|
TLG 0552 008 :: ARCHIMEDES :: De corporibus fluitantibus ARCHIMEDES Geom. De corporibus fluitantibus Source: Mugler, C. (ed.), Archimède, vol. 3. Paris: Les Belles Lettres, 1971: 6–66. Citation: Volume — page — (line) | ||
3.6(1t) | Ἀρχιμήδους Ὀχουμένων αʹ | |
| 2 | Ὑποκείσθω τὸ ὑγρὸν φύσιν ἔχον τοιαύταν, ὥστε τῶν μερέων αὐτοῦ τῶν ἐξ ἴσου κειμένων καὶ συνεχέων ἐόντων ἐξωθεῖσθαι τὸ ἧσσον θλιβόμενον ὑπὸ τοῦ μᾶλλον θλιβο‐ | |
|---|---|---|
| 5 | μένου, καὶ ἕκαστον δὲ τῶν μερέων αὐτοῦ θλίβεσθαι τῷ ὑπεράνω αὐτοῦ ὑγρῷ κατὰ κάθετον ἐόντι, εἴ κα μὴ τὸ ὑγρὸν ᾖ καθειργμένον ἔν τινι καὶ ὑπ’ ἄλλου τινὸς θλι‐ βόμενον. αʹ. | |
| 10 | Εἴ κα ᾖ ἐπιφάνειά τις ἐπιπέδῳ τεμνομένα διά τινος | |
| ἀεὶ τοῦ σαμείου τὰν τομὰν ποιέοντι | ||
3.8(10) | [Omitted graphic marker] [ἢ] κατὰ τὰν ΟΠ· ὥστε ἐξωθήσονται τὰ ἧσσον θλιβόμενα ὑπὸ τῶν μᾶλλον θλιβομένων· οὐ μένει ἄρα τὸ ὑγρόν. Ὑπέκειτο δὲ καθεστακὸς εἶμεν ὥστε μένειν ἀκίνητον· ἀναγκαῖον ἄρα τὰν ΑΒΓΔ γραμμὰν κύκλου περιφέρειαν εἶμεν καὶ κέντρον αὐτᾶς τὸ Κ. Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται | |
| 15 | καί, ὅπως κα ἄλλως ἁ ἐπιφάνεια τοῦ ὑγροῦ ἐπιπέδῳ τμαθῇ διὰ τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς, ὅτι ἁ τομὰ ἐσσεῖται κύκλου περιφέρεια, καὶ κέντρον αὐτᾶς ἐσσεῖται ὃ καὶ τᾶς γᾶς ἐστι κέντρον. Δῆλον οὖν ὅτι ἁ ἐπιφάνεια τοῦ ὑγροῦ καθεστακότος ἀκινήτου σφαίρας ἔχει τὸ σχῆμα τὸ αὐτὸ | |
| 20 | κέντρον ἐχούσας τᾷ γᾷ, ἐπειδὴ τοιαύτα ἐστίν, ὥστε | |
3.9 | 〈διὰ τοῦ αὐτοῦ σαμείου τμαθεῖσ〉αν τὰν τομὰν ποιεῖν περιφέρειαν κύκλου κέντρον ἔχοντος τὸ σαμεῖον, δι’ οὗ τέμνεται τῷ ἐπιπέδῳ. γʹ. | |
| 5 | Τῶν στερεῶν μεγεθέων τὰ ἰσοβαρέοντα τῷ ὑγρῷ ἀφεθέντα εἰς τὸ ὑγρὸν καταβασοῦνται, ὥστε τᾶς ἐπιφανείας τᾶς τοῦ ὑγροῦ μὴ ὑπερέχειν μηδέν, καὶ οὐκέτι οἰσθήσονται ἐπὶ τὸ κάτω. [Omitted graphic marker] Ἀφείσθω γάρ τι στερεὸν μέγεθος εἰς τὸ ὑγρὸν τῶν | |
| 10 | ἰσοβαρέων τῷ ὑγρῷ καί, εἰ δυνατόν, ὑπερεχέτω τι αὐτοῦ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καθεστάτω δὲ τὸ ὑγρόν, ὥστε μένειν ἀκίνητον. Νοείσθω δή τι ἐπίπεδον ἐκβεβλημένον διά τε τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς καὶ τοῦ ὑγροῦ καὶ διὰ τοῦ στερεοῦ μεγέθεος, τομὰ δὲ ἔστω τᾶς μὲν ἐπιφανείας | |
| 15 | τοῦ ὑγροῦ ἁ ΑΒΓΔ περιφέρεια, τοῦ δὲ στερεοῦ μεγέθεος τὸ ΕΖΗΘ σχῆμα, κέντρον δὲ τᾶς γᾶς τὸ Κ. Ἔστω δὴ τοῦ | |
| μὲν στερεοῦ τὸ μὲν ΒΓΗΘ ἐν τῷ ὑγρῷ, τὸ δὲ ΒΕΖΓ ἐκτός. | ||
3.10 | Νοείσθω δὴ τὸ στερεὸν σχῆμα περιλαμβανόμενον πυρα‐ μοειδεῖ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸ παραλληλόγραμμον τὸ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ τοῦ ὑγροῦ, κορυφὰν δὲ τὸ κέντρον τᾶς γᾶς, 〈τομὰ δὲ ἔστω τοῦ τε ἐπιπ〉έδου, ἐν ᾧ ἐστιν ἁ ΑΒΓΔ | |
| 5 | περιφέρεια, καὶ τῶν τᾶς πυραμίδος ἐπιπέδων αἱ ΚΛ, ΚΜ. Γεγράφθω τις ἄλλας σφαίρας ἐπιφάνεια περὶ κέντρον τὸ Κ ἐν τῷ ὑγρῷ τῷ ὑπὸ τοῦ ΕΖΗΘ καὶ τεμνέσθω ἐπιπέδῳ, λελάφθω δέ τις καὶ ἄλλα πυραμὶς ἴσα καὶ ὁμοία τᾷ περιλαμβανούσᾳ τὸ στερεὸν συνεχὴς αὐτᾷ, τομὰ δὲ ἔστω | |
| 10 | τῶν ἐπιπέδων αὐτᾶς αἱ ΚΜ, ΚΝ, καὶ ἐν τῷ ὑγρῷ νοείσθω τι μέγεθος τοῦ ὑγροῦ ἀπολαμβανόμενον τὸ ΡΣΤΥ ἴσον καὶ ὅμοιον τῷ στερεῷ τῷ κατὰ τὰ Β, Η, Θ, Γ, ὅ ἐστιν αὐτοῦ ἐν τῷ ὑγρῷ· τὰ δὴ μέρεα τοῦ ὑγροῦ τά τε ἐν τᾷ πρώτᾳ πυραμίδι τὰ ὑπὸ τὰν ἐπιφάνειαν, ἐν ᾇ ἐστιν ἁ ΞΟ περι‐ | |
| 15 | φέρεια, καὶ τὰ ἐν τᾷ ἑτέρᾳ, ἐν ᾇ ἐστιν ἁ ΠΟ, ἐξ ἴσου τέ ἐντι κείμενα καὶ συνεχέα. Οὐχ ὁμοίως δὲ θλίβονται· τὸ μὲν γὰρ κατὰ τὰν ΞΟ θλίβεται τῷ στερεῷ τῷ ΘΗΕΖ καὶ τῷ ὑγρῷ τῷ μεταξὺ τᾶν ἐπιφανειᾶν τᾶν κατὰ τὰς ΞΟ, ΛΜ καὶ τῶν τᾶς πυραμίδος ἐπιπέδων, τὸ δὲ κατὰ τὰν ΠΟ | |
| 20 | τῷ ὑγρῷ τῷ μεταξὺ τᾶν ἐπιφανειᾶν τᾶν κατὰ τὰς ΠΟ, ΜΝ καὶ τῶν τᾶς πυραμίδος ἐπιπέδων. Ἔλασσον δὲ ἐσσεῖται τὸ βάρος τοῦ ὑγροῦ τοῦ κατὰ τὰς ΜΝ, ΟΠ· τὸ μὲν γὰρ κατὰ τὸ ΡΣΤΥ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ΕΖΗΘ στερεοῦ· | |
| αὐτῷ γὰρ τῷ κατὰ τὸ ΗΒΓΘ ἴσον ἐστὶν διὰ τὸ τῷ μεγέθει | ||
3.11 | ἴσον εἶμεν καὶ ἰσοβαρὲς ὑποκεῖσθαι τὸ στερεὸν 〈τῷ ὑγρῷ· τὸ δὲ λοιπὸν τῷ λοιπῷ〉 ἴσον ἐστί. Δῆλον οὖν ὅτι ἐξωθήσεται τὸ μέρος τὸ κατὰ τὰν ΟΠ περιφέρειαν ὑπὸ τοῦ κατὰ τὰν ΟΞ περιφέρειαν, καὶ οὐκ ἐσσεῖται τὸ ὑγρὸν | |
| 5 | ἀκίνητον. Ὑπόκειται δὲ ἀκίνητον ἐόν· οὐκ ἄρα ὑπερέξει τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας οὐδὲν τοῦ στερεοῦ μεγέθεος. Καταδὺν δὲ τὸ στερεὸν οὐκ οἰσθήσεται ἐς τὰ κάτω· ὁμοίως γὰρ πάντα θλιβησοῦντι τὰ μέρεα τοῦ ὑγροῦ τὰ ἐξ ἴσου κείμενα διὰ τὸ ἰσοβαρέα εἶμεν τὸ στερεὸν καὶ τὸ | |
| 10 | ὑγρόν. δʹ. Τῶν στερῶν μεγεθέων ὅ κα κουφότερον ᾖ τοῦ ὑγροῦ, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν οὐ καταδύσεται ὅλον, ἀλλὰ ἐσσεῖταί τι αὐτοῦ ἐκτὸς τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας. [Omitted graphic marker] | |
| 15 | Ἔστω γὰρ στερεὸν μέγεθος κουφότερον τοῦ ὑγροῦ καὶ ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν δεδυκέτω ὅλον, εἰ δυνατόν, καὶ μηδὲν αὐτοῦ ἔστω ἐκτὸς τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, | |
| καθεστακέτω δὲ τὸ ὑγρόν, ὥστε μένειν ἀκίνητον. Νοείσθω | ||
3.12 | δή τι ἐπίπεδον ἐκβεβλημένον διὰ τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς καὶ διὰ τοῦ ὑγροῦ καὶ τοῦ στερεοῦ μεγέθεος, τεμνέσθω δὲ ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου τούτου ἡ μὲν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνεια κατὰ τὰν ΑΒΓ περιφέρειαν, τὸ δὲ στερεὸν μέγεθος κατὰ | |
| 5 | τὸ σχῆμα, ἐν ᾧ Ζ, κέντρον δὲ ἔστω τᾶς γᾶς τὸ Κ, νοείσθω δέ τις πυραμὶς περιλαμβάνουσα τὸ Ζ σχῆμα, καθ’ ἃ καὶ πρότερον, κορυφὰν ἔχουσα τὸ Κ σαμεῖον, τεμνέσθω δὲ αὐτᾶς τὰ ἐπίπεδα ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ΑΒΓ κατὰ τὰς ΑΚ, ΚΒ, λελάφθω δέ τις καὶ ἄλλα ἴσα πυραμὶς καὶ | |
| 10 | ὁμοία ταύτᾳ, τεμνέσθω δὲ αὐτᾶς τὰ ἐπίπεδα ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου κατὰ τὰς ΚΒ, ΚΓ, γεγράφθω δέ τις καὶ ἄλλας σφαίρας ἐπιφάνεια ἐν τῷ ὑγρῷ περὶ κέντρον τὸ Κ, ὑποκάτω δὲ τοῦ στερεοῦ μεγέθεος, τεμνέσθω δ’ αὕτα ὑπὸ τοῦ αὐτοῦ ἐπιπέδου κατὰ τὰν ΞΟΠ περιφέρειαν, νοείσθω δὲ καὶ | |
| 15 | μέγεθος ἀπολαμβανόμενον τοῦ ὑγροῦ τὸ κατὰ τὸ Η ἐν τᾷ ὕστερον πυραμίδι ἴσον τῷ κατὰ τὸ Ζ στερεῷ· τὰ δὴ μέρεα τοῦ ὑγροῦ τοῦ ἐν τᾷ πρώτᾳ πυραμίδι τὰ ὑπὸ τὰν ἐπιφάνειαν τὰν κατὰ τὰν ΞΟ περιφέρειαν καὶ τοῦ ἐν τᾷ δευτέρᾳ τὰ ὑπὸ τὰν ἐπιφάνειαν τὰν κατὰ τὰν ΟΠ περι‐ | |
| 20 | φέρειαν ἐξ ἴσου τέ ἐντι κείμενα καὶ συνεχέα ἀλλάλοις. Οὐχ ὁμοίως δὲ θλίβονται· τὸ μὲν γὰρ ἐν τᾷ πρώτᾳ πυραμίδι θλίβεται τῷ κατὰ τὸ Ζ στερεῷ μεγέθει καὶ τῷ περιέχοντι ὑγρῷ αὐτὸ καὶ ἐόντι ἐν τῷ τόπῳ τᾶς πυραμίδος τῷ κατὰ τὰ Α, Β, Ο, Ξ, τὸ δ’ ἐν τᾷ ἑτέρᾳ πυραμίδι θλίβεται | |
| 25 | τῷ ὑγρῷ τῷ περιέχοντι αὐτὸ καὶ ἐόντι τᾶς πυραμίδος ἐν | |
3.13 | τῷ τόπῳ τῷ κατὰ τὰ Π, Ο, Β, Γ, ἔστι δὲ τὸ βάρος τὸ κατὰ 〈τὸ Ζ ἔλασσον τοῦ βάρεος τοῦ κατὰ τὸ〉 Η, ἐπειδὴ τῷ μὲν μεγέθει ἴσον ἐστίν, κουφότερον δὲ ὑπόκειται τὸ στερεὸν μέγεθος εἶμεν τοῦ ὑγροῦ, τὰ δὲ τοῦ περιέχοντος | |
| 5 | ὑγροῦ τὰ Ζ, Η μεγέθεα ἐν ἑκατέρᾳ τᾶν πυραμίδων ἴσα· μᾶλλον οὖν θλιβήσεται τὸ μέρος τοῦ ὑγροῦ τὸ ὑπὸ τὰν ἐπιφάνειαν τὰν κατὰ τὰν ΟΠ περιφέρειαν· ἐξωθήσει οὖν τὸ ἧσσον θλιβόμενον, καὶ οὐ μενεῖ τὸ ὑγρὸν ἀκίνητον. Ὑπέκειτο δέ· οὐκ ἄρα καταδύσεται ὅλον, ἀλλ’ ἐσσεῖταί | |
