TLG 0559 010 :: HERON :: Stereometrica

HERON Mech.
(Alexandrinus: A.D. 1?)

Stereometrica

Source: Heiberg, J.L. (ed.), Heronis Alexandrini opera quae supersunt omnia, vol. 5. Leipzig: Teubner, 1914: 2–162.

Citation: Chapter — subchapter — section — (line)

1

.

1

.

1

(1t)

ΕΙΣΑΓΩΓΑΙ ΤΩΝ
2tΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΟΥΜΕΝΩΝ ΗΡΩΝΟΣ.
1 Σφαίρας δοθείσης τῆς διαμέτρου ποδῶν ι εὑρεῖν τὸ στερεόν. Ἀρχιμήδης ἐν τοῖς Περὶ σφαίρας καὶ κυ‐ λίνδρου δείκνυσιν, ὅτι ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων, ὕψος δὲ
5ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας, ἡμιόλιός ἐστι τῆς σφαί‐ ρας· ὥστε κατὰ τοῦτον τὸν λόγον δεῖ τὰ ι ἐφ’ ἑαυτὰ λαβεῖν, καὶ τῶν γινομένων ἐπὶ τὰ ια [ὧν] τὸ ιδʹ, καὶ ταῦτα ἐπὶ τὸ ὕψος τοῦ κυλίνδρου πολυπλασιασθέντα, τουτέστιν ἐπὶ τὰ ι, καὶ τῶν γινομένων λαβεῖν τὸ 𐅵ʹ ϛʹ
10καὶ ἀποφέρεσθαι ἐπὶ τὸ τῆς σφαίρας στερεόν· εἰσὶ δὲ

1

.

1

.

2

πόδες φκγ καὶ ιζ εἰκοστομόνα. κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον δείκνυται, ὡς ια κύβοι ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς σφαί‐ ρας ἴσοι γίνονται κα σφαίραις· ὥστε δεήσει τὰ ι κυ‐ βίσαντα· ἔστι δὲ ͵α· τούτων λαβεῖν τὸ ἑνδεκάκις καʹ·
5καὶ τοσοῦτον γίνεται τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας.

1

.

2

.

1

 Σφαῖρα, ἧς ἡ περίμετρος ποδῶν κβ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· λαβὲ ἀπὸ τῆς περιμέτρου τὴν διάμετρον ἀπὸ τοῦ ὑποκειμένου ὑποδείγματος τῶν
κύκλων· καὶ ἔσται ἡ διάμετρος ποδῶν ζ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά·2
5γίνονται μθ. ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὰ ζ· γίνονται τμγ· καὶ ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται ͵γψογ. ταῦτα ἀνάλυ‐ σον παρὰ τὰ κα· γίνονται ροθ 𐅷ʹ. τοσούτων ἔσται

1

.

2

.

2

ποδῶν τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας. τὴν δὲ ἐπιφάνειαν εὑρήσομεν οὕτως· ἀεὶ δὶς τὴν διάμετρον· γίνονται ιδ. ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται ρνδ. τοσούτων ἔσται ποδῶν ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας.

1

.

3

.

1

 Ἄλλως. Σφαῖρα, ἧς ἡ διάμετρος, τουτέστιν ὁ ἄξων, ποδῶν ζ· εὑρεῖν αὐ‐ τῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕ‐
5τως· τὰ ζ τῆς διαμέτρου κύβισον, τουτέστιν αὐτὰ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται μθ· καὶ ταῦτα πάλιν ἑπτάκις· γίνονται τμγ. ταῦτα ἀεὶ
10δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνον‐ ται ͵γψογ· ὧν τὸ καʹ· γί‐ νονται ροθ 𐅷ʹ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν
τῆς σφαίρας.Column end

1

3a

1

 Σφαῖραν μετρήσομεν, ἧς ἡ διάμετρος ποδῶν ζ, ἡ δὲ περίμετρος ποδῶν κβ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στε‐
5ρεόν. ποιῶ οὕτως· τὴν διά‐ μετρον ἐφ’ ἑαυτήν· γίνον‐ ται μθ. ταῦτα ποιῶ πάλιν ἐπὶ τὴν διάμετρον τῶν ζ· γίνονται πόδες τμγ. ταῦτα
10πολυπλασιάζω ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες ͵γψογ. ταῦ‐ τα μερίζω παρὰ τὸν κα· γίνονται ροθ β̸. τοσούτου ἐστὶ τὸ στερεὸν τῆς σφαί‐
15ρας.
τὴν δὲ ἐπιφάνειαν τῆς αὐτῆς σφαίρας εὑρήσομεν οὕτως· πάντοτε τὴν διά‐ μετρον τῶν ζ ἐπὶ τὴν περί‐4
20μετρον τῶν κβ· γίνονται πόδες ρνδ. τοσούτου ἔσται ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας,
ποδῶν ρνδ.Column end

1

.

4

.

1

 Σφαίρας ἡ διάμετρος ποδῶν ι· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν ἐπιφάνειαν. ποιῶ οὕτως· τὴν διάμετρον ἐφ’ ἑαυτήν· γίνονται ρ. ταῦτα καθολικῶς ποίησον ἑνδεκάκις· γί‐ νονται ͵αρ. τούτων λαβὲ τὸ ιδʹ· γίνονται οη 𐅵ʹ ιδʹ.
5ταῦτα καθολικῶς ποίησον [δακτύλους ἤγουν] τετράκις [τετράκις εἶπεν διὰ τὸ τὸν παλαιστὴν ἔχειν δ δακτύ‐ λους]· γίνονται τιδ δʹ κηʹ. τοσούτου γίνεται ἡ ἐπι‐

1

.

4

.

2

φάνεια τῆς σφαίρας. ἐποίησα δὲ τὰ γενόμενα τετράκις παρὰ ταύτην τὴν αἰτίαν· δείκνυσι γὰρ Ἀρχιμήδης, ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας τετραπλάσιον ἑνὸς μεγίστου κύκλου.
5 [Κύκλου ἐπιπέδου διδάσκει τὸ ἐμβαδὸν τετρα‐ πλούμενον ποιεῖν σφαίρας ἐπιφάνειαν. μέγιστος δὲ κύκλος ἐστὶν ὁ αὐτὸ τὸ κέντρον ἔχων τῆς σφαίρας.]

1

.

5

.

1

 Ἄλλως μετρῆσαι τὴν ἐπιφάνειαν. ποίησον οὕτως· τὴν διάμετρον ἐφ’ ἑαυτήν· γίνονται ρ. ταῦτα ποίησον ἐπὶ τὰ μδ· γίνονται ͵δυ. τούτων λαβὲ τὸ ιδʹ· γίνον‐ ται τιδ δʹ κηʹ. τοσούτων ποδῶν [ἡ περιφέρεια εἴτουν]
5ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας.

1

.

6

.

1

 Ἄλλως. ποίησον τὴν διάμετρον δίς· γίνονται κ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται υ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνον‐ ται ͵δυ. τούτων τὸ ιδʹ· γίνονται τιδ δʹ κηʹ. τοσούτων γίνεται ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας.

1

.

7

.

1

 Πάλιν σφαίρας τὸ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· ἡ διάμετρος ποδῶν ι. κύβισον τὰ ι· ἐφ’ ἑαυτὰ γίνονται ρ· ταῦτα πάλιν ἐπὶ ι· γίνονται ͵α. ταῦτα ποίησον ἑν‐ δεκάκις καὶ τούτων λαβὲ τὸ καʹ· καὶ γίνεται τὸ στε‐6
5ρεὸν φκγ καὶ ιζ καʹ. ἐποιήσαμεν δὲ τὰ γενόμενα ἑν‐ δεκάκις καὶ [ὧν] τὸ καʹ ἐλάβομεν διὰ ταύτην τὴν αἰτίαν· δείκνυσιν Ἀρχιμήδης, ὅτι ια κύβοι ἴσοι γίνον‐ ται κα σφαίραις.

1

.

8

.

1

 Ἄλλως. σφαίρας ἡ διάμετρος ποδῶν δ. ποίει οὕτως· μέτρει κύκλον· γίνεται ἄρα ἀπὸ τῆς διαμέτρου τὸ ἐμ‐ βαδὸν ποδῶν ιβ 𐅵ʹ ιδʹ· γίνεται καὶ ἡ βάσις τοῦ περι‐ λαμβάνοντος κυλίνδρου τὴν σφαῖραν τὸ αὐτό. πολυ‐
5πλασιάζω οὖν τὰ ιβ 𐅵ʹ ιδʹ ἐπὶ τὸ ὕψος τοῦ κυλίνδρου τοῦ περιλαμβάνοντος τὴν σφαῖραν, τουτέστιν ἐπὶ τὰ δ· γίνονται ν δʹ κηʹ· τοσούτου γίνεται ὁ αὐτὸς κύλινδρος [ἡμιόλιος γάρ ἐστι τῆς σφαίρας]. καὶ ἐλάβομεν [τὸ 𐅷ʹ μέρος] τὰ β μέρη τῶν ν δʹ κηʹ· καὶ τοσούτου γί‐
10νεται τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας· ἔστι δὲ λγ 𐅵ʹ μβʹ.

1

.

9

.

1

 Ἄξων σφαίρας τί ἐστιν; εὐθεῖα διὰ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς σφαίρας, ἀμετακίνητος, περὶ ἣν ἡ σφαῖρα κινεῖται καὶ στρέφεται.

1

.

10

.

1

 Ἐὰν σφαῖρα τμηθῇ, ἡ τομὴ κύκλος γίνεται. τῶν δὲ ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων οἱ μὲν διὰ μέσου τὴν σφαῖ‐ ραν τέμνουσιν, οἱ δὲ οὔ· οἱ μὲν οὖν διὰ μέσου τέμ‐ νοντες καλοῦνται μέγιστοι καὶ πάντες ἀλλήλοις ἴσοι
5εἰσίν, οἱ δὲ οὐ διὰ μέσου οὐ πάντες πᾶσιν ἴσοι, ἀλλά τινές τισι. καὶ ἔτι τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων οἳ μέν εἰσιν ὀρθοὶ πρὸς τὸν ἄξονα, οὗτοι ἑαυτοῖς παράλληλοί εἰσιν· παράλληλοι δέ εἰσιν οἱ τὸ αὐτὸ ἀεὶ διάστημα
μεταξὺ ἔχοντες ἑαυτῶν καὶ μήτε μεῖζον μήτε ἔλαττον.8

1

.

11

.

1

 Ὁρίζων κύκλος ἐστίν, ὃς καὶ αὐτὸς διὰ μέσου τέμνει τὴν σφαῖραν εἴς τε τὸ ἀφανὲς καὶ τὸ φαινόμενον, ἀφ’ οὗ καὶ ὁρίζων ἐκλήθη. διαφοραὶ δὲ τῶν ὁριζόντων πλείους· ὁ μὲν γὰρ ἔστι διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας,
5ὁ δὲ ὀρθὸς πρὸς τὸν ἄξονα· καὶ ὅσαι εἰσὶ διαφοραὶ τῶν ὁριζόντων, τοσαῦται διαφοροὶ καὶ θέσεις τῆς σφαίρας τυγχάνουσιν.

1

.

12

.

1

 Ὀξὺς κῶνος, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως πο‐ δῶν ζ, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς κορυ‐ φῆς κάθετος ποδῶν λ· εὑ‐
5ρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· ὥσπερ ἐπὶ τῶν κύκλων ἀπὸ τῶν ζ τῆς διαμέτρου ἔσται τὸ ἐμ‐ βαδὸν ποδῶν λη 𐅵ʹ· καὶ
10λαβὲ ἀπὸ τῶν λ τοῦ ὕψους, τουτέστι τῆς καθέτου, τὸ γʹ· γίνονται ι. ταῦτα ἐπὶ τὰ λη 𐅵ʹ· γίνονται τπε. τοσ‐ ούτων ἔσται ποδῶν τὸ στε‐
15ρεὸν τοῦ κώνου.Column end

1

12a

1

 Κῶνον μετρήσομεν, οὗ ἡ διάμετρος τῆς βάσεως ποδῶν ζ, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς κορυφῆς κάθετος ποδῶν
5λ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβα‐ δόν. ποιῶ οὕτως· ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῶν κύκλων ἀπὸ τῶν ζ ποδῶν τῆς διαμέ‐ τρου [καὶ] ἔστω τὸ ἐμβα‐
10δὸν ποδῶν λη 𐅵ʹ· καὶ λαμ‐ βάνω ἀπὸ τῶν λ ποδῶν τοῦ ὕψους ἢ τῆς καθέτου τὸ γʹ· γίνονται ι. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὰ λη 𐅵ʹ· γίνον‐
15ται πόδες τπε. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν
τοῦ κώνου.10

1

.

13

.

1

 Ἄλλως ὁ αὐτὸς κῶνος ὀξυγώνιος. μετρήσωμεν οὕ‐ τως· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ περὶ τὴν βάσιν κύκλου ποδῶν ϛ, ὁ δὲ ἄξων ποδῶν ιβ, ὅ ἐστιν ὕψος ἢ μῆκος· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ἔλαβον τοῦ κύκλου
5τὴν διάμετρον. τὸ ἐμβαδὸν ποιήσας· ἐφ’ ἑαυτὰ τὰ ϛ καὶ τὰ γινόμενα ἑνδεκάκις καὶ τὸ ιδʹ, καὶ γίνονται κη δʹ κηʹ· ταῦτα ἐπολυπλασίασα ἐπὶ τὰ ιβ· γίνονται τλθ γ ζʹ. τοσοῦτον γίνεται τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου.

1

.

13

.

2

ἐπεὶ οὖν οὐχ ὑπόκειταί μοι κυλίνδρου μέτρησιν εὑρεῖν ἐπὶ τοῦ προκειμένου, ἀλλὰ κώνου, ἔλαβον τὸ γʹ τῶν τλθ γ ζʹ· γίνονται ριγ ζʹ. τοσούτου γίνεται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου· δέδεικται γὰρ ἐν τῇ στοιχειώσει Εὐκλείδου,
5ὅτι πᾶς κῶνος τρίτον μέρος ἐστὶ κυλίνδρου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος καὶ ὕψος ἴσον.

1

.

14

.

1

 Ἔστι κῶνον μετρῆσαι ἀπό τε κλιμάτων καὶ τῆς περὶ τὸν κύκλον διαμέτρου οὕτως· τὰ κλίματα ἀνὰ ποδῶν κ, τῆς δὲ βάσεως ἡ διάμετρος ποδῶν κδ· εὑρεῖν τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ἔλαβον τῆς διαμέ‐
5τρου τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ιβ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρμδ. καὶ τὰ ἀπὸ τοῦ κλίματος κ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται υ. ἀπὸ τούτων ἆρον τὰ ρμδ· λοιπὰ σνϛ. τούτων λαβὲ πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται ιϛ· τοσούτου γίνεται

1

.

14

.

2

ἡ κάθετος. ἵνα δὲ καὶ τὸ στερεὸν εὕρω, ἐμέτρησα ἀπὸ τῶν κδ τὸν κύκλον· γίνεται τὸ ἐμβαδὸν υνβ 𐅵ʹ ιδʹ. τούτων λαβὲ τὸ γʹ· γίνεται τοῦ κώνου τὸ στερεὸν μετὰ τοῦ πολυπλασιασμοῦ τῆς καθέτου.

1

.

15

.

1

 Κῶνος κόλουρος ὁ καὶ ἀτέλεστος, οὗ ἡ μὲν μεί‐ ζων διάμετρος ποδῶν ι, ἡ δὲ ἥττων ποδῶν δ, τὸ δὲ
5μῆκος ποδῶν λ. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· σύνθες τὰς δύο διαμέτρους τὰ ι καὶ δ· γί‐ νονται ιδ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνον‐
10ται ζ, ὅ ἐστιν ἡ διάμετρος, ὡς εἶναι τὸ ἐμβαδὸν ἀκο‐ λούθως τοῖς προγεγραμ‐ μένοις κύκλοις ποδῶν λη 𐅵ʹ. ταῦτα ἐπὶ τὰ λ τοῦ
15μήκους· γίνονται ͵αρνε. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ
στερεὸν τοῦ κώνου.Column end

1

15a

1

 Ἔστω κῶνος κόλουρος, οὗ ἡ διάμετρος ἡ μείζων
ποδῶν ι, ἡ δὲ ἥττων πο‐ δῶν δ, καὶ τὸ μῆκος πο‐12
5δῶν λ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· σύν‐ θες τὰς β διαμέτρους τὰ ι καὶ τὰ δ· γίνονται ιδ· ὧν 𐅵ʹ γίνεται ζ, ὅ ἐστι
10διάμετρος. τοσούτου τὸ ἐμ‐ βαδὸν γίνεται, ποδῶν λη 𐅵ʹ. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τοὺς λ τοῦ μήκους· γίνονται πόδες ͵αρνε. τοσούτων ποδῶν
15ἐστι τὸ στερεὸν τοῦ κώνου,
ποδῶν ͵αρνε.Column end

1

.

16

.

1

 Ἄλλως. κῶνον δὲ κόλουρον μετρῆσαι καὶ εὑρεῖν τὸ στερεὸν ἀπό τε τῶν διαμέτρων καὶ καθέτου. ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ μείζονος κύκλου ποδῶν ϛ, τοῦ δὲ ἐλάττονος ποδῶν β, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ. ποιῶ
5οὕτως· τὰ ϛ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται λϛ· καὶ τὰ β ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται δ· ὁμοῦ μ. καὶ τὰ ϛ ἐπολυπλασίασα ἐπὶ τὰ β· γίνονται ιβ· καὶ ταῦτα προσέθηκα τοῖς μ· γίνονται νβ. ταῦτα τετράκις, τουτέστιν ἐπὶ τὴν κάθε‐ τον· γίνονται ση. ποίησον ἑνδεκάκις· γίνονται ͵βσπη.
10τούτων τὸ μβʹ· γίνονται νδ καὶ κ μβʹ μβʹ, τουτέστι νδ γʹ ζʹ. τοσούτου ἐστὶν ἄρα τὸ στερεόν.

1

.

17

.

1

 Ἔτι μετρήσωμεν κῶνον κόλουρον ἀπό τε διαμέτρου καὶ ἀπὸ τῶν κλιμάτων, οὗ ἐστι τῆς κορυφῆς ἡ διά‐ μετρος ποδῶν δ, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ιε, ἡ δὲ τῆς βά‐ σεως διάμετρος ποδῶν κη· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ14
5οὕτως· ὑφεῖλον κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως· λοιπὰ κδ. τούτων τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ιβ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρμδ. καὶ τὰ ἀπὸ τοῦ κλίματος ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται σκε. ἀπὸ τούτων ἄφελε τὰ ρμδ· λοιπὰ πα· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται θ. τοσούτου γίνεται ἡ κάθετος.

1

.

17

.

2

τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· συνέθηκα κορυφὴν καὶ βάσιν· γίνονται λβ. τούτων τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ιϛ. μετρῶ νῦν κύκλον, οὗ ἡ [μὲν] διάμετρος ποδῶν ιϛ· ποιῶ τὴν διάμετρον ἐφ’ ἑαυτὴν καὶ τὰ γενόμενα ἑν‐
5δεκάκις· ὧν τὸ ιδʹ· καὶ μετὰ τὸ λαβεῖν με τὸ ἐμβα‐ δὸν [καὶ] πάλιν ἀφεῖλον κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως· λοιπὰ κδ. τούτων τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ιβ. ἀπὸ τούτων πά‐ λιν ἐμέτρησα τὸν ἐλάχιστον κύκλον, καὶ ὅταν εὕρω τὸ ἐμβαδόν, τῶν γινομένων λαμβάνω τὸ γʹ [γίνονται λϛ]·
10ταῦτα προσθεὶς τῷ τοῦ μείζονος κύκλου ἐμβαδῷ τὰ γενόμενα ἐπολυπλασίασα ἐπὶ τὴν κάθετον· καὶ τοσοῦ‐ τον γίνεται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου.

1

.

18

.

1

 Ὀβελίσκος ἔχων εἰς τὴν βάσιν κύκλον, οὗ ἡ μὲν διάμετρος ποδῶν μβ, αἱ δὲ πλευραὶ αὐτοῦ ἐγκεκλιμέ‐
5ναι οὖσαι ἀνὰ ποδῶν οε· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον. ποίει οὕτως· λαβὲ τῆς βά‐ σεως τὸ ἥμισυ· γίνονται κα. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γί‐
10νονται υμα· καὶ μίαν πλευ‐ ρὰν τοῦ κώνου γενομένην ἐφ’ ἑαυτήν· γίνονται ͵εχκε· ἐξ ὧν ὕφειλε τὰ μα πρὸς τοῖς υ· λοιπὰ ͵ερπδ· ὧν
15ἀεὶ πλευρὰ τετράγωνος· γί‐ νονται οβ. τοσούτων ἔσται

1

.

18

.

2

ποδῶν ἡ κάθετος. ἐὰν δὲ θέλῃς τοῦ αὐτοῦ ὀβελίσκου τὸ στερεὸν εὑρεῖν, ποίει οὕτως· λαβὲ τῆς βάσεως
5τὸ ἐμβαδὸν κατὰ τὸ προ‐ κείμενον ὑπόδειγμα τῶν κύκλων καὶ τὰ γενόμενα πολυπλασίασον ἐπὶ τὸ γʹ τῆς καθέτου. τοσούτων
10ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ ὀβελίσκου.

1

18a

1

 Ἔστω κῶνος ὁ λεγόμενος ὀβελίσκος καὶ ἐχέτω τὴν βάσιν κύκλον, οὗ ἡ διά‐ μετρος ποδῶν μβ, τοῦ δὲ
5κώνου αἱ πλευραὶ αἱ ἐγ‐ κεκλιμέναι ἔστωσαν ἀπὸ ποδῶν οε· τούτου τὴν κάθετον εὑρήσομεν οὕτως· λαμβάνω τοὺς οε πόδας
10τῆς πλευρᾶς ἐφ’ ἑαυτούς· γίνονται ͵εχκε· καὶ τῆς βά‐ σεως τὸ 𐅵ʹ· γίνονται κα. ταῦτα ποίει ἐφ’ ἑαυτά· γί‐ νονται υμα, ἅτινα ἄφελε16
15ἀπὸ τῶν ͵εχκε· λοιπὸν μέ‐ νει ͵ερπδ· ὧν πλευρὰ τε‐ τραγωνικὴ γίνεται ποδῶν οβ. τοσούτου ἔσται ἡ κάθ‐ ετος τοῦ κώνου, ποδῶν

1

18a

2

οβ. εὑρεῖν καὶ τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ͵ατπϛ. ταῦτα ἐπὶ τὸ γʹ τῆς καθέτου, ἐπὶ τὰ κδ· γίνονται πόδες γ͵γσξδ.
5τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ

1

18a

3

στερεὸν τοῦ κώνου. εὑ‐ ρεῖν αὐτοῦ καὶ τὴν ἐπι‐ φάνειαν. τῆς βάσεως τὸ 𐅵ʹ· γίνονται κα. ταῦτα ἐπὶ
5τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ οβ· γίνονται ͵αφιβ. ταῦτα ἐπὶ τὰ κβ· γίνονται γ͵γσξδ. τούτων τὸ ζʹ· γίνονται ͵δψνβ. τοσούτων ἡ ἐπιφά‐
10νεια τοῦ κώνου.

1

.

19

.

1

 Κύλινδρος, οὗ τὸ μὲν μῆκος ποδῶν ν, ἡ δὲ περι‐ φέρεια ποδῶν κβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει
5οὕτως· λαβὲ ἀπὸ τῆς περι‐ φερείας ὡς καὶ ἐπὶ τῶν κύκλων τὸ ἐμβαδόν· γί‐ νονται λη 𐅵ʹ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ν· γίνονται ͵αϡκε. τοσ‐
10ούτων ἔσται ποδῶν τὸ στε‐
ρεὸν τοῦ κυλίνδρου.Column end

1

19a

1

 Κύλινδρον μετρήσομεν, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν ν, ἡ
δὲ διάμετρος ποδῶν ζ, καὶ ἡ περιφέρεια ποδῶν κβ.18
5εὕρομεν ἀπὸ τῆς περιφε‐ ρείας ὡς καὶ ἐπὶ τῶν κύ‐ κλων, καὶ ἔστω τὸ ἐμβα‐ δὸν ποδῶν λη 𐅵ʹ. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ μῆκος τῶν ν·
10γίνονται πόδες ͵αϡκε. τοσ‐ ούτων ποδῶν ἔσται τὸ στε‐
ρεὸν τοῦ κυλίνδρου.Column end

1

.

20

.

1

 Κύλινδρον μέτρει οὕτως, οὗ ἡ διάμετρος τοῦ κύ‐ κλου ποδῶν ϛ, ὁ δὲ ἄξων, τουτέστι τὸ μῆκος, ποδῶν ιβ· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ἐμέτρησα κύκλον, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ϛ, καθὼς πρόκειται· γίνεται τὸ
5ἐμβαδὸν αὐτοῦ ποδῶν κη δʹ κηʹ. ταῦτα ἐπολυπλασίασα ἐπὶ τὸν ἄξονα· γίνονται πόδες τλθ καὶ γ ζʹ ζʹ. τοσού‐

1

.

20

.

2

των γίνεται τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου. τὴν δὲ ἐπι‐ φάνειαν αὐτοῦ εὑρήσεις οὕτως· ποίησον τὴν διάμετρον τρὶς καὶ ζʹ, ἐπειδὴ τῆς διαμέτρου ἡ περίμετρος τρι‐ πλάσιός ἐστιν καὶ ἐφέβδομος, καὶ προσάγαγε τὰ γενό‐
5μενα ἐπὶ τὸν ἄξονα, τουτέστιν ἐπὶ τὰ ιβ τοῦ ὕψους· καὶ τοσούτου ἐστὶν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου.

1

.

21

.

1

 Κίων, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν κα· λαμβάνω τούτου τὸ ζʹ καὶ τὸ ηʹ, ἐπειδὴ ἡ ἕδρα τοῦ κίονος κατὰ διάμετρόν ἐστιν τὸ ζʹ καὶ ἡ ἔφεδρος τὸ ηʹ. μίξας τὰς δύο δια‐ μέτρους κράτει τὸ 𐅵ʹ· γίνονται β 𐅵ʹ δʹ ιϛʹ. ἀπὸ τού‐
5των ποίει κύκλου τὸ ἐμβαδόν· γίνονται πόδες ζ ιεʹ Ϟγʹ.
ταῦτα ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται πόδες ρμζ 𐅵ʹ. τοσούτων20

1

.

21

.

