TLG 0559 015 :: HERON :: Geodaesia [Sp.]

HERON Mech.
(Alexandrinus: A.D. 1?)

Geodaesia [Sp.]

Source: Heiberg, J.L. (ed.), Heronis Alexandrini opera quae supersunt omnia, vol. 5. Leipzig: Teubner, 1914: LXX–XCIII.

Citation: Chapter — section — (line)

1

.

1

(1t)

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ ΣΥΝ ΘΕΩ ΤΟΥ ΗΡΩΝΟΣ
2tΤΟΝ ΤΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
3tΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΣΑ ΜΟΔΙΣΜΟΝ ΚΑΙ
4tΠΑΝΤΑ ΤΑ ΚΑΤΑ ΜΕΡΟΣ ΑΥΤΟΥ
1Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐδέν.

1

.

2

Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές. γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα.

1

.

3

 Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ’ ἑαυτῆς ση‐ μείοις κεῖται.

1

.

4

 Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει. ἐπι‐ φανείας δὲ πέρατα γραμμαί.

1

.

5

 Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ’ ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται.

1

.

6

 Ἐπίπεδος γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτο‐ μένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπ’ εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις. ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν γραμ‐ μαὶ εὐθεῖαι ὦσιν, εὐθύγραμμος καλεῖται ἡ γωνία. ὅταν δὲ
5εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται, ἐφ’ ἣν ἐφέστηκεν.

1

.

7

Ἀμβλεῖα γωνία ἐστὶν ἡ μείζων ὀρθῆς, ὀξεῖα δὲ ἡ ἐλάσ‐
σων ὀρθῆς.

1

.

8

Ὅρος δέ ἐστιν, ὅ τινός ἐστι πέρας.

1

.

9

Σχῆμα δὲ τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον.

1

.

10

 Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμε‐ νον, ἣ καλεῖται περιφέρεια, πρὸς ἣν ἀφ’ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί.

1

.

11

Κέντρον δὲ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται.

1

.

12

 Διάμετρος δέ ἐστιν τοῦ κύκλου εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέν‐ τρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ’ ἑκάτερα μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον.

1

.

13

 Ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς διαμέτρου καὶ ὑπὸ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ’ αὐτῆς τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας.

1

.

14

 Τμῆμα κύκλου ἐστὶ τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας ἢ μείζονος ἢ ἐλάττονος ἡμικυκλίου.

1

.

15

 Σχήματα εὐθύγραμμά εἰσι τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα, τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ δ, πολύ‐ πλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ δ εὐθειῶν περιεχόμενα.

1

.

16

 Τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας πλευρὰς ἔχον, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνον ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς.

1

.

17

 Ἔτι τε τῶν τριπλεύρων σχημάτων ὀρθογώνιον μὲν τρίγω‐ νόν ἐστι τὸ μίαν ἔχον ὀρθὴν γωνίαν, ἀμβλυγώνιον δὲ τὸ ἔχον μίαν ἀμβλεῖαν γωνίαν, ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας.

1

.

18

 Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν, ὃ ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃ ὀρθο‐
γώνιον μὲν οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόμβος δέ, ὃ ἰσόπλευρον μὲν οὐκ ὀρθογώνιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς
5τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον, ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν οὔτε ὀρθογώνιον· τὰ δὲ παρὰ ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια καλοῦνται.

1

.

19

 Παράλληλοί εἰσιν, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι ἐκ‐ βαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη μηδόλως συμ‐ πίπτουσιν ἀλλήλαις.

2

.

1

(t)

Ὅπως εὕρηται ἡ ἐπίνοια τῆς μετρήσεως.
1 Καθὼς ἡμᾶς ὁ παλαιὸς διδάσκει λόγος, οἱ πλεῖστοι τοῖς περὶ τὴν γῆν μέτροις ἀπησχολοῦντο, ὅθεν καὶ γεωμετρία ἐκλήθη. ἡ δὲ τῆς μετρήσεως ἐπίνοια εὕρηται παρ’ Αἰγυπτίοις· διὰ γὰρ τὴν τοῦ Νείλου ἀνάβασιν πολλὰ χωρία φανερὰ ὄντα
5τῇ ἀναβάσει ἀφανῆ ἐγίγνετο, πολλὰ δὲ καὶ μετὰ τὴν ἀπόβα‐ σιν, καὶ οὐκέτι ἦν δυνατὸν ἕκαστον διακρίνειν τὰ ἴδια· διὰ τοῦτο ἐπενόησαν οἱ Αἰγύπτιοι τήνδε τὴν μέτρησιν, ποτὲ μὲν τῷ καλουμένῳ σχοινίῳ, ποτὲ δὲ καλάμῳ, ποτὲ δὲ καὶ ἑτέροις μέτροις. ἀναγκαίας τοίνυν τῆς μετρήσεως οὔσης εἰς πάντα
10ἄνθρωπον φιλομαθῆ περιῆλθεν ἡ χρεία.

3

.

1

(t)

Ἥρωνος εἰσαγωγὴ τῶν γεωμετρουμένων.
1 Ἐπίπεδος γεωμετρία συνέστηκεν ἔκ τε κλιμάτων καὶ σκο‐ πέλων καὶ γραμμῶν καὶ γωνιῶν, ἐπιδέχεται δὲ γένη, εἴδη καὶ θεωρήματα.

3

.

2

 Κλίματα μὲν οὖν εἰσι δ· ἀνατολή, δύσις, ἄρκτος καὶ μεσ‐ ημβρία.

3

.

3

Σκόπελος δὲ εἷς, ὃ δή ἐστι τὸ λαμβανόμενον σημεῖον.

3

.

4

 Γραμμαὶ δέ εἰσι δέκα· εὐθεῖα, παράλληλος, βάσις, κορυφή, σκέλη, διαγώνιος, κάθετος ἡ καὶ πρὸς ὀρθὰς καλουμένη, ὑπο‐
τείνουσα, περίμετρος καὶ διάμετρος.

3

.

5

Εὐθεῖα μὲν οὖν ἐστι γραμμὴ ἡ κατ’ εὐθεῖαν οὖσα.

3

.

6

 Παράλληλος δὲ εὐθεῖα παρακειμένης καὶ ἑτέρας εὐθείας ἔχουσα ἐν ἄκροις διαστήματα πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἀλλήλοις ἴσα.

3

.

7

 Βάσις δὲ εὐθεῖα γραμμὴ τεθεῖσα ἐπιδεχομένη ἑτέραν εὐ‐ θεῖαν.

3

.

8

Κορυφὴ δέ ἐστιν ἡ ἐπὶ τῇ βάσει ἐπιτιθεμένη εὐθεῖα.

3

.

9

 Σκέλη δὲ αἱ ἀπὸ τοῦ ἄκρου τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὰ ἄκρα τῆς βάσεως τεταμέναι εὐθεῖαι.

3

.

10

 Διαγώνιος δὲ ἡ ἐν τοῖς τετραγώνοις, τραπεζίοις καὶ τοῖς τοιούτοις ἀπὸ γωνιῶν ἐπὶ γωνίαν ἀγομένη εὐθεῖα.

3

.