| 10 | τι αὐτοῦ ἐκτὸς τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας. εʹ. Τῶν στερεῶν μεγεθέων ὅ κα ᾖ κουφότερον τοῦ ὑγροῦ, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν ἐς τοσοῦτο καταδύσεται, ὥστε ταλι‐ κοῦτον ὄγκον τοῦ ὑγροῦ, ἁλίκος ἐστὶν ὁ τοῦ καταδεδυκότος | |
| 15 | ὄγκος, ἴσον βάρος ἔχειν ὅλῳ τῷ μεγέθει. [Omitted graphic marker] Κατεσκευάσθω ταὐτὰ τοῖς πρότερον, καὶ ἔστω τὸ | |
| ὑγρὸν ἀκίνητον, ἔστω δὲ κουφότερον τοῦ ὑγροῦ τὸ | ||
3.14 | ΕΖΗΘ μέγεθος. Ἐπεὶ οὖν ἀκίνητόν ἐστιν τὸ ὑγρόν, ὁμοίως θλιβήσεται τὰ μέρεα αὐτοῦ τὰ ἐξ ἴσου κείμενα· ὁμοίως ἄρα θλιβήσεται τὸ ὑγρὸν τὸ ὑπὸ τὰν ἐπιφάνειαν τὰν κατὰ τὰς ΞΟ καὶ ΠΟ περιφερείας· ὥστε ἴσον ἐστὶ τὸ βάρος, | |
| 5 | ᾧ θλίβονται. Ἔστι δὲ καὶ τοῦ ὑγροῦ τὸ βάρος τοῦ ἐν τᾷ πρώτᾳ πυραμίδι χωρὶς τοῦ ΒΗΘΓ στερεοῦ ἴσον τῷ βάρει τῷ 〈τοῦ ἐν τᾷ ἑτέρᾳ πυραμίδι〉 χωρὶς τοῦ ΡΣΤΥ ὑγροῦ· δῆλον οὖν ὅτι τὸ τοῦ ΕΖΗΘ μεγέθεος βάρος ἴσον ἐστὶ τῷ τοῦ ΡΣΤΥ ὑγροῦ βάρει. Φανερὸν οὖν ὅτι ταλικοῦτος | |
| 10 | ὄγκος τοῦ ὑγροῦ, ἁλίκον ἐστὶ τὸ δεδυκὸς τοῦ στερεοῦ μεγέθεος, ἴσον βάρος ἔχει ὅλῳ τῷ μεγέθει. ϛʹ. Τὰ κουφότερα στερεὰ τοῦ ὑγροῦ βιασθέντα εἰς τὸ ὑγρὸν ἀναφέρεται τοσαύτᾳ βίᾳ ἐς τὸ ἄνω, ὅσον ἐστὶ | |
| 15 | τὸ βάρος, ᾧ βαρύτερόν ἐστι τοῦ μεγέθεος τὸ ὑγρὸν τὸ ἴσον ὄγκον ἔχον τῷ μεγέθει. Ἔστω τι μέγεθος τὸ Α κουφότερον τοῦ ὑγροῦ, ἔστω δὲ τοῦ μὲν μεγέθεος τοῦ ἐν ᾧ Α βάρος τὸ Β, τοῦ δὲ ὑγροῦ | |
| τοῦ ἴσον ὄγκον ἔχοντος τῷ Α τὸ ΒΓ. Δεικτέον ὅτι τὸ [Omitted graphic marker] | ||
3.15 | Α μέγεθος βιασθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν ἀνοισεῖται ἐς τὸ ἐπάνω τοσαύτᾳ βίᾳ, ὅσον ἐστὶ τὸ βάρος τὸ Γ. Λελάφθω γάρ τι μέγεθος τὸ ἐν ᾧ τὸ Δ βάρος ἴσον ἔχον τῷ Γ· τὸ δὴ μέγεθος τὸ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ἐν οἷς | |
| 5 | Α, Δ μεγεθέων ἐς τὰ αὐτὰ συντεθέντων κουφότερόν ἐστι τοῦ ὑγροῦ· ἔστι γὰρ τοῦ μὲν μεγέθεος τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων βάρος τὸ ΒΓ, τοῦ δὲ ὑγροῦ τοῦ ἴσον ὄγκον ἔχοντος αὐτῷ μεῖζον τοῦ ΒΓ διὰ τὸ τοῦ ἴσον ἔχοντος ὄγκον τῷ τοῦ Α τὸ βάρος εἶμεν τὸ ΒΓ. Ἀφεθὲν οὖν ἐς τὸ ὑγρὸν τὸ μέγεθος | |
| 10 | τὸ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν Α, Δ συγκείμενον ἐς τοσοῦτον δύσεται, 〈ἔστε κα ταλικοῦτος ὄγκος τοῦ〉 ὑγροῦ, ἁλίκον καὶ τὸ δεδυκὸς τοῦ μεγέθεος, ἴσον βάρος ἔχῃ τῷ ὅλῳ μεγέθει· δέδεικται γὰρ τοῦτο. Ἔστω δὴ ἐπιφάνειά τινος ὑγροῦ ἁ ΑΒΓΔ περιφέρεια. Ἐπεὶ οὖν ὁ ταλικοῦτος | |
| 15 | ὄγκος τοῦ ὑγροῦ, ἁλίκον ἐστὶ τὸ Α μέγεθος, ἴσον βάρος ἔχει τοῖς Α, Δ μεγέθεσιν, δῆλον ὅτι τὸ δεδυκὸς αὐτοῦ ἐσσεῖται τὸ Α μέγεθος, τὸ δὲ λοιπὸν αὐτοῦ, ἐν ᾧ Δ, ἐσσεῖται ὅλον ὑπὲρ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας· εἰ γὰρ α... δέδυκεν τὸ στερεόν, ἕπεται ...... τούτου δεδειγμένου. | |
| 20 | Δῆλον οὖν ὅτι ..... ἐς τὸ ἄνω φέρεται τὸ Α μέγεθος .......... .......... ὑπὸ τοῦ ἄνω τοῦ Δ ἐς τὸ κάτω, ἐπεὶ οὐδέτερον ὑπ’ οὐδετέρου ἐξωθεῖτο. Ἀλλὰ τὸ Δ ἐς τὸ κάτω θλίβει τοσούτῳ βάρει, ἁλίκον ἐστὶ τὸ Γ· ὑπέκειτο γὰρ τὸ βάρος | |
| τοῦ ἐν ᾧ τὸ Δ εἶμεν ἴσον τῷ Γ· δῆλον οὖν ὃ ἔδει δεῖξαι. | ||
3.16 | ζʹ. Τὰ βαρύτερα τοῦ ὑγροῦ ἀφεθέντα εἰς τὸ ὑγρὸν οἰσεῖται κάτω, ἔστ’ ἂν καταβᾶντι, καὶ ἐσσοῦνται κουφότερα ἐν τῷ ὑγρῷ τοσοῦτον, ὅσον ἔχει τὸ βάρος τοῦ ὑγροῦ τοῦ | |
| 5 | ταλικοῦτον ὄγκον ἔχοντος, ἁλίκος ἐστὶν ὁ τοῦ στερεοῦ μεγέθεος ὄγκος. Ὅτι μὲν οὖν οἰσεῖται ἐς τὸ κάτω, ἔστ’ ἂν καταβᾶντι, δῆλον· τὰ γὰρ ὑποκάτω αὐτοῦ μέρεα τοῦ ὑγροῦ θλιβη‐ σοῦνται μᾶλλον τῶν ἐξ ἴσου αὐτοῖς κειμένων μερέων, | |
| 10 | ἐπειδὴ βαρύτερον ὑπόκειται τὸ στερεὸν μέγεθος τοῦ ὑγροῦ· ὅτι δὲ κουφότερα ἐσσοῦνται, ὡς εἴρηται, δειχθή‐ σεται. [Omitted graphic marker] Ἔστω τι μέγεθος τὸ Α, ὅ ἐστι βαρύτερον τοῦ ὑγροῦ, βάρος δὲ ἔστω τοῦ μὲν ἐν ᾧ Α μεγέθεος τὸ ΒΓ, τοῦ δὲ | |
| 15 | ὑγροῦ τοῦ ἴσον ὄγκον ἔχοντος τῷ Α τὸ Β. Δεικτέον ὅτι τὸ Α μέγεθος ἐν τῷ ὑγρῷ ἐὸν βάρος ἕξει ἴσον τῷ Γ. Λελάφθω γάρ τι μέγεθος τὸ ἐν ᾧ τὸ Δ 〈κουφότερον τοῦ ὑγροῦ τοῦ ἴσον ὄγκον ἔχοντος αὐτῷ, ἔστω〉 δὲ τοῦ | |
| μὲν ἐν ᾧ τὸ Δ μεγέθεος βάρος ἴσον τῷ Β βάρει, τοῦ δὲ | ||
3.17 | ὑγροῦ τοῦ ἴσον ὄγκον ἔχοντος τῷ Δ μεγέθει τὸ βάρος ἔστω ἴσον τῷ ΒΓ βάρει. Συντεθέντων δὴ ἐς τὸ αὐτὸ τῶν μεγεθέων, ἐν οἷς τὰ Α, Δ, τὸ τῶν συναμφοτέρων μέγεθος ἰσοβαρὲς ἐσσεῖται τῷ ὑγρῷ· ἔστι γὰρ τῶν μεγεθέων | |
| 5 | συναμφοτέρων τὸ βάρος ἴσον συναμφοτέροις τοῖς βάρεσιν τῷ τε ΒΓ καὶ τῷ Β, τοῦ δὲ ὑγροῦ τοῦ ἴσον ὄγκον ἔχοντος ἀμφοτέροις τοῖς μεγέθεσι τὸ βάρος ἴσον ἐστὶ τοῖς αὐτοῖς βάρεσιν. Ἀφεθέντων οὖν τῶν μεγεθέων ἐς τὸ ὑγρὸν ἰσορροπησοῦνται τῷ ὑγρῷ καὶ οὔτε εἰς τὸ ἄνω οἰσοῦνται | |
| 10 | οὔτε εἰς τὸ κάτω· διὸ τὸ μὲν ἐν ᾧ Α μέγεθος οἰσεῖ〈ται ἐς τὸ κάτω καὶ τοσαύτᾳ βίᾳ ὑ〉πὸ τοῦ ἐν ᾧ Δ μεγέθεος ἀνέλκεται ἐς τὸ ἄνω, τὸ δὲ ἐν ᾧ Δ μέγεθος, ἐπεὶ κουφότερόν ἐστι τοῦ ὑγροῦ, ἀνοισεῖται εἰς τὸ ἄνω τοσαύτᾳ βίᾳ, ὅσον ἐστὶ τὸ Γ βάρος· δέδεικται γὰρ ὅτι τὰ κουφότερα τοῦ | |
| 15 | ὑγροῦ μεγέθεα στερεὰ βιασθέντα ἐς τὸ ὑγρὸν ἀναφέρονται τοσαύτᾳ βίᾳ ἐς τὸ ἄνω, ὅσον ἐστὶ τὸ βάρος, ᾧ βαρύτερόν ἐστι τοῦ μεγέθεος τὸ ὑγρὸν τὸ ἴσογκον τῷ μεγέθει. Ἔστι δὲ τῷ Γ βάρει βαρύτερον τοῦ Δ μεγέθεος τὸ ὑγρὸν τὸ ἴσον ὄγκον ἔχον τῷ Δ· δῆλον οὖν ὅτι καὶ τὸ ἐν ᾧ Α | |
| 20 | μέγεθος ἐς τὸ κάτω οἰσεῖ〈ται τοσούτῳ βάρει, ὅσον ἐστὶ τὸ Γ〉. Ὑποκεί〈σθω τῶν ἐν τῷ ὑγρῷ ἄνω〉 φερομένων ἕκαστον ἀναφέρεσθαι κατὰ τὰν κάθετον τὰν διὰ τοῦ κέντρου τοῦ | |
| βάρεος αὐτοῦ ἀγμέναν. | ||
3.18 | ηʹ. Εἴ κα στερεόν τι μέγεθος κουφότερον τοῦ ὑγροῦ σφαίρας τμάματος ἔχον σχῆμα εἰς τὸ ὑγρὸν ἀφεθῇ οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν τοῦ τμάματος μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, ὀρθὸν | |
| 5 | καταστασεῖται τὸ σχῆμα οὕτως, ὥστε τὸν ἄξονα τοῦ τμάματος κατὰ κάθετον εἶμεν· καὶ εἴ κα ὑπό τινος ἕλκηται τὸ σχῆμα οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν τοῦ τμάματος ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, οὐ μενεῖ κεκλιμένον, εἴ κα ἀφεθῇ, ἀλλ’ ὀρθὸν ἀποκαταστασεῖται. [Omitted graphic marker] | |
| 10 | Νοείσθω γάρ τι μέγεθος, οἷον εἴρηται, ἐς τὸ ὑγρὸν ἀφε〈θέν, καὶ διά τε τοῦ ἄξονος τοῦ〉 τμάματος καὶ τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς νοείσθω ἐπίπεδον ἐκβεβλημένον, τομὰ δ’ ἔστω τᾶς μὲν ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ ἁ ΑΒΓΔ, τοῦ δὲ σχήματος τοῦ ἐς τὸ ὑγρὸν ἀφεθέντος ἁ ΕΖΗΘ περιφέρεια, | |
| 15 | ἄξων δὲ τοῦ τμάματος ἔστω ἁ ΘΖ· τὸ δὴ κέντρον τᾶς σφαίρας ἔστιν ἐπὶ τᾶς ΘΖ. Πρῶτον μὲν, εἰ μεῖζόν ἐστιν ἡμισφαιρίου τὸ τμᾶμα, | |
| ἔστω τὸ Κ, καὶ ἔστω, εἰ δυνατόν, κεκλιμένον τὸ σχῆμα | ||
3.19 | ἤτοι ὑπό τινος κλιθὲν ἢ καθ’ αὑτό. Δεικτέον οὖν ὅτι οὐ μενεῖ, ἀλλ’ εἰς ὀρθὸν ἀποκαταστασεῖται, ὥστε τὰ Ζ, Θ κατὰ κάθετον εἶμεν. Ἐπεὶ γὰρ ὑπόκειται κεκλίσθαι τὸ σχῆμα, οὐκ ἔστι | |
| 5 | τὰ Ζ, Θ κατὰ κάθετον. Ἄχθω δὴ διὰ τοῦ Κ καὶ τοῦ Λ ἁ ΚΛ, τὸ δὲ Λ κέντρον ὑποκείσθω τᾶς γᾶς· τὸ δὴ σχῆμα τὸ ἐν τῷ ὑγρῷ ἀπολελαμμένον ὑπὸ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφα‐ νείας τὸν ἄξονα ἔχει ἐπὶ τᾶς ΚΛ· εἰ γάρ κα δύο σφαιρᾶν ἐπιφάνειαι τέμνωντι ἀλλάλας, ἁ τομὰ κύκλος ἐστὶν ὀρθὸς | |
