|
TLG 0358 001 :: NICOMACHUS :: Introductio arithmetica NICOMACHUS Math. Introductio arithmetica Citation: Book — chapter — section — (line) | ||
1T1 | ΝΙΚΟΜΑΧΟΥ ΓΕΡΑΣΗΝΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΤΩΝ ΕΙΣ ΔΥΟ ΤΟ ΠΡΩΤΟΝ. | |
1.1.1 | Οἱ παλαιοὶ καὶ πρῶτοι μεθοδεύσαντες ἐπι‐ στήμην κατάρξαντος Πυθαγόρου ὡρίζοντο φιλοσο‐ φίαν εἶναι φιλίαν σοφίας, ὡς καὶ αὐτὸ τὸ ὄνομα ἐμφαίνει, τῶν πρὸ Πυθαγόρου πάντων σοφῶν κα‐ | |
| 5 | λουμένων συγκεχυμένῳ ὀνόματι, ὥσπερ καὶ τέκτων καὶ σκυτοτόμος καὶ κυβερνήτης καὶ ἁπλῶς ὁ τέχνης | |
|---|---|---|
| τινὸς ἢ δημιουργίας ἔμπειρος· ἀλλ’ ὅ γε Πυθαγό‐ ρας συστείλας πάντων τὸ ὄνομα ἐπὶ τὴν τοῦ ὄντος. ἐπιστήμην καὶ κατάληψιν καὶ μόνην τὴν ἐν τούτῳ | 1 | |
| 10 | γνῶσιν τῆς ἀληθείας σοφίαν ἰδίως καλέσας εἰκότως καὶ τὴν ταύτης ὄρεξιν καὶ μεταδίωξιν φιλοσοφίαν | |
1.1.2 | προσηγόρευσεν, οἷον σοφίας ὄρεξιν. ἀξιοχρεώτερος δέ ἐστι τῶν ἄλλως ὁριζομένων, παρ’ ὅσον ἰδίου ὀνό‐ ματος καὶ πράγματος ἔννοιαν δηλοῖ· καὶ ταύτην δὲ τὴν σοφίαν ὡρίζετο ἐπιστήμην τῆς ἐν τοῖς οὖσιν | |
| 5 | ἀληθείας, ἐπιστήμην μὲν οἰόμενος εἶναι κατάληψιν τοῦ ὑποκειμένου ἄπταιστον καὶ ἀμετακίνητον, ὄντα δὲ τὰ κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡσαύτως ἀεὶ διατελοῦντα ἐν τῷ κόσμῳ καὶ οὐδέποτε τοῦ εἶναι ἐξιστάμενα οὐδὲ ἐπὶ βραχύ· ταῦτα ἂν εἴη τὰ ἄυλα καὶ ὧν κατὰ | |
| 10 | μετουσίαν ἕκαστον λοιπὸν τῶν ὁμωνύμως ὄντων καὶ | |
1.1.3 | καλουμένων τόδε τι λέγεται καὶ ἔστι. τὰ μὲν γὰρ σωματικὰ δήπου καὶ ὑλικὰ ἐν διηνεκεῖ ῥύσει καὶ μεταβολῇ διὰ παντός ἐστι μιμούμενα τὴν τῆς ἐξ ἀρχῆς ἀιδίου ὕλης καὶ ὑποστάσεως φύσιν καὶ ἰδιό‐ | |
| 5 | τητα· ὅλη γὰρ δι’ ὅλης ἦν τρεπτὴ καὶ ἀλλοιωτή· τὰ δὲ περὶ αὐτὴν ἢ καὶ σὺν αὐτῇ θεωρούμενα ἀσώ‐ | |
| ματα, οἷον ποιότητες, ποσότητες, σχηματισμοί, με‐ γέθη, μικρότητες, ἰσότητες, σχέσεις, ἐνέργειαι, δια‐ θέσεις, τόποι, χρόνοι, πάντα ἁπλῶς, οἷς περιέχεται | 2 | |
| 10 | τὰ ἐν ἑκάστῳ σώματι, ὑπάρχει καθ’ ἑαυτὰ ἀκίνητα καὶ ἀμετάπτωτα, συμβεβηκότως δὲ μετέχει καὶ παρα‐ πολαύει τῶν περὶ τὸ ὑποκείμενον σῶμα παθῶν. | |
1.1.4 | τῶν δὴ τοιούτων ἐξαιρέτως ἐπιστήμη ἐστὶν ἡ σοφία, συμβεβηκότως δὲ καὶ τῶν μετεχόντων αὐτῶν, ὅ ἐστι σωμάτων. | |
1.2.1 | Ἀλλ’ ἐκεῖνα μὲν ἄυλα καὶ ἀίδια καὶ ἀτελεύτητα καὶ διὰ παντὸς ὅμοια καὶ ἀπαράλλακτα πέφυκε διατε‐ λεῖν, ὡσαύτως τῇ αὐτῶν οὐσίᾳ ἐπιδιαμένοντα, καὶ ἕκαστον αὐτῶν κυρίως ὂν λέγεται, τὰ δὲ ἐν γενέσει | |
| 5 | τε καὶ φθορᾷ καὶ αὐξήσει καὶ μειώσει καὶ μεταβολῇ παντοίᾳ καὶ μετουσίᾳ φαίνεται διηνεκῶς τρεπόμενα καὶ λέγεται μὲν ὁμωνύμως ἐκείνοις ὄντα, καθ’ ὅσον αὐτῶν μετέχει, ἔστι δὲ τῇ ἑαυτῶν φύσει οὐκ ὄντως ὄντα· οὐδὲ γὰρ τὸ βραχύτατον ἐπὶ ταὐτοῦ διαμένει, | |
| 10 | ἀλλ’ ἀεὶ μεταβαίνει παντοίως ἀλλασσόμενα κατὰ | |
1.2.2 | τὸν παρὰ Πλάτωνι Τίμαιον, ὅς φησι· τί τὸ ὂν ἀεί, γένεσιν δὲ οὐκ ἔχον, καὶ τί τὸ γινόμενον μέν, ὂν δὲ οὐδέποτε, τὸ μὲν δὴ νοήσει μετὰ λόγου περιλη‐ πτόν, ἀεὶ καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ ὄν, τὸ δ’ αὖ δόξῃ μετ’ | 3 |
| 5 | αἰσθήσεως ἀλόγου δοξαστόν, γινόμενόν τε καὶ ἀπολ‐ | |
1.2.3 | λύμενον, ὄντως δὲ οὐδέποτε ὄν. εὔλογον ἄρα καὶ ἀναγκαιότατον, εἰ τοῦ προσήκοντος καὶ ἀνθρώπῳ πρέποντος τέλους ἐφιέμεθα, τουτέστιν εὐζωίας (αὕτη δὲ διὰ φιλοσοφίας μόνης, ὑφ’ ἑτέρου δὲ οὐδενὸς | |
| 5 | συντελεῖται· φιλοσοφία δὲ ἡμῖν, ὡς ἔφην, σοφίας ὄρεξις, σοφία δὲ ἐπιστήμη τῆς ἐν τοῖς οὖσιν ἀληθείας, ὄντα δὲ τὰ μὲν κυρίως λεγόμενα, τὰ δὲ ὁμωνύμως), ἀκριβῶς διελεῖν καὶ διαρθρῶσαι τὰ τοῖς οὖσι συμ‐ | |
1.2.4 | βεβηκότα. τῶν τοίνυν ὄντων τῶν τε κυρίως καὶ τῶν καθ’ ὁμωνυμίαν, ὅπερ ἐστὶ νοητῶν τε καὶ αἰ‐ σθητῶν, τὰ μέν ἐστιν ἡνωμένα καὶ ἀλληλουχούμενα, οἷον ζῶον, κόσμος, δένδρον καὶ τὰ ὅμοια, ἅπερ κυ‐ | |
| 5 | ρίως καὶ ἰδίως καλεῖται μεγέθη, τὰ δὲ διῃρημένα τε καὶ ἐν παραθέσει καὶ οἷον κατὰ σωρείαν, ἃ καλεῖται πλήθη, οἷον ποίμνη, δῆμος, σωρός, χορὸς καὶ τὰ | |
1.2.5 | παραπλήσια. τῶν ἄρα δύο εἰδῶν τούτων ἐπιστήμην νομιστέον τὴν σοφίαν· ἀλλ’ ἐπεὶ πᾶν πλῆθος καὶ | |
| πᾶν μέγεθος ἄπειρα τῇ αὑτῶν φύσει ἐξ ἀνάγκης ἐστί (τὸ μὲν γὰρ πλῆθος ἀπὸ ὡρισμένης ῥίζης ἀρξά‐ | 4 | |
| 5 | μενον οὐ παύεται προκόπτον, τὸ δὲ μέγεθος ἀπὸ ὡρισμένης ὁλότητος διαιρούμενον οὐδαμῆ δύναται παύειν τὴν τομήν, ἀλλ’ ἐπ’ ἄπειρον διὰ ταῦτα προ‐ χωρεῖ), αἱ δὲ ἐπιστῆμαι πάντως πεπερασμένων εἰσὶν ἐπιστῆμαι, ἀπείρων δὲ οὐδέποτε, φαίνεται δή, ὅτι | |
| 10 | οὔτε περὶ ἁπλῶς μέγεθος οὔτε περὶ ἁπλῶς πλῆθος συσταίη ἄν ποτε ἐπιστήμη (ἀόριστον γὰρ ἑκάτερον καθ’ ἑαυτό ἐστι, πλῆθος μὲν ἐπὶ τὸ πλεῖον, μέγεθος δὲ ἐπὶ τὸ ἔλαττον), ἀλλὰ περί τι ἀπ’ ἀμφοῖν ἀφω‐ ρισμένον, ἀπὸ μὲν πλήθους περὶ τὸ ποσόν, ἀπὸ δὲ | |
| 15 | μεγέθους περὶ τὸ πηλίκον. | |
1.3.1 | Πάλιν δὲ ἐξ ἀρχῆς, ἐπεὶ τοῦ ποσοῦ τὸ μὲν ὁρᾶται καθ’ ἑαυτό, μηδεμίαν πρὸς ἄλλο σχέσιν ἔχον, οἷον ἄρτιον, περιττόν, τέλειον, τὰ ἐοικότα, τὸ δὲ πρὸς ἄλλο πως ἤδη ἔχον καὶ σὺν τῇ πρὸς ἕτερον | |
| 5 | σχέσει ἐπινοούμενον, οἷον διπλάσιον, μεῖζον, ἔλαττον, ἥμισυ, ἡμιόλιον, ἐπίτριτον, τὰ ἐοικότα, δῆλον ὅτι | |
| ἄρα δύο μέθοδοι ἐπιλήψονται ἐπιστημονικαὶ καὶ διευκρινήσουσι πᾶν τὸ περὶ τοῦ ποσοῦ σκέμμα, ἀριθ‐ μητικὴ μὲν τὸ περὶ τοῦ καθ’ ἑαυτό, μουσικὴ δὲ τὸ | 5 | |
1.3.2 | περὶ τοῦ πρὸς ἄλλο. πάλιν δὲ ἐπεὶ τοῦ πηλίκου τὸ μέν ἐστιν ἐν μονῇ καὶ στάσει, τὸ δὲ ἐν κινήσει καὶ περιφορᾷ, δύο ἕτεραι κατὰ τὰ αὐτὰ ἐπιστῆμαι ἀκρι‐ βώσουσι τὸ πηλίκον, τὸ μὲν μένον καὶ ἠρεμοῦν γεω‐ | |
| 5 | μετρία, τὸ δὲ φερόμενον καὶ περιπολοῦν σφαιρική. | |
1.3.3 | οὐκ ἄρα τούτων ἄνευ δυνατὸν τὰ τοῦ ὄντος εἴδη ἀκριβῶσαι οὐδ’ ἄρα τὴν ἐν τοῖς οὖσιν ἀλήθειαν εὑρεῖν, ἧς ἐπιστήμη σοφία, φαίνεται δέ, ὅτι οὐδ’ ὀρθῶς φιλοσοφεῖν· ὅπερ γὰρ ζωγραφίη συμβάλλεται | |
| 5 | τέχναις βαναύσοις πρὸς θεωρίης ὀρθότητα, τοῦτό τοι γραμμαὶ καὶ ἀριθμοὶ καὶ ἁρμονικὰ διαστήματα καὶ κύκλων περιπολήσεις πρὸς λόγων σοφῶν μαθήσιας συνεργίην ἔχουσιν, Ἀνδροκύδης φησὶν ὁ Πυθαγορι‐ | |
1.3.4 | κός. ἀλλὰ καὶ Ἀρχύτας ὁ Ταραντῖνος ἀρχόμενος τοῦ ἁρμονικοῦ τὸ αὐτὸ οὕτω πως λέγει· καλῶς μοι δοκοῦντι περὶ τὰ μαθήματα διαγνώμεναι καὶ οὐδὲν ἄτοπον αὐτοὺς ὀρθῶς, οἷα ἐντί, περὶ ἑκάστου φρο‐ | |
| 5 | νέειν. περὶ γὰρ τᾶς τῶν ὅλων φύσιος καλῶς δια‐ γνόντες ἔμελλον καὶ περὶ τῶν κατὰ μέρος, οἷα ἐντί, καλῶς ὀψεῖσθαι· περί τε δὴ τᾶς γεωμετρικᾶς καὶ | |
| ἀριθμητικᾶς καὶ σφαιρικᾶς παρέδωκαν ἄμμιν σαφῆ διάγνωσιν, οὐχ ἥκιστα δὲ καὶ περὶ μουσικᾶς. ταῦτα | 6 | |
| 10 | γὰρ τὰ μαθήματα δοκοῦντι ἔμμεναι ἀδελφεά· περὶ γὰρ ἀδελφεὰ τὰ τοῦ ὄντος πρώτιστα δύο εἴδεα τὰν | |
1.3.5 | ἀναστροφὰν ἔχει. καὶ Πλάτων δὲ ἐπὶ τέλει τοῦ τρισ‐ καιδεκάτου τῶν νόμων, ὅπερ τινὲς φιλόσοφον ἐπι‐ γράφουσιν, ὅτι ἐν αὐτῷ περισκοπεῖ καὶ διορίζεται, ποταπὸν χρὴ τὸν ὄντως φιλόσοφον εἶναι, ἀνακεφα‐ | |
| 5 | λαιούμενος τὰ διὰ πλειόνων προδιαλεχθέντα καὶ προδιαβεβαιωθέντα ἐπιφέρει· ἅπαν διάγραμμα ἀριθ‐ μοῦ τε σύστημα καὶ ἁρμονίας σύστασιν ἅπασαν τῆς τε τῶν ἄστρων φορᾶς τὴν ἀναλογίαν μίαν ἀναφα‐ νῆναι δεῖ τῷ κατὰ τρόπον μανθάνοντι, φανήσεται | |
| 10 | δ’ ἂν ὃ λέγομεν ὀρθῶς, εἴ τις εἰς ἓν βλέπων πάντα μανθάνει· δεσμὸς γὰρ ἁπάντων τούτων εἷς ἀνα‐ φανήσεται· εἰ δέ τις ἄλλως μεταχειριεῖται φιλοσο‐ φίαν, τύχην δεῖ καλεῖν συνεργόν· οὐ γὰρ ἄνευ τούτων ἡ ὁδός ποτε, ἀλλ’ οὗτος ὁ τρόπος, ταῦτα τὰ | |
| 15 | μαθήματα εἴτε χαλεπὰ εἴτε ῥᾴδια, ταύτῃ ἰτέον, ἀμελεῖν δὲ οὐ δεῖ. τὸν δὲ ταῦτα πάντα οὕτω λα‐ βόντα, ὡς ἐγὼ λέγω, τοῦτον ἐγὼ καλῶ σοφώτατον | |
1.3.6 | καὶ διισχυρίζομαι παίζων τε καὶ σπουδάζων. δῆλον | |
| γάρ, ὅτι κλίμαξί τισι καὶ γεφύραις ἔοικε ταῦτα τὰ μαθήματα διαβιβάζοντα τὴν διάνοιαν ἡμῶν ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν καὶ δοξαστῶν ἐπὶ τὰ νοητὰ καὶ ἐπιστη‐ | 7 | |
| 5 | μονικὰ καὶ ἀπὸ τῶν συντρόφων ἡμῖν καὶ ἐκ βρεφῶν ὄντων συνήθων ὑλικῶν καὶ σωματικῶν ἐπὶ τὰ ἀσυ‐ νήθη τε καὶ ἑτερόφυλα πρὸς τὰς αἰσθήσεις, τῇ δὲ ἀυλίᾳ καὶ ἀιδιότητι συγγενέστερα ταῖς ἡμετέραις ψυχαῖς καὶ πολὺ πρότερον τῷ ἐν αὐταῖς νοητικῷ. | |
1.3.7 | καθὰ καὶ ὁ παρὰ Πλάτωνι ἐν τῇ πολιτείᾳ Σωκράτης τοῦ προσδιαλεγομένου αἰτίας τινὰς εὐλόγους ἐπι‐ φέρειν δοκοῦντος τοῖς μαθήμασιν, ὡς εὔχρηστά εἰσι πρὸς τὸν ἀνθρώπινον βίον, ἡ μὲν ἀριθμητικὴ πρὸς | |
| 5 | λογισμοὺς καὶ διανομὰς καὶ συνεισφορὰς καὶ ἀμεί‐ ψεις καὶ κοινωνίας, ἡ δὲ γεωμετρία πρὸς στρατοπε‐ δεύσεις πόλεών τε καὶ ἱερῶν συγκτίσεις καὶ γεωμο‐ ρίας, ἡ δὲ μουσικὴ πρὸς ἑορτὰς καὶ θυμηδίας καὶ θεῶν θρησκείας, σφαιρικὴ δὲ καὶ ἀστρονομία πρὸς | |
| 10 | γεωργίας τε καὶ ναυτιλίαν καὶ τὰς ἄλλας καταρχὰς τῶν πράξεων εὐχερείας καὶ ἐπιτηδειότητας προδη‐ λοῦσα, ἐπιπλήττων φησίν· ὡς ἡδὺς εἶ, ὅτι ἔοικας δεδιέναι, μὴ ἄρα ἄχρηστα ταῦτα τὰ μαθήματα προσ‐ τάττοιμι· τὸ δέ ἐστι παγχάλεπον, μᾶλλον δὲ ἀδύνα‐ | |
| 15 | τον· ὄμμα γὰρ τῆς ψυχῆς ὑπὸ τῶν ἄλλων ἐπιτη‐ δευμάτων ἀποτυφλούμενον καὶ κατορυττόμενον διὰ τούτων μόνων ἀναζωπυρεῖται καὶ ἀνεγείρεται κρεῖτ‐ τον ὂν σωθῆναι μυρίων σωματικῶν ὀμμάτων· μόνῳ γὰρ αὐτῷ ἡ περὶ τοῦ παντὸς ἀλήθεια ὁρᾶται. | 8 |
1.4.1 | Τίνα οὖν ἀναγκαῖον πρωτίστην τῶν τεσσά‐ ρων τούτων μεθόδων ἐκμανθάνειν; ἢ δηλονότι τὴν φύσει πασῶν προυπάρχουσαν καὶ κυριωτέραν ἀρχῆς τε καὶ ῥίζης καὶ οἱονεὶ πρὸς τὰς ἄλλας μητρὸς λόγον | |
1.4.2 | ἐπέχουσαν. ἔστι δὲ αὕτη ἡ ἀριθμητικὴ οὐ μόνον, ὅτι ἔφαμεν αὐτὴν ἐν τῇ τοῦ τεχνίτου θεοῦ διανοίᾳ προυποστῆναι τῶν ἄλλων ὡσανεὶ λόγον τινὰ κοσμι‐ κὸν καὶ παραδειγματικόν, πρὸς ὃν ἀπερειδόμενος ὁ | |
| 5 | τῶν ὅλων δημιουργὸς ὡς πρὸς προκέντημά τι καὶ ἀρχέτυπον παράδειγμα τὰ ἐκ τῆς ὕλης ἀποτελέσματα κοσμεῖ καὶ τοῦ οἰκείου τέλους τυγχάνειν ποιεῖ, ἀλλὰ καὶ ὅτι φύσει προγενεστέρα ὑπάρχει, ὅσῳ συναναι‐ ρεῖ μὲν ἑαυτῇ τὰ λοιπά, οὐ συναναιρεῖται δὲ ἐκεί‐ | |
| 10 | νοις· οἷον τὸ ζῶον πρότερον τοῦ ἀνθρώπου φύσει ἐστίν· ἀναιρεθέντος γὰρ τοῦ ζώου ἀναιρεῖται καὶ ὁ ἄνθρωπος, οὐκέτι δὲ ἀναιρεθέντος τοῦ ἀνθρώπου συναναιρεῖται καὶ τὸ ζῶον· καὶ πάλιν ἄνθρωπος προγενέστερος γραμματικοῦ· μὴ γὰρ ὄντος ἀνθρώ‐ | |
| 15 | που οὐδὲ γραμματικός ἐστι, μὴ ὄντος δὲ γραμματι‐ | |
| κοῦ δυνατὸν ἄνθρωπον εἶναι· ὥστε ἐπεὶ συναναι‐ | 9 | |
1.4.3 | ρεῖ, διὰ τοῦτο καὶ πρεσβύτερον. καὶ ἐκ τοῦ ἐναν‐ τίου δὲ νεώτερον λέγεται καὶ ὑστερογενέστερον, ὃ συνεπιφέρει μὲν ἑαυτῷ τὸ λοιπόν, οὐ συνεπιφέρεται δὲ ἐκείνῳ, οἷον ὁ μουσικός· συνεπιφέρει γὰρ ἑαυτῷ | |
| 5 | πάντως τὸν ἄνθρωπον· καὶ πάλιν ἵππος· συνεπι‐ φέρεται γὰρ πάντως τὸ ζῶον τούτῳ, οὐκ ἔμπαλιν δέ· ζώου γὰρ ὄντος οὐκ ἀναγκαῖον εἶναι ἵππον οὐδὲ ἀνθρώπου ὑπάρχοντος συνεπιφέρεσθαι μουσι‐ | |
1.4.4 | κόν. οὕτω καὶ ἐπὶ τῶν προλεχθεισῶν ἐπιστημῶν· οὔσης μὲν γὰρ γεωμετρίας ἀνάγκη καὶ τὴν ἀριθμη‐ τικὴν συνεπιφέρεσθαι· ἅμα γὰρ ταύτῃ τρίγωνον ἢ τετράγωνον ἢ ὀκτάεδρον ἢ εἰκοσάεδρον ἢ διπλάσιον | |
| 5 | ἢ ὀκταπλάσιον ἢ ἡμιόλιον ἢ ἄλλο τι τοιοῦτον, ὃ γεω‐ μετρία λέγει, καὶ οὐκ ἄνευ τῶν ἑκάστῳ συνεπιφερο‐ μένων ἀριθμῶν ἐπινοεῖσθαι τὰ τοιαῦτα δύναται· πῶς γὰρ οἷόν τε τριπλάσιόν τι εἶναι ἢ λέγεσθαι μὴ προυποκειμένου τοῦ γ ἀριθμοῦ ἢ ὀκταπλάσιον μὴ | |
| 10 | ὑποκειμένου τοῦ η; ἔμπαλιν δὲ εἴη ἂν τὰ γ καὶ τὰ δ καὶ τὰ ἑξῆς μὴ ὄντων τῶν παρωνύμων σχημάτων. | |
1.4.5 | συναναιρεῖ ἄρα ἡ ἀριθμητικὴ τὴν γεωμετρίαν, ἀλλ’ οὐ συναναιρεῖται ὑπ’ αὐτῆς, καὶ συνεπιφέρεται μὲν ἐκείνῃ, οὐ συνεπιφέρει δὲ αὐτήν. | |
1.5.1 | Πάλιν δὲ ἐπὶ τῆς μουσικῆς· οὐ γὰρ μόνον ὅτι προγενέστερον τὸ καθ’ αὑτὸ τοῦ πρὸς ἄλλο, καθάπερ τὸ μέγα τοῦ μείζονος καὶ τὸ πλούσιον τοῦ πλουσιωτέρου καὶ ὁ ἄνθρωπος τοῦ πατρός, ἀλλ’ ὅτι | 10 |
| 5 | καὶ αἱ μουσικαὶ συμφωνίαι διὰ τεσσάρων, διὰ πέντε, διὰ πασῶν κατὰ ἀριθμόν εἰσιν ὠνομασμέναι· ὁμοίως καὶ τοὺς ἁρμονικοὺς λόγους ἀριθμητικοὺς πάντως ἔχουσιν, ἡ μὲν διὰ τεσσάρων ἐπίτριτος, ἡ δὲ διὰ πέντε ἡμιόλιος, ἡ δὲ διὰ πασῶν διπλάσιος, τριπλά‐ | |
| 10 | σιος δὲ ἡ διὰ πασῶν ἅμα καὶ διὰ πέντε, τετραπλάσιος | |
1.5.2 | δὲ ἡ τελειοτάτη ἡ δὶς διὰ πασῶν. ἐκδηλότερόν γε μὴν ἡ σφαιρικὴ δι’ ἀριθμητικῆς τυγχάνει πάντων τῶν προσηκόντων αὐτῇ σκεμμάτων οὐ μόνον, ὅτι γεωμετρίας μεταγενεστέρα ἐστιν (ἡ γὰρ κίνησις φύ‐ | |
| 5 | σει μετὰ τὴν μονήν), οὐδ’ ὅτι ἁρμονίας ἐκ παντὸς ἐμμελοῦς τὰ τῶν ἀστέρων κινήματα τέτευχεν, ἀλλ’ ὅτι καὶ ἀριθμῶν περιόδοις καὶ ποσότησιν ἀνατολαί τε καὶ δύσεις καὶ προποδισμοὶ καὶ ἀναποδισμοὶ καὶ ἐπιπροσθήσεις καὶ φάσεις παντοῖαι διαρθροῦνται. | |
1.5.3 | ὡς οὖν προγενεστέρας φύσει καὶ τιμιωτέρας καὶ πρεσβυτέρας ὡσανεὶ μητρὸς καὶ τιθήνης καλῶς προ‐ τέραν τὴν τεχνολογίαν ὑπεστησάμεθα, τὴν δὲ ἀρχὴν τῆς τεχνολογίας τοῦ σαφοῦς χάριν ἐντεῦθεν ποιη‐ | |
| 5 | σόμεθα. | 11 |
1.6.1 | Πάντα τὰ κατὰ τεχνικὴν διέξοδον ὑπὸ φύ‐ σεως ἐν τῷ κόσμῳ διατεταγμένα κατὰ μέρος τε καὶ ὅλα φαίνεται κατὰ ἀριθμὸν ὑπὸ τῆς προνοίας καὶ τοῦ τὰ ὅλα δημιουργήσαντος νοῦ διακεκρίσθαι τε | |
| 5 | καὶ κεκοσμῆσθαι βεβαιουμένου τοῦ παραδείγματος οἷον λόγον προχαράγματος ἐκ τοῦ ἐπέχειν τὸν ἀριθμὸν προυποστάντα ἐν τῇ τοῦ κοσμοποιοῦ θεοῦ διανοίᾳ, νοητὸν αὐτὸν μόνον καὶ παντάπασιν ἄυλον, οὐσίαν μέντοι τὴν ὄντως τὴν ἀίδιον, ἵνα πρὸς αὐ‐ | |
| 10 | τὸν ὡς λόγον τεχνικὸν ἀποτελεσθῇ τὰ σύμπαντα ταῦτα, χρόνος, κίνησις, οὐρανός, ἄστρα, ἐξελιγμοὶ | |
1.6.2 | παντοῖοι. ἀναγκαῖον ἄρα, τὸν ἐπιστημονικὸν ἤδη ἀριθμὸν ἐπὶ τῶν τοιούτων ὑπάρχοντα καθ’ ἑαυτὸν | |
1.6.3 | ἡρμόσθαι καὶ οὐχ ὑπ’ ἄλλου, ἀλλ’ ὑφ’ ἑαυτοῦ. πᾶν δὲ ἡρμοσμένον ἐξ ἐναντίων πάντως ἥρμοσται καὶ ὄν‐ των γε· οὔτε γὰρ τὰ μὴ ὄντα ἁρμοσθῆναι οἷά τε οὔτε τὰ ὄντα μέν, ὅμοια δὲ ἀλλήλοις, οὔτε τὰ διαφέροντα | |
| 5 | μέν, ἄλογα δὲ πρὸς ἄλληλα· ὑπολείπεται δὴ τά, ἐξ ὧν ἁρμόζεται, καὶ ὄντα εἶναι καὶ διάφορα καὶ λόγον | |
1.6.4 | πρὸς ἄλληλα ἔχοντα. ἐκ τοιούτων ἄρα καὶ ὁ ἐπιστη‐ μονικὸς ἀριθμός· ἔστι γὰρ τὰ ἐν αὐτῷ πρώτιστα εἴδη δύο οὐσίαν τε ἔχοντα τὴν τῆς ποσότητος καὶ διαφέροντα ἀλλήλων καὶ οὐχ ἑτερογενῆ, περιττὸν | 12 |
| 5 | καὶ ἄρτιον, καὶ ἐναλλὰξ ὑπὸ θαυμαστῆς καὶ θείας φύσεως διηρμοσμένα ἀλλήλοις ἀχωρίστως καὶ ἑνοει‐ δῶς, ὡς αὐτίκα εἰσόμεθα. | |
1.7.1 | Ἀριθμός ἐστι πλῆθος ὡρισμένον ἢ μονάδων σύστημα ἢ ποσότητος χύμα ἐκ μονάδων συγκείμενον, τοῦ δὲ ἀριθμοῦ πρώτη τομὴ τὸ μὲν ἄρτιον, τὸ δὲ | |
1.7.2 | περιττόν. ἔστι δὲ ἄρτιον μέν, ὃ οἷόν τε εἰς δύο ἶσα διαιρεθῆναι μονάδος μέσον μὴ παρεμπιπτούσης, περιττὸν δὲ τὸ μὴ δυνάμενον εἰς δύο ἶσα μερισθῆ‐ ναι διὰ τὴν προειρημένην τῆς μονάδος μεσιτείαν. | |
1.7.3 | οὗτος μὲν οὖν ὁ ὅρος ἐκ τῆς δημώδους ὑπολήψεως· κατὰ δὲ τὸ Πυθαγορικὸν ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ τὴν εἰς τὰ μέγιστα καὶ τὰ ἐλάχιστα κατὰ ταὐτὸ τομὴν ἐπιδεχόμενος, μέγιστα μὲν πηλικότητι, ἐλάχιστα δὲ | |
| 5 | ποσότητι, κατὰ φυσικὴν τῶν δύο τούτων γενῶν ἀν‐ τιπεπόνθησιν, περισσὸς δὲ ὁ μὴ δυνάμενος τοῦτο | |
1.7.4 | παθεῖν, ἀλλ’ εἰς ἄνισα δύο τεμνόμενος. ἑτέρῳ δὲ τρόπῳ κατὰ τὸ παλαιὸν ἄρτιός ἐστιν ὁ καὶ εἰς δύο | |
| ἶσα τμηθῆναι δυνάμενος καὶ εἰς ἄνισα δύο, πλὴν τῆς ἐν αὐτῷ ἀρχοειδοῦς δυάδος θάτερον τὸ διχοτόμημα | 13 | |
| 5 | μόνον ἐπιδεχομένης τὸ εἰς ἶσα, ἐν ᾗτινι οὖν τομῇ πα‐ ρεμφαίνων τὸ ἕτερον εἶδος μόνον τοῦ ἀριθμοῦ, ὅπως ἂν διχασθῇ, ἀμέτοχον τοῦ λοιποῦ· περισσὸς δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ καθ’ ἡντιναοῦν τομὴν εἰς ἄνισα πάντως γινομένην ἀμφότερα ἅμα ἐμφαίνων τὰ τοῦ ἀριθμοῦ | |
| 10 | δύο εἴδη οὐδέποτε ἄκρατα ἀλλήλων, ἀλλὰ πάντοτε | |
1.7.5 | σὺν ἀλλήλοις. ἐν δὲ τῷ δι’ ἀλλήλων ὅρῳ περιττός ἐστιν ὁ μονάδι ἐφ’ ἑκάτερα διαφέρων ἀρτίου ἀριθ‐ μοῦ, τουτέστιν ἐπὶ τὸ μεῖζον καὶ ἔλαττον, ἄρτιος δὲ ὁ μονάδι διαφέρων ἐφ’ ἑκάτερον περισσοῦ ἀριθμοῦ, | |
| 5 | τουτέστι μονάδι μείζων καὶ μονάδι ἐλάσσων. | |
1.8.1 | Πᾶς ἀριθμὸς τῶν παρ’ ἑκάτερα συντεθέντων ἅμα ἥμισύς ἐστι καὶ τῶν ὑπὲρ ἕνα ἑκατέρωθεν κει‐ μένων ὁμοίως ἥμισύς ἐστι καὶ ἔτι τῶν ὑπὲρ ἐκείνους | |
1.8.2 | καὶ τοῦτο μέχρις οὗ δυνατόν. μονωτάτη δὲ ἡ μονὰς διὰ τὸ μὴ ἔχειν ἑκατέρωθεν αὐτὴν δύο ἀριθμοὺς ἑνὸς μόνου τοῦ παρακειμένου ἥμισύς ἐστιν· ἀρχὴ | |
1.8.3 | ἄρα πάντων φυσικὴ ἡ μονάς. καθ’ ὑποδιαίρεσιν δὲ τοῦ ἀρτίου τὸ μὲν ἀρτιάκις ἄρτιον, τὸ δὲ περισσάρ‐ | |
| τιον, τὸ δὲ ἀρτιοπέριττον· ἐναντία μὲν ἀλλήλοις ὥσπερ ἀκρότητες τὸ ἀρτιάκις ἄρτιον καὶ τὸ ἀρτιο‐ | 14 | |
| 5 | πέρισσον, κοινὸν δὲ ἀμφοτέρων ὥσπερ μεσότης τὸ περισσάρτιον. | |
1.8.4 | Ἀρτιάκις οὖν ἄρτιος ἄριθμός ἐστιν ὁ αὐτός τε εἰς δύο ἶσα δυνάμενος διχασθῆναι κατὰ τὴν τοῦ γένους φύσιν καὶ τῶν ἑαυτοῦ μερῶν ὁποτερονοῦν τοιοῦτον ἔχων δίχα διαιρετὸν καὶ πάλιν κατὰ τὰ | |
| 5 | αὐτὰ τῶν ἐν ἐκείνῳ μερῶν ὁποτερονοῦν εἰς δύο ἶσα διαιρετὸν καὶ μέχρις ἂν εἰς τὴν φύσει ἄτομον μονάδα | |
1.8.5 | καταντήσῃ ἡ τῶν ἀεὶ ὑπομερισμῶν διαίρεσις. οἷον ὑποδείγματος χάριν ὁ ξδ· τούτου γὰρ ἥμισυς ὁ λβ καὶ τούτου ὁ ιϛ καὶ τούτου ἥμισυς ὁ η καὶ τούτου ὁ δ καὶ τούτου ὁ β, ἔπειτα τὸ τελευταῖον μονὰς τούτου | |
| 5 | ἡμίσεια, ἥτις φύσει ἄτομος οὖσα οὐκέτι ἐπιδέχεται | |
1.8.6 | τὸ ἥμισυ. παρακολουθεῖ δὲ αὐτῷ καί, ὅ τι ἂν ἐν αὐτῷ μέρος ληφθῇ, πάντως ἀρτιάκις ἀρτιώνυμον εἶναι τὴν προσηγορίαν, τὸ δὲ αὐτὸ καὶ τῇ ποσότητι τῶν ἐν αὐτῷ μονάδων ἀρτιάκις ἀρτιοδύναμον, μη‐ | |
| 5 | δέποτε δὲ ἑτέρῳ γένει κοινωνεῖν ἑκάτερον τού‐ | |
1.8.7 | των. μήτοι δὲ ἄρα καὶ παρὰ τοῦτο ἀρτιάκις ἄρ‐ τιος ὠνόμασται, ὅτι αὐτὸς ἄρτιος ὢν καὶ τὰ | |
| μέρη καὶ τὰ τῶν μερῶν μέρη μέχρι μονάδος ἄρ‐ τια ἀεὶ ἔχει ὀνόματί τε καὶ δυνάμει· καὶ ἑτέρως πᾶν | 15 | |
| 5 | μέρος, ὃ ἐὰν ἔχῃ, ἀρτιάκις ἄρτιον κατὰ τὸ ὄνομά ἐστι, τὸ δὲ αὐτὸ καὶ ἀρτιάκις ἄρτιόν ἐστι κατὰ τὴν | |
1.8.8 | δύναμιν. γένεσις δὲ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου, ὥστε μη‐ δένα διαφυγεῖν, ἀλλ’ ἐξ ἑνὸς πάντας ὑποπίπτειν | |
1.8.9 | αὐτῇ, εἰ γένοιτο ἂν οὕτως· ἀπὸ μονάδος ὡς ἀπὸ ῥίζης κατὰ τὸν διπλάσιον λόγον προχωροῦντι μέχρις ἀπείρου, ὅσοι καὶ ἂν γένωνται, οὗτοι πάντες ἀρτιά‐ κις ἄρτιοί εἰσιν, ἄλλους δὲ παρὰ τούτους ἀμήχανόν | |
| 5 | ἐστιν εὑρεῖν, οἷον πρὸς ὑπόδειγμα α, β, δ, η, ιϛ, λβ, ξδ, ρκη, σνϛ, φιβ | |
1.8.10 | καὶ ἐφ’ ὁσονοῦν. ἕκαστος δὴ τῶν προκειμένων γέ‐ γονε μὲν κατὰ τὸν ἀπὸ μονάδος διπλασίονα ἀεὶ λόγον, ὑπάρχει δὲ ἀρτιάκις ἄρτιος πάντως καὶ πᾶν δὲ μέ‐ ρος, ὃ ἂν εὑρεθῇ ἔχων, πάντως καὶ παρώνυμόν | |
| 5 | ἐστιν ἑνὸς τῶν ἐντὸς αὐτοῦ καὶ μονάδος σύστημα ἐν τούτῳ ὑπάρχει τοσοῦτον, ὁπόσος τῶν ἐντὸς αὐ‐ τοῦ εἷς τις ἐστί, κατὰ ἀντιπερίστασιν μέντοι καὶ ἀμοιβήν, ἐὰν μὲν ὦσιν ἄρτιοι αἱ ἐκθέσεις τῶν ἀπὸ μονάδος διπλασιασμῶν· μία μὲν οὐχ οἵα τε μεσότης | |
| 10 | εὑρεθῆναι, πάντως δὲ δύο, ἀφ’ ὧν ἀρχομένη ἡ ἀν‐ | |
| τιπερίστασις καὶ ἀμοιβὴ μερῶν πρὸς δυνάμεις καὶ δυνάμεων πρὸς μέρη προχωρήσει τάξει, πρῶτον μὲν ἐπὶ τοὺς παρ’ ἑκάτερα δύο, εἶτα ἐπὶ τοὺς ὑπερκει‐ μένους ἑκατέρωθεν, μέχρις ἂν ἐπὶ τοὺς ἀκροτάτους | 16 | |
| 15 | ἀφίκηται, ὥστε καὶ τὸ ὅλον ἀντιπαρωνυμεῖσθαι τῇ μονάδι καὶ τὴν μονάδα τῷ ὅλῳ· οἷον λόγου χάριν, ἐὰν τὸν ρκη θῶμεν τὸν μέγιστον, ἀρτιογενεῖς ἔσον‐ ται αὐτῷ αἱ ἐκθέσεις τῶν ὅρων, ὀκτὼ γὰρ αἱ μέχρις αὐτοῦ πᾶσαι, καὶ μίαν μεσότητα οὐχ ἕξουσιν, ἀδύ‐ | |
| 20 | νατον γὰρ ἐν ἀρτίῳ, ἀλλ’ ἀναγκαίως δύο, τήν τε η καὶ τὴν ιϛ, αἵτινες ἀνταποκρινοῦνται ἀλλήλαις παρὰ μέρος· τοῦ γὰρ ὅλου τοῦ ρκη ὄγδοον μέν ἐστι τὰ ιϛ, ἔμπαλιν δὲ ἑκκαιδέκατον τὰ η· καὶ προιόντες ἐφ’ ἑκάτερον τέταρτον μὲν τὰ λβ, τριακοστόδυον δὲ τὰ | |
| 25 | δ, καὶ πάλιν ἥμισυ μὲν τὰ ξδ, ἑξηκοστοτέταρτον δὲ τὰ β, καὶ τελευταῖον κατὰ τὰς ἀκρότητας ἑκατοστο‐ εικοστόγδοον μὲν ἡ μονάς, ὅλον δὲ κατὰ τὴν μονάδα | |
1.8.11 | ἔμπαλιν τὰ ρκηʹ. ἐὰν δὲ ἐν περισσοῖς ὅροις ἡ ἔκθεσις γένηται, οἷον ἐν ἑπτά, προχειρισαμένων ἡμῶν τὰ ξδ, ἡ μεσότης ἀναγκαίως μία ἔσται κατὰ τὴν τῶν περισ‐ σῶν φύσιν καὶ αὐτὴ μὲν ἑαυτῇ ἀνταποκρινεῖται διὰ | |
| 5 | τὸ σύζυγον μὴ ἔχειν, οἱ δὲ ἑκατέρωθεν αὐτῆς ἀεὶ ἀλλήλοις, μέχρις ἂν εἰς τὰ ἄκρα ἡ ἀνταπόκρισις τε‐ | |
| λευτήσῃ· οἷον ἑξηκοστοτέταρτον μὲν ἡ μονὰς ἔσται, ὅλον δὲ κατὰ τὴν μονάδα ξδ, καὶ ἥμισυ μὲν τὰ λβ, τριακοστόδυον δὲ τὰ β, καὶ τέταρτον μὲν τὰ ιϛ, ἑκ‐ | 17 | |
| 10 | καιδέκατον δὲ τὰ δ, ὄγδοον δὲ ἄνευ ἀντιδιαστολῆς | |
1.8.12 | αὐτὰ τὰ η. συμβέβηκε δὲ πάσαις ταῖς ἐκθέσεσι συν‐ τεθειμέναις σωρηδὸν ἴσαις εἶναι τῷ μετ’ αὐτὰς παρὰ μονάδα, ὥστε ἀναγκαίως ἡ ὁπωσοῦν συγκεφαλαίωσις περισσὸς ἀριθμὸς ἔσται· αἰεὶ γὰρ ὁ παρὰ μονάδα | |
1.8.13 | ἶσος τῷ ἀρτίῳ περισσός ἐστι. χρησιμεύσει δ’ ἡμῖν αὕτη ἡ ἐπίγνωσις, ὅσον οὐδέπω, πρὸς τὴν τῶν τε‐ λείων ἀριθμῶν σύστασιν· ὑποδείγματος δὲ χάριν τῷ σνϛ οἱ ἐντὸς αὐτοῦ μέχρι μονάδος ἶσοί εἰσι συγ‐ | |
