TLG 1719 001 :: THEODOSIUS :: Sphaerica

THEODOSIUS Astron. Math.
(Tripolites: 2–1 B.C.)

Sphaerica

Source: Heiberg, J.L. (ed.), Theodosius Tripolites. Sphaerica [Abhandlungen der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Philol.–hist. Kl., N.F. 19.3] Berlin: Weidmann, 1927: 2–164.

  • *Lib. 1: pp. 2–40
  • *Lib. 2: pp. 42–110
  • *Lib. 3: pp. 112–164

Citation: Chapter — section — (line)

1

P1

 Σφαῖρά ἐστι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ μιᾶς ἐπιφανείας περιεχόμενον, πρὸς ἣν ἀφ’ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

1

P2

κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ σημεῖόν ἐστι.

1

P3

 διάμετρος δὲ τῆς σφαίρας ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, περὶ ἣν μένουσαν εὐθεῖαν ἡ σφαῖρα στρέφεται.

1

P4

πόλοι δὲ τῆς σφαίρας εἰσὶ τὰ πέρατα τοῦ ἄξονος.

1

P5

 κύκλου πόλος ἐν σφαίρᾳ ἐστὶ σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ἀφ’ οὗ σημείου αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

1

P6

 ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὁμοίως κεκλίσθαι λέγεται καὶ ἕτερον πρὸς ἕτερον, ὅταν αἱ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐν ἑκατέρῳ τῶν ἐπιπέδων πρὸς τοῖς αὐτοῖς σημείοις ἴσας γωνίας περιέχωσιν.

1

.

1

 Ἐὰν σφαιρικὴ ἐπιφάνεια ἐπιπέδῳ τινὶ τμηθῇ, ἡ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας γραμμὴ κύκλου περιφέρειά ἐστι. σφαιρικὴ γὰρ ἐπιφάνεια ἐπιπέδῳ τινὶ τετμήσθω, καὶ ποιείτω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὴν ΑΒΓ γραμμήν. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓ γραμμὴ
5κύκλου περιφέρειά ἐστιν.
εἰ μὲν οὖν τὸ τέμνον ἐπίπεδον διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶ τῆς σφαίρας, φανερόν, ὅτι ἡ ΑΒΓ γραμμὴ κύκλου περιφέρειά ἐστιν· αἱ γὰρ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν προσπίπτουσαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί, καί ἐστιν ἡ ΑΒΓ γραμμὴ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ· ὥστε αἱ ἀπὸ τοῦ2
10κέντρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν ΑΒΓ γραμμὴν προσπίπτουσαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί. καὶ ὑπόκειται τὸ ΑΒΓ ἐπίπεδον διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ὄν· ὥστε ἡ ΑΒΓ γραμμὴ κύκλου περιφέρειά ἐστιν, ἧς κέντρον τὸ αὐτό, ὃ καὶ τῆς σφαίρας. Ἀλλὰ μὴ ἔστω τὸ τέμνον ἐπίπεδον διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας,
15τὸ δὲ κέντρον τῆς σφαίρας ἔστω τὸ Δ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐπὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω ἡ ΔΕ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ γραμμὴν εὐθεῖαι αἱ ΕΑ, ΕΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΒ, ΔΑ.
20 ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΔ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΔ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΒΕ, ΕΔ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΔ ἴσα τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΕ, ΕΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΕΔ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΒ· ἴση ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ.
25 ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς τὴν ΑΒΓ γραμμὴν προσπίπτουσαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ἡ ἄρα ΑΒΓ γραμμὴ κύκλου περιφέρειά ἐστιν, ἧς κέντρον τὸ Ε. Ἐκ δὲ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ κέντρον πεσεῖται.

1

.

2

Τῆς δοθείσης σφαίρας τὸ κέντρον εὑρεῖν.
Ἔστω ἡ δοθεῖσα σφαῖρα· δεῖ δὴ αὐτῆς τὸ κέντρον εὑρεῖν. τετμήσθω ἐπιπέδῳ τινί· ποιήσει δὴ τὴν τομὴν κύκλον. ποιείτω τὸν ΑΒΓ, καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ σημείου τῷ4
5τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἡ ΔΕ καὶ ἐκβεβλήσθω καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Ε, Ζ, καὶ τετμήσθω ἡ ΕΖ δίχα κατὰ τὸ Η σημεῖον. λέγω, ὅτι τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας. μὴ γάρ, ἀλλ’, εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Θ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ ΑΒΓ
10ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Κ σημεῖον· τὸ ἄρα Κ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. ἀλλὰ καὶ τὸ Δ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὸ Θ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ’ ἄλλο πλὴν τὸ Η· τὸ Η ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
15 Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα ἀνασταθῇ, ἐπὶ τῆς ἀνασταθείσης τὸ κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας.

1

.

3

 Σφαῖρα ἐπιπέδου οὐχ ἅπτεται μὴ τέμνοντος κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν. εἰ γὰρ δυνατόν, σφαῖρα ἐπιπέδου ἁπτέσθω μὴ τέμνοντος κατὰ πλείονα σημεῖα τὰ Α, Β, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Γ
5σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΒΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν ΑΓ, ΒΓ ἐπίπεδον· τομὴν δὴ ποιήσει ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κύκλον, ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν. ποιείτω οὖν ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὸν ΔΑΒ κύκλον, ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ τὴν ΕΑΒΖ εὐθεῖαν. καὶ ἐπεὶ τὸ ἐπίπεδον οὐ τέμνει τὴν σφαῖραν, οὐδὲ ὁ ΔΑΒ κύκλος
10ἄρα τέμνει τὴν ΕΑΒΖ εὐθεῖαν. ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΔΑΒ ἐπὶ τῆς περιφερείας εἴληπται δύο σημεῖα τυχόντα τὰ Α, Β, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ ΔΑΒ κύκλου. ἀλλὰ
καὶ ἐκτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. σφαῖρα ἄρα ἐπιπέδου οὐχ ἅψεται μὴ τέμνοντος κατὰ πλείονα6
15σημεῖα ἢ ἕν.

1

.

4

 Ἐὰν σφαῖρα ἐπιπέδου ἅπτηται μὴ τέμνοντος, ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον. σφαῖρα γὰρ ἐπιπέδου τινὸς ἁπτέσθω μὴ τέμνοντος κατὰ τὸ Α
5σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Β σημεῖον, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΒΑ. λέγω, ὅτι ἡ ΒΑ ὀρθή ἐστιν πρὸς τὸ ἐπίπεδον. ἐκβεβλήσθω γὰρ διὰ τῆς ΒΑ ἐπίπεδον· τομὴν δὴ ποιήσει ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κύκλον, ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν. ποιείτω οὖν ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὸν ΑΓΔ κύκλον, ἐν δὲ τῷ
10ἐπιπέδῳ τὴν ΕΑΖ εὐθεῖαν. πάλιν δὴ διὰ τῆς ΑΒ ἕτερον ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω καὶ ποιείτω τομὴν ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὸν ΑΘ κύκλον, ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ τὴν ΚΑΛ εὐθεῖαν. καὶ ἐπεὶ τὸ ἐπίπεδον ἐφάπτεται τῆς σφαίρας, καὶ ἡ ΕΑΖ ἄρα
15εὐθεῖα ἐφάπτεται τοῦ ΑΓΔ κύκλου. ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΓΔ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΕΑΖ κατὰ τὸ Α σημεῖον, ἀπὸ δὲ τοῦ Α ἐπὶ τὸ κέντρον αὐτοῦ ἐπέζευκται ἡ ΑΒ, ἡ ΑΒ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΕΑΖ [καὶ φανερόν, ὅτι τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΓΔ κύκλου, ἐπειδήπερ ἐκβέβληται διὰ τῆς ΒΑ οὔσης ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπίπεδον
20τὸ τοῦ ΑΓΔ κύκλου]. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐπὶ τὴν ΚΑΛ κά‐ θετός ἐστιν ἡ ΒΑ. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΒΑ δύο εὐθείαις ταῖς ΕΖ, ΚΛ τεμνούσαις ἀλλήλας ἐπὶ τῆς τομῆς ὀρθὴ ἐφέστηκεν, καὶ τῷ δι’ αὐτῶν ἄρα ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΒΑ. τὸ δὲ διὰ τῶν ΕΖ, ΚΛ ἐπίπεδόν ἐστι τὸ ἐφαπτόμενον. ἡ ΑΒ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ἐφαπτό‐
25μενον ἐπίπεδον τῆς σφαίρας.

1

.

5

 Ἐὰν σφαῖρα ἐπιπέδου ἅπτηται μὴ τέμνοντος, ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς τῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνασταθῇ εὐθεῖα, ἐπὶ τῆς ἀνασταθείσης ἔσται τὸ
κέντρον τῆς σφαίρας. σφαῖρα γὰρ ἐπιπέδου ἁπτέσθω μὴ τέμνοντος κατὰ τὸ Α σημεῖον,8
5καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΒ. λέγω, ὅτι ἐπὶ τῆς ΑΒ ἐστι τὸ κέντρον τῆς σφαίρας. μὴ γάρ, ἀλλ’, εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΑ. ἐπεὶ οὖν σφαῖρα ἐπιπέδου ἅπτεται μὴ τέμνοντος κατὰ τὸ Α σημεῖον, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπέζευκται ἡ ΓΑ, ἡ
10ΓΑ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ἐπίπεδον. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΑ ὀρθὴ πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον· ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἄρα σημείου τοῦ Α τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τῷ ὑποκειμένῳ δύο πρὸς ὀρθὰς ἀνεσταμέναι εἰσὶν αἱ ΑΒ, ΑΓ εὐθεῖαι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὸ Γ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλο πλὴν τὸ ἐπὶ τῆς ΒΑ·
15ἐπὶ τῆς ΒΑ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας.

1

.

6

 Τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων οἱ μὲν διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας μέγιστοί εἰσι, τῶν δὲ ἄλλων οἱ μὲν ἴσον ἀπέχοντες ἀπὸ τοῦ κέντρου ἴσοι εἰσίν, οἱ δὲ μεῖζον ἐλάττονες. ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, καὶ ὁ μὲν ΓΔ ἔστω
5διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, οἱ δὲ ΑΒ, ΕΖ πρότερον ἴσον ἀπεχέτωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου. λέγω, ὅτι μέγιστος μέν ἐστιν ὁ ΓΔ, ἴσοι δέ εἰσιν οἱ ΑΒ, ΕΖ. εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Η σημεῖον· τὸ αὐτὸ ἄρα ἐστὶ καὶ τοῦ ΓΔ κύκλου· καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Η σημείου ἐπὶ τὰ
10τῶν ΑΒ, ΕΖ κύκλων ἐπίπεδα κάθετοι αἱ ΗΘ, ΗΚ καὶ συμβαλλέτωσαν τοῖς τῶν κύκλων ἐπιπέδοις κατὰ τὰ Κ, Θ σημεῖα· τὰ Θ, Κ ἄρα σημεῖα κέντρα ἐστὶ τῶν ΑΒ, ΕΖ. καὶ προσεκβεβλήσθωσαν ἀπὸ τῶν Θ, Η, Κ ἐπὶ τοὺς ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ κύκλους εὐθεῖαι αἱ ΘΛ, ΗΜ, ΚΝ, καὶ ἐπεζεύχθω‐
σαν αἱ ΗΛ, ΗΝ.10
15 καὶ ἐπεὶ ἡ ΗΘ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΘΛ οὖσα ἐν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΛΘΗ γωνία. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΗΚΝ ὀρθή ἐστι. πάλιν, ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΛΘΗ,
20ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΛΗΘ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΛΘΗ τῆς ὑπὸ ΛΗΘ· πλευρὰ ἄρα ἡ ΛΗ πλευρᾶς τῆς ΛΘ ἐστι μείζων. καί ἐστιν ἡ ΛΗ τῇ ΗΜ ἴση διὰ τὸ τὸ Η σημεῖον κέντρον εἶναι τῆς σφαίρας, καὶ προσπεπτωκέναι ἀπ’ αὐτοῦ πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὰς ΛΗ, ΗΜ· καὶ ἡ ΗΜ ἄρα τῆς ΛΘ μείζων ἐστί. καὶ ἡ μὲν ΗΜ ἐκ
25τοῦ κέντρου τοῦ ΓΔ κύκλου, ἡ δὲ ΘΛ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒ κύκλου· μείζων ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΔ κύκλος τοῦ ΑΒ κύκλου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πάντων τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων καὶ μὴ ὄντων διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας. λέγω δέ, ὅτι καὶ οἱ ΑΒ, ΕΖ κύκλοι ἴσοι εἰσίν.
30 ἐπεὶ γὰρ οἱ ΑΒ, ΕΖ κύκλοι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΗΚ. καὶ ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΛ τῇ ΗΝ· ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΛΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΝ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΛΗ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΘ, ΘΗ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΝ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΝΚ, ΚΗ·
35καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΘ, ΘΗ ἄρα ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΝΚ, ΚΗ. ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΚ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΘΛ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΝ ἴσον ἐστίν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΛ τῇ ΚΝ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΘΛ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒ κύκλου, ἡ δὲ ΝΚ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒ κύκλου
40τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖ κύκλου. ἀλλὰ δὴ πάλιν μεῖζον ἀπεχέτω ὁ ΑΒ κύκλος τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἤπερ ὁ ΕΖ. λέγω, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ὁ ΑΒ κύκλος τοῦ ΕΖ κύκλου. τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ μεῖζον ἀπέχει ἀπὸ τοῦ
45κέντρου τῆς σφαίρας ὁ ΑΒ κύκλος ἤπερ ὁ ΕΖ, μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΗ τῆς ΚΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΛ τῇ ΗΝ· τὸ γὰρ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας καὶ τὰ Λ, Ν πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ· ἴσον ἄρα
καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΛ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΝ, τουτέστι τὰ ἀπὸ τῶν ΛΘ, ΘΗ τοῖς ἀπὸ τῶν ΝΚ, ΚΗ. ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΗ μεῖζόν12

1

.

6

(50)

ἐστι· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΛΘ λοιποῦ τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΚ ἔλασσόν ἐστιν· ἐλάττων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΘ τῆς ΝΚ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΘΛ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒ, ἡ δὲ ΝΚ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖ κύκλου· καὶ ὁ ΑΒ κύκλος ἄρα ἐλάττων ἐστὶ τοῦ ΕΖ κύκλου. τῶν ἄρα ἐν τῇ σφαίρᾳ οἱ μὲν διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας μέγιστοί
55εἰσι, τῶν δὲ ἄλλων οἱ μὲν ἴσον ἀπέχοντες ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἴσοι εἰσίν, οἱ δὲ μεῖζον ἐλάττονες.

1

.

7

 Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ κέντρον αὐτοῦ ἐπιζευχθῇ τις εὐθεῖα, ἡ ἐπιζευχθεῖσα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν κύκλον. ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ τὸ μὲν κέντρον τῆς σφαίρας
5ἔστω τὸ Ε σημεῖον, τὸ δὲ τοῦ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ. λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον. διήχθωσαν γὰρ διὰ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου αἱ ΑΖ, ΖΓ, ΒΖ, ΖΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΕΔ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΖ τῇ ΖΔ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΕ, δύο δὴ αἱ ΒΖ,
10ΖΕ δύο ταῖς ΔΖ, ΖΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ βάσις ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΕΔ ἐστιν ἴση· τὸ γὰρ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας καὶ τὰ Β, Δ πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΖΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση. ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν·
15ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΖΕ, ΔΖΕ· ἡ ΕΖ ἄρα τῇ ΒΔ ἐστι πρὸς ὀρθάς. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τῇ ΑΓ. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΕΖ δύο εὐθείαις ταῖς ΑΓ, ΒΔ τεμνούσαις ἀλλήλας ἐπὶ τῆς τομῆς πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκε, καὶ τῷ διὰ τῶν ΑΓ, ΒΔ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστι. τὸ δὲ διὰ τῶν ΑΓ, ΒΔ ἐπίπεδόν ἐστιν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος· καὶ ἡ ΕΖ ἄρα ὀρθή
20ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον.14

1

.

8

 Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἀχθῇ καὶ ἐκβληθῇ ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη, ἐπὶ τοὺς πόλους πεσεῖται τοῦ κύκλου. ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τῆς
5σφαίρας τὸ Δ σημεῖον, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΔΕ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ε σημεῖον· τὸ Ε ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΕ ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Ζ, Η σημεῖα. λέγω, ὅτι τὰ Ζ, Η σημεῖα πόλοι
10εἰσὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. διήχθωσαν γὰρ αἱ ΑΕΓ, ΒΕΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΓ, ΑΗ, ΗΓ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΕ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου
15ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΖΕΑ, ΖΕΓ, ΖΕΒ, ΖΕΘ γωνιῶν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΓ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΓΖ ἐστιν ἴση. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ γραμμὴν προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί· τὸ Ζ ἄρα
20σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ Η σημεῖον· τὰ Ζ, Η ἄρα σημεῖα πόλοι εἰσὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. ἐὰν ἄρα ᾖ ἐν σφαίρα κύκλος, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ τὰ ἑξῆς.

1

.

9

 Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἀπὸ δέ τινος τῶν πόλων αὐτοῦ ἐπ’ αὐτὸν κάθετος εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, ἐπὶ τὸ κέντρον πεσεῖται τοῦ κύκλου καὶ προσεκβαλλομένη ἐπὶ τὸν ἕτερον πόλον πεσεῖται τοῦ κύκλου. ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ, ἀπὸ δέ τινος τῶν πόλων αὐτοῦ
5τοῦ Δ κάθετος ἤχθω ἐπ’ αὐτὸν ἡ ΔΕ καὶ συμβαλλέτω τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΕ καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὸ Ζ σημεῖον. λέγω, ὅτι τὸ μὲν Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, τὸ δὲ Ζ ὁ ἕτερος πόλος ἐστὶ
τοῦ κύκλου.16
10 διήχθωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε αἱ ΑΕ, ΕΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΒ, ΑΖ, ΖΒ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΔΕ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ΑΒΓ κύκλῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ οὖσα ἐν τῷ
15τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΔΕΑ, ΔΕΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΔ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΑ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΔ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΕ, ΕΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω
20τὸ ἀπὸ τῆς ΔΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ ἐστιν ἴσον· ἴση ἄρα ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ γραμμὴν προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσί· τὸ Ε ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. λέγω δή, ὅτι καὶ τὸ Ζ σημεῖον ὁ ἕτερος πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ
25κύκλου. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΒΖ ἴση ἐστίν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ γραμμὴν προσπίπ‐ τουσαι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσί· τὸ Ζ ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ
30κύκλου. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ Ε κέντρον· τὸ μὲν ἄρα Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ, τὸ δὲ Ζ ὁ ἕτερος πόλος.

1

.

10

 Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἡ διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ ἀγομένη εὐθεῖα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν κύκλον καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τε καὶ τῆς σφαίρας ἐλεύσεται. ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, πόλοι δὲ αὐτοῦ ἔστωσαν τὰ Ε,
5Ζ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ διὰ τῶν πόλων ἀγομένη καὶ ἔστω ἡ ΕΖ. λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τε καὶ τῆς σφαίρας ἐλεύσεται. συμβαλλέτω γὰρ τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η ση‐ μεῖον ἡ ΕΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Η σημείου διήχθωσαν αἱ ΑΗΓ, ΒΗΔ, καὶ
10ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΕΔ, ΒΖ, ΖΔ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΔ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΒΕ, ΕΖ δύο ταῖς ΖΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ βάσις ἡ ΒΖ βάσει τῇ ΖΔ ἐστιν ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἴση ἐστί. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΔ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΗ, δύο δὴ αἱ ΒΕ,18
15ΕΗ δύο ταῖς ΗΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσί. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΕΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΗ ἐστιν ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΒΗ βάσει τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΕΒΗ τρίγωνον τῷ ΕΔΗ τριγώνῳ ἴσον ἐστί, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφ’ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΗΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΗΕ γωνίᾳ. ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα
20τῶν ὑπὸ ΒΗΕ, ΔΗΕ γωνιῶν· ἡ ΕΗ ἄρα τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΕΗ [καὶ τῷ διὰ τῶν ΒΔ, ΑΓ ἐπιπέδῳ, τουτέστι τῷ ΑΒΓΔ κύκλῳ, πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΕΗΖ]· ἡ ΕΖ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον. λέγω δή, ὅτι καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τε καὶ τῆς σφαίρας ἥξει.
25 ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, ἀπὸ δέ τινος τῶν πόλων αὐτοῦ ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἦκται ἡ ΕΗ καὶ συμβάλλει τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η σημεῖον, τὸ Η ἄρα κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. λέγω δή, ὅτι καὶ διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας. ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τοῦ Η τῷ τοῦ κύκλου
30ἐπιπέδῳ ὀρθὴ ἀνίσταται ἡ ΕΗΖ, ἐπὶ τῇς ΕΗΖ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας· ἡ ΕΖ ἄρα διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶ τῆς σφαίρας. ἡ ΕΖ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τε καὶ τῆς σφαίρας.

1

.

11

 Ἐν σφαίρᾳ οἱ μέγιστοι κύκλοι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλους. ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὰ Ε, Ζ σημεῖα. λέγω, ὅτι οἱ ΑΒ, ΓΔ κύκλοι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλους.
5εἰλήφθω γὰρ αὐτῶν τὸ κέντρον καὶ ἔστω τὸ Η σημεῖον· τὸ δὲ
αὐτό ἐστι καὶ τῆς σφαίρας· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΗ, ΗΖ. καὶ ἐπεὶ τὰ Ε, Η, Ζ σημεῖα ἐν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ ἐστίν, ἔστι δὲ καὶ ἐν τῷ ΔΓ, ἐπὶ ἀμφοτέροις ἄρα τοῖς ἐπιπέδοις τῶν ΑΒ, ΓΔ κύκλων τὰ Ε, Η, Ζ σημεῖά ἐστιν· ἐν τῇ κοινῇ τομῇ ἄρα αὐτῶν ἐστι. πάντων δὲ20
10δύο ἐπιπέδων ἡ κοινὴ τομὴ εὐθεῖά ἐστιν· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗΖ. καὶ ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒ κύκλου, ἡ ΕΖ ἄρα διά‐ μετρός ἐστιν αὐτοῦ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΕΑΖ, ΕΒΖ ἡμικύκλιόν ἐστι. πάλιν ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔ κύκλου, ἡ ΕΖ ἄρα διά‐ μετρός ἐστιν αὐτοῦ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΕΓΖ, ΕΔΖ ἡμικύκλιόν ἐστιν.
15οἱ ΑΒ, ΓΔ ἄρα κύκλοι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλους.

1

.

12

 Ἐν σφαίρᾳ οἱ δίχα τέμνοντες ἀλλήλους κύκλοι μέγιστοί εἰσιν. ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ δίχα τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὰ Ε, Ζ σημεῖα. λέγω, ὅτι οἱ ΑΒ, ΓΔ κύκλοι μέγιστοί εἰσιν. ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΕΖ· ἡ ΕΖ ἄρα διάμετρός ἐστι τῶν ΑΒ, ΓΔ
5κύκλων. λέγω δή, ὅτι καὶ τῆς σφαίρας. τετμήσθω ἡ ΕΖ δίχα κατὰ τὸ Η· τὸ Η ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῶν κύκλων. ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Η σημείου τῷ μὲν τοῦ ΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΚ, τῷ δὲ τοῦ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΑΒ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου αὐτοῦ
10τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνέσταται ἡ ΗΘ, ἐπὶ τῆς ΗΘ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐπὶ τῆς ΗΚ· ἐπὶ τῆς ἄρα κοινῆς τομῆς τῶν ΗΘ, ΗΚ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας. ἡ δὲ κοινὴ τομὴ αὐτῶν ἐστι τὸ Η σημεῖον· τὸ Η ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΑΒ, ΓΔ κέντρον τὸ Η σημεῖον·
15οἱ δὲ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντες τῇ σφαίρᾳ κύκλοι μέγιστοί εἰσιν· ἐν
σφαίρᾳ ἄρα οἱ δίχα τέμνοντες ἀλλήλους κύκλοι μέγιστοι.22

1

.

13

 Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ πρὸς ὀρθὰς τέμνῃ, δίχα αὐτὸν τεμεῖ καὶ διὰ τῶν πόλων. ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΕΒΖΔ πρὸς ὀρθὰς τεμνέτω. λέγω, ὅτι δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ
5καὶ διὰ τῶν πόλων. ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ κοινὴ τομὴ αὐτῶν ἡ ΒΔ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέν‐ τρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου τὸ Η σημεῖον· τὸ δὲ αὐτό ἐστι καὶ τῆς σφαίρας· καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η σημείου ἐπὶ τὴν ΒΔ κάθετος ἡ ΗΘ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ
10τὰ Α, Γ σημεῖα. καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα ὀρθά ἐστι πρὸς ἄλληλα τό τε τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τὸ τοῦ ΕΒΖΔ, καὶ τῇ κοινῇ τομῇ αὐτῶν τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΘΑ ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων οὖσα τῷ ΑΒΓΔ, ἡ ΑΓ ἄρα καὶ τῷ ΕΒΖΔ ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ
15ΕΒΖΔ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἦκται ἡ ΗΘ καὶ συμπίπτει τῷ τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Θ σημεῖον, τὸ Θ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΒΕΔ, ΒΖΔ ἡμικύκλιόν ἐστιν. ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον δίχα τέμνει.
20 λέγω δή, ὅτι καὶ διὰ τῶν πόλων. ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΒΖΔ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἦκται ἡ ΗΘ καὶ ἐκβέβληται ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη καὶ συμπίπτει τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Α, Γ, ἐὰν δὲ ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν
25κάθετος ἀχθῇ καὶ ἐκβληθῇ ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη, ἐπὶ τοὺς πόλους πεσεῖται τοῦ κύκλου, τὰ Α, Γ ἄρα σημεῖα πόλοι εἰσὶ τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου. ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει. ἔτεμνε δὲ αὐτὸν καὶ δίχα· ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον δίχα τε
καὶ διὰ τῶν πόλων τέμνει.24

1

.

14

 Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ μὴ μέγιστον ὄντα δίχα τέμνῃ, πρὸς ὀρθάς τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ διὰ τῶν πόλων. ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ
5σφαίρᾳ μὴ μέγιστον ὄντα τὸν ΕΒΖΔ δίχα τεμνέτω. λέγω, ὅτι καὶ πρὸς ὀρθάς τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ διὰ τῶν πόλων. ἐπεζεύχθω γὰρ αὐτῶν ἡ κοινὴ τομὴ ἡ ΒΔ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον δίχα τέμνει, ἑκάτερον ἄρα τῶν ΒΕΔ, ΒΖΔ ἡμικύκλιόν ἐστιν· ἡ ΒΔ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΒΖΔΕ κύκλου. τε‐
10τμήσθω οὖν ἡ ΒΔ δίχα κατὰ τὸ Θ σημεῖον· τὸ Θ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου. καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου τὸ Η σημεῖον· τὸ δ’ αὐτὸ καὶ τῆς σφαίρας ἐστί· καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΗΘ ἐκβεβλήσθω ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη καὶ συμπιπτέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Α, Γ σημεῖα.
15 καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΒΖΔ, διὰ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ κέντρον αὐτοῦ ἐπέζευκται εὐθεῖα ἡ ΗΘ, ἡ ΗΘ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ· καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΗΘ ἐπίπεδα ὀρθά ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ. ἓν δὲ τῶν διὰ τῆς ΗΘ ἐπιπέδων ὁ ΑΒΓΔ κύκλος· καὶ ὁ ΑΒΓΔ ἄρα ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ. ὁ ΑΒΓΔ ἄρα
20κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον πρὸς ὀρθὰς τέμνει. λέγω δή, ὅτι καὶ διὰ τῶν πόλων. ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΒΖΔ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἦκται ἡ ΗΘ καὶ ἐκβέβληται ἐπ’ ἀμφό‐ τερα τὰ μέρη καὶ συμπίπτει τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Α, Γ
25σημεῖα, τὰ Α, Γ ἄρα σημεῖα πόλοι εἰσὶ τοῦ ΕΒΖΔ· ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἄρα τὸν ΕΒΖΔ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει. ἔτεμνε δὲ αὐτὸν καὶ πρὸς ὀρθάς· ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον πρὸς ὀρθὰς
τέμνει καὶ διὰ τῶν πόλων.26

1

.