| 10 | ποτὶ τὰν εὐθεῖαν τὰν ἐπιζευγνύουσαν τὰ κέντρα τᾶν σφαιρᾶν. Ἔστιν οὖν τοῦ σχήματος τοῦ κατὰ τὰν ΒΝΓ περιφέρειαν ἀπολαμβανομένου ἐν τῷ ὑγρῷ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΚΛ· ἔστω τὸ Ρ. Τοῦ δὲ τμάματος ὅλου τοῦ κατὰ τὰν ΘΗΖΕ περιφέρειαν τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ | |
| 15 | βάρεος ἐπὶ τᾶς ΖΘ· ἔστω τὸ Ξ. Τοῦ ἄρα 〈λοιποῦ σχήματος τοῦ ἐκτὸσ〉 τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΡΞ ἐστὶν ἐκβληθείσας καὶ ἀπολαφθείσας τινὸς τᾶς ΣΞ ποτὶ τὰν ΞΡ τὸν αὐτὸν λόγον ἐχούσας, ὃν ἔχει τὸ βάρος τοῦ κατὰ τὰν ΒΝΓ περιφέρειαν τοῦ | |
| 20 | τμάματος ποτὶ τὸ βάρος τοῦ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ· δέδεικται γὰρ ταῦτα. Ἔστω δὴ τὸ Σ κέντρον τοῦ εἰρημένου σχήματος. Ἐπεὶ οὖν τοῦ μὲν σχήματος, ὅ ἐστιν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ, τὸ βάρος ἐς τὸ κάτω φέρεται κατὰ τὰν εὐθεῖαν τὰν ΛΣ, τὸ δὲ ἐν τῷ ὑγρῷ ἐς τὸ ἄνω κατὰ τὰν εὐθεῖαν τὰν ΡΚ, δῆλον | |
| 25 | ὡς οὐ μενεῖ τὸ σχῆμα, ἀλλὰ τὰ ποτὶ τῷ Ε μέρεα αὐτοῦ | |
3.20 | ἐς τὸ κάτω οἰσοῦνται, τὰ δὲ ποτὶ τῷ Η ἐς τὸ ἄνω, καὶ ἀεὶ ἐς τὸ αὐτὸ οἰσοῦνται, ἕως κα ἁ ΖΘ κατὰ κάθετον γένηται. Κατὰ κάθετον δὲ γενομένας τᾶς ΖΘ τὰ κέντρα τοῦ βάρεος ἐσσοῦνται τοῦ ἐν τῷ ὑγρῷ καὶ τοῦ ἔκτος ἐπὶ | |
| 5 | τᾶς αὐτᾶς καθέτου· ἐπὶ γὰρ τᾶς ΖΘ ἐσσοῦνται· ἀντι‐ θλιψοῦνται οὖν ἀλλήλοις τὰ βάρεα κατὰ τὰν αὐτὰν κάθετον, τὸ μὲν ἐς τὸ κάτω φερόμενον, τὸ δὲ ἐς τὸ ἄνω. Ὥστε μένει τὸ σχῆμα· οὐδέτερον γὰρ ὑπ’ οὐδετέρου ἐξωθήσεται. | |
| 10 | Τὰ δ’ αὐτὰ ἐσσεῖται καὶ εἴ κα τὸ σχῆμα ἡμισφαίριον ᾖ ἢ ἔλασσον ἡμισφαιρίου. θʹ. Καὶ τοίνυν, εἴ κα τὸ σχῆμα κουφότερον ἐὸν τοῦ ὑγροῦ ἀφεθῇ ἐς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ ὅλαν | |
| 15 | εἶμεν ἐν τῷ ὑγρῷ, ὀρθὸν καταστασεῖται τὸ σχῆμα οὕτως, | |
| ὥστε τὸν ἄξονα αὐτοῦ κατὰ κάθετον εἶμεν. [Omitted graphic marker] | ||
3.21 | Νοείσθω γάρ τι μέγεθος, οἷον εἴρηται, εἰς τὸ ὑγρὸν ἀφετώμενον, νοείσθω δὲ καὶ ἐπίπεδον ἀγόμενον διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ τμάματος καὶ διὰ τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς, τομὰ δὲ ἔστω τᾶς μὲν ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ ἁ ΑΒΓΔ περιφέρεια, | |
| 5 | τοῦ δὲ σχήματος ἁ ΕΖΗ περιφέρεια καὶ ἁ ΕΗ εὐθεῖα, ἄξων δὲ ἔστω τοῦ τμάματος ἁ ΖΘ. Εἰ οὖν δυνατόν, μὴ κατὰ κάθετον ἔστω ἁ ΖΘ· δεικτέον οὖν ὅτι οὐ μενεῖ τὸ σχῆμα, ἀλλὰ ἐπ’ ὀρθὸν καταστασεῖται. Ἔστι δὴ τὸ κέντρον τᾶς σφαίρας ἐπὶ τᾶς ΖΘ· πάλιν | |
| 10 | γὰρ μεῖζον ἡμισφαιρίου ἔστω πρῶτον τὸ σχῆμα· καὶ ἔστω τὸ Κ· διὰ δὲ τοῦ Κ καὶ τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς τοῦ Λ ἄχθω ἁ ΚΛ· τὸ δὴ σχῆμα τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ ἀπολαμ‐ βανόμενον ὑπὸ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας τὸν ἄξονα ἔχει ἐπὶ τᾶς διὰ τοῦ Κ, καὶ διὰ ταὐτὰ τοῖς πρότερον | |
| 15 | ἔστιν αὐτοῦ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΝΚ· ἔστω [γὰρ] τὸ Ρ. Τοῦ δὲ ὅλου τμάματος τὸ κέν〈τρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς ΖΘ〉 μεταξὺ τῶν Κ, Ζ· ἔστω τὸ Τ. Τοῦ ἄρα λοιποῦ σχήματος τοῦ ἐν τῷ ὑγρῷ τὸ κέντρον ἐσσεῖται ἐπὶ τᾶς ΤΡ εὐθείας ἐκβληθείσας καὶ ἀπολαφθείσας | |
| 20 | τινός, ἃ ἕξει ποτὶ τὰν ΤΡ τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν ἔχει τὸ βάρος τοῦ τμάματος τοῦ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ ποτὶ τὸ βάρος τοῦ σχήματος τοῦ ἐν τῷ ὑγρῷ· καὶ ἔστω τὸ Ο κέντρον τοῦ εἰρημένου σχήματος, καὶ διὰ τοῦ Ο κάθετος ἔστω ἁ | |
| ΟΛ· οἰσεῖται οὖν τὸ βάρος τοῦ μὲν τμάματος ὅ ἐστιν | ||
3.22 | ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ, κατὰ τὰν εὐθεῖαν τὰν ΡΛ ἐς τὸ κάτω, τοῦ δ’ ἐν τῷ ὑγρῷ σχήματος κατὰ τὰν εὐθεῖαν τὰν ΟΛ ἐς τὸ ἄνω. Οὐκ ἄρα μενεῖ τὸ σχῆμα, ἀλλὰ τοῦ σχήματος τὰ μὲν ποτὶ τῷ Η μέρεα οἰσοῦνται ἐς τὸ κάτω, τὰ δὲ ποτὶ | |
| 5 | τῷ Ε ἐς τὸ ἄνω, καὶ ἀεὶ τοῦτο ἐσσεῖται, ἔστε κα ΘΖ κατὰ | |
| κάθετον γένηται. | ||
3.23(2) | αʹ. Εἴ κά τι μέγεθος κουφότερον ἐὸν τοῦ ὑγροῦ ἀφεθῇ ἐς τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἕξει τὸν λόγον τῷ βάρει ποτὶ τὸ | |
| 5 | ὑγρόν, ὃν ἔχει τὸ δεδυκὸς μέγεθος ποτὶ τὸ ὅλον μέγεθος. [Omitted graphic marker] Ἀφείσθω γάρ τι εἰς τὸ ὑγρὸν μέγεθος στερεὸν τὸ ΦΑ κουφότερον τοῦ ὑγροῦ ἐόν, ἔστω δὲ τὸ μὲν δεδυκὸς αὐτοῦ τὸ Α, τὸ δὲ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τὸ Φ. Δεικτέον ὅτι τὸ ΦΑ τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν τὸ ἴσογκον τοῦτον ἔχει | |
| 10 | τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὸ Α ποτὶ τὸ ΦΑ. Λελάφθω γάρ τι τοῦ ὑγροῦ μέγεθος τὸ ΝΙ ἴσον ὄγκον ἔχον τῷ ΦΑ, καὶ τῷ μὲν Φ ἴσον ἔστω τὸ Ν, τῷ δὲ Α τὸ Ι, καὶ ἔτι τὸ μὲν τοῦ ΦΑ μεγέθεος βάρος ἔστω τὸ Β, τοῦ δὲ ΝΙ τὸ ΡΟ, τοῦ δὲ Ι τὸ Ρ· τὸ ΦΑ ἄρα ποτὶ τὸ ΝΙ τοῦτον | |
| 15 | ἔχει τὸν λόγον, ὃν τὸ Β ποτὶ τὸ ΡΟ. Ἀλλ’ ἐπεὶ τὸ ΦΑ | |
3.24 | μέγεθος ἐς τὸ ὑγρὸν ἀφείθη κουφότερον ὑπάρχον τοῦ ὑγροῦ, δῆλον ὡς ὁ τοῦ δεδυκότος μεγέθεος ὄγκος ἴσον βάρος ἔχει τῷ ΦΑ μεγέθει· δέδεικται γὰρ τοῦτο· ἴσον ἄρα τὸ Β βάρος τῷ Ρ, ἐπειδὴ τὸ μὲν Β τὸ βάρος ἐστὶ | |
| 5 | ὅλου τοῦ ΦΑ μεγέθεος, τὸ δὲ Ρ τοῦ Ι ὑγροῦ, ὃ τῷ μεγέθει ἐγένετο ἴσον τῷ ἴσον ὄγκον ἔχοντι τῷ δεδυκότι μεγέθει τῷ Α· ἔχει ἄρα τὸ ΦΑ μέγεθος τῷ βάρει ποτὶ τὸ ΝΙ ὡς τὸ Ρ ποτὶ τὸ ΡΟ. Ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ Ρ ποτὶ τὸ ΡΟ, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὸ Ι ποτὶ τὸ ΙΝ καὶ τὸ Α ποτὶ τὸ ΦΑ· | |
| 10 | δέδεικται ἄρα τὸ προτεθέν. βʹ. Τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος, ὅταν τὸν ἄξονα ἔχῃ μὴ μείζονα ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, πάντα λόγον ἔχον ποτὶ τὸ ὑγρὸν τῷ βάρει, | |
| 15 | ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, τεθὲν κεκλιμένον οὐ μενεῖ κεκλιμένον, ἀλλὰ ἀποκαταστασεῖται ὀρθόν. Ὀρθὸν δὲ λέγω καθεσ‐ τακέναι τὸ τοιοῦτο τμᾶμα, ὁπόταν τὸ ἀποτετμακὸς αὐτὸ | |
| ἐπίπεδον παρὰ τὰν ἐπιφάνειαν ᾖ τοῦ ὑγροῦ. [Omitted graphic marker] | ||
3.25 | Ἔστω τμᾶμα ὀρθογωνίου κωνοειδέος, οἷον εἴρηται, καὶ κείσθω κεκλιμένον. Δεικτέον ὅτι οὐ μενεῖ, ἀλλ’ ἀποκα‐ ταστασεῖται ὀρθόν. Τμαθέντος δὴ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ | |
| 5 | ποτὶ τὸ 〈ἐπίπεδον τὸ ἐπὶ τᾶς ἐπιφανείασ〉 τοῦ ὑγροῦ τμάματος ἔστω τομὰ ἁ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά, ἄξων δὲ τοῦ τμάματος καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ ΝΟ, τᾶς δὲ τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας τομὰ ἁ ΙΣ. Ἐπεὶ οὖν τὸ τμᾶμα οὐκ ἐστὶν ὀρθόν, οὐκ ἂν εἴη παράλληλος ἁ ΑΛ | |
| 10 | τᾷ ΙΣ· ὥστε οὐ ποιήσει ὀρθὰν γωνίαν ἁ ΝΟ ποτὶ τὰν ΙΣ. Ἄχθω οὖν παράλληλος ἁ ἐφαπτομένα ἁ ΚΩ τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς κατὰ τὸ Π, καὶ ἀπὸ τοῦ Π παρὰ τὰν ΝΟ ἄχθω ἁ ΠΦ· τέμνει δὴ ἁ ΠΦ δίχα τὰν ΙΣ· δέδεικται γὰρ ἐν τοῖς κωνικοῖς. Τετμάσθω ἁ ΠΦ, ὥστε εἶμεν διπλασίαν | |
| 15 | τὰν ΠΒ τᾶς ΒΦ, καὶ ἁ ΝΟ κατὰ τὸ Ρ τετμάσθω, ὥστε καὶ τὰν ΟΡ τᾶς ΡΝ διπλασίαν εἶμεν· ἐσσεῖται δὴ τοῦ μείζονος ἀποτμάματος τοῦ στερεοῦ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Ρ, τοῦ δὲ κατὰ τὰν ΙΠΟΣ τὸ Β· δέδεικται γὰρ ἐν ταῖς Ἰσορροπίαις, ὅτι παντὸς ὀρθογωνίου κωνοειδέος τμάματος τὸ κέντρον | |