11

 Κάθετος δὲ ἡ καὶ πρὸς ὀρθὰς καλουμένη ἡ ἀπὸ τῆς κο‐ ρυφῆς ἐπὶ τὴν κορυφὴν καθιεμένη εὐθεῖα ἔχουσα τὰς β γω‐ νίας ἀλλήλαις ἴσας.

3

.

12

Ὑποτείνουσα δὲ ἡ ὑπὸ τὴν ὀρθὴν γωνίαν τείνουσα εὐθεῖα.

3

.

13

 Περίμετρος δὲ ἡ κέντρου δοθέντος καὶ διαστήματος περι‐ φερομένη γραμμὴ ἔχουσα τὰς ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπ’ αὐτὴν ἀγομένας εὐθείας ἴσας.

3

.

14

 Διάμετρος δὲ εὐθεῖα ἡ τέμνουσα διὰ τοῦ κέντρου τὴν περίμετρον εἰς β τμήματα ἴσα.

3

.

15

Γωνίαι δέ εἰσι τρεῖς· ὀρθή, ἀμβλεῖα καὶ ὀξεῖα.

3

.

16

 Ὀρθὴ μὲν οὖν ἐστι γωνία, εἴ τις εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν στα‐ θεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ· τότε αἱ δύο ἴσαι εἰσὶν ὀρθαί.

3

.

17

 Ὅταν δὲ ἡ μὲν μείζων, ἡ δὲ ἐλάττων, τότε ἡ μὲν μείζων, ἤγουν ἡ πλατυτέρα, καλεῖται ἀμβλεῖα, ἡ δὲ ἐλάττων, τουτέστιν στενωτέρα, ὀξεῖα.

3

.

18

Γένη δὲ ἐπὶ μετρήσεων γ· εὐθυγραμμικόν, ἐμβαδομετρικὸν
καὶ στερεομετρικόν.

3

.

19

 Εὐθυγραμμικὸν μὲν οὖν ἐστι τὸ κατ’ εὐθεῖαν μετρού‐ μενον, ὃ μόνον μῆκος ἔχει, ὃ δὴ καὶ ἀρχὴ καὶ ἀριθμὸς κα‐ λεῖται.

3

.

20

 Ἐμβαδομετρικὸν δὲ τὸ ἔχον μῆκος καὶ πλάτος, ἐξ οὗ καὶ τὸ ἐμβαδὸν γινώσκεται, ὃ καὶ δύναμις καλεῖται.

3

.

21

 Στερεομετρικὸν δὲ τὸ ἔχον μῆκος καὶ πλάτος καὶ πάχος, ἐξ οὗ καὶ στερεὸν γιγνώσκεται, ὃ δὴ καὶ κύβος καλεῖται.

3

.

22

 Εἴδη δὲ τῆς μετρήσεως ταῦτα· τρίγωνα, τετράγωνα, ῥόμ‐ βοι, τραπέζια, κύκλοι.

3

.

23

 Ἔχουσι δὲ καὶ θεωρήματα δεκαοκτὼ οὕτως· τετραγώνων θεωρήματα β, τετράγωνον ἰσόπλευρον ὀρθογώνιον καὶ τετρά‐ γωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον. τριγώνων θεωρήματα ἕξ, τρίγωνον ἰσόπλευρον, τρίγωνον ἰσοσκελές, τρίγωνον σκα‐
5ληνόν, τρίγωνον ὀρθογώνιον, τρίγωνον ὀξυγώνιον, τρίγωνον ἀμβλυγώνιον. ῥόμβων θεωρήματα β, ῥόμβος καὶ ῥομβοειδές. τραπεζίων θεωρήματα τέσσαρα, τραπέζιον ὀρθογώνιον, τρα‐ πέζιον ἰσοσκελές, τραπέζιον ὀξυγώνιον καὶ τραπέζιον ἀμβλυ‐ γώνιον. κύκλων θεωρήματα δ, κύκλος, ἁψὶς ἤτοι ἡμικύκλιον,
10τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου καὶ τμῆμα ἧττον ἡμικυκλίου.

3

.

24

 Καὶ ταῦτα μὲν οὖν τὰ εἴδη καὶ τὰ θεωρήματα ὅσον ἐπὶ τῶν ἐμβαδομετρικῶν· ἐπὶ δὲ τῶν στερεῶν προστιθεμένου ἑκάστου τῇ μετρήσει καὶ τοῦ πάχους ἐξαίρετα εὑρήσεις θεω‐
ρήματα ἐπὶ τῶν στερεῶν· εἰσὶ δέκα οὕτως· σφαῖρα, κῶνος,
5ὀβελίσκος, κύλινδρος, κύβος, σφηνίσκος, μείουρος, κίων, πλιν‐ θίς, πυραμίς.

3

.

25

 Εἰσὶ δὲ καὶ ὅροι τῆς μετρήσεως τετηρημένοι οἵδε· παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζους εἰσι πάντη με‐ ταλαμβανόμεναι, καὶ παντὸς τριγώνου ὀρθογωνίου αἱ περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς τῆς ὑποτεινούσης
5ἴσαι εἰσὶν ἐφ’ ἑαυτὰς πολυπλασιαζόμεναι, καὶ παντὸς κύκλου ἡ περίμετρος τῆς διαμέτρου τριπλάσιός ἐστι καὶ ἐφέβδομος, καὶ ἐμβαδὸν τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου μετρούμενον ἴσον ἐστὶν ἐμβαδοῖς κύκλων τεσσάρων.

4

.

1

 Εἰσὶ δὲ καὶ μέτρα τάδε· δάκτυλος, κόνδυλος, παλαιστή, διχάς, σπιθαμή, πούς, πῆχυς, βῆμα, οὐργυιά, σωκάριον, πλέθρον, ἰούγερον, δίαυλος, στάδιον, ἄκενα, μίλιον, σχοῖνος καὶ παρασάγγης. τὸ πλέθρον [σχοινία] σωκάρια α 𐅷ʹ [ιεʹ],
5τὸ ἰούγερον γ γʹ, ὁ δίαυλος στάδια β, τὸ στάδιον κ 𐅵ʹʹ, ἡ ἄκενα σπιθαμὰς ιϛ, τὸ μίλιον στάδια ζ 𐅵ʹ, ὁ σχοῖνος μίλια δ καὶ ὁ παρασάγγης δ.

5

.

1

 Τὰ δὲ μέτρα ἐξεύρηνται ἐξ ἀνθρωπίνων μελῶν, δακτύλου, παλαιστοῦ, σπιθαμῆς, ποδός, πήχεως, βήματος, οὐργυιᾶς καὶ λοιπῶν.

5

.

2

 Πάντων δὲ ἐλαχιστότερόν ἐστιν ὁ δάκτυλος, ὅστις καὶ μονὰς καλεῖται· διαιρεῖται δὲ ἔσθ’ ὅτε μὲν [γὰρ] καὶ εἰς ἥμισυ
καὶ εἰς τρίτον καὶ εἰς τέταρτον καὶ εἰς λοιπὰ μόρια.

5

.

3

 Μετὰ δὲ τὸν δάκτυλον, ὅστις ἐστὶ μέρος ἐλάχιστον πάν‐ των, ἔστιν ὁ παλαιστής, ὃν καὶ τέταρτόν τινες καλοῦσι διὰ τὸ τέσσαρας ἔχειν δακτύλους· ἡ γὰρ σπιθαμὴ τρία τέταρτα ἔχει, ὁ δὲ ποὺς δ.