15

 Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ διὰ τῶν πόλων τέμνῃ, δίχα τε αὐτὸν καὶ πρὸς ὀρθὰς τεμεῖ. ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΕΒΖΔ τεμνέτω διὰ τῶν πόλων. λέγω, ὅτι δίχα τε αὐτὸν
5καὶ πρὸς ὀρθὰς τεμεῖ. ἔστωσαν γὰρ οἱ πόλοι τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου τὰ Α, Γ σημεῖα· φανε‐ ρὸν δή, ὅτι ἐπὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου εἰσί· διὰ γὰρ τῶν πόλων τέμνει ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΒΖΔ, διὰ δὲ τῶν πόλων
10αὐτοῦ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΑΓ, ἐὰν δὲ ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἡ διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ ἀγομένη εὐθεῖα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν κύκλον καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τε καὶ τῆς σφαίρας ἐλεύσεται, ἡ ΑΓ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ κύκλον· καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΑΓ ἐπίπεδα ὀρθά ἐστι πρὸς ΕΒΖΔ. ἓν δὲ τῶν διὰ τῆς ΑΓ ἐπιπέδων ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ
15κύκλος· ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ κύκλον· ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος τὸν ΕΒΖΔ πρὸς ὀρθὰς τέμνει. καὶ δίχα δὲ αὐτὸν τεμεῖ· ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει.

1

.

16

 Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος, ἡ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. ἔστω ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ. λέγω, ὅτι ἡ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον
5κύκλον ἐγγραφομένου. ἤχθωσαν γὰρ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ, ΒΔ, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Ε σημείου τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς
σφαίρας κατὰ τὸ Ζ σημεῖον· τὸ Ζ ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ28
10κύκλου· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΑ, ΖΑ· ἡ ΒΑ ἄρα τετραγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον ἐγγραφομένου, ἡ δὲ ΖΑ ἐκ τοῦ πόλου ἐστί. λέγω, ὅτι ἡ ΖΑ τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΖΕ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓΔ, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ
15ὀρθὰς ποιήσει γωνίας· ἡ ΖΕ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκάστην τῶν ΑΕ, ΒΕ, ΓΕ, ΔΕ. καὶ ἐπεὶ τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΖ. κοινὴ δὲ ἡ ΕΑ· δύο δὴ αἱ ΒΕ, ΕΑ δύο ταῖς ΑΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΕΑ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΑΕΖ ἴση ἐστί· βάσις ἄρα ἡ ΒΑ βάσει τῇ ΑΖ ἐστιν ἴση. καὶ ἡ
20μὲν ΑΖ ἐκ τοῦ πόλου τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ἡ δὲ ΒΑ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· ἡ ἄρα ἐκ τοῦ πόλου τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου.

1

.

17

 Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἡ δὲ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ᾖ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου, καὶ αὐτὸς μέγιστος ἔσται. ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ, πόλος δὲ αὐτοῦ τὸ Δ σημεῖον, ἡ
5δὲ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἡ ΔΓ ἴση ἔστω τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. λέγω, ὅτι ὁ ΑΒΓ μέγιστός ἐστιν. ἐκβεβλήσθω γὰρ διὰ τῆς ΔΓ καὶ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπίπε‐ δον· τομὴν δή τινα ποιήσει μέγιστον κύκλον ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας. ποιείτω τὸν ΒΔΓΕ, καὶ ἔστω αὐτῶν κοινὴ τομὴ ἡ ΒΓ, καὶ
10ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΔΒ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΔΓ, ΔΒ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· ἡμικυκλίου ἄρα ἐστὶ περιφέρεια ἡ ΒΔΓ· διάμετρος ἄρα ἡ ΒΓ τοῦ ΔΕ κύκλου. καὶ ἐπεὶ τὸ Δ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ὁ ΔΒΕΓ
15ἄρα κύκλος τὸν ΑΒΓ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΔΕ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΒΓ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν καὶ πρὸς ὀρθὰς τεμεῖ. καί ἐστι κοινὴ τομὴ αὐτῶν ἡ ΒΓ· ἡ ΒΓ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓ κύκλου. ἔστι δὲ καὶ τῆς σφαίρας· μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΒΓ κύκλος.30

1

.

18

 Τοῦ δοθέντος ἐν σφαίρᾳ κύκλου τὴν διάμετρον ἐκθέσθαι. ἔστω ὁ δοθεὶς ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ· δεῖ δὴ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὴν διάμετρον ἐκθέσθαι. εἰλήφθω ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας τυχόντα σημεῖα τὰ Α, Β, Γ,
5καὶ ἐκ τριῶν εὐθειῶν τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΔΕΖ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΔΕ τῇ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β, τὴν δὲ ΔΖ τῇ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Γ, τὴν δὲ ΕΖ τῇ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Γ, καὶ ἀπὸ μὲν τοῦ Ε σημείου τῇ ΕΔ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΗ, ἀπὸ δὲ τοῦ Ζ τῇ ΔΖ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΗ.
10 ἤχθω δὴ διάμετρος τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἡ ΑΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ, ΓΘ. ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΑΒ, ΒΓ δύο ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ βάσις ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστί, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἴση ἐστίν. ἀλλ’ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ
15ΑΘΓ ἴση ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΕΖ τῇ ὑπὸ ΔΗΖ ἴση ἐστί· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΘΓ ἄρα τῇ ὑπὸ ΔΗΖ ἐστιν ἴση. ἀλλὰ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΓΘ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΔΖΗ ἴση ἐστί, καί ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΔΖ ἴση· καὶ ἡ ΑΘ ἄρα τῇ ΔΗ ἴση ἐστί. καί ἐστιν ἡ ΑΘ διάμετρος τοῦ κύκλου· ἡ ΔΗ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ
τοῦ κύκλου.32

1

.

19

 Τῆς δοθείσης σφαίρας τὴν διάμετρον ἐκθέσθαι. νενοήσθω γὰρ ἡ σφαῖρα, ἧς δεῖ τὴν διάμετρον ἐκθέσθαι, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Α, Β, καὶ πόλῳ μὲν τῷ Α, διαστήματι δὲ τῷ ΑΒ, κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΓΔ·
5δυνατὸν ἄρα ἐστὶ τοῦ ΒΓΔ κύκλου τὴν διάμετρον ἐκθέσθαι. ἐκ τριῶν οὖν εὐθειῶν, αἵ εἰσι δύο μὲν ταῖς ἐκ τοῦ πόλου τοῦ ΒΓΔ ἴσαι, μία δὲ τῇ διαμέτρῳ, τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΕΖΗ, ὥστε ἴσην εἶναι ἑκατέραν μὲν τῶν ΖΕ, ΖΗ ἑκατέρᾳ τῇ ἐκ τοῦ πόλου τοῦ Α, τὴν δὲ ΖΗ τῇ διαμέτρῳ, καὶ ἤχθωσαν διὰ τῶν Ζ, Η ταῖς ΖΕ, ΕΗ εὐθείαις πρὸς
10ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαι γραμμαὶ αἱ ΖΘ, ΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ. λέγω, ὅτι ἡ ΕΘ ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας. νενοήσθω γὰρ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ἡ ΑΚ καὶ διὰ τῆς ΑΚ ἐπίπεδον· τομὴν δὴ ποιήσει μέγιστον κύκλον. ποιείτω νὸν ΑΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΑΒ, ΒΔ, ΔΚ.
15 καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ, ΒΔ δύο ταῖς ΕΖ, ΖΗ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκα‐ τέρᾳ, καὶ βάσις ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΕΗ ἴση ἐστί, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΖΗ ἐστιν ἴση. ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΔ τῇ ὑπὸ ΑΚΔ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΕΖΗ τῇ ὑπὸ ΕΘΗ ἴση, ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΔΚ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΕΗΘ ἴση· δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΚΔ, ΕΘΗ
20τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΔΚ, ΔΚΑ ταῖς δύο γωνίαις ταῖς ὑπὸ ΕΗΘ, ΗΘΕ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν τὴν ΑΔ τῇ ΕΗ· καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΚ τῇ ΕΘ. καί ἐστιν ἡ ΑΚ ἡ διάμετρος
25τῆς σφαίρας· ἡ ΕΘ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας.34

1

.

20

 Διὰ δύο δοθέντων σημείων, ἅ ἐστιν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας, μέ‐ γιστον κύκλον γράψαι. ἔστω τὰ δοθέντα δύο σημεῖα τὰ Α, Β, ἅ ἐστιν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας· δεῖ δὴ διὰ τῶν Α, Β σημείων μέγιστον κύκλον γράψαι.
5 εἰ μὲν οὖν τὰ Α, Β κατὰ διάμετρόν ἐστι τῆς σφαίρας, φανερόν, ὅτι μέγιστοι κύκλοι ἄπειροι διὰ τῶν Α, Β σημείων γραφήσονται. μὴ ἔστω δὴ τὰ Α, Β σημεῖα κατὰ διάμετρον τῆς σφαίρας, καὶ πόλῳ μὲν τῷ Α, διαστήματι δὲ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου, κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΔΕ· μέγιστος ἄρα
10ἐστὶν ὁ ΓΔΕ· ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. πάλιν πόλῳ τῷ Β, διαστήματι δὲ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου, κύκλος γεγράφθω ὁ ΖΕΗ· μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΕΗ κύκλος· ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ
15τοῦ ἐγγραφομένου εἰς τὸν μέγιστον κύκλον. καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὰ Α, Β εὐθεῖαι αἱ ΕΑ, ΕΒ. ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΕ, ΕΒ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον· ἴση ἄρα ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ ἐστιν· ὁ ἄρα πόλῳ μὲν τῷ Ε, διαστήματι δὲ τῷ ΕΒ, κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Α
20διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΕΑ τῇ ΕΒ. ἐρχέσθω καὶ ἔστω ὡς ὁ ΒΑΘ· μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΒΘ κύκλος· ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. διὰ ἄρα δύο δοθέντων σημείων τῶν Α, Β, ἅ ἐστιν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας, μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΑΒΘ.

1

.

21

Τοῦ δοθέντος ἐν σφαίρᾳ κύκλου τὸν πόλον εὑρεῖν. ἔστω ὁ δοθεὶς ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ· δεῖ δὴ τοῦ ΑΒΓ κύκλου
τὸν πόλον εὑρεῖν. εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ τυχόν τι σημεῖον τὸ Δ,36
5καὶ ἀπειλήφθωσαν δύο ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΔΑ, ΑΕ, ἡ δὲ λοιπὴ ἡ ΔΕ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Ζ σημεῖον. ὁ δὴ ΑΒΓ κύκλος ἤτοι μέγιστός ἐστιν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον μὴ μέγιστος, καὶ διὰ δύο δοθέντων σημείων τῶν Ζ, Α, ἅ ἐστιν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας, μέγιστος κύκλος γεγράφθω
10ὁ ΖΑΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ περιφέρεια τῇ ΑΕ περιφερείᾳ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΔΖ τῇ ΖΕ ἴση, ὅλη ἄρα ἡ ΑΔΖ ὅλῃ τῇ ΑΕΖ ἴση ἐστίν· ὁ ΖΑΘ ἄρα κύκλος τὸν ΑΒΓ κύκλον δίχα τέμνει. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΖΘ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ μὴ μέγιστον ὄντα δίχα
15τέμνει, πρὸς ὀρθάς τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ διὰ τῶν πόλων· ὁ ΖΘΑ ἄρα τὸν ΑΒΓ πρὸς ὀρθάς τε καὶ διὰ τῶν πόλων τέμνει. τετμήσθω ἡ ΖΑ δίχα κατὰ τὸ Η σημεῖον· τὸ Η ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. ἀλλὰ δὴ πάλιν ὁ ΑΒΓ κύκλος μέγιστος ἔστω. ὁμοίως δὴ δείξο‐
20μεν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔΖ περιφέρεια τῇ ΑΕΖ περιφερείᾳ. καὶ τετμήσθω ἡ ΑΖ περιφέρεια δίχα κατὰ τὸ Γ σημεῖον· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΓ, ΓΖ περιφερειῶν τεταρτημορίου ἐστίν· ὁ ἄρα πόλῳ μὲν τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ ΓΖ, κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Α σημείου, ἐπείπερ τὸ Α τῷ Ζ κατὰ διάμετρόν ἐστιν. ἐρχέσθω καὶ ἔστω ὡς ὁ
25ΖΑΘ· ὁ ἄρα ΖΑΘ κύκλος μέγιστός ἐστιν· ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. καὶ ἐπεὶ τὸ Γ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΖΑΘ κύκλου, ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος τὸν ΖΑΘ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΖΑΘ διὰ
30τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΖΑΘ κύκλον· καὶ ὁ ΖΑΘ κύκλος ἄρα ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΖΑΘ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΒΓ πρὸς ὀρθὰς τέμνει,
δίχα τε αὐτὸν τέμνει καὶ διὰ τῶν πόλων· ὁ ΖΑΘ ἄρα κύκλος τὸν ΑΒΓ38
35κύκλον δίχα τε καὶ διὰ τῶν πόλων τεμεῖ. τετμήσθω ἡ ΖΑ περιφέρεια δίχα κατὰ τὸ Η σημεῖον· τὸ Η ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.

1

.

22

 [Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου οὖσα εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαν δίχα τέμνῃ, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τεμεῖ· καὶ ἐὰν πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνῃ, καὶ δίχα αὐτὴν τεμεῖ. ἡ ἀπόδειξις ὡς ἐν τοῖς κυκλικοῖς· ἐὰν γὰρ διὰ τῆς διαμέτρου διὰ
5τοῦ κέντρου οὔσης τῆς σφαίρας καὶ τῆς μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὔσης ἐπίπεδον ἐκβληθῇ, τομὴν ποιήσουσι γραμμὴν κύκλον, καὶ ἔσται ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου οὖσα εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαν δίχα τέμνουσα· ὥστε καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τεμεῖ, καὶ ἐὰν πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνῃ, καὶ δίχα αὐτὴν τεμεῖ.]

1

.

23

 [Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἐπιζευχθῇ τις εὐθεῖα, ἡ ἐπιζευχθεῖσα κάθετος ἔσται ἐπὶ τὸν κύκλον. ἔστω γὰρ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ τὸ μὲν κέντρον τῆς
5σφαίρας ἔστω τὸ Δ σημεῖον, τὸ δὲ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ. λέγω, ὅτι ἡ ΔΕ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον. διήχθω γάρ τις διὰ τοῦ Ε σημείου εἰς αὐτόν, ὡς ἔτυχεν, εὐθεῖα ἡ ΑΕΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΔ, δύο δὴ αἱ ΑΕ,
10ΕΔ δύο ταῖς ΒΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ βάσις ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΔΒ ἴση ἐστί· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΒ ἴση ἐστίν· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΕΔ, ΒΕΔ γωνιῶν· ἡ ΔΕ ἄρα τῇ ΑΒ ἐστι πρὸς ὀρθάς. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πάσαις ταῖς διὰ τοῦ Ε ἀγομέναις εὐθείαις ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς
15ἐστιν ἡ ΔΕ εὐθεῖα· ἡ ΔΕ ἄρα εὐθεῖα καὶ τῷ τοῦ ΑΓ κύκλου ἐπιπέδῳ
πρὸς ὀρθάς ἐστιν.]40

2

P

 Ἐν σφαίρᾳ κύκλοι ἐφάπτεσθαι ἀλλήλων λέγονται, ὅταν ἡ κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων ἀμφοτέρων τῶν κύκλων ἐφάπτηται.

2

.

1

 Ἐν σφαίρᾳ οἱ παράλληλοι κύκλοι περὶ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσίν. ἔστωσαν γὰρ ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ. λέγω, ὅτι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλοι περὶ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσίν. εἰλήφθωσαν γὰρ τοῦ ΑΒΓ κύκλου οἱ πόλοι καὶ ἔστωσαν οἱ Π, Θ,
5καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ. καὶ ἐπεί, ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἡ διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ ἀγομένη εὐθεῖα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν κύκλον καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τε καὶ τῆς σφαίρας ἐστίν, ἡ ΗΘ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τε καὶ τῆς σφαίρας ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΘ ὀρθή
10ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον, καί ἐστιν ὁ ΑΒΓ κύκλος παράλληλος τῷ ΔΕΖ κύκλῳ, καὶ ἡ ΗΘ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΔΕΖ κύκλον. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΔΕΖ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ᾗκται ἡ ΗΘ καὶ ἐκβέβληται ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη καὶ συμπίπτει τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Η, Θ σημεῖα, ἐὰν
15δὲ ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἀχθῇ καὶ ἐκβληθῇ ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη, ἐπὶ τοὺς πόλους πεσεῖται τοῦ κύκλου, τὰ Η, Θ ἄρα σημεῖα πόλοι εἰσὶ τοῦ ΔΕΖ κύκλου. εἰσὶ δὲ καὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου· οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἄρα περὶ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσίν.

2

.

2

 Οἱ περὶ τοὺς αὐτοὺς πόλους ὄντες ἐν σφαίρᾳ κύκλοι παράλληλοί εἰσιν. ἔστωσαν περὶ τοὺς αὐτοὺς πόλους τοὺς Η, Θ ἐν σφαίρᾳ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ. λέγω, ὅτι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλοι παράλληλοί εἰσιν. ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΗΘ.
5 καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΑΒΓ, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτοῦ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΗΘ, ἡ ΗΘ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πρὸς τὸν ΔΕΖ κύκλον ἡ ΗΘ ὀρθή ἐστιν. πρὸς ἃ δὲ ἐπίπεδα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν, ἐκβαλλόμενα τὰ ἐπίπεδα οὐ συμπεσεῖται· ἐκβαλλόμενα ἄρα τὰ διὰ τῶν ΑΒΓ, ΔΕΖ42
10κύκλων ἐπίπεδα οὐ συμπεσεῖται· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΒΓ κύκλος τῷ ΔΕΖ κύκλῳ.

2

.

3

 Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι μεγίστου τινὸς κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τέμνωσι τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ, ἐφά‐ ψονται ἀλλήλων οἱ κύκλοι. ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΓΔΕ μεγίστου τινὸς κύκλου
5περιφέρειαν τὴν ΑΓΕ κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τεμνέτωσαν τὸ Γ τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ. λέγω, ὅτι ἐφάψονται ἀλλήλων οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλοι. ἔστωσαν γὰρ αὐτῶν κοιναὶ τομαὶ τοῦ μὲν ΑΓΕ καὶ τοῦ ΑΒΓ ἡ ΑΓ, τοῦ δὲ ΑΓΕ καὶ τοῦ ΓΔΕ ἡ ΗΓΖ.
10 καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΓΕ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΒΓ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΕ διάμετρός ἐστι τοῦ ΓΔΕ κύκλου. καὶ ἐπεὶ ὁ ΑΓΕ ὀρθός ἐστι πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΒΓ, ΓΔΕ κύκλων, καὶ ἑκά‐
15τερος ἄρα τῶν ΑΒΓ, ΓΔΕ κύκλων ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΓΕ κύκλον· καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν ἄρα τομὴ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΓΕ κύκλον. κοινὴ δὲ αὐτῶν τομή ἐστιν ἡ ΖΓΗ· καὶ ἡ ΖΓΗ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΓΕ κύκλον· ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΓΕ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν. ἅπτεται δὲ αὐτῆς
20ἑκατέρα τῶν ΑΓ, ΓΕ οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΓΕ κύκλου ἐπιπέδῳ· ἡ ΖΗ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΑΓ, ΓΕ. ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΓ
ἀπ’ ἄκρας τῆς διαμέτρου τῆς ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΖΗ, ἡ ΖΗ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου κατὰ τὸ Γ σημεῖον. ὁμοίως δὴ δεί‐ ξομεν, ὅτι καὶ τοῦ ΓΔΕ κύκλου ἐφάπτεται ἡ ΖΗ κατὰ τὸ Γ σημεῖον.44
25ἐν δὲ σφαίρᾳ κύκλοι ἐφάπτεσθαι ἀλλήλων λέγονται, ὅταν ἡ κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων ἀμφοτέρων τῶν κύκλων ἐφάπτηται. ἅπτεται δὲ ἡ ΖΗ ἀμφοτέρων τῶν κύκλων κατὰ τὸ Γ σημεῖον· καὶ οἱ ΑΒΓ, ΓΔΕ ἄρα κύκλοι ἐφάψονται ἀλλήλων.

2

.

4

 Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων, ὁ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γραφόμενος καὶ διὰ τῆς συναφῆς αὐτῶν ἐλεύσεται. ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΓΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΒΓ κύκλου πόλος τὸ Ζ
5σημεῖον, τοῦ δὲ ΓΔΕ κύκλου πόλος τὸ Η σημεῖον. λέγω, ὅτι ὁ διὰ τῶν Ζ, Η πόλων μέγιστος κύκλος γραφόμενος διὰ τοῦ Γ σημείου ἥξει. μὴ γάρ, ἀλλ’, εἰ δυνατόν, ἐρχέσθω καὶ ἔστω ὡς ὁ ΖΒΗ, καὶ πόλῳ μὲν τῷ Η, διαστήματι δὲ τῷ ΗΒ, κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΚΘ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΔΕ κύκλος τῷ ΒΚΘ κύκλῳ· περὶ γὰρ τοὺς αὐτοὺς
10πόλους εἰσίν. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΒΘΚ μεγίστου τινὸς κύκλου περιφέρειαν τὴν ΖΒΗ κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τὸ Β τέμνουσι τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ, ἐφάψονται ἀλλήλων οἱ ΑΒΓ, ΒΚΘ κύκλοι. ἀλλὰ καὶ τέμνουσιν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα ὁ διὰ τῶν Ζ, Η πόλων μέγιστος κύκλος γραφόμενος οὐχ ἥξει διὰ τοῦ Γ
15σημείου. ὁ ἄρα διὰ τῶν πόλων τῶν ΑΒΓ, ΓΔΕ κύκλων μέγιστος κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῆς συναφῆς τῶν κύκλων.

2

.

5

 Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων, ὁ διὰ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων καὶ τῆς ἁφῆς μέγιστος κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν τοῦ ἑτέρου πόλων. ἐν σφαίρᾳ γὰρ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΓΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων
5κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΒΓ κύκλου πόλος τὸ Ζ ση‐ μεῖον, τοῦ δὲ ΓΔΕ κύκλου πόλος τὸ Η σημεῖον. λέγω, ὅτι ὁ διὰ τῶν Ζ, Γ σημείων μέγιστος κύκλος γραφόμενος καὶ διὰ τοῦ Η σημείου
ἐλεύσεται. μὴ γάρ, ἀλλ’, εἰ δυνατόν, ἐρχέσθω ὡς ὁ ΖΓΘ, καὶ γεγράφθω διὰ46
10τῶν Ζ, Η πόλων μέγιστος κύκλος ὁ ΖΓΗ· ἥξει δὴ διὰ τοῦ Γ. ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ. καὶ ἐπεὶ μέγιστός ἐστιν ἑκάτερος τῶν ΖΓΗ, ΖΓΘ, δίχα ἄρα τέμνου‐ σιν ἀλλήλους· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΚΓ, ΖΛΓ ἡμικύκλιόν ἐστιν· ἡ ΖΓ ἄρα διάμετρός ἐστι τῆς σφαίρας, ἐπεὶ καὶ τῶν μεγίστων κύκλων τῶν
15ΖΓΗ, ΖΓΘ. ἀλλὰ καὶ ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. ὁ ἄρα διὰ τῶν Ζ, Γ σημείων μέγιστος κύκλος γραφό‐ μενος καὶ διὰ τοῦ Η σημείου ἥξει.

2

.

6

 Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐφάπτηται, ἐφάψεται καὶ ἑτέρου ἴσου τε καὶ παραλλήλου αὐτῷ. ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΓΔ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον. λέγω, ὅτι ὁ ΑΒΓ
5κύκλος ἐφάψεται καὶ ἑτέρου κύκλου ἴσου τε καὶ παραλλήλου τῷ ΓΔ κύκλῳ. εἰλήφθω ὁ πόλος τοῦ ΓΔ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Ε σημεῖον, καὶ γεγράφθω διὰ τῶν Γ, Ε σημείων μέγιστος κύκλος ὁ ΓΕΔΒΖΗ, καὶ ἀπειλήφθω τῇ ΓΕ περιφερείᾳ ἴση ἡ ΒΖ, καὶ πόλῳ μὲν τῷ Ζ, δια‐
10στήματι δὲ τῷ ΖΒ, κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΗ. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΓΔ ἐφάπτονται ἀλλήλων, διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων τοῦ Ε καὶ τῆς ἁφῆς μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΓΕΔΒΖΗ, ὁ ΓΕΔΒΖΗ ἄρα ἥξει καὶ διὰ τῶν τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλων. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΒΗ μεγίστου
15τινὸς κύκλου περιφέρειαν τὴν ΓΗ κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τέμνουσι τὸ Β τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ, ἐφάψονται ἄρα ἀλλήλων οἱ ΑΒΓ, ΒΗ κύκλοι. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ΒΖ περιφερείᾳ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΕΒ· ὅλη ἄρα ἡ ΓΒ ὅλῃ τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση. ἡμικυκλίου
δέ ἐστιν ἡ ΓΒ· ἡμικυκλίου ἄρα καὶ ἡ ΕΖ· τὸ Ε ἄρα κατὰ διάμετρόν48
20ἐστι τῷ Ζ. καί ἐστι τὸ Ε σημεῖον πόλος τοῦ ΓΔ κύκλου· καὶ τὸ Ζ ἄρα ὁ ἕτερος πόλος ἐστὶ τοῦ ΓΔ κύκλου. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ΕΖ ἡμικυκλίου ἐστί, καί ἐστι τὸ Ζ πόλος τοῦ ΒΗ κύκλου, καὶ τὸ Ε ἄρα ὁ ἕτερος πόλος ἐστὶ τοῦ ΒΗ κύκλου· οἱ ΓΔ, ΒΗ ἄρα κύκλοι περὶ τοὺς αὐτοὺς πόλους ὄντες παράλληλοί εἰσιν [παράλληλος ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΔ κύκλος τῷ ΒΗ
25κύκλω]. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΕ τῇ ΒΖ, ἴσος ἄρα καὶ ὁ ΓΔ κύκλος τῷ ΒΗ κύκλῳ. ἀλλὰ καὶ παράλληλος· ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος ἐφάπτεται καὶ ἑτέρου κύκλου τοῦ ΒΗ ἴσου τε καὶ παραλλήλου τῷ ΓΔ.

2

.

7

 Ἐὰν ὦσιν ἐν σφαίρᾳ δύο ἴσοι τε καὶ παράλληλοι κύκλοι, ὁ τοῦ ἑνὸς αὐτῶν μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος ἐφάψεται καὶ τοῦ ἑτέρου. ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ δύο ἴσοι τε καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ. λέγω, ὅτι ὁ τοῦ ΑΒ μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος ἐφάψεται καὶ τοῦ ΓΔ.
5 εἰ γὰρ δυνατόν, ἐφαπτέσθω μὲν τοῦ ΑΒ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΕ κατὰ τὸ Α σημεῖον, τοῦ δὲ ΓΔ μὴ ἐφαπτέσθω. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΕ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΑΒ ἐφάπτεται, ἐφάψεται ἄρα καὶ ἑτέρου ἴσου τε καὶ παραλλήλου τῷ ΑΒ· ἐφαπτέσθω οὖν τοῦ ΕΖ.
10 ἐπεὶ οὖν ὁ ΑΒ τῷ ΕΖ ἴσος ἐστὶ καὶ παράλληλος, ἀλλὰ ὁ ΑΒ τῷ ΓΔ ἴσος ἐστὶ καὶ παράλληλος, καὶ ὁ ΓΔ ἄρα τῷ ΕΖ ἴσος ἐστὶ καὶ παράλληλος· ἔσονται ἄρα ἐν σφαίρᾳ τρεῖς κύκλοι ἴσοι τε καὶ παράλληλοι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ὁ τοῦ ΑΒ μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος οὐκ ἐφάψεται καὶ τοῦ ΓΔ· ἐφάψεται ἄρα.

