὴν Ε νυκτί· ἴση ἐστὶν ἄρα ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν
25ΝΕ περιφέρειαν διαπορεύεται, τῇ νυκτί, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΕΛ περιφέ‐ ρειαν διαπορεύεται. Καὶ ἐπεὶ ἀπὸ θερινῶν τροπῶν τοῦ ἡλίου πορευο‐ μένου ἡμέρα μὲν ἡ πρότερον τῆς ὕστερόν ἐστιν μακροτέρα, νὺξ δὲ ἡ πρότερον τῆς ὕστερόν ἐστιν βραχυτέρα, μείζων ἄρα ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΝΕ περιφέρειαν διαπορεύεται, τῆς ἡμέρας, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν
30ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἀλλὰ ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΝΕ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἴση ἐστὶν τῇ νυκτί, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΕΛ περιφέρειαν διαπορεύεται· μείζων ἄρα ἡ νύξ, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΕΛ περιφέρειαν διαπορεύεται, τῆς ἡμέρας, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέ‐ ρειαν διαπορεύεται. Ἀλλὰ τῆς νυκτός, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΕΛ περιφέ‐
35ρειαν διαπορεύεται, μείζων ἐστὶν ἡ νύξ, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΚΞ περιφέ‐ ρειαν διαπορεύεται· πολλῷ ἄρα ἡ νύξ, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΚΞ περιφέ‐ ρειαν διαπορεύεται, μείζων ἐστὶν τῆς ἡμέρας, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἡ ἄρα ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περι‐ φέρειαν διαπορεύεται, τῇ μετ’ αὐτὴν νυκτὶ οὐκ ἔστιν ἴση. Ἐδείχθη
40δέ, ὅτι οὐδὲ τῇ πρὸ αὐτῆς· οὐκ ἔσται ἄρα ἰσημερία.96

98

 Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καί, ἐὰν δύσιν μὲν ὑποστησώμεθα πρὸς τῷ Θ, ἀνατολὴν δὲ πρὸς τῷ Κ, ὅτι ἡ ΘΚ νὺξ οὔτε τῇ πρὸ αὐτῆς ἡμέρᾳ οὔτε τῇ μετ’ αὐτὴν ἴση ἐστίν. ιβʹ
5 Ἀπὸ χειμερινῶν τροπῶν τοῦ ἡλίου πορευομένου, ἐὰν μήτε ἀνατολὴ μήτε δύσις γένηται τῷ ἡλίῳ ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ, οὐκ ἔσται ἰσημερία. Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ἔστω ὁ ΑΒ, χειμερινὸς δὲ ὁ ΓΔ, ἰσημερινὸς δὲ ὁ ΕΖΗ, ὁ δὲ τοῦ ἡλίου κύκλος ἔστω ὁ ΒΓ, καὶ ὁ ἥλιος ἀπὸ τροπῶν[Omitted graphic marker]
10χειμερινῶν πορευόμενος ἔν τινι ἡμέρᾳ ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Θ, τὴν δὲ μετὰ τὴν Θ ἀνατολὴν δύσιν πε‐ ποιήσθω κατὰ τὸ Κ. Λέγω, ὅτι ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περι‐
15φέρειαν διαπορεύεται, οὐκ ἔστιν ἴση οὔτε τῇ πρὸ αὐτῆς νυκτὶ οὔτε τῇ μετ’ αὐτήν. Ἔστω γὰρ ἡ μὲν πρὸ τῆς Θ ἀνατολῆς δύσις κατὰ τὸ Λ, ἡ δὲ
20μετὰ τὴν Κ δύσιν ἀνατολὴ κατὰ τὸ Μ, καὶ ὑποκείσθω ὁ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ ἀπὸ τροπῶν χειμερινῶν πορευόμενος καὶ ἀνατολὴν πεποιημένος ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ κατὰ τὸ Ζ. Ἐπεὶ οὖν τοῦ ἡλίου πορευομένου ἀπὸ τροπῶν χειμερινῶν δύο ἀνατολαὶ εἰλημμέναι εἰσὶν αἱ Θ, Ζ, ὧν ἡ Θ ἀνώτερον, ἡ ἄρα πρὸ τῆς Θ ἀνατολῆς δύσις ἀνώτερόν ἐστιν τῆς πρὸ
25τῆς Ζ ἀνατολῆς δύσεως. Καὶ ἔστιν ἡ πρὸ τῆς Θ ἀνατολῆς δύσις τὸ Λ· ἡ ἄρα πρὸ τῆς Ζ ἀνατολῆς δύσις ἔσται μεταξὺ τῶν Θ, Λ. Ἔστω κατὰ τὸ Ν. Πάλιν ἐπεὶ δύο ἀνατολαὶ εἰλημμέναι εἰσὶν αἱ Θ, Ζ, ὧν ἡ Θ ἀνώτερον, ἡ ἄρα μετὰ τὴν Θ ἀνατολὴν δύσις, ἥτις ἐστὶν κατὰ τὸ Κ, ἀνώτερόν ἐστιν τῆς μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν δύσεως· ὥστε ἡ μετὰ τὴν
30Ζ ἀνατολὴν δύσις μεταξὺ ἔσται τῶν Κ, Μ. Ἔστω κατὰ τὸ Ξ. Ἐπεὶ οὖν ἀπὸ χειμερινῶν τροπῶν τοῦ ἡλίου πορευομένου ἀνατολὴ γέγονεν κατὰ τὸ Ζ, ἡ ἄρα πρὸ τῆς Ζ ἀνατολῆς νὺξ ἴση ἐστὶν τῇ μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν ἡμέρᾳ. Ἀλλ’ ἐν μὲν τῇ πρὸ τῆς Ζ ἀνατολῆς νυκτὶ ὁ ἥλιος τὴν ΝΖ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἐν δὲ τῇ μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν ἡμέρᾳ
35ὁ ἥλιος τὴν ΖΞ περιφέρειαν διαπορεύεται· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΖ νὺξ τῇ
ΖΞ ἡμέρᾳ. Ἀλλὰ ἡ ΝΖ νὺξ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ΘΛ νυκτός· καὶ ἡ98

100

ΖΞ ἄρα ἡμέρα ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ΘΛ νυκτός. Ἀλλ’ ἡ ΖΞ ἡμέρα μείζων ἐστὶν τῆς ΘΚ ἡμέρας· πολλῷ ἄρα ἡ ΘΚ ἡμέρα ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ΘΛ νυκτός· ὥστε ἡ ΘΚ ἡμέρα ἐλάσσων ἐστὶν τῆς πρὸ αὐτῆς νυκτός.
5 Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ τῇ μετ’ αὐτὴν νυκτὶ ἴση ἐστίν. Ὑποκείσθω γὰρ ὁ ἥλιος ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ δύσιν πεποιημένος κατὰ τὸ Ζ. Ἐπεὶ οὖν πάλιν δύο δύσεις εἰλημμέναι εἰσὶν αἱ Ζ, Κ, ὧν ἀνώτερον ἡ Ζ, ἡ ἄρα πρὸ τῆς Ζ δύσεως ἀνατολὴ ἀνώτερόν ἐστι τῆς πρὸ τῆς Κ δύσεως ἀνατολῆς. Καὶ ἔστιν ἡ πρὸ τῆς Κ δύσεως ἀνατολὴ
10κατὰ τὸ Θ· ἡ ἄρα πρὸ τῆς Ζ δύσεως ἀνατολὴ ἀνώτερόν ἐστι τῆς Θ. Ἔστω κατὰ τὸ Ν. Ἡ ἄρα πρὸ τῆς Ζ δύσεως ἡμέρα ἴση ἐστὶν τῇ μετὰ τὴν Ζ δύσιν νυκτί. Ἀλλ’ ἐν μὲν τῇ πρὸ τῆς Ζ δύσεως ἡμέρᾳ ὁ ἥλιος τὴν ΖΝ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἐν δὲ τῇ μετὰ τὴν Ζ δύσιν νυκτὶ ὁ ἥλιος τὴν ΞΖ περιφέρειαν διαπορεύεται· πάλιν γὰρ ὁμοίως
15ἔσται ἡ μετὰ τὴν Ζ δύσιν ἀνατολὴ κατώτερον τοῦ Κ· ὥστε ἡ ΝΖ ἡμέρα ἴση ἐστὶν τῇ ΖΞ νυκτί. Ἀλλὰ τῆς ΝΖ ἡμέρας μείζων ἐστὶν ἡ ΘΚ ἡμέρα· καὶ ἡ ΘΚ ἄρα ἡμέρα μείζων ἐστὶν τῆς ΞΖ νυκτός. Ἀλλὰ ἡ ΖΞ νὺξ μείζων ἐστὶν τῆς ΚΜ νυκτός· πολλῷ ἄρα ἡ ΘΚ ἡμέρα μείζων ἐστὶ τῆς ΚΜ νυκτός· ὥστε ἡ ΘΚ ἡμέρα οὐκ ἔστιν ἴση οὔτε
20τῇ πρὸ αὐτῆς νυκτὶ οὔτε τῇ μετ’ αὐτήν. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καί, ἐὰν δύσιν μὲν ὑποστησώμεθα πρὸς τῷ Θ, ἀνατολὴν δὲ πρὸς τῷ Κ, ὅτι ἡ ΘΚ νὺξ οὔτε τῇ πρὸ αὐτῆς ἡμέρᾳ οὔτε τῇ μετ’ αὐτὴν ἴση ἐστίν.
24TΘεοδοσίου περὶ ἡμερῶν καὶ νυκτῶν βʹ
25αʹ Ὅταν ὁ ἥλιος διαπορεύηται τὸ μετὰ τὸν καρκίνον τεταρτημόριον, νὺξ καὶ ἡμέρα τὸ συναμφότερον νυκτὶ καὶ ἡμέρᾳ συναμφοτέρῳ ἄνισος
ἔσται, καὶ μείζους αἰεὶ αἱ πρότερον τῶν ὕστερον.100

102

 Ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓΔ καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ ΑΒ, χειμερινὸς δὲ ὁ ΓΔ, ζῳδιακὸς δὲ ὁ ΑΓ, ἰσημερινὸς δὲ ὁ ΖΗ, καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὸν καρκίνον τεταρτημόριον ὑπὲρ γῆν τὸ ΑΕ. Λέγω, ὅτι, ὅταν ὁ ἥλιος τὸ ΑΕ τεταρτημόριον διαπορεύηται, νὺξ καὶ ἡμέρα
5τὸ συναμφότερον νυκτὶ καὶ ἡμέρᾳ συναμφοτέρῳ ἄνισός ἐστι, καὶ μείζους αἰεὶ αἱ πρότερον τῶν ὕστερον. Ὁ γὰρ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ δύσιν πεποιήσθω κατὰ τὸ Θ, τὴν δὲ μετὰ τὴν Θ δύσιν ἑτέραν δύσιν πεποιήσθω κατὰ τὸ Κ· νυκτὸς ἄρα καὶ ἡμέρας χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ[Omitted graphic marker]
10ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπο‐ ρεύεται. Ἐν ἄλλῃ δὲ ἡμέρᾳ δύσιν πεποιήσθω κατὰ τὸ Λ. Λέγω, ὅτι νὺξ καὶ ἡμέρα τὸ συναμφότερον, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν
15διαπορεύεται, νυκτὸς καὶ ἡμέρας συναμφοτέρου, ἧς δύσις ἐστὶν τὸ Λ, μείζων ἐστί. Κείσθω τῇ ΘΚ ἴση ἡ ΛΜ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὰς
20ΘΚ, ΛΜ περιφερείας διαπορεύεται. Ἀλλ’ ἐν ᾧ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται, κόσμου τέ ἐστι περιστροφὴ καὶ τῆς ΘΚ περιφερείας δύσις· ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΛΜ περιφέρειαν δια‐ πορεύεται, κόσμου τέ ἐστι περιστροφὴ καὶ τῆς ΘΚ περιφερείας δύσις. Ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ ἡ ΘΚ δύνει ἤπερ ἡ ΛΜ· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ
25ὁ ἥλιος τὴν ΛΜ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἤπερ κόσμου τέ ἐστι περι‐ στροφὴ καὶ τῆς ΛΜ περιφερείας δύσις· ἐν ἄρα κόσμου περιστροφῇ καὶ τῆς ΛΜ περιφερείας δύσει ὁ ἥλιος ἐλάσσονά τινα τῆς ΛΜ περι‐ φερείας διελεύσεται. Διερχέσθω τὴν ΛΝ· τοῦ Μ ἄρα πρὸς δυσμαῖς ὄντος ὁ ἥλιος ὢν πρὸς τῷ Ν ἤδη δέδυκεν· ἵνα ἄρα φανῇ ὁ ἥλιος δύ‐
30νων, ἐλάσσονά τινα τῆς ΛΝ περιφερείας διελεύσεται. Διερχέσθω τὴν ΛΞ· νυκτὸς ἄρα καὶ ἡμέρας χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΛΞ περιφέρειαν διαπορεύεται. Καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶ ἡ ΜΛ τῆς ΛΞ, ἴση δὲ ἡ ΜΛ τῇ ΘΚ, μείζων ἄρα ἡ ΘΚ τῆς ΛΞ· μείζων ἄρα νὺξ καὶ ἡμέρα τὸ συναμφότερον, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται,
35νυκτὸς καὶ ἡμέρας συναμφοτέρου, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΛΞ περιφέρειαν διαπορεύεται. βʹ Ὅταν ὁ ἥλιος διαπορεύηται τὸ μετὰ τὰς χηλὰς τεταρτημόριον, νὺξ καὶ ἡμέρα τὸ συναμφότερον νυκτὶ καὶ ἡμέρᾳ συναμφοτέρῳ ἄνισός
40ἐστι, καὶ ἐλάσσονες αἱ πρότερον τῶν ὕστερον.102