| 5 | κεφαλαιωθέντες παρὰ μίαν μονάδα, τῷ δὲ ρκη τῷ εὐθὺς ὑπ’ αὐτὸν οἱ ἐντὸς αὐτοῦ πάντες ὁμοίως εἰ‐ σὶν ἶσοι παρὰ μίαν μονάδα καὶ τοῖς συνεχέσι δὲ ἀεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ οἱ ἐντός, καθὰ καὶ αὐτὴ ἡ μονὰς παρὰ μονάδα ἴση τῷ μετ’ αὐτήν, ὅ ἐστι τῷ β, καὶ οἱ συν‐ | |
| 10 | αμφότεροι παρὰ μονάδα τῷ μετ’ αὐτοὺς καὶ οἱ σύντρεις παρὰ μονάδα τῷ ἑξῆς, καὶ τοῦτο ἐπ’ ἄπει‐ | |
1.8.14 | ρον προχωροῦν ἄπταιστον εὑρήσεις. κἀκεῖνο δὲ με‐ μνῆσθαι ἀναγκαιότατον· ἐὰν μὲν γὰρ ἄρτιοι ὦσιν αἱ τοῦ προκεχειρισμένου ἀρτιάκις ἀρτίου ἐκθέσεις, πάν‐ | |
| τως τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων πρὸς ἄλληλα πολυπλασιαζομέ‐ | 18 | |
| 5 | νων συντελούμενον ἶσον ἔσται τῷ ὑπὸ τῶν μέσων πρὸς ἄλληλα, ἐὰν δὲ περισσαί, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἶσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου πρὸς ἑαυτό· ἅπαξ γὰρ ρκη ἐν ἀρτίαις ἐκθέσεσιν ἶσόν ἐστι τῷ ὀκτάκις ιϛ καὶ ἔτι τῷ δὶς ξδ καὶ πάλιν τῷ τετράκις λβ καὶ τοῦτο δι’ ὅλου· ἐν | |
| 10 | δὲ περισσαῖς ἐκθέσεσιν ἶσον τὸ ἅπαξ ξδ τῷ δὶς λβ καὶ τοῦτο τῷ τετράκις ιϛ καὶ τοῦτο πάλιν τῷ ὀκτά‐ κις η μόνον μέσου πρὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιαζομένου. | |
1.9.1 | Ἀρτιοπέριττος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ τῷ γένει καὶ αὐτὸς ἄρτιος ὤν, ἀντιδιαστελλόμενος δὲ ἰδικῶς τῷ προφρασθέντι ἀρτιάκις ἀρτίῳ, ὁ τὴν μὲν εἰς δύο ἶσα διαίρεσιν ἐπιδεχόμενος κατὰ τὸ κοινὸν γένος, | |
| 5 | τῶν μέντοι μερῶν ἑκάτερον εὐθὺς εἰς δύο ἶσα ἄτμη‐ τον ἔχων, οἷον ὁ ϛ, ὁ ι, ὁ ιδ, ὁ ιη, ἡ κβ, ὁ κϛ, οἱ ὅμοιοι· μετὰ γὰρ τὸ διχασθῆναι ἕκαστον τούτων | |
1.9.2 | ἀδίχαστα εὐθὺς τὰ μέρη εὑρίσκεται. συμβέβηκε δὲ αὐτῷ πᾶν, ὃ ἐὰν εὑρεθῇ μέρος ἔχων, ἐναντιώνυμον τῇ δυνάμει εἶναι καὶ πᾶσαν μέρους ποσότητα ἐναν‐ | |
| τιοδύναμον τῷ ὀνόματι, μηδέποτε δὲ μηδενὶ τρόπῳ | 19 | |
| 5 | ὁμογενῆ τὴν δύναμιν τοῦ μέρους τῷ αὐτῷ ὀνόματι ὑπάρχειν· οἷον ἐφ’ ἑνὸς τοῦ ιη τὸ μὲν ἥμισυ ἀρ‐ τιακῶς ὠνομασμένον ὑπάρχει θ, περισσὸν τῇ δυνά‐ μει, τὸ δὲ τρίτον ἔμπαλιν περισσῶς ὀνοματοπεποιη‐ μένον ϛ ἄρτιον τῇ δυνάμει· τὸ δὲ ϛον ἐξ ἀντιστρο‐ | |
| 10 | φῆς γ καὶ τὸ θον β, κἀπὶ τῶν ἑτέρων ὁ αὐτὸς | |
1.9.3 | εὑρεθήσεται τρόπος. μήτοι δὲ ἄρα καὶ παρὰ τοῦτο τοιαύτης προσηγορίας τέτευχεν, ὅτι ἄρτιος ὢν περισ‐ | |
1.9.4 | σῶν τῶν ἡμισευμάτων εὐθὺς τετύχηκε. γεννᾶται δὲ καὶ οὗτος τῶν ἀπὸ μονάδος δυάδι διαφερόντων, ὅ ἐστι περισσῶν, εὐτάκτως ἐκτεθέντων, μέχρις οὗ βούλει, δυάδι πολυπλασιασθέντων· οἱ γὰρ ἀποτε‐ | |
| 5 | λούμενοι γένοιντο ἂν τάξει οὗτοι ϛ, ι, ιδ, ιη, κβ, κϛ, λ, καὶ μέχρις ἂν προχωρεῖν ἐθέλῃς· διαφέρουσι δὲ ἀλλήλων τετράδι οἱ μείζονες ἀεὶ τῶν ἐγγὺς ἐλατ‐ τόνων· αἴτιον δὲ τούτου, ὅτι οἱ ἐξ ἀρχῆς γνώμονες | |
| 10 | αὐτῶν, τουτέστιν οἱ περισσοί, δυάδι ἀλλήλων ὑπερ‐ | |
1.9.5 | φέροντες δυάδι ἐμηκύνθησαν, ἵνα οὗτοι γένωνται, δυὰς δὲ δυάδα πολυπλασιάσασα τετράδα ποιεῖ. ἐν οὖν τῷ φυσικῷ ὕφει τοῦ ἀριθμοῦ εὑρεθήσονται οἱ ἀρτιοπέρισσοι πέμπτοι μὲν ἀπ’ ἀλλήλων, τετράδι δὲ | |
| 5 | ὑπερέχοντες, τρεῖς δὲ ὑπερβαίνοντες, δυάδι δὲ μη‐ | 20 |
1.9.6 | κυνομένων τῶν περισσῶν γεννώμενοι. ἐναντιοπα‐ θεῖν δὲ λέγονται τοῖς ἀρτιάκις ἀρτίοις, ὅτι τούτων μὲν τὸ μέγιστον ἄκρον μόνον διαιρετόν, ἐκείνων δὲ τὸ ἐλάχιστον μόνον ἦν ἀδιαίρετον· καὶ δὴ καί, ὅτι | |
| 5 | ἐπ’ ἐκείνων μὲν ἡ ἀντιπερίστασις τῶν μερῶν ἀπ’ ἀκροτήτων εἰς μεσότητα ἢ μεσόσητας ἀπετέλει τὸ ὑπό—ἶσον τῷ ἀπό—ἢ τῷ ὑπό—· τούτων δὲ κατὰ τὴν αὐτὴν ἀμοιβὴν καὶ ἐξέτασιν ὑποδιπλάσιον τὸ μέσον τῶν δύο ἄκρων συντεθέντων, ἢ εἰ δύο εἴη τὰ μέσα, | |
| 10 | καὶ αὐτὰ ἶσα ἀμφότερα τοῖς δυσὶν ἄκροις. | |
1.10.1 | Περισσάρτιος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ τὸ τρίτον εἶδος τοῦ ἀρτίου ἐμφαίνων, κοινὸς ὢν ἀμφοτέρων τῶν εἰρημένων ὡσανεὶ δύο ἀκροτήτων μία τις ὢν αὐτὸς μεσότης· ὅμοιος γὰρ κατὰ μέν τι τῷ ἀρτιάκις | |
| 5 | ἀρτίῳ ὑπάρχει, κατὰ δέ τι τῷ ἀρτιοπερίσσῳ, καὶ ᾧ μὲν τοῦ ἑτέρου ἀπήλλακται, τούτῳ κοινωνεῖ τῷ λοιπῷ, ᾧ δὲ κοινόν τι ἔχει πρὸς ἕτερον, τούτῳ δια‐ | |
1.10.2 | φέρει τοῦ λοιποῦ. ἔστι δέ, ὅταν ἀριθμὸς ἄρτιος εἰς δύο ἶσα διαιρεθῆναι δυνάμενος διαιρούμενα ὁμοίως τὰ ἑαυτοῦ μέρη ἔχῃ, ἔστι δ’ ὅτε καὶ τῶν μερῶν τὰ μέρη, μέχρι μέντοι μονάδος μὴ δυνάμενος τὴν τῶν | 21 |
| 5 | μερῶν λύσιν ἀγαγεῖν· οἷός ἐστιν ὁ κδ, ὁ κη, ὁ μ· ἥμισυ μὲν γὰρ ἕκαστος τούτων ἴδιον ἔχει καὶ πάν‐ τως ἡμίσους ἥμισυ· ἔστι δ’ ὅτε ἐν αὐτοῖς τις εὑρί‐ σκεται καὶ ἐπὶ πλέον τὸν διχασμὸν ἐπιδεχόμενος εἰς | |
| 10 | τὰ μέρη, οὐδεὶς μέντοι τὸ παράπαν μέχρι τῆς φύσει | |
1.10.3 | ἀτόμου μονάδος τὰ μέρη μεριστὰ εἰς ἡμίση ἕξει. τῷ μὲν οὖν πλείονας μιᾶς τομῆς ἐπιδέχεσθαι ὁμοιοῦται μὲν τῷ ἀρτιάκις ἀρτίῳ, ἀφίσταται δὲ τοῦ ἀρτιο‐ περίσσου, τῷ δὲ μὴ ἀπολήγειν ποτὲ εἰς μονάδα αὐ‐ | |
| 5 | τοῦ τὰς τομὰς ὁμοιοῦται μὲν τῷ ἀρτιοπερίσσῳ, ἀφί‐ | |
1.10.4 | σταται δὲ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου. συμβέκηκε δ’ αὐτῷ μόνῳ ὑφ’ ἓν τὰ ἑκατέρῳ ἐκείνων ἰδίως συμβεβηκότα καὶ πάλιν ἃ μηδετέρῳ· καὶ γὰρ ἐκείνων ὁ μὲν τὸ μέγιστον μόνον μέρος εἶχε τμητόν, ὁ δὲ τὸ μικρότα‐ | |
| 5 | τον μόνον ἄτμητον, οὗτος δὲ οὐδέτερον· πλείονα μὲν γὰρ τοῦ ἑνὸς τμήματα ἐν τῷ μείζονι μέρει ἔχων ὁρᾶται, πλείονα δὲ τοῦ ἑνὸς ἄτμητα ἐν τῷ ἐλάττονι. | |
1.10.5 | καὶ πάλιν ἐστὶν ἐν αὐτῷ τινα μὲν μέρη μὴ ἐναντιω‐ | |
| νυμοῦντα ταῖς δυνάμεσι μηδ’ ἑτερογενοῦντα πρὸς αὐτὰς κατ’ εἰκόνα τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου, ἔνεστι δὲ πάντως καὶ ἕτερα ἐναντιωνυμούμενα ἑτερογενῶς | 22 | |
| 5 | ὑπὸ τῶν δυνάμεων κατ’ εἰκόνα τοῦ ἀρτιοπερίσσου· οἷον ἐν τῷ κδ οὐκ ἐναντιωνυμεῖ μὲν μέρη δυνάμεσι, τέταρτον ϛ, ἥμισυ ιβ, ἕκτον δ, δωδέκατον β, ἐναν‐ τιοπαθεῖ δὲ τρίτον η, ὄγδοον γ, εἰκοστοτέταρτον α· | |
1.10.6 | καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν παραπλησίως. γεννᾶται δὲ οὗτος ἐφόδῳ τινὶ ποικιλωτέρᾳ σημαίνων τρόπον τινὰ καὶ ἐν τῇ γενέσει αὐτοῦ, ὅτι μῖγμα ἀμφοτέρων ἐστίν· ἐπειδὴ γὰρ ὁ μὲν ἀρτιάκις ἄρτιος ἐξ ἀρτίων ὑφί‐ | |
| 5 | σταται τῶν ἀπὸ μονάδος διπλασίων ἐς ἀεί, ὁ δὲ ἀρ‐ τιοπέρισσος ἀπὸ περισσῶν τῶν ἀπὸ τριάδος προιόν‐ των ἐς ἀεί, ἀναγκαῖον τοῦτον ἐξ ἀμφοτέρων τῶν | |
1.10.7 | γενῶν συνυφαίνεσθαι, ὡς κοινὸν ἀμφοτέρων. ἐκθώ‐ μεθα δὴ τοὺς ἀπὸ τριάδος περιττοὺς ἰδίᾳ εὐτάκτως ἐν ἑνὶ στίγω γ, ε, ζ, θ, ια, ιγ, ιε, ιζ, ιθ | |
| 5 | καὶ ἐφεξῆς, τοὺς δὲ ἀπὸ τετράδος ἀρτιάκις ἀρτίους πάλιν ἐφεξῆς ἐν ἑτέρῳ στίχῳ κατὰ τὴν τάξιν τὴν αὐτῶν δ, η, ιϛ, λβ, ξδ, ρκη, σνϛ | |
1.10.8 | καὶ ἐφεξῆς, μέχρις οὗ βούλει. ἀπὸ ὁποτέρου δὴ στίχου (ἀδιάφορον γάρ) τῷ πρώτῳ κειμένῳ ἀριθμῷ πολυπλασίαζε ἐξ ἀρχῆς πάντας ἑξῆς τοὺς ἐν τῷ | |
| λοιπῷ στίχῳ καὶ τοὺς ἀποτελουμένους σημειοῦ, εἶτα | 23 | |
| 5 | πάλιν τοῦ αὐτοῦ στίχου τῷ δευτέρῳ ἀριθμῷ πολυ‐ πλασίαζε τοὺς αὐτοὺς ἄνωθεν, μέχρις οὗ ἔχεις, καὶ τοὺς γινομένους ἀπογράφου· εἶτα τῷ τρίτῳ πάλιν ἀριθμῷ τοὺς αὐτοὺς ἄνωθεν, καὶ μέχρις ἂν προχω‐ ρῇς, οὐδένες ἄλλοι σοι ἀπογεννήσονται πλὴν οἱ πε‐ | |
1.10.9 | ρισσάρτιοι. χάριν δὲ ὑποδείγματος χρησώμεθα τῷ πρώτῳ ἀριθμῷ τοῦ στίχου τῶν περισσῶν καὶ πολυ‐ πλασιάσωμεν αὐτῷ τοὺς ἐν τῷ ἑτέρῳ στίχῳ τάξει πάντας, | |
| 5 | τρὶς δ, τρὶς η, τρὶς ιϛ, τρὶς λβ, καὶ τοῦτο μέχρις ἀπείρου· ἔσονται γὰρ ιβ, κδ, μη, ϙϛ, οὓς δεῖ σημειώσασθαι ἐν ἑνὶ στίχῳ· εἶτα ἀπ’ ἄλλης ἀρχῆς πάλιν τῷ δευτέρῳ ἀριθμῷ τὸ αὐτὸ ποίει, | |
| 10 | πεντάκις δ, πεντάκις η, πεντάκις ιϛ, πεντάκις λβ· ἀποτελεσθήσονται γὰρ οἵδε κ, μ, π, ρξ· εἶτα πάλιν τῷ τρίτῳ ἀριθμῷ τῷ ζ τὸ αὐτὸ ποίει, ἑπτάκις δ, ἑπτάκις η, ἑπτάκις ιϛ, ἑπτάκις λβ· | |
| 15 | οἱ γὰρ γινόμενοί εἰσιν κη, νϛ, ριβ, σκδ, καὶ κατὰ τὰ αὐτά, μέχρις οὗ βούλει, προχωρεῖν συμ‐ | |
| φωνήσει σοι· [Omitted graphic marker] | 24 | |
1.10.10 | ὅταν δὴ τοὺς ἐξ ἑκάστου πολυπλασιασμοὺς ἐν ἰδίῳ στίχῳ τάξῃς παραλλήλους ποιούμενος τοὺς στίχους, φανήσεταί σοι θαυμαστῶς κατὰ μὲν τὸ πλάτος συμ‐ βαῖνον τὸ τῶν ἀρτιοπερίσσων ἰδίωμα, ὅτι ἀεὶ τῶν | |
| 5 | ἄκρων ὁ μέσος ὑποδιπλάσιος, εἰ εἷς εἴη, εἰ δὲ δύο μέσοι, ἶσοι κατὰ σύνθεσιν· κατὰ δὲ τὸ μῆκος τὸ τῶν ἀρτιάκις ἀρτίων· τὸ γὰρ ὑπό—ἶσον τῷ ἀπό—, εἰ μία εἴη μεσότης, ἢ τῷ ὑπό, εἰ δύο εἴησαν· ὥστε τὰ ἀμ‐ φοτέρων ἰδιώματα τούτῳ μόνῳ συμβέβηκεν, ὡς ὄντι | |
| 10 | φυσικῷ μίγματι αὐτῶν. | |
1.11.1 | Τοῦ δὲ περισσοῦ καὶ πάλιν καθ’ ὑποδιαίρε‐ | |
| σιν διακεκριμένου πρὸς τὸν ἄρτιον καὶ κατὰ μηδὲν κοινωνοῦντος, εἴπερ ἐκεῖνος μὲν διχῆ εἰς ἶσα διαιρε‐ τός, οὗτος δὲ εἰς δύο ἶσα ἀδιαίρετος, τρία ὁμοίως | 25 | |
| 5 | εἴδη εὑρίσκεται ἀλλήλων διαφέροντα, ὧν τὸ μὲν κα‐ λεῖται πρῶτον καὶ ἀσύνθετον, τὸ δὲ ἀντικείμενον τούτῳ δεύτερον καὶ σύνθετον, τὸ δὲ ἐν μεταιχμίῳ ἀμφοῖν τούτοιν θεωρούμενον ὡς μεσότης ἐν ἀκρό‐ τησιν, ὃ καθ’ ἑαυτὸ μὲν δεύτερον καὶ σύνθετον, | |
| 10 | πρὸς ἄλλο δὲ πρῶτον καὶ ἀσύνθετον. | |
1.11.2 | Τὸ μὲν οὖν πρώτιστον εἶδος τὸ πρῶτον καὶ ἀσύνθετον γίνεται, ὅταν ἀριθμὸς περισσὸς μόριον μηδὲν ἕτερον ἐπιδέχηται, εἰ μὴ τὸ παρώνυμον ἑαυτῷ, ὃ καὶ ἐξ ἀνάγκης μονὰς ἔσται, οἷον | |
| 5 | ὁ γ, ὁ ε, ὁ ζ, ὁ ια, ὁ ιγ, ὁ ιζ, ὁ ιθ, ὁ κγ, ὁ κθ, ὁ λα· τούτων δὲ ἕκαστος οὐδεμιᾷ μηχανῇ εὑρεθήσεται ἔχων ἑτερώνυμον μόριον, ἀλλὰ μόνον τὸ ἑαυτῷ πα‐ ρώνυμον καὶ τοῦτο μονάδα πάντως ἐν ἑκάστῳ· ὁ μὲν γὰρ γ μόνον τρίτον [τὸ ἑαυτοῦ παρώνυμον καὶ | |
| 10 | τοῦτο πάντως μονάδα], ὁ δὲ ε μόνον πέμπτον καὶ ὁ ζ μόνον ἕβδομον καὶ ὁ ια μόνον ἑνδέκατον, καὶ ἐν | |
1.11.3 | πᾶσι ταῦτα τὰ μέρη μονὰς ὑπάρχει. τέτευχε δὲ τοῦ | |
| ὀνόματος τούτου, ὅτι τῷ κοινῷ πάντων ἀριθμῷ καὶ πρωτίστῳ μονάδι μόνῃ δύναται μετρεῖσθαι, ἑτέρῳ δὲ οὐδενί, ἀλλὰ καὶ ὑπ’ οὐδενὸς ἑτέρου ἀριθμοῦ | 26 | |
| 5 | ἑαυτῷ συντεθέντος γεγένηται, ἀλλὰ μόνης μονάδος, πεντάκις μὲν συντεθείσης ὁ ε, ἑπτάκις δὲ ὁ ζ, καὶ οἱ λοιποὶ κατὰ τὴν ἑαυτῶν ποσότητα· αὐτῶν μέντοι συντεθέντων ἑαυτοῖς δύναιντ’ ἂν ἄλλοι γενέσθαι ἀπὸ πηγῆς ὡσανεὶ καὶ ῥίζης αὐτῶν τούτων ἀρχόμε‐ | |
| 10 | νοι, διόπερ πρῶτοι καλοῦνται ὡσανεὶ ἀρχαὶ ἐκείνων προυποκείμενοι· ἀρχὴ δὲ πᾶσα στοιχειώδης καὶ ἀσύνθετος, εἰς ἣν πάντα ἀναλύεται καὶ ἐξ ἧς πάντα συνίσταται, αὐτὴ δὲ εἰς οὐδὲν καὶ ἐξ οὐδενός. | |
1.12.1 | Δεύτερος δὲ καὶ σύνθετός ἐστιν ἀριθμὸς περισσὸς μὲν διὰ τὸ ἐξ ἑνὸς καὶ τοῦ αὐτοῦ γένους διακεκρίσθαι, ἀρχοειδὲς δὲ οὐδὲν ἔχων ἐν ἑαυτῷ· συντεθέντος γὰρ ἑτέρου τινὸς τὴν γένεσιν αὐτὸς | |
| 5 | ἔσχε· διόπερ συμβαίνει αὐτῷ πρὸς τῷ παρωνύμῳ μέρει ἔτι καὶ ἑτερώνυμον ἢ ἑτερώνυμα κεκτῆσθαι, τὸ μὲν παρώνυμον καθὰ καὶ ἐπὶ πάντων μονάδα εἶναι πάντως, τὸ δὲ ἑτερώνυμον ἢ ἑτερώνυμα οὐδέ‐ ποτε μονάδα, ἀλλὰ πάντως ἢ ἐκεῖνον ἢ ἐκείνους, | |
| 10 | ὧν συντεθέντων ἀπετελέσθη, οἷον θ, ιε, κα, κε, κζ, λγ, λε, λθ· τούτων γὰρ ἕκαστος καὶ ὑπὸ μονάδος μετρεῖται ὡς οἱ ἕτεροι καὶ παρώνυμον ἔχει μέρος ὡς κἀκεῖνοι διὰ τὴν τοῦ κοινοῦ γένους φύσιν, ἐξηλλαγμένως δὲ | 27 |
| 15 | καὶ ἰδιαίτερον ἔτι καὶ ἑτερωνύμῳ μέρει ἢ μέρεσι χρῆται, ὁ μὲν θ πρὸς τῷ ἐνάτῳ ἔτι καὶ τρίτῳ, ὁ δὲ ιε ἔτι καὶ τρίτῳ καὶ πέμπτῳ πρὸς τῷ ιεῳ, ὁ δὲ κα καὶ ἑβδόμῳ καὶ τρίτῳ πρὸς τῷ εἰκοστοπρώτῳ, ὁ δὲ κε πρὸς τῷ εἰκοστοπέμπτῳ τῷ παρωνύμῳ ἔτι καὶ | |
1.12.2 | ἑτερωνύμῳ χρῆται τῷ πέμπτῳ. δεύτερος οὖν λέγε‐ ται, ὅτι καὶ ἄλλῳ σὺν τῇ μονάδι μέτρῳ δύναται χρῆσθαι, καὶ ὅτι οὐκ ἀρχοειδής, ἀλλ’ ἑτέρου προσ‐ τεθέντος πρὸς ἑαυτὸν ἢ πρὸς ἕτερον συντεθέντος | |
| 5 | αὐτὸς ἐγένετο, ὁ μὲν θ τοῦ γ, ὁ δὲ ιε τοῦ ε ἢ νὴ Δία τοῦ γ, καὶ οἱ ἐφεξῆς κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον· σύνθετος δὲ ἐκ τοιαύτης αἰτίας, ὅτι διαλυθείη ἂν εἰς ἐκείνους, ἐξ ὧν συνέστηκεν, εἴπερ καὶ μετρη‐ θείη ἂν ὑπ’ αὐτῶν· οὐδὲν δὲ διαλυτὸν ἀσύνθετον, | |
| 10 | ἀλλὰ πάντως σύνθετον. | |
1.13.1 | Ἀντικειμένων δὴ ἀλλήλοις τῶν δύο τούτων εἰ‐ δῶν τοῦ περισσοῦ τρίτον ἀνὰ μέσον τι θεωρεῖται οἱονεὶ ἐξ ἀμφοτέρων εἰδοποιούμενον τὸ καθ’ αὑτὸ μὲν δεύτερον καὶ σύνθετον, πρὸς ἄλλο δὲ πρῶτον | 28 |
| 5 | καὶ ἀσύνθετον, ὅταν ἀριθμὸς πρὸς τῷ κοινῷ μέτρῳ τῇ μονάδι ἔτι καὶ ἑτέρῳ μετρεῖταί τινι μέτρῳ καὶ διὰ τοῦτο δυνάμενος καὶ ἑτερώνυμον μέρος ἢ μέρη ἐπιδέξασθαι πρὸς τῷ παρωνύμῳ, πρὸς ἄλλον τινὰ ὁμοίως ἔχοντα ἀντεξεταζόμενος εὑρίσκεται μήτε κοινῷ | |
| 10 | μέτρῳ μετρηθῆναι δυνάμενος πρὸς ἐκεῖνον, μήτε τὸ αὐτὸ ὁμώνυμον μέρος ἔχων τῶν ἁπλῶς ἐν ἐκείνῳ· οἷον ὁ θ πρὸς τὸν κε· ἑκάτερος γὰρ καθ’ ἑαυτὸν δεύτερός ἐστι καὶ σύνθετος, πρὸς δὲ ἀλλήλους μο‐ νάδι μόνῃ κοινῷ μέτρῳ χρῶνται καὶ οὐδὲν μόριον | |
| 15 | ὁμωνυμεῖ ἐν ἀμφοτέροις, ἀλλὰ τὸ ἐν τούτῳ τρίτον οὐκ ἔστιν ἐν ἐκείνῳ οὐδὲ τὸ ἐν ἐκείνῳ πέμπτον ἐν τούτῳ εὑρίσκεται. | |
1.13.2 | Ἡ δὲ τούτων γένεσις ὑπὸ Ἐρατοσθένους καλεῖ‐ ται κόσκινον, ἐπειδὴ ἀναπεφυρμένους τοὺς περισ‐ σοὺς λαβόντες καὶ ἀδιακρίτους ἐξ αὐτῶν τῇ τῆς γενέσεως μεθόδῳ ταύτῃ διαχωρίζομεν, ὡς δι’ ὀργά‐ | |
| 5 | νου ἢ κοσκίνου τινὸς καὶ ἰδίᾳ μὲν τοὺς πρώτους | |
| καὶ ἀσυνθέτους, ἰδίᾳ δὲ τοὺς δευτέρους καὶ συνθέ‐ | 29 | |
1.13.3 | τους, χωρὶς δὲ τοὺς μικτοὺς εὑρίσκομεν. ἔστι δὲ ὁ | |
| τρόπος τοῦ κοσκίνου τοιοῦτος· ἐκθέμενος τοὺς ἀπὸ τριάδος πάντας ἐφεξῆς περισσοὺς ὡς δυνατὸν μά‐ λιστα ἐπὶ μήκιστον στίχον, ἀρξάμενος ἀπὸ τοῦ πρώ‐ | 30 | |
| 5 | του ἐπισκοπῶ, τίνας οἷός τέ ἐστι μετρεῖν, καὶ εὑ‐ ρίσκω δυνατὸν ὄντα τοὺς δύο μέσους παραλείποντας | |
| μετρεῖν, μέχρις οὗ ἂν προχωρεῖν ἐθέλωμεν, οὐχ ὡς ἔτυχε δὲ καὶ εἰκῆ μετροῦντα, ἀλλὰ τὸν μὲν πρώ‐ τως κείμενον, τουτέστι τὸν δύο μέσους ὑπερβαίνοντα | 31 | |
| 10 | κατὰ τὴν τοῦ πρωτίστου ἐν τῷ στίχῳ κειμένου πο‐ σότητα μετρήσει, τουτέστι κατὰ τὴν ἑαυτοῦ· τρὶς γάρ· τὸν δ’ ἀπ’ ἐκείνου δύο διαλείποντα κατὰ τὴν τοῦ δευτέρου τεταγμένου· πεντάκις γάρ· τὸν δὲ περαιτέρω πάλιν δύο διαλείποντα κατὰ τὴν τοῦ τρί‐ | |
| 15 | του τεταγμένου· ἑπτάκις γάρ· τὸν δὲ ἔτι περαιτέρω ὑπὲρ δύο κείμενον κατὰ τὴν τοῦ τετάρτου τεταγ‐ μένου· ἐνάκις γάρ· καὶ ἐπ’ ἄπειρον τῷ αὐτῷ τρόπῳ | |
1.13.4 | εἶτα μετὰ τοῦτον ἀπ’ ἄλλης ἀρχῆς ἐπὶ τὸν δεύτερον ἐλθὼν σκοπῶ, τίνας οἷός τέ ἐστι μετρεῖν, καὶ εὑρίσκω πάντας τοὺς τετράδα διαλείποντας, ἀλλὰ τὸν μὲν πρῶτον κατὰ τὴν τοῦ ἐν τῷ στίχῳ πρώτου τεταγ‐ | |
| 5 | μένου ποσότητα· τρὶς γάρ· τὸν δὲ δεύτερον κατὰ τὴν τοῦ δευτέρου· πεντάκις γάρ· τὸν δὲ τρίτον κατὰ τὴν τοῦ τρίτου· ἑπτάκις γάρ· καὶ τοῦτο ἐφε‐ | |
1.13.5 | ξῆς ἀεί. πάλιν δὲ ἄνωθεν ὁ τρίτος ὁ ζ ὁ τὸ μέτρον παραλαβὼν μετρήσει τοὺς ἓξ διαλείποντας, ἀλλὰ τὸν μὲν πρώτιστον κατὰ τὴν τοῦ γ ποσότητα πρώ‐ του κειμένου, τὸν δὲ δεύτερον κατὰ τὴν τοῦ ε· δευ‐ | |
| 5 | τεροταγὴς γὰρ οὗτος· τὸν δὲ τρίτον κατὰ τὴν τοῦ ζ· | |
1.13.6 | τρίτην γὰρ ἔχει καὶ οὗτος τάξιν ἐν τῷ στίχῳ. καὶ κατὰ τὴν αὐτὴν ἀναλογίαν διόλου ἀπαρεμπόδιστον προχωρήσει σοι τοῦτο, ὥστε τὸ μὲν μετρεῖν διαδέξον‐ ται κατὰ τὴν ἐν τῷ στίχῳ αὐτῶν ἐγκειμένην τάξιν, | 32 |
| 5 | τὸ δὲ πόσους διαλείποντας κατὰ τὴν ἀπὸ δυάδος ἐπ’ ἄπειρον εὔτακτον τῶν ἀρτίων προκοπὴν ἢ κατὰ τὴν τῆς χώρας διπλασίασιν, καθ’ ἣν ὁ μετρῶν τέ‐ τακται, τὸ δὲ ποσάκις κατὰ τὴν τῶν ἀπὸ τριάδος | |
1.13.7 | περισσῶν εὔτακτον προχώρησιν. ἐὰν οὖν σημείοις τισὶν ἐπιστίξῃς τοὺς ἀριθμούς, εὑρήσεις τοὺς μετα‐ λαμβάνοντας τὸ μετρεῖν οὔτε ἅμα πάντας τὸν αὐτόν ποτε μετροῦντας, ἔστι δὲ ὅτε οὐδὲ δύο τὸν αὐτόν, | |
| 5 | οὔτε πάντας ἁπλῶς τοὺς ἐκκειμένους ὑποπίπτοντας μέτρῳ τινὶ αὐτῶν, ἀλλὰ τινὰς μὲν παντελῶς διαφεύ‐ γοντας τὸ μετρηθῆναι ὑφ’ οὑτινοσοῦν, τινὰς δὲ ὑπὸ ἑνὸς μόνου μετρουμένους, τινὰς δὲ ὑπὸ δύο ἢ καὶ | |
1.13.8 | πλειόνων. οἱ μὲν οὖν μηδαμῶς μετρηθέντες, ἀλλὰ διαφυγόντες τοῦτο πρῶτοί εἰσι καὶ ἀσύνθετοι, ὡς ὑπὸ κοσκίνου διακριθέντες, οἱ δὲ ὑπὸ ἑνὸς μόνου μετρηθέντες κατὰ τὴν ἑαυτῶν ποσότητα, ἓν μόνον | |
| 5 | μόριον ἑτερώνυμον ἕξουσι πρὸς τῷ παρωνύμῳ, οἱ δὲ ὑπὸ ἑνὸς μέν, ἑτέρου δὲ ποσότητι καὶ μὴ τῇ ἑαυτοῦ ἢ ὑπὸ δύο ὁμοῦ μετρηθέντες πλείονα ἔξουσι τὰ ἑτε‐ ρώνυμα μέρη πρὸς τῷ παρωνύμῳ· οὗτοι οὖν ἔσονται | |
1.13.9 | δεύτεροι καὶ σύνθετοι. τὸ δὲ τρίτον μέρος τὸ κοινὸν ἀμφοτέρων, ὃ καθ’ ἑαυτὸ μὲν δεύτερον καὶ σύνθε‐ τον, πρὸς ἄλλο δὲ πρῶτον καὶ ἀσύνθετον, ἔσονται οἱ ἀποτελούμενοι ἀριθμοὶ κατὰ τὴν ἑαυτοῦ ποσό‐ | 33 |
| 5 | τητα πρώτου καὶ ἀσυνθέτου μετρήσαντός τινος, εἴ τις γενόμενος συγκρίνοιτο πρὸς ἄλλον ὡσαύτως τὴν γένεσιν ἔχοντα· ὥσπερ ὁ θ (ἐγίνετο ἐκ τοῦ γ κατὰ τὴν ἑαυτοῦ ποσότητα μετρήσαντος, τρὶς γάρ), εἰ συγκρίνοιτο πρὸς τὸν κε (ἐγίνετο ἐκ τοῦ ε κατὰ τὴν | |
| 10 | ἑαυτοῦ ποσότητα μετρήσαντος, πεντάκις γάρ), κοι‐ | |
1.13.10 | νὸν μέτρον τούτοις οὐδέν, εἰ μὴ μονάς. ὡς δ’ ἂν καὶ μέθοδον ἔχοιμεν διαγνωστικὴν τῶν πρὸς ἀλλή‐ λους ἤτοι πρώτων καὶ ἀσυνθέτων ἢ δευτέρων καὶ συνθέτων, ὅτι ἐκείνων μὲν κοινὸν μέτρον μονάς ἐστι, | |
| 5 | τούτων δὲ πρὸς τῇ μονάδι καὶ ἕτερός τις ἀριθμός, | |
1.13.11 | καὶ ποῖος οὗτος ὑπάρχει. εἰ ὁρισθείησαν ἡμῖν δύο περισσοὶ ἀριθμοί, προτείναντός τινος καὶ ἐπιτάξαν‐ τος διαγνῶναι, πότερον πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους καὶ ἀσύνθετοί εἰσιν ἢ δεύτεροι καὶ σύνθετοι, καὶ εἰ | |
| 5 | δεύτεροι καὶ σύνθετοι, ποῖος ἀριθμὸς αὐτῶν κοινὸν μέτρον ἐστί, χρὴ ἀντισυγκρίνειν τοὺς προτεθέντας ἀριθμοὺς καὶ τὸν ἐλάττονα ἀπὸ τοῦ μείζονος ἀεὶ ἀφαιρεῖν, ὁσάκις δυνατόν, εἶτα τούτου ἀφαιρεθέν‐ | |
| τος ἀνταφαιρεῖν ἀπὸ τοῦ λοιποῦ, ὁσάκις πάλιν δυ‐ | 34 | |
| 10 | νατόν· ἡ γὰρ ἀντιπερίστασις αὕτη καὶ ἀνταφαίρεσις ἀναγκαίως ἤτοι ἐπὶ μονάδα καταλήξει ἢ ἐπί τινα ἕνα καὶ τὸν αὐτὸν ἀριθμόν, ἀναγκαίως δὲ περισσόν. | |
1.13.12 | ὅταν μὲν οὖν ἐπὶ μονάδα αἱ ἀφαιρέσεις περαιωθῶσι, πρώτους καὶ ἀσυνθέτους αὐτοὺς ἀποφαίνουσι πρὸς ἀλλήλους, ὅταν δὲ ἐπὶ ἕτερόν τινα ἀριθμὸν περισσὸν τῇ ποσότητι διφορούμενον, δευτέρους λέγε εἶναι | |
| 5 | πρὸς ἀλλήλους καὶ συνθέτους καὶ κοινὸν αὐτοῖς εἶναι μέτρον αὐτὸν ἐκεῖνον τὸν διφορούμενον ἀριθ‐ μόν· οἷον ἐὰν ὁ κγ προεβλήθη ἡμῖν καὶ ὁ με, ἄφελε τὸν κγ ἀπὸ τοῦ με, λειφθήσεται κβ· τοῦτον ἀνταφ‐ αιρῶν ἀπὸ τοῦ κγ, λοιπὴ μονάς· ταύτην ἀφαιρῶν | |
| 10 | ἀπὸ τοῦ κβ, ὁσάκις δυνατόν, εἰς μονάδα καταλήξεις· διὰ τοῦτο πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶ καὶ κοινὸν αὐτῶν μέτρον ἡ ἀπολειφθεῖσα μονάς. | |
1.13.13 | εἰ δὲ ἑτέρους ἀριθμοὺς προθείη τις, τὸν κα καὶ τὸν μθ, ἀφαιρῶ τὸν ἐλάττονα ἀπὸ τοῦ μείζονος· λείπεται κη· εἶτα πάλιν ἐκ τούτου ἀφαιρῶ τὸν αὐτὸν κα (δυνατὸν γάρ), λείπεται ζ· ταῦτα ἀνταφαιρῶ ἀπὸ | |
| 5 | τοῦ κα, καταλείπεται ιδ· ἐξ ὧν πάλιν τὰ ζ ἀφαιρῶ | |
| (δυνατὸν γάρ), λειφθήσεται ζ, ἑβδομάδα δὲ ἀπὸ ἑβδομάδος οὐ δυνατὸν ἀφαιρεθῆναι· ἡ ἄρα κατάληξις αὐτῶν εἰς διφορούμενον τὸν ζ ἐπεραιώθη, δευτέ‐ ρους δὲ καὶ συνθέτους πρὸς ἀλλήλους ἀποφαίνου | 35 | |
| 10 | τοὺς ἐξ ἀρχῆς τὸν κα καὶ τὸν μθ καὶ κοινὸν αὐτῶν μέτρον πρὸς τῇ καθολικῇ μονάδι τὸν ζ. | |
1.14.1 | Πάλιν δὲ ἄνωθεν· τῶν ἁπλῶς ἀρτίων ἀριθ‐ μῶν οἱ μέν εἰσιν ὑπερτελεῖς, οἱ δὲ ἐλλιπεῖς, καθάπερ ἀκρότητες ἀντικείμεναι ἀλλήλαις, οἱ δὲ ἀνὰ μέσον | |
1.14.2 | ἀμφοτέρων, οἳ καὶ λέγονται τέλειοι. καὶ εἰσὶν οἱ μὲν ἀντικεῖσθαι λεγόμενοι ἀλλήλοις ὑπερτελεῖς τε καὶ ἐλλιπεῖς ἐν τῇ τῆς ἀνισότητος σχέσει διαι‐ ρούμενοι εἴς τε τὸ πλέον καὶ εἰς τὸ ἔλαττον· | |
| 5 | ἕτερος γὰρ παρὰ ταῦτα τρόπος ἀνισότητος οὐκ ἂν ἐπινοηθείη, καθάπερ οὔτε κακία οὔτε νόσος οὔτε ἀσυμμετρία οὔτε ἀπρέπεια οὔτε τῶν τοιούτων ἕκαστον· ἐν μὲν γὰρ τῷ πλείονι αἵ τε ὑπερβολαὶ καὶ πλεο‐ νεξίαι καὶ ὑπερεκπτώσεις καὶ περισσότητες γίνονται, | |
| 10 | ἐν δὲ τῷ ἐλάττονι αἱ ἔνδειαι καὶ ἐλλείψεις καὶ στε‐ ρήσεις καὶ ὀλιγοεξίαι, ἐν δὲ τῷ μεταξὺ τοῦ πλέον | |
| καὶ τοῦ ἔλαττον κειμένῳ, ὅ ἐστιν ἴσῳ, ἀρεταί τε καὶ ὑγεῖαι καὶ μετριότητες καὶ εὐπρέπειαι καὶ κάλλη καὶ τὰ ὅμοια· ὧν γενικώτατον τὸ λεχθὲν τοῦ ἀριθμοῦ | 36 | |
| 15 | εἶδος τὸ τέλειον. | |
1.14.3 | Ὑπερτελὴς μὲν οὖν ἀριθμὸς ὁ ὑπὲρ τὰ προσή‐ κοντα αὐτῷ καὶ ἐπιβάλλοντα μέρη ἔχων ἕτερα πλεί‐ ονα· ὡς ἂν εἴ τι ζῶον πλείοσι μέρεσιν ἢ μέλεσι τελεσιουργούμενον εἴη, δέκα μὲν γλώσσας ἔχον κατὰ | |
| 5 | τὸν ποιητήν, δέκα δὲ στόματα, ἢ ἐννεάχειλον ἢ τρι‐ στοίχοις κεχρημένον ὀδοῦσιν ἢ ἑκατόγχειρον ἢ πλεί‐ ονας δακτύλους ἐν ἑτέρᾳ τῶν χειρῶν ἔχον, οὕτω καὶ εἴ τις ἀριθμὸς πάντων τῶν ἐν αὐτῷ μερῶν ἐξε‐ τασθέντων καὶ εἰς ἓν ἄθροισμα συγκεφαλαιωθέντων | |
| 10 | ἀντεξεταζόμενος εὑρίσκοιτο πλείονα τὰ ἴδια μέρη ἑαυτοῦ ἔχων, ὑπερτελὴς οὗτος καλεῖται· ὑπερβαίνει γὰρ τὴν τοῦ τελείου πρὸς τὰ ἑαυτοῦ μέρη συμμε‐ τρίαν· οἷός ἐστιν ὁ ιβ, ὁ κδ καὶ ἄλλοι τινές· ἔχει μὲν γὰρ ὁ ιβ ἥμισυ ϛ, τρίτον δ, τέταρτον γ, ἕκτον | |
| 15 | β, δωδέκατον α, ἅπερ ὁμοῦ συγκεφαλαιωθέντα ποιεῖ ιϛ, ὃς πλείων ἐστὶ τοῦ ἐξ ἀρχῆς ιβ· τὰ ἄρα μέρη | |
1.14.4 | αὐτοῦ πλείονα τοῦ ὅλου ὑπάρχει. ὁ δὲ κδ ἔχει καὶ αὐτὸς ἥμισυ, τρίτον, τέταρτον, ἕκτον, ὄγδοον, δωδέ‐ κατον, εἰκοστοτέταρτον, ἅπερ ὑπάρχει | |
| ιβ, η, ϛ, δ, γ, β, α· | 37 | |