5

.

4

 Ἡ διχὰς παλαιστὰς β ἔχει ἤγουν δακτύλους η καὶ καλεῖται δίμοιρον σπιθαμῆς. διχὰς δὲ λέγεται τὸ τῶν β δακτύλων ἄνοιγμα, τοῦ ἀντίχειρος λέγω καὶ τοῦ λιχανοῦ· τοῦτο καὶ κυ‐ νόστομον καλοῦσί τινες.

5

.

5

Ἡ σπιθαμὴ ἔχει παλαιστὰς γ ἤγουν δακτύλους ιβ.

5

.

6

 Ὁ ποὺς ἔχει σπιθαμὴν μίαν καὶ γʹ ἤγουν παλαιστὰς δ ἤτοι δακτύλους ιϛ.

5

.

7

 Ὁ πῆχυς ἔχει πόδας β ἤγουν σπιθαμὰς β δίμοιρον ἢ πα‐ λαιστὰς η ἢ δακτύλους λβ.

5

.

8

 Τὸ βῆμα τὸ ἁπλοῦν ἔχει σπιθαμὰς γ γʹ ἤγουν πόδας β 𐅵ʹ ἢ παλαιστὰς ι ἢ δακτύλους μ.

5

.

9

 Τὸ βῆμα τὸ διπλοῦν ἔχει πόδας ε ἤγουν σπιθαμὰς ϛ 𐅷ʹ ἢ παλαιστὰς κ ἢ δακτύλους π.

5

.

10

 Ὁ πῆχυς ὁ λιθικὸς ἔχει σπιθαμὰς β ἢ πόδα α πρὸς τῷ 𐅵ʹ ἢ παλαιστὰς ϛ ἢ δακτύλους κδ· ὡσαύτως καὶ τοῦ πριστι‐ κοῦ ξύλου.

5

.

11

 Ἡ ὀργυιά, μεθ’ ἧς μετρεῖται ἡ σπόριμος γῆ, ἔχει σπιθα‐ μὰς βασιλικὰς θ δʹ ἤγουν πόδας ϛ καὶ σπιθαμὴν α δʹ ἢ πα‐
λαιστὰς ἤτοι γρόνθους κζ καὶ ἀντίχειρα, τουτέστι τοὺς μὲν κϛ ἐσφιγμένης οὔσης τῆς χειρός, τὸν δὲ τελευταῖον ἢ πρῶτον
5ἡπλωμένου καὶ αὐτοῦ τοῦ δακτύλου τῆς χειρός, ὃς δὴ καὶ δʹ λέγεται σπιθαμῆς, ἔχει δὲ δακτύλους γ. μεθ’ ὃ [δὲ] ποιήσεις ὀργυιὰν ἐν καλάμῃ ἢ ἔν τινι ξύλῳ. μετὰ τοῦτο ὀφείλεις ποιῆσαι σχοινίον ἤγουν σωκάριον ι οὐργυιῶν καὶ οὕτω μετρεῖν, ὃν μέλλεις μετρῆσαι τόπον· τὸ γὰρ σωκάριον τῆς σπορίμου γῆς
10ι ὀργυιὰς ὀφείλει ἔχειν, τοῦ δὲ λιβαδίου ιβ.

5

.

12

 Καὶ μετὰ μὲν τοῦ δεκαοργυιαίου σχοινίου ἔχει ὁ τόπος τοῦ μοδίου ὀργυιὰς διακοσίας καὶ μόνας, μετὰ δὲ τοῦ δω‐

5

.

13

δεκαοργυιαίου ἔχει ὀργυιὰς σπ. πλὴν οἱ βραχύτατοι καὶ πε‐ δινοὶ τόποι μετὰ τοῦ δεκαοργυιαίου σχοινίου ὀφείλουσι με‐ τρεῖσθαι, οἱ δὲ περιορισμοὶ τῶν προαστείων τῶν ὁλογύρως μετρουμένων μετὰ τοῦ δωδεκαοργυιαίου σχοινίου διὰ τὸ εὑ‐
5ρίσκεσθαι ἔσωθεν τῶν περιορισμῶν αὐτῶν πολλάκις ξηροχει‐ μάρρους καὶ ῥύακας καὶ λόχμας καὶ ἀχρήστους τόπους. εἰ δὲ καὶ μετὰ τοῦ δεκαοργυιαίου μετρηθῶσιν, ὀφείλουσιν ὑπεξαι‐ ρεῖσθαι εἴτε ἀπὸ τοῦ ἀναβιβασμοῦ τῶν σωκαρίων κατὰ ι σω‐ κάρια α εἴτε ἀπὸ τοῦ μοδισμοῦ κατὰ ι μόδια μόδιον ἓν διὰ
10τὰς εἰρημένας αἰτίας.

6

.

1

 Χρὴ δὲ γινώσκειν, ὅτι ὁ σπόριμος μόδιος ἔχει λίτρας μ· μία δὲ ἑκάστη λίτρα σπείρει γῆν ὀργυιῶν ε.

6

.

2

 Πλάτος γὰρ καὶ μῆκος ὀργυιῶν ε ποιοῦσι λίτραν α, καὶ καθεξῆς
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ι ποιοῦσι λίτρας δύο. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ιε ποιοῦσι λίτρας γ.
5Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν κ ποιοῦσι λίτρας δ. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν κε ποιοῦσι λίτρας ε. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν λ ποιοῦσι λίτρας ϛ. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν λε ποιοῦσι λίτρας ζ. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν μ ποιοῦσι λίτρας η.
10Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν με ποιοῦσι λίτρας θ. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ν ποιοῦσι λίτρας ι. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν νε ποιοῦσι λίτρας ια. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ξ ποιοῦσι λίτρας ιβ. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ξε ποιοῦσι λίτρας ιγ.
15Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ο ποιοῦσι λίτρας ιδ. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν οε ποιοῦσι λίτρας ιε. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν π ποιοῦσι λίτρας ιϛ. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν πε ποιοῦσι λίτρας ιζ. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν Ϟ ποιοῦσι λίτρας ιη.
20Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν Ϟε ποιοῦσι λίτρας ιθ.

6

.

3

 Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ρ ποιοῦσι λίτρας κ ἤτοι μό‐ διον 𐅵ʹ. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ς ποιοῦσι λίτρας μ ἤτοι μό‐ διον α.
5 Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν τ ποιοῦσι λίτρας ξ ἤτοι μό‐ διον α 𐅵ʹ. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν υ ποιοῦσι λίτρας π ἤτοι μό‐ δια β. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν φ ποιοῦσι λίτρας ρ ἤτοι μό‐
10δια β 𐅵ʹ. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν χ ποιοῦσι λίτρας ρκ ἤτοι μό‐ δια γ. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ψ ποιοῦσι λίτρας ρμ ἤτοι μό‐
δια γ 𐅵ʹ.
15 Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ω ποιοῦσι λίτρας ρξ ἤτοι μό‐ δια δ. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ϡ ποιοῦσι λίτρας ρπ ἤτοι μό‐ δια δ 𐅵ʹ. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ͵α ποιοῦσι λίτρας ς ἤτοι μό‐
20δια ε. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ͵β ποιοῦσι λίτρας υ ἤτοι μό‐ δια ι. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ͵γ ποιοῦσι λίτρας χ ἤτοι μό‐ δια ιε.
25 Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ͵δ ποιοῦσι λίτρας ω ἤτοι μό‐ δια κ. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ͵ε ποιοῦσι λίτρας ͵α ἤτοι μό‐ δια κε. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ͵ϛ ποιοῦσι λίτρας ͵ας ἤτοι μό‐
30δια λ. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ͵ζ ποιοῦσι λίτρας ͵αυ ἤτοι μό‐ δια λε. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ͵η ποιοῦσι λίτρας ͵αχ ἤτοι μό‐ δια μ.
35 Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ͵θ ποιοῦσι λίτρας ͵αω ἤτοι μό‐ δια με. Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν α̈ ποιοῦσι λίτρας ͵β ἤτοι μό‐ δια ν.

