|
TLG 0552 011 :: ARCHIMEDES :: Liber assumptorum ARCHIMEDES Geom. Liber assumptorum Source: Mugler, C. (ed.), Archimède, vol. 3. Paris: Les Belles Lettres, 1971: 134–164. Citation: Volume — page — (line) | ||
3.134 | αʹ. Εἴ κα ᾖ δύο κύκλοι ἐπι‐ ψαύοντες ἀλλάλων ἐντός, διάμετροι δὲ αὐτῶν παράλ‐ | |
| 5 | ληλοι, ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ἀπὸ τοῦ σαμείου ἁφῆς καὶ τῶν περάτων τῶν διαμέτρων δύο εὐθεῖαι ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἐπ’ εὐθείας. [Omitted graphic marker] | |
|---|---|---|
| 10 | Ἔστωσαν δύο κύκλοι, ὧν κέντρα τὰ Ζ, Η, ἐπιψαύοντες ἀλλάλων κατὰ τὸ Ε σαμεῖον, | |
| διάμετρος δὲ ἁ ΑΒ παρὰ | 134 | |
3.135 | διάμετρον τὰν ΓΔ· φαμὶ δή, ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΕΔ, ΔΒ εὐθεῖαι ἐσσοῦνται ἀλλά‐ λαις ἐπ’ εὐθείας. | |
| 5 | Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΖΗ καὶ ἐκβεβλήσθω ποτὶ τὸ Ε, ἄχθω δὲ ἁ ΔΘ παρὰ τὰν ΖΗ. Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖαι αἱ ΖΒ, | |
| 10 | ΖΕ ἴσαι ἐντὶ καὶ ἁ ΗΔ τᾷ ΖΘ, κοινὰ ἀφαιρήσθω ἁ ΖΘ, τουτέστιν ἁ ΗΕ· λοιπαὶ ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΘΔ, ΘΒ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί· γωνία ἄρα | |
| 15 | ἁ ὑπὸ ΘΔΒ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΘΒΔ, τουτέστιν τᾷ ὑπὸ ΗΔΕ, ἐστὶν ἴσα· κοινὰ ποτι‐ κείσθω γωνία ἁ ὑπὸ ΗΔΒ· συναμφότερος ἄρα γωνία | |
| 20 | ἁ ὑπὸ ΗΔΒ, ΔΒΖ συναμφο‐ τέρῳ τᾷ ὑπὸ ΗΔΒ, ΕΔΗ ἐστὶν ἴσα· ἔστι δὲ συναμ‐ φότερος ἁ ὑπὸ ΗΔΒ, ΔΒΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσα· συναμφό‐ | |
| 25 | τερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ ΗΔΒ, ΕΔΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἐστιν ἴσα· ἐπ’ εὐθείας ἄρα ἐντὶ εὐθεῖαι αἱ ΕΔ, ΔΒ· δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν. | |
| 30 | βʹ. Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒΓ | |
| καὶ δύο εὐθεῖαι ἐπιψαύουσαι | 135 | |
3.136 | αὐτοῦ αἱ ΔΒ, ΔΓ, ἁ δὲ ΒΕ ἄχθω ποτ’ ὀρθὰς τᾷ ΑΓ, ἐπεζεύχθω δὲ ἁ ΑΔ· φαμὶ δὴ τὰν ΒΖ ἴσαν εἶμεν τᾷ | |
| 5 | ΖΕ. [Omitted graphic marker] Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΑΒ καὶ ἐκβληθεῖσαι αἱ ΑΒ, ΓΔ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Η σαμεῖον καὶ ἄχθω ἁ | |
| 10 | ΒΓ. Ἐπεὶ οὖν γωνία ἁ ὑπὸ ΓΒΑ ὀρθά ἐστιν, ἐσσεῖται καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΓΒΗ ὀρθά· ἔστι δὲ καὶ εὐθεῖα ἁ ΒΔ | |
| 15 | τᾷ ΔΓ ἴσα· ἐσσεῖται ἄρα | |
| καὶ εὐθεῖα ἁ ΔΗ τᾷ ΔΒ, | 136 | |
3.137 | τουτέστι τᾷ ΔΓ ἴσα. Καὶ ἐπεὶ ἁ ΒΕ παρὰ τὰν ΗΓ ἐστίν, ἐσσεῖται ἄρα καὶ ἁ ΒΖ τᾷ ΖΕ ἴσα· δέδεικται | |
| 5 | οὖν τὸ προτεθέν. γʹ. Ἔστω τμᾶμα κύκλου τὸ ΑΓ καὶ ἀπὸ σαμείου τινος Β τᾶς περιφερείας ἄχθω τᾷ | |
| 10 | ΑΓ ποτ’ ὀρθὰς ἁ ΒΔ, λελάφθω δὲ εὐθεῖα ἁ ΔΕ εὐθείᾳ τᾷ ΔΑ ἴσα καὶ περιφέρεια ἁ ΒΖ τᾷ ΑΒ· φαμὶ δή, ἐπιζευχθεῖσα ἁ | |
| 15 | ΓΖ εὐθεῖα τᾷ ΓΕ ἐστὶν ἴσα. [Omitted graphic marker] Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ | |
| ΑΒ, ΒΖ, ΖΕ, ΕΒ εὐθεῖαι· | 137 | |
3.138 | καὶ ἐπεὶ ἁ ΑΔ τᾷ ΔΕ ἐστὶν ἴσα, κοινὰ δὲ ἁ ΒΔ, δύο δὴ αἱ ΑΔ, ΔΒ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΒ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ ἴσαι | |
| 5 | ἐντί· ἔστι δὲ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΔΒ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΕΔΒ ἴσα· βάσις ἄρα ἁ ΕΒ βάσει τᾷ ΑΒ, τουτέστι τᾷ ΒΖ, ἐστὶν ἴσα· γωνία ἄρα ἁ | |
| 10 | ὑπὸ ΒΕΖ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΒΖΕ ἐστὶν ἴσα. Καὶ ἐπεὶ τετράπλευρον τὸ ΑΒΖΓ ἐν κύκλῳ ἐστίν, γωνίαι αἱ ἀπε‐ ναντίον αἱ ὑπὸ ΓΖΒ, ΓΑΒ, | |
| 15 | τουτέστιν αἱ ὑπὸ ΓΖΒ, ΒΕΑ, δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἐντί. Ἔστι δὲ καὶ συναμφότερος ἁ ὑπὸ ΓΕΒ, ΒΕΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσα· κοινὰ ἀφαιρήσθω ἁ | |