2

.

8

 Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος πρός τινα κύκλον τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ λοξὸς ᾖ, ἐφάψεται δύο κύκλων ἴσων μὲν ἀλλήλοις, παραλλήλων δὲ τῷ προειρημένῳ. ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ πρός τινα κύκλον τῶν ἐν
5τῇ σφαίρᾳ τὸν ΒΔ λοξὸς ἔστω, τουτέστι μὴ ἔστω διὰ τῶν πόλων. λέγω, ὅτι ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάψεται δύο κύκλων ἴσων μὲν ἀλλήλοις,
παραλλήλων δὲ τῷ ΒΔ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΑΒΓ κύκλος λοξός ἐστι πρὸς τὸν ΒΔ, ὁ πόλος τοῦ ΒΔ οὐκ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. εἰλήφθω οὖν ὁ πόλος τοῦ ΒΔ50
10κύκλου καὶ ἔστω τὸ Ε σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ Ε σημείου καὶ ἑνὸς τῶν τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΕΓΗ, καὶ πόλῳ μὲν τῷ Ε, διαστήματι δὲ τῷ ΑΕ, κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΖ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΖ τῷ ΒΔ· περὶ γὰρ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσίν. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΑΖ μεγίστου τινὸς
15κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τέμνουσι τὸ Α τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ, ἐφάψονται ἄρα ἀλλήλων· ὁ ἄρα ΑΒΓ κύκλος τοῦ ΑΖ κύκλου ἐφάψεται. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΑΖ ἐφάπτεται, ἐφάψεται ἄρα καὶ ἑτέρου ἴσου τε καὶ παραλλήλου τῷ ΑΖ· ἐφαπτέσθω οὖν τοῦ ΓΗ.
20ἐπεὶ οὖν ὁ ΑΖ τῷ ΓΗ ἴσος τέ ἐστι καὶ παράλληλος, ἀλλ’ ὁ ΑΖ τῷ ΒΔ ἐστι παράλληλος, καὶ ὁ ΓΗ ἄρα τῷ ΒΔ ἐστι παράλληλος· ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος ἐφάψεται δύο κύκλων τῶν ΑΖ, ΓΗ ἴσων μὲν ἀλλήλοις, παραλλήλων δὲ τῷ ΒΔ.

2

.

9

 Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γραφῇ, δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων. ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΖΑΕΒ, ΖΓΕΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλους
5κατὰ τὰ Ζ, Ε σημεῖα, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΓΒΔ. λέγω, ὅτι ὁ ΑΓΒΔ κύκλος δίχα τεμεῖ τᾶ ἀπειλημ‐ μένα τμήματα τῶν κύκλων, τουτέστιν ὅτι ἡ μὲν ΖΑ περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΑΕ περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΖΒ περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΒΕ περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΖΓ τῇ ΓΕ, καὶ ἔτι ἡ ΖΔ τῇ ΔΕ.
10ἔστω γὰρ τοῦ μὲν ΑΓΒΔ κύκλου καὶ τοῦ ΖΑΕΒ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΒ, τοῦ δὲ ΑΓΒΔ καὶ τοῦ ΖΓΕΔ κοινὴ τομὴ ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΗ, ΗΕ. καὶ ἐπεὶ τὰ Ζ, Η, Ε σημεῖα ἐν τῷ τοῦ ΑΕΒΖ κύκλου ἐπιπέδῳ εἰσίν, ἔστι δὲ καὶ ἐν τῷ τοῦ ΖΔΕΓ κύκλου ἐπιπέδῳ, τὰ Ζ, Η, Ε ἄρα
15σημεῖα ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐστι τῶν δύο ἐπιπέδων· πάντως δὲ δύο ἐπιπέδων ἡ κοινὴ τομὴ εὐθεῖά ἐστιν· ἐπ’ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΕ. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΓΒΔ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΖΑΕΒ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ἡ ΑΒ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΖΑΕΒ κύκλου. ὁμοίως52
20δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ διάμετρός ἐστι τοῦ ΖΔΕΓ κύκλου. καὶ ἐπεὶ ὁ ΑΓΒΔ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς ἑκάτερον τῶν ΖΑΕΒ, ΖΔΕΓ κύκλων, καὶ ἑκάτερος ἄρα τῶν ΖΑΕΒ, ΖΔΕΓ ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΓΒΔ κύκλον. ἐὰν δὲ δύο ἐπίπεδα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ κοινὴ τομὴ αὐτῶν τῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται· καὶ ἡ κοινὴ ἄρα τομὴ τῶν
25ΖΑΕΒ, ΖΔΕΓ τῷ ΑΓΒΔ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. κοινὴ δὲ αὐτῶν τομή ἐστιν ἡ ΖΗΕ· καὶ ἡ ΖΗΕ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΓΒΔ κύκλον· ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΓΒΔ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ τῆς ΖΗΕ ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΓΔ οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΓΒΔ κύκλου ἐπιπέδῳ·
30ἡ ΖΗΕ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΑΒ, ΓΔ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ ὀρθή ἐστι πρὸς τὴν ΖΗΕ. ἐπεὶ οὖν ἐν κύκλῳ τῷ ΖΑΕΒ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΑΒ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαν τὴν ΖΗΕ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ δίχα αὐτὴν τεμεῖ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΕ. κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΑ· ἴση ἄρα ἐστὶ
35καὶ ἡ ΖΑ περιφέρεια τῇ ΑΕ περιφερείᾳ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ μὲν ΖΒ τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΖΓ τῇ ΓΕ, καὶ ἔτι ἡ ΖΔ τῇ ΔΕ ἐστιν ἴση. ὁ ΑΓΒΔ ἄρα κύκλος δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων.

2

.

10

 Ἐὰν ὦσιν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστοι κύκλοι γραφῶσιν, αἱ μὲν τῶν παραλλήλων κύκλων περιφέρειαι αἱ μεταξὺ τῶν μεγίστων κύκλων ὅμοιαί εἰσιν, αἱ δὲ τῶν μεγίστων κύκλων περιφέρειαι αἱ μεταξὺ τῶν παραλλήλων κύκλων ἴσαι εἰσίν.
5 ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ κύκλοι παράλληλοι οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΑΕΗΓ, ΒΖΘΔ. λέγω, ὅτι αἱ μὲν τῶν παραλλήλων κύκλων περιφέρειαι αἱ μεταξὺ τῶν μεγίστων κύκλων ὅμοιαί εἰσι, τουτέστιν ὅτι ἡ μὲν ΒΓ περιφέρεια ὁμοία ἐστὶ τῇ ΖΗ περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΓΔ τῇ ΗΘ, ἡ δὲ ΔΑ τῇ ΘΕ, καὶ ἔτι ἡ54
10ΑΒ τῇ ΕΖ, αἱ δὲ τῶν μεγίστων κύκλων περιφέρειαι αἱ μεταξὺ τῶν παραλλήλων κύκλων ἴσαι εἰσί, τουτέστιν ὅτι αἱ τέσσαρες αἱ ΖΒ, ΗΓ, ΘΔ, ΕΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἔστω γὰρ τοῦ μὲν ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τοῦ ΒΖΘΔ κοινὴ τομὴ ἡ ΒΔ, τοῦ δὲ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τοῦ ΑΕΗΓ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΓ, τοῦ δὲ
15ΕΖΗΘ κύκλου καὶ τοῦ ΖΚΘ κοινὴ τομὴ ἡ ΖΘ, τοῦ δὲ ΕΖΗΘ καὶ τοῦ ΕΚΗ κοινὴ τομὴ ἡ ΕΗ. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΕΗΓ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΒΓΔ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ἡ ΑΓ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. ὁμοίως δὴ
20δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΒΔ διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου· τὸ Λ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. πάλιν, ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΕΗΓ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΕΖΗΘ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ἡ ΕΗ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΖΘ διάμετρός
25ἐστι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου· τὸ Μ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ ὑπό τινος ἐπιπέδου τέμνεται τοῦ ΒΖΘΔ, αἱ κοιναὶ αὐτῶν ἄρα τομαὶ παράλληλοί εἰσι· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ τῇ ΖΘ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΕΗ παράλληλός ἐστιν. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι
30ἀλλήλων αἱ ΒΛ, ΛΓ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΖΜ, ΜΗ εἰσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι, ἴσας γωνίας περιέξουσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΜΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΛΓ γωνίᾳ. καί εἰσι πρὸς τοῖς κέντροις, καὶ βέβηκεν ἡ μὲν ὑπὸ ΖΜΗ γωνία ἐπὶ τῆς ΖΗ περιφερείας, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΛΓ γωνία ἐπὶ τῆς ΒΓ περιφερείας· ὁμοία ἄρα ἐστιν ἡ ΒΓ
35περιφέρεια τῇ ΖΗ περιφερείᾳ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ μὲν ΓΔ
περιφέρεια ὁμοία ἐστὶ τῇ ΗΘ περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΕΘ, καὶ ἔτι ἡ ΑΒ τῇ ΕΖ· αἱ ἄρα τῶν παραλλήλων κύκλων περιφέρειαι αἱ μεταξὺ τῶν μεγίστων κύκλων ὅμοιαί εἰσι. λέγω δή, ὅτι καὶ αἱ τῶν μεγίστων κύκλων περιφέρειαι αἱ μεταξὺ56
40τῶν παραλλήλων κύκλων ἴσαι εἰσίν. ἐπεὶ γὰρ τὸ Κ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΚΑ, ΚΒ, ΚΓ, ΚΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Κ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ, ΚΘ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί· λοιπαὶ ἄρα αἱ τέσσαρες αἱ ΕΑ, ΖΒ, ΗΓ,
45ΘΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. αἱ ἄρα τῶν μεγίστων κύκλων περιφέρειαι αἱ μεταξὺ τῶν παραλλήλων κύκλων ἴσαι εἰσίν.

2

.

11

 Ἐὰν ἐν ἴσοις κύκλοις ἐπὶ διαμέτρων ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκ‐ λων ἐπισταθῇ, ἀπὸ δὲ αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσι πρὸς τοῖς πέρασι τῶν τμημάτων ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων, καὶ ἀπὸ τῶν γενομένων σημείων πρὸς τὰς τῶν ἐξ ἀρχῆς κύκλων περιφερείας ἴσαι
5εὐθεῖαι προσβληθῶσιν, ἴσας ἀπολήψονται περιφερείας τῶν ἐξ ἀρχῆς κύκλων πρὸς τοῖς πέρασι τῶν διαμέτρων. ἐν γὰρ ἴσοις κύκλοις τοῖς ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπὶ διαμέτρων τῶν ΑΓ, ΔΖ ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκλων ἐφεστάτω τὰ ΑΗΓ, ΔΘΖ, καὶ ἀπ’ αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν πρὸς τοῖς πέρασι τοῖς Α, Δ σημείοις
10αἱ ΑΗ, ΔΘ ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων τῶν ΑΗΓ, ΔΘΖ, καὶ ἀπὸ τῶν Η, Θ σημείων πρὸς τὰς τῶν ἐξ ἀρχῆς κύκλων τῶν ΑΒΓ, ΔΕΖ περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι προσβεβλήσθωσαν αἱ ΗΒ, ΘΕ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ. ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν Η, Θ σημείων ἐπὶ τὰ τῶν ΑΒΓ, ΔΕΖ
15κύκλων ἐπίπεδα κάθετοι· πεσοῦνται δὴ ἐπὶ τὰς κοινὰς τομάς, τουτέστιν ἐπὶ τὰς ΑΓ, ΔΖ. πιπτέτωσαν καὶ ἔστωσαν αἱ ΗΚ, ΘΛ, καὶ εἰλήφθω τὰ κέντρα τῶν ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλων καὶ ἔστω τὰ Μ, Ν σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΒ, ΒΜ, ΛΕ, ΕΝ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΗΚ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον,
20καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΚΒ οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΚΒ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΘΛΕ γωνία ὀρθή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ δύο τμήματα ἴσα ἐστὶ τὰ ΑΗΓ, ΔΘΖ, καὶ ἴσαι ἀπειλημμέναι εἰσὶ περιφέρειαι58
25αἱ ΑΗ, ΔΘ, καὶ κάθετοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΚΗ, ΘΛ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΚ τῇ ΔΛ, ἡ δὲ ΗΚ τῇ ΘΛ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΘΕ, ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΕ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΒΗ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΗΚ, ΚΒ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΘΕ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΘΛ, ΛΕ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΗΚ, ΚΒ ἴσα ἐστὶ τοῖς
30ἀπὸ τῶν ΘΛ, ΛΕ· ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΗΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΛ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΚΒ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΛΕ ἐστιν ἴσον· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΒ τῇ ΛΕ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΜ τῇ ΔΝ, ὧν ἡ ΑΚ τῇ ΔΛ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΜ λοιπῇ τῇ ΛΝ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΜ τῇ ΝΕ ἴση· δύο δὴ αἱ ΚΜ, ΜΒ δύο ταῖς ΛΝ,
35ΝΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ βάσις ἡ ΚΒ βάσει τῇ ΛΕ ἐστιν ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΜΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΝΕ ἐστιν ἴση. ἐν δὲ τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ.

2

.

12

 Ἐὰν ἐν ἴσοις κύκλοις ἐπὶ διαμέτρων ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκ‐ λων ἐπισταθῇ, ἀπὸ δὲ αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσι πρὸς τοῖς πέρασιν ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων τμημάτων, ἀπὸ δὲ τῶν κύκλων ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη πρὸς τοῖς
5πέρασι τῶν διαμέτρων, αἱ ἐπὶ τὰ γενόμενα σημεῖα ἐπιζευγνύμεναι εὐθεῖαι ἴσαι ἔσονται ἀλλήλαις. ἐν γὰρ ἴσοις κύκλοις τοῖς ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπὶ διαμέτρων τῶν ΑΓ, ΔΖ
ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκλων ἐφεστάτω τὰ ΑΗΓ, ΔΘΖ, καὶ ἀπ’ αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη πρὸς τοῖς60
10πέρασι τῶν τμημάτων αἱ ΑΗ, ΔΘ ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων τμημάτων, ἀπὸ δὲ τῶν ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλων ἀφῃρήσθωσαν ἴσαι περιφέ‐ ρειαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη πρὸς τοῖς πέρασι τῶν διαμέτρων αἱ ΑΒ, ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΒ, ΘΕ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΗΒ τῇ ΘΕ. ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν Η, Θ σημείων ἐπὶ τὰ τῶν ΑΒΓ, ΔΕΖ
15κύκλων ἐπίπεδα κάθετοι αἱ ΗΚ, ΘΛ· πεσοῦνται δὴ ἐπὶ τὰς κοινὰς τομάς, τουτέστιν ἐπὶ τὰς ΑΓ, ΔΖ, καὶ εἰλήφθω τὰ κέντρα τῶν κύκλων καὶ ἔστω τὰ Μ, Ν σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΒ, ΒΜ, ΛΕ, ΕΝ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΜΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΝΕ γωνίᾳ. καὶ ἐπεὶ δύο τμήματα
20κύκλων ἴσα ἐστὶ τὰ ΑΗΓ, ΔΘΖ, καὶ ἀπειλημμέναι εἰσὶν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΑΗ, ΔΘ, καὶ κάθετοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΚΗ, ΘΛ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΚ τῇ ΔΛ, ἡ δὲ ΗΚ τῇ ΘΛ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΜ τῇ ΔΝ ἐστιν ἴση, ὧν ἡ ΑΚ τῇ ΔΛ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΜ λοιπῇ τῇ ΛΝ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΜ τῇ ΝΕ ἴση· δύο δὴ αἱ ΚΜ, ΜΒ δύο ταῖς ΛΝ,
25ΝΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΜΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΝΕ ἐστιν ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΚΒ βάσει τῇ ΛΕ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἡ ΗΚ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΚΒ· ὀρθὴ
30ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΚΒ γωνία. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΘΛΕ γωνία ὀρθή ἐστιν. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΗΚ τῇ ΘΛ, ἡ δὲ ΚΒ τῇ ΛΕ, δύο δὴ αἱ ΗΚ, ΚΒ δύο ταῖς ΘΛ, ΛΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ ὀρθὰς γωνίας περιέχουσιν· βάσις ἄρα ἡ ΗΒ βάσει τῇ ΘΕ ἐστιν ἴση.

2

.

13

Ἐὰν ὦσιν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι, καὶ γραφῶσι μέγιστοι
κύκλοι ἑνὸς μὲν αὐτῶν ἐφαπτόμενοι, τοὺς δὲ λοιποὺς τέμνοντες, αἱ μὲν τῶν παραλλήλων κύκλων περιφέρειαι αἱ μεταξὺ τῶν ἀσυμπτώτων ἡμικυκλίων τῶν μεγίστων κύκλων ὅμοιαί εἰσιν, αἱ δὲ τῶν μεγίστων κύκλων περι‐62
5φέρειαι αἱ μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἴσαι εἰσίν. ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ, ΚΛ, καὶ γεγράφθωσαν μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΕΚΗΓΦΤ, ΒΖΛΘΔΥ ἑνὸς μὲν αὐτῶν τοῦ ΚΛ ἐφαπτόμενοι κατὰ τὰ Κ, Λ σημεῖα, τοὺς δὲ λοιποὺς τέμνοντες. λέγω, ὅτι αἱ μὲν τῶν παραλλήλων κύκλων περιφέρειαι αἱ
10μεταξὺ τῶν ἀσυμπτώτων ἡμικυκλίων τῶν μεγίστων κύκλων ὅμοιαί εἰσιν. τίνες δέ εἰσιν αἱ μεταξὺ τῶν ἀσυμπτώτων ἡμικυκλίων, γνωσόμεθα οὕτως· ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ οἱ μέγιστοι κύκλοι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλους, ἡ ἄρα ΣΚΑΤ ἡμικυκλίου ἐστὶ περιφέρεια· ἡ ΚΑΤ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν
15ἡμικυκλίου. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ΤΦΓΣ ἡμικυκλίου ἐστὶ περιφέρεια, ἡ ἄρα ΚΣΗΓΦΤ μείζων ἐστὶν ἡμικυκλίου. ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΚΑΤ ἐλάσσων ἐστὶν ἡμικυκλίου· ἔστω οὖν ἡμικυκλίου ἡ ΚΑΤΦ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ΣΒΤ ἡμικυκλίου ἐστὶ περιφέρεια, ἡ ἄρα ΛΣΒΤ μείζων ἐστὶν ἡμικυκλίου. κείσθω οὖν ἡμικυκλίου ἡ ΛΣΒΥ· τὸ ἄρα ἀπὸ τοῦ Κ ἡμικύκλιον,
20τουτέστι τὸ ΚΑΤΦ, ἀσύμπτωτόν ἐστι τῷ ἀπὸ τοῦ Λ ἡμικυκλίῳ, τουτέστι τῷ ΛΣΒΥ. ὁμοίως δὴ καὶ τὸ ΚΣΓΦ ἡμικύκλιον ἀσύμπτωτόν ἐστι τῷ ΛΔΤΥ ἡμικυκλίῳ· αἱ ἄρα μεταξὺ τῶν ἀσυμπτώτων ἡμικυκλίων τῶν μεγίστων κύκλων οὖσαι τῶν παραλλήλων κύκλων περιφέρειαι αἱ ΚΡΛ, ΕΞΖ, ΑΝΒ, ΗΟΘ, ΓΠΔ περιφέρειαί εἰσιν.
25 λέγω οὖν, ὅτι αἱ μὲν ΚΡΛ, ΕΞΖ, ΑΝΒ ὅμοιαί εἰσι καὶ ἔτι αἱ ΚΡΛ, ΗΟΘ, ΓΠΔ ὅμοιαι ἀλλήλαις εἰσίν, αἱ δὲ τῶν μεγίστων κύκλων περιφέρειαι αἱ μεταξὺ τῶν παραλλήλων κύκλων ἴσαι εἰσί, τουτέστιν ὅτι αἱ μὲν τέσσαρες αἱ ΕΚ, ΚΗ, ΖΛ, ΛΘ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, αἱ δὲ τέσσαρες αἱ ΑΕ, ΒΖ, ΗΓ, ΘΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
30 εἰλήφθω γὰρ ὁ πόλος τῶν παραλλήλων κύκλων καὶ ἔστω τὸ Μ σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ Μ καὶ ἑκατέρου τῶν Κ, Λ σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΜΚΞΝ, ΜΛΟΠ. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΕΚΗΓΤ, ΚΛ ἐφάπτονται ἀλλήλων κατὰ τὸ Κ σημεῖον, διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων τοῦ ΚΛ καὶ
35τῆς ἁφῆς μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΜΚΞΝ, ὁ ΜΚΞΝ ἄρα κύκλος καὶ διὰ τῶν τοῦ ΑΕΚΗΓΤ ἥξει πόλων καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ὁ ΜΛΟΠ ἥξει διὰ τῶν τοῦ ΒΖΛΘΔΤ πόλων καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν. καὶ ἐπεὶ ἐν ἴσοις κύκλοις τοῖς ΑΕΚΗΓΤ, ΒΖΛΘΔΤ ἐπὶ διαμέτρων τῶν ἀπὸ τῶν Κ, Λ σημείων ἴσα64
40καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκλων ἐφέσταται τὰ ΚΜ, ΛΜ καὶ τὰ τούτοις συνεχῆ, ἀπὸ δὲ αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΚΜ, ΜΛ ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων, καί ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Μ ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση τῇ ἀπὸ τοῦ Μ ἐπὶ τὸ Δ ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ, ἴσας ἄρα περιφερείας ἀπολήψονται· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΚ περιφέρεια
45τῇ ΛΔ περιφερείᾳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΕΚ τῇ ΛΘ ἔσται ἴση. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ, ΑΕΚΗΓΤ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΜΚΞΝ, ὁ ΜΚΞΝ ἄρα δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕΚ περιφέρεια τῇ ΚΗΓ περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΑΝ τῇ ΝΓ. ὁμοίως

2

.

13

(50)

δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ μὲν ΒΛ τῇ ΛΔ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΒΠ τῇ ΠΔ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕΚ περιφέρεια τῇ ΛΘΔ περιφερείᾳ, καί ἐστι τῆς μὲν ΑΕΚ περιφερείας διπλῆ ἡ ΑΕΚΗΓ περιφέρεια, τῆς δὲ ΛΘΔ περιφερείας διπλῆ ἡ ΔΘΛΒ, καὶ ἡ ΑΕΚΗΓ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ ΔΘΛΒ. καί εἰσιν ἴσοι οἱ κύκλοι· μέγιστοι γάρ εἰσιν· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ
55Α ἐπὶ τὸ Γ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ, καὶ διὰ τοῦτο ἡ ΑΒΓ περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΔΓΒ περιφερείᾳ. καί ἐστι τῆς μὲν ΑΒΓ περιφερείας ἡμίσεια ἡ ΑΝ,
τῆς δὲ ΒΠΔ ἡμίσεια ἡ ΒΠ· καὶ ἡ ΑΝ ἄρα τῇ ΒΠ ἴση ἐστίν. κοινὴ προσκείσθω ἡ ΝΒ· ὅλη ἄρα ἡ ΑΝΒ ὅλῃ τῇ ΝΒΠ ἐστιν ἴση. καί66
60εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΝΒ περιφέρεια τῇ ΝΒΠ περιφερείᾳ. ἀλλ’ ἡ ΝΒΠ τῇ ΚΛ ἐστιν ὁμοία· ἐὰν γὰρ ὦσιν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστοι κύκλοι γραφῶσιν, αἱ τῶν παραλλήλων κύκλων περιφέρειαι αἱ μεταξὺ τῶν μεγίστων κύκλων ὅμοιαί εἰσιν· καί εἰσιν αἱ ΚΛ, ΝΒΓΠ περιφέρειαι τῶν παραλλήλων
65κύκλων μεταξὺ οὖσαι τῶν μεγίστων τῶν ΜΝ, ΜΠ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν ὄντων· καὶ ἡ ΑΝΒ ἄρα τῇ ΚΛ ἐστιν ὁμοία. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΕΞΖ τῇ ΚΛ ἐστιν ὁμοία· καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῇ ΕΖ ὁμοία ἐστίν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΠΔ τῇ ΗΟΘ ἐστιν ὁμοία. αἱ ἄρα τῶν παραλλήλων κύκλων περιφέρειαι αἱ μεταξὺ τῶν ἀσυμπτώτων ἡμικυκλίων
70τῶν μεγίστων κύκλων ὅμοιαί εἰσιν. λέγω δέ, ὅτι καὶ αἱ τῶν μεγίστων κύκλων περιφέρειαι αἱ μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἴσαι εἰσίν. ἐπεὶ γὰρ αἱ τέσσαρες αἱ ΑΕΚ, ΚΗΓ, ΒΖΛ, ΛΘΔ περιφέρειαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ὧν αἱ τέσσαρες αἱ ΕΚ, ΚΗ, ΖΛ, ΛΘ ἴσαι ἀλλήλαις
75εἰσίν [ὁμοίως γὰρ ὁ ΚΝ κύκλος μέγιστος ὢν δίχα τέμνει τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τὰ ΕΚΗ, ΕΞΗ καὶ τὰ ΖΛΘ ΖΟΘ· ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ ΕΚ τῇ ΚΗ. ἀλλ’ ἡ ΕΚ τῇ ΛΘ ἐδείχθη ἴση· καὶ ἡ ΚΗ ἄρα τῇ ΛΘ ἐστιν ἴση. ἀλλ’ ἡ ΘΛ τῇ ΛΖ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ΛΖ ἄρα τῇ ΚΗ ἐστιν ἴση. αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΕΚ, ΚΗ, ΖΛ ΛΘ ἴσαι εἰσίν], λοιπαὶ ἄρα αἱ
80τέσσαρες αἱ ΑΕ, ΒΖ, ΓΗ, ΘΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. αἱ ἄρα τῶν μεγίστων κύκλων περιφέρειαι αἱ μεταξὺ τῶν παραλλήλων κύκλων ἴσαι εἰσίν.

2

.

14

 Κύκλου δοθέντος ἐν σφαίρᾳ ἐλάττονος τοῦ μεγίστου καὶ σημείου τινὸς ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ γράψαι διὰ τοῦ σημείου μέγιστον κύκλον ἐφαπτόμενον τοῦ δοθέντος. ἔστω ὁ δοθεὶς ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒ ἐλάσσων ὢν τοῦ μεγίστου,
5τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ ἔστω τὸ Β· δεῖ δὴ διὰ τοῦ Β σημείου γράψαι μέγιστον κύκλον ἐφαπτόμενον τοῦ ΑΒ κύκλου.
ἔστω γὰρ ὁ πόλος τοῦ ΑΒ κύκλου τὸ Γ σημεῖον, καὶ διὰ τῶν Γ, Β σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΒΔ, καὶ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου68
10ἴση ἀπειλήφθω ἡ ΔΒ [οὐ γὰρ ἐγχωρεῖ τὴν ΒΓ εἶναι τεταρτημορίου· ἔσται γὰρ μέγιστος ὁ ΑΒ, ὅπερ οὐχ ὑπόκειται· οὐκ ἄρα ἡ ΓΒ τεταρτη‐ μορίου], καὶ πόλῳ μὲν τῷ Δ, διαστήματι δὲ τῷ ΔΒ, κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΒΖ· μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΕΒΖ· ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου.
15καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒ, ΕΒΖ μεγίστου τινὸς κύκλου περιφέρειαν τοῦ ΓΒΔ κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τὸ Β τέμνουσι τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ, ἐφάψονται ἀλλήλων οἱ κύκλοι· ἐφάψεται ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος τοῦ ΕΒΖ κύκλου. διὰ ἄρα τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Β γέγραπται μέγιστος κύκλος ὁ ΕΒΖ ἐφαπτόμενος τοῦ ΑΒ κύκλου κατὰ
20τὸ Β σημεῖον.

2

.