2

ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ κίονος. εἰ δὲ θέλεις τὴν ἐπιφάνειαν μετρῆσαι, λαβὲ ἕδρας καὶ ἐφέδρας τοὺς κύκλους καὶ μίξας ἆρον τὸ 𐅵ʹ· ἐπὶ ταῦτα τὸ μῆκος· καὶ τοσούτου ἡ ἐπιφάνεια ἔσται τοῦ κίονος.

1

.

21

.

3

 Ἡ τοῦ κίονος ἔκθεσις τοῦ αὐτοῦ Πατρικίου δι‐ όρθωσις· οἱ γὰρ ἀρχαῖοι τὰς δύο διαμέτρους οὐκ ἔμιξαν.

1

.

22

.

1

 Κύβον μετρῆσαι, τουτέστι σχῆμα στερεὸν περιεχό‐ μενον ὑπὸ τριῶν διαστάσεων, μήκους, πλάτους, ὕψους ἀκολούθως ἢ βάθους· καὶ πῶς; ἐπὶ μὲν τῶν σχημάτων ὕψος, ἐπὶ δὲ τῶν ὀρυγμάτων βάθος. ἔστω οὖν κύβος
5μῆκος πηχῶν η, πλάτος πηχῶν η καὶ ὕψος πηχῶν η· εὑρεῖν, πόσων τὸ στερεὸν πηχῶν γίνεται ὁ κύβος. ποιῶ τοὺς η τοῦ μήκους ἐπὶ τοὺς ὀκτὼ τοῦ πλάτους· γίνονται ξδ· τούτους ἐπὶ τοὺς η τοῦ ὕψους· γίνονται φιβ. ἔσται ὁ κύβος πηχῶν φιβ.

1

.

23

.

1

 Κύβος τετράγωνος ἰσόπλευρος, οὗ ἡ μὲν βάσις πο‐ δῶν ι, τὸ μῆκος ποδῶν ι, τὸ ὕψος ποδῶν ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ ι τῆς βάσεως ἑξη‐ κοντάκις· γίνονται χ· καὶ ταῦτα ἐπὶ τὰ ι τοῦ μήκους·
5γίνονται ͵ϛ· καὶ ταῦτα ἐπὶ τὰ ι τοῦ ὕψους· γίνονται ϛ̈· ὧν [τούτων] τὸ ξʹ· γίνονται ͵α. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ κύβου.

1

.

24

.

1

 Κύβος παραλληλόγραμμος, οὗ ἡ παράλληλος πο‐ δῶν κ, ἡ δὲ ἐπιζευγνύουσα ποδῶν ι, τὸ δὲ ὕψος πο‐ δῶν λ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ κ τῆς παραλλήλου ἐπὶ τὰ ι· γίνονται ς, ὅπερ ἐστὶν ἐμ‐
5βαδόν. ταῦτα ἐπὶ τὰ λ τοῦ ὕψους· γίνονται ͵ϛ. τοσ‐
ούτου ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κύβου.22

1

.

25

.

1

 Σφηνίσκος, οὗ τὸ μὲν μῆκος ποδῶν κε, τὸ δὲ πλά‐ τος τὸ μεῖζον ποδῶν ζ, τὸ δὲ ἧττον ποδῶν ε, τὸ δὲ
5πάχος τὸ μεῖζον ποδῶν ϛ, τὸ δὲ ἧττον ποδῶν δ· εὑ‐ ρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· σύνθες τὰ β πλάτη, τουτέστι τὰ ζ καὶ
10τὰ ε· γίνονται ιβ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ϛ. ὁμοίως καὶ τὰ δύο πάχη, τουτέστι τὰ ϛ καὶ τὰ δ· γίνονται ι· ὧν καὶ αὐτῶν τὸ 𐅵ʹ· γί‐
15νονται ε. ταῦτα ἐπὶ τὰ ϛ· γίνονται λ· καὶ ταῦτα πά‐ λιν ἐπὶ τὰ κε· γίνονται ψν. τοσούτων ἔσται πο‐ δῶν τὸ στερεὸν τοῦ σφη‐
20νίσκου.Column end

1

25a

1

 Σφῆνα μετρῆσαι, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν κε, τὸ δὲ πλά‐ τος τὸ μεῖζον ποδῶν ζ, τὸ δὲ μικρότερον ποδῶν ε,
5πάχος τὸ μεῖζον ποδῶν ϛ, τὸ δὲ ἧττον ποδῶν δ· εὑ‐ ρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· σύνθες τὰ β πλάτη τὰ ζ καὶ τὰ ε· γί‐
10νονται ιβ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γί‐ νονται ϛ. ὁμοίως καὶ τὰ β πάχη τὰ ϛ καὶ τὰ δ· γίνονται ι· ὧν 𐅵ʹ γίνον‐ ται ε. ταῦτα ἐπὶ τὰ ϛ·
15γίνονται πόδες λ· καὶ ταῦ‐ τα ἐπὶ τὰ κε τοῦ μήκους· γίνονται πόδες ψν. τοσού‐ των ποδῶν ἐστι τὸ στερεὸν
τοῦ σφηνός, ποδῶν ψν.Column end

1

.

26

.

1

 Ἄλλως. ἔστω σφηνίσκος, ὃς καλεῖται ὑπό τινων ὄνυξ, ἔχων τὸ μὲν ἀπὸ κεφαλῆς δακτύλων ἕξ, τὸ δὲ ἄλλο δακτύλων ι, τὸ πάχος δακτύλων η· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· συντιθῶ τὰ β πλάτη· γίνον‐
5ται ιϛ· ἐπὶ τὸ πάχος· γίνονται ρκη. ἐπὶ τὸ μῆκος
ταῦτα τῶν η· γίνονται ͵ακδ. τούτων τὸ δʹ· γίνονται σνϛ· τοσούτων χυδαίων δακτύλων. ταῦτα μερίζω ὡς τὸ τετράγωνον.24

1

.

27

.

1

 Ἄλλως. ἔστω ὄνυξ ἔχων τὸ μὲν μῆκος δακτύλων ι, πλάτος δακτύλων ϛ, πάχος δακτύλων ε· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· πολυπλασιάζω τὸ πλάτος καὶ τὸ πάχος· γίνονται λ. ταῦτα ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται
5τ. τούτων λαμβάνω τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ρν. ταῦτα μερίζω ὡς τὸ τετράγωνον· γίνονται στερεοὶ δάκτυλοι ιβ δʹ.

1

.

28

.

1

 Μείουρον τὸ προεσκαρι‐ φευμένον, οὗ τὸ μὲν μῆκος ποδῶν λ, τὸ δὲ πλάτος πο‐ δῶν ϛ, τὸ δὲ πάχος ποδῶν
5δ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ ϛ ἐπὶ τὰ δ· γίνονται κδ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ιβ. ταῦτα ἐπὶ τὰ λ· γίνονται τξ. τοσούτων
10ἔσται ποδῶν τὸ στερεόν.Column end

1

28a

1

 Σφῆνα μείουρον μετρή‐ σομεν, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν λ καὶ τὸ πλάτος ποδῶν ϛ καὶ τὸ πάχος ποδῶν δ· εὑ‐
5ρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ϛ ἐπὶ τὰ δ· γίνονται πόδες κδ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ιβ. ταῦτα ἐπὶ τὰ λ· γίνονται πόδες
10τξ. τοσούτων ποδῶν ἔσται
τὸ στερεὸν τοῦ σφηνός, τξ.Column end

1

.

29

.

1

 Τὸ δὲ πλινθίον συνέστηκεν ἐκ τῶνδε τῶν ἀριθμῶν ϛ, η, θ, ιβ, ὁ μὲν η πρὸς ϛ ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ, καθ’ ἣν ἡ διὰ τεσσάρων ἐστὶν ἁρμονία, ὁ δὲ θ πρὸς τὸν
ϛ ... ἐν διπλασίῳ, καθ’ ἣν ἡ διὰ πασῶν· ... ἕξεων26
5ἐλέγχει καὶ τὰς ἀναλογίας πάσας· ἀριθμητικὴ μέν ἐστιν ἐν ϛ καὶ θ καὶ ιβ· οἷς γὰρ ὑπερέχει ὁ μέσος τοῦ πρώ‐ του τρισίν, ὑπερέχεται ὑπὸ τοῦ τελευταίου· γεωμετρικὴ δὲ ἡ τῶν τεσσάρων· ὃν γὰρ λόγον ἔχει τὰ η πρὸς τὰ ϛ, τοῦτον τὰ ιβ πρὸς τὰ θ, ὁ δὲ λόγος ἐπίτριτος. ἁρ‐
10μονικῆς ἀναλογίας διττὴ κρίσις, μία μέν, ὅταν, ὃν λόγον ἔχει ὁ ἔσχατος πρὸς τὸν πρῶτον, τοῦτον ἔχῃ ἡ ... ὑπερέχεται ὑπὸ τοῦ τελευταίου ....

1

.

30

.

1

 Πυραμὶς ἐπὶ τετραγώ‐ νου βεβηκυῖα, ἧς ἑκάστη τῶν πλευρῶν ἀνὰ ποδῶν κδ, τὸ δὲ κλίμα ἀνὰ πο‐
5δῶν ιη· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ κδ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται φοϛ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται σπη. τὰ ιη ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται τκδ·
10ἐξ ὧν ὕφειλε τὰ σπη· λοι‐ πὰ λϛ· ὧν πλευρὰ τετρά‐ γωνος γίνεται ϛ. τοσούτων ποδῶν ἔσται ἡ κάθετος. λαβὲ τοίνυν τῆς καθέτου
15τὸ γʹ· γίνονται β. ταῦτα ἐπὶ τὰ φοϛ· γίνονται ͵αρνβ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ
στερεὸν τῆς πυραμίδος.Column end

1

30a

1

 Πυραμίδα ἐπὶ τετραγώ‐ νου βεβηκυῖαν μετρήσομεν οὕτως, ἧς ἑκάστη τῶν πλευ‐ ρῶν τῆς βάσεως ἀπὸ πο‐
5δῶν κδ καὶ τὸ κλίμα τῆς πυραμίδος ποδῶν ιη· εὑ‐ ρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕ‐ τως· τὰ κδ τῆς βάσεως ἐφ’
10ἑαυτά· γίνονται πόδες φοϛ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται πόδες σπη. καὶ τὰ ιη τοῦ κλί‐ ματος ποιῶ ἐφ’ ἑαυτά· γί‐ νονται πόδες τκδ. ἄρτι
15ὑφαιρῶ ἀπὸ τούτων τὰ
σπη· λοιπὸν μένουσι πόδες λϛ· ὧν πλευρὰ τετραγω‐ νικὴ γίνεται ποδῶν ϛ. τοσ‐ ούτου ἔσται ἡ κάθετος τῆς28
20πυραμίδος. ἐπειδὴ οὖν ἡ κάθετος ποδῶν ϛ, εὕρωμεν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τὸ γʹ τῆς καθέτου· γίνον‐ ται πόδες β. ταῦτα ποιῶ
25ἐπὶ τὰ φοϛ· γίνονται πό‐ δες ͵αρνβ. τοσούτου ἐστὶ τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος,
ποδῶν ͵αρνβ.Column end

1

.

31

.

1

 Ἄλλως. ἔστω πυραμὶς τετράγωνος, ἧς τὰ κλίματα ἀνὰ ποδῶν ιη, αἱ δὲ τῆς βάσεως πλευραὶ ἀνὰ ποδῶν ιϛ· δεῖ δὲ ταύτης τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεὸν εὑρεῖν. ποιῶ οὕτως· πολυπλασιάζω μίαν πλευρὰν ἐφ’ ἑαυτήν·
5γίνονται πόδες σνϛ. ταῦτα δίπλασον· γίνονται φιβ. τούτων λαβὲ τὸ δʹ· γίνονται ρκη. καὶ πολυπλασίασον τὰ κλίματα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται πόδες τκδ. ἀπὸ τού‐ των ὑφεῖλον τὰ ρκη· λοιπὰ ρϞϛ· ὧν πλευρὰ τετράγω‐

1

.

31

.

2

νος γίνεται ιδ. τοσούτων γίνεται ἡ κάθετος. τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· ἐπολυπλασίασα πάλιν τὰ ἀπὸ τῆς βάσεως τὰ ιϛ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται πόδες σνϛ. τού‐ των τὸ γʹ· γίνονται πόδες πε γʹ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθ‐
5ετον· γίνονται ͵αρϞε. τοσούτου ἔσται καὶ τὸ στερεὸν τῆς αὐτῆς πυραμίδος.

1

.

32

.

1

 Πυραμὶς κόλουρος τε‐ θραυσμένη τετράγωνος, ἧς αἱ πλευραὶ τῆς βάσεως ἀνὰ ποδῶν ι, τὰ δὲ κλίματα
5ἀνὰ ποδῶν θ, αἱ δὲ πλευ‐ ραὶ τῆς κορυφῆς ἀνὰ πο‐ δῶν β. εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στε‐ ρεόν. ποίει οὕτως· ὕφειλε τὰ β τῆς κορυφῆς ἀπὸ τῶν
10τῆς βάσεως· λοιπὰ η. ταῦ‐ τα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ξδ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται λβ. καὶ τὰ θ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται πα. ἀπὸ τούτων ὕφειλε τὰ
15λβ· λοιπὰ μθ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ζ. τοσ‐ ούτων ἔσται ποδῶν ἡ κάθ‐

1

.

32

.

2

ετος. καὶ σύνθες τὰ β τῆς κορυφῆς καὶ τὰ ι τῆς βά‐ σεως· γίνονται ιβ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ϛ. ταῦτα ἐφ’
5ἑαυτά· γίνονται λϛ. εἶτα ὕφειλε τὰ δύο τῆς κορυ‐ φῆς ἀπὸ τῶν ι· λοιπὰ η· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται δ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ιϛ· ὧν
10τὸ γʹ ε γʹ. ταῦτα πρόσθες τοῖς λϛ· γίνονται μα γʹ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ζ τῆς καθ‐ έτου· γίνονται σπθ γʹ. τοσ‐ ούτων ἔσται ποδῶν τὸ στε‐
15ρεὸν τῆς πυραμίδος.Column end

1

32a

1

 Πυραμὶς κόλουρος τε‐ τράγωνος, ἧς αἱ πλευραὶ τῆς βάσεως ἀπὸ ποδῶν ι καὶ αἱ πλευραὶ τῆς κορυ‐
5φῆς ἀπὸ ποδῶν β, τὸ δὲ κλίμα ποδῶν θ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ὑφεῖ‐ λον τὰ β τῆς κορυφῆς ἀπὸ30
10τῶν ι ποδῶν τῆς βάσεως· λοιπὸν μένουσι πόδες η. ταῦτα ποιεῖ ἐφ’ ἑαυτὰ πό‐ δας ξδ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται πόδες λβ. καὶ τὰ θ τοῦ
15κλίματος ἐφ’ ἑαυτά· γίνον‐ ται πόδες πα. ἀπὸ τούτων ὑφεῖλον τὰ λβ· λοιπὸν μέ‐ νουσι πόδες μθ· ὧν πλευ‐ ρὰ τετραγωνικὴ γίνεται πο‐
20δῶν ζ. τοσούτου ἔσται ἡ

1

32a

2

κάθετος. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ἡ κάθετος ποδῶν ζ, εὕρωμεν τὸ στερεὸν οὕτως· σύνθες τοὺς β πόδας τῆς κορυφῆς
5καὶ τοὺς ι πόδας τῆς βά‐ σεως· ὁμοῦ γίνονται πόδες ιβ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται ϛ. ταῦ‐ τα ποίει ἐφ’ ἑαυτά· γίνον‐ ται πόδες λϛ. πάλιν ὑφεῖ‐
10λον ἀπὸ τῶν ι ποδῶν τῆς κορυφῆς τοὺς β πόδας· λοιπὸν μένουσιν η πόδες· ὧν 𐅵ʹ γίνονται δ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται πόδες
15ιϛ· ὧν γʹ γίνονται πόδες
ε γʹ. ταῦτα πρόσθες τοῖς λϛ· γίνονται ὁμοῦ πόδες μα γʹ. ταῦτα πολυπλασι‐ άζω ἐπὶ τοὺς ζ πόδας τῆς32
20καθέτου· γίνονται πόδες σπθ γʹ. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τῆς πυ‐
ραμίδος.Column end

1

.

33

.

1

 Ἄλλως. πυραμὶς τεθραυσμένη εἴτουν κόλουρος ἔστω ἐπὶ τῆς κορυφῆς ἀνὰ ποδῶν δ, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ πο‐ δῶν ιε, αἱ δὲ τῆς βάσεως πλευραὶ ἀνὰ ποδῶν κη· εὑ‐ ρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ἄφελε κορυφὴν
5ἀπὸ τῆς βάσεως· λοιπὰ κδ. τούτων τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ιβ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρμδ. καὶ πάλιν πολυ‐ πλασίασον τὰ ἀπὸ τοῦ κλίματος ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται σκε. ἀπὸ τούτων ὑφαιρῶ τὰ ρμδ· λοιπὰ πα. τοσού‐

1

.

33

.

2

του γίνεται ἡ κάθετος τοῦ τετραπεδίου δυνάμει. καὶ πάλιν ἄφελε κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως· λοιπὰ κδ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ιβ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρμδ. καὶ ἄφελε τὴν τοῦ τετραπεδίου κάθετον τὰ πα ἀπὸ
5τῶν ρμδ· λοιπὰ ξγ. τούτων τετραγωνικὴ πλευρὰ γί‐

1

.

33

.

3

νεται η παρὰ ιϛʹ. τοσούτων ἔσται ἡ κάθετος. τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· σύνθες κορυφὴν καὶ βάσιν· γίνονται λβ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ιϛ· ἐφ’ ἑαυτὰ γίνονται σνϛ. πάλιν ἀφεῖλον κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως· λοιπὰ
5κδ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ιβ· ἐφ’ ἑαυτὰ γίνονται ρμδ. τούτων τὸ γʹ· γίνονται μη. ταῦτα προσάγαγε τοῖς σνϛ· γίνονται τδ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται ͵βυιγ. τοσούτων γίνεται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

1

.

34

.

1

 Ἔστω πυραμὶς ἑτερομήκης ὁμοίως καὶ κόλουρος εἴτουν ἡμιτελής, ἧς αἱ μὲν β πλευραὶ ἀνὰ ποδῶν ιδ,
αἱ δὲ ἄλλαι ἀνὰ ποδῶν κ, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ποδῶν κϛ καὶ ἡ κορυφὴ ἡ μὲν κατὰ μῆκος ποδῶν δ, ἡ δὲ κατὰ34
5πλάτος ποδῶν β· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ἄφελε κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως παράλληλον ἀπὸ παραλλήλου τὰ β ἀπὸ τῶν ιδ· λοιπὰ ιβ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρμδ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται οβ. καὶ ὁμοίως τὰ δ ἀπὸ τῶν κ· λοιπὰ ιϛ· ἐφ’ ἑαυτὰ γίνονται σνϛ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ρκη.
10καὶ τὰ οβ· γίνονται ς. τούτων ἄφελε τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ρ. πολυπλασίασον τὰ κλίματα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται χοϛ ἀφ’ ὧν ὕφειλε τὰ ρ· λοιπὰ φοϛ. τούτων λαβὲ τετρα‐ γωνικὴν πλευράν· γίνονται κδ. τοσούτου γίνεται ἡ

1

.

34

.

2

κάθετος. σύνθες οὖν τὰς παραλλήλους βάσεις τὰ δ καὶ τὰ κ· γίνονται κδ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ιβ. πάλιν σύνθες τὰ β καὶ τὰ ιδ· γίνονται ιϛ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνον‐ ται η. ταῦτα ἐπὶ τὰ ιβ· γίνονται Ϟϛ. ἄφελε νῦν κο‐
5ρυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως, τουτέστι τὰ δ ἀπὸ τῶν κ· λοιπὰ ιϛ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται η. ὁμοίως καὶ τὰ β ἀπὸ τῶν ιδ· λοιπὰ ιβ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται ϛ. ταῦτα ἐπὶ τὰ η· γίνονται μη. καθόλου λάμβανε τὸ γʹ· γίνονται ιϛ. ταῦτα προσάγαγε τοῖς Ϟϛ· γίνονται ριβ. ταῦτα ἐπὶ
10τὴν κάθετον, τουτέστιν ἐπὶ τὰ κδ· γίνονται ͵βχπη. τοσούτων γίνεται τὸ στερεὸν τῆς ἑτερομήκους πυραμίδος.

1

.

35

.

1

 Πυραμὶς ἐπὶ ἰσοπλεύρου τριγώνου βεβηκυῖα, ἧς ἑκά‐ στη πλευρὰ τῆς βάσεως ἀνὰ ποδῶν λ, τὸ δὲ κλίμα
5ποδῶν κ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ λ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ϡ· ὧν τὸ γʹ τ. καὶ τὰ κ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται υ· ἐξ ὧν
10ὑφεῖλον τὰ τ· λοιπὰ ρ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνε‐ ται ι. τοσούτων ἔσται πο‐

1

.

35

.

2

δῶν ἡ κάθετος. ποίει οὕ‐ τως νῦν· τὰ λ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ϡ· ὧν τὸ γʹ καὶ τὸ ιʹ· γίνονται τϞ·
5ὧν τὸ γʹ· γίνονται ρλ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ι τῆς καθ‐ έτου· γίνονται ͵ατ. τοσού‐ των ἔσται ποδῶν τὸ στε‐ ρεὸν τῆς τριγώνου πυρα‐
10μίδος.Column end

1

35a

1

 Πυραμίδα ἐπὶ ἰσοπλεύ‐ ρου τριγώνου βεβηκυῖαν μετρήσομεν οὕτως, ἧς ἑκά‐ στη πλευρὰ τῆς βάσεως
5ἀπὸ ποδῶν λ καὶ τὸ κλίμα ποδῶν κ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον. ποιῶ οὕτως· τὰ λ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ϡ· ὧν γʹ γίνονται τ. καὶ τὰ
10κ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται υ. ἀπὸ τούτων ὑφεῖλον τὰ τ· λοιπὸν μένουσι πόδες ρ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ι. τοσού‐36
15των ποδῶν ἐστιν ἡ κάθ‐

1

35a

2

ετος, ποδῶν ι. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ἡ κάθετος ποδῶν ι, εὑρήσομεν τὸ ἐμβαδὸν οὕ‐ τως· λαβὲ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
5τριγώνου τῆς βάσεως· τὰ λ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ϡ· ὧν γʹ καὶ ιʹ γίνονται πό‐ δες τϞ. τούτων τὸ γʹ· γί‐ νονται ρλ. ταῦτα ἐπὶ τὰ
10ι· γίνονται ͵ατ. τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τῆς πυ‐
ραμίδος, ποδῶν ͵ατ.Column end

1

.

36

.

1

 Ἄλλως. ἔστω πυραμὶς ἐπὶ ἰσοπλεύρου τριγώνου, ἧς τὰ κλίματα ἀνὰ ποδῶν ιγ, αἱ δὲ τῆς βάσεως ἀνὰ πο‐ δῶν ιβ· δεῖ δὲ αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεὸν εὑ‐ ρεῖν. ποιῶ οὕτως· τὰ ιβ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρμδ.
5τούτων τὸ γʹ· γίνονται μη. τὰ ἀπὸ τοῦ κλίματος ιγ ἐφ’ ἑαυτὰ ρξθ. ἀπὸ τούτων ὕφειλε τὰ μη· λοιπὰ ρκα· τούτων πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ια. τοσούτου γί‐

1

.

36

.

2

νεται ἡ κάθετος. τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· ἐμέτρησα ἀπὸ τῶν τῆς βάσεως ιβ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ἰσο‐ πλεύρου τριγώνου· ἔστι δὲ τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ξβ γʹ λʹ.
ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται χπϛ λʹ. τούτων τὸ γʹ·38
5γίνονται σκη 𐅵ʹ ϛʹ Ϟʹ. τοσούτου γίνεται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

1

.

37

.

1

 Ἄλλως. πυραμὶς ἔχουσα τὴν βάσιν τρίγωνον ὀρ‐ θογώνιον, οὗ ἡ κάθετος ποδῶν ϛ, ἡ δὲ βάσις ποδῶν η, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ποδῶν ι, αἱ δὲ πλευραὶ τῆς πυρα‐ μίδος ἀνὰ ποδῶν ιγ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον. ποίει
5οὕτως· πρῶτον λαβὲ τὴν διάμετρον τοῦ κύκλου τοῦ περι‐ γράφοντος τὸ τρίγωνον· γίνονται ι· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ε. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται κε. καὶ τὰ ιγ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρξθ· ἐξ ὧν κούφισον τὰ κε· λοιπὰ ρμδ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ιβ. τοσούτων ἔσται ποδῶν

1

.

37

.

2

ἡ κάθετος. ἐὰν δὲ θέλῃς τὸ στερεὸν εὑρεῖν, ποίει οὕτως· πρῶτον ζήτει τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν· γίνον‐ ται κδ· καὶ λαβὲ τῆς καθέτου τὸ γʹ· γίνονται δ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὸ ἐμβαδόν, τουτέστιν ἐπὶ τὰ κδ·
5γίνονται Ϟϛ. τοσούτων ἔσται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

1

.

38

.

1

 Ἔστω πυραμὶς τρίγωνος ἰσόπλευρος τεθραυσμένη εἴτουν κόλουρος, ἧς αἱ πλευραὶ τῆς κορυφῆς ἀνὰ πο‐ δῶν β, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ποδῶν ιγ, αἱ δὲ τῆς βάσεως πλευραὶ ἀνὰ ποδῶν ιδ· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως·
5ἄφελε κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως· λοιπὰ ιβ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρμδ. τούτων τὸ γʹ· γίνονται μη. καὶ τὰ ἀπὸ τοῦ κλίματος [γίνονται πόδες] ιγ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρξθ. ἀπὸ τούτων ἆρον τὰ μη· λοιπὰ ρκα· ὧν τετραγωνικὴ πλευρὰ γίνεται ια. τοσούτου γίνεται

1

.

38

.

2

ἡ κάθετος. τὸ στερεὸν μετρήσωμεν οὕτως· συνέθηκα κορυφὴν καὶ βάσιν· γίνονται κϛ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ιγ. ἐμέτρησα ἀπὸ τούτων τρίγωνον ἰσόπλευρον· γίνεται τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ογ 𐅵ʹ γʹ ιεʹ. ταῦτα ἐξεθέμην. καὶ40
5πάλιν κορυφὴν ἄφελε ἀπὸ τῆς βάσεως· λοιπὰ ιβ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται ϛ. ἐμέτρησα ἀπὸ τούτων ἐλάχιστον τρί‐ γωνον ἰσόπλευρον, οὗ γίνεται τὸ ἐμβαδὸν ξβ γʹ ιεʹ. τούτων τὸ γʹ· γίνονται κ 𐅵ʹ δʹ κʹ. ταῦτα προσάγαγε τοῖς πρότερον ἐκτεθεῖσιν ογ 𐅵ʹ γʹ ιεʹ· γίνονται Ϟδ 𐅵ʹ εʹ
10ὡς ἔγγιστα. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· καὶ τοσούτων γί‐ νεται τὸ στερεὸν ἤγουν ͵αμα 𐅵ʹ εʹ.