| 20 | ὑπὸ ΒΕΑ· γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΓΖΒ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΓΕΒ ἐστὶν ἴσα· κοινὰ ἀφαι‐ ρήσθω ἁ ὑπὸ ΒΖΕ, του‐ τέστιν ἁ ὑπὸ ΒΕΖ· λοιπαὶ | |
| 25 | ἄρα αἱ ποτὶ τᾷ βάσει τᾷ ΕΖ τριγώνου τοῦ ΕΓΖ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΖΕ, ΖΕΓ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί· πλευρὰ ἄρα ἁ ΖΓ πλευρᾷ τᾷ ΕΓ ἐστὶν | |
| 30 | ἴσα· δέδεικται οὖν τὸ προ‐ | |
| τεθέν. | 138 | |
3.139 | δʹ. Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ σαμεῖόν τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου ᾖ, γραφέωντι δὲ ἀπὸ τῶν | |
| 5 | τμαμάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἁμικύκλια ἐντός, ἀνα‐ στακῇ δὲ ἀπὸ τοῦ λαφθέντος σαμείου εὐθεῖα ποτὶ τᾷ περιφερείᾳ τᾷ διαμέτρῳ | |
| 10 | ποτ’ ὀρθάς, σχῆμα τὸ ὑπὸ τῶν τριῶν περιφερειῶν περιεχόμενον ἴσον ἐστὶ κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ ἀναστακεῖσα κάθετος. | |
| 15 | Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒΓ καὶ σαμεῖόν τι ἐπὶ διαμέτρου τᾶς ΑΓ τὸ Δ, καὶ ἀπὸ διαμέτρων τῶν ΓΔ, ΔΑ ἁμικύκλια ἀναγεγράφθων | |
| 20 | ἐντός, ἀπὸ δὲ τοῦ Δ σαμείου ἀνεστακέτω ποτ’ ὀρθὰς τᾷ ΑΓ ἁ ΔΒ· φαμὶ δή, σχῆμα [Omitted graphic marker] τὸ ὑπὸ τῶν τριῶν περι‐ | |
| φερειῶν περιεχόμενον, | 139 | |
3.140 | τουτέστι τοῦ μείζονος ἁμι‐ κυκλίου καὶ τῶν δύο ἀνα‐ γραφέντων ἐντός, ὅπερ ἄρβηλος καλείσθω, κύκλῳ, | |
| 5 | οὗ διάμετρος ἁ ΔΒ, ἴσον ἐστίν. Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ ἑξῆς ἀνάλογόν ἐντι, ἐσσεῖται τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, | |
| 10 | ΔΓ τῷ ἀπὸ τᾶς ΒΔ ἴσον· κοινὸν ποτικείσθω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ τᾶς ὅλας τετράγωνον, του‐ | |
| 15 | τέστι τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΓ, τοῖς ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ΒΔ ἐστὶν ἴσον. Καὶ ἐπεὶ | |
| 20 | οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλάλους ὡς τὰ ἀπὸ τᾶν διαμέτρων τετράγωνά ἐντι, ἐσσεῖται δὴ κύκλος, οὗ διάμετρος ἁ ΑΓ, δυσὶ κύκλοις, ὧν διά‐ | |
| 25 | μετρος ἁ ΔΒ, καὶ δυσὶ κύκλοις, ὧν διάμετροι αἱ ΑΔ, ΔΓ, ἴσος, τουτέστιν ἁμικύκλιον τὸ ΑΓ ἴσον κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ ΔΒ, | |
| 30 | καὶ δυσὶν ἁμικυκλίοις, ὧν διάμετροι αἱ ΑΔ, ΔΓ· κοι‐ νὸν ἀφαιρήσθω ἁμικύκλια | |
| τὰ ΑΔ, ΔΓ· λοιπὸν ἄρα | 140 | |
3.141 | χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπὸ περιφερειῶν τᾶν ΑΓ, ΑΔ, ΔΓ, ὅπερ ἄρβηλος καλεῖται, κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ ΔΒ, | |
| 5 | ἐστὶν ἴσον· δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν. εʹ. Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ σαμεῖόν τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου | |
| 10 | ᾖ, καὶ γραφέωντι ἀπὸ τῶν τμαμάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἁμικύκλια ἐντός, ἀνα‐ στακῇ δὲ ἀπὸ τοῦ σαμείου εὐθεῖα τᾷ διαμέτρῳ ποτ’ | |
| 15 | ὀρθάς, καὶ δύο κύκλοι γρα‐ φέωντι ἐπ’ ἀμφότερα τᾶς ἀνεστακούσας ἐπιψαύοντες αὐτᾶς καὶ τῶν ἁμικυκλίων, οἱ γραφέντες κύκλοι ἐσσοῦν‐ | |
| 20 | ται ἀλλάλοις ἴσοι. [Omitted graphic marker] | 141 |
3.142 | Ἔστω ἁμικύκλιον, οὗ διά‐ μετρος ἁ ΑΒ, σαμεῖον δέ τι ἐπ’ αὐτᾶς τὸ Γ· ἀναγε‐ γράφθω δὲ ἀπὸ τμαμάτων | |
| 5 | τῶν ΑΓ, ΓΒ ἁμικύκλια ἐντός, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ σαμείου ἀνεστακέτω ποτ’ ὀρθὰς δια‐ μέτρῳ τᾷ ΑΒ ἁ ΓΔ, γεγρά‐ φθων δὲ δύο κύκλοι ἐπ’ | |
| 10 | ἀμφότερα τᾶς ἀνεστακού‐ σας εὐθείας ἐπιψαύοντες τᾶς τε ἀνεστακούσας καὶ τῶν ἁμικυκλίων· φαμὶ δή, οἱ γραφέντες κύκλοι ἴσοι | |
| 15 | ἀλλάλοις ἐντί. Ἔστω γὰρ πρότερον κύ‐ κλος ὁ ἐπιψαύων τᾶς ΓΔ κατὰ τὸ Ε σαμεῖον καὶ ἁμικυκλίου μὲν τοῦ ΑΓ | |
| 20 | κατὰ τὸ Η, ἁμικυκλίου δὲ τοῦ ΑΒ κατὰ τὸ Ζ, ἄχθω δὲ διάμετρος τοῦ κύκλου ἁ ΘΕ· ἐπιζευχθεῖσαι δὴ αἱ ΑΘ, ΘΖ εὐθεῖαι ἐσσοῦνται | |