15

 Κύκλου δοθέντος ἐν σφαίρᾳ ἐλάσσονος τοῦ μεγίστου καὶ σημείου τινὸς ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ὅ ἐστι μεταξὺ αὐτοῦ τε καὶ τοῦ ἴσου τε καὶ παραλλήλου αὐτῷ, γράψαι διὰ τοῦ σημείου μέγιστον κύκλον ἐφαπτόμενον τοῦ δοθέντος κύκλου.
5 ἔστω ὁ δοθεὶς ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐλάσσων τοῦ μεγίστου ὁ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ὅ ἐστι μεταξὺ αὐτοῦ τε τοῦ ΑΒ καὶ τοῦ ἴσου τε καὶ παραλλήλου αὐτῷ, ἔστω τὸ Γ· δεῖ δὴ διὰ τοῦ Γ σημείου γράψαι μέγιστον κύκλον ἐφαπτόμενον τοῦ ΑΒ κύκλου. εἰλήφθω γὰρ ὁ πόλος τοῦ ΑΒ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Δ σημεῖον,
10καὶ πόλῳ μὲν τῷ Δ, διαστήματι δὲ τῷ ΔΓ, κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΕΖΗ, καὶ διὰ τῶν Δ, Γ σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΓΘ. ἡ δὴ ΒΓ ἤτοι ἐλάττων ἐστὶ τῆς, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου, ἢ ἴση ἢ μείζων. ἔστω πρῶτον ἐλάττων, καὶ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου
15πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου, ἴση περιφέρεια ἀπειλήφθω ἡ ΒΘ, καὶ πόλῳ μὲν τῷ Θ, διαστήματι δὲ τῷ ΒΘ, κύκλος
γεγράφθω ὁ ΕΒΗ· μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΕΒΗ κύκλος· ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· καὶ ἐφάψεται τοῦ ΑΒ· δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΕΒΗ,70
20ΑΒ μεγίστου κύκλου περιφέρειαν τὴν ΔΒΓΘ κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τέμνουσι τὸ Β τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ. καὶ διὰ τοῦ Δ σημείου καὶ ἑκατέρου τῶν Ε, Η σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΔΜΕΚ, ΔΝΗΛ, καὶ τῇ ΓΘ περιφερείᾳ ἴση ἀπειλήφθω ἑκατέρα τῶν ΕΚ, ΗΛ.
25 καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΕΒΗ, ΖΕΓΗ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΔΒΓΘ, δίχα ἄρα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΕΓ περιφέρεια τῇ ΓΗ περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΕΒ περιφέρεια τῇ ΒΗ περιφερείᾳ. καὶ ἐπεὶ αἱ τρεῖς αἱ ΔΜΕ, ΔΒΓ, ΔΝΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ἐκ γὰρ
30τοῦ πόλου εἰσὶ τοῦ ΖΕΗ κύκλου· εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ΔΜ, ΔΒ, ΔΝ ἴσαι ἀλλήλαις, λοιπαὶ ἄρα αἱ ΜΕ, ΒΓ, ΝΗ ἴσαι εἰσίν. ἀλλὰ καὶ αἱ ΕΚ, ΓΘ, ΗΛ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ὅλαι ἄρα αἱ ΜΚ, ΒΘ, ΝΛ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. καί ἐστιν ἡ ΒΘ ἴση τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· καὶ αἱ ΜΚ, ΝΛ
35ἄρα ἴσαι εἰσὶ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρά. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΔΒΓΘ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΖΕΓΗ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ὁ ΔΒΓΘ ἄρα ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΖΕΓΗ κύκλον. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ὁ ΔΝΗΛ ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΖΕΓΗ, καὶ ἔτι ὁ ΔΜΕΚ ὀρθός
40ἐστι πρὸς τὸν ΖΕΓΗ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΝ, ΛΓ, ΘΕ. καὶ ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΖΕΓΗ ἐπὶ διαμέτρων τῶν ἀπὸ τῶν Γ, Η σημείων ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκλων ἐφέσταται τὰ ΓΘ, ΗΛ καὶ τὰ τούτοις συνεχῆ, καὶ ἀπ’ αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΓΘ, ΗΛ ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι
45οὖσαι τῶν ὅλων, καί ἐστιν ἴση ἡ ΕΓ περιφέρεια τῇ ΓΗ, ἴση ἄρα ἐστὶν
ἡ ΘΕ τῇ ΛΓ. τετραγώνου δὲ ἡ ΘΕ· καὶ ἡ ΛΓ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΝ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΛ τῇ ΛΝ· ὁ ἄρα πόλῳ τῷ Λ, διαστήματι δὲ τῷ72

2

.

15

(50)

ΛΓ, κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ν σημείου. ἐρχέσθω καὶ ἔστω ὡς ὁ ΓΝΞ. μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΝΞ· ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι μεγίστου τινὸς κύκλου περιφέρειαν τὴν ΔΝΗΛ κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τέμνουσι τὸ Ν τοὺς
55πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ, ἐφάψονται ἄρα ἀλλήλων· ὁ ΓΝΞ ἄρα τοῦ ΑΒ κύκλου ἐφάψεται. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ὁ πόλῳ τῷ Κ, διαστήματι δὲ τῷ ΚΓ, κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Μ σημείου. ἐὰν γὰρ ἐπιζεύξωμεν τὰς ΓΚ, ΘΗ, ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται [ὁμοίως
60γὰρ ἐπὶ τοῦ ΖΕΓΗ κύκλου ἐπὶ διαμέτρων τῶν ἀπὸ τῶν Θ, Γ σημείων ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκλων ἐφέσταται τὰ ΕΚ, ΓΘ καὶ τὰ συνεχῆ αὐτοῖς, καὶ τῶν μὲν ἐφεστηκότων τμημάτων ἴσαι περιφέρειαι ἀφῃρημέναι εἰσὶν αἱ ΕΚ, ΓΘ ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων, τοῦ δὲ ἐξ ἀρχῆς κύκλου ἴσαι αἱ ΕΓ, ΓΗ· ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΓΚ εὐθεῖα τῇ ΘΗ
65εὐθείᾳ]. καί ἐστιν ἡ ΘΗ τετραγώνου πλευρά· ἐκ γὰρ τοῦ πόλου ἐστὶ μεγίστου κύκλου τοῦ ΕΒΗ· καὶ ἡ ΓΚ ἄρα τετραγώνου ἔσται πλευρά. ἀλλὰ καὶ ἡ ΚΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΜ τῇ ΚΓ· ὁ ἄρα πόλῳ τῷ Κ, διαστήματι δὲ τῷ ΚΓ, κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Μ σημείου καὶ ἔσται ὡς ὁ ΓΜΟ καὶ ἐφάψεται τοῦ ΑΒ κύκλου· καὶ γίγνεται διχῶς
70τὸ πρόβλημα. διὰ ἄρα τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ, ὅ ἐστι μεταξὺ τοῦ ΑΒ καὶ τοῦ ἴσου τε καὶ παραλλήλου αὐτῷ μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΓΝΞ καὶ ὁ ΓΜΟ. ἐὰν δὲ ἡ ΒΓ ἴση ᾖ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ
75τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου, τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον
κατασκευάσαντες ἀποδείξομεν οὕτως· ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΓ ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ, ΔΗ, ὧν ἡ ΔΒ ἴση ἐστὶν ἑκατέρᾳ τῶν ΔΜ, ΔΝ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΓ ἴση ἐστὶν ἑκατέρᾳ τῶν ΝΗ, ΕΜ. τετραγώνου δὲ ἡ ΒΓ· τετραγώνου ἄρα ἐστὶ καὶ ἑκατέρα τῶν74
80ΝΗ, ΕΜ. ἐπεὶ οὖν τετραγώνου ἐστὶν ἡ ΝΗ, ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΓ· ἐκ τοῦ πόλου γὰρ τοῦ ΕΒΗ κύκλου ἐστὶν ἡ ΗΓ· ἴση ἐστὶν ἡ ΝΗ τῇ ΓΗ· ὁ ἄρα πόλῳ τῷ Η, διαστήματι δὲ τῷ ΓΗ, γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ν σημείου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ὁ πόλῳ τῷ Ε, διαστήματι δὲ τῷ ΕΓ, κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Μ σημείου·
85καὶ ἔσται διχῶς τὸ πρόβλημα. ἐὰν δὲ μείζων ᾖ τεταρτημορίου ἡ ΒΓ, ἀναπληρώσομεν τὸν ΔΒΓΘ κύκλον ἕως τοῦ ἑτέρου πόλου, καὶ ἐλάττονος γινομένης τεταρτημορίου τὴς ἀπὸ τοῦ Γ ἕως τοῦ πόλου τοῦ παραλλήλου τῷ ΑΒ κύκλου τοῦ Φ· ἡμικυκλίου γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ τοῦ ΑΒ κύκλου πόλου τοῦ Δ ἕως τοῦ ἑτέρου
90πόλου τοῦ Φ, μείζων δὲ τεταρτημορίου ἡ ΒΓ· ἀφαιρήσομεν ἴσην τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρά, καὶ ἐπιζεύξαντες καὶ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον κατασκευάσαντες δείξομεν τὸν διὰ τοῦ Γ σημείου γραφόμενον κύκλον ἐφαπτόμενον τοῦ δοθέντος κύκλου [τοῦ ΑΒ δηλαδή].

2

.

16

 Οἱ ὁμοίας ἀφαιροῦντες περιφερείας ἐν σφαίρᾳ μέγιστοι κύκλοι παραλλήλων τινῶν κύκλων ἤτοι διὰ τῶν πόλων εἰσὶ τῶν παραλλήλων ἢ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐφάπτονται. ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΕΗΓ, ΒΖΘΔ παραλλήλων τινῶν
5κύκλων τῶν ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ ὁμοίας ἀφαιρείτωσαν περιφερείας τὰς μεταξὺ αὐτῶν, τουτέστι τὴν ΑΒ τῇ ΕΖ ὁμοίαν. λέγω, ὅτι οἱ ΑΕΗΓ, ΒΖΘΔ ἤτοι διὰ τῶν πόλων εἰσὶ τῶν παραλλήλων ἢ τοῦ αὐτοῦ ἐφάπτονται τῶν παραλλήλων. ἤτοι γὰρ ὁ ΑΗΓ κύκλος διὰ τῶν πόλων ἐστὶ τῶν παραλλήλων ἢ οὔ.
10 ἔστω πρότερον διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων. λέγω, ὅτι καὶ ὁ ΒΘΔ κύκλος διὰ τῶν πόλων ἐστὶ τῶν παραλλήλων, τουτέστιν ὅτι τὸ Κ
σημεῖον πόλος ἐστὶ τῶν παραλλήλων κύκλων τῶν ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ. μὴ γάρ, ἀλλ’, εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Λ σημεῖον πόλος τῶν παρ‐ αλλήλων, καὶ διὰ τῶν Λ, Ζ σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ76
15ΛΖΜ· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒΜ περιφέρεια τῇ ΕΖ. ἀλλ’ ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ ἐστιν ὁμοία· καὶ ἡ ΜΑ ἄρα τῇ ΑΒ ἐστιν ὁμοία. καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΑ περιφέρεια τῇ ΑΒ περιφερείᾳ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὸ Λ σημεῖον πόλος ἐστὶ τῶν παραλλήλων. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλο πλὴν τοῦ Κ σημεῖον· τὸ Κ ἄρα σημεῖον
20πόλος ἐστὶ τῶν παραλλήλων. οἱ ἄρα ΑΗΓ, ΒΘΔ κύκλοι διὰ τῶν πόλων εἰσὶ τῶν παραλλήλων. ἀλλὰ δὴ πάλιν μὴ ἔστω ὁ ΑΗΓ διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων· ἤτοι δὴ ἐφάψεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἢ λοξὸς ἔσται πρὸς αὐτόν. ἐφαπτέσθω πρότερον κατὰ τὸ Ε, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας κατα‐
25γραφῆς. λέγω, ὅτι καὶ ὁ ΖΒ ἐφάψεται. εἰ γὰρ δυνατόν, μὴ ἐφαπτέσθω, καὶ γεγράφθω διὰ τοῦ Ζ σημείου τοῦ ΕΖΘ ἐφαπτόμενος μέγιστος κύκλος ὁ ΖΓ ἀσύμπτωτον ποιῶν τὸ ἀπὸ τοῦ ΖΓ ἡμικύκλιον τῷ ἀπὸ τοῦ ΕΑ ἡμικυκλίῳ· ὁμοία ἄρα ἔσται ἡ ΓΑ περιφέρεια τῇ ΕΖ περιφερείᾳ. ἀλλ’ ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ ἐστιν ὁμοία·
30καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῇ ΑΒ ἐστιν ὁμοία. καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ περιφέρεια τῇ ΑΒ περιφερείᾳ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα καὶ ὁ ΒΖΔ κύκλος τοῦ ΕΖΘ κύκλου οὐκ ἐφάψεται· ἐφάψεται ἄρα. ἀλλὰ δὴ ὁ ΑΗΓ λοξὸς ἔστω πρὸς τοὺς παραλλήλους, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς· ἐφάψεται ἄρα δύο κύκλων ἴσων μὲν
35ἀλλήλοις, παραλλήλων δὲ τοῖς ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ. λέγω, ὅτι καὶ ὁ ΒΖΘ λοξός ἐστι πρὸς τοὺς παραλλήλους καὶ τοῦ αὐτοῦ ἐφάψεται. εἰ γὰρ δυνατόν, ὁ μὲν ΑΕΗΓ κύκλος ἐφαπτέσθω ἑνὸς τῶν παραλ‐ λήλων τοῦ ΜΞ κατὰ τὸ Λ σημεῖον, ὁ δὲ ΒΖΘΔ μὴ ἐφαπτέσθω, καὶ διὰ τοῦ Ζ σημείου ὄντος μεταξὺ τοῦ τε ΛΜ κύκλου καὶ τοῦ ἴσου τε καὶ
40παραλλήλου αὐτῷ μέγιστος κύκλος γεγράφθω ἐφαπτόμενος τοῦ ΛΜ
κατὰ τὸ Μ σημεῖον ὁ ΝΖΜ ἀσύμπτωτον ποιῶν τὸ ἀπὸ τοῦ ΛΑ ἡμικύκλιον τῷ ἀπὸ τοῦ ΜΝ ἡμικυκλίῳ· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒΝ περιφέρεια τῇ ΕΖ περιφερείᾳ. ἀλλ’ ἡ ΕΖ περιφέρεια τῇ ΑΒ περιφερείᾳ ὁμοία· καὶ ἡ ΝΑ ἄρα τῇ ΑΒ ἔσται ὁμοία. καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα78
45ἡ ΝΑ περιφέρεια τῇ ΑΒ περιφερείᾳ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ὁ ΔΘΒ κύκλος οὐκ ἐφάψεται [καὶ ὁ ΒΖΘΔ]· ἐφάψεται ἄρα. οἱ ΑΕΗΓ, ΒΖΘΔ ἄρα κύκλοι τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐφάπ‐ τονται.

2

.

17

 Οἱ ἴσας ἀφαιροῦντες ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι μεγίστου τινὸς κύκλου περιφερείας πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων ἴσοι εἰσίν, οἱ δὲ μείζονας ἐλάττονες. ἐν γὰρ σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ μεγίστου τινὸς τοῦ
5ΒΑΓΔ περιφερείας τὰς ΔΖ, ΖΒ πρότερον ἴσας ἀφαιρείτωσαν πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων κύκλον τὸν ΕΖ. λέγω, ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ ΑΒ κύκλος τῷ ΓΔ. ἔστω γὰρ τοῦ μὲν ΑΒ κύκλου καὶ τοῦ ΑΓΔ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΒ, τοῦ δὲ ΕΖ κύκλου καὶ τοῦ Α[Β]ΓΔ κοινὴ τομὴ ἡ ΕΖ, τοῦ δὲ ΓΔ
10κύκλου καὶ τοῦ ΒΑΔ κοινὴ τομὴ ἡ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΕΘΖ, ΓΚΔ ὑπὸ ἐπιπέδου τινὸς τέμνεται τοῦ Α[Β]ΓΔ κύκλου, αἱ κοιναὶ ἄρα αὐτῶν τομαὶ παράλ‐ ληλοί εἰσιν. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΕΖ παράλληλός ἐστι. καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τῷ Α[Β]ΓΔ
15δύο παράλληλοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΖ, ΓΔ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΖ περιφέρεια τῇ ΕΓ περιφερείᾳ· ἐὰν γὰρ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΔ, ἔσονται αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι ἴσαι, ἐν δὲ τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσιν· ἴση ἄρα ἔσται ἡ ΕΓ περιφέρεια τῇ ΖΔ περιφερείᾳ. ὁμοίως
δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΒΖ τῇ ΑΕ ἴση ἐστίν. ἀλλ’ ἡ ΒΖ τῇ ΖΔ ἐστιν80
20ἴση· καὶ ἡ ΑΕ ἄρα τῇ ΕΓ ἐστιν ἴση· καὶ συναμφότεροι ἄρα αἱ ΑΕ, ΒΖ συναμφοτέρῳ τῇ ΕΓ, ΖΔ ἴσαι εἰσίν. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ΕΑΛΒΖ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΕΓΜΔΖ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση· μέγιστοι γάρ εἰσιν οἱ ΕΘΖ, Α[Β]ΓΔ· ὧν συναμφότερος ἡ ΑΕ, ΒΖ συναμφοτέρῳ τῇ ΕΓ, ΖΔ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΛΒ λοιπῇ τῇ ΓΜΔ ἐστιν ἴση. καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ
25κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ εὐθεῖα τῇ ΓΔ εὐθείᾳ. ἤτοι δὴ ὁ Α[Β]ΓΔ κύκλος τοὺς ΑΗΒ, ΓΚΔ κύκλους διὰ τῶν πόλων τέμνει ἢ οὔ. τεμνέτω πρότερον διὰ τῶν πόλων· καὶ δίχα ἄρα αὐτοὺς τεμεῖ· ἡ μὲν ΑΒ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΗΒ κύκλου, ἡ δὲ ΓΔ τοῦ ΓΚΔ
30κύκλου. καί ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ ἴση· ἴσος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ ΑΗΒ κύκλος τῷ ΓΚΔ. ἀλλὰ δὴ πάλιν μὴ τεμνέτω ὁ ΒΑΓΔ κύκλος τοὺς ΑΗΒ, ΓΚΔ κύκλους διὰ τῶν πόλων, καὶ εἰλήφθω ὁ πόλος τῶν παραλλήλων καὶ ἔστω τὸ Ν σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ Ν σημείου καὶ ἑνὸς τῶν τοῦ Α[Β]ΓΔ
35κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΛΘΚΜΞ, καὶ τῇ ΛΝ περιφερείᾳ ἴση ἀπειλήφθω ἡ ΜΞ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΛΝ περιφέρεια τῇ ΜΞ περιφερείᾳ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΝΚΜ περιφέρεια· ὅλη ἄρα ἡ ΛΚΜ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΝΚΜΞ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση. ἡμικυκλίου δὲ ἡ ΛΚΜ· ἡμικυκλίου ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΝΚΜΞ· κατὰ διάμετρον ἄρα ἐστὶ
40τὸ Ν σημεῖον τῷ Ξ σημείῳ. καί ἐστι τὸ Ν ὁ πόλος τῶν παραλλήλων κύκλων· καὶ τὸ Ξ ἄρα σημεῖον ὁ ἕτερος πόλος ἐστὶ τῶν παραλλήλων κύκλων. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ Α[Β]ΓΔ, ΓΚΔ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΛΘΚΞ,
ὁ ἄρα ΛΘΚΞ δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων· ἴση82
45ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ περιφέρεια τῇ ΜΔ περιφερείᾳ· διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜΔ περιφέρεια τῆς ΔΜ περιφερείας. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΒΛΑ περιφέρεια τῆς ΑΛ περιφερείας διπλῆ ἐστιν. καί ἐστιν ἴση ἡ ΓΜΔ τῇ ΑΛΒ περιφερείᾳ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΔ περιφέρεια τῇ ΑΛ περιφερείᾳ. κύκλου δή τινος τοῦ Α[Β]ΓΔ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Μ

2

.

17

(50)

τμήματα κύκλου ὀρθὰ ἐφέσταται τὸ ΛΘΜ καὶ τὸ ΜΞ καὶ τὸ τούτῳ συνεχές, καὶ ἀπὸ τούτων ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΛΝ, ΜΞ ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων, ἀπὸ δὲ τοῦ ἐξ ἀρχῆς κύκλου ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΑΛ, ΔΜ· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὸ Δ
55ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ. καὶ ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΑΗΒ κύκλου, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὸ Δ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΓΚΔ κύκλου· ἡ ἄρα ἐκ τοῦ πόλου τοῦ ΑΗΒ κύκλου ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ πόλου τοῦ ΓΚΔ κύκλου. ὧν δὲ κύκλων αἱ ἐκ τῶν πόλων ἴσαι εἰσίν, ἴσοι·
60ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΗΒ κύκλος τῷ ΓΚΔ κύκλῳ. ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστω μείζων ἡ ΔΖ περιφέρεια τῆς ΖΒ περιφερείας. λέγω, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ὁ ΓΚΔ κύκλος τοῦ ΑΗΒ κύκλου. ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΔΖ περιφέρεια τῆς ΖΒ περιφερείας, ἀφ‐ ῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΔΖ τῇ ΖΒ ἴση ἡ ΖΟ, καὶ διὰ τοῦ Ο τῷ ΕΘΖ κύκλῳ
65παράλληλος γεγράφθω ὁ ΟΡΠ· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΠΡΟ κύκλος τῷ ΑΗΒ κύκλῳ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΟΖ περιφέρεια τῇ ΖΒ περιφερείᾳ. ὁ δὲ ΠΡΟ κύκλος μείζων ἐστὶ τοῦ ΓΚΔ κύκλου· ἔγγιον γὰρ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ὁ ΠΡΟ κύκλος ἤπερ ὁ ΓΚΔ κύκλος· καὶ ὁ ΑΗΒ ἄρα κύκλος μείζων ἐστὶ τοῦ ΓΚΔ κύκλου· ὥστε ὁ ΓΚΔ κύκλος ἐλάσσων ἐστὶ τοῦ
70ΑΗΒ κύκλου.

2

.

18

 Ἐν σφαίρᾳ οἱ ἴσοι τε καὶ παράλληλοι κύκλοι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι μεγίστου τινὸς κύκλου πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων,
οἱ δὲ μείζονες ἐλάττονας. ἐν γὰρ σφαίρᾳ ἴσοι τε καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ μεγίστου84
5τινὸς κύκλου τοῦ ΑΓΔ περιφερείας τὰς ΒΖ, ΖΔ ἀφαιρείτωσαν πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΕΖ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΖ περιφέρεια τῇ ΖΔ περιφερείᾳ. εἰ γὰρ μή ἐστιν ἡ ΒΖ περιφέρεια ἴση τῇ ΖΔ, οὐδ’ ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος τῷ ΓΔ κύκλῳ ἴσος ἐστίν. ἔστι δέ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΒΖ τῇ ΖΔ.
10 ἀλλὰ πάλιν ἔστω ὁ ΑΒ κύκλος μείζων τοῦ ΓΔ κύκλου. λέγω, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆς ΖΔ περιφερείας. εἰ γὰρ μή ἐστιν ἐλάσσων ἡ ΒΖ περιφέρεια τῆς ΖΔ περιφερείας, οὐδ’ ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος τοῦ ΓΔ κύκλου μείζων ἐστίν. ἔστι δέ· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΖ περιφέρεια τῆς ΖΔ περιφερείας.

2

.

19

 Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος παραλλήλους τινὰς κύκλους τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ μὴ διὰ τῶν πόλων τέμνῃ, εἰς ἄνισα αὐτοὺς τεμεῖ χωρὶς τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, τῶν δὲ ἀπολαμβανομένων τμημάτων ἐν ἑνὶ τῶν ἡμισφαιρίων ἡμικυκλίων μὲν ἔσται μείζονα, ὅσα ἐστὶ μεταξὺ
5τοῦ τε μεγίστου τῶν παραλλήλων καὶ τοῦ φανεροῦ πόλου, τὰ δὲ λοιπὰ ἐλάττονα, ὅσα ἐστὶ μεταξὺ τοῦ τε μεγίστου τῶν παραλλήλων καὶ τοῦ ἀφανοῦς πόλου, τῶν δὲ ἴσων τε καὶ παραλλήλων κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλους τινὰς τῶν ἐν τῇ
10σφαίρᾳ παραλλήλους τοὺς ΑΔ, ΕΖ, ΒΓ μὴ διὰ τῶν πόλων τεμνέτω, μέγιστος δὲ τῶν παραλλήλων ἔστω ὁ ΕΖ. λέγω, ὅτι εἰς ἄνισα αὐτοὺς τεμεῖ χωρὶς τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ ΕΖ, τῶν δὲ ἀπολαμ‐ βανομένων τμημάτων ἐν ἑνὶ τῶν ἡμισφαιρίων ἡμικυκλίων μὲν ἔσται μείζονα, ὅσα ἐστὶ μεταξὺ τοῦ τε ΕΖ καὶ τοῦ φανεροῦ πόλου, τὰ δὲ
15λοιπὰ ἐλάσσονα, τῶν δὲ ἴσων τε καὶ παραλλήλων κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. ἔστω γὰρ ὁ φανερὸς πόλος τῶν παραλλήλων τὸ Η σημεῖον, καὶ διὰ τῶν Ε, Η μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΕΘ· ὁ ΗΕΘ ἄρα
προσαναπληρούμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ζ σημείου· κατὰ διάμετρον γὰρ τὸ86
20Ε τῷ Ζ διὰ τὸ μέγιστον εἶναι ἑκάτερον τῶν ΕΖ, ΑΒΓΔ. ἐρχέσθω καὶ ἔστω ὡς ὁ ΗΝΖΚ, καὶ προσαναπεπληρώσθω ὁ ΒΓ κύκλος ἕως τῶν Θ, Κ σημείων. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΘΕΜΗΝΖΚ κύκλους τινὰς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοὺς ΑΜΝΔ, ΕΖ, ΘΒΓΚ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα
25τε αὐτοὺς τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ἡμικύκλιον ἄρα ἐστὶν ἕκαστον τῶν ΜΝ, ΕΖ, ΘΒΓΚ. ἐπεὶ οὖν τὸ ΜΝ ἡμικύκλιόν ἐστι, τὸ ΑΜΝΔ ἄρα μεῖζόν ἐστιν ἡμικυκλίου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πάντα τὰ τμήματα τὰ μεταξὺ τοῦ τε ΕΖ κύκλου καὶ τοῦ Η πόλου μείζονά ἐστιν ἡμικυκλίων. πάλιν, ἐπεὶ τὸ ΘΒΓΚ ἡμικύκλιόν ἐστι, τὸ ΒΓ ἄρα ἔλασσόν ἐστιν
30ἡμικυκλίου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πάντα τὰ τμήματα τὰ μεταξὺ τοῦ τε ΕΖ κύκλου καὶ τοῦ ἀφανοῦς πόλου καὶ ὄντα ἐν τῷ αὐτῷ ἡμισφαι‐ ρίῳ ἐλάττονά ἐστιν ἡμικυκλίων. ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστω ὁ ΑΔ κύκλος τῷ ΒΓ κύκλῳ ἴσος τε καὶ παράλληλος. λέγω, ὅτι τῶν ΑΔ, ΒΓ κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα
35ἀλλήλοις ἐστίν. ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΔ κύκλος τῷ ΒΓ κύκλῳ ἴσος τέ ἐστι καὶ παράλληλος, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ περιφέρεια τῇ ΕΒ περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΔΖ περιφέρεια τῇ ΖΓ περιφερείᾳ [ἀλλ’ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΕΒ τῇ ΖΓ]· συναμφότερος ἄρα ἡ ΑΕ, ΔΖ συναμφοτέρῳ τῇ ΕΒ, ΖΓ
40ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΕΑΔΖ ὅλῃ τῇ ΕΒΓΖ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΔ λοιπῇ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση [διὰ τὸ ἡμικυκλίου εἶναι ἑκατέραν τῶν ΕΑΔΖ, ΕΒΓΖ· μέγιστοι γάρ εἰσιν οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖ]. καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου αἱ ΑΔ, ΒΓ περιφέρειαι· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Δ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Γ ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ [καί
45ἐστιν ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Δ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἡ ὑπὸ τὴν ΑΔ περιφέρειαν ὑποτείνουσα, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Γ ἡ ὑπὸ τὴν ΒΓ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα]· ἐν δὲ τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι, τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι· ἡ μὲν ἄρα τοῦ ΑΔ κύκλου μείζων περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ

2

.