1

.

39

.

1

 Πάλιν ἔστω πυραμὶς ἔχουσα τὴν βάσιν τετρά‐ γωνον, ἧς ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ ποδῶν ι, τὰ δὲ κλί‐
5ματα ἀνὰ ποδῶν ιγ 𐅵ʹ· εὑ‐ ρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποίει οὕ‐ τως· λαβὲ τοῦ τετραγώνου πλευρὰν γενομένην ἐφ’
10ἑαυτήν· γίνονται ρ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ν. καὶ τὰ ιγ 𐅵ʹ τῆς πλευρᾶς ἐφ’ ἑαυτά, λέγω δὴ τοῦ κλίματος· γί‐ νονται ρπβ δʹ· ἐξ ὧν ὕφει‐
15λε τὰ ν· λοιπὰ ρλβ δʹ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνε‐ ται ια 𐅵ʹ. τοσούτων ἔσται

1

.

39

.

2

ποδῶν ἡ κάθετος. ἐὰν δὲ θέλῃς καὶ τὸ στερεὸν αὐ‐ τῆς εὑρεῖν, λαβὲ τοῦ τετρα‐ γώνου τὸ ἐμβαδόν· γίνον‐
5ται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὸ γʹ τῆς καθέτου, τουτέστιν ἐπὶ τὰ γ 𐅵ʹ γʹ· γίνονται τπγ γʹ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ
στερεὸν τῆς πυραμίδος.Column end

1

39a

1

 Ἔστω πυραμὶς βάσιν ἔχουσα τετράγωνον, καὶ ἐχέτω ἑκάστην πλευρὰν ἀνὰ ποδῶν ι, ἡ δὲ πυραμὶς
5ἐχέτω τὰς πλευρὰς ἀνακε‐ κλιμένας ἀπὸ ποδῶν ιγ 𐅵ʹ· εὑρεῖν τῆς πυραμίδος τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· πολυπλασιάζω
10τοῦ τετραγώνου τὴν πλευ‐ ρὰν ἐφ’ ἑαυτήν· γίνονται ρ. τούτων τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ν. καὶ τὰ ιγ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται πόδες ρπβ δʹ. αἴρω
15ἀπὸ τούτων τὰ ν· λοιπὸν μένουσι πόδες ρλβ δʹ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνε‐

1

39a

2

ται ποδῶν ια 𐅵ʹ. τὸ δὲ
στερεὸν εὑρίσκεται οὕτως· τοῦ τετραγώνου τὸ ἐμβα‐ δὸν γίνεται ποδῶν ρ. ταῦ‐42
5τα πολυπλασιάζω ἐπὶ τὸ γʹ μέρος τῆς καθέτου· γί‐ νονται πόδες τπγ γʹ. τοσ‐ ούτων ποδῶν ἐστι τὸ στε‐ ρεὸν τῆς πυραμίδος, ποδῶν
10τπγ γʹ.Column end

1

.

40

.

1

Κογχίων μετρήσεις διάφοροι. Κόγχη, ἧς ἡ βάσις μὲν ποδῶν η, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ, καὶ ἡ ἔσω ἕλκουσα ποδῶν δ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν ἐπιφάνειαν. μέτρει κύκλον, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν
5η· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ η τῆς διαμέτρου ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ξδ. ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται ψδ· ὧν τὸ ιδʹ· γίνονται ν δʹ κηʹ. τοσ‐ ούτου γίνεται τῆς κόγχης ἡ ἐπιφάνεια. κύκλος δὲ με‐ τρεῖται, ὅταν ἡ κάθετος καὶ ἡ ἔσω ἕλκουσα ἴσαι ἀλ‐
10λήλαις ὦσιν, καὶ αἱ δύο ποιῶσι [τὴν] διάμετρον μίαν ἴσην ἑαυταῖς.

1

.

41

.

1

 Ἄλλως. κόγχη μετρηθήσεται τὸν τρόπον τοῦτον· ἔστω τῆς κόγχης ἡ μὲν βάσις ποδῶν ιβ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ, ἡ δὲ ἔσω ἕλκουσα ποδῶν γ. ποίει οὕτως· λαβὲ τῶν ιβ τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ϛ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνον‐
5ται λϛ. καὶ τὰ δ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ιϛ. ταῦτα προσ‐ άγαγε τοῖς λϛ· γίνονται νβ. καὶ προσάγαγε αὐτοῖς τὸ ἴδιον 𐅵ʹ· γίνονται οη. καὶ τὰ γ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται θ. προσά‐ γαγε τοῖς οη· γίνονται πζ. ταῦτα ποίησον ἐπὶ τὴν ἔσω ὑποτείνουσαν, τουτέστιν ἐπὶ τὰ γ· γίνονται σξα· ὧν
10τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ρλ 𐅵ʹ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ͵αυλε·
ὧν τὸ καʹ· γίνονται ξη γʹ. τοσούτων γίνεται τὸ στε‐44

1

.

41

.

2

ρεὸν σὺν τῷ κενώματι. ἀφ’ ὧν χρὴ ἆραι τὸ κένωμα ὁμοίως μετρήσαντας. ἐχέτω γὰρ ἡ κόγχη τὸ πλάτος τῆς βάσεως τοῦ οἰκοδομήματος ποδῶν β· λοιπὸν ἡ βάσις τοῦ ἐσωφώτου εἴτουν τοῦ κενώματος ποδῶν ι, ἡ δὲ πρὸς

1

.

41

.

3

ὀρθὰς ποδῶν γ, ἡ δὲ ἔσω τείνουσα ποδῶν β. γίνεται οὖν τοῦ κενώματος ὁμοίως μετρουμένου κατὰ τὰ προ‐ λεχθέντα τῶν ι τῆς διαμέτρου τὸ 𐅵ʹ ε. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται κε. καὶ τὰ γ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται θ·
5ὁμοῦ γίνονται λδ· οἷς προσάγαγε τὸ ἴδιον ἥμισυ· γί‐ νονται να. καὶ τὰ β ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται δ. προσάγαγε τοῖς να· γίνονται νε. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται χε· ὧν τὸ καʹ· γίνονται κη καὶ ιζ καʹ καʹ. τοσούτου τὸ στερεὸν τοῦ κενώματος. ταῦτα ἄφελε ἀπὸ τῶν ξη γʹ·
10λοιπὰ λθ γʹ ζʹ καʹ. τοσούτου καταλείπεται τὸ στερεὸν τῆς οἰκοδομῆς, τῆς κόγχης δηλονότι.

1

.

41

.

4

 Τμήματος σφαίρας, τουτέστιν ἰσαρίθμου, πάντα ποίησον δι’ ἀλλήλων, καὶ τῶν γενομένων καθόλου τὸ 𐅵ʹ καὶ τὸ μβʹ, ἐπειδήπερ πάσης σφαίρας τοῦ κυβισθέν‐ τος τῆς διαμέτρου μέρος 𐅵ʹ καὶ μβʹ ἴσον ἐστὶ τῇ
5σφαίρᾳ.

1

.

42

.

1

 Θέατρον, οὗ ἡ μὲν μεί‐ ζων περιφέρεια ποδῶν υκ, ἡ δὲ ἐλάττων ποδῶν ρπ, αἱ δὲ βαθμίδες εἰσὶ τῷ
5ἀριθμῷ σπ· εὑρεῖν, πόσους ἄνδρας χωρεῖ. ποίει οὕτως· σύνθες τὴν μείζονα καὶ τὴν ἐλάττονα, τουτέστι τὰ υκ καὶ τὰ ρπ· γίνονται χ· ὧν
10τὸ 𐅵ʹ· γίνονται τ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰς βα‐ θμίδας· γίνονται η̈ ͵δ. τοσ‐ ούτους ἄνδρας χωρεῖ· ἕκα‐ στος γὰρ ποὺς ἕνα ἄνδρα
15χωρεῖ.Column end

1

42a

1

 Μαθεῖν θέατρον, πόσους χωρεῖ ἄνδρας, οὕτως· με‐ τρηθὲν τὸ ἀνώτερον βά‐ θρον ἔσχεν πόδας υκ, καὶ
5τὸ κατώτερον ἔσχεν πόδας ρπ· ὁμοῦ γίνονται χ πόδες· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται τ. τὰ δὲ βάθρα ἐστὶν ἀριθμῷ ν. ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ46
10τὰ τ· γίνονται πόδες α͵ε. τοσούτους ἄνδρας χωρήσει· ἑκάστου γὰρ ἀνδρὸς ὁ τό‐ πος ποδὸς α ἐστι τοῦ πλά‐
τους.Column end

1

.

43

.

1

 Ἄλλο θέατρον, οὗ εἰσιν αἱ βαθμίδες, εἰ τύχοι, σν, λαμβάνει δὲ ὁ πρῶτος βαθμὸς ὁ κάτω ἄνδρας μ, ὁ δὲ ἄνω ρκ· εὑρεῖν, πόσους ἄνδρας χωρεῖ. ποίει οὕτως· σύνθες τὸν ἀριθμὸν τῶν ἀνδρῶν τοῦ κάτω βαθμοῦ
5καὶ τοῦ ἄνω· γίνονται ρξ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται π. ταῦτα ἐπὶ τοὺς σν βαθμούς· γίνονται β̈. τοσούτους ἄνδρας χωρεῖ τὸ θέατρον.

1

.

43

.

2

 Ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ πρώτου βαθμοῦ ἕως τοῦ ὑστέρου εἰς τὸ ὕστερον λαμβάνει πλείους ἄνδρας ε, θέλεις
5δὲ γνῶναι, ὁ ὕστερος βα‐ θμός, τουτέστιν ὁ ἀνώτερος, πόσους ἄνδρας χωρεῖ λαμ‐ βάνοντος τοῦ πρώτου βα‐ θμοῦ, τουτέστι τοῦ κατω‐
10τέρου, ἄνδρας μ, ἔχοντος τοῦ θεάτρου βαθμοὺς σν, ποίει οὕτως· ὕφειλε ἀπὸ τῶν βαθμῶν α· λοιπὰ σμθ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ε· γίνονται
15͵ασμε. καὶ πρόσθες τοὺς μ τοὺς τοῦ πρώτου βαθμοῦ· γίνονται ͵ασπε. τοσούτους ἄνδρας χωρεῖ ὁ ὕστερος βαθμὸς ὁ ἄνωθεν.

1

.

43

2a

 Ἐὰν δὲ εἴπῃ τις, ὅτι ἕκαστος βαθμὸς ἐκ τοῦ ὑστέρου βαθμοῦ λαμβάνει πλέον τοῦ ἑτέρου ἄνδρας
5ἀριθμὸν ε, ἔχει δὲ βαθμοὺς ἀριθμῷ ν, μ δὲ λαμβάνει ὁ ὕστερος βαθμός· ὁ πρῶ‐ τος βαθμὸς πόσους χωρεῖ; ποιῶ οὕτως· αἴρω ἀπὸ τῶν
10ν μονάδα α· λοιπὸν μέ‐ νουσι μθ. ἐπὶ τὰ ε· γί‐
νονται ἄρα σμε. πρόσθες τούτοις τὰ μ τοῦ ὑστέρου βαθμοῦ· γίνονται σπε. τοσ‐48
15ούτους χωρήσει ἄνδρας ὁ αʹ βαθμός.

1

.

44

.

1

 Ἀμφιθέατρον, οὗ τὸ μὲν μῆκος ποδῶν σμ, τὸ δὲ πλά‐ τος ποδῶν ξ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν περίμετρον. ποίει οὕ‐
5τως· τὰ σμ τοῦ μήκους ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ε̈ ͵ζχ· καὶ τὰ ξ τοῦ πλάτους ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ͵γχ· καὶ τὸ πλά‐ τος ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται
10α̈ ͵δυ. καὶ σύνθες τοὺς τρεῖς ἀριθμούς· γίνονται ζ̈ ͵εχ. τούτων ἀεὶ λάμβανε πλευ‐ ρὰν τετραγωνικήν· γίνον‐ ται σοε. ταῦτα δὲ δίς· γί‐
15νονται φν. τοσούτου ἔσται
[ποδῶν] ἡ περίμετρος.Column end

1

44a

1

—Ἔστω ἀμφιθέατρον καὶ ἐχέτω τὸ μὲν μῆκος ποδῶν σμ, τὸ δὲ πλάτος ξ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ
5οὕτως· πολυπλασιάζω τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος· γί‐ νονται πόδες α͵δυ. ταῦτα ἀεὶ πολυπλασιάζω ια· γί‐ νονται πόδες ιε͵ηυ. τού‐
10των μερίζω τὸ ιδʹ· γίνον‐ ται πόδες α͵ατιδ δʹ κηʹ. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ ἐμβαδόν. τὴν δὲ περίμε‐ τρον εὑρήσομεν οὕτως· πο‐
15λυπλασιάζω τὸ μῆκος τὰ σμ ἐκ διπλοῦ· γίνονται πόδες υπ. προστιθῶ νῦν τὸ πλάτος τοὺς ξ πόδας καὶ τὸ ἕκτον μέρος τοῦ
20πλάτους· γίνονται ι· ὁμοῦ γίνονται πόδες ο. ταῦτα προστιθῶ τοῖς υπ ποσὶ τοῦ διπλοῦ μήκους· γίνονται
πόδες φν. τοσούτων πο‐50
25δῶν ἐστιν ἡ περίμετρος
τοῦ ἀμφιθεάτρου.Column end

1

.

45

.

1

 Τρίκλινος, οὗ τὸ μὲν πλάτος ποδῶν κϛ 𐅵ʹ, τὸ δὲ μῆκος ποδῶν λα, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν λη, διὰ τοίχου β δʹ. τὸ ἐν τοίχῳ ἐπὶ τὰ λα· γίνονται ξθ 𐅵ʹ δʹ. ταῦτα ἐπὶ τὰ λη τοῦ ὕψους· γίνονται ͵βχν 𐅵ʹ. ταῦτα τετράκις, ἐπειδὴ
5τέσσαρές εἰσι τοῖχοι· γίνονται α̈ χβ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τοῦ τρικλίνου τὰ ἐν τοίχῳ.

1

.

46

.

1

 Τρίκλινος ἤτοι ὡρεῖον, οὗ τὸ μὲν μῆκος πηχῶν κ, τὸ δὲ πλάτος πηχῶν ιε, τὸ δὲ ὕψος πηχῶν ϛ· εὑρεῖν, πόσους μοδίους χωρεῖ. ποίει οὕτως· τὰ κ τοῦ μήκους ἐπὶ τὰ ιε τοῦ πλάτους· γίνονται τ· καὶ ταῦτα ἐπὶ τὰ
5ϛ τοῦ ὕψους· γίνονται ͵αω. ταῦτα ἀεὶ πολυπλασίαζε ἐπὶ τὰ ια κβʹ· γίνονται μόδιοι α̈ ͵θωπα 𐅵ʹ δʹ κβʹ μδʹ. τοσούτους μοδίους λαμβάνει ὁ τρίκλινος.

1

.

47

.

1

 Κολυμβήθρας καὶ φρέατος καὶ γουβικῶν ἀνοιγμά‐ των καὶ τοίχων καὶ λίθων καὶ πηλῶν καὶ δοκῶν καὶ οἱωνδηποτοῦν σχημάτων ἐὰν μάθῃς τὸ μῆκος καὶ τὸ πλάτος καὶ τὸ βάθος ἢ τὸ ὕψος, θέλῃς δὲ γνῶναι,
5πόσα κεράμια χωρεῖ, ἢ πόσοι πόδες στερεοὶ γίνονται, ποίει οὕτως· πολυπλασίαζε τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος καὶ τὰ γινόμενα ἐπὶ τὸ βάθος ἢ τὸ ὕψος· καὶ τοσαῦτα κεράμια ἔσονται ἢ πόδες στερεοί.

1

.

48

.

1

 Κολυμβήθρα, ἧς τὸ μῆκος ποδῶν κε, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ιβ, τὸ δὲ ὕψος ἢ τὸ βάθος ποδῶν ε· εὑρεῖν,
πόσα κεράμια χωρεῖ, ἢ πόσοι πόδες στερεοὶ γίνονται. ποίει οὕτως· πολυπλασίαζε τὰ ιβ ἐπὶ τὰ κε· γίνονται52
5τ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ε τοῦ βάθους ἢ τοῦ ὕψους· γίνονται ͵αφ. τοσαῦτα κεράμια χωρεῖ ἡ κολυμβήθρα.

1

.

49

.

1

 Κολυμβήθρα, ἧς τὸ μὲν μῆκος ποδῶν ι, τὸ δὲ ὕψος ἢ τὸ βάθος ποδῶν δ καὶ τὸ πλάτος ποδῶν ε· εὑρεῖν, πόσους πόδας μαρμάρων συνάγει. ποίει οὕτως· σύνθες τὰ ι τοῦ μήκους καὶ τὰ ε τοῦ πλάτους· γίνον‐
5ται ιε. ταῦτα δίς· γίνονται λ. ταῦτα ἐπὶ τὸ βάθος ἤτοι τὸ ὕψος· γίνονται ρκ. τοσούτους πόδας μαρμάρων

1

.

49

.

2

συνάγει ἡ κολυμβήθρα. ἐὰν θέλῃς καὶ τὸ ἔδαφος τῆς κολυμβήθρας εὑρεῖν, ποίει οὕτως· πολυπλασίαζε τὸ πλάτος ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται ν. τοσούτους πόδας μαρμάρων συνάγει τὸ ἔδαφος. τούτους πρόσθες τοῖς
5ρκ· γίνονται ὁμοῦ ρο. τοσοῦτοι πόδες μαρμάρων εἰσὶ τῆς κολυμβήθρας.

1

.

50

.

1

 Φρέαρ, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ε καὶ περιοικοδόμημα τῶν τοίχων ἐχόντων πλάτος ποδῶν β, τὸ δὲ βάθος αὐτοῦ ποδῶν κ· εὑρεῖν, πόσων ποδῶν ἐστιν ὁ τοῖχος. τοῦ τοίχου τὸ πλάτος δίς· γίνονται δ. ταῦτα προστίθει
5τοῖς ε τῆς διαμέτρου· γίνονται θ, ὡς εἶναι τὴν διά‐ μετρον τοῦ τε φρέατος καὶ τῶν τοίχων ὁμοῦ ποδῶν θ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται πα· ἐξ ὧν ἄφελε τὴν διά‐ μετρον τοῦ φρέατος γενομένην ἐφ’ ἑαυτήν· γίνονται κε· λοιπὰ νϛ. ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται χιϛ.
10τούτων ἀεὶ τὸ ιδʹ· γίνονται μδ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ κ τοῦ βάθους· γίνονται ωπ. τοσούτων ἔσται ποδῶν ὁ τοῖχος τοῦ ὅλου φρέατος.

1

.

51

.

1

 Κοῦπα, ἧς ἡ κάτω διάμετρος ποδῶν ε, ἡ δὲ ἄνω ποδῶν γ, τὸ δὲ ὕψος αὐτῆς ποδῶν η· ἔχει δὲ οἶνον, εἰ τύχοι, ποδῶν ϛ· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρεῖ. ποίει
οὕτως· ὕφειλε τὰ τρία τῆς ἄνω διαμέτρου ἀπὸ τῶν ε54
5τῆς κάτω· λοιπὰ β. ταῦτα ἐπὶ τὰ ϛ· γίνονται ιβ. τού‐ των τὸ ηʹ· γίνεται α 𐅵ʹ. ὕφειλε τὴν α 𐅵ʹ ἀπὸ τῶν ε· λοιπὰ γ 𐅵ʹ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ πλάτος, ἕως

1

.

51

.

2

ὅπῃ ὁ οἶνος ἐτύγχανε. σύνθες τοίνυν τὰ γ 𐅵ʹ καὶ τὰ ε· γίνονται η 𐅵ʹ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται δ δʹ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ιη ιϛʹ. ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνον‐ ται ρϞη 𐅵ʹ ηʹ ιϛʹ. τούτων τὸ ιδʹ· γίνονται ιδ ζʹ κηʹ
5ριβʹ σκδʹ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ϛ τοῦ ὕψους· γίνονται πε ζʹ. τοσαῦτα κεράμια χωρεῖ ἡ κοῦπα.

1

.

52

.

1

 Βούτης, ἧς ἡ ἄνω διάμετρος ποδῶν ϛ, ἡ δὲ κάτω ποδῶν η, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν ι· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρεῖ. ποίει οὕτως· σύνθες τὴν ἄνω διάμετρον καὶ τὴν κάτω· γίνονται ιδ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ζ. ταῦτα
5ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται μθ. ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γί‐ νονται φλθ. τούτων τὸ ιδʹ· γίνονται λη 𐅵ʹ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ι τοῦ ὕψους· γίνονται τπε. τοσαῦτα κεράμια χωρεῖ ἡ βούτης.

1

.

53

.

1

 Πλοῖον, οὗ τὸ μὲν μῆκος ποδῶν κδ, ἡ δὲ βάσις πηχῶν ϛ, ἡ δὲ κάτω βάσις πηχῶν δ· εὑρεῖν, πόσα κε‐ ράμια χωρεῖ. ποίει οὕτως· τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν βάσιν· γίνονται κδ. ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὰ κδ τοῦ μήκους· γί‐
5νονται φοϛ. τούτων ἀεὶ τὸ γʹ· γίνονται ρϞβ. ταῦτα σύνθες μετὰ τῶν φοϛ· γίνονται ψξη· ἅπερ εἰσὶ κερά‐ μια. χωρεῖ δὲ τὸ κεράμιον μοδίους ι· γίνονται μόδιοι ͵ζχπ. τοσούτους μοδίους χωρεῖ τὸ πλοῖον.

1

.

54

.

1

Εἰ δὲ στερεομετρίαν οἰκοδομῆς ἡμικυκλίου ἤγουν
ἀψίδος θέλῃς μετρῆσαι, ἧς ἡ διάμετρος ποδῶν ϛ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν γ καὶ τὸ πάχος τοῦ τοίχου ποδὸς α, πρόσθες τοῖς ϛ ποσὶ τῆς διαμέτρου τὸν α πόδα τοῦ56
5ἑνὸς μέρους τοῦ πάχους τοῦ τοίχου· γίνονται πόδες ζ· ὧν ἡ περίμετρος ἕτερον αὐτῶν 𐅵ʹ δʹ μέρος· γίνονται πόδες ια. τούτους ἐπὶ τὸ ὕψος τῆς οἰκοδομῆς.

1

.

55

.

1

 Εἰ θέλεις σκηνῶσαι τὸν ἀέρα τῆς σφαίρας, μέτρη‐ σον κατὰ τὴν προγεγραμμένην μέθοδον τῆς σφαίρας χωρὶς τοῦ πάχους τῶν τοίχων. οἷον ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ ἐμφώτου τῆς σφαίρας ποδῶν η, τὸ δὲ πάχος τῶν
5β τοίχων ποδῶν β. πολυπλασιάζεις τοὺς η πόδας τοῦ ἐμφώτου ἐφ’ ἑαυτούς· γίνονται πόδες ξδ. τούτους πάλιν πολυπλασιάζεις ἐπὶ τοὺς αὐτοὺς η πόδας τῆς διαμέτρου· γίνονται πόδες φιβ. τούτους πολυπλασιάζεις ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες ͵εχλβ. τούτους μέρισον παρὰ
10τὸν κα· γίνονται πόδες σξη ζʹ καʹ. τοσοῦτον ἔστω τὸ σκήνωμα τοῦ ἀέρος τῆς σφαίρας.

1

.

56

.

1

 Ἡμισφαίριον μετρήσομεν κατὰ τὴν μέθοδον τῆς σφαίρας τὰ συναγόμενα παρὰ τὸν μβ μερίζοντες. οἷον ἔστω ἡ διάμετρος ποδῶν ζ, ἡ δὲ περίμετρος ποδῶν κβ· εὑρεῖν τούτου τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τοὺς ζ πόδας
5τῆς διαμέτρου ἐφ’ ἑαυτούς· γίνονται μθ. τούτους πά‐ λιν ἐπὶ τοὺς αὐτοὺς ζ τῆς διαμέτρου· γίνονται τμγ ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τὸν ια καὶ μερίζω παρὰ τὸν μβ· γίνονται πθ 𐅵ʹ γʹ. τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ ἡμισφαιρίου.

1

.

57

.

1

Σκήνωσιν μετρῆσαι ἀέρος ἡμισφαιρίου. μέτρησον
κατὰ τὴν προγεγραμμένην μέθοδον τῆς μετρήσεως τοῦ στερεοῦ τοῦ ἡμισφαιρίου χωρὶς τοῦ πάχους τῶν τοί‐ χων. οἷον ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ ἐμφώτου τοῦ ἡμισφαι‐58
5ρίου ποδῶν ι, τὸ δὲ πάχος τῶν β τοίχων ποδῶν δ. τοὺς ι πόδας τῆς διαμέτρου τοῦ ἐμφώτου καὶ μόνους πολυπλασιάζεις ἐφ’ ἑαυτούς· γίνονται ρ. τὰ ρ ἐπὶ τοὺς αὐτοὺς ι· γίνονται ͵α. ταῦτα πολυπλασιάζεις ἑν‐ δεκάκις· γίνονται α͵α. τούτων τὸ μβʹ· γίνονται πό‐
10δες σξα 𐅵ʹ γʹ ιδʹ. τοσούτων ἔστω ποδῶν τὸ σκήνωμα τοῦ ἀέρος τοῦ ἡμισφαιρίου.

1

.

58

.

1

 Ἐπιφάνειαν ἤγουν ἐμβαδὸν ἢ χώρησιν τοῦ αὐτοῦ ἡμισφαιρίου τοῦ ἔχοντος διάμετρον ποδῶν ι, περί‐ μετρον ποδῶν λα δʹ ζʹ κηʹ, μετρήσομεν πάντοτε οὕτως· τὴν διάμετρον τῶν ι ἐπὶ τοὺς λα δʹ ζʹ κηʹ τῆς περι‐
5μέτρου· γίνονται τιδ δʹ κηʹ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται πόδες ρνζ ηʹ νϛʹ. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμισφαιρίου.

1

.

59

.

