|
TLG 0086 019 :: ARISTOTELES et CORPUS ARISTOTELICUM :: De lineis insecabilibus ARISTOTELES et CORPUS ARISTOTELICUM Phil. Scholia: Cf. SCHOLIA IN ARISTOTELEM (5015) De lineis insecabilibus Citation: Bekker page — (line) | ||
LI.968a(t) | ΠΕΡΙ ΑΤΟΜΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ. | |
| 1 | Ἆρά γ’ εἰσὶν ἄτομοι γραμμαί, καὶ ὅλως ἐν ἅπασι τοῖς ποσοῖς ἐστί τι ἀμερές, ὥσπερ ἔνιοί φασιν; εἰ γὰρ ὁμοίως ὑπάρχει τό τε πολὺ καὶ τὸ μέγα καὶ τὰ ἀντικείμενα τού‐ τοις, τό τε ὀλίγον καὶ τὸ μικρόν, τὸ δ’ ἀπείρους σχεδὸν διαι‐ | |
|---|---|---|
| 5 | ρέσεις ἔχον οὐκ ἔστιν ὀλίγον ἀλλὰ πολύ, φανερὸν ὅτι πε‐ περασμένας ἕξει τὰς διαιρέσεις τὸ ὀλίγον καὶ τὸ μικρόν· εἰ δὲ πεπερασμέναι αἱ διαιρέσεις, ἀνάγκη τι εἶναι ἀμερὲς μέγεθος, ὥστε ἐν ἅπασιν ἐνυπάρξει τι ἀμερές, ἐπείπερ καὶ τὸ ὀλίγον καὶ τὸ μικρόν. ἔτι εἰ ἔστιν ἰδέα γραμμῆς, ἡ δ’ | |
| 10 | ἰδέα πρώτη τῶν συνωνύμων, τὰ δὲ μέρη πρότερα τοῦ ὅλου τὴν φύσιν, διαιρετὴ ἂν εἴη αὐτὴ ἡ γραμμή, τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον καὶ τὸ τετράγωνον καὶ τὸ τρίγωνον καὶ τὰ ἄλλα σχήματα, καὶ ὅλως ἐπίπεδον αὐτὸ καὶ σῶμα· συμβήσε‐ ται γὰρ πρότερ’ ἄττα εἶναι τούτων. ἔτι εἰ σώματός ἐστι | |
| 15 | στοιχεῖα, τῶν δὲ στοιχείων μηδὲν πρότερον, τὰ δὲ μέρη τοῦ ὅλου πρότερα, ἀδιαίρετον ἂν εἴη τὸ πῦρ καὶ ὅλως τῶν τοῦ σώματος στοιχείων ἕκαστον, ὥστ’ οὐ μόνον ἐν τοῖς νοητοῖς ἀλλὰ καὶ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς ἐστί τι ἀμερές. ἔτι δὲ κατὰ τὸν Ζήνωνος λόγον ἀνάγκη τι μέγεθος ἀμερὲς εἶναι, εἴπερ | |
| 20 | ἀδύνατον μὲν ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ ἀπείρων ἅψασθαι, καθ’ ἕκαστον ἁπτόμενον, ἀνάγκη δ’ ἐπὶ τὸ ἥμισυ πρότερον ἀφικνεῖσθαι τὸ κινούμενον, τοῦ δὲ μὴ ἀμεροῦς πάντως ἔστιν ἥμισυ. εἰ δὲ καὶ ἅπτεται τῶν ἀπείρων ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ τὸ ἐπὶ τῆς γραμμῆς φερόμενον, τὸ δὲ θᾶττον ἐν | |
| 25 | τῷ ἴσῳ χρόνῳ πλεῖον διανύει, ταχίστη δ’ ἡ τῆς διανοίας | |
| κίνησις, κἂν ἡ διάνοια τῶν ἀπείρων ἐφάπτοιτο καθ’ ἕκα‐ | Column end | |
LI.968b | στον ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ, ὥστε εἰ τὸ καθ’ ἕκαστον ἅπτε‐ σθαι τὴν διάνοιαν ἀριθμεῖν ἐστίν, ἐνδέχεται ἀριθμεῖν τὰ ἄπειρα ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ. εἰ δὲ τοῦτο ἀδύνατον, εἴη ἄν τις ἄτομος γραμμή. ἔτι καὶ ἐξ ὧν αὐτοὶ οἱ ἐν τοῖς | |