104

 Ἔστω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον, καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὰς χηλὰς τεταρτημόριον τὸ ΕΓ. Λέγω, ὅτι, ὅταν ὁ ἥλιος τὸ ΕΓ τεταρτημόριον διαπορεύηται, νὺξ καὶ ἡμέρα τὸ συναμφότερον νυκτὶ καὶ ἡμέρᾳ συναμ‐ φοτέρῳ ἄνισός ἐστι, καὶ ἐλάσσους αἱ πρότερον τῶν ὕστερον.
5 Ὁ γὰρ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ δύσιν[Omitted graphic marker] πεποιήσθω κατὰ τὸ Θ, τὴν δὲ μετὰ τὴν Θ ἑτέραν δύσιν πεποιήσθω κατὰ τὸ Κ· νυκτὸς ἄρα καὶ ἡμέρας χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέ‐
10ρειαν διαπορεύεται. Ἐν ἄλλῃ δὲ ἡμέρᾳ δύσιν πεποιήσθω κατὰ τὸ Λ, καὶ κείσθω τῇ ΘΚ ἴση ἡ ΛΜ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὰς ΘΚ, ΛΜ περιφερείας δια‐ πορεύεται. Ἀλλ’ ἐν ᾧ χρόνῳ ὁ ἥλιος
15τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται, κόσ‐ μου τέ ἐστι περιστροφὴ καὶ τῆς ΘΚ περιφερείας δύσις· ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΛΜ περιφέρειαν διαπορεύεται, κόσμου τέ ἐστιν περιστροφὴ καὶ τῆς ΘΚ περιφερείας δύσις. Ἐν ἐλάσσονι δὲ χρόνῳ ἡ ΘΚ δύνει ἤπερ ἡ ΛΜ· ἐν ἐλάσσονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΛΜ περι‐
20φέρειαν διαπορεύεται, ἤπερ κόσμου τέ ἐστι περιστροφὴ καὶ τῆς ΛΜ περιφερείας δύσις. Ἐν ἄρα κόσμου περιστροφῇ καὶ τῇ τῆς ΛΜ περι‐ φερείας δύσει ὁ ἥλιος μείζονά τινα τῆς ΛΜ περιφερείας διελεύσεται. Διερχέσθω τὴν ΛΝ. Τοῦ Μ ἄρα πρὸς δυσμαῖς ὄντος ὁ ἥλιος ὢν πρὸς τῷ Ν οὐδέπω δέδυκεν. Ἵνα ἄρα φανῇ δύνων ὁ ἥλιος, μείζονά τινα
25τῆς ΛΝ περιφερείας διελεύσεται. Διερχέσθω τὴν ΛΞ· νυκτὸς ἄρα χρόνος καὶ ἡμέρας ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΛΞ διαπορεύεται. Καὶ ἐπεὶ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΛΜ τῆς ΛΞ, ἴση δὲ ἡ ΛΜ τῇ ΘΚ, ἐλάσσων ἄρα ἡ ΘΚ τῆς ΛΞ· ἐλάσσων ἄρα ἡ νὺξ καὶ ἡμέρα τὸ συναμφότερον, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται, νυκτὸς καὶ ἡμέρας
30συναμφοτέρου, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΛΞ περιφέρειαν διαπορεύεται. γʹ Ὅταν ὁ ἥλιος διαπορεύηται τὸ μετὰ τὸν αἰγόκερω τεταρτημόριον, ἡμέρα καὶ νὺξ τὸ συναμφότερον ἡμέρᾳ καὶ νυκτὶ συναμφοτέρῳ ἄνισός ἐστι, καὶ μείζους αἱ πρότερον τῶν ὕστερον.
35 Ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ θερινὸς μὲν τρο‐ πικὸς ὁ ΑΒ, χειμερινὸς δὲ ὁ ΓΔ, ζῳδιακὸς δὲ ὁ ΑΓ, ἰσημερινὸς δὲ ὁ ΖΕΗ, καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὸν αἰγόκερω τεταρτημόριον τὸ ΓΕ. Λέγω,
ὅτι, ὅταν ὁ ἥλιος τὸ ΓΕ τεταρτημόριον διαπορεύηται, ἡμέρα καὶ νὺξ104

106

τὸ συναμφότερον ἡμέρᾳ καὶ νυκτὶ συναμφοτέρῳ ἄνισός ἐστι, καὶ μείζους αἱ πρότερον τῶν ὕστερον. Ὁ γὰρ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Θ, τὴν δὲ μετὰ τὴν Θ ἀνατολὴν ἑτέραν ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Κ·
5ἡμέρας ἄρα χρόνος καὶ νυκτός ἐστιν,[Omitted graphic marker] ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἐν ἄλλῃ δὲ ἡμέρᾳ ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Λ. Λέγω, ὅτι ἡμέρα καὶ νὺξ τὸ συν‐
10αμφότερον, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἡμέρας καὶ νυκτὸς συναμφοτέρου, ἧς ἀνα‐ τολή ἐστι τὸ Λ, μείζων ἐστί. Κείσθω τῇ ΘΚ ἴση ἡ ΛΜ·
15ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὰς ΘΚ, ΛΜ περιφερείας διαπορεύεται. Ἀλλ’ ἐν ᾧ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται, κόσμου τέ ἐστι περιστροφὴ καὶ τῆς ΘΚ περιφερείας ἀνατολή· καὶ ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΛΜ περιφέ‐ ρειαν διαπορεύεται, κόσμου τέ ἐστι περιστροφὴ καὶ τῆς ΘΚ περιφερείας
20ἀνατολή. Ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ ἡ ΘΚ ἀνατέλλει ἤπερ ἡ ΛΜ· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΛΜ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἤπερ κόσμου τέ ἐστι περιστροφὴ καὶ τῆς ΛΜ περιφερείας ἀνατολή. Ἐν ἄρα κόσμου περιστροφῇ καὶ τῆς ΛΜ περιφερείας ἀνατολῇ ὁ ἥλιος ἐλάσσονά τινα τῆς ΛΜ περιφέρειαν διελεύσεται. Διερχέσθω τὴν ΛΝ.
25Τοῦ Μ ἄρα πρὸς ἀνατολαῖς ὄντος ὁ ἥλιος ὢν πρὸς τῷ Ν ἤδη ἀνέ‐ τειλεν. Ἵνα ἄρα φανῇ ἀνατέλλων ὁ ἥλιος, ἐλάσσονά τινα τῆς ΛΝ περιφερείας διελεύσεται. Διερχέσθω τὴν ΛΞ· ἡμέρας ἄρα καὶ νυκτὸς χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΛΞ περιφέρειαν διαπορεύεται. Καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΜΛ τῆς ΛΞ, ἴση δὲ ἡ ΜΛ τῇ ΘΚ, μείζων ἄρα
30ἡ ΘΚ τῆς ΛΞ· μείζων ἄρα ἡ ἡμέρα καὶ ἡ νὺξ τὸ συναμφότερον, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἡμέρας καὶ νυκτός, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΛΞ περιφέρειαν διαπορεύεται. δʹ Ὅταν ὁ ἥλιος διαπορεύηται τὸ μετὰ τὸν κριὸν τεταρτημόριον,
35ἡμέρα καὶ νὺξ τὸ συναμφότερον ἡμέρᾳ καὶ νυκτὶ συναμφοτέρῳ ἄνισός ἐστι· καὶ ἐλάσσους αἱ πρότερον τῶν ὕστερον. Ἔστω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον, καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὸν κριὸν τεταρτημόριον τὸ ΕΑ. Λέγω, ὅτι, ὅταν ὁ ἥλιος τὸ ΕΑ τεταρτημόριον διαπορεύηται, ἡμέρα καὶ νὺξ τὸ συναμφότερον ἡμέρᾳ καὶ νυκτὶ συναμ‐
40φοτέρῳ ἄνισός ἐστι, καὶ ἐλάσσους αἱ πρότερον τῶν ὕστερον.106

108

 Ὁ γὰρ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Θ, τὴν δὲ μετὰ τὴν Θ ἀνατολὴν ἑτέραν ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Κ· ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστὶ καὶ νυκτός, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἐν ἄλλῃ δὲ ἡμέρᾳ ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Λ.
5Λέγω, ὅτι ἡμέρα καὶ νὺξ τὸ συναμφότερον, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περι‐ φέρειαν διαπορεύεται, ἐλάσσων ἐστὶν ἡμέρας καὶ νυκτὸς συναμφοτέρου, ἧς ἀνατολή ἐστι τὸ Λ. Κείσθω τῇ ΘΚ ἴση ἡ ΛΜ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὰς ΘΚ, ΛΜ περιφερείας διαπορεύεται. Ἀλλ’ ἐν ᾧ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ
10περιφέρειαν διαπορεύεται, κόσμου τέ[Omitted graphic marker] ἐστι περιστροφὴ καὶ τῆς ΘΚ περι‐ φερείας ἀνατολή· ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΛΜ περιφέρειαν διαπο‐ ρεύεται, κόσμου τέ ἐστι περιστροφὴ
15καὶ τῆς ΘΚ περιφερείας ἀνατολή. Ἐν ἐλάττονι δὲ χρόνῳ ἡ ΘΚ ἀνα‐ τέλλει ἤπερ ἡ ΛΜ· ἐν ἐλάττονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΛΜ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἤπερ κόσμου τέ ἐστι
20περιστροφὴ καὶ τῆς ΛΜ περιφερείας ἀνατολή. Ἐν ἄρα κόσμου περιστροφῇ καὶ τῆς ΛΜ περιφερείας ἀνα‐ τολῇ ὁ ἥλιος μείζονά τινα τῆς ΛΜ περιφερείας διελεύσεται. Διερχέσθω τὴν ΛΝ· τοῦ Μ ἄρα πρὸς ἀνατολαῖς ὄντος ὁ ἥλιος ὢν πρὸς τῷ Ν οὔπω ἀνέτειλεν. Ἵνα ἄρα φανῇ ἀνατέλλων ἔτι ὁ ἥλιος, μείζονά τινα
25περιφέρειαν τῆς ΛΝ διελεύσεται. Διερχέσθω τὴν ΛΞ· ἡμέρας ἄρα καὶ νυκτὸς χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΛΞ περιφέρειαν διαπο‐ ρεύεται. Καὶ ἐπεὶ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΛΜ τῆς ΛΞ, ἡ δὲ ΛΜ ἴση τῇ ΘΚ, ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΛΞ· ἐλάσσων ἐστὶν ἄρα ἡ ἡμέρα καὶ νὺξ τὸ συναμφότερον, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπο‐
30ρεύεται, ἡμέρας καὶ νυκτὸς συναμφοτέρου, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΛΞ περι‐ φέρειαν διαπορεύεται. Λαμβανόμενα εἰς τὸ ἑξῆς. 1 Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ ΑΒ,
35χειμερινὸς δὲ ὁ ΓΔ, καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΓ ὑπὸ γῆν, καὶ ἀπειλήφθω τις περιφέρεια ἡ ΑΕ. Λέγω, ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ΑΕ ἀνατέλλει ἤπερ δύνει. Ἔστω, καθ’ οὗ φέρεται τὸ Ε σημεῖον, κύκλος ὁ ΗΘΖΕ, καὶ τὸ
ΑΕΓ ἡμικύκλιον θέσιν 〈ἴσην〉 ἐχέτω τῷ ΒΘΔ ἡμικυκλίῳ. Ἐπεὶ οὖν108

110

τὸ ΒΘΔ ἡμικύκλιον τὸ αὐτό ἐστι τῷ ΑΕΓ ἡμικυκλίῳ, ὁμοία ἐστὶν ἡ ΒΚΑ περιφέρεια τῇ ΘΖΕ περιφερείᾳ. Ἀλλ’ ἡ ΒΚΑ τῆς ΗΘΖ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία· καὶ ἡ ΘΖΕ ἄρα τῆς ΗΘΖ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία. Καὶ εἰσὶ τοῦ αὐτοῦ κύκλου· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΖΕ περιφέρεια τῆς ΗΘΖ
5περιφερείας. Κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ[Omitted graphic marker] ΘΖ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΖ λοιπῆς τῆς ΘΗ μείζων ἐστίν. Ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ Ε ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ε τὴν ΕΖ περιφέρειαν διαπορεύεται,
10ἤπερ τὸ Θ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΗ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Η παραγίγνεται. Ἀλλ’ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ τὸ Ε ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ε τὴν ΕΖ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ
15Ζ παραγίγνεται, ἡ ΑΕ περιφέρεια ἀνατέλλει, ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ τὸ Θ τὴν ΘΗ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Η παραγίγνεται, ἡ ΑΕ περιφέρεια δύνει· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΑΕ περιφέρεια ἀνατέλλει ἤπερ δύνει. 2
20 Ἀλλὰ ἀπειλήφθω τις ἡ ΕΖ περιφέρεια. Λέγω, ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ΕΖ ἀνατέλλει ἤπερ δύνει. Ἔστωσαν, καθ’ ὧν φέρεται τὰ Ε, Ζ σημεῖα, παράλληλοι κύκλοι οἱ ΕΗΘΚ, ΖΛΜΝ, καὶ τὸ ΑΕΓ ἡμικύκλιον ὁτὲ μὲν θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΟΗΣ, ὁτὲ δὲ ὡς τὴν ΡΚΜ.[Omitted graphic marker]
25Ἐπεὶ ἀσύμπτωτόν ἐστι τὸ ΟΗΣ ἡμικύκλιον τῷ ΡΚΜ ἡμικυκλίῳ, ὁμοία ἐστὶν ἡ ΚΘΗ περιφέρεια τῇ ΜΛΣ περιφερείᾳ. Ἡ δὲ ΚΘΗ περιφέρεια τῆς ΝΜΛ περιφερείας
30μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία· καὶ ἡ ΜΛΣ ἄρα τῆς ΝΜΛ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία. Καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύ‐ κλου· μείζων ἄρα ἡ ΣΛΜ περιφέ‐ ρεια τῆς ΛΜΝ περιφερείας. Κοινὴ
35ἀφῃρήσθω ἡ ΛΜ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΣΛ λοιπῆς τῆς ΜΝ μείζων ἐστίν. Ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ Σ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Σ τὴν ΣΛ περιφέ‐ ρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Λ παραγίγνεται, ἤπερ τὸ Μ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Μ τὴν ΜΝ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ν παραγίγνεται. Ἀλλ’ ἐν ᾧ
40μὲν χρόνῳ τὸ Σ τὴν ΣΛ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Λ παραγίγνεται,
ἡ ΕΖ περιφέρεια ἀνατέλλει, ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ τὸ Μ τὴν ΜΝ περιφέρειαν110