| 5 | συγκεφαλαιωθέντα δὲ συνάγει τὸν λς, ὃς συγκρινό‐ μενος τῷ ἐξ ἀρχῆς τῷ κδ μείζων αὐτοῦ εὑρίσκεται, καίτοι ἐκ τῶν ἐκείνου μερῶν μόνων συντεθείς· πλείονα ἄρα κἀνταῦθα τὰ μέρη τοῦ ὅλου. | |
1.15.1 | Ἐλλιπὴς δὲ ἀριθμός ἐστιν ὁ τὸ ἐναντίον τοῖς δειχθεῖσι πεπονθὼς καὶ τὰ ἑαυτοῦ μέρη συντεθέντα ὑφ’ ἓν κατὰ σύγκρισιν ἑαυτοῦ ἐλάττονα κεκτημένος, ὡς εἴ τι ζῶον τῶν κατὰ φύσιν μελῶν ἢ μερῶν ἐλατ‐ | |
| 5 | τοῦται, ἢ εἴ τις μονόφθαλμος εἴη, ὡς τὸ κυκλοτερὴς δ’ ὀφθαλμὸς ἕεις ἐνέκειτο μετώπῳ, ἢ εἴ τις μονόχειρ εἴη ἢ ἐν ἑτέρᾳ τῶν χειρῶν ἐλάτ‐ τονας τῶν ε δακτύλους κεκτημένος εἴη ἢ ἄγλωσσος ἢ τοιούτου τινὸς ἐστερημένος, ἐλλιπὴς ἂν ὁ τοιοῦτος | |
| 10 | λέγοιτο καὶ οἱονεὶ πηρὸς κατὰ τὴν τοῦ ἀριθμοῦ ἰδιότητα τοῦ ἔχοντος τὰ ἴδια μέρη ἐλάττονα ἑαυτοῦ· οἷός ἐστιν ὁ η, ὁ ιδ· ὁ μὲν γὰρ η μέρος ἔχει ἥμισυ, τέταρτον, ὄγδοον, ἅπερ ἐστὶ δ, β, α, | |
| 15 | συγκεφαλαιωθέντα δὲ εἰς τὸ αὐτὸ ζ γίνονται καὶ ἐλάττονα τοῦ ἐξ ἀρχῆς· τὰ ἄρα μέρη ἐλλείπει πρὸς | |
1.15.2 | τὴν τοῦ ὅλου συμπλήρωσιν. πάλιν ὁ ιδ ἔχει ἥμισυ, | |
| ἕβδομον, τεσσαρεσκαιδέκατον, ἅπερ εἰσὶν ζ, β, α, σύμπαντα δὲ ὁμοῦ ι, ἐλάττονα τοῦ ἐξ ἀρχῆς· ἐλλεί‐ | 38 | |
| 5 | πει ἄρα καὶ οὗτος ἐν τοῖς μέρεσι πρὸς τὸ συμπλη‐ ρωθῆναι τὸ ὅλον ἐξ αὐτῶν. | |
1.16.1 | Ἀντικειμένων δὲ τῶν δύο τούτων εἰδῶν ὡσ‐ ανεὶ ἐν ἀκροτήτων τρόπῳ μεσότης φαίνεται ὁ λεγό‐ μενος τέλειος ἐν ἰσότητι εὑρισκόμενος καὶ οὔτε τὰ μέρη ἑαυτοῦ πλείονα ἀποτελῶν συντεθέντα οὔτε | |
| 5 | ἑαυτὸν μείζονα τῶν μερῶν ἀποφαίνων, ἀλλ’ αἰεὶ ἶσος τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσιν ὑπάρχων· τὸ δὲ ἶσον τοῦ πλείονος καὶ ἐλάττονος πάντως ἐν μεταιχμίῳ θεω‐ ρεῖται καὶ ἔστιν ὥσπερ τὸ μέτριον τοῦ ὑπερβάλλον‐ τος καὶ τοῦ ἐλλείποντος μεταξὺ καὶ τὸ ὁμόφωνον | |
1.16.2 | τοῦ ὀξυτέρου καὶ βαρυτέρου. ὅταν οὖν ἀριθμὸς πάνθ’, ὅσα ἐνδέχεται ἐν αὐτῷ εἶναι, μέρη συναχ‐ θέντα καὶ συγκεφαλαιωθέντα ἐν συγκρίσει τῆ πρὸς ἑαυτὸν ἔχων μήτε ὑπερβάλλῃ τῷ πλήθει αὐτὰ μήτε | |
| 5 | ὑπερβάλληται ὑπ’ αὐτῶν, τότε ὁ τοιοῦτος τέλειος κυρίως λέγεται, ὁ τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσιν ἶσος ὤν· οἷον ὁ ϛ καὶ ὁ κη· ὅ τε γὰρ ϛ ἔχει μέρη ἥμισυ, τρίτον, | |
| ἕκτον, ἅπερ εἰσὶ γ, β, α, | 39 | |
| 10 | ἅπερ συγκεφαλαιωθέντα ὁμοῦ καὶ γενόμενα ϛ ἶσα τῷ ἐξ ἀρχῆς ὑπάρχει καὶ οὔτε πλείονα οὔτε ἐλάτ‐ τονα· καὶ ὁ κη μέρη μὲν ἔχει ἥμισυ, τέταρτον, ἕβδο‐ μον, τεσσαρεσκαιδέκατον, εἰκοστόγδοον, ἅπερ γίνεται ιδ, ζ, δ, β, α, | |
| 15 | καὶ ὑφ’ ἓν συναθροισθέντα ἀποτελεῖ τὸν κη καὶ οὕτως οὔτε τὰ μέρη πλείονα τοῦ ὅλου οὔτε τὸ ὅλον τῶν μερῶν, ἀλλ’ ἡ σύγκρισις ἐν ἰσότητι, ὅπερ τε‐ | |
1.16.3 | λείου ἰδιότης. συμβέβηκε δέ, καθάπερ τὰ καλὰ τά τε κατ’ ἀρετὴν σπάνια καὶ εὐαρίθμητα, τὰ δὲ αἰσχρὰ καὶ ἐν κακίᾳ εἶναι πολύχοα, οὕτω καὶ ὑπερτελεῖς μὲν καὶ ἐλλιπεῖς παμπόλλους καὶ ἀτάκτους εὑρίσκε‐ | |
| 5 | σθαι ἀκόσμου οὔσης τῆς αὐτῶν εὑρέσεως, τελείους δὲ εὐαριθμήτους τε καὶ τεταγμένους μετὰ προσήκον‐ τος κόσμου· εἷς μὲν γὰρ μόνος εὑρίσκεται ἐν μονά‐ σιν ὁ ϛ, ἕτερος δὲ μόνος ἐν δεκάσιν ὁ κη, τρίτος δέ τις ἐν βαθμῷ ἑκατοντάδων μόνος ὁ υϙϛ, τέταρτος | |
| 10 | ὁ ἐν χιλιάδων ὅρῳ, τουτέστιν ὁ ἐντὸς μυριάδων ὁ ͵ηρκη· καὶ παρέπεται αὐτοῖς μίαν παρὰ μίαν εἰς ἑξάδα ἢ ὀγδοάδα καταλήγειν καὶ πάντως εἶναι νὲ ἀρτίοις. | |
1.16.4 | Γένεσις δὲ αὐτῶν γλαφυρά τε καὶ ἀσφαλὴς οὔτε παραλείπουσά τινα τῶν τελείων οὔτε ἀδιαφοροῦσά τινα τῶν μὴ τοιούτων τούτῳ γινομένη τῷ τρόπῳ. ἐκθέσθαι δεῖ τοὺς ἀπὸ μονάδος ἀρτιάκις ἀρτίους | 40 |
| 5 | προβιβάζοντα ἑξῆς ἐν ἑνὶ στίχῳ, μέχρις οὗ βούλει, α, β, δ, η, ιϛ, λβ, ξδ, ρκη, σνϛ, φιβ, ͵ακδ, ͵βμη, ͵δϙϛ, εἶτα ἀεὶ κατὰ ἑνὸς πρόσθεσιν ἐπισωρεύειν, καὶ καθ’ ἑκάστην ἐπισώρευσιν σκοπεῖν τὸν γινόμενον, οἷός ἐστι· καὶ ἂν μὲν εὕρῃς πρῶτον καὶ ἀσύνθετον ὑπάρ‐ | |
| 10 | χοντα, τῇ τοῦ ἐσχάτου προσληφθέντος ποσότητι πολ‐ λαπλασιάσεις αὐτὸν καὶ ὁ ἀποτελεσθεὶς πάντως τέ‐ λειος ἔσται· ἐὰν δὲ δεύτερον καὶ σύνθετον, οὐ πολ‐ λαπλασιάσεις, ἀλλ’ ἐπισωρεύσεις τὸν ἑξῆς καὶ πάλιν ἐπισκέψῃ, τίς ὁ ἀποτελούμενος, καὶ ἐὰν μὲν δεύτε‐ | |
| 15 | ρος καὶ σύνθετος, πάλιν παραλείψεις καὶ οὐ πολλα‐ πλασιάσεις, ἀλλ’ ἐπισωρεύσεις τὸν ἑξῆς, ἐὰν δὲ πρῶ‐ τος καὶ ἀσύνθετος, τῷ ἐσχάτῳ εἰς τὴν σύνθεσιν παραληφθέντι πολλαπλασιάσεις αὐτὸν καὶ ὁ γινό‐ μενος τέλειος ἔσται, καὶ τοῦτο μέχρις ἀπείρου· πα‐ | |
| 20 | ραπλησίως πάντας ἑξῆς ἀπογεννήσεις τοὺς τελείους | |
| μηδενὸς παραλειπομένου· οἷον τῷ α ἐπισωρεύω τὸν β καὶ σκοπῶ τὸ συναμφότερον, τίς ἀριθμός ἐστι, καὶ εὑρίσκω τὸν γ ἀριθμόν, ἐξ ὧν προαπεδείχθη, πρῶ‐ τον καὶ ἀσύνθετον· ἑτερώνυμον γὰρ μόριον οὐκ ἔχει, | 41 | |
| 25 | ἀλλὰ μόνον τὸ ἑαυτῷ παρώνυμον· διὰ τοῦτο αὐτὸν πολλαπλασιάζω τῇ τοῦ ὑστέρου εἰς τὴν σωρείαν ληφθέντος ποσότητι, τουτέστι τοῦ β, καὶ γεννᾶταί μοι ὁ ϛ καὶ τοῦτον ἀποφαίνομαι ἐνεργείᾳ πρῶτον εἶναι τέλειον καὶ ἔχειν μέρη ἐκεῖνα τὰ ἐνθεωρούμενα | |
| 30 | τοῖς ἀριθμοῖς, ἐξ ὧν συνέστη· μονάδα μὲν γὰρ ἐκ παρωνύμου μέρους ἕξει, ὅ ἐστι τοῦ ἕκτου, γ δὲ ἐξ ἡμίσους κατὰ τὸν β θεωρουμένου, ἀντιστρόφως δὲ | |
1.16.5 | δυάδα ἐκ τρίτου. ὁ δὲ κη καὶ αὐτὸς ἑτέρου προσ‐ επισωρευθέντος τοῖς προτέροις τοῦ δ γεννᾶται τῇ αὐτῇ ἐφόδῳ· τὸ γὰρ συγκεφαλαίωμα τῶν τριῶν, τοῦ τε α καὶ β καὶ δ, γίνεται μὲν ζ, εὑρίσκεται δὲ πρῶ‐ | |
| 5 | τος καὶ σύνθετος· μόνον γὰρ τὸ παρώνυμον μόριον ἐπιδέχεται τὸ ἕβδομον· διὰ τοῦτο πολυπλασιάζω αὐτὸν τῇ τοῦ ἐσχάτου προσληφθέντος εἰς τὴν σω‐ ρείαν ποσότητι καὶ ἀποβαίνει μοι ὁ κη τοῖς ἰδίοις | |
| μέρεσιν ἶσος, ἔχων καὶ αὐτὸς ἐκ τῶν προηγουμένων | 42 | |
| 10 | τὰ ἐν αὐτῷ μέρη, ἥμισυ μὲν παρὰ τὴν δυάδα, τέ‐ ταρτον δὲ παρὰ τὴν ἑπτάδα, ἕβδομον δὲ παρὰ τὸ δ, τεσσαρεσκαιδέκατον δὲ παρὰ τὴν τοῦ ἡμίσους ἀντιδιαστολήν, εἰκοστόγδοον δὲ παρὰ τὴν αὐτοῦ πα‐ | |
1.16.6 | ρωνυμίαν, ἥτις ἐν πᾶσι μονὰς ὑπάρχει. εὑρημένων δὲ τούτων, ἐν μὲν μονάσι τοῦ ϛ, ἐν δὲ δεκάσι τοῦ κη, εἰς τὴν ἐφεξῆς πλάσιν τὸ αὐτό σε δεῖ ποιῆσαι. | |
1.16.7 | πάλιν γὰρ ἐπισύνθες τὸν ἑξῆς τὸν η, γίνονται ὁμοῦ ιε· ἐπισκοπῶν αὐτὸν εὑρίσκω οὐκέτι πρῶτον καὶ ἀσύνθετον, πρὸς δὲ τῷ παρωνύμῳ μορίῳ ἔτι καὶ πέμπτον ἔχει καὶ τρίτον ἑτερώνυμον· διὸ οὐ πολλα‐ | |
| 5 | πλασιάζω τῷ η αὐτόν, ἀλλ’ ἐπισωρεύω τὸν ἑξῆς τὸν ιϛ καὶ γίνεται ὁ λα· οὗτος ἐπειδὴ πρῶτος καὶ ἀσύν‐ θετός ἐστιν, ἀναγκαίως πολυπλασιασθήσεται κατὰ τὸ τῆς ἐφόδου καθολικὸν πρόσταγμα τῷ ἐσχάτῳ εἰς τὴν σωρείαν προσληφθέντι τῷ ιϛ καὶ γενήσεται ὁ | |
| 10 | υϙϛ ἐν ἑκατοντάσιν, ἔπειτα τῷ αὐτῷ τρόπῳ καὶ ὁ ͵ηρκη ἐν χιλιάσι, καὶ ἀεὶ οὕτως, μέχρις ἂν εὐτονῇ | |
1.16.8 | τις παρέπεσθαι. ἡ ἄρα μονὰς δυνάμει, ἀλλ’ οὔπω ἐστὶ τέλειος ἐνεργείᾳ· ἐκ γὰρ τοῦ στίχου πρωτίστην αὐτὴν εἰς τὴν σωρείαν λαβὼν ἐπεσκόπησα κατὰ τὸ | |
| πρόσταγμα, ποταπή τις ὑπάρχει, καὶ εὗρον πρώτην | 43 | |
| 5 | καὶ ἀσύνθετον· ὡς ἀληθῶς γάρ, οὐ κατὰ μετοχὴν ὡς οἱ ἄλλοι, πρώτη τε ὑπάρχει παντὸς ἀριθμοῦ καὶ | |
1.16.9 | ἀσύνθετος μόνη. πολυπλασιάζω οὖν αὐτὴν τῷ ληφ‐ θέντι ἐσχάτῳ εἰς τὴν σωρείαν, τουτέστιν ἑαυτῇ, καὶ | |
1.16.10 | γεννᾶταί μοι μονάς· ἅπαξ γὰρ α μονάς. τελεία ἄρα ἐστὶ δυνάμει ἡ μονάς· ἴση γὰρ τοῖς ἰδίοις μέ‐ ρεσι κατὰ δύναμιν αὕτη, οἱ δ’ ἄλλοι κατ’ ἐνέργειαν. | |
1.17.1 | Προτετεχνολογημένου δὲ ἡμῖν περὶ τοῦ καθ’ αὑτὸ ποσοῦ νῦν μετερχόμεθα καὶ ἐπὶ τὸ πρός τι. | |
1.17.2 | τοῦ πρός τι τοίνυν ποσοῦ δύο αἱ ἀνωτάτω γενικαὶ διαιρέσεις εἰσίν, ἰσότης καὶ ἀνισότης· πᾶν γὰρ ἐν συγκρίσει πρὸς ἕτερον θεωρούμενον ἤτοι ἶσον ὑπάρ‐ | |
1.17.3 | χει ἢ ἄνισον, τρίτον δὲ παρὰ ταῦτα οὐδέν. τὸ μὲν οὖν ἶσον θεωρεῖται, ὅταν τῶν συγκρινομένων τὸ ἕτερον μήτε ὑπερέχῃ μήτε ἐλλείπῃ πρὸς τὴν τοῦ λοιποῦ παραβολήν, οἷον ἑκατὸν πρὸς ἑκατὸν ἢ δέκα | |
| 5 | πρὸς δέκα ἢ δύο πρὸς δύο ἢ μνᾶ πρὸς μνᾶν ἢ τάλαντον πρὸς τάλαντον ἢ πῆχυς πρὸς πῆχυν καὶ τὰ παραπλήσια εἴτε ἐν ὄγκῳ εἴτε ἐν μήκει εἴτε ἐν | |
1.17.4 | βάρει εἴτε ἐν ποσότητι ᾑτινιοῦν. ἔστι δὲ καὶ ἰδίως | |
| ἡ σχέσις αὕτη [ἡ τῆς ἰσότητος] ἄσχιστος καθ’ ἑαυτὴν καὶ ἀδιαίρετος, ὡς ἂν ἀρχικωτάτη, διαφορὰν γὰρ οὐδεμίαν ἐπιδέχεται· οὐ γάρ ἐστι τοῦ ἴσου τὸ μὲν | 44 | |
| 5 | τοιόνδε, τὸ δὲ τοιόνδε, ἀλλ’ ἑνὶ τρόπῳ καὶ τῷ αὐτῷ | |
1.17.5 | τὸ ἶσόν ἐστιν. ἀμέλει καὶ τὸ ἀνθυπακοῦον τῷ ἴσῳ οὐχ ἑτερωνυμεῖ πρὸς αὐτό, ἀλλὰ συνωνυμεῖ, ὥσπερ φίλος, γείτων, συστρατιώτης, οὕτω δὴ καὶ ἶσος· ἴσῳ | |
1.17.6 | γάρ ἐστιν ἶσος. τὸ δὲ ἄνισον καὶ αὐτὸ καθ’ ὑποδι‐ αίρεσιν διχῆ σχίζεται καὶ ἔστιν αὐτοῦ τὸ μὲν μεῖζον, τὸ δὲ ἔλαττον, ἀντωνυμούμενά τε καὶ ἀντίθετα ἀλ‐ λήλοις κατὰ ποσότητα καὶ σχέσιν αὐτῶν· τὸ μὲν | |
| 5 | γὰρ μεῖζον ἑτέρου τινὸς μεῖζον, τὸ δὲ ἔλαττον ἔμ‐ παλιν ἑτέρου τινὸς ἔλαττον ἐν συγκρίσει, καὶ τὰ ὀνόματα οὐ τὰ αὐτά, ἀλλὰ διαφέροντα ἔχει ἑκάτερα, ὡς πατὴρ καὶ υἱὸς καὶ τύπτων καὶ τυπτόμενος καὶ | |
1.17.7 | διδάσκων καὶ μανθάνων καὶ τὰ ὅμοια. τοῦ μὲν οὖν μείζονος καθ’ ὑποδιαίρεσιν δευτέραν εἰς πέντε εἴδη διαιρουμένου τὸ μέν ἐστι πολλαπλάσιον, τὸ δὲ ἐπι‐ μόριον, τὸ δὲ ἐπιμερές, τὸ δὲ πολλαπλασιεπιμόριον, | |
1.17.8 | τὸ δὲ πολλαπλασιεπιμερές. καὶ τοῦ ἀντιθέτου δὲ τούτῳ, τουτέστι τοῦ ἐλάττονος, πέντε εἴδη ὁμοίως καθ’ ὑποδιαίρεσιν συνίσταται ἀντικείμενα τοῖς προ‐ ειρημένοις τοῦ μείζονος πέντε εἴδεσιν (ὡς ὅλον ὅλῳ, | 45 |
| 5 | τὸ ἔλαττον τῷ μείζονι, οὕτω καὶ ἕκαστον ἑκάστῳ τῇ προλεχθείσῃ τάξει μετὰ τῆς ὑπὸ προθέσεως ἀν‐ τιδιαστελλόμενα), ὑποπολλαπλάσιον, ὑπεπιμόριον, ὑπεπιμερές, ὑποπολλαπλασιεπιμόριον καὶ ὑποπολλα‐ πλασιεπιμερές. | |
1.18.1 | Ἄνωθεν οὖν πολλαπλάσιόν ἐστιν εἶδος τοῦ μείζονος τὸ πρώτιστον καὶ προγενέστερον φύσει, ὡς εὐθὺς εἰσόμεθα, καὶ ἔστιν ἀριθμὸς ὁ, ἐπειδὰν ἐν συγκρίσει πρὸς ἕτερον θεωρῆται, ἔχων αὐτὸν ἐν | |
| 5 | ἑαυτῷ ὅλον πλεονάκις ἢ ἅπαξ· οἷον πρὸς τὴν μο‐ νάδα πάντες οἱ ἐφεξῆς ἀριθμοὶ ἀπὸ δυάδος ἀρξάμε‐ νοι συγκρινόμενοι τὰ τοῦ πολλαπλασίου εὔτακτα εἴδη ἀπογεννῶσι τῇ οἰκείᾳ ἀκολουθίᾳ· πρῶτος μὲν | |
| γὰρ ὁ β διπλάσιος καὶ ἔστι καὶ λέγεται, ὁ δὲ γ τρι‐ | 46 | |
| 10 | πλάσιος, ὁ δὲ δ τετραπλάσιος, καὶ ἐπ’ ἄπειρον· τὸ γὰρ πλεονάκις ἢ ἅπαξ ἤτοι δὶς ἢ τρὶς σημαίνει ἢ | |
1.18.2 | ἐφεξῆς, μέχρις οὗ βούλει. ἀντιδιέσταλται δὲ τούτῳ τὸ ὑποπολλαπλάσιον καὶ αὐτὸ φύσει πρώτιστον ὑπάρχον ἐν τῷ ἐλάττονι τῆς ἀνισότητος μέρει, καὶ ἔστιν ἀριθμὸς ὁ, ἐπειδὰν μείζονι συγκρίνηται, δυ‐ | |
| 5 | νάμενος μετρεῖν αὐτὸν πληρούντως πλεονάκις ἢ ἅπαξ, τὸ δὲ πλεονάκις ἢ ἅπαξ ἀπὸ τοῦ δὶς ἄρχεται | |
1.18.3 | καὶ ἐπ’ ἄπειρον πρόεισιν. ἐὰν μὲν οὖν δὶς μόνον μετρῇ τὸν ἐν συγκρίσει μείζονα, ὑποδιπλάσιος λέγε‐ ται ἰδίως, ὥσπερ τὸ α τῶν β, ἐὰν δὲ τρίς, ὑποτρι‐ πλάσιος, ὥσπερ τῶν γ τὸ α, ἐὰν δὲ τετράκις, ὑποτε‐ | |
| 5 | τραπλάσιος, ὥσπερ τὸ αὐτὸ α τῶν δ, καὶ ἐφεξῆς | |
1.18.4 | οὕτως. γενικῶς δὲ ἀπείρου ὑπάρχοντος ἑκατέρου, τοῦ τε πολλαπλασίου καὶ τοῦ ὑποπολλαπλασίου, ἔτι καὶ αἱ καθ’ ὑποδιαίρεσιν διαφοραὶ καὶ τὰ εἴδη ἐπ’ ἄπειρον φύσει προιόντα θεωρεῖται· τὸ γὰρ διπλά‐ | |
| 5 | σιον ἀρχόμενον ἀπὸ τοῦ β διὰ πάντων ἀρτίων πρό‐ εισιν, ἕνα παρ’ ἕνα λαμβανόντων ἡμῶν τοὺς ἀριθ‐ μοὺς ἀπὸ τοῦ φυσικοῦ χύματος· ἐν συγκρίσει δὲ οὗτοι διπλάσιοι λεχθήσονται πρὸς τοὺς ἀπὸ μονάδος | |
1.18.5 | ἑξῆς κειμένους ἀρτίους τε καὶ περισσούς. τριπλάσιοι δὲ πάντες εἰσὶν οἱ ἀπ’ ἀρχῆς δύο παραλειπομένων | |
| ἐκλεγόμενοι τρίτοι τῇ τάξει, οἷον γ, ϛ, θ, ιβ, ιε, ιη, κα, κδ, | 47 | |
| 5 | οἷς συμβέβηκεν ἕνα παρ’ ἕνα ἀρτίοις τε καὶ περισ‐ σοῖς εἶναι, καὶ αὐτοὶ δὲ ἐν τῷ ἀπὸ τῆς μονάδος ἀριθμῷ εὐτάκτῳ τῶν ἐφεξῆς πάντων τριπλάσιοί εἰσι προχωροῦντες, ἐφ’ ὅσον βούλεταί τις παρακολου‐ | |
1.18.6 | θεῖν. τετραπλάσιοι δέ εἰσιν οἱ τριῶν παραλειπομέ‐ νων πάντη τέταρτοι, οἷον δ, η, ιβ, ιϛ, κ, κδ, κη, λβ καὶ ἐφεξῆς, καὶ οὗτοι δὲ τῶν ἀπὸ μονάδος εὐτά‐ | |
| 5 | κτων τετραπλάσιοί εἰσι προιόντες, ἐφ’ ὅσον ἂν εὐ‐ τονῇ τις ἕπεσθαι· συμβέβηκε δὲ καὶ τούτοις πάντας εἶναι ἀρτίους· ἕνα γὰρ παρ’ ἕνα μόνον παραλειπτέον ἐξ αὐτῶν τῶν ἄνωθεν διακεκριμένων ἀρτίων, ὥστε ἀναγκαίως ὑπάρχειν τοῖς ἁπλῶς ἀρτίοις διπλασίοις | |
| 10 | μὲν ἅπασιν εἶναι, τετραπλασίοις δὲ ἕνα παρ’ ἕνα καὶ ἑξαπλασίοις ἕνα παρὰ δύο καὶ ὀκταπλασίοις ἕνα παρὰ τρεῖς, καὶ ἐπ’ ἄπειρον οὕτως ἀνάλογον ἡ προ‐ | |
1.18.7 | κοπή. πενταπλάσιοι δὲ ὀφθήσονται οἱ τέσσαρας μὲν παραλείποντες, πέμπτοι δὲ τεταγμένοι ἀπ’ ἀλ‐ λήλων καὶ αὐτοὶ δὲ τῶν ἀπὸ μονάδος ἑξῆς τε‐ ταγμένων ἀριθμῶν πενταπλάσιοι, καὶ εἷς παρ’ | |
| 5 | ἕνα περισσὸς καὶ ἄρτιος κατὰ τὴν αὐτὴν τῶν τρι‐ | |
| πλασίων τάξιν. | 48 | |
1.19.1 | Ἐπιμόριος δέ ἐστιν ἀριθμός, τὸ τοῦ μείζο‐ νος δεύτερον τῇ φύσει εἶδος καὶ τῇ τάξει, ὁ ἔχων ἐν ἑαυτῷ τὸν συγκρινόμενον ὅλον καὶ μόριον αὐ‐ | |
1.19.2 | τοῦ ἕν τι. ἀλλ’ ἐὰν μὲν ἥμισυ ᾖ τὸ μόριον, καλεῖ‐ ται ἡμιόλιος εἰδικῶς ὁ τῶν συγκρινομένων μείζων, ὑφημιόλιος δὲ ὁ ἐλάσσων, ἐὰν δὲ τρίτον, ἐπίτριτός τε καὶ ὑπεπίτριτος, καὶ ἀεὶ οὕτως μέχρι παντὸς | |
| 5 | προχωροῦντι συμφωνήσει σοι, ὥστε καὶ ταῦτα ἐπ’ ἄπειρον τὰ εἴδη πρόεισι καίτοι ἀπείρου τινὸς εἴδη ὄντα γένους· τὸ μὲν γὰρ πρώτιστον αὐτῶν τὸ ἡμιό‐ λιον συμβαίνει τοὺς μὲν ὑπολόγους ἔχειν τοὺς ἀπὸ δυάδος ἐφεξῆς ἀρτίους, ἄλλον δὲ οὐδαμῶς οὐδένα, | |
| 10 | τοὺς δὲ προλόγους τοὺς ἀπὸ τριάδος ἐφεξῆς τριπλα‐ | |
1.19.3 | σίους, ἄλλον δὲ οὐδένα. συζευκτέον δὲ αὐτοὺς εὐ‐ τάκτως πρῶτον πρώτῳ, δεύτερον δευτέρῳ, τρίτον τρίτῳ, τὸν γ τῷ β, τὸν ϛ τῷ δ, τὸν θ τῷ ϛ, | |
| 5 | τὸν ιβ τῷ η, | |
1.19.4 | καὶ τοὺς ἀναλόγους τοῖς ὁμοταγέσιν. ἐὰν δὲ ἐπι‐ σκέψασθαι θέλωμεν τὸ δεύτερον εἶδος τοῦ ἐπιμο‐ ρίου, τουτέστι τὸ ἐπίτριτον (συνεχὲς γὰρ μέρος αὐ‐ τοῦ φυσικῶς μετὰ τὸ ἥμισυ ὑπάρχει τὸ τρίτον), ὅρον | |
| 5 | μὲν αὐτοῦ ἕξομεν τοῦτον· ἀριθμὸς ὁ ἔχων ἐν ἑαυτῷ ὅλον τε τὸν συγκρινομένων καὶ μέρος αὐτοῦ τρίτον πρὸς τῷ ὅλῳ. ὑποδείγματα δὲ αὐτοῦ εὔτακτα λη‐ φθήσεται ἡμῖν οἱ ἀπὸ τετράδος συνεχεῖς τετραπλά‐ σιοι συνεζευγμένοι τοῖς ἀπὸ τριάδος τριπλασίοις | 49 |
| 10 | ὁμοταγεῖς ὁμοταγέσιν, οἷον ὁ δ τῷ γ, ὁ η τῷ ϛ, ὁ ιβ τῷ θ, | |
1.19.5 | καὶ κατὰ ταὐτὰ ἐφ’ ὁσονοῦν. δῆλον δέ, ὅτι ὁ ἀνθυ‐ πακούων τῷ ἐπιτρίτῳ, λεγόμενος δὲ σὺν τῇ ὑπὸ προθέσει ὑπεπίτριτος, ἐστὶν ὁ ἐμπεριεχόμενος ἐκείνῳ ὅλος τε καὶ προσέτι ἑαυτοῦ τρίτον, ὡς | |
| 5 | ὁ μὲν γ τῷ δ, ὁ δὲ ϛ τῷ η, ὁ δὲ θ τῷ ιβ, | |
1.19.6 | καὶ οἱ ἀκόλουθοι τῶν ὁμοταγῶν. παρατηρητέον δὲ τὸ παρεπόμενον πᾶσι τούτοις γλαφυρόν, ὅτι οἱ μὲν πρῶτοι καὶ πυθμένες λεγόμενοι ἐγγύς εἰσιν ἀλλή‐ λων ἐν τῷ φυσικῷ χύματι, οἱ δὲ δεύτεροι ἀπὸ | |
| 5 | πυθμένος ἕνα μόνον ἀριθμὸν διαλείπουσιν, οἱ δὲ τρίτοι δύο, οἱ δὲ τέταρτοι τρεῖς καὶ οἱ πέμπτοι τέσ‐ | |
1.19.7 | σαρας καὶ ἀεὶ οὕτως, μέχρις οὗ βούλει. ἔτι γε μὴν καί, ὅτι τὸ μόριον, οὗ παρώνυμος ἕκαστός ἐστι τῶν ἐπιμορίων, ἐν τοῖς ἥττοσι θεωρεῖται τῶν πυθ‐ | |
1.19.8 | μένων, ἐν δὲ τοῖς μείζοσιν οὐδαμῶς. ὅτι δὲ φυσι‐ | |
| κῶς καὶ οὐχ ἡμῶν θεμένων, ἀρχεγονώτερον τὸ πολλαπλάσιον καὶ πρεσβύτερον τοῦ ἐπιμορίου, καὶ ἐν τοῖς ἑξῆς μὲν ποικιλώτερον εἰσόμεθα, ὅσον | 50 | |
| 5 | οὔπω· κἀνταῦθα δὲ πρὸς ἁπλῆν ἔμφασιν προχει‐ ριστέον κατ’ εὐτάκτους καὶ παραλλήλους στίχους τοὺς προφρασθέντας ἡμῖν πολλαπλασίους εἰδικῶς, πρῶτον διπλάσιον ἐν ἑνὶ στίχῳ, εἶτα ἐν δευτέρῳ τριπλάσιον, εἶτα τετραπλάσιον ἐν τρίτῳ καὶ μέχρι | |
| 10 | δεκαπλασίων, ἵνα καὶ τάξιν καὶ ποικιλίαν αὐτῶν καὶ πρόβασιν ἔντεχνον καὶ ὅ τι πρότερον φύσει κατίδωμεν καὶ δὴ καὶ ἕτερά τινα τερπνὰ καὶ γλα‐ | |
1.19.9 | φυρὰ παρακολουθήματα. ἔστω δὲ τὸ διάγραμμα τοιοῦτον· [Omitted graphic marker] | |
1.19.10 | ἐκκείσθω ἐν μὲν τῷ πρώτῳ στίχῳ ὁ ἀπὸ μονάδος φυσικὸς ἀριθμός, εἶτα ἑξῆς οἱ κελευσθέν‐ | 51 |
1.19.11 | τες τῶν τοῦ πολλαπλασίου εἰδῶν. οὐκοῦν τῶν μὲν πρώτων στίχων ἀρχομένων ἀπὸ μονάδος ἐπί τε πλάτος καὶ ἐπὶ βάθος γαμμοειδῶς οἱ δεύτεροι ἐφ’ ἑκάτερα καὶ αὐτοὶ γαμμοειδῶς ἀπὸ τετράδος ἀρχό‐ | |
| 5 | μενοι πολλαπλάσιοί εἰσι κατὰ τὸ πρῶτον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου, διπλάσιοι γάρ, καὶ ὁ μὲν πρῶτος τοῦ πρώτου μονάδι διαφέρων, ὁ δὲ δεύτερος τοῦ δευτέρου δυάδι καὶ ὁ τρίτος τοῦ τρίτου τριάδι καὶ τετράδι οἱ συνεχεῖς καὶ πεντάδι οἱ μετ’ αὐτοὺς | |
| 10 | καὶ τοῦτο μέχρις ὅλου ἀκόλουθον εὑρήσεις· οἱ δὲ τρίτοι ἐφ’ ἑκάτερα ἀπὸ ἐνάδος κοινῆς ἀρχόμενοι τῶν ἐν τῷ αὐτῷ πρώτῳ στίχῳ κατὰ τὸ δεύτερον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου τριπλάσιοι ἔσονται συνεξεταζομένων αὐτοῖς καὶ τῶν εἰς τριάδα ἑκατέρωθεν χιασμῶν. | |
1.19.12 | συμπροκόψει δὲ καὶ ἡ διαφορὰ τούτοις κατὰ τὴν τῶν ἀρτίων φύσιν, τῷ μὲν πρώτῳ δυὰς οὖσα, τῷ δὲ ἐφεξῆς τετράς, τῷ δὲ τρίτῳ ἑξάς, ἣν καὶ διαφορὰν αὐτομάτως ἡμῖν ἡ φύσις ἐμεσεμβόλησε μεταξὺ τού‐ | |
| 5 | των τῶν ἐξεταζομένων, ὡς ἐν τῷ διαγράμματι φαί‐ | |
1.19.13 | νεται. ὁ δὲ τέταρτος στίχος, οὗ κοινὴ μὲν ἀρχὴ ἐφ’ ἑκάτερα ὁ ιϛ, οἱ δὲ χιασμοὶ περαιοῦνται εἰς τὰς τετράδας, τὸ τρίτον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου δει‐ | |
| κνύντες, τουτέστι τὸ τετραπλάσιον, πρὸς τὸν αὐτὸν | 52 | |
| 5 | ἐξεταζόμενοι πρώτιστον στίχον ὁμοταγῶς, πρώτου μὲν ἀριθμοῦ πρὸς πρῶτον, δευτέρου δὲ πρὸς δεύτε‐ ρον καὶ τρίτου πρὸς τρίτον καὶ ἐφεξῆς· πάλιν δὲ αἱ τούτων διαφοραὶ τριάς, ἑξάς, εἶτα ἐνάς, εἶτα δωδε‐ κὰς καὶ αἱ κατὰ τριάδος προκοπὴν ποσότητες· καὶ | |
| 10 | αὗται ἐν τῷ τοῦ διαγράμματος ὕφει πεφώρανται τάξει ἐκκείμεναι ὑπὲρ αὐτοὺς τοὺς τετραπλασίους καὶ ἐπὶ τῶν ἀκολούθων τοῦ πολλαπλασίου εἰδῶν | |
1.19.14 | τὸ ἀνάλογον μέχρι παντὸς προχωρεῖ. πρὸς δὲ τὸν ἐφ’ ἑκάτερα δεύτερον στίχον ἀπὸ κοινῆς ἀρχῆς τοῦ δ ἀρχόμενον, ὑπερεκπίπτοντα δὲ κατὰ χιασμὸν εἰς ἰδίαν ἑκατέρων δυάδα, οἱ ὑποβεβηκότες τάξει στίχοι | |
| 5 | τοῦ ἐπιμορίου τὸ πρώτιστον εἶδος παρεμφαίνουσι, τουτέστι τὸ ἡμιόλιον, ὁμοταγεῖς πρὸς ὁμοταγεῖς· οὕτω φύσει θείᾳ καὶ οὐ νόμῳ ἡμετέρῳ οὐδὲ συνθήματι μεταγενέστεροι τῶν πολλαπλασίων οἱ ἐπιμόριοι, οἷον ὁ μὲν γ τοῦ β, ὁ δὲ ϛ τοῦ δ, ὁ θ τοῦ ϛ, | |
| 10 | ὁ ιβ τοῦ η, ὁ ιε τοῦ ι, καὶ μέχρι παντός· διαφορὰν δὲ καὶ οὗτοι ἔχουσι τοὺς ἀπὸ μονάδος ἐφεξῆς ἀριθμούς, ὡς οἱ πρὸ αὐτῶν. | |
1.19.15 | Ἐπίτριτοι δέ, τὸ τοῦ ἐπιμορίου δεύτερον εἶδος, | |
| ἴσῃ τινὶ καὶ ὁμοίᾳ προκοπῇ προχωροῦσιν ἀπὸ τοῦ δ πρὸς τὸν γ καὶ η πρὸς ϛ καὶ ιβ πρὸς θ καὶ ιϛ πρὸς ιβ, | 53 | |
| 5 | καὶ ἀκολούθως ἴσην καὶ τὴν τῶν διαφορῶν αὔξησιν | |
1.19.16 | λαμβάνοντες. καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν σχέσεων πολλα‐ πλασίου τε καὶ ἐπιμορίου σύμφωνα τὰ ἀποτελέσματα καὶ οὐδαμῶς ἐναντιούμενα προβαίνων ἐπ’ ἄπειρον | |
1.19.17 | ὄψει. κἀκεῖνο δὲ οὐκ ἐλάττονος ἀκριβείας τέτευχεν ἐν τῷ διαγράμματι· ἐπιγώνιοι μὲν γὰρ αὐτῶν εἰσι μονάδες, ἡ μὲν κατ’ ἀρχὴν ἁπλῆ, ἡ δὲ ἐπὶ τέλει τριοδουμένη, δευτεροδούμεναι δὲ ἐν διφορήσει αἱ δύο | |
1.19.18 | λοιπαί, ὥστε ἀποτελεῖν τὸ ὑπό—ἶσον τῷ ἀπό—. ἀλλὰ καὶ ἑκατέρωθεν ἴση πρόβασις ἀπὸ μονάδος εἰς τὰς δεκά‐ δας καὶ πάλιν ἀντιθέτως ἑκάτεραι αἱ ἀπὸ δεκάδος | |
1.19.19 | προχωρήσεις εἰς ἑκατοντάδα. καὶ οἱ μὲν διαγώνιοι οἱ ἀπὸ μονάδος εἰς ἑκατοντάδα τετράγωνοι πάντως ἀριθμοὶ ἰσάκις ἶσοι μηκυνθέντες, οἱ δὲ ἑκατέρωθεν παρασπίζοντες αὐτοὺς ἑτερομήκεις πάντως ἄνισοι | |
| 5 | καὶ μονάδι μείζοσιν ἀλλήλων πλευραῖς μηκυνθέντες· ὥστε ἐξ ἅπαξ δύο ἐφεξῆς τετραγώνων καὶ δὶς τοῦ ἀνὰ μέσον αὐτῶν ἑτερομήκους τετράγωνον πάντως ἀποτελεῖσθαι καὶ ἀνάπαλιν ἐξ ἅπαξ δύο παρακει‐ μένων ἑτερομηκῶν καὶ δὶς τοῦ ἀνὰ μέσον αὐτῶν | |
| 10 | τετραγώνου τετράγωνον πάντως ἀποτελεῖσθαι. | 54 |
1.19.20 | Καὶ ἕτερα πολλὰ τοιαῦτα φιλοτιμούμενος εὕροι τις ἂν τερπνὰ ἐμφαινόμενα τῷδε τῷ διαγράμματι, περὶ ὧν οὐ καιρὸς νῦν μηκύνειν· οὔπω γὰρ τὴν ἐπίγνωσιν αὐτῶν ἐκ τῆς εἰσαγωγῆς εἰλήφαμεν, ὥστε | |
| 5 | ἐπὶ τὰ ἑξῆς τρεπτέον· μετὰ γὰρ τὰς δύο ταύτας γενικὰς σχέσεις πολλαπλασίου καὶ ἐπιμορίου καὶ τὰς ἀντιθέτους αὐταῖς σὺν τῇ ὑπὸ προθέσει ἐκφερομέ‐ νας ἄλλας δύο ὑποπολλαπλάσιόν τε καὶ ὑπεπιμό‐ ριον εἰσὶν ἐν μὲν τῷ μείζονι τοῦ ἀνίσου μέρει ἡ | |
| 10 | ἐπιμερής, ἐν δὲ τῷ ἐλάττονι ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ ἡ ὑπεπιμερής. | |
1.20.1 | Ἔστι δὲ ἐπιμερὴς μὲν σχέσις, ὅταν ἀριθμὸς τὸν συγκρινόμενον ἔχῃ ἐν ἑαυτῷ ὅλον καὶ προσέτι μέρη αὐτοῦ πλείονα ἑνός· τὸ δὲ πλείονα ἑνὸς ἄρ‐ χεται πάλιν ἀπὸ τοῦ β καὶ πρόεισιν ἐπὶ πάντας | |
| 5 | τοὺς ἐφεξῆς ἀριθμούς· ὥστε τοῦ ἐπιμεροῦς πυθμήν ἐστιν εἰκότως ὁ πρὸς τῷ ὅλῳ δύο μέρη τοῦ ἀντι‐ συγκρινομένου ἔχων καὶ κληθήσεται ἐπιδιμερὴς εἰ‐ δικῶς, μετὰ δὲ τοῦτον ὁ τρία πρὸς τῷ ὅλῳ ἔχων κλη‐ θήσεται ἐπιτριμερὴς εἰδικῶς, καὶ μετὰ τοῦτον ἐπι‐ | |
| 10 | τετραμερής, εἶτα ἐπιπενταμερής, καὶ οὕτως ἀεί. | |
1.20.2 | τὰ δὲ μέρη ῥίζαν ἔχει καὶ ἀρχὴν ἀπὸ τοῦ τρίτου· ἀδύνατον γὰρ ἐνθάδε ἀπὸ τοῦ ἥμισυ ἄρχεσθαι· ἂν γὰρ καί τινα ὑποθώμεθα β ἡμίση ἔχειν τοῦ ἀντι‐ θέτου πρὸς τῷ ὅλῳ, λήσομεν ἑαυτοὺς πολλαπλάσιον | 55 |