7

.

1

(1t)

Ἀρχὴ τῶν σχημάτων τῆς γεωμετρίας.
2tΠερὶ τετραγώνων ἰσοπλεύρων καὶ ὀρθογωνίων.
1 Τούτων οὕτως ἐχόντων τὴν μέτρησιν τῶν θεωρημάτων ποιησόμεθα οὕτως. ἔστω τετράγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσο‐ γώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ οὐργυιῶν ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμ‐
βαδόν. ποίει οὕτως· τὰς ι ἐπὶ τὰς ι· γίνονται ρ· τοσούτων
5οὐργυιῶν ἐστι τὸ ἐμβαδόν. τούτου τὸ εʹ. γίνονται κ· καὶ ἔστι λιτρῶν κ ἤγουν μοδίου τὸ 𐅵ʹ.

7

.

2

 Τετράγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ὀρθογώνιον, οὗ τὸ ἐμβαδὸν οὐργυιῶν ρ εὑρεῖν αὐτοῦ, πόσων οὐργυιῶν ἐστιν ἑκάστη πλευρά. ποίει οὕτως· λάμβανε τῶν ρ πλευρὰν τετράγωνον· καὶ ἔστι ι· τοσούτων οὐργυιῶν ἐστιν ἑκάστη τῶν πλευρῶν.

7

.

3

 Ἕτερον σχῆμα τετράγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ὀρθογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ οὐργυιῶν ιη· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτω· πολλαπλασίασον τὴν μίαν τῶν βάσεων ἐπὶ τὴν μίαν τῶν καθέτων ἤγουν τὰ ιη ἐπὶ τὰ ιη, καὶ γίνονται τκδ·
5καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ οὐργυιῶν τκδ. ὧν μέρος σʹ γίνεται α 𐅵ʹ ιʹ καὶ νʹ· καὶ ἔστι γῆς μοδίου α 𐅵ʹ καὶ λιτρῶν δ 𐅵ʹ εʹ ιʹ· τοῦ γὰρ μέτρου τοῦ μοδίου ὑπὸ οὐργυιῶν ς παραλαμβανομέ‐ νου ἤγουν λιτρῶν μ ἐπιβάλλουσι μιᾷ ἑκάστῃ λίτρᾳ οὐργυιαὶ ε, ἑκάστη δὲ οὐργυιά ἐστι εʹ λίτρας.

7

.

4

 Ἕτερον τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ οὐργυιῶν λϛ. αὗται ἐφ’ ἑαυτὰς πολλαπλασιαζόμεναι γίνονται ͵ασϞϛ· τοσούτων οὐργυιῶν ἐστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τοι‐ ούτου τετραγώνου. ὧν μέρος σʹ γίνονται ϛ δʹ ηʹ ιʹ σʹ· καὶ ἔστι
5γῆς μοδίων ϛ καὶ λιτρῶν ιθ εʹ· αἱ γὰρ ͵ας οὐργυιαὶ ὑπεξαι‐ ρούμεναι ἐπὶ τὰ ς ποσοῦνται εἰς γῆν μοδίων ϛ, αἱ δὲ λοιπαὶ Ϟϛ ὑπεξαιρούμεναι ἐπὶ τὰ ε ποσοῦνται εἰς γῆν λιτρῶν ιθ καὶ
οὐργυιᾶς α.

7

.

5

 Καὶ οὕτω μὲν ἐπὶ τοῦ μέτρου τῶν οὐργυιῶν, ἐπὶ δὲ τοῦ μέτρου τῶν σχοινίων ποίει οὕτω· τὴν μίαν τῶν πλευρῶν πολ‐ λαπλασίαζε ἐφ’ ἑαυτήν· ὧν τὸ 𐅵ʹ· καὶ ἔστιν ὁ μοδισμός. οἷον ἔστω τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ ἑκάστη τῶν
5πλευρῶν σχοινίων ϛ· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποίησον οὕτως· τὰ ϛ ἐπὶ τὰ ϛ· γίνονται λϛ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων λϛ. ὧν τὸ 𐅵ʹ γίνεται ιη· καὶ ἔστι γῆς μοδίων ιη.

7

.

6

 Ἕτερον τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ σχοινίων ιϛ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτὰ πολλαπλασιαζόμενα γί‐ νονται σνϛ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων. ὧν τὸ 𐅵ʹ ρκη· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.

7

.

7

 Ἕτερον τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ ἑκά‐ στη πλευρὰ σχοινίων κε. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτὰ πολλαπλασιαζόμενα ποιοῦσι χκε· τοσούτων αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ 𐅵ʹ τιβ 𐅵ʹ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.

7

.

8

 Ἕτερον τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ ἑκά‐ στη τῶν πλευρῶν σχοινίων ιβ καὶ οὐργυιῶν ϛ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίησον οὕτως· ἀνάλυσον καὶ τὰ σχοινία εἰς οὐργυιάς, καὶ γίνονται διά τε σχοινίων καὶ οὐργυιῶν ρκϛ· αἵ‐
5τινες ἐφ’ ἑαυτὰς πολλαπλασιαζόμεναι γίνονται α̈ ͵εωοϛ· ἔστι τοίνυν τὸ ἐμβαδὸν οὐργυιῶν τοσούτων. ὧν μέρος σʹ γίνεται οθ δʹ ηʹ σʹ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων οθ καὶ λιτρῶν ιε εʹ· αἱ γὰρ
α̈ ͵εω οὐργυιαὶ ὑπεξαιρούμεναι ἐπὶ τὰ ς ποιοῦσι γῆν μοδίων οθ, αἱ δὲ λοιπαὶ οϛ ὑπεξαιρούμεναι ἐπὶ τὰ ε ποιοῦσι λίτρας
10ιε καὶ οὐργυιὰν α.

8

.

1

(t)

Περὶ τετραγώνων παραλληλογράμμων
1 Τετράγωνον παραλληλόγραμμον καὶ ὀρθογώνιον, ὃ δὴ καὶ ἑτερόμηκες καλεῖται, μετρεῖται οὕτως. ἔστω τετράγωνον παρ‐ αλληλόγραμμον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ τὸ πλάτος σχοινίων γ, τὸ δὲ μῆκος η· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίησον οὕτως·
5πολλαπλασίασον τὸ πλάτος ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται κδ· καὶ ἔστι τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ 𐅵ʹ ιβ· καὶ ἔστι γῆς μο‐ δίων τοσούτων.