112

διελθὸν ἐπὶ τὸ Ν παραγίγνεται, ἡ ΕΖ περιφέρεια δύνει· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΕΖ περιφέρεια ἀνατέλλει ἤπερ δύνει. 3 Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ ΑΒ,
5χειμερινὸς δὲ ὁ ΓΔ, καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὸν αἰγόκερων ἡμικύκλιον ὑπὲρ γῆν τὸ ΑΕΓ, καὶ ἀπειλήφθω[Omitted graphic marker] περιφέρεια ἡ ΑΕ. Λέγω, ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ΑΕ περι‐ φέρεια δύνει ἤπερ ἀνατέλλει.
10 Ἔστω γὰρ ὁ παράλληλος κύκλος, καθ’ οὗ φέρεται τὸ Ε σημεῖον, ὁ ΕΖΗΘ, καὶ ἐχέτω τὸ ΑΕΓ ἡμικύκλιον ὁτὲ μὲν θέσιν ὡς τὴν ΛΖΚ, ὁτὲ δὲ ὡς
15τὴν ΝΘΜ. Ἐπεὶ οὖν ἀσύμ‐ πτωτόν ἐστιν τὸ ΛΖΚ ἡμικύ‐ κλιον τῷ ΝΘΜ ἡμικυκλίῳ, ὁμοία ἐστὶν ἡ ΝΛ περιφέρεια τῇ ΘΕΖ περιφερείᾳ. Ἡ δὲ ΒΝΑ τῆς ΘΕΖ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία·
20καὶ ἡ ΒΝΑ ἄρα τῆς ΝΑΛ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία. Καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΝΑ τῆς ΝΑΛ. Κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΝΑ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΝ λοιπῆς τῆς ΑΛ μείζων ἐστίν. Ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ Ν ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ν τὴν ΝΒ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Β παραγίγνεται, ἤπερ τὸ Λ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Λ τὴν ΛΑ
25περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Α παραγίγνεται. Ἀλλ’ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ τὸ Ν τὴν ΝΒ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Β παραγίγνεται, ἡ ΑΕ περι‐ φέρεια δύνει, ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ τὸ Λ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Λ τὴν ΛΑ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Α παραγίγνεται, ἡ ΑΕ ἀνατέλλει· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΑΕ δύνει ἤπερ ἀνατέλλει.
304 Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒΓΔ καὶ τρο‐[Omitted graphic marker] πικοὶ οἱ ΑΒ, ΓΔ, ζῳδιακὸς δὲ ὁ ΑΖΓΘ τοῦ μὲν ΑΘΓ ὄντος τοῦ μετὰ τὸν καρ‐ κίνον ἡμικυκλίου, τοῦ δὲ ΓΖΑ τοῦ μετὰ
35τὸν αἰγόκερω, καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι κατὰ διάμετρον περιφέρειαι αἱ ΕΖ, ΗΘ. Λέγω, ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ΗΘ ἀνα‐ τέλλει ἤπερ ἡ ΕΖ, καὶ πάλιν, ὅτι ἐν πλείονι ἡ ΕΖ δύνει ἤπερ ἡ ΗΘ.
40Ἐπεὶ γὰρ ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ΘΗ112

114

ἀνατέλλει ἤπερ δύνει, ἐν ᾧ δὲ ἡ ΗΘ δύνει, ἡ ΖΕ ἀνατέλλει, ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΗΘ ἀνατέλλει ἤπερ ἡ ΕΖ. Πάλιν, ἐπεὶ ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ΕΖ δύνει ἤπερ ἀνατέλλει, ἀλλ’ ἐν ᾧ ἡ ΕΖ ἀνατέλλει, ἡ ΗΘ δύνει, ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΕΖ δύνει ἤπερ ἡ ΗΘ.
5εʹ Ἡ μετὰ θερινὰς τροπὰς ἡμέρα καὶ νὺξ τὸ συναμφότερον τῆς μετὰ τροπὰς χειμερινὰς ἡμέρας καὶ νυκτὸς συναμφοτέρου μείζων ἐστὶ καὶ ἡ κατὰ διάμετρον τῆς κατὰ διάμετρον. Ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς
10ὁ ΑΒ, χειμερινὸς δὲ ὁ ΓΔ, ὁ δὲ τοῦ ἡλίου κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ΑΕΓΖ, καὶ ὁ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ ἀνα‐[Omitted graphic marker] τολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Α, τὴν δὲ μετὰ τὴν Α ἀνατολὴν ἀνατολὴν πεποι‐ ήσθω κατὰ τὸ Ε· ἡμέρας ἄρα καὶ νυκτὸς
15χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΑΕ περιφέρειαν διαπορεύεται· καὶ ἔστι μετὰ θερινὰς τροπάς. Ἐν ἄλλῃ δὲ ἡμέρᾳ ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Γ. Λέγω, ὅτι ἡμέρα καὶ νὺξ τὸ συναμφότερον, ἐν
20ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΑΕ περιφέρειαν διαπο‐ ρεύεται, ἡμέρας καὶ νυκτὸς τοῦ συναμ‐ φοτέρου, ἧς ἀνατολὴ τὸ Γ, μείζων ἐστί. Κείσθω τῇ ΑΕ ἴση ἡ ΓΖ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὰς ΑΕ, ΓΖ διαπορεύεται. Ἀλλ’ ἐν ᾧ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΑΕ περιφέρειαν
25διαπορεύεται, κόσμου τέ ἐστι περιστροφὴ καὶ τῆς ΑΕ περιφερείας ἀνα‐ τολή· ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΓΖ περιφέρειαν διαπορεύεται, κόσμου τέ ἐστι περιστροφὴ καὶ τῆς ΑΕ περιφερείας ἀνατολή. Ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ ἡ ΑΕ ἀνατέλλει ἤπερ ἡ ΓΖ διὰ τὸ προδειχθέν· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΓΖ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἤπερ
30κόσμου τέ ἐστι περιστροφὴ καὶ τῆς ΓΖ περιφερείας ἀνατολή. Ἐν ἄρα κόσμου περιστροφῇ καὶ τῆς ΓΖ περιφερείας ἀνατολῇ ὁ ἥλιος ἐλάσ‐ σονά τινα τῆς ΓΖ περιφερείας διελεύσεται. Διερχέσθω τὴν ΓΗ· τοῦ Ζ ἄρα πρὸς ἀνατολαῖς ὄντος ὁ ἥλιος ὢν πρὸς τῷ Η ἤδη ἀνέτειλεν. Ἵνα ἄρα φανῇ ἀνατέλλων ἔτι ὁ ἥλιος, ἐλάσσονα τῆς ΓΗ περιφερείας
35διελεύσεται. Διερχέσθω τὴν ΓΘ· ἡμέρας ἄρα καὶ νυκτὸς χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΓΘ περιφέρειαν διαπορεύεται. Καὶ ἐπεὶ μείζων
ἐστὶν ἡ ΓΖ τῆς ΓΘ περιφερείας, ἴση δὲ ἡ ΓΖ τῇ ΑΕ, μείζων ἄρα114

116

ἐστὶν ἡ ΑΕ τῆς ΓΘ. Μείζων ἄρα ἡμέρα καὶ νὺξ τὸ συναμφότερον, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΑΕ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἡμέρας καὶ νυκτὸς τοῦ συναμφοτέρου, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΓΘ περιφέρειαν διαπορεύεται. ϛʹ
5 Ἡ μετὰ θερινὰς τροπὰς ἡμέρα καὶ νὺξ τὸ συναμφότερον τῇ μετὰ χειμερινὰς τροπὰς νυκτὶ καὶ ἡμέρᾳ τῷ συναμφοτέρῳ ἴση ἐστὶν καὶ ἡ κατὰ διάμετρον τῇ κατὰ διάμετρον. Ἔστω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον, καὶ ὁ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ ἀνα‐ τολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Α, τὴν δὲ μετὰ τὴν Α ἀνατολὴν ἀνατολὴν
10πεποιήσθω κατὰ τὸ Ε· ἡμέρας ἄρα καὶ νυκτὸς χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΑΕ περιφέρειαν διαπορεύ‐[Omitted graphic marker] εται· καὶ ἔστι μετὰ θερινὰς τροπάς. Ἐν ἄλλῃ δὲ ἡμέρᾳ δύσιν πεποιήσθω κατὰ τὸ Γ. Λέγω, ὅτι ἡμέρα καὶ νὺξ
15τὸ συναμφότερον, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΑΕ περιφέρειαν διαπορεύεται, νυκτὶ καὶ ἡμέρᾳ τῷ συναμφοτέρῳ ἴση ἐστίν, ἧς δύσις ἐστὶν τὸ Γ. Κείσθω τῇ ΑΕ ἴση ἡ ΓΖ· ἐν
20ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὰς ΑΕ, ΓΖ περιφερείας διαπορεύεται. Ἀλλ’ ἐν ᾧ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΑΕ περιφέρειαν διαπορεύεται, κόσμου τέ ἐστι πε‐ ριστροφὴ καὶ τῆς ΑΕ περιφερείας ἀνατολή, ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ ἡ ΑΕ πε‐ ριφέρεια ἀνατέλλει, ἡ ΓΖ δύνει· ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΓΖ πε‐
25ριφέρειαν διαπορεύεται, κόσμου τέ ἐστι περιστροφὴ καὶ τῆς ΓΖ περι‐ φερείας δύσις. Καὶ συνδύνει τῷ Γ· συνδύνει ἄρα καὶ τῷ Ζ· νυκτὸς ἄρα καὶ ἡμέρας χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΓΖ περιφέρειαν δια‐ πορεύεται. Καὶ ἔστιν ἴση τῇ ΑΕ· ἴση ἄρα ἡμέρα καὶ νὺξ τὸ συν‐ αμφότερον, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΑΕ περιφέρειαν διαπορεύεται, νυκτὶ καὶ
30ἡμέρᾳ τῷ συναμφοτέρῳ, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΓΖ περιφέρειαν διαπορεύεται. ζʹ Αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ ἡμέραι τε καὶ νύκτες ἡμέραις τε καὶ νυξὶν ἴσαι εἰσὶ τοῦ ἡλίου διαπορευομένου ἤτοι τὸ μετὰ τὸν καρ‐ κίνον ἡμικύκλιον ἢ τὸ μετὰ τὸν αἰγόκερων.
35Ἔστω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς ἐπάνω, ἰσημερινὸς δὲ κύκλος ὁ ΖΕΗ,
καὶ ὁ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Θ, τὴν δὲ116

118

μετὰ τὴν Θ ἀνατολὴν ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Κ· ἡμέρας ἄρα καὶ νυκτὸς χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύ‐ εται. Κείσθω τῇ ΚΕ ἴση ἡ ΕΛ, ἐν ἄλλῃ δὲ ἡμέρᾳ ἀνατολὴν πε‐ ποιήσθω κατὰ τὸ Λ. Λέγω, ὅτι ἡμέρα καὶ νὺξ τὸ συναμφότερον, ἐν
5ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν[Omitted graphic marker] διαπορεύεται, ἡμέρᾳ καὶ νυκτὶ συν‐ αμφοτέρῳ, ἧς ἀνατολή ἐστι τὸ Λ, ἴση ἐστί. Κείσθω τῇ ΘΚ ἴση ἡ ΛΜ·
10ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὰς ΘΚ, ΛΜ περιφερείας διαπορεύεται. Ἀλλ’ ἐν ᾧ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται, κόσ‐ μου τέ ἐστι περιστροφὴ καὶ τῆς
15ΘΚ περιφερείας ἀνατολή, ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ ἡ ΘΚ περιφέρεια ἀνατέλλει, ἐν τούτῳ καὶ ἡ ΛΜ· ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΛΜ περιφέρειαν διαπορεύεται, κόσμου τέ ἐστι πε‐ ριστροφὴ καὶ τῆς ΛΜ περιφερείας ἀνατολή. Καὶ συνανατέλλει τῷ Λ· συνανατέλλει ἄρα καὶ τῷ Μ. Ἡμέρας ἄρα καὶ νυκτὸς χρόνος ἐστίν,
20ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΛΜ περιφέρειαν διαπορεύεται· καὶ ἔστιν ἴση τῇ ΘΚ. ηʹ Αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τῆς τροπικῆς συναφῆς ὁποτερασοῦν ἡμέρα καὶ νὺξ τὸ συναμφότερον νυκτὶ καὶ ἡμέρᾳ τῷ συναμφοτέρῳ ἴση ἐστίν. Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ[Omitted graphic marker]
25θερινὸς τροπικὸς ὁ ΑΒ, ὁ δὲ τοῦ ἡλίου κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΓΕΔ, καὶ ὁ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ ἀνατολὴν πεποι‐ ήσθω κατὰ τὸ Ζ, τὴν δὲ ἑξῆς ἀνατολὴν κατὰ τὸ Η· ἡμέρας ἄρα καὶ νυκτὸς
30χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΖΗ περιφέρειαν διαπορεύεται. Κείσθω τῇ ΗΕ ἴση ἡ ΕΘ, ἐν ἄλλῃ δὲ ἡμέρᾳ δύ‐ σιν πεποιήσθω κατὰ τὸ Θ, καὶ κείσθω τῇ ΖΗ ἴση ἡ ΘΚ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ
35ὁ ἥλιος τὰς ΖΗ, ΘΚ περιφερείας διαπορεύεται. Ἀλλ’ ἐν ᾧ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΖΗ περιφέρειαν διαπορεύεται, κόσμου τέ ἐστι περιστροφὴ καὶ τῆς ΖΗ περιφερείας ἀνατολή· ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται, κόσμου τέ ἐστι περιστροφὴ καὶ τῆς ΖΗ περι‐ φερείας ἀνατολή. Ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ ἡ ΖΗ ἀνατέλλει, ἡ ΘΚ δύνει· ἐν
40ᾧ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται, κόσμου τέ
ἐστι περιστροφὴ καὶ τῆς ΘΚ περιφερείας δύσις. Καὶ συνδύνει τῷ Θ·118