19

(50)

τοῦ ΒΓ κύκλου περιφερείᾳ τῇ μείζονι, ἡ δὲ τοῦ ΑΔ κύκλου ἐλάσσων περιφέρεια [ἴση ἐστὶ] τῇ τοῦ ΒΓ κύκλου ἐλάσσονι περιφερείᾳ. καί ἐστι τὸ μὲν ΑΔ μεῖζον ἡμικυκλίου, τὸ δὲ ΒΓ ἔλαττον· τῶν ἄρα ΑΔ, ΒΓ κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.88

2

.

20

 Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος παραλλήλους τινὰς κύκλους τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ μὴ διὰ τῶν πόλων τέμνῃ, τῶν ἀπολαμβανομένων περιφερειῶν ἐν ἑνὶ τῶν ἡμισφαιρίων μείζονες ἢ ὅμοιαι ἔσονται αἰεὶ αἱ ἔγγιον τοῦ φανεροῦ πόλου τῶν ἀπώτερον.
5 ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΓΔΒ παραλλήλους τινὰς κύκλους τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοὺς ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ μὴ διὰ τῶν πόλων τεμνέτω, καὶ ἔστω ὁ φανερὸς πόλος τῶν παραλλήλων τὸ Η σημεῖον. λέγω, ὅτι τῶν ἀπολαμβανομένων περιφερειῶν ἐν ἑνὶ τῶν ἡμισφαιρίων μείζονες ἢ ὅμοιαι ἔσονται αἰεὶ αἱ ἔγγιον τοῦ φανεροῦ πόλου τῶν ἀπώτερον, τουτέστιν ὅτι ἡ
10μὲν ΑΒ τῆς ΓΔ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία, ἡ δὲ ΓΔ τῆς ΕΖ. διὰ γὰρ τοῦ Η καὶ ἑκατέρου τῶν Γ, Δ μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΗΘΓ, ΗΚΔ. οἱ ἄρα ΗΘΓ, ΗΚΔ ὁμοίας ἀφαιροῦσι περιφερείας τὰς μεταξὺ αὐτῶν· ἡ ΘΚ ἄρα τῇ ΓΔ ἐστιν ὁμοία· ἡ ΑΘΚΒ ἄρα τῆς ΓΔ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ τῆς ΕΖ
15μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία, γραφόντων ἡμῶν διὰ τοῦ Η καὶ ἑκατέρου τῶν Ε, Ζ μεγίστους κύκλους. δύναται δὲ δειχθῆναι καὶ μὴ γραφόντων ἡμῶν, μόνον δὲ προσα‐ ναπληρούντων τὸν ΕΖ, ὡς ἐν τῷ πρὸ αὐτοῦ.

2

.

21

 Ἐὰν ἐν ἴσαις σφαίραις ἐπὶ μεγίστων κύκλων μέγιστοι κύκλοι κε‐ κλιμένοι ὦσιν, ὁποτέρου αὐτῶν ἂν ὁ πόλος μετεωρότερος ᾖ, μᾶλλον ἔσται κεκλιμένος· ὧν δὲ κύκλων οἱ πόλοι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τῶν
ἐπιπέδων, ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι.90
5 ἐν γὰρ ἴσαις σφαίραις ἐπὶ μεγίστων κύκλων τῶν ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΒΚΔ, ΖΛΘ κεκλιμένοι ἔστωσαν, καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΒΚΔ κύκλου πόλος τὸ Μ σημεῖον, τοῦ δὲ ΖΛΘ κύκλου πόλος τὸ Ν σημεῖον, μετεωρότερον δὲ ἔστω τὸ Μ τοῦ Ν. λέγω, ὅτι ὁ ΒΚΔ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον μᾶλλον κέκλιται ἤπερ ὁ ΖΛΘ κύκλος πρὸς
10τὸν ΕΖΗΘ κύκλον. γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Μ καὶ ἑνὸς τῶν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος ὁ ΑΚΜΓ, διὰ δὲ τοῦ Ν καὶ ἑνὸς τῶν τοῦ ΕΖΗΓ κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος ὁ ΕΛΝΗ, καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τοῦ ΒΚΔ κοινὴ τομὴ ἡ ΒΔ, τοῦ δὲ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τοῦ
15ΑΚΜΓ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΓ, τοῦ δὲ ΒΚΔ καὶ τοῦ ΑΚΜΓ κοινὴ τομὴ ἡ ΚΞ, καὶ ἔτι τοῦ μὲν ΕΖΗΘ κύκλου καὶ τοῦ ΖΛΘ κοινὴ τομὴ ἡ ΖΘ, τοῦ δὲ ΕΖΗΘ κύκλου καὶ τοῦ ΕΛΝΗ κοινὴ τομὴ ἡ ΕΗ, τοῦ δὲ ΖΛΘ καὶ τοῦ ΕΛΝΗ κοινὴ τομὴ ἡ ΛΟ. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΚΓΜ κύκλους τινὰς τῶν
20ἐν τῇ σφαίρᾳ τοὺς ΑΒΓΔ, ΒΚΔ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτοὺς τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ὁ ΑΚΜΓ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΒΓΔ, ΒΚΔ κύκλων· ὥστε καὶ ἑκάτερος τῶν ΑΒΓΔ, ΒΚΔ ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΚΜΓ κύκλον. ἐὰν δὲ δύο ἐπίπεδα τέμνοντα ἄλληλα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ
25πρὸς ὀρθὰς ἔσται· καὶ ἡ κοινὴ ἄρα τομὴ τῶν ΑΒΓΔ, ΒΚΔ ἡ ΒΞΔ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΚΜΓ κύκλον· ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τοῦ ΑΚΜΓ κύκλου ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ τῆς ΒΞΔ ἑκατέρα τῶν ΚΞ, ΞΑ οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΚΜΓ κύκλου ἐπιπέδῳ· ἡ ΒΞ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν
30ΚΞ, ΞΑ ὀρθή ἐστι. καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα τέμνει ἄλληλα τὰ ΑΒΓΔ, ΒΚΔ, καὶ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΚΞ, ΞΑ, ἡ μὲν ΚΞ ἐν τῷ τοῦ ΒΚΔ κύκλου ἐπιπέδῳ, ἡ δὲ ΞΑ ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΚΞΑ γωνία ἡ κλίσις ἐστίν, ἐν
ᾗ κέκλιται τὸ ΒΚΔ ἐπίπεδον πρὸς τὸ ΑΒΓΔ ἐπίπεδον. ὁμοίως δὴ92
35δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΛΟΕ γωνία ἡ κλίσις ἐστίν, ἐν ᾗ κέκλιται τὸ ΖΛΘ ἐπίπεδον πρὸς τὸ ΕΖΗΘ ἐπίπεδον. λέγω δή, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΞΑ γωνία τῆς ὑπὸ ΛΟΕ γωνίας. ἐπεὶ γὰρ μετεωρότερόν ἐστι τὸ Μ τοῦ Ν, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Μ κάθετος
40ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Ν καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐπίπεδον. ἀλλ’ ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Μ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον ἐπὶ τὴν κοινὴν τομὴν πίπτει τοῦ τε ΑΚΜΓ κύκλου καὶ τοῦ ΑΒΓΔ, τουτέστι τὴν ΑΓ, διὰ τὸ ὀρθὰ εἶναι πρὸς ἄλληλα τὰ ΑΚΜΓ, ΑΒΓΔ ἐπίπεδα,
45ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Ν κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐπίπεδον ἐπὶ τὴν ΕΗ πίπτει· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Μ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν ΑΓ μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὴν ΕΗ καθέτου ἀγομένης. ἐπεὶ οὖν δύο τμήματα κύκλων ἴσα ἐστὶ τὰ ΑΚΜΓ, ΕΛΝΗ, καὶ τυχόντα σημεῖα τὰ Μ, Ν, καί ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Μ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν ΑΓ μείζων

2

.

21

(50)

τῆς ἀπὸ τοῦ Ν καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὴν ΕΗ, μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΓ περιφέρεια τῆς ΝΗ περιφερείας. ἴση δὲ ἡ ΜΚ περιφέρεια τῇ ΝΛ περιφερείᾳ· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· ὅλη ἄρα ἡ ΚΜΓ περιφέρεια ὅλης τῆς ΛΝΗ περιφερείας μείζων ἐστίν. ἐπεὶ οὖν
55ὅλη ἡ ΑΚΜΓ ὅλῃ τῇ ΕΛΝΗ ἴση ἐστίν, ὧν ἡ ΚΜΓ τῆς ΛΝΗ μείζων ἐστίν, λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΚ περιφέρεια λοιπῆς τῆς ΕΛ περιφερείας ἐλάσσων ἐστί. καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΑΚ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΞΑ, ἐπὶ δὲ τῆς ΛΕ γωνία ἡ ὑπὸ ΛΟΕ· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΞΑ γωνία τῆς ὑπὸ ΛΟΕ. καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ ΚΞΑ γωνία ἡ κλίσις, ἐν ᾗ κέκλιται
60τὸ ΒΚΔ ἐπίπεδον πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον, ἡ δὲ ὑπὸ ΛΟΕ γωνία ἡ κλίσις, ἐν ᾗ κέκλιται τὸ ΖΛΘ ἐπίπεδον πρὸς τὸ ΕΖΗΘ ἐπίπεδον· ἡ ἄρα τοῦ ΒΚΔ κύκλου πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον κλίσις ἐλάσσων ἐστὶ τῆς τοῦ ΖΛΘ κύκλου πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον κλίσεως. ὁ ΒΚΔ ἄρα κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον μᾶλλον κέκλιται ἤπερ ὁ ΖΛΘ κύκλος
65πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον. ἀλλὰ δὴ πάλιν τῶν ΒΚΔ, ΖΛΘ κύκλων οἱ πόλοι ἴσον ἀπεχέτωσαν τῶν ἐπιπέδων, τουτέστιν ἔστω ἡ ἀπὸ τοῦ Μ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον ἴση τῇ ἀπὸ τοῦ Ν καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐπίπεδον. λέγω, ὅτι οἱ ΒΚΔ, ΖΛΘ κύκλοι πρὸς94
70τοὺς ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι, τουτέστιν ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΞΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΛΟΕ γωνίᾳ. τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΚΞΑ γωνία ἡ κλίσις ἐστίν, ἐν ᾗ κέκλιται τὸ τοῦ ΒΚΔ κύκλου ἐπίπεδον πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον, ἡ δὲ ὑπὸ ΛΟΕ γωνία ἡ κλίσις
75ἐστίν, ἐν ᾗ κέκλιται τὸ τοῦ ΖΛΘ κύκλου ἐπίπεδον πρὸς τὸ τοῦ ΕΗΘ κύκλου ἐπίπεδον. λέγω οὖν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΞΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΛΟΕ γωνίᾳ. ἐπεὶ γὰρ αἱ ἀπὸ τῶν Μ, Ν κάθετοι ἀγόμεναι ἐπὶ τὰ τῶν ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλων ἐπίπεδα ἴσαι εἰσίν, αἱ δὲ ἀπὸ τῶν Μ, Ν κάθετοι ἀγόμεναι
80ἐπὶ τὰ τῶν ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλων ἐπίπεδα ἐπὶ τὰς ΑΓ, ΕΗ πίπτουσιν, αἱ ἄρα ἀπὸ τῶν Μ, Ν σημείων ἐπὶ τὰς ΑΓ, ΕΗ εὐθείας κάθετοι ἀγόμεναι ἴσαι εἰσίν. ἐπεὶ οὖν δύο τμήματα κύκλων ἴσα ἐστὶ τὰ ΑΚΜΓ, ΕΛΝΗ, καὶ τυχόντα σημεῖα τὰ Μ, Ν, καί ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Μ ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἀγομένη ἴση τῇ ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὴν ΕΗ καθέτῳ ἀγομένῃ,
85ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΓ περιφέρεια τῇ ΝΗ περιφερείᾳ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΜΚ τῇ ΛΝ ἴση· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΚΜΓ ὅλῃ τῇ ΛΝΗ περιφερείᾳ ἴση ἐστίν. ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΑΚΜΓ ὅλῃ τῇ ΕΛΝΗ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΚ περιφέρεια λοιπῇ τῇ
90ΕΛ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση. καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΑΚ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΚΞΑ, ἐπὶ δὲ τῆς ΛΕ γωνία ἡ ὑπὸ ΛΟΕ· ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΞΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΛΟΕ. καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ ΚΞΑ γωνία ἡ κλίσις, ἐν ᾗ κέκλιται τὸ τοῦ ΒΚΔ κύκλου ἐπίπεδον πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον, ἡ δὲ ὑπὸ ΛΟΕ γωνία ἡ κλίσις ἐστίν, ἐν
95ᾗ κέκλιται τὸ τοῦ ΖΛΘ κύκλου ἐπίπεδον πρὸς τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου· ἡ ἄρα κλίσις, ἐν ᾗ κέκλιται ὁ ΒΚΔ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον,
ἴση ἐστὶ τῇ κλίσει τοῦ ΖΛΘ κύκλου πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον. οἱ ΒΚΔ, ΖΛΘ ἄρα κύκλοι πρὸς τοὺς ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλους ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι· ἐμάθομεν γάρ, ὅτι ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὁμοίως96

2

.

21

(100)

κεκλίσθαι λέγεται καὶ ἕτερον πρὸς ἕτερον, ὅταν αἱ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐν ἑκατέρῳ τῶν ἐπιπέδων ἴσας γωνίας περιέχωσιν.

2

.

22

 Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐφάπτηται, ἕτερον δὲ τούτῳ παράλληλον τέμνῃ μεταξὺ ὄντα τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ οὗ ἐφάπτεται ὁ μέγιστος κύκλος, ἔτι τε ὁ πόλος τοῦ μεγίστου μεταξὺ ᾗ τῶν παραλλήλων, καὶ γραφῶσι μέγιστοι κύκλοι
5ἐφαπτόμενοι τοῦ μείζονος τῶν παραλλήλων, κεκλιμένοι ἔσονται πρὸς τὸν μέγιστον κύκλον, καὶ ὀρθότατος μὲν ἔσται ὁ τὴν συναφὴν ἔχων κατὰ τὴν διχοτομίαν τοῦ μείζονος τμήματος, ταπεινότατος δὲ ὁ τὴν συναφὴν ἔχων κατὰ τὴν διχοτομίαν τοῦ ἐλάσσονος τμήματος, τῶν δὲ ἄλλων οἱ μὲν ἴσον ἀπέχοντες ὁποτερασοῦν τῶν διχοτομιῶν ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι,
10αἰεὶ δὲ ὁ πορρώτερον τὴν συναφὴν ἔχων τῆς διχοτομίας τοῦ μείζονος τμήματος τοῦ ἔγγιον μᾶλλον ἔσται κεκλιμένος, ἔτι τε οἱ πόλοι τῶν μεγίστων ἐπὶ ἑνὸς ἔσονται κύκλου παραλλήλου τε καὶ ἐλάσσονος, οὗ ἐφάπτεται ὁ ἐξ ἀρχῆς μέγιστος κύκλος. ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ
15σφαίρᾳ τοῦ ΑΔ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Α σημεῖον, ἕτερον δὲ τούτῳ παράλληλον τὸν ΕΖΗΘ τεμνέτω μεταξὺ ὄντα τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ τοῦ ΑΔ κύκλου, ἔτι δὲ ὁ πόλος τοῦ ΑΒΓ κύκλου μεταξὺ ἔστω τῶν ΑΔ, ΕΖΗΘ καὶ ἔστω τὸ Κ σημεῖον, καὶ γεγράφθωσαν μέγιστοι κύκλοι οἱ ΜΝΞ, ΒΖΓ, ΟΠΡ, ΣΤ, ΥΘ ἐφαπτόμενοι τοῦ μείζονος τῶν παραλλήλων
20τοῦ ΕΖΗΘ, ὁ μὲν ΒΖΓ κύκλος κατὰ τὴν διχοτομίαν τοῦ μείζονος τμήμα‐ τος τοῦ ΕΖΗΘ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, ὁ δὲ ΥΘ κατὰ τὴν διχοτομίαν τοῦ ἐλάσσονος τμήματος τοῦ ΕΖΗΘ κατὰ τὸ Θ σημεῖον, οἱ δὲ ΜΝΞ, ΟΠΡ ἴσον ἀπεχέτωσαν ὁποτερασοῦν τῶν διχοτομιῶν, ὁ δὲ ΤΣ πορρώτερον ἐχέτω τὴν κατὰ τὸ Τ συναφὴν τῆς διχοτομίας τοῦ μείζονος τμήματος
25ἤπερ ὁ ΟΠΡ. λέγω, ὅτι οἱ ΜΝΞ, ΒΖΓ, ΟΠΡ, ΣΤ, ΥΘ κύκλοι κεκλι‐
μένοι ἔσονται πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον, καὶ ὀρθότατος μὲν αὐτῶν ἔσται ὁ ΒΖΓ, ταπεινότατος δὲ ὁ ΥΘ, οἱ δὲ ΜΝΞ, ΟΠΡ ὁμοίως εἰσὶ κεκλι‐ μένοι, ὁ δὲ ΣΤ πρὸς τὸν ΑΒΓ μᾶλλον κέκλιται ἤπερ ὁ ΟΠΡ, ἔτι δὲ οἱ πόλοι τῶν ΜΝΞ, ΒΖΓ, ΟΠΡ, ΣΤ, ΥΘ ἐπὶ ἑνὸς ἔσονται κύκλου98
30παραλλήλου τε καὶ ἐλάσσονος τοῦ ΑΔ κύκλου. εἰλήφθω γὰρ ὁ πόλος τῶν παραλλήλων τῶν ΑΔ, ΕΖΗΘ καὶ ἔστω τὸ Λ σημεῖον, καὶ διὰ τῶν Α, Λ σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΛ. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΑΔ ἐφάπτονται ἀλλήλων, διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων καὶ τῆς ἁφῆς μέγιστος κύκλος
35γέγραπται ὁ ΑΛ, ὁ ἄρα ΑΛ ἥξει καὶ διὰ τῶν τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλων καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν. καί ἐστι τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλος τὸ Κ σημεῖον· ὁ ΑΛ ἄρα προσαναπληρούμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Κ· ἐρχέσθω καὶ ἔστω ὡς ὁ ΑΛΚ. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΕΖΗΘ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται
40ὁ ΑΛΚ, ὁ ἄρα ΑΛΚ δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων. καί ἐστι τοῦ μὲν ΕΖΗ τμήματος διχοτομία τὸ Ζ, τοῦ δὲ ΕΘΗ διχοτομία τὸ Θ· ὁ ΑΛΚ ἄρα προσαναπληρούμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν Ζ, Θ σημείων· ἐρχέσθω καὶ ἔστω ὡς ὁ ΘΑΛΚΖ. καὶ ἐπεὶ τὸ Κ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καί ἐστιν ὁ ΑΒΓ μέγιστος, ἡ ΑΚ ἄρα ἐστίν, ὑφ’
45ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· ἡ ΑΚΖ ἄρα μείζων ἐστὶ τῆς, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. καὶ ἐπεὶ ὁ ΕΖΗΘ ἐλάσσων ἐστὶ τοῦ μεγίστου καί ἐστι μεταξὺ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ τοῦ ΑΔ, καί ἐστιν αὐτοῦ πόλος τὸ Λ σημεῖον, ἡ ΛΖ

2

.

22

(50)

ἄρα ἐλάσσων ἐστὶ τῆς, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΑΚΖ μείζων ἐστὶ τῆς, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου, ἡ δὲ ΛΖ ἐλάσσων, ἐὰν ἄρα τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου,
55ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου ἴσην ἀπολάβωμεν περιφέρειαν, μεταξὺ τῶν Α, Λ σημείων πεσεῖται. ἀπειλήφθω αὐτῇ ἴση καὶ ἔστω ἡ ΖΦ, καὶ πόλῳ μὲν τῷ Λ, διαστήματι δὲ τῷ ΛΦ, κύκλος γεγράφθω ὁ ΦΧΨΩ· παράλληλος ἄρα ἐστὶ τοῖς ΑΔ, ΕΖΗΘ· καὶ διὰ τοῦ Λ σημείου καὶ ἑκάστου τῶν Π, Ν, Τ σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΝΛΩ, ΠΛΧ, ΤΛΨ.100
60 καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΝΛ τῇ ΛΖ· ἐκ πόλου γὰρ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου· ἡ δὲ ΛΩ τῇ ΛΦ· ἐκ πόλου γὰρ τοῦ ΨΩΧ· ὅλη ἄρα ἡ ΝΛΩ ὅλῃ τῇ ΖΛΦ ἐστιν ἴση. καί ἐστιν ἡ ΖΛΦ ἴση τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· καὶ ἡ ΝΛΩ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ
65τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΧΛΠ, ΨΛΤ, ϡΛΘ ἴση ἐστὶ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΜΝΞ, ΕΖΗΘ ἐφάπτονται ἀλλήλων, διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων καὶ τῆς ἁφῆς μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ
70ΝΛΩ, ὁ ἄρα ΝΛΩ ἥξει καὶ διὰ τῶν τοῦ ΜΝΞ πόλων καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν. καὶ ἐπεὶ ὁ ΜΝΞ κύκλος μέγιστός ἐστιν, ἡ ἄρα ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. καί ἐστιν ἡ ΝΛΩ ἴση τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον
75ἐγγραφομένου· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὸ Ω ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΜΝΞ κύκλου· τὸ Ω ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΜΝΞ κύκλου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ μὲν Φ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΒΖΓ κύκλου, τὸ δὲ Χ τοῦ ΟΠΡ, τὸ δὲ Ψ τοῦ ΣΤ καὶ ἔτι τὸ ϡ τοῦ ΥΘ· οἱ ΜΝΞ, ΒΖΓ, ΟΠΡ, ΣΤ, ΥΘ ἄρα κύκλοι τοὺς πόλους ἔχουσιν ἐπὶ ἑνὸς κύκλου
80παραλλήλου τε καὶ ἐλάσσονος τοῦ ΑΔ. λέγω δή, ὅτι οἱ ΜΝΞ, ΒΖΓ, ΟΠΡ, ΣΤ, ΥΘ κύκλοι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον κεκλιμένοι εἰσίν, καὶ ὅτι ὀρθότατος μὲν αὐτῶν ἐστιν ὁ ΒΖΓ, ταπεινότατος δὲ ὁ ΥΘ, οἱ δὲ ΜΝΞ, ΟΠΡ ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι, ὁ δὲ ΣΤ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον μᾶλλον κέκλιται ἤπερ ὁ ΟΠΡ πρὸς τὸν ΑΒΓ.
85ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΝΖ περιφέρεια τῇ ΖΠ, καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ
κύκλου, ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΖ περιφέρεια τῇ ΖΠ περιφερείᾳ. ἀλλ’ ἡ μὲν ΝΖ τῇ ϛϡ ἐστιν ὁμοία, ἡ δὲ ΖΠ περιφέρεια τῇ ϙϡ περιφερείᾳ ἐστὶν ὁμοία· καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ϛϡ περιφέρεια τῇ ϙϡ περιφερείᾳ. ἀλλ’ ἡ μὲν ϛϡ περιφέρεια τῇ ΦΩ περιφερείᾳ ἴση102
90ἐστίν· κατὰ κορυφὴν γάρ· ἡ δὲ ϙϡ τῇ ΧΦ· καὶ ἡ ΦΩ ἄρα περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΧΦ. κύκλου δή τινος τοῦ ΦΧΨΩ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ ϡ κύκλου τμῆμα ὀρθὸν ἐφέσταται τὸ ϡΚΖ καὶ τὸ τούτῳ συνεχές, καὶ ἀπειλημμένη ἐστὶν ἐλάσσων ἢ ἡμίσεια οὖσα τοῦ ὅλου τμήματος περιφέρεια ἡ ϡΚ, ἀπὸ δὲ τοῦ ἐξ ἀρχῆς κύκλου ἴσαι
95περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΧΦ, ΦΩ· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Κ σημείου ἐπὶ τὸ Χ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Ω ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ· ὁ ἄρα πόλῳ τῷ Κ σημείῳ, διαστήματι δὲ τῷ ΚΧ, κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ω. ἐρχέσθω καὶ ἔστω ὡς ὁ ΧΩ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ὁ ΧΩ τῷ ΑΒΓ· περὶ γὰρ τοὺς αὐτοὺς

2

.

22

(100)

πόλους ἐστὶν αὐτῷ· τὸ γὰρ Κ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ὁ ΧΩ κύκλος τῷ ΑΒΓ κύκλῳ, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Χ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Ω καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον [ὁμοίως δὴ καὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Ι καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπί‐
105πεδον]. ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Χ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Φ καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον· καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ω ἄρα κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Φ καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον [ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ
110τοῦ Ι ἀγομένῃ]· μετεωρότερον ἄρα ἐστὶ τὸ Ω τοῦ Φ. καί ἐστι τὸ μὲν Ω πόλος τοῦ ΜΝΞ κύκλου, τὸ δὲ Φ τοῦ ΒΖΓ· ὁ ἄρα τοῦ ΜΝΞ κύκλου πόλος μετεωρότερός ἐστι τοῦ τοῦ ΒΖΓ κύκλου πόλου. ὧν δὲ κύκλων οἱ πόλοι μετεωρότεροί εἰσι, μᾶλλόν εἰσι κεκλιμένοι· ὁ ΜΝΞ ἄρα κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον μᾶλλον κέκλιται ἤπερ ὁ ΒΖΓ κύκλος· ὁ ἄρα
115ΒΖΓ κύκλος ὀρθότερός ἐστι τοῦ ΜΝΞ κύκλου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πάντων τῶν τοῦ ΕΖΗΘ κύκλων ἐφαπτομένων ὁ ΒΖΓ ὀρθότερός
ἐστιν· ὀρθότατος ἄρα ἐστὶν ὁ ΒΖΓ. λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ ΥΘ κύκλος ταπεινότατός ἐστιν. ἐπεὶ γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ ϡ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου104
120ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Ψ καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον, μετεωρότερον ἄρα ἐστὶ τὸ ϡ τοῦ Ψ. καί ἐστι τὸ μὲν ϡ πόλος τοῦ ΥΘ κύκλου, τὸ δὲ Ψ πόλος τοῦ ΣΤ κύκλου· ὁ ἄρα τοῦ ΥΘ πόλος μετεωρότερός ἐστι τοῦ τοῦ ΣΤ πόλου. ὧν δὲ κύκλων οἱ πόλοι μετεωρότεροί εἰσιν, μᾶλλόν εἰσι κεκλιμένοι· ὁ ΥΘ ἄρα κύκλος πρὸς τὸν
125ΑΒΓ κύκλον μᾶλλον κέκλιται ἤπερ ὁ ΣΤ· ταπεινότερος ἄρα ἐστὶν ὁ ΥΘ τοῦ ΣΤ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πάντων τῶν τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐφαπτομένων ταπεινότερός ἐστιν ὁ ΥΘ· ὁ ΥΘ ἄρα ταπεινότατός ἐστι. καὶ ἐπεὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ω κάθετος ἀγομένη ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Χ καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον, τὰ Ω, Χ ἄρα
130σημεῖα ἴσον ἀπέχει ἀπὸ τοῦ ἐπιπέδου. καί ἐστι τὸ μὲν Ω σημεῖον πόλος τοῦ ΜΝΞ κύκλου, τὸ δὲ Χ σημεῖον πόλος τοῦ ΟΠΡ κύκλου· τῶν ΜΝΞ, ΟΠΡ ἄρα κύκλων οἱ πόλοι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων. ὧν δὲ κύκλων οἱ πόλοι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων, ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι· οἱ ἄρα ΜΝΞ, ΟΠΡ κύκλοι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον ὁμοίως
135εἰσὶ κεκλιμένοι. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ψ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Χ καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον, μετεωρότερον ἄρα ἐστὶ τὸ Ψ τοῦ Χ. καί ἐστι τὸ μὲν Ψ πόλος τοῦ ΣΤ, τὸ δὲ Χ πόλος τοῦ ΟΠΡ· ὁ ἄρα τοῦ
140ΣΤ κύκλου πόλος μετεωρότερός ἐστι τοῦ τοῦ ΟΠΡ κύκλου πόλου. ὧν δὲ κύκλων οἱ πόλοι μετεωρότεροί εἰσιν, μᾶλλόν εἰσι κεκλιμένοι· ὁ ΣΤ ἄρα κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον μᾶλλον κέκλιται ἤπερ ὁ ΟΠΡ. οἱ ἄρα ΜΝΞ, ΒΖΓ, ΟΠΡ, ΣΤ, ΥΘ κύκλοι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον κεκλιμένοι εἰσί, καὶ ὀρθότατος μέν ἐστιν αὐτῶν ὁ ΒΖΓ, ταπεινότατος
145δὲ ὁ ΥΘ, οἱ δὲ ΜΝΞ, ΟΠΡ ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι, ὁ δὲ ΣΤ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον μᾶλλον κέκλιται ἤπερ ὁ ΟΠΡ, ἔτι δὲ οἱ πόλοι αὐτῶν ἐπὶ ἑνός εἰσι κύκλου παραλλήλου τε καὶ ἐλάσσονος τοῦ ΑΔ
κύκλου.106

2

.