8

.

2

 Ἕτερον τετράγωνον παραλληλόγραμμον καὶ ὀρθογώνιον, ὃ καὶ ἑτερόμηκες καλεῖται, οὗ τὸ μὲν πλάτος οὐργυιῶν ιε, τὸ δὲ μῆκος κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· πολλα‐ πλασίασον τὰς κ ἐπὶ τὰς ιε· γίνονται τ· τοσούτων οὐργυιῶν
5ἐστι τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ εʹ· γίνονται ξ· καὶ ἔστι μόδιον α 𐅵ʹ.

8

.

3

 Τετράγωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, οὗ τὰ μὲν μήκη οὐργυιῶν π, τὸ δὲ πλάτος ξ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· πολλαπλασίασον τὰς π τοῦ μήκους ἐπὶ τὰς ξ τοῦ πλάτους· καὶ γίνεται τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ ͵δω. ὧν μέρος σʹ· γί‐
5νονται κδ· καὶ ἔστι γῆς μόδια κδ.

8

.

4

Ἕτερον τετράγωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ὃ δὴ
καὶ ἑτερόμηκες καλεῖται, οὗ τὸ μὲν μῆκος σχοινίων η, τὸ δὲ ἐμβαδὸν μ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ πλάτος. ποίησον οὕτως· λαβὲ τῶν μ τὸ ηʹ· γίνεται ε· καὶ ἔστι τοσούτων σχοινίων τὸ πλάτος. τὸν
5δὲ μοδισμὸν εὑρεῖν. οὕτως· πολλαπλασίασον τὰ ε τοῦ πλάτους ἐπὶ τὰ η τοῦ μήκους· γίνονται μ· ὧν τὸ 𐅵ʹ κ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.

9

.

1

(t)

Περὶ τριγώνων ὀρθογωνίων.
1 Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ βάσις σχοινίων δ ἤγουν οὐργυιῶν μ, ἡ κάθετος δὲ ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων γ ἤγουν οὐργυιῶν λ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα σχοινίων ε ἤγουν οὐργυιῶν ν· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ἐπὶ μὲν τῶν σχοινίων ποίει οὕ‐
5τως· λάμβανε τὸ 𐅵ʹ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ β σχοινία καὶ πολ‐ λαπλασίαζε ἐπὶ τὰ γ τῆς καθέτου οὕτως· δὶς τὰ γ ϛ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου ϛ. ὧν τὸ 𐅵ʹ γ· καὶ ἔστι

9

.

2

γῆς μοδίων γ. ἐπὶ δὲ τῶν οὐργυιῶν λάμβανε ὁμοίως τῆς βά‐ σεως τὸ 𐅵ʹ ἤγουν τὰς κ καὶ πολλαπλασίαζε ἐπὶ τὰς λ οὕτως· κʹ λ χ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου οὐρ‐

9

.

3

γυιῶν χ. ὧν μέρος σʹ γίνονται γ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων γ. ἐν παντὶ γὰρ μέτρῳ, εἰ μὲν μετὰ σχοινίου γίνεται ἡ μέτρησις, τὰ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ σχοινία ἡμισυαζόμενα ἀποτελοῦσι τὸν μοδισμόν, εἰ δὲ μετὰ οὐργυιῶν, αἱ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ οὐρ‐
5γυιαὶ ὑπεξαιρούμεναι ὑπὸ τὰ ς ἀποτελοῦσι τὸν μοδισμόν· μ γὰρ οὐσῶν λιτρῶν τῷ ἑνὶ μοδίῳ οὐργυιῶν τε ς ἐπιβάλλουσι
μιᾷ ἑκάστῃ λίτρᾳ οὐργυιαὶ ε.

9

.

4

 Ἕτερον τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων η ἤτοι οὐργυιῶν π, ἡ δὲ κάθετος ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων ϛ ἤγουν οὐργυιῶν ξ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα σχοινίων ι ἤγουν οὐρ‐ γυιῶν ρ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίησον οὕτως· ἐπὶ τῶν
5σχοινίων λαβὼν τὸ 𐅵ʹ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ δ σχοινία πολλα‐ πλασίασον ἐπὶ τὰ ϛ τῆς καθέτου οὕτως· δʹ ϛ κδ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων κδ. ὧν τὸ 𐅵ʹ ιβ·

9

.

5

καὶ ἔστι γῆς μοδίων ιβ. ἐπὶ δὲ τῶν οὐργυιῶν οὕτως· λαβὼν τὸ 𐅵ʹ τῆς βάσεως ἤγουν τὰς μ οὐργυιὰς ἐπὶ τὰς ξ τῆς καθέ‐ του πολλαπλασίασον· γίνονται ͵βυ· τούτων μέρος σʹ γίνονται ιβ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.

9

.

6

 Ἰστέον, ὅτι παντὸς ὀρθογωνίου τριγώνου οἱ πολλαπλα‐ σιασμοὶ τῶν β πλευρῶν τῆς ὀρθῆς γωνίας ἴσοι εἰσὶ μετὰ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς λοιπῆς τῆς ὑποτεινούσης. οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστωσαν τριγώνου ὀρθογωνίου αἱ β πλευραὶ τῆς
5ὀρθῆς γωνίας ἡ μὲν σχοινίων η, ἡ ἐπὶ τῆς βάσεως δηλαδή, ἡ δὲ σχοινίων ϛ ἤγουν ἡ πρὸς ὀρθάς· ἀπὸ τούτων εὑρεῖν τὸν ἀριθμὸν τῆς ὑποτεινούσης. ποίησον οὕτω· πολλαπλασίασον τὰ η τῆς βάσεως ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ξδ· καὶ τὰ ϛ τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται λϛ. σύνθες ταῦτα μετὰ τῶν ξδ τῆς
10βάσεως· γίνονται ρ. τούτων λαβὲ τετραγωνικὴν πλευράν· καὶ ἔστι ι, καὶ αὕτη ἐστὶν ἡ τετραγωνικὴ πλευρὰ ἡ καὶ ὑποτεί‐
νουσα.

9

.

7

 Ἕτερον τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων ιϛ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς ιβ· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ιϛ τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ ιβ τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται ρϞβ. τού‐ των τὸ 𐅵ʹ· γίνονται Ϟϛ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν.
5τὸν δὲ μοδισμὸν εὑρεῖν· λαβὲ τὸ 𐅵ʹ τοῦ ἐμβαδοῦ· καὶ ἔστι μη,

9

.

8

καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων. ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν ὑποτείνου‐ σαν εὑρεῖν, ποίει οὕτω· τὰ ιϛ τῆς βάσεως ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται σνϛ· καὶ τὰ ιβ τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρμδ· ὁμοῦ υ. ὧν τετραγωνικὴ πλευρὰ κ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶν ἡ ὑπο‐

9

.

9

τείνουσα. ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν πρὸς ὀρθὰς εὑρεῖν, ποίει οὕτω· τὰ κ τῆς ὑποτεινούσης ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται υ· ἐξ αὐτῶν λαβὲ τὰ ιϛ τῆς βάσεως, ἅτινα ἐφ’ ἑαυτὰ γίνονται σνς· λοιπὰ ρμδ. ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ιβ· τοσούτων ἔσται ἡ πρὸς

9

.