| 5 | μαθήμασι λέγουσιν, εἴη ἄν τις ἄτομος γραμμή, ὡς φα‐ σίν, εἰ σύμμετροί εἰσιν αἱ τῷ αὐτῷ μέτρῳ μετρούμεναι· ὅσαι δ’ εἰσὶ σύμμετροι, πᾶσαί εἰσι μετρούμεναι. εἴη γὰρ ἄν τι μῆκος ᾧ πᾶσαι μετρηθήσονται. τοῦτο δ’ ἀνάγκη ἀδιαίρετον εἶναι. εἰ γὰρ διαιρετόν, καὶ τὰ μέρη μέτρου | |
| 10 | τινὸς ἔσται· σύμμετρα γὰρ τῷ ὅλῳ. ὥστε μέρους τινὸς εἴη διπλασία τὴν ἡμίσειαν, ἐπειδὴ τοῦτ’ ἀδύνατον ἂν εἴη μέ‐ τρον. ὡσαύτως δὲ καὶ αἱ μετρούμεναι ἅπαξ ὑπ’ αὐτοῦ, ὥσπερ πᾶσαι αἱ ἐκ τοῦ μέτρου σύνθετοι γραμμαί, ἐξ ἀμε‐ ρῶν σύγκεινται. τὸ δ’ αὐτὸ συμβήσεται κἀν τοῖς ἐπιπέ‐ | |
| 15 | δοις· πάντα γὰρ τὰ ἀπὸ τῶν ῥητῶν γραμμῶν σύμμετρα ἀλλήλοις, ὥστε ἔσται τὸ μέτρον αὐτῶν ἀμερές. ἀλλὰ μὴν εἴ τι τμηθήσεται μέτρον τινὰ τεταγμένην καὶ ὡρισμένην γραμμήν, οὐκ ἔσται οὔτε ῥητὴ οὔτ’ ἄλογος, οὔτε τῶν ἄλλων οὐδεμία ὧν νῦν δὴ εἴρηται, οἷον ἀποτομὴν ἐκ δυοῖν ὀνομά‐ | |
| 20 | τοιν· ἀλλὰ καθ’ αὑτὰς μὲν οὐδέ τινας ἕξουσι φύσεις, πρὸς ἀλλήλας δὲ ἔσονται ῥηταὶ καὶ ἄλογοι. ἢ πρῶτον μὲν οὐκ ἀνάγκη τὸ ἀπείρους ἔχον διαιρέσεις μὴ εἶναι μικρὸν καὶ ὀλίγον· καὶ γὰρ τόπον καὶ μέγεθος καὶ ὅλως τὸ συνεχὲς μικρὸν μὲν λέγομεν, καὶ ἐφ’ ὧν μὲν ἁρμόττει τὸ ὀλίγον, | |
| 25 | οὐ μὴν ἀλλ’ ἀπείρους διαιρέσεις φαμὲν ἔχειν. ἔτι δ’ εἰ | |
| ἐν τῷ συνθέτῳ γραμμαί, κατὰ τούτων τῶν ἀτόμων λέγεται | ||
LI.969a | τὸ μικρόν, καὶ ἄπειροι στιγμαὶ ἐνυπάρχουσιν. ᾗ δὲ γραμμή, διαίρεσις κατὰ στιγμήν, καὶ ὁμοίως καθ’ ὁποιανοῦν ἀπείρους ἂν ἔχοι διαιρέσεις ἅπασα ἡ μὴ ἄτομος. ἔνιαι δὲ τούτων εἰς μακρὰ καὶ ἄπειροι οἱ λόγοι. πᾶσαν δὲ τμηθῆναι τὸν | |
| 5 | ἐπιταχθέντα δυνατὸν τὴν μὴ ἄτομον. ἔτι εἰ τὸ μέγα ἐκ μικρῶν τινῶν σύγκειται, ἢ οὐθὲν ἔσται τὸ μέγα, ἢ τὸ πε‐ περασμένας ἔχον διαιρέσεις οὐ μέγα ἔσται. τὸ γὰρ ὅλον τὰς τῶν μερῶν ἔχει διαιρέσεις ὁμοίως. εὔλογον δ’ ἐστὶ τό τε σμικρὸν πεπερασμένας ἔχειν διαιρέσεις καὶ τὸ μέγα | |
| 10 | ἀπείρους, οὕτως ἀξιοῦσιν. ὥστε φανερὸν ὅτι οὐκ ἐν τούτῳ λέ‐ γοιτο τὸ μέγα καὶ τὸ μικρόν, τῷ πεπερασμένας ἔχειν καὶ ἀπείρους διαιρέσεις. εἰ δ’ ὅτι καὶ ἐν ἀριθμοῖς τὸ ὀλίγον πεπερασμένας ἔχει διαιρέσεις, καὶ ἐν γραμμαῖς τις ἀξιοίη τὸ μικρόν, εὔηθες. ἐκεῖ μὲν γὰρ ἐξ ἀμερῶν τε ἡ γένεσις, | |
| 15 | καὶ ἔστι τι ὃ τῶν ἀριθμῶν ἀρχή ἐστι, καὶ πᾶς ὁ μὴ ἄπει‐ ρος πεπερασμένας ἔχει διαιρέσεις· ἐπὶ δὲ τῶν μεγεθῶν οὐχ ὁμοίως. οἱ δ’ ἐν τοῖς εἴδεσι τὰς ἀτόμους κατασκευάζοντες τοὔλαττον ἴσως ἀξίωμα λαμβάνουσι τοῦ προκειμένου, τὸ τι‐ θέναι τούτων ἰδέας· καὶ τρόπον τινὰ ταῦτ’ ἀναιροῦσι δι’ ὧν | |