| 25 | ἀλλάλαις ἐπ’ εὐθείας, ἐκβληθεῖσαι δὲ αἱ ΑΖ, ΓΕ εὐθεῖαι συμβαλέτωσαν κατὰ τὸ Δ σαμεῖον· ὁμοίως δὴ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΖΕ, ΕΒ | |
| 30 | ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἐπ’ εὐ‐ θείας, καὶ αἱ ΘΗ, ΗΓ, καὶ αἱ ΕΗ, ΗΑ, ἐκβεβλήσθω δὲ | |
| ἁ ΑΕ ἐπὶ τὸ Ι σαμεῖον, | 142 | |
3.143 | ἄχθω δὲ ἁ ΒΙ εὐθεῖα καὶ ἁ ΖΔ. Ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΔ, ΑΒ εὐθεῖαί ἐντι καὶ ἀπὸ τοῦ Δ σαμείου τᾷ ΑΒ ἆκται | |
| 5 | ποτ’ ὀρθὰς ἁ ΔΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ποτ’ ὀρθὰς τᾷ ΔΑ ἁ ΒΖ τέμνουσα τὰν ΔΓ κατὰ τὸ Ε, εὐθεῖα δὲ ἁ ΑΕΙ ποτ’ ὀρθὰς τᾷ ΒΙ ἐστίν, ἐσ‐ | |
| 10 | σοῦνται ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΒΙ, ΙΔ ἀλλάλαις ἐπ’ εὐθείας, ὡς παρ’ ἡμῶν ἐν τοῖς Περὶ ὀρθογωνίων τριγώνων δέ‐ δεικται. Καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἁ | |
| 15 | ΒΔ παρὰ τὰν ΓΗ ἐστίν, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει ἁ ΑΔ ποτὶ τὰν ΔΘ, ὃν ἔχει ἁ ΑΓ ποτὶ τὰν ΘΕ, τουτέστιν ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΓ· τὸ ἄρα | |
| 20 | ὑπὸ τᾶν ΑΓ, ΓΒ τῷ ὑπὸ τᾶν ΑΒ, ΘΕ ἐστὶν ἴσον· ὁμοίως δὴ δείξομες ὅτι ἐν κύκλῳ τῷ ΛΜΝ τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΓ, ΓΒ τῷ ὑπὸ ΑΒ | |
| 25 | καὶ τᾶς διαμέτρου τοῦ ΛΜΝ κύκλου ἴσον ἐστίν· αἱ διά‐ μετροι ἄρα κύκλων τῶν ΕΖΗ, ΛΜΝ ἴσαι ἐντί, του‐ τέστιν οἱ δύο κύκλοι ἴσοι | |
| 30 | ἐντί· δέδεικται οὖν τὸ προ‐ | |
| τεθέν. | 143 | |
3.144 | ϛʹ. Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ σαμεῖόν τι ἐπὶ τᾶς δια‐ μέτρου ᾖ, καὶ γραφέωντι | |
| 5 | ἀπὸ τῶν τμαμάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἁμικύκλια ἐντός, γραφῇ δὲ ἐν τῷ ἀρβήλῳ κύκλος ἐπιψαύων τῶν τριῶν ἁμικυκλίων, τὸν | |
| 10 | λόγον τᾶς διαμέτρου τοῦ δοθέντος ἁμικυκλίου ποτὶ τὰν διάμετρον τοῦ ἐγγρα‐ φέντος κύκλου εὑρεῖν. [Omitted graphic marker] Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ | |
| 15 | ΑΒΓ, σαμεῖον δέ τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου τὸ Δ καὶ πεποι‐ ήσθω οὕτως, ὥστε τὸ μεῖζον τμᾶμα τὸ ΑΔ ἐλάσσονος τοῦ ΔΓ ἁμιόλιον εἶμεν, | |
| 20 | καὶ ἀπὸ τμαμάτων τῶν ΑΔ, | |
| ΔΒ ἀναγεγράφθων ἁμικύ‐ | 144 | |
3.145 | κλια, γεγράφθω δὲ ἐν τῷ ἀρβήλῳ κύκλος ὁ ΕΖ ἐπι‐ ψαύων τῶν τριῶν ἁμικυ‐ κλίων, καὶ ἄχθω διάμετρος | |
| 5 | αὐτοῦ παρὰ τὰν ΑΓ ἁ ΕΖ. Εὑρεῖν τὸν λόγον διαμέτρου τᾶς ΑΓ ποτὶ διάμετρον τὰν ΕΖ. Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, | |
| 10 | ΕΒ εὐθεῖαι καὶ αἱ ΓΖ, ΖΒ· εὐθεῖαι δή ἐντι αἱ ΑΒ, ΓΒ, ὡς ἐν τοῖς πρότερον ἐδείχθη. Ἐπεζεύχθωσαν ἔτι αἱ ΖΗΑ, ΕΘΓ· δείκνυνται δὴ αὗται | |
| 15 | εὐθεῖαι οὖσαι· ἔτι δὲ ἐπε‐ ζεύχθωσαν αἱ ΔΕ, ΔΖ, καὶ αἱ ΔΙ, ΔΛ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΕΜ, ΖΝ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Ο, Ρ σαμεῖα. | |
| 20 | Ἐπεὶ οὖν ἐν τριγώνῳ τῷ ΑΕΔ ἁ ΑΗ τᾷ ΕΔ ποτ’ ὀρθάς ἐστιν, καὶ ἁ ΔΙ τᾷ ΑΕ, τέμνοντι δὲ ἀλλάλας κατὰ τὸ Μ σαμεῖον, ἁ ΕΜΟ τᾷ | |
| 25 | ΑΓ ἐσσεῖται ποτ’ ὀρθάς, ὡς παρ’ ἡμῶν ἐν τοῖς Περὶ τριγώνων ἐδείχθη καὶ τῷ πρότερον ὑπέκειτο· διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἁ ΖΝΡ τᾷ ΓΑ | |
| 30 | ἐσσεῖται ποτ’ ὀρθάς· ἔστι δὲ εὐθεῖα ἁ ΔΛ παρὰ τὰν ΑΒ καὶ ἁ ΔΙ παρὰ τὰν ΓΒ· | |
| ὥστε τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει | 145 | |
3.146 | ἁ ΑΔ ποτὶ τὰν ΔΓ, ὃν ἔχει ἁ ΑΜ ποτὶ τὰν ΜΖ, τουτέστιν ἁ ΑΟ ποτὶ τὰν ΟΡ, καὶ ἁ ΓΔ ποτὶ τὰν ΔΑ | |
| 5 | τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει, ὃν ἔχει ἁ ΓΝ ποτὶ τὰν ΝΕ, τουτέστιν ἁ ΓΡ ποτὶ τὰν ΡΟ· ἦν δὲ ἁ ΑΔ ἁμιόλιος τᾶς ΔΓ· καὶ ἁ ΑΟ ἄρα | |
| 10 | τᾶς ΟΡ ἐστὶν ἁμιόλιος, καὶ ἁ ΟΡ τᾶς ΓΡ· εὐθεῖαι ἄρα αἱ ΑΟ, ΟΡ, ΡΓ ἑξῆς ἀνά‐ λογόν ἐντι, ἇν ἁ μὲν ΡΓ ἴσα γίνεται τέσσαρα, ἁ δὲ | |