120

συνδύνει ἄρα καὶ τῷ Κ. Νυκτὸς ἄρα καὶ ἡμέρας χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται· καὶ ἔστιν ἴση τῇ ΖΗ. Ἐὰν μέσου ἡμέρας ἢ μέσων νυκτῶν ὁ ἥλιος τὴν τροπὴν ποιήσηται ὁποτερανοῦν, ἡμέρα καὶ νὺξ τὸ συναμφότερον νυκτὶ καὶ ἡμέρᾳ τῷ συν‐
5αμφοτέρῳ ἰσοχρόνιοί εἰσιν αἱ γινόμεναι ἐν τῷ ἑνὶ ἡμικυκλίῳ ταῖς γινο‐ μέναις ἐν τῷ ἑτέρῳ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τῆς συναφῆς τῆς, ἐν ᾗ ἐποιή‐ σατο τὰς τροπὰς ἢ μέσου ἡμέρας ἢ μέσου νυκτός· τοῦτο δὲ ὁμοίως δειχθήσεται τοῖς ἐπάνω. Φανερὸν δή, ὅτι τῆς μὲν συναφῆς, ἐν ᾗ ἂν τὴν τροπὴν ποιήσηται
10ὁ ἥλιος μέσου ἡμέρας ἢ μέσων νυκτῶν, αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἡμέραι καὶ νύκτες ἢ τὸ συναμφότερον νὺξ καὶ ἡμέρα τῷ συναμφοτέρῳ ἡμέρᾳ καὶ νυκτὶ ὅτι καὶ τῷ πλήθει τῶν ἡμερῶν καὶ τῶν νυκτῶν ἴσον ἀφέξουσι, τῆς δὲ ἑτέρας συναφῆς οὐ πάντως ἀναγκαῖον τῷ πλήθει τῶν ἡμερῶν καὶ νυκτῶν ἴσον ἀπέχειν, ἀλλὰ τοῖς διαστήμασιν τῶν γραμμῶν ἴσον
15ἀφέξουσι μόνον. θʹ Ἐὰν μέσου ἡμέρας ὁ ἥλιος τὴν τροπὴν ποιήσηται ὁποτερανοῦν, μέσου ἡμέρας ἔσται ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ. Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΑΒ, ὁ δὲ
20τοῦ ἡλίου κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΓΕΔ, καὶ ὁ ἥλιος μέσου ἡμέρας τὴν τροπὴν πεποιήσθω πρὸς τῷ Ε.[Omitted graphic marker] Λέγω, ὅτι τὸ Ε ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ ἐστιν. Ὁ γὰρ ἥλιος ἐν τῇ ἡμέρᾳ, ἐν ᾗ
25τὴν τροπὴν ἐποιήσατο πρὸς τῷ Ε, ἀνατελλέτω κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἔστω, καθ’ οὗ φέρεται τὸ Ζ σημεῖον, παρ‐ άλληλος κύκλος ὁ ΗΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ περιφέρεια τῇ ΕΚ περιφερείᾳ.
30Ἔστω ὁ πόλος τῶν παραλλήλων τὸ Λ σημεῖον, καὶ γεγράφθω διὰ τῶν Λ, Ε μέγιστος κύκλος ὁ ΜΝ. Καὶ ἐπεὶ ὁ ἥλιος μέσου ἡμέρας τὴν τροπὴν ἐποιήσατο πρὸς τῷ Ε, ἐν τῷ ἡμίσει ἄρα τῆς ἡμέρας χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕ περιφέρειαν διελεύσεται· ἐν
35ἄρα τῷ λοιπῷ ἡμίσει τῆς ἡμέρας χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ἴσην τῇ ΖΕ
περιφερείᾳ διελεύσεται. Καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΖΕ τῇ ΕΚ· ἐν ἄρα τῷ λοιπῷ120

122

ἡμίσει τῆς ἡμέρας χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΕΚ περιφέρειαν διελεύσεται· ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΚ περιφέρειαν διαπο‐ ρεύεται. Καὶ συνανατέλλει τῷ Ζ· συνδύνει ἄρα τῷ Κ. Καὶ ἐπεὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὰς ΖΕ, ΕΚ περιφερείας διαπορεύεται, ἀλλ’ ἐν ᾧ
5μὲν χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕ περιφέρειαν διαπορεύεται, τὸ Ζ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΖ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ζ παραγίγνεται, ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΕΚ περιφέρειαν διαπορεύεται, τὸ Κ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Κ τὴν ΚΗ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Η παραγίγνεται, ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἀρξάμενον τὸ Ζ ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΖ περιφέρειαν διελθὸν
10ἐπὶ τὸ Ζ παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Κ τὴν ΚΗ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Η παραγίγνεται· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΖ τῇ ΚΗ. Καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΖ τῇ ΚΗ. Κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΖΚ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΘ λοιπῇ τῇ ΗΖ ἐστὶν ἴση. Ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΖΞ τῇ ΞΚ ἴση· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΗΞ ὅλῃ τῇ ΞΘ ἴση ἐστίν. Καὶ ἔστιν ὁ
15ΜΞΝ διὰ τῶν τοῦ ΗΞΘ πόλων· μεσημβρινὸς ἄρα ἐστὶν ὁ ΜΞΝ, ὡς δέδεικται. Τὸ Ε ἄρα ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ ἐστιν· ὥστε ἐὰν μέσου ἡμέρας ὁ ἥλιος τὴν τροπὴν ποιήσηται, μέσου ἡμέρας ἔσται ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ.
Λῆμμα χρήσιμον εἰς τὸ ἑξῆς.
20 Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ μέγιστος μὲν τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ ΕΖ, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ ἀφανῶν ὁ[Omitted graphic marker] ΗΘ, καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ ΚΛ, χειμερινὸς δὲ ὁ ΓΔ, μεσημβρινὸς δὲ ὁ ΚΗΘ, καὶ γεγράφθω μέγιστος κύκλος
25ὁ ΜΞΝ ἐφαπτόμενος τοῦ ΕΖ, καὶ ἔστω τοῦ ΜΞΝ ὁ πόλος μεταξὺ τῶν ΕΖ, ΚΛ, καὶ [ἀπ]εἰλήφθω τι σημεῖον μεταξὺ τῶν Λ, Χ τὸ Π, καὶ γεγράφθω‐ σαν μεγίστων κύκλων περιφέρειαι αἱ
30ΡΠ, ΣΠ. Λέγω, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΡΠ τῆς ΠΣ. Ἐπεὶ γὰρ τοῦ ΜΞΝ ὁ πόλος με‐ ταξύ ἐστιν τῶν ΕΖ, ΚΛ, ὁ ἄρα ἕτερος αὐτοῦ πόλος μεταξὺ τῶν ΗΘ, ΓΔ ἐστίν.
35Ἔστω τὸ Τ, καὶ γεγράφθω διὰ τῶν Τ, Π μέγιστος κύκλος ὁ ΦΤΥ· ὁ ΦΤΥ ἄρα τὸν ΜΞΝ δίχα τέμνει καὶ πρὸς
ὀρθάς, ἐπειδήπερ καὶ διὰ τῶν πόλων122

124

αὐτὸν τέμνει. Κύκλου δὴ τοῦ ΜΞΝ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Υ τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέστηκεν τὸ ΦΠΥ, καὶ διῄρηται ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Π, καὶ ἔστιν ἐλάσσων ἡμισείας τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος ἡ ΦΠ· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Π
5ἐπὶ τὸ Φ ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Π πρὸς τὸν ΜΞΝ κύκλον προσπιπτουσῶν εὐθειῶν, καὶ αἰεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ΦΠ τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ἐστί· ἐλάσσων ἄρα ἡ ΡΠ τῆς ΣΠ. ιʹ Ἐν ἄλλῃ δὲ οὐδεμιᾷ περιφορᾷ ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ ἔσται ὁ ἥλιος
10οὔτε κατὰ τὰς μεσημβρίας, οὔτε κατὰ τὰς μέσας νύκτας, ἀλλ’ ὅταν μὲν ἀπὸ τροπῶν θερινῶν πορεύηται, ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τοῦ τε πρὸς ἀνατολὰς ἡμικυκλίου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ τάς τε μεσημβρίας ποιήσεται καὶ τὰ μεσονύκτια. Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΔ, μέγιστος δὲ τῶν αἰεὶ φανερῶν ὁ
15ΕΖ, θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΑΒ, καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμι‐ κύκλιον ὑπὲρ γῆν τὸ ΒΘΔ, με‐[Omitted graphic marker] σημβρινὸς δὲ κύκλος ὁ ΕΖΚ. καὶ ὁ ἥλιος ἀπὸ θερινῶν τρο‐ πῶν πορευόμενος ἔν τινι ἡμέρᾳ
20ἀνατολὴν μὲν πεποιήσθω κατὰ τὸ Η, δύσιν δὲ κατὰ τὸ Θ. Λέγω, ὅτι οὐκ ἔσται ὁ ἥλιος ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ μέσου ἡμέρας, ἀλλ’ ἐν τῷ μεταξὺ
25τόπῳ τοῦ τε πρὸς ἀνατολὰς ἡμικυκλίου τοῦ ΕΔΚ καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ τοῦ ΕΖΚ. Ἔστωσαν, καθ’ ὧν φέρεται τὰ Η, Θ σημεῖα, παράλληλοι κύκλοι οἱ ΛΗΜ, ΝΩΘΞΟ. Ὁ ἄρα ἥλιος ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος ἀνατέλλει μὲν
30κατὰ τὸ Μ, δύνει δὲ κατὰ τὸ Ν, καὶ τοῦ ἡλίου ἀνατέλλοντος μὲν κατὰ τὸ Μ ἡ ΗΘ περιφέρεια θέσιν ἕξει τὴν ΜΟ, δύνοντος δὲ κατὰ τὸ Ν ἡ ΗΘ περιφέρεια θέσιν ἕξει τὴν ΝΠ. Καὶ ἐπεὶ ἐν τῷ τῆς ἡμέρας χρόνῳ ἡ ΗΘ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλ’ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΗΘ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, τὸ μὲν Η ἀρξά‐
35μενον ἀπὸ τοῦ Μ τὴν ΜΠ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Π παραγίγνεται, τὸ δὲ Θ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ο τὴν ΟΘΝ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ν παραγίγνεται, ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Μ τὴν
ΜΗΠ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Π παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Θ124

126

ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ο τὴν ΟΘΝ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ν παρα‐ γίγνεται. Ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΗΜ περιφέρεια τῇ ΝΘΟ περιφερείᾳ. Ἔστω τῆς μὲν ΞΟ ἡμίσεια ἡ ΡΣ, τῆς δὲ ΠΛ ἡμίσεια ἡ ΤΥ. Καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΞΡΝ περιφέρεια τῆς ΝΡ περιφερείας, ἡ δὲ
5ΟΞ τῆς ΣΡ, ὅλη ἄρα ἡ ΟΡΝ ὅλης τῆς ΝΣ, τουτέστιν τῆς ΟΣ, ἐστὶ διπλῆ. Πάλιν ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΛΤΜ τῆς ΜΤ, ἡ δὲ ΠΛ τῆς ΥΤ, ὅλη ἄρα ἡ ΠΜ ὅλης τῆς ΜΥ ἐστὶν διπλῆ. Καὶ ἐπεὶ ἐν τῷ τῆς ἡμέρας χρόνῳ τὸ μὲν Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Μ τὴν ΜΠ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Π παραγίγνεται, τὸ δὲ Θ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ο τὴν
10ΟΝ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ν παραγίγνεται, ἐν ἄρα τῷ ἡμίσει τῆς ἡμέρας χρόνῳ τὸ μὲν Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Μ τὴν ΜΥ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Υ παραγίγνεται, τὸ δὲ Θ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ο τὴν ΟΣ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Σ παραγίγνεται, καὶ ἡ ΗΘ περιφέρεια θέσιν ἕξει ὡς τὴν ΥΦΣ. Γεγράφθω οὖν διὰ τοῦ Υ μέγιστος κύκλος
15ὁ ΧΨ ἐφαπτόμενος τοῦ ΕΖ, ὥστε τὰ πρὸς τῇ ἀνατολῇ τμήματα ὅμοια εἶναι· ἐπεὶ γὰρ ἀσύμπτωτόν ἐστιν τὸ ἀπὸ τοῦ Χ ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ ΧΨ μέρη τῷ ἀπὸ Ε ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ ΕΔ μέρη, ὁμοία ἐστὶν ἡ ΥΜ περιφέρεια τῇ ΩΞ περιφερείᾳ. Ἀλλ’ ἡ ΥΜ τῇ ΣΟ ἐστὶν ὁμοία· καὶ ἡ ΣΟ ἄρα τῇ ΩΞ ἐστὶν ὁμοία. Καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση
20ἄρα ἐστὶν ἡ ΩΞ περιφέρεια τῇ ΣΟ περιφερείᾳ. Κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΣΞ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΩΣ λοιπῇ τῇ ΞΟ ἐστὶν ἴση. Διπλῆ δὲ ἡ ΞΟ τῆς ΡΣ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΩΣ τῆς ΣΡ· ἴση ἄρα ἡ ΩΡ τῇ ΡΣ. Γεγράφθω δὴ διὰ τῶν Ω, Φ σημείων μέγιστος κύκλος ὁ ΩΦϛ. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΕΡΚ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν
25ΝΡΞ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς. Κύκλου δὴ τοῦ ΝΡΞ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ἀπὸ τοῦ Ρ τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέστηκεν τὸ ΡΕ καὶ τὸ συνεχὲς αὐτῷ, καὶ διῄρηται ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Φ, καὶ ἔστιν ἐλάσ‐ σων ἡμισείας τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος ἡ ΡΦ, καὶ προσβεβλημέναι εἰσὶ
30δύο εὐθεῖαι ἥ τε ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Ω καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Σ ἴσας περιφερείας ἀπολαμβάνουσαι τὰς ΩΡ, ΡΣ· ἴση ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Ω τῇ ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Σ. Καὶ ἐπεὶ ὁ τοῦ ΧΨ πόλος μεταξὺ
τῶν ΕΖ, ΒΑ κύκλων ἐστίν, ὡς ἐν τοῖς Φαινομένοις δέδεικται, ὁ ἄρα126