1

 Κόγχην ἤγουν τεταρτημόριον μετρήσομεν κατὰ τὴν μέθοδον τοῦ ἡμισφαιρίου τὰ συναγόμενα μερίζοντες παρὰ τὸν πδ. οἷον ἔστω ἡ διάμετρος τῆς κόγχης σὺν τοῖς β πάχεσι τῶν τοίχων ποδῶν ιδ. τούτους ἐφ’ ἑαυ‐
5τούς· γίνονται ρϞϛ. ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὰ ιδ τῆς αὐτῆς διαμέτρου· γίνονται ͵βψμδ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται γρπδ. τούτων τὸ πδʹ· γίνονται πόδες τνθ γʹ. τοσού‐ των ἔστω τὸ στερεὸν τῆς κόγχης ὁλόμαζον.

1

.

60

.

1

 Σκήνωσιν μετρῆσαι ἀέρος τῆς αὐτῆς κόγχης ἤγουν τεταρτημορίου καὶ εὑρεῖν τὴν στερεομετρίαν τῆς οἰκο‐ δομῆς. μέτρησον κατὰ τὴν αὐτὴν μέθοδον τοῦ ὁλομάζου
τῆς κόγχης χωρὶς τοῦ πάχους τῶν τοίχων. οἷον τοὺς60
5ι πόδας τῆς διαμέτρου τοῦ ἐμφώτου ἐφ’ ἑαυτούς· γί‐ νονται ρ. τὰ ρ πάλιν ἐπὶ τοὺς ι· γίνονται ͵α. τὰ ͵α ἑνδεκάκις· γίνονται α͵α. τούτων τὸ πδʹ· γίνονται πό‐ δες ρλ 𐅵ʹ γʹ ιβʹ κηʹ. τοσούτων ποδῶν ἔστω ὁ ἀὴρ τῆς κόγχης· οὓς ἄφελε ἀπὸ τῶν προγεγραμμένων τνθ γʹ πο‐
10δῶν τοῦ ὁλομάζου· καὶ οἱ λοιποὶ πόδες σκη δʹ ηʹ τῆς οἰκοδομῆς.

1

.

61

.

1

 Χώρησιν μετρῆσαι ἤγουν ἐμβαδὸν τῆς αὐτῆς κόγχης. τοὺς ι πόδας τῆς διαμέτρου ἐφ’ ἑαυτούς· γίνονται ρ. τούτους ἑνδεκάκις· γίνονται ͵αρ. τούτους παρὰ τὸν ιδ· γίνονται πόδες οη 𐅵ʹ ιδʹ. τοσούτων ἔστω ποδῶν
5ἡ χώρησις ἤγουν τὸ ἐμβαδὸν τῆς κόγχης.

1

.

62

.

1

 Εἰ θέλεις εὑρεῖν καὶ διὰ τῆς περιμέτρου τὴν ἐπι‐ φάνειαν τῆς κόγχης, ποιήσεις οὕτως· ἔστω ἡ διάμετρος ποδῶν ζ, ἡ δὲ περίμετρος ποδῶν ια. τὴν διάμετρον τῶν ζ ἐπὶ τὴν περίμετρον τῶν ια· γίνονται οζ. τού‐
5των τὸ 𐅵ʹ· γίνονται πόδες λη 𐅵ʹ. τοσούτων ἔστω πο‐ δῶν ἡ ἐπιφάνεια τῆς κόγχης.

1

.

63

.

1

 Πυραμίδα μετρήσομεν, ἧς τὸ μῆκος ποδῶν κ καὶ τὸ πλάτος ποδῶν κ καὶ τὸ ὕψος ποδῶν ιϛ· εὑρεῖν αὐτῆς τὰς ὑποτεινούσας πλευρὰς ἑκάστου τοίχου ἔχον‐ τος πάχος ποδῶν β. ποιῶ οὕτως· ἐπειδὴ ἡ πλευρὰ ἔχει
5ἔξωθεν πόδας κ, τὸ δὲ ἀπὸ τοῦ ἔξωθεν ἐμφώτου ἕως τοῦ μεσοκέντρου, ὡς προεῖπον, τὸ ὕψος ποδῶν ιϛ, ποίησον οὕτως· τὰ ιϛ τοῦ ὕψους ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται σνϛ· καὶ τὰ ι, τουτέστι τὸ 𐅵ʹ τῆς πλευρᾶς, ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρ· ὁμοῦ γίνονται πόδες τνϛ· ὧν πλευρὰ τε‐
10τραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ιη 𐅵ʹ δʹ ηʹ. τοσούτων ποδῶν ἔσται ἡ ὑποτείνουσα πλευρὰ τοῦ ἑνὸς σκέλους ἕως τοῦ62

1

.

63

.

2

μεσοκέντρου. εἰ δὲ θέλεις τὸ στερεὸν τῶν τοίχων εὑ‐ ρεῖν, ποίει οὕτως· τὴν ὑποτείνουσαν ἐπὶ τὰ ι· γίνον‐ ται πόδες ρπη 𐅵ʹ δʹ. τούτων τὸ 𐅵ʹ· γίνονται Ϟδ δʹ ηʹ. ταῦτα ἐπὶ τὸ πάχος, ἐπὶ τοὺς β πόδας· γίνονται ρπη
5𐅵ʹ δʹ. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ τοίχου τῆς α πλευρᾶς. ἀλλὰ ἐπειδὴ δ πλευρὰς ἔχει ἡ πυραμίς, γίνονται τῶν δ πλευρῶν πόδες ψνε. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τῶν τοίχων τῆς πυραμίδος.

1

.

64

.

1

 Εἰ δὲ θέλεις εὑρεῖν τῆς στέγης τὸν μόλιβδον ἢ τὸν χαλκὸν ἢ τὸν κέραμον τῆς αὐτῆς πυραμίδος, ποιεῖς οὕτως· τὴν ὑποτείνουσαν, τουτέστι τὰ ιη 𐅵ʹ δʹ ηʹ, ἐπὶ τοὺς ι πόδας· γίνονται πόδες ρπη 𐅵ʹ δʹ. τούτων ὑφαιρῶ
5τὸ 𐅵ʹ· λοιπὸν μένουσι πόδες Ϟδ δʹ ηʹ. τοσούτων ποδῶν ἐστιν ἡ ἐπιφάνεια τῆς στέγης τῆς α πλευρᾶς. ἀλλ’ ἐπειδὴ δ πλευρὰς ἔχει ἡ πυραμίς, ὁμοῦ γίνονται τῶν δ πλευ‐ ρῶν πόδες τοζ 𐅵ʹ. τοσούτων ἔσται ἡ ἐπιφάνεια τῆς στέ‐ γης τοῦ μολίβδου ἢ τοῦ χαλκοῦ ἢ τοῦ κεράμου τῆς πυρα‐
10μίδος, ποδῶν τοζ 𐅵ʹ, ἐπειδὴ ἀπὸ γ ἐστέγασται ἡ πυραμίς.

1

.

65

.

1

 Σφαίρας ἡ διάμετρος ποδῶν ιγ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ιγ κύβισον· γίνονται ͵βρϞζ. ταῦ‐ τα ἑνδεκάκις· β͵δρξζ γίνονται. τούτων τὸ καʹ· γίνον‐ ται ͵αρν 𐅵ʹ δʹ καʹ πδʹ. τοσούτων ποδῶν τὸ στερεόν.
5εὑρεῖν δὲ αὐτῆς καὶ τὴν ἐπιφάνειαν. ποίει οὕτως· ιγ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρξθ. ταῦτα καθόλου τετράκις· γίνονται χοϛ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ͵ζυλϛ. τούτων τὸ ιδʹ·
γίνονται φλα ζʹ. τοσούτων ποδῶν ἔσται ἡ ἐπιφάνεια.64

1

.

66

.

1

 Ἡμισφαίριον μετρῆσαι, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ιγ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ ιγ κύβισον· γίνονται ͵βρϞζ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται β͵δρξζ. τοῦ αὐτοῦ μβʹ γίνονται φοε δʹ ηʹ. τοσούτων ποδῶν ἔσται
5τὸ στερεόν. εὑρεῖν αὐτοῦ καὶ τὴν ἐπιφάνειαν. τὰ ιγ ἐφ’ ἑαυτά .....

1

.

67

.

1

 ..... λϛ. ταῦτα τρισσάκις· γίνονται ρη· καὶ τὴν κάθετον ἐφ’ ἑαυτήν· γίνονται πα. σύνθες ὁμοῦ· γί‐ νονται ρπθ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ θ· γίνον‐ ται ͵αψα. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται α͵ηψια. τούτων

1

.

67

.

2

τὸ καʹ· γίνονται ωϞα. τοσούτων ἔσται τὸ στερεόν. εὑ‐ ρεῖν αὐτοῦ καὶ τὴν ἐπιφάνειαν. τῆς βάσεως τὸ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτό· γίνονται λϛ· καὶ τὴν κάθετον ἐφ’ ἑαυτήν· γί‐ νονται πα· ὁμοῦ γίνονται ριζ. ταῦτα τετράκις· γίνον‐
5ται υξη. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ͵ερμη. τούτων τὸ ιδʹ· γίνονται τξζ 𐅵ʹ. τοσούτου ἡ ἐπιφάνεια τοῦ μεί‐ ζονος τμήματος τοῦ ἡμισφαιρίου.

1

.

68

.

1

 Σφαίρας ἡ διάμετρος ποδῶν ιγ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· κύβισον τὴν διάμετρον· γίνον‐ ται ͵βρϞζ. ταῦτα ἑνδεκάκις β͵δρξζ. τούτων τὸ καʹ· γίνονται ͵αρν β̸ καʹ. τοσούτων ἔσται τὸ στερεόν.

1

.

69

.

1

 Ἡμισφαιρίου ἡ διάμετρος ποδῶν ιγ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· κύβισον τὴν διάμετρον· γί‐ νονται ͵βρϞζ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται β͵δρξζ. τού‐ των τὸ μβʹ· γίνονται φοε δʹ ιδʹ.

1

.

70

.

1

 Τμῆμα μεῖζον ἡμισφαιρίου, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ιβ καὶ ἡ κάθετος ποδῶν θ· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τῆς διαμέτρου τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ϛ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται λϛ. ταῦτα καθόλου ἐπὶ γ· γίνονται66
5ρη· καὶ τὴν κάθετον ἐφ’ ἑαυτήν· γίνονται πα. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται ρπθ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται ͵αψα. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται α͵ηψια. τούτων τὸ καʹ· γίνονται ωϞα. τοσούτων ἔσται.

1

.

71

.

1

 Τμῆμα ἧττον ἡμισφαιρίου, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ιβ καὶ ἡ κάθετος ποδῶν δ· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τῆς διαμέτρου τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ϛ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται λϛ. ταῦτα καθόλου ἐπὶ τὰ γ· γίνον‐
5ται ρη· καὶ τὴν κάθετον ἐφ’ ἑαυτήν· γίνονται ιϛ. σύν‐ θες ὁμοῦ· γίνονται ρκδ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ δ· γίνονται υϞϛ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ͵ευνϛ. τούτων τὸ καʹ· γίνονται σνθ β̸ ζʹ.

1

.

72

.

1

 Σφαίρας ἡ διάμετρος ποδῶν ιγ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν ἐπιφάνειαν. ποιῶ οὕτως· τὰ ιγ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρξθ. ταῦτα ἐπὶ τὰ δ· γίνονται χοϛ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ͵ζυλϛ. τούτων τὸ ιδʹ· γίνονται φλα ζʹ. τοσ‐
5ούτου ἔσται.

1

.

73

.

1

 Ἡμισφαιρίου ἡ διάμετρος ποδῶν ιγ· εὑρεῖν τὴν ἐπιφάνειαν. ποιῶ οὕτως· τὰ ιγ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρξθ. ταῦτα τετράκις· γίνονται χοϛ. ταῦτα ποίει ἑν‐ δεκάκις· γίνονται ͵ζυλϛ. τούτων τὸ κηʹ· γίνονται
5σξε 𐅵ʹ ιδʹ.68

1

.

74

.

1

 Τμῆμα μεῖζον [ἡ ὑποτείνουσα] ἡμισφαιρίου, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ιβ καὶ ἡ κάθετος ποδῶν θ· εὑρεῖν τὴν ἐπιφάνειαν. ποιῶ οὕτως· τὸ 𐅵ʹ τῆς διαμέτρου ἐφ’ ἑαυτό· γίνονται λϛ· καὶ τὴν κάθετον ἐφ’ ἑαυτήν· γί‐
5νονται πα. σύνθες· ὁμοῦ ριζ. ταῦτα ἐπὶ τὰ δ· γίνον‐ ται υξη. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ͵ερμη. τούτων τὸ ιδʹ· γίνονται τξζ 𐅵ʹ ζʹ ιδʹ.

1

.

75

.

1

 Τμῆμα ἧττον ἡμισφαιρίου, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ιβ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ· εὑρεῖν τὴν ἐπιφάνειαν. ποιῶ οὕτως· τὸ 𐅵ʹ τῆς διαμέτρου ἐφ’ ἑαυτό· γίνονται λϛ· καὶ τὴν κάθετον ἐφ’ ἑαυτήν· γίνονται ιϛ. σύνθες
5ὁμοῦ· γίνονται νβ. ταῦτα καθολικῶς ἐπὶ τὰ δ· γίνον‐ ται πόδες ση. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες ͵βσπη. τούτων τὸ ιδʹ· γίνονται ρξγ γʹ ιδʹ μβʹ.

1

.

76

.

1

 Φοῦρνον μετρῆσαι, οὗ τὸ ἔμφωτον ποδῶν ι καὶ τὸ πάχος τῆς οἰκοδομῆς πο‐ δῶν β· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ
5στερεόν. ποίει οὕτως· σύν‐ θες τὰ β πάχη· .... γί‐ νονται ιδ. ταῦτα κύβισον· γίνονται ͵βψμδ. ἐκ τού‐ των ἆρον τὸ ἔμφωτον κυ‐
10βίσας· γίνονται ͵α· λοιπὸν ͵αψμδ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται α͵θρπδ. τούτων τὸ μβʹ· γίνονται υνϛ 𐅵ʹ
ζʹ ιδʹ.Column end

1

76a

1

Μέτρησις φούρνου. φοῦρ‐ νον μετρήσωμεν οὕτως, οὗ τὸ ἔμφωτον μοδίων ι· ταῦ‐ τα τὰ ι κυβίσεται· ταῦτα
5ἑνδεκάκις· τούτων τὸ μβʹ. τὸ δὲ βησαλικόν· σύνθες τὴν διάμετρον καὶ τὰ πάχη·
ταῦτα κύβισον.70

1

.

77

.

1

 Ἀστερίσκον μονοείλητον μετρῆσαι, οὗ τὸ ἔμφωτόν ἐστι ποδῶν δ, τὸ δὲ πάχος ἀνὰ ποδὸς α, τὸ δὲ πλάτος πο‐ δῶν γ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· σύνθες ἑκατέρωθεν τὸν ἕνα πόδα· ὁμοῦ γίνονται ϛ. ταῦτα ἐφ’
5ἑαυτά· γίνονται λϛ. ἆρον τὸ ἔμφωτον ἐφ’ ἑαυτό· γί‐ νονται ιϛ· λοιπὸν κ. ταῦτα ἐπὶ τὸ ἕν, ἐπὶ τὸ ὕψος· γίνονται κ. ταῦτα ἐπὶ τὸ πλάτος, ἐπὶ τὰ γ· γίνονται ξ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται χξ· ὧν ιδʹ γίνονται μζ ζʹ.

1

.

78

.

1

 Ἄλλως δὲ πάλιν· σύνθες τὸ ἔμφωτον καὶ ἓν πάχος· γίνονται ε. ταῦτα ἐπὶ τὰ κβ· γίνονται ρι. ταῦτα ἐπὶ τὸ ὕψος, ἐπὶ τὸ α· γίνονται ρι· ὧν ζʹ γίνονται ιε 𐅵ʹ ζʹ ιδʹ. ταῦτα ἐπὶ τὸ πλάτος, ἐπὶ τὰ γ· γίνονται μζ ζʹ.

1

.

79

.

1

 Ἀστερίσκον διπλοείλητον μετρῆσαι, οὗ ἡ διάμετρος ποδὸς α καὶ τὸ πλάτος ποδῶν γ καὶ τὸ ὕψος ποδῶν β· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· [σύνθες] τὴν διάμετρον ἐπὶ τὰ β· γίνονται η. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γί‐
5νονται ξδ. ἆρον τὸ ἔμφωτον ἐφ’ ἑαυτό· γίνονται ιϛ· λοιπὸν γίνονται μη. ταῦτα ἐπὶ τὸ πλάτος, ἐπὶ τὰ γ· γίνονται ρμδ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ͵αφπδ· ὧν τὸ ιδʹ· γίνονται ριγ ζʹ.

1

.

80

.

1

 Κόγχης ἡ διάμετρος ποδῶν κ, τὸ δὲ κέντρον πο‐ δῶν ϛ 𐅵ʹ· εὑρεῖν, ἀπὸ ποίου κύκλου τὸ τμῆμα ἢ ἀπὸ ποίας διαμέτρου. ποίει πάντοτε τῆς βάσεως μέρος 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτό· γίνονται ρ. ταῦτα μέρισον παρὰ τὸν ϛ 𐅵ʹ
5τοῦ κέντρου· γίνονται ιε γʹ. νῦν πρόσθες καὶ τὸ κέν‐
τρον πόδας ϛ 𐅵ʹ· καὶ γίνεται κα 𐅵ʹ γʹ ἡ διάμετρος.72

1

.

81

.

1

 Τεταρτημορίου κόγχης ἡ διάμετρος ποδῶν ιβ, τὸ δὲ κέντρον ποδῶν γ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ· εὑρεῖν τὸ στερεὸν τῆς ὑφαιρέσεως. ποίει οὕτως· τῆς βάσεως τὸ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτό· γίνονται λϛ. ἀλλὰ καὶ τὴν κάθετον
5ἐφ’ ἑαυτήν· γίνονται ιϛ. ταῦτα σύνθες· γίνονται νβ. τούτοις πρόσθες τὸ 𐅵ʹ· γίνονται οη. ἔτι τούτοις πρόσ‐ βαλε τοῦ κέντρου τὰ γ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται θ· ὁμοῦ πόδες πζ. ταῦτα ἀεὶ τρισσάκις· γίνονται σξα· ὧν τὸ 𐅵ʹ ρλ 𐅵ʹ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ͵αυλε 𐅵ʹ· ὧν καʹ
10γίνονται ξη γʹ. τοσούτου τὸ στερεὸν τῆς ὑφαιρέσεως.

1

.

82

.

1

 Τεταρτημορίου κόγχης ἡ διάμετρος ποδῶν ι, κέν‐ τρον ποδῶν ζ, κάθετος ποδῶν ϛ· εὑρεῖν τὸ στερεὸν τῆς ὑφαιρέσεως. ποιῶ τῆς διαμέτρου τὸ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτό· γίνονται κε· καὶ τὰ ϛ τῆς καθέτου ἐφ’ ἑαυτά· γίνον‐
5ται λϛ· ὁμοῦ γίνονται ξα. τούτοις πρόσθες τὸ 𐅵ʹ· γί‐ νονται Ϟα 𐅵ʹ. καὶ τὰ ζ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται μθ· ὁμοῦ πρόσθες· γίνονται ρμ 𐅵ʹ. ταῦτα ἀεὶ ἐπὶ τὰ γ· γίνον‐ ται υκα 𐅵ʹ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται σι 𐅵ʹ δʹ. ταῦτα ἑνδε‐ κάκις· γίνονται ͵βτιη δʹ· ὧν τὸ καʹ· γίνονται ρι δʹ ηʹ.
10τοσούτου τὸ στερεόν.

1

.

83

.

1

 Τεταρτημορίου κόγχης ἡ διάμετρος ποδῶν ιβ, τὸ δὲ κέντρον ποδῶν γ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ· εὑρεῖν τὴν ἐπιφάνειαν. ποίει οὕτως· τὸ 𐅵ʹ τῆς βάσεως ἐφ’ ἑαυτό· γίνονται λϛ· καὶ τὰ δ προσλάμβανε ἐφ’ ἑαυτὰ
5τῆς καθέτου· γίνονται ιϛ· ὁμοῦ νβ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται κϛ. καὶ τὰ γ τοῦ κέντρου ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται θ. σύν‐ θες ὁμοῦ· γίνονται λε. ταῦτα ἐπὶ τὰ γ· γίνονται ρε. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ͵αρνε· ὧν τὸ καʹ· γίνονται νε. τοσούτου ἡ ἐπιφάνεια.

1

.

84

.

1

Τεταρτημορίου κόγχης ἡ διάμετρος ποδῶν ι, κέν‐
τρον ποδῶν ζ, κάθετος ποδῶν ϛ· εὑρεῖν τὴν ἐπιφά‐ νειαν. οὕτως· τῶν ι τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ε. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται κε· καὶ τὰ ϛ ἐφ’ ἑαυτὰ τῆς καθέτου· γίνον‐74
5ται λϛ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται ξα· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται λ 𐅵ʹ. καὶ τὰ ζ τοῦ κέντρου ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται μθ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται οθ 𐅵ʹ. ταῦτα ἀεὶ ἐπὶ τὰ γ· γί‐ νονται σλη 𐅵ʹ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ͵βχκγ 𐅵ʹ· ὧν τὸ καʹ· γίνονται ρκδ 𐅵ʹ γʹ ιδʹ μβʹ. τοσούτου ἡ ἐπιφάνεια.

1

.

85

.

1

 Τεταρτημορίου κόγχης λαβεῖν τὸ στερεὸν τοῦ σκη‐ νώματος. ποίει οὕτως· τὴν διάμετρον κύβισον αὐτὴν ἐφ’ ἑαυτήν· ταῦτα ἑνδεκάκις· ὧν πδʹ γίνονται πόδες.

1

.

85

.

2

 Ἐὰν δὲ ἡμισφαιρίου, τῇ αὐτῇ μεθόδῳ παρὰ τὸ μβ· γίνονται πόδες. ἐὰν δὲ σφαίρας, ὧν καʹ γίνονται πόδες.

1

.

86

.

1

 Τὸ ἐξεχίγωνον ἐὰν ἔχῃ διαμέτρου πόδας ι, μήκους πόδας ι, καθέτου πόδας ε, πόσου τὸ στερεὸν τῆς ὑφαιρέσεως; ποιῶ οὕτως· τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος· γί‐ νονται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται φ. ταῦτα
5ἐννεακαιδεκάκις· γίνονται ͵θφ· ὧν τὸ καʹ· γίνονται πό‐ δες υνβ γʹ καʹ. τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τῆς ὑφαι‐ ρέσεως.

1

.

86

.

2

 Καὶ πόσου ἡ ἐπιφάνεια; ποίει οὕτως· τῆς διαμέ‐ τρου τὰ ι ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ͵αρ· ὧν κηʹ γίνονται πόδες λθ δʹ κηʹ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ι τοῦ μήκους· γίνονται πόδες τϞβ 𐅵ʹ δʹ ηʹ. τοσ‐
5ούτου ἔσται ἡ ἐπιφάνεια.

1

.

87

.

1

 Καὶ ἐὰν ἔχῃ τὸ αὐτὸ ἐξεχίγωνον διαμέτρου πόδας ι, μήκους ιε, καθέτου πόδας ε, ποίει οὕτως· τὰ ι ἐπὶ τὰ ιε· γίνονται ρν. ταῦτα ἐπὶ τὰ ε τῆς καθέτου· γί‐ νονται ψν. ταῦτα ἐννεακαιδεκάκις· γίνονται α͵δσν· ὧν
5καʹ γίνονται πόδες χοη 𐅵ʹ ιδʹ. τοσούτου τὸ στερεὸν τῆς
ὑφαιρέσεως.76

1

.

87

.

2

 Καὶ πόσου ἡ ἐπιφάνεια; οὕτως· τῆς διαμέτρου τὰ ι ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ͵αρ· ὧν κηʹ γίνονται λθ δʹ κηʹ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ιε τοῦ μήκους· γίνονται πόδες φπθ. τοσούτων ποδῶν ἔστω
5ἡ ἐπιφάνεια.

1

.

88

.

1

 Καὶ ἐὰν ἔχῃ τὸ αὐτὸ ἐξεχίγωνον διαμέτρου πόδας ι, μήκους πόδας ιε, καθέτου πόδας ζ, πόσου τὸ στε‐ ρεόν; ζήτει, καθὼς προγέγραπται, τῇ αὐτῇ μεθόδῳ. καὶ πόσου ἡ ἐπιφάνεια; ζήτει, καθὼς προγέγραπται.

1

.

88

.

2

 Καὶ ἐὰν ἔχῃ διαμέτρου πόδας ι, μήκους πόδας ιε, καθέτου πόδας γ, πόσου τὸ στερεὸν τῆς ὑφαιρέσεως; ποδῶν υζ ζʹ. ζήτει, καθὼς προγέγραπται. καὶ πόσου ἡ ἐπιφάνεια; ζήτει, καθὼς προγέγραπται.

1

.

88

.

3

 Ὁμοίως καὶ τὸ τετρακάμαρον τῇ αὐτῇ μεθόδῳ με‐ τρεῖται, τό τε στερεὸν καὶ τὸ κένωμα.

1

.

89

.

1

 Χρὴ εἰδέναι, ὅτι ἐν τῇ μετρήσει αὐτῶν τῶν εἰλη‐ μάτων ἡμισφαιρίου ἤτοι ἐξεχιγώνου ὅτι λαμβάνει τις τὸ μῆκος καὶ τὸ πλάτος τοῦ σχήματος καὶ συντίθησι καὶ ποιεῖ τὸ 𐅵ʹ, τουτέστι ι καὶ η· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται
5θ. καὶ πάλιν τὴν διαγώνιον λαβών, τουτέστι πόδας ιγ, σύνθες μετὰ τῶν θ· γίνονται πόδες κβ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ια. ἔστω ἡ διάμετρος κοινῷ λόγῳ ποδῶν ια.

1

.

90

.

1

 Τετρακάμαρον μετρῆσαι. ποίει οὕτως· ἔστω τὸ μῆ‐ κος ποδῶν ι καὶ τὸ πλάτος ποδῶν ι, τὸ δὲ ὕψος πο‐ δῶν ε. ποίει τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος· γίνονται πόδες ρ. ταῦτα ἐπὶ τοὺς ε τοῦ ὕψους· γίνονται πόδες φ·
5ἐξ ὧν ὑφαιρῶ τὸν ἔσωθεν ἀέρα, μῆκος ποδῶν η, πλά‐
τος ποδῶν η· γίνονται πόδες ξδ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθ‐ ετον, ἐπὶ τοὺς δ πόδας· γίνονται πόδες σνϛ. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὰ ιθ· γίνονται πόδες ͵δωξδ. ἄρτι μερίζω· ὧν τὸ καʹ· γίνονται πόδες σλα 𐅵ʹ ιδʹ καʹ. ἆρον ἀπὸ τῶν78
10φ ποδῶν τῆς μάσσης· λοιπὸν γίνονται πόδες σξη ϛʹ ζʹ ιδʹ.