23

 Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων, ἐὰν αἱ ἀπὸ τῶν συνδέσμων καθήκουσαι περιφέρειαι ἴσαι ὦσιν, ὁμοίως ἔσονται κεκλιμένοι οἱ προειρημένοι μέ‐ γιστοι κύκλοι. ἔστωσαν γὰρ αἱ ἀπὸ τῶν συνδέσμων τῶν Ν, Π καθήκουσαι περι‐
5φέρειαι αἱ ΝΜ, ΠΡ ἴσαι. λέγω, ὅτι οἱ ΜΝΞ, ΟΠΡ κύκλοι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι. εἰλήφθω γὰρ ὁ πόλος τῶν παραλλήλων κύκλων τῶν ΑΔ, ΕΖΗΘ τὸ Λ σημεῖον, καὶ διὰ τῶν Α, Λ σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΘΑΛΚΖΥ· φανερὸν δή, ὅτι καὶ διὰ τοῦ Κ σημείου πόλου ὄντος τοῦ
10ΑΒΓ κύκλου ἐλεύσεται· καὶ διὰ τοῦ Λ καὶ ἑκατέρου τῶν Ν, Π μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΛΝΒ, ΛΠΓ. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι ἐφάπτονται ἀλλήλων οἱ ΕΖΗΘ, ΜΝΞ, διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων καὶ τῆς ἁφῆς μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΛΝΒ, ὁ ἄρα ΛΝΒ ἥξει καὶ διὰ τῶν τοῦ ΜΝΞ πόλων καὶ
15ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ὁ ΛΠΓ διὰ τῶν τοῦ ΟΠΡ πόλων ἐστὶ καὶ ὀρθὸς πρὸς αὐτόν. καὶ ἐπεὶ ἐν ἴσοις κύκλοις τοῖς ΜΝΞ, ΟΠΡ ἐπὶ διαμέτρων τῶν ἀπὸ τῶν Ν, Π σημείων ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκλων ἐφέσταται τὰ ΝΛ, ΠΛ καὶ τὰ τούτοις συνεχῆ, καὶ ἀπ’ αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΝΛ, ΠΛ ἐλάττους
20ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων, ἀπὸ δὲ τῶν ἐξ ἀρχῆς κύκλων ἴσαι περι‐ φέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΜΝ, ΠΡ, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Μ σημεῖον ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Ρ ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ· ὁ ἄρα πόλῳ τῷ Λ, διαστήματι δὲ τῷ ΛΜ, κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ρ· ἐρχέσθω καὶ ἔστω ὡς ὁ ΜΞΟΡ.
25καί ἐστι τοῖς ΑΔ, ΕΖΗΘ κύκλος παράλληλος· περὶ γὰρ τοὺς αὐτοὺς πόλους ἐστὶν αὐτοῖς. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΜΞΟΡ
τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΘΑΛΚΖΥ, ὁ ἄρα ΘΑΛΚΖΥ δίχα τέμνει τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΥ περιφέρεια τῇ ΥΡ περιφερείᾳ. πάλιν,108
30ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΜΝΞ, ΜΞΥΡ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΛΝΒ, ὁ ἄρα ΛΝΒ δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΜΝ τῇ ΝΞ περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΜΣ τῇ ΣΞ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ μὲν ΟΠ τῇ ΠΡ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΟΤ τῇ ΤΡ. ἐπεὶ οὖν ἴση
35ἐστὶν ἡ ΜΝ περιφέρεια τῇ ΠΡ περιφερείᾳ, καί ἐστι τῆς μὲν ΜΝ διπλῆ ἡ ΜΝΞ, τῆς δὲ ΠΡ διπλῆ ἡ ΟΠΡ, καὶ ἡ ΜΝΞ ἄρα τῇ ΟΠΡ ἐστιν ἴση. καί εἰσιν ἴσοι οἱ κύκλοι· ἡ ἄρα τὴν ΜΝΞ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ τὴν ΟΠΡ περιφέρειαν ὑποτεινούσῃ εὐθείᾳ. ἀλλ’ ἡ μὲν τὴν ΜΝΞ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ὑποτείνει καὶ τὴν ΜΣΞ,
40ἡ δὲ τὴν ΟΠΡ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ὑποτείνει καὶ τὴν ΟΤΡ· καὶ ἡ ἄρα τὴν ΜΣΞ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ τὴν ΟΤΡ περιφέρειαν ὑποτεινούσῃ εὐθείᾳ. καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΣΞ περιφέρεια τῇ ΟΤΡ περιφερείᾳ. καί ἐστι τῆς ΜΣΞ περιφερείας ἡμίσεια ἡ ΜΣ, τῆς δὲ ΟΤΡ ἡμίσεια ἡ ΡΤ· ἴση ἄρα ἐστὶ
45καὶ ἡ ΜΣ τῇ ΡΤ. ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΜΣΞΥ ὅλῃ τῇ ΥΟΤΡ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΣΞΥ λοιπῇ τῇ ΥΟΤ ἐστιν ἴση. καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΥΞΣ περιφέρεια τῇ ΥΟΤ περιφερείᾳ. ἀλλ’ ἡ μὲν ΣΞΥ περιφέρεια τῇ ΝΖ περιφερείᾳ ἐστὶν ὁμοία, ἡ δὲ ΥΟΤ περιφέρεια τῇ ΠΖ περιφερείᾳ ἐστὶν ὁμοία· καὶ ἡ ΝΖ ἄρα τῇ ΖΠ ἐστιν ὁμοία.

2

.

23

(50)

καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΖ περιφέρεια τῇ ΖΠ περιφερείᾳ· οἱ ἄρα ΜΝΞ, ΟΠΡ κύκλοι ἴσον ἀπέχουσιν ὁποτερασοῦν τῶν διχοτομιῶν. οἱ δὲ ἴσον ἀπέχοντες ὁποτερασοῦν τῶν διχοτομιῶν ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι· οἱ ἄρα ΜΝΞ, ΟΠΡ κύκλοι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον
ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι.110

3

.

1

 Ἐὰν εἰς κύκλον διαχθῇ τις εὐθεῖα εἰς ἄνισα τέμνουσα τὸν κύκλον, καὶ ἐπ’ αὐτῆς τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐπισταθῇ μὴ μεῖζον ἡμικυκλίου, διαιρεθῇ δὲ ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα, ἡ ὑπὸ τὴν ἐλάσσονα περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ
5τοῦ αὐτοῦ σημείου πρὸς τὴν μείζονα περιφέρειαν τοῦ ἐξ ἀρχῆς κύκλου προσπιπτουσῶν εὐθειῶν. ἐὰν δὲ ἡ διαχθεῖσα διάμετρος ᾖ τοῦ κύκλου, τὰ δὲ λοιπὰ τὰ αὐτὰ ὑπάρχῃ, ἐλάσσων μὲν ἔσται ἡ προειρημένη εὐθεῖα πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου πρὸς τὴν τοῦ ἐξ ἀρχῆς κύκλου περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν, μεγίστη δὲ ἡ ὑπὸ τὴν μείζονα
10περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα. εἰς γὰρ κύκλον τὸν ΑΒΓΔ διήχθω τις εὐθεῖα ἡ ΒΔ εἰς ἄνισα τέμνουσα τὸν κύκλον, ἔστω δὲ μείζων ἡ ΒΓΔ περιφέρεια τῆς ΒΑΔ περιφερείας, καὶ ἐπὶ τῆς ΒΔ ὀρθὸν τμῆμα κύκλου ἐφεστάτω τὸ ΒΕΔ μὴ μεῖζον ἡμικυκλίου, καὶ διῃρήσθω ἡ ΒΕΔ περιφέρεια εἰς ἄνισα κατὰ
15τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἔστω ἐλάσσων ἡ ΒΕ περιφέρεια τῆς ΕΔ περιφερείας, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΒ. λέγω, ὅτι ἡ ΒΕ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΓΔ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν. ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΕΖ· πεσεῖται δὴ ἐπὶ τὴν κοινὴν τομὴν τῶν ΑΒΓΔ, ΒΕΔ
20ἐπιπέδων ἐπὶ τὴν ΒΔ εὐθεῖαν, ἐπειδήπερ τὸ ΒΕΔ τμῆμα ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον. καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Η, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΖΗ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Θ, Κ μέρη, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΓΔ περιφέρειαν προσβεβλήσθω ἡ ΕΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΛ.
25 καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ τῆς
ΕΖ ἑκατέρα τῶν ΖΒ, ΖΛ οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΒΖΕ, ΛΖΕ γωνιῶν ὀρθή ἐστι. καὶ ἐπεὶ ἡ112
30ΒΖ τῆς ΖΛ ἐλάσσων ἐστίν, ἔλασσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΛ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΒ ἐλάσσονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΛ. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ, τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΛ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΕ· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ
35τῆς ΛΕ· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ τῆς ΛΕ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΓΔ περιφέρειαν προσ‐ πιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΒΕ· ἡ ἄρα ΒΕ ἐλάσσων ἐστὶ πα‐ σῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΓΔ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν. λέγω δέ, ὅτι καὶ ἀεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων
40τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου διαγομένων εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Β, Κ σημείων. διήχθω γάρ τις καὶ ἑτέρα ἡ ΕΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΛΖ τῆς ΖΓ ἐστιν ἐλάσσων, ἔλαττον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΛ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΛ ἐλάσσονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΓ. ἀλλὰ τὰ μὲν
45ἀπὸ τῶν ΛΖ, ΖΕ ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΛΕ, τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΓ· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΕ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ· ἐλάσσων ἄρα ἡ ΛΕ τῆς ΕΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ΕΒ τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ἐστὶ τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου διαγομένων εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Β, Κ.

3

.

1

(50)

 ἐπεζεύχθωσαν δὴ καὶ αἱ ΕΚ, ΕΔ. λέγω δή, ὅτι πάλιν ἡ μὲν ΕΚ μεγίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΚΔ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν, ἡ δὲ ΕΔ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου διαγομένων εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Δ, Κ σημείων. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΚΖ τῆς ΓΖ μείζων ἐστί, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς
55ΚΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΚΖ, ΖΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ, μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΓ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ· μείζων ἄρα ἡ ΚΕ τῆς ΕΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΚΔ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μείζων ἐστὶν ἡ ΕΚ· ἡ ἄρα ΕΚ μεγίστη ἐστὶ
60πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΚΔ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν
εὐθειῶν. λέγω δέ, ὅτι καὶ ἡ ΕΔ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Κ, Δ σημείων. διήχθω γὰρ καὶ ἑτέρα ἡ ΕΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΖ.114
65 καὶ ἐπεὶ ἡ ΔΖ τῆς ΖΜ ἐστιν ἐλάσσων, ἔλαττον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΔ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ, ἐλάσσονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΜ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΜ· ἐλάσσων ἄρα ἡ ΔΕ τῆς ΕΜ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν
70ΚΔ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Κ, Δ σημείων ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΕΔ· ἡ ἄρα ΕΔ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Δ σημείου πρὸς τὴν ΚΔ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Κ, Δ σημείων, καὶ αἰεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ἐστὶ τῶν μεταξὺ τῶν Κ, Δ σημείων διαγομένων εὐθειῶν.
75 ἀλλὰ δὴ ἡ διαγομένη ἡ ΒΔ διάμετρος ἔστω τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, τὰ δὲ λοιπὰ τὰ αὐτὰ ὑποκείσθω. λέγω, ὅτι ἡ μὲν ΕΒ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν, ἡ δὲ ΕΔ μεγίστη. τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΔΕ περι‐
80φέρεια τῆς ΕΒ περιφερείας, καὶ κάθετος ἦκται ἡ ΕΖ, μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΖ τῇ ΖΒ. καί ἐστιν ἡ ΒΔ διάμετρος τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου· ἐπὶ τῆς ΖΔ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΔΖ τῆς ΖΓ, ἡ δὲ ΖΓ τῆς ΖΒ· ὥστε καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΔΖ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΖΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΒ. κοινὸν προσκείσθω
85τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ· τὰ μὲν ἄρα ἀπὸ τῶν ΔΖ, ΖΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ, μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΕ, τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΕ, μείζονα τῶν ἀπὸ τῶν ΒΖ, ΖΕ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ· ἡ ΔΕ ἄρα τῆς ΕΓ μείζων ἐστίν, ἡ δὲ ΕΓ τῆς ΕΒ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε
90σημείου πρὸς τὴν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΔΕ, ἐλάσσων δὲ ἡ ΕΒ. μεγίστη ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν, ἡ δὲ ΕΒ
ἐλάσσων.116

3

.

2

 Ἐὰν εἰς κύκλον διαχθῇ τις εὐθεῖα ἀπολαμβάνουσα τμῆμα μὴ ἔλασσον ἡμικυκλίου, καὶ ἐπ’ αὐτῆς τμῆμα κύκλου ἐπισταθῇ μὴ μεῖζον ἡμικυκλίου κεκλιμένον πρὸς τὸ μὴ μεῖζον ἡμικυκλίου, διαιρεθῇ δὲ ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα, ἡ ὑπὸ τὴν ἐλάσσονα
5περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου πρὸς τὴν μὴ ἐλάσσονα ἡμικυκλίου περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν. εἰς γὰρ κύκλον τὸν ΑΒΓΔ διήχθω τις εὐθεῖα ἡ ΑΓ ἀπολαμ‐ βάνουσα τμῆμα μὴ ἔλασσον ἡμικυκλίου τὸ ΑΒΓ, καὶ ἐπὶ τῆς ΑΓ
10τμῆμα κύκλου ἐφεστάτω τὸ ΑΕΓ μὴ μεῖζον ἡμικυκλίου κεκλιμένον πρὸς τὸ μὴ μεῖζον ἡμικυκλίου τὸ ΑΔΓ, καὶ διῃρήσθω ἡ ΑΕΓ περιφέρεια εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΓΕ περιφέρεια τῆς ΕΑ περιφερείας, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΑ. λέγω, ὅτι ἡ ΕΑ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προσ‐
15πιπτουσῶν εὐθειῶν. ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος· πεσεῖται δὴ μεταξὺ τῆς τε ΑΓ εὐθείας καὶ τῆς ΑΔΓ περιφερείας διὰ τὸ κεκλίσθαι τὸ ΑΕΓ τμῆμα πρὸς τὸ ΑΔΓ τμῆμα. πιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΕΖ καὶ συμβαλλέτω τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ κατὰ
20τὸ Ζ σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ. ἤτοι δὴ ἐπὶ τῆς ΑΓ τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἢ μεταξὺ τῆς τε ΑΓ εὐθείας καὶ τῆς ΑΒΓ περιφερείας διὰ τὸ τὸ ΑΒΓ τμῆμα ὑποκεῖσθαι μὴ ἔλασσον ἡμικυκλίου. ἔστω πρότερον μεταξὺ τῆς τε ΑΓ εὐθείας καὶ τῆς ΑΒΓ περιφερείας
25καὶ ἔστω τὸ Η σημεῖον, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΖΗ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Δ, Β μέρη, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προσ‐ βεβλήσθω εὐθεῖα ἡ ΕΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΘ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ
30τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ τῆς ΕΖ ἑκατέρα τῶν ΑΖ, ΖΘ οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ· καὶ
ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΑΖΕ, ΘΖΕ γωνιῶν ὀρθή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΖ τῆς ΖΘ ἐστιν ἐλάσσων, ἔλασσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΘΖ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΖ,118
35ΖΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ, ἐλάσσονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΘ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΘΕ· ἡ ΑΕ ἄρα τῆς ΕΘ ἐστιν ἐλάσσων. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΕ· ἡ ἄρα ΑΕ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒ περιφέρειαν
40προσπιπτουσῶν εὐθειῶν. καὶ πάλιν ὁμοίως δείξομεν, ὅτι αἰεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ἐστὶ τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου διαγομένων εὐθειῶν πρὸς τὴν ΑΒ περιφέρειαν μεταξὺ τῶν Α, Β σημείων. ἐπεζεύχθω δὴ ἡ ΕΒ. λέγω, ὅτι ἡ ΕΒ μεγίστη ἐπὶ πασῶν τῶν
45ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΖ τῆς ΖΘ ἐστι μείζων, μεῖζον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΘ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΒ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ, μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΘ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΘ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ τῆς ΕΘ.

3

.

2

(50)

ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἡ ΕΒ μείζων ἐστίν· ἡ ΕΒ ἄρα μεγίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν. ἐπεζεύχθω δὲ καὶ ἡ ΕΓ. λέγω δή, ὅτι καὶ ἡ ΕΓ ἐλάσσων ἐστὶ
55πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΓ περιφέρειαν προσπιπ‐ τουσῶν εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Β, Γ σημείων. διήχθω γὰρ καὶ ἑτέρα ἡ ΕΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΓ, ΖΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΚ ἐστιν ἐλάσσων, ἔλασσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΚ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ· τὰ ἄρα
60ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ, ἐλάσσονα τῶν ἀπὸ τῶν ΚΖ, ΖΕ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ· ἡ ΓΕ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΕΚ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΚΓ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Β, Γ σημείων ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΕΓ. καὶ πάλιν ὁμοίως δείξομεν, ὅτι αἰεὶ ἡ ἔγγιον
65αὐτῆς τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν
ΒΓ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Β, Γ σημείων. ὁμοίως δὴ δειχθήσεσαι, κἂν ἡμικύκλιον ᾖ τὸ ΑΒΓ, ὅτι ἡ ΑΕ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν.120

3

.

3

 Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστοι κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους, ἀπὸ δὲ ἑκατέρου αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ σημείου, καθ’ ὃ τέμνουσιν ἀλλήλους, αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰ πέρατα τῶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη περιφερειῶν εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
5 ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλή‐ λους κατὰ τὸ Ε σημεῖον, ἀπὸ δὲ ἑκατέρου αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν ἑξῆς ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ Ε σημείου ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΒ, ἡ δὲ ΓΕ τῇ ΕΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΑ, ΒΔ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΒΔ.
10 ὁ γὰρ πόλῳ τῷ Ε, διαστήματι δὲ τῷ ΕΑ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Β. ἤτοι δὴ καὶ διὰ τοῦ Γ ἥξει ἢ οὔ. ἐρχέσθω πρότερον καὶ διὰ τοῦ Γ· ἥξει ἄρα καὶ διὰ τοῦ Δ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ΕΔ περιφερείᾳ. ἐρχέσθω, καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΓΒΔ καὶ τοῦ ΑΕΒ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΒ, τοῦ δὲ ΑΓΒΔ καὶ
15τοῦ ΓΕΔ κοινὴ τομὴ ἡ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΕΒ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΓΒΔ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ἡ ΑΒ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΓΒΔ κύκλου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΓΒΔ κύκλου· αἱ
20τέσσαρες ἄρα αἱ ΑΖ, ΖΓ, ΖΒ, ΖΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΑΖ, ΖΓ δύο ταῖς ΔΖ, ΖΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΖΒ ἴση ἐστίν, βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση. ἀλλὰ δὴ πάλιν ὁ πόλῳ μὲν τῷ Ε, διαστήματι δὲ τῷ ΕΑ κύκλος
25γραφόμενος μὴ ἐρχέσθω διὰ τοῦ Γ, ἀλλ’ ὑπερπιπτέτω αὐτό· ἥξει μὲν
ἄρα καὶ διὰ τοῦ Β, ὑπερπεσεῖται δὲ καὶ τὸ Δ. ἐρχέσθω καὶ ἔστω ὡς ὁ ΑΗΒΘ, καὶ προσαναπεπληρώσθω ὁ ΓΕΔ κύκλος κατὰ τὰ Η, Θ σημεῖα, καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΗΒΘ κύκλου καὶ τοῦ ΑΕΒ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΒ, τοῦ δὲ ΑΗΒΘ κύκλου καὶ τοῦ ΗΕΘ κοινὴ τομὴ ἡ ΗΘ.122
30 ὁμοίως δὴ πάλιν δείξομεν, ὅτι τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΗΒΘ κύκλου, καὶ ὅτι ἑκάτερος τῶν ΑΕΒ, ΗΕΘ ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΗΒΘ κύκλον. ἤχθωσαν δὴ ἀπὸ τῶν Γ, Δ σημείων ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΗΒΘ κύκλου ἐπίπεδον κάθετοι αἱ ΓΚ, ΔΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, ΛΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΗ περιφέρεια τῇ ΕΘ περιφερείᾳ· πόλος
35γάρ ἐστι τὸ Ε σημεῖον· ὧν ἡ ΓΕ τῇ ΕΔ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ λοιπῇ τῇ ΔΘ ἐστιν ἴση. ἐπεὶ οὖν τμῆμα κύκλου ὀρθόν ἐστι τὸ ΗΕΘ, καὶ ἀπειλημμέναι εἰσὶν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΗΓ, ΔΘ, καὶ κάθετοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΓΚ, ΔΛ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΓΚ τῇ ΔΛ, ἡ δὲ ΗΚ τῇ ΘΛ. ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΗΖ ὅλῃ τῇ ΖΘ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΖ λοιπῇ τῇ ΖΛ
40ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΖ τῇ ΒΖ ἴση· αἱ ΑΚ, ΛΒ ἄρα ἴσαι εἰσίν. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΚ τῇ ΛΒ, ἡ δὲ ΓΚ τῇ ΔΛ, δύο δὴ αἱ ΑΚ, ΚΓ δύο ταῖς ΒΛ, ΛΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΚΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΛΒ ἐστιν ἴση· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα αὐτῶν· βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση.

3

.

4

 Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους, ἀπὸ δὲ ἑνὸς αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ σημείου, καθ’ ὃ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν γενομένων σημείων ἐπίπεδα παράλληλα ἐκβληθῇ, ὧν τὸ ἓν συμπίπτον τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων
5ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας ὡς κατὰ τὸ εἰρημένον σημεῖον, μία δὲ τῶν ἴσων περιφερειῶν μείζων ᾖ ἑκατέρας τῶν ἀπειλημμένων ὑπὸ τῶν ἠγμένων ἐπιπέδων πρὸς τῷ αὐτῷ σημείῳ, ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τοῦ ἀσυμπτώτου ἐπιπέδου μείζων ἐστὶ τῆς μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τοῦ συμπίπτοντος ἐπιπέδου τοῦ αὐτοῦ κύκλου.
10 ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΕΒ, ΓΕΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὸ Ε σημεῖον, ἀπὸ δὲ ἑνὸς αὐτῶν τοῦ ΑΕΒ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΒ ἑξῆς ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ Ε σημείου, καὶ διὰ τῶν Α, Β σημείων ἐπίπεδα παράλληλα διήχθω τὰ ΑΔ, ΓΒ,
ὧν τὸ ΑΔ συμπίπτον τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ΑΕΒ, ΓΕΔ ἐκτὸς τῆς124
15ἐπιφανείας τῆς σφαίρας κατὰ τὸ Ε σημεῖον, μία δὲ τῶν ἴσων περιφε‐ ρειῶν τῶν ΑΕ, ΕΒ μείζων ἔστω ἑκατέρας τῶν ΓΕ, ΕΔ. λέγω, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῆς ΕΔ περιφερείας. ὁ πόλῳ γὰρ τῷ Ε, διαστήματι δὲ τῷ ΕΑ κύκλος γραφόμενος ἥξει μὲν διὰ τοῦ Β, ὑπερπεσεῖται δὲ τὰ Γ, Δ σημεῖα διὰ τὸ ἑκατέραν τῶν
20ΑΕ, ΕΒ ἑκατέρας τῶν ΓΕ, ΕΔ μείζονα εἶναι. ἐρχέσθω καὶ ἔστω ὡς ὁ ΑΗΒΖ, καὶ προσαναπεπληρώσθωσαν οἱ κύκλοι, καὶ ὁ μὲν ΑΔ κύκλος συμπιπτέτω τῷ ΑΗΒΖ κύκλῳ κατὰ τὸ Θ σημεῖον, ὁ δὲ ΒΓ κατὰ τὸ Κ σημεῖον, καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΗΒΖ καὶ τῶν ΑΕΒ καὶ ΗΕΖ κοιναὶ τομαὶ ἡ ΑΒ καὶ ἡ ΗΖ, τοῦ δὲ ΑΔΘ κύκλου καὶ τοῦ ΑΗΒΖ κοινὴ
25τομὴ ἡ ΑΘ, τοῦ δὲ ΚΓΒ καὶ τοῦ ΑΗΒΖ κοινὴ τομὴ ἡ ΚΒ, τοῦ δὲ ΗΕΖ καὶ τοῦ ΑΔΘ κοινὴ τομὴ ἡ ΔΜ, τοῦ δὲ ΚΓΒ καὶ τοῦ ΗΕΖ κοινὴ τομὴ ἡ ΓΝ. καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΔ ἐπίπεδον συμπίπτει τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ΗΕΖ, ΑΕΒ ἐπιπέδων, τουτέστι τῇ ΕΛ, ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας ὡς κατὰ τὸ Ε σημεῖον, συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ξ, καὶ ἐκβεβλήσθω
30ἡ ΕΛ ἐπὶ τὸ Ξ. τὸ Ξ ἄρα σημεῖον ἐν τῷ ΑΔΘ ἐπιπέδῳ ἐστίν, ἀλλὰ καὶ ἐν τῷ ΗΕΖ, ἔστι δὲ καὶ τὰ Δ, Μ σημεῖα ἐν ἀμφοτέροις τοῖς ΑΔΘ, ΗΕΖ ἐπιπέδοις· ἡ ΜΔ ἄρα συμπίπτει ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας ὡς κατὰ τὸ Ε σημεῖον· συμπεσοῦνται δὴ κατὰ τὸ Ξ. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΕΒ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ
35σφαίρᾳ τὸν ΑΗΒΖ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ἡ ΑΒ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΗΒΖ κύκλου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΗΖ διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΗΒΖ κύκλου· κέντρον ἄρα ἐστὶν αὐτοῦ τὸ Λ. καὶ ἐπεὶ δύο παράλληλα ἐπίπεδα τὰ ΚΓΒ, ΑΔΘ ὑπό τινος ἐπιπέδου τέμνεται τοῦ ΑΗΒΖ, αἱ κοιναὶ ἄρα αὐτῶν τομαὶ
40παράλληλοί εἰσιν· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΒ τῇ ΑΘ. πάλιν, ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΚΓΒ, ΑΔΘ ὑπό τινος ἐπιπέδου τέμνεται τοῦ ΗΕΖ, αἱ κοιναὶ αὐτῶν ἄρα τομαὶ παράλληλοί εἰσιν· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΝ τῇ ΔΜ. καὶ ἐπεὶ ἑκάτερον τῶν ΑΕΒ, ΗΕΖ ἐπιπέδων
πρὸς τὸ ΑΗΒΖ ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστιν, καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν ἄρα τομὴ126
45ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ΑΗΒΖ ἐπίπεδον. κοινὴ δὲ αὐτῶν τομή ἐστιν ἡ ΕΛ· καὶ ἡ ΕΛ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ΑΗΒΖ ἐπίπεδον· ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΗΒΖ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ τῆς ΕΛ ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΗΖ οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΗΒΖ κύκλου ἐπιπέδῳ· ἡ ΕΛ ἄρα ὀρθή

3

.