| 20 | τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος διῃρημένου οὕτως, ὥστε τὸ ποτὶ τᾷ κορυφᾷ τοῦ ἄξονος τμᾶμα διπλάσιον εἶμεν τοῦ λοιποῦ. Ἀφαιρεθέντος δὴ τοῦ κατὰ τὰν ΙΠΟΣ τμάματος στερεοῦ ἀπὸ τοῦ ὅλου τοῦ λοιποῦ 〈τὸ〉 κέντρον ἐσσεῖται τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΒΓ εὐθείας· δέδεικται γὰρ | |
| 25 | τοῦτο ἐν τοῖς Στοιχείοις τῶν μηχα〈νικῶν ὅτι, εἴ κα μέγεθος ἀφαιρεθῇ μὴ〉 τὸ αὐτὸ κέντρον ἔχον τοῦ βάρεος τῷ ὅλῳ | |
| μεγέθει, τοῦ λοιποῦ τὸ κέντρον ἐσσεῖται τοῦ βάρεος ἐπὶ | ||
3.26 | τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰ κέντρα τοῦ τε ὅλου μεγέθεος καὶ τοῦ ἀφῃρημένου ἐκβεβλημένας ἐπὶ τὰ αὐτά, ἐφ’ ἃ τὸ κέντρον τοῦ ὅλου μεγέθεός ἐστιν. Ἐκβεβλήσθω δὴ ἁ ΒΡ ἐπὶ τὸ Γ, καὶ ἔστω τὸ Γ κέντρον τοῦ βάρεος | |
| 5 | τοῦ λοιποῦ μεγέθεος. Ἐπεὶ οὖν ἁ ΝΟ τᾶς μὲν ΟΡ ἡμιολία, τᾶς δὲ μέχρι τοῦ ἄξονος οὐ μείζων ἢ ἡμιολία, δῆλον ὅτι ἁ ΡΟ τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος οὐκ ἐστὶ μείζων· ἁ ΠΡ ἄρα ποτὶ τὰν ΚΩ γωνίας ἀνίσους ποιεῖ, καὶ ἁ ὑπὸ τῶν ΡΠΩ γίνεται ὀξεῖα· ἁ ἀπὸ τοῦ Ρ ἄρα κάθετος ἐπὶ τὰν | |
| 10 | ΠΩ ἀγομένα μεταξὺ πεσεῖται τῶν Π, Ω. Πιπτέτω ὡς ἁ ΡΘ· ἁ ΡΘ ἄρα ὀρθά ἐστιν ποτὶ τὸ .......κ..ος ἐπίπεδον, ἐν ᾧ ἐστιν ἁ ΣΙ, ὅ ἐστιν ἐπὶ τᾶς ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ. Ἄχθωσαν δή τινες ἀπὸ τῶν Β, Γ παρὰ τὰν ΡΘ· ἐνεχθήσεται δὴ τὸ μὲν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τοῦ μεγέθεος εἰς τὸ κάτω κατὰ | |
| 15 | τὰν διὰ τοῦ Γ ἀγομέναν κάθετον· ὑπόκειται γὰρ ἕκαστον τῶν βαρέων εἰς τὸ κάτω φέρεσθαι κατὰ τὰν κάθετον τὰν διὰ τοῦ κέντρου ἀγομέναν· τὸ δὲ ἐν τῷ ὑγρῷ μέγεθος, ἐπεὶ κουφότερον γίνεται τοῦ ὑγροῦ, ἐνεχθήσεται εἰς τὸ ἄνω κατὰ τὰν κάθετον τὰν διὰ τοῦ Β ἀγομέναν. Ἐπεὶ | |
| 20 | δὲ οὐ κατὰ τὰν αὐτὰν κάθετον ἀλλάλοις ἀντιθλίβονται, 〈οὐ μενεῖ τὸ σχῆμα, ἀλλὰ τὰ μὲν κατὰ〉 τὸ Α εἰς τὸ ἄνω ἐνεχθήσεται, τὰ δὲ κατὰ τὸ Λ εἰς τὸ κάτω, καὶ τοῦτο ἀεὶ ἐσσεῖται, ἕως ἂν ὀρθὸν ἀποκατασταθῇ. γʹ. | |
| 25 | Ὀρθὸν τμᾶμα ὀρθογωνίου κωνοειδέος, ὅταν τὸν ἄξονα | |
| ἔχῃ μὴ μείζονα ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, πάντα | ||
3.27 | λόγον ἔχον ποτὶ τὸ ὑγρὸν τῷ βάρει, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ ὅλαν εἶμεν ἐν τῷ ὑγρῷ, τεθὲν κεκλιμένον οὐ μενεῖ κεκλιμένον, ἀλλ’ ἀποκατασ‐ τασεῖται οὕτως, ὥστε τὸν ἄξονα αὐτοῦ κατὰ κάθετον | |
| 5 | εἶμεν. [Omitted graphic marker] Ἀφείσθω γάρ τι τμᾶμα εἰς τὸ ὑγρόν, οἷον εἴρηται, καὶ ἔστω αὐτοῦ ἁ βάσις ἐν τῷ ὑγρῷ, τμαθέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ τομὰ ἔστω ἁ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά, | |
| 10 | ἄξων δὲ τοῦ τμάματος καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ ΠΦ, τᾶς δὲ ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ τομὰ ἁ ΙΣ. Ἐπειδὴ οὖν κεκλιμένον κεῖται τὸ τμᾶμα, οὐκ ἐσσεῖται κατὰ κάθετον ὁ ἄξων· οὐκ ἄρα ποιήσει ἁ ΠΦ ἴσας γωνίας ποτὶ τὰν ΙΣ. Ἄχθω δή τις 〈ἁ ΚΩ παρὰ τὰν ΙΣ ἐφαπτομένα κατὰ〉 | |
| 15 | τὸ Ο τᾶς ΑΠΟΛ τομᾶς, καὶ τοῦ μὲν ΑΠΟΛ στερεοῦ κέντρον ἔστω τοῦ βάρεος τὸ Ρ, τοῦ δὲ ΙΠΟΣ στερεοῦ τὸ Β, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἁ ΒΡ ἐκβεβλήσθω, καὶ ἔστω κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Γ τοῦ ΙΣΛΑ. Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται ἁ μὲν | |
| ὑπὸ τᾶν ΡΟ, ΟΚ γωνία ὀξεῖα, ἁ δὲ ἀπὸ τοῦ Ρ κάθετος | ||
3.28 | ἐπὶ τὰν ΚΩ ἀγομένα μεταξὺ πίπτουσα τῶν Κ, Ο· ἔστω ἁ ΡΘ. Ἐὰν δὴ ἀπὸ τῶν Γ, Β ἀχθέωντί τινες παρὰ τὰν ΡΘ, τὸ μὲν ἐν τῷ ὑγρῷ ἀπολαφθὲν ἐνεχθήσεται ἄνω κατὰ τὰν διὰ τοῦ Γ ἀγομέναν, τὸ δ’ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ κατὰ τὰν | |
| 5 | διὰ τοῦ Β ἀγομέναν κάτω, καὶ οὐ μενεῖ τὸ ΑΠΟΛ στερεὸν οὕτως ἔχον ἐν τῷ ὑγρῷ, ἀλλὰ τὸ μὲν κατὰ τὸ Α ἄνω τὰν φορὰν ἕξει, τὸ δὲ κατὰ τὸ Λ κάτω, ἕως ἂν γένηται ἁ ΠΦ κατὰ κάθετον. δʹ. | |
| 10 | Τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος, ὁπόταν κουφότερον ᾖ τοῦ ὑγροῦ καὶ τὸν ἄξονα ἔχῃ μείζονα ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ὅταν τῷ βάρει ποτὶ τὸ ἴσογκον ὑγρὸν μὴ ἐλάσ〈σονα λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει〉 τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς, ᾇ μείζων ἐστὶν ὁ | |
| 15 | ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, τεθὲν κεκλιμένον | |
| οὐ μενεῖ κεκλιμένον, ἀλλὰ ἀποκαταστασεῖται εἰς ὀρθόν. [Omitted graphic marker] | ||
3.29 | Ἔστω τμᾶμα ὀρθογωνίου κωνοειδέος, οἷον εἴρηται, καὶ ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρόν, εἰ δυνατόν, ἔστω μὴ ὀρθόν, ἀλλὰ κεκλιμένον, τμαθέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ τοῦ μὲν τμάματος | |
| 5 | τομὰ | |
3.36(8) | ζʹ. Τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος, ὅταν | |
| 10 | τοῦ ὑγροῦ κουφότερον ᾖ καὶ τὸν ἄξονα ἔχῃ μείζονα μὲν ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ἐλάσσονα δὲ ἢ ὥστε λόγον ἔχειν ποτὶ τὰν μέχρι τοῦ ἄξονος, ὃν τὰ ιε ποτὶ δ, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως ὥστε τὰν βάσιν ὅλαν | |
| εἶμεν ἐν τῷ ὑγρῷ, οὐδέποτε καταστασεῖται οὕτως, ὥστε τὰν | ||
3.37 | βάσιν αὐτοῦ ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, ἀλλ’ ὥστε ὅλαν εἶμεν ἐν τῷ ὑγρῷ μηδὲ καθ’ ἓν σαμεῖον ἁπτομέναν τᾶς ἐπιφανείας. [Omitted graphic marker] Ἔστω τμᾶμα οἷον εἴρηται, καὶ ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν | |
| 5 | καθάπερ ἐρρέθη καθεστακέτω οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας. Δεικτέον ὅτι οὐ μενεῖ, ἀλλὰ ἀνακλιθήσεται οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθ’ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας. Τμαθέντος γὰρ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὰν τοῦ | |
| 10 | ὑγροῦ ἐπιφάνειαν τομὰ ἔστω ἁ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά, ἔστω δὲ καὶ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας τομὰ ἁ ΣΛ, ἄξων δὲ ἔστω τοῦ τμάματος καὶ διάμετρος ἁ ΠΦ, πάλιν δὲ τεμνέσθω ἁ ΠΦ κατὰ μὲν τὸ Ρ, ὥστε διπλασίαν εἶμεν τὰν ΡΠ τᾶς ΡΦ, κατὰ δὲ τὸ Ω, ὥστε τὰν ΠΦ ποτὶ τὰν ΡΩ | |
| 15 | λόγον ἔχειν ὃν τὰ ιε ποτὶ τὰ δ, καὶ ἁ ΩΚ ὀρθὰ ἄχθω τᾷ ΠΦ· ἐσσεῖται δὴ ἐλάσσων ἁ ΡΩ τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος. Ἀπολελάφθω οὖν τᾷ μέχρι τοῦ ἄξονος ἴσα ἁ ΡΗ, καὶ ἁ μὲν ΤΟ ἄχθω ἐφαπτομένα τᾶς τομᾶς κατὰ τὸ Ο παράλ‐ | |
| ληλος ἐοῦσα τᾷ ΣΛ, ἁ δὲ ΝΟ τᾷ ΠΦ, τεμνέτω δὲ ἁ ΝΟ | ||
3.38 | τὰν ΚΩ πρότερον κατὰ τὸ Ι. Ὁμοίως δὴ τῷ πρὸ τούτου δειχθήσεται ὅτι ἁ ΝΟ ἤτοι ἡμιολία τᾶς ΟΙ ἢ μείζων ἢ ἡμιολία· γίνεται δὴ ἁ ΟΙ τᾶς ΙΝ ἐλάσσων ἢ διπλασία. Ἔστω δὴ ἁ ΟΒ διπλασία τᾶς ΒΝ, καὶ κατεσκευάσθω τὰ [Omitted graphic marker] | |
| 5 | αὐτά· ὁμοίως δὴ δειχθήσεται ἁ ΡΘ ὀρθὰς γωνίας ποιοῦσα ποτὶ τὰν ΤΟ καὶ ποτὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν, καὶ ἀπὸ τῶν Β, Γ ἀχθεῖσαι παρὰ τὰν ΡΘ κάθετοι ἐσσοῦνται ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν. Κατενεχθήσεται οὖν τὸ μὲν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τμᾶμα εἰς τὸ ὑγρὸν κατὰ τὰν διὰ τοῦ Β | |