| 15 | ΟΡ ἕξ, ἁ δὲ ΑΟ ἐννέα, ἁ δὲ ΓΑ ἐννεακαίδεκα. Ἔστι δὲ ἁ ΡΟ τᾷ ΕΖ ἴσα· ὥστε τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει ἁ ΑΓ ποτὶ τὰν ΕΖ, ὃν ἔχει τὰ | |
| 20 | ἐννεακαίδεκα ποτὶ τὰ ἕξ· καί ἐστιν ἁ ΑΓ διάμετρος ἁμικυκλίου τοῦ ΑΒΓ, ἁ δὲ ΕΖ κύκλου τοῦ ΕΒΖ· εὑρέθη ἄρα ὁ αἰτούμενος λόγος. | |
| 25 | Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται εἴ κα ὁ λόγος τᾶς διαμέτρου τοῦ δοθέντος ἁμικυκλίου ποτὶ τὰν διάμετρον τοῦ ἐγγραφέντος κύκλου ἐπι‐ | |
| 30 | μόριος ᾖ. | 146 |
3.147 | ζʹ. Ὁ τετραγώνῳ περιγε‐ γραμμένος κύκλος διπλα‐ σίων τοῦ ἐγγεγραμμένου | |
| 5 | ἐστίν. [Omitted graphic marker] Ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒ περὶ τετράγωνον τὸ ΑΒ καὶ ἐν αὐτῷ ἐγγεγραμμένος κύκλος ὁ ΓΔ, διάμετρος | |
| 10 | δὲ τοῦ περιγεγραμμένου κύκλου καὶ τοῦ τετραγώνου ἁ ΑΒ, ἄχθω δὲ διάμετρος τοῦ ἐγγεγραμμένου κύκλου ἁ ΓΔ παρὰ τὰν ΑΕ· φαμὶ | |
| 15 | δή, ὁ περιγεγραμμένος κύ‐ κλος τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐστὶ διπλασίων. Ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΒ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τᾶς | |
| 20 | ΑΕ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τᾶς | |
| ΓΔ, οἱ κύκλοι δέ ἐντι ὡς τὰ | 147 | |
3.148 | ἀπὸ τᾶν διαμέτρων αὐτῶν τετράγωνα, ἐσσεῖται ἄρα καὶ ὁ περιγεγραμμένος κύκλος τοῦ ἐγγεγραμ‐ | |
| 5 | μένου διπλασίων· δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν. ηʹ. Εἴ κα ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις ΑΒ προσαρμοσμένα ᾖ, | |
| 10 | ἐκβληθῇ δὲ κατὰ τὸ Γ σαμεῖον, ὥστε τὰν ΒΓ εὐθεῖαν τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσαν εἶμεν, διαχθῇ δὲ εὐθεῖά τις ἀπὸ τοῦ Γ διὰ τοῦ | |
| 15 | κέντρου τοῦ κύκλου ἐπὶ τὸ Ε σαμεῖον, ἐσσεῖται περι‐ φέρεια ἁ ΑΕ περιφερείας τᾶς ΒΖ τριπλασίων. [Omitted graphic marker] Ἄχθω γὰρ ἁ ΕΗ παρὰ | |
| 20 | τὰν ΑΒ καὶ ἐπεζεύχθων αἱ ΔΒ, ΔΗ. Ἐπεὶ οὖν γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΓΔ, ΒΔΓ, ΔΕΗ, ΔΗΕ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, γωνία δὲ ἁ ὑπὸ ΓΔΗ γωνίας | |
| 25 | τᾶς ὑπὸ ΔΕΗ ἐστὶ διπλα‐ | 148 |
3.149 | σίων, ἐσσεῖται ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ ΒΔΗ γωνίας τᾶς ὑπὸ ΒΔΓ τριπλασίων. Ἐσσεῖται ἄρα περιφέρεια ἁ ΒΗ, του‐ | |
| 5 | τέστιν ἁ ΑΕ, περιφερείας τᾶς ΒΖ τριπλασίων· δέδεικ‐ ται οὖν τὸ προτεθέν. θʹ. Εἴ κα ἐν κύκλῳ δύο | |
| 10 | εὐθεῖαι τέμνωντι ἀλλάλας ποτ’ ὀρθὰς μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι, δύο αἱ ἀπε‐ ναντίον περιφέρειαι δυσὶ ταῖς ἀπεναντίον ἴσαι ἀλλά‐ | |
| 15 | λαις ἐντί. [Omitted graphic marker] Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ καὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ τέμνουσαι ἀλλάλας ποτ’ ὀρθάς, μὴ διὰ τοῦ κέντρου | |
| 20 | οὖσαι· φαμὶ δή, δύο αἱ | 149 |
3.150 | ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ ΑΔ, ΓΒ δυσὶ ταῖς ἀπεναν‐ τίον ταῖς ΑΓ, ΒΔ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί. | |
| 5 | Τετμάσθω γὰρ δίχα ἁ ΓΔ κατὰ τὸ Η σαμεῖον καὶ διὰ τοῦ Η διάχθω διάμετρος τοῦ κύκλου ἁ ΕΖ παρὰ τὰν ΑΒ. | |
| 10 | Ἐπεὶ οὖν περιφέρεια ἁ ΕΓ περιφερείαις ταῖς ΕΑ, ΑΔ ἴσα ἐστίν, ἐσσοῦνται ἄρα περιφέρειαι αἱ ΓΖ, ΕΑ, ΑΔ ἁμικυκλίῳ ἴσαι· ἔστι | |
| 15 | δὲ περιφέρεια ἁ ΕΑ περι‐ φερείᾳ τᾷ ΒΖ ἴσα· συναμ‐ φότερος ἄρα περιφέρεια ἁ ΓΒ, ΑΔ ἁμικυκλίῳ ἐστὶν ἴσα· λοιπὴ ἄρα περιφέρεια | |
| 20 | ἁ ΑΓ, ΔΒ ἁμικυκλίῳ ἐστὶν ἴσα· δέδεικται οὖν τὸ προ‐ τεθέν. ιʹ. Εἴ κα ᾖ κύκλος καὶ δύο | |
| 25 | εὐθεῖαι αἱ ΔΑ, ΔΓ ἐπιψαύ‐ ουσαι αὐτοῦ κατὰ τὰ Α, Γ σαμεῖα, τέμνουσα δὲ εὐθεῖα ἁ ΔΒ, ἀχθῇ δὲ ἁ ΕΓ παρὰ τὰν ΒΔ, ἐπιζευχθῇ δὲ | |
| 30 | ἁ ΕΑ τέμνουσα τὰν ΔΒ κατὰ | |
| τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ποτ’ | 150 | |