1

.

91

.

1

 Τετράσειρον μετρήσομεν, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν ϛ καὶ τὸ πλάτος ποδῶν ϛ καὶ ἡ κάθετος ποδῶν γ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τὴν διάμετρον ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται λϛ· ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται τϞϛ· ὧν
5ιδʹ γίνονται κη δʹ. ταῦτα ἐπὶ τὰ γ τῆς καθέτου· γίνον‐ ται πόδες πδ 𐅵ʹ δʹ· καὶ τὰ ιη δʹ· ὁμοῦ γίνονται πόδες ργ. τοσούτων ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ κενώματος.

1

.

91

.

2

 Καὶ πόσου ἡ ἐπιφάνεια τοῦ αὐτοῦ τετρασείρου; ποιῶ οὕτως· λάμβανε τὴν περίμετρον ἀπὸ τῆς διαμέ‐ τρου· γίνονται πόδες ιθ παρὰ τὸ ζʹ. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὴν κάθετον τῶν γ ποδῶν· γίνονται νϛ 𐅵ʹ ιδʹ. τοσ‐
5ούτων ἔστω ἡ ἐπιφάνεια τοῦ τετρασείρου.

1

.

92

.

1

 Ἔλλειψιν μετρήσομεν, ἧς ὁ μὲν μείζων ἄξων πο‐ δῶν ιϛ, ὁ δὲ μικρότερος ποδῶν ιβ. ἐπειδὴ οὖν ἐν τοῖς Κωνοειδέσιν ὁ Ἀρχιμήδης δείκνυσιν, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ἀξόνων δύναται τὸ ἀπὸ κύκλου διαμέτρου ἴσου τῇ ἐλ‐
5λείψει, ποίει οὕτως· πολυπλασίαζε τὰ ιβ ἐπὶ τὰ ιϛ· γί‐ νονται πόδες ρϞβ. ταῦτα ποιῶ ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες ͵βριβ· ὧν ιδʹ γίνονται πόδες ρν 𐅵ʹ δʹ ιδʹ κηʹ. καὶ ἕξεις τοσούτων ἀποφαίνεσθαι τὸ τῆς ἐλλείψεως ἐμβαδόν.

1

.

93

.

1

Ἔστω δὴ παραβολὴν μετρῆσαι τὴν ΑΒΓ, ἧς ἡ μὲν
ΑΓ βάσις ποδῶν ιβ, ὁ δὲ ΒΔ ἄξων ποδῶν ε. ἐπ‐ εζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ 𐅵ʹ ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΑΓ, ΒΔ, τουτέστι πο‐80
5δῶν λ. ἀπέδειξεν δὲ ὁ Ἀρχιμήδης ἐν τῷ Ἐφοδικῷ λόγῳ, ὡς προείρηται, ὅτι πᾶν τμῆμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς, τουτέστι παρα‐ βολῆς, ἐπίτριτον τοῦ τριγώνου τοῦ τὴν βάσιν ἔχοντος αὐτοῦ καὶ ὕψος ἴσον, τουτέστιν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.
10τοῦ δὲ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν λ· τὸ ἄρα τοῦ τμήματος τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τῆς παραβολῆς ἔσται ποδῶν μ.

1

.

94

.

1

 Ὄνυχα μετρήσομεν, οὗ ἡ κάθετος ποδῶν ζ καὶ ἡ βάσις ποδῶν ζ καὶ ἡ κοίλη ποδῶν ια· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως τῆς κοίλης οὐκ ἀναγκαίας οὔσης μετρεῖσθαι· τὰ οὖν ζ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται πό‐
5δες μθ. ταῦτα διὰ παντὸς ἐπὶ τὰ γ· γίνονται πόδες ρμζ. τούτων τὸ ιδʹ· γίνονται πόδες ι 𐅵ʹ. ἔστω τὸ ἐμ‐ βαδὸν ποδῶν ι 𐅵ʹ. λοιπόν, ἐὰν ᾖ στερεόν, ποίει ταῦτα τὰ τοῦ ἐμβαδοῦ ἐπὶ τὸ πάχος· γίνονται. ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν κοίλην τοῦ ὄνυχος εὑρεῖν, πάντοτε τῇ καθέτῳ
10πρόστιθε τὸ ἴδιον 𐅵ʹ καὶ τὸ ιδʹ· ὁμοῦ γίνονται πόδες ια.

1

.

95

.

1

 Διόνυχα μετρήσομεν, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ιδ καὶ ἡ κάθετος ποδῶν ζ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὴν κάθετον ἐπὶ τὴν βάσιν, τὰ ζ ἐπὶ τὰ ιδ· γίνονται Ϟη. ταῦτα ἀεὶ ἐπὶ τὰ γ· γίνονται πόδες ςϞδ.
5τούτων τὸ ιδʹ· γίνονται πόδες κα. τοσούτου τὸ ἐμ‐ βαδόν. ἐὰν δὲ ᾖ στερεόν, ποίει τὸ ἐμβαδὸν ἐπὶ πάχος,
καὶ ἕξεις τὸ στερεόν.82

1

.

96

.

1

 Τρίκεντρον μετρήσομεν, οὗ ἡ βάσις ποδῶν η καὶ ἡ κάθετος ποδῶν θ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ η ἐπὶ τὰ θ· γίνονται οβ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται λϛ. τούτων τὸ γʹ· γίνονται πόδες ιβ. σύνθες· ὁμοῦ γίνον‐
5ται πόδες μη. τοσούτου τὸ ἐμβαδόν ἐστιν. τινὲς δὲ οὕτως ἐμέτρησαν ὡς παραβολήν.

1

.

97

.

1

 Ἄλλως δὲ πάλιν μετρήσομεν, οὗ ἡ βάσις ποδῶν η καὶ ἡ κάθετος ποδῶν θ· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· σύνθες βάσιν καὶ κάθετον· ὁμοῦ γίνονται πό‐ δες ιζ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται πόδες η 𐅵ʹ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά, ὡς
5ἐπὶ τῶν κύκλων· γίνονται πόδες οβ δʹ. ταῦτα ἑνδε‐ κάκις· γίνονται πόδες ψϞδ 𐅵ʹ δʹ. ἄρτι μερίζω· ὧν ιδʹ γίνονται πόδες νϛ 𐅵ʹ δʹ νϛʹ.

2

.

1

.

1

(1t)

Μέτρησις τετραστόου ἤτοι τετρακαμάρου ἐπὶ τετρα‐
2tγώνου βάσεως οὕτως·
1 Ἔστω ἡ πλευρὰ ποδῶν ιβ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνον‐ ται πόδες ρμδ. ταῦτα δίς· γίνονται σπη· ὧν πλευρὰ τετραγωνική ἐστι ποδῶν ιζ παρὰ τὸ σύνεγγυς. τοσού‐ του ἡ διάμετρος. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται σπη.
5ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ η 𐅵ʹ· γίνονται ͵βυμη. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται β̈ ͵ϛϡκη· ὧν καʹ γίνονται

2

.

1

.

2

͵ασπβ ϛ καʹ. τοσούτου ἐστὶν ἡ ὑφαίρεσις. ἔτι ἐκ τῆς ὑφαιρέσεως διᾶραι τὰ δ τμήματα τῶν κογχῶν οὕτως· ἡ ἡμίσεια τῶν πλευρῶν ἐστι ποδῶν ϛ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυ‐
τά· γίνονται λϛ· ταῦτα ἀεὶ καὶ πάντοτε ἐπὶ τὰ γ· γί‐84
5νονται πόδες ρη. καὶ τὸ ἀπὸ τῆς καθέτου, τουτέστιν ἀπὸ τῶν β 𐅵ʹ· γίνονται ϛ δʹ· πρόσβαλε τοῖς ρη· γίνον‐ ται πόδες ριδ δʹ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τοὺς β 𐅵ʹ πόδας· γίνονται πόδες σπε 𐅵ʹ ηʹ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γί‐ νονται πόδες ͵γρμα· ὧν καʹ γίνονται πόδες ρμθ 𐅵ʹ ηʹ.
10ταῦτα δίς· γίνονται πόδες ςϞθ δʹ. λοιπὸν ϡπβ 𐅵ʹ δʹ.

2

.

2

.

1

 Εἰς σφαῖραν θέλω ἐμβαλεῖν κύβον τετράγωνον· εἰπέ μοι, πόση ἑκάστη πλευρὰ τοῦ κύβου. ποιῶ οὕτως· ἐὰν ᾖ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ποδῶν ιζ, ποιῶ τὸ 𐅵ʹ· τῆς διαμέτρου· γίνονται πόδες η 𐅵ʹ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά·
5γίνονται πόδες οβ δʹ. ταῦτα δίς· γίνονται πόδες ρμδ 𐅵ʹ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ιβ. τοσούτων

2

.

2

.

2

ποδῶν ἐστιν ἑκάστη πλευρὰ τοῦ κύβου, ποδῶν ιβ. τὴν δὲ διαγώνιον εὑρεῖν τοῦ αὐτοῦ κύβου, ἥτις ἐστὶ διά‐ μετρος τῆς σφαίρας. ποιῶ οὕτως· τὴν μίαν πλευρὰν τοῦ κύβου, ἥτις ἐστὶ ποδῶν ιβ, ποίει ἐφ’ ἑαυτήν· γί‐
5νονται πόδες ρμδ. ταῦτα δίς· γίνονται σπη· ὧν πλευ‐ ρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ιζ. τοσούτου ἐστὶν ἡ διαγώνιος τοῦ κύβου, ἥτις ἐστὶ διάμετρος τῆς σφαίρας.

2

.

3

.

1

 Κολυμβήθρας καὶ φρέατος καὶ κούππας καὶ κίονος καὶ τοίχων καὶ λίθων καὶ πηλῶν καὶ τῶν δοκῶν οἱον‐
δηποτοῦν σχῆμα ἐάν τις εἴπῃ τὸ μῆκος καὶ τὸ πλάτος καὶ τὸ βάθος ἢ τὸ ὕψος, ἐάν τις ζητήσῃ, πόσα κεράμια86
5χωρεῖ, ἢ πόσοι πόδες στερεοὶ γίνονται, εὑρήσομεν οὕ‐ τως· πολυπλασιάζω τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος καὶ τὰ γινόμενα ἐπὶ τὸ βάθος ἢ ἐπὶ τὸ ὕψος· καὶ τοσαῦτα κεράμια ἔσται ἢ πόδες στερεοί.

2

.

4

.

1

 Οἷον ἔστω κολυμβήθρα καὶ ἐχέτω τὸ μῆκος ποδῶν κε, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ιβ, τὸ δὲ ὕψος [ἤτοι τὸ βά‐ θος] ποδῶν ε· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρήσει, ἢ πόσοι στερεοὶ γίνονται πόδες. ποίει οὕτως· πολυπλασιάζω τὸ
5μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος ἤγουν τὰ κε ἐπὶ τὰ ιβ· γίνονται τ. ταῦτα ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τὰ ε· γίνονται ͵αφ. τοσαῦτα χωρήσει κεράμια.

2

.

5

.

1

 Ἔστω κολυμβήθρα καὶ ἐχέτω τὸ μῆκος ποδῶν ι, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ε καὶ τὸ βάθος ποδῶν δ, καὶ μεμαρ‐ μαρώσθω· ζητῶ, πόσους πόδας συνάγει. ποίει οὕτως· συντιθῶ τὰ ι καὶ τὰ ε· γίνονται ιε. ταῦτα ποιῶ δίς·
5γίνονται λ. ταῦτα ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τοὺς δ πόδας· γίνονται ρκ. γενήσονται οἱ τοῖχοι τῆς κολυμβήθρας

2

.

5

.

2

ρκ. ἔστω νῦν καὶ τὸ ἔδαφος τῆς κολυμβήθρας εὑρεῖν. ποίει οὕτως· πολυπλασιάζω τὸ πλάτος ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται πόδες ν. ταῦτα προστίθημι τοῖς ρκ· γίνον‐ ται ρο. ἔσται ποδῶν ρο.

2

.

6

.

1

 Ἔστω φρέαρ καὶ ἐχέτω διάμετρον ποδῶν ε, καὶ περιοικοδομείσθω τοῖχος ἔχων πλάτος ποδῶν β, τὸ δὲ
βάθος ποδῶν κ· εὑρεῖν, πόσων ποδῶν γίνεται ὁ τοῖχος. ποίει οὕτως· τοῦ τοίχου τὸ πλάτος δίς· γίνονται δ.88
5ταῦτα προστίθημι τῇ διαμέτρῳ τοῖς ε· γίνονται πόδες θ· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ τοίχου καὶ τοῦ φρέατος πο‐ δῶν θ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται πα· καὶ ἀφαιρῶ ἀπὸ τῶν πα τὴν διάμετρον τοῦ φρέατος τὰ ε ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται κε· λοιπὸν νϛ. ταῦτα ἀεὶ ἑνδεκάκις· γίνονται
10χιϛ. τούτων ἀεὶ τὸ ιδʹ· γίνονται μδ. ταῦτα πολυπλα‐ σιάζω ἐπὶ τὸ βάθος· γίνονται ωπ. ἔσται ὁ τοῖχος στε‐ ρεῶν ποδῶν ωπ.

2

.

7

.

1

 Ἔστω κοῦππα καὶ ἐχέτω τὴν κάτω διάμετρον πο‐ δῶν ε, τὴν δὲ ἄνω ποδῶν γ, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν η, καὶ ἐχέτω τὸν οἶνον ἕως ποδῶν ϛ· πόσα οὖν κεράμια χωρήσει; ποιῶ οὕτως· ἀφαιρῶ τὰ γ ἀπὸ τῶν ε· λοιπὸν
5β. ταῦτα ἐπὶ τὰ ϛ· γίνονται ιβ. τούτων τὸ ηʹ· γίνε‐ ται α 𐅵ʹ. καὶ ἀφαιρῶ τὴν α 𐅵ʹ ἀπὸ τῶν ε· λοιπὸν γ 𐅵ʹ. ἔσται οὖν τὸ πλάτος, ἕως ὅπου ὁ οἶνος ἀνέβαινεν,

2

.

7

.

2

ποδῶν γ 𐅵ʹ. καὶ ποιῶ τὰ γ 𐅵ʹ καὶ τὰ ε ὁμοῦ· γίνονται πόδες η 𐅵ʹ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται δ δʹ. καὶ ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται πόδες ιη ιϛʹ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ρϞη 𐅵ʹ ηʹ ιϛʹ. τούτων μερίζω τὸ ιδʹ· γίνονται πόδες ιδ
5ζʹ κηʹ ριβʹ σκδʹ. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ ὕψος, ἐπὶ τοὺς ϛ. γίνονται πόδες πε ζʹ ριβʹ. τοσαῦτα κεράμια χωρήσει, πε ζʹ ριβʹ.

2

.

8

.

1

 Ἔστω κοῦππα καὶ ἐχέτω τὴν ἄνω διάμετρον πο‐ δῶν ϛ καὶ τὴν κάτω διάμετρον ποδῶν η, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν ι· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρήσει. ποιῶ οὕτως· συντίθημι τὴν ἄνω διάμετρον καὶ τὴν κάτω· γίνονται
5ιδ· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ζ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται πόδες μθ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται φλθ. τούτων τὸ ιδʹ· γίνονται πόδες λη 𐅵ʹ. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ ὕψος, ἐπὶ τοὺς ι πόδας· γίνονται τπε. τοσαῦτα κεράμια χω‐ ρήσει, τπε.90

2

.

9

.

1

 Ἔστω βούττις καὶ ἐχέτω τὴν ἄνω διάμετρον ποδῶν ϛ, τὴν δὲ μέσην ποδῶν η, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν ι· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρεῖ. ποιῶ οὕτως· συντιθῶ τὴν μέσην διάμετρον καὶ τὴν ἄνω· ὁμοῦ
5γίνονται πόδες ιδ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται πόδες ζ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται πόδες μθ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες φλθ. ἄρτι μερίζω· ὧν ιδʹ· γίνονται πόδες λη 𐅵ʹ. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ ὕψος τοὺς ι πόδας· γίνονται τπε.
10τοσαῦτα κεράμια χωρεῖ ἡ βούττις.

2

.

10

.

1

 Ἔστω κίων, οὗ μῆκος ποδῶν κδ, διάμετρος ἡ ἐν τῇ ῥίζῃ ποδῶν γ, ἡ δὲ ἐν τῷ αὐχένι ποδῶν β 𐅵ʹ δʹ. ποιῶ οὕτως· σύνθες τὰς δύο διαμέτρους· γίνονται ε 𐅵ʹ δʹ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται β 𐅵ʹ δʹ ηʹ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά·
5γίνονται πόδες η δʹ ξδʹ. ταῦτα ποίει ἑνδεκάκις· γίνον‐ ται Ϟ 𐅵ʹ δʹ ηʹ λβʹ ξδʹ· ὧν ιδʹ γίνονται ϛ 𐅵ʹ παρὰ ιϛʹ. ταῦτα ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται ρνϛ. τοσούτων ποδῶν ἔσται.

2

.

11

.

1

 Ἀπὸ δὲ περιμέτρου· ἔστω κίων, οὗ τὸ μὲν μῆκος ποδῶν κδ, ἡ δὲ περίμετρος ποδῶν θ δʹ ηʹ ιδʹ κηʹ λβʹ ξδʹ ρκηʹ υμηʹ, ἡ δὲ ἐλάσσων ποδῶν η 𐅵ʹ ιϛʹ. σύνθες τὰς β περιμέτρους· γίνονται ιη ιϛʹ λβʹ ρκηʹ σκδʹ· ὧν92
5𐅵ʹ γίνονται θ καὶ μο λβʹ ξδʹ σνϛʹ υμηʹ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται πα 𐅵ʹ. ταῦτα ἑπτάκις· γίνονται πόδες φο 𐅵ʹ. μέρισον εἰς τὸν πη· γίνονται ϛ δʹ ηʹ ιαʹ πηʹ ροϛʹ. ταῦτα ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται ρνϛ.

2

.

12

.

1

 Κίων, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν κδ, διάμετρος ἡ μὲν πρὸς ῥίζῃ ποδῶν γ, ἡ δὲ πρὸς κορυφὴν ποδῶν β δʹ· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὴν διάμετρον ἐφ’ ἑαυτήν· γίνονται θ. ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται σιϛ· ὧν
5δʹ γίνονται νδ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται κζ· ὁμοῦ γίνονται πα. ἆρον ἀπὸ τῶν σιϛ τὰ πα· λοιπὸν ρλε.

2

.

13

.

1

 Λίθου μῆκος ποδῶν η, πλάτος ποδῶν ε, πάχος ποδῶν δ. ποίει δι’ ἀλλήλων· γίνονται ρξ. τοσούτων ποδῶν ἐστι τὸ στερεὸν τοῦ λίθου.

2

.

14

.

1

 Λίθου μῆκος ποδῶν ϛ δʹ, πλάτος ποδῶν δ ηʹ, πά‐ χος ποδῶν β γʹ. ποιῶ οὕτως· τὰ ϛ δʹ εἰς δ· γίνονται κε· καὶ τὰ δ ηʹ εἰς η· γίνονται λγ· καὶ τὰ β γʹ εἰς γ· γίνονται ζ· καὶ τὰ μέρη δι’ ἀλλήλων· γίνονται Ϟϛ.
5νῦν πολυπλασιάζω τὰ κε ἐπὶ τὰ λγ· γίνονται ωκε· καὶ ἐπὶ τὸ πάχος, ἐπὶ τὰ ζ· γίνονται ͵εψοε· ὧν Ϟϛʹ γίνον‐
ται ξ ηʹ λβʹ.94

2

.

15

.

1

 Λίθου μῆκος ποδῶν ζ ζʹ, πλάτος ποδῶν δ εʹ, πά‐ χος ποδῶν β θʹ. ποίει οὕτως· τὰ ζ ζʹ εἰς ζ· γίνονται ν· καὶ τὰ δ εʹ εἰς ε γίνονται κα· καὶ τὰ β θʹ εἰς θ γίνονται ιθ· καὶ τὰ μέρη δι’ ἀλλήλων· γίνονται τιε.
5πολυπλασίαζε νῦν τὰ ν ἐπὶ τὰ κα· γίνονται ͵αν· καὶ ἐπὶ τὰ ιθ· γίνονται α̈ ͵θϡν. μέριζε παρὰ τὰ τιε· γί‐ νονται ξγ γʹ. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ λίθου.

2

.

16

.

1

 Λίθου μῆκος ποδῶν ε ηʹ, πλάτος ποδῶν γ 𐅵ʹ δʹ, πάχος β ιϛʹ. ποίει οὕτως· τὰ ε ηʹ εἰς η· γίνονται μα· καὶ τοὺς γ 𐅵ʹ δʹ εἰς δ· γίνονται ιε· καὶ τοὺς β ιϛʹ εἰς ιϛ· γίνονται λγ· καὶ τὰ μόρια δι’ ἀλλήλων· γίνονται
5φιβ. νῦν πολυπλασίαζε τὰ μα ἐπὶ τὰ ιε· γίνονται χιε· καὶ ἐπὶ τὰ λγ· γίνονται β̈ ςϞε· ὧν φιβʹ γίνονται λθ 𐅵ʹ ηʹ ογʹ.

2

.

17

.

1

 Λίθου μειούρου τὸ μῆκος ποδῶν η, πλάτος τὸ μεῖ‐ ζον ποδῶν γ, τὸ δὲ ἔλασσον ποδῶν β. ποίει τὰ μείζω πάχη δι’ ἀλλήλων· γίνονται θ· καὶ τοὺς β δι’ ἀλλήλων· γίνονται δ. σύνθες· γίνονται ιγ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται ϛ 𐅵ʹ·
5καὶ ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται νβ. τοσούτου τὸ στερεὸν τοῦ λίθου.

2

.

18

.

1

 Σκούτλης μῆκος ποδῶν η 𐅵ʹ δʹ, πλάτος ποδῶν ε 𐅵ʹ ϛʹ. ποίει οὕτως· τοὺς η 𐅵ʹ δʹ εἰς δ· γίνονται λε· καὶ τοὺς ε 𐅵ʹ ϛʹ εἰς ϛ· γίνονται λδ· καὶ τὰ μόρια δι’ ἀλλήλων· γίνονται κδ. νῦν πολυπλασίαζε τὰ λε ἐπὶ τὰ
5λδ· γίνονται ͵αρϞ· ὧν κδʹ γίνονται μθ 𐅵ʹ ιβʹ. τοσού‐ των ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τῆς σκούτλης.

2

.

19

.

1

 Σκούτλης τριγώνου ὀξείας μῆκος ποδῶν ζ γʹ, πλά‐ τος ποδῶν δ δʹ. ποίει οὕτως· τοὺς ζ γʹ ἐπὶ τὰ γ· γί‐ νονται κβ· καὶ τοὺς δ δʹ ἐπὶ τὰ δ· γίνονται ιζ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται η 𐅵ʹ· καὶ τὰ μόρια δι’ ἀλλήλων· γίνονται96
5ιβ. νῦν πολυπλασίασον τὰ κβ ἐπὶ τὰ η 𐅵ʹ· γίνονται ρπζ. μέριζε παρὰ τὰ ιβ· γίνονται ιε γʹ δʹ. τοσούτων ποδῶν ἔσται.

2

.

20

.

1

 Ἔστω κίων τετράγωνος, οὗ αἱ περὶ τὴν βάσιν πλευ‐ ραὶ ἐκ ποδῶν δ, αἱ περὶ τὴν κορυφὴν ἐκ ποδῶν γ, μῆκος ποδῶν λ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τοὺς ἐν τῇ βάσει πόδας δι’ ἀλλήλων· γίνονται ιϛ·
5ὁμοίως καὶ τοὺς ἐν τῇ κορυφῇ δι’ ἀλλήλων· γίνον‐ ται θ ...

2

.

21

.

1

 Ὤατον δὲ μετρῆσαι, οὗ ἡ κάτω διάμετρος ποδῶν ε καὶ ἡ ἄνω διάμετρος ποδῶν γ· εὑρεῖν, πόσους κυάθους χωρήσει. ποίει οὕτως· σύνθες τὰς δύο διαμέτρους· ὁμοῦ γίνονται πόδες η· ὧν 𐅵ʹ γίνονται πόδες δ. ταῦτα
5κύβισον· γίνονται πόδες ξδ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες ψδ. τούτων τὸ μβʹ· γίνονται πόδες ιϛ 𐅵ʹ ζʹ ιδʹ καʹ. τοσούτους κυάθους χωρήσει.

2

.

22

.

1

 Πιθοειδὲς σχῆμα μετρήσομεν, οὗ ἡ μὲν μείζων διά‐ μετρος ποδῶν δ, ἡ δὲ μικροτέρα ποδῶν γ· εὑρεῖν, πό‐
σους χωρήσει ἀμφορέας. ποίει οὕτως· συντιθῶ τὰς β διαμέτρους· γίνονται ζ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται γ 𐅵ʹ. ταῦτα98
5ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ιβ δʹ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες ρλε· ὧν τὸ ιδʹ· γίνονται πόδες θ 𐅵ʹ ζʹ. τοσού‐ τους ἀμφορέας χωρεῖ· ἔχει δὲ ὁ ἀμφορεὺς ξέστας Ἰτα‐ λικοὺς ἀριθμὸν μη.

2

.

23

.

1

 Πίθου σφαιροειδοῦς ἡ πρὸς τὸ χεῖλος διάμετρος ποδῶν ε, τὸ δὲ βάθος ποδῶν η· εὑρεῖν, πόσους ἀμ‐ φορέας χωρεῖ. ποιῶ οὕτως· τῆς διαμέτρου τὸ 𐅵ʹ· γί‐ νονται πόδες β 𐅵ʹ. ταῦτα ποιῶ τρισσάκις· γίνονται
5πόδες ζ 𐅵ʹ. τούτοις προστιθῶ τὸ βάθος· ὁμοῦ γίνον‐ ται πόδες ιε 𐅵ʹ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται πόδες σμ δʹ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες ͵βχμβ 𐅵ʹ δʹ. ἄρτι μερίζω· ὧν καʹ γίνονται πόδες ρκε 𐅵ʹ γʹ πδʹ. τοσού‐ τους ἀμφορέας χωρήσει, διότι ὁ ποὺς ὁ στερεὸς χωρεῖ
10ἀμφορίσκον α.

2

.

24

.