| 10 | κάθετον, τὸ δ’ ἐν τῷ ὑγρῷ ἀνενεχθήσεται κατὰ τὰν διὰ τοῦ Γ· φανερὸν οὖν ὅτι ἐπικλιθήσεται τὸ στερεόν, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθ’ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, ἐπειδὴ νῦν καθ’ ἓν σαμεῖον 〈ἁπτόμενον ἐπὶ τὸ κάτω φέρε〉ται ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ Λ. | |
| 15 | Φανερὸν δὲ ὅτι, κἂν ἁ ΟΝ μὴ τέμνῃ τὰν ΩΚ, ταὐτὰ | |
| δειχθήσεται. | ||
3.39 | ηʹ. Τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος, ὅταν τὸν ἄξονα ἔχῃ μείζονα ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ἐλάσσονα δὲ ἢ ὥστε ποτὶ τὰν μέχρι τοῦ ἄξονος τοῦτον | |
| 5 | ἔχειν τὸν λόγον ὃν ἔχει τὰ ιε ποτὶ τὰ δ, ὅταν τὸ βάρος ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετρά‐ γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς, ᾇ μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρόν, ὥστε τὰν βάσιν | |
| 10 | μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, οὔτ’ ἐς ὀρθὸν ἀποκαταστασεῖται οὔτε μενεῖ κεκλιμένον, πλὴν ὁπόταν ὁ ἄξων αὐτοῦ ποτὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν ποιῇ γωνίαν ἴσαν τᾷ μελλούσᾳ λέγεσθαι. [Omitted graphic marker] Ἔστω τμᾶμα οἷον εἴρηται, καὶ ἁ ΒΔ ἴσα τῷ ἄξονι, | |
| 15 | καὶ ἁ μὲν ΒΚ τᾶς ΚΔ διπλασία, ἁ δὲ ΚΡ ἴσα τᾷ μέχρι τοῦ ἄξονος, ἔστω δὲ καὶ ἁ μὲν ΤΒ ἡμιολία τᾶς ΒΡ, ἁ δὲ | |
| ΤΔ τᾶς ΚΡ, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ | ||
3.40 | ὑγρόν, τοῦτον ἐχέτω τὸ ἀπὸ τᾶς ΦΧ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΔΒ, ἔστω δὲ καὶ ἁ Φ 〈διπλασία τᾶς Χ. Δῆλον οὖν ὅτι〉 ἁ ΦΧ ποτὶ τὰν ΔΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΤΒ ποτὶ τὰν ΒΔ· ἔστι γὰρ ἁ ΤΒ ἁ ὑπεροχά, ᾇ | |
| 5 | μείζων ἢ ἡμιόλιος ὁ ἄξων τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος· ἐλάσσων ἄρα ἁ ΦΧ τᾶς ΒΤ· ὥστε καὶ ἁ Φ τᾶς ΒΡ. Ἔστω δὴ τᾷ Φ ἴσα ἁ ΡΨ, καὶ τᾷ ΒΔ ὀρθὰ ἄχθω ἁ ΨΕ δυναμένα τὸ ἥμισυ τοῦ ὑπὸ τῶν ΚΡ, ΒΨ, καὶ ἐπεζεύχθω ἁ ΒΕ. Δεικτέον ὅτι τὸ τμᾶμα ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν ὡς εἴρηται καταστασεῖται | |
| 10 | κεκλιμένον, ὥστε τὸν ἄξονα ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιεῖν γωνίαν ἴσαν τᾷ ΕΒΨ. Ἀφείσθω γάρ τι ἐς τὸ ὑγρὸν τμᾶμα, καὶ ἁ βάσις αὐτοῦ μὴ ἁπτέσθω τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καί, εἰ δυνατόν, μὴ ποιείσθω ὁ ἄξων αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ | |
| 15 | ὑγροῦ ἴσαν τᾷ Β, ἀλλὰ μείζω πρῶτον. Τμαθέντος δὴ τοῦ τμάματος ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ τομὰ ἔστω ἁ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά, ἐν δὲ τᾷ τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείᾳ ἁ ΞΣ, ἄξων δὲ καὶ διάμετρος [τοῦ τμήματος] ἁ ΝΟ. Ἄχθω | |
| 20 | δὴ καὶ ἁ μὲν ΠΥ παρὰ τὰν ΞΣ ἐφαπτομένα τᾶς ΑΠΟΛ τομᾶς κατὰ τὸ Π, ἁ δὲ ΠΜ παρὰ τὰν ΝΟ, ἁ δὲ ΠΙ κάθετος ἐπὶ τὰν ΝΟ, καὶ τᾷ ΒΡ ἔστω ἴσα ἁ ΟΩ, τᾷ δὲ ΡΚ ἁ ΩΘ, καὶ ὀρθὰ ἁ ΩΗ τῷ ἄξονι. Ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ὁ ἄξων τοῦ τμάματος ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν | |
| 25 | μείζονα τᾶς Β, δῆλον ὅτι τοῦ ΠΙΥ τριγώνου ἁ ποτὶ τῷ | |
3.41 | Υ γωνία μείζων τᾶς Β· μείζονα δὴ λόγον ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΙ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΙΥ ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΕΨ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΨΒ. Ἀλλ’ ὃν μὲν λόγον ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΙ τετράγωνον | |
| 5 | ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΙΥ, τοῦτον ἔχει ἁ ΚΡ ποτὶ ΥΙ, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΕΨ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΨΒ, τοῦτον ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς ΚΡ ποτὶ τὰν ΨΒ· μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΚΡ ποτὶ τὰν ΥΙ ἤπερ ἁ ἡμίσεια τᾶς ΚΡ ποτὶ τὰν ΨΒ· ἐλάσσων ἄρα ἢ διπλασία | |
| 10 | ἁ ΥΙ τᾶς ΨΒ. Τᾶς δὲ ΟΙ διπλασία ἁ ΙΥ· ἐλάσσων ἄρα ἁ ΟΙ τᾶς ΨΒ· ὥστε ἁ ΙΩ μείζων ἐστὶ τᾶς ΨΡ. Ἁ δὲ ΨΡ ἴσα ἐστὶ τᾷ Φ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἁ ΙΩ τᾶς Φ. Καὶ ἐπεὶ ὑπόκειται τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἔχειν λόγον, ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΦΧ ποτὶ τὸ τετράγωνον | |
| 15 | τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὸ δεδυκὸς αὐτοῦ ποτὶ τὸ ὅλον τμᾶμα, ὃν δὲ τὸ δεδυκὸς ποτὶ τὸ ὅλον, τοῦτον ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΜ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΟΝ, ὃν ἄρα λόγον ἔχει τὸ τετρά‐ | |
| 20 | γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΦΧ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΜΠ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΟΝ· ἴσα ἄρα ἐστὶν ἁ ΦΧ τᾷ ΠΜ. Ἁ δὲ ΠΗ ἐδείχθη μείζων ἐοῦσα τᾶς Φ· δῆλον οὖν ὅτι ἁ ΠΜ ἐλάσσων ἢ ἡμιολία ἐστὶν τᾶς ΠΗ, ἁ δὲ ΠΗ | |
| 25 | τᾶς ΗΜ μείζων ἢ διπλασίων. Ἔστω οὖν ἁ ΠΖ διπλασίων τᾶς ΖΜ· ἐσσεῖται δὴ τὸ μὲν Θ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ στερεοῦ, τοῦ δὲ ἐν τῷ ὑγρῷ τὸ Ζ· τοῦ δὴ λοιποῦ μεγέθεος | |
| τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσεῖται ἐπὶ τᾶς ΖΘ εὐθείας | ||
3.42 | ἐπιζευχθείσας καὶ ἐκβληθείσας. Ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Γ· δειχθήσεται δὴ ὁμοίως ἁ ΘΗ κάθετος ἐοῦσα ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν, καὶ τὸ μὲν ἐντὸς τοῦ ὑγροῦ τμᾶμα ἐνεχθήσεται εἰς τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ κατὰ τὰν διὰ τοῦ | |
| 5 | Ζ ἀγμέναν κάθετον ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν, τὸ δὲ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ ἐνεχθήσεται εἰς τὸ ἐντὸς κατὰ τὰν διὰ τοῦ Γ· οὐ μενεῖ δὴ τὸ τμᾶμα κατὰ τὰν ὑποκειμέναν κλίσιν. Οὐδὲ μὴν εἰς τὸ ὀρθὸν ἀποκαταστασεῖται. Δῆλον | |
| 10 | δὲ διὰ τούτων· ἐπειδὴ τῶν ἀγμένων διὰ τῶν Ζ, Γ καθέτων ἁ μὲν διὰ τοῦ Ζ ἀγμένα τᾶς ΓΖ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρεα πίπτει, ἐφ’ ἅ ἐστι τὸ Λ, ἁ δὲ διὰ τοῦ Γ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ Α, δῆλον ὅτι διὰ τὰ προειρημένα τὸ μὲν Ζ κέντρον ἄνω οἰσθήσεται, τὸ δὲ Γ κάτω· ὥστε τοῦ ὅλου μεγέθεος τὰ μέρεα τὰ ἀπὸ | |
| 15 | τοῦ Α κάτω οἰσθήσεται. Τοῦτο δ’ ἦν εὔχρηστον ποτὶ τὸ δεῖξαι. Ὑποκείσθω πάλιν τὰ μὲν ἄλλα τὰ αὐτά, ὁ δὲ ἄξων τοῦ τμάματος ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιεί〈τω γωνίαν ἐλάσσονα τᾶς ποτὶ τῷ Β· ἐλάσσονα δὴ λόγον〉 ἔχει τὸ | |
| 20 | τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΙ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΙΥ ἢ τὸ ἀπὸ τᾶς ΕΨ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΨΒ· καὶ ἁ ΚΡ ἄρα ποτὶ τὰν ΥΙ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἁ ἡμίσεια τᾶς ΚΡ ποτὶ τὰν ΨΒ. Μείζων ἄρα ἐσσεῖται ἢ διπλασίων ἁ ΙΥ τᾶς ΨΒ· ἁ ἄρα ΩΙ ἐλάσσων τᾶς ΨΡ. Ἐσσεῖται οὖν καὶ ἁ ΠΗ ἐλάσσων | |
| 25 | τᾶς Φ. Ἁ δὲ ΜΠ τᾷ ΦΧ ἴσα· δῆλον οὖν ὅτι μείζων ἢ | |
| ἡμιολία ἁ ΠΜ τᾶς ΠΗ, ἁ δὲ ΠΗ ἐλάσσων ἢ διπλασίων | ||
3.43 | τᾶς ΗΜ. Ἔστω οὖν ἁ ΠΖ τᾶς ΖΜ διπλασία. Πάλιν οὖν τοῦ μὲν ὅλου κέντρον ἐσσεῖται τοῦ βάρεος τὸ Θ, τοῦ δ’ ἐν τῷ ὑγρῷ τὸ Ζ· ἐπιζευχθείσας δὴ τᾶς ΖΘ καὶ ἐκβλη‐ θείσας ἐσσεῖται τὸ 〈κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ ἐκτὸς τοῦ | |