128

ἕτερος αὐτοῦ πόλος μεταξὺ τῶν ἴσων τε καὶ παραλλήλων τοῖς ΕΖ, ΒΑ ἐστίν. Καὶ γεγραμμέναι εἰσὶν μεγίστων κύκλων περιφέρειαι αἱ ΩΦ, ΥΦ· μείζων ἄρα ἡ ΩΦ περιφέρεια τῆς ΦΥ περιφερείας, ὡς προδέδεικται. Ἴση δὲ ἡ ΩΦ τῇ ΦΣ· μείζων ἄρα ἡ ΦΣ τῆς ΦΥ. Τετμήσθω ἡ ΣΥ
5δίχα κατὰ τὸ ↑. Καὶ ἐπεὶ ἐν τῷ τῆς ἡμέρας χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΥΣ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἐν ἄρα τῷ ἡμίσει τῆς ἡμέρας χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν Υ↑ περιφέρειαν διαπορεύεται· μέσου ἄρα ἡμέρας ἔσται πρὸς τῷ ↑· ὥστε μέσου ἡμέρας ὁ ἥλιος οὐκ ἔσται ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ, ἀλλ’ ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τοῦ τε πρὸς ἀνατολὰς ἡμικυκλίου καὶ τοῦ
10μεσημβρινοῦ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ τὰ μεσονύκτια ποιήσεται ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ, ἀλλ’ ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τοῦ τε πρὸς ἀνατολὰς ἡμικυκλίου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ ὑπὸ γῆν. ιαʹ
15 Ὅταν ὁ ἥλιος ἀπὸ χειμερινῶν τροπῶν ἐπὶ θερινὰς τροπὰς πορεύη‐ ται, ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τοῦ τε ἐπὶ δυσμαῖς ἡμικυκλίου καὶ τοῦ με‐ σημβρινοῦ τάς τε μεσημβρίας ποιήσεται καὶ τὰ μεσονύκτια. Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ ΕΖ, θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΑΒ, καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὸν αἰγόκερων ἡμι‐
20κύκλιον ὑπὲρ γῆν τὸ ΑΗΔ, με‐[Omitted graphic marker] σημβρινὸς δὲ κύκλος ὁ ΕΖΜ, καὶ ὁ ἥλιος ἀπὸ χειμερινῶν τροπῶν πορευόμενος ἔν τινι ἡμέρᾳ ἀνατολὴν πεποιήσθω
25κατὰ τὸ Η, δύσιν δὲ κατὰ τὸ Θ· ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΗΘ περιφέ‐ ρειαν διαπορεύεται. Λέγω, ὅτι μέσου ἡμέρας ὁ ἥλιος ἔσται ἐν
30τῷ μεταξὺ τόπῳ τοῦ τε ἐπὶ δυσμὰς ἡμικυκλίου τοῦ ΕΓΜ καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ. Ἔστωσαν, καθ’ ὧν φέρεται τὰ Η, Θ σημεῖα, παράλληλοι κύκλοι οἱ ΚΘΛ, ΓΗΝ. Ὁ ἄρα ἥλιος ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος ἀνατέλλει μὲν κατὰ τὸ Ν, δύσεται δὲ κατὰ τὸ Κ, καὶ τοῦ ἡλίου ἀνατέλλοντος μὲν κατὰ τὸ
35Ν ἡ ΗΘ περιφέρεια θέσιν ἕξει ὡς τὴν ΞΝ, δύνοντος δὲ κατὰ τὸ Κ θέσιν ἕξει ὡς τὴν ΚΟ. Καὶ ἐπεὶ ἐν τῷ τῆς ἡμέρας χρόνῳ ἡ ΗΘ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλ’ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΗΘ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, τὸ μὲν Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ν τὴν ΝΟ περι‐
φέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίγνεται, τὸ δὲ Θ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ128

130

Ξ τὴν ΞΚ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Κ παραγίγνεται, ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ν τὴν ΝΓΟ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Θ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΚ περι‐ φέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Κ παραγίγνεται· ὁμοία ἄρα ἐστιν ἡ ΞΚ τῇ
5ΟΝ. Ἔστω τῆς μὲν ΛΞ ἡμίσεια ἡ ΠΡ, τῆς δὲ ΟΓ ἡμίσεια ἡ ΣΤ. Καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΚΛ τῆς ΚΠ, ἡ δὲ ΞΛ τῆς ΠΡ, ὅλη ἄρα ἡ ΞΚ ὅλης τῆς ΚΡ ἐστὶ διπλῆ. Πάλιν ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΓΝ τῆς ΝΣ, ἡ δὲ ΟΓ τῆς ΣΤ, ὅλη ἄρα ἡ ΟΝ τῆς ΝΤ ἐστὶ διπλῆ. Καὶ ἐπεὶ ἐν τῷ τῆς ἡμέρας χρόνῳ τὸ μὲν Θ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν
10ΞΚ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Κ παραγίγνεται, τὸ δὲ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ν τὴν ΝΟ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίγνεται, ἐν ἄρα τῷ ἡμίσει τῆς ἡμέρας χρόνῳ τὸ μὲν Θ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΡ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ρ παραγίγνεται, τὸ δὲ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ν τὴν ΝΗΤ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Τ παραγίγνεται, καὶ μέσου
15ἡμέρας ὁ τοῦ ἡλίου κύκλος θέσιν ἕξει ὡς τὴν ΤΡ. Γεγράφθω οὖν διὰ τοῦ Ρ μέγιστος κύκλος ὁ ΦΧ ἐφαπτόμενος τοῦ ΕΖ, ὥστε τὰ πρὸς τῇ δύσει τμήματα ὅμοια εἶναι· ἐπεὶ γὰρ ἀσύμπτωτόν ἐστι τὸ ἀπὸ τοῦ Φ ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ ΦΧ μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Ε ὡς ἐπὶ τὰ ΚΜ, ὁμοία ἐστὶν ἡ ΚΡ τῇ ΓΨ. Ἀλλὰ καὶ τῇ ΟΤ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΨ
20τῇ ΟΤ. Κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΓΤ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΤΨ τῇ ΟΓ ἴση ἐστίν. Διπλῆ δὲ ἡ ΓΟ τῆς ΤΣ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΤΨ τῆς ΤΣ· ἴση ἄρα ἡ ΨΣ τῇ ΣΤ. Γεγράφθω διὰ τῶν Ψ, Υ μέγιστος κύκλος ὁ ΩΨ. Ἐπεὶ ὁ ΕΣΜ τὸν ΓΣΝ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς. Κύκλου δὴ τοῦ ΓΣΝ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ἀπὸ τοῦ Σ τμῆμα
25κύκλου ὀρθὸν ἐφέστηκεν τὸ ΣΕ καὶ τὸ συνεχὲς αὐτῷ, καὶ διῄρηται ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Υ, καὶ ἔστιν ἐλάσσων ἡμισείας τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος ἡ ΣΥ, καὶ προσβεβλημέναι εἰσὶν δύο εὐθεῖαι ἥ τε ἀπὸ τοῦ Υ ἐπὶ τὸ Τ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Υ ἐπὶ τὸ Ψ ἴσας περιφερείας ἀπολαμβάνουσαι τὰς ΤΣ, ΣΨ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ
30ἀπὸ τοῦ Υ ἐπὶ τὸ Τ τῇ ἀπὸ τοῦ Υ ἐπὶ τὸ Ψ· ἴση ἄρα ἡ ΥΤ περι‐ φέρεια τῇ ΥΨ περιφερείᾳ. Καὶ ἐπεὶ ὁ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου πόλος με‐ ταξὺ τῶν ΕΖ, ΒΑ ἐστίν, καὶ γέγραπται μέγιστος κύκλος ὁ ΦΧ ἐφαπ‐ τόμενος τοῦ ΕΖ, καὶ ὁ τοῦ ΦΧ ἄρα πόλος μεταξὺ τῶν ΕΖ, ΒΑ ἐστίν· ὁ ἄρα ἕτερος αὐτοῦ πόλος μεταξὺ τῶν ἴσων τε καὶ παραλλήλων τοῖς
35ΕΖ, ΒΑ ἐστί. Καὶ γεγραμμέναι εἰσὶν μεγίστων κύκλων περιφέρειαι αἱ130

132

ΨΥ, ΥΡ· μείζων ἄρα ἡ ΨΥ, τουτέστιν ἡ ΤΥ, τῆς ΥΡ. Ἔστω τῆς ΤΡ ἡμίσεια ἡ Τ↑. Καὶ ἐπεὶ ἐν τῷ τῆς ἡμέρας χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΤΡ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἐν ἄρα τῷ ἡμίσει τῆς ἡμέρας χρόνῳ τὴν ἡμίσειαν τῆς ΤΡ διελεύσεται. Καὶ ἔστι τῆς ΤΡ ἡμίσεια ἡ Τ↑· ἐν
5ἄρα τῷ ἡμίσει τῆς ἡμέρας χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν Τ↑ περιφέρειαν διε‐ λεύσεται. Μέσου ἄρα ἡμέρας ἔσται πρὸς τῷ ↑· ὥστε μέσου ἡμέρας ἔσται ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τοῦ τε πρὸς δυσμὰς ἡμικυκλίου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὰ μεσονύκτια ποιήσεται ἐν τῷ με‐
10ταξὺ τόπῳ τοῦ τε ἐπὶ δυσμαῖς ἡμικυκλίου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ ἐν τῷ ὑπὸ γῆν ἡμισφαιρίῳ. Ὅτι μὲν οὖν, ἐὰν μέσου ἡμέρας ἢ μέσων νυκτῶν ὁ ἥλιος ποιή‐ σηται ὁποτερανοῦν τῶν τροπῶν, ὅτι ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ ποιήσεται μέσου ἡμέρας ἢ μέσων νυκτῶν, δέδεικται, ἐν ἄλλῃ δὲ ἡμέρᾳ ἢ ἐν
15ἄλλῃ νυκτὶ ὅτι οὐκ ἔσται ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ οὔτε μέσου ἡμέρας οὔτε μέσων νυκτῶν, καὶ τοῦτο δέδεικται. Λοιπὸν δεῖ δεῖξαι, ὅτι, καὶ ἐν αἷς ἡμέραις καὶ νυξὶ τὰς τροπὰς ποιήσεται ὁ ἥλιος μὴ μέσου ἡμέρας μηδὲ μέσων νυκτῶν, ὅτι οὐκ ἔσται ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ οὔτε μέσου ἡμέρας οὔτε μέσων νυκτῶν.
20ιβʹ Ἐὰν ἀνατέλλων ὁ ἥλιος τὴν θερινὴν τροπὴν ποιήσηται, οὐκ ἔσται μέσου ἡμέρας ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ, ἀλλ’ ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τοῦ τε ἀνατολικοῦ ἡμικυκλίου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ. Ἀνατέλλων δὴ ποιείσθω τὰς τροπάς. Λέγω δή, ὅτι εἰς τὸν με‐
25ταξὺ τόπον τοῦ μεσημβρινοῦ καὶ τῶν ἀνατολῶν ἔσται ὁ ἥλιος μέσου ἡμέρας. Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ ΕΖ, θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΒΗΑ, καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμι‐ κύκλιον ὑπὸ γῆν τὸ ΑΓ, μεσημβρινὸς δὲ κύκλος ὁ ΕΗΘ, καὶ ὁ ἥλιος
30ἔν τινι ἡμέρᾳ ἀνατελλέτω κατὰ τὸ Α ἐπὶ τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ τοῦ ΑΒ. Λέγω, ὅτι οὐκ ἔσται μέσου ἡμέρας ὁ ἥλιος ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ, ἀλλ’ ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τοῦ τε πρὸς ἀνατολὰς ἡμικυκλίου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ.
Ἔστω γὰρ ἡ μετὰ τὴν Α ἀνατολὴν δύσις κατὰ τὸ Κ· ἡμέρας132