| 20 | δεικνύουσιν. καὶ γὰρ διὰ τούτων τῶν λόγων ἀναιρεῖται τὰ εἴδη. πάλιν δὲ τῶν σωματικῶν στοιχείων εὔηθες τὸ ἀμερῆ ἀξιοῦν. εἰ γὰρ αὖ καὶ ἀποφαίνονταί τινες οὕτως, ἀλλὰ πρός γε τὴν ὑποκειμένην σκέψιν αὐτὸ τὸ ἐξ ἀρχῆς λαμβάνουσιν. μᾶλλον δὲ ὅσῳ μᾶλλον τὸ ἐξ ἀρχῆς δόξειαν ἀναλαμ‐ | |
| 25 | βάνεσθαι, τόσῳ μᾶλλον δοκεῖ διαιρετὸν εἶναι σῶμα καὶ μῆκος καὶ τοῖς ὄγκοις καὶ τοῖς διαστήμασιν. ὁ δὲ τοῦ Ζή‐ νωνος λόγος οὐ συμβιβάζει οὐ συμπεπερασμένῳ χρόνῳ τῶν ἀπείρων ἅπτεσθαι τὸ φερόμενον ὡδὶ τὸν αὐτὸν τρόπον. ὁ γὰρ χρόνος καὶ τὸ μῆκος ἄπειρον καὶ πεπερασμένον λέ‐ | |
| 30 | γεται, καὶ τόσας ἔχει διαιρέσεις. οὐδὲ δὴ τὸ καθ’ ἕκαστον ἅπτεσθαι τῶν ἀπείρων τὴν διάνοιαν οὐκ ἔστιν ἀριθμεῖν, εἰ ἄρα τις καὶ νοήσειεν οὕτως ἐφάπτεσθαι τῶν ἀπείρων τὴν | |
| διάνοιαν. ὅπερ ἴσως ἀδύνατον· οὐ γὰρ ἐν συνεχέσι καὶ | Column end | |
LI.969b | ὑποκειμένοις ἡ τῆς διανοίας κίνησις, ὥσπερ ἡ τῶν φερομέ‐ νων. εἰ δ’ οὖν καὶ ἐγχωρεῖ κινεῖσθαι οὕτως, οὐκ ἔστι τοῦτο ἀριθμεῖν· τὸ γὰρ ἀριθμεῖν ἐστὶ τὸ μετὰ ἐπιστάσεως. ἀλλ’ ἄτοπον ἴσως τὸ μὴ δυναμένους λύειν τὸν λόγον δουλεύειν | |
| 5 | τῇ ἀσθενείᾳ, καὶ προσεξαπατᾶν ἑαυτοὺς μείζους ἀπάτας, βοηθοῦντας τῇ ἀδυναμίᾳ. τὸ δ’ ἐπὶ τῶν συμμέτρων γραμ‐ μῶν, ὡς ὅτι αἱ πᾶσαι τῷ αὐτῷ τινὶ καὶ ἑνὶ μετροῦνται, κομιδῇ σοφιστικὸν καὶ ἥκιστα κατὰ τὴν ὑπόθεσιν τὴν ἐν τοῖς μαθήμασιν· οὔτε γὰρ ὑποτίθενται οὕτως, οὔτε χρήσιμον | |
| 10 | αὐτοῖς ἐστίν. ἅμα δὲ καὶ ἐναντίον πᾶσαν μὲν γραμμὴν σύμμετρον γίνεσθαι, πασῶν δὲ τῶν συμμέτρων κοινὸν μέ‐ τρον εἶναι ἀξιοῦν. ὥστε γελοῖον τὸ κατὰ τὰς ἐκείνων δόξας καὶ ἐξ ὧν αὐτοὶ λέγουσι φάσκοντες δείξειν, εἰς ἐριστικὸν ἅμα καὶ σοφιστικὸν ἐκκλίνειν λόγον, καὶ ταῦθ’ οὕτως | |
| 15 | ἀσθενῆ. πολλαχῇ γὰρ ἀσθενής ἐστι καὶ πάντα τρόπον δια‐ φυγεῖν καὶ τὰ παράδοξα καὶ τοὺς ἐλέγχους. ἔτι δ’ ἄτο‐ πον ἂν εἴη διὰ μὲν τὸν Ζήνωνος λόγον παραπεπεῖσθαί τινας ἀτόμους ποιεῖν γραμμάς, τῷ μὴ ἔχειν ἀντειπεῖν, διὰ δὲ τῆς εὐθείας εἰς τὴν ἡμιόλιον κίνησιν, ἣν ἀναγκαῖον | |
| 20 | εὐθὺς τέμνειν ἀπείρων μεταξὺ πιπτουσῶν περιφερειῶν καὶ διαστημάτων ὄντων, καὶ πάλιν διὰ τὴν τῶν ἴσων κύκλων εὔπειστον, ὅτι ἀνάγκη ἂν ὅτι κινηθῇ, μεῖζον ἡμικύκλιον κινεῖσθαι, καὶ ὅσα ἄλλα τοιαῦτα τεθεώρηται περὶ τὰς γραμμὰς μὴ οἷόν τε ἐνδέχεσθαι τοιαύτην δή τινα γενέσθαι | |
| 25 | κίνησιν ὥστ’ ἐφ’ ἑκάστην τῶν μεταξὺ μὴ πίπτειν πρότερον· πολὺ γὰρ ταῦτα μᾶλλον ὁμολογούμενα ἐκείνων. ὅτι μὲν οὖν ἔκ γε τῶν εἰρημένων λόγων οὔτ’ ἀναγκαῖον ἀτόμους εἶναι γραμμὰς οὔτε πιθανόν, φανερόν. ἔτι δὲ καὶ ἐκ τῶνδε γένοιτ’ ἂν φανερώτερον. πρῶτον μὲν ἐκ τῶν ἐν τοῖς μα‐ | |