1

 Ἄλλου πίθου ἡ κάτω διάμετρος ποδῶν β 𐅵ʹ, ἡ δὲ ἄνω ποδῶν γ, τὸ δὲ βάθος ἔχει πόδας ϛ· εὑρεῖν, πό‐ σους ἀμφορέας χωρεῖ. ποιῶ οὕτως· σύνθες τὰς β δια‐ μέτρους· γίνονται πόδες ε 𐅵ʹ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται β 𐅵ʹ δʹ.
5ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται πόδες ζ 𐅵ʹ ιϛʹ. ταῦτα ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τοὺς ϛ πόδας· γίνονται με δʹ ηʹ. ταῦτα
ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες υϞθ ηʹ. ἄρτι μερίζω· ὧν ιδʹ γίνονται πόδες λε 𐅵ʹ ζʹ ριβʹ. τοσούτους ἀμφορίσκους χωρήσει· ὁ δὲ ἀμφορίσκος ἔχει πόδα α στερεόν, χωρεῖ100
10δὲ ὁ στερεὸς ποὺς ξέστας Ἰταλικοὺς ἀριθμῷ μη· γί‐ νονται μόδιοι γ, ἕκαστος μόδιος ἐκ ξεστῶν Ἰταλικῶν ἀριθμῷ ιϛ.

2

.

25

.

1

 Ἔστω λουτὴρ στρογγύλος, οὗ ἡ κάτω διάμετρος ποδῶν ε, ἡ δὲ ἄνω πρὸς τὸ χεῖλος ποδῶν ι, τὸ δὲ βά‐ θος ποδῶν ϛ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ε ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται κε· καὶ τὰ ι ἐφ’ ἑαυτά· γί‐
5νονται ρ· ὁμοῦ ρκε. καὶ ποιῶ τὰ ε ἐπὶ τὰ ι· γίνον‐ ται ν. ταῦτα προστιθῶ τοῖς ρκε· ὁμοῦ γίνονται πόδες ροε. τούτων λαμβάνω τὸ γʹ μέρος· γίνονται πόδες νη γʹ. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τοὺς ϛ πόδας· γίνονται πόδες τν. ἔσονται στερεοὶ πόδες τν, καὶ χω‐
10ρήσει κεράμια τν.

2

.

26

.

1

 Ἔστω κολυμβήθρα καὶ ἐχέτω τὸ μῆκος ποδῶν κε, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ιβ, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν ε [ἤτοι τὸ βάθος]· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρήσει, ἢ πόσοι πόδες στερεοὶ γίνονται. ποίει οὕτως· πολυπλασιάζω τὰ ιβ
5ἐπὶ τὰ κε· γίνονται τ. ταῦτα ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τὰ ε· γίνονται ͵αφ. τοσαῦτα χωρήσει κεράμια.

2

.

27

.

1

 Ἀπὸ σκιᾶς εὑρεῖν κίονος μεγάλου ἢ δένδρου ὑψη‐ λοῦ τὸ ὕψος ἀπὸ ὥρας εʹ ἕως ὥρας ζʹ, ὅτε μικρὰν τὴν σκιὰν ἔχει. ποιῶ οὕτως· θὲς εἰς τὸν ἥλιον ῥάβδον ἴσην δίπηχυν πλησίον τοῦ δένδρου ἢ κίονος καὶ ἰδέ, πόσην
5σκιὰν ποιεῖ, καὶ νόμιζε, ὅτι ἐποίησε τὴν σκιὰν ποδῶν
ϛ· δῆλον, ὅτι διπλασίονα ἀναλογίαν ἔχει ἡ σκιὰ πρὸς102

2

.

27

.

2

τὴν ῥάβδον. μετρήσωμεν οὖν τοῦ κίονος ἢ δένδρου τὴν σκιάν, καὶ εὑρέθησαν νόμιζε πόδες ρ· λέγω, ὅτι ν πόδας ἔχει. ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῆς ῥάβδου διπλασίονα ἀναλογίαν ἔχει ἡ σκιά, οὕτω καὶ ἐπὶ τοῦ κίονος ἤτοι
5ἐπὶ τοῦ δένδρου τῷ διαλογισμῷ, καίτοι διάφοροι εὑρί‐ σκονται. ὥσπερ οὖν ἐνταῦθα τὰ μὲν .... οἷον λόγον ἔχει ἡ ῥάβδος πρὸς τὴν ἀφ’ ἑαυτῆς σκιάν, οὕτω καὶ τὸ δένδρον πρὸς τὴν ἀφ’ ἑαυτοῦ σκιὰν καὶ ὁ κίων.

2

.

28

.

1

 Ἐὰν ᾖ ψαλίς, ἣ ἐγγεγραμμένη ἐστὶν ἐν τετραγώνῳ, ταύτην μετρήσωμεν οὕτως· ἔστω γὰρ αὐτῆς τὸ μὲν μῆκος ποδῶν κα, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ιβ, τὸ δὲ βάθος ποδῶν ε, τῆς μὲν ψαλίδος ἡ βάσις ποδῶν δ, ἡ δὲ τῆς
5καμάρας ποδῶν ιϛ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν ιδ, τὸ δὲ βά‐ θος ποδῶν β, τοῦ δὲ προσεκβεβλημένου τετραγώνου τὸ μῆκος ποδῶν ε, τὸ δὲ πλάτος ἀνὰ ποδῶν δ, τὸ δὲ

2

.

28

.

2

βάθος ποδῶν γ. μετρήσομεν οὕτως· τὸ τετράγωνον ὅλον μετρήσωμεν πρῶτον κατ’ ἰδίαν οὕτω· τὰ ιβ ἐπὶ τὰ κα· γίνονται σνβ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὸ

2

.

28

.

3

βάθος, ἐπὶ τὰ ε· γίνονται ͵ασξ. αὐτὴν πάλιν μετρῆ‐ σαι τὴν ψαλίδα κατ’ ἰδίαν· μετρήσωμεν δὲ αὐτὴν οὕ‐ τως· σύνθες τὴν κάθετον τὰ ιδ καὶ ἔτι τὴν βάσιν τῆς καμάρας τὰ ιϛ εἰς τὸ αὐτό· γίνονται λ. τούτων τὸ104
5𐅵ʹ ιε· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὴν κάθετον τῆς κα‐ μάρας, ἐπὶ τὰ ιδ· γίνονται σι. ταῦτα δίς· γίνον‐ ται υκ. ταῦτα ἀφαιροῦμεν ἀπὸ τοῦ ὅλου τετραγώνου, ἀπὸ τῶν ͵ασξ· λοιπὸν ωμ. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ

2

.

28

.

4

λοιπὸν τετράγωνον ἄνευ τῆς καμάρας. τὸ ἔξωθεν με‐ τρήσωμεν τετράγωνον τὸ προσεκβεβλημένον, τουτέστι τὰ δ ἐπὶ τὰ ε· γίνονται κ· ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὸ βάθος πολυπλασίασον, ἐπὶ τὰ γ· γίνονται ξ. ταῦτα προσθή‐
5σομεν τοῖς ωμ· γίνονται ϡ· καὶ τοσούτων ποδῶν ἔσται

2

.

28

.

5

τοῦ σχήματος τὸ ἐμβαδὸν σὺν τῇ ψαλίδι. ἐὰν δὲ ᾖ μείζων ἡμικυκλίου, λαβὲ τῆς ψαλίδος τὸ καʹ μέρος, οἷον ἂν ᾖ τὸ σχῆμα, καὶ προστίθει πρὸς τὸ ὅλον ἐμ‐ βαδόν· καὶ τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ σχῆμα. ἐὰν δὲ
5ᾖ μείων ἡμικυκλίου ἄν τε ἡμικύκλιον, ὁμοίως μετρή‐ σωμεν· καὶ ἐὰν δύο ᾖ τετράγωνα προσεκβεβλημένα, ὡσαύτως μετρήσωμεν, ὡς προγέγραπται.

2

.

29

.

1

 Ἔστω ψαλίς, ἧς ἡ βάσις ποδῶν ιδ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν ζ, τὸ δὲ βάθος ἐχέτω ὁ κατακλειόμενος σφὴν ποδῶν β, τὸ πάχος α 𐅵ʹ· εὑρεῖν τὴν περίμετρον καὶ τὸ στερεόν. σύνθες τὰ ιδ καὶ τὰ ζ· γίνονται κα. τού‐
5τοις πρόσθες καθόλου τὸ ἴδιον καʹ· γίνεται α· ὁμοῦ
γίνεται κβ ποδῶν ἡ περίμετρος. καὶ πολυπλασιάζω τὰ β ἐπὶ τὸν α 𐅵ʹ· γίνονται γ. ταῦτα ἐπὶ τὰ κβ· γίνεται ξϛ ποδῶν τὸ στερεόν.106

2

.

30

.

1

 Ἐὰν δὲ ᾖ μείζων καμάρα, καὶ ᾖ ἐν αὐτῇ ἑτέρα ἐγ‐ γεγραμμένη καμάρα, καὶ ὦσι τῆς μὲν μείζονος καμάρας αἱ μὲν ἄνωθεν ἀνὰ ποδῶν β, ἡ δὲ βάσις ποδῶν κ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν ι, τῆς δὲ ἐλάσσονος καμάρας ἡ μὲν
5βάσις ποδῶν ιϛ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν η, ταύτην με‐ τρήσωμεν οὕτως· συνθέντες τῆς μείζονος καμάρας τὴν βάσιν καὶ τὴν κάθετον τὴν ὅλην, τὰ ι καὶ τὰ κ· γί‐ νονται λ· τούτων ληψόμεθα τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ιε. ταῦτα πολυπλασίαζε ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ ι· γίνονται ρν.
10τούτοις προσθήσομεν πάντως τὸ καʹ μέρος· γίνονται ρνζ ζʹ. καὶ πάλιν ὁμοίως τῆς ἐλάσσονος καμάρας συν‐ θέντες τά τε ιϛ καὶ τὰ η· γίνονται κδ· τούτων ὁμοίως ληψόμεθα τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ιβ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ η· γίνονται Ϟϛ. τούτων ληψό‐
15μεθα ὁμοίως τὸ καʹ μέρος· γίνονται δ 𐅵ʹ ιδʹ. ταῦτα προσθήσομεν τοῖς Ϟϛ· γίνονται ρ 𐅵ʹ ιδʹ. ... καὶ τοσ‐ ούτων ποδῶν ἔσονται αἱ ἀποχαὶ τῆς μείζονος καμάρας. τῇ δὲ αὐτῇ μεθόδῳ μετρήσωμεν καὶ ἐπ’ ἄλλων ἀριθμῶν·

2

.

30

.

2

τὸ δὲ περικείμενον οἰκοδόμημα τῆς καμάρας μετρήσω‐ μεν οὕτως· σύνθες τὴν ἐλάσσονα περιφέρειαν καὶ τὴν μείζονα, τά τε ι καὶ τὰ ιη· γίνονται κη. τούτων ληψό‐
μεθα τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ιδ. ταῦτα πολυπλασίαζε ἐπὶ τὸ108
5βάθος, ἐπὶ τοὺς ι πόδας· γίνονται ρμ. ταῦτα πολυ‐ πλασίασον ἐπὶ τὰ κη· γίνονται ͵γϡκ. καὶ τοσούτων ποδῶν ἔσται ἡ οἰκοδομὴ τῆς καμάρας, τουτέστιν ἡ περικειμένη τῷ κενώματι οἰκοδομὴ μετὰ τοῦ ἐπ’ αὐτῆς.

2

.

31

.

1

 Ἔστω καμάρα, ἧς ἡ διάμετρος ποδῶν κδ, τοῦ δὲ κενώματος οἱ πρῶτοι πρωτοσφῆνες ἐκ ποδῶν β, τὸ δὲ βάθος ποδῶν ιη. ποίει οὕτως· σύνθες πάντοτε τοὺς πρώτους πρωτοσφῆνας· γίνονται δ. τούτοις πρόσθες
5τὴν διάμετρον τοῦ κενώματος τοὺς κδ· γίνονται κη. τούτους ἐφ’ ἑαυτούς· γίνονται ψπδ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ͵ηχκδ. τούτων πάντοτε λάμβανε τὸ κηʹ· γί‐ νονται τη. ταῦτα ἀπόγραψαι. εἶτα τὴν διάμετρον τοῦ κενώματος ἐφ’ ἑαυτὴν τὰ κδ· γίνονται φοϛ. ταῦτα ἑν‐
10δεκάκις· γίνονται ͵ϛτλϛ. ταῦτα μέριζε παρὰ τὸν κη· γίνονται σκϛ δʹ κηʹ. ταῦτα ὕφελε ἀπὸ τῶν τη· λοιπὸν πα εζ. ταῦτα ποίησον ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τοὺς ιη· γίνον‐

2

.

31

.

2

ται ͵αυο 𐅵ʹ γʹ μβʹ. τοσούτων ποδῶν ἔσται ἡ καμάρα. ἐὰν δὲ ἀπὸ περιφερείας μετρῆται ἡ καμάρα ἡ αὐτή, ποιῶ οὕτως· σύνθες τὰ κδ καὶ πρόσθες τὸν πρῶτον πρωτοσφῆνα, τουτέστι τὸ πάχος τῶν β ποδῶν· ὁμοῦ γίνονται κϛ.
5ταῦτα πολυπλασίασον εἰς τὰ γ καὶ ζʹ τούτων πρόσθες· γίνονται πα 𐅵ʹ ζʹ ιδʹ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται μ 𐅵ʹ γʹ μβʹ. τοσ‐ ούτων ἡ μεσότης τῶν β περιφερειῶν ἐστιν. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸν πρωτοσφῆνα, ἐπὶ τοὺς β πόδας τοῦ πά‐ χους· γίνονται πόδες πα 𐅵ʹ ζʹ ιδʹ. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ
10βάθος, ἐπὶ τοὺς ιη πόδας· γίνονται πόδες ͵αυο 𐅵ʹ γʹ μβʹ.
τοσούτων ποδῶν ἔστω ἡ καμάρα.110

2

.

32

.

1

 Ὡς δεῖ μετρῆσαι καμάραν ἀπευλόγου. ἔστω καμάρα, ἧς ἡ διάμετρος ποδῶν ι, οἱ δὲ πρωτοσφῆνες, οἵ εἰσιν πλάτος τοῦ κλίματος τῆς καμάρας, ἑκατέρωθεν ἐκ πο‐ δῶν β, τῶν ἀπευλόγων αἱ βάσεις ἐκ πάχους ποδῶν γ,
5ἡ δὲ κάθετος ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ πάχους ποδῶν ιε, τὸ δὲ βάθος τῆς καμάρας ποδῶν ιβ. ποιῶ οὕτως· τοὺς τοῦ κενώματος τοὺς ι πόδας ἐφ’ ἑαυτούς· γίνονται ρ. ταῦτα ποιῶ ἑνδεκάκις· γίνονται ͵αρ. τούτων τὸ κηʹ· γίνονται λθ δʹ κηʹ. ταῦτα ἀπόγρα‐
10ψαι. καὶ σύνθες τὴν βάσιν τῆς καμάρας σὺν πάχεσι, τὰ γ καὶ τὰ β καὶ ιβ καὶ γ· ὁμοῦ γίνονται κ. ταῦτα ποίει ἐπὶ τὰ ιε· γίνονται τ. τούτων τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ρν. ἀπὸ τούτων ἆρον τὰ λθ δʹ κηʹ· λοιπὸν γίνονται πόδες ρι εζ. ταῦτα ἐπὶ τὸ βάθος τῆς καμάρας, ἐπὶ τοὺς ιβ
15πόδας· γίνονται ͵ατκη 𐅵ʹ ιδʹ. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεόν.

2

.

33

.

1

 Ἐὰν δὲ ἡ καμάρα ὀπτοπλίνθινος ᾖ, τὰ δὲ ἄλλα πάχη διὰ σπαρακτοῦ, καὶ θέλωμεν διαχωρίσαι, τοῦτο ποιοῦμεν οὕτως· σύνθες τοὺς ι πόδας τοῦ κενώματος καὶ τοὺς ἑκατέρωθεν πρωτοσφῆνας τοὺς ἀνὰ β· ὁμοῦ
5γίνονται πόδες ιδ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρϞϛ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ͵βρνϛ· ὧν κηʹ, ἐπειδή ἐστιν 𐅵ʹ κύκλου, γίνονται οζ. ἀπὸ τούτων ὕφελε τοὺς τοῦ κενώματος τοὺς λθ δʹ κηʹ· λοιπὸν γίνονται πόδες λζ 𐅵ʹ ζʹ ιδʹ. τούτους ποίει ἐπὶ τὸ βάθος τῆς καμάρας, ἐπὶ
10τοὺς ιβ πόδας· γίνονται πόδες υνβ 𐅵ʹ ιδʹ. τοσούτων
ποδῶν εἰσιν οἱ ὀπτόπλινθοι. τούτους ὕφελε ἀπὸ τοῦ παντὸς στερεοῦ τῶν ͵ατκη 𐅵ʹ ιδʹ· λοιπὸν γίνονται σπα‐ ρακτοῦ πόδες ωοϛ.112

2

.

34

.

1

 Ὡς δεῖ κόγχην μετρεῖν ἐν τῇ πλίνθῳ, ἧς ἡ διά‐ μετρος τοῦ κενώματος ποδῶν ιη, οἱ πρωτοσφῆνες ἑκα‐ τέρωθεν ἐκ ποδὸς α· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· σύνθες τοὺς τοῦ κενώματος πόδας ιη καὶ τοὺς πρω‐
5τοσφῆνας τοὺς β· γίνονται πόδες κ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται υ. καὶ πάλιν ἐπὶ τοὺς κ· γίνονται ͵η· καὶ ἐγένετο κύβος· ὧν 𐅵ʹ γίνονται ͵δ, καὶ πάλιν ὧν καʹ γίνονται ρϞ γʹ ζʹ· ὁμοῦ γίνονται πόδες ͵δρϞ γʹ ζʹ. τοσ‐ ούτου ἔσται ἡ σφαῖρα, ὡς Ἀπολλώνιος ἐν τῷ γʹ τῶν

2

.

34

.

2

Λογιστικῶν. πάλιν τοὺς τοῦ κενώματος πόδας ιη ἐφ’ ἑαυτούς· γίνονται τκδ. τούτους ἐπὶ τοὺς ιη· γίνονται πόδες ͵εωβ καὶ λ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται ͵βϡιϛ. καὶ λαβὲ αὐτῶν τὸ μβʹ τῶν ͵εωλβ· γίνονται ρλη β̸ ζʹ καʹ· ὁμοῦ
5σύνθες· γίνονται πόδες ͵γνδ β̸ ζʹ καʹ. ταῦτα ὕφειλον ἀπὸ τῶν ͵δρϞ γʹ ζʹ· λοιπὸν ͵αρλε 𐅵ʹ ιδʹ καʹ. τούτων τὸ δʹ, ἐπειδὴ κόγχης ἐστίν, ἔστι δὲ δʹ τῆς σφαίρας·

2

.

34

.

3

γίνονται σπγ 𐅵ʹ γʹ ιδʹ. τοσούτου τὸ στερεὸν τῆς κόγχης. ἐὰν δὲ νενομισμένη ᾖ ἡ μέτρησις ὡς στερεοῦ, καὶ ὑφέλῃς τὸ κένωμα τῆς κόγχης εἰς τὸ ὀπτόπλινθον, καὶ τὸ λοιπὸν ἔσται τῶν νενομισμένων.

2

.

35

.

1

 Ἐὰν δὲ ᾖ κόγχη συνεψηφολογημένη, μετρήσεις οὕ‐ τως· ἔστω ἡ διάμετρος ποδῶν ιη. ἐπεὶ ἡ κόγχη δʹ μέρος ἐστὶ τῆς σφαίρας, ἡ δὲ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια
τετραπλασία ἐστὶ τοῦ μεγίστου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύ‐114
5κλου τοῦ ἐπιπέδου ποδῶν ιη, ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνον‐ ται τκδ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ͵γφξδ· ὧν ιδʹ γί‐ νονται σνδ δζ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ ἐν αὐτῇ ψηφολόγημα.

2

.

36

.

1

 Ἐὰν δὲ ὅλης τῆς σφαίρας βούλῃ τὴν ἐπιφάνειαν εὑρεῖν, τετραπλασίασον τοὺς σνδ δζ· γίνονται ͵αιη καὶ β ἕβδομα. τοσούτου ἡ τῆς ὅλης σφαίρας ἐπιφάνεια ἔσται.
5λέγει τοῦτο Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαιρικῶν.

2

.

37

.

1

 Καμάραν μετρῆσαι ἔλαττον ἡμικυκλίου τὸ ἔγχυμα ἔχουσαν, ἧς ἡ βάσις τοῦ κενώματος ποδῶν ιδ, οἱ πρω‐ τοσφῆνες ἑκατέρωθεν ἐκ ποδῶν β, ἡ κάθετος ἐν τῷ κενώματι ποδῶν ϛ, τὸ μῆκος ποδῶν ιε. ποίει οὕτως·
5σύνθες τοὺς ιδ πόδας τοῦ κενώματος καὶ τοὺς ϛ τῆς καθέτου· γίνονται κ. τούτων τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ι. ταῦτα ἐπὶ τὰ ϛ· γίνονται ξ. καὶ σύνθες πάλιν τοὺς τοῦ κενώματος πόδας ιδ καὶ τοὺς ἑκατέρωθεν πρωτοσφῆνας ἀνὰ ποδῶν β· ὁμοῦ γίνονται ιη. τούτοις πρόσθες τὰ
10ϛ τοῦ κενώματος τῆς καθέτου καὶ τοὺς β πόδας· γί‐ νονται κϛ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται ιγ. ταῦτα ἐπὶ τὰ τῆς ὅλης ἀνατάσεως, ἐπὶ τὰ η· γίνονται ρδ. ἀπὸ τούτων ὕφελε τοὺς τοῦ κενώματος πόδας ξ· λοιπὸν τοῦ στερεώματος πόδες μδ. τούτους ποίησον ἐπὶ τοὺς ιε τοῦ μήκους·
15γίνονται πόδες χξ. τοσούτων ἡ καμάρα.

2

.

38

.

1

 Κόγχην μετρῆσαι, ἧς ἡ βάσις ποδῶν ιβ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς ποδῶν δ, ἡ δὲ ὑπὸ τὸ ἀναφύσημα ποδῶν γ·
εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τῶν ιβ τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ϛ .... σύνθες· γίνονται νβ. πρόσθες αὐτοῖς116
5τὸ 𐅵ʹ· γίνονται κϛ· ὁμοῦ γίνονται οη. καὶ τὰ γ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται θ· μετὰ τῶν οη ὁμοῦ γίνονται πζ. ταῦτα ἐπὶ τὰ γ· γίνονται σξα. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνον‐ ται ͵βωοα. τούτων τὸ μβʹ· γίνονται ξη ϛʹ ζʹ καʹ· [κατὰ]

2

.

38

.

2

τὸ στερεόν. τῆς αὐτῆς κόγχης εὑρεῖν τὴν ἐπιφάνειαν. ποιῶ οὕτως· τῶν ιβ τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ϛ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται λϛ. καὶ τὰ δ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ιϛ· ὁμοῦ γίνονται νβ. τούτων τὸ 𐅵ʹ· γίνονται κϛ. καὶ τὰ
5γ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται θ. ταῦτα πρόσθες τοῖς κϛ· ὁμοῦ γίνονται λε. ταῦτα τρίς· γίνονται ρε. ταῦτα ἑν‐ δεκάκις· γίνονται ͵αρνε. τούτων τὸ καʹ· γίνονται νε· ἡ ἐπιφάνεια.

2

.

39

.

1

 Κόγχην μετρῆσαι, ἧς ἡ διάμετρος ποδῶν ιδ καὶ ἡ κάθετος ποδῶν ζ, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν β· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· σύνθες διάμετρον καὶ τὰ β πάχη· ιη. ταῦτα κύβισον· γίνονται ͵εωλβ. τούτων ἆρον
5τὴν διάμετρον κυβίσας· γίνονται ͵βψμδ· λοιπὸν γίνον‐ ται ͵γπη. ταῦτα ἐπὶ ια· γίνονται γ͵γϡξη. τούτων τὸ πδʹ· γίνονται υδ γʹ καʹ. τοσούτων ποδῶν τὸ στερεόν.

2

.

40

.

1

 Ἄλλως. τῇ διαμέτρῳ πρόσθες τὸ ἓν πάχος· γίνον‐ ται ιϛ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται σνϛ. ταῦτα ἐπὶ ια· γίνονται ͵βωιϛ. τούτων τὸ ιδʹ· γίνονται σα ζʹ. ταῦτα δίς· γίνονται υβ καὶ β ἕβδομα.
5————————118

2

.

41

.

1

 Στοὰ ἔχουσα τὸ μὲν μῆκος ποδῶν ριδ, τὸ δὲ πλά‐ τος ποδῶν ιβ 𐅵ʹ· εὑρεῖν, πόσους πήχεις στρωτήρων λαμβάνει. ποίει οὕτως· τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος· γί‐ νονται ͵αυκε. προστίθει αὐτοῖς δι’ ὅλου τὸ ιʹ· γίνον‐
5ται ρμβ 𐅵ʹ· σύνθες ὁμοῦ· γίνονται ͵αφξζ 𐅵ʹ. τοσούτων πηχῶν στερεὸν λήψεται. προσετέθη τὸ ιʹ διὰ τὴν μέλ‐ λουσαν ἀπουσίαν γίνεσθαι τοῦ στρωτῆρος.

2

.

42

.

1

 Ἔστω πυλὼν ὁ ὑποκείμενος, ὡς κατατέτακται, ἔχων ἐπάνω τὴν ψαλίδα· ἐξ ἑκατέρου μέρους ἔστωσαν κίονες στρογγύλοι ἐπὶ βάσεων, καὶ αἱ μὲν βάσεις ἐχέτωσαν τὰ μὲν πλάτη ἀνὰ ποδῶν δ 𐅵ʹ, τὰ δὲ μήκη ἀνὰ ποδῶν
5ζ, τὸ δὲ πάχος ποδῶν γ 𐅵ʹ· γίνονται ἕκαστος τοῦ λίθου πόδες ρι δʹ. ἐχέτω δὲ ἀπὸ τῆς βάσεως ἡμιπόδια β. ἀφαιρῶ τοίνυν ἀπὸ τοῦ μήκους· λοιπὸν ϛ. τοσούτων ἔσται ἡ βάσις τῶν στύλων. τὸ δὲ ὕψος ἔστω ποδῶν ιδ, ἡ δὲ κορυφὴ ἀνὰ ποδῶν β, τὸ δὲ διάστημα τοῦ
10πυλῶνος ..... ὡς ἐπὶ τῶν κολοβῶν κώνων ἐστὶν ὑπὸ τὸν ἀνώτερον ὑποδεδειγμένον .. καὶ .... ὅσου ἐὰν
ὦσιν. ἐκθήσομαι ἐπὶ τῷ αὐτῷ ἐπιχόμενος μέτρῳ τὸ μεῖζον ἡμικύκλιον, ὡς ἐμάθομεν· ἐὰν δὲ ᾖ μείζων ἢ ἐλάσσων, ποίει ὡς τὰ τμήματα τοῦ κύκλου.120

2

.