134

ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΑΚ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἔστω, καθ’ οὗ φέρεται τὸ Κ σημεῖον, παράλληλος κύκλος ὁ ΚΛΜ· ὁ ἄρα ἥλιος ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος δύσεται κατὰ τὸ Μ, καὶ τοῦ ἡλίου δύ‐ νοντος κατὰ τὸ Μ ἡ ΑΚ περιφέ‐[Omitted graphic marker]
5ρεια θέσιν ἕξει ὡς τὴν ΜΝ. Καὶ ἐπεὶ ἐν τῷ τῆς ἡμέρας χρόνῳ ἡ ΑΚ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμι‐ σφαίριον, ἀλλ’ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΑΚ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον,
10τὸ μὲν Α ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Α τὴν ΑΝ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ν παραγίγνεται, τὸ δὲ Κ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Κ τὴν ΚΛΠΜ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται, ἐν
15ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Α ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Α τὴν ΑΒΝ περιφέρειαν διελ‐ θὸν ἐπὶ τὸ Ν παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Κ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Κ τὴν ΚΛΠΜ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒΝ τῇ ΚΛΠΜ. Ἔστω τῆς μὲν ΝΒ ἡμίσεια ἡ ΗΞ, τῆς δὲ
20ΚΛ ἡμίσεια ἡ ΠΟ. Καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΒΑ τῆς ΑΗ, ἡ δὲ ΝΒ τῆς ΞΗ, ὅλη ἄρα ἡ ΝΑ ὅλης τῆς ΑΞ ἐστὶ διπλῆ. Πάλιν ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΛΠΜ τῆς ΜΠ, ἡ δὲ ΚΛ τῆς ΠΟ, ὅλη ἄρα ἡ ΚΛΠΜ ὅλης τῆς ΜΟ ἐστὶ διπλῆ. Καὶ ἐπεὶ ἐν τῷ τῆς ἡμέρας χρόνῳ τὸ μὲν Α ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Α τὴν ΑΝ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ
25Ν παραγίγνεται, τὸ δὲ Κ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Κ τὴν ΚΛΠΜ περιφέ‐ ρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται, ἐν ἄρα τῷ ἡμίσει τῆς ἡμέρας χρόνῳ τὸ μὲν Α ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Α τὴν ΑΞ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ξ παραγίγνεται, τὸ δὲ Κ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Κ τὴν ΚΛΟ περι‐ φέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίγνεται· ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Α ἀρξά‐
30μενον ἀπὸ τοῦ Α τὴν ΑΞ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ξ παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Κ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Κ τὴν ΚΛΟ περιφέρειαν διελ‐ θὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίγνεται, καὶ μέσου ἡμέρας ὁ τοῦ ἡλίου κύκλος θέσιν ἕξει ὡς τὴν ΞΟ. Γεγράφθω διὰ τοῦ Ξ μέγιστος κύκλος ὁ ΣΤ ἐφαπτόμενος τοῦ ΕΖ, ὥστε τὰ πρὸς τῇ ἀνατολῇ τμήματα ὅμοια εἶναι·
35ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΞΑ περιφέρεια τῇ ΥΛ περιφερείᾳ. Ἀλλ’ ἡ ΞΑ τῇ ΟΛΚ ἐστὶν ὁμοία· καὶ ἡ ΥΛ ἄρα τῇ ΟΛΚ ἐστὶν ὁμοία. Καὶ εἰσὶ τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΥΛ τῇ ΟΛΚ. Κοινὴ ἀφῃ‐ ρήσθω ἡ ΟΛ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΥΟ λοιπῇ τῇ ΚΛ ἐστὶν ἴση. Διπλῆ δὲ ἡ ΚΛ τῆς ΠΟ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΥΟ τῆς ΟΠ· ἴση ἄρα ἡ ΥΠ τῇ
40ΠΟ. Γεγράφθω διὰ τῶν Υ, Ρ μέγιστος κύκλος ὁ ΥΡΦ. Καὶ ἐπεὶ ὁ
ΕΠΘ τὸν ΜΠΛ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς134

136

ὀρθάς. Κύκλου δὴ τοῦ ΜΠΛ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ἀπὸ τοῦ Π τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέστηκεν τὸ ΠΕ καὶ τὸ συνεχὲς αὐτῷ, καὶ διῄρηται ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Ρ, καὶ ἔστιν ἐλάσσων ἡ ΠΡ, καὶ προσβεβλημέναι εἰσὶν δύο εὐθεῖαι ἥ τε ἀπὸ τοῦ
5Ρ ἐπὶ τὸ Ο καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ρ ἐπὶ τὸ Υ ἴσας περιφερείας ἀπολαμβά‐ νουσαι τὰς ΥΠ, ΠΟ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Ρ ἐπὶ τὸ Υ τῇ ἀπὸ τοῦ Ρ ἐπὶ τὸ Ο· ἴση ἄρα ἡ ΥΡ περιφέρεια τῇ ΡΟ περιφερείᾳ. Καὶ ἐπεὶ ὁ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου πόλος μεταξύ ἐστιν τῶν ΕΖ, ΝΑ καὶ γέ‐ γραπται μέγιστος κύκλος ὁ ΣΤ ἐφαπτόμενος τοῦ ΕΖ, καὶ ὁ τοῦ ΣΤ
10ἄρα πόλος μεταξὺ τῶν ΕΖ, ΝΑ κύκλων ἐστίν· ὁ ἄρα ἕτερος αὐτοῦ πόλος μεταξὺ τῶν ἴσων τε καὶ παραλλήλων τοῖς ΕΖ, ΝΑ ἐστί. Καὶ γεγραμμέναι εἰσὶ μεγίστων κύκλων περιφέρειαι αἱ ΥΡ, ΞΡ· μείζων ἄρα ἡ ΥΡ τῆς ΡΞ. Ἴση δὲ ἡ ΥΡ τῇ ΡΟ· μείζων ἄρα ἡ ΟΡ τῆς ΡΞ. Τετμήσθω ἡ ΟΞ δίχα κατὰ τὸ Χ. Καὶ ἐπεὶ ἐν τῷ τῆς ἡμέρας χρόνῳ
15ὁ ἥλιος τὴν ΞΟ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἐν ἄρα τῷ ἡμίσει τῆς ἡμέρας χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΞΧ περιφέρειαν διελεύσεται· μέσου ἄρα ἡμέρας ἔσται πρὸς τῷ Χ· ὥστε μέσου ἡμέρας ἔσται ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τοῦ τε πρὸς ἀνατολὰς ἡμικυκλίου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καί, ἐὰν ἀνατέλλων ποιῆται τὰς τροπὰς
20ὁ ἥλιος, ὅτι μέσων νυκτῶν ἔσται μεταξὺ τοῦ τε πρὸς δυσμὰς ἡμικυ‐ κλίου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ, καὶ ἔτι, ἐὰν δυόμενος ποιῆται τὰς τροπάς, ὅτι μέσων νυκτῶν ἔσται ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τοῦ τὲ πρὸς ἀνατολὰς ἡμικυκλίου τοῦ ὁρίζοντος καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ, μέσης δὲ ἡμέρας ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τοῦ τε μεσημβρινοῦ καὶ τοῦ πρὸς δυσμὰς ἡμικυκλίου
25τοῦ ὁρίζοντος ἔσται ὁ ἥλιος, ἐπὶ δὲ τῶν χειμερινῶν ἐναντίως τοῖς προειρημένοις, ἐὰν ἀνατέλλων ἢ δυόμενος τὰς τροπὰς ποιήσηται. ιγʹ Ἐὰν πρὸ μέσου ἡμέρας ὁ ἥλιος τὴν θερινὴν τροπὴν ποιήσηται, οὐκ ἔσται μέσου ἡμέρας ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ, ἀλλ’ ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ
30τοῦ τε μεσημβρινοῦ καὶ τοῦ ἀνατολικοῦ ἡμικυκλίου τάς τε μεσημβρίας ποιήσεται καὶ τὰ μεσονύκτια. Πάλιν δὴ τὰς θερινὰς τροπὰς ποιείσθω ἔν τινι ἡμέρᾳ πρὸ μέσου ἡμέρας. Λέγω, ὅτι οὐκ ἔσται ὁ ἥλιος μέσου ἡμέρας ἐπὶ τοῦ μεσημ‐ βρινοῦ, ἀλλ’ ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τοῦ τε πρὸς ἀνατολὰς ἡμικυκλίου καὶ
35τοῦ μεσημβρινοῦ.
Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ136

138

ΕΖ, θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΑΒ, μεσημβρινὸς δὲ κύκλος ὁ ΕΖΗ, ὁ δὲ τοῦ ἡλίου κύκλος ὁ ΓΘΔ, καὶ ὁ ἥλιος πρὸ μέσου ἡμέρας τὴν τροπὴν πεποιήσθω. Λέγω, ὅτι μέσου ἡμέρας ἔσται ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τοῦ τε πρὸς ἀνατολὰς ἡμικυκλίου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ.
5 Ὁ γὰρ ἥλιος ἐν τῇ[Omitted graphic marker] ἡμέρᾳ, ἐν ᾗ τὴν τροπὴν πεποίηται, ἀνατελλέτω μὲν κατὰ τὸ Κ, δυνέτω δὲ κατὰ τὸ Λ· ἡμέρας ἄρα
10χρόνος ἐστί, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΚΘΛ περιφέρειαν δια‐ πορεύεται. Καὶ ἐπεὶ ὁ ἥλιος πρὸ μέσου ἡμέρας τὴν τροπὴν πεποίηται, ὁ
15ἄρα πρὸ τῆς τροπῆς τῆς ἡμέρας χρόνος ἐλάσσων ἐστὶ τοῦ μετὰ τὴν τροπὴν τῆς ἡμέρας χρόνου· ἐν ἐλάσσονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΚΘ περιφέ‐ ρειαν διαπορεύεται ἤπερ τὴν ΘΛ· ἐλάσσων ἄρα ἡ ΚΘ τῆς ΛΘ.
20Ἔστωσαν, καθ’ ὧν φέρεται τὰ Κ, Λ σημεῖα, παράλληλοι κύκλοι οἱ ΜΚΝ, ΞΛΟ· ὁ ἄρα ἥλιος ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος ἀνατέλλει μὲν κατὰ τὸ Ν, δύνει δὲ κατὰ τὸ Ξ, καὶ τοῦ ἡλίου ἀνατέλλοντος μὲν κατὰ τὸ Ν ἡ ΚΘΛ περιφέρεια θέσιν ἕξει ὡς τὴν ΝΠΡ, δύνοντος δὲ κατὰ τὸ Ξ ἡ ΚΘΛ θέσιν ἕξει ὡς τὴν ΞΣΤ περιφέρειαν. Καὶ ἐπεὶ ἐν τῷ τῆς
25ἡμέρας χρόνῳ ἡ ΚΘΛ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλ’ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΚΘΛ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, τὸ μὲν Κ ἀρξά‐ μενον ἀπὸ τοῦ Ν τὴν ΝΤ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Τ παραγίγνεται, τὸ δὲ Λ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ρ τὴν ΡΞ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ξ παραγίγνεται, ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Κ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ν τὴν ΝΤ
30περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Τ παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Λ ἀρξά‐ μενον ἀπὸ τοῦ Ρ τὴν ΡΞ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ξ παραγίγνεται· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΤΝ τῇ ΞΡ. Ἔστω τῆς μὲν ΤΜ ἡμίσεια ἡ ΥΦ, τῆς δὲ ΟΡ ἡμίσεια ἡ ΩΨ. Ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΜΥΝ τῆς ΝΥ, ἡ δὲ ΤΜ τῆς ΥΦ, ὅλη ἄρα ἡ ΤΝ ὅλης τῆς ΝΦ ἐστὶ διπλασίων.
35Πάλιν, ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΟΞ τῆς ΞΩ, ἡ δὲ ΡΟ τῆς ΨΩ, ὅλη ἄρα ἡ ΡΞ ὅλης τῆς ΞΨ ἐστὶ διπλῆ. Καὶ ἐπεὶ ἐν τῷ τῆς ἡμέρας χρόνῳ τὸ μὲν Κ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ν τὴν ΝΤ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Τ παραγίγνεται, τὸ δὲ Λ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ρ τὴν ΡΞ περι‐ φέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ξ παραγίγνεται, ἐν ἄρα τῷ ἡμίσει τῆς ἡμέρας
40χρόνῳ τὸ μὲν Κ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ν τὴν ΝΦ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Φ παραγίγνεται, τὸ δὲ Λ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ρ τὴν ΡΨ περι‐
φέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ψ παραγίγνεται, καὶ μέσου ἡμέρας ὁ τοῦ ἡλίου138

140

κύκλος θέσιν ἕξει ὡς τὴν ΦΨ. Γεγράφθω διὰ τοῦ Φ μέγιστος κύ‐ κλος ὁ ↑Φϙ ἐφαπτόμενος τοῦ ΕΖ, ὥστε τὰ πρὸς τῇ ἀνατολῇ τμήματα ὅμοια εἶναι· ὁμοία ἄρα ἔσται ἡ ΦΝ τῇ ͵ΑΟ. Ἀλλ’ ἡ ΦΝ τῇ ΨΡ ἐστὶν ὁμοία· καὶ ἡ ΨΡ ἄρα τῇ ͵ΑΟ ἐστὶν ὁμοία. Καὶ εἰσὶν τοῦ
5αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΨΡ τῇ ͵ΑΟ. Κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΨΟ· λοιπὴ ἄρα ἡ ͵ΑΨ ἴση ἐστὶν τῇ ΟΡ. Διπλῆ δὲ ἡ ΟΡ τῆς ΩΨ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ͵ΑΨ τῆς ΨΩ· ἴση ἄρα ἡ ͵ΑΩ τῇ ΩΨ. Γεγράφθω διὰ τῶν ͵Α, ͵Β μέγιστος κύκλος ὁ ͵Α͵Β͵Γ. Κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ τοῖς πρὸ τούτου δειχθήσεται ἴση ἡ ͵Α͵Β τῇ ͵ΒΨ. Καὶ ἐπεὶ ὁ τοῦ ΑΒΓΔ
10κύκλου πόλος μεταξὺ τῶν ΕΖ, ΒΘΑ ἐστίν, καὶ ὁ τοῦ ↑Φϙ ἄρα πόλος μεταξὺ τῶν ΕΖ, ΒΘΑ ἐστίν. Ὁ ἄρα ἕτερος αὐτοῦ πόλος μεταξὺ τῶν ἴσων τε καὶ παραλλήλων τοῖς ΕΖ, ΒΘΑ ἐστίν· μείζων ἄρα ἡ ͵Α͵Β, τουτέστιν ἡ Ψ͵Β, τῆς ͵ΒΦ. Τετμήσθω ἡ ΦΨ δίχα κατὰ τὸ Χ. Καὶ ἐπεὶ ἐν τῷ τῆς ἡμέρας χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΦΨ περιφέρειαν διαπο‐
15ρεύεται, ἐν ἄρα τῷ ἡμίσει τῆς ἡμέρας χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΦΧ διε‐ λεύσεται· μέσου ἄρα ἡμέρας ἔσται ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τοῦ τε πρὸς ἀνατολὰς ἡμικυκλίου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι, κἂν πρὸ μέσων νυκτῶν τὴν τροπὴν ποιήσηται ὁ ἥλιος, μέσων νυκτῶν ἔσται ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τοῦ τε
20πρὸς ἀνατολὰς ἡμικυκλίου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ. ιδʹ Ἐὰν μετὰ τὸ μέσον τῆς ἡμέρας ὁ ἥλιος τὴν θερινὴν τροπὴν ποιή‐ σηται, οὐκ ἔσται μέσου ἡμέρας ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ, ἀλλ’ ἐν τῷ με‐ ταξὺ τόπῳ τοῦ τε δυτικοῦ ἡμικυκλίου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ τάς τε
25μεσημβρίας ποιήσεται καὶ τὰ μεσονύκτια. Ἀλλὰ δὴ ὁ ἥλιος μετὰ τὸ μέσον τῆς ἡμέρας τὴν θερινὴν τροπὴν πεποιήσθω. Λέγω, ὅτι οὐκ ἔσται μέσου ἡμέρας ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ, ἀλλ’ ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τοῦ τε πρὸς δυσμὰς ἡμικυκλίου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ.
30 Ὁ γὰρ ἥλιος ἐν τῇ ἡμέρᾳ, ἐν ᾗ τὴν τροπὴν ἐποιήσατο μετὰ τὸ μέσον τῆς ἡμέρας, ἀνατελλέτω μὲν κατὰ τὸ Κ, δυνέτω δὲ κατὰ τὸ Λ, καὶ ἔστωσαν, καθ’ ὧν φέρεται τὰ Κ, Λ σημεῖα, παράλληλοι κύκλοι οἱ ΜΝ, ΞΟ· ὁ ἄρα ἥλιος ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος ἀνατέλλει μὲν κατὰ τὸ Ο,
δύνει δὲ κατὰ τὸ Μ, καὶ τοῦ ἡλίου ἀνατέλλοντος μὲν κατὰ τὸ Ο ἡ140