| 30 | θήμασι δεικνυμένων καὶ τιθεμένων, ἃ οὐ δίκαιον ἢ πιστο‐ τέροις λόγοις κινεῖν. οὔτε γὰρ ὁ τῆς γραμμῆς οὔτε ὁ τῆς εὐθείας ὅρος ἐφαρμόσει τῇ ἀτόμῳ διὰ τὸ μήτε μεταξὺ | |
| τινῶν εἶναι μήτ’ ἔχειν μέσον. ἔπειτα πᾶσαι αἱ γραμμαὶ | ||
LI.970a | σύμμετροι ἔσονται. πᾶσαι γὰρ ὑπὸ τῶν ἀτόμων μετρη‐ θήσονται, αἵ τε μήκει σύμμετροι καὶ αἱ δυνάμει. αἱ δὲ ἄτομοι σύμμετροι πᾶσαι μήκει· ἴσαι γάρ· ὥστε καὶ δυ‐ νάμει. εἰ δὲ τοῦτο, διαιρετὸν ἔσται τὸ τετράγωνον. ἔτι εἰ ἡ | |
| 5 | περὶ τὴν μείζω τὸ πλάτος ποιεῖ παραβαλλομένη, τὸ ἴσον τῶν ἀπὸ τῆς ἀτόμου καὶ τῆς ποδιαίας παραβαλλομένων περὶ τὴν δίπουν ἔλαττον ποιήσει τὸ πλάτος τῆς ἀμεροῦς· ἔσται ἔλαττον τὸ περὶ τῆς ἀτόμου. ἔτι εἰ ἐκ τριῶν δοθει‐ σῶν εὐθειῶν συνίσταται τρίγωνον, καὶ ἐκ τῶν ἀτόμων συ‐ | |
| 10 | σταθήσεται. ἐν ἅπαντι δὲ ἰσοπλεύρῳ ἡ κάθετος ἐπὶ μέσην πίπτει, ὥστε καὶ ἐπὶ τὴν ἄτομον. ἔτι εἰ τὸ τετράγωνον τῶν ἀμερῶν διὰ μέσου ἐμπεσούσης καὶ καθέτου ἀχθείσης, ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τὴν κάθετον δύναται καὶ τὴν ἡμίσειαν τῆς διαμέτρου, ὥστε οὐκ ἐλαχίστη. οὐδὲ διπλάσιον τὸ ἀπὸ | |
| 15 | τῆς διαμέτρου χωρίον ἔσται τοῦ ἀπὸ τῆς ἀτόμου. ἀφαιρε‐ θέντος γὰρ τοῦ ἴσου ἡ λοιπὴ ἔσται ἐλάσσων τῆς ἀμεροῦς. εἰ γὰρ ἴσως τετραπλάσιον ἂν ἔγραψεν ἡ διάμετρος, ἄλλα δ’ ἄν τις καὶ ἕτερα τοιαῦτα συνάγοι· πᾶσι γὰρ ὡς εἰπεῖν ἐναντιοῦται τοῖς ἐν τοῖς μαθήμασιν. πάλιν τοῦ μὲν ἀμεροῦς | |
| 20 | μία ἡ σύναψις, γραμμῆς δὲ δύο· καὶ γὰρ ὅλη ὅλης ἅπτεται, καὶ κατὰ τὸ πέρας ἐξ ἐναντίας. ἔτι γραμμὴ προστεθεῖσα οὐ ποιεῖ μείζω τὴν ὅλην· τὰ γὰρ ἀμερῆ συν‐ τιθέμενα οὐ ποιήσει μεῖζον. ἔτι ἐκ δυοῖν ἀμεροῖν μηδὲν γίνεσθαι συνεχὲς διὰ τὸ πλείους διαιρέσεις ἔχειν ἅπαν τὸ | |
| 25 | συνεχές· ἅπασα δὲ γραμμὴ παρὰ τὴν ἄτομον συνεχὴς οὐκ ἂν εἴη γραμμὴ ἄτομος. ἔτι εἰ ἅπασα γραμμὴ παρὰ τῆς ἀτόμου καὶ ἴσα καὶ ἄνισα διαιρεῖται, καὶ μὴ ἐκ τριῶν ἀτόμων καὶ ὅλως περιττῶν, ὥστ’ ἀδιαίρετος ἡ ἄτομος. ὁμοίως δὲ κἂν εἰ δίχα τέμνεται· πᾶσα γὰρ ἡ ἐκ τῶν | |
| 30 | περιττῶν. εἰ δὲ δίχα μὲν μὴ πᾶσα τέμνεται ἀλλ’ ἡ ἐκ τῶν ἀρτίων, τὴν δὲ δίχα διαιρουμένην καὶ ὅσα δυνατὸν τέ‐ μνειν, διαιρεθήσεται καὶ οὕτως ἡ ἄτομος, ὅταν ἡ ἐκ τῶν | |
| ἀρτίων εἰς ἄνισα διαιρῆται. πάλιν εἰ τὸ κεκινημένον ἐν ᾧ | Column end | |