| 5 | ἀντὶ ἐπιμεροῦς τιθέντες· ἕκαστον γὰρ ὅλον καὶ β ἡμίση αὐτοῦ συντιθέμενα διπλάσιον γίνεται τοῦ ἐξ ἀρχῆς· ὥστε ἀναγκαιότατον ἀπὸ β τρίτων ἄρχε‐ σθαι, εἶτα β πέμπτων, εἶτα β ἑβδόμων, καὶ ἐπὶ τούτοις β ἐνάτων κατὰ τὴν τῶν περισσῶν πρόβα‐ | |
| 10 | σιν· τὰ γὰρ β τέταρτα λόγου χάριν πάλιν ἥμισύ ἐστι καὶ τὰ β ἕκτα τρίτον καὶ οὕτω πάλιν ἐπιμόριοι ἀντὶ ἐπιμερῶν γενήσονται, ὅπερ οὐ πρόκειται οὔτε | |
1.20.3 | ἡμῖν οὔτε τῆ τῆς τεχνολογίας καταλληλίᾳ. μετὰ δὲ τὸν ἐπιμερῆ εὐθὺς συνυφίσταται ὁ ὑπεπιμερής, ὅταν ἀριθμὸς ἐν τῷ συγκρινομένῳ ὅλος ἔχηται αὐτός τε καὶ προσέτι πλείονα αὐτοῦ μέρη ἢ β ἢ γ ἢ δ ἢ ε | |
| 5 | καὶ ἐφεξῆς. | |
1.21.1 | Τάξις δὲ ἀμφοτέρων καὶ ἀκόλουθος γένεσις εὑρίσκεται, ὅταν ἐκθέμενοι τοὺς ἀπὸ τριάδος ἑξῆς ἀρτίους καὶ περιττοὺς ἀριθμοὺς πρὸς τούτους συγ‐ | |
| κρίνωμεν τοὺς ἀπὸ πεντάδος καθαροὺς συνεχεῖς | 56 | |
| 5 | περισσοὺς μόνους, πρῶτον πρὸς πρῶτον, οἷον τὸν ε πρὸς τὸν γ, καὶ δεύτερον πρὸς δεύτερον, οἷον τὸν ζ πρὸς τὸν δ, καὶ τρίτον πρὸς τρίτον, οἷον τὸν θ πρὸς τὸν ε, καὶ τέταρτον πρὸς τέταρτον, οἷον τὸν ια πρὸς τὸν ϛ, καὶ ἐφεξῆς τῇ αὐτῇ τάξει ἐφ’ ὁσο‐ | |
| 10 | νοῦν· οὕτως γὰρ εὔτακτα τὰ τοῦ ἐπιμεροῦς τε καὶ ὑπεπιμεροῦς εἴδη κατὰ τοὺς ἑκάστου πυθμένας δη‐ λωθήσεται, ἐπιδιμερὲς πρῶτον, εἶτα ἐπιτριμερὲς καὶ ἐπιτετραμερὲς καὶ ἐπιπενταμερὲς καὶ ἐφεξῆς ἐπὶ πλέον παραπλησίως· μετὰ γὰρ τοὺς πυθμένας | |
| 15 | ἑκάστου γενήσονται οἱ συνεχεῖς διπλασιαζομένων ἀμφοτέρων τῶν ὅρων ἢ τριπλασιαζομένων καὶ ὅλως κατὰ τὰ τοῦ πολλαπλασίου εὔτακτα εἴδη μεγεθυνο‐ μένων. | |
| [Omitted graphic marker] | 57 | |
1.21.2 | προσεκτέον δέ, ὅτι ἐκ μὲν τῶν δύο μερῶν τῶν πρὸς τῷ ὅλῳ ἐνόντων τῷ μείζονι τὸ τρίτον ὑπακούεται, ἐπὶ δὲ τῶν τριῶν τὸ τέταρτον, ἐπὶ δὲ τῶν τεσσάρων τὸ πέμπτον, ἐπὶ δὲ τῶν πέντε τὸ ἕκτον καὶ ἀεὶ οὕ‐ | |
| 5 | τως, ἵνα ἡ πρόβασις κατὰ τὴν ὀνομασίαν τοιαύτη τις ᾖ· ἐπιδίτριτος, ἐπιτριτέταρτος, ἐπιτετράπεμπτος, εἶτα ἐπιπένθεκτος καὶ παραπλησίως ἐπὶ τῶν λοιπῶν. | |
1.21.3 | Αἱ μὲν οὖν τοῦ πρός τι ποσοῦ ἁπλαῖ καὶ ἀσύν‐ θετοι σχέσεις αἵδε εἰσὶν αἱ προλεχθεῖσαι, αἱ δὲ σύνθετοι ἐξ αὐτῶν καὶ οἷον συμπλακεῖσαι ἐκ δυοῖν εἰς μίαν εἰσὶν αἵδε, ὧν πρόλογοι μὲν πολλαπλα‐ | |
| 5 | σιεπιμόριος καὶ πολλαπλασιεπιμερής, ὑπόλογοι δὲ αἱ | |
| εὐθὺς ἑκατέρᾳ τούτων συνυφιστάμεναι, σὺν τῇ ὑπὸ προθέσει ὀνομαζόμεναι, πολλαπλασιεπιμορίῳ μὲν ἡ ὑποπολλαπλασιεπιμόριος, πολλαπλασιεπιμερεῖ δὲ ἡ ὑποπολλαπλασιεπιμερής, καὶ καθ’ ὑποδιαίρεσιν | 58 | |
| 10 | τῶν γενῶν αἱ εἰδικαὶ ταῖς εἰδικαῖς ἀνθυπακούσον‐ ται, μετὰ τῆς ὑπὸ προθέσεως καὶ αὗται ὀνομαζό‐ μεναι. | |
1.22.1 | Πολλαπλασιεπιμόριος μὲν οὖν ἐστι σχέσις, ὅταν τῶν συγκρινομένων ὁ μείζων πλεονάκις ἢ ἅπαξ ἔχῃ ἐν ἑαυτῷ τὸν ἐλάσσονα καὶ πρὸς τούτῳ μοριόν | |
1.22.2 | τι ἓν αὐτοῦ οἷον δήποτε. διττῶς δὲ ὡς ἂν δὴ σύνθετος ὁ τοιοῦτος ποικίλλεται κατὰ τὴν τῶν συμ‐ πλεκομένων ὀνομάτων καθ’ ἑκάτερον ἰδιότητα· ἐπεὶ γὰρ ὁ πολλαπλασιεπιμόριος ἔκ τε τοῦ πολλαπλασίου | |
| 5 | καὶ τοῦ ἐπιμορίου γενικῶς σύγκειται, ἕξει ἐν ταῖς εἰδικαῖς ὑποδιαιρέσεσι ποικιλίαν τινὰ καὶ ἐξαλλαγήν, ἰδίᾳ μὲν κατὰ τὸ πρότερον μέρος τοῦ ὀνόματος, ἰδίᾳ δὲ κατὰ τὸ δεύτερον, οἷον κατὰ μὲν τὸ πρότε‐ ρον τὸ τοῦ πολλαπλασίου τὸ διπλάσιον ἢ τριπλάσιον | |
| 10 | ἢ τετραπλάσιον ἢ πενταπλάσιον καὶ ἐφεξῆς, κατὰ | |
| δὲ τὸ δεύτερον ἀπὸ τοῦ ἐπιμορίου γενικῶς τὰ εἰδικὰ αὐτοῦ εὔτακτα τὸ ἐφημιόλιον, τὸ ἐπίτριτον, τὸ ἐπι‐ τέταρτον, τὸ ἐπίπεμπτον καὶ ἐφεξῆς, ὥστε τὴν σύν‐ θεσιν τοιαύτῃ τινὶ τάξει προχωρεῖν· | 59 | |
| 15 | διπλασιεφήμισυς, διπλασιεπίτριτος, διπλασιεπιτέταρ‐ τος, διπλασιεπίπεμπτος, διπλασιεπίεκτος καὶ ἀνά‐ λογον, καὶ ἀπ’ ἄλλης ἀρχῆς τριπλασιεφήμισυς, τριπλασι‐ επίτριτος, τριπλασιεπιτέταρτος, τριπλασιεπίπεμ‐ | |
| 20 | πτος, καὶ πάλιν ἄνωθεν τετραπλασιεφήμισυς, τετραπλασι‐ επίτριτος, τετραπλασιεπιτέταρτος, τετραπλασιεπί‐ πεμπτος, καὶ πάλιν ἄνωθεν πενταπλασιεφήμισυς, πενταπλασι‐ | |
| 25 | επίτιτρος, πενταπλασιεπιτέταρτος, πενταπλασι‐ επίπεμπτος καὶ τὰ τούτοις ἐπ’ ἄπειρον ἀναλογοῦντα· ὁσάκις μὲν γὰρ ὁ μείζων τὸν ἐλάττονα ὅλον ἐν ἑαυτῷ ἔχει, παρὰ τὴν τοσαύτην ποσότητα παρονομα‐ | |
| 30 | σθήσεται τὸ πρότερον μέρος τοῦ λόγου τῶν συμ‐ πλεκομένων ἐν τῷ πολλαπλασιεπιμορίῳ, οἷον δ’ ἂν τὸ μόριον τὸ πρὸς τῷ πολλάκις ὅλῳ ἐνυπάρχον ἐν τῷ μείζονι ᾖ, πρὸς ἐκεῖνο παρώνυμον ἔσται τὸ δεύ‐ τερον εἶδος τοῦ λόγου, ἀφ’ οὗ σύνθετον τὸ πολλα‐ | |
1.22.3 | πλασιεπιμόριον. ὑποδείγματα δὲ αὐτοῦ· ὁ μὲν | |
| τοῦ β διπλασιεφημιόλιος, ὁ δὲ ζ τοῦ γ διπλασιεπί‐ τριτος, ὁ δὲ θ τοῦ δ διπλασιεπιτέταρτος, ὁ δὲ ια τοῦ ε διπλασιεπίπεμπτος· καὶ αἰεὶ οὕτως εὐτάκτους | 60 | |
| 5 | αὐτοὺς γεννήσεις συγκρίνων τοῖς ἀπὸ δυάδος ἑξῆς ἀρτίοις καὶ περισσοῖς τοὺς ἀπὸ πεντάδος καθαροὺς περισσούς, πρῶτον πρώτῳ, δεύτερον δευτέρῳ, τρί‐ τον τρίτῳ καὶ τοὺς ἄλλους ὁμοταγεῖς τοῖς ὁμοταγέ‐ σιν, ἀπὸ δυάδος δὲ τῶν ἐφεξῆς πάντων ἀρτίων οἱ | |
| 10 | ἀπὸ πεντάδος συνεχεῖς πεντάδι διαφέροντες διπλα‐ σιεφημιόλιοι καθαροὶ ἔσονται ὁμοταγεῖς ὁμοταγῶν, ἀπὸ δὲ τοῦ τρίτου πάντων τῶν τριάδι διαφερόντων ἐκτεθέντων, οἷον γ, ϛ, θ, ιβ, ιε, ιη, κα, | |
| 15 | καὶ ἐν ἄλλῳ στίχῳ τῶν ἀπὸ ἑβδομάδος ἑβδομάδι διαφερόντων ἐπ’ ἄπειρον ἐκτεθέντων, οἷον ζ, ιδ, κα, κη, λε, μβ, μθ, καὶ συγκρινομένων μειζόνων ἐλάττοσι, πρώτου πρώτῳ, δευτέρου δευτέρῳ, τρίτου τρίτῳ, τετάρτου | |
| 20 | τετάρτῳ, καὶ ἐφεξῆς, τὸ δεύτερον εἶδος ἀναφαίνεται τὸ τῶν διπλασιεπιτρίτων μετὰ τῆς οἰκείας εὐταξίας | |
1.22.4 | ἐκκείμενον. εἶτα πάλιν ἀπ’ ἄλλης ἀρχῆς ἂν ἐκτεθῇ ὁ τῶν τετραπλασίων καθαρὸς στίχος, δ, η, ιβ, ιϛ, κ, κδ, κη, λβ, εἶτα παρεκτεθῇ αὐτῷ ἐν ἄλλῳ στίχῳ ὁ ἀπὸ τῆς | |
| 5 | ἐνάδος ἀρχόμενος κατὰ ἐνάδος προκοπὴν συνεχὴς ἀριθμός, οἷον θ, ιη, κζ, λϛ, με, νδ, | |
| ἕξομεν ἀναφαινόμενον πάλιν τὸν εἰδικὸν πολλαπλα‐ σιεπιμόριον, τουτέστι τὸν διπλασιεπιτέταρτον εὔτα‐ | 61 | |
| 10 | κτον· καὶ τοῦτο ἐπινοεῖν πάρεστι τῷ βουλομένῳ | |
1.22.5 | μέχρις ἀπείρου. τὸ δὲ ἕτερον εἶδος ἄρχεται ἀπὸ τοῦ τριπλασιεφημίσους, οἷον ὁ ζ πρὸς τὸν β καὶ ὁ ιδ πρὸς τὸν δ καὶ ἁπλῶς οἱ καθ’ ἑβδομάδα προ‐ χωροῦντες πρὸς τοὺς ἀπὸ δυάδος εὐτάκτους ἀρτίους. | |
1.22.6 | εἶτα πάλιν ἐξ ὑπαρχῆς ὁ ι πρὸς τὸν γ τριπλασιεπί‐ τριτός ἐστι πρῶτος, ὁ δὲ κ πρὸς τὸν ϛ τριπλασιεπί‐ τριτος δεύτερος, καὶ ἁπλῶς οἱ δεκαπλάσιοι ἐφεξῆς πρὸς τοὺς ἐφεξῆς τριπλασίους· ἃ δὴ ἀκριβέστερον | |
| 5 | κατιδεῖν δυνάμεθα καὶ τρανότερον ἐν τῷ προεπι‐ γνωσθέντι διαγράμματι· πρὸς μὲν γὰρ τὸν πρῶτον | |
| στίχον οἱ ἐφεξῆς τάξει συγκείμενοι ὅλοι πρὸς ὅλον τὰ τοῦ πολλαπλασίου εὔτακτα εἴδη ἐπ’ ἄπειρον ὑποδεικνύουσι πρὸς τὸν αὐτὸν ἀεὶ πρῶτον ἅπαντες | 62 | |
| 10 | συγκρινόμενοι, πρὸς δὲ τοὺς ὑπεράνω πάντας ἐφεξῆς εἷς ἕκαστος πρὸς τὸν γείτονα· τῆς ἀρχῆς ἡμῖν ἀπὸ τοῦ δευτέρου γινομένης στίχου πάντα τὰ τοῦ ἐπιμο‐ ρίου εἴδη κατὰ τὴν οἰκείαν εὐταξίαν γεννᾶται, ἀπὸ δὲ τοῦ τρίτου στίχου πρὸς αὐτόν τε πρῶτον καὶ | |
| 15 | τοὺς συνεχεῖς αὐτῷ καθ’ ἕκαστον οἱ ἀπὸ τοῦ πέμ‐ πτου περισσοταγεῖς πάντες ἀντεξεταζόμενοι τὰ τοῦ ἐπιμεροῦς πάντα εἴδη εὔτακτα ὑποδείξουσι· τοῦ δὲ πολλαπλασιεπιμορίου αἱ συγκρίσεις τάξιν φυσικὴν καὶ ἰδίαν ἕξουσιν, ἐὰν ἀπὸ τοῦ δευτέρου στίχου ἀρ‐ | |
| 20 | χόμενοι τοὺς ἀπὸ τοῦ πέμπτου συγκρίνωμεν ἀριθ‐ μούς, πρῶτον πρὸς πρῶτον καὶ δεύτερον πρὸς δεύ‐ τερον καὶ τρίτον πρὸς τρίτον καὶ οὕτως ἑξῆς, πρὸς δὲ τὸν τρίτον τοὺς ἀπὸ τοῦ ἑβδόμου, πρὸς δὲ τὸν τέταρτον τοὺς ἀπὸ τοῦ ἐνάτου, καὶ κατὰ τὴν ἁρ‐ | |
| 25 | μόζουσαν εὐταξίαν, μέχρις ἂν εὐτονῇ τις παρέπε‐ | |
1.22.7 | σθαι. δῆλον δέ, ὅτι οἱ ἐλάττονες σὺν τῇ ὑπὸ προ‐ θέσει ἀντονομάζονται καὶ ἐνθάδε πρὸς τοὺς μείζο‐ νας κατὰ τὰς ἐγκειμένας πᾶσι προσηγορίας. | |
1.23.1 | Πολλαπλασιεπιμερὴς δέ ἐστιν ἡ λοιπὴ σχέ‐ σις τοῦ ἀριθμοῦ· αὕτη τε καὶ ἡ σὺν τῇ ὑπὸ προ‐ θέσει ἀντονομαζομένη αὐτῇ ἔστιν, ὅταν ἀριθμὸς τὸν συγκρινόμενον ἀριθμὸν ὅλον τε ἔχῃ ἐν ἑαυτῷ πλεο‐ | 63 |
| 5 | νάκις ἢ ἅπαξ (τουτέστι δὶς ἢ τρὶς ἢ ὁσακισοῦν) καὶ πρὸς τούτῳ μέρη τινὰ αὐτοῦ πλείονα ἑνὸς ἢ β ἢ γ | |
1.23.2 | ἢ δ ἢ ε καὶ ἐφεξῆς. ταῦτα δὲ οὐκ ἔστι μὲν ἡμίση διὰ τὰ προλεχθέντα ἤτοι δὲ τρίτα ἢ τέταρτα ἢ πέμπτα | |
1.23.3 | καὶ κατὰ τὴν ὁμοίαν ἀκολουθίαν. οὐ χαλεπὸν δὲ ἐκ τῶν προφρασθέντων νοῆσαι καὶ τὰ τούτου εἴδη, ὡς ὁμοίως καὶ ἀπαραλλάκτως τοῖς πρὸ αὐτοῦ ποικίλ‐ λεται, διπλασιεπιδιμερής, εἶτα διπλασιεπιτριμερής, | |
| 5 | εἶτα διπλασιεπιτετραμερής, καὶ ἀνάλογον· οἷον ὁ μὲν η τοῦ γ διπλασιεπιδιμερὴς καὶ ὁ ιϛ τοῦ ϛ δι‐ πλασιεπιδιμερὴς καὶ καθόλου οἱ ἀπὸ ὀγδοάδος ὀγδο‐ άδι διαφέροντες τῶν ἀπὸ τριάδος τριάδι διαφερόν‐ των, ὁμοταγεῖς ὁμοταγῶν, καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν εἰ‐ | |
| 10 | δῶν δύναιτ’ ἄν τις ἀκολουθῶν τοῖς προειρημένοις εὑρίσκειν τὴν εὐταξίαν· κἀνταῦθα δὲ σὺν τῇ ὑπὸ προθέσει νοητέον προιοῦσαν καὶ συμμεταβαλλομέ‐ νην τὴν τοῦ συγκρινομένου ἀντονομασίαν. | |
1.23.4 | Καὶ οὕτως αἱ δέκα ἀριθμητικαὶ σχέσεις πέρας ἡμῖν τῆς θεωρίας, ὡς ἐν πρώτῃ λαμβάνουσιν εἰσ‐ αγωγῇ· ἔστι δέ τις γλαφυρωτέρα ἔφοδος καὶ ἀναγ‐ καιοτάτη πρὸς πᾶσαν τὴν τῶν ὅλων φυσιολογίαν, | |
| 5 | ἥτις ἡμῖν σαφέστατα καὶ ἀναμφιλέκτως παρίστησιν, ὅτι πρῶτον μὲν τὸ καλὸν καὶ ὡρισμένον καὶ ὑπὸ ἐπιστήμην πῖπτον φύσει προγενέστερον τοῦ ἀορί‐ στου καὶ ἀπεριλήπτου καὶ αἰσχροῦ, εἶτα ὅτι καὶ τὰ τοῦ ἀπείρου καὶ ἀορίστου μέρη καὶ εἴδη ὑπ’ ἐκεί‐ | 64 |
| 10 | νου μορφοῦται καὶ περαίνεται καὶ τοῦ προσήκοντος κόσμου καὶ εὐταξίας τυγχάνει καὶ ὥσπερ ὑπὸ σφραγιστῆρός τινος ἢ μέτρου πάντα τὰ ἐμπίπτοντα μεταλαμβάνει τῆς ὁμοιότητος καὶ ὁμωνυμίας· οὕτω γὰρ εὐλόγως καὶ τὸ τῆς ψυχῆς λογικὸν τοῦ ἀλόγου | |
| 15 | κοσμητικὸν ἔσται καὶ ὁ θυμὸς καὶ ἡ ἐπιθυμία ἐν τοῖς τῆς ἀνισότητος δυσὶν εἴδεσι τεταγμένα ὑπὸ τοῦ διανοητικοῦ εὐτακτηθήσονται ὡς ὑπό τινος ἰσό‐ | |
1.23.5 | τητος καὶ ταυτότητος. ἐκ δὲ τῆς ἀπισώσεως ταύ‐ της ὀρθῶς ἡμῖν ἀποβήσονται αἱ λεγόμεναι ἠθικαὶ ἀρεταί, σωφροσύνη, ἀνδρεία, πρᾳότης, ἐγκράτεια, καρτερία καὶ αἱ ὅμοιαι. | |
1.23.6 | Φέρε οὖν ἐπισκεψώμεθα, ποταπὸν τὸ εἰς τὰ φυσικὰ ταῦτα συντεῖνον θεώρημα· ἔστι δὲ ἀπο‐ δεικτικὸν τοῦ ἀπ’ ἰσότητος μονωτάτης καὶ πρωτί‐ στης οἷον μητρός τινος καὶ ῥίζης γεννᾶσθαι πάντα | |
| 5 | τὰ τῆς ἀνισότητος ποικίλα εἴδη καὶ εἰδῶν διαφοράς. | |
1.23.7 | προκείσθωσαν γὰρ ἡμῖν ἐν τρισὶν ὅροις ἶσοί τινες ἀριθμοί, πρῶτον μὲν μονάδες, εἶτα δυάδες ἐν ἄλλοις τρισίν, εἶτα τριάδες, καὶ ἑξῆς τετράδες, ἔπειτα πεν‐ | |
| τάδες, καὶ τοῦτο μέχρις οὗ βούλει· οὕτω γὰρ τῆς | 65 | |
| 5 | τούτων ἐκθέσεως θείῳ τινὶ καὶ οὐκ ἀνθρωπίνῳ λόγῳ, ἀλλ’ ἀπὸ φύσεως αὐτῆς γεγονυίας πρῶτοι μὲν γενήσονται πολλαπλάσιοι, καὶ τούτων αὐτῶν ἡγήσεται μὲν διπλάσιος, μετ’ αὐτὸν δὲ τριπλάσιος, ἐπὶ δὲ τούτῳ τετραπλάσιος, εἶτα πενταπλάσιος, καὶ | |
| 10 | κατὰ τὴν προεπιγνωσθεῖσαν ἡμῖν τάξιν ἐπ’ ἄπει‐ ρον· δεύτερος δὲ ἐπιμόριος, καὶ τούτου πάλιν ἡγή‐ σεται τὸ πρώτιστον εἶδος ἡμιόλιος, ἐπὶ τούτῳ δὲ τὸ μετ’ αὐτὸ ἐπίτριτος, ἐπὶ δὲ τούτοις ὁ τάξει ἑξῆς ἐπιτέταρτος καὶ ἐπίπεμπτος καὶ ἔφεκτος καὶ ἀνά‐ | |
| 15 | λογον ἐπ’ ἄπειρον· τρίτον δὲ τὸ ἐπιμερές, καὶ πά‐ λιν αὐτοῦ τούτου ἐπιδιμερὲς μὲν ἡγήσεται, ἕπεται δ’ εὐθὺς ἐπὶ τούτῳ τὸ ἐπιτριμερές, εἶτα τὸ ἐπιτε‐ τραμερές, καὶ εὐθὺς τὸ ἐπιπενταμερές, καὶ μέχρις ἂν | |
1.23.8 | προχωρῇ τις ἀκολούθως τοῖς ἔμπροσθεν. προσ‐ τάγματα οὖν τινα δεῖ ἔχειν οἷον νόμους φυσικοὺς ἀπαρεγκλίτους καὶ ἀπαραβάτους, οἷς πᾶσα ἡ προλε‐ χθεῖσα πρόβασις καὶ προχώρησις ἀπὸ τῆς ἰσότητος εὐο‐ | |
| 5 | δώσει μὴ λειποτακτουμένη· τὰ δὲ προστάγματα ταῦτά ἐστι, πρῶτον πρώτῳ ἶσον ποιῆσαι, δεύτερον δὲ πρώτῳ ἅμα καὶ δευτέρῳ, τρίτον δὲ πρώτῳ καὶ δυσὶ δευ‐ τέροις ἅμα καὶ τρίτῳ· γένοιτο γὰρ μετὰ τούτων τῶν νόμων πλάσσοντί σοι εὐθὺς μὲν τὰ τοῦ πολλα‐ | |
| 10 | πλασίου ἅπαντα εἴδη τάξει ἐκ τῶν τῆς ἰσότητος τριῶν ἐκκειμένων ὅρων οἷον βλαστάνοντα καὶ ἐκ‐ φυόμενα, σοῦ μηδὲν ἐπιτηδεύοντος μηδὲ συλλαμβά‐ νοντος· καὶ ἐκ μὲν ἰσότητος εὐθὺς τὸ διπλάσιον, ἐκ δὲ διπλασίου εὐθὺς τὸ τριπλάσιον, ἐκ δὲ τριπλα‐ | 66 |
| 15 | σίου ἑξῆς τὸ τετραπλάσιον καὶ ἐκ τούτου τὸ πεντα‐ | |
1.23.9 | πλάσιον εὐτάκτως καὶ τοῦτο μέχρις ἀεί. ἐκ δὲ αὐ‐ τῶν τούτων τῶν εὐτάκτως πολλαπλασίων ἀναστρα‐ φέντων εὐθὺς γεννῶνται φύσει τινὶ ἀναγκαίᾳ διὰ τῶν αὐτῶν τριῶν προσταγμάτων οἱ ἐπιμόριοι, καὶ | |
| 5 | οὗτοι οὐχ ὡς ἔτυχεν οὐδὲ ἀτάκτως, ἀλλὰ τῇ προσ‐ ηκούσῃ ἀκολουθίᾳ· ἐκ μὲν τοῦ πρώτου διπλασίου ἀναστραφέντος ὁ πρῶτος ἡμιόλιος, ἐκ δὲ τοῦ δευ‐ τέρου τριπλασίου ὁ ἐν ἐκείνοις δεύτερος ἐπίτριτος, εἶτα ἐπιτέταρτος ἐκ τετραπλασίου, καὶ ἁπλῶς ἕκαστος | |
1.23.10 | ἀπ’ ἐκείνου, ᾧ παρώνυμός ἐστιν. ἀπὸ δὲ ἄλλης ἀρ‐ χῆς αὐτῶν τῶν ἐπιμορίων ἐκκειμένων, ὥσπερ καὶ ἀνε‐ φύησαν, ἀναστρόφως μέντοι, γεννῶνται οἱ φύσει μετ’ αὐτοὺς ἐπιμερεῖς· ἀπὸ μὲν τοῦ ἡμιολίου ἐπι‐ | |
| 5 | διμερής, ἀπὸ δὲ τοῦ ἐπιτρίτου ἐπιτριμερὴς καὶ ἐπι‐ τετραμερὴς ἐκ τοῦ ἐπιτετάρτου καὶ ἐπ’ ἄπειρον τῇ | |
1.23.11 | αὐτῇ ἀναλογίᾳ. μὴ ἀναστρεφομένων δέ, ἀλλ’ ὀρ‐ θῶς ἐκκειμένων τῶν εὐτάκτων ἐπιμορίων γεννῶν‐ ται διὰ τῶν αὐτῶν προσταγμάτων οἱ πολλαπλα‐ σιεπιμόριοι· διπλασιεφήμισυς μὲν ἐκ τοῦ πρώτου | |
| 5 | ἡμιολίου, διπλασιεπίτριτος δὲ ἐκ τοῦ δευτέρου ἐπι‐ | |
| τρίτου, διπλασιεπιτέταρτος δὲ ἐκ τοῦ τρίτου ἐπιτε‐ | 67 | |
1.23.12 | τάρτου, καὶ ἀεὶ οὕτως. ἐκ δὲ τῶν ἐξ ἀναστροφῆς τῶν ἐπιμορίων γεννηθέντων, τουτέστι τῶν ἐπιμε‐ ρῶν, καὶ τῶν μὴ ἐξ ἀναστροφῆς, τουτέστι πολλα‐ πλασιεπιμορίων, πάλιν τῷ αὐτῷ τρόπῳ διὰ τῶν αὐ‐ | |
| 5 | τῶν προσταγμάτων ἀπογεννῶνται ὀρθῶς τε κειμέ‐ νων καὶ ἀναστρεφομένων οἱ τὰς λοιπὰς σχέσεις ἐμ‐ | |
1.23.13 | φαίνοντες ἀριθμοί. πάντων δὲ τῶν προειρημένων, γενέσεώς τε αὐτῶν καὶ τάξεως, ὀρθότητός τε καὶ ἀναστροφῆς ὑποδείγματα ἀρκείτω ἡμῖν πρὸς ὑπό‐ | |
1.23.14 | μνησιν τὰ τοσαῦτα. ἐκ μὲν τῆς ἐν ἡμιολίοις σχέ‐ σεως καὶ ἀναλογίας ἀνεστραμμένης ἐκ τοῦ μείζονος ὅρου συνίσταται σχέσις ἐν ἐπιμερέσι λόγοις ἐπιδί‐ τριτος, ἀπὸ δὲ τοῦ ἐλάττονος κειμένης ὀρθῶς πολλα‐ | |
| 5 | πλασιεπιμόριος ἤτοι διπλασιεφήμισυς, ὡς ἀπὸ τοῦ θ, ϛ, δ ἤτοι θ, ιε, κε ἢ | |
| 10 | δ, ι, κε· ἐκ δὲ τῆς ἐν ἐπιτρίτοις ἀπὸ μὲν τοῦ μείζονος ἐπιμε‐ ρὴς ἤτοι τρισεπιτέταρτος, ἀπὸ δὲ τοῦ ἐλάσσονος διπλασιεπίτριτος, ὡς ἐκ τοῦ ιϛ, ιβ, θ | |
| 15 | ἤτοι ιϛ, κη, μθ ἢ | |
| θ, κα, μθ· ἐκ δὲ τῆς ἐν ἐπιτετάρτοις ἀπὸ μὲν τοῦ ὑπερέχοντος | 68 | |
| 20 | ἐπιμερὴς ἤτοι τετρακισεπίπεμπτος, ἐκ δὲ τοῦ ἐλάτ‐ τονος πολλαπλασιεπιμόριος ἤτοι διπλασιεπιτέταρτος, ὡς ἐκ τοῦ κε, κ, ιϛ ἤτοι | |
| 25 | κε, με, πα ἢ ιϛ, λϛ, πα. | |
1.23.15 | ἐπὶ πασῶν δὲ τῶν διαζευχθεισῶν καὶ ἀφ’ ἧς ἀμφό‐ τεραι, ὁ μὲν ἔσχατος τετράγωνος ὁ αὐτὸς μένει, ὁ δὲ πρῶτος εἰς τὸν ἐλάττονα μεταβαίνει, πάντως δὲ οἱ | |
1.23.16 | ἄκροι τετράγωνοι. ἀλλὰ μὴν καὶ ἑτέρως ἐκ τῶν ἐπιμερῶν οἱ πολλαπλασιεπιμερεῖς καὶ ἑτερογενεῖς ἐπιμερεῖς ἀναφαίνονται, οἷον ἐκ μὲν τῆς δισεπι‐ τρίτου ἀπὸ μὲν τοῦ ἐλάττονος ὅρου ἡ διπλασία καὶ | |
| 5 | δισεπίτριτος· ἐκ δὲ τοῦ μείζονος ἡ τρισεπίπεμπτος, ὡς ἐκ τοῦ θ, ιε, κε ἤτοι θ, κδ, ξδ | |
| 10 | ἢ κε, μ, ξδ· ἐκ δὲ τῆς τρισεπιτετάρτου ἐκ μὲν τοῦ μικροτέρου ἡ διπλασία καὶ τρισεπιτέταρτος, ἐκ δὲ τοῦ μείζονος ἡ | |
| τετρακισεφέβδομος, ὡς ἐπὶ τοῦ | 69 | |
| 15 | ιϛ, κη, μθ ἤτοι ιϛ, μδ, ρκα ἢ μθ, οζ, ρκα. | |
1.23.17 | πάλιν δὲ ἐκ τῆς τετρακισεπιπέμπτου, οἷον τῆς κε, με, πα, ἀπὸ μὲν τοῦ ἐλάσσονος ἡ διπλασία καὶ τετρακισεπί‐ πεμπτος ἐν τοῖς | |
| 5 | κε, ο, ρϙϛ, ἀπὸ δὲ τοῦ μείζονος πάλιν ἐπιμερὴς ἢ πεντακισεπέ‐ νατος ὡς ἐν τοῖς πα, ρκϛ, ρϙϛ, καὶ κατὰ τὰ ἑξῆς ἐπ’ ἄπειρον ἀνάλογα καὶ εὐάρμο‐ | |
| 10 | στα εὑρήσεις. | 70 |
2T1 | ΝΙΚΟΜΑΧΟΥ ΓΕΡΑΣΗΝΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΤΩΝ ΕΙΣ ΔΥΟ ΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟΝ. | |
2.1.1 | Ἐπειδὴ στοιχεῖον λέγεται καὶ ἔστιν, ἐξ οὗ ἐλαχίστου συνίσταταί τι καὶ εἰς ὃ ἐλάχιστον ἀναλύ‐ εται (οἷον γράμματα μὲν τῆς ἐγγραμμάτου φωνῆς στοιχεῖα λέγεται, ἐξ αὐτῶν τε γὰρ ἡ σύστασις τῆς | |
| 5 | συμπάσης ἐνάρθρου φωνῆς καὶ εἰς αὐτὰ ἔσχατα ἀναλύ‐ εται· φθόγγοι δὲ μελῳδίας ἁπάσης, ἀφ’ ὧν ἄρχεται συγκρίνεσθαι καὶ εἰς οὓς ἀναλύεται· κοινῇ δὲ τοῦ | |
| κόσμου τὰ λεγόμενα τέσσαρα στοιχεῖα ἁπλᾶ ὑπάρχει σώματα, πῦρ, ὕδωρ, ἀήρ, γῆ· ἐκ γὰρ πρωτίστων | 73 | |
| 10 | αὐτῶν ἡ σύστασις τοῦ παντὸς φυσιολογεῖται καὶ εἰς αὐτὰ ἔσχατα ἐπινοεῖται ἡ ἀνάλυσις), ἀποδεῖξαι δὲ βουλόμεθα, ὅτι καὶ ἡ ἰσότης στοιχεῖόν ἐστι τοῦ πρός τι ποσοῦ· τοῦ γὰρ ἁπλῶς καὶ καθ’ αὑτὸ ποσοῦ μο‐ νὰς ἦν καὶ δυὰς τὰ ἀρχικώτατα στοιχεῖα, ἐξ ὧν | |
| 15 | ἐλαχίστων καὶ ἐπ’ ἄπειρον ἀεὶ συνίσταται καὶ αὔξε‐ | |
2.1.2 | ται καὶ ἐπὶ τὸ μεῖον ἀναλυόμενον ἵσταται. ἀλλὰ τὴν μὲν ἐπὶ τῆς ἀνισότητος προκοπὴν καὶ ἐπαύξησιν ἀπεδείξαμεν ἀπὸ ἰσότητος γινομένην ἐπὶ πάσας ἁπλῶς τὰς σχέσεις μετά τινος εὐταξίας διὰ τριῶν | |
| 5 | προσταγμάτων· λοιπὸν δ’, ἵν’ ὡς ἀληθῶς στοιχεῖον ᾖ, ἀποδεικνύειν, ὅτι καὶ αἱ ἀναλύσεις ἐπ’ αὐτὴν ἐσχάτην περαιοῦνται· ἔφοδον ἰστέον τοιαύτην κα‐ θολικήν. | |
2.2.1 | Δοθέντων σοι τριῶν ὅρων ἐν ᾑτινιοῦν σχέσει καὶ ἀναλογίᾳ, εἴτε πολλαπλασίῳ εἴτε ἐπιμορίῳ εἴτε ἐπιμερεῖ εἴτε συνθέτῳ ἀπὸ τούτων πολλαπλασιεπιμορίῳ ἤτοι πολλαπλασιεπιμερεῖ, μόνον ἵνα ἐν τῷ αὐτῷ | |
| 5 | λόγῳ ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάττονα θεωρῆται, ἐν ᾧ ὁ μείζων πρὸς τὸν μέσον ἢ ἀνάπαλιν, αἰεὶ τὸν ἐλάτ‐ τονα ἀφαίρει ἀπὸ τοῦ μέσου, ἐάν τε πρῶτος ᾖ κεί‐ | |
| μενος ἐάν τε ἔσχατος, καὶ τίθει αὐτὸν μὲν τὸν ἐλάσσονα πρῶτον ὅρον, τὸ δὲ λειφθὲν ἀπὸ τοῦ | 74 | |
| 10 | δευτέρου μετὰ τὴν ἀφαίρεσιν δεύτερον τάσσε ὅρον, ἑνὸς δὲ τοιούτου πρώτου καὶ δύο τοιούτων δευτέ‐ ρων ἀφαιρεθέντων ἀπὸ τοῦ λοιποῦ, τουτέστιν ἀπὸ τοῦ μείζονος τῶν δοθέντων σοι, τὸ λειπόμενον ποίει τρίτον ὅρον καὶ ἔσονται αἱ γινόμεναι ἐν ἄλλῃ τινὶ | |
2.2.2 | σχέσει προγενεστέρᾳ κατὰ φύσιν. πάλιν δὲ ἀπ’ αὐτῶν τούτων τῷ αὐτῷ τρόπῳ ἂν ἀφέλῃς ὅρου τὸ λειπόμενον, οἱ τρεῖς ὅροι ἀναπεποδισμένοι σοι εὑρε‐ θήσονται εἰς πυθμενικωτέρους ἄλλους τρεῖς, καὶ | |
| 5 | τοῦτο ἀεὶ ἀκόλουθον εὑρήσεις γινόμενον, μέχρις ἂν εἰς ἰσότητα ἀναχθῶσιν· ἐξ οὗ πᾶσα ἀνάγκη δηλο‐ νότι ἀποφαίνεσθαι, τῆν ἰσότητα τοῦ πρός τι ποσοῦ | |
2.2.3 | στοιχεῖον πάντως εἶναι. παρέπεται δὲ τῇ τοιαύτῃ θεωρία ἐμμουσότατόν τι θεώρημα καὶ χρησιμώτατον εἴς τε τὴν Πλατωνικὴν ψυχογονίαν καὶ εἰς τὰ ἁρ‐ μονικὰ διαστήματα πάντα· κελευόμεθα γὰρ ἐκεῖ | |
| 5 | πυκνῶς λόγου χάριν ἀποστῆσαι ἐφεξῆς δύο ἡμιο‐ λίους λόγους ἢ τρεῖς ἢ τέσσαρας ἢ πέντε ἢ ἐπ’ ἄπειρον ἢ δύο ἐπιτρίτους ἢ ἐπιτετάρτους ἢ ἐπογ‐ δόους ἢ οἵους δήποτε ἐπιμορίους καὶ καθ’ ἕκαστον αὐτῶν ἢ τρεῖς ἢ τέσσαρας ἢ πέντε ἢ μέχρις ὅσων | |
2.2.4 | τις προστάσσει. εὔλογον δέ ἐστι, μὴ ἰδιωτικῶς καὶ ἀνεπιστημόνως, ἔστι δὲ ὅτε καὶ διημαρτημένως τὸ τοιοῦτον ποιεῖν, ἀλλ’ ἐντέχνως τε καὶ ἀπταίστως | |
| καὶ τάχιστα ἐφόδῳ τοιαύτῃ. | 75 | |
2.3.1 | Ἅπας πολλαπλάσιος τοσούτων ἐπιμορίων ἡγήσεται λόγων ἀντιπαρωνύμων αὐτῷ; ὁπόστος ἂν αὐτὸς ὢν τυγχάνῃ ἀπὸ μονάδος, οὔτε δὲ πλειόνων | |
2.3.2 | οὔτε ἐλαττόνων οὐδεμιᾷ μηχανῇ. διπλάσιοι μὲν οὖν ἡμιολίους φύσουσιν, ὁ πρῶτος ἕνα, ὁ δεύτερος δύο, ὁ τρίτος τρεῖς, ὁ τέταρτος τέσσαρας, ὁ πέμπτος πέντε, ὁ ἕκτος ἓξ καὶ οὔτε πλείονας οὔτε ἐλάττο‐ | |
| 5 | νας, ἀλλ’ ἐξ ἀνάγκης πάσης, ὅταν τὴν σύμμετρον ποσότητα ἀπολάβωσιν οἱ γεννηθέντες ἐπιμόριοι ἰσά‐ ριθμοι γενόμενοι τοῖς γεννήσασι πολλαπλασίοις, τότε δὴ ἔκ τινος δαιμονίας μηχανῆς εὑρίσκεται ὁ πάντας περαίνων ἀριθμὸς ἀνεπίδεκτος ὢν φύσει ἐκείνου | |
| 10 | τοῦ μορίου, καθ’ ὃ προέκοπτον οἱ ἐπιμόριοι· ἀπὸ δὲ τῶν τριπλασίων οἱ ἐπίτριτοι πάντες προκόψουσι καὶ αὐτοὶ ἰσάριθμοι τοῖς γεννῶσιν οἱ γεννώμενοι καὶ περαιούμενοί γε μετὰ τὴν αὐτάρκειαν τῆς προ‐ κοπῆς εἰς ἀριθμοὺς μὴ ἐπιδεκτικοὺς τρίτου· καὶ ἐπι‐ | |
| 15 | τέταρτοι δὲ κατὰ ταυτὸν ἐκ τετραπλασίων ἐπικορύ‐ φωσιν λαμβάνοντες ἀριθμὸν μετὰ τὴν αὐτάρκη | |
2.3.3 | πρόβασιν τετάρτου μὴ ἐπιδεκτικόν. οἷον διπλασίων μὲν ὑποδείγματος χάριν ἰσαρίθμους γεννώντων ἡμιολίους ὁ μὲν ἄνω στίχος ἔσται πολλαπλασίων ὁ | |
| πρῶτος | 76 | |
| 5 | α, β, δ, η, ιϛ, λβ, ξδ· ἐπεὶ δὲ πρῶτός ἐστιν ὁ β μετὰ τὴν μονάδα, ἑνὸς κατάρξει οὗτος ἡμιολίου μόνου τοῦ γ, ὅστις ἡμίσους ἐπιδεκτικὸς οὐκ ἔστιν, ἵνα καὶ ἄλλος αὐτοῦ γένηται ἡμιόλιος· ὁ πρῶτος ἄρα διπλάσιος ἑνὸς μόνου γεν‐ | |
| 10 | νητικός ἐστιν ἡμιολίου, ὁ δὲ δεύτερος ὁ δ δυεῖν γεννητικὸς ἡμιολίων, αὐτοῦ μὲν γὰρ ὁ ϛ, τοῦ δὲ ϛ ὁ θ, τοῦ δὲ θ οὐκ ἔστιν ἄλλος, ἥμισυ γὰρ οὐκ ἔχει· ὁ δὲ η τρίτος ὢν διπλάσιος τριῶν ἡμιολίων ἔσται πατήρ, ἑνὸς μὲν τοῦ ιβ πρὸς αὐτόν, ἑτέρου δὲ τοῦ | |