142

ΚΘΛ περιφέρεια θέσιν ἕξει ὡς τὴν ΟΠΡ, δύνοντος δὲ κατὰ τὸ Μ ἡ ΚΘΛ περιφέρεια θέσιν ἕξει ὡς τὴν ΜΣΤ. Καὶ ἐπεὶ ἐν τῷ τῆς ἡμέρας χρόνῳ ἡ ΚΘΛ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλ’ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΚΘΛ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, τὸ
5μὲν Κ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ο τὴν ΟΤ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Τ παραγίγνεται, τὸ δὲ Λ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ρ τὴν ΡΜ περιφέρειαν διελ‐ θὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται, ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Κ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ο τὴν ΟΤ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Τ παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Λ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ρ τὴν ΡΜ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ
10Μ παραγίγνεται· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΡ περιφέρεια τῇ ΤΟ περιφερείᾳ. Ἔστω τῆς μὲν ΝΡ ἡμίσεια ἡ ΥΧ, τῆς δὲ ΤΞ ἡμίσεια ἡ ΦΨ. Ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΝΜ τῆς ΜΥ, ἡ δὲ ΝΡ τῆς ΥΧ, ὅλη ἄρα ἡ ΡΜ ὅλης τῆς ΜΧ ἐστὶ διπλῆ. Πάλιν, ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΞΟ τῆς ΟΦ, ἡ δὲ ΤΞ τῆς ΨΦ, ὅλη ἄρα ἡ ΤΟ ὅλης τῆς ΟΨ ἐστὶ διπλῆ.[Omitted graphic marker]
15Καὶ ἐπεὶ ἐν τῷ τῆς ἡμέρας χρόνῳ τὸ μὲν Κ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ο τὴν ΟΤ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Τ παραγίγνεται, τὸ δὲ Λ ἀρξά‐ μενον ἀπὸ τοῦ Ρ τὴν ΡΜ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται, ἐν ἄρα τῷ ἡμίσει τῆς ἡμέρας χρόνῳ τὸ μὲν Κ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ο τὴν ΟΨ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ψ παραγίγνεται, τὸ δὲ Λ ἀρξά‐
20μενον ἀπὸ τοῦ Ρ τὴν ΡΧ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Χ παραγίγνεται, καὶ μέσου ἡμέρας ὁ τοῦ ἡλίου κύκλος θέσιν ἕξει ὡς τὴν ΧΨ. Γε‐ γράφθω διὰ τοῦ Χ μέγιστος κύκλος ὁ Ω↑ ἐφαπτόμενος τοῦ ΕΖ, ὥστε τὰ πρὸς τῇ δύσει τμήματα ὅμοια εἶναι· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΧ τῇ Ξϙ. Ἀλλ’ ἡ ΜΧ τῇ ΨΤ ἐστὶν ὁμοία· καὶ ἡ ΤΨ ἄρα τῇ Ξϙ ἐστὶν
25ὁμοία. Καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Ξϙ τῇ ΤΨ. Κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΞΨ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΤΞ λοιπῇ τῇ Ψϙ ἐστὶν ἴση. Διπλῆ δὲ ἡ ΤΞ τῆς ΨΦ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ϙΨ τῆς ΨΦ· ἴση ἄρα ἡ ΨΦ τῇ Φϙ. Γεγράφθω διὰ τῶν ϙ, ϛ μέγιστος κύκλος ὁ ϙϛ ͵Α·
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Ψϛ τῇ ϛϙ. Καὶ ἐπεὶ ὁ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου πόλος142

144

μεταξὺ τῶν ΕΖ, ΒΘΑ ἐστίν, ὁ ἄρα ἕτερος αὐτοῦ πόλος μεταξὺ τῶν ἴσων τε καὶ παραλλήλων τοῖς ΕΖ, ΒΘΑ ἐστίν· μείζων ἄρα ἡ ϙϛ, τουτέστιν ἡ Ψϛ, τῆς ϛΧ. Τετμήσθω ἡ ΨΧ δίχα κατὰ τὸ ͵Β. Καὶ ἐπεὶ ἐν τῷ τῆς ἡμέρας χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΨΧ περιφέρειαν διαπο‐
5ρεύεται, καὶ ἔστιν τῆς ΨΧ ἡμίσεια ἡ Ψ͵Β, ἐν ἄρα τῷ ἡμίσει τῆς ἡμέρας χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν Ψ͵Β περιφέρειαν διελεύσεται· μέσου ἄρα ἡμέρας ἔσται ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τοῦ τε πρὸς δυσμὰς ἡμικυκλίου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ. Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι, ἐὰν τὰς τροπὰς ποιήσηται μετὰ τὸ
10μέσον τῆς νυκτός, ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τοῦ τε πρὸς δυσμὰς ἡμικυκλίου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ ἔσται τὰ μεσονύκτια· καὶ ἐπὶ τῶν χειμερινῶν δὲ τροπῶν, ἐὰν ὁμοίως ταῖς εἰρημέναις τροπαῖς τὰς τροπὰς ποιήσηται, τὰ ἐναντία συμβαίνοντα δειχθήσεται ὡς καὶ ἐπὶ τῶν προαποδεδειγμένων. ιεʹ
15 Ἐὰν ᾖ ὁ ἐνιαυτὸς ἐξ ὅλων περιφορῶν ἡλίου, τουτέστιν ῥητοῦ ἀριθμοῦ νυχθημέρων, καὶ αἱ καθ’ ἕκαστον ἐνιαυτὸν ἡμέραι τε καὶ νύκτες ἴσαι ἔσονται τοῖς μεγέθεσιν καὶ τῷ πλήθει, καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα τοῦ τε ὁρίζοντος καὶ τοῦ ἡλιακοῦ κύκλου αἱ τροπαὶ καὶ αἱ ἀνατολαὶ καὶ αἱ δύσεις ἔσονται, ἔτι δὲ καὶ κατὰ τὴν αὐτὴν ὥραν ἐπί
20τε τοὺς τροπικοὺς παρέσται ὁ ἥλιος καὶ ἐπὶ τὸν ἰσημερινόν. Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ ΒΕΑ, χειμερινὸς δὲ ὁ ΓΖΔ, ὁ δὲ τοῦ ἡλίου κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΑΘΓΗ, καὶ ὁ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ[Omitted graphic marker] ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Θ
25καὶ διελθὼν τὴν ΘΑΗΓΘ ἐν ὅλαις περιφοραῖς πάλιν ἀνατολὴν πεποι‐ ήσθω κατὰ τὸ Θ. Λέγω, ὅτι αἱ καθ’ ἕκαστον ἐνιαυτὸν ἡμέραι τε καὶ νύκτες ἴσαι ἔσονται τοῖς με‐
30γέθεσι καὶ τῷ πλήθει. Ὁ γὰρ ἥλιος ἐν τῷ πρώτῳ ἐνιαυτῷ τὴν μετὰ τὴν Θ ἀνατολὴν δύσιν πεποιήσθω κατὰ τὸ Κ, ἀνα‐ τολὴν δὲ κατὰ τὸ Λ. Καὶ ἐπεὶ ἐν τῷ πρώτῳ ἐνιαυτῷ, ἐν ᾧ χρόνῳ ὁ
35ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἡ ΘΚ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, αἰεὶ δὲ ἡ ΘΚ ἐν τῷ αὐτῷ χρόνῳ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν
ἡμισφαίριον, καὶ ἔτι ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ αἰεὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ διαπορεύεται,144

146

καὶ ἐν ἄρα τῷ βʹ ἐνιαυτῷ, ἐν ᾧ χρόνῳ καὶ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέ‐ ρειαν διαπορεύεται, ἡ ΘΚ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον καὶ συνανατέλλει τῷ Θ· συνδύνει ἄρα τῷ Κ. Ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται ἐν τῷ δευτέρῳ ἐνιαυτῷ·
5ἀλλὰ καὶ ἐν τῷ πρώτῳ. Πάλιν, ἐπεὶ ἐν τῷ πρώτῳ ἐνιαυτῷ, ἐν ᾧ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἡ ΚΛ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ἡ δὲ ΚΛ αἰεὶ ἐν τῷ αὐτῷ χρόνῳ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, καὶ ἔτι τὴν ΚΛ αἰεὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ὁ ἥλιος διαπορεύεται, καὶ ἐν ἄρα τῷ βʹ ἐνιαυτῷ, ἐν ᾧ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΚΛ
10περιφέρειαν διαπορεύεται, ἡ ΚΛ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον. Καὶ συνδύνει τῷ Κ· συνανατέλλει ἄρα τῷ Λ. Νυκτὸς ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται ἐν τῷ βʹ ἐνι‐ αυτῷ· ἀλλὰ καὶ ἐν τῷ πρώτῳ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι αἱ καθ’ ἕκαστον ἐνιαυτὸν ἡμέραι τε καὶ
15νύκτες ἴσαι ἔσονται τοῖς μεγέθεσιν καὶ τῷ πλήθει. Λέγω, ὅτι καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα τοῦ τε ὁρίζοντος καὶ τοῦ ἡλιακοῦ κύκλου αἵ τε ἀνατολαὶ καὶ αἱ δύσεις ἔσονται. Ὅτι μὲν οὖν ὁ ἥλιος ἐπὶ τοῦ ἡλιακοῦ κύκλου αἰεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα ἀνατέλλει τε καὶ δύνει, φανερόν. Λέγω, ὅτι καὶ ἐπὶ τοῦ ὁρί‐
20ζοντος. Ἔστω γάρ, καθ’ οὗ φέρεται τὸ Θ σημεῖον, κύκλος ὁ ΝΜ. Καὶ ἐπεὶ τὸ Θ σημεῖον αἰεὶ ἀνατέλλει κατὰ τὸ Μ, καὶ ὁ ἥλιος ἄρα αἰεὶ ἀνατέλλει κατὰ τὸ Μ· ὥστε κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα τοῦ τε ὁρί‐ ζοντος καὶ τοῦ ἡλιακοῦ κύκλου αἵ τε ἀνατολαὶ καὶ αἱ δύσεις ἔσονται. Λέγω, ὅτι καὶ κατὰ τὴν αὐτὴν ὥραν ἐπὶ τοὺς τροπικοὺς παρέσται
25ὁ ἥλιος. Εἰ μὲν οὖν ὁ ἥλιος ὁρμήσας ἀπὸ τοῦ Θ καὶ διελθὼν τὴν ΘΑ περιφέρειαν ἐν ὅλαις περιφοραῖς ἀνατολὰς ποιήσεται κατὰ τὸ Α, φανε‐ ρόν, ὅτι καθ’ ἕκαστον ἐνιαυτὸν κατὰ τὴν αὐτὴν ὥραν ὁ ἥλιος παρέσται ἐπὶ τὸν τροπικόν. Ἀλλὰ δὴ ὁ ἥλιος ὁρμήσας ἀπὸ τοῦ Θ καὶ διελθὼν
30τὴν ΘΞ περιφέρειαν ἐν ὅλαις περιφοραῖς τὴν λοιπὴν τὴν ΞΑ διερχέσθω ἐν μέρει τινὶ περιφορᾶς. Καὶ ἐπεὶ ὁ ἥλιος τὴν ΘΞ περιφέρειαν ἐν ὅλαις περιφοραῖς διαπορεύεται, ἀλλὰ καὶ τὴν ΞΑ ἐν ἴσῳ χρόνῳ διέρ‐ χεται, καθ’ ἕκαστον ἄρα ἔτος κατὰ τὴν αὐτὴν ὥραν ἐπὶ τὸν τροπικὸν παρέσται ὁ ἥλιος. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐπὶ τὸν ἰσημερινὸν
35καὶ ἐπὶ τὸν χειμερινὸν τροπικόν.146