LI.970b | χρόνῳ κινεῖται τὴν ὅλην ἐν τῷ ἡμίσει τὴν ἡμίσειαν κινηθή‐ σεται, καὶ ἐν τῷ ἐλάττονι ἔλαττον ἢ τὴν ἡμίσειαν, ὥστ’ εἰ μὲν περιττῶν σύγκειται τῶν ἀτόμων τὸ μῆκος, ἀναι‐ ρεθήσεται ἡ μέση τομὴ τῶν ἀτόμων, εἴπερ ἐν τῷ ἡμίσει | |
| 5 | χρόνῳ τὸ ἥμισυ δίεισιν· ὁμοίως γὰρ ὅ τε χρόνος καὶ ἡ γραμμὴ τμηθήσεται. ὥστε οὐδεμία τῶν συγκειμένων τμη‐ θήσεται εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, οὐδ’ ὁμοίως τοῖς χρόνοις τμη‐ θήσονται. οὐκ ἔσονται ἄτομοι γραμμαί. τὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ λόγου ἐστί, καθάπερ ἐλέχθη, τὸ πάντα ταῦτα ποιεῖν ἐξ | |
| 10 | ἀμερῶν. ἔτι ἅπασα ἡ μὴ ἄπειρος δύο ἔχει πέρατα· γραμμὴ γὰρ ὥρισται τούτοις. ἡ δὲ ἄτομος οὐκ ἄπειρος, ὥστε ἕξει πέρας. διαιρετὴ ἄρα· τὸ γὰρ πέρας ἄλλο καὶ οὗ πέρας. ἢ ἔσται τις οὔτ’ ἄπειρος οὔτε πεπερασμένη γραμμὴ παρὰ ταύτας. ἔτι οὐκ ἐν ἁπάσῃ γραμμῇ στιγμὴ ἔσται. ἐν | |
| 15 | μὲν γὰρ τῇ ἀτόμῳ οὐκ ἔστιν· εἰ μὲν γὰρ μία μόνη, ὑπάρ‐ ξει γραμμή, εἶτα στιγμή· εἰ δὲ πλείους, διαιρετὴ ἡ γραμμή. εἰ μὲν οὖν ἐν τῇ ἀτόμῳ μὴ ἐνυπάρχει στιγμή, οὐδ’ ὅλως ἐν γραμμῇ ἔσται· αἱ γὰρ ἄλλαι ἐκ τῶν ἀτόμων. ἔτι ἢ μηθὲν τῶν στιγμῶν ἔσται μεταξὺ ἢ γραμμή· εἰ δὲ μεταξὺ | |
| 20 | γραμμή, ἐν ἁπάσαις δὲ πλείους στιγμαί, οὐκ ἔσται ἄτομος. ἔτι οὐχ ἁπάσης ἔσται γραμμῆς τετράγωνον· ἕξει γὰρ μῆ‐ κος καὶ πλάτος, ὥστε διαιρετόν, ἐπεὶ τὸ μέν, τὸ δέ τι. εἰ δὲ τὸ τετράγωνον, καὶ ἡ γραμμή. ἔτι τὸ πέρας τῆς γραμ‐ μῆς στιγμὴ ἔσται, ἀλλ’ οὐ γραμμή. πέρας μὲν γάρ, τὸ | |
| 25 | ἔσχατον δὲ ἡ ἄτομος. εἰ γὰρ στιγμή, τὸ πέρας τῇ ἀτόμῳ ἔσται στιγμή, καὶ ἔσται γραμμὴ γραμμῆς στιγμῇ μείζων. εἰ δ’ ἐνυπάρχει τῇ ἀτόμῳ ἡ στιγμή, διὰ τὸ ταὐτὸ πέρας τῶν συνεχουσῶν γραμμῶν, ἔσται τι πέρας τῆς ἀμεροῦς. ὅλως τε τί διοίσει στιγμὴ γραμμῆς; οὐδὲν γὰρ ἴδιον ἕξει ἡ | |
| 30 | ἄτομος γραμμὴ παρὰ τὴν στιγμὴν πλὴν τοὔνομα. ἔτι ὁμοίως μένει ἐπίπεδον καὶ σῶμά ἐστιν ἄτομον. ἑνὸς γὰρ ὄντος ἀδιαιρέτου καὶ τἆλλα συνακολουθήσει διὰ τὸ θάτερον | |
| διῃρῆσθαι κατὰ θάτερον. σῶμα οὐκ ἔσται ἀδιαίρετον διὰ τὸ | ||
LI.971a | εἶναι ἐν αὐτῷ βάθος καὶ πλάτος, οὐδ’ ἂν γραμμὴ εἴη ἀδιαίρετος· σῶμα μὲν γὰρ κατ’ ἐπίπεδον, ἐπίπεδον δὲ κατὰ γραμμήν. ἐπεὶ δὲ οἵ τε λόγοι δι’ ὧν ἐπιχειροῦσι πείθειν ἀσθενεῖς εἰσί, καὶ ψευδεῖς ἐναντίαι δόξαι πᾶσαι τοῖς | |
| 5 | ἰσχύουσι πρὸς πίστιν, φανερὸν ὅτι οὐκ ἂν εἴη γραμμὴ ἄτομος. δῆλον δ’ ἐκ τούτων ὅτι οὐδ’ ἂν ἐκ στιγμῶν εἴη γραμμή. σχε‐ δὸν γὰρ οἱ πλεῖστοι τῶν λόγων οἱ αὐτοὶ ἁρμόσουσιν. ἀνάγκη γὰρ διαιρεῖσθαι τὴν στιγμήν, ὅταν ἢ ἐκ περιττῶν τέμνηται ἴσα ἢ ἐξ ἀρτίων τὰ ἄνισα. καὶ τὸ τῆς γραμμῆς μέρος μὴ | |