4

(50)

ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΑΒ, ΗΖ. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΞΛΜ ἐκτός ἐστι γωνία ἡ ὑπὸ ΞΛΝ, μείζων ἐστὶ τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνίας τῆς ὑπὸ ΞΜΛ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΞΛΝ· ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΞΜΛ· ἀμβλεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΞΜΖ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΝ τῇ ΔΜ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΗΖ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΝΗ τῇ
55ὑπὸ ΞΜΛ. ὀξεῖα δὲ ἡ ὑπὸ ΞΜΛ· ὀξεῖα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΝΗ. καὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΜ τῇ ΝΒ, καὶ δύο διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΑΒ, ΜΝ, καί ἐστιν ἴση ἡ ΑΛ τῇ ΛΒ· ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΝΛ τῇ ΛΜ. ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΗΛ ὅλῃ τῇ ΛΖ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΝ λοιπῇ τῇ ΜΖ ἐστιν ἴση. ἐπεὶ οὖν τμῆμα κύκλου ἐστὶ τὸ ΗΕΖ, καὶ αἱ ἀπειλημ‐
60μέναι ἴσαι εἰσὶν αἱ ΗΝ, ΜΖ, καὶ διηγμέναι εἰσὶ παράλληλοι αἱ ΓΝ, ΔΜ, καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ ΓΝΗ ὀξεῖα, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΜΖ ἀμβλεῖα, ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ περιφέρεια τῆς ΔΖ περιφερείας. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ΗΕ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΖΕ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση, ὧν ἡ ΗΓ τῆς ΔΖ ἐστιν ἐλάσσων, λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΕ περιφέρεια λοιπῆς τῆς ΕΔ περιφερείας
65μείζων ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

3

.

5

 Ἐὰν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας ὁ πόλος ᾖ τῶν παραλλήλων, καὶ τοῦτον τέμνωσι δύο μέγιστοι κύκλοι πρὸς ὀρθάς, ὧν ὁ μὲν εἷς τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ἕτερος λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους, ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
5τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, διὰ δὲ τῶν γενομένων σημείων παράλληλοι κύκλοι γραφῶσιν, ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου τὰς μεταξὺ αὐτῶν καὶ μείζονα ἀεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ μεγίστου τῶν
παραλλήλων τῆς πορρώτερον. ἐπὶ γὰρ μεγίστου κύκλου περιφερείας τοῦ ΑΒΓ ὁ πόλος ἔστω τῶν128
10παραλλήλων τὸ Α σημεῖον, καὶ τοῦτον τεμνέτωσαν δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΒΖΓ, ΔΖΕ πρὸς ὀρθάς, ὧν ὁ μὲν ΒΖΓ εἷς τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ΔΖΕ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους, ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΔΖΕ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΚΘ, ΘΗ ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν παραλλήλων τοῦ ΒΖΓ, διὰ δὲ τῶν Κ, Θ, Η
15σημείων παράλληλοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΟΚΠ, ΝΘΞ, ΛΗΜ. λέγω, ὅτι οἱ ΟΚΠ, ΝΘΞ, ΛΗΜ κύκλοι ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου τοῦ ΑΒΓ καὶ μείζονα ἀεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ ΒΖΓ τῆς πορρώτερον. λέγω οὖν, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΟΝ περιφέρεια τῆς ΝΛ περιφερείας.
20 γεγράφθω γὰρ διὰ τῶν Α, Θ σημείων μέγιστος κύκλος ὁ ΑΘΡ. καὶ ἐπεὶ τὸ Α σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΟΚΠ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΝΟ περιφέρεια τῇ ΑΘΡ περιφερείᾳ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Α σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΝΘΞ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΛΝ περιφέρεια τῇ ΑΣΘ περιφερείᾳ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΝΟ λοιπῇ τῇ ΘΡ ἐστιν ἴση. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ
25ἡ ΝΛ περιφέρεια τῇ ΣΘ ἐστιν ἴση· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΝΟ τῇ ΘΡ, ἡ δὲ ΑΜ τῇ ΣΘ. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΘΡ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΟΚΠ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ὁ ΑΘΡ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΟΚΠ κύκλον. κύκλου δή τινος τοῦ ΟΚΠ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ἀπὸ τοῦ Ρ
30τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέσταται τὸ ΡΘ καὶ τὸ τούτῳ συνεχές, καὶ ἀπείληπται περιφέρεια ἡ ΡΘ ἐλάσσων ἢ ἡμίσεια οὖσα τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Ρ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Θ σημείου πρὸς τὸν ΟΚΠ κύκλον προσπιπτουσῶν εὐθειῶν· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Ρ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐλάσσων
35ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Κ ἐπιζευγνυμένης εὐθείας. καί εἰσιν ἴσοι οἱ κύκλοι· μέγιστοι γάρ εἰσιν· ἡ ἄρα ΘΡ περιφέρεια ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΘΚ περιφερείας. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΘΣ τῆς ΘΗ ἐλάσσων [ὁμοίως εἰπόντες· κύκλου δή τινος τοῦ ΛΗΜ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ἀπὸ τοῦ Σ σημείου τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέστηκε τὸ ΣΘ καὶ τὸ τούτῳ
40συνεχές, καὶ ἀπείληπται περιφέρεια ἡ ΣΘ ἐλάσσων ἢ ἡμίσεια οὖσα τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος]. καί ἐστιν ἴση ἡ ΚΘ τῇ ΘΗ· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΚΘ, ΘΗ ἑκατέρας τῶν ΡΘ, ΘΣ ἐστι μείζων. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ὁ ΒΖΓ τῷ ΛΗΜ, ὁ δὲ ΒΖΓ συμπίπτει τῇ τῶν ΗΘΚ, ΑΘΡ κύκλων κοινῇ τομῇ ἐντός, τουτέστιν ὡς κατὰ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας,130
45καὶ ὁ ΛΗΜ ἄρα κύκλος συμπεσεῖται τῇ τῶν ΗΘΚ, ΑΘΡ κύκλων κοινῇ τομῇ ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας ὡς κατὰ τὸ Θ σημεῖον. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΗΘΚ, ΣΘΡ τέμνουσιν ἀλλήλους, ἀπὸ δὲ ἑνὸς αὐτῶν τοῦ ΗΘΚ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΚΘ, ΘΗ ἑξῆς ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ Θ σημείου, καὶ διὰ τῶν Η, Κ σημείων

3

.

5

(50)

ἐπίπεδα παράλληλα ἐκβέβληται τὰ ΛΗΜ, ΟΚΠ, ὧν τὸ ΛΗΜ συμπίπτει τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων τῶν ΗΘΚ, ΣΘΡ ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας ὡς κατὰ τὸ Θ σημεῖον, μία δὲ τῶν ἴσων περιφερειῶν τῶν ΚΘ, ΘΗ ἑκατέρας τῶν ΡΘ, ΘΣ ἐστι μείζων, μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΡΘ περιφέρεια τῆς ΘΣ περιφερείας. ἀλλ’ ἡ μὲν ΡΘ τῇ ΟΝ ἐστιν ἴση,
55ἡ δὲ ΘΣ τῇ ΝΛ· καὶ ἡ ΟΝ ἄρα περιφέρεια τῆς ΝΛ περιφερείας ἐστὶ μείζων.

3

.

6

 Ἐὰν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας ὁ πόλος ᾖ τῶν παραλλήλων, καὶ τοῦτον τέμνωσι δύο μέγιστοι κύκλοι πρὸς ὀρθάς, ὧν ὁ μὲν εἷς τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ἕτερος λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους, ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
5τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, καὶ διὰ τῶν γενομένων σημείων καὶ τοῦ πόλου μέγιστοι κύκλοι γραφῶσιν, ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τὰς μεταξὺ αὐτῶν καὶ μείζονα ἀεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου τῆς πορρώτερον. ἐπὶ γὰρ μεγίστου κύκλου περιφερείας τοῦ ΑΒΓ ὁ πόλος ἔστω τῶν
10παραλλήλων τὸ Α σημεῖον, καὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον δύο μέγιστοι κύκλοι τεμνέτωσαν πρὸς ὀρθὰς οἱ ΒΖΓ, ΔΖΕ, ὧν ὁ μὲν ΒΖΓ εἷς τῶν παραλ‐ λήλων, ὁ δὲ ΔΖΕ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους, ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΔΖΕ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΚΘ, ΘΗ ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ ΒΖΓ, διὰ δὲ τοῦ Α
15καὶ ἑκάστου τῶν Η, Θ, Κ σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΑΗΛ, ΑΘΜ, ΑΚΝ. λέγω, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΛΜ περιφέρεια τῆς
ΜΝ περιφερείας. γεγράφθωσαν γὰρ διὰ τῶν Η, Θ, Κ σημείων παράλληλοι κύκλοι οἱ ΞΗΟ, ΠΘΡ, ΣΚΤ· μείζων ἄρα ἡ ΣΠ περιφέρεια τῆς ΠΞ περιφερείας132
20διὰ τὸ προδειχθὲν θεώρημα. ἀλλ’ ἡ μὲν ΣΠ τῇ ΥΘ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΠΞ τῇ ΘΦ· καὶ ἡ ΥΘ ἄρα τῆς ΘΦ ἐστι μείζων. κείσθω οὖν τῇ ΘΦ ἴση ἡ ΘΧ· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΗΘ τῇ ΘΚ ἴση· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Φ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Κ ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ.
25 γεγράφθω δὴ διὰ τοῦ Χ τοῖς ἐξ ἀρχῆς παράλληλος κύκλος ὁ ϛΧΨΩ. καὶ ἐπεὶ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΨΚΝ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ϛΧΨΩ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ὁ ἄρα ΑΨΚΝ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ϛΧΨΩ κύκλον· ὥστε καὶ
30ὁ ϛΧΨΩ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΨΚΝ κύκλον. καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΖΓ, ϛΧΨΩ ὑπό τινος ἐπιπέδου τέμνεται τοῦ ΑΨΚΝ, αἱ κοιναὶ αὐτῶν ἄρα τομαὶ παράλληλοί εἰσιν· ἡ ἄρα κοινὴ τομὴ τῶν ΑΨΚΝ, ΒΖΓ, ἥπερ ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Ν σημείου διάμετρος οὖσα τοῦ ΑΨΚΝ κύκλου, καὶ ἡ κοινὴ τομὴ τῶν ΑΨΚΝ, ϛΧΨΩ
35παράλληλοί εἰσιν· ὥστε ἡ κοινὴ τομὴ τῶν ΑΨΚΝ, ϛΧΨΩ παράλληλός ἐστι τῇ διαμέτρῳ τοῦ ΑΨΚΝ. εἰς δὴ κύκλον τὸν ΑΨΚΝ διῆκταί τις εὐθεῖα ἡ τῶν ΑΨΚΝ, ϛΧΨΩ κύκλων κοινὴ τομὴ εἰς ἄνισα τέμνουσα τὸν κύκλον· παράλληλος γάρ ἐστι τῇ διαμέτρῳ τοῦ ΑΨΚΝ κύκλου· καὶ ἐπ’ αὐτῆς τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέστηκε τὸ ΧΨ καὶ τὸ τούτῳ
40συνεχές, καὶ διῄρηται ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Χ, καὶ ἡ ΨΧ περιφέρεια ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἡμίσεια τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Ψ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Χ σημείου πρὸς τὴν ΨΚΝ περιφέ‐ ρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν. ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Ψ ἐλάσσων
45ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Κ· ὥστε ἡ ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Κ μείζων
ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Ψ. ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Κ ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Φ· καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἄρα ἐπὶ τὸ Φ μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Ψ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΧΨΩ κύκλος ἔγγιόν ἐστι τοῦ κέντρου ἤπερ ὁ ΞΗΟ, μείζων ἄρα ἐστὶν ὁ ΧΨΩ κύκλος τοῦ ΞΗΟ134

3

.

6

(50)

κύκλου. ἐπεὶ οὖν δύο κύκλοι ἄνισοί εἰσιν οἱ ΧΨΩ, ΞΗΟ, καί ἐστιν ἐλάσσων ὁ ΞΗΟ, καὶ ἐν αὐτοῖς διηγμέναι εἰσὶν εὐθεῖαι, ἐν μὲν τῷ ΞΗΟ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Φ, ἐν δὲ τῷ ΧΨΩ ἡ ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Ψ, καί ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Φ μείζων τῆς ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Ψ, ἡ ΗΦ ἄρα περιφέρεια τῆς ΧΨ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία. ἀλλ’ ἡ
55μὲν ΗΦ τῇ ΛΜ ἐστιν ὁμοία, ἡ δὲ ΧΨ τῇ ΜΝ ἐστιν ὁμοία· καὶ ἡ ΜΛ ἄρα περιφέρεια τῆς ΜΝ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία. καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· μείζων ἄρα ἡ ΛΜ περιφέρεια τῆς ΜΝ περι‐ φερείας.

3

.

7

 Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐφάπτηται, ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλλή‐ λους μειζόνων ἐφάπτηται, ἢ ὧν ὁ ἐξ ἀρχῆς ἐφήπτετο, ἔτι δὲ αἱ ἁφαὶ ὦσιν ἐπὶ τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου ἴσαι
5περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, διὰ δὲ τῶν γενομένων σημείων παράλληλοι κύκλοι γραφῶσιν, ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου τὰς μεταξὺ αὐτῶν καὶ μείζονα ἀεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τῆς πορρώτερον.
10 ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΑΔ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Α σημεῖον, ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος ὁ ΕΖΗ λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλλήλους μειζόνων ἐφαπτέσθω, ἢ ὧν ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάπτεται, ἔτι δὲ αἱ ἁφαὶ ἔστωσαν ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου κατὰ τὰ Ε, Η σημεῖα, μέγιστος δὲ τῶν παραλλήλων ἔστω ὁ
15ΒΖΓ, ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΕΖΗ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΛΚ, ΚΘ ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ ΒΖΓ, διὰ δὲ τῶν Θ, Κ, Λ σημείων παράλληλοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΜΘΝ, ΞΚΟ, ΠΛΡ. λέγω, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΠΞ περιφέρεια τῆς ΞΜ περιφερείας.
20γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Κ σημείου τοῦ ΑΔ κύκλου ἐφαπτόμενος
μέγιστος ὁ ΔΚΣ, ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Α, Β μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Δ ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ Σ μέρη, καὶ εἰλήφθω ὁ πόλος τῶν παραλλήλων καὶ ἔστω τὸ Υ σημεῖον, καὶ διὰ τῶν Υ, Κ σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΥΚΦ.136
25 ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΥΚΦ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΠΛΡ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ὁ ΥΚΦ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΠΛΡ κύκλον. κύκλου δή τινος τοῦ ΠΛΡ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ἀπὸ τοῦ Φ κύκλου τμῆμα ὀρθὸν ἐφέσταται τὸ ΦΚΥ καὶ τὸ τούτῳ συνεχές, καὶ διῄρηται ἡ τοῦ
30ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Κ σημεῖον, καί ἐστιν ἐλάσσων ἢ ἡμίσεια ἡ ΦΚ· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Φ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Κ σημείου πρὸς τὴν ΠΛΡ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν, αἰεὶ δ’ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων. ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Σ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα
35ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Λ ἐπιζευγνυμένης εὐθείας· ὥστε ἡ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Λ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Σ ἐπιζευγνυμένης εὐθείας. καί εἰσιν ἴσοι οἱ ΔΚΣ, ΕΛΗ κύκλοι· μέγιστοι γάρ εἰσιν· μείζων ἄρα ἡ ΚΛ περιφέρεια τῆς ΚΣ περιφερείας. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΘΚ περιφέρεια μείζων
40ἐστὶ τῆς ΚΨ περιφερείας. καί ἐστιν ἴση ἡ ΘΚ τῇ ΚΛ· μία ἄρα τῶν ΘΚ, ΚΛ ἑκατέρας τῶν ΨΚ, ΚΣ μείζων ἐστίν. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ὁ ΒΖΓ κύκλος τῷ ΜΘΝ κύκλῳ, ὁ δὲ ΒΖΓ κύκλος συμπίπτει τῇ τῶν ΘΚΛ, ΨΚΣ κοινῇ τομῇ ἐντὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας ὡς κατὰ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας, καὶ ὁ ΜΘΝ ἄρα κύκλος ἐκβαλλόμενος
45συμπίπτει τῇ τῶν ΘΚΛ, ΨΚΣ κοινῇ τομῇ ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας ὡς κατὰ τὸ Κ σημεῖον. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΘΚΛ, ΨΚΣ τέμνουσιν ἀλλήλους κατὰ τὸ Κ σημεῖον, ἀπὸ δὲ ἑνὸς αὐτῶν τοῦ ΘΚΛ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΘΚ, ΚΛ ἑξῆς ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ σημείου, καθ’ ὃ τέμνουσιν ἀλλήλους, καὶ διὰ τῶν Θ,

3

.

7

(50)

Λ σημείων παράλληλα ἐπίπεδα ἐκβέβληται τὰ ΠΛΡ, ΜΘΝ, ὧν τὸ ΜΘΝ συμπίπτον τῇ τῶν ΘΚΛ, ΨΚΣ κύκλων κοινῇ τομῇ ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας ὡς κατὰ τὸ Κ σημεῖον, μία δὲ τῶν ΘΚ, ΚΛ περιφερειῶν μείζων ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ΣΚ, ΚΨ, μείζων ἄρα καὶ ἡ ΣΚ τῆς ΚΨ. ἀλλ’ ἡ μὲν ΣΚ τῇ ΠΞ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΚΨ τῇ ΜΞ·138
55καὶ ἡ ΠΞ ἄρα τῆς ΞΜ ἐστι μείζων.

3

.

8

 Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐφάπτηται, ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλλήλους μειζόνων ἐφάπτηται, ἢ ὧν ὁ ἐξ ἀρχῆς ἐφήπτετο, ἔτι δὲ αἱ ἁφαὶ ὦσιν ἐπὶ τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου ἴσαι
5περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, διὰ δὲ τῶν γενομένων σημείων γραφῶσι μέγιστοι κύκλοι ἐφαπτόμενοι, οὗ καὶ ὁ ἐξ ἀρχῆς ἐφήπτετο, ὁμοίας ἀφαιροῦντες περιφερείας τῶν παραλλήλων κύκλων τὰς μεταξὺ αὐτῶν ἀσύμπτωτα ποιοῦντες τὰ ἀπὸ τῶν ἐπαφῶν ἡμικύκλια ὡς ἐπὶ τὰ μέρη τῶν σημείων, δι’ ὧν ἐγράφησαν,
10τῷ ἡμικυκλίῳ τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου τῷ, ἐφ’ οὗ ἂν ᾖ ἡ συναφὴ τοῦ λοξοῦ κύκλου ἡ μεταξὺ τοῦ τε φανεροῦ πόλου καὶ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τὰς μεταξὺ αὐτῶν καὶ μείζονα ἀεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου τῆς πορρώτερον.
15 ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΑΔ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Α σημεῖον, ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος ὁ ΕΖΓ λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλλήλους μειζόνων ἐφαπτέσθω, ἢ ὧν ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάπτεται, ἔτι δὲ αἱ ἁφαὶ ἔστωσαν ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου κατὰ τὰ Ε, Γ σημεῖα, μέγιστος δὲ τῶν παραλλήλων ἔστω ὁ
20ΒΖ, ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΕΖΓ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΗΘ, ΘΚ ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ ΒΖ, καὶ διὰ τῶν Η, Θ, Κ σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΔΗΛ, ΜΘΝ, ΞΚΟ ἐφαπτόμενοι τοῦ ΑΔ κύκλου κατὰ τὰ Δ, Μ, Ξ ση‐ μεῖα ὁμοίας ἀφαιροῦντες περιφερείας τῶν παραλλήλων κύκλων τὰς μεταξὺ
25αὐτῶν. λέγω, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΛΝ περιφέρεια τῆς ΝΟ περιφερείας. γεγράφθωσαν γὰρ διὰ τῶν Η, Θ, Κ σημείων παράλληλοι κύκλοι
οἱ ΠΗΡ, ΣΘ, ΤΥΚ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΣΤ περιφέρεια τῆς ΣΠ περι‐ φερείας. ἀλλ’ ἡ μὲν ΣΤ ἴση ἐστὶ τῆ ΘΥ, ἡ δὲ ΣΠ ἴση ἐστὶ τῇ ΘΡ· καὶ ἡ ΥΘ ἄρα τῆς ΘΡ μείζων ἐστίν. κείσθω οὖν τῇ ΘΡ ἴση ἡ ΘΦ·140
30ἔστι δὲ καὶ ἡ ΗΘ τῇ ΘΚ ἴση· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ρ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Κ ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ. γεγράφθω δὴ διὰ τοῦ Φ ὁποτέρῳ τῶν ΠΗΡ, ΣΘ, ΤΥΚ, ΒΖ παράλληλος κύκλος ὁ ΧΦΨ, καὶ εἰλήφθω ὁ πόλος τῶν παραλλήλων κύκλων τὸ Ω σημεῖον, καὶ διὰ τῶν Ω, Ο σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΩΟ.
35 καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΩΟ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΒΖ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ὁ ΩΟ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΒΖ κύκλον· ὁ ΞΚΟ ἄρα πρὸς τὸν ΖΒ κέκλιται ὡς ἐπὶ τὰ Α, Ε, Β μέρη· καὶ ὁ ΒΖ ἄρα πρὸς τὸν ΞΚΟ κέκλιται ὡς ἐπὶ τὰ Α, Ε, Β μέρη. παράλληλος δὲ ὁ
40ΒΖ τῷ ΧΦΨ· καὶ ὁ ΧΦΨ ἄρα πρὸς τὸν ΞΚΟ κέκλιται ὡς ἐπὶ τὰ Ξ μέρη. καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΖ, ΧΦΨ ὑπό τινος ἐπιπέδου τοῦ λοξοῦ τέμνεται τοῦ ΞΚΟ, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ ἄρα παράλληλοί εἰσιν· ἡ ἄρα κοινὴ τομὴ τῶν ΞΚΟ, ΧΦΨ παράλληλός ἐστι τῇ τῶν ΞΚΟ, ΒΖ κοινῇ τομῇ. ἡ δὲ κοινὴ τομὴ τῶν ΞΚΟ, ΒΖ
45ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Ο σημείου διάμετρος τοῦ ΞΚΟ κύκλου· ἡ ἄρα κοινὴ τομὴ τῶν ΞΚΟ, ΧΦΨ, ἥτις ἐστὶν ἀπὸ τοῦ Ψ σημείου διηγμένη, παράλληλός ἐστι τῇ ἀπὸ τοῦ Ο διαμέτρῳ τοῦ ΞΚΟ κύκλου. εἰς δὴ κύκλον τὸν ΞΚΟ διῆκταί τις εὐθεῖα ἡ τῶν ΞΚΟ, ΧΦΨ κοινὴ τομὴ εἰς ἄνισα τέμνουσα τὸν κύκλον· παράλληλος γάρ ἐστι τῇ διαμέτρῳ τοῦ ΞΚΟ

3

.

8

(50)

κύκλου· καὶ ἐπ’ αὐτῆς τμῆμα κύκλου ἐφέστηκε τὸ ΧΨ καὶ τὸ τούτῳ συνεχὲς κεκλιμένον πρὸς τὸ μὴ μεῖζον ἡμικυκλίου, καὶ διῄρηται ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Φ σημεῖον, καὶ ἡ ΦΨ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἡμίσεια τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Ψ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ
55Φ σημείου πρὸς τὴν μὴ ἐλάσσονα ἡμικυκλίου περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Ψ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Κ. ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Κ ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ρ· ὥστε ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ρ μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Ψ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΨΦΧ κύκλος ἔγγιόν ἐστι τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἤπερ ὁ142
60ΠΗΡ, μείζων ἄρα ὁ ΧΦΨ κύκλος τοῦ ΠΗΡ κύκλου. ἐπεὶ οὖν δύο κύκλοι ἄνισοί εἰσιν οἱ ΧΦΨ, ΠΗΡ, καὶ ἐλάσσων ἐστὶν ὁ ΠΗΡ κύκλος, καὶ ἐν αὐτοῖς διηγμέναι εἰσὶν εὐθεῖαι, ἐν μὲν τῷ ΠΗΡ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ρ, ἐν δὲ τῷ ΧΦΨ ἡ ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Ψ, καὶ ἡ ἐν τῷ ἐλάσσονι κύκλῳ διηγμένη μείζων ἐστὶ τῆς ἐν τῷ μείζονι κύκλῳ διηγμένης εὐθείας,
65τουτέστι μείζων ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ρ τῆς ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Ψ, ἡ ΗΡ ἄρα περιφέρεια τῆς ΨΦ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία. ἀλλ’ ἡ μὲν ΗΡ περιφέρεια τῇ ΛΝ περιφερείᾳ ἐστὶν ὁμοία, ἡ δὲ ΦΨ τῇ ΝΟ ἐστιν ὁμοία· καὶ ἡ ΛΝ ἄρα μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία τῆς ΝΟ. καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΝ περιφέρεια τῆς ΝΟ περιφερείας.

3

.