148

ιϛʹ Ἐὰν δὲ μὴ ᾖ ὁ ἐνιαυτὸς ἐξ ὅλων περιφορῶν ἡλίου, ἀλλ’ ἐπίῃ ἐφ’ ὅλαις περιφοραῖς καὶ μόριόν τι, ἄνισοι ἔσονται αἱ ἡμέραι καὶ αἱ νύκτες αἱ ἐν τῷ πρώτῳ ἐνιαυτῷ ταῖς ἐν τῷ ἐχομένῳ ἐνιαυτῷ τοῖς μεγέθεσι,
5καὶ οὔτε αἱ τροπαὶ οὔτε αἱ ἀνατολαὶ οὔτε αἱ δύσεις ἔσονται κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα τοῦ τε ὁρίζοντος καὶ τοῦ ἡλιακοῦ κύκλου, οὔτε κατὰ τὴν αὐτὴν ὥραν ἐπὶ τοὺς τροπικοὺς παρέσται ὁ ἥλιος καὶ ἐπὶ τὸν ἰσημε‐ ρινόν. Ἔστω ὁ τοῦ ἡλίου κύκλος ὁ ΓΕΔ, καὶ ὁ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ
10ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Ζ, καὶ διελθὼν τὴν ΖΕΗΘ περιφέρειαν ἐν ὅλαις περιφοραῖς ἀνατολὴν πεποιήσθω[Omitted graphic marker] κατὰ τὸ Θ. Λέγω, ὅτι ἄνισοι ἔσονται αἱ ἡμέραι καὶ νύκτες τῷ μεγέθει. Ἐπεὶ γὰρ δύο ἀνατολαί εἰσι κατὰ
15τὰ Θ, Ζ, ἡ ἄρα μετὰ τὴν Θ ἀνατολὴν δύσις ἀνώτερον ἔσται τῆς μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν δύσεως. Ἔστω οὖν ἡ μετὰ τὴν Θ ἀνατολὴν δύσις κατὰ τὸ Λ, ἡ δὲ μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν δύσις κατὰ τὸ Κ.
20Καὶ ἐπεὶ ἀπὸ χειμερινῶν τροπῶν τοῦ ἡλίου πορευομένου ἡμέρα ἡ πρότερον τῆς ὕστερόν ἐστι βραχυτέρα, ἐλάσσων ἄρα ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΘΛ περιφέρειαν διαπορεύεται, τῆς ἡμέρας, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΖΚ περι‐ φέρειαν διαπορεύεται· ἄνισοι ἄρα εἰσὶν αἱ ἡμέραι.
25 Ὁμοίως δὴ δειχθήσονται καὶ αἱ νύκτες. Καὶ φανερόν, ὅτι οὔθ’ αἱ τροπαὶ οὔθ’ αἱ ἀνατολαὶ καὶ αἱ δύσεις κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα τοῦ τε ὁρίζοντος καὶ τοῦ ἡλιακοῦ κύκλου ἔσονται, οὔτε κατὰ τὴν αὐτὴν ὥραν ἐπὶ τοὺς τροπικοὺς παρέσται ὁ ἥλιος καὶ ἐπὶ τὸν ἰσημερινόν. ιζʹ
30 Ἐὰν ὑποθώμεθα τὰς περιφορὰς τοῦ ἡλίου ἰσοχρονίους ἀλλήλαις εἶναι, ὅπερ κατὰ τὰς αἰσθήσεις φαίνεται, καὶ ὅλος ὁ ἐνιαυτὸς ᾖ ἐξ ὅλων περιφορῶν ἡλίου, πάντα κατὰ τὰ αὐτὰ γένοιτ’ ἂν καθ’ ἕκαστον ἐνιαυτόν, ὡς καὶ ἐπάνω εἴρηται. Ἐὰν δὲ μὴ ᾖ ὁ ἐνιαυτὸς ἐξ ὅλων περιφορῶν, ἀλλ’ ἐπιγένηται καὶ μόριον περιφορᾶς, εἰ μέν ἐστι τὸ ἐπι‐
35γινόμενον σύμμετρον ὅλῃ τῇ περιφορᾷ, ἐν μὲν τοῖς ἐφεξῆς ἔτεσιν οὐκ ἂν γένοιτο τὰ αὐτά, ὡς εἴρηται, διὰ δέ τινων ἐτῶν ἅπαντα κατὰ τὰ
αὐτὰ γίνεται· διὰ πόσων δὲ ἐτῶν τοῦτο γένοιτ’ ἄν, ῥηθήσεται οὕτως·148

150

ληφθέντων δύο ἀριθμῶν πρώτων πρὸς ἀλλήλους ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τῷ, ὃν ἔχει ἡ περιφορὰ πρὸς τὸ ἐπιγινόμενον μόριον, ὅσον ἂν τὸ πλῆθος ᾖ τοῦ μείζονος ἀριθμοῦ, διὰ τοσούτων ἐτῶν πάλιν ἔσονται κατὰ τὰ αὐτὰ πάντα.
5 Ἐὰν δὲ τὸ ἐπιγινόμενον ἀσύμμετρον ᾖ ὅλῃ τῇ περιφορᾷ, οὐδέποτε ἔσται κατὰ τὰ αὐτά. Κατὰ Κάλλιππον δή, ἐπεὶ φαίνεται τὸν ἐνιαυτὸν αὐτῷ εἶναι περι‐ φορῶν τξε καὶ ἔτι περιφορᾶς τετάρτου, διὰ τὸ τὸ τέταρτον ἐπιγίνεσθαι διὰ τεσσάρων ἐτῶν ἔσται κατὰ τὰ αὐτὰ πάντα.
10 Ἔστω γὰρ τὰ αὐτά, καὶ ὁ ἥλιος κατὰ τὸ Ε ἀνατείλας καὶ διελ‐ θὼν τὴν ΕΔΖΗ περιφέρειαν ἐν ὅλαις[Omitted graphic marker] περιφοραῖς τριακοσίαις ἑξήκοντα πέντε ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Η, τὴν δὲ λοιπὴν τὴν ΗΕ διερχέσθω ἐν τε‐
15τάρτῳ μέρει περιφορᾶς. Λέγω, ὅτι διὰ τεσσάρων ἐτῶν ἅπαντα ἔσται κατὰ τὰ αὐτά. Κείσθωσαν τῇ ΗΕ ἴσαι περιφέ‐ ρειαι αἱ ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ. Καὶ ἐπεὶ ἐν
20τῷ πρώτῳ ἐνιαυτῷ ὁ ἥλιος ὁρμήσας ἀπὸ τοῦ Ε καὶ διελθὼν τξε περιφορὰς ἔλειπεν τὴν ΗΕ καὶ ἀνέτειλεν κατὰ τὸ Η, ἐν ἄρα τῷ βʹ ἐνιαυτῷ ὁ ἥλιος ὁρ‐ μήσας ἀπὸ τοῦ Η καὶ διελθὼν τξε
25περιφορὰς λείψει τὴν ἴσην τῇ ΕΗ, τουτέστιν τὴν ΗΘ, καὶ ἀνατέλλει κατὰ τὸ Θ, ἐν δὲ τῷ γʹ ἐνιαυτῷ ὁρμήσας ἀπὸ τοῦ Θ καὶ διελθὼν τξε περιφορὰς λείψει τὴν ἴσην τῇ ΗΘ, τουτέστιν τὴν ΘΚ, καὶ ἀνατέλλει κατὰ τὸ Κ, ἐν δὲ τῷ δʹ ὁρμήσας ἀπὸ τοῦ Κ καὶ διελθὼν τξε περι‐ φορὰς λείψει τὴν ἴσην τῇ ΘΚ, τουτέστιν τὴν ΚΛ, καὶ ἀνατέλλει κατὰ
30τὸ Λ. Καὶ ἐπεὶ ἑκάστην τῶν ΛΚ, ΚΘ, ΘΗ, ΗΕ διέρχεται ἐν τῷ δʹ μέρει περιφορᾶς, τὴν ΛΕ ἄρα διελεύσεται ἐν ὅλῃ περιφορᾷ· ὥστε προσδιελθὼν τὴν ΛΕ ἐν ὅλῃ περιφορᾷ πάλιν ἀνατέλλει κατὰ τὸ Ε, καθ’ ὃ σημεῖον καὶ ἐν τῷ προτέρῳ ἐνιαυτῷ ἀνέτειλεν. Ὥστε διὰ
τεσσάρων ἐτῶν ἔσται ἅπαντα κατὰ τὰ αὐτά.150

152

ιηʹ Πάλιν δὴ κατὰ Μέτωνα καὶ Εὐκτήμονα, ἐπειδὴ φαίνεται τὸν ἐνι‐ αυτὸν αὐτοῖς εἶναι ἡμερῶν τξε καὶ ἔτι πέντε ἐννεακαιδεκάτων περιφορᾶς, διὰ δεκαεννέα ἐτῶν ἔσται ἅπαντα κατὰ τὰ αὐτά.
5 Ἔστω γὰρ ὁ τοῦ ἡλίου κύκλος ὁ ΕΔΖΓ, καὶ ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ε καὶ διελθὼν τὴν ΕΔΖΗ περιφέρειαν ἐν ὅλαις περιφοραῖς [τξε] τὴν λοιπὴν τὴν ΗΕ διερχέσθω ἐν πέντε ἐννεακαιδεκάτοις περι‐ φορᾶς. Λέγω, ὅτι διὰ ιθ ἐτῶν ἔσται ἅπαντα κατὰ τὰ αὐτά. Κείσθωσαν τῇ ΕΗ περιφερείᾳ[Omitted graphic marker]
10ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ἡ δὲ ΛΡ ἑνὸς ἐννεακαιδεκάτου, καὶ διῃρήσθω ἡ ΕΗ εἰς τὰ πέντε ἐννεακαιδέκατα κατὰ τὰ Μ, Ν, Ξ, Ο σημεῖα. Καὶ ἐπεὶ ἐν τῷ πρώτῳ
15ἐνιαυτῷ ὁ ἥλιος ὁρμήσας ἀπὸ τοῦ Ε καὶ διελθὼν τξε περιφορὰς ἔλειπε τὴν ΕΗ καὶ ἀνέτειλεν κατὰ τὸ Η, ἐν ἄρα τῷ δευτέρῳ ἐνιαυτῷ λείψει τὴν ἴσην τῇ ΗΕ, τουτέστιν τὴν ΗΘ,
20καὶ ἀνατελεῖ κατὰ τὸ Θ, ἐν δὲ τῷ τρίτῳ ἐνιαυτῷ λείψει τὴν ΘΚ καὶ ἀνατελεῖ κατὰ τὸ Κ, ἐν δὲ τῷ δʹ κατὰ τὸ Λ, καὶ προσδιελθὼν τὴν ΛΜ οὖσαν περιφορὰν πάλιν ἀνα‐ τελεῖ κατὰ τὸ Μ καὶ λείψει τὴν ΜΕ οὖσαν ἐννεακαιδέκατον περιφορᾶς.
25Ἐν ἄρα τοῖς τέτταρσιν ἔτεσιν ὁ ἥλιος ἐπαγαγὼν μίαν περιφορὰν λείψει ἐννεακαιδέκατον περιφορᾶς· ὥστε ἐν τοῖς ιϛ ἔτεσιν ὁ ἥλιος ἐπαγαγὼν
δ περιφορὰς λείψει διθʹ περιφορᾶς καὶ ἔσται πρὸς τῷ Ο. Ἐν δὲ τοῖς152

154

λοιποῖς τρισὶν ἔτεσιν ἀπολιπὼν καθ’ ἕκαστον ἐνιαυτὸν πέντε ἐννεακαι‐ δέκατα περιφορᾶς ἀπολείψει ιε ἐννεακαιδέκατα περιφορᾶς καὶ ἔσται πρὸς τῷ Ρ. Καὶ πληρώσας μίαν περιφορὰν ἔσται ἐπὶ τὸ Ε, ὅθεν καὶ ἐξ ἀρχῆς ὥρμησεν· ἐν ἄρα τοῖς ιθ ἔτεσιν λείψει δεκαεννέα ἐννεακαι‐
5δέκατα περιφορᾶς, τουτέστιν ὅλην περιφοράν. Προσδιελθὼν ἄρα τὴν περιφορὰν πάλιν ἀνατελεῖ κατὰ τὸ Ε, καὶ ἔσται διὰ δεκαεννέα ἐτῶν ἅπαντα κατὰ τὰ αὐτά. ιθʹ Ὅτι δέ, ἐὰν τὸ ἐπιγινόμενον μόριον ἀσύμμετρον ᾖ ὅλῃ περιφορᾷ,
10οὐδέποτε ἔσται κατὰ τὰ αὐτά, τουτέστιν οὐδέποτε εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατα‐ σταθήσεται ὁ ἥλιος, δείξομεν οὕτως· Ἔστω γὰρ ὁ τοῦ ἡλίου κύκλος ὁ ΕΓΔΖ, καὶ ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ε καὶ διελθὼν τξε περιφορὰς πάλιν ἀνατελλέτω κατὰ τὸ Η καὶ λειπέτω τὴν ΗΕ ἀσύμμετρον[Omitted graphic marker]
15οὖσαν ὅλῃ περιφορᾷ. Λέγω, ὅτι οὐδέποτε ἔσται ἅπαντα κατὰ τὰ αὐτά. Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω. Ἐπεὶ οὖν καθ’ ἕκαστον ἐνιαυτὸν ὁ ἥλιος
20λείπει τὴν ἴσην τῇ ΗΕ, ἐν ἄρα τῷ ἐσχάτῳ ἐνιαυτῷ λείψει τὴν συγκει‐ μένην ἐκ τῶν ἴσων τῇ ΕΗ, ἥτις μετρηθήσεται ὑπὸ ὅλης περιφορᾶς. Μετρεῖται δὲ ἡ συγκειμένη ἐκ τῶν
25ἴσων τῇ ΗΕ καὶ ὑπὸ τῆς ΕΗ· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ ὅλῃ περιφορᾷ. Ἀλλὰ καὶ ἀσύμμετρος [ὅπερ ἀδύνατον]· οὐδέποτε ἄρα ἔσται
πάντα κατὰ τὰ αὐτά.154