| 15 | ιη πρὸς τὸν ιβ, τρίτου δὲ τοῦ κζ πρὸς τὸν ιη, τετάρ‐ του δὲ οὐκέτι διὰ τὸ καθολικόν, ὁ γὰρ κζ ἥμισυ οὐκέτι ἐπιδέχεται· ὁ δὲ ιϛ τέταρτος ὢν διπλάσιος τεσσάρων ἡγήσεται ἡμιολίων, τοῦ τε κδ, τοῦ λϛ, τοῦ νδ καὶ τοῦ πα τελευταίου, ἵνα ἰσάριθμοι ἀναγ‐ | |
| 20 | καίως ὦσι τοῖς γεννήσασιν, ὁ γὰρ πα οὐκέτι ἥμισυ φύσει ἐπιδέχεται· καὶ τοῦτο μέχρις ἀπείρου προιὼν | |
2.3.4 | ἀνάλογον εὑρήσεις. οἷον ὑποδείξεως ἕνεκα γε‐ γράφθω οὕτως διπλασίου διάγραμμα· | |
| [Omitted graphic marker] | 77 | |
2.4.1 | Τριπλασίου δὲ ὑπόδειγμα παραπλήσιον δια‐ γράφειν δεῖ· [Omitted graphic marker] ἐν ᾧ κατὰ ταυτὰ ὀψόμεθα τὸν μὲν πρῶτον τὸν γ | |
| 5 | ἑνὸς μόνου ἐπιτρίτου ἡγούμενον λόγου τοῦ δ πρὸς αὐτόν, ὅστις ἀποκλείει εὐθὺς ἑτέρου γένεσιν ὁμοίου· τρίτον γὰρ οὐκ ἐπιδέχεται ὁ δ, οὐκ ἄρα οὐδ’ ἐπί‐ τριτον ἕξει· δεύτερος δὲ τριπλάσιός ἐστιν ὁ θ, διὰ τοῦτο δυεῖν μόνων ἐπιτρίτων κατάρξει λόγων τοῦ | |
| 10 | τε ιβ πρὸς αὐτὸν καὶ τοῦ ιϛ πρὸς τὸν ιβ· ὁ δὲ ιϛ ἀνακόπτει τὴν πρόβασιν λοιπόν, τρίτου γὰρ οὐκ ἔστιν ἐπιδεκτικός, διόπερ οὐδὲ ἐπίτριτόν τινα ἔχει | |
2.4.2 | ἐν ἑαυτῷ. ἑξῆς δὲ τέτακται τριπλάσιος ὁ κζ ἐν | |
| τρίτῃ ἀπὸ μονάδος χώρᾳ τριπλασίων προχωρούντων α, γ, θ, κζ· διὰ τοῦτο τριῶν μόνων κατάρξει καὶ αὐτὸς ἐπιτρί‐ | 78 | |
| 5 | των λόγων, πλειόνων δὲ οὐδαμῶς· αὐτοῦ μὲν γὰρ πρῶτος ὁ λϛ, τούτου δὲ δεύτερος ὁ μη, τρίτος δὲ τούτου ὁ ξδ, ὃς οὐκέτι τρίτον μέρος ἔχει, διὸ οὐδ’ ἐπιτρίτου δεκτικός, καὶ ὁ τέταρτος τεσσάρων ἡγε‐ | |
2.4.3 | μών ἐστι λόγων καὶ ὁ πέμπτος δηλονότι πέντε. τὸ δὲ ὑπόδειγμα τοιοῦτον· καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δὲ πο‐ λυπλασίων ὁ αὐτὸς τῶν διαγραμμάτων ἔστω σοι τρόπος παρατηροῦντι, ὅτι καὶ ἐνταῦθα ἡ φύσις, | |
| 5 | ὥσπερ καὶ ἐν τοῖς προτεχνολογηθεῖσιν εὕρομεν, προγενεστέρους ἡμῖν παρεμφαίνει διπλασίους μὲν τριπλασίων, τριπλασίους δὲ τετραπλασίων, τούτους δὲ πενταπλασίων, καὶ ἀεὶ οὕτως μέχρι παντός· οἱ μὲν γὰρ ἐπὶ πλάτος στίχοι οἱ ἀνωτάτω, ἐὰν ὦσι δι‐ | |
| 10 | πλάσιοι, ὁμοίως ἕξουσι τοὺς ὑπ’ αὐτοὺς παραλλήλους κειμένους, τοὺς δὲ ὑποτείνοντας διαγωνίους τοῦ αὐτοῦ γένους τὸ συνεχὲς καὶ μονάδι μεῖζον εἶδος, ὅ ἐστι τριπλασίους, ἐν παραλλήλῳ ἐξετάσει θεω‐ ρουμένους· εἰ δ’ οἱ ἐπὶ πλάτος εἶεν τριπλάσιοι, | |
| 15 | πάντως οἱ διαγώνιοι ἔσονται τετραπλάσιοι, εἰ δὲ ἐκεῖνοι τετραπλάσιοι, εὐθὺς οὗτοι πενταπλάσιοι, | |
| καὶ τοῦτο μέχρις ἀεί. | 79 | |
2.5.1 | Λοιπὸν δεῖ, σαφηνίσαντας τὰς τῶν λόγων συνθέσεις, τίνων ἑτέρων ἀποδοτικαί εἰσι, μεταβῆναι | |
2.5.2 | ἐπὶ τὰ τῆς εἰσαγωγῆς ἀκόλουθα. οἱ πρῶτοι τοίνυν τοῦ ἐπιμορίου δύο λόγοι συλληφθέντες εἰς τὸ αὐτὸ γεννῶσι τὸν τοῦ πολλαπλασίου πρῶτον λόγον, τουτ‐ έστι τὸν διπλάσιον· πᾶς γὰρ διπλάσιος σύστημα | |
| 5 | ἔσται ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου καὶ πᾶς ἡμιόλιος καὶ ἐπίτριτος συντεθέντες ἀποδοτικοὶ ἑνὸς διπλασίου πάντως ἔσονται· οἷον ἐπεὶ ὁ γ ἡμιόλιος τοῦ β, ὁ δὲ δ ἐπίτριτος τοῦ γ, ἔσται τοῦ β ὁ δ διπλάσιος σύν‐ θετος ὢν ἐξ ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου· πάλιν ἐπεὶ ὁ ϛ | |
| 10 | διπλάσιός ἐστι τοῦ γ, εὑρήσομεν ἀνὰ μέσον αὐτῶν ἀριθμόν τινα τεταγμένον, ὃς ἐξ ἀνάγκης πρὸς μὲν τὸν ἕτερον τὸν ἐπίτριτον σώζει λόγον, πρὸς δὲ τὸν λοιπὸν τὸν ἡμιόλιον· ὁ γοῦν δ ἀνὰ μέσον κείμενος τοῦ ϛ καὶ τοῦ γ πρὸς μὲν τὸν γ ἀποδίδωσι λόγον | |
2.5.3 | ἐπίτριτον, πρὸς δὲ τὸν ϛ τὸν ἡμιόλιον. ὀρθῶς ἄρα ἐλέχθη, διαλυόμενον μὲν τὸν διπλάσιον εἰς ἡμιόλιον καὶ ἐπίτριτον διαλύεσθαι, συντιθεμένων δὲ πάντως ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου μόνον συνίστασθαι διπλά‐ | |
| 5 | σιον καὶ τὰ τοῦ ἐπιμορίου δύο πρώτιστα εἴδη συν‐ τεθέντα ποιητικὰ εἶναι τοῦ τῶν πολλαπλασίων | |
2.5.4 | πρωτίστου εἴδους. πάλιν δὲ ἐξ ἄλλης ἀρχῆς τὸ γεννηθὲν τοῦτο τοῦ πολλαπλασίου πρώτιστον εἶδος | |
| μετὰ τοῦ πρώτου τῶν ἐπιμορίων εἴδους ἀποδοτικὸν γίνεται τοῦ ὁμογενοῦς αὐτῶν συνεχοῦς εἴδους, τουτ‐ | 80 | |
| 5 | έστι τοῦ δευτέρου πολλαπλασίου, ὅπερ ἐστὶ τρι‐ πλασίου· ἐκ γὰρ παντὸς διπλασίου καὶ ἡμιολίου συντεθέντων τριπλάσιον ἐξ ἀνάγκης φύεται· οἷον ἐπεὶ τοῦ ϛ διπλάσιος ὁ ιβ, αὐτοῦ δὲ τούτου ἡμιό‐ λιος ὁ ιη, εὐθὺς καὶ τριπλάσιος ὁ ιη τοῦ ϛ· καὶ | |
| 10 | ἑτέρῳ τρόπῳ ἐὰν μὴ τὸν ιβ θέλω μέσον ποιεῖν, ἀλλὰ μᾶλλον τὸν τοῦ ϛ ἡμιόλιον τὸν θ, τὸ αὐτό μοι ἀπαράλλακτον καὶ σύμφωνον συμβήσεται· τοῦ γὰρ θ ὁ ιη διπλάσιος ὢν τὸν τριπλάσιον λόγον σώσει πρὸς τὸν ϛ· ἐξ ἡμιολίου ἄρα καὶ διπλασίου πρώ‐ | |
| 15 | των εἰδῶν ἐπιμορίου καὶ πολλαπλασίου συνίσταται μιγέντων τὸ δεύτερον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου τὸ | |
2.5.5 | τριπλάσιον καὶ εἰς αὐτὰ δὲ πάντως ἀναλύεται. ἰδοὺ γὰρ ὁ ϛ τοῦ β τριπλάσιος ὢν ἕξει μέσον τὸν γ, ὃς δύο λόγους παραδείξει, τὸν μὲν ἡμιόλιον πρὸς τὸν β, πρὸς ἑαυτὸν δὲ διπλάσιον τὸν τοῦ ϛ· ἐὰν δὲ | |
| 5 | καὶ ὁ τριπλάσιος οὗτος δεύτερον εἶδος ὢν τοῦ πολ‐ λαπλασίου συντεθῇ ἐπιτρίτῳ δευτέρῳ εἴδει ὄντι τοῦ ἐπιμορίου γένοιτ’ ἂν ἐξ ἀμφοτέρων τὸ συνεχὲς τοῦ πολλαπλασίου εἶδος, τουτέστι τὸ τετραπλάσιον, ὃ καὶ ἀναγκαίως εἰς ἀμφότερα ἀναλυθήσεται κατὰ | |
| 10 | τὴν αὐτὴν τοῖς προδεδηλωμένοις φύσιν· τὸ δὲ τε‐ τραπλάσιον προσλαβὸν τὸ ἐπιτέταρτον ποιητικὸν | |
| ἔσται τοῦ πενταπλασίου καὶ πάλιν ἐκεῖνο σὺν τῷ ἐπιπέμπτῳ τοῦ ἑξαπλασίου, καὶ τοῦτο μέχρι παντός, ἵνα εὔτακτοι οἱ ἐξ ἀρχῆς πολλαπλάσιοι μετὰ εὐτά‐ | 81 | |
| 15 | κτων τῶν ἐξ ἀρχῆς ἐπιμορίων ἀποδοτικοὶ εὑρίσκων‐ ται τῶν ἐπὶ τὸ μεῖζον συνεχῶν πολλαπλασίων· διπλάσιος μὲν γὰρ μεθ’ ἡμιολίου τριπλασιότητος ποιητικός, τριπλάσιος δὲ μετ’ ἐπιτρίτου τετραπλα‐ σιότητος, τετραπλάσιος δὲ μετ’ ἐπιτετάρτου πεντα‐ | |
| 20 | πλασιότητος καί, ἕως προχωρεῖν θέλεις, οὐδὲν ὑπεναντίον σοι συμβαῖνον φανεῖται. | |
2.6.1 | Μέχρι μὲν οὖν τοῦδε ἱκανῶς περὶ τοῦ πρὸς ἕτερόν πως ἔχοντος ποσοῦ διειλέγμεθα συμμετρη‐ σάμενοι κατ’ ἐκλογὴν τὰ προσήκοντα καὶ εὐπερίλη‐ πτα τῇ τῶν ἄρτι εἰσαγομένων ἕξει· τὰ γὰρ εἰς τὸν | |
| 5 | τόπον τοῦτον ὑπόλοιπα προσπληρωθήσεται διαλι‐ πόντων πάλιν ἡμῶν καὶ προτεχνολογησάντων ἕτερά τινα προὐργιαιτέραν τὴν σκέψιν ἔχοντα ἐκ τῶν συμβεβηκότων τῷ καθ’ αὑτὸ ποσῷ καὶ μὴ τῷ πρὸς ἕτερόν πως ἔχοντι, αἰεὶ γὰρ δι’ ἀλλήλων φιλεῖ πως | |
| 10 | διαρθροῦσθαι καὶ σαφηνίζεσθαι τὰ ἐν τοῖς μαθή‐ μασι θεωρήματα· ἃ δὲ χρὴ προεπισκοπῆσαι καὶ | |
| προθεάσασθαι, ἔστι περί τε γραμμικῶν ἀριθμῶν καὶ ἐπιπέδων καὶ στερεῶν, κυβικῶν τε καὶ σφαιρικῶν, καὶ ἰσοπλεύρων καὶ σκαληνῶν, πλινθίδων τε καὶ | 82 | |
| 15 | δοκίδων καὶ σφηνίσκων καὶ τῶν ὁμοίων, ἃ δὴ ἰδίως μὲν ἐν τῇ γεωμετρικῇ παραδίδοται εἰσαγωγῇ τοῦ πηλίκου οἰκειότερα ὄντα, σπερματικώτερον δὲ προσ‐ παραλαμβάνεται ἐν τῇ ἀριθμητικῇ ὡσὰν μητρὶ καὶ ἀρχεγονωτέρᾳ ἐκείνης· μεμνήμεθα γάρ, ὅτι πρὸ | |
| 20 | βραχέος τοιαύτη ἡμῖν ἐφάνη συναναιροῦσα μὲν τὰς ἄλλας ἐπιστήμας ἑαυτῇ, οὐ συναναιρουμένη δὲ ἐκείναις, καὶ ἔμπαλιν συνεπιφερομένη μὲν ἐκείναις ἀναγκαίως, οὐ συνεπιφέρουσα δὲ αὐτὰς ἑαυτῇ. | |
2.6.2 | Πρότερον δὲ ἐπιγνωστέον, ὅτι ἕκαστον γράμμα, ᾧ σημειούμεθα ἀριθμόν, οἷον τὸ ι, ᾧ τὰ δέκα, τὸ κ, ᾧ τὰ εἴκοσι, τὸ ω, ᾧ τὰ ὀκτακόσια, νόμῳ καὶ συν‐ θήματι ἀνθρωπίνῳ, ἀλλ’ οὐ φύσει σημαντικόν ἐστι | |
| 5 | τοῦ ἀριθμοῦ, ἡ δὲ φυσικὴ καὶ ἀμέθοδος καὶ διὰ τοῦτο ἁπλουστάτη σημείωσις τῶν ἀριθμῶν εἴη ἂν ἡ τῶν μονάδων τῶν ἐν ἑκάστῳ οὐσῶν παράλληλος ἔκθεσις· οἷον μιᾶς μὲν μονάδος γραφὴ διὰ τοῦ ἑνὸς ἄλφα σημεῖον ἔσται τοῦ ἑνός, δυεῖν δὲ μονά‐ | |
| 10 | δων παραλλήλων, τουτέστι δυεῖν ἄλφα ἔκθεσις ση‐ μεῖον ἔσται τῆς δυάδος, τριῶν δὲ ἐπ’ εὐθείας ἀλλή‐ λοις κειμένων τριάδος ἔσται χαρακτὴρ καὶ τεσσάρων ἐπ’ εὐθὺ τεταγμένων τετράδος καὶ πέντε πεντάδος καὶ ἀεὶ οὕτως· διὰ γὰρ τῆς τοιαύτης γραφῆς καὶ | |
| 15 | σημάνσεως ἡ τῶν φρασθησομένων ἐπιπέδων τε καὶ στερεῶν σχηματογραφία τρανωθῆναι δύναιτ’ ἂν μόνως καὶ σαφηνισθῆναι, οἷον μονὰς μὲν α, δυὰς δὲ αα, | 83 |
| 20 | τριὰς δὲ ααα, τετρὰς δὲ αααα, πεντὰς δὲ ααααα, | |
2.6.3 | καὶ εἰς πλείονα ἀεὶ ἀναλόγως. ἔσται οὖν ἡ μὲν μο‐ νὰς σημείου τόπον ἐπέχουσα καὶ τρόπον ἀρχὴ μὲν διαστημάτων καὶ ἀριθμῶν, οὔπω δὲ διάστημα οὐδὲ ἀριθμός, ὡς τὸ σημεῖον ἀρχὴ μὲν γραμμῆς καὶ δια‐ | |
| 5 | στήματος, οὔπω δὲ γραμμὴ οὐδὲ διάστημα· ἀμέλει οὔτε σημείῳ σημεῖον συντεθὲν πλεῖόν τι ποιεῖ, ἀδιάστατον γὰρ ἀδιαστάτῳ συντεθὲν διάστημα οὐχ ἕξει, ὥσπερ εἴ τις τὸ οὐδὲν οὐδενὶ συντεθὲν σκέ‐ πτοιτο, οὐδὲν γὰρ ποιεῖ· κατὰ ταυτὰ γὰρ ἐφαίνετο | |
| 10 | καὶ ἐπὶ τῆς ἰσότητος ἡμῖν ἐν ταῖς σχέσεσι, σώζεται μὲν γὰρ ἀναλογία, ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον, οὕτως ὁ δεύτερος πρὸς τὸν τρίτον, οὐ μὴν διάστημα γεννᾶταί τι τοῖς ἄκροις πρὸς ἀλλήλους, ὥσπερ ἐπὶ τῶν ἄλλων τῶν χωρὶς ἰσότητος σχέσεων πασῶν· | |
| 15 | τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον καὶ μονὰς ἐκ παντὸς μόνη τοῦ ἀριθμοῦ ἑαυτὴν πολλαπλασιάσασα οὐδὲν πλέον ἑαυ‐ τῆς γεννᾷ· ἀδιάστατος ἄρα ἡ μονὰς καὶ ἀρχοει‐ | |
| δής, πρῶτον δὲ διάστημα εὑρίσκεται καὶ φαίνεται ἐν δυάδι, εἶτ’ ἐν τριάδι, εἶτα ἐν τετράδι καὶ ἑξῆς ἐν | 84 | |
| 20 | τοῖς ἀκολούθοις· διάστημα γάρ ἐστι δυεῖν ὅρων τὸ | |
2.6.4 | μεταξὺ θεωρούμενον. πρῶτον δὲ διάστημα γραμμὴ λέγεται, γραμμὴ γάρ ἐστι τὸ ἐφ’ ἓν διαστατόν· δύο δὲ διαστήματα ἐπιφάνεια, ἐπιφάνεια γάρ ἐστι τὸ διχῆ διαστατόν· τρία δὲ διαστήματα στερεόν, στε‐ | |
| 5 | ρεὸν γάρ ἐστι τὸ τριχῆ διαστατὸν καὶ οὐκ ἔστιν οὐδαμῶς ἐπινοεῖν στερεόν, ὃ πλεόνων τέτευχε δια‐ στημάτων ἢ τριῶν, βάθους, πλάτους, μήκους· τού‐ τοις γὰρ αἱ λεγόμεναι περὶ πᾶν σῶμα ὑπάρχειν ἓξ περιστάσεις ὁρίζονται, καθ’ ἃς αἱ κατὰ τόπον κινή‐ | |
| 10 | σεις διακρίνονται, πρόσω, ὀπίσω, ἄνω, κάτω, δεξιά, ἀριστερά· ἑκάστῳ γὰρ διαστήματι δύο ἐξ ἀνάγκης περιστάσεις παρέπονται ἀλλήλαις ἀντίθετοι, ἑνὶ μὲν αἱ ἄνω καὶ κάτω, ἑτέρῳ δὲ αἱ πρόσω καὶ ὀπίσω, τῷ | |
2.6.5 | τρίτῳ δὲ αἱ ἐπὶ δεξιὰ καὶ ἀριστερά. καὶ συμβαίνει πως οὕτως ἀναστρέφειν τὸν λόγον· εἴ τι γὰρ στε‐ ρεόν ἐστιν, ἐκεῖνο τὰς τρεῖς διαστάσεις πάντως ἔχει, μῆκος, βάθος, πλάτος καὶ ἔμπαλιν, εἴ τι ἔχει τὰς | |
| 5 | τρεῖς διαστάσεις, ἐκεῖνο πάντως στερεόν ἔστιν, ἄλλο | |
2.6.6 | δ’ οὐδέν. οὐκ ἄρα τὸ δύο μόνον ἔχον διαστάσεις ἔσται στερεόν, ἀλλ’ ἐπιφάνεια, αὕτη γὰρ διαστημά‐ των ἐπιδεκτικὴ δυεῖν ἐστι μόνων· καὶ ἐπ’ αὐτῆς δυνατὸν ὁμοιοτρόπως ἀντιστρέφειν τὸν λόγον, ἐπι‐ | |
| 5 | φάνειά τε γὰρ ὀρθῶς τὸ διχῆ διαστατὸν καὶ πάλιν | 85 |
2.6.7 | τὸ διχῆ διαστατὸν πάντως ἐπιφάνεια ἔσται. ἑνὶ ἄρα διαστήματι ἠλάττωται ἐπιφάνεια στερεοῦ, ἑνὶ δὲ καὶ γραμμὴ ἐπιφανείας οὖσα τὸ ἐφ’ ἓν διαστατὸν καὶ ἑνὸς μόνου τετευχυῖα διαστήματος, λειπομένη δὲ | |
| 5 | στερεοῦ δυσὶ διαστήμασι· ταύτης δ’ αὐτῆς λείπεται ἑνὶ διαστήματι τὸ σημεῖον· διὰ τοῦτο προελέχθη εἶναι ἀδιάστατον στερεοῦ μὲν τρισὶ διαστήμασι λει‐ πόμενον, ἐπιφανείας δὲ δυσί, γραμμῆς δὲ ἑνί. | |
2.7.1 | Ἔστιν οὖν σημεῖον ἀρχὴ διαστήματος, οὐ διά‐ στημα δέ, τὸ δ’ αὐτὸ καὶ ἀρχὴ γραμμῆς, οὐ γραμμὴ δέ· καὶ γραμμὴ ἀρχὴ ἐπιφανείας, οὐκ ἐπιφάνεια δέ, καὶ ἀρχὴ τοῦ διχῆ διαστατοῦ, οὐ διχῆ δὲ διαστατόν. | |
2.7.2 | καὶ εἰκότως ἡ ἐπιφάνεια ἀρχὴ μὲν σώματος, οὐ σῶμα δέ, καὶ ἡ αὐτὴ ἀρχὴ μὲν τοῦ τριχῆ διαστατοῦ, | |
2.7.3 | οὐ τριχῆ δὲ διαστατόν. οὕτως δὴ καὶ ἐν τοῖς ἀριθ‐ μοῖς ἡ μὲν μονὰς ἀρχὴ παντὸς ἀριθμοῦ ἐφ’ ἓν διά‐ στημα κατὰ μονάδα προβιβαζομένου, ὁ δὲ γραμμικὸς ἀριθμὸς ἀρχὴ ἐπιπέδου ἀριθμοῦ ἐφ’ ἕτερον διά‐ | |
| 5 | στημα ἐπιπέδως πλατυνομένου, ὁ δὲ ἐπίπεδος ἀριθ‐ μὸς ἀρχὴ στερεοῦ ἀριθμοῦ ἐπὶ τρίτον διάστημα πρὸς τὰ ἐξ ἀρχῆς βάθος τι προσκτωμένου· οἷον καθ’ ὑποδιαίρεσιν γραμμικοὶ μέν εἰσιν ἀριθμοὶ ἁπλῶς ἅπαντες οἱ ἀπὸ δυάδος ἀρχόμενοι καὶ κατὰ μονάδος | |
| 10 | πρόσθεσιν ἐπὶ ἓν καὶ τὸ αὐτὸ προχωροῦντες διά‐ | |
| στημα, ἐπίπεδοι δὲ οἱ ἀπὸ τριάδος ἀρχόμενοι ἀρχι‐ κωτάτης ῥίζης καὶ διὰ τῶν ἑξῆς συνεχῶν ἀριθμῶν προιόντες, λαμβάνοντες καὶ τὴν ἐπωνυμίαν κατὰ τὴν αὐτὴν τάξιν· πρώτιστοι γὰρ τρίγωνοι, εἶτα μετ’ | 86 | |
| 15 | αὐτοὺς τετράγωνοι, εἶτα μετ’ αὐτοὺς πεντάγωνοι, εἶτα ἐπὶ τούτοις ἑξάγωνοι καὶ ἑπτάγωνοι καὶ ἐπ’ ἄπειρον· προσαγορεύονται δέ, ὡς ἔφαμεν, ἀπὸ τῶν | |
2.7.4 | ἀπὸ τριάδος ἐφεξῆς κειμένων ἀριθμῶν. ἀρχικώτα‐ τον ἄρα σχῆμα ἐπιπέδων καὶ στοιχειωδέστατον τὸ τρίγωνον εὑρίσκεται· καὶ γὰρ ἐν τοῖς γραμμικοῖς ἐπιπέδοις ἐὰν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰ μέσα εὐθεῖαι | |
| 5 | ἀχθῶσι, λυθήσεται ἕκαστον εὐθύγραμμον σχῆμα πάντως εἰς τρίγωνα τοσαῦτα, ὅσαιπερ ἂν αὐτοῦ τυγχάνωσιν αἱ πλευραί, αὐτὸ δὲ τὸ τρίγωνον τὸ αὐτὸ τοῖς ἄλλοις παθὸν εἰς ἕτερόν τι οὐ μεταπεσεῖ‐ ται, ἀλλ’ εἰς ἑαυτό· στοιχεῖον ἄρα καὶ ἐν ἐκείνοις τὸ | |
| 10 | τρίγωνον· εἰς αὐτὸ γὰρ τὰ ἄλλα πάντα ἀναλύεται ἀναγκαίως, αὐτὸ δὲ οὐκ εἰς ἕτερον· ἐκ τούτου ἂν καὶ συσταίη τὰ λοιπά, αὐτὸ δὲ ἐξ οὐδενός· στοι‐ | |
2.7.5 | χεῖον ἄρα τοῦτο τῶν ἄλλων, αὐτοῦ δὲ οὐδέν. κἀν τοῖς ἀριθμητικοῖς δὲ ἐπιπέδοις προιὼν ὁ λόγος βε‐ βαιώσει τὸ λεγόμενον. | |
2.8.1 | Τρίγωνος μὲν οὖν ἐστιν ἀριθμὸς ὁ διαλυό‐ μενος εἰς μονάδας καὶ τὴν κατ’ ἐπίπεδον θέσιν τῶν μορίων ἰσόπλευρον σχηματογραφῶν εἰς τριγωνισμόν, οὗ ὑποδείγματα ὁ | 87 |
| 5 | γ, ϛ, ι, ιε, κα, κη καὶ οἱ ἐφεξῆς· σχηματογραφίαι γὰρ αὐτῶν εὔτακτοι ἔσονται τρίγωνοί τε ἅμα καὶ ἰσόπλευροι, καὶ τὸ τοιοῦτον, μέχρις οὗ βούλει, προκόπτων τριγωνιζό‐ μενον εὑρήσεις πρὸ πάντων στοιχειωδέστατον τάτ‐ | |
| 10 | των τὸ ἐκ μονάδος γινόμενον, ἵνα καὶ τρίγωνος δυ‐ νάμει φαίνηται ἡ μονάς, ἐνεργείᾳ δὲ πρῶτος ὁ γ. | |
2.8.2 | πλευραὶ δὲ παραυξηθήσονται τῷ συνεχεῖ ἀριθμῷ, τοῦ μὲν γὰρ δυνάμει πρώτου πλευρὰ μονάς, τοῦ δὲ ἐνεργείᾳ πρώτου πλευρὰ δυάς, τουτέστι τοῦ γ, τοῦ δὲ ἐνεργείᾳ δευτέρου πλευρὰ τριάς, τουτέστι τοῦ ϛ, | |
| 5 | τοῦ δὲ τρίτου πλευρὰ τετρὰς καὶ τοῦ τετάρτου | |
2.8.3 | πεντὰς καὶ τοῦ πέμπτου ἑξὰς καὶ ἀεὶ οὕτως. γεν‐ νᾶται δὲ τοῦ φυσικοῦ ἀριθμοῦ στοιχηδὸν ἐκτεθέντος καὶ ἀεὶ ἀπ’ ἀρχῆς τῶν συνεχῶν κατὰ ἕνα συντιθε‐ μένων, κατὰ γὰρ ἑκάστην σύνθεσιν καὶ προσσώρευ‐ | |
| 5 | σιν οἱ εὔτακτοι τρίγωνοι συντελοῦνται· οἷον ἐκ μὲν τοῦ φυσικοῦ στίχου τούτου α, β, γ, δ, ε, ϛ, ζ, η, θ, ι, ια, ιβ, ιγ, ιδ, ιε | |
| τὸν μὲν πρώτιστον λαβὼν ἔχω τὸν δυνάμει πρῶτον τρίγωνον, τὴν μονάδα [1], εἶτα τὸν συνεχῆ αὐτῷ | 88 | |
| 10 | ἐπισωρεύσας ἔχω τὸν ἐνεργείᾳ πρῶτον τρίγωνον, β γὰρ καὶ α ὁ γ ἐστί, καὶ τῇ γε σχηματογραφίᾳ οὕτως συνίσταται· ἐπὶ μιᾷ μονάδι δύο μονάδες παράλλη‐ λοι ὑποτίθενται καὶ τριγωνίζεται ὁ γ ἀριθμός [2]· εἶτα ἑξῆς ἐπὶ τούτοις ὁ γ συνεχὴς προσσωρευθεὶς | |
| 15 | καὶ ἐξαπλωθείς γε εἰς μονάδα καὶ συντεθεὶς τὸν ϛ ἀποδίδωσι δεύτερον ἐνεργείᾳ τρίγωνον καὶ προσέτι σχηματογραφεῖ [3]· καὶ πάλιν ὁ φύσει ἀκόλουθος ὁ δ ἐπὶ τούτοις σωρευθεὶς καὶ μοναδιστὶ ὑπογραφεὶς τὸν εὔτακτον μετὰ τοὺς εἰρημένους ἀποδίδωσι τὸν | |
| 20 | ι καὶ τριγωνιστί γε σχηματίζεται [4]· καὶ ὁ ε ἐπὶ τούτῳ, εἶτα ὁ ϛ, εἶτα ὁ ζ καὶ οἱ ἑξῆς ἅπαντες, ὥστ’ ἐμμελῶς καὶ τὰς πλευρὰς ἑκάστου τοσούτων εἶναι μονάδων, ὁπόσοιπερ ἀριθμοὶ συνετέθησαν ἐκ τοῦ φυσικοῦ στίχου εἰς τὴν αὐτοῦ σύστασιν [5 6 7]· | |
| 25 | [1][Omitted graphic marker] [2][Omitted graphic marker] [3][Omitted graphic marker] [4][Omitted graphic marker] [5][Omitted graphic marker] | |
| [6][Omitted graphic marker] [7][Omitted graphic marker] | 89 | |
2.9.1 | Τετράγωνος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ συνεχὴς τούτῳ καὶ μηκέτι τρεῖς, ὡς ὁ πρό‐ σθεν, ἀλλὰ τέσσαρας ἐν τῇ | |
| 5 | καταγραφῇ γωνίας ἀποδι‐ δούς, ἐν ἰσοπλεύρῳ μέντοι καὶ αὐτὸς σχηματισμῷ, οἷον α, δ, θ, ιϛ, κε, λϛ, μθ, ξδ, πα, ρ· | |
| 10 | τούτων γὰρ αἱ καταγρα‐ φαὶ ἰσόπλευροι τετραγωνι‐ σμοὶ οὕτω πως γίνονται· | |
| [Omitted graphic marker] | 90 | |
2.9.2 | καὶ ἐφεξῆς οὕτως, μέχρις οὗ βούλει. καὶ τούτοις δὲ συμβέβηκεν, ὥσπερ καὶ τοῖς πρὸ αὐτῶν, τὴν τῶν πλευρῶν πρόβασιν κατὰ τὸν φυσικὸν ἀριθμὸν προ‐ κόπτειν· τῷ μὲν γὰρ δυνάμει πρώτῳ τῷ ἑνὶ πλευρὰ | |
| 5 | μονάς, τῷ δὲ ἐνεργείᾳ πρώτῳ τῷ δ πλευρὰ δυάς, τῷ δὲ ἐνεργείᾳ δευτέρῳ τῷ θ πλευρὰ τριάς, τῷ δὲ μετ’ αὐτὸν ἐνεργείᾳ τρίτῳ τῷ ιϛ πλευρὰ τετρὰς καὶ τῷ τετάρτῳ πεντὰς καὶ τῷ πέμπτῳ ἑξὰς καὶ καθό‐ | |
2.9.3 | λου ἑξῆς τοῖς ἐφεξῆς. γεννᾶται δὲ καὶ οὗτος στοι‐ χηδὸν ἐκτεθέντος φυσικοῦ ἀριθμοῦ τῇ μονάδι ἐπι‐ σωρευθέντων οὐκέτι τῶν ἐφεξῆς τοῖς ἐφεξῆς, ὡς δέδεικται, ἀλλὰ τῶν παρ’ ἕνα κειμένων πάντων, | |
| 5 | τουτέστι τῶν περισσῶν· πρῶτος γὰρ ὁ α δυνάμει πρῶτος τετράγωνος, δεύτερος ὁ α καὶ γ ἐνεργείᾳ πρῶτος τετράγωνος, τρίτος δὲ ὁ α καὶ γ καὶ ε ἐνερ‐ γείᾳ δεύτερος τετράγωνος, τέταρτος δὲ ὁ α καὶ γ καὶ ε καὶ ζ ἐνεργείᾳ τρίτος τετράγωνος καὶ ὁ ἑξῆς τοῖς | |
| 10 | προτέροις προσσωρευθέντος τοῦ θ γίνεται καὶ ὁ | |
2.9.4 | μετ’ αὐτόν τοῦ ια προστεθέντος καὶ οὕτως ἀεί. καὶ ἐπὶ τούτων δὲ συμβέβηκε τοσούτων μονάδων τὴν ἑκάστου πλευρὰν εἶναι, ὁπόσοιπερ ἂν ὦσιν οἱ εἰς | |
| τὴν αὐτοῦ γένεσιν ἐπισωρευθέντες ἀριθμοί. | 91 | |
2.10.1 | Πεντάγωνος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ καὶ αὐτὸς κατὰ τὴν ἐξάπλωσιν τὴν εἰς μονάδα σχηματογρα‐ φούμενος ἐπιπέδως εἰς πενταγωνικὸν σχῆμα πάντη ἰσόπλευρον, οἷον | |
| 5 | α, ε, ιβ, κβ, λε, να, ο | |
2.10.2 | καὶ οἱ ἀνάλογοι. ἀλλ’ ἔστι τοῦ μὲν πρώτου κατ’ ἐνέργειαν, τουτέστι τοῦ ε ἑκάστη πλευρὰ δυάς, μο‐ νὰς μὲν γὰρ τοῦ δυνάμει πρωτίστου πενταγώνου ὑπάρχει τοῦ ἑνός, τοῦ δὲ τῶν ἐκκειμένων δευτέρου | |
| 5 | τοῦ ιβ πλευρὰ τριὰς καὶ τοῦ μετ’ αὐτὸν τοῦ κβ τε‐ τρὰς καὶ τοῦ ἑξῆς τοῦ λε πεντὰς καὶ ἑξὰς τοῦ ἐπὶ τούτῳ τοῦ να καὶ ἀεὶ οὕτως· καθόλου γὰρ τοσού‐ των μονάδων ἡ πλευρά ἐστιν, ὅσοιπερ εἰς τὴν αὐτοῦ σύστασιν συνεσωρεύθησαν ἀριθμοὶ ἐκλεγέν‐ | |
| 10 | τες ἐκ τοῦ κατὰ φύσιν στοιχηδὸν ἐκκειμένου ἀριθ‐ μητικοῦ χύματος· παραπλησίως γὰρ καὶ ὁμοιοτρόπως ἐπισωρεύονται ἀλλήλοις εἰς πενταγώνου γένεσιν οἱ ἀπὸ μονάδος δύο διαλείποντες ἐφ’ ὁσονοῦν, τουτέ‐ στιν οἱ τριάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντες· ἡ μὲν μονὰς | |
| 15 | δυνάμει πρῶτος καὶ σχηματογραφεῖται οὕτως [1], ὁ δὲ ε δεύτερος ἐκ τοῦ α καὶ δ συντεθέντων σχημα‐ | |
| τογραφούμενος καὶ αὐτὸς οὕτως [2], ὁ δὲ ιβ ὁ τρίτος ἔκ τε τῶν δύο προτέρων καὶ τοῦ ζ ἐπισωρευθέντος αὐτοῖς, | 92 | |
| 20 | ἵνα καὶ αὐτὸς τριάδα πλευρὰν σχῇ, ὡς τριῶν συντεθέντων εἰς τὴν αὐτοῦ σύστασιν, ὡς καὶ ὁ πρὸ αὐτοῦ ὁ ε δυάδα πλευρὰν εἶχεν ἐκ δύο συντεθείς, ἡ δὲ | |
| 25 | σχηματογραφία αὐτοῦ τοιαύτη ἐστίν· [3] [1] [Omitted graphic marker] [2] [Omitted graphic marker] [3] [Omitted graphic marker] | |
2.10.3 | οἱ δὲ ἐπὶ τούτοις γενήσον‐ ται καθεξῆς προσσωρευομένων τῶν κατὰ τριάδος ὑπεροχὴν εὐτάκτων μετὰ τὴν ἑβδομάδα | |
| 5 | ὄντων, οἷον τοῦ ι, ιγ, ιϛ, ιθ, κβ, κε καὶ ἐπ’ ἄπειρον· ἔσονται γὰρ κβ, λε, να, ο, ϙβ, ριζ | |
| καὶ τοῦτο μέχρι παντός. | 93 | |
2.11.1 | Ἑξάγωνοι δὲ καὶ ἑπτάγωνοι καὶ οἱ ἑξῆς κατὰ τὴν αὐτὴν ἔφοδον προβιβασθήσονται ἀπὸ τοῦ φυσι‐ κοῦ χύματος τοῦ ἀριθμοῦ στοιχηδὸν ἐκτεθέντος αἰεὶ κατὰ μονάδος πρόσθεσιν τῶν ἀποστάσεων γι‐ | |
| 5 | νομένων· ὡς γὰρ ὁ μὲν τρίγωνος τοὺς μονάδι δια‐ φέροντας, μηδὲν παραλείποντας εἰς τὴν σωρείαν δεχόμενος ἀπετελεῖτο, ὁ δὲ τετράγωνος τοὺς δυάδι μὲν διαφέροντας, ἕνα δὲ παραλείποντας, πεντάγωνος δὲ ἀκολούθως τοὺς τριάδι μὲν διαφέροντας, δύο δὲ | |
| 10 | παραλείποντας, οὓς καὶ ἀπεδείξαμεν ὑποδείγματα αὐτῶν τε καὶ τῶν ἀποτελουμένων ἐκθέμενοι ἐξ αὐ‐ τῶν, οὕτως καὶ ἑξάγωνοι γνώμονας ἕξουσι τοῦς τε‐ τράδι μὲν διαφέροντας, τρεῖς δὲ παραλείποντας, ἐξ ὧν συντεθέντων σωρηδὸν ἀποτελοῦνται, οἷον | |
| 15 | α, ε, θ, ιγ, ιζ, κα καὶ ἐφεξῆς, ἵνα οἱ ἀποτελούμενοι ἑξάγωνοι ὦσιν α, ϛ, ιε, κη, με, ξϛ | |
2.11.2 | καὶ ἀεί, μέχρις ἄν τις θέλῃ. οἱ δὲ τούτοις ἀκόλου‐ θοι ἑπτάγωνοι τοὺς μὲν γνώμονας ἔχουσι πεντάδι μὲν διαφέροντας, τετράδι δὲ διαλείποντας, οἷον α, ϛ, ια, ιϛ, κα, κϛ, λα, λϛ | |
| 5 | καὶ ἐφ’ ὁσονοῦν, αὐτοὶ δὲ οἱ συνιστά‐ | |
| μενοί εἰσιν α, ζ, ιη, λδ, νε, πα, ριβ, ρμη | 94 | |
2.11.3 | καὶ τοῦτο μέχρι παντός. ὀκτάγωνοι δὲ κατὰ τὴν αὐτὴν τάξιν τοῖς τε γνώμοσιν ἑξάδι διαφέροντες | |
2.11.4 | προκόπτουσι καὶ τοῖς συστήμασιν ἀναλόγως. ἵνα δὲ ἐπὶ πάντων παρατηροῦντι τοῦτο καθολικὸν σύμφω‐ νον ᾖ, ἑκάστου πολυγώνου τοὺς γνώμονας διαφέ‐ ρειν ἀλλήλων δυάδι ἐλαττόνως, ἢ κατὰ τὴν ἐν τῷ | |
| 5 | ὀνόματι ποσότητα τῶν γωνιῶν, τουτέστι μονάδι μὲν τὸν τρίγωνον, δυάδι δὲ τὸν τετράγωνον, τριάδι δὲ τὸν πεντάγωνον, τετράδι δὲ τὸν ἑξάγωνον καὶ πεντάδι τὸν ἑπτάγωνον καὶ ἀεὶ κατὰ παραύξησιν οὕτως. | |
2.12.1 | Καὶ περὶ μὲν τῆς τῶν πολυγώνων φύσεως τῶν ἐπιπέδων ἱκανὰ ταῦτα ὡς ἐν πρώτῃ εἰσαγωγῇ· ὅτι δὲ συμφωνοτάτη διδασκαλία ἡ περὶ αὐτῶν τῇ | |