| 10 | εἶναι γραμμήν, μηδὲ τὸ τοῦ ἐπιπέδου ἐπίπεδον. καὶ γραμμὴ δὲ γραμμῆς στιγμῇ εἶναι μείζων· ἐξ ὧν γὰρ σύγκειται, τούτοις καὶ ὑπερέξει. τοῦτο δ’ ὅτι ἀδύνατον, ἔκ τε τῶν ἐν τοῖς μαθήμασι δῆλον, καὶ ἔτι συμβήσεται τὴν στιγμὴν ἐν χρόνῳ δὴ εἶναι τὸ φερόμενον, εἴπερ τὴν μείζω μὲν ἐν | |
| 15 | πλείονι χρόνῳ, τὴν δ’ ἴσην ἐν ἴσῳ, ἡ δὲ τοῦ χρόνου ὑπε‐ ροχὴ χρόνος. ἀλλ’ ἴσως καὶ ὁ χρόνος ἐστὶν ἐκ τῶν νῦν, καὶ τοῦ αὐτοῦ λόγου λέγειν ἄμφω. εἰ δὴ τὸ νῦν ἀρχὴ καὶ πέρας τοῦ χρόνου καὶ ἡ γραμμὴ στιγμῆς, μή ἐστι δὲ συ‐ νεχὴς ἡ ἀρχὴ καὶ τὸ πέρας ἀλλ’ ἔχουσί τι μεταξύ, οὐκ | |
| 20 | ἂν εἴη οὔτε τὰ νῦν οὔτε στιγμαὶ ἀλλήλοις συνεχεῖς. ἔτι ἡ μὲν γραμμὴ μέγεθός τι, ἡ δὲ τῶν στιγμῶν σύνθεσις οὐδὲν ποιεῖ μεγέθος διὰ τὸ μηδ’ ἐπὶ πλείω τόπον ἔχειν. ὅταν γὰρ ἐπὶ γραμμὴν γραμμὴ τεθῇ καὶ ἐφαρμόσῃ, οὐδὲν γί‐ νεται μεῖζον τὸ πλάτος. ἐν δὲ τῇ γραμμῇ καὶ στιγμαὶ | |
| 25 | ἐνυπάρχουσιν, οὐδ’ ἂν αἱ στιγμαὶ πλείω κατέχοιεν τόπον, ὥστε οὐκ ἂν ποιοῖεν μέγεθος. ἔτι εἰ ἅπαντα ἅπτεται παν‐ τὸς ἢ ὅλον ὅλου ἢ τινὶ τινὸς ἢ ὅλον τινός, ἡ δὲ στιγμὴ ἀμερὴς ὅλως ἅπτοιτο. τὸ δ’ ὅλον ὅλου ἁπτόμενον ἀνάγκη ἓν εἶναι. εἰ γάρ τι ἐστὶν ἢ θάτερον μή ἐστιν, οὐκ ἂν ὅλον | |
| 30 | ὅλου ἅπτοιτο. εἰ δ’ ἅμα ἐστὶ τὰ ἀμερῆ, τὸν αὐτὸν κα‐ | |
| τέχει τόπον πλείων ὃν καὶ πρότερον τὸ ἕν· τῶν γὰρ ἅμα | Column end | |
LI.971b | ὄντων καὶ μὴ ἐχόντων ἐπέκτασιν κατὰ ταὐτὰ ὁ αὐτὸς ἀμφοῖν τόπος. τὸ δ’ ἀμερὲς οὐκ ἔχει διάστασιν, ὥστ’ οὐκ ἂν εἴη μέγεθος συνεχὲς ἐξ ἀμερῶν. οὐκ ἄρα οὔθ’ ἡ γραμμὴ ἐκ στιγμῶν οὔθ’ ὁ χρόνος ἐκ τῶν νῦν. ἔτι εἰ ἔστιν ἐκ στι‐ | |
| 5 | γμῶν, ἅψεται στιγμὴ στιγμῆς· ἐὰν οὖν ἐκ τοῦ Κ ἐκβληθῇ ἡ ΑΒ καὶ ΓΔ, ἅψεται τοῦ Κ καὶ ἡ ἐν τῇ ΚΔ στιγμή. ὥστε καὶ ἄλλῳ τινί· τὸ γὰρ ἀμερὲς τοῦ ἀμεροῦς ὅλον ὅλου ἐφάπτεται. ὥστε τὸν αὐτὸν ἐφέξει τόπον τοῦ Κ, καὶ ἁπτό‐ μεναι στιγμαὶ ἐν τῷ αὐτῷ τόπῳ ἀλλήλαις. εἰ δ’ ἐν τῷ | |
| 10 | αὐτῷ, καὶ ἅπτονται· τὰ γὰρ ἐν τῷ αὐτῷ τόπῳ ὄντα πρῶτα ἅπτεσθαι ἀναγκαῖον, εἶθ’ οὕτως εὐθεῖα εὐθείας ἅψε‐ ται κατὰ δύο στιγμάς. ἡ γὰρ ἐν τῇ ΑΚ στιγμὴ καὶ τῇ ΚΓ καὶ ἑτέρας ἅπτεται στιγμῆς. ὥστε ἡ ἐκ τῆς ΓΔ κατὰ πλείους ἅπτεται στιγμάς. ὁ αὐτὸς δὲ λόγος καὶ εἰ | |
| 15 | μὴ δι’ ἀλλήλων ἀλλ’ ὁπωσοῦν ἥψατο γραμμῆς. ἔτι καὶ ἡ τοῦ κύκλου τῆς εὐθείας ἅψεται κατὰ πλείω. τῆς γὰρ συναφῆς καὶ ἡ ἐν τῷ κύκλῳ καὶ ἡ ἐν τῇ εὐθείᾳ ἅπτεται καὶ ἀλλήλων. εἰ δὲ τοῦτο μὴ δυνατόν, οὐδὲ τὸ ἅπτεσθαι στιγμὴν στιγμῆς· εἰ δὲ μὴ ἅπτεσθαι, οὐδ’ εἶναι τὴν γραμ‐ | |