3.151 | ὀρθὰς τᾷ ΕΓ ἀχθῇ ἁ ΖΗ, ἁ ἀγμένα τὰν ΕΓ δίχα τέμνει. [Omitted graphic marker] Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΑΓ. Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἁ ΔΑ | |
| 5 | ἐπιψαύουσα τοῦ κύκλου ἐστίν, ἁ δὲ ΑΓ τέμνουσα αὐτόν, γωνία ἁ ὑπὸ ΔΑΓ τᾷ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τμάματι τοῦ κύκλου γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ | |
| 10 | ΑΕΓ, τουτέστι τᾷ ὑπὸ ΑΖΔ, ἐστὶν ἴσα. Ἔστι γὰρ ἁ ΓΕ παρὰ τὰν ΒΔ. Καὶ ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΔΑΖ, ΑΘΔ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ | |
| 15 | ΑΖΔ, ΘΑΔ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, γωνία δὲ ἁ πρὸς τῷ Δ κοινά, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΖΔ, ΔΘ περιεχόμενον ὀρθογώ‐ νιον τῷ ἀπὸ τᾶς ΔΑ, του‐ | |
| 20 | τέστι τῷ ἀπὸ τᾶς ΔΓ τετρα‐ γώνῳ, ἐστὶν ἴσον· ἐπεὶ οὖν ὃν λόγον ἔχει ἁ ΖΔ ποτὶ τὰν ΔΓ, τοῦτον ἔχει καὶ | |
| ἁ ΔΓ ποτὶ τὰν ΔΘ, γωνία | 151 | |
3.152 | δὲ ἁ ποτὶ τὸ Δ σαμεῖον κοινά ἐστιν, τρίγωνα ἄρα τὰ ΔΖΓ, ΔΓΘ ἐστὶν ὅμοια καὶ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΖΓ, | |
| 5 | ΔΓΘ, ΔΑΘ, ΑΖΔ ἴσαι ἀλλά‐ λαις ἐντί· ἔστι δὲ καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΔΖΓ τᾷ ὑπὸ ΖΓΕ ἴσα· ἦν δὲ καὶ ἁ ὑπὸ ΔΖΑ τᾷ ὑπὸ ΑΕΓ ἴσα· ἐν δυσὶ | |
| 10 | τριγώνοις ἄρα τοῖς ΕΗΖ, ΓΗΖ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΗΕΖ, ΗΓΖ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντὶ καὶ αἱ ποτὶ τῷ Η σαμείῳ γωνίαι ὀρθαί· ἔστι | |
| 15 | δὲ πλευρὰ ἁ ΗΖ κοινά· ἔστιν ἄρα ἁ ΕΗ τᾷ ΗΓ ἴσα· δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν. ιαʹ. Εἴ κα ἐν κύκλῳ δύο | |
| 20 | εὐθεῖαι τέμνωντι ἀλλάλας ποτ’ ὀρθὰς μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι, τὰ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν εὐθειῶν τετράγωνα τῷ ἀπὸ τᾶς δια‐ | |
| 25 | μέτρου τοῦ κύκλου ἴσα ἐντί. Ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ | |
| τετμάσθων ποτ’ ὀρθὰς κατὰ | 152 | |
3.153 | [Omitted graphic marker] τὸ Ε σαμεῖον· φαμὶ δή, τὰ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, ΕΔ τετράγωνα τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου τοῦ | |
| 5 | κύκλου ἴσα ἐστίν. Ἄχθω γὰρ διάμετρος τοῦ κύκλου ἁ ΑΖ καὶ ἐπεζεύχ‐ θων αἱ ΑΓ, ΑΔ, ΓΖ, ΔΒ εὐθεῖαι. Ἐπεὶ οὖν ἐν δυσὶ | |
| 10 | τριγώνοις τοῖς ΑΔΕ, ΑΖΓ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΕΔ, ΑΔΕ, καὶ ΑΓΖ, ΑΖΓ ἴσαι ἀλλά‐ λαις ἐντὶ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, λοιπαὶ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ | |
| 15 | ΓΑΖ, ΔΑΕ ἐσσοῦνται ἀλλά‐ λαις ἴσαι· περιφέρειαι ἄρα αἱ ΓΖ, ΔΒ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, καὶ αἱ ταύτας ὑποτεί‐ νουσαι εὐθεῖαι αἱ ΓΖ, ΔΒ· | |
| 20 | ἔστι δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ τῷ ἀπὸ τᾶς ΔΒ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τᾶς ΓΖ, ἴσον, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ τῷ | |
| ἀπὸ τᾶς ΓΑ, καὶ τὰ ἀπὸ | 153 | |
3.154 | τῶν ΓΖ, ΓΑ τῷ ἀπὸ τᾶς ΖΑ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου, ἴσα· ἐσσοῦνται ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν τμαμάτων | |
| 5 | τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, ΕΔ τετρά‐ γωνα τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου ἴσα· δέδεικται οὖν τὸ προ‐ τεθέν. ιβʹ. | |
| 10 | Εἴ κα ἐκ σαμείου ἐκτὸς ἁμικυκλίου δύο εὐθεῖαι ἀχθέωντι ἐπιψαύουσαι αὐ‐ τοῦ, ἀχθέωντι δὲ ἐκ τῶν σαμείων ἁφᾶς δύο εὐθεῖαι [Omitted graphic marker] | |
| 15 | ποτὶ τὰ ἀπεναντίον πέρατα τᾶς διαμέτρου τέμνουσαι ἀλλάλας, ἁ ἐκ τοῦ ἐκτὸς σαμείου ποτὶ τὸ σαμεῖον τομᾶς τῶν δύο εὐθειῶν | |
| 20 | ἀχθεῖσα καὶ ἐκβληθεῖσα ποτὶ τὰν διάμετρον ἐσσεῖται | |
| ταύτᾳ ποτ’ ὀρθάς. | 154 | |
3.155 | Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒ, σαμεῖον δέ τι ἐκτὸς αὐτοῦ τὸ Γ, καὶ ἐκ τοῦ Γ ἄχθων δύο εὐθεῖαι αἱ ΓΔ, ΓΕ ἐπι‐ | |