| γραμμικῇ καὶ οὐκ ἀπᾴδουσα, δῆλον ἂν εἴη οὐ μόνον | 95 | |
| 5 | ἐκ τῆς σχηματογραφίας τῆς καθ’ ἕκαστον, ἀλλὰ κἀ‐ κεῖθεν· πᾶν τετράγωνον σχῆμα διαγωνίως διαιρε‐ θὲν εἰς δύο τρίγωνα λύεται καὶ πᾶς τετράγωνος ἀριθμὸς εἰς δύο τριγώνους συνεχεῖς λύεται καὶ ἐξ ἄρα δύο τριγώνων συνεχῶν συνέστηκεν· οἷον τρί‐ | |
| 10 | γωνοι μέν εἰσιν α, γ, ϛ, ι, ιε, κα, κη, λϛ, με, νε καὶ οἱ ἑξῆς, τετράγωνοι δὲ α, δ, θ, ιϛ, κε, λϛ, μθ, ξδ, πα, ρ. | |
2.12.2 | δύο δή, οὓς ἂν θέλῃς, τριγώνους συνεχεῖς ἀλλήλοις συνθεὶς πάντως τετράγωνον ποιήσεις καὶ ὁντινοῦν τετράγωνον ἄρα διαλύσας δυνήσῃ δύο ἀπ’ αὐτῶν τριγώνους ποιῆσαι· καὶ πάλιν παντὶ τετραγώνῳ | |
| 5 | σχήματι τρίγωνον προσζευχθὲν ὁθενοῦν πεντάγωνον ποιεῖ, οἷον τῷ δ τετραγώνῳ ὁ α τρίγωνος προσζευ‐ χθεὶς τὸν ε πεντάγωνον ποιεῖ καὶ τῷ θ τῷ ἑξῆς ὁ ἑξῆς προστεθείς, δηλονότι ὁ γ, πεντάγωνον τὸν ιβ ποιεῖ, τῷ δὲ ιϛ ὄντι ἀκολούθῳ ὁ ϛ ἀκόλουθος ἐπι‐ | |
| 10 | συντεθεὶς τὸν κβ ἀκόλουθον ἀποδίδωσιν καὶ τῷ κε | 96 |
2.12.3 | ὁ ι τὸν λε καὶ ἀεὶ οὕτως. κατὰ δὲ τὰ αὐτὰ κἂν τοῖς πενταγώνοις οἱ τρίγωνοι προστιθοῖντο τῇ αὐτῇ τάξει, τοὺς εὐτάκτους γεννήσουσιν ἑξαγώνους καὶ πάλιν ἐκείνοις οἱ αὐτοὶ προσπλεκόμενοι τοὺς ἐν | |
| 5 | τάξει ἑπταγώνους ποιήσουσι καὶ μετ’ ἐκείνους τοὺς | |
2.12.4 | ὀκταγώνους καὶ τοῦτο ἐπ’ ἄπειρον. πρὸς δὲ ὑπό‐ μνησιν ἐκκείσθωσαν ἡμῖν πολυγώνων στίχοι παραλ‐ λήλως γεγραμμένοι οἵδε, ὁ πρῶτος τρίγωνων, ὁ μετ’ αὐτὸν τετραγώνων, μετὰ δὲ ἀμφοτέρους πεντα‐ | |
| 5 | γώνων, εἶτα ἑξαγώνων, εἶτα ἑπταγώνων, εἶτα, εἰ ἐθέλοι τις, καὶ τῶν ἑξῆς πολυγώνων· [Omitted graphic marker] ἔξεστι δὲ καὶ τῶν ἐφεξῆς πολυγώνων τὴν ἔκθεσιν ἐν | |
2.12.5 | παραλλήλοις οὕτω στίχοις ποιήσασθαι. καθολικῶς γὰρ εὑρήσεις τοὺς μὲν τετραγώνους τῶν ὑπὲρ αὐ‐ τοὺς σύστημα ὄντας ὁμοταγῶν τριγώνων καὶ ἔτι | |
| τῶν ὑπερκειμένων ἐκείνοις ὁμογενῶν, οἷον | 97 | |
| 5 | τὸν δ τοῦ γ καὶ α, τὸν θ τοῦ ϛ καὶ γ, τὸν ιϛ τοῦ ι καὶ ϛ, τὸν κε τοῦ ιε καὶ ι, τὸν δὲ λϛ τοῦ κα καὶ ιε | |
| 10 | καὶ μέχρις ἀεὶ οὕτως· τοὺς δὲ πενταγώνους τῶν ὑπὲρ αὐτοὺς ὁμοταγῶν τετραγώνων σύστημα ὄντας καὶ προσέτι τῶν πρωτογενῶν τριγώνων, ὅσοι εἰσὶ μονάδι ἔλαττον ὁμοταγεῖς, οἷον ὁ μὲν ε τοῦ δ καὶ α, | |
| 15 | ὁ δὲ ιβ τοῦ θ καὶ γ, ὁ δὲ κβ τοῦ ιϛ καὶ ϛ, ὁ δὲ λε τοῦ κε καὶ ι | |
2.12.6 | καὶ ἀεὶ οὕτως. πάλιν δὲ οἱ ἑξάγωνοι τῶν ὑπὲρ αὐτοὺς ὁμοταγῶν πενταγώνων καὶ τῶν προεκτεθέν‐ των τριγώνων ὁμοίως, οἷον ὁ ϛ τοῦ ε καὶ α, | |
| 5 | ὁ ιε τοῦ ιβ καὶ γ, ὁ δὲ κη τοῦ κβ καὶ ϛ, ὁ δὲ με τοῦ λε καὶ ι | |
2.12.7 | καὶ μέχρις οὗ βούλει. τῶν δὲ ἑπταγώνων ὁ αὐτὸς τρόπος· ὁ μὲν γὰρ ζ σύστημα τοῦ ϛ καὶ α, ὁ δὲ ιη τοῦ ιε καὶ γ, | |
| 5 | ὁ δὲ λδ τοῦ κη καὶ ϛ καὶ οἱ ἑξῆς ἀκολούθως, ἵνα ἕκαστος πολύγωνος σύ‐ | |
| στημα ᾖ τοῦ τε ὑπὲρ αὐτὸν ὁμοταγοῦς μονάδι ἐλάτ‐ τονος ὁμογωνίου καὶ τοῦ ἀνωτάτου τριγώνου τοῦ [μονάδι ἐλάττονος] ὁμοταγοῦς παρ’ ἓν κειμένου. | 98 | |
2.12.8 | εἰκότως ἄρα στοιχεῖον πολυγώνων τὸ τρίγωνον καὶ ἐν γραμμαῖς καὶ ἐν ἀριθμοῖς· καὶ γὰρ καὶ κατὰ βάθος καὶ κατὰ πλάτος ἐν τῷ διαγράμματι εὑρίσκον‐ ται οἱ συνεχεῖς αἰεὶ ἀριθμοὶ κατὰ τοὺς στίχους αὐτοὺς | |
| 5 | ἔχοντες διαφορὰς τοὺς εὐτάκτους τριγώνους. | |
2.13.1 | Ἐντεῦθεν ἤδη ῥᾴδιον συνιδεῖν, τίς τε ὁ στερεὸς ἀριθμὸς καὶ πῶς ἰσοπλεύρως ὁ τοιοῦτος προκόπτει· ὁ γὰρ πρὸς τοῖς δυσὶ διαστήμασι τοῖς ἐν τῇ ἐπιπέδῳ σχηματογραφίᾳ θεωρουμένοις ἐπὶ | |
| 5 | μῆκος καὶ ἐπὶ πλάτος τρίτον διάστημα προσειληφώς, ὅ τινες μὲν βάθος, τινὲς δὲ πάχος καλοῦσιν, ἔνιοι δὲ ὕψος, ἐκεῖνος ἂν εἴη στερεὸς ἀριθμὸς ὁ τριχῆ διαστατὸς καὶ ἔχων ἐν ἑαυτῷ μῆκος, βάθος, πλάτος. | |
2.13.2 | Πρώτιστα δὲ οὗτος φαντάζεται ἐν ταῖς λεγομέ‐ ναις πυραμίσιν. αὗται δὲ γίνονται ἐκ πλατυτέρων βάσεων μειουριζόμεναι εἰς ὀξεῖαν κορυφήν, πρῶτον μὲν κατὰ τριγωνισμὸν ἀπὸ τριγώνου βάσεως, δεύ‐ | |
| 5 | τερον δὲ κατὰ τετραγωνισμὸν ἀπὸ τετραγώνου βά‐ | |
| σεως, ἑξῆς δὲ τούτοις κατὰ πενταγωνισμὸν ἀπὸ πενταγώνου βάσεως, εἶτα ἀνάλογον ἀπὸ ἑξαγώνου καὶ ἑπταγώνου καὶ ὀκταγώνου καὶ ἀεὶ ἐπ’ ἄπειρον. | 99 | |
2.13.3 | καθάπερ ἀμέλει καὶ ἐν τοῖς γεωμετρικοῖς στερεοῖς σχήμασιν ἀπὸ τριγώνου ἰσοπλεύρου ἐάν τις εὐθείας ἐννοήσῃ τρεῖς ἀπὸ τῶν γωνιῶν τῷ μήκει ἴσας ταῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς καθ’ ὕψος συννευούσας εἰς | |
| 5 | ἓν καὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον, πυραμὶς ἂν ἀποτελεσθείη ὑπὸ τεσσάρων περιεχομένη τριγώνων ἰσοπλεύρων τε καὶ ἴσων ἀλλήλοις, ἑνὸς μὲν τοῦ ἐξ ἀρχῆς τριγώνου, τριῶν δὲ τῶν περιγραφέντων ὑπὸ τῶν λεχθεισῶν | |
2.13.4 | τριῶν εὐθειῶν. καὶ πάλιν ἀπὸ τετραγώνου ἐπιπέ‐ δου ἐάν τις τέσσαρας εὐθείας λογίσηται τῷ μήκει ἴσας ταῖς τοῦ τετραγώνου πλευραῖς ἑκάστην ἑκά‐ στῃ πάλιν κατὰ τὸ ὕψος συννευούσας εἰς ἓν καὶ τὸ | |
| 5 | αὐτὸ σημεῖον, πυραμὶς ἂν ἀποτελεσθείη ἀπὸ τετρα‐ γώνου βάσεως τετραγωνικῶς μειουριζομένη, περιεχο‐ μένη δὲ ὑπὸ τεσσάρων μὲν τριγώνων ἰσοπλεύρων, | |
2.13.5 | ἑνὸς δὲ τετραγώνου τοῦ ἐξ ἀρχῆς. καὶ ἀπὸ πεντα‐ γώνου δὲ καὶ ἑξαγώνου καὶ ἑπταγώνου καὶ μέχρις οὗ βούλεταί τις προχωρεῖν, τῷ αὐτῷ τρόπῳ εὐθεῖαι ἰσάριθμοι ταῖς γωνίαις ἀπ’ αὐτῶν τῶν γωνιῶν ἀν‐ | |
| 5 | εγειρόμεναι καὶ εἰς ἓν καὶ τὸ αὐτὸ συννεύουσαι σημεῖον πυραμίδα ἀποκορυφοῦσιν ὀνομαζομένην | |
| ἀπὸ πενταγώνου βάσεως ἢ ἑξαγώνου ἢ ἑπταγώνου | 100 | |
2.13.6 | ἢ ἀνάλογον. οὕτω δὲ καὶ ἐν τοῖς ἀριθμοῖς ἀπὸ μὲν μονάδος ὡς ἀπὸ σημείου πᾶς γραμμικὸς ηὐξήθη ἀριθμός, οἷον α, β γ, δ, ε | |
| 5 | καὶ οἱ ἑξῆς ἐπ’ ἄπειρον· ἀπ’ αὐτῶν δὲ τούτων γραμμικῶν ὄντων καὶ ἐφ’ ἓν διαστατῶν πως συντε‐ θέντων καὶ οὐχ ὡς ἔτυχεν οἱ πολύγωνοι καὶ ἐπί‐ πεδοι ἀριθμοὶ πλάσσονται, τρίγωνοι μὲν παρὰ μη‐ δένα συντεθέντων τῶν γνωμόνων, τετράγωνοι δὲ | |
| 10 | παρὰ ἕνα, πεντάγωνοι δὲ παρὰ δύο καὶ ἀεὶ οὕτως. | |
2.13.7 | τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον καὶ αὐτῶν τούτων τῶν ἐπιπέ‐ δων πολυγώνων ἀριθμῶν ἐπισωρευομένων ἀλλήλοις καὶ ὡσανεὶ ἐποικοδομουμένων αἱ ὁμογενεῖς ἑκάστῳ πυραμίδες γεννῶνται, ἡ μὲν ἀπὸ τριγώνου βάσεως | |
| 5 | ἀπ’ αὐτῶν τῶν τριγώνων, ἡ δὲ ἀπὸ τετραγώνου βάσεως ἀπ’ αὐτῶν τῶν τετραγώνων, ἡ δὲ ἀπὸ πεν‐ ταγώνου ἀπὸ τῶν πενταγώνων καὶ ἡ ἀπὸ ἑξαγώνου | |
2.13.8 | ἀπὸ τῶν ἑξαγώνων καὶ τοῦτο δι’ ὅλου. εἰσὶν οὖν αἱ μὲν ἀπὸ τριγώνου βάσεως εὔτακτοι αὗται | |
| α, δ, ι, κ, λε, νϛ, πδ καὶ ἐφεξῆς, ὧν ἡ γένεσις αὐτοὶ οἱ τρίγωνοι ἀλλή‐ | 101 | |
| 5 | λοις ἐπισωρευόμενοι, πρῶτος μὲν ὁ α, εἶτα ὁ αγ, εἶτα ὁ αγϛ, εῖτα πρὸς τούτοις ὁ ι καὶ ἐφεξῆς σὺν τοῖς πρόσθεν ὁ ιε καὶ ἐπὶ τούτοις ὁ κα καὶ ἑξῆς ὁ | |
2.13.9 | κη καὶ ἐπ’ ἄπειρον. δῆλον δέ, ὅτι καὶ ὁ μείζων τῶν ἀριθμῶν κατώτατος νοεῖται, αὐτὸς γὰρ βάσις εὑρίσκεται, ὁ δὲ εὐθὺς μετ’ αὐτὸν ὑπὲρ αὐτὸν καὶ ὁ μετ’ ἐκεῖνον ὑπὲρ τοῦτον, ἕως ἂν ἡ μονὰς | |
| 5 | ἐπὶ τῇ κορυφῇ φανῇ καὶ ὡσανεὶ εἰς σημεῖον ἀπο‐ μειουρίσῃ τὴν τελείωσιν τῆς πυραμίδος. | |
2.14.1 | Αἱ δὲ ἑξῆς πυραμίδες εἰσὶν αἱ ἀπὸ τετρα‐ γώνου βάσεως ὁμοιοσχημόνως ἀνιστάμεναι ἐφ’ ἓν καὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον· αὗται δὲ τῷ αὐτῷ τρόπῳ πλάσσονται ταῖς προλεχθείσαις τριγωνικαῖς· τοὺς | |
| 5 | γὰρ ἀπὸ μονάδος εὐτάκτους τετραγώνους στοιχηδὸν ἐκθέμενος α, δ, θ, ιϛ, κε, λϛ, μθ, ξδ, πα, ρ καὶ τοὺς ἑξῆς πάλιν σωρηδὸν ἐπιτίθημι ἀλλήλοις κατὰ βάθος αὐτούς, τὸν α ἐπάνω τοῦ δ, καὶ γίνεται | |
| 10 | πυραμὶς ἡ ε ἐνεργείᾳ πρώτη ἀπὸ τετραγώνου βά‐ σεως, δυνάμει γὰρ πρώτη καὶ ἐνταῦθα ἡ μονάς. | |
2.14.2 | πάλιν δ’ αὐτὴν ταύτην, ὡς ἔχει, τὴν πυραμίδα τὴν | |
| ἐκ πέντε μονάδων ἐπιτίθημι ὅλην τῷ θ τετραγώνῳ καὶ συνίσταταί μοι ἡ ιδ πυραμὶς ἀπὸ τετραγώνου βάσεως πλευρὰν ἔχουσα πάντοθι τριάδα, τῆς προ‐ | 102 | |
| 5 | τέρας δυάδα ἐχούσης τῆς ε, τῆς δὲ δυνάμει πρωτί‐ στης μονάδα· δεῖ γὰρ καὶ ἐνθάδε τοσούτων ἑκά‐ στην πλευρὰν ἡστινοσοῦν πυραμίδος μονάδων εἶναι, ὅσοιπέρ εἰσι τὸν ἀριθμὸν οἱ εἰς σύστασιν αὐτῆς | |
2.14.3 | συσσωρευθέντες πολύγωνοι. πάλιν γὰρ τὴν ιδ πυ‐ ραμίδα συνόλην βάσιν ἔχουσαν τὸν θ τετράγωνον ἐπιτίθημι τῷ ιϛ τετραγώνῳ καὶ ἀποτελεῖταί μοι ἡ λ πυραμὶς τρίτη κατ’ ἐνέργειαν τῶν ἀπὸ τετραγώνου | |
| 5 | βάσεως οὖσα· τῇ δ’ αὐτῇ τάξει καὶ ἀγωγῇ καὶ ἀπὸ πενταγώνου βάσεως καὶ ἀπὸ ἑξαγώνου καὶ ἑπταγώ‐ νου βάσεως καὶ ἐπὶ πλεῖον ἀεὶ προχωροῦντες πυ‐ ραμίδας συστησόμεθα τοὺς ἀναλογοῦντας ἑκάστῃ πολυγώνους ἐπισωρεύοντες ἀλλήλοις ἀπὸ μονάδος | |
| 10 | ἀρχόμενοι ὡς ἀπὸ ἐλαχίστου καὶ προχωροῦντες | |
2.14.4 | μέχρις ἀπείρου καθ’ ἑκάστην. καὶ ἐκ τούτου δῆλον γίνεται, ὅτι στοιχειωδέστερα τὰ τρίγωνα· πᾶσαι γὰρ ἁπλῶς αἱ δεικνύμεναι καὶ φαινόμεναι πυραμίδες ἀπὸ τῶν καθ’ ἑκάστην πολυγώνων βάσεων τριγώ‐ | |
| 5 | νοις μέχρι κορυφῆς περιέχονται. | 103 |
2.14.5 | Ἵνα δὲ μὴ ἀνήκοοι ὦμεν κολούρων καὶ δικολού‐ ρων καὶ τρικολούρων πυραμίδων, ὧν τοῖς ὀνόμασιν ἐντευξόμεθα ἐν συγγράμμασι μάλιστα τοῖς θεωρη‐ ματικοῖς, ἰστέον, ὅτι, ἐὰν πυραμὶς ἀφ’ ἡστινοσοῦν | |
| 5 | βάσεως, τουτέστιν ὁντιναοῦν πολύγωνον ἔχουσα βά‐ σιν εἴτε τρίγωνον εἴτε τετράγωνον εἴτε πεντάγωνον εἴτε τῶν ἑξῆς τινα τῶν ὁμογενῶν πολυγώνων, κατὰ σωρείαν αὐξηθεῖσα μὴ ἐπὶ μονάδα μειουρισθῇ, κό‐ λουρος ἁπλῶς λέγεται ἐστερημένη τῆς φυσικῆς καὶ | |
| 10 | πᾶσιν ἐπιβαλλούσης κορυφώσεως· οὐ γὰρ εἰς τὸν δυνάμει πολύγωνον τὴν μονάδα τελευτᾷ αὕτη ὡς εἰς ἕν τι σημεῖον, ἀλλ’ εἰς ἕτερον ἐνεργείᾳ, καὶ οὐ‐ κέτι μονὰς κορυφή, ἀλλ’ ἐπίπεδον αὐτῇ τὸ πέρας γίνεται ἰσογώνιον τῇ βάσει· ἐὰν δὲ πρὸς τῷ μὴ εἰς | |
| 15 | μονάδα τελευτᾷν ἔτι καὶ μὴ εἰς τὸν παρὰ τὴν μο‐ νάδα ἐνεργείᾳ πρῶτον τελευτήσῃ, δικόλουρος λέγε‐ ται ἡ τοιαύτη· ἐὰν δὲ καὶ ἔτι μὴ ἔχῃ τὸν ἐνεργείᾳ δεύτερον πολύγωνον ἐπὶ τῷ συμπεράσματι, ἀλλὰ μόνον τὸν ὑπ’ αὐτόν, τρικόλουρος κεκλήσεται καὶ | |
| 20 | τετρακόλουρός γε, ἂν καὶ τὸν μετ’ ἐκεῖνον μὴ ἔχῃ, καὶ πεντακόλουρος κατὰ τὸ ἑξῆς καὶ ἀεὶ μέχρι | |
| βούλει παρεκτείνειν τὸ ὄνομα. | 104 | |
2.15.1 | Καὶ ἡ μὲν τῶν ἰσοπλεύρων στερεῶν ἀριθ‐ μῶν πυραμοειδῶν γένεσις καὶ προκοπὴ καὶ ἐπαύξη‐ σις καὶ φύσις τοιαύτη σπέρμα καὶ ῥίζαν ἔχουσα τοὺς πολυγώνους αὐτοὺς καὶ τὴν ἐκείνων εὔτακτον ἐπι‐ | |
| 5 | σωρείαν, ἑτέρα δέ τις στερεῶν ἑτερογενῶν εὐταξία ἐστὶ τῶν λεγομένων κύβων, δοκίδων, πλινθίδων, σφηνίσκων, σφαιρικῶν, παραλληλεπιπέδων, τὴν τῆς | |
2.15.2 | προβάσεως τάξιν ἔχουσα τοιαύτην τινά. οἱ προ‐ φρασθέντες τετράγωνοι α, δ, θ, ιϛ, κε, λϛ, μθ, ξδ καὶ οἱ ἑξῆς διχῆ ὄντες διαστατοὶ καὶ ἐν τῇ ἐπιπέδῳ | |
| 5 | σχηματογραφίᾳ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχοντες ἔτι καὶ τρίτον προσλήψονται διάστημα καὶ ἔσονται στε‐ ρεοὶ καὶ τριχῆ διαστατοί, ἐὰν τῇ ἰδίᾳ πλευρᾷ ἕκα‐ στος πολλαπλασιασθῇ, ὁ μὲν δ δὶς β ὢν πάλιν δὶς γενόμενος, ἵνα ὀγδοὰς ἀποτελεσθῇ, ὁ δὲ θ τρὶς γ | |
| 10 | ὤν πάλιν τριάδι ἐπ’ ἄλλο διάστημα αὐξηθῇ καὶ γέ‐ νηται ὁ κζ, ὁ δὲ ιϛ τετράκις δ ὑπάρχων πάλιν τε‐ τράδι τῇ αὐτοῦ πλευρᾷ μεγεθυνθῇ καὶ γένηται ὁ | |
2.15.3 | ξδ, καὶ οἱ ἑξῆς παραπλησίως μέχρι παντός. τοσού‐ των δὲ καὶ ἐνθάδε μονάδων αἱ πλευραὶ ἔσονται, ὅσωνπερ ἦσαν καὶ αἱ τῶν τετραγώνων, ἀφ’ ὧν ἀγέ‐ νοντο, ἕκαστος ἀφ’ ἑκάστου, αἱ μὲν τοῦ η δυάδων, | 105 |
| 5 | ὅσων καὶ αἱ τοῦ δ, αἱ δὲ τοῦ κζ τριάδων, ὅσων καὶ αἱ τοῦ θ, αἱ δὲ τοῦ ξδ τετράδων, ὅσων καὶ αἱ τοῦ ιϛ, καὶ τοῦτο ἐφεξῆς, ὥστε καὶ ἡ τῆς δυνάμει κύβου μονάδος πλευρὰ μονὰς ἔσται πανταχόθι, ὅσηπερ καὶ | |
2.15.4 | ἡ τῆς δυνάμει τετραγώνου μονάδος. καθόλου δὲ ἕκαστος τετράγωνος ἓν μὲν ἐπίπεδόν ἐστι, γωνίας δὲ ἔχει τέσσαρας καὶ πλευρὰς τέσσαρας, ἕκαστος δὲ κύβος ηὐξημένος ὢν ἐξ ἑκάστου τετραγώνου τῇ ἰδίᾳ | |
| 5 | πλευρᾷ πολυπλασιασθέντος ἐπίπεδα μὲν ἕξει πάν‐ τως ἕξ, ὧν ἕκαστον ἶσον τῷ προγόνῳ αὐτοῦ τετρα‐ γώνῳ, πλευρὰς δὲ δώδεκα, ὧν ἑκάστῃ ἴση καὶ μο‐ νάδων γε τῶν αὐτῶν τῇ τοῦ προγόνου τετραγώνου πλευρᾷ, γωνίας δὲ ὀκτὼ στερεάς, ὧν ἑκάστη περιέχε‐ | |
| 10 | ται ὑπὸ τριῶν πλευρῶν, οἵα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ἐν τῷ προγόνῳ τετραγώνῳ. | |
2.16.1 | Ἐπειδὴ οὖν πάντη ἰσό πλευρον ἐπὶ μῆκος καὶ βάθος καὶ πλάτος σχῆμα στερεὸν ὑπάρχει ὁ κύβος καὶ ἐπὶ τὰς λεγομένας ἓξ περιστάσεις ἰσοδιάστατον, ἀκόλουθον ἄρα ἐστίν, ἀντικεῖσθαι αὐτῷ τὸ μηδαμῆ | 106 |
| 5 | ἴσας ἔχον τὰς διαστάσεις ἀλλήλαις, ἀλλ’ ἄνισον τὴν τοῦ βάθους τῇ τοῦ πλάτους καὶ ἑκατέρᾳ τούτων τὴν τοῦ μήκους, οἷον δὶς τρὶς τετράκις ἢ δὶς τετράκις ὀκτάκις ἢ τρὶς πεντάκις δωδεκάκις ἢ κατά τινα ἄλλην | |
2.16.2 | ἀνισότητα τοιαύτην. τὰ δὲ τοιαῦτα στερεὰ σχήματα λέγεται σκαληνὰ ἁπλῶς, ὧν πάντη τὰ διαστήματα ἄνισα ἀλλήλοις ἐστί· τινὲς δὲ αὐτὰ πωλυωνύμως σφηνίσκους καλοῦσι, καὶ γὰρ καὶ οἱ σφῆνες ἀνισόπλευροι παν‐ | |
| 5 | ταχῆ τεκτονικοί τε καὶ οἰκοδομικοὶ καὶ χαλκευτικοὶ καὶ οἱ τῶν ἄλλων τεχνῶν πλάσσονται ἀπὸ ὀξυτέρου ἄκρου διαδύνειν ἀρχόμενοι καὶ αἰεὶ μᾶλλον πλατυ‐ νόμενοι ἀνομοίως κατὰ πάντα τὰ διαστήματα· τινὲς δὲ τοὺς αὐτοὺς σφηκίσκους καλοῦσι, τοιοῦτος γὰρ | |
| 10 | καὶ ὁ τῶν σφηκῶν μάλιστα ὄγκος ἀποσφιγγόμενος κατὰ μέσον καὶ τὴν λεχθεῖσαν ὁμοιότητα ἐμφαίνων· παρὰ τοῦτο εἰκὸς καὶ τὸ σφήκωμα ὠνομάσθαι, ἔνθα γὰρ ἂν ἀποσφίγξῃ, τὴν τοῦ σφηκὸς ἐντομὴν μιμεῖται· ἕτεροι δὲ τοὺς αὐτοὺς βωμίσκους προσ‐ | |
| 15 | αγορεύουσιν ἀπὸ οἰκείας εἰκόνος, οἱ γὰρ παλαιό‐ τροποι βωμοί, μάλιστα δὲ ἰωνικοί, οὔτε τὸ πλάτος τῷ βάθει οὔτε συναμφότερα τῷ μήκει ἶσα ἔχουσιν οὔτε | |
| τὴν βάσιν τῇ κορυφῇ, ἀλλὰ πάντη εἰσὶν ἐξηλλαγμέ‐ | 107 | |
2.16.3 | νοι ταῖς διαστάσεσιν. ὡς οὖν ἀκροτήτων δύο κύβου τε καὶ σκαληνοῦ, τοῦ μὲν κατ’ ἰσότητα διεστῶτος, τοῦ δὲ κατ’ ἀνισότητα πάντη, μέσοι εἰσὶ στερεοὶ ἀριθμοὶ οἱ λεγόμενοι παραλληλεπίπεδοι, ὧν καὶ τὰ | |
| 5 | ἐπίπεδα ἑτερομήκεις ὑπάρχουσιν ἀριθμοί, ὥσπερ καὶ τῶν κύβων αὐτῶν τετράγωνοι ἀριθμοὶ ἦσαν τὰ ἐπί‐ πεδα, ὡς ἐδείχθη. | |
2.17.1 | Πάλιν οὖν ἄνωθεν ἑτερομήκης ἀριθμὸς λέ‐ γεται, οὗ ἐπιπέδως σχηματογραφηθέντος τετράπλευ‐ ρος μὲν καὶ τετραγώνιος γίνεται ἡ καταγραφή, οὐ μὴν ἶσαι ἀλλήλαις αἱ πλευραὶ οὐδὲ τὸ μῆκος τῷ | |
| 5 | πλάτει ἶσον, ἀλλὰ παρὰ μονάδα, οἷον ὁ β, ὁ ϛ, ὁ ιβ, ὁ κ, ὁ λ, ὁ μβ καὶ οἱ ἑξῆς· ἂν γὰρ αὐτοὺς ἐπιπέδως διαγράφῃ τις, πάντως οὕτω ποιήσει· ἅπαξ β β, δὶς γ ϛ, τρὶς δ ιβ | |
| 10 | καὶ τοὺς ἑξῆς ἀναλόγως· τετράκις ε, πεντάκις ϛ, ἑξάκις ζ, ἑπτάκις η καὶ ἐπ’ ἄπειρον, μόνον ἵνα μονάδι μείζων ἡ ἑτέρα πλευρὰ τῆς λοιπῆς ᾖ, ἄλλῳ δὲ μηδενὶ ἀριθμῷ· ἐὰν δὲ ἄλλως παρὰ τὴν μονάδα διαφέρωσιν ἀλλήλων αἱ | |
| 15 | πλευραὶ, οἷον δυάδι, τριάδι, τετράδι ἢ ἐφεξῆς, ὡς τὰ | |
| δὶς δ ἢ τρὶς ϛ ἢ τετράκις η ἢ ὅπως ποτὲ οὖν ἑτέρως, οὐκέτι κυρίως ὁ τοιοῦτος ἑτερομήκης κληθήσεται, ἀλλὰ προμήκης· ἕτερον γὰρ | 108 | |
| 20 | καὶ ἑτερότητα οἱ παλαιοὶ οἱ περί τε Πυθαγόραν καὶ τοὺς ἐκείνου διαδόχους πυθμενικῶς ἐν τῇ δυάδι ἐθεώ‐ ρουν, ταυτὸν δὲ καὶ ταυτότητα ἐν τῇ μονάδι, ὡς ἐν δυσὶν ἀρχαῖς τῶν ὅλων· εὑρίσκονται δὲ αὗται μονάδι μόνον ἀλλήλων διαφέρουσαι, ὥστε καὶ τὸ ἕτερον σπερ‐ | |
| 25 | ματικῶς μονάδι ἕτερόν ἐστι καὶ οὐκ ἄλλῳ ἀριθμῷ· διόπερ καὶ συνήθως ἐπὶ δυοῖν, ἀλλ’ οὐκ ἐπὶ πλειό‐ νων τὸ ἕτερον λέγεται παρὰ τοῖς ὀρθῶς διαλεγομέ‐ | |
2.17.2 | νοις. ἀλλὰ μὴν καὶ μονάδι μὲν εἰδοποιεῖσθαι ἀπε‐ δείχθη ὁ περισσὸς πᾶς ἀριθμός, δυάδι δὲ ὁ ἄρτιος πᾶς· ὅθεν εἰκότως τὸν μὲν περισσὸν τῆς ταυτοῦ φύσεως ἐροῦμεν μετέχειν, τὸν δὲ ἄρτιον τῆς θατέ‐ | |
| 5 | ρου, καὶ γὰρ δὴ καὶ κατὰ σωρείαν ἑκατέρου ἀποτε‐ λοῦνται φύσει, ἀλλ’ οὐχ ἡμῶν θεμένων, τῇ μὲν τοῦ ἀπὸ μονάδος περισσοῦ ἐπ’ ἄπειρον ἡ τετραγώνων φύσις, τῇ δὲ τοῦ ἀπὸ δυάδος ἀρτίου ἐπ’ ἄπειρον ἡ | |
2.17.3 | τῶν ἑτερομηκῶν. πᾶσα ἄρα ἀνάγκη, τὸν μὲν τετρά‐ γωνον οἴεσθαι πάλιν τῆς ταυτοῦ φύσεως μετέχειν· τὸν γὰρ αὐτὸν λόγον καὶ ὅμοιον καὶ ἀπαράλλακτον καὶ ἐν ἰσότητι κείμενον αἱ πλευραὶ αὐτοῦ ἀποδει‐ | |
| 5 | κυύουσι πρὸς ἑαυτάς, τὸν δὲ ἑτερομήκη τῆς θατέ‐ ρου· ὃν γὰρ μονὰς πρὸς δυάδα τρόπον παρήλλα‐ κται μονάδι μόνῃ διαφέρουσα, τοῦτον καὶ παντὸς | |
| ἑτερομήκους αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας διαλλάσσου‐ σιν, ἡ ἑτέρα τῆς ἑτέρας μονάδι μόνον διαφέρουσα· | 109 | |
| 10 | οἷον ἐκκειμένου μοι τοῦ ἀπὸ μονάδος συνεχοῦς ἑξῆς ἀριθμοῦ ἐκλεξάμενος ἰδίᾳ μὲν τοὺς περισσοὺς τάσσω ἐν ἑνὶ στίχῳ, ἰδίᾳ δὲ τοὺς ἀρτίους ἐν ἑτέρῳ, καὶ γίνονταί μοι δύο στίχοι τοιοῦτοι· α, γ, ε, ζ, θ, ια, ιγ, ιε, ιζ, ιθ, κα, κγ, κε, κζ· | |
| 15 | β, δ, ϛ, η, ι, ιβ, ιδ, ιϛ, ιη, κ, κβ, κδ, κϛ, κη. | |
2.17.4 | ἀρχὴ μὲν οὖν τοῦ τῶν περισσῶν στίχου ἡ μονὰς ὁμογενής τε οὖσα καὶ τὴν τοῦ ταυτοῦ φύσιν ἔχουσα· διὸ οὔτε ἐάν τε ἑαυτὴν πολυπλασιάσῃ ἐπιπέδως ἢ στερεῶς, ἑτεροιοῦται οὔτε ἄλλον ὁντιναοῦν ἐξίστησι | |
| 5 | τοῦ ἐξ ἀρχῆς, ἀλλὰ τηρεῖ αὐτὸν ἐν ταυτῷ· τὸ δὲ | |
2.17.5 | τοιοῦτον περὶ ἄλλον ἀριθμὸν εὑρεῖν ἀδύνατον. τοῦ δ’ ἄλλου στίχου ἄρχει ἡ δυὰς ὁμογενὴς αὐτῷ οὖσα καὶ ἑτερότητος καταρκτική· εἴτε γὰρ ἑαυτὴν εἴτε ἄλλον πολυπλασιάσειεν, ἔκστασιν ποιεῖ, οἷον | |
| 5 | δὶς β, δὶς γ. | |
2.17.6 | Ὅταν δὲ ᾖ οκτάκις η δὶς ἢ τρίς, τὰ τοιαῦτα στερεὰ σχήματα πλινθίδες λέγονται ἰσά‐ κις ἶσοι ἐλαττονάκις· ἐὰν δὲ καὶ μείζονα τὰ ὕψη τῷ | |
| 5 | τετραγώνῳ προσγένηται, δοκίδες οἱ τοιοῦτοι ἀριθμοὶ λέγονται, οἷον | |
| τρὶς γ ἑπτάκις ἢ ὀκτάκις ἢ ἐνάκις ἢ ὁσακισοῦν μόνον ὑπερβαλλόντως· ἔστι δὲ δοκὶς ἀριθμὸς ἰσάκις ἶσος μειζονάκις· οἱ δέ γε σφη‐ | 110 | |
| 10 | νίσκοι ἦσαν ἀνισάκις ἄνισοι ἀνισάκις καὶ οἱ κύβοι | |
2.17.7 | ἰσάκις ἶσοι ἰσάκις. αὐτῶν δὲ τῶν κύβων ὅσοι πρὸς τῷ ἰσάκις ἶσοι ἰσάκις εἶναι ἔτι ἔχουσι καὶ τὸ αἰεὶ καταλήγειν κατὰ πᾶσαν πολυπλασίασιν εἰς τὸ αὐτό, ἀφ’ οὑπερ ἤρξαντο, σφαιρικοὶ καλοῦνται, οἱ δ’ | |
| 5 | αὐτοὶ καὶ ἀποκαταστατικοί, ὥσπερ ἀμέλει ὁ ἀπὸ τῆς ε πλευρᾶς καὶ ὁ ἀπὸ τῆς ϛ· ὅσαις γὰρ ἂν αὐξήσε‐ σιν αὐξήσω τούτων ἑκάτερον, εἰς τὸ αὐτὸ συμπέρα‐ σμα ἀεὶ τελευτήσει πάντως, ὁ μὲν ἀπὸ τοὺ ϛ εἰς αὐτὸ τὸ ϛ, ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ε εἰς αὐτὸ τὸ ε· οἷον πεν‐ | |
| 10 | τάκις ε εἰς τὸ ε τελευτήσει καὶ τοῦτο πεντάκις καὶ εἰ δέοι πάλιν πεντάκις τοῦτο καὶ μέχρις ἀπείρου ἑτέρα τις τελευτὴ οὐχ εὑρεθήσεται, πλὴν εἰ μὴ ἡ ε, καὶ ἀπὸ τοῦ ϛ τὸν αὐτὸν τρόπον ἡ ϛ καὶ ἄλλη οὐδε‐ μία· ὥστε καὶ ἡ μονὰς δυνάμει σφαιρική ἐστι καὶ | |
| 15 | ἀποκαταστατική, τὸ γὰρ αὐτὸ πάσχει τοῦτο, ὡς εἰκός, πάθος τὸ περὶ τὰς σφαίρας καὶ τοὺς κύκλους· ἐκείνων γὰρ ἑκάτερον, ὅθεν ἄρχεται, ἐκεῖ καὶ τε‐ λευτᾷ περικυκλούμενον καὶ περιστρεφόμενον. ὡς καὶ οἱ λεχθέντες οὗτοι ἀριθμοὶ μονώτατοι τῶν ἄλλων | |
| 20 | τῶν ἰσάκις ἴσων καταστρέφουσιν εἰς τὴν αὐτὴν ἀρχήν, ὅθεν ἤρξαντο, κατὰ πάσας τὰς αὐξήσεις· ἀλλ’ ἂν μὲν ἐπιπέδως δυσὶ διαστήμασι προκόψωσι, κυκλικοὶ λέγονται, ὡς ὁ α, κε, λϛ | 111 |
| 25 | ἐκ τοῦ ἅπαξ α καὶ τοῦ πεντάκις ε καὶ τοῦ ἑξάκις ϛ· ἐὰν δὲ τρία διαστήματα ἔχωσιν ἢ ἐπὶ πλέον τού‐ των πολλαπλασιασθῶσι, σφαιρικοὶ στερεοὶ λέγονται, ὡς ὁ α, ρκε, σιϛ | |
| 30 | ἢ ἄλλως α, χκε, ασϙϛ. | |
2.18.1 | Καὶ περὶ μὲν στερεῶν ἀριθμῶν ἱκανὰ ἐν τῷ παρόντι καὶ ταῦτα· ἐπεὶ δὲ ἀρχὰς τῶν ὅλων οἵ τε φυσικοὶ καὶ οἱ ἐκ τῶν μαθημάτων ὁρμώμενοι τὸ ταυτὸν καὶ τὸ ἕτερον λέγουσιν, ἀπεδείχθη δὲ τὸ ταυ‐ | |
| 5 | τὸν μὲν ὑπάρχουσα ἡ μονὰς καὶ οἱ κατὰ εἰδοποίησιν αὐτῆς περισσοί, πολὺ δὲ μᾶλλον οἱ ἐκ τούτων συσ‐ σωρευομένων συνιστάμενοι τετράγωνοι ὡς ἂν δὴ ἰσότητος ἐν ταῖς πλευραῖς μετέχοντες, ἕτερον δὲ δυάς τε καὶ ὁ ὑπὸ ταύτης εἰδοποιούμενος πᾶς ἄρ‐ | |
| 10 | τιος, μάλιστα δὲ οἱ ὑπὸ τούτων συσσωρευομένων | |
| συνιστάμενοι ἑτερομήκεις διὰ τὸ πρώτης ἀνισότητος καὶ ἑτερότητος ἐν τῇ τῶν πλευρῶν διαφορᾷ μετέχειν, ἔτι τοῦτο ἀποδεικτέον ἀναγκαιότατα, πῶς ἐν ἀμφο‐ τέροις τούτοις ὡς ἐν ἀρχαῖς καὶ σπέρμασι δυνάμει | 112 | |
| 15 | πάντα τὰ τοῦ ἀριθμοῦ ἰδιώματα προυπόκειται εἰ‐ δῶν τε αὐτοῦ καὶ ὑποδιαιρέσεων σχέσεών τε πασῶν | |
2.18.2 | καὶ πολυγώνων καὶ τῶν παραπλησίων. πρότερον δὲ διασταλτέον ἡμῖν, ᾗ διαφέρει προμήκης ἀριθμὸς ἑτε‐ ρομήκους· ἑτερομήκης μὲν γάρ ἐστιν, ὡς προελέ‐ χθη, ὁ γινόμενος ὑπὸ ἀριθμοῦ τὸν μονάδι ἑαυτοῦ | |
| 5 | μείζονα πολυπλασιάσαντος, οἷον ὁ ϛ ὑπὸ τοῦ δὶς γ, ὁ ιβ ὑπὸ τοῦ τρὶς δ, προμήκης δέ ἐστιν ὁ ὑπὸ δύο μὲν ἀριθμῶν διαφέ‐ ρόντων ὁμοίως καὶ αὐτὸς γινόμενος, οὐ μὴν μονάδι | |
| 10 | γε, ἀλλὰ μείζονί τινι ἀριθμῷ, οἷον δὶς δ, τρὶς ϛ, τετράκις η, καὶ οἱ παραπλήσιοι τῷ μήκει προπεπτωκότες τρόπον τινὰ καὶ ὑπερβεβηκότες τὴν τῆς μονάδος διαφοράν. | |
2.18.3 | οὐκοῦν ὅτι μὲν οἱ τετράγωνοι ὑπό τινων ἀριθμῶν ἰδίῳ μήκει μηκυνθέντων γίνονται, ταυτὸν ἔχοντες τὸ μῆκος τῷ πλάτει, ἰδιομήκεις ἂν κυρίως καὶ ταυ‐ τομήκεις λέγοιντο, οἷον | |
| 5 | δὶς β, τρὶς γ, τετράκις δ καὶ οἱ ἐφεξῆς· εἰ δὲ τοῦτο, ἐπιδεκτικοὶ πάντως ταυ‐ τότητος καὶ ἰσότητος, διόπερ ὡρισμένοι τε καὶ πε‐ | |