| 20 | μὴν στιγμήν· οὐδὲ γὰρ ἅπτεσθαι ἀναγκαῖον. ἔτι πῶς ποτὲ ἔσται εὐθεῖα γραμμὴ καὶ περιφερής; οὐδὲν γὰρ διοίσει ἡ σύναψις τῶν στιγμῶν ἐν τῇ εὐθείᾳ καὶ τῇ περιφερεῖ. τὸ γὰρ ἀμερὲς τοῦ ἀμεροῦς ὅλον ὅλου ἅπτεται, καὶ οὐκ ἔστιν ὅλως ἅπτεσθαι. εἰ οὖν αἱ μὲν γραμμαὶ διάφοροι, ἡ δὲ | |
| 25 | σύναψις ἀδιάφορος, οὐκ ἔσται δὴ γραμμὴ ἐκ τῆς συνά‐ ψεως, ὥστ’ οὐδ’ ἐκ στιγμῶν. ἔτι ἀναγκαῖον ἢ ἅπτεσθαι ἢ μὴ ἅπτεσθαι τὰς στιγμὰς ἀλλήλων. εἰ μὲν οὖν τὸ ἐφεξῆς ἅπτεσθαι ἀνάγκη, ὁ αὐτὸς ἔσται λόγος· εἰ δὲ ἐνδέχεται ἐφεξῆς τι εἶναι μὴ ἁπτόμενον, τὸ δὲ συνεχὲς οὐδὲν ἄλλο | |
| 30 | λέγομεν ἢ τὸ ἐξ ὧν ἐστὶν ἁπτομένων· ὥστε καὶ οὕτως ἀνάγκη | |
| τὰς στιγμὰς ἅπτεσθαι ἀλλήλων, ἢ εἶναι γραμμὴν συνεχῆ. | ||
LI.972a | ἔτι εἰ ἄτοπον στιγμὴ ἐπὶ στιγμῆς, ἵν’ ᾖ γραμμὴ καὶ ἐπὶ στιγμῇ, ἐπεὶ ἡ γραμμὴ ἐπίπεδον, ἀδύνατον τὰ εἰρημένα εἶναι. εἴτε γὰρ ἐφεξῆς αἱ στιγμαί εἰσι, τμηθήσεται ἡ γραμμὴ κατ’ οὐδετέραν τῶν στιγμῶν, ἀλλ’ ἀνὰ μέσον· | |
| 5 | εἴθ’ ἅπτονται, γραμμὴ ἔσται τῆς μιᾶς στιγμῆς χώρα. τοῦτο δ’ ἀδύνατον. ἔτι διαιροῖτ’ ἂν ἅπαντα καὶ ἀναλύοιτο εἰς στιγμάς, καὶ ἡ στιγμὴ μέρος σώματος, εἴπερ τὸ μὲν σῶμα ἐξ ἐπιπέδων, τὸ δ’ ἐπίπεδον ἐκ γραμμῶν, αἱ δὲ γραμμαὶ ἐκ στιγμῶν. εἰ δ’ ἐξ ὧν πρώτων ἐνυπαρχόντων | |
| 10 | ἕκαστά ἐστι, στοιχεῖά ἐστι ταῦτα, αἱ στιγμαὶ ἂν εἴησαν στοι‐ χεῖα σωμάτων. ὥστε συνώνυμα στοιχεῖα οὐδέτερα τῷ εἴδει. φανερὸν οὖν ἐκ τῶν εἰρημένων ὅτι οὐκ ἔστι γραμμὴ ἐκ στι‐ γμῶν. ἀλλ’ οὐδ’ ἀφαιρεθῆναι οἷόν τε στιγμὴν ἀπὸ γραμ‐ μῆς. εἰ γὰρ ἐνδέχεται ἀφαιρεθῆναι, καὶ προστεθῆναι δυ‐ | |
| 15 | νατόν· προστεθέντος δέ τινος τὸ προστεθὲν μεῖζον ἔσται τοῦ ἐξ ἀρχῆς, ἐὰν τοιοῦτον ᾖ τὸ προστιθέμενον ὥστε ἓν ὅλον ποιεῖν. ἔσται γραμμὴ γραμμῆς στιγμῇ μείζων. τοῦτο δ’ ἀδύνατον. ἀλλὰ καθ’ ἑαυτὴν μὲν οὐχ οἷόν τε, κατὰ συμ‐ βεβηκὸς δ’ ἐνδέχεται στιγμὴν ἀπὸ γραμμῆς ἀφελεῖν, τῷ | |
| 20 | ἐνυπάρχειν ἐν τῇ ἀφαιρουμένῃ γραμμῇ. εἰ τοῦ ὅλου ἀφαι‐ ρουμένου καὶ ἡ ἀρχὴ καὶ τὸ πέρας ἀφαιρεῖται, γραμμῆς δ’ ἦν ἡ ἀρχὴ καὶ τὸ πέρας στιγμή, καὶ γραμμῆς ἐγχω‐ ρεῖ ἀφαιρεῖν καὶ στιγμὴν ἐνδέχοιτο. αὕτη δ’ ἡ ἀφαίρεσις κατὰ συμβεβηκός. εἰ δὲ τὸ πέρας ἅπτεται, οὔτε πέρας ἢ | |
| 25 | αὐτοῦ ἢ τῶν ἐκείνου τινός. ἡ δὲ στιγμή, ᾗ πέρας γραμμῆς, ἅπτεται. ᾗ μὲν οὖν γραμμῆς ἔσται στιγμὴ μείζων, ἡ δὲ στιγμὴ ἐκ στιγμῶν· τῶν γὰρ ἁπτομένων οὐδὲν ἀνὰ μέσον. ὁ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῆς τομῆς, εἰ ἡ τομὴ στιγμῆς καὶ ἡ τομὴ ἅπτεταί τινος καὶ ἐπὶ στερεοῦ καὶ ἐπιπέδου· ὡσαύ‐ | |