9

 Ἐὰν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας ὁ πόλος ᾖ τῶν παραλλήλων, καὶ τοῦτον τέμνωσι δύο μέγιστοι κύκλοι πρὸς ὀρθάς, ὧν ὁ μὲν εἷς τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ἕτερος λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους, ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσι μὴ οὖσαι ἑξῆς, ἐπὶ τὰ αὐτὰ
5δὲ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων κύκλου, διὰ δὲ τῶν γενομένων σημείων καὶ τοῦ πόλου μέγιστοι κύκλοι γραφῶσιν, ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τὰς μεταξὺ αὐτῶν καὶ μείζονα αἰεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου τῆς πορρώτερον. ἐπὶ γὰρ μεγίστου κύκλου περιφερείας τοῦ ΑΒΓ ὁ πόλος ἔστω τῶν
10παραλλήλων τὸ Α σημεῖον, καὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον δύο μέγιστοι κύκλοι τεμνέτωσαν οἱ ΔΕΓ, ΒΕ πρὸς ὀρθάς, ὧν ὁ μὲν ΒΕ τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ΔΕΓ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους, ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΔΕΓ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν μὴ οὖσαι ἑξῆς, ἐπὶ τὰ αὐτὰ δὲ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ ΒΕ αἱ ΖΗ, ΘΚ, καὶ διὰ τῶν
15Ζ, Η, Θ, Κ σημείων καὶ τοῦ Α πόλου μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΑΖΛ, ΑΗΜ, ΑΘΝ, ΑΚΞ. λέγω, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΛΜ περιφέρεια τῆς ΝΞ περιφερείας.
ἡ γὰρ ΗΘ ταῖς ΖΗ, ΘΚ ἤτοι σύμμετρός ἐστιν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον σύμμετρος ἡ ΗΘ ταῖς ΖΗ, ΘΚ, καὶ διῃρήσθωσαν144
20αἱ ΖΗ, ΗΘ, ΘΚ εἰς τὰ μέρη κατὰ τὰ Ο, Π, Ρ, Σ σημεῖα, καὶ διὰ τῶν Ο, Π, Ρ, Σ σημείων καὶ τοῦ Α πόλου μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΟΤ, ΠΥ, ΡΦ, ΣΧ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΖΟ, ΟΗ, ΗΠ, ΠΡ, ΡΘ, ΘΣ, ΣΚ περιφέρειαι ἑξῆς ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, αἱ ΛΤ, ΤΜ, ΜΥ, ΥΦ, ΦΝ, ΝΧ, ΧΞ ἄρα ἑξῆς ἀλλήλων
25μείζονές εἰσιν ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΛΤ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ΛΤ τῆς ΝΧ, ἡ δὲ ΤΜ τῆς ΧΞ, ὅλη ἄρα ἡ ΛΜ ὅλης τῆς ΝΞ μείζων ἐστίν. μὴ ἔστω δὴ ἡ ΗΘ ταῖς ΖΗ, ΘΚ σύμμετρος. λέγω, ὅτι ὁμοίως μείζων ἐστὶν ἡ ΛΜ περιφέρεια τῆς ΝΞ περιφερείας.
30 εἰ γὰρ μή ἐστιν ἡ ΛΜ τῆς ΝΞ περιφερείας μείζων, ἤτοι ἐλάσσων ἐστὶν αὐτῆς ἢ ἴση. ἔστω πρότερον, εἰ δυνατόν, ἐλάσσων ἡ ΛΜ τῆς ΝΞ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς. κείσθω τῇ ΛΜ ἴση ἡ ΝΟ, καὶ διὰ τοῦ Α πόλου καὶ τοῦ Ο μέ‐
35γιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΠΟ, καὶ τριῶν οὐσῶν περιφερειῶν ὁμοιογενῶν ἀνίσων τῶν ΚΘ, ΘΠ, ΗΘ εἰλήφθω τις περιφέρεια ἡ ΘΡ μείζων μὲν οὖσα τῆς ΘΠ, ἐλάσσων δὲ τῆς ΘΚ, σύμμετρος δὲ τῇ ΗΘ, καὶ κείσθω τῇ ΘΡ ἴση ἡ ΣΗ, καὶ διὰ τῶν Σ, Ρ σημείων καὶ [διὰ] τοῦ Α πόλου μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΣΤ, ΡΥ.
40 ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΣΗ τῇ ΘΡ, καὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΗΘ ἑκα‐ τέρᾳ τῶν ΣΗ, ΘΡ, ἡ ΤΜ ἄρα τῆς ΝΥ μείζων ἐστίν. τῆς δὲ ΤΜ ἡ ΛΜ μείζων ἐστίν· πολλῷ ἄρα ἡ ΜΛ τῆς ΝΟ μείζων ἐστίν. ἀλλὰ καὶ ἴση· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΛΜ τῆς ΝΞ.
λέγω δέ, ὅτι οὐδὲ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΜ τῇ ΝΞ.146
45 εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς γʹ καταγραφῆς, καὶ τε‐ τμήσθωσαν αἱ ΖΗ, ΘΚ δίχα κατὰ τὰ Ο, Π σημεῖα, καὶ διὰ τῶν Ο, Π σημείων καὶ τοῦ Α πόλου μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΟΡ, ΠΣ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΖΟ, ΟΗ ἑξῆς ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, αἱ ἄρα ΛΡ, ΡΜ ἑξῆς ἀλλήλων μείζονές εἰσιν ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΛΡ· μείζων

3

.

9

(50)

ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΡ τῆς ΡΜ· ἡ ἄρα ΛΜ τῆς ΜΡ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ. πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΘΠ, ΠΚ ἑξῆς ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, αἱ ΝΣ, ΣΞ ἄρα ἑξῆς ἀλλήλων μείζους εἰσὶν ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΝΣ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΣ τῆς ΣΞ· ὥστε ἡ ΞΝ τῆς ΝΣ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῆ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΛΜ τῇ ΝΞ, ὧν ἡ ΛΜ τῆς ΜΡ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ,
55ἡ δὲ ΞΝ τῆς ΝΣ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῆ, ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΡΜ τῆς ΝΣ ἴσων ὑποκειμένων τῶν ΟΗ. ΘΠ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΛΜ τῇ ΝΞ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδ’ ἐλάσσων· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΜ περιφέρεια τῆς ΝΞ περιφερείας.

3

.

10

 Ἐὰν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας ὁ πόλος ᾖ τῶν παραλλήλων, καὶ τοῦτον τέμνωσι δύο μέγιστοι κύκλοι πρὸς ὀρθάς, ὧν ὁ μὲν εἷς τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ἕτερος λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους, ἐπὶ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου ληφθῇ δύο τυχόντα σημεῖα ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου
5τῶν παραλλήλων, διὰ δὲ τῶν σημείων καὶ τοῦ πόλου μέγιστοι κύκλοι γραφῶσιν, ἔσται, ὡς ἡ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων περιφέρεια ἡ με‐ ταξὺ τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου καὶ τοῦ ἑξῆς διὰ τῶν πόλων πρὸς τὴν τοῦ λοξοῦ κύκλου περιφέρειαν τὴν μεταξὺ τῶν αὐτῶν κύκλων, οὕτως ἡ ἑξῆς τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων περιφέρεια ἡ μεταξὺ τῶν διὰ τοῦ
10πόλου μεγίστων κύκλων καὶ τῶν ληφθέντων σημείων πρὸς ἐλάσσονά τινα περιφέρειαν τῆς τοῦ λοξοῦ κύκλου περιφερείας τῆς μεταξὺ τῶν ληφθέντων δύο σημείων. ἐπὶ γὰρ μεγίστου κύκλου περιφερείας τοῦ ΑΒΓ ὁ πόλος ἔστω τῶν
παραλλήλων τὸ Α σημεῖον, καὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον δύο κύκλοι τεμνέτωσαν148
15μέγιστοι πρὸς ὀρθὰς οἱ ΔΕΓ, ΒΕ, ὧν ὁ μὲν ΒΕ τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ΔΕΓ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους, ἐπὶ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΔΕΓ εἰλήφθω δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Ζ, Η ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ ΒΕ, καὶ διὰ τῶν Ζ, Η σημείων καὶ τοῦ Α πόλου μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΑΖΘ, ΑΗΚ. λέγω, ὅτι
20ἐστίν, ὡς ἡ ΒΘ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΖ περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΘΚ περιφέρεια πρὸς ἐλάσσονά τινα περιφέρειαν τῆς ΖΗ περιφερείας. ἤτοι γὰρ ἡ ΖΗ τῇ ΔΖ σύμμετρός ἐστιν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον σύμμετρος, καὶ διῃρήσθωσαν εἰς τὰ μέρη αἱ ΔΖ, ΗΖ κατὰ τὰ Λ, Μ, Ν σημεῖα, καὶ διὰ τῶν Λ, Μ, Ν καὶ τοῦ Α πόλου
25μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΛΞ, ΜΟ, ΝΠ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΔΛ, ΛΜ, ΜΖ, ΖΝ, ΝΗ ἑξῆς ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, αἱ ἄρα ΒΞ, ΞΟ, ΟΘ, ΘΠ, ΠΚ ἑξῆς μείζους ἀλλήλων εἰσὶν ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΒΞ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΒΞ, ΞΟ, ΟΘ, ΘΠ, ΠΚ ἑξῆς μείζους ἀλλήλων εἰσίν, αἱ δὲ ΔΛ, ΛΜ, ΜΖ, ΖΝ, ΝΗ ἑξῆς ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν,
30καί ἐστι τὸ μὲν πλῆθος τῶν ΒΞ, ΞΟ, ΟΘ ἴσον τῷ πλήθει τῶν ΔΛ, ΛΜ, ΜΖ, τὸ δὲ πλῆθος τῶν ΘΠ, ΠΚ ἴσον τῷ πλήθει τῶν ΖΝ, ΝΗ, ἡ ΒΘ ἄρα πρὸς τὴν ΔΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΖΗ. ἐὰν ἄρα ποιῶμεν, ὡς τὴν ΒΘ πρὸς ΔΖ, οὕτως τὴν ΘΚ πρὸς ἄλλην τινά, ἔσται πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΖΗ· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΒΘ περιφέρεια
35πρὸς τὴν ΔΖ περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς ἐλάσσονά τινα περιφέρειαν τῆς ΖΗ. μὴ ἔστω δὴ ἡ ΖΗ τῇ ΔΖ σύμμετρος. λέγω, ὅτι καὶ οὕτως ἐστίν, ὡς ἡ ΒΘ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΖ περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΘΚ περιφέρεια πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΖΗ περιφερείας.
40 εἰ γὰρ μή, ἤτοι πρὸς μείζονα τῆς ΖΗ ἔσται ἢ πρὸς αὐτήν. ἔστω πρότερον, εἰ δυνατόν, πρὸς μείζονα τῆς ΖΗ τὴν ΛΖ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς βʹ καταγραφῆς, καὶ τριῶν οὐσῶν ἀνίσων περιφερειῶν τῶν ΛΖ, ΖΗ, ΖΔ εἰλήφθω τις περιφέρεια ἡ ΖΜ τῆς μὲν ΖΛ οὖσα ἐλάσσων, τῆς δὲ ΖΗ μείζων, σύμμετρος δὲ τῇ ΖΔ, καὶ διὰ τοῦ Μ καὶ τοῦ Α πόλου150
45μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΜΝ. ἐπεὶ οὖν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΖΜ τῇ ΖΔ, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΘΝ πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΖΜ. ὡς δὲ ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΖΛ· ὡς ἄρα ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΖΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΝ πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΖΜ· καὶ ἐναλλάξ· ὡς ἄρα ἡ

3

.

10

(50)

ΘΚ πρὸς τὴν ΘΝ, οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΖΜ. ἐλάσσων δὲ ἡ ΘΚ τῆς ΘΝ· ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ΛΖ τῆς ἐλάσσονος τῆς ΖΜ. ἀλλὰ καὶ μείζων· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς μείζονά τινα περιφέρειαν τῆς ΖΗ περιφερείας. λέγω δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς αὐτήν.
55 εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω, ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΖΗ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς, καὶ τετμήσθω ἑκατέρα τῶν ΔΖ, ΖΗ δίχα κατὰ τὰ Λ, Μ σημεῖα, καὶ διὰ ἑκατέρου τῶν Λ, Μ σημείων καὶ τοῦ Α πόλου μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΛΝ, ΜΞ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΔΛ, ΛΖ ἑξῆς ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, αἱ ΒΝ, ΝΘ ἄρα
60ἑξῆς μείζους εἰσὶν ἀλλήλων ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΒΝ· ἡ ΒΘ ἄρα τῆς ΘΝ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΚΘ τῆς ΘΞ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῆ. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΒΘ τῆς ΘΝ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ, ἡ δὲ ΚΘ τῆς ΘΞ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῆ, ἡ ΒΘ ἄρα πρὸς τὴν ΘΝ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΞ· καὶ
65ἐναλλάξ· ἡ ΒΘ ἄρα πρὸς τὴν ΘΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΝΘ πρὸς τὴν ΘΞ. ὡς δὲ ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΚ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΖΗ· ἡ ΝΘ ἄρα πρὸς τὴν ΘΞ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΖΗ. ὡς δὲ ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΛΖ πρὸς τὴν ΖΜ· ἡ ΝΘ ἄρα πρὸς τὴν ΞΘ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΛΖ πρὸς τὴν ΖΜ·
70καὶ ἐναλλάξ· ἡ ΝΘ ἄρα πρὸς τὴν ΛΖ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ
ΘΞ πρὸς τὴν ΖΜ. ἐὰν ἄρα ποιῶμεν, ὡς τὴν ΝΘ πρὸς τὴν ΛΖ, οὕτως τὴν ΘΞ πρὸς ἄλλην τινά, ἔσται πρὸς μείζονα τῆς ΖΜ περιφερείας· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΖΗ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς μείζονα· πρὸς ἐλάσσονα152
75ἄρα. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΖΗ περιφερείας.

3

.

11

 Ἐὰν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας ὁ πόλος ᾖ τῶν παραλλήλων, καὶ τοῦτον τέμνωσι δύο μέγιστοι κύκλοι πρὸς ὀρθάς, ὧν ὁ μὲν εἷς τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ἕτερος λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους, ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος διὰ τῶν πόλων ὢν τῶν παραλλήλων τέμνῃ τὸν λοξὸν
5κύκλον μεταξὺ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων καὶ οὗ ὁ λοξὸς ἐφάπτεται, ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον, οὗ ἐφάπτεται ὁ λοξὸς κύκλος, μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ τοῦ μεγίστου τῶν παραλ‐ λήλων περιφέρεια ἡ μεταξὺ τοῦ τε ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου καὶ τοῦ ἑξῆς διὰ τῶν πόλων πρὸς τὴν τοῦ λοξοῦ κύκλου περιφέρειαν τὴν μεταξὺ
10τῶν αὐτῶν κύκλων. ἐπὶ γὰρ μεγίστου κύκλου περιφερείας τοῦ ΑΒΓ ὁ πόλος ἔστω τῶν παραλλήλων τὸ Α σημεῖον, καὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον τεμνέτωσαν δύο μέγιστοι κύκλοι πρὸς ὀρθὰς οἱ ΒΕΓ, ΔΕΖ, ὧν ὁ μὲν ΒΕΓ μέγιστος τῶν παραλ‐ λήλων, ὁ δὲ ΔΕΖ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους, ἄλλος δέ τις μέγιστος
15κύκλος ὁ ΑΗΚ διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων τεμνέτω τὸν ΔΕΖ μεταξὺ τοῦ τε ΒΕΓ καὶ οὗ ἐφάπτεται ὁ ΔΕΖ, οὗ δὲ ἐφάπτεται ὁ ΔΕΖ, ἔστω ὁ ΔΛΜ. λέγω, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ΔΛΜ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΘ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΗ περιφέρειαν.
20 γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Η παράλληλος κύκλος ὁ ΝΗΞ, καὶ ἔστωσαν κοιναὶ τομαὶ τῶν ἐπιπέδων αἱ ΑΚ, ΔΖ, ΒΓ, ΝΞ, ΔΜ, ΘΟ, ΗΠ, ΟΗ, ΗΡ. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλους τινὰς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοὺς ΔΛΜ, ΝΗΞ, ΒΕΓ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτοὺς τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· αἱ ΔΜ, ΝΞ, ΒΓ ἄρα διάμετροί εἰσι τῶν ΔΛΜ,
25ΝΗΞ, ΒΕΓ κύκλων, καὶ ὁ ΑΒΓ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς ἕκαστον τῶν
ΔΛΜ, ΝΗΞ, ΒΕΓ κύκλων. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι εἰσὶν οἱ ΔΛΜ, ΝΗΞ, ΒΕΓ, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν εὐθεῖά τις ἦκται ἡ ΑΚ, ἡ ΑΚ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς ἕκαστον τῶν ΔΛΜ, ΝΗΞ, ΒΕΓ κύκλων καὶ διὰ τῶν κέντρων αὐτῶν τε καὶ τῆς σφαίρας ἐστίν· τὰ Σ, Π,154
30Ο ἄρα σημεῖα κέντρα ἐστὶ τῶν ΔΛΜ, ΝΗΞ, ΒΕΓ κύκλων. καὶ ἐπεὶ ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΔΛΜ, ΝΗΞ, ΒΕΓ ὑπό τινος ἐπιπέδου τοῦ ΑΒΓ τέμνεται, αἱ κοιναὶ τομαὶ ἄρα αὐτῶν παράλληλοί εἰσιν· αἱ ἄρα ΔΜ, ΝΞ, ΒΓ παράλληλοί εἰσιν ἀλλήλαις. πάλιν, ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΝΗΞ, ΒΕΓ ὑπό τινος ἐπιπέδου τοῦ ΑΗΚ τέμνεται, αἱ κοιναὶ ἄρα
35αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΠ τῇ ΘΟ. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΝΠ, ΠΗ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΒΟ, ΟΘ εἰσι μὴ οὖσαι ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἴσας γωνίας περιέχουσιν· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΝΠΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΟΘ γωνίᾳ. καὶ ἐπεὶ οἱ ΝΗΞ, ΔΕΖ ὀρθοί εἰσι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον, καὶ
40ἡ τῶν ΝΗΞ, ΔΕΖ ἄρα κοινὴ τομὴ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον ὀρθή ἐστιν. κοινὴ δὲ αὐτῶν τομή ἐστιν ἡ ΗΡ· καὶ ἡ ΗΡ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον· καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ τῆς ΗΡ ἑκατέρα τῶν ΠΡ, ΡΟ οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ·
45ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΗΡΠ, ΗΡΟ γωνιῶν. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΚ τῇ ΝΞ ὀρθή ἐστιν, ἡ ἄρα ὑπὸ ΡΠΟ γωνία ὀρθή ἐστιν. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΡΠΟ γωνία ὀρθή ἐστιν, ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΠΟΡ· μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΟΡ τῆς ΡΠ. κείσθω οὖν τῇ ΠΡ ἴση ἡ ΡΤ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΤ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΠΡ τῇ ΡΤ, κοινὴ δὲ ἡ ΗΡ, δύο δὴ αἱ

3

.

11

(50)

ΠΡ, ΡΗ δύο ταῖς ΡΤ, ΡΗ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΠΡΗ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΤΡΗ ἐστιν ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΗΠ βάσει τῇ ΗΤ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΠΡΗ τρίγωνον τῷ ΤΡΗ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφ’ ἃς αἱ ἴσαι
πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΠΡ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΤΡ156
55γωνίᾳ. ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΗΠΡ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΟΒ γωνίᾳ ἐστὶν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΗΤΡ ἄρα τῇ ὑπὸ ΘΟΒ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστι τὸ ΗΟΡ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Ρ γωνίαν, καὶ διῆκταί τις ἡ ΗΤ, ἡ ΟΡ ἄρα πρὸς τὴν ΡΤ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΡΤΗ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΡΟΗ γωνίαν. ἴση δὲ ἡ μὲν ΡΤ τῇ ΡΠ, ἡ δὲ ὑπὸ ΡΤΗ γωνία τῇ
60ὑπὸ ΘΟΒ· καὶ ἡ ΟΡ ἄρα πρὸς τὴν ΡΠ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΟΘ γωνία πρὸς τὴν ΡΟΗ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΡΟ πρὸς τὴν ΡΠ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΟΔ πρὸς τὴν ΔΣ, τουτέστιν ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΔΜ, ὡς δὲ ἡ ΒΟΘ γωνία πρὸς τὴν ΗΟΡ γωνίαν, οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΘ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΗ περιφέρειαν· καὶ ἡ ΖΔ ἄρα πρὸς τὴν ΔΜ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ
65ἡ ΒΘ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΗ περιφέρειαν. καί ἐστιν ἡ μὲν ΔΖ διά‐ μετρος τῆς σφαίρας, ἡ δὲ ΔΜ διάμετρος τοῦ ΔΛΜ κύκλου· ἡ ἄρα τῆς σφαίρας διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ΔΛΜ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΘ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΗ περιφέρειαν.

3

.

12

 Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστοι κύκλοι τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐφ‐ άπτωνται ὁμοίας ἀφαιροῦντες περιφερείας τῶν παραλλήλων κύκλων τὰς μεταξὺ αὐτῶν, ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλλήλους μειζόνων ἐφάπτηται, ἢ ὧν οἱ ἐξ ἀρχῆς ἐφήπτοντο, καὶ
5τέμνῃ τοὺς τοῦ αὐτοῦ ἐφαπτομένους μεταξὺ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων καὶ οὗ οἱ ἐξ ἀρχῆς ἐφήπτοντο, ἡ διπλασίων τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον, οὗ ἐφάπτεται ὁ λοξὸς κύκλος, μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων κύκλου περιφέρεια ἡ μεταξὺ τῶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου ἐφαπτομένων πρὸς τὴν τοῦ λοξοῦ κύκλου
10περιφέρειαν τὴν μεταξὺ τῶν αὐτῶν κύκλων. ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ τοῦ αὐτοῦ τῶν παρ‐ αλλήλων ἐφαπτέσθωσαν τοῦ ΑΓ κατὰ τὰ Α, Γ σημεῖα ὁμοίας ἀφαι‐ ροῦντες περιφερείας τῶν παραλλήλων κύκλων τὰς μεταξὺ αὐτῶν, ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλλήλους ὁ ΕΖ μειζόνων
15ἐφαπτέσθω, ἢ ὧν οἱ ΑΒ, ΓΔ ἐφάπτονται, καὶ τεμνέτω τοὺς ΑΒ, ΓΔ μεταξὺ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων καὶ οὗ οἱ ΑΒ, ΓΔ ἐφάπτονται, τοῦ ΑΓ κύκλου, ἔστω δὲ μέγιστος μὲν τῶν παραλλήλων κύκλων ὁ ΜΒΖ, οὗ δὲ ἐφάπτεται ὁ ΕΖ, ἔστω ὁ ΕΗ. λέγω, ὅτι ἡ διπλασίων τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν τοῦ ΕΗ κύκλου διάμετρον μείζονα
20λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ περιφέρεια πρὸς τὴν ΘΚ περιφέρειαν. ἔστω γὰρ ὁ πόλος τῶν παραλλήλων τὸ Λ σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ Λ καὶ ἑκάστου τῶν Ε, Θ, Κ σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΛΕΜ, ΛΘΝ, ΛΚΞ, διὰ δὲ τοῦ Κ παράλληλος κύκλος γεγράφθω ὁ ΟΚ, διὰ δὲ τοῦ Θ μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΘΠ ἐφαπτόμενος τοῦ158
25ΕΗ κύκλου κατὰ τὸ Π. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ δύο παράλληλοί εἰσι κύκλοι οἱ ΟΚ, ΕΠΗ, καὶ γεγραμμένοι εἰσὶ δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΕΘΚΖ, ΟΘΠ ἐφαπτόμενοι τοῦ ΕΠΗ κατὰ τὰ Ε, Π, διὰ δὲ τοῦ Θ σημείου καὶ τοῦ πόλου τοῦ Λ μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΛΘΡ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΡ τῇ ΡΚ· ἡ
30ἄρα ΡΣ τῆς ΡΚ ἐλάσσων ἐστίν· ἡ ΣΚ ἄρα τῆς ΚΡ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῆ. ἀλλ’ ἡ μὲν ΣΚ τῇ ΒΔ ἐστιν ὁμοία, ἡ δὲ ΚΡ τῇ ΝΞ· καὶ ἡ ΒΔ ἄρα τῆς ΝΞ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῆ. καὶ ἐπεὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ΕΗ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΜΝ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΘ περιφέρειαν, ἔχει δὲ καὶ ἡ ΜΝ περιφέ‐
35ρεια πρὸς τὴν ΕΘ περιφέρειαν μείζονα λόγον ἤπερ ἡ ΝΞ περιφέρεια πρὸς τὴν ΘΚ περιφέρειαν, καὶ ἡ τῆς σφαίρας ἄρα διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ΕΠΗ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΝΞ περιφέρεια πρὸς τὴν ΘΚ περιφέρειαν. καὶ τὰ διπλάσια τῶν ἡγουμένων· ἡ ἄρα διπλασία τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν τοῦ ΕΠΗ κύκλου διά‐
40μετρον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ τῆς ΝΞ περιφερείας διπλῆ πρὸς τὴν ΘΚ περιφέρειαν. ἡ δὲ τῆς ΝΞ περιφερείας διπλῆ πρὸς τὴν ΘΚ περι‐ φέρειαν μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ περιφέρεια πρὸς τὴν ΘΚ· ἡ γὰρ τῆς ΝΞ διπλῆ μείζων ἐστὶ τῆς ΒΔ· πολλῷ ἄρα ἡ διπλασίων τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν τοῦ ΕΠΗ κύκλου διάμετρον μείζονα
45λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ περιφέρεια πρὸς τὴν ΘΚ περιφέρειαν.

3

.

13

 Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι ἴσας περιφερείας ἀφαιρῶσι μεγίστου τινὸς κύκλου πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων, διὰ δὲ τῶν
γενομένων σημείων γραφῶσι μέγιστοι κύκλοι ἢ διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων ἢ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐφαπτόμενοι, ἴσας ἀπολήψονται160
5περιφερείας ἀπὸ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τὰς μεταξὺ αὐτῶν. ἐν γὰρ σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ μεγίστου τινὸς κύκλου τοῦ ΑΔ περιφερείας τὰς ΑΕ, ΕΔ ἴσας ἀφαιρείτωσαν πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΖΕΗ, καὶ διὰ τῶν Α, Ε, Δ σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΑΖΓ, ΘΕΚ, ΒΗΔ ἤτοι διὰ τῶν πόλων τῶν
10παραλλήλων ἢ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐφαπτόμενοι. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΖΕ τῇ ΕΗ περιφερείᾳ. ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ μεγίστου τινὸς κύκλου τοῦ ΑΔ περιφερείας τὰς ΑΕ, ΕΔ ἴσας ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΖΗ, ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΒ κύκλος τῷ
15ΓΔ κύκλῳ. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ ἴσοι τε καὶ παράλληλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ μεγίστου τινὸς κύκλου τοῦ ΚΘ περιφερείας τὰς ΘΕ, ΕΚ ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΖΗ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΕ τῇ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ ἴση· καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἄρα ἐπὶ τὸ Θ ἐπι‐ ζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Δ ἐπιζευγνυμένῃ
20εὐθείᾳ· καὶ ἡ ΑΘ ἄρα περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΚΔ περιφερείᾳ. καί εἰσιν ἴσοι οἱ κύκλοι· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ περιφέρεια τῇ ΚΔ περιφε‐ ρείᾳ. ἀλλ’ ἡ μὲν ΑΘ τῇ ΖΕ ἐστιν ὁμοία, ἡ δὲ ΚΔ τῇ ΕΗ ἐστιν ὁμοία· καὶ ἡ ΖΕ ἄρα τῇ ΕΗ περιφερείᾳ ὁμοία ἐστίν. καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ περιφέρεια τῇ ΕΗ περιφερείᾳ.

3

.

14

 Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐφάπτηται, ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλ‐ λήλους μειζόνων ἐφάπτηται, ἢ ὧν ὁ ἐξ ἀρχῆς ἐφήπτετο, ἀνομοίας ἀπολήψονται περιφερείας τῶν παραλλήλων κύκλων τὰς μεταξὺ αὐτῶν,
5καὶ μείζονες ἢ ὅμοιαι ἔσονται αἰεὶ αἱ ἔγγιον ὁποτερουοῦν τῶν πόλων τῆς πορρώτερον. ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΑΔΞ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Α σημεῖον, ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος ὁ ΒΕΓ λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλλήλους μειζόνων ἐφαπτέσθω,
10ἢ ὧν ὁ ΑΒΓ ἐφάπτεται. λέγω, ὅτι ἀνομοίας ἀπολήψονται περιφερείας τῶν παραλλήλων τὰς μεταξὺ αὐτῶν, καὶ μείζονες ἢ ὅμοιαι ἔσονται αἰεὶ αἱ ἔγγιον ὁποτερουοῦν τῶν πόλων τῆς πορρώτερον. εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΒΓ δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Ε, Κ, καὶ διὰ τῶν Ε, Κ σημείων τῷ ΑΔΞ κύκλῳ παράλληλοι162
15κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΖΕΗ, ΘΚΛ. λέγω, ὅτι ἡ μὲν ΕΗ περιφέρεια τῆς ΚΛ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία, ἡ δὲ ΘΚ περιφέρεια τῆς ΖΕ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία. γεγράφθωσαν γὰρ διὰ τῶν Ε, Κ σημείων μέγιστοι κύκλοι οἱ ΔΕΜ, ΞΝΚ ἐφαπτόμενοι τοῦ ΑΔΞ, ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ μὲν ἀπὸ τοῦ Δ
20ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Μ μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ Θ μέρη, τὸ δὲ ἀπὸ τοῦ Ξ ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Κ μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ Λ μέρη. ἐπεὶ οὖν ἀσύμπτωτά ἐστι τὰ ΑΛ, ΞΚ ἡμικύκλια, καὶ μεταξὺ αὐτῶν κύκλων παραλλήλων περιφέρειαί εἰσιν αἱ ΝΗ, ΚΛ, ὁμοία ἄρα
25ἐστὶν ἡ ΝΗ περιφέρεια τῇ ΚΛ περιφερείᾳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΖΕ τῇ ΘΜ ἐστιν ὁμοία. καὶ ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΝΗ περιφέρεια τῇ ΚΛ περιφερείᾳ, ἡ ἄρα ΕΗ περιφέρεια τῆς ΚΛ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ
ὁμοία. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΖΕ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία.164