| 5 | ψαύουσαι αὐτοῦ κατὰ τὰ Δ, Ε σαμεῖα, ἐπεζεύχθων δὲ ἐκ τῶν σαμείων ἁφᾶς ποτὶ τὰ ἀπεναντίον πέρατα τᾶς διαμέτρου τὰ Α, Β | |
| 10 | εὐθεῖαι αἱ ΕΑ, ΔΒ τέμνουσαι ἀλλάλας κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀχθεῖσα ἁ ΓΖ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η σαμεῖον· φαμὶ δή, εὐθεῖα ἁ ΓΗ διαμέτρῳ | |
| 15 | τᾷ ΑΒ ἐσσεῖται ποτ’ ὀρθάς. Ἐπεζεύχθων γὰρ αἱ ΑΔ, ΕΒ. Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΔΑΒ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΔΒ ὀρθά ἐστιν, λοιπαὶ | |
| 20 | ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΑΒ, ΔΒΑ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσαι ἐντί· ἔστι δὲ καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΕΒ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσα· κοινὰ ποτικείσθω ἁ ὑπὸ ΖΒΕ· | |
| 25 | συναμφότερος ἄρα ἁ ὑπὸ ΔΑΒ, ΑΒΕ συναμφοτέρῳ τᾷ ὑπὸ ΖΒΕ, ΖΕΒ, τουτέστιν ἐξωτερικᾷ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΔΖΕ τριγώνου τοῦ ΖΒΕ | |
| 30 | ἐστὶν ἴσα. Καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἁ ΓΔ ἐπιψαύουσα τοῦ κύ‐ κλου ἐστίν, διᾶκται δὲ ἀπὸ | |
| τοῦ σαμείου ἁφᾶς τοῦ Δ ἁ | 155 | |
3.156 | ΔΒ τέμνουσα τὸν κύκλον, ἐσσεῖται γωνία ἁ ὑπὸ ΓΔΒ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΔΑΒ ἴσα· διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ γωνία | |
| 5 | ἁ ὑπὸ ΓΕΖ τᾷ ὑπὸ ΕΒΑ ἐστὶν ἴσα· καὶ συναμφότε‐ ρος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ ΓΕΖ, ΓΔΖ τᾷ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστὶν ἴσα· καὶ δέδεικται παρ’ | |
| 10 | ἡμῶν ἐν τοῖς Περὶ τετρα‐ πλεύρων ὅτι εἴ κα μεταξὺ δύο ἰσᾶν εὐθειᾶν τεμνομε‐ νᾶν, οἷον τᾶν ΓΔ, ΓΕ, δύο εὐθεῖαι ἀχθέωντι τεμνόμε‐ | |
| 15 | ναι, οἷον αἱ ΔΖ, ΕΖ, γωνία δὲ ἁ ὑπὸ τούτων περιε‐ χομένα, ὡς ἁ ποτὶ τῷ Ζ, συναμφοτέρῳ τᾷ ὑπὸ τῶν δύο τεμνομενᾶν εὐθειᾶν | |
| 20 | περιεχομένᾳ, ὡς αἱ ποτὶ τοῖς Ε, Δ σαμείοις, ἴσα ἐστίν, ἁ ἐπιζευγνυμένα ἐκ τοῦ σαμείου καθ’ ὃ αἱ δύο εὐθεῖαι συμβάλλοντι ἐπὶ τὸ | |
| 25 | σαμεῖον καθ’ ὃ αὗται τέμ‐ νοντι ἀλλάλας, ὡς ἁ ΓΖ εὐθεῖα, ἑκατέρᾳ τᾶν τεμνο‐ μενᾶν εὐθειᾶν, ὡς αἱ ΓΔ, ΓΕ, ἐστὶν ἴσα· ἁ ΓΖ εὐθεῖα | |
| 30 | ἄρα τᾷ ΓΔ ἐστὶν ἴσα καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΓΖΔ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΓΔΖ, τουτέστι τᾷ ὑπὸ | |
| ΔΑΗ· γωνίαι δὲ αἱ ὑπὸ | 156 | |
3.157 | ΓΖΔ, ΔΖΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἐντί· συναμφότερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ ΔΑΗ, ΔΖΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσα ἐστίν· | |
| 5 | λοιπαὶ ἄρα γωνίαι τετρα‐ πλεύρου τοῦ ΑΔΖΗ αἱ ὑπὸ ΑΔΖ, ΑΗΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἐντί· ἔστι δὲ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΔΒ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσα· | |
| 10 | γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΑΗΓ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσα ἐστίν· ἔστιν ἄρα εὐθεῖα ἁ ΔΗ διαμέτρῳ τᾷ ΑΒ ποτ’ ὀρθάς· δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν. | |
| 15 | ιγʹ. Εἴ κα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνουσαι ἀλλάλας μὴ ποτ’ ὀρθὰς ὦσιν, ἁ μὲν διάμετρος ἁ δὲ οὔ, ἀχθέωντι | |
| 20 | δὲ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου εὐθεῖαι ποτ’ ὀρ‐ θὰς τᾷ ἄλλᾳ εὐθείᾳ, αἱ ἀπολαφθεῖσαι ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου | |
| 25 | εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί. Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ καὶ ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι τέμνου‐ σαι ἀλλάλας μὴ ποτ’ ὀρθὰς αἱ ΑΒ, ΓΔ, ἇν ἁ ΑΒ διάμε‐ | |
| 30 | τρος τοῦ κύκλου, καὶ ἀπὸ | |
| τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου | 157 | |
3.158 | [Omitted graphic marker] τῶν Α, Β ἄχθωσαν τᾷ ΓΔ ποτ’ ὀρθὰς εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, ΒΖ· φαμὶ δή, αἱ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου | |
| 5 | ἀπολαφθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΓΖ, ΔΕ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί. Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΕΒ καὶ ἀπὸ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ Ι τᾷ ΓΔ ἄχθω ποτ’ ὀρθὰς | |
| 10 | εὐθεῖα ἁ ΙΗ καὶ ἐκβληθεῖσα συμβαλλέτω τᾷ ΕΒ κατὰ τὸ Θ σαμεῖον. Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἁ ΙΗ παρὰ τὰν ΑΕ ἐστίν, ἁ δὲ ΒΙ | |
| 15 | τᾷ ΙΑ ἴσα, εὐθεῖα ἄρα ἁ ΒΘ τᾷ ΘΕ ἐστὶν ἴσα. Πάλιν, ἐπεὶ ἁ ΒΖ παρὰ τὰν ΘΗ ᾖ, ἐστίν εὐθεῖα ἄρα ἁ ΖΗ εὐθείᾳ τᾷ ΗΕ ἐστὶν ἴσα· ἔστι δὲ καὶ ἁ | |
| 20 | ΗΓ τᾷ ΗΔ ἴσα· κοινὰ ἀφαιρήσθω ἁ ΖΗ, τουτέστιν ἁ ΗΕ· λοιπὰ ἄρα ἁ ΖΓ λοιπᾷ τᾷ ΕΔ ἐστὶν ἴσα· | |
| φανερὸν οὖν ὃ ἔδει δεῖξαι. | 158 | |
3.159 | ιδʹ. Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἴσα τμάματα λαφθέωντι | |
| 5 | καὶ ἀπὸ τούτων ἁμικύκλια ἐντὸς γραφέωντι, γραφῇ δὲ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμάματος τᾶς διαμέτρου ἁμικύκλιον ἐκτός, ὁ κύκλος, οὗ διάμε‐ | |
| 10 | τρος συναμφότερος ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἁμικυκλίου καὶ ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκτός, χωρίῳ τῷ περιεχο‐ μένῳ ὑπὸ τῶν περιφερειῶν | |
| 15 | τῶν ἁμικυκλίων, ὅπερ σελή‐ νιον καλείσθω, ἴσος ἐστίν. Ἔστω ἁμικύκλιον, οὗ διά‐ μετρος ἁ ΑΒ, καὶ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου τῶν | |
| 20 | Α, Β δύο τμάματα ἴσα ἀλλάλοις λελάφθω τὰ ΑΓ, ΒΔ, γεγράφθω δὲ ἀπὸ τῶν τμαμάτων δύο ἁμικύκλια ἐντός, καὶ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ | |
| 25 | τμάματος τοῦ ΓΔ γεγράφθω ἁμικύκλιον ἐκτός, διὰ κέν‐ τρου δὲ τοῦ ἁμικυκλίου τοῦ Ε διαμέτρῳ τᾷ ΑΒ ἄχθω ποτ’ ὀρθὰς εὐθεῖα ἁ ΕΖ | |
| 30 | καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η | |
| σαμεῖον· φαμὶ δή, ὁ κύκλος, | 159 | |
3.160 | οὗ διάμετρος ἁ ΖΗ, χωρίῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν περιφερειῶν τῶν ἁμικυ‐ κλίων, ὅπερ σελήνιον κα‐ | |
| 5 | λείσθω, ἴσος ἐστίν. [Omitted graphic marker] Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα γραμμὰ ἁ ΔΓ δίχα τέτμαται κατὰ τὸ Ε σαμεῖον, ποτίκειται δὲ αὐτᾷ εὐθεῖα ἐπ’ εὐθείας | |
| 10 | ἁ ΓΑ, τὸ ἀπὸ τᾶς ΔΑ καὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ποτικειμένας τᾶς ΓΑ τὰ συναμφότερα τετράγωνα διπλασίονά ἐντι τοῦ τε ἀπὸ τᾶς ἁμισείας τᾶς | |
| 15 | ΔΕ καὶ τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ τετραγώνου. Ἔστι δὲ ἁ ΖΗ τᾷ ΔΑ ἴσα· ἔστιν ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΖΗ, ΓΑ διπλασίονα τοῦ τε ἀπὸ τᾶς | |
| 20 | ΔΕ καὶ τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ. Καὶ ἐπεὶ ἁ ΑΒ τᾶς ΑΕ | |
| διπλασίων ἐστὶ καὶ ἁ ΓΔ | 160 | |
3.161 | τᾶς ΔΕ, ἐσσεῖται καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ τοῖς ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΑ τετραπλασίονα, τουτέστι τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΗ, | |
| 5 | ΓΑ διπλασίονα· κύκλοι ἄρα, ὧν διάμετροι αἱ ΑΒ, ΔΓ εὐθεῖαι, κύκλων, ὧν διάμετροι αἱ ΖΗ, ΓΑ, διπλα‐ σίονές ἐντι· ἁμικύκλια ἄρα, | |
| 10 | ὧν διάμετροι αἱ ΑΒ, ΔΓ εὐθεῖαι, κύκλοις, ὧν διά‐ μετροι αἱ ΖΗ, ΓΑ, ἴσα ἐστίν· κοινὸν ἀφαιρήσθω κύκλος, οὗ διάμετρος ἁ ΑΓ, | |
| 15 | τουτέστι δύο ἁμικύκλια, ὧν διάμετροι αἱ ΑΓ, ΔΒ· λοι‐ πὸν ἄρα χωρίον τὸ ὑπὸ τῶν περιφερειῶν τῶν ἁμικυκλίων περιεχόμενον, ὅπερ σελή‐ | |
| 20 | νιον καλεῖται, κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ ΖΗ, ἴσον ἐστίν· δῆλον οὖν τὸ προτεθέν. ιεʹ. Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒ | |
| 25 | καὶ ἁ ΑΓ πλευρὰ τοῦ ἐγγεγραμμένου ἰσοπλεύρου τε καὶ ἰσογωνίου πεντα‐ γώνου, τετμάσθω δὲ περι‐ φέρεια ἁ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ | |
| 30 | Δ, ἐπιζευχθεῖσα δὲ ἁ ΓΔ | |
| ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ | 161 | |
3.162 | ἀπὸ τοῦ Δ σαμείου διάχθω ἁ ΔΒ τέμνουσα πλευρὰν τὰν ΑΓ κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἄχθω τᾷ ΑΒ ποτ’ | |
| 5 | ὀρθὰς ἁ ΖΗ· φαμὶ δή, εὐθεῖα ἁ ΕΗ τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἴσα ἐστίν. [Omitted graphic marker] Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΓΒ, | |
| 10 | καὶ ἔστω κέντρον τοῦ κύ‐ κλου τὸ Θ σαμεῖον, καὶ ἄχθωσαν αἱ ΘΔ, ΔΗ, ΑΔ εὐθεῖαι. Ἐπεὶ οὖν γωνία ἁ ὑπὸ ΑΒΓ δύο πέμπτα ὀρθᾶς | |
| 15 | ἐστιν, γωνία ἁ ὑπὸ ΓΒΔ, τουτέστι ἁ ὑπὸ ΔΒΑ, ἓν πεμπταμόριον ὀρθᾶς ἐστιν· γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΔΘΑ δύο πέμπτα ὀρθᾶς ἐστιν. Καὶ | |
| 20 | ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΓΒΖ, ΗΒΖ δύο γωνίαι αἱ ποτὶ τῷ Β ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, ὀρθαὶ δὲ αἱ ποτὶ τὰ Η, Γ σαμεῖα, κοινὰ δὲ πλευρὰ | |
| 25 | ἁ ΒΖ, ἐσσεῖται ἄρα καὶ | 162 |
3.163 | βάσις ἁ ΒΓ βάσει τᾷ ΒΗ ἴσα. Πάλιν ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΓΒΔ, ΗΒΔ δύο πλευραὶ αἱ ΓΒ, ΒΗ | |
| 5 | ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, γωνίαι δὲ αἱ ποτὶ τῷ Β ἴσαι, κοινὰ δὲ πλευρὰ ἁ ΒΔ, ἐσσεῖται ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ ΒΓΔ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΒΗΔ, τουτέστιν | |
| 10 | ἐπιπέμπτῳ ὀρθᾶς, ἴσα· ἔστι δὲ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓΔ, ΒΗΔ γωνιῶν γωνίᾳ τᾷ ἐκτὸς τοῦ ἐν τῷ κύκλῳ τετραπλεύ‐ ρου τοῦ ΒΑΔΓ, τουτέστι | |
| 15 | τᾷ ΔΑΕ, ἴσα· γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΔΑΒ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΔΗΑ ἔστιν ἴσα, καὶ πλευρὰ ἁ ΔΑ τᾷ ΔΗ. Καὶ ἐπεὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΔΘΗ βεʹ ὀρθᾶς | |
| 20 | ἐστι καὶ ἁ ὑπὸ ΔΗΘ ἐπί‐ πεμπτος ὀρθᾶς, γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΘΔΗ βεʹ ὀρθᾶς ἐστιν· πλευρὰ ἄρα ἁ ΔΗ πλευρᾷ τᾷ ΗΘ ἐστὶν ἴσα. | |
| 25 | Πάλιν, ἐπεὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΔΕ τοῦ ἐν τῷ κύκλῳ τετραπλεύρου τοῦ ΑΔΓΒ ἐκτός ἐστιν, ἐσσεῖται ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ ΑΔΕ γωνίᾳ | |
| 30 | τᾷ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσα· ἔστι δὲ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΒΓ βγʹ ὀρθᾶς· γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ | |
| ΑΔΕ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΗΔΘ | 163 | |
3.164 | ἐστὶν ἴσα. Καὶ ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΕΔΑ, ΘΔΗ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΕΔΑ, ΔΑΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΘΔΗ, | |
| 5 | ΔΗΘ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ ἴσαι ἐντί, βάσις δὲ ἁ ΔΑ βάσει τᾷ ΔΗ ἴσα, πλευρὰ ἄρα ἁ ΕΑ πλευρᾷ τᾷ ΘΗ ἴσα ἐστίν. Κοινὰ ποτικείσθω ἁ ΑΗ· | |
| 10 | εὐθεῖα ἄρα ἁ ΕΗ εὐθείᾳ τᾷ ΑΘ, τουτέστι τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἴσα ἐστίν· δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν. | |
| 15t | ΠΟΡΙΣΜΑ | |
| 16 | Ἐκ τούτου δὴ φανερὸν ὅτι εὐθεῖα ἁ ΔΕ τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐστὶν ἴσα. Ἐπεὶ γὰρ γωνία ἁ | |
| 20 | ὑπὸ ΔΑΕ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΔΗΘ ἴσα ἐστίν, ἐσσεῖται καὶ πλευρὰ ἁ ΔΘ πλευρᾷ τᾷ ΔΕ, τουτέστι τᾷ ΑΘ, ἴσα. | |
| 24t | ΠΟΡΙΣΜΑ | |
| 25 | Καὶ ἔτι δῆλον ὅτι εὐθεῖα ἁ ΑΓ ἄκρον καὶ μέσον τέτμαται κατὰ τὸ Δ σαμεῖον· τμᾶμα δὲ τὸ ΔΕ τὸ μεῖζόν ἐστιν, ἐπεὶ ἁ ΕΔ πλευρὰ | |
| 30 | τοῦ ἑξαγώνου, ἁ δὲ ΔΓ πλευρὰ τοῦ δεκαγώνου τῶν | |
| ἐν τῷ κύκλῳ ἐγγραφομένων. | 164 | |