10

ὀρθάς. ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν βάσιν εὑρεῖν, ὁμοίως λαβὲ ἀπὸ τῶν υ τὰ τῆς πρὸς ὀρθὰς ιβ, ἅτινα γίνεται ἐφ’ ἑαυτὰ ρμδ· λοιπὰ σνϛ. ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ιϛ· τοσούτων σχοινίων

9

.

11

ἔσται ἡ βάσις. καὶ ἄλλως τὴν πρὸς ὀρθὰς εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τρὶς τὰ κ τῆς ὑποτεινούσης· γίνονται ξ· τούτων τὸ εʹ· γίνον‐ ται ιβ· καὶ ἔστι τοσούτων σχοινίων ἡ πρὸς ὀρθάς.

9

.

12

 Τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ τὸ ἐμβαδὸν οὐργυιῶν χ, ἡ δὲ κάθετος οὐργυιῶν λ· τούτου τήν τε βάσιν καὶ τὴν ὑποτείνου‐ σαν εὑρεῖν. ποίει οὕτως· διπλασίασον τὰ χ τοῦ ἐμβαδοῦ· γί‐
νονται ͵ας· ταῦτα μέρισον παρὰ τὸν λ, καὶ τὰ γινόμενα μ

9

.

13

ἕξεις τὴν βάσιν. ὁμοίως καὶ τὴν ὑποτείνουσαν εὑρεῖν. πολλα‐ πλασίαζε τὴν κάθετον ἐφ’ ἑαυτήν, καὶ γίνονται ϡ καὶ τὴν βάσιν ἐφ’ ἑαυτήν, καὶ γίνονται αχ· ὁμοῦ ͵βφ. ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ν· τοσούτων οὐργυιῶν ἔσται ἡ ὑποτεί‐
5νουσα.

9

.

14

Μέθοδος Πυθαγόρου περὶ τριγώνων ὀρθογωνίων. Ἐὰν ἐπιταγῇς τρίγωνον ὀρθογώνιον συστήσασθαι κατὰ τὴν τοῦ Πυθαγόρου μέθοδον ἀπὸ πλήθους περιττοῦ, ποίει οὕτως· δεδόσθω τῇ καθέτῳ ἀριθμὸς ὁ τῶν ε. ταῦτα ἐφ’ ἑαυ‐
5τά· γίνονται κε· ἀπὸ τούτων ἄφελε μονάδα α· λοιπὰ κδ. ὧν τὸ 𐅵ʹ ιβ· ταῦτα ἡ βάσις. πρόσθες τῇ βάσει μονάδα μίαν, καὶ γίνονται ιγ· τοσούτων ἡ ὑποτείνουσα.

9

.

15

 Ἐὰν δὲ ἐπιταγῇς τρίγωνον ὀρθογώνιον συστήσασθαι κατὰ Πλάτωνα ἀπὸ πλήθους ἀρτίου, ποίει οὕτως· δεδόσθω τῇ καθέ‐ τῳ ἀριθμὸς ὁ τῶν η. τούτων τὸ 𐅵ʹ δ· ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γί‐ νονται ιϛ. ἀφαίρει ἀπὸ τούτων μονάδα α· λοιπὰ ιε· τοσούτων
5ἡ βάσις. πρόσθες τῇ βάσει δυάδα· γίνονται ιζ· ταῦτα ἀπόδος τῇ ὑποτεινούσῃ, καὶ συνίσταται.

9

.

16

 Τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. οὕτως· πολλαπλασίαζε ἀεὶ τὸ 𐅵ʹ τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν κάθετον ἤγουν τὴν πρὸς ὀρθὰς ἢ τὸ 𐅵ʹ τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὴν βάσιν, καὶ τὸ ἀπὸ τοῦδε συναγόμενον γίνωσκε εἶναι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου. οἷον ἔστω
5τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ βάσις σχοινίων κ, ἡ κάθετος ἤγουν
ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων ιε καὶ ἡ ὑποτείνουσα κε· εὑρεῖν οὖν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὸ 𐅵ʹ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ ι ἐπὶ τὰ τῆς καθέτου τὰ ιε· γίνονται ρν· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται οε· καὶ ἔστι γῆς μοδίων οε.

9

.

17

 Δύο τρίγωνα ὀρθογώνια ἡνωμένα, ὧν αἱ βάσεις σχοινίων ι καὶ αἱ ὑποτείνουσαι ἀνὰ σχοινίων ιγ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς κοι‐ νὴ οὖσα τῶν δύο τριγώνων σχοινίων ιβ· εὑρεῖν δὲ αὐτῶν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ι τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ ιβ τῆς πρὸς
5ὀρθάς· γίνονται ρκ· ὧν τὸ 𐅵ʹ ξ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ

9

.

18

ἐμβαδόν. ὧν τὸ 𐅵ʹ λ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων λ. εἰ δὲ θέλεις ἀπὸ τῆς βάσεως τὴν κάθετον εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τῶν ι τῆς βά‐ σεως τὰ 𐅵ʹ· γίνονται ε· ταῦτα ἐφ’ ἑαυτὰ κε. καὶ τὰ ιγ τῆς ὑποτεινούσης ἐφ’ ἑαυτὰ ρξθ. ἐξ ὧν λαβὲ τὰ κε· λοιπὰ ρμδ· ὧν
5πλευρὰ τετράγωνος ιβ· τοσούτων σχοινίων ἔσται ἡ κάθετος.

10

.

1

(t)

Περὶ τριγώνων ἰσοπλεύρων.
1 Παντὸς τριγώνου ἰσοπλεύρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίει οὕτως· πολλαπλασίαζε τὴν μίαν τῶν πλευρῶν ἐφ’ ἑαυτὴν ἀεὶ καὶ τῷ ἀναβιβαζομένῳ ἀριθμῷ ἀπὸ τοῦ τοιούτου πολλαπλα‐ σιασμοῦ λάμβανε μέρος γʹ καὶ ιʹ· καὶ ἔστι τοσοῦτον τὸ ἐμ‐

10

.

2

βαδὸν τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου. οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστω τριγώνου ἰσοπλεύρου ἑκάστη τῶν πλευρῶν σχοινίων ι. τὰ ι
οὖν τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρ· ὧν τὸ γʹ· γί‐ νονται λγ γʹ· καὶ τὸ ιʹ· γίνονται ι· ὁμοῦ μγ γʹ· τοσούτων
5σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου.

10

.

3

 Τριγώνου δὲ ἰσοπλεύρου τὴν κάθετον εὑρεῖν. ποίει οὕτως· ὕφελε ἀεὶ τὸ ιʹ καὶ τὸ λʹ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν καὶ τὸ λοι‐ πὸν γίνωσκε εἶναι τὸν ἀριθμὸν τῆς καθέτου. εἶτα πολλαπλα‐ σίαζε τὸ 𐅵ʹ τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν κάθετον, καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ πολ‐

10

.

4

λαπλασιασμοῦ συναγόμενόν ἐστι τὸ ἐμβαδόν. οἷον ὡς ἐν ὑπο‐ δείγματι ἔστω τριγώνου ἰσοπλεύρου ἑκάστη τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων ι, μιᾶς δὲ ἑκάστης πλευρᾶς τὸ ιʹ α καὶ τὸ λʹ γʹ. ταῦτα ἤγουν τὸ α καὶ τὸ γʹ ὑπεξαίρει ἀπὸ τῶν ι· λοιπὰ η καὶ

10

.