| 30 | τως δὲ καὶ τὸ στερεὸν ἐξ ἐπιπέδων καὶ γραμμῶν. οὐκ ἀληθὲς δὲ κατὰ στιγμὴν εἰπεῖν, οὐδ’ ὅτι ἐλάχιστον τῶν ἐκ γραμμῆς εἰς τὸ ἐλάχιστον τῶν ἐνυπαρχόντων εἴρηται. | |
| τὸ δὲ ἐλάχιστον, ὧν ἐστὶν ἐλάχιστον, καὶ ἔλαττόν ἐστιν. | Column end | |
LI.972b | ἐν δὲ τῇ γραμμῇ οὐδὲν ἄλλο ἢ στιγμαὶ καὶ γραμμαὶ ἐνυ‐ πάρχουσιν. ἡ δὲ γραμμὴ τῆς στιγμῆς οὐκ ἔστι μείζων· οὐδὲ γὰρ αὖ τὸ ἐπίπεδον τῆς γραμμῆς. ὥστ’ οὐκ ἔσται στιγμὴ τὸ ἐν γραμμῇ ἐλάχιστον. εἰ δὲ συμβλητὸν τῇ γραμμῇ | |
| 5 | ἡ στιγμή, τὸ δὲ ἐλάχιστον ἐν τρισὶ προσώποις, οὐκ ἔσται ἡ στιγμὴ τῶν ἐν τῇ γραμμῇ ἐλάχιστον. καὶ ἄλλ’ ἄττα ἐνυ‐ πάρχει παρὰ τὰς στιγμὰς καὶ τὰς γραμμὰς ἐν τῷ μήκει· οὐ γὰρ ἐκ στιγμῶν. εἰ δὲ τὸ ἐν τόπῳ ὂν ἡ στιγμὴ μῆκος ἢ ἐπίπεδον ἢ στερεὸν ἐκ τούτων τι, ἐξ ὧν δ’ ἐστὶν ἡ γραμμή, | |
| 10 | ἐκεῖνα ἐν τόπῳ (καὶ γὰρ ἡ γραμμή), καὶ μήτε σῶμα μήτ’ ἐπίπεδον μήτε ἐκ τούτων τι ἐνυπάρχει τῇ γραμμῇ, οὐκ ἔσται οὐθὲν ὅλως παρὰ τὰς στιγμὰς καὶ τὰς γραμμὰς ἐν τῷ μήκει. ἔτι εἰ τοῦ ἐν τόπῳ ὄντος τὸ μεῖζον λεγόμε‐ νον μῆκος ἡ ἐπιφάνεια στερεόν, ἡ δὲ στιγμὴ ἐν τόπῳ, τὸ | |
| 15 | δ’ ἐν τῷ μήκει ὑπάρχον παρὰ τὰς στιγμὰς καὶ τὰς γραμ‐ μὰς οὐθὲν τῶν προειρημένων, ὥστ’ οὐκ ἔσται ἡ στιγμὴ τῶν ἐνυπαρχόντων ἐλάχιστον. ἔτι εἰς ὃ ἐλάχιστόν τι τῶν ἐν τῇ οἰκίᾳ, μήτε τῆς οἰκίας συμβαλλομένης πρὸς αὐτὸ λέγεται· ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων· οὐδὲ τὸ ἐν γραμμῇ ἐλά‐ | |
| 20 | χιστον πρὸς γραμμὴν συγκρινόμενον ἔσται. ὥστε οὐχ ἁρμό‐ σει τὸ ἐλάχιστον, ἐπεὶ τὸ μὴ ὂν ἐν τῇ οἰκίᾳ μή ἐστι τῶν ἐν τῇ οἰκίᾳ ἐλάχιστον. ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων. ἐνδέχεται γὰρ στιγμὴν αὐτὴν καθ’ αὑτὴν εἶναι. οὐκ ἔσται κατὰ ταύτης ἀληθὲς εἰπεῖν ὅτι τὸ ἐν γραμμῇ ἐλάχιστον, | |
| 25 | ὅτι οὐκ ἔστιν ἡ στιγμὴ ἄρθρον ἀδιαίρετον. τὸ μὲν γὰρ ἄρ‐ θρον ἀεὶ δυοῖν ὅρος, ἡ δὲ στιγμὴ καὶ μιᾶς γραμμῆς ὅρος ἐστίν. ἔτι ἡ μὲν πέρας, τὸ δὲ διαίρεσίς ἐστι μᾶλλον. ἔτι ἡ γραμμὴ καὶ τὸ ἐπίπεδον ἄρθρα ἔσονται· ἀνάλογον γὰρ ἔχουσιν, ὅτι τὸ ἄρθρον διάφορόν πως ἐστίν, διὸ καὶ Ἐμπε‐ | |
| 30 | δοκλῆς ἐποίησε διὸ δεῖ ὀρθῶς. ἡ δὲ στιγμὴ καὶ τὸ ἐν τοῖς ἀκινήτοις. ἔτι οὐδεὶς ἔχει ἄπειρα ἄρθρα ἐν τῷ σώματι ἢ τῇ χειρί, στιγμὰς δ’ ἀπείρους. ἔτι λίθου ἄρθρον οὐκ ἔστιν, | |
| οὐδ’ ἔχει, στιγμὰς δὲ ἔχει. | ||