| 5 | ὑγροῦ ἐπὶ τᾶς ἐκβληθείσας. Ἔστω τὸ Γ, καὶ ἄχθωσαν κά〉θετοι ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν διὰ τῶν Ζ, Γ παρὰ τὰν ΗΘ· δῆλον οὖν ὅτι οὐ μενεῖ τὸ ὅλον τμᾶμα, ἀλλὰ κλιθήσεται, ὥστε τὸν ἄξονα ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιεῖν γωνίαν μείζονα ἇς νῦν ποιεῖ. [Omitted graphic marker] | |
| 10 | Ἐπεὶ οὖν οὔτε γωνίαν μείζονα τᾶς Β ποιοῦντος τοῦ ἄξονος ποτὶ τὸ ὑγρὸν σταθήσεται τὸ τμᾶμα οὔτ’ ἐλάσσονα, φανερὸν ὅτι ταλικαύταν ποιοῦντος γωνίαν σταθήσεται· οὕτως γὰρ ἁ ΙΟ ἐσσεῖται ἴσα τᾷ ΨΒ καὶ ἁ ΩΙ τᾷ ΨΡ καὶ τᾷ Φ ἁ ΠΗ· ἡμιολία ἄρα ἐσσεῖται ἁ ΜΠ τᾶς ΠΗ, ἁ δὲ | |
| 15 | ΠΗ τᾶς ΗΜ διπλασία. Τὸ Η ἄρα τοῦ ἐν τῷ ὑγρῷ βάρεος | |
3.44 | κέντρον ἐστίν· ὥστε κατὰ τὰν αὐτὰν κάθετον ἀνενεχ‐ θήσεται, καὶ τὸ ἐκτὸς ἐς τὸ κάτω ἐνεχθήσεται. Μενεῖ ἄρα· ἀντωθοῦνται γὰρ ὑπ’ ἀλλάλων. θʹ. | |
| 5 | Τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος, ὅταν τὸν ἄξονα ἔχη μείζονα μὲν ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ἐλάσσονα δὲ ἢ ὥστε τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὰ ιε ποτὶ δ, καὶ τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν μείζονα λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει ἁ ὑπεροχά, ᾇ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ | |
| 10 | τοῦ ἄξονος τετράγωνον τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς, ᾇ μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ ὅλαν εἶμεν ἐν τῷ ὑγρῷ, τεθὲν κεκλιμένον οὔτε κατασταθήσεται, | |
| 15 | ὥστε τὸν ἄξονα αὐτοῦ κατὰ κάθετον εἶμεν, οὔτε μενεῖ κεκλιμένον, πλὴν ὅταν ὁ ἄξων αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιῇ γωνίαν ἴσαν τᾷ λαφθείσᾳ ὁμοίως ᾇ | |
| πρότερον. [Omitted graphic marker] | ||
3.45 | Ἔστω τμᾶμα οἷον εἴρηται, καὶ κείσθω ἁ ΔΒ ἴσα τῷ ἄξονι τοῦ τμάματος, καὶ ἁ μὲν ΒΚ τᾶς ΚΔ διπλασία ἔστω, ἁ δὲ ΚΡ ἴσα τᾷ μέχρι τοῦ ἄξονος, ἁ δὲ ΤΒ ἡμιολία τᾶς ΒΡ, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν, | |
| 5 | τοῦτον ἐχέτω ἁ ὑπεροχά, ᾇ ὑπερέχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ΦΧ, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ἔστω δὲ ἁ Φ διπλασία τᾶς Χ. Δῆλον οὖν ὅτι ἁ ὑπεροχά, ᾇ ὑπερέχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ τοῦ ἀπὸ τᾶς ΒΤ, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ | |
| 10 | τᾶς ΒΔ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ὑπεροχά, ᾇ ὑπερέχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ΦΧ, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ· ἔστι γὰρ ἁ ΒΤ ἁ ὑπεροχά, ᾇ μείζων ἐστὶν ἢ ἡμιόλιος ὁ ἄξων τοῦ τμάματος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος. Μείζονι ἄρα ὑπερέχει | |
| 15 | τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ τοῦ ἀπὸ τᾶς ΦΧ ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ΒΤ· ὥστε ἁ ΦΧ ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ΒΤ· καὶ ἁ Φ ἄρα τᾶς ΒΡ. Ἔστω οὖν τᾷ Φ ἴσα ἁ ΡΨ, καὶ ἁ ΨΕ ὀρθὰ ἄχθω τᾷ ΒΔ | |
| 20 | δυναμένα τὸ ἥμισυ τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τᾶν ΚΡ, ΨΒ. Φαμὶ ὅτι τὸ τμᾶμα ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρόν, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ ὅλαν εἶμεν ἐν τῷ ὑγρῷ, καταστασεῖται οὕτως, ὥστε τὸν ἄξονα αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν ἴσαν τᾷ Β. | |
| 25 | Ἀφείσθω [μὲν] γὰρ τὸ τμᾶμα, ὡς εἴρηται, ἐς τὸ ὑγρόν, καὶ μὴ ποιείτω ὁ ἄξων ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ἴσαν τᾷ Β, ἀλλὰ μείζονα πρότερον. Τμαθέντος δὴ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν | |
| τοῦ ὑγροῦ ἔστω τοῦ τμάματος τομὰ ἁ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου | ||
3.46 | κώνου τομά, τᾶς δὲ τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας ἁ ΤΙ, ἄξων δὲ [τῆς τομῆς] καὶ διάμετρος ἁ ΝΟ, καὶ τετμάσθω κατὰ τὰ Ω, Θ, ὡς καὶ πρότερον, ἄχθω δὲ καὶ ἁ μὲν ΥΠ παρὰ τὰν ΤΙ ἐφαπτομένα τᾶς τομᾶς κατὰ τὸ Π, ἁ δὲ ΠΜ | |
| 16 | μείζων ἄρα ἁ ΣΩ τᾶς ΡΨ καὶ ἁ ΠΗ τᾶς Φ. Καὶ ἐπεὶ τὸ τμᾶμα βάρει λόγον ἔχει ποτὶ τὸ ὑγρόν, ὃν ἁ ὑπεροχά, ᾇ μεῖζόν ἐστιν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ τοῦ τετρα‐ γώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ΦΧ, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς | |
| 20 | ΒΔ, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὸ δεδυκὸς αὐτοῦ τμᾶμα ποτὶ τὸ ὅλον, δῆλον ὅτι τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον τὸ δεδυκὸς αὐτοῦ μέρος ποτὶ τὸ ὅλον τμᾶμα, ὃν ἁ ὑπεροχά, ᾇ ὑπερέχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ | |
| 25 | τᾶς ΦΧ, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ ΒΔ· ἕξει οὖν καὶ τὸ ὅλον τμᾶμα ποτὶ τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ λόγον, ὃν τὸ τετρά‐ γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΦΧ. Ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ ὅλον τμᾶμα ποτὶ τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ, τοῦτον | |
| ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΝΟ ποτὶ τὸ ἀπὸ ΠΜ· ἴσα ἄρα ἁ ΜΠ τᾷ | ||
3.47 | ΦΧ. Ἁ δὲ ΠΗ δέδεικται μείζων τᾶς Φ· ἁ ἄρα ΜΗ ἐλάσσων ἐστὶν τᾶς Χ· μείζων 〈ἄρα ἐστὶν ἢ διπλασία ἁ ΠΗ〉 τᾶς 〈ΗΜ. Ἔστω δὴ ἁ ΠΖ διπλασία τᾶς ΖΜ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἁ ΖΘ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Γ· ἔσται οὖν τοῦ μὲν ὅλου | |
| 5 | τμάματος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Θ, τοῦ δὲ ἐκτὸσ〉 τοῦ ὑγροῦ τὸ 〈Ζ, τοῦ δὲ ἐντὸς ἐν τᾷ ΘΓ· ἔστω δὲ τὸ〉 Γ. 〈Δειχθήσεται δὴ ὁμοίως τοῖς πρότερον ἁ ΘΗ〉 κάθετος ἐπὶ 〈τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ καὶ αἱ διὰ τῶν Ζ, Γ παρὰ τὰν ΘΗ〉 ἀγόμεναι κάθετοι καὶ αὐταὶ ἐπὶ τὰν ἐπιφάνειαν | |
| 10 | τοῦ ὑγροῦ. Κατενεχθήσεται ἄρα τὸ μὲν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τμᾶμα ἐς τὸ κάτω κατὰ τὰν διὰ τοῦ Ζ, τὸ δὲ ἐντὸς κατὰ τὰν διὰ τοῦ Γ ἀνενεχθήσεται· οὐ μενεῖ οὖν τὸ ὅλον τμᾶμα ἀκλινές. Οὐδὲ μὴν καταστραφήσεται, ὥστε κατὰ κάθετον εἶμεν τὸν ἄξονα ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν, ἐπειδὴ | |
| 15 | τὰ ἐπὶ 〈τὰ αὐτὰ τῷ Λ κάτω, τὰ δὲ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ Α ἐς τὰ ἄνω οἰσθήσεται,〉 διὰ τὰ ἀνάλογον τοῖς λεγομένοις ἐπὶ τοῦ πρὸ αὐτοῦ. Ἐὰν δὲ ὁ ἄξων ποτὶ τὸ ὑγρὸν ποιῇ γωνίαν ἐλάσσονα τᾶς Β, ὁμοίως τοῖς πρότερον δειχθήσεται ὅτι οὐ μενεῖ | |
| 20 | τὸ τμᾶμα, ἀλλὰ κλιθήσεται, ἕως ἂν ὁ ἄξων ποιῇ γωνίαν | |
| ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ἴσαν τᾷ Β. | ||
3.48 | ιʹ. Τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος, ὅταν κουφότερον ὂν τοῦ ὑγροῦ τὸν ἄξονα ἔχῃ μείζονα ἢ ὥστε λόγον ἔχειν ποτὶ τὰν μέχρι τοῦ ἄξονος [τοῦ] ὃν ἔχει τὰ | |
| 5 | ιε ποτὶ τὰ δ, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, ὁτὲ μὲν ὀρθὸν καταστασεῖται, ὁτὲ δὲ κεκλιμένον, καὶ ποτὲ μὲν οὕτω κεκλιμένον, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ καθ’ ἓν σαμεῖον ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καὶ τοῦτο ἐν δισσοῖς κλιμάτεσσι ποιήσει, | |
| 10 | ποτὲ δὲ οὕτως κεκλιμένον καταστασεῖται, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ κατὰ πλείονα τόπον βρέχεσθαι, ποτὲ δὲ οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθ’ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφα〈νείας· ὃν δὲ λόγον ἔχοντος τῷ〉 βάρει | |
| ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἕκαστα αὐτῶν ἐσσεῖται, νῦν δηλωθήσεται. [Omitted graphic marker] | ||
3.49 | Ἔστω τμᾶμα οἷον εἴρηται, καὶ τμαθέντος αὐτοῦ ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ τομὰ ἔστω ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἁ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά, ἄξων δὲ ἔστω καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ὁ ΒΔ, τετμάσθω δὲ ὁ ΒΔ | |
| 5 | κατὰ τὸ Κ, ὥστε διπλασίαν εἶμεν τὰν ΒΚ τᾶς ΚΔ, κατὰ δὲ τὸ Τ, ὥστε τὰν ΔΒ ποτὶ τὰν ΚΤ λόγον ἔχειν ὡς τὰ ιε ποτὶ δ· δῆλον οὖν ὅτι ἁ ΚΤ μείζων ἐστὶ τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος. Ἔστω οὖν ἁ ΚΡ ἴσα τᾷ μέχρι τοῦ ἄξονος, τᾶς δὲ ΒΡ ἡμίσεια ἔστω ἁ ΡΣ· ἔστι δὴ καὶ ἁ ΣΒ ἡμιολία τᾶς | |
| 10 | ΒΡ. Ἐπιζευχθείσας δὲ τᾶς ΑΒ καὶ τᾶς ΤΕ ὀρθᾶς ἀχθείσας ἄχθω ἁ ΕΖ παρὰ τὰν ΒΔ, καὶ πάλιν τᾶς ΑΒ δίχα τμαθείσας κατὰ τὸ Θ ἄχθω παρὰ τὰν ΒΔ ἁ ΘΗ, καὶ λελάφθω ὀρθογω‐ νίου κώνου τομὰ ἁ ΑΕΙ περὶ διάμετρον τὰν ΕΖ καὶ ἁ ΑΘΔ περὶ διάμετρον τὰν ΘΗ, ὥστε ὅμοια εἶμεν τὰ ΑΕΙ, ΑΘΔ | |
| 15 | τμάματα τῷ ΑΒΛ τμάματι· γραφήσεται δὴ ἁ ΑΕΙ κώνου τομὰ διὰ τοῦ Κ, ἁ δὲ ἀπὸ τοῦ Ρ ὀρθὰ ἀχθεῖσα τᾷ ΒΔ τεμεῖ τὰν ΑΕΙ. Τεμνέτω κατὰ τὰ Υ, Γ, καὶ διὰ τῶν Υ, Γ ἄχθωσαν παρὰ τὰν ΒΔ αἱ ΥΧ, ΓΝ, τεμνέτωσαν δὲ αὗται τὰν ΑΘΔ τομὰν κατὰ τὰ Ξ, Φ, ἄχθωσαν δὲ καὶ αἱ ΠΨ, | |
| 20 | Οϙ ἐφαπτόμεναι τᾶς ΑΠΟΛ τομᾶς κατὰ τὰ Ο, Π. Δεδομένα δὴ τρία τινὰ τμάματα τὰ ΑΠΟΛ, ΑΕΙ, ΑΘΔ περιεχόμενα ὑπὸ τᾶν εὐθειᾶν καὶ τᾶν ὀρθογωνίων κώνων τομᾶν ὀρθὰ καὶ ὅμοια, ἄνισα δέ, καὶ ἀπολέλαπται ἀφ’ ἑκάστας βάσιος, ἀπὸ δὲ τοῦ Ν ἀναγμέναι αἱ ΝΞ, ΝΓ, ΝΟ· ἁ ΟΓ ἄρα ποτὶ | |
| 25 | τὰν ΓΞ τὸν συγκείμενον λόγον ἕξει ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἁ | |
3.50 | ΙΛ ποτὶ ΛΑ, καὶ ὃν ἔχει ἁ ΑΔ ποτὶ ΔΙ. Ἔχει δὲ καὶ ἁ ΛΙ ποτὶ ΛΑ ὃν δύο ποτὶ ε· ἅ τε γὰρ ΤΒ ποτὶ ΒΔ ἐστὶν ὡς δύο ποτὶ ε, καὶ ἁ ΕΒ ποτὶ ΒΑ καὶ ἁ ΔΖ ποτὶ ΔΑ, τούτων δὲ διπλάσιαι αἱ ΛΙ, ΛΑ· ἁ δὲ ΑΔ ποτὶ ΔΙ ἔχει ὅσον πέντε | |
| 5 | πρὸς α, ὁ δὲ συγκείμενος λόγος ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὰ δύο ποτὶ τὰ ε καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὰ πέντε ποτὶ τὸ ἓν ὁ αὐτός ἐστι τῷ ὃν ἔχει τὰ δύο ποτὶ τὸ α· διπλασία ἄρα ἐστὶν ἁ ΟΓ τᾶς ΓΞ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἁ ΠΥ τᾶς ΥΦ. Ἐπεὶ δέ ἐστιν ἁ ΔΣ ἡμιολία τᾶς ΚΡ, δῆλον ὅτι ἁ ΒΣ ἁ ὑπεροχά ἐστιν, | |
| 10 | ᾇ μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος. Εἰ μὲν οὖν τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΣ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ἢ μείζονα τούτου τοῦ λόγου, ἀφεθὲν τὸ τμᾶμα εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ | |
| 15 | ὑγροῦ, ὀρθὸν καταστασεῖται· δέδεικται γὰρ πρότερον ὅτι [ἐὰν] τμᾶμα μείζονα ἔχον τὸν ἄξονα ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ἐὰν τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν μὴ ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς, ᾇ μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, | |
| 20 | ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν οὕτως ὡς εἴρηται, ὀρθὸν καταστασεῖται. Ἐπὴν δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἐλάσσονα μὲν λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΣΒ ποτὶ τὸ τετρά‐ γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, μείζονα δὲ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς | |
| 25 | ΟΞ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν | |
3.51 | κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, καταστασεῖται κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθ’ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καὶ τὸν ἄξονα αὐτοῦ γωνίαν ποιεῖν ποτὶ τὰν | |
| 5 | ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ μείζονα τᾶς ϙ. Ἐὰν δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν τοῦτον ἔχῃ τὸν λόγον, ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΟ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, | |
| 10 | καταστασεῖται κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ ἅπτεσθαι καθ’ ἓν τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καὶ τὸν ἄξονα αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν ἴσαν τᾷ ϙ. Ἐὰν δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἐλάσσονα | |
| 15 | μὲν λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΟ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, μείζονα δὲ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΦ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν καὶ τεθὲν κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, καταστασεῖται κεκλιμένον | |
| 20 | οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ κατὰ πλείονα τόπον τέμνεσθαι ὑπὸ τοῦ ὑγροῦ. Εἰ δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΦ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν καὶ | |
| 25 | τεθὲν κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, καταστασεῖται κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ καθ’ ἓν σαμεῖον ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ | |
| ἐπιφανείας, καὶ τὸν ἄξονα αὐτοῦ ποιεῖν γωνίαν ἴσαν τᾷ Ψ. | ||
3.52 | Ἐὰν δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει πρὸς τὸ ὑγρὸν ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΦ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν καὶ τεθὲν κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ | |
| 5 | ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, καταστασεῖται κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὸν μὲν ἄξονα αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν ἐλάσσονα τᾶς Ψ, τὰν δὲ βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθ’ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας. Δειχθήσεται δὲ ταῦτα ἑξῆς. | |
| 10 | Ἐχέτω δὴ πρῶτον τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν μείζονα μὲν λόγον τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΟ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ἐλάσσονα δὲ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς τετράγωνον, ᾇ μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ τετράγωνον, | |
| 15 | καὶ ὑποκείσθω τὸ πρότερον κατεσκευασμένον σχῆμα, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἐχέτω τὸ ἀπὸ τᾶς Ψ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ· | |
| ἔστι δὴ ἁ Ψ τᾶς μὲν ΞΟ μείζων, ἐλάσσων δὲ τᾶς ὑπεροχᾶς, [Omitted graphic marker] | ||
3.53 | ἇ μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος. | |
| Ἐναρμόσθω δέ τις μεταξὺ τῶν ΑΠΟΛ, ΑΞΔ κώνων 〈τομᾶν〉, | ||
3.57(17) | [Omitted graphic marker] Καὶ ἐπεζεύχθω ἁ ΗΚ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ω. Ἐσσεῖται δὴ τοῦ μὲν ὅλου τμάματος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Κ, τοῦ δὲ ἐν τῷ ὑγρῷ τὸ Η, τοῦ δ’ ἐκτὸς ἐπὶ τᾶς ΚΩ· ἔστω | |
| 20 | τὸ Ω. Δειχθήσεται δὴ ὁμοίως ἅ τε Κϡ κάθετος ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν καὶ αἱ διὰ τῶν Η, Ω σαμείων παρὰ τὰν Κϡ. Δῆλον οὖν ὅτι οὐ μενεῖ τὸ τμᾶμα, ἀλλ’ ἐπι‐ κλιθήσεται, ἕως ἂν ἁ βάσις αὐτοῦ ἅπτηται καθ’ ἓν | |
| σαμεῖον τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καθάπερ | ||
3.58(12) | 〈κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ〉 ἐπιφάνειαν. Κατὰ τὰς αὐτὰς οὖν εὐθείας τό τε ἐν τῷ ὑγρῷ ἀνενεχθήσεται καὶ τὸ 〈ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ〉 κατενεχθήσεται· μενεῖ 〈δὴ τὸ τμᾶμα, | |
| 15 | καὶ〉 ἅ τε 〈βάσις καθ’ ἓν σαμεῖον ἅψεται τᾶς τοῦ〉 ὑγροῦ | |
3.59 | ἐπιφανείας, καὶ ὁ ἄξων 〈τοῦ τμάματοσ〉 ποτὶ τὰν ἐπι‐ φάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιήσει γωνίαν ἴσαν τᾷ προγεγραμμένᾳ. | |
| 13 | εὐθεῖαν κατὰ τὸ Η. Δειχθήσεται δὴ ἁ ΠΥ διπλασία τᾶς ΥΙ, καθάπερ ἐδείχθη καὶ ἁ ΓΟ τᾶς ΓΧ. Ἄχθω δὲ καὶ ἁ | |
| 15 | μὲν ΠΩ ἐφαπτομένα τᾶς ΑΠΟΛ κατὰ τὸ Π, ἁ δὲ ΠΕ κάθετος ἐπὶ τὰν ΒΔ, καὶ ἁ ΙΑ ἐπιζευχθεῖσα 〈ἐκβεβλήσθω〉 ἐπὶ τὸ Χ· ἐσσεῖται δὲ ἁ ΑΙ τᾷ ΙΧ ἴσα καὶ ἁ ΑΧ τᾷ ΠΩ παράλληλος. Δεικτέον δὴ ὅτι τὸ τμᾶμα ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν καὶ κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ | |
| 20 | ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, οὕτως καταστασεῖται κεκλιμένον, ὥστε τὸν ἄξονα ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν 〈ἐλάσσονα τᾶς Φ, τὰν δὲ βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθ’ ἓν | |
| ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας. | ||
3.60 | [Omitted graphic marker] Ἀφείσθω γὰρ εἰς τὸ ὑγρὸν καὶ καθεστακέτω οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν〉 αὐτοῦ καθ’ ἓν σαμεῖον ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, τμαθέντος δὲ τοῦ τμάματος ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν διὰ τοῦ ἄξονος | |
| 5 | τομὰ ἔστω τᾶς μὲν τοῦ τμάματος ἐπιφανείας ἁ ΑΗΒΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά, τᾶς δὲ τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας ἁ ΑΖ, ἄξων δὲ καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ ΒΔ, καὶ τετμάσθω | |
| ἁ ΒΔ κατὰ τὰ Κ, Ρ ὁμοίως [Omitted graphic marker] | ||
3.62(3) | 〈κατε‐〉 σκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς ἐν τῷ τρίτῳ σχήματι. Ὁμοίως δὴ | |
| 5 | δειχθήσεται ἁ ΘΗ ἴσα τᾷ Ψ· ὥστε καὶ τᾷ ΙΠ ἴσα. Ἐπεὶ οὖν ἁ Λ γωνία οὐκ ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς Φ, οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ἁ ΓΒ τᾶς ΣΒ, οὐδὲ ἁ ΓΡ ἐλάσσων τᾶς ΣΡ οὐδὲ ἁ Ηϡ τᾶς Θϙ. Καὶ ἐπειδὴ ἁ ΙΠ ἡμιολία ἐστὶ τᾶς ΠΥ, ἐλάσσων δὲ ἁ ΠΥ τᾶς Θϙ, καὶ ἁ μὲν ΗΘ ἴσα τᾷ ΠΙ, ἁ δὲ Ηϡ οὐκ | |
| 10 | ἐλάσσων τᾶς Θϙ, μείζων ἔσται ἁ ϡΗ τᾶς ΠΥ· ἁ ἄρα Ηϡ μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία τᾶς ϡΘ. Ἔστω δὴ ἁ ΗΥ διπλασία τᾶς ΥΘ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἁ ΥΚ ἐκβεβλήσθω· δῆλον δὴ ὁμοίως τοῖς πρότερον ὅτι οὐ μενεῖ τὸ τμᾶμα, ἀλλὰ κλιθή‐ σεται, ὥστε τὸν ἄξονα αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν 〈τοῦ | |
| 15 | ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν ἐλάσσονα τᾶς Φ〉. | |
3.63(9) | Ἔστω δὴ πάλιν τὸ τμᾶμα ποτὶ τὸ ὑγρὸν τῷ βάρει | |
| 10 | μείζονα μὲν λόγον ἔχον τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΖΠ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ἐλάσσονα δὲ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΟ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἐχέτω τὸ ἀπὸ τᾶς Ψ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ· | |
| 15 | δῆλον οὖν ὅτι ἁ Ψ τᾶς μὲν ΖΠ μείζων ἐστίν, τᾶς δὲ ΞΟ ἐλάσσων. Ἐναρμόσθω δὴ εἰς τὸ μεταξὺ τᾶν ΑΞΔ, ΑΠΟΛ [τμημάτων] ἴσα τᾷ Ψ, παράλληλος δὲ τᾷ ΒΔ ἁ ΦΙ τέμνουσα τὰν μεταξὺ [τοῦ] κώνου τομὰν κατὰ τὸ Υ· πάλιν δὴ ἁ ΦΥ διπλασία τᾶς ΥΙ δειχθήσεται, καθάπερ ἁ ΟΓ τᾶς | |
| 20 | ΞΓ. Ἄχθω δὲ ἀπὸ τοῦ Φ τοῦ ΑΠΟΛ ἐφαπτομένα κατὰ τὸ Φ ἁ ΦΩ· ὁμοίως δὴ τοῖς πρότερον δειχθήσεται ἁ μὲν ΑΙ τᾷ ΧΙ ἴσα, ἁ δὲ ΑΧ τᾷ ΦΩ παράλληλος. Δεικτέον δὲ ὅτι τὸ τμᾶμα ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρόν, ὥστε τὰν βάσιν μὴ ἅπτεσθαι τᾶς ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ, καὶ τεθὲν κεκλιμένον | |
| 25 | οὕτως κλιθήσεται, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ κατὰ πλείονα | |
| τόπον τέμνεσθαι ὑπὸ τοῦ ὑγροῦ. | ||
3.64 | [Omitted graphic marker] Ἀφείσθω γὰρ εἰς τὸ ὕγρον ὡς εἴρηται, καὶ κείσθω τὸ πρῶτον [καὶ] οὕτως κεκλιμένον, 〈ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθ’ ἓν〉 ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, τμαθέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ ποτὶ τὰν τοῦ | |
| 5 | ὑγροῦ ἐπιφάνειαν ἐν μὲν τᾷ τοῦ τμάματος ἐπιφανείᾳ γίνεται τομὰ ἁ ΑΒΓ, ἐν δὲ τᾷ τοῦ ὑγροῦ ἁ ΕΖ, ἄξων δὲ ἔστω [τῆς τομῆς] καὶ διάμετρος [τοῦ τμήματος] ἁ ΒΔ, καὶ τετμάσθω ἁ ΒΔ κατὰ τὰ Κ, Ρ ὁμοίως τοῖς πρότερον, ἄχθω δὲ καὶ ἁ μὲν ΗΛ παρὰ τὰν ΕΖ ἐφαπτομένα τᾶς | |
| 10 | [ἀπὸ τῆς] ΑΒΓ τομᾶς κατὰ τὸ Η, ἁ δὲ ΗΘ παρὰ τὰν ΒΔ, ἁ δὲ ΗΣ κάθετος ἐπὶ τὰν ΒΔ. Ἐπεὶ δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει λόγον ἔχει ποτὶ τὸ ὑγρόν, ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς Ψ τετρά‐ γωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, δῆλον ὅτι ἁ Ψ ἴσα ἐστὶν τᾷ ΗΘ· δειχθήσεται γὰρ ὁμοίως τοῖς πρότερον· ὥστε καὶ | |
| 15 | ἁ ΗΘ ἴσα ἐστὶν τᾷ ΦΙ· καὶ τὰ τμάματα ἄρα τὰ ΑΦΧ, ΕΒΖ ἴσα ἐστὶν ἀλλάλοις. Ἐπεὶ δ’ ἐν ἴσοις καὶ ὁμοίοις | |
| τμαμάτεσσι τοῖς ΑΠΟΛ, ΑΒΓ ἀγμέναι ἐντὶ αἱ ΑΧ, ΕΖ | ||
3.65 | ἴσα τμάματα ἀφαιροῦσαι, καὶ ἁ μὲν ἀπ’ ἄκρας τᾶς βάσιος, ἁ δὲ οὐκ ἀπ’ ἄκρας, ἐλάσσονα ποιήσει τὰν ὀξεῖαν ποτὶ τὰν διάμετρον τοῦ τμάματος ἁ ἀπ’ ἄκρας τᾶς βάσιος ἀχθεῖσα. Καὶ ἐπειδὴ τοῦ ΗΛΣ τριγώνου ἁ Λ μείζων τᾶς | |
| 5 | Ω γωνίας τοῦ ΦΤΩ τριγώνου, δῆλον ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἁ Βϛ τᾶς ΒΤ, ἁ δὲ ϛΡ τᾶς ΡΤ μείζων, καὶ ἁ Ηϡ μείζων τᾶς ΦΗ· ἁ ϡΘ ἄρα ἐλάσσων τᾶς ΗΙ. Καὶ ἐπεὶ διπλασία ἐστὶν ἁ ΦΥ τᾶς ΥΙ, δῆλον ὅτι ἁ Ηϡ μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία τᾶς 〈ϡΘ. Ἔστω δὴ ἁ ΗΑʹ διπλασία〉 τᾶς ΑʹΘ· δῆλον | |
| 10 | δὴ ἐκ τούτων ὅτι οὐ μενεῖ τὸ τμᾶμα, ἀλλὰ ἐπικλιθήσεται, ἕως ἂν ἁ βάσις αὐτοῦ θίγῃ καθ’ ἓν σαμεῖον τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας. [Omitted graphic marker] Ἁπτέσθω δὴ καθ’ ἓν σαμεῖον, ὡς ἐν τῷ τρίτῳ σχήματι ἐγράφθη, καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω· δειχθήσεται | |
| 15 | δὴ πάλιν ἅ τε ΘΗ ἴσα ἐοῦσα τᾷ ΦΙ καὶ τὰ ΑΦΧ, ΑΒΖ τμάματα ἴσα ἀλλάλοις. Καὶ ἐπεὶ ἐν ἴσοις καὶ ὁμοίοις τμαμάτεσσι τοῖς ΑΠΟΛ, ΑΒΓ ἀγμέναι ἐντὶ αἱ ΑΧ, ΑΖ | |
| ἴσα τμάματα ἀφαιροῦσαι, ἴσας ποιοῦσι γωνίας ποτὶ | ||
3.66 | ταῖς διαμέτροις τῶν τμαμάτων· τῶν ἄρα ΛΗΣ, ΦΤΩ αἱ ποτὶ τοῖς Λ, Ω γωνίαι ἴσαι ἐντί, καὶ ἁ ΒΣ εὐθεῖα τᾷ ΒΤ [Omitted graphic marker] ἴσα καὶ ἁ ΣΡ τᾷ ΡΤ καὶ ἁ Ηϡ τᾷ ΦΗ καὶ ἁ ϡΘ τᾷ ΗΙ. Ἐπεὶ δὲ διπλασία ἐστὶν ἁ ΦΥ τᾶς ΥΙ, φανερὸν ὅτι ἁ Ηϡ | |
| 5 | μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία τᾶς ϡΘ. Ἔστω οὖν ἁ Η Λ Ο Λ Ο | |
| 10 | ὑγροῦ καταλαφθήσεται. | |