5

𐅷ʹ· τοσούτου ἀριθμοῦ ἐστιν ἡ κάθετος. τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τὸ 𐅵ʹ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ ε σχοινία πολλα‐ πλασίασον ἐπὶ τὰ η 𐅷ʹ τῆς καθέτου· καὶ γίνονται μγ γʹ· ὧν τὸ 𐅵ʹ ἐστιν κα 𐅷ʹ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων κα καὶ λιτρῶν κϛ 𐅷ʹ.

10

.

6

 Ἕτερον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ ἑκάστη τῶν πλευρῶν σχοινίων ιβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ιβ τῆς μιᾶς ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρμδ· τούτων τὸ γʹ γίνεται μη, καὶ τὸ ιʹ ιδ γʹ ιʹ καὶ εʹ· ὁμοῦ ξβ γʹ ιʹ καὶ εʹ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβα‐

10

.

7

δὸν τοσούτων σχοινίων. τὴν δὲ κάθετον αὐτοῦ εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· ἄφελε ὁμοίως τὸ ιʹ καὶ τὸ λʹ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν, καὶ τὸ λοιπὸν ἔσται ὁ ἀριθμὸς τῆς καθέτου. οἷον ἔστω ἑκάστη τῶν πλευρῶν, ὡς εἴπομεν, σχοινίων ιβ, μιᾶς δὲ πλευρᾶς τὸ ιʹ
5α εʹ, καὶ τὸ λʹ γίνεται γʹ ιʹ καὶ εʹ. ταῦτα συνθεὶς εὑρήσεις α 𐅵 ιʹ· ταῦτα ὑπεξαίρει ἐπὶ τῶν ιβ· λοιπὰ ι γʹ ιεʹ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶν ἡ κάθετος. εἶτα πολλαπλασίασον τὸ 𐅵ʹ τῆς βά‐ σεως ἐπὶ τὴν κάθετον ἤγουν τὰ ϛ ἐπὶ τὰ ι γʹ ιʹ καὶ εʹ· γί‐ νονται καὶ οὕτως ξβ γʹ ιʹ καὶ εʹ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοι‐
10νίων τοσούτων. ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται λα εʹ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων λα καὶ λιτρῶν η.

10

.

8

 Ἕτερον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ ἑκάστη τῶν πλευρῶν ἀνὰ σχοινίων λ· εὑρεῖν δὲ τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ. ποίει οὕτως· τὰ λ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ϡ· ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ τὰ ιγ, καὶ γίνονται α̈ αψ· ὧν τὸ λʹ· γίνονται τϞ· τοσούτων σχοινίων
5ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν. κατὰ δὲ τὴν ἄνω μέθοδον οὕτως· τὰ λ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ϡ· ὧν τὸ γʹ καὶ τὸ ιʹ· γίνονται τϞ· τοσ‐

10

.

9

ούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν. ἐὰν δὲ θέλῃς εὑρεῖν καὶ ἄλλως τὸ ἐμβαδόν, ποίει οὕτως· λαβὲ τῶν λ τὸ γʹ καὶ τὸ ιʹ· καὶ γίνονται ιγ. ταῦτα ἐπὶ τὰ λ· γίνονται τϞ· τοσούτων ἔσται

10

.

10

σχοινίων τὸ ἐμβαδόν. ἔστι δὲ καὶ ἄλλως εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. λαβὲ τὰ λ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν καὶ πολλαπλασίασον ἐπὶ τὰ κϛ τῆς καθέτου· καὶ γίνονται ψπ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται τϞ· τοσ‐

10

.

11

ούτων σχοινίων ἔσται τὸ ἐμβαδόν. ἐὰν δὲ θέλῃς τριγώνου
ἰσοπλεύρου τὴν κάθετον εὑρεῖν, οὗ ἑκάστη πλευρὰ σχοινίων λ, ποίει οὕτως· τὴν α πλευρὰν ἐφ’ ἑαυτήν· γίνονται ϡ· ὧν τὸ δʹ σκε· λοιπὰ χοε. ὧν πλευρὰ τετράγωνος σύνεγγυς κϛ· καὶ
5ἔσται ἡ κάθετος σχοινίων κϛ. ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ τὴν βάσιν, τουτέστιν ἐπὶ τὰ λ· γίνονται ψπ· ὧν τὸ 𐅵ʹ γίνεται τϞ. τούτων δὲ τὸ 𐅵ʹ γίνεται ρϞε· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσ‐ ούτων.

11

.

1

(t)

Μέθοδος ἐπὶ παντὸς τριγώνου σκαληνοῦ.
1 Παντὸς τριγώνου σκαληνοῦ δοθέντος, μὴ μέντοι ὀρθο‐ γωνίου, εὑρίσκειν τὴν κάθετον. ποίει οὕτως· δεῖ δὴ πρότερον εὑρίσκειν τὰς ἐπὶ τῆς βάσεως γινομένας διὰ τῆς καθέτου ἀποτομὰς ἀνίσους οὔσας, τὴν μὲν μείζονα, τὴν δὲ ἐλάσσονα,
5ποιεῖν δὲ οὕτως· πολλαπλασίαζε ἑκάστης πλευρᾶς ἀριθμὸν ἀπογραφόμενος ἰδίᾳ καὶ ἰδίᾳ τάξας πρότερον τὴν μὲν τῶν πλευρῶν βάσιν, τὴν δὲ μείζονα ὑποτείνουσαν, τὴν δὲ ἐλάσσονα ὑποτείνουσαν· τοῦτο δ’ ἔσται σοι δῆλον, εἴπερ ὁ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἀριθμὸς μείζων ἐστὶ τοῦ

11

.

2

ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῶν λοιπῶν β πλευρῶν. τὴν μεί‐ ζονα τῶν πλευρῶν τάττε βάσιν, καὶ εἰ μὲν βούλει τὴν μείζονα εὑρίσκειν ἀποτομήν, συντίθει τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς βάσεως γινόμενον μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς
5μείζονος ὑποτεινούσης καὶ ἀπὸ τῶν γινομένων ἀφαίρει τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς ἐλάττονος ὑποτεινούσης καὶ τῶν καταλειπομένων τὰ ἡμίση μέριζε παρὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς
βάσεως, καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ μερισμοῦ γινόμενον γίνωσκε εἶναι

11

.

3

τὴν μείζονα ἀποτομὴν τῆς βάσεως. εἰ δὲ τὴν ἐλάσσονα θέλεις εὑρίσκειν ἀποτομήν, τὸ ἀνάπαλιν ποίει· συντίθει τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς βάσεως μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασ‐ μοῦ τῆς ἐλάσσονος ὑποτεινούσης καὶ ἀπὸ τῶν γινομένων
5ἀφαίρει τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ὑποτει‐ νούσης καὶ τῶν καταλειπομένων λάμβανε τὰ ἡμίση καὶ ταῦτα μέριζε παρὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς βάσεως, καὶ τὸν ἐκ τοῦ μερισμοῦ

11

.