42

.

2

 τὸ μὲν ἡμικύκλιον μετρηθὲν γίνεται ποδῶν νδ· ὅλην γὰρ ἔχει τὴν βάσιν ποδῶν ιβ. ἔπειτα ἀνταναφέρω τοὺς β πόδας τοὺς ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐξ ἑκατέρου τοῦ μέρους [λοιπόν εἰσι πόδες ν]. ἐμέτρησα νῦν ἕτερον
5ἡμικύκλιον ἔλασσον, ὡς ἐπὶ τοῦ πρώτου μετρηθέντος, καὶ γίνεται ποδῶν κδ· ἃ συναναφέρω ἀπὸ τοῦ μείζονος ἡμικυκλίου, οἷον ἀπὸ τῶν νδ τὰ κδ· λοιπὸν λ. τοσ‐ ούτων ἔσται αὐτὴ ἡ ψαλίς. τῷ δ’ ἐν ταῖς στερεομε‐ τρίαις ἔξεστιν εὐκόπως κατακολουθεῖν, ἐπεὶ ἑνὸς ἑκά‐
10στου ἡ μέτρησις, καθὼς ἄνω προδεδήλωται.

2

.

43

.

1

 Ἔστω οἶκος ἔχων τὸ μῆκος ποδῶν κ καὶ τὸ πλάτος ποδῶν ιγ 𐅵ʹ· δεῖ δὲ γνῶναι, πόσαι εἰς τοῦτον τὸν οἶκον κεραμίδες ἀναβαίνουσιν· ἔστω δὲ ἡ κεραμὶς πο‐ δῶν β, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν α 𐅵ʹ. ποίει οὕτως· ἐπειδὴ
5ἡ κεραμὶς ἡμιπόδιον ὑποτίθεται ὑπὸ τὴν ἑτέραν κερα‐ μίδα, ἄφελε ἀπὸ τοῦ μήκους τῆς κεραμίδος, εἰς ὃν τόπον κατέχει. καὶ ἐπεί ἐστι τὸ μῆκος ποδῶν κ, τὸ
δὲ πλάτος ποδῶν ιγ 𐅵ʹ, πολυπλασίασον τὰ κ ἐπὶ ιγ 𐅵ʹ· γίνονται σο. ταῦτα μέρισον εἰς τὰ β δʹ· γίνονται ρκ.122
10τοσαῦται ἀναβήσονται κεραμίδες ἐπὶ τὸν οἶκον.

2

.

44

.

1

 Ἔστι δὲ καὶ ἑτέρα μέθοδος ἐπὶ τῶν κεραμίδων. ἐὰν ᾖ οἶκος ἔχων τὸ μῆκος ποδῶν ξ, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν λ, ἄφελε διὰ παντὸς τὸ γʹ μέρος τῶν ξ· λοι‐ πὸν μ. καὶ ἔτι ὁμοίως ἀπὸ τοῦ πλάτους ἀπὸ τῶν λ
5τὸ γʹ· λοιπὸν κ. καὶ πολυπλασίασον τὰ μ ἐπὶ τὰ κ· γίνονται ω. τοσαῦται κεραμίδες ἀναβήσονται ἐπὶ τὸν οἶκον. εὕρηται καὶ ταῦτα τῇ μεθόδῳ.

2

.

45

.

1

 Ἔστω δὲ στῦλος, καὶ ἐπιστηκέτω ἐπ’ αὐτὸν ὑδρία κεράμιον χωροῦσα Ἰταλικὸν ξεστῶν μη, ἔχει δὲ τρύ‐ πημα περὶ τὸν πυθμένα δακτύλου α. ἀπολυομένου οὖν, φησί, τοῦ ὕδατος καὶ ἐνεχθέντος ἐπὶ τὴν γῆν παρα‐
5χρῆμα κενοῦται ἡ ὑδρία. ἐκ τούτου οὖν τοῦ λόγου εὑρεῖν τὸ ὕψος τοῦ στύλου. ἀποδειχθήσεται οὖν οὕ‐
τως· ἐπειδή ἐστιν ἡ ὑδρία κεράμιον χωροῦσα ξεστῶν μη, ὁ δὲ ποὺς ὁ τετράγωνος χωρεῖ ξέ‐ στας Ἰταλικοὺς μη, ἔχει δὲ ὁ κύβος τοῦ124
10στερεοῦ ποδὸς δακτύλους ͵δϞϛ, ἔστι δὲ τὸ τρύπημα δακτύλου α, λήψομαι τοί‐ νυν τῶν ͵δϞϛ τὸ ιϛʹ, ἵνα ἔχωμεν πό‐ δας εὐθυμετρικούς, οἵ εἰσι δακτύλων σνϛ. τοσούτων ἄρα ποδῶν ἔσται ὁ στῦ‐

2

.

45

.

2

λος· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. φανερὸν δέ σοι ἔσται ἐκ τούτου τοῦ λόγου, ὅσου ἂν δοθῇ ἡ ὑδρία, καὶ πηλίκον ἂν ᾖ τὸ τρύπημα, ὡς δεῖ μεθοδικῶς ζητῆσαι,
5καθὼς καὶ ἐπὶ τούτου δέδεικται.

2

.

46

.

1

 Ἀμφορὰ ὕδατος κρέμαται τρύπημα ἔχουσα δακτύλων β· καὶ συνέβη ἅψα‐ σθαι τὸ ὕδωρ τῆς γῆς καὶ κεκενῶ‐ σθαι τὴν ἀμφοράν. ζητῶ, ἀπὸ πόσων ποδῶν ἐκρέ‐
5ματο τῆς γῆς. ποιῶ οὕτως· ὅσων ἐὰν εἴπῃ δακτύ‐ λων, ἕλκε ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται δ. καὶ ἐπειδὴ ὁ ποὺς ἔχει δακτύλους ιϛ, ἐφ’ ἑαυτούς· γίνονται σνϛ. ταῦτα μέριζε παρὰ τὸν δ· γίνονται ξδ. τοσούτων ποδῶν τὸ ὕψος ἦν.

2

.

47

.

1

 Ὁ σωλὴν ὁ οὐγκίαν φέρων ἔχει τὴν διάμετρον δα‐ κτύλου α. ἐὰν οὖν τις βουληθῇ κατασκευάσαι σωλῆνα γραμμάτων θ, εὑρεῖν, πόσων δακτύλων τάσσωμεν τὸν σωλῆνα ἔχοντα διάμετρον. ποιῶ οὕτως· ἐπειδὴ ὁ σω‐
5λὴν οὐγκίας α δάκτυλον α ἔχει, ἀναλύω τὴν οὐγκίαν εἰς γράμματα· γίνονται κδ. καὶ πολυπλασιάζω τὰ κδ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται φοϛ. ἐπειδὴ σωλῆνα θ γραμμάτων βουλόμεθα κατασκευάσαι, πάλιν ποιῶ τὰ θ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται πα. ταῦτα εἰς φοϛ· γίνονται ξδ. τοσούτων126
10δακτύλων τὸν σωλῆνα τῶν θ γραμμάτων τάσσομεν.

2

.

48

.

1

 Πῶς δεῖ ὀθόνας ἐκμετρεῖν εἰς ἄρμενον. ἔστω ἱστός, οὗ τὸ μὲν ὑποκέρας ποδῶν π, βάθος ποδῶν ν· εὑρεῖν, πόσα ὀθόνια ἐμπεσοῦνται εἰς τὸ ἄρμενον ἐχούσης τῆς ὀθόνης τὸ μὲν μῆκος ποδῶν δ, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν
5γ. ποίει οὕτως· τὰ γ ἐπὶ τὰ δ· γίνονται ιβ. ταῦτα τετράκις· γίνονται μη. καὶ τὰ π ἐπὶ τὰ ν· γίνονται ͵δ. τούτων τὸ μηʹ· γίνονται πγ γʹ. τοσαῦτα ἀπέρχεται ὀθόνια

2

.

49

.

1

 Ἄλλως τὸ αὐτό. τὰ ν ἐπὶ τὰ π· γίνονται ͵δ· ὧν δʹ γίνονται ͵α. καὶ ποιῶ τοὺς γ ἐπὶ τοὺς δ· γίνονται πόδες ιβ. λαμβάνω τῶν ͵α τὸ ιβʹ· γίνονται πγ γʹ. φανερόν.

2

.

50

.

1

 Πλοίου τὸ μῆκος ποδῶν κδ, ἡ δὲ βάσις ποδῶν ϛ, ἡ δὲ κατάβασις ποδῶν δ· εὑρεῖν, πόσα κεράμια ἢ πό‐
σους μοδίους χωρεῖ. ποιῶ οὕτως· τὴν κατάβασιν ἐπὶ τὴν βάσιν· γίνονται πόδες κδ. τούτους πολυπλασιάζω128
5ἐπὶ τὸ μῆκος, ἐπὶ τοὺς κδ· γίνονται πόδες φοϛ. τού‐ των τὸ γʹ προστιθῶ τοῖς φοϛ· ὁμοῦ γίνονται ψξη. τοσαῦτα κεράμια χωρεῖ. χωρεῖ δὲ τὸ κεράμιον μοδίους ι· γίνονται ͵ζχπ.

2

.

51

.

1

 Ἔστω πλοῖον, καὶ ἐχέτω [μῆκος] ἀπὸ κορύμβου εἰς κόρυμβον τὸ μὲν μῆκος ποδῶν ν, τὸ δὲ πλάτος πο‐ δῶν ιβ καὶ τὸ βάθος ποδῶν ζ. ποίει οὕτως· τὰ ν ἐπὶ τὰ ιβ· γίνονται χ. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τοὺς ζ·
5γίνονται ͵δς. ταῦτα ποιῶ δι’ ὅλου ἑξάκι· γίνονται β͵ες. τοσούτους μοδίους χωρήσει τὸ πλοῖον.

2

.

52

.

1

 Πλοῖον μετρήσωμεν, οὗ τὸ μῆκος πηχῶν μη, ἡ δὲ ἔμβασις πηχῶν δ καὶ ἡ διάβασις πρώρας πηχῶν ϛ, ἡ δὲ ἄνω βάσις πρύμνης καὶ πτέρνης πηχῶν η καὶ ἡ βάσις μέση πηχῶν θ· εὑρεῖν, πόσους μοδίους χωρεῖ.
5ποίει οὕτως· σύνθες πρώραν καὶ πρύμναν· γίνονται ιδ. τούτων τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ζ. τούτοις πρόσθες τὴν διάβασιν τῆς μέσης· ὁμοῦ γίνονται πήχεις ιϛ. τούτων τὸ 𐅵ʹ· γίνονται η· τούτους ποιῶ ἐπὶ τὴν βάσιν, ἐπὶ τοὺς δ πήχεις· γίνονται πήχεις λβ. ἐπὶ τὸ μῆκος, ἐπὶ τοὺς
10μη πήχεις· γίνονται πήχεις ͵αφλϛ. ὁ δὲ πῆχυς χωρεῖ Ἰταλικοὺς μοδίους ιβ 𐅵ʹ· γίνονται μόδιοι Μα ͵θς. τοσ‐ ούτους μοδίους χωρήσει τὸ πλοῖον.130

2

.

53

.

1

(t)

Μέτρησις ὄντος σίτου ἐξ ἀποθέσεως.
1 ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει σίτου μοδίους γ, ἕκαστος μό‐ διος ἀπὸ ξεστῶν ιϛ· γίνονται ξέσται μη. ἕκαστος ξέστης ἀπὸ Γο κ. ἐὰν δὲ ᾖ μόδιος ξεστῶν ιη, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει
5σίτου μοδίους β 𐅵ʹ ϛʹ. ἐὰν δὲ ᾖ μόδιος ξεστῶν κ, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει μοδίους β γʹ ιεʹ. ἐὰν δὲ ᾖ μόδιος ξεστῶν κβ, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει μοδίους β ϛʹ ξϛʹ.
10 ἐὰν δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν κδ, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει μοδίους β. ἐὰν δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν κε, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει μόδιον α 𐅵ʹ γʹ ιεʹ νʹ. ἐὰν δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν κη, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει
15μόδιον α 𐅵ʹ ζʹ ιδʹ. ἐὰν δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν λ, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει μόδιον α 𐅵ʹ ιʹ. ἕκαστος ξέστης ἀπὸ Γο κ. εἰ δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν λβ, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει μόδιον α 𐅵ʹ.

2

.

53

.

2

 Δεῖ οὖν εἰδέναι ἐπὶ τῆς μετρήσεως τῶν ὁρίων καὶ λαμβάνειν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παντὸς καὶ ποιεῖν ἐπὶ τὸ
ὕψος ἤτοι ἐπὶ τὸ βάθος, καὶ ὅτε εὕρῃς τὸ στερεὸν τοῦ παντὸς [ἐμβαδοῦ] τῆς ἀποθέσεως τοῦ σίτου, τότε πρὸς132
5τὸν μόδιον ποίει τὰ μέτρα οὕτως·

2

.

53

.

3

 ἐὰν ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν ιϛ, ποίει τὸ στερεὸν τοῦ σίτου ἤτοι κριθῶν ἐπὶ τὰ γ· καὶ τοσοῦτοι μόδιοι ἔσον‐ ται, ἐπειδὴ ὁ στερεὸς ποὺς χωρεῖ μοδίους γ, ἕκαστος μόδιος ἀπὸ ξεστῶν ιϛ, ἕκαστος ξέστης ἀπὸ Γο κ.
5 ἐὰν δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν ιη, ποίει τὸ στερεὸν τοῦ σίτου ἤτοι κριθῶν, καθὼς προγέγραπται, ἐπὶ τὰ β 𐅵ʹ ϛʹ· καὶ τοσοῦτοι μόδιοι ἔσονται. ἐὰν δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν κ, ποίει τὸ στερεὸν τοῦ ποδισμοῦ ἐπὶ τὰ β γʹ ιεʹ· καὶ τοσοῦτοι ἔσονται μόδιοι.
10 ἐὰν δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν κβ, ποίει τὸ στερεὸν τοῦ ποδισμοῦ ἐπὶ τὰ β ϛʹ ξϛʹ· καὶ τοσοῦτοι ἔσονται μόδιοι. ἐὰν δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν κε, ποίει τὸ στερεὸν τοῦ ποδισμοῦ ἐπὶ τὸν α 𐅵ʹ γʹ ιεʹ νʹ· καὶ τοσοῦτοι ἔσονται μόδιοι.
15 ἐὰν δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν κη, ποίει τὸ στερεὸν τοῦ ποδισμοῦ τῆς ἀποθέσεως τοῦ σίτου ἤτοι κριθῶν διὰ τῶν α 𐅵ʹ ζʹ ιδʹ· καὶ τοσοῦτοι ἔσονται μόδιοι.

2

.

53

.

4

 Δεῖ δὲ εἰδέναι ἐν τῇ ἀποθέσει τοῦ σίτου ἤτοι κρι‐ θῶν, ὅτι, ἂν πρόσφατος ἀποτεθῇ, ψυγόμενος ὁ στερεὸς ποὺς ἀποποιεῖ μέρος ιʹ νεʹ οὕτως· ὄντος σίτου ἐξ ἀποθέσεως ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει
5ξέστας νε, ἕκαστος ξέστης Γο κ. εἰ δὲ πρόσφατος ἐτέθη,
ἔχει ὁ στερεὸς ...134

2

.

54

.

1

(t)

Μέτρησις ὁρίων διαφόρων.
1 Σῖτος ἀπόθετος ἀποτεθεὶς πρὸ φανεροῦ χρόνου εὑρέθη εἰς τὸν στερεὸν πόδα μοδίων β 𐅵 ἀπὸ ξεστῶν κβ· γίνονται ξέσται Ἰταλικοὶ νε ἀπὸ Γο κ· ἐπιβάλλου‐ σιν εἰς τὸν στερεὸν πόδα λίτραι Ϟα β̸. ἐν δὲ τῷ
5προσφάτως ἀποτεθέντι ἐν τοῖς ὁρίοις εὑρέθησαν εἰς τὸν στερεὸν πόδα μόδιοι β ξέσται μδ [καὶ] Γο κ· γί‐ νονται λίτραι π· ὅπερ ὅριον ἐμετρήθη.

2

.

54

.

2

 Ὅριον κριθῶν ἀποκειμένων πρὸ φανεροῦ χρόνου· καὶ εὑρέθησαν εἰς τὸν στερεὸν πόδα τῶν κριθῶν μό‐ διοι β 𐅵ʹ ἀπὸ ξεστῶν κβ ἐξ Γο κ· γίνονται λίτραι Ϟα β̸. ἐν δὲ ταῖς προσφάτως ἀποτεθείσαις κριθαῖς εὑρέθησαν
5εἰς τὸν στερεὸν πόδα ξέσται Ἰταλικοὶ μη 𐅵ʹ ϛʹ Γο κ·

2

.

54

.

3

γίνονται λίτραι π 𐅵ʹ γʹ. οἴνου εἰς τὸν στερεὸν πόδα Ἰταλικοὺς λϛ γίνονται ξέσται μ ιη. λάρδου εἰς πόδα α λίτραι οε. ταῦτα δὲ ἐξαγιάσθησαν ἐπὶ Μοδέστου τηνικαῦτα ὄντος ἐπάρχου πραιτωρίων.

2

.

55

.

1

(t)

Μέτρησις πυραμίδων.
1 Πυραμίδα ἐπὶ τετραγώνῳ βεβηκυῖαν μετρήσωμεν οὕτως· ἑκάστη τῶν πλευρῶν τῆς βάσεως ἀνὰ ποδῶν κδ καὶ τὰ κλίματα τῆς πυραμίδος ἀνὰ ποδῶν ιη. ποίει τὰ κδ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται φοϛ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται σπη.
5καὶ τὰ ιη ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται τκδ. ἀπὸ τούτων ἄφελε τὰς σπη· λοιπὸν λϛ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ϛ. τοσούτων ἔσται ἡ κάθετος τῆς πυραμίδος. ἐπεὶ οὖν ἡ κάθετός ἐστι ποδῶν ϛ, λάμβανε τῆς καθ‐ έτου γʹ· γίνονται β. ταῦτα ποίει ἐπὶ τὰ φοϛ· γίνονται
10͵αρνβ. τοσούτου ἔσται τὸ στερεόν.136

2

.

56

.

1

 Ἔστω πυραμὶς ἔχουσα τὴν βάσιν τετράγωνον, καὶ ἐχέτω τὸ τετράγωνον ἑκάστην πλευρὰν ἀνὰ ποδῶν ι, ἡ δὲ πυραμὶς ἐχέτω πλευρὰς ἀνακεκλιμένας ἀνὰ ποδῶν ιγ 𐅵ʹ· εὑρεῖν τῆς πυραμίδος τὴν κάθετον καὶ τὸ στε‐
5ρεόν. ποιῶ οὕτως· πολυπλασιάζω τοῦ τετραγώνου τὴν πλευρὰν ἐφ’ ἑαυτήν· γίνονται ρ. τούτων τὸ 𐅵ʹ· γίνον‐ ται ν. καὶ πολυπλασιάζω τὰ ιγ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρπβ δʹ. ἀφαιρῶ ἀπὸ τούτων τὰ ν· λοιπὸν ρλβ δʹ. τούτων λαμβάνω πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται ια 𐅵ʹ.

2

.

56

.

2

ἔσται ἡ κάθετος ποδῶν ια 𐅵ʹ. τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· ποιῶ τοῦ τετραγώνου τὸ ἐμβαδόν· γίνονται ρ. ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τὸ γʹ τῆς καθέτου, ὅ ἐστι ποδῶν γ 𐅵ʹ γʹ· γίνονται τπγ γʹ. ἔσται τὸ στερεὸν τῆς
5πυραμίδος τπγ γʹ.

2

.

57

.

1

 Πυραμίδα μετρῆσαι βάσιν ἔχουσαν τετράγωνον, ὥστε ἑκάστην τῶν περὶ τὴν βάσιν πλευρῶν ἔχειν πο‐ δῶν ιβ, τὰ δὲ κλίματα ἐκ ποδῶν λϛ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὴν βάσιν. ποιῶ οὕτως· τὴν πλευρὰν τὴν
5περὶ τὴν βάσιν τὰ ιβ πολυπλασίαζε ἐφ’ ἑαυτά· γίνον‐ ται ρμδ. εἶτα τὴν ἑτέραν ἐφ’ ἑαυτήν· γίνονται ρμδ· ὁμοῦ σύνθες· γίνονται σπη· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ιζ μετὰ διαφόρου. τοσούτου ἡ διαγώ‐ νιος τοῦ περὶ τὴν βάσιν τετραγώνου. ὧν 𐅵ʹ γίνονται
10η 𐅵ʹ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται οβ δʹ· ἀπόγραψαι.

2

.

57

.

2

καὶ τὰ τοῦ κλίματος τὰ λϛ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ͵ασϞϛ. ἀπὸ τούτων ἆρον τὰ οβ δʹ· λοιπὸν ͵ασκδ μετὰ διαφό‐ ρου· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται λε μετὰ διαφόρου.
τοσούτου καὶ ἡ κάθετος. ταῦτα ποίει ἐπὶ τὰ ρμδ τὸ138
5ἐμβαδόν· γίνονται ͵εμ. τούτων λαβὲ τὸ γʹ· γίνονται

2

.

57

.

3

͵αχπ. τοσούτου ἔσται τὸ στερεόν. διὰ τί δὲ τὸ γʹ; ὅτι πᾶν πρίσμα στερεὸν διαιρεῖται εἰς γ πυραμίδας ἴσας [τῷ ὕψει τοῦ πρίσματος] τριγώνους βάσεις ἐχούσας· πεποιήκαμεν δὲ ὡς στερεὸν παραλληλεπίπεδον, τὸ δὲ
5στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἔχει πρίσματα β, ἕκαστον δὲ πρίσμα τῆς καθ’ ἑαυτὸ πυραμίδος ἐστὶ τριπλάσιον τὸ ἐπὶ τῆς ἡμισείας τῆς ὑποκειμένης πυραμίδος· ἔστι γὰρ τετράγωνον βάσιν ἔχουσα. ἀπέδειξεν Εὐκλείδης ἐν τῷ δωδεκάτῳ.

2

.

58

.

1

 Πυραμὶς κόλουρος τετράγωνος, ἧς αἱ πλευραὶ τῆς βάσεως ἀνὰ ποδῶν ι καὶ αἱ πλευραὶ τῆς κορυφῆς ἀνὰ ποδῶν β, τὸ δὲ κλίμα ποδῶν θ. μετρηθήσεται οὕτως· ὕφελε τὰ β τῆς κορυφῆς ἀπὸ τῶν ι τῆς βάσεως· λοι‐
5πὸν η. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ξδ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται λβ. καὶ τὰ θ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται πα. ἀπὸ τούτων ὕφελε τὰ λβ· λοιπὸν μθ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γί‐

2

.

58

.

2

νεται ποδῶν ζ. τοῦτό ἐστιν ἡ κάθετος. ἐπεὶ οὖν ἡ κάθετος ποδῶν ζ, εὑρεθήσεται τὸ στερεὸν οὕτως· σύν‐ θες τὰ β τῆς κορυφῆς καὶ τὰ ι τῆς βάσεως· ὁμοῦ γί‐ νονται ιβ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται ϛ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνον‐
5ται λϛ. εἶτα ἄφελε ἀπὸ τῶν ι τὰ β τῆς κορυφῆς· λοιπὸν η· ὧν 𐅵ʹ γίνονται δ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνον‐ ται ιϛ· ὧν γʹ γίνονται ε γʹ. ταῦτα πρόσθες τοῖς λϛ· ὁμοῦ γίνονται μα γʹ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ζ τῆς καθέτου· γίνονται σπθ γʹ. τοσούτων ἔσται τὸ στερεὸν ποδῶν.

2

.

59

.

1

Πυραμίδα ἡμιτελῆ μετρῆσαι τὴν λεγομένην κόλου‐
ρον τὴν βάσιν ἔχουσαν τετράγωνον, ἧς αἱ περὶ τὴν βάσιν πλευραί εἰσιν ἐκ ποδῶν ιϛ καὶ αἱ περὶ τὴν κορυ‐ φὴν ἐκ ποδῶν ϛ καὶ τὰ κλίματα ἐκ ποδῶν μ· εὑρεῖν, πό‐140
5σων ἐστὶ ποδῶν. ποίει οὕτως· τὰ ιϛ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται σνϛ· καὶ ὁμοίως τὰ ἕτερα ιϛ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται σνϛ. σύν‐ θες ὁμοῦ· γίνονται φιβ. τούτων ἀεὶ λάμβανε πλευρὰν τε‐ τραγωνικήν· γίνονται κβ β̸. τοσούτου μετὰ διαφόρου ἡ

2

.

59

.

2

διαγώνιος τοῦ ἐν τῇ βάσει τετραγώνου. εἶτα ὁμοίως τὰ περὶ τὴν κορυφὴν τὰ ϛ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται λϛ. καὶ ὁμοίως τὰ παρακείμενα τὰ ϛ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται λϛ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται οβ. τούτων πλευρὰ τετραγω‐
5νικὴ γίνεται η 𐅵ʹ μετὰ διαφόρου. τοσούτου ἡ διαγώ‐

2

.

59

.

3

νιος τοῦ περὶ τὴν κορυφὴν τετραγώνου. ταῦτα ὕφελε ἀπὸ τῆς ἐν τῇ βάσει διαγωνίου, ἀπὸ τῶν κβ β̸· λοιπὸν ιδ ϛʹ. ταῦτα πολυπλασίαζε ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ς γʹ δʹ θʹ. καὶ ὁμοίως τὰ τοῦ κλίματος τὰ μ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται
5͵αχ. ἀπὸ τούτων ὕφελε τὰ ς γʹ δʹ θʹ. λοιπὸν ͵αυ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται λζ δʹ ϛʹ μετὰ διαφόρου.

2

.

59

.