| ραίνοντες· τὸ γὰρ ἶσον καὶ τὸ ταυτὸν ἑνὶ τρόπῳ καὶ ὡρισμένῳ τοιοῦτον· ὅτι δὲ καὶ οἱ ἑτερομήκεις | 113 | |
| 10 | ἀριθμοὶ οὐκ ἰδίῳ μήκει, ἀλλ’ ἑτέρου μηκυνθέντος ἀποτελοῦνται, ἑτερομήκεις τε διὰ τοῦτο καὶ ἑτερό‐ | |
2.18.4 | τητος ἐπιδεκτικοὶ ἀπειρίας τε καὶ ἀοριστίας. τῇ δὲ ἄρα διχοστατεῖ καὶ διανενέμηται καὶ ἐναντία ἀλλή‐ λοις φαίνεται τά τε τοῦ ἀριθμοῦ πάντα καὶ τὰ ἐν κόσμῳ πρὸς ταῦτα ἀποτελεσθέντα καὶ καλῶς οἱ | |
| 5 | παλαιοὶ φυσιολογεῖν ἀρχόμενοι τὴν πρώτην διαί‐ ρεσιν τῆς κοσμοποιίας ταύτῃ ποιοῦνται· Πλά‐ των μὲν τῆς ταυτοῦ φύσεως καὶ τῆς θατέρου ὀνομάζων καὶ πάλιν τῆς ἀμερίστου καὶ ἀεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ ἐχούσης οὐσίας τῆς τε αὖ μερι‐ | |
| 10 | στῆς γινομένης, Φιλόλαος δὲ ἀναγκαῖον τὰ ἐόντα πάντα εἶμεν ἤτοι ἄπειρα ἢ περαίνοντα ἢ περαί‐ νοντα ἅμα καὶ ἄπειρα, ὅπερ μᾶλλον συγκατατίθε‐ ται εἶναι, ἐκ περαινόντων ἅμα καὶ ἀπείρων συνε‐ στάναι τὸν κόσμον, κατ’ εἰκόνα δηλονότι τοῦ | |
| 15 | ἀριθμοῦ· καὶ γὰρ οὗτος σύμπας ἐκ μονάδος καὶ δυάδος σύγκειται ἀρτίου τε καὶ περιττοῦ, ἃ δὴ ἰσό‐ τητός τε καὶ ἀνισότητος ἐμφαντικὰ ταυτότητός τε καὶ ἑτερότητος περαίνοντός τε καὶ ἀπείρου ὡρι‐ σμένου τε καὶ ἀορίστου. | |
2.19.1 | Ἵνα δὲ καὶ ἐναργῶς πεισθῶμεν περὶ τῶν | |
| λεγομένων, ὅτι ἄρα ἐκ μαχομένων καὶ ἐναντίων συνέστη τὰ ὄντα καὶ εἰκότως ἁρμονίαν ὑπεδέξατο (ἁρμονία δὲ πάντως ἐξ ἐναντίων γίνεται· ἔστι γὰρ | 114 | |
| 5 | ἁρμονία πολυμιγέων ἕνωσις καὶ δίχα φρονεόντων συμφρόνησις), ἐκθώμεθα ἐν δυσὶ παραλλήλοις ἐπὶ μῆκος στίχοις μηκέτι ἰδίᾳ ἀρτίους ἀπὸ δυάδος καὶ περισσοὺς ἀπὸ μονάδος, ὡς πρὸ μικροῦ, ἀλλὰ τοὺς ἐξ αὐτῶν τούτων συσσωρευθέντων αὐτοῖς ἀποτελε‐ | |
| 10 | σθέντας, τετραγώνους μὲν ἀπὸ περισσῶν, ἑτερομή‐ κεις δὲ ἀπὸ ἀρτίων· ἐνατενίζοντες γὰρ τῇ ἐκθέσει αὐτῶν θαυμάσομεν τὴν φιλαλληλίαν καὶ τὸ συλλη‐ πτικὸν ἀλλήλοις εἰς τὸ ἀπογεννᾷν τὰ λοιπὰ καὶ ἐκτελεῖν, ἵνα εἰκότως ἐπινοῶμεν καὶ ἐν τῇ τῶν | |
| 15 | ὅλων φύσει ἐντεῦθέν ποθεν τὸ τοιοῦτον ὑπὸ τῆς | |
2.19.2 | κοσμικῆς προνοίας συντελεῖσθαι. ἔστωσαν οὖν οἱ δύο στίχοι τοιοῦτοι· ὁ μὲν τῶν τετραγώνων ἀπὸ μονάδος α, δ, θ, ιϛ, κε, λϛ, μθ, ξδ, πα, ρ, ρκα, ρμδ, | |
| 5 | ρξθ, ρϙϛ, σκε· ὁ δὲ τῶν ἑτερομηκῶν ἀπὸ δυάδος ἀρχόμενος καὶ αὐτὸς οὕτως· β, ϛ, ιβ, κ, λ, μβ, νϛ, οβ, ϙ, ρι, ρλβ, ρνϛ, ρπβ, σι, σμ. | |
2.19.3 | πρῶτον μὲν οὖν πρῶτος πρώτου πυθμὴν πολλα‐ πλάσιος, δεύτερος δὲ δευτέρου ἡμιόλιος, τρίτος δὲ | |
| τρίτου ἐπίτριτος, τέταρτος δὲ τετάρτου ἐπιτέταρτος, εἶτα ἐπίπεμπτος καὶ ἔφεκτος καὶ τοῦτο ἐπ’ ἄπειρον | 115 | |
| 5 | ἀναλόγως· διαφοραὶ δὲ αὐτῶν προκόψουσι κατὰ τὸν συνεχῆ ἀπὸ μονάδος ἀριθμόν, μονὰς μὲν τῶν πρώ‐ των, δυὰς δὲ τῶν δευτέρων, τριὰς δὲ τῶν τρίτων καὶ ἀεὶ οὕτως· εἶτα δὲ ἐὰν ἀρξάμενος ὁ τῶν τετρα‐ γώνων δεύτερος συγκρίνηται κατὰ δυασμὸν τῷ | |
| 10 | πρώτῳ τῶν ἑτερομηκῶν καὶ ὁ τρίτος δευτέρῳ καὶ ὁ τέταρτος τρίτῳ καὶ ἀκολούθως οἱ λοιποί, τοὺς αὐ‐ τοὺς ἀπαραλλάκτους λόγους διατηρήσουσι τοῖς πρό‐ σθεν, αἱ δὲ διαφοραὶ οὐκέτι ἀπὸ μονάδος, ἀλλ’ ἀπὸ δυάδος ἄρξονται προχωρεῖν αἱ αὐταί, καὶ κατὰ πρό‐ | |
| 15 | βασιν δὲ ἐν τῇ προτέρᾳ συγκρίσει πρῶτος μὲν πρώ‐ του πρῶτον πυθμένα πολλαπλάσιον ἕξει, δεύτερος δὲ δευτέρου δεύτερον ἀπὸ πυθμένος ἡμιόλιον, τρίτος δὲ τρίτου τρίτον ἀπὸ πυθμένος ἐπίτριτον, καὶ | |
2.19.4 | παραπλησίως προκόψουσιν οἱ ἑξῆς. ἔτι δὲ οἱ μὲν τετράγωνοι πρὸς ἑαυτοὺς διαφορὰς τοὺς περισσοὺς μόνον ἔχουσιν, οἱ δὲ ἑτερομήκεις τοὺς ἀρτίους· ἂν δὲ καὶ τὸν πρῶτον ἑτερομήκη μέσον ἀμφοτέρων τῶν | |
| 5 | πρώτων τετραγώνων θῶμεν, τὸν δὲ δεύτερον τῶν ἑξῆς, τὸν δὲ τρίτον τῶν μετ’ αὐτούς, τὸν τέταρτον δὲ τῶν ἐφεξῆς, τούτοις ὀφθήσονται εὐτακτότεραι αἱ σχέσεις ἐν τρισὶν ὅροις· ἣν γὰρ ὁ δ πρὸς τὸν β | |
| σχέσιν ἔχει, οὕτως ὁ β πρὸς μονάδα, καὶ ἣν ὁ θ | 116 | |
| 10 | πρὸς τὸν ϛ ἡμιολίως, οὕτως ὁ ϛ πρὸς τὸν δ, καὶ ἣν ὁ ιϛ πρὸς τὸν ιβ, οὕτως ὁ ιβ πρὸς τὸν θ, καὶ τοῦτο ἐφεξῆς τῶν ἀριθμῶν καὶ τῶν λόγων προκοπτόντων εὐτάκτως· ὡς γὰρ ὁ μείζων πρὸς τὸν μέσον, οὕτως ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάχιστον ἔσται, καὶ οὐ τῷ αὐτῷ | |
| 15 | λόγῳ, ἀλλὰ ποικίλῳ ἀεὶ κατὰ προκοπήν· καὶ ἐπὶ πασῶν τῶν συζυγιῶν τὸ ὑπό ἶσον τῷ ἀπό καὶ ἅπαξ τὰ ἄκρα σὺν δὶς τῷ μέσῳ ἐναλλὰξ τετράγω‐ νον πάντως ποιήσει καὶ τὸ πάντων τούτων γλαφυ‐ ρώτατον, ἐξ ἀμφοτέρων συντιθεμένων τριγώνων | |
| 20 | γένεσις εὔτακτος γίνεται σημαίνουσα, ὡς τῆς τῶν πάντων ἀρχῆς ἀρχικωτέρα ἡ τούτων φύσις, α καὶ β, καὶ β καὶ δ, καὶ δ καὶ ϛ, καὶ ϛ καὶ θ, καὶ θ καὶ ιβ, καὶ ιβ καὶ ιϛ, καὶ ιϛ καὶ κ, καὶ ἀεὶ οὕτως οἱ τῶν πολυγώνων γεννητικοὶ τρίγωνοι εὔτακτοι γίνονται. | |
2.20.1 | Ἔτι δὲ καὶ πᾶς τετράγωνος προσλαβὼν τὴν ἑαυτοῦ πλευρὰν ἑτερομήκης γίνεται ἢ νὴ Δί’ ἀφαι‐ ρεθεὶς τὴν ἑαυτοῦ πλευράν· οὕτως καὶ τὸ ἕτερον καὶ ἐπὶ τὸ πλεῖον καὶ ἐπὶ τὸ ἔλαττον νοεῖται τοῦ | |
| 5 | ταυτοῦ, εἴπερ κατὰ πρόσθεσιν καὶ ἀφαίρεσιν συντε‐ λεῖται, καθὰ καὶ τοῦ ἀνίσου τὰ δύο εἴδη τό τε μεῖ‐ ζον καὶ τὸ ἔλαττον κατὰ πρόσθεσιν ἢ ἀφαίρεσιν | |
2.20.2 | προσγινομένην τῷ ἴσῳ τὴν γένεσιν λαμβάνει. ἱκα‐ νὸν καὶ τοῦτο τεκμήριον τοῦ ταυτότητος καὶ ἑτερό‐ τητος μετέχειν τὰ εἴδη ἀμφότερα, ἑτερότητος μὲν ἀορίστως, ταυτότητος δὲ ὡρισμένως, γενικῶς μὲν | 117 |
| 5 | μονάδα καὶ δυάδα, ὑποβεβηκότως δὲ περισσὸν μὲν ταυτότητος διὰ τὸ μονάδι ὁμογενὲς εἶναι, ἄρτιον δὲ | |
2.20.3 | ἑτερότητος διὰ τὸ δυάδι. καὶ ἔτι ἐκδηλότερον, τε‐ τράγωνον μὲν διὰ τὸ σύνθεσιν περισσοῦ εἶναι ταυ‐ τότητι συγγενῆ ὑπάρχειν, ἑτερομήκη δὲ διὰ τὸ ἀρ‐ τίου ἑτερότητι· καὶ γὰρ καὶ ὡς φιλάλληλα ἐν τοῖς | |
| 5 | δυσὶ στίχοις μεταδιδόασιν ἀλλήλοις τὰ δύο εἴδη ταῦτα παρὰ μέρος τῶν αὐτῶν διαφορῶν, εἰ μὴ καὶ τῶν αὐτῶν λόγων, καὶ ἀνάπαλιν τῶν αὐτῶν λόγων, εἰ μὴ καὶ τῶν αὐτῶν διαφορῶν· ὃ γὰρ μεταξὺ τοῦ δ καὶ τοῦ β διπλασίως, τοῦτο ἐπιμορίως μεταξὺ τοῦ | |
| 10 | ϛ καὶ τοῦ δ, καὶ πάλιν ὃ μεταξὺ τοῦ θ καὶ ϛ ἡμιο‐ λίως, τοῦτο μεταξὺ τοῦ ιβ καὶ θ ἐπιτρίτως, καὶ ἀεὶ οὕτως· καὶ ὃ ποιότητι ταυτόν, ποσότητι ἕτερον, καὶ | |
2.20.4 | τοὐναντίον ὃ ποσότητι ταυτόν, ποιότητι ἕτερον. καὶ πάλιν, ὅτι ἀναγκαίως κατὰ πάσας τὰς σχέσεις ἡ αὐτὴ διαφορὰ τῶν δύο ὅρων μονάδι ἐξηλλαγμένως μέρος λεχθήσεται, τοῦ μὲν ἥμισυ, τοῦ δὲ τρίτον | |
| 5 | ὑπάρχουσα, ἢ τοῦ μὲν τρίτον, τοῦ δὲ τέταρτον, ἢ ἄλλως τοῦ μὲν τέταρτον, τοῦ δὲ πέμπτον, καὶ ἐφε‐ | |
2.20.5 | ξῆς οὕτως. ὃ δὲ μάλιστα βεβαιώσει, ταυτότητος αἰτιώτατον εἶναι τὸ περισσόν, οὐδέποτε δὲ τὸ ἄρ‐ τιον, ἐκεῖνο παραδεικτέον ἐν πάσῃ ἀπὸ μονάδος ἀνα‐ λόγῳ ἐκθέσει, οἷον διπλασίῳ μὲν | |
| 5 | α, β, δ, η, ιϛ, λβ, ξδ, ρκη, σνϛ, τριπλασίῳ δὲ α, γ, θ, κζ, πα, σμγ, ψκθ, ͵βρπζ καὶ μέχρι οὗ βούλει, πάντας εὑρήσεις ἐξ ἀνάγκης τοὺς ἐν περισσαῖς χώραις τετραγώνους, ἄλλους δὲ οὐκέτι | 118 |
| 10 | οὐδεμιᾷ μηχανῇ, οὐδένα δὲ ἐν ἀρτίᾳ τετράγωνον, ἀλλὰ καὶ οἱ ἰσάκις ἶσοι ἰσάκις ἅπαντες, τουτέστι κύβοι τριχῆ διαστατοὶ ὄντες καὶ ταυτότητος ἐπὶ πλεῖον δοκοῦντες μετέχειν ἔργον εἰσὶ περισσῶν, ἀλλ’ οὐκ ἀρτίων, | |
| 15 | ὁ α καὶ η καὶ κζ καὶ ξδ καὶ ρκε καὶ σιϛ καὶ οἱ ἀνάλογον προχωροῦντες καὶ ἁπλῇ γε καὶ ἀποικίλῳ ἐφόδῳ· ἐκτεθέντων γὰρ τῶν ἀπὸ μονάδος ἐπ’ ἄπειρον συνεχῶν περισσῶν ἐπισκόπει οὕτως, ὁ πρῶτος τὸν δυνάμει κύβον ποιεῖ, οἱ δὲ δύο μετ’ | |
| 20 | ἐκεῖνον συντεθέντες τὸν δεύτερον, οἱ δὲ ἐπὶ τούτοις τρεῖς τὸν τρίτον, οἱ δὲ συνεχεῖς τούτοις τέσσαρες τὸν τέταρτον, οἱ δὲ ἐφεξῆς τούτοις πέντε τὸν πέμ‐ πτον καὶ οἱ ἑξῆς ἓξ τὸν ἕκτον καὶ τοῦτο μέχρις αἰεὶ. | |
2.21.1 | Ἐπὶ δὲ τούτοις καιρὸς ἂν εἴη τὸν περὶ ἀνα‐ λογιῶν τρόπον προσθέντας ἀναγκαιότατον ὄντα εἰς τὰς φυσιολογίας καὶ εἰς τὰ μουσικά τε καὶ σφαιρικὰ καὶ γραμμικὰ θεωρήμαται, οὐχ ἥκιστα δὲ καὶ εἰς τὰς | |
| 5 | τῶν παλαιῶν συναναγνώσεις, τέλος ἐπιθεῖναι τῇ ἀριθ‐ μητικῇ εἰσαγωγῇ τὸ ἁρμόζον ἅμα καὶ συμμετρότα‐ | 119 |
2.21.2 | τον. ἔστιν οὖν ἀναλογία κυρίως δυεῖν ἢ πλειόνων λόγων σύλληψις ἐς τὸ αὐτό, κοινότερον δὲ δυεῖν ἢ πλεόνων σχέσεων, κἂν μὴ λόγῳ τῷ αὐτῷ ὑποτάσ‐ | |
2.21.3 | σωνται, διαφορᾷ δὲ ἤ τινι ἑτέρῳ. λόγος μὲν οὖν ἐστι δύο ὅρων πρὸς ἀλλήλους σχέσις, σύνθεσις δὲ τῶν τοιούτων ἡ ἀναλογία, ὥστε ἐν ἐλαχίστοις ὅροις τρισὶν αὕτη συμμέμικται, δύναταί γε μὴν καὶ ἐν | |
| 5 | πλείοσι κατὰ τὸ αὐτὸ διάστημα ἢ κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον προχωρεῖν· οἷον τοῦ α πρὸς τὸν β λόγος ἐστὶ δύο ὅρων ὑπαρχόντων, εἷς ὁ διπλάσιος, ἀλλὰ καὶ τοῦ β πρὸς τὸν δ ἕτερος λόγος ὅμοιος· ἀναλο‐ γία ἄρα ἡ | |
| 10 | α, β, δ, λόγων γὰρ σύλληψις ἢ ὅρων τριῶν κατὰ τὸν αὐτὸν | |
2.21.4 | λόγον θεωρουμένων πρὸς ἀλλήλους. καὶ ἐν πλείοσι δὲ καὶ ἐπιμηκεστέραις ἐκθέσεσι τὸ αὐτὸ δύναται θεω‐ ρεῖσθαι· προσαπτέσθω γὰρ τέταρτος ὅρος ὁ η μετὰ τὸν δ πάλιν ἐν ὁμοίᾳ σχέσει, διπλασίων γάρ, καὶ | |
2.21.5 | πάλιν μετὰ τὸν η ὁ ιϛ καὶ ἀεὶ οὕτως. ἐὰν μὲν οὖν ὁ αὐτὸς ὅρος ἀεὶ εἷς καὶ ἀπαράλλακτος πρὸς τοὺς παρ’ ἑκάτερα αὐτοῦ ἀποκρίνηται, πρὸς μὲν τὸν μεί‐ | |
| ζονα ὡς ὑπόλογος, πρὸς δὲ τὸν ἐλάσσονα ὡς | 120 | |
| 5 | πρόλογος, συνημμένη λέγεται ἡ τοιαύτη ἀναλογία, οἷον α, β, δ κατὰ ποιότητα· οἷος γὰρ ὁ δ πρὸς τὸν β, τοιοῦτος ὁ αὐτὸς β πρὸς τὸν α, καὶ ἀνάπαλιν οἷος ὁ α πρὸς | |
| 10 | τὸν β, τοιοῦτος ὁ αὐτὸς β πρὸς τὸν δ· κατὰ ποσό‐ τητα δὲ οἷον α, β, γ· ὅσον γὰρ ὁ γ τοῦ β ὑπερέχει, τοσοῦτον καὶ αὐτὸς ὁ β τοῦ α, καὶ ἐξ ἐναντίου, ὅσον ὁ α τοῦ β ἐλαττοῦ‐ | |
2.21.6 | ται, τοσοῦτον καὶ αὐτὸς ὁ β τοῦ γ. ἐὰν δὲ ἕτερος μὲν ὅρος ὑπακούῃ πρὸς τὸν ἐλάττονα πρόλογος γι‐ νόμενος καὶ μείζων, ἕτερος δὲ καὶ μὴ ὁ αὐτὸς πρὸς τὸν μείζονα ὑπόλογός τε γινόμενος καὶ ἐλάττων, | |
| 5 | οὐκέτι συνημμένη, ἀλλὰ διεζευγμένη λέγεται ἡ τοι‐ αύτη μεσότης τε καὶ ἀναλογία· οἷον κατὰ μὲν τὸ ποιὸν α, β, δ, η· ὡς γὰρ τὰ β πρὸς τὸ α, οὕτω τὰ η πρὸς τὰ δ, | |
| 10 | καὶ ἀνάπαλιν ὡς τὸ α πρὸς τὰ β, οὕτως τὰ δ πρὸς τὰ η, ἐναλλάξ τε ὡς τὸ α πρὸς τὰ δ, οὕτω τὰ β πρὸς τὰ η, ἢ | |
| 15 | ὡς τὰ δ πρὸς τὸ α, οὕτως τὰ η πρὸς τὰ β· | |
| κατὰ δὲ τὸ ποσὸν οὕτως α, β, γ, δ· ὅσῳ γὰρ τὸ α τοῦ β λείπεται, τοσούτῳ καὶ τὰ γ τοῦ δ, | 121 | |
| 20 | ἢ ὅσῳ τὰ δ τοῦ γ περισσεύει, τοσούτῳ καὶ τὰ β τοῦ α, ἢ καὶ ἀναμὶξ ὅσῳ τὰ γ τοῦ α, τοσούτῳ τὰ δ τοῦ β, | |
| 25 | ἢ ὅσῳ λείπεται τὸ α τῶν γ, τοσούτῳ τὰ β τῶν δ. | |
2.22.1 | Εἰσὶν οὖν ἀναλογίαι αἱ μὲν πρῶται καὶ παρὰ πᾶσι τοῖς παλαιοῖς ὁμολογούμεναι, Πυθαγόρᾳ τε καὶ Πλάτωνι καὶ Ἀριστοτέλει, τρεῖς πρώτισται ἀριθμητική, γεωμετρική, ἁρμονική, αἱ δὲ ταύταις | |
| 5 | ὑπεναντίαι ἄλλαι τρεῖς, ἰδίων μὴ τετευχυῖαι ὀνομά‐ των, κοινότερον δὲ λεγόμεναι μεσότητες τετάρτη, πέμπτη, ἕκτη· μεθ’ ἃς καὶ ἄλλας τέσσαρας οἱ νεώ‐ τεροι εὑρίσκουσι, συμπληροῦντες τὸν δέκατον ἀριθ‐ μὸν κατὰ τὸ τοῖς Πυθαγορικοῖς δοκοῦν ὡς τελει‐ | |
| 10 | ότατον, καθ’ ὃν καὶ αἱ δέκα σχέσεις ὤφθησαν ἡμῖν πρὸ βραχέος ποσότητα λαμβάνουσαι καὶ αἱ δέκα λε‐ | |
| γόμεναι κατηγορίαι καὶ τῶν ἡμετέρων χειρῶν καὶ ποδῶν αἱ τῶν ἀκρωτηρίων διαιρέσεις καὶ σχέσεις καὶ ἕτερα μυρία, ἃ κατ’ οἰκεῖον τόπον ἐν ἑτέροις | 122 | |
2.22.2 | ὀψόμεθα. νῦν δὲ περὶ τῶν ἀναλογιῶν ἄνωθεν τε‐ χνολογητέον καὶ πρῶτόν γε περὶ τῆς κατὰ τὸ ποσὸν τὴν τῶν ὅρων σύγκρισιν οἰκειούσης ἀλλήλοις καὶ συνδεούσης, ἥ ἐστι κατὰ τὴν τῶν ὅρων πρὸς ἀλλή‐ | |
| 5 | λους διαφορὰν ἴση κατὰ τὸ ποσὸν οὖσα· αὕτη δ’ ἂν εἴη ἡ ἀριθμητική, ταύτης γὰρ ἴδιον προαπεδόθη | |
2.22.3 | τὸ ποσόν. τίς οὖν ἡ αἰτία, ὅτι περὶ ταύτης πρώτης καὶ οὐ περὶ ἄλλης; ἢ δῆλον, ὅτι καὶ ἡ φύσις αὐτὴν πρὸ τῶν ἄλλων ἐμφαίνει· ἐν γὰρ τῇ τοῦ ἁπλοῦ ἀριθμοῦ φυσικῇ ἀπὸ μονάδος ἐκθέσει μηδενὸς πα‐ | |
| 5 | ραλειπομένου μηδ’ ὑπεξαιρουμένου σώζεται ὁ ταύ‐ της μόνης λόγος, ἀλλὰ καὶ ἐν τοῖς ἔμπροσθεν ἀπε‐ δείξαμεν συλλογισάμενοι καὶ αὐτὴν τὴν ἀριθμητικὴν εἰσαγωγὴν πρὸ πασῶν τῶν ἄλλων ὑπάρχειν συν‐ αναιροῦσαν μὲν ἑαυτῇ ἐκείνας, οὐ συναναιρουμένην | |
| 10 | δέ, καὶ συνεπιφερομένην μὲν ἐκείναις, οὐ συνεπιφέ‐ ρουσαν δέ, ὥστε εἰκότως καὶ ἡ ὁμώνυμος τῇ ἀριθ‐ μητικῇ μεσότης οὐκ ἀλόγως προηγήσεται τῶν ἐν ἐκείναις ὁμωνύμων μεσοτήτων, γεωμετρικῆς τε καὶ ἁρμονικῆς· τῶν γὰρ ὑπεναντίων ἐκδηλότατον ὅτι | |
2.22.4 | πολὺ μᾶλλον ἡγήσεται, ὧνπερ αὗται ἡγεμόνες. πρω‐ τίστη ἄρα καὶ ἔξαρχος δικαιοτάτη ἡ ἀριθμητικὴ οὖσα φυσικῶς καὶ παρ’ ἡμῶν τυγχανέτω διαρθρώσεως | |
| πρό γε τῶν ἄλλων. | 123 | |
2.23.1 | Ἔστιν οὖν ἀριθμητικὴ μεσότης, ὅταν τριῶν ἢ πλειόνων ὅρων ἐφεξῆς ἀλλήλοις κειμένων ἢ ἐπι‐ νοουμένων ἡ αὐτὴ κατὰ ποσότητα διαφορὰ εὑρίσκη‐ ται μεταξὺ τῶν ἐφεξῆς ὑπάρχουσα, μὴ μέντοι λόγος | |
| 5 | ὁ αὐτὸς ἐν τοῖς ὅροις πρὸς ἀλλήλους γίνηται, οἷον α, β, γ, δ, ε, ϛ, ζ, η, θ, ι, ια, ιβ, ιγ· ἐν γὰρ τῇ φυσικῇ ταύτῃ ἐκθέσει τοῦ ἀριθμοῦ συνε‐ χῶς καὶ ἀνυπερβάτως ἐξεταζομένῃ εὑρίσκεται πᾶς ὁστισοῦν ὅρος δυεῖν ἀνὰ μέσον τεταγμένος τὴν ἀριθ‐ | |
| 10 | μητικὴν πρὸς αὐτοὺς διασώζων μεσότητα· ἷσαι γὰρ αἱ διαφοραὶ αὐτοῦ εἰσι πρὸς τοὺς ἑκατέρωθεν τεταγ‐ μένους, οὐ μὴν ἔτι καὶ λόγος ὁ αὐτὸς σώζεται ἐν | |
2.23.2 | αὐτοῖς. ἐπιστάμεθα δέ, ὡς ἐν τῇ τοιαύτῃ ἐκθέσει συνημμένη τε καὶ διεζευγμένη γίνεται μεσότης· εἰ μὲν γὰρ ὁ αὐτὸς μέσος ὅρος πρόλογός τε καὶ ὑπό‐ λογος πρὸς τοὺς ἑκατέρωθεν ὑπακούοι, συνημμένη | |
| 5 | ἂν εἴη, εἰ δὲ σὺν αὐτῷ ἕτερος, διεζευγμένη γίνεται | |
2.23.3 | μεσότης. ἐὰν μὲν οὖν ἐκ τῆς ἐκθέσεως ταύτης τρεῖς ἀποτεμόμενοι οὑστινασουν παραλλήλους κατὰ τὴν συνημμένην σκοπῶμεν ἢ τέσσαρας ἢ πλείους κατὰ τὴν διεζευγμένην, μονὰς ἂν εἴη πάντων ἡ διαφορά, | |
| 5 | λόγοι δὲ ἕτεροι ἐκ παντός· ἐὰν δὲ μὴ παραλλήλους, ἀλλὰ διεχεῖς, κατὰ ἴσην μέντοι παράλειψιν, πάλιν | |
| δὲ ἤτοι τρεῖς ἢ πλέονας, εἰ μὲν εἷς ὁ παραλειπόμε‐ νος εἴη καθ’ ἑκάστην θέσιν ὅρου, δυὰς ἔσται ἡ δια‐ φορὰ πάντων, καὶ πάλιν ἐν τρισὶ μὲν συνημμένη, | 124 | |
| 10 | ἐν πλείοσι δὲ διῃρημένη· εἰ δὲ δύο οἱ παραλειπό‐ μενοι, τριὰς πάντως ἡ διαφορὰ ἐν ἅπασι συνημμέ‐ νοις τε καὶ διεζευγμένοις, εἰ δὲ τρεῖς, τετράς, εἰ δὲ | |
2.23.4 | τέσσαρας, πεντάς, καὶ τοῦτο ἐφ’ ὁποσονοῦν. μετέχει ἄρα ἡ τοιαύτη ποσοῦ μὲν ἴσου ἐν ταῖς διαφοραῖς, ποιοῦ δὲ οὐκέτι ἴσου· διὰ τοῦτο ἀριθμητική· εἰ δ’ ἔμπαλιν ποιοῦ μὲν ὁμοίου μετεῖχε, ποσοῦ δὲ οὔ, ἦν | |
2.23.5 | ἂν γεωμετρικὴ ἀντὶ ἀριθμητικῆς. ἴδιον δὲ ὑπάρχει τῆσδε τῆς μεσότητος, ὃ μηδεμιᾷ ἄλλῃ συμβέβηκε, τὸ κατὰ σύνθεσιν τῶν ἄκρων ὑποδιπλάσιον ἢ ἶσον τὸ μέσον εἶναι, ἄν τε συνημμένως ἄν τε διεζευγμένως | |
| 5 | σκοπῆται ἄν τε ἐναλλάξ· ἢ γὰρ τὸ μέσον σὺν ἑαυτῷ ἢ τὰ μέσα σὺν ἀλλήλοις ἶσα τῇ τῶν ἄκρων συνθέσει. | |
2.23.6 | ἔτι καὶ ἄλλο ἔχει ἴδιον· ὃν γὰρ ἔχει λόγον ἕκαστος ὅρος πρὸς ἑαυτόν, τοῦτον αἱ διαφοραὶ πρὸς τὰς δια‐ φοράς, τουτέστιν ἐν ἰσότητί εἰσιν· ἔτι τὸ γλαφυρώ‐ τατον καὶ τοὺς πολλοὺς λεληθός, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων | |
| 5 | γινόμενον συγκρινόμενον τῷ απὸ τοῦ μέσου ἔλαττον αὐτοῦ εὑρίσκεται τῷ ὑπὸ τῶν διαφορῶν, ἐάν τε μονάδες ὦσιν ἐάν τε δυάδες ἐάν τε τριάδες ἐάν τε | |
| τετράδες ἐάν τε ὁστισοῦν ἀριθμός· τέταρτον δέ, ὃ καὶ οἱ πρόσθεν πάντες ἐσημειώσαντο, οἱ ἐν τοῖς | 125 | |
| 10 | ἐλάττοσιν ὅροις λόγοι συγκρινόμενοι πρὸς τοὺς ἐν τοῖς μείζοσι μείζονές εἰσι· δειχθήσονται δὲ ἐν τῇ ἁρμονικῇ ἐναντίως οἱ ἐν τοῖς μείζοσι μείζονες καὶ οἱ ἐν τοῖς ἐλάττοσιν ἐλάττονες· διὰ τοῦτο ὑπεναν‐ τία ἡ ἁρμονικὴ μεσότης τῇ ἀριθμητικῇ, μεταίχμιον | |
| 15 | δὲ αὐτῶν ὥσπερ ἀκροτήτων ἐστὶν ἡ γεωμετρικὴ ἔχουσα τοὺς ἐν τοῖς μείζοσιν ὅροις λόγους καὶ τοὺς ἐν τοῖς ἐλάττοσιν ἀλλήλοις ἴσους· ἐν μεσότητι δὲ ἡμῖν ὤφθη τὸ ἶσον τοῦ μείζονος καὶ τοῦ ἐλάττονος. τοσάδε ἡμῖν περὶ τῆς ἀριθμητικῆς μεσότητος. | |
2.24.1 | Ἡ δὲ ἐπὶ ταύτῃ συνεχὴς γεωμετρικὴ μεσό‐ της κυρίως ἀναλογία μόνη καλουμένη διὰ τὸ ἀνα τὸν αὐτὸν λόγον θεωρεῖσθαι πρὸς ἀλλήλους τοὺς ἐν αὐτῇ ὅρους· ἔστι δέ, ὅταν τριῶν ὅρων ἢ πλειό‐ | |
| 5 | νων ὡς ἔχει ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ὑπ’ αὐτόν, οὕτως αὐτὸς πρὸς τὸν ὑποβεβηκότα ἔχῃ, ἐὰν δὲ πλείονες ὅροι εἶεν, καὶ αὐτὸς πάλιν πρὸς τὸν ὑπ’ αὐτόν, ποσότητι μέντοι μὴ τῇ αὐτῇ διαφέρωσιν ἀλλήλων, ἀλλὰ λόγου ποιότητι τῇ αὐτῇ, ἐναντίως ἢ ἐπὶ τῆς | |
2.24.2 | ἀριθμητικῆς ὤφθη. οἷον ὑποδείγματος χάριν ἐκ‐ κείσθωσαν οἱ ἀπὸ μονάδος κατὰ διπλάσιον λόγον | |
| προχωροῦντες α, β, δ, η, ιϛ, λβ, ξδ | 126 | |
| 5 | καὶ ἐπ’ ἄπειρον, ἢ κατὰ τριπλασίονα α, γ, θ, κζ, πα, σμγ καὶ ἐφεξῆς ἢ κατὰ τετραπλάσιον ἢ παραπλησίως τοῖς ἐκτεθεῖσιν· ἐν ἑκάστῳ γὰρ τούτων τῶν στίχων τρεῖς παράλληλοι ἢ τέσσσαρες ἢ ὁσοιοῦν ληφθέντες | |
| 10 | τὴν γεωμετρικὴν πρὸς ἀλλήλους ἀποδώσουσιν ἀνα‐ λογίαν· ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν ὑπ’ αὐτόν, οὕτως κἀκεῖνος πρὸς τὸν ὑπ’ αὐτὸν καὶ πάλιν ἐκεῖνος πρὸς τὸν ἔτι ὑπ’ αὐτὸν καὶ τοῦτο μέχρι θέλει τις, καὶ ἀναμίξ· οἷον | |
| 15 | β, δ, η· ὃν γὰρ λόγον ἔχει ὁ η πρὸς τὸν δ, τοῦτον καὶ ὁ δ πρὸς τὸν β καὶ ἀνάπαλιν, οὐ μὴν ἴσην ποσότητα μεταξὺ ἀλλήλων ἔχουσιν· ἢ πάλιν β, δ, η, ιϛ· | |
| 20 | οὐ γὰρ μόνον ὁ ιϛ πρὸς τὸν η τὸν αὐτὸν τοῖς πρό‐ σθεν λόγον ἔχει, εἰ καὶ μὴ διαφοράν, ἀλλὰ καὶ ἀνα‐ μὶξ διασώζει τὴν ὁμοίαν σχέσιν, ὡς ὁ ιϛ πρὸς τὸν δ, οὕτως καὶ ὁ η πρὸς τὸν β, καὶ ἔμπαλιν ὡς ὁ β πρὸς τὸν η, οὕτως καὶ ὁ δ πρὸς τὸν ιϛ, καὶ διεζευγμένως | |
| 25 | ὡς ὁ β πρὸς τὸν δ, οὕτως ὁ η πρὸς τὸν ιϛ, ἀνα‐ στρόφως τε καὶ κατὰ τὸ διεζευγμένον ὡς ὁ ιϛ πρὸς τὸν η, οὕτως καὶ ὁ δ πρὸς τὸν β· ἔχει γὰρ τὸν δι‐ πλασίονα λόγον. | |
2.24.3 | Ἴδιον δὲ ἔχει ἡ γεωμετρικὴ μεσότης, ὃ μηδεμία τῶν λοιπῶν, τὸ τὰς τῶν ὅρων διαφορὰς ἐν λόγῳ πρὸς ἀλλήλας τῷ αὐτῷ εἶναι, ἐν ᾧ καὶ οἱ ὅροι πρὸς τοὺς συνεχεῖς οἱ μείζονες πρὸς τοὺς ἐλάττονας, καὶ | 127 |
| 5 | τὰς ἀνάπαλιν ὡς οἱ ἀνάπαλιν· ἔτι καὶ ἕτερον ἰδίωμα τὸ τοὺς μείζονας ὅρους διαφορὰν ἔχειν πρὸς τοὺς ἐλάττονας αὐτοὺς τοὺς ἐλάττονας καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ διαφορὰν πρὸς διαφορὰν αὐτῇ τῇ ἐλάττονι διαφέ‐ ρειν ἐν διπλασίῳ λόγῳ ἐκτιθεμένων τῶν ὄρων, ἐν | |
| 10 | δὲ τριπλασίῳ διαφορὰν ἕξουσι δὶς τὸν ὑπ’ αὐτὸν οἱ ὅροι καὶ αἱ διαφοραί, ἐν δὲ τετραπλασίῳ τρὶς καὶ ἐν πενταπλασίῳ τετράκις καὶ τοῦτο μέχρι παντός. | |
2.24.4 | οὐ μόνον δὲ ἐν πολλαπλασίοις ἀναλογίαι γίνονται γεωμετρικαί, ἀλλὰ καὶ ἐν ἐπιμορίοις εἴδεσιν ἅπασι καὶ ἐπιμερέσι καὶ μικτοῖς, καὶ τὸ ἐξαίρετον ἰδίωμα τῆς μεσότητος ταύτης ἐπὶ πασῶν σώζεται, τῶν μὲν | |
| 5 | συνημμένων τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἶσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου, τῶν δὲ ἐν διαζεύξει ἢ καὶ ἐν πλείοσιν ὅροις, κἂν μὴ συνημμένοι ὦσιν, ἀρτιοταγεῖς δέ, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἶσον τῷ ὑπὸ τῶν μέσων. | |
2.24.5 | Παράδειγμα δὲ τοῦ ἐν πάσαις ταῖς σχέσεσι πο‐ λυπλασίαις τε παντοίαις καὶ ἐπιμορίοις παντοίαις καὶ ἐπιμερέσι παντοίαις καὶ μικταῖς παντοίαις τὸ τῆς ἀναλογίας ταύτης ἰδίωμα σώζεσθαι ἔστω ἱκανὸν καὶ | |
| 5 | αὔταρκες ἡμῖν ἐκεῖνο, ἐν ᾧ ἀπὸ ἰσότητος ἐπλάσσο‐ μεν κατὰ τὰ τρία προστάγματα πάντα τὰ τοῦ ἀνίσου εἴδη ἐξ ἀλλήλων ὀρθῶς τε τιθεμένων καὶ ἀναστρε‐ φομένων· ἑκάστη γὰρ πλάσις καὶ ἔκθεσις ἀναλογία ἐστὶ γεωμετρικὴ πάντα τὰ λεχθέντα ἰδιώματα περι‐ | 128 |
| 10 | έχουσα καὶ τέταρτον τὸ ἔν τε μείζοσιν ὅροις ἔν τε ἐλάττοσι τὸν αὐτὸν διαφυλάττειν λόγον· ἀλλὰ καὶ ἐὰν τὸν κοινὸν στίχον ἑτερομηκῶν τε καὶ τετραγώ‐ νων ἐκθώμεθα ἕνα παρ’ ἕνα περιέχοντα τοὺς ἐν ἀμφοτέροις αὐτοῖς, εἶτα κατὰ τρεῖς ἀπὸ μονάδος ἀπο‐ | |
| 15 | τεμνόμενοι σκοπῶμεν αἰεὶ τὸν τῶν προτέρων ὕστερον ἀρχὴν τῶν ὑστέρων τιθέμενοι, εὑρήσομεν ἀπὸ πολ‐ λαπλασίου σχέσεως, τουτέστι διπλασίου, πάσας τὰς ἐπιμορίους ἑξῆς ἐπιφαινομένας, ἡμιόλιον, εἶτα ἐπί‐ | |
2.24.6 | τριτον, εἶτα ἐπιτέταρτον καὶ ἐφεξῆς. εὐκαιρότατον δ’ ἂν εἴη ἐνταῦθα γενομένους ἐπιμνησθῆναι παρα‐ κολουθήματος χρησιμεύοντος ἡμῖν εἰς Πλατωνικόν τι θεώρημα· οἱ μὲν γὰρ ἐπίπεδοι μιᾷ μεσότητι συνέ‐ | |
| 5 | χονται πάντως, οἱ δὲ στερεοὶ δυσὶν ἀνάλογον κειμέ‐ ναις· δύο γὰρ τετραγώνων συνεχῶν εἷς μόνος εὑ‐ ρίσκεται μέσος ἀναλογίαν σώζων γεωμετρικήν, πρόλογος μὲν πρὸς τὸν ἐλάττονα, ὑπόλογος δὲ πρὸς τὸν μείζονα, οὐδέποτε δὲ πλείονες· δύο ἄρα δια‐ | |
| 10 | στήματα θεωροῦμεν πρὸς ἑκάτερον τῶν ἄκρων | |
2.24.7 | αὐτοῦ τοῦ μέσου ἐν σχέσει λόγων ὁμοίων. πάλιν δὲ δύο κύβων συνεχῶν δύο μόνοι εὑρίσκονται ἀνά‐ | |
| λογον μέσοι ὅροι κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν, πλείονες δὲ οὐδέποτε· τρία ἄρα διαστήματα, ἓν | 129 | |
| 5 | μὲν τὸ μεταξὺ τῶν μέσων πρὸς ἀλλήλους, δύο δὲ τὰ μεταξὺ τῶν ἄκρων πρὸς τοὺς μέσους ἑκατέρωθεν. | |
2.24.8 | οὕτω τὰ μὲν στερεὰ σχήματα λέγεται τριχῆ δια‐ στατά, τὰ δὲ ἐπίπεδα διχῆ, οἷον ὁ α καὶ ὁ δ ἐπίπε‐ δοι, μέσος δὲ ἀνάλογον ὁ β, ἢ οἷον δ, θ, δύο τετρά‐ γωνοι, μέσος δὲ αὐτῶν ἀνάλογον ὁ ϛ ἐν τῷ αὐτῷ | |