4

γινόμενον γίνωσκε εἶναι τὴν ἐλάσσονα ἀποτομήν. εὑρίσκοντι οὖν σοι τὰς τοιαύτας ἀποτομὰς ῥᾴδιον ἔσται σοι καὶ τὴν κάθε‐ τον θηρᾶσθαι· ἢ γὰρ ἀφαιρῶν τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ἀποτομῆς ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος
5ὑποτεινούσης ἕξεις τὴν κάθετον ἢ τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασ‐ μοῦ τῆς ἐλάττονος ἀποτομῆς ἀφαιρῶν ἐκ τοῦ τῆς ἐλάττονος ὑποτεινούσης.

11

.

5

 Ἔστω δὲ καὶ δι’ ὑποδείγματος σαφηνείας χάριν τρίγωνον σκαληνόν, οὗ αἱ πλευραὶ ζ ϛ ια. τούτων τὰ ια τάττω βάσιν διὰ τὸ ἀμβλυγώνιον εἶναι τὸ τοιοῦτον τρίγωνον· ὁ γὰρ ἀπὸ ταύτης τῆς πλευρᾶς ἤγουν τῆς ἐχούσης ια πολλαπλασιασμὸς μείζων
5ἐστὶ τοῦ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῶν λοιπῶν δύο πλευρῶν· τὰ ϛ ἐλάσσονα ὑποτείνουσαν καὶ τὰ ζ μείζονα. τούτων τῶν πλευρῶν ἑκάστην πολλαπλασιάζω ἐφ’ ἑαυτήν, καὶ γίνονται βά‐

11

.

6

σεως μὲν ρκα, ἐλάττονος ὑποτεινούσης λϛ, μείζονος δὲ μθ. θέ‐ λω δὲ εὑρεῖν τὴν μείζονα ἀποτομήν. συντίθημι τὸν τῆς βά‐ σεως πολλαπλασιασμὸν μετὰ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζο‐ νος ὑποτεινούσης· γίνονται ὁμοῦ ρο. τούτων ἀφαιρῶ τὸν πολ‐
5λαπλασιασμὸν τῆς ἐλάττονος ὑποτεινούσης ἤγουν τὰ λϛ· λοιπὰ ρλδ· τούτων τὸ 𐅵ʹ ξζ. ταῦτα μερίζω παρὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς βά‐ σεως ἤγουν τὰ ια, καὶ γίνονται ϛ ιαʹ· καὶ ἔστιν ἡ μείζων ἀποτομὴ ϛ ιαʹ. λοιπὴ ἄρα ἡ ἐλάττων ἀποτομὴ ἔσται δ καὶ ι

11

.

7

ιαʹ. εἰ δὲ θέλω τὴν ἐλάττονα εὑρεῖν πρότερον ἀποτομήν, συν‐ τίθημι τὸν τῆς βάσεως πολλαπλασιασμὸν μετὰ τοῦ πολλα‐ πλασιασμοῦ τῆς ἐλάττονος ὑποτεινούσης· γίνονται ὁμοῦ ρνζ. τούτων ἀφαιρῶ τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος
5ὑποτεινούσης ἤγουν τὰ μθ· λοιπὰ ρη· τούτων τὰ 𐅵ʹ νδ. ταῦ‐ τα μερίζω παρὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς βάσεως ἤγουν τὰ ια, καὶ γίνονται δ καὶ ι ἑνδέκατα· καὶ ἔστιν ἡ ἐλάσσων ἀποτομή. λοιπὴ ἄρα ἡ μείζων ἀποτομὴ ἔσται ϛ καὶ α ἑνδεκάτου, καὶ ἔστιν ἡ

11

.

8

τῶν ἀποτομῶν εὕρεσις ἀμφοτέρωθεν σύμφωνος. εἶτα λαβὼν τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ μιᾶς τῶν ἀποτομῶν καὶ ἀφαι‐ ρῶν τοῦτον ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ μιᾶς τῶν ὑποτεινουσῶν τῆς τῇ ἀποτομῇ ἀναλογούσης καὶ τοῦ καταλιμπανομένου τε‐
5τράγωνον λαμβάνων πλευρὰν ἔχω τὴν κάθετον.

12

.

1

(t)

Μέθοδος ἐπὶ παντὸς τριγώνου εὑρίσκειν τὸ ἐμβαδόν.
1 Παντὸς τριγώνου δοθέντος εὑρίσκειν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· συντίθει τὸν ἀριθμὸν τῶν τριῶν πλευρῶν ὁμοῦ καὶ
τῶν συναγομένων λάμβανε τὸ 𐅵ʹ καὶ ἀπὸ τούτων πάλιν ἀφαί‐ ρει ἑκάστης πλευρᾶς ἀριθμὸν καὶ τῶν ὑπολιμπανομένων τὸν
5μὲν τῆς μιᾶς πλευρᾶς πολλαπλασίαζε ἐπὶ τὸν 𐅵ʹ τοῦ ἀπὸ τῆς συνθέσεως τῶν πλευρῶν, τὸν δὲ τῆς ἑτέρας ἐπὶ τὸν γεγονότα ἀπὸ τοῦ προτέρου πολλαπλασιασμοῦ, καὶ αὖθις τὸν τῆς λοι‐ πῆς πλευρᾶς ἐπὶ τὸν γεγονότα ἀπὸ τοῦ δευτέρου πολλαπλα‐ σιασμοῦ· καὶ τοῦ γεγονότος λαβὲ τὴν τετραγωνικὴν πλευράν·
10καὶ τοῦτο ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

12

.

2

 Οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστω τρίγωνον, οὗ αἱ πλευραὶ γ δ ε, ὅπερ καὶ ὀρθογώνιον τρίγωνόν ἐστιν. ὁ ἐκ τῶν τριῶν πλευρῶν συντιθέμενος ἀριθμὸς γίνεται ιβ· γ γὰρ καὶ δ ζ, καὶ ζ καὶ ε ιβ· τούτων τὸ 𐅵ʹ ϛ· ὧν ἀφαιρουμένης ἑκάστης πλευ‐
5ρᾶς καταλείπονται μιᾶς ἑκάστης πλευρᾶς τῆς μὲν γ, τῆς δὲ β, τῆς δὲ α. τούτων ὁ μὲν γ πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν ϛ ποιεῖ τὸν ιη, ὁ δὲ β ἐπὶ τὸν ιη ποιεῖ τὸν λϛ, ἡ δὲ μονὰς ἐπὶ τὸν λϛ ποιεῖ πάλιν τὸν αὐτὸν λϛ. τούτων πλευρὰ τετράγωνος ὁ ϛ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τοιούτου τριγώνου ϛ. καὶ τοῦτο δῆ‐
10λον καὶ ἀπὸ τῆς ἑτέρας μεθόδου τῆς περὶ τῶν ὀρθογωνίων τριγώνων· τὰ γὰρ γ τῆς καθέτου ἐπὶ τὰ ἡμίση τῆς βάσεως, τουτέστι τὰ β, πολλαπλασιαζόμενα ποιοῦσι τὸν ϛ. πεπείραται δὲ αὕτη ἡ μέθοδος καὶ ἐν τοῖς λοιποῖς πᾶσι τριγώνοις καὶ
ἔστιν ἀσφαλεστάτη.