4

τοσούτου ἡ κάθετος. ἔχομεν οὖν λίθον μείουρον, ὅ ἐστιν ἀνισοπαχοῦντα, οὗ αἱ περὶ τὴν βάσιν πλευραὶ ἐκ ποδῶν ιϛ, αἱ δὲ περὶ τὴν κορυφὴν ἐκ ποδῶν ϛ, μῆκος ποδῶν λζ δʹ ϛʹ. ποίει οὕτως· τοὺς ἐν τῇ βάσει
5δι’ ἀλλήλων· γίνονται σνϛ. καὶ ὁμοίως τοὺς ἐν τῇ κορυφῇ ϛ· γίνονται λϛ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται ςϞβ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται ρμϛ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ λζ δʹ ϛʹ· γίνονται ͵ευξγ. τοσούτων ποδῶν ἡ κόλουρος πυραμὶς καλουμένη.

2

.

59

.

5

ἐὰν δὲ μὴ ᾖ ἡ βάσις μήτε ἡ κορυφὴ τετράγωνος
ἀλλὰ ἑτερομήκης, κατὰ ἑκάστην τῶν πλευρῶν πολυ‐ πλασιάσας συνθήσεις [τὴν πλευρὰν] εἰς τὸ τὴν δια‐ γώνιόν σε εὑρεῖν· οἷον ἐπὶ ὑποδείγματος· ἐὰν ἡ μία142
5τῶν περὶ τὴν βάσιν ᾖ ποδῶν ιϛ, ἡ δὲ ἑτέρα ποδῶν ιβ, ποιήσεις τὰ ιϛ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται σνϛ· ὁμοίως καὶ τὰ ιβ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρμδ. σύνθες ὁμοῦ· γί‐ νονται υ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται κ. τοσούτου ἡ διαγώνιος τοῦ ἐν τῇ βάσει τετραγώνου. τοῦ κατ’
10αὐτὴν μεθόδου εὑρήσεις τὸ στερεόν.

2

.

60

.

1

 Πυραμίδα μετρῆσαι τρίγωνον ὀρθογώνιον βάσιν ἔχουσαν, ἧς τὰ κλίματα οὐκ ἐπ’ ἀνάγκης ζητῆσαι ὀρθῆς οὔσης τῆς καθέτου. ἔστω ἡ μὲν κάθετος ποδῶν κε, ἡ δὲ πρώτη τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν τοῦ περὶ τὴν
5βάσιν τριγώνου ποδῶν δ, ἡ δὲ ἑτέρα ποδῶν ε. ποίει οὕτως· τοὺς δ ἐπὶ τοὺς ε· γίνονται κ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται ι. τούτους ἐπὶ τοὺς κε τῆς καθέτου· γίνονται σν· ὧν τὸ

2

.

60

.

2

ϛʹ· γίνονται μα β̸. δι’ αἰτίαν τοιαύτην· πᾶν πρίσμα τρί‐ γωνον ἔχον βάσιν ἐστὶν ἥμισυ τετραγώνου, διαιρεῖται δὲ εἰς γ πυραμίδας τριγώνους βάσεις ἐχούσας καὶ ὁμοίως τῷ πρίσματι· τοῦτο ἀποδείκνυσιν Εὐκλείδης ἐν
5τῷ ιβʹ. εἰ οὖν τὸ πρίσμα ἐστὶν ἥμισυ τετραγώνου καὶ διαιρεῖται εἰς γ πυραμίδας, γίνεται ἀναγκαίως τὸ τῆς πυραμίδος τῆς τρίγωνον βάσιν ἐχούσης ἕκτον ......

2

.

60

.

3

βάσιν ἐχούσης. ἀποτετραγωνισθείσης οὖν ληψόμεθα
τὸ ϛʹ. ἐὰν δὲ ᾖ τὸ τρίγωνον ἰσοσκελές· οἷον ἔστωσαν αἱ ἴσαι ἐκ ποδῶν ιβ, ἡ βάσις ποδῶν η, τὰ κλίματα ἐκ ποδῶν κε τῆς πυραμίδος· ποίει οὕτως· δίελε τὴν βάσιν,144
5τῶν η τὸ 𐅵ʹ· γίνονται δ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ιϛ. καὶ ποίει μίαν τῶν πλευρῶν τὰ ιβ ἐφ’ ἑαυτά· γί‐ νονται ρμδ. ἀπὸ τούτων ὕφελε τὰ δ ἐφ’ ἑαυτά· γί‐ νονται ιϛ· λοιπὰ ρκη· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ποδῶν ια δʹ κβʹ μδʹ. τοσούτου ἔσται ἡ κάθετος ἡ ἐν τῇ βάσει

2

.

60

.

4

τοῦ ἰσοσκελοῦς τριγώνου. τὸ δὲ ἐμβαδὸν ποιήσεις οὕ‐ τως· τὴν κάθετον ἐπὶ τὴν βάσιν, τοὺς ια δʹ κβʹ μδʹ ἐπὶ τοὺς η· γίνονται Ϟ 𐅵ʹ κβʹ. τούτους ἐπὶ τὴν κάθ‐ ετον τῆς πυραμίδος, ἣν εὑρήσεις οὕτως· ἐπὶ παντὸς
5τριγώνου καθόλου λαμβάνων τῆς καθέτου τῆς ἐν τῇ βάσει τὸ 𐅵ʹ, τῶν ια δʹ κβʹ μδʹ· γίνονται ε 𐅵ʹ ηʹ μδʹ πηʹ· ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται λβ μδʹ· καὶ τὰ τοῦ κλίμα‐ τος ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται χκε. λοιπὸν ὕφελε τοὺς λβ μδʹ· γίνονται φϞγ. τούτων πλευρὰν τετραγωνικήν·
10γίνονται κδ δʹ ηʹ μετὰ διαφόρου. τοσούτου ἡ κάθετος.

2

.

60

.

5

ταῦτα ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου, ἐπὶ τοὺς Ϟ 𐅵ʹ κβʹ· γίνονται ͵βσζ. τούτων λάμβανε ϛʹ ..... τετραγώνου·

2

.

60

.

6

γίνονται πόδες τξζ 𐅵ʹ γʹ. τοσούτου ἡ πυραμίς. ἐὰν δὲ ᾖ πυραμὶς τρίγωνον ἀμβλυγώνιον βάσιν ἔχουσα, τοῦ
ἀμβλυγωνίου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν ποίει ἐπὶ τὴν κάθ‐ ετον, καὶ λήψῃ τὸ γʹ καὶ ἕξεις τῆς πυραμίδος τὸ στε‐146
5ρεόν· ὁμοίως κἂν ὀξυγώνιος ᾖ.

2

.

61

.

1

 Ἔστω πυραμὶς ἔχουσα βάσιν τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἔστω ἡ κάθετος ποδῶν ϛ, ἡ δὲ βάσις ποδῶν η, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ποδῶν ι, ἡ δὲ πυραμὶς ἐχέτω ἑκάστην πλευρὰν ἀνὰ ποδῶν ιγ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον.

2

.

61

.

2

ποιῶ οὕτως· εὑρίσκω πρῶτον τὴν διάμετρον τοῦ κύ‐ κλου τοῦ περιγράφοντος τὸ τρίγωνον ποδῶν ι, ἥτις ἐστὶν ἡ ὑποτείνουσα. τούτων λαβὲ τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ε. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται κε· καὶ τὰ ιγ τοῦ κλίματος
5ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρξθ. ὑφαιρῶ ἀπ’ αὐτῶν τὰ κε· λοιπὸν ρμδ. τούτων λαμβάνω πλευρὰν τετραγωνικήν·

2

.

61

.

3

γίνονται πόδες ιβ. τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· πρῶτον ποιῶ τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν, καὶ εἰσὶ πό‐ δες κδ· καὶ λαμβάνω τῆς καθέτου τὸ γʹ, ἥτις ἐστὶ τῆς πυραμίδος· γίνονται δ. ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ
5τὸ ἐμβαδόν· γίνονται Ϟϛ πόδες. τοσούτου τὸ στερεόν.

2

.

62

.

1

 Πυραμίδα ἐπὶ ἰσοπλεύρου τριγώνου βεβηκυῖαν με‐ τρήσομεν οὕτως· ἔστω ἑκάστη πλευρὰ τῆς βάσεως ἀνὰ ποδῶν λ καὶ τὸ κλίμα ποδῶν κ. ποίει τὰ λ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ϡ. τούτων τὸ γʹ· γίνονται τ· καὶ τὰ κ ἐφ’
5ἑαυτά· γίνονται υ. ἐκ τούτων ὑφαιρῶ τὰ τ· λοιπὸν ρ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ι. τοσού‐

2

.

62

.

2

των ἔσται ἡ κάθετος. ἐπεὶ οὖν ἡ κάθετος ποδῶν ι, εὑρεθήσεται τὸ ἐμβαδὸν οὕτως· τὰ λ ἐφ’ ἑαυτά· γί‐
νονται ϡ. τούτων τὸ γʹ καὶ τὸ ιʹ· γίνονται τϞ. τού‐ των τὸ γʹ· γίνονται ρλ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ι τῆς καθέτου·148
5γίνονται πόδες ͵ατ. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεόν.

2

.

63

.

1

 Ἔστω πυραμὶς πεντάγωνον βάσιν ἔχουσα τὴν ὑπο‐ γεγραμμένην, ἧς ἑκάστη τῶν περὶ τὴν βάσιν πλευρῶν ἀνὰ ποδῶν ιβ, τὰ δὲ κλίματα ἐκ ποδῶν λε· εὑρεῖν τὴν

2

.

63

.

2

κάθετον καὶ τὸ στερεόν. καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ πεντάγωνον κύκλος ἔχων τὴν περίμετρον ποδῶν ξγ· ἔσται ἄρα ἡ διάμετρος ποδῶν κ. ταύτης λαβὲ τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ι. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρ· καὶ τοὺς
5τοῦ κλίματος πόδας λε ἐφ’ ἑαυτούς· γίνονται ͵ασκε. ἆρον ἀπὸ τούτων τὰ ρ· λοιπὸν ͵αρκε· ὧν πλευρὰ τε‐ τραγωνικὴ ποδῶν λγ 𐅵ʹ κβʹ μετὰ διαφόρου. τοσούτου

2

.

63

.

3

ἔσται ἡ κάθετος. ταῦτα ποίει ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ πενταγώνου οὕτως· λαβὲ τῶν ἐν τῇ βάσει ποδῶν ιβ τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ϛ. τούτους ἐφ’ ἑαυτούς· γίνονται λϛ. καὶ τὸ 𐅵ʹ τῆς διαμέτρου τοὺς ι ἐφ’ ἑαυτούς· γίνονται
5πόδες ρ. ἀπὸ τούτων ὕφελε τοὺς λϛ· λοιπὸν γίνονται πόδες ξδ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν η.

2

.

63

.

4

τοσούτου ἡ κάθετος ἡ ἐν τῷ τριγώνῳ. τούτους ἐπὶ τὴν βάσιν, ἐπὶ τοὺς ιβ· γίνονται Ϟϛ· ὧν 𐅵ʹ γίνονται μη. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. ταῦτα ποίει πεντάκις, ἐπεὶ ε τρίγωνά ἐστιν· γίνονται πόδες
5σμ. ταῦτα ποίει ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τοὺς λγ 𐅵ʹ κβʹ·
γίνονται πόδες ͵ην. τούτων λάμβανε τὸ ϛʹ, ἐπεὶ ϛʹ πρίσματός ἐστιν· γίνονται πόδες ͵ατμα β̸. τοσούτου150

2

.

63

.

5

ἔσται τὸ στερεόν. δύναται δὲ καὶ χωρὶς τῆς περιγρα‐ φῆς τοῦ κύκλου ἡ διάμετρος εὑρεθῆναι. ἐπεὶ γὰρ ἡ τοῦ πενταγώνου δύναται τὴν τοῦ ἑξαγώνου καὶ τοῦ δεκαγώνου, τὸ 𐅵ʹ τῆς πλευρᾶς, λέγω δὲ τῶν ιβ τὸ 𐅵ʹ·
5γίνονται ϛ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται πόδες λϛ· καὶ τὰ ιβ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρμδ. ἀπὸ τούτων ὕφελε τὰ λϛ· λοιπὸν ρη· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ι γʹ ιεʹ. τοσούτου ἔσται τοῦ ἑξαγώνου ἡ πλευρά. τοσ‐ ούτου ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου· α γάρ ἐστι.

2

.

64

.

1

 Καὶ τὴν ἑξάγωνον μετρήσεις οὕτως οὐκέτι ζητῶν τὴν διάμετρον· οἷον ἔστω πυραμὶς ἑξάγωνος, ἧς ἑκάστη τῶν πλευρῶν ἀνὰ ποδῶν ιβ, τὰ δὲ κλίματα ἐκ ποδῶν λε· εὑρεῖν τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως·
5τὰ ιβ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ρμδ· καὶ τὰ λε ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ͵ασκε. ὕφελε ἀπὸ τούτων τὰ ρμδ· λοιπὸν ͵απα· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν λβ 𐅵ʹ δʹ

2

.

64

.

2

ηʹ ξδʹ. συντείνει τοσούτου ἡ κάθετος. ταύτην ποίησον ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑξαγώνου, λήψῃ δὲ οὕτως· ἐπεὶ ἓξ τρίγωνα ἰσόπλευρα ἔχει τὸ ἑξάγωνον, τοῦ ἑνὸς τρι‐ γώνου τὸ ἐμβαδὸν λαβὼν ἑξάκι ποιήσεις, καὶ εὑρήσεις
5τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑξαγώνου τοῦ ἰσοπλεύρου· ποιήσεις δὲ

2

.

64

.

3

οὕτως· τὴν α αὐτοῦ πλευρὰν ἐφ’ ἑαυτήν· γίνονται ρμδ. τούτων τὸ γʹ· γίνονται μη· καὶ τὸ ιʹ· γίνονται ιδ γʹ ιεʹ· ὁμοῦ γίνονται ξβ γʹ ιεʹ. ταῦτα ποίησον
ἑξάκι, ἐπεὶ ϛ τρίγωνά ἐστιν· γίνονται τοδ γʹ ιεʹ. ταῦτα152
5ποίησον ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ λβ 𐅵ʹ δʹ ηʹ ξδʹ· γί‐ νονται πόδες α͵βτιδ· ὧν ἕκτον, ἐπεὶ ϛʹ πρίσματος· γίνονται πόδες ͵βνβ γʹ. τοσούτων ἔσται ποδῶν ἡ πυραμίς, ποδῶν ͵βνβ γʹ.

2

.

65

.

1

 Πυραμίδα ἐπὶ ὀκταγώνου βάσεως βεβηκυῖαν με‐ τρῆσαι. ἔστω πυραμὶς ἔχουσα ἑκάστην τῶν ἐν τῇ βάσει πλευρῶν ἀνὰ ποδῶν ι, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ποδῶν ιε· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕ‐
5τως· λαμβάνω τὸ 𐅵ʹ τῆς πλευρᾶς τοῦ ἐν τῇ βάσει ὀκταγώνου, τουτέστιν τῶν ι τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ε. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται κε. ταῦτα ποίει δίς· γίνονται ν· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ζ ιδʹ. τούτοις προστιθῶ τὸ 𐅵ʹ τῆς τοῦ ὀκταγώνου πλευρᾶς τοὺς ε
10πόδας· ὁμοῦ γίνονται πόδες ιβ ιδʹ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά·

2

.

65

.

2

γίνονται πόδες ρμϛ μετὰ διαφόρου. καὶ τὸ 𐅵ʹ τῆς πλευρᾶς ποίει ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται κε. ταῦτα συντίθημι μετὰ τῶν ρμϛ· γίνονται ροα. καὶ τὰ ιε τοῦ κλίματος ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται σκε. ἀπὸ τούτων αἴρω τὰ ροα· λοιπὸν
5νδ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ζ γʹ. τοσούτου

2

.

65

.

3

ἔσται ἡ κάθετος. τὸ δὲ στερεὸν οὕτως· λαμβάνω τοῦ ἐν τῇ βάσει ὀκταγώνου τὸ ἐμβαδὸν καὶ ποιῶ ἐπὶ τὴν κάθετον, καὶ τῶν γενομένων τὸ γʹ· ἔστιν δὲ ͵αρπα. τοσούτων
ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος τῆς ὀκταγώνου.154

2

.

66

.

1

 Ἔστω πυραμὶς ξυστρωτὴ τρίγωνος ἐπὶ βάσεως περι‐ φερειῶν ἐλασσόνων ἡμικυκλίου, ἧς ἀπὸ πέρατος ἐπὶ πέρας ἡ ὑποτείνουσα τῆς ἐν τῇ βάσει περιφερείας ἑκάστη ποδῶν ι καὶ αἱ προσπίπτουσαι κάθετοι ποδῶν
5β, πλάτους τὰ κλίματα ἐκ ποδῶν κ. ποίει οὕτως· λαβὲ μιᾶς εὐθείας τῶν ἐν τῇ βάσει τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ε· ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται κε· καὶ τὴν ἑτέραν ἐφ’ ἑαυτήν, τὰ ι· γίνονται ρ· ἀπὸ τούτων ὕφελε τὰ κε· λοιπὸν οε τούτων λαβὲ πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνεται ποδῶν
10η 𐅵ʹ ηʹ ιϛʹ. τοσούτου ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ τρι‐

2

.

66

.

2

γώνου ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος. ταύτης λαβὲ τὸ 𐅵ʹ· γίνονται δ δʹ ιϛʹ λβʹ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ιη 𐅵ʹ δʹ θʹ μετὰ διαφόρου [τοσούτου]· καὶ τὸ 𐅵ʹ τῆς βά‐ σεως τὰ ε ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται κε· ὁμοῦ γίνονται μγ
5𐅵ʹ δʹ θʹ. τούτων λαβὲ πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται ϛ 𐅵ʹ θʹ. τοσούτου ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ

2

.

66

.

3

περιγραφομένου περὶ τὸ τρίγωνον. εὑρεῖν τὴν κάθ‐ ετον. ποίει τὰ ϛ 𐅵ʹ θʹ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται πόδες μγ 𐅵ʹ δʹ θʹ· καὶ τὰ τοῦ κλίματος τὰ κ ἐφ’ ἑαυτά· γί‐ νονται υ· ἀπὸ τούτων ἆρον τὰ μγ 𐅵ʹ δʹ θʹ· λοιπὸν
5τνϛ ιηʹ. τούτων λαβὲ πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται

2

.

66

.

4

ιη 𐅵ʹ δʹ θʹ. τοσούτου ἡ κάθετος. ταύτην ἐπὶ τὸ ἐμ‐ βαδὸν τοῦ τριγώνου, λήψῃ δὲ οὕτω· τὴν 𐅵ʹ τῆς βάσεως τὰ ε ἐπὶ τὴν κάθετον τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου, ἐπὶ τοὺς η 𐅵ʹ ηʹ ιϛʹ· γίνονται μγ 𐅵ʹ. τοσούτων ποδῶν
5ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. ταῦτα ἐπὶ τοὺς ιη
𐅵ʹ δʹ θʹ· γίνονται πόδες ωκ 𐅵ʹ. τοσούτου τὸ στερεὸν156

2

.

66

.

5

τοῦ συμπληρώματος. ἀπὸ τούτων δεῖ ὑφελεῖν τὰς ξύστρας. ποιήσεις δὲ οὕτως· σύνθες τὴν βάσιν καὶ τὴν κάθετον, τὰ ι καὶ τὰ β· γίνονται πόδες ιβ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον τῆς πυραμίδος, ἐπὶ τὰ ιη 𐅵ʹ δʹ θʹ·
5γίνονται πόδες σκϛ γʹ. ταῦτα τρισσάκι, ἐπειδὴ γ ξύστραι εἰσίν· γίνονται χοθ. ἦν δὲ τὸ ὅλον συμπλήρωμα πο‐ δῶν ωκ 𐅵ʹ· ἀπὸ τούτων ἐὰν ὑφέλωμεν τὰ χοθ, λοιπὸν ρμα 𐅵ʹ· ὧν ϛʹ [γίνονται κγ β̸], ἐπειδὴ ἕκτον πρίσματός ἐστι· γίνονται κγ β̸. τοσούτου τὸ στερεὸν τῶν ξυστρῶν.

2

.

67

.

1

 Δέδεικται δὲ ἐν τῷ ιβʹ τῶν Στοιχείων, ὅτι πᾶν πρίσμα τρίγωνον ἔχον βάσιν διαιρεῖται εἰς γ πυραμί‐ δας ἴσας· ὅθεν φανερόν, ὅτι πᾶσα πυραμὶς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ πρίσματος τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος καὶ
5ὕψος ἴσον. ἐκ δὲ τούτων δῆλον, ὅτι πᾶσα πυραμὶς ἐπὶ οἱουδηποτοῦν σχήματος βεβηκυῖα γʹ μέρος ἐστὶ στερεοῦ παραλληλεπιπέδου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχον‐ τος καὶ ὕψος ἴσον.

2

.

68

.

1

 Τὸν δὲ λεγόμενον βωμίσκον μετρήσομεν οὕτως, οὗ τὸ μὲν ὕψος ἐστὶ ποδῶν ν, ἡ δὲ βάσις τοῦ βωμίσκου ἔχουσα τὴν μὲν μείζονα πλευρὰν ποδῶν κδ, τὴν δὲ ἐλάσσω ποδῶν ιϛ, ἡ δὲ κορυφὴ ἐχέτω ἡ μὲν μείζων

2

.

68

.

2

πλευρὰ πόδας ιβ, ἡ δὲ ἐλάσσων πόδας η. συνέθηκα τῆς κορυφῆς καὶ τῆς βάσεως τὰς μείζονας πλευράς, οἷον τὰ ιβ καὶ τὰ κδ· γίνονται λϛ· καὶ ἔτι τὰ τῆς
βάσεως καὶ τῆς κορυφῆς τὰς ἐλάσσονας πλευρὰς συν‐158
5έθηκα εἰς τὸ αὐτό, οἷον τὰ ιϛ καὶ τὰ η· γίνονται κδ. λαβὲ τὸ 𐅵ʹ τῶν λϛ· γίνονται ιη· ὁμοίως καὶ τῶν κδ τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ιβ. πολυπλασίασον ταῦτα ἐπὶ τὰ ιη·

2

.

68

.

3

γίνονται σιϛ. καὶ πάλιν ἀφαιρῶ ἀπὸ τῆς μείζονος πλευρᾶς τὰ ιβ ἀπὸ τῶν κδ· λοιπὸν γίνονται ιβ. τού‐ των τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ϛ. καὶ πάλιν ὁμοίως τὴν κορυ‐ φὴν ἀπὸ τῆς βάσεως τὴν ἐλάσσονα πλευράν, οἷον τὰ
5η ἀπὸ τῶν ιϛ· λοιπὸν γίνονται η. τούτων τὸ 𐅵ʹ· γί‐ νονται δ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ ϛ· γίνονται

2

.

68

.

4

κδ. τούτων τὸ γʹ μέρισον· γίνονται η. ταῦτα προσ‐ έθηκα τοῖς σιϛ· γίνονται ὁμοῦ σκδ. ταῦτα πολυπλα‐ σίασον ἐπὶ τὸ ὕψος, ἐπὶ τὰ ν· γίνονται α͵ας καὶ τοσ‐ ούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ βωμίσκου. ὁμοίως
5δὲ καὶ ἐπ’ ἄλλων ἀριθμῶν μετρήσομεν.

2

.

69

.

1

(t)

Εὑρεῖν ἡμᾶς, πόδα ἐπὶ πόδα τί συνάγει;
1 Ποίει οὕτως· ὁ ποὺς ἔχει δακτύλους ιϛ. τούτους ἐπανάλαβε· γίνονται ιϛ οὗτοι ἐπὶ τοὺς ιϛ σνϛ. τούτους ἀνάλυε εἰς τοὺς ιϛ δακτύλους· γίνονται ιϛ, ποὺς εἷς. ἔχομεν οὖν ἐν ἀποδείξει ἐκ τοῦ εἰπεῖν ἡμᾶς ἀπὸ ιϛ

2

.

69

.

2

δακτύλων τὸν πόδα, ὅτι γέγονεν εἷς πούς. ὁ δὲ εἷς 𐅵ʹ ποὺς ἐπὶ α 𐅵ʹ πόδα οὕτως ψηφισθήσεται· ἐπεὶ τὸν πόδα ιϛ ἐφωρίσαμεν δακτύλων εἶναι, γίνεται ὁ εἷς 𐅵ʹ ποὺς δάκτυλοι κδ. λέγεις οὖν αὐτὰ ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται
5φοϛ. ταῦτα ὕφειλε παρὰ τῶν ιϛ· γίνονται λϛ, οἵτινες

2

.

69

.

3

ποιοῦσι πόδας β δʹ. 𐅵ʹ δʹ πόδα ἐπὶ 𐅵ʹ δʹ· ποίει οὕτως· τὸ 𐅵ʹ δάκτυλοι η, τὸ δʹ δ, ὁμοῦ ιβ, ἅτινα αὐτὰ ἐφ’ ἑαυτὰ γίνονται ρμδ. ἐπανάλαβε καὶ τὸν πόδα, τουτέστι τοὺς ιϛ δακτύλους, ἐπὶ τοὺς ιϛ· γίνονται σνϛ. σκόπει
5οὖν ἄρτι, τὰ ρμδ τί γίνεται εἰς τὰ σνϛ, καὶ λέγομεν
𐅵ʹ ιϛʹ· ὡς δῆλον εἶναι, ὅτι 𐅵ʹ δʹ ἐπὶ 𐅵ʹ δʹ γίνεται 𐅵ʹ ιϛʹ.160

2

.

69

.

4

β 𐅵ʹ δʹ ηʹ ιϛʹ πρὸς β 𐅵ʹ δʹ ηʹ ιϛʹ· ποίησον οὕτως· δὶς ιϛ λβ· 𐅵ʹ τῶν ιϛ η· δʹ τῶν ιϛ δ· ηʹ τῶν ιϛ β· ιϛʹ τῶν ιϛ α· ὁμοῦ μζ. ταῦτα ἐφ’ ἑαυτά· γίνονται ͵βσθ. τού‐ τους ἀπάρτιζε εἰς τὰ σνϛ οὕτως· ὀκτάκις τὰ σνϛ· γί‐
5νονται ͵βμη· μένουσι καὶ ρξα, καί εἰσιν εἰς τὰ σνϛ 𐅵ʹ ηʹ καὶ σνϛʹ· καὶ ἰδοῦ τὰ β 𐅵ʹ δʹ ηʹ ιϛʹ πρὸς τὰ

2

.

69

.

5

β 𐅵ʹ δʹ ηʹ ιϛʹ γεγόνασιν η 𐅵ʹ ηʹ καὶ σνϛʹ. ἀρκείτω τοίνυν
εἰς δήλωσιν τῆς τοῦ ποδὸς ἀκριβεστάτης ἐπιψηφίσεως.162