| 5 | λόγῳ ἐχόμενος ὑπὸ τοῦ μείζονος καὶ ἔχων τὸν ἐλάτ‐ | |
2.24.9 | τονα, ἐν ᾧ καὶ ἡ διαφορὰ διαφορὰν ἔχει. τούτου δ’ αἴτιον, ὅτι αἱ τῶν δύο τετραγώνων πλευραί, ἑκατέρα μία ἰδία, αὐτὸν τὸν ϛ ἅμα ἀμφότεραι ἐγέννησαν· ἐν δὲ κύβοις, οἷον τῷ η καὶ τῷ κζ, μία μὲν οὐκέτι, δύο | |
| 5 | δὲ μεσότητες εὑρίσκονται ὅ τε ιβ καὶ ιη, ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἑαυτάς τε καὶ τοὺς ὅρους ποιοῦσαι, ἐν ᾧ καὶ αἱ διαφοραὶ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας εἰσί· καὶ τούτου δ’ αἴτιον τὸ τῶν κυβικῶν πλευρῶν μίγδην σύστημα εἶναι τὰς δύο μεσότητας, δὶς β τρὶς καὶ τρὶς | |
2.24.10 | γ δίς. ἐὰν μὲν οὖν καθόλου τετράγωνος τετράγω‐ νον λάβῃ, τουτέστι πολυπλασιάσῃ, τετράγωνον πάν‐ τως ποιεῖ, ἂν δὲ τετράγωνος ἑτερομήκη [ἢ ἑτερομήκης | |
| τετράγωνον], οὐδέποτε τετράγωνος ἀποτελεῖται, κἂν | 130 | |
| 5 | κύβος κύβον, κύβος πάντως γενήσεται, ἐὰν δὲ ἑτε‐ ρομήκης κύβον [ἢ κύβος ἑτερομήκη], οὐδέποτε κύβος, καθάπερ ἀμέλει ἂν ἄρτιος ἄρτιον πολυπλασιάσῃ, πάντως ἄρτιος γεννᾶται, κἂν περισσὸς περισσόν, πάντως περισσός, ἂν δὲ περισσὸς ἄρτιον ἢ ἄρτιος | |
| 10 | περισσόν, πάντως ὁ γινόμενος ἔσται ἄρτιος, οὐδέ‐ | |
2.24.11 | ποτε δὲ περισσός. ταῦτα δὲ τῆς οἰκείας σαφηνείας ἐπιλήψεται ἐν τῇ Πλατωνικῇ συναναγνώσει κατὰ τὸν τοῦ λεγομένου γάμου τόπον ἐν τῇ Πολιτείᾳ ἀπὸ προσώπου τῶν Μουσῶν παρεισαγομένου· ὥστε | |
| 5 | ἐπὶ τὴν τρίτην ἀναλογίαν τὴν καλουμένην ἁρμονι‐ κὴν μεταβάντες διαιρῶμεν. | |
2.25.1 | Ἔστι γὰρ ἡ τῇ τρίτῃ τάξει μεσότης ἁρμο‐ νικὴ καλουμένη, ὅταν ἐν τρισὶν ὅροις ὁ μέσος θεω‐ ρῆται πρὸς τοὺς ἄκρους μήτε ἐν λόγῳ τῷ αὐτῷ ἐξε‐ ταζόμενος, τοῦ μὲν πρόλογος, τοῦ δὲ ὑπόλογος, ὡς | |
| 5 | ἐπὶ τῆς γεωμετρικῆς, μήτε ἐν διαστήμασι μὲν ἴσοις, λόγων δὲ ἑτερότητι, ὡς ἐπὶ τῆς ἀριθμητικῆς, ἀλλ’ ὅταν, ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ἐλάχιστον ὅρον ἔχει, οὕτω καὶ ἡ τοῦ μεγίστου διαφορὰ παρὰ τὸν μέσον πρὸς τὴν τοῦ μέσου διαφορὰν παρὰ τὸν ἐλάχιστον, | |
| 10 | οἷον γ, δ, ϛ ἢ πάλιν β, γ, ϛ· ὁ γὰρ ϛ τοῦ δ τῷ αὑτοῦ τρίτῳ ὑπερέχει, τρίτον γὰρ | 131 |
| 15 | τοῦ ϛ τὰ β, καὶ ὁ γ τοῦ δ λείπεται τῷ αὑτοῦ τρίτῳ, τοῦ γὰρ γ τρίτον μονάς· ἐπὶ μὲν γὰρ τοῦ προτέρου ὑποδείγματος οἵ τε ἄκροι ἐν διπλασίῳ λόγῳ καὶ αἱ τούτων πρὸς τὸν μέσον διαφοραὶ πάλιν ἐν τῷ αὐτῷ διπλασίονι πρὸς ἀλλήλας, ἐν δὲ τῷ δευτέρῳ ἑκατέρα | |
| 20 | ἐν τριπλασίῳ. | |
2.25.2 | Ἰδίωμα δὲ ἔχει ὑπεναντίον, ὡς προέφαμεν, τῷ κατὰ τὴν ἀριθμητικήν· ἐκεῖ μὲν γὰρ ἐν τοῖς ἐλάτ‐ τοσιν ὅροις μείζονες ἦσαν οἱ λόγοι, ἐλάττονες δὲ ἐν τοῖς μείζοσιν, ὧδε δὲ ἀνάπαλιν οἱ μὲν ἐν τοῖς μείζοσι | |
| 5 | μείζονες, οἱ δὲ ἐν τοῖς ἐλάττοσιν ἐλάττονες, ἵνα ὡς ἐν μεσότητι ἀμφοῖν τῇ γεωμετρικῇ εἰκότως ἡ τῶν ἑκατέρωθι λόγων ἰσότης μεταίχμιον οὖσα τοῦ μεί‐ | |
2.25.3 | ζονος καὶ τοῦ ἐλάττονος ἐνθεωρῆται. ἔτι ἐν μὲν τῇ ἀριθμητικῇ ὁ μέσος ἑαυτοῦ μέρει τῷ αὐτῷ μείζων τε καὶ ἐλάττων τῶν ἑκατέρωθι φαίνεται, αὐτῶν δὲ ἐκείνων ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ μείζων ἢ ἐλάττων, ἐν δὲ τῇ | |
| 5 | ἁρμονικῇ ταύτῃ ὑπεναντίως· ἑαυτοῦ μὲν γὰρ ὁ μέ‐ σος ἑτέρῳ τε καὶ ἑτέρῴ μείζων τε καὶ ἐλάττων τῶν | |
| ἑκατέρωθί ἐστιν, αὐτῶν δὲ ἐκείνων τῶν ἑκατέρωθι πάντως τῷ αὐτῷ, ἤτοι γὰρ ἑκατέρων ἡμίσει ἢ ἀμ‐ φοτέρων τρίτῳ· ἡ δὲ γεωμετρικὴ ὡς ἐν μεταιχμίῳ | 132 | |
| 10 | ἀμφοῖν οὔτε ἐν τῷ μέσῳ μόνον οὔτε ἐν τοῖς ἄκροις | |
2.25.4 | μόνον, ἀλλὰ καὶ ἐν ἀμφοτέροις, μέσῳ καὶ ἄκρῳ. ἔτι ἡ ἁρμονικὴ ἔχει ἴδιον συμβεβηκὸς τὸ τοὺς ἄκρους συντεθέντας καὶ πολυπλασιασθέντας ὑπὸ τοῦ μέσου διπλάσιον ἀποτελεῖν τοῦ ἐξ ἀλλήλων πολυπλασια‐ | |
2.25.5 | σμοῦ. ἐκλήθη δὲ ἁρμονικὴ ἡ τοιαύτη μεσότης, ὅτι ἡ μὲν ἀριθμητικὴ ποσῷ διεκρίνετο ἰσότητα κατὰ τοῦτο ἐν τῇ τῶν ὅρων διαστάσει πρὸς ἀλλήλους παρεχο‐ μένη, ἡ δὲ γεωμετρικὴ ποιότητι τὰς σχέσεις ὁμοίας | |
| 5 | κατὰ τὸ ποιὸν τῶν ὅρων πρὸς ἀλλήλους ἀποδιδοῦσα, αὕτη δὲ κατὰ τὸ πρὸς ἕτερόν πως ἐν ἑτέροις καὶ ἑτέροις εἴδεσι φανταζομένη· οὔτε γὰρ ἐν ὅροις μόνον οὔτε ἐν διαφοραῖς μόνον, ἀλλ’ ἐκ μέρους μὲν ἐν ὅροις, ἐκ μέρους δὲ ἐν διαφοραῖς· ὡς γὰρ ὁ μέγιστος | |
| 10 | πρὸς τὸν ἐλάχιστον, οὕτω καὶ ἡ τοῦ μεγί‐ στου διαφορὰ πρὸς τὸν παρ’ αὐτὸν μέσον πρὸς τὴν τοῦ ἐλαχίστου πρὸς τὸν αὐτὸν μέσον καὶ ἀνά‐ | |
| παλιν. | 133 | |
2.26.1 | Τὸ δὲ πρός τι ἐπέγνωμεν ἐν τῇ τοῦ ὄντος ἀνωτέρω φρασθείσῃ διαιρέσει τῆς ἁρμονικῆς ἴδιον θεωρίας, ἀλλὰ καὶ οἱ μουσικοὶ τῶν ἐν ἁρμονίᾳ συμ‐ φωνιῶν λόγοι ἐν ταύτῃ μᾶλλον εὑρίσκονται τῇ μεσό‐ | |
| 5 | τητι· στοιχειωδέστατος μὲν ὁ διὰ τεσσάρων ἐν ἐπι‐ τρίτῳ λόγῳ, ὡς δ πρὸς γ, ὅρος πρὸς ὅρον ἐν τῷ κατὰ τὸν διπλάσιον ὑποδείγματι ἢ διαφορὰ πρὸς διαφορὰν ἐν τῷ κατὰ τὸν τριπλάσιον, τοῦ γὰρ ϛ πρὸς β ἢ πάλιν τοῦ ϛ πρὸς γ αὗται αἱ διαφοραί· | |
| 10 | μετὰ δὲ τοῦτον εὐθὺς ὁ διὰ πέντε ὑπάρχων ἡμιόλιος τοῦ γ πρὸς β ἢ πάλιν τοῦ ϛ πρὸς δ, ὅρου πρὸς ὅρον· εἶτα τούτων ἀμφοτέρων σύστημα τοῦ τε ἡμιολίου καὶ τοῦ ἐπιτρίτου ὁ διὰ πασῶν ἐφεξῆς αὐτοῖς κεί‐ μενος, ἐν διπλασίῳ ὑπάρχων λόγῳ, ὡς ϛ πρὸς γ ἐν | |
| 15 | ἀμφοτέροις ὑποδείγμασιν, ὅρος πρὸς ὅρον· ἢ ὁ ἐπὶ τούτῳ διὰ πασῶν ἅμα καὶ διὰ πέντε, τριπλάσιον σώζων ἀμφοτέρων ἅμα τὸν λόγον, σύστημα ὑπάρχων διπλασίου ἅμα καὶ ἡμιολίου, ὥσπερ τοῦ ϛ πρὸς β, | |
| ὅρου πρὸς ὅρον, ἐν τῷ κατὰ τὸν τριπλάσιον ὑποδείγ‐ | 134 | |
| 20 | ματι, καὶ πάλιν διαφορᾶς πρὸς διαφορὰν ἐν τῷ αὐτῷ, ἐν δὲ τῷ κατὰ τὸν διπλάσιον ὅρου μεγίστου πρὸς διαφορὰν αὐτοῦ καὶ τοῦ μέσου ἢ διαφορᾶς τῶν ἄκρων πρὸς διαφορὰν τῶν ἐλαττόνων· τελευταῖον δὲ καὶ μέγιστον σύμφωνον τὸ λεγόμενον δὶς διὰ | |
| 25 | πασῶν ὡσανεὶ δὶς διπλάσιον, ὑπάρχον δὲ ἐν λόγῳ τε‐ τραπλασίῳ, ὡς ὁ μέσος ὅρος τῆς ἐν διπλασίοις πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων διαφορὰν ἢ ἡ τῶν ἄκρων διαφορὰ τῆς ἐν τριπλασίοις πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων. | |
2.26.2 | Τινὲς δὲ αὐτὴν ἁρμονικὴν καλεῖσθαι νομίζουσιν ἀκολούθως Φιλολάῳ ἀπὸ τοῦ παρέπεσθαι πάσῃ γεω‐ μετρικῇ ἁρμονίᾳ, γεωμετρικὴν δὲ ἁρμονίαν φασὶ τὸν κύβον ἀπὸ τοῦ κατὰ τὰ τρία διαστήματα ἡρμόσθαι | |
| 5 | ἰσάκις ἶσα ἰσάκις· ἐν γὰρ παντὶ κύβῳ ἥδε ἡ μεσότης ἐνοπτρίζεται, πλευραὶ μὲν γὰρ παντὸς κύβου εἰσὶν ιβ, γωνίαι δὲ η, ἐπίπεδα δὲ ϛ· μεσότης ἄρα ὁ η τῶν ϛ καὶ τῶν ιβ κατὰ τὴν ἁρμονικήν· ὡς γὰρ οἱ ἄκροι πρὸς ἀλλήλους, οὕτως ἡ τοῦ μεγίστου παρὰ τὸν μέσον | |
| 10 | διαφορὰ πρὸς τὴν τοῦ μέσου παρὰ τὸν ἐλάχιστον διαφοράν, καὶ πάλιν ὁ μέσος ἄλλῳ μὲν ἑαυτοῦ μέρει μείζων ἐστὶ τοῦ ἐλάττονος, ἄλλῳ δὲ ἐλάττων τοῦ μείζονος, ἑνὶ μέντοι καὶ τῷ αὐτῷ αὐτῶν τῶν ἄκρων | |
| μέρει καὶ μείζων καὶ ἐλάττων ὑπάρχει· καὶ ἑτέρως | 135 | |
| 15 | οἱ ἄκροι συντεθέντες καὶ ὑπὸ τοῦ μέσου πολυπλα‐ σιασθέντες διπλάσιον ἀποτελοῦσι τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων πρὸς ἀλλήλους γινομένου· καὶ ἡ μὲν διὰ τεσσάρων ἐστὶ τοῦ η πρὸς τὸν ϛ, ἐπίτριτος γάρ, ἡ δὲ διὰ πέντε τοῦ ιβ πρὸς τὸν η, ἡμιόλιος γάρ, ἡ δὲ διὰ πασῶν | |
| 20 | ἀμφοῖν οὖσα σύστημα ἡ τοῦ ιβ πρὸς τὸν ϛ, διπλασία γάρ, ἡ δὲ διὰ πασῶν ἅμα καὶ διὰ πέντε τριπλάσιος οὖσα ἡ τῶν ἄκρων διαφορὰ ὑπάρχει πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων, ἡ δὲ δὶς διὰ πασῶν ὁ μέσος ὅρος πρὸς τὴν ἑαυτοῦ καὶ τοῦ ἐλάττονος διαφοράν· οἰκειοτάτως | |
| 25 | ἄρα ἁρμονικὴ προσωνομάσθη. | |
2.27.1 | Ὥσπερ δὲ ἐν τῇ τοῦ μουσικοῦ κανόνος κατα‐ τομῇ χορδῆς μιᾶς τεταμένης ἢ αὐλοῦ μήκους ἑνὸς ἐκκειμένου τῶν ἄκρων ἀμετακινήτων ὑπαρχόντων, | |
| μεταλαμβανούσης δὲ τῆς μεσότητος ἐν μὲν τῷ αὐλῷ | 136 | |
| 5 | διὰ τρυπημάτων, ἐν δὲ τῇ χορδῇ δι’ ὑπαγωγέως, ἄλλον ἐξ ἄλλου τρόπον ἀποτελεῖσθαι δύνανται αἱ προλεχθεῖσαι μεσότητες, ἀριθμητική τε καὶ γεωμε‐ τρικὴ καὶ ἁρμονική, ἵνα εἰκότως καὶ ἐτυμώτατα κα‐ λοῖντο διὰ τὴν τοῦ μέσου ὅρου μετάστασίν τε καὶ | |
| 10 | μεταγωγὴν διαφόρως συντελούμεναι, οὕτως καὶ ἐν ἀριθμητικοῖς δυσὶν ὅροις, εἴτε περισσοῖς ἀμφοτέροις εἴτε καὶ ἀρτίοις, εὔλογόν ἐστι καὶ ἅμα δυνατὸν μέ‐ νουσιν ἐν τῷ αὐτῷ καὶ μὴ μεταβιβαζομένοις μεσό‐ τητα καθ’ ἑκάστην τῶν τριῶν ἐφαρμόζουσαν ἐντάσ‐ | |
| 15 | σεσθαι· κατὰ μὲν ἀριθμητικὴν ἴσῳ ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην, κατὰ δὲ γεωμετρικὴν ὁμοίῳ λόγῳ διαφορουμένην, κατὰ δὲ ἁρμονικὴν τῷ αὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων τῶν αὐτῶν μείζονά τε καὶ ἐλάτ‐ | |
2.27.2 | τονα. προκείσθωσαν δὴ πρῶτον ἄρτιοι ὅροι δύο, ὧν μεταξὺ αἱ τρεῖς μεσότητες ζητητέον πῶς ἂν ταγεῖεν καὶ τίνες, καὶ ἔστωσαν ὅ τε ι καὶ ὁ μ. | |
2.27.3 | πρῶτον οὖν τὴν ἀριθμητικὴν ἐναρμόζω καὶ ἔστιν κε καὶ τὰ παρακολουθήματα αὐτῆς σώζεται πάντα κἀνταῦθα· ὡς γὰρ ἕκαστος ὅρος πρὸς ἑαυτόν, οὕτω καὶ διαφορὰ πρὸς διαφοράν, ἆρα ἐν ἰσότητι, καὶ ὅσῳ | |
| 5 | ὁ μείζων τοῦ μέσου, τοσούτῳ καὶ οὗτος τοῦ ἐλάτ‐ τονος ὑπερφέρει, καὶ ἡ τῶν ἄκρων σύνθεσις διπλα‐ | |
| σία τοῦ μέσου καὶ ὁ τῶν ἐλαττόνων ὅρων λόγος μείζων τοῦ τῶν μειζόνων καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἔλαττον τοῦ ἀπὸ τοῦ μέσου τῷ ἀπὸ τῶν διαφορῶν | 137 | |
| 10 | τετραγώνῳ, καὶ ὁ μέσος τῷ αὐτῷ ἰδίῳ μέρει καὶ μείζων ὑπάρχει καὶ ἐλάττων τῶν ἄκρων, ἐν δὲ τοῖς | |
2.27.4 | ἄκροις θεωρουμένῳ ἑτέρῳ καὶ ἑτέρῳ. ἐὰν δὲ τὴν κ μεσότητα ἐμβάλλω εἰς τοὺς προκειμένους ἀρτίους ὅρους, τὰ τῆς γεωμετρικῆς ἰδιώματα ἀνακύπτει, ἐξα‐ πόλλυνται δὲ τὰ τῆς ἀριθμητικῆς· οἷος γὰρ ὁ μείζων | |
| 5 | πρὸς τὸν μέσον, τοιοῦτος καὶ ὁ μέσος πρὸς τὸν μικρόν, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἶσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου καὶ αἱ διαφοραὶ πρὸς ἀλλήλας ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ θεω‐ ροῦνται, ἐν ᾧ καὶ οἱ ὅροι, καὶ οὔτε ἐν τοῖς ἄκροις καθαροῖς ἡ τοῦ μέρους ταυτότης καθ’ ὑπεροχὴν καὶ | |
| 10 | ἔλλειψιν οὔτε ἐν μέσῳ καθαρῷ, ἀλλ’ ἐν μέσῳ καὶ θατέρῳ τῶν ἄκρων παρὰ μέρος, ἔν τε μείζοσιν | |
2.27.5 | ὅροις καὶ ἐλάττοσιν ἶσος λόγος. ἐὰν δὲ τὸν ιϛ ἀν‐ τιλάβω μέσον ὅρον, πάλιν τὰ μὲν τῶν προτέρων δυοῖν μεσοτήτων ἰδιώματα ἐκποδὼν γίνεται, τὰ δὲ τῆς ἁρμονικῆς ἀναφαίνεται πρὸς τοὺς αὐτοὺς δια‐ | |
| 5 | μένοντα δύο ἀρτίους ὅρους· ὥσπερ γὰρ ὁ μείζων πρὸς τὸν ἐλάχιστον, οὕτως ἡ τῶν μειζόνων διαφορὰ πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων, καὶ ὅσοις μέρεσιν ὁ μέσος ἐλάττων τοῦ μείζονος ἐν αὐτῷ τῷ μείζονι θεωρου‐ | |
| μένοις, τοσούτοις ὁ αὐτὸς τοῦ ἐλάττονος μείζων ἐν | 138 | |
| 10 | αὐτῷ τῷ ἐλάττονι θεωρουμένοις, καὶ ὁ μὲν ἐν τοῖς μείζοσιν ὅροις λόγος μείζων, ἐλάττων δ’ ὁ ἐν τοῖς ἐλάττοσιν, ὅπερ οὐκ ἐπ’ ἄλλης, καὶ συντεθέντα τὰ ἄκρα καὶ ὑπὸ τοῦ μέσου πολυπλασιασθέντα διπλά‐ | |
2.27.6 | σιον ἀποτελεῖ τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων γινομένου. ἂν δὲ οἱ δύο ἄκροι ὅροι μὴ ἄρτιοι ἐκτεθῶσιν, ἀλλὰ περισ‐ σοί, οἷον ε, με, | |
| 5 | ὁ μὲν αὐτὸς ὅρος ὁ κε ἀριθμητικὴν ποιήσει· αἴτιον δὲ τούτου, ὅτι ἐφ’ ἑκάτερα αὐτοῦ ἴσῳ ἀριθμῷ ὑπερ‐ έβησάν τε καὶ ὑπέβησαν οἱ ὅροι τὴν αὐτὴν πρὸς αὐτὸν διατηροῦντες διαφορᾶς ποσότητα· ὁ δὲ ιε ἀντιτεθεὶς τὴν γεωμετρικὴν ἀποδίδωσι τριπλάσιός | |
| 10 | τε καὶ ὑποτριπλάσιος ἑκατέρου ὢν· ὁ δὲ θ μεταλα‐ βὼν τὸ μέσος εἶναι τὴν ἁρμονικὴν ἀποδίδωσιν, οἷς γὰρ μέρεσι μείζων τοῦ ἐλάττονός ἐστι, τέσσαρσι πέμ‐ πτοις αὐτοῦ τοῦ ἐλάττονος, τούτοις τοῦ μείζονος ἐλάττων ἐστὶν ἐν αὐτῷ τῷ μείζονι θεωρουμένοις, | |
| 15 | τέσσαρσι γὰρ πέμπτοις, καὶ πάντα τὰ προλεχθέντα ἰδιώματα ἐφαρμόζων σύμφωνα εὑρήσεις. | |
2.27.7 | Ἔφοδος δέ, ὡς ἂν ἐντέχνως πλάσσοις τοὺς προ‐ δειχθέντας ὅρους κατὰ τὰς τρεῖς ἀναλογίας, τοιαύτη ἔστω σοι· ἐπ’ ἀμφοτέρων τῶν προχειρισθέντων | |
| ὅρων περισσῶν τε καὶ ἀρτίων ἀριθμητικὴν μὲν | 139 | |
| 5 | εὑρήσεις, συνθεὶς τὰ ἄκρα τούτων τὸ ἥμισυ μέσον τά‐ ξον ἢ τὴν τοῦ μείζονος ὑπεροχὴν πρὸς τὸν ἐλάτ‐ τονα διχῆ τεμὼν καὶ προσθεὶς τῷ ἐλάττονι μέσον ἕξεις· γεωμετρικὴν δέ, τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων προμή‐ κους τὴν τετραγωνικὴν πλευρὰν εὑρὼν μέσον ὅρον | |
| 10 | ποιήσεις ἢ ὃν ἔχουσι πρὸς ἀλλήλους οἱ ὅροι λόγον ἰδών, τοῦτον δίχα τεμὼν μέσον ποίησον, οἷον ἐπὶ τετραπλασίου διπλάσιον· ἁρμονικὴν δέ, τῶν ἄκρων τὴν διαφορὰν ποιητέον ἐπὶ τὸν ἐλάττονα καὶ τὸν γενόμενον παραβλητέον ἐπὶ τὸν σύνθετον ἐκ τῶν | |
| 15 | ἄκρων, εἶτα τὸ πλάτος τῆς παραβολῆς προσθετέον τῷ ἐλάττονι, καὶ ἔσται ὁ γινόμενος ἁρμονικὴ με‐ σότης. | |
2.28.1 | Καὶ τάδε μὲν περὶ τῶν παρὰ τοῖς παλαιοῖς θρυλλουμένων τριῶν ἀναλογιῶν, ἃς καὶ ἐπιτηδὲς σαφέστερον καὶ πλατύτερον διηρθρώσαμεν, ὅτι πολ‐ λάκις τε καὶ ποικιλώτερον ἐντυγχάνειν ἦν αὐταῖς ἐν | |
| 5 | τοῖς ἀναγνώσμασι· τὰς δ’ ἑξῆς ἐπιτμητέον οὐ πάνυ φερομένας παρὰ τοῖς ἀρχαίοις, ἀλλὰ εἰς μόνην ἐμ‐ πειρίαν ἡμῶν αὐτῶν καὶ τὸ οἱονεὶ πλῆρες τοῦ συλ‐ | |
2.28.2 | λογισμοῦ παραλαμβανομένας. εἰσὶ δὲ αὗται τάξει ἐκφερόμεναι ὑφ’ ἡμῶν κατὰ ὑπεναντίωσιν τὴν πρὸς τὰς πεφρασμένας ἀρχετύπους τρεῖς, εἴπερ καὶ ἐξ αὐτῶν τούτων ἀναπλάσσονται, τάξεως τυγχάνουσαι | 140 |
2.28.3 | ὁμοίας. τετάρτη μὲν ἡ καὶ ὑπεναντία λεγομένη διὰ τὸ ἀντικεῖσθαι καὶ ἀντιπεπονθέναι τῇ ἁρμονικῇ ὑπάρχει, ὅταν ἐν τρισὶν ὅροις ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ἐλάχιστον, οὕτως ἡ τῶν ἐλαττόνων διαφορὰ πρὸς | |
| 5 | τὴν τῶν μειζόνων ἔχῃ, οἷον γ, ε, ϛ, ἐν γὰρ διπλασίῳ τὰ συγκριθέντα ὁρᾶται· φανερὸν δέ, καθ’ ἃ ἠναντίωται τῇ ἁρμονικῇ· τῶν γὰρ αὐτῶν ἄκρων ἀμφοτέραις ὑπαρχόντων καὶ ἐν διπλασίῳ γε | |
| 10 | λόγῳ, ἐν μὲν τῇ πρὸ ταύτης ἡ τῶν μειζόνων ὑπε‐ ροχὴ πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων τὸν αὐτὸν ἔσωζε λό‐ γον, ἐν ταύτῃ δὲ ἀνάπαλιν ἡ τῶν ἐλαττόνων πρὸς τὴν τῶν μειζόνων· ἴδιον δὲ ταύτης ἰστέον ἐκεῖνο, τὸ διπλάσιον ἀποτελεῖσθαι τὸ ὑπὸ τοῦ μείζονος καὶ | |
| 15 | μέσου πρὸς τὸ ὑπὸ τοῦ μέσου καὶ ἐλαχίστου, τοῦ | |
2.28.4 | γὰρ πεντάκις γ διπλάσιον τὸ ἑξάκις ε. αἱ δὲ δύο μεσότητες πέμπτη καὶ ἕκτη παρὰ τὴν γεωμετρικὴν ἐπλάσθησαν ἀμφότεραι, διαφέρουσι δ’ ἀλλήλων οὕ‐ τως· ἡ μὲν πέμπτη ἔστιν, ὅταν ἐν τρισὶν ὅροις ὡς | |
| 5 | ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάχιστον, οὕτω καὶ ἡ αὐτῶν τού‐ των διαφορὰ πρὸς τὴν τοῦ μεγίστου πρὸς τὸν μέσον, | |
| οἷον διπλάσιος γὰρ ὁ μὲν δ τοῦ β, μέσος ὅρος τοῦ ἐλα‐ χίστου, ὁ δὲ β τοῦ α, ἐλαχίστων διαφορὰ πρὸς δια‐ | 141 | |
| 10 | φορὰν μεγίστων· ὃ δ’ ὑπεναντίον αὐτὴν τῇ γεω‐ μετρικῇ ποιεῖ, ἐκεῖνό ἐστιν, ὅτι ἐπὶ μὲν ἐκείνης ὡς ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάττονα, οὕτως ἡ τοῦ μείζονος πρὸς τὸν μέσον ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ μέσου πρὸς τὸν ἐλάττονα, ἐπὶ δὲ ταύτης ἀνάπαλιν ἡ τοῦ ἐλάτ‐ | |
| 15 | τονος πρὸς τὴν τοῦ μείζονος· ἴδιον δ’ ὅμως καὶ ταύτης ἐστὶ τὸ διπλάσιον γίνεσθαι τὸ ὑπὸ τοῦ μεγί‐ στου καὶ μέσου τοῦ ὑπὸ τοῦ μεγίστου καὶ ἐλαχίστου, | |
2.28.5 | τὸ γὰρ πεντάκις δ διπλάσιον τοῦ πεντάκις β. ἡ δὲ ἕκτη γίνεται, ὅταν ἐν τρισὶν ὅροις ᾖ ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν μέσον, οὕτως ἡ τοῦ μέσου παρὰ τὸν ἐλά‐ χιστον ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ μεγίστου παρὰ τὸν | |
| 5 | μέσον, οἷον α, δ, ϛ, ἐν ἡμιολίῳ γὰρ ἑκάτεροι λόγῳ· ἐοικυῖα δ’ αἰτία καὶ ταύτῃ τῆς πρὸς τὴν γεωμετρικὴν ὑπεναντιότητος, ἀναστρέφει γὰρ κἀνταῦθα ἡ τῶν λόγων ὁμοιότης ὡς | |
| 10 | ἐπὶ τῆς πέμπτης. | |
2.28.6 | Καὶ αἱ μὲν παρὰ τοῖς πρόσθεν θρυλλούμεναι ἓξ μεσότητες αἵδε εἰσί, τρεῖς μὲν αἱ πρωτότυποι μέχρι | |
| Ἀριστοτέλους καὶ Πλάτωνος ἄνωθεν ἀπὸ Πυθαγόρου διαμείνασαι, τρεῖς δ’ ἕτεραι ἐκείναις ὑπεναντίαι τοῖς | 142 | |
| 5 | μετ’ ἐκείνους ὑπομνηματογράφοις τε καὶ αἱρετισταῖς ἐν χρήσει γινόμεναι· τέσσαρας δέ τινας ἑτέρας με‐ τακινοῦντες τοὺς τούτων ὅρους τε καὶ διαφορὰς ἐπ‐ εξεῦρόν τινες οὐ πάνυ ἐμφανταζομένας τοῖς τῶν παλαιῶν συγγράμμασιν, ἀλλ’ ὡς περιεργότερον λε‐ | |
| 10 | λεπτολογημένας, ἃς ὅμως πρὸς τὸ μὴ δοκεῖν ἀγνοεῖν | |
2.28.7 | ἐπιτροχαστέον τῇδέ πη. πρώτη μὲν γὰρ αὐτῶν, ἑβ‐ δόμη δὲ ἐν τῇ πασῶν συντάξει ἔστιν, ὅταν ᾖ ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ἐλάχιστον, οὕτως καὶ ἡ τῶν αὐ‐ τῶν διαφορὰ πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων, οἷον | |
| 5 | ϛ, η, θ· ἡμιόλιος γὰρ ὁ λόγος ἑκατέρου συγκρίσει ἐνορᾶται. | |
2.28.8 | ὀγδόη δὲ μεσότης, ἥτις τούτων δευτέρα ἐστί, γίνεται, ὅταν ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ἐλάχιστον, οὕτως ἡ δια‐ φορὰ τῶν ἄκρων πρὸς τὴν τῶν μειζόνων διαφοράν, οἷον | |
| 5 | ϛ, ζ, θ· | |
2.28.9 | καὶ αὕτη γὰρ ἡμιολίους ἔχει τοὺς δύο λόγους. ἡ δὲ ἐνάτη μὲν ἐν τῇ τῶν πασῶν συντάξει, τρίτη δὲ ἐν τῷ τῶν ἐφευρημένων ἀριθμῷ ὑπάρχει, ὅταν τριῶν ὅρων ὄντων, ὃν λόγον ἔχει ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλά‐ | |
| 5 | χιστον, τοῦτον καὶ ἡ τῶν ἄκρων ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ἐλαχίστων ἔχῃ, ὡς | |
| δ, ϛ, ζ. | 143 | |
2.28.10 | ἡ δὲ ἐπὶ πάσαις δεκάτη μὲν συλλήβδην, τετάρτη δὲ ἐν τῇ τῶν νεωτερικῶν ἐκθέσει ὁρᾶται, ὅταν ἐν τρι‐ σὶν ὅροις ᾖ ὡς ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάχιστον, οὕτως καὶ ἡ διαφορὰ τῶν ἄκρων πρὸς τὴν διαφορὰν τῶν | |
| 5 | μειζόνων, οἷον γ, ε, η· | |
2.28.11 | ἐπιδιμερὴς γὰρ ὁ ἐν ἑκατέρᾳ συζυγίᾳ λόγος. ἐπὶ κεφαλαίου τοίνυν οἱ τῶν δέκα ἀναλογιῶν ὅροι ἐκ‐ κείσθωσαν ὑφ’ ἓν παράδειγμα πρὸς τὸ εὐσύνοπτον, πρώτης α, β, γ, | |
| 5 | δευτέρας α, β, δ, τρίτης γ, δ, ϛ, τετάρτης γ, ε, ϛ, πέμπτης β, δ, ε, ἕκτης α, δ, ϛ, | |
| 10 | ἑβδόμης ϛ, η, θ, ὀγδόης ϛ, ζ, θ, ἐνάτης δ, ϛ, ζ, δεκάτης γ, ε, η. | |
2.29.1 | Λοιπὸν καὶ περὶ τῆς τελειοτάτης καὶ τριχῆ διαστατῆς πασῶν τε περιεκτικῆς ἐν βραχεῖ διαρθρώσω μεσότητος χρησιμωτάτης οὔσης εἰς πᾶσαν τὴν ἐν μουσικῇ καὶ φυσιολογίᾳ προκοπήν· κυρίως γὰρ | |
| 5 | αὕτη καὶ ὡς ἀληθῶς ἁρμονία ἂν λεχθείη μόνη παρὰ τὰς ἄλλας, εἴπερ μὴ ἐπίπεδος μηδὲ μιᾷ μόνῃ μεσό‐ τητι συνδεομένη, ἀλλὰ δυσίν, ἵν’ οὕτω τριχῆ διι‐ στάνοιτο, ὡς ὁ κύβος ἁρμονία πρὸ βραχέος ἐσαφη‐ | 144 |
2.29.2 | νίσθη. ὅταν τοίνυν δύο ὅρων ἄκρων τριχῆ διαστα‐ τῶν ἀμφοτέρων, εἴτε ἰσάκις ἴσων ἰσάκις, ἵνα κύβος ᾖ, ἢ ἰσάκις ἴσων ἀνισάκις, ἵνα ἢ δοκίδες ἢ πλινθίδες ὦσιν, εἴτε ἀνισάκις ἀνίσων ἀνισάκις, ἵνα σκαληνοί, | |
| 5 | δύο ὅροι εὑρίσκωνται ἀνὰ μέσον ἄλλοι ἐναλλὰξ πρὸς τοὺς ἄκρους τοὺς αὐτοὺς σώζοντες λόγους καὶ ἀνα‐ μίξ, ὥστε ὁποτερουοῦν αὐτῶν τὴν ἁρμονικὴν σώζον‐ τος ἀναλογίαν τὸν λοιπὸν ἀποτελεῖν τὴν ἀριθμητικήν· ἀνάγκη γὰρ οὕτως διακειμένων τῶν τεσσάρων ἐπι‐ | |
| 10 | φαίνεσθαι τὴν γεωμετρικὴν ἐμπλέγδην ἀμφοτέραις ταῖς μεσότησιν ἀντεξεταζομένην, ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν τρίτον ἀπ’ αὐτοῦ, οὕτως ὁ ὑπ’ αὐτὸν δεύτερος πρὸς τὸν τέταρτον· τὸ γὰρ τοιοῦτον τὸ ὑπὸ τῶν μέσων ἶσον ποιεῖ τῷ ὑπὸ τῶν ἄκρων· πάλιν δὲ ἂν | |
| 15 | ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ὑπ’ αὐτὸν ἐν τοσαύτῃ δειχθῇ διαφορᾷ, ἐν ὅσῃ καὶ αὐτὸς οὗτος πρὸς τὸν ἐλάχιστον, ἀριθμητικὴ ἡ τοιαύτη ἐξέτασις γίνεται καὶ ἡ τῶν ἄκρων σύνθεσις διπλασία τοῦ μέσου· ἐὰν δ’ ὁ τρί‐ τος ἀπὸ τοῦ μεγίστου τῷ αὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων | |
| 20 | αὐτῶν ὑπερέχῃ καὶ ὑπερέχηται, ἁρμονικὴ καὶ τὸ ὑπὸ τοῦ μέσου καὶ τῆς τῶν ἄκρων συνθέσεως δι‐ | 145 |
2.29.3 | πλάσιον τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων. ὑπόδειγμα αὐτῆς ἔστω τοιοῦτον ϛ, η, θ, ιβ· οὐκοῦν ὁ μὲν ϛ σκαληνὸς ἀπὸ τοῦ ἅπαξ β τρίς, ὁ δὲ | |
| 5 | ιβ ἀπὸ τοῦ δὶς β τρὶς ἐν συνεχείᾳ μηκυνθέντων, τῶν δὲ μέσων ὁ μὲν ἐλάττων ἀπὸ τοῦ ἅπαξ β τετρά‐ κις, ὁ δὲ μείζων ἀπὸ τοῦ ἅπαξ γ τρίς, καὶ στερεοί τε οἱ ἄκροι καὶ τριχῆ διαστατοὶ καὶ ὁμογενεῖς αὐ‐ τοῖς αἱ μεσότητες, καὶ κατὰ μὲν τὴν γεωμετρικὴν | |
| 10 | ὡς ὁ ιβ πρὸς τὸν η, οὕτως ὁ θ πρὸς τὸν ϛ, κατὰ δὲ τὴν ἀριθμητικὴν ὅσῳ ὁ ιβ τοῦ θ ὑπερέχει, τοσούτῳ καὶ ὁ θ τοῦ ϛ, κατὰ δὲ τὴν ἁρμονικὴν ᾧ μέρει ὁ η τοῦ ϛ ὑπερέχει, ἐν αὐτῷ τῷ ϛ τοῦ μέρους θεωρου‐ μένου, τούτῳ ὑπὸ τοῦ ιβ ὑπερέχεται ἐν αὐτῷ τῷ ιβ | |
2.29.4 | θεωρουμένῳ. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ μὲν η πρὸς ϛ ἢ ὁ ιβ πρὸς θ διὰ τεσσάρων ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ, ὁ δὲ θ πρὸς ϛ ἢ ὁ ιβ πρὸς η διὰ πέντε ἐν ἡμιολίῳ, ὁ δὲ ιβ πρὸς ϛ διὰ πασῶν ἐν διπλασίῳ· λοιπὸν δὲ ὁ θ πρὸς τὸν | |
| 5 | η τονιαῖον ἐν ἐπογδόῳ, ὅπερ μέτρον κοινὸν πάντων τῶν ἐν μουσικῇ λόγων, ἅτε καὶ γνωριμώτερον ὄν, ὅτι ἄρα καὶ διαφορὰ τῶν πρώτων καὶ στοιχειωδεστά‐ των συμφώνων πρὸς ἄλληλα ὑπάρχει. | |
2.29.5 | Καὶ περὶ μὲν τῶν ἐν ἀριθμοῖς ἐπιφαινομένων καὶ συμβεβηκότων τοσαῦτα ὡς ἐν πρώτῃ εἰσαγωγῇ | 146 |
| ἀρκείτω